Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh có cạnh bằng 2R. Diện tích toàn phần của khối trụ bằng:

    Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h = 2R.

    Diện tích toàn phần là: {S_{tp}} = 2\pi R\left( {R + h} ight) = 6\pi {R^2} (đvdt).

  • Câu 2: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 3 = 0 và mặt cầu (S) tâm I(5; - 3;5), bán kính R = 2\sqrt{5}. Từ một điểm A thuộc mặt phẳng (P) kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại B. Tính OA biết AB = 4.

    Hình vẽ minh họa

    Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là

    d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 5 - 2.( - 3) + 2.5 - 3 ight|}{3} = 6

    Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên tam giác AIB vuông tại B, do đó ta có:

    IA = \sqrt{IB^{2} + AB^{2}} = \sqrt{R^{2} + AB^{2}} = 6 = d\left( I;(P) ight)

    Đường thẳng IA đi qua I(5; −3; 5) có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1; - 2;2) nên có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 3 - 2t \\ z = 5 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Do A = IA ∩ (P) nên 5 + t − 2(−3 − 2t) + 2(5 + 2t) − 3 = 0 ⇔ t = −2

    Vậy A(3; 1; 1) nên OA = \sqrt{11}.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính AB, với A(6;2; - 5),B( - 4;0;7). Viết phương trình (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A?

    Hình vẽ minh họa

    Vì mặt cầu (S) có đường kính là AB nên tâm I của mặt cầu (S) là trung điểm của AB.

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 1).

    Vì (P) tiếp xúc với (S) tại A nên (P) đi qua A và nhận \overrightarrow{IA} = (5;1; - 6) làm vectơ pháp tuyến.

    Suy ra (P):5(x - 6) + (y - 2) - 6(z + 5) = 0

    \Rightarrow (P):5x + y - 6z - 62 = 0

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho mặt cầu \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z - 2 = 0 và mặt phẳng \left( P ight):3x + 2y + 6z + 1 = 0. Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Viết phương trình mặt cầu (S') chứa (C) và điểm M(1,-2,1)

     Phương trình của \left( {S'} ight):\left( S ight) + m\left( P ight) = 0,\,\,m e 0

    \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z - 2 + m\left( {3x + 2y + 6z + 1} ight) = 0

    (S') qua M\left( {1, - 2,1} ight) \Rightarrow 6m + 18 = 0 \Leftrightarrow m = - 3

    \Rightarrow \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 5x - 8y - 12z - 5 = 0

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60^0, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \frac{R}{2}. Đường cao h của hình nón bằng:

    Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE \bot AB và OE = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên d\left[ {O,\left( {SAB} ight)} ight] = OH = \frac{R}{2}.

    Trong tam giác vuông SOE, ta có  \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{8}{{3{R^2}}} \Rightarrow SO = \frac{{R\sqrt 6 }}{4}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hai điểm A;B cố định trong không gian có độ dài AB = 4. Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA = 3MB là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng bao nhiêu?

    Ta có: MA = 3MB \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}

    \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} = 9\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2}

    \Leftrightarrow IA^{2} - 9IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} ight) = 8MI^{2}(*)

    Gọi I thỏa mãn \overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BI} = \frac{1}{8}\overrightarrow{AB} nên IB = \frac{1}{2};IA = \frac{9}{2}

    Từ (*) suy ra 8MI^{2} = 18 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2} \Rightarrow M \in S\left( I;\frac{3}{2} ight).

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và AC = a\sqrt 3. Độ dài đường sinh \ell của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

    Độ dài đường sinh

    Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là AC = a\sqrt 3 và chiều cao hình nón là AB = a.

    Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:

    \ell = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a.

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I( - 1;4;2) và có thể tích bằng \frac{256\pi}{3}. Khi đó phương trình mặt cầu (S) là:

    Thể tích mặt cầu là: V = \frac{4\pi R^{3}}{3} = \frac{256\pi}{3} \Rightarrow R = 4

    Vậy phương trình mặt cầu tâm I có bán kính R = 4 là: (x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 16

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Một khối lập phương có cạnh 1m chứa đầy nước. Đặt vào trong khối đó một khối nón có đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích lượng nước trào ra ngoài và thể tích lượng nước ban đầu của khối lập phương.

     Tính tỉ số thể tích

    Thể tích khối lập phương là V=1^3=1\left({\mathrm{\ }m}^3ight).

    Ta có khối nón có đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện có chiều cao h=1 (m) và bán kính đáy r=\frac{1}{2}(\mathrm{\ }m). Suy ra thể tích khối nón (tức là phần thể tích lượng nước tràn ra ngoài) là V_N=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{\pi}{12}\left({\mathrm{\ }m}^3ight).

    Vậy tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng nước ban đầu của khối lập phương là \frac{V_N}{V}=\frac{\frac{\pi}{12}}{1}=\frac{\pi}{12}.

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = a\sqrt 3, góc \widehat {ACB} bằng 30^0. Góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) bằng 60^0. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC bằng:

     Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

    Ta có {60^0} = \widehat {AB',\left( {ABC} ight)} = \widehat {AB',AB} = \widehat {B'AB}.

    Trong \Delta ABC, ta có

    AB = AC.\sin \widehat {ACB} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.

    Trong \Delta B'BA, ta có

    BB' = AB.\tan \widehat {B'AB} = \frac{{3a}}{2}

    Gọi N là trung điểm AC , suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp \Delta ABC.

    Gọi I  là trung điểm A'C, suy ra  IN\parallel AA' \Rightarrow IN \bot \left( {ABC} ight).

    Do đó IN là trục của \Delta ABC , suy ra IA = IB = IC.  (1)

    Hơn nữa, tam giác A'AC vuông tại A có I là trung điểm A'C nên IA'=IC=IA . (2)

    Từ (1) và (2), ta có IA'=IA=IB=IC hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A'.ABC với bán kính R = IA' = \frac{{A'C}}{2} = \frac{{\sqrt {AA{'^2} + A{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt {21} }}{4}.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao h=AB=1 , bán kính đáy R = \frac{{AD}}{2} = 1

    Do đó diện tích toàn phần: {S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 4\pi

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và \widehat {SAO} = {30^0},\widehat {SAB} = {60^0}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

     Độ dài đường sinh

    Gọi I là trung điểm AB, suy ra OI \bot AB,{m{ }}SI \bot AB và OI = a.

    Trong tam giác vuông SOA, ta có OA = SA.\cos \widehat {SAO} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2}

    Trong tam giác vuông SIA, ta có IA = SA.\cos \widehat {SAB} = \frac{{SA}}{2}

    Trong tam giác vuông OIA, ta có:

    O{A^2} = O{I^2} + I{A^2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}S{A^2} = {a^2} + \frac{1}{4}S{A^2} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 .

  • Câu 13: Thông hiểu

    Một hình trụ có bán kính đáy R = 70{m{cm}} , chiều cao hình trụ h = 20{m{cm}}. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

    Tính độ dài cạnh

    Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

    Dựng đường sinh AA', ta có \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AA'\\CD \bot AD\end{array} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {AA'D} ight) \Rightarrow CD \bot A'D.

    Suy ra A’C là đường kính đáy nên A'C = 2R = 140{m{cm}}{m{.}}

    Xét tam giác vuông AA’C, ta có AC = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = 100\sqrt 2 {m{cm}}{m{.}}

    Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?

    Phương trình (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình của một mặt cầu nếu a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0.

    Vậy phương trình không phải phương trình mặt cầu là:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x + 2y + z - m^{2} - 3m = 0 và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 9. Tìm tất cả các giá trị của m để (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)?

    Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1; −1; 1) và bán kính R = 3.

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi:

    d\left\lbrack I;(P) ightbrack = R \Leftrightarrow \frac{\left| 1 - m^{2} - 3m ight|}{3} = 3

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m^{2} + 3m - 10 = 0 \\ m^{2} + 3m + 8 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} ight..

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 26 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập