Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ
(đvtt).
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ
(đvtt).
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước
, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng
, theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu
là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và
là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số
bằng:
2 || Hai || hai
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng
, theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và
là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số
bằng:
2 || Hai || hai
Công thức thể tích khối trụ .
● Ở cách 1, suy ra và
. Do đó
(đvtt).
● Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có và
Do đó (đvtt).
Suy ra
Một hình nón có đường cao bằng 9 cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5 cm. Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:

Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có
Suy ra và
Thể tích khối nón (đvtt).
Thể tích khối cầu (đvtt).
Suy ra
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:
Diện tích xung quanh của hình trụ: (đvdt).
Diện tích toàn phần của hình trụ:
(đvdt).
Trong không gian
(đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí
. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là
.
a) Phương trình mặt cầu
để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là
. Sai||Đúng
b) Điểm
nằm ngoài mặt cầu
. Sai||Đúng
c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ
thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai
d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ
thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai
Trong không gian (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí
. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là
.
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là
. Sai||Đúng
b) Điểm nằm ngoài mặt cầu
. Sai||Đúng
c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai
d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai
Phương trình mặt cầu tâm
bán kính
mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là
.
Ta có: nên điểm
nằm trong mặt cầu.
Vì điểm nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ
có thể sử dưng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.
Ta có: nên điểm
nằm ngoài mặt cầu.
Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ không thể sử dựng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó
Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:
Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.
Do đó độ đài đường chéo:
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .
Suy ra hình trụ này có đường cao .
Vậy thể tích khối trụ (đvtt).
Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc .
Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra:
Trong tam giác vuông SOA, ta có .
Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
, biết
song song với giá của vectơ
, vuông góc với
và tiếp xúc với
.
Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R = 4.
Vectơ pháp tuyến của (α) là
Theo giả thiết, suy ra (P) có vectơ pháp tuyến là
Phương trình của mặt phẳng (P) có dạng
Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:
Vậy có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là:
Trong không gian tọa độ
, cho tọa độ hai điểm
. Phương trình mặt cầu đường kính
là:
Gọi I là trung điểm của AB suy ra
Mặt cầu đường kính có tâm
và bán kính
có phương trình là:
Cho hai mặt cầu sau:
![]()
![]()
Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?
Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong
Cho hai mặt cầu sau:
Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?
Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong
Theo đề bài, ta suy ra các hệ số, tâm và bán kính của (S):
Tâm
bán kính
Tâm
; bán kính
(S) và (S') tiếp xúc trong.
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt cầu
và mặt phẳng
cắt nhau theo một đường tròn có chu vi là:
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
.
Ta có
Vì nên (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (α) ⇒ H là tâm của (C).
Lấy
Tam giác IHM vuông tại M
Suy ra chu vi của đường tròn (C) bằng .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Gọi
là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng
với
. Tính giá trị
.
Hình vẽ minh họa
Ta có: mà
nên
Suy ra (P): 2x + 2y + z + d = 0.
Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).
Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên có
Gọi r là bán kính đường tròn tâm H.
Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức
Ta có:
Đặt
Mà
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có tâm
có bán kính bằng
. Phương trình của
là:
Mặt cầu có tâm
và bán kính bằng
có phương trình là:
Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
. Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số
bằng:

Gọi O là tâm , suy ra
và
Trong SOA, ta có
Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:
Do đó nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
Gọi M là tung điểm SA, ta có nên
Vậy