Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Xét mặt phẳng qua trục SO của hình nón ta được thiết diện là tam giác cân SAB.

Mặt phẳng đó cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r (bán kính mặt cầu) và nội tiếp trong tam giác cân SAB.

Trong tam giác vuông SOB, gọi I là giao điểm của đường phân giác trong góc B với đường thẳng SO.

Chứng minh được I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và bán kính  (E là hình chiếu vuông góc của I trên SB).

Theo tính chất phân giác, ta có .

Lại có .

Từ đó suy ra .

Ta có   nên

Thể tích khối cầu: (đvtt).

Gọi O là tâm , suy ra và

Trong SOA, ta có

Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:

• nên .
• nên

Do đó nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

Gọi M là tung điểm SA, ta có nên

Vậy

Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc .

Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra:

Trong tam giác vuông SOA, ta có .

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

Vậy đáp án cần tìm là:

 Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.

Do đó độ đài đường chéo:

Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.

Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên

Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.

Gọi H là trung điểm BC suy ra suy ra

Khi đó

Suy ra .

Ta có:

(*)

Gọi thỏa mãn nên

Từ (*) suy ra .

Gọi là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm

Khi đó ta có phương trình:

Vậy bán kính cần tìm là:

Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; .

Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' . Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

Do .

Gọi H là trung điểm của DC.

.

Ta có .

Suy ra .

Vậy thể tích của khối trụ là .

Hình vẽ minh họa

Gọi I(1; 2; 2) là tâm của (S), P(5; −2; 4) là trung điểm MN.

Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-copx-ki và công thức độ dài trung tuyến ta được:

nên T = EM + EN đạt giá trị lớn nhất khi EM = EN và EP đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S) (I nằm giữa E và P). Đường thẳng IP có phương trình:

Tọa độ E thỏa hệ phương trình:

Tìm được E(3; 0; 3) hoặc E(−1; 4; 1), thử lại để EP lớn nhất ta được E(−1; 4; 1).

Khi đó phương trình tiếp diện với (S) tại E là .

Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra  (I) đúng.

Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).

Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.

Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.

Ta có:

(S) có tâm , bán kính . (P) song song với (α)

⇒, với

Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên , so với điều kiện ta nhận .

Vậy .

Phương trình mặt cầu tâm bán kính là:

Tổng quát .

Hình vẽ minh họa

Ta có H là trực tâm của tam giác ABC suy ra

Thật vậy

Mà (vì H là trực tâm tam giác ABC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra suy ra

Tương tự

Từ (*) và (**) suy ra

Khi đó mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) có bán kính R = OH = 3

Vây mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng là: .