Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Ta có .

Trong , ta có

Trong , ta có

Gọi N là trung điểm AC , suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Gọi  là trung điểm A'C, suy ra  .

Do đó IN là trục của , suy ra   (1)

Hơn nữa, tam giác vuông tại A có là trung điểm A'C nên . (2)

Từ (1) và (2), ta có hay là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp với bán kính .

Kẻ đường sinh AA’, gọi D là điểm đối xứng với A’ qua tâm O’ và H là hình chiếu của B trên A’D.

Ta có nên .

Trong tam giác vuông A'AB có .

Trong tam giác vuông A'BD có .

Do đó suy ra tam giác BO'D nên .

Vậy  (đvtt).

Ta có hay

Gọi E là trung điểm AD.

Ta có nên ABCE là hình thoi.

Suy ra .

Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:

   hay    

Tương tự, ta cũng có hay

Ta có nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính .

Suy ra .

Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,

Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.

Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên ,

Suy ra ,    và

Diện tích toàn phần của hình nón: (đvdt).

Thể tích khối nón là: (đvtt). 

Theo đề bài, ta có:

là mặt cầu

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có .

Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì và .

Vì nên

Gọi H là trung điểm A’B, suy ra

nên .

Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên

Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên

Gọi (C) là giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu (S) và (C) có tâm H, bán kính r.

Bán kính r của đường tròn là nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.

Vì nên gọi M(m; 0; 0).

Suy ra mặt phẳng (P) chứa AM và (P) ⊥ (α).

Khi đó

Mà mặt phẳng (P) đi qua A nên phương trình của mặt phẳng (P) là:

hay

Ta có:

lớn nhất khi và chỉ khi đạt giá trị nhỏ nhất

Mà

Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi

Vậy .

Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc .

Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra:

Trong tam giác vuông SOA, ta có .

Gọi tọa độ các điểm trên ba tia lần lượt là với

Vì G là trọng tâm tam giác nên

Gọi phương trình mặt cầu cần tìm là:

Vì qua các điểm nên ta có hệ phương trình:

Vậy tọa độ tâm của mặt cầu là: .

Mặt cầu có tâm .

Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.

Do (α) tiếp xúc với (S) tại P nên mặt phẳng (α) đi qua P và có vectơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng (α) là

Gọi H là hình chiếu vuông góc của (O) trên (P) thì

● H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

●

Bán kính của đường tròn giao tuyến: .

Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: .

 Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ (đvtt).

Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

Dựng đường sinh AA', ta có .

Suy ra A’C là đường kính đáy nên

Xét tam giác vuông AA’C, ta có

Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

Gọi lần lượt là trung điểm của và là trung điểm của . Suy ra góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy là  .

Ta có .

Xét vuông tại O, ta có:

;

Xét vuông tại M, có

.

Vậy .

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm AB suy ra H là hình chiếu vuông góc của I lên Ox nên

Phương trình mặt cầu là: .