Bài tập cuối chương 3 Căn bậc hai và căn bậc ba KNTT

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Rút gọn biểu thức chứa căn
Với $a > 0$ rút gọn biểu thức $C = \frac{\sqrt{a} - 1}{a\sqrt{a} + \sqrt{a} - a}:\frac{1}{a^{2} + \sqrt{a}}$ có kết quả bằng:
- A.
  $- 1$
- B.
  $a - 1$
- C.
  $\sqrt{a} - 1$
- D.
  $1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$C = \frac{\sqrt{a} - 1}{a\sqrt{a} + \sqrt{a} - a}:\frac{1}{a^{2} + \sqrt{a}}$

$C = \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}\left( a - \sqrt{a} + 1 ight)}.\left( a^{2} + \sqrt{a} ight)$

$C = \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}\left( a - \sqrt{a} + 1 ight)}.\sqrt{a}\left( a\sqrt{a} + 1 ight)$

$C = \frac{\sqrt{a} - 1}{\left( a - \sqrt{a} + 1 ight)}\left( \sqrt{a^{3}} + 1 ight)$

$C = \frac{\left( \sqrt{a} - 1 ight)\left( \sqrt{a} + 1 ight)\left( a - \sqrt{a} + 1 ight)}{a - \sqrt{a} + 1}$

$C = \left( \sqrt{a} - 1 ight)\left( \sqrt{a} + 1 ight) = a - 1$
Câu 2: Nhận biết
Tìm điều kiện xác định của biểu thức
Tìm x để biểu thức $\frac{\sqrt{x} + 2}{x^{2} - 1}$ có nghĩa?
- A.
  $x eq \pm 1$
- B.
  $x \geq 0;x eq \pm 1$
- C.
  $x \geq 0;x eq 1$
- D.
  $x \geq 0$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} - 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x eq \pm 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $x \geq 0;x eq \pm 1$ thì biểu thức đã cho có nghĩa.
Câu 3: Nhận biết
Chọn phát biểu đúng
Chọn phát biểu đúng?
- A.
  Nếu $m > 1$ thì $m > \sqrt{m}$
- B.
  Nếu $0 < m < 1$ thì $m > \sqrt{m}$
- C.
  Nếu $0 < m < 1$ thì $m^{2} > m$
- D.
  Nếu $m > 1$ thì $\sqrt[3]{m} > m$
Hướng dẫn:
Phát biểu đúng là “Nếu $m > 1$ thì $m > \sqrt{m}$ ”.
Câu 4: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức chứa căn
Cho phương trình $3\left( x^{2} - x + 1 ight) = \left( x + \sqrt{x - 1} ight)^{2}$ . Xác định giá trị $x$ thỏa mãn phương trình. Khi đó giá trị của biểu thức $\sqrt{12 + 4\sqrt{x + 3\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}}}}$ là:
- A.
  $12 - 8\sqrt{2}$
- B.
  $12 + 8\sqrt{2}$
- C.
  $2$
- D.
  $2\sqrt{2} + 2$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x \geq 1$

Với $x \geq 1$ thì

$3\left( x^{2} - x + 1 ight) = \left( x + \sqrt{x - 1} ight)^{2}$

$\Leftrightarrow 3\left( x^{2} - x + 1 ight) = x^{2} + 2.x\sqrt{x - 1} + x - 11$

$\Leftrightarrow 2x^{2} - 4x + 4 = 2x\sqrt{x - 1}$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2x + 2 = x\sqrt{x - 1}(*)$

Do $x \geq 1$ nên 2 vế của phương trình này không âm nên ta bình phương hai vế phương trình (*) ta được

$(*) \Leftrightarrow x^{4} + 4x^{2} + 4 - 4x^{3} - 8x + 4x^{2} = x^{3} - x^{2}$

$\Leftrightarrow x^{4} - 5x^{3} + 9x^{2} - 8x + 4 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 2)^{2}\left( x^{2} - x + 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 2 = 0 \\ x^{2} - x + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $x^{2} - x + 1 = 0$ vô nghiệm nên $x = 2(tm)$

Thay x = 2 vào biểu thức $\sqrt{12 + 4\sqrt{x + 3\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}}}}$ ta được:

$\sqrt{12 + 4\sqrt{2 + 3\sqrt{2 + 2\sqrt{2 - 1}}}} = 2\sqrt{2} + 2$
Câu 5: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Cho biểu thức $D = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} ight).\frac{1}{\sqrt{x}}$ với $0 < x eq 4$ . Chọn kết luận đúng về biểu thức thu gọn của $D$ ?
- A.
  $D = \frac{2}{\sqrt{x} + 2}$
- B.
  $D = \frac{2}{x - 4}$
- C.
  $D = \frac{2}{x - 2}$
- D.
  $D = \frac{2}{\sqrt{x} - 2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$D = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} ight).\frac{1}{\sqrt{x}}$

$D = \left\lbrack \frac{\sqrt{x} + 2}{\left( \sqrt{x} - 2 ight)\left( \sqrt{x} + 2 ight)} + \frac{\sqrt{x} - 2}{\left( \sqrt{x} + 2 ight)\left( \sqrt{x} - 2 ight)} ightbrack.\frac{1}{\sqrt{x}}$

$D = \frac{\sqrt{x} + 2 + \sqrt{x} - 2}{\left( \sqrt{x} - 2 ight)\left( \sqrt{x} + 2 ight)}.\frac{1}{\sqrt{x}}$

$D = \frac{2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} - 2 ight)\left( \sqrt{x} + 2 ight)}.\frac{1}{\sqrt{x}}$

$D = \frac{2}{\left( \sqrt{x} - 2 ight)\left( \sqrt{x} + 2 ight)} = \frac{2}{x - 4}$
Câu 6: Thông hiểu
Tìm điều kiện xác định của biểu thức
Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức $\frac{2x}{\sqrt{x^{2} - 4x + 4}}$ xác định?
- A.
  $x eq 2$
- B.
  $x > 2$
- C.
  $x\mathbb{\in R}$
- D.
  $x \geq 2$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định

$x^{2} - 4x + 4 > 0$ mà $x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2} \geq 0$ với mọi x nên $x eq 2$ .
Câu 7: Nhận biết
Đơn giản biểu thức A
Cho biểu thức $A = \frac{a - 3\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 3}$ với $a > 0;a eq 9$ . Đơn giản biểu thức $A$ ta được kết quả là:
- A.
  $A = \sqrt{a}$
- B.
  $A = - a\sqrt{a}$
- C.
  $A = a\sqrt{a}$
- D.
  $A = - 3\sqrt{a}$
Hướng dẫn:
Với $a > 0;a eq 9$ ta có:

$A = \frac{a - 3\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 3} = \frac{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} - 3 ight)}{\sqrt{a} - 3} = \sqrt{a}$
Câu 8: Thông hiểu
Trục căn thức ở mẫu của biểu thức
Kết quả sau khi thu gọn biểu thức $\frac{3}{\sqrt{2} - 1} - \frac{3}{\sqrt{2} + 1}$ là:
- A.
  $0$
- B.
  $- 6$
- C.
  $6\sqrt{2}$
- D.
  $6$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{3}{\sqrt{2} - 1} - \frac{3}{\sqrt{2} + 1}$

$= \frac{3\left( \sqrt{2} + 1 ight) - 3\left( \sqrt{2} - 1 ight)}{\left( \sqrt{2} + 1 ight)\left( \sqrt{2} - 1 ight)}$

$= \frac{3\sqrt{2} + 3 - 3\sqrt{2} + 3}{2 - 1} = 6$
Câu 9: Nhận biết
Đưa biểu thức vào trong căn
Cho $y \leq 0$ . Biểu thức $xy^{2}\sqrt{2z^{3}}$ bằng:
- A.
  $\sqrt{2x^{4}y^{2}z^{3}}$
- B.
  $- x^{2}z\sqrt{2y^{2}z}$
- C.
  $- x^{2}\sqrt{2y^{2}z^{3}}$
- D.
  $x^{2}yz\sqrt{2z}$
Hướng dẫn:
Với $y \leq 0$ ta có:

$xy^{2}\sqrt{2z^{3}} = - x^{2}\sqrt{y^{2}}.\sqrt{2z^{3}} = - x^{2}\sqrt{2y^{2}z^{3}}$
Câu 10: Thông hiểu
Chọn kết quả đúng
Khử mẫu của biểu thức $2y\sqrt{\frac{x^{4}}{4y^{2}}}$ với $y < 0$ ta được kết quả là:
- A.
  $- x^{2}$
- B.
  $\frac{x^{2}}{2y}$
- C.
  $x^{2}$
- D.
  $- \frac{x^{2}}{2y}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$2y\sqrt{\frac{x^{4}}{4y^{2}}} = 2y\sqrt{\left( \frac{x^{2}}{2y} ight)^{2}} = 2y\left| \frac{x^{2}}{2y} ight|$

Vì $y < 0$ nên $\frac{x^{2}}{2y} < 0 \Rightarrow \left| \frac{x^{2}}{2y} ight| = - \frac{x^{2}}{2y}$

Do đó: $2y\sqrt{\frac{x^{4}}{4y^{2}}} = 2y.\left( - \frac{x^{2}}{2y} ight) = - x^{2}$
Câu 11: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức B
Giá trị của biểu thức $B = \left( \frac{2\sqrt{32}}{\sqrt{3}} - 1 ight):\left( 7 + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} ight)$ bằng:
- A.
  $B = \sqrt{3}$
- B.
  $B = \frac{\sqrt{6}}{2}$
- C.
  $B = \sqrt{2}$
- D.
  $B = \frac{\sqrt{6}}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$B = \left( \frac{2\sqrt{32}}{\sqrt{3}} - 1 ight):\left( 7 + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} ight)$

$B = \left( \frac{8\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} ight):\left( \frac{8\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} ight)$

$B = \left( \frac{8\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} ight).\frac{\sqrt{2}}{8\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
Câu 12: Vận dụng
Xác định số giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện
Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức $F = \frac{3}{\sqrt{x} - 1}$ nhận giá trị nguyên?
- A.
  $3$
- B.
  $6$
- C.
  $4$
- D.
  $5$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $\left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ \sqrt x - 1 e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ x e 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Để biểu thức đạt giá trị nguyên thì $\sqrt x - 1 \in U\left( 3 ight) = \left\{ { - 3; - 1;1;3} ight\}$

Vì $\left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ x e 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ nên $\sqrt x - 1 \geqslant - 1 \Rightarrow \sqrt x - 1 \in \left\{ { - 1;1;3} ight\}$

Với $\sqrt x - 1 = - 1 \Rightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} ight)$

Với $\sqrt x - 1 = 1 \Rightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\left( {tm} ight)$

Với $\sqrt x - 1 = 3 \Rightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16\left( {tm} ight)$

Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 13: Thông hiểu
Giải phương trình chứa căn bậc ba
Tìm tất cả các giá trị x thỏa mãn phương trình $\sqrt[3]{2 - 3x} = - 2$ ?
- A.
  $x = 2$
- B.
  $x = \frac{10}{3}$
- C.
  $x = - \frac{10}{3}$
- D.
  $x = - 2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sqrt[3]{2 - 3x} = - 2 \Leftrightarrow \left( \sqrt[3]{2 - 3x} ight)^{3} = ( - 2)^{3}$

$\Leftrightarrow 2 - 3x = - 8 \Leftrightarrow x = \frac{10}{3}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{10}{3}$ .
Câu 14: Nhận biết
Thực hiện phép tính
Kết quả của phép tính $\sqrt{\frac{36}{25}:\frac{144}{169}}$ là:
- A.
  $1\frac{3}{10}$
- B.
  $\frac{10}{13}$
- C.
  $\frac{- 13}{10}$
- D.
  $\frac{169}{100}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sqrt{\frac{36}{25}:\frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{36}{25}}:\sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{6}{5}:\frac{12}{13} = \frac{13}{10} = 1\frac{3}{10}$
Câu 15: Nhận biết
Tính căn bậc ba
Biểu thức $\sqrt[3]{125}$ có giá trị bằng:
- A.
  $125$
- B.
  $5$
- C.
  $\pm 5$
- D.
  $\pm 125$
Hướng dẫn:
Ta có: $\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^{3}} = 5$
Câu 16: Nhận biết
Tìm x thỏa mãn yêu cầu đề bài
Để $\frac{\sqrt{x} - 2}{3} = 1$ với $x \geq 0$ thì $x$ nhận giá trị là:
- A.
  $x = 16$
- B.
  $x = 36$
- C.
  $x = 4$
- D.
  $x = 25$
Hướng dẫn:
Với $x \geq 0$ ta có:

$\frac{\sqrt{x} - 2}{3} = 1 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 2 = 3 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 5 \Leftrightarrow x = 25$

Vậy $x = 25$ là giá trị cần tìm.
Câu 17: Nhận biết
Chọn kết quả đúng
Kết quả của phép khai căn $\sqrt{( - 25)^{2}}$ là:
- A.
  $25$
- B.
  $- 5$
- C.
  $- 25$
- D.
  $5$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sqrt{( - 25)^{2}} = | - 25| = 25$
Câu 18: Vận dụng
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức G
Cho biểu thức $G = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3}$ với $x \geq 0$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $G$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $2$
- B.
  $- \frac{2}{3}$
- C.
  $- \frac{3}{2}$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Ta có:

$G = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3} = \frac{\sqrt{x} + 3 - 5}{\sqrt{x} + 3}$

$= \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} - \frac{5}{\sqrt{x} + 3}$

$= 1 - \frac{5}{\sqrt{x} + 3}$

Vì $x \geq 0$ nên $\sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 3 \geq 3$

$\Rightarrow \frac{- 5}{\sqrt{x} + 3} \geq \frac{- 5}{3} \Rightarrow 1 - \frac{5}{\sqrt{x} + 3} \geq 1 - \frac{5}{3} = - \frac{2}{3}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = 0$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức G bằng $- \frac{2}{3}$ khi $x = 0$ .
Câu 19: Thông hiểu
Giải phương trình chứa căn
Tìm x sao cho $\sqrt{4x - 20} + 3\sqrt{\frac{x - 5}{9}} - \frac{1}{3}\sqrt{9x - 45} = 4$ ?
- A.
  $x = 9$
- B.
  $x = 6$
- C.
  $x = 5$
- D.
  $x = 7$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x \geq 5$

Ta có:

$\sqrt{4x - 20} + 3\sqrt{\frac{x - 5}{9}} - \frac{1}{3}\sqrt{9x - 45} = 4$

$\Leftrightarrow \sqrt{2^{2}(x - 5)} + 3\sqrt{\frac{1}{3^{2}}(x - 5)} - \frac{1}{3}\sqrt{3^{2}(x - 5)} = 4$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x - 5} + 3.\frac{1}{3}\sqrt{x - 5} - \frac{1}{3}.3\sqrt{x - 5} = 4$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x - 5} = 4 \Leftrightarrow \sqrt{x - 5} = 2$

$\Leftrightarrow x - 5 = 4 \Leftrightarrow x = 9(tm)$

Vậy x = 9 là giá trị cần tìm.
Câu 20: Nhận biết
Tính giá trị của biểu thức chứa căn
Giá trị của biểu thức $\sqrt{2\sqrt{2} + 3}.\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ bằng:
- A.
  $17$
- B.
  $\sqrt{\left( 3 - 2\sqrt{2} ight)^{2}}$
- C.
  $1$
- D.
  $- 1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sqrt{2\sqrt{2} + 3}.\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$

$= \sqrt{\left( 2\sqrt{2} + 3 ight)\left( 3 - 2\sqrt{2} ight)}$

$= \sqrt{3^{2} - \left( 2\sqrt{2} ight)^{2}} = \sqrt{9 - 8} = 1$

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (45%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3
Vận dụng (10%):

2/3
Vận dụng cao (5%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0

Làm lại

46 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận