Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16

Hình vẽ minh họa
Ta có: $A(0;\ 0;\ 0)$ , $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ nên $\overrightarrow{AB} = (m;0;0)$
⇒ $AB = m$ (do $m;n > 0$ ); $AD = m$ ; $AA' = n$ .
Mà $V_{ACB'D'} =\frac{1}{3}V_{ABCD.A'B'C'D'} =\frac{1}{3}.m.m.n$
⇒ $V_{ACB'D'} = \frac{1}{3}.m.m.n =\frac{1}{3}m^{2}(4 - m)$ .
Xét hàm số $f(m) = \frac{1}{3}m^{2}(4 - m)= - \frac{1}{3}m^{3} + \frac{4}{3}m^{2}$ trên $(0;4)$
$f'(m) = - m^{2} + \frac{8}{3}m =0$ ⇒ $\left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = \frac{8}{3} \\\end{matrix} ight.$
Bảng biến thiên:
Vậy $MaxV_{ACB'D'} =\frac{256}{81} \simeq 3,16$ .
Câu 2: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
- B.
  Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng phương thì hai vectơ đó bằng nhau.
- C.
  Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
- D.
  Độ dài vectơ là độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(0;3; - 2)$ và $N(2; - 1;0)$ . Vectơ $\overrightarrow{MN}$ có tọa độ là:
- A.
  $\overrightarrow{MN} = (2; - 4;2)$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = (1;1; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = ( - 2;4; - 2)$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = (2;2; - 2)$
Ta có:

$\overrightarrow{MN} = (2 - 0; - 1 - 3;0 + 2) = (2; - 4;2)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{MN} = (2; - 4;2)$ .
Câu 4: Vận dụng

Cho hình lập phương $B^{'}C$ có đường chéo $A^{'}C = \frac{3}{16}$ . Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ và điểm S thỏa mãn: $\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$ $+ \overrightarrow{OA^{'}} + \overrightarrow{OB^{'}} + \overrightarrow{OC^{'}} + \overrightarrow{OD^{'}}$ . Khi đó độ dài của đoạn $OS$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{b}$ với $a,b \in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $P = a^{2} + b^{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình lập phương $B^{'}C$ có đường chéo $A^{'}C = \frac{3}{16}$ . Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ và điểm S thỏa mãn: $\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$ $+ \overrightarrow{OA^{'}} + \overrightarrow{OB^{'}} + \overrightarrow{OC^{'}} + \overrightarrow{OD^{'}}$ . Khi đó độ dài của đoạn $OS$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{b}$ với $a,b \in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $P = a^{2} + b^{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 5: Thông hiểu

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ có $AB = AE = 2,AD = 3$ và đặt $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}$ . Lấy điểm $M$ thỏa $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD}$ và điểm $N$ thỏa $\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC}$ . (Quan sát hình vẽ).

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b}$ Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$ Sai||Đúng

c) $\left( m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} = m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} + p^{2}\overrightarrow{c^{2}}$ , với $m;n;p$ là các số thực. Đúng||Sai

d) $MN = \frac{\sqrt{61}}{5}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ có $AB = AE = 2,AD = 3$ và đặt $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}$ . Lấy điểm $M$ thỏa $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD}$ và điểm $N$ thỏa $\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC}$ . (Quan sát hình vẽ).

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b}$ Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$ Sai||Đúng

c) $\left( m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} = m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} + p^{2}\overrightarrow{c^{2}}$ , với $m;n;p$ là các số thực. Đúng||Sai

d) $MN = \frac{\sqrt{61}}{5}$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Ta có

$\overrightarrow{MA} = - \overrightarrow{AM} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b}$

b) Sai:

$\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC} = \frac{2}{5}(\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EH} + \overrightarrow{EA}) = \frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c})$

c) Đúng:

$(m.\overrightarrow{a} +n.\overrightarrow{b} + p.\overrightarrow{c})^{2} =m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} + n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2}$ $+p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2} +2mn.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ $+2np\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} +2mp.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$ $= m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} + n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2} + p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2}$

(vì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đôi một vuông góc nên $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0)$ .

Ta có

$\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EN}$

$= -\frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} +\frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -\overrightarrow{c})$

$= \frac{2}{5}\overrightarrow{a} +\frac{1}{5}\overrightarrow{b} +\frac{3}{5}\overrightarrow{c}$ .

d) Đúng:

$MN^{2} = {\overrightarrow{MN}}^{2} = \left( \frac{2}{5}\overrightarrow{a} + \frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \frac{3}{5}\overrightarrow{c} ight)^{2}$

$= \frac{4}{25}{\overrightarrow{a}}^{2} +\frac{1}{25}{\overrightarrow{b}}^{2} +\frac{9}{25}{\overrightarrow{c}}^{2}$ $= \frac{4}{25}.4 + \frac{1}{25}.9 +\frac{9}{25}.4 = \frac{61}{25}$

Suy ra $MN = \frac{\sqrt{61}}{5}$ .
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ trùng với gốc tọa độ $O$ . Các véc tơ $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{OC}$ , $\overrightarrow{OS}$ lần lượt cùng hướng với các véc tơ $\overrightarrow{i}$ , $\overrightarrow{j}$ , $\overrightarrow{k}$ và $OA = 3$ , $OS = 2$ . Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SB$ . Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{OM}$ là
- A.
  $(3 ; 1 ; 2)$ .
- B.
  $(2;0;1)$ .
- C.
  $(3;0; - 2)$ .
- D.
  $(1;0; - 2)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $OB = \sqrt{AB^{2} - OA^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$ .

Khi đó $\overrightarrow{OB} = (4;0;0),\ \ \ \overrightarrow{OS} = (0;0;2)$ .

Vì $M$ là trung điểm của $SB$ nên ta có

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OB} ight) = (2;0;1)$ .
Câu 7: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Vì $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ nên $A(3;0; - 1)$ .

b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2)$ .

Vì $4:2:4 eq - 2:4:2$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương suy ra $A,B,C$ không thẳng hàng.

c) Đúng

Vì $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $D( - 5;4;7)$ .

Do đó $a = - 5,b = 4,c = 7$ . Vậy $a + b + c = 6$ .

d) Đúng. Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.$

$MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$=(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$

Do $IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$ không thay đổi nên $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất hay $M$ là hình chiếu của điểm $I$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Do đó $M(1;2;0)$ suy ra $m=1,n=2,p=0$ .

Vậy $2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0$ .
Câu 8: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 1;3)$ , $B(0;2;0)$ và $C(5; - 2;1)$ . Điểm $D(a;b;c)$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Tính $S = a + b + c$ ?

Đáp án: 3

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 1;3)$ , $B(0;2;0)$ và $C(5; - 2;1)$ . Điểm $D(a;b;c)$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Tính $S = a + b + c$ ?

Đáp án: 3

Gọi $D = (x;y;z)$ $\Rightarrow \overrightarrow{DC} = (5 - x; - 2 - y;1 - z)$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (1;3; - 3)$

$ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - x = 1 \\ - 2 - y = 3 \\ 1 - z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 5 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow D(4; - 5;4)$ .

Vậy $S = a + b + c = 3$ .
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(2;1;2)$ , $N(4; 2; 1)$ , tọa độ điểm $P$ thuộc trục $Oz$ sao cho $M;N; P$ thẳng hàng là
- A.
  $P(0;0;3)$ .
- B.
  $P(0;0; - 3)$ .
- C.
  $P(3;0;0)$ .
- D.
  $P(0;3;0)$ .
Vì điểm $P$ thuộc trục $Oz$ nên $P$ có tọa độ $P(0;0;z)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN}(2;1; - 1)$ ; $\overrightarrow{NP}( - 4; - 2;z - 1)$

$M;\ N;\ P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{- 4}{2} = \frac{- 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} \Leftrightarrow z - 1 = 2 \Leftrightarrow z = 3$

Vậy điểm $P(0;0;3)$ .
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3)$ . Thể tích tứ diện $OABC$ bằng:
- A.
  $V = \frac{1}{3}$
- B.
  $V = \frac{1}{6}$
- C.
  $V = 1$
- D.
  $V = 2$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (1;0;0) \Rightarrow OA = 1 \\ \overrightarrow{OB} = (0;2;0) \Rightarrow OB = 2 \\ \overrightarrow{OC} = (0;0;3) \Rightarrow OC = 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Dễ thấy tứ diện $OABC$ vuông tại $O$ nên

$V_{OABC} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC = \frac{1}{6}.1.2.3 = 1$

Vậy đáp án đúng là: $V = 1$ .
Câu 11: Vận dụng cao

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm $M$ thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm $M$ thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1; - 1)$ và $B(2;3;2)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $(1;2;3)$
- B.
  $( - 1; - 2;3)$
- C.
  $(3;5;1)$
- D.
  $(3;4;1)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (2 - 1;3 - 1;2 + 1) = (1;2;3)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = (1;2;3)$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 4; - 2;6)$ . Phát biểu nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a}$ .
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$ .
- C.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.
- D.
  $\left| \overrightarrow{b} ight| = 2\left| \overrightarrow{a} ight|$ .
Dễ thấy $\overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a}$ từ đo suy ra hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng và $\left| \overrightarrow{b} ight| = 2\left| \overrightarrow{a} ight|$ .

Lại có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 2.( - 4) + 1.( - 2) + ( - 3).6 = - 28 eq 0$

Vậy phát biểu sai là: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $B(1;2; - 3),C(7;4 - 2)$ . Tìm tọa độ điểm $E$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{CE} = 2\overrightarrow{EB}$ ?
- A.
  $E\left( 3;\frac{8}{3}; - \frac{8}{3} ight)$
- B.
  $E\left( \frac{8}{3};3; - \frac{8}{3} ight)$
- C.
  $E\left( 3;3; - \frac{8}{3} ight)$
- D.
  $E\left( 1;2;\frac{1}{3} ight)$
Gọi $E(x;y;z)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{CE} = (x - 7;y - 4;z + 2) \\ 2\overrightarrow{EB} = (2 - 2x;4 - 2y; - 6 - 2z) \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra ta có:

$\overrightarrow{CE} =2\overrightarrow{EB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x - 7 = 2 - 2x \\y - 4 = 4 - 2y \\z + 2 = - 6 - 2z \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y = \dfrac{8}{3} \\z = - \dfrac{8}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow E\left( 3;\frac{8}{3}; - \dfrac{8}{3}ight)$

Vậy điểm E có tọa độ là $E\left( 3;\frac{8}{3}; - \frac{8}{3} ight)$ .
Câu 15: Thông hiểu
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Phân tích vectơ $\overrightarrow{AC'}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}$
- B.
  $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AA'} + 2\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{AC'} = 2\overrightarrow{AA'} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$
Ta có phép cộng vectơ đối với hình vuông $ABCD$ : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$

Khi đó ta có: $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$
Câu 16: Nhận biết
Cho hai đường thẳng $a$ và $a'$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{u'}$ . Nếu $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $a'$ thì:
- A.
  $\varphi = \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
- B.
  $\varphi = \pi - \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
- C.
  $\cos\varphi = \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
- D.
  $\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$
Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là $\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$ .
Câu 17: Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = BC = 2$ và $CC' = 4$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC$ và $AA'$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B'D'$ và $MN$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 2,43

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = BC = 2$ và $CC' = 4$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC$ và $AA'$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B'D'$ và $MN$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 2,43

Cách 1. Gọi $P$ là trung điểm $CD$ , $I = MP \cap AD$ , $J = IN \cap DD'$ , $K = AC \cap MP$ .

Ta có $MP//BD \Rightarrow MP//B'D' \Rightarrow d(B'D';MN) = d\left\lbrack B'D';(MNP) ightbrack = d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack$ .

Lại có $d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack = \frac{D'J}{DJ}d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack = 5.d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack$ .

Mặt khác $d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack = \frac{DI}{AI}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{1}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack$ .

Dễ thấy $\left\{ \begin{matrix} (NAK)\bot(MNP) \\ (NAK) \cap (MNP) = AK \\ AH\bot NK\ (H \in NK)\ trong\ (NAK) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow AH\bot(MNP) \Rightarrow d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = AH$ .

Suy ra $d(MN;B'D') = \frac{5}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{5}{3}AH$ với $AN = \frac{AA'}{2} = 2$ ; $AK = \frac{3}{4}\sqrt{2}AB = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $d(MN;B'D') = \frac{5}{3}AH = \frac{5}{3}.\frac{AN.AK}{\sqrt{AN^{2} + AK^{2}}} = \frac{5}{3}.\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}.2}{\sqrt{\left( \frac{3\sqrt{2}}{2} ight)^{2} + 2^{2}}} = \frac{10.\sqrt{17}}{17} \simeq 2,43$ .

Cách 2. Đặt các trục $Ox$ , $Oy$ và $Oz$ vào hình như sau

Ta có $M(1;2;0)$ , $N(0;0;2)$ , $B'(0;2;4)$ và $D'(2;0;4)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 1; - 2;2)$ , $\overrightarrow{B'D'} = (2; - 2;0)$ và $\overrightarrow{MB'} = ( - 1;0;4) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{B'D'} ightbrack = (4;4;6)$ .

Khi đó :

$d\left( MN;B^{'}D^{'} ight) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack.\overrightarrow{MB^{'}} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack ight|}$

$= \frac{\left| ( - 1).4 + 0.4 + 4.6 ight|}{\sqrt{4^{2} + 4^{2} + 6^{2}}} = \frac{10\sqrt{17}}{17} \simeq 2,43$ .
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vecto $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ cùng có độ dài bằng $2$ . Biết rằng góc giữa hai vecto đó bằng $120^{0}$ , giá trị của biểu thức $P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2}$ là
- A.
  $28$
- B.
  $- 25$
- C.
  $18$
- D.
  $- 12$
Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 2.2.cos120^{0} = 2.2.\left( - \frac{1}{2} ight) = - 2$

Do đó:

$P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 4\overrightarrow{.a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2}$

$= 4 - 4.( - 2) + 4.4 = 28$ .
Câu 19: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;3),B(2;3; - 4),C( - 3;1;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D( - 4; - 2;9)$
- B.
  $D( - 4;2;9)$
- C.
  $D(4; - 2;9)$
- D.
  $D(4;2; - 9)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3 - x = 1 \\ 1 - y = 3 \\ 2 - z = - 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = 9 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4; - 2;9)$ .

131 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!