Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Đồ thị của hàm số y = \frac{x - 1}{x^{2} + 2x - 3} có bao nhiêu đường tiệm cận?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 3;1 ight\}

    \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow + \infty}y = 0 \\ \lim_{x ightarrow - \infty}y = 0 \\ \end{matrix} ight. suy ra y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x + 3}} = \frac{1}{4} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{x + 3}} = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} ight. suy ra đường thẳng x = 1 không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} ight)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} ight)}^ + }} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} ight)\left( {x + 3} ight)}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} ight)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} ight)}^ - }} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} ight)\left( {x + 3} ight)}} = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight. suy ra đường thẳng x = - 3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

    Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số bậc bốn y = f(x) và y = g(x) có các đồ thị như hình dưới đây.

    Tìm các điểm cực trị của hàm số

    Số điểm cực trị của hàm số h\left( x ight) = {f^2}\left( x ight) + {g^2}\left( x ight) - 2f\left( x ight).g\left( x ight) là:

    Ta có:

    \begin{matrix} h\left( x ight) = {\left[ {f\left( x ight) - g\left( x ight)} ight]^2} \hfill \\ \Rightarrow h'\left( x ight) = 2.\left[ {f\left( x ight) - g\left( x ight)} ight]\left[ {f'\left( x ight) - g'\left( x ight)} ight] \hfill \\ h'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) - g\left( x ight) = 0\left( * ight)} \\ {f'\left( x ight) - g'\left( x ight) = 0\left( {**} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Từ đồ thị ta thấy phương trình (*) có đùng 2 nghiệm phân biệt là x = -1; x = 3, x = x1, và f(x) – g(x) đổi dấu khi đi qua các nghiệm này

    => Các nghiệm trên là nghiệm bội lẻ của (*)

    Mà f(x) và g(x) đều là đa thức bậc 4 nên bậc của phương trình (*) nhỏ hơn hoặc bằng 4

    => Phương trình (*) là phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt nên phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt không trùng với các nghiệm của phương trình (*)

    => h’(x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt và h’(x) đổi dấu khi đi qua các nghiệm đấy nên hàm số h(x) có 5 điểm cực trị.

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100m.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100m.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hàm số y = {x^3} - 3x + 2. Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là:

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = 3{x^2} - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ y'' = 6x \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y''\left( 1 ight) = 6 > 0} \\ {y''\left( { - 1} ight) = - 6 < 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (1; 0)

  • Câu 5: Vận dụng

    Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = \sin 2x + mx + c đồng biến trên \mathbb{R}

    Ta có: y' = 2\cos 2x + m

    Hàm số đồng biến trên \mathbb{R}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y' = - 2 + m \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây.

    Chọn khẳng định đúng

    Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Từ bảng biến thiên ta nhận thấy đạo hàm của hàm số đổi dấu từ dương sang âm qua nghiệm 0 nên hàm số đạt cực đại tại 0 và giá trị cực đại của hàm số bằng 0.

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hàm số y = - \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + 6x - 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = - x^{2} + x + 6 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu

    Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( - 2,3).

  • Câu 8: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ:

    Dựa vào hình dáng đồ thị ta suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số a < 0 nên loại đáp án y = x^{4} - 2x^{2} - 1

    Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (0; -1) nên loại đáp án y = - x^{4} +2x^{2}

    Lại có đồ thị hàm số có các điểm cực trị (1;1),( - 1,1) nên loại đáp án y = - x^{4} + 2x^{2} - 1

    Vậy hàm số cần tìm là y = - 2x^{4} +4x^{2} - 1.

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là:

    Từ bảng biến thiên ta có:

    \lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) = + \infty;\lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = - \infty

    Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 1

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \mathbb{R}?

    Ta có: y = {x^3} + {x^2} + 2x + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x + 3 \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}

    Ta có: y’ = 0 chỉ tại x = 1

    Vậy y = {x^3} + {x^2} + 2x + 1 đồng biến trên

  • Câu 11: Thông hiểu

    Hàm số y = 2x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 6mx + 1 nghịch biến trên khoảng (1;3) khi và chỉ khi:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y = 2x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 6mx + 1

    \Rightarrow y' = 6x^{2} - 6(m + 1)x + 6m

    Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

    \Leftrightarrow y' \leq 0;\forall x \in (1;3)

    \Leftrightarrow 6x^{2} - 6(m + 1)x + 6m \leq 0;\forall x \in (1;3)

    \Leftrightarrow x^{2} - (m + 1)x + m \leq 0;\forall x \in (1;3)

    \Leftrightarrow m \geq x;\forall x \in (1;3)

    Vậy m \geq 3 là giá trị cần tìm.

  • Câu 12: Nhận biết

    Đồ thị của hàm số nào tương ứng với đồ thị trong hình vẽ sau:

    Đồ thị hàm số ứng với hàm số nào

     Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

    Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \left( {0;d} ight)

    => d > 0 => Loại đáp án  y = {x^3} - 4x - 1

    Mặt khác \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = + \infty => Hệ số a > 0 => Loại đáp án y = - {x^3} + 4x + 2

    Hàm số đạt cực trị tại hai điểm {x_1};{x_2}, dựa vào hình vẽ ta thấy {x_1};{x_2} trái dấu

    => Loại đáp án y = {x^3} + 3{x^2} + 1

    Vậy đáp án là y = {x^3} - 4x + 1

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) và đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ sau:

    Hàm số g(x) = f\left( |x| ight) +2021 có bao nhiêu điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) và đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ sau:

    Hàm số g(x) = f\left( |x| ight) +2021 có bao nhiêu điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 14: Thông hiểu

    Tìm hàm số tương ứng với đồ thị được cho trong hình vẽ sau?

    Dựa vào đồ thị đã cho trong hình vẽ ta thấy đường tiệm cận ngang của đồ thị là y = - 1 và đường tiệm cận đứng của đồ thị là x = - 1.

    Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;1) nên hàm số cần tìm là y = \frac{- x + 1}{x + 1}.

  • Câu 15: Vận dụng

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1 ight)}{x^{2} - 2x - 3} là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1;3 ight\}

    \lim_{x ightarrow +\infty}\left\lbrack \dfrac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1ight)}{x^{2} - 2x - 3} ightbrack= \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x^{2}\left( \sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}ight)}{x^{2}\left( 1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}ight)}

    = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}}{1 -\dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}} = 2 suy ra y = 2 là tiệm cận ngang.

    \lim_{x ightarrow -\infty}\left\lbrack \dfrac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1ight)}{x^{2} - 2x - 3} ightbrack= \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x^{2}\left( - \sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}ight)}{x^{2}\left( 1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}ight)}

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{2}{x} -\dfrac{3}{x^{2}}} = 0 suy ra y = 0 là tiệm cận ngang.

    \lim_{x ightarrow - 1}\left\lbrack\frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1 ight)}{x^{2} - 2x - 3}ightbrack= \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} +x - 1 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}{\left( x^{2} - 2x- 3 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{2x(x + 1)}{(x - 3)(x + 1)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{2x}{(x - 3)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)} = \frac{- 2}{16} = \frac{1}{8}

    Vậy x = - 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + x - 1} ight)}}{{{x^2} - 2x - 3}}} ight] = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left[ {\frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + x - 1} ight)}}{{{x^2} - 2x - 3}}} ight] = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight. suy ra x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

    Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Gọi m,n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x| + 2 trên \lbrack - 2; - 1brack. Tính giá trị biểu thức C = m + n?

    Vì trên đoạn \lbrack - 2; - 1brack thì 0 \leq |x| \leq 2 \Leftrightarrow 2 \leq |x| + 2 \leq 4 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 4 \\ n = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow C = 6

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - (m + 2)x^{2} + \left( m^{2} + 4m + 3 ight)x + 6m + 9 với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (C) có cực đại tại x_{1} và cực tiểu tại x_{2} sao cho {x_{1}}^{2} - 2x_{2} = 0?

    Ta có: y' = x^{2} - 2(m + 2)x + m^{2} + 4m + 3

    Hàm số có cực đại tại x_{1} và cực tiểu tại x_{2} khi và chỉ khi

    \Delta' > 0 \Leftrightarrow (m + 2)^{2} - \left( m^{2} + 4m + 3 ight) > 0 \Leftrightarrow 1 > 0\forall m\mathbb{\in R}

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = m + 3 \\ x = m + 1 \\ \end{matrix} ight.

    Theo bài ra ta có:

    {x_{1}}^{2} - 2x_{2} = 0 \Leftrightarrow (m + 1)^{2} - 2(m + 3) = 0

    \Leftrightarrow m^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - \sqrt{5} \\ m = \sqrt{5} \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là \left\lbrack \begin{matrix} m = \sqrt{5} \\ m = - \sqrt{5} \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y= \dfrac{2\cot x + 1}{\cot x + m} đồng biến trên khoảng \left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)?

    Điều kiện xác định \cot x eq - m

    Ta có: y' = \dfrac{-\dfrac{2}{\sin^{2}x}\left( \cot x + m ight) + \dfrac{1}{\sin^{2}}(2\cot x +1)}{\left( \cot x + m ight)^{2}}

    = \dfrac{1 - 2m}{\sin^{2}x.\left( \cot x +m ight)^{2}}

    Hàm số đồng biến trên khoảng \left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight) khi và chỉ khi

    \left\{ \begin{matrix} y' > 0 \\ - m otin (0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - 2m > 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - 1 \\ m \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - 1 \\ m \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \in ( - \infty; - 1brack \cup \left\lbrack 0;\frac{1}{2} ight)

    Vậy đáp án cần tìm là m \in ( - \infty; - 1brack \cup \left\lbrack 0;\frac{1}{2} ight).

  • Câu 19: Vận dụng

    Bác H cần xây dựng một bể nước mưa có thể tích V = 8\left( m^{3} ight) dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp \frac{4}{3} lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng chi phí trung bình là 980000 đồng trên một mét vuông và ở nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng \frac{2}{9} diện tích nắp bể. Tính chi phí thấp nhất mà bác H phải chi trả (làm tròn đến hàng triệu đồng).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Bác H cần xây dựng một bể nước mưa có thể tích V = 8\left( m^{3} ight) dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp \frac{4}{3} lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng chi phí trung bình là 980000 đồng trên một mét vuông và ở nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng \frac{2}{9} diện tích nắp bể. Tính chi phí thấp nhất mà bác H phải chi trả (làm tròn đến hàng triệu đồng).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Nhận biết

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = \frac{x^{3}}{3} + 2x^{2} - mx + 2020 đồng biến trên \mathbb{R}?

    Ta có:

    Hàm số y = \frac{x^{3}}{3} + 2x^{2} - mx + 2020 đồng biến trên \mathbb{R}

    \Leftrightarrow y' = x^{2} + 4x - m \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Dễ thấy x^{2} + 4x - m \geq 0;\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} 1 > 0 \\ \Delta' = 4 + m \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \leq - 4

    Vậy hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R} khi m \leq - 4.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 62 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập