Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và AC = a\sqrt 3. Độ dài đường sinh \ell của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

    Độ dài đường sinh

    Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là AC = a\sqrt 3 và chiều cao hình nón là AB = a.

    Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:

    \ell = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a.

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC  là:

     Tìm bán kính

    Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Gọi I là trung điểm SC, suy ra IM ||SA nên IM \bot \left( {ABC} ight) .

    Do đó IM là trục của \triangle ABC, suy ra IA=IB=IC     (1)

    Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên IS=IC=IA.  (2)

    Từ (1) và (2) , ta có IS=IA=IB=IC

    hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

    Vậy bán kính R = IS = \frac{{SC}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} .

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho mặt phẳng \left( P ight):2x - 4y + 4z + 5 = 0 và mặt cầu \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau

    Đáp án là:

    Cho mặt phẳng \left( P ight):2x - 4y + 4z + 5 = 0 và mặt cầu \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau

    Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S): 

    a = 1;b = - 2;c = - 1;d = - 3 \Rightarrow R = 3.

    Suy ra tâm I có tọa độ là: I = \left( {1, - 2, - 1} ight)

    Áp dụng CT, ta có d\left( {I,P} ight) = \frac{{11}}{6} < R = 3 \Rightarrow (P) cắt (S)

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm là điểm A(2; 2; 2), mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z + 8 = 0 cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn có bán kính r = 8. Diện tích của mặt cầu (S) là:

    Ta có:

    d\left( A;(P) ight) = \frac{|4 + 4 + 2 + 8|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 6

    R^{2} = d^{2}\left( A;(P) ight) + r^{2} = 100

    Vậy diện tích mặt cầu là: S = 4\pi R^{2} = 400\pi.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;2),B(3;2; - 3). Mặt cầu (S) có tâm I \in Ox và đi qua hai điểm A;B có phương trình là:

    Ta có: I \in Ox \Rightarrow I(a;0;0)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = (1 - a;1;2) \\ \overrightarrow{IB} = (3 - a;2; - 3) \\ \end{matrix} ight.

    Vì (S) đi qua hai điểm A;B nên

    IA = IB \Leftrightarrow \sqrt{(1 - a)^{2} + 5} = \sqrt{(3 - a)^{2} + 13}

    \Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4 \Rightarrow I(4;0;0)

    \Rightarrow R = IA = \sqrt{14}

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 = 0.

  • Câu 7: Nhận biết

    Hình nón có đường sinh l=2a và hợp với đáy góc \alpha = {60^0}. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết, ta có

    SA = \ell = 2a và \widehat {SAO} = {60^0}.

    Suy ra:

    R = OA = SA.\cos {60^0} = a.

    Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S = \pi Rl + \pi {R^2} = 3\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ tâm O của đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là \frac{a}{2}. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp SABC bằng:

     Thể tích khối nón

    Gọi E là trung điểm của BC, dựng OH \bot SE tại H.

    Chứng minh được OH \bot \left( {SBC} ight) nên suy ra OH = d\left[ {O,\left( {SBC} ight)} ight] = \frac{a}{2}.

    Trong tam giác đều ABC, ta có OE = \frac{1}{3}AE = \frac{1}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    và  OA = \frac{2}{3}AE = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}

    Trong tam giác vuông SOE, ta có

    \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow SO = a.

    Vậy thể tích khối nón V = \frac{1}{3}\pi O{A^2}.SO = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} ight)^2}.a = \frac{{4\pi {a^3}}}{9}  (đvtt).

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng:

    Công thức tính thể tích V = \pi {R^2}h , suy ra h = \frac{V}{{\pi {R^2}}}

    Hộp sữa chỉ kín một đáy nên diện tích tôn cần dùng là:

    {S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_{{m{day}}}} = 2\pi Rh + \pi {R^2} = \frac{{2V}}{R} + \pi {R^2}

    Xét hàm f\left( R ight) = \frac{{2V}}{R} + \pi {R^2}  trên \left( {0; + \infty } ight) , ta được \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } ight)} f\left( R ight) đạt tại R=h.

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm S(0;0;1), Hai điểm M(m;0;0),N(0;n;0) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0,n > 0. Mặt phẳng (SMN) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định đi qua P(1;1;1) có bán kính là

    Phương trình (SMN):\frac{x}{m} +\frac{y}{n} + z = 1. Gọi I(a;b;c) và R là tâm và bán kính mặt cầu cố định trong đề bài, phương trình mặt cầu là (x -a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}.

    Ta có khoảng cách từ I đên (SMN) là d = \dfrac{\left| \dfrac{a}{m} +\dfrac{b}{n} + c - 1 ight|}{\sqrt{\dfrac{1}{m^{2}} + \dfrac{1}{n^{2}} +1}} = R

    Vì \ m + n = 1 \Rightarrow\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + 1

    = \frac{m^{2} + n^{2} +m^{2}n^{2}}{m^{2}n^{2}} = \frac{1 - 2mn +m^{2}n^{2}}{m^{2}n^{2}}

    \Rightarrow d = \frac{|an + bm + cmn -mn|}{1 - mn} = R

    Nếu an + bm + cmn - mn = R(1 -mn)

    \Leftrightarrow a(1 - m) + bm + cm(1 -m) - m(1 - m) = R - Rm(1 - m)

    \Leftrightarrow m^{2}(R + c - 1) + m(a -b - c - R + 1) - a + R = 0

    Đẳng thức đúng với mọi m \in(0;1) nên R + c - 1 = a - b - c - R+ 1 = - a + R hay a = b = R,c = 1 -R, thay vào phương trình mặt cầu ta có R = 1.

    Nếu an + bm + cmn − mn = −R(1 − mn)

    \Leftrightarrow m^{2}( - R + c - 1) +m(a - b - c + R + 1) - a - R = 0

    Đẳng thức đúng với mọi m ∈ (0; 1) nên R+c−1 = a−b−c−R+1 = −a+R hay a = b = −R, c = 1+R thay vào phương trình mặt cầu ta có R = −1 không thỏa mãn.

    Vậy R = 1.

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2z - 7 = 0. Bán kính của mặt cầu (S) là:

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2z - 7 = 0

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2.( - 1)x - 2.0.y - 2.1z - 7 = 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \\ d = - 7 \\ \end{matrix} ight. suy ra tâm mặt cầu là: I( - 1;0;1)

    Bán kính mặt cầu là:

    R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{( - 1)^{2} + 0^{2} + 1^{2} - 7} = 3

  • Câu 12: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Từ giả thiết suy ra h= 2a và chu vi đáy bằng a .

    Do đó 2\pi R = a \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\pi }}.

  • Câu 13: Vận dụng

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16 và các điểm A(1; 0; 2); B(−1; 2; 2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A; B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng ax + by + cz + 3 = 0. Tính T = a + b + c.

    Ta có:

    (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 4.

    Nhận thấy: IA = IB = \sqrt{5} < R ⇒ A; B nằm bên trong mặt cầu.

    Gọi K là trung đểm của AB ⇒ K(0; 1; 2); IK ⊥ AB.

    Gọi H là hình chiếu của I trên (P),(P) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn tâm H bán kính r.

    Std nhỏ nhất ⇔ r nhỏ nhất ⇔ IH lớn nhất

    ⇔ IH = IK ⇔ H ≡ K.

    Khi đó mặt phẳng (P): Đi qua A và có VTPT là \overrightarrow{IK} = ( - 1; - 1; - 1)

    ⇒ Phương trình mặt phẳng (P) : −x−y−z+3 = 0 ⇒ a+b+c = −3

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I\left( x_{0};y_{0} ; z_{0} ight) bán kính R có phương trình là

    Mặt cầu tâm I\left( x_{0};y_{0} ; z_{0} ight) và bán kính R có phương trình là:

    \left( x - x_{0} ight)^{2} + \left( y - y_{0} ight)^{2} + \left( z - z_{0} ight)^{2} = R^{2}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 6 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập