Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Lại có do đó
hay
Suy ra
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Lại có do đó
hay
Suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
và mặt phẳng
. Gọi M là điểm thuộc (P) sao cho
vuông tại M . Khoảng cách từ M đến (Oxy) bằng:
Ta có: suy ra M thuộc mặt cầu (S) đường kính AB.
Gọi I là trung điểm AB , khi đó và
.
Ta tính được suy ra (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau hay M là tiếp điểm của (P) và (S). Vậy M là hình chiếu của I trên (P) .
Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) là:
Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
suy ra .
Suy ra .
Cho tam giác ABC có ![]()
Viết phương trình tham số của trung tuyến AM ?
Vì AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC. Gọi
Từ tọa độ của B và C, ta tính được tọa độ của M là nghiệm của hệ:
Ta có 1 vecto chỉ phương của (AM) là
(AM) là đường thẳng đi qua A (1,2,-3) và nhận vecto (3,-7,15) làm 1 VTCP có phương trình là:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB với ![]()
Vì I là trung điểm của đoạn AB nên ta có tọa độ điểm I là:
Mặt khác, ta lại có (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB nên (P) nhận làm 1 VTPT. Ta có VTPT của
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai vectơ
. Gọi
là vectơ cùng hướng với vectơ
(tích có hướng của hai vectơ
và
. Biết
, tìm tọa độ vectơ
.
Ta thấy
Vì là vectơ cùng hướng với vectơ
nên
.
Mặt khác
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
. Viết phương trình đường thẳng
?
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
là:
Trong không gian
cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Giả sử (P) cắt các trục tọa độ tại
Khi đó
Ta có: mà H là trực tâm của tam giác ABC nên
Mặt khác
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Chọn khẳng định đúng.
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Ta có
⇒ .
Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
.Phân tích nào sau đây là đúng?
Ta có: là trọng tâm tam giác
khi
Trong không gian
, cho hai điểm
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
. Sai||Đúng
b) Tọa độ của vectơ
. Đúng||Sai
c) Điểm
là hình chiếu của điểm
trên mặt phẳng tọa độ
thì
. Sai||Đúng
d) Tọa độ điểm
để tứ giác
là hình bình hành là
. Sai||Đúng
Trong không gian , cho hai điểm
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) . Sai||Đúng
b) Tọa độ của vectơ . Đúng||Sai
c) Điểm là hình chiếu của điểm
trên mặt phẳng tọa độ
thì
. Sai||Đúng
d) Tọa độ điểm để tứ giác
là hình bình hành là
. Sai||Đúng
a) Điểm .
b) .
c) là hình chiếu của điểm
trên mặt phẳng tọa độ
nên
.
Suy ra .
d) Gọi .
Ta có .
Tứ giác là hình bình hành nên
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
và
. Xác định tọa độ trung điểm
của
?
Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:
Vậy đáp án đúng là: .
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
, hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng
là trung điểm của đoạn
. Gọi
là trung điểm đoạn
(tham khảo hình vẽ)

Cho hình chóp có đáy
là hình vuông cạnh
,
, hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng
là trung điểm của đoạn
. Gọi
là trung điểm đoạn
(tham khảo hình vẽ)
Trong không gian
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
. Phương trình tham số của đường thẳng
là
đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
nên có phương trình tham số
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là
. Tính tổng ![]()
Hình vẽ minh họa
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.
Phương trình tham số của
Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.
Khi đó
Lại có:
Vậy lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K
Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).
Vectơ pháp tuyến của (Q) là
Vectơ pháp tuyến của (P) là
Phương trình mặt phẳng (P) là
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng
là:
Xét hệ phương trình
. Đặt
ta suy ra
.
Từ đó ta thu được phương trình đường thẳng:
Xét điểm , ta thấy
chỉ thuộc đường thẳng:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng nào cách B một khoảng cách nhỏ nhất?
Hình vẽ minh họa
Gọi d là đường thẳng cần tìm.
Gọi (Q) là mặt phẳng qua A(−3; 0; 1) và song song với .
và
.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B lên d và (Q) thì .
Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi
.
Đường thẳng BK đi qua B(1; −1; 3) và vuông góc với (Q)
Lại có:
Đường thẳng d qua A và nhận làm vectơ chỉ phương nên đường thẳng cần tìm là:
.
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua
và vuông góc với đường thẳng
.
Mặt phẳng có một véctơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng là:
hay
.
Cho hình lập phương
có cạnh
. Gọi
là trung điểm của
. Tính tích vô hướng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có: hay
Do đó
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Tìm tọa độ điểm
để tứ giác
là hình bình hành?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Cho
, góc giữa
bằng
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Ta có:
Khi đó:
Vậy khẳng định sai là .