Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho hai đường thẳng $a$ và $a'$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{u'}$ . Nếu $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $a'$ thì:
- A.
  $\varphi = \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
- B.
  $\varphi = \pi - \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
- C.
  $\cos\varphi = \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
- D.
  $\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$
Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là $\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$ .
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1),P(1;m - 1;2)$ . Tìm giá trị của tham số $m$ để tam giác $MNP$ vuông tại $N$ ?
- A.
  $m = 2$
- B.
  $m = - 6$
- C.
  $m = 0$
- D.
  $m = - 4$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = ( - 3; - 2;2) \\ \overrightarrow{NP} = (2;m - 2;1) \\ \end{matrix} ight.$ .

Tam giác MNP vuông tại N $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NP} = 0 \Leftrightarrow - 6 - 2(m - 2) + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 0$

Vậy đáp án cần tìm là $m = 0$ .
Câu 3: Nhận biết
Tìm tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ . Biết tọa độ hai điểm $A(1;2;3)$ và $B(3; - 1;4)$ .
- A.
  $M(2; - 4;2)$
- B.
  $M(4;2;6)$
- C.
  $M( - 2; - 1; - 3)$
- D.
  $M(2;1;3)$
Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2;1;3)$

Vậy đáp án đúng là: $M(2;1;3)$ .
Câu 4: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức $T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight|$ ?
- A.
  $T = 3$
- B.
  $T = \sqrt{3}$
- C.
  $T = 1$
- D.
  $T = \sqrt{2}$
Vì các vectơ $\frac{\overrightarrow{AB}}{AB};\frac{\overrightarrow{AC}}{AC};\frac{\overrightarrow{AD}}{AD}$ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên

$\left( \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight)^{2} = 3 \Leftrightarrow T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight| = \sqrt{3}$
Câu 5: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D$ và tâm $O$ . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau?
- A.
  $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$
- B.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'}$
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình bình hành suy ra $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ đúng.

Do $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ đối nhau và $\overrightarrow{BC'};\overrightarrow{D'A}$ đối nhau nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$ đúng.

Do $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD'}$ suy ra $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$ sai.

Do $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AC'}$ và $\overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{AC'}$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'}$ đúng.
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2; - 3;5)$ . Tìm tọa độ điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua trục $Oy$ ?
- A.
  $A'(2;3;5)$
- B.
  $A'(2; - 3; - 5)$
- C.
  $A'( - 2; - 3;5)$
- D.
  $A'( - 2; - 3; - 5)$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của $A(2; - 3;5)$ lên $Oy$ suy ra $H(0; - 3;0)$

Khi đó $H$ là trung điểm của $AA'$ nên

$\left\{ \begin{matrix} x_{A'} = 2x_{H} - x_{A} \\ y_{A'} = 2y_{H} - y_{A} \\ z_{A'} = 2z_{H} - z_{A} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{A'} = 2 \\ y_{A'} = - 3 \\ z_{A'} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'( - 2; - 3; - 5)$
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho vectơ $\overrightarrow{a} = 6.\overrightarrow{i} + 8.\overrightarrow{k} + 7.\overrightarrow{j}$ . Khi đó tọa độ của $\overrightarrow{a}$ là.
- A.
  $(6;\ 8;\ 7)$ .
- B.
  $(8;\ 7;\ 6)$ .
- C.
  $(6;7; 8)$ .
- D.
  $(8;\ 6;\ 7)$
Do $\overrightarrow{a} = 6\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{k} + 7\overrightarrow{j} = 6\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} + 8\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{a} = (6;\ 7;\ 8)$ .
Câu 8: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(2;2;1),N\left( - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OMN$ là:
- A.
  $(1;1;1)$
- B.
  $(0;1;1)$
- C.
  $(0; - 1; - 1)$
- D.
  $(1;0;1)$
Ta có bài toán sau

Trong tam giác ABC, gọi I là tâm đường nội tiếp tam giác ABC ta có: $a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ với $BC = a;AC = b;AB = c$

Hình vẽ minh họa

Gọi A’ là chân đường phân giác kẻ từ A

$\Rightarrow \overrightarrow{BA} = \frac{c}{b}\overrightarrow{A'C} \Leftrightarrow b\overrightarrow{BA'} + c\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{0}\ \ \ (1)$

$\overrightarrow{IA} =\dfrac{c}{A'B}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{c}{\dfrac{ac}{b +c}}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{b +c}{a}\overrightarrow{A'I}$

$\Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + (b + c)\overrightarrow{IA'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} + b\overrightarrow{BA'} + c\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

Áp dụng công thức trong tam giác OMN ta có:

$OM.\overrightarrow{IN} + ON.\overrightarrow{IM} + MN.\overrightarrow{IO} = \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{OM.x_{n} + ON.x_{M} + MN.x_{O}}{OM + ON + MN} = 0 \\y_{I} = \dfrac{OM.y_{n} + ON.y_{M} + MN.y_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\z_{I} = \dfrac{OM.z_{n} + ON.z_{M} + MN.z_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0;1;1)$

Vậy đáp án cần tìm là $(0;1;1)$
Câu 9: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(2, - 2,1),B( - 4,2,4),C( - 4,0,1)$ . Các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $M\left( - 1,0,\frac{5}{2} ight)$ là trung điểm của $BC$ . Sai||Đúng

b) $G(-2,0,2)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Đúng||Sai

c) $N(8; - 6; - 2)$ là điểm đối xứng của $B$ qua $A$ . Đúng||Sai

d) Tọa độ điểm $E( - 14;8;11)$ thỏa $B$ là trọng tâm tam giác $AOE$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(2, - 2,1),B( - 4,2,4),C( - 4,0,1)$ . Các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $M\left( - 1,0,\frac{5}{2} ight)$ là trung điểm của $BC$ . Sai||Đúng

b) $G(-2,0,2)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Đúng||Sai

c) $N(8; - 6; - 2)$ là điểm đối xứng của $B$ qua $A$ . Đúng||Sai

d) Tọa độ điểm $E( - 14;8;11)$ thỏa $B$ là trọng tâm tam giác $AOE$ . Đúng||Sai

a) Sai: Do tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ là

$M\left( \frac{- 4 + ( - 4)}{2};\frac{2 +0}{2};\frac{4 + 1}{2} ight)$ hay $M\left( - 4;1;\frac{5}{2}ight)$

b) Đúng: Do tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là

$G\left( \frac{2 + ( - 4) + ( -4)}{3};\frac{- 2 + 2 + 0}{3};\frac{1 + 4 + 1}{3} ight)$ hay $G(- 2;0;2)$

c) Đúng: $N$ là điểm đối xứng của $B$ qua $A$ thì $B$ là trung điểm $AN$ .

$\left\{ \begin{matrix}x_{B} = \dfrac{x_{A} + x_{N}}{2} \\y_{B} = \dfrac{y_{A} + y_{N}}{2} \\z_{B} = \dfrac{z_{A} + z_{N}}{2} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{N} = 2x_{B} - x_{A} \\y_{N} = 2y_{B} - y_{A} \\z_{N} = 2z_{B} - z_{A} \\\end{matrix} ight.\ ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{N} = 8 \\ y_{N} = - 6 \\ z_{N} = - 2 \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow N(8; - 6; - 2)$

d) Đúng: $B$ là trọng tâm tam giác $AOE$ .

$\left\{ \begin{matrix}x_{B} = \dfrac{x_{A} + x_{O} + x_{E}}{3} \\y_{B} = \dfrac{y_{A} + y_{O} + y_{E}}{3} \\z_{B} = \dfrac{z_{A} + z_{O} + z_{E}}{3} \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{E} = 3x_{B} - x_{A} - x_{O} \\ y_{E} = 2y_{B} - y_{A} - y_{O} \\ z_{E} = 3z_{B} - z_{A} - z_{O} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{E} = - 14 \\ y_{E} = 8 \\ z_{E} = 11 \\ \end{matrix} \Rightarrow E( - 14;8;11) ight.$
Câu 10: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian cho tứ diện đều $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$
- B.
  $\overrightarrow{AC}\bot\overrightarrow{BC}$
- C.
  $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{BC}$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
Tứ diện $ABCD$ đều nên $\overrightarrow{AD}$ không thể vuông góc với $\overrightarrow{DC}$ .

Vậy khẳng định sai là: “ $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$ ”.
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;0;2)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $M \in Oy$
- B.
  $M \in (Oxz)$
- C.
  $M \in (Oxy)$
- D.
  $M \in (Oyz)$
Vì tọa độ điểm $M(1;0;2)$ có $x = 1;y = 0;z = 2$ nên $M \in (Oxz)$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;0)$ và $B(0;1;2)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $(0;1;0)$
- B.
  $(1;2;2)$
- C.
  $(1;0; - 2)$
- D.
  $( - 1;0;2)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (0 - 1;1 - 1;2 - 0) = ( - 1;0; - 2)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = (1;2;3)$ .
Câu 14: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho vectơ $\overrightarrow{OM}$ có độ dài $\left| \overrightarrow{OM} ight| = 1$ , gọi $\alpha;\beta;\gamma$ lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ trên ba trục $Ox;Oy;Oz$ và vectơ $\overrightarrow{OM}$ . Khi đó tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $M\left(\sin\beta\cos\alpha;\sin\alpha\cos\beta;cos\gammaight)$
- B.
  $M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$
- C.
  $M\left( \sin\alpha;\sin\beta;\sin\gammaight)$
- D.
  $M\left(\sin\alpha\cos\alpha;\sin\beta\cos\beta;\sin\gamma\cos\gammaight)$
Gọi $M(x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{OM} = (x;y;z)$ và $\overrightarrow{i} = (1;0;0),\overrightarrow{j} = (0;1;0),\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

$\left\{ \begin{matrix}\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{i}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{i} ight|} = x \\\cos\beta = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{j}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = y \\\cos\gamma = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{k}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{k} ight|} = z \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$
Câu 15: Vận dụng

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

a) Sai

Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $( - 1,5\ ;\ - 1\ ;\ 0,5)$ .

b) Đúng

Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là $(2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7)$ .

Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

$\sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} + (0,7 + 0,5)^{2}}$

$= \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx 4,6(km)$

c) Sai

Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

$\sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} = \frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)$

Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

$\sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} + 0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)$

Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

d) Đúng

Vị trí của chiếc flycam là

$\left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 - 1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\ 0,6)$ .

Khoảng cách bay của flycam là:

$\sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} = \frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)$

Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ là

$\sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)$

Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ .
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 4;3)$ và $B(2;2;7)$ . Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là:
- A.
  $(1;3;2)$
- B.
  $(2; - 1;5)$
- C.
  $(2; - 1; - 5)$
- D.
  $(2;6;4)$
Gọi $M\left( x_{M};y_{M};z_{M} ight)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = \dfrac{2 + 2}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{- 4 + 2}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = \dfrac{3 + 7}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2; - 1;5)$

Vậy tọa độ trung điểm của AB là: $(2; - 1;5)$ .
Câu 17: Vận dụng cao
Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy các điểm $A';B';C'$ lần lượt thuộc các tia $SA;SB;SC$ sao cho $\frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} = b;\frac{SC}{SC'} = c$ trong đó $a;b;c$ là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?
- A.
  $a + b + c = 3$
- B.
  $a + b + c = 4$
- C.
  $a + b + c = 2$
- D.
  $a + b + c = 1$
Hình vẽ minh họa

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

Khi đó $3\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{0}$ mà $\overrightarrow{SA} = a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} = b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} = c\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $3\overrightarrow{SG} = a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} + c\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}$

Vì mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ suy ra $\overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'}$ đồng phẳng.

Do đó tồn tại ba số $l;m;n$ sao cho $l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0$ ) và $l\overrightarrow{GA'} + m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow l\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) = \overrightarrow{0}$ s

$\Leftrightarrow (l + m + n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} + m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $\frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m + n} = 1$

$\Rightarrow a + b + c = 3$
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $M( - 2; - 3;1)$
- B.
  $M(2; - 3;1)$
- C.
  $M(2; - 1;3)$
- D.
  $M(2;3;1)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ $M(2; - 3;1)$ .
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có tọa độ các điểm $B( - 1;2;1),B'( - 2;1;0),C'(5;3;2)$ . Xác định tọa độ điểm $C$ ?
- A.
  $C(6;4;3)$
- B.
  $C(4; - 1;2)$
- C.
  $C(2;3; - 5)$
- D.
  $C(3; - 5; - 1)$
Hình vẽ minh họa

Gọi tọa độ điểm $C(x;y;z)$

Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên

$\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - x = - 2 - ( - 1) \\ 3 - y = 1 - 2 \\ 2 - z = 0 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 6 \\ y = 4 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ $C(6;4;3)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Cho tứ diện đều $ABCD$ , $M$ là trung điểm cạnh $BC$ . Khi đó $\cos(AB;DM)$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{6}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Giả sử cạnh tứ diện bằng a

Tam giác BCD đều suy ra $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ABC đều suy ra $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{\left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{DM} ight|} =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$

Mặt khác $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AD} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$

$= \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AM} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} ight) - \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight)$

$= a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{a^{2}}{4}$

$\Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = \frac{\sqrt{3}}{6} > 0$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = (AB;DM)$

$\Rightarrow \cos(AB;DM) = \frac{\sqrt{3}}{6}$

148 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!