Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ . Đặt $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{B'C}$ qua các vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ . Chọn đáp án đúng?
- A.
  $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
- C.
  $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AA'}$

$= - \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .
Câu 2: Vận dụng

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( a;b;\frac{c}{d} ight)$ , trong đó $a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d}$ là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính $a + b + c + d$ ?

Đáp án: 1223

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( a;b;\frac{c}{d} ight)$ , trong đó $a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d}$ là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính $a + b + c + d$ ?

Đáp án: 1223

Gọi $Q(x;y;z)$ là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.

$\overrightarrow{MN} = (300;100;2)$

$\overrightarrow{NQ} = (x - 800;y - 300;z - 10)$

Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ $M ightarrow N$ gấp 4 lần thời gian bay từ $N ightarrow Q$ nên $MN = 4NQ$

Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NQ}$ cùng hướng.

Suy ra $\overrightarrow{MN} = 4\overrightarrow{NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 300 = 4(x - 800) \\ 100 = 4(y - 300) \\ 2 = 4(z - 10) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 875 \\ y = 325 \\ z = 10,5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow Q\left( 875;325;\frac{21}{2} ight)$

Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( 875;325;\frac{21}{2} ight) \Rightarrow a = 875,\ \ b = 325,\ \ c = 21,\ \ d = 2$ .

Do đó, $a + b + c + d = 1223.$
Câu 3: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng cắt nhau $\Delta_{1}:\frac{x +1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{3},$ $\Delta_{2}:\frac{x + 1}{1} =\frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 3}$ . Trong mặt phẳng $\left( \Delta_{1};\Delta_{2} ight)$ , hãy viết phương trình đường phân giác $d$ của góc nhọn tạo bởi $\Delta_{1};\Delta_{2}$
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = 2 \\ z = - 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = 2 - 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Hai đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có các vectơ chỉ phương tương ứng là $\overrightarrow{u_{1}} = (1;2;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;2; - 3)$

Ta có $\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = - 4 < 0$ , suy ra góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u_{1}}$ và $\overrightarrow{u_{2}}$ là góc tù.

Lại có $\left| \overrightarrow{u_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{u_{2}} ight|$

Kết hợp hai điều này, ta suy ra d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{u_{1}} - \overrightarrow{u_{2}} = (0;0;6) = 6(0;0;1)$

Tóm lại, đường thẳng cần tìm đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (0;0;1)$

Vậy phương trình đường thẳng d là: $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Câu 4: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1)$ . Số điểm cách đều bốn mặt phẳng $(ABC),(BCO),(COA),(OAB)$ là
- A.
  $2$
- B.
  $4$
- C.
  $1$
- D.
  $8$
Gọi $I(m; n; p)$ là điểm cách đều bốn mặt phẳng đã cho.

Dễ thấy các mặt phẳng $(OAB), (OBC), (OCA)$ lần lượt là các mặt phẳng $(Oxy), (Oyz), (Ozx)$ .

Mặt phẳng (ABC) có phương trình tổng quát là $x + y + z = 1$ .

Do I cách đều các mặt phẳng này nên ta có:

$|m| = |n| = |p| = \frac{|m + n + p - 1|}{\sqrt{3}}\ \ \ (1)$

Ta có các trường hợp

Trường hợp 1. $m = n = p$ . Khi đó (1) tương đương:

$|m| = \frac{|3m - 1|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow m = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{6}$

Ta được hai điểm thỏa mãn bài toán.

Trường hợp 2. Trong ba số $m, n, p$ có hai số bằng nhau và bằng số đối của số còn lại.

Khi đó, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $m = n = − p$ (các trường hợp còn lại tương tự) và (1) tương đương:

$|m| = \frac{|m - 1|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow m = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Ta được hai điểm thỏa mãn bài toán.

Vậy số điểm cách đều bốn mặt phẳng đã cho là $2 + 2.3 = 8$ .
Câu 5: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Đặt $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
- A.
  $\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left( - 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} ight)$
Hình vẽ minh họa

Vì M là trung điểm của BC nên suy ra $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

Ta có: $\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

$= \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} ight) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} ight)$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(2; - 4;1)$ và chắn trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ theo ba đoạn có độ dài đại số lần lượt là $a;b;c$ . Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$ khi $a;b;c$ theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng $2$ là:
- A.
  $4x + 2y - z - 1 = 0$
- B.
  $4x - 2y + z + 1 = 0$
- C.
  $16x + 4y - 4z - 1 = 0$
- D.
  $4x + 2y + z - 1 = 0$
Do giả thiết suy ra $\left\{ \begin{matrix} a,b,c eq 0\ \\ b = 2a,c = 2b \\ \end{matrix} ight.$ .

Giả sử $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ khi đó phương trình mặt phẳng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

Do M thuộc (P) nên $\frac{2}{a} - \frac{4}{b} + \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{a} - \frac{4}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}$

Suy ra $b = \frac{1}{2};c = 1$ do đó phương trình mặt phẳng $(P):4x + 2y + z - 1 = 0$ .
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(2;1;2)$ , $N(4; 2; 1)$ , tọa độ điểm $P$ thuộc trục $Oz$ sao cho $M;N; P$ thẳng hàng là
- A.
  $P(0;0;3)$ .
- B.
  $P(0;0; - 3)$ .
- C.
  $P(3;0;0)$ .
- D.
  $P(0;3;0)$ .
Vì điểm $P$ thuộc trục $Oz$ nên $P$ có tọa độ $P(0;0;z)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN}(2;1; - 1)$ ; $\overrightarrow{NP}( - 4; - 2;z - 1)$

$M;\ N;\ P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{- 4}{2} = \frac{- 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} \Leftrightarrow z - 1 = 2 \Leftrightarrow z = 3$

Vậy điểm $P(0;0;3)$ .
Câu 8: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , tìm tập hợp các điểm cách đều cặp mặt phẳng sau đây: $4x - y - 2z - 3 = 0;4x - y - 2z - 5 = 0$ .
- A.
  $4x - y - 2z - 6 = 0$
- B.
  $4x - y - 2z - 4 = 0$
- C.
  $4x - y - 2z - 1 = 0$
- D.
  $4x - y - 2z - 2 = 0$
Gọi điểm

$A (0; −3; 0) ∈ 4x − y − 2z − 3 = 0 (α)$

$B (0; −5; 0) ∈ 4x − y − 2z − 5 = 0 (β)$

Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng trên có dạng: $4x − y − 2z + m = 0 (γ).$

Để mp (γ) cách đều hai mp trên thì $d (A; (β)) = 2d (A; (γ)) ⇔ |m + 3| = 1$

$⇔ m = −2$ hoặc $m = −4$

Mặt khác điểm hai điểm A; B phải nằm về hai phía của mp (γ).

Với $m = −2$ ta có $(4 .0 + 3 – 2.0 − 2) (4.0 + 5 – 2.0 − 2) > 0$ nên A; B cùng phía.

Với $m = −4$ ta có $(4 .0 + 3 – 2.0 − 4) (4.0 + 5 – 2.0 − 4) < 0$ nên A; B khác phía.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $4x − y − 2z − 4 = 0 (γ)$ .
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z}{1}$ và điểm $A(2;0;1)$ . Hình chiếu vuông góc của A trên (∆) là điểm nào dưới đây?
- A.
  $Q(2;2;3)$
- B.
  $M( - 1;4; - 4)$
- C.
  $N(0; - 2;1)$
- D.
  $P(1;0;2)$
Đường thẳng (∆) đi qua M(−1; −4; 0), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{(\Delta)}} = (1;\ 2;\ 1)$

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 4 + 2t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.$

Gọi P là hình chiếu vuông góc của A trên (∆).

Khi đó $P \in (\Delta) \Rightarrow P( - 1 + t; - 4 + 2t;t)$

Ta có $\overrightarrow{AP} = ( - 3 + t; - 4 + 2t;t - 1)$ . Vì $\overrightarrow{AP}\bot\overrightarrow{u_{(\Delta)}} \Rightarrow \overrightarrow{AP}.\overrightarrow{u_{(\Delta)}} = 0$ nên

$\Leftrightarrow 1.( - 3 + t) + 2.( - 4 + 2t) + 1.(t - 1) = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow P(1;0;2)$
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;3)$ và $B( - 1;2;3)$ . Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là:
- A.
  $(0;3;6)$
- B.
  $( - 2; - 1;0)$
- C.
  $\left( 0;\frac{3}{2};3 ight)$
- D.
  $(2;1;0)$
Gọi $M\left( x_{M};y_{M};z_{M} ight)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 0 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{3}{2} \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( 0;\dfrac{3}{2};3ight)$

Vậy tọa độ trung điểm của AB là: $\left( 0;\frac{3}{2};3 ight)$ .
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ có điểm $A(4;2;1),B( - 2; - 1;4)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}$ ?
- A.
  $M(0;0;3)$
- B.
  $M(0;0; - 3)$
- C.
  $M( - 8; - 4;7)$
- D.
  $M(8;4; - 7)$
Ta có: $M(x;y;z)$ . Khi đó $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}$

$\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 4 = 2( - 2 - x) \\ y - 2 = 2( - 1 - y) \\ z - 1 = 2(4 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(0;0;3)$

Vậy giá trị cần tìm là $M(0;0;3)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1; - 3;4)$ , đường thẳng $d:\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1}$ và mặt phẳng $(P):2x + z - 2 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $M$ vuông góc với d và song song với $(P)$ .
- A.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- B.
  $\Delta:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- C.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- D.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z + 4}{2}$
Đường thẳng $d:\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1}$ có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (3; - 5; - 1)$ .

Mặt phẳng $(P):2x + z - 2 = 0$ có vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = (2;0;1)$ .

Đường thẳng ∆ vuông góc với $d$ nên vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}$

Đường thẳng ∆ song song với (P) nên $\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}$

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = ( - 5; - 5;10)$

Suy ra vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \frac{- 1}{5}.\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = (1;1; - 2)$

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , vectơ $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 2t \\ z = 3 - 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 4t \\ z = 5 + 6t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = ( - 1; - 2;5)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ . Vậy $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Câu 14: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + y + z - 9 = 0$ . Hỏi có bao nhiêu điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ với $a,b,c$ là các số nguyên không âm.
- A.
  $55$
- B.
  $45$
- C.
  $50$
- D.
  $60$
Ta có $(P):x + y + z - 9 = 0 \Rightarrow \frac{x}{9} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1$ nên mặt phẳng $(P)$ đi qua các điểm $A(9; 0; 0), B(0; 9; 0), C(0; 0; 9).$

Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.

Tam giác ABC đều có các cạnh bằng $9\sqrt{2}$ , chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.

Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng $1\ + \ 2\ + \ ...\ + \ 10\ = \ 55$
Câu 15: Vận dụng cao
Cho điểm P(-3 , 1, -1) và đường thẳng (d): $\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.$
Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:
- A. P'(5, 7, 3)
- B. P' (-5, 7, -3)
- C. P' (5, -7, 3)
- D. P' (-5, -7, 3)
Chuyển (d) về dạng tham số : $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2} + 3t\\y = - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.$
Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: $3x + 4y + 2z + D = 0$ , cho qua P tính được D=7 .
Ta có (Q): $3x + 4y + 2z + 7 = 0$ .
Thế x, y, z theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được $t = \frac{1}{2}$
Giao điểm I của (d) và (Q) là I (1, -3, 1) .
Vì I là trung điểm của PP’ nên $\Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight)$ .
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ , nhận vectơ $\overrightarrow{a}$ làm vectơ chỉ phương và đường thẳng $d'$ đi qua điểm $M'$ , nhận vectơ $\overrightarrow{a'}$ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng $d$ song song với $d'$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M \in d' \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a'} \\ M \in d' \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} eq k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$
Điều kiện để $d//d'$ là: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x + y - 2z + 4 = 0$ . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:
- A.
  $\overrightarrow{n} = (1;1; - 2)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 2;4)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: $\overrightarrow{n} = (1;1; - 2)$ .
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $H(1;2; - 3)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $H$ và cắt các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ tại $A,B,C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ ?
- A.
  $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1$
- B.
  $x + 2y + 3z + 14 = 0$
- C.
  $x + 2y - 3z - 14 = 0$
- D.
  $x + y + z = 0$
Giả sử $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c),abc eq 0$ .

Khi đó: $(\alpha):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Ta có: $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA} = (a - 1; - 2;3) \\ \overrightarrow{HB} = ( - 1;b - 2;3) \\ \overrightarrow{BC} = (0; - b;c) \\ \overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\ \end{matrix} ight.$ vì H là trực tâm của tam giác ABC suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2b + 3c = 0 \\ a + 3c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow a = 2b = - 3c$

Mặt khác $H \in (\alpha) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow \frac{1}{- 3c} + \frac{4}{- 3c} - \frac{3}{c} = 1$

$\Leftrightarrow 14 = - 3c \Leftrightarrow c = \frac{- 14}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 14 \\ b = 7 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $(\alpha):\frac{x}{14} + \frac{y}{7} +\dfrac{z}{- \dfrac{14}{3}} = 1$ hay $(\alpha):x + 2y - 3z - 14 = 0$ .
Câu 19: Nhận biết
Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{BD}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA_{1}}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}$
- B.
  $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}$
- C.
  $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}$
- D.
  $\overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AA_{1}}$
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}$
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = (1;2;1),\overrightarrow{b} = (1;1;2),\overrightarrow{c} = (x;3x;x + 2)$ . Nếu ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng thì:
- A.
  $x = - 1$
- B.
  $x = 1$
- C.
  $x = - 2$
- D.
  $x = 2$
Ta có: $\left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack = (3; - 3;3)$

Ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng

$\Leftrightarrow \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack.\overrightarrow{c} = 0$

$\Leftrightarrow 3x - 3(3x) + 3(x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow x = 2$

24 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!