Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang?

    Ta có:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{x + \dfrac{1}{x}}}{{1 - \dfrac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x = \infty

    Vậy đồ thị hàm số y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} không có tiệm cận ngang.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động theo phương trình S(t) = - t^{3} + 12t^{2} - 30t + 10 trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là:

    Ta có: v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 24t - 30 = - 3(t - 4)^{2} + 18 \leq 18

    Khi đó \max v(t) = 18 \Leftrightarrow t = 4(s)

  • Câu 3: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = \frac{2x - 1}{3x + 4} có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên?

    Ta có: y\mathbb{\in Z\Rightarrow}3y\in\mathbb{ Z }\Rightarrow\frac{6x - 3}{3x + 4} = 2 -\frac{11}{3x + 4}\mathbb{\in Z}

    \Rightarrow \frac{11}{3x + 4}\mathbb{\in Z \Rightarrow}3x + 4 \in U(11)

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}3x + 4 = 1 \\3x + 4 = - 1 \\3x + 4 = 11 \\3x + 4 = - 11 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \Rightarrow y = \dfrac{1}{7}(L) \\x = - \dfrac{5}{3}(L) \\x = \dfrac{7}{3}(L) \\x = - 5 \Rightarrow y = 1(TM) \\\end{matrix} ight.

    Với đồ thị hàm số đã cho có đúng 1 điểm có tọa độ nguyên.

  • Câu 4: Nhận biết

    Xác định giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x^{3} - 3x + 2 trên đoạn \lbrack - 1;3brack?

    Ta có: f'(x) = 3x^{2} - 3

    \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \in \lbrack - 1;3brack \\ x = - 1 \in \lbrack - 1;3brack \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} f( - 1) = 4 \\ f(1) = 0 \\ f(3) = 20 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \underset{\lbrack - 1;3brack}{\max f(x)} = 20 \Leftrightarrow x = 3

    Vậy đáp án cần tìm là 20.

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho hai số thực x \geq 0;1 \leq y \leq 3 thỏa mãn 2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y + 2x + 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} + 2037?

    Đáp án: 2025

    Đáp án là:

    Cho hai số thực x \geq 0;1 \leq y \leq 3 thỏa mãn 2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y + 2x + 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} + 2037?

    Đáp án: 2025

    Giả thiết cho 2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y + 2x + 4

    \Leftrightarrow 2^{x}.(2x + 1) = 2(2y + x + 2)2^{2y}

    \Leftrightarrow 2^{x}.(2x + 1) = 2^{2y + 1}(2y + x + 2)

    \Leftrightarrow 2^{2x}.(2x + 1) = 2^{2y + x + 1}(2y + x + 1 + 1)

    Xét hàm số f(t) = 2^{t}.(t + 1) trên (0\ ; + \infty)

    Suy ra f'(t) = 2^{t}.(t + 1)ln2 + 2^{t} > 0,\ \forall t \in (0\ ; + \infty)

    Vậy hàm số f(t) luôn đồng biến trên (0\ ; + \infty) nên ta có:

    \Leftrightarrow 2^{2x}.(2x + 1) = 2^{2y + x + 1}(2y + x + 1 + 1)

    \Leftrightarrow 2x = 2y + x + 1 \Leftrightarrow x = 2y + 1

    Suy ra: P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} + 2037

    = 2^{y - 1} - \left( y^{2} + 2y + 1 ight) + 2037

    = \frac{1}{4}.2^{y + 1} - (y + 1)^{2} + 2037

    Xét hàm số g(a) = \frac{1}{4}.2^{a} - a^{2};\ a \in \lbrack 2\ ;4brack

    g^{'(a)} = \frac{2^{a}.ln2}{4} - 2a

    \Rightarrow g''(a) = \frac{2^{a}.ln^{2}2}{4} - 2 < 0,\forall\ a \in \lbrack 2\ ;4brack

    \Rightarrow g'(a) luôn nghịch biến trên \lbrack 2\ ;4brack

    \Rightarrow \max_{\lbrack 2\ ;4brack}g'(a) = g'(2) = ln2 - 4 < 0

    \Rightarrow g(a) luôn nghịch biến trên \lbrack 2\ ;4brack

    \Rightarrow \min g(a) = g(4) = - 12

    Vậy \min P = - 12 + 2037 = 2025 khi y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3\ ;x = 7.

  • Câu 6: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = mx^{4} + (m - 3)x^{2} + 2021 có hai cực tiểu và một cực đại?

    Hàm số y = ax^{4} + bx^{2} + c;(a eq 0) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi a.b < 0.

    Để hàm số y = f(x) có hai cực tiểu và một cực đại thì đồ thị hàm số y = f(x) có dạng

    Ta có: \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty. Đồ thị nhánh ngoài của hàm số hướng lên nên hàm số có hệ số a > 0

    Khi đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có:

    \left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ ab < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m(m - 3) < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m < 3

    Vì m là số nguyên nên có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 7: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = \frac{m\sin x + 1}{\cos x + 2} nhỏ hơn 2?

    Ta có: y = \frac{m\sin x + 1}{\cos x + 2}\Leftrightarrow m\sin x + 1 = y\cos x + 2y

    \Leftrightarrow m\sin x - y\cos x = 2y - 1

    Phương trình có nghiệm khi

    m^{2} + y^{2} \geq (2y - 1)^{2} \Leftrightarrow m^{2} + y^{2} \geq 4y^{2} - 4y + 1

    \Leftrightarrow 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} \leq 0

    Xét phương trình 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} = 0 có \Delta' = ( - 2)^{2} - 3\left( 1 - m^{2} ight) = 3m^{2} + 1 > 0;\forall m

    Suy ra phương trình 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó:

    \Leftrightarrow \frac{2 - \sqrt{3m^{2} + 1}}{3} \leq \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}

    Suy ra \max y = \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}. Theo yêu cầu bài toán ta có:

    \max y < 2 \Leftrightarrow \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3} < 2

    \Leftrightarrow \sqrt{3m^{2} + 1} < 4 \Leftrightarrow 3m^{2} + 1 < 16 \Leftrightarrow - \sqrt{5} < m < \sqrt{5}

    Mà m\mathbb{\in Z} suy ra m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2 ight\}

    Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x + m}{x + 1} thỏa mãn \max_{\lbrack 1;2brack}y + \min_{\lbrack 1;2brack}y = \frac{9}{2}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}

    Hàm số đơn điệu trên đoạn \lbrack 1;2brack nên \max_{\lbrack 1;2brack}y + \min_{\lbrack 1;2brack}y = f(1) + f(2)

    \Leftrightarrow \frac{1 + m}{2} + \frac{2 + m}{3} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow m = 4

    Vậy đáp án cần tìm là 2 < m \leq 4.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - (m + 2)x^{2} + \left( m^{2} + 4m + 3 ight)x + 6m + 9 với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (C) có cực đại tại x_{1} và cực tiểu tại x_{2} sao cho {x_{1}}^{2} - 2x_{2} = 0?

    Ta có: y' = x^{2} - 2(m + 2)x + m^{2} + 4m + 3

    Hàm số có cực đại tại x_{1} và cực tiểu tại x_{2} khi và chỉ khi

    \Delta' > 0 \Leftrightarrow (m + 2)^{2} - \left( m^{2} + 4m + 3 ight) > 0 \Leftrightarrow 1 > 0\forall m\mathbb{\in R}

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = m + 3 \\ x = m + 1 \\ \end{matrix} ight.

    Theo bài ra ta có:

    {x_{1}}^{2} - 2x_{2} = 0 \Leftrightarrow (m + 1)^{2} - 2(m + 3) = 0

    \Leftrightarrow m^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - \sqrt{5} \\ m = \sqrt{5} \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là \left\lbrack \begin{matrix} m = \sqrt{5} \\ m = - \sqrt{5} \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + (2m - 1)x - m + 2 nghịch biến trên khoảng ( - 3;0)?

    Ta có: y' = x^{2} - 2mx + 2m - 1

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2m - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( - 3;0) khi ( - 3;0) nằm trong khoảng hai nghiệm

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \leq - 3 < 0 \leq 2m - 1 \\ 2m - 1 \leq - 3 < 0 \leq 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 2m - 1 \leq - 3 \Leftrightarrow m \leq - 1

    Vậy đáp án cần tìm là m \leq - 1.

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)^{2}(x - 2)^{3}(2x + 3). Tìm số điểm cực trị của hàm số f(x)?

    Ta có: f'(x) = (x + 1)^{2}(x - 2)^{3}(2x + 3)

    (x + 1)^{2}(x - 2)^{3}(2x + 3) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = - 1 \\x = 2 \\x = - \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Vậy hàm số có hai điểm cực trị.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Hàm số y = f(x) liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

    Phương trình \left| f\left( 2x^{2} + 3 ight) - 2 ight| = 5 có bao nhiêu nghiệm?

    Gọi g(x) = f\left( 2x^{2} + 3 ight) - 2 ta có: g'(x) = 4x.f'\left( 2x^{2} + 3 ight)

    Suy ra g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ 2x^{2} + 3 = - 1 \\ 2x^{2} + 3 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = 0

    Ta có bảng biến thiên

    Mà \left| g(x) ight| = 5 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} g(x) = 5 \\ g(x) = - 5 \\ \end{matrix} ight. từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có ba nghiệm.

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hình vẽ là đồ thị hàm số y = f'(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Từ đồ thị y = f'(x) ta có bảng xét dấu y = f'(x) như sau:

    Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số y = x^{4} - mx^{2} + m có đồ thị (C). Tìm tham số m để (C) đi qua điểm M(2;16)?

    Ta có: M(2;16) \in (C) \Leftrightarrow 16 = 2^{4} - m.2^{2} + m \Leftrightarrow 3m = 0 \Leftrightarrow m = 0

    Vậy m = 0.

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x^{2}(x - 9)(x - 4)^{2}. Khi đó hàm số y = f\left( x^{2} ight) nghịch biến trên khoảng nào?

    Ta có:

    y' = \left( f\left( x^{2} ight) ight)' = 2x.f'\left( x^{2} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{4}\left( x^{2} - 9 ight)\left( x^{2} - 4 ight)^{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 3 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên:

    Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên ( - \infty; - 3) và (0;3).

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{2x + 1}{x - 1}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}

    Ta có: y = \frac{2x + 1}{x - 1} \Rightarrow y' = \frac{- 3}{(x - 1)^{2}} < 0;\forall x \in D

    Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định

    Hay hàm số nghịch biến trên các khoảng ( - \infty;1),(1; + \infty).

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

    Tìm số đường tiệm cận của hàm số

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} là:

    Phương trình f\left( x ight) = 2018 có 2 nghiệm phân biệt

    => Đồ thị hàm số y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} có 2 đường tiệm cận đứng.

    Khi x \to - \infty thì y \to 5 \Rightarrow y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} \to \frac{2}{{ - 2013}}

    Khi x \to + \infty thì y \to 5 \Rightarrow y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} \to \frac{2}{{ - 2013}}

    Vậy đồ thị hàm số y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} có 1 tiệm cận ngang.

     

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}{\text{ khi x }} \geqslant {\text{ 1}}} \\ {\dfrac{{2x}}{{x - 1}}{\text{ khi x < 1}}} \end{array}} ight.. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là:

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x}}{{x - 1}} = - \infty

     => Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{{1 - \frac{1}{x}}} = 2 => y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {2 + \frac{1}{{{x^2}}}} = 1 => đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - 2mx^{2} + 4x - 5 nghịch biến trên \mathbb{R}?

    Ta có: y' = - x^{2} - 4x + m

    Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi y' \leq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow - x^{2} - 4x + m \leq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < 0 \\ \Delta \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 16 + 4m \leq 0 \Leftrightarrow m \in ( - \infty; - 4brack

    Vậy đáp án cần tìm là m \in ( - \infty; - 4brack.

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị (C1) và hàm số y = f’(x) có đồ thị (C2) như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số g\left( x ight) = f\left[ {{e^{ - x}}.f\left( x ight)} ight] trên khoảng \left( { - \infty ;3} ight) là:

    Số điểm cực trị của hàm số thuộc khoảng cho trước

    Ta có: g'\left( x ight) = {e^{ - x}}.\left[ {f'\left( x ight) - f\left( x ight)} ight].f'\left[ {{e^{ - x}}.f\left( x ight)} ight]

    Số điểm cực trị của hàm số thuộc khoảng cho trước

    Xét g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( x ight) - f\left( x ight) = 0} \\ {f\left( {{e^{ - x}}.f\left( x ight)} ight) = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( x ight) = f\left( x ight)} \\ {f\left( {{e^{ - x}}.f\left( x ight)} ight) = 0} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = a} \\ {x = 0} \\ {x = b} \\ \begin{gathered} {e^{ - x}}.f\left( x ight) = - 2 \hfill \\ {e^{ - x}}.f\left( x ight) = 0 \hfill \\ {e^{ - x}}.f\left( x ight) = 2 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = a} \\ {x = 0} \\ {x = b} \\ \begin{gathered} f\left( x ight) = - 2.{e^x} \hfill \\ f\left( x ight) = 0 \hfill \\ f\left( x ight) = 2.{e^x} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight.

    Từ đồ thị ta được:

    Phương trình f\left( x ight) = - 2.{e^x} có nghiệm đơn

    Phương trình f\left( x ight) = 0 có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm bội chẵn (x = 0)

    Phương trình f\left( x ight) = 2.{e^x} có 1 nghiệm đơn.

    Vậy g’(x) = 0 có 8 nghiệm đơn nên hàm số g(x) có 8 điểm cực trị.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 27 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập