Lớp 9 Toán 9 - Cánh diều

Bài tập cuối chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Tính cosin góc B

    Nếu tam giác ABC có \widehat{A} = 90^{0};AB = 3cm;BC = 5cm. Tính giá trị \cos\widehat{B}?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \cos\widehat{B} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}

  • Câu 2: Nhận biết
    Chọn khẳng định đúng

    Cho tam giác ABC có \widehat{A} = 90^{0};AB = 4cm;AC = 3cm. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \tan\widehat{C} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{3}

  • Câu 3: Nhận biết
    Xác định tang góc B

    Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng \cot\widehat{C} = \sqrt{3}, khi đó \tan\widehat{B} bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì tam giác ABC vuông tại A \Rightarrow \widehat{A} = 90^{0} hay góc B và góc C là hai góc phụ nhau.

    Khi đó \tan\widehat{B} = \cot\widehat{C} = \sqrt{3}

  • Câu 4: Nhận biết
    Chọn cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu

    Cho dãy các tỉ số lượng giác sau: \cos28^{0};\sin64^{0};\cos44^{0};\sin85^{0}. Thứ tự sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \cos {28^0} = \sin {62^0} \hfill \\ \cos {44^0} = \sin {46^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Mà 46^{0} < 62^{0} < 64^{0} < 85^{0}

    \Rightarrow \sin {46^0} < \sin {62^0} < \sin {64^0} < \sin {85^0}

    \Rightarrow \cos {44^0} < \cos {28^0} < \sin {64^0} < \sin {85^0}

    Vậy thứ tự cần sắp xếp là \cos {87^0};\sin {47^0};\cos {14^0};\sin {78^0}.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tính độ dài cạnh AC theo x

    Cho tam giác ABC vuông tại A có \widehat{C} = 60^{0};AB = x. Tính độ dài đoạn AC theo x?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \tan\widehat{C} = \frac{AB}{AC}\Rightarrow AC = \frac{AB}{\tan\widehat{C}} = \frac{x}{\tan60^{0}} =\frac{x\sqrt{3}}{3}

    Vậy độ dài cạnh AC cần tìm bằng \frac{x\sqrt{3}}{3}.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính chiều cao cây tre

    Sau cơn bão, một cây tre gãy gập xuống làm ngọn cây chạm đất và tạo với mặt đất một góc 30^{0}. Người ta đo được khoảng cách từ chỗ ngọn cây chạm đất đến gốc tre bằng 8,5m. Giả sử cây tre mọc vuông góc với mặt đất, hãy tính chiều cao của cây tre đó? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác ACD vuông tại A có: AC =8,5m;\widehat{ACD} = 30^{0} ta có:

    \frac{AC}{CD} = \sin\widehat{DCA} =\sin30^{0}

    \Rightarrow CD = \frac{AC}{\sin30^{0}} =\frac{17}{\sqrt{3}}

    \frac{AD}{CD} = \cos\widehat{DCA} =\cos30^{0}

    \Rightarrow AD = CD.\cos30^{0} =\frac{8,5}{\sqrt{3}}

    Suy ra AB = BD + AD = AD + CD = \frac{8,5+ 17}{\sqrt{3}} \approx 14,72(m)

  • Câu 7: Vận dụng
    Tính chiều cao của ngọn núi

    Tính chiều cao của ngọn núi, biết rằng tại hai điểm cách nhau 600m trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 48^{0} và 34^{0}?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi chiều cao ngọn núi là AC và AB = x

    Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

    \tan\widehat{CBA} = \frac{AC}{AB}

    \Rightarrow \tan48^{0} = \frac{AC}{x}\Rightarrow AC = x.\tan48^{0}

    Xét tam giác ACD vuông tại A ta có:

    \tan\widehat{CDA} = \frac{AC}{AD}

    \Rightarrow \tan32^{0} = \frac{AC}{x +600} \Rightarrow AC = (x + 600).\tan32^{0}

    \Rightarrow x.\tan48^{0} = (x +600).\tan32^{0}

    \Rightarrow x \approx 771,8515

    \Rightarrow AC = x.\tan48^{0} \approx857,23m

    Vậy chiều cao ngọn núi khoảng 857m.

  • Câu 8: Vận dụng
    Tính chiều cao cây cầu

    Tại độ cao 920m so với mặt đất, trên máy bay trực thăng người ta nhìn 2 điểm C;D của hai đầu cầu so với đường vuông góc với mặt đất các góc lần lượt là 40^{0};30^{0}. Xác định độ dài cây cầu AB?

    Hướng dẫn:

    Gọi A là điểm biểu diễn chiếc máy bay, H là hình chiếu của máy bay trên mặt đất, suy ra AH là độ cao của máy bay so với mặt đất: AH = 920m, từ máy bay nhìn ra hai điểm C; D lần lượt tạo với đường vuông góc mặt đất các góc {40^0};{30^0} suy ra AD; AC lần lượt tạo với mặt đất các góc {50^0};{60^0} hay \widehat {ADB} = {50^0};\widehat {ACB} = {60^0}

    Chiều dài cây cầu là CD

    Áp dụng công thức lượng giác trong tam giác AHD và ABC vuông tại H ta có:

    \left\{ \begin{gathered} \cot \widehat {ADH} = \frac{{DH}}{{AH}} = \cot {50^0} \hfill \\ \cot \widehat {ACH} = \frac{{CH}}{{AH}} = \cot {60^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow \frac{DC}{AH} = \frac{DH -CH}{HA} = \cot50^{0} - \cot60^{0}

    \Rightarrow DC = \left( \cot50^{0} -\cot60^{0} ight)AH \approx 240,81(m)

    Vậy chiều dài cây cầu khoảng 240,81m.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tính chiều cao cột đèn

    Chiều cao của cột đèn (như hình vẽ):

    Một học sinh đứng cách cột đèn 6m, cột đèn tạo với đoạn nối điểm cao nhất của cột đèn và điểm cao nhất của học sinh một góc \widehat{BDC} = 60^{0}. Tính chiều cao của cột đèn, biết rằng chiều cao của học sinh là 1,6m? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác CDH có

    \left\{ \begin{matrix} AB//CD \\ A \in CH;B \in DH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{AB}{CD} = \frac{AH}{CH}

    \Rightarrow \frac{AB}{AH} = \frac{CD}{CH} = \frac{CD - AB}{AC}

    Ngoài ra ta có: \cot\widehat{BDC} = \frac{CD}{CH} nên \frac{CD - 1,6}{AC} = cot60^{0}

    \Rightarrow CD = 2\sqrt{3} + 1,6 \approx 5,1m

    Vậy chiều cao cột đèn khoảng 5,1m.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tính chiều rộng khúc sông

    Một cano với vận tốc thực 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút. Biết rằng đường đi của thuyền tạo với bờ một góc 70^{0}. Xác định chiều rộng của khúc sông? (Kết quả tính chính xác đến mét).

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    2km/h \approx 33,33m/phut

    Quãng đường AB thuyền đi là S = v.t = 33,33.5 = 166,65(m/phut)

    Ah là chiều rộng sông

    \widehat{HBA} là góc tạo bởi đường đi của thuyền và của sông

    AH = AB.\sin\widehat{HBA} =166,65.\sin70^{0} \approx 156,6(m)

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tính độ dài cạnh BC

    Cho tam giác ABC kẻ đường cao AH, AB = 25;\widehat{B} = 70^{0};\widehat{C} = 50^{0}. Độ dài cạnh BC là:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    AH = AB.\sin\widehat{B} \approx23,49cm

    HC = AH.\cot\widehat{C} \approx19,71cm

    BH = AB.\cos\widehat{B} \approx8,55cm

    BC = HB + HC \approx 28,26cm

  • Câu 12: Thông hiểu
    Chọn kết luận đúng

    Cho tam giác ABC vuông tại B, dựng tam giác ACD (B;D nằm khác phía đối với AC). Biết rằng \widehat{ACB} = 54^{0};\widehat{ACD} = 74^{0};AC = 8;AD = 9,6. Kết luận nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Kẻ AH\bot DC tại H. Ta có:

    AB = AC.\sin\widehat{BCA} = 8.\sin54^{0}\approx 6,47

    AH = AC.\sin\widehat{ACD} \approx7,69

    \sin\widehat{ADH} = \frac{AH}{AD} \approx \frac{7,69}{9,6}

    \Rightarrow \widehat{ADH} = \widehat{ADC} \approx 53^{0}23'

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức

    Cho tam giác ABC;\widehat{A} = 90^{0} có BC = 10;\widehat{B} = 60^{0}, kẻ đường cao AH. Gọi E;F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB;AC. Tính giá trị biểu thức AE.AB + AF.AC?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác ABH vuông tại H và tam giác ABE vuông tại E ta có:

    Góc \widehat{HAE} chung

    \Rightarrow \Delta ABH\sim\Delta AHE(g - g)

    \Rightarrow \frac{AH}{AE} = \frac{AB}{AH} \Rightarrow AH^{2} = AB.AE

    Chứng minh tương tự với hai tam giác AHF và tam giác AHC ta được:

    AH^{2} = AF.AC

    Suy ra AE.AB + AF.AC = AH^{2} + AH^{2} = 2AH^{2}

    Ta có:

    AB = BC.\cos\widehat{B} = 10.\cos60^{0} =5

    Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

    AB^{2} + AC^{2} = BC^{2} \Rightarrow AC = \sqrt{BC^{2} - AB^{2}} = 5\sqrt{3}

    Xét tam giác ABH vuông tại H và tam giác ABC vuông tại A ta có:

    Góc B chung

    \Rightarrow \Delta ABH\sim\Delta CBA(g - g)

    \Rightarrow \frac{AH}{AC} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow AH = \frac{AC.AB}{BC} = \frac{5\sqrt{3}}{2}

    Khi đó AE.AB + AF.AC = 2AH^{2} = \frac{75}{2}

  • Câu 14: Thông hiểu
    Chọn kết quả đúng

    Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 14cm;BC = 17cm. Kết quả nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A

    BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} \Rightarrow AB = \sqrt{BC^{2} - AC^{2}} = \sqrt{93}(cm)

    Ta có: \tan\widehat{B} = \frac{AC}{AB} = \frac{14}{\sqrt{93}} = \frac{14\sqrt{93}}{93}

  • Câu 15: Nhận biết
    Tính độ dài AB

    Cho tam giác ABC vuông tại A có \widehat{B} = 48^{0};BC = 50cm. Khi đó độ dài cạnh AB bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có tam giác ABC vuông tại A nên

    AB = BC.\cos\widehat{B} = 50.\cos48^{0}\approx 33,5cm.

  • Câu 16: Nhận biết
    Tính giá trị lượng giác của góc

    Cho \cot\alpha = 3. Khi đó \tan\alpha có giá trị bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \cot\alpha.\tan\alpha = 1 \Rightarrow\tan\alpha = \frac{1}{\cot\alpha} = \frac{1}{3}

  • Câu 17: Nhận biết
    Chọn đẳng thức đúng

    Cho \alpha;\beta là hai góc nhọn bất kì với \alpha < \beta khi đó:

    Hướng dẫn:

    Với \alpha;\beta là hai góc nhọn bất kì với \alpha < \beta thì \sin\alpha < \sin\beta; \cos\alpha > \cos\beta; \cot\alpha > \cot\beta

    Vậy đáp án đúng là: \tan\alpha < \tan\beta.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tìm độ dài cạnh AD

    Cho tam giác ABD có AB = BD;\widehat{A} = 45^{0};BD = 18cm. Tính độ dài AD?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì AB = BD nên tam giác ABD cân tại B

    Kẻ đường cao BH suy ra H là trung điểm của AD

    Xét tam giác AHB vuông tại H

    Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

    \left\{ \begin{matrix}BH = AB.\sin\widehat{A} = 9\sqrt{2}(cm) \\AH = AB.\cos\widehat{A} = 9\sqrt{2}(cm) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow AD = 2AH = 18\sqrt{2}(cm)

  • Câu 19: Thông hiểu
    Chọn kết luận đúng

    Cho hình vẽ:

    Đặt \widehat{AOB} = x;\widehat{AOC} = y;\widehat{AOD} = z. Kết luận nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    AB > AC > AD

    \Rightarrow \frac{AB}{OB} > \frac{AC}{OB} > \frac{AD}{OB}

    \Rightarrow \sin x > \sin y > \sin z

    Hay \sin z < \sin y < \sin x.

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho tam giác ABC có AB = AC;BC = 4,2m. Kẻ đường cao AH;(H \in BC). Tính độ dài các cạnh HD;HE?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có tam giác ABC cân tại A.

    AH là đường cao ứng với cạnh đáy của tam giác cân nên

    HB = HC = 4,2:2 = 2,1(m)

    Xét tam giác ABH vuông tại H ta có: \tan\alpha = \frac{AH}{BH} = \frac{1,7}{2,1} \approx 0,8095 \Rightarrow \alpha \approx 39^{0}

    Xét tam giác DBH vuông tại D ta có: HD = HB.sinB = 2,1.sin39^{0} \approx 1,3(m)

    Vậy HD = HE \approx 1,3m.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (35%):
    2/3
  • Thông hiểu (40%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Vận dụng cao (10%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 2 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đăng nhập