Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho hai điểm $A(5;1;3)$ và $H(3; - 3; - 1)$ . Tọa độ điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua $H$ là:
- A.
  $( - 1;7;5)$ .
- B.
  $(1;7;5)$ .
- C.
  $(1; - 7; - 5)$ .
- D.
  $(1; - 7;5)$ .
Vì điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua $H$ nên $H$ là trung điểm của $AA'$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{A'} = 2x_{H} - x_{A} = 1 \\ y_{A'} = 2y_{H} - y_{A} = - 7 \\ z_{A'} = 2z_{H} - z_{A} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'(1; - 7; - 5)$
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $\overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4)$ . Gọi $\overrightarrow{x}$ là vectơ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = 4 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 8 \\ \end{matrix} ight.$ . Tìm tọa độ $\overrightarrow{x}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{x} = (2;3;1)$
- B.
  $\overrightarrow{x} = (2;3; - 2)$
- C.
  $\overrightarrow{x} = (1;3;2)$
- D.
  $\overrightarrow{x} = (3;2; - 2)$
Giả sử $\overrightarrow{x} = (x;y;z)$ , khi đó:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = 4 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - y + 3z = 4 \\ x - 3y + 2z = - 5 \\ 3x + 2y - 4z = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{x} = (2;3;1)$
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4}$ và $d_{2}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $2x + 3y - 9 = 0,y + 2z + 5 = 0$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng là:
- A.
  Song song
- B.
  Chéo nhau
- C.
  Cắt nhau
- D.
  Trùng nhau
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + 3y - 9 = 0 \\ y + 2z + 5 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Cho $y = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(3;1; - 3) \in d_{2\ }$

Cho $y = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ z = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(0;3; - 4) \in d_{2}$

Đường thẳng d₁ đi qua M (1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1;4)$

Đường thẳng d₂ đi qua A (3; 1; −3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}} = ( - 3;2; - 1) = \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} = (2; - 6; - 6)$

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 9; - 10;7)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack\overrightarrow{AM} = - 2.9 + 6.10 - 6.7 = 0$

Do đó vị trí tương đối của hai đường thẳng là cắt nhau.
Câu 4: Nhận biết
Cho hai đường thẳng $a$ và $a'$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{u'}$ . Nếu $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $a'$ thì:
- A.
  $\varphi = \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
- B.
  $\varphi = \pi - \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
- C.
  $\cos\varphi = \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
- D.
  $\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$
Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là $\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$ .
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{a} = (2;3;2);\overrightarrow{b} = (1;1; - 1)$ . Khi đó tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ là:
- A.
  $(3;4;1)$
- B.
  $( - 1; - 2;3)$
- C.
  $(3;5;1)$
- D.
  $(1;2;3)$
Ta có:

$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2 - 1;3 - 1;2 + 1) = (1;2;3)$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2;1),B(3; - 1;5)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $AB$ và hợp với các trục tọa độ một tứ diện có thể tích bằng $\frac{3}{2}$ là
- A.
  $2x - 3y + 4z - 3 = 0$
- B.
  $2x - 3y + 4z + 3 = 0$
- C.
  $2x - 3y + 4z \pm 12 = 0$
- D.
  $2x - 3y + 4z \pm 6 = 0$
Ta có $\overrightarrow{AB} = (2; - 3;4) \Rightarrow (P):2x - 3y + 4z + m = 0$

Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox, Oy, Oz

Suy ra $M\left( - \frac{m}{2};0;0 ight),N\left( 0;\frac{m}{3};0 ight),P\left( 0;0;\frac{- m}{4} ight)$

Ta có thể tích tứ diện $V_{O.MNP} = \frac{1}{6}.\left| \frac{m^{3}}{24} ight| = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = \pm 6$

Vậy đáp án cần tìm là: $2x - 3y + 4z \pm 6 = 0$
Câu 7: Vận dụng
Cho hai vectơ $\overrightarrow V = \,m\overrightarrow a \,\, - \,\,2\overrightarrow b$ và $\overrightarrow W = \,m\overrightarrow b \,\, - \,\,\overrightarrow a$ với $\overrightarrow a = \left( {2,\,1,\, - 1} ight)$ và $\overrightarrow b = \left( {1,\, - 2,\,1} ight)$ .Tìm m để $\overrightarrow V$ và $\overrightarrow W$ vuông góc.
- A. $- 3 \pm \sqrt 7$
- B. $3 \pm \sqrt 7$
- C. $9 \pm \sqrt {79}$
- D. $- 9 \pm \sqrt {79}$
Điều kiện để
$\overrightarrow V$ vuông góc $\overrightarrow W \Leftrightarrow \left( {m\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } ight)\left( {m\overrightarrow b - \overrightarrow a } ight) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 ight)$
Với ${\overrightarrow a ^2} = 6;\,{\overrightarrow b ^2} = 6;\,\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 1$
$\begin{array}{l}\left( 1 ight) \Leftrightarrow {m^2} + 18m + 2 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = - 9 \pm \sqrt {79} \end{array}$
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua $C$ và song song với $AB$ có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{BA} = (1;2;1)$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P):x + 2y + 2z - 10 = 0$ và $(Q):x + 2y + 2z - 3 = 0$ bằng:
- A.
  $\frac{8}{3}$
- B.
  $\frac{7}{3}$
- C.
  $3$
- D.
  $\frac{4}{3}$
Dựa vào phương trình $(P);(Q)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1;2;2)$ nên $(P)//(Q)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\left| \overrightarrow{n} ight| = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 3 \\d\left( O;(P) ight) = \dfrac{10}{3} \\d\left( O;(Q) ight) = \dfrac{3}{3} = 1 \\\end{matrix} ight.$ suy ra $d\left( (P);(Q) ight) = d\left( O;(P) ight) - d\left( O;(Q) ight) = \frac{7}{3}$
Câu 10: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba mặt phẳng $(P):x - 2y + z - 1 = 0;$ $(Q):x - 2y + z + 8 =0;$ $(R):x - 2y + z - 4 = 0$ . Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt $(P),(Q),(R)$ lần lượt tại $A,B,C$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}}$ .
- A.
  $T_{\min} = 24$
- B.
  $T_{\min} = 36$
- C.
  $T_{\min} = 72$
- D.
  $T_{\min} = 144$
Dễ dàng nhận thấy (P)//(Q)//(R).

Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ cắt (P) tại H và cắt (Q) tại K.

Ta có $BH = d\left( (Q),(P) ight) = 9;HK = d\left( (P),(R) ight) = 3$

Khi đó ta có:

$T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}} \geq 2\sqrt{AB^{2}.\frac{144}{AC^{2}}} = 24.\frac{AB}{AC} = 24.\frac{BH}{HK} = 24.\frac{9}{3} = 72$

Vậy $T_{\min} = 72$ .
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , khoảng cách từ $A( - 2;1; - 6)$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ là
- A.
  $6$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{41}}$
Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(Oxy):z = 0$ là:

$d\left( A;(Oxy) ight) = \frac{| - 6|}{\sqrt{1}} = 6$
Câu 12: Vận dụng cao
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A(1;4;5), B(3;4;0), C(2;-1;0)$ và mặt phẳng $(P): 3x-3y-2z-12=0$ . Gọi $M(a; b; c)$ thuộc $(P)$ sao cho $MA^2+MB^2+3MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $a+b+c$ .
- A. 3
- B. 2
- C. - 2
- D. - 3
Giả sử $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\vec{0}$ .
Khi đó $\overrightarrow{IA}(1-x;4-y;5-z)$ , $\overrightarrow{IB}(3-x;4-y;-z)$ , $\overrightarrow{IC}(2-x;-1-y;-z)$ ;
$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=(10-5x;5-5y;5-5z);$ ;
$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 \\ y=1 \\ z=1 \end{matrix}ight. \Rightarrow I (2;1;1)$ ;
$MA^2+MB^2+3MC^2 = \overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MB}^2+3\overrightarrow{MC}^2$
$= (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2+3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})^2$
$=5MI^2+2\vec{MI}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC})+IA^2+IB^2+IC^2$
$=5MI^2+IA^2+IB^2+IC^2$ (vì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\vec{0}$ )
Vì I cố định nên $MA^2+MB^2+3MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên $(P)$ .
Gọi $\triangle$ là đường thẳng qua I và vuông góc với $(P)$
Phương trình đường thẳng $\triangle:\left\{\begin{matrix} x=2+3t \\ y=1-3t \\ z=1-2t \end{matrix}ight.$ .
Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x=2+3t \\ 1-3t \\ z=1-2t \\3x-3y-2z-12=0 \end{matrix}ight. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} t=\dfrac{1}{2} \\ x=\dfrac{7}{2} \\ y=\dfrac{-1}{2} \\ z=0\end{matrix}ight.$
$\Rightarrow M(\frac{7}{2};\frac{-1}{2};0) \Rightarrow a+b+c=3$ .
Câu 13: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M( - 1;0;3)$ . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho $3OA = 2OB = OC eq 0$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $8$
- C.
  $4$
- D.
  $2$
Từ giả thiết, ta có thể coi $A(2a;0;0),B(0;3b;0),C(0;0;6c)$ (với $|a| = |b| = |c| eq 0$ ).
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là $\frac{x}{2a} + \frac{y}{3b} + \frac{z}{6c} =1$ .
Do (P) đi qua M(−1; 0; 3) nên $-\frac{1}{2a} + \frac{1}{2c} = 1$ .
Theo trên có c = ±a, kết hợp với phương trình vừa thu được, ta suy ra a = −1, c = 1.
Cũng theo trên, b = ±a, nên có 2 giá trị của b.
Suy ra có 2 bộ (a, b, c) thỏa mãn, hay có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 14: Nhận biết
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua $A(2,-1,3), B (3, 1, 2)$ và song song với vectơ $\overrightarrow a = \left( {3, - 1, - 4} ight)$ là:
- A. $9x+y-7z+40=0$
- B. $9x-y+7z-40=0$
- C. $9x-y-7z+40=0$
- D. $9x+y+7z-40=0$
Theo đề bài, ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1,2, - 1} ight);\left[ {\overrightarrow {AB} \overrightarrow {,a} } ight] = \overrightarrow n = \left( { - 9,1, - 7} ight)$
Chọn $\overrightarrow n = \left( {9, - 1,7} ight)$ làm 1 vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng : $9x - y + 7z + D = 0$
Mà mp lại qua A nên $9.2 - ( - 1) + 7.3 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 40$
Phương trình cần tìm là: $9x - y + 7z - 40 = 0$ .
Câu 15: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB = AC$ và $\widehat{SAB} = \widehat{SAC}$ . Góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có:

$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AS} = \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight).\overrightarrow{AS}$

$= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AS} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AS}$

$= AC.AS.\cos\widehat{SAC} -AB.AS.\cos\widehat{SAB} = 0$ (vì $AB = AC$ và $\widehat{SAB} = \widehat{SAC}$ ).

Suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng $90^{0}$ .
Câu 16: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x - y + z - 3 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\beta)$ sao cho phép đối xứng qua mặt phẳng $(Oxy)$ biến mặt phẳng $(\alpha)$ thành mặt phẳng $(\beta)$ .
- A.
  $(\beta):x + y - z + 3 = 0$
- B.
  $(\beta):x - y - z + 3 = 0$
- C.
  $(\beta):x + y + z - 3 = 0$
- D.
  $(\beta):x - y - z - 3 = 0$
Tọa độ giao điểm của mặt phẳng (α) với các trục tọa độ là $A(3;0;0),B(0; - 3;0),C(0;0;3)$ .

Ta có $A; B ∈ (Oxy)$ và $C ∈ Oz$ .

Kí hiệu Đ(Oxy) là phép đối xứng qua mặt phẳng Oxy.

Ta có $Đ(Oxy):(\alpha) ightarrow (\beta) \Rightarrow Đ(Oxy):(A;B;C) ightarrow (A;B;C')$ , (ảnh của A, B trùng với chính nó vì $A,B \in (Oxy)$ ).

Do C’ đối xứng với $C(0;0;3)$ qua mặt phẳng Oxy, suy ra $C'(0;0; - 3)$

Từ đó suy ra mặt phẳng (β) có phương trình theo đoạn chắn là:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{- 3} = 1 \Leftrightarrow (\beta):x - y - z - 3 = 0$
Câu 17: Nhận biết
Hai đường thẳng $({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x - y - z - 7 = 0\\3x - 4y - 11 = 0\end{array} ight.$ và $({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z + 1 = 0\\x + y + 1 = 0\end{array} ight.$ cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của A là:
- A. A (1, - 2, - 4)
- B. A (-1, - 2, - 4)
- C. A (1, 2, - 4)
- D. A (1, - 2, 4)
Để tìm được A là giao điểm của 2 đường thẳng, ta sẽ xét và giải hệ PT giữa chúng.
Từ phương trình của $({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x - y - z - 7 = 0\\3x - 4y - 11 = 0\end{array} ight.$ ,tính x,y theo z được
$\left\{ \begin{array}{l}x = 4z + 17\\y = 3z + 10\end{array} ight.$
Thế vào phương trình của $({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z + 1 = 0\\x + y + 1 = 0\end{array} ight.$ , được z = - 4 .
Từ đó suy ra x = 1, y = - 2
$\Rightarrow A(1, - 2, - 4)$
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):2x + y - z - 3 = 0$ và $(Q):x + y + z - 1 = 0$ . Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng $(P),(Q)$ là:
- A.
  $\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 1}{1}$
- B.
  $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
- C.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
- D.
  $\frac{x}{2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z - 1}{- 1}$
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + y - z - 3 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2z - 2 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2z + 2 \\ y = - 3z - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Đặt $z = t$ ta suy ra $x = 2t + 2,y = - 3t - 1$ .

Từ đó ta thu được phương trình đường thẳng: $d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z}{1}$

Xét điểm $A(2; - 1;0) \in d$ , ta thấy $A$ chỉ thuộc đường thẳng: $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
Câu 19: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(1; 0; 0), B(3; 2; 1)$ , $C\left( - \frac{5}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng $(ABC)$ nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng $(MAB),(MBC),(MCA)$ hợp với mặt phẳng $(ABC)$ các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.
- A.
  $\frac{\sqrt{26}}{3}$
- B.
  $\frac{5}{3}$
- C.
  $\sqrt{3}$
- D.
  $\frac{\sqrt{28}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).

Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn

$BC.\overrightarrow{HA} + AC.\overrightarrow{HB} + AB.\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}$

Ta có $AB = 3, AC = 4, BC = 5$ , suy ra

$\left\{ \begin{matrix} 5(x - 1) + 4(x - 3) + 3x + 5 = 0 \\ 5y + 4(y - 2) + 3y - 4 = 0\ \\ 5z + 4(z - 1) + 3z - 8 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow H(1;1;1)$

Phương trình đường thẳng MH nhận $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{ABC}}$ làm vectơ chỉ phương nên MH là: $\left\{ \begin{matrix} x\ = \ 1\ + \ t \\ y\ = \ 1\ - \ 2t \\ z\ = \ 1\ + \ 2t \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó: $OM_{\min} = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MH};\overrightarrow{OH} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{MH} ight|} = \frac{\sqrt{26}}{3}$
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k}$ . Tọa độ điểm $A$ là:
- A.
  $(0;1; - 2)$
- B.
  $(1; - 2;0)$
- C.
  $(1;0; - 2)$
- D.
  $(0; - 1;2)$
Ta có: $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} \Leftrightarrow A(0;1; - 2)$

76 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!