Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho tứ diện đều $ABCD$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}$
Vì tứ diện $ABCD$ là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc

Suy ra $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}$

Vậy mệnh đề chưa chính xác là: $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 2: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có điểm $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ , $B(a;0;0),D(0;a;0),$ $A'(0;0;b),(a > 0,b > 0)$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $CC'$ . Giá trị của tỉ số $\frac{a}{b}$ để hai mặt phẳng $(A’BD)$ và $(MBD)$ vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có điểm $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ , $B(a;0;0),D(0;a;0),$ $A'(0;0;b),(a > 0,b > 0)$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $CC'$ . Giá trị của tỉ số $\frac{a}{b}$ để hai mặt phẳng $(A’BD)$ và $(MBD)$ vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 3: Vận dụng

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

a) Sai

Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $( - 1,5\ ;\ - 1\ ;\ 0,5)$ .

b) Đúng

Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là $(2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7)$ .

Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

$\sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} + (0,7 + 0,5)^{2}}$

$= \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx 4,6(km)$

c) Sai

Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

$\sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} = \frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)$

Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

$\sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} + 0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)$

Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

d) Đúng

Vị trí của chiếc flycam là

$\left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 - 1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\ 0,6)$ .

Khoảng cách bay của flycam là:

$\sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} = \frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)$

Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ là

$\sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)$

Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ .
Câu 4: Nhận biết
Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua điểm E(2, -4, 3) và song song với đường thẳng MN với tọa độ M(3, 2, 5) và N(1, -2, 2)
- A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2m\\y = 2 - 3m\\z = 5 - 3m\end{array} ight.\,\,\,;m \in \mathbb{R}$
- B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + 3t\\z = 2 + 3t\end{array} ight.\,\,\,;t \in \mathbb{R}$
- C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2n\\y = - 4 + 3n\\z = 3 + 3n\end{array} ight.\,\,\,;n \in \mathbb{R}$
- D. Hai câu A và B
Đường thẳng d song song với MN nên VTCP của đường thẳng d chính là $\overrightarrow {MN}$ hay ta có
$\left( d ight):\overrightarrow {MN} = \left( { - 2, - 3, - 3} ight) = - \left( {2,3,3} ight)$
Như vậy, (d) là đường thẳng đi qua điểm E (2, -4, 3) và nhận làm 1 VTCP có phương trình là:
$\left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2n\\y = 3n - 4\\z = 3 + 3n\end{array} ight.\,\,;n \in \mathbb{R}$
Câu 5: Thông hiểu
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua hai điểm $A(\,\, - 2,\,\,3,\,\,5);\,\,\,B\left( {\, - 4,\,\, - 2,\,\,3\,} ight)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {\,2,\,\, - 3,\,\,4\,} ight)$ .
- A. $9x\,\, + \,\,3y\,\, - \,\,z\,\, + \,\,4 = \,\,0$
- B. $9x\,\, + \,\,3y\,\, - \,\,z\,\, - \,\,4 = \,\,0$
- C. $13x\,\, - \,\,2y\,\, - \,\,8z\,\, + \,\,72 = \,\,0$
- D. $13x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,8z\,\, + \,\,72 = \,\,0$
Theo đề bài ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2, - 5, - 2} ight)$
Như vậy, VTPT của (P) là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương $\Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} } ight] = 2\left( {13, - 2, - 8} ight)$
Mp (P) đi qua $A (-2,3,5)$ và nhận vecto $\vec{n_P}(13, -2, -8)$ làm 1 VTPT có phương trình là:
$\Rightarrow \left( P ight):\left( {x + 2} ight)13 + \left( {y - 3} ight)\left( { - 2} ight) + \left( {z - 5} ight)\left( { - 8} ight) = 0$
$\Leftrightarrow 13x - 2y - 8z + 72 = 0$
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 4}{4}$ có phương trình tham số là
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 3t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 4 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 3m \\ y = - 1 + 2m \\ z = 4 - 4m \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( m\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix}x = - 2 + 3\tan t \\y = 1 - 2\tan t \\z = - 4 + 4\tan t \\\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix}x = 2 - 3\cos t \\y = - 1 + 2\cos t \\z = - 4 - 4\cos t \\\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Gọi $\overrightarrow{u}$ vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ , ta chọn $\overrightarrow{u}( - 3;2; - 4)$

Giả sử $M_{0} \in d$ , chọn $M_{0}(2, - 1;4)$ suy ra phương trình tham số d là:

$\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 3m \\ y = - 1 + 2m \\ z = 4 - 4m \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( m\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , khoảng cách từ $A( - 2;1; - 6)$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ là
- A.
  $6$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{41}}$
Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(Oxy):z = 0$ là:

$d\left( A;(Oxy) ight) = \frac{| - 6|}{\sqrt{1}} = 6$
Câu 8: Nhận biết
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua ba điểm $A\left( {\,2,\,\,0,\,\,3\,} ight);\,\,\,B\left( {\,4,\,\, - 3,\,\,2\,} ight);\,\,\,C\left( {\,0,\,\,2,\,\,5\,} ight)$
- A. $2x\,\, + \,\,y\,\, + \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
- B. $2x\,\, + \,\,y\,\, - \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
- C. $2x\,\, - \,\,y\,\, - \,\,z\,\, + \,\,7 = \,\,0$
- D. $x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
Theo đề bài, ta có cặp vecto chỉ phương của $\left( P ight):\overrightarrow {AB} = \left( {2, - 3, - 1} ight);\overrightarrow {AC} = \left( { - 2,2,2} ight)$
Từ đó, ta suy ra vecto pháp tuyến của (P) là tích có hướng của 2 VTCP của
$\left( P ight):\overrightarrow n = \left( { - 4, - 2, - 2} ight) = - 2\left( {2,1,1} ight)$
Mp (P) đi qua $A (2,0,3)$ và nhận vecto có tọa độ $(2,1,1)$ làm 1 VTPT có phương trình là:
$\Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)2 + y.1 + \left( {z - 3} ight).1 = 0$
$\Leftrightarrow 2x + y + z - 7 = 0$
Câu 9: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 2; - 1),B\left( - \frac{4}{3}; - \frac{8}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ và vuông góc với mặt phẳng $(OAB)$ . Hỏi $\Delta$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $Q(5; - 1;5)$
- B.
  $N(3;0;2)$
- C.
  $M(1; - 1;1)$
- D.
  $P( - 5; - 4;5)$
Ta có: $OA = 3,OB = 4,AB = 5$

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ .

$\left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{AB.x_{O} + OB.x_{A} + OA.x_{B}}{AB + OB + OA} \\ y_{I} = \frac{AB.y_{O} + OB.y_{A} + OA.y_{B}}{AB + OB + OA} \\ z_{I} = \frac{AB.z_{O} + OB.z_{A} + OA.z_{B}}{AB + OB + OA} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{5.0 + 4.2 + 3.\left( - \frac{4}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\ y_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 2) + 3.\left( - \frac{8}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\ z_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 1) + 3.\frac{8}{3}}{5 + 4 + 3} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{1}{3} \\ y_{I} = - \frac{4}{3} \\ z_{I} = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I\left( \frac{1}{3}; - \frac{4}{3};\frac{1}{3} ight)$

$\left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 8; - 4; - 8) = - 4(2;1;2)$

Phương trình đường thẳng $\Delta:\frac{x - \frac{1}{3}}{2} = \frac{y + \frac{4}{3}}{1} = \frac{z - \frac{1}{3}}{2}$

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 1).
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa các điểm $A(1; - 3;3),B(2; - 4;5),C(a; - 2;b)$ và tam giác đó nhận điểm $G(1;c;3)$ làm trọng tâm. Xác định giá trị biểu thức $P = a + b + c$ ?
- A.
  $P = - 5$
- B.
  $P = 3$
- C.
  $P = 1$
- D.
  $P = - 2$
Vì tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1 + 2 + a}{3} = 1 \\\dfrac{- 3 - 4 - 2}{3} = c \\\dfrac{3 + 5 + b}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 0 \\b = 1 \\c = - 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a + b + c = - 2$
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(3;4;5)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 2z - 3 = 0$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$ . Tìm tọa độ điểm $H$ ?
- A.
  $H(1;2;2)$
- B.
  $H(2;5;3)$
- C.
  $H(6;7;8)$
- D.
  $H(2; - 3; - 1)$
Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên (P) nên $H(3 + t;4 - t;5 + 2t)$

Điểm H thuộc mặt phẳng (P) nên ta có phương trình:

$(3 + t) - (4 - t) + 2(5 + 2t) - 3 = 0$

$\Leftrightarrow t = - 1 \Leftrightarrow H = (2;5;3)$
Câu 12: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(4;2;5),B(0;4; - 3),C(2; - 3;7)$ . Biết điểm $M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $P = x + y + z$ .
- A.
  $P = 0$
- B.
  $P = 6$
- C.
  $P = 3$
- D.
  $P = - 3$
Vì M ∈ (Oxy) nên $M(x;y;0)$ .

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có G(2; 1; 3).

Khi đó:

$\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = \left| \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight|$

$= \left| 3\overrightarrow{MG} ight| = 3MG = 3\sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + 3^{2}} \geq 9$

Dấu “=” xảy ra khi x= 2 và y= 1 hay M(2; 1; 0).

Vậy P = 3
Câu 13: Thông hiểu
Cho hai đường thẳng $\left( {d'} ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 1 + t\\z = - 2 - t\end{array} ight.\,\,;\,\,\,\,\,\left( {d''} ight)\left\{ \begin{array}{l}x = m - 3\\y = 2 + 2m\\z = 1 - 4m\end{array} ight.\,\,;t,\,\,m \in \mathbb{R}$
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua (d’)và song song với (d’’).
- A. $x + 7y + 5z - 20 = 0$
- B. $2x + 9y + 5z - 5 = 0$
- C. $x - 7y - 5z = 0$
- D. $x - 7y + 5z + 20 = 0$
Vì (P) đi qua (d’) nên (P) nhận VTCP của (d’) làm 1 VTCP
$VTCP\left( P ight):\overrightarrow a = \left( { - 2,1, - 1} ight)$
Vì (P) song song với (d’’) nên (P) có VTCP thứ hai là :
$VTCP\left( P ight):\overrightarrow b = \left( {1,2, - 4} ight)$
Từ đây, ta suy ra VTPT của (P) chính là tích có hướng của 2 VTCP và :
$VTPT\left( P ight):\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = \left( {2,9,5} ight)$
Lấy điểm A(3,1,-2) trên đường thẳng (d’) mà (d’) nằm trong (P) nên ta có được A cũng phải thuộc (P):
$\begin{array}{l}A\left( {3,1, - 2} ight) \in \left( P ight) \Rightarrow \left( {x - 3} ight)2 + \left( {y - 1} ight)9 + \left( {z + 2} ight)5 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \left( P ight):2x + 9y + 5z - 5 = 0\end{array}$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(P):ax + by + cz - 27 = 0$ đi qua hai điểm $A(3;2;1),B( - 3;5;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):3x + y + z + 4 = 0$ . Tính tổng $S = a + b + c$ .
- A.
  $S = - 12$
- B.
  $S = 2$
- C.
  $S = - 4$
- D.
  $S = - 2$
Từ giả thiết ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} 3a + 2b + c - 27 = 0 \\ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0 \\ 3a + b + c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 27 \\ c = - 45 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow S = a + b + c = - 12$
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Khi đó $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}$ bằng.
- A.
  $4\overrightarrow{OS}$ .
- B.
  $4\overrightarrow{SO}$ .
- C.
  $2\overrightarrow{SO}$ .
- D.
  $3\overrightarrow{SO}$ .
Do $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$ nên $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ .

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có

$\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}$

$= \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OD} ight)$

$= 4\overrightarrow{SO}$
Câu 16: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 1;2),B( - 2;0;3)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$ . Sai||Đúng

b) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB} = ( - 3;1;1)$ . Đúng||Sai

c) Điểm $A'$ là hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ thì $\overrightarrow{AA'} = (0;0;2)$ . Sai||Đúng

d) Tọa độ điểm $C$ để tứ giác $OABC$ là hình bình hành là $C(1;1; - 3)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 1;2),B( - 2;0;3)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$ . Sai||Đúng

b) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB} = ( - 3;1;1)$ . Đúng||Sai

c) Điểm $A'$ là hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ thì $\overrightarrow{AA'} = (0;0;2)$ . Sai||Đúng

d) Tọa độ điểm $C$ để tứ giác $OABC$ là hình bình hành là $C(1;1; - 3)$ . Sai||Đúng

a) Điểm $A(1; - 1;2) \Rightarrow \overrightarrow{OA} = (1; - 1;2) \Rightarrow \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$ .

b) $\overrightarrow{AB} = ( - 2 - 1;0 + 1;3 - 2) = ( - 3;1;1)$ .

c) $A'$ là hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ nên $A'(1; - 1;0)$ .

Suy ra $\overrightarrow{AA'} = (0;0; - 2)$ .

d) Gọi $C(x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{OC} = (x;y;z)$ .

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 3;1;1)$ .

Tứ giác $OABC$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 3 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow C( - 3;1;1).$
Câu 17: Vận dụng cao
Cho hai đường thẳng chéo nhau $\left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight.$ và $\left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.$
Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:
- A. $x + 5y - 2z + 12 = 0$
- B. $x - 5y + 2z - 12 = 0$
- C. $x + 5y + 2z - 12 = 0$
- D. $x - 5y - 2z + 12 = 0$
Phương trình (d) cho biết $A(2, 1, 0) \in (d)$ và (d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)$
Chuyển $(\triangle )$ về dạng tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight.$ để có $B(2, 3, 0) \in (\triangle )$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight)$ .
Gọi I là trung điểm AB thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ $\in (P)$ .
$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0$ là phương trình của mặt phẳng (P).
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{25}$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{5}$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{25}$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{5}$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}$
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ các điểm $A(1;2;0),B(2;1;1),C(0;3; - 1)$ . Cho các khẳng định sau:

(I) $BC = 2AB$ .

(II) $B \in AC$ .

(III) Ba điểm $A;B;C$ tạo thành một tam giác.

(IV) Ba điểm $A;B;C$ thẳng hàng.

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng.
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1;1) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 1;1; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AB}$ nên $A$ là trung điểm của $BC$ và ba điểm $A;B;C$ thẳng hàng.

Vậy có 2 khẳng định sai và 2 khẳng định đúng.
Câu 20: Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tứ diện $ABCD$ với $A(1;1;1)B(2;0;2),$ $C( - 1; - 1; -0),D(0;3;4)$ . Trên các cạnh $AB,AC,AD$ lần lượt lấy các điểm $B',C',D'$ sao cho $\frac{AB}{AB'} + \frac{AC}{AC'} +\frac{AD}{AD'} = 4$ . Viết phương trình mặt phẳng $(B'C'D')$ biết tứ diện $AB'C'D'$ có thể tích nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tứ diện $ABCD$ với $A(1;1;1)B(2;0;2),$ $C( - 1; - 1; -0),D(0;3;4)$ . Trên các cạnh $AB,AC,AD$ lần lượt lấy các điểm $B',C',D'$ sao cho $\frac{AB}{AB'} + \frac{AC}{AC'} +\frac{AD}{AD'} = 4$ . Viết phương trình mặt phẳng $(B'C'D')$ biết tứ diện $AB'C'D'$ có thể tích nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

31 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!