Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;2a;0),A'(0;0;2a)$ với $a eq 0$ . Độ dài đoạn thẳng $AC'$ là:
- A.
  $|a|$
- B.
  $|2a|$
- C.
  $3|a|$
- D.
  $\frac{3}{2}|a|$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (a;0;0) \\ \overrightarrow{AD} = (0;2a;0) \\ \overrightarrow{AA'} = (0;0;2a) \\ \end{matrix} ight.$

Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} \Rightarrow \overrightarrow{AC'} = (a;2a;2a)$

Suy ra $AC' = \left| \overrightarrow{AC'} ight| = \sqrt{a^{2} + (2a)^{2} + (2a)^{2}} = 3|a|$

Vậy độ dài AC’ bằng $3|a|$ .
Câu 2: Nhận biết
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Điểm $M$ xác định bởi công thức $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $M \equiv G$
- B.
  $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$
- C.
  $G$ là trung điểm của $AM$
- D.
  $M$ là trung điểm của $AG$
Do G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AG}$

Vậy mệnh đề đúng là “ $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$ ”.
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1; - 4;0);\overrightarrow{v} = ( - 1; - 2;1)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}$ ?
- A.
  $( - 2; - 10;3)$
- B.
  $( - 2; - 6;3)$
- C.
  $( - 4; - 8;4)$
- D.
  $( - 2; - 10; - 3)$
Ta có: $3\overrightarrow{v} = ( - 3; - 6;3)$ do đó $\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v} = ( - 2; - 10;3)$

Vậy đáp án cần tìm là $( - 2; - 10;3)$ .
Câu 4: Thông hiểu
Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.
- A.
  (0;435;0).
- B.
  (455;0;0).
- C.
  (0;455;0).
- D.
  (435;0;0).
Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:

$S = v.t = 890.\frac{1}{2} = 445\ \ (km).$

Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian cho ba vectơ $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}$ có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Giá của các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}$ cùng nằm trên một mặt phẳng.
- B.
  Giá của các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}; - 2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w}$ cùng nằm trên một mặt phẳng.
- C.
  Giá của các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};2\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
- D.
  Giá của các vectơ $2\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight); - \overrightarrow{u}; - \overrightarrow{v}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Vì ba vectơ $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}$ có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng nên

Giá các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Giá các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};2\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Giá các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}; - 2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Giá của các vectơ $2\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight); - \overrightarrow{u}; - \overrightarrow{v}$ cùng nằm trên một mặt phẳng

Vậy mệnh đề đúng là: “Giá các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}; - 2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.”
Câu 6: Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16

Hình vẽ minh họa
Ta có: $A(0;\ 0;\ 0)$ , $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ nên $\overrightarrow{AB} = (m;0;0)$
⇒ $AB = m$ (do $m;n > 0$ ); $AD = m$ ; $AA' = n$ .
Mà $V_{ACB'D'} =\frac{1}{3}V_{ABCD.A'B'C'D'} =\frac{1}{3}.m.m.n$
⇒ $V_{ACB'D'} = \frac{1}{3}.m.m.n =\frac{1}{3}m^{2}(4 - m)$ .
Xét hàm số $f(m) = \frac{1}{3}m^{2}(4 - m)= - \frac{1}{3}m^{3} + \frac{4}{3}m^{2}$ trên $(0;4)$
$f'(m) = - m^{2} + \frac{8}{3}m =0$ ⇒ $\left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = \frac{8}{3} \\\end{matrix} ight.$
Bảng biến thiên:
Vậy $MaxV_{ACB'D'} =\frac{256}{81} \simeq 3,16$ .
Câu 7: Vận dụng

Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ . Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{IA} + (2k - 1)\overrightarrow{IB}+ k\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ . Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{IA} + (2k - 1)\overrightarrow{IB}+ k\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(1;0;0),B(0;0;1),C(2;1;1)$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ ?
- A.
  $\frac{\sqrt{11}}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{7}}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{6}}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{5}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1;0;1) \\ \overrightarrow{AC} = (1;1;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = ( - 1).1 + 0.1 + 1.1 = 0$

Suy ra $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AC}$ . Lại có: $\left\{ \begin{matrix} \left| \overrightarrow{AB} ight| = \sqrt{2} \\ \left| \overrightarrow{AC} ight| = \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra diện tích tam giác $ABC$ là: $S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{\sqrt{6}}{2}$
Câu 9: Vận dụng cao

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Đáp án là:

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Gọi hai lực tạo với nhau một góc $80^{\circ}$ là $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = 50$ N.

Lực còn lại là $\overrightarrow{F_{3}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{3}} ight| = 60$ N.

Gọi $\overrightarrow{F}$ là hợp lực của ba lực trên ta có

$\left| \overrightarrow{F} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} ight)^{2}$

$= \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{2}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|^{2} + 2\lbrack\left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}} ight)$

$+ \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{3}} ight) + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{3}},\overrightarrow{F_{2}} ight)brack$

$= 50^{2} + 50^{2} + 60^{2} + 2\lbrack 50.50.cos80^{0}$ $+ 50.60.cos60^{0} + 60.50.cos60^{0}brack \approx 15468$ .

$\Rightarrow |F| \approx 124$ N
Câu 10: Vận dụng

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1000;600;14)$ đến điểm $N$ trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng $Q(1400;800;16)$ . Xác định tọa độ vị trí điểm $N$ . (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1000;600;14)$ đến điểm $N$ trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng $Q(1400;800;16)$ . Xác định tọa độ vị trí điểm $N$ . (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

Gọi $N(x;y;z)$ là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.

$\overrightarrow{MQ} = (400;200;2)$ .

$\overrightarrow{NQ} = (1400 - x;800 - y;16 - z)$ .

Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên $\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{NQ}$ cùng hướng.

Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ $M$ đến $Q$ gấp 4 lần thời gian bay từ $N$ đến $Q$ nên $MQ = 4NQ$ .

Suy ra: $\overrightarrow{MQ} = 4\overrightarrow{NQ}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 400 = 4(1400 - x) \\ 200 = 4(800 - y) \\ 2 = 4(16 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1300 \\ y = 750 \\ z = 15,5 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow N(1300;750;15,5)$
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 2;3;3)$ . Điểm $M(a;b;c)$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCM$ . Khi đó giá trị biểu thức $T = a + b - c$ có giá trị bằng bao nhiêu?
- A.
  $T = - 4$
- B.
  $T = 8$
- C.
  $T = 10$
- D.
  $T = 4$
Gọi tọa độ điểm $M(x;y;z)$

Ta có: $ABCM$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2 - x = 1 \\ 3 - y = - 3 \\ 3 - z = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 3 \\ y = 6 \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra điểm $M( - 3;6; - 1)$

Khi đó $T = a + b - c = - 3 + 6 - ( - 1) = 4$ .
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ tạo với nhau một góc $120^{0}$ . Biết rằng $\left| \overrightarrow{u} ight| = 2;\left| \overrightarrow{v} ight| = 5$ , tính $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight|$ ?
- A.
  $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{19}$
- B.
  $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = - 5$
- C.
  $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = 7$
- D.
  $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{39}$
Ta có: $\left( \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| ight)^{2} = \left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight)^{2} = {\overrightarrow{u}}^{2} + 2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} + {\overrightarrow{v}}^{2}$

$= \left| \overrightarrow{u} ight|^{2} + 2\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) + \left| \overrightarrow{v} ight|^{2} = 2^{2} + 2.2.5.\left( - \frac{1}{2} ight) + 5^{2} = 19$

$\Rightarrow \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{19}$

Vậy đáp án đúng là: $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{19}$ .
Câu 13: Vận dụng

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

a) Sai

Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $( - 1,5\ ;\ - 1\ ;\ 0,5)$ .

b) Đúng

Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là $(2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7)$ .

Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

$\sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} + (0,7 + 0,5)^{2}}$

$= \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx 4,6(km)$

c) Sai

Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

$\sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} = \frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)$

Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

$\sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} + 0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)$

Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

d) Đúng

Vị trí của chiếc flycam là

$\left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 - 1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\ 0,6)$ .

Khoảng cách bay của flycam là:

$\sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} = \frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)$

Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ là

$\sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)$

Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ .
Câu 14: Vận dụng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án: 294,92 km.

Đáp án là:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án: 294,92 km.

Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.

Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)

Ta có $\overrightarrow{OH} = ( - 688 + 91t; - 185 + 75t;8)$

OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0

⟺13906t - 76483 = 0 ⟺ $t = \frac{11}{2}.$

Suy ra $H(\frac{- 375}{2};\frac{455}{2};8).$

Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:

$OH = \sqrt{\left( \frac{- 375}{2} ight)^{2} + \left( \frac{455}{2} ight)^{2} + 8^{2})} \approx 294,92(km).$
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 3;3);\overrightarrow{b} = (0;2; - 1);\overrightarrow{c} = (3; - 1;5)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u} = (10; - 2;13)$
- B.
  $\overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 7)$
- C.
  $\overrightarrow{u} = ( - 2; - 2;7)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = ( - 2;2;7)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 2\overrightarrow{a} = (4; - 6;6) \\ 3\overrightarrow{b} = (0;6; - 3) \\ - 2\overrightarrow{c} = ( - 6;2; - 10) \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} = ( - 2;2; - 7)$

Vậy $\overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 7)$
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;0;2)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $M \in Oy$
- B.
  $M \in (Oxz)$
- C.
  $M \in (Oxy)$
- D.
  $M \in (Oyz)$
Vì tọa độ điểm $M(1;0;2)$ có $x = 1;y = 0;z = 2$ nên $M \in (Oxz)$ .
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian, cho hình chóp $S.ABC$ với $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Khi đó $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}$ bằng.
- A.
  $2\overrightarrow{SG}$ .
- B.
  $4\overrightarrow{SG}$ .
- C.
  $\overrightarrow{SG}$ .
- D.
  $3\overrightarrow{SG}$ .
Do $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ .

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

$\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}$

$= \left( \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GA} ight) + \left( \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GB} ight) + \left( \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GC} ight)$ .

$= 3\overrightarrow{SG} + \left(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight)= 3\overrightarrow{SG}$
Câu 18: Thông hiểu
Cho điểm $M$ chia đoạn thẳng $AB$ theo tỉ số $k;(k eq 1)$ thì ta có: $\overrightarrow{MA} = k.\overrightarrow{MB}$ . Khi đó với một điểm $O$ tùy ý ta có:
- A.
  $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + k.\overrightarrow{OB}}{1 - k}$
- B.
  $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} - k.\overrightarrow{OB}}{1 + k}$
- C.
  $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + k.\overrightarrow{OB}}{1 + k}$
- D.
  $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} - k.\overrightarrow{OB}}{1 - k}$
Ta có:

$\overrightarrow{MA} = k.\overrightarrow{MB} \Rightarrow \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} = k.\left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} ight)$

$\Rightarrow (1 - k)\overrightarrow{MO} = k.\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MO} = \frac{k.\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}}{1 - k} \Rightarrow \overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} - k.\overrightarrow{OB}}{1 - k}$
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $M( - 2; - 3;1)$
- B.
  $M(2; - 3;1)$
- C.
  $M(2; - 1;3)$
- D.
  $M(2;3;1)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ $M(2; - 3;1)$ .
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}$ là:
- A.
  $(1;2; - 3)$
- B.
  $(2; - 3;1)$
- C.
  $(2;1; - 3)$
- D.
  $(1; - 3;2)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 3;1)$ .

94 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!