Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Phân tích vectơ \overrightarrow{AC'} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}?

    Ta có phép cộng vectơ đối với hình vuông ABCD: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{AC}

    Khi đó ta có: \overrightarrow{AC'} =
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD}

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (2;1; - 3)\overrightarrow{b} = ( - 4; - 2;6). Phát biểu nào sau đây sai?

    Dễ thấy \overrightarrow{b} =
2\overrightarrow{a} từ đo suy ra hai vectơ \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} ngược hướng và \left| \overrightarrow{b} ight| = 2\left|
\overrightarrow{a} ight|.

    Lại có \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 2.( - 4) +
1.( - 2) + ( - 3).6 = - 28 eq 0

    Vậy phát biểu sai là: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} =
0.

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1;2;3),B( - 1;2;1),C(3; - 1; - 2). Tính tích vô hướng của \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = ( - 2;0; - 2) \\
\overrightarrow{AC} = (2; - 3; - 5) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 6

  • Câu 4: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( - 2;3;1),B(5;6;2). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm M. Tính tỉ số \frac{AM}{BM}?

    Ta có: M \in (Oxz) \Rightarrow
M(x;0;z)

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (7;3;1) \Rightarrow AB = \sqrt{59} \\
\overrightarrow{AM} = (x + 2; - 3;z - 1) \\
\end{matrix} ight. và ba điểm A;B;M thẳng hàng

    \overrightarrow{AM} =
k.\overrightarrow{AB};\left( k\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
x + 2 = 7k \\
- 3 = 3k \\
z - 1 = k \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 9 \\
k = - 1 \\
z = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow M( - 9;0;0) \Rightarrow
\left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{BM} = ( - 14; - 6; - 2) \\
\overrightarrow{AM} = ( - 7; - 3; - 1) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow BM = 2AB

    Vậy đáp án đúng là \frac{AM}{BM} =
\frac{1}{2}.

  • Câu 5: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz\overrightarrow{u} là một vecto tùy ý khác \overrightarrow{0}.

    Tính T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz\overrightarrow{u} là một vecto tùy ý khác \overrightarrow{0}.

    Tính T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    Đáp án: 1

    Giả sử \overrightarrow{u} =
(x,y,z).

    Ta có \overrightarrow{i}(1,0,0);\overrightarrow{j}(0,1,0);\overrightarrow{k}(0,0,1)

    cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}) +
cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +
cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    = \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} +
z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}
ight)^{2} + \left( \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}
ight)^{2}

    = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} +
y^{2} + z^{2}} = 1

    Vậy T = 1

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Điểm M xác định bởi công thức \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Do G là trọng tâm tam giác BCD nên \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}

    \Rightarrow \overrightarrow{AM} =
3\overrightarrow{AG}

    Vậy mệnh đề đúng là “M thuộc tia AGAM = 3AG”.

  • Câu 7: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1). Đúng||Sai

    a) Sai

    Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là ( -
1,5\ ;\  - 1\ ;\ 0,5).

    b) Đúng

    Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là (2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7).

    Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

    \sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} +
(0,7 + 0,5)^{2}}

    = \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx
4,6(km)

    c) Sai

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

    \sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} =
\frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

    \sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} +
0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)

    Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

    d) Đúng

    Vị trí của chiếc flycam là

    \left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 -
1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\
0,6).

    Khoảng cách bay của flycam là:

    \sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} =
\frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)

    Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1)

    \sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} =
\sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)

    Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1).

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A( - 1;2;0),\ B(3;4; - 2)C(1;0; - 3). Biết tọa độ điểm D\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight) để tứ giác BACD là hình bình hành. Tính x_{0} + y_{0} + z_{0}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{BA} = ( - 4; - 2;2) \\
\overrightarrow{DC} = \left( 1 - x_{0}; - y_{0}; - 3 - z_{0} ight) \\
\end{matrix} ight.

    Để tứ giác BACD là hình bình hành

    \Leftrightarrow \overrightarrow{BA} =
\overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1 - x_{0} = - 4 \\
- y_{0} = - 2 \\
- 3 - z_{0} = 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{0} = 5 \\
y_{0} = 2 \\
z_{0} = - 5 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy x_{0} + y_{0} + z_{0} = 5 + 2 + ( -
5) = 2.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tọa độ các điểm A(0;1;3),B( - 1;2;1),B'( -
2;1;0). Xác định tọa độ điểm A'?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi tọa độ điểm A'(x;y;z)

    ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên

    \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 0 = - 2 - ( - 1) \\
y - 1 = 1 - 2 \\
z - 3 = 0 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 1 \\
y = 0 \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ A'( - 1;0;2)

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;1),B(2;1; - 2),C( - 1;3;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BA} =
\overrightarrow{CD}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x + 1 = - 1 \\
y - 3 = - 1 \\
z - 2 = 3 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 2 \\
y = 2 \\
z = 5 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D( - 2;2;5)

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Điểm M được xác định bởi đẳng thức vectơ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +
\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} +
\overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} +
\overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Gọi \left\{ \begin{matrix}
O = AC \cap BD \\
O' = A'C' \cap B'D' \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +
\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \\
\overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} +
\overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'} = \overrightarrow{0}
\\
\end{matrix} ight.

    Ta có:

    \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} +
\overrightarrow{MD}

    = \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OD} ight)

    = \overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} +
4\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0} + 4\overrightarrow{MO} =
4\overrightarrow{MO}

    Tương tự ta cũng có: \overrightarrow{MA'} +
\overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} +
\overrightarrow{MD'} = 4\overrightarrow{MO'}

    Từ đó suy ra

    \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} +
\overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} +
\overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{MO} +
4\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 4\left(
\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} ight) =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0}

    Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của OO'.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCDAB = AC = AD\widehat{BAC} = \widehat{BAD} =
60^{0};\widehat{CAD} = 90^{0}. Gọi I;J lần lượt là trung điểm của AB;CD. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ \overrightarrow{AB}\overrightarrow{IJ}?

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác ICD có I là trung điểm đoạn CD \Rightarrow \overrightarrow{IJ} =
\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}
ight)

    Tam giác ABC có AB = AC\widehat{BAC} = 60^{0} suy ra tam giác ABC đều suy ra CI\bot AB

    Tương tự ta cũng có tam giác ABD đều nên DI\bot AB

    Ta có: \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{ÂB} =
\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}
ight).\overrightarrow{AB} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB} = 0

    \Rightarrow
\overrightarrow{IJ}\bot\overrightarrow{AB} \Rightarrow \left(
\overrightarrow{IJ};\overrightarrow{AB} ight) = 90^{0}

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;3; - 1)B( - 4;1;9). Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{AB} ?

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = ( - 4 - 2;1 - 3;9
+ 1) = ( - 6; - 2;10)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} =
( - 6; - 2;10).

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hai điểm phân biệt A;B và một điểm O bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Mệnh đề đúng: “Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi \overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 -
k).\overrightarrow{OB}”.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz , cho vectơ \overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; -
5;7). Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ của điểm A(2; - 1;5). Đúng||Sai

    b) Gọi C(a;b;c) thỏa mãn ∆ABC nhận G(1;1;1) làm trọng tâm. Khi đó a + b +
c = - 4 . Đúng||Sai

    c) Nếu A;B;M(x;y;1) thẳng hàng thì tổng x + y = 3 . Đúng||Sai

    d) Cho N \in (Oxy) để ∆ABN vuông cân tại A. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz , cho vectơ \overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; -
5;7). Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ của điểm A(2; - 1;5). Đúng||Sai

    b) Gọi C(a;b;c) thỏa mãn ∆ABC nhận G(1;1;1) làm trọng tâm. Khi đó a + b +
c = - 4 . Đúng||Sai

    c) Nếu A;B;M(x;y;1) thẳng hàng thì tổng x + y = 3 . Đúng||Sai

    d) Cho N \in (Oxy) để ∆ABN vuông cân tại A. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

    a) Ta có:

    Tọa độ của điểm A(2; - 1;5).

    b) G là trọng tâm tam giác ABC

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{2 + 5 + x_{C}}{3} \\1 = \dfrac{- 1 - 5 + y_{C}}{3} \\1 = \dfrac{5 + 7 + x_{C}}{3} \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{C} = - 4 \\y_{C} = 9 \\x_{C} = - 9 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow C( - 4;9; - 9)

    \Rightarrow a + b + c = - 4

    c) Ta có: \overrightarrow{AB} = (3; -
4;2);\overrightarrow{AC} = (x - 2;y + 1; - 4)

    Ba điểm A, B, M thằng hàng khi và chỉ khi

    \overrightarrow{AM} =
k\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 2 = 3k \\
y + 1 = k.( - 4) \\
- 4 = k.2 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 4 \\
y = 7 \\
k = - 2 \\
\end{matrix} ight.

    Suy ra x + y = 3

    d) Ta có: N \in (Oxy) \Rightarrow N =
(x;y;0)

    \Rightarrow \overrightarrow{AN} = (x -
2;y + 1; - 5),\overrightarrow{AB} = (3; - 4;2)

    Ta có ∆ABN vuông cân tại A \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
AN\bot AB(*) \\
AN = AB(**) \\
\end{matrix} ight.

    Từ (*) \Leftrightarrow
\overrightarrow{AN}\bot\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow 3(x - 2) -
4(y + 1) - 10 = 0

    \Leftrightarrow 3x - 4y = 20
\Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x - 5

    Từ (**) AN^{2} = AB^{2} \Leftrightarrow
(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + 25 = 9 + 16 + 4

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + \left(
\frac{3x}{4} - 4 ight)^{2} = 4 \Leftrightarrow x =
\frac{16}{5}

    \Rightarrow y = - \frac{13}{5}
\Rightarrow N\left( \frac{16}{5}; - \frac{13}{5};0 ight)

    Vậy x_{N} + y_{N} =
\frac{3}{5}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AD} ight| theo a?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi G là trọng tâm của \Delta BCD.

    Do đó \left| \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = \left|
3\overrightarrow{AG} ight| = 3AG.

    Ta có BG = \frac{2}{3}BI =
\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.

    ABCD là tứ diện đều nên AG\bot(BCD) \Rightarrow AG\bot BG.

    Suy ra AG = \sqrt{AB^{2} - BG^{2}} =
\frac{a\sqrt{6}}{3}.

    Vậy \left| \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| =
3.\frac{a\sqrt{6}}{3} = a\sqrt{6}.

  • Câu 17: Nhận biết

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(2; -
1;0) trên mặt phẳng (Oxz) là:

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(2; -
1;0) trên mặt phẳng (Oxz) là điểm có tọa độ (2;0;0).

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho \Delta ABCA(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1). Gọi H(a;b;c) là chân đường cao hạ từ đỉnh A. Tính (a + b + c).19.

    Đáp án: -17||- 17

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho \Delta ABCA(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1). Gọi H(a;b;c) là chân đường cao hạ từ đỉnh A. Tính (a + b + c).19.

    Đáp án: -17||- 17

    Ta có \overrightarrow{AH} = (a;b;c -
1),\overrightarrow{BC} = (3;3; - 1),\overrightarrow{BH} = (a + 1;b +
2;c).

    H là chân đường cao nên ta có

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{BC} \\\overrightarrow{BH} = k\overrightarrow{BC} \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3a + 3b - (c - 1) = 0 \\\dfrac{a + 1}{3} = \dfrac{b + 2}{3} = \dfrac{c}{- 1} = k \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 3k - 1 \\
b = 3k - 2 \\
c = - k \\
\end{matrix} ight.3(3k - 1)
+ 3(3k - 2) - ( - k - 1) = 0 \Leftrightarrow k =
\frac{8}{19}.

    Do đó H\left( \frac{5}{19}; -
\frac{14}{19}; - \frac{8}{19} ight)

    Vậy \left( \frac{5}{19} - \frac{14}{19} -
\frac{8}{19} ight).19 = - 17.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tứ giác ABCD là hình bình hành biết tọa độ các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1;
- 1;1). Tìm tọa độ điểm C?

    Giả sử điểm C(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 1 = 2 - 1 \\
y + 1 = 1 - 0 \\
z - 1 = 2 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 0 \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm C(2;0;2).

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A';B';C' lần lượt thuộc các tia SA;SB;SC sao cho \frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} =
b;\frac{SC}{SC'} = c trong đó a;b;c là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}

    Khi đó 3\overrightarrow{GS} +
\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} =
\overrightarrow{0}\overrightarrow{SA} =
a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} =
b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} =
c\overrightarrow{SC'}

    Suy ra 3\overrightarrow{SG} =
a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} +
c\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} =
\frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} +
\frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} +
\frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}

    Vì mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'} đồng phẳng.

    Do đó tồn tại ba số l;m;n sao cho l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0) và l\overrightarrow{GA'} +
m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow l\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) =
\overrightarrow{0}s

    \Leftrightarrow (l + m +
n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} +
m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} =
\frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m +
n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m +
n}\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow
\frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} +
\frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} +
\frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m +
n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'}
+ \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}

    Suy ra \frac{a}{3} + \frac{b}{3} +
\frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m
+ n} = 1

    \Rightarrow a + b + c = 3

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 94 lượt xem
Sắp xếp theo