Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.  Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

     Diện tích toàn phần

    Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,

    Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.

    Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên AB = SB\sqrt 2 = a\sqrt 2, SO = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.

    Suy ra h = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},  l = SA = a  và SB\sqrt 2 = 2R \Rightarrow R = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}.

     

    Diện tích toàn phần của hình nón: {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}(đvdt).

    Thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}} (đvtt). 

  • Câu 2: Nhận biết

    Mặt cầu (S) có tâm A(1; -2; 2) và bán kính R = 8. Tìm phương trình mặt cầu (S).

    Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R có dạng: (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 2a, bán kính đáy bằng 3a. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng \frac{3a}{2}. Diện tích của thiết diện đó bằng?

    Xét hình nón đỉnh S có chiều cao SO=2a, bán kính đáy OA=3a .

    Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác SAB cân tại S.

    Diện tích thiết diện

    Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trong tam giác SOI, kẻ OH\bot SI,H\in SI

    Ta có: 

     +\left\{\begin{matrix}AB\bot O I\\AB\bot S O\\\end{matrix}\Rightarrow A B\bot(SOI)\Rightarrow A B\bot O Hight.

    +\left\{\begin{matrix}OH\bot S I\\OH\bot A B\\\end{matrix}\Rightarrow O H\bot(SAB)\Rightarrow d(O,(SAB))=OH=\frac{3a}{2}ight.

    Xét tam giác SOI vuông tại O, ta có

    \frac{1}{OI^2}=\frac{1}{OH^2}-\frac{1}{SO^2}=\frac{4}{9a^2}-\frac{1}{4a^2}=\frac{7}{36a^2}\Rightarrow OI=\frac{6a}{\sqrt7}.

    SI=\sqrt{SO^2+OI^2}=\sqrt{4a^2+\frac{36a^2}{7}}=\frac{8a}{\sqrt7}.

    Xét tam giác AOI vuông tại I, có: 

    AI=\sqrt{AO^2-OI^2}=\sqrt{9a^2-\frac{36a^2}{7}}=\frac{3\sqrt3a}{\sqrt7}

    \Rightarrow AB=2AI=\frac{6\sqrt3a}{\sqrt7}

    Vậy diện tích của thiết diện là:

    S_{\triangle S A B}=\frac{1}{2}\cdot SI\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot\frac{8a}{\sqrt7}\cdot\frac{6\sqrt3a}{\sqrt7}=\frac{24a^2\sqrt3}{7}.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tứ diện đều ABCD có A(0;1;2) và hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (BCD) là H(4; - 3; - 2). Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD?

    Gọi I(a;b;c) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = ( - a;1 - b;2 - c) \\ \overrightarrow{IH} = (4 - a; - 3 - b; - 2 - c) \\ \end{matrix} ight.

    ABCD là tứ diện đều nên tâm I của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện

    \Rightarrow \overrightarrow{IA} = - 3\overrightarrow{IH} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - a = - 3(4 - a) \\ 1 - b = - 3(3 - b) \\ 2 - c = - 3( - 2 - c) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = - 2 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(3; - 2; - 1)

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 6: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2\pi R = 2a \Leftrightarrow R = \frac{a}{\pi }.

    Suy ra hình trụ này có đường cao h=a.

    Vậy thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{a}{\pi }} ight)^2}a = \frac{{{a^3}}}{\pi }(đvtt).

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} = 9 có bán kính bằng:

    Bán kính của mặt cầu (S) là R = \sqrt{9} = 3.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (Oxy) cắt mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 3)^{2} = 25 theo thiết diện là đường tròn bán kính r bằng bao nhiêu?

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;1; - 3) và bán kính R = 5.

    Khoảng cách từ tâm I đến (Oxy) bằng 3.

    \Rightarrow r = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4

  • Câu 9: Thông hiểu

    Một hình trụ có bán kính đáy R = 70{m{cm}} , chiều cao hình trụ h = 20{m{cm}}. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

    Tính độ dài cạnh

    Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

    Dựng đường sinh AA', ta có \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AA'\\CD \bot AD\end{array} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {AA'D} ight) \Rightarrow CD \bot A'D.

    Suy ra A’C là đường kính đáy nên A'C = 2R = 140{m{cm}}{m{.}}

    Xét tam giác vuông AA’C, ta có AC = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = 100\sqrt 2 {m{cm}}{m{.}}

    Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

  • Câu 10: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A(1; - 1;4) và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ?

    Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu (S). Mặt cầu (S) tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên:

    d\left( I;(Oxy) ight) = d\left( I;(Oyz) ight) = d\left( I;(Ozx) ight)

    \Leftrightarrow |a| = |b| = |c| = R(*)

    Mặt cầu đi qua điểm A(1; - 1;4)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} IA = R \\ a > 0;c > 0;b < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} IA^{2} = R^{2} \\ a > 0;c > 0;b < 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 4)^{2} = R^{2} \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 1)^{2} + ( - a + 1)^{2} + (a - 4)^{2} = R^{2} \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a^{2} - 12a + 18 = 0 \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} - 6a + 9 = 0 \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = c = 3 \\ b = - 3 \\ R = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (S):(x - 3)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 9

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x^2 +y^2 +z^2 −2x+ 2z −2 = 0 và các điểm A(0; 1; 1), B(−1; −2; −3), C(1; 0; −3). Điểm D thuộc mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD bằng:

    Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 0; −1) và bán kính R = 2.

    Khi V_{DABC} lớn nhất thì \frac{V_{DABC}}{V_{IABC}} = \frac{d\left( D;(ABC) ight)}{d\left( I;(ABC) ight)} = \frac{R + d\left( I;(ABC) ight)}{d\left( I;(ABC) ight)}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 3; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1; - 1; - 4) \\ \overrightarrow{AI} = (1; - 1; - 2) \\ \end{matrix} ight. suy ra:

    V_{IABC} = \frac{1}{6}\left| \left\lbrack \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack.\overrightarrow{AI} ightbrack ight| = \frac{4}{3}

    \Rightarrow d\left( I;(ABC) ight) = \frac{6.V_{IABC}}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack ight|} = \frac{2}{3}

    \Rightarrow V_{DABC} =\dfrac{4}{3}.\dfrac{2 + \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3}} =\dfrac{16}{3}.

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:

    Diện tích xung quanh của hình trụ: {S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}(đvdt).

    Diện tích toàn phần của hình trụ:

    {S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{{m{day}}}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\left( {\pi {R^2}} ight) = 2\left( {\sqrt 3 + 1} ight)\pi {R^2}(đvdt).

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; - 2;3). Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM?

    Hình chiếu vuông góc của M trên Ox là: I(1;0;0)

    \Rightarrow IM = \sqrt{13}

    Suy ra phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM là: (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13.

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; −1; 2) và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9. Mặt phẳng đi qua M cắt S theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là:

    Ta có:

    (S) có bán kính R = 3 và tâm I(0; 0; 0), IM = \sqrt{6} < 3 nên I nằm trong hình cầu (S).

    Gọi r là bán kính của đường tròn, (P) là mặt phẳng qua M, ta có:

    r^{2} = R^{2} - d^{2}\left( I;(P) ight) = 9 - d^{2}\left( I;(P) ight) \geq 9 - IM^{2} = 3

    Suy ra bán kính r_{\min} = \sqrt{3} khi \overrightarrow{IM} là vectơ pháp tuyến của (P).

    Vậy phương trình của mặt phẳng (P): (x − 1) − (y + 1) + 2(z − 2) = 0⇔ x − y + 2z − 6 = 0.

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng:

    Công thức tính thể tích V = \pi {R^2}h , suy ra h = \frac{V}{{\pi {R^2}}}

    Hộp sữa chỉ kín một đáy nên diện tích tôn cần dùng là:

    {S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{{m{day}}}} = 2\pi Rh + \pi {R^2} = \frac{{2V}}{R} + \pi {R^2}

    Xét hàm f\left( R ight) = \frac{{2V}}{R} + \pi {R^2}  trên \left( {0; + \infty } ight) , ta được \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } ight)} f\left( R ight) đạt tại R=h.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 27 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập