Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 + 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Gọi $d'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxz)$ . Viết phương trình đường thẳng $d'$ .
- A.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;2;3)$

Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (0;1;0)$ và có phương trình y = 0.

Suy ra $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 3;0;1)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).

Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ $\overrightarrow{u'} = \left\lbrack \overrightarrow{n}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack ightbrack = (1;0;3)$ làm vectơ chỉ phương.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = ( - 2;3;0)$ và $\overrightarrow{v} = (2; - 2;1)$ . Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}$ ?
- A.
  $3\sqrt{7}$
- B.
  $\sqrt{83}$
- C.
  $\sqrt{89}$
- D.
  $3\sqrt{17}$
Ta có: $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} = ( - 2;3;0) - 2(2; - 2;1) = ( - 6;7; - 2)$

Khi đó $\left| \overrightarrow{w} ight| = \sqrt{89}$
Câu 3: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c$ là những số thực dương sao cho $a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49$ . Tính $T = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ sao cho khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là lớn nhất
- A.
  $F = \frac{51}{5}$
- B.
  $F = \frac{51}{4}$
- C.
  $F = \frac{49}{5}$
- D.
  $F = \frac{49}{4}$
Phương trình mặt phẳng $(ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

$d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack =\dfrac{1}{\sqrt{\left( \dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} +\dfrac{1}{c^{2}} ight)}} = d$

Xét $\overrightarrow{u} = (a;2b;4c),\overrightarrow{v} = \left( \frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c} ight)$ ta có:

$\left( \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} ight)^{2} \leq {\overrightarrow{u}}^{2}.{\overrightarrow{v}}^{2}$

$\Rightarrow \left( a.\frac{1}{a} + 2b.\frac{1}{b} + 4c.\frac{1}{c} ight)^{2} \leq \left( a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} ight).\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)$

$\Rightarrow 49 \leq 49.\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)$

$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 1 \Rightarrow d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack \leq 1$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{\dfrac{1}{a}} = \dfrac{2b}{\dfrac{1}{b}} = \dfrac{4c}{\dfrac{1}{c}}\\a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a^{2} = 2b^{2} = 4c^{2} \\a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow 28c^{2} = 49 \Leftrightarrow c^{2} = \frac{7}{4} \Rightarrow F = 7c^{2} = \frac{49}{4}$

⇒ $\max d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack = 1$ , khi đó $F = \frac{49}{4}$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , vectơ $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 2t \\ z = 3 - 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 4t \\ z = 5 + 6t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = ( - 1; - 2;5)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ . Vậy $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Câu 5: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$
- B.
  $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC}$
- C.
  $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}}$
- D.
  $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC}$
Hình vẽ minh họa

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$ đúng vì $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}} \\ \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC}$ đúng vì $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DC}$

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}}$ đúng vì $\overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}}$

$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC}$ sai vì

$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} eq \overrightarrow{BC}$
Câu 6: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB = AC$ và $\widehat{SAB} = \widehat{SAC}$ . Góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có:

$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AS} = \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight).\overrightarrow{AS}$

$= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AS} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AS}$

$= AC.AS.\cos\widehat{SAC} -AB.AS.\cos\widehat{SAB} = 0$ (vì $AB = AC$ và $\widehat{SAB} = \widehat{SAC}$ ).

Suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng $90^{0}$ .
Câu 7: Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A(1;1;1),B(0;1;2),C( - 2;1;4)$ và mặt phẳng $(P):x - y + z + 2 = 0$ . Tìm điểm $N \in (P)$ sao cho $S = 2NA^{2} + NB^{2} + NC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A(1;1;1),B(0;1;2),C( - 2;1;4)$ và mặt phẳng $(P):x - y + z + 2 = 0$ . Tìm điểm $N \in (P)$ sao cho $S = 2NA^{2} + NB^{2} + NC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1; - 3;4)$ , đường thẳng $d:\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1}$ và mặt phẳng $(P):2x + z - 2 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $M$ vuông góc với d và song song với $(P)$ .
- A.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- B.
  $\Delta:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- C.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- D.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z + 4}{2}$
Đường thẳng $d:\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1}$ có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (3; - 5; - 1)$ .

Mặt phẳng $(P):2x + z - 2 = 0$ có vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = (2;0;1)$ .

Đường thẳng ∆ vuông góc với $d$ nên vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}$

Đường thẳng ∆ song song với (P) nên $\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}$

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = ( - 5; - 5;10)$

Suy ra vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \frac{- 1}{5}.\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = (1;1; - 2)$

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;2;0)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):2x + y - 3z + 5 = 0$ ?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P):2x + y - 3z + 5 = 0$ nên $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 3)$ .

Phương trình $\Delta$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)\ \ \ (*)$

Kiểm tra được điểm $M(3;3; - 3)$ thỏa mãn hệ (*).

Vậy phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ cũng là phương trình của $\Delta$ .
Câu 10: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$ , $\widehat{ABC} = 60^{0}$ , mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H,M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,SA,SD$ và $P$ là giao điểm của $(HMN)$ với $CD$ . Khoảng cách từ trung điểm $K$ của đoạn thẳng $SP$ đến mặt phẳng $(HMN)$ bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$ , $\widehat{ABC} = 60^{0}$ , mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H,M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,SA,SD$ và $P$ là giao điểm của $(HMN)$ với $CD$ . Khoảng cách từ trung điểm $K$ của đoạn thẳng $SP$ đến mặt phẳng $(HMN)$ bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 11: Nhận biết
Cho hình hộp $ABCD.EFFH$ . Tính tổng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AG}$
- B.
  $\overrightarrow{AH}$
- C.
  $\overrightarrow{AF}$
- D.
  $\overrightarrow{AC}$
Hình vẽ minh họa

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AG}$
Câu 12: Thông hiểu
Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha)$ chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $2x - y + 3z + 4 = 0$ và $x + 3y - 2z + 7 = 0$ , chứa điểm $M\left( { - 1,2,4} ight)$ là:
- A. $x + 10y - 9z + 17 = 0$
- B. $x - 10y + 9z + 17 = 0$
- C. $x - 10y - 9z - 17 = 0$
- D. $x + 10y + 9z - 17 = 0$
Vì mặt phẳng $(\alpha)$ chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $2x - y + 3z + 4 = 0$ và $x + 3y - 2z + 7 = 0$ nên thuộc chùm mặt phẳng $2x - y + 3z + 4 + m\left( {x + 3y - 2z + 7} ight) = 0$
$\Leftrightarrow \left( {m + 2} ight)x + \left( {3m - 1} ight)y - \left( {2m - 3} ight)z + 7m + 4 = 0\left( * ight)$
Mặt khác, ta có $M \in (\alpha)$
$\begin{array}{l} \Rightarrow (*) \Leftrightarrow \left( {m + 2} ight).\left( { - 1} ight) + \left( {3m - 1} ight).2 - \left( {2m - 3} ight).4 + 7m + 4 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4m + 12 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = - 3\end{array}$
Thế vào $(*):\,\,\,\,\,x + 10y - 9z + 17 = 0$ .
Câu 13: Vận dụng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ ; đáy là hình vuông cạnh $a$ . Trên cạnh $DC;BB'$ lần lượt lấy các điểm $M;N$ sao cho $DM = BN = x;(0 \leq x \leq a)$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $A'C$ và $MN$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ ; đáy là hình vuông cạnh $a$ . Trên cạnh $DC;BB'$ lần lượt lấy các điểm $M;N$ sao cho $DM = BN = x;(0 \leq x \leq a)$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $A'C$ và $MN$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ biết $(P)$ đi qua hai điểm $M(0; - 1;0),N( - 1;1;1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxz)$ .
- A.
  $(P):x + z + 1 = 0$
- B.
  $(P):x - z = 0$
- C.
  $(P):z = 0$
- D.
  $(P):x + z = 0$
Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 1;2;1)$ và $(Oxz)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{j}\ = (0;1;0)$

Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{j} ightbrack = ( - 1;0; - 1)$

Do đó, $(P)$ có phương trình là $- 1(x - 0) + 0(y + 1) - 1(z - 0) = 0 \Leftrightarrow x + z = 0$ .
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng $(P):x + y + z - 1 = 0$ ?
- A.
  $H(0;0;1)$
- B.
  $K(0;1;0)$
- C.
  $E(1;0;0)$
- D.
  $O(0;0;0)$
Dễ thấy điểm $O(0;0;0)$ không thuộc mặt phẳng $(P)$ .
Câu 16: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N$ lần lượt là tung điểm của $AB;CD$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = 2\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = 2\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} \\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} \\ \end{matrix} ight.$

Cộng hai vế của hai đẳng thức trên ta có:

$2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = \left( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight) + \left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight) + \left( \overrightarrow{DN} + \overrightarrow{CN} ight)$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight)$
Câu 17: Nhận biết
Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz:
- A. Hai mặt phẳng (P) và (Q) có cùng một vecto pháp tuyến thì chúng song song .
- B. Mỗi mặt phẳng chỉ có một vecto pháp tuyến duy nhất.
- C. Một mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một vecto pháp tuyến của nó.
- D. Hai câu A và B
A sai và có thể (P) và (Q) trùng nhau
B sai, vì mỗi mặt phẳng có vô số vecto pháp tuyến. Suy ra D sai.
C đúng vì 1 mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một VTPT của nó.
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;3)$ . Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục $Ox$ .
- A.
  $(2;0;0)$ .
- B.
  $(1;0;0)$ .
- C.
  $(3;0;0)$ .
- D.
  $(0;2;3)$ .
Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là $(1;0;0)$
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2;5;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d$ sao cho khoảng cách từ điểm $A$ đến $(P)$ là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(P)$ bằng:
- A.
  $\sqrt{2}$
- B.
  $\frac{3}{\sqrt{6}}$
- C.
  $\frac{11\sqrt{2}}{6}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên d và H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) thì d(A,(P)) = AH ≤ AK không đổi.

Vậy d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K, khi đó (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.

Ta tìm được $(P):x - 4y + z - 3 = 0 \Rightarrow d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .
Câu 20: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 điểm $A(−2; 1; 3), B(3; −2; 4)$ , đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{11} = \frac{z + 1}{- 4}$ và mặt phẳng $(P): 41x − 6y + 54z + 49 = 0$ . Đường thẳng $(d)$ đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng $(P)$ lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện $ABCO$ và $OACD$ bằng nhau, biết $(d)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;b;c)$ . Tính $b + c$ .
- A.
  $b + c = 11$
- B.
  $b + c = 6$
- C.
  $b + c = 9$
- D.
  $b + c = 4$
Hình vẽ minh họa

Ta có $1 = \frac{V_{OABC}}{V_{OACD}} =\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( O;(ABC) ight).S_{ABC}}{\dfrac{1}{3}d\left(O;(ACD) ight).S_{ACD}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} =\frac{BC}{CD}$

Nên $BC = CD$ . Vì $C ∈ ∆$ $\Rightarrow C(2t + 1;11t + 6; - 4t - 1)$

C là trung điểm của BD nên $D(4t - 1;22t + 14; - 8t - 6)$ .

Điểm $D ∈ (P)$ nên $41(4t − 1) − 6(22t + 14) + 54(−8t − 6) + 49 = 0 ⇔ t = −1$

$⇒ C(−1; −5; 3).$

$\overrightarrow{CB} = (4;3;1) = \overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Vậy $b = 3, c = 1 ⇒ b + c = 4$

65 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!