Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau nằm trên?
![]()
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của :
Suy ra ta gọi được tâm I của mặt cầu có tọa độ là
Xét là mặt cầu
Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng
tương ứng với .
Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau nằm trên?
![]()
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của :
Suy ra ta gọi được tâm I của mặt cầu có tọa độ là
Xét là mặt cầu
Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng
tương ứng với .
Trong không gian
, cho tứ diện đều
có
và hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
là
. Tìm tọa độ tâm
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
?
Gọi
là tứ diện đều nên tâm
của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.
Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu
tại điểm
là:
Mặt cầu có tâm
.
Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.
Do (α) tiếp xúc với (S) tại P nên mặt phẳng (α) đi qua P và có vectơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng (α) là
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ
(đvtt).
Bán kính đáy hình trụ bằng 4 cm, chiều cao bằng 6cm. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng:
Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt bằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là 8 cm và 6 cm.
Do đó độ đài đường chéo:
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng
đi qua trung điểm của OO’ và tọa với OO’ một góc
. Hỏi
cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

Theo đề bài, ta có: ,
và
.
Trong tam giác vuông MIO, ta có .
Trong tam giác vuông AIO, ta có
Suy ra
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng
. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng:

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có .
Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì và
.
Vì nên
Gọi H là trung điểm A’B, suy ra
nên .
Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên
Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Mặt cầu đường kính
có phương trình là:
Gọi là trung điểm của
khi đó
là tâm mặt cầu
.
Bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc .
Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra:
Trong tam giác vuông SOA, ta có .
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho điểm
. Viết phương trình mặt cầu tâm
cắt trục
tại hai điểm
sao cho
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm AB suy ra H là hình chiếu vuông góc của I lên Ox nên
Phương trình mặt cầu là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Gọi
là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng
với
. Tính giá trị
.
Hình vẽ minh họa
Ta có: mà
nên
Suy ra (P): 2x + 2y + z + d = 0.
Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).
Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên có
Gọi r là bán kính đường tròn tâm H.
Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức
Ta có:
Đặt
Mà
Vậy
Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng
. Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng
. Đường cao h của hình nón bằng:

Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S.
Gọi E là trung điểm AB, suy ra và
.
Ta có
.
Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra .
Ta có
Từ đó suy ra nên
Trong tam giác vuông SOE, ta có
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình
là phương trình của một mặt cầu (S) sao cho qua hai điểm
có duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu (S) đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1.
Ta có:
Suy ra (*) là phương trình mặt cầu
Khi đó, mặt cầu (S) có tâm và bán kính
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, B.
Theo giả thiết (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r = 1.
Mặt khác, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là
Ta có: suy ra
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Suy ra đường thẳng là:
Để có duy nhất mặt phẳng (P) thỏa mãn bài thì
TH1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm I và
Ta có
+ Với (loại).
+ Với m = −2 ⇒ ⇒ m = −2 (thỏa mãn).
TH2. Mặt phẳng (P) cách I một khoảng lớn nhất ⇔ d lớn nhất ⇔ d = d(I, AB). (*)
Khi đó
Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu.
Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
, biết
song song với giá của vectơ
, vuông góc với
và tiếp xúc với
.
Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R = 4.
Vectơ pháp tuyến của (α) là
Theo giả thiết, suy ra (P) có vectơ pháp tuyến là
Phương trình của mặt phẳng (P) có dạng
Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:
Vậy có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là: