Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $E;F$ lần lượt là trung điểm của $AD;BC$ , các điểm $M;N$ lần lượt nằm trên $AB;DC$ sao cho $AM = MB;DN = 2NC$ . Biết biểu diễn $\overrightarrow{EF} = m.\overrightarrow{EM} + n.\overrightarrow{EN}$ . Tính tổng giá trị $m;n$ ?
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{3}{2}$
- C.
  $\frac{3}{4}$
- D.
  $\frac{1}{4}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{EF} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}}{2}$

$= \frac{\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EN} + \overrightarrow{NC}}{2}$

$= \frac{\overrightarrow{EM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{EN} + \overrightarrow{NC}}{2}$

$= \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{EN} +\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}}{2}$

$= \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{EN} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DN}}{2}$

$= \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EM} ight) +\overrightarrow{EN} + \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{DE} +\overrightarrow{EN} ight)}{2}$

$= \dfrac{\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EM} +\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EN}}{2} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{EM} +\frac{3}{4}\overrightarrow{EN}$

Suy ra $m = n = \frac{3}{4} \Rightarrow m + n = \frac{3}{2}$
Câu 2: Thông hiểu
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành biết tọa độ các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $C$ ?
- A.
  $C(0; - 2;0)$
- B.
  $C(2;2;2)$
- C.
  $C(2;0;2)$
- D.
  $C(2; - 2;2)$
Giả sử điểm $C(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 2 - 1 \\ y + 1 = 1 - 0 \\ z - 1 = 2 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $C(2;0;2)$ .
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;3)$ và $B( - 1;2;3)$ . Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là:
- A.
  $(0;3;6)$
- B.
  $( - 2; - 1;0)$
- C.
  $\left( 0;\frac{3}{2};3 ight)$
- D.
  $(2;1;0)$
Gọi $M\left( x_{M};y_{M};z_{M} ight)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 0 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{3}{2} \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( 0;\dfrac{3}{2};3ight)$

Vậy tọa độ trung điểm của AB là: $\left( 0;\frac{3}{2};3 ight)$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1; - 1)$ và $B(2;3;2)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $(1;2;3)$
- B.
  $( - 1; - 2;3)$
- C.
  $(3;5;1)$
- D.
  $(3;4;1)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (2 - 1;3 - 1;2 + 1) = (1;2;3)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = (1;2;3)$ .
Câu 5: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2)$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 27$ . Sai||Đúng

b) $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{9}{2\sqrt{35}}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 15$ . Đúng||Sai

d) $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{5}{2\sqrt{21}}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2)$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 27$ . Sai||Đúng

b) $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{9}{2\sqrt{35}}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 15$ . Đúng||Sai

d) $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{5}{2\sqrt{21}}$ . Đúng||Sai

Ta có $\overrightarrow{AB} = (1;5; - 2),\overrightarrow{AC} = (5;4; - 1),\overrightarrow{AC} = (4; - 1;1)$ .

Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 5 + 20 + 2 = 27$ .

Ta có:

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 5.( - 4) + 4.1 + ( - 1).( - 1) = - 15$ .

Ta có:

$\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB} ight|.|\overrightarrow{AC}|} =\frac{27}{\sqrt{30}.\sqrt{42}} = \frac{9}{2\sqrt{35}}$ .

Ta có:

$\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AB} ight||\overrightarrow{BC}|} =\frac{15}{\sqrt{42}.\sqrt{18}} = \frac{5}{2\sqrt{21}}$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian cho hai đường thẳng $a;b$ lần lượt có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $a;b$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\alpha = \left| \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) ight|$
- B.
  $\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) ight|$
- C.
  Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \sin\alpha$
- D.
  Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$
Khẳng định đúng: “Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$ ”.
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (3;0;1)$ và $\overrightarrow{v} = (2;1;0)$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 8$
- B.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 6$
- C.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0$
- D.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = - 6$
Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3.2 + 0.1 + 1.0 = 6$
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ các vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 1;1;0)$ ; $\overrightarrow{b} = (1;1;0)$ và $\overrightarrow{c} = (1;1;1)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{c}\bot\overrightarrow{b}$
- B.
  $\left| \overrightarrow{c} ight| = \sqrt{3}$
- C.
  $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}$
- D.
  $\left| \overrightarrow{a} ight| = \sqrt{2}$
Ta có: $\overrightarrow{c}.\overrightarrow{b} = 1.1 + 1.1 + 1.0 = 2 eq 0$ suy ra “ $\overrightarrow{c}\bot\overrightarrow{b}$ ” là mệnh đề sai.
Câu 9: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Vì $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ nên $A(3;0; - 1)$ .

b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2)$ .

Vì $4:2:4 eq - 2:4:2$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương suy ra $A,B,C$ không thẳng hàng.

c) Đúng

Vì $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $D( - 5;4;7)$ .

Do đó $a = - 5,b = 4,c = 7$ . Vậy $a + b + c = 6$ .

d) Đúng. Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.$

$MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$=(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$

Do $IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$ không thay đổi nên $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất hay $M$ là hình chiếu của điểm $I$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Do đó $M(1;2;0)$ suy ra $m=1,n=2,p=0$ .

Vậy $2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0$ .
Câu 10: Nhận biết
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Điểm $M$ xác định bởi công thức $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $M \equiv G$
- B.
  $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$
- C.
  $G$ là trung điểm của $AM$
- D.
  $M$ là trung điểm của $AG$
Do G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AG}$

Vậy mệnh đề đúng là “ $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$ ”.
Câu 11: Vận dụng cao

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm $M$ thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm $M$ thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 12: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho vectơ $\overrightarrow{OM}$ có độ dài $\left| \overrightarrow{OM} ight| = 1$ , gọi $\alpha;\beta;\gamma$ lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ trên ba trục $Ox;Oy;Oz$ và vectơ $\overrightarrow{OM}$ . Khi đó tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $M\left(\sin\beta\cos\alpha;\sin\alpha\cos\beta;cos\gammaight)$
- B.
  $M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$
- C.
  $M\left( \sin\alpha;\sin\beta;\sin\gammaight)$
- D.
  $M\left(\sin\alpha\cos\alpha;\sin\beta\cos\beta;\sin\gamma\cos\gammaight)$
Gọi $M(x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{OM} = (x;y;z)$ và $\overrightarrow{i} = (1;0;0),\overrightarrow{j} = (0;1;0),\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

$\left\{ \begin{matrix}\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{i}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{i} ight|} = x \\\cos\beta = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{j}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = y \\\cos\gamma = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{k}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{k} ight|} = z \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$
Câu 13: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; - 5;7)$ . Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tọa độ của điểm $A$ là $(2; - 1;5)$ . Đúng||Sai

b) Gọi $C(a;b;c)$ thỏa mãn $∆ABC$ nhận $G(1;1;1)$ làm trọng tâm. Khi đó $a + b + c = - 4$ . Đúng||Sai

c) Nếu $A;B;M(x;y;1)$ thẳng hàng thì tổng $x + y = 3$ . Đúng||Sai

d) Cho $N \in (Oxy)$ để $∆ABN$ vuông cân tại $A$ . Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; - 5;7)$ . Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tọa độ của điểm $A$ là $(2; - 1;5)$ . Đúng||Sai

b) Gọi $C(a;b;c)$ thỏa mãn $∆ABC$ nhận $G(1;1;1)$ làm trọng tâm. Khi đó $a + b + c = - 4$ . Đúng||Sai

c) Nếu $A;B;M(x;y;1)$ thẳng hàng thì tổng $x + y = 3$ . Đúng||Sai

d) Cho $N \in (Oxy)$ để $∆ABN$ vuông cân tại $A$ . Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

a) Ta có:

Tọa độ của điểm $A$ là $(2; - 1;5)$ .

b) G là trọng tâm tam giác ABC

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{2 + 5 + x_{C}}{3} \\1 = \dfrac{- 1 - 5 + y_{C}}{3} \\1 = \dfrac{5 + 7 + x_{C}}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{C} = - 4 \\y_{C} = 9 \\x_{C} = - 9 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C( - 4;9; - 9)$

$\Rightarrow a + b + c = - 4$

c) Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3; - 4;2);\overrightarrow{AC} = (x - 2;y + 1; - 4)$

Ba điểm A, B, M thằng hàng khi và chỉ khi

$\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2 = 3k \\ y + 1 = k.( - 4) \\ - 4 = k.2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 7 \\ k = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $x + y = 3$

d) Ta có: $N \in (Oxy) \Rightarrow N = (x;y;0)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AN} = (x - 2;y + 1; - 5),\overrightarrow{AB} = (3; - 4;2)$

Ta có ∆ABN vuông cân tại A $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} AN\bot AB(*) \\ AN = AB(**) \\ \end{matrix} ight.$

Từ (*) $\Leftrightarrow \overrightarrow{AN}\bot\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow 3(x - 2) - 4(y + 1) - 10 = 0$

$\Leftrightarrow 3x - 4y = 20 \Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x - 5$

Từ (**) $AN^{2} = AB^{2} \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + 25 = 9 + 16 + 4$

$\Leftrightarrow (x - 2)^{2} + \left( \frac{3x}{4} - 4 ight)^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \frac{16}{5}$

$\Rightarrow y = - \frac{13}{5} \Rightarrow N\left( \frac{16}{5}; - \frac{13}{5};0 ight)$

Vậy $x_{N} + y_{N} = \frac{3}{5}$
Câu 14: Nhận biết
Cho tứ diện đều $ABCD$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}$
Vì tứ diện $ABCD$ là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc

Suy ra $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}$

Vậy mệnh đề chưa chính xác là: $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2; - 3),\ \ B(3; - 2;1)$ . Tọa độ trung điểm của $AB$ là.
- A.
  $(2;0; - 1)$ .
- B.
  $(4;0; - 2)$ .
- C.
  $(1; - 2;2)$ .
- D.
  $(2; - 4;4)$ .
Tọa độ trung điểm I của AB là:

$I = \left( \frac{1 + 3}{2};\frac{2 - 2}{2};\frac{- 3 + 1}{2} ight) = (2;0; - 1)$
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa các điểm $A(1; - 3;3),B(2; - 4;5),C(a; - 2;b)$ và tam giác đó nhận điểm $G(1;c;3)$ làm trọng tâm. Xác định giá trị biểu thức $P = a + b + c$ ?
- A.
  $P = - 5$
- B.
  $P = 3$
- C.
  $P = 1$
- D.
  $P = - 2$
Vì tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1 + 2 + a}{3} = 1 \\\dfrac{- 3 - 4 - 2}{3} = c \\\dfrac{3 + 5 + b}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 0 \\b = 1 \\c = - 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a + b + c = - 2$
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k}$ . Khi đó tọa độ $\overrightarrow{u}$ với hệ $Oxyz$ là:
- A.
  $(1;0;2)$
- B.
  $(0;2;1)$
- C.
  $(2;0;1)$
- D.
  $(2;1;0)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

$\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (x;y;z)$

Lại có $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (2;0;1)$
Câu 18: Thông hiểu
Cho tứ diện đều $ABCD$ , $M$ là trung điểm cạnh $BC$ . Khi đó $\cos(AB;DM)$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{6}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Giả sử cạnh tứ diện bằng a

Tam giác BCD đều suy ra $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ABC đều suy ra $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{\left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{DM} ight|} =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$

Mặt khác $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AD} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$

$= \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AM} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} ight) - \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight)$

$= a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{a^{2}}{4}$

$\Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = \frac{\sqrt{3}}{6} > 0$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = (AB;DM)$

$\Rightarrow \cos(AB;DM) = \frac{\sqrt{3}}{6}$
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $M( - 2; - 3;1)$
- B.
  $M(2; - 3;1)$
- C.
  $M(2; - 1;3)$
- D.
  $M(2;3;1)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ $M(2; - 3;1)$ .
Câu 20: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức $T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight|$ ?
- A.
  $T = 3$
- B.
  $T = \sqrt{3}$
- C.
  $T = 1$
- D.
  $T = \sqrt{2}$
Vì các vectơ $\frac{\overrightarrow{AB}}{AB};\frac{\overrightarrow{AC}}{AC};\frac{\overrightarrow{AD}}{AD}$ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên

$\left( \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight)^{2} = 3 \Leftrightarrow T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight| = \sqrt{3}$

124 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ tọa độ trong không gian CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!