Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ \overrightarrow{a} = (2;3;1),\overrightarrow{b} = ( - 1;5;2),\overrightarrow{c} = (4; - 1;3),\overrightarrow{x} = ( - 3;22;5). Đẳng thức nào dưới đây đúng?

    Đặt \overrightarrow{x} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c};\left( m;n;p\mathbb{\in R} ight)

    \Rightarrow ( - 3;22;5) = m(2;3;1) + n( - 1;5;2) + p(4; - 1;3)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m - m + 4p = - 3 \\ 3m + 5m - p = 22 \\ m + 2m + 3p = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ n = 3 \\ p = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy \overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} là đẳng thức đúng.

  • Câu 2: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 1} và hai điểm A( - 1;3;1),B(0;2; - 1). Gọi C(m;n;p) là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2\sqrt{2}. Giá trị của tổng m + n + p bằng:

    Phương trình tham số của đường thẳng \left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = t \\ x = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Vì C thuộc d nên tọa độ của C có dạng C( - 1 + 2t;t;2 - t)

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (2t;t - 3;1 - t) \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3t - 7; - 3t - 1;3t - 3)

    Diện tích tam giác ABC là

    S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = \frac{1}{2}\sqrt{(3t - 7)^{2} + ( - 3t - 1)^{2} + (3t - 3)^{2}}

    Theo bài ra ta có

    S_{\Delta ABC} = 2\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt{27t^{2} - 54t + 59} = 2\sqrt{2}

    \Leftrightarrow 27t^{2} - 54t + 59 = 32 \Leftrightarrow (t - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 1

    Với t = 1 thì C (1; 1; 1) nên m = 1;n = 1;p = 1

    Vậy giá trị của tổng m + n + p = 3

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1;2;3),B( - 1;2;1),C(3; - 1; - 2). Tính tích vô hướng của \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2;0; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (2; - 3; - 5) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 6

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Ta có: \left| \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight| = \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|.sin\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight)

    Vậy khẳng định sai là: \left|\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight|= \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v}ight|.\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}ight).

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0}. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{CD}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}

    = \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)

    = \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos60^{0} - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC}ight|.\cos60^{0}

    Mà AC = AD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0 \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ight) = 90^{0}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} (G là trọng tâm của tứ diện). Gọi G_{0} là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Vì G_{0} là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD) suy ra G_{0} là trọng tâm tam giác BCD suy ra \overrightarrow{G_{0}B} + \overrightarrow{G_{0}C} + \overrightarrow{G_{0}D} = \overrightarrow{0}

    Theo bài ra ta có: \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GG_{0}} + \overrightarrow{G_{0}B} + \overrightarrow{G_{0}C} + \overrightarrow{G_{0}D} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GG_{0}} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} = 3\overrightarrow{G_{0}G}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;1;1) và hai mặt phẳng (Q):y = 0,(P):2x - y + 3z - 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, vuông góc với cả hai mặt phẳng (Q),(P)?

    Gọi \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{p} = (2; - 1;3) \\ \overrightarrow{q} = (0;1;0) \\ \end{matrix} ight. lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

    Khi đó mặt phẳng (R) nhận vectơ \overrightarrow{\omega} = - \left\lbrack \overrightarrow{p};\overrightarrow{q} ightbrack = (3;0; - 2) làm một vectơ pháp tuyến.

    Do đó (R) có phương trình 3x - 2z - 1 = 0.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng: ({d_1}):\frac{{x - 3}}{{ - 7}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3},({d_2}):\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 9}}{{ - 1}}

    và mặt phẳng (\alpha ):x + y + z + 3 = 0 .

    Hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1})  lên mặt phẳng (\alpha ) có phương trình tổng quát:

    Vectơ chỉ phương của ({d_1}):\overrightarrow a = ( - 7,2,3). Vectơ chỉ phương của ({d_2}):\overrightarrow b = (1,2, - 1).

    Phương trình của mặt phẳng chứa ({d_2}) và có phương của ({d_1})có dạng: 

    2x + y + 4z + D = 0

    Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này 

    => D = -53

    Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng (\alpha ) là hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1}) lên (\alpha ): \left\{ \begin{array}{l}2x + y + 4z - 53 = 0\\x + y + z + 3 = 0\end{array} ight.

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của d?

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = ( - 1;1;1) và đi qua điểm M(2;1;0). Do đó phương trình chính tắc của d là: \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}

  • Câu 10: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;1),B(0;1;2),C( - 2;1;4) và mặt phẳng (P):x - y + z + 2 = 0. Tìm điểm N \in (P) sao cho S = 2NA^{2} + NB^{2} + NC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;1),B(0;1;2),C( - 2;1;4) và mặt phẳng (P):x - y + z + 2 = 0. Tìm điểm N \in (P) sao cho S = 2NA^{2} + NB^{2} + NC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 11: Nhận biết

    Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua hai điểm: A\left( { - 1,3, - 2} ight);B\left( {2, - 3,4} ight)

     Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên VTCP của đường thẳng d chính là \overrightarrow {AB} hay ta có: \overrightarrow {AB} = \left( {3, - 6,6} ight) = 3\left( {1, - 2,2} ight) = - 3\left( { - 1,2, - 2} ight)

    \begin{array}{l} \Rightarrow \left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 1\\y = 3 - 6t\\z = 6t - 2\end{array} ight.\,\,;t \in \mathbb{R},\,\\hay\,\,\left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + m\\y = - 3 - 2m\\z = 4 + 2m\end{array} ight.\,\,;m \in \mathbb{R}\\\hay\,\,\left( d ight)\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \tan t\\y = 3 + 2\tan t\\z = - 2 - 2\tan t\end{array} ight.\,\,;t \in\mathbb{R}\end{array}

     

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho tứ diện OABC, có OA,OB,OC đôi một vuông góc, M là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) lần lượt là a,b,c. Tính độ dài đoạn OA,OB,OC sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất.

    Xét hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A thuộc tia Ox; B thuộc tia Oy và C thuộc tia Oz.

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix} d\left( M;(OBC) ight) = a \\ d\left( M;(OCA) ight) = b \\ d\left( M;(OAB) ight) = c \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(a;b;c)

    (ABC):\frac{x}{OA} + \frac{y}{OB} + \frac{z}{OC} = 1

    Ta có: M(a;b;c) \in (ABC) \Rightarrow 1 = \frac{a}{OA} + \frac{b}{OB} + \frac{c}{OC} \geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{OA.OB.OC}}

    \Rightarrow \frac{27abc}{OA.OB.OC} \leq1 \Rightarrow \dfrac{9abc}{\dfrac{1}{6}.OA.OB.OC} \leq 2

    \Rightarrow \frac{9abc}{V_{OABC}} \leq 2 \Rightarrow V_{OABC} = \frac{9abc}{2}

    Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi \left\{ \begin{matrix} \frac{a}{OA} = \frac{b}{OB} = \frac{c}{OC} \\ \frac{a}{OA} + \frac{b}{OB} + \frac{c}{OC} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} OA = 3a \\ OB = 3b \\ OC = 3c \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có AB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight|?

    Vì các vectơ \frac{\overrightarrow{AB}}{AB};\frac{\overrightarrow{AC}}{AC};\frac{\overrightarrow{AD}}{AD} có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên

    \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight)^{2} = 3 \Leftrightarrow T = \left| \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight| = \sqrt{3}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách giữa đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 4}{3} và trục Ox.

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (2; - 4;3) và đi qua điểm M(1; - 2;4)

    Trục Ox có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0) và đi qua điểm N(1;0;0)

    Khoảng cách giữa đường thẳng d và trục Ox là:

    d(d;Ox) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack.\overrightarrow{MN} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack ight|} = \frac{\left| (0;3;4).(0;2; - 4) ight|}{\left| (0;3;4) ight|} = 2

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, khoảng cách từ A( - 2;1; - 6) đến mặt phẳng (Oxy) là

    Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy):z = 0 là:

    d\left( A;(Oxy) ight) = \frac{| - 6|}{\sqrt{1}} = 6

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC, biết \overrightarrow {AB} = \left( { - 3, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2, - 6,6} ight).

    Diện tích tam giác ABC bằng?

    Áp dụng công thức {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } ight]} ight|,

    ta có \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } ight]} ight| = (0;20;20)

    Suy ra {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}} = \frac{1}{2}.20\sqrt 2 = 10\sqrt 2.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hai điểmA\left( {1, - 4,5} ight),B\left( { - 2,3, - 4} ight) và vectơ \overrightarrow a = \left( {2, - 3, - 1} ight). Mặt phẳng chứa hai điểm A, B và song song với vectơ \vec{a} có phương trình:

    Theo đề bài, ta có: A\left( {1, - 4,5} ight);B\left( { - 2,3, - 4} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 3,7, - 9} ight);\overrightarrow a = \left( {2, - 3, - 1} ight)

    Như vậy, \vec{AB} và \vec{a} sẽ là cặp vectơ chỉ phương của (\beta)

    \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } ight] = \left( { - 34, - 21, - 5} ight) =\vec{n}

    Chọn \overrightarrow n = \left( {34,21,5} ight) làm vectơ pháp tuyến của  (\beta)

    Phương trình mặt phẳng (\beta) có dạng 34x + 21y + 5z + D = 0

    Mặt khác, vì điểm A \in (\beta) nên thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (\beta)  được: 34 - 84 + 25 + D = 0 \Leftrightarrow D = 25

    Vậy (\beta) có phương trình là: 34x + 21y + 5z + 25 = 0

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC có A\left( {1,2, - 3} ight);\,\,B\left( {2, - 1,4} ight);\,\,\,C\left( {3, - 2,5} ight).

    Viết phương trình chính tắc của cạnh AB.

    (AB) là đường thẳng đi qua A và B nên có 1 vecto chỉ phương:  \overrightarrow {AB} = \left( {1, - 3,7} ight)

    (AB) đi qua A (1, 2, -3) và nhận vecto \overrightarrow {AB} = \left( {1, - 3,7} ight) làm 1 VTCP có phương trình chính tắc là:

     \begin{array}{l}AB:x - 1 = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{7}\\ \Leftrightarrow {m{ }}x - 2 = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{{z - 4}}{7}\\ \Leftrightarrow \,\,x - 1 = \frac{{2 - y}}{3} = \frac{{z + 3}}{7}\end{array}

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hai điểm A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight) và mặt phẳng \left( \beta ight):3x - 2y + z + 9 = 0. Mặt phẳng (\alpha) chứa hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (\beta) có phương trình:

    Theo đề bài, ta có: A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight) ; \left( \beta ight):3x - 2y + z + 9 = 0.

    Suy ra \overrightarrow {AB} = \left( {3, - 5, - 2} ight); (\beta) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow n = \left( {3, - 2,1} ight)

    Ta có \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } ight] = \left( { - 9, - 9,9} ight) cùng phương với vectơ \overrightarrow p = \left( {1,1, - 1} ight)

    Chọn \vec{p} làm 1 vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng (\alpha) .

    Phương trình mặt phẳng (\alpha) có dạng: x + y - z + D = 0

    A \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow - 2 + 3 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2

    Mặt phẳng :(\alpha): x + y - z - 2 = 0

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (1;2;1);\overrightarrow{b} = ( - 1;3;0). Vectơ \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} có tọa độ là:

    Ta có: 2\overrightarrow{a} = (2;4;2). Khi đó \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left( 2 + ( - 1);4 + 3;2 + 0 ight) = (1;7;2)

    Vậy \overrightarrow{c} = (1;7;2)

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 76 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập