Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng cao

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm $M$ thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm $M$ thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(3;1; - 4),B(2;1; - 2),C(1;1; - 3)$ . Tìm điểm $M \in Ox$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất?
- A.
  $M(2;0;0)$
- B.
  $M( - 2;0;0)$
- C.
  $M(6;0;0)$
- D.
  $M(0;2;0)$
Vì $M \in Ox$ suy ra $M(m;0;0)$ . Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (3 - m;1; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (2 - m;1; - 2) \\ \overrightarrow{MC} = (1 - m;1; - 3) \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra:

$\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = \sqrt{(6 - 3m)^{2} + 3^{2} + ( - 9)^{2}}$

$= \sqrt{9m^{2} - 36m + 126} = \sqrt{9(m - 2)^{2} + 90} \geq 3\sqrt{10};\forall m\mathbb{\in R}$

Vậy $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ nhỏ nhất bằng $3\sqrt{10}$ khi $m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2$ . Hay $M(2;0;0)$
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho vectơ $\overrightarrow{a} = 6.\overrightarrow{i} + 8.\overrightarrow{k} + 7.\overrightarrow{j}$ . Khi đó tọa độ của $\overrightarrow{a}$ là.
- A.
  $(6;\ 8;\ 7)$ .
- B.
  $(8;\ 7;\ 6)$ .
- C.
  $(6;7; 8)$ .
- D.
  $(8;\ 6;\ 7)$
Do $\overrightarrow{a} = 6\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{k} + 7\overrightarrow{j} = 6\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} + 8\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{a} = (6;\ 7;\ 8)$ .
Câu 4: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Vì $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ nên $A(3;0; - 1)$ .

b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2)$ .

Vì $4:2:4 eq - 2:4:2$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương suy ra $A,B,C$ không thẳng hàng.

c) Đúng

Vì $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $D( - 5;4;7)$ .

Do đó $a = - 5,b = 4,c = 7$ . Vậy $a + b + c = 6$ .

d) Đúng. Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.$

$MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$=(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$

Do $IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$ không thay đổi nên $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất hay $M$ là hình chiếu của điểm $I$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Do đó $M(1;2;0)$ suy ra $m=1,n=2,p=0$ .

Vậy $2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0$ .
Câu 5: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.EFGH$ có $\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{b};\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{c}$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $BG$ . Biểu thị $\overrightarrow{AI}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AI} =2\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} +\frac{1}{3}\overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{AI} =3\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}$
- C.
  $\overrightarrow{AI} =\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} +\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{AI} =\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} +\frac{1}{4}\overrightarrow{c}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BG}$

$= \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{BC} ight) = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Khi đó $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC'}$ bằng:
- A.
  $\overrightarrow{CA'}$ .
- B.
  $\overrightarrow{CB'}$ .
- C.
  $\overrightarrow{CD'}$ .
- D.
  $\overrightarrow{CA}$ .
Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{CA'}$ .
Câu 7: Vận dụng
Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ và $P$ là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{PI} = k.\left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} ight)$ ?
- A.
  $k = 2$
- B.
  $k = \frac{1}{4}$
- C.
  $k = 4$
- D.
  $k = \frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Vì $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ nên ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM} \\ \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = 2\overrightarrow{IN} \\ \end{matrix} ight.$ .

Mặt khác $\overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0}$ (vì I là trung điểm của MN) suy ra $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$

Theo bài ra ta có:

$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD}$

$= 4\overrightarrow{PI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{PI}$

$\Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4}$
Câu 8: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$
- B.
  $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC}$
- C.
  $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}}$
- D.
  $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC}$
Hình vẽ minh họa

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$ đúng vì $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}} \\ \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC}$ đúng vì $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DC}$

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}}$ đúng vì $\overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}}$

$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC}$ sai vì

$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} eq \overrightarrow{BC}$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (2; - 1;1)$ và $\overrightarrow{v} = (0; - 3; - m)$ . Xác định giá trị tham số $m$ để $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1$ ?
- A.
  $m = 4$
- B.
  $m = 2$
- C.
  $m = 3$
- D.
  $m = - 2$
Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1 \Leftrightarrow 3 - m = 1 \Leftrightarrow m = 2$

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 1; - 3)$ và $B( - 2;2;1)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $( - 3;3;4)$
- B.
  $( - 1;1;2)$
- C.
  $(3; - 3;4)$
- D.
  $( - 3;1;4)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = ( - 2 - 1;2 + 1;1 + 3) = ( - 3;3;4)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;4)$ .
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{a}(2;m - 1;3)$ và $\overrightarrow{b}(1;3; - 2n)$ . Xác định giá trị của $m;n$ để hai vectơ đã cho có cùng hướng?
- A.
  $m = 7;n = - \frac{3}{4}$
- B.
  $m = 4;n = - 3$
- C.
  $m = 1;n = 0$
- D.
  $m = 7;n = - \frac{4}{3}$
Ta có: Hai vectơ $\overrightarrow{a}(2;m - 1;3)$ và $\overrightarrow{b}(1;3; - 2n)$ cùng hướng nên

$\overrightarrow{a} =k.\overrightarrow{b};(k > 0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = k \\m - 1 = 3k \\3 = k( - 2n) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = k \\m = 7 \ = - \dfrac{3}{4} \\\end{matrix} ight.$

Vậy $m = 7;n = - \frac{3}{4}$ là đáp án cần tìm.
Câu 12: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Tọa độ chân đường phân giác của góc $B$ trong tam giác $ABC$ là:
- A.
  $\left( - \frac{2}{3};\frac{11}{3};1 ight)$
- B.
  $\left( \frac{11}{3}; - 2;1 ight)$
- C.
  $\left( \frac{2}{3};\frac{11}{3};\frac{1}{3} ight)$
- D.
  $( - 2;11;1)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác kẻ từ $B$ lên $AC$ của tam giác $ABC$ .

Suy ra $\frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\ \overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)$
Câu 13: Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16

Hình vẽ minh họa
Ta có: $A(0;\ 0;\ 0)$ , $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ nên $\overrightarrow{AB} = (m;0;0)$
⇒ $AB = m$ (do $m;n > 0$ ); $AD = m$ ; $AA' = n$ .
Mà $V_{ACB'D'} =\frac{1}{3}V_{ABCD.A'B'C'D'} =\frac{1}{3}.m.m.n$
⇒ $V_{ACB'D'} = \frac{1}{3}.m.m.n =\frac{1}{3}m^{2}(4 - m)$ .
Xét hàm số $f(m) = \frac{1}{3}m^{2}(4 - m)= - \frac{1}{3}m^{3} + \frac{4}{3}m^{2}$ trên $(0;4)$
$f'(m) = - m^{2} + \frac{8}{3}m =0$ ⇒ $\left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = \frac{8}{3} \\\end{matrix} ight.$
Bảng biến thiên:
Vậy $MaxV_{ACB'D'} =\frac{256}{81} \simeq 3,16$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (1;1;0)$ , $\overrightarrow{b} = (2; - 1; - 2)$ và $\overrightarrow{c} = ( - 3;0;2)$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight) = 0$
- B.
  $2\left| \overrightarrow{a} ight| + \left| \overrightarrow{b} ight| = \left| \overrightarrow{c} ight|$
- C.
  $2\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ là mệnh đề đúng.
Câu 15: Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = BC = 2$ và $CC' = 4$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC$ và $AA'$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B'D'$ và $MN$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 2,43

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = BC = 2$ và $CC' = 4$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC$ và $AA'$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B'D'$ và $MN$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 2,43

Cách 1. Gọi $P$ là trung điểm $CD$ , $I = MP \cap AD$ , $J = IN \cap DD'$ , $K = AC \cap MP$ .

Ta có $MP//BD \Rightarrow MP//B'D' \Rightarrow d(B'D';MN) = d\left\lbrack B'D';(MNP) ightbrack = d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack$ .

Lại có $d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack = \frac{D'J}{DJ}d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack = 5.d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack$ .

Mặt khác $d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack = \frac{DI}{AI}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{1}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack$ .

Dễ thấy $\left\{ \begin{matrix} (NAK)\bot(MNP) \\ (NAK) \cap (MNP) = AK \\ AH\bot NK\ (H \in NK)\ trong\ (NAK) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow AH\bot(MNP) \Rightarrow d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = AH$ .

Suy ra $d(MN;B'D') = \frac{5}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{5}{3}AH$ với $AN = \frac{AA'}{2} = 2$ ; $AK = \frac{3}{4}\sqrt{2}AB = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $d(MN;B'D') = \frac{5}{3}AH = \frac{5}{3}.\frac{AN.AK}{\sqrt{AN^{2} + AK^{2}}} = \frac{5}{3}.\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}.2}{\sqrt{\left( \frac{3\sqrt{2}}{2} ight)^{2} + 2^{2}}} = \frac{10.\sqrt{17}}{17} \simeq 2,43$ .

Cách 2. Đặt các trục $Ox$ , $Oy$ và $Oz$ vào hình như sau

Ta có $M(1;2;0)$ , $N(0;0;2)$ , $B'(0;2;4)$ và $D'(2;0;4)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 1; - 2;2)$ , $\overrightarrow{B'D'} = (2; - 2;0)$ và $\overrightarrow{MB'} = ( - 1;0;4) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{B'D'} ightbrack = (4;4;6)$ .

Khi đó :

$d\left( MN;B^{'}D^{'} ight) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack.\overrightarrow{MB^{'}} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack ight|}$

$= \frac{\left| ( - 1).4 + 0.4 + 4.6 ight|}{\sqrt{4^{2} + 4^{2} + 6^{2}}} = \frac{10\sqrt{17}}{17} \simeq 2,43$ .
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , điểm nào dưới đây thuộc trục $Oy$ ?
- A.
  $H(2;0;0)$
- B.
  $K(0;3;2)$
- C.
  $U(2;0;3)$
- D.
  $T(0; - 3;0)$
Điểm $A(x;y;z) \in Oy \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Suy ra trong bốn điểm đã cho điểm $T(0; - 3;0) \in Oy$ .
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 3;5;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D( - 2;8; - 3)$
- B.
  $D( - 4;8; - 5)$
- C.
  $D( - 2;2;5)$
- D.
  $D( - 4;8; - 3)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - 1 = - 3 - x \\ - 1 - 2 = 5 - y \\ 3 - ( - 1) = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 8 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4;8; - 3)$ .
Câu 18: Nhận biết
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Điểm $M$ xác định bởi công thức $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $M \equiv G$
- B.
  $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$
- C.
  $G$ là trung điểm của $AM$
- D.
  $M$ là trung điểm của $AG$
Do G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AG}$

Vậy mệnh đề đúng là “ $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$ ”.
Câu 19: Nhận biết
Biết rằng $\overrightarrow{a} = (0;1;3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;3;1)$ . Tính $\overrightarrow{x} =3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{x} = ( - 2;4;4)$
- B.
  $\overrightarrow{x} = (4; - 3;7)$
- C.
  $\overrightarrow{x} = ( - 4;9; - 11)$
- D.
  $\overrightarrow{x} = ( - 1;9;11)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 3\overrightarrow{a} = (0;3;9) \\ 2\overrightarrow{b} = ( - 4;6;2) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{x} = 3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = ( - 4;9;11)$
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;1),B(2;1; - 2),C( - 1;3;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D( - 2;2;5)$
- B.
  $D(1; - 1; - 2)$
- C.
  $D(0;4; - 1)$
- D.
  $D( - 1; - 1;1)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 1 \\ y - 3 = - 1 \\ z - 2 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 2 \\ z = 5 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 2;2;5)$

141 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!