Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ
(đvtt).
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ
(đvtt).
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.
Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên
Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc. Đổ đầy nước rồi thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn ra bằng một phần ba lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu. Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc. Tìm tỉ số bán kính của miệng cốc và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc).

Gọi bán kính viên bi là r; bán kính đáy cốc, miệng cốc lần lượt là . Theo giả thiết thì chiều cao của cốc là
.
Thể tích viên bi là
Thể tích cốc là .
Theo giả thiết thì (1).
Mặt cắt chứa trục của cốc là hình thang cân . Đường tròn tâm
là đường tròn lớn của viên bi, đồng thời là đường tròn nội tiếp hình thang
, tiếp xúc với
lần lượt tại
và tiếp xúc với BB' tại M.

Dễ thấy tam giác BOB' vuông tại O.
Ta có .
Thay (2) vào (1) ta được .
Giải phương trình với điều kiện ta được
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
với
là tham số thực) và hai điểm
. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số
để trên
tồn tại điểm
sao cho
?
Gọi
Theo đề bài ra ta có:
Mặt cầu (Sm) có tâm I(1; 1; m) và bán kính
Gọi (α): x + y + z − 4 = 0. Khi đó:
Vậy giá trị nhỏ nhất của tham số m cần tìm là .
Cho mặt cầu
tâm O, bán kính R và mặt phẳng
có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc
. Đường thẳng OM cắt
tại N. Hình chiếu của O trên
là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Vì I là hình chiếu của O trên nên
mà
nên I là tiếp điểm của
và
.
Đường thẳng OM cắt tại N nên IN vuông góc với OI tại I.
Suy ra IN tiếp xúc với .
Tam giác OIN vuông tại I nên .
Giá trị
phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu:
? ![]()
Ta có:
là mặt cầu
.
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có
và
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao , bán kính đáy
Do đó diện tích toàn phần:
Trong không gian
, hỏi trong các phương trình sau đây phương trình nào là phương trình của mặt cầu?
Phương trình không có
=> Loại
Phương trình có số hạng
=> Loại
Phương trình loại vì
Phương trình thỏa mãn vì
.
Trong hệ tọa độ
, cho mặt cầu
và các điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua hai điểm
sao cho thiết diện của mặt phẳng
với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình
dưới dạng
. Tính
.
Ta có:
(S) có tâm , bán kính
.
Nhận thấy: ⇒ A; B nằm bên trong mặt cầu.
Gọi K là trung đểm của AB
Gọi H là hình chiếu của I trên (P),(P) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn tâm H bán kính r.
Std nhỏ nhất ⇔ r nhỏ nhất ⇔ IH lớn nhất
Khi đó mặt phẳng (P): Đi qua A và có VTPT là
⇒ Phương trình mặt phẳng
Khi đặt hệ tọa độ
vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu
(tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu
có phương trình
. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.
Đáp án : 18km
Khi đặt hệ tọa độ vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu
(tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu
có phương trình
. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.
Đáp án : 18km
Ta có
.
Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là 18km.
Đáp số: 18km.
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng
, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
. Đường cao h của hình nón bằng:
Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra và
.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .
Ta có
Từ đó suy ra nên
Trong tam giác vuông SOE, ta có
Một hình nón có đường cao bằng 9 cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5 cm. Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:

Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có
Suy ra và
Thể tích khối nón (đvtt).
Thể tích khối cầu (đvtt).
Suy ra
Cho lăng trụ đứng
có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
, góc
bằng
. Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
bằng:

Ta có .
Trong , ta có
Trong , ta có
Gọi N là trung điểm AC , suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Gọi là trung điểm A'C, suy ra
.
Do đó IN là trục của , suy ra
(1)
Hơn nữa, tam giác vuông tại A có
là trung điểm A'C nên
. (2)
Từ (1) và (2), ta có hay
là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
với bán kính
.
Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc .
Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra:
Trong tam giác vuông SOA, ta có .
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là:
Mặt cầu có tâm
và bán kính
Khoảng cách từ đến (P):
Bán kính đường tròn giao tuyến
Diện tích đường tròn giao tuyến .