Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Khối đa diện

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Khối đa diện của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng cao
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng $\left( \alpha ight)$ thay đổi luôn đi qua B, trung điểm $I$ của $SO$ và cắt các cạnh $SA, SC$ và $SD$ lần lượt tại $M, N$ và $P$ . Tính giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của tỷ số $\frac{{{V_{S.BMPN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}$ .
- A. $M=\frac{1}{6};\, m= \frac{2}{9}$
- B. $M=2; m=1$
- C. $M=\frac{2}{9} ; \, m= \frac{1}{6}$
- D. $M=1; m=2$
Đặt $\frac{{SA}}{{SM}} = x,\frac{{SC}}{{SN}} = y \Rightarrow x,y \geqslant 1$ .
Ta có $\frac{{SA}}{{SM}} + \frac{{SC}}{{SN}} = \frac{{SB}}{{SB}} + \frac{{SD}}{{SP}} = 2.\frac{{SO}}{{SI}} = 4$
Nên ta suy ra được: $\frac{{SD}}{{SP}} = 3;\,\,x + y = 4$ .
Do đó $\frac{{{V_{S.BMPN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{8}{{4.x.y.3.1}} = \frac{2}{{3xy}} = \frac{2}{{3x\left( {4 - x} ight)}}$
Từ $x + y = 4 \Leftrightarrow x = 4 - y \leqslant 3\,$ vì $y \geqslant 1$
Xét $f\left( x ight) = \frac{2}{{3x\left( {4 - x} ight)}},\,\,1 \leqslant x \leqslant 3$ , tính đạo hàm của hàm số trên, ta được: $f'\left( x ight) = \frac{{2\left( {4 - 2x} ight)}}{{{{\left[ {3x\left( {4 - x} ight)} ight]}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2$
Ta có $f\left( 1 ight) = f\left( 3 ight) = \frac{2}{9};\,f\left( 2 ight) = \frac{1}{6}$ .
Vậy đạt GTLN và GTNN của tỉ số lần lượt là $M=\frac{2}{9} ; \, m= \frac{1}{6}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây?
- A. Bát diện đều
- B. Tứ diện đều
- C. Lục giác đều
- D. Ngũ giác đều
Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:
Câu 3: Thông hiểu
Mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành các khối đa diện nào ?
- A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác
- B. Hai khối chóp tam giác
- C. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác
- D. Hai khối chóp tứ giác
Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác A.BCC'B'.
Câu 4: Vận dụng cao
Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo $d = \sqrt {21}$ . Độ dài ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có công bội $q=2$ . Thể tích của khối hộp chữ nhật là?
- A. $V=8$
- B. $V = \frac{8}{3}$
- C. $V = \frac{4}{3}$
- D. $V=6$
Xét hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài kích thước ba cạnh lần lượt là $AA' = a,\,\,AB = b,\,\,AD = c$ và có đường chéo $AC'$ .
Theo bài ra, ta có $a, b, c$ lập thành cấp số nhân có công bội $q=2$ . Suy ra:
$\left\{ \begin{gathered} b = 2a \hfill \\ c = 4a \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Mặt khác, độ dài đường chéo $AC' = \sqrt {21}$
$\Rightarrow A{A'^2} + A{B^2} + A{D^2} = 21$ $\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 21$
Ta có hệ:
$\left\{ \begin{gathered} c = 2b = 4a \hfill \\ {a^2} + {b^2} + {c^2} = 21 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} c = 2b = 4a \hfill \\ {a^2} + {\left( {2a} ight)^2} + {\left( {4a} ight)^2} = 21 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} c = 2b = 4a \hfill \\ 21{a^2} = 21 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = 2 \hfill \\ c = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.$
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ là:
${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.AB.AD = abc = 8$
Câu 5: Nhận biết
Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $BB'=a$ , đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ và $AC = a\sqrt 2$ . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
- A. $V = \frac{{{a^3}}}{6}$
- B. $V = \frac{{{a^3}}}{3}$
- C. $V = \frac{{{a^3}}}{2}$
- D. $V = a^3$
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ ,
suy ra $BA = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}}}{2}$
Vậy thể tích khối lăng trụ $V = {S_{\Delta ABC}}.BB' = \frac{{{a^3}}}{2}$
Câu 6: Nhận biết

Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai

Đáp án là:

Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
12 || mười hai || Mười hai

Hình bát diện đều có 12 cạnh.
Câu 7: Thông hiểu
Tính thể tích $V$ của khối lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ , biết $AC' = a\sqrt 3$ .
- A. $V = a^3$
- B. $V = \frac{{3\sqrt 6 {a^3}}}{4}$
- C. $V = 3\sqrt 3 {a^3}$
- D. $V = \frac{1}{3}{a^3}$
Đặt cạnh của khối lập phương là $x$ $( x > 0)$
Suy ra $CC' = x;\,{\text{ }}AC = x\sqrt 2$ .
Tam giác vuông $ACC'$ , có
$AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}} \Leftrightarrow x\sqrt 3 = a\sqrt 3 \Rightarrow x = a$
Vậy thể tích khối lập phương $V = a^3$ .
Câu 8: Thông hiểu

Cho hình chóp $S. ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại A và B, $AB=BC=AD=2$ . Cạnh bên $SA=2$ và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ .
1

Đáp án là:

Cho hình chóp $S. ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại A và B, $AB=BC=AD=2$ . Cạnh bên $SA=2$ và vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ .
1

Diện tích hình thang ABCD là
${S_{ABCD}} = \left( {\frac{{AD + BC}}{2}} ight).AB = \frac{3}{2}$
Chiều cao khối chóp là $SA=2$ .
Vậy thể tích khối chóp ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = 1$
Câu 9: Thông hiểu
Trong các hình dưới đây, hình nào không phải đa diện lồi?
- A.
- B.
- C.
- D.
Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi $(H)$ : Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của $(H)$ luôn thuộc $(H)$ . Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:
Câu 10: Vận dụng
Mỗi khối đa diện đều mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh Đ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn?
- A. $Đ=C-2$
- B. $Đ \geq C$
- C. $3Đ =2C$
- D. $3C=2Đ$
Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra số cạnh của khối đa diện là 3Đ.
Mặt khác, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức $3Đ =2C$ .
Câu 11: Nhận biết
Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?
- A.
- B.
- C.
- D.
Vì đáp án đã vi phạm tính chất sau:
Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác
Câu 12: Thông hiểu
Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng $a$ và tổng diện tích các mặt bên bằng $3a^2$
- A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$
- B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{12}$
- C. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
- D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$
Xét khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều và $AA' \bot \left( {ABC} ight)$ .
Diện tích xung quanh lăng trụ là ${S_{xq}} = 3.{S_{ABB'A'}}$
$\Leftrightarrow 3{a^2} = 3.\left( {AA'.AB} ight) \Leftrightarrow 3{a^2} = 3.\left( {AA'.a} ight) \Rightarrow AA' = a$
Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ .
Vậy thể tích khối lăng trụ là ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tổng độ dài $\ell$ của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh $a$ .
- A. $\ell = 4a$
- B. $\ell = 6a$
- C. $\ell = 6$
- D. $\ell = 4$
Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là $\ell = 6a$
Câu 14: Nhận biết
Tổng số cạnh của các loại hình {3;4} và {5;3} là bao nhiêu?
- A. 18
- B. 24
- C. 42
- D. 36
Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.
Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.
Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là $12 + 30 =42$ cạnh.
Câu 15: Vận dụng
Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
- A. 8 mặt phẳng
- B. 9 mặt phẳng
- C. 10 mặt phẳng
- D. 12 mặt phẳng
Có 9 mặt đối xứng (như hình vẽ sau):
Câu 16: Nhận biết
Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác với $AB = a,AC = 2a,\widehat {BAC} = {120^0},AA' = 2a\sqrt 5$ . Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.
- A. $V = 4{a^3}\sqrt 5$
- B. $V = {a^3}\sqrt {15}$
- C. $V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}$
- D. $V = \frac{{{4a^3}\sqrt {15} }}{3}$
Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$ .
Vậy thể tích khối lăng trụ ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.AA' = {a^3}\sqrt {15}$
Câu 17: Thông hiểu
Hình đa diện trong hình vẽ sau có bao nhiêu cạnh?
- A. 8
- B. 9
- C. 12
- D. 16
Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Câu 18: Vận dụng
Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại $\left\{ {3;5} ight\}$ là:
- A. $12 \pi$
- B. $16 \pi$
- C. $20\pi$
- D. $24 \pi$
Khối đa diện đều loại $\left\{ {3;5} ight\}$ là khối hai mươi mặt đều:
Gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng: $20.\pi = 20\pi$
Câu 19: Nhận biết
Hình đa diện trong hình vẽ dưới đây có bao nhiêu mặt ?
- A. 6
- B. 10
- C. 11
- D. 12
Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.
Câu 20: Vận dụng
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ , cạnh $AC = 2\sqrt 2$ . Biết $AC'$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc $60^0$ và $AC'=4$ . Tính thể tích $V$ của khối đa diện $ABCB'C'$ .
- A. $V = \frac{8}{3}$
- B. $V = \frac{{16}}{3}$
- C. $V = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}$
- D. $V = \frac{{16\sqrt 3 }}{3}$
Gọi H là hình chiếu của C' trên mặt phẳng $(ABC)$ .
Suy ra AH là hình chiếu của AC' trên mặt phẳng $(ABC)$ .
Do đó ${60^0} = \widehat {AC',\left( {ABC} ight)} = \widehat {\left( {AC',AH} ight)} = \widehat {HAC'}$
Tam giác vuông $AHC'$ , có $C'H = AC'.\sin \widehat {HAC'} = 2\sqrt 3$
Thể tích khối lăng trụ ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{\Delta ABC}}.C'H = 8\sqrt 3$
Suy ra thể tích cần tính là:
${V_{ABCB'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{16\sqrt 3 }}{3}$ .