Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và đường thẳng
. Điểm
thuộc
là điểm thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
bằng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: có một vectơ chỉ phương là
Ta có cùng phương với
Mà đồng phẳng.
Xét mặt phẳng chứa và
. Gọi
là điểm đối xứng của
qua
là mặt phẳng qua
, vuông góc với
.
Khi đó, giao điểm của
với
là trung điểm của
.
có 1 vectơ pháp tuyến
đi qua
có phương trình:
Giả sử
.
Ta có khi và chỉ khi
trùng với
là giao điểm của
và
.
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hình bình hành
. Biết
và
. Diện tích hình bình hành
là:
Ta có:
Suy ra diện tích ABCD là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai véc tơ
và
. Tọa độ của véc tơ
tương ứng là:
Ta có: .
.
Suy ra .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho 2 điểm
, đường thẳng
và mặt phẳng
. Đường thẳng
đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng
lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện
và
bằng nhau, biết
có một vectơ chỉ phương là
. Tính
.
Hình vẽ minh họa
Ta có
Nên . Vì
C là trung điểm của BD nên .
Điểm nên
là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Gọi ∆’ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng ∆ qua (Oxy). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 11; 0).
Ta thấy B(1; 2; 3) ∈ ∆ và B’(1; 2; −3) là điểm đối xứng của điểm B qua mặt phẳng (Oxy).
Đường thẳng ∆’ đi qua các điểm A, B’.
Ta có , từ đó suy ra
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
cùng phương. Tìm cặp số thực
?
Ta có hai vectơ cùng phương
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
. Tìm tọa độ giao điểm
của đường thẳng
và
, biết đường thẳng d' có phương trình 
Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tọa độ ba điểm
. Thể tích tứ diện
bằng:
Ta có: . Dễ thấy tứ diện
vuông tại
nên
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian
, cho ba điểm
. Điểm
thuộc tia
sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện
bằng
có tọa độ là
Ta có D thuộc tia nên
với
.
Tính
Mặt phẳng : có vectơ pháp tuyến
và đi qua điểm
.
Ta có
Vậy .
Cho hình hộp chữ nhật
có
và đặt
. Lấy điểm
thỏa
và điểm
thỏa
. (Quan sát hình vẽ).

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c)
, với
là các số thực. Đúng||Sai
d)
. Đúng||Sai
Cho hình hộp chữ nhật có
và đặt
. Lấy điểm
thỏa
và điểm
thỏa
. (Quan sát hình vẽ).
Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) , với
là các số thực. Đúng||Sai
d) . Đúng||Sai
a) Đúng: Ta có
b) Sai:
c) Đúng:
(vì đôi một vuông góc nên
.
Ta có
.
d) Đúng:
Suy ra .
Trong hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
là
Gọi là mặt phẳng trung trực của
.
Tọa độ trung điểm của là
Vectơ pháp tuyến của là
Phương trình mặt phẳng
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
sao cho phép đối xứng qua mặt phẳng
biến mặt phẳng
thành mặt phẳng
.
Tọa độ giao điểm của mặt phẳng (α) với các trục tọa độ là .
Ta có và
.
Kí hiệu Đ(Oxy) là phép đối xứng qua mặt phẳng Oxy.
Ta có , (ảnh của A, B trùng với chính nó vì
).
Do C’ đối xứng với qua mặt phẳng Oxy, suy ra
Từ đó suy ra mặt phẳng (β) có phương trình theo đoạn chắn là:
Trong không gian
cho ba điểm
và mặt phẳng
. Gọi
là điểm thuộc mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
Lại có
Vì là một hằng số nên S nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, hay M là hình chiếu của G lên (P).
Từ đó ta tìm được và
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng
.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a)
. Sai||Đúng
b)
. Đúng||Sai
c)
. Sai||Đúng
d)
nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai
Cho tứ diện . Gọi
lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng
.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) . Sai||Đúng
b) . Đúng||Sai
c) . Sai||Đúng
d) nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
a) Đúng: .
b) Đúng: Vi là trung điểm của
nên
Vì là trung điểm của
nên
Vì là trung điểm của
nên
Do đó:
c) Sai:
d) Đúng
Ta có: .
.
Do đó: nhỏ nhất khi
Trong không gian với hệ tọa độ
, trục
có phương trình tham số là
Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có véctơ chỉ phương nên có phương trình tham số là
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Tính độ dài vectơ
?
Ta có:
Khi đó
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Điểm
sao cho tam giác
có diện tích nhỏ nhất. Tính
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng
và hai điểm
. Điểm
sao cho tam giác
có diện tích nhỏ nhất. Tính
.
Trong không gian cho hình hộp
. Khi đó
bằng:
Theo quy tắc hình hộp ta có .
Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz:
,
. Với
. Gọi
và
. (D) và (d) chéo nhau khi và chỉ khi:
Để xét điều kiện (D) và (d) có chéo nhau hay không, ta cẩn kiểm tra rằng (D) và d không cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:
Suy ra (D) và (d) chéo nhau.