Trong không gian
cho mặt phẳng
. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
.
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
.
Cho mặt phẳng
qua điểm
và chắn trên ba trục tọa độ
theo ba đoạn có số đo đại số a, b, c. Viết phương trình tổng quát của
khi a, b, c tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2.
Theo đề bài, ta có a, b, c là cấp số nhân với công bội q=2
Phương trình của
(P) qua
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Xác định tích vô hướng
?
Ta có: nên
Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Điểm
xác định bởi công thức
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Do G là trọng tâm tam giác BCD nên
Vậy mệnh đề đúng là “ thuộc tia
và
”.
Trong không gian
khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và
bằng:
Dựa vào phương trình có vectơ pháp tuyến là
nên
Ta có: suy ra
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có
. Tính diện tích tam giác
?
Ta có:
Suy ra . Lại có:
Suy ra diện tích tam giác là:
Cho tam giác ABC có ![]()
Viết phương trình tham số của trung tuyến AM ?
Vì AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC. Gọi
Từ tọa độ của B và C, ta tính được tọa độ của M là nghiệm của hệ:
Ta có 1 vecto chỉ phương của (AM) là
(AM) là đường thẳng đi qua A (1,2,-3) và nhận vecto (3,-7,15) làm 1 VTCP có phương trình là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
, với
là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực
để mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
.
Gọi lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Ta có: . Để (P) ⊥ (Q)
Cho ba vectơ
không đồng phẳng. Xét các vectơ ![]()
![]()
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Giả sử ba vectơ đồng phẳng, khi đó
Ta có:
Khi đó:
Vậy ba vectơ đồng phẳng.
Vậy khẳng định đúng là: “Ba vectơ đồng phẳng”.
Trong không gian
, cho ba điểm
. Các khẳng định sau là đúng hay sai?
a)
. Sai||Đúng
b)
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d)
. Đúng||Sai
Trong không gian , cho ba điểm
. Các khẳng định sau là đúng hay sai?
a) . Sai||Đúng
b) . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) . Đúng||Sai
Ta có .
Ta có:
.
Ta có:
.
Ta có:
.
Ta có:
.
Cho tứ diện
và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Cho tứ diện và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và đường thẳng
. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
.
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng d.
Suy ra (P) nhận làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d, suy ra .
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
và mặt phẳng
. Tìm hoành độ
của điểm
thuộc mặt phẳng (P) sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho các điểm
và mặt phẳng
. Tìm hoành độ
của điểm
thuộc mặt phẳng (P) sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho tứ diện
đều cạnh bằng
. Gọi
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Góc giữa
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của CD
Vì ABCD là tứ diện đều nên
Ta có:
Suy ra nên số đo góc giữa hai đường thẳng bằng
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
. Điểm
là điểm thuộc mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó,
có giá trị là:
Chọn sao cho
Ta tính được
Ta thấy
Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.
Vậy M là hình chiếu vuông góc của lên (Oxy)
Ta xác định được
Cho tứ diện
có
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là:
Theo đề bài, ta có các vecto là
Có thể chọn làm một vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng này có dạng .
Mặt khác, điểm A thuộc mặt phẳng nên ta thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng trên:
Vậy phương trình cần tìm .
Trong không gian
, cho hai đường thẳng cắt nhau ![]()
. Trong mặt phẳng
, hãy viết phương trình đường phân giác
của góc nhọn tạo bởi ![]()
Hai đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có các vectơ chỉ phương tương ứng là
Ta có , suy ra góc giữa hai vectơ
và
là góc tù.
Lại có
Kết hợp hai điều này, ta suy ra d có một vectơ chỉ phương là
Tóm lại, đường thẳng cần tìm đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có một vectơ chỉ phương là
Vậy phương trình đường thẳng d là:
Hai đường thẳng
và
cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của A là:
Để tìm được A là giao điểm của 2 đường thẳng, ta sẽ xét và giải hệ PT giữa chúng.
Từ phương trình của ,tính x,y theo z được
Thế vào phương trình của , được z = - 4 .
Từ đó suy ra x = 1, y = - 2
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
qua hai điểm
cắt các nửa trục dương Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OG nhỏ nhất (G là trọng tâm tam giác ABC). Biết
. Tính
.
Gọi mà
nên
và
.
qua hai điểm
nên
.
Ta có:
Suy ra
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: có vectơ chỉ phương là
,
có véc-tơ pháp tuyến là
.
Do không cùng phương
nên
cắt
.
Mặt khác nên
không vuông góc
.
Vậy cắt nhưng không vuông góc với
.