Tính thể tích hình lăng trụ ABCD.EFGH, biết
và
.
Theo đề bài, ta có:
Áp dụng CT tính thể tích khối lăng trụ:
Suy ra: .
Tính thể tích hình lăng trụ ABCD.EFGH, biết
và
.
Theo đề bài, ta có:
Áp dụng CT tính thể tích khối lăng trụ:
Suy ra: .
Cho hai điểm
và mặt phẳng
Mặt phẳng
chứa hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình:
Theo đề bài, ta có: ;
Suy ra ;
có vectơ pháp tuyến
Ta có cùng phương với vectơ
Chọn làm 1 vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng
.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
Mặt phẳng :
Trong không gian
, cho ba điểm
. Mặt phẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có: suy ra
Mặt phẳng đi qua điểm
, có 1 vectơ pháp tuyến
nên có phương trình là:
Vì nên
.
Cho biết có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là
với
đi qua điểm
và không đi qua gốc tọa độ O , đồng thời cắt các trục tọa độ
theo thứ tự tại A, B, C sao cho hình chóp OABC là hình chóp đều. Khi đó giá trị
bằng?
Giả sử mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
+) Ta có:
.
Vì hình chóp OABC là hình chóp đều, suy ra
Nên ta có (do (P) không đi qua gốc tọa độ nên
)
+) Vì điểm nên suy ra:
Nhận thấy nếu thì
, trường hợp này không thỏa mãn do
Như vậy ta sẽ có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán lần lượt ứng với các trường hợp và
Vậy suy ra
.
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và đường thẳng
. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
.
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng d.
Suy ra (P) nhận làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d, suy ra .
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ
Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz:
,
. Với
. Gọi
và
. (D) và (d) chéo nhau khi và chỉ khi:
Để xét điều kiện (D) và (d) có chéo nhau hay không, ta cẩn kiểm tra rằng (D) và d không cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:
Suy ra (D) và (d) chéo nhau.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có
trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với
lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, EF, DH. Tính khoảng cách giữa NP và CG.
Ta biểu diễn các điểm N, P, C, G theo a, b, c được:
Từ đó, ta tính được các vecto tương ứng:
Để tính khoảng cách giữa NP và CG, ta cần tính tích có hướng và tích độ dài giữa chúng rồi áp dụng CT tính khoảng cách:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
và đường thẳng
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua
, đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng
và
.
Đường thẳng và
có vectơ chỉ phương lần lượt là
Gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Do
Mà ∆ đi qua do đó ∆ có phương trình là
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Xác định tọa độ điểm
sao cho
?
Ta có:
Mà
Vậy đáp án cần tìm là: hoặc
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
?
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
nên
có một vectơ chỉ phương là
.
Phương trình là
Kiểm tra được điểm thỏa mãn hệ (*).
Vậy phương trình: cũng là phương trình của
.
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ
(đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
Ta có
(m).
Đáp số 14(m).
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Tính tích vô hướng
?
Ta có:
Trong không gian tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Tìm
để
vuông góc với
?
Ta có: (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau, tức là .
Trong không gian
, cho tam giác
vuông tại
,
,
, đường thẳng
có phương trình
, đường thẳng
nằm trong mặt phẳng
. Biết rằng đỉnh
có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh
.
Hình vẽ minh họa:
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình
Do C ∈ BC nên
Theo giả thiết nên:
Mặt khác đỉnh C có cao độ âm nên C(3; 4; −3).
Gọi . Do
nên:
Vậy đáp án cần tìm là .
Trong không gian
, cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Xét tứ diện OABC có các cạnh đôi một vuông góc với nhau.
Ta có:
Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.
Từ đó .
Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận làm vectơ pháp tuyến là:
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: do đó
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho tứ diện đều
cạnh
Tính
theo ![]()
Hình vẽ minh họa
Gọi là trọng tâm của
Do đó
Ta có
Mà là tứ diện đều nên
Suy ra
Vậy
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
cắt các trục tọa độ
lần lượt tại
(khác
) sao cho
là trực tâm tam giác
là:
Mặt phẳng cắt trục
lần lượt tại
suy ra
là trực tâm của tam giác
và
Phương trình mặt phẳng .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.