Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ
(đvtt).
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ
(đvtt).
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt
cầu (S) tâm I(1;2;1), bán kính R. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với
(S) tạo với nhau góc
. Hãy viết phương trình mặt cầu (S)

Gọi M, N là tiếp điểm của mặt phẳng (P), (Q) và mặt cầu (S). Gọi H là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng d.
TH1: Góc :
Theo bài ra ta có:
TH2: Góc :
Theo bài ra ta có:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, giá trị dương của tham số
sao cho mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu
là:
Ta có: có phương trình
Mặt cầu có tâm
và bán kính
Để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
thì
. Vì m nhận giá trị dương nên
.
Vậy thỏa yêu cầu đề bài.
Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn
, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; .
Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' . Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.
Do .
Gọi H là trung điểm của DC.
.
Ta có .
Suy ra .
Vậy thể tích của khối trụ là .
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng
. Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng
. Đường cao h của hình nón bằng:

Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra và
.
Ta có
.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .
Ta có
Từ đó suy ra nên
Trong tam giác vuông SOE, ta có
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
và mặt phẳng
. Phương trình mặt cầu
có bán kính bằng
có tâm thuộc đường thẳng
và
tiếp xúc với mặt phẳng
là:
Ta có: suy ra
Ta có:
Tâm I thuộc AB nên
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu nên
Ta có phương trình đường tròn (C) tâm , bán kính
là:
Ta có phương trình đường tròn (C) tâm I(−6; 5; −4), bán kính là:
Vậy đáp án cần tìm là:
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có
và
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao , bán kính đáy
Do đó diện tích toàn phần:
Cho khối trụ có hai đáy là
và
.
lần lượt là hai đường kính của
và
, góc giữa
và
bằng
. Thể tích khối tứ diện ABCD bằng 30 . Thể tích khối trụ đã cho bằng?

Ta chứng minh: .

Lấy điểm E sao cho tứ giác BCDE là hình bình hành.
Khi đó .
Mà góc giữa và
bằng
nên ta có:
Ta có
Suy ra
Vậy
Chiều cao của lăng trụ bằng
Áp dụng CT thể tích lăng trụ là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có tâm
và đi qua điểm
. Phương trình mặt cầu
là:
Phương trình mặt cầu có tâm
và bán kính
là:
Ta có:
Vậy phương trình cần tìm là: .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?
Phương trình là phương trình của một mặt cầu nếu
.
Vậy phương trình không phải phương trình mặt cầu là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo thiết diện là đường tròn bán kính
bằng bao nhiêu?
Mặt cầu có tâm
và bán kính
.
Khoảng cách từ tâm đến
bằng
.
Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc .
Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra:
Trong tam giác vuông SOA, ta có .
Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong (S) sau là mặt cầu:
.
Theo đề bài, ta có:
là mặt cầu
Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
. Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số
bằng:

Gọi O là tâm , suy ra
và
Trong SOA, ta có
Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:
Do đó nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
Gọi M là tung điểm SA, ta có nên
Vậy
Xét các mệnh đề:
(I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng
cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.
(II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?
Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra (I) đúng.
Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).
Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.
Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.