Trong không gian
, cho tọa độ ba điểm
. Góc giữa hai đường thẳng
và
là
Ta có: .
Trong không gian
, cho tọa độ ba điểm
. Góc giữa hai đường thẳng
và
là
Ta có: .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho vectơ
có độ dài
, gọi
lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị
trên ba trục
và vectơ
. Khi đó tọa độ điểm
là:
Gọi và
Trong không gian cho hai đường thẳng
lần lượt có vectơ chỉ phương
. Gọi
là góc giữa hai đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Khẳng định đúng: “Nếu thì
”.
Cho hình chóp
. Lấy các điểm
lần lượt thuộc các tia
sao cho
trong đó
là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng
đi qua trọng tâm của tam giác
thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra
Khi đó mà
Suy ra
Vì mặt phẳng đi qua trọng tâm của tam giác
suy ra
đồng phẳng.
Do đó tồn tại ba số sao cho
) và
s
Suy ra
Trong không gian
, cho điểm
. Tọa độ trung điểm của
là.
Tọa độ trung điểm I của AB là:
Trong không gian
, cho tam giác
với tọa độ các điểm ![]()
.
Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác là
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c) Tam giác
là tam giác cân. Đúng||Sai
d) Nếu
là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
. Sai||Đúng
Trong không gian , cho tam giác
với tọa độ các điểm
.
Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác là . Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) Tam giác là tam giác cân. Đúng||Sai
d) Nếu là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
. Sai||Đúng
a) Đúng.
Trọng tâm tam giác có tọa độ là:
b) Sai. Vì
c) Đúng. Do nên tam giác ABC cân tại A.
d) Sai. Gọi , vì ABCD là hình bình hành nên
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có: suy ra “
” là khẳng định sai.
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm
đến điểm
trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng
. Xác định tọa độ vị trí điểm
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm
trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng
. Xác định tọa độ vị trí điểm
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)
Đáp án: N(1300; 750; 15,5)
Gọi là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.
.
.
Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên và
cùng hướng.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ đến
gấp 4 lần thời gian bay từ
đến
nên
.
Suy ra:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Ta có: thỏa mãn biểu thức
(với
duy nhất) của định lí về các vectơ đồng phẳng.
Vậy đáp án đúng là: “Nếu thì bốn điểm
đồng phẳng.”
Trong không gian
, cho tọa độ ba điểm
. Tính cosin góc
?
Ta có: .
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ
(đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
Ta có
(m).
Đáp số 14(m).
Trong không gian
, cho vectơ
. Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ của điểm
là
. Đúng||Sai
b) Gọi
thỏa mãn
nhận
làm trọng tâm. Khi đó
. Đúng||Sai
c) Nếu
thẳng hàng thì tổng
. Đúng||Sai
d) Cho
để
vuông cân tại
. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng
Trong không gian , cho vectơ
. Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ của điểm là
. Đúng||Sai
b) Gọi thỏa mãn
nhận
làm trọng tâm. Khi đó
. Đúng||Sai
c) Nếu thẳng hàng thì tổng
. Đúng||Sai
d) Cho để
vuông cân tại
. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng
a) Ta có:
Tọa độ của điểm là
.
b) G là trọng tâm tam giác ABC
c) Ta có:
Ba điểm A, B, M thằng hàng khi và chỉ khi
Suy ra
d) Ta có:
Ta có ∆ABN vuông cân tại A
Từ (*)
Từ (**)
Vậy
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
Cho hình lập phương
; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Cho hình lập phương ; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Trong không gian tọa độ
, hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Trong không gian
, cho hai điểm
. Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác
là:
Ta có bài toán sau
Trong tam giác ABC, gọi I là tâm đường nội tiếp tam giác ABC ta có: với
Hình vẽ minh họa
Gọi A’ là chân đường phân giác kẻ từ A
Áp dụng công thức trong tam giác OMN ta có:
Vậy đáp án cần tìm là
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
, với
là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ
, hai điểm
.
a)
. Đúng||Sai
b) Ba điểm
thẳng hàng. Sai||Đúng
c) Điểm
là điểm đối xứng của với
qua
. Khi đó
. Đúng||Sai
d) Điểm
trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Đúng||Sai
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho
, với
là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ
, hai điểm
.
a) . Đúng||Sai
b) Ba điểm thẳng hàng. Sai||Đúng
c) Điểm là điểm đối xứng của với
qua
. Khi đó
. Đúng||Sai
d) Điểm trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Đúng||Sai
a) Đúng: Vì nên
.
b) Sai: Ta có .
Vì nên
không cùng phương suy ra
không thẳng hàng.
c) Đúng
Vì là điểm đối xứng với
qua
nên
là trung điểm của
.
Ta có suy ra
.
Do đó . Vậy
.
d) Đúng. Gọi là điểm thỏa mãn
.
Ta có:
Do không thay đổi nên
nhỏ nhất khi
nhỏ nhất hay
là hình chiếu của điểm
trên mặt phẳng
.
Do đó suy ra
.
Vậy .
Cho tứ diện
có
. Gọi
là góc giữa
và
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mặt khác
Do đó:
Vậy
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Trung điểm
của
có tọa độ là:
Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:
Vậy đáp án đúng là: .