Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Điều kiện của tham số m để hàm số y = \frac{x + m}{x + 2} nghịch biến trên từng khoảng xác định là:

    Xét hàm số y = \frac{x + m}{x + 2} ta có:

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 2 ight\}

    Ta có: y' = \frac{2 - m}{(x + 2)^{2}}

    Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định \Leftrightarrow y' < 0;\forall x \in D

    \Leftrightarrow 2 - m < 0 \Leftrightarrow m > 2

    Vậy đáp án cần tìm là m > 2.

  • Câu 2: Nhận biết

    Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào sau đây?

    Từ hình vẽ suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số a > 0

    Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; - 4) nên hàm số cần tìm là y = x^{4} - 2x^{2} - 3.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} + x^{2} + mx + 1 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R}?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 3x^{2} + 2x + m

    Hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi y' \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Hay \Delta' \leq 0 \Leftrightarrow 1 - 3m \leq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{3}

    Vậy giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m \geq \frac{1}{3}.

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập số thực?

    Xét hàm số y = x^{3} + x có: y' = 3x^{2} + 1 > 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Suy ra hàm số y = x^{3} + x đồng biến trên tập số thực.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) xác định trên tập số thực và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

    Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

    Ta có:

    Hàm số xác định trên \mathbb{R} và bảng xét dấu đã cho ta suy ra bảng biến thiên:

    Từ đó suy ra hàm số có bốn điểm cực trị.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x^{2} + 4x - 1}{x - 1} có đồ thị là (C). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Số khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số là bằng nhau. Đúng||Sai

    b) Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm có toạ độ (−1; 2). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x). Đúng||Sai

    d) Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) là y = 2x + 5. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x^{2} + 4x - 1}{x - 1} có đồ thị là (C). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Số khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số là bằng nhau. Đúng||Sai

    b) Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm có toạ độ (−1; 2). Đúng||Sai

    c) Đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x). Đúng||Sai

    d) Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) là y = 2x + 5. Sai||Đúng

    Hàm số y = f(x) = \frac{x^{2} + 4x - 1}{x - 1} có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}

    Ta có: y' = \frac{x^{2} - 2x - 3}{(x - 1)^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    a) Đúng: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; -1) và (3;+∞) và nghịch biến trên các khoảng (−1;1) và (1;3) .

    b) Đúng: Đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm (−1;2)

    c) Đúng: Xét \lim_{x ightarrow 1^{-}}y = - \infty;\lim_{x ightarrow 1^{+}}y = + \infty nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) = \frac{x^{2} + 4x - 1}{x - 1}.

    d) Sai: Xét \lim_{x ightarrow \infty}\left\lbrack y - (x + 5) ightbrack = \lim_{x ightarrow \infty}\left\lbrack \frac{4}{x - 1} ightbrack = 0 nên đường thẳng y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) = \frac{x^{2} + 4x - 1}{x - 1}.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và đồ thị như hình vẽ.

    a) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2). Đúng||Sai

    b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_{0} = 2. Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng ( - 1;0). Đúng||Sai

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;0brack bằng 0. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và đồ thị như hình vẽ.

    a) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2). Đúng||Sai

    b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_{0} = 2. Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng ( - 1;0). Đúng||Sai

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;0brack bằng 0. Sai||Đúng

    Theo hình vẽ, hàm số nghịch biến trên khoảng (0\ ;\ 2) và đạt cực tiểu tại điểm x_{o} = 2.

    Vì hàm số đồng biến trên khoảng ( - 1\ \ ;\ 0) nên đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng đó.

    Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1\ ;\ 0brack bằng 2.

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hàm số y =f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số y = f(x - m) đồng biến trên khoảng (2020; + \infty). Hỏi tập hợp S có tất cả bao nhiêu phần tử?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y =f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số y = f(x - m) đồng biến trên khoảng (2020; + \infty). Hỏi tập hợp S có tất cả bao nhiêu phần tử?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} - mx^{2} -m^{2}x + 8 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía trên trục hoành?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} - mx^{2} -m^{2}x + 8 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía trên trục hoành?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên các khoảng ( - \infty;0) và (0; + \infty) có bảng biến thiên như hình vẽ:

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

    Vì \lim_{x ightarrow 0^{+}}y = - \infty nên đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng.

    Vậy khẳng định đúng là “Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng.”

  • Câu 11: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = \frac{x^{3} - 4x}{x^{3} - 3x - 2} có bao nhiêu đường tiệm cận?

    Ta có: y = \frac{x^{3} - 4x}{x^{3} - 3x - 2} = \frac{(x - 2)\left( x^{2} + 2x ight)}{(x - 2)\left( x^{2} + 2x + 1 ight)} = \frac{x^{2} + 2x}{x^{2} + 2x + 1}

    \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}y = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}\frac{x^{2} + 2x}{x^{2} + 2x + 1} = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}\frac{x(x + 2)}{(x + 1)^{2}} = - \infty suy ra x = - 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow \pm \infty}y =\lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( \dfrac{x^{2} + 2x}{x^{2} + 2x + 1}ight) = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( \dfrac{1 + \dfrac{2}{x}}{1+ \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} ight) = 1 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.

    Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.

  • Câu 12: Vận dụng

    Chi phí nhiên liệu của một chiếc thuyền chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 nghìn đồng trên một giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi v = 10(km/h) thì phần thứ hai bằng 30 nghìn đồng/giờ.

    Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

    a) Khi vận tốc v = 10(km/h) thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên 1 km đường sông là 48000 đồng. Đúng||Sai

    b) Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đường sông với vận tốc x (km/h) là f(x) = \frac{480}{x} + 0,03x^{3}. Sai||Đúng

    c) Khi vận tốc v = 30 (km/h) thì tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đường sông là 43000 đồng. Đúng||Sai

    d) Vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đường sông nhỏ nhất là v=20(km/h). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Chi phí nhiên liệu của một chiếc thuyền chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 nghìn đồng trên một giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi v = 10(km/h) thì phần thứ hai bằng 30 nghìn đồng/giờ.

    Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

    a) Khi vận tốc v = 10(km/h) thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên 1 km đường sông là 48000 đồng. Đúng||Sai

    b) Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đường sông với vận tốc x (km/h) là f(x) = \frac{480}{x} + 0,03x^{3}. Sai||Đúng

    c) Khi vận tốc v = 30 (km/h) thì tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đường sông là 43000 đồng. Đúng||Sai

    d) Vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đường sông nhỏ nhất là v=20(km/h). Đúng||Sai

    a) Đúng: Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là: \frac{1}{10} (giờ)

    Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: \frac{1}{10}.480000 = 48000 (đồng).

    b) Sai: Gọi x (km/h) là vận tốc của tàu, x > 0

    Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là: \frac{1}{x} (giờ)

    Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: \frac{1}{x}.480 = \frac{480}{x} (nghìn đồng)

    Hàm chi phí cho phần thứ hai là p = k.x^{3} (nghìn đồng/ giờ)

    Khi x = 10 \Rightarrow p = 30 \Rightarrow k = 0,03 \Rightarrow p = 0,03x^{3} (nghìn đồng/ giờ)

    Do đó chi phí phần 2 để chạy 1 km là: \frac{1}{x}.0,03x^{3} = 0,03x^{2} (nghìn đồng)

    Vậy tổng chi phí f(x) = \frac{480}{x} + 0,03x^{3},

    c) Đúng. Tổng chi phí f(x) = \frac{480}{x} + 0,03x^{3}

    Thay x = v = 30 ta được f(30) = \frac{480}{30} + 0,03(30)^{3} = 43(nghìn đồng).

    d) Đúng f(x) = \frac{480}{x} + 0,03x^{3} = \frac{240}{x} + \frac{240}{x} + 0,03x^{2} \geq 3\sqrt[3]{1728} = 36

    Dấu ’’=’’ xảy ra khi x = 20.

  • Câu 13: Nhận biết

    Xác định giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x^{3} - 3x + 2 trên đoạn \lbrack - 1;3brack?

    Ta có: f'(x) = 3x^{2} - 3

    \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \in \lbrack - 1;3brack \\ x = - 1 \in \lbrack - 1;3brack \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} f( - 1) = 4 \\ f(1) = 0 \\ f(3) = 20 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \underset{\lbrack - 1;3brack}{\max f(x)} = 20 \Leftrightarrow x = 3

    Vậy đáp án cần tìm là 20.

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số bậc bốn y = f(x) và y = g(x) có các đồ thị như hình dưới đây.

    Tìm các điểm cực trị của hàm số

    Số điểm cực trị của hàm số h\left( x ight) = {f^2}\left( x ight) + {g^2}\left( x ight) - 2f\left( x ight).g\left( x ight) là:

    Ta có:

    \begin{matrix} h\left( x ight) = {\left[ {f\left( x ight) - g\left( x ight)} ight]^2} \hfill \\ \Rightarrow h'\left( x ight) = 2.\left[ {f\left( x ight) - g\left( x ight)} ight]\left[ {f'\left( x ight) - g'\left( x ight)} ight] \hfill \\ h'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) - g\left( x ight) = 0\left( * ight)} \\ {f'\left( x ight) - g'\left( x ight) = 0\left( {**} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Từ đồ thị ta thấy phương trình (*) có đùng 2 nghiệm phân biệt là x = -1; x = 3, x = x1, và f(x) – g(x) đổi dấu khi đi qua các nghiệm này

    => Các nghiệm trên là nghiệm bội lẻ của (*)

    Mà f(x) và g(x) đều là đa thức bậc 4 nên bậc của phương trình (*) nhỏ hơn hoặc bằng 4

    => Phương trình (*) là phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt nên phương trình (**) phải có 2 nghiệm phân biệt không trùng với các nghiệm của phương trình (*)

    => h’(x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt và h’(x) đổi dấu khi đi qua các nghiệm đấy nên hàm số h(x) có 5 điểm cực trị.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + m - 1 với m là tham số. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt bằng:

    Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:

    x^{3} - 3x^{2} + m - 1 = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 3x^{2} + 1 = m

    Xét hàm số f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 1;\forall x\mathbb{\in R}

    Ta có: f'(x) = - 3x^{2} + 6x \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên:

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi 1 < m < 5

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 2;3;4 ight\}

    Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bằng 9.

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Cho hai số thực x, y thỏa mãn x \geqslant 0;y \geqslant 0 và x + y = 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} lần lượt là:

    Ta có: 

    P = \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} = \frac{{x\left( {x + 1} ight) + y\left( {y + 1} ight)}}{{\left( {x + 1} ight)\left( {y + 1} ight)}} = \frac{{{{\left( {x + y} ight)}^2} - 2xy + 1}}{{xy + x + y + 1}} = \frac{{2 - 2xy}}{{2 + xy}}

    Đặt t = xy ta được P = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}}

    Vì x \geqslant 0;y \geqslant 0 \Rightarrow t \geqslant 0

    Mặt khác 1 = x + y \geqslant 2\sqrt {xy} \Leftrightarrow xy \leqslant \frac{1}{4} \Rightarrow t \leqslant \frac{1}{4}

    Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số g\left( t ight) = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}} trên \left[ {0;\frac{1}{4}} ight]

    Xét hàm số g\left( t ight) = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}} xác định và liên tục trên \left[ {0;\frac{1}{4}} ight]

    Ta có: g'\left( t ight) = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {2 + t} ight)}^2}}} < 0,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{4}} ight)

    => Hàm số g(t) nghịch biến trên đoạn \left[ {0;\frac{1}{4}} ight]

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\frac{1}{4}} ight]} g\left( t ight) = g\left( {\dfrac{1}{4}} ight) = \dfrac{2}{3}} \\ {\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{1}{4}} ight]} g\left( t ight) = g\left( 0 ight) = 1} \end{array}} ight.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có f'(x) = x^{2021}.(x - 1)^{2020}(x + 1);\forall x\mathbb{\in R}. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

    Ta có: f'(x) = 0 \Rightarrow x^{2021}.(x - 1)^{2020}(x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị.

  • Câu 18: Nhận biết

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}. Kết luận nào sau đây đúng?

    Vì hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} nên hàm số đồng biến trên \mathbb{R}.

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hàm số y = \frac{{ax + b}}{{x + 1}}. Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A\left( {0; - 1} ight) và có đường tiệm cận ngang là y = 1. Giá trị a + b bằng:

    Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a - b e 0

    => Đồ thị hàm số đi qua điểm A\left( {0; - 1} ight) nên b = - 1

    Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = a \Rightarrow a = 1 (thỏa mãn)

    Vậy a + b = 0

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f\left( x ight) = \frac{{3x - 1}}{{x - 3}} trên đoạn \left[ {0,2} ight]. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tính giá trị biểu thức 3M + m.

    Xét hàm số y = f\left( x ight) = \frac{{3x - 1}}{{x - 3}} trên đoạn \left[ {0,2} ight] ta có:

    f'\left( x ight) = \frac{8}{{{{\left( {x - 3} ight)}^2}}} < 0

    => f\left( x ight) là hàm số nghịch biến trên \left( {0;2} ight)

    => \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0;2} ight]} = f\left( 2 ight) = - 5} \\ {\mathop {\max f\left( x ight)}\limits_{\left[ {0;2} ight]} = f\left( 0 ight) = \dfrac{1}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow 3M + m = - 2

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 27 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập