Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ . Đặt $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{B'C}$ qua các vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ . Chọn đáp án đúng?
- A.
  $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
- C.
  $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AA'}$

$= - \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2;4;1),\ B( - 1;1;3)$ và mặt phẳng $(P):x - 3y + 2z - 5 = 0$ . Một mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A;B$ và vuông góc với $(P)$ có dạng $ax + by + cz - 11 = 0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $a + b + c = 5$
- B.
  $a + b + c = 15$
- C.
  $a + b + c = - 5$
- D.
  $a + b + c = - 15$
Vì (Q) vuông góc với (P) nên (Q) nhận véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 3;2)$ làm véc-tơ chỉ phương.

Mặt khác do (Q) đi qua hai điểm A, B nên nhận $\overrightarrow{n_{AB}} = ( - 3; - 3;2)$ làm véc-tơ chỉ phương.

Vậy (Q) có véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{(Q)}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{AB}} ightbrack = (0;8;12)$

Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là:

$0(x - 2) + 8(y - 4) + 12(z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2y + 3z - 11 = 0$

Vậy $a + b + c = 5$ .
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P):2x - y + 3 = 0$ . Một véc tơ pháp tuyến của $(P)$ có tọa độ là?
- A.
  $(2;1;0)$
- B.
  $(2; - 1;3)$
- C.
  $(2; - 1;0)$
- D.
  $(2;1;3)$
Mặt phẳng $(P)$ có VTPT là: $\overrightarrow{n} = (2; - 1;0)$
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Hỏi bốn vectơ nào có giá cùng thuộc một mặt phẳng?
- A.
  $\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC'}$
- B.
  $\overrightarrow{A'D};\overrightarrow{AA'};\overrightarrow{A'D'};\overrightarrow{DD'}$
- C.
  $\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}$
- D.
  $\overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}$
Hình vẽ minh họa

Từ hình vẽ ta thấy các vectơ $\overrightarrow{A'D};\overrightarrow{AA'};\overrightarrow{A'D'};\overrightarrow{DD'}$ có giá cùng thuộc một mặt phẳng $(AA'D'D)$ .
Câu 5: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(4;2;5),B(0;4; - 3),C(2; - 3;7)$ . Biết điểm $M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $P = x + y + z$ .
- A.
  $P = 0$
- B.
  $P = 6$
- C.
  $P = 3$
- D.
  $P = - 3$
Vì M ∈ (Oxy) nên $M(x;y;0)$ .

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có G(2; 1; 3).

Khi đó:

$\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = \left| \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight|$

$= \left| 3\overrightarrow{MG} ight| = 3MG = 3\sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + 3^{2}} \geq 9$

Dấu “=” xảy ra khi x= 2 và y= 1 hay M(2; 1; 0).

Vậy P = 3
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;2;0)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):2x + y - 3z + 5 = 0$ ?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P):2x + y - 3z + 5 = 0$ nên $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 3)$ .

Phương trình $\Delta$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)\ \ \ (*)$

Kiểm tra được điểm $M(3;3; - 3)$ thỏa mãn hệ (*).

Vậy phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ cũng là phương trình của $\Delta$ .
Câu 7: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3;5; - 1),B(1;1;3)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight|$ ngắn nhất.
- A.
  $( - 2; - 3;0)$
- B.
  $(2; - 3;0)$
- C.
  $( - 2;3;0)$
- D.
  $(2;3;0)$
Gọi $J(x; y; z)$ là điểm sao cho $\overrightarrow{JA} + \overrightarrow{JB} = \overrightarrow{0}$ Suy ra J(2; 3; 1).

Khi đó $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JA} + \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JB} ight| = 2\left| \overrightarrow{MJ} ight|$

Vậy $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight|$ đạt GTNN khi và chỉ khi $\left| \overrightarrow{MJ} ight|$ đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).

Vậy M(2; 3; 0).
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = ( - 2;3;0)$ và $\overrightarrow{v} = (2; - 2;1)$ . Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}$ ?
- A.
  $3\sqrt{7}$
- B.
  $\sqrt{83}$
- C.
  $\sqrt{89}$
- D.
  $3\sqrt{17}$
Ta có: $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} = ( - 2;3;0) - 2(2; - 2;1) = ( - 6;7; - 2)$

Khi đó $\left| \overrightarrow{w} ight| = \sqrt{89}$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ , nhận vectơ $\overrightarrow{a}$ làm vectơ chỉ phương và đường thẳng $d'$ đi qua điểm $M'$ , nhận vectơ $\overrightarrow{a'}$ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng $d$ song song với $d'$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M \in d' \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a'} \\ M \in d' \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} eq k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$
Điều kiện để $d//d'$ là: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P):x + y + z - 6 = 0$ và cách đều các điểm $A(1;6;0),B( - 2;2; - 1),C(5; - 1;3)$ . Tích $T = a.b.c$ bằng
- A.
  $T = 5$
- B.
  $T = - 1$
- C.
  $T = - 8$
- D.
  $T = 6$
Do $M \in (P)$ và $MA^{2} = MB^{2} = MC^{2}$ , nên ta được hệ:

$\left\{ \begin{matrix} a + b + c = 6 \\ (a - 1)^{2} + (b - 6)^{2} + c^{2} = (a + 2)^{2} + (b - 2)^{2} + (c + 1)^{2} \\ (a - 1)^{2} + (b - 6)^{2} + c^{2} = (a - 5)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a + b + c = 6 \\ 3a + 4b + c = 14 \\ 4a - 7b + 3c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 6$
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1;1; - 2);\overrightarrow{v} = (1;0;m)$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) = 45^{0}$ ?
- A.
  $m = 2$
- B.
  $m = 2 \pm \sqrt{6}$
- C.
  $m = 2 - \sqrt{6}$
- D.
  $m = 2 + \sqrt{6}$
Ta có: $\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) = 45^{0} \Leftrightarrow \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1 - 2m}{\sqrt{6}.\sqrt{1 + m^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \sqrt{3\left( m^{2} + 1 ight)} = 1 - 2m$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - 2m \geq 0 \\3m^{2} + 3 = 1 - 4m + 4m^{2} \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \leq \dfrac{1}{2} \\m^{2} - 4m - 2 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 2 - \sqrt{6}$

Vậy đáp án cần tìm là $m = 2 - \sqrt{6}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(0;1;1)$ và hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = - 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d_{2}:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$ . Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ , cắt đường thẳng $d_{1}$ và vuông góc với đường thẳng $d_{2}$ . Đường thẳng $d$ đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
- A.
  $N(2;1; - 5)$
- B.
  $Q(3;2;5)$
- C.
  $P( - 2; - 3;11)$
- D.
  $M(1;0; - 1)$
Gọi $\left\{ \begin{matrix} B = d_{1} \cap d \\ B \in d_{1} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} B( - 1; - 1 + t;t) \\ \overrightarrow{AB} = ( - 1;t - 2;t - 1) \\ \end{matrix} ight.$

$d_{2}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (3;1;1)$ .

Do $d\bot d_{2}$ nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow - 3 + t - 2 + t - 1 = 0$

$\Leftrightarrow t = 3 \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1;1;2)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AN} = (2;0;6);\overrightarrow{AQ} = (3;1;4) \\ \overrightarrow{AP} = ( - 2; - 4;10);\overrightarrow{AM} = (1; - 1; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra đường thẳng $d$ đi qua $M$ .
Câu 13: Vận dụng cao
Cho hai đường thẳng chéo nhau $\left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight.$ và $\left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.$
Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:
- A. $x + 5y - 2z + 12 = 0$
- B. $x - 5y + 2z - 12 = 0$
- C. $x + 5y + 2z - 12 = 0$
- D. $x - 5y - 2z + 12 = 0$
Phương trình (d) cho biết $A(2, 1, 0) \in (d)$ và (d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)$
Chuyển $(\triangle )$ về dạng tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight.$ để có $B(2, 3, 0) \in (\triangle )$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight)$ .
Gọi I là trung điểm AB thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ $\in (P)$ .
$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0$ là phương trình của mặt phẳng (P).
Câu 14: Vận dụng cao
Cho biết có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là $(P_i):x+a_iy+b_iz+c_i=0$ với $(i=1,2,...,n)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và không đi qua gốc tọa độ O , đồng thời cắt các trục tọa độ $Ox, Oy, Oz$ theo thứ tự tại A, B, C sao cho hình chóp OABC là hình chóp đều. Khi đó giá trị $a_1+a_2+...+a_n$ bằng?
- A. 3
- B. 1
- C. - 4
- D. - 1
Giả sử mặt phẳng $(P): x+ay+bz+c=0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán
+) Ta có: $(P)\cap Ox=A(-c;0;0),$
$(P)\cap Oy=B(0;\frac{-c}{a};0),$
$P)\cap Oz=C(0;0;\frac{-c}{b})$ .
Vì hình chóp OABC là hình chóp đều, suy ra $OA=OB=OC$
Nên ta có $\left | -c ight | =\left | \frac{-c}{a} ight |= \left | \frac{-c}{b} ight |$ (do (P) không đi qua gốc tọa độ nên $c eq 0$ )
+) Vì điểm $M(1;2;3)\in P$ nên suy ra: $1+2a+3b+c=0$
Nhận thấy nếu $a=1, b=-1$ thì $c=0$ , trường hợp này không thỏa mãn do $c eq 0$
Như vậy ta sẽ có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán lần lượt ứng với các trường hợp $a=b=1, a=b=-1$ và $a=-1.b=1$
Vậy $a_1=1, a_2=-1. a_3=-1$ suy ra $a_1+a_2+a_3=-1$ .
Câu 15: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): x − 4y + z + 1 = 0$ và hai điểm $A(1; 0; 2), B(2; 5; 3)$ . Đường thẳng d đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d nhỏ nhất có phương trình là
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{3}$
- B.
  $\frac{x - 1}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{1}$
- C.
  $\frac{x - 1}{5} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 1}$
- D.
  $\frac{x - 3}{2} = \frac{1 - y}{- 1} = \frac{z - 4}{2}$
Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;b;c)$

Phương trình đường thẳng d có dạng $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = bt \\ z = 2 + ct \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Do đường thẳng d k (P) nên $1 - 4b + c = 0 \Rightarrow c = 4b - 1$ .

Khoảng cách từ B đến đường thẳng d là:

$d(B;d) = \frac{\left| \overrightarrow{u} \land \overrightarrow{AB} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{378b^{2} - 216b + 54}}{\sqrt{17b^{2} - 8b + 2}}$

Xét hàm số $f(b) = \frac{378b^{2} - 216b + 54}{17b^{2} - 8b + 2}$ có

$f'(b) = \frac{648b^{2} - 324b}{\left( 17b^{2} - 8b + 2 ight)^{2}} \Rightarrow f'(b) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} b = 0 \\ b = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta được khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất tại $b = \frac{1}{2}$

Khi đó $\overrightarrow{u} = \left( 1;\frac{1}{2};1 ight)$ , chọn $\overrightarrow{u} = (2;1;2)$ .

Phương trình đường thẳng $d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$ hay $\frac{x - 3}{2} = \frac{1 - y}{- 1} = \frac{z - 4}{2}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(3;4;5)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 2z - 3 = 0$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$ . Tìm tọa độ điểm $H$ ?
- A.
  $H(1;2;2)$
- B.
  $H(2;5;3)$
- C.
  $H(6;7;8)$
- D.
  $H(2; - 3; - 1)$
Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên (P) nên $H(3 + t;4 - t;5 + 2t)$

Điểm H thuộc mặt phẳng (P) nên ta có phương trình:

$(3 + t) - (4 - t) + 2(5 + 2t) - 3 = 0$

$\Leftrightarrow t = - 1 \Leftrightarrow H = (2;5;3)$
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian toạ độ $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
- A.
  $2x + 3y + z - 12 = 0$ .
- B.
  $x^{2} + y - z + - 7 = 0$ .
- C.
  $x - y^{2} + 3z - 6 = 0$ .
- D.
  $x + y + z^{2} - 7 = 0$ .
PTTQ của mặt phẳng có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ , với $A^{2} + B^{2} + C^{2} eq 0$ nên ta chọn $2x + 3y + z - 12 = 0$ .
Câu 18: Vận dụng
Cho tam giác ABC có $A\left( { - 3,7,2} ight);\,\,B\left( {3, - 1,0} ight);\,\,\,C\left( {2,2, - 4} ight)$ . Gọi BD và BE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc B với D và E là chân của hai phân giác này trên AC. Tính tọa độ vectơ $\overrightarrow {BE}$
- A. $\left( { - 2,6, - 8} ight)$
- B. $\left( {4, - 2, - 10} ight)$
- C. $\left( {4,2,10} ight)$
- D. $\left( {2, - 6,8} ight)$
Gọi tọa độ điểm E là $E(x_E; y_E; z_E)$ .
Ta có $\overrightarrow {EA} = 2\overrightarrow {EC} \Rightarrow C$ là trung điểm của AE nên ta tính được tọa độ điểm E lần lượt là:
$\Rightarrow {x_E} = 2{x_C} - {x_A} = 4 + 3 = 7;\,$
$\,{y_E} = 4 - 7 = - 3;\,$
$\,{z_E} = - 8 - 2 = - 10$
$\Rightarrow \overrightarrow {BE} = \left( {7 - 3, - 3 + 1, - 10 - 0} ight) = \left( {4, - 2, - 10} ight)$
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (1;2;3);\overrightarrow{b} = (2;2; - 1);\overrightarrow{c} = (4;0; - 4)$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{d}( - 7;0; - 4)$
- B.
  $\overrightarrow{d}( - 7;0;4)$
- C.
  $\overrightarrow{d}(7;0; - 4)$
- D.
  $\overrightarrow{d}(7;0;4)$
Ta có:

$\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} = \left( 1 - 2 + 2.4;2 - 2 + 2.0;3 + 1 + 2.( - 4) ight) = (7;0; - 4)$

Vậy $\overrightarrow{d}(7;0; - 4)$
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian, cho hình chóp $S.ABC$ với $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Khi đó $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}$ bằng.
- A.
  $2\overrightarrow{SG}$ .
- B.
  $4\overrightarrow{SG}$ .
- C.
  $\overrightarrow{SG}$ .
- D.
  $3\overrightarrow{SG}$ .
Do $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ .

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

$\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}$

$= \left( \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GA} ight) + \left( \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GB} ight) + \left( \overrightarrow{SG} + \overrightarrow{GC} ight)$ .

$= 3\overrightarrow{SG} + \left(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight)= 3\overrightarrow{SG}$

73 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!