Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Độ dài của đoạn
là
Ta có:
khi đó độ dài đoạn
bằng:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Độ dài của đoạn
là
Ta có:
khi đó độ dài đoạn
bằng:
Trong không gian
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
Ta có:
∆ có vectơ chỉ phương là
(α) có vectơ pháp tuyến là
.
Cho ba điểm
. Cho 3 mệnh đề sau:
MĐ 1: A, B, C thẳng hàng
MĐ 2: AB song song với ![]()
MĐ 3: AB cắt ![]()
Mệnh đề đúng là?
Ta có:
thẳng hàng
Vậy MĐ 1 Đúng!
Giả sử AB và (xOy) có điểm chung và
cùng phương
Vậy MĐ 2 sai, MĐ 3 đúng!
Trong không gian
, cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Xét tứ diện OABC có các cạnh đôi một vuông góc với nhau.
Ta có:
Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.
Từ đó .
Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận làm vectơ pháp tuyến là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba mặt phẳng ![]()
![]()
. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt
lần lượt tại
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Dễ dàng nhận thấy (P)//(Q)//(R).
Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng cắt (P) tại H và cắt (Q) tại K.
Ta có
Khi đó ta có:
Vậy .
Cho hai đường thẳng: ![]()
và mặt phẳng
.
Hình chiếu của
theo phương của
lên mặt phẳng
có phương trình tổng quát:
Vectơ chỉ phương của Vectơ chỉ phương của
Phương trình của mặt phẳng chứa và có phương của
có dạng:
Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này
=> D = -53
Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng là hình chiếu của
theo phương của
lên
:
Trong không gian
, cho vectơ
. Hãy chọn vectơ cùng phương với
?
Ta có: cùng phương với
khi
. Khi đó đáp án cần tìm là
(vì
).
Trong không gian
. Cho
với
. Biết mặt phẳng
qua điểm
và thể tích tứ diện
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình
:
Phương trình mặt phẳng
Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Thể tích tứ diện là
Đẳng thức xảy ra khi
Phương trình mặt phẳng là
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: có vectơ chỉ phương là
,
có véc-tơ pháp tuyến là
.
Do không cùng phương
nên
cắt
.
Mặt khác nên
không vuông góc
.
Vậy cắt nhưng không vuông góc với
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tam giác
với
,
,
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
. Sai||Đúng
b)
. Sai||Đúng
c) Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng tọa độ
là điểm
. Đúng||Sai
d) Nếu
là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác
với
,
,
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) . Sai||Đúng
b) . Sai||Đúng
c) Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng tọa độ
là điểm
. Đúng||Sai
d) Nếu là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
. Sai||Đúng
Ta có:
a) sai.
b) sai.
c) đúng
d) Gọi ,
,
Vì là hình bình hành nên
.
Vậy d) sai
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, khoảng cách từ
đến mặt phẳng
là
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Biết rằng có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là ![]()
đi qua
(nhưng không đi qua O) và cắt các trục tọa độ
theo thứ tự tại
sao cho hình chóp
là hình chóp đều. Tính tổng
.
Giả sử , với
. Khi đó trọng tâm của tam giác ABC là
mặt phẳng (Pi) có dạng
.
Theo bài ra (Pi) đi qua M(1; 2; 3) nên ta có:
Mặt khác, vì O.ABC là hình chóp đều nên tam giác ABC đều nên:
kết hợp với (1) ta có các trường hợp sau:
nên
không thỏa yêu cầu.
nên
nên
, không thỏa yêu cầu
nên
trùng với (P2)
nên
trùng với (P3)
nên
trùng với (P1)
Vậy .
Cho hình lập phương
; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Cho hình lập phương ; đáy là hình vuông cạnh
. Trên cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và điểm
. Hình chiếu vuông góc của A trên (∆) là điểm nào dưới đây?
Đường thẳng (∆) đi qua M(−1; −4; 0), có vectơ chỉ phương
Phương trình tham số của đường thẳng
Gọi P là hình chiếu vuông góc của A trên (∆).
Khi đó
Ta có . Vì
nên
Cho ba vectơ
. Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?
Hai vectơ còn lại có thể không cùng phương nên ba vectơ có thể không đồng phẳng.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Viết phương trình của mặt phẳng
song song với trục
và chứa giao tuyến của
và
?
Mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
và
nên có dạng:
Mặt phẳng song song với trục
nên
.
Chọn n = 1 ta có
Cho ba điểm
. Tìm tọa độ của C để ABC là tam giác đều?
Tam giác ABC đều
Suy ra tọa độ điểm C là có 2 nghiệm C thỏa mãn:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua
và song song với mặt phẳng (Q): ![]()
Vì mp nên ta có PTTQ mp
sẽ có dạng là:
Mặt khác, (P) qua
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của
?
Ta có: suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
Cho tứ diện đều
với
lần lượt là trung điểm của
. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Ta có:
Do đó:
Ta lại có suy ra
Vậy đáp án cần tìm là .