Trong không gian
, cho mặt cầu
. Tính bán kính
của
?
Bán kính mặt cầu là:
Trong không gian
, cho mặt cầu
. Tính bán kính
của
?
Bán kính mặt cầu là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với
.
Hình vẽ minh họa
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên
Do vậy mặt cầu tâm O tiếp xúc với (P) nhận OH làm bán kính
⇒ Phương trình mặt cầu là .
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng
, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
. Đường cao h của hình nón bằng:
Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra và
.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .
Ta có
Từ đó suy ra nên
Trong tam giác vuông SOE, ta có
Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp
là:

Gọi , suy ra
.
Ta có .
Trong , ta có
.
Ta có SO là trục của hình vuông ABCD.
Trong mặt phẳng SOB, kẻ đường trung trực d của đoạn B.
Gọi
Xét có
đều.
Do đó d cũng là đường trung tuyến của . Suy ra I là trọng tâm
.
Bán kính mặt cầu .
Suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Bán kính của mặt cầu
là:
Ta có:
suy ra tâm mặt cầu là:
Bán kính mặt cầu là:
Trong các hình trụ có diện tích toàn phần bằng
thì hình trụ có thể tích lớn nhất là bao nhiêu ![]()
Ta có
Vậy thể tích khối trụ
Ta có:
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có
.
Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng
. Diện tích toàn phần của hình nón là:

Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.
Theo giả thiết, ta có và
.
Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có
Vậy diện tích toàn phần:
(đvdt).
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .
Suy ra hình trụ này có đường cao .
Vậy thể tích khối trụ (đvtt).
Trong không gian
, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng
. Xét các mặt cầu (S) có tâm
, đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Tính giá trị của biểu thức
khi (S) có bán kính nhỏ nhất.
Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) ta có nên R nhỏ nhất khi
thẳng hàng và I là trung điểm của AH.
Phương trình AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là
Tọa độ H là nghiệm của hệ:
Suy ra, ta có:
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là
.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:
Trong hệ tọa độ
, cho mặt cầu
và các điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua hai điểm
sao cho thiết diện của mặt phẳng
với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình
dưới dạng
. Tính
.
Ta có:
(S) có tâm , bán kính
.
Nhận thấy: ⇒ A; B nằm bên trong mặt cầu.
Gọi K là trung đểm của AB
Gọi H là hình chiếu của I trên (P),(P) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn tâm H bán kính r.
Std nhỏ nhất ⇔ r nhỏ nhất ⇔ IH lớn nhất
Khi đó mặt phẳng (P): Đi qua A và có VTPT là
⇒ Phương trình mặt phẳng
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có
và
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao , bán kính đáy
Do đó diện tích toàn phần:
Một hình nón có đường cao bằng 9 cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5 cm. Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:

Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có
Suy ra và
Thể tích khối nón (đvtt).
Thể tích khối cầu (đvtt).
Suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt cầu
qua bốn điểm ![]()
. Phương trình mặt cầu
là:
Gọi phương trình mặt cầu có
Vì mặt cầu đi qua bốn điểm đã cho nên ta có hệ phương trình
. Suy ra tâm mặt cầu
và bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, giá trị dương của tham số
sao cho mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu
là:
Ta có: có phương trình
Mặt cầu có tâm
và bán kính
Để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
thì
. Vì m nhận giá trị dương nên
.
Vậy thỏa yêu cầu đề bài.