Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho $A(1;2;3)$ và mặt phẳng $(P):x + y + z - 2 = 0$ . Mặt phẳng $(Q)$ song song với mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cách điểm $A$ một khoảng bằng $3\sqrt{3}$ . Phương trình mặt phẳng $(Q)$ là:
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x + y + z + 3 = 0\ \\ x + y + z - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x + y + z + 3 = 0\ \\ x + y + z + 15 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x + y + z + 3 = 0\ \\ x + y + z - 15 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x + y + z + 3 = 0\ \\ x + y - z - 15 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
Vì $(P)//(Q) \Rightarrow (Q):x + y + z + d = 0;(d eq - 2)$

Mà $d\left( A;(Q) ight) = 3\sqrt{3} \Leftrightarrow |6 + d| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} d = 3 \\ d = - 15 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $\left\lbrack \begin{matrix} \left( Q_{1} ight):x + y + z + 3 = 0\ \\ \left( Q_{2} ight):x + y + z - 15 = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 2: Nhận biết
Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha)$ qua điểm $B (3, 4, -5)$ và có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {3,1, - 1} ight),\,\,\,\overrightarrow b = \left( {1, - 2,1} ight)$ là:
- A. $x - 4y - 7z - 16 = 0$
- B. $x - 4y + 7z + 16 = 0$
- C. $x + 4y + 7z + 16 = 0$
- D. $x + 4y - 7z - 16 = 0$
Vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a \overrightarrow {,b} } ight] = \left( { - 1, - 4, - 7} ight)$ có thể thay thế bởi $\overrightarrow n = \left( {1,4,7} ight)$
Phương trình $(\alpha)$ có dạng $x + 4y + 7z + D = 0$
$B \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow 3 + 16 - 35 + D = 0 \Leftrightarrow D = 16$
Vậy $(\alpha): x + 4y +7z +16 = 0$
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3; - 1;5),B(m;2;7)$ . Tìm giá trị tham số $m$ để $AB = 7$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = - 9 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 3 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.$
Theo bài ra ta có:

$AB = 7 \Leftrightarrow \sqrt{(m - 3)^{2} + 3^{2} + 2^{2}} = 7$

$\Leftrightarrow (m - 3)^{2} = 36 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m - 3 = 6 \\ m - 3 = - 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là $\left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có phương trình đường phân giác trong góc $A$ là $\frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{- 3}$ . Biết rằng điểm $M(0;5;3)$ thuộc đường thẳng $AB$ và điểm $N(1;1;0)$ thuộc đường thẳng $AC$ . Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng $AC$ .
- A.
  $\overrightarrow{u} = (1;2;3)$
- B.
  $\overrightarrow{u} = (0; - 2;6)$
- C.
  $\overrightarrow{u} = (0;1; - 3)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = (0;1;3)$
Hình chiếu H của M trên đường phân giác trong góc A có tọa độ: $H\left( \frac{1}{2};4;\frac{9}{2} ight)$

M’ là điểm đối xứng của M qua H. Từ đây ta tìm được tọa độ M’(1; 3; 6).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC chính là vecto $\overrightarrow{NM'} = (0;2;6)$ .

Suy ra, đường thẳng AC có một vectơ chỉ phương là (0; 1; 3)
Câu 5: Thông hiểu
Cho tứ diện đều $ABCD$ với $I$ là trung điểm của $AB$ . góc giữa hai đường thẳng $IC;AD$ có cosin bằng:
- A.
  $\frac{2}{3}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $\frac{1}{3}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{6}$
Hình vẽ minh họa

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:

$\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}= a^{2}.\cos60^{0} = \frac{a^{2}}{2}$

Tương tự $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} = \frac{a^{2}}{2}$

Ta có: $\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Do đó $\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AD} = \frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4}$

Mà $\cos\left( \overrightarrow{IC};\overrightarrow{AD} ight) = \frac{\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AD}}{\left| \overrightarrow{IC} ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|}$ nên $\cos\left( \overrightarrow{IC};\overrightarrow{AD} ight) = \frac{a^{2}}{4}:\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , hãy tính $p$ và $q$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $M(5; - 2;0)$ đến mặt phẳng $(Oxz)$ và mặt phẳng $(P):3x - 4z + 5 = 0$ ?
- A.
  $p = 2;q = 3$
- B.
  $p = 2;q = 4$
- C.
  $p = - 2;q = 4$
- D.
  $p = 5;q = 4$
Do mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình y = 0 nên

$p = d\left( M;(Oxz) ight) = \frac{| - 2|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 0^{2}}} = 2$

Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên

$q = d\left( M;(P) ight) = \frac{|3.5 - 4.0 + 5|}{\sqrt{3^{2} + 0^{2} + ( - 4)^{2}}} = 4$
Câu 7: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(3;1;2), B(-3;1;0)$ và mặt phẳng $(P):x+y+3z-14=0$ . Gọi M là điểm thuộc (P) sao cho $\triangle AMB$ vuông tại M . Khoảng cách từ M đến (Oxy) bằng:
- A. 1
- B. 5
- C. 4
- D. 3
Ta có: $\widehat{AMB}=90^{\circ}$ suy ra M thuộc mặt cầu (S) đường kính AB.
Gọi I là trung điểm AB , khi đó $I(0;0;1)$ và $R=\frac{AB}{2}=\sqrt{11}$ .
Ta tính được $d(I;(P))=\sqrt{11}=R$ suy ra (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau hay M là tiếp điểm của (P) và (S). Vậy M là hình chiếu của I trên (P) .
Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) là:
$\left\{\begin{matrix} x=t \\ y=t \\ z=1+3t \end{matrix}ight., t\in \mathbb{R}$
Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x=t \\ y=t \\ z=1+3t \\x+y+3z-14=0 \end{matrix}ight., t\in \mathbb{R}$
suy ra $t=1$ .
Suy ra $M(1;1;4)\Rightarrow d(M;(Oxy))=4$ .
Câu 8: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng chéo nhau $d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 1} =\frac{z - 4}{1},$ $d_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z +3}{4}$ . Viết phương trình đường vuông góc chung của $d_{1},d_{2}$ .
- A.
  $\frac{x - 7}{3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 9}{- 1}$
- B.
  $\frac{x - 3}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{- 1}$
- C.
  $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$
- D.
  $\frac{x + 7}{3} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 9}{- 1}$
Đường thẳng $d_{1},d_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{1}} = (1; - 1;1),\overrightarrow{u_{2}} = (2; - 1;4)$

Gọi ∆ là đường vuông góc chung giữa $d_{1}$ và $d_{2}$ , suy ra ∆ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3; - 2;1)$

Giả sử ∆ giao với $d_{1},d_{2}$ lần lượt tại $\left\{ \begin{matrix} M(3 + m; - 1 - m;4 + m) \\ N(2 + 2n;4 - n; - 3 + 4n) \\ \end{matrix} ight.$ , khi đó ta có $\overrightarrow{MN} = ( - m + 2n - 1;m - n + 5; - m + 4n - 7)$

Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{MN} = 0 \\ \overrightarrow{u_{2}.}\overrightarrow{MN} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3m + 7n - 13 = 0\ \\ - 7m + 21n - 35 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 2 \\ n = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Từ đó suy ra đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}}$ và đi qua điểm $M(1; 1; 2)$ .

Vậy ta có phương trình đường thẳng: $\Delta:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;3),B(2;3; - 4),C( - 3;1;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D( - 4; - 2;9)$
- B.
  $D( - 4;2;9)$
- C.
  $D(4; - 2;9)$
- D.
  $D(4;2; - 9)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3 - x = 1 \\ 1 - y = 3 \\ 2 - z = - 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = 9 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4; - 2;9)$ .
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2)$ . Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $AC$ là
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $150^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1;2) \\ \overrightarrow{AC} = (1;2; - 1) \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = (AB;AC) = 60^{0}$
Câu 11: Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1)$ . Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là $( - 4; - 1;3)$ . Đúng||Sai

c) Cho $P(1;m - 1;3)$ , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

d) Điểm $I(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn $T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1)$ . Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là $( - 4; - 1;3)$ . Đúng||Sai

c) Cho $P(1;m - 1;3)$ , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

d) Điểm $I(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn $T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

a) Sai: Hình chiếu của điểm $M$ trên trục $Oy$ có tọa độ là $(0;3;0)$

b) Đúng: Vì $N$ là trung điểm của $ME$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1 = \dfrac{2 + x_{E}}{2} \\1 = \dfrac{3 + y_{E}}{2} \\1 = \dfrac{- 1 + z_{E}}{2} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{E} = - 4 \\y_{E} = - 1 \\z_{E} = 3 \\\end{matrix} \Rightarrow E( - 4; - 1;3) ight.\ ight.$ .

c) Đúng: Ta có $\overrightarrow{NM} = (3;2; - 2);\overrightarrow{NP} = (2;m - 2;2)$ .

$\bigtriangleup MNP$ vuông tại $N$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{NP} = 0$

$\Leftrightarrow 3.2 + 2.(m - 2) + ( - 2).2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ .

d) Sai.

Gọi $J(x;y;z)$ thỏa $3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{JN} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - ( - 1 - x) = 0 \\3(3 - y) - (1 - y) = 0 \\3( - 1 - z) - (1 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{2} \\y = 4 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.$

Suy ra $J\left( \frac{7}{2};4; - 2 ight)$ .

Khi đó $T = |3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN}| = |3\overrightarrow{IJ} + 3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{IJ} - \overrightarrow{JN}| = |2\overrightarrow{IJ}| = 2IJ$ .

$T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $I$ là hình chiếu của $J$ trên $(Oxy)$

$\Leftrightarrow I\left( \frac{7}{2};4;0 ight)$ .

Vậy $a = \frac{7}{2};b = 4;c = 0$ .

Suy ra $2a+b+c=11$
Câu 12: Thông hiểu
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB với $A\left( {\,1,\,\,4,\,\,3\,} ight);\,\,B\left( {\,3,\,\, - 6,\,\,5\,} ight).$
- A. $x\,\, - \,\,5y\,\, + \,\,z\,\, - 1 = \,\,0$
- B. $x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,z\,\, - 11 = \,\,0$
- C. $x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,z\,\, + 11 = \,\,0$
- D. $x\,\, - \,\,5y\,\, + \,\,z\,\, - 11 = \,\,0$
Vì I là trung điểm của đoạn AB nên ta có tọa độ điểm I là: $I\left( {2, - 1,4} ight)$
Mặt khác, ta lại có (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB nên (P) nhận $\vec{AB}$ làm 1 VTPT. Ta có VTPT của $\left( P ight):\,\,\overrightarrow {AB} = 2\left( {1, - 5,1} ight)$
$\Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)1 + \left( {y + 1} ight)\left( { - 5} ight) + \left( {z - 4} ight).1 = 0$
$\Leftrightarrow x - 5y + z - 11 = 0$
Câu 13: Nhận biết
Xác định tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ , biết rằng $A(1;3;4),B(2; - 1;0),C(3;1;2)$ ?
- A.
  $G(2;1;2)$ .
- B.
  $G(6;3;6)$ .
- C.
  $G\left( 3;\frac{2}{3};3 ight)$ .
- D.
  $G(2; - 1;2)$ .
Tọa độ trọng tâm G của tam giác được xác định như sau:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 + 2 + 3}{3} = 2 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{3 - 1 + 1}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{4 + 0 + 2}{3} = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(2;1;2)$
Câu 14: Vận dụng cao

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm $A(100;50;100)$ và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là $B(50;100;50),C(150;100;100)$ . Máy bay sẽ bay qua điểm $W$ của đường màu $BC$ để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm $W(a;b;c)$ , hãy tính giá trị biểu thức $T = a + b - 2c$ .

Đáp án: 50

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm $A(100;50;100)$ và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là $B(50;100;50),C(150;100;100)$ . Máy bay sẽ bay qua điểm $W$ của đường màu $BC$ để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm $W(a;b;c)$ , hãy tính giá trị biểu thức $T = a + b - 2c$ .

Đáp án: 50

Ta có: $\overrightarrow{BC} = (100;0;50)$

Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP $\overrightarrow{u} = (2;0;1)$ có dạng $(BC):\left\{ \begin{matrix} x = 50 + 2t \\ y = 100 \\ z = 50 + t \\ \end{matrix} ight.$

Điểm $W \in (BC) \Rightarrow W(50 + 2t;100;50 + t)$ và $\overrightarrow{AW} = (2t - 50;50;t - 50)$

Ta có: $\overrightarrow{AW}.\overrightarrow{BC} = 0$

$\Rightarrow 2(2t - 50) + (t - 50) = 0 \Rightarrow t = 30$

Vậy $H(110;100;80) \Rightarrow a + b - 2c = 50.$
Câu 15: Nhận biết
Điều kiện cần và đủ để ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng là:
- A.
  Giá của chúng không cùng thuộc một mặt phẳng.
- B.
  Giá của chúng cùng thuộc một mặt phẳng.
- C.
  Giá của chúng không cùng song song với một mặt phẳng.
- D.
  Giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1; - 3;4)$ , đường thẳng $d:\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1}$ và mặt phẳng $(P):2x + z - 2 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $M$ vuông góc với d và song song với $(P)$ .
- A.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- B.
  $\Delta:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- C.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- D.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z + 4}{2}$
Đường thẳng $d:\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1}$ có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (3; - 5; - 1)$ .

Mặt phẳng $(P):2x + z - 2 = 0$ có vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = (2;0;1)$ .

Đường thẳng ∆ vuông góc với $d$ nên vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}$

Đường thẳng ∆ song song với (P) nên $\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}$

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = ( - 5; - 5;10)$

Suy ra vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \frac{- 1}{5}.\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = (1;1; - 2)$

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$ .
Câu 17: Nhận biết
Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua hai điểm: $A\left( { - 1,3, - 2} ight);B\left( {2, - 3,4} ight)$
- A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 1\\y = 3 - 6t\\z = 6t - 2\end{array} ight.\,\,\,\,;t \in \mathbb{R}$
- B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + m\\y = - 3 - 2m\\z = 4 + 2m\end{array} ight.\,\,;m \in \mathbb{R}$
- C. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \tan t\\y = 3 + 2\tan t\\z = - 2\tan t - 2\end{array} ight.\,\,;t \in \mathbb{R}$
- D. Cả ba câu trên
Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên VTCP của đường thẳng d chính là $\overrightarrow {AB}$ hay ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3, - 6,6} ight) = 3\left( {1, - 2,2} ight) = - 3\left( { - 1,2, - 2} ight)$
$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 1\\y = 3 - 6t\\z = 6t - 2\end{array} ight.\,\,;t \in \mathbb{R},\,\\hay\,\,\left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + m\\y = - 3 - 2m\\z = 4 + 2m\end{array} ight.\,\,;m \in \mathbb{R}\\\hay\,\,\left( d ight)\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \tan t\\y = 3 + 2\tan t\\z = - 2 - 2\tan t\end{array} ight.\,\,;t \in\mathbb{R}\end{array}$
Câu 18: Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $I(1; 1; 1)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ cắt trục $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại $A, B, C$ (không trùng với gốc tọa độ $O$ ) sao cho $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $I(1; 1; 1)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ cắt trục $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại $A, B, C$ (không trùng với gốc tọa độ $O$ ) sao cho $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 19: Vận dụng
Trong hệ tục toạ độ không gian $Oxyz$ , cho $A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ , biết $b,c > 0$ , phương trình mặt phẳng $(P):y - z + 1 = 0$ . Tính $M = b + c$ biết $(ABC)\bot(P),d\left( O;(ABC) ight) = \frac{1}{3}$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{5}{2}$
- D.
  $1$
Ta có $(ABC):\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

$\Rightarrow (ABC):bcx + cy + bz - bc = 0$

Hai mặt phẳng $(ABC);(P)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_{1}} = (bc;c;b),\overrightarrow{n_{2}} = (0;1; - 1)$

Vì $(P)\bot(ABC)$ nên $c - b = 0 \Leftrightarrow b = c$ .

Theo giả thiết

$d\left( O;(ABC) ight) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{| - bc|}{\sqrt{bc^{2} + c^{2} + b^{2}}} = \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow 3b^{2} = \sqrt{b^{4} + 2b^{2}} \Leftrightarrow 3b^{2} = b\sqrt{b^{2} + 2}$

$\Leftrightarrow 3b = \sqrt{b^{2} + 2} \Leftrightarrow 9b^{2} = b^{2} + 2 \Leftrightarrow b = \frac{1}{2}$ (vì $b > 0$ ).

Suy ra $c = 2$ . Vậy $M = b + c = 1$ .
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3;3; - 2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$ . Viết phương trình đường thẳng $d$ ?
- A.
  $d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y + 3}{3} = \frac{z - 2}{1}$
- B.
  $d:\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 2}{1}$
- C.
  $d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z - 1}{- 2}$
- D.
  $d:\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 3}{3} = \frac{z + 1}{- 2}$
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3;3; - 2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$ là:

$d:\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 2}{1}$

71 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!