Bài tập cuối chương 2 Bất đẳng thức. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn bất đẳng thức thỏa mãn yêu cầu
Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào cho kết quả $a < b$ ?
- A.
  $\left( \sqrt{5} - 2 ight)a - 1 < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b - 1$
- B.
  $\frac{1}{2}a > \frac{1}{2}b$
- C.
  $- 7a < - 7b$
- D.
  $\frac{1}{2}a + 3 > \frac{1}{2}b + 3$
Hướng dẫn:
$\frac{1}{2}a > \frac{1}{2}b \Leftrightarrow 2.\left( \frac{1}{2}a ight) > 2.\left( \frac{1}{2}b ight) \Leftrightarrow a > b$

Ta có:

$- 7a < - 7b \Leftrightarrow - 7a.\left( - \frac{1}{7} ight) > - 7b.\left( - \frac{1}{7} ight) \Leftrightarrow a > b$

Ta có:

$\frac{1}{2}a + 3 > \frac{1}{2}b + 3 \Leftrightarrow \frac{1}{2}a + 3 - 3 > \frac{1}{2}b + 3 - 3$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}a > \frac{1}{2}b \Leftrightarrow 2.\frac{1}{2}a > 2.\frac{1}{2}b \Leftrightarrow a > b$

Ta có:

$\left( \sqrt{5} - 2 ight)a - 1 < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b - 1$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{5} - 2 ight)a - 1 + 1 < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b - 1 + 1$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{5} - 2 ight)a < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{5} - 2 ight)a.\frac{1}{\sqrt{5} - 2} < \left( \sqrt{5} - 2 ight)b.\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$

$\Leftrightarrow a < b$
Câu 2: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Biết rằng $0 < a < b$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$
- B.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1$
- C.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} < 2$
- D.
  $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$
Hướng dẫn:
Với $0 < a < b$ ta có: $(a - b)^{2} > 0$

$\Leftrightarrow a^{2} - b^{2} - 2ab > 0$

$\Leftrightarrow a^{2} - b^{2} > 2ab$

$\Leftrightarrow \frac{a^{2} - b^{2}}{ab} > \frac{2ab}{ab}$ (vì $ab > 0$ )

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{ab} - \frac{b^{2}}{ab} > 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$
Câu 3: Nhận biết
Chọn phép biến đổi đúng
Cho bất phương trình $2x - 5 > 7$ , phép biến đổi nào sau đây đúng?
- A.
  $2x > 7 - 5$
- B.
  $2x > 7 + 5$
- C.
  $2x > \frac{7}{5}$
- D.
  $2x > 7.5$
Hướng dẫn:
Ta có:

$2x - 5 > 7 \Leftrightarrow 2x > 7 + 5$
Câu 4: Vận dụng
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
Cho biểu thức $B = x + \frac{1}{x}$ . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $B$ ?
- A.
  $4$
- B.
  $1$
- C.
  $0$
- D.
  $- 2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$B = x + \frac{1}{x} = \frac{x^{2} + 1}{x} + 2 - 2$

$= \frac{x^{2} + 2x + 1}{x} - 2 = \frac{(x + 1)^{2}}{x} - 2$

Ta có: $(x + 1)^{2} \geq 0;\forall x < 0$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} \leq 0.\frac{1}{x}$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} \leq 0$

$\Rightarrow (x + 1)^{2}.\frac{1}{x} - 2 \leq - 2$

$\Rightarrow B \leq - 2$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(x + 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = - 1(tm\ \ x\ < \ 0)$

Vậy với $x < 0$ giá trị lớn nhất của biểu thức B là -2 khi $x = - 1$ .
Câu 5: Vận dụng cao
Giải bất phương trình và tìm nghiệm theo yêu cầu
Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình:

$\frac{1987 - x}{15} + \frac{1988 - x}{16} + \frac{27 + x}{1999} + \frac{28 + x}{2000} > 4$
- A.
  $1988$
- B.
  $1971$
- C.
  $1985$
- D.
  $1970$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{1987 - x}{15} + \frac{1988 - x}{16} + \frac{27 + x}{1999} + \frac{28 + x}{2000} > 4$

$\Leftrightarrow \left( \frac{1987 - x}{15} - 1 ight) + \left( \frac{1988 - x}{16} - 1 ight) + \left( \frac{27 + x}{1999} - 1 ight) + \left( \frac{28 + x}{2000} - 1 ight) > 0$

$\Leftrightarrow \frac{1972 - x}{15} + \frac{1972 - x}{16} + \frac{x - 1972}{1999} + \frac{x - 1972}{2000} > 0$

$\Leftrightarrow (1972 - x)\left( \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \frac{1}{1999} + \frac{1}{2000} ight) > 0$

Vì $\frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \frac{1}{1999} + \frac{1}{2000} > 0$ nên $1972 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1972$

Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x < 1972$

Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $1971$
Câu 6: Nhận biết
Xác định bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
- A.
  $3x - \frac{2}{5x} \geq - 5$
- B.
  $0x - 8 \geq - 3$
- C.
  $x + \frac{1}{y} \geq 4x - 1$
- D.
  $\frac{3}{4} - y \leq 0$
Hướng dẫn:
Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b > 0$ (hoặc $ax + b < 0$ ; $ax + b \geq 0$ ; $ax + b \leq 0$ ) với $a eq 0$ được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bất phương trình bậc nhất một ẩn cần tìm là $\frac{3}{4} - y \leq 0$ .
Câu 7: Nhận biết
Tìm bất phương trình nhận x = 4 làm nghiệm
Kiểm tra xem $x = 4$ là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình nào sau đây?
- A.
  $x - 4 \geq 1$
- B.
  $x + 5 > 9$
- C.
  $3x \geq 8 + x$
- D.
  $4x < 4 + 3x$
Hướng dẫn:
Thay $x = 4$ vào từng bất phương trình ta được:

$4 + 5 > 9$ vô lí nên x = 4 không là nghiệm của bất phương trình.

$0 \geq 1$ vô lí nên x = 4 không là nghiệm của bất phương trình.

$4.4 < 4 + 3.4 \Leftrightarrow 16 < 16$ $4.4 < 4 + 3.4$ vô lí nên x = 4 không là nghiệm của bất phương trình.

$3.4 \geq 8 + 4 \Leftrightarrow 12 \geq 12$ thỏa mãn nên x = 4 là nghiệm của bất phương trình.
Câu 8: Thông hiểu
Tìm nghiệm của bất phương trình
Kết luận nào sau đây đúng khi nói về nghiệm của bất phương trình

$(x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25$ ?
- A.
  Bất phương trình có vô số nghiệm $x\mathbb{\in R}$
- B.
  Bất phương trình có nghiệm $x < 0$
- C.
  Bất phương trình có nghiệm $x > 0$
- D.
  Bất phương trình vô nghiệm
Hướng dẫn:
Ta có:

$(x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25$

$\Leftrightarrow x^{2} + 7x + 12 > x^{2} + 7x - 18 + 25$

$\Leftrightarrow x^{2} + 7x + 12 - x^{2} - 7x + 18 - 25 > 0$

$\Leftrightarrow 5 > 0$ đúng với mọi $x\mathbb{\in R}$

Vậy bất phương trình có vô số nghiệm $x\mathbb{\in R}$ .
Câu 9: Nhận biết
Xác định bất đẳng thức
Trong các phương án sau, hãy chỉ ra phương án là một bất đẳng thức?
- A.
  $3a = 5b - 5$
- B.
  $2a = b(2a - b)$
- C.
  $a:\frac{5}{3}b$
- D.
  $2a < b + 1$
Hướng dẫn:
Bất đẳng thức cần tìm là $2a < b + 1$ .
Câu 10: Nhận biết
Xác định khẳng định sai
Chọn câu sai?
- A.
  Nếu $a < b$ và $c < 0$ thì $ac > bc$ .
- B.
  Nếu $a > b$ và $c < 0$ thì $ac > bc$ .
- C.
  Nếu $a \geq b$ và $c > 0$ thì $ac \geq bc$ .
- D.
  Nếu $a \geq b$ và $c < 0$ thì $ac \leq bc$ .
Hướng dẫn:
Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Khi đó: “Nếu $a > b$ và $c < 0$ thì $ac > bc$ .”
Câu 11: Thông hiểu
Tìm điều kiện tham số m theo yêu cầu
Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình $\left( m^{2} - 2m ight)x^{2} + mx + 3 > 0$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
- A.
  $m > 0;m eq 1$
- B.
  $m eq 1$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = 0;m = 2$
Hướng dẫn:
Để bất phương trình là bất phương trình bậc nhất một ẩn thì

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 2m = 0 \\ m eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m(m - 2) = 0 \\ m eq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ m eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 2$

Vậy m = 2 thì bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Câu 12: Thông hiểu
Tìm giá trị m thỏa mãn điều kiện
Với giá trị nào của tham số $m$ thì phương trình $x - 2 = 3m + 4$ có nghiệm lớn hơn $3$ ?
- A.
  $m > - 1$
- B.
  $m \leq 1$
- C.
  $m < - 1$
- D.
  $m \geq 1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x - 2 = 3m + 4 \Leftrightarrow x = 3m + 6$

Theo bài ra ta có:

$x > 3 \Leftrightarrow 3m + 6 > 3 \Leftrightarrow 3m > - 3 \Leftrightarrow m > - 1$

Vậy $m > - 1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 13: Thông hiểu
Sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần
Cho biết $a - 1 = b + 2 = c - 3$ . Sắp xếp các số $a;b;c$ theo thứ tự giảm dần ta được:
- A.
  $c;b;a$
- B.
  $a;c;b$
- C.
  $c;a;b$
- D.
  $b;c;a$
Hướng dẫn:
Từ $a - 1 = b + 2$ suy ra $a = b + 2 + 1 = b + 3$

Từ $b + 2 = c - 3$ suy ra $c = b + 2 + 3 = b + 5$

Mà $b < b + 3 < b + 5$ nên $b < a < c$

Vậy sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần là $c;a;b$ .
Câu 14: Vận dụng
Xác định độ dài đoạn đường tối thiểu
Một người đi bộ một quảng đường dài 10 km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 3 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 4 km/h, về sau đi với vận tốc 3 km/h. Xác định độ dài đoạn đường tối thiểu mà người đó đã đi với vận tốc 4 km/h.
- A.
  $5km$
- B.
  $4km$
- C.
  $6km$
- D.
  $3km$
Hướng dẫn:
Gọi độ dài đoạn đường tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 4 km/h là x (km).

Điều kiện: 0 < x < 10.

Quãng đường lúc sau là 10 − x (km).

Thời gian lúc đầu là $\frac{x}{4}$ giờ

Thời gian lúc sau $\frac{10 - x}{3}$ giờ

Do tổng thời gian đi bộ không quá 3 giờ nên ta có bất phương trình $\frac{x}{4} + \frac{10 - x}{3} \leq 3$ Giải ra ta được x ≥ 4.

Kết hợp điều kiện ta được 4 ≤ x < 10.

Vậy độ dài tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 4 km/h là 4 km.
Câu 15: Thông hiểu
Tìm các số nguyên thỏa mãn hai bất phương trình
Có tất cả bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn cả hai bất phương trình

$\frac{3x - 2}{5} \geq \frac{x}{2} + 0,3$ và $1 - \frac{2x - 5}{6} > \frac{3 - x}{4}$ ?
- A.
  $8$
- B.
  $7$
- C.
  $9$
- D.
  $6$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{3x - 2}{5} \geq \frac{x}{2} + \frac{3}{10} \Leftrightarrow 2(3x - 2) \geq 5x + 3$

$\Leftrightarrow 6x - 4 \geq 5x + 3 \Leftrightarrow x \geq 7$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x \geq 7$ .

Ta có:

$1 - \frac{2x - 5}{6} > \frac{3 - x}{4}$

$\Leftrightarrow 12 - 2(2x - 5) > 3(3 - x)$

$\Leftrightarrow 12 - 4x + 10 > 9 - 3x \Leftrightarrow 13 > x$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x < 13$ .

Mà số cần tìm là số nguyên và thỏa mãn cả hai bất phương trình

Suy ra $x \in \left\{ 7;8;9;10;11;12 ight\}$

Vậy có 6 giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 16: Thông hiểu
Tìm nghiệm của bất phương trình
Cho bất phương trình $3(5x + 2) \geq 4x + 1$ . Nghiệm của bất phương trình là:
- A.
  $x \leq \frac{- 5}{11}$
- B.
  $x \leq - \frac{2}{11}$
- C.
  $x \geq - \frac{2}{11}$
- D.
  $x \geq \frac{- 5}{11}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$3(5x + 2) \geq 4x + 1$

$\Leftrightarrow 15x + 6 \geq 4x + 1$

$\Leftrightarrow 15x - 4x \geq 1 - 6$

$\Leftrightarrow 11x \geq - 5 \Leftrightarrow x \geq - \frac{5}{11}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x \geq \frac{- 5}{11}$ .
Câu 17: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cho hai số thực dương $x;y$ thỏa mãn $\frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} \geq 9$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$ ?
- A.
  $x \leq - \frac{5}{3}$
- B.
  $x \leq \frac{5}{3}$
- C.
  $x \geq - \frac{5}{3}$
- D.
  $x \geq \frac{5}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$

$= 2x^{2} + \frac{2}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{3}{y^{2}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}}$

$= 2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) + 3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) + \left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight)$

Mặt khác ta có:

$2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) \geq 2.2 = 4$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x^{2} = \frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow x^{4} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (vì $x > 0$ )

$3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) \geq 3.2 = 6$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $y^{2} = \frac{1}{y^{2}} \Leftrightarrow y^{4} = 1 \Leftrightarrow y = 1$ vì (y >0)

$\left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight) \geq 9$ theo giả thiết.

Khi x =1; y = 1 thì dấu bằng xảy ra

$\Rightarrow C \geq 4 + 6 + 9 = 19$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C bằng 19 khi x = y = 1.
Câu 18: Thông hiểu
Tìm số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình
Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\frac{x + 4}{5} - x + 5 < \frac{x + 3}{3} - \frac{x - 2}{2}$ là:
- A.
  $6$
- B.
  $8$
- C.
  $5$
- D.
  $7$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{x + 4}{5} - x + 5 < \frac{x + 3}{3} - \frac{x - 2}{2}$

$\Leftrightarrow 6(x + 4) - 30x + 150 < 10(x + 3) - 15(x - 2)$

$\Leftrightarrow 6x - 30x - 10x + 15x < 30 + 30 - 24 - 150$

$\Leftrightarrow - 19x < - 114 \Leftrightarrow x > 6$

Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x > 6$

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là $x = 7$ .
Câu 19: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Biết rằng $x + \frac{1}{2} = y$ . So sánh $x$ và $y$ ?
- A.
  $x > y$
- B.
  $y \leq x$
- C.
  $x < y$
- D.
  $x \geq y$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x + \frac{1}{2} = y \Rightarrow x - y = - \frac{1}{2} < 0 \Rightarrow x < y$ .
Câu 20: Nhận biết
Chọn kết luận sai
Chọn một số $a$ bất kì, chọn kết luận không chính xác?
- A.
  $5a + 1 > 5a - 2$
- B.
  $4a < 4a + 1$
- C.
  $2a - 5 < 2a + 1$
- D.
  $3a - 3 > 3a - 1$
Hướng dẫn:
Vì $- 5 < 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $2a$ bất kì ta được:

$2a - 5 < 2a + 1$ (đúng)

Vì $0 < 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $4a$ bất kì ta được:

$4a < 4a + 1$ (đúng)

Vì $1 > - 2$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $5a$ bất kì ta được:

$5a + 1 > 5a - 2$ (đúng)

Vì $- 3 < - 1$ nên cộng hai vế của bất đẳng thức với số $3a$ bất kì ta được:

$3a - 3 < 3a - 1$ vậy bất đẳng thức $3a - 3 > 3a - 1$ (sai)

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (30%):

2/3
Thông hiểu (45%):

2/3
Vận dụng (15%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0

Làm lại

7 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận