Cho tứ diện đều
với
là trung điểm của
. góc giữa hai đường thẳng
có cosin bằng:
Hình vẽ minh họa
Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Tương tự
Ta có:
Do đó
Mà nên
Cho tứ diện đều
với
là trung điểm của
. góc giữa hai đường thẳng
có cosin bằng:
Hình vẽ minh họa
Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Tương tự
Ta có:
Do đó
Mà nên
Cho hai vectơ
Xác định vectơ
, biết
cùng phương với
và ![]()
Gọi tọa độ của là
Theo đề bài, ta có cùng phương
Mặt khác, , thay vào ta được:
Cho điểm
và đường thẳng
. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua
. Tọa độ điểm A' là:
Đưa phương trình về dạng tham số:
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với .
Phương trình mp (P) có dạng , qua A nên D = -2
Phương trình (P) là:
Thế x, y, z từ phương trình vào phương trình (P) được t=1
I là trung điểm của AA' nên:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng tọa độ
. Viết phương trình đường thẳng
.
Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến và có phương trình y = 0.
Suy ra
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).
Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là .
Trong không gian
, cho bốn điểm
và
. Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong năm điểm
?
Hình vẽ minh họa
Ta có mặt phẳng (ABC): .
Suy ra thuộc mặt phẳng (ABC).
Số mặt phẳng qua ba trong bốn điểm A, B, C, D là 1.
Số mặt phẳng qua điểm O và hai trong bốn điểm A, B, C, D là .
Vậy số mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong năm điểm là
.
Cho mặt phẳng
qua điểm
và chắn trên ba trục tọa độ
theo ba đoạn có số đo đại số a, b, c. Viết phương trình tổng quát của
khi a, b, c tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2.
Theo đề bài, ta có a, b, c là cấp số nhân với công bội q=2
Phương trình của
(P) qua
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
. Phương trình tham số của
là:
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
nên nhận vectơ
làm véc-tơ chỉ phương.
Suy ra, phương trình đường thẳng: .
Trong không gian với hệ tọa độ
; cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Ta có:
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Phương trình mặt phẳng
nào dưới đây đi qua
, gốc tọa độ
và cách đều hai điểm
và
?
Vì đi qua O nên phương trình mặt phẳng
có dạng
.
Vì A ∈ (P) và B, C cách đều (P) nên
Chọn a = −6, ta có b = 3, suy ra c = ±4.
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là hoặc
.
Cho ba điểm
. Tính
để
là trọng tâm tam giác ABC?
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên áp dụng công thức, ta có:
Thay tọa độ các điểm vào ta được hệ sau:
Trong không gian với hệ toạ độ
, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : .
Cho ba điểm
. Tìm điểm E trên mặt phẳng
cách đều ![]()
Gọi trên mặt phẳng
.
Ta có:
Trong không gian
, cho vectơ
. Các khẳng định sau là đúng hay sai?
a) Tọa độ điểm A là
. Đúng||Sai
b) Hình chiếu vuông góc của
lên trục
là
. Sai||Đúng
c) Trung điểm của
là
. Đúng||Sai
d) Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
là
. Sai||Đúng
Trong không gian , cho vectơ
. Các khẳng định sau là đúng hay sai?
a) Tọa độ điểm A là . Đúng||Sai
b) Hình chiếu vuông góc của lên trục
là
. Sai||Đúng
c) Trung điểm của là
. Đúng||Sai
d) Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng
là
. Sai||Đúng
a) Ta có
b) Hình chiếu vuông góc của A lên Ox là .
c) Trung điểm của là điểm
.
d) Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng
là
.
Cho hai đường thẳng
và
lần lượt có vectơ chỉ phương là
và
. Nếu
là góc giữa hai đường thẳng
và
thì:
Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là .
Trong không gian
, cho bốn điểm
và
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và tổng khoảng cách từ
đến
lớn nhất, đồng thời ba điểm
nằm cùng phía so với
. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi E là trung điểm BC, F là điểm đối xứng với D qua E và M là trung điểm AF.
Ta có .
Gọi tương ứng là hình chiếu của
lên mặt phẳng
.
Ta có:
Do đó .
Mà nên phương trình
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
dạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi là điểm sao cho
.
Từ đó:
với là hình chiếu của
trên mặt phẳng
.
Từ đó suy ra dạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
.
Phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng
là:
.
Tọa độ diểm là nghiệm
của hệ
Suy ra .
Vậy, tọa độ điểm cần tìm là
.
Cho tam giác ABC có
. Phương trình tổng quát của đường cao AH.
Theo đề bài, ta tính được:
Mp (ABC) có 2 VTCP là nên vecto pháp tuyến của (ABC) chính là tích có hướng của 2 VTCP trên. Ta có:
Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên ta có .
Mặt khác nên ta viết được vecto chỉ phương của đường thẳng AH là tích có hướng của 2 vecto pháp tuyến
Từ đây, ta có phương trình chính tắc của
Trong không gian
, cho điểm
và đường thẳng
. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
Gọi
Ta có .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
và
. Xác định tọa độ trung điểm
của
?
Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là: