Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , tìm tập hợp các điểm cách đều cặp mặt phẳng sau đây: $4x - y - 2z - 3 = 0;4x - y - 2z - 5 = 0$ .
- A.
  $4x - y - 2z - 6 = 0$
- B.
  $4x - y - 2z - 4 = 0$
- C.
  $4x - y - 2z - 1 = 0$
- D.
  $4x - y - 2z - 2 = 0$
Gọi điểm

$A (0; −3; 0) ∈ 4x − y − 2z − 3 = 0 (α)$

$B (0; −5; 0) ∈ 4x − y − 2z − 5 = 0 (β)$

Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng trên có dạng: $4x − y − 2z + m = 0 (γ).$

Để mp (γ) cách đều hai mp trên thì $d (A; (β)) = 2d (A; (γ)) ⇔ |m + 3| = 1$

$⇔ m = −2$ hoặc $m = −4$

Mặt khác điểm hai điểm A; B phải nằm về hai phía của mp (γ).

Với $m = −2$ ta có $(4 .0 + 3 – 2.0 − 2) (4.0 + 5 – 2.0 − 2) > 0$ nên A; B cùng phía.

Với $m = −4$ ta có $(4 .0 + 3 – 2.0 − 4) (4.0 + 5 – 2.0 − 4) < 0$ nên A; B khác phía.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $4x − y − 2z − 4 = 0 (γ)$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;1;2)$ . Xác định tích vô hướng $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b}$ ?
- A.
  $12$
- B.
  $2$
- C.
  $11$
- D.
  $10$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1; - 1;5)$ nên $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b} = - 1.( - 2) + ( - 1).1 + 5.2 = 11$
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , khoảng cách từ điểm $M(2; - 4; - 1)$ tới đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ bằng:
- A.
  $\sqrt{14}$
- B.
  $\sqrt{6}$
- C.
  $2\sqrt{14}$
- D.
  $2\sqrt{6}$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $N(0;2;3)$ , có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1;2)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 2;6;4)$ và $\left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack = (16;8; - 4)$ .

Vậy khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là:

$d(M;\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{336}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{14}$
Câu 4: Thông hiểu
Cho hai điểm $C\left( { - 1,4, - 2} ight);D\left( {2, - 5,1} ight)$ . Mặt phẳng chứa đường thẳng $CD$ và song song với $Oz$ có phương trình :
- A. $3x-y+1=0$
- B. $3x+y-1=0$
- C. $x-3y+1=0$
- D. $x+3y-1=0$
Theo đề bài ta có $C\left( { - 1,4, - 2} ight);D\left( {2, - 5,1} ight)$
$\Rightarrow \overrightarrow {CD} = \left( {3, - 9,3} ight)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow a = \left( {1, - 3,1} ight)$
Mặt khác, trục $Oz$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow k = \left( {0,0,1} ight)$
$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow k } ight] = \left( { - 3, - 1,0} ight)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow n = \left( {3,1,0} ight)$
Chọn $\overrightarrow n = \left( {3,1,0} ight)$ làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa $CD$ và song song với trục $Oz$ . Phương trình mặt phẳng này có dạng : $3x + y + D = 0$
Mặt phẳng cần tìm còn qua điểm C nên ta thay tọa độ điểm C vào pt trên, có:
$- 3 + 4 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 1$
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm : $3x + y - 1 = 0$
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua $C$ và song song với $AB$ có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{BA} = (1;2;1)$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 6: Vận dụng

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( a;b;\frac{c}{d} ight)$ , trong đó $a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d}$ là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính $a + b + c + d$ ?

Đáp án: 1223

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( a;b;\frac{c}{d} ight)$ , trong đó $a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d}$ là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính $a + b + c + d$ ?

Đáp án: 1223

Gọi $Q(x;y;z)$ là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.

$\overrightarrow{MN} = (300;100;2)$

$\overrightarrow{NQ} = (x - 800;y - 300;z - 10)$

Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ $M ightarrow N$ gấp 4 lần thời gian bay từ $N ightarrow Q$ nên $MN = 4NQ$

Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NQ}$ cùng hướng.

Suy ra $\overrightarrow{MN} = 4\overrightarrow{NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 300 = 4(x - 800) \\ 100 = 4(y - 300) \\ 2 = 4(z - 10) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 875 \\ y = 325 \\ z = 10,5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow Q\left( 875;325;\frac{21}{2} ight)$

Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( 875;325;\frac{21}{2} ight) \Rightarrow a = 875,\ \ b = 325,\ \ c = 21,\ \ d = 2$ .

Do đó, $a + b + c + d = 1223.$
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1),P(1;m - 1;2)$ . Tìm giá trị của tham số $m$ để tam giác $MNP$ vuông tại $N$ ?
- A.
  $m = 2$
- B.
  $m = - 6$
- C.
  $m = 0$
- D.
  $m = - 4$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = ( - 3; - 2;2) \\ \overrightarrow{NP} = (2;m - 2;1) \\ \end{matrix} ight.$ .

Tam giác MNP vuông tại N $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NP} = 0 \Leftrightarrow - 6 - 2(m - 2) + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 0$

Vậy đáp án cần tìm là $m = 0$ .
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , hãy viết phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(0; - 1;0)$ và vuông góc với đường thẳng $OM$ .
- A.
  $(P):x + y + 1 = 0$
- B.
  $(P):x - y - 1 = 0$
- C.
  $(P):y - 1 = 0$
- D.
  $(P):y + 1 = 0$
Mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(0; - 1;0)$ và có một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{OM} = (0; - 1;0)$ nên có phương là:

$0(y - 0) + ( - 1)(y + 1) + 0(z - 0) = 0 \Leftrightarrow y + 1 = 0$ .
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P),(Q)$ lần lượt có phương trình là $x + y - z = 0,\ x - 2y + 3z = 4$ và cho điểm $M(1; - 2;5)$ . Tìm phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M$ và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(P),(Q)$ ?
- A.
  $5x + 2y - z + 14 = 0$
- B.
  $x - 4y - 3z + 6 = 0$
- C.
  $x - 4y - 3z - 6 = 0$
- D.
  $5x + 2y - z + 4 = 0$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (1;1; - 1) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 2;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (1; - 4; - 3)$

Do $(\alpha)$ vuông góc với $(P),(Q)$ nên $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} \\ \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\overrightarrow{n_{(Q)}} \\ \end{matrix} ight.$

Chọn $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (1; - 4; - 3)$

Hơn nữa $(\alpha)$ đi qua $M(1; - 2;5)$ nên có phương trình là:

$(x - 1) - 4(y + 2) - 3(z - 5) = 0$

$\Leftrightarrow x - 4y - 3z + 6 = 0$
Câu 10: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 điểm $A(−2; 1; 3), B(3; −2; 4)$ , đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{11} = \frac{z + 1}{- 4}$ và mặt phẳng $(P): 41x − 6y + 54z + 49 = 0$ . Đường thẳng $(d)$ đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng $(P)$ lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện $ABCO$ và $OACD$ bằng nhau, biết $(d)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;b;c)$ . Tính $b + c$ .
- A.
  $b + c = 11$
- B.
  $b + c = 6$
- C.
  $b + c = 9$
- D.
  $b + c = 4$
Hình vẽ minh họa

Ta có $1 = \frac{V_{OABC}}{V_{OACD}} =\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( O;(ABC) ight).S_{ABC}}{\dfrac{1}{3}d\left(O;(ACD) ight).S_{ACD}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} =\frac{BC}{CD}$

Nên $BC = CD$ . Vì $C ∈ ∆$ $\Rightarrow C(2t + 1;11t + 6; - 4t - 1)$

C là trung điểm của BD nên $D(4t - 1;22t + 14; - 8t - 6)$ .

Điểm $D ∈ (P)$ nên $41(4t − 1) − 6(22t + 14) + 54(−8t − 6) + 49 = 0 ⇔ t = −1$

$⇒ C(−1; −5; 3).$

$\overrightarrow{CB} = (4;3;1) = \overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Vậy $b = 3, c = 1 ⇒ b + c = 4$
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z - 5}{4}$ và mặt phẳng $(P):x - 3y + 2z - 5 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $d$ cắt và không vuông góc với $(P)$ .
- B.
  $d$ vuông góc với $(P)$ .
- C.
  $d$ song song với $(P)$ .
- D.
  $d$ nằm trong $(P)$ .
Ta có: $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (2; - 3;4)$ , $(P)$ có véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 3;2)$ .

Do $\overrightarrow{u}$ không cùng phương $\overrightarrow{n}$ nên $d$ cắt $(P)$ .

Mặt khác $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 19 eq 0$ nên $d$ không vuông góc $(P)$ .

Vậy $d$ cắt nhưng không vuông góc với $(P)$ .
Câu 12: Nhận biết
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(4, -1, 1), B(3, 1, -1) và song song với trục Ox là:
- A. $y+z+2=0$
- B. $y-z-2=0$
- C. $y+z=0$
- D. $y-z=0$
$\overrightarrow {AB} = \left( { - 1,2, - 2} ight)$ : vectơ chỉ phương của trục Ox: $\overrightarrow i = \left( {1,0,0} ight)$ .
$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow i } ight] = \left( {0, - 2, - 2} ight)$ : Chọn làm vectơ pháp tuyến thì phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng $y + z + D = 0$ , qua A nên: $- 1 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = 0$
Vậy ta có phương trình mp cần tìm là: $y+z=0$
Câu 13: Thông hiểu
Cho hai đường thẳng $\left( {d'} ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 1 + t\\z = - 2 - t\end{array} ight.\,\,;\,\,\,\,\,\left( {d''} ight)\left\{ \begin{array}{l}x = m - 3\\y = 2 + 2m\\z = 1 - 4m\end{array} ight.\,\,;t,\,\,m \in \mathbb{R}$
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua (d’)và song song với (d’’).
- A. $x + 7y + 5z - 20 = 0$
- B. $2x + 9y + 5z - 5 = 0$
- C. $x - 7y - 5z = 0$
- D. $x - 7y + 5z + 20 = 0$
Vì (P) đi qua (d’) nên (P) nhận VTCP của (d’) làm 1 VTCP
$VTCP\left( P ight):\overrightarrow a = \left( { - 2,1, - 1} ight)$
Vì (P) song song với (d’’) nên (P) có VTCP thứ hai là :
$VTCP\left( P ight):\overrightarrow b = \left( {1,2, - 4} ight)$
Từ đây, ta suy ra VTPT của (P) chính là tích có hướng của 2 VTCP và :
$VTPT\left( P ight):\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = \left( {2,9,5} ight)$
Lấy điểm A(3,1,-2) trên đường thẳng (d’) mà (d’) nằm trong (P) nên ta có được A cũng phải thuộc (P):
$\begin{array}{l}A\left( {3,1, - 2} ight) \in \left( P ight) \Rightarrow \left( {x - 3} ight)2 + \left( {y - 1} ight)9 + \left( {z + 2} ight)5 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \left( P ight):2x + 9y + 5z - 5 = 0\end{array}$
Câu 14: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(3;1;2), B(-3;1;0)$ và mặt phẳng $(P):x+y+3z-14=0$ . Gọi M là điểm thuộc (P) sao cho $\triangle AMB$ vuông tại M . Khoảng cách từ M đến (Oxy) bằng:
- A. 1
- B. 5
- C. 4
- D. 3
Ta có: $\widehat{AMB}=90^{\circ}$ suy ra M thuộc mặt cầu (S) đường kính AB.
Gọi I là trung điểm AB , khi đó $I(0;0;1)$ và $R=\frac{AB}{2}=\sqrt{11}$ .
Ta tính được $d(I;(P))=\sqrt{11}=R$ suy ra (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau hay M là tiếp điểm của (P) và (S). Vậy M là hình chiếu của I trên (P) .
Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) là:
$\left\{\begin{matrix} x=t \\ y=t \\ z=1+3t \end{matrix}ight., t\in \mathbb{R}$
Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x=t \\ y=t \\ z=1+3t \\x+y+3z-14=0 \end{matrix}ight., t\in \mathbb{R}$
suy ra $t=1$ .
Suy ra $M(1;1;4)\Rightarrow d(M;(Oxy))=4$ .
Câu 15: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x - y + z - 3 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\beta)$ sao cho phép đối xứng qua mặt phẳng $(Oxy)$ biến mặt phẳng $(\alpha)$ thành mặt phẳng $(\beta)$ .
- A.
  $(\beta):x + y - z + 3 = 0$
- B.
  $(\beta):x - y - z + 3 = 0$
- C.
  $(\beta):x + y + z - 3 = 0$
- D.
  $(\beta):x - y - z - 3 = 0$
Tọa độ giao điểm của mặt phẳng (α) với các trục tọa độ là $A(3;0;0),B(0; - 3;0),C(0;0;3)$ .

Ta có $A; B ∈ (Oxy)$ và $C ∈ Oz$ .

Kí hiệu Đ(Oxy) là phép đối xứng qua mặt phẳng Oxy.

Ta có $Đ(Oxy):(\alpha) ightarrow (\beta) \Rightarrow Đ(Oxy):(A;B;C) ightarrow (A;B;C')$ , (ảnh của A, B trùng với chính nó vì $A,B \in (Oxy)$ ).

Do C’ đối xứng với $C(0;0;3)$ qua mặt phẳng Oxy, suy ra $C'(0;0; - 3)$

Từ đó suy ra mặt phẳng (β) có phương trình theo đoạn chắn là:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{- 3} = 1 \Leftrightarrow (\beta):x - y - z - 3 = 0$
Câu 16: Vận dụng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho bốn đường thẳng $\left( d_{1} ight):\frac{x - 3}{1} = \frac{y +1}{- 2} = \frac{z + 1}{1},$ $\left( d_{2} ight):\frac{x}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z - 1}{1},$ $\left( d_{3} ight):\frac{x - 1}{2} = \frac{y +1}{1} = \frac{z - 1}{1},$ $\left( d_{4} ight):\frac{x}{1} = \frac{y -1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ . Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  Vô số
Kiểm tra vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta thấy (d₁) // (d₂); (d₄) cắt (d₂), (d₃).

Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d₁) và (d₂); (Q) là mặt phẳng chứa (d₃) và (d₄).

Gọi (∆) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên.

Ta thấy, (∆) cắt cả (d₁), (d₂) suy ra (∆) ⊂ (P).

(∆) cắt cả (d₃),(d₄) suy ra (∆) ⊂ (Q).

Mà (d₂), (d₄) có điểm chung nên (∆) là giao tuyến của (P) và (Q), do đó có duy nhất một đường thẳng thỏa mãn.
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2; - 3),B(2;5;7),C( - 3;1;4)$ . Xác định tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D(6;6;0)$
- B.
  $D\left( 0;\frac{8}{3};\frac{8}{3} ight)$
- C.
  $D(0;8;8)$
- D.
  $D( - 4; - 2; - 6)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 3 - x \\ 3 = 1 - y \\ 20 = 4 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = - 6 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4; - 2; - 6)$ .
Câu 18: Thông hiểu
Cho ba điểm $A\left( {3,1,0} ight);\,\,\,B\left( {2,1, - 1} ight);\,\,\,C\left( {x,y, - 1} ight)$ . Tính x và y để ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng với nhau?
- A. $x=2, y=1$
- B. $x=2, y=-1$
- C. $x=-2, y=-1$
- D. $x=1, y=2$
A, B, C thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}$ cùng phương với $\overrightarrow {AC}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 0\\{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2} = 0\\{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3} = 0\end{array} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1\left( {y - 1} ight) - 0\left( {x - 3} ight) = 0\\0\left( { - 1} ight) - \left( { - 1} ight)\left( {y - 1} ight) = 0\\ - 1\left( {x - 3} ight) - \left( { - 1} ight)\left( { - 1} ight) = 0\end{array} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} ight.$
Câu 19: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB;CD$ . Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{MN} = k.\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight)$ ?
- A.
  $k = \frac{1}{2}$
- B.
  $k = \frac{1}{4}$
- C.
  $k = 3$
- D.
  $k = 2$
Hình vẽ minh họa

Ta có N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MN}$

M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}.\left( \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight)$

$= \frac{1}{2}.\left( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BD} ight)$

$= \frac{1}{2}.\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}.\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight) \Rightarrow k = \frac{1}{2}$
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1; - 1)$ và $B(2;3;2)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $(1;2;3)$
- B.
  $( - 1; - 2;3)$
- C.
  $(3;5;1)$
- D.
  $(3;4;1)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (2 - 1;3 - 1;2 + 1) = (1;2;3)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = (1;2;3)$ .

65 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!