Biết rằng vectơ
và
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có:
Biết rằng vectơ
và
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có:
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
Nếu thì
Suy ra tứ giác là hình bình hành
Mệnh đề sai vì:
Cho tứ diện
đều cạnh bằng
. Gọi
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Góc giữa
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của CD
Vì ABCD là tứ diện đều nên
Ta có:
Suy ra nên số đo góc giữa hai đường thẳng bằng
.
Trong không gian cho ba vectơ
có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì ba vectơ có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng nên
Giá các vectơ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Giá các vectơ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Giá các vectơ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Giá của các vectơ cùng nằm trên một mặt phẳng
Vậy mệnh đề đúng là: “Giá các vectơ không cùng nằm trên một mặt phẳng.”
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và điểm
. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P)?
Mặt phẳng (Q) và song song với (P) nên (Q) có dạng , với
Vì nên
.
Vậy .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa các điểm
. Tính số đo góc
?
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho 2 điểm
, đường thẳng
và mặt phẳng
. Đường thẳng
đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng
lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện
và
bằng nhau, biết
có một vectơ chỉ phương là
. Tính
.
Hình vẽ minh họa
Ta có
Nên . Vì
C là trung điểm của BD nên .
Điểm nên
là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Vậy
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
Trong không gian
, hãy tính
và
lần lượt là khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
và mặt phẳng
?
Do mặt phẳng có phương trình y = 0 nên
Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng
và vuông góc với mặt phẳng ![]()
Theo đề bài, qua giao tuyến của hai mặt phẳng
nên
có dạng là
Chọn làm vectơ pháp tuyến của
, ta có:
Trong không gian
, cho
. Tính diện tích tam giác
?
Ta có:
Lại có diện tích tam giác là:
Trong không gian
, cho đường thẳng
. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây vuông góc với đường thẳng
.
Đường thẳng có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng vuông góc với nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến.
Do đó là mặt phẳng thỏa mãn.
Trong không gian
, cho đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
. Một vectơ chỉ phương của
là:
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là .
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α) nên có vectơ chỉ phương là
.
Cho hình lăng trụ ABCDEF.
Gọi M, N, G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của DE, DF, AE, CE, CD, BC, BE.
Có nhận xét gì về bộ ba vecto
?
Bằng nhau || Đồng phẳng || Bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau, đồng phẳng
Cho hình lăng trụ ABCDEF.
Gọi M, N, G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của DE, DF, AE, CE, CD, BC, BE.
Có nhận xét gì về bộ ba vecto ?
Bằng nhau || Đồng phẳng || Bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau, đồng phẳng

Theo giả thiết đề bài đã cho, M và N lần lượt là trung điểm của DE và DF
Suy ra, MN là đường trung bình trong tam giác DEF:
Tương tự: và
Vậy
đồng phẳng và bằng nhau.
Cho điểm
và mặt phẳng
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P).Tọa độ điểm A’ là :
Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua A vuông góc với (P): .
Thế x, y, z theo t vào phương trình của (P), ta được:
Thế tiếp vào phương trình của (d) được giao điểm I của (d) và (P):
Mặt khác, I là trung điểm của AA' nên suy ra được:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng đi qua
đồng thời song song với
và mặt phẳng
có phương trình là:
Ta có: . Gọi
là đường thẳng đi qua
đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy).
Khi đó:
Vậy .
Trong không gian
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các tia
lần lượt tại
sao cho độ dài
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng
. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ
đến mặt phẳng
.
Giả sử với
.
Phương trình mặt phẳng có dạng
Ta có đi qua điểm
nên ta có
(∗)
Vì theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên
.
Thay vào (∗), ta được
Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là hay
.
Trong không gian tọa độ
cho các điểm
. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều 5 điểm trên?
Hình vẽ minh họa
Ta có: . Suy ra
là hình bình hành.
nên
là hình chóp đỉnh E có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh
.
Do đó có 5 mặt phẳng cách đều 5 điểm là:
Mặt phẳng qua 4 trung điểm của 4 cạnh bên: (GHIK)
Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EC, ED, AD, BC: (IKQN)
Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EB, EA, AD, BC: (HGQN)
Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EA, ED, CD, AB: (GKPM)
Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EB, EC, CD, AB: (HIPM)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có:
Vậy khẳng định sai là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng
là:
Xét hệ phương trình
. Đặt
ta suy ra
.
Từ đó ta thu được phương trình đường thẳng:
Xét điểm , ta thấy
chỉ thuộc đường thẳng: