Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}. Tìm giá trị x để \overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}. Tìm giá trị x để \overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc trục tung Oy?

    Điểm thuộc trục tung Oy là M(0; -
10;0).

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Đặt \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của CD suy ra \overrightarrow{BG} =
\frac{2}{3}\overrightarrow{BM}

    Ta có: \overrightarrow{AG} =
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AB} +
\frac{2}{3}\overrightarrow{BM}

    = \overrightarrow{AB} +
\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD}
ight) = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{BD} ight)

    = \overrightarrow{AB} +
\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)

    = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB}
+ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight) = \frac{1}{3}\left(
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}
ight)

  • Câu 4: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    a) Đúng: Vì \overrightarrow{OA} =
3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k} nên A(3;0; - 1).

    b) Sai: Ta có \overrightarrow{AB} =
(4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2).

    4:2:4 eq - 2:4:2 nên \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} không cùng phương suy ra A,B,C không thẳng hàng.

    c) Đúng

    D là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AD.

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\
y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\
z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\
\end{matrix} ight. suy ra D( -
5;4;7).

    Do đó a = - 5,b = 4,c = 7. Vậy a + b + c = 6.

    d) Đúng. Gọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} =
\overrightarrow{0}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\
0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\
- 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\
\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 2 \\
z = 1 \\
\end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.

    MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}

    =(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}

    Do IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} không thay đổi nên MA^{2} + MB^{2} +
MC^{2} nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (Oxy).

    Do đó M(1;2;0) suy ra m=1,n=2,p=0.

    Vậy 2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 =
0.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tứ giác ABCD là hình bình hành biết tọa độ các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1;
- 1;1). Tìm tọa độ điểm C?

    Giả sử điểm C(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 1 = 2 - 1 \\
y + 1 = 1 - 0 \\
z - 1 = 2 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 0 \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm C(2;0;2).

  • Câu 6: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( - 2;3;1),B(5;6;2). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm M. Tính tỉ số \frac{AM}{BM}?

    Ta có: M \in (Oxz) \Rightarrow
M(x;0;z)

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (7;3;1) \Rightarrow AB = \sqrt{59} \\
\overrightarrow{AM} = (x + 2; - 3;z - 1) \\
\end{matrix} ight. và ba điểm A;B;M thẳng hàng

    \overrightarrow{AM} =
k.\overrightarrow{AB};\left( k\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
x + 2 = 7k \\
- 3 = 3k \\
z - 1 = k \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 9 \\
k = - 1 \\
z = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow M( - 9;0;0) \Rightarrow
\left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{BM} = ( - 14; - 6; - 2) \\
\overrightarrow{AM} = ( - 7; - 3; - 1) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow BM = 2AB

    Vậy đáp án đúng là \frac{AM}{BM} =
\frac{1}{2}.

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hình lập phương B^{'}C có đường chéo A^{'}C =
\frac{3}{16}. Gọi O là tâm hình vuông ABCD và điểm S thỏa mãn: \overrightarrow{OS} =
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +
\overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{OA^{'}} +
\overrightarrow{OB^{'}} + \overrightarrow{OC^{'}} +
\overrightarrow{OD^{'}}. Khi đó độ dài của đoạn OS bằng \frac{a\sqrt{3}}{b} với a,b \in \mathbb{N}\frac{a}{b} là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P = a^{2} +
b^{2}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình lập phương B^{'}C có đường chéo A^{'}C =
\frac{3}{16}. Gọi O là tâm hình vuông ABCD và điểm S thỏa mãn: \overrightarrow{OS} =
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +
\overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{OA^{'}} +
\overrightarrow{OB^{'}} + \overrightarrow{OC^{'}} +
\overrightarrow{OD^{'}}. Khi đó độ dài của đoạn OS bằng \frac{a\sqrt{3}}{b} với a,b \in \mathbb{N}\frac{a}{b} là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P = a^{2} +
b^{2}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 8: Nhận biết

    Cho bốn điểm A;B;C;D trong không gian. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác \overrightarrow{0} có điểm đầu và điểm cuối là 4 điểm?

    Lấy A làm gốc ta được 3 vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}. Tương tự đối với B;C;D ta được 4.3 = 12 vectơ.

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(3; - 2;5). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oxz) là:

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(3; -
2;5) trên mặt phẳng (Oxz) là điểm có tọa độ (3;0;5).

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCDAB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCDAB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hai điểm phân biệt A;B và một điểm O bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Mệnh đề đúng: “Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi \overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 -
k).\overrightarrow{OB}”.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A( - 3; - 1; - 1). Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm A'(x;y;z). Khi đó giá trị 2x + y + z bằng:

    Hình chiếu vuông góc của A( - 3; - 1; -
1) trên mặt phẳng (Oyz)A'(0; - 1; - 1)

    Suy ra 2x + y + z = - 2.

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; - 2),B\left(
\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight). Biết I(a;b;c) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Tính giá trị biểu thức U = a - b + c?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.

    Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

    \overrightarrow{DA} = -
\frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = -
\frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}

    \Rightarrow \overrightarrow{DA} = -
\frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} =
\frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}. Do đó D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0
ight)

    Ta có: \overrightarrow{AD} = \left(
\frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD =
\frac{15}{7}

    \overrightarrow{ID} = -
\frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO}
\Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD}
\Rightarrow D(1;1;0)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = 1 \\
c = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow U = 0

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm M(1;1;1),\ N(2;3;4),\
P(7;7;5). Tìm tọa độ điểm Q để tứ giác MNPQ là hình bình hành

    Minh họa bằng hình vẽ sau:

    Ta có \overrightarrow{MN} = (1;2;3),\
\overrightarrow{QP} = \left( 7 - x_{Q};7 - y_{Q};5 - z_{Q}
ight).

    MNPQ là hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{MN} =
\overrightarrow{QP}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1 = 7 - x_{Q} \\
2 = 7 - y_{Q} \\
3 = 5 - z_{Q} \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{Q} = 6 \\
y_{Q} = 5 \\
z_{Q} = 2 \\
\end{matrix} ight..

    Vậy Q(6;5;2).

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1; -
2;3);\overrightarrow{v} = ( - 1;2;0). Vectơ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} có tọa độ là:

    Ta có: \overrightarrow{u} +
\overrightarrow{v} = \left( 1 + ( - 1); - 2 + 2;3 + 0 ight) =
(0;0;3)

    Vậy đáp án cần tìm là (0;0;3)

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tọa độ các điểm B( - 1;2;1),B'( -
2;1;0),C'(5;3;2). Xác định tọa độ điểm C?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi tọa độ điểm C(x;y;z)

    ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên

    \overrightarrow{CC'} =
\overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
5 - x = - 2 - ( - 1) \\
3 - y = 1 - 2 \\
2 - z = 0 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 6 \\
y = 4 \\
z = 3 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ C(6;4;3).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; - 1;0),B(0;2;0),C(2;1;3). Xác định tọa độ điểm M thỏa mãn \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} +
\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}?

    Ta có: \overrightarrow{MA} -
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
(1 - x) - (0 - x) + (2 - x) = 0 \\
( - 1 - y) - (2 - y) + (1 - y) = 0 \\
(0 - z) - (0 - z) + (3 - z) = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 3 \\
y = - 2 \\
z = 3 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow M(3; - 2;3)

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AC} =
\overrightarrow{B'C'} nên \left(
\overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight) = \left(
\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} ight) = \widehat{CAD} =
45^{0}

    Suy ra \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}= \left| \overrightarrow{AC} ight|.\left|\overrightarrow{B'C'} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight)

    =a\sqrt{2}.a.\cos45^{0} =a^{2}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1;1; -
2);\overrightarrow{v} = (1;0;m). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}
ight) = 45^{0}?

    Ta có: \left(
\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) = 45^{0} \Leftrightarrow
\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) =
\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow
\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u}
ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|} =
\frac{\sqrt{2}}{2}

    \Leftrightarrow \frac{1 -
2m}{\sqrt{6}.\sqrt{1 + m^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow
\sqrt{3\left( m^{2} + 1 ight)} = 1 - 2m

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - 2m \geq 0 \\3m^{2} + 3 = 1 - 4m + 4m^{2} \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \leq \dfrac{1}{2} \\m^{2} - 4m - 2 = 0 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow m = 2 - \sqrt{6}

    Vậy đáp án cần tìm là m = 2 -
\sqrt{6}.

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz có điểm A(1; - 3;1),B(3;0; - 2). Tính độ dài AB?

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (3 - 1;0 +
3; - 2 - 1) = (2;3; - 3)

    Suy ra AB = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + ( -
3)^{2}} = \sqrt{22}

    Vậy đáp án cần tìm là AB =
\sqrt{22}.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 98 lượt xem
Sắp xếp theo