Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Một hình trụ có bán kính đáy R = 70{m{cm}} , chiều cao hình trụ h = 20{m{cm}}. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

    Tính độ dài cạnh

    Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

    Dựng đường sinh AA', ta có \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AA'\\CD \bot AD\end{array} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {AA'D} ight) \Rightarrow CD \bot A'D.

    Suy ra A’C là đường kính đáy nên A'C = 2R = 140{m{cm}}{m{.}}

    Xét tam giác vuông AA’C, ta có AC = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = 100\sqrt 2 {m{cm}}{m{.}}

    Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ tâm O của đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là \frac{a}{2}. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp SABC bằng:

     Thể tích khối nón

    Gọi E là trung điểm của BC, dựng OH \bot SE tại H.

    Chứng minh được OH \bot \left( {SBC} ight) nên suy ra OH = d\left[ {O,\left( {SBC} ight)} ight] = \frac{a}{2}.

    Trong tam giác đều ABC, ta có OE = \frac{1}{3}AE = \frac{1}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    và  OA = \frac{2}{3}AE = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}

    Trong tam giác vuông SOE, ta có

    \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow SO = a.

    Vậy thể tích khối nón V = \frac{1}{3}\pi O{A^2}.SO = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} ight)^2}.a = \frac{{4\pi {a^3}}}{9}  (đvtt).

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA = a\sqrt 6 và vuông góc với đáy (ABCD). Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ta được:

     Tính diện tích mặt cầu

    Gọi O = AC \cap BD, suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

    Gọi I là trung điểm SC, suy ra IO\parallel SA \Rightarrow IO \bot \left( {ABCD} ight)

    Do đó IO là trục của hình vuông ABCD, suy ra IA = IB = IC = ID.  (1)

    Xét tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên IS = IC = IA.   (2)

    Từ (1) và (2), ta có: R = IA = IB = IC = ID = IS = \frac{{SC}}{2} = a\sqrt 2

    Vậy diện tích mặt cầu S = 4\pi {R^2} = 8\pi {a^2} (đvdt).

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a. Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng:

    Tìm bán kính

    Gọi H là tâm của hình vuông ABCD.

    Ta có SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy.

    Gọi M là trung điểm của CD và I là chân đường phân giác trong của góc \widehat {SMH}{m{ (}}I \in SH).

    Suy ra I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính r = IH.

    Ta có:

    \begin{array}{l}SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};{m{ }}\\SM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};{m{ }}MH = \dfrac{a}{2}.\end{array}

    Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có: \frac{{IS}}{{IH}} = \frac{{MS}}{{MH}}

     

       \Rightarrow \frac{{SH}}{{IH}} = \frac{{MS + MH}}{{MH}}

    \Rightarrow IH = \dfrac{{SH.MH}}{{MS + MH}} = \frac{a}{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }} = \dfrac{{a\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } ight)}}{4}

  • Câu 5: Nhận biết

    Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.  Diện tích toàn phần và thể tích hình nón có giá trị lần lượt là:

     Diện tích toàn phần

    Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,

    Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.

    Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên AB = SB\sqrt 2 = a\sqrt 2, SO = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.

    Suy ra h = SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},  l = SA = a  và SB\sqrt 2 = 2R \Rightarrow R = \frac{{SB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}.

     

    Diện tích toàn phần của hình nón: {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } ight)\pi {a^2}}}{2}(đvdt).

    Thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{{12}} (đvtt). 

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm là điểm A(2; 2; 2), mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z + 8 = 0 cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn có bán kính r = 8. Diện tích của mặt cầu (S) là:

    Ta có:

    d\left( A;(P) ight) = \frac{|4 + 4 + 2 + 8|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 6

    R^{2} = d^{2}\left( A;(P) ight) + r^{2} = 100

    Vậy diện tích mặt cầu là: S = 4\pi R^{2} = 400\pi.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao R\sqrt 3 và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

    Tỉ số diện tích

    Diện tích xung quanh của hình trụ:

    {S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}} = 2\pi R.h = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2} (đvdt).

    Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra

    \ell = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}} = \sqrt {3{R^2} + {R^2}} = 2R.

    Diện tích xung quanh của hình nón: {S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}} = \pi R\ell = \pi R.2R = 2\pi {R^2} (đvdt).

    Vậy \frac{{{S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}}}}{{{S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}}}} = \sqrt 3.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;2),B(3;2; - 3). Mặt cầu (S) có tâm I \in Ox và đi qua hai điểm A;B có phương trình là:

    Ta có: I \in Ox \Rightarrow I(a;0;0)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = (1 - a;1;2) \\ \overrightarrow{IB} = (3 - a;2; - 3) \\ \end{matrix} ight.

    Vì (S) đi qua hai điểm A;B nên

    IA = IB \Leftrightarrow \sqrt{(1 - a)^{2} + 5} = \sqrt{(3 - a)^{2} + 13}

    \Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4 \Rightarrow I(4;0;0)

    \Rightarrow R = IA = \sqrt{14}

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 = 0.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(0;0; - 3) và đi qua điểm M(4;0;0). Phương trình mặt cầu (S) là:

    Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(0;0; - 3) và bán kính R là:

    x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = R^{2}

    Ta có: M \in (S) \Rightarrow 4^{2} + 0^{2} + (0 + 3)^{2} = R^{2}

    \Leftrightarrow R^{2} = 25

    Vậy phương trình cần tìm là: x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 25.

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:

    Diện tích xung quanh của hình trụ: {S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}(đvdt).

    Diện tích toàn phần của hình trụ:

    {S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{{m{day}}}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\left( {\pi {R^2}} ight) = 2\left( {\sqrt 3 + 1} ight)\pi {R^2}(đvdt).

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt cầu (S_1): (x+3)^2+(y−2)^2+(z−4)^2 = 1, (S_2): x ^2 + (y − 2)^2 + (z − 4)^2 = 4, (S_3): x ^2 + y ^2 + z ^2 + 4x − 4y − 1 = 0. Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu (S_1), (S_2), (S_3)?

    Ta có \left( S_{1} ight),\left( S_{2}ight),\left( S_{3} ight) có tâm lần lượt là I_{1}( - 3;2;4),I_{2}(0;2;4),I_{3}( -2;2;0) và bán kính lần lượt là R_{1} = 1,R_{2} = 2,R_{3} = 3.

    Gọi (P):ax + by + cz + d = 0\left( a^{2} +b^{2} + c^{2} eq 0 ight) là mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu nói trên. Khi đó:

    \left\{ \begin{matrix}d\left( I_{1};(P) ight) = R_{1} \\d\left( I_{2};(P) ight) = R_{2} \\d\left( I_{3};(P) ight) = R_{3} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}| - 3a + 2b + 4c + d| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\|2b + 4c + d| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\| - 2a + 2b + d| = 3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}|2b + 4c + d| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b + 4c + d| \\3|2b + 4c + d| = 2| - 2a + 2b + d| \\\end{matrix} ight.

    Xét phương trình

    3|2b + 4c + d| = 2| - 2a + 2b +d|

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}3(2b + 4c + d) = 2( - 2a + 2b + d) \\3(2b + 4c + d) = - 2( - 2a + 2b + d) \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}d = - 4a - 2b - 12c \\5d = 4a - 10b - 12c \\\end{matrix} ight.

    (1) Với d = - 4a - 2b - 12c. Thay vào 2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b + 4c +d|, ta được

    2| - 7a - 8c| = | - 4a -8c|

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}7a + 8c = 2a + 4c \\7a + 8c = - 2a - 4c \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = - \dfrac{6c}{5} \\a = - \dfrac{4c}{3} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Với a = - \frac{6c}{5} \Rightarrow d = -\frac{36c}{5} - 2b.

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}, ta được:

    \left| \frac{18c}{5} + 2b + 4c -\frac{36c}{5} - 2b ight| = \sqrt{\left( - \frac{6c}{5} ight)^{2} +b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow \left| \frac{2c}{5}ight| = \frac{1}{5} \cdot \sqrt{25b^{2} + 61c^{2}} \Leftrightarrow4c^{2} = 25b^{2} + 61c^{2} \Leftrightarrow b = c = 0

    Với b = c = 0 \Rightarrow a = 0,d =0 (vô lí).

    Với a = - \frac{4c}{3} \Rightarrow d = -\frac{20c}{3} - 2b.

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}, ta được:

    \left| \frac{12c}{5} + 2b + 4c -\frac{20c}{5} - 2b ight| = \sqrt{\left( - \frac{4c}{3} ight)^{2} +b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow \left| \frac{4c}{3}ight| = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9b^{2} + 25c^{2}}

    \Leftrightarrow 16c^{2} = 9b^{2} +25c^{2} \Leftrightarrow b = c = 0

    Với b = c = 0 \Rightarrow a = 0,d =0 (vô lí).

    (2) Với 5d = 4a - 10b - 12c.

    Thay vào 2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b +4c + d|, ta được

    2| - 11a + 8c| = |4a + 8c

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}11a - 8c = 2a + 4c \\11a - 8c = - 2a - 4c \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{4c}{13} \\a = \dfrac{4c}{3} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Với a = \frac{4c}{13} \Rightarrow 5d = -\frac{140c}{13} - 10b.

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}, ta được

    \left| \frac{60c}{13} ight| =\frac{5}{13} \cdot \sqrt{169b^{2} + 185c^{2}}

    \Leftrightarrow 11c^{2} = 169b^{2}\Leftrightarrow c = \pm \frac{13b}{\sqrt{11}}

    Với c = \frac{13b}{\sqrt{11}} : chọn b = \sqrt{11} \Rightarrow c = 13\Rightarrow Tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu \left( S_{1} ight),\left( S_{2}ight),\left( S_{3} ight).

    Với a = \frac{4c}{3} \Rightarrow 5d = -\frac{20c}{3} - 10b

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} ta được:

    \left| \frac{20c}{3} ight| =\frac{5}{3}.\sqrt{9b^{2} + 25c^{2}} \Leftrightarrow 9b^{2} + 9c^{2} = 0\Leftrightarrow b = c = 0

    Với b = c = 0 ⇒ a = 0, d = 0 (vô lí).

    Vậy tồn tại 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu \left( S_{1} ight),\left( S_{2} ight),\left(S_{3} ight).

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 16 có tâm là

    Mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 16 có tâm là: I(1;0; - 3) .

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; - 2;3). Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM?

    Hình chiếu vuông góc của M trên Ox là: I(1;0;0)

    \Rightarrow IM = \sqrt{13}

    Suy ra phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM là: (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13.

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho hình trụ có O, O' là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật ABCD có A, B cùng thuộc (O) và C, D cùng thuộc (O') sao cho AB=a\sqrt3,BC=2a đồng thời (ABCD) tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc {60}^\circ . Thể tích khối trụ bằng

     Thể tích khối trụ

    Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CD,AB và I là trung điểm của OO^\prime. Suy ra góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng đáy là  \widehat{IMO^\prime}={60}^\circ.

    Ta có IM=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}BC=a..

    Xét \triangle IO^\prime M vuông tại O, ta có:

    IO^\prime=IM\cdot\sin\widehat{IMO^\prime}=\frac{a\sqrt3}{2}\Rightarrow h=OO^\prime=2IO^\prime=a\sqrt3;

    O^\prime M=IM\cdot\cos\widehat{IMO^\prime}=\frac{a}{2}

    Xét \triangle O^\prime MD vuông tại M, có O^\prime M=\frac{a}{2},MD=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB=\frac{a\sqrt3}{2}

    \Rightarrow r=O^\prime D=\sqrt{O^\prime M^2+MD^2}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}ight)^2+\left(\frac{a\sqrt3}{2}ight)^2}\Rightarrow r=a.

    Vậy V=\pi r^2h=\pi a^3\sqrt3.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 10 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập