Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 2;3;1),B(4;2; - 1),C(5; - 2;0). Điểm D(a;b;c) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD. Khi đó giá trị biểu thức H = 2a + b + c có giá trị bằng bao nhiêu?

    Gọi tọa độ điểm D(a;b;c)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (6; - 1; - 2) \\
\overrightarrow{DC} = (5 - a; - 2 - b; - c) \\
\end{matrix} ight.

    Ta có: ABCM là hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
5 - a = 6 \\
- 2 - b = - 1 \\
- c = - 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - 1 \\
b = - 1 \\
c = 2 \\
\end{matrix} ight. suy ra điểm D( - 1; - 1;2)

    Khi đó H = 2a + b + c = 2.( - 1) - 1 + 2
= - 1.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng a và a' lần lượt có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} và \overrightarrow{u'}. Nếu \varphi là góc giữa hai đường thẳng a và a' thì:

    Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là \cos\varphi = \left| \cos\left(
\overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|.

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD. Điểm N xác định bởi công thức \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \overrightarrow{AN} =
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} -
\overrightarrow{AD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AN} -
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}
\Leftrightarrow \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AD}

    Vậy N là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDBN.

  • Câu 4: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Giả sử điểm C'(a;b;c). Tính giá trị biểu thức T=a+b+2c?

    Gọi điểm C'(x;y;z)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.

    Mà \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'} \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow C'(13;4;4) suy ra a=13;b=4;c=4

    Vậy  T=25

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M;N lần lượt là tung điểm của AB;CD. Chọn mệnh đề đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{DN} \\
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{CN} \\
\end{matrix} ight.

    Cộng hai vế của hai đẳng thức trên ta có:

    2\overrightarrow{MN} =
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{CN}

    \Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} =
\left( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight) + \left(
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight) + \left(
\overrightarrow{DN} + \overrightarrow{CN} ight)

    \Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} =
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow
\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{BC} ight)

  • Câu 6: Vận dụng

    Trong không gian cho tam giác ABC. Tìm M sao cho giá trị của biểu thức P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất?

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

    Suy ra G cố định và \overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} =
\overrightarrow{0}

    P = MA^{2} + MB^{2} +
MC^{2}

    P = \left( \overrightarrow{MG} +
\overrightarrow{GA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} +
\overrightarrow{GB} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} +
\overrightarrow{GC} ight)^{2}

    P = 3{\overrightarrow{MG}}^{2} +
2\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} ight)^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}

    P = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}
\geq GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}

    Dấu “=” xảy ra khi M \equiv
G

    Vậy P_{\min} = GA^{2} + GB^{2} +
GC^{2} với M \equiv G là trọng tâm tam giác ABC.

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho A(1;\ \ 1;\  - 2) và B(2;\ \  - 1;\ \ 0). Hãy xác định tọa độ của \overrightarrow{AB}?

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (1;\  - \ 2;\ \
2)

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A';B';C' lần lượt thuộc các tia SA;SB;SC sao cho \frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} =
b;\frac{SC}{SC'} = c trong đó a;b;c là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}

    Khi đó 3\overrightarrow{GS} +
\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} =
\overrightarrow{0} mà \overrightarrow{SA} =
a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} =
b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} =
c\overrightarrow{SC'}

    Suy ra 3\overrightarrow{SG} =
a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} +
c\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} =
\frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} +
\frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} +
\frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}

    Vì mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'} đồng phẳng.

    Do đó tồn tại ba số l;m;n sao cho l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0) và l\overrightarrow{GA'} +
m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow l\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) =
\overrightarrow{0}s

    \Leftrightarrow (l + m +
n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} +
m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} =
\frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m +
n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m +
n}\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow
\frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} +
\frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} +
\frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m +
n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'}
+ \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}

    Suy ra \frac{a}{3} + \frac{b}{3} +
\frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m
+ n} = 1

    \Rightarrow a + b + c = 3

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho  A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1), khi đó tọa độ điểm B là:

    Gọi B(x;y;z) ta có:

    A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1) khi đó \left\{\begin{matrix}x - 1 = 1 \\y - 2 = 3 \\z + 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = 5 \\z = 0 \\\end{matrix} ight. nên tọa độ điểm cần tìm là B(2;5;0).

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \overrightarrow{a} = (2; - 3;3);\overrightarrow{b}
= (0;2; - 1);\overrightarrow{c} = (3; - 1;5). Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} +
3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
2\overrightarrow{a} = (4; - 6;6) \\
3\overrightarrow{b} = (0;6; - 3) \\
- 2\overrightarrow{c} = ( - 6;2; - 10) \\
\end{matrix} ight.. Khi đó \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} +
3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} = ( - 2;2; - 7)

    Vậy \overrightarrow{u} = ( - 2;2; -
7)

  • Câu 11: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2). Có tất cả bao nhiêu điểm Mtrong không gian thỏa mãn M eq A,M eq B,M eq C và \widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2). Có tất cả bao nhiêu điểm Mtrong không gian thỏa mãn M eq A,M eq B,M eq C và \widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 12: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.\A'B'C'D' có A trùng với gốc tọa độ O Biết rằng B(m;\ 0;\ 0), D(0;\ m;\ 0), A'(0;\ 0;\ n) với m, n là các số dương và m + n = 4. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện ACB'D'? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 3,16

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.\A'B'C'D' có A trùng với gốc tọa độ O Biết rằng B(m;\ 0;\ 0), D(0;\ m;\ 0), A'(0;\ 0;\ n) với m, n là các số dương và m + n = 4. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện ACB'D'? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 3,16

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: A(0;\ 0;\ 0), B(m;\ 0;\ 0), D(0;\ m;\ 0), A'(0;\ 0;\ n) nên \overrightarrow{AB} = (m;0;0)

    ⇒AB = m (do m;n > 0); AD = m; AA' = n.

    Mà V_{ACB'D'} =\frac{1}{3}V_{ABCD.A'B'C'D'} =\frac{1}{3}.m.m.n

    ⇒V_{ACB'D'} = \frac{1}{3}.m.m.n =\frac{1}{3}m^{2}(4 - m).

    Xét hàm số f(m) = \frac{1}{3}m^{2}(4 - m)= - \frac{1}{3}m^{3} + \frac{4}{3}m^{2} trên (0;4)

    f'(m) = - m^{2} + \frac{8}{3}m =0⇒\left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = \frac{8}{3} \\\end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên:

    Vậy MaxV_{ACB'D'} =\frac{256}{81} \simeq 3,16.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp OABC có OA = OB = OC = 1, các cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow{OC};\overrightarrow{MA}.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}
= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}
ight)\left( \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}
ight)

    =
\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC} = - \frac{BC^{2}}{2} = -
\frac{1}{2}

    Như vậy:

    \cos\left(
\overrightarrow{OM};\overrightarrow{BC} ight) =
\frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{\left|
\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|} =
\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2} = - \frac{1}{2}

    \Rightarrow \left(
\overrightarrow{OM};\overrightarrow{BC} ight) = 120^{0}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (2;1; -
1) và \overrightarrow{b} =
(1;3;m). Xác định giá trị tham số m để \left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0}?

    Ta có: \left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0} \Leftrightarrow
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow 5 - m = 0
\Leftrightarrow m = 5

    Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ điểm M trên trục Ox cách đều hai điểm A(1;2; - 1) và B(2;1;2)?

    Ta có: M \in Ox \Rightarrow
M(m;0;0)

    Theo bài ra ta có:

    MA = MB \Leftrightarrow MA^{2} =
MB^{2}

    \Leftrightarrow (m - 1)^{2} + 2^{2} +
1^{2} = (m - 2)^{2} + 1^{2} + 2^{2}

    \Leftrightarrow (m - 1)^{2} = (m -
2)^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m - 1 = m - 2 \\
m - 1 = 2 - m \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}
\Rightarrow M\left( \frac{3}{2};0;0 ight).

  • Câu 16: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( -
4;7;5). Tọa độ chân đường phân giác của góc B trong tam giác ABC là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\
\overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\
\end{matrix} ight.

    Gọi D(a;b;c) là chân đường phân giác kẻ từ B lên AC của tam giác ABC.

    Suy ra \frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC}
\Rightarrow \overrightarrow{DA} = -
\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\
\overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục Ox.

    Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là (1;0;0)

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho \overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b}
= (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4). Gọi \overrightarrow{x} là vectơ thỏa mãn \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = 4 \\
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 5 \\
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 8 \\
\end{matrix} ight.. Tìm tọa độ \overrightarrow{x}?

    Giả sử \overrightarrow{x} =
(x;y;z), khi đó:

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = 4 \\
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 5 \\
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 8 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2x - y + 3z = 4 \\
x - 3y + 2z = - 5 \\
3x + 2y - 4z = 8 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 3 \\
z = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \overrightarrow{x} =
(2;3;1)

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho vectơ \overrightarrow{a} = 6.\overrightarrow{i} +
8.\overrightarrow{k} + 7.\overrightarrow{j}. Khi đó tọa độ của \overrightarrow{a} là.

    Do \overrightarrow{a} =
6\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{k} + 7\overrightarrow{j} =
6\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} + 8\overrightarrow{k}
\Rightarrow \overrightarrow{a} = (6;\ 7;\ 8).

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0) và B(0;1;2). Vectơ \overrightarrow{AB} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (0 - 1;1 - 1;2 -
0) = ( - 1;0; - 2)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} =
(1;2;3).

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 148 lượt xem
Sắp xếp theo