Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - xy + 3 = 0} \\ {2x + 3y - 14 \leqslant 0} \end{array}} ight.. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = 3{x^2}y - x{y^2} - 2{x^3} + 2x bằng:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 0,y > 0} \\ {{x^2} - xy + 3 = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow y = \frac{{{x^2} + 3}}{x} = x + \frac{3}{x}

    Lại có: 2x + 3y - 14 \leqslant 0

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 2x + 3\left( {x + \dfrac{3}{x} - 14} ight) \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 5{x^2} - 14x + 9 \leqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {1;\dfrac{9}{5}} ight] \hfill \\ \end{matrix}

    Từ đó P = 3{x^2}\left( {x + \frac{3}{x}} ight) - x\left( {x + \frac{3}{x}} ight) - 2{x^3} + 2x = 5x - \frac{9}{x}

    Xét hàm số f\left( x ight) = 5x - \frac{9}{x};\forall x \in \left[ {1;\frac{9}{5}} ight]

    f'\left( x ight) = 5 + \frac{9}{{{x^2}}} > 0;\forall x \in \left[ {1;\frac{9}{5}} ight]

    => Hàm số đồng biến trên \left[ {1;\frac{9}{5}} ight]

    => f\left( 1 ight) \leqslant f\left( x ight) \leqslant f\left( {\frac{9}{5}} ight) \Rightarrow - 4 \leqslant f\left( x ight) \leqslant 4

    => \max P + \min P = 4 + \left( { - 4} ight) = 0

  • Câu 2: Vận dụng

    Để đồ thị hàm số y = x^{4} - 2mx^{2} + m- 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tìm giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Để đồ thị hàm số y = x^{4} - 2mx^{2} + m- 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tìm giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{2}(x - 1)^{3}(2 - x). Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

    Ta có bảng xét dấu:

    Từ bảng xét dấu trên ta có hàm số y = f(x) đồng biến trên (1;2).

  • Câu 4: Thông hiểu

    Số tiệm cận của hàm số y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}}{{\sqrt {{x^2} - 9} - 4}} là:

    Tập xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 9 \geqslant 0} \\ {\sqrt {{x^2} - 9} e 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - \infty ; - 3} ight] \cup \left[ {3; + \infty } ight)\backslash \left\{ { \pm 5} ight\}

    Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x ight) = 2

    => Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang

    Mặt khác \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm {5^ + }} f\left( x ight) = \mp \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm {5^ - }} f\left( x ight) = \pm \infty

    => Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng

    Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.

  • Câu 5: Nhận biết

    Chọn hàm số tương ứng với đồ thị hàm số trong hình vẽ dưới đây:

    Chọn hàm số tương ứng với đồ thị hàm số

    Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:

    Hàm số có dạng hàm số bậc bốn trùng phương: y = a{x^4} + b{x^2} + c

    => Loại đáp án B

    Đồ thị có nhánh cuối của đồ thị đi lên

    => Hệ số a > 0

    => Loại đáp án A

    Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm O

    => c = 0

    => Loại đáp án C

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{2x - 1}{x - 1}.

    a) Đạo hàm của hàm số đã cho là y' = - \frac{1}{(x - 1)^{2}}. Đúng||Sai

    b) Đạo hàm của hàm số đã cho nhận giá trị âm với mọi x eq 1. Đúng||Sai

    c) Bảng biến thiên của hàm số đã cho như sau:

    Sai||Đúng

    d) Đồ thị của hàm số đã cho là đường cong trong hình sau:

    Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{2x - 1}{x - 1}.

    a) Đạo hàm của hàm số đã cho là y' = - \frac{1}{(x - 1)^{2}}. Đúng||Sai

    b) Đạo hàm của hàm số đã cho nhận giá trị âm với mọi x eq 1. Đúng||Sai

    c) Bảng biến thiên của hàm số đã cho như sau:

    Sai||Đúng

    d) Đồ thị của hàm số đã cho là đường cong trong hình sau:

    Đúng||Sai

    Ta có: y' = - \frac{1}{(x - 1)^{2}}, \forall x eq 1 nên đạo hàm của hàm số đã cho nhận giá trị âm với mọi x eq 1.

    Bảng biến thiên:

    Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng ( - \infty;1) và (1; + \infty).

    Đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 2, nhận điểm I(1;2) là giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

    Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;1) và đi qua điểm có tọa độ (2;3).

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x). Đồ thị của hàm số y = f’(x) được biểu diễn trong hình vẽ dưới đây.

    Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

    Biết rằng f\left( 0 ight) + f\left( 1 ight) + f\left( 3 ight) = f\left( 4 ight) + 2f\left( 2 ight). Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn [0; 4]?

    Ta có bảng xét dấu như sau:

    Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

    Dựa vào bảng xét dấy ta có M = f(2), GTNN chỉ có thể là f(0) hoặc f(4)

    Ta lại có

    f(1) và f(3) nhỏ hơn f(2) => f(1) + f(3) < 2f(2)

    => 2f(2) – f(1) – f(3) > 0

    Theo bài ra ta có:

    f(0) + f(1) + f(3) = f(4) + 2f(2)

    => f(0) – f(4) = 2f(2) – f(1) – f(3) > 0

    => f(0) – f(4) > 0 => f(0) > f(4)

    => GTNN đạt được tại x = 4

  • Câu 8: Vận dụng

    Tìm tập hợp các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = \frac{{x - 1}}{{mx - 1}} có tiệm cận đứng là:

     Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m e 0} \\ { - 1 + m e 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m e 0} \\ {m e 1} \end{array}} ight.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Biết m_{0} là giá trị của tham số m để hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + mx - 1 có hai điểm cực trị x_{1};x_{2} sao cho {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1}x_{2} = 13. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: y' = 3x^{2} - 6x + m

    Hàm số có hai cực trị \Leftrightarrow \Delta' = 9 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 3

    x_{1};x_{2} là hai nghiệm của phương trình 3x^{2} - 6x + m = 0

    Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: \left\{\begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = 2 \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{m}{3} \\\end{matrix} ight.

    Ta có: {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1}x_{2} = 13

    \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 3x_{1}x_{2} = 13

    \Leftrightarrow m = - 9 \in ( - 15; - 7).

  • Câu 10: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{mx - 3}{2x - m} đồng biến trên từng khoảng xác định?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{mx - 3}{2x - m} đồng biến trên từng khoảng xác định?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và f'(x) < 0,\forall x \in (0; + \infty) biết f(0) = 3. Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra.

    Do f^{'}(x) < 0,\forall x \in (0; + \infty) nên hàm số y = f(x) nghịch biến trên (0; + \infty).

    Khi đó ta có:

    f(2024) < f(0) = 3 \Rightarrow f(2024) = 3,5 sai

    f(2023) < f(0) = 3 \Rightarrow f(2023) + f(2024) < 3 + 3 = 6 \Rightarrow f(2023) + f(2024) = 6 sai

    f(2023) > f(2024) \Rightarrow f(2023) < f(2024) sai

    Do đó, f( - 2024) = 3 đúng.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{\cos x + m^{2}}{2 - \cos x} có giá trị lớn nhất trên \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3} ightbrack bằng 1. Số phần tử của tập hợp S:

    Ta có: y = \frac{\cos x + m^{2}}{2 - \cos x};\forall x \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3} ightbrack

    Đặt t = \cos x;(0 \leq t \leq 1)

    Hàm số đã cho trở thành: f(t) = \frac{t + m^{2}}{2 - t};\forall t \in \lbrack 0;1brack

    Ta có: f'(t) = \frac{2 + m^{2}}{(2 - t)^{2}} > 0;\forall t \in \lbrack 0;1brack

    \Rightarrow \underset{\left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3} ightbrack}{\max y} = f(1) = m^{2} + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0

    Vậy số phần tử của tập hợp S là 1.

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^{3};\forall x\mathbb{\in R}. Số điểm cực đại của hàm số là:

    Ta có: f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Lập bảng biến thiên của hàm số

    Suy ra số điểm cực đại của hàm số là 1 điểm.

  • Câu 14: Nhận biết

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x^{3} - 3x + 2 trên đoạn \lbrack - 3;2brack bằng

    Ta có:

    f'(x) = 3x^{2} - 3; f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight..

    \left\{ \begin{matrix} f( - 3) = - 16 \\ f( - 1) = 4 \\ f(1) = 0 \\ f(3) = 20 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack - 3;3brack}f(x) = - 16.

  • Câu 15: Vận dụng

    Gọi P là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = {x^3} - 3\left( {m - 2} ight){x^2} + 12x + 1 đồng biến trên tập xác định của nó. Tổng các phần tử của tập hợp P là:

    Ta có: y' = 3{x^2} - 6\left( {m - 2} ight)x + 12

    Hàm số đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi

    \begin{matrix} y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3 > 0} \\ {\left( {{\Delta _{y'}}} ight)' = 9{{\left( {m - 2} ight)}^2} - 36 \leqslant 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow 0 \leqslant m \leqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}

    Kết hợp với điều kiện m \in \mathbb{Z}

    => m \in \left\{ {0;1;2;3;4} ight\}

    => Tổng P bằng 10

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ 0 ight\}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) = m - 1 có ba nghiệm thực phân biệt?

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = m - 1 có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi 1 < m - 1 < 3 \Leftrightarrow 2 < m < 4 \Rightarrow m \in (2;4)

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = - x^{3} - 6x^{2} + (4m - 9)x + 4 nghịch biến trên khoảng ( - \infty; - 3) là:

    Ta có: y' = - 3x^{2} - 12x + 4m - 9

    Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - \infty; - 3) khi y' \leq 0;\forall x \in ( - \infty; - 3)

    \Leftrightarrow - 3x^{2} - 12x + 4m - 9 \leq 0;\forall x \in ( - \infty; - 3)

    \Leftrightarrow 4m \leq 3x^{2} + 12x + 9;\forall x \in ( - \infty; - 3)

    Đặt f(x) = 3x^{2} + 12x + 9 ta có: f'(x) = 6x + 12. Ta có bảng biến thiên của f(x) như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

    4m \leq 3x^{2} + 12x + 9;\forall x \in ( - \infty; - 3)

    \Leftrightarrow 4m \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 0

    Vậy ( - \infty;0brack là giá trị của tham số m cần tìm.

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số f\left( {{x^3} - m{x^2} - 2x + m} ight) có đúng 6 điểm cực trị?

    Điều kiện của m để hàm số có 6 cực trị

    Xét hàm số g\left( x ight) = f\left( {{x^3} - m{x^2} - 2x + m} ight)

    g'\left( x ight) = \left( {3{x^2} - 2mx - 2} ight).f'\left( {{x^3} - m{x^2} - 2x + m} ight)

    Yêu cầu bài toán xảy ra khi phương trình đạo hàm phải có 6 nghiệm bội lẻ:

    Ta có:

    g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3{x^2} - 2mx - 2 = 0} \\ {f'\left( {{x^3} - m{x^2} - 2x + m} ight) = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3{x^2} - 2mx - 2 = 0\left( * ight)} \\ \begin{gathered} {x^3} - m{x^2} - 2x + m = - 1{\text{ }} \hfill \\ {x^3} - m{x^2} - 2x + m = 1{\text{ }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight.

    Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt => Hai phương trình còn lại phải cho đúng 4 nghiệm nghiệm bội lẻ.

    \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} - m{x^2} - 2x + m = - 1{\text{ }}} \\ {{x^3} - m{x^2} - 2x + m = 1{\text{ }}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x - 1} ight)\left[ {{x^2} - \left( {m - 1} ight)x - m - 1} ight] = 0{\text{ }}\left( 1 ight)} \\ {\left( {x - 1} ight)\left[ {{x^2} - \left( {m + 1} ight)x + m - 1} ight] = 0{\text{ }}\left( 2 ight)} \end{array}} ight.

    Nhận thấy hai phương trình (1), (2) luôn cho hai nghiệm phân biệt vafcacs nghiệm của hai phương trình này không trùng nhau.

    Để hai phương trình có đúng 4 nghiệm bội lẻ thì:

    TH1: x = 1 là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m – 1)x – m – 1] = 0 và x = -1 không phải là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m + 1)x + m – 1] = 0

    TH2: x = -1 là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m + 1)x + m – 1] = 0 và x = 1 không phải là nghiệm của (x – 1)[x2 – (m – 1)x - m – 1] = 0

    => \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \left( {m - 1} ight) - m - 1 = 0} \\ {1 + \left( {m + 1} ight) + m - 1 e 0} \end{array}} ight.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - \left( {m - 1} ight) - m - 1 e 0} \\ {1 + \left( {m + 1} ight) + m - 1 = 0} \end{array}} ight.} \end{array}} ight.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = \dfrac{1}{2}} \\ {m e - \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight.} \\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m e \dfrac{1}{2}} \\ {m = - \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight.} \end{array}} ight. \Rightarrow m \pm \frac{1}{2}

    Vậy có hai giá thực của m thỏa mãn

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{2x + 2}{x - 1}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: y' = \frac{- 4}{(x - 1)^{2}} < 0;\forall x eq 1

    Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng ( - \infty;1),(1; + \infty)

    Mà (2; + \infty) \subset (1; + \infty) nên hàm số cũng nghịch biến trên khoảng (2; + \infty).

  • Câu 20: Nhận biết

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{x}{x^{2} - 1} là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 1 ight\}

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{x}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^{2}}} = 0 suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{x}{x^{2} - 1} là y = 0.

    Lại có \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x}{x^{2} - 1} = + \infty;\lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x}{x^{2} - 1} = - \infty suy ra x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}\frac{x}{x^{2} - 1} = - \infty;\lim_{x ightarrow ( - 1)^{-}}\frac{x}{x^{2} - 1} = + \infty suy ra x = - 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    Vậy có tất cả 3 đường tiệm cận.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 53 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập