Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:
Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc .
Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra:
Trong tam giác vuông SOA, ta có .
Trong hệ tọa độ 
, cho mặt cầu có đường kính , với . Viết phương trình tiếp xúc với mặt cầu tại ?
Hình vẽ minh họa
Vì mặt cầu có đường kính là AB nên tâm I của mặt cầu
là trung điểm của
.
Mặt cầu có tâm I(1; 1; 1).
Vì tiếp xúc với
tại
nên
đi qua
và nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Suy ra
Cho lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác vuông tại B, , góc bằng . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bằng:
Ta có .
Trong , ta có
Trong , ta có
Gọi N là trung điểm AC , suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Gọi là trung điểm A'C, suy ra
.
Do đó IN là trục của , suy ra
(1)
Hơn nữa, tam giác vuông tại A có
là trung điểm A'C nên
. (2)
Từ (1) và (2), ta có hay
là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
với bán kính
.
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng vuông góc với đáy . Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm nhận giá trị nào sau đây?
Mặt phẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên
cân tại A , trung tuyến AM nên
(1)
Ta có
Do đó (2)
Từ (1) và (2), suy ra (*)
Lại có (**)
Từ (*) và (**), suy ra . Tương tự ta cũng có
Do đó nên năm điểm
cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính
.
Cho hai điểm cố định trong không gian có độ dài . Biết rằng tập hợp các điểm trong không gian sao cho là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng bao nhiêu?
Ta có:
(*)
Gọi thỏa mãn
nên
Từ (*) suy ra .
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ
(đvtt).
Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu tâm và đi qua điểm ?
Vì mặt cầu tâm
và đi qua điểm
nên mặt cầu
nhận độ dài đoạn thẳng
làm bán kính.
Ta có:
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Trong không gian , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu có tâm và bán kính ?
Mặt cầu tâm , bán kính
có phương trình lá:
.
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho . Độ dài đường sinh của hình nón bằng:
Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.
Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có và . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:
Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao , bán kính đáy
Do đó diện tích toàn phần:
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và mặt cầu . Mặt phẳng (với là các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau) đi qua và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính tổng .
Hình vẽ minh họa
Ta có cùng phương với
suy ra phương trình đường thẳng
.
Xét mặt cầu ⇒ I(1; 2; 3), R = 5.
Gọi là điểm trên AB sao cho AB ⊥ IH
Vì ,
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến giữa (P) và (S), K là hình chiếu vuông góc của I lên (P) .
Ta có
Dấu bằng chỉ xảy ra khi K ≡ H.
Khi đó phương trình mặt phẳng (P) nhận là vectơ pháp tuyến và đi qua điểm
là
Trong không gian với hệ tọa độ , mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn bán kính bằng bao nhiêu?
Mặt cầu có tâm
và bán kính
.
Khoảng cách từ tâm đến
bằng
.
Một hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là . Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo . Diện tích của thiết diện là:
Vì góc ở đỉnh là nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R.
Suy ra đường cao của hình nón là .
Tam giác SAB là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng nên IAB là tam giác vuông cân tại I, suy ra
.
Gọi M là trung điểm của AB thì và
.
Trong tam giác vuông SIM, ta có
Vậy (đvdt).
Cho hình trụ có O, O' là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật có A, B cùng thuộc (O) và C, D cùng thuộc (O') sao cho đồng thời tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc . Thể tích khối trụ bằng
Gọi lần lượt là trung điểm của
và
là trung điểm của
. Suy ra góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng đáy là
.
Ta có .
Xét vuông tại O, ta có:
;
Xét vuông tại M, có
.
Vậy .
Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:
Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.
Do đó độ đài đường chéo:
