Bài tập cuối chương 1 Phương trình và hệ phương trình bậc nhất

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Xác định số nghiệm của hệ phương trình
Biết $m;n > 0$ . Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} |x + y| = m \\ |x - y| = n \\ \end{matrix} ight.$ là:
- A.
  $3$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} |x + y| = m \\ |x - y| = n \\ \end{matrix} ight.$ có 4 trường hợp xảy ra:

TH1: $\left\{ \begin{matrix}x + y = m \\x - y = n \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{m + n}{2} \\y = \dfrac{m - n}{2} \\\end{matrix} ight.$

TH2: $\left\{ \begin{matrix}x + y = m \\x - y = - n \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{m - n}{2} \\y = \dfrac{m + n}{2} \\\end{matrix} ight.$

TH3: $\left\{ \begin{matrix}x + y = - m \\x - y = n \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{- m + n}{2} \\y = \dfrac{- m - n}{2} \\\end{matrix} ight.$

TH4: $\left\{ \begin{matrix}x + y = - m \\x - y = - n \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{- m - n}{2} \\y = \dfrac{- m - n}{2} \\\end{matrix} ight.$

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 2: Thông hiểu
Giải phương trình và chọn kết quả đúng
Nghiệm nhỏ nhất của phương trình $(2x + 1)^{2} - (x - 1)^{2} = 0$ là:
- A.
  $x = - 2$
- B.
  $x = - 5$
- C.
  $x = 0$
- D.
  $x = 3$
Hướng dẫn:
Ta có:

$(2x + 1)^{2} - (x - 1)^{2} = 0$

$\Leftrightarrow (2x + 1 + x - 1)(2x + 1 - x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow 3x(x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3x = 0 \\ x + 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 0; - 2 ight\}$

Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là $x = - 2$ .

TH

1
Câu 3: Nhận biết
Xác định số nghiệm của phương trình
Phương trình $(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0$ có số nghiệm là:
- A.
  $1$ .
- B.
  $4$ .
- C.
  $2$ .
- D.
  $3$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 = 0 \\ x - 2 = 0 \\ x - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Câu 4: Thông hiểu
Xác định tọa độ giao điểm hai đường thẳng
Tìm tọa độ giao điểm Q hai đường thẳng $y = 2x - 3$ và $x - y = 1$ ?
- A.
  $Q(4;3)$
- B.
  $Q(4; - 3)$
- C.
  $Q( - 3; - 4)$
- D.
  $Q(2;1)$
Hướng dẫn:
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} y = 2x - 3 \\ x - y = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 2x - 3 \\ x - (2x - 3) = 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 2x - 3 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ giao điểm hai đường thẳng là điểm $Q(2;1)$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tìm hệ phương trình tương đương
Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình nào tương đương với hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 0x - 5y = 15 \\ - x + 2y = 7 \\ \end{matrix} ight.$ ?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} 3x - 5y = 15 \\ - 6x - 10y = 7 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} 3x + y = - 4 \\ 2x + y = - 1 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x - 3y = - 4 \\ 0x - 2y = 6 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} 2x - y = 17 \\ - 4x + 2y = 7 \\ \end{matrix} ight.$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 0x - 5y = 15 \\ - x + 2y = 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = - 3 \\ x = - 13 \\ \end{matrix} ight.$

Và $\left\{ \begin{matrix} x - 3y = - 4 \\ 0x - 2y = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 3y = - 4 \\ y = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 13 \\ y = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Hai hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 0x - 5y = 15 \\ - x + 2y = 7 \\ \end{matrix} ight.$ và $\left\{ \begin{matrix} x - 3y = - 4 \\ 0x - 2y = 6 \\ \end{matrix} ight.$ có cùng nghiệm duy nhất là $( - 13; - 3)$ nên hai hệ phương trình tương đương với nhau.
Câu 6: Thông hiểu
Xác định số nghiệm của phương trình
Số nghiệm của phương trình $\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x}{x - 2} = \frac{5x - 2}{4 - x^{2}}$ là:
- A.
  Vô nghiệm
- B.
  $1$ nghiệm
- C.
  $2$ nghiệm
- D.
  Vô số nghiệm $x eq \pm 2$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x eq \pm 2$

Ta có:

$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x}{x - 2} = \frac{5x - 2}{4 - x^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x}{x - 2} + \frac{5x - 2}{x^{2} - 4} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{(x - 1)(x - 2) - x(x + 2) + 5x - 2}{(x - 2)(x + 2)} = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) - x(x + 2) + 5x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 3x + 2 - x^{2} - 2x + 5x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow 0x = 0 \Leftrightarrow x\mathbb{\in R}$

Kết hợp với điều kiện xác định

Suy ra phương trình có vô số nghiệm $x eq \pm 2$ .
Câu 7: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Cặp số $(2;1)$ không là nghiệm của phương trình nào sau đây?
- A.
  $2x + 3y = 4$
- B.
  $x - y = 1$
- C.
  $3x - 2y = 4$
- D.
  $2x + y = 5$
Hướng dẫn:
Thay cặp số $(2;1)$ vào các phương trình đã cho ta thấy $(2;1)$ không là nghiệm của phương trình $2x + 3y = 4$ .
Câu 8: Nhận biết
Tìm điều kiện xác định của phương trình
Tìm điều kiện xác định của phương trình $1 + \frac{x}{3 - x} = \frac{5x}{(x + 2)(3 - x)} + \frac{2}{x + 2}$ ?
- A.
  $x eq 3$
- B.
  $x eq - 2$
- C.
  $x eq 0$
- D.
  $x eq 3;x eq - 2$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định:

$\left\{ \begin{matrix} 3 - x eq 0 \\ x + 2 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 3 \\ x eq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \forall x\mathbb{\in R}$
Câu 9: Vận dụng cao
Giải hệ phương trình
Có bao nhiêu cặp số $(x;y)$ thỏa mãn hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}x + \dfrac{1}{x} + y + \dfrac{1}{y} = \dfrac{9}{2} \\xy + \dfrac{1}{xy} = \dfrac{5}{2} \\\end{matrix} ight.$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Đặt $x + y = u;xy = v;(v eq 0)$

Hệ phương trình trở thành

$\left\{ \begin{matrix}u + \dfrac{u}{v} = \dfrac{9}{2}\ \\u + \dfrac{1}{v} = \dfrac{5}{2}\ \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u\left( 1 + \dfrac{1}{v} ight) = \dfrac{9}{2} \\u = \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{v}\ \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\left( \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{v} ight)\left( 1 + \dfrac{1}{v} ight) =\dfrac{9}{2} \\u = \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{v}\ \\\end{matrix} ight.$

Xét phương trình

$\left( \frac{5}{2} - \frac{1}{v} ight)\left( 1 + \frac{1}{v} ight) = \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow 2v^{2} - 5v + 2 = 0 \Leftrightarrow (2v - 1)(v - 2) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}2v - 1 = 0 \\v - 2 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}v = \dfrac{1}{2} \\v = 2 \\\end{matrix} ight.$

Với $v = 2 \Rightarrow u = 3$ ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} x + y = 3 \\ xy = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - y \\ (3 - y)y = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - y \\ (y - 1)(y - 2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - y \\ \left\lbrack \begin{matrix} y = 1 \Rightarrow x = 2 \\ y = 2 \Rightarrow x = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (1;2) = (2;1)$

Với $v = \frac{1}{2} \Rightarrow u = \frac{3}{2}$ ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix}x + y = \dfrac{3}{2} \\xy = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{3}{2} - y \\\left( \dfrac{3}{2} - y ight)y = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{3}{2} - y \\\left( y - \dfrac{1}{2} ight)(y - 1) = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{3}{2} - y \\\left\lbrack \begin{matrix}y = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 1 \\y = 1 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = \left( 1;\frac{1}{2} ight) = \left( \frac{1}{2};1 ight)$

Vậy hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x + \dfrac{1}{x} + y + \dfrac{1}{y} = \dfrac{9}{2} \\xy + \dfrac{1}{xy} = \dfrac{5}{2} \\\end{matrix} ight.$ có 4 cặp số $(x;y)$ thỏa mãn yêu cầu.
Câu 10: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho phương trình $\frac{x}{x - 5} - \frac{3}{x - 2} = 1$ . Kết luận nào sau đây đúng về nghiệm của phương trình đã cho?
- A.
  Phương trình vô nghiệm.
- B.
  Phương trình có vô số nghiệm
- C.
  Phương trình có nghiệm nguyên dương.
- D.
  Phương trình có nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn:
Điều kiện: $x eq 5;x eq 2$

Ta có:

$\frac{x}{x - 5} - \frac{3}{x - 2} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{x}{x - 5} - \frac{3}{x - 2} - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{x(x - 2) - 3(x - 5) - 1(x - 2)(x - 5)}{(x - 2)(x - 5)} = 0$

$\Leftrightarrow x(x - 2) - 3(x - 5) - 1(x - 2)(x - 5) = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2x - 3x + 15 - x^{2} + 7x - 10 = 0$

$\Leftrightarrow 2x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{5}{2}(tm)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = - \frac{5}{2}$ .
Câu 11: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Nghiệm nguyên của phương trình $x - 2y = 5$ là:
- A.
  $(3;1)$
- B.
  $( - 1; - 2)$
- C.
  $(1;2)$
- D.
  $(2y + 5;y)$ với $y\in\mathbb{ Z}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x - 2y = 5 \Rightarrow x = 2y + 5$

Tập nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho là $(2y + 5;y)$ với $y\in\mathbb{ Z}$ .
Câu 12: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x - 2y = - 1 \\ 2x - y = - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Hệ phương trình có vô số nghiệm.
- B.
  Hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = \left( - \frac{1}{3};\frac{1}{3} ight)$ .
- C.
  Hệ phương trình vô nghiệm.
- D.
  Hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = \left( \frac{1}{3};\frac{1}{3} ight)$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x - 2y = - 1 \\ 2x - y = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - 4y = - 2 \\ 2x - y = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 3y = - 1 \\2x - y = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = \dfrac{1}{3} \\x = - \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = \left( - \frac{1}{3};\frac{1}{3} ight)$ .

NB
Câu 13: Vận dụng
Tính thời gian hoàn thành công việc một mình của người thứ hai
Hai công nhân làm chung công việc trong 6 giờ thì hoàn thành. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ 20 phút và người thứ hai làm trong 10 giờ thì xong công việc. Thời gian mỗi người thứ hai làm một mình xong công việc là:
- A.
  10 giờ
- B.
  14 giờ
- C.
  15 giờ
- D.
  12 giờ
Hướng dẫn:
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x (giờ) (x > 6)

Khi đó trong một giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc.

Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y (giờ) (y > 6)

Khi đó trong một giờ người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Trong 3 giờ 20 phút (ứng với $\frac{10}{3}$ giờ) người thứ nhất làm được $\frac{10}{3}.\frac{1}{x}$ công việc

Trong 10 giờ người thứ hai làm được $10.\frac{1}{y}$ công việc.

Hai người làm chung công việc trong 6 giờ thì hoàn thành

Khi đó mỗi giờ hai người làm chung được $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ công việc nên ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ 20 phút và người thứ hai làm trong 10 giờ thì xong công việc nên ta có phương trình $\frac{10}{3}.\frac{1}{x} + 10.\frac{1}{y} = 1$

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6} \\\dfrac{10}{3}.\dfrac{1}{x} + 10.\dfrac{1}{y} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{y} \\\dfrac{10}{3}.\left( \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{y} ight) + 10.\dfrac{1}{y} =1 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{1}{x} = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{y} \\\dfrac{20}{3}.\dfrac{1}{y} = \dfrac{4}{9} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{y} \\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{15} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{10} \\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{15} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 10 \\y = 15 \\\end{matrix} ight.\ (tm)$

Vậy thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là 15 giờ.
Câu 14: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức P
Biết đường thẳng $y = (a - 3)x + b$ đi qua hai điểm $A(1;2),B( - 3;4)$ . Tính giá trị biểu thức $P = a + b$ ?
- A.
  $P = \frac{5}{2}$
- B.
  $P = - 5$
- C.
  $P = - \frac{5}{2}$
- D.
  $P = 5$
Hướng dẫn:
Ta có:

Đường thẳng $y = (a - 3)x + b$ đi qua hai điểm $A(1;2)$ suy ra $(a - 3).1 + b = 2$

Đường thẳng $y = (a - 3)x + b$ đi qua hai điểm $B( - 3;4)$ suy ra $(a - 3).( - 3) + b = 4$

Khi đó ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix}(a - 3).1 + b = 2 \\(a - 3).( - 3) + b = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a + b = 5 \\- 3a + b = - 5 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{5}{2} \\b = \dfrac{5}{2} \\\end{matrix} ight.$

Khi đó $P = a + b = \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 5$

Câu 15: Vận dụng

Tính số công nhân và ngày làm việc theo dự định

Để hoàn thành một công việc theo dự định thì cần một số công nhân làm trong một số ngày nhất định. Nếu tăng thêm 10 công nhân thì công việc hoàn thành sớm hơn 2 ngày. Nếu bớt đi 10 công nhân thì phải mất thêm 3 ngày nữa mới hoàn thành công việc. Hỏi theo dự định thì cần bao nhiêu công nhân và làm trong bao nhiêu ngày?

A.
55 công nhân và 10 ngày
B.
58 công nhân và 11 ngày
C.
50 công nhân và 12 ngày
D.
60 công nhân và 9 ngày

Hướng dẫn:

Gọi số công nhân và số ngày theo dự định là x (công nhân) và y (ngày)

Điều kiện: x > 10; y > 2 và x là số tự nhiên

Lượng công việc theo dự định là xy (ngày công)

	Số công nhân	Số ngày	Lượng công việc
Dự định	x	y	xy
Trường hợp 1	x + 10	y - 2	(x + 10)(y – 2)
Trường hợp 2	x – 10	y + 3	(x – 10)(y + 3)

Vì khối lượng công việc không đổi nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} (x + 10)(y - 2) = xy \\ (x - 10)(y + 3) = xy \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2x + 10y = 20 \\ 3x - 10y = 30 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 50 \\ y = 12 \\ \end{matrix} ight.\ (tm)$

Vậy số công nhân và số ngày theo dự định lần lượt là 50 công nhân và 12 ngày.

Câu 16: Thông hiểu

Điền đáp án đúng vào chỗ trống

Năm 2023 hai trường P và Q có tổng số 390 học sinh đỗ vào đại học đạt tỉ lệ 78%. Biết rằng trường P có tỉ lệ đỗ đại học đạt 75%, trường Q có tỉ lệ đỗ đại học đạt 80%. Khi đó:
Số học sinh dự thi đại học của trường P là: 200 học sinh
Số học sinh dự thi đại học của trường Q là: 300 học sinh

Đáp án là:

Năm 2023 hai trường P và Q có tổng số 390 học sinh đỗ vào đại học đạt tỉ lệ 78%. Biết rằng trường P có tỉ lệ đỗ đại học đạt 75%, trường Q có tỉ lệ đỗ đại học đạt 80%. Khi đó:
Số học sinh dự thi đại học của trường P là: 200 học sinh
Số học sinh dự thi đại học của trường Q là: 300 học sinh

Gọi số học sinh dự thi đại học của trường P và trường Q lần lượt là x và y (học sinh)
Điều kiện $x;y \in\mathbb{N}^{*}$
Tổng số học sinh hai trường thi đỗ là 390 đạt tỉ lệ 78%
=> Số học sinh dự thi đại học của cả hai trường là $390:78\% = 500$ (học sinh)
Suy ra $x + y = 500$
Trường P có tỉ lệ đỗ đại học đạt 75%, trường Q có tỉ lệ đỗ đại học đạt 80%
Suy ra $0,75x + 0,8y = 390$
Khi đó ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{matrix}x + y = 500 \\0,75x + 0,8y = 390 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 200 \\y = 300 \\\end{matrix} ight.\ (tm)$
Vậy số học sinh dự thi đại học ở trường P là 200 học sinh và trường Q là 300 học sinh.
Câu 17: Thông hiểu
Tính vận tốc của mỗi xe
Hai ô tô đi từ A đến B dài 200km. Biết vận tốc xe thứ nhất nhanh hơn vận tốc xe thứ hai là 10km/h nên xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe.
- A.
  $180$ sản phẩm
- B.
  $140$ sản phẩm
- C.
  $120$ sản phẩm
- D.
  $160$ sản phẩm
Hướng dẫn:
Gọi vận tốc hai xe lần lượt là x (km/h) và y (km/h)

Điều kiện x; y > 0

Xe thứ nhất nhanh hơn xe thứ hai là 10km/h nên ta có phương trình: $x - y = 10$

Thời gian xe thứ nhất và xe thứ hai đi hết quãng đường AB lần lượt là: $\frac{200}{x}(h);\frac{200}{y}(h)$

Vì xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai 1 giờ nên ta có phương trình:

$\frac{200}{y} - \frac{200}{x} = 1$

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}x - y = 10 \\\dfrac{200}{y} - \dfrac{200}{x} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 10 + y\ \ \ \ (**) \\\dfrac{200}{y} - \dfrac{200}{10 + y} = 1(*) \\\end{matrix} ight.$

Xét phương trình (*)

$\frac{200}{y} - \frac{200}{10 + y} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{200(y + 10)}{y(y + 10)} - \frac{200y}{y(y + 10)} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{200(y + 10) - 200y}{y(y + 10)} = 1 \Leftrightarrow \frac{2000}{y(y + 10)} = 1$

$\Leftrightarrow y^{2} + 10y - 2000 = 0$

$\Leftrightarrow (y + 50)(y - 40) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y + 50 = 0 \\ y - 40 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = - 50(ktm) \\ y = 40(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Thay $y = 40$ vào phương trình (**) ta được $x = 50$

Vậy vận tốc mỗi xe lần lượt là 50km/h và 40km/h.
Câu 18: Nhận biết
Tìm phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn?
- A.
  $3x - 2y = 5$
- B.
  $x^{2} + 3y = 2$
- C.
  $xy - 1 = x$
- D.
  $2x + y^{3} = 1$
Hướng dẫn:
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng $ax + by = c$ với $a eq 0$ hoặc $b eq 0$

Vậy phương trình bậc nhất hai ẩn cần tìm là $3x - 2y = 5$
Câu 19: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} - x + 4y = 6 \\ 3x - 12y = 18 \\ \end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Hệ phương trình vô nghiệm.
- B.
  Hệ phương trình có nghiệm nguyên.
- C.
  Hệ phương trình có vô số nghiệm.
- D.
  Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} - x + 4y = 6 \\ 3x - 12y = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3x + 12y = 18 \\ 3x - 12y = 18 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 0x = 36(*) \\ 3x - 12y = 18 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình (*) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có vô nghiệm.
Câu 20: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho phương trình $\frac{1}{x} + \frac{2}{x - 2} = 0\ \ \ \ (1)$ và phương trình $\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x}{x - 2} = \frac{5x - 2}{4 - x^{2}}$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  Hai phương trình có cùng điều kiện xác định.
- B.
  Hai phương trình tương đương.
- C.
  Phương trình (2) có nhiều nghiệm hơn phương trình (1).
- D.
  Hai phương trình có cùng số nghiệm.
Hướng dẫn:
Xét phương trình (1)

Điều kiện xác định: $x eq 0;x eq 3$

Ta có:

$\frac{1}{x} + \frac{2}{x - 2} = 0 \Leftrightarrow \frac{x - 2 + 2x}{x(x - 2)} = 0$

$\Leftrightarrow x - 2 + 2x = 0 \Leftrightarrow 3x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}(tm)$

Vậy phương trình (1) có nghiệm $x = \frac{2}{3}$

Xét phương trình (2)

Điều kiện xác định: $x eq 2;x eq - 2$

Ta có:

$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x}{x - 2} = \frac{5x - 2}{4 - x^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x}{x - 2} + \frac{5x - 2}{x^{2} - 4} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{(x - 1)(x - 2) - x(x + 2) + 5x - 2}{(x - 2)(x + 2)} = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) - x(x + 2) + 5x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 3x + 2 - x^{2} - 2x + 5x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow 0x = 0 \Leftrightarrow x\mathbb{\in R}$

Kết hợp với điều kiện xác định

Suy ra phương trình có vô số nghiệm $x eq \pm 2$ .

Vậy khẳng định đúng là: “Phương trình (2) có nhiều nghiệm hơn phương trình (1).”