Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ
(đvtt).
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ
(đvtt).
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác vuông
có diện tích bằng
. Góc giữa trục
và mặt phẳng
bằng
. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng?

Gọi là trung điểm của
, tam giác
cân đỉnh O nên
và
suy ra
Dựng .
Theo trên có nên
.
Vậy góc tạo bởi giữa trục và mặt phẳng
là
. Tam giác vuông cân
có diện tích bằng
suy ra
.
Xét tam giác vuông có
.
Cuối cùng .
Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng .
Cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau
Cho mặt phẳng và mặt cầu
. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I có tọa độ là:
Áp dụng CT, ta có (P) cắt (S)
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .
Suy ra hình trụ này có đường cao .
Vậy thể tích khối trụ (đvtt).
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.
Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên trục
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm
bán kính
?
Hình chiếu vuông góc của trên
là:
Suy ra phương trình mặt cầu tâm bán kính
là:
.
Một hình trụ có bán kính đáy
, chiều cao hình trụ
. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.
Dựng đường sinh AA', ta có .
Suy ra A’C là đường kính đáy nên
Xét tam giác vuông AA’C, ta có
Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a,
. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Tỉ số
nhận giá trị nào sau đây?

Ta có hay
Gọi E là trung điểm AD.
Ta có nên ABCE là hình thoi.
Suy ra .
Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:
hay
Tương tự, ta cũng có hay
Ta có nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính
.
Suy ra .
Một hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là
. Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo
. Diện tích của thiết diện là:

Vì góc ở đỉnh là nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R.
Suy ra đường cao của hình nón là .
Tam giác SAB là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng nên IAB là tam giác vuông cân tại I, suy ra
.
Gọi M là trung điểm của AB thì và
.
Trong tam giác vuông SIM, ta có
Vậy (đvdt).
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu
tại điểm
là:
Mặt cầu có tâm
.
Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.
Do (α) tiếp xúc với (S) tại P nên mặt phẳng (α) đi qua P và có vectơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng (α) là
Cho lăng trụ đứng
có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
, góc
bằng
. Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
bằng:

Ta có .
Trong , ta có
Trong , ta có
Gọi N là trung điểm AC , suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Gọi là trung điểm A'C, suy ra
.
Do đó IN là trục của , suy ra
(1)
Hơn nữa, tam giác vuông tại A có
là trung điểm A'C nên
. (2)
Từ (1) và (2), ta có hay
là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
với bán kính
.
Trong không gian
, cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính
?
Phương trình mặt cầu có bán kính
Xét phương trình mặt cầu ta có:
Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:
Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.
Do đó độ đài đường chéo:
Trong không gian
(đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí
. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là
.
a) Phương trình mặt cầu
để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là
. Sai||Đúng
b) Điểm
nằm ngoài mặt cầu
. Sai||Đúng
c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ
thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai
d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ
thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai
Trong không gian (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí
. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là
.
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là
. Sai||Đúng
b) Điểm nằm ngoài mặt cầu
. Sai||Đúng
c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai
d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai
Phương trình mặt cầu tâm
bán kính
mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là
.
Ta có: nên điểm
nằm trong mặt cầu.
Vì điểm nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ
có thể sử dưng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
Ta có: nên điểm
nằm ngoài mặt cầu.
Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ không thể sử dựng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm M thuộc mặt cầu
và ba điểm
. Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn
là đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này?
Ta có: khi đó:
Mà
Suy ra .
Như vậy quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của (S) tâm I(3; −1; 0), bán kính R = 3 và (P)
Ta có: