Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Từ giả thiết suy ra và chu vi đáy bằng a .
Do đó .
Trong không gian với hệ tọa độ 
, cho mặt cầu . Đường kính bằng:
Đường kính của mặt cầu bằng:
.
Trong không gian , mặt cầu có bán kính bằng:
Bán kính của mặt cầu là
.
Trong không gian , cho tứ diện đều có và hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là . Tìm tọa độ tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ?
Gọi
là tứ diện đều nên tâm
của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện
Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy , góc ở đỉnh bằng . Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
Theo giả thiết, ta có và
.
Suy ra độ dài đường sinh:
Vậy diện tích xung quanh bằng: (đvdt).
Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và . Độ dài đường sinh của hình nón bằng:
Gọi I là trung điểm AB, suy ra và
.
Trong tam giác vuông SOA, ta có
Trong tam giác vuông SIA, ta có
Trong tam giác vuông OIA, ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt cầu và cắt nhau theo một đường tròn nằm trong mặt phẳng . Cho các điểm . Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng ?
Mặt phẳng (P) chứa đường tròn (C) có được bằng cách khử trong phương trình hai mặt cầu ta được 6x + 3y + 2z = 0. Mặt phẳng (ABC) có phương trình là
Do đó (P) // (ABC). Mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA sẽ giao với mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA.
Trên mặt phẳng (ABC) có 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ba đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C.
Do đó có 4 mặt cầu có tâm nằm trên (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA.
Tâm của 4 mặt cầu là hình chiếu của tâm 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA lên mặt phẳng (P).
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):
● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số bằng:
2 || Hai || hai
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng
, theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):
● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và
là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số
bằng:
2 || Hai || hai
Công thức thể tích khối trụ .
● Ở cách 1, suy ra và
. Do đó
(đvtt).
● Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có và
Do đó (đvtt).
Suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ , cho với là tham số thực) và hai điểm . Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số để trên tồn tại điểm sao cho ?
Gọi
Theo đề bài ra ta có:
Mặt cầu (Sm) có tâm I(1; 1; m) và bán kính
Gọi (α): x + y + z − 4 = 0. Khi đó:
Vậy giá trị nhỏ nhất của tham số m cần tìm là .
Trong không gian với hệ tọa độ , mặt cầu và mặt phẳng cắt nhau theo một đường tròn có chu vi là:
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
.
Ta có
Vì nên (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (α) ⇒ H là tâm của (C).
Lấy
Tam giác IHM vuông tại M
Suy ra chu vi của đường tròn (C) bằng .
Cho hình lập phương có cạnh bằng 1 có trùng với ba trục . Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương.
tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương tại trung điểm của mỗi cạnh.
Tâm là trung điểm chng của 6 đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện đôi một có độ dài bằng
Bán kính
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu tâm I và mặt phẳng . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn MH có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm M.
Ta có tâm và bán kính
. Do
nên mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S) . Do H là hình chiếu của I lên (P) và MH lớn nhất nên M là giao điểm của đường thẳng IH với mp (P) .
.
Phương trình đường thẳng IH là .
Giao điểm của IH với (S):
Suy ra:
.
Vậy điểm cần tìm là .
Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:
Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.
Do đó độ đài đường chéo:
Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng . Diện tích toàn phần của hình nón là:
Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.
Theo giả thiết, ta có và
.
Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có
Vậy diện tích toàn phần:
(đvdt).
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có và . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:
Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao , bán kính đáy
Do đó diện tích toàn phần:
