Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Chương 1 Hàm số của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) và có bảng biến thiên trên [-2; 3) như sau:

    GTLN của hàm số trên khoảng là bao nhiêu?

    Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] bằng:

    Từ đồ thị của hàm số y = f(x) ta thấy hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [-2; 3]

    Ta có: f(x) ∈ [-2; 3] với \forall x \in \mathbb{R} => \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;3} ight]} f\left( x ight) = f\left( 3 ight) = 4

  • Câu 2: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{x - 1}{x^{2} - 8x + m} có ba đường tiệm cận?

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm
\infty}\frac{x - 1}{x^{2} - 8x + m} = 0 nên suy ra hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là y = 0

    Để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận thì phải có 2 tiệm cận đứng hay phương trình x^{2} - 8x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

    \left\{ \begin{matrix}
16 - m > 0 \\
1^{2} - 8.1 + m eq 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m < 16 \\
m eq 7 \\
\end{matrix} ight.

    Do m nguyên dương nên có 14 giá trị m thỏa mãn.

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu f'(x) như sau:

    Hỏi hàm số y = f\left( x^{2} - 2x
ight) có bao nhiêu điểm cực tiểu?

    Đặt g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight)
\Rightarrow g'(x) = (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x
ight)

    Từ bảng xét dấu của hàm số f'(x)

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) =
f\left( x^{2} - 2x ight) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
2x - 2 = 0 \\
f'\left( x^{2} - 2x ight) = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x^{2} - 2x = - 2\  \\
x^{2} - 2x = 1\  \\
x^{2} - 2x = 3\ \  \\
2x - 2 = 0\  \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = - 1 \\
x = 1 \pm \sqrt{2} \\
x = 3 \\
x = 1 \\
\end{matrix} ight.

    g'(x) \geq 0 \Leftrightarrow (2x -
2)f'\left( x^{2} - 2x ight) \geq 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
2x - 2 \geq 0 \\
f'\left( x^{2} - 2x ight) \geq 0 \\
\end{matrix} ight.\  \\
\left\{ \begin{matrix}
2x - 2 \leq 0 \\
f'\left( x^{2} - 2x ight) \leq 0 \\
\end{matrix} ight.\  \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
x \geq 1 \\
- 2 \leq x^{2} - 2x \leq 3 \\
\end{matrix} ight.\  \\
\left\{ \begin{matrix}
x \leq 1 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
x^{2} - 2x \geq 3 \\
x^{2} - 2x \leq - 2 \\
\end{matrix} ight.\  \\
\end{matrix} ight.\  \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
x \geq 1 \\
x^{2} - 2x + 2 \geq 0 \\
x^{2} - 2x - 3 \leq 0 \\
\end{matrix} ight.\  \\
\left\{ \begin{matrix}
x \leq 1 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
x^{2} - 2x - 3 \geq 0 \\
x^{2} - 2x + 2 \leq 0 \\
\end{matrix} ight.\  \\
\end{matrix} ight.\  \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
x \geq 1 \\
- 1 \leq x \leq 3 \\
\end{matrix} ight.\  \\
\left\{ \begin{matrix}
x \leq 1 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
x \geq 3 \\
x \leq - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \\
\end{matrix} ight.\  \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
1 \leq x \leq 3 \\
x \leq - 1 \\
\end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số y =
f\left( x^{2} - 2x ight) có 1 điểm cực tiểu.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1 có hai điểm cực trị là A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?

     Cách 1: Xét hàm số f\left( x ight) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1

    Ta có: f\left( x ight) = \left( {\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}} ight).f'\left( x ight) - 8x - 2

    Đồ thị hàm số f(x) có hai điểm cực trị A và B nên f’(A) = f’(B) = 0

    Suy ra \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{y_A} = f\left( {{x_A}} ight) =  - 8{x_A} - 2} \\   {{y_B} = f\left( {{x_B}} ight) =  - 8{x_B} - 2} \end{array}} ight.

    Do đó phương trình đường thẳng AB là y = -8x – 2

    Khi đó ta có điểm có tọa độ (1; -10) thuộc đường thẳng AB.

    Cách 2: Xét hàm số y = f\left( x ight) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1

    \begin{matrix}  f'\left( x ight) = 3{x^2} - 6x - 9 \hfill \\  f'\left( x ight) = 0 \Rightarrow 3{x^2} - 6x - 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x = 3} \\   {x =  - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Tọa độ hai điểm cực trị của hàm số là A(3; -26) và B(-1; 6)

    Ta có: \overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;32} ight) \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( { - 1;8} ight)

    Phương trình đường thẳng AB đ qua B(-1; 6) nhận vecto \overrightarrow u làm vecto chỉ phương là \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x =  - 1 - t} \\   {y = 6 + 8t} \end{array}} ight.;\left( {t \in \mathbb{R}} ight)

    Khi đó ta có điểm có tọa độ (1; -10) thuộc đường thẳng AB.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y
= \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + (2m - 1)x - m + 2 nghịch biến trên khoảng ( - 3;0)?

    Ta có: y' = x^{2} - 2mx + 2m -
1

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = 1 \\
x = 2m - 1 \\
\end{matrix} ight.

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( -
3;0) khi ( - 3;0) nằm trong khoảng hai nghiệm

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
1 \leq - 3 < 0 \leq 2m - 1 \\
2m - 1 \leq - 3 < 0 \leq 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow 2m - 1 \leq - 3 \Leftrightarrow m
\leq - 1

    Vậy đáp án cần tìm là m \leq -
1.

  • Câu 6: Vận dụng

    Người ta khảo sát gia tốc a(t) của một vật thể chuyển động (t là khoảng thời gian tính bằng giâu từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ ba ghi nhận được a(t) là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên:

    Xác định vận tốc lớn nhất

    Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ ba được khảo sát đó, thời điểm nào vận tốc lớn nhất?

    Từ đồ thị ta có: a(t) = 0 => v’(t) = 0 = > t = 2

    Ta có bảng biến thiên:

    Xác định vận tốc lớn nhất

    => Vận tốc lớn nhất đạt được khi t = 2

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Xác định hàm số y = f(x)?

    Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số cần tìm là hàm số bậc ba

    \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = +
\infty nên đáp án là y = x^{3} -
3x^{2} + 1.

  • Câu 8: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = ax^{4} + bx^{2} +
c có điểm cực đại là A(0; -
3) và một điểm cực tiểu là B( - 1;
- 5). Tính giá trị biểu thức T = a
+ b + c?

    Do đồ thị hàm số y = ax^{4} + bx^{2} +
c có một cực tiểu B( - 1; -
5) nên y( - 1) = - 5 \Rightarrow a
+ b + c = - 5.

  • Câu 9: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x^{2} + 4x + m} có đúng ba đường tiệm cận?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x^{2} + 4x + m} có đúng ba đường tiệm cận?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} - 2mx^{2} +
m^{2}x + 1 với m là tham số. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1?

    Tập xác định D\mathbb{= R}.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
y' = 3x^{2} - 4mx + m^{2} \\
y'' = 6x - 4m \\
\end{matrix} ight.. Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 thì

    \left\{ \begin{gathered}
  y'\left( 1 ight) = 0 \hfill \\
  y''\left( 1 ight) > 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  {m^2} - 4m + 3 = 0 \hfill \\
  6 - 4m > 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \left[ \begin{gathered}
  m = 1 \hfill \\
  m = 3 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. \hfill \\
  m < \frac{3}{2} \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. \Leftrightarrow m = 1

    vậy tập hợp tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là \left\{ 1 ight\}.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Nếu giá cho thuê mỗi căn là 3000000 đồng/tháng thì không có phòng trống, còn nếu cho thuê mỗi căn hộ thêm 200000 đồng/tháng thì sẽ có 2 căn bị bỏ trống. Hỏi công ty phải niêm yếu bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

    Đặt số tiền tăng thêm là 200000x (đồng)

    Giá tiền mỗi căn hộ một tháng là 3000000 + 200000x (đồng)

    Số căn hộ bị trống là 50 - 2x (phòng)

    Số tiền thu được mỗi tháng là: \left(
3.10^{6} + 2.10^{5}x ight)(50 - 2x) (đồng)

    Đặt f(x) = \left( 3.10^{6} + 2.10^{5}x
ight)(50 - 2x)

    Để doanh thu là lớn nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x), giá trị lớn nhất của hàm số f(x) tại đỉnh của parabol.

    Hay:

    f'(x) = 2.10^{5}(50 - 2x) - 2\left(
3.10^{6} + 2.10^{5}x ight) = 0 \Leftrightarrow x = 5

    Vậy công ty niêm yết giá tiền là: 3.10^{6} + 2.10^{5}.5 = 4.10^{6} đồng để được doanh thu là lớn nhất.

  • Câu 12: Vận dụng

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = {x^3} - 3\left( {m + 1} ight){x^2} + 3\left( {7m - 3} ight)x không có cực trị. Số phần tử của S là:

    Xét hàm số y = {x^3} - 3\left( {m + 1} ight){x^2} + 3\left( {7m - 3} ight)x ta có:

    \begin{matrix}  y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 1} ight)x + 3\left( {7m - 3} ight) \hfill \\  y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + 7m - 3 = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Hàm số đã cho không có cực trị

    => Phương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

    => \Delta ' \leqslant 0 \Rightarrow {\left( {m + 1} ight)^2} - 1\left( {7m - 3} ight) \leqslant 0 \Rightarrow 1 \leqslant m \leqslant 4

    Do m là số nguyên nên m \in \left\{ {1;2;3;4} ight\}

    Vậy tập S có 4 phần tử.

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Hành lang trong một tòa nhà có dạng chữ L (hình vẽ) có chiều cao 2m, một phía rộng 1m, một phía rộng 1,2m. Một người thợ cần mang một số ống thép cứng các loại có độ dài 2m, 2,5m, 3m, 3,5m, 4m, từ bên này qua bên kia. Hỏi có thể mang được mấy loại qua lối đi đó?

    Đáp án: 4

    Đáp án là:

    Hành lang trong một tòa nhà có dạng chữ L (hình vẽ) có chiều cao 2m, một phía rộng 1m, một phía rộng 1,2m. Một người thợ cần mang một số ống thép cứng các loại có độ dài 2m, 2,5m, 3m, 3,5m, 4m, từ bên này qua bên kia. Hỏi có thể mang được mấy loại qua lối đi đó?

    Đáp án: 4

    Ống thép muốn qua được hành lang (bên này qua bên kia) phải qua được góc vuông giữa hành lang.

    Vì vậy chiều dài l của ống thép phải thỏa mãn l \leq AN, \forall a \in \left( 0;\frac{\pi}{2} ight)
\Leftrightarrow l \leq \min_{\left( 0;\frac{\pi}{2}
ight)}AN(*)

    Ta có AN = \sqrt{AB^{2} + BN^{2}} =
\sqrt{AB^{2} + 4}

    Trong đó AB = AM + MB =
\frac{AH}{\sin\alpha} + \frac{BK}{\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha} +
\frac{1,2}{\cos\alpha}

    Xét hàm số g(\alpha) =
\frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1,2}{\cos\alpha}

    \Rightarrow g'(\alpha) = -
\frac{\cos\alpha}{sin^{2}\alpha} + \frac{1,2sina}{cos^{2}a} =
0

    \Leftrightarrow 1,2sin^{3}\alpha =
cos^{3}\alpha

    \Leftrightarrow \tan\alpha =
\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}} \Leftrightarrow \alpha =
\arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}}

    Vì vậy \min_{\left( 0;\frac{\pi}{2}
ight)}g(\alpha) = g\left( \arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}}
ight)

    \Rightarrow (*) \Leftrightarrow l \leq
\sqrt{\left\lbrack g\left( \arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}} ight)
ightbrack^{2} + 4} \approx 3,69504

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trên tập số thực và đồ thị của hàm số f'(x) là đường cong như hình vẽ bên dưới.

    Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Từ đồ thị của hàm số f'(x) ta có:

    f'(x) \leq 0;\forall x \in ( -
\infty; - 3) \cup ( - 2; + \infty)

    Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (0; + \infty).

  • Câu 15: Vận dụng

    Tổng các giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y
= x^{3} + mx - \frac{1}{5x^{5}} đồng biến trên khoảng (0; + \infty) bằng:

    Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +
\infty)

    \Leftrightarrow y' = 3x^{2} + m +
\frac{1}{x^{6}} \geq 0;\forall x \in (0; + \infty)

    Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

    \Leftrightarrow y' = 3x^{2} +
\frac{1}{x^{6}} + m = \left( x^{2} + x^{2} + x^{2} + \frac{1}{x^{6}}
ight) + m

    \geq
4\sqrt[4]{x^{2}.x^{2}.x^{2}.\frac{1}{x^{6}}} = 4 + m;\forall x \in (0; +
\infty)

    (*) \Leftrightarrow m + 4 \geq 0
\Leftrightarrow m \geq - 4

    m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in
\left\{ - 4; - 3; - 2; - 1 ight\}

    Vậy tổng các giá trị của tham số m là -
10.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị của hàm số f'(x) là đường cong như hình vẽ sau:

    Chọn khẳng định đúng?

    Từ đồ thị hàm số f'(x) ta có bảng biến thiên như sau:

    Từ bảng biến thiên suy ra khẳng định đúng là: “Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (0; + \infty)”.

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau

    Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây

    Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;2).

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{3x - 1}{x +
2} có đồ thị kí hiệu là (H). Tìm điểm thuộc (H)?

    Ta thấy x = - 1 \Rightarrow y = \frac{3.(
- 1) - 1}{( - 1) + 2} = - 4 \Rightarrow ( - 1; - 4) \in (H)

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Số nghiệm thuộc đoạn \left\lbrack
0;\frac{7}{2} ightbrack của phương trình f\left( \cos x ight) = 1 bằng:

    Dựa vào bảng biến thiến ta suy ra f\left(
\cos x ight) = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
\cos x = a < - 1\ \ \ \ (1) \\
\cos x = b \in ( - 1;0)\ \ \ (2) \\
\cos x = c \in (0;1)\ \ (3) \\
\cos x = d > 1\ \ (4) \\
\end{matrix} ight.

    Các phương trình (1) và (4) vô nghiệm

    Ta có bảng sau:

    Phương trình \cos x = b \in ( -
1;0) có 4 nghiệm thuộc \left\lbrack
0;\frac{7}{2} ightbrack

    Phương trình \cos x = c \in
(0;1) có 3 nghiệm thuộc \left\lbrack 0;\frac{7}{2}
ightbrack

    Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thuộc đoạn \left\lbrack 0;\frac{7}{2}
ightbrack.

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 9} ight){\left( {x - 4} ight)^2}. Khi đó hàm số y = f\left( {{x^2}} ight) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Ta có:

    \begin{matrix}  y' = \left[ {f\left( {{x^2}} ight)} ight]\prime  \hfill \\   = \left( {{x^2}} ight)'{x^4}\left( {x - 9} ight)\left( {{x^2} - 4} ight) \hfill \\   = 2{x^5}\left( {x - 3} ight)\left( {x - 3} ight){\left( {x - 2} ight)^2}.{\left( {x + 2} ight)^2} \hfill \\  y' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x = 0} \\   {x =  \pm 2} \\   {x =  \pm 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng xét dấu như sau:

    Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

    Dựa vào bảng xét dấu, hàm số y = f\left( {{x^2}} ight) nghịch biến trên các khoảng (-∞; -3) và (-0; 3)

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Hàm số - Sự biến thiên của hàm số Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 51 lượt xem
Sắp xếp theo