Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; - 2;3). Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM?

    Hình chiếu vuông góc của M trên Ox là: I(1;0;0)

    \Rightarrow IM = \sqrt{13}

    Suy ra phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM là: (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13.

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 2 có tọa độ tâm I là:

    Tâm của (S) có tọa độ là I( - 3; - 1;1).

  • Câu 3: Nhận biết

    Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:

     Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

    Bán kính đáy R = \frac{a}{2}. Do đó thể tích khối trụ V = {R^2}\pi .h = \frac{{\pi {a^3}}}{4}(đvtt).

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao h=AB=1 , bán kính đáy R = \frac{{AD}}{2} = 1

    Do đó diện tích toàn phần: {S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 4\pi

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác vuông  SAB có diện tích bằng 4a^2. Góc giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng {30}^\circ. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng?

     

    Gọi M là trung điểm của AB , tam giác OAB cân đỉnh O nên OM\bot AB  và SO\bot AB suy ra AB\bot(SOM)

    Dựng OK\bot SM..

    Theo trên có OK\bot AB nên OK\bot(SAB).

    Vậy góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) là \widehat{OSM}={30}^\circ. Tam giác vuông cân SAB có diện tích bằng 4a^2 suy ra \frac{1}{2}SA^2=4a^2\Rightarrow SA=2a\sqrt2

    \Rightarrow AB=4a\Rightarrow SM=2a..

    Xét tam giác vuông SOM có \cos\widehat{OSM}=\frac{SO}{SM}\Rightarrow SO=\frac{\sqrt3}{2}\cdot2a=\sqrt3a..

    Cuối cùng OB=\sqrt{SB^2-SO^2}=a\sqrt5.

    Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng S_{xq}=\pi rl=\pi\cdot a\sqrt5\cdot2a\sqrt2=2a^2\sqrt{10}\pi.

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và \widehat {SAO} = {30^0},\widehat {SAB} = {60^0}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

     Độ dài đường sinh

    Gọi I là trung điểm AB, suy ra OI \bot AB,{m{ }}SI \bot AB và OI = a.

    Trong tam giác vuông SOA, ta có OA = SA.\cos \widehat {SAO} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2}

    Trong tam giác vuông SIA, ta có IA = SA.\cos \widehat {SAB} = \frac{{SA}}{2}

    Trong tam giác vuông OIA, ta có:

    O{A^2} = O{I^2} + I{A^2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}S{A^2} = {a^2} + \frac{1}{4}S{A^2} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 .

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I(2;1; - 2) bán kính R = 2 là:

    Phương trình mặt cầu tâm I(2;1; - 2) bán kính R = 2 là:

    (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 2^{2}

    Tổng quát x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 4z + 5 = 0.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao R\sqrt 3 và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

    Tỉ số diện tích

    Diện tích xung quanh của hình trụ:

    {S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}} = 2\pi R.h = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2} (đvdt).

    Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra

    \ell = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}} = \sqrt {3{R^2} + {R^2}} = 2R.

    Diện tích xung quanh của hình nón: {S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}} = \pi R\ell = \pi R.2R = 2\pi {R^2} (đvdt).

    Vậy \frac{{{S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}}}}{{{S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}}}} = \sqrt 3.

  • Câu 9: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu \left( S_{1} ight):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x + 2y + z = 0 và \left( S_{2} ight):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - y - z = 0 cắt nhau theo một đường tròn (C) nằm trong mặt phẳng (P). Cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3). Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA?

    Mặt phẳng (P) chứa đường tròn (C) có được bằng cách khử x^{2};y^{2};z^{2} trong phương trình hai mặt cầu ta được 6x + 3y + 2z = 0. Mặt phẳng (ABC) có phương trình là

    \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1⇔ 6x + 3y + 2z − 6 = 0.

    Do đó (P) // (ABC). Mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA sẽ giao với mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA.

    Trên mặt phẳng (ABC) có 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ba đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C.

    Do đó có 4 mặt cầu có tâm nằm trên (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA.

    Tâm của 4 mặt cầu là hình chiếu của tâm 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA lên mặt phẳng (P).

  • Câu 10: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P): x−y + 2z + 1 = 0, (Q): 2x+y +z −1 = 0. Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa mãn yêu cầu.

    Gọi R, I(m; 0; 0) lần lượt là bán kính, tâm của mặt cầu; d_1, d_2 lần lượt là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P), (Q).

    Từ đó ta có: R^{2} = {d_{1}}^{2} + 4 = {d_{2}}^{2} + r^{2} suy ra

    \frac{(m + 1)^{2}}{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}} + 4 = \frac{(2m - 1)^{2}}{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} + r^{2}

    \Leftrightarrow m^{2} + 2m + 1 + 16 = 4m^{2} - 4m + 1 + 6r^{2}

    \Leftrightarrow m^{2} - 2m + \left( 2r^{2} - 8 ight) = 0\ \ (*)

    Để tồn tại đúng một mặt cầu tương đương phương trình (∗) có đúng một nghiệm m hay \Delta' = 1^{2} - \left( 2r^{2} - 8 ight) = 0 \Leftrightarrow r = \frac{3\sqrt{2}}{2}

    Vậy đáp án cần tìm là: r = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(m + 2)x - 2(m - 1)z + 3m^{2} - 5 = 0 là một phương trình mặt cầu

    Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

    (m + 2)^{2} + (m - 1)^{3} - 3m^{2} + 5 > 0

    \Leftrightarrow m^{2} - 2m - 10 < 0

    \Leftrightarrow m \in \left( - 1 - \sqrt{11};1 + \sqrt{11} ight)

    Theo bài ra m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2;3;4 ight\}

    Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2\pi R = 2a \Leftrightarrow R = \frac{a}{\pi }.

    Suy ra hình trụ này có đường cao h=a.

    Vậy thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{a}{\pi }} ight)^2}a = \frac{{{a^3}}}{\pi }(đvtt).

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 1;0;0),B(0;0;2),C(0; - 3;0). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:

    Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

    Phương trình mặt cầu (S) có dạng x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

    Vì O;A;B;C \in (S) nên ta có: \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ 1 + 2a + d = 0 \\ 4 - 4c + d = 0 \\ 9 + 6b + d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ a = - \frac{1}{2} \\ b = - \frac{3}{2} \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy bán kính mặt cầu (S) là:

    R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \frac{\sqrt{14}}{2}

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:

    Diện tích xung quanh của hình trụ: {S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}(đvdt).

    Diện tích toàn phần của hình trụ:

    {S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{{m{day}}}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\left( {\pi {R^2}} ight) = 2\left( {\sqrt 3 + 1} ight)\pi {R^2}(đvdt).

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x^2 +y^2 +z^2 −2x+ 2z −2 = 0 và các điểm A(0; 1; 1), B(−1; −2; −3), C(1; 0; −3). Điểm D thuộc mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD bằng:

    Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 0; −1) và bán kính R = 2.

    Khi V_{DABC} lớn nhất thì \frac{V_{DABC}}{V_{IABC}} = \frac{d\left( D;(ABC) ight)}{d\left( I;(ABC) ight)} = \frac{R + d\left( I;(ABC) ight)}{d\left( I;(ABC) ight)}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 3; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1; - 1; - 4) \\ \overrightarrow{AI} = (1; - 1; - 2) \\ \end{matrix} ight. suy ra:

    V_{IABC} = \frac{1}{6}\left| \left\lbrack \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack.\overrightarrow{AI} ightbrack ight| = \frac{4}{3}

    \Rightarrow d\left( I;(ABC) ight) = \frac{6.V_{IABC}}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack ight|} = \frac{2}{3}

    \Rightarrow V_{DABC} =\dfrac{4}{3}.\dfrac{2 + \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3}} =\dfrac{16}{3}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 3 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập