Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt cầu tâm
bán kính
là:
Phương trình mặt cầu tâm bán kính
là:
Tổng quát .
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt cầu tâm
bán kính
là:
Phương trình mặt cầu tâm bán kính
là:
Tổng quát .
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng
. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có .
Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì và
.
Vì nên
Gọi H là trung điểm A’B, suy ra
nên .
Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên
Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), bán kính bằng a. Một hình nón có đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O). Biết góc giữa đường sinh của hình nón với mặt đáy bằng
, tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng

Gọi A là điểm thuộc đường tròn (O).
Góc giữa O'A và mặt phẳng đáy là góc . Theo giả thiết ta có
.
Xét tam giác vuông tại , ta có:
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
Diện tích xung quanh của hình nón là:
.
Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc. Đổ đầy nước rồi thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn ra bằng một phần ba lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu. Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc. Tìm tỉ số bán kính của miệng cốc và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc).

Gọi bán kính viên bi là r; bán kính đáy cốc, miệng cốc lần lượt là . Theo giả thiết thì chiều cao của cốc là
.
Thể tích viên bi là
Thể tích cốc là .
Theo giả thiết thì (1).
Mặt cắt chứa trục của cốc là hình thang cân . Đường tròn tâm
là đường tròn lớn của viên bi, đồng thời là đường tròn nội tiếp hình thang
, tiếp xúc với
lần lượt tại
và tiếp xúc với BB' tại M.

Dễ thấy tam giác BOB' vuông tại O.
Ta có .
Thay (2) vào (1) ta được .
Giải phương trình với điều kiện ta được
.
Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm, 21 cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm, biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm? (Kết quả là tròn đến một chữ số thập phân)

Trả lời: 23,9 cm
Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm, 21 cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm, biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm? (Kết quả là tròn đến một chữ số thập phân)
Trả lời: 23,9 cm
Ta đặt hệ trục vào căn phòng sao cho có hai bức tường là mặt , và nền là
Vậy bài toán dẫn đến việc tìm đường kính của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng toạ độ và chứa điểm
.
Ta có thể gọi phương trình mặt cầu là , với
Do mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng toạ độ nên
Do nên
.
Vì quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm nên thỏa.
Vậy đường kính quả bóng bằng .
Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:
Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.
Do đó độ đài đường chéo:
Trong không gian với hệ tọa độ
, xét mặt cầu
có phương trình dạng
. Tập hợp các giá trị thực của tham số
để
có chu vi
?
Đường tròn lớn có chu vi là nên bán kính của
là
Từ phương trình của suy ra bán kính của
là
Do đó
Vậy đáp án cần tìm là:
Trong không gian
, viết phương trình mặt cầu
đường kính
biết
?
Gọi là trung điểm của
khi đó
là tâm mặt cầu
.
Bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Trong không gian
, cho điểm A(0; 1; 2), mặt phẳng
và mặt cầu
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
, vuông góc với
và đồng thời
cắt mặt cầu
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm
của
và trục
là
Gọi (C) là giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu (S) và (C) có tâm H, bán kính r.
Bán kính r của đường tròn là nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.
Vì nên gọi M(m; 0; 0).
Suy ra mặt phẳng (P) chứa AM và (P) ⊥ (α).
Khi đó
Mà mặt phẳng (P) đi qua A nên phương trình của mặt phẳng (P) là:
hay
Ta có:
lớn nhất khi và chỉ khi
đạt giá trị nhỏ nhất
Mà
Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi
Vậy .
Một hình trụ có bán kính đáy
, chiều cao hình trụ
. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.
Dựng đường sinh AA', ta có .
Suy ra A’C là đường kính đáy nên
Xét tam giác vuông AA’C, ta có
Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:
Diện tích xung quanh của hình trụ: (đvdt).
Diện tích toàn phần của hình trụ:
(đvdt).
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba điểm
. Tính đường kính
của mặt cầu
đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng
?
Gọi tâm mặt cầu là
Ta có:
.
Xét các mệnh đề:
(I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng
cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.
(II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?
Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra (I) đúng.
Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).
Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.
Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba mặt cầu
,
,
. Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu
?
Ta có có tâm lần lượt là
và bán kính lần lượt là
.
Gọi là mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu nói trên. Khi đó:
Xét phương trình
(1) Với . Thay vào
, ta được
Với .
Thay vào , ta được:
Với (vô lí).
Với .
Thay vào , ta được:
Với (vô lí).
(2) Với .
Thay vào , ta được
Với .
Thay vào , ta được
Với : chọn
Tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu
.
Với
Thay vào ta được:
Với (vô lí).
Vậy tồn tại 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu .
Cho hai điểm
cố định trong không gian có độ dài
. Biết rằng tập hợp các điểm
trong không gian sao cho
là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng bao nhiêu?
Ta có:
(*)
Gọi thỏa mãn
nên
Từ (*) suy ra .