Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo thiết diện là đường tròn bán kính
bằng bao nhiêu?
Mặt cầu có tâm
và bán kính
.
Khoảng cách từ tâm đến
bằng
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo thiết diện là đường tròn bán kính
bằng bao nhiêu?
Mặt cầu có tâm
và bán kính
.
Khoảng cách từ tâm đến
bằng
.
Trong không gian
cho mặt cầu
Đường kính của
bằng
Ta có bán kính của là
nên đường kính của
bằng
.
Một hình nón có đường cao bằng 9 cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5 cm. Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:

Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có
Suy ra và
Thể tích khối nón (đvtt).
Thể tích khối cầu (đvtt).
Suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Mặt cầu đường kính
có phương trình là:
Gọi là trung điểm của
khi đó
là tâm mặt cầu
.
Bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Cho hình nón có bán kính đáy là
, độ dài đường sinh là
. Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón bằng:

Xét mặt phẳng qua trục SO của hình nón ta được thiết diện là tam giác cân SAB.
Mặt phẳng đó cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r (bán kính mặt cầu) và nội tiếp trong tam giác cân SAB.
Trong tam giác vuông SOB, gọi I là giao điểm của đường phân giác trong góc B với đường thẳng SO.
Chứng minh được I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và bán kính (E là hình chiếu vuông góc của I trên SB).
Theo tính chất phân giác, ta có .
Lại có .
Từ đó suy ra .
Ta có nên
Thể tích khối cầu: (đvtt).
Trong không gian với hệ tọa độ
cho mặt cầu
và điểm
. Ba mặt phẳng thay đổi đi qua
và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.

Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là
Với điểm I bất kỳ, hạ lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng
thì ta luôn có:
(1) .
Thật vậy , ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với , ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng
.
Khi đó tọa độ I(a;b;c) thì:
hay .
Vậy (1) được chứng minh.

Áp dụng giải bài:
Mặt cầu (S) có tâm và có bán kính
.
.
Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là và cắt mặt cầu (S) theo ba đường tròn lần lượt là
.
Gọi và
lần lượt là tâm và bán kính của
.
Khi đó : .
Tương tự có: và
.
Theo nhận xét ở trên ta có:
Ta có tổng diện tích các đường tròn là :
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, giá trị dương của tham số
sao cho mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu
là:
Ta có: có phương trình
Mặt cầu có tâm
và bán kính
Để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
thì
. Vì m nhận giá trị dương nên
.
Vậy thỏa yêu cầu đề bài.
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:
Diện tích xung quanh của hình trụ: (đvdt).
Diện tích toàn phần của hình trụ:
(đvdt).
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Từ giả thiết suy ra và chu vi đáy bằng a .
Do đó .
Trong hệ tọa độ
, cho mặt cầu
và các điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua hai điểm
sao cho thiết diện của mặt phẳng
với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình
dưới dạng
. Tính
.
Ta có:
(S) có tâm , bán kính
.
Nhận thấy: ⇒ A; B nằm bên trong mặt cầu.
Gọi K là trung đểm của AB
Gọi H là hình chiếu của I trên (P),(P) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn tâm H bán kính r.
Std nhỏ nhất ⇔ r nhỏ nhất ⇔ IH lớn nhất
Khi đó mặt phẳng (P): Đi qua A và có VTPT là
⇒ Phương trình mặt phẳng
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .
Suy ra hình trụ này có đường cao .
Vậy thể tích khối trụ (đvtt).
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng
, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
. Đường cao h của hình nón bằng:
Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra và
.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .
Ta có
Từ đó suy ra nên
Trong tam giác vuông SOE, ta có
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và mặt cầu
. Mặt phẳng
(với
là các số nguyên dương và
nguyên tố cùng nhau) đi qua
và cắt
theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính tổng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có cùng phương với
suy ra phương trình đường thẳng
.
Xét mặt cầu ⇒ I(1; 2; 3), R = 5.
Gọi là điểm trên AB sao cho AB ⊥ IH
Vì ,
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến giữa (P) và (S), K là hình chiếu vuông góc của I lên (P) .
Ta có
Dấu bằng chỉ xảy ra khi K ≡ H.
Khi đó phương trình mặt phẳng (P) nhận là vectơ pháp tuyến và đi qua điểm
là
Xét các mệnh đề:
(I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng
cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.
(II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?
Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra (I) đúng.
Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).
Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.
Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.
Trong không gian
, cho tứ diện
có tọa độ đỉnh ![]()
. Gọi
là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
. Viết phương trình mặt cầu
có tâm trùng với tâm của mặt cầu
và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu
?
Gọi phương trình mặt cầu có
Vì là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
nên ta có hệ phương trình
. Suy ra tâm mặt cầu
và bán kính
Vậy phương trình mặt cầu có tâm trùng với tâm của mặt cầu
và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu
là: