Bài tập cuối chương 1 Phương trình và hệ phương trình CTST

Câu 1: Vận dụng

Chọn đáp án đúng

Hai công nhân cùng làm việc trong 20 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ, người thứ hai làm trong 7 giờ thì hoàn thành $30\%$ công việc. Vậy nếu làm riêng thì thời gian mỗi người hoàn thành công việc đó là:

A.
30 giờ; 40 giờ
B.
40 giờ; 40 giờ
C.
30 giờ; 30 giờ
D.
40 giờ; 30 giờ

Hướng dẫn:

Đổi $30\% = \frac{3}{10}$

Gọi thời gian mỗi người làm riêng hoàn thành công việc là x; y (giờ)

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Theo bài ra ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{20}{x} + \dfrac{20}{y} = 1 \\\dfrac{5}{x} + \dfrac{7}{y} = \dfrac{3}{10} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{20}{x} + \dfrac{20}{y} = 1 \\\dfrac{20}{x} + \dfrac{28}{y} = \dfrac{12}{10} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{8}{y} = \dfrac{1}{5} \\\dfrac{5}{x} + \dfrac{7}{y} = \dfrac{3}{10} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = 40 \\x = 40 \\\end{matrix} ight.\ (tm)$

Vậy người thứ nhất làm một mình trong 40 giờ thì hoàn thành công việc, người thứ hai làm một mình trong 40 giờ thì xong công việc.

Câu 2: Thông hiểu

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Tập nghiệm của phương trình $\frac{- 7x^{2} + 4}{x^{3} + 1} = \frac{5}{x^{2} - x + 1} - \frac{1}{x + 1}$ là:

A.
$S = \left\{ 0;1 ight\}$
B.
$S = \left\{ - 1 ight\}$
C.
$S = \left\{ 0; - 1 ight\}$
D.
$S = \left\{ 0 ight\}$

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định: $x eq - 1$

Ta có:

$\frac{- 7x^{2} + 4}{x^{3} + 1} = \frac{5}{x^{2} - x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

$\Leftrightarrow \frac{- 7x^{2} + 4}{(x + 1)\left( x^{2} - x + 1 ight)} = \frac{5}{x^{2} - x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

$\Leftrightarrow \frac{- 7x^{2} + 4}{(x + 1)\left( x^{2} - x + 1 ight)} = \frac{5(x + 1) - \left( x^{2} - x + 1 ight)}{(x + 1)\left( x^{2} - x + 1 ight)}$

$\Leftrightarrow - 7x^{2} + 4 = 5(x + 1) - \left( x^{2} - x + 1 ight)$

$\Leftrightarrow - 7x^{2} + 4 = 5x + 5 - x^{2} + x + 1$

$\Leftrightarrow 6x^{2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x(x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0(tm) \\ x = - 1(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 0 ight\}$

Câu 3: Thông hiểu

Tìm giá trị a và b

Xác định hệ số a; b sao cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + ay = 3 \\ ax - 3by = 4 \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm là $( - 1;2)$ ?

A.
$a = - 2;b = 1$
B.
$a = - 1;b = - 2$
C.
$a = - 2;b = - 1$
D.
$a = 2;b = - 1$

Hướng dẫn:

hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + ay = 3 \\ ax - 3by = 4 \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm là $( - 1;2)$ nên

$\left\{ \begin{matrix} - 1 + a.2 = 3 \\ a.( - 1) - 3b.2 = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 + 2a = 3 \\ - a - 6b = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $a = 2;b = - 1$ là giá trị cần tìm.

Câu 4: Nhận biết

Xác định số nghiệm của phương trình

Phương trình $x^{2} + x = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A.
$2$ .
B.
$1$ .
C.
Vô nghiệm.
D.
Vô số nghiệm.

Hướng dẫn:

Ta có:

$x^{2} + x = 0 \Leftrightarrow x(x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Câu 5: Thông hiểu

Tính giá trị biểu thức

Hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x - 5y = 6 \\ 2x + 7y = - 5 \\ \end{matrix} ight.$ có nghiệm là $\left( x_{0};y_{0} ight)$ . Giá trị của biểu thức $2x_{0} - 11y_{0}$ là:

A.
$15$
B.
$13$
C.
$12$
D.
$14$

Hướng dẫn:

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x - 5y = 6 \\ 2x + 7y = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - 10y = 12 \\ 2x + 7y = - 5 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 17y = - 17 \\ x - 5y = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = - 1 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $x_{0} = 1;y_{0} = - 1$

Suy ra $2x_{0} - 11y_{0} = 2.1 - 11.( - 1) = 13$

Câu 6: Thông hiểu

Tính diện tích thửa ruộng hình chữ nhật

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250m. Biết rằng khi ta giảm chiều dài 3 lần và tăng chiều rộng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi. Diện tích thửa ruộng là:

A.
$2250m^{2}$
B.
$3750m^{2}$
C.
$2400m^{2}$
D.
$4125m^{2}$

Hướng dẫn:

Nửa chu vi hình chữ nhật là 250 : 2 = 125m

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m)

Chiều rộng hình chữ nhật là y (m)

Điều kiện 0 < y < x <125

Diện tích hình chữ nhật là $x.y\left( {{m^2}} ight)$

Vì nửa chu vi hình chữ nhật bằng 125m nên $x + y = 125$

Khi ta giảm chiều dài 3 lần và tăng chiều rộng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi nên ta có phương trình: $2\left( {\frac{x}{3} + 2y} ight) = 250$

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}x + y = 125 \\2\left( \dfrac{x}{3} + 2y ight) = 250 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + y = 125 \\x + 6y = 375 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 75 \\y = 50 \\\end{matrix} ight.\ (tm)$

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 75m và chiều rộng hình chữ nhật là 50m.

Suy ra diện tích thửa ruộng là $x.y = 3750m^{2}$

Câu 7: Vận dụng

Tính thời gian xe A xuất phát

Một ô tô xuất phát từ A dự định đến B lúc 11 giờ trưa. Cùng thời gian xuất phát từ A, nếu vận tốc tăng 10km/h thì xe đến B lúc 10 giờ sáng, nếu vận tốc giảm 10km/h thì xe đến B lúc 12 giờ 30 phút trưa. Xe xuất phát từ A lúc mấy giờ sáng?

A.
$4$
B.
$6$
C.
$5$
D.
$7$

Hướng dẫn:

Gọi thời gian dự định từ A đến B là x (giờ)

Vận tốc dự định đi từ A đến B là y (km/h)

Điều kiện $1 < x < 10;y > 10$

Khi đó quãng đường từ A đến B là $xy(km)$

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} (x - 1)(y + 10) = xy \\ (x + 1,5)(y - 10) = xy \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10x - y = 10 \\ - 10x + 1,5y = 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 6 \\ y = 50 \\ \end{matrix} ight.\ (tm)$

Vậy thời điểm xe xuất phát từ A là 11 – 6 = 5 (giờ)

Câu 8: Thông hiểu

Tính số sản phẩm phải hoàn thành của xí nghiệp 2

Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm 300 sản phẩm. Trên thực tế, xí nghiệp 1 vượt mức 15%, xí nghiệp 2 vượt mức 10%, do đó cả hai xí nghiệp làm tổng cộng 336 sản phẩm. Số sản phẩm xí nghiệp 2 phải làm theo kế hoạch là:

A.
$120$ sản phẩm
B.
$180$ sản phẩm
C.
$160$ sản phẩm
D.
$140$ sản phẩm

Hướng dẫn:

Gọi số sản phẩm phải làm theo kế hoạch của mỗi xí nghiệp lần lượt là x; y sản phẩm

Điều kiện $0 < x;y < 300;x;y\mathbb{\in Z}$

Theo bài ra ta có:

Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm 300 sản phẩm nên ta có phương trình: $x + y = 300$

Trên thực tế, xí nghiệp 1 vượt mức 15%, xí nghiệp 2 vượt mức 10%, do đó cả hai xí nghiệp làm tổng cộng 336 sản phẩm

Suy ra phương trình $115\% x + 110\% y = 336$

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x + y = 300 \\ 115\% x + 110\% y = 336 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 110x + 110y = 33000 \\ 115x + 110y = 33600 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 120 \\ y = 180 \\ \end{matrix} ight.\ (tm)$

Vậy theo kế hoạch xí nghiệp 2 phải làm 180 sản phẩm.

Câu 9: Vận dụng

Chọn đáp án chính xác

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình:

$\frac{1}{x^{2} + 4x + 3} + \frac{1}{x^{2}+ 8x + 15} + \frac{1}{x^{2} + 12x + 35}$ $+ \frac{1}{x^{2} + 16x + 63} =\frac{1}{5}$ bằng:

A.
$122$
B.
$132$
C.
$144$
D.
$100$

Hướng dẫn:

Phân tích các mẫu thành nhân tử sau đó nhân 2 vế của phương trình với 2 ta được:

$PT \Leftrightarrow \frac{1}{(x + 1)(x +3)} + \frac{1}{(x + 3)(x + 5)}$ $+ \frac{1}{(x + 5)(x + 7)} + \frac{1}{(x+ 7)(x + 9)} = \frac{1}{5}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{(x + 1)(x + 3)}+ \frac{2}{(x + 3)(x + 5)}$ $+ \frac{2}{(x + 5)(x + 7)} + \frac{2}{(x +7)(x + 9)} = \frac{2}{5}$

Điều kiện xác định $x eq \left\{ - 1; - 3; - 5; - 7; - 9 ight\}$

$PT \Leftrightarrow \frac{1}{x + 1} -\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 5}$ $+ \frac{1}{x + 5} -\frac{1}{x + 7} + \frac{1}{x + 7} - \frac{1}{x + 9} =\frac{2}{5}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 9} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow \frac{x + 9 - x - 1}{(x + 1)(x + 9)} = \frac{2(x + 1)(x + 9)}{5(x + 1)(x + 9)}$

$\Leftrightarrow 40 = 2(x + 1)(x + 9) \Leftrightarrow 2x^{2} + 20x - 22 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + 10x - 11 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 11) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 = 0 \\ x + 11 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 11 \\ \end{matrix} ight.\ (tm)$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \left\{ 1; - 11 ight\}$

Vậy tổng bình phương các nghiệm phương trình $122$

Câu 10: Thông hiểu

Tính số nghiệm của phương trình

Số nghiệm của phương trình $(x + 2)\left( x^{2} - 3x + 5 ight) = (x + 2).x^{2}$ là:

A.
$2$
B.
$3$
C.
$1$
D.
$4$

Hướng dẫn:

Ta có:

$(x + 2)\left( x^{2} - 3x + 5 ight) = (x + 2).x^{2}$

$\Leftrightarrow (x + 2)\left( x^{2} - 3x + 5 ight) - (x + 2).x^{2} = 0$

$\Leftrightarrow (x + 2)\left( x^{2} - 3x + 5 - x^{2} ight) = 0$

$\Leftrightarrow (x + 2)( - 3x + 5) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x + 2 = 0 \\- 3x + 5 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 2 \\x = \dfrac{5}{3} \\\end{matrix} ight.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Câu 11: Nhận biết

Chọn đáp án thích hợp

Cặp số $( - 1;2)$ không là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A.
$x + y = 1$
B.
$3x - 2y = 0$
C.
$2x + y = 0$
D.
$2x + 3y = 4$

Hướng dẫn:

Thay cặp số $( - 1;2)$ vào các phương trình đã cho ta thấy $( - 1;2)$ không là nghiệm của phương trình $3x - 2y = 0$ .

Câu 12: Thông hiểu

Tìm m thỏa mãn yêu cầu

Cho phương trình $2x + y = 3$ . Giá trị của tham số $m$ để $A(1;m)$ là một nghiệm của phương trình là:

A.
$m = 0$
B.
$m = 1$
C.
$m = 2$
D.
$m = - 1$

Hướng dẫn:

Để $A(1;m)$ là một nghiệm của phương trình $2x + y = 3$ thì

$2.1 + m = 3 \Rightarrow m = 1$

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Câu 13: Thông hiểu

Tính giá trị của a thỏa mãn yêu cầu

Cho đường thẳng $(d):ax + 2y = 4$ . Giá trị của $a$ để đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M\left( 1;\frac{3}{2} ight)$ là:

A.
$a = - 1$
B.
$a = 2$
C.
$a = 1$
D.
$a = 0$

Hướng dẫn:

Vì đường thẳng (d) đi qua điểm $M\left( 1;\frac{3}{2} ight)$ nên

$a.1 + 2.\frac{3}{2} = 4 \Leftrightarrow a + 3 = 4 \Leftrightarrow a = 1$

Vậy a = 1 là giá trị cần tìm.

Câu 14: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Tìm điều kiện xác định của phương trình $\frac{4x}{4x^{2} - 8x + 7} + \frac{3x}{4x^{2} - 10x + 7} = 1$ ?

A.
$x eq 1$
B.
$x eq 1;x eq 0$
C.
$\forall x\mathbb{\in R}$
D.
$x eq \frac{5}{4}$

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định:

$\left\{ \begin{matrix}4x^{2} - 8x + 7 eq 0 \\4x^{2} - 10x + 7 eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}4(x - 1)^{2} + 3 > 0 \\4\left( x - \dfrac{5}{4} ight)^{2} + \dfrac{3}{4} > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \forall x\mathbb{\in R}$

Câu 15: Nhận biết

Xác định phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn? (có thể chọn nhiều đáp án)

A.
$x + y - z = 3$
B.
$3x^{2} - x - 2 = 0$
C.
$0x + 6y = 7$
D.
$4x - 5y = 1$

Hướng dẫn:

Phương trình bậc nhất hai ẩn là $4x - 5y = 1$ ; $0x + 6y = 7$ .

Câu 16: Nhận biết

Tìm bước giải toán chưa chính xác

Hãy chọn bước giải sai đầu tiên phương trình $\frac{x - 1}{x} = \frac{3x + 2}{3x + 3}$ ?

A.
$(x - 1)(3x + 3) = x(3x + 2)$
B.
Điều kiện xác định $x eq 0;x eq 1$
C.
$3x^{2} - 3x = 3x^{2} + 2x$
D.
$2x = - 3$

Hướng dẫn:

Ta có:

Điều kiện xác định $x eq 0;x eq - 1$

Câu 17: Nhận biết

Xác định nghiệm của hệ phương trình

Hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ x - 2y = - 1 \\ \end{matrix} ight.$ nhận cặp số nào sau đây là nghiệm?

A.
$(1;1)$
B.
$( - 1;1)$
C.
$( - 1; - 1)$
D.
$(1; - 1)$

Hướng dẫn:

Cách 1: Ta có: $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ x - 2y = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x = 2 \\ x - 2y = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (1;1)$

Cách 2: Thay lần lượt các cặp số vào hệ đã cho.

Cách 3: Dùng máy tính cầm tay.

Câu 18: Thông hiểu

Chọn kết luận đúng

Cho phương trình $\frac{6x}{9 - x^{2}} = \frac{x}{x + 3} - \frac{3}{3 - x}$ . Kết luận nào sau đây đúng về nghiệm của phương trình đã cho?

A.
Phương trình vô nghiệm.
B.
Phương trình có nghiệm $x = - 4$ .
C.
Phương trình có vô số nghiệm
D.
Phương trình có nghiệm $x = - 2$

Hướng dẫn:

Điều kiện: $x eq \pm 3$

Ta có:

$\frac{6x}{9 - x^{2}} = \frac{x}{x + 3} - \frac{3}{3 - x}$

$\Leftrightarrow \frac{6x}{(3 - x)(3 + x)} = \frac{x}{x + 3} - \frac{3}{3 - x}$

$\Leftrightarrow \frac{6x}{(3 - x)(3 + x)} = \frac{x(3 - x) - 3(x + 3)}{(3 - x)(3 + x)}$

$\Leftrightarrow 6x = x(3 - x) - 3(x + 3)$

$\Leftrightarrow x^{2} + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow (x + 3)^{2} = 0$

$\Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3(ktm)$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 19: Nhận biết

Tìm hệ phương trình tương đương với hệ đã cho

Hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x - y = 10 \\ 4x + 2y = 5 \\ \end{matrix} ight.$ tương đương với hệ phương trình nào sau đây?

A.
$\left\{ \begin{matrix} - 2x + y = 10 \\ 4x + 2y = 5 \\ \end{matrix} ight.$
B.
$\left\{ \begin{matrix} y = 2x - 10 \\ 4x + 2y = 5 \\ \end{matrix} ight.$
C.
$\left\{ \begin{matrix} 2x - y + 10 = 0 \\ 4x + 2y = 5 \\ \end{matrix} ight.$
D.
$\left\{ \begin{matrix} y = 2x + 10 \\ 4x + 2y = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Hướng dẫn:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 2x - y = 10 \\ 4x + 2y = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 2x - 10 \\ 4x + 2y = 5 \\ \end{matrix} ight.$