Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2)$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 27$ . Sai||Đúng

b) $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{9}{2\sqrt{35}}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 15$ . Đúng||Sai

d) $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{5}{2\sqrt{21}}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2)$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 27$ . Sai||Đúng

b) $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{9}{2\sqrt{35}}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 15$ . Đúng||Sai

d) $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{5}{2\sqrt{21}}$ . Đúng||Sai

Ta có $\overrightarrow{AB} = (1;5; - 2),\overrightarrow{AC} = (5;4; - 1),\overrightarrow{AC} = (4; - 1;1)$ .

Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 5 + 20 + 2 = 27$ .

Ta có:

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 5.( - 4) + 4.1 + ( - 1).( - 1) = - 15$ .

Ta có:

$\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB} ight|.|\overrightarrow{AC}|} =\frac{27}{\sqrt{30}.\sqrt{42}} = \frac{9}{2\sqrt{35}}$ .

Ta có:

$\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AB} ight||\overrightarrow{BC}|} =\frac{15}{\sqrt{42}.\sqrt{18}} = \frac{5}{2\sqrt{21}}$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{a} = (2;3;2);\overrightarrow{b} = (1;1; - 1)$ . Khi đó tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ là:
- A.
  $(3;4;1)$
- B.
  $( - 1; - 2;3)$
- C.
  $(3;5;1)$
- D.
  $(1;2;3)$
Ta có:

$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2 - 1;3 - 1;2 + 1) = (1;2;3)$
Câu 3: Vận dụng

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1000;600;14)$ đến điểm $N$ trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng $Q(1400;800;16)$ . Xác định tọa độ vị trí điểm $N$ . (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1000;600;14)$ đến điểm $N$ trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng $Q(1400;800;16)$ . Xác định tọa độ vị trí điểm $N$ . (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

Gọi $N(x;y;z)$ là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.

$\overrightarrow{MQ} = (400;200;2)$ .

$\overrightarrow{NQ} = (1400 - x;800 - y;16 - z)$ .

Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên $\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{NQ}$ cùng hướng.

Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ $M$ đến $Q$ gấp 4 lần thời gian bay từ $N$ đến $Q$ nên $MQ = 4NQ$ .

Suy ra: $\overrightarrow{MQ} = 4\overrightarrow{NQ}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 400 = 4(1400 - x) \\ 200 = 4(800 - y) \\ 2 = 4(16 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1300 \\ y = 750 \\ z = 15,5 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow N(1300;750;15,5)$
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0; - 1;1),B( - 2;1; - 1),C( - 1;3;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D\left( - 1;1;\frac{2}{3} ight)$
- B.
  $D(1;3;4)$
- C.
  $D(1;1;4)$
- D.
  $D( - 1; - 3; - 2)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 2 \\ y - 3 = - 2 \\ z - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;1;4)$
Câu 5: Nhận biết
Cho $A(1;\ \ 1;\ - 2)$ và $B(2;\ \ - 1;\ \ 0)$ . Hãy xác định tọa độ của $\overrightarrow{AB}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = ( - 1;\ \ 2;\ \ - 2)$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB} = (1;\ \ 2;\ \ 2)$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} = (3;\ \ 0;\ \ - 2)$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} = (1;\ - \ 2;\ \ 2)$ .
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (1;\ - \ 2;\ \ 2)$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(1;0;0),B(0;0;1),C(2;1;1)$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ ?
- A.
  $\frac{\sqrt{11}}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{7}}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{6}}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{5}}{2}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1;0;1) \\ \overrightarrow{AC} = (1;1;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = ( - 1).1 + 0.1 + 1.1 = 0$

Suy ra $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AC}$ . Lại có: $\left\{ \begin{matrix} \left| \overrightarrow{AB} ight| = \sqrt{2} \\ \left| \overrightarrow{AC} ight| = \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra diện tích tam giác $ABC$ là: $S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{\sqrt{6}}{2}$
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian cho ba vectơ $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}$ có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Giá của các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}$ cùng nằm trên một mặt phẳng.
- B.
  Giá của các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}; - 2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w}$ cùng nằm trên một mặt phẳng.
- C.
  Giá của các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};2\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
- D.
  Giá của các vectơ $2\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight); - \overrightarrow{u}; - \overrightarrow{v}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Vì ba vectơ $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}$ có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng nên

Giá các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Giá các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};2\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Giá các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}; - 2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Giá của các vectơ $2\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight); - \overrightarrow{u}; - \overrightarrow{v}$ cùng nằm trên một mặt phẳng

Vậy mệnh đề đúng là: “Giá các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}; - 2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.”
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2; - 3),B(2;5;7),C( - 3;1;4)$ . Xác định tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D(6;6;0)$
- B.
  $D\left( 0;\frac{8}{3};\frac{8}{3} ight)$
- C.
  $D(0;8;8)$
- D.
  $D( - 4; - 2; - 6)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 3 - x \\ 3 = 1 - y \\ 20 = 4 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = - 6 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4; - 2; - 6)$ .
Câu 9: Vận dụng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án: 294,92 km.

Đáp án là:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án: 294,92 km.

Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.

Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)

Ta có $\overrightarrow{OH} = ( - 688 + 91t; - 185 + 75t;8)$

OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0

⟺13906t - 76483 = 0 ⟺ $t = \frac{11}{2}.$

Suy ra $H(\frac{- 375}{2};\frac{455}{2};8).$

Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:

$OH = \sqrt{\left( \frac{- 375}{2} ight)^{2} + \left( \frac{455}{2} ight)^{2} + 8^{2})} \approx 294,92(km).$
Câu 10: Vận dụng
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Điểm $M$ được xác định bởi đẳng thức vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $M$ là tâm của mặt đáy $ABCD$ .
- B.
  $M$ là tâm của mặt đáy $A'B'C'D'$ .
- C.
  $M$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.
- D.
  Tập hợp điểm $M$ là đoạn thẳng nối hai tâm của mặt đáy.
Gọi $\left\{ \begin{matrix} O = AC \cap BD \\ O' = A'C' \cap B'D' \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$

$= \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OD} ight)$

$= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + 4\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0} + 4\overrightarrow{MO} = 4\overrightarrow{MO}$

Tương tự ta cũng có: $\overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = 4\overrightarrow{MO'}$

Từ đó suy ra

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MO} + 4\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 4\left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} ight) = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0}$

Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của $OO'$ .
Câu 11: Vận dụng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( - 3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Tìm tọa độ điểm $C'$ ?
- A.
  $C'(10;4;4)$
- B.
  $C'( - 13;4;4)$
- C.
  $C'(13;4;4)$
- D.
  $C'(7;4;4)$
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} + 0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC'} = 10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} + 4.\overrightarrow{k}$ mà $A( - 3;0;0)$

$\Rightarrow C'(7;4;4)$

Suy ra $C'(7;4;4)$
Câu 12: Thông hiểu
Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ có cạnh $a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}}$ ?
- A.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- B.
  $a^{2}$
- C.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD_{1}} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AD}$

Ta có: $\overrightarrow{B_{1}M} = \overrightarrow{B_{1}A} + \overrightarrow{AM}$ hay $\overrightarrow{B_{1}M} = - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

Do đó $\overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}} = AB^{2} - A_{1}A^{2} + \frac{1}{2}AD^{2} = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2;3),B(0; - 2;1),C(1;0;1)$ . Gọi $D$ là điểm sao cho $C$ là trọng tâm tam giác $ABD$ . Tính tổng các tọa độ của điểm $D$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $\frac{7}{3}$
- D.
  $7$
Đặt $D(x;y;z)$ . Vì $C$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{1 + 0 + x}{3} \\0 = \dfrac{2 - 2 + y}{3} \\1 = \dfrac{3 + 1 + z}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = 0 \\z = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x + y + z = 1$
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}$ là:
- A.
  $(1;2; - 3)$
- B.
  $(2; - 3;1)$
- C.
  $(2;1; - 3)$
- D.
  $(1; - 3;2)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 3;1)$ .
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;3),B(2;3; - 4),C( - 3;1;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D( - 4; - 2;9)$
- B.
  $D( - 4;2;9)$
- C.
  $D(4; - 2;9)$
- D.
  $D(4;2; - 9)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3 - x = 1 \\ 1 - y = 3 \\ 2 - z = - 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = 9 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4; - 2;9)$ .
Câu 16: Vận dụng cao

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Đáp án là:

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{EA_{1}} = (0;1; - 6) \\\overrightarrow{EA_{2}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; - 6ight) \\\overrightarrow{EA_{3}} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; -6 ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow EA_{1} = EA_{2} = EA_{3} =\sqrt{37}$ .
Suy ra, $\left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = \left|\overrightarrow{F_{3}} ight|$ (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).
Do đó: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = k\overrightarrow{EA_{1}} = (0;k; - 6k) \\\overrightarrow{F_{2}} = k\overrightarrow{EA_{2}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = k\overrightarrow{EA_{3}} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = (0;0; -18k)$ .
Mà $\overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{P} =(0;0; - 240)$ .
Suy ra $- 18k = - 240 \Leftrightarrow k =\frac{40}{3}$ .
Từ đó $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = \left( 0;\frac{40}{3}; - 80 ight) \\\overrightarrow{F_{2}} = \left( \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3}; -80 ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = \left( - \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3};- 80 ight) \\\end{matrix} ight.$ .
Vậy $\overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{F_{3}} =0.\left( \frac{- 20\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{40}{3}\left( -\frac{20}{3} ight) + ( - 80).( - 80) \approx 6311$ .
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , hình chiếu vuông góc của điểm $B( - 2;3;1)$ trên trục $Ox$ có tọa độ là:
- A.
  $(2;0;0)$ .
- B.
  $(0; - 3; - 1)$ .
- C.
  $( - 2;0;0)$ .
- D.
  $(0;3;1)$ .
Hình chiếu vuông góc của điểm $B( - 2;3;1)$ trên trục $Ox$ là điểm có tọa độ $( - 2;0;0)$ .
Câu 18: Vận dụng cao
Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy các điểm $A';B';C'$ lần lượt thuộc các tia $SA;SB;SC$ sao cho $\frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} = b;\frac{SC}{SC'} = c$ trong đó $a;b;c$ là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?
- A.
  $a + b + c = 3$
- B.
  $a + b + c = 4$
- C.
  $a + b + c = 2$
- D.
  $a + b + c = 1$
Hình vẽ minh họa

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

Khi đó $3\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{0}$ mà $\overrightarrow{SA} = a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} = b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} = c\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $3\overrightarrow{SG} = a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} + c\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}$

Vì mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ suy ra $\overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'}$ đồng phẳng.

Do đó tồn tại ba số $l;m;n$ sao cho $l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0$ ) và $l\overrightarrow{GA'} + m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow l\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) = \overrightarrow{0}$ s

$\Leftrightarrow (l + m + n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} + m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $\frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m + n} = 1$

$\Rightarrow a + b + c = 3$
Câu 19: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB = AC$ và $\widehat{SAB} = \widehat{SAC}$ . Góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có:

$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AS} = \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight).\overrightarrow{AS}$

$= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AS} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AS}$

$= AC.AS.\cos\widehat{SAC} -AB.AS.\cos\widehat{SAB} = 0$ (vì $AB = AC$ và $\widehat{SAB} = \widehat{SAC}$ ).

Suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng $90^{0}$ .
Câu 20: Nhận biết
Cho hai điểm phân biệt $A;B$ và một điểm $O$ bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OB} = k.\overrightarrow{BA}$ .
- B.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k.\left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} ight)$ .
- C.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k).\overrightarrow{OB}$ .
- D.
  Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ .
Mệnh đề đúng: “Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k).\overrightarrow{OB}$ ”.

94 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!