Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ và $P$ là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{PI} = k.\left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} ight)$ ?
- A.
  $k = 2$
- B.
  $k = \frac{1}{4}$
- C.
  $k = 4$
- D.
  $k = \frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Vì $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ nên ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM} \\ \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = 2\overrightarrow{IN} \\ \end{matrix} ight.$ .

Mặt khác $\overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0}$ (vì I là trung điểm của MN) suy ra $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$

Theo bài ra ta có:

$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD}$

$= 4\overrightarrow{PI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{PI}$

$\Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4}$
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}$ là:
- A.
  $(2; - 1; - 3)$
- B.
  $( - 3;2; - 1)$
- C.
  $( - 1;2; - 3)$
- D.
  $(2; - 3; - 1)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 1;2; - 3)$ .
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (1;2;3);\overrightarrow{b} = (2;2; - 1);\overrightarrow{c} = (4;0; - 4)$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{d}( - 7;0; - 4)$
- B.
  $\overrightarrow{d}( - 7;0;4)$
- C.
  $\overrightarrow{d}(7;0; - 4)$
- D.
  $\overrightarrow{d}(7;0;4)$
Ta có:

$\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} = \left( 1 - 2 + 2.4;2 - 2 + 2.0;3 + 1 + 2.( - 4) ight) = (7;0; - 4)$

Vậy $\overrightarrow{d}(7;0; - 4)$
Câu 4: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5)$ . Biết $\widehat{ABC} = a^{0}$ trong đó $a$ là số nguyên dương. Tìm $a$ ?

Đáp án: 135

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5)$ . Biết $\widehat{ABC} = a^{0}$ trong đó $a$ là số nguyên dương. Tìm $a$ ?

Đáp án: 135

Ta có $\overrightarrow{BA} = (0;1;0),\overrightarrow{BC} = (1; - 1;0)$ .

Suy ra $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = - 1,\left| \overrightarrow{BA} ight| = 1,\left| \overrightarrow{BC} ight| = \sqrt{2}$ .

$\cos\widehat{ABC} = \frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{BA} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \widehat{ABC} = 135^{0}$ .

Vậy $a = 135$
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}$ . Gọi $I$ là trung điểm của $B'C'$ , $K$ là giao điểm của $A'I$ và $B'D'$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{DK} = \frac{1}{3}\left( 4\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{DK} = \frac{1}{3}\left( 4\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{DK} = 4\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{DK} = 4\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c}$
Hình vẽ minh họa

Vì I là trung điểm của B’C’ suy ra $\overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{A'C'} = 2\overrightarrow{A'I}$

Và K là giao điểm của $A'I';B'D'$ nên theo định lí Talet $\Rightarrow \overrightarrow{A'K} = \frac{2}{3}\overrightarrow{A'I}$

Ta có: $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{A'K} = \overrightarrow{AA'} + \frac{2}{3}\overrightarrow{A'I}$

$= \overrightarrow{AA'} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{A'C'} ight) = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

Khi đó

$\overrightarrow{DK} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AK} = \left( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} ight) + \overrightarrow{AK}$

$= \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \frac{4}{3}\overrightarrow{a} - \frac{2}{3}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

Vậy $\overrightarrow{DK} = \frac{1}{3}\left( 4\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c} ight)$ .
Câu 6: Nhận biết
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DH}$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Vì $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}$ ( $ADHE$ là hình vuông) nên $\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DH} ight) = \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE} ight) = \widehat{BAE} = 90^{0}$
Câu 7: Nhận biết
Biết rằng $\overrightarrow{a} = (0;1;3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;3;1)$ . Tính $\overrightarrow{x} =3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{x} = ( - 2;4;4)$
- B.
  $\overrightarrow{x} = (4; - 3;7)$
- C.
  $\overrightarrow{x} = ( - 4;9; - 11)$
- D.
  $\overrightarrow{x} = ( - 1;9;11)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 3\overrightarrow{a} = (0;3;9) \\ 2\overrightarrow{b} = ( - 4;6;2) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{x} = 3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = ( - 4;9;11)$
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(4;2; - 1),C(5; - 2;0)$ . Điểm $D(a;b;c)$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCD$ . Khi đó giá trị biểu thức $H = 2a + b + c$ có giá trị bằng bao nhiêu?
- A.
  $H = 0$
- B.
  $H = 1$
- C.
  $H = - 1$
- D.
  $H = 2$
Gọi tọa độ điểm $D(a;b;c)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (6; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{DC} = (5 - a; - 2 - b; - c) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $ABCM$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - a = 6 \\ - 2 - b = - 1 \\ - c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ c = 2 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra điểm $D( - 1; - 1;2)$

Khi đó $H = 2a + b + c = 2.( - 1) - 1 + 2 = - 1$ .
Câu 9: Vận dụng cao

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Đáp án là:

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{EA_{1}} = (0;1; - 6) \\\overrightarrow{EA_{2}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; - 6ight) \\\overrightarrow{EA_{3}} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; -6 ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow EA_{1} = EA_{2} = EA_{3} =\sqrt{37}$ .
Suy ra, $\left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = \left|\overrightarrow{F_{3}} ight|$ (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).
Do đó: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = k\overrightarrow{EA_{1}} = (0;k; - 6k) \\\overrightarrow{F_{2}} = k\overrightarrow{EA_{2}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = k\overrightarrow{EA_{3}} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = (0;0; -18k)$ .
Mà $\overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{P} =(0;0; - 240)$ .
Suy ra $- 18k = - 240 \Leftrightarrow k =\frac{40}{3}$ .
Từ đó $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = \left( 0;\frac{40}{3}; - 80 ight) \\\overrightarrow{F_{2}} = \left( \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3}; -80 ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = \left( - \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3};- 80 ight) \\\end{matrix} ight.$ .
Vậy $\overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{F_{3}} =0.\left( \frac{- 20\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{40}{3}\left( -\frac{20}{3} ight) + ( - 80).( - 80) \approx 6311$ .
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D(1;8; - 2)$
- B.
  $D(11;2;2)$
- C.
  $D(1;8;2)$
- D.
  $D(11;2; - 2)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6 - x = 3 + 2 \\ 5 - y = 0 - 3 \\ - z = - 1 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 8 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;8;2)$ .
Câu 11: Thông hiểu
Cho ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng. Xét các vectơ $\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b},$ $\overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c},$ $\overrightarrow{z} = -3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  Ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng.
- B.
  Hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{a}$ cùng phương.
- C.
  Hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{b}$ cùng phương.
- D.
  Ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đôi một cùng phương.
Giả sử ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng, khi đó $\overrightarrow{x} =m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}m\overrightarrow{y} = m\overrightarrow{a} - m\overrightarrow{b} -m\overrightarrow{c} \\overrightarrow{z} = - 3n\overrightarrow{b} - 2n\overrightarrow{c} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow m\overrightarrow{y} +n\overrightarrow{z} = m\overrightarrow{a} - (m + 3n)\overrightarrow{b} -(m + 2n)\overrightarrow{c}$

Khi đó:

$2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}= m\overrightarrow{a} - (m + 3n)\overrightarrow{b} - (m +2n)\overrightarrow{c}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ m + 3n = - 1 \\ m + 2n = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ n = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng.

Vậy khẳng định đúng là: “Ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng”.
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , hình chiếu vuông góc của điểm $M(1; - 3; - 5)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là:
- A.
  $(0; - 3;0)$ .
- B.
  $(0; - 3; - 5)$ .
- C.
  $(0; - 3;5)$ .
- D.
  $(1; - 3;0)$ .
Hình chiếu vuông góc của điểm $M(1; - 3; - 5)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là điểm có tọa độ $(0; - 3; - 5)$ .
Câu 13: Vận dụng cao

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Đáp án là:

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Gọi hai lực tạo với nhau một góc $80^{\circ}$ là $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = 50$ N.

Lực còn lại là $\overrightarrow{F_{3}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{3}} ight| = 60$ N.

Gọi $\overrightarrow{F}$ là hợp lực của ba lực trên ta có

$\left| \overrightarrow{F} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} ight)^{2}$

$= \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{2}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|^{2} + 2\lbrack\left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}} ight)$

$+ \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{3}} ight) + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{3}},\overrightarrow{F_{2}} ight)brack$

$= 50^{2} + 50^{2} + 60^{2} + 2\lbrack 50.50.cos80^{0}$ $+ 50.60.cos60^{0} + 60.50.cos60^{0}brack \approx 15468$ .

$\Rightarrow |F| \approx 124$ N
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $M(1;1;1),\ N(2;3;4),\ P(7;7;5)$ . Tìm tọa độ điểm $Q$ để tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành
- A.
  $Q(6;5;2)$ .
- B.
  $Q( - 6; - 5; - 2)$ .
- C.
  $Q( - 2; - 3; - 4)$ .
- D.
  $Q( - 4; - 3;0)$ .
Minh họa bằng hình vẽ sau:

Ta có $\overrightarrow{MN} = (1;2;3),\ \overrightarrow{QP} = \left( 7 - x_{Q};7 - y_{Q};5 - z_{Q} ight)$ .

$MNPQ$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = 7 - x_{Q} \\ 2 = 7 - y_{Q} \\ 3 = 5 - z_{Q} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{Q} = 6 \\ y_{Q} = 5 \\ z_{Q} = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $Q(6;5;2)$ .
Câu 15: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A.
  Nếu $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$ thì bốn điểm $A;B;C;D$ đồng phẳng.
- B.
  Tam giác $ABC$ có $I$ là trung điểm cạnh $BC$ thì ta có: $2\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ .
- C.
  Vì $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$ nên suy ra $B$ là trung điểm cạnh $AC$ .
- D.
  Vì $\overrightarrow{AB} = - 2\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AD}$ nên bốn điểm $A;B;C;D$ đồng phẳng.
Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$ đúng với mọi điểm $A;B;C;D$ nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng.
Câu 16: Thông hiểu
Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a.$ Tính $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight|$ theo $a?$
- A.
  $a \sqrt{6}.$
- B.
  $a\sqrt{3}.$
- C.
  $\frac{a\sqrt{6}}{2}.$
- D.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$
Hình vẽ minh họa

Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta BCD.$

Do đó $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = \left| 3\overrightarrow{AG} ight| = 3AG.$

Ta có $BG = \frac{2}{3}BI = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.$

Mà $ABCD$ là tứ diện đều nên $AG\bot(BCD) \Rightarrow AG\bot BG.$

Suy ra $AG = \sqrt{AB^{2} - BG^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Vậy $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = 3.\frac{a\sqrt{6}}{3} = a\sqrt{6}.$
Câu 17: Thông hiểu

ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm $I(3;4;5)$ là tâm của nguồn phát âm với bán kính $10\ m$ . Để kiểm tra một điểm ở vị trí $\ M(7;10;17)$ có nhận được cường độ âm phát ra tại $I$ hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ . Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ là bao nhiêu mét?

Đáp án: 14 (m)

Đáp án là:

ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm $I(3;4;5)$ là tâm của nguồn phát âm với bán kính $10\ m$ . Để kiểm tra một điểm ở vị trí $\ M(7;10;17)$ có nhận được cường độ âm phát ra tại $I$ hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ . Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ là bao nhiêu mét?

Đáp án: 14 (m)

Ta có

$IM = \sqrt{(7 - 3)^{2} + (10 - 4)^{2} + (17 - 5)^{2}}$

$= \sqrt{4^{2} + 6^{2} + 12^{2}} = \sqrt{196} = 14$ (m).

Đáp số 14(m).
Câu 18: Vận dụng

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( a;b;\frac{c}{d} ight)$ , trong đó $a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d}$ là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính $a + b + c + d$ ?

Đáp án: 1223

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( a;b;\frac{c}{d} ight)$ , trong đó $a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d}$ là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính $a + b + c + d$ ?

Đáp án: 1223

Gọi $Q(x;y;z)$ là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.

$\overrightarrow{MN} = (300;100;2)$

$\overrightarrow{NQ} = (x - 800;y - 300;z - 10)$

Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ $M ightarrow N$ gấp 4 lần thời gian bay từ $N ightarrow Q$ nên $MN = 4NQ$

Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NQ}$ cùng hướng.

Suy ra $\overrightarrow{MN} = 4\overrightarrow{NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 300 = 4(x - 800) \\ 100 = 4(y - 300) \\ 2 = 4(z - 10) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 875 \\ y = 325 \\ z = 10,5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow Q\left( 875;325;\frac{21}{2} ight)$

Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( 875;325;\frac{21}{2} ight) \Rightarrow a = 875,\ \ b = 325,\ \ c = 21,\ \ d = 2$ .

Do đó, $a + b + c + d = 1223.$
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( - 3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Tìm tọa độ điểm $C'$ ?
- A.
  $C'(10;4;4)$
- B.
  $C'( - 13;4;4)$
- C.
  $C'(13;4;4)$
- D.
  $C'(7;4;4)$
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} + 0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC'} = 10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} + 4.\overrightarrow{k}$ mà $A( - 3;0;0)$

$\Rightarrow C'(7;4;4)$

Suy ra $C'(7;4;4)$
Câu 20: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 2;3;1),B(5;6;2)$ . Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(Oxz)$ tại điểm $M$ . Tính tỉ số $\frac{AM}{BM}$ ?
- A.
  $\frac{AM}{BM} = \frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{AM}{BM} = 2$
- C.
  $\frac{AM}{BM} = \frac{1}{3}$
- D.
  $\frac{AM}{BM} = 3$
Ta có: $M \in (Oxz) \Rightarrow M(x;0;z)$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (7;3;1) \Rightarrow AB = \sqrt{59} \\ \overrightarrow{AM} = (x + 2; - 3;z - 1) \\ \end{matrix} ight.$ và ba điểm $A;B;M$ thẳng hàng

$\overrightarrow{AM} = k.\overrightarrow{AB};\left( k\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2 = 7k \\ - 3 = 3k \\ z - 1 = k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 9 \\ k = - 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow M( - 9;0;0) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BM} = ( - 14; - 6; - 2) \\ \overrightarrow{AM} = ( - 7; - 3; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BM = 2AB$

Vậy đáp án đúng là $\frac{AM}{BM} = \frac{1}{2}$ .

146 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!