Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và \widehat {SAO} = {30^0},\widehat {SAB} = {60^0}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

     Độ dài đường sinh

    Gọi I là trung điểm AB, suy ra OI \bot AB,{m{ }}SI \bot AB và OI = a.

    Trong tam giác vuông SOA, ta có OA = SA.\cos \widehat {SAO} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2}

    Trong tam giác vuông SIA, ta có IA = SA.\cos \widehat {SAB} = \frac{{SA}}{2}

    Trong tam giác vuông OIA, ta có:

    O{A^2} = O{I^2} + I{A^2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}S{A^2} = {a^2} + \frac{1}{4}S{A^2} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 .

  • Câu 2: Thông hiểu

    Một hình trụ có bán kính đáy R = 70{m{cm}} , chiều cao hình trụ h = 20{m{cm}}. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

    Tính độ dài cạnh

    Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

    Dựng đường sinh AA', ta có \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AA'\\CD \bot AD\end{array} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {AA'D} ight) \Rightarrow CD \bot A'D.

    Suy ra A’C là đường kính đáy nên A'C = 2R = 140{m{cm}}{m{.}}

    Xét tam giác vuông AA’C, ta có AC = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = 100\sqrt 2 {m{cm}}{m{.}}

    Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hai điểm A;B cố định trong không gian có độ dài AB = 4. Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA = 3MB là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng bao nhiêu?

    Ta có: MA = 3MB \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}

    \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} = 9\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2}

    \Leftrightarrow IA^{2} - 9IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} ight) = 8MI^{2}(*)

    Gọi I thỏa mãn \overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BI} = \frac{1}{8}\overrightarrow{AB} nên IB = \frac{1}{2};IA = \frac{9}{2}

    Từ (*) suy ra 8MI^{2} = 18 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2} \Rightarrow M \in S\left( I;\frac{3}{2} ight).

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB biết A(2; - 1; - 3),B(0;3; - 1)?

    Gọi I là trung điểm của AB khi đó I(1;1; - 2) là tâm mặt cầu (S).

    Bán kính R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 16 + 4} = \frac{\sqrt{24}}{2}

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6.

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50{m{cm}} \times 240{m{cm}} , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

    Tính tỉ số thể tích

    ● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

    ● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

    Kí hiệu V_1là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V_2 là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} bằng:

    2 || Hai || hai

    Đáp án là:

    Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50{m{cm}} \times 240{m{cm}} , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

    Tính tỉ số thể tích

    ● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

    ● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

    Kí hiệu V_1là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V_2 là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} bằng:

    2 || Hai || hai

     Công thức thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h.

    ● Ở cách 1, suy ra h= 50 cm và 2\pi {R_1} = 240 \Leftrightarrow {R_1} = \frac{{120}}{\pi }. Do đó {V_1} = \pi .{\left( {\frac{{120}}{\pi }} ight)^2}.50 (đvtt).

    ● Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có h= 50 cm và 2\pi {R_2} = 120 \Leftrightarrow {R_2} = \frac{{60}}{\pi }

    Do đó {V_2} = 2 \times \left[ {\pi .{{\left( {\frac{{60}}{\pi }} ight)}^2}.50} ight] (đvtt).

    Suy ra \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 4. Một mặt cầu (S') có tâm I'(9;1;6) và tiếp xúc ngoài với mặt cầu (S). Kết luận nào sau đây đúng về phương trình mặt cầu (S')?

    Ta có tâm và bán kính mặt cầu (S) lần lượt là I(1;1;0);R = 2.

    Suy ra II' = 10

    Gọi R' là bán kính mặt cầu (S'). Theo giả thiết ta có:

    R + R' = II' \Leftrightarrow R' = II' - R = 8

    Khi đó phương trình mặt cầu cần tìm là: (S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 64.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2\pi R = 2a \Leftrightarrow R = \frac{a}{\pi }.

    Suy ra hình trụ này có đường cao h=a.

    Vậy thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{a}{\pi }} ight)^2}a = \frac{{{a^3}}}{\pi }(đvtt).

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): (x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=16 và điểm A(1;2;3) . Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.

    Tính tổng diện tích

    Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là (P), (Q), (R).

    Với điểm I bất kỳ, hạ II_1, II_2, II_3 lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng (P), (Q), (R) thì ta luôn có: IA^2 = II_1 ^2+ II_2^2, II_3 ^2(1) .

    Thật vậy , ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O\equiv A , ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng (P), (Q), (R)..

    Khi đó tọa độ I(a;b;c) thì:

    IA^2=a^2+b^2+c^2=d^2(A;(Iyz))+d^2(A;(Ixz))+d^2(A;(Ixy))

    hay IA^2=II_1^2+II_2^2+II_3^2.

    Vậy (1) được chứng minh.

    Tính tổng diện tích

    Áp dụng giải bài:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;-1;2) và có bán kính r=4.

    \overrightarrow {IA}=(0;3;1) \Rightarrow IA= \sqrt {10}.

    Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là (P), (Q), (R) và cắt mặt cầu (S) theo ba đường tròn lần lượt là(C_1),(C_2),(C_3).

    Gọi I_1, I_2, I_3 và  r_1, r_2, r_3 lần lượt là tâm và bán kính của (C_1),(C_2),(C_3).

    Khi đó : II_1\perp (P) \Rightarrow II_1^2+r_1^2=r^2 \Rightarrow r_1^2=r^2-II_1^2.

    Tương tự có: r_2^2=r^2-II_2^2  và  r_3^2=r^2-II_3^2.

    Theo nhận xét ở trên ta có: IA^2=II_1^2+II_2^2+II_3^2

    Ta có tổng diện tích các đường tròn là :

    S= \pi(r_1^2+r_2^2+r_3^2)=\pi(r^2-II_1^2+r^2-II_2^2+r^2-II_3^2)

    =\pi[3r^2-(II_1^2+II_2^2+II_3^2)]

    =\pi(3r^2-IA^2)=38 \pi.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60^0, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \frac{R}{2}. Đường cao h của hình nón bằng:

    Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE \bot AB và OE = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên d\left[ {O,\left( {SAB} ight)} ight] = OH = \frac{R}{2}.

    Trong tam giác vuông SOE, ta có  \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{8}{{3{R^2}}} \Rightarrow SO = \frac{{R\sqrt 6 }}{4}

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \frac{{a\sqrt {21} }}{6}. Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số \frac{R}{h} bằng:

     Tính tỉ số

    Gọi O là tâm \triangle ABC, suy ra SO \bot \left( {ABC} ight) và AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    Trong SOA, ta có h = SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{a}{2}

    Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:

    • I \in d nên IS =IA.
    • I \in SO nên IA=IB=IC.

    Do đó IA=IB=IC=IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

    Gọi M là tung điểm SA, ta có \Delta SMI\,\, \backsim \,\,\Delta SOA nên R = SI = \frac{{SM.SA}}{{SO}} = \frac{{S{A^2}}}{{2SO}} = \frac{{7{m{a}}}}{{12}}

    Vậy \frac{R}{h} = \frac{7}{6}.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Với giá trị nào của m thì mặt phẳng \left( Q ight):x + y + z + 3 = 0 cắt mặt cầu

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + 2my - 2mz + 2{m^2} + 9 = 0?

    Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):

    a = m + 1;b = - m;c = m;d = 2{m^2} + 9.

    Suy ra tâm I có tọa độ là I\left( {m + 1, - m,m} ight)

    \Rightarrow {R^2} = {\left( {m + 1} ight)^2} + {m^2} + {m^2} - 2{m^2} - 9 = {m^2} + 2m - 8 > 0

    \Rightarrow m < - 4 \vee m > 2

    (P) cắt (S) khi:

    d\left( {I,P} ight) < R \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 4} ight|}}{{\sqrt 3 }} < \sqrt {{m^2} + 2m - 8} \Leftrightarrow m < - 4 \vee m > 5

  • Câu 12: Nhận biết

    Hình nón có đường sinh l=2a và hợp với đáy góc \alpha = {60^0}. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết, ta có

    SA = \ell = 2a và \widehat {SAO} = {60^0}.

    Suy ra:

    R = OA = SA.\cos {60^0} = a.

    Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S = \pi Rl + \pi {R^2} = 3\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 13: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 2) và B(5; 7; 0). Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2my - 2(m + 1)z + m^{2} + 2m + 8 = 0 là phương trình của một mặt cầu (S) sao cho qua hai điểm A, B có duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu (S) đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1.

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2my - 2(m + 1)z + m^{2} + 2m + 8 = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + m)^{2} + (z - m - 1)^{2} = m^{2} - 3(*)

    Suy ra (*) là phương trình mặt cầu

    \Leftrightarrow m^{2} - 3 > 0 \Leftrightarrow |m| > \sqrt{3}

    Khi đó, mặt cầu (S) có tâm I(2; −m; m + 1) và bán kính R = \sqrt{m^{2} - 3}

    Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, B.

    Theo giả thiết (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r = 1.

    Mặt khác, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là d = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = \sqrt{m^{2} - 4};\left( m^{2} - 4 \geq 0 ight)

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (2;6; - 2) suy ra \overrightarrow{u} = (1;3; - 1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB

    Suy ra đường thẳng AB là: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 1 + 3t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Để có duy nhất mặt phẳng (P) thỏa mãn bài thì

    TH1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm I và I otin AB

    Ta có I ∈ (P) ⇔ d = 0 ⇔ m^2 − 4 = 0 ⇔ m = ±2.

    + Với m = 2 ⇒ I(2; −2; 3) ∈ AB ⇒ m = 2 (loại).

    + Với m = −2 ⇒ I(2;2; - 1) otin AB⇒ m = −2 (thỏa mãn).

    TH2. Mặt phẳng (P) cách I một khoảng lớn nhất ⇔ d lớn nhất ⇔ d = d(I, AB). (*)

    \overrightarrow{IA} = (1;1 + m;1 - m)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 4 + 2m;2 - m;2 - m)

    \Rightarrow \left| \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack ight| = |2 - m|\sqrt{6};\left| \overrightarrow{u} ight| = \sqrt{11}

    Khi đó d(I;AB) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{|2 - m|\sqrt{6}}{\sqrt{11}}

    (*) \Leftrightarrow \sqrt{m^{2} - 4} = \frac{|2 - m|\sqrt{6}}{\sqrt{11}}

    \Leftrightarrow 5m^{2} + 24m - 68 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 2(ktm) \\m = - \dfrac{34}{5}(tm) \\\end{matrix} ight.

    Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu.

  • Câu 14: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:

    Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h = 2R.

    Diện tích toàn phần là: {S_{tp}} = 2\pi R\left( {R + h} ight) = 6\pi {R^2} (đvdt).

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 5)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 9. Tính bán kính R của (S)?

    Bán kính mặt cầu là: R = \sqrt{9} = 3

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 30 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập