Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Giả sử mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

+) Ta có:  

.

Vì hình chóp OABC là hình chóp đều, suy ra

Nên ta có (do (P) không đi qua gốc tọa độ nên )

+) Vì điểm nên suy ra:

Nhận thấy nếu thì , trường hợp này không thỏa mãn do  

Như vậy ta sẽ có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán lần lượt ứng với các trường hợp và

Vậy  suy ra .

Giả sử điểm ta có là hình bình hành nên

. Vậy tọa độ điểm .

Xét hệ phương trình

. Đặt ta suy ra .

Từ đó ta thu được phương trình đường thẳng:

Xét điểm , ta thấy chỉ thuộc đường thẳng:

Thay tọa độ điểm M và N vào vế trái phương trình mặt phẳng (P), ta có nên hai điểm M, N nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P).

Khi đó ta có và đẳng thức xảy ra khi

Phương trình tham số của đường thẳng MN là

Tọa độ giao điểm của MN và (P) là nghiệm hệ phương trình

Vậy

Ta có:

Lại có:

Vì ba điểm A; B; M thẳng hàng nên cùng phương

Vậy đáp án cần tìm là .

Ta có D thuộc tia nên với .

Tính

Mặt phẳng : có vectơ pháp tuyến và đi qua điểm .

Ta có

Vậy .

Vectơ chỉ phương của Vectơ chỉ phương của

Phương trình của mặt phẳng chứa và có phương của có dạng: 

Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này 

=> D = -53

Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng là hình chiếu của theo phương của lên :

Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng: đúng với mọi điểm nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng.

Gọi là đường thẳng cần tìm.

Ta có nên có vectơ chỉ phương là .

Do đó .

Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : .

Vì suy ra . Ta có:

Theo bài ra:

Vậy nhỏ nhất bằng khi . Hay

Hình vẽ minh họa

Giả sử điểm

Gọi

Suy ra . Vì là hình hộp nên

Nhận thấy đều thuộc (α) và (β) nên chúng cũng thuộc đường thẳng .

Ta có là một vectơ chỉ phương của .

Khi đó phương trình tham số của là: .

Gọi lần lượt là vectơ chỉ phương của d₁ và d₂ ta chọn

Giả sử M₁ ∈ d₁ và M₂ ∈ d₂, ta chọn suy ra

Khi đó và . Do đó (d₁) và (d₂) chéo nhau.

Ta có: thỏa mãn biểu thức (với duy nhất) của định lí về các vectơ đồng phẳng.

Vậy đáp án đúng là: “Nếu thì bốn điểm đồng phẳng.”

Ta có:

Theo bài ra ta có: suy ra tọa độ .

Ta có: là trọng tâm tam giác nên

Mặt phẳng có phương trình .

ngắn nhất khi và chỉ khi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng . Khi đó, ta có:

.

Do nên mặt phẳng có phương trình

Do đi qua các điểm nên ta có hệ:

Vậy .

Vì mặt phẳng (P) vuông góc với Ox nên có một vectơ pháp tuyến là vectơ .

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là

.