Bài tập cuối chương 3 Căn thức Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Tìm x để biểu thức có nghĩa
Điều kiện của $x$ để biểu thức $H = 20 + \sqrt{5 - x}$ có nghĩa là:
- A.
  $x > 5$
- B.
  $x \leq 5$
- C.
  $x < 5$
- D.
  $x \geq 5$
Hướng dẫn:
Để biểu thức đã cho có nghĩa thì

$5 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5$
Câu 2: Nhận biết
Biến đổi biểu thức chứa căn
Khử mẫu căn thức $\sqrt{11\frac{11}{120}}$ ta được kết quả là:
- A.
  $\frac{11\sqrt{330}}{15}$
- B.
  $\frac{11\sqrt{330}}{120}$
- C.
  $\frac{11\sqrt{330}}{60}$
- D.
  $\frac{11\sqrt{330}}{30}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sqrt{11\frac{11}{120}} = \sqrt{\frac{1331}{120}} = \frac{11\sqrt{330}}{60}$
Câu 3: Thông hiểu
Thu gọn biểu thức L
Rút gọn biểu thức $L = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}} + \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}}$ thu được kết quả là:
- A.
  $L = 2\sqrt{5}$
- B.
  $L = \sqrt{5}$
- C.
  $L = 3$
- D.
  $L = 6$
Hướng dẫn:
Ta có:

$L = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}} + \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}}$

$L = \sqrt{\frac{\left( 3 + \sqrt{5} ight)\left( 3 + \sqrt{5} ight)}{\left( 3 - \sqrt{5} ight)\left( 3 + \sqrt{5} ight)}} + \sqrt{\frac{\left( 3 - \sqrt{5} ight)\left( 3 - \sqrt{5} ight)}{\left( 3 - \sqrt{5} ight)\left( 3 + \sqrt{5} ight)}}$

$L = \sqrt{\frac{\left( 3 + \sqrt{5} ight)^{2}}{4}} + \sqrt{\frac{\left( 3 - \sqrt{5} ight)^{2}}{4}}$

$L = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = 3$
Câu 4: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức
Giá trị của biểu thức $\left( 2\sqrt{18} + 3\sqrt{8} - 6\sqrt{2} ight):\sqrt{2}$ bằng
- A.
  $0$
- B.
  $- 6$
- C.
  $6\sqrt{2}$
- D.
  $6$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left( 2\sqrt{18} + 3\sqrt{8} - 6\sqrt{2} ight):\sqrt{2}$

$= \left( 2\sqrt{9.2} + 3\sqrt{4.2} - 6\sqrt{2} ight):\sqrt{2}$

$= \left( 2.3\sqrt{2} + 3.2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} ight):\sqrt{2}$

$= \left( 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 6\sqrt{2} ight):\sqrt{2} = 6\sqrt{2}:\sqrt{2} = 6$
Câu 5: Vận dụng cao
Rút gọn biểu thức Q
Đơn giản biểu thức $Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}}}$ thu được kết quả là:
- A.
  $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\sqrt{6}$
- C.
  $4$
- D.
  $2\sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}}}$

$Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + \sqrt{12 + 2.2\sqrt{3} + 1}}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - \sqrt{12 - 2.2\sqrt{3} + 1}}}$

$Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + \sqrt{\left( 2\sqrt{3} ight)^{2} + 2.2\sqrt{3} + 1^{2}}}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - \sqrt{\left( 2\sqrt{3} ight)^{2} - 2.2\sqrt{3} + 1^{2}}}}$

$Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + \sqrt{\left( 2\sqrt{3} + 1 ight)^{2}}}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - \sqrt{\left( 2\sqrt{3} - 1 ight)^{2}}}}$

$Q = \sqrt{1 + \sqrt{3 + 2\sqrt{3} + 1}} + \sqrt{1 - \sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1}}$

$Q = \sqrt{1 + \sqrt{\left( \sqrt{3} ight)^{2} + 2\sqrt{3} + 1^{2}}} + \sqrt{1 - \sqrt{\left( \sqrt{3} ight)^{2} - 2\sqrt{3} + 1^{2}}}$

$Q = \sqrt{1 + \sqrt{\left( \sqrt{3} + 1 ight)^{2}}} + \sqrt{1 - \sqrt{\left( \sqrt{3} - 1 ight)^{2}}}$

$Q = \sqrt{1 + \sqrt{3} + 1} + \sqrt{1 - \sqrt{3} - 1}$

$Q = \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

Nhân cả hai vế của biểu thức với $\sqrt{2}$

$\Rightarrow \sqrt{2}Q = \sqrt{2}.\left\lbrack \sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}} ightbrack$

$\Rightarrow \sqrt{2}Q = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \sqrt{2}Q = \sqrt{\left( \sqrt{3} + 1 ight)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{3} - 1 ight)^{2}}$

$\Rightarrow \sqrt{2}Q = \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1$

$\Rightarrow \sqrt{2}Q = 2\sqrt{3} \Rightarrow Q = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$
Câu 6: Thông hiểu
Tính giá trị của biểu thức C
Cho biểu thức $G = \frac{x - 11}{\sqrt{x - 2} - 3}$ . Tính giá trị của biểu thức tại $x = 23 - 12\sqrt{3}$ ?
- A.
  $G = \sqrt{3}$
- B.
  $G = 1 - \sqrt{3}$
- C.
  $G = 2\sqrt{3}$
- D.
  $G = 2 + \sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x - 2 = 21 - 12\sqrt{3} = \left( 2\sqrt{3} - 3 ight)^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{x - 2} = \sqrt{\left( 2\sqrt{3} - 3 ight)^{2}} = 2\sqrt{3} - 3$

Thay các giá trị vừa tìm được vào biểu thức G ta được:

$G = \frac{23 - 12\sqrt{3} - 11}{2\sqrt{3} - 3 - 3} = \frac{12\left( 1 - \sqrt{3} ight)}{2\sqrt{3}\left( 1 - \sqrt{3} ight)} = 2\sqrt{3}$
Câu 7: Nhận biết
Chọn mệnh đề đúng
Cho biểu thức $A = \sqrt{\left( 6\sqrt{\frac{4}{25}} - \sqrt{\frac{9}{25}} ight).15}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Giá trị của biểu thức A là một số nguyên.
- B.
  Giá trị của biểu thức A là một số nguyên dương.
- C.
  Giá trị của biểu thức A là một số hữu tỉ.
- D.
  Giá trị của biểu thức A là một số vô tỉ.
Hướng dẫn:
Ta có:

$A = \sqrt{\left( 6\sqrt{\frac{4}{25}} - \sqrt{\frac{9}{25}} ight).15}$

$A = \sqrt{6.15\sqrt{\left( \frac{2}{5} ight)^{2}} - 15\sqrt{\left( \frac{3}{5} ight)^{2}}}$

$A = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

Vậy mệnh đề đúng là: “Giá trị của biểu thức A là một số vô tỉ”.
Câu 8: Nhận biết
Tìm điều kiện xác định của biểu thức
Điều kiện xác định của biểu thức $\frac{\sqrt[3]{1 - x}}{\sqrt{x} + 2}$ là:
- A.
  $0 < x \leq 1$
- B.
  $x \geq 0$
- C.
  $x \geq 1$
- D.
  $x > 1$
Hướng dẫn:
Vì $\sqrt[3]{1 - x}$ xác định với mọi x nên $\frac{\sqrt[3]{1 - x}}{\sqrt{x} + 2}$ xác định khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ \sqrt{x} + 2 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x \geq 0$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức là $x \geq 0$ .
Câu 9: Nhận biết
Chọn khẳng định sai
Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $- 4\sqrt{3} = \sqrt{( - 4)^{2}.3}$
- B.
  $2\sqrt{3} = \sqrt{12}$
- C.
  $- 4\sqrt{3} = - \sqrt{48}$
- D.
  $4\sqrt{3} = \sqrt{48}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$- 4\sqrt{3} = - \sqrt{4^{2}.3} = - \sqrt{48}$

Khẳng định sai là: $- 4\sqrt{3} = \sqrt{( - 4)^{2}.3}$
Câu 10: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hai số $x;y$ thỏa mãn $x < 0 < y$ và $xy = - 3$ . Giá trị của biểu thức $N = x\sqrt{\frac{- 3y}{x}} - y\sqrt{\frac{- 3x}{y}}$ bằng:
- A.
  $- 6$
- B.
  $0$
- C.
  $- 1$
- D.
  $- 3$
Hướng dẫn:
Với $x < 0 < y$ ta có: $x = - \sqrt{x^{2}};y = \sqrt{y^{2}}$

Thay các giá trị vừa biến đổi vào biểu thức N ta được:

$N = x\sqrt{\frac{- 3y}{x}} - y\sqrt{\frac{- 3x}{y}}$

$N = - \sqrt{- 3xy} - \sqrt{- 3xy} = - \sqrt{9} - \sqrt{9} = - 6$
Câu 11: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Trục căn thức ở mẫu của biểu thức $C = \frac{45}{10 - 5\sqrt{3}}$ ta thu được biểu thức mới có dạng $a + b\sqrt{3}$ . Khi đó:
- A.
  $a.b = 108$
- B.
  $a.b = - 6$
- C.
  $a.b = 162$
- D.
  $a.b = 36$
Hướng dẫn:
Ta có:

$C = \frac{45}{10 - 5\sqrt{3}} = \frac{9}{2 - \sqrt{3}}$

$= \frac{9\left( 2 + \sqrt{3} ight)}{\left( 2 - \sqrt{3} ight)\left( 2 + \sqrt{3} ight)}$

$= \frac{9\left( 2 + \sqrt{3} ight)}{4 - 3} = 18 + 9\sqrt{3}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 18 \\ b = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a.b = 162$
Câu 12: Nhận biết
Rút gọn biểu thức B
Đơn giản biểu thức $B = \sqrt[3]{\left( 4 - 2\sqrt{3} ight)\left( \sqrt{3} - 1 ight)}$ thu được kết quả là:
- A.
  $B = 2\sqrt{3} - 1$
- B.
  $B = \sqrt{3}$
- C.
  $B = \sqrt{3} + 1$
- D.
  $B = \sqrt{3} - 1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$B = \sqrt[3]{\left( 4 - 2\sqrt{3} ight)\left( \sqrt{3} - 1 ight)}$

$B = \sqrt[3]{\left( 3 - 2\sqrt{3} + 1 ight)\left( \sqrt{3} - 1 ight)}$

$B = \sqrt[3]{\left( \sqrt{3} - 1 ight)^{2}\left( \sqrt{3} - 1 ight)}$

$B = \sqrt[3]{\left( \sqrt{3} - 1 ight)^{3}} = \sqrt{3} - 1$

Vậy $B = \sqrt{3} - 1$
Câu 13: Thông hiểu
Đơn giản biểu thức K
Xác định giá trị của biểu thức $K = \left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( \sqrt{10} + \sqrt{6} ight)\left( 4 + \sqrt{15} ight)$ ?
- A.
  $K = 2$
- B.
  $K = \sqrt{10} + \sqrt{6}$
- C.
  $K = \sqrt{5} - \sqrt{3}$
- D.
  $K = \sqrt{10} - \sqrt{6}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$K = \left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( \sqrt{10} + \sqrt{6} ight)\left( 4 + \sqrt{15} ight)$

$K = 2\left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)\left( 4 + \sqrt{15} ight)$

$K = \left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)\left( 8 + 2\sqrt{15} ight)$

$K = \left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)\left( 5 + 2\sqrt{5}.\sqrt{3} + 3 ight)$

$K = \left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)$

$K = \left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( \sqrt{5} + \sqrt{3} ight)^{2}$

$K = \left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( 8 + 2\sqrt{15} ight)$

$K = 2.\left( 4 - \sqrt{15} ight)\left( 4 + \sqrt{15} ight)$

$K = 2.\left( 4^{2} - 15 ight) = 2.(16 - 15) = 2$
Câu 14: Nhận biết
Tìm biểu thức bằng với biểu thức đã cho
Biểu thức $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}}$ bằng với biểu thức nào sau đây?
- A.
  $\sqrt{7} - 4$
- B.
  $\left| \sqrt{7} - 4 ight|$
- C.
  $\left( \sqrt{7} - 2 ight)^{2}$
- D.
  $\sqrt{7} - 2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{\left( \sqrt{7} ight)^{2} - 2.2.\sqrt{7} + 2^{2}}$

$= \sqrt{\left( \sqrt{7} - 2 ight)^{2}} = \left| \sqrt{7} - 2 ight| = \sqrt{7} - 2$
Câu 15: Vận dụng
Xác định giá trị của biểu thức S
Cho biểu thức $E = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1}$ . Giả sử S là tổng tất cả các giá trị của x để biểu thức E đạt giá trị nguyên. Khi đó giá trị của S là:
- A.
  $S = 41$
- B.
  $S = 38$
- C.
  $S = 44$
- D.
  $S = 36$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x \geq 0;x eq 1$

Ta có:

$E = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x} - 1 + 4}{\sqrt{x} - 1} = 1 + \frac{4}{\sqrt{x} - 1}$

Vì E có giá trị nguyên nên $\frac{4}{\sqrt{x} - 1}\mathbb{\in Z}$

$\Rightarrow \sqrt{x} - 1 \in U(4) = \left\{ - 4; - 2; - 1;1;2;4 ight\}$

$\Rightarrow \sqrt{x} \in \left\{ 0;2;3;5 ight\} \Rightarrow x \in \left\{ 0;4;9;25 ight\}$

$\Rightarrow S = 0 + 4 + 9 + 25 = 38$
Câu 16: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{x - 9}$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2\sqrt{2}$
- D.
  $4\sqrt{2}$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x \geq 0;x eq 9$

Ta có:

$T = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{x - 9}$

$T = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)}$

$T = \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 3 ight)}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)} + \frac{2\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 3 ight)}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)} - \frac{3x + 9}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)}$

$T = \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 3 ight) + 2\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 3 ight) - 3x - 9}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)}$

$T = \frac{3\sqrt{x} - 9}{\left( \sqrt{x} + 3 ight)\left( \sqrt{x} - 3 ight)} = \frac{3}{\sqrt{x} + 3}$

Ta có: $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \geq 0;\forall x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 3 \geq 3;\forall x \geq 0$

$\Rightarrow M \leq 1$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T bằng 1.
Câu 17: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức P
Cho biểu thức $P = \frac{1}{\sqrt{x} - 3} - \frac{1}{\sqrt{x} + 3}$ . Tính giá trị của biểu thức $P$ tại $x = 10$ ?
- A.
  $6$
- B.
  $9$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{6}{7}$
Hướng dẫn:
ta có:

$P = \frac{1}{\sqrt{x} - 3} - \frac{1}{\sqrt{x} + 3}$

$P = \frac{\sqrt{x} + 3}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} + 3 ight)} - \frac{\sqrt{x} - 3}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} + 3 ight)}$

$P = \frac{\sqrt{x} + 3 - \sqrt{x} + 3}{\left( \sqrt{x} - 3 ight)\left( \sqrt{x} + 3 ight)}$

$P = \frac{6}{x - 9}$

Thay $x = 10$ vào biểu thức P thu gọn ta được:

$P = \frac{6}{10 - 9} = 6$
Câu 18: Thông hiểu
Xác định giá trị biểu thức M
Với $x = - \sqrt{2}$ thì giá trị của biểu thức $M = 4x - 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{x^{3} + 2x^{3}}}{\sqrt{x + 2}}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $- 5\sqrt{2}$
- B.
  $- 6\sqrt{2}$
- C.
  $4\sqrt{2}$
- D.
  $- 7\sqrt{2}$
Hướng dẫn:
Thay $x = - \sqrt{2}$ vào biểu thức ta được:

$M = - 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{- 2\sqrt{2} + 4}}{\sqrt{- \sqrt{2} + 2}}$

$M = - 6\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{\sqrt{- \sqrt{2} + 2}}$

$M = - 6\sqrt{2} + \sqrt{2} = - 5\sqrt{2}$
Câu 19: Nhận biết
Đơn giản biểu thức chứa căn
Với $x > 0$ , kết quả của phép tính $x\sqrt{\frac{x^{4}}{x^{2}}}$ là:
- A.
  $- \frac{x^{2}}{2}$
- B.
  $- x^{2}$
- C.
  $x^{2}$
- D.
  $\frac{x^{2}}{2}$
Hướng dẫn:
Với $x > 0$ ta có:

$x\sqrt{\frac{x^{4}}{x^{2}}} = x\sqrt{x^{2}} = x|x| = x^{2}$
Câu 20: Thông hiểu
Tìm x biết
Nếu $\sqrt{5 + \sqrt{x}} = 4$ thì giá trị của $x$ bằng:
- A.
  $16$
- B.
  $11$
- C.
  $\sqrt{11}$
- D.
  $121$
Hướng dẫn:
Điều kiện xác định $x \geq 0$

Ta có:

$\sqrt{5 + \sqrt{x}} = 4 \Leftrightarrow 5 + \sqrt{x} = 16$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} = 11 \Leftrightarrow x = 121(tm)$

Vậy giá trị x cần tìm là $x = 121$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (50%):

2/3
Thông hiểu (35%):

2/3
Vận dụng (10%):

2/3
Vận dụng cao (5%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0

Làm lại

8 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận