Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Gọi M là trung điểm AC, suy ra

Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.

Ta có , suy ra tam giác SAC đều.

Gọi G là trọng tâm , suy ra .    (1)

Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có nên SM là trục của tam giác ABC.

Mà G thuộc SM nên suy ra .

Từ (1) và (2), suy ra hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

Bán kính mặt cầu .

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có .

Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì và .

Vì nên

Gọi H là trung điểm A’B, suy ra

nên .

Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên

Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên

Gọi I là trung điểm AB, suy ra và .

Trong tam giác vuông SOA, ta có

Trong tam giác vuông SIA, ta có

Trong tam giác vuông OIA, ta có:

Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra  (I) đúng.

Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).

Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.

Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.

Vì nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng

Mặt cầu (S) có tâm và bán kính .

Đường tròn lớn có chu vi là nên bán kính của là

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3

Từ đó ta có:

Vì nên phương trình mặt phẳng (α) là

Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; .

Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' . Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

Do .

Gọi H là trung điểm của DC.

.

Ta có .

Suy ra .

Vậy thể tích của khối trụ là .

Ta có có tâm lần lượt là và bán kính lần lượt là .

Gọi là mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu nói trên. Khi đó:

Xét phương trình

(1) Với . Thay vào , ta được

Với .

Thay vào , ta được:

Với (vô lí).

Với .

Thay vào , ta được:

Với (vô lí).

(2) Với .

Thay vào , ta được

Với .

Thay vào , ta được

Với : chọn Tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu .

Với

Thay vào ta được:

Với (vô lí).

Vậy tồn tại 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu .

Mặt phẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên

cân tại A , trung tuyến AM nên   (1)

Ta có

Do đó    (2)

Từ (1) và (2), suy ra   (*)

Lại có  (**)

Từ (*) và (**), suy ra . Tương tự ta cũng có

Do đó nên năm điểm cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính .

Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

Dựng đường sinh AA', ta có .

Suy ra A’C là đường kính đáy nên

Xét tam giác vuông AA’C, ta có

Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu.

Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R.

Theo giả thiết, ta có và

Suy ra .

Gọi là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Phương trình mặt cầu có dạng

Vì nên ta có:

Vậy bán kính mặt cầu là:

Gọi bán kính viên bi là r; bán kính đáy cốc, miệng cốc lần lượt là . Theo giả thiết thì chiều cao của cốc là .

Thể tích viên bi là

Thể tích cốc là .

Theo giả thiết thì   (1).

Mặt cắt chứa trục của cốc là hình thang cân   . Đường tròn tâm là đường tròn lớn của viên bi, đồng thời là đường tròn nội tiếp hình thang , tiếp xúc với   lần lượt tại và tiếp xúc với BB' tại M.

Dễ thấy tam giác BOB' vuông tại O.

Ta có .

Thay (2) vào (1) ta được .

Giải phương trình với điều kiện ta được .

 Theo giả thiết, ta có và .

Suy ra độ dài đường sinh: 

Vậy diện tích xung quanh bằng: (đvdt). 

Gọi

là tứ diện đều nên tâm của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện

Phương trình không có => Loại

Phương trình có số hạng => Loại

Phương trình loại vì

Phương trình thỏa mãn vì

.