Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Hai đường thẳng \left( {d'} ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = - 3m - t\\z = 2t - 1\end{array} ight.và \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2m\\y = m + 2\\z = - m\end{array} ight.với cắt nhau tại M có tọa độ là :

     

    Để (d’) cắt (d) tại M \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + 4t = 4 - 2m\\ - 3 - t = m + 2\\2t - 1 = - m\end{array} ight. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t + m = 1\\t + m = - 5\end{array} ight. \\\Leftrightarrow t = 6;m = - 11

    \Rightarrow M\left( {26, - 9,11} ight)

     

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;1;1)B(2;0;2),C( - 1; - 1; -0),D(0;3;4). Trên các cạnh AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao cho \frac{AB}{AB'} + \frac{AC}{AC'} +\frac{AD}{AD'} = 4. Viết phương trình mặt phẳng (B'C'D') biết tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;1;1)B(2;0;2),C( - 1; - 1; -0),D(0;3;4). Trên các cạnh AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao cho \frac{AB}{AB'} + \frac{AC}{AC'} +\frac{AD}{AD'} = 4. Viết phương trình mặt phẳng (B'C'D') biết tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng (d1 ): \left\{ \begin{array}{l}x - y + z - 5 = 0\\x - 3y + 6 = 0\end{array} ight. và ({d_2})\left\{ \begin{array}{l}2y + z - 5 = 0\\4x - 2y + 5z - 4 = 0\end{array} ight.

    Xét VTTĐ của (d1 ) và (d2 )? Tìm câu đúng ?

    Chuyển đường thẳng (d1 ) và (d2 ) về dạng tham số :

    ({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 + 3t\\y = t\\z = 11 - 2t\end{array} ight. \Rightarrow ({d_1}) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = (3,1, - 2) và qua A( - 6,0,11) .

    ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{15}}{4} - 3t'\\y = 3 - t'\\z = - 1 + 2t'\end{array} ight. \Rightarrow \left( {{d_2}} ight) có vectơ chỉ phương \overrightarrow b = (\frac{{15}}{4},3, - 1)

    \overrightarrow a earrow \swarrow \overrightarrow bvà hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} - 6 + 3t = \frac{{15}}{4} - 3t'\\t = 3 - t'\\11 - 2t = - 1 + 2t'\end{array} ight. vô nghiệm.

    \Rightarrow ({d_1})//(d_{2} ).

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD có A(3, -2,1), B\left( { - 4,0,3} ight),C\left( {1,4, - 3} ight),D\left( {2,3,5} ight). Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là:

    Theo đề bài, ta có các vecto là

    \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \left( { - 2,6, - 4} ight);\overrightarrow {BD} = \left( {6,3,2} ight)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } ight] = \left( {24, - 20, - 42} ight).\end{array}

    Có thể chọn \overrightarrow n = \left( {12, - 10, - 21} ight) làm một vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng.

    Phương trình mặt phẳng này có dạng 12x - 10y - 21z + D = 0.

    Mặt khác, điểm A thuộc mặt phẳng nên ta thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng trên: 12.3 - 10( - 2) - 21.1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 35

    Vậy phương trình cần tìm 12x - 10y - 21z - 35 = 0.

  • Câu 5: Nhận biết

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(2; - 1;0) trên mặt phẳng (Oxz) là:

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(2; - 1;0) trên mặt phẳng (Oxz) là điểm có tọa độ (2;0;0).

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tích tất cả giá trị của a để góc tạo bởi đường thẳng \left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight. và đường thẳng 3x + 4y - 2 = 0 bằng 45^{0} là:

    Đáp án: -4||- 4

    Đáp án là:

    Tích tất cả giá trị của a để góc tạo bởi đường thẳng \left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight. và đường thẳng 3x + 4y - 2 = 0 bằng 45^{0} là:

    Đáp án: -4||- 4

    Gọi \varphi là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

    Đường thẳng \left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}\ \ \ \ (t\mathbb{\in R}) ight. có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (a; - 2).

    Đường thẳng 3x + 4y - 2 = 0 có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{v} = (4; - 3).

    Ta có:

    \cos\varphi = |cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|

    \Leftrightarrow cos45^{0} = \frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}

    \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|4a + 6|}{5\sqrt{a^{2} + 4}}

    \Leftrightarrow 5\sqrt{a^{2} + 4} = \sqrt{2}|4a + 6|

    \Leftrightarrow 25a^{2} + 100 = 32a^{2} + 96a + 72

    \Leftrightarrow 7a^{2} + 96a - 28 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{2}{7} \\a = - 14 \\\end{matrix}. ight.

    Vậy tích tất cả các giá trị của tham số a bằng -4.

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho A(1;\ \ 1;\ - 2) và B(2;\ \ - 1;\ \ 0). Hãy xác định tọa độ của \overrightarrow{AB}?

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (1;\ - \ 2;\ \ 2)

  • Câu 8: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3},d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = m \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Gọi S là tập hợp tất cả các số m sao cho d_{1},d_{2} chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng \frac{5}{\sqrt{19}}. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

    Vectơ chỉ phương của d_{1},d_{2} là \overrightarrow{u_{1}} = (2;1;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;0)

    Khi đó: \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3;3;1).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa d_{1} song song với d_{2}.

    Tức là, (P) qua A(1;0;0) và nhận \overrightarrow{n} làm vectơ pháp tuyến.

    Ta có phương trình (P):3x - 3y - z - 3 = 0

    Xét điểm B(1;2;m) \in d_{2}. Do d_{1},d_{2} chéo nhau nên B otin (P) \Leftrightarrow m eq - 6.

    Lại có:

    d\left( d_{1};d_{2} ight) = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow d\left( B;(P) ight) = \frac{5}{\sqrt{19}}

    \Leftrightarrow \frac{|3 - 6 - m - 3|}{\sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 11 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng các phần tử của S là - 1 - 11 = - 12.

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hai điểm A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight) và mặt phẳng \left( \beta ight):3x - 2y + z + 9 = 0. Mặt phẳng (\alpha) chứa hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (\beta) có phương trình:

    Theo đề bài, ta có: A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight) ; \left( \beta ight):3x - 2y + z + 9 = 0.

    Suy ra \overrightarrow {AB} = \left( {3, - 5, - 2} ight); (\beta) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow n = \left( {3, - 2,1} ight)

    Ta có \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } ight] = \left( { - 9, - 9,9} ight) cùng phương với vectơ \overrightarrow p = \left( {1,1, - 1} ight)

    Chọn \vec{p} làm 1 vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng (\alpha) .

    Phương trình mặt phẳng (\alpha) có dạng: x + y - z + D = 0

    A \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow - 2 + 3 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2

    Mặt phẳng :(\alpha): x + y - z - 2 = 0

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với tọa độ các điểm A(1;0; - 2),B( - 2;3;4),C(4; - 6;1).

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác là (1; - 1;1). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{AB} = (3; - 3;6),\overrightarrow{AC} = ( - 3;6; - 3). Sai||Đúng

    c) Tam giác ABC là tam giác cân. Đúng||Sai

    d) Nếu ABDC là hình bình hành thì tọa độ điểm D là (7; - 9; - 5). Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với tọa độ các điểm A(1;0; - 2),B( - 2;3;4),C(4; - 6;1).

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác là (1; - 1;1). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{AB} = (3; - 3;6),\overrightarrow{AC} = ( - 3;6; - 3). Sai||Đúng

    c) Tam giác ABC là tam giác cân. Đúng||Sai

    d) Nếu ABDC là hình bình hành thì tọa độ điểm D là (7; - 9; - 5). Sai||Đúng

    a) Đúng.

    Trọng tâm tam giác có tọa độ là:

    \left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = 1 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = - 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(1; - 1;1)

    b) Sai. Vì \overrightarrow{AB} = ( - 3;3;6),\overrightarrow{AC} = (3; - 6;3)

    c) Đúng. Do AB = AC = 3\sqrt{6} nên tam giác ABC cân tại A.

    d) Sai. Gọi D(x;y;z), vì ABCD là hình bình hành nên

    \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow ( - 3;3;6) = (x - 4;y + 6;z - 1)

    \Leftrightarrow (x;y;z) = (1; - 3;7)

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi (\alpha) là mặt phẳng chứa đường thẳng (\beta):\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z}{2} và vuông góc với mặt phẳng (\beta):x + y - 2z + 1 = 0. Hỏi giao tuyến của (\alpha) và (\beta) đi qua điểm nào dưới đây?

    Ta có: (\alpha):\left\{ \begin{matrix} d \subset (\alpha)\ \\ (\beta)\bot(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A(2;3;0) \in d \Rightarrow A \in (\alpha)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}}\bot\overrightarrow{u_{d}} = (1;1;2)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}}\bot\overrightarrow{n_{\beta}} = (1;1; - 2) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A(2;3;0) \in (\alpha)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{\beta}} ightbrack = ( - 4;4;0) \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra (\alpha):x - y + 1 = 0

    Khi đó giao tuyến thỏa hệ \left\{ \begin{matrix} x - y + 1 = 0 \\ x + y - 2z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Thay các phương án vào hệ, ta nhận phương án (2;3;3).

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hai vectơ \overrightarrow V = \,m\overrightarrow a \,\, - \,\,2\overrightarrow bvà \overrightarrow W = \,m\overrightarrow b \,\, - \,\,\overrightarrow avới \overrightarrow a = \left( {2,\,1,\, - 1} ight) và \overrightarrow b = \left( {1,\, - 2,\,1} ight).Tìm m để \overrightarrow V và \overrightarrow W vuông góc.

     Điều kiện để

    \overrightarrow V vuông góc \overrightarrow W \Leftrightarrow \left( {m\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } ight)\left( {m\overrightarrow b - \overrightarrow a } ight) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 ight)

    Với {\overrightarrow a ^2} = 6;\,{\overrightarrow b ^2} = 6;\,\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 1

    \begin{array}{l}\left( 1 ight) \Leftrightarrow {m^2} + 18m + 2 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = - 9 \pm \sqrt {79} \end{array}

  • Câu 13: Vận dụng

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng \left( Q ight):2x - y + z + 2 = 0;\,\,\,\,\,\,\left( R ight):x + y - z - 3 = 0  và vuông góc với mặt phẳng \left( S ight):x - 3y + z - 4 = 0

    Theo đề bài, (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng \left( Q ight):2x - y + z + 2 = 0;\,\,\,\,\,\,\left( R ight):x + y - z - 3 = 0 nên (P) có dạng là 

    \begin{array}{l}\left( P ight):2x - y + z + 2 + m\left( {x + y - z - 3} ight) = 0,\,\,m \in \mathbb{R} \\ \Leftrightarrow \left( P ight):\left( {m + 2} ight)x + \left( {m - 1} ight)y + \left( {1 - m} ight)z + 2 - 3m = 0\end{array}

    Chọn \vec{n} làm vectơ pháp tuyến của (P), ta có: \left( P ight):\overrightarrow n = \left( {m + 2,m - 1,1 - m} ight) \bot \overrightarrow {{n_s}} = \left( {1, - 3,1} ight) 

    \begin{array}{l} \Rightarrow \left( {m + 2} ight)1 + \left( {m - 1} ight)\left( { - 3} ight) + \left( {1 - m} ight)1 = 0 \Leftrightarrow m = 2\\ \Rightarrow \left( P ight):4x + y - z - 4 = 0\end{array}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1;1; - 2);\overrightarrow{v} = (1;0;m). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) = 45^{0}?

    Ta có: \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) = 45^{0} \Leftrightarrow \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|} = \frac{\sqrt{2}}{2}

    \Leftrightarrow \frac{1 - 2m}{\sqrt{6}.\sqrt{1 + m^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \sqrt{3\left( m^{2} + 1 ight)} = 1 - 2m

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - 2m \geq 0 \\3m^{2} + 3 = 1 - 4m + 4m^{2} \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \leq \dfrac{1}{2} \\m^{2} - 4m - 2 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 2 - \sqrt{6}

    Vậy đáp án cần tìm là m = 2 - \sqrt{6}.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và \widehat{SAB} = \widehat{SAC}. Góc giữa hai đường thẳng SA và BC là:

    Ta có:

    \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AS} = \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight).\overrightarrow{AS}

    = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AS} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AS}

    = AC.AS.\cos\widehat{SAC} -AB.AS.\cos\widehat{SAB} = 0 (vì AB = AC và \widehat{SAB} = \widehat{SAC}).

    Suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 90^{0}.

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y - 3z - 2 = 0. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) có một vectơ chỉ phương có tọa độ là:

    Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 2; - 3).

    Do d\bot(P) nên vectơ \overrightarrow{n} = (1; - 2; - 3) cũng là một vectơ chỉ phương của d.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A(1;1;0),B(1;1;2),D(1;0;2). Diện tích hình bình hành ABCD bằng:

    Gọi S là diện tích hình bình hành ABCD khi đó S = \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ightbrack ight|

    Mà \overrightarrow{AB} = (0;0;2);\overrightarrow{AD} = (0; - 1;2)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ightbrack = (2;0;0)

    \Rightarrow \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ightbrack ight| = 2 \Rightarrow S = 2

    Vậy diện tích hình bình hành ABCD bằng 2.

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 1. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với (\alpha).

    Mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 1 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1; - 1;2).

    Đường thẳng d_{1} có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{d_{1}}} = (1; - 1;2) = \overrightarrow{n_{(\alpha)}}

    Suy ra d_{1}\bot(\alpha).

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(1;2; - 3). Gọi M,N,P là hình chiếu vuông góc của điểm A trên ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz. Viết phương trình mặt phẳng (MNP)?

    Có M(1;0;0),N(0;2;0),P(0;0; - 3) là hình chiếu của A lên các trục tọa độ nên mặt phẳng cần tìm là (MNP):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1

    \Rightarrow (MNP):6x + 3y - 2z - 6 = 0

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC)?

    Phương trình mặt phẳng (ABC) là \frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 1} = 1

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 78 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập