Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;0)$ và $B(0;1;2)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $(0;1;0)$
- B.
  $(1;2;2)$
- C.
  $(1;0; - 2)$
- D.
  $( - 1;0;2)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (0 - 1;1 - 1;2 - 0) = ( - 1;0; - 2)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = (1;2;3)$ .
Câu 3: Nhận biết
Tìm tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ . Biết tọa độ hai điểm $A(1;2;3)$ và $B(3; - 1;4)$ .
- A.
  $M(2; - 4;2)$
- B.
  $M(4;2;6)$
- C.
  $M( - 2; - 1; - 3)$
- D.
  $M(2;1;3)$
Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2;1;3)$

Vậy đáp án đúng là: $M(2;1;3)$ .
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành hình bình hành. Biết các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$ . Xác định tọa độ điểm $C$ ?
- A.
  $(2;0;2)$
- B.
  $(2;2;2)$
- C.
  $(2; - 2;2)$
- D.
  $(0; - 2;0)$
Giả sử điểm $C(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 1 \\ y + 1 = 1 \\ z - 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $C(2;0;2)$ .
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3)$ . Thể tích tứ diện $OABC$ bằng:
- A.
  $V = \frac{1}{3}$
- B.
  $V = \frac{1}{6}$
- C.
  $V = 1$
- D.
  $V = 2$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (1;0;0) \Rightarrow OA = 1 \\ \overrightarrow{OB} = (0;2;0) \Rightarrow OB = 2 \\ \overrightarrow{OC} = (0;0;3) \Rightarrow OC = 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Dễ thấy tứ diện $OABC$ vuông tại $O$ nên

$V_{OABC} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC = \frac{1}{6}.1.2.3 = 1$

Vậy đáp án đúng là: $V = 1$ .
Câu 6: Nhận biết
Điều kiện cần và đủ để ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng là:
- A.
  Giá của chúng không cùng thuộc một mặt phẳng.
- B.
  Giá của chúng cùng thuộc một mặt phẳng.
- C.
  Giá của chúng không cùng song song với một mặt phẳng.
- D.
  Giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Câu 7: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AC;BD$ , $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$ và $O$ là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị của $k$ thỏa mãn đẳng thức $k.\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} ight) = \overrightarrow{OG}$ ?
- A.
  $k = 4$
- B.
  $k = \frac{1}{4}$
- C.
  $k = \frac{1}{2}$
- D.
  $k = 2$
Vì G là trọng tâm tứ diện nên

$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OD} ight) = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{OG}$

$\Leftrightarrow k = \dfrac{1}{4}$ .
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2; - 3),B(2;5;7),C( - 3;1;4)$ . Xác định tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D(6;6;0)$
- B.
  $D\left( 0;\frac{8}{3};\frac{8}{3} ight)$
- C.
  $D(0;8;8)$
- D.
  $D( - 4; - 2; - 6)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 3 - x \\ 3 = 1 - y \\ 20 = 4 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = - 6 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4; - 2; - 6)$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{a} = (1;0; - 2)$ . Trong các vectơ dưới đây, vectơ nào không cùng phương với $\overrightarrow{a}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{c} = (2;0; - 4)$ .
- B.
  $\overrightarrow{b} = (1;0;2)$ .
- C.
  $\overrightarrow{d} = \left( - \frac{1}{2};0;1 ight)$ .
- D.
  $\overrightarrow{0} = (0;0;0)$ .
Ta có: $\overrightarrow{0} = (0;0;0)$ cùng phương với mọi vectơ

Lại có $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{c} = (2;0; - 4) = 2\overrightarrow{a} \\\overrightarrow{d} = \left( - \dfrac{1}{2};0;1 ight) = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} \\\end{matrix} ight.$

Vậy vectơ không cùng phương với $\overrightarrow{a}$ là $\overrightarrow{b} = (1;0;2)$ .
Câu 10: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng: $\left. \ \begin{matrix}\overrightarrow{MR} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\overrightarrow{SN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{MR} =\overrightarrow{SN}$ .

b) Đúng: Vi $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM}$

Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN}$

Vì $G$ là trung điểm của $MN$ nên $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$

Do đó: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}) = 2.\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$

c) Sai: $\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} =\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AD}$

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{IG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) = 4\overrightarrow{IG}$ .

$\Rightarrow |\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}| = |4\overrightarrow{IG}| = 4IG$ .

Do đó: $|\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}|$ nhỏ nhất khi $IG = 0 \Leftrightarrow I \equiv G$
Câu 11: Vận dụng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Giả sử điểm $C'(a;b;c)$ . Tính giá trị biểu thức $T=a+b+2c$ ?
- A.
  $T=0$
- B.
  $T=25$
- C.
  $T=12$
- D. $T=-11$
Gọi điểm $C'(x;y;z)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.$
Mà $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}$
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C'(13;4;4)$ suy ra $a=13;b=4;c=4$
Vậy $T=25$
Câu 12: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M;N$ xác định bởi $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}$ . Tìm giá trị $x$ để $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M;N$ xác định bởi $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}$ . Tìm giá trị $x$ để $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 13: Thông hiểu
Cho tứ diện đều $ABCD$ . Số đo giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng:
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} ight) = \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$

Suu ra $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD}$ nên số đo góc giữa hai đường thẳng $AB;CD$ bằng $90^{0}$ .
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 1; - 3)$ và $B( - 2;2;1)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $( - 3;3;4)$
- B.
  $( - 1;1;2)$
- C.
  $(3; - 3;4)$
- D.
  $( - 3;1;4)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = ( - 2 - 1;2 + 1;1 + 3) = ( - 3;3;4)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;4)$ .
Câu 15: Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\Delta ABC$ có $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ . Tính $(a + b + c).19$ .

Đáp án: -17||- 17

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\Delta ABC$ có $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ . Tính $(a + b + c).19$ .

Đáp án: -17||- 17

Ta có $\overrightarrow{AH} = (a;b;c - 1),\overrightarrow{BC} = (3;3; - 1),\overrightarrow{BH} = (a + 1;b + 2;c)$ .

Vì $H$ là chân đường cao nên ta có

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{BC} \\\overrightarrow{BH} = k\overrightarrow{BC} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3a + 3b - (c - 1) = 0 \\\dfrac{a + 1}{3} = \dfrac{b + 2}{3} = \dfrac{c}{- 1} = k \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3k - 1 \\ b = 3k - 2 \\ c = - k \\ \end{matrix} ight.$ và $3(3k - 1) + 3(3k - 2) - ( - k - 1) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{8}{19}$ .

Do đó $H\left( \frac{5}{19}; - \frac{14}{19}; - \frac{8}{19} ight)$

Vậy $\left( \frac{5}{19} - \frac{14}{19} - \frac{8}{19} ight).19 = - 17$ .
Câu 16: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(2, - 2,1),B( - 4,2,4),C( - 4,0,1)$ . Các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $M\left( - 1,0,\frac{5}{2} ight)$ là trung điểm của $BC$ . Sai||Đúng

b) $G(-2,0,2)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Đúng||Sai

c) $N(8; - 6; - 2)$ là điểm đối xứng của $B$ qua $A$ . Đúng||Sai

d) Tọa độ điểm $E( - 14;8;11)$ thỏa $B$ là trọng tâm tam giác $AOE$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(2, - 2,1),B( - 4,2,4),C( - 4,0,1)$ . Các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $M\left( - 1,0,\frac{5}{2} ight)$ là trung điểm của $BC$ . Sai||Đúng

b) $G(-2,0,2)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Đúng||Sai

c) $N(8; - 6; - 2)$ là điểm đối xứng của $B$ qua $A$ . Đúng||Sai

d) Tọa độ điểm $E( - 14;8;11)$ thỏa $B$ là trọng tâm tam giác $AOE$ . Đúng||Sai

a) Sai: Do tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ là

$M\left( \frac{- 4 + ( - 4)}{2};\frac{2 +0}{2};\frac{4 + 1}{2} ight)$ hay $M\left( - 4;1;\frac{5}{2}ight)$

b) Đúng: Do tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là

$G\left( \frac{2 + ( - 4) + ( -4)}{3};\frac{- 2 + 2 + 0}{3};\frac{1 + 4 + 1}{3} ight)$ hay $G(- 2;0;2)$

c) Đúng: $N$ là điểm đối xứng của $B$ qua $A$ thì $B$ là trung điểm $AN$ .

$\left\{ \begin{matrix}x_{B} = \dfrac{x_{A} + x_{N}}{2} \\y_{B} = \dfrac{y_{A} + y_{N}}{2} \\z_{B} = \dfrac{z_{A} + z_{N}}{2} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{N} = 2x_{B} - x_{A} \\y_{N} = 2y_{B} - y_{A} \\z_{N} = 2z_{B} - z_{A} \\\end{matrix} ight.\ ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{N} = 8 \\ y_{N} = - 6 \\ z_{N} = - 2 \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow N(8; - 6; - 2)$

d) Đúng: $B$ là trọng tâm tam giác $AOE$ .

$\left\{ \begin{matrix}x_{B} = \dfrac{x_{A} + x_{O} + x_{E}}{3} \\y_{B} = \dfrac{y_{A} + y_{O} + y_{E}}{3} \\z_{B} = \dfrac{z_{A} + z_{O} + z_{E}}{3} \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{E} = 3x_{B} - x_{A} - x_{O} \\ y_{E} = 2y_{B} - y_{A} - y_{O} \\ z_{E} = 3z_{B} - z_{A} - z_{O} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{E} = - 14 \\ y_{E} = 8 \\ z_{E} = 11 \\ \end{matrix} \Rightarrow E( - 14;8;11) ight.$
Câu 17: Vận dụng cao
Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy các điểm $A';B';C'$ lần lượt thuộc các tia $SA;SB;SC$ sao cho $\frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} = b;\frac{SC}{SC'} = c$ trong đó $a;b;c$ là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?
- A.
  $a + b + c = 3$
- B.
  $a + b + c = 4$
- C.
  $a + b + c = 2$
- D.
  $a + b + c = 1$
Hình vẽ minh họa

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

Khi đó $3\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{0}$ mà $\overrightarrow{SA} = a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} = b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} = c\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $3\overrightarrow{SG} = a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} + c\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}$

Vì mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ suy ra $\overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'}$ đồng phẳng.

Do đó tồn tại ba số $l;m;n$ sao cho $l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0$ ) và $l\overrightarrow{GA'} + m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow l\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) = \overrightarrow{0}$ s

$\Leftrightarrow (l + m + n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} + m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $\frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m + n} = 1$

$\Rightarrow a + b + c = 3$
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $M( - 2; - 3;1)$
- B.
  $M(2; - 3;1)$
- C.
  $M(2; - 1;3)$
- D.
  $M(2;3;1)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ $M(2; - 3;1)$ .
Câu 19: Thông hiểu
Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a.$ Tính $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight|$ theo $a?$
- A.
  $a \sqrt{6}.$
- B.
  $a\sqrt{3}.$
- C.
  $\frac{a\sqrt{6}}{2}.$
- D.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$
Hình vẽ minh họa

Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta BCD.$

Do đó $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = \left| 3\overrightarrow{AG} ight| = 3AG.$

Ta có $BG = \frac{2}{3}BI = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.$

Mà $ABCD$ là tứ diện đều nên $AG\bot(BCD) \Rightarrow AG\bot BG.$

Suy ra $AG = \sqrt{AB^{2} - BG^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Vậy $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = 3.\frac{a\sqrt{6}}{3} = a\sqrt{6}.$
Câu 20: Nhận biết
Cho bốn điểm $A;B;C;D$ trong không gian. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là $4$ điểm?
- A.
  $3$
- B.
  $6$
- C.
  $9$
- D.
  $12$
Lấy $A$ làm gốc ta được 3 vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}$ . Tương tự đối với $B;C;D$ ta được $4.3 = 12$ vectơ.

102 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!