Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
. Mặt cầu
có tâm
và đi qua hai điểm
có phương trình là:
Ta có:
Vì đi qua hai điểm
nên
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
. Mặt cầu
có tâm
và đi qua hai điểm
có phương trình là:
Ta có:
Vì đi qua hai điểm
nên
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
cắt nhau theo giao tuyến đường tròn
. Gọi
là thể tích khối cầu
,
là thể tích khối nón
có đỉnh là giao điểm của đường thẳng đi qua tâm mặt cầu
và vuông góc với mặt phẳng
, đáy là đường tròn
. Biết độ dài đường cao khối nón
lớn hơn bán kính của khối cầu
. Tính tỉ số
?
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 5, khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:
Bán kính đường tròn là:
Thể tích khối cầu (S) là:
Chiều cao hình nón là .
Thể tích khối nón là
Vậy .
Trong không gian
, cho tứ diện đều
có
và hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
là
. Tìm tọa độ tâm
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
?
Gọi
là tứ diện đều nên tâm
của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a. Thể tích khối trụ bằng:
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h=a.
Bán kính đáy . Do đó thể tích khối trụ
(đvtt).
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
hai hai điểm
. Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho
đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E?
Hình vẽ minh họa
Gọi I(1; 2; 2) là tâm của (S), P(5; −2; 4) là trung điểm MN.
Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-copx-ki và công thức độ dài trung tuyến ta được:
nên T = EM + EN đạt giá trị lớn nhất khi EM = EN và EP đạt giá trị lớn nhất.
Khi đó E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S) (I nằm giữa E và P). Đường thẳng IP có phương trình:
Tọa độ E thỏa hệ phương trình:
Tìm được E(3; 0; 3) hoặc E(−1; 4; 1), thử lại để EP lớn nhất ta được E(−1; 4; 1).
Khi đó phương trình tiếp diện với (S) tại E là .
Trong không gian tọa độ
, cho tọa độ hai điểm
. Phương trình mặt cầu đường kính
là:
Gọi I là trung điểm của AB suy ra
Mặt cầu đường kính có tâm
và bán kính
có phương trình là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh a. Cạnh bên
và vuông góc với đáy (
). Tính theo
diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
ta được:

Gọi , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông
.
Gọi I là trung điểm SC, suy ra
Do đó IO là trục của hình vuông , suy ra
(1)
Xét tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên . (2)
Từ (1) và (2), ta có:
Vậy diện tích mặt cầu (đvdt).
Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lần lượt có giá trị là:
Diện tích xung quanh của hình trụ: (đvdt).
Diện tích toàn phần của hình trụ:
(đvdt).
Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không đổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn. Nếu hộp sữa chỉ kín một đáy thì để tốn ít vật liệu nhất, hệ thức giữa bán kính đáy R và đường cao h bằng:
Công thức tính thể tích , suy ra
Hộp sữa chỉ kín một đáy nên diện tích tôn cần dùng là:
Xét hàm trên
, ta được
đạt tại
.
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Hình trụ có chu vi đáy bằng 2a nên ta có .
Suy ra hình trụ này có đường cao .
Vậy thể tích khối trụ (đvtt).
Cho mặt cầu
và một điểm A, biết
. Qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại B và C sao cho
. Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng:
Gọi H là hình chiếu của O lên BC.
Ta có , suy ra H là trung điểm của BC nên
Suy ra
Một hình trụ có bán kính đáy
, chiều cao hình trụ
. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO’ của hình trụ.
Dựng đường sinh AA', ta có .
Suy ra A’C là đường kính đáy nên
Xét tam giác vuông AA’C, ta có
Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm.
Với giá trị nào của m thì mặt phẳng
cắt mặt cầu
?
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I có tọa độ là
(P) cắt (S) khi:
Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Thể tích của khối tứ diện OO’AB bằng:

Kẻ đường sinh AA’, gọi D là điểm đối xứng với A’ qua tâm O’ và H là hình chiếu của B trên A’D.
Ta có nên
.
Trong tam giác vuông A'AB có .
Trong tam giác vuông A'BD có .
Do đó suy ra tam giác BO'D nên .
Vậy (đvtt).
Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là a và 2a (a là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chiều dài đường sinh bằng 2a thì bán kính đáy bằng:
Gọi bán kính đáy là R.
Từ giả thiết suy ra và chu vi đáy bằng a .
Do đó .