Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 1;0;0),B(0;0;2),C(0; - 3;0). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:

    Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

    Phương trình mặt cầu (S) có dạng x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

    Vì O;A;B;C \in (S) nên ta có: \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ 1 + 2a + d = 0 \\ 4 - 4c + d = 0 \\ 9 + 6b + d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ a = - \frac{1}{2} \\ b = - \frac{3}{2} \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy bán kính mặt cầu (S) là:

    R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \frac{\sqrt{14}}{2}

  • Câu 2: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

     Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

    Bán kính đáy R = \frac{a}{2}. Do đó thể tích khối trụ V = {R^2}\pi .h = \frac{{\pi {a^3}}}{4}(đvtt).

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và AC = a\sqrt 3. Độ dài đường sinh \ell của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

    Độ dài đường sinh

    Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là AC = a\sqrt 3 và chiều cao hình nón là AB = a.

    Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:

    \ell = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a.

  • Câu 5: Vận dụng

    Một hình nón có đường cao bằng 9 cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5 cm. Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:

    Tỉ số giữa thể tích

    Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có SH = 9cm, OS=OA=5cm

    Suy ra OH = 4{m{cm}} và AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = 3{m{cm}}{m{.}}

    Thể tích khối nón {V_n} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.SH = 27\pi(đvtt).

    Thể tích khối cầu {V_c} = \frac{4}{3}\pi .S{O^3} = \frac{{500\pi }}{3}  (đvtt).

    Suy ra \frac{{{V_n}}}{{{V_c}}} = \frac{{81}}{{500}}

  • Câu 6: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho A(5; 0; 0), B(1; 2; −4), C(4; 3; 0) và mặt phẳng (α): x + 2y + 2z − 10 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và tiếp xúc mặt phẳng (α).

    Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu cần tìm.

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} AI = IB \\ AI = CI \\ AI = d\left( I;(\alpha) ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} +(z + 4)^{2}} \\\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} +z^{2}} \\\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = \dfrac{|x + 2y + 2z -10|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - y + 2z = 1 \\ x - 3y = 0 \\ 3\sqrt{(x - 5)^{2} + y^{2} + z^{2}} = |x + 2y + 2z - 10| \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3y \\z = \dfrac{- 5y + 1}{2} \\65y^{2} - 130y + 65 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y = 1 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.

    Vậy phương trình mặt cầu tâm I(3; 1; −2) bán kính R = AI = 3 là (x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 9.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác vuông  SAB có diện tích bằng 4a^2. Góc giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng {30}^\circ. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng?

     

    Gọi M là trung điểm của AB , tam giác OAB cân đỉnh O nên OM\bot AB  và SO\bot AB suy ra AB\bot(SOM)

    Dựng OK\bot SM..

    Theo trên có OK\bot AB nên OK\bot(SAB).

    Vậy góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) là \widehat{OSM}={30}^\circ. Tam giác vuông cân SAB có diện tích bằng 4a^2 suy ra \frac{1}{2}SA^2=4a^2\Rightarrow SA=2a\sqrt2

    \Rightarrow AB=4a\Rightarrow SM=2a..

    Xét tam giác vuông SOM có \cos\widehat{OSM}=\frac{SO}{SM}\Rightarrow SO=\frac{\sqrt3}{2}\cdot2a=\sqrt3a..

    Cuối cùng OB=\sqrt{SB^2-SO^2}=a\sqrt5.

    Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng S_{xq}=\pi rl=\pi\cdot a\sqrt5\cdot2a\sqrt2=2a^2\sqrt{10}\pi.

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu

    Phương trình mặt cầu tâm I bán kính R có dạng: (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

    Vậy đáp án cần tìm là: (x - 13)^{2} + (y - 24)^{2} + (z - 36)^{2} = 7^{2} .

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho mặt cầu S(O;R) , A là một điểm ở trên mặt cầu (S) và (P) là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng 60^0. Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:

    Diện tích của đường tròn giao tuyến

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của (O) trên (P) thì

    ● H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

    ●\widehat {OA,\left( P ight)} = \widehat {\left( {OA,AH} ight)} = {60^0}

    Bán kính của đường tròn giao tuyến: r = HA = OA.\cos {60^0} = \frac{R}{2}.

    Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: \pi {r^2} = \pi {\left( {\frac{R}{2}} ight)^2} = \frac{{\pi {R^2}}}{4}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao R\sqrt 3 và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

    Tỉ số diện tích

    Diện tích xung quanh của hình trụ:

    {S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}} = 2\pi R.h = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2} (đvdt).

    Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra

    \ell = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}} = \sqrt {3{R^2} + {R^2}} = 2R.

    Diện tích xung quanh của hình nón: {S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}} = \pi R\ell = \pi R.2R = 2\pi {R^2} (đvdt).

    Vậy \frac{{{S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}}}}{{{S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}}}} = \sqrt 3.

  • Câu 11: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H(1;2; - 2). Mặt phẳng (\alpha) đi qua H và cắt các trục Ox;Oy;Oz tại A;B;C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (\alpha)?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có H là trực tâm của tam giác ABC suy ra OH\bot(ABC)

    Thật vậy \left\{ \begin{matrix} OH\bot OA \\ OH\bot OB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OC\bot AB(1)

    Mà CH\bot AB (vì H là trực tâm tam giác ABC) (2)

    Từ (1) và (2) suy ra AB\bot(OHC) suy ra AB\bot OH(*)

    Tương tự BC\bot(OAH) \Rightarrow BC\bot OH(**)

    Từ (*) và (**) suy ra OH\bot(ABC)

    Khi đó mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) có bán kính R = OH = 3

    Vây mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (\alpha) là: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 1; 3) , B (6; 5; 5). Gọi (S) là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng (P) : 2x + by + cz + d = 0 với b, c, d ∈ \mathbb{Z}. Tính giá trị T = b − c + d.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (4;4;2) mà \overrightarrow{AB}\bot(P) nên \frac{2}{4} = \frac{b}{4} = \frac{c}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 2 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra (P): 2x + 2y + z + d = 0.

    Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).

    Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên (S) có I(4;3;4);R = \frac{AB}{2} = 3

    Gọi r là bán kính đường tròn tâm H.

    Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức

    Ta có:

    V = \frac{1}{3}\pi r^{2}AH = \frac{1}{3}\pi r^{2}(R + IH)

    = \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( R + \sqrt{R^{2} - r^{2}} ight)

    = \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}} ight)

    Đặt f(r) = 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}};r \in (0;3brack

    \Rightarrow f'(r) = r\left( 6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \frac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} ight)

    \Rightarrow f'(r) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}r = 0(ktm) \\6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \dfrac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} = 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 2\sqrt{9 - r^{2}} = r^{2} - 6;\left( r^{2} \geq 6 ight)

    \Leftrightarrow r^{4} - 8r^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = 0(L) \\ r^{2} = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = - 2\sqrt{2}(L) \\ r = 2\sqrt{2}(tm) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow HI = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 1

    \Rightarrow \frac{AH}{AI} = \frac{AI + HI}{AI} = \frac{R + HI}{R} = \frac{4}{3}

    \Rightarrow AH = \frac{4}{3}AI \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AI} \Rightarrow H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight)

    Mà H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight) \in (P):2x + 2y + z + d = 0 \Rightarrow d = - 21

    Vậy T = b − c + d = −20.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí I(1;3;7). Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3\ km.

    a) Phương trình mặt cầu (S) để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là (x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} = 9. Sai||Đúng

    b) Điểm A(2;2;7) nằm ngoài mặt cầu (S). Sai||Đúng

    c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (2;2;7) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

    d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (5;6;7) thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí I(1;3;7). Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3\ km.

    a) Phương trình mặt cầu (S) để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là (x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} = 9. Sai||Đúng

    b) Điểm A(2;2;7) nằm ngoài mặt cầu (S). Sai||Đúng

    c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (2;2;7) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

    d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (5;6;7) thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

    Phương trình mặt cầu (S) tâm I(1;3;7) bán kính 3\ km mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là (x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 7)^{2} = 9.

    Ta có: IA = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (2 - 3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = \sqrt{2} < 3 nên điểm A nằm trong mặt cầu.

    Vì điểm A nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ (2;2;7) có thể sử dưng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

    Ta có: IB = \sqrt{(5 - 1)^{2} + (6 - 3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = 5' > 3 nên điểm B nằm ngoài mặt cầu.

    Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (5;6;7) không thể sử dựng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính AB, với A(6;2; - 5),B( - 4;0;7). Viết phương trình (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A?

    Hình vẽ minh họa

    Vì mặt cầu (S) có đường kính là AB nên tâm I của mặt cầu (S) là trung điểm của AB.

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 1).

    Vì (P) tiếp xúc với (S) tại A nên (P) đi qua A và nhận \overrightarrow{IA} = (5;1; - 6) làm vectơ pháp tuyến.

    Suy ra (P):5(x - 6) + (y - 2) - 6(z + 5) = 0

    \Rightarrow (P):5x + y - 6z - 62 = 0

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60^0, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \frac{R}{2}. Đường cao h của hình nón bằng:

    Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE \bot AB và OE = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên d\left[ {O,\left( {SAB} ight)} ight] = OH = \frac{R}{2}.

    Trong tam giác vuông SOE, ta có  \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{8}{{3{R^2}}} \Rightarrow SO = \frac{{R\sqrt 6 }}{4}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 28 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập