Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng

Cho hàm số $y = \frac{mx^{2} + \left( m^{2} + m + 2 ight)x + m^{2} + 3}{x + 1}$ . Tìm $m \in \mathbb{R}$ để khoảng cách từ gốc $O$ đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = \frac{mx^{2} + \left( m^{2} + m + 2 ight)x + m^{2} + 3}{x + 1}$ . Tìm $m \in \mathbb{R}$ để khoảng cách từ gốc $O$ đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 2: Vận dụng
Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = 2{x^3} - 3m{x^2} + 6mx + 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
- A. 3
- B. 4
- C. 5
- D. 6
Ta có: $y' = 6{x^2} - 6mx + 6m$
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi
$\begin{matrix} y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 6 > 0} \\ {\Delta ' = 9{m^2} - 36m \leqslant 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow 0 \leqslant m \leqslant 4 \hfill \\ \end{matrix}$
Kết hợp với điều kiện $m \in \mathbb{Z}$
Vậy có tất cả 5 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 3: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ , đạo hàm $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Tìm số điểm cực tiểu của hàm số $y = f(x)$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương. Dựa vào đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu.
Câu 4: Thông hiểu
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 2 ight)x$ đồng biến trên khoảng $(12; + \infty)$ ?
- A.
  $11$
- B.
  $10$
- C.
  $13$
- D.
  $0$
Ta có: $y' = 3x^{2} - 6mx + 3\left( m^{2} - 2 ight)$

Hàm số $y = x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 2 ight)x$ đồng biến trên khoảng $(12; + \infty)$

$\Leftrightarrow y' \geq 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 6mx + 3\left( m^{2} - 2 ight) \geq 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2mx + m^{2} - 2 \geq 0$

$\Leftrightarrow (x - m)^{2} \geq 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - m \geq \sqrt{2} \\ x - m \leq - \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \geq m + \sqrt{2} \\ x \leq m - \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$

Theo yêu cầu bài toán ta có: $\sqrt{2} + m \leq 12 \Leftrightarrow m \leq 12 - \sqrt{2}$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 1;2;3;...;9;10 ight\}$

Suy ra có tất cả 10 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 5: Thông hiểu
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + (2m - 1)x - m + 2$ nghịch biến trên khoảng $( - 3;0)$ ?
- A.
  $m \geq - 1$
- B.
  $m = - 2$
- C.
  $m \leq - 1$
- D.
  $m \leq - \frac{1}{2}$
Ta có: $y' = x^{2} - 2mx + 2m - 1$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2m - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $( - 3;0)$ khi $( - 3;0)$ nằm trong khoảng hai nghiệm

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \leq - 3 < 0 \leq 2m - 1 \\ 2m - 1 \leq - 3 < 0 \leq 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 2m - 1 \leq - 3 \Leftrightarrow m \leq - 1$

Vậy đáp án cần tìm là $m \leq - 1$ .
Câu 6: Vận dụng

Ông A dự định sử dụng hết $8\ \ m^{2}$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu $m^{3}$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 2,1

Đáp án là:

Ông A dự định sử dụng hết $8\ \ m^{2}$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu $m^{3}$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 2,1

Gọi $x,h$ $(m)$ lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bể cá.

Ta có thể tích bể cá $V = 2x^{2}h$ .

Theo đề bài ta có:

$2xh + 2.2xh + 2x^{2} = 8$

$\Leftrightarrow 6xh + 2x^{2} = 8$

$\Leftrightarrow h = \frac{8 - 2x^{2}}{6x}$

$V = 2x^{2}\frac{8 - 2x^{2}}{6x} = \frac{8x - 2x^{3}}{3}$

$\Rightarrow V' = \frac{8 - 6x^{2}}{3}$

$\Rightarrow V' = 0$

$\Leftrightarrow 8 - 6x^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ta có bảng biển thiên

$\Rightarrow V_{\max} = \frac{32\sqrt{3}}{27} \approx 2,1\ \ m^{3}$
Câu 7: Thông hiểu
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - (m - 1)x^{2} - 4mx$ đồng biến trên đoạn $\lbrack 1;4brack$ ?
- A.
  $\frac{1}{2} < m < 2$
- B.
  $m\mathbb{\in R}$
- C.
  $m \leq 2$
- D.
  $m \leq \frac{1}{2}$
Theo yêu cầu bài toán ta có:

$y' = x^{2} - 2(m - 1)x - 4m \geq 0;\forall x \in \lbrack 1;4brack(*)$

Để hàm số đồng biến trên đoạn $\lbrack 1;4brack$

$\Leftrightarrow y' \geq 0;\forall x \in \lbrack 1;4brack$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2(m - 1)x - 4m \geq 0$

$\Leftrightarrow m \leq \frac{x^{2} + 2x}{4 + 2x}$

Đặt $g(x) = \frac{x^{2} + 2x}{4 + 2x} \Rightarrow g'(x) = \frac{8x}{(4 + 2x)^{2}} > 0;\forall x \in \lbrack 1;4brack$

$\Rightarrow \min_{\lbrack 1;4brack}g(x) = g(1) = \frac{1}{2} \Rightarrow m \leq \frac{1}{2}$

Vậy $m \leq \frac{1}{2}$ là đáp án cần tìm.
Câu 8: Vận dụng

Cho hàm số bậc ba $y = f(x) =\frac{1}{3}x^{3} - (m - 2)x^{2} - 9x + 1$ với $m$ là tham số. Gọi $x_{1};x_{2}$ là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| 9x_{1} - 25x_{2} ight|$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số bậc ba $y = f(x) =\frac{1}{3}x^{3} - (m - 2)x^{2} - 9x + 1$ với $m$ là tham số. Gọi $x_{1};x_{2}$ là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| 9x_{1} - 25x_{2} ight|$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 9: Vận dụng cao

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 100 km. Vận tốc dòng nước là $5(km/h)$ . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v(km/h),(v > 5)$ thì năng lượng tiêu hao của cá trong $t$ giờ được cho bởi công thức $E(v) = c.v^{3}.t$ , trong đó $c$ là hằng số dương, $E$ được tính bằng Jun. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng $(a;b)$ thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của $b - a$ (kết quả làm tròn tới hàng phần mười).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 100 km. Vận tốc dòng nước là $5(km/h)$ . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v(km/h),(v > 5)$ thì năng lượng tiêu hao của cá trong $t$ giờ được cho bởi công thức $E(v) = c.v^{3}.t$ , trong đó $c$ là hằng số dương, $E$ được tính bằng Jun. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng $(a;b)$ thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của $b - a$ (kết quả làm tròn tới hàng phần mười).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 10: Nhận biết
Trên đoạn $\lbrack 0;1brack$ hàm số $y = \sqrt{4 - 3x}$ có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
- A.
  $2$
- B.
  $1$
- C.
  $0$
- D.
  $4$
Tập xác định $D = \left( - \infty;\frac{4}{3} ightbrack$

Ta có: $y' = \frac{- 3}{2\sqrt{4 - 3x}} < 0;\forall x < \frac{4}{3}$

Trên đoạn $\lbrack 0;1brack$ hàm số đã cho nghịch biến

$\Rightarrow \min_{\lbrack 0;1brack}y = y(1) = 1$
Câu 11: Thông hiểu
Cho đồ thị:

Xác định hàm số tương ứng với đồ thị hàm số đã cho?
- A.
  $y = - x^{4} + 2x^{2} - 1$
- B.
  $y = - x^{4} + 2x^{2} - 3$
- C.
  $y = - x^{4} + 3x^{2} - 1$
- D.
  $y = - x^{4} + x^{2} - 1$
Nhận diện đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có $a < 0$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0; - 1)$ nên loại hàm số $y = - x^{4} + 2x^{2} - 3$ .

Đồ thị hàm số có các cực trị là $(1;0),( - 1;0)$ nên hàm số cần tìm là $y = - x^{4} + 2x^{2} - 1$ .
Câu 12: Thông hiểu
Cho hàm số $y = x^{4} - (3m + 2)x^{2} + 3m$ có đồ thị $\left( C_{m} ight)$ . Xác định tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $\left( C_{m} ight)$ cắt đường thẳng $y = - 1$ tại bốn điểm phân biệt?
- A.
  $m < - \frac{1}{3}$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ m > - \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $m eq 0$
- D.
  $m > - \frac{1}{3}$
Phương trình hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

$x^{4} - (3m + 2)x^{2} + 3m = - 1$

$\Leftrightarrow x^{4} - (3m + 2)x^{2} + 3m + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)^{2} - 3m\left( x^{2} - 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} - 3m - 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} - 3m - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ x^{2} = 3m + 1 \\ \end{matrix} ight.$

Đồ thị $\left( C_{m} ight)$ cắt $y = - 1$ tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi $x^{2} = 3m + 1$ có hai nghiệm phân biệt khác $\pm 1$

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix}3m + 1 > 0 \\3m + 1 eq 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m > - \dfrac{1}{3} \\m eq 0 \\\end{matrix} ight.$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 1}$ .
- A.
  $x = 1;y = 1$ .
- B.
  $x = 1;y = - 1;y = 1$ .
- C.
  $y = - 1;y = 1$ .
- D.
  $x = 1;x=2;y=1$ .
Tập xác định của hàm số: $D = ( - \infty; - 2brack \cup \lbrack 2; + \infty)$ .

+) Ta có: $\lim_{x ightarrow 1^{+}}y$ và $\lim_{x ightarrow 1^{-}}y$ không tồn tại nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

+) Ta có: $\lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 1} = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}}}{1 - \frac{1}{x}} = 1$

và $\lim_{x ightarrow - \infty}y =\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 1}$ $= \lim_{xightarrow - \infty}\frac{- \sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}}}{1 -\frac{1}{x}} = - 1 \Rightarrow y = 1,y = - 1$ là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 14: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
- A.
  $1$
- B.
  $3$
- C.
  $4$
- D.
  $2$
Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = + \infty$ nên hàm số có tiệm cận ngang là $y = 2$ và tiệm cận đứng là $x = 0$ .
Câu 15: Nhận biết
Hàm số nào dưới dây nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?
- A.
  $y = \frac{2x - 3}{x + 3}$
- B.
  $y = x^{4} - 2x^{2}$
- C.
  $y = x^{3} + 2x - 2020$
- D.
  $y = x^{2} + 2x - 1$
Xét hàm số $y = x^{3} + 2x - 2020$ có $y' = 3x^{2} + 2 > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ suy ra hàm số $y = x^{3} + 2x - 2020$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + (4 - m)x$ đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ là:
- A.
  $( - \infty;1brack$
- B.
  $( - \infty;4brack$
- C.
  $( - \infty;1)$
- D.
  $( - \infty;4)$
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 6x + 4 - m$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; + \infty) \Leftrightarrow y' \geq 0;\forall x \in (2; + \infty)$

$\Leftrightarrow m \leq 3x^{2} - 6x + 4;\forall x \in (2; + \infty)$

Xét hàm số $g(x) = 3x^{2} - 6x + 4$ trên khoảng $(2; + \infty)$ .

Ta có: $g'(x) = 6x - 6;g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $m \leq g(x);;\forall x \in (2; + \infty) \Leftrightarrow m \leq 4$

Vậy $m \leq 4$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 17: Nhận biết
Cho hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + 3}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty;3)$ và $(3; + \infty)$ .
- B.
  Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( - \infty;\frac{1}{2} ight)$ và $\left( \frac{1}{2}; + \infty ight)$ .
- C.
  Hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty; - 3)$ và $( - 3; + \infty)$ .
- D.
  Hàm số đồng biến $\mathbb{R}$ .
Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 3 ight\}$

Ta có: $y' = \frac{7}{(x + 3)^{2}} > 0;\forall x \in D$

Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $( - \infty;3)$ và $(3; + \infty)$ .
Câu 18: Thông hiểu
Cho hàm số $y = {x^4} - 2{x^2} + 1$ có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác ABC. Diện tích tam giác ABC bằng:
- A. $S = 2$
- B. $S = 1$
- C. $S = \dfrac{1}{2}$
- D. $S = 4$
Ta có: $y' = 4{x^3} - 4x$
Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A\left( {0;1} ight),B\left( { - 1;0} ight),C\left( {1;0} ight)$
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1} ight),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0} \\ {AB = AC = \sqrt 2 } \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
=> Tam giác ABC vuông cân tại A => $S = \frac{1}{2}AB.AC = 1$
Câu 19: Nhận biết
Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
- A.
  $y = - x^{4} + 2x^{2}$
- B.
  $y = x^{4} - 2x^{2}$
- C.
  $y = x^{3} - 3x^{2}$
- D.
  $y = - x^{3} + 3x^{2}$
Đồ thị hàm số là hàm số bậc $4$ với $\left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ ab < 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 20: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = \left\lbrack f\left( x^{2}+ 2x ight) ightbrack'$ có đồ thị như hình vẽ:
Tổng các giá trị nguyên của tham số $m \in\lbrack - 10;10brack$ để hàm số $y= g(x) = f\left( |x - 2| + m ight)$ có $5$ điểm cực trị bằng:
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = \left\lbrack f\left( x^{2}+ 2x ight) ightbrack'$ có đồ thị như hình vẽ:
Tổng các giá trị nguyên của tham số $m \in\lbrack - 10;10brack$ để hàm số $y= g(x) = f\left( |x - 2| + m ight)$ có $5$ điểm cực trị bằng:
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận