Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Khối đa diện

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Khối đa diện của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC =2a. Hai mặt bên $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp $S.ABCD.$
- A. $V = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{6}$
- B. $V = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}$
- C. $V = 2{a^3}\sqrt {15}$
- D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}$
Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra $SA \bot \left( {ABCD} ight)$ . Do đó chiều cao khối chóp là $SA = a\sqrt {15}$ .
Diện tích hình chữ nhật ABCD là ${S_{ABCD}} = AB.BC = 2{a^2}$
Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}$
Câu 2: Thông hiểu
Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ biết thể tích khối chóp $A.BCB'C'$ bằng $2a^3$
- A. $V = 6{a^3}$
- B. $V = \frac{{5{a^3}}}{2}$
- C. $V = 4{a^3}$
- D. $V = 3{a^3}$
Ta có thể tích khối chóp: ${V_{A.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}$
Suy ra:
${V_{A.BCB'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\xrightarrow{{}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{3}{2}{V_{A.BCB'C'}} = \frac{3}{2}.2{a^3} = 3{a^3}.$
Câu 3: Thông hiểu
Tổng độ dài $\ell$ của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh $a$ .
- A. $\ell = 4a$
- B. $\ell = 6a$
- C. $\ell = 6$
- D. $\ell = 4$
Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là $\ell = 6a$
Câu 4: Vận dụng
Tính thể tích $V$ của một khối lăng trụ biết đáy có diện tích $S = 10\,{\text{c}}{{\text{m}}^2}$ , cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc $60^0$ và độ dài cạnh bên bằng 10 cm.
- A. $V = 100{\text{c}}{{\text{m}}^3}$
- B. $V = 50\sqrt 3 {\text{c}}{{\text{m}}^{\text{3}}}$
- C. $V = 50{\text{c}}{{\text{m}}^{\text{3}}}$
- D. $V = 100\sqrt 3 {\text{c}}{{\text{m}}^{\text{3}}}$
Xét khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác ABC.
Gọi H là hình chiếu của A' trên mặt phẳng $(ABC)$ $\Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} ight)$ .
Suy ra $AH$ là hình chiếu của $AA'$ trên mặt phẳng $(ABC)$ .
Do đó ${60^0} = \,\,\widehat {AA',\left( {ABC} ight)} = \widehat {\left( {AA',AH} ight)} = \widehat {A'AH}$
Tam giác $A'AH$ vuông tại H, có $A'H = AA'.\sin \widehat {A'AH} = 5\sqrt 3$ .
Vậy $V = {S_{\Delta ABC}}.A'H = 50\sqrt 3 \,{\text{c}}{{\text{m}}^3}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AD$ ; $H$ là giao điểm của $CN$ và $DM$ . Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH =a \sqrt 3$ . Tính thể tích khối chóp $S.CDNM$ .
- A. $V = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{8}$
- B. $V = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$
- C. $V = \frac{{5{a^3}}}{8}$
- D. $V = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$
Theo giả thiết, ta có $SH = a\sqrt 3$ .
Diện tích tứ giác:
${S_{CDNM}} = {S_{ABCD}} - {S_{\Delta AMN}} - {S_{\Delta BMC}}$
$= A{B^2} - \frac{1}{2}AM.AN - \frac{1}{2}BM.BC = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{8} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{5{a^2}}}{8}$
Vậy ${V_{S.CDNM}} = \frac{1}{3}{S_{CDNM}}.SH = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}$ .
Câu 6: Vận dụng
Cho hình đa diện đều loại $\left\{ {4;3} ight\}$ cạnh $a$ . Gọi $S$ là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A. $S=4a^2$
- B. $S=6a^2$
- C. $S=8a^2$
- D. $S=10a^2$
Đa diện đều loại $\left\{ {4;3} ight\}$ là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh $a$ .
Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là $S=6a^2$
Câu 7: Vận dụng
Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
- A. 4 mặt phẳng
- B. 6 mặt phẳng
- C. 9 mặt phẳng
- D. 3 mặt phẳng
Hình hộp chữ nhật (không là hình lập phương) có các mặt phẳng đối xứng là các mặt các mặt phẳng trung trực của các cặp cạnh đối.
Câu 8: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $SBC$ là tam giác vuông cân tại S, $SB=2a$ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $3a$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp $S.ABC$ .
- A. $V=2a^3$
- B. $V=4a^3$
- C. $V=6a^3$
- D. $V=12a^3$
Ta chọn (SBC) làm mặt đáy suy ra chiều cao khối chóp là $d\left[ {A,\left( {SBC} ight)} ight] = 3a$
Tam giác SBC vuông cân tại S nên ${S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}S{B^2} = 2{a^2}$
Vậy thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3}{S_{\Delta SBC}}.d\left[ {A,\left( {SBC} ight)} ight] = 2{a^3}$
Câu 9: Vận dụng cao
Cho tứ diện có thể tích bằng $V$ . Gọi $V'$ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số $\frac{{V'}}{V}$ .
- A. $\frac{{V'}}{V} = \frac{1}{2}$
- B. $\frac{{V'}}{V} = \frac{1}{4}$
- C. $\frac{{V'}}{V} = \frac{2}{3}$
- D. $\frac{{V'}}{V} = \frac{5}{8}$
Xét khối tứ diện và các điểm được kí hiệu như hình vẽ trên, ta có:
$\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{S.A'B'C'}} = \frac{V}{8}$
Tương tự $\,{V_{A.A'MP}} = {V_{B.B'MN}} = {V_{C.C'NP}} = \frac{V}{8}$ .
Do đó $\,\,V' = {V_{S.ABC}} - \left( {{V_{S.A'B'C'}} + {V_{A.A'MP}} + {V_{B.B'MN}} + {V_{C.C'NP}}} ight)$
$= \,\,V - \left( {\frac{V}{8} + \frac{V}{8} + \frac{V}{8} + \frac{V}{8}} ight) = \frac{V}{2}\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{V'}}{V} = \frac{1}{2}$ .
Câu 10: Thông hiểu
Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh của đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng.
- A. 3C = 2M
- B. C = M + 2
- C. $M \geq C$
- D. 3M = 2C
Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M. Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3M = 2C.
Câu 11: Nhận biết
Cho các hình sau:
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 4
Các hình đa diện là:
; ;
Câu 12: Thông hiểu
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?
- A. Bát diện đều
- B. Tứ diện đều
- C. Lục giác đều
- D. Ngũ giác đều
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:
Câu 13: Vận dụng
Mỗi khối đa diện đều mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh Đ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn?
- A. $Đ=C-2$
- B. $Đ \geq C$
- C. $3Đ =2C$
- D. $3C=2Đ$
Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra số cạnh của khối đa diện là 3Đ.
Mặt khác, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức $3Đ =2C$ .
Câu 14: Nhận biết
Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?
- A.
- B.
- C.
- D.
Vì đáp án đã vi phạm tính chất sau:
Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác
Câu 15: Nhận biết
Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?
- A. 18
- B. 24
- C. 42
- D. 36
Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.
Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.
Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là $12 + 30 =42$ cạnh.
Câu 16: Thông hiểu
Số cạnh của hình đa diện luôn luôn là một số tự nhiên
- A. Lớn hơn 6
- B. Lớn hơn hoặc bằng 6
- C. Lớn hơn 7
- D. Lớn hơn 8
Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.
Câu 17: Thông hiểu
Trong các hình dưới đây, hình nào không phải đa diện lồi?
- A.
- B.
- C.
- D.
Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi $(H)$ : Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của $(H)$ luôn thuộc $(H)$ . Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:
Câu 18: Nhận biết
Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?
- A. Hình 1
- B. Hình 2
- C. Hình 3
- D. Hình 4
Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Câu 19: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a \sqrt 2$ . Tính thể tích của khối chóp?
- A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$
- B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$
- C. $V = {a^3}\sqrt 2$
- D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$
Diện tích hình vuông $ABCD$ là ${S_{ABCD}} = {a^2}$ .
Chiều cao khối chóp là $SA = a \sqrt 2$
Vậy áp dụng công thức, ta có thể tích khối chóp là:
${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}$
Câu 20: Vận dụng cao
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; điểm I nằm trên SC sao cho $IS = 2IC$ . Mặt phẳng $(P)$ chứa cạnh $AI$ cắt cạnh $SB, SD$ lần lượt tại $M, N$ . Gọi $V',V$ lần lượt là thể tích khối chóp $S.AMIN$ và $S.ABCD$ . Tính giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích $\frac{{V'}}{V}$ .
- A. $\frac {8}{15}$
- B. $\frac {5}{4}$
- C. $\frac {5}{6}$
- D. $\frac {1}{3}$
Đặt $\frac{{SB}}{{SM}} = x,\frac{{SD}}{{SN}} = y \Rightarrow x,y \geqslant 1$ .
Ta có $\Rightarrow x + y = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow x + y = \frac{5}{2}$ .
Ta có $\frac{{V'}}{V} = \frac{{x + y + 1 + \dfrac{3}{2}}}{{4x.y.1.\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{5}{{6xy}} \geqslant \dfrac{5}{{6{{\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} ight)}^2}}} = \dfrac{8}{{15}}$ .
Dấu bằng xảy ra khi $x = y = \frac{5}{4}$ .
Vậy giá trị nhỏ nhất cử tỉ số thể tích cần tìm là $\frac {8}{15}$ .