Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -
3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Tìm tọa độ điểm C'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +
0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =
10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} +
4.\overrightarrow{k}A( -
3;0;0)

    \Rightarrow C'(7;4;4)

    Suy ra C'(7;4;4)

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc trục tung Oy?

    Điểm thuộc trục tung Oy là M(0; -
10;0).

  • Câu 3: Vận dụng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (91;75;0) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 294,92 km.

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (91;75;0) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 294,92 km.

    Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

    Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.

    Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)

    Ta có \overrightarrow{OH} = ( - 688 +
91t; - 185 + 75t;8)

    OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0

    ⟺13906t - 76483 = 0 ⟺ t =
\frac{11}{2}.

    Suy ra H(\frac{-
375}{2};\frac{455}{2};8).

    Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:

    OH = \sqrt{\left( \frac{- 375}{2}
ight)^{2} + \left( \frac{455}{2} ight)^{2} + 8^{2})} \approx
294,92(km).

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho vectơ \overrightarrow{a} = 6.\overrightarrow{i} +
8.\overrightarrow{k} + 7.\overrightarrow{j}. Khi đó tọa độ của \overrightarrow{a} là.

    Do \overrightarrow{a} =
6\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{k} + 7\overrightarrow{j} =
6\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} + 8\overrightarrow{k}
\Rightarrow \overrightarrow{a} = (6;\ 7;\ 8).

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2;2;1),N\left( -
\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight). Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN là:

    Ta có bài toán sau

    Trong tam giác ABC, gọi I là tâm đường nội tiếp tam giác ABC ta có: a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB}
+ c\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0} với BC = a;AC = b;AB = c

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A’ là chân đường phân giác kẻ từ A

    \Rightarrow \overrightarrow{BA} =
\frac{c}{b}\overrightarrow{A'C} \Leftrightarrow
b\overrightarrow{BA'} + c\overrightarrow{CA'} =
\overrightarrow{0}\ \ \ (1)

    \overrightarrow{IA} =\dfrac{c}{A'B}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{c}{\dfrac{ac}{b +c}}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{b +c}{a}\overrightarrow{A'I}

    \Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} +
(b + c)\overrightarrow{IA'} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} +
b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} + b\overrightarrow{BA'}
+ c\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} +
b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} =
\overrightarrow{0}

    Áp dụng công thức trong tam giác OMN ta có:

    OM.\overrightarrow{IN} +
ON.\overrightarrow{IM} + MN.\overrightarrow{IO} =
\overrightarrow{0}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{OM.x_{n} + ON.x_{M} + MN.x_{O}}{OM + ON + MN} = 0 \\y_{I} = \dfrac{OM.y_{n} + ON.y_{M} + MN.y_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\z_{I} = \dfrac{OM.z_{n} + ON.z_{M} + MN.z_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow I(0;1;1)

    Vậy đáp án cần tìm là (0;1;1)

  • Câu 6: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz\overrightarrow{u} là một vecto tùy ý khác \overrightarrow{0}.

    Tính T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz\overrightarrow{u} là một vecto tùy ý khác \overrightarrow{0}.

    Tính T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    Đáp án: 1

    Giả sử \overrightarrow{u} =
(x,y,z).

    Ta có \overrightarrow{i}(1,0,0);\overrightarrow{j}(0,1,0);\overrightarrow{k}(0,0,1)

    cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}) +
cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +
cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    = \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} +
z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}
ight)^{2} + \left( \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}
ight)^{2}

    = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} +
y^{2} + z^{2}} = 1

    Vậy T = 1

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hình hộp ABCD.EFFH. Tính tổng \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}?

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AG}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (5;3; -
2);\overrightarrow{b} = (m; - 1;m + 3). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} là góc tù?

    Ta có: \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) =
\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a}
ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{3m -
9}{\sqrt{38}.\sqrt{2m^{2} + 6m + 10}}

    Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} là góc tù khi và chỉ khi

    \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) < 0 \Leftrightarrow
\frac{3m - 9}{\sqrt{38}.\sqrt{2m^{2} + 6m + 10}} < 0

    \Leftrightarrow 3m - 9 < 0
\Leftrightarrow m < 3

    m \in \mathbb{Z}^{+} \Rightarrow m =
\left\{ 1;2 ight\}

    Suy ra có 2 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Vậy đáp án cần tìm là 2.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M;P lần lượt là trung điểm của AB;CD. Đặt \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} =
\overrightarrow{c};\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \overrightarrow{MP} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{MC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{MD} =
\overrightarrow{MA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}

    = - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} =
\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} -
\overrightarrow{b} ight)

    Vậy khẳng định đúng \overrightarrow{MP} =
\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} -
\overrightarrow{b} ight).

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} -
2\overrightarrow{k}. Tọa độ điểm A là:

    Ta có: \overrightarrow{OA} =
\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} \Leftrightarrow A(0;1; -
2)

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}
= \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}} đúng vì \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}} \\
\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} +
\overrightarrow{B_{1}C_{1}}

    \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} =
\overrightarrow{DC} đúng vì \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}}
+ \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DC}

    \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}
+ \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}} đúng vì \overrightarrow{BD_{1}} =
\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{BB_{1}}

    \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} =
\overrightarrow{BC} sai vì

    \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA}
+ \overrightarrow{BB_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} =
\overrightarrow{BA_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} eq
\overrightarrow{BC}

  • Câu 12: Nhận biết

    Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, biết rằng A(1;3;4),B(2; - 1;0),C(3;1;2)?

    Tọa độ trọng tâm G của tam giác được xác định như sau:

    \left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 + 2 + 3}{3} = 2 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{3 - 1 + 1}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{4 + 0 + 2}{3} = 2 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow G(2;1;2)

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}. Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?

    Hai vectơ còn lại có thể không cùng phương nên ba vectơ có thể không đồng phẳng.

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(3; - 2;5). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oxz) là:

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(3; -
2;5) trên mặt phẳng (Oxz) là điểm có tọa độ (3;0;5).

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} =
(1;2;1);\overrightarrow{b} = ( - 1;3;0). Vectơ \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} có tọa độ là:

    Ta có: 2\overrightarrow{a} =
(2;4;2). Khi đó \overrightarrow{c}
= 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left( 2 + ( - 1);4 + 3;2 +
0 ight) = (1;7;2)

    Vậy \overrightarrow{c} =
(1;7;2)

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hai điểm A(5;1;3)H(3; - 3; - 1). Tọa độ điểm A' đối xứng với A qua H là:

    Vì điểm A' đối xứng với A qua H nên H là trung điểm của AA'

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{A'} = 2x_{H} - x_{A} = 1 \\
y_{A'} = 2y_{H} - y_{A} = - 7 \\
z_{A'} = 2z_{H} - z_{A} = 5 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow A'(1; - 7; - 5)

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;0),B(2; - 1;1). Tìm tọa độ điểm C có hoành độ dương thuộc trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C?

    Ta có: C có hoành độ dương thuộc trục Ox \Rightarrow C(x;0;0);x >
0

    Theo bài ra ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AC} = (x - 1; - 2;0) \\
\overrightarrow{BC} = (x - 2;1; - 1) \\
\end{matrix} ight. và tam giác ABC vuông tại C nên

    \Leftrightarrow
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x -
2) - 2 = 0

    \Leftrightarrow x^{2} - 3x = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0(L) \\
x = 3(tm) \\
\end{matrix} ight.

    Vậy C(3;0;0)

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A';B';C' lần lượt thuộc các tia SA;SB;SC sao cho \frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} =
b;\frac{SC}{SC'} = c trong đó a;b;c là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}

    Khi đó 3\overrightarrow{GS} +
\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} =
\overrightarrow{0}\overrightarrow{SA} =
a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} =
b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} =
c\overrightarrow{SC'}

    Suy ra 3\overrightarrow{SG} =
a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} +
c\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} =
\frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} +
\frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} +
\frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}

    Vì mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'} đồng phẳng.

    Do đó tồn tại ba số l;m;n sao cho l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0) và l\overrightarrow{GA'} +
m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow l\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) =
\overrightarrow{0}s

    \Leftrightarrow (l + m +
n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} +
m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} =
\frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m +
n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m +
n}\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow
\frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} +
\frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} +
\frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m +
n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'}
+ \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}

    Suy ra \frac{a}{3} + \frac{b}{3} +
\frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m
+ n} = 1

    \Rightarrow a + b + c = 3

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;3),B(2; - 1;5),C(3;2; - 1). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{BC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 1 = 3 - 2 \\
y - 3 = 2 + 1 \\
z - 2 = - 1 - 5 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 6 \\
z = - 4 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(2;6; - 4).

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCDAB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức T = \left|
\frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} +
\frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight|?

    Vì các vectơ \frac{\overrightarrow{AB}}{AB};\frac{\overrightarrow{AC}}{AC};\frac{\overrightarrow{AD}}{AD} có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên

    \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} +
\frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD}
ight)^{2} = 3 \Leftrightarrow T = \left|
\frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} +
\frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight| = \sqrt{3}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 141 lượt xem
Sắp xếp theo