Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh $AB = a, AD = 2a$ , cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{0}$ . Sai||Đúng

c) Tích vô hướng của $\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB}$ bằng $\frac{a^{2}}{2}$ . Đúng||Sai

d) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN}$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh $AB = a, AD = 2a$ , cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{0}$ . Sai||Đúng

c) Tích vô hướng của $\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB}$ bằng $\frac{a^{2}}{2}$ . Đúng||Sai

d) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN}$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Sai||Đúng

a) Sai

Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên $AB//CD$

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

b) Sai

Ta có ABCD là hình chữ nhật nên $AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}$

Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

Suy ra $\tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'$

Ta có: $\left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left( \overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'$

c) Đúng

Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

Suy ra $SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{5}$

Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

$AM = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Lại có M là trung điểm của SB nên $MB = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Ta tính được $\cos MAB = \frac{MA^{2} + AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Mà $\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{MAB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}$

d) Sai

Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

Do đó $MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Suy ra $\left| \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| = \frac{a\sqrt{5}}{2}$
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = (1;3;m)$ . Xác định giá trị tham số $m$ để $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0}$ ?
- A.
  $m = - 5$
- B.
  $m = 5$
- C.
  $m = 1$
- D.
  $m = - 2$
Ta có: $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow 5 - m = 0 \Leftrightarrow m = 5$

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.
Câu 3: Vận dụng cao
Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy các điểm $A';B';C'$ lần lượt thuộc các tia $SA;SB;SC$ sao cho $\frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} = b;\frac{SC}{SC'} = c$ trong đó $a;b;c$ là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?
- A.
  $a + b + c = 3$
- B.
  $a + b + c = 4$
- C.
  $a + b + c = 2$
- D.
  $a + b + c = 1$
Hình vẽ minh họa

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

Khi đó $3\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{0}$ mà $\overrightarrow{SA} = a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} = b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} = c\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $3\overrightarrow{SG} = a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} + c\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}$

Vì mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ suy ra $\overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'}$ đồng phẳng.

Do đó tồn tại ba số $l;m;n$ sao cho $l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0$ ) và $l\overrightarrow{GA'} + m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow l\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) = \overrightarrow{0}$ s

$\Leftrightarrow (l + m + n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} + m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $\frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m + n} = 1$

$\Rightarrow a + b + c = 3$
Câu 4: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 5: Vận dụng cao

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Đáp án là:

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{EA_{1}} = (0;1; - 6) \\\overrightarrow{EA_{2}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; - 6ight) \\\overrightarrow{EA_{3}} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; -6 ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow EA_{1} = EA_{2} = EA_{3} =\sqrt{37}$ .
Suy ra, $\left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = \left|\overrightarrow{F_{3}} ight|$ (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).
Do đó: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = k\overrightarrow{EA_{1}} = (0;k; - 6k) \\\overrightarrow{F_{2}} = k\overrightarrow{EA_{2}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = k\overrightarrow{EA_{3}} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = (0;0; -18k)$ .
Mà $\overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{P} =(0;0; - 240)$ .
Suy ra $- 18k = - 240 \Leftrightarrow k =\frac{40}{3}$ .
Từ đó $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = \left( 0;\frac{40}{3}; - 80 ight) \\\overrightarrow{F_{2}} = \left( \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3}; -80 ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = \left( - \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3};- 80 ight) \\\end{matrix} ight.$ .
Vậy $\overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{F_{3}} =0.\left( \frac{- 20\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{40}{3}\left( -\frac{20}{3} ight) + ( - 80).( - 80) \approx 6311$ .
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho vectơ $\overrightarrow{a} = 6.\overrightarrow{i} + 8.\overrightarrow{k} + 7.\overrightarrow{j}$ . Khi đó tọa độ của $\overrightarrow{a}$ là.
- A.
  $(6;\ 8;\ 7)$ .
- B.
  $(8;\ 7;\ 6)$ .
- C.
  $(6;7; 8)$ .
- D.
  $(8;\ 6;\ 7)$
Do $\overrightarrow{a} = 6\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{k} + 7\overrightarrow{j} = 6\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} + 8\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{a} = (6;\ 7;\ 8)$ .
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 1;1;0),\overrightarrow{b} = (1;1;0)$ và $\overrightarrow{c} = (1;1;0)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 1$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{6}}$
- C.
  $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ cùng phương
- D.
  $\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} =\overrightarrow{0}$
Ta có:

$\cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0$

$\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ không cùng phương vì $\frac{- 1}{1} eq \frac{1}{1}$

$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (1;2;1)$

Vậy mệnh đề đúng là $\cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{6}}$
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , điểm đối xứng của điểm $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ có tọa độ là
- A.
  $(1; - 2; - 3)$ .
- B.
  $(1;0;0)$ .
- C.
  $(0;2;3)$ .
- D.
  $( - 1; - 2; - 3)$ .
Gọi $M'$ là điểm đối xứng của $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ .

Hình chiếu vuông góc của $M(1;2;3)$ lên trục $Ox$ là $H(1;0;0)$

Khi đó $H(1;0;0)$ là trung điểm của $M'M$ . Do đó tọa độ của $M'$ là $(1; - 2; - 3)$
Câu 9: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;3;0)$ và $B(2;0; - 3)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3)$ . Sai||Đúng

d) Tứ giác $OABC$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;3;0)$ và $B(2;0; - 3)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3)$ . Sai||Đúng

d) Tứ giác $OABC$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Đúng||Sai

a) Đúng

$\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ .

b) Sai

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{k}$ .

c) Sai

$\overrightarrow{AB} = \left( x_{B} - x_{A}^{};y_{B} - y_{A};z_{B} - z_{A} ight) = (3; - 3; - 3)$ .

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3; - 3; - 3)$ ,

$OABC$ là hình bình hành

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} = 3 \\ y_{C} = - 3 \\ z_{C} = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow C(3; - 3; - 3)$
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Khi đó $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}$ bằng.
- A.
  $4\overrightarrow{OS}$ .
- B.
  $4\overrightarrow{SO}$ .
- C.
  $2\overrightarrow{SO}$ .
- D.
  $3\overrightarrow{SO}$ .
Do $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$ nên $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ .

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có

$\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}$

$= \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OD} ight)$

$= 4\overrightarrow{SO}$
Câu 11: Nhận biết
Cho hai điểm phân biệt $A;B$ và một điểm $O$ bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OB} = k.\overrightarrow{BA}$ .
- B.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k.\left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} ight)$ .
- C.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k).\overrightarrow{OB}$ .
- D.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ .
Mệnh đề đúng: “Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k).\overrightarrow{OB}$ ”.
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A( - 1;2; - 3),B(1;0;2),C(x;y; - 2)$ thẳng hàng. Khi đó giá trị của biểu thức $x +y$ là:
- A.
  $1$
- B.
  $17$
- C.
  $- \frac{11}{5}$
- D.
  $\frac{11}{5}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (2; - 2;5) \\\overrightarrow{AC} = (x + 1;y - 2;1) \\\end{matrix} ight.$ . Vì A; B; C thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}$ cùng phương
$\Leftrightarrow \dfrac{x + 1}{2} =\dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{3}{5} \\y = \dfrac{8}{5} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x + y = 1$
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai véc tơ $\overrightarrow{u} = ( - 3;0;1)$ và $\overrightarrow{v} = (0;2; - 2)$ . Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ tương ứng là:
- A.
  $( - 6; - 2;4)$ .
- B.
  $( - 6;2;0)$ .
- C.
  $( - 2;1;3)$ .
- D.
  $(1; - 2;5)$ .
Ta có: $2\overrightarrow{u} = ( - 6;0;2)$ .

$\overrightarrow{v} = (0;2; - 2)$ .

Suy ra $\overrightarrow{w} = ( - 6 - 0;0 - 2;2 + 2) = ( - 6; - 2;4)$ .
Câu 14: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho vectơ $\overrightarrow{OM}$ có độ dài $\left| \overrightarrow{OM} ight| = 1$ , gọi $\alpha;\beta;\gamma$ lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ trên ba trục $Ox;Oy;Oz$ và vectơ $\overrightarrow{OM}$ . Khi đó tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $M\left(\sin\beta\cos\alpha;\sin\alpha\cos\beta;cos\gammaight)$
- B.
  $M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$
- C.
  $M\left( \sin\alpha;\sin\beta;\sin\gammaight)$
- D.
  $M\left(\sin\alpha\cos\alpha;\sin\beta\cos\beta;\sin\gamma\cos\gammaight)$
Gọi $M(x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{OM} = (x;y;z)$ và $\overrightarrow{i} = (1;0;0),\overrightarrow{j} = (0;1;0),\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

$\left\{ \begin{matrix}\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{i}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{i} ight|} = x \\\cos\beta = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{j}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = y \\\cos\gamma = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{k}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{k} ight|} = z \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$
Câu 15: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D$ và tâm $O$ . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau?
- A.
  $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$
- B.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'}$
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình bình hành suy ra $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ đúng.

Do $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ đối nhau và $\overrightarrow{BC'};\overrightarrow{D'A}$ đối nhau nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$ đúng.

Do $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD'}$ suy ra $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$ sai.

Do $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AC'}$ và $\overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{AC'}$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'}$ đúng.
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k}$ . Tọa độ điểm $A$ là:
- A.
  $(0;1; - 2)$
- B.
  $(1; - 2;0)$
- C.
  $(1;0; - 2)$
- D.
  $(0; - 1;2)$
Ta có: $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} \Leftrightarrow A(0;1; - 2)$
Câu 17: Nhận biết
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DH}$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Vì $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}$ ( $ADHE$ là hình vuông) nên $\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DH} ight) = \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE} ight) = \widehat{BAE} = 90^{0}$
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 2;2;0);\overrightarrow{b} = (2;2;0);\overrightarrow{c} = (2;2;2)$ . Khi đó giá trị của $\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight|$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $9$
- B.
  $15$
- C.
  $2\sqrt{11}$
- D.
  $2\sqrt{6}$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = ( - 2 + 2 + 2;2 + 2 + 2;0 + 0 + 2) = (2;6;2)$ .

Khi đó $\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight| = \sqrt{2^{2} + 6^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{11}$

Vậy đáp án cần tìm là: $2\sqrt{11}$
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Giả sử điểm $C'(a;b;c)$ . Tính giá trị biểu thức $T=a+b+2c$ ?
- A.
  $T=0$
- B.
  $T=25$
- C.
  $T=12$
- D. $T=-11$
Gọi điểm $C'(x;y;z)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.$
Mà $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}$
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C'(13;4;4)$ suy ra $a=13;b=4;c=4$
Vậy $T=25$
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{25}$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{5}$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{25}$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{5}$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}$

147 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!