Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Một hình trụ có bán kính đáy R = 70{m{cm}} , chiều cao hình trụ h = 20{m{cm}}. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

    Tính độ dài cạnh

    Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

    Dựng đường sinh AA', ta có \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AA'\\CD \bot AD\end{array} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {AA'D} ight) \Rightarrow CD \bot A'D.

    Suy ra A’C là đường kính đáy nên A'C = 2R = 140{m{cm}}{m{.}}

    Xét tam giác vuông AA’C, ta có AC = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = 100\sqrt 2 {m{cm}}{m{.}}

    Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hình nón có bán kính đáy là 5a , độ dài đường sinh là 13a. Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón bằng:

    Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón

    Xét mặt phẳng qua trục SO của hình nón ta được thiết diện là tam giác cân SAB.

    Mặt phẳng đó cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r (bán kính mặt cầu) và nội tiếp trong tam giác cân SAB.

    Trong tam giác vuông SOB, gọi I là giao điểm của đường phân giác trong góc B với đường thẳng SO.

    Chứng minh được I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và bán kínhr =IO=IE  (E là hình chiếu vuông góc của I trên SB).

    Theo tính chất phân giác, ta có \frac{{IS}}{{IO}} = \frac{{BS}}{{BO}} = \frac{{13}}{5}.

    Lại có IS + IO = SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = 12.

    Từ đó suy ra IS = \frac{{26}}{3},{m{ }}IO = \frac{{10}}{3}.

    Ta có \Delta SEI \backsim\Delta SOB  nên \frac{{IE}}{{IS}} = \frac{{BO}}{{BS}} = \frac{5}{{13}} \Rightarrow IE = \frac{5}{{13}}IS = \frac{{10}}{3}

    Thể tích khối cầu: V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{10a}}{3}} ight)^3} = \frac{{4000\pi {a^3}}}{{81}} (đvtt).

  • Câu 3: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2), mặt phẳng (α): x−y +z −4 = 0 và mặt cầu (S):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 16. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (α) và đồng thời (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm M của (P) và trục x’Ox là

    Gọi (C) là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) và (C) có tâm H, bán kính r.

    Bán kính r của đường tròn là nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất khi và chỉ khi d(I,(P)) lớn nhất.

    Vì M ∈ x'Ox nên gọi M(m; 0; 0).

    Suy ra mặt phẳng (P) chứa AM và (P) ⊥ (α).

    Khi đó \overrightarrow{n_{(P)}} = \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{n_{(\alpha)}} ightbrack = (3;2 + m;m - 1)

    Mà mặt phẳng (P) đi qua A nên phương trình của mặt phẳng (P) là:

    3(x − 0) + (2 + m)(y − 2) + (m − 1)(z − 2) = 0 hay 3x + (2 + m)y + (m − 1)z −3m=0

    Ta có:

    d\left( I;(P) ight) = \frac{9}{\sqrt{2m^{2} + 2m + 14}} lớn nhất khi và chỉ khi 2m^{2} + 2m + 14 đạt giá trị nhỏ nhất

    Mà 2m^{2} + 2m + 14 = 2\left( m + \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{27}{2} \geq \frac{27}{2}

    Do đó 2m^{2} + 2m + 14 nhỏ nhất khi và chỉ khi m = - \frac{1}{2}

    Vậy M\left( - \frac{1}{2};0;0 ight).

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và \widehat {SAO} = {30^0},\widehat {SAB} = {60^0}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

     Độ dài đường sinh

    Gọi I là trung điểm AB, suy ra OI \bot AB,{m{ }}SI \bot AB và OI = a.

    Trong tam giác vuông SOA, ta có OA = SA.\cos \widehat {SAO} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2}

    Trong tam giác vuông SIA, ta có IA = SA.\cos \widehat {SAB} = \frac{{SA}}{2}

    Trong tam giác vuông OIA, ta có:

    O{A^2} = O{I^2} + I{A^2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}S{A^2} = {a^2} + \frac{1}{4}S{A^2} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 .

  • Câu 5: Nhận biết

    Xét các mệnh đề:

    (I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng \triangle cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.

    (II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.

    Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

    Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra  (I) đúng.

    Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).

    Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.

    Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.

  • Câu 6: Nhận biết

    Mặt cầu (S) có tâm A(1; -2; 2) và bán kính R = 8. Tìm phương trình mặt cầu (S).

    Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R có dạng: (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

  • Câu 7: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H(1;2; - 2). Mặt phẳng (\alpha) đi qua H và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho H là trực tâm của \Delta ABC. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC?

    Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) lần lượt thuộc các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

    Khi đó ta có phương trình mặt phẳng (α) đi qua các điểm A, B, C là

    \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Vì H \in (\alpha) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{2}{c} = 1\ \ (1)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (1 - a;2; - 2);\overrightarrow{BC} = (0; - b;c) \\ \overrightarrow{BH} = (1;2 - b; - 2);\overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\ \end{matrix} ight.

    Theo đề bài ta có H là trực tâm \Delta ABC, ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM}\bot\overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{BH}\bot\overrightarrow{AC} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2b - 2c = 0 \\ - a - 2c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2c \\ b = - c \\ \end{matrix} ight. thay vào (1) ta được:

    \frac{1}{- 2c} + \frac{2}{- c} - \frac{2}{c} = 1 \Rightarrow c = - \frac{9}{2} \Rightarrow a = 9;b = \frac{9}{2}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A(9;0;0) \\B\left( 0;\dfrac{9}{2};0 ight) \\C\left( 0;0; - \dfrac{9}{2} ight) \\\end{matrix} ight.. Gọi I\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight)là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp tứ giác OABC, ta có:

    \left\{ \begin{matrix}OI = IA \\OI = IB \\OI = IC \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} = \left( x_{0} - 9 ight)^{2} +{y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} \\{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} = {x_{0}}^{2} + \left( y_{0} -\dfrac{9}{2} ight)^{2} + {z_{0}}^{2} \\{x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} + {z_{0}}^{2} = {x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} +\left( z_{0} - \dfrac{9}{2} ight)^{2} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{x_{0}}^{2} = \left( x_{0} - 9 ight)^{2} \\{y_{0}}^{2} = \left( y_{0} - \dfrac{9}{2} ight)^{2} \\{z_{0}}^{2} = \left( z_{0} - \dfrac{9}{2} ight)^{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{0} = - x_{0} - 9 \\y_{0} = - y_{0} - \dfrac{9}{2} \\z_{0} = - z_{0} - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{0} = \dfrac{9}{2} \\y_{0} = \dfrac{9}{4} \\z_{0} = - \frac{9}{4} \\\end{matrix} ight.

    Vậy I\left( \frac{9}{2};\frac{9}{4}; - \frac{9}{4} ight);R = OI = \frac{9\sqrt{6}}{4}

    \Rightarrow S_{(I)} = 4\pi R^{2} = 4\pi.\left( \frac{9\sqrt{6}}{4} ight)^{2} = \frac{243\pi}{2}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm A(2;0;0),B(1;3;0),C( - 1;0;3),D(1;2;3). Tính bán kính R của (S)?

    Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A;B;C;D

    Khi đó ta có phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} AI^{2} = BI^{2} \\ AI^{2} = CI^{2} \\ AI^{2} = DI^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 3)^{2} + c^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a + 1)^{2} + b^{2} + (c - 3)^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 3b = - 3 \\ a - c = - 1 \\ a - 2b - 3c = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0;1;1)

    Vậy bán kính cần tìm là: R = IA = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H(1; 2; −2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với (P).

    Hình vẽ minh họa

    Vì H là trực tâm tam giác ABC nên AH ⊥ BC, CH ⊥ AB

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB\bot(OHC) \\ BC\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} (ABC)\bot(OHC) \\ (ABC)\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OH\bot(ABC)

    Do vậy mặt cầu tâm O tiếp xúc với (P) nhận OH làm bán kính

    ⇒ Phương trình mặt cầu là x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.

  • Câu 10: Nhận biết

    Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.  Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

     Diện tích toàn phần

    Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,

    Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.

    Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên AB = SB\sqrt 2 = a\sqrt 2, SO = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.

    Suy ra h = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},  l = SA = a  và SB\sqrt 2 = 2R \Rightarrow R = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}.

     

    Diện tích toàn phần của hình nón: {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}(đvdt).

    Thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}} (đvtt). 

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 2;7),B( - 3;8; - 1). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là:

    Gọi I là trung điểm của AB khi đó I( - 1;3;3) là tâm mặt cầu (S).

    Bán kính R = IA = \sqrt{(1 + 1)^{2} + ( - 2 - 3)^{2} + (7 - 3)^{2}} = \sqrt{45}

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 45.

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Trong không gian cho ba điểm A(3;0;0), B(1;2;1) và C(2;-1;2). Biết mặt

    phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là (10;a;b). Tổng a+b là?

     Phương trình (OAB) là: -y+2z=0.

    Phương trình (OAC) là:2y+z=0.

    Phương trình (OBC) là: x-z=0.

    Phương trình (ABC) là: 5x+3y+4z-15=0 .

    Gọi I(a';b';c') là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.

    Do đó:

    I nằm cùng phía với A đối với (OBC) suy ra: (a'-c')>0.

    I nằm cùng phía với B đối với (OAC) suy ra: (2b'+c')>0.

    I nằm cùng phía với C đối với (OAB) suy ra: (-b'+2c')>0.

    I nằm cùng phía với O đối với (ABC) suy ra: (5a'+3b'+4c'-15)<0.

    Suy ra:

    \left\{\begin{matrix} d(I,(OAB))=d(I,(OAC)) \\ d(I,(OAB))=d(I,(OBC)) \\ d(I,(OAB))=d(I,(ABC)) \end{matrix}ight.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|2b'+c'|}{\sqrt 5} \\ \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|a'-c'|}{\sqrt 2} \\ \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|5a'+3b'+4c'-15|}{5\sqrt 2} \end{matrix}ight.

     

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} |-b'+2c'|= |2b'+c'| \\ \sqrt 2{|-b'+2c'|}= \sqrt 5|a'-c'|\\ \sqrt 10{|-b'+2c'|}= |5a'+3b'+4c'-15| \end{matrix}ight.

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -b'+2c'= 2b'+c' \\ \sqrt 2{(-b'+2c')}= \sqrt 5(a'-c')\\ \sqrt 10{(-b'+2c')}= -(5a'+3b'+4c'-15)\end{matrix}ight.

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a'=\dfrac{3}{ 2} \\ -b'=\dfrac{3 \sqrt 10 -9}{2} \\ c'=\dfrac{9 \sqrt 10 -27}{ 2} \end{matrix}ight.

    Suy ra:  I (\frac {3}{2} ;\frac {3\sqrt{10} -9}{2}; \frac {9\sqrt{10} -27}{2}), \Rightarrow \overrightarrow {BI}= (\frac {1}{2} ;\frac {3\sqrt{10} -13}{2}; \frac {9\sqrt{10} -29}{2}) ; \,\, \overrightarrow {BC}= (1;-3;1)

    \Rightarrow [\overrightarrow {BI}, \overrightarrow {BC}]= (-50+15 \sqrt{10} ; \frac {9\sqrt{10} -30}{2}; \frac {-3\sqrt{10} +10}{2})

    cùng phương với \vec n =(10;3;-1).

    Suy ra (BCI) có một VTPT là \vec n =(10;3;-1) =(10; a; b).

    Vậy: a+b=2.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:

     Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.

    Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.

    Do đó độ đài đường chéo: \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10{m{cm}}{m{.}}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 2z - 19 = 0 và mặt phẳng (P):2x - y - 2z + m + 3 = 0, với m là tham số. Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi 6\pi. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc T bằng:

    Mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 25 có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.

    Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.

    Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:

    d\left( I;(P) ight) = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 4

    \Leftrightarrow \frac{|4 - 1 + 2 + m + 3|}{3} = 4

    \Leftrightarrow |m + 8| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = - 20 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 27 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập