Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Gọi bán kính viên bi là r; bán kính đáy cốc, miệng cốc lần lượt là . Theo giả thiết thì chiều cao của cốc là .

Thể tích viên bi là

Thể tích cốc là .

Theo giả thiết thì   (1).

Mặt cắt chứa trục của cốc là hình thang cân   . Đường tròn tâm là đường tròn lớn của viên bi, đồng thời là đường tròn nội tiếp hình thang , tiếp xúc với   lần lượt tại và tiếp xúc với BB' tại M.

Dễ thấy tam giác BOB' vuông tại O.

Ta có .

Thay (2) vào (1) ta được .

Giải phương trình với điều kiện ta được .

Hình vẽ minh họa

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là

Vì AB tiếp xúc với tại B nên tam giác AIB vuông tại B, do đó ta có:

Đường thẳng IA đi qua có vectơ chỉ phương là nên có phương trình là:

Do nên

Vậy A(3; 1; 1) nên .

Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có .

Diện tích toàn phần là: (đvdt).

Gọi M là trung điểm AC, suy ra

Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.

Ta có , suy ra tam giác SAC đều.

Gọi G là trọng tâm , suy ra .    (1)

Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có nên SM là trục của tam giác ABC.

Mà G thuộc SM nên suy ra .

Từ (1) và (2), suy ra hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

Bán kính mặt cầu .

Phương trình mặt cầu tâm bán kính là:

Tổng quát .

Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

Gọi E là trung điểm AB, suy ra và .

Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .

Ta có

Từ đó suy ra nên

Trong tam giác vuông SOE, ta có  

Gọi E là trung điểm của BC, dựng tại H.

Chứng minh được nên suy ra .

Trong tam giác đều ABC, ta có

và 

Trong tam giác vuông SOE, ta có

.

Vậy thể tích khối nón   (đvtt).

Đường tròn lớn có chu vi là nên bán kính của là

Từ phương trình của suy ra bán kính của là

Do đó

Vậy đáp án cần tìm là:

Mặt cầu có tâm I(1; −3; 2) và bán kính .

Từ giả thiết suy ra là một vectơ pháp tuyến của .

Ta có , suy ra có vectơ pháp tuyến

Vậy có phương trình dạng

Do tiếp xúc với mặt cầu nên:

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là .

 Gọi bán kính đáy là R.

Từ giả thiết suy ra và chu vi đáy bằng a .

Do đó .

Gọi tâm mặt cầu là và phương trình mặt cầu

Do

Lại có

Vậy là đáp án cần tìm.

Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra  (I) đúng.

Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).

Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.

Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.

 Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.

Do đó độ đài đường chéo:

Gọi M là trung điểm AB , suy ra và .

Do đó SM là trục của tam giác ABC.

Trong mặt phẳng , kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp , bán kính

Ta có

Trong tam giác vuông SMB, ta có .

Ta có , suy ra

Vì mặt cầu tâm và đi qua điểm nên mặt cầu nhận độ dài đoạn thẳng làm bán kính.

Ta có:

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .