Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mặt phẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên

cân tại A , trung tuyến AM nên   (1)

Ta có

Do đó    (2)

Từ (1) và (2), suy ra   (*)

Lại có  (**)

Từ (*) và (**), suy ra . Tương tự ta cũng có

Do đó nên năm điểm cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính .

Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu.

Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R.

Theo giả thiết, ta có và

Suy ra .

Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S.

Gọi E là trung điểm AB, suy ra  và .

Ta có

.

Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .

Ta có

Từ đó suy ra nên

Trong tam giác vuông SOE, ta có

Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi I là trung điểm SC, suy ra nên .

Do đó IM là trục của , suy ra     (1)

Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên .  (2)

Từ (1) và (2) , ta có

hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .

Vậy bán kính .

Ta có:

Vì đi qua hai điểm nên

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .

Xét mặt phẳng qua trục SO của hình nón ta được thiết diện là tam giác cân SAB.

Mặt phẳng đó cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính r (bán kính mặt cầu) và nội tiếp trong tam giác cân SAB.

Trong tam giác vuông SOB, gọi I là giao điểm của đường phân giác trong góc B với đường thẳng SO.

Chứng minh được I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và bán kính  (E là hình chiếu vuông góc của I trên SB).

Theo tính chất phân giác, ta có .

Lại có .

Từ đó suy ra .

Ta có   nên

Thể tích khối cầu: (đvtt).

Tâm của có tọa độ là .

 Ta có tâm   và bán kính . Do  nên mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S) . Do H là hình chiếu của I lên (P) và MH lớn nhất nên M là giao điểm của đường thẳng IH với mp (P) .

.

Phương trình đường thẳng IH là .

Giao điểm của IH với (S):

Suy ra:

.

Vậy điểm cần tìm là .

Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có .

Diện tích toàn phần là: (đvdt).

Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc .

Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra:

Trong tam giác vuông SOA, ta có .

Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra  (I) đúng.

Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).

Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.

Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.

 Gọi bán kính đáy là R.

Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .

Suy ra hình trụ này có đường cao .

Vậy thể tích khối trụ (đvtt).

Vì nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng

Mặt cầu (S) có tâm và bán kính .

Đường tròn lớn có chu vi là nên bán kính của là

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3

Từ đó ta có:

Vì nên phương trình mặt phẳng (α) là

 Gọi bán kính đáy là R.

Từ giả thiết suy ra và chu vi đáy bằng a .

Do đó .