Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , trục $Ox$ có phương trình tham số là
- A.
  $x = 0$
- B.
  $y + z = 0$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$
Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$ nên có phương trình tham số là $\left\{ \begin{matrix} x = 0 + 1t \\ y = 0 + 0t \\ z = 0 + 0t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho $A(2;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ ?
- A.
  $\frac{x}{- 2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 0$
- B.
  $\frac{x}{- 2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$
- C.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$
- D.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 1} = 1$
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 1} = 1$
Câu 3: Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1)$ . Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là $( - 4; - 1;3)$ . Đúng||Sai

c) Cho $P(1;m - 1;3)$ , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

d) Điểm $I(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn $T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1)$ . Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là $( - 4; - 1;3)$ . Đúng||Sai

c) Cho $P(1;m - 1;3)$ , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

d) Điểm $I(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn $T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

a) Sai: Hình chiếu của điểm $M$ trên trục $Oy$ có tọa độ là $(0;3;0)$

b) Đúng: Vì $N$ là trung điểm của $ME$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1 = \dfrac{2 + x_{E}}{2} \\1 = \dfrac{3 + y_{E}}{2} \\1 = \dfrac{- 1 + z_{E}}{2} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{E} = - 4 \\y_{E} = - 1 \\z_{E} = 3 \\\end{matrix} \Rightarrow E( - 4; - 1;3) ight.\ ight.$ .

c) Đúng: Ta có $\overrightarrow{NM} = (3;2; - 2);\overrightarrow{NP} = (2;m - 2;2)$ .

$\bigtriangleup MNP$ vuông tại $N$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{NP} = 0$

$\Leftrightarrow 3.2 + 2.(m - 2) + ( - 2).2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ .

d) Sai.

Gọi $J(x;y;z)$ thỏa $3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{JN} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - ( - 1 - x) = 0 \\3(3 - y) - (1 - y) = 0 \\3( - 1 - z) - (1 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{2} \\y = 4 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.$

Suy ra $J\left( \frac{7}{2};4; - 2 ight)$ .

Khi đó $T = |3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN}| = |3\overrightarrow{IJ} + 3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{IJ} - \overrightarrow{JN}| = |2\overrightarrow{IJ}| = 2IJ$ .

$T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $I$ là hình chiếu của $J$ trên $(Oxy)$

$\Leftrightarrow I\left( \frac{7}{2};4;0 ight)$ .

Vậy $a = \frac{7}{2};b = 4;c = 0$ .

Suy ra $2a+b+c=11$
Câu 4: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ ,cho mặt phẳng $(\alpha):x - z - 3 = 0$ và điểm $M(1;1;1)$ . Gọi $A$ là điểm thuộc tia $Oz$ , gọi $B$ là hình chiếu của $A$ lên $(\alpha)$ . Biết rằng tam giác $MAB$ cân tại $M$ . Diện tích của tam giác $MAB$ bằng:
- A.
  $6\sqrt{3}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{3\sqrt{123}}{2}$
- D.
  $3\sqrt{3}$
Gọi $A (0; 0; a).$

Đường thẳng AB qua A và vuông góc với (α) nên có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = a - t \\ \end{matrix} ight.$

B là hình chiếu của A lên (α) nên tọa độ B thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{matrix}x = t \\y = 0 \\z = a - t \\x - z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{a + 3}{2} \\y = 0 \\z = \dfrac{a - 3}{2} \\\end{matrix} ight.$

Suy ra $B\left( \frac{a + 3}{2};0;\frac{a - 3}{2} ight)$

Tam giác MAB cân tại M nên $MA = MB$

$\Leftrightarrow 1 + 1 + (1 - a)^{2} = \left( \frac{a + 1}{2} ight)^{2} + 1 + \left( \frac{a - 5}{2} ight)^{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Nếu a = 3 thì tọa độ $A (0; 0; 3), B (3; 0; 0)$ . Diện tích tam giác MAB là $S = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Nếu a = −3 thì tọa độ A (0; 0; −3) và B (0; 0; −3) trùng nhau nên không thỏa mãn.

Vậy diện tích của tam giác $MAB$ bằng: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ .
Câu 5: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(1; 0; 0), B(3; 2; 1)$ , $C\left( - \frac{5}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng $(ABC)$ nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng $(MAB),(MBC),(MCA)$ hợp với mặt phẳng $(ABC)$ các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.
- A.
  $\frac{\sqrt{26}}{3}$
- B.
  $\frac{5}{3}$
- C.
  $\sqrt{3}$
- D.
  $\frac{\sqrt{28}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).

Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn

$BC.\overrightarrow{HA} + AC.\overrightarrow{HB} + AB.\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}$

Ta có $AB = 3, AC = 4, BC = 5$ , suy ra

$\left\{ \begin{matrix} 5(x - 1) + 4(x - 3) + 3x + 5 = 0 \\ 5y + 4(y - 2) + 3y - 4 = 0\ \\ 5z + 4(z - 1) + 3z - 8 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow H(1;1;1)$

Phương trình đường thẳng MH nhận $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{ABC}}$ làm vectơ chỉ phương nên MH là: $\left\{ \begin{matrix} x\ = \ 1\ + \ t \\ y\ = \ 1\ - \ 2t \\ z\ = \ 1\ + \ 2t \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó: $OM_{\min} = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MH};\overrightarrow{OH} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{MH} ight|} = \frac{\sqrt{26}}{3}$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(4;2; - 1),C(5; - 2;0)$ . Điểm $D(a;b;c)$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCD$ . Khi đó giá trị biểu thức $H = 2a + b + c$ có giá trị bằng bao nhiêu?
- A.
  $H = 0$
- B.
  $H = 1$
- C.
  $H = - 1$
- D.
  $H = 2$
Gọi tọa độ điểm $D(a;b;c)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (6; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{DC} = (5 - a; - 2 - b; - c) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $ABCM$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - a = 6 \\ - 2 - b = - 1 \\ - c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ c = 2 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra điểm $D( - 1; - 1;2)$

Khi đó $H = 2a + b + c = 2.( - 1) - 1 + 2 = - 1$ .
Câu 7: Vận dụng cao

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba mặt phẳng $(P):x - 2y + z - 1 = 0,$ $(Q):x - 2y + z + 8 =0,$ $(R):x - 2y + z - 4 = 0$ . Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ lần lượt tại $A,B,C$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $T = AB^{2} + \frac{144}{AC}$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba mặt phẳng $(P):x - 2y + z - 1 = 0,$ $(Q):x - 2y + z + 8 =0,$ $(R):x - 2y + z - 4 = 0$ . Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ lần lượt tại $A,B,C$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $T = AB^{2} + \frac{144}{AC}$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của $d$ ?
- A.
  $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 3}{- 1}$
- B.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 3}{1}$
- C.
  $x - 2 = y = z + 3$
- D.
  $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = ( - 1;1;1)$ và đi qua điểm $M(2;1;0)$ . Do đó phương trình chính tắc của $d$ là: $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$
Câu 9: Thông hiểu
Cho hai đường thẳng $\left( {d'} ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 1 + t\\z = - 2 - t\end{array} ight.\,\,;\,\,\,\,\,\left( {d''} ight)\left\{ \begin{array}{l}x = m - 3\\y = 2 + 2m\\z = 1 - 4m\end{array} ight.\,\,;t,\,\,m \in \mathbb{R}$
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua (d’)và song song với (d’’).
- A. $x + 7y + 5z - 20 = 0$
- B. $2x + 9y + 5z - 5 = 0$
- C. $x - 7y - 5z = 0$
- D. $x - 7y + 5z + 20 = 0$
Vì (P) đi qua (d’) nên (P) nhận VTCP của (d’) làm 1 VTCP
$VTCP\left( P ight):\overrightarrow a = \left( { - 2,1, - 1} ight)$
Vì (P) song song với (d’’) nên (P) có VTCP thứ hai là :
$VTCP\left( P ight):\overrightarrow b = \left( {1,2, - 4} ight)$
Từ đây, ta suy ra VTPT của (P) chính là tích có hướng của 2 VTCP và :
$VTPT\left( P ight):\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = \left( {2,9,5} ight)$
Lấy điểm A(3,1,-2) trên đường thẳng (d’) mà (d’) nằm trong (P) nên ta có được A cũng phải thuộc (P):
$\begin{array}{l}A\left( {3,1, - 2} ight) \in \left( P ight) \Rightarrow \left( {x - 3} ight)2 + \left( {y - 1} ight)9 + \left( {z + 2} ight)5 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \left( P ight):2x + 9y + 5z - 5 = 0\end{array}$
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $B(2;1; - 3)$ , đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(Q):x + y + 3z = 0,(R):2x - y + z = 0$ là:
- A.
  $4x + 5y - 3z + 22 = 0$
- B.
  $4x - 5y - 3z - 12 = 0$
- C.
  $2x + y - 3z - 14 = 0$
- D.
  $4x + 5y - 3z - 22 = 0$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{1}} = (1;1;3) \\ \overrightarrow{n_{2}} = (2; - 1;1) \\ \end{matrix} ight.$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng $(Q),(R)$ .

Do mặt phẳng $(P)$ vuông góc với hai mặt phẳng $(Q),(R)$ nên $\left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ightbrack = (4;5; - 3)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Từ đó suy ra mặt phẳng $(P)$ có phương trình $4x + 5y - 3z - 22 = 0$ .
Câu 11: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;3;0)$ và $B(2;0; - 3)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3)$ . Sai||Đúng

d) Tứ giác $OABC$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;3;0)$ và $B(2;0; - 3)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3)$ . Sai||Đúng

d) Tứ giác $OABC$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Đúng||Sai

a) Đúng

$\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ .

b) Sai

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{k}$ .

c) Sai

$\overrightarrow{AB} = \left( x_{B} - x_{A}^{};y_{B} - y_{A};z_{B} - z_{A} ight) = (3; - 3; - 3)$ .

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3; - 3; - 3)$ ,

$OABC$ là hình bình hành

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} = 3 \\ y_{C} = - 3 \\ z_{C} = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow C(3; - 3; - 3)$
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BD_{1}};\overrightarrow{BC_{1}}$ đồng phẳng.
- B.
  $\overrightarrow{CD_{1}};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{A_{1}B_{1}}$ đồng phẳng.
- C.
  $\overrightarrow{CD_{1}};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{A_{1}C}$ đồng phẳng.
- D.
  $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{C_{1}A}$ đồng phẳng.
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{A_{1}D_{1}} = \overrightarrow{A_{1}C} + \overrightarrow{CD_{1}}$ suy ra $\overrightarrow{CD_{1}};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{A_{1}C}$ đồng phẳng.
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình bình hành $ABCD$ . Biết $A(2;1; - 3),B(0; - 2;5)$ và $C(1;1;3)$ . Diện tích hình bình hành $ABCD$ là:
- A.
  $2\sqrt{87}$
- B.
  $\frac{\sqrt{349}}{2}$
- C.
  $\sqrt{349}$
- D.
  $\sqrt{87}$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 2; - 3;8),\overrightarrow{AC} = ( - 1;0;6)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 18;4; - 3)$

Suy ra diện tích ABCD là:

$S_{ABCD} = \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \sqrt{349}$
Câu 14: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(3;2;1)$ . Viết phương trình mặt phẳng đi qua $M$ và cắt các trục $x'Ox,\ y'Oy,\ z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$ ?
- A.
  $3x + y + 2z - 14 = 0$
- B.
  $3x + 2y + z - 14 = 0$
- C.
  $\frac{x}{9} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1$
- D.
  $\frac{x}{12} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1$
Xét tứ diện OABC có các cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB\bot CM \\ AB\bot OC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(COM) \Rightarrow AB\bot OM$

Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.

Từ đó $OM ⊥ (ABC)$ .

Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận $\overrightarrow{OM} = (3;2;1)$ làm vectơ pháp tuyến là:

$3(x - 3) + 2(y - 2) + z - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 3x + 2y + z - 14 = \ 0$
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(0;0;1),B( - 3;2;0),C(2; - 2;3)$ . Đường cao kẻ từ $B$ của tam giác $ABC$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?
- A.
  $P( - 1;2; - 2)$
- B.
  $M( - 1;3;4)$
- C.
  $N(0;3; - 2)$
- D.
  $Q( - 5;3;3)$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 3;2;1),\overrightarrow{AC} = (2; - 2;2)$

$\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (2;4;2)$

Một vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B của tam giác $ABC$ là $\overrightarrow{u} = \frac{1}{12}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;0; - 1)$

Phương trình đường cao kẻ từ B là: $\left\{ \begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 2 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .

Ta thấy điểm $P( - 1;2; - 2)$ thuộc đường thẳng trên.
Câu 16: Nhận biết
Cho tứ diện $OABC$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ .Phân tích nào sau đây là đúng?
- A.
  $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$
- D.
  $\overrightarrow{OG} = \frac{3}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
Ta có: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ khi $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
Câu 17: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , tìm tập hợp các điểm cách đều cặp mặt phẳng sau đây: $4x - y - 2z - 3 = 0;4x - y - 2z - 5 = 0$ .
- A.
  $4x - y - 2z - 6 = 0$
- B.
  $4x - y - 2z - 4 = 0$
- C.
  $4x - y - 2z - 1 = 0$
- D.
  $4x - y - 2z - 2 = 0$
Gọi điểm

$A (0; −3; 0) ∈ 4x − y − 2z − 3 = 0 (α)$

$B (0; −5; 0) ∈ 4x − y − 2z − 5 = 0 (β)$

Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng trên có dạng: $4x − y − 2z + m = 0 (γ).$

Để mp (γ) cách đều hai mp trên thì $d (A; (β)) = 2d (A; (γ)) ⇔ |m + 3| = 1$

$⇔ m = −2$ hoặc $m = −4$

Mặt khác điểm hai điểm A; B phải nằm về hai phía của mp (γ).

Với $m = −2$ ta có $(4 .0 + 3 – 2.0 − 2) (4.0 + 5 – 2.0 − 2) > 0$ nên A; B cùng phía.

Với $m = −4$ ta có $(4 .0 + 3 – 2.0 − 4) (4.0 + 5 – 2.0 − 4) < 0$ nên A; B khác phía.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $4x − y − 2z − 4 = 0 (γ)$ .
Câu 18: Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với $A(1;0; - 2)$ , $B( - 2;3;4)$ , $,\ C(4; - 6;1)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AB} = (3\ ;\ - 3\ ;\ - 6)$ . Sai||Đúng

c) Hình chiếu vuông góc của điểm $B$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ là điểm $B( - 2\ ;\ 3\ ;\ 0)$ . Đúng||Sai

d) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì tọa độ điểm D là $(1; - 3;7)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với $A(1;0; - 2)$ , $B( - 2;3;4)$ , $,\ C(4; - 6;1)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AB} = (3\ ;\ - 3\ ;\ - 6)$ . Sai||Đúng

c) Hình chiếu vuông góc của điểm $B$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ là điểm $B( - 2\ ;\ 3\ ;\ 0)$ . Đúng||Sai

d) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì tọa độ điểm D là $(1; - 3;7)$ . Sai||Đúng

Ta có:

$A(1;0; - 2)$ $\Rightarrow \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} - 2\overrightarrow{k}$ $\Rightarrow$ a) sai.

$\overrightarrow{AB} = \left( x_{B} - x_{A}\ ;\ y_{B} - y_{A}\ ;\ z_{B} - z_{A} ight)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 3\ ;\ 3\ ;\ 6)$ $\Rightarrow$ b) sai.

c) đúng

d) Gọi $D(x;y;z)$ ,

$\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;6)$ , $\overrightarrow{DC} = (4 - x; - 6 - y;1 - z)$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 - x = - 3 \\ - 6 - y = 3 \\ 1 - z = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 7 \\ y = - 9 \\ z = - 5 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow D(7\ ;\ - 9\ ;\ - 5)$ .

Vậy d) sai
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $H(2;1;1)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $H$ và cắt các trục tọa độ tại $A;B;C$ sao cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ . Hãy viết trình mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $2x + y + z - 6 = 0$
- B.
  $x + 2y + z - 6 = 0$
- C.
  $x + 2y + 2z - 6 = 0$
- D.
  $2x + y + z + 6 = 0$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left| \begin{matrix} AB\bot OC \\ AB\bot CH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot OH$

Chứng minh tương tự BC ⊥ OH.

Do đó $OH\bot(ABC) \Rightarrow \overrightarrow{n_{ABC}} = \overrightarrow{OH} = (2;;1)$

Suy ra $(P):2x + y + z - 6 = 0$ .
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho điểm $M(x;y;z)$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(Oxz)$ thì $M'(x;y; - z)$ .
- B.
  Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua trục $Oy$ thì $M'(x;y; - z)$ .
- C.
  Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(Oxy)$ thì $M'(x;y; - z)$ .
- D.
  Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ thì $M'(2x;2y;0)$ .
Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(Oxz)$ thì $M'(x; - y;z)$ .

Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua trục $Oy$ thì $M'( - x;y; - z)$ .

Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ thì $M'( - x; - y; - z)$ .

Vậy mệnh đề đúng là: “Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(Oxy)$ thì $M'(x;y; - z)$ ”.

79 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!