Trong không gian với hệ toạ độ
, mặt cầu
có tâm là
Mặt cầu có tâm là:
.
Trong không gian với hệ toạ độ
, mặt cầu
có tâm là
Mặt cầu có tâm là:
.
Cho hai mặt cầu sau:
![]()
![]()
Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?
Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong
Cho hai mặt cầu sau:
Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?
Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong
Theo đề bài, ta suy ra các hệ số, tâm và bán kính của (S):
Tâm
bán kính
Tâm
; bán kính
(S) và (S') tiếp xúc trong.
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là
.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm M thuộc mặt cầu
và ba điểm
. Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn
là đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này?
Ta có: khi đó:
Mà
Suy ra .
Như vậy quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của (S) tâm I(3; −1; 0), bán kính R = 3 và (P)
Ta có:
Cho mặt cầu
và một điểm A, biết
. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B. Khi đó độ dài đoạn AB bằng:
Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên .
Suy ra
Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong (S) sau là mặt cầu:
.
Theo đề bài, ta có:
là mặt cầu
Một hình trụ có bán kính đáy
, chiều cao hình trụ
. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.
Dựng đường sinh AA', ta có .
Suy ra A’C là đường kính đáy nên
Xét tam giác vuông AA’C, ta có
Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.
Cho hình trụ có O, O' là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật
có A, B cùng thuộc (O) và C, D cùng thuộc (O') sao cho
đồng thời
tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc
. Thể tích khối trụ bằng

Gọi lần lượt là trung điểm của
và
là trung điểm của
. Suy ra góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng đáy là
.
Ta có .
Xét vuông tại O, ta có:
;
Xét vuông tại M, có
.
Vậy .
Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:
Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.
Do đó độ đài đường chéo:
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là:
Mặt cầu có tâm
và bán kính
Khoảng cách từ đến (P):
Bán kính đường tròn giao tuyến
Diện tích đường tròn giao tuyến .
Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Gọi
là mặt cầu chứa đường tròn giao tuyến của
và
đồng thời
tiếp xúc với mặt phẳng
. Gọi
là tâm của
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Phương trình mặt cầu (S’) có dạng:
Mặt cầu có tâm
, bán kính
.
Mặt cầu tiếp xúc với
nên
Vậy .
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại C và
. Mặt phẳng
vuông góc với đáy,
,
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
là:

Gọi M là trung điểm AB , suy ra và
.
Do đó SM là trục của tam giác ABC.
Trong mặt phẳng , kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
, bán kính
Ta có
Trong tam giác vuông SMB, ta có .
Ta có , suy ra
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao
và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

Diện tích xung quanh của hình trụ:
(đvdt).
Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra
.
Diện tích xung quanh của hình nón: (đvdt).
Vậy .
Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi I là trung điểm AB, suy ra và
.
Trong tam giác vuông SOA, ta có
Trong tam giác vuông SIA, ta có
Trong tam giác vuông OIA, ta có:
Hình nón có đường sinh
và hợp với đáy góc
. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có
và
.
Suy ra:
.
Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: (đvdt).