Trong không gian
, cho tứ diện đều
có
và hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
là
. Tìm tọa độ tâm
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
?
Gọi
là tứ diện đều nên tâm
của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện
Trong không gian
, cho tứ diện đều
có
và hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
là
. Tìm tọa độ tâm
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
?
Gọi
là tứ diện đều nên tâm
của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng
vuông góc với đáy
. Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng
đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm
nhận giá trị nào sau đây?

Mặt phẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên
cân tại A , trung tuyến AM nên
(1)
Ta có
Do đó (2)
Từ (1) và (2), suy ra (*)
Lại có (**)
Từ (*) và (**), suy ra . Tương tự ta cũng có
Do đó nên năm điểm
cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính
.
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
cắt nhau theo giao tuyến đường tròn
. Gọi
là thể tích khối cầu
,
là thể tích khối nón
có đỉnh là giao điểm của đường thẳng đi qua tâm mặt cầu
và vuông góc với mặt phẳng
, đáy là đường tròn
. Biết độ dài đường cao khối nón
lớn hơn bán kính của khối cầu
. Tính tỉ số
?
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 5, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:
Bán kính đường tròn là:
Thể tích khối cầu (S) là:
Chiều cao hình nón là .
Thể tích khối nón là
Vậy .
Hình nón có đường sinh
và hợp với đáy góc
. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có
và
.
Suy ra:
.
Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: (đvdt).
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:
Diện tích xung quanh của hình trụ: (đvdt).
Diện tích toàn phần của hình trụ:
(đvdt).
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng
. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có .
Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì và
.
Vì nên
Gọi H là trung điểm A’B, suy ra
nên .
Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên
Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, tìm tọa độ tâm
và bán kính
của mặt cầu ![]()
Tâm của có tọa độ là
Bán kính mặt cầu là:
.
Cho hình nón có bán kính đáy là
, độ dài đường sinh là
. Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón bằng:

Xét mặt phẳng qua trục SO của hình nón ta được thiết diện là tam giác cân SAB.
Mặt phẳng đó cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r (bán kính mặt cầu) và nội tiếp trong tam giác cân SAB.
Trong tam giác vuông SOB, gọi I là giao điểm của đường phân giác trong góc B với đường thẳng SO.
Chứng minh được I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và bán kính (E là hình chiếu vuông góc của I trên SB).
Theo tính chất phân giác, ta có .
Lại có .
Từ đó suy ra .
Ta có nên
Thể tích khối cầu: (đvtt).
Một hình trụ có bán kính đáy
, chiều cao hình trụ
. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.
Dựng đường sinh AA', ta có .
Suy ra A’C là đường kính đáy nên
Xét tam giác vuông AA’C, ta có
Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Từ giả thiết suy ra và chu vi đáy bằng a .
Do đó .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Đường thẳng d cắt mặt cầu
tại hai điểm
. Biết tiếp diện của
tại
vuông góc. Tính độ dài
.
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm , bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.
Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.
Suy ra .
Trong không gian
, cho mặt cầu
có tọa độ tâm
là:
Tâm của có tọa độ là
.
Cho lăng trụ đứng
có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc
và điểm G là trọng tâm tam giác ABC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
bằng:

Gọi M là trung điểm B’C’, ta có
.
Trong , có
;
.
Gọi G’ là trọng tâm tam giác đều A’B’C’, suy ra G’ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Vì lặng trụ đứng nên .
Do đó là trục của tam giác
.
Trong mặt phẳng , kẻ trung trực d của đoạn thẳng
cắt
tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
, bán kính
Ta có
.
Trong không gian
, cho các điểm
. Tập hợp các điểm
thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là:
Giả sử
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy tập hợp điểm thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là
.
Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi I là trung điểm AB, suy ra và
.
Trong tam giác vuông SOA, ta có
Trong tam giác vuông SIA, ta có
Trong tam giác vuông OIA, ta có: