Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 2; - 4)$ và $\overrightarrow{b} = (1; - 1;1)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (3; - 3; - 3)$ .
- B.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ cùng phương.
- C.
  $\left| \overrightarrow{b} ight| = \sqrt{3}$
- D.
  $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (3; - 3; - 3)$ đúng

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = 2(1; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{b} = (1; - 1;1) \\ \end{matrix} ight.$ suy ra Hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ không cùng phương.

Vậy mệnh đề sai là: “Hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ cùng phương”.
Câu 2: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh $AB = a, AD = 2a$ , cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{0}$ . Sai||Đúng

c) Tích vô hướng của $\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB}$ bằng $\frac{a^{2}}{2}$ . Đúng||Sai

d) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN}$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh $AB = a, AD = 2a$ , cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{0}$ . Sai||Đúng

c) Tích vô hướng của $\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB}$ bằng $\frac{a^{2}}{2}$ . Đúng||Sai

d) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN}$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Sai||Đúng

a) Sai

Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên $AB//CD$

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

b) Sai

Ta có ABCD là hình chữ nhật nên $AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}$

Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

Suy ra $\tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'$

Ta có: $\left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left( \overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'$

c) Đúng

Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

Suy ra $SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{5}$

Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

$AM = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Lại có M là trung điểm của SB nên $MB = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Ta tính được $\cos MAB = \frac{MA^{2} + AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Mà $\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{MAB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}$

d) Sai

Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

Do đó $MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Suy ra $\left| \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| = \frac{a\sqrt{5}}{2}$
Câu 3: Vận dụng cao

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm $M$ thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm $M$ thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;3),B(2;3; - 4),C( - 3;1;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D( - 4; - 2;9)$
- B.
  $D( - 4;2;9)$
- C.
  $D(4; - 2;9)$
- D.
  $D(4;2; - 9)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3 - x = 1 \\ 1 - y = 3 \\ 2 - z = - 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = 9 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4; - 2;9)$ .
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1; - 2;3),B( - 1;2;5),C(0;0;1)$ . Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
- A.
  $G(0;0;3)$
- B.
  $G(0;0;9)$
- C.
  $G( - 1;0;3)$
- D.
  $G(0;0;1)$
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 - 1 + 0}{3} = 0 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 + 2 + 0}{3} = 0 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{3 + 5 + 1}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(0;0;3)$

Vậy trọng tâm G tìm được là $G(0;0;3)$ .
Câu 6: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 1;3)$ , $B(0;2;0)$ và $C(5; - 2;1)$ . Điểm $D(a;b;c)$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Tính $S = a + b + c$ ?

Đáp án: 3

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 1;3)$ , $B(0;2;0)$ và $C(5; - 2;1)$ . Điểm $D(a;b;c)$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Tính $S = a + b + c$ ?

Đáp án: 3

Gọi $D = (x;y;z)$ $\Rightarrow \overrightarrow{DC} = (5 - x; - 2 - y;1 - z)$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (1;3; - 3)$

$ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - x = 1 \\ - 2 - y = 3 \\ 1 - z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 5 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow D(4; - 5;4)$ .

Vậy $S = a + b + c = 3$ .
Câu 7: Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\Delta ABC$ có $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ . Tính $(a + b + c).19$ .

Đáp án: -17||- 17

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\Delta ABC$ có $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ . Tính $(a + b + c).19$ .

Đáp án: -17||- 17

Ta có $\overrightarrow{AH} = (a;b;c - 1),\overrightarrow{BC} = (3;3; - 1),\overrightarrow{BH} = (a + 1;b + 2;c)$ .

Vì $H$ là chân đường cao nên ta có

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{BC} \\\overrightarrow{BH} = k\overrightarrow{BC} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3a + 3b - (c - 1) = 0 \\\dfrac{a + 1}{3} = \dfrac{b + 2}{3} = \dfrac{c}{- 1} = k \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3k - 1 \\ b = 3k - 2 \\ c = - k \\ \end{matrix} ight.$ và $3(3k - 1) + 3(3k - 2) - ( - k - 1) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{8}{19}$ .

Do đó $H\left( \frac{5}{19}; - \frac{14}{19}; - \frac{8}{19} ight)$

Vậy $\left( \frac{5}{19} - \frac{14}{19} - \frac{8}{19} ight).19 = - 17$ .
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 3;4;0)$ và $\overrightarrow{b} = (5;0;12)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{3}{13}$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{5}{6}$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{5}{6}$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{3}{13}$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 15}{\sqrt{( - 3)^{2} + 4^{2} + 0^{2}}.\sqrt{5^{2} + 0^{2} + 12^{2}}} = - \frac{3}{13}$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ . Vectơ $\overrightarrow{AC}$ bằng
- A.
  $\overrightarrow{AB}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB}\$ .
- C.
  $- \overrightarrow{AC}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC}\ = \ \overrightarrow{\ AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .
Câu 10: Vận dụng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Giả sử điểm $C'(a;b;c)$ . Tính giá trị biểu thức $T=a+b+2c$ ?
- A.
  $T=0$
- B.
  $T=25$
- C.
  $T=12$
- D. $T=-11$
Gọi điểm $C'(x;y;z)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.$
Mà $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}$
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C'(13;4;4)$ suy ra $a=13;b=4;c=4$
Vậy $T=25$
Câu 11: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho vectơ $\overrightarrow{OM}$ có độ dài $\left| \overrightarrow{OM} ight| = 1$ , gọi $\alpha;\beta;\gamma$ lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ trên ba trục $Ox;Oy;Oz$ và vectơ $\overrightarrow{OM}$ . Khi đó tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $M\left(\sin\beta\cos\alpha;\sin\alpha\cos\beta;cos\gammaight)$
- B.
  $M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$
- C.
  $M\left( \sin\alpha;\sin\beta;\sin\gammaight)$
- D.
  $M\left(\sin\alpha\cos\alpha;\sin\beta\cos\beta;\sin\gamma\cos\gammaight)$
Gọi $M(x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{OM} = (x;y;z)$ và $\overrightarrow{i} = (1;0;0),\overrightarrow{j} = (0;1;0),\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

$\left\{ \begin{matrix}\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{i}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{i} ight|} = x \\\cos\beta = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{j}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = y \\\cos\gamma = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{k}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{k} ight|} = z \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCCD.A'B'C'D'$ . Biết $A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10)$ . Tọa độ điểm $B'$ là:
- A.
  $B'(8;4;10)$
- B.
  $B'(6;12;0)$
- C.
  $B'(10;8;6)$
- D.
  $B'(13;0;17)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = ( - 5;4;7) \Rightarrow D( - 3;8; - 7)$

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B'D'} = ( - 7;8; - 7) \Rightarrow B'(13;0;17)$
Câu 13: Thông hiểu

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):y = 0$ , $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0$ . Xét các vectơ $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ , $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = - 1$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $30{^\circ}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):y = 0$ , $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0$ . Xét các vectơ $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ , $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = - 1$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $30{^\circ}$ . Sai||Đúng

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

Ta có: $(P):y = 0 \Leftrightarrow 0x + 1y + 0z = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ .

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

Ta có: $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}x - y + 0z - 2024 = 0 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = 0.\sqrt{3} + 1.( - 1) + 0.0 = - 1$ .

d) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$

$\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}$

$= \frac{| - 1|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 0^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{3} ight)^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 60{^\circ}$ .
Câu 14: Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = BC = 2$ và $CC' = 4$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC$ và $AA'$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B'D'$ và $MN$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 2,43

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = BC = 2$ và $CC' = 4$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC$ và $AA'$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B'D'$ và $MN$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 2,43

Cách 1. Gọi $P$ là trung điểm $CD$ , $I = MP \cap AD$ , $J = IN \cap DD'$ , $K = AC \cap MP$ .

Ta có $MP//BD \Rightarrow MP//B'D' \Rightarrow d(B'D';MN) = d\left\lbrack B'D';(MNP) ightbrack = d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack$ .

Lại có $d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack = \frac{D'J}{DJ}d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack = 5.d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack$ .

Mặt khác $d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack = \frac{DI}{AI}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{1}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack$ .

Dễ thấy $\left\{ \begin{matrix} (NAK)\bot(MNP) \\ (NAK) \cap (MNP) = AK \\ AH\bot NK\ (H \in NK)\ trong\ (NAK) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow AH\bot(MNP) \Rightarrow d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = AH$ .

Suy ra $d(MN;B'D') = \frac{5}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{5}{3}AH$ với $AN = \frac{AA'}{2} = 2$ ; $AK = \frac{3}{4}\sqrt{2}AB = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $d(MN;B'D') = \frac{5}{3}AH = \frac{5}{3}.\frac{AN.AK}{\sqrt{AN^{2} + AK^{2}}} = \frac{5}{3}.\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}.2}{\sqrt{\left( \frac{3\sqrt{2}}{2} ight)^{2} + 2^{2}}} = \frac{10.\sqrt{17}}{17} \simeq 2,43$ .

Cách 2. Đặt các trục $Ox$ , $Oy$ và $Oz$ vào hình như sau

Ta có $M(1;2;0)$ , $N(0;0;2)$ , $B'(0;2;4)$ và $D'(2;0;4)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 1; - 2;2)$ , $\overrightarrow{B'D'} = (2; - 2;0)$ và $\overrightarrow{MB'} = ( - 1;0;4) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{B'D'} ightbrack = (4;4;6)$ .

Khi đó :

$d\left( MN;B^{'}D^{'} ight) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack.\overrightarrow{MB^{'}} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack ight|}$

$= \frac{\left| ( - 1).4 + 0.4 + 4.6 ight|}{\sqrt{4^{2} + 4^{2} + 6^{2}}} = \frac{10\sqrt{17}}{17} \simeq 2,43$ .
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai véc tơ $\overrightarrow{u} = ( - 3;0;1)$ và $\overrightarrow{v} = (0;2; - 2)$ . Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ tương ứng là:
- A.
  $( - 6; - 2;4)$ .
- B.
  $( - 6;2;0)$ .
- C.
  $( - 2;1;3)$ .
- D.
  $(1; - 2;5)$ .
Ta có: $2\overrightarrow{u} = ( - 6;0;2)$ .

$\overrightarrow{v} = (0;2; - 2)$ .

Suy ra $\overrightarrow{w} = ( - 6 - 0;0 - 2;2 + 2) = ( - 6; - 2;4)$ .
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian, cho hình chóp $S.ABC$ với $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Khi đó $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}$ bằng.
- A.
  $2\overrightarrow{SG}$ .
- B.
  $4\overrightarrow{SG}$ .
- C.
  $\overrightarrow{SG}$ .
- D.
  $3\overrightarrow{SG}$ .
Do $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ .

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

$\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}$

$= \left( \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GA} ight) + \left( \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GB} ight) + \left( \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GC} ight)$ .

$= 3\overrightarrow{SG} + \left(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight)= 3\overrightarrow{SG}$
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian cho tứ diện đều $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$
- B.
  $\overrightarrow{AC}\bot\overrightarrow{BC}$
- C.
  $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{BC}$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
Tứ diện $ABCD$ đều nên $\overrightarrow{AD}$ không thể vuông góc với $\overrightarrow{DC}$ .

Vậy khẳng định sai là: “ $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$ ”.
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k}$ . Khi đó tọa độ $\overrightarrow{u}$ với hệ $Oxyz$ là:
- A.
  $(1;0;2)$
- B.
  $(0;2;1)$
- C.
  $(2;0;1)$
- D.
  $(2;1;0)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

$\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (x;y;z)$

Lại có $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (2;0;1)$
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $M( - 2;6;1),M'(a;b;c)$ đối xứng nhau qua mặt phẳng $(Oyz)$ . Tính giá trị biểu thức $S = 7a - 2b + 2017c - 1$ ?
- A.
  $S = 2017$
- B.
  $S = 2042$
- C.
  $S = 0$
- D.
  $S = 2018$
Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng $(Oyz)$ suy ra H(0; 6; 1)

Do M’ đối xứng với M qua $(Oyz)$ nên MM’ nhận H làm trung điểm suy ra M’(2; 6; 1) suy ra a = 2; b = 6; c = 1

Vậy $S = 7a - 2b + 2017c - 1 = 2018$ .
Câu 20: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{B_{1}M} = \overrightarrow{B_{1}B} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$
- B.
  $\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$
- C.
  $\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$
- D.
  $\overrightarrow{B_{1}B} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}} = 2\overrightarrow{B_{1}D}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CD} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C_{1}A_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C_{1}B_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$

94 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!