Với giá trị nào của m thì mặt phẳng
cắt mặt cầu
?
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I có tọa độ là
(P) cắt (S) khi:
Với giá trị nào của m thì mặt phẳng
cắt mặt cầu
?
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I có tọa độ là
(P) cắt (S) khi:
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng
. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có .
Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì và
.
Vì nên
Gọi H là trung điểm A’B, suy ra
nên .
Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên
Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là:
Mặt cầu có tâm
và bán kính
Khoảng cách từ đến (P):
Bán kính đường tròn giao tuyến
Diện tích đường tròn giao tuyến .
Điều kiện để
là một mặt cầu là:
Theo đề bài, ta có:
có dạng:
Như vậy, (S) là mặt cầu
Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Gọi
là mặt cầu chứa đường tròn giao tuyến của
và
đồng thời
tiếp xúc với mặt phẳng
. Gọi
là tâm của
. Tính giá trị biểu thức ![]()
Phương trình mặt cầu (S’) có dạng:
Mặt cầu có tâm
, bán kính
.
Mặt cầu tiếp xúc với
nên
Vậy .
Trong không gian
, cho điểm A(0; 1; 2), mặt phẳng
và mặt cầu
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
, vuông góc với
và đồng thời
cắt mặt cầu
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm
của
và trục
là
Gọi (C) là giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu (S) và (C) có tâm H, bán kính r.
Bán kính r của đường tròn là nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.
Vì nên gọi M(m; 0; 0).
Suy ra mặt phẳng (P) chứa AM và (P) ⊥ (α).
Khi đó
Mà mặt phẳng (P) đi qua A nên phương trình của mặt phẳng (P) là:
hay
Ta có:
lớn nhất khi và chỉ khi
đạt giá trị nhỏ nhất
Mà
Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi
Vậy .
Khi đặt hệ tọa độ
vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu
(tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu
có phương trình
. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.
Đáp án : 18km
Khi đặt hệ tọa độ vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu
(tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu
có phương trình
. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.
Đáp án : 18km
Ta có
.
Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là 18km.
Đáp số: 18km.
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có
và
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao , bán kính đáy
Do đó diện tích toàn phần:
Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc. Đổ đầy nước rồi thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn ra bằng một phần ba lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu. Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc. Tìm tỉ số bán kính của miệng cốc và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc).

Gọi bán kính viên bi là r; bán kính đáy cốc, miệng cốc lần lượt là . Theo giả thiết thì chiều cao của cốc là
.
Thể tích viên bi là
Thể tích cốc là .
Theo giả thiết thì (1).
Mặt cắt chứa trục của cốc là hình thang cân . Đường tròn tâm
là đường tròn lớn của viên bi, đồng thời là đường tròn nội tiếp hình thang
, tiếp xúc với
lần lượt tại
và tiếp xúc với BB' tại M.

Dễ thấy tam giác BOB' vuông tại O.
Ta có .
Thay (2) vào (1) ta được .
Giải phương trình với điều kiện ta được
.
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao
và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

Diện tích xung quanh của hình trụ:
(đvdt).
Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra
.
Diện tích xung quanh của hình nón: (đvdt).
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
với
. Biết rằng mặt phẳng
đi qua điểm
và tiếp xúc với mặt cầu
. Tính
.
Mặt phẳng đi qua ba điểm
nên có phương trình là:
Ta có nên
.
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
.
tiếp xúc với (S)
Cho đường tròn (C) đường kính AB và đường thẳng
. Để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh
là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:
Điều kiện để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh là một mặt cầu là trục quay
phải cố định và hai điểm A, B cũng cố định trên
.
Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng
. Diện tích toàn phần của hình nón là:

Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.
Theo giả thiết, ta có và
.
Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có
Vậy diện tích toàn phần:
(đvdt).
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ tâm O của đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là
. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp SABC bằng:

Gọi E là trung điểm của BC, dựng tại H.
Chứng minh được nên suy ra
.
Trong tam giác đều ABC, ta có
và
Trong tam giác vuông SOE, ta có
.
Vậy thể tích khối nón (đvtt).
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là
.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là: