Trong không gian
, cho
và mặt phẳng
. Viết phương trình mặt cầu đi qua
và tiếp xúc mặt phẳng
.
Gọi là tâm mặt cầu cần tìm.
Theo bài ra ta có:
Vậy phương trình mặt cầu tâm I(3; 1; −2) bán kính là
.
Trong không gian
, cho
và mặt phẳng
. Viết phương trình mặt cầu đi qua
và tiếp xúc mặt phẳng
.
Gọi là tâm mặt cầu cần tìm.
Theo bài ra ta có:
Vậy phương trình mặt cầu tâm I(3; 1; −2) bán kính là
.
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng
, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
. Đường cao h của hình nón bằng:
Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra và
.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .
Ta có
Từ đó suy ra nên
Trong tam giác vuông SOE, ta có
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Mặt cầu (S) có tâm , bán kính
Ta có:
Do đó (P) cắt mặt cầu (S).
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt cầu
và
cắt nhau theo một đường tròn
nằm trong mặt phẳng
. Cho các điểm
. Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng
?
Mặt phẳng (P) chứa đường tròn (C) có được bằng cách khử trong phương trình hai mặt cầu ta được 6x + 3y + 2z = 0. Mặt phẳng (ABC) có phương trình là
Do đó (P) // (ABC). Mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA sẽ giao với mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA.
Trên mặt phẳng (ABC) có 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ba đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C.
Do đó có 4 mặt cầu có tâm nằm trên (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA.
Tâm của 4 mặt cầu là hình chiếu của tâm 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA lên mặt phẳng (P).
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại C và
. Mặt phẳng
vuông góc với đáy,
,
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
là:

Gọi M là trung điểm AB , suy ra và
.
Do đó SM là trục của tam giác ABC.
Trong mặt phẳng , kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
, bán kính
Ta có
Trong tam giác vuông SMB, ta có .
Ta có , suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
song song với
và tiếp xúc với
là
Ta có:
(S) có tâm , bán kính
. (P) song song với (α)
⇒, với
Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên , so với điều kiện ta nhận
.
Vậy .
Cho hình nón có bán kính đáy là
, độ dài đường sinh là
. Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón bằng:

Xét mặt phẳng qua trục SO của hình nón ta được thiết diện là tam giác cân SAB.
Mặt phẳng đó cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r (bán kính mặt cầu) và nội tiếp trong tam giác cân SAB.
Trong tam giác vuông SOB, gọi I là giao điểm của đường phân giác trong góc B với đường thẳng SO.
Chứng minh được I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và bán kính (E là hình chiếu vuông góc của I trên SB).
Theo tính chất phân giác, ta có .
Lại có .
Từ đó suy ra .
Ta có nên
Thể tích khối cầu: (đvtt).
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có
và
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao , bán kính đáy
Do đó diện tích toàn phần:
Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,
Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.
Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên ,
Suy ra ,
và
Diện tích toàn phần của hình nón: (đvdt).
Thể tích khối nón là: (đvtt).
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao
và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

Diện tích xung quanh của hình trụ:
(đvdt).
Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra
.
Diện tích xung quanh của hình nón: (đvdt).
Vậy .
Cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Tính tọa độ tâm H của (C).
Theo đề bài, mặt cầu (S) có tâm và vecto pháp tuyến của
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.
Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên
Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi I là trung điểm AB, suy ra và
.
Trong tam giác vuông SOA, ta có
Trong tam giác vuông SIA, ta có
Trong tam giác vuông OIA, ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là:
Mặt cầu có tâm
và bán kính
Khoảng cách từ đến (P):
Bán kính đường tròn giao tuyến
Diện tích đường tròn giao tuyến .
Trong không gian
, cho mặt cầu
có tọa độ tâm
là:
Tâm của có tọa độ là
.