Cho tứ diện
và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Cho tứ diện và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Cho tứ diện
và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Cho tứ diện và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Mặt phẳng (P) qua d và tạo với
một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:

Gọi ;
H là hình chiếu vuông góc của B lên ; K là hình chiếu của H lên
.
Suy ra: cố định;
.
Mà (vì
)
Suy ra nhỏ nhất bằng
khi
.
Khi đó và có một VTCP
.
Vậy (P) có một VTPT là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và hai mặt phẳng
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua
và song song với hai mặt phẳng
?
Ta có:
Do đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương là .
Vậy phương trình đường thẳng d là
Trong không gian
, cho vectơ
. Khi đó tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Trong không gian
, mặt phẳng
đi qua điểm
, đồng thời vuông góc với giá của vectơ
có phương trình là:
Mặt phẳng nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm
nên có phương trình là
.
Trong không gian
, cho ba điểm
. Điểm
thuộc tia
sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện
bằng
có tọa độ là
Ta có D thuộc tia nên
với
.
Tính
Mặt phẳng : có vectơ pháp tuyến
và đi qua điểm
.
Ta có
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tứ diện
có
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Viết phương trình mặt phẳng
biết tứ diện
có thể tích nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tứ diện
có
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Viết phương trình mặt phẳng
biết tứ diện
có thể tích nhỏ nhất.
Trong hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và ba điểm
. Điểm M ∈ (α) sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
Xét điểm I(a; b; c) thỏa mãn:
Khi đó
Khi đó:
Do đó đạt giá trị nhỏ nhất thì M là hình chiếu của I trên mặt phẳng
.
Do là hình chiếu của I trên mặt phẳng
nên ta có:
Vậy .
Cho tứ diện đều
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Vì tứ diện là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc
Suy ra
Vậy mệnh đề chưa chính xác là: .
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho mặt phẳng
. Hỏi có bao nhiêu điểm
thuộc mặt phẳng
với
là các số nguyên không âm.
Ta có nên mặt phẳng
đi qua các điểm
Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.
Tam giác ABC đều có các cạnh bằng , chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.
Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng
Trong không gian với hệ tọa độ
, đường thẳng đi qua điểm
và song song với trục
có phương trình tham số là:
Gọi là đường thẳng cần tìm.
Ta có nên
có vectơ chỉ phương là
.
Do đó .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và điểm
. Tính khoảng cách
từ
đến
.
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:
Trong không gian
, cho tọa độ các điểm
. Cho các khẳng định sau:
(I)
.
(II)
.
(III) Ba điểm
tạo thành một tam giác.
(IV) Ba điểm
thẳng hàng.
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng.
Ta có: nên
là trung điểm của
và ba điểm
thẳng hàng.
Vậy có 2 khẳng định sai và 2 khẳng định đúng.
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c)
. Sai||Đúng
d) Tứ giác
là hình bình hành khi
. Đúng||Sai
Trong không gian , cho hai điểm
và
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) . Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) . Sai||Đúng
d) Tứ giác là hình bình hành khi
. Đúng||Sai
a) Đúng
.
b) Sai
.
c) Sai
.
d) Đúng
Ta có: ,
là hình bình hành
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Điểm
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
. Khi đó giá trị biểu thức
có giá trị bằng bao nhiêu?
Gọi tọa độ điểm
Ta có:
Ta có: là hình bình hành
suy ra điểm
Khi đó .
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng:
Theo đề bài, ta biến đổi được (b) có dạng:
Thay x, y, z vào phương trình x+2y+z =9 , ta có:
=> Tọa độ giao điểm của (a) và (b): A (0, - 4, - 1)
Trong không gian
, cho điểm
và đường thẳng
. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
Gọi
Ta có .
Trong không gian
, cho hai điểm
,
, tọa độ điểm
thuộc trục
sao cho
thẳng hàng là
Vì điểm thuộc trục
nên
có tọa độ
.
Ta có ;
thẳng hàng
cùng phương
Vậy điểm .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với hai mặt phẳng
và
. Phương trình của mặt phẳng
là
Ta có các vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) là
Theo giả thiết mặt phẳng (α) vuông góc với (P) và (Q) do đó
Suy ra, phương trình mặt phẳng (α) có dạng
Hay
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Mặt phẳng
đi qua
, trực tâm
của tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là:
Ta có
Phương trình mặt phẳng (ABC) là: .
Phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với AC là: .
Phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với AB là: .
Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm H của tam giác ABC nên .
Mặt phẳng (P) đi qua A, H nên
Mặt phẳng (P) ⊥ (ABC) nên .
Vậy là một vectơ pháp tuyến của (P).
Chọn nên phương trình mặt phẳng (P) là
.