Họ nguyên hàm của hàm số là:
Ta có:
Khi đó:
Họ nguyên hàm của hàm số là:
Ta có:
Khi đó:
Cho tích phân với
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Suy ra .
Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục hoành như hình vẽ:
Mệnh đề nào sau đây sai?
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là:
Từ hình vẽ ta thấy
Do đó
Vậy mệnh đề sai là:
Cho hai hàm số và
. Biết
là các số thực để
là một nguyên hàm của
. Tính
?
Từ giả thiết ta có:
Đồng nhất hai vế ta có: .
Cho là một nguyên hàm của hàm số và
. Tính
Cách 1:
Đặt
Khi đó
=>
Mặt khác
=> C = 0
=>
=>
Cách 2: . Sử dụng máy tính cầm tay để tính.
Cho hàm số có một nguyên hàm là
thỏa mãn
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Lại có
Do đó:
Số nghiệm nguyên âm của phương trình: với
là:
Ta có:
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số ?
Vì:
Cho hàm số là một nguyên hàm của hàm số
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có .
Giả sử với
là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
Ta có:
Đặt
Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình có hai nghiệm
và
.
Cho là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số
Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số nên:
Hay
Xét
Đặt
Khi đó
Tích phân có giá trị là:
Tích phân có giá trị là:
Ngoài ra ta có thể sử dụng máy tính cầm tay nhập trực tiếp biểu thức và tính ra kết quả.
Cho là các hàm số liên tục trên
và thỏa mãn
và
. Tính tích phân
?
Đặt . Theo giả thiết ta có:
Ta có:
Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).
Diện tích hình phẳng được tính theo công thức
Ta có:
Cho hàm số liên tục nhận giá trị dương trên
và thỏa mãn
;
. Giá trị
gần nhất với giá trị nào sau đây?
Vì
Mà
Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và đường thẳng
. Gọi
. Tính giá trị của tham số
để đoạn thẳng
chia
thành hai phần có diện tích bằng nhau?
Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đường
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do
quay quanh trục
?
Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đường
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do
quay quanh trục
?
Cho hàm số xác định trên tập số thực thỏa mãn
và
. Tính
biết rằng
?
Vì nên ta có:
Cho
Do đó
Tính diện tích của hình phẳng
được giới hạn bởi các đường
, trục hoành và các đường thẳng
?
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Cho hàm số liên tục trên tập số thực và thỏa mãn
. Khi đó giá trị
bằng:
Ta có: