Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ . Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A'C'}$ có giá trị bằng:
- A.
  $a^{2}$
- B.
  $a\sqrt{2}$
- C.
  $a^{2}\sqrt{2}$
- D.
  $\frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$
Ta có:

$\left( \overrightarrow{A'C'};\overrightarrow{AB} ight) = \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{BAC} = 45^{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{A'C'}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{A'C'} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{A'C'};\overrightarrow{AB} ight) = a.a.1 = a^{2}$
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x + y - 2z + 4 = 0$ . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:
- A.
  $\overrightarrow{n} = (1;1; - 2)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 2;4)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: $\overrightarrow{n} = (1;1; - 2)$ .
Câu 3: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Đặt $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD suy ra $\overrightarrow{BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BM}$

Ta có: $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BM}$

$= \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} ight) = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} ight)$

$= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)$

$= \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight) = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với $A(1;1;1),B( - 1;1;0),C(1;3;2)$ . Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ nhận vectơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ phương?
- A.
  $\overrightarrow{a} = (1;1;0)$
- B.
  $\overrightarrow{c} = ( - 1;2;1)$
- C.
  $\overrightarrow{b} = ( - 2;2;2)$
- D.
  $\overrightarrow{d} = ( - 1;1;0)$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , suy ra tọa độ điểm $M(0;2;1)$ .

Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AM} = ( - 1;1;0)$ .
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của $d$ ?
- A.
  $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 3}{- 1}$
- B.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 3}{1}$
- C.
  $x - 2 = y = z + 3$
- D.
  $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = ( - 1;1;1)$ và đi qua điểm $M(2;1;0)$ . Do đó phương trình chính tắc của $d$ là: $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ các điểm $A(1;2;0),B(2;1;1),C(0;3; - 1)$ . Cho các khẳng định sau:

(I) $BC = 2AB$ .

(II) $B \in AC$ .

(III) Ba điểm $A;B;C$ tạo thành một tam giác.

(IV) Ba điểm $A;B;C$ thẳng hàng.

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng.
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1;1) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 1;1; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AB}$ nên $A$ là trung điểm của $BC$ và ba điểm $A;B;C$ thẳng hàng.

Vậy có 2 khẳng định sai và 2 khẳng định đúng.
Câu 7: Vận dụng
Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho điểm $M = (1; - 1;2)$ và hai đường thẳng $d_{1}$ : $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.$ $d_{2}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{1}$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua diểm $M$ và cắt cả hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;a;b)$ . Tính $a + b$ ?
- A.
  $a + b = - 1$ .
- B.
  $a + b = - 2$ .
- C.
  $a + b = 2$ .
- D.
  $a + b = 1$ .
Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với $d_{1},d_{2}$

$A \in d_{1} \Rightarrow A\left( t_{1};1 - t_{1}; - 1 ight);B \in d_{2} \Rightarrow B\left( - 1 + 2t_{2};1 + t_{2}; - 2 + t_{2} ight)$

$M \in \Delta \Leftrightarrow M,A,B\ \text{thẳng\ hàng~} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB}(1)$

$\overrightarrow{MA} = \left( t_{1} - 1;2 - t_{1}; - 3 ight);\overrightarrow{MB} = \left( 2t_{2} - 2;t_{2} + 2;t_{2} - 4 ight)$

$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 1 = k(2t_{2} - 2) \\ 2 - t_{1} = k(t_{2} + 2) \\ - 3 = k(t_{2} - 4) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 2kt_{2} + 2k = 1 \\ - t_{1} - kt_{2} - 2k = - 2 \\ kt_{2} - 4k = - 3 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} = 0 \\ kt_{2} = \frac{1}{3} \\ k = \frac{5}{6} \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Từ $t_{1} = 0 \Rightarrow A(0;1; - 1)$ .

Do đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A$ và $M$ nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{AM} = (1; - 2;3)$ .

Vậy $a = - 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 1$
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 2}{2}$ và điểm $A(3;2;0)$ . Điểm đối xứng với điểm $A$ qua đường thẳng $d$ có tọa độ là:
- A.
  $( - 1;0;4)$
- B.
  $(7;1; - 1)$
- C.
  $(2;1; - 2)$
- D.
  $(0;2; - 5)$
Gọi $M( - 1 + t; - 3 + 2t; - 2 + 2t) \in d$

$\Rightarrow AH = (t - 4;2t - 5;2t - 2)$

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u} = (1;2;2)$

Vì $\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{AH} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH} = 0$

$\Leftrightarrow 1(t - 4) + 2(2t - 5) + 2(2t - 2) = 0 \Leftrightarrow t = 2$

Suy ra M(1; 1; 2), gọi A’(x; y; z) là điểm đối xứng của A qua d thì: $\left\{ \begin{matrix} x = 2.1 - 3 = - 1 \\ y = 2.1 - 2 = 0 \\ z = 2.2 - 0 = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Điểm đối xứng với điểm $A$ qua đường thẳng $d$ có tọa độ là: $( - 1;0;4)$ .
Câu 9: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1; - 1;1),B(0;1; - 2)$ và điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ . Tìm giá trị lớn nhất của $|MA - MB|$ ?
- A.
  $2\sqrt{2}$
- B.
  $\sqrt{14}$
- C.
  $\sqrt{6}$
- D.
  $\sqrt{12}$
Thay tọa độ của A, B vào phương trình mặt phẳng (Oxy): z = 0, ta có $1.( - 2) = - 2 < 0$

⇒ A, B nằm về hai phía của (Oxy).

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (Oxy).

Khi đó ta có: $|MA - MB| = |MA' - MB| \leq A'B$

Suy ra $|MA - MB|$ lớn nhất bằng A’B khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B và (Oxy).

Ta có $A'(1; - 1; - 1) \Rightarrow A'B = \sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{6}$ .
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ , nhận vectơ $\overrightarrow{a}$ làm vectơ chỉ phương và đường thẳng $d'$ đi qua điểm $M'$ , nhận vectơ $\overrightarrow{a'}$ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng $d$ song song với $d'$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M \in d' \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a'} \\ M \in d' \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} eq k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$
Điều kiện để $d//d'$ là: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 11: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(2;0;0),B(0;3;0),C(0;0;3)$ và $D\left( 1;1;\frac{1}{2} ight)$ . Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong năm điểm $O,A,B,C,D$ ?
- A.
  $5$
- B.
  $6$
- C.
  $7$
- D.
  $10$
Hình vẽ minh họa

Ta có mặt phẳng (ABC): $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ .

Suy ra $D\left( 1;1;\frac{1}{2} ight)$ thuộc mặt phẳng (ABC).

Số mặt phẳng qua ba trong bốn điểm A, B, C, D là 1.

Số mặt phẳng qua điểm O và hai trong bốn điểm A, B, C, D là $C_{4}^{2} = 6$ .

Vậy số mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong năm điểm $O,A,B,C,D$ là $1 + 6 = 7$ .
Câu 12: Thông hiểu
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB với $A\left( {\,1,\,\,4,\,\,3\,} ight);\,\,B\left( {\,3,\,\, - 6,\,\,5\,} ight).$
- A. $x\,\, - \,\,5y\,\, + \,\,z\,\, - 1 = \,\,0$
- B. $x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,z\,\, - 11 = \,\,0$
- C. $x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,z\,\, + 11 = \,\,0$
- D. $x\,\, - \,\,5y\,\, + \,\,z\,\, - 11 = \,\,0$
Vì I là trung điểm của đoạn AB nên ta có tọa độ điểm I là: $I\left( {2, - 1,4} ight)$
Mặt khác, ta lại có (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB nên (P) nhận $\vec{AB}$ làm 1 VTPT. Ta có VTPT của $\left( P ight):\,\,\overrightarrow {AB} = 2\left( {1, - 5,1} ight)$
$\Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)1 + \left( {y + 1} ight)\left( { - 5} ight) + \left( {z - 4} ight).1 = 0$
$\Leftrightarrow x - 5y + z - 11 = 0$
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $Oz$ và đi qua điểm $P(3; - 4;7)$ ?
- A.
  $4x - 3y = 0$
- B.
  $3x + 4y = 0$
- C.
  $4x + 3y = 0$
- D.
  $- 3x + 4y = 0$
Mặt phẳng $(P)$ có cặp véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{k} = (0;0;1),\overrightarrow{OP} = (3; - 4;7)$

Suy ra mặt phẳng có $(P)$ một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{k} \land \overrightarrow{OP} = ( - 4; - 3;0) = - 1(4;3;0)$ .

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $O(0;0;0)$ có vectơ pháp tuyến (4; 3; 0).

Vậy mặt phẳng $(P)$ có phương trình tổng quát là $4x + 3y = 0$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{BD}$ và $\ \overrightarrow{B'C}$ bằng
- A.
  $30{^\circ}$ .
- B.
  $45{^\circ}$ .
- C.
  $60{^\circ}$ .
- D.
  $90{^\circ}$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{BD}\ = \ \ \overrightarrow{B'D'}$ . Do đó,

$\left( \overrightarrow{BD}\ ,\ \overrightarrow{B'C} ight)\ = \ \left( \overrightarrow{B'D'}\ ,\ \overrightarrow{B'C} ight)\ = \widehat{\ D'B'C}$

Vì $B'C\ = \ CD'\ = \ D'B'$ nên tam giác $B'CD'$ là tam giác đều.

Suy ra $\widehat{\ D'B'C}\ = \ 60{^\circ}$

Vậy $\left( \overrightarrow{BD}\ ,\ \overrightarrow{B'C} ight)\ = \ 60{^\circ}$
Câu 15: Nhận biết
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ . Đặt $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{d}$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d}$
Ta có: $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}$

Do đó $\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$
Câu 16: Vận dụng cao

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm $A(100;50;100)$ và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là $B(50;100;50),C(150;100;100)$ . Máy bay sẽ bay qua điểm $W$ của đường màu $BC$ để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm $W(a;b;c)$ , hãy tính giá trị biểu thức $T = a + b - 2c$ .

Đáp án: 50

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm $A(100;50;100)$ và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là $B(50;100;50),C(150;100;100)$ . Máy bay sẽ bay qua điểm $W$ của đường màu $BC$ để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm $W(a;b;c)$ , hãy tính giá trị biểu thức $T = a + b - 2c$ .

Đáp án: 50

Ta có: $\overrightarrow{BC} = (100;0;50)$

Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP $\overrightarrow{u} = (2;0;1)$ có dạng $(BC):\left\{ \begin{matrix} x = 50 + 2t \\ y = 100 \\ z = 50 + t \\ \end{matrix} ight.$

Điểm $W \in (BC) \Rightarrow W(50 + 2t;100;50 + t)$ và $\overrightarrow{AW} = (2t - 50;50;t - 50)$

Ta có: $\overrightarrow{AW}.\overrightarrow{BC} = 0$

$\Rightarrow 2(2t - 50) + (t - 50) = 0 \Rightarrow t = 30$

Vậy $H(110;100;80) \Rightarrow a + b - 2c = 50.$
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , điểm nào dưới đây thuộc trục $Oy$ ?
- A.
  $H(2;0;0)$
- B.
  $K(0;3;2)$
- C.
  $U(2;0;3)$
- D.
  $T(0; - 3;0)$
Điểm $A(x;y;z) \in Oy \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Suy ra trong bốn điểm đã cho điểm $T(0; - 3;0) \in Oy$ .
Câu 18: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(1;2;1)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho độ dài $OA,OB,OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng $2$ . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ .
- A.
  $\frac{4}{\sqrt{21}}$
- B.
  $\frac{\sqrt{21}}{21}$
- C.
  $\frac{3\sqrt{21}}{7}$
- D.
  $9\sqrt{21}$
Giả sử $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ với $a, b, c > 0$ .

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Ta có $(α)$ đi qua điểm $M(1; 2; 1)$ nên ta có $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ (∗)

Vì $OA, OB, OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên $c = 2b = 4a$ .

Thay vào (∗), ta được $\frac{1}{a} + \frac{2}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{9}{4}$

Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = \frac{9}{4}$ hay $4x + 2y + z - 9 = 0$

$\Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{| - 9|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}$ .
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):3x - my - z + 7 = 0,(Q):6x + 5y - 2z - 4 = 0$ . Xác định $m$ để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau?
- A.
  $m = 4$
- B.
  $m = - \frac{5}{2}$
- C.
  $m = - 30$
- D.
  $m = \frac{5}{2}$
Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi

Tập xác định $\frac{3}{6} = \frac{- m}{5} = \frac{- 1}{- 2} eq \frac{7}{- 4}$

Vậy $m = - \frac{5}{2}$ thì hai mặt phẳng $(P);(Q)$ song song với nhau.
Câu 20: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Vì $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ nên $A(3;0; - 1)$ .

b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2)$ .

Vì $4:2:4 eq - 2:4:2$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương suy ra $A,B,C$ không thẳng hàng.

c) Đúng

Vì $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $D( - 5;4;7)$ .

Do đó $a = - 5,b = 4,c = 7$ . Vậy $a + b + c = 6$ .

d) Đúng. Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.$

$MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$=(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$

Do $IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$ không thay đổi nên $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất hay $M$ là hình chiếu của điểm $I$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Do đó $M(1;2;0)$ suy ra $m=1,n=2,p=0$ .

Vậy $2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0$ .

79 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!