Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:
Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :
Giải (1),(2) tính theo
được
.
Thế vào phương trình (3) được , từ đó có
Vậy .
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:
Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :
Giải (1),(2) tính theo
được
.
Thế vào phương trình (3) được , từ đó có
Vậy .
Cho hai đường thẳng: ![]()
và mặt phẳng
.
Hình chiếu của
theo phương của
lên mặt phẳng
có phương trình tổng quát:
Vectơ chỉ phương của Vectơ chỉ phương của
Phương trình của mặt phẳng chứa và có phương của
có dạng:
Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này
=> D = -53
Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng là hình chiếu của
theo phương của
lên
:
Trong không gian
, cho điểm
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì tọa độ điểm có
nên
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
, phương trình mặt phẳng
qua điểm
và cắt ba tia
lần lượt tại
sao cho
nhỏ nhất. Tính
.
Mặt phẳng cắt ba trục tọa độ lần lượt tại
với
.
Do đi qua điểm
nên:
Mà OA + OB + OC = a + b + c nên OA + OB + OC nhỏ nhất khi a + b + c nhỏ nhất và bằng 36.
Gọi
là hình chiếu của
lên đường thẳng
. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
Vì
(d) có vtcp
Suy ra . Vậy
Trong hệ tọa độ
, cho đường thẳng
có vectơ chỉ phương
và mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
vuông góc
thì d có thể nằm trong
.
song song
thì
vuông góc
.
vuông góc
thì
cùng phương
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Điểm
thuộc mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất là:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có:
Dễ thấy nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, suy ra M là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng (Oxy).
Dễ thấy .
Trong không gian
, cho ba điểm
. Tọa độ chân đường phân giác của góc
trong tam giác
là:
Ta có:
Gọi là chân đường phân giác kẻ từ
lên
của tam giác
.
Suy ra
Ta có:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các tia
lần lượt tại
sao cho độ dài
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng
. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ
đến mặt phẳng
.
Giả sử với
.
Phương trình mặt phẳng có dạng
Ta có đi qua điểm
nên ta có
(∗)
Vì theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên
.
Thay vào (∗), ta được
Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là hay
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
. Tìm tọa độ giao điểm
của đường thẳng
và
, biết đường thẳng d' có phương trình 
Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:
Cho hai đường thẳng
và
lần lượt có vectơ chỉ phương là
và
. Nếu
là góc giữa hai đường thẳng
và
thì:
Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Đường thẳng
đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
. Hỏi
đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có:
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Phương trình đường thẳng
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 1).
Cho hình lăng trụ
có
là trung điểm của
. Đặt
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Ta có: M là trung điểm của BB’ khi đó
Khi đó:
Vậy đẳng thức đúng là .
Trong không gian
, cho các vectơ
và
(với
là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của
để
?
Ta có:
Khi đó
Do đó
Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong không gian tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
có hoành độ dương thuộc trục
sao cho tam giác
vuông tại
?
Ta có: có hoành độ dương thuộc trục
Theo bài ra ta có: và tam giác
vuông tại
nên
Vậy
Trong không gian
, cho
. Tọa độ điểm
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có: suy ra tọa độ
.
Cho hình vuông
có cạnh
. Trên hai tia
vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng
lần lượt lấy hai điểm
sao cho
. Tính góc
giữa hai mặt phẳng
.
Cho hình vuông có cạnh
. Trên hai tia
vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng
lần lượt lấy hai điểm
sao cho
. Tính góc
giữa hai mặt phẳng
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với hai mặt phẳng
và
. Phương trình của mặt phẳng
là
Ta có các vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) là
Theo giả thiết mặt phẳng (α) vuông góc với (P) và (Q) do đó
Suy ra, phương trình mặt phẳng (α) có dạng
Hay
Trong không gian
, cho điểm
thuộc mặt phẳng
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có điểm thuộc mặt phẳng
nên:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Vị trí tương đối của
và
là
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương và đi qua điểm M(−1; 0; 1).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương .
Hai vectơ và
cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.
Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.