Trong hệ tục toạ độ không gian
, cho
, biết
, phương trình mặt phẳng
. Tính
biết
?
Ta có
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Vì nên
.
Theo giả thiết
(vì
).
Suy ra . Vậy
.
Trong hệ tục toạ độ không gian
, cho
, biết
, phương trình mặt phẳng
. Tính
biết
?
Ta có
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Vì nên
.
Theo giả thiết
(vì
).
Suy ra . Vậy
.
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng
?
Ta thấy tọa độ điểm thỏa mãn phương trình mặt phẳng
nên điểm
nằm trên
.
Trong không gian
, cho tọa độ các điểm
. Cho các khẳng định sau:
(I)
.
(II)
.
(III) Ba điểm
tạo thành một tam giác.
(IV) Ba điểm
thẳng hàng.
Trong các khẳng định trên, khẳng định nào sai?
Ta có: nên
là trung điểm của
và ba điểm
thẳng hàng
Vậy các khẳng định sai là: .
Cho hai mặt phẳng
và
. Với
cho biết
và cặp vectơ chỉ phương
. Với
cho PTTQ
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của
và
, qua điểm
là:
Trước tiên, ta cần đưa phương trình về dạng tổng quát.
Theo đề bài, ta có và cặp vectơ chỉ phương
nên vecto pháp tuyến của mp
là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương.
Ta có .
Chọn làm vectơ pháp tuyến cho
thì phương trình tổng quát của
có dạng
.
Vậy phương trình
Để tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của và
ta xét chùm mặt phẳng :
Mặt khác, ta có
Thế vào (*) ta được:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
và đường thẳng
. Tìm điểm
thuộc đường thẳng
để thể tích của tứ diện
bằng
.
Ta có
Phương trình mặt phẳng
Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A suy ra
Mà
Với
Với
Trong không gian
, cho ba mặt phẳng
lần lượt có phương trình là
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là và mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là
Do nên vectơ
không cùng phương với vectơ
.
Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P).
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: . Khi đó
Vậy
Cho điểm
và hai mặt phẳng ![]()
Gọi
là mặt phẳng chứa điểm M , vuông góc với cả hai mặt phẳng
và
. Phương trình mặt phẳng
:
Theo đề bài, ta có:
có vectơ pháp tuyến
có vectơ pháp tuyến
Suy ra tích có hướng giữa 2 vecto là
Ta chọn làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng
Phương trình có dạng
Mặt khác, ta có
Vậy phương trình cần tìm là:
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm
và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là
. Máy bay sẽ bay qua điểm
của đường màu
để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm
, hãy tính giá trị biểu thức
.
Đáp án: 50
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là
. Máy bay sẽ bay qua điểm
của đường màu
để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm
, hãy tính giá trị biểu thức
.
Đáp án: 50
Ta có:
Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP có dạng
Điểm và
Ta có:
Vậy
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm
đến điểm
trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là
, trong đó
là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính
?

Đáp án: 1223
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm
trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là
, trong đó
là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính
?
Đáp án: 1223
Gọi là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ gấp 4 lần thời gian bay từ
nên
Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên và
cùng hướng.
Suy ra
Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là .
Do đó,
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
và mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
qua
và vuông góc với
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Từ đó, phương trình mặt phẳng là
.
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Tính tích vô hướng
?
Ta có:
Cho tam giác ABC có
. Phương trình tổng quát của đường cao AH.
Theo đề bài, ta tính được:
Mp (ABC) có 2 VTCP là nên vecto pháp tuyến của (ABC) chính là tích có hướng của 2 VTCP trên. Ta có:
Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên ta có .
Mặt khác nên ta viết được vecto chỉ phương của đường thẳng AH là tích có hướng của 2 vecto pháp tuyến
Từ đây, ta có phương trình chính tắc của
Trong không gian
, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
và
là:
Ta có
Phương trình đường thẳng AB đi qua nhận vectơ
làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là:
.
Trong không gian, cho hai vectơ
và
có cùng độ dài bằng
. Biết độ dài của vectơ
bằng
. Biết số đo góc giữa hai vectơ
và
là
độ. Giá trị của
là bao nhiêu?
Trong không gian, cho hai vectơ và
có cùng độ dài bằng
. Biết độ dài của vectơ
bằng
. Biết số đo góc giữa hai vectơ
và
là
độ. Giá trị của
là bao nhiêu?
Trong không gian
. cho điểm
. Tìm tọa độ điểm
đối xứng với điểm
qua mặt phẳng
?
Lấy đối xứng qua mặt phẳng thì
đổi dấu còn
giữ nguyên nên điểm
có tọa độ là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Biết điểm
nằm trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
.
Vì M ∈ (Oxy) nên .
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có G(2; 1; 3).
Khi đó:
Dấu “=” xảy ra khi x= 2 và y= 1 hay M(2; 1; 0).
Vậy P = 3
Cho hình hộp
. Gọi
là tâm hình bình hành
và
là tâm của hình bình hành
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì I; K lần lượt là trung điểm của AF và CF suy ra IK là đường trung bình tam giác AFC suy ra IK // AC => IK // (ABCD)
Mà GF // (ABCD); suy ra
đồng phẳng.
Gọi
là hình chiếu của
lên đường thẳng
. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
Vì
(d) có vtcp
Suy ra . Vậy
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Vị trí tương đối của
và
là
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương và đi qua điểm M(−1; 0; 1).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương .
Hai vectơ và
cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.
Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.