Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -
3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Tìm tọa độ điểm C'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +
0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =
10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} +
4.\overrightarrow{k}A( -
3;0;0)

    \Rightarrow C'(7;4;4)

    Suy ra C'(7;4;4)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng song song d:\left\{
\begin{matrix}
x = 2 - t \\
y = 1 + 2t \\
z = 4 - 2t \\
\end{matrix} ight.d':\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 1}{- 2} =
\frac{z}{2}. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (d, d’), đồng thời cách đều hai đường thẳng d và d’.

    Lấy M(2;1;4) \in d,N(4; - 1;0) \in
d'.

    Đường thẳng cần tìm đi qua trung điểm của MN, là điểm I(3; 0; 2), và song song với d và d’.

    Phương trình đường thẳng cần tìm là: \frac{x - 3}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z -
2}{2}

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại A, \widehat{ABC} = 30^{0}, BC = 3\sqrt{2}, đường thẳng BC có phương trình \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{-
4}, đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (\alpha):x + z - 3 =
0. Biết rằng đỉnh C có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh A.

    Hình vẽ minh họa:

    Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix}
\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4} \\
x + z - 3 = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow B(2;3;1)

    Do C ∈ BC nên C(4 + c;5 + c; - 7 -
4c)

    Theo giả thiết BC = 3\sqrt{2} nên: 18(2 + c)^{2} = 18 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
c = - 1 \Rightarrow C(3;4; - 3) \\
c = - 3 \Rightarrow C(1;2;5) \\
\end{matrix} ight.

    Mặt khác đỉnh C có cao độ âm nên C(3; 4; −3).

    Gọi A(x;y;3 - x) \in (\alpha). Do \widehat{ABC} = 30^{0} nên:

    \left\{ \begin{matrix}
AB = \frac{3\sqrt{6}}{2} \\
AC = \frac{3\sqrt{2}}{2} \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (2 - z)^{2} = \frac{27}{2} \\
(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} + (6 - z)^{2} = \frac{9}{2} \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\
2x^{2} - 18x + y^{2} - 8y + \frac{113}{2} = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
10x + 2y - 53 = 0 \\
2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
y = \frac{53 - 10x}{2} \\
2x^{2} - 8x + \left( \frac{53 - 10x}{2} ight)^{2} - 6.\left( \frac{53
- 10x}{2} ight) + \frac{7}{2} = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
y = \frac{53 - 10x}{2} \\
x = \frac{9}{2} \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
y = 4 \\
x = \frac{9}{2} \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow A\left( \frac{9}{2};4; - \frac{3}{2}
ight)

    Vậy đáp án cần tìm là \frac{9}{2}.

  • Câu 4: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;2;3),B(3;4;4),C(2;6;6)I(a;b;c) là trực tâm tam giác ABC. Tính a +
b + c?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{BC} = ( - 1;2;2);\overrightarrow{AC} = (1;4;3) \\
\overrightarrow{AI} = (a - 1;b - 2;c - 3) \\
\overrightarrow{BI} = (a - 3;b - 4;c - 4) \\
(ABC):2x - 5y + 6z - 10 = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Lại có:

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AC} = 0 \\
\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BC} = 0 \\
I \in (ABC) \\
\end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1(a - 1) + 2(b - 2) + 2(c - 3) = 0 \\1(a - 3) + 4(b - 4) + 3(c - 4) = 0 \\2a - 5b + 6c - 10 = 0 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{27}{5} \\b = 4 \\c = \dfrac{16}{5} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow a + b + c = \dfrac{63}{5}

  • Câu 5: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(1;0; - 1),C(2; -
1;2). Điểm D thuộc tia Oz sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện ABCD bằng \frac{3\sqrt{30}}{10} có tọa độ là

    Ta có D thuộc tia Oz nên D(0; 0; d) với d > 0.

    Tính \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (0; - 2; - 4) \\
\overrightarrow{AC} = (1; - 3; - 1) \\
\end{matrix} ight.

    Mặt phẳng (ABC): có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 10; -
4;2) và đi qua điểm A(1; 2; 3).

    \Rightarrow (ABC): - 10(x - 1) - 4(y -
2) + 2(z - 3) = 0

    \Leftrightarrow 5x + 2y - y - 6 =
0

    Ta có d\left( D;(ABC) ight) =
\frac{3\sqrt{30}}{10} \Leftrightarrow \frac{|d + 6|}{\sqrt{30}} =
\frac{3\sqrt{30}}{10}

    \Leftrightarrow |d + 6| = 9
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
d = 3(tm) \\
d = - 15(ktm) \\
\end{matrix} ight.

    Vậy D(0;0;3).

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Biết rằng có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là \left( P_{i} ight):x + a_{i}y + b_{i}z + c_{i} =0,(i = 1,2,...n) đi qua M(1;2;3) (nhưng không đi qua O) và cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz theo thứ tự tại A,B,C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp đều. Tính tổng S = a_{1} + a_{2} + ... +
a_{n}.

    Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), với a,b,c eq 0. Khi đó trọng tâm của tam giác ABC là G\left(
\frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3} ight) mặt phẳng (Pi) có dạng \frac{x}{a} +
\frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow x + \frac{a}{b}y +
\frac{a}{c}z - a = 0.

    Theo bài ra (Pi) đi qua M(1; 2; 3) nên ta có: 1 + \frac{2a}{b} + \frac{3a}{c} - a = 0\ \ \
(1)

    Mặt khác, vì O.ABC là hình chóp đều nên tam giác ABC đều nên:

    AB = BC = AC

    \Leftrightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} =
\sqrt{a^{2} + c^{2}} = \sqrt{b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow a^{2} = b^{2} =
c^{2} kết hợp với (1) ta có các trường hợp sau:

    a = b = c ⇒ a = 1 + 2 + 3 = 6 nên (P_1): x + y + z − 6 = 0

    a = b = −c ⇒ a = 1 + 2 − 3 = 0 không thỏa yêu cầu.

    a = −b = c ⇒ a = 1 − 2 + 3 = 2 nên (P_2): x − y + z − 2 = 0

    a = −b = −c ⇒ a = 1 − 2 − 3 = −5 nên (P_3): x − y − z + 5 = 0

    −a = −b = c ⇒ a = 1 + 2 − 3 = 0, không thỏa yêu cầu

    −a = b = −c ⇒ a = 1 − 2 + 3 = 2 nên (P): x − y + z − 2 = 0 trùng với (P2)

    −a = b = c ⇒ a = 1 − 2 − 3 = −5 nên (P): x − y − z + 5 = 0 trùng với (P3)

    −a = −b = −c ⇒ a = 1 + 2 + 3 = 6 nên (P): x + y + z − 6 = 0 trùng với (P1)

    Vậy S = a_1 + a_2 + a_3 = 1 − 1 − 1 = −1.

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d_{1}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- m} =\frac{z - 2}{- 3};d_{2}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z -1}{1}. Tìm tất cả giá trị thực của m để d_{1} vuông góc với d_{2}?

    Vectơ chỉ phương của d_{1};d_{2} lần lượt là: \overrightarrow{u_{1}} = (2; -
m; - 3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;1).

    Để d_{1}\bot d_{2} thì \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = 0
\Leftrightarrow 2 - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 1

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M(1;3; - 2), cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A;B;C (khác O) sao cho \frac{OA}{1} = \frac{OB}{2} =
\frac{OZ}{4}?

    Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a,b,c > 0.

    Phương trình mặt phẳng (P) là \frac{x}{a}
+ \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1. Theo giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{1} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3} \\\frac{1}{a} + \dfrac{3}{b} - \dfrac{2}{c} = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 4 \\c = 8 \\\end{matrix} ight.

    Vậy phương trình mặt phẳng (P)4x + 2y + z - 8 = 0.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Đặt \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của CD suy ra \overrightarrow{BG} =
\frac{2}{3}\overrightarrow{BM}

    Ta có: \overrightarrow{AG} =
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AB} +
\frac{2}{3}\overrightarrow{BM}

    = \overrightarrow{AB} +
\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD}
ight) = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{BD} ight)

    = \overrightarrow{AB} +
\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)

    = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB}
+ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight) = \frac{1}{3}\left(
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}
ight)

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{a} = (1;0; -
2). Trong các vectơ dưới đây, vectơ nào không cùng phương với \overrightarrow{a}?

    Ta có: \overrightarrow{0} =
(0;0;0) cùng phương với mọi vectơ

    Lại có \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{c} = (2;0; - 4) = 2\overrightarrow{a} \\\overrightarrow{d} = \left( - \dfrac{1}{2};0;1 ight) = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} \\\end{matrix} ight.

    Vậy vectơ không cùng phương với \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} = (1;0;2).

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y +
2}{1} = \frac{z}{- 1} không đi qua điểm nào dưới đây?

    Ta có \frac{- 1 - 1}{2} eq \frac{2 +
2}{1} eq \frac{0}{- 1} nên điểm (
- 1;2;0) không thuộc đường thẳng \Delta.

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(a;b;1) thuộc mặt phẳng (P):2x - y + z - 3 = 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có điểm M(a;b;1) thuộc mặt phẳng (P):2x - y + z - 3 = 0 nên:

    2a - b + 1 - 3 = 0 \Leftrightarrow 2a -
b = 2

  • Câu 13: Vận dụng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn đường thẳng \left( d_{1} ight):\frac{x - 3}{1} = \frac{y +1}{- 2} = \frac{z + 1}{1},\left( d_{2} ight):\frac{x}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z - 1}{1},\left( d_{3} ight):\frac{x - 1}{2} = \frac{y +1}{1} = \frac{z - 1}{1},\left( d_{4} ight):\frac{x}{1} = \frac{y -1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:

    Kiểm tra vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta thấy (d1) // (d2); (d4) cắt (d2), (d3).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2); (Q) là mặt phẳng chứa (d3) và (d4).

    Gọi (∆) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên.

    Ta thấy, (∆) cắt cả (d1), (d2) suy ra (∆) ⊂ (P).

    (∆) cắt cả (d3),(d4) suy ra (∆) ⊂ (Q).

    Mà (d2), (d4) có điểm chung nên (∆) là giao tuyến của (P) và (Q), do đó có duy nhất một đường thẳng thỏa mãn.

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm đối xứng của điểm M(1;2;3) qua trục Ox có tọa độ là

    Gọi M' là điểm đối xứng của M(1;2;3) qua trục Ox.

    Hình chiếu vuông góc của M(1;2;3) lên trục OxH(1;0;0)

    Khi đó H(1;0;0) là trung điểm của M'M. Do đó tọa độ của M'(1;
- 2; - 3)

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào dưới đây là sai?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC}

    Vậy đáp án sai là: \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} =
\overrightarrow{AC}.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3; - 1),B(3; - 1;5). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức \overrightarrow{MA} =
3\overrightarrow{MB}?

    Ta có: \overrightarrow{MA} =3\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} - 3x_{B}}{1 - 3} = 4 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} - 3y_{B}}{1 - 3} = - 3 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} - 3z_{B}}{1 - 3} = 8 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M(4; - 3;8)

  • Câu 17: Thông hiểu

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua M (-2, 1, 3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,3z\,\, + \,\,7 = \,\,0.

    Vì mp (P) // (Q) nên ta có PTTQ mp (P) sẽ có dạng là:

    \left( P ight):2x + 5y - 3z + D = 0

    Mặt khác, (P) qua M\left( { - 2,1,3} ight) \Rightarrow D = 8

    \Rightarrow \left( P ight):2x + 5y - 3z + 8 = 0

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; -
1;2) và vectơ \overrightarrow{n} =
(2;4; - 6). Viết phương trình mặt phẳng (\alpha) qua A và nhận vectơ \overrightarrow{n} làm vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng có dạng:

    A\left( x - x_{A} ight) + B\left( y -
y_{A} ight) + C\left( z - z_{A} ight) = 0 .

    2(x - 1) + 4(y + 1) + 6(z - 2) =
0

    \Leftrightarrow x + 2y - 3z + 7 =
0.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Phân tích vectơ \overrightarrow{AC'} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}?

    Ta có phép cộng vectơ đối với hình vuông ABCD: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{AC}

    Khi đó ta có: \overrightarrow{AC'} =
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách giữa đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 4} =
\frac{z - 4}{3} và trục Ox.

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (2; - 4;3) và đi qua điểm M(1; - 2;4)

    Trục Ox có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0) và đi qua điểm N(1;0;0)

    Khoảng cách giữa đường thẳng d và trục Ox là:

    d(d;Ox) = \frac{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}}
ightbrack.\overrightarrow{MN} ight|}{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack ight|} =
\frac{\left| (0;3;4).(0;2; - 4) ight|}{\left| (0;3;4) ight|} =
2

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 76 lượt xem
Sắp xếp theo