Trong không gian
, viết phương trình mặt cầu đi qua điểm
và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ?
Gọi là tâm mặt cầu
. Mặt cầu
tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên:
Mặt cầu đi qua điểm
Trong không gian
, viết phương trình mặt cầu đi qua điểm
và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ?
Gọi là tâm mặt cầu
. Mặt cầu
tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên:
Mặt cầu đi qua điểm
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước
, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng
, theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu
là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và
là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số
bằng:
2 || Hai || hai
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng
, theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và
là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số
bằng:
2 || Hai || hai
Công thức thể tích khối trụ .
● Ở cách 1, suy ra và
. Do đó
(đvtt).
● Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có và
Do đó (đvtt).
Suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Một mặt cầu
có tâm
và tiếp xúc ngoài với mặt cầu
. Kết luận nào sau đây đúng về phương trình mặt cầu
?
Ta có tâm và bán kính mặt cầu lần lượt là
.
Suy ra
Gọi là bán kính mặt cầu
. Theo giả thiết ta có:
Khi đó phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao
và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

Diện tích xung quanh của hình trụ:
(đvdt).
Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra
.
Diện tích xung quanh của hình nón: (đvdt).
Vậy .
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có .
Diện tích toàn phần là: (đvdt).
Trong hệ tọa độ
, cho mặt cầu
và các điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua hai điểm
sao cho thiết diện của mặt phẳng
với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình
dưới dạng
. Tính
.
Ta có:
(S) có tâm , bán kính
.
Nhận thấy: ⇒ A; B nằm bên trong mặt cầu.
Gọi K là trung đểm của AB
Gọi H là hình chiếu của I trên (P),(P) cắt (S) theo thiết diện là đường tròn tâm H bán kính r.
Std nhỏ nhất ⇔ r nhỏ nhất ⇔ IH lớn nhất
Khi đó mặt phẳng (P): Đi qua A và có VTPT là
⇒ Phương trình mặt phẳng
Một hình trụ có bán kính đáy
, chiều cao hình trụ
. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.
Dựng đường sinh AA', ta có .
Suy ra A’C là đường kính đáy nên
Xét tam giác vuông AA’C, ta có
Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.
Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Mặt cầu đường kính
có phương trình là:
Gọi là trung điểm của
khi đó
là tâm mặt cầu
.
Bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, xét mặt cầu
có phương trình dạng
. Tập hợp các giá trị thực của tham số
để
có chu vi
?
Đường tròn lớn có chu vi là nên bán kính của
là
Từ phương trình của suy ra bán kính của
là
Do đó
Vậy đáp án cần tìm là:
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .
Suy ra hình trụ này có đường cao .
Vậy thể tích khối trụ (đvtt).
Trong không gian
, cho mặt cầu
và các điểm
. Điểm
thuộc mặt cầu
. Thể tích lớn nhất của tứ diện
bằng:
Mặt cầu có tâm là
và bán kính
.
Khi lớn nhất thì
Ta có: suy ra:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
. Mặt cầu
có tâm
và đi qua hai điểm
có phương trình là:
Ta có:
Vì đi qua hai điểm
nên
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Một hình nón có đường cao bằng 9 cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5 cm. Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:

Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có
Suy ra và
Thể tích khối nón (đvtt).
Thể tích khối cầu (đvtt).
Suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Bán kính của mặt cầu
là:
Ta có:
suy ra tâm mặt cầu là:
Bán kính mặt cầu là: