Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Một hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là 60^0. Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo 90^0 . Diện tích của thiết diện là:

     Diện tích của thiết diện

    Vì góc ở đỉnh là 60^0nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R.

    Suy ra đường cao của hình nón là SI = R\sqrt 3.

    Tam giác SAB là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng 90^0 nên IAB là tam giác vuông cân tại I, suy ra AB = R\sqrt 2.

    Gọi M là trung điểm của AB thì \left\{ \begin{array}{l}IM \bot AB\\SM \bot AB\end{array} ight. và IM = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}.

    Trong tam giác vuông SIM, ta có SM = \sqrt {S{I^2} + I{M^2}} = \frac{{R\sqrt {14} }}{2}

    Vậy {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AB.SM = \frac{{{R^2}\sqrt 7 }}{2} (đvdt).

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P):x + \sqrt{2}y - z + 3 = 0 cắt mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 5 theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là:

    Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0) và bán kính R = \sqrt{5}

    Khoảng cách từ O đến (P): d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{2}

    Bán kính đường tròn giao tuyến

    r = \sqrt{R^{2} - \left\lbrack d\left( O;(P) ight) ightbrack^{2}} = \sqrt{5 - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{11}{4}}

    Diện tích đường tròn giao tuyến S = 2\pi r^{2} = \frac{11\pi}{4}.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hình lập phương OABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow {OC} ,\,\,\overrightarrow {OG} trùng với ba trục \overrightarrow {Ox} ,{m{ }}\overrightarrow {Oy} ,{m{ }}\overrightarrow {Oz}. Viết phương trình mặt cầu \left( {{S_3}} ight) tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương.

     \left( {{S_2}} ight) tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương tại trung điểm của mỗi cạnh.

    Tâm I\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} ight) là trung điểm chng của 6 đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện đôi một có độ dài bằng \sqrt 2

    Bán kính {R_3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}

    \begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{S_2}} ight):{\left( {x - \dfrac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {y - \dfrac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {z - \dfrac{1}{2}} ight)^2} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \left( {{S_3}} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \dfrac{1}{4} = 0\end{array}

  • Câu 4: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M thuộc mặt cầu (S): (x − 3)^2 + (y + 1)^2 + z^ 2 = 9 và ba điểm A(1; 0; 0), B(2; 1; 3), C(0; 2; −3). Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn MA^{2} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}= 8 là đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này?

    Ta có:\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MA} = (1 - x; - y; - z) \\\overrightarrow{MB} = (2 - x;1 - y;3 - z) \\\overrightarrow{MC} = ( - x;2 - y; - 3 - z) \\\end{matrix} ight. khi đó:

    MA^{2} +2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = 8

    \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} +z^{2} + 2\left\lbrack x(x - 2) + (y - 1)(y - 2) + (z - 3)(z + 3)ightbrack = 8

    \Leftrightarrow 3.\left( x^{2} + y^{2} +z^{2} ight) - 6x - 6y - 21 = 0

    \Leftrightarrow M \in (S'):x^{2} +y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 7 = 0

    Mà M \in (S):(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} +z^{2} = 9

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} -6x + 2y + 1 = 0

    Suy ra M ∈ (P): 4x − 4y − 8 = 0.

    Như vậy quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của (S) tâm I(3; −1; 0), bán kính R = 3 và (P)

    Ta có: d\left( I;(P) ight) = \sqrt{2}\Leftrightarrow r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = \sqrt{7}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 16 có tâm là

    Mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 16 có tâm là: I(1;0; - 3) .

  • Câu 7: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Từ giả thiết suy ra h= 2a và chu vi đáy bằng a .

    Do đó 2\pi R = a \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\pi }}.

  • Câu 8: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

     Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

    Bán kính đáy R = \frac{a}{2}. Do đó thể tích khối trụ V = {R^2}\pi .h = \frac{{\pi {a^3}}}{4}(đvtt).

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 2 có tọa độ tâm I là:

    Tâm của (S) có tọa độ là I( - 3; - 1;1).

  • Câu 10: Nhận biết

    Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120^0. Diện tích toàn phần của hình nón là:

    Diện tích toàn phần

    Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.

    Theo giả thiết, ta có SA = 2a và \widehat {ASO} = 60^\circ.

    Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có

    OA = SA.\sin 60^\circ = a\sqrt 3

    Vậy diện tích toàn phần:

    {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \pi .OA.SA + \pi {\left( {OA} ight)^2} = \pi {a^2}\left( {3 + 2\sqrt 3 } ight) (đvdt).

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 20 = 0 và mặt phẳng (\alpha):x + 2y - 2z + 7 = 0 cắt nhau theo một đường tròn có chu vi là:

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 0) và bán kính R = 5.

    Ta có d\left( I,(\alpha) ight) = \ \frac{|1.1 + 2.2 - 2.0 + 7|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = 4

    Vì d(I,(α)) < R nên (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (α) ⇒ H là tâm của (C).

    Lấy M ∈ (C) ⇒ M ∈ (S)

    Tam giác IHM vuông tại M \Rightarrow HM = \sqrt{IM^{2} - IH^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3

    Suy ra chu vi của đường tròn (C) bằng 2π . HM = 6π.

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \frac{{a\sqrt {21} }}{6}. Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số \frac{R}{h} bằng:

     Tính tỉ số

    Gọi O là tâm \triangle ABC, suy ra SO \bot \left( {ABC} ight) và AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    Trong SOA, ta có h = SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{a}{2}

    Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:

    • I \in d nên IS =IA.
    • I \in SO nên IA=IB=IC.

    Do đó IA=IB=IC=IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

    Gọi M là tung điểm SA, ta có \Delta SMI\,\, \backsim \,\,\Delta SOA nên R = SI = \frac{{SM.SA}}{{SO}} = \frac{{S{A^2}}}{{2SO}} = \frac{{7{m{a}}}}{{12}}

    Vậy \frac{R}{h} = \frac{7}{6}.

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50{m{cm}} \times 240{m{cm}} , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

    Tính tỉ số thể tích

    ● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

    ● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

    Kí hiệu V_1là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V_2 là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} bằng:

    2 || Hai || hai

    Đáp án là:

    Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50{m{cm}} \times 240{m{cm}} , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

    Tính tỉ số thể tích

    ● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

    ● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

    Kí hiệu V_1là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V_2 là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} bằng:

    2 || Hai || hai

     Công thức thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h.

    ● Ở cách 1, suy ra h= 50 cm và 2\pi {R_1} = 240 \Leftrightarrow {R_1} = \frac{{120}}{\pi }. Do đó {V_1} = \pi .{\left( {\frac{{120}}{\pi }} ight)^2}.50 (đvtt).

    ● Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có h= 50 cm và 2\pi {R_2} = 120 \Leftrightarrow {R_2} = \frac{{60}}{\pi }

    Do đó {V_2} = 2 \times \left[ {\pi .{{\left( {\frac{{60}}{\pi }} ight)}^2}.50} ight] (đvtt).

    Suy ra \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó a > 0, b > 0, c > 0 và \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7. Biết mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 3)^2 = 72/7. Thể tích của khối tứ diện OABC là:

    Mặt phẳng (ABC) có phương trình là \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 2; 3) và bán kính R = \sqrt{\frac{72}{7}}. Khi đó:

    d\left( I;(ABC) ight) = \dfrac{\left|\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} ight|}{\sqrt{\dfrac{1}{a^{2}} +\dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}}}} = \sqrt{\dfrac{72}{7}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{7}{2}

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:

    49 = \left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} ight)^{2} \leq \left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ight)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) = \frac{7}{2}.14 = 49

    Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 2b = 3c. Thay vào giả thiết ta có:

    a = 2;b = 1;c = \frac{2}{3}

    Vì OABC là tứ diện vuông tại O nên V_{OABC} = \frac{abc}{2} = \frac{2}{9}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:

     Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.

    Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.

    Do đó độ đài đường chéo: \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10{m{cm}}{m{.}}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 22 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập