Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Khối đa diện

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Khối đa diện của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?
- A. 18
- B. 24
- C. 42
- D. 36
Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.
Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.
Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là $12 + 30 =42$ cạnh.
Câu 2: Vận dụng
Mỗi khối đa diện đều mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh Đ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn?
- A. $Đ=C-2$
- B. $Đ \geq C$
- C. $3Đ =2C$
- D. $3C=2Đ$
Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra số cạnh của khối đa diện là 3Đ.
Mặt khác, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức $3Đ =2C$ .
Câu 3: Vận dụng
Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
- A. 8 mặt phẳng
- B. 9 mặt phẳng
- C. 10 mặt phẳng
- D. 12 mặt phẳng
Có 9 mặt đối xứng (như hình vẽ sau):
Câu 4: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ có thể tích $V$ . Gọi $V'$ là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là trọng tâm của các mặt của khối tứ diện $ABCD$ . Tính tỉ số $\frac{{V'}}{V}$ .
- A. $\frac{{V'}}{V} = \frac{8}{{27}}$
- B. $\frac{{V'}}{V} = \frac{{23}}{{27}}$
- C. $\frac{{V'}}{V} = \frac{1}{{27}}$
- D. $\frac{{V'}}{V} = \frac{4}{{27}}$
Gọi $M$ là trung điểm AC; E và F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ACD.
Trong tam giác MBD có $EF = \frac{1}{3}BD$ .
Tương tự ta có các cạnh còn lại của tứ diện mới sinh ra bằng $\frac{1}{3}$ cạnh của tứ diện ban đầu.
Do đó $\frac{{V'}}{V} = {\left( {\frac{1}{3}} ight)^3} = \frac{1}{{27}}$ .
Câu 5: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ có thể tích bằng $12$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp . $A.GBC$
4 || Bốn || bốn

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ có thể tích bằng $12$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp . $A.GBC$
4 || Bốn || bốn

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ nên $S_{\triangle GBC}= \frac{1}{3}S_{\triangle DBC}$ .
Suy ra ${V_{A.GBC}} = \frac{1}{3}{V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.12 = 4.$
Câu 6: Nhận biết
Cho các hình sau:
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 4
Các hình đa diện là:
; ;
Câu 7: Thông hiểu
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?
- A. Các đỉnh của một hình tứ diện đều.
- B. Các đỉnh của một hình bát diện đều.
- C. Các đỉnh của một hình mười hai mặt đều.
- D. Các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:
Câu 8: Nhận biết

Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, $SA = 4,\,\,AB = 6,\,\,BC = 10$ và $CA = 8$ . Tính thể tích V của khối chóp $S.ABC$ .
32

Đáp án là:

Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, $SA = 4,\,\,AB = 6,\,\,BC = 10$ và $CA = 8$ . Tính thể tích V của khối chóp $S.ABC$ .
32

Xét tam giác , có: $A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = {10^2} = B{C^2}$
Suy ra tam giác vuông tại A
$\Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = 24.$
Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = 32$
Câu 9: Thông hiểu
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?
- A. Bát diện đều
- B. Tứ diện đều
- C. Lục giác đều
- D. Ngũ giác đều
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:
Câu 10: Vận dụng cao
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng $\left( \alpha ight)$ thay đổi luôn đi qua B, trung điểm $I$ của $SO$ và cắt các cạnh $SA, SC$ và $SD$ lần lượt tại $M, N$ và $P$ . Tính giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của tỷ số $\frac{{{V_{S.BMPN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}$ .
- A. $M=\frac{1}{6};\, m= \frac{2}{9}$
- B. $M=2; m=1$
- C. $M=\frac{2}{9} ; \, m= \frac{1}{6}$
- D. $M=1; m=2$
Đặt $\frac{{SA}}{{SM}} = x,\frac{{SC}}{{SN}} = y \Rightarrow x,y \geqslant 1$ .
Ta có $\frac{{SA}}{{SM}} + \frac{{SC}}{{SN}} = \frac{{SB}}{{SB}} + \frac{{SD}}{{SP}} = 2.\frac{{SO}}{{SI}} = 4$
Nên ta suy ra được: $\frac{{SD}}{{SP}} = 3;\,\,x + y = 4$ .
Do đó $\frac{{{V_{S.BMPN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{8}{{4.x.y.3.1}} = \frac{2}{{3xy}} = \frac{2}{{3x\left( {4 - x} ight)}}$
Từ $x + y = 4 \Leftrightarrow x = 4 - y \leqslant 3\,$ vì $y \geqslant 1$
Xét $f\left( x ight) = \frac{2}{{3x\left( {4 - x} ight)}},\,\,1 \leqslant x \leqslant 3$ , tính đạo hàm của hàm số trên, ta được: $f'\left( x ight) = \frac{{2\left( {4 - 2x} ight)}}{{{{\left[ {3x\left( {4 - x} ight)} ight]}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2$
Ta có $f\left( 1 ight) = f\left( 3 ight) = \frac{2}{9};\,f\left( 2 ight) = \frac{1}{6}$ .
Vậy đạt GTLN và GTNN của tỉ số lần lượt là $M=\frac{2}{9} ; \, m= \frac{1}{6}$ .
Câu 11: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và $BA=BC=a$ . Cạnh bên $SA=2a$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp $S.ABC$ .
- A. $V = {a^3}$
- B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$
- C. $V = \frac{{{a^3}}}{3}$
- D. $V = \frac{{2{a^3}}}{3}$
Diện tích tam giác vuông ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^2}}}{2}$
Chiều cao khối chóp là $SA=2a$ .
Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{{{a^3}}}{3}$
Câu 12: Thông hiểu
Tổng độ dài $\ell$ của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh $a$ .
- A. $\ell = 4a$
- B. $\ell = 6a$
- C. $\ell = 6$
- D. $\ell = 4$
Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là $\ell = 6a$
Câu 13: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp $S.ABCD.$
- A. $V = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{6}$
- B. $V = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}$
- C. $V = 2{a^3}\sqrt {15}$
- D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}$
Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra $SA \bot \left( {ABCD} ight)$ . Do đó chiều cao khối chóp là $SA = a\sqrt {15}$ .
Diện tích hình chữ nhật ABCD là ${S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}$
Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}$
Câu 14: Nhận biết
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?
- A. Hình 1
- B. Hình 2
- C. Hình 3
- D. Hình 4
Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Câu 15: Thông hiểu
Gọi Đ là số các đỉnh, M là số các mặt, C là số các cạnh của một hình đa diện bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A. $Đ > 4,M > 4, C > 6$
- B. $Đ> 5,{m{ }}M > 5,{m{ }}C > 7$
- C. $Đ \ge 4,{m{ }}M \ge 4,{m{ }}C \ge 6$
- D. $Đ \ge 5,{m{ }}M \ge 5,{m{ }}C \ge 7$
Xét hình đa diện là một hình bất kì, ví dụ lấy đa diện là hình tứ diện thì ta có số đỉnh, mặt và cạnh lần lượt là:
Đ=4; M=4; C=6
Câu 16: Thông hiểu
Số cạnh của hình đa diện luôn luôn là một số tự nhiên
- A. Lớn hơn 6
- B. Lớn hơn hoặc bằng 6
- C. Lớn hơn 7
- D. Lớn hơn 8
Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.
Câu 17: Vận dụng
Cho hình đa diện đều loại $\left\{ {4;3} ight\}$ cạnh $a$ . Gọi $S$ là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A. $S=4a^2$
- B. $S=6a^2$
- C. $S=8a^2$
- D. $S=10a^2$
Đa diện đều loại $\left\{ {4;3} ight\}$ là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh $a$ .
Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là $S=6a^2$
Câu 18: Nhận biết
Quan sát hình và chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A. Khối chóp tứ giác S.ABCD được phân chia thành 2 khối tứ diện S.ABD và S.ACD
- B. Khối chóp tứ giác S.ABCD được phân chia thành 3 khối tứ diện S.ABC; S.ABD và S.ACD
- C. Khối chóp tứ giác S.ABCD được phân chia thành 2 khối tứ diện C.SAB và C.SAD
- D. Khối chóp tứ giác S.ABCD không thể phân chia thành các khối tứ diện
Quan sát hình vẽ, ta thấy:
Khối chóp tứ giác S.ABCD được phân chia thành 2 khối tứ diện C.SAB và C.SAD.
Câu 19: Vận dụng cao
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; điểm I nằm trên SC sao cho $IS = 2IC$ . Mặt phẳng $(P)$ chứa cạnh $AI$ cắt cạnh $SB, SD$ lần lượt tại $M, N$ . Gọi $V',V$ lần lượt là thể tích khối chóp $S.AMIN$ và $S.ABCD$ . Tính giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích $\frac{{V'}}{V}$ .
- A. $\frac {8}{15}$
- B. $\frac {5}{4}$
- C. $\frac {5}{6}$
- D. $\frac {1}{3}$
Đặt $\frac{{SB}}{{SM}} = x,\frac{{SD}}{{SN}} = y \Rightarrow x,y \geqslant 1$ .
Ta có $\Rightarrow x + y = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow x + y = \frac{5}{2}$ .
Ta có $\frac{{V'}}{V} = \frac{{x + y + 1 + \dfrac{3}{2}}}{{4x.y.1.\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{5}{{6xy}} \geqslant \dfrac{5}{{6{{\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} ight)}^2}}} = \dfrac{8}{{15}}$ .
Dấu bằng xảy ra khi $x = y = \frac{5}{4}$ .
Vậy giá trị nhỏ nhất cử tỉ số thể tích cần tìm là $\frac {8}{15}$ .
Câu 20: Thông hiểu
Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và $BA=BC=1$ . Cạnh $A'B$ tạo với mặt đáy $(ABC)$ góc $60^0$ . Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.
- A. $V = \sqrt 3$
- B. $V = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$
- C. $V = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
- D. $V = \frac{1}{2}$
Vì $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên $AA' \bot \left( {ABC} ight)$ , suy ra hình chiếu vuông góc của $A'B$ trên mặt đáy $(ABC)$ là $AB$ .
Do đó ${60^0} = \widehat {A'B,\left( {ABC} ight)} = \widehat {A'B,AB} = \widehat {A'BA}$ .
Tam giác vuông $A'AB$ , ta có $AA' = AB.\tan \widehat {A'BA} = \sqrt 3$
Diện tích tam giác là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}$
Vậy $V = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ .