Trong không gian cho hình hộp
có
. Gọi
là trung điểm của
,
là giao điểm của
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì I là trung điểm của B’C’ suy ra
Và K là giao điểm của nên theo định lí Talet
Ta có:
Khi đó
Vậy .
Trong không gian cho hình hộp
có
. Gọi
là trung điểm của
,
là giao điểm của
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì I là trung điểm của B’C’ suy ra
Và K là giao điểm của nên theo định lí Talet
Ta có:
Khi đó
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho hình thang
vuông tại
và
. Biết rằng tọa độ các điểm
và hình thang
có diện tích bằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hình thang
vuông tại
và
. Biết rằng tọa độ các điểm
và hình thang
có diện tích bằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian
, cho
. Tọa độ điểm
là:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân
giác trong góc A là
. Biết rằng điểm
thuộc đường thẳng AB và điểm
thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?
Giả sử , , ta có:
Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:
Từ đây ta bình phương 2 vế được:
Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là .
Trong không gian
, cho điểm
. Tính độ dài đoạn thẳng
?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Độ dài của đoạn
là
Ta có:
khi đó độ dài đoạn
bằng:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và đường thẳng
. Điểm
mà tổng
có giá trị nhỏ nhất có tọa độ là:
Vì nên ta có tọa độ điểm
.
Ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của là
khi
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
thỏa mãn đẳng thức
?
Gọi
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy điểm E có tọa độ là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Gọi
là mặt phẳng qua
và vuông góc với
. Phương trình nào là phương trình của mặt phẳng
?
Vì là mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với
nên mặt phẳng
nhận
làm hai vectơ chỉ phương.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho điểm
thoả mãn
. Biết rằng khoảng cách từ
tới mặt phẳng
lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
Ta có:
Giả sử khi đó ta có:
Mà
Trong không gian
, cho hình bình hành hình bình hành. Biết các điểm
. Xác định tọa độ điểm
?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tọa độ ba điểm
. Tính tích vô hướng của
?
Ta có:
Trong không gian tọa độ
, mặt phẳng
đi qua
và chắn trên tia
một đoạn thẳng dài gấp đôi các đoạn thẳng mà nó chắn trên các tia
và
. Giả sử
, với
. Tính
.
Từ giả thiết, ta suy ra các giao điểm của (α) với các tia lần lượt là
.
Suy ra phương trình (đoạn chắn) của (α) là .
Do (α) đi qua M nên .
Suy ra .
Từ đó, ta tính được: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, trục
có phương trình tham số là
Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có véctơ chỉ phương nên có phương trình tham số là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Điểm
nằm trên đường thẳng
thì điểm M có dạng nào sau đây?
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
nên đường thẳng
có phương trình tham số là
Điểm nằm trên đường thẳng
nên điểm
có dạng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Chọn khẳng định đúng.
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Ta có
⇒ .
Một khối lập phương lớn tạo bởi 27 khối lập phương đơn vị. Một mặt phẳng vuông góc với đường chéo của khối lập phương lớn tại trung điểm của nó. Mặt phẳng này cắt ngang bao nhiêu khối lập phương đơn vị?
Giả sử các đỉnh của khối lập phương đơn vị là , với
và đường chéo đang xét của khối lập phương lớn nối hai đỉnh là
Phương trình mặt trung trực của OA là
Mặt phẳng này cắt khối lập phương đơn vị khi và và chỉ khi các đầu mút và
của đường chéo của khối lập phương đơn vị nằm về hai phía đối với (α).
Do đó bài toán quy về đếm trong số 27 bộ , với
, có bao nhiêu bộ ba thỏa mãn:
Các bộ ba không thỏa điều kiện (1), tức là là:
Vậy có khối lập phương đơn vị bị cắt bởi (α).
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
cắt ba trục tọa độ
lần lượt tại ba điểm
. Lúc đó thể tích
của khối tứ diện
là:
Gọi lần lượt là giao của mặt phẳng
với ba trục tọa độ
.
Khi đó và tứ diện
có
đôi một vuông góc tại O.
Do đó
Cho hai đường thẳng 
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua (d’)và song song với (d’’).
Vì (P) đi qua (d’) nên (P) nhận VTCP của (d’) làm 1 VTCP
Vì (P) song song với (d’’) nên (P) có VTCP thứ hai là :
Từ đây, ta suy ra VTPT của (P) chính là tích có hướng của 2 VTCP và :
Lấy điểm A(3,1,-2) trên đường thẳng (d’) mà (d’) nằm trong (P) nên ta có được A cũng phải thuộc (P):
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có
trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với
lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, EF, DH. Tính khoảng cách giữa NP và CG.
Ta biểu diễn các điểm N, P, C, G theo a, b, c được:
Từ đó, ta tính được các vecto tương ứng:
Để tính khoảng cách giữa NP và CG, ta cần tính tích có hướng và tích độ dài giữa chúng rồi áp dụng CT tính khoảng cách: