Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Hàm số f\left( x ight) = {x^3} + 3x - 2 có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:

     F\left( x ight) = \int {\left( {{x^3} + 3x - 2} ight)dx = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + C}

    Hàm số đi qua B(2; 10) => \frac{{{2^4}}}{4} + \frac{{{{3.2}^2}}}{2} - 2.2 + C = 10 \Rightarrow C = 4

    => F\left( x ight) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 4

    => F\left( { - 2} ight) = \frac{{{{\left( { - 2} ight)}^4}}}{4} + \frac{{3.{{\left( { - 2} ight)}^2}}}{2} - 2\left( { - 2} ight) + 4 = 6

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Biết rằng {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\frac{1}{{1 + \cos 2x}}dx} = a và I = \int\limits_{ - 1}^0 {\sqrt[3]{{x + 2}}} dx = b\sqrt[3]{2} - \frac{3}{4}, a và b là các số hữu tỉ. Thương số giữa a và b có giá trị là:

     Ta có:

    {I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\frac{1}{{1 + \cos 2x}}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = ... = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^0 {tdt} = \frac{1}{2}, với t = \tan x

    I = \int\limits_{ - 1}^0 {\sqrt[3]{{x + 2}}} dx = \frac{3}{4}\left. {\left[ {\sqrt[3]{{{{\left( {x + 2} ight)}^4}}}} ight]} ight|_{ - 1}^0 = \frac{3}{2}\sqrt[3]{2} - \frac{3}{4}

    \Rightarrow a = \frac{1}{2},b = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{3}

  • Câu 3: Vận dụng

    Họ các nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} trên khoảng \left( { - 1; + \infty } ight)

     f\left( x ight) = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \frac{2}{{x + 1}} - \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}

    \int {f\left( x ight)dx} = \int {\left[ {\frac{2}{{x + 1}} - \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} ight]dx} = 2\ln \left| {x + 1} ight| + \frac{3}{{x + 1}} + C

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tính thể tích V của vật thể sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^{x}.\sqrt{x}, đường thẳng x = 1 và trục hoành?

    Thể tích V của vật thể là:

    V = \pi\int_{0}^{1}{\left( e^{x}\sqrt{x} ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{1}{\left( e^{2x}.x ight)dx}

    = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{1}{xd\left( e^{2x} ight)} = \frac{\pi}{2}\left\lbrack \left. \ \left( x.e^{2x} ight) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{2x}dx} ightbrack

    = \frac{\pi}{4}\left( e^{2} + 1 ight)

  • Câu 5: Vận dụng

    Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1;1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y = x^{2} và y = ax^{3} + bx. Tính giá trị a.b biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn.

    Đáp án: -2||- 2

    Đáp án là:

    Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1;1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y = x^{2} và y = ax^{3} + bx. Tính giá trị a.b biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn.

    Đáp án: -2||- 2

    Diện tích 1 cánh của hình trang trí là:

    S_{1} = \int_{0}^{1}\left( x^{2} - ax^{3} - bx ight)dx = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{ax^{4}}{4} - \frac{bx^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{a}{4} - \frac{b}{2}

    \Rightarrow Diện tích hình trang trí là: S = 4S_{1} = \frac{4}{3} - a - 2b

    Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn nên

    \frac{4}{3} - a - 2b = \frac{4}{3} \Leftrightarrow a + 2b = 0

    Khi đó ta có: \left\{ \begin{matrix} a + b = 1 \\ a + 2b = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    Vậy ab = - 2.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\cos ^2}x

     f\left( x ight) = {\cos ^2}x = \frac{{\cos 2x + 1}}{2} = \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}

    \int {f\left( x ight)dx} = \int {\left( {\frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}} ight)dx = } \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x + C

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường parabol (P):y = x^{2} - x + 2 và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{2} + 1 tại điểm có tọa độ (1;2). Diện tích của hình (H) là:

    Xét hàm số y = x^{2} + 1 trên \mathbb{R}. Ta có: y' = 2x

    Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm (1;2) của đồ thị hàm số y = x^{2} + 1 là

    y = y'(1)(x - 1) + 2 \Leftrightarrow y = 2x

    Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình y = 2x. Xét phương trình tương giao của (P) và ∆

    x^{2} - x + 2 = 2x \Leftrightarrow x^{2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H) khi đó

    S = \int_{1}^{2}{\left| \left( x^{2} - x + 2 ight) - 2x ight|dx} = \int_{1}^{2}{\left| x^{2} - 3x + 2 ight|dx}

    Vì x^{2} - 3x + 2 \leq 0;\forall x \in \lbrack 1;2bracknên

    S = - \int_{1}^{2}{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)dx}

    = - \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2} + 2x ight) ight|_{1}^{2} = - \left( \frac{2}{3} - \frac{5}{6} ight) = \frac{1}{6}

  • Câu 8: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x +\sin2x là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x +\sin2x)dx}

    = 2.\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cos2x +c = x^{2} - \frac{1}{2}\cos2x + c

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hàm số y = f\left( x ight) liên tục trên đoạn \left[ {a;b} ight]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f\left( x ight), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;\left( {a < b} ight). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức:

    Thể tích của khối tròn xoay cần tính là: V = 2\pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x ight)dx}

  • Câu 10: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x - 8\sin x\cos x thỏa mãn F(\pi) = 2?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(2x - 8\sin x\cos x ight)dx}

    = \int_{}^{}{(2x - 4\sin2x)dx} = x^{2} +2\cos2x + C

    Theo bài ra ta có: F(\pi) = 2

    \Rightarrow \pi^{2} + 2 + C = 2 \Leftrightarrow C = - \pi^{2}

    Vậy F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 2x^{2} - x + 1;\forall x\mathbb{\in R}. Tính I = \int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx}

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{f^{2}(x)d\left( f(x) ight)} = \left. \ \frac{f^{3}(x)}{3} ight|_{0}^{1} = - \frac{2}{3}.

  • Câu 12: Nhận biết

    Một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc là v(t) = 3t^{2} + 5(m/s). Hỏi quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 bằng bao nhiêu?

    Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:

    S = \int_{4}^{10}{v(t)dt} = \int_{4}^{10}{\left( 3t^{2} + 5 ight)dt}

    = \left. \ \left( t^{3} + 5t ight) ight|_{4}^{10} = 996(m)

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn

    \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = a\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} + b\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C}

    Tính giá trị biểu thức M = a + b.

     I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} }}{{\left( {x + 2} ight) - \left( {x + 1} ight)}}dx} = \int {\left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} } ight)dx} }

    => I = \frac{2}{3}.\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} - \frac{2}{3}\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{2}{3}} \\ {b = \dfrac{{ - 2}}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow M = a + b = 0

  • Câu 14: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight)?

    Ta có: \int_{}^{}\left\lbrack e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight) ightbrack dx = \int_{}^{}\left( 2017e^{x} - \frac{2018}{x^{5}} ight)dx

    = 2017e^{x} + \frac{504,5}{x^{4}} + C

  • Câu 15: Thông hiểu

    Một ô tô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc a(t) = 6 - 2t\left( m/s^{2} ight), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?

    Ta có:

    v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{(6 - 2t)dt} = 6t - t^{2} + C

    Khi đó v_{\max} \Leftrightarrow t = 3 do ban đầu ô tô đang dừng nên v(0) = 0 \Rightarrow C = 0

    Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là: S = \int_{0}^{3}{\left( 6t - t^{2} ight)dt} = 18m.

  • Câu 16: Vận dụng

    Biết xe^{x} là một nguyên hàm của hàm số f( - x) trên khoảng ( - \infty; + \infty). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f'(x)e^{x} thỏa mãn F(0) = 1. Giá trị của F( - 1) bằng:

    Ta có: f( - x) = \left( xe^{x} ight)' = e^{x} + xe^{x};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Do đó f( - x) = e^{- ( - x)} - ( - x)e^{- ( - x)};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Suy ra f(x) = e^{- x}(1 - x);\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Nên f'(x) = \left\lbrack e^{- x}(1 - x) ightbrack' = e^{- x}(x - 2)

    \Rightarrow f'(x)e^{x} = e^{- x}(x - 2)e^{x} = x - 2

    Vậy F(x) = \int_{}^{}{(x - 2)dx} = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + C

    Từ đó F(0) = \frac{1}{2}(0 - 2)^{2} + C = C + 2

    F(0) = 1 \Rightarrow C = - 1

    Vậy F(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1 \Rightarrow F( - 1) = \frac{1}{2}( - 1 - 2)^{2} - 1 = \frac{7}{2}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = ax + \frac{b}{x^{2}};(x eq 0), biết rằng F( - 1) = 1;F(1) = 4;f(1) = 0?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\left( ax + \frac{b}{x^{2}} ight)dx = \frac{ax^{2}}{2} - \frac{b}{x} + c}

    Theo bài ra ta có:

    F( - 1) = 1;F(1) = 4;f(1) = 0

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{2} + b + c = 1 \\\dfrac{a}{2} - b + c = 4 \\a + b = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\b = - \dfrac{3}{2} \\c = \dfrac{7}{4} \\\end{matrix} ight.. Vậy F(x) = \frac{3x^{2}}{4} + \frac{3}{2x} + \frac{7}{4}.

  • Câu 18: Vận dụng

    Tích phân I = \int\limits_1^2 {\frac{{ax - 2}}{{\sqrt {a{x^2} - 4x} }}} dx = 2\sqrt 3 - 1. Giá trị nguyên của a là:

    Ta có: \left( {a{x^2} - 4x} ight)' = 2ax - 4 = 2\left( {ax - 2} ight)

    \Rightarrow I = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{2ax - 4}}{{\sqrt {a{x^2} - 4x} }}} dx

    Đặt t = a{x^2} - 4x \Rightarrow dt = \left( {2ax - 4} ight)dx

    Đổi cận \left\{ \begin{gathered} x = 2 \Rightarrow t = 4a - 8 \hfill \\ x = 1 \Rightarrow t = a - 4 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    I = \frac{1}{2}\int\limits_{a - 4}^{4a - 8} {\frac{1}{{\sqrt t }}} dt = \left. {\left( {\sqrt t } ight)} ight|_{a - 4}^{4a - 8} = \sqrt {4a - 8} - \sqrt {a - 4}

    Theo đề bài: 

    I = 2\sqrt 3 - 1 \Leftrightarrow \sqrt[{}]{{4a - 8}} - \sqrt {a - 4} = 2\sqrt 3 - 1 \Leftrightarrow ..... \Leftrightarrow a = 5

  • Câu 19: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc x m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số v(t) = - 5t + 20 m/s, trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 m/s. Đúng||Sai

    b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5s. Sai||Đúng

    c) \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt} = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C. Đúng||Sai

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là 400m. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc x m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số v(t) = - 5t + 20 m/s, trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 m/s. Đúng||Sai

    b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5s. Sai||Đúng

    c) \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt} = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C. Đúng||Sai

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là 400m. Sai||Đúng

    Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0m/s.

    Khi xe dừng hẳn thì v(t) = 0m/s nên 0 = - 5t + 20 \Leftrightarrow t = 4s.

    Nguyên hàm của hàm số vận tốc \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C}, C\mathbb{\in R}.

    Quãng đường từ lúc đạ phanh cho đến khi xe dừng hẳn là

    \int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = \left. \ \left( \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t ight) ight|_{0}^{4} = 40m.

  • Câu 20: Nhận biết

    Giá trị của tích phân \int_{- 1}^{0}{e^{x + 1}dx} bằng:

    Ta có: \int_{- 1}^{0}{e^{x + 1}dx} = \left. \ e^{x + 1} ight|_{- 1}^{0} = e^{1} - e^{0} = e - 1.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 18 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập