Cho hình lập phương
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Vì (
là hình chữ nhật) nên
(
là hình vuông)
Cho hình lập phương
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Vì (
là hình chữ nhật) nên
(
là hình vuông)
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Điểm
nằm trên đường thẳng
thì điểm M có dạng nào sau đây?
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
nên đường thẳng
có phương trình tham số là
Điểm nằm trên đường thẳng
nên điểm
có dạng
Trong không gian với hệ tọa độ
cho ba điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho tam giác ABC có
. Phương trình tổng quát của đường cao AH.
Theo đề bài, ta tính được:
Mp (ABC) có 2 VTCP là nên vecto pháp tuyến của (ABC) chính là tích có hướng của 2 VTCP trên. Ta có:
Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên ta có .
Mặt khác nên ta viết được vecto chỉ phương của đường thẳng AH là tích có hướng của 2 vecto pháp tuyến
Từ đây, ta có phương trình chính tắc của
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
, phương trình mặt phẳng
qua điểm
và cắt ba tia
lần lượt tại
sao cho
nhỏ nhất. Tính
.
Mặt phẳng cắt ba trục tọa độ lần lượt tại
với
.
Do đi qua điểm
nên:
Mà OA + OB + OC = a + b + c nên OA + OB + OC nhỏ nhất khi a + b + c nhỏ nhất và bằng 36.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và hai điểm
. Tìm điểm
thuộc
sao cho
vuông tại
.
Điểm thuộc đường thẳng
nên
.
Ta có và
.
Tam giác vuông tại
khi và chỉ khi
Khi đó tọa độ điểm .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Cho bốn điểm
và
. Câu nào sau đây đúng? ABDC là:
Ta có
Do đó cùng phương
ABDC là hình thang.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:

Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).
Ta có: nằm về hai phía với (P).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) BH cố định và
.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay .
Ta có: bé nhất bằng BH khi K trùng với điểm H.
Gọi là VTPT của (ABH)
Ta có đường thẳng d cần lập qua A, H và có VTCP là
Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
, mặt phẳng
chứa trục
và đi qua điểm
. Tìm tham số m để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau?
Ta có
Mặt phẳng chứa trục
và đi qua điểm
⇒ (Q) có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến
Để hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau thì
Cho hình lăng trụ tam giác
có
. Hãy phân tích vectơ
theo các vectơ
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c)
. Sai||Đúng
d) Tứ giác
là hình bình hành khi
. Đúng||Sai
Trong không gian , cho hai điểm
và
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) . Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) . Sai||Đúng
d) Tứ giác là hình bình hành khi
. Đúng||Sai
a) Đúng
.
b) Sai
.
c) Sai
.
d) Đúng
Ta có: ,
là hình bình hành
Trong không gian với hệ tọa độ
cho ba điểm
và
là trực tâm tam giác
. Tính
?
Ta có:
Lại có:
Trong không gian
, hãy viết phương trình của mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với đường thẳng
.
Mặt phẳng (P) đi qua điểm và có một véc-tơ pháp tuyến là
nên có phương là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
,cho mặt phẳng
và điểm
. Gọi
là điểm thuộc tia
, gọi
là hình chiếu của
lên
. Biết rằng tam giác
cân tại
. Diện tích của tam giác
bằng:
Gọi
Đường thẳng AB qua A và vuông góc với (α) nên có phương trình
B là hình chiếu của A lên (α) nên tọa độ B thỏa mãn hệ
Suy ra
Tam giác MAB cân tại M nên
Nếu a = 3 thì tọa độ . Diện tích tam giác MAB là
Nếu a = −3 thì tọa độ A (0; 0; −3) và B (0; 0; −3) trùng nhau nên không thỏa mãn.
Vậy diện tích của tam giác bằng:
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
Trong không gian
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và có véc-tơ chỉ phương là
. Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng
?
Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình .
Trong không gian
, đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là:
Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng
có một vectơ chỉ phương là
nên có phương trình là
.
Tích vô hướng của 2 vectơ
trong không gian được tính bằng:
Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vecto, ta có: .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Một mặt phẳng
đi qua hai điểm
và vuông góc với
có dạng
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Vì (Q) vuông góc với (P) nên (Q) nhận véc-tơ pháp tuyến làm véc-tơ chỉ phương.
Mặt khác do (Q) đi qua hai điểm A, B nên nhận làm véc-tơ chỉ phương.
Vậy (Q) có véc-tơ pháp tuyến là
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là:
Vậy .