Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y = 2x^{3} + 9mx^{2} + 12m^{2}x + m - 2 đồng biến trên khoảng ( - \infty; +
\infty)?

    Ta có:

    y' = 6x^{2} + 18mx +
12m^{2}. Hàm số đồng biến trên khoảng ( - \infty; + \infty) \Leftrightarrow y' \leq 0;\forall x\mathbb{\in
R}

    \Leftrightarrow x^{2} + 3mx + 2m^{2}
\leq 0

    \Leftrightarrow \Delta \leq 0
\Leftrightarrow m^{2} \leq 0 \Leftrightarrow m = 0

    Vậy có duy nhất một số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y = 2x^{3} + 9mx^{2} + 12m^{2}x + m - 2 đồng biến trên khoảng ( - \infty; +
\infty).

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + m -
1 với m là tham số. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt bằng:

    Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:

    x^{3} - 3x^{2} + m - 1 = 0
\Leftrightarrow x^{3} - 3x^{2} + 1 = m

    Xét hàm số f(x) = - x^{3} + 3x^{2} +
1;\forall x\mathbb{\in R}

    Ta có: f'(x) = - 3x^{2} + 6x
\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên:

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi 1 < m <
5

    m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in
\left\{ 2;3;4 ight\}

    Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bằng 9.

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có đạo hàm f'\left( x ight) = \left( {{x^2} - 1} ight)\left( {x - 4} ight),\forall x \in \mathbb{R}. Hàm số g\left( x ight) = f\left( {3 - x} ight) có bao nhiêu điểm cực đại?

    Từ giả thiết ta có bảng biến thiên của hàm số f(x)

    Tinh số điểm cực đại của hàm số

    Ta có:

    g(x) = f(3 – x)

    => g’(x) = -f’(3 – x)

    Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) ta có:

    g'\left( x ight) \geqslant 0 \Leftrightarrow f'\left( {3 - x} ight) \leqslant 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3 - x \leqslant 1} \\   {1 \leqslant 3 - x \leqslant 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x \geqslant 4} \\   { - 1 \leqslant x \leqslant 2} \end{array}} ight.

    => Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) là:

    Tinh số điểm cực đại của hàm số

    Từ bảng biến thiên ta nhận thấy hàm số g(x) có một điểm cực đại.

  • Câu 4: Vận dụng

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ tf(t) = 4t^{3} - \frac{t^{4}}{2}(người). Nếu xem f'(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

    Đáp án: Ngày thứ 4||tư

    Đáp án là:

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ tf(t) = 4t^{3} - \frac{t^{4}}{2}(người). Nếu xem f'(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

    Đáp án: Ngày thứ 4||tư

    Điều kiện t \geq 0.

    Ta có g(t) = f'(t) = 12t^{2} -
2t^{3}, g'(t) = 24t -
6t^{2}, g'(t) = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
t = 0 \\
t = 4 \\
\end{matrix} ight..

    Bảng biến thiên:

    Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ 4.

    Đáp số: 4.

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho hai số thực x \geq 0;1 \leq y \leq
3 thỏa mãn 2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y
+ 2x + 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} + 2037?

    Đáp án: 2025

    Đáp án là:

    Cho hai số thực x \geq 0;1 \leq y \leq
3 thỏa mãn 2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y
+ 2x + 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} + 2037?

    Đáp án: 2025

    Giả thiết cho 2^{x - 2y}.(2x + 1) = 4y +
2x + 4

    \Leftrightarrow 2^{x}.(2x + 1) = 2(2y +
x + 2)2^{2y}

    \Leftrightarrow 2^{x}.(2x + 1) = 2^{2y +
1}(2y + x + 2)

    \Leftrightarrow 2^{2x}.(2x + 1) = 2^{2y
+ x + 1}(2y + x + 1 + 1)

    Xét hàm số f(t) = 2^{t}.(t + 1) trên (0\ ; + \infty)

    Suy ra f'(t) = 2^{t}.(t + 1)ln2 + 2^{t} > 0,\
\forall t \in (0\ ; + \infty)

    Vậy hàm số f(t) luôn đồng biến trên (0\ ; + \infty) nên ta có:

    \Leftrightarrow 2^{2x}.(2x + 1) = 2^{2y
+ x + 1}(2y + x + 1 + 1)

    \Leftrightarrow 2x = 2y + x + 1
\Leftrightarrow x = 2y + 1

    Suy ra: P = 2^{x - y - 2} - x - y^{2} +
2037

    = 2^{y - 1} - \left( y^{2} + 2y + 1
ight) + 2037

    = \frac{1}{4}.2^{y + 1} - (y + 1)^{2} +
2037

    Xét hàm số g(a) = \frac{1}{4}.2^{a} -
a^{2};\ a \in \lbrack 2\ ;4brack

    g^{'(a)} = \frac{2^{a}.ln2}{4} -
2a

    \Rightarrow g''(a) =
\frac{2^{a}.ln^{2}2}{4} - 2 < 0,\forall\ a \in \lbrack 2\
;4brack

    \Rightarrow g'(a) luôn nghịch biến trên \lbrack 2\
;4brack

    \Rightarrow \max_{\lbrack 2\
;4brack}g'(a) = g'(2) = ln2 - 4 < 0

    \Rightarrow g(a) luôn nghịch biến trên \lbrack 2\ ;4brack

    \Rightarrow \min g(a) = g(4) = -
12

    Vậy \min P = - 12 + 2037 = 2025 khi y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3\ ;x =
7.

  • Câu 6: Nhận biết

    Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y = f(x):

    Hàm số y = f(x) là hàm số:

    Đồ thị hàm số bậc ba có dạng y = ax^{3} +
bx^{2} + cx + d có hệ số a >
0 nên hàm số cần tìm là y = x^{3} -
3x + 2.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Số tiệm cận của đồ thị hàm số y =
\frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} là:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{xightarrow + \infty}\dfrac{\left( 2x^{2} - x ight)\sqrt{1 +\dfrac{1}{x^{2}}}}{x^{2} - 1}= \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{\left(2 - \dfrac{1}{x} ight)\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 - \dfrac{1}{x^{2}}}= 2

    \lim_{x ightarrow - \infty}y = \lim_{x
ightarrow - \infty}\frac{\left( - 2x^{2} + x ight)\sqrt{1 +
\frac{1}{x^{2}}}}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\left(
- 2 + \frac{1}{x} ight)\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1 -
\frac{1}{x^{2}}} = - 2

    Suy ra y = \pm 2 là tiệm cận ngang.

    \lim_{x ightarrow 1^{\pm}}y = \lim_{x
ightarrow 1^{\pm}}\frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} = \pm
\infty suy ra x = 1 là tiệm cận đứng.

    \lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}y =
\lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}\frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} -
1} = \pm \infty suy ra x = -
1 là tiệm cận đứng.

    Vậy đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số y = - x^{3} + 6(m + 2)x^{2} -
m + 1 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên ( - 2; - 1)?

    Ta có: y' = - 3x^{2} + 12(m +
2)x

    Hàm số y = - x^{3} + 6(m + 2)x^{2} - m +
1 đồng biến trên khoảng ( - 2; -
1) khi và chỉ khi:

    y' = - 3x^{2} + 12(m + 2)x \geq
0;\forall x \in ( - 2; - 1)

    \Leftrightarrow - x^{2} + 4mx + 8x \geq
0;\forall x \in ( - 2; - 1)

    \Leftrightarrow 4mx \geq x^{2} -
8x;\forall x \in ( - 2; - 1)

    \Leftrightarrow m \leq \frac{x}{4} - 2
\Leftrightarrow m \leq \frac{- 2}{4} - 2 = - \frac{5}{2}

    Vậy đáp án cần tìm là m \in \left( -
\infty; - \frac{5}{2} ightbrack.

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\left\{ - 1;2
ight\} liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
\frac{1}{f(x) - 1} bằng:

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x) - 1
= 0 có 4 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số y = \frac{1}{f(x) - 1} có 4 đường tiệm cận đứng.

    Ngoài ra \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{f\left( x ight) - 1}} = 0 \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{f\left( x ight) - 1}} =  - \frac{1}{2} \hfill \\ 
\end{gathered}  ight. nên đồ thị hàm số y = \frac{1}{f(x) - 1} có hai đường tiệm cận ngang.

    Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y
= \frac{1}{f(x) - 1} bằng 6.

  • Câu 10: Nhận biết

    Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x^{3}
+ 3x^{2} trên \lbrack - 5; -
1brack?

    Ta có: y' = 3x^{2} + 6x

    y' = 0 \Rightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = 0 \\
x = - 2 \\
\end{matrix} ight.. Khi đó: y(
- 5) = - 50;y( - 2) = 4;y( - 1) = 2

    Vậy \min_{\lbrack - 5; - 1brack}y = f(
- 5) = - 50.

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số f\left( {{x^3} - m{x^2} - 2x + m} ight) có đúng 6 điểm cực trị?

    Điều kiện của m để hàm số có 6 cực trị

    Xét hàm số g\left( x ight) = f\left( {{x^3} - m{x^2} - 2x + m} ight)

    g'\left( x ight) = \left( {3{x^2} - 2mx - 2} ight).f'\left( {{x^3} - m{x^2} - 2x + m} ight)

    Yêu cầu bài toán xảy ra khi phương trình đạo hàm phải có 6 nghiệm bội lẻ:

    Ta có:

    g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3{x^2} - 2mx - 2 = 0} \\   {f'\left( {{x^3} - m{x^2} - 2x + m} ight) = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {3{x^2} - 2mx - 2 = 0\left( * ight)} \\   \begin{gathered}  {x^3} - m{x^2} - 2x + m =  - 1{\text{  }} \hfill \\  {x^3} - m{x^2} - 2x + m = 1{\text{    }} \hfill \\ \end{gathered}  \end{array}} ight.

    Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt => Hai phương trình còn lại phải cho đúng 4 nghiệm nghiệm bội lẻ.

    \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{x^3} - m{x^2} - 2x + m =  - 1{\text{ }}} \\   {{x^3} - m{x^2} - 2x + m = 1{\text{ }}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\left( {x - 1} ight)\left[ {{x^2} - \left( {m - 1} ight)x - m - 1} ight] = 0{\text{   }}\left( 1 ight)} \\   {\left( {x - 1} ight)\left[ {{x^2} - \left( {m + 1} ight)x + m - 1} ight] = 0{\text{    }}\left( 2 ight)} \end{array}} ight.

    Nhận thấy hai phương trình (1), (2) luôn cho hai nghiệm phân biệt vafcacs nghiệm của hai phương trình này không trùng nhau.

    Để hai phương trình có đúng 4 nghiệm bội lẻ thì:

    TH1: x = 1 là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m – 1)x – m – 1] = 0 và x = -1 không phải là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m + 1)x + m – 1] = 0

    TH2: x = -1 là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m + 1)x + m – 1] = 0 và x = 1 không phải là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m – 1)x - m – 1] = 0

    => \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 - \left( {m - 1} ight) - m - 1 = 0} \\   {1 + \left( {m + 1} ight) + m - 1 e 0} \end{array}} ight.} \\   {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {1 - \left( {m - 1} ight) - m - 1 e 0} \\   {1 + \left( {m + 1} ight) + m - 1 = 0} \end{array}} ight.} \end{array}} ight.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {m = \dfrac{1}{2}} \\   {m e  - \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight.} \\   {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {m e \dfrac{1}{2}} \\   {m =  - \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight.} \end{array}} ight. \Rightarrow m \pm \frac{1}{2}

    Vậy có hai giá thực của m thỏa mãn

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hàm số f(x)f'(x) = x^{2}(x - 1)(x + 2). Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 1 \\
x = - 2 \\
\end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu:

    Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số có 1 điểm cực tiểu.

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hàm số đa thức bậc bốn f(x). Đồ thị hàm số y = f'(3 - 2x) được biểu thị trong hình vẽ sau:

    Hàm số y = f(x) nghịch biến trong khoảng nào?

    Đặt t = 3 - 2x. Ta có bảng xét dấu của f'(3 - 2x) được mô tả lại như sau:

    Từ đó suy ra bảng xét dấu của f'(t)

    Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng ( - \infty; -
1),(3;5).

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hình vẽ:

    Đồ thị được cho trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?

    Từ đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số a > 0

    Mặt khác hàm số đạt cực tiểu tại x = 1;x= - 1 và giá trị cực tiểu y(1) = y(- 1) = - 2 nên hàm số cần tìm là y= x^{4} - 2x^{2} - 1.

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu tiệm cận?

    Đồ thị của hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên \mathbb{R}?

     Hàm số y = x – sinx có tập các định D = \mathbb{R}y' = 1 - \cos x \geqslant 0, \vee x \in \mathbb{R}

    Nên hàm số luôn đồng biến trên \mathbb{R}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Số dân số của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5} (f(t) được tính bằng nghìn người). Biết rằng đạo hàm của hàm số f(t) biểu thị tốc độ gia tăng dân số của thị trấn ( đơn vị là nghìn người/ năm). Vào năm nào thì tốc độ gia tăng dân số là \frac{2}{15} nghìn người/ năm?

    Ta có f'(t) = \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} ight)}^2}}},t \geqslant 0

    Lại có

    f'(t) = \frac{2}{{15}} \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} ight)}^2}}} = \frac{2}{{15}}

    \Leftrightarrow (t + 5)^{2} = 900
\Leftrightarrow t = 25\ do\ t \geq 0)

    Vậy dự báo vào năm 1995 thì tốc độ gia tăng dân số là \frac{2}{15} nghìn người/ năm.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y
= \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + (5m - 4)x - 1 không có điểm cực trị?

    Ta có: y' = x^{2} - 2mx + 5m -
4

    Hàm số đã cho không có cực trị khi và chỉ khi y' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

    \Leftrightarrow \Delta' \leq 0
\Leftrightarrow m^{2} - 5m + 4 \leq 0 \Leftrightarrow m \in \lbrack
1;4brack

    m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in
\left\{ 1;2;3;4 ight\}

    Vậy có bốn giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 19: Nhận biết

    Hàm số f(x) =
\frac{2x + 3}{x - 1} nghịch biến trên khoảng nào?

    Tập xác định D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ 1 ight\}

    f'(x) = \frac{- 5}{(x - 1)^{2}} <
0;\forall x \in D suy ra hàm số nghịch biến trên ( - \infty;1)(1; + \infty).

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ.

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số

    Biết f(-4) > f(8), khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên bằng:

    Từ bảng biến thiên ta có:

    \begin{matrix}  f\left( x ight) \geqslant f\left( { - 4} ight),\forall x \in \left( { - \infty ;0} ight] \hfill \\  f\left( x ight) \geqslant f\left( 8 ight),\forall x \in \left( { - \infty ;0} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác f(-4) > f(8) => \forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } ight) thì f\left( x ight) \geqslant f\left( 8 ight)

    Vậy \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x ight) = f\left( 8 ight)

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 53 lượt xem
Sắp xếp theo