Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $y = f(x)$ và có đạo hàm $f'(x) = (2 - x)(x + 3)g(x) + 2021$ trong đó $g(x) < 0;\forall x\mathbb{\in R}$ . Hàm số $y = f(1 - x) + 2021x + 2022$ đồng biến trên khoảng nào?
- A.
  $( - \infty; - 1)$
- B.
  $( - 1;4)$
- C.
  $( - 3;2)$
- D.
  $(4; + \infty)$
Ta có:

$y' = - f'(1 - x) + 2021$

$y' = - \left\lbrack (1 + x)(4 - x)g(1 - x) + 2021 ightbrack + 2021$

$y' = (x + 1)(x - 4).g(1 - x) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $g(x) < 0;\forall x\mathbb{\in R}$ nên $y' > 0;\forall x \in ( - 1;4)$

Suy ra hàm số đồng biến trên $( - 1;4)$ .
Câu 2: Thông hiểu
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình $2f(x) - 11 = 0$ là
- A.
  2.
- B.
  3.
- C.
  4.
- D.
  0.
Kí hiệu bảng biến thiên như sau:

Ta có: $2f(x) - 11 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{11}{2}$

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = \frac{11}{2}$ .

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt đường thẳng $y = \frac{11}{2}$ tại 2 điểm phân biệt.

Vậy phương trình $2f(x) - 11 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 3: Vận dụng

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị $m$ để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{mx^{2} + x - 3}{x - 1}$ tạo với hai trục hệ tọa độ $Oxy$ một tam giác có diện tích bằng 2. Khi đó tổng các giá trị của $S$ bằng bao nhiêu?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị $m$ để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{mx^{2} + x - 3}{x - 1}$ tạo với hai trục hệ tọa độ $Oxy$ một tam giác có diện tích bằng 2. Khi đó tổng các giá trị của $S$ bằng bao nhiêu?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 4: Thông hiểu

Biết đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{2x^{2} + x}{x + 1}$ cắt trục hoành và trục tung theo thứ tự tại hai điểm $A,\ B$ . Khi đó diện tích tam giác $OAB$ bằng bao nhiêu đơn vị diện tích? (kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án: 0,25

Đáp án là:

Biết đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{2x^{2} + x}{x + 1}$ cắt trục hoành và trục tung theo thứ tự tại hai điểm $A,\ B$ . Khi đó diện tích tam giác $OAB$ bằng bao nhiêu đơn vị diện tích? (kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án: 0,25

Ta có

$y = \frac{2x^{2} + x}{x + 1} = \frac{2x^{2} + 2x - x - 1 + 1}{x + 1}$

$= \frac{2x(x + 1) - (x + 1) + 1}{x + 1} = 2x - 1 + \frac{1}{x + 1}$ .

Do đó tiện cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là $y = 2x - 1$ .

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cắt trục hoành, trục tung lần lượt là $A\left( \frac{1}{2};0 ight)\ ,B(0; - 1)$ .

Xét tam giác $OAB$ vuông tại $O$ , có:

$OA = \frac{1}{2};\ OB = 1$

=> Diện tích của tam giác $OAB$ là

$S_{OAB} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.1 = \frac{1}{4} = 0,25$
Câu 5: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như sau:

Hỏi số nghiệm của phương trình $2f(x) - 1 = 0$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $4$
- B.
  $2$
- C.
  $0$
- D.
  $3$
Ta có: $2f(x) - 1 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{1}{2}$

Lại có đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ nằm phía trên gốc tọa độ; song song với trục Ox và cắt đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại 4 điểm nên phương trình $2f(x) - 1 = 0$ có hai nghiệm.
Câu 6: Vận dụng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)^{2}\left( x^{2} - 3x + 2 ight)$ với mọi $x\mathbb{\in R}$ .

a) Phương trình $f'(x) = 0$ có duy nhất một nghiệm $x = 2$ . Sai||Đúng

b) Hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $( - 3;0)$ . Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x)$ có hai điểm cực trị. Đúng||Sai

d) Hàm số $y = f\left( x^{2} - 6x + 1 ight)$ có ba điểm cực đại. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)^{2}\left( x^{2} - 3x + 2 ight)$ với mọi $x\mathbb{\in R}$ .

a) Phương trình $f'(x) = 0$ có duy nhất một nghiệm $x = 2$ . Sai||Đúng

b) Hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $( - 3;0)$ . Đúng||Sai

c) Hàm số $f(x)$ có hai điểm cực trị. Đúng||Sai

d) Hàm số $y = f\left( x^{2} - 6x + 1 ight)$ có ba điểm cực đại. Sai||Đúng

a) Sai

Ta có $f'(x) = (x - 1)^{2}\left( x^{2} - 3x + 2 ight) = (x - 1)^{3}(x - 2)$ .

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy phương trình $f'(x) = 0$ có hai nghiệm.

b) Đúng

Bảng biến thiên $y = f(x)$

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$ ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty;1),(2; + \infty)$ .

Ta có $( - 3;0) \subset ( - \infty;1)$ nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $( - 3;0)$ .

c) Đúng

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực trị.

d) Sai

Ta có:

$y = f\left( x^{2} - 6x + 1 ight)$

$\Rightarrow y^{'} = \left( x^{2} - 6x + 1 ight)^{'}f^{'\left( x^{2} - 6x + 1 ight)} = (2x - 6)f'\left( x^{2} - 6x + 1 ight)$ .

$y' = 0 \Leftrightarrow (2x - 6)f'\left( x^{2} - 6x + 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 6 = 0 \\ x^{2} - 6x + 1 = 1 \\ x^{2} - 6x + 1 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 \\ x = 0 \\ x = 6 \\ x = - 3 + \sqrt{10} \\ x = - 3 - \sqrt{10} \\ \end{matrix} ight.$ .

Bảng biến thiên $y = f\left( x^{2} - 6x + 1 ight)$

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x^{2} - 6x + 1 ight)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực đại.
Câu 7: Vận dụng cao

Hành lang trong một tòa nhà có dạng chữ L (hình vẽ) có chiều cao $2$ m, một phía rộng $1$ m, một phía rộng $1,2$ m. Một người thợ cần mang một số ống thép cứng các loại có độ dài $2$ m, $2,5$ m, $3$ m, $3,5$ m, $4$ m, từ bên này qua bên kia. Hỏi có thể mang được mấy loại qua lối đi đó?

Đáp án: 4

Đáp án là:

Hành lang trong một tòa nhà có dạng chữ L (hình vẽ) có chiều cao $2$ m, một phía rộng $1$ m, một phía rộng $1,2$ m. Một người thợ cần mang một số ống thép cứng các loại có độ dài $2$ m, $2,5$ m, $3$ m, $3,5$ m, $4$ m, từ bên này qua bên kia. Hỏi có thể mang được mấy loại qua lối đi đó?

Đáp án: 4

Ống thép muốn qua được hành lang (bên này qua bên kia) phải qua được góc vuông giữa hành lang.

Vì vậy chiều dài $l$ của ống thép phải thỏa mãn $l \leq AN$ , $\forall a \in \left( 0;\frac{\pi}{2} ight) \Leftrightarrow l \leq \min_{\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)}AN(*)$

Ta có $AN = \sqrt{AB^{2} + BN^{2}} = \sqrt{AB^{2} + 4}$

Trong đó $AB = AM + MB = \frac{AH}{\sin\alpha} + \frac{BK}{\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1,2}{\cos\alpha}$

Xét hàm số $g(\alpha) = \frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1,2}{\cos\alpha}$

$\Rightarrow g'(\alpha) = - \frac{\cos\alpha}{sin^{2}\alpha} + \frac{1,2sina}{cos^{2}a} = 0$

$\Leftrightarrow 1,2sin^{3}\alpha = cos^{3}\alpha$

$\Leftrightarrow \tan\alpha = \frac{1}{\sqrt[3]{1,2}} \Leftrightarrow \alpha = \arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}}$

Vì vậy $\min_{\left( 0;\frac{\pi}{2} ight)}g(\alpha) = g\left( \arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}} ight)$

$\Rightarrow (*) \Leftrightarrow l \leq \sqrt{\left\lbrack g\left( \arctan\frac{1}{\sqrt[3]{1,2}} ight) ightbrack^{2} + 4} \approx 3,69504$
Câu 8: Thông hiểu
Hàm số y = x⁴ - 2x² + 1 đồng biến trên khoảng nào?
- A. $\forall x \in \mathbb{R}$
- B. (-1; 0) và (1; +∞)
- C. (-1; 0)
- D. (1; +∞)
Ta có bảng biến thiên như sau:
Hàm số y = x⁴ – 2x² + 1 đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; +∞)
Câu 9: Nhận biết
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} + 3x^{2}$ trên $\lbrack - 5; - 1brack$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $4$
- C.
  $2$
- D.
  $- 50$
Ta có: $y' = 3x^{2} + 6x$

$y' = 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó: $y( - 5) = - 50;y( - 2) = 4;y( - 1) = 2$

Vậy $\min_{\lbrack - 5; - 1brack}y = f( - 5) = - 50$ .
Câu 10: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = x^{4} - 2mx^{2} +2$ . Giả sử $S$ là tổng bình phương các giá trị của tham số $m$ để hàm số có ba cực trị và đường tròn đi qua ba cực trị đó có bán kính bằng $4$ . Tính giá trị $S$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2mx^{2} +2$ . Giả sử $S$ là tổng bình phương các giá trị của tham số $m$ để hàm số có ba cực trị và đường tròn đi qua ba cực trị đó có bán kính bằng $4$ . Tính giá trị $S$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 11: Thông hiểu
Hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên $\mathbb{R}$ . Hàm số $y = f'(1 - x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - 2; - 1)$
- B.
  $(0;1)$
- C.
  $( - 1;0)$
- D.
  $( - 3; - 2)$
Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến

$\Leftrightarrow f'(x) < 0 \Leftrightarrow f'(1 - t) < 0$ với $x = 1 - t$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t < 0 \\ 1 < t < 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - x < 0 \\ 1 < 1 - x < 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x > 1 \\ - 1 < x < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $( - 1;0)$ .
Câu 12: Thông hiểu

Cho hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} - 1$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số có 2 cực trị. Đúng||Sai

b) Điểm cực đại của hàm số là x = 2. Đúng||Sai

c) Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 3).Sai||Đúng

d) Giá trị lớn nhất của hàm số là 3. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} - 1$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số có 2 cực trị. Đúng||Sai

b) Điểm cực đại của hàm số là x = 2. Đúng||Sai

c) Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 3).Sai||Đúng

d) Giá trị lớn nhất của hàm số là 3. Sai||Đúng

Hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} - 1$ có đồ thị như sau:

a) Đúng. Từ đồ thị, ta khẳng định hàm số có 2 cực trị.

b) Đúng. Từ đồ thị, ta khẳng định hàm số có điểm cực đại là x = 2.

c) Sai. Trên khoảng (−1; 3) hàm số có đồng biến và nghịch biến.

d) Sai. Trên R không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
Câu 13: Thông hiểu
Vận tốc của một chất điểm được xác định bởi công thức $v(t) = t^{3} - 10t^{2} + 29t - 20$ (với $v$ được tính bằng giây). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc nhỏ nhất gần bằng:
- A.
  $- 0,88$
- B.
  $2,59$
- C.
  $6,06$
- D.
  $2,61$
Gia tốc của chất điểm $a(t) = v'(t) = 3t^{2} - 20t + 29$ gia tốc là hàm số bậc hai ẩn $t$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t = \frac{10}{3}$

Tại đó, vận tốc của chất điểm bằng $v\left( \frac{10}{3} ight) = \frac{70}{27} \approx 2,59$ .
Câu 14: Nhận biết
Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
- A.
  $x = 1$
- B.
  $x = 5$
- C.
  $x = 0$
- D.
  $x = 2$
Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = 0$ .
Câu 15: Thông hiểu
Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + \left( m^{2} - 4 ight)x + 3$ đạt cực tiểu tại $x = 3$ ?
- A.
  $m = - 7$
- B.
  $m = - 1$
- C.
  $m = 5$
- D.
  $m = 1$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} y' = x^{2} - 2mx + m^{2} - 4 \\ y'' = 2x - 2m \\ \end{matrix} ight.$

Để hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$ thì

$\left\{ \begin{matrix} y'(3) = 0 \\ y''(3) > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 6m + 5 = 0 \\ 6 - 2m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \\ m < 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 1$

Vậy giá trị tham số m cần tìm là $m = 1$ .
Câu 16: Nhận biết
Chọn hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $y = x^{4} + 2x^{2}$
- B.
  $y = \frac{x - 1}{x + 1}$
- C.
  $y = - x^{3} - 3x + 1$
- D.
  $y = 2x^{3} + 3x + 1$
Xét hàm số $y = 2x^{3} + 3x + 1$ ta có:

$y' = 6x^{2} + 3 > 0;\forall x\mathbb{\in R}$

Vậy hàm số $y = 2x^{3} + 3x + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .
Câu 17: Thông hiểu
Hàm số $y = f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + (2m - 1)x - 1$ nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$ khi và chỉ khi:
- A.
  $m \leq - 3$
- B.
  $m \leq - 1$
- C.
  $m \leq 1$
- D.
  $m \leq 3$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = - 3x^{2} + 6x + 2m - 1$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$

$y' \leq 0;\forall x \in (0; + \infty)$ khi và chỉ khi

$\Leftrightarrow 2m \leq 3x^{2} - 6x + 1;\forall x \in (0; + \infty)$

Xét hàm số $g(x) = 3x^{2} - 6x + 1$ trên $(0; + \infty)$ ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

$\min_{(0; + \infty)}g(x) = - 2$

Do đó $\Leftrightarrow 2m \leq \min_{(0; + \infty)}g(x) \Leftrightarrow 2m \leq - 2 \Leftrightarrow m \leq - 1$

Vậy $m \leq - 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 18: Nhận biết
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là:
- A. $y = 2$
- B. $x = 2$
- C. $y = - 1$
- D. $x = - 1$
Dựa vào bảng biến thiên ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x ight) = 2$
=> Đồ thị hàm số đường tiệm cận ngang là y = 2
Câu 19: Vận dụng
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{m\sin x + 1}{\cos x + 2}$ nhỏ hơn $2$ ?
- A.
  $5$
- B.
  $3$
- C.
  $4$
- D.
  $6$
Ta có: $y = \frac{m\sin x + 1}{\cos x + 2}\Leftrightarrow m\sin x + 1 = y\cos x + 2y$

$\Leftrightarrow m\sin x - y\cos x = 2y - 1$

Phương trình có nghiệm khi

$m^{2} + y^{2} \geq (2y - 1)^{2} \Leftrightarrow m^{2} + y^{2} \geq 4y^{2} - 4y + 1$

$\Leftrightarrow 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} \leq 0$

Xét phương trình $3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} = 0$ có $\Delta' = ( - 2)^{2} - 3\left( 1 - m^{2} ight) = 3m^{2} + 1 > 0;\forall m$

Suy ra phương trình $3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó:

$\Leftrightarrow \frac{2 - \sqrt{3m^{2} + 1}}{3} \leq \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}$

Suy ra $\max y = \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}$ . Theo yêu cầu bài toán ta có:

$\max y < 2 \Leftrightarrow \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3} < 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{3m^{2} + 1} < 4 \Leftrightarrow 3m^{2} + 1 < 16 \Leftrightarrow - \sqrt{5} < m < \sqrt{5}$

Mà $m\mathbb{\in Z}$ suy ra $m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2 ight\}$

Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Câu 20: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - 1;\ 0).$
- B.
  $( - \infty;\ - 1)$ .
- C.
  $(0;\ 1)$ .
- D.
  $(1;\ + \infty)$
Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên khoảng $( - 1;\ 0).$