Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

Hàm số y = ax² + bx + c với a < 0 nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng .

Áp dụng: Ta có Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;2). Do đó Hàm số nghịch biến trên khoảng (4;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;4) sai. Chọn đáp án này.

Đáp án Trên khoảng (−∞;−1) hàm số đồng biến đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;2) thì đồng biến trên khoảng con (−∞;−1).

Đáp án Trên khoảng (3;+∞) hàm số nghịch biến đúng vì hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) thì nghịch biến trên khoảng con (3;+∞).

Đặt t = x² − 3x + 3, ta có: .

Do đó điều kiện cho ẩn phụ t là .

Khi đó phương trình trở thành:

⇔

⇔  ⇔ t = 1(thỏa mãn) ⇒ x² − 3x + 3 = 1⇔ .

Điều kiện:

Vậy phương trình đã cho có tất cả 1 nghiệm.

Dựa vào bảng xét dấu, .

Mà x ∈ ℤ⇒ x ∈ {0;1;2;3;4} (5 giá trị).

.

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Xét đáp án , ta có nên và có a < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−1) và nghịch biến trên khoảng (−1;+∞).

 Điều kiện để hàm số nghịch biến trên là .

Suy ra .

Đặt . Phương trình đã cho trở thành:

Ta được thuộc [1 ; 2).

Điều kiện xác định của hàm số là:

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là

Parabol có đỉnh

(*)

Parabol đi qua điểm suy ra

(**)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình

f(x) = 2x² + 2x + 5 = 0 có: nên f(x) > 0∀x ∈ ℝ.

f(x) = x² − 2(2m−3)x + 4m − 3 > 0, ∀x ∈ ℝ⇔Δ < 0 ⇔ 4m² − 16m + 12 < 0 ⇔ 1 < m < 3.

 Nhận xét: Đồ thị có đỉnh .

Thay tọa độ vào hàm số ta thấy thỏa mãn. 

Hàm số là hàm số bậc nhất có hệ số a = 1 > 0 nên hàm số đồng biến trên tập số thực.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .

Dựa vào bảng xét dấu thì f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [ 1; 3 ].

Hàm số y =  − 2x² + (m+1)x + 3 nghịch biến trên khoảng .

Để hàm số y =  − 2x² + (m+1)x + 3 nghịch biến trên khoảng (1  ;  5) thì ta phải có .

Các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y =  − 2x² + (m+1)x + 3 nghịch biến trên khoảng (1; 5) là m = 1,  m = 2,  m = 3.

Tổng tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y =  − 2x² + (m+1)x + 3 nghịch biến trên khoảng (1; 5) là S = 1 + 2 + 3 = 6.

Để bất phương trình với mọi x ∈ ℝ thì:

ĐKXĐ: .

Thay x = 1 vào , ta được: .

Vậy phương trình vô nghiệm.

Đặt t = x²    (t≥0).

Khi đó, phương trình đã cho trở thành: t² − 2t + 3 − m = 0. (*)

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm không âm.

Phương trình (*) vô nghiệm khi và chỉ khi Δ′ < 0 ⇔ m − 2 < 0 ⇔ m < 2.

Phương trình (*) có 2 nghiệm âm khi và chỉ khi .

Do đó, phương trình (*) có nghiệm không âm khi và chỉ khi m ≥  − 2.

⇔

⇔ .

Vậy phương trình có ba nghiệm.