Bài tập cuối chương 1 Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn kết quả chính xác
Hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} - 5x + 3y = 1 \\ x + 5y = 11 \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm $(x;y)$ . Kết quả nào dưới đây đúng?
- A.
  $x^{2} - y^{2} = 3$
- B.
  $x^{2} - y^{2} = - 1$
- C.
  $x^{2} - y^{2} = 1$
- D.
  $x^{2} - y^{2} = - 3$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} - 5x + 3y = 1 \\ x + 5y = 11 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 5x + 3y = 1 \\ 5x + 25y = 55 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 28y = 56 \\ x + 5y = 11 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 2 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (1;2)$

Vậy $x^{2} - y^{2} = - 3$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tìm nghiệm chung của hai phương trình
Nghiệm chung $\left( x_{0};y_{0} ight)$ của hai phương trình $x + 2y = 4$ và $x - y = 1$ là:
- A.
  $(2;1)$
- B.
  $(1;0)$
- C.
  $(0;2)$
- D.
  $(1;2)$
Hướng dẫn:
Nghiệm chung $\left( x_{0};y_{0} ight)$ của hai phương trình $x + 2y = 4$ và $x - y = 1$ là nghiệm cuat hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 4 \\ x - y = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (2;1)$

Vậy nghiệm chung của hai phương trình đã cho là $\left( x_{0};y_{0} ight) = (2;1)$
Câu 3: Nhận biết
Xác định hệ phương trình có nghiệm (2; -3)
Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm là $(x;y) = (2; - 3)$ ?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} - x + y = - 5 \\ 2x - 3y = - 13 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x + y = - 1 \\ - x + 3y = - 15 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x + y = - 1 \\ - 2x + 3y = - 3 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x + y = - 1 \\ 3x - y = 9 \\ \end{matrix} ight.$
Hướng dẫn:
Thay $(x;y) = (2; - 3)$ vào từng hệ phương trình ta xác định được phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + y = - 1 \\ 3x - y = 9 \\ \end{matrix} ight.$ nhận $(x;y) = (2; - 3)$ làm nghiệm.
Câu 4: Vận dụng
Tính thể tích của mỗi bình
Ba bình có thể tích tổng cộng là 120 lít. Nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ ba đầy nước còn bình thứ hai chỉ được một nửa thể tích của nó, hoặc bình thứ hai đầy nước còn bình thứ ba chỉ được một phần ba thể tích của nó. Hãy xác định thể tích mỗi bình?
- A.
  $20;30;70$
- B.
  $50;40;30$
- C.
  $50;30;40$
- D.
  $30;40;50$
Hướng dẫn:
Gọi x; y lần lượt là thể tích bình thứ hai và thứ ba (x; y > 0)

Suy ra thể tích bình thứ nhất là 120 – (x + y)

Nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ ba đầy nước còn bình thứ hai chỉ được một nửa thể tích của nó nên ta có phương trình: $120 - (x + y) = \frac{1}{2}x + y$

Và $120 - (x + y) = x + \frac{1}{3}y$

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}120 - (x + y) = \dfrac{1}{2}x + y \\120 - (x + y) = x + \dfrac{1}{3}y \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{2}x + 2y = 120 \\2x + \dfrac{4}{3}y = 120 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 40 \\y = 30 \\\end{matrix} ight.\ (tm)$

Suy ra số lít nước của bình thứ nhất là $120 – 40 – 30 = 50$ lít.
Câu 5: Nhận biết
Chọn hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ phương trình nào sau đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} - 4x - 2y = 5 \\ 3x - y = - 22 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - 3y = 1 \\ 4x - y = - 3 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x - 2y^{2} = 5 \\ - x - 2y = 6 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x - 2y + z = 11 \\ x - 2y^{2} = - 1 \\ \end{matrix} ight.$
Hướng dẫn:
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là: $\left\{ \begin{matrix} - 4x - 2y = 5 \\ 3x - y = - 22 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 6: Nhận biết
Tìm hệ phương trình có vô số nghiệm
Hệ phương trình nào sau đây có vô số nghiệm?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} 2x - 7y = 5 \\ - 4x + 14y = - 10 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} 3x - y = 1 \\ - 6x + 2y = 2 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x - 3y = 15 \\ 2x - y = 9 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x - 2y = 5 \\ 2x - 4y = - 10 \\ \end{matrix} ight.$
Hướng dẫn:
Xét hệ $\left\{ \begin{matrix} x - 3y = 15 \\ 2x - y = 9 \\ \end{matrix} ight.$ có: $\frac{1}{2} eq \frac{- 3}{- 1}$ nên hệ có nghiệm duy nhất.

Xét hệ $\left\{ \begin{matrix} 2x - 7y = 5 \\ - 4x + 14y = - 10 \\ \end{matrix} ight.$ có: $\frac{2}{- 4} = \frac{- 7}{14} = \frac{5}{- 10}$ nên hệ có vô số nghiệm.

Xét hệ $\left\{ \begin{matrix} x - 2y = 5 \\ 2x - 4y = - 10 \\ \end{matrix} ight.$ có: $\frac{1}{2} = \frac{- 2}{- 4} eq \frac{5}{- 10}$ nên hệ có nghiệm duy nhất

Xét hệ $\left\{ \begin{matrix} 3x - y = 1 \\ - 6x + 2y = 2 \\ \end{matrix} ight.$ có: $\frac{3}{- 6} = \frac{- 1}{2} eq \frac{1}{2}$ nên hệ vô nghiệm.
Câu 7: Nhận biết
Giải hệ phương trình
Hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 3x + 2y = 5 \\ 2y = - 4 \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm là:
- A.
  $(1;1)$
- B.
  $( - 3; - 1)$
- C.
  $(3; - 2)$
- D.
  $(3;1)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3x + 2y = 5 \\ 2y = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (3; - 2)$
Câu 8: Thông hiểu
Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm
Hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + 2my = 3m - 1 \\ x + 2my = m - 3 \\ \end{matrix} ight.$ vô nghiệm khi:
- A.
  $m = 1$
- B.
  $m eq - 1$
- C.
  $m = - 1$
- D.
  $m eq 2$
Hướng dẫn:
TH1: $m = 0$ ta có hệ $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ x = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ vô nghiệm.

TH2: $m eq 0$ hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + 2my = 3m - 1 \\ x + 2my = m - 3 \\ \end{matrix} ight.$ vô nghiệm khi

$\frac{1}{1} = \frac{2m}{2m} eq \frac{3m - 1}{m - 3} \Leftrightarrow \frac{1}{1} eq \frac{3m - 1}{m - 3} \Leftrightarrow m eq - 1$

Vậy $m eq - 1$ thì hệ phương trình vô nghiệm.
Câu 9: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cặp số nào thỏa mãn phương trình $4x - 5y = 0$ ?
- A.
  $(1;0)$
- B.
  $(0;1)$
- C.
  $(1;1)$
- D.
  $(0;0)$
Hướng dẫn:
Thay các cặp số vào phương trình ta thấy cặp số $(0;0)$ thỏa mãn phương trình đã cho.
Câu 10: Nhận biết
Chọn hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} - x + 2y = 5 \\ 2x - 4y = 10 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x + 5y = - 3 \\ 2x + 10y = - 6 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x + y = 12 \\ 4x + 3y = - 3 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} 6x - 4y = 1 \\ 3x - 2y = 1 \\ \end{matrix} ight.$
Hướng dẫn:
Xét hệ $\left\{ \begin{matrix} x + y = 12 \\ 4x + 3y = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ có: $\frac{1}{4} eq \frac{1}{2}$ nên hệ có nghiệm duy nhất.

Xét hệ $\left\{ \begin{matrix} - x + 2y = 5 \\ 2x - 4y = 10 \\ \end{matrix} ight.$ có: $\frac{- 1}{2} = \frac{2}{- 4} eq \frac{5}{10}$ nên hệ vô nghiệm.

Xét hệ $\left\{ \begin{matrix} 6x - 4y = 1 \\ 3x - 2y = 1 \\ \end{matrix} ight.$ có: $\frac{6}{3} = \frac{- 4}{- 2} eq \frac{1}{1}$ nên hệ vô nghiệm.

Xét hệ $\left\{ \begin{matrix} x + 5y = - 3 \\ 2x + 10y = - 6 \\ \end{matrix} ight.$ có: $\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = \frac{- 3}{- 6}$ nên hệ có vô số nghiệm.
Câu 11: Thông hiểu
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 4x - my = 1 \\ mx - 9y = - 5 \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm duy nhất?
- A.
  $m = \pm 6$
- B.
  $m = 6$
- C.
  $m eq \pm 6$
- D.
  $m = - 6$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 4x - my = 1 \\ mx - 9y = - 5 \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

$\frac{4}{m} eq \frac{- m}{- 9} \Leftrightarrow m^{2} eq 36 \Leftrightarrow m eq \pm 6$

Vậy $m eq \pm 6$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 12: Vận dụng
Tính thời gian chảy riêng đầy bể của mỗi vòi
Hai vòi nước cùng chảy vào bể sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể. Nếu vòi một chảy trong 4 giờ, vòi 2 chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 75% bể. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng một mình thì đầy bể?
- A.
  10 giờ và 12 giờ
- B.
  8 giờ và 12 giờ
- C.
  7 giờ và 9 giờ
- D.
  7 giờ và 11 giờ
Hướng dẫn:
Trong 1 giờ vòi 1 và vòi 2 chảy được lần lượt là $\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{y}$ bể

Trong một giờ cả hai vòi chảy được $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{24}$ bể

Nếu vòi một chảy trong 4 giờ, vòi 2 chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 75% bể khi đó ta có phương trình $\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{4}$

Khi đó ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{24} \\\dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{3}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{8} \\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{12} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 8 \\y = 12 \\\end{matrix} ight.\ (tm)$

Vậy thời gian để vòi 1 và vòi 2 chảy một mình đầy bể lần lượt là 8 giờ và 12 giờ.
Câu 13: Vận dụng cao
Chọn kết luận chính xác
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2mx + y = 2 \\ x + 2my = 4 - 4m \\ \end{matrix} ight.$ với $m$ là tham số. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất, biểu thức liên hệ giữa x và y nào sau đây không phụ thuộc vào tham số?
- A.
  $x - y = 2$
- B.
  $4x + y = 1$
- C.
  $2x + y = 3$
- D.
  $x + y = - 1$
Hướng dẫn:
Hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2mx + y = 2 \\ x + 2my = 4 - 4m \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

$\frac{2m}{1} eq \frac{1}{2m} \Leftrightarrow m eq \pm \frac{1}{2}$

Với $m eq \pm \frac{1}{2}$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 2mx + y = 2 \\ x + 2my = 4 - 4m \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4m^{2}x + 2my = 4m \\ x + 2my = 4 - 4m \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\left( 4m^{2} - 1 ight)x = 8m - 4 \\x + 2my = 4 - 4m \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{8m - 4}{4m^{2} - 1} \\x + 2my = 4 - 4m \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{4}{2m + 1} \\x + 2my = 4 - 4m \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{4}{2m + 1} \\y = \dfrac{- 4m + 2}{2m + 1} = - 2 + \dfrac{4}{2m + 1} \\\end{matrix} ight.$

Khi đó: $x - y = \frac{4}{2m + 1} - \left( - 2 + \frac{4}{2m + 1} ight) = 2$
Câu 14: Thông hiểu
Tính thời gian chạy hết quãng đường của hai xe
Trên quãng đường AB một xe máy đi từ A đến B cùng lúc đó một xe ô tô đi từ B đến A, sau 4 giờ thì hai xe gặp nhau và tiếp tục đi thì xe ô tô đến A sớm hơn xe máy đến B là 6 giờ. Thời gian mỗi xe máy và ô tô đi hết quãng đường AB lần lượt là:
- A.
  10 giờ; 6 giờ
- B.
  12 giờ; 8 giờ
- C.
  12 giờ; 6 giờ
- D.
  10 giờ; 8 giờ
Hướng dẫn:
Gọi x (giờ) là thời gian xe máy đi hết quãng đường AB, (x > 4), y (giờ) là thời gian ô tô đi hết quãng đường BA (y > 4)

Trong 1 giờ xe máy đi được $\frac{1}{x}$ (km)

1 giờ ô tô đi được $\frac{1}{y}$ (km)

Trong một giờ hai xe đi được: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$

Mà thời gian ô tô đi đến A sớm hơn xe máy đi đến B là 6 giờ nên ta có phương trình $x - y = 6$

Khi đó ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4} \\x - y = 6 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x - 6} = \dfrac{1}{4} \\y = x - 6 \\\end{matrix} ight.\ ;(x eq 6)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 12)(x + 2) = 0 \\ y = x - 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x = 12(tm) \\ x = - 2(ktm) \\ \end{matrix} ight.\ \\ y = x - 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 12 \\ y = 6 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy thời gian xe máy và ô tô đi hết quãng đường AB lần lượt là 12 giờ và 6 giờ.
Câu 15: Thông hiểu
Tìm m và n để hai hệ phương trình tương đương
Cho hai hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} 2x - y = 4 \\ - x + 3y = 3 \\ \end{matrix} ight.$ và $\left\{ \begin{matrix} mx - y = 4 \\ 2x + ny = 16 \\ \end{matrix} ight.$

Với giá trị nào của $m$ và $n$ thì hai hệ phương trình tương đương với nhau?
- A.
  $m = - 2;n = 5$
- B.
  $m = 2;n = 5$
- C.
  $m = 2;n = 11$
- D.
  $m = 1;n = 4$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 2x - y = 4 \\ - x + 3y = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - y = 4 \\ - 2x + 6y = 6 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - y = 4 \\ 5y = 10 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Để hệ hai phương trình đã cho tương đương thì $\left\{ \begin{matrix} mx - y = 4 \\ 2x + ny = 16 \\ \end{matrix} ight.$ nhận cặp số $(3;2)$ làm nghiệm

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} 3m - 2 = 4 \\ 6 + 2n = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ n = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $m = 2;n = 5$ là giá trị cần tìm.
Câu 16: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Tập nghiệm của phương trình $2x + 0y = 1$ được biểu diễn bởi đường thẳng nào dưới đây?
- A.
  $x = 1$
- B.
  $y = 1 - 2x$
- C.
  $x = \frac{1}{2}$
- D.
  $y = \frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có: $2x + 0y = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình $2x + 0y = 1$ được biểu diễn bởi đường thẳng $x = \frac{1}{2}$ .
Câu 17: Nhận biết
Xác định hệ phương trình vô nghiệm
Hệ phương trình nào sau đây vô nghiệm?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x - 2y = 5 \\ x + 2y = 3 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x - 2y = 5 \\ - x - 2y = 6 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x - 2y = 5 \\ x + 2y = 5 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x - 2y = 5 \\ - x + 2y = 3 \\ \end{matrix} ight.$
Hướng dẫn:
Xét hệ $\left\{ \begin{matrix} x - 2y = 5 \\ - x + 2y = 3 \\ \end{matrix} ight.$ có: $\frac{1}{- 1} = \frac{- 2}{2} eq \frac{5}{3}$ nên hệ vô nghiệm.

Xét hệ $\left\{ \begin{matrix} x - 2y = 5 \\ x + 2y = 3 \\ \end{matrix} ight.$ có: $\frac{1}{1} eq \frac{- 2}{2}$ nên hệ có nghiệm duy nhất.

Xét hệ $\left\{ \begin{matrix} x - 2y = 5 \\ x + 2y = 5 \\ \end{matrix} ight.$ có: $\frac{1}{1} eq \frac{- 2}{2}$ nên hệ có nghiệm duy nhất

Xét hệ $\left\{ \begin{matrix} x - 2y = 5 \\ - x - 2y = 6 \\ \end{matrix} ight.$ có: $\frac{- 1}{1} eq \frac{- 2}{- 2}$ nên hệ có nghiệm duy nhất.
Câu 18: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Khi $m = 2$ thì hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} mx + 3y = - 2 \\ m^{2}x - 6y = 4 \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm là:
- A.
  $\left( - \frac{2}{3};0 ight)$
- B.
  $\left( \frac{2}{3};0 ight)$
- C.
  $\left( 0; - \frac{2}{3} ight)$
- D.
  $\left( 0;\frac{2}{3} ight)$
Hướng dẫn:
Thay $m = 2$ vào hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} mx + 3y = - 2 \\ m^{2}x - 6y = 4 \\ \end{matrix} ight.$ ta được:

$\left\{ \begin{matrix} 2x + 3y = - 2 \\ 4x - 6y = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x + 3y = - 2 \\ 2x - 3y = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}4x = 0 \\2x - 3y = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 0 \\y = - \dfrac{2}{3} \\\end{matrix} ight.$

Vậy khi m = 2 thì hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = \left( 0; - \frac{2}{3} ight)$
Câu 19: Vận dụng
Tính vận tốc của tàu tuần tra
Một tàu tuần tra chạy ngược dòng $6km$ . Sau đó chạy xuôi dòng $48km$ trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là $2km/h$ . Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ?
- A.
  $25km/h$
- B.
  $20km/h$
- C.
  $22km/h$
- D.
  $24km/h$
Hướng dẫn:
Gọi thời gian tàu chạy xuôi dòng là $t_{1}(h)$ , thời gian tàu chạy ngược dòng là $t_{2}(h)$

Gọi $V$ là vận tốc của tàu khi nước yên lặng ta có: $t_{1} + 1 = t_{2}\ \ (*)$

Vận tốc xuôi dòng là $V_{x} = \frac{48}{t_{1}}(km/h)$

Vận tốc ngược dòng là $V_{n} = \frac{60}{t_{2}}(km/h)$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix}V_{x} = V + 2 \Leftrightarrow \dfrac{48}{t_{1}} = V + 2 \\V_{n} = V - 2 \Leftrightarrow \dfrac{60}{t_{2}} = V - 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \dfrac{48}{t_{1}} - 2 =\dfrac{60}{t_{2}} + 2 \Rightarrow \frac{48}{t_{1}} - \frac{60}{t_{2}} = -4(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}t_{1} + 1 = t_{2}\ \\\dfrac{48}{t_{1}} - \dfrac{60}{t_{2}} = - 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t_{1} + 1 = t_{2}\ \\4{t_{1}}^{2} + 16t_{1} - 48 = 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} + 1 = t_{2}\ \\ (t + 6)(t - 2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} + 1 = t_{2}\ \\ \left\lbrack \begin{matrix} t_{1} = - 6(ktm) \\ t_{1} = 2(tm) \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{2} = 3\ \\ t_{1} = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy vận tốc cần tìm là $V = 22km/h$
Câu 20: Thông hiểu
Tính số sách ở tủ thứ nhất
Tổng số sách ở hai tu là $2000$ cuốn. Nếu chuyển $400$ cuốn ở tủ thứ nhất sang tủ thứ hai thì số sách tủ thứ hai gấp bốn lần số sách tủ thứ nhất. Số sách ở tủ thứ nhất là:
- A.
  $800$ cuốn
- B.
  $720$ cuốn
- C.
  $1200$ cuốn
- D.
  $1280$ cuốn
Hướng dẫn:
Gọi số sách ở tủ thứ nhất và thứ hai lần lượt là $x;y$ cuốn sách

Điều kiện $0 < x;y < 2000;x;y \in \mathbb{N}^{*}$

Ta có số sách ở cả hai tủ là 2000 cuốn suy ra $x + y = 2000$

Nếu chuyển $400$ cuốn ở tủ thứ nhất sang tủ thứ hai thì số sách tủ thứ hai gấp bốn lần số sách tủ thứ nhất suy ra ta có phương trình $y + 400 = 4(x - 400)$ .

Khi đó ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} x + y = 2000 \\ y + 400 = 4(x - 400) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 800 \\ y = 1200 \\ \end{matrix} ight.\ (tm)$

Vậy số sách ở tủ thứ nhất là 1200 cuốn.