Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A (2; 1; 1), B (0; 3; −1)$ . Điểm $M$ nằm trên mặt phẳng $(P) : 2x + y + z − 4 = 0$ sao cho $MA + MB$ nhỏ nhất là:
- A.
  $(1;0;2)$
- B.
  $(1;0;3)$
- C.
  $(1;2;0)$
- D.
  $(3;0;2)$
Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng $(P) : 2x + y + z − 4 = 0$ ta được: $(2.2 + 1 + 1 − 4) (2.0 + 3 − 1 − 4) = −4 < 0$

Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).

Vậy $MA + MB ≥ AB$ dấu “ = ” xảy ra khi $M = AB ∩ (P)$ .

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 2;2; - 2)$ chọn vtcp của đường thẳng AB: $\overrightarrow{u} = (1; - 1;1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng AB: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .

Tọa độ $(x; y; z)$ của M là nghiệm hệ:

$\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2x + y + z - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2(2 + t) + (1 - t) + (1 + t) - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \\ t = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(1;2;0)$
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng chứa trục $Ox$ và đi qua điểm $A(1;1; - 1)$ có phương trình là:
- A.
  $z + 1 = 0$
- B.
  $x - y = 0$
- C.
  $x + z = 0$
- D.
  $y + z = 0$
Mặt phẳng chứa trục $Ox$ có dạng $By + Cz = 0;\left( B^{2} + C^{2} eq 0 ight)$

Mặt phẳng đi qua điểm $A(1;1; - 1)$ nên $B - C = 0 \Leftrightarrow B = C$

Do đó chọn $B = C = 1$ suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là $y + z = 0$ .
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ . cho điểm $M(3; - 1;2)$ . Tìm tọa độ điểm $N$ đối xứng với điểm $M$ qua mặt phẳng $(Oyz)$ ?
- A.
  $N(0; - 1;2)$
- B.
  $N(3;1; - 2)$
- C.
  $N( - 3; - 1;2)$
- D.
  $N(0;1;1)$
Lấy đối xứng qua mặt phẳng $(Oyz)$ thì $x$ đổi dấu còn $y;z$ giữ nguyên nên điểm $N$ có tọa độ là $N( - 3; - 1;2)$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BD_{1}};\overrightarrow{BC_{1}}$ đồng phẳng.
- B.
  $\overrightarrow{CD_{1}};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{A_{1}B_{1}}$ đồng phẳng.
- C.
  $\overrightarrow{CD_{1}};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{A_{1}C}$ đồng phẳng.
- D.
  $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{C_{1}A}$ đồng phẳng.
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{A_{1}D_{1}} = \overrightarrow{A_{1}C} + \overrightarrow{CD_{1}}$ suy ra $\overrightarrow{CD_{1}};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{A_{1}C}$ đồng phẳng.
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3;3; - 2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$ . Viết phương trình đường thẳng $d$ ?
- A.
  $d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y + 3}{3} = \frac{z - 2}{1}$
- B.
  $d:\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 2}{1}$
- C.
  $d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z - 1}{- 2}$
- D.
  $d:\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 3}{3} = \frac{z + 1}{- 2}$
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3;3; - 2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$ là:

$d:\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 2}{1}$
Câu 6: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(4;9;1)$ , phương trình mặt phẳng $(\alpha):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ qua điểm $M$ và cắt ba tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho $OA + OB + OC$ nhỏ nhất. Tính $P = a + b + c$ .
- A.
  $P = 15$
- B.
  $P = 14$
- C.
  $P = 36$
- D.
  $P = 42$
Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt ba trục tọa độ lần lượt tại $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c > 0$ .

Do $(\alpha)$ đi qua điểm $M(4;9;1)$ nên:

$1 = \frac{4}{a} + \frac{9}{b} + \frac{1}{c} = \frac{2^{2}}{a} + \frac{3^{2}}{b} + \frac{1^{2}}{c} \geq \frac{(2 + 3 + 1)^{2}}{a + b + c} = \frac{36}{a + b + c}$

$\Rightarrow a + b + c \geq 36$

Mà OA + OB + OC = a + b + c nên OA + OB + OC nhỏ nhất khi a + b + c nhỏ nhất và bằng 36.
Câu 7: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân
giác trong góc A là $\frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}$ . Biết rằng điểm $M(0; 5; 3)$ thuộc đường thẳng AB và điểm $N(1;1;0)$ thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?
- A. $\vec{u}(1;2;3)$
- B. $\vec{u}(0;-2;6)$
- C. $\vec{u}(0;1;-3)$
- D. $\vec{u}(0;1;3)$
Giả sử , $A(t; 6-4t; 6-3t)$ , ta có:
$\vec{u_d}=(1; -4; -3),$
$\vec{AM}=(-t;4t-1;-3+3t)$
$\vec{AN}=(1-t;-5+4t;3t-6)$
Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:
$\left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AM}) ight |= \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AN}) ight |$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left | 26t-13 ight |}{\sqrt{26t^2 -26t+10} } =\dfrac{\left | 26t-39 ight |}{\sqrt{26t^2 -78t+62} }$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left | 2t-1 ight |}{\sqrt{13t^2 -13t+5} } =\dfrac{\left | 2t-3 ight |}{\sqrt{13t^2 -39t+31} }$
Từ đây ta bình phương 2 vế được:
$(4t^2-4t+1)(13t^2-39t+31)=(4t^2-12t+9)(13t^2-13t+5)$
$\Leftrightarrow 14t=14$
$\Leftrightarrow t=1$
$\Rightarrow A(1;2;3)\Rightarrow \vec{AN}=(0; -1; -3)$
Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là $\vec{u}(0;1;3)$ .
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , tìm phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ cắt ba trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại ba điểm $A( - 3;0;0),B(0;4;0),C(0;0; - 2)$ ?
- A.
  $4x - 3y + 6z - 12 = 0$ .
- B.
  $4x + 3y - 6z + 12 = 0$ .
- C.
  $4x - 3y + 6z + 12 = 0$ .
- D.
  $4x + 3y + 6z + 12 = 0$ .
Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ : $\frac{x}{- 3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{- 2} = 1$

$\Leftrightarrow 4x - 3y + 6z = - 12$

$\Leftrightarrow 4x - 3y + 6z + 12 = 0$
Câu 9: Thông hiểu

Cho hai mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 3 = 0$ và $(Q):x + my + z - 1 = 0$ . Tìm tham số $m$ để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau.

Đáp án: 4

Đáp án là:

Cho hai mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 3 = 0$ và $(Q):x + my + z - 1 = 0$ . Tìm tham số $m$ để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau.

Đáp án: 4

Ta có: $\overrightarrow{n_{P}} = (2; -1;2);\overrightarrow{n_{Q}} = (1;m;1)$

Để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau thì $\overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{n_{Q}}$ .

$\Leftrightarrow 2.1 - 1.m + 2.1 = 0 \Leftrightarrow m = 4.$
Câu 10: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa đô $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;4)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho thể tích tứ diện $O.ABC$ nhỏ nhất. $(P)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $(0;1;3)$
- B.
  $(2;2;0)$
- C.
  $(1;1;2)$
- D.
  $( - 1;1;4)$
Gọi $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c > 0$

Phương trình mặt phẳng $(ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Vì $M \in (P) \Rightarrow (P):\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} = 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1.2.4}{abc}} \Rightarrow abc \geq 8.27$

Thể tích tứ diện $O.ABC$ là $V = \frac{1}{6}abc \geq 36$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{4}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \\ c = 12 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{12} = 1 \Rightarrow 4x + 2y + z - 12 = 0$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $(2;2;0)$ .
Câu 11: Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng: $\bigtriangleup_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2}$ và $\bigtriangleup_{2}:\frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}$

a) Vectơ có tọa độ $(1;2;3)$ là một vectơ chỉ phương của $\bigtriangleup_{1}$ . Sai||Đúng

b) Đường thẳng $\bigtriangleup_{2}$ đi qua điểm $A(0; - 3;14)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $\bigtriangleup_{3}$ đi qua $B(1;1; - 2)$ và vuông góc với $\bigtriangleup_{1}$ có phương trình tham số là $\bigtriangleup_{3}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 2 - 3t \\ \end{matrix} ight.$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai đường thẳng $\bigtriangleup_{1}$ và $\bigtriangleup_{2}$ khoảng $132^{0}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng: $\bigtriangleup_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2}$ và $\bigtriangleup_{2}:\frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}$

a) Vectơ có tọa độ $(1;2;3)$ là một vectơ chỉ phương của $\bigtriangleup_{1}$ . Sai||Đúng

b) Đường thẳng $\bigtriangleup_{2}$ đi qua điểm $A(0; - 3;14)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $\bigtriangleup_{3}$ đi qua $B(1;1; - 2)$ và vuông góc với $\bigtriangleup_{1}$ có phương trình tham số là $\bigtriangleup_{3}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 2 - 3t \\ \end{matrix} ight.$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai đường thẳng $\bigtriangleup_{1}$ và $\bigtriangleup_{2}$ khoảng $132^{0}$ . Sai||Đúng

a) Vectơ có tọa độ $(2;1; - 2)$ là một vectơ chỉ phương của $\bigtriangleup_{1}$ nên mệnh đề sai

b) Mệnh đề đúng

c) Gọi $B = \bigtriangleup_{1} \cap \bigtriangleup_{3} \Rightarrow B(1 + 2t;2 + t;3 - 2t)$

$\begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2t; - 1 - t; - 5 + 2t\ ) \\ \overrightarrow{AB}\bot u_{\bigtriangleup_{1}} \Rightarrow t = 1 \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 2; - 3\ ) \\ \end{matrix}$ nên mệnh đề đúng

d) Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn nên mệnh đề sai
Câu 12: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(4;2;5),B(0;4; - 3),C(2; - 3;7)$ . Biết điểm $M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $P = x + y + z$ .
- A.
  $P = 0$
- B.
  $P = 6$
- C.
  $P = 3$
- D.
  $P = - 3$
Vì M ∈ (Oxy) nên $M(x;y;0)$ .

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có G(2; 1; 3).

Khi đó:

$\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = \left| \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight|$

$= \left| 3\overrightarrow{MG} ight| = 3MG = 3\sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + 3^{2}} \geq 9$

Dấu “=” xảy ra khi x= 2 và y= 1 hay M(2; 1; 0).

Vậy P = 3
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho phương trình đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng $\Delta$ ?
- A.
  $(1;4; - 5)$
- B.
  $( - 1; - 4;3)$
- C.
  $(2;1;1)$
- D.
  $( - 5; - 2; - 8)$
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:

$\left\{ \begin{matrix} - 1 = 1 + 2t \\ - 4 = - 1 + 3t \\ 3 = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow M( - 1; - 4;3) \in \Delta$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $A(0;0;0),B(3;0;0),C(0;3;0),D'(0;3; -3)$ . Tọa độ trọng tâm tam giác $A'B'C$ là
- A.
  $(1;1 ;- 2)$
- B.
  $(2;1; - 2)$
- C.
  $(1;2; - 1)$
- D.
  $(2;1; - 1)$
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm của đoạn BD’ suy ra $I\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2}; - \frac{3}{2}ight)$
Gọi $G(a;b;c)$ là trọng tâm tam giác $A'B'C$
Ta có: $\overrightarrow{DI} =3\overrightarrow{IG}$ với $\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{DI} = \left( \frac{3}{2}; - \frac{3}{2}; - \frac{3}{2}ight) \\\overrightarrow{IG} = \left( a - \frac{3}{2};b - \frac{3}{2};c +\frac{3}{2} ight) \\\end{matrix} ight.$
Do đó:
$\left\{ \begin{matrix}\frac{3}{2} = 3\left( a - \frac{3}{2} ight) \\- \frac{3}{2} = 3\left( b - \frac{3}{2} ight) \\- \frac{3}{2} = 3\left( c + \frac{3}{2} ight) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 1 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(2;1; - 2)$
Vậy tọa độ trọng tâm tam giác cần tìm là $(2;1; - 2)$
Câu 15: Vận dụng
Phân tích vectơ $\overrightarrow V = \left( {4\,,\,3\,,\, - 5\,} ight)$ theo ba vectơ không đồng phẳng
$\overrightarrow a = \left( {2, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow b = \left( {1, - 3,2} ight);\,\,\overrightarrow c = \left( { - 3,2, - 2} ight).$
- A. $\overrightarrow V = \,\,31\overrightarrow a \,\, + \,\,2\overrightarrow b \,\, + \,\,20\overrightarrow c$
- B. $\overrightarrow V = \,\,31\overrightarrow a \,\, - \,\,2\overrightarrow b \,\, + \,\,20\overrightarrow c$
- C. $\overrightarrow V = \,\,21\overrightarrow a \,\, + \,\,2\overrightarrow b \,\, + \,\,10\overrightarrow c$
- D. $\overrightarrow V = \,\,21\overrightarrow a \,\, - \,\,2\overrightarrow b \,\, - \,\,10\overrightarrow c$
Ta có 3 vecto $\overrightarrow a ;\,\,\,\overrightarrow b ;\,\,\,\overrightarrow c$ không đồng phẳng. Khi đó luôn có :
$\begin{array}{l}\exists m,n,p \in \mathbb R :m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c = \overrightarrow V \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + n - 3p = 4 & \left( 1 ight)\\ - m - 3n + 2p = 3 & \left( 2 ight)\,\,\,\,\,;\left( 2 ight) + \left( 3 ight) \Rightarrow n = 2\\m + 2n - 2p = - 5 & \left( 3 ight)\end{array} ight.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 3p = 2 & \left( {1'} ight)\\ - m + 2p = 9 & \left( {2'} ight)\end{array} ight.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 31\\p = 20\end{array} ight.\\ \Rightarrow \overrightarrow V = 31\overrightarrow a + 2\overrightarrow b + 20\overrightarrow c \end{array}$
Câu 16: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm $AB$ và $CD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 4\overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ Đúng||Sai

c) $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

d) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN}$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm $AB$ và $CD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 4\overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ Đúng||Sai

c) $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

d) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN}$ Đúng||Sai

a) Vì $M, N$ là trung điểm của $AB$ và $CD$ nên $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 2\overrightarrow{NM}$

Nên $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{0}$ .

b) Ta có:

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MD}$

$= \left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} ight) + \left( \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight)$

$= \overrightarrow{0} + 2\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{MN}$

c) Ta có:

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC}$

$= \left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight) + \left( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} ight) = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$

d) Do N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN}$
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho điểm $M(x;y;z)$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(Oxz)$ thì $M'(x;y; - z)$ .
- B.
  Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua trục $Oy$ thì $M'(x;y; - z)$ .
- C.
  Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(Oxy)$ thì $M'(x;y; - z)$ .
- D.
  Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ thì $M'(2x;2y;0)$ .
Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(Oxz)$ thì $M'(x; - y;z)$ .

Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua trục $Oy$ thì $M'( - x;y; - z)$ .

Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ thì $M'( - x; - y; - z)$ .

Vậy mệnh đề đúng là: “Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(Oxy)$ thì $M'(x;y; - z)$ ”.
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(0;1;1)$ và hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = - 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d_{2}:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$ . Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ , cắt đường thẳng $d_{1}$ và vuông góc với đường thẳng $d_{2}$ . Đường thẳng $d$ đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
- A.
  $N(2;1; - 5)$
- B.
  $Q(3;2;5)$
- C.
  $P( - 2; - 3;11)$
- D.
  $M(1;0; - 1)$
Gọi $\left\{ \begin{matrix} B = d_{1} \cap d \\ B \in d_{1} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} B( - 1; - 1 + t;t) \\ \overrightarrow{AB} = ( - 1;t - 2;t - 1) \\ \end{matrix} ight.$

$d_{2}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (3;1;1)$ .

Do $d\bot d_{2}$ nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow - 3 + t - 2 + t - 1 = 0$

$\Leftrightarrow t = 3 \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1;1;2)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AN} = (2;0;6);\overrightarrow{AQ} = (3;1;4) \\ \overrightarrow{AP} = ( - 2; - 4;10);\overrightarrow{AM} = (1; - 1; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra đường thẳng $d$ đi qua $M$ .
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0$ . Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng $(\alpha)$ ?
- A.
  $M(2;0;1)$
- B.
  $N(2;1;1)$
- C.
  $P(2; - 1;1)$
- D.
  $Q(1;0;1)$
Ta thấy tọa độ điểm $Q(1;0;1)$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng $(\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0$ nên điểm $Q$ nằm trên $(\alpha)$ .
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ . Vectơ $\overrightarrow{AC}$ bằng
- A.
  $\overrightarrow{AB}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB}\$ .
- C.
  $- \overrightarrow{AC}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC}\ = \ \overrightarrow{\ AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .

78 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!