Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian, cho hai vectơ \overrightarrow{AB}\overrightarrow{BC}. Vectơ \overrightarrow{AC} bằng

    Theo quy tắc ba điểm: \overrightarrow{AC}\  = \ \overrightarrow{\
AB}\  + \ \overrightarrow{BC}.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 2;3;1),B(4;2; - 1),C(5; - 2;0). Điểm D(a;b;c) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD. Khi đó giá trị biểu thức H = 2a + b + c có giá trị bằng bao nhiêu?

    Gọi tọa độ điểm D(a;b;c)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (6; - 1; - 2) \\
\overrightarrow{DC} = (5 - a; - 2 - b; - c) \\
\end{matrix} ight.

    Ta có: ABCM là hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
5 - a = 6 \\
- 2 - b = - 1 \\
- c = - 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - 1 \\
b = - 1 \\
c = 2 \\
\end{matrix} ight. suy ra điểm D( - 1; - 1;2)

    Khi đó H = 2a + b + c = 2.( - 1) - 1 + 2
= - 1.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'M là trung điểm của BB'. Đặt \overrightarrow{CA} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{CB} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{c}. Đẳng thức nào sau đây đúng?

    Ta có: M là trung điểm của BB’ khi đó \overrightarrow{AM} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}

    Khi đó:

    \overrightarrow{AM} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}

    = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}

    = \overrightarrow{AB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}

    = - \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}

    Vậy đẳng thức đúng là \overrightarrow{AM}
= \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{c}.

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = (1;2;3),\overrightarrow{b} =
( - 2;0;1),\overrightarrow{c} = ( - 1;0;1). Tọa độ vectơ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} - 3\overrightarrow{i} là:

    Ta có:

    \overrightarrow{n} = \overrightarrow{a}
+ \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} -
3\overrightarrow{i}

    \Rightarrow \overrightarrow{n} = (1;2;3)
+ ( - 2;0;1) + 2( - 1;0;1) - 3(1;0;0)

    \Rightarrow \overrightarrow{n} = ( -
6;2;6)

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2). Tìm x để các đường thẳng AD;BC;MN cùng song song với một mặt phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2). Tìm x để các đường thẳng AD;BC;MN cùng song song với một mặt phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 6: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    a) Đúng: Vì \overrightarrow{OA} =
3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k} nên A(3;0; - 1).

    b) Sai: Ta có \overrightarrow{AB} =
(4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2).

    4:2:4 eq - 2:4:2 nên \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} không cùng phương suy ra A,B,C không thẳng hàng.

    c) Đúng

    D là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AD.

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\
y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\
z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\
\end{matrix} ight. suy ra D( -
5;4;7).

    Do đó a = - 5,b = 4,c = 7. Vậy a + b + c = 6.

    d) Đúng. Gọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} =
\overrightarrow{0}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\
0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\
- 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\
\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 2 \\
z = 1 \\
\end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.

    MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}

    =(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}

    Do IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} không thay đổi nên MA^{2} + MB^{2} +
MC^{2} nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (Oxy).

    Do đó M(1;2;0) suy ra m=1,n=2,p=0.

    Vậy 2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 =
0.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3). Thể tích tứ diện OABC bằng:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{OA} = (1;0;0) \Rightarrow OA = 1 \\
\overrightarrow{OB} = (0;2;0) \Rightarrow OB = 2 \\
\overrightarrow{OC} = (0;0;3) \Rightarrow OC = 3 \\
\end{matrix} ight.. Dễ thấy tứ diện OABC vuông tại O nên

    V_{OABC} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC =
\frac{1}{6}.1.2.3 = 1

    Vậy đáp án đúng là: V = 1.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCDAB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCDAB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.\A'B'C'D'A trùng với gốc tọa độ O Biết rằng B(m;\ 0;\ 0), D(0;\ m;\ 0), A'(0;\ 0;\ n) với m, n là các số dương và m + n = 4. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện ACB'D'? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 3,16

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.\A'B'C'D'A trùng với gốc tọa độ O Biết rằng B(m;\ 0;\ 0), D(0;\ m;\ 0), A'(0;\ 0;\ n) với m, n là các số dương và m + n = 4. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện ACB'D'? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 3,16

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: A(0;\ 0;\ 0), B(m;\ 0;\ 0), D(0;\ m;\ 0), A'(0;\ 0;\ n) nên \overrightarrow{AB} = (m;0;0)

    AB = m (do m;n > 0); AD = m; AA' = n.

    V_{ACB'D'} =\frac{1}{3}V_{ABCD.A'B'C'D'} =\frac{1}{3}.m.m.n

    V_{ACB'D'} = \frac{1}{3}.m.m.n =\frac{1}{3}m^{2}(4 - m).

    Xét hàm số f(m) = \frac{1}{3}m^{2}(4 - m)= - \frac{1}{3}m^{3} + \frac{4}{3}m^{2} trên (0;4)

    f'(m) = - m^{2} + \frac{8}{3}m =0\left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = \frac{8}{3} \\\end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên:

    Vậy MaxV_{ACB'D'} =\frac{256}{81} \simeq 3,16.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;0),B(2; - 1;1). Tìm tọa độ điểm C có hoành độ dương thuộc trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C?

    Ta có: C có hoành độ dương thuộc trục Ox \Rightarrow C(x;0;0);x >
0

    Theo bài ra ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AC} = (x - 1; - 2;0) \\
\overrightarrow{BC} = (x - 2;1; - 1) \\
\end{matrix} ight. và tam giác ABC vuông tại C nên

    \Leftrightarrow
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x -
2) - 2 = 0

    \Leftrightarrow x^{2} - 3x = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0(L) \\
x = 3(tm) \\
\end{matrix} ight.

    Vậy C(3;0;0)

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; - 4;3)B(2;2;7). Xác định tọa độ trung điểm I của AB?

    Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:

    \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 1 \\y_{I} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 0 \\z_{I} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow I(1;0;4)

    Vậy đáp án đúng là: I(1;0;4).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz. cho điểm M(3; - 1;2). Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (Oyz)?

    Lấy đối xứng qua mặt phẳng (Oyz) thì x đổi dấu còn y;z giữ nguyên nên điểm N có tọa độ là N( - 3; - 1;2).

  • Câu 13: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( - 2;3;1),B(5;6;2). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm M. Tính tỉ số \frac{AM}{BM}?

    Ta có: M \in (Oxz) \Rightarrow
M(x;0;z)

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (7;3;1) \Rightarrow AB = \sqrt{59} \\
\overrightarrow{AM} = (x + 2; - 3;z - 1) \\
\end{matrix} ight. và ba điểm A;B;M thẳng hàng

    \overrightarrow{AM} =
k.\overrightarrow{AB};\left( k\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
x + 2 = 7k \\
- 3 = 3k \\
z - 1 = k \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 9 \\
k = - 1 \\
z = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow M( - 9;0;0) \Rightarrow
\left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{BM} = ( - 14; - 6; - 2) \\
\overrightarrow{AM} = ( - 7; - 3; - 1) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow BM = 2AB

    Vậy đáp án đúng là \frac{AM}{BM} =
\frac{1}{2}.

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(2;4;0),B(4;0;0),C( -
1;4;7),D'(6;8;10). Xác định tọa độ B’?

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử điểm D(a;b;c),B'(a';b';c')

    Gọi O = AC \cap BD \Rightarrow O\left(
\frac{1}{2};4; - \frac{7}{2} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - 3 \\
b = 8 \\
c = - 7 \\
\end{matrix} ight.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{DD'} = (9;0;17) \\
\overrightarrow{BB'} = (a' - 4;b';c') \\
\end{matrix} ight.. Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên \overrightarrow{DD'} =
\overrightarrow{BB'}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a' = 13 \\
b' = 0 \\
c' = 17 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow B'(13;0;17)

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(0;3; - 2)N(2; - 1;0). Vectơ \overrightarrow{MN} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{MN} = (2 - 0; - 1 - 3;0
+ 2) = (2; - 4;2)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{MN} =
(2; - 4;2).

  • Câu 16: Nhận biết

    Tính chất nào sau đây sai?

    Tính chất sai là: \overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} -
\overrightarrow{a}

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2; - 3),\ \ B(3; - 2;1). Tọa độ trung điểm của AB là.

    Tọa độ trung điểm I của AB là:

    I = \left( \frac{1 + 3}{2};\frac{2 -
2}{2};\frac{- 3 + 1}{2} ight) = (2;0; - 1)

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm M(3; - 2;1),N(1;0; - 3). Gọi M';N' lần lượt là hình chiếu của M;N lên mặt phẳng (Oxy). Khi đó độ dài đoạn thẳng M'N' bằng:

    M';N' lần lượt là hình chiếu của M;N lên mặt phẳng (Oxy) nên M'(3; - 2;0),N'(1;0;0) suy ra \overrightarrow{M'N'} = ( -
2;2;0)

    \Rightarrow M'N' =
2\sqrt{2}.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} không đồng phẳng. Xét các vectơ \overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b},\overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c},\overrightarrow{z} = -3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Giả sử ba vectơ \overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z} đồng phẳng, khi đó \overrightarrow{x} =m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}m\overrightarrow{y} = m\overrightarrow{a} - m\overrightarrow{b} -m\overrightarrow{c} \\overrightarrow{z} = - 3n\overrightarrow{b} - 2n\overrightarrow{c} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow m\overrightarrow{y} +n\overrightarrow{z} = m\overrightarrow{a} - (m + 3n)\overrightarrow{b} -(m + 2n)\overrightarrow{c}

    Khi đó:

    2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}= m\overrightarrow{a} - (m + 3n)\overrightarrow{b} - (m +2n)\overrightarrow{c}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = 2 \\
m + 3n = - 1 \\
m + 2n = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = 2 \\
n = - 1 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy ba vectơ \overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z} đồng phẳng.

    Vậy khẳng định đúng là: “Ba vectơ \overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z} đồng phẳng”.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho vectơ \overrightarrow{a} = 6.\overrightarrow{i} +
8.\overrightarrow{k} + 7.\overrightarrow{j}. Khi đó tọa độ của \overrightarrow{a} là.

    Do \overrightarrow{a} =
6\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{k} + 7\overrightarrow{j} =
6\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} + 8\overrightarrow{k}
\Rightarrow \overrightarrow{a} = (6;\ 7;\ 8).

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 141 lượt xem
Sắp xếp theo