Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Tìm giá trị nhỏ nhất a của hàm số y = x^{4} - x^{2} + 13 trên đoạn \lbrack - 2;3brack?

    Hàm số đã cho liên tục trên \lbrack - 2;3brack

    Ta có: y' = 4x^{3} - 2x = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\x = - \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix}y( - 2) = 25;y\left( \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} ight) = \dfrac{51}{4} \\y(0) = 13;y(3) = 85 \\\end{matrix} ight.

    Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là a = \frac{51}{4}.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R}. Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số y = f'(x):

    Hàm số g(x) = f\left( x - x^{2} ight) nghịch biến trên khoảng:

    Ta có:

    g'(x) = f'\left( x - x^{2} ight).(1 - 2x)

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x - x^{2} ight).(1 - 2x) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f'\left( x - x^{2} ight) = 0 \\ 1 - 2x = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - x^{2} = 1 \\ x - x^{2} = 2 \\ 1 - 2x = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}

    Với x = 0 ta có: g'(0) = f'\left( 0 - 0^{2} ight).(1 - 2.0) = 2 > 0 ta có bảng xét dấu của g'(x) như sau:

    Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng \left( \frac{1}{2}; + \infty ight).

  • Câu 3: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{x - 7}}{x^{2} + 3x - 4} có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

    Tập xác định D = \lbrack 7; + \infty)

    Phương trình x^{2} + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó không tồn tại các giới hạn \lim_{x ightarrow - 4^{-}}y;\lim_{x ightarrow - 4^{+}}y;\lim_{x ightarrow 1^{-}}y;\lim_{x ightarrow 1^{+}}y. Vì vậy đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Đồ thị của hàm số y = \frac{x - 1}{x^{2} + 2x - 3} có bao nhiêu đường tiệm cận?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 3;1 ight\}

    \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow + \infty}y = 0 \\ \lim_{x ightarrow - \infty}y = 0 \\ \end{matrix} ight. suy ra y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x + 3}} = \frac{1}{4} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{x + 3}} = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} ight. suy ra đường thẳng x = 1 không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} ight)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} ight)}^ + }} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} ight)\left( {x + 3} ight)}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} ight)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} ight)}^ - }} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} ight)\left( {x + 3} ight)}} = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight. suy ra đường thẳng x = - 3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

    Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hàm số y = \frac{{ax + b}}{{x + 1}}. Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A\left( {0; - 1} ight) và có đường tiệm cận ngang là y = 1. Giá trị a + b bằng:

    Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a - b e 0

    => Đồ thị hàm số đi qua điểm A\left( {0; - 1} ight) nên b = - 1

    Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = a \Rightarrow a = 1 (thỏa mãn)

    Vậy a + b = 0

  • Câu 6: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình x^{4} - 3x^{2} + m = 0 có 4 nghiệm thực phân biệt?

    Đặt t = x^{2};(t \geq 0). Ta được phương trình 3t^{2} - 3t + m = 0(*)

    Phương trình đã cho có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 9 - 4m > 0 \\ 3 > 0 \\ m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}

    Do m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 1;2 ight\}

    Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + (3 - 2m)x với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 2\sqrt{5}. Tính tổng các phần tử của tập hợp S?

    Ta có: y' = x^{2} - 2mx + 3 - 2m \Rightarrow \Delta' = m^{2} + 2m - 3

    Dễ thấy nếu \Delta' \leq 0 suy ra hàm số đồng biến trên \mathbb{R} nên trường hợp này không thỏa mãn

    Theo yêu cầu bài toán

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ \left| x_{1} - x_{2} ight| = 2\sqrt{5} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} + 2m - 3 > 0 \\ \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 4x_{1}x_{2} = 20 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \in ( - \infty; - 3) \cup (1; + \infty) \\ 4m^{2} - 4(3 - 2m) = 20 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \in ( - \infty; - 3) \cup (1; + \infty) \\ \left\lbrack \begin{matrix} m = - 4 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 4 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = \left\{ - 4;2 ight\}

    Vậy tổng tất cả các phần tử của tập S bằng -2.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{m^{2}x + 5}{2mx + 1} với m là tham số. Gọi S là tập hợp các số nguyên m \in \lbrack - 2020;2020brack để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3; + \infty). Xác định số phần tử của tập hợp S?

    Xét m = 0 \Rightarrow y = 5 là hàm hằng nên hàm số không nghịch biến. Vậy m = 0 không thỏa mãn.

    Xét m eq 0

    Tập xác định D = \left( - \infty; - \frac{1}{2m} ight) \cup \left( - \frac{1}{2m}; + \infty ight)

    Để hàm số nghịch biến trên khoảng (3; + \infty) khi và chỉ khi

    \left\{ \begin{matrix} y' = \frac{m^{2} - 10m}{(2mx + 1)^{2}} < 0 \\ - \frac{1}{2m} \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 10m < 0 \\ \frac{6m + 1}{2m} \geq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 0 < m < 10 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - \frac{1}{6} \\ m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m < 10

    Mà \left\{ \begin{matrix} m\mathbb{\in Z} \\ m \in \lbrack - 2020;2020brack \\ \end{matrix} ight. nên m \in \left\{ 1;2;3;...;9 ight\}

    Vậy tập hợp S có tất cả 9 giá trị.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động theo phương trình S(t) = - t^{3} + 12t^{2} - 30t + 10 trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là:

    Ta có: v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 24t - 30 = - 3(t - 4)^{2} + 18 \leq 18

    Khi đó \max v(t) = 18 \Leftrightarrow t = 4(s)

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho.

    Từ bảng biến thiên ta có: y_{CÐ} = 0;y_{CT} = - 3.

  • Câu 11: Nhận biết

    Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = \frac{3x - 1}{x + 2} là điểm nào trong các điểm cho sau đây?

    Đồ thị hàm số y = \frac{3x - 1}{x + 2} nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

    Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 3 và tiệm cận đứng là x = - 2

    Do đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm ( - 2;3).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = - x^{3} - 6x^{2} + (4m - 9)x + 4 nghịch biến trên khoảng ( - \infty; - 3) là:

    Ta có: y' = - 3x^{2} - 12x + 4m - 9

    Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - \infty; - 3) khi y' \leq 0;\forall x \in ( - \infty; - 3)

    \Leftrightarrow - 3x^{2} - 12x + 4m - 9 \leq 0;\forall x \in ( - \infty; - 3)

    \Leftrightarrow 4m \leq 3x^{2} + 12x + 9;\forall x \in ( - \infty; - 3)

    Đặt f(x) = 3x^{2} + 12x + 9 ta có: f'(x) = 6x + 12. Ta có bảng biến thiên của f(x) như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

    4m \leq 3x^{2} + 12x + 9;\forall x \in ( - \infty; - 3)

    \Leftrightarrow 4m \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 0

    Vậy ( - \infty;0brack là giá trị của tham số m cần tìm.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ 1 ight\} và có bảng biến thiên như sau:

    Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình m - f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt là:

    Phương trình m - f(x) = 0 là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C):y = f(x) và đường thẳng (d):y = m

    Để phương trình m - f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (C);(d) có ba giao điểm \Leftrightarrow 1 < m < 4

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 2;3 ight\}

    Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = 1 + C_{10}^1x + C_{10}^2{x^2} + ... + C_{10}^{10}{x^{10}}. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

    Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = 1 + C_{10}^1x + C_{10}^2{x^2} + ... + C_{10}^{10}{x^{10}} = {\left( {1 + x} ight)^{10}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 10{\left( {1 + x} ight)^9} \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Xác định số điểm cực trị của hàm số

    Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị x = -1

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G\left( x ight) = 0,035{x^2}.\left( {15 - x} ight), trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

    Xét G\left( x ight) = 0,035{x^2}.\left( {15 - x} ight) ta có:

    \begin{matrix} G'\left( x ight) = 0,035\left( {30x - 3{x^2}} ight) \hfill \\ G'\left( x ight) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 10} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {G\left( 0 ight) = G\left( {15} ight) = 0} \\ {G\left( {10} ight) = 17,5} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;15} ight]} = 17,5 \Rightarrow x = 10

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trên tập số thực và đồ thị của hàm số f'(x) là đường cong như hình vẽ bên dưới.

    Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Từ đồ thị của hàm số f'(x) ta có:

    f'(x) \leq 0;\forall x \in ( - \infty; - 3) \cup ( - 2; + \infty)

    Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (0; + \infty).

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = x^{3} + \left( 1 + m^{2} ight)x + 1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack 0;1brack không vượt quá 7. Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử là số nguyên?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = x^{3} + \left( 1 + m^{2} ight)x + 1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack 0;1brack không vượt quá 7. Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử là số nguyên?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho tập hợp A = \left\{ n\mathbb{\in Z}|0 \leq n \leq 20 ight\} và F là tập hợp các hàm số f(x) = x^{3} + \left( 2m^{2} - 5 ight)x^{2} + 6x - 8m^{2} có m \in A. Chọn ngẫu nhiên một hàm số f(x) \in F. Tính xác suất để đồ thị hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục Ox?

    Không gian mẫu |\Omega| = 21

    Ta có: f(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x^{2} + \left( 2m^{2} - 3 ight)x + 4m^{2} = 0(*) \\ \end{matrix} ight.

    Đồ thị của hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục Ox suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \in A \hfill \\ {\left( {2{m^2} - 3} ight)^2} - 16{m^2} > 0 \hfill \\ {2^2} + \left( {2{m^2} - 3} ight).2 + 4{m^2} e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \in A \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m > \sqrt {\dfrac{{7 + 2\sqrt {10} }}{2}} \approx 2,58 \hfill \\ 0 \leqslant m < \sqrt {\dfrac{{7 - 2\sqrt {10} }}{2}} \approx 0,58 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 0;3;4;...;20 ight\}

    Vậy xác suất cần tìm là P = \frac{19}{21}.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Tập xác định D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}

    \begin{matrix} y' = \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x = 3} \end{array}} ight. \hfill \\ y'' = \frac{8}{{{{\left( {x - 1} ight)}^3}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y''\left( { - 1} ight) = - 1 < 0} \\ {y''\left( 3 ight) = 1 > 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{CD}} = y\left( { - 1} ight) = - 2} \\ {{y_{CT}} = y\left( 3 ight) = 3} \end{array}} ight. \Rightarrow {y_{CD}} < {y_{CT}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \mathbb{R}?

    Xét hàm số f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 4 ta có:

    f'(x) = 3x^{2} - 6x + 3 = 3(x - 1)^{2} \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    \Rightarrow f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 4 đồng biến trên \mathbb{R}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 52 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập