Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian
, cho hai điểm
. Biết mặt phẳng
đi qua điểm
và cách
một khoảng lớn nhất. Phương trình mặt phẳng
là
Hình vẽ minh họa
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P), suy ra d(B, (P)) = AH.
Ta có BH ≤ AB.
Dấu “=” xảy ra ⇔ H ≡ A
⇒ BHmax = AB khi AB ⊥ (P).
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
cho hai mặt phẳng
và
. Có bao nhiêu điểm
trên trục
thỏa mãn
cách đều hai mặt phẳng
và
?
Vì nên
Ta có: .
Theo giả thiết:
Vậy có 1 điểm thỏa mãn bài.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và hai đường thẳng
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm
, cắt
và vuông góc với
.
Gọi là đường thẳng đi qua điểm
, cắt
và vuông góc với
.
Giả sử .
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a; AD = b; AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với
lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng MN.
Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:
(MN) là đường thẳng đi qua M và nhận vecto là 1 VTCP có PT là:
Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz:
,
. Với
. Gọi
và
. (D) và (d) cắt nhau khi và chỉ khi:
Để xét điều kiện (D) và (d) cắt nhau ta cẩn kiểm tra rằnng (D) và d cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:
và (d) cùng nằm trong một mặt phẳng
Để (D) và d cắt nhau, ta sẽ xét tỉ số sau:
và (d) cắt nhau.
Trong không gian
khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và
bằng:
Dựa vào phương trình có vectơ pháp tuyến là
nên
Ta có: suy ra
Cho hình lập phương
có đường chéo
. Gọi
là tâm hình vuông
và điểm S thỏa mãn: ![]()
. Khi đó độ dài của đoạn
bằng
với
và
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức
.
Cho hình lập phương có đường chéo
. Gọi
là tâm hình vuông
và điểm S thỏa mãn:
. Khi đó độ dài của đoạn
bằng
với
và
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
với
. Độ dài đoạn thẳng
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Suy ra
Vậy độ dài AC’ bằng .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tọa độ ba điểm
thẳng hàng. Khi đó giá trị của biểu thức
là:
Ta có: . Vì A; B; C thẳng hàng nên
cùng phương
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có:
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có vô số vecto chỉ phương.
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
,
. Đường thẳng
đi qua điểm
vuông góc với
và cắt đường thẳng
có phương trình là:
Đường thẳng có phương trình tham số là:
Gọi giao điểm của ∆ và d2 là
Đường thẳng
là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Phương trình
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có: đúng
suy ra Hai vectơ
không cùng phương.
Vậy mệnh đề sai là: “Hai vectơ cùng phương”.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có:
Vậy khẳng định sai là: .
Trong không gian
, cho điểm
. Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục
.
Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là
Cho tam giác
. Lấy điểm
nằm ngoài mặt phẳng
. Trên đoạn
lấy điểm
sao cho
và trên đoạn
lấy điểm
sao cho
. Biết biểu diễn
là duy nhất. Tính giá trị biểu thức
?
Hình vẽ minh họa
Theo giả thiết ta có: ;
Lấy điểm P trên cạnh AC sao cho . Khi đó:
Cho hai đường thẳng chéo nhau
và ![]()
Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:
Phương trình (d) cho biết và (d) có vectơ chỉ phương
Chuyển về dạng tham số
để có
và vectơ chỉ phương
.
Gọi I là trung điểm AB thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ .
là phương trình của mặt phẳng (P).
Cho hình hộp chữ nhật
có
. Mặt phẳng
thay đổi và luôn đi qua
, mặt phẳng
cắt các tia
lần lượt tại
(khác
). Tính tổng
sao cho thể tích khối tứ diện
nhỏ nhất.
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
Khi đó .
Phương trình mặ phẳng
Vì
Thể tích khối đa diện AEFG là:
Do dó thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất bằng 27 khi và chỉ khi:
Khi đó
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:
Trong không gian tọa độ
, mặt phẳng
đi qua
và chắn trên tia
một đoạn thẳng dài gấp đôi các đoạn thẳng mà nó chắn trên các tia
và
. Giả sử
, với
. Tính
.
Từ giả thiết, ta suy ra các giao điểm của (α) với các tia lần lượt là
.
Suy ra phương trình (đoạn chắn) của (α) là .
Do (α) đi qua M nên .
Suy ra .
Từ đó, ta tính được: .