Trong không gian
, cho mặt cầu
có tọa độ tâm
là:
Tâm của có tọa độ là
.
Trong không gian
, cho mặt cầu
có tọa độ tâm
là:
Tâm của có tọa độ là
.
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.
Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng
vuông góc với đáy
. Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng
đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm
nhận giá trị nào sau đây?

Mặt phẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên
cân tại A , trung tuyến AM nên
(1)
Ta có
Do đó (2)
Từ (1) và (2), suy ra (*)
Lại có (**)
Từ (*) và (**), suy ra . Tương tự ta cũng có
Do đó nên năm điểm
cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt cầu
và mặt phẳng
cắt nhau theo một đường tròn có chu vi là:
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
.
Ta có
Vì nên (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (α) ⇒ H là tâm của (C).
Lấy
Tam giác IHM vuông tại M
Suy ra chu vi của đường tròn (C) bằng .
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là
.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:
Trong hệ tọa độ
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Gọi
là mặt phẳng song song với
và cắt
theo thiết diện là đường tròn
sao cho khối nón có đỉnh là tâm của mặt cầu và đáy là hình tròn giới hạn bởi
có thể tích lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng
là
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và bán kính
Gọi r là bán kính đường tròn (C) và H là hình chiếu của I lên (Q).
Đặt IH = x ta có:
Vậy thể tích khối nón tạo được là:
Gọi ta có:
chỉ có
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy khi
Mặt phẳng (Q) // (P) nên
Vậy
Vậy mặt phẳng (Q) có phương trình hoặc
Trong không gian
, tìm tất cả các giá trị của tham số
để
là phương trình mặt cầu
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là:
Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:
Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.
Do đó độ đài đường chéo:
Trong không gian với hệ tọa độ
, giá trị dương của tham số
sao cho mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu
là:
Ta có: có phương trình
Mặt cầu có tâm
và bán kính
Để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
thì
. Vì m nhận giá trị dương nên
.
Vậy thỏa yêu cầu đề bài.
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .
Suy ra hình trụ này có đường cao .
Vậy thể tích khối trụ (đvtt).
Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
. Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số
bằng:

Gọi O là tâm , suy ra
và
Trong SOA, ta có
Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:
Do đó nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
Gọi M là tung điểm SA, ta có nên
Vậy
Khi đặt hệ tọa độ
vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu
(tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu
có phương trình
. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.
Đáp án : 18km
Khi đặt hệ tọa độ vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu
(tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu
có phương trình
. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.
Đáp án : 18km
Ta có
.
Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là 18km.
Đáp số: 18km.
Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 2a, bán kính đáy bằng 3a. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng
. Diện tích của thiết diện đó bằng?
Xét hình nón đỉnh S có chiều cao , bán kính đáy
.
Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác SAB cân tại S.

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trong tam giác SOI, kẻ
Ta có:
Xét tam giác SOI vuông tại O, ta có
.
Xét tam giác AOI vuông tại I, có:
Vậy diện tích của thiết diện là:
.
Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn
, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; .
Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' . Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.
Do .
Gọi H là trung điểm của DC.
.
Ta có .
Suy ra .
Vậy thể tích của khối trụ là .
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước
, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng
, theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu
là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và
là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số
bằng:
2 || Hai || hai
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng
, theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và
là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số
bằng:
2 || Hai || hai
Công thức thể tích khối trụ .
● Ở cách 1, suy ra và
. Do đó
(đvtt).
● Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có và
Do đó (đvtt).
Suy ra