Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} = 9 có bán kính bằng:

    Bán kính của mặt cầu (S) là R = \sqrt{9} = 3.

  • Câu 2: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1 và điểm A(2;2;2). Xét các điểm M \in (S) sao cho đường thẳng AM luôn tiếp xúc với (S). Điểm M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là

    Tọa độ tâm mặt cầu là:I(1;1;1)

    Gọi M(x;y;z) khi đó: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x - 2;y - 2;z - 2) \\ \overrightarrow{IM} = (x - 1;y - 1;z - 1) \\ \end{matrix} ight..

    Theo đề bài ra ta có:

    \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{IM} = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)(x - 1) + (y - 2)(y - 1) + (z - 2)(z - 1) = 0

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3x - 3y - 3z + 6 = 0(*)

    Mặt khác phương trình mặt cầu

    (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1

    \Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 2z + 2 = 0(**)

    Lấy (*) trừ (**) ta được: x + y + z - 4 = 0.

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho mặt cầu tâm I bán kính R = 2,6{m{cm}} . Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm I một khoảng bằng 2,4 cm . Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:

     Theo đề bài, mặt phẳng cắt mặt cầu S(I;2,6 cm) theo một đường tròn (H;r) .

    Vậy r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {{{\left( {2,6} ight)}^2} - {{\left( {2,4} ight)}^2}} = 1{m{cm}}.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Một hình trụ có bán kính đáy R = 70{m{cm}} , chiều cao hình trụ h = 20{m{cm}}. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

    Tính độ dài cạnh

    Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

    Dựng đường sinh AA', ta có \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AA'\\CD \bot AD\end{array} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {AA'D} ight) \Rightarrow CD \bot A'D.

    Suy ra A’C là đường kính đáy nên A'C = 2R = 140{m{cm}}{m{.}}

    Xét tam giác vuông AA’C, ta có AC = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = 100\sqrt 2 {m{cm}}{m{.}}

    Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Từ giả thiết suy ra h= 2a và chu vi đáy bằng a .

    Do đó 2\pi R = a \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\pi }}.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50{m{cm}} \times 240{m{cm}} , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

    Tính tỉ số thể tích

    ● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

    ● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

    Kí hiệu V_1là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V_2 là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} bằng:

    2 || Hai || hai

    Đáp án là:

    Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50{m{cm}} \times 240{m{cm}} , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

    Tính tỉ số thể tích

    ● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

    ● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

    Kí hiệu V_1là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V_2 là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} bằng:

    2 || Hai || hai

     Công thức thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h.

    ● Ở cách 1, suy ra h= 50 cm và 2\pi {R_1} = 240 \Leftrightarrow {R_1} = \frac{{120}}{\pi }. Do đó {V_1} = \pi .{\left( {\frac{{120}}{\pi }} ight)^2}.50 (đvtt).

    ● Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có h= 50 cm và 2\pi {R_2} = 120 \Leftrightarrow {R_2} = \frac{{60}}{\pi }

    Do đó {V_2} = 2 \times \left[ {\pi .{{\left( {\frac{{60}}{\pi }} ight)}^2}.50} ight] (đvtt).

    Suy ra \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho mặt cầu \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z - 2 = 0 và mặt phẳng \left( P ight):3x + 2y + 6z + 1 = 0. Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Viết phương trình mặt cầu (S') chứa (C) và điểm M(1,-2,1)

     Phương trình của \left( {S'} ight):\left( S ight) + m\left( P ight) = 0,\,\,m e 0

    \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z - 2 + m\left( {3x + 2y + 6z + 1} ight) = 0

    (S') qua M\left( {1, - 2,1} ight) \Rightarrow 6m + 18 = 0 \Leftrightarrow m = - 3

    \Rightarrow \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 5x - 8y - 12z - 5 = 0

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P):x + \sqrt{2}y - z + 3 = 0 cắt mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 5 theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là:

    Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0) và bán kính R = \sqrt{5}

    Khoảng cách từ O đến (P): d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{2}

    Bán kính đường tròn giao tuyến

    r = \sqrt{R^{2} - \left\lbrack d\left( O;(P) ight) ightbrack^{2}} = \sqrt{5 - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{11}{4}}

    Diện tích đường tròn giao tuyến S = 2\pi r^{2} = \frac{11\pi}{4}.

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:

    Diện tích xung quanh của hình trụ: {S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}(đvdt).

    Diện tích toàn phần của hình trụ:

    {S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{{m{day}}}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\left( {\pi {R^2}} ight) = 2\left( {\sqrt 3 + 1} ight)\pi {R^2}(đvdt).

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng 4a^2. Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng 30^0. Đường cao h của hình nón bằng:

     Tính đường cao nón

    Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra\left\{ \begin{array}{l}SE \bot AB\\OE \bot AB\end{array} ight.  và SE = \frac{1}{2}AB.

    Ta có {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}AB.SE = 4{a^2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AB = 4{a^2}

    \Rightarrow AB = 4a \Rightarrow SE = 2a.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH.

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên

    {30^0} = \widehat {SO,\left( {SAB} ight)} = \widehat {SO,SH} = \widehat {OSH} = \widehat {OSE}

    Trong tam giác vuông SOE, ta có SO = SE.\cos \widehat {OSE} = a\sqrt 3

  • Câu 11: Nhận biết

    Hình nón có đường sinh l=2a và hợp với đáy góc \alpha = {60^0}. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết, ta có

    SA = \ell = 2a và \widehat {SAO} = {60^0}.

    Suy ra:

    R = OA = SA.\cos {60^0} = a.

    Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S = \pi Rl + \pi {R^2} = 3\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hai mặt cầu sau:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 10z - 11 = 0;

    \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 6z - 5 = 0

    Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?

    Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong

    Đáp án là:

    Cho hai mặt cầu sau:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 10z - 11 = 0;

    \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 6z - 5 = 0

    Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?

    Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong

     Theo đề bài, ta suy ra các hệ số, tâm và bán kính của (S):

    \left( S ight):a = 2;\,\,b = - 3;\,\,c = 5;\,\,d = - 11 \Rightarrow Tâm I\left( {2, - 3,5} ight); bán kính R=7

    \left( {S'} ight) = a' = 1;\,\,b' = - 1;\,c' = 3;\,\,d' = - 5 \Rightarrow Tâm J\left( {1, - 1,3} ight); bán kính R'=4

    I{J^2} = {\left( {1 - 2} ight)^2} + {\left( { - 1 + 3} ight)^2} + {\left( {3 - 5} ight)^2} = 9 \Rightarrow IJ = 3 = R - R'

    (S) và (S') tiếp xúc trong.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) đi qua điểm O và cắt các tia Ox;Oy;Oz lần lượt tại các điểm A;B;C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm G( - 6; - 12;18). Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là:

    Gọi tọa độ các điểm trên ba tia Ox;Oy;Oz lần lượt là A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a;b;c > 0

    Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \left\{ \begin{matrix} \frac{a}{3} = - 6 \\ \frac{b}{3} = - 12 \\ \frac{c}{3} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 18 \\ b = - 36 \\ c = 54 \\ \end{matrix} ight.

    Gọi phương trình mặt cầu cần tìm là:

    (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2mx - 2ny - 2pz + q = 0

    Vì (S) qua các điểm OABC nên ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} q = 0 \\ 36m + q = - 18^{2} \\ 72n + q = - 36^{2} \\ - 108p + q = - 54^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} q = 0 \\ m = - 9 \\ n = - 18 \\ p = 27 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ tâm của mặt cầu (S) là: ( - 9; - 18;27).

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60^0, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \frac{R}{2}. Đường cao h của hình nón bằng:

    Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE \bot AB và OE = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên d\left[ {O,\left( {SAB} ight)} ight] = OH = \frac{R}{2}.

    Trong tam giác vuông SOE, ta có  \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{8}{{3{R^2}}} \Rightarrow SO = \frac{{R\sqrt 6 }}{4}

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt cầu (S_1): (x+3)^2+(y−2)^2+(z−4)^2 = 1, (S_2): x ^2 + (y − 2)^2 + (z − 4)^2 = 4, (S_3): x ^2 + y ^2 + z ^2 + 4x − 4y − 1 = 0. Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu (S_1), (S_2), (S_3)?

    Ta có \left( S_{1} ight),\left( S_{2}ight),\left( S_{3} ight) có tâm lần lượt là I_{1}( - 3;2;4),I_{2}(0;2;4),I_{3}( -2;2;0) và bán kính lần lượt là R_{1} = 1,R_{2} = 2,R_{3} = 3.

    Gọi (P):ax + by + cz + d = 0\left( a^{2} +b^{2} + c^{2} eq 0 ight) là mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu nói trên. Khi đó:

    \left\{ \begin{matrix}d\left( I_{1};(P) ight) = R_{1} \\d\left( I_{2};(P) ight) = R_{2} \\d\left( I_{3};(P) ight) = R_{3} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}| - 3a + 2b + 4c + d| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\|2b + 4c + d| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\| - 2a + 2b + d| = 3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}|2b + 4c + d| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b + 4c + d| \\3|2b + 4c + d| = 2| - 2a + 2b + d| \\\end{matrix} ight.

    Xét phương trình

    3|2b + 4c + d| = 2| - 2a + 2b +d|

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}3(2b + 4c + d) = 2( - 2a + 2b + d) \\3(2b + 4c + d) = - 2( - 2a + 2b + d) \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}d = - 4a - 2b - 12c \\5d = 4a - 10b - 12c \\\end{matrix} ight.

    (1) Với d = - 4a - 2b - 12c. Thay vào 2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b + 4c +d|, ta được

    2| - 7a - 8c| = | - 4a -8c|

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}7a + 8c = 2a + 4c \\7a + 8c = - 2a - 4c \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = - \dfrac{6c}{5} \\a = - \dfrac{4c}{3} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Với a = - \frac{6c}{5} \Rightarrow d = -\frac{36c}{5} - 2b.

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}, ta được:

    \left| \frac{18c}{5} + 2b + 4c -\frac{36c}{5} - 2b ight| = \sqrt{\left( - \frac{6c}{5} ight)^{2} +b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow \left| \frac{2c}{5}ight| = \frac{1}{5} \cdot \sqrt{25b^{2} + 61c^{2}} \Leftrightarrow4c^{2} = 25b^{2} + 61c^{2} \Leftrightarrow b = c = 0

    Với b = c = 0 \Rightarrow a = 0,d =0 (vô lí).

    Với a = - \frac{4c}{3} \Rightarrow d = -\frac{20c}{3} - 2b.

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}, ta được:

    \left| \frac{12c}{5} + 2b + 4c -\frac{20c}{5} - 2b ight| = \sqrt{\left( - \frac{4c}{3} ight)^{2} +b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow \left| \frac{4c}{3}ight| = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9b^{2} + 25c^{2}}

    \Leftrightarrow 16c^{2} = 9b^{2} +25c^{2} \Leftrightarrow b = c = 0

    Với b = c = 0 \Rightarrow a = 0,d =0 (vô lí).

    (2) Với 5d = 4a - 10b - 12c.

    Thay vào 2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b +4c + d|, ta được

    2| - 11a + 8c| = |4a + 8c

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}11a - 8c = 2a + 4c \\11a - 8c = - 2a - 4c \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{4c}{13} \\a = \dfrac{4c}{3} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Với a = \frac{4c}{13} \Rightarrow 5d = -\frac{140c}{13} - 10b.

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}, ta được

    \left| \frac{60c}{13} ight| =\frac{5}{13} \cdot \sqrt{169b^{2} + 185c^{2}}

    \Leftrightarrow 11c^{2} = 169b^{2}\Leftrightarrow c = \pm \frac{13b}{\sqrt{11}}

    Với c = \frac{13b}{\sqrt{11}} : chọn b = \sqrt{11} \Rightarrow c = 13\Rightarrow Tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu \left( S_{1} ight),\left( S_{2}ight),\left( S_{3} ight).

    Với a = \frac{4c}{3} \Rightarrow 5d = -\frac{20c}{3} - 10b

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} ta được:

    \left| \frac{20c}{3} ight| =\frac{5}{3}.\sqrt{9b^{2} + 25c^{2}} \Leftrightarrow 9b^{2} + 9c^{2} = 0\Leftrightarrow b = c = 0

    Với b = c = 0 ⇒ a = 0, d = 0 (vô lí).

    Vậy tồn tại 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu \left( S_{1} ight),\left( S_{2} ight),\left(S_{3} ight).

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 30 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập