Bài tập cuối chương 2 Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương $x$ thỏa mãn cả hai bất phương trình

$2(3x - 4) < 3(4x - 3) + 16$ và $4(1 + x) < 3(x + 5)$ ?
- A.
  $8$
- B.
  $7$
- C.
  $6$
- D.
  $9$
Hướng dẫn:
Ta có:

$2(3x - 4) < 3(4x - 3) + 16$

$\Leftrightarrow 6x - 8 < 12x - 9 + 16$

$\Leftrightarrow - 15 < 6x \Leftrightarrow \frac{- 15}{6} < x$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\frac{- 15}{6} < x$ .

Ta có:

$4(1 + x) < 3(x + 5)$

$\Leftrightarrow 4 + 4x < 3x + 15 \Leftrightarrow x < 11$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x < 11$ .

Mà số cần tìm là số nguyên dương và thỏa mãn cả hai bất phương trình

Suy ra $x \in \left\{ 1;2;3;...;10 ight\}$

Vậy có 10 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 2: Thông hiểu
Xác định điều kiện tham số m
Tìm m để $x =2$ là nghiệm của bất phương trình $2x+ x^{2} + 3 + 2m \geq \frac{2}{\sqrt{x^{2} - 3}}$ ?
- A.
  $m \leq - 4$
- B.
  $m \leq 4$
- C.
  $m \geq - 4$
- D.
  $m \geq 4$
Hướng dẫn:
$2.2 + 2^{2} + 3 + 2m \geq\frac{3}{\sqrt{2^{2} - 3}}$
$\Leftrightarrow 2.2 + 2^{2} + 3 + 2m\geq 3$
$\Leftrightarrow 2m \geq - 8\Leftrightarrow m \geq - 4$
Vậy $m \geq - 4$ thì bất phương trình nhận x = 2 làm nghiệm.
Câu 3: Nhận biết
Xác định các nghiệm của bất phương trình
Kiểm tra xem trong các giá trị $x = 0;x = 1;x = - 3;x = - 1$ có bao nhiêu giá trị là nghiệm của bất phương trình $5x + 2 \geq 3x + 1$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $4$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Thay x = 0 vào bất phương trình ta được:

$5.0 + 2 \geq 3.0 + 1 \Rightarrow 2 \geq 1$ (đúng)

Suy ra x = 0 là nghiệm của bất phương trình.

Thay x = 1 vào bất phương trình ta được:

$5.1 + 2 \geq 3.1 + 1 \Rightarrow 7 \geq 4$ (đúng)

Suy ra x = 1 là nghiệm của bất phương trình.

Thay x = -3 vào bất phương trình ta được:

$5.( - 3) + 2 \geq 3.( - 3) + 1 \Rightarrow - 13 \geq - 8$ (sai)

Suy ra x = -3 không là nghiệm của bất phương trình.

Thay x = -1 vào bất phương trình ta được:

$5.( - 1) + 2 \geq 3.( - 1) + 1 \Rightarrow - 3 \geq - 2$ (sai)

Suy ra x = -1 không là nghiệm của bất phương trình.

Vậy có hai giá trị x là nghiệm của bất phương trình.
Câu 4: Thông hiểu
Chọn kết luận chính xác
Cho bất phương trình: $1 + \frac{2 - 3x}{5} + x > \frac{x + 7}{2}$ . Kết luận nào sau đây chính xác nhất về nghiệm của bất phương trình đã cho?
- A.
  $x < 0$
- B.
  $x < - 21$
- C.
  $x > 1$
- D.
  $x > 3$
Hướng dẫn:
Ta có:

$1 + \frac{2 - 3x}{5} + x > \frac{x + 7}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{5 + 2 - 3x + 5x}{5} > \frac{x + 7}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{7 + 2x}{5} > \frac{x + 7}{2} \Leftrightarrow 2(7 + 2x) > 5(x + 7)$

$\Leftrightarrow 14 + 4x > 5x + 35 \Leftrightarrow x < - 21$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < - 21$ .
Câu 5: Nhận biết
Tìm bất phương trình tương đương
Cho bất phương trình $0,4x > - 1,2$ . Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình nào sau đây?
- A.
  $x < - 3$
- B.
  $x > 3$
- C.
  $x > - 0,3$
- D.
  $x > - 3$
Hướng dẫn:
Ta có:

$0,4x > - 1,2 \Leftrightarrow x > - 3$ (chia cả hai vế của bất đẳng thức cho một số dương thì được bất đẳng thức mới cùng chiều).
Câu 6: Nhận biết
Xác định bất phương trình
Giá trị $x = 2$ là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình dưới đây?
- A.
  $3x + 3 > 9$
- B.
  $x - 2x < - 2x + 4$
- C.
  $- 5x > 4x + 1$
- D.
  $x - 6 > 5 - x$
Hướng dẫn:
Thay giá trị x = 2 vào từng bất phương trình ta được:

$3.2 + 3 > 9 \Rightarrow 9 > 9$ (Vô lí)

$- 5.2 > 4.2 + 1 \Rightarrow - 10 > 9$ (Vô lí)

$2 - 2.2 < - 2.2 + 4 \Rightarrow - 2 < 0$ (đúng)

$- 5.2 > 4.2 + 1 \Rightarrow - 4 > 3$ (Vô lí)

Vậy x = 2 là nghiệm của bất phương trình $x - 2x < - 2x + 4$ .
Câu 7: Thông hiểu
Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình
Số nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $x(5x + 1) + 4(x + 3) > 5x^{2}$ là:
- A.
  $0$
- B.
  $- 2$
- C.
  $- 3$
- D.
  $- 1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x(5x + 1) + 4(x + 3) > 5x^{2}$

$\Leftrightarrow 5x^{2} + x + 4x + 12 > 5x^{2}$

$\Leftrightarrow 5x + 12 > 0 \Leftrightarrow 5x > - 12 \Leftrightarrow x > \frac{- 12}{5}$

Suy ra bất phương trình có nghiệm $x > \frac{- 12}{5}$

Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là $x = - 2$
Câu 8: Nhận biết
Tìm điều kiện của x để biểu thức âm
Giá trị của $9 - 3x$ là một số âm khi:
- A.
  $x \leq 3$
- B.
  $x < 3$
- C.
  $x > 3$
- D.
  $x \geq 3$
Hướng dẫn:
Theo bài ra ta có:

$9 - 3x < 0 \Leftrightarrow - 3x < - 9 \Leftrightarrow x > 3$

Vậy x > 3 thì giá trị của biểu thức đã cho là một số âm.
Câu 9: Vận dụng cao
Chọn đáp án chính xác
Tìm số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình

$\frac{2017 - x}{15} + \frac{2018 - x}{16} + \frac{17 + x}{2019} + \frac{18 + x}{2020} \leq 4$
- A.
  $2020$
- B.
  $2004$
- C.
  $2002$
- D.
  $2000$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{2017 - x}{15} + \frac{2018 - x}{16} + \frac{17 + x}{2019} + \frac{18 + x}{2020} \leq 4$

$\Leftrightarrow \frac{2002 + 15 - x}{15} + \frac{2002 + 16 - x}{16} + \frac{2017 - 2002 + x}{2019} + \frac{2020 - 2002 + x}{2020} \leq 4$

$\Leftrightarrow \frac{2002 - x}{15} + \frac{15}{15} + \frac{2002 - x}{16} + \frac{16}{16} + \frac{x - 2002}{2019} + \frac{2019}{2019} + \frac{x - 2002}{2020} + \frac{2020}{2020} \leq 4$

$\Leftrightarrow \frac{2002 - x}{15} + 1 + \frac{2002 - x}{16} + 1 + \frac{x - 2002}{2019} + 1 + \frac{x - 2002}{2020} + 1 \leq 4$

$\Leftrightarrow \frac{2002 - x}{15} + \frac{2002 - x}{16} + \frac{x - 2002}{2019} + \frac{x - 2002}{2020} \leq 0$

$\Leftrightarrow (x - 2002)\left( \frac{- 1}{15} + \frac{- 1}{16} + \frac{1}{2019} + \frac{1}{2020} ight) \leq 0$

Vì $\frac{- 1}{15} + \frac{- 1}{16} + \frac{1}{2019} + \frac{1}{2020} \leq 0$ nên $x - 2002 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2002$

Vậy số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình đã cho là 2002.
Câu 10: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Kết luận nào sau đây đúng khi nói về nghiệm của bất phương trình

$(x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25$ ?
- A.
  Bất phương trình có nghiệm $x > 0$
- B.
  Bất phương trình vô nghiệm
- C.
  Bất phương trình có vô số nghiệm $x\mathbb{\in R}$
- D.
  Bất phương trình có nghiệm $x < 0$
Hướng dẫn:
Ta có:

$(x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25$

$\Leftrightarrow x^{2} + 7x + 12 > x^{2} + 7x - 18 + 25$

$\Leftrightarrow x^{2} + 7x + 12 - x^{2} - 7x + 18 - 25 > 0$

$\Leftrightarrow 5 > 0$ đúng với mọi $x\mathbb{\in R}$

Vậy bất phương trình có vô số nghiệm $x\mathbb{\in R}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tìm x thỏa mãn yêu cầu đề bài
Tìm điều kiện của x để biểu thức $\frac{x + 2}{3}$ không lớn hơn giá trị của biểu thức $\frac{2x - 3}{2}$ ?
- A.
  $x < - \frac{13}{4}$
- B.
  $x < \frac{13}{4}$
- C.
  $x \geq \frac{13}{4}$
- D.
  $x \geq - \frac{13}{4}$
Hướng dẫn:
Ta có để biểu thức $\frac{x + 2}{3}$ không lớn hơn giá trị của biểu thức $\frac{2x - 3}{2}$ thì

$\frac{x + 2}{3} \leq \frac{2x - 3}{2} \Leftrightarrow 2(x + 2) \leq 3(2x - 3)$

$\Leftrightarrow 2x + 4 \leq 6x - 9 \Leftrightarrow 13 \leq 4x \Leftrightarrow x \geq \frac{13}{4}$

Vậy $x \geq \frac{13}{4}$ thì biểu thức $\frac{x + 2}{3}$ không lớn hơn giá trị của biểu thức $\frac{2x - 3}{2}$ .
Câu 12: Nhận biết
Tìm số khẳng định sai
Cho các khẳng định sau:

(i) $- 6 > - 4 + ( - 2)$

(ii) $( - 4).\frac{1}{4} < 0$

(iii) $( - 5) + 1 \leq 4 - ( - 2)$

(iv) $2 + x^{2} \geq 2$

Có bao nhiêu khẳng định sai?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $4$
- D.
  $3$
Hướng dẫn:
Ta có:

$- 6 > - 4 + ( - 2)$ sai vì $- 6 = - 4 + ( - 2)$

$( - 4).\frac{1}{4} < 0$ đúng vì $( - 4).\frac{1}{4} = - 1 < 0$

$( - 5) + 1 \leq 4 - ( - 2)$ đúng vì $( - 5) + 1 = - 4 \leq 6 = 4 - ( - 2)$

$2 + x^{2} \geq 2$ đúng vì $x^{2} \geq 0;\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow}2 + x^{2} \geq 2$

Vậy có 1 khẳng định sai
Câu 13: Nhận biết
Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Bất phương trình $2x - 3 > 0$ có nghiệm là:
- A.
  $x > \frac{3}{2}$
- B.
  $x > 1$
- C.
  $x < \frac{3}{2}$
- D.
  $x > - \frac{3}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$2x - 3 > 0 \Leftrightarrow 2x > 3 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm $x > \frac{3}{2}$ .
Câu 14: Vận dụng
Tìm x để biểu thức thỏa mãn yêu cầu
Với giá trị nào của x để biểu thức $A = \frac{x - 3}{x + 1}$ có giá trị không lớn hơn 1?
- A.
  $x < - 1$
- B.
  $x < - 1$
- C.
  $x \geq - 1$
- D.
  $x > - 1$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x eq - 1$

Để biểu thức $A = \frac{x - 3}{x + 1}$ có giá trị không lớn hơn 1 thì:

$\frac{x - 3}{x + 1} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{x - 3}{x + 1} - 1 \leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{x - 3 - x - 1}{x + 1} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{- 4}{x + 1} \leq 0$

Vì $- 4 < 0$ và $x - 1 eq 0$ nên $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1$

Vậy x > -1 để biểu thức $A = \frac{x - 3}{x + 1}$ có giá trị không lớn hơn 1.
Câu 15: Thông hiểu
Xác định nghiệm của bất phương trình
Bất phương trình $3(x + 6) - 2(x - 2) < 4(x + 1)$ có nghiệm là:
- A.
  $x > 6$
- B.
  $x \geq 6$
- C.
  $x \leq 6$
- D.
  $x < 6$
Hướng dẫn:
Ta có:

$3(x + 6) - 2(x - 2) < 4(x + 1)$

$\Leftrightarrow 3x + 18 - 2x + 4 < 4x + 4$

$\Leftrightarrow 3x - 4x - 2x < 4 - 18 - 4$

$\Leftrightarrow - 3x < - 18 \Leftrightarrow x > 6$

Vậy bất phương trình có nghiệm $x > 6$ .
Câu 16: Thông hiểu
Giải bất phương trình và tìm nghiệm nguyên lớn nhất
Nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình $4(2 - 3x) - (4 - 2x) > 10 - 3x$ là:
- A.
  $x = 1$
- B.
  $x = - 1$
- C.
  $x = - 2$
- D.
  $x = 0$
Hướng dẫn:
Ta có:

$4(2 - 3x) - (4 - 2x) > 10 - 3x$

$\Leftrightarrow 8 - 12x - 4 + 2x > 10 - 3x$

$\Leftrightarrow 4 - 10x > 10 - 3x \Leftrightarrow - 7x > 6 \Leftrightarrow x < - \frac{6}{7}$

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là x = -1.
Câu 17: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Cho bất phương trình $2x - 1 > 3$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  $x > - 2$
- B.
  $x > 2$
- C.
  $x \leq 2$
- D.
  $x < 2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$2x - 1 > 3 \Leftrightarrow 2x > 4 \Leftrightarrow x > 2$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x > 2$ .
Câu 18: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho bất phương trình $4(1,5x + 2,5) < (x + 3)^{2} + (5 - x)(x + 5)$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  Bất phương trình có nghiệm $x > 0$
- B.
  Bất phương trình nghiệm đúng với $\forall x\mathbb{\in R}$ .
- C.
  Bất phương trình vô nghiệm
- D.
  Bất phương trình có nghiệm $x < - 1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$4(1,5x + 2,5) < (x + 3)^{2} + (5 - x)(x + 5)$

$\Leftrightarrow 6x + 10 < x^{2} + 6x + 9 + 25 - x^{2}$

$\Leftrightarrow 6x - 6x < 25 + 9 - 10 \Leftrightarrow 0x < 24$ nghiệm đúng với mọi $\forall x\mathbb{\in R}$ .
Câu 19: Vận dụng
Xác định độ dài đoạn đường tối thiểu
Một người đi bộ một quảng đường dài 10 km trong khoảng thời gian không nhiều hơn 3 giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc 4 km/h, về sau đi với vận tốc 3 km/h. Xác định độ dài đoạn đường tối thiểu mà người đó đã đi với vận tốc 4 km/h.
- A.
  $5km$
- B.
  $3km$
- C.
  $4km$
- D.
  $6km$
Hướng dẫn:
Gọi độ dài đoạn đường tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 4 km/h là x (km).

Điều kiện: 0 < x < 10.

Quãng đường lúc sau là 10 − x (km).

Thời gian lúc đầu là $\frac{x}{4}$ giờ

Thời gian lúc sau $\frac{10 - x}{3}$ giờ

Do tổng thời gian đi bộ không quá 3 giờ nên ta có bất phương trình $\frac{x}{4} + \frac{10 - x}{3} \leq 3$ Giải ra ta được x ≥ 4.

Kết hợp điều kiện ta được 4 ≤ x < 10.

Vậy độ dài tối thiểu mà người đó đi được với vận tốc 4 km/h là 4 km.
Câu 20: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Cho hai số thực dương $x;y$ thỏa mãn $\frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} \geq 9$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$ ?
- A.
  $x \leq \frac{5}{3}$
- B.
  $x \leq - \frac{5}{3}$
- C.
  $x \geq \frac{5}{3}$
- D.
  $x \geq - \frac{5}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$C = 2x^{2} + \frac{6}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{8}{y^{2}}$

$= 2x^{2} + \frac{2}{x^{2}} + 3y^{2} + \frac{3}{y^{2}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}}$

$= 2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) + 3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) + \left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight)$

Mặt khác ta có:

$2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight) \geq 2.2 = 4$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x^{2} = \frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow x^{4} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (vì $x > 0$ )

$3\left( y^{2} + \frac{1}{y^{2}} ight) \geq 3.2 = 6$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $y^{2} = \frac{1}{y^{2}} \Leftrightarrow y^{4} = 1 \Leftrightarrow y = 1$ vì (y >0)

$\left( \frac{4}{x^{2}} + \frac{5}{y^{2}} ight) \geq 9$ theo giả thiết.

Khi x =1; y = 1 thì dấu bằng xảy ra

$\Rightarrow C \geq 4 + 6 + 9 = 19$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức C bằng 19 khi x = y = 1.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (35%):

2/3
Thông hiểu (45%):

2/3
Vận dụng (10%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0

Làm lại

39 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận