Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - 3y + z - 6 = 0$ cắt ba trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại ba điểm $A,B,C$ . Lúc đó thể tích $V$ của khối tứ diện $OABC$ là:
- A.
  $V = 6$
- B.
  $V = 3$
- C.
  $V = 12$
- D.
  $V = 18$
Gọi $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ lần lượt là giao của mặt phẳng $(P)$ với ba trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ .

Khi đó $A(3;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0;6)$ và tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc tại O.

Do đó $V_{OABC} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.3.2.6 = 6$
Câu 2: Vận dụng cao
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P): x-2y+2z-5=0$ và hai điểm $A(-3;0;1), B(1;-1;3)$ . Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:
- A. $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
- B. $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{-11}=\dfrac{z-1}{-2}$
- C. $\dfrac{x-3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z+1}{-2}$
- D. $\dfrac{x+2}{26}=\dfrac{y-1}{11}=\dfrac{z+3}{-2}$
Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).
Ta có: $(-3-2.0+2.1-5)(1+2.1+2.3-5) < 0 \Rightarrow A, B$ nằm về hai phía với (P).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) $\Rightarrow$ BH cố định và $d(B,(Q))=BH$ .
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay $d//(P)$ .
Ta có: $BK \geq BH \Leftrightarrow d(B, d) \geq d(B, d) \Rightarrow d (B, d)$ bé nhất bằng BH khi K trùng với điểm H.
Gọi $\vec{n}$ là VTPT của (ABH) $\Rightarrow \vec{n}=[\vec{n_p}, \vec{AB}]=(-2;6;7)$
Ta có đường thẳng d cần lập qua A, H và có VTCP là $\vec{u_d}=[\vec{n},\vec{n_P}]=(26; 11; -2)$
Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là: $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = ( - 2;3;0)$ và $\overrightarrow{v} = (2; - 2;1)$ . Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}$ ?
- A.
  $3\sqrt{7}$
- B.
  $\sqrt{83}$
- C.
  $\sqrt{89}$
- D.
  $3\sqrt{17}$
Ta có: $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} = ( - 2;3;0) - 2(2; - 2;1) = ( - 6;7; - 2)$

Khi đó $\left| \overrightarrow{w} ight| = \sqrt{89}$
Câu 4: Vận dụng cao
Cho điểm $M\left( { - 3,2, - 1} ight)$ và hai mặt phẳng $\left( \alpha ight):x + 3y - 5z + 3 = 0,\left( \beta ight):2x - y - 2z - 5 = 0.$
Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa điểm M , vuông góc với cả hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ :
- A. $x + 8y - 7z + 12 = 0$
- B. $x - 8y + 7z + 12 = 0$
- C. $x - 8y - 7z + 12 = 0$
- D. $x + 8y + 7z + 12 = 0$
Theo đề bài, ta có:
$\left( \alpha ight):x + 3y - 5z + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow a = \left( {1,3, - 5} ight)$
$\left( \beta ight):2x - y - 2z - 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow b = \left( {2, - 1, - 2} ight)$
Suy ra tích có hướng giữa 2 vecto là $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = \overrightarrow n = \left( {1, - 8, - 7} ight)$
Ta chọn $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng $(P)$
Phương trình $(P)$ có dạng $x - 8y - 7z + D = 0$
Mặt khác, ta có $M \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow - 3 - 16 + 7 + D = 0 \Leftrightarrow D = 12$
Vậy phương trình cần tìm là: $(P): x - 8y - 7z + 12 = 0$
Câu 5: Nhận biết
Cho tứ diện đều $ABCD$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}$
Vì tứ diện $ABCD$ là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc

Suy ra $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}$

Vậy mệnh đề chưa chính xác là: $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vecto $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ cùng có độ dài bằng $2$ . Biết rằng góc giữa hai vecto đó bằng $120^{0}$ , giá trị của biểu thức $P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2}$ là
- A.
  $28$
- B.
  $- 25$
- C.
  $18$
- D.
  $- 12$
Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 2.2.cos120^{0} = 2.2.\left( - \frac{1}{2} ight) = - 2$

Do đó:

$P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 4\overrightarrow{.a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2}$

$= 4 - 4.( - 2) + 4.4 = 28$ .
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Tính độ dài đoạn thẳng $OG$ ?
- A.
  $OG = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}}$
- B.
  $OG = \frac{1}{3}\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- C.
  $OG = \frac{2}{3}\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$
- D.
  $OG = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}}$
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên tọa độ điểm $G\left( \frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3} ight)$ hay $\overrightarrow{OG} = \left( \frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3} ight)$

Vậy $OG = \frac{1}{3}\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $M(3; - 2;1),N(1;0; - 3)$ . Gọi $M';N'$ lần lượt là hình chiếu của $M;N$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng $M'N'$ bằng:
- A.
  $M'N' = 8$
- B.
  $M'N' = 4$
- C.
  $M'N' = 2\sqrt{6}$
- D.
  $M'N' = 2\sqrt{2}$
Vì $M';N'$ lần lượt là hình chiếu của $M;N$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ nên $M'(3; - 2;0),N'(1;0;0)$ suy ra $\overrightarrow{M'N'} = ( - 2;2;0)$

$\Rightarrow M'N' = 2\sqrt{2}$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(2;0; - 1)$ và vuông góc với $d$ .
- A.
  $(P):x - y - 2z = 0$
- B.
  $(P):x - 2y - 2 = 0$
- C.
  $(P):x + y + 2z = 0$
- D.
  $(P):x - y + 2z = 0$
Phương trình mặt phẳng (P):

$1(x - 2) - 1(y - 0) + 2(z + 1) = 0$

$\Leftrightarrow x - y + 2z = 0$
Câu 10: Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $\overrightarrow{u}$ là một vecto tùy ý khác $\overrightarrow{0}$ .

Tính $T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

Đáp án: 1

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $\overrightarrow{u}$ là một vecto tùy ý khác $\overrightarrow{0}$ .

Tính $T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

Đáp án: 1

Giả sử $\overrightarrow{u} = (x,y,z)$ .

Ta có $\overrightarrow{i}(1,0,0);\overrightarrow{j}(0,1,0);\overrightarrow{k}(0,0,1)$

$cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

$= \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2}$

$= \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 1$

Vậy $T = 1$
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(2;0; - 1),B(1;1;0)$ và $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ . Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1; - 1)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1;1; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1;1)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (1;1;1)$
Do $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên $(\alpha)$ nhận $\overrightarrow{AB} = ( - 1;1;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra $\overrightarrow{n}(1; - 1; - 1) = - \overrightarrow{AB}$ cũng là vectơ pháp tuyến của (α).
Câu 12: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z - 5 = 0$ và hai điểm $A(−3; 0; 1), B(1; −1; 3)$ . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng nào cách B một khoảng cách nhỏ nhất?
- A.
  $\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}$
- B.
  $\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{- 11} = \frac{z - 1}{- 2}$
- C.
  $\frac{x - 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z + 1}{- 2}$
- D.
  $\frac{x + 2}{26} = \frac{y - 1}{11} = \frac{z + 3}{- 2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi d là đường thẳng cần tìm.

Gọi (Q) là mặt phẳng qua A(−3; 0; 1) và song song với $(P): x − 2y + 2z − 5 = 0$ .

$⇒ (Q): x − 2y + 2z + 1 = 0$ và $d ⊂ (Q)$ .

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B lên d và (Q) thì $BH > BK$ .

Do đó $d(B; d)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $H ≡ K$ .

Đường thẳng BK đi qua B(1; −1; 3) và vuông góc với (Q) $\Rightarrow BK:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Lại có: $K = BK \cap (Q) \Rightarrow K = \left( \frac{- 1}{9};\frac{11}{9};\frac{7}{9} ight)$

Đường thẳng d qua A và nhận $\overrightarrow{AK} = \left( \frac{26}{9};\frac{11}{9};\frac{- 2}{9} ight)$ làm vectơ chỉ phương nên đường thẳng cần tìm là: $\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho các điểm $A(0;1;2),B(2; - 2;1),C( - 2;0;1)$ . Phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ là:
- A.
  $2x - y - 1 = 0$
- B.
  $- y + 2z - 3 = 0$
- C.
  $2x - y + 1 = 0$
- D.
  $y + 2z - 5 = 0$
Ta có: $\overrightarrow{n} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = ( - 2;1;0)$

Vậy phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ là:

$- 2(x - 0) + 1(y - 1) = 0$

$\Leftrightarrow - 2x + y - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2x - y + 1 = 0$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{- 3}$ và mặt phẳng $(P):3x - 3y + 2z + 1 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  d song song với (P).
- B.
  d nằm trong (P).
- C.
  d cắt và không vuông góc với (P).
- D.
  d vuông góc với (P).
Viết lại đường thẳng d ở dạng tham số $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = - t \\ z = 1 - 3t \\ \end{matrix} ight.$

Xét phương trình $3.( - 1 + t) - 3.( - t) + 2.(1 - 3t) + 1 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$

Kết luận phương trình có vô số nghiệm $\Rightarrow d \subset (P)$
Câu 15: Nhận biết
Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz:
- A. Hai mặt phẳng (P) và (Q) có cùng một vecto pháp tuyến thì chúng song song .
- B. Mỗi mặt phẳng chỉ có một vecto pháp tuyến duy nhất.
- C. Một mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một vecto pháp tuyến của nó.
- D. Hai câu A và B
A sai và có thể (P) và (Q) trùng nhau
B sai, vì mỗi mặt phẳng có vô số vecto pháp tuyến. Suy ra D sai.
C đúng vì 1 mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một VTPT của nó.
Câu 16: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M( - 1;0;3)$ . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho $3OA = 2OB = OC eq 0$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $8$
- C.
  $4$
- D.
  $2$
Từ giả thiết, ta có thể coi $A(2a;0;0),B(0;3b;0),C(0;0;6c)$ (với $|a| = |b| = |c| eq 0$ ).
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là $\frac{x}{2a} + \frac{y}{3b} + \frac{z}{6c} =1$ .
Do (P) đi qua M(−1; 0; 3) nên $-\frac{1}{2a} + \frac{1}{2c} = 1$ .
Theo trên có c = ±a, kết hợp với phương trình vừa thu được, ta suy ra a = −1, c = 1.
Cũng theo trên, b = ±a, nên có 2 giá trị của b.
Suy ra có 2 bộ (a, b, c) thỏa mãn, hay có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có:
- A. 1 vectơ chỉ phương duy nhất
- B. 2 vectơ chỉ phương
- C. 3 vectơ chỉ phương
- D. Vô số vectơ chỉ phương
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có vô số vecto chỉ phương.
Câu 18: Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A(1;1;1),B(0;1;2),C( - 2;1;4)$ và mặt phẳng $(P):x - y + z + 2 = 0$ . Tìm điểm $N \in (P)$ sao cho $S = 2NA^{2} + NB^{2} + NC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A(1;1;1),B(0;1;2),C( - 2;1;4)$ và mặt phẳng $(P):x - y + z + 2 = 0$ . Tìm điểm $N \in (P)$ sao cho $S = 2NA^{2} + NB^{2} + NC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;3)$ và mặt phẳng $(P):2x + y - 4z + 1 = 0$ . Đường thẳng $(d)$ qua điểm $A$ , song song với mặt phẳng $(P)$ , đồng thời cắt trục $Oz$ . Viết phương trình tham số của đường thẳng $(d)$ .
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 5t \\ y = 2 - 6t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 6t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Gọi $B = d \cap Oz \Rightarrow B(0;0;b) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2;\ b - 3)$

Lại có $d\ //(P)\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} = (2;1; - 4)$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{(P)}} = 0 \Leftrightarrow - 2 - 2 - 4b + 12 = 0 \Leftrightarrow b = 2$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2 - 1)$

Do đó, (d) là đường thẳng qua B(0; 0; 2) và nhận $\overrightarrow{u} = (1;2;1)$ làm vectơ chỉ phương. Nên (d) có phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0};\widehat{CAD} = 90^{0}$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ . Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{IJ}$ ?
- A.
  $120^{0}$ .
- B.
  $90^{0}$ .
- C.
  $60^{0}$ .
- D.
  $45^{0}$ .
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ICD có I là trung điểm đoạn CD $\Rightarrow \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight)$

Tam giác ABC có $AB = AC$ và $\widehat{BAC} = 60^{0}$ suy ra tam giác $ABC$ đều suy ra $CI\bot AB$

Tương tự ta cũng có tam giác ABD đều nên $DI\bot AB$

Ta có: $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{ÂB} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight).\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{IJ}\bot\overrightarrow{AB} \Rightarrow \left( \overrightarrow{IJ};\overrightarrow{AB} ight) = 90^{0}$

31 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!