Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng cạnh đáy bằng a. Khi đó mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng:

    Tìm bán kính

    Gọi H là tâm của hình vuông ABCD.

    Ta có SH là trục đường tròn ngoại tiếp đáy.

    Gọi M là trung điểm của CD và I là chân đường phân giác trong của góc \widehat {SMH}{m{ (}}I \in SH).

    Suy ra I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính r = IH.

    Ta có:

    \begin{array}{l}SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2};{m{ }}\\SM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};{m{ }}MH = \dfrac{a}{2}.\end{array}

    Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có: \frac{{IS}}{{IH}} = \frac{{MS}}{{MH}}

     

       \Rightarrow \frac{{SH}}{{IH}} = \frac{{MS + MH}}{{MH}}

    \Rightarrow IH = \dfrac{{SH.MH}}{{MS + MH}} = \frac{a}{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }} = \dfrac{{a\left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } ight)}}{4}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2\pi R = 2a \Leftrightarrow R = \frac{a}{\pi }.

    Suy ra hình trụ này có đường cao h=a.

    Vậy thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{a}{\pi }} ight)^2}a = \frac{{{a^3}}}{\pi }(đvtt).

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:

    Diện tích xung quanh của hình trụ: {S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}(đvdt).

    Diện tích toàn phần của hình trụ:

    {S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{{m{day}}}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\left( {\pi {R^2}} ight) = 2\left( {\sqrt 3 + 1} ight)\pi {R^2}(đvdt).

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 6z + 5 = 0 và mặt phẳng (\alpha):2x + y + 2z - 15 = 0. Mặt phẳng (P) song song với (\alpha) và tiếp xúc với (S) là

    Ta có:

    (S) có tâm I (1; −2; 3), bán kính R = 3. (P) song song với (α)

    ⇒(P):2x + y + 2z + m = 0, với m eq - 15

    Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 15 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight., so với điều kiện ta nhận m = 3.

    Vậy (P):2x + y + 2z + 3 = 0.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm A(2;0;0),B(1;3;0),C( - 1;0;3),D(1;2;3). Tính bán kính R của (S)?

    Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A;B;C;D

    Khi đó ta có phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} AI^{2} = BI^{2} \\ AI^{2} = CI^{2} \\ AI^{2} = DI^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 3)^{2} + c^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a + 1)^{2} + b^{2} + (c - 3)^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 3b = - 3 \\ a - c = - 1 \\ a - 2b - 3c = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0;1;1)

    Vậy bán kính cần tìm là: R = IA = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và AC = a\sqrt 3. Độ dài đường sinh \ell của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

    Độ dài đường sinh

    Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là AC = a\sqrt 3 và chiều cao hình nón là AB = a.

    Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:

    \ell = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a.

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2} = 4. Tâm mặt cầu (S) có tọa độ là:

    Mặt cầu (S):(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2} có tâm là I(a;b;c)

    Mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2} = 4 có tâm I(2; - 1;3).

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho phương trìnhx^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (\alpha), biết (\alpha) song song với mặt phẳng (P):2x + y - 2z + 11 = 0 và cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có chu vi 8\pi?

    Vì (α) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng 2x + y - 2z + c = 0

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.

    Đường tròn lớn có chu vi là 8\pi nên bán kính của (S) là \frac{8\pi}{2\pi} = 4

    Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3

    Từ đó ta có:

    d\left( I;(P) ight) = \frac{|2.1 + 2 - 2.3 + c|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + ( - 2)^{2}}} = 3

    \Leftrightarrow | - 2 + c| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 11 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.

    Vì (α) // (P) nên phương trình mặt phẳng (α) là 2x + y - 2z - 7 = 0

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 1)^2 + (y + 2)^2 + (z − 3)^2 = 12 và mặt phẳng (P): 2x + 2y − z − 3 = 0. Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của mặt cầu và đáy là hình tròn giới hạn bởi (C) có thể tích lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng (Q) là

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và bán kính R = 2\sqrt{3}

    Gọi r là bán kính đường tròn (C) và H là hình chiếu của I lên (Q).

    Đặt IH = x ta có:

    r = \sqrt{R^{2} - x^{2}} = \sqrt{12 - x^{2}}

    Vậy thể tích khối nón tạo được là:

    V = \frac{1}{3}IH.S_{\left( (C) ight)} = \frac{1}{3}.x.\pi\left( \sqrt{12 - x^{2}} ight)^{2} = \frac{1}{3}.\pi\left( 12x - x^{3} ight)

    Gọi f'(x) = 12x - 3x^{2} ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2 chỉ có x = 2 \in \left( 0;2\sqrt{3} ight)

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Vậy V_{\max} = \frac{1}{3}.\pi.16 khi x = IH = 2

    Mặt phẳng (Q) // (P) nên (Q): 2x + 2y − z + a = 0 (a eq - 3)

    Vậy d\left( I;(Q) ight) = IH \Leftrightarrow \frac{\left| 2 + 2( - 2) - 3 + a ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}} = 2

    \Leftrightarrow |a - 5| = 6 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 11 \\ a = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy mặt phẳng (Q) có phương trình 2x + 2y − z − 1 = 0 hoặc 2x + 2y − z + 11 =0

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30^0. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

    Tính khoảng cách

    Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O'B = R.

    Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì O'A' = R,{m{ }}AA' = R\sqrt 3 và \widehat {BAA'} = {30^0}.

    Vì OO'\parallel \left( {ABA'} ight) nên d\left[ {OO',\left( {AB} ight)} ight] = d\left[ {OO',\left( {ABA'} ight)} ight] = d\left[ {O',\left( {ABA'} ight)} ight].

    Gọi H là trung điểm A’B, suy ra \left. \begin{array}{l}O'H \bot A'B\\O'H \bot AA'\end{array} ight\} \Rightarrow O'H \bot \left( {ABA'} ight)

    nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}h.

    Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên BA' = AA'\tan {30^0} = R

    Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên O'H = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.h

  • Câu 11: Nhận biết

    Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là p. Một mặt phẳng (\alpha) cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là \frac{p}{2}. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (\alpha)  bằng: 

    Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu.

    Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R.

    Theo giả thiết, ta có \pi {R^2} = p \Leftrightarrow R = \sqrt {\frac{p}{\pi }} và \pi {r^2} = \frac{p}{2} \Leftrightarrow r = \sqrt {\frac{p}{{2\pi }}}

    Suy ra d = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {\frac{p}{{2\pi }}}.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng (\alpha) đi qua trung điểm của OO’ và tọa với OO’ một góc 30^0. Hỏi (\alpha) cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

     Tính độ dài dây cung

    Theo đề bài, ta có: OA = OB = R , OO' = 2R  và \widehat {IMO} = {30^0}.

    Trong tam giác vuông MIO, ta có OI = MO.\tan {30^0} = \frac{R}{{\sqrt 3 }}.

    Trong tam giác vuông AIO, ta có IA = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{R}{{\sqrt 3 }}} ight)}^2}} = \frac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}

    Suy ra AB = 2IA = \frac{{2R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:

     Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.

    Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.

    Do đó độ đài đường chéo: \sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10{m{cm}}{m{.}}

  • Câu 14: Vận dụng

    Một hình nón có đường cao bằng 9 cm nội tiếp trong một hình cầu bán kính bằng 5 cm. Tỉ số giữa thể tích khối nón và khối cầu là:

    Tỉ số giữa thể tích

    Hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có SH = 9cm, OS=OA=5cm

    Suy ra OH = 4{m{cm}} và AH = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = 3{m{cm}}{m{.}}

    Thể tích khối nón {V_n} = \frac{1}{3}\pi A{H^2}.SH = 27\pi(đvtt).

    Thể tích khối cầu {V_c} = \frac{4}{3}\pi .S{O^3} = \frac{{500\pi }}{3}  (đvtt).

    Suy ra \frac{{{V_n}}}{{{V_c}}} = \frac{{81}}{{500}}

  • Câu 15: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 2;3) và B( - 1;0;1) và mặt phẳng (P):x + y + z + 4 = 0. Phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng \frac{AB}{6} có tâm thuộc đường thẳng AB và (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2;2; - 2) suy ra AB:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = - 2 + 2t \\ z = 3 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Ta có: R = \frac{AB}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}

    Tâm I thuộc AB nên I(1 - 2t; - 2 + 2t;3 - 2t)

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu nên

    d\left( I;(P) ight) = R

    \Leftrightarrow \frac{\left| (1 - 2t) + ( - 2 + 2t) + (2 - 2t) + 4 ight|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

    \Leftrightarrow |6 - 2t| = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 6 - 2t = 1 \\ 6 - 2t = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}t = \dfrac{5}{2} \Rightarrow I( - 4;3; - 2) \\t = \dfrac{7}{2} \Rightarrow I( - 6;5; - 4) \\\end{matrix} ight.

    Ta có phương trình đường tròn (C) tâm I(−4; 3; −2), bán kính R = \frac{\sqrt{3}}{3}là:

    (x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = \frac{1}{3}

    Ta có phương trình đường tròn (C) tâm I(−6; 5; −4), bán kính R = \frac{\sqrt{3}}{3}là:

    (x + 6)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 4)^{2} = \frac{1}{3}

    Vậy đáp án cần tìm là: \left\lbrack\begin{matrix}(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = \dfrac{1}{3} \\(x + 6)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 4)^{2} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 27 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập