Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 3;3);\overrightarrow{b} = (0;2; - 1);\overrightarrow{c} = (3; - 1;5)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u} = (10; - 2;13)$
- B.
  $\overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 7)$
- C.
  $\overrightarrow{u} = ( - 2; - 2;7)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = ( - 2;2;7)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 2\overrightarrow{a} = (4; - 6;6) \\ 3\overrightarrow{b} = (0;6; - 3) \\ - 2\overrightarrow{c} = ( - 6;2; - 10) \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} = ( - 2;2; - 7)$

Vậy $\overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 7)$
Câu 2: Vận dụng cao

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Đáp án là:

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{EA_{1}} = (0;1; - 6) \\\overrightarrow{EA_{2}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; - 6ight) \\\overrightarrow{EA_{3}} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; -6 ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow EA_{1} = EA_{2} = EA_{3} =\sqrt{37}$ .
Suy ra, $\left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = \left|\overrightarrow{F_{3}} ight|$ (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).
Do đó: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = k\overrightarrow{EA_{1}} = (0;k; - 6k) \\\overrightarrow{F_{2}} = k\overrightarrow{EA_{2}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = k\overrightarrow{EA_{3}} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = (0;0; -18k)$ .
Mà $\overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{P} =(0;0; - 240)$ .
Suy ra $- 18k = - 240 \Leftrightarrow k =\frac{40}{3}$ .
Từ đó $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = \left( 0;\frac{40}{3}; - 80 ight) \\\overrightarrow{F_{2}} = \left( \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3}; -80 ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = \left( - \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3};- 80 ight) \\\end{matrix} ight.$ .
Vậy $\overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{F_{3}} =0.\left( \frac{- 20\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{40}{3}\left( -\frac{20}{3} ight) + ( - 80).( - 80) \approx 6311$ .
Câu 3: Vận dụng
Trong không gian cho tam giác $ABC$ . Tìm $M$ sao cho giá trị của biểu thức $P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất?
- A.
  $M$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .
- B.
  $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .
- C.
  $M$ là trực tâm tam giác $ABC$ .
- D.
  $M$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ .
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra G cố định và $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

$P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$P = \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight)^{2}$

$P = 3{\overrightarrow{MG}}^{2} + 2\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight)^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$

$P = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2} \geq GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$

Dấu “=” xảy ra khi $M \equiv G$

Vậy $P_{\min} = GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$ với $M \equiv G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .
Câu 4: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'.$ Khẳng định nào dưới đây là sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B'C'}.$
- B.
  $\overrightarrow{D'A'} + \overrightarrow{D'C'} - \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{D'B}.$
- C.
  $\overrightarrow{A'D'} +\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC}$

Vậy đáp án sai là: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;3),B(2;3; - 4),C( - 3;1;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D( - 4; - 2;9)$
- B.
  $D( - 4;2;9)$
- C.
  $D(4; - 2;9)$
- D.
  $D(4;2; - 9)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3 - x = 1 \\ 1 - y = 3 \\ 2 - z = - 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = 9 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4; - 2;9)$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vecto $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ cùng có độ dài bằng $2$ . Biết rằng góc giữa hai vecto đó bằng $120^{0}$ , giá trị của biểu thức $P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2}$ là
- A.
  $28$
- B.
  $- 25$
- C.
  $18$
- D.
  $- 12$
Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 2.2.cos120^{0} = 2.2.\left( - \frac{1}{2} ight) = - 2$

Do đó:

$P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 4\overrightarrow{.a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2}$

$= 4 - 4.( - 2) + 4.4 = 28$ .
Câu 7: Vận dụng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10)$ . Xác định tọa độ B’?
- A.
  $B'(8;4;10)$
- B.
  $B'(6;12;0)$
- C.
  $B'(10;8;6)$
- D.
  $B'(13;0;17)$
Hình vẽ minh họa

Giả sử điểm $D(a;b;c),B'(a';b';c')$

Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow O\left( \frac{1}{2};4; - \frac{7}{2} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = 8 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DD'} = (9;0;17) \\ \overrightarrow{BB'} = (a' - 4;b';c') \\ \end{matrix} ight.$ . Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{BB'}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a' = 13 \\ b' = 0 \\ c' = 17 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B'(13;0;17)$
Câu 8: Vận dụng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án: 294,92 km.

Đáp án là:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án: 294,92 km.

Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.

Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)

Ta có $\overrightarrow{OH} = ( - 688 + 91t; - 185 + 75t;8)$

OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0

⟺13906t - 76483 = 0 ⟺ $t = \frac{11}{2}.$

Suy ra $H(\frac{- 375}{2};\frac{455}{2};8).$

Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:

$OH = \sqrt{\left( \frac{- 375}{2} ight)^{2} + \left( \frac{455}{2} ight)^{2} + 8^{2})} \approx 294,92(km).$
Câu 9: Nhận biết
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Điểm $M$ xác định bởi công thức $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $M \equiv G$
- B.
  $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$
- C.
  $G$ là trung điểm của $AM$
- D.
  $M$ là trung điểm của $AG$
Do G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AG}$

Vậy mệnh đề đúng là “ $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$ ”.
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành hình bình hành. Biết các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$ . Xác định tọa độ điểm $C$ ?
- A.
  $(2;0;2)$
- B.
  $(2;2;2)$
- C.
  $(2; - 2;2)$
- D.
  $(0; - 2;0)$
Giả sử điểm $C(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 1 \\ y + 1 = 1 \\ z - 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $C(2;0;2)$ .
Câu 11: Vận dụng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)$ . Tìm tọa độ điểm $A'$ ?
- A.
  $A'(4;6; - 5)$
- B.
  $A'(2;0;2)$
- C.
  $A'(3;5; - 6)$
- D.
  $A'(3;4; - 6)$
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;1;1) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (0; - 1;0) = 0.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6) = 3.\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$ do đó $\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = 2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k}$ hay $\overrightarrow{AA'} = (3;5; - 6)$

Suy ra $A'(3;5; - 6)$
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Hỏi bốn vectơ nào có giá cùng thuộc một mặt phẳng?
- A.
  $\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC'}$
- B.
  $\overrightarrow{A'D};\overrightarrow{AA'};\overrightarrow{A'D'};\overrightarrow{DD'}$
- C.
  $\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}$
- D.
  $\overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}$
Hình vẽ minh họa

Từ hình vẽ ta thấy các vectơ $\overrightarrow{A'D};\overrightarrow{AA'};\overrightarrow{A'D'};\overrightarrow{DD'}$ có giá cùng thuộc một mặt phẳng $(AA'D'D)$ .
Câu 13: Vận dụng cao
Cho tứ diện $OABC$ có $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc. $M$ là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác $ABC$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}$ ?
- A.
  $\min T = 3$
- B.
  $\min T = 2$
- C.
  $\min T = 4$
- D.
  $\min T = 6$
Đặt $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$ . Khi đó $\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}$ với $x;y;z$ là ba số có tổng bằng 1.

Ta có:

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (x - 1)\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}$

$\Rightarrow {\overrightarrow{AM}}^{2} = (x - 1)^{2}{\overrightarrow{a}}^{2} + y^{2}{\overrightarrow{b}}^{2} + z^{2}{\overrightarrow{c}}^{2}$

$\Rightarrow \frac{MA^{2}}{OA^{2}} = (x - 1)^{2} + y^{2}.\frac{b^{2}}{a^{2}} + z^{2}.\frac{c^{2}}{a^{2}}$

Tương tự ta được

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{MB^{2}}{OB^{2}} = (y - 1)^{2} + z^{2}.\dfrac{c^{2}}{b^{2}} +x^{2}.\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \\\dfrac{MC^{2}}{OC^{2}} = (z - 1)^{2} + x^{2}.\dfrac{a^{2}}{c^{2}} +y^{2}.\dfrac{b^{2}}{c^{2}} \\\end{matrix} ight.$

Do đó $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}$

$\Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)$

$\Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)$

$+ (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}$

$\Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight)$

$- \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} ight) + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}$

$\Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight) - 2(x + y + z) + 3$

Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}}\\x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = OM^{2} \\\end{matrix} ight.$

Do đó $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}} = \frac{OM^{2}}{OH^{2}} + 1 \geq 1 + 1 = 2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.

Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.
Câu 14: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; - 5;7)$ . Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tọa độ của điểm $A$ là $(2; - 1;5)$ . Đúng||Sai

b) Gọi $C(a;b;c)$ thỏa mãn $∆ABC$ nhận $G(1;1;1)$ làm trọng tâm. Khi đó $a + b + c = - 4$ . Đúng||Sai

c) Nếu $A;B;M(x;y;1)$ thẳng hàng thì tổng $x + y = 3$ . Đúng||Sai

d) Cho $N \in (Oxy)$ để $∆ABN$ vuông cân tại $A$ . Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; - 5;7)$ . Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tọa độ của điểm $A$ là $(2; - 1;5)$ . Đúng||Sai

b) Gọi $C(a;b;c)$ thỏa mãn $∆ABC$ nhận $G(1;1;1)$ làm trọng tâm. Khi đó $a + b + c = - 4$ . Đúng||Sai

c) Nếu $A;B;M(x;y;1)$ thẳng hàng thì tổng $x + y = 3$ . Đúng||Sai

d) Cho $N \in (Oxy)$ để $∆ABN$ vuông cân tại $A$ . Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

a) Ta có:

Tọa độ của điểm $A$ là $(2; - 1;5)$ .

b) G là trọng tâm tam giác ABC

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{2 + 5 + x_{C}}{3} \\1 = \dfrac{- 1 - 5 + y_{C}}{3} \\1 = \dfrac{5 + 7 + x_{C}}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{C} = - 4 \\y_{C} = 9 \\x_{C} = - 9 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C( - 4;9; - 9)$

$\Rightarrow a + b + c = - 4$

c) Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3; - 4;2);\overrightarrow{AC} = (x - 2;y + 1; - 4)$

Ba điểm A, B, M thằng hàng khi và chỉ khi

$\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2 = 3k \\ y + 1 = k.( - 4) \\ - 4 = k.2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 7 \\ k = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $x + y = 3$

d) Ta có: $N \in (Oxy) \Rightarrow N = (x;y;0)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AN} = (x - 2;y + 1; - 5),\overrightarrow{AB} = (3; - 4;2)$

Ta có ∆ABN vuông cân tại A $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} AN\bot AB(*) \\ AN = AB(**) \\ \end{matrix} ight.$

Từ (*) $\Leftrightarrow \overrightarrow{AN}\bot\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow 3(x - 2) - 4(y + 1) - 10 = 0$

$\Leftrightarrow 3x - 4y = 20 \Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x - 5$

Từ (**) $AN^{2} = AB^{2} \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + 25 = 9 + 16 + 4$

$\Leftrightarrow (x - 2)^{2} + \left( \frac{3x}{4} - 4 ight)^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \frac{16}{5}$

$\Rightarrow y = - \frac{13}{5} \Rightarrow N\left( \frac{16}{5}; - \frac{13}{5};0 ight)$

Vậy $x_{N} + y_{N} = \frac{3}{5}$
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k}$ . Tọa độ điểm $A$ là:
- A.
  $(0;1; - 2)$
- B.
  $(1; - 2;0)$
- C.
  $(1;0; - 2)$
- D.
  $(0; - 1;2)$
Ta có: $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} \Leftrightarrow A(0;1; - 2)$
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , điểm đối xứng của điểm $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ có tọa độ là
- A.
  $(1; - 2; - 3)$ .
- B.
  $(1;0;0)$ .
- C.
  $(0;2;3)$ .
- D.
  $( - 1; - 2; - 3)$ .
Gọi $M'$ là điểm đối xứng của $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ .

Hình chiếu vuông góc của $M(1;2;3)$ lên trục $Ox$ là $H(1;0;0)$

Khi đó $H(1;0;0)$ là trung điểm của $M'M$ . Do đó tọa độ của $M'$ là $(1; - 2; - 3)$
Câu 17: Thông hiểu

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0$ và $\left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0$

a) Vectơ có tọa độ $(1\ ;\ 2\ ;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ . Sai||Đúng

b) Vectơ có toạ độ $( - 2;\ 1\ ;\ 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{2} ight)$ . Đúng||Sai

c) Côsin của góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1)$ và ${\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ bằng $- \frac{1}{6}$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ và $\left( P_{2} ight)$ bằng $100{^\circ}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0$ và $\left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0$

a) Vectơ có tọa độ $(1\ ;\ 2\ ;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ . Sai||Đúng

b) Vectơ có toạ độ $( - 2;\ 1\ ;\ 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{2} ight)$ . Đúng||Sai

c) Côsin của góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1)$ và ${\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ bằng $- \frac{1}{6}$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ và $\left( P_{2} ight)$ bằng $100{^\circ}$ . Sai||Đúng

a) $\overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = (1;2; - 1)$ nên mệnh đề sai

b) $\overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = ( - 2;1;1)$ nên mệnh đề đúng

c) $\cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) = \frac{1.( - 2) + 2.1 + ( - 1)1}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = - \frac{1}{6}$ mệnh đề đúng

d) Góc hai mặt phẳng không thể tù nên mệnh đề sai
Câu 18: Thông hiểu
Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a.$ Tính $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight|$ theo $a?$
- A.
  $a \sqrt{6}.$
- B.
  $a\sqrt{3}.$
- C.
  $\frac{a\sqrt{6}}{2}.$
- D.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$
Hình vẽ minh họa

Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta BCD.$

Do đó $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = \left| 3\overrightarrow{AG} ight| = 3AG.$

Ta có $BG = \frac{2}{3}BI = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.$

Mà $ABCD$ là tứ diện đều nên $AG\bot(BCD) \Rightarrow AG\bot BG.$

Suy ra $AG = \sqrt{AB^{2} - BG^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Vậy $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = 3.\frac{a\sqrt{6}}{3} = a\sqrt{6}.$
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2; - 3),\ \ B(3; - 2;1)$ . Tọa độ trung điểm của $AB$ là.
- A.
  $(2;0; - 1)$ .
- B.
  $(4;0; - 2)$ .
- C.
  $(1; - 2;2)$ .
- D.
  $(2; - 4;4)$ .
Tọa độ trung điểm I của AB là:

$I = \left( \frac{1 + 3}{2};\frac{2 - 2}{2};\frac{- 3 + 1}{2} ight) = (2;0; - 1)$
Câu 20: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2)$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 27$ . Sai||Đúng

b) $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{9}{2\sqrt{35}}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 15$ . Đúng||Sai

d) $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{5}{2\sqrt{21}}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2)$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 27$ . Sai||Đúng

b) $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{9}{2\sqrt{35}}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 15$ . Đúng||Sai

d) $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{5}{2\sqrt{21}}$ . Đúng||Sai

Ta có $\overrightarrow{AB} = (1;5; - 2),\overrightarrow{AC} = (5;4; - 1),\overrightarrow{AC} = (4; - 1;1)$ .

Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 5 + 20 + 2 = 27$ .

Ta có:

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 5.( - 4) + 4.1 + ( - 1).( - 1) = - 15$ .

Ta có:

$\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB} ight|.|\overrightarrow{AC}|} =\frac{27}{\sqrt{30}.\sqrt{42}} = \frac{9}{2\sqrt{35}}$ .

Ta có:

$\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AB} ight||\overrightarrow{BC}|} =\frac{15}{\sqrt{42}.\sqrt{18}} = \frac{5}{2\sqrt{21}}$ .

137 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!