Trong không gian
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
thỏa mãn hệ thức
?
Ta có:
Trong không gian
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
thỏa mãn hệ thức
?
Ta có:
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho tam giác
có phương trình đường phân giác trong góc
là
. Biết rằng điểm
thuộc đường thẳng
và điểm
thuộc đường thẳng
. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
Hình chiếu H của M trên đường phân giác trong góc A có tọa độ:
M’ là điểm đối xứng của M qua H. Từ đây ta tìm được tọa độ M’(1; 3; 6).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC chính là vecto .
Suy ra, đường thẳng AC có một vectơ chỉ phương là (0; 1; 3)
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Biết điểm
nằm trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
?
Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm
. Biết điểm
nằm trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
?
Trong không gian Oxyz, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
qua A và nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
.
Trong hệ tọa độ
, cho đường thẳng
có vectơ chỉ phương
và mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
vuông góc
thì d có thể nằm trong
.
song song
thì
vuông góc
.
vuông góc
thì
cùng phương
.
Trong không gian
, đường thẳng đi qua hai điểm
và
có phương trình tham số là:
Ta có:
Đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; −3) và B(2; −3; 1) có phương trình tham số là
Với t = −2, ta được M(3; −8; 5) thuộc đường thẳng AB. Khi đó, đường thẳng AB có phương trình tham số .
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Đặt
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy khẳng định đúng .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho vectơ
. Khi đó tọa độ của
là.
Do .
Cho M trên đường thẳng AB với
và
. Nếu
với
thì tọa độ của M là:
Vì M nằm trên AB và nên khi xét theo tọa độ vecto 2 điểm A và B, ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và đường thẳng
. Điểm
thuộc
là điểm thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
bằng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: có một vectơ chỉ phương là
Ta có cùng phương với
Mà đồng phẳng.
Xét mặt phẳng chứa và
. Gọi
là điểm đối xứng của
qua
là mặt phẳng qua
, vuông góc với
.
Khi đó, giao điểm của
với
là trung điểm của
.
có 1 vectơ pháp tuyến
đi qua
có phương trình:
Giả sử
.
Ta có khi và chỉ khi
trùng với
là giao điểm của
và
.
.
Cho tam giác
. Lấy điểm
nằm ngoài mặt phẳng
. Trên đoạn
lấy điểm
sao cho
và trên đoạn
lấy điểm
sao cho
. Biết biểu diễn
là duy nhất. Tính giá trị biểu thức
?
Hình vẽ minh họa
Theo giả thiết ta có: ;
Lấy điểm P trên cạnh AC sao cho . Khi đó:
Cho tứ giác ABCD có
. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (BCD) và chia tứ diện thành hai khối AMNF và MNFBCD có tỉ số thể tích bằng
.
Tỷ số thể tích hai khối AMNE và ABCD:
M chia cạnh BA theo tỷ số -2
Vecto pháp tuyến của
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
và
, chứa điểm
là:
Vì mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
và
nên thuộc chùm mặt phẳng
Mặt khác, ta có
Thế vào .
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và
là
Lấy .
Vì nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q).
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho hình thang
vuông tại
và
. Biết rằng tọa độ các điểm
và hình thang
có diện tích bằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hình thang
vuông tại
và
. Biết rằng tọa độ các điểm
và hình thang
có diện tích bằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian
, cho các điểm
. Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng
?
Ta có
là 1 VTPT của mặt phẳng (ABC).
Do đó đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) có VTPT cùng phương với vectơ (−2; −1; 1).
Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D đường thẳng có 1 VTPT là (−2; 1; 1) cùng phương với (−2; −1; 1).
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
và mặt phẳng
. Gọi M là điểm thuộc (P) sao cho
vuông tại M . Khoảng cách từ M đến (Oxy) bằng:
Ta có: suy ra M thuộc mặt cầu (S) đường kính AB.
Gọi I là trung điểm AB , khi đó và
.
Ta tính được suy ra (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau hay M là tiếp điểm của (P) và (S). Vậy M là hình chiếu của I trên (P) .
Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) là:
Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
suy ra .
Suy ra .
Cho hai đường thẳng (d1 ):
và ![]()
Xét VTTĐ của (d1 ) và (d2 )? Tìm câu đúng ?
Chuyển đường thẳng (d1 ) và (d2 ) về dạng tham số :
có vectơ chỉ phương
và qua
.
có vectơ chỉ phương
và hệ phương trình
vô nghiệm.
.