Trong không gian
, cho điểm
. Tìm tọa độ điểm
đối xứng với
qua trục
?
Gọi H là hình chiếu vuông góc của lên
suy ra
Khi đó là trung điểm của
nên
Trong không gian
, cho điểm
. Tìm tọa độ điểm
đối xứng với
qua trục
?
Gọi H là hình chiếu vuông góc của lên
suy ra
Khi đó là trung điểm của
nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Mặt phẳng
đi qua
, trực tâm
của tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là:
Ta có
Phương trình mặt phẳng (ABC) là: .
Phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với AC là: .
Phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với AB là: .
Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm H của tam giác ABC nên .
Mặt phẳng (P) đi qua A, H nên
Mặt phẳng (P) ⊥ (ABC) nên .
Vậy là một vectơ pháp tuyến của (P).
Chọn nên phương trình mặt phẳng (P) là
.
Trong không gian
, cho điểm
. Điểm đối xứng với
qua mặt phẳng
có tọa độ là:
Giữ nguyên y, z và đổi dấu x nên ta suy ra điểm đối xứng với A qua có tọa độ là
.
Cho 2 đường thẳng
và 
Mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với
có phương trình tổng quát :
Phương trình (d) cho và vectơ chỉ phương của (d) là:
Phương trình cho vectơ chỉ phương của
là :
Gọi là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :
Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và hai đường thẳng
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm
, cắt
và vuông góc với
.
Gọi là đường thẳng đi qua điểm
, cắt
và vuông góc với
.
Giả sử .
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: do đó
Vậy đáp án cần tìm là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Mặt phẳng
vuông góc với cả
và
đồng thời cắt trục
tại điểm có hoành độ bằng
. Phương trình của mặt phẳng
là:
Ta có: (P) có vectơ pháp tuyến , (Q) có vectơ pháp tuyến
.
Vì mặt phẳng (α) vuông góc với cả (P) và (Q) nên (α) có một vectơ pháp tuyến là
Vì mặt phẳng (α) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên (α) đi qua điểm M(3; 0; 0).
Vậy (α) đi qua điểm M(3; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến nên (α) có phương trình
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
Trong không gian
, cho đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
. Một vectơ chỉ phương của
là:
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là .
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α) nên có vectơ chỉ phương là
.
Cho hình hộp chữ nhật
có
. Mặt phẳng
thay đổi và luôn đi qua
, mặt phẳng
cắt các tia
lần lượt tại
(khác
). Tính tổng
sao cho thể tích khối tứ diện
nhỏ nhất.
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
Khi đó .
Phương trình mặ phẳng
Vì
Thể tích khối đa diện AEFG là:
Do dó thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất bằng 27 khi và chỉ khi:
Khi đó
Trong không gian với hệ toạ độ
, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
và đường thẳng
. Tìm điểm
thuộc đường thẳng
để thể tích của tứ diện
bằng
.
Ta có
Phương trình mặt phẳng
Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A suy ra
Mà
Với
Với
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:
Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :
Giải (1),(2) tính theo
được
.
Thế vào phương trình (3) được , từ đó có
Vậy .
Trong không gian
, cho tọa độ ba điểm
. Tọa độ trọng tâm
của tam giác
là:
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:
Vậy trọng tâm G tìm được là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là:
Do đường thẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng
nên vectơ pháp tuyến của (P) là
cũng là vectơ chỉ phương của
.
Mặt khác đi qua điểm
nên phương trình chính tắc của
là:
Cho tứ giác ABCD có
. Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua A, B và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3.

Theo đề bài, ta có mp (P) cắt cạnh CD tại E, E chia đoạn CD theo tỷ số -3
Từ đó, ta suy ra:
Như vậy, VTPT mp (P) là:
Trong không gian
, cho hai đường thẳng song song
và
. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (d, d’), đồng thời cách đều hai đường thẳng d và d’.
Lấy .
Đường thẳng cần tìm đi qua trung điểm của MN, là điểm I(3; 0; 2), và song song với d và d’.
Phương trình đường thẳng cần tìm là:
Tứ giác
là hình bình hành biết tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Giả sử điểm khi đó
ta có là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của
là
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của là
. Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Đúng: Gọi là trung điểm
.
Ta có
b) Đúng: Ta có .
c) Đúng: Ta có .
Suy ra .
d) Sai: Gọi thỏa mãn
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
suy ra
.
Suy ra .
Vậy .
Trong không gian
, tìm tập hợp các điểm cách đều cặp mặt phẳng sau đây:
.
Gọi điểm
Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng trên có dạng:
Để mp (γ) cách đều hai mp trên thì
hoặc
Mặt khác điểm hai điểm A; B phải nằm về hai phía của mp (γ).
Với ta có
nên A; B cùng phía.
Với ta có
nên A; B khác phía.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là .