Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(3; - 1;1)$ . Điểm đối xứng với $A$ qua mặt phẳng $(Oyz)$ có tọa độ là:
- A.
  $( - 3; - 1;1)$
- B.
  $(0; - 1;1)$
- C.
  $(0; - 1;0)$
- D.
  $(0;0;1)$
Giữ nguyên y, z và đổi dấu x nên ta suy ra điểm đối xứng với A qua $(Oyz)$ có tọa độ là $( - 3; - 1;1)$ .
Câu 2: Thông hiểu
Cho hình chóp $OABC$ có $OA = OB = OC = 1$ , các cạnh $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ . Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OC};\overrightarrow{MA}$ .
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $- 1$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\left( \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} ight)$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OB} = 0 - 0 = 0$

Vậy $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} = 0$
Câu 3: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;5;3),M(2;1; - 2)$ . Tìm tọa độ điểm $B$ sao cho $M$ là trung điểm của $AB$ ?
- A.
  $B\left( \frac{1}{2};3;\frac{1}{2} ight)$ .
- B.
  $B( - 4;9;8)$ .
- C.
  $B(5;3; - 7)$ .
- D.
  $B(5; - 3; - 7)$ .
Gọi tọa độ điểm $B\left( x_{B};y_{B};z_{C} ight)$ . Vì M là trung điểm của AB nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = \dfrac{- 1 + x_{B}}{2} \\1 = \dfrac{5 + y_{B}}{2} \\- 2 = \dfrac{3 + z_{B}}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{B} = 5 \\y_{B} = - 3 \\z_{C} = - 7 \\\end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ điểm B cần tìm là $B(5; - 3; - 7)$ .
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCCD.A'B'C'D'$ . Biết $A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10)$ . Tọa độ điểm $B'$ là:
- A.
  $B'(8;4;10)$
- B.
  $B'(6;12;0)$
- C.
  $B'(10;8;6)$
- D.
  $B'(13;0;17)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = ( - 5;4;7) \Rightarrow D( - 3;8; - 7)$

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B'D'} = ( - 7;8; - 7) \Rightarrow B'(13;0;17)$
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1; - 1)$ và $B(2;3;2)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $(1;2;3)$
- B.
  $( - 1; - 2;3)$
- C.
  $(3;5;1)$
- D.
  $(3;4;1)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (2 - 1;3 - 1;2 + 1) = (1;2;3)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = (1;2;3)$ .
Câu 7: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng: $\left. \ \begin{matrix}\overrightarrow{MR} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\overrightarrow{SN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{MR} =\overrightarrow{SN}$ .

b) Đúng: Vi $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM}$

Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN}$

Vì $G$ là trung điểm của $MN$ nên $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$

Do đó: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}) = 2.\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$

c) Sai: $\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} =\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AD}$

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{IG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) = 4\overrightarrow{IG}$ .

$\Rightarrow |\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}| = |4\overrightarrow{IG}| = 4IG$ .

Do đó: $|\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}|$ nhỏ nhất khi $IG = 0 \Leftrightarrow I \equiv G$
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian cho tứ diện $ABCD$ , gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của $AD;BC$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng.
- B.
  $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN}$ không đồng phẳng.
- C.
  $\overrightarrow{AN};\overrightarrow{CM};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng.
- D.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng.
Hình vẽ minh họa

Vì $M;N$ lần lượt là trung điểm của $AD;BC$ suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight) \\ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} ight) \\ \end{matrix} ight.$

Xét các phương án như sau:

$\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng đúng vì $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight)$

$\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN}$ không đồng phẳng đúng vì MN không nằm trong (ABC)

$\overrightarrow{AN};\overrightarrow{CM};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng sai vì AN không nằm trong (MNC)

$\overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng đúng vì $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} ight)$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Ba vectơ đồng phẳng thì có giá song song với nhau.
- B.
  Ba vectơ đồng phẳng thì có giá nằm trong một mặt phẳng.
- C.
  Nếu ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
- D.
  Nếu giá của ba vectơ đôi một vuông góc thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D(2;0;0)$
- B.
  $D(1;1;1)$
- C.
  $D(0;0;1)$
- D.
  $D(0;2;1)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = - 1 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(0;0;1)$ .
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 4;3)$ và $B(2;2;7)$ . Xác định tọa độ trung điểm $I$ của $AB$ ?
- A.
  $I(1;0;4)$
- B.
  $I(2;0;8)$
- C.
  $I(2; - 2; - 1)$
- D.
  $I( - 2;2;1)$
Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 1 \\y_{I} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 0 \\z_{I} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(1;0;4)$

Vậy đáp án đúng là: $I(1;0;4)$ .
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ ?
- A.
  $M(3;4;0)$
- B.
  $N( - 2;0;3)$
- C.
  $P(2;0;0)$
- D.
  $Q(0;4; - 1)$
Ta có: $A(x;y;z) \in (Oyz) \Rightarrow x = 0$ nên điểm cần tìm là $Q(0;4; - 1)$ .
Câu 13: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Vì $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ nên $A(3;0; - 1)$ .

b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2)$ .

Vì $4:2:4 eq - 2:4:2$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương suy ra $A,B,C$ không thẳng hàng.

c) Đúng

Vì $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $D( - 5;4;7)$ .

Do đó $a = - 5,b = 4,c = 7$ . Vậy $a + b + c = 6$ .

d) Đúng. Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.$

$MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$=(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$

Do $IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$ không thay đổi nên $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất hay $M$ là hình chiếu của điểm $I$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Do đó $M(1;2;0)$ suy ra $m=1,n=2,p=0$ .

Vậy $2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0$ .
Câu 14: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (1;1;0)$ , $\overrightarrow{b} = (2; - 1; - 2)$ và $\overrightarrow{c} = ( - 3;0;2)$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight) = 0$
- B.
  $2\left| \overrightarrow{a} ight| + \left| \overrightarrow{b} ight| = \left| \overrightarrow{c} ight|$
- C.
  $2\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ là mệnh đề đúng.
Câu 16: Vận dụng cao
Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy các điểm $A';B';C'$ lần lượt thuộc các tia $SA;SB;SC$ sao cho $\frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} = b;\frac{SC}{SC'} = c$ trong đó $a;b;c$ là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?
- A.
  $a + b + c = 3$
- B.
  $a + b + c = 4$
- C.
  $a + b + c = 2$
- D.
  $a + b + c = 1$
Hình vẽ minh họa

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

Khi đó $3\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{0}$ mà $\overrightarrow{SA} = a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} = b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} = c\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $3\overrightarrow{SG} = a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} + c\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}$

Vì mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ suy ra $\overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'}$ đồng phẳng.

Do đó tồn tại ba số $l;m;n$ sao cho $l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0$ ) và $l\overrightarrow{GA'} + m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow l\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) = \overrightarrow{0}$ s

$\Leftrightarrow (l + m + n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} + m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $\frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m + n} = 1$

$\Rightarrow a + b + c = 3$
Câu 17: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(2;2;1),N\left( - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OMN$ là:
- A.
  $(1;1;1)$
- B.
  $(0;1;1)$
- C.
  $(0; - 1; - 1)$
- D.
  $(1;0;1)$
Ta có bài toán sau

Trong tam giác ABC, gọi I là tâm đường nội tiếp tam giác ABC ta có: $a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ với $BC = a;AC = b;AB = c$

Hình vẽ minh họa

Gọi A’ là chân đường phân giác kẻ từ A

$\Rightarrow \overrightarrow{BA} = \frac{c}{b}\overrightarrow{A'C} \Leftrightarrow b\overrightarrow{BA'} + c\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{0}\ \ \ (1)$

$\overrightarrow{IA} =\dfrac{c}{A'B}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{c}{\dfrac{ac}{b +c}}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{b +c}{a}\overrightarrow{A'I}$

$\Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + (b + c)\overrightarrow{IA'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} + b\overrightarrow{BA'} + c\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

Áp dụng công thức trong tam giác OMN ta có:

$OM.\overrightarrow{IN} + ON.\overrightarrow{IM} + MN.\overrightarrow{IO} = \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{OM.x_{n} + ON.x_{M} + MN.x_{O}}{OM + ON + MN} = 0 \\y_{I} = \dfrac{OM.y_{n} + ON.y_{M} + MN.y_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\z_{I} = \dfrac{OM.z_{n} + ON.z_{M} + MN.z_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0;1;1)$

Vậy đáp án cần tìm là $(0;1;1)$
Câu 18: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = - 2\overrightarrow{i} +4\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) Tọa độ điểm A là $(−2; 4; 2)$ . Đúng||Sai

b) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên trục $Ox$ là $A’(0; 4; 0)$ . Sai||Đúng

c) Trung điểm của $OA$ là $M(−1; 2; 1)$ . Đúng||Sai

d) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là $H(−2; 0; 2)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = - 2\overrightarrow{i} +4\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) Tọa độ điểm A là $(−2; 4; 2)$ . Đúng||Sai

b) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên trục $Ox$ là $A’(0; 4; 0)$ . Sai||Đúng

c) Trung điểm của $OA$ là $M(−1; 2; 1)$ . Đúng||Sai

d) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là $H(−2; 0; 2)$ . Sai||Đúng

a) Ta có $A(−2; 4; 2).$

b) Hình chiếu vuông góc của A lên Ox là $(−2; 0; 0)$ .

c) Trung điểm của $OA$ là điểm $M(−1; 2; 1)$ .

d) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là $H(0; 4; 2)$ .
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành hình bình hành. Biết các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$ . Xác định tọa độ điểm $C$ ?
- A.
  $(2;0;2)$
- B.
  $(2;2;2)$
- C.
  $(2; - 2;2)$
- D.
  $(0; - 2;0)$
Giả sử điểm $C(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 1 \\ y + 1 = 1 \\ z - 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $C(2;0;2)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{B_{1}M} = \overrightarrow{B_{1}B} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$
- B.
  $\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$
- C.
  $\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$
- D.
  $\overrightarrow{B_{1}B} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}} = 2\overrightarrow{B_{1}D}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CD} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C_{1}A_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C_{1}B_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$

123 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!