Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Hàm số y = \frac{x - 2}{x - m} nghịch biến trên khoảng ( - \infty;3) khi:

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ m ight\}

    Ta có: y' = \frac{- m + 2}{(x - m)^{2}}

    Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - \infty;3) khi \left\{ \begin{matrix} m otin ( - \infty;3) \\ - m + 2 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \geq 3 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \geq 3

    Vậy đáp án cần tìm là m \geq 3.

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu f'(x) như sau:

    Hỏi hàm số y = f\left( x^{2} - 2x ight) có bao nhiêu điểm cực tiểu?

    Đặt g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) \Rightarrow g'(x) = (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x ight)

    Từ bảng xét dấu của hàm số f'(x) có

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 2 = 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x = - 2\ \\ x^{2} - 2x = 1\ \\ x^{2} - 2x = 3\ \ \\ 2x - 2 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \pm \sqrt{2} \\ x = 3 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    g'(x) \geq 0 \Leftrightarrow (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x ight) \geq 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 2x - 2 \geq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} 2x - 2 \leq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ - 2 \leq x^{2} - 2x \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x \geq 3 \\ x^{2} - 2x \leq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ x^{2} - 2x + 2 \geq 0 \\ x^{2} - 2x - 3 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x - 3 \geq 0 \\ x^{2} - 2x + 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ - 1 \leq x \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x \geq 3 \\ x \leq - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \leq x \leq 3 \\ x \leq - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số y = f\left( x^{2} - 2x ight) có 1 điểm cực tiểu.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{ax + b}{cx - 1} có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Trong các hệ số a, b, c có bao nhiêu số dương?

    Tiệm cận đứng: x = \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow c = 1

    Tiệm cận ngang: y = \frac{a}{c} = - 1\Leftrightarrow a = - c \Rightarrow a = - 1

    Đồ thị cắt trục hoành tại x = 2 nên 2a + b = 0 hay b = - 2a = 2.

    Vậy trong các hệ số a, b, c có có hai số dương là b,c.

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = x^{4} - 2mx^{2} +2. Giả sử S là tổng bình phương các giá trị của tham số m để hàm số có ba cực trị và đường tròn đi qua ba cực trị đó có bán kính bằng 4. Tính giá trị S? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = x^{4} - 2mx^{2} +2. Giả sử S là tổng bình phương các giá trị của tham số m để hàm số có ba cực trị và đường tròn đi qua ba cực trị đó có bán kính bằng 4. Tính giá trị S? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) trên khoảng ( - \infty; + \infty). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ:

    Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng nào sau đây?

    Hàm số y = f(x) nghịch biến khi f'(x) \leq 0 \Leftrightarrow x \in (0;3)

    Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0;3).

  • Câu 6: Nhận biết

    Giá trị lớn nhất của hàm số y = - x^{4} + 2x^{2} + 1 trên đoạn \lbrack - 2;5brack bằng:

    Ta có: y' = - 4x^{3} + 4x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}y( - 2) = - 5 \\y( - 1) = y(1) = 2 \\y(0) = 1 \\y(5) = - 574 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \max_{\lbrack - 2;5brack}y =y(1) = 2

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R}, đạo hàm y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ sau:

    Tìm số điểm cực tiểu của hàm số y = f(x)?

    Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có f'(x) đổi dấu từ âm sang dương. Dựa vào đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = x - \sqrt {{x^2} - 4x + 2} có tiệm cận ngang là:

    Tập xác định D = \mathbb{R}

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 2} } ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4x - 2}}{{x + \sqrt {{x^2} - 4x + 2} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4 - \dfrac{2}{x}}}{{1 + \sqrt {1 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} }} = 2 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 2} } ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {1 + \sqrt {1 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} } ight) = - \infty \hfill \\ \end{matrix}

    Vì \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x = - \infty } \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 + \sqrt {1 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} } ight) = 2 > 0} \end{array}} ight. nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = 2.

  • Câu 9: Vận dụng

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; +∞)

    Ta có: y' = 2mx - \left( {m + 6} ight). Theo yêu cầu bài toán ta có:

    y' \leqslant 0;\forall x \in \left( { - 1; + \infty } ight)

    => 2mx - \left( {m + 6} ight) \leqslant 0 \Leftrightarrow m \leqslant \frac{6}{{2x - 1}}

    Xét hàm số g\left( x ight) = \frac{6}{{2x - 1}},x \in \left( { - 1; + \infty } ight)

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

    Vậy - 2 \leqslant m \leqslant 0

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho hai số thực x, y thỏa mãn x \geqslant 0;y \geqslant 0 và x + y = 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} lần lượt là:

    Ta có: 

    P = \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} = \frac{{x\left( {x + 1} ight) + y\left( {y + 1} ight)}}{{\left( {x + 1} ight)\left( {y + 1} ight)}} = \frac{{{{\left( {x + y} ight)}^2} - 2xy + 1}}{{xy + x + y + 1}} = \frac{{2 - 2xy}}{{2 + xy}}

    Đặt t = xy ta được P = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}}

    Vì x \geqslant 0;y \geqslant 0 \Rightarrow t \geqslant 0

    Mặt khác 1 = x + y \geqslant 2\sqrt {xy} \Leftrightarrow xy \leqslant \frac{1}{4} \Rightarrow t \leqslant \frac{1}{4}

    Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số g\left( t ight) = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}} trên \left[ {0;\frac{1}{4}} ight]

    Xét hàm số g\left( t ight) = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}} xác định và liên tục trên \left[ {0;\frac{1}{4}} ight]

    Ta có: g'\left( t ight) = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {2 + t} ight)}^2}}} < 0,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{4}} ight)

    => Hàm số g(t) nghịch biến trên đoạn \left[ {0;\frac{1}{4}} ight]

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\frac{1}{4}} ight]} g\left( t ight) = g\left( {\dfrac{1}{4}} ight) = \dfrac{2}{3}} \\ {\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{1}{4}} ight]} g\left( t ight) = g\left( 0 ight) = 1} \end{array}} ight.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R}. Đồ thị của hàm số y = f'(x) trên đoạn \lbrack - 2;2brack là đường cong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Dựa vào thị của hàm số y = f^{'}(x) trên đoạn \lbrack - 2;2brack ta thấy f'(x) = 0\Leftrightarrow x = 1.

    Ta có bảng BBT:

    Do đó \max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) =f(1).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f\left( x ight) = a{x^4} + b{x^2} + c có đồ thị như hình dưới đây:

    Số nghiệm của phương trình

    Số nghiệm của phương trình 2f\left( x ight) = - 1 là:

    Ta có: 2f\left( x ight) = - 1 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{{ - 1}}{2}

    Số nghiệm của phương trình 2f\left( x ight) = - 1 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f\left( x ight) với đường thẳng y = - \frac{1}{2}

    Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng y = - \frac{1}{2} cắt đồ thị tại hai điểm

    => Phương trình 2f\left( x ight) = - 1 có 2 nghiệm.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - 2mx^{2} + 4x - 5 đồng biến trên \mathbb{R}?

    Theo yêu cầu bài toán \Leftrightarrow y' = x^{2} - 4mx + 4 \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 > 0 \\ \Delta' \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 4m^{2} - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 1

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 1;0;1 ight\}

    Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như sau:

    Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt là:

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị đã cho có đường tiệm cận đứng là x = 1 và đường tiệm cận ngang là y = 1.

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hình vẽ:

    Đồ thị trong hình đã cho là đồ thị của hàm số nào?

    Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d với a > 0 và đồ thị hàm số đi qua điểm (2; - 3) nên hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ đã cho là y = x^{3} -3x^{2} + 1.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có f'\left( x ight) = x\left( {x - 1} ight){\left( {x + 2} ight)^2}. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

    Ta có: f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = - 2} \end{array}} ight.

    Nhận thấy {\left( {x + 2} ight)^2} > 0,\forall x e - 2

    => f’(x) không đổi dấu khi qua nghiệm x = -2 nên x = -2 không là điểm cực trị của hàm số

    Ngoài ra f’(x) cùng dấu với tam thức bậc hai x2(x - 1) = x2 – x nên suy ra x = 0, x = 1 là hai điểm cực trị của hàm số.

     

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{{\sin x + 1}}{{{{\sin }^2}x + \sin x + 1}}. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Chọn mệnh đề đúng.

    Đặt t = \sin x,t \in \left[ { - 1;1} ight]

    Khi đó y = f\left( t ight) = \frac{{t + 1}}{{{t^2} + t + 1}}

    \begin{matrix} f'\left( t ight) = \dfrac{{ - {t^2} - 2t}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} ight)}^2}}} \hfill \\ f'\left( t ight) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 0\left( {tm} ight)} \\ {t = - 2\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ f\left( 0 ight) = 1;f\left( { - 1} ight) = 0;f\left( 1 ight) = \frac{2}{3} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy M = 1; m = 0 => M = m + 1

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hàm số y = \frac{x + 1}{\sqrt{ax^{2}+ 1}} có đồ thị (C). Tìm giá trị a để đồ thị hàm số có đường tiệm cận và đường tiệm cận đó cách đường tiếp tuyến của (C) một khoảng bằng \sqrt{2} - 1?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{x + 1}{\sqrt{ax^{2}+ 1}} có đồ thị (C). Tìm giá trị a để đồ thị hàm số có đường tiệm cận và đường tiệm cận đó cách đường tiếp tuyến của (C) một khoảng bằng \sqrt{2} - 1?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Nhận biết

    Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên \mathbb{R}?

     Hàm số y = x – sinx có tập các định D = \mathbb{R} và y' = 1 - \cos x \geqslant 0, \vee x \in \mathbb{R}

    Nên hàm số luôn đồng biến trên \mathbb{R}

  • Câu 20: Vận dụng

    Bác H cần xây dựng một bể nước mưa có thể tích V = 8\left( m^{3} ight) dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp \frac{4}{3} lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng chi phí trung bình là 980000 đồng trên một mét vuông và ở nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng \frac{2}{9} diện tích nắp bể. Tính chi phí thấp nhất mà bác H phải chi trả (làm tròn đến hàng triệu đồng).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Bác H cần xây dựng một bể nước mưa có thể tích V = 8\left( m^{3} ight) dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp \frac{4}{3} lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng chi phí trung bình là 980000 đồng trên một mét vuông và ở nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng \frac{2}{9} diện tích nắp bể. Tính chi phí thấp nhất mà bác H phải chi trả (làm tròn đến hàng triệu đồng).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 27 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập