Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y}{-1} = \dfrac z 4và mặt

    cầu (S) tâm I(1;2;1), bán kính R. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với

    (S) tạo với nhau góc 60^0 . Hãy viết phương trình mặt cầu (S)

     Viết phương trình mặt cầu

    Gọi M, N là tiếp điểm của mặt phẳng (P), (Q) và mặt cầu (S). Gọi H là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng d.

    \Rightarrow IH=d(I,d)= \sqrt 6

    TH1: Góc \widehat {MHN}=60^0:

    Theo bài ra ta có: R=IM=IH.\sin30^0= \sqrt 6 .\frac 1 2 = \frac{\sqrt 6}{2}

    \Rightarrow(S) : (x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2= \frac 3 2

    TH2: Góc \widehat {MHN}=120^0:

    Theo bài ra ta có: R=IM=IH.\sin60^0= \sqrt 6 .\frac {\sqrt 3}{2} = \frac{\sqrt18}{2}

    \Rightarrow(S) : (x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2= \frac 9 2.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120^0. Diện tích toàn phần của hình nón là:

    Diện tích toàn phần

    Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.

    Theo giả thiết, ta có SA = 2a và \widehat {ASO} = 60^\circ.

    Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có

    OA = SA.\sin 60^\circ = a\sqrt 3

    Vậy diện tích toàn phần:

    {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \pi .OA.SA + \pi {\left( {OA} ight)^2} = \pi {a^2}\left( {3 + 2\sqrt 3 } ight) (đvdt).

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 6y - 4z - 2 = 0, mặt phẳng (\alpha):x + 4y + z - 11 = 0. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (\alpha), (P) song song với giá của vectơ \overrightarrow{v} = (1;6;2) và (P) tiếp xúc với (S). Lập phương trình mặt phẳng (P).

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R\ = \ 4.

    Từ giả thiết suy ra \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack là một vectơ pháp tuyến của (P).

    Ta có \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack = (2; - 1;2), suy ra (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2; - 1;2)

    Vậy (P) có phương trình dạng 2x - y + 2z + m = 0

    Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:

    d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2.1 + 3 + 2.2 + m|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = 4

    \Leftrightarrow |9 + m| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 3 \\ m = - 21 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là \left\lbrack \begin{matrix} 2x - y + 2z + 3 = 0 \\ 2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD=2a, AB = BC = CD = a. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Tỉ số \frac{R}{a}nhận giá trị nào sau đây?

     Tính tỉ số

    Ta có SA \bot AD hay \widehat {SAD} = {90^0}

    Gọi E là trung điểm AD.

    Ta có EA = AB = BC nên ABCE là hình thoi.

    Suy ra CE = EA = \frac{1}{2}AD .

    Do đó tam giác ACD vuông tại C. Ta có:

    \left\{ \begin{array}{l}DC \bot AC\\DC \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow DC \bot \left( {SAC} ight) \Rightarrow DC \bot SC   hay    \widehat {SCD} = {90^0}

    Tương tự, ta cũng có SB \bot BD hay \widehat {SBD} = {90^0}

    Ta có \widehat {SAD} = \widehat {SBD} = \widehat {SCD} = {90^0} nên khối chóp S.ABCD nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính R = \frac{{SD}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }}{2} = a\sqrt 2.

    Suy ra \frac{R}{a} = \sqrt 2.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 3 và mặt phẳng (\alpha):(m - 4)x + 3y - 3mz + 2m - 8 = 0. Với giá trị nào của tham số m thì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu?

    Mặt cầu (S) có tâm I(−3; 1; −1) và bán kính R = \sqrt{3}

    Mặt phẳng (α) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi

    d\left( I;(P) ight) = R

    \Leftrightarrow \frac{\left| (m - 4).( - 3) + 3.1 - 3m.( - 1) + 2m - 8 ight|}{\sqrt{(m - 4)^{2} + 3^{2} + ( - 3m)^{2}}} = \sqrt{3}

    \Leftrightarrow \frac{|2m + 7|}{\sqrt{10m^{2} - 8m + 25}} = \sqrt{3}

    \Leftrightarrow 26m^{2} - 52m + 26 = 0 \Leftrightarrow m = 1

    Vậy đáp án cần tìm là: m = 1.

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và \widehat {SAO} = {30^0},\widehat {SAB} = {60^0}. Độ dài đường sinh \ell của hình nón bằng:

     Độ dài đường sinh

    Gọi I là trung điểm AB, suy ra OI \bot AB,{m{ }}SI \bot AB và OI = a.

    Trong tam giác vuông SOA, ta có OA = SA.\cos \widehat {SAO} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2}

    Trong tam giác vuông SIA, ta có IA = SA.\cos \widehat {SAB} = \frac{{SA}}{2}

    Trong tam giác vuông OIA, ta có:

    O{A^2} = O{I^2} + I{A^2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}S{A^2} = {a^2} + \frac{1}{4}S{A^2} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 .

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 8: Nhận biết

    Hình nón có đường sinh l=2a và hợp với đáy góc \alpha = {60^0}. Diện tích toàn phần của hình nón bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết, ta có

    SA = \ell = 2a và \widehat {SAO} = {60^0}.

    Suy ra:

    R = OA = SA.\cos {60^0} = a.

    Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: S = \pi Rl + \pi {R^2} = 3\pi {a^2} (đvdt). 

  • Câu 9: Nhận biết

    Điều kiện để \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + Ax + By + Cz + D = 0 là một mặt cầu là:

    Theo đề bài, ta có:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + Ax + By + Cz + D = 0 có dạng:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

    \Rightarrow a = - \frac{A}{2};\,\,b = - \frac{B}{2};\,\,c = - \frac{C}{2};\,\,d = D

    Như vậy, (S) là mặt cầu\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow {A^2} + {B^2} + {C^2} - 4D > 0

    \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0,\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ đỉnh A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6),D(2;4;6). Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Viết phương trình mặt cầu (S') có tâm trùng với tâm của mặt cầu (S) và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu (S)?

    Gọi phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 có a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0

    Vì (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên ta có hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} 2^{2} + 0^{2} + 0^{2} - 2.a.2 - 2.b.0 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 4^{2} + 0^{2} - 2.a.0 - 2.b.4 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 0^{2} + 6^{2} - 2.a.0 - 2.b.0 - 2.c.6 + d = 0 \\ 2^{2} + 4^{2} + 6^{2} - 2.a.2 - 2.b.4 - 2.c.6 + d = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4a + d = - 4 \\ - 8b + d = - 16 \\ - 12c + d = - 36 \\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.. Suy ra tâm mặt cầu I(1;2;3) và bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{14}

    Vậy phương trình mặt cầu (S') có tâm trùng với tâm của mặt cầu (S) và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu (S)là:

    (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

    Diện tích toàn phần

    Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao h=AB=1 , bán kính đáy R = \frac{{AD}}{2} = 1

    Do đó diện tích toàn phần: {S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 4\pi

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho khối trụ có hai đáy là (O) và \left(O^\primeight). AB,CD lần lượt là hai đường kính của (O) và \left(O^\primeight), góc giữa AB và CD bằng {30}^\circ,AB=6. Thể tích khối tứ diện ABCD bằng 30 . Thể tích khối trụ đã cho bằng?

     Thể tích trụ

    Ta chứng minh: V_{ABCD}=\frac{1}{6}AB\cdot CD\cdot d(AB,CD)\cdot\sin(AB,CD)..

    Lấy điểm E sao cho tứ giác BCDE là hình bình hành.

    Khi đó  (AB,CD)=(AB,BE)\Rightarrow\sin(AB,CD)=\sin(AB,BE)..

    Mà góc giữa AB và CD bằng {30}^\circ,AB=6 nên ta có:

    \sin(AB,CD)=\sin(AB,BE)=\sin 30^0 =\frac 1 2

    Ta có d(D,(ABE))=d(AB, CD)

    V_{ABCD}=V_{ABDE}

    =\frac{1}{3}.d(D,(ABE)).S_{ABE}=\frac {1}{6} AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)

    Suy ra V_{ABCD}=\frac {1}{6} AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)

    Vậy d(AB,CD)=\dfrac{6V_{ABCD}}{AB.CD.\sin30^0}=\dfrac{180}{6.6.\dfrac{1}{2}}=10

    Chiều cao của lăng trụ bằng h = d(AB, CD)=10

    Áp dụng CT thể tích lăng trụ là: V=Sh=\pi .3^2.10=90 \pi

     

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao R\sqrt 3 và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

    Tỉ số diện tích

    Diện tích xung quanh của hình trụ:

    {S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}} = 2\pi R.h = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2} (đvdt).

    Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra

    \ell = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}} = \sqrt {3{R^2} + {R^2}} = 2R.

    Diện tích xung quanh của hình nón: {S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}} = \pi R\ell = \pi R.2R = 2\pi {R^2} (đvdt).

    Vậy \frac{{{S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}}}}{{{S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}}}} = \sqrt 3.

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?

    Phương trình (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình của một mặt cầu nếu a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0.

    Vậy phương trình không phải phương trình mặt cầu là:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC  là:

     Tìm bán kính

    Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Gọi I là trung điểm SC, suy ra IM ||SA nên IM \bot \left( {ABC} ight) .

    Do đó IM là trục của \triangle ABC, suy ra IA=IB=IC     (1)

    Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên IS=IC=IA.  (2)

    Từ (1) và (2) , ta có IS=IA=IB=IC

    hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

    Vậy bán kính R = IS = \frac{{SC}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} .

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 28 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập