Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x - 2z - 6 = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ cắt đồng thời vuông góc với $d$ ?
- A.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 2}{1}$
- B.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
- C.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
- D.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$
Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x - 2z - 6 = 0 \\ x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(2;4; - 2)$

Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$ , đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;1; - 1)$

Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1)$

Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1)$ nên có phương trình chính tắc: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
Câu 2: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}$ . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d$ và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là $ax + by + cz + 9 = 0$ . Tính tổng $a + b + c$
- A.
  $T = 9$
- B.
  $T = 5$
- C.
  $T = 3$
- D.
  $T = 4$
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)$

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

Phương trình tham số của $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

Khi đó $\left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}$

Lại có: $\cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}$

Vậy $\widehat{NMH}$ lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

Vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)$

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)$

Phương trình mặt phẳng (P) là $1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0$

Vậy $a + b + c = 4$
Câu 3: Vận dụng

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a$ . Trên hai tia $Bt,Ds$ vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng $(ABCD)$ lần lượt lấy hai điểm $E;F$ sao cho $BE = \frac{a}{2};DF = a$ . Tính góc $\varphi$ giữa hai mặt phẳng $(AEF);(CEF)$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a$ . Trên hai tia $Bt,Ds$ vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng $(ABCD)$ lần lượt lấy hai điểm $E;F$ sao cho $BE = \frac{a}{2};DF = a$ . Tính góc $\varphi$ giữa hai mặt phẳng $(AEF);(CEF)$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $M(1; - 1;2),N(3;1; - 4)$ . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của $MN$ .
- A.
  $x + y + 3z + 5 = 0$
- B.
  $x + y - 3z - 5 = 0$
- C.
  $x + y + 3z + 1 = 0$
- D.
  $x + y - 3z + 5 = 0$
Mặt phẳng trung trực $MN$ nhận $\frac{1}{2}\overrightarrow{MN} = (1;1; - 3)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm $I(2;0; - 1)$ của $MN$ nên ta có phương trình mặt phẳng $MN$ là: $x + y - 3z - 5 = 0$ .
Câu 5: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + y + z - 9 = 0$ . Hỏi có bao nhiêu điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ với $a,b,c$ là các số nguyên không âm.
- A.
  $55$
- B.
  $45$
- C.
  $50$
- D.
  $60$
Ta có $(P):x + y + z - 9 = 0 \Rightarrow \frac{x}{9} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1$ nên mặt phẳng $(P)$ đi qua các điểm $A(9; 0; 0), B(0; 9; 0), C(0; 0; 9).$

Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.

Tam giác ABC đều có các cạnh bằng $9\sqrt{2}$ , chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.

Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng $1\ + \ 2\ + \ ...\ + \ 10\ = \ 55$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ (khác $O$ ). Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ sao cho $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$ .
- A.
  $(P):6x + 3y - 2z - 6 = 0$
- B.
  $(P):x + 2y + 3z - 14 = 0$
- C.
  $(P):x + 2y + 3z - 11 = 0$
- D.
  $(P):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 3$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ OA\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot OM$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BM\bot AC \\ OB\bot AC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot OM$

Vậy $OM\bot(ABC)$ nên $(P)$ nhận $\overrightarrow{OM} = (1;2;3)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do $(P)$ đi qua $M(1;2;3)$ nên $(P):x - 1 + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0$
Câu 7: Vận dụng cao
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A(1;4;5), B(3;4;0), C(2;-1;0)$ và mặt phẳng $(P): 3x-3y-2z-12=0$ . Gọi $M(a; b; c)$ thuộc $(P)$ sao cho $MA^2+MB^2+3MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $a+b+c$ .
- A. 3
- B. 2
- C. - 2
- D. - 3
Giả sử $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\vec{0}$ .
Khi đó $\overrightarrow{IA}(1-x;4-y;5-z)$ , $\overrightarrow{IB}(3-x;4-y;-z)$ , $\overrightarrow{IC}(2-x;-1-y;-z)$ ;
$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=(10-5x;5-5y;5-5z);$ ;
$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 \\ y=1 \\ z=1 \end{matrix}ight. \Rightarrow I (2;1;1)$ ;
$MA^2+MB^2+3MC^2 = \overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MB}^2+3\overrightarrow{MC}^2$
$= (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2+3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})^2$
$=5MI^2+2\vec{MI}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC})+IA^2+IB^2+IC^2$
$=5MI^2+IA^2+IB^2+IC^2$ (vì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\vec{0}$ )
Vì I cố định nên $MA^2+MB^2+3MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu vuông góc của I lên $(P)$ .
Gọi $\triangle$ là đường thẳng qua I và vuông góc với $(P)$
Phương trình đường thẳng $\triangle:\left\{\begin{matrix} x=2+3t \\ y=1-3t \\ z=1-2t \end{matrix}ight.$ .
Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x=2+3t \\ 1-3t \\ z=1-2t \\3x-3y-2z-12=0 \end{matrix}ight. \Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} t=\dfrac{1}{2} \\ x=\dfrac{7}{2} \\ y=\dfrac{-1}{2} \\ z=0\end{matrix}ight.$
$\Rightarrow M(\frac{7}{2};\frac{-1}{2};0) \Rightarrow a+b+c=3$ .
Câu 8: Thông hiểu

Cho hai mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 3 = 0$ và $(Q):x + my + z - 1 = 0$ . Tìm tham số $m$ để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau.

Đáp án: 4

Đáp án là:

Cho hai mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 3 = 0$ và $(Q):x + my + z - 1 = 0$ . Tìm tham số $m$ để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau.

Đáp án: 4

Ta có: $\overrightarrow{n_{P}} = (2; -1;2);\overrightarrow{n_{Q}} = (1;m;1)$

Để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau thì $\overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{n_{Q}}$ .

$\Leftrightarrow 2.1 - 1.m + 2.1 = 0 \Leftrightarrow m = 4.$
Câu 9: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2)$ . Có tất cả bao nhiêu điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $M eq A,M eq B,M eq C$ và $\widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2)$ . Có tất cả bao nhiêu điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $M eq A,M eq B,M eq C$ và $\widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian toạ độ $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
- A.
  $2x + 3y + z - 12 = 0$ .
- B.
  $x^{2} + y - z + - 7 = 0$ .
- C.
  $x - y^{2} + 3z - 6 = 0$ .
- D.
  $x + y + z^{2} - 7 = 0$ .
PTTQ của mặt phẳng có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ , với $A^{2} + B^{2} + C^{2} eq 0$ nên ta chọn $2x + 3y + z - 12 = 0$ .
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1; - 2;3);\overrightarrow{v} = ( - 1;2;0)$ . Vectơ $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ có tọa độ là:
- A.
  $(0;0; - 3)$
- B.
  $(0;0;3)$
- C.
  $( - 2;4; - 3)$
- D.
  $(2; - 4;3)$
Ta có: $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \left( 1 + ( - 1); - 2 + 2;3 + 0 ight) = (0;0;3)$

Vậy đáp án cần tìm là $(0;0;3)$
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , đường thẳng $d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 3}{- 5}$ đi qua điểm nào sau đây?
- A.
  $( - 1;2; - 3)$
- B.
  $(1; - 2;3)$
- C.
  $( - 3;4;5)$
- D.
  $(3; - 4; - 5)$
Thay tọa độ điểm $(1; - 2;3)$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\frac{0}{3} = \frac{0}{- 4} = \frac{0}{- 5}$ , do đó điểm này thuộc đường thẳng $d$ .
Câu 13: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{- 1}$ và hai điểm $A(1;\ 2; - 1),B(3; - 1; - 5)$ . Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ và cắt đường thẳng $\Delta$ sao cho khoảng cách từ điểm $B$ đến đường thẳng $d$ là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $d$ là:
- A.
  $\frac{x - 3}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 5}{- 1}$
- B.
  $\frac{x}{- 1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z}{4}$
- C.
  $\frac{x + 2}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$
- D.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z + 1}{- 5}$
Gọi $I = \Delta \cap d$ . Khi đó $I( - 1 + 2t;3t; - 1 - t)$

Ta có $\overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4),\overrightarrow{AI} = (2t - 2;3t - 2; - t)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AI} ightbrack = (8 - 15t;6t - 8;10 - 12t)$

Khoảng cách từ B đến d được tính như sau:

$d(B;d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AI} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{AI} ight|} = \sqrt{\frac{405t^{2} - 576t + 228}{14t^{2} - 20t + 8}}$

Xét hàm số $f(t) = \frac{405t^{2} - 576t + 228}{14t^{2} - 20t + 8}$ ta có:

$f'(t) = \dfrac{- 36t^{2} + 96t -48}{\left( 14t^{2} - 20t + 8 ight)^{2}} \Rightarrow f'(t) =\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = \dfrac{2}{3} \\t = 2 \\\end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $d(B;d)$ nhỏ nhất khi $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $27$ tại $t = \frac{2}{3}$

Suy ra $\overrightarrow{AI} = \left( \frac{1}{3};2; - \frac{5}{3} ight)$

Khi đó vectơ $\overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{AI} = (1;6; - 5)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z + 1}{- 5}$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , khoảng cách từ điểm $M(2; - 4; - 1)$ tới đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ bằng:
- A.
  $\sqrt{14}$
- B.
  $\sqrt{6}$
- C.
  $2\sqrt{14}$
- D.
  $2\sqrt{6}$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $N(0;2;3)$ , có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1;2)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 2;6;4)$ và $\left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack = (16;8; - 4)$ .

Vậy khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là:

$d(M;\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{336}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{14}$
Câu 15: Thông hiểu

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Gọi $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của $A'D'$ và $C'D'$ Tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} = na^{2}$ ( $n$ là số thập phân). Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án: -0,5||- 0,5

Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Gọi $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của $A'D'$ và $C'D'$ Tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} = na^{2}$ ( $n$ là số thập phân). Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án: -0,5||- 0,5

Hình vẽ minh họa

Vì $MN//A'C'$ nên $\left( \overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{C'B} ight) = \left( \overrightarrow{A'C'},\ \overrightarrow{C'B} ight) = 180^{0} - \widehat{A'C'B} = 120^{0}$

Ta có: $MN = \frac{a\sqrt{2}}{2},\ C'B = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} = |\overrightarrow{MN}|.\left| \overrightarrow{C'B} ight|.cos\left( \overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{C'B} ight)$

$= \frac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}.cos120^{0} = - 0,5a^{2}$

Vậy $n = - 0,5.$
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2;2;1)$ . Tính độ dài đoạn thẳng $OA$ ?
- A.
  $OA = \sqrt{5}$
- B.
  $OA = 5$
- C.
  $OA = 3$
- D.
  $OA = 9$
Ta có: $\overrightarrow{OA} = (2;2;1) \Rightarrow OA = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = 3$
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 3 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của $d$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u} = (2;0; - 3)$
- B.
  $\overrightarrow{u} = (2; - 3;5)$
- C.
  $\overrightarrow{u} = (2;3; - 5)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = (2;0;5)$
Ta có: $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 3 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u} = (2; - 3;5)$
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ có điểm $A(4;2;1),B( - 2; - 1;4)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}$ ?
- A.
  $M(0;0;3)$
- B.
  $M(0;0; - 3)$
- C.
  $M( - 8; - 4;7)$
- D.
  $M(8;4; - 7)$
Ta có: $M(x;y;z)$ . Khi đó $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}$

$\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 4 = 2( - 2 - x) \\ y - 2 = 2( - 1 - y) \\ z - 1 = 2(4 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(0;0;3)$

Vậy giá trị cần tìm là $M(0;0;3)$ .
Câu 19: Thông hiểu
Cho tứ diện đều $ABCD$ , $M$ là trung điểm cạnh $BC$ . Khi đó $\cos(AB;DM)$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{6}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Giả sử cạnh tứ diện bằng a

Tam giác BCD đều suy ra $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ABC đều suy ra $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{\left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{DM} ight|} =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$

Mặt khác $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AD} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$

$= \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AM} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} ight) - \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight)$

$= a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{a^{2}}{4}$

$\Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = \frac{\sqrt{3}}{6} > 0$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = (AB;DM)$

$\Rightarrow \cos(AB;DM) = \frac{\sqrt{3}}{6}$
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2;3),B(2; - 1;5),C(3;2; - 1)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D(2;6;8)$
- B.
  $D(0;0;8)$
- C.
  $D(2;6; - 4)$
- D.
  $D(4; - 2;4)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 3 - 2 \\ y - 3 = 2 + 1 \\ z - 2 = - 1 - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 6 \\ z = - 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(2;6; - 4)$ .

44 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!