Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = \sqrt {2 + \cos x}, trục hoành và các đường thẳng x = 0;x = \frac{\pi }{2}. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V là:

    Thể tích cần tính là:

    \begin{matrix}  V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sqrt {2 + \cos x} } ight)}^2}dx}  \hfill \\   \Rightarrow V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 + \cos x} ight)dx}  \hfill \\   \Rightarrow V = \left. {\pi \left( {2 + \sin x} ight)} ight|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi \left( {\pi  + 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{\sin
x} có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0. Giá trị của e^{F\left( \frac{2\pi}{3}
ight)} bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{\sin x}dx} =\int_{}^{}{\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}.\cos\frac{x}{2}}dx}

    = \int {\frac{1}{{2\tan \frac{x}{2}.{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}dx}  = \int {\frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}}d\left( {\tan \frac{x}{2}} ight)}= \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} ight| + C

    Lại có F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0
\Leftrightarrow \ln\left| \tan\frac{\pi}{6} ight| + C = 0

    \Rightarrow C = - \ln\frac{\sqrt{3}}{3}= \ln\sqrt{3} = \frac{1}{2}\ln3

    Do đó: {e^{F\left( {\frac{{2\pi }}{3}} ight)}} = {e^{\ln \left| {\tan \frac{\pi }{3}} ight| + \frac{1}{2}\ln 3}} = {e^{\ln 3}} = 3

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên \left( {0; + \infty } ight) và thỏa mãn f(1) = 1, f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1} ,\forall x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: f\left( x ight) > 0f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1}

    => \frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}

    => \int {\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}}dx}  = \int {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}} dx \Rightarrow \ln f\left( x ight) = \frac{{2\sqrt {3x + 1} }}{3} + C

    Mà f(1) = 1 => C =  - \frac{4}{3}f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1}  - \frac{4}{3}}}.f\left( 5 ight) = {e^{\frac{4}{3}}} \approx 3,79

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack và f(1) = 0. Giá trị tích phân D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Từ giả thiết ta có:

    f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} =
\ln\left\lbrack \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}
ightbrack

    \Leftrightarrow e^{\frac{f(x)}{x}} =
\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}

    \Leftrightarrow \frac{xf'(x) -
f(x)}{x^{2}}.e^{\frac{f(x)}{x}} = x

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\frac{f(x)}{x} ightbrack'.e^{\frac{f(x)}{x}} = x(*)

    Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} +
C

    f(1) = 0 \Rightarrow C =
\frac{1}{2} nên e^{\frac{f(x)}{x}}
= \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = x\ln\frac{x^{2} +
1}{2};\forall x \in (0; + \infty)

    D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} =\int_{1}^{5}{x.\ln\frac{x^{2} + 1}{2}dx}(**)

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln\dfrac{x^{2} + 1}{2} \\dv = xdx \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}dx \\v = \dfrac{x^{2} + 1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Theo công thức tích phân từng phần ta được:

    D = \left. \ \left( \frac{x^{2} +1}{2}.\ln\frac{x^{2} + 1}{2} ight) ight|_{1}^{5} - \int_{1}^{5}{xdx}= 13\ln13 - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{5} = 13\ln13 -12

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho biết I =
\int_{0}^{\sqrt{7}}{\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{1 + x^{2}}}dx} =
\frac{m}{n} với \frac{m}{n} là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức m - 7n bằng:

    Đặt u = \sqrt[3]{1 + x^{2}}. Khi đó x^{2} = u^{3} - 1 \Rightarrow 2xdx =
3u^{2}du

    Đổi cận

    I = \int_{1}^{2}{\frac{\left( u^{3} - 1
ight)}{u}.\frac{3}{2}u^{2}du} = \frac{3}{2}\int_{1}^{2}{\left( u^{4} -
u ight)du}= \left. \ \frac{3}{2}\left(
\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{2}}{2} ight) ight|_{1}^{2} =
\frac{141}{20}. Suy ra m = 141;n =
20. Do đó m - 7n = 1.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{3} - x và đồ thị hàm số y = x - x^{2}?

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{3} - x
= x - x^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = 0 \\
x = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó ta có:

    S = \int_{- 2}^{1}{\left| x^{3} + x^{2}
- 2x ight|dx}

    = \int_{- 2}^{0}{\left| x^{3} + x^{2} -
2x ight|dx} + \int_{0}^{1}{\left| x^{3} + x^{2} - 2x
ight|dx}

    = \left| \int_{- 2}^{0}{\left( x^{3} +
x^{2} - 2x ight)dx} ight| + \left| \int_{0}^{1}{\left( x^{3} + x^{2}
- 2x ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4}
+ \frac{x^{3}}{3} - x^{2} ight) ight|_{- 2}^{0} ight| + \left|
\left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} ight)
ight|_{0}^{1} ight|

    = \frac{8}{3} + \frac{5}{12} =
\frac{37}{12}

  • Câu 7: Nhận biết

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = \cos x;Ox;x = - \frac{\pi}{2};x =
\frac{\pi}{2}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \cos x = 0 \Rightarrow x =
\frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z}

    Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}
ight)

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left| \cos x ight|dx} = \left| \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos xdx} ight| = \left| \left. \ \sin x ight|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} ight| = 2

  • Câu 8: Vận dụng

    Giả sử hàm số f(x) luôn xác định. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2} + \left( {a + b} ight)x + ab}}

    \begin{matrix}  f\left( x ight) = \dfrac{1}{{{x^2} + \left( {a + b} ight)x + ab}} \hfill \\   \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{1}{{\left( {x + a} ight)\left( {x + b} ight)}} \hfill \\   \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + a} ight)}} - \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + b} ight)}} \hfill \\ \end{matrix} 

    \begin{matrix}  \int {f\left( x ight)dx}  = \int {\left[ {\dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + a} ight)}} - \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + b} ight)}}} ight]dx}  \hfill \\   = \dfrac{1}{{b - a}}.\int {\left[ {\dfrac{1}{{x + a}} - \dfrac{1}{{x + b}}} ight]dx}  \hfill \\   = \dfrac{1}{{b - a}}.\left[ {\ln \left| {x + a} ight| - \ln \left| {x + b} ight|} ight] + C = \dfrac{1}{{b - a}}\ln \left| {\dfrac{{x + a}}{{x + b}}} ight| + C \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 như hình vẽ:

    Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x;( - 1 \leq x \leq 1)thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V của vật thể đó.?

    Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x;( - 1 \leq x \leq 1) thì được thiết diện là một tam giác đều có cạnh bằng 2\sqrt{1 - x^{2}}

    Do đó, diện tích của thiết diện: S(x) =\frac{\left( 2\sqrt{1 - x^{2}} ight)^{2}\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\left(1 - x^{2} ight)

    V = \int_{- 1}^{1}{S(x)dx} = \int_{-1}^{1}{\left\lbrack \sqrt{3}\left( 1 - x^{2} ight) ightbrackdx}

    = \sqrt{3}\left. \ \left( x -\frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{- 1}^{1} =\frac{4\sqrt{3}}{3}

  • Câu 10: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = 3{x^2} + 1

     Ta có:

    \int {\left( {3{x^2} + 1} ight)dx}  = \int {3{x^2}dx}  + \int {1.dx}  = {x^3} + x + C

  • Câu 11: Nhận biết

    Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 72 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 45\ \
m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 12t + 24\ \ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quảng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quảng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t). Đúng||Sai

    b) Quãng đường s(t) = - 12t^{2} +
24t. Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 10 giây. Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 72 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 45\ \
m. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = - 12t + 24\ \ (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quảng đường xe ô tô đi được trong t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

    a) Quảng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t). Đúng||Sai

    b) Quãng đường s(t) = - 12t^{2} +
24t. Đúng||Sai

    c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 10 giây. Sai||Đúng

    d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

    Do s'(t) = v(t) nên quãng đường s(t) mà xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) là một nguyên hàm của hàm số v(t). Ta có: \int_{}^{}{( - 12t + 24)}dt = - 6t^{2} + 24t +
C với C là hằng số.

    Khi đó, ta gọi hàm số s(t) = - 6t^{2} + 24t +
C.

    Do s(0) = 0 nên C = 0. Suy ra s(t) = - 6t^{2} + 24t.

    Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0 hay - 12t + 24 = 0 \Leftrightarrow t =
2. Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

    Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ 72\
km/h = 20\ m/s.

    Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: s(2) = - 6.2^{2} + 24.2
= 24(\ m).

    Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: 20 + 24 \approx 44\ (\ m).

    Do 44 < 45 nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) biết f(0) = 1, f'(x) liên tục trên \lbrack 0;3brack\int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9. Tính f(3)?

    Ta có:

    \int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9
\Leftrightarrow \left. \ f(x) ight|_{0}^{3} = 9 \Rightarrow f(3) -
f(0) = 9

    \Rightarrow f(3) = 9 + f(0) = 9 + 1 =
10

  • Câu 13: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered}
  \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}{\text{   khi }}x \geqslant 0 \hfill \\
  {\left( {2x + 1} ight)^3}{\text{   khi }}x < 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.F(4) + F(
- 1) = 8. Giá trị biểu thức Q = F(
- 2) + F(12) bằng:

    Ta có: F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx}  = \left\{ \begin{gathered}
  \sqrt {2x + 1}  + {C_1}{\text{   khi }}x \geqslant 0 \hfill \\
  \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^4}}}{8}{\text{ + }}{{\text{C}}_2}{\text{   khi }}x < 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    F(4) + F( - 1) = 8\Rightarrow \sqrt{8 +1} + C_{1} + \frac{( - 2 + 1)^{4}}{8} + C_{2} = 8\Rightarrow C_{1} +C_{2} = \frac{39}{8}(*)

    Do đó: Q = F( - 2) + F(12) = \sqrt{2.12 +
1} + \frac{( - 4 + 1)^{4}}{8} + C_{1} + C_{2} = 20

  • Câu 14: Vận dụng

    Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị \left( P ight): y= {x^2} - 1 và hai tiếp tuyến của \left( P ight) tại A\left( { - 1;0} ight);B\left( {2;3} ight)

    Ta có hình vẽ minh họa như sau:

    Tính diện tích hình phẳng

    Phương trình tiếp tuyến của (P) tại A(-1;0) là: \left( {{d_2}} ight):y =  - 2x - 2

    Phương trình tiếp tuyến của (P) tại B(2;3) là: \left( {{d_1}} ight):y = 4x - 5

    Từ hình vẽ ta suy ra diện tích của hình phẳng cần tìm là:

    \begin{matrix}  S = \int_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {{x^2} - 1 - ( - 2x - 2)} ight)} {\text{d}}x + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {{x^2} - 1 - (4x - 5)} ight)} {\text{d}}x \hfill \\   = \int_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {{x^2} + 2x + 1} ight)} {\text{d}}x + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {{x^2} - 4x + 4} ight)} {\text{d}}x \hfill \\   = \left. {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + x} ight)} ight|_{ - 1}^{\dfrac{1}{2}} + \left. {\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 4x} ight)} ight|_{\frac{1}{2}}^2 = \frac{9}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
sin3x.

    Ta có \left( - \frac{1}{3}cos3x + C
ight)' = sin3x.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = \frac{1}{x} trên ( - \infty;0) thỏa mãn F( - 2) = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{x}dx} =
\ln|x| + C = \ln( - x) + C;\forall x \in ( - \infty;0)

    Lại có F( - 2) = 0 \Leftrightarrow \ln(2)
+ C = 0 \Rightarrow C = - ln2

    Do đó F(x) = \ln( - x) - ln2 = \ln\left(
- \frac{x}{2} ight)

    Vậy F(x) = \ln\left( - \frac{x}{2}
ight);\forall x \in ( - \infty;0).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\cos ^2}x

     f\left( x ight) = {\cos ^2}x = \frac{{\cos 2x + 1}}{2} = \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}

    \int {f\left( x ight)dx}  = \int {\left( {\frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}} ight)dx = } \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x + C

  • Câu 18: Thông hiểu

    Giá trị của tích phân I = \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}{{{x^2} + x - 2}}dx} gần nhất với giá trị nào sau đây?

     Ta có:

    \begin{matrix}  I = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}{{{x^2} + x - 2}}dx}  \hfill \\  {\text{  }} = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{\left( {x - 1} ight)\left( {{x^2} - 2x - 2} ight)}}{{\left( {x - 1} ight)\left( {x + 2} ight)}}dx}  \hfill \\ = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{{x^2} - 2x - 2}}{{x + 2}}dx}  \hfill \\ = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x - 4 + \dfrac{6}{{x + 2}}} ight)dx}  \hfill \\ = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 4x + 6\ln \left| {x + 2} ight|} ight)} ight|_{ - 1}^0 \hfill \\ = 6\ln 2 - \dfrac{9}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

    a) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left( \sin xight)dx} = 2\int_{0}^{1}{x.f(x)dx} Đúng||Sai

    b) \int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x}
ight)}{e^{x}}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx} Đúng||Sai

    c) \int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2}
ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{x.f(x)dx} Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

    a) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left( \sin xight)dx} = 2\int_{0}^{1}{x.f(x)dx} Đúng||Sai

    b) \int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x}
ight)}{e^{x}}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx} Đúng||Sai

    c) \int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2}
ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{x.f(x)dx} Đúng||Sai

    Ta có:

    \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left(\sin x ight)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{2\sin x.\cos x.f\left( \sin xight)dx}

    Đặt t = \sin x \Rightarrow dt = \cos
xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0 \\x = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\\end{matrix} ight. từ đó ta có:

    \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left(\sin x ight)dx} = \int_{0}^{1}{2tf(t)dt} =2\int_{0}^{1}{2xf(x)dx}

    Ta có: \int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x}
ight)}{e^{x}}dx}

    Đặt t = e^{x} \Rightarrow dt =
e^{x}dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow t = 1 \\
x = 1 \Rightarrow t = e \\
\end{matrix} ight. từ đó ta có:

    \int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x}
ight)}{e^{x}}dx} = \int_{0}^{e}{\frac{f(t)}{t^{2}}dt} =
\int_{0}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx}

    Ta có: \int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2}
ight)dx}

    Đặt t = x^{2} \Rightarrow dt =
2xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow t = 0 \\
x = a \Rightarrow t = a^{2} \\
\end{matrix} ight. từ đó ta có:

    \int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2}
ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{tf(t)}dt =
\frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{xf(x)}dx

  • Câu 20: Vận dụng

    Biết xe^{x} là một nguyên hàm của hàm số f( - x) trên khoảng ( - \infty; + \infty). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f'(x)e^{x} thỏa mãn F(0) = 1. Giá trị của F( - 1) bằng:

    Ta có: f( - x) = \left( xe^{x}
ight)' = e^{x} + xe^{x};\forall x \in ( - \infty; +
\infty)

    Do đó f( - x) = e^{- ( - x)} - ( - x)e^{-
( - x)};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Suy ra f(x) = e^{- x}(1 - x);\forall x
\in ( - \infty; + \infty)

    Nên f'(x) = \left\lbrack e^{- x}(1 -
x) ightbrack' = e^{- x}(x - 2)

    \Rightarrow f'(x)e^{x} = e^{- x}(x -
2)e^{x} = x - 2

    Vậy F(x) = \int_{}^{}{(x - 2)dx} =
\frac{1}{2}(x - 2)^{2} + C

    Từ đó F(0) = \frac{1}{2}(0 - 2)^{2} + C =
C + 2

    F(0) = 1 \Rightarrow C = -
1

    Vậy F(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1
\Rightarrow F( - 1) = \frac{1}{2}( - 1 - 2)^{2} - 1 =
\frac{7}{2}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 18 lượt xem
Sắp xếp theo