Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Đặt $\overrightarrow{SA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{SB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{SD} = \overrightarrow{d}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d} + \overrightarrow{b}$
- B.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d}$
- C.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$
Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ . Khi đó:

$\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO}$

Vậy $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d} + \overrightarrow{b}$ .
Câu 2: Vận dụng cao
Cho điểm $M\left( { - 3,2, - 1} ight)$ và hai mặt phẳng $\left( \alpha ight):x + 3y - 5z + 3 = 0,\left( \beta ight):2x - y - 2z - 5 = 0.$
Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa điểm M , vuông góc với cả hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ :
- A. $x + 8y - 7z + 12 = 0$
- B. $x - 8y + 7z + 12 = 0$
- C. $x - 8y - 7z + 12 = 0$
- D. $x + 8y + 7z + 12 = 0$
Theo đề bài, ta có:
$\left( \alpha ight):x + 3y - 5z + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow a = \left( {1,3, - 5} ight)$
$\left( \beta ight):2x - y - 2z - 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow b = \left( {2, - 1, - 2} ight)$
Suy ra tích có hướng giữa 2 vecto là $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = \overrightarrow n = \left( {1, - 8, - 7} ight)$
Ta chọn $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng $(P)$
Phương trình $(P)$ có dạng $x - 8y - 7z + D = 0$
Mặt khác, ta có $M \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow - 3 - 16 + 7 + D = 0 \Leftrightarrow D = 12$
Vậy phương trình cần tìm là: $(P): x - 8y - 7z + 12 = 0$
Câu 3: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(1; 1; 1)$ , đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình $\frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5};\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1}$ . Biết $B (a; b; c)$ , khi đó $a + b + c$ bằng
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $- 2$
- D.
  $2$
Hình vẽ minh họa

Giả sử đường cao là $CH:\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1}$ ta có vectơ chỉ phương của CH là $\overrightarrow {u} = (2; 5; −1)$ .

B thuộc đường trung tuyến $BM:\frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5}$ nên $B(8 + 10t; −7 − 9t; 5 + 5 t)$ .

Suy ra $\overrightarrow{AB} = (7 + 10t; - 8 - 9t;4 + 5t)$

Vì $CH ⊥ AB$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u} = 0$ $⇔ −30t−30 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ B(−2; 2; 0)$ .

Vậy $a + b + c = 0$ .
Câu 4: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ . Biết rằng tọa độ các điểm $A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c)$ và hình thang $ABCD$ có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Tính giá trị biểu thức $a+b+c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ . Biết rằng tọa độ các điểm $A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c)$ và hình thang $ABCD$ có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Tính giá trị biểu thức $a+b+c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 5: Thông hiểu

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;2;4),B(0;1;5)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách $d$ từ $O$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;2;4),B(0;1;5)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách $d$ từ $O$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $(\beta):\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z}{2}$ và vuông góc với mặt phẳng $(\beta):x + y - 2z + 1 = 0$ . Hỏi giao tuyến của $(\alpha)$ và $(\beta)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $(1; - 2;0)$
- B.
  $(2;3;3)$
- C.
  $(5;6;8)$
- D.
  $(0;1;3)$
Ta có: $(\alpha):\left\{ \begin{matrix} d \subset (\alpha)\ \\ (\beta)\bot(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A(2;3;0) \in d \Rightarrow A \in (\alpha)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}}\bot\overrightarrow{u_{d}} = (1;1;2)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}}\bot\overrightarrow{n_{\beta}} = (1;1; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A(2;3;0) \in (\alpha)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{\beta}} ightbrack = ( - 4;4;0) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $(\alpha):x - y + 1 = 0$

Khi đó giao tuyến thỏa hệ $\left\{ \begin{matrix} x - y + 1 = 0 \\ x + y - 2z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Thay các phương án vào hệ, ta nhận phương án $(2;3;3)$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tính thể tích tứ diện $OABC$ , biết $A;B;C$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $2x - 3y + 4z + 24 = 0$ với trục $Ox,Oy,Oz$ .
- A.
  $V = 192$
- B.
  $V = 288$
- C.
  $V = 96$
- D.
  $V = 78$
Theo giả thiết ta có: $A( - 12;0;0),B(0;8;0),C(0;0; - 6)$ suy ra

$V_{OABC} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.12.8.6 = 96$
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;3)$ và mặt phẳng $(P):2x + y - 4z + 1 = 0$ . Đường thẳng $(d)$ qua điểm $A$ , song song với mặt phẳng $(P)$ , đồng thời cắt trục $Oz$ . Viết phương trình tham số của đường thẳng $(d)$ .
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 5t \\ y = 2 - 6t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 6t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Gọi $B = d \cap Oz \Rightarrow B(0;0;b) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2;\ b - 3)$

Lại có $d\ //(P)\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} = (2;1; - 4)$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{(P)}} = 0 \Leftrightarrow - 2 - 2 - 4b + 12 = 0 \Leftrightarrow b = 2$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2 - 1)$

Do đó, (d) là đường thẳng qua B(0; 0; 2) và nhận $\overrightarrow{u} = (1;2;1)$ làm vectơ chỉ phương. Nên (d) có phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2; - 1; - 3)$ và mặt phẳng $(P):3x - 2y + 4z - 5 = 0$ . Mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A$ và song song với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:
- A.
  $(Q):3x - 2y + 4z - 4 = 0$
- B.
  $(Q):3x - 2y + 4z + 4 = 0$
- C.
  $(Q):3x - 2y + 4z + 5 = 0$
- D.
  $(Q):3x + 2y + 4z + 8 = 0$
Do mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (3; - 2;4)$

Phương trình mặt phẳng (Q) là:

$3(x - 2) - 2(y - 1) + 4(z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow 3x - 2y + 4z + 4 = 0$
Câu 10: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ đều cạnh bằng $a$ . Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ . Góc giữa $AO$ và $CD$ bằng:
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $0^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Vì ABCD là tứ diện đều nên $AM\bot CD;OM\bot CD$

Ta có: $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MO} ight)$

$= \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{CD}\bot\overrightarrow{AO}$ nên số đo góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{0}$ .
Câu 11: Vận dụng cao
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P): x-2y+2z-5=0$ và hai điểm $A(-3;0;1), B(1;-1;3)$ . Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:
- A. $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
- B. $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{-11}=\dfrac{z-1}{-2}$
- C. $\dfrac{x-3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z+1}{-2}$
- D. $\dfrac{x+2}{26}=\dfrac{y-1}{11}=\dfrac{z+3}{-2}$
Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).
Ta có: $(-3-2.0+2.1-5)(1+2.1+2.3-5) < 0 \Rightarrow A, B$ nằm về hai phía với (P).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) $\Rightarrow$ BH cố định và $d(B,(Q))=BH$ .
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay $d//(P)$ .
Ta có: $BK \geq BH \Leftrightarrow d(B, d) \geq d(B, d) \Rightarrow d (B, d)$ bé nhất bằng BH khi K trùng với điểm H.
Gọi $\vec{n}$ là VTPT của (ABH) $\Rightarrow \vec{n}=[\vec{n_p}, \vec{AB}]=(-2;6;7)$
Ta có đường thẳng d cần lập qua A, H và có VTCP là $\vec{u_d}=[\vec{n},\vec{n_P}]=(26; 11; -2)$
Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là: $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;2),B(2; - 1;3)$ . Viết phương trình đường thẳng $AB$ ?
- A.
  $AB:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$
- B.
  $AB:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$
- C.
  $AB:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{2}$
- D.
  $AB:\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB} = (1; - 2;1)$ . Suy ra phương trình đường thẳng $AB$ là:

$AB:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$
Câu 13: Thông hiểu

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0$ và $\left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0$

a) Vectơ có tọa độ $(1\ ;\ 2\ ;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ . Sai||Đúng

b) Vectơ có toạ độ $( - 2;\ 1\ ;\ 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{2} ight)$ . Đúng||Sai

c) Côsin của góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1)$ và ${\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ bằng $- \frac{1}{6}$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ và $\left( P_{2} ight)$ bằng $100{^\circ}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0$ và $\left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0$

a) Vectơ có tọa độ $(1\ ;\ 2\ ;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ . Sai||Đúng

b) Vectơ có toạ độ $( - 2;\ 1\ ;\ 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{2} ight)$ . Đúng||Sai

c) Côsin của góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1)$ và ${\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ bằng $- \frac{1}{6}$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ và $\left( P_{2} ight)$ bằng $100{^\circ}$ . Sai||Đúng

a) $\overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = (1;2; - 1)$ nên mệnh đề sai

b) $\overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = ( - 2;1;1)$ nên mệnh đề đúng

c) $\cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) = \frac{1.( - 2) + 2.1 + ( - 1)1}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = - \frac{1}{6}$ mệnh đề đúng

d) Góc hai mặt phẳng không thể tù nên mệnh đề sai
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $M(1;3; - 1)$
- B.
  $M( - 3;5;3)$
- C.
  $M(3;5;3)$
- D.
  $M(1;2; - 3)$
Nếu một điểm nằm trên một đường thẳng thì khi thay tọa độ điểm đó vào phương trình đường thẳng thì sẽ thỏa mãn phương trình đường thẳng.

Lần lượt thay tọa độ M từ các phương án vào phương trình đường thẳng d ta được M(−3; 5; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{25}$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{5}$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{25}$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{5}$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}$
Câu 16: Thông hiểu
Cho ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng. Xét các vectơ $\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b},$ $\overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c},$ $\overrightarrow{z} = -3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  Ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng.
- B.
  Hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{a}$ cùng phương.
- C.
  Hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{b}$ cùng phương.
- D.
  Ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đôi một cùng phương.
Giả sử ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng, khi đó $\overrightarrow{x} =m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}m\overrightarrow{y} = m\overrightarrow{a} - m\overrightarrow{b} -m\overrightarrow{c} \\overrightarrow{z} = - 3n\overrightarrow{b} - 2n\overrightarrow{c} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow m\overrightarrow{y} +n\overrightarrow{z} = m\overrightarrow{a} - (m + 3n)\overrightarrow{b} -(m + 2n)\overrightarrow{c}$

Khi đó:

$2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}= m\overrightarrow{a} - (m + 3n)\overrightarrow{b} - (m +2n)\overrightarrow{c}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ m + 3n = - 1 \\ m + 2n = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ n = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng.

Vậy khẳng định đúng là: “Ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng”.
Câu 17: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{B_{1}M} = \overrightarrow{B_{1}B} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$
- B.
  $\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$
- C.
  $\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$
- D.
  $\overrightarrow{B_{1}B} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}} = 2\overrightarrow{B_{1}D}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{C_{1}M} = \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CD} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C_{1}A_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C_{1}B_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} ight)$

$= \overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}$
Câu 18: Nhận biết
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(4, -1, 1), B(3, 1, -1) và song song với trục Ox là:
- A. $y+z+2=0$
- B. $y-z-2=0$
- C. $y+z=0$
- D. $y-z=0$
$\overrightarrow {AB} = \left( { - 1,2, - 2} ight)$ : vectơ chỉ phương của trục Ox: $\overrightarrow i = \left( {1,0,0} ight)$ .
$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow i } ight] = \left( {0, - 2, - 2} ight)$ : Chọn làm vectơ pháp tuyến thì phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng $y + z + D = 0$ , qua A nên: $- 1 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = 0$
Vậy ta có phương trình mp cần tìm là: $y+z=0$
Câu 19: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SD =\frac{a\sqrt{17}}{2}$ , hình chiếu vuông góc $H$ của S trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm của đoạn $AB$ . Gọi $K$ là trung điểm đoạn $AD$ (tham khảo hình vẽ)
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SD =\frac{a\sqrt{17}}{2}$ , hình chiếu vuông góc $H$ của S trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm của đoạn $AB$ . Gọi $K$ là trung điểm đoạn $AD$ (tham khảo hình vẽ)
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 20: Vận dụng
Cho hai điểm $A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight)$ và mặt phẳng $\left( \beta ight):3x - 2y + z + 9 = 0.$ Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng $(\beta)$ có phương trình:
- A. $x + y - z - 2 = 0$
- B. $x - y + z - 2 = 0$
- C. $x - y - z - 2 = 0$
- D. $x + y + z - 2 = 0$
Theo đề bài, ta có: $A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight)$ ; $\left( \beta ight):3x - 2y + z + 9 = 0.$
Suy ra $\overrightarrow {AB} = \left( {3, - 5, - 2} ight)$ ; $(\beta)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {3, - 2,1} ight)$
Ta có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } ight] = \left( { - 9, - 9,9} ight)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow p = \left( {1,1, - 1} ight)$
Chọn $\vec{p}$ làm 1 vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng $(\alpha)$ .
Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng: $x + y - z + D = 0$
$A \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow - 2 + 3 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2$
Mặt phẳng : $(\alpha): x + y - z - 2 = 0$

33 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!