Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Một hình trụ có bán kính đáy R = 70{m{cm}} , chiều cao hình trụ h = 20{m{cm}}. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

    Tính độ dài cạnh

    Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

    Dựng đường sinh AA', ta có \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AA'\\CD \bot AD\end{array} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {AA'D} ight) \Rightarrow CD \bot A'D.

    Suy ra A’C là đường kính đáy nên A'C = 2R = 140{m{cm}}{m{.}}

    Xét tam giác vuông AA’C, ta có AC = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = 100\sqrt 2 {m{cm}}{m{.}}

    Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC  là:

     Tìm bán kính

    Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Gọi I là trung điểm SC, suy ra IM ||SA nên IM \bot \left( {ABC} ight) .

    Do đó IM là trục của \triangle ABC, suy ra IA=IB=IC     (1)

    Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên IS=IC=IA.  (2)

    Từ (1) và (2) , ta có IS=IA=IB=IC

    hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

    Vậy bán kính R = IS = \frac{{SC}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} .

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 2a, bán kính đáy bằng 3a. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng \frac{3a}{2}. Diện tích của thiết diện đó bằng?

    Xét hình nón đỉnh S có chiều cao SO=2a, bán kính đáy OA=3a .

    Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác SAB cân tại S.

    Diện tích thiết diện

    Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trong tam giác SOI, kẻ OH\bot SI,H\in SI

    Ta có: 

     +\left\{\begin{matrix}AB\bot O I\\AB\bot S O\\\end{matrix}\Rightarrow A B\bot(SOI)\Rightarrow A B\bot O Hight.

    +\left\{\begin{matrix}OH\bot S I\\OH\bot A B\\\end{matrix}\Rightarrow O H\bot(SAB)\Rightarrow d(O,(SAB))=OH=\frac{3a}{2}ight.

    Xét tam giác SOI vuông tại O, ta có

    \frac{1}{OI^2}=\frac{1}{OH^2}-\frac{1}{SO^2}=\frac{4}{9a^2}-\frac{1}{4a^2}=\frac{7}{36a^2}\Rightarrow OI=\frac{6a}{\sqrt7}.

    SI=\sqrt{SO^2+OI^2}=\sqrt{4a^2+\frac{36a^2}{7}}=\frac{8a}{\sqrt7}.

    Xét tam giác AOI vuông tại I, có: 

    AI=\sqrt{AO^2-OI^2}=\sqrt{9a^2-\frac{36a^2}{7}}=\frac{3\sqrt3a}{\sqrt7}

    \Rightarrow AB=2AI=\frac{6\sqrt3a}{\sqrt7}

    Vậy diện tích của thiết diện là:

    S_{\triangle S A B}=\frac{1}{2}\cdot SI\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot\frac{8a}{\sqrt7}\cdot\frac{6\sqrt3a}{\sqrt7}=\frac{24a^2\sqrt3}{7}.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:

     Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.

    Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.

    Do đó độ đài đường chéo: \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10{m{cm}}{m{.}}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm A(2;0;0),B(1;3;0),C( - 1;0;3),D(1;2;3). Tính bán kính R của (S)?

    Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A;B;C;D

    Khi đó ta có phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} AI^{2} = BI^{2} \\ AI^{2} = CI^{2} \\ AI^{2} = DI^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 3)^{2} + c^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a + 1)^{2} + b^{2} + (c - 3)^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 3b = - 3 \\ a - c = - 1 \\ a - 2b - 3c = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0;1;1)

    Vậy bán kính cần tìm là: R = IA = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, hai điểm A(7; - 2;2) và B(1;2;4). Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính AB?

    Mặt cầu nhận AB làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm I(4;0;3) của AB làm tâm và có bán kính R = \frac{AB}{2} = \sqrt{56}

    Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là (x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 56.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tứ diện đều ABCD có A(0;1;2) và hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (BCD) là H(4; - 3; - 2). Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD?

    Gọi I(a;b;c) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = ( - a;1 - b;2 - c) \\ \overrightarrow{IH} = (4 - a; - 3 - b; - 2 - c) \\ \end{matrix} ight.

    ABCD là tứ diện đều nên tâm I của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện

    \Rightarrow \overrightarrow{IA} = - 3\overrightarrow{IH} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - a = - 3(4 - a) \\ 1 - b = - 3(3 - b) \\ 2 - c = - 3( - 2 - c) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = - 2 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(3; - 2; - 1)

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho phương trìnhx^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (\alpha), biết (\alpha) song song với mặt phẳng (P):2x + y - 2z + 11 = 0 và cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có chu vi 8\pi?

    Vì (α) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng 2x + y - 2z + c = 0

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.

    Đường tròn lớn có chu vi là 8\pi nên bán kính của (S) là \frac{8\pi}{2\pi} = 4

    Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3

    Từ đó ta có:

    d\left( I;(P) ight) = \frac{|2.1 + 2 - 2.3 + c|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + ( - 2)^{2}}} = 3

    \Leftrightarrow | - 2 + c| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 11 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.

    Vì (α) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) là 2x + y - 2z - 7 = 0

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA = a\sqrt 6 và vuông góc với đáy (ABCD). Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ta được:

     Tính diện tích mặt cầu

    Gọi O = AC \cap BD, suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

    Gọi I là trung điểm SC, suy ra IO\parallel SA \Rightarrow IO \bot \left( {ABCD} ight)

    Do đó IO là trục của hình vuông ABCD, suy ra IA = IB = IC = ID.  (1)

    Xét tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên IS = IC = IA.   (2)

    Từ (1) và (2), ta có: R = IA = IB = IC = ID = IS = \frac{{SC}}{2} = a\sqrt 2

    Vậy diện tích mặt cầu S = 4\pi {R^2} = 8\pi {a^2} (đvdt).

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác vuông  SAB có diện tích bằng 4a^2. Góc giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng {30}^\circ. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng?

     

    Gọi M là trung điểm của AB , tam giác OAB cân đỉnh O nên OM\bot AB  và SO\bot AB suy ra AB\bot(SOM)

    Dựng OK\bot SM..

    Theo trên có OK\bot AB nên OK\bot(SAB).

    Vậy góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) là \widehat{OSM}={30}^\circ. Tam giác vuông cân SAB có diện tích bằng 4a^2 suy ra \frac{1}{2}SA^2=4a^2\Rightarrow SA=2a\sqrt2

    \Rightarrow AB=4a\Rightarrow SM=2a..

    Xét tam giác vuông SOM có \cos\widehat{OSM}=\frac{SO}{SM}\Rightarrow SO=\frac{\sqrt3}{2}\cdot2a=\sqrt3a..

    Cuối cùng OB=\sqrt{SB^2-SO^2}=a\sqrt5.

    Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng S_{xq}=\pi rl=\pi\cdot a\sqrt5\cdot2a\sqrt2=2a^2\sqrt{10}\pi.

  • Câu 11: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

     Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

    Bán kính đáy R = \frac{a}{2}. Do đó thể tích khối trụ V = {R^2}\pi .h = \frac{{\pi {a^3}}}{4}(đvtt).

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = a\sqrt 2, góc ở đỉnh bằng {60^0}. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

    Diện tích xung quanh

     Theo giả thiết, ta có OA = a\sqrt 2 và \widehat {OSA} = {30^0}.

    Suy ra độ dài đường sinh:  \ell = SA = \frac{{OA}}{{\sin {{30}^0}}} = 2a\sqrt 2

    Vậy diện tích xung quanh bằng: {S_{xq}} = \pi R\ell = 4\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 1)^2 + (y + 2)^2 + (z − 3)^2 = 12 và mặt phẳng (P): 2x + 2y − z − 3 = 0. Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của mặt cầu và đáy là hình tròn giới hạn bởi (C) có thể tích lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng (Q) là

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và bán kính R = 2\sqrt{3}

    Gọi r là bán kính đường tròn (C) và H là hình chiếu của I lên (Q).

    Đặt IH = x ta có:

    r = \sqrt{R^{2} - x^{2}} = \sqrt{12 - x^{2}}

    Vậy thể tích khối nón tạo được là:

    V = \frac{1}{3}IH.S_{\left( (C) ight)} = \frac{1}{3}.x.\pi\left( \sqrt{12 - x^{2}} ight)^{2} = \frac{1}{3}.\pi\left( 12x - x^{3} ight)

    Gọi f'(x) = 12x - 3x^{2} ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2 chỉ có x = 2 \in \left( 0;2\sqrt{3} ight)

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Vậy V_{\max} = \frac{1}{3}.\pi.16 khi x = IH = 2

    Mặt phẳng (Q) // (P) nên (Q): 2x + 2y − z + a = 0 (a eq - 3)

    Vậy d\left( I;(Q) ight) = IH \Leftrightarrow \frac{\left| 2 + 2( - 2) - 3 + a ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}} = 2

    \Leftrightarrow |a - 5| = 6 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 11 \\ a = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy mặt phẳng (Q) có phương trình 2x + 2y − z − 1 = 0 hoặc 2x + 2y − z + 11 =0

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(0;0; - 3) và đi qua điểm M(4;0;0). Phương trình mặt cầu (S) là:

    Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(0;0; - 3) và bán kính R là:

    x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = R^{2}

    Ta có: M \in (S) \Rightarrow 4^{2} + 0^{2} + (0 + 3)^{2} = R^{2}

    \Leftrightarrow R^{2} = 25

    Vậy phương trình cần tìm là: x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 25.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao R\sqrt 3 và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

    Tỉ số diện tích

    Diện tích xung quanh của hình trụ:

    {S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}} = 2\pi R.h = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2} (đvdt).

    Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra

    \ell = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}} = \sqrt {3{R^2} + {R^2}} = 2R.

    Diện tích xung quanh của hình nón: {S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}} = \pi R\ell = \pi R.2R = 2\pi {R^2} (đvdt).

    Vậy \frac{{{S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}}}}{{{S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}}}} = \sqrt 3.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 27 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập