Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba điểm
. Tính đường kính
của mặt cầu
đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng
?
Gọi tâm mặt cầu là
Ta có:
.
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba điểm
. Tính đường kính
của mặt cầu
đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng
?
Gọi tâm mặt cầu là
Ta có:
.
Cho hình nón có bán kính đáy là
, độ dài đường sinh là
. Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón bằng:

Xét mặt phẳng qua trục SO của hình nón ta được thiết diện là tam giác cân SAB.
Mặt phẳng đó cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r (bán kính mặt cầu) và nội tiếp trong tam giác cân SAB.
Trong tam giác vuông SOB, gọi I là giao điểm của đường phân giác trong góc B với đường thẳng SO.
Chứng minh được I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và bán kính (E là hình chiếu vuông góc của I trên SB).
Theo tính chất phân giác, ta có .
Lại có .
Từ đó suy ra .
Ta có nên
Thể tích khối cầu: (đvtt).
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Mặt cầu (S) có tâm , bán kính
Ta có:
Do đó (P) cắt mặt cầu (S).
Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn
, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; .
Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' . Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.
Do .
Gọi H là trung điểm của DC.
.
Ta có .
Suy ra .
Vậy thể tích của khối trụ là .
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng
. Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng
. Đường cao h của hình nón bằng:

Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra và
.
Ta có
.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .
Ta có
Từ đó suy ra nên
Trong tam giác vuông SOE, ta có
Xét các mệnh đề:
(I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng
cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.
(II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?
Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra (I) đúng.
Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).
Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.
Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.
Một hình trụ có bán kính đáy
, chiều cao hình trụ
. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.
Dựng đường sinh AA', ta có .
Suy ra A’C là đường kính đáy nên
Xét tam giác vuông AA’C, ta có
Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
, Hai điểm
thay đổi sao cho
và
. Mặt phẳng
luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định đi qua
có bán kính là
Phương trình . Gọi
và
là tâm và bán kính mặt cầu cố định trong đề bài, phương trình mặt cầu là
.
Ta có khoảng cách từ đên
là
Vì
Nếu
Đẳng thức đúng với mọi nên
hay
, thay vào phương trình mặt cầu ta có R = 1.
Nếu
Đẳng thức đúng với mọi m ∈ (0; 1) nên hay
thay vào phương trình mặt cầu ta có
không thỏa mãn.
Vậy .
Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng
. Diện tích toàn phần của hình nón là:

Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.
Theo giả thiết, ta có và
.
Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có
Vậy diện tích toàn phần:
(đvdt).
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
. Mặt cầu
có tâm
và đi qua hai điểm
có phương trình là:
Ta có:
Vì đi qua hai điểm
nên
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có tâm nằm trên mặt phẳng
và đi qua ba điểm
. Tọa độ tâm
của mặt cầu
là:
Gọi tâm mặt cầu là và phương trình mặt cầu
Do
Lại có
Vậy là đáp án cần tìm.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt cầu
và
cắt nhau theo một đường tròn
nằm trong mặt phẳng
. Cho các điểm
. Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng
?
Mặt phẳng (P) chứa đường tròn (C) có được bằng cách khử trong phương trình hai mặt cầu ta được 6x + 3y + 2z = 0. Mặt phẳng (ABC) có phương trình là
Do đó (P) // (ABC). Mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA sẽ giao với mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA.
Trên mặt phẳng (ABC) có 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ba đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C.
Do đó có 4 mặt cầu có tâm nằm trên (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA.
Tâm của 4 mặt cầu là hình chiếu của tâm 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA lên mặt phẳng (P).
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
và mặt phẳng
. Phương trình mặt cầu
có bán kính bằng
có tâm thuộc đường thẳng
và
tiếp xúc với mặt phẳng
là:
Ta có: suy ra
Ta có:
Tâm I thuộc AB nên
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu nên
Ta có phương trình đường tròn (C) tâm , bán kính
là:
Ta có phương trình đường tròn (C) tâm I(−6; 5; −4), bán kính là:
Vậy đáp án cần tìm là:
Trong không gian
, viết phương trình mặt cầu
đường kính
biết
?
Gọi là trung điểm của
khi đó
là tâm mặt cầu
.
Bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Từ giả thiết suy ra và chu vi đáy bằng a .
Do đó .