Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$= \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)$

$= \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos60^{0} - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC}ight|.\cos60^{0}$

Mà $AC = AD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0 \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ight) = 90^{0}$
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 2;3;3)$ . Điểm $M(a;b;c)$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCM$ . Khi đó giá trị biểu thức $T = a + b - c$ có giá trị bằng bao nhiêu?
- A.
  $T = - 4$
- B.
  $T = 8$
- C.
  $T = 10$
- D.
  $T = 4$
Gọi tọa độ điểm $M(x;y;z)$

Ta có: $ABCM$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2 - x = 1 \\ 3 - y = - 3 \\ 3 - z = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 3 \\ y = 6 \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra điểm $M( - 3;6; - 1)$

Khi đó $T = a + b - c = - 3 + 6 - ( - 1) = 4$ .
Câu 3: Thông hiểu
Cho tứ diện $SABC$ có $SA = SB = SC = AB = AC = a$ và $BC = a\sqrt{2}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $SC$ và $AB$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $\left(\overrightarrow{SA};\overrightarrow{AB} ight) = 120^{0}$ ; $AC^{2} + AB^{2} = BC^{2}$ suy ra $AC\bot AB$ . Ta có:
$\cos\left(\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB} ight) =\frac{\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{SC} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|} =\frac{\left( \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC}ight).\overrightarrow{AB}}{\left| \overrightarrow{SC} ight|.\left|\overrightarrow{AB} ight|}$
$=\dfrac{\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}}{a^{2}} = \dfrac{-\dfrac{a^{2}}{2} + 0}{a^{2}} = - \dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \left(\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB} ight) = 120^{0}$ . Vậy góc giữa hai đường thẳng cần tìm là $180^{0}- 120^{0} = 60^{0}$
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành hình bình hành. Biết các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$ . Xác định tọa độ điểm $C$ ?
- A.
  $(2;0;2)$
- B.
  $(2;2;2)$
- C.
  $(2; - 2;2)$
- D.
  $(0; - 2;0)$
Giả sử điểm $C(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 1 \\ y + 1 = 1 \\ z - 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $C(2;0;2)$ .
Câu 5: Nhận biết
Tính chất nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$
- B.
  $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$
- C.
  $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + \left( - \overrightarrow{b} ight)$
- D.
  $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
Tính chất sai là: $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$
Câu 6: Vận dụng cao

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Đáp án là:

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Gọi hai lực tạo với nhau một góc $80^{\circ}$ là $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = 50$ N.

Lực còn lại là $\overrightarrow{F_{3}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{3}} ight| = 60$ N.

Gọi $\overrightarrow{F}$ là hợp lực của ba lực trên ta có

$\left| \overrightarrow{F} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} ight)^{2}$

$= \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{2}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|^{2} + 2\lbrack\left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}} ight)$

$+ \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{3}} ight) + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{3}},\overrightarrow{F_{2}} ight)brack$

$= 50^{2} + 50^{2} + 60^{2} + 2\lbrack 50.50.cos80^{0}$ $+ 50.60.cos60^{0} + 60.50.cos60^{0}brack \approx 15468$ .

$\Rightarrow |F| \approx 124$ N
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{u} =2\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$ và $\overrightarrow{v} = (m;2;m + 1)$ (với $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để $\left| \overrightarrow{u} ight| = \left|\overrightarrow{v} ight|$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Ta có: $\overrightarrow{u} = (2; -2;1)$
Khi đó $\left\{ \begin{matrix}\left| \overrightarrow{u} ight| = \sqrt{2^{2} + ( - 2)^{2} + 1^{2}} =3 \\\left| \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{m^{2} + 2^{2} + (m + 1)^{2}} =\sqrt{2m^{2} + 2m + 5} \\\end{matrix} ight.$
Do đó $\left| \overrightarrow{u} ight| =\left| \overrightarrow{v} ight| \Leftrightarrow 9 = 2m^{2} + 2m +5$
$\Leftrightarrow m^{2} + m - 2 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 1 \\m = - 2 \\\end{matrix} ight.$
Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{a}(2;m - 1;3)$ và $\overrightarrow{b}(1;3; - 2n)$ . Xác định giá trị của $m;n$ để hai vectơ đã cho có cùng hướng?
- A.
  $m = 7;n = - \frac{3}{4}$
- B.
  $m = 4;n = - 3$
- C.
  $m = 1;n = 0$
- D.
  $m = 7;n = - \frac{4}{3}$
Ta có: Hai vectơ $\overrightarrow{a}(2;m - 1;3)$ và $\overrightarrow{b}(1;3; - 2n)$ cùng hướng nên

$\overrightarrow{a} =k.\overrightarrow{b};(k > 0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = k \\m - 1 = 3k \\3 = k( - 2n) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = k \\m = 7 \ = - \dfrac{3}{4} \\\end{matrix} ight.$

Vậy $m = 7;n = - \frac{3}{4}$ là đáp án cần tìm.
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1; - 4;0);\overrightarrow{v} = ( - 1; - 2;1)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}$ ?
- A.
  $( - 2; - 10;3)$
- B.
  $( - 2; - 6;3)$
- C.
  $( - 4; - 8;4)$
- D.
  $( - 2; - 10; - 3)$
Ta có: $3\overrightarrow{v} = ( - 3; - 6;3)$ do đó $\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v} = ( - 2; - 10;3)$

Vậy đáp án cần tìm là $( - 2; - 10;3)$ .
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Khi đó $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC'}$ bằng:
- A.
  $\overrightarrow{CA'}$ .
- B.
  $\overrightarrow{CB'}$ .
- C.
  $\overrightarrow{CD'}$ .
- D.
  $\overrightarrow{CA}$ .
Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{CA'}$ .
Câu 11: Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16

Hình vẽ minh họa
Ta có: $A(0;\ 0;\ 0)$ , $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ nên $\overrightarrow{AB} = (m;0;0)$
⇒ $AB = m$ (do $m;n > 0$ ); $AD = m$ ; $AA' = n$ .
Mà $V_{ACB'D'} =\frac{1}{3}V_{ABCD.A'B'C'D'} =\frac{1}{3}.m.m.n$
⇒ $V_{ACB'D'} = \frac{1}{3}.m.m.n =\frac{1}{3}m^{2}(4 - m)$ .
Xét hàm số $f(m) = \frac{1}{3}m^{2}(4 - m)= - \frac{1}{3}m^{3} + \frac{4}{3}m^{2}$ trên $(0;4)$
$f'(m) = - m^{2} + \frac{8}{3}m =0$ ⇒ $\left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = \frac{8}{3} \\\end{matrix} ight.$
Bảng biến thiên:
Vậy $MaxV_{ACB'D'} =\frac{256}{81} \simeq 3,16$ .
Câu 12: Vận dụng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)$ . Tìm tọa độ điểm $A'$ ?
- A.
  $A'(4;6; - 5)$
- B.
  $A'(2;0;2)$
- C.
  $A'(3;5; - 6)$
- D.
  $A'(3;4; - 6)$
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;1;1) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (0; - 1;0) = 0.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6) = 3.\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$ do đó $\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = 2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k}$ hay $\overrightarrow{AA'} = (3;5; - 6)$

Suy ra $A'(3;5; - 6)$
Câu 13: Thông hiểu
Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.
- A.
  (0;435;0).
- B.
  (455;0;0).
- C.
  (0;455;0).
- D.
  (435;0;0).
Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:

$S = v.t = 890.\frac{1}{2} = 445\ \ (km).$

Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 1;1;0),\overrightarrow{b} = (1;1;0)$ và $\overrightarrow{c} = (1;1;0)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 1$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{6}}$
- C.
  $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ cùng phương
- D.
  $\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} =\overrightarrow{0}$
Ta có:

$\cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0$

$\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ không cùng phương vì $\frac{- 1}{1} eq \frac{1}{1}$

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (1;2;1)$

Vậy mệnh đề đúng là $\cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{6}}$
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;3;1)$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 8$
- B.
  $2\overrightarrow{a} = (2; - 4;0)$
- C.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;1; - 1)$
- D.
  $\left| \overrightarrow{b} ight| = \sqrt{11}$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;1;1)$ suy ra “ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;1; - 1)$ ” là khẳng định sai.
Câu 16: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng: $\left. \ \begin{matrix}\overrightarrow{MR} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\overrightarrow{SN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{MR} =\overrightarrow{SN}$ .

b) Đúng: Vi $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM}$

Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN}$

Vì $G$ là trung điểm của $MN$ nên $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$

Do đó: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}) = 2.\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$

c) Sai: $\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} =\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AD}$

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{IG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) = 4\overrightarrow{IG}$ .

$\Rightarrow |\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}| = |4\overrightarrow{IG}| = 4IG$ .

Do đó: $|\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}|$ nhỏ nhất khi $IG = 0 \Leftrightarrow I \equiv G$
Câu 17: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Tọa độ chân đường phân giác của góc $B$ trong tam giác $ABC$ là:
- A.
  $\left( - \frac{2}{3};\frac{11}{3};1 ight)$
- B.
  $\left( \frac{11}{3}; - 2;1 ight)$
- C.
  $\left( \frac{2}{3};\frac{11}{3};\frac{1}{3} ight)$
- D.
  $( - 2;11;1)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác kẻ từ $B$ lên $AC$ của tam giác $ABC$ .

Suy ra $\frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\ \overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)$
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}$ là:
- A.
  $(1;2; - 3)$
- B.
  $(2; - 3;1)$
- C.
  $(2;1; - 3)$
- D.
  $(1; - 3;2)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 3;1)$ .
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ ?
- A.
  $(2;2;0)$
- B.
  $(3; - 1;3)$
- C.
  $(3; - 1;2)$
- D.
  $(0;0;2)$
Do điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên điểm đó có tọa độ dạng $(x;y;0)$

Suy ra điểm $(2;2;0)$ là đáp án cần tìm.
Câu 20: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ . Biết rằng tọa độ các điểm $A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c)$ và hình thang $ABCD$ có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Tính giá trị biểu thức $a+b+c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ . Biết rằng tọa độ các điểm $A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c)$ và hình thang $ABCD$ có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Tính giá trị biểu thức $a+b+c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

94 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!