Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy
, góc ở đỉnh bằng
. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có và
.
Suy ra độ dài đường sinh:
Vậy diện tích xung quanh bằng: (đvdt).
Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy
, góc ở đỉnh bằng
. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

Theo giả thiết, ta có và
.
Suy ra độ dài đường sinh:
Vậy diện tích xung quanh bằng: (đvdt).
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng
. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có .
Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì và
.
Vì nên
Gọi H là trung điểm A’B, suy ra
nên .
Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên
Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên
Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
, biết
song song với giá của vectơ
, vuông góc với
và tiếp xúc với
.
Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R = 4.
Vectơ pháp tuyến của (α) là
Theo giả thiết, suy ra (P) có vectơ pháp tuyến là
Phương trình của mặt phẳng (P) có dạng
Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:
Vậy có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là:
Trong không gian
, hỏi trong các phương trình sau đây phương trình nào là phương trình của mặt cầu?
Phương trình không có
=> Loại
Phương trình có số hạng
=> Loại
Phương trình loại vì
Phương trình thỏa mãn vì
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Tìm tất cả các giá trị của m để
tiếp xúc với mặt cầu
?
Ta có mặt cầu có tâm I(1; −1; 1) và bán kính R = 3.
Mặt phẳng tiếp xúc với
khi và chỉ khi:
.
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho điểm
. Viết phương trình mặt cầu tâm
cắt trục
tại hai điểm
sao cho
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm AB suy ra H là hình chiếu vuông góc của I lên Ox nên
Phương trình mặt cầu là: .
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao
và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

Diện tích xung quanh của hình trụ:
(đvdt).
Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra
.
Diện tích xung quanh của hình nón: (đvdt).
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt cầu có tâm
và có diện tích bằng
có phương trình là:
Ta có:
Vậy mặt cầu tâm có bán kính
có phương trình:
.
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.
Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), bán kính bằng a. Một hình nón có đỉnh là O' và có đáy là hình tròn (O). Biết góc giữa đường sinh của hình nón với mặt đáy bằng
, tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng

Gọi A là điểm thuộc đường tròn (O).
Góc giữa O'A và mặt phẳng đáy là góc . Theo giả thiết ta có
.
Xét tam giác vuông tại , ta có:
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
Diện tích xung quanh của hình nón là:
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, mặt cầu
đi qua điểm
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
khác
thỏa mãn tam giác
có trọng tâm là điểm
. Tọa độ tâm của mặt cầu
là:
Gọi tọa độ các điểm trên ba tia lần lượt là
với
Vì G là trọng tâm tam giác nên
Gọi phương trình mặt cầu cần tìm là:
Vì qua các điểm
nên ta có hệ phương trình:
Vậy tọa độ tâm của mặt cầu là:
.
Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:
Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.
Do đó độ đài đường chéo:
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng
đi qua trung điểm của OO’ và tọa với OO’ một góc
. Hỏi
cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

Theo đề bài, ta có: ,
và
.
Trong tam giác vuông MIO, ta có .
Trong tam giác vuông AIO, ta có
Suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
tâm I và mặt phẳng
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn MH có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm M.
Ta có tâm và bán kính
. Do
nên mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S) . Do H là hình chiếu của I lên (P) và MH lớn nhất nên M là giao điểm của đường thẳng IH với mp (P) .
.
Phương trình đường thẳng IH là .
Giao điểm của IH với (S):
Suy ra:
.
Vậy điểm cần tìm là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và mặt cầu
. Mặt phẳng
(với
là các số nguyên dương và
nguyên tố cùng nhau) đi qua
và cắt
theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính tổng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có cùng phương với
suy ra phương trình đường thẳng
.
Xét mặt cầu ⇒ I(1; 2; 3), R = 5.
Gọi là điểm trên AB sao cho AB ⊥ IH
Vì ,
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến giữa (P) và (S), K là hình chiếu vuông góc của I lên (P) .
Ta có
Dấu bằng chỉ xảy ra khi K ≡ H.
Khi đó phương trình mặt phẳng (P) nhận là vectơ pháp tuyến và đi qua điểm
là