Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 6. Đường kính của (S) bằng

    Ta có bán kính của (S) là \sqrt{6} nên đường kính của (S) bằng 2\sqrt{6}.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),C(0;0;3),B(0;2;0). Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA^{2} = MB^{2} + MC^{2} là mặt cầu có bán kính là:

    Giả sử M(x;y;z)

    Ta có:\left\{ \begin{matrix} MA^{2} = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} \\ MB^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} \\ MC^{2} = x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    Theo bài ra ta có:

    MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}

    \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} + x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2}

    \Leftrightarrow - 2x + 1 = (y - 2)^{2} + x^{2} + (z - 3)^{2}

    \Leftrightarrow (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 2

    Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn MA^{2} = MB^{2} + MC^{2} là mặt cầu có bán kính là R = \sqrt{2}.

  • Câu 3: Nhận biết

    Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là p. Một mặt phẳng (\alpha) cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là \frac{p}{2}. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (\alpha)  bằng: 

    Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu.

    Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R.

    Theo giả thiết, ta có \pi {R^2} = p \Leftrightarrow R = \sqrt {\frac{p}{\pi }} và \pi {r^2} = \frac{p}{2} \Leftrightarrow r = \sqrt {\frac{p}{{2\pi }}}

    Suy ra d = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {\frac{p}{{2\pi }}}.

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x^2 +y^2 +z^2 −2x+ 2z −2 = 0 và các điểm A(0; 1; 1), B(−1; −2; −3), C(1; 0; −3). Điểm D thuộc mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD bằng:

    Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 0; −1) và bán kính R = 2.

    Khi V_{DABC} lớn nhất thì \frac{V_{DABC}}{V_{IABC}} = \frac{d\left( D;(ABC) ight)}{d\left( I;(ABC) ight)} = \frac{R + d\left( I;(ABC) ight)}{d\left( I;(ABC) ight)}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 3; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1; - 1; - 4) \\ \overrightarrow{AI} = (1; - 1; - 2) \\ \end{matrix} ight. suy ra:

    V_{IABC} = \frac{1}{6}\left| \left\lbrack \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack.\overrightarrow{AI} ightbrack ight| = \frac{4}{3}

    \Rightarrow d\left( I;(ABC) ight) = \frac{6.V_{IABC}}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack ight|} = \frac{2}{3}

    \Rightarrow V_{DABC} =\dfrac{4}{3}.\dfrac{2 + \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3}} =\dfrac{16}{3}.

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho hình trụ có O, O' là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật ABCD có A, B cùng thuộc (O) và C, D cùng thuộc (O') sao cho AB=a\sqrt3,BC=2a đồng thời (ABCD) tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc {60}^\circ . Thể tích khối trụ bằng

     Thể tích khối trụ

    Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CD,AB và I là trung điểm của OO^\prime. Suy ra góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng đáy là  \widehat{IMO^\prime}={60}^\circ.

    Ta có IM=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}BC=a..

    Xét \triangle IO^\prime M vuông tại O, ta có:

    IO^\prime=IM\cdot\sin\widehat{IMO^\prime}=\frac{a\sqrt3}{2}\Rightarrow h=OO^\prime=2IO^\prime=a\sqrt3;

    O^\prime M=IM\cdot\cos\widehat{IMO^\prime}=\frac{a}{2}

    Xét \triangle O^\prime MD vuông tại M, có O^\prime M=\frac{a}{2},MD=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB=\frac{a\sqrt3}{2}

    \Rightarrow r=O^\prime D=\sqrt{O^\prime M^2+MD^2}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}ight)^2+\left(\frac{a\sqrt3}{2}ight)^2}\Rightarrow r=a.

    Vậy V=\pi r^2h=\pi a^3\sqrt3.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 8: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

     Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

    Bán kính đáy R = \frac{a}{2}. Do đó thể tích khối trụ V = {R^2}\pi .h = \frac{{\pi {a^3}}}{4}(đvtt).

  • Câu 9: Nhận biết

    Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.  Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

     Diện tích toàn phần

    Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,

    Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.

    Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên AB = SB\sqrt 2 = a\sqrt 2, SO = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.

    Suy ra h = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},  l = SA = a  và SB\sqrt 2 = 2R \Rightarrow R = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}.

     

    Diện tích toàn phần của hình nón: {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}(đvdt).

    Thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}} (đvtt). 

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và \widehat {SAO} = {30^0},\widehat {SAB} = {60^0}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

     Độ dài đường sinh

    Gọi I là trung điểm AB, suy ra OI \bot AB,{m{ }}SI \bot AB và OI = a.

    Trong tam giác vuông SOA, ta có OA = SA.\cos \widehat {SAO} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2}

    Trong tam giác vuông SIA, ta có IA = SA.\cos \widehat {SAB} = \frac{{SA}}{2}

    Trong tam giác vuông OIA, ta có:

    O{A^2} = O{I^2} + I{A^2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}S{A^2} = {a^2} + \frac{1}{4}S{A^2} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 .

  • Câu 11: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 6y - 4z - 2 = 0 và mặt phẳng (α) : x + 4y + z − 11 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P), biết (P) song song với giá của vectơ \overrightarrow{v} = (1;6;2), vuông góc với (α) và tiếp xúc với (S).

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R = 4.

    Vectơ pháp tuyến của (α) là \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;4;1)

    Theo giả thiết, suy ra (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{(P)}} = \left\lbrack \overrightarrow{v};\overrightarrow{n_{(\alpha)}} ightbrack = (2; - 1;2)

    Phương trình của mặt phẳng (P) có dạng 2x − y + 2z + D = 0

    Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:

    d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2 + 3 + 4 + D|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = 4

    \Leftrightarrow |9 + D| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} D = 3 \\ D = - 21 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là: \left\lbrack \begin{matrix} (P):2x - y + 2z + 3 = 0 \\ (P):2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao R\sqrt 3 và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

    Tỉ số diện tích

    Diện tích xung quanh của hình trụ:

    {S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}} = 2\pi R.h = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2} (đvdt).

    Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra

    \ell = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}} = \sqrt {3{R^2} + {R^2}} = 2R.

    Diện tích xung quanh của hình nón: {S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}} = \pi R\ell = \pi R.2R = 2\pi {R^2} (đvdt).

    Vậy \frac{{{S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}}}}{{{S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}}}} = \sqrt 3.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm là điểm A(2; 2; 2), mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z + 8 = 0 cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn có bán kính r = 8. Diện tích của mặt cầu (S) là:

    Ta có:

    d\left( A;(P) ight) = \frac{|4 + 4 + 2 + 8|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 6

    R^{2} = d^{2}\left( A;(P) ight) + r^{2} = 100

    Vậy diện tích mặt cầu là: S = 4\pi R^{2} = 400\pi.

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; −2; 6), B(0; 1; 0) và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25. Mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 (với a, b, c là các số nguyên dương và a, b, c, d nguyên tố cùng nhau) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính tổng T = a + b + c.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 3;3; - 6) cùng phương với \overrightarrow{u} = (1; - 1;2) suy ra phương trình đường thẳng AB:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

    Xét mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25⇒ I(1; 2; 3), R = 5.

    Gọi H(t; 1 − t; 2t) là điểm trên AB sao cho AB ⊥ IH

    \Rightarrow \overrightarrow{IH} = (t - 1; - t - 1;2t)

    Vì AB ⊥ IH ⇒ t − 1 + t + 1 + 4t − 6 = 0 ⇒ t = 1⇒ H(1; 0; 2), \overrightarrow{IH} = (0; - 2; - 1)

    Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến giữa (P) và (S), K là hình chiếu vuông góc của I lên (P) ⇒ IK ≤ IH.

    Ta có r = \sqrt{R^{2} - IK^{2}} \geq \sqrt{R^{2} - IH^{2}}

    Dấu bằng chỉ xảy ra khi K ≡ H.

    Khi đó phương trình mặt phẳng (P) nhận \overrightarrow{IH} = (0; - 2; - 1) là vectơ pháp tuyến và đi qua điểm H(1; 0; 2) là 2y + z − 2 = 0 ⇒ T = 3

  • Câu 15: Thông hiểu

    Giá trị (\alpha) phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {3 - {{\cos }^2}\alpha } ight)x + 4\left( {{{\sin }^2}\alpha - 1} ight) + 2z + \cos 4\alpha + 8 = 0? (k\in \mathbb{Z})

     Ta có: a = 2{\cos ^2}\alpha - 3 = \cos 2\alpha - 2;\,b = 2\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } ight) = \cos 2\alpha + 1;c = - 1;

    d = \cos 4\alpha + 8 = 2{\cos ^2}2\alpha + 7.\,\,\left( S ight) là mặt cầu \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0

    \Leftrightarrow - 1 + \cos 2\alpha < - \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi < 2\alpha < \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi

    \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} + k\pi < \alpha < \frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 10 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập