Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có .
Diện tích toàn phần là: (đvdt).
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có .
Diện tích toàn phần là: (đvdt).
Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong (S) sau là mặt cầu:
.
Theo đề bài, ta có:
là mặt cầu
Một hình cầu có bán kính là 2m, một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ dài là
. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:
Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d, ta có .
Theo giả thiết R = 2m và .
Vậy .
Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Với giá trị nào của tham số
thì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu?
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
Mặt phẳng (α) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là: .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a,
. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Tỉ số
nhận giá trị nào sau đây?

Ta có hay
Gọi E là trung điểm AD.
Ta có nên ABCE là hình thoi.
Suy ra .
Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:
hay
Tương tự, ta cũng có hay
Ta có nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính
.
Suy ra .
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:
Diện tích xung quanh của hình trụ: (đvdt).
Diện tích toàn phần của hình trụ:
(đvdt).
Trong không gian với hệ toạ độ
, mặt cầu
có tâm là
Mặt cầu có tâm là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
là:
Gọi là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Phương trình mặt cầu có dạng
Vì nên ta có:
Vậy bán kính mặt cầu là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình
là phương trình của một mặt cầu (S) sao cho qua hai điểm
có duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu (S) đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1.
Ta có:
Suy ra (*) là phương trình mặt cầu
Khi đó, mặt cầu (S) có tâm và bán kính
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, B.
Theo giả thiết (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r = 1.
Mặt khác, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là
Ta có: suy ra
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Suy ra đường thẳng là:
Để có duy nhất mặt phẳng (P) thỏa mãn bài thì
TH1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm I và
Ta có
+ Với (loại).
+ Với m = −2 ⇒ ⇒ m = −2 (thỏa mãn).
TH2. Mặt phẳng (P) cách I một khoảng lớn nhất ⇔ d lớn nhất ⇔ d = d(I, AB). (*)
Khi đó
Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
. Hai điểm
thay đổi sao cho
và
. Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua
và tiếp xúc với mặt phẳng
. Bán kính của mặt cầu đó là:
Phương trình mặt phẳng là
.
Gọi và
là tâm và bán kính của mặt cầu cố định.
Ta có
Mà không đổi nên
, hay
.
Mặt khác ta có .
Vậy .
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có
và
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao , bán kính đáy
Do đó diện tích toàn phần:
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước
, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng
, theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu
là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và
là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số
bằng:
2 || Hai || hai
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng
, theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và
là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số
bằng:
2 || Hai || hai
Công thức thể tích khối trụ .
● Ở cách 1, suy ra và
. Do đó
(đvtt).
● Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có và
Do đó (đvtt).
Suy ra
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao
và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

Diện tích xung quanh của hình trụ:
(đvdt).
Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra
.
Diện tích xung quanh của hình nón: (đvdt).
Vậy .
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ tâm O của đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là
. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp SABC bằng:

Gọi E là trung điểm của BC, dựng tại H.
Chứng minh được nên suy ra
.
Trong tam giác đều ABC, ta có
và
Trong tam giác vuông SOE, ta có
.
Vậy thể tích khối nón (đvtt).
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng
. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có .
Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì và
.
Vì nên
Gọi H là trung điểm A’B, suy ra
nên .
Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên
Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên