Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Khối đa diện

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Khối đa diện của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng cao
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; điểm I nằm trên SC sao cho $IS = 2IC$ . Mặt phẳng $(P)$ chứa cạnh $AI$ cắt cạnh $SB, SD$ lần lượt tại $M, N$ . Gọi $V',V$ lần lượt là thể tích khối chóp $S.AMIN$ và $S.ABCD$ . Tính giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích $\frac{{V'}}{V}$ .
- A. $\frac {8}{15}$
- B. $\frac {5}{4}$
- C. $\frac {5}{6}$
- D. $\frac {1}{3}$
Đặt $\frac{{SB}}{{SM}} = x,\frac{{SD}}{{SN}} = y \Rightarrow x,y \geqslant 1$ .
Ta có $\Rightarrow x + y = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow x + y = \frac{5}{2}$ .
Ta có $\frac{{V'}}{V} = \frac{{x + y + 1 + \dfrac{3}{2}}}{{4x.y.1.\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{5}{{6xy}} \geqslant \dfrac{5}{{6{{\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} ight)}^2}}} = \dfrac{8}{{15}}$ .
Dấu bằng xảy ra khi $x = y = \frac{5}{4}$ .
Vậy giá trị nhỏ nhất cử tỉ số thể tích cần tìm là $\frac {8}{15}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng $a$ và tổng diện tích các mặt bên bằng $3a^2$
- A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$
- B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{12}$
- C. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
- D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$
Xét khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều và $AA' \bot \left( {ABC} ight)$ .
Diện tích xung quanh lăng trụ là ${S_{xq}} = 3.{S_{ABB'A'}}$
$\Leftrightarrow 3{a^2} = 3.\left( {AA'.AB} ight) \Leftrightarrow 3{a^2} = 3.\left( {AA'.a} ight) \Rightarrow AA' = a$
Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ .
Vậy thể tích khối lăng trụ là ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$ .
Câu 3: Thông hiểu
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành?
- A. Các đỉnh của một hình tứ diện đều.
- B. Các đỉnh của một hình bát diện đều.
- C. Các đỉnh của một hình mười hai mặt đều.
- D. Các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.
Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:
Câu 4: Thông hiểu
Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh của đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng.
- A. 3C = 2M
- B. C = M + 2
- C. $M \geq C$
- D. 3M = 2C
Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M. Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3M = 2C.
Câu 5: Vận dụng
Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại $\left\{ {3;5} ight\}$ là:
- A. $12 \pi$
- B. $16 \pi$
- C. $20\pi$
- D. $24 \pi$
Khối đa diện đều loại $\left\{ {3;5} ight\}$ là khối hai mươi mặt đều:
Gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng: $20.\pi = 20\pi$
Câu 6: Nhận biết

Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai

Đáp án là:

Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai

Hình bát diện đều có 12 cạnh.
Câu 7: Vận dụng cao

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $60 \,\text{cm}^3$ , các điểm $M, N, P$ lần lượt thuộc các cạnh $AA',BB',CC'$ sao cho $AM = 2MA',BN = 3NB',CP = 4PC'$ . Thể tích của khối đa diện $BC.MNP$ là bao nhiêu? (Đơn vị: $cm^3$ )
31 || 31 cm^3 || ba mươi mốt xăng ti mét khối || Ba mươi mốt xăng ti mét khối

Đáp án là:

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $60 \,\text{cm}^3$ , các điểm $M, N, P$ lần lượt thuộc các cạnh $AA',BB',CC'$ sao cho $AM = 2MA',BN = 3NB',CP = 4PC'$ . Thể tích của khối đa diện $BC.MNP$ là bao nhiêu? (Đơn vị: $cm^3$ )
31 || 31 cm^3 || ba mươi mốt xăng ti mét khối || Ba mươi mốt xăng ti mét khối

Ta có $MA = 2MA' \Rightarrow \frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{2}{3};$
$BN = 3NB' \Rightarrow \frac{{BN}}{{BB'}} = \frac{3}{4};$
$CP = 4PC' \Rightarrow \frac{{CP}}{{CC'}} = \frac{4}{5}$
Nên $\dfrac{{{V_{ABCMNP}}}}{{{V_{ABCA'B'C'}}}} = \frac{{\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{4}{5}}}{3} = \dfrac{{133}}{{180}} \Rightarrow {V_{ABCMNP}} = \dfrac{{133}}{{180}}.60 = \dfrac{{133}}{3}$
Mà ${V_{M.ABC}} = \frac{1}{3}d\left( {M;\left( {ABC} ight)} ight).{S_{ABC}}$
$= \frac{1}{3}.\frac{2}{3}d\left( {A';\left( {ABC} ight)} ight).{S_{ABC}} = \frac{2}{9}.{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{40}}{3}$ .
Vậy ${V_{BCMNP}} = \frac{{133}}{3} - \frac{{40}}{3} = 31\left( {c{m^3}} ight)$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ biết thể tích khối chóp $A.BCB'C'$ bằng $2a^3$
- A. $V = 6{a^3}$
- B. $V = \frac{{5{a^3}}}{2}$
- C. $V = 4{a^3}$
- D. $V = 3{a^3}$
Ta có thể tích khối chóp: ${V_{A.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}$
Suy ra:
${V_{A.BCB'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\xrightarrow{{}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{3}{2}{V_{A.BCB'C'}} = \frac{3}{2}.2{a^3} = 3{a^3}.$
Câu 9: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A. Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều
- B. Tồn tại khối lặng trụ đều là khối đa diện đều
- C. Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều
- D. Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều
Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!
Câu 10: Thông hiểu
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?
- A. Bát diện đều
- B. Tứ diện đều
- C. Lục giác đều
- D. Ngũ giác đều
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:
Câu 11: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và $BA=BC=a$ . Cạnh bên $SA=2a$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp $S.ABC$ .
- A. $V = {a^3}$
- B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$
- C. $V = \frac{{{a^3}}}{3}$
- D. $V = \frac{{2{a^3}}}{3}$
Diện tích tam giác vuông ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^2}}}{2}$
Chiều cao khối chóp là $SA=2a$ .
Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{{{a^3}}}{3}$
Câu 12: Vận dụng
Cho khối đa diện đều loại $\{ 3; 4 \}$ . Tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa điện đó bằng?
- A. $180^0$
- B. $240^0$
- C. $324^0$
- D. $360^0$
Khối đa diện đều loại $\{ 3; 4 \}$ là khối bát diện đều.
Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt.
Vậy tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa diện đó bằng $60^∘⋅4=240^∘$ .
Câu 13: Nhận biết
Tìm số mặt của hình đa diện dưới đây là?
- A. 11
- B. 9
- C. 12
- D. 10
Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Câu 14: Nhận biết
Cho các hình sau:
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 4
Các hình đa diện là:
; ;
Câu 15: Thông hiểu
Tổng độ dài $\ell$ của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh $a$ .
- A. $\ell = 4a$
- B. $\ell = 6a$
- C. $\ell = 6$
- D. $\ell = 4$
Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là $\ell = 6a$
Câu 16: Vận dụng
Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại A, $AB = {\text{ }}AC = a$ . Biết rằng $A'A = A'B = A'C = a$ .
- A. $V = \frac{{{a^3}}}{2}$
- B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$
- C. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$
- D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$
Gọi I là trung điểm BC. Từ $A'A = A'B = A'C = a$ , suy ra hình chiếu vuông góc của A' trên mặt đáy $(ABC)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Suy ra $A'I \bot \left( {ABC} ight)$ .
Tam giác $ABC$ , có $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt 2$
Tam giác vuông $A'IB$ , có $A'I = \sqrt {A'{B^2} - B{I^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ .
Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}}}{2}$ .
Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.A'I = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$ .
Câu 17: Vận dụng
Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
- A. 8 mặt phẳng
- B. 9 mặt phẳng
- C. 10 mặt phẳng
- D. 12 mặt phẳng
Có 9 mặt đối xứng (như hình vẽ sau):
Câu 18: Thông hiểu
Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60^{0}$ . Thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ bằng
- A.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{2}$ .
- B.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$ .
- C.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$ .
- D.
  $V = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $O$ là tâm của đáy, gọi $M$ là trung điểm của $BC$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} SO\bot BC \\ OM\bot BC \\ \end{matrix} ight.$ nên $(SOM)\bot BC$

Suy ra $\left\lbrack (SCD),(ABCD) ightbrack = (SM,OM) = \widehat{SMO} = 60^{0}$ .

Có $OM = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$ , $SO = OMtan60^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là

$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SO.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a^{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$ .
Câu 19: Nhận biết
Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , tam giác $SAB$ cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, $SA=2a$ . Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABCD$ .
- A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{12}}$
- B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}$
- C. $V = 2{a^3}$
- D. $V = \frac{{2{a^3}}}{3}$
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ . Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và có $I$ là trung điểm $AB$ nên $SI \bot AB$ . Do $(SAB) \bot (ABCD)$ theo giao tuyến $AB$ nên $SI \bot (ABCD)$ .
Tam giác vuông $SIA$ , có:
$SI = \sqrt {S{A^2} - I{A^2}} = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\frac{{AB}}{2}} ight)}^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}$
Câu 20: Thông hiểu
Số cạnh của hình đa diện luôn luôn là một số tự nhiên
- A. Lớn hơn 6
- B. Lớn hơn hoặc bằng 6
- C. Lớn hơn 7
- D. Lớn hơn 8
Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.