Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Giá trị (\alpha) phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {3 - {{\cos }^2}\alpha } ight)x + 4\left( {{{\sin }^2}\alpha - 1} ight) + 2z + \cos 4\alpha + 8 = 0? (k\in \mathbb{Z})

     Ta có: a = 2{\cos ^2}\alpha - 3 = \cos 2\alpha - 2;\,b = 2\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } ight) = \cos 2\alpha + 1;c = - 1;

    d = \cos 4\alpha + 8 = 2{\cos ^2}2\alpha + 7.\,\,\left( S ight) là mặt cầu \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0

    \Leftrightarrow - 1 + \cos 2\alpha < - \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi < 2\alpha < \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi

    \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} + k\pi < \alpha < \frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120^0. Diện tích toàn phần của hình nón là:

    Diện tích toàn phần

    Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.

    Theo giả thiết, ta có SA = 2a và \widehat {ASO} = 60^\circ.

    Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có

    OA = SA.\sin 60^\circ = a\sqrt 3

    Vậy diện tích toàn phần:

    {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \pi .OA.SA + \pi {\left( {OA} ight)^2} = \pi {a^2}\left( {3 + 2\sqrt 3 } ight) (đvdt).

  • Câu 3: Nhận biết

    Xét các mệnh đề:

    (I) Tập hợp các đường thẳng d thay đổi nhưng luôn luôn song song và cách đường thẳng \triangle cố định một khoảng không đổi là một mặt trụ.

    (II) Hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian mà diện tích tam giác MAB không đổi là một mặt trụ.

    Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng?

    Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra  (I) đúng.

    Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).

    Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.

    Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Thể tích của khối tứ diện OO’AB bằng:

     Tính thể tích khối trụ

    Kẻ đường sinh AA’, gọi D là điểm đối xứng với A’ qua tâm O’ và H là hình chiếu của B trên A’D.

    Ta có BH \bot \left( {AOO'A'} ight) nên {V_{OO'AB}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta AOO'}}.BH.

    Trong tam giác vuông A'AB có A'B = \sqrt {A{B^2} - AA{'^2}} = \sqrt 3 a.

    Trong tam giác vuông A'BD có BD = \sqrt {A'{D^2} - A'{B^2}} = a.

    Do đó suy ra tam giác BO'D nên BH = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}.

    Vậy  {V_{OO'AB}} = \frac{1}{3}.\left( {\frac{1}{2}{a^2}} ight).\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}} (đvtt).

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, hỏi trong các phương trình sau đây phương trình nào là phương trình của mặt cầu?

    Phương trình x^{2} + z^{2} + 3x - 2y + 4z - 1 = 0 không có y^{2}=> Loại

    Phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy - 4y + 4z - 1 = 0 có số hạng 2xy => Loại

    Phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y - 4z + 8 = 0 loại vì

    a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 1 + 1 + 4 - 8 < 0

    Phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4z - 1 = 0 thỏa mãn vì

    a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 1 + 0 + 4 + 1 = 6 > 0.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm I(1; - 2;3). Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt trục Ox tại hai điểm A;B sao cho AB = 2\sqrt{3}?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm AB suy ra H là hình chiếu vuông góc của I lên Ox nên H(1;0;0)

    IH = \sqrt{13} \Rightarrow R = IA = \sqrt{IH^{2} + AH^{2}} = 4

    Phương trình mặt cầu là: (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc. Đổ đầy nước rồi thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn ra bằng một phần ba lượng nước đổ vào cốc lúc ban đầu. Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc. Tìm tỉ số bán kính của miệng cốc và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc).

    Tỉ số bán kính

     

    Gọi bán kính viên bi là r; bán kính đáy cốc, miệng cốc lần lượt là r_1,r_2,\left(r_1 < r_2ight) . Theo giả thiết thì chiều cao của cốc là h=2r.

    Thể tích viên bi là V_B=\frac{4}{3}\pi r^3.

    Thể tích cốc là V_C=\frac{1}{3}\pi h\left(r_1^2+r_2^2+r_1r_2ight)=\frac{2}{3}\pi r\left(r_1^2+r_2^2+r_1r_2ight).

    Theo giả thiết thì  V_B=\frac{1}{3}V_C\Leftrightarrow6r^2=r_1^2+r_2^2+r_1r_2 (1).

    Mặt cắt chứa trục của cốc là hình thang cân  ABB^\prime A^\prime . Đường tròn tâm (O;r) là đường tròn lớn của viên bi, đồng thời là đường tròn nội tiếp hình thang ABB^\prime A^\prime, tiếp xúc với A'B', AB  lần lượt tại H_1, H_2 và tiếp xúc với BB' tại M.

    Tỉ số thể tích

    Dễ thấy tam giác BOB' vuông tại O.

    Ta có OM^2=MB\cdot MB^\prime\Leftrightarrow r^2=r_1r_2.

    Thay (2) vào (1) ta được 6r_1r_2=r_1^2+r_2^2+r_1r_2\Leftrightarrow\left(\frac{r_2}{r_1}ight)^2-5\frac{r_2}{r_1}+1=0..

    Giải phương trình với điều kiện \frac{r_2}{r_1}>1 ta được \frac{r_2}{r_1}=\frac{5+\sqrt{21}}{2}.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2\pi R = 2a \Leftrightarrow R = \frac{a}{\pi }.

    Suy ra hình trụ này có đường cao h=a.

    Vậy thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{a}{\pi }} ight)^2}a = \frac{{{a^3}}}{\pi }(đvtt).

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ đỉnh A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6),D(2;4;6). Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Viết phương trình mặt cầu (S') có tâm trùng với tâm của mặt cầu (S) và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu (S)?

    Gọi phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 có a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0

    Vì (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nên ta có hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} 2^{2} + 0^{2} + 0^{2} - 2.a.2 - 2.b.0 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 4^{2} + 0^{2} - 2.a.0 - 2.b.4 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 0^{2} + 6^{2} - 2.a.0 - 2.b.0 - 2.c.6 + d = 0 \\ 2^{2} + 4^{2} + 6^{2} - 2.a.2 - 2.b.4 - 2.c.6 + d = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4a + d = - 4 \\ - 8b + d = - 16 \\ - 12c + d = - 36 \\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.. Suy ra tâm mặt cầu I(1;2;3) và bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{14}

    Vậy phương trình mặt cầu (S') có tâm trùng với tâm của mặt cầu (S) và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu (S)là:

    (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho mặt cầu tâm O, bán kính R. Xét mặt phẳng (P) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C). Hình nón (N) có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn (C) và có chiều cao là h(h > R). Hình trụ (T) có đáy là đường tròn (C) và có cùng chiều cao với hình nón (N). Tính thể tích V khối trụ được tạo nên bởi (T) theo R, biết V có giá trị lớn nhất.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi khoảng cách từ O dến mặt phẳng (P) là d với (0 \leqd \leq R), đường tròn (C) có bán kính là r.

    V = h \cdot \pi \cdot r^{2} = \pi(R +d)\left( R^{2} - d^{2} ight) = \pi\left( - d^{3} - Rd^{2} + R^{2}d +R^{3} ight)

    V^{'}(d) = \pi\left( - 3d^{2} - 2Rd+ R^{2} ight) = 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}d = - 1 \\d = \frac{R}{3} \\\end{matrix} \Rightarrow d = \frac{R}{3} ight.

    Ta có V(0) = \pi R^{3},V(R) = 0 và V\left( \frac{R}{3} ight) =\frac{32}{27}\pi R^{3}.

    Vậy V = \frac{32}{27}\piR^{3}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao R\sqrt 3 và bán kính đáy R. Một hình nón có đỉnh là O’ và đáy là hình tròn (O;R). Tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng:

    Tỉ số diện tích

    Diện tích xung quanh của hình trụ:

    {S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}} = 2\pi R.h = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2} (đvdt).

    Kẻ đường sinh O’M của hình nón, suy ra

    \ell = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}} = \sqrt {3{R^2} + {R^2}} = 2R.

    Diện tích xung quanh của hình nón: {S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}} = \pi R\ell = \pi R.2R = 2\pi {R^2} (đvdt).

    Vậy \frac{{{S_{{m{xq}}\left( {m{T}} ight)}}}}{{{S_{{m{xq}}\left( {m{N}} ight)}}}} = \sqrt 3.

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \frac{{a\sqrt {21} }}{6}. Gọi h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số \frac{R}{h} bằng:

     Tính tỉ số

    Gọi O là tâm \triangle ABC, suy ra SO \bot \left( {ABC} ight) và AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    Trong SOA, ta có h = SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{a}{2}

    Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra:

    • I \in d nên IS =IA.
    • I \in SO nên IA=IB=IC.

    Do đó IA=IB=IC=IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

    Gọi M là tung điểm SA, ta có \Delta SMI\,\, \backsim \,\,\Delta SOA nên R = SI = \frac{{SM.SA}}{{SO}} = \frac{{S{A^2}}}{{2SO}} = \frac{{7{m{a}}}}{{12}}

    Vậy \frac{R}{h} = \frac{7}{6}.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

     Tính tang của góc

    Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc \widehat {ASO} .

    Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra: OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

    Trong tam giác vuông SOA, ta có \tan \widehat {ASO} = \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2h}}.

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 = 0

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 = 0

    \Leftrightarrow (x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 16

    Vậy tọa độ bán kính và bán kính mặt cầu lần lượt là: I(4; - 1;0),R = 4

  • Câu 15: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 và mặt phẳng (P):x + y + z - 3 = 0. Gọi (S') là mặt cầu chứa đường tròn giao tuyến của (S) và (P) đồng thời (S') tiếp xúc với mặt phẳng (Q):x - y + z - 5 = 0. Gọi I(a;b;c) là tâm của (S'). Tính giá trị biểu thức T = abc.

    Phương trình mặt cầu (S’) có dạng:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 9 + m(x + y + z - 3) = 0

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + mx + my + mz - 9 - 3m = 0

    Mặt cầu (S') có tâm I\left( - \frac{m}{2}; - \frac{m}{2}; - \frac{m}{2} ight), bán kính R = \sqrt{\frac{3m^{2}}{4} + 3m + 9}.

    Mặt cầu (S') tiếp xúc với (Q) nên

    d\left( I;(Q) ight) = R\Leftrightarrow \dfrac{\left| - \dfrac{m}{2} - 5 ight|}{\sqrt{2}} =\sqrt{\frac{3m^{2}}{4} + 3m + 9}

    \Leftrightarrow |m + 10| = \sqrt{9m^{2} + 36m + 108}

    \Leftrightarrow m = - 1 \Rightarrow I\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2} ight)

    Vậy T = abc = \frac{1}{8}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 8 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập