Cho tứ diện
và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Cho tứ diện và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Cho tứ diện
và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Cho tứ diện và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Cho tứ diện đều
cạnh
.
là điểm trên đoạn
sao cho
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Có 6 vectơ (khác vectơ
) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ
và
bằng
. Sai||Đúng
c) Nếu
thì
. Sai||Đúng
d) Tích vô hướng
. Đúng||Sai
Cho tứ diện đều cạnh
.
là điểm trên đoạn
sao cho
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Có 6 vectơ (khác vectơ ) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ và
bằng
. Sai||Đúng
c) Nếu thì
. Sai||Đúng
d) Tích vô hướng . Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
a) Sai: Các vectơ (khác vectơ ) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện là:
.
Do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu.
b) Sai:
c) Sai: .
Do đó suy ra
.
d) Đúng: Ta có:
Suy ra
Trong không gian, cho hai vectơ
và
có cùng độ dài bằng
. Biết độ dài của vectơ
bằng
. Biết số đo góc giữa hai vectơ
và
là
độ. Giá trị của
là bao nhiêu?
Trong không gian, cho hai vectơ và
có cùng độ dài bằng
. Biết độ dài của vectơ
bằng
. Biết số đo góc giữa hai vectơ
và
là
độ. Giá trị của
là bao nhiêu?
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: . Khi đó
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng
?
Dễ thấy điểm không thuộc mặt phẳng
.
Trong không gian
, mặt phẳng
đi qua điểm
, đồng thời vuông góc với giá của vectơ
có phương trình là:
Mặt phẳng nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm
nên có phương trình là
.
Trong không gian
, gọi
là mặt phẳng chứa trục
và vuông góc với mặt phẳng
. Phương trình mặt phẳng
là:
Ta có: (Q) có một vectơ pháp tuyến là .
Từ giả thiết, ta suy ra có một vectơ pháp tuyến là
.
Do (P) đi qua gốc tọa độ O nên phương trình của (P) là .
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho điểm
thoả mãn
. Biết rằng khoảng cách từ
tới mặt phẳng
lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
Ta có:
Giả sử khi đó ta có:
Mà
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Tính độ dài đoạn thẳng
?
Vì là trọng tâm tam giác
nên tọa độ điểm
hay
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là điểm nào dưới đây?
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P).
Khi đó phương trình tham số của ∆ là
Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (M).
Tọa độ điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; -1; 0) và đường thẳng d:
. Mặt phẳng
chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có phương trình là:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có: cố định và
Suy ra lớn nhất bằng AK khi
.
Ta có (d): qua M(2; -1; 1) , có VTCP
.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT .
Mặt phẳng có một VTPT là
và
qua M (2; -1; 1) có phương trình:
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) qua A (2, 3, 1) cắt đường thẳng
và vuông góc đường thẳng ![]()
Lấy điểm nằm trên đường thẳng (d1).
Theo đề bài, ta có (d1) qua có vecto chỉ phương là
Ta có:
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) chứa A và
(1)
Xét tiếp đường thẳng có vecto chỉ phương của là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua A và vuông góc với . Ta có phương trình mp (Q) là
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
Tìm
để góc giữa hai vectơ
là góc nhọn.
Để
.
Kết hợp điều kiện
Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua hai điểm: ![]()
Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên VTCP của đường thẳng d chính là hay ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho 2 đường thẳng ![]()
. Tìm tất cả giá trị thực của
để
vuông góc với
?
Vectơ chỉ phương của lần lượt là:
.
Để thì
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, giao điểm của mặt phẳng
và đường thẳng
là:
Gọi là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Ta có:
Suy ra .
Trong không gian
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và chắn trên các trục tọa độ
theo ba đoạn có độ dài đại số lần lượt là
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
khi
theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng
là:
Do giả thiết suy ra .
Giả sử khi đó phương trình mặt phẳng
.
Do M thuộc (P) nên
Suy ra do đó phương trình mặt phẳng
.
Trong không gian
, cho điểm
. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
?
Đặt với
.
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm có dạng
.
Do nên ta có
.
Suy ra .
Nếu và
thì mặt phẳng (P) có dạng
.
Vì (P) đi qua M nên .
Ta có .
Nếu và
thì mặt phẳng (P) có dạng
.
Vì (P) đi qua M nên
Ta có .
Nếu và
thì mặt phẳng (P) có dạng
.
Vì (P) đi qua M nên
Ta có .
Nếu và
thì mặt phẳng (P) có dạng
.
Vì (P) đi qua M nên
Ta có .
Vậy có bốn mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.
Trong không gian tọa độ
cho điểm
. Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Giả sử
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Tính
.
Ta có:
Mặt phẳng (OAB) đi qua O và có vec-tơ pháp tuyến nên có phương trình
.
Ta xác định được
Theo giả thiết
Mặt khác
Giải hệ gồm (1), (2) và (3) ta được .
Vậy .