Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x + y - 2z + 1 = 0$ đi qua điểm $M(1; - 2;0)$ và cắt đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 11 + 2t \\ y = 2t \\ z = - 4t \\ \end{matrix}\ (t \in \mathbb{R}) ight.$ tại $N$ . Tính độ dài đoạn $MN$ .
- A.
  $7\sqrt{6}$ .
- B.
  $3\sqrt{11}$ .
- C.
  $\sqrt{10}$ .
- D.
  $4\sqrt{5}$ .
Điểm $N \in (d) \Rightarrow N(11 + 2t;2t; - 4t)$ . Mặt khác $N \in (\alpha)$ nên

$11 + 2t + 2t - 2( - 4t) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

Điểm $N(9; - 2;4) \Rightarrow \overrightarrow{MN} = (8;0;4) \Rightarrow MN = 4\sqrt{5}$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian cho ba vectơ $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}$ có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Giá của các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}$ cùng nằm trên một mặt phẳng.
- B.
  Giá của các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}; - 2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w}$ cùng nằm trên một mặt phẳng.
- C.
  Giá của các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};2\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
- D.
  Giá của các vectơ $2\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight); - \overrightarrow{u}; - \overrightarrow{v}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Vì ba vectơ $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}$ có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng nên

Giá các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Giá các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v};\overrightarrow{v};2\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Giá các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}; - 2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Giá của các vectơ $2\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight); - \overrightarrow{u}; - \overrightarrow{v}$ cùng nằm trên một mặt phẳng

Vậy mệnh đề đúng là: “Giá các vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}; - 2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.”
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $M(2;1;4)$ và $M'(a;b;c)$ là điểm đối xứng cới điểm $M$ qua $Oy$ . Khi đó $a + b + c$ bằng:
- A.
  $3$
- B.
  $- 5$
- C.
  $5$
- D.
  $- 1$
Gọi $H$ là hình chiếu của M trên $Oy$ ta có $H(0;1;0)$ . Do $M'$ đối xứng với $M$ qua $Oy$ , khi đó $H$ là trung điểm của $M'M$

Suy ra $M'( - 2;1; - 4)$ từ đó $a + b + c = - 5$ .
Câu 4: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC$ và $\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA}$ . Góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{BC}$ là:
- A.
  $120^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{SA}.\left( \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB} ight)$

$= \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}$

$= \left| \overrightarrow{SA}ight|.\left| \overrightarrow{SC} ight|.\cos\widehat{ASC} - \left|\overrightarrow{SA} ight|.\left| \overrightarrow{SB}ight|.\cos\widehat{ASB} = 0$

Vậy góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{SA}$ và $\overrightarrow{BC}$ là $90^{0}$ .
Câu 5: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;0;1),B(3; - 2;0),C(1;2; - 2)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ sao cho tổng khoảng cách từ $B$ và $C$ đến $(P)$ lớn nhất, biết rằng $(P)$ không cắt đoạn $BC$ . Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:
- A.
  $\overrightarrow{n} = (2; - 2; - 1)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1;0;2)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = ( - 1;2; - 1)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$
Kiểm tra $\overrightarrow{n} = (2; - 2; - 1)$ : Mặt phẳng (P) có phương trình 2x − 2y − z − 1 = 0.

Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại $\overrightarrow{n} = (2; - 2; - 1)$ .

Kiểm tra $\overrightarrow{n} = (1;0;2)$ : Mặt phẳng (P) có phương trình x+ 2z −3 = 0.

Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B ∈ (P) nên loại $\overrightarrow{n} = (1;0;2)$ .

Kiểm tra $\overrightarrow{n} = ( - 1;2; - 1)$ : Mặt phẳng (P) có phương trình −x + 2y − z + 2 = 0.

Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại $\overrightarrow{n} = ( - 1;2; - 1)$ .

Kiểm tra v: Mặt phẳng (P) có phương trình x − 2z + 1 = 0.

Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về cùng phía (P) nên chọn $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$ .
Câu 6: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng: $\left. \ \begin{matrix}\overrightarrow{MR} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\overrightarrow{SN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{MR} =\overrightarrow{SN}$ .

b) Đúng: Vi $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM}$

Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN}$

Vì $G$ là trung điểm của $MN$ nên $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$

Do đó: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}) = 2.\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$

c) Sai: $\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} =\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AD}$

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{IG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) = 4\overrightarrow{IG}$ .

$\Rightarrow |\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}| = |4\overrightarrow{IG}| = 4IG$ .

Do đó: $|\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}|$ nhỏ nhất khi $IG = 0 \Leftrightarrow I \equiv G$
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(a;b;1)$ thuộc mặt phẳng $(P):2x - y + z - 3 = 0$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $2a - b = 3$
- B.
  $2a - b = 2$
- C.
  $2a - b = - 2$
- D.
  $2a - b = 4$
Ta có điểm $M(a;b;1)$ thuộc mặt phẳng $(P):2x - y + z - 3 = 0$ nên:

$2a - b + 1 - 3 = 0 \Leftrightarrow 2a - b = 2$
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(3; - 1;4)$ , đồng thời vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow{a} = (1;1;2)$ có phương trình là:
- A.
  $3x - y + 4z - 12 = 0$
- B.
  $3x - y + 4z + 12 = 0$
- C.
  $x - y + 2z - 12 = 0$
- D.
  $x - y + 2z + 12 = 0$
Mặt phẳng $(P)$ nhận vectơ $\overrightarrow{a} = (1;1;2)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $M(3; - 1;4)$ nên có phương trình là $1(x - 3) - 1(y + 1) + 2(z - 4) = 0$

$\Leftrightarrow x - y + 2z - 12 = 0$ .
Câu 9: Vận dụng cao
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 1,BC = 2,AA' = 3$ . Mặt phẳng $(P)$ thay đổi và luôn đi qua $C'$ , mặt phẳng $(P)$ cắt các tia $AB,AD,AA'$ lần lượt tại $E,F,G$ (khác $A$ ). Tính tổng $T = AE + AF + AG$ sao cho thể tích khối tứ diện $AEFG$ nhỏ nhất.
- A.
  $18$
- B.
  $15$
- C.
  $17$
- D.
  $16$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A ≡ O(0; 0; 0),$ $B(1; 0; 0), D(0; 2; 0), A0 (0; 0; 3)$

Khi đó $E(AE; 0; 0), F(0; AF, 0),$ $G(0; 0; AG), C0 (1; 2; 3)$ .

Phương trình mặ phẳng $(P):\frac{x}{AE} + \frac{y}{AF} + \frac{z}{AG} = 1$

Vì $C'(1;2;3) \in (P) \Rightarrow \frac{1}{AE} + \frac{2}{AF} + \frac{3}{AG} = 1$

Thể tích khối đa diện AEFG là:

$V_{AEFG} = \dfrac{1}{6}AE.AF.AG =\dfrac{1}{\dfrac{1}{AE}.\dfrac{2}{AF}.\dfrac{3}{AG}}$ $\geq \dfrac{1}{\dfrac{\left( \dfrac{1}{AE} +\dfrac{2}{AF} + \dfrac{3}{AG} ight)^{3}}{27}} = 27$

Do dó thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất bằng 27 khi và chỉ khi:

$\frac{1}{AE} = \frac{2}{AF} = \frac{3}{AG} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} AE = 3 \\ AF = 6 \\ AG = 9 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $T = AE + AF + AG = 3 + 6 + 9 = 18$
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;1),B(2;1; - 2),C( - 1;3;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D( - 2;2;5)$
- B.
  $D(1; - 1; - 2)$
- C.
  $D(0;4; - 1)$
- D.
  $D( - 1; - 1;1)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 1 \\ y - 3 = - 1 \\ z - 2 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 2 \\ z = 5 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 2;2;5)$
Câu 11: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AC;BD$ , $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$ và $O$ là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị của $k$ thỏa mãn đẳng thức $k.\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} ight) = \overrightarrow{OG}$ ?
- A.
  $k = 4$
- B.
  $k = \frac{1}{4}$
- C.
  $k = \frac{1}{2}$
- D.
  $k = 2$
Vì G là trọng tâm tứ diện nên

$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OD} ight) = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{OG}$

$\Leftrightarrow k = \dfrac{1}{4}$ .
Câu 12: Vận dụng cao
Cho hai đường thẳng chéo nhau $\left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight.$ và $\left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.$
Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:
- A. $x + 5y - 2z + 12 = 0$
- B. $x - 5y + 2z - 12 = 0$
- C. $x + 5y + 2z - 12 = 0$
- D. $x - 5y - 2z + 12 = 0$
Phương trình (d) cho biết $A(2, 1, 0) \in (d)$ và (d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)$
Chuyển $(\triangle )$ về dạng tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight.$ để có $B(2, 3, 0) \in (\triangle )$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight)$ .
Gọi I là trung điểm AB thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ $\in (P)$ .
$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0$ là phương trình của mặt phẳng (P).
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1;1;2)$ và mặt phẳng $(P):2x - y + 3z + 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z + 2}{3}$
- B.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 3}{2}$
- C.
  $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{2}$
- D.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$
Do đường thẳng $\Delta$ cần tìm vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nên vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1;3)$ cũng là vectơ chỉ phương của $\Delta$ .

Mặt khác $\Delta$ đi qua điểm $M(1;1;2)$ nên phương trình chính tắc của $\Delta$ là: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$
Câu 14: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng chéo nhau $d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 1} =\frac{z - 4}{1},$ $d_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z +3}{4}$ . Viết phương trình đường vuông góc chung của $d_{1},d_{2}$ .
- A.
  $\frac{x - 7}{3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 9}{- 1}$
- B.
  $\frac{x - 3}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{- 1}$
- C.
  $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$
- D.
  $\frac{x + 7}{3} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 9}{- 1}$
Đường thẳng $d_{1},d_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{1}} = (1; - 1;1),\overrightarrow{u_{2}} = (2; - 1;4)$

Gọi ∆ là đường vuông góc chung giữa $d_{1}$ và $d_{2}$ , suy ra ∆ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3; - 2;1)$

Giả sử ∆ giao với $d_{1},d_{2}$ lần lượt tại $\left\{ \begin{matrix} M(3 + m; - 1 - m;4 + m) \\ N(2 + 2n;4 - n; - 3 + 4n) \\ \end{matrix} ight.$ , khi đó ta có $\overrightarrow{MN} = ( - m + 2n - 1;m - n + 5; - m + 4n - 7)$

Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{MN} = 0 \\ \overrightarrow{u_{2}.}\overrightarrow{MN} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3m + 7n - 13 = 0\ \\ - 7m + 21n - 35 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 2 \\ n = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Từ đó suy ra đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}}$ và đi qua điểm $M(1; 1; 2)$ .

Vậy ta có phương trình đường thẳng: $\Delta:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$
Câu 15: Thông hiểu
Cho hai đường thẳng $\left( {d'} ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 1 + t\\z = - 2 - t\end{array} ight.\,\,;\,\,\,\,\,\left( {d''} ight)\left\{ \begin{array}{l}x = m - 3\\y = 2 + 2m\\z = 1 - 4m\end{array} ight.\,\,;t,\,\,m \in \mathbb{R}$
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua (d’)và song song với (d’’).
- A. $x + 7y + 5z - 20 = 0$
- B. $2x + 9y + 5z - 5 = 0$
- C. $x - 7y - 5z = 0$
- D. $x - 7y + 5z + 20 = 0$
Vì (P) đi qua (d’) nên (P) nhận VTCP của (d’) làm 1 VTCP
$VTCP\left( P ight):\overrightarrow a = \left( { - 2,1, - 1} ight)$
Vì (P) song song với (d’’) nên (P) có VTCP thứ hai là :
$VTCP\left( P ight):\overrightarrow b = \left( {1,2, - 4} ight)$
Từ đây, ta suy ra VTPT của (P) chính là tích có hướng của 2 VTCP và :
$VTPT\left( P ight):\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = \left( {2,9,5} ight)$
Lấy điểm A(3,1,-2) trên đường thẳng (d’) mà (d’) nằm trong (P) nên ta có được A cũng phải thuộc (P):
$\begin{array}{l}A\left( {3,1, - 2} ight) \in \left( P ight) \Rightarrow \left( {x - 3} ight)2 + \left( {y - 1} ight)9 + \left( {z + 2} ight)5 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \left( P ight):2x + 9y + 5z - 5 = 0\end{array}$
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;2;3),B( - 1;2;1),C(3; - 1; - 2)$ . Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ ?
- A.
  $- 6$
- B.
  $- 14$
- C.
  $14$
- D.
  $6$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2;0; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (2; - 3; - 5) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 6$
Câu 17: Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; -1)$ . Biết điểm $M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +3\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm $M$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; -1)$ . Biết điểm $M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +3\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm $M$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng song song với mặt phẳng $(\beta):2x - 4y + 4z + 3 = 0$ và cách điểm $A(2; - 3;4)$ một khoảng $k = 3$ . Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là:
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - 4y + 4z - 5 = 0\ \\ 2x - 4y + 4z - 13 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $x - 2y + 2z - 25 = 0$
- C.
  $x - 2y + 2z - 7 = 0$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x - 2y + 2z - 25 = 0\ \\ x - 2y + 2z - 7 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
Vì $(\alpha)//(\beta)$ suy ra $(\alpha):2x - 4y + 4z + m = 0;(m eq 3)$

Theo giả thiết ta có: $d\left( A;(\alpha) ight) = k = 3$

$\Leftrightarrow \frac{|32 + m|}{6} = 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 14 \\ m = - 50 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $x - 2y + 2z - 25 = 0$ hoặc $x - 2y + 2z - 7 = 0$ .
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , điểm $M$ thuộc trục $Oy$ và cách đều hai mặt phẳng $(P):x + y - z + 1 = 0$ và $(Q):x - y + z - 5 = 0$ có tọa độ là?
- A.
  $M(0; - 3;0)$
- B.
  $M(0;3;0)$
- C.
  $M(0; - 2;0)$
- D.
  $M(0;1;0)$
Ta có $M \in Oy$ suy ra $M(0;m;0)$ .

Theo đề bài ra ta có:

$d\left( M,(P) ight) = d\left( M,(Q) ight)$

$\Leftrightarrow \frac{|m + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{| - m - 5|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow m = - 3$

Vậy $M(0; - 3;0)$ .
Câu 20: Nhận biết
Hai đường thẳng $({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x - y - z - 7 = 0\\3x - 4y - 11 = 0\end{array} ight.$ và $({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z + 1 = 0\\x + y + 1 = 0\end{array} ight.$ cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của A là:
- A. A (1, - 2, - 4)
- B. A (-1, - 2, - 4)
- C. A (1, 2, - 4)
- D. A (1, - 2, 4)
Để tìm được A là giao điểm của 2 đường thẳng, ta sẽ xét và giải hệ PT giữa chúng.
Từ phương trình của $({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x - y - z - 7 = 0\\3x - 4y - 11 = 0\end{array} ight.$ ,tính x,y theo z được
$\left\{ \begin{array}{l}x = 4z + 17\\y = 3z + 10\end{array} ight.$
Thế vào phương trình của $({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z + 1 = 0\\x + y + 1 = 0\end{array} ight.$ , được z = - 4 .
Từ đó suy ra x = 1, y = - 2
$\Rightarrow A(1, - 2, - 4)$

78 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!