Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R = a\sqrt 2, góc ở đỉnh bằng {60^0}. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

    Diện tích xung quanh

     Theo giả thiết, ta có OA = a\sqrt 2 và \widehat {OSA} = {30^0}.

    Suy ra độ dài đường sinh:  \ell = SA = \frac{{OA}}{{\sin {{30}^0}}} = 2a\sqrt 2

    Vậy diện tích xung quanh bằng: {S_{xq}} = \pi R\ell = 4\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho mặt cầu \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z - 2 = 0 và mặt phẳng \left( P ight):3x + 2y + 6z + 1 = 0. Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Viết phương trình mặt cầu (S') chứa (C) và điểm M(1,-2,1)

     Phương trình của \left( {S'} ight):\left( S ight) + m\left( P ight) = 0,\,\,m e 0

    \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z - 2 + m\left( {3x + 2y + 6z + 1} ight) = 0

    (S') qua M\left( {1, - 2,1} ight) \Rightarrow 6m + 18 = 0 \Leftrightarrow m = - 3

    \Rightarrow \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 5x - 8y - 12z - 5 = 0

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho khối trụ có hai đáy là (O) và \left(O^\primeight). AB,CD lần lượt là hai đường kính của (O) và \left(O^\primeight), góc giữa AB và CD bằng {30}^\circ,AB=6. Thể tích khối tứ diện ABCD bằng 30 . Thể tích khối trụ đã cho bằng?

     Thể tích trụ

    Ta chứng minh: V_{ABCD}=\frac{1}{6}AB\cdot CD\cdot d(AB,CD)\cdot\sin(AB,CD)..

    Lấy điểm E sao cho tứ giác BCDE là hình bình hành.

    Khi đó  (AB,CD)=(AB,BE)\Rightarrow\sin(AB,CD)=\sin(AB,BE)..

    Mà góc giữa AB và CD bằng {30}^\circ,AB=6 nên ta có:

    \sin(AB,CD)=\sin(AB,BE)=\sin 30^0 =\frac 1 2

    Ta có d(D,(ABE))=d(AB, CD)

    V_{ABCD}=V_{ABDE}

    =\frac{1}{3}.d(D,(ABE)).S_{ABE}=\frac {1}{6} AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)

    Suy ra V_{ABCD}=\frac {1}{6} AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)

    Vậy d(AB,CD)=\dfrac{6V_{ABCD}}{AB.CD.\sin30^0}=\dfrac{180}{6.6.\dfrac{1}{2}}=10

    Chiều cao của lăng trụ bằng h = d(AB, CD)=10

    Áp dụng CT thể tích lăng trụ là: V=Sh=\pi .3^2.10=90 \pi

     

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng 4a^2. Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng 30^0. Đường cao h của hình nón bằng:

     Tính đường cao nón

    Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra\left\{ \begin{array}{l}SE \bot AB\\OE \bot AB\end{array} ight.  và SE = \frac{1}{2}AB.

    Ta có {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AB.SE = 4{a^2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AB = 4{a^2}

    \Rightarrow AB = 4a \Rightarrow SE = 2a.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH.

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên

    {30^0} = \widehat {SO,\left( {SAB} ight)} = \widehat {SO,SH} = \widehat {OSH} = \widehat {OSE}

    Trong tam giác vuông SOE, ta có SO = SE.\cos \widehat {OSE} = a\sqrt 3

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2; - 4),B(1; - 3;1),C(2;2;3). Tính đường kính l của mặt cầu (S) đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy)?

    Gọi tâm mặt cầu là I(x;y;0)

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} IA = IB \\ IA = IC \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} + 1^{2}} \\ \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + 3^{2}} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (y - 2)^{2} + 4^{2} = (y + 3)^{2} + 1 \\ x^{2} - 2x + 1 + 16 = x^{2} - 4x + 4 + 9 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10y = 10 \\ 2x = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow l = 2R = 2\sqrt{( - 3)^{2} + ( - 1)^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{26}.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Một hình trụ có bán kính đáy R = 70{m{cm}} , chiều cao hình trụ h = 20{m{cm}}. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

    Tính độ dài cạnh

    Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

    Dựng đường sinh AA', ta có \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AA'\\CD \bot AD\end{array} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {AA'D} ight) \Rightarrow CD \bot A'D.

    Suy ra A’C là đường kính đáy nên A'C = 2R = 140{m{cm}}{m{.}}

    Xét tam giác vuông AA’C, ta có AC = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = 100\sqrt 2 {m{cm}}{m{.}}

    Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

  • Câu 7: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y − 2z + 10 = 0 và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25 cắt nhau theo giao tuyến đường tròn (C). Gọi V_{1} là thể tích khối cầu (S), V_{2} là thể tích khối nón (N) có đỉnh là giao điểm của đường thẳng đi qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với mặt phẳng (P), đáy là đường tròn (C). Biết độ dài đường cao khối nón (N) lớn hơn bán kính của khối cầu (S). Tính tỉ số \frac{V_{1}}{V_{2}}?

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 5, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:

    d = d\left( I;(P) ight) = \frac{|4 + 1 - 6 + 10|}{3} = 3

    Bán kính đường tròn (C) là: r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = 4

    Thể tích khối cầu (S) là: V_{1} = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{500\pi}{3}

    Chiều cao hình nón là h = R + d = 8.

    Thể tích khối nón làV_{2} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h = \frac{128\pi}{3}

    Vậy \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{125}{32}.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P):x + \sqrt{2}y - z + 3 = 0 cắt mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 5 theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là:

    Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0) và bán kính R = \sqrt{5}

    Khoảng cách từ O đến (P): d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{2}

    Bán kính đường tròn giao tuyến

    r = \sqrt{R^{2} - \left\lbrack d\left( O;(P) ight) ightbrack^{2}} = \sqrt{5 - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{11}{4}}

    Diện tích đường tròn giao tuyến S = 2\pi r^{2} = \frac{11\pi}{4}.

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB biết A(2; - 1; - 3),B(0;3; - 1)?

    Gọi I là trung điểm của AB khi đó I(1;1; - 2) là tâm mặt cầu (S).

    Bán kính R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 16 + 4} = \frac{\sqrt{24}}{2}

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6.

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(0;0; - 3) và đi qua điểm M(4;0;0). Phương trình mặt cầu (S) là:

    Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(0;0; - 3) và bán kính R là:

    x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = R^{2}

    Ta có: M \in (S) \Rightarrow 4^{2} + 0^{2} + (0 + 3)^{2} = R^{2}

    \Leftrightarrow R^{2} = 25

    Vậy phương trình cần tìm là: x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 25.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) đi qua điểm O và cắt các tia Ox;Oy;Oz lần lượt tại các điểm A;B;C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm G( - 6; - 12;18). Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là:

    Gọi tọa độ các điểm trên ba tia Ox;Oy;Oz lần lượt là A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a;b;c > 0

    Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \left\{ \begin{matrix} \frac{a}{3} = - 6 \\ \frac{b}{3} = - 12 \\ \frac{c}{3} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 18 \\ b = - 36 \\ c = 54 \\ \end{matrix} ight.

    Gọi phương trình mặt cầu cần tìm là:

    (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2mx - 2ny - 2pz + q = 0

    Vì (S) qua các điểm OABC nên ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} q = 0 \\ 36m + q = - 18^{2} \\ 72n + q = - 36^{2} \\ - 108p + q = - 54^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} q = 0 \\ m = - 9 \\ n = - 18 \\ p = 27 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ tâm của mặt cầu (S) là: ( - 9; - 18;27).

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 1)^2 + (y + 2)^2 + (z − 3)^2 = 12 và mặt phẳng (P): 2x + 2y − z − 3 = 0. Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của mặt cầu và đáy là hình tròn giới hạn bởi (C) có thể tích lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng (Q) là

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và bán kính R = 2\sqrt{3}

    Gọi r là bán kính đường tròn (C) và H là hình chiếu của I lên (Q).

    Đặt IH = x ta có:

    r = \sqrt{R^{2} - x^{2}} = \sqrt{12 - x^{2}}

    Vậy thể tích khối nón tạo được là:

    V = \frac{1}{3}IH.S_{\left( (C) ight)} = \frac{1}{3}.x.\pi\left( \sqrt{12 - x^{2}} ight)^{2} = \frac{1}{3}.\pi\left( 12x - x^{3} ight)

    Gọi f'(x) = 12x - 3x^{2} ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2 chỉ có x = 2 \in \left( 0;2\sqrt{3} ight)

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Vậy V_{\max} = \frac{1}{3}.\pi.16 khi x = IH = 2

    Mặt phẳng (Q) // (P) nên (Q): 2x + 2y − z + a = 0 (a eq - 3)

    Vậy d\left( I;(Q) ight) = IH \Leftrightarrow \frac{\left| 2 + 2( - 2) - 3 + a ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}} = 2

    \Leftrightarrow |a - 5| = 6 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 11 \\ a = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy mặt phẳng (Q) có phương trình 2x + 2y − z − 1 = 0 hoặc 2x + 2y − z + 11 =0

  • Câu 13: Thông hiểu

    Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:

     Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.

    Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.

    Do đó độ đài đường chéo: \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10{m{cm}}{m{.}}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60^0, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \frac{R}{2}. Đường cao h của hình nón bằng:

    Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE \bot AB và OE = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên d\left[ {O,\left( {SAB} ight)} ight] = OH = \frac{R}{2}.

    Trong tam giác vuông SOE, ta có  \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{8}{{3{R^2}}} \Rightarrow SO = \frac{{R\sqrt 6 }}{4}

  • Câu 15: Nhận biết

    Hình nón có đường sinh l=2a và hợp với đáy góc \alpha = {60^0}. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết, ta có

    SA = \ell = 2a và \widehat {SAO} = {60^0}.

    Suy ra:

    R = OA = SA.\cos {60^0} = a.

    Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S = \pi Rl + \pi {R^2} = 3\pi {a^2} (đvdt). 

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 26 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập