Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
, khi đó tọa độ điểm
là:
Gọi ta có:
khi đó
nên tọa độ điểm cần tìm là
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
, khi đó tọa độ điểm
là:
Gọi ta có:
khi đó
nên tọa độ điểm cần tìm là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, vectơ
là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
cùng phương với vectơ
. Vậy
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Trong không gian với hệ toạ độ
, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : .
Trong không gian
, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm
và song song với mặt phẳng
?
Mặt phẳng có phương trình là
nên có một vectơ pháp tuyến là
.
Phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng
.
Cho điểm
chia đoạn thẳng
theo tỉ số
thì ta có:
. Khi đó với một điểm
tùy ý ta có:
Ta có:
Trong không gian
, cho điểm
và mặt phẳng
. Điểm
thay đổi thuộc
; điểm
thay đổi thuộc mặt phẳng
. Biết rằng tam giác
có chu vi nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
.
Trong không gian , cho điểm
và mặt phẳng
. Điểm
thay đổi thuộc
; điểm
thay đổi thuộc mặt phẳng
. Biết rằng tam giác
có chu vi nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tam giác
với
. Diện tích của tam giác
là:
Ta có:
Diện tích tam giác là
Trong không gian
, cho điểm
. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục
lần lượt tại
sao cho
?
Từ giả thiết, ta có thể coi (với
).
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là .
Do (P) đi qua M(−1; 0; 3) nên .
Theo trên có c = ±a, kết hợp với phương trình vừa thu được, ta suy ra a = −1, c = 1.
Cũng theo trên, b = ±a, nên có 2 giá trị của b.
Suy ra có 2 bộ (a, b, c) thỏa mãn, hay có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu đề bài.
Cho tứ diện
và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Cho tứ diện và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng ![]()
?
Gọi lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 và d2 ta chọn
Giả sử M1 ∈ d1 và M2 ∈ d2, ta chọn suy ra
Khi đó và
. Do đó (d1) và (d2) chéo nhau.
Cho
và
. Điểm
sao cho
và đoạn
bằng 3 lần khoảng cách từ
đến
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Cho hình hộp
có tâm
. Đặt
. Điểm
xác định bởi đẳng thức
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là tâm các mặt đáy
suy ra
là trung điểm của
Do là hình hộp nên
Theo giả thiết ta có:
Vì là hình hộp nên từ đẳng thức
suy ra M là trung điểm của
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và hai mặt phẳng
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua
và song song với hai mặt phẳng
?
Ta có:
Do đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương là .
Vậy phương trình đường thẳng d là
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho đường thẳng
có phương trình tham số là
Gọi vectơ chỉ phương của đường thẳng
, ta chọn
Giả sử , chọn
suy ra phương trình tham số d là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho bốn điểm
,
và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng
nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng
hợp với mặt phẳng
các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.
Hình vẽ minh họa
Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).
Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn
Ta có , suy ra
Phương trình đường thẳng MH nhận làm vectơ chỉ phương nên MH là:
Khi đó:
Trong không gian
, cho đường thẳng
và hai điểm
. Gọi
là điểm thuộc đường thẳng
sao cho diện tích tam giác
bằng
. Giá trị của tổng
bằng:
Phương trình tham số của đường thẳng
Vì C thuộc d nên tọa độ của C có dạng
Ta có
Suy ra
Diện tích tam giác ABC là
Theo bài ra ta có
Với t = 1 thì C (1; 1; 1) nên
Vậy giá trị của tổng
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng
vuông góc với
và hợp với các trục tọa độ một tứ diện có thể tích bằng
là
Ta có
Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox, Oy, Oz
Suy ra
Ta có thể tích tứ diện
Vậy đáp án cần tìm là:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ
. Gọi
là vectơ thoả mãn:
. Tọa độ của vectơ
là:
Đặt .
Ta có:
Vậy .
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Tính
?
Ta có:
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .