Trong không gian
, cho
và mặt phẳng
. Viết phương trình mặt cầu đi qua
và tiếp xúc mặt phẳng
.
Gọi là tâm mặt cầu cần tìm.
Theo bài ra ta có:
Vậy phương trình mặt cầu tâm I(3; 1; −2) bán kính là
.
Trong không gian
, cho
và mặt phẳng
. Viết phương trình mặt cầu đi qua
và tiếp xúc mặt phẳng
.
Gọi là tâm mặt cầu cần tìm.
Theo bài ra ta có:
Vậy phương trình mặt cầu tâm I(3; 1; −2) bán kính là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, tìm tọa độ tâm
và bán kính
của mặt cầu ![]()
Tâm của có tọa độ là
Bán kính mặt cầu là:
.
Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng
. Diện tích toàn phần của hình nón là:

Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.
Theo giả thiết, ta có và
.
Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có
Vậy diện tích toàn phần:
(đvdt).
Mặt cầu (S) có tâm A(1; -2; 2) và bán kính R = 8. Tìm phương trình mặt cầu (S).
Phương trình mặt cầu tâm bán kính R có dạng:
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và(O’), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi A, B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O) và(O’). Biết AB = 2a và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ bằng
. Bán kính đáy bằng:

Dựng đường sinh BB', gọi I là trung điểm của AB’, ta có
Suy ra
Gọi bán kính đáy của hình trụ là R.
Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên
Trong tam giác vuông A B’B, ta có .
Trong tam giác vuông OIB’, ta có N .
Suy ra .
Từ đó ta có .
Trong không gian
, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để
là một phương trình mặt cầu
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi
Theo bài ra
Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn
, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; .
Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' . Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.
Do .
Gọi H là trung điểm của DC.
.
Ta có .
Suy ra .
Vậy thể tích của khối trụ là .
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác vuông
có diện tích bằng
. Góc giữa trục
và mặt phẳng
bằng
. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng?

Gọi là trung điểm của
, tam giác
cân đỉnh O nên
và
suy ra
Dựng .
Theo trên có nên
.
Vậy góc tạo bởi giữa trục và mặt phẳng
là
. Tam giác vuông cân
có diện tích bằng
suy ra
.
Xét tam giác vuông có
.
Cuối cùng .
Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng .
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có .
Diện tích toàn phần là: (đvdt).
Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:
Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.
Do đó độ đài đường chéo:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
hai hai điểm
. Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho
đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E?
Hình vẽ minh họa
Gọi I(1; 2; 2) là tâm của (S), P(5; −2; 4) là trung điểm MN.
Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-copx-ki và công thức độ dài trung tuyến ta được:
nên T = EM + EN đạt giá trị lớn nhất khi EM = EN và EP đạt giá trị lớn nhất.
Khi đó E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S) (I nằm giữa E và P). Đường thẳng IP có phương trình:
Tọa độ E thỏa hệ phương trình:
Tìm được E(3; 0; 3) hoặc E(−1; 4; 1), thử lại để EP lớn nhất ta được E(−1; 4; 1).
Khi đó phương trình tiếp diện với (S) tại E là .
Trong không gian
, viết phương trình mặt cầu đi qua điểm
và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ?
Gọi là tâm mặt cầu
. Mặt cầu
tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên:
Mặt cầu đi qua điểm
Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
, với
là tham số. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo một đường tròn có chu vi
. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc
bằng:
Mặt cầu có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.
Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:
Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng
. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có .
Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì và
.
Vì nên
Gọi H là trung điểm A’B, suy ra
nên .
Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên
Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt cầu
và mặt phẳng
cắt nhau theo một đường tròn có chu vi là:
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
.
Ta có
Vì nên (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (α) ⇒ H là tâm của (C).
Lấy
Tam giác IHM vuông tại M
Suy ra chu vi của đường tròn (C) bằng .