Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu của gồm 4 mức độ, các câu hỏi được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 15 câu
  • Số điểm tối đa: 15 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?

    Phương trình (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình của một mặt cầu nếu a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0.

    Vậy phương trình không phải phương trình mặt cầu là:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50{m{cm}} \times 240{m{cm}} , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

    Tính tỉ số thể tích

    ● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

    ● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

    Kí hiệu V_1là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V_2 là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} bằng:

    2 || Hai || hai

    Đáp án là:

    Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50{m{cm}} \times 240{m{cm}} , người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

    Tính tỉ số thể tích

    ● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

    ● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

    Kí hiệu V_1là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V_2 là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} bằng:

    2 || Hai || hai

     Công thức thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h.

    ● Ở cách 1, suy ra h= 50 cm và 2\pi {R_1} = 240 \Leftrightarrow {R_1} = \frac{{120}}{\pi }. Do đó {V_1} = \pi .{\left( {\frac{{120}}{\pi }} ight)^2}.50 (đvtt).

    ● Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có h= 50 cm và 2\pi {R_2} = 120 \Leftrightarrow {R_2} = \frac{{60}}{\pi }

    Do đó {V_2} = 2 \times \left[ {\pi .{{\left( {\frac{{60}}{\pi }} ight)}^2}.50} ight] (đvtt).

    Suy ra \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R\sqrt 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:

    Diện tích xung quanh của hình trụ: {S_{xq}} = 2\pi R.R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \pi {R^2}(đvdt).

    Diện tích toàn phần của hình trụ:

    {S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_{{m{day}}}} = 2\sqrt 3 \pi {R^2} + 2\left( {\pi {R^2}} ight) = 2\left( {\sqrt 3 + 1} ight)\pi {R^2}(đvdt).

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA = BC = a. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC  là:

     Tìm bán kính

    Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Gọi I là trung điểm SC, suy ra IM ||SA nên IM \bot \left( {ABC} ight) .

    Do đó IM là trục của \triangle ABC, suy ra IA=IB=IC     (1)

    Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên IS=IC=IA.  (2)

    Từ (1) và (2) , ta có IS=IA=IB=IC

    hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

    Vậy bán kính R = IS = \frac{{SC}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} .

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x + 2y + z - m^{2} - 3m = 0 và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 9. Tìm tất cả các giá trị của m để (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)?

    Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1; −1; 1) và bán kính R = 3.

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi:

    d\left\lbrack I;(P) ightbrack = R \Leftrightarrow \frac{\left| 1 - m^{2} - 3m ight|}{3} = 3

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m^{2} + 3m - 10 = 0 \\ m^{2} + 3m + 8 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60^0, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \frac{R}{2}. Đường cao h của hình nón bằng:

    Theo giả thiết ta có tam giác OAB đều cạnh R.

    Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE \bot AB và OE = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Gọi H là hình chiếu của O trên SE, suy ra OH \bot SE.

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}AB \bot OE\\AB \bot SO\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} ight) \Rightarrow AB \bot OH

    Từ đó suy ra OH \bot \left( {SAB} ight) nên d\left[ {O,\left( {SAB} ight)} ight] = OH = \frac{R}{2}.

    Trong tam giác vuông SOE, ta có  \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{8}{{3{R^2}}} \Rightarrow SO = \frac{{R\sqrt 6 }}{4}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 6y - 4z - 2 = 0, mặt phẳng (\alpha):x + 4y + z - 11 = 0. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (\alpha), (P) song song với giá của vectơ \overrightarrow{v} = (1;6;2) và (P) tiếp xúc với (S). Lập phương trình mặt phẳng (P).

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R\ = \ 4.

    Từ giả thiết suy ra \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack là một vectơ pháp tuyến của (P).

    Ta có \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack = (2; - 1;2), suy ra (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2; - 1;2)

    Vậy (P) có phương trình dạng 2x - y + 2z + m = 0

    Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:

    d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2.1 + 3 + 2.2 + m|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = 4

    \Leftrightarrow |9 + m| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 3 \\ m = - 21 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là \left\lbrack \begin{matrix} 2x - y + 2z + 3 = 0 \\ 2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 81 tại điểm P( - 5; - 4;6) là:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3).

    Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.

    Do (α) tiếp xúc với (S) tại P nên mặt phẳng (α) đi qua P và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \overrightarrow{IP} = ( - 6; - 6;3)

    Phương trình mặt phẳng (α) là

    - 6(x + 5) - 6(y + 4) + 3(z - 6) = 0

    \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 24 = 0

  • Câu 9: Thông hiểu

    Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:

     Gọi bán kính đáy là R.

    Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có 2\pi R = 2a \Leftrightarrow R = \frac{a}{\pi }.

    Suy ra hình trụ này có đường cao h=a.

    Vậy thể tích khối trụ V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\frac{a}{\pi }} ight)^2}a = \frac{{{a^3}}}{\pi }(đvtt).

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, . Cạnh bên , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:

    Tính bán kính

    Gọi M là trung điểm AC, suy ra SM \bot \left( {ABC} ight) \Rightarrow SM \bot AC.

    Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S.

    Ta có AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2, suy ra tam giác SAC đều.

    Gọi G là trọng tâm \triangle SAC , suy ra GS = GA = GC.    (1)

    Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Lại có SM \bot \left( {ABC} ight) nên SM là trục của tam giác ABC.

    Mà G thuộc SM nên suy ra GA = GB = GC.

    Từ (1) và (2), suy ra GS = GA = GB = GC hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

    Bán kính mặt cầu R = GS = \frac{2}{3}SM = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ tâm O của đường tròn ngoại tiếp của đáy ABC đến một mặt bên là \frac{a}{2}. Thể tích của khối nón ngoại tiếp hình chóp SABC bằng:

     Thể tích khối nón

    Gọi E là trung điểm của BC, dựng OH \bot SE tại H.

    Chứng minh được OH \bot \left( {SBC} ight) nên suy ra OH = d\left[ {O,\left( {SBC} ight)} ight] = \frac{a}{2}.

    Trong tam giác đều ABC, ta có OE = \frac{1}{3}AE = \frac{1}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

    và  OA = \frac{2}{3}AE = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}

    Trong tam giác vuông SOE, ta có

    \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow SO = a.

    Vậy thể tích khối nón V = \frac{1}{3}\pi O{A^2}.SO = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} ight)^2}.a = \frac{{4\pi {a^3}}}{9}  (đvtt).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Một hình trụ có bán kính đáy R = 70{m{cm}} , chiều cao hình trụ h = 20{m{cm}}. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

    Tính độ dài cạnh

    Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.

    Dựng đường sinh AA', ta có \left\{ \begin{array}{l}CD \bot AA'\\CD \bot AD\end{array} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {AA'D} ight) \Rightarrow CD \bot A'D.

    Suy ra A’C là đường kính đáy nên A'C = 2R = 140{m{cm}}{m{.}}

    Xét tam giác vuông AA’C, ta có AC = \sqrt {AA{'^2} + A'{C^2}} = 100\sqrt 2 {m{cm}}{m{.}}

    Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.

  • Câu 13: Nhận biết

    Cạnh bên của một hình nón bằng 2a. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120^0. Diện tích toàn phần của hình nón là:

    Diện tích toàn phần

    Gọi S là đỉnh, O là tâm của đáy, thiết diện qua trục là SAB.

    Theo giả thiết, ta có SA = 2a và \widehat {ASO} = 60^\circ.

    Trong tam giác SAO vuông tại O, ta có

    OA = SA.\sin 60^\circ = a\sqrt 3

    Vậy diện tích toàn phần:

    {S_{tp}} = \pi R\ell + \pi {R^2} = \pi .OA.SA + \pi {\left( {OA} ight)^2} = \pi {a^2}\left( {3 + 2\sqrt 3 } ight) (đvdt).

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) đi qua điểm O và cắt các tia Ox;Oy;Oz lần lượt tại các điểm A;B;C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm G( - 6; - 12;18). Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là:

    Gọi tọa độ các điểm trên ba tia Ox;Oy;Oz lần lượt là A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a;b;c > 0

    Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \left\{ \begin{matrix} \frac{a}{3} = - 6 \\ \frac{b}{3} = - 12 \\ \frac{c}{3} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 18 \\ b = - 36 \\ c = 54 \\ \end{matrix} ight.

    Gọi phương trình mặt cầu cần tìm là:

    (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2mx - 2ny - 2pz + q = 0

    Vì (S) qua các điểm OABC nên ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} q = 0 \\ 36m + q = - 18^{2} \\ 72n + q = - 36^{2} \\ - 108p + q = - 54^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} q = 0 \\ m = - 9 \\ n = - 18 \\ p = 27 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ tâm của mặt cầu (S) là: ( - 9; - 18;27).

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c>0. Biết rằng mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(\frac 1 7; \frac 2 7 ; \frac 3 7) và tiếp xúc với mặt cầu (S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=\frac{72}{7}. Tính T=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.

    Mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) nên có phương trình là:

    \frac{x}{a} +\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1

    Ta có M(\frac 1 7; \frac 2 7 ; \frac 3 7) \in (ABC) nên \frac{1}{a} +\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7.

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=\sqrt \frac{72}{7}.

    (ABC) tiếp xúc với  (S)

    \Leftrightarrow d(I, (ABC))=R\Leftrightarrow \dfrac { | \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}-1 |}{\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}}=\sqrt{\frac{72}{7} }

    \Leftrightarrow \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}= \dfrac{7}{2}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 30 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập