Trong không gian
cho mặt cầu
Đường kính của
bằng
Ta có bán kính của là
nên đường kính của
bằng
.
Trong không gian
cho mặt cầu
Đường kính của
bằng
Ta có bán kính của là
nên đường kính của
bằng
.
Trong không gian
, cho điểm A(0; 1; 2), mặt phẳng
và mặt cầu
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
, vuông góc với
và đồng thời
cắt mặt cầu
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm
của
và trục
là
Gọi (C) là giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu (S) và (C) có tâm H, bán kính r.
Bán kính r của đường tròn là nhỏ nhất khi và chỉ khi IH lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất.
Vì nên gọi M(m; 0; 0).
Suy ra mặt phẳng (P) chứa AM và (P) ⊥ (α).
Khi đó
Mà mặt phẳng (P) đi qua A nên phương trình của mặt phẳng (P) là:
hay
Ta có:
lớn nhất khi và chỉ khi
đạt giá trị nhỏ nhất
Mà
Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi
Vậy .
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên trục
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm
bán kính
?
Hình chiếu vuông góc của trên
là:
Suy ra phương trình mặt cầu tâm bán kính
là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là:
Mặt cầu có tâm
và bán kính
Khoảng cách từ đến (P):
Bán kính đường tròn giao tuyến
Diện tích đường tròn giao tuyến .
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng
. Mặt phẳng
song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng
. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng
là:

Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.
Gọi H là trung điểm BC suy ra suy ra
Khi đó
Suy ra .
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là
.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao
và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

Diện tích xung quanh của hình trụ:
(đvdt).
Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra
.
Diện tích xung quanh của hình nón: (đvdt).
Vậy .
Hình nón có đường sinh
và hợp với đáy góc
. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có
và
.
Suy ra:
.
Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: (đvdt).
Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc .
Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra:
Trong tam giác vuông SOA, ta có .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
và mặt phẳng
. Phương trình mặt cầu
có bán kính bằng
có tâm thuộc đường thẳng
và
tiếp xúc với mặt phẳng
là:
Ta có: suy ra
Ta có:
Tâm I thuộc AB nên
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu nên
Ta có phương trình đường tròn (C) tâm , bán kính
là:
Ta có phương trình đường tròn (C) tâm I(−6; 5; −4), bán kính là:
Vậy đáp án cần tìm là:
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Từ giả thiết suy ra và chu vi đáy bằng a .
Do đó .
Trong không gian với hệ tọa độ
, tìm tọa độ tâm
và bán kính
của mặt cầu ![]()
Tâm của có tọa độ là
Bán kính mặt cầu là:
.
Cho lăng trụ đứng
có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc
và điểm G là trọng tâm tam giác ABC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
bằng:

Gọi M là trung điểm B’C’, ta có
.
Trong , có
;
.
Gọi G’ là trọng tâm tam giác đều A’B’C’, suy ra G’ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Vì lặng trụ đứng nên .
Do đó là trục của tam giác
.
Trong mặt phẳng , kẻ trung trực d của đoạn thẳng
cắt
tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
, bán kính
Ta có
.
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật với
. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng
. Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp
và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
. Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

Ta có .
Trong , ta có
Ta có .
Mặt khác, ta lại có .
Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính
.
Cho hình nón có bán kính đáy là
, độ dài đường sinh là
. Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón bằng:

Xét mặt phẳng qua trục SO của hình nón ta được thiết diện là tam giác cân SAB.
Mặt phẳng đó cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r (bán kính mặt cầu) và nội tiếp trong tam giác cân SAB.
Trong tam giác vuông SOB, gọi I là giao điểm của đường phân giác trong góc B với đường thẳng SO.
Chứng minh được I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và bán kính (E là hình chiếu vuông góc của I trên SB).
Theo tính chất phân giác, ta có .
Lại có .
Từ đó suy ra .
Ta có nên
Thể tích khối cầu: (đvtt).