Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho đường cong (C) y = {x^3}. Xét điểm A có hoành độ dương thuộc (C), tiếp tuyến của (C) tại A tạo với (C) một hình phẳng có diện tích bằng 27. Hoành độ điểm A thuộc khoảng nào dưới đây?

    Ta có: y' = 3{x^2}

    Ta có: A \in \left( C ight) \Rightarrow A\left( {a;{a^3}} ight);a > 0

    Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là d:y = 3{a^2}\left( {x - a} ight) + {a^3}

    Ta có phương trình hoành độ giao điểm d và (C) là:

    \begin{matrix}  {x^3} = 3{a^2}\left( {x - a} ight) + {a^3} \hfill \\   \Leftrightarrow {\left( {x - a} ight)^2}\left( {x + 2a} ight) = 0 \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {x = a} \\   {x =  - 2a} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C).

    Ta có:

    \begin{matrix}  S = 27 \hfill \\   \Rightarrow \int\limits_{ - 2a}^a {\left| {{x^3} - 3{a^2}\left( {x - a} ight) - {a^3}} ight|dx = 27}  \hfill \\   \Rightarrow \left| {\int\limits_{ - 2a}^a {\left( {{x^3} - 3{a^2}\left( {x - a} ight) - {a^3}} ight)dx} } ight| = 27 \hfill \\   \Rightarrow \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{3{a^2}{x^2}}}{2} + 2{a^3}x} ight)} ight|_{ - 2a}^a} ight| = 27 \hfill \\   \Leftrightarrow \dfrac{{27}}{4}{a^4} = 27 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}  {a = \sqrt 2 \left( {tm} ight)} \\   {a =  - \sqrt 2 \left( {ktm} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow a = \sqrt 2  \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v(t) = 3t + 2, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét. Biết tại thời điểm t = 2s thì vật đi được quãng đường là 10m. Hỏi tại thời điểm t = 30s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?

    Quãng đường vật đi được từ thời điểm t =
2s đến t = 30s

    S = \int_{2}^{30}{v(t)dt} =
\int_{2}^{30}{(3t + 2)dt} = 1400m = S(30) - S(2)

    \Rightarrow S(30) = 1400m + S(2) =
1410m

  • Câu 3: Vận dụng

    Một chất điểm A từ trạng thái nghỉ chuyển động với vận tốc nhanh dần đều, 8 giây sau nó đạt đến vận tốc 6m/s. Từ thời điểm đó nó chuyển động đều. Một chất điểm B khác xuất phát từ cùng vị trí A nhưng chậm hơn nó 12 giây với vận tốc nhanh dần đều và đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc B tại thời điểm đó.

    Phương trình vận tốc của vật A là {v_1} = a.t

    Ta có: v\left( 8 ight) = 6 \Rightarrow a = \frac{3}{4} \Rightarrow {v_1} = \frac{3}{4}t

    Quãng đường vật A đi được sau 20s đầu là: \int\limits_0^8 {\frac{3}{4}tdt + 6.12 = 96\left( m ight)}

    Phương trình vận tốc của vật B là

    \begin{matrix}  {v_2} = bt \Rightarrow {S_B} = \int\limits_0^8 {btdt}  = 96 \Rightarrow b = 3 \hfill \\   \Rightarrow {v_2} = bt \hfill \\ \end{matrix}

    => Vận tốc của vật B khi hai vật gặp nhau là: {v_B} = 3.8 = 24\left( {m/s} ight)

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y =
x^{5}.Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \left(
\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}
ight)\mathbf{'}\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{5}}

    Vậy đáp án cần tìm là: \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}\mathbf{+
C}.

  • Câu 5: Nhận biết

    Tính tích phân I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x}?

    Ta có: I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x} = \left. \  -\cot x ight|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}

    = - \left( \cot\frac{\pi}{3} -
\cot\frac{\pi}{4} ight) = - \cot\frac{\pi}{3} +
\cot\frac{\pi}{4}.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^2} thỏa mãn F\left( 0 ight) = \frac{1}{3}. Tính giá trị của biểu thức A = {\log _2}\left[ {3F\left( 1 ight) - 2F\left( 2 ight)} ight]

     F\left( x ight) = \int {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}dx = \frac{1}{2}\int {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}d\left( {2x - 3} ight) = } \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {2x - 3} ight)}^2}}}{3} + C}

    Ta có: F\left( 0 ight) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = \frac{{29}}{6}

    F\left( 1 ight) = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{ - 1}}{3}} ight) + \frac{{29}}{6} = \frac{{14}}{3};F\left( 2 ight) = \frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{3}} ight) + \frac{{29}}{6} = 5

    => A = {\log _2}\left[ {3F\left( 1 ight) - 2F\left( 2 ight)} ight] = A = {\log _2}\left[ {3\frac{{14}}{3} - 2.5} ight] = {\log _2}4 = 2

  • Câu 7: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x} +
x

    Ta có: \int_{}^{}f(x)dx =
\int_{}^{}\left( 2^{x} + x ight)dx = \frac{2^{x}}{ln2} +
\frac{x^{2}}{2} + C.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Biết luôn có hai số a;b để F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq
0) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn 2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1
ightbrack.f'(x). Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?

    Do 4a - b eq 0 \Rightarrow F(x) eq
C;\forall x\mathbb{\in R}. Vì luôn có hai số a;b để F(x) =
\frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên f(x) không phải là hàm hằng.

    Từ giả thiết 2f^{2}(x) = \left\lbrack
F(x) - 1 ightbrack.f'(x) \Leftrightarrow \frac{2f(x)}{F(x) - 1}
= \frac{f'(x)}{f(x)}

    Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân dx ta được:

    \int_{}^{}{\frac{2f(x)}{F(x) - 1}dx} =\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}\Leftrightarrow 2\ln\left| F(x) - 1ight| = \ln\left| f(x) ight| + C với C là hằng số.

    \Leftrightarrow 2ln\left| F(x) - 1
ight| + \ln e^{C} = \ln\left| f(x) ight|

    \Leftrightarrow \left| f(x) ight| =
e^{C}.\left\lbrack F(x) - 1 ightbrack^{2} = e^{C}.\left( \frac{(a -
1)x + b - 4}{x + 4} ight)

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\\end{matrix} ight.

    TH1: f(x) = e^{C}.\left\lbrack \frac{(a -
1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2} ta có: F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a -
b}{(x + 4)^{2}}

    Đồng nhất hệ số ta có:

    e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4
ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} - 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\  \\\end{matrix} ight.

    Loại b = 4 do điều kiện 4a - b eq 0. Do đó (a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} - 1}{e^{C}}
ight)

    TH2: f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \frac{(a
- 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2} ta có: F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a -
b}{(x + 4)^{2}}

    Đồng nhất hệ số ta có:

    - e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4
ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\- e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} + 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\  \\\end{matrix} ight.

    Loại b = 4 do điều kiện 4a - b eq 0. Do đó (a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} + 1}{e^{C}}
ight)

    Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là a =
1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Với giá trị nào của m > 0 thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2}y = mx bằng \frac{4}{3}?

    Xét phương trình hoành độ giao điểm x^{2}
= mx \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = m \\
\end{matrix} ight..

    Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên được tính bởi

    \int_{0}^{m}{\left| x^{2} - mx
ight|dx} = \int_{0}^{m}{\left( mx - x^{2} ight)dx} = \frac{m^{3}}{6}
= \frac{4}{3} \Rightarrow m = 2.

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho \int_{0}^{1}{\frac{x}{(x + 2)^{2}}dx}
= a + ln2 + cln3 với a;b;c là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức K =
3a + b + c bằng:

    Ta có: \int_{0}^{1}{\frac{x}{(x +
2)^{2}}dx} = \int_{0}^{1}{\frac{x + 2 - 2}{(x + 2)^{2}}dx}

    = \int_{0}^{1}{\frac{x + 2}{(x +
2)^{2}}dx} - \int_{0}^{1}{\frac{2}{(x + 2)^{2}}dx}

    = \int_{0}^{1}{\frac{1}{x + 2}dx} -
\int_{0}^{1}{\frac{2}{(x + 2)^{2}}dx}

    = \left. \ \ln|x + 2| ight|_{0}^{1} -\left. \ \frac{2}{x + 2} ight|_{0}^{1} = \ln3 - \ln2 -\frac{1}{3}

    Suy ra a = - \frac{1}{3};b = - 1;c = 1
\Rightarrow K = - 1

  • Câu 12: Thông hiểu

    Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol (P):y = x^{2} và đường thẳng d:y = x xoay quanh trục Ox tính bởi công thức nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có (P)d cắt nhau tại hai điểm (0;0),(1;1)x > x^{2};\forall x \in (0;1)

    Suy ra thể tích khối tròn xoay đã cho T bằng thể tích khối tròn xoay T_{1} trừ đi thể tích khối tròn xoay T_{2}. Trong đó:

    T_{1} được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường d, trục Ox, x = 0, x = 1.

    T_{2} được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường (P), trục Ox, x = 0, x = 1.

    Vậy thể tích khối tròn xoay đã cho bằng \pi\int_{0}^{1}{x^{2}dx} -
\pi\int_{0}^{1}{x^{4}dx}.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^x} + 2x thỏa mãn F\left( 0 ight) = \frac{3}{2}. Tìm F(x).

     F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx = \int {\left( {{e^x} + 2x} ight)dx = {e^x} + {x^2} + C} }

    Theo bài ra ta có:

    F\left( 0 ight) = \frac{3}{2} \Rightarrow {e^x} + {x^2} + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}

    => F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f'(x).f^{2}(x) = x^{2}f(2) = 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g(x) = f(x) + x^{2} tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

    Ta có: f'(x).f^{2}(x) =
x^{2}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{f'(x).f^{2}(x)dx} =
\int_{}^{}{x^{2}dx}

    \Leftrightarrow
\int_{}^{}{f^{2}(x)df(x)} = \frac{x^{3}}{3} + C

    \Leftrightarrow \frac{f^{3}(x)}{3} =
\frac{x^{3}}{3} + C. Theo bài ra ta có: f(2) = 2 \Rightarrow \frac{f^{3}(2)}{3} =
\frac{2^{3}}{3} + C \Rightarrow C = 0

    Suy ra \frac{f^{3}(x)}{3} =
\frac{x^{3}}{3} \Leftrightarrow f(x) = x

    Vậy g(x) = x^{2} + x \Rightarrow
g'(x) = 2x + 1

    Ta có: g'(3) = 7;g(3) =
12

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

    y = g'(3)(x - 3) + g(3)

    \Leftrightarrow y = 7(x - 3) + 12
\Leftrightarrow y = 7x - 9

  • Câu 15: Thông hiểu

    Hàm số F(x) là nguyên hàm của f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1
ight). Hỏi hàm số F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Ta có: F'(x) = f(x) = (1 -
x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 0
\Leftrightarrow (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
1 - x = 0 \\
\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x^{2} + 1 = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Phương trình F'(x) = 0 có 1 nghiệm đơn x = 1 và một nghiệm kép x = 0 nên hàm số F(x) có 1 điểm cực trị.

  • Câu 16: Vận dụng

    Xác định hàm số f(x) biết rằng f'\left( x ight) = x\sqrt {1 + {x^2}} ;3f\left( 0 ight) = 4

     \begin{matrix}  f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx}  \hfill \\   \Rightarrow f\left( x ight) = \int {x\sqrt {{x^2} + 1} dx}  = \dfrac{1}{2}\int {{{\left( {{x^2} + 1} ight)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{x^2} + 1} ight) = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C}  \hfill \\ \end{matrix}

    3f\left( 0 ight) = 4 \Rightarrow 3\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt {{0^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} ight] = 4 \Rightarrow C = 1

    Vậy hàm số cần tìm là f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + 1

  • Câu 17: Nhận biết

    Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
f(x) liên tục trên đoạn \lbrack
1;3brack, trục Ox và hai đường thẳng x = 1;x = 3 có diện tích là:

    Công thức tính diện tích cần tìm là: S =
\int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|dx}.

  • Câu 18: Nhận biết

    Tính tích phân I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( \sin2x + \sin x ight)dx}?

    Ta có:

    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\sin2x + \sin x ight)dx} = \left. \ \left( - \frac{1}{2}\cos2x - \cos xight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2

  • Câu 19: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
\sin x + \cos x\ \ \ khi\ x \geq 0 \\
2(x + 1)\ \ \ khi\ x < 0 \\
\end{matrix} ight.F(\pi) +
F( - 1) = 1. Giá trị biểu thức T =
F(2\pi) + F( - 5) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =
\left\{ \begin{matrix}
x\sin x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 0 \\
x^{2} + 2x + C_{2}\ \ khi\ x < 0 \\
\end{matrix} ight.

    F(\pi) + F( - 1) = 1 \Rightarrow \left(
\pi\sin\pi + C_{1} ight) + \left( 1 - 2 + C_{2} ight) = 1
\Rightarrow C_{1} + C_{2} = 2(*)

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 0 tức là

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}F(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{-}}F(x) = F(0)

    \Leftrightarrow C_{1} =
C_{2}(**). Từ (*) và (**) suy ra C_{1} = C_{2} = 1

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix}
x\sin x + 1\ \ \ khi\ x \geq 0 \\
x^{2} + 2x + 1\ \ khi\ x < 0 \\
\end{matrix} ight.

    T = F(2\pi) + F( - 5) = 17

  • Câu 20: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}?

    Đặt t = \tan x \Rightarrow dt =\frac{1}{\cos^{2}x}dx

    \int_{}^{}{\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx} = \int_{}^{}{e^{t}dt} = e^{t} + C = e^{\tan x} +C

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 18 lượt xem
Sắp xếp theo