Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (Oyz)?

    Ta có: A(x;y;z) \in (Oyz) \Rightarrow x =
0 nên điểm cần tìm là Q(0;4; -
1).

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2). Tìm x để các đường thẳng AD;BC;MN cùng song song với một mặt phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2). Tìm x để các đường thẳng AD;BC;MN cùng song song với một mặt phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt \overrightarrow{SA} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{SB} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{SC} =
\overrightarrow{c};\overrightarrow{SD} = \overrightarrow{d}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Khi đó:

    \overrightarrow{SA} +
\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} =
2\overrightarrow{SO}

    Vậy \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{c} = \overrightarrow{d} +
\overrightarrow{b}.

  • Câu 4: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    a) Đúng: Vì \overrightarrow{OA} =
3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k} nên A(3;0; - 1).

    b) Sai: Ta có \overrightarrow{AB} =
(4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2).

    4:2:4 eq - 2:4:2 nên \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} không cùng phương suy ra A,B,C không thẳng hàng.

    c) Đúng

    D là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AD.

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\
y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\
z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\
\end{matrix} ight. suy ra D( -
5;4;7).

    Do đó a = - 5,b = 4,c = 7. Vậy a + b + c = 6.

    d) Đúng. Gọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} =
\overrightarrow{0}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\
0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\
- 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\
\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 2 \\
z = 1 \\
\end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.

    MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}

    =(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}

    Do IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} không thay đổi nên MA^{2} + MB^{2} +
MC^{2} nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (Oxy).

    Do đó M(1;2;0) suy ra m=1,n=2,p=0.

    Vậy 2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 =
0.

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho tứ diện OABCOA;OB;OC đôi một vuông góc. M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} +
\frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}?

    Đặt \overrightarrow{OA} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{OB} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}. Khi đó \overrightarrow{OM} =
x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c} với x;y;z là ba số có tổng bằng 1.

    Ta có:

    \overrightarrow{AM} =
\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (x - 1)\overrightarrow{a} +
y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}

    \Rightarrow {\overrightarrow{AM}}^{2} =
(x - 1)^{2}{\overrightarrow{a}}^{2} + y^{2}{\overrightarrow{b}}^{2} +
z^{2}{\overrightarrow{c}}^{2}

    \Rightarrow \frac{MA^{2}}{OA^{2}} = (x -
1)^{2} + y^{2}.\frac{b^{2}}{a^{2}} +
z^{2}.\frac{c^{2}}{a^{2}}

    Tương tự ta được

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{MB^{2}}{OB^{2}} = (y - 1)^{2} + z^{2}.\dfrac{c^{2}}{b^{2}} +x^{2}.\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \\\dfrac{MC^{2}}{OC^{2}} = (z - 1)^{2} + x^{2}.\dfrac{a^{2}}{c^{2}} +y^{2}.\dfrac{b^{2}}{c^{2}} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} +
\frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left(
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left(
\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left(
\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left(
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left(
\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left(
\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z -
1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} +
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2}
+ z^{2}c^{2} ight)

    - \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} ight) +
(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} +
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2}
+ z^{2}c^{2} ight) - 2(x + y + z) + 3

    Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}}\\x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = OM^{2} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} +
\frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}} = \frac{OM^{2}}{OH^{2}} +
1 \geq 1 + 1 = 2

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.

    Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCAB = AC\widehat{SAB} = \widehat{SAC}. Góc giữa hai đường thẳng SABC là:

    Ta có:

    \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AS}
= \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}
ight).\overrightarrow{AS}

    =
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AS} -
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AS}

    = AC.AS.\cos\widehat{SAC} -AB.AS.\cos\widehat{SAB} = 0 (vì AB =
AC\widehat{SAB} =
\widehat{SAC}).

    Suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 90^{0}.

  • Câu 7: Nhận biết

    Điều kiện cần và đủ để ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} không đồng phẳng là:

    Ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

  • Câu 8: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz cho hai điểm M(2;3; - 1),N( - 1;1;1). Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

    a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

    b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là ( - 4; - 1;3). Đúng||Sai

    c) Cho P(1;m - 1;3), tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn T = \left|
3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2a + b + c = 9. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz cho hai điểm M(2;3; - 1),N( - 1;1;1). Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

    a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

    b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là ( - 4; - 1;3). Đúng||Sai

    c) Cho P(1;m - 1;3), tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn T = \left|
3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2a + b + c = 9. Sai||Đúng

    a) Sai: Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (0;3;0)

    b) Đúng: Vì N là trung điểm của ME

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1 = \dfrac{2 + x_{E}}{2} \\1 = \dfrac{3 + y_{E}}{2} \\1 = \dfrac{- 1 + z_{E}}{2} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{E} = - 4 \\y_{E} = - 1 \\z_{E} = 3 \\\end{matrix} \Rightarrow E( - 4; - 1;3) ight.\  ight..

    c) Đúng: Ta có \overrightarrow{NM} =
(3;2; - 2);\overrightarrow{NP} = (2;m - 2;2).

    \bigtriangleup MNP vuông tại N \Leftrightarrow\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{NP} = 0

    \Leftrightarrow 3.2 + 2.(m - 2) + ( -
2).2 = 0 \Leftrightarrow m = 1.

    d) Sai.

    Gọi J(x;y;z) thỏa 3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{JN} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - ( - 1 - x) = 0 \\3(3 - y) - (1 - y) = 0 \\3( - 1 - z) - (1 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{2} \\y = 4 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.\  ight.

    Suy ra J\left( \frac{7}{2};4; - 2
ight).

    Khi đó T = |3\overrightarrow{IM} -
\overrightarrow{IN}| = |3\overrightarrow{IJ} + 3\overrightarrow{JM} -
\overrightarrow{IJ} - \overrightarrow{JN}| = |2\overrightarrow{IJ}| =
2IJ.

    T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi I là hình chiếu của J trên (Oxy)

    \Leftrightarrow I\left( \frac{7}{2};4;0 ight).

    Vậy a = \frac{7}{2};b = 4;c =
0.

    Suy ra 2a+b+c=11

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Phân tích vectơ \overrightarrow{AC'} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}?

    Ta có phép cộng vectơ đối với hình vuông ABCD: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{AC}

    Khi đó ta có: \overrightarrow{AC'} =
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 2;3;1),B(4;2; - 1),C(5; - 2;0). Điểm D(a;b;c) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD. Khi đó giá trị biểu thức H = 2a + b + c có giá trị bằng bao nhiêu?

    Gọi tọa độ điểm D(a;b;c)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (6; - 1; - 2) \\
\overrightarrow{DC} = (5 - a; - 2 - b; - c) \\
\end{matrix} ight.

    Ta có: ABCM là hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
5 - a = 6 \\
- 2 - b = - 1 \\
- c = - 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - 1 \\
b = - 1 \\
c = 2 \\
\end{matrix} ight. suy ra điểm D( - 1; - 1;2)

    Khi đó H = 2a + b + c = 2.( - 1) - 1 + 2
= - 1.

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(5; - 2;0),B( -
2;3;0),C(0;2;3). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

    Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:

    \left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{5 + ( - 2) + 0}{3} = 1\\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 + 3 + 2}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{0 + 0 + 3}{3} = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow G(1;1;1)

    Vậy trọng tâm G tìm được là G(1;1;1).

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2; - 3),\ \ B(3; - 2;1). Tọa độ trung điểm của AB là.

    Tọa độ trung điểm I của AB là:

    I = \left( \frac{1 + 3}{2};\frac{2 -
2}{2};\frac{- 3 + 1}{2} ight) = (2;0; - 1)

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;2; - 3),B(2;5;7),C( - 3;1;4). Xác định tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành?

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1 = - 3 - x \\
3 = 1 - y \\
20 = 4 - z \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 4 \\
y = - 2 \\
z = - 6 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D( - 4; - 2; - 6).

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt E(0;0;6), giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight),A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 240\ N, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}} như hình.

    Tính tích vô hướng của \overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}} (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

    Đáp án: 6311

    Đáp án là:

    Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt E(0;0;6), giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight),A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 240\ N, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}} như hình.

    Tính tích vô hướng của \overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}} (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

    Đáp án: 6311

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{EA_{1}} = (0;1; - 6) \\\overrightarrow{EA_{2}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; - 6ight) \\\overrightarrow{EA_{3}} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; -6 ight) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow EA_{1} = EA_{2} = EA_{3} =\sqrt{37}.

    Suy ra, \left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = \left|\overrightarrow{F_{3}} ight| (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).

    Do đó: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = k\overrightarrow{EA_{1}} = (0;k; - 6k) \\\overrightarrow{F_{2}} = k\overrightarrow{EA_{2}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = k\overrightarrow{EA_{3}} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = (0;0; -18k).

    \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{P} =(0;0; - 240).

    Suy ra - 18k = - 240 \Leftrightarrow k =\frac{40}{3}.

    Từ đó \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = \left( 0;\frac{40}{3}; - 80 ight) \\\overrightarrow{F_{2}} = \left( \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3}; -80 ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = \left( - \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3};- 80 ight) \\\end{matrix} ight..

    Vậy \overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{F_{3}} =0.\left( \frac{- 20\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{40}{3}\left( -\frac{20}{3} ight) + ( - 80).( - 80) \approx 6311.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho  A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1), khi đó tọa độ điểm B là:

    Gọi B(x;y;z) ta có:

    A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1) khi đó \left\{\begin{matrix}x - 1 = 1 \\y - 2 = 3 \\z + 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = 5 \\z = 0 \\\end{matrix} ight. nên tọa độ điểm cần tìm là B(2;5;0).

  • Câu 16: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1). Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và tam giác ABC bằng \frac{1}{3} diện tích tứ giác ABCD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1). Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và tam giác ABC bằng \frac{1}{3} diện tích tứ giác ABCD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (m;2;4),\overrightarrow{b} =
(1;n;2) cùng phương. Tìm cặp số thực (m;n)?

    Ta có hai vectơ \overrightarrow{a} =
(m;2;4),\overrightarrow{b} = (1;n;2) cùng phương

    \Leftrightarrow \frac{m}{1} =
\frac{2}{n} = \frac{4}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = 2 \\
n = 1 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy (m;n) = (2;1).

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (2; -
1;1)\overrightarrow{v} = (0; -
3; - m). Xác định giá trị tham số m để \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =
1?

    Ta có: \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1
\Leftrightarrow 3 - m = 1 \Leftrightarrow m = 2

    Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1;1; -
2);\overrightarrow{v} = (1;0;m). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}
ight) = 45^{0}?

    Ta có: \left(
\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) = 45^{0} \Leftrightarrow
\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) =
\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow
\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u}
ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|} =
\frac{\sqrt{2}}{2}

    \Leftrightarrow \frac{1 -
2m}{\sqrt{6}.\sqrt{1 + m^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow
\sqrt{3\left( m^{2} + 1 ight)} = 1 - 2m

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - 2m \geq 0 \\3m^{2} + 3 = 1 - 4m + 4m^{2} \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \leq \dfrac{1}{2} \\m^{2} - 4m - 2 = 0 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow m = 2 - \sqrt{6}

    Vậy đáp án cần tìm là m = 2 -
\sqrt{6}.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ ba điểm A( - 1; -
2;3),B(0;3;1),C(4;2;2). Tính cosin góc \widehat{BAC}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (1;5; - 2) \\
\overrightarrow{AC} = (5;4; - 1) \\
\end{matrix} ight..

    \cos\widehat{BAC} = \cos\left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) =
\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|
\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|} =
\frac{5 + 20 + 2}{\sqrt{30}.\sqrt{42}} =
\frac{9}{2\sqrt{35}}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 94 lượt xem
Sắp xếp theo