Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I(2;1; - 2) bán kính R = 2 là:

    Phương trình mặt cầu tâm I(2;1; - 2) bán kính R = 2 là:

    (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 2^{2}

    Tổng quát x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 4z + 5 = 0.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho mặt phẳng \left( P ight):2x - 4y + 4z + 5 = 0 và mặt cầu \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau

    Đáp án là:

    Cho mặt phẳng \left( P ight):2x - 4y + 4z + 5 = 0 và mặt cầu \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau

    Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S): 

    a = 1;b = - 2;c = - 1;d = - 3 \Rightarrow R = 3.

    Suy ra tâm I có tọa độ là: I = \left( {1, - 2, - 1} ight)

    Áp dụng CT, ta có d\left( {I,P} ight) = \frac{{11}}{6} < R = 3 \Rightarrow (P) cắt (S)

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60^0, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \frac{R}{2}. Đường cao h của hình nón bằng:

    Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE \bot AB và OE = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên d\left[ {O,\left( {SAB} ight)} ight] = OH = \frac{R}{2}.

    Trong tam giác vuông SOE, ta có  \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{8}{{3{R^2}}} \Rightarrow SO = \frac{{R\sqrt 6 }}{4}

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 2;7),B( - 3;8; - 1). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là:

    Gọi I là trung điểm của AB khi đó I( - 1;3;3) là tâm mặt cầu (S).

    Bán kính R = IA = \sqrt{(1 + 1)^{2} + ( - 2 - 3)^{2} + (7 - 3)^{2}} = \sqrt{45}

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 45.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn AC=10a, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

      Thể tích của khối trụ

    Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; A\in (O), C \in (O') .

    Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' (D \in (O'), B \in (O). Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

    Do AC=10a,AD=8a\Rightarrow DC=6a..

    Gọi H là trung điểm của DC.

    \left\{\begin{matrix}O^\prime H\bot D C\\O^\prime H\bot A D\\\end{matrix}\Rightarrow O^\prime H\bot(ABCD)ight..

    Ta có O^\prime//(ABCD)\Rightarrow d\left(OO^\prime,ACight)=d\left(OO^\prime,(ABCD)ight)=O^\prime H=4a..

    Suy ra O^\prime H=4a,CH=3a\Rightarrow R=O^\prime C=5a..

    Vậy thể tích của khối trụ là V=\pi R^2h=\pi(5a)^28a=200\pi a^3.

  • Câu 7: Nhận biết

    Xét các mệnh đề:

    (I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng \triangle cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.

    (II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.

    Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

    Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra  (I) đúng.

    Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).

    Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.

    Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:

    Diện tích xung quanh của hình trụ: {S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}(đvdt).

    Diện tích toàn phần của hình trụ:

    {S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{{m{day}}}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\left( {\pi {R^2}} ight) = 2\left( {\sqrt 3 + 1} ight)\pi {R^2}(đvdt).

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hai điểm A;B cố định trong không gian có độ dài AB = 4. Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA = 3MB là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng bao nhiêu?

    Ta có: MA = 3MB \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}

    \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} = 9\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2}

    \Leftrightarrow IA^{2} - 9IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} ight) = 8MI^{2}(*)

    Gọi I thỏa mãn \overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BI} = \frac{1}{8}\overrightarrow{AB} nên IB = \frac{1}{2};IA = \frac{9}{2}

    Từ (*) suy ra 8MI^{2} = 18 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2} \Rightarrow M \in S\left( I;\frac{3}{2} ight).

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng 4a^2. Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng 30^0. Đường cao h của hình nón bằng:

     Tính đường cao nón

    Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra\left\{ \begin{array}{l}SE \bot AB\\OE \bot AB\end{array} ight.  và SE = \frac{1}{2}AB.

    Ta có {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AB.SE = 4{a^2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AB = 4{a^2}

    \Rightarrow AB = 4a \Rightarrow SE = 2a.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH.

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên

    {30^0} = \widehat {SO,\left( {SAB} ight)} = \widehat {SO,SH} = \widehat {OSH} = \widehat {OSE}

    Trong tam giác vuông SOE, ta có SO = SE.\cos \widehat {OSE} = a\sqrt 3

  • Câu 11: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; −1; 2) và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9. Mặt phẳng đi qua M cắt S theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là:

    Ta có:

    (S) có bán kính R = 3 và tâm I(0; 0; 0), IM = \sqrt{6} < 3 nên I nằm trong hình cầu (S).

    Gọi r là bán kính của đường tròn, (P) là mặt phẳng qua M, ta có:

    r^{2} = R^{2} - d^{2}\left( I;(P) ight) = 9 - d^{2}\left( I;(P) ight) \geq 9 - IM^{2} = 3

    Suy ra bán kính r_{\min} = \sqrt{3} khi \overrightarrow{IM} là vectơ pháp tuyến của (P).

    Vậy phương trình của mặt phẳng (P): (x − 1) − (y + 1) + 2(z − 2) = 0⇔ x − y + 2z − 6 = 0.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong (S) sau là mặt cầu: 

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {2 - \ln t} ight)x + 4\ln t.y + 2\left( {\ln t + 1} ight)z + 5{\ln ^2}t + 8 = 0.

    Theo đề bài, ta có:

    a = \ln t - 2;\,\,b = - 2\ln t;\,\,c = - \ln t - 1;\,\,d = 5{\ln ^2}t + 8

    (S) là mặt cầu \Leftrightarrow {\left( {\ln t - 2} ight)^2} + 4{\ln ^2}t + {\left( {\ln t + 1} ight)^2} - 5{\ln ^2}t - 8 > 0

    \Leftrightarrow {\ln ^2}t - 2\ln t - 3 > 0

    \Leftrightarrow \ln t < - 1 \vee \ln t > 3

    \Leftrightarrow 0 < t < \frac{1}{e} \vee t > {e^3}

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc. Đổ đầy nước rồi thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn ra bằng một phần ba lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu. Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc. Tìm tỉ số bán kính của miệng cốc và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc).

    Tỉ số bán kính

     

    Gọi bán kính viên bi là r; bán kính đáy cốc, miệng cốc lần lượt là r_1,r_2,\left(r_1 < r_2ight) . Theo giả thiết thì chiều cao của cốc là h=2r.

    Thể tích viên bi là V_B=\frac{4}{3}\pi r^3.

    Thể tích cốc là V_C=\frac{1}{3}\pi h\left(r_1^2+r_2^2+r_1r_2ight)=\frac{2}{3}\pi r\left(r_1^2+r_2^2+r_1r_2ight).

    Theo giả thiết thì  V_B=\frac{1}{3}V_C\Leftrightarrow6r^2=r_1^2+r_2^2+r_1r_2 (1).

    Mặt cắt chứa trục của cốc là hình thang cân  ABB^\prime A^\prime . Đường tròn tâm (O;r) là đường tròn lớn của viên bi, đồng thời là đường tròn nội tiếp hình thang ABB^\prime A^\prime, tiếp xúc với A'B', AB  lần lượt tại H_1, H_2 và tiếp xúc với BB' tại M.

    Tỉ số thể tích

    Dễ thấy tam giác BOB' vuông tại O.

    Ta có OM^2=MB\cdot MB^\prime\Leftrightarrow r^2=r_1r_2.

    Thay (2) vào (1) ta được 6r_1r_2=r_1^2+r_2^2+r_1r_2\Leftrightarrow\left(\frac{r_2}{r_1}ight)^2-5\frac{r_2}{r_1}+1=0..

    Giải phương trình với điều kiện \frac{r_2}{r_1}>1 ta được \frac{r_2}{r_1}=\frac{5+\sqrt{21}}{2}.

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} + \left( z + \sqrt{2} ight)^{2} = 9 và hai điểm A\left( - 2;0; - 2\sqrt{2} ight),B( - 4; - 4;0). Biết tập hợp tất cả các điểm M \in (S) để MA^{2} + \overrightarrow{MO}.\overrightarrow{MB} = 16 là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó là:

    Gọi M(x;y;z) \in (S) khi đó ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = \left( x + 2;y;z + 2\sqrt{2} ight) \\ \overrightarrow{OM} = (x;y;z) \\ \overrightarrow{BM} = (x + 4;y + 4;z) \\ \end{matrix} ight..

    Ta có:

    MA^{2} + \overrightarrow{MO}.\overrightarrow{MB} = 16

    \Leftrightarrow MA^{2} + \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BM} = 16

    \Leftrightarrow (x + 2)^{2} + y^{2} + \left( z + 2\sqrt{2} ight)^{2} + x(x + 4) + y(y + 4) + z^{2} = 16

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 4y + 2\sqrt{2}z - 2 = 0

    Ta lại có:

    M \in (S) \Leftrightarrow (x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} + \left( z + \sqrt{2} ight)^{2} = 9

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 2\sqrt{2}z - 2 = 0

    Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 4y + 2\sqrt{2}z - 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 2\sqrt{2}z - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow y = 0

    Vậy tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn giao tuyến (C) của (S) và mặt phẳng (P): y = 0.

    Mặt cầu (S) có bán kính R = 3, tâm I\left( - 2;1; - \sqrt{2} ight) nên d [I,(P)] = 1.

    Suy ra đường tròn (C) có bán kính:

    r = \sqrt{R^{2} - \left( d\left( I;(P) ight) ight)^{2}} = 2\sqrt{2}

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1) và A(1;1;1). Hai điểm M(m;0;0),N(0 ;n;0) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0,n > 0. Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng (SMN). Bán kính của mặt cầu đó là:

    Phương trình mặt phẳng (SMN) là \frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{1} =1

    \Leftrightarrow nx + my + mnz - mn =0.

    Gọi I(a;b;c) và R là tâm và bán kính của mặt cầu cố định.

    Ta có

    R = d(I;(SMN))

    = \frac{|na + mb + mnc -mn|}{\sqrt{n^{2} + m^{2} + m^{2}n^{2}}}

    = \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{\sqrt{1 - 2mn + m^{2}n^{2}}}

    = \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{1 - mn}

    = \frac{\left| (1 - c)m^{2} + (b + c - a- 1)m + a ight|}{m^{2} - m + 1}

    Mà R không đổi nên \frac{1 - c}{1} = \frac{b + c - a - 1}{- 1} =\frac{a}{1} = t \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = t \\b = t \\c = 1 - t \\\end{matrix} ight., hay I(t;t;1- t).
    Mặt khác ta có R = IA = \sqrt{3t^{3} - 4t +2} = |t| \Rightarrow t = 1.

    Vậy R = 1.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 27 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập