Trong không gian, cho hình lập phương
. Góc giữa hai vectơ
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Ta có: . Do đó,
Vì nên tam giác
là tam giác đều.
Suy ra
Vậy
Trong không gian, cho hình lập phương
. Góc giữa hai vectơ
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Ta có: . Do đó,
Vì nên tam giác
là tam giác đều.
Suy ra
Vậy
Cho ba điểm
. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng ![]()
Gọi là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (yOz).
Ta có và
cùng phương.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A(3,-1, 2), B(4, -2, -1), C(2, 0, 2) là:
Theo đề bài, ta có được các vecto sau:
Vì mặt phẳng đi qua 3 điểm nên VTPT của mp là tích có hướng của và
.
Chọn làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mp có dạng
là mp qua A
Vậy phương trình .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Lại có
mà
Suy ra
Trong không gian
, mặt phẳng
đi qua điểm nào sau đây?
Xét điểm ta có:
đúng nên
.
Trong không gian
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Viết lại đường thẳng d ở dạng tham số
Xét phương trình
Kết luận phương trình có vô số nghiệm
Trong không gian
, mặt phẳng
. Một véc tơ pháp tuyến của
có tọa độ là?
Mặt phẳng có VTPT là:
Cho 2 đường thẳng
và 
Mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với
có phương trình tổng quát :
Phương trình (d) cho và vectơ chỉ phương của (d) là:
Phương trình cho vectơ chỉ phương của
là :
Gọi là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :
Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.
Cho hình chóp
có
và
. Góc giữa hai đường thẳng
và
là:
Ta có:
(vì
và
).
Suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng .
Cho mặt phẳng
qua điểm
và chắn trên ba trục tọa độ
theo ba đoạn có số đo đại số a, b, c. Viết phương trình tổng quát của
khi a, b, c tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2.
Theo đề bài, ta có a, b, c là cấp số nhân với công bội q=2
Phương trình của
(P) qua
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
. Trong các vectơ sau, vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)?
Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:
với
.
Vectơ chỉ phương .
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
, hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng
là trung điểm của đoạn
. Gọi
là trung điểm đoạn
(tham khảo hình vẽ)

Cho hình chóp có đáy
là hình vuông cạnh
,
, hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng
là trung điểm của đoạn
. Gọi
là trung điểm đoạn
(tham khảo hình vẽ)
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Tìm tọa độ điểm H sao cho tứ giác
lập thành hình thang cân với hai đáy
.
Ta có là trung điểm AB.
Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của AB
Gọi d là đường thẳng qua C và song song AB
Gọi I là hình chiếu của C lên (α).
Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
Do ABCH là hình thang cân nên H và C đối xứng nhau qua mp(α).
⇒ I là trung điểm CH
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB với ![]()
Vì I là trung điểm của đoạn AB nên ta có tọa độ điểm I là:
Mặt khác, ta lại có (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB nên (P) nhận làm 1 VTPT. Ta có VTPT của
Cho ba điểm
. Tìm điểm E trên mặt phẳng
cách đều ![]()
Gọi trên mặt phẳng
.
Ta có:
Trong không gian
, cho
. Tính diện tích tam giác
?
Ta có:
Lại có diện tích tam giác là:
Trong không gian
, cho tam giác
với
. Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh
của tam giác
nhận vectơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ phương?
Gọi là trung điểm của
, suy ra tọa độ điểm
.
Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có vectơ chỉ phương là
.
Cho đường thẳng
có một vec-tơ chỉ phương là:
Ta có vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng
và
lần lượt là
Ta có vectơ chỉ phương của (D) là tích có hướng của 2 vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng:
Cho ba mặt phẳng
và
qua hai điểm
và vuông góc với
. Câu nào sau đây đúng? (Có thể chọn nhiều hơn 1 đáp án)
Theo đề bài ta có Một vecto chỉ phương của
là:
=> A đúng
Vecto chỉ phương thứ hai của là:
Một vecto pháp tuyến của là:
=> B đúng.
Vecto chỉ phương của là:
Ta có: nên
không vuông góc với
.
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .