Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức
?
Vì các vectơ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức
?
Vì các vectơ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
thỏa mãn đẳng thức
?
Gọi
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy điểm E có tọa độ là .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
, với
là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ
, hai điểm
.
a)
. Đúng||Sai
b) Ba điểm
thẳng hàng. Sai||Đúng
c) Điểm
là điểm đối xứng của với
qua
. Khi đó
. Đúng||Sai
d) Điểm
trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Đúng||Sai
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho
, với
là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ
, hai điểm
.
a) . Đúng||Sai
b) Ba điểm thẳng hàng. Sai||Đúng
c) Điểm là điểm đối xứng của với
qua
. Khi đó
. Đúng||Sai
d) Điểm trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Đúng||Sai
a) Đúng: Vì nên
.
b) Sai: Ta có .
Vì nên
không cùng phương suy ra
không thẳng hàng.
c) Đúng
Vì là điểm đối xứng với
qua
nên
là trung điểm của
.
Ta có suy ra
.
Do đó . Vậy
.
d) Đúng. Gọi là điểm thỏa mãn
.
Ta có:
Do không thay đổi nên
nhỏ nhất khi
nhỏ nhất hay
là hình chiếu của điểm
trên mặt phẳng
.
Do đó suy ra
.
Vậy .
Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt
, giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là
,
. Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là
, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực
như hình.

Tính tích vô hướng của
(làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311
Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là
,
. Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là
, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực
như hình.
Tính tích vô hướng của (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311
Ta có:
.
Suy ra, (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).
Do đó:
.
Mà .
Suy ra .
Từ đó .
Vậy .
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ
. Gọi
là vectơ thoả mãn:
. Tọa độ của vectơ
là:
Đặt .
Ta có:
Vậy .
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Điểm
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
. Khi đó giá trị biểu thức
có giá trị bằng bao nhiêu?
Gọi tọa độ điểm
Ta có: là hình bình hành
suy ra điểm
Khi đó .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Tìm tọa độ điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian tọa độ
, hình chiếu vuông góc của điểm
trên trục
có tọa độ là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên trục
là điểm có tọa độ
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vectơ
,
và
. Chọn mệnh đề đúng?
Ta có: là mệnh đề đúng.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
với
. Độ dài đoạn thẳng
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Suy ra
Vậy độ dài AC’ bằng .
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
,
là trọng tâm của tứ diện
và
là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị của
thỏa mãn đẳng thức
?
Vì G là trọng tâm tứ diện nên
.
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc.
là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Đặt . Khi đó
với
là ba số có tổng bằng 1.
Ta có:
Tương tự ta được
Do đó
Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa
Do đó
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.
Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.
Trong không gian cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Khi đó
bằng.
Do là tâm của hình bình hành
nên
.
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có
Trong không gian
có điểm
. Tính độ dài
?
Ta có:
Suy ra
Vậy đáp án cần tìm là .
Mệnh đề nào sau đây sai?
Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.
Trong không gian
cho hai điểm
. Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:
a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng
b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là
. Đúng||Sai
c) Cho
, tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian cho hai điểm
. Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:
a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng
b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là . Đúng||Sai
c) Cho , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Sai: Hình chiếu của điểm trên trục
có tọa độ là
b) Đúng: Vì là trung điểm của
.
c) Đúng: Ta có .
vuông tại
.
d) Sai.
Gọi thỏa
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
.
Vậy .
Suy ra
Cho tứ diện
và các điểm
xác định bởi
. Tìm giá trị
để
đồng phẳng?
Cho tứ diện và các điểm
xác định bởi
. Tìm giá trị
để
đồng phẳng?
Trong không gian cho hai đường thẳng
lần lượt có vectơ chỉ phương
. Gọi
là góc giữa hai đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Khẳng định đúng: “Nếu thì
”.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vectơ
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Vậy