Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $M(1;8;0),C(0;0;3)$ cắt các tia $Ox,Oy$ lần lượt tại $A;B$ sao cho $OG$ nhỏ nhất, với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Biết $G(a;b;c)$ , hãy tính $T = a + b + c$ .
- A.
  $T = 7$
- B.
  $T = 3$
- C.
  $T = 12$
- D.
  $T = 6$
Gọi $A(m;0;0),B(0;n;0)$ với $m,n > 0$ .

Khi đó phương trình của $(ABC):\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{3} = 1$ .

Vì $M \in (ABC)$ nên $\frac{1}{m} + \frac{8}{n} = 1$ . Kết hợp với điều kiện $m > 0,n > 0$ suy ra $m > 1$ và $n > 8$ .

Cũng từ trên ta có $m = \frac{n}{n - 8}$ .

Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ $\left( \frac{m}{3};\frac{n}{3};1 ight)$ .

$OG^{2} = |\overrightarrow{OG}|^{2} = \left( \frac{m}{3} ight)^{2} + \left( \frac{n}{3} ight)^{2} + 1^{2} = \frac{1}{9}\left\lbrack \left( \frac{n}{n - 8} ight)^{2} + n^{2} ightbrack + 1$

Xét hàm số $f(n) = \left( \frac{n}{n - 8} ight)^{2} + n^{2}$ với $n > 8$ .

Ta có $f^{'}(n) = 2 \cdot \frac{n}{n - 8} \cdot \frac{- 8}{(n - 8)^{2}} + 2n = 2n\left\lbrack \frac{- 8}{(n - 8)^{3}} + 1 ightbrack$ .

$f^{'}(n) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0 \\ n = 10 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow n = 10 ight.$

Bảng biến thiên

$OG$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $f(n)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi $n = 10$ ; lúc đó $m = 5$ và $G\left( \frac{5}{3};\frac{10}{3};1 ight)$ .

Vậy $T = a + b + c = 6$
Câu 2: Vận dụng
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Điểm $M$ được xác định bởi đẳng thức vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $M$ là tâm của mặt đáy $ABCD$ .
- B.
  $M$ là tâm của mặt đáy $A'B'C'D'$ .
- C.
  $M$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.
- D.
  Tập hợp điểm $M$ là đoạn thẳng nối hai tâm của mặt đáy.
Gọi $\left\{ \begin{matrix} O = AC \cap BD \\ O' = A'C' \cap B'D' \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$

$= \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OD} ight)$

$= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + 4\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0} + 4\overrightarrow{MO} = 4\overrightarrow{MO}$

Tương tự ta cũng có: $\overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = 4\overrightarrow{MO'}$

Từ đó suy ra

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MO} + 4\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 4\left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} ight) = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0}$

Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của $OO'$ .
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , hãy viết phương trình của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M( - 1;0;0)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):x + 2y - z + 1 = 0$ ?
- A.
  $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$
- B.
  $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$
- C.
  $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$
- D.
  $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M( - 1;0;0)$ và có một véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$ nên $d$ có phương trình chính tắc là $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 4;3)$ và $B(2;2;7)$ . Trung điểm $M$ của $AB$ có tọa độ là:
- A.
  $(4; - 2;10)$
- B.
  $(1;3;2)$
- C.
  $(2;6;4)$
- D.
  $(2; - 1;5)$
Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2; - 1;5)$

Vậy đáp án đúng là: $(2; - 1;5)$ .
Câu 5: Thông hiểu
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $\overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{B'C}$ theo các vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{B'C} =\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{B'C} = -\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}$
- C.
  $\overrightarrow{B'C} =\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} -\overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{B'C} =\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $\overrightarrow{B'C} =\overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{a} +\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight)$
$= - \overrightarrow{a} +\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = - \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
Câu 6: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2; - 3)$ và mặt phẳng $(P):2x + 2y - z + 9 = 0$ . Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (3;4; - 4)$ cắt $(P)$ tại điểm $B$ . Điểm $M$ thay đổi trong $(P)$ sao cho $M$ luôn nhìn đoạn $AB$ dưới góc $90^{0}$ . Khi độ dài $MB$ lớn nhất, đường thẳng $MB$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?
- A.
  $H( - 2; - 1;3)$
- B.
  $I( - 1; - 2;3)$
- C.
  $K(3;0;15)$
- D.
  $\ J( - 3;2;7)$
Hình vẽ minh họa

Phương trình $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Đường thẳng d cắt P tại $B(−2; −2; 1)$ .

Gọi H là hình chiếu của A lên (P).

Ta có: $H(−3; −2; −1)$

Vì $MB ⊥ MA; MB ⊥ AH$ nên MB ⊥ MH suy ra $MB ≤ BH$ .

Do đó: MB lớn nhất bằng BH khi $M \equiv H$

Vậy MB đi qua B, nhận $\overrightarrow{BH}$ là vectơ chỉ phương.

Phương trình $MB:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = - 2 \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ do đó MB đi qua điểm $I( - 1; - 2;3)$ .
Câu 7: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(3;2;1)$ . Viết phương trình mặt phẳng đi qua $M$ và cắt các trục $x'Ox,\ y'Oy,\ z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$ ?
- A.
  $3x + y + 2z - 14 = 0$
- B.
  $3x + 2y + z - 14 = 0$
- C.
  $\frac{x}{9} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1$
- D.
  $\frac{x}{12} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1$
Xét tứ diện OABC có các cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB\bot CM \\ AB\bot OC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(COM) \Rightarrow AB\bot OM$

Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.

Từ đó $OM ⊥ (ABC)$ .

Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận $\overrightarrow{OM} = (3;2;1)$ làm vectơ pháp tuyến là:

$3(x - 3) + 2(y - 2) + z - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 3x + 2y + z - 14 = \ 0$
Câu 8: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5)$ . Biết $\widehat{ABC} = a^{0}$ trong đó $a$ là số nguyên dương. Tìm $a$ ?

Đáp án: 135

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5)$ . Biết $\widehat{ABC} = a^{0}$ trong đó $a$ là số nguyên dương. Tìm $a$ ?

Đáp án: 135

Ta có $\overrightarrow{BA} = (0;1;0),\overrightarrow{BC} = (1; - 1;0)$ .

Suy ra $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = - 1,\left| \overrightarrow{BA} ight| = 1,\left| \overrightarrow{BC} ight| = \sqrt{2}$ .

$\cos\widehat{ABC} = \frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{BA} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \widehat{ABC} = 135^{0}$ .

Vậy $a = 135$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian toạ độ $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
- A.
  $2x + 3y + z - 12 = 0$ .
- B.
  $x^{2} + y - z + - 7 = 0$ .
- C.
  $x - y^{2} + 3z - 6 = 0$ .
- D.
  $x + y + z^{2} - 7 = 0$ .
PTTQ của mặt phẳng có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ , với $A^{2} + B^{2} + C^{2} eq 0$ nên ta chọn $2x + 3y + z - 12 = 0$ .
Câu 10: Vận dụng
Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P); gọi $\alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma$ lần lượt là các góc tạo bởi vector pháp tuyến của (P) với ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của (P) là ( $OH = p$ ):
- A. $x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma - p = 0$
- B. $x\sin \alpha + y\sin \beta + z\sin \gamma - p = 0$
- C. $x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma + p = 0$
- D. $x\sin \alpha + y\sin \beta + z\sin \gamma + p = 0$
Theo đề bài, ta có: $H\left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight) \Rightarrow \overrightarrow {OH} = \left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight)$
Gọi $M\left( {x,y,z} ight) \in \left( P ight)$
$\Rightarrow \overrightarrow {HM} = \left( {x - p\cos \alpha ,y - p\cos \beta ,z - c\cos \gamma } ight)$
Ta có:
$\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {HM}$
$\Leftrightarrow \left( {x - p\cos \alpha } ight)p\cos \alpha + \left( {y - p\cos \beta } ight)p\cos \beta + \left( {z - p\cos \gamma } ight)p\cos \gamma \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$
$\Leftrightarrow \left( P ight):x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma - p = 0$
Câu 11: Thông hiểu
Cho tứ diện $SABC$ có $SA = SB = SC = AB = AC = a$ và $BC = a\sqrt{2}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $SC$ và $AB$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $\left(\overrightarrow{SA};\overrightarrow{AB} ight) = 120^{0}$ ; $AC^{2} + AB^{2} = BC^{2}$ suy ra $AC\bot AB$ . Ta có:
$\cos\left(\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB} ight) =\frac{\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{SC} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|} =\frac{\left( \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC}ight).\overrightarrow{AB}}{\left| \overrightarrow{SC} ight|.\left|\overrightarrow{AB} ight|}$
$=\dfrac{\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}}{a^{2}} = \dfrac{-\dfrac{a^{2}}{2} + 0}{a^{2}} = - \dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \left(\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB} ight) = 120^{0}$ . Vậy góc giữa hai đường thẳng cần tìm là $180^{0}- 120^{0} = 60^{0}$
Câu 12: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $\widehat{ABC} = 30^{0}$ , $BC = 3\sqrt{2}$ , đường thẳng $BC$ có phương trình $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4}$ , đường thẳng $AB$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha):x + z - 3 = 0$ . Biết rằng đỉnh $C$ có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh $A$ .
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $3$
- C.
  $\frac{9}{2}$
- D.
  $\frac{5}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4} \\ x + z - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(2;3;1)$

Do C ∈ BC nên $C(4 + c;5 + c; - 7 - 4c)$

Theo giả thiết $BC = 3\sqrt{2}$ nên: $18(2 + c)^{2} = 18 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = - 1 \Rightarrow C(3;4; - 3) \\ c = - 3 \Rightarrow C(1;2;5) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt khác đỉnh C có cao độ âm nên C(3; 4; −3).

Gọi $A(x;y;3 - x) \in (\alpha)$ . Do $\widehat{ABC} = 30^{0}$ nên:

$\left\{ \begin{matrix} AB = \frac{3\sqrt{6}}{2} \\ AC = \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (2 - z)^{2} = \frac{27}{2} \\ (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} + (6 - z)^{2} = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ 2x^{2} - 18x + y^{2} - 8y + \frac{113}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10x + 2y - 53 = 0 \\ 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ 2x^{2} - 8x + \left( \frac{53 - 10x}{2} ight)^{2} - 6.\left( \frac{53 - 10x}{2} ight) + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 4 \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A\left( \frac{9}{2};4; - \frac{3}{2} ight)$

Vậy đáp án cần tìm là $\frac{9}{2}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Cho ba điểm $A\left( {3,1,0} ight);\,\,\,B\left( {2,1, - 1} ight);\,\,\,C\left( {x,y, - 1} ight)$ . Tính $x, y$ để $G\left( {2, - 1, - \frac{2}{3}} ight)$ là trọng tâm tam giác ABC?
- A. $x=2, y=1$
- B. $x=2, y=-1$
- C. $x=-2, y=-1$
- D. $x=1, y=-5$
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên áp dụng công thức, ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} + {x_c} = 3.{x_G}\\{y_A} + {y_B} + {y_c} = 3.{y_G}\\{z_A} + {z_B} + {z_c} = 3.{z_G}\end{array} ight.$
Thay tọa độ các điểm vào ta được hệ sau:
$\left\{ \begin{array}{l}3 + 2 + x = 3.2 = 6\\1 + 1 + y = 3\left( { - 1} ight) = - 3\\0 - 1 - 1 = 3\left( { - \dfrac{2}{3}} ight) = - 2\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 5\end{array} ight.$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ ; cho bốn điểm $A(2;0;2),B(1; - 1; - 2),$ $C( - 1;1;0),D( -2;1;2)$ . Tính thể tích tứ diện $ABCD$ .
- A.
  $V = \frac{42}{3}$
- B.
  $V = \frac{14}{3}$
- C.
  $V = \frac{21}{3}$
- D.
  $V = \frac{7}{3}$
Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 1; - 1; - 4) \\ \overrightarrow{AD} = ( - 4;1;0) \\ \end{matrix} ight.$ suy ra

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ightbrack = (6;10; - 4)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ightbrack.\overrightarrow{AD} = - 14$

Vậy thể tích tứ diện $ABCD$ là:

$V_{ABCD} = \frac{1}{6}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ightbrack.\overrightarrow{AD} ight| = \frac{7}{3}$
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - y + z - 1 = 0$ . Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (2; - 1; - 1)$ .
- B.
  $\overrightarrow{n} = ( - 2;1; - 1)$ .
- C.
  $\overrightarrow{n} = (2;1; - 1)$ .
- D.
  $\overrightarrow{n} = ( - 1;1; - 1)$ .
Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ có tọa độ là $(2; - 1;1)$ hoặc $( - 2;1; - 1)$ .
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(3;4;5)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 2z - 3 = 0$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$ . Tìm tọa độ điểm $H$ ?
- A.
  $H(1;2;2)$
- B.
  $H(2;5;3)$
- C.
  $H(6;7;8)$
- D.
  $H(2; - 3; - 1)$
Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên (P) nên $H(3 + t;4 - t;5 + 2t)$

Điểm H thuộc mặt phẳng (P) nên ta có phương trình:

$(3 + t) - (4 - t) + 2(5 + 2t) - 3 = 0$

$\Leftrightarrow t = - 1 \Leftrightarrow H = (2;5;3)$
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 1}{1}$ và mặt phẳng $(P):x - 2y - 2z + 5 = 0$ . Điểm $A$ nào dưới đây thuộc $d$ và thỏa mãn khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $3$ ?
- A.
  $A(4; - 2;1)$
- B.
  $A(2; - 1;0)$
- C.
  $A( - 2;1; - 2)$
- D.
  $A(0;0; - 1)$
Vì A ∈ (d) nên ta có tọa độ điểm A(2a; −a; a − 1).

Khoảng cách từ A đến (P) là

$\frac{\left| 2a + 2a - 2(a - 1) + 5 ight|}{\sqrt{9}} = 3$

$\Leftrightarrow |2a + 9| = 9\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = 0 \\a = - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.$

Với $a = 0 \Rightarrow A(0;\ 0; - 1)$
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{x} = (2;1; - 3);\overrightarrow{y} = (1;0; - 1)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{a} = (4;1; - 1)$
- B.
  $\overrightarrow{a} = (3;1; - 4)$
- C.
  $\overrightarrow{a} = (0;1; - 1)$
- D.
  $\overrightarrow{a} = (4;1; - 5)$
Ta có: $2\overrightarrow{y} = (2;0; - 2)$ . Khi đó $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} = (2 + 2;1 + 0; - 3 - 2) = (4;1; - 5)$ .

Vậy $\overrightarrow{a} = (4;1; - 5)$
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng?
- A.
  $\frac{- 2}{x - 3} = \frac{y - 1}{z} = \frac{z - 5}{4}$ .
- B.
  $\frac{- 1}{x - 2} = \frac{- 1}{y + 2} = \frac{- 3}{z - 2}$ .
- C.
  $\frac{x - 6}{3} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 5}{3}$ .
- D.
  $\frac{x - 1}{y} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z - 3}{4}$ .
Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

$\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ với $a.b.c eq 0$ .

Vậy đáp án đúng là : $\frac{x - 6}{3} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 5}{3}$
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(5; - 4;2),B(1;2;4)$ . Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là:
- A.
  $3x - y + 3z - 25 = 0$
- B.
  $2x - 3y - z + 8 = 0$
- C.
  $3x - y + 3z - 13 = 0$
- D.
  $2x - 3y - z - 20 = 0$
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua $A(5; - 4;2)$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ .

Do (α) vuông góc với AB nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = \overrightarrow{n_{AB}} = ( - 4;6;2)$

Vậy phương trình mặt phẳng (α) là:

$- 4(x - 5) + 6(y + 4) + 2(z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow 2x - 3y - z - 20 = 0$

73 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!