Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(0;1;0),N(2;0;0),P(0;0; - 3). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng (MNP)?

    Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (MNP) là: \frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} =
1

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách giữa đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 4} =
\frac{z - 4}{3} và trục Ox.

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (2; - 4;3) và đi qua điểm M(1; - 2;4)

    Trục Ox có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0) và đi qua điểm N(1;0;0)

    Khoảng cách giữa đường thẳng d và trục Ox là:

    d(d;Ox) = \frac{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}}
ightbrack.\overrightarrow{MN} ight|}{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack ight|} =
\frac{\left| (0;3;4).(0;2; - 4) ight|}{\left| (0;3;4) ight|} =
2

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; - 1;1),B(0;1; - 2) và điểm M thay đổi trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm giá trị lớn nhất của |MA - MB|?

    Thay tọa độ của A, B vào phương trình mặt phẳng (Oxy): z = 0, ta có 1.( - 2) = - 2 < 0

    ⇒ A, B nằm về hai phía của (Oxy).

    Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (Oxy).

    Khi đó ta có: |MA - MB| = |MA' - MB|
\leq A'B

    Suy ra |MA - MB| lớn nhất bằng A’B khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B và (Oxy).

    Ta có A'(1; - 1; - 1) \Rightarrow
A'B = \sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}} =
\sqrt{6}.

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (3;0;1)\overrightarrow{v} = (2;1;0). Tính tích vô hướng \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}?

    Ta có: \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3.2 + 0.1
+ 1.0 = 6

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y +
2}{1} = \frac{z}{- 1} không đi qua điểm nào dưới đây?

    Ta có \frac{- 1 - 1}{2} eq \frac{2 +
2}{1} eq \frac{0}{- 1} nên điểm (
- 1;2;0) không thuộc đường thẳng \Delta.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + y - 2z + 5 = 0(Q): - x - y + 2z + 9 = 0. Mặt phẳng nào sau đây cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q)?

    Gọi (R) là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) thì (P)//(Q)//(R)

    Do đó (R) có dạng x + y − 2z + m = 0.

    Gọi A(1; 0; 3) ∈ (P) , B(1; 0; −4) ∈ (Q).

    Khi đó trung điểm M của đoạn AB nằm trên (R), tức M\left( 1;0; - \frac{1}{2} ight) \in
(R).

    Suy ra 1 + 0 - 2.\left( - \frac{1}{2}
ight) + m = 0 \Leftrightarrow m = - 2.

    Vậy (R): x + y − 2z − 2 = 0 hay (R): −x − y + 2z + 2 = 0.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0;1; - 2),B(3;1;1);C( -
2;0;3). Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm nào dưới đây?

    Ta có: \overrightarrow{AB} =
(3;0;3),\overrightarrow{AC} = ( - 2; - 1;5) suy ra \left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (3; - 21; -
3)

    Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm B (3; 1; 1), có 1 vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \frac{1}{3}\left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (1; - 7; -
1) nên có phương trình là: x - 7y -
z + 5 = 0

    2 - 7.1 - 0 + 5 = 0 nên N(2;1;0) \in (ABC).

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x + 3y - 5z + 6 = 0(\beta):x - y + 3z - 6 = 0. Phương trình tham số của d là:

    Nhận thấy A(1;1;2),B(2; - 1;1) đều thuộc (α) và (β) nên chúng cũng thuộc đường thẳng d.

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1; - 2; -
1) là một vectơ chỉ phương của d.

    Khi đó phương trình tham số của d là: \left\{
\begin{matrix}
x = 1 + t \\
y = 1 - 2t \\
z = 2 - t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(3; - 2;5). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oxz) là:

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(3; -
2;5) trên mặt phẳng (Oxz) là điểm có tọa độ (3;0;5).

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD. Số đo giữa hai đường thẳng ABCD bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của CD

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{0} \\
\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow
\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.\left(
\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} ight) =
\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} +
\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MB} =
\overrightarrow{0}

    Suu ra \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD} nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB;CD bằng 90^{0}.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AOCD bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của CD

    Vì ABCD là tứ diện đều nên AM\bot
CD;OM\bot CD

    Ta có: \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AO} =
\overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MO}
ight)

    =
\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} +
\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MO} =
\overrightarrow{0}

    Suy ra \overrightarrow{CD}\bot\overrightarrow{AO} nên số đo góc giữa hai đường thẳng bằng 90^{0}.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểmA(1;2;3),B(0; - 2;1),C(1;0;1). Gọi D là điểm sao cho C là trọng tâm tam giác ABD. Tính tổng các tọa độ của điểm D?

    Đặt D(x;y;z). Vì C là trọng tâm tam giác ABD nên

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{1 + 0 + x}{3} \\0 = \dfrac{2 - 2 + y}{3} \\1 = \dfrac{3 + 1 + z}{3} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = 0 \\z = - 1 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow x + y + z = 1

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hai điểm A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight) và mặt phẳng \left( \beta  ight):3x - 2y + z + 9 = 0. Mặt phẳng (\alpha) chứa hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (\beta) có phương trình:

    Theo đề bài, ta có: A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight) ; \left( \beta  ight):3x - 2y + z + 9 = 0.

    Suy ra \overrightarrow {AB}  = \left( {3, - 5, - 2} ight); (\beta) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow n  = \left( {3, - 2,1} ight)

    Ta có \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } ight] = \left( { - 9, - 9,9} ight) cùng phương với vectơ \overrightarrow p  = \left( {1,1, - 1} ight)

    Chọn \vec{p} làm 1 vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng (\alpha) .

    Phương trình mặt phẳng (\alpha) có dạng: x + y - z + D = 0

    A \in \left( \alpha  ight) \Leftrightarrow  - 2 + 3 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D =  - 2

    Mặt phẳng :(\alpha): x + y - z - 2 = 0

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha) đi qua điểm M(1;2;1) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho độ dài OA,OB,OC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (\alpha).

    Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

    Phương trình mặt phẳng (α) có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} =
1

    Ta có (α) đi qua điểm M(1; 2; 1) nên ta có \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} =
1 (∗)

    OA, OB, OC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên c = 2b = 4a.

    Thay vào (∗), ta được \frac{1}{a} +
\frac{2}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a =
\frac{9}{4}

    Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} =
\frac{9}{4} hay 4x + 2y + z - 9 =
0

    \Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) =
\frac{| - 9|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} =
\frac{3\sqrt{21}}{7}.

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC)?

    Phương trình mặt phẳng (ABC)\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{-
1} = 1

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'AB = BC = 2CC' = 4. Gọi MN lần lượt là trung điểm của cạnh BCAA'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D'MN bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 2,43

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'AB = BC = 2CC' = 4. Gọi MN lần lượt là trung điểm của cạnh BCAA'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D'MN bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 2,43

    Cách 1. Gọi P là trung điểm CD, I = MP \cap AD, J = IN \cap DD', K = AC \cap MP.

    Ta có MP//BD \Rightarrow MP//B'D'
\Rightarrow d(B'D';MN) = d\left\lbrack B'D';(MNP)
ightbrack = d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack.

    Lại có d\left\lbrack D';(MNP)
ightbrack = \frac{D'J}{DJ}d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack =
5.d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack.

    Mặt khác d\left\lbrack D;(MNP)
ightbrack = \frac{DI}{AI}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack =
\frac{1}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack.

    Dễ thấy \left\{ \begin{matrix}
(NAK)\bot(MNP) \\
(NAK) \cap (MNP) = AK \\
AH\bot NK\ (H \in NK)\ trong\ (NAK) \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow AH\bot(MNP) \Rightarrow
d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = AH.

    Suy ra d(MN;B'D') =
\frac{5}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{5}{3}AH với AN = \frac{AA'}{2} = 2 ; AK = \frac{3}{4}\sqrt{2}AB =
\frac{3\sqrt{2}}{2}.

    Vậy d(MN;B'D') = \frac{5}{3}AH =
\frac{5}{3}.\frac{AN.AK}{\sqrt{AN^{2} + AK^{2}}} =
\frac{5}{3}.\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}.2}{\sqrt{\left(
\frac{3\sqrt{2}}{2} ight)^{2} + 2^{2}}} = \frac{10.\sqrt{17}}{17}
\simeq 2,43.

    Cách 2. Đặt các trục Ox, OyOz vào hình như sau

    Ta có M(1;2;0), N(0;0;2), B'(0;2;4)D'(2;0;4).

    Ta có \overrightarrow{MN} = ( - 1; -
2;2), \overrightarrow{B'D'}
= (2; - 2;0)\overrightarrow{MB'} = ( - 1;0;4) \Rightarrow
\left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{B'D'}
ightbrack = (4;4;6).

    Khi đó :

    d\left( MN;B^{'}D^{'} ight) =
\frac{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}}
ightbrack.\overrightarrow{MB^{'}} ight|}{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack
ight|}

    = \frac{\left| ( - 1).4 + 0.4 + 4.6
ight|}{\sqrt{4^{2} + 4^{2} + 6^{2}}} = \frac{10\sqrt{17}}{17} \simeq
2,43.

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm A(100;50;100) và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là B(50;100;50),C(150;100;100). Máy bay sẽ bay qua điểm W của đường màu BC để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm W(a;b;c), hãy tính giá trị biểu thức T = a + b -
2c.

    Đáp án: 50

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm A(100;50;100) và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là B(50;100;50),C(150;100;100). Máy bay sẽ bay qua điểm W của đường màu BC để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm W(a;b;c), hãy tính giá trị biểu thức T = a + b -
2c.

    Đáp án: 50

    Ta có: \overrightarrow{BC} =
(100;0;50)

    Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP \overrightarrow{u} = (2;0;1)có dạng (BC):\left\{ \begin{matrix}
x = 50 + 2t \\
y = 100 \\
z = 50 + t \\
\end{matrix} ight.

    Điểm W \in (BC) \Rightarrow W(50 +
2t;100;50 + t) \overrightarrow{AW} = (2t - 50;50;t -
50)

    Ta có: \overrightarrow{AW}.\overrightarrow{BC} =
0

    \Rightarrow 2(2t - 50) + (t - 50) = 0
\Rightarrow t = 30

    Vậy H(110;100;80) \Rightarrow a + b - 2c
= 50.

  • Câu 18: Vận dụng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z -
2}{2}. Gọi (P) là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ điểm A đến (P) là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P) bằng:

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên d và H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) thì d(A,(P)) = AH ≤ AK không đổi.

    Vậy d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K, khi đó (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.

    Ta tìm được (P):x - 4y + z - 3 = 0
\Rightarrow d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{\sqrt{18}} =
\frac{1}{\sqrt{2}}.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian, cho hai vectơ \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} có cùng độ dài bằng 6. Biết độ dài của vectơ \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} bằng 6\sqrt{3}. Biết số đo góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}x độ. Giá trị của x là bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian, cho hai vectơ \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} có cùng độ dài bằng 6. Biết độ dài của vectơ \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} bằng 6\sqrt{3}. Biết số đo góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}x độ. Giá trị của x là bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;4;5) và mặt phẳng (P):x - y + 2z - 3 = 0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (P). Tìm tọa độ điểm H?

    Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên (P) nên H(3 + t;4 - t;5 + 2t)

    Điểm H thuộc mặt phẳng (P) nên ta có phương trình:

    (3 + t) - (4 - t) + 2(5 + 2t) - 3 =
0

    \Leftrightarrow t = - 1 \Leftrightarrow
H = (2;5;3)

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 31 lượt xem
Sắp xếp theo