Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Ta chứng minh: .

Lấy điểm E sao cho tứ giác BCDE là hình bình hành.

Khi đó  .

Mà góc giữa và bằng nên ta có:

Ta có

Suy ra

Vậy

Chiều cao của lăng trụ bằng

Áp dụng CT thể tích lăng trụ là:

Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S₁) có tâm I(2; 1; 1) và bán kính .

Mặt cầu (S₂) có tâm J(2; 1; 5) và bán kính .

Gọi A, B lần lượt là hai tiếp điểm của (S₁), (S₂) với mặt phẳng (P).

Gọi M là giao điểm của IJ với mặt phẳng (P). Ta có:

Suy ra J là trung điểm của IM, do đó M(2; 1; 9).

Gọi véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là khi đó phương trình của mặt phẳng (P) là

Ta có:

Mặt khác

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

Từ (1) và (3) ta có:

Từ (2) và (4) suy ra:

Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) bằng .

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có .

Gọi AA’ là đường sinh của hình trụ thì và .

Vì nên

Gọi H là trung điểm A’B, suy ra

nên .

Tam giác ABA’ vuông tại A’ nên

Suy ra tam giác A’BO đều có cạnh bằng R nên

Ta xét về khái niệm Mặt trụ suy ra  (I) đúng.

Diện tích tam giác MAB không đổi khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến đường thẳng AB không đổi (giả sử bằng R ).

Vậy tập hợp các điểm M là mặt trụ bán kính R và trục là AB.

Vì vậy Mệnh đề (II) cũng đúng.

Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao , bán kính đáy

Do đó diện tích toàn phần:

Gọi M là trung điểm AC, suy ra

Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.

Ta có , suy ra tam giác SAC đều.

Gọi G là trọng tâm , suy ra .    (1)

Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có nên SM là trục của tam giác ABC.

Mà G thuộc SM nên suy ra .

Từ (1) và (2), suy ra hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .

Bán kính mặt cầu .

Gọi lần lượt thuộc các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

Khi đó ta có phương trình mặt phẳng (α) đi qua các điểm A, B, C là

Vì

Ta có:

Theo đề bài ta có H là trực tâm , ta có:

thay vào (1) ta được:

. Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp tứ giác OABC, ta có:

Vậy

Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):

Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là .

tiếp xúc (S) khi: 

   (loại)

Mặt cầu có tâm và bán kính .

Khoảng cách từ tâm đến bằng .

Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc .

Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra:

Trong tam giác vuông SOA, ta có .

Gọi

là tứ diện đều nên tâm của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện

Vì I là hình chiếu của O trên nên  mà  nên I là tiếp điểm của và .

Đường thẳng OM cắt tại N nên IN vuông góc với OI tại I.

Suy ra IN tiếp xúc với .

Tam giác OIN vuông tại I nên .

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là .

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là:

Vì góc ở đỉnh là nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R.

Suy ra đường cao của hình nón là .

Tam giác SAB là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng nên IAB là tam giác vuông cân tại I, suy ra .

Gọi M là trung điểm của AB thì và .

Trong tam giác vuông SIM, ta có

Vậy (đvdt).

Mặt cầu tâm , bán kính có phương trình lá:

.