Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
, khi đó tọa độ điểm
là:
Gọi ta có:
khi đó
nên tọa độ điểm cần tìm là
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
, khi đó tọa độ điểm
là:
Gọi ta có:
khi đó
nên tọa độ điểm cần tìm là
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
và
. Xác định tọa độ trung điểm
của
?
Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm
đến điểm
trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng
. Xác định tọa độ vị trí điểm
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm
trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng
. Xác định tọa độ vị trí điểm
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)
Đáp án: N(1300; 750; 15,5)
Gọi là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.
.
.
Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên và
cùng hướng.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ đến
gấp 4 lần thời gian bay từ
đến
nên
.
Suy ra:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
. Biết
. Tọa độ điểm
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Trong không gian
, cho
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Suy ra
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Xác định giá trị tham số
để
?
Ta có:
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Tính độ dài vectơ
?
Ta có:
Khi đó
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Điểm
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
. Khi đó giá trị biểu thức
có giá trị bằng bao nhiêu?
Gọi tọa độ điểm
Ta có: là hình bình hành
suy ra điểm
Khi đó .
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Tính
?
Ta có:
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Cho tứ diện có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của
là
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của là
. Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Đúng: Gọi là trung điểm
.
Ta có
b) Đúng: Ta có .
c) Đúng: Ta có .
Suy ra .
d) Sai: Gọi thỏa mãn
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
suy ra
.
Suy ra .
Vậy .
Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt
, giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là
,
. Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là
, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực
như hình.

Tính tích vô hướng của
(làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311
Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là
,
. Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là
, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực
như hình.
Tính tích vô hướng của (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311
Ta có:
.
Suy ra, (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).
Do đó:
.
Mà .
Suy ra .
Từ đó .
Vậy .
Trong không gian
, điểm nào sau đây thuộc trục tung
?
Điểm thuộc trục tung Oy là .
Cho tứ diện
. Điểm
xác định bởi công thức
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy là đỉnh thứ tư của hình bình hành
.
Cho hình hộp
. Gọi
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Điều kiện cần và đủ để ba vectơ
không đồng phẳng là:
Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Cho hình lập phương
có cạnh
. Gọi
là trung điểm của
. Tính tích vô hướng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có: hay
Do đó
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các vectơ
. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
Đặt
Vậy là đẳng thức đúng.
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức
?
Vì các vectơ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên