Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \widehat{ABC} = 60^{0}, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H,M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,SA,SD và P là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm K của đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \widehat{ABC} = 60^{0}, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H,M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,SA,SD và P là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm K của đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4} và d_{2} là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x + 3y - 9 = 0,y + 2z + 5 = 0. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là:

    Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} 2x + 3y - 9 = 0 \\ y + 2z + 5 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Cho y = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(3;1; - 3) \in d_{2\ }

    Cho y = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ z = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(0;3; - 4) \in d_{2}

    Đường thẳng d1 đi qua M (1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{1}} = (2;1;4)

    Đường thẳng d2 đi qua A (3; 1; −3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{2}} = ( - 3;2; - 1) = \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} = (2; - 6; - 6)

    Ta có \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 9; - 10;7)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack\overrightarrow{AM} = - 2.9 + 6.10 - 6.7 = 0

    Do đó vị trí tương đối của hai đường thẳng là cắt nhau.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD với I;J lần lượt là trung điểm của AB;CD. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng CI;AJ?

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:

    \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} = \frac{a^{2}}{2}

    Ta có: \overrightarrow{AJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}

    \overrightarrow{CI} = \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}

    Do đó: \overrightarrow{CI}.\overrightarrow{AJ} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} ight)\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight) = - \frac{1}{2}a^{2}

    Ta lại có AJ = CI = \frac{a\sqrt{3}}{2} suy ra \cos\left( \overrightarrow{CI};\overrightarrow{AJ} ight) = - \frac{2}{3}

    Vậy đáp án cần tìm là \frac{2}{3}.

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hai vectơ \overrightarrow V = \,m\overrightarrow a \,\, - \,\,2\overrightarrow bvà \overrightarrow W = \,m\overrightarrow b \,\, - \,\,\overrightarrow avới \overrightarrow a = \left( {2,\,1,\, - 1} ight) và \overrightarrow b = \left( {1,\, - 2,\,1} ight).Tìm m để \overrightarrow V và \overrightarrow W vuông góc.

     Điều kiện để

    \overrightarrow V vuông góc \overrightarrow W \Leftrightarrow \left( {m\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } ight)\left( {m\overrightarrow b - \overrightarrow a } ight) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 ight)

    Với {\overrightarrow a ^2} = 6;\,{\overrightarrow b ^2} = 6;\,\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 1

    \begin{array}{l}\left( 1 ight) \Leftrightarrow {m^2} + 18m + 2 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = - 9 \pm \sqrt {79} \end{array}

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a;\,\,AD = b;\,\,AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với O;\,\,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, EF, DH. Tính khoảng cách giữa NP và CG.

    Ta biểu diễn các điểm N, P, C, G theo a, b, c được:

    N\left( {\frac{a}{2},0,c} ight);P\left( {0,b,\frac{c}{2}} ight);\,C\left( {a,b,0} ight);\,\,\,G\left( {a,b,c} ight)

    Từ đó, ta tính được các vecto tương ứng:

    \overrightarrow {NP} = \left( { - \frac{a}{2},b, - \frac{c}{2}} ight);\,\,\,\overrightarrow {CG} = \left( {0,0,c} ight);\,\,\overrightarrow {PC} = \left( {a,0, - \frac{c}{2}} ight)

    Để tính khoảng cách giữa NP và CG, ta cần tính tích có hướng và tích độ dài giữa chúng rồi áp dụng CT tính khoảng cách:

    \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {CG} ,\overrightarrow {NP} } ight] = \left( { - bc, - \dfrac{{ac}}{2},0} ight) = > \left| {\left[ {\overrightarrow {CG} ,\overrightarrow {NP} } ight]} ight| = \dfrac{c}{2}\sqrt {{a^2} + 4{b^2}} \\\left[ {\overrightarrow {CG} ,\overrightarrow {NP} } ight].\overrightarrow {PC} = - abc = > d\left( {NP,CG} ight) = \dfrac{{2ab\sqrt {{a^2} + 4{b^2}} }}{{{a^2} + 4{b^2}}}\end{array}

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho tứ diện OABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.Phân tích nào sau đây là đúng?

    Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC khi \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho tứ giác ABCD có A\left( {0,1, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( {1,1,2} ight);\,\,C\left( {1, - 1,0} ight);\,\,\,\left( {0,0,1} ight) . Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua A, B và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3.

     PT mp cắt khối tứ diện

    Theo đề bài, ta có mp (P) cắt cạnh CD tại E, E chia đoạn CD theo tỷ số -3

    \Rightarrow E\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{x_C} + 3{x_D}}}{4} = \dfrac{{1 + 3.0}}{4} = \dfrac{1}{4}\\y = \dfrac{{{y_C} + 3{y_D}}}{4} = \dfrac{{ - 1 + 3.0}}{4} = \dfrac{{ - 1}}{4}\\z = \dfrac{{{z_C} + 3{z_D}}}{4} = \dfrac{{0 + 3.1}}{4} = \dfrac{3}{4}\end{array} ight.

    Từ đó, ta suy ra: \overrightarrow {AB} = \left( {1,0,3} ight);\,\,\overrightarrow {AE} = \left( {\frac{1}{4}; - \frac{5}{4};\frac{7}{4}} ight) = \frac{1}{4}\left( {1, - 5,7} ight)

    Như vậy, VTPT mp (P) là: \left( P ight):\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} } ight] = \left( {15, - 4, - 5} ight)

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 0} ight)15 + \left( {y - 1} ight)\left( { - 4} ight) + \left( {z + 1} ight)\left( { - 5} ight) = 0

    \Leftrightarrow 15x - 4y - 5z - 1 = 0

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; −1; 2), B(−2; 0; 3), C(0; 1; −2). Điểm M(a; b; c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + 3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, T = 12a + 12b + c có giá trị là:

    Chọn I sao cho 4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}

    Ta tính được I\left( - \frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)

    Ta thấy

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight) \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} ight) + \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} ight) + \overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} \\ \end{matrix} ight.

    S = 6{\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} + 3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI}\left( 4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} ight)

    \Rightarrow S = 6MI^{2} +\underset{CONST}{\overset{4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +5\overrightarrow{IC}}{︸}}

    Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.

    Vậy M là hình chiếu vuông góc của I\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight) lên (Oxy) \Rightarrow M\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};0 ight)

    Ta xác định được \left\{ \begin{matrix}a = - \dfrac{1}{6} \\b = \dfrac{1}{12} \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = - 1

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào dưới đây là sai?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC}

    Vậy đáp án sai là: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} có cạnh a. Gọi M là trung điểm của AD. Tính tích vô hướng \overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD_{1}} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AD}

    Ta có: \overrightarrow{B_{1}M} = \overrightarrow{B_{1}A} + \overrightarrow{AM} hay \overrightarrow{B_{1}M} = - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}

    Do đó \overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}} = AB^{2} - A_{1}A^{2} + \frac{1}{2}AD^{2} = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 + 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Gọi d' là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng tọa độ (Oxz). Viết phương trình đường thẳng d'.

    Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;2;3)

    Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (0;1;0) và có phương trình y = 0.

    Suy ra \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 3;0;1)

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).

    Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ \overrightarrow{u'} = \left\lbrack \overrightarrow{n}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack ightbrack = (1;0;3) làm vectơ chỉ phương.

    Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.EFFH. Phân tích nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Biến đổi biểu thức

    \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} ight)

    \Leftrightarrow 2\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{CH}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AE} + \left( \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AF} ight) = \overrightarrow{CH}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CH}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CH} (đúng)

    Vậy phân tích đúng là \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} ight).

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = - 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d?

    Thay M(1;2; - 1) vào d ta được: \left\{ \begin{matrix} 1 = 1 - t \\ 2 = 2 + 2t \\ - 1 = - 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow M \in d

    Thay N(6; - 8;9) vào d ta được: \left\{ \begin{matrix} 6 = 1 - t \\ - 8 = 2 + 2t \\ 9 = - 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = - 5 \Rightarrow N \in d

    Thay P( - 6;16; - 14) vào d ta được: \left\{ \begin{matrix} - 6 = 1 - t \\ 16 = 2 + 2t \\ - 14 = - 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 7 \\ t = 7 \\ t = \frac{13}{2} \\ \end{matrix} ight. hệ vô nghiệm nên P otin d.

    Thay Q( - 19;42; - 41) vào d ta được: \left\{ \begin{matrix} 19 = 1 - t \\ 42 = 2 + 2t \\ - 41 = - 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = 20 \Rightarrow Q \in d

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Hãy phân tích vectơ \overrightarrow{AC_{1}} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA_{1}}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}} (Theo quy tắc hình bình hành).

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( - 1;3;1),B(1; - 1;2),C(2;1;3),D(0;1; - 1). Mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD có phương trình là:

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 4;1) \\ \overrightarrow{CD} = ( - 2;0; - 4) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ightbrack = (8;3; - 4).

    Mặt phẳng (P) đi qua A( - 1;3;1), nhận \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ightbrack = (8;3; - 4) là vectơ pháp tuyến, có phương trình là

    \ 8(x + 1) + 3(y - 3) - 4(z - 1) = 0

    \Leftrightarrow 8x + 3y - 4z + 3 = 0

    (Thỏa mãn song song CD nên thỏa mãn đề bài).

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz: \left( D ight):\,\frac{{x\, - \,{x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_1}}}{{{a_3}}} ,  \left( d ight):\,\frac{{x\, - \,{x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_2}}}{{{b_3}}}. Với {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3},\,\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3} e \,0 . Gọi \overrightarrow a = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight);\,\,\overrightarrow b = \left( {\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3}} ight) và \overrightarrow {AB} = \left( {\,{x_2}\, - \,{x_1},\,\,{y_2}\, - \,{y_1},\,\,{z_2}\, - \,{z_1}} ight). (D) và (d) cắt nhau khi và chỉ khi:

     Để xét điều kiện (D) và (d) cắt nhau ta cẩn kiểm tra rằnng (D) và d cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AB} = 0 \Rightarrow \left( D ight)và (d)  cùng nằm trong một mặt phẳng

    Để (D) và d cắt nhau, ta sẽ xét tỉ số sau:

      {a_1}:{a_2}:{a_3} e {b_1}:{b_2}:{b_3} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} e \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} e \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}} \Rightarrow \left( D ight)

    và (d) cắt nhau.

  • Câu 17: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(4, -1, 1), B(3, 1, -1) và song song với trục Ox là:

     \overrightarrow {AB} = \left( { - 1,2, - 2} ight): vectơ chỉ phương của trục Ox: \overrightarrow i = \left( {1,0,0} ight) .

    \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow i } ight] = \left( {0, - 2, - 2} ight): Chọn làm vectơ pháp tuyến thì phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng y + z + D = 0, qua A nên:- 1 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = 0

    Vậy ta có phương trình mp cần tìm là:  y+z=0

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD có A(3, -2,1), B\left( { - 4,0,3} ight),C\left( {1,4, - 3} ight),D\left( {2,3,5} ight). Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là:

    Theo đề bài, ta có các vecto là

    \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \left( { - 2,6, - 4} ight);\overrightarrow {BD} = \left( {6,3,2} ight)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } ight] = \left( {24, - 20, - 42} ight).\end{array}

    Có thể chọn \overrightarrow n = \left( {12, - 10, - 21} ight) làm một vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng.

    Phương trình mặt phẳng này có dạng 12x - 10y - 21z + D = 0.

    Mặt khác, điểm A thuộc mặt phẳng nên ta thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng trên: 12.3 - 10( - 2) - 21.1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 35

    Vậy phương trình cần tìm 12x - 10y - 21z - 35 = 0.

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 1,BC = 2,AA' = 3. Mặt phẳng (P) thay đổi và luôn đi qua C', mặt phẳng (P) cắt các tia AB,AD,AA' lần lượt tại E,F,G (khác A). Tính tổng T = AE + AF + AG sao cho thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất.

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A ≡ O(0; 0; 0),B(1; 0; 0), D(0; 2; 0), A0 (0; 0; 3)

    Khi đó E(AE; 0; 0), F(0; AF, 0),G(0; 0; AG), C0 (1; 2; 3).

    Phương trình mặ phẳng (P):\frac{x}{AE} + \frac{y}{AF} + \frac{z}{AG} = 1

    Vì C'(1;2;3) \in (P) \Rightarrow \frac{1}{AE} + \frac{2}{AF} + \frac{3}{AG} = 1

    Thể tích khối đa diện AEFG là:

    V_{AEFG} = \dfrac{1}{6}AE.AF.AG =\dfrac{1}{\dfrac{1}{AE}.\dfrac{2}{AF}.\dfrac{3}{AG}} \geq \dfrac{1}{\dfrac{\left( \dfrac{1}{AE} +\dfrac{2}{AF} + \dfrac{3}{AG} ight)^{3}}{27}} = 27

    Do dó thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất bằng 27 khi và chỉ khi:

    \frac{1}{AE} = \frac{2}{AF} = \frac{3}{AG} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} AE = 3 \\ AF = 6 \\ AG = 9 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó T = AE + AF + AG = 3 + 6 + 9 = 18

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;6; - 7);B(3;2;1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:

    Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 4;8)

    Suy ra một vectơ pháp tuyến của (P) là \overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 2;4)

    Hơn nữa, trung điểm của AB là I(2; 4; −3) thuộc mặt phẳng (P) nên

    (P):(x - 2) - 2(y - 4) + 4(z + 3) = 0

    \Leftrightarrow x - 2y + 4z + 18 = 0.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 72 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập