Trong không gian
, cho các điểm
. Tập hợp các điểm
thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là:
Giả sử
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy tập hợp điểm thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là
.
Trong không gian
, cho các điểm
. Tập hợp các điểm
thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là:
Giả sử
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy tập hợp điểm thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt
cầu (S) tâm I(1;2;1), bán kính R. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với
(S) tạo với nhau góc
. Hãy viết phương trình mặt cầu (S)

Gọi M, N là tiếp điểm của mặt phẳng (P), (Q) và mặt cầu (S). Gọi H là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng d.
TH1: Góc :
Theo bài ra ta có:
TH2: Góc :
Theo bài ra ta có:
.
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .
Suy ra hình trụ này có đường cao .
Vậy thể tích khối trụ (đvtt).
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Phương trình mặt cầu có tâm
và đi qua
là:
Ta có:
Vậy phương trình mặt cầu tâm và đi qua điểm
có phương trình là:
.
Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có
và
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:

Theo giả thiết ta được hình trụ có chiều cao , bán kính đáy
Do đó diện tích toàn phần:
Cho hình nón có đỉnh S, đường cao SO = h, đường sinh SA. Nội tiếp hình nón là một hình chóp đỉnh S, đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Nửa góc ở đỉnh của hình nón có tan bằng:

Nửa góc ở đỉnh của hình nón là góc .
Hình vuông ABCD cạnh a nên suy ra:
Trong tam giác vuông SOA, ta có .
Gọi
là mặt cầu đi qua bốn điểm
. Tính bán kính
của
?
Gọi là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm
Khi đó ta có phương trình:
Vậy bán kính cần tìm là:
Cho mặt cầu tâm O, bán kính R = a. Một hình nón có đỉnh S là ở trên mặt cầu và đáy là đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao cho
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng:

Gọi S' là điểm đối xứng của S qua tâm O và A là một điểm trên đường tròn đáy của hình nón.
Tam giác SAS’ vuông tại A và có đường cao AH nên
Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau nằm trên?
![]()
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của :
Suy ra ta gọi được tâm I của mặt cầu có tọa độ là
Xét là mặt cầu
Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng
tương ứng với .
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước
, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng
, theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu
là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và
là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số
bằng:
2 || Hai || hai
Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng
, theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và
là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số
bằng:
2 || Hai || hai
Công thức thể tích khối trụ .
● Ở cách 1, suy ra và
. Do đó
(đvtt).
● Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có và
Do đó (đvtt).
Suy ra
Một hình cầu có bán kính là 2m, một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ dài là
. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:
Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d, ta có .
Theo giả thiết R = 2m và .
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
và mặt phẳng
. Phương trình mặt cầu
có bán kính bằng
có tâm thuộc đường thẳng
và
tiếp xúc với mặt phẳng
là:
Ta có: suy ra
Ta có:
Tâm I thuộc AB nên
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu nên
Ta có phương trình đường tròn (C) tâm , bán kính
là:
Ta có phương trình đường tròn (C) tâm I(−6; 5; −4), bán kính là:
Vậy đáp án cần tìm là:
Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Thể tích của khối tứ diện OO’AB bằng:

Kẻ đường sinh AA’, gọi D là điểm đối xứng với A’ qua tâm O’ và H là hình chiếu của B trên A’D.
Ta có nên
.
Trong tam giác vuông A'AB có .
Trong tam giác vuông A'BD có .
Do đó suy ra tam giác BO'D nên .
Vậy (đvtt).
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
cắt nhau theo giao tuyến đường tròn
. Gọi
là thể tích khối cầu
,
là thể tích khối nón
có đỉnh là giao điểm của đường thẳng đi qua tâm mặt cầu
và vuông góc với mặt phẳng
, đáy là đường tròn
. Biết độ dài đường cao khối nón
lớn hơn bán kính của khối cầu
. Tính tỉ số
?
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 5, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:
Bán kính đường tròn là:
Thể tích khối cầu (S) là:
Chiều cao hình nón là .
Thể tích khối nón là
Vậy .
Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB =a và
. Độ dài đường sinh
của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

Từ giả thiết suy ra hình nón có đỉnh là B , tâm đường tròn đáy là A , bán kính đáy là và chiều cao hình nón là
.
Vậy độ dài đường sinh của hình nón là: