Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Khối đa diện

Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện).

Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác).

Khối lập phương có 9 trục đối xứng

(Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện ;

Loại 2: đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện).

Xét khối  tứ diện và các điểm được kí hiệu như hình vẽ trên, ta có:

Tương tự .

Do đó

.

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh .

Gọi H là tâm tam giác ABD. Vì A' cách đều các điểm A,B, D nên .

Do đó .

Ta có .

Tam giác vuông , có .

Diện tích hình thoi .

Vậy .

 Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!

 Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.

Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.

Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là cạnh.

 Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra số cạnh của khối đa diện là 3Đ.

Mặt khác, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức .

Gọi là trung điểm , suy ra nên

.

Tam giác vuông , có .

Kẻ nên . 

Tam giác vuông , ta có

Diện tích tam giác .

Vậy .

 Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.

Diện tích hình vuông là .

Chiều cao khối chóp là

Vậy áp dụng công thức, ta có thể tích khối chóp là:

 Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

Ta có nên .

Tam giác vuông , ta có .

Tam giác vuông , ta có .

Diện tích hình chữ nhật là .

Vậy .

 Xét các đáp án, ta có: 

- A Đúng: Ta chứng minh như sau:

Gọi M₁ là môt mặt khối đa diện, M₁ là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c₁; c₂; c₃.

M₂ chung cạnh c₁ với M₁(M₂≠M₁) , M3 chung cạnh c₂ với M₁(M₃≠M₁)

Vì c₁∈M₃⇒M₂≠M₃. Gọi M₄ là mặt có chung cạnh c₃ với M₁(M₄≠M₁)

Vì M₄ không chứa c₁, c₂ nên M₄ khác M₂ và M_3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.

- B Sai.

- C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.

- D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh

Ta có thể tích khối chóp:

Suy ra:

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là 

Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.

 Áp dụng định nghĩa khối đa diện, ta có:

“Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.”

Xét hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật.

Theo bài ra, ta có

Nhân vế theo vế, ta được

Vậy  .

Đa diện đều loại là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh .

Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là