Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1)$ , khi đó tọa độ điểm $B$ là:
- A.
  $B(2;5;0)$
- B.
  $B(0; - 1; - 2)$
- C.
  $B(0;1;2)$
- D.
  $B( - 2; - 5;0)$
Gọi $B(x;y;z)$ ta có:
$A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1)$ khi đó $\left\{\begin{matrix}x - 1 = 1 \\y - 2 = 3 \\z + 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = 5 \\z = 0 \\\end{matrix} ight.$ nên tọa độ điểm cần tìm là $B(2;5;0)$ .
Câu 2: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC = \frac{3}{2}AD;\widehat{CAB} = \widehat{DAB} = 60^{0};CD = AD$ . Gọi $\varphi$ là góc giữa $AB$ và $CD$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $\cos\varphi = \frac{3}{4}$
- B.
  $\varphi = 60^{0}$
- C.
  $\varphi = 30^{0}$
- D.
  $\cos\varphi = \frac{1}{4}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\cos(AB;CD) = \frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} ight|}{\left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{CD} ight|} = \frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} ight|}{AB.CD}$

Mặt khác $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$= \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)$

$= AB.AD.\frac{1}{2} - AB.\frac{3}{2}.AD.\frac{1}{2} = - \frac{1}{4}AB.AD = - \frac{1}{4}AB.CD$

Do đó: $\cos(AB;CD) = \frac{\left| -\dfrac{1}{4}AB.CD ight|}{AB.CD} = \dfrac{1}{4}$

Vậy $\cos\varphi = \frac{1}{4}$
Câu 3: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức $T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight|$ ?
- A.
  $T = 3$
- B.
  $T = \sqrt{3}$
- C.
  $T = 1$
- D.
  $T = \sqrt{2}$
Vì các vectơ $\frac{\overrightarrow{AB}}{AB};\frac{\overrightarrow{AC}}{AC};\frac{\overrightarrow{AD}}{AD}$ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên

$\left( \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight)^{2} = 3 \Leftrightarrow T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight| = \sqrt{3}$
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(2;1;2)$ , $N(4; 2; 1)$ , tọa độ điểm $P$ thuộc trục $Oz$ sao cho $M;N; P$ thẳng hàng là
- A.
  $P(0;0;3)$ .
- B.
  $P(0;0; - 3)$ .
- C.
  $P(3;0;0)$ .
- D.
  $P(0;3;0)$ .
Vì điểm $P$ thuộc trục $Oz$ nên $P$ có tọa độ $P(0;0;z)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN}(2;1; - 1)$ ; $\overrightarrow{NP}( - 4; - 2;z - 1)$

$M;\ N;\ P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{- 4}{2} = \frac{- 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} \Leftrightarrow z - 1 = 2 \Leftrightarrow z = 3$

Vậy điểm $P(0;0;3)$ .
Câu 5: Vận dụng cao

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm $M$ thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm $M$ thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 6: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Vì $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ nên $A(3;0; - 1)$ .

b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2)$ .

Vì $4:2:4 eq - 2:4:2$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương suy ra $A,B,C$ không thẳng hàng.

c) Đúng

Vì $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $D( - 5;4;7)$ .

Do đó $a = - 5,b = 4,c = 7$ . Vậy $a + b + c = 6$ .

d) Đúng. Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.$

$MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$=(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$

Do $IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$ không thay đổi nên $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất hay $M$ là hình chiếu của điểm $I$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Do đó $M(1;2;0)$ suy ra $m=1,n=2,p=0$ .

Vậy $2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j}$ . Tìm tọa độ của $\overrightarrow{u}$ là.
- A.
  $(1; - 1;2)$ .
- B.
  $(1;1; - 2)$ .
- C.
  $(1;1;2)$ .
- D.
  $(1; - 2;1)$ .
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \overrightarrow{k} = (0;0;1) \\ \overrightarrow{j} = (0;1;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j} = (1;1; - 2)$
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2; - 3),\ \ B(3; - 2;1)$ . Tọa độ trung điểm của $AB$ là.
- A.
  $(2;0; - 1)$ .
- B.
  $(4;0; - 2)$ .
- C.
  $(1; - 2;2)$ .
- D.
  $(2; - 4;4)$ .
Tọa độ trung điểm I của AB là:

$I = \left( \frac{1 + 3}{2};\frac{2 - 2}{2};\frac{- 3 + 1}{2} ight) = (2;0; - 1)$
Câu 9: Nhận biết
Cho tứ diện $ABCD$ . Điểm $N$ xác định bởi công thức $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $N$ là trung điểm của $BD$
- B.
  $N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $BCDN$
- C.
  $N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $CDBN$
- D.
  $N \equiv A$
Ta có:

$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AD}$

Vậy $N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $CDBN$ .
Câu 10: Nhận biết
Cho ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ . Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?
- A.
  Một trong ba vectơ đó bằng $\overrightarrow{0}$ .
- B.
  Có hai trong ba vectơ đó cùng phương.
- C.
  Có một vectơ không cùng hướng với hai vectơ còn lại.
- D.
  Có hai trong ba vectơ đó cùng hướng.
Hai vectơ còn lại có thể không cùng phương nên ba vectơ có thể không đồng phẳng.
Câu 11: Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1)$ . Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là $( - 4; - 1;3)$ . Đúng||Sai

c) Cho $P(1;m - 1;3)$ , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

d) Điểm $I(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn $T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1)$ . Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là $( - 4; - 1;3)$ . Đúng||Sai

c) Cho $P(1;m - 1;3)$ , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

d) Điểm $I(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn $T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

a) Sai: Hình chiếu của điểm $M$ trên trục $Oy$ có tọa độ là $(0;3;0)$

b) Đúng: Vì $N$ là trung điểm của $ME$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1 = \dfrac{2 + x_{E}}{2} \\1 = \dfrac{3 + y_{E}}{2} \\1 = \dfrac{- 1 + z_{E}}{2} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{E} = - 4 \\y_{E} = - 1 \\z_{E} = 3 \\\end{matrix} \Rightarrow E( - 4; - 1;3) ight.\ ight.$ .

c) Đúng: Ta có $\overrightarrow{NM} = (3;2; - 2);\overrightarrow{NP} = (2;m - 2;2)$ .

$\bigtriangleup MNP$ vuông tại $N$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{NP} = 0$

$\Leftrightarrow 3.2 + 2.(m - 2) + ( - 2).2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ .

d) Sai.

Gọi $J(x;y;z)$ thỏa $3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{JN} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - ( - 1 - x) = 0 \\3(3 - y) - (1 - y) = 0 \\3( - 1 - z) - (1 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{2} \\y = 4 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.$

Suy ra $J\left( \frac{7}{2};4; - 2 ight)$ .

Khi đó $T = |3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN}| = |3\overrightarrow{IJ} + 3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{IJ} - \overrightarrow{JN}| = |2\overrightarrow{IJ}| = 2IJ$ .

$T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $I$ là hình chiếu của $J$ trên $(Oxy)$

$\Leftrightarrow I\left( \frac{7}{2};4;0 ight)$ .

Vậy $a = \frac{7}{2};b = 4;c = 0$ .

Suy ra $2a+b+c=11$
Câu 12: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2)$ . Có tất cả bao nhiêu điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $M eq A,M eq B,M eq C$ và $\widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2)$ . Có tất cả bao nhiêu điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $M eq A,M eq B,M eq C$ và $\widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(5; - 2;0),B( - 2;3;0),C(0;2;3)$ . Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
- A.
  $G(1;2;1)$
- B.
  $G(2;0; - 1)$
- C.
  $G(1;1;1)$
- D.
  $G(1;1; - 2)$
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{5 + ( - 2) + 0}{3} = 1\\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 + 3 + 2}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{0 + 0 + 3}{3} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(1;1;1)$

Vậy trọng tâm G tìm được là $G(1;1;1)$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ hai điểm $A(3;0;0),B(0;0;4)$ . Tính chu vi tam giác $OAB$ ?
- A.
  $14$
- B.
  $7$
- C.
  $6$
- D.
  $12$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (3;0;0) \Rightarrow OA = 3 \\ \overrightarrow{OB} = (0;0;4) \Rightarrow OB = 4 \\ \overrightarrow{AB} = ( - 3;0;4) \Rightarrow AB = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Chu vi tam giác $OAB$ là:

$C = OA + OB + AB = 3 + 4 + 5 = 12$

Vậy đáp án đúng là: $12$ .
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 4;3)$ và $B(2;2;7)$ . Trung điểm $M$ của $AB$ có tọa độ là:
- A.
  $(4; - 2;10)$
- B.
  $(1;3;2)$
- C.
  $(2;6;4)$
- D.
  $(2; - 1;5)$
Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2; - 1;5)$

Vậy đáp án đúng là: $(2; - 1;5)$ .
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(4;2; - 1),C(5; - 2;0)$ . Điểm $D(a;b;c)$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCD$ . Khi đó giá trị biểu thức $H = 2a + b + c$ có giá trị bằng bao nhiêu?
- A.
  $H = 0$
- B.
  $H = 1$
- C.
  $H = - 1$
- D.
  $H = 2$
Gọi tọa độ điểm $D(a;b;c)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (6; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{DC} = (5 - a; - 2 - b; - c) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $ABCM$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - a = 6 \\ - 2 - b = - 1 \\ - c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ c = 2 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra điểm $D( - 1; - 1;2)$

Khi đó $H = 2a + b + c = 2.( - 1) - 1 + 2 = - 1$ .
Câu 17: Thông hiểu

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):y = 0$ , $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0$ . Xét các vectơ $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ , $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = - 1$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $30{^\circ}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):y = 0$ , $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0$ . Xét các vectơ $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ , $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = - 1$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $30{^\circ}$ . Sai||Đúng

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

Ta có: $(P):y = 0 \Leftrightarrow 0x + 1y + 0z = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ .

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

Ta có: $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}x - y + 0z - 2024 = 0 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = 0.\sqrt{3} + 1.( - 1) + 0.0 = - 1$ .

d) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$

$\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}$

$= \frac{| - 1|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 0^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{3} ight)^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 60{^\circ}$ .
Câu 18: Vận dụng cao

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Đáp án là:

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{EA_{1}} = (0;1; - 6) \\\overrightarrow{EA_{2}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; - 6ight) \\\overrightarrow{EA_{3}} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; -6 ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow EA_{1} = EA_{2} = EA_{3} =\sqrt{37}$ .
Suy ra, $\left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = \left|\overrightarrow{F_{3}} ight|$ (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).
Do đó: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = k\overrightarrow{EA_{1}} = (0;k; - 6k) \\\overrightarrow{F_{2}} = k\overrightarrow{EA_{2}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = k\overrightarrow{EA_{3}} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = (0;0; -18k)$ .
Mà $\overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{P} =(0;0; - 240)$ .
Suy ra $- 18k = - 240 \Leftrightarrow k =\frac{40}{3}$ .
Từ đó $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = \left( 0;\frac{40}{3}; - 80 ight) \\\overrightarrow{F_{2}} = \left( \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3}; -80 ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = \left( - \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3};- 80 ight) \\\end{matrix} ight.$ .
Vậy $\overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{F_{3}} =0.\left( \frac{- 20\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{40}{3}\left( -\frac{20}{3} ight) + ( - 80).( - 80) \approx 6311$ .
Câu 19: Thông hiểu
Cho các mệnh đề sau:

(I) Vectơ $\overrightarrow{x} =\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ luôn đồng phẳng với hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ .

(II) Nếu có $m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ và ít nhất một trong ba số $m;n;p$ khác không thì ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

(III) Nếu ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng và $m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ thì $m = n = p = 0$ .

Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
- A.
  $4$
- B.
  $2$
- C.
  $0$
- D.
  $3$
Do $\overrightarrow{x}$ được biểu thị qua hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ nên (I) đúng.

Xét mệnh đề (II): Giả sử $m eq 0$ , khi đó:

$m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{a} = - \frac{n}{m}\overrightarrow{b} -\frac{p}{m}\overrightarrow{c}$

Suy ra ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng. Vậy mệnh đề (II) đúng.

Do mệnh đề (III) tương đương với mệnh đề (II) nên mệnh đề (III) đúng.
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $A(0;0;0),B(3;0;0),C(0;3;0),D'(0;3; -3)$ . Tọa độ trọng tâm tam giác $A'B'C$ là
- A.
  $(1;1 ;- 2)$
- B.
  $(2;1; - 2)$
- C.
  $(1;2; - 1)$
- D.
  $(2;1; - 1)$
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm của đoạn BD’ suy ra $I\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2}; - \frac{3}{2}ight)$
Gọi $G(a;b;c)$ là trọng tâm tam giác $A'B'C$
Ta có: $\overrightarrow{DI} =3\overrightarrow{IG}$ với $\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{DI} = \left( \frac{3}{2}; - \frac{3}{2}; - \frac{3}{2}ight) \\\overrightarrow{IG} = \left( a - \frac{3}{2};b - \frac{3}{2};c +\frac{3}{2} ight) \\\end{matrix} ight.$
Do đó:
$\left\{ \begin{matrix}\frac{3}{2} = 3\left( a - \frac{3}{2} ight) \\- \frac{3}{2} = 3\left( b - \frac{3}{2} ight) \\- \frac{3}{2} = 3\left( c + \frac{3}{2} ight) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 1 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(2;1; - 2)$
Vậy tọa độ trọng tâm tam giác cần tìm là $(2;1; - 2)$

94 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!