Trong không gian
, cho điểm
. Tọa độ trung điểm của
là.
Tọa độ trung điểm I của AB là:
Trong không gian
, cho điểm
. Tọa độ trung điểm của
là.
Tọa độ trung điểm I của AB là:
Trong không gian tọa độ
cho điểm
. Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Tính độ dài vectơ
?
Ta có:
Khi đó
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho hình thang
vuông tại
và
. Biết rằng tọa độ các điểm
và hình thang
có diện tích bằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hình thang
vuông tại
và
. Biết rằng tọa độ các điểm
và hình thang
có diện tích bằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm giá trị tham số
để
?
Theo bài ra ta có:
Vậy đáp án cần tìm là .
Một chiếc máy bay đang bay từ điểm
đến điểm
. Giả sử với đơn vị km, điểm
có tọa độ
và điểm
có tọa độ
. Máy bay được trạm không lưu thông báo có một cơn bão với tâm bão ở vị trí
với tọa độ
, máy bay được an toàn khi cách tâm bão tối thiểu là
. Tính gọi
là điểm trên đường bay (giữa
và
) mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão. Tính độ dài quãng đường
(kết quả lấy phần nguyên).
Đáp án: 173,21 km
Một chiếc máy bay đang bay từ điểm đến điểm
. Giả sử với đơn vị km, điểm
có tọa độ
và điểm
có tọa độ
. Máy bay được trạm không lưu thông báo có một cơn bão với tâm bão ở vị trí
với tọa độ
, máy bay được an toàn khi cách tâm bão tối thiểu là
. Tính gọi
là điểm trên đường bay (giữa
và
) mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão. Tính độ dài quãng đường
(kết quả lấy phần nguyên).
Đáp án: 173,21 km
Hình vẽ minh họa
Giả sử
Vì là điểm trên đường bay (giữa
và
). Khi đó ta có ba điểm
thẳng hàng.
Ta lại có là điểm mà máy bay cần chuyển hướng để tránh cơn bão.
Khi đó
Ta có hệ phương trình:
Giải (*) ta có
Vì là điểm gần
hơn do đó chọn
hay
Vậy độ dài quãng đường:
Trong không gian cho hai đường thẳng
lần lượt có vectơ chỉ phương
. Gọi
là góc giữa hai đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Khẳng định đúng: “Nếu thì
”.
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Cho tứ diện có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vectơ
. Khi đó giá trị của
bằng bao nhiêu?
Ta có: .
Khi đó
Vậy đáp án cần tìm là:
Cho lăng trụ tam giác
. Đặt
. Gọi điểm
sao cho
,
là trọng tâm tứ diện
. Biểu diễn vectơ
qua các vectơ
. Đáp án nào dưới đây đúng?
Ta có G là trọng tâm của tứ diện nên
Tích vô hướng của 2 vectơ
trong không gian được tính bằng:
Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vecto, ta có: .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tọa độ hai điểm
. Tính chu vi tam giác
?
Ta có:
Chu vi tam giác là:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm
đến điểm
trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là
, trong đó
là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính
?

Đáp án: 1223
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm
trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là
, trong đó
là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính
?
Đáp án: 1223
Gọi là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ gấp 4 lần thời gian bay từ
nên
Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên và
cùng hướng.
Suy ra
Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là .
Do đó,
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
,
và
. Điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành. Tính
?
Đáp án: 3
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm
,
và
. Điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành. Tính
?
Đáp án: 3
Gọi
Ta có:
là hình bình hành nên
.
Vậy .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
. Biết
. Tọa độ điểm
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Phát biểu nào sau đây sai?
Dễ thấy từ đo suy ra hai vectơ
và
ngược hướng và
.
Lại có
Vậy phát biểu sai là: .
Trong không gian, cho hình lập phương
. Góc giữa hai vectơ
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Ta có: . Do đó,
Vì nên tam giác
là tam giác đều.
Suy ra
Vậy
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
, với
là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ
, hai điểm
.
a)
. Đúng||Sai
b) Ba điểm
thẳng hàng. Sai||Đúng
c) Điểm
là điểm đối xứng của với
qua
. Khi đó
. Đúng||Sai
d) Điểm
trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Đúng||Sai
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho
, với
là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ
, hai điểm
.
a) . Đúng||Sai
b) Ba điểm thẳng hàng. Sai||Đúng
c) Điểm là điểm đối xứng của với
qua
. Khi đó
. Đúng||Sai
d) Điểm trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Đúng||Sai
a) Đúng: Vì nên
.
b) Sai: Ta có .
Vì nên
không cùng phương suy ra
không thẳng hàng.
c) Đúng
Vì là điểm đối xứng với
qua
nên
là trung điểm của
.
Ta có suy ra
.
Do đó . Vậy
.
d) Đúng. Gọi là điểm thỏa mãn
.
Ta có:
Do không thay đổi nên
nhỏ nhất khi
nhỏ nhất hay
là hình chiếu của điểm
trên mặt phẳng
.
Do đó suy ra
.
Vậy .
Cho hình hộp
có
. Gọi
là trung điểm của đoạn
. Biểu thị
theo ba vectơ
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: