Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho hàm số $y =\frac{2x + 1}{x - 3}$ . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?
- A.
  Hàm số nghịch biến trên khoảng $( -\infty;3)$ .
- B.
  Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ 3 ight\}$ .
- C.
  Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty;3),(3; + \infty)$ .
- D.
  Hàm số nghịch biến trên khoảng $(3; +\infty)$ .
Vì $f'(x) = \frac{- 7}{(x - 3)^{2}}< 0;\forall x \in D$ nên đồ thị hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;3),(3; +\infty)$ .
Vậy mệnh đề sai là: "Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ 3 ight\}$ ".
Câu 2: Vận dụng

Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa, và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8h sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức $h(t) = 24t +5t^{2} - \frac{t^{3}}{3}$ . Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 tiếng. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước lúc mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.
Đáp án: 15

Đáp án là:

Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa, và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8h sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức $h(t) = 24t +5t^{2} - \frac{t^{3}}{3}$ . Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 tiếng. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước lúc mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.
Đáp án: 15

Ta có:
$h'(t) = 24 + 10t -t^{2}$
$h'(t) = 0$
$\Leftrightarrow 24 + 10t - t^{2} = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = - 2(ktm) \\t = 12(tm) \\\end{matrix} ight.$
Bảng biến thiên:
Mực nước lên cao nhất thì phải mất $12$ giờ.
Hay mực nước lên cao nhất là lúc 20 giờ.
Vậy phải thông báo cho dân di dời vào $15$ giờ chiều cùng ngày.
Câu 3: Vận dụng cao

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in ( - 2021;2021)$ để hàm số $y = \left| x^{4} - 4x^{2} + m + 2020ight|$ có 7 điểm cực trị?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in ( - 2021;2021)$ để hàm số $y = \left| x^{4} - 4x^{2} + m + 2020ight|$ có 7 điểm cực trị?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 4: Thông hiểu
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = - \frac{1}{3}x^{3} - 2x^{2} + mx - 1$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $m \geq - 4$
- B.
  $m > - 4$
- C.
  $m \leq - 4$
- D.
  $m < - 4$
Ta có:

$y' = - x^{2} - 4x + m$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow - x^{2} - 4x + m \leq 0;\forall x$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < 0 \\ \Delta \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 16 + 4m \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - 4$

Vậy đáp án cần tìm là $m \leq - 4$
Câu 5: Nhận biết
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x^{2} - 1}$ là:
- A.
  $1$
- B.
  $3$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 1 ight\}$

Ta có: $\lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{x}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^{2}}} = 0$ suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x^{2} - 1}$ là $y = 0$ .

Lại có $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x}{x^{2} - 1} = + \infty;\lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x}{x^{2} - 1} = - \infty$ suy ra $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}\frac{x}{x^{2} - 1} = - \infty;\lim_{x ightarrow ( - 1)^{-}}\frac{x}{x^{2} - 1} = + \infty$ suy ra $x = - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy có tất cả 3 đường tiệm cận.
Câu 6: Thông hiểu
Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x - m^{2}}{x + 2}$ trên đoạn $\lbrack 1;5brack$ bằng $- 4$ . Tính tổng các phần tử của tập $S$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $5$
- C.
  $- 5$
- D.
  $10$
Ta có: $y' = \frac{2 + m^{2}}{(x + 2)^{2}} > 0;\forall x eq - 2$ . Suy ra hàm số $y = \frac{x - m^{2}}{x + 2}$ đồng biến trên đoạn $\lbrack 1;5brack$ do đó $\max_{\lbrack 1;5brack}y = y(5) = \frac{5 - m^{2}}{7}$

Theo giả thiết $\frac{5 - m^{2}}{7} = - 4 \Leftrightarrow m^{2} = 33 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{33}$

Vậy $S = \left\{ \sqrt{33}; - \sqrt{33} ight\}$ nên tổng các phần tử của tập hợp $S$ bằng $0$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Cho hàm số $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + m^{2} - 2m$ với $m$ là tham số. Gọi $S$ tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn $3\max_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) + 2\min_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) \leq 112$ . Số phần tử của tập hợp $S$ bằng:
- A.
  $12$
- B.
  $10$
- C.
  $11$
- D.
  $9$
Ta có: $f\left( |x| ight) = f\left( | - x| ight);\forall x\mathbb{\in R}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) = \max_{0;3}f(x) \\ \min_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) = \min_{\lbrack 0;3brack}f(x) \\ \end{matrix} ight.$

Đạo hàm $f'(x) = 3x^{2} - 6x = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow f(0) = m^{2} - 2m \\ x = 2 \Rightarrow f(2) = m^{2} - 2m - 4 \\ \end{matrix} ight.$ và $f(3) = m^{2} - 2m$

Suy ra $3\max_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) + 2\min_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) \leq 112$

$\Leftrightarrow 3\left( m^{2} - 2m ight) + 2\left( m^{2} - 2m - 4 ight) \leq 112$

$\Leftrightarrow m^{2} - 2m - 24 \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 6$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 4; - 3;...;5;6 ight\}$

Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của tham số m.
Câu 8: Thông hiểu
Số các giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x^{2} - 2mx + 2m^{2} - 4m - 12}$ có ba đường tiệm cận bằng:
- A.
  $7$ .
- B.
  $6$ .
- C.
  $9$ .
- D.
  $8$ .
Ta có:

$\lim_{x ightarrow \pm \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{1}{x^{2} - 2mx + 2m^{2} - 4m - 12} = 0$ nên $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra $x^{2} - 2mx + 2m^{2} - 4m - 12 = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta' > 0 \Leftrightarrow m^{2} - \left( 2m^{2} - m - 12 ight) > 0$

$\Leftrightarrow - m^{2} + 4m + 12 > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 6$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 1;0;1;2;3;4;5 ight\}$

Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 9: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f'(x) < 0,\forall x \in (0; + \infty)$ biết $f(0) = 3$ . Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra.
- A.
  $f(2024) = 3,5$
- B.
  $f(2023) + f(2024) = 6$
- C.
  $f(2023) < f(2024)$
- D.
  $f( - 2024) = 3$
Do $f^{'}(x) < 0,\forall x \in (0; + \infty)$ nên hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $(0; + \infty)$ .

Khi đó ta có:

$f(2024) < f(0) = 3 \Rightarrow f(2024) = 3,5$ sai

$f(2023) < f(0) = 3 \Rightarrow f(2023) + f(2024) < 3 + 3 = 6 \Rightarrow f(2023) + f(2024) = 6$ sai

$f(2023) > f(2024) \Rightarrow f(2023) < f(2024)$ sai

Do đó, $f( - 2024) = 3$ đúng.
Câu 10: Thông hiểu
Hàm số $y = - x^{4} + 2mx^{2} + 1$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ khi:
- A.
  $m > 0$
- B.
  $- 1 \leq m < 0$
- C.
  $m \geq 0$
- D.
  $m < - 1$
Hàm số xác định với mọi $x\mathbb{\in R}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} y' = - 4x^{3} + 4mx \\ y'' = - 12x^{2} + 4m \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ khi

$\left\{ \begin{matrix} y'(0) = 0 \\ y''(0) > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4.0^{3} + 4m.0 = 0(TM) \\ - 12.^{2} + 4m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m > 0$

Vậy $m > 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 11: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x - 1)(x - 2);\forall x\mathbb{\in R}$ . Tìm số điểm cực đại của hàm số đã cho.
- A.
  $3$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $0$
Ta có: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng xét dấu:

Suy ra hàm số có một điểm cực đại.
Câu 12: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên trên đoạn $\lbrack - 5;7brack$ như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\min_{\lbrack - 5;7brack}y = 1$
- B.
  $\min_{\lbrack - 5;7brack}y = 6$
- C.
  $\min_{\lbrack - 5;7brack}y = 2$
- D.
  $\min_{\lbrack - 5;7brack}y = 9$
Từ bảng biến thiên ta suy ra $\min_{\lbrack - 5;7brack}y = 2$
Câu 13: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - mx^{2} -m^{2}x + 8$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía trên trục hoành?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - mx^{2} -m^{2}x + 8$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía trên trục hoành?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 14: Nhận biết
Cho hàm số $y = - \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + 6x - 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Hàm số đồng biến trên $(3; + \infty)$
- B.
  Hàm số nghịch biến trên $( - \infty;0)$ .
- C.
  Hàm số đồng biến trên $( - 2;3)$ .
- D.
  Hàm số nghịch biến trên $( - 2,3)$ .
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = - x^{2} + x + 6 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng xét dấu

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $( - 2,3)$ .
Câu 15: Vận dụng

Cho hàm số $y = \frac{mx^{2} + \left( m^{2} + m + 2 ight)x + m^{2} + 3}{x + 1}$ . Tìm $m \in \mathbb{R}$ để khoảng cách từ gốc $O$ đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = \frac{mx^{2} + \left( m^{2} + m + 2 ight)x + m^{2} + 3}{x + 1}$ . Tìm $m \in \mathbb{R}$ để khoảng cách từ gốc $O$ đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 16: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị như hình vẽ.

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ . Đúng||Sai

b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_{0} = 2$ . Đúng||Sai

c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng $( - 1;0)$ . Đúng||Sai

d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;0brack$ bằng $0$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị như hình vẽ.

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ . Đúng||Sai

b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_{0} = 2$ . Đúng||Sai

c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng $( - 1;0)$ . Đúng||Sai

d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;0brack$ bằng $0$ . Sai||Đúng

Theo hình vẽ, hàm số nghịch biến trên khoảng $(0\ ;\ 2)$ và đạt cực tiểu tại điểm $x_{o} = 2$ .

Vì hàm số đồng biến trên khoảng $( - 1\ \ ;\ 0)$ nên đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng đó.

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1\ ;\ 0brack$ bằng $2$ .
Câu 17: Thông hiểu
Cho đồ thị:

Xác định hàm số tương ứng với đồ thị hàm số đã cho?
- A.
  $y = - x^{4} + 2x^{2} - 1$
- B.
  $y = - x^{4} + 2x^{2} - 3$
- C.
  $y = - x^{4} + 3x^{2} - 1$
- D.
  $y = - x^{4} + x^{2} - 1$
Nhận diện đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có $a < 0$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0; - 1)$ nên loại hàm số $y = - x^{4} + 2x^{2} - 3$ .

Đồ thị hàm số có các cực trị là $(1;0),( - 1;0)$ nên hàm số cần tìm là $y = - x^{4} + 2x^{2} - 1$ .
Câu 18: Thông hiểu
Cho hàm số $y = x^{4} - (3m + 2)x^{2} + 3m$ có đồ thị $\left( C_{m} ight)$ . Xác định tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $\left( C_{m} ight)$ cắt đường thẳng $y = - 1$ tại bốn điểm phân biệt?
- A.
  $m < - \frac{1}{3}$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ m > - \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $m eq 0$
- D.
  $m > - \frac{1}{3}$
Phương trình hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

$x^{4} - (3m + 2)x^{2} + 3m = - 1$

$\Leftrightarrow x^{4} - (3m + 2)x^{2} + 3m + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)^{2} - 3m\left( x^{2} - 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} - 3m - 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} - 3m - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ x^{2} = 3m + 1 \\ \end{matrix} ight.$

Đồ thị $\left( C_{m} ight)$ cắt $y = - 1$ tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi $x^{2} = 3m + 1$ có hai nghiệm phân biệt khác $\pm 1$

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix}3m + 1 > 0 \\3m + 1 eq 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m > - \dfrac{1}{3} \\m eq 0 \\\end{matrix} ight.$ .
Câu 19: Nhận biết
Chọn hàm số tương ứng với bảng biến thiên sau?
- A.
  $y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$
- B.
  $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$
- C.
  $y = - x^{3} + 3x^{2} + 1$
- D.
  $y = x^{4} - 2x^{2} + 1$
Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số $a < 0$ nên hàm số cần tìm là $y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$ .
Câu 20: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ sau:

Xét hàm $g(x) = f\left( x^{2} - 2 ight)$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?
- A.
  Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $( - \infty; - 2)$ .
- B.
  Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $(0;2)$ .
- C.
  Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $( - 1;0)$ .
- D.
  Hàm số $g(x)$ đồng biến trên $(2; + \infty)$ .
Ta có: $g'(x) = 2x.f'\left( x^{2} - 2 ight)$

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x.f'\left( x^{2} - 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x = 0 \\ f'\left( x^{2} - 2 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 2 = - 1 \\ x^{2} - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.$

Dựa vào đồ thị ta thấy $f'\left( x^{2} - 2 ight) > 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 > 2 \Leftrightarrow x^{2} > 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 2 \\ x > 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $( - 1;0)$ là sai.