Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ đỉnh A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6),D(2;4;6). Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Viết phương trình mặt cầu (S') có tâm trùng với tâm của mặt cầu (S) và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu (S)?

    Gọi phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 có a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0

    Vì (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên ta có hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} 2^{2} + 0^{2} + 0^{2} - 2.a.2 - 2.b.0 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 4^{2} + 0^{2} - 2.a.0 - 2.b.4 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 0^{2} + 6^{2} - 2.a.0 - 2.b.0 - 2.c.6 + d = 0 \\ 2^{2} + 4^{2} + 6^{2} - 2.a.2 - 2.b.4 - 2.c.6 + d = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4a + d = - 4 \\ - 8b + d = - 16 \\ - 12c + d = - 36 \\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.. Suy ra tâm mặt cầu I(1;2;3) và bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{14}

    Vậy phương trình mặt cầu (S') có tâm trùng với tâm của mặt cầu (S) và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu (S)là:

    (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56

  • Câu 2: Nhận biết

    Hình nón có đường sinh l=2a và hợp với đáy góc \alpha = {60^0}. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết, ta có

    SA = \ell = 2a và \widehat {SAO} = {60^0}.

    Suy ra:

    R = OA = SA.\cos {60^0} = a.

    Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S = \pi Rl + \pi {R^2} = 3\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho SH = \frac{{3a}}{2}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

    Độ dài đường sinh

    Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.

    Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên S{A^2} = SH.SS' \Rightarrow SA = a\sqrt 3 .

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hai mặt cầu sau:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 10z - 11 = 0;

    \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 6z - 5 = 0

    Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?

    Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong

    Đáp án là:

    Cho hai mặt cầu sau:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 10z - 11 = 0;

    \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 6z - 5 = 0

    Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?

    Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong

     Theo đề bài, ta suy ra các hệ số, tâm và bán kính của (S):

    \left( S ight):a = 2;\,\,b = - 3;\,\,c = 5;\,\,d = - 11 \Rightarrow Tâm I\left( {2, - 3,5} ight); bán kính R=7

    \left( {S'} ight) = a' = 1;\,\,b' = - 1;\,c' = 3;\,\,d' = - 5 \Rightarrow Tâm J\left( {1, - 1,3} ight); bán kính R'=4

    I{J^2} = {\left( {1 - 2} ight)^2} + {\left( { - 1 + 3} ight)^2} + {\left( {3 - 5} ight)^2} = 9 \Rightarrow IJ = 3 = R - R'

    (S) và (S') tiếp xúc trong.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao h=AB=1 , bán kính đáy R = \frac{{AD}}{2} = 1

    Do đó diện tích toàn phần: {S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 4\pi

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và \widehat {SAO} = {30^0},\widehat {SAB} = {60^0}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

     Độ dài đường sinh

    Gọi I là trung điểm AB, suy ra OI \bot AB,{m{ }}SI \bot AB và OI = a.

    Trong tam giác vuông SOA, ta có OA = SA.\cos \widehat {SAO} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2}

    Trong tam giác vuông SIA, ta có IA = SA.\cos \widehat {SAB} = \frac{{SA}}{2}

    Trong tam giác vuông OIA, ta có:

    O{A^2} = O{I^2} + I{A^2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}S{A^2} = {a^2} + \frac{1}{4}S{A^2} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 .

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm I(2;3;4) và A(1;2;3). Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua A có phương trình là:

    Bán kính mặt cầu là R = IA = \sqrt{3}

    Phương trình mặt cầu tâm I(2;3;4) và R = IA = \sqrt{3} là:

    (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 4)^{2} = 3

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a . Biết hai điểm A và C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa mãn AC=10a, khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là:

      Thể tích của khối trụ

    Gọi (O) và (O') lần lượt là hai đường tròn đáy; A\in (O), C \in (O') .

    Dựng AD, CB lần lượt song song với OO' (D \in (O'), B \in (O). Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

    Do AC=10a,AD=8a\Rightarrow DC=6a..

    Gọi H là trung điểm của DC.

    \left\{\begin{matrix}O^\prime H\bot D C\\O^\prime H\bot A D\\\end{matrix}\Rightarrow O^\prime H\bot(ABCD)ight..

    Ta có O^\prime//(ABCD)\Rightarrow d\left(OO^\prime,ACight)=d\left(OO^\prime,(ABCD)ight)=O^\prime H=4a..

    Suy ra O^\prime H=4a,CH=3a\Rightarrow R=O^\prime C=5a..

    Vậy thể tích của khối trụ là V=\pi R^2h=\pi(5a)^28a=200\pi a^3.

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho hình nón có bán kính đáy là 5a , độ dài đường sinh là 13a. Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón bằng:

    Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón

    Xét mặt phẳng qua trục SO của hình nón ta được thiết diện là tam giác cân SAB.

    Mặt phẳng đó cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r (bán kính mặt cầu) và nội tiếp trong tam giác cân SAB.

    Trong tam giác vuông SOB, gọi I là giao điểm của đường phân giác trong góc B với đường thẳng SO.

    Chứng minh được I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và bán kínhr =IO=IE  (E là hình chiếu vuông góc của I trên SB).

    Theo tính chất phân giác, ta có \frac{{IS}}{{IO}} = \frac{{BS}}{{BO}} = \frac{{13}}{5}.

    Lại có IS + IO = SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = 12.

    Từ đó suy ra IS = \frac{{26}}{3},{m{ }}IO = \frac{{10}}{3}.

    Ta có \Delta SEI \backsim\Delta SOB  nên \frac{{IE}}{{IS}} = \frac{{BO}}{{BS}} = \frac{5}{{13}} \Rightarrow IE = \frac{5}{{13}}IS = \frac{{10}}{3}

    Thể tích khối cầu: V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{10a}}{3}} ight)^3} = \frac{{4000\pi {a^3}}}{{81}} (đvtt).

  • Câu 11: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 3 = 0 và mặt cầu (S) tâm I(5; - 3;5), bán kính R = 2\sqrt{5}. Từ một điểm A thuộc mặt phẳng (P) kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại B. Tính OA biết AB = 4.

    Hình vẽ minh họa

    Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là

    d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 5 - 2.( - 3) + 2.5 - 3 ight|}{3} = 6

    Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên tam giác AIB vuông tại B, do đó ta có:

    IA = \sqrt{IB^{2} + AB^{2}} = \sqrt{R^{2} + AB^{2}} = 6 = d\left( I;(P) ight)

    Đường thẳng IA đi qua I(5; −3; 5) có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1; - 2;2) nên có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 3 - 2t \\ z = 5 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Do A = IA ∩ (P) nên 5 + t − 2(−3 − 2t) + 2(5 + 2t) − 3 = 0 ⇔ t = −2

    Vậy A(3; 1; 1) nên OA = \sqrt{11}.

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu

    Phương trình mặt cầu tâm I bán kính R có dạng: (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

    Vậy đáp án cần tìm là: (x - 13)^{2} + (y - 24)^{2} + (z - 36)^{2} = 7^{2} .

  • Câu 13: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A(1; - 1;4) và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ?

    Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu (S). Mặt cầu (S) tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên:

    d\left( I;(Oxy) ight) = d\left( I;(Oyz) ight) = d\left( I;(Ozx) ight)

    \Leftrightarrow |a| = |b| = |c| = R(*)

    Mặt cầu đi qua điểm A(1; - 1;4)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} IA = R \\ a > 0;c > 0;b < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} IA^{2} = R^{2} \\ a > 0;c > 0;b < 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 4)^{2} = R^{2} \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 1)^{2} + ( - a + 1)^{2} + (a - 4)^{2} = R^{2} \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a^{2} - 12a + 18 = 0 \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} - 6a + 9 = 0 \\ a = c = - b = R > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = c = 3 \\ b = - 3 \\ R = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (S):(x - 3)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 3)^{2} = 9

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 25. Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B. Biết tiếp diện của (S) tại A, B vuông góc. Tính độ dài AB.

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; −1), bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.

    Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.

    Suy ra AB = IA.\sqrt{2} = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}.

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, , cho hai mặt cầu (S_1), (S_2) có phương trình lần lượt là (x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 1)^2 = 16 và (x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 5)^2 = 4. Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với cả hai mặt cầu (S_1), (S_2). Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P).

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S1) có tâm I(2; 1; 1) và bán kính R_1 = 4.

    Mặt cầu (S2) có tâm J(2; 1; 5) và bán kính R_2 = 2.

    Gọi A, B lần lượt là hai tiếp điểm của (S1), (S2) với mặt phẳng (P).

    Gọi M là giao điểm của IJ với mặt phẳng (P). Ta có:

    \frac{MI}{MJ} = \frac{IA}{IB} = 2

    Suy ra J là trung điểm của IM, do đó M(2; 1; 9).

    Gọi véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \overrightarrow{n} = (a;b;c),\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 ight) khi đó phương trình của mặt phẳng (P) là

    a(x − 2) + b(y − 1) + c(z − 9) = 0

    Ta có:

    d\left( I;(P) ight) = 4 \Leftrightarrow \frac{|8c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = 4

    \Leftrightarrow \frac{|c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 3c^{2}

    \Leftrightarrow \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} = 3\ \ \ (1)

    Mặt khác d\left( O;(P) ight) = \frac{|2a + b + 9c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{|2a + b + 9c|}{2c} = \frac{1}{2}\left| \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} + 9 ight|\ \ \ (2)

    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

    \left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq \left( 2^{2} + 1^{2} ight)\left\lbrack \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} ightbrack\ \ \ (3)

    Từ (1) và (3) ta có: \left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq 15 \Leftrightarrow - \sqrt{15} \leq \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} \leq \sqrt{15}\ \ (4)

    Từ (2) và (4) suy ra:

    \frac{9 - \sqrt{15}}{2} \leq d\left( O;(P) ight) \leq \frac{9 + \sqrt{15}}{2}

    Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) bằng \frac{9 + \sqrt{15}}{2}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 10 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập