Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh $AB = a, AD = 2a$ , cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{0}$ . Sai||Đúng

c) Tích vô hướng của $\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB}$ bằng $\frac{a^{2}}{2}$ . Đúng||Sai

d) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN}$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh $AB = a, AD = 2a$ , cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{0}$ . Sai||Đúng

c) Tích vô hướng của $\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB}$ bằng $\frac{a^{2}}{2}$ . Đúng||Sai

d) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN}$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Sai||Đúng

a) Sai

Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên $AB//CD$

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

b) Sai

Ta có ABCD là hình chữ nhật nên $AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}$

Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

Suy ra $\tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'$

Ta có: $\left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left( \overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'$

c) Đúng

Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

Suy ra $SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{5}$

Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

$AM = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Lại có M là trung điểm của SB nên $MB = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Ta tính được $\cos MAB = \frac{MA^{2} + AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Mà $\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{MAB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}$

d) Sai

Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

Do đó $MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Suy ra $\left| \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| = \frac{a\sqrt{5}}{2}$
Câu 2: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa đô $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;4)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho thể tích tứ diện $O.ABC$ nhỏ nhất. $(P)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $(0;1;3)$
- B.
  $(2;2;0)$
- C.
  $(1;1;2)$
- D.
  $( - 1;1;4)$
Gọi $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c > 0$

Phương trình mặt phẳng $(ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Vì $M \in (P) \Rightarrow (P):\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} = 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1.2.4}{abc}} \Rightarrow abc \geq 8.27$

Thể tích tứ diện $O.ABC$ là $V = \frac{1}{6}abc \geq 36$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{4}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \\ c = 12 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{12} = 1 \Rightarrow 4x + 2y + z - 12 = 0$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $(2;2;0)$ .
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , khoảng cách từ điểm $M(2; - 4; - 1)$ tới đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ bằng:
- A.
  $\sqrt{14}$
- B.
  $\sqrt{6}$
- C.
  $2\sqrt{14}$
- D.
  $2\sqrt{6}$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $N(0;2;3)$ , có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1;2)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 2;6;4)$ và $\left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack = (16;8; - 4)$ .

Vậy khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là:

$d(M;\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{336}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{14}$
Câu 4: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân
giác trong góc A là $\frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}$ . Biết rằng điểm $M(0; 5; 3)$ thuộc đường thẳng AB và điểm $N(1;1;0)$ thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?
- A. $\vec{u}(1;2;3)$
- B. $\vec{u}(0;-2;6)$
- C. $\vec{u}(0;1;-3)$
- D. $\vec{u}(0;1;3)$
Giả sử , $A(t; 6-4t; 6-3t)$ , ta có:
$\vec{u_d}=(1; -4; -3),$
$\vec{AM}=(-t;4t-1;-3+3t)$
$\vec{AN}=(1-t;-5+4t;3t-6)$
Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:
$\left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AM}) ight |= \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AN}) ight |$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left | 26t-13 ight |}{\sqrt{26t^2 -26t+10} } =\dfrac{\left | 26t-39 ight |}{\sqrt{26t^2 -78t+62} }$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left | 2t-1 ight |}{\sqrt{13t^2 -13t+5} } =\dfrac{\left | 2t-3 ight |}{\sqrt{13t^2 -39t+31} }$
Từ đây ta bình phương 2 vế được:
$(4t^2-4t+1)(13t^2-39t+31)=(4t^2-12t+9)(13t^2-13t+5)$
$\Leftrightarrow 14t=14$
$\Leftrightarrow t=1$
$\Rightarrow A(1;2;3)\Rightarrow \vec{AN}=(0; -1; -3)$
Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là $\vec{u}(0;1;3)$ .
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình mặt phẳng trung trực $(\alpha)$ của đoạn thẳng $AB$ với $A(0; - 4;1),B( - 2;2;3)$ là
- A.
  $(\alpha):x - 3y + z = 0$
- B.
  $(\alpha):x - 3y + z - 4 = 0$
- C.
  $(\alpha):x - 3y - z = 0$
- D.
  $(\alpha):x - 3y - z - 4 = 0$
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ suy ra $M( - 1; - 1;2)$

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow{AM} = ( - 1;3;1)$ làm vectơ pháp tuyến:

$\Rightarrow (\alpha): - x + 3y + z = 0$

$\Rightarrow (\alpha):x - 3y - z = 0$
Câu 6: Thông hiểu
Cho tam giác ABC với $A\left( {\,1,\,\, - 2,\,\,6\,} ight);\,\,B\left( {\,2,\,\,5,\,\,1} ight);\,\,C\left( {\, - 1,\,\,8,\,\,4} ight)$ .
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ song song đường cao AH của tam giác ABC.
- A. $x\,\, + \,\,y\,\, + \,\,z\,\, - \,\,3 = \,\,0$
- B. $x\,\, + \,\,y\,\, + \,\,z\,\, + \,\,3 = \,\,0$
- C. $x\,\, - \,\,y\,\, + \,\,z\,\, + \,\,3 = \,\,0$
- D. $x\,\, - \,\,y\,\, - \,\,z\,\, + \,\,3 = \,\,0$
Theo đề bài, ta có: $\left( P ight) \bot \left( {ABC} ight)$ song song đường cao $AH \Rightarrow \left( P ight) \bot \overrightarrow {BC} = \left( { - 3,3,3} ight)$
$\Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 1} ight)\left( { - 3} ight) + \left( {y + 2} ight)3 + \left( {z - 6} ight)3 = 0$
$\Leftrightarrow x - y - z + 3 = 0$
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = (1;2;1),\overrightarrow{b} = (1;1;2),\overrightarrow{c} = (x;3x;x + 2)$ . Nếu ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng thì:
- A.
  $x = - 1$
- B.
  $x = 1$
- C.
  $x = - 2$
- D.
  $x = 2$
Ta có: $\left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack = (3; - 3;3)$

Ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng

$\Leftrightarrow \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack.\overrightarrow{c} = 0$

$\Leftrightarrow 3x - 3(3x) + 3(x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow x = 2$
Câu 8: Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 2;4),B( - 3;3; - 1)$ và mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 8 = 0$ . Xét $M$ là điểm thay đổi thuộc $(P)$ , tính giá trị nhỏ nhất của $2MA^{2} + 3MB^{2}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 2;4),B( - 3;3; - 1)$ và mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 8 = 0$ . Xét $M$ là điểm thay đổi thuộc $(P)$ , tính giá trị nhỏ nhất của $2MA^{2} + 3MB^{2}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng đi qua $A(2; - 1;3)$ và nhận $\overrightarrow{a} = (1;1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = - 1 - t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
Đường thẳng đi qua $A(2; - 1;3)$ và nhận $\overrightarrow{a} = (1;1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 10: Nhận biết
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Điểm $M$ xác định bởi công thức $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $M \equiv G$
- B.
  $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$
- C.
  $G$ là trung điểm của $AM$
- D.
  $M$ là trung điểm của $AG$
Do G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AG}$

Vậy mệnh đề đúng là “ $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$ ”.
Câu 11: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N$ lần lượt là tung điểm của $AB;CD$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = 2\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = 2\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} \\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} \\ \end{matrix} ight.$

Cộng hai vế của hai đẳng thức trên ta có:

$2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = \left( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight) + \left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight) + \left( \overrightarrow{DN} + \overrightarrow{CN} ight)$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight)$
Câu 12: Thông hiểu
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành biết tọa độ các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $C$ ?
- A.
  $C(0; - 2;0)$
- B.
  $C(2;2;2)$
- C.
  $C(2;0;2)$
- D.
  $C(2; - 2;2)$
Giả sử điểm $C(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 2 - 1 \\ y + 1 = 1 - 0 \\ z - 1 = 2 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $C(2;0;2)$ .
Câu 13: Nhận biết
Cho $A( - 1;2;1)$ và hai mặt phẳng $(P):2x + 4y - 6z - 5 = 0;(Q):x + 2y - 3z = 0$ . Khi đó:
- A.
  mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ và $(Q)//(P)$ .
- B.
  mặt phẳng $(Q)$ không qua $A$ và không song song với mặt phẳng $(P)$ .
- C.
  mặt phẳng $(Q)$ không qua $A$ và $(Q)//(P)$ .
- D.
  mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ và mặt phẳng $(Q)$ cắt mặt phẳng $(P)$ .
Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn, do đó A ∈ (Q).

Vì ${\overrightarrow{n}}_{(P)} = (2;4; - 6) = 2(1;2; - 3) = {\overrightarrow{n}}_{(Q)}$ nên $(Q)//(P)$ .
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2;1;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 2}$ . Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
- A.
  $\frac{3\sqrt{5}}{2}$
- B.
  $\sqrt{5}$
- C.
  $2\sqrt{5}$
- D.
  $3\sqrt{5}$
Gọi $M(1;\ 2;\ 3) \in d$

$\Rightarrow AM = ( - 1;1;2) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 6;0; - 3)$

Ta có $d(A;d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{3\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$ .
Câu 15: Thông hiểu
Cho ba điểm $A\left( {3,1,0} ight);\,\,\,B\left( {2,1, - 1} ight);\,\,\,C\left( {x,y, - 1} ight)$ . Tìm tọa độ của C để tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.
- A. $\left( {4,1 + \sqrt 2 } ight);\,\,\,\left( {4,1 - \sqrt 2 } ight)$
- B. $\left( {4,1} ight)$
- C. $\left( {2,1} ight)$
- D. $\left( {2,-1} ight)$
Tam giác ABC vuông cân tại A $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \\AB = AC\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\\A{C^2} = A{B^2}\end{array} ight.$
$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1,0,1 - 1} ight) \Rightarrow A{B^2} = 2;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {x - 3,y - 1, - 1} ight)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1\left( {x - 3} ight) + 0\left( {y - 1} ight) + 1 = 0\\{\left( {x - 3} ight)^2} + {\left( {y - 1} ight)^2} + 1 = 2\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\{x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 9 = 0\end{array} ight.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} ight. \Rightarrow C\left( {4;1} ight)\end{array}$
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(3;4;5)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 2z - 3 = 0$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$ . Tìm tọa độ điểm $H$ ?
- A.
  $H(1;2;2)$
- B.
  $H(2;5;3)$
- C.
  $H(6;7;8)$
- D.
  $H(2; - 3; - 1)$
Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên (P) nên $H(3 + t;4 - t;5 + 2t)$

Điểm H thuộc mặt phẳng (P) nên ta có phương trình:

$(3 + t) - (4 - t) + 2(5 + 2t) - 3 = 0$

$\Leftrightarrow t = - 1 \Leftrightarrow H = (2;5;3)$
Câu 17: Vận dụng
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):2x + y - 2z + 9 = 0$ và ba điểm $A(2; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 3;-1)$ . Điểm M ∈ (α) sao cho $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $x_{M} + y_{M} + z_{M} = 1$
- B.
  $x_{M} + y_{M} + z_{M} = 4$
- C.
  $x_{M} + y_{M} + z_{M} = 3$
- D.
  $x_{M} + y_{M} + z_{M} = 2$
Xét điểm I(a; b; c) thỏa mãn: $2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

Khi đó

$\left\{ \begin{matrix} 2(2 - a) - 3a - 4(1 - a) = 0\ \\ 2(1 - b) + 3(2 - b) - 4(3 - b) = 0\ \\ - 2c + 3(1 - c) - 4( - 1 - c) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0\ \\ b = - 4\ \\ c = 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0; - 4;7)$

Khi đó:

$\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| = \left| 2\overrightarrow{MI} + 3\overrightarrow{MI} - 4\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 4\overrightarrow{IC} ight| = IM$

Do đó $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì M là hình chiếu của I trên mặt phẳng $(\alpha)$ .

Do $M(x;y;z)$ là hình chiếu của I trên mặt phẳng $(\alpha)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IM} = k.\overrightarrow{n} \\ M \in (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2k\ \\ y + 4 = k\ \\ z - 7 = - 2k\ \\ 2x + y - 2z + 9 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = 1 \\ x = 2\ \\ y = - 3\ \\ z = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $M = (2; - 3;5) \Rightarrow x_{M} + y_{M} + z_{M} = 4$ .
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;3)$ . Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục $Ox$ .
- A.
  $(2;0;0)$ .
- B.
  $(1;0;0)$ .
- C.
  $(3;0;0)$ .
- D.
  $(0;2;3)$ .
Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là $(1;0;0)$
Câu 19: Vận dụng cao
Cho điểm $A( - 3;5; - 5),B(5; - 3;7)$ và mặt phẳng $(\alpha):x + y + z = 0$ . Xét điểm $M$ thay đổi trên $(\alpha)$ , giá trị lớn nhất của $MA^{2} - 2MB^{2}$ bằng:
- A.
  $398$
- B.
  $379$
- C.
  $397$
- D.
  $489$
Hình vẽ minh họa

Xét $N$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB} = 0$ thế thì

$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{ON} - 2\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{ON} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{ON} = 2\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

hay $N(13; - 11;19)$ .

Ta có

$MA^{2} - 2MB^{2}$ = $= {\overrightarrow{MA}}^{2} - 2{\overrightarrow{MB}}^{2}$

$= (\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NA})^{2} - 2(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NB})^{2}$

$= - {\overrightarrow{MN}}^{2} + {\overrightarrow{NA}}^{2} - 2\overrightarrow{NB}\ ^{2} + 2\overrightarrow{MN}(\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB})$

$= - MN^{2} + NA^{2} - 2NB^{2}(\ \text{do~}\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB} = 0)$

$\leq - HN^{2} + NA^{2} - 2NB^{2}(H\ \text{là\ hình\ chiếu\ của~}N\ \text{lên~}(\alpha))$

$= - d^{2}\lbrack N,(\alpha)brack + NA^{2} - 2NB^{2} = 397$

Dấu " $=$ " xảy ra khi $M$ là hình chiếu của $N$ lên $(\alpha)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;3; - 1),B(3; - 1;5)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}$ ?
- A.
  $M\left( \frac{5}{3};\frac{13}{3};1 ight)$
- B.
  $M\left( \frac{7}{3};\frac{1}{3};3 ight)$
- C.
  $M\left( \frac{7}{3};\frac{1}{3};3 ight)$
- D.
  $M(4; - 3;8)$
Ta có: $\overrightarrow{MA} =3\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} - 3x_{B}}{1 - 3} = 4 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} - 3y_{B}}{1 - 3} = - 3 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} - 3z_{B}}{1 - 3} = 8 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(4; - 3;8)$

79 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!