Trong không gian
, cho điểm
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
đi qua
và song song với mặt phẳng
có phương trình là:
Do mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên có vectơ pháp tuyến là
Phương trình mặt phẳng (Q) là:
Trong không gian
, cho điểm
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
đi qua
và song song với mặt phẳng
có phương trình là:
Do mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên có vectơ pháp tuyến là
Phương trình mặt phẳng (Q) là:
Cho ba điểm
. Tìm tọa độ của C để ABC là tam giác đều?
Tam giác ABC đều
Suy ra tọa độ điểm C là có 2 nghiệm C thỏa mãn:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và hai mặt phẳng
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua
và song song với hai mặt phẳng
?
Ta có:
Do đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương là .
Vậy phương trình đường thẳng d là
Trong không gian
, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm
và song song với mặt phẳng
?
Mặt phẳng có phương trình là
nên có một vectơ pháp tuyến là
.
Phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, đường thẳng đi qua điểm
và song song với trục
có phương trình tham số là:
Gọi là đường thẳng cần tìm.
Ta có nên
có vectơ chỉ phương là
.
Do đó .
Cho tam giác ABC với
.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
song song đường cao AH của tam giác ABC.
Theo đề bài, ta có: song song đường cao
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Điểm
thuộc đoạn
sao cho
, tọa độ điểm
là:
Gọi tọa độ độ điểm . Vì điểm
nên
Vậy đáp án cần tìm là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
. Viết phương trình đường thẳng
?
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
là:
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định. Trong không gian
cho ba điểm
và hai vecto ![]()
a) Tích vô hướng của hai vecto
bằng
Đúng||Sai
b) Trung điểm của đoạn
có tọa độ là
. Sai||Đúng
c) Tọa độ của vecto
là
. Sai||Đúng
d) Hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác
lên mặt phẳng
là
Đúng||Sai
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định. Trong không gian cho ba điểm
và hai vecto
a) Tích vô hướng của hai vecto bằng
Đúng||Sai
b) Trung điểm của đoạn có tọa độ là
. Sai||Đúng
c) Tọa độ của vecto là
. Sai||Đúng
d) Hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác lên mặt phẳng
là
Đúng||Sai
a) đúng, b) sai, c) sai, d) đúng.
a) Ta có
b) Ta có trung điểm của đoạncó tọa độ là
c) Ta có
Suy ra
d) Ta có Suy ra hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác
lên mặt phẳng
là
.
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm A.Tọa độ của A là:
Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình :
Giải (1),(2) tính x,y theo z được
Thế vào phương trình (3) được , từ đó có
.
Vậy .
Trong không gian
, cho tọa độ các vectơ
;
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có: suy ra “
” là mệnh đề sai.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Viết phương trình đường thẳng
nằm trong mặt phẳng
cắt đồng thời vuông góc với
?
Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ phương trình:
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến , đường thẳng d có một vectơ chỉ phương
Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là
Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc:
Cho các mệnh đề sau:
(I) Vectơ
luôn đồng phẳng với hai vectơ
.
(II) Nếu có
và ít nhất một trong ba số
khác không thì ba vectơ
đồng phẳng.
(III) Nếu ba vectơ
không đồng phẳng và
thì
.
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
Do được biểu thị qua hai vectơ
nên (I) đúng.
Xét mệnh đề (II): Giả sử , khi đó:
Suy ra ba vectơ đồng phẳng. Vậy mệnh đề (II) đúng.
Do mệnh đề (III) tương đương với mệnh đề (II) nên mệnh đề (III) đúng.
Cho điểm
và đường thẳng
. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua
. Tọa độ điểm A' là:
Đưa phương trình về dạng tham số:
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với .
Phương trình mp (P) có dạng , qua A nên D = -2
Phương trình (P) là:
Thế x, y, z từ phương trình vào phương trình (P) được t=1
I là trung điểm của AA' nên:
.
Trong không gian
, biết mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các tia dương
lần lượt tại ba điểm
khác gốc tọa độ
, sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì mặt phẳng cắt các tia dương của trục
nên ta có
Ta có
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Dấu bằng xảy ra khi:
Suy ra độ dài ba cạnh theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
và mặt phẳng
. Tìm hoành độ
của điểm
thuộc mặt phẳng (P) sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho các điểm
và mặt phẳng
. Tìm hoành độ
của điểm
thuộc mặt phẳng (P) sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Gọi
là điểm sao cho
là trọng tâm tam giác
. Tính tổng các tọa độ của điểm
?
Đặt . Vì
là trọng tâm tam giác
nên
Cho tam giác ABC với
. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
song song phân giác ngoài AF của góc A?
Một vecto chỉ phương của là
Ta có :
Vecto chỉ phương thứ hai
Suy ra vecto pháp tuyến của là
Mp đi qua
và nhận vecto
làm 1 VTPT có phương trình là:
Trong không gian
, cho hai điểm
. Điểm
nằm trên mặt phẳng
sao cho
nhỏ nhất là:
Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng ta được:
Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).
Vậy dấu “ = ” xảy ra khi
.
Ta có chọn vtcp của đường thẳng AB:
.
Vậy phương trình đường thẳng AB: .
Tọa độ của M là nghiệm hệ:
Cho 3 vectơ
đều khác
. Ba vectơ
đồng phẳng khi và chỉ khi (có thể chọn 2 đáp án):
Áp dụng Điều kiện để 3 vecto đồng phẳng là:
cùng vuông góc với
và có giá vuông góc với mp(P)