Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5). Tọa độ chân đường phân giác của góc B trong tam giác ABC là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\ \end{matrix} ight.

    Gọi D(a;b;c) là chân đường phân giác kẻ từ B lên AC của tam giác ABC.

    Suy ra \frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\ \overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)

  • Câu 2: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2; - 1),B(3;0;3). Biết mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách B một khoảng lớn nhất. Phương trình mặt phẳng (P) là

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P), suy ra d(B, (P)) = AH.

    Ta có BH ≤ AB.

    Dấu “=” xảy ra ⇔ H ≡ A

    ⇒ BHmax = AB khi AB ⊥ (P).

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} AB\bot(P) \\ A \in (P) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (P):2x - 2y + 4z + 6 = 0

    \Leftrightarrow x - y + 2z + 3 = 0

  • Câu 3: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A;B;C sao cho T = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} + \frac{1}{OC^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất là:

    Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực dương do OA, OB, OC khác 0.

    Khi đó phương trình mặt phẳng (P) qua A, B, C có phương trình là \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Mà M ∈ (P) nên \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1, do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

    T = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{14}\left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ight)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)

    \geq \frac{1}{14}\left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} ight)^{2} = \frac{1}{14}

    T đạt giá trị nhỏ nhất nên ta có dấu bằng xảy ra, tức là: \left\{ \begin{matrix}a = 2b = 3c \\\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 14 \\b = \dfrac{14}{2} \\c = \dfrac{14}{3} \\\end{matrix} ight.

    Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x + 2y + 3z - 14 = 0.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB và CD. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 4\overrightarrow{MN} Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN} Đúng||Sai

    c) \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MN} Sai||Đúng

    d) \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN} Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB và CD. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 4\overrightarrow{MN} Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN} Đúng||Sai

    c) \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MN} Sai||Đúng

    d) \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN} Đúng||Sai

    a) Vì M, N là trung điểm của AB và CD nên \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MN} và \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 2\overrightarrow{NM}

    Nên \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{0}.

    b) Ta có:

    \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MD}

    = \left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} ight) + \left( \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight)

    = \overrightarrow{0} + 2\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{MN}

    c) Ta có:

    \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC}

    = \left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight) + \left( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} ight) = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}

    d) Do N là trung điểm của CD nên \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, tìm tất cả giá trị tham số m để đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1} song song với mặt phẳng (P):2x + y - m^{2}z + m = 0.

    Ta có:

    d qua điểm M(1; 0; 1) và có VTCP là \overrightarrow{u} = (1;2;1)

    (P) có VTPT là \overrightarrow{n} = \left( 2;1; - m^{2} ight)

    Vì d // (P) nên \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2

    Với m = 2, (P): 2x + y − 4z + 2 = 0 ⇒ M ∈ (P) (loại).

    Với m = −2, (P): 2x + y − 4z − 2 = 0\Rightarrow M otin (P) (thỏa mãn).

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho ba điểm A\left( {3,1,0} ight);\,\,\,B\left( {2,1, - 1} ight);\,\,\,C\left( {x,y, - 1} ight). Tính x và y để ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng với nhau?

     A, B, C thẳng hàng \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} cùng phương với \overrightarrow {AC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 0\\{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2} = 0\\{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3} = 0\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1\left( {y - 1} ight) - 0\left( {x - 3} ight) = 0\\0\left( { - 1} ight) - \left( { - 1} ight)\left( {y - 1} ight) = 0\\ - 1\left( {x - 3} ight) - \left( { - 1} ight)\left( { - 1} ight) = 0\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} ight.

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{u} = (1;2;0). Tọa độ vectơ \overrightarrow{u} là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =(0;0;1)

    \overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i}+ y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow\overrightarrow{u} = (x;y;z)

    Suy ra \overrightarrow{u} = (1;2;0)\Leftrightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j}

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz: \left( D ight):\,\frac{{x\, - \,{x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_1}}}{{{a_3}}} , \left( d ight):\,\frac{{x\, - \,{x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_2}}}{{{b_3}}}. Với {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3},\,\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3} e \,0 . Gọi \overrightarrow a = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight);\,\,\overrightarrow b = \left( {\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3}} ight)và \overrightarrow {AB} = \left( {\,{x_2}\, - \,{x_1},\,\,{y_2}\, - \,{y_1},\,\,{z_2}\, - \,{z_1}} ight). (D) và (d) chéo nhau khi và chỉ khi:

     Để xét điều kiện (D) và (d) có chéo nhau hay không, ta cẩn kiểm tra rằng (D) và d không cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:

    \left[ {\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b } ight].\,\overrightarrow {AB} \, e \,\,0

    Suy ra (D) và (d) chéo nhau.

  • Câu 9: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(2,-1,3), B (3, 1, 2) và song song với vectơ \overrightarrow a = \left( {3, - 1, - 4} ight) là:

    Theo đề bài, ta có: \overrightarrow {AB} = \left( {1,2, - 1} ight);\left[ {\overrightarrow {AB} \overrightarrow {,a} } ight] = \overrightarrow n = \left( { - 9,1, - 7} ight)

    Chọn \overrightarrow n = \left( {9, - 1,7} ight) làm 1 vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng : 9x - y + 7z + D = 0

    Mà mp lại qua A nên 9.2 - ( - 1) + 7.3 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 40

    Phương trình cần tìm là: 9x - y + 7z - 40 = 0.

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;2),B(2; - 1;3). Viết phương trình đường thẳng AB?

    Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là \overrightarrow{AB} = (1; - 2;1). Suy ra phương trình đường thẳng AB là:

    AB:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{1}

  • Câu 11: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z- 3}{- 1},d_{2}:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 6}{3} chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của d_{1},d_{2}.

    Đường thẳng d_{1},d_{2} lần lượt có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{1}} = (1;1; - 1),\overrightarrow{u_{2}} = (1;2;3)

    Giả sử ∆ giao với d_{1},d_{2} lần lượt tại \left\{ \begin{matrix} A(1 + s; - 2 + s;3 - s) \\ B(t;1 + 2t;6 + 3t) \\ \end{matrix} ight., khi đó ta có \overrightarrow{AB} = ( - 1 - s + t;3 - s + 2t;3 + s + 3t)

    Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{AB} = 0 \\ \overrightarrow{u_{2}.}\overrightarrow{AB} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1( - 1 - s + t) + 1(3 - s + 2t) - 1(3 + s + 3t) = 0 \\ 1( - 1 - s + t) + 2(3 - s + 2t) + 3(3 + s + 3t) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 3s = 1 \\14t = - 14 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}s = - \dfrac{1}{3} \\t = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Đường vuông góc chung của d_{1},d_{2} nhận \overrightarrow{AB} = \left( - \frac{5}{3};\frac{4}{3}; - \frac{1}{3} ight) làm VTCP và đi qua điểm B( - 1; - 1;3)

    Vậy ta có phương trình đường thẳng: \frac{x + 1}{5} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{1}

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{a} = (1;0; - 2). Trong các vectơ dưới đây, vectơ nào không cùng phương với \overrightarrow{a}?

    Ta có: \overrightarrow{0} = (0;0;0) cùng phương với mọi vectơ

    Lại có \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{c} = (2;0; - 4) = 2\overrightarrow{a} \\\overrightarrow{d} = \left( - \dfrac{1}{2};0;1 ight) = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} \\\end{matrix} ight.

    Vậy vectơ không cùng phương với \overrightarrow{a} là \overrightarrow{b} = (1;0;2).

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm H(2;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A;B;C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Hãy viết trình mặt phẳng (P).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left| \begin{matrix} AB\bot OC \\ AB\bot CH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot OH

    Chứng minh tương tự BC ⊥ OH.

    Do đó OH\bot(ABC) \Rightarrow \overrightarrow{n_{ABC}} = \overrightarrow{OH} = (2;;1)

    Suy ra (P):2x + y + z - 6 = 0.

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(0; −1; 2), B(2; −3; 0), C(−2; 1; 1), D(0; −1; 3). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

    Gọi M(x; y; z) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x;y + 1;z - 2) \\ \overrightarrow{BM} = (x - 2;y + 3;z) \\ \overrightarrow{CM} = (x + 2;y - 1;z - 1) \\ \overrightarrow{DM} = (x;y + 1;z - 3) \\ \end{matrix} ight.

    Từ giả thiết \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 1 \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x(x - 2) + (y + 1)(y + 3) + z(z - 2) = 1 \\ x(x + 2) + (y + 1)(y - 1) + (z - 1)(z - 3) = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 2z + 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 4z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm I_1(1; −2; 1), R_1 = 2 và mặt cầu tâm I_2(−1; 0; 2), R_2 = 2

    I_{1}I_{2} = \sqrt{5}

    Dễ thấy r = \sqrt{{R_{1}}^{2} - \left( \frac{I_{1}I_{2}}{2} ight)^{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Đặt \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của CD suy ra \overrightarrow{BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BM}

    Ta có: \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BM}

    = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} ight) = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} ight)

    = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)

    = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight) = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;1),B(3; - 2;0),C(1;2; - 2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến mặt phẳng (P) lớn nhất, biết rằng (P) không cắt đoạn BC. Khi đó pháp tuyến của mặt phẳng (P):

    Hình vẽ minh họa

    Lấy M là trung điểm của đoạn BC, suy ra M(2; 0; −1).

    Gọi BB’, CC’, MM’ lần lượt là khoảng cách từ B, C, M đến mặt phẳng (P), từ đó suy ra BB’ + CC’ = 2MM’.

    Xét tam giác vuông AMM’, ta có MM' ≤ AM, từ đó suy ra để tổng khoảng cách từ B và C đến mặt phẳng (P) thì MM’ phải lớn nhất, điều này có nghĩa là M’ trùng với A hay MA ⊥ (P).

    Từ đó suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \overrightarrow{AM} = (1;0; - 2)

  • Câu 17: Nhận biết

    Ba mặt phẳng 2x + y - z - 1 = 0,3x - y - z + 2 = 0,4x - 2y + z - 3 = 0 cắt nhau tại điểm A.Tọa độ của A là:

     Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình :

    \left\{ \begin{array}{l}2x + y - z - 1 = 0\left( 1 ight)\\3x - y - z + 2 = 0\left( 2 ight)\\4x - 2y + z - 3 = 0\left( 3 ight)\end{array} ight.

    Giải (1),(2) tính x,y theo z được x = \frac{{2z - 1}}{5};y = \frac{{z + 7}}{5}

    Thế vào phương trình (3) được z=3, từ đó có x=1,y=2.

    Vậy A(1, 2, 3).

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + 2y - 5z - 3 = 0 và hai điểm A(3;1;1),B(4;2;3). Gọi (Q) là mặt phẳng qua AB và vuông góc với (P). Phương trình nào là phương trình của mặt phẳng (Q)?

    Vì (Q) là mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P) nên mặt phẳng (Q) nhận \overrightarrow{AB} = (1;1;2);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1;2; - 5) làm hai vectơ chỉ phương.

    Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \overrightarrow{n_{(Q)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = ( - 9;7;1)

    Phương trình mặt phẳng

    (Q): - 9(x - 3) + 7(y - 1) + 1(z - 1) = 0

    \Leftrightarrow 9x - 7y - z - 19 = 0

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 2}{2} và điểm A(3;2;0). Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là:

    Gọi M( - 1 + t; - 3 + 2t; - 2 + 2t) \in d

    \Rightarrow AH = (t - 4;2t - 5;2t - 2)

    Vectơ chỉ phương của d là \overrightarrow{u} = (1;2;2)

    Vì \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{AH} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH} = 0

    \Leftrightarrow 1(t - 4) + 2(2t - 5) + 2(2t - 2) = 0 \Leftrightarrow t = 2

    Suy ra M(1; 1; 2), gọi A’(x; y; z) là điểm đối xứng của A qua d thì: \left\{ \begin{matrix} x = 2.1 - 3 = - 1 \\ y = 2.1 - 2 = 0 \\ z = 2.2 - 0 = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là: ( - 1;0;4).

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi E;F lần lượt là trung điểm của AD;BC, các điểm M;N lần lượt nằm trên AB;DC sao cho AM = MB;DN = 2NC. Biết biểu diễn \overrightarrow{EF} = m.\overrightarrow{EM} + n.\overrightarrow{EN}. Tính tổng giá trị m;n?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{EF} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}}{2}

    = \frac{\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EN} + \overrightarrow{NC}}{2}

    = \frac{\overrightarrow{EM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{EN} + \overrightarrow{NC}}{2}

    = \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{EN} +\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}}{2}

    = \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{EN} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DN}}{2}

    = \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EM} ight) +\overrightarrow{EN} + \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{DE} +\overrightarrow{EN} ight)}{2}

    = \dfrac{\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EM} +\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EN}}{2} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{EM} +\frac{3}{4}\overrightarrow{EN}

    Suy ra m = n = \frac{3}{4} \Rightarrow m + n = \frac{3}{2}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 74 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập