Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?

    Phương trình (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình của một mặt cầu nếu a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0.

    Vậy phương trình không phải phương trình mặt cầu là:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0

  • Câu 2: Nhận biết

    Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120^0. Diện tích toàn phần của hình nón là:

    Diện tích toàn phần

    Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.

    Theo giả thiết, ta có SA = 2a và \widehat {ASO} = 60^\circ.

    Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có

    OA = SA.\sin 60^\circ = a\sqrt 3

    Vậy diện tích toàn phần:

    {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \pi .OA.SA + \pi {\left( {OA} ight)^2} = \pi {a^2}\left( {3 + 2\sqrt 3 } ight) (đvdt).

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho hình nón có bán kính đáy là 5a , độ dài đường sinh là 13a. Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón bằng:

    Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón

    Xét mặt phẳng qua trục SO của hình nón ta được thiết diện là tam giác cân SAB.

    Mặt phẳng đó cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r (bán kính mặt cầu) và nội tiếp trong tam giác cân SAB.

    Trong tam giác vuông SOB, gọi I là giao điểm của đường phân giác trong góc B với đường thẳng SO.

    Chứng minh được I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và bán kínhr =IO=IE  (E là hình chiếu vuông góc của I trên SB).

    Theo tính chất phân giác, ta có \frac{{IS}}{{IO}} = \frac{{BS}}{{BO}} = \frac{{13}}{5}.

    Lại có IS + IO = SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = 12.

    Từ đó suy ra IS = \frac{{26}}{3},{m{ }}IO = \frac{{10}}{3}.

    Ta có \Delta SEI \backsim\Delta SOB  nên \frac{{IE}}{{IS}} = \frac{{BO}}{{BS}} = \frac{5}{{13}} \Rightarrow IE = \frac{5}{{13}}IS = \frac{{10}}{3}

    Thể tích khối cầu: V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{10a}}{3}} ight)^3} = \frac{{4000\pi {a^3}}}{{81}} (đvtt).

  • Câu 4: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

     Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

    Bán kính đáy R = \frac{a}{2}. Do đó thể tích khối trụ V = {R^2}\pi .h = \frac{{\pi {a^3}}}{4}(đvtt).

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao h=AB=1 , bán kính đáy R = \frac{{AD}}{2} = 1

    Do đó diện tích toàn phần: {S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 4\pi

  • Câu 6: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 2) và B(5; 7; 0). Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2my - 2(m + 1)z + m^{2} + 2m + 8 = 0 là phương trình của một mặt cầu (S) sao cho qua hai điểm A, B có duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu (S) đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1.

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2my - 2(m + 1)z + m^{2} + 2m + 8 = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + m)^{2} + (z - m - 1)^{2} = m^{2} - 3(*)

    Suy ra (*) là phương trình mặt cầu

    \Leftrightarrow m^{2} - 3 > 0 \Leftrightarrow |m| > \sqrt{3}

    Khi đó, mặt cầu (S) có tâm I(2; −m; m + 1) và bán kính R = \sqrt{m^{2} - 3}

    Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, B.

    Theo giả thiết (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r = 1.

    Mặt khác, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là d = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = \sqrt{m^{2} - 4};\left( m^{2} - 4 \geq 0 ight)

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (2;6; - 2) suy ra \overrightarrow{u} = (1;3; - 1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB

    Suy ra đường thẳng AB là: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 1 + 3t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Để có duy nhất mặt phẳng (P) thỏa mãn bài thì

    TH1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm I và I otin AB

    Ta có I ∈ (P) ⇔ d = 0 ⇔ m^2 − 4 = 0 ⇔ m = ±2.

    + Với m = 2 ⇒ I(2; −2; 3) ∈ AB ⇒ m = 2 (loại).

    + Với m = −2 ⇒ I(2;2; - 1) otin AB⇒ m = −2 (thỏa mãn).

    TH2. Mặt phẳng (P) cách I một khoảng lớn nhất ⇔ d lớn nhất ⇔ d = d(I, AB). (*)

    \overrightarrow{IA} = (1;1 + m;1 - m)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 4 + 2m;2 - m;2 - m)

    \Rightarrow \left| \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack ight| = |2 - m|\sqrt{6};\left| \overrightarrow{u} ight| = \sqrt{11}

    Khi đó d(I;AB) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{|2 - m|\sqrt{6}}{\sqrt{11}}

    (*) \Leftrightarrow \sqrt{m^{2} - 4} = \frac{|2 - m|\sqrt{6}}{\sqrt{11}}

    \Leftrightarrow 5m^{2} + 24m - 68 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 2(ktm) \\m = - \dfrac{34}{5}(tm) \\\end{matrix} ight.

    Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu.

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 81 tại điểm P( - 5; - 4;6) là:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3).

    Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.

    Do (α) tiếp xúc với (S) tại P nên mặt phẳng (α) đi qua P và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \overrightarrow{IP} = ( - 6; - 6;3)

    Phương trình mặt phẳng (α) là

    - 6(x + 5) - 6(y + 4) + 3(z - 6) = 0

    \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 24 = 0

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) có phương trình dạng x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0. Tập hợp các giá trị thực của tham số a để (S) có chu vi 8\pi?

    Đường tròn lớn có chu vi là 8\pi nên bán kính của (S) là \frac{8\pi}{2\pi} = 4

    Từ phương trình của (S) suy ra bán kính của (S) là R = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10a}

    Do đó \sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10a} = 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = - 1 \\ a = 11 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là: a \in \left\{ - 1;11 ight\}

  • Câu 9: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H(1;2; - 2). Mặt phẳng (\alpha) đi qua H và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho H là trực tâm của \Delta ABC. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC?

    Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) lần lượt thuộc các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

    Khi đó ta có phương trình mặt phẳng (α) đi qua các điểm A, B, C là

    \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Vì H \in (\alpha) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{2}{c} = 1\ \ (1)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (1 - a;2; - 2);\overrightarrow{BC} = (0; - b;c) \\ \overrightarrow{BH} = (1;2 - b; - 2);\overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\ \end{matrix} ight.

    Theo đề bài ta có H là trực tâm \Delta ABC, ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM}\bot\overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{BH}\bot\overrightarrow{AC} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2b - 2c = 0 \\ - a - 2c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2c \\ b = - c \\ \end{matrix} ight. thay vào (1) ta được:

    \frac{1}{- 2c} + \frac{2}{- c} - \frac{2}{c} = 1 \Rightarrow c = - \frac{9}{2} \Rightarrow a = 9;b = \frac{9}{2}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A(9;0;0) \\B\left( 0;\dfrac{9}{2};0 ight) \\C\left( 0;0; - \dfrac{9}{2} ight) \\\end{matrix} ight.. Gọi I\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight)là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp tứ giác OABC, ta có:

    \left\{ \begin{matrix}OI = IA \\OI = IB \\OI = IC \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} = \left( x_{0} - 9 ight)^{2} +{y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} \\{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} = {x_{0}}^{2} + \left( y_{0} -\dfrac{9}{2} ight)^{2} + {z_{0}}^{2} \\{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} = {x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} +\left( z_{0} - \dfrac{9}{2} ight)^{2} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{x_{0}}^{2} = \left( x_{0} - 9 ight)^{2} \\{y_{0}}^{2} = \left( y_{0} - \dfrac{9}{2} ight)^{2} \\{z_{0}}^{2} = \left( z_{0} - \dfrac{9}{2} ight)^{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - x_{0} - 9 \\y_{0} = - y_{0} - \dfrac{9}{2} \\z_{0} = - z_{0} - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{0} = \dfrac{9}{2} \\y_{0} = \dfrac{9}{4} \\z_{0} = - \frac{9}{4} \\\end{matrix} ight.

    Vậy I\left( \frac{9}{2};\frac{9}{4}; - \frac{9}{4} ight);R = OI = \frac{9\sqrt{6}}{4}

    \Rightarrow S_{(I)} = 4\pi R^{2} = 4\pi.\left( \frac{9\sqrt{6}}{4} ight)^{2} = \frac{243\pi}{2}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 11: Thông hiểu

    Khi đặt hệ tọa độ Oxyz vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu (S) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu (S) có phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y - 10z + 29 = 0. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.

    Đáp án : 18km

    Đáp án là:

    Khi đặt hệ tọa độ Oxyz vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu (S) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu (S) có phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y - 10z + 29 = 0. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.

    Đáp án : 18km

    Ta có x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y - 10z + 29 = 0

    \Leftrightarrow (x + 7)^{2} + (y + 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 9^{2}.

    Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là 18km.

    Đáp số: 18km.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình nón (N) có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao là h(h > R). Hình trụ (T) có đáy là đường tròn (C) và có cùng chiều cao với hình nón (N). Tính thể tích V khối trụ được tạo nên bởi (T) theo R, biết V có giá trị lớn nhất.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi khoảng cách từ O dến mặt phẳng (P) là d với (0 \leqd \leq R), đường tròn (C) có bán kính là r.

    V = h \cdot \pi \cdot r^{2} = \pi(R +d)\left( R^{2} - d^{2} ight) = \pi\left( - d^{3} - Rd^{2} + R^{2}d +R^{3} ight)

    V^{'}(d) = \pi\left( - 3d^{2} - 2Rd+ R^{2} ight) = 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}d = - 1 \\d = \frac{R}{3} \\\end{matrix} \Rightarrow d = \frac{R}{3} ight.

    Ta có V(0) = \pi R^{3},V(R) = 0 và V\left( \frac{R}{3} ight) =\frac{32}{27}\pi R^{3}.

    Vậy V = \frac{32}{27}\piR^{3}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 25. Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B. Biết tiếp diện của (S) tại A, B vuông góc. Tính độ dài AB.

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; −1), bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.

    Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.

    Suy ra AB = IA.\sqrt{2} = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}.

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ tâm O của đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là \frac{a}{2}. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp SABC bằng:

     Thể tích khối nón

    Gọi E là trung điểm của BC, dựng OH \bot SE tại H.

    Chứng minh được OH \bot \left( {SBC} ight) nên suy ra OH = d\left[ {O,\left( {SBC} ight)} ight] = \frac{a}{2}.

    Trong tam giác đều ABC, ta có OE = \frac{1}{3}AE = \frac{1}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    và  OA = \frac{2}{3}AE = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}

    Trong tam giác vuông SOE, ta có

    \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow SO = a.

    Vậy thể tích khối nón V = \frac{1}{3}\pi O{A^2}.SO = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} ight)^2}.a = \frac{{4\pi {a^3}}}{9}  (đvtt).

  • Câu 15: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Từ giả thiết suy ra h= 2a và chu vi đáy bằng a .

    Do đó 2\pi R = a \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\pi }}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 27 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập