Trong không gian
, cho ba điểm
. Điểm
thuộc tia
sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện
bằng
có tọa độ là
Ta có D thuộc tia nên
với
.
Tính
Mặt phẳng : có vectơ pháp tuyến
và đi qua điểm
.
Ta có
Vậy .
Trong không gian
, cho ba điểm
. Điểm
thuộc tia
sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện
bằng
có tọa độ là
Ta có D thuộc tia nên
với
.
Tính
Mặt phẳng : có vectơ pháp tuyến
và đi qua điểm
.
Ta có
Vậy .
Cho tứ diện
đều cạnh bằng
. Gọi
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Góc giữa
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của CD
Vì ABCD là tứ diện đều nên
Ta có:
Suy ra nên số đo góc giữa hai đường thẳng bằng
.
Điều kiện cần và đủ để ba vectơ
không đồng phẳng là:
Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Trong không gian
, cho hai điểm
. Biết mặt phẳng
đi qua điểm
và cách
một khoảng lớn nhất. Phương trình mặt phẳng
là
Hình vẽ minh họa
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P), suy ra d(B, (P)) = AH.
Ta có BH ≤ AB.
Dấu “=” xảy ra ⇔ H ≡ A
⇒ BHmax = AB khi AB ⊥ (P).
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
đi qua
và chứa trục
có phương trình là:
Ta có: (P) có cặp véc-tơ chỉ phương
Khi đó véc-tơ pháp tuyến của (P) là , ta chọn
.
Mặt phẳng (P) đi qua và có véc-tơ pháp tuyến
nên có phương trình
hay
.
Cho hình lập phương
; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Cho hình lập phương ; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Trong không gian
, cho tam giác
với
. Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh
của tam giác
nhận vectơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ phương?
Gọi là trung điểm của
, suy ra tọa độ điểm
.
Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có vectơ chỉ phương là
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
và mặt phẳng
. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
là
Đường thẳng đi qua
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình
.
Gọi
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Khoảng cánh giữa hai đường thẳng :
và
là:
Chuyển d1 về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của (d1):
.
Chuyển (d2) về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của
Áp dụng công thức tính Khoảng cách d1 và d2 , ta được:
.
Trong không gian cho hình hộp
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: suy ra
đồng phẳng.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
?
Ta có:
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
Vậy đáp án cần tìm là: .
Trong không gian
cho hai điểm
và
là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của
?
Do là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
nên
nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Suy ra cũng là vectơ pháp tuyến của (α).
Trong không gian hệ trục tọa độ
cho điểm
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu đối xứng với
qua mặt phẳng
thì
.
Nếu đối xứng với
qua trục
thì
.
Nếu đối xứng với
qua gốc tọa độ thì
.
Vậy mệnh đề đúng là: “Nếu đối xứng với
qua mặt phẳng
thì
”.
Trong không gian với hệ tọa độ
, đường thẳng
đi qua điểm nào sau đây?
Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng
ta được
, do đó điểm này thuộc đường thẳng
.
Trong không gian
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Viết lại đường thẳng d ở dạng tham số
Xét phương trình
Kết luận phương trình có vô số nghiệm
Trong không gian
. cho điểm
. Tìm tọa độ điểm
đối xứng với điểm
qua mặt phẳng
?
Lấy đối xứng qua mặt phẳng thì
đổi dấu còn
giữ nguyên nên điểm
có tọa độ là
.
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng
?
Ta thấy tọa độ điểm thỏa mãn phương trình mặt phẳng
nên điểm
nằm trên
.
Trong không gian
, cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua
cắt các trục
,
lần lượt tại
khác gốc tọa độ sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó
lần lượt là diện tích các tam giác
và
lần lượt là diện tích các tam giác
. Điểm
nào dưới đây thuộc
?
Ta có . Lại có
,
và
.
Đặt , ta có
Tương tự, ta có và
.
Khi đó .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi hay
.
Từ đó suy ra nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Do đó có phương trình
.
Vậy là điểm thuộc
.
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm
và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là
. Máy bay sẽ bay qua điểm
của đường màu
để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm
, hãy tính giá trị biểu thức
.
Đáp án: 50
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là
. Máy bay sẽ bay qua điểm
của đường màu
để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm
, hãy tính giá trị biểu thức
.
Đáp án: 50
Ta có:
Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP có dạng
Điểm và
Ta có:
Vậy