Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mặt phẳng (P) chứa đường tròn (C) có được bằng cách khử trong phương trình hai mặt cầu ta được 6x + 3y + 2z = 0. Mặt phẳng (ABC) có phương trình là

Do đó (P) // (ABC). Mặt cầu (S) tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA sẽ giao với mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA.

Trên mặt phẳng (ABC) có 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ba đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C.

Do đó có 4 mặt cầu có tâm nằm trên (P) và tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB, BC, CA.

Tâm của 4 mặt cầu là hình chiếu của tâm 4 đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA lên mặt phẳng (P).

Gọi I là trung điểm của AB suy ra

Mặt cầu đường kính có tâm và bán kính có phương trình là:

Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc .

Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra:

Trong tam giác vuông SOA, ta có .

Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

Gọi E là trung điểm AB, suy ra và .

Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .

Ta có

Từ đó suy ra nên

Trong tam giác vuông SOE, ta có  

Mặt cầu có tâm và bán kính

Khoảng cách từ đến (P):

Bán kính đường tròn giao tuyến

Diện tích đường tròn giao tuyến .

Ta có:

(*)

Gọi thỏa mãn nên

Từ (*) suy ra .

Thể tích khối lập phương là .

Ta có khối nón có đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện có chiều cao và bán kính đáy . Suy ra thể tích khối nón (tức là phần thể tích lượng nước tràn ra ngoài) là .

Vậy tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng nước ban đầu của khối lập phương là .

Gọi S, O là đỉnh và tâm đường tròn đáy của hình nón,

Khi đó, ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SAB.

Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S nên ,

Suy ra ,    và

Diện tích toàn phần của hình nón: (đvdt).

Thể tích khối nón là: (đvtt). 

Phương trình là một mặt cầu

.

Ta có: có phương trình

Mặt cầu có tâm và bán kính

Để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu thì

. Vì m nhận giá trị dương nên .

Vậy thỏa yêu cầu đề bài.

 Gọi bán kính đáy là R.

Từ giả thiết suy ra và chu vi đáy bằng a .

Do đó .

Gọi M là trung điểm B’C’, ta có

.

Trong , có ;

.

Gọi G’ là trọng tâm tam giác đều A’B’C’, suy ra G’ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Vì lặng trụ đứng nên .

Do đó là trục của tam giác .

Trong mặt phẳng , kẻ trung trực d của đoạn thẳng cắt tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp , bán kính

Ta có

.

Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.

Gọi H là trung điểm BC suy ra suy ra

Khi đó

Suy ra .

 Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.

Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ (đvtt).

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Ta áp dụng tính chất sau: “Cho tam giác với I là tâm đường tròn nội tiếp, khi đó ta có: với ”

Ta có:

Khi đó:

Mặt phẳng có phương trình

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên mặt cầu có bán kính

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .