Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(3; - 2;5)$ . Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là:
- A.
  $(3;0;5)$ .
- B.
  $(3; - 2;0)$ .
- C.
  $(0; - 2;5)$ .
- D.
  $(0;2;5)$ .
Hình chiếu vuông góc của điểm $A(3; - 2;5)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là điểm có tọa độ $(3;0;5)$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;3; - 1)$ và $B( - 4;1;9)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = ( - 6; - 2;10)$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = ( - 1;2;4)$
- C.
  $\overrightarrow{AB} = (6;2; - 10)$
- D.
  $\overrightarrow{AB} = (1; - 2; - 4)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = ( - 4 - 2;1 - 3;9 + 1) = ( - 6; - 2;10)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = ( - 6; - 2;10)$ .
Câu 3: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D$ và tâm $O$ . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau?
- A.
  $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$
- B.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'}$
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình bình hành suy ra $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ đúng.

Do $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ đối nhau và $\overrightarrow{BC'};\overrightarrow{D'A}$ đối nhau nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$ đúng.

Do $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD'}$ suy ra $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$ sai.

Do $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AC'}$ và $\overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{AC'}$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'}$ đúng.
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4)$ . Gọi $\overrightarrow{x}$ là vectơ thoả mãn: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\ \end{matrix} ight.$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{x}$ là:
- A.
  $(2; 3 ; 1)$ .
- B.
  $(2;3; - 2)$ .
- C.
  $(3;2; - 2)$ .
- D.
  $(1;3;2)$ .
Đặt $\overrightarrow{x} = (a;b;c)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - b + 3c = - 5 \\a - 3b + 2c = - 11 \\3a + 2b - 4c = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 3 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Vậy $\overrightarrow{x} = (2;3; - 2)$ .
Câu 5: Thông hiểu
Biết $\overrightarrow{c} = (x;y;z)$ khác $\overrightarrow{0}$ và vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1;3;4);\overrightarrow{b} = ( - 1;2;3)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $5z - x = 0$
- B.
  $7x - y = 0$
- C.
  $5z + x = 0$
- D.
  $7x + y = 0$
Theo đề bài ta có: $\overrightarrow{c} = (x;y;z)$ khác $\overrightarrow{0}$ và vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1;3;4);\overrightarrow{b} = ( - 1;2;3)$ nên

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0 \\ \overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 3y + 4z = 0 \\ - x + 2y + 3z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + 3y + 4z = 0 \\5y + 7z = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + 3y + 4.\dfrac{- 5}{7}y = 0 \\z = - \dfrac{5}{7}y \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 7x + y = 0 \\ 5y + 7z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy khẳng định đúng là $7x + y = 0$
Câu 6: Vận dụng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ ; đáy là hình vuông cạnh $a$ . Trên cạnh $DC;BB'$ lần lượt lấy các điểm $M;N$ sao cho $DM = BN = x;(0 \leq x \leq a)$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $A'C$ và $MN$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ ; đáy là hình vuông cạnh $a$ . Trên cạnh $DC;BB'$ lần lượt lấy các điểm $M;N$ sao cho $DM = BN = x;(0 \leq x \leq a)$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $A'C$ và $MN$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 7: Nhận biết
Điều kiện cần và đủ để ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng là:
- A.
  Giá của chúng không cùng thuộc một mặt phẳng.
- B.
  Giá của chúng cùng thuộc một mặt phẳng.
- C.
  Giá của chúng không cùng song song với một mặt phẳng.
- D.
  Giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Câu 8: Thông hiểu

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Đáp án là:

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}\ \ \ \ (t\mathbb{\in R}) ight.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (a; - 2)$ .

Đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = (4; - 3)$ .

Ta có:

$\cos\varphi = |cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|$

$\Leftrightarrow cos45^{0} = \frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|4a + 6|}{5\sqrt{a^{2} + 4}}$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{a^{2} + 4} = \sqrt{2}|4a + 6|$

$\Leftrightarrow 25a^{2} + 100 = 32a^{2} + 96a + 72$

$\Leftrightarrow 7a^{2} + 96a - 28 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{2}{7} \\a = - 14 \\\end{matrix}. ight.$

Vậy tích tất cả các giá trị của tham số a bằng -4.
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;1;2)$ . Xác định tích vô hướng $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b}$ ?
- A.
  $12$
- B.
  $2$
- C.
  $11$
- D.
  $10$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1; - 1;5)$ nên $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b} = - 1.( - 2) + ( - 1).1 + 5.2 = 11$
Câu 10: Nhận biết
Cho hai điểm phân biệt $A;B$ và một điểm $O$ bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OB} = k.\overrightarrow{BA}$ .
- B.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k.\left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} ight)$ .
- C.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k).\overrightarrow{OB}$ .
- D.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ .
Mệnh đề đúng: “Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k).\overrightarrow{OB}$ ”.
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $\overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4)$ . Gọi $\overrightarrow{x}$ là vectơ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = 4 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 8 \\ \end{matrix} ight.$ . Tìm tọa độ $\overrightarrow{x}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{x} = (2;3;1)$
- B.
  $\overrightarrow{x} = (2;3; - 2)$
- C.
  $\overrightarrow{x} = (1;3;2)$
- D.
  $\overrightarrow{x} = (3;2; - 2)$
Giả sử $\overrightarrow{x} = (x;y;z)$ , khi đó:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = 4 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - y + 3z = 4 \\ x - 3y + 2z = - 5 \\ 3x + 2y - 4z = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{x} = (2;3;1)$
Câu 12: Thông hiểu
Cho $\left| \overrightarrow{a} ight| = 3;\left| \overrightarrow{b} ight| = 5$ , góc giữa $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ bằng $120^{0}$ . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
- A.
  $\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight| = \sqrt{19}$
- B.
  $\left| \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight| = 7$
- C.
  $\left| \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight| = \sqrt{139}$
- D.
  $\left| \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} ight| = 9$
Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 3.5.cos120^{0} = - \frac{15}{2}$

Khi đó:

$\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} + 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + {\overrightarrow{b}}^{2} = 9 - 15 + 25 = 19$

$\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + {\overrightarrow{b}}^{2} = 9 + 15 + 25 = 49$

$\left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2} = 9 + 30 + 100 = 139$

$\left( \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} + 4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2} = 9 - 30 + 100 = 79$

Vậy khẳng định sai là $\left| \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} ight| = 9$ .
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 3;5;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D( - 2;8; - 3)$
- B.
  $D( - 4;8; - 5)$
- C.
  $D( - 2;2;5)$
- D.
  $D( - 4;8; - 3)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - 1 = - 3 - x \\ - 1 - 2 = 5 - y \\ 3 - ( - 1) = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 8 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4;8; - 3)$ .
Câu 14: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 2),B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Biết $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ . Tính giá trị biểu thức $U = a - b + c$ ?
- A.
  $U = 1$
- B.
  $U = 3$
- C.
  $U = 2$
- D.
  $U = 0$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.$

Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

$\overrightarrow{DA} = - \frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = - \frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} = \frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}$ . Do đó $D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0 ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \left( \frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD = \frac{15}{7}$

$\overrightarrow{ID} = - \frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO} \Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD} \Rightarrow D(1;1;0)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow U = 0$
Câu 15: Vận dụng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)$ . Tìm tọa độ điểm $A'$ ?
- A.
  $A'(4;6; - 5)$
- B.
  $A'(2;0;2)$
- C.
  $A'(3;5; - 6)$
- D.
  $A'(3;4; - 6)$
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;1;1) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (0; - 1;0) = 0.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6) = 3.\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$ do đó $\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = 2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k}$ hay $\overrightarrow{AA'} = (3;5; - 6)$

Suy ra $A'(3;5; - 6)$
Câu 16: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ các điểm $A(1;2;0),B(2;1;1),C(0;3; - 1)$ . Cho các khẳng định sau:

(I) $BC = 2AB$ .

(II) $B \in AC$ .

(III) Ba điểm $A;B;C$ tạo thành một tam giác.

(IV) Ba điểm $A;B;C$ thẳng hàng.

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng.
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1;1) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 1;1; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AB}$ nên $A$ là trung điểm của $BC$ và ba điểm $A;B;C$ thẳng hàng.

Vậy có 2 khẳng định sai và 2 khẳng định đúng.
Câu 18: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Tọa độ chân đường phân giác của góc $B$ trong tam giác $ABC$ là:
- A.
  $\left( - \frac{2}{3};\frac{11}{3};1 ight)$
- B.
  $\left( \frac{11}{3}; - 2;1 ight)$
- C.
  $\left( \frac{2}{3};\frac{11}{3};\frac{1}{3} ight)$
- D.
  $( - 2;11;1)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác kẻ từ $B$ lên $AC$ của tam giác $ABC$ .

Suy ra $\frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\ \overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)$
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 2;2;0);\overrightarrow{b} = (2;2;0);\overrightarrow{c} = (2;2;2)$ . Khi đó giá trị của $\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight|$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $9$
- B.
  $15$
- C.
  $2\sqrt{11}$
- D.
  $2\sqrt{6}$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = ( - 2 + 2 + 2;2 + 2 + 2;0 + 0 + 2) = (2;6;2)$ .

Khi đó $\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight| = \sqrt{2^{2} + 6^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{11}$

Vậy đáp án cần tìm là: $2\sqrt{11}$
Câu 20: Vận dụng cao
Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy các điểm $A';B';C'$ lần lượt thuộc các tia $SA;SB;SC$ sao cho $\frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} = b;\frac{SC}{SC'} = c$ trong đó $a;b;c$ là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?
- A.
  $a + b + c = 3$
- B.
  $a + b + c = 4$
- C.
  $a + b + c = 2$
- D.
  $a + b + c = 1$
Hình vẽ minh họa

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

Khi đó $3\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{0}$ mà $\overrightarrow{SA} = a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} = b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} = c\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $3\overrightarrow{SG} = a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} + c\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}$

Vì mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ suy ra $\overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'}$ đồng phẳng.

Do đó tồn tại ba số $l;m;n$ sao cho $l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0$ ) và $l\overrightarrow{GA'} + m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow l\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) = \overrightarrow{0}$ s

$\Leftrightarrow (l + m + n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} + m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $\frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m + n} = 1$

$\Rightarrow a + b + c = 3$

143 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!