Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn AC=10a, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

      Thể tích của khối trụ

    Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; A\in (O), C \in (O') .

    Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' (D \in (O'), B \in (O). Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

    Do AC=10a,AD=8a\Rightarrow DC=6a..

    Gọi H là trung điểm của DC.

    \left\{\begin{matrix}O^\prime H\bot D C\\O^\prime H\bot A D\\\end{matrix}\Rightarrow O^\prime H\bot(ABCD)ight..

    Ta có O^\prime//(ABCD)\Rightarrow d\left(OO^\prime,ACight)=d\left(OO^\prime,(ABCD)ight)=O^\prime H=4a..

    Suy ra O^\prime H=4a,CH=3a\Rightarrow R=O^\prime C=5a..

    Vậy thể tích của khối trụ là V=\pi R^2h=\pi(5a)^28a=200\pi a^3.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Với giá trị nào của m thì mặt phẳng \left( P ight):2x - y + z - 5 = 0 tiếp xúc với mặt cầu 

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 2\left( {2 - m} ight)y - 4mz + 5{m^2} + 1 = 0?

    Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S): a = m;b = m - 2;c = 2m;d = 5{m^2} + 1

    Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là I\left( {m,m - 2,2m} ight).

    \Rightarrow {R^2} = {m^2} + {\left( {m - 2} ight)^2} + 4{m^2} - 5{m^2} - 1 = {m^2} - 4m + 3 > 0

    \Rightarrow m < 1 \vee m > 3.\left( P ight) tiếp xúc (S) khi: 

    d\left( {I,P} ight) = \frac{{\left| {3m - 3} ight|}}{{\sqrt 6 }} = R = \sqrt {{m^2} - 4m+3}

    \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3 \vee m = 1   (loại)

    \Rightarrow m = - 3

  • Câu 3: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 và mặt phẳng (P):x + y + z - 3 = 0. Gọi (S') là mặt cầu chứa đường tròn giao tuyến của (S) và (P) đồng thời (S') tiếp xúc với mặt phẳng (Q):x - y + z - 5 = 0. Gọi I(a;b;c) là tâm của (S'). Tính giá trị biểu thức T = abc.

    Phương trình mặt cầu (S’) có dạng:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 9 + m(x + y + z - 3) = 0

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + mx + my + mz - 9 - 3m = 0

    Mặt cầu (S') có tâm I\left( - \frac{m}{2}; - \frac{m}{2}; - \frac{m}{2} ight), bán kính R = \sqrt{\frac{3m^{2}}{4} + 3m + 9}.

    Mặt cầu (S') tiếp xúc với (Q) nên

    d\left( I;(Q) ight) = R\Leftrightarrow \dfrac{\left| - \dfrac{m}{2} - 5 ight|}{\sqrt{2}} =\sqrt{\frac{3m^{2}}{4} + 3m + 9}

    \Leftrightarrow |m + 10| = \sqrt{9m^{2} + 36m + 108}

    \Leftrightarrow m = - 1 \Rightarrow I\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2} ight)

    Vậy T = abc = \frac{1}{8}.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Một hình trụ có bán kính đáy R = 70{m{cm}} , chiều cao hình trụ h = 20{m{cm}}. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

    Tính độ dài cạnh

    Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

    Dựng đường sinh AA', ta có \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AA'\\CD \bot AD\end{array} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {AA'D} ight) \Rightarrow CD \bot A'D.

    Suy ra A’C là đường kính đáy nên A'C = 2R = 140{m{cm}}{m{.}}

    Xét tam giác vuông AA’C, ta có AC = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = 100\sqrt 2 {m{cm}}{m{.}}

    Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 5)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 9. Tính bán kính R của (S)?

    Bán kính mặt cầu là: R = \sqrt{9} = 3

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và(O’), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi A, B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O) và(O’). Biết AB = 2a và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ bằng \frac{{a\sqrt 3 }}{2}. Bán kính đáy bằng:

     Tính bán kính

    Dựng đường sinh BB', gọi I là trung điểm của AB’, ta có

    \left\{ \begin{array}{l}OI \bot AB'\\OI \bot BB'\end{array} ight. \Rightarrow OI \bot \left( {ABB'} ight)

    Suy ra d\left[ {AB,OO'} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABB'} ight)} ight] = d\left[ {O,\left( {ABB'} ight)} ight] = OI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi bán kính đáy của hình trụ là R.

    Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên OO' = BB' = 2R

    Trong tam giác vuông A B’B, ta có AB{'^2} = A{B^2} - B{B^2} = 4{a^2} - 4{R^2}.

    Trong tam giác vuông OIB’, ta có N OB{'^2} = O{I^2} + IB{'^2} \Leftrightarrow {R^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} ight)^2} + {\left( {\frac{{AB'}}{2}} ight)^2}.

    Suy ra AB{'^2} = 4{R^2} - 3{a^2}.

    Từ đó ta có 4{a^2} - 4{R^2} = 4{R^2} - 3{a^2} \Rightarrow R = \frac{{a\sqrt {14} }}{4}.

  • Câu 7: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 2) và B(5; 7; 0). Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2my - 2(m + 1)z + m^{2} + 2m + 8 = 0 là phương trình của một mặt cầu (S) sao cho qua hai điểm A, B có duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu (S) đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1.

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2my - 2(m + 1)z + m^{2} + 2m + 8 = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + m)^{2} + (z - m - 1)^{2} = m^{2} - 3(*)

    Suy ra (*) là phương trình mặt cầu

    \Leftrightarrow m^{2} - 3 > 0 \Leftrightarrow |m| > \sqrt{3}

    Khi đó, mặt cầu (S) có tâm I(2; −m; m + 1) và bán kính R = \sqrt{m^{2} - 3}

    Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, B.

    Theo giả thiết (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r = 1.

    Mặt khác, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là d = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = \sqrt{m^{2} - 4};\left( m^{2} - 4 \geq 0 ight)

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (2;6; - 2) suy ra \overrightarrow{u} = (1;3; - 1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB

    Suy ra đường thẳng AB là: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 1 + 3t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Để có duy nhất mặt phẳng (P) thỏa mãn bài thì

    TH1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm I và I otin AB

    Ta có I ∈ (P) ⇔ d = 0 ⇔ m^2 − 4 = 0 ⇔ m = ±2.

    + Với m = 2 ⇒ I(2; −2; 3) ∈ AB ⇒ m = 2 (loại).

    + Với m = −2 ⇒ I(2;2; - 1) otin AB⇒ m = −2 (thỏa mãn).

    TH2. Mặt phẳng (P) cách I một khoảng lớn nhất ⇔ d lớn nhất ⇔ d = d(I, AB). (*)

    \overrightarrow{IA} = (1;1 + m;1 - m)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 4 + 2m;2 - m;2 - m)

    \Rightarrow \left| \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack ight| = |2 - m|\sqrt{6};\left| \overrightarrow{u} ight| = \sqrt{11}

    Khi đó d(I;AB) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{IA};\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{|2 - m|\sqrt{6}}{\sqrt{11}}

    (*) \Leftrightarrow \sqrt{m^{2} - 4} = \frac{|2 - m|\sqrt{6}}{\sqrt{11}}

    \Leftrightarrow 5m^{2} + 24m - 68 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 2(ktm) \\m = - \dfrac{34}{5}(tm) \\\end{matrix} ight.

    Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Từ giả thiết suy ra h= 2a và chu vi đáy bằng a .

    Do đó 2\pi R = a \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\pi }}.

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 2)^2 = 9 hai hai điểm M(4; −4; 2),N(6; 0; 6). Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho EM + EN đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I(1; 2; 2) là tâm của (S), P(5; −2; 4) là trung điểm MN.

    Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-copx-ki và công thức độ dài trung tuyến ta được:

    (EM + EN)^{2} \leq 2\left( EM^{2} + EN^{2} ight) = 2\left( 2EP^{2} + \frac{MN^{2}}{2} ight)

    nên T = EM + EN đạt giá trị lớn nhất khi EM = EN và EP đạt giá trị lớn nhất.

    Khi đó E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S) (I nằm giữa E và P). Đường thẳng IP có phương trình:

    \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{1}

    Tọa độ E thỏa hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 9 \\\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{z - 2}{1} \\\end{matrix} ight.

    Tìm được E(3; 0; 3) hoặc E(−1; 4; 1), thử lại để EP lớn nhất ta được E(−1; 4; 1).

    Khi đó phương trình tiếp diện với (S) tại E là 2x−2y+z+9 = 0.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho phương trìnhx^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (\alpha), biết (\alpha) song song với mặt phẳng (P):2x + y - 2z + 11 = 0 và cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có chu vi 8\pi?

    Vì (α) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng 2x + y - 2z + c = 0

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.

    Đường tròn lớn có chu vi là 8\pi nên bán kính của (S) là \frac{8\pi}{2\pi} = 4

    Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3

    Từ đó ta có:

    d\left( I;(P) ight) = \frac{|2.1 + 2 - 2.3 + c|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + ( - 2)^{2}}} = 3

    \Leftrightarrow | - 2 + c| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 11 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.

    Vì (α) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) là 2x + y - 2z - 7 = 0

  • Câu 11: Nhận biết

    Xét các mệnh đề:

    (I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng \triangle cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.

    (II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.

    Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

    Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra  (I) đúng.

    Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).

    Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.

    Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I(2;1; - 2) bán kính R = 2 là:

    Phương trình mặt cầu tâm I(2;1; - 2) bán kính R = 2 là:

    (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 2^{2}

    Tổng quát x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 4z + 5 = 0.

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50{m{cm}} \times 240{m{cm}} , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

    Tính tỉ số thể tích

    ● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

    ● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

    Kí hiệu V_1là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V_2 là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} bằng:

    2 || Hai || hai

    Đáp án là:

    Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50{m{cm}} \times 240{m{cm}} , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

    Tính tỉ số thể tích

    ● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

    ● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

    Kí hiệu V_1là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V_2 là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} bằng:

    2 || Hai || hai

     Công thức thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h.

    ● Ở cách 1, suy ra h= 50 cm và 2\pi {R_1} = 240 \Leftrightarrow {R_1} = \frac{{120}}{\pi }. Do đó {V_1} = \pi .{\left( {\frac{{120}}{\pi }} ight)^2}.50 (đvtt).

    ● Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có h= 50 cm và 2\pi {R_2} = 120 \Leftrightarrow {R_2} = \frac{{60}}{\pi }

    Do đó {V_2} = 2 \times \left[ {\pi .{{\left( {\frac{{60}}{\pi }} ight)}^2}.50} ight] (đvtt).

    Suy ra \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 1;0;0),B(0;0;2),C(0; - 3;0). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:

    Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

    Phương trình mặt cầu (S) có dạng x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

    Vì O;A;B;C \in (S) nên ta có: \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ 1 + 2a + d = 0 \\ 4 - 4c + d = 0 \\ 9 + 6b + d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ a = - \frac{1}{2} \\ b = - \frac{3}{2} \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy bán kính mặt cầu (S) là:

    R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \frac{\sqrt{14}}{2}

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và AC = a\sqrt 3. Độ dài đường sinh \ell của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

    Độ dài đường sinh

    Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là AC = a\sqrt 3 và chiều cao hình nón là AB = a.

    Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:

    \ell = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 3 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập