Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng (\alpha) đi qua trung điểm của OO’ và tọa với OO’ một góc 30^0. Hỏi (\alpha) cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

     Tính độ dài dây cung

    Theo đề bài, ta có: OA = OB = R , OO' = 2R  và \widehat {IMO} = {30^0}.

    Trong tam giác vuông MIO, ta có OI = MO.\tan {30^0} = \frac{R}{{\sqrt 3 }}.

    Trong tam giác vuông AIO, ta có IA = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{R}{{\sqrt 3 }}} ight)}^2}} = \frac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}

    Suy ra AB = 2IA = \frac{{2R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}

  • Câu 2: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 2;3) và B( - 1;0;1) và mặt phẳng (P):x + y + z + 4 = 0. Phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng \frac{AB}{6} có tâm thuộc đường thẳng AB và (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2;2; - 2) suy ra AB:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = - 2 + 2t \\ z = 3 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Ta có: R = \frac{AB}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}

    Tâm I thuộc AB nên I(1 - 2t; - 2 + 2t;3 - 2t)

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu nên

    d\left( I;(P) ight) = R

    \Leftrightarrow \frac{\left| (1 - 2t) + ( - 2 + 2t) + (2 - 2t) + 4 ight|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

    \Leftrightarrow |6 - 2t| = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 6 - 2t = 1 \\ 6 - 2t = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}t = \dfrac{5}{2} \Rightarrow I( - 4;3; - 2) \\t = \dfrac{7}{2} \Rightarrow I( - 6;5; - 4) \\\end{matrix} ight.

    Ta có phương trình đường tròn (C) tâm I(−4; 3; −2), bán kính R = \frac{\sqrt{3}}{3}là:

    (x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = \frac{1}{3}

    Ta có phương trình đường tròn (C) tâm I(−6; 5; −4), bán kính R = \frac{\sqrt{3}}{3}là:

    (x + 6)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 4)^{2} = \frac{1}{3}

    Vậy đáp án cần tìm là: \left\lbrack\begin{matrix}(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = \dfrac{1}{3} \\(x + 6)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 4)^{2} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 3: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

     Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

    Bán kính đáy R = \frac{a}{2}. Do đó thể tích khối trụ V = {R^2}\pi .h = \frac{{\pi {a^3}}}{4}(đvtt).

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và(O’), thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông. Gọi A, B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn (O) và(O’). Biết AB = 2a và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ bằng \frac{{a\sqrt 3 }}{2}. Bán kính đáy bằng:

     Tính bán kính

    Dựng đường sinh BB', gọi I là trung điểm của AB’, ta có

    \left\{ \begin{array}{l}OI \bot AB'\\OI \bot BB'\end{array} ight. \Rightarrow OI \bot \left( {ABB'} ight)

    Suy ra d\left[ {AB,OO'} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABB'} ight)} ight] = d\left[ {O,\left( {ABB'} ight)} ight] = OI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi bán kính đáy của hình trụ là R.

    Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên OO' = BB' = 2R

    Trong tam giác vuông A B’B, ta có AB{'^2} = A{B^2} - B{B^2} = 4{a^2} - 4{R^2}.

    Trong tam giác vuông OIB’, ta có N OB{'^2} = O{I^2} + IB{'^2} \Leftrightarrow {R^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} ight)^2} + {\left( {\frac{{AB'}}{2}} ight)^2}.

    Suy ra AB{'^2} = 4{R^2} - 3{a^2}.

    Từ đó ta có 4{a^2} - 4{R^2} = 4{R^2} - 3{a^2} \Rightarrow R = \frac{{a\sqrt {14} }}{4}.

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Trong không gian cho ba điểm A(3;0;0), B(1;2;1) và C(2;-1;2). Biết mặt

    phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là (10;a;b). Tổng a+b là?

     Phương trình (OAB) là: -y+2z=0.

    Phương trình (OAC) là:2y+z=0.

    Phương trình (OBC) là: x-z=0.

    Phương trình (ABC) là: 5x+3y+4z-15=0 .

    Gọi I(a';b';c') là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.

    Do đó:

    I nằm cùng phía với A đối với (OBC) suy ra: (a'-c')>0.

    I nằm cùng phía với B đối với (OAC) suy ra: (2b'+c')>0.

    I nằm cùng phía với C đối với (OAB) suy ra: (-b'+2c')>0.

    I nằm cùng phía với O đối với (ABC) suy ra: (5a'+3b'+4c'-15)<0.

    Suy ra:

    \left\{\begin{matrix} d(I,(OAB))=d(I,(OAC)) \\ d(I,(OAB))=d(I,(OBC)) \\ d(I,(OAB))=d(I,(ABC)) \end{matrix}ight.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|2b'+c'|}{\sqrt 5} \\ \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|a'-c'|}{\sqrt 2} \\ \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|5a'+3b'+4c'-15|}{5\sqrt 2} \end{matrix}ight.

     

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} |-b'+2c'|= |2b'+c'| \\ \sqrt 2{|-b'+2c'|}= \sqrt 5|a'-c'|\\ \sqrt 10{|-b'+2c'|}= |5a'+3b'+4c'-15| \end{matrix}ight.

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -b'+2c'= 2b'+c' \\ \sqrt 2{(-b'+2c')}= \sqrt 5(a'-c')\\ \sqrt 10{(-b'+2c')}= -(5a'+3b'+4c'-15)\end{matrix}ight.

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a'=\dfrac{3}{ 2} \\ -b'=\dfrac{3 \sqrt 10 -9}{2} \\ c'=\dfrac{9 \sqrt 10 -27}{ 2} \end{matrix}ight.

    Suy ra:  I (\frac {3}{2} ;\frac {3\sqrt{10} -9}{2}; \frac {9\sqrt{10} -27}{2}), \Rightarrow \overrightarrow {BI}= (\frac {1}{2} ;\frac {3\sqrt{10} -13}{2}; \frac {9\sqrt{10} -29}{2}) ; \,\, \overrightarrow {BC}= (1;-3;1)

    \Rightarrow [\overrightarrow {BI}, \overrightarrow {BC}]= (-50+15 \sqrt{10} ; \frac {9\sqrt{10} -30}{2}; \frac {-3\sqrt{10} +10}{2})

    cùng phương với \vec n =(10;3;-1).

    Suy ra (BCI) có một VTPT là \vec n =(10;3;-1) =(10; a; b).

    Vậy: a+b=2.

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB biết A(2; - 1; - 3),B(0;3; - 1)?

    Gọi I là trung điểm của AB khi đó I(1;1; - 2) là tâm mặt cầu (S).

    Bán kính R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 16 + 4} = \frac{\sqrt{24}}{2}

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau nằm trên?

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {1 - m} ight)x + 2\left( {3 - 2m} ight)y + 2\left( {m - 2} ight)z + 5{m^2} - 9m + 6 = 0

    Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S): 

    a = m - 1;\,\,b = 2m - 3;\,\,c = 2 - m;\,\,d = 5{m^2} - 9m + 6

    Suy ra ta gọi được tâm I của mặt cầu có tọa độ là I\left( {x = m - 1;y = 2m - 3;z = 2 - m} ight)

    \Rightarrow x + 1 = \frac{{y + 3}}{2} = 2 - z

    Xét (S) là mặt cầu \Leftrightarrow {\left( {m - 1} ight)^2} + {\left( {2m - 3} ight)^2} + {\left( {2 - m} ight)^2} - 5{m^2} + 9m - 6 > 0

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 9m + 8 > 0 \Leftrightarrow m < 1 \vee m > 8\\ \Leftrightarrow m - 1 < 0 \vee m - 1 > 7 \Leftrightarrow x < 0 \vee x > 7\end{array}

    Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng  x + 1 = \frac{{y + 3}}{2} = 2 - z

    tương ứng với x < 0\,\,\, \vee \,\,\,x > 7.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 4. Một mặt cầu (S') có tâm I'(9;1;6) và tiếp xúc ngoài với mặt cầu (S). Kết luận nào sau đây đúng về phương trình mặt cầu (S')?

    Ta có tâm và bán kính mặt cầu (S) lần lượt là I(1;1;0);R = 2.

    Suy ra II' = 10

    Gọi R' là bán kính mặt cầu (S'). Theo giả thiết ta có:

    R + R' = II' \Leftrightarrow R' = II' - R = 8

    Khi đó phương trình mặt cầu cần tìm là: (S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 64.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2} = 4. Tâm mặt cầu (S) có tọa độ là:

    Mặt cầu (S):(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2} có tâm là I(a;b;c)

    Mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2} = 4 có tâm I(2; - 1;3).

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:

    Diện tích xung quanh của hình trụ: {S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}(đvdt).

    Diện tích toàn phần của hình trụ:

    {S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{{m{day}}}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\left( {\pi {R^2}} ight) = 2\left( {\sqrt 3 + 1} ight)\pi {R^2}(đvdt).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Một hình trụ có bán kính đáy R = 70{m{cm}} , chiều cao hình trụ h = 20{m{cm}}. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

    Tính độ dài cạnh

    Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

    Dựng đường sinh AA', ta có \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AA'\\CD \bot AD\end{array} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {AA'D} ight) \Rightarrow CD \bot A'D.

    Suy ra A’C là đường kính đáy nên A'C = 2R = 140{m{cm}}{m{.}}

    Xét tam giác vuông AA’C, ta có AC = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = 100\sqrt 2 {m{cm}}{m{.}}

    Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

  • Câu 13: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; −1; 2) và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9. Mặt phẳng đi qua M cắt S theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là:

    Ta có:

    (S) có bán kính R = 3 và tâm I(0; 0; 0), IM = \sqrt{6} < 3 nên I nằm trong hình cầu (S).

    Gọi r là bán kính của đường tròn, (P) là mặt phẳng qua M, ta có:

    r^{2} = R^{2} - d^{2}\left( I;(P) ight) = 9 - d^{2}\left( I;(P) ight) \geq 9 - IM^{2} = 3

    Suy ra bán kính r_{\min} = \sqrt{3} khi \overrightarrow{IM} là vectơ pháp tuyến của (P).

    Vậy phương trình của mặt phẳng (P): (x − 1) − (y + 1) + 2(z − 2) = 0⇔ x − y + 2z − 6 = 0.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao R\sqrt 3 và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

    Tỉ số diện tích

    Diện tích xung quanh của hình trụ:

    {S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}} = 2\pi R.h = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2} (đvdt).

    Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra

    \ell = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}} = \sqrt {3{R^2} + {R^2}} = 2R.

    Diện tích xung quanh của hình nón: {S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}} = \pi R\ell = \pi R.2R = 2\pi {R^2} (đvdt).

    Vậy \frac{{{S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}}}}{{{S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}}}} = \sqrt 3.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Với giá trị nào của m thì mặt phẳng \left( P ight):2x - y + z - 5 = 0 tiếp xúc với mặt cầu 

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 2\left( {2 - m} ight)y - 4mz + 5{m^2} + 1 = 0?

    Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S): a = m;b = m - 2;c = 2m;d = 5{m^2} + 1

    Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là I\left( {m,m - 2,2m} ight).

    \Rightarrow {R^2} = {m^2} + {\left( {m - 2} ight)^2} + 4{m^2} - 5{m^2} - 1 = {m^2} - 4m + 3 > 0

    \Rightarrow m < 1 \vee m > 3.\left( P ight) tiếp xúc (S) khi: 

    d\left( {I,P} ight) = \frac{{\left| {3m - 3} ight|}}{{\sqrt 6 }} = R = \sqrt {{m^2} - 4m+3}

    \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3 \vee m = 1   (loại)

    \Rightarrow m = - 3

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 22 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập