Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ các điểm A(1;2;0),B(2;1;1),C(0;3; - 1). Cho các khẳng định sau:

    (I) BC = 2AB.

    (II) B \in AC.

    (III) Ba điểm A;B;C tạo thành một tam giác.

    (IV) Ba điểm A;B;C thẳng hàng.

    Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1;1) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 1;1; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AB} nên A là trung điểm của BC và ba điểm A;B;C thẳng hàng.

    Vậy có 2 khẳng định sai và 2 khẳng định đúng.

  • Câu 2: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz và \overrightarrow{u} là một vecto tùy ý khác \overrightarrow{0}.

    Tính T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz và \overrightarrow{u} là một vecto tùy ý khác \overrightarrow{0}.

    Tính T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    Đáp án: 1

    Giả sử \overrightarrow{u} = (x,y,z).

    Ta có \overrightarrow{i}(1,0,0);\overrightarrow{j}(0,1,0);\overrightarrow{k}(0,0,1)

    cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    = \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2}

    = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 1

    Vậy T = 1

  • Câu 3: Thông hiểu

    Viết phương trình tham số của đường thẳng \left( d ight):\,\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + z - 4 = 0\\2x + 5y - 3z + 4 = 0\end{array} ight.

     Theo đề bài, đường thẳng d là giao của 2 mặt phẳng, ta gọi 2 mặt phẳng (P) và (Q) tương ứng lần lượt là:\left( P ight):2x - 3y + z - 4 = 0;\,\left( Q ight):2x + 5y - 3z + 4 = 0

    Mp (P) và (Q) có 2 vecto pháp tuyến tương ứng là: \overrightarrow {{n_1}} = \left( {2, - 3,1} ight);\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2,5, - 3} ight)

    Từ đây ta suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng (d) là tích có hướng của 2 VTPT:

    \overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } ight] = \left( {4,8,16} ight) \Leftrightarrow \overrightarrow a = 4\left( {1,2,4} ight)

    Cho y = 0, ta có:

    y = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + z = 4\\2x - 3z = - 4\end{array} ight.\, \Leftrightarrow x = 1;z = 2

    Đường thẳng (d) đi qua A( 1, 0, 2) và nhận vecto (1,2,4) làm 1 VTCP có PTTS là:

    A\left( {1,0,2} ight) \in \left( d ight) \Rightarrow \left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 2 + 4t\end{array} ight.\,\,;t \in R

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(2;0; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a} = (4; - 6;2). Phương trình tham số của đường thẳng \Delta là

    đường thẳng \Delta đi qua điểm M(2;0; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (2; - 3;1) nên có phương trình tham số \left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Tính \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD}.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = \left( \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AC} ight)\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)

    = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = 0

    \Rightarrow \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = 0

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Hãy phân tích vectơ \overrightarrow{BD} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA_{1}}?

    Hình vẽ minh họa

    Theo quy tắc hình bình hành ta có:

    \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - y + 1 = 0. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1;0).

    Ta có \frac{2}{2} = \frac{- 1}{1} eq \frac{0}{1} nên \overrightarrow{n_{P}} không cùng phương với \overrightarrow{n} = (2; - 1;1).

    Suy ra \overrightarrow{n} = (2; - 1;1) không là vectơ pháp tuyến của (P).

    Vậy khẳng định sai là: “Vectơ \overrightarrow{n} = (2; - 1;1) là một véc-tơ pháp tuyến của (P)”.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục x'Ox,y'Oy,z'Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho OA = OB = 2OC eq 0?

    Đặt A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với abc eq 0.

    Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

    Do OA = OB = 2OC nên ta có |a| = |b| = 2|c|.

    Suy ra a = ±2c, b = ±2c.

    Nếu a = 2c và b = 2c thì mặt phẳng (P) có dạng \frac{x}{2c} + \frac{y}{2c} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{2c} + \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{9}{2}.

    Ta có (P): x + y + 2z − 9 = 0.

    Nếu a = 2c và b = −2c thì mặt phẳng (P) có dạng \frac{x}{2c} + \frac{y}{- 2c} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{2c} - \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{5}{2}

    Ta có (P): x − y + 2z − 5 = 0.

    Nếu a = −2c và b = 2c thì mặt phẳng (P) có dạng \frac{x}{- 2c} + \frac{y}{2c} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{- 2c} + \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{7}{2}

    Ta có (P): − x + y + 2z − 7 = 0.

    Nếu a = −2c và b = −2c thì mặt phẳng (P) có dạng \frac{x}{- 2c} + \frac{y}{- 2c} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{- 2c} + \frac{2}{- 2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{3}{2}

    Ta có (P): − x − y + 2z − 3 = 0.

    Vậy có bốn mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.

  • Câu 9: Vận dụng

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):2x + y - 2z + 9 = 0 và ba điểm A(2; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 3;-1). Điểm M ∈ (α) sao cho \left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Xét điểm I(a; b; c) thỏa mãn: 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}

    Khi đó

    \left\{ \begin{matrix} 2(2 - a) - 3a - 4(1 - a) = 0\ \\ 2(1 - b) + 3(2 - b) - 4(3 - b) = 0\ \\ - 2c + 3(1 - c) - 4( - 1 - c) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0\ \\ b = - 4\ \\ c = 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0; - 4;7)

    Khi đó:

    \left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| = \left| 2\overrightarrow{MI} + 3\overrightarrow{MI} - 4\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 4\overrightarrow{IC} ight| = IM

    Do đó \left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất thì M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (\alpha).

    Do M(x;y;z) là hình chiếu của I trên mặt phẳng (\alpha) nên ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IM} = k.\overrightarrow{n} \\ M \in (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2k\ \\ y + 4 = k\ \\ z - 7 = - 2k\ \\ 2x + y - 2z + 9 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = 1 \\ x = 2\ \\ y = - 3\ \\ z = 5 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy M = (2; - 3;5) \Rightarrow x_{M} + y_{M} + z_{M} = 4.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):2x + y - z - 3 = 0 và (Q):x + y + z - 1 = 0. Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P),(Q) là:

    Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} 2x + y - z - 3 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2z - 2 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2z + 2 \\ y = - 3z - 1 \\ \end{matrix} ight.. Đặt z = t ta suy ra x = 2t + 2,y = - 3t - 1.

    Từ đó ta thu được phương trình đường thẳng: d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z}{1}

    Xét điểm A(2; - 1;0) \in d, ta thấy A chỉ thuộc đường thẳng: \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d_{1}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- m} =\frac{z - 2}{- 3};d_{2}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z -1}{1}. Tìm tất cả giá trị thực của m để d_{1} vuông góc với d_{2}?

    Vectơ chỉ phương của d_{1};d_{2} lần lượt là: \overrightarrow{u_{1}} = (2; - m; - 3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;1).

    Để d_{1}\bot d_{2} thì \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = 0 \Leftrightarrow 2 - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 1

  • Câu 12: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A(3,-1, 2), B(4, -2, -1), C(2, 0, 2) là:

     Theo đề bài, ta có được các vecto sau:

    \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1, - 1, - 3} ight),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1,1,0} ight);\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB,} \overrightarrow {AC} } ight] = \left( {3,3,0} ight) = 3(1,1,0) = 3\overrightarrow n \end{array}

    Vì mặt phẳng đi qua 3 điểm nên VTPT của mp là tích có hướng của \vec{AB} và \vec{AC} .

    Chọn \overrightarrow n = \left( {1,1,0} ight) làm một vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mp (ABC)có dạng x+y+D=0

    (ABC) là mp qua A  \Leftrightarrow 3 - 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2

    Vậy phương trình (ABC): x + y -2=0.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;0),B(3; - 1;1),C(1;1;1). Tính diện tích tam giác ABC?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 3;1) \\ \overrightarrow{AC} = (0; - 1;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 2; - 2; - 2)

    Lại có diện tích tam giác ABC là:

    S_{ABC} = \frac{1}{2}\left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = \sqrt{3}

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong hệ tục toạ độ không gian Oxyz, cho A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), biết b,c > 0, phương trình mặt phẳng (P):y - z + 1 = 0. Tính M = b + c biết (ABC)\bot(P),d\left( O;(ABC) ight) = \frac{1}{3}?

    Ta có (ABC):\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    \Rightarrow (ABC):bcx + cy + bz - bc = 0

    Hai mặt phẳng(ABC);(P) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \overrightarrow{n_{1}} = (bc;c;b),\overrightarrow{n_{2}} = (0;1; - 1)

    Vì (P)\bot(ABC) nên c - b = 0 \Leftrightarrow b = c.

    Theo giả thiết

    d\left( O;(ABC) ight) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{| - bc|}{\sqrt{bc^{2} + c^{2} + b^{2}}} = \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow 3b^{2} = \sqrt{b^{4} + 2b^{2}} \Leftrightarrow 3b^{2} = b\sqrt{b^{2} + 2}

    \Leftrightarrow 3b = \sqrt{b^{2} + 2} \Leftrightarrow 9b^{2} = b^{2} + 2 \Leftrightarrow b = \frac{1}{2} (vì b > 0).

    Suy ra c = 2. Vậy M = b + c = 1.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ \overrightarrow{a} = (2;3;1),\overrightarrow{b} = ( - 1;5;2),\overrightarrow{c} = (4; - 1;3),\overrightarrow{x} = ( - 3;22;5). Đẳng thức nào dưới đây đúng?

    Đặt \overrightarrow{x} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c};\left( m;n;p\mathbb{\in R} ight)

    \Rightarrow ( - 3;22;5) = m(2;3;1) + n( - 1;5;2) + p(4; - 1;3)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m - m + 4p = - 3 \\ 3m + 5m - p = 22 \\ m + 2m + 3p = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ n = 3 \\ p = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy \overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} là đẳng thức đúng.

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1; - 2;3);\overrightarrow{v} = ( - 1;2;0). Vectơ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} có tọa độ là:

    Ta có: \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \left( 1 + ( - 1); - 2 + 2;3 + 0 ight) = (0;0;3)

    Vậy đáp án cần tìm là (0;0;3)

  • Câu 17: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(2,-1,3), B (3, 1, 2) và song song với vectơ \overrightarrow a = \left( {3, - 1, - 4} ight) là:

    Theo đề bài, ta có: \overrightarrow {AB} = \left( {1,2, - 1} ight);\left[ {\overrightarrow {AB} \overrightarrow {,a} } ight] = \overrightarrow n = \left( { - 9,1, - 7} ight)

    Chọn \overrightarrow n = \left( {9, - 1,7} ight) làm 1 vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng : 9x - y + 7z + D = 0

    Mà mp lại qua A nên 9.2 - ( - 1) + 7.3 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 40

    Phương trình cần tìm là: 9x - y + 7z - 40 = 0.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3; - 1),B(3; - 1;5). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức \overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}?

    Ta có: \overrightarrow{MA} =3\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} - 3x_{B}}{1 - 3} = 4 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} - 3y_{B}}{1 - 3} = - 3 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} - 3z_{B}}{1 - 3} = 8 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(4; - 3;8)

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho điểm {m{A(2, - 1,1)}} và đường thẳng (\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}y + z - 4 = 0\\2x - y - z + 2 = 0\end{array} ight.. Gọi A'  là điểm đối xứng của A qua (\triangle) . Tọa độ điểm A'  là:

    Đưa phương trình (\triangle) về dạng tham số: \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 - t\\z = t\end{array} ight.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (\triangle).

    Phương trình mp (P) có dạng - y + z + D = 0 , qua A nên D =  -2

    Phương trình (P) là: y - z + 2 = 0

    Thế x, y, z từ phương trình (\triangle) vào phương trình (P) được t=1

    \Rightarrow (\triangle ) \cap (\alpha ) = (1,3,1).

    I là trung điểm của AA' nên: {x_{A'}} + 2 = 2;{y_{A'}} - 1 = 6;{z_{A'}} + 1 = 2

    \Rightarrow A'(0,7,1).

  • Câu 20: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4;2;5),B(0;4; - 3),C(2; - 3;7). Biết điểm M(x;y;z) nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng P = x + y + z.

    Vì M ∈ (Oxy) nên M(x;y;0).

    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

    Ta có G(2; 1; 3).

    Khi đó:

    \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = \left| \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight|

    = \left| 3\overrightarrow{MG} ight| = 3MG = 3\sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + 3^{2}} \geq 9

    Dấu “=” xảy ra khi x= 2 và y= 1 hay M(2; 1; 0).

    Vậy P = 3

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 74 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập