Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $(d):\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 2}{3}$ . Trong các vectơ sau, vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)?
- A.
  $\overrightarrow{u} = (1;3;2)$ .
- B.
  $\overrightarrow{u} = (1;2;3)$ .
- C.
  $\overrightarrow{u} = (1;0;2)$ .
- D.
  $\overrightarrow{u} = (1;1;2)$ .
Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

$\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ với $a.b.c eq 0$ .

Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a}\mathbf{;}\mathbf{b}\mathbf{;}\mathbf{c} ight)$ .
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành hình bình hành. Biết các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$ . Xác định tọa độ điểm $C$ ?
- A.
  $(2;0;2)$
- B.
  $(2;2;2)$
- C.
  $(2; - 2;2)$
- D.
  $(0; - 2;0)$
Giả sử điểm $C(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 1 \\ y + 1 = 1 \\ z - 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $C(2;0;2)$ .
Câu 3: Vận dụng

Cho hình lập phương $B^{'}C$ có đường chéo $A^{'}C = \frac{3}{16}$ . Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ và điểm S thỏa mãn: $\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$ $+ \overrightarrow{OA^{'}} + \overrightarrow{OB^{'}} + \overrightarrow{OC^{'}} + \overrightarrow{OD^{'}}$ . Khi đó độ dài của đoạn $OS$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{b}$ với $a,b \in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $P = a^{2} + b^{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình lập phương $B^{'}C$ có đường chéo $A^{'}C = \frac{3}{16}$ . Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ và điểm S thỏa mãn: $\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$ $+ \overrightarrow{OA^{'}} + \overrightarrow{OB^{'}} + \overrightarrow{OC^{'}} + \overrightarrow{OD^{'}}$ . Khi đó độ dài của đoạn $OS$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{b}$ với $a,b \in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $P = a^{2} + b^{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 4: Thông hiểu
Cho điểm $M$ chia đoạn thẳng $AB$ theo tỉ số $k;(k eq 1)$ thì ta có: $\overrightarrow{MA} = k.\overrightarrow{MB}$ . Khi đó với một điểm $O$ tùy ý ta có:
- A.
  $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + k.\overrightarrow{OB}}{1 - k}$
- B.
  $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} - k.\overrightarrow{OB}}{1 + k}$
- C.
  $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + k.\overrightarrow{OB}}{1 + k}$
- D.
  $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} - k.\overrightarrow{OB}}{1 - k}$
Ta có:

$\overrightarrow{MA} = k.\overrightarrow{MB} \Rightarrow \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} = k.\left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} ight)$

$\Rightarrow (1 - k)\overrightarrow{MO} = k.\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MO} = \frac{k.\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}}{1 - k} \Rightarrow \overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} - k.\overrightarrow{OB}}{1 - k}$
Câu 5: Vận dụng cao
Cho hai đường thẳng chéo nhau $\left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight.$ và $\left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.$
Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:
- A. $x + 5y - 2z + 12 = 0$
- B. $x - 5y + 2z - 12 = 0$
- C. $x + 5y + 2z - 12 = 0$
- D. $x - 5y - 2z + 12 = 0$
Phương trình (d) cho biết $A(2, 1, 0) \in (d)$ và (d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)$
Chuyển $(\triangle )$ về dạng tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight.$ để có $B(2, 3, 0) \in (\triangle )$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight)$ .
Gọi I là trung điểm AB thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ $\in (P)$ .
$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0$ là phương trình của mặt phẳng (P).
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và có véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (2;4;6)$ . Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng $\Delta$ ?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 5 - 2t \\ y = - 10 - 4t \\ z = - 15 - 6t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 4 + 2t \\ z = 6 + 3t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 4t \\ z = 3 + 6t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight.$
Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ . Vectơ $\overrightarrow{AC}$ bằng
- A.
  $\overrightarrow{AB}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB}\$ .
- C.
  $- \overrightarrow{AC}\ - \ \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC}\ = \ \overrightarrow{\ AB}\ + \ \overrightarrow{BC}$ .
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha)$ cắt các trục tọa độ tại $A,B,C$ . Biết trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G( - 1; - 3;2)$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với mặt phẳng nào sau đây?
- A.
  $6x - 2y + 3z - 1 = 0$
- B.
  $6x + 2y - 3z + 18 = 0$
- C.
  $6x + 2y + 3z - 18 = 0$
- D.
  $6x + 2y - 3z - 1 = 0$
Gọi $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ là giao điểm với ba trục tọa độ.

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên $\left\{ \begin{matrix} x_{A} + x_{B} + x_{C} = 3x_{G} \\ y_{A} + y_{B} + y_{C} = 3y_{G} \\ z_{A} + z_{B} + z_{C} = 3z_{G} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = - 9 \\ c = 6 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là $\frac{x}{- 3} + \frac{y}{- 9} + \frac{z}{6} = 1$ $\Leftrightarrow 6x + 2y - 3z + 18 = 0$

Vậy mặt phẳng song song với $(\alpha)$ trong các đáp án đã cho là $6x + 2y - 3z - 1 = 0$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - 2y + z + 5 = 0$ . Tính khoảng cách từ điểm $M( - 1;2; - 3)$ đến mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $\frac{4}{3}$
- B.
  $\frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{4}{9}$
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

$d\left( M;(P) ight) = \frac{| - 2 - 4 - 3 + 5|}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;4;2),B( - 1;2;4)$ và đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = - 2 + t \\ z = 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Điểm $M \in \Delta$ mà tổng $MA^{2} + MB^{2}$ có giá trị nhỏ nhất có tọa độ là:
- A.
  $( - 1;0;4)$
- B.
  $(0; - 1;4)$
- C.
  $(1;0;4)$
- D.
  $(1; - 2;0)$
Vì $M \in \Delta$ nên ta có tọa độ điểm $M(1 - t; - 2 + t;2t)$ .

Ta có:

$MA^{2} + MB^{2} = ( - t)^{2} + (t - 6)^{2} + (2t - 2)^{2} + (2 - t)^{2} + (t - 4)^{2} + (2t - 4)^{2}$

$= 12t^{2} - 48t + 76 = 12(t - 2)^{2} + 28 \geq 28$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $MA^{2} + MB^{2}$ là $28$ khi $t = 2 \Rightarrow M( - 1;0;4)$ .
Câu 11: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(4;2;5),B(0;4; - 3),C(2; - 3;7)$ . Biết điểm $M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $P = x + y + z$ .
- A.
  $P = 0$
- B.
  $P = 6$
- C.
  $P = 3$
- D.
  $P = - 3$
Vì M ∈ (Oxy) nên $M(x;y;0)$ .

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có G(2; 1; 3).

Khi đó:

$\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = \left| \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight|$

$= \left| 3\overrightarrow{MG} ight| = 3MG = 3\sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + 3^{2}} \geq 9$

Dấu “=” xảy ra khi x= 2 và y= 1 hay M(2; 1; 0).

Vậy P = 3
Câu 12: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa đô $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;4)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho thể tích tứ diện $O.ABC$ nhỏ nhất. $(P)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $(0;1;3)$
- B.
  $(2;2;0)$
- C.
  $(1;1;2)$
- D.
  $( - 1;1;4)$
Gọi $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c > 0$

Phương trình mặt phẳng $(ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Vì $M \in (P) \Rightarrow (P):\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} = 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1.2.4}{abc}} \Rightarrow abc \geq 8.27$

Thể tích tứ diện $O.ABC$ là $V = \frac{1}{6}abc \geq 36$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{4}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \\ c = 12 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{12} = 1 \Rightarrow 4x + 2y + z - 12 = 0$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $(2;2;0)$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$ thì $d$ song song với $(P)$ .
- B.
  $\overrightarrow{u}$ không vuông góc với $\overrightarrow{n}$ thì $d$ cắt $(P)$ .
- C.
  $d$ song song với $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{n}$ .
- D.
  $d$ vuông góc với $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$ .
$\overrightarrow{u}$ vuông góc $\overrightarrow{n}$ thì d có thể nằm trong $(P)$ .
$d$ song song $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ vuông góc $\overrightarrow{n}$ .
$d$ vuông góc $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ cùng phương $\overrightarrow{n}$ .
Câu 14: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB = AC$ và $\widehat{SAB} = \widehat{SAC}$ . Góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có:

$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AS} = \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight).\overrightarrow{AS}$

$= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AS} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AS}$

$= AC.AS.\cos\widehat{SAC} -AB.AS.\cos\widehat{SAB} = 0$ (vì $AB = AC$ và $\widehat{SAB} = \widehat{SAC}$ ).

Suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng $90^{0}$ .
Câu 15: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$
- B.
  $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC}$
- C.
  $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}}$
- D.
  $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC}$
Hình vẽ minh họa

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$ đúng vì $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}} \\ \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC}$ đúng vì $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DC}$

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}}$ đúng vì $\overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}}$

$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC}$ sai vì

$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} eq \overrightarrow{BC}$
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(3;5;3)$ và hai mặt phẳng $(P):2x + y + 2z - 8 = 0,(Q):x - 4y + z - 4 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với hai mặt phẳng $(P),(Q)$ ?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 5 - t \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 5 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 5 \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 5 \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (2;1;2) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 4;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (9;0; - 9)$

Do đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;0; - 1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng d là $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 5 \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 17: Vận dụng cao
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 1,BC = 2,AA' = 3$ . Mặt phẳng $(P)$ thay đổi và luôn đi qua $C'$ , mặt phẳng $(P)$ cắt các tia $AB,AD,AA'$ lần lượt tại $E,F,G$ (khác $A$ ). Tính tổng $T = AE + AF + AG$ sao cho thể tích khối tứ diện $AEFG$ nhỏ nhất.
- A.
  $18$
- B.
  $15$
- C.
  $17$
- D.
  $16$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A ≡ O(0; 0; 0),$ $B(1; 0; 0), D(0; 2; 0), A0 (0; 0; 3)$

Khi đó $E(AE; 0; 0), F(0; AF, 0),$ $G(0; 0; AG), C0 (1; 2; 3)$ .

Phương trình mặ phẳng $(P):\frac{x}{AE} + \frac{y}{AF} + \frac{z}{AG} = 1$

Vì $C'(1;2;3) \in (P) \Rightarrow \frac{1}{AE} + \frac{2}{AF} + \frac{3}{AG} = 1$

Thể tích khối đa diện AEFG là:

$V_{AEFG} = \dfrac{1}{6}AE.AF.AG =\dfrac{1}{\dfrac{1}{AE}.\dfrac{2}{AF}.\dfrac{3}{AG}}$ $\geq \dfrac{1}{\dfrac{\left( \dfrac{1}{AE} +\dfrac{2}{AF} + \dfrac{3}{AG} ight)^{3}}{27}} = 27$

Do dó thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất bằng 27 khi và chỉ khi:

$\frac{1}{AE} = \frac{2}{AF} = \frac{3}{AG} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} AE = 3 \\ AF = 6 \\ AG = 9 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $T = AE + AF + AG = 3 + 6 + 9 = 18$
Câu 18: Thông hiểu

Cho hai mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 3 = 0$ và $(Q):x + my + z - 1 = 0$ . Tìm tham số $m$ để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau.

Đáp án: 4

Đáp án là:

Cho hai mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 3 = 0$ và $(Q):x + my + z - 1 = 0$ . Tìm tham số $m$ để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau.

Đáp án: 4

Ta có: $\overrightarrow{n_{P}} = (2; -1;2);\overrightarrow{n_{Q}} = (1;m;1)$

Để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau thì $\overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{n_{Q}}$ .

$\Leftrightarrow 2.1 - 1.m + 2.1 = 0 \Leftrightarrow m = 4.$
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3},d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = m \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số $m$ sao cho $d_{1},d_{2}$ chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng $\frac{5}{\sqrt{19}}$ . Tính tổng tất cả các phần tử của $S$ .
- A.
  $- 11$
- B.
  $12$
- C.
  $- 12$
- D.
  $11$
Vectơ chỉ phương của $d_{1},d_{2}$ là $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;0)$

Khi đó: $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3;3;1)$ .

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d_{1}$ song song với $d_{2}$ .

Tức là, $(P)$ qua $A(1;0;0)$ và nhận $\overrightarrow{n}$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có phương trình $(P):3x - 3y - z - 3 = 0$

Xét điểm $B(1;2;m) \in d_{2}$ . Do $d_{1},d_{2}$ chéo nhau nên $B otin (P) \Leftrightarrow m eq - 6$ .

Lại có:

$d\left( d_{1};d_{2} ight) = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow d\left( B;(P) ight) = \frac{5}{\sqrt{19}}$

$\Leftrightarrow \frac{|3 - 6 - m - 3|}{\sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 11 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng các phần tử của S là $- 1 - 11 = - 12$ .
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;3)$ và $B( - 1;2;3)$ . Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là:
- A.
  $(0;3;6)$
- B.
  $( - 2; - 1;0)$
- C.
  $\left( 0;\frac{3}{2};3 ight)$
- D.
  $(2;1;0)$
Gọi $M\left( x_{M};y_{M};z_{M} ight)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 0 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{3}{2} \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( 0;\dfrac{3}{2};3ight)$

Vậy tọa độ trung điểm của AB là: $\left( 0;\frac{3}{2};3 ight)$ .

79 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!