Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa các điểm
. Tính số đo góc
?
Ta có:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa các điểm
. Tính số đo góc
?
Ta có:
Trong không gian tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
sao cho
là trung điểm của
?
Gọi tọa độ điểm . Vì M là trung điểm của AB nên ta có:
Vậy tọa độ điểm B cần tìm là .
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Đặt
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Gọi là tâm hình bình hành
. Khi đó:
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Biết
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:
. Do đó
Ta có:
Trong không gian
, cho các vectơ
và
(với
là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của
để
?
Ta có:
Khi đó
Do đó
Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong không gian cho hai đường thẳng
lần lượt có vectơ chỉ phương
. Gọi
là góc giữa hai đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Khẳng định đúng: “Nếu thì
”.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc.
là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Đặt . Khi đó
với
là ba số có tổng bằng 1.
Ta có:
Tương tự ta được
Do đó
Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa
Do đó
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.
Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.
Trong không gian
, cho điểm
. Tính độ dài đoạn thẳng
?
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
, với
là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ
, hai điểm
.
a)
. Đúng||Sai
b) Ba điểm
thẳng hàng. Sai||Đúng
c) Điểm
là điểm đối xứng của với
qua
. Khi đó
. Đúng||Sai
d) Điểm
trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Đúng||Sai
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho
, với
là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ
, hai điểm
.
a) . Đúng||Sai
b) Ba điểm thẳng hàng. Sai||Đúng
c) Điểm là điểm đối xứng của với
qua
. Khi đó
. Đúng||Sai
d) Điểm trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Đúng||Sai
a) Đúng: Vì nên
.
b) Sai: Ta có .
Vì nên
không cùng phương suy ra
không thẳng hàng.
c) Đúng
Vì là điểm đối xứng với
qua
nên
là trung điểm của
.
Ta có suy ra
.
Do đó . Vậy
.
d) Đúng. Gọi là điểm thỏa mãn
.
Ta có:
Do không thay đổi nên
nhỏ nhất khi
nhỏ nhất hay
là hình chiếu của điểm
trên mặt phẳng
.
Do đó suy ra
.
Vậy .
Cho điểm
chia đoạn thẳng
theo tỉ số
thì ta có:
. Khi đó với một điểm
tùy ý ta có:
Ta có:
Trong không gian
, cho ba điểm
. Tọa độ chân đường phân giác của góc
trong tam giác
là:
Ta có:
Gọi là chân đường phân giác kẻ từ
lên
của tam giác
.
Suy ra
Ta có:
Cho hình hộp
CÓ
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian hệ trục tọa độ
cho điểm
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu đối xứng với
qua mặt phẳng
thì
.
Nếu đối xứng với
qua trục
thì
.
Nếu đối xứng với
qua gốc tọa độ thì
.
Vậy mệnh đề đúng là: “Nếu đối xứng với
qua mặt phẳng
thì
”.
Trong không gian hệ trục tọa độ
cho
. Khi đó tọa độ
với hệ
là:
Ta có:
Lại có
Trong không gian
, cho
. Tọa độ điểm
là:
Ta có:
Trong không gian
, cho các điểm
đối xứng nhau qua mặt phẳng
. Tính giá trị biểu thức
?
Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng suy ra H(0; 6; 1)
Do M’ đối xứng với M qua nên MM’ nhận H làm trung điểm suy ra M’(2; 6; 1) suy ra a = 2; b = 6; c = 1
Vậy .
Cho tam giác
vuông tại
và có hai đỉnh
nằm trên mặt phẳng
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của đỉnh
lên
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu A nằm trên (P) tức A’ trùng với A thì tam giác A’BC có góc A vuông, nếu A không nằm trên (P) thì
suy ra góc
là góc tù.