Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Ba mặt phẳng x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0 cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:

     Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :

    \left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z - 6 = 0\left( 1 ight)\\2x - y + 3z + 13 = 0\left( 2 ight)\\3x - 2y + 3z + 16 = 0\left( 3 ight)\end{array} ight.

    Giải (1),(2) tính x,y theo z được x = - z - 4;y = z + 5.

    Thế vào phương trình (3) được z=-3 , từ đó có x = - 1,y = 2

    Vậy  A(-1,2,-3).

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng: ({d_1}):\frac{{x - 3}}{{ - 7}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3},({d_2}):\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 9}}{{ - 1}}

    và mặt phẳng (\alpha ):x + y + z + 3 = 0 .

    Hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1})  lên mặt phẳng (\alpha ) có phương trình tổng quát:

    Vectơ chỉ phương của ({d_1}):\overrightarrow a = ( - 7,2,3). Vectơ chỉ phương của ({d_2}):\overrightarrow b = (1,2, - 1).

    Phương trình của mặt phẳng chứa ({d_2}) và có phương của ({d_1})có dạng: 

    2x + y + 4z + D = 0

    Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này 

    => D = -53

    Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng (\alpha ) là hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1}) lên (\alpha ): \left\{ \begin{array}{l}2x + y + 4z - 53 = 0\\x + y + z + 3 = 0\end{array} ight.

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;0;2). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Vì tọa độ điểm M(1;0;2) có x = 1;y = 0;z = 2 nên M \in (Oxz).

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(4;9;1), phương trình mặt phẳng (\alpha):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 qua điểm M và cắt ba tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho OA + OB + OC nhỏ nhất. Tính P = a + b + c.

    Mặt phẳng (\alpha) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a,b,c > 0.

    Do (\alpha) đi qua điểm M(4;9;1) nên:

    1 = \frac{4}{a} + \frac{9}{b} + \frac{1}{c} = \frac{2^{2}}{a} + \frac{3^{2}}{b} + \frac{1^{2}}{c} \geq \frac{(2 + 3 + 1)^{2}}{a + b + c} = \frac{36}{a + b + c}

    \Rightarrow a + b + c \geq 36

    Mà OA + OB + OC = a + b + c nên OA + OB + OC nhỏ nhất khi a + b + c nhỏ nhất và bằng 36.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Gọi H(a;b;c) là hình chiếu của A(2; - 1;1) lên đường thẳng (d):\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 4 + 2t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} ight.. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

    Vì H \in (d) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} H(1;4 + 2t; - 2t) \\ \overrightarrow{AH} = ( - 1;5 + 2t; - 1 - 2t) \\ \end{matrix} ight.

    (d) có vtcp \overrightarrow{u} = (0;2; - 2)

    \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0 \Leftrightarrow ( - 1).0 + (5 + 2t)2 + ( - 1 - 2t)( - 2) = 0

    \Leftrightarrow 8t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{3}{2}

    Suy ra H(1;1;3). Vậy a + 2b + 3c = 12

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    \overrightarrow{u} vuông góc \overrightarrow{n} thì d có thể nằm trong (P).

    d song song (P) thì \overrightarrow{u} vuông góc \overrightarrow{n}.

    d vuông góc (P) thì \overrightarrow{u} cùng phương \overrightarrow{n}.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1),B( - 1;2;1),C(36; - 5). Điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất là:

    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

    Ta có: MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}

    Dễ thấy MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, suy ra M là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng (Oxy).

    Dễ thấy G(1;3; - 1) \Rightarrow M(1;3;0).

  • Câu 8: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5). Tọa độ chân đường phân giác của góc B trong tam giác ABC là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\ \end{matrix} ight.

    Gọi D(a;b;c) là chân đường phân giác kẻ từ B lên AC của tam giác ABC.

    Suy ra \frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\ \overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)

  • Câu 9: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha) đi qua điểm M(1;2;1) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho độ dài OA,OB,OC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (\alpha).

    Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

    Phương trình mặt phẳng (α) có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Ta có (α) đi qua điểm M(1; 2; 1) nên ta có \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1 (∗)

    Vì OA, OB, OC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên c = 2b = 4a.

    Thay vào (∗), ta được \frac{1}{a} + \frac{2}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{9}{4}

    Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = \frac{9}{4} hay 4x + 2y + z - 9 = 0

    \Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{| - 9|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x + y = 0\ ,(\alpha'):2x - y + z - 15= 0. Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và d', biết đường thẳng d' có phương trình \left\{ \begin{matrix}x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.

    Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}x + y = 0 \\2x - y + z - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - t + 2 + 2t = 0 \\2(1 - t) - (2 + 2t) + 3 - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - 3 \\x = 4 \\y = - 4 \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(4; - 4;3)

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng a và a' lần lượt có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} và \overrightarrow{u'}. Nếu \varphi là góc giữa hai đường thẳng a và a' thì:

    Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là \cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|.

  • Câu 12: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; - 2; - 1),B\left( - \frac{4}{3}; - \frac{8}{3};\frac{8}{3} ight). Đường thẳng \Delta đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). Hỏi \Delta đi qua điểm nào dưới đây?

    Ta có: OA = 3,OB = 4,AB = 5

    Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

    \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{AB.x_{O} + OB.x_{A} + OA.x_{B}}{AB + OB + OA} \\ y_{I} = \frac{AB.y_{O} + OB.y_{A} + OA.y_{B}}{AB + OB + OA} \\ z_{I} = \frac{AB.z_{O} + OB.z_{A} + OA.z_{B}}{AB + OB + OA} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{5.0 + 4.2 + 3.\left( - \frac{4}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\ y_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 2) + 3.\left( - \frac{8}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\ z_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 1) + 3.\frac{8}{3}}{5 + 4 + 3} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{1}{3} \\ y_{I} = - \frac{4}{3} \\ z_{I} = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I\left( \frac{1}{3}; - \frac{4}{3};\frac{1}{3} ight)

    \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 8; - 4; - 8) = - 4(2;1;2)

    Phương trình đường thẳng \Delta:\frac{x - \frac{1}{3}}{2} = \frac{y + \frac{4}{3}}{1} = \frac{z - \frac{1}{3}}{2}

    Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 1).

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có M là trung điểm của BB'. Đặt \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}. Đẳng thức nào sau đây đúng?

    Ta có: M là trung điểm của BB’ khi đó \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}

    Khi đó:

    \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}

    = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}

    = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}

    = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}

    Vậy đẳng thức đúng là \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho các vectơ \overrightarrow{u} =2\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} và \overrightarrow{v} = (m;2;m + 1) (với m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để \left| \overrightarrow{u} ight| = \left|\overrightarrow{v} ight|?

    Ta có: \overrightarrow{u} = (2; -2;1)

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}\left| \overrightarrow{u} ight| = \sqrt{2^{2} + ( - 2)^{2} + 1^{2}} =3 \\\left| \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{m^{2} + 2^{2} + (m + 1)^{2}} =\sqrt{2m^{2} + 2m + 5} \\\end{matrix} ight.

    Do đó \left| \overrightarrow{u} ight| =\left| \overrightarrow{v} ight| \Leftrightarrow 9 = 2m^{2} + 2m +5

    \Leftrightarrow m^{2} + m - 2 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 1 \\m = - 2 \\\end{matrix} ight.

    Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;0),B(2; - 1;1). Tìm tọa độ điểm C có hoành độ dương thuộc trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C?

    Ta có: C có hoành độ dương thuộc trục Ox \Rightarrow C(x;0;0);x > 0

    Theo bài ra ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AC} = (x - 1; - 2;0) \\ \overrightarrow{BC} = (x - 2;1; - 1) \\ \end{matrix} ight. và tam giác ABC vuông tại C nên

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) - 2 = 0

    \Leftrightarrow x^{2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0(L) \\ x = 3(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy C(3;0;0)

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}. Tọa độ điểm M là:

    Ta có: \overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)

    Theo bài ra ta có: \overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j} suy ra tọa độ M(2; - 3;1).

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Trên hai tia Bt,Ds vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm E;F sao cho BE = \frac{a}{2};DF = a. Tính góc \varphi giữa hai mặt phẳng (AEF);(CEF).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Trên hai tia Bt,Ds vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm E;F sao cho BE = \frac{a}{2};DF = a. Tính góc \varphi giữa hai mặt phẳng (AEF);(CEF).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha) đi qua điểm A(2; - 1;5) và vuông góc với hai mặt phẳng (P):3x - 2y + z + 7 = 0 và (Q):5x - 4y + 3z + 1 = 0. Phương trình của mặt phẳng (\alpha) là

    Ta có các vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) là \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (3; - 2;1) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (5; - 4;3) \\ \end{matrix} ight.

    Theo giả thiết mặt phẳng (α) vuông góc với (P) và (Q) do đó

    \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\left( \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ight) \Rightarrow \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (1;2;1)

    Suy ra, phương trình mặt phẳng (α) có dạng 1(x - 2) + 2(y + 1) + 1(z - 5) = 0

    Hay x + 2y + z - 5 = 0

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(a;b;1) thuộc mặt phẳng (P):2x - y + z - 3 = 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có điểm M(a;b;1) thuộc mặt phẳng (P):2x - y + z - 3 = 0 nên:

    2a - b + 1 - 3 = 0 \Leftrightarrow 2a - b = 2

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = - t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)và d':\frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{2}. Vị trí tương đối của d và d' là

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (3; - 1; - 2) và đi qua điểm M(−1; 0; 1).

    Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d'}} = ( - 3;1;2).

    Hai vectơ \overrightarrow{u_{d}} và \overrightarrow{u_{d'}} cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.

    Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 76 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập