Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn 3x.f\left( x ight) - {x^2}.f'\left( x ight) = 2{f^2}\left( x ight), với f(x) ≠ 0 với ∀x ∈ (0; +∞) và f\left( 1 ight) = \frac{1}{3}. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [1;2]. Tính tổng M + m.

    Ta có:

    \begin{matrix} 3x.f\left( x ight) - {x^2}.f'\left( x ight) = 2{f^2}\left( x ight) \hfill \\ \Rightarrow 3{x^2}f\left( x ight) - {x^3}f'\left( x ight) = 2x{f^2}\left( x ight) \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{3{x^2}f\left( x ight) - {x^3}f'\left( x ight)}}{{{f^2}\left( x ight)}} = 2x \hfill \\ \Rightarrow \left( {\dfrac{{{x^3}}}{{f\left( x ight)}}} ight)' = 2x \Rightarrow \dfrac{{{x^3}}}{{f\left( x ight)}} = {x^2} + C \hfill \\ \end{matrix}

    Thay x = 1 vào ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{{f\left( 1 ight)}} = 1 + C} \\ {f\left( 1 ight) = \dfrac{1}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow C = 2

    \begin{matrix} \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2}} \hfill \\ f'\left( x ight) = \dfrac{{{x^4} + 6{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 2} ight)}^2}}} \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \Rightarrow x = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên

    Tính tổng GTLN và GTNN của hàm số

    Khi đó f(x) đồng biến trên [1; 2]

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = f\left( 1 ight) = \dfrac{1}{3}} \\ {M = f\left( 2 ight) = \dfrac{4}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow m + M = \dfrac{5}{3}

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in ( - 2021;2021) để hàm số y = \left| x^{4} - 4x^{2} + m + 2020ight| có 7 điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in ( - 2021;2021) để hàm số y = \left| x^{4} - 4x^{2} + m + 2020ight| có 7 điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 3: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình x^{3} - 3x^{2} - m^{2} + 5m = 0 có ba nghiệm thực phân biệt?

    Đặt f(x) = x^{3} - 3x^{2} - m^{2} + 5m

    Để x^{3} - 3x^{2} - m^{2} + 5m = 0 có ba nghiệm thực phân biệt thì f'(x) = 0 có ba nghiệm thực phân biệt x_{1};x_{2} thỏa mãn f\left( x_{1} ight).f\left( x_{2} ight) < 0

    Ta có: f'(x) = 3x^{2} - 6x \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} f(0) = - m^{2} + 5m \\ f(2) = - m^{2} + 5m - 4 \\ \end{matrix} ight..

    Khi đó f(0).f(2) = \left( - m^{2} + 5m ight)\left( - m^{2} + 5m - 4 ight) < 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < m < 1 \\ 4 < m < 5 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy không có giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

  • Câu 4: Nhận biết

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}. Kết luận nào sau đây đúng?

    Vì hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} nên hàm số đồng biến trên \mathbb{R}.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hình vẽ là đồ thị hàm số y = f'(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Từ đồ thị y = f'(x) ta có bảng xét dấu y = f'(x) như sau:

    Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)

  • Câu 6: Nhận biết

    Hàm số y = - x^{3} + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

    Ta có: y' = - 3x^{2} \leq 0;\forall x\mathbb{\in R} suy ra hàm số luôn nghịch biến trên \mathbb{R}.

    Vậy hàm số đã cho không có điểm cực trị.

  • Câu 7: Nhận biết

    Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{2} - 4} có phương trình là:

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{x + 1}{x^{2} - 4} = 0

    Vậy đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

  • Câu 8: Nhận biết

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 – 3x + 5 trên đoạn [0; 2] là:

    Xét hàm số f(x) = x3 – 3x + 5 trên [0; 2] có:

    f’(x) = 3x3 – 3

    f’(x) = 0 =>\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant x \leqslant 2} \\ {3{x^2} - 3 = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow x = 1

    Tính được f(0) = 5; f(1) = 3; f(2) = 7

    Vậy \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} ight]} f\left( x ight) = f\left( 1 ight) = 3

  • Câu 9: Thông hiểu

    Giá trị lớn nhất của hàm số y = \sqrt { - {x^2} + 4x} trên khoảng (0; 3)

    Tập xác định D = \left[ {0;4} ight]

    Xét hàm số y = \sqrt { - {x^2} + 4x} trên khoảng (0;3)

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \frac{{ - x + 2}}{{\sqrt { - {x^2} + 4x} }} \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow x = 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên:

    Tìm GTLN của hàm số

    Trên khoảng (0; 3) giá trị lớn nhất của hàm số y = 2

  • Câu 10: Thông hiểu

    Xác định giá trị của a để hàm số f\left( x ight) = \sin x - ax + b nghịch biến trên trục số.

     Ta có: y' = \cos x - a

    Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}

    \begin{matrix} \Rightarrow \cos x - a \leqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow a \geqslant \cos x,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow a \geqslant 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Vận dụng

    Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{{\left( {2m - 1} ight)x + 1}}{{x - m}} có đường tiệm cận ngang y = 3 là:

    Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là:

    - m\left( {2m - 1} ight) - 1 e 0 \Rightarrow 2{m^2} - m + 1 e 0 luôn đúng với \forall x \in \mathbb{R}

    Phương trình đường tiệm cận ngang là y = 2m - 1 nên ta có 2x - 1 = 3 \Rightarrow m = 2

  • Câu 12: Vận dụng

    Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}mx^{2} + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Khi đó tổng tất cả các giá trị của các phần tử trong tập hợp S bằng:

    Ta có: y' = x^{2} - mx + 2m

    \Leftrightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} - mx + 2m = 0(*)

    Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình (*) ta có bảng biến thiên:

    Hàm số y nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x_{1};x_{2} thỏa mãn \left| x_{1} - x_{2} ight| = 3

    (*) có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta = m^{2} - 8m > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ m > 8 \\ \end{matrix} ight.\ (**)

    \left| x_{1} - x_{2} ight| = 3 \Leftrightarrow \left( x_{1} - x_{2} ight)^{2} = 9 \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 4x_{1}.x_{2} = 9

    \Leftrightarrow m^{2} - 8m - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \left( tm(**) ight)

    Suy ra S = \left\{ 9; - 1 ight\}

    Vậy tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 8.

  • Câu 13: Nhận biết

    Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ:

    Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số a > 0 cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 0 nên hàm số cần tìm là y = x^{4} - 2x^{2} - 1.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Đợt xuất khẩu gạo của tính B kéo dài trong 20 ngày. Người ta nhận thấy có lượng xuất khẩu gạo tính theo ngày thứ t được xác định bởi công thức S(t) = t^{3} - 24t^{2} + 144t + 2500. Hỏi trong mấy ngày đó, ngày thứ mấy có số lượng xuất khẩu gạo cao nhất?

    Xét hàm số S(t) = t^{3} - 24t^{2} + 144t + 2500 với 1 \leq t \leq 20.

    Ta có: S^{'}(t) = 3t^{2} - 48t + 144

    S^{'}(t) = 0 \Rightarrow 3t^{2} - 48t + 144 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 4 \in \lbrack 1;20brack \\ t = 12 \in \lbrack 1;20brack \\ \end{matrix} ight.

    Lại có: S(1) = 2621;S(4) = 2756;S(12) = 2500;S(20) = 3780.

    Do đó: \max_{\lbrack 1;20brack}S(t) = S(20) = 3780.

    Vậy ngày thứ 20 là ngày có số lượng gạo xuất khẩu cao nhất.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{x^{2} - 3x + 2}{4 - x^{2}} là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 2 ight\}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{4 - {x^2}}}} ight) = - 1 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{4 - {x^2}}}} ight) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. nên y = - 1 là tiện cận ngang của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow 2}y = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(x - 1)(x - 2)}{(2 - x)(2 + x)} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{1 - x}{x + 2} = - \frac{1}{4}

    \lim_{x ightarrow ( - 2)^{+}}y = \lim_{x ightarrow ( - 2)^{+}}\frac{(x - 1)(x - 2)}{(2 - x)(2 + x)} = - \infty suy ra x = - 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 2.

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ:

    Xét hàm số g(x) = f\left( 2x^{3} + x - 1ight) + m. Tìm m để \max_{\lbrack 0;1brack}g(x) = -10.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ:

    Xét hàm số g(x) = f\left( 2x^{3} + x - 1ight) + m. Tìm m để \max_{\lbrack 0;1brack}g(x) = -10.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + m^{2} - 8 (với mlà tham số) có đồ thị (C). Giả sử các điểm A;B;C là các điểm cực trị của (C). Để tam giác ABC đều thì giá trị của tham số m nằm trong khoảng nào sau đây?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 4x^{3} - 4(m + 1)x

    y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} - 4(m + 1)x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có ba nghiệm phân biệt hay x^{2} = m + 1 có hai nghiệm khác 0

    \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1

    Khi đó y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \sqrt{m + 1} \\ x = - \sqrt{m + 1} \\ \end{matrix} ight.

    Đồ thị (C) có ba điểm cực trị là A\left( 0;m^{2} + 8 ight);B\left( \sqrt{m + 1}; - (m + 1)^{2} + m^{2} + 8 ight);C\left( - \sqrt{m + 1}; - (m + 1)^{2} + m^{2} + 8 ight).

    Ta có: AB = AC = \sqrt{m + 1 + (m + 1)^{4}}

    Do đó tam giác ABC đều \Leftrightarrow AB = BC

    \Leftrightarrow \sqrt{m + 1 + (m + 1)^{4}} = \sqrt{4(m + 1)}

    \Leftrightarrow m + 1 + (m + 1)^{4} = 4(m + 1)

    \Leftrightarrow (m + 1)^{4} - 3(m + 1) = 0

    \Leftrightarrow (m + 1)\left\lbrack (m + 1)^{3} - 3 ightbrack = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m + 1 = 0 \\ (m + 1)^{3} - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 1 + \sqrt[3]{3} \\ \end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện m > - 1 \Rightarrow m = - 1 + \sqrt[3]{3}.

    Vậy đáp án cần tìm là m \in \left( \frac{1}{4};\frac{1}{2} ight).

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và f'(x) < 0,\forall x \in (0; + \infty) biết f(0) = 3. Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra.

    Do f^{'}(x) < 0,\forall x \in (0; + \infty) nên hàm số y = f(x) nghịch biến trên (0; + \infty).

    Khi đó ta có:

    f(2024) < f(0) = 3 \Rightarrow f(2024) = 3,5 sai

    f(2023) < f(0) = 3 \Rightarrow f(2023) + f(2024) < 3 + 3 = 6 \Rightarrow f(2023) + f(2024) = 6 sai

    f(2023) > f(2024) \Rightarrow f(2023) < f(2024) sai

    Do đó, f( - 2024) = 3 đúng.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có f'\left( x ight) = x\left( {x - 1} ight){\left( {x + 2} ight)^2}. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

    Ta có: f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = - 2} \end{array}} ight.

    Nhận thấy {\left( {x + 2} ight)^2} > 0,\forall x e - 2

    => f’(x) không đổi dấu khi qua nghiệm x = -2 nên x = -2 không là điểm cực trị của hàm số

    Ngoài ra f’(x) cùng dấu với tam thức bậc hai x2(x - 1) = x2 – x nên suy ra x = 0, x = 1 là hai điểm cực trị của hàm số.

     

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3 có đồ thị (C). Gọi A;B \in (C) và đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. Độ dài AB bằng:

    Gọi A(x;y),B( - x; - y) là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ (x > 0)

    Vì A và B thuộc (C) nên x^{3} - 3x^{2} + 3 = - \left\lbrack ( - x)^{3} - 3( - x)^{2} + 3 ightbrack

    \Leftrightarrow x^{2} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow y = 1 \\ x = - 1(L) \\ \end{matrix} ight.. Khi đó A(1;1),B( - 1; - 1)

    Độ dài đoạn AB là: AB = \sqrt{(1 + 1)^{2} + (1 + 1)^{2}} = 2\sqrt{2}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 27 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập