Lớp 9 Toán 9

Căn bậc ba

Lý thuyết

1. Định nghĩa căn bậc ba

Định nghĩa: Căn bậc ba của một số thực a là số x sao cho x3 = a.

Viết: x = \sqrt[3]{a}

Số 3 gọi là chỉ số căn.

Phép lấy căn bậc ba của một số gọi là phép khai căn bậc ba.

Vậy x = \sqrt[3]a ⇔ a = x^3

Ví dụ: \sqrt[3]8 = 2 vì 23 = 8.

\sqrt[3]{-125} = -5 vì (-5)3 = -125.

Nhận xét: Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3. Cụ thể:

  • Nếu a > 0 ⇒ \sqrt[3]a > 0
  • Nếu a < 0 ⇒ \sqrt[3]a < 0
  • Nếu a = 0 ⇒ \sqrt[3]a = 0

2. Tính chất căn bậc ba

a<b\Leftrightarrow\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b} - Ví dụ: 7<8\Rightarrow\sqrt[3]{7}<\sqrt[3]{8}

\sqrt[3]{a^3}=(\sqrt[3]{a})^3=a - Ví dụ: \sqrt[3]{2^3}=(\sqrt[3]{2})^3=2

\sqrt[3]{a\cdot b}=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b} - Ví dụ: \sqrt[3]{5.7}=\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{7}

\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}với b ≠ 0. - Ví dụ: \sqrt[3]{\frac{7}{5}}=\frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{5}}

a\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a^3b} - Ví dụ: 2\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{2^3\cdot3}

3. Biểu thức liên hợp của căn bậc ba

\sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B} có biểu thức liên hợp là \sqrt[3]{A^2}+\sqrt[3]{A\cdot B}+\sqrt[3]{B^2}

\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B} có biểu thức liên hợp là \sqrt[3]{A^2}-\sqrt[3]{A\cdot B}+\sqrt[3]{B^2}

\sqrt[3]{A}-B có biểu thức liên hợp là \sqrt[3]{A^2}+B\sqrt[3]{A}+B^2

\sqrt[3]{A}+B có biểu thức liên hợp là \sqrt[3]{A^2}-B\sqrt[3]{A}+B^2

Bài tập tự luận

Câu 1:

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

A=\left[\frac{1}{2} \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2}} \cdot \sqrt{6-4 \sqrt{2}}+\frac{1}{2} \sqrt[3]{(a+3) \sqrt{a}-3 a-1}\right]:\left[\frac{a-1}{2(\sqrt{a}+1)}+1\right]

Ta có:

A=\left[\frac{1}{2} \sqrt[3]{(2+\sqrt{2})^3} \cdot \sqrt{(2-\sqrt{2})^2}+\frac{1}{2} \sqrt[3]{(\sqrt{a}-1)^3}\right]:\left[\frac{a+2 \sqrt{a}+1}{2(\sqrt{a}+1)}\right]

=\left[\frac{1}{2}(4-2)+\frac{1}{2}(\sqrt{a}-1)\right]: \frac{\sqrt{a}+1}{2}=\frac{\sqrt{a}+1}{2}: \frac{\sqrt{a}+1}{2}=1

Vậy A không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Câu 2:

Giải phương trình sau đây:

a) \sqrt[3]{13-x}+\sqrt[3]{22+x}=5

b) 3\sqrt[3]{x-3}+4\sqrt[3]{8x-24}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{9x-27}=-20

c) \sqrt[3]{x+1}=\sqrt{x-3}


a) Ta có:

\sqrt[3]{13-x}+\sqrt[3]{22+x}=5

Đặt:

\left\{\begin{array} { l } { a = \sqrt [ 3 ] { 1 3 - x } } \\ { b = \sqrt [ 3 ] { 2 2 + x } } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} a^3=13-x \\ b^3=22+x \end{array}\right.\right.

\Rightarrow a^3+b^3=35(1) 

Theo đề bài, ta có: a + b = 5 ⇒ b = 5 - a

Khi đó (1) trở thành: 

a^3+(5-a)^3=35

\Leftrightarrow a^3+125-75a^2+15a-a^3=35

\Leftrightarrow75a^2-15a-90=0

\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} a=\frac{6}{5} \\ a=-1 \end{array}\right.

+ Với a=\frac{6}{5}

\Rightarrow13-x=\frac{216}{125}\Leftrightarrow x=\frac{1409}{125}

+ Với a=-1

\Rightarrow13-x=-1\Leftrightarrow x=14

Vậy S=\left\{\frac{1409}{125} ; 14\right\}

b) Ta có:

3\sqrt[3]{x-3}+4\sqrt[3]{8x-24}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{9x-27}=-20

\Leftrightarrow3\sqrt[3]{x-3}+4\cdot2\sqrt[3]{x-3}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{9\cdot\sqrt[3]{x-3}}=-20

\Leftrightarrow 11 \sqrt[3]{x-3}-\sqrt[3]{x-3}=-20 \Leftrightarrow 10 \sqrt[3]{x-3}=-20

\Leftrightarrow x-3=-8\Leftrightarrow x=-5

Vậy S = {-5}

c) Ta có:

\sqrt[3]{x+1}=\sqrt{x-3}

Đặt\left\{\begin{array} { l } { x = \sqrt { x + 1 } = \sqrt { x - 3 } } \\ { b = \sqrt { x + 1 } } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} a^3=x+1 \\ b^2=x-3 \end{array}\right.\right.

\Rightarrow a^3-b^2=4 (1)

Theo đề bài ta có: a = b

Khi đó (1) trở thành: a^3-a^2-4=0\Leftrightarrow a=2

Với a=2\Rightarrow x+1=8\Leftrightarrow x=7

Vậy S = {7}

Câu 3:

Rút gọn các biểu thức sau:

a) A=\left(\frac{a\sqrt[3]{a}-2a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{a^2b^2}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}}+\frac{\sqrt[3]{a^2b}-\sqrt[3]{ab^2}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}

b) B=\frac{a+\sqrt{2+\sqrt{5}}\cdot\sqrt{\sqrt{9-4\sqrt{5}}}}{\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt{9+4\sqrt{5}}}-\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}}

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

A=\left(\frac{a\sqrt[3]{a}-2a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{a^2b^2}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}}+\frac{\sqrt[3]{a^2b}-\sqrt[3]{ab^2}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}

=\left(\frac{\sqrt[3]{a^2}\left(\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[2]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right)}{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})}+\frac{\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}

=(\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})+\sqrt[3]{ab})\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}=1

Vậy A = 1

b) Ta có

B=\frac{a+\sqrt{2+\sqrt{5}}\cdot\sqrt{\sqrt{9-4\sqrt{5}}}}{\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt{9+4\sqrt{5}}-\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}}}

=\frac{a+\sqrt{2+\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\sqrt{(\sqrt{5}-2)^2}}}{\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{(\sqrt{5}+2)^2}}-\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}}

=\frac{a+\sqrt{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}}{\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}-\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}}

=\frac{a+1}{-1-\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}}=\left(\frac{(\sqrt[3]{a}+1)\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1\right)}{-\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1\right)}\right)

=-(\sqrt[3]{a}+1)

Với bài Căn bậc ba trên đây các bạn học sinh cùng quý thầy cô cần nắm vững kiến thức về định nghĩa, tính chất, của căn bậc ba và biểu thức liên hợp của căn bậc ba...

  • 3.549 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 9