Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , tìm tất cả giá trị tham số $m$ để đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1}$ song song với mặt phẳng $(P):2x + y - m^{2}z + m = 0$ .
- A.
  $m \in \left\{ - 2;2 ight\}$
- B.
  $m \in \varnothing$
- C.
  $m = - 2$
- D.
  $m = 2$
Ta có:

$d$ qua điểm $M(1; 0; 1)$ và có VTCP là $\overrightarrow{u} = (1;2;1)$

(P) có VTPT là $\overrightarrow{n} = \left( 2;1; - m^{2} ight)$

Vì d // (P) nên $\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2$

Với $m = 2, (P): 2x + y − 4z + 2 = 0 ⇒ M ∈ (P)$ (loại).

Với $m = −2, (P): 2x + y − 4z − 2 = 0$ $\Rightarrow M otin (P)$ (thỏa mãn).
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;1;2)$ . Xác định tích vô hướng $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b}$ ?
- A.
  $12$
- B.
  $2$
- C.
  $11$
- D.
  $10$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1; - 1;5)$ nên $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b} = - 1.( - 2) + ( - 1).1 + 5.2 = 11$
Câu 3: Vận dụng
Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ và $P$ là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{PI} = k.\left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} ight)$ ?
- A.
  $k = 2$
- B.
  $k = \frac{1}{4}$
- C.
  $k = 4$
- D.
  $k = \frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Vì $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ nên ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM} \\ \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = 2\overrightarrow{IN} \\ \end{matrix} ight.$ .

Mặt khác $\overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0}$ (vì I là trung điểm của MN) suy ra $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$

Theo bài ra ta có:

$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD}$

$= 4\overrightarrow{PI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{PI}$

$\Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4}$
Câu 4: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(1;2;1)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho độ dài $OA,OB,OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng $2$ . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ .
- A.
  $\frac{4}{\sqrt{21}}$
- B.
  $\frac{\sqrt{21}}{21}$
- C.
  $\frac{3\sqrt{21}}{7}$
- D.
  $9\sqrt{21}$
Giả sử $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ với $a, b, c > 0$ .

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Ta có $(α)$ đi qua điểm $M(1; 2; 1)$ nên ta có $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ (∗)

Vì $OA, OB, OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên $c = 2b = 4a$ .

Thay vào (∗), ta được $\frac{1}{a} + \frac{2}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{9}{4}$

Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = \frac{9}{4}$ hay $4x + 2y + z - 9 = 0$

$\Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{| - 9|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}$ .
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian cho tứ diện $ABCD$ , gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của $AD;BC$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng.
- B.
  $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN}$ không đồng phẳng.
- C.
  $\overrightarrow{AN};\overrightarrow{CM};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng.
- D.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng.
Hình vẽ minh họa

Vì $M;N$ lần lượt là trung điểm của $AD;BC$ suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight) \\ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} ight) \\ \end{matrix} ight.$

Xét các phương án như sau:

$\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng đúng vì $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight)$

$\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN}$ không đồng phẳng đúng vì MN không nằm trong (ABC)

$\overrightarrow{AN};\overrightarrow{CM};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng sai vì AN không nằm trong (MNC)

$\overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng đúng vì $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} ight)$ .
Câu 6: Vận dụng cao

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm $A(100;50;100)$ và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là $B(50;100;50),C(150;100;100)$ . Máy bay sẽ bay qua điểm $W$ của đường màu $BC$ để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm $W(a;b;c)$ , hãy tính giá trị biểu thức $T = a + b - 2c$ .

Đáp án: 50

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm $A(100;50;100)$ và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là $B(50;100;50),C(150;100;100)$ . Máy bay sẽ bay qua điểm $W$ của đường màu $BC$ để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm $W(a;b;c)$ , hãy tính giá trị biểu thức $T = a + b - 2c$ .

Đáp án: 50

Ta có: $\overrightarrow{BC} = (100;0;50)$

Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP $\overrightarrow{u} = (2;0;1)$ có dạng $(BC):\left\{ \begin{matrix} x = 50 + 2t \\ y = 100 \\ z = 50 + t \\ \end{matrix} ight.$

Điểm $W \in (BC) \Rightarrow W(50 + 2t;100;50 + t)$ và $\overrightarrow{AW} = (2t - 50;50;t - 50)$

Ta có: $\overrightarrow{AW}.\overrightarrow{BC} = 0$

$\Rightarrow 2(2t - 50) + (t - 50) = 0 \Rightarrow t = 30$

Vậy $H(110;100;80) \Rightarrow a + b - 2c = 50.$
Câu 7: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + y + z - 9 = 0$ . Hỏi có bao nhiêu điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ với $a,b,c$ là các số nguyên không âm.
- A.
  $55$
- B.
  $45$
- C.
  $50$
- D.
  $60$
Ta có $(P):x + y + z - 9 = 0 \Rightarrow \frac{x}{9} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1$ nên mặt phẳng $(P)$ đi qua các điểm $A(9; 0; 0), B(0; 9; 0), C(0; 0; 9).$

Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.

Tam giác ABC đều có các cạnh bằng $9\sqrt{2}$ , chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.

Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng $1\ + \ 2\ + \ ...\ + \ 10\ = \ 55$
Câu 8: Thông hiểu
Cho hình chóp $OABC$ có $OA = OB = OC = 1$ , các cạnh $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ . Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OC};\overrightarrow{MA}$ .
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $- 1$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\left( \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} ight)$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OB} = 0 - 0 = 0$

Vậy $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} = 0$
Câu 9: Vận dụng cao
Cho biết có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là $(P_i):x+a_iy+b_iz+c_i=0$ với $(i=1,2,...,n)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và không đi qua gốc tọa độ O , đồng thời cắt các trục tọa độ $Ox, Oy, Oz$ theo thứ tự tại A, B, C sao cho hình chóp OABC là hình chóp đều. Khi đó giá trị $a_1+a_2+...+a_n$ bằng?
- A. 3
- B. 1
- C. - 4
- D. - 1
Giả sử mặt phẳng $(P): x+ay+bz+c=0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán
+) Ta có: $(P)\cap Ox=A(-c;0;0),$
$(P)\cap Oy=B(0;\frac{-c}{a};0),$
$P)\cap Oz=C(0;0;\frac{-c}{b})$ .
Vì hình chóp OABC là hình chóp đều, suy ra $OA=OB=OC$
Nên ta có $\left | -c ight | =\left | \frac{-c}{a} ight |= \left | \frac{-c}{b} ight |$ (do (P) không đi qua gốc tọa độ nên $c eq 0$ )
+) Vì điểm $M(1;2;3)\in P$ nên suy ra: $1+2a+3b+c=0$
Nhận thấy nếu $a=1, b=-1$ thì $c=0$ , trường hợp này không thỏa mãn do $c eq 0$
Như vậy ta sẽ có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán lần lượt ứng với các trường hợp $a=b=1, a=b=-1$ và $a=-1.b=1$
Vậy $a_1=1, a_2=-1. a_3=-1$ suy ra $a_1+a_2+a_3=-1$ .
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $M(0;1;0),N(2;0;0),P(0;0; - 3)$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng $(MNP)$ ?
- A.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} = 1$
- B.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} = 0$
- C.
  $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1$
- D.
  $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 0$
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng $(MNP)$ là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} = 1$
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - 2y + z + 2017 = 0$ , véc tơ nào trong các vectơ được cho dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (4; - 4;2)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 4;4)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 2;2)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = ( - 2;2;1)$
Ta có phương trình mặt phẳng $(P):2x - 2y + z + 2017 = 0$ nên có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: $\overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 2;1)$

Mặt khác $\overrightarrow{n} = (4; - 4;2)$ cùng phương với $\overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 2;1)$

Do đó $\overrightarrow{n} = (4; - 4;2)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P):2x - 2y + z + 2017 = 0$ .
Câu 12: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ CÓ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'} = k.\overrightarrow{AC'}$ . Giá trị của $k$ bằng:
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Ta có: $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'}$

Vậy $k = 1$ .
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(2;1;2)$ , $N(4; 2; 1)$ , tọa độ điểm $P$ thuộc trục $Oz$ sao cho $M;N; P$ thẳng hàng là
- A.
  $P(0;0;3)$ .
- B.
  $P(0;0; - 3)$ .
- C.
  $P(3;0;0)$ .
- D.
  $P(0;3;0)$ .
Vì điểm $P$ thuộc trục $Oz$ nên $P$ có tọa độ $P(0;0;z)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN}(2;1; - 1)$ ; $\overrightarrow{NP}( - 4; - 2;z - 1)$

$M;\ N;\ P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{- 4}{2} = \frac{- 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} \Leftrightarrow z - 1 = 2 \Leftrightarrow z = 3$

Vậy điểm $P(0;0;3)$ .
Câu 14: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; - 1)$ và mặt phẳng $(P):x + y - 2z - 3 = 0$ . Tìm điểm $M \in (P)$ sao cho $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}|$ dạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $M\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight)$ .
- B.
  $M\left( - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2};1 ight)$ .
- C.
  $M(2;2; - 4)$ .
- D.
  $M( - 2; - 2;4)$ .
Gọi $I$ là điểm sao cho $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = 0 \Rightarrow I(0;0;0)$ .

Từ đó:

$|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| = |4\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC})| = 4IM \geq 4IH$

với $H$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $(P)$ .

Từ đó suy ra $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}|$ dạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $M \equiv H$ .

Phương trình đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} ight.$ .

Tọa độ diểm $H$ là nghiệm $(x;y;z)$ của hệ

$\left\{ \begin{matrix}x = t \\y = t \\z = - 2t \\x + y - 2z - 3 = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{1}{2} \\y = \dfrac{1}{2} \\z = - 1 \\t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ ight.$

Suy ra $H = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight)$ .

Vậy, tọa độ điểm $M$ cần tìm là $M = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight)$ .
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 1$ . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với $(\alpha)$ .
- A.
  $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}$
- B.
  $\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}$
- C.
  $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = 0 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 1$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1; - 1;2)$ .

Đường thẳng $d_{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{d_{1}}} = (1; - 1;2) = \overrightarrow{n_{(\alpha)}}$

Suy ra $d_{1}\bot(\alpha)$ .
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 2y + z - 3 = 0$ và điểm $A(1;2;0)$ . Viết phương trình đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $(P)$ .
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{1}$
- B.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{2}$
- C.
  $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$
- D.
  $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{1}$
Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 2;1)$ nên đường thẳng cần tìm có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{n} = (1; - 2;1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{1}$
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $H(2;1;1)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $H$ và cắt các trục tọa độ tại $A;B;C$ sao cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ . Hãy viết trình mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $2x + y + z - 6 = 0$
- B.
  $x + 2y + z - 6 = 0$
- C.
  $x + 2y + 2z - 6 = 0$
- D.
  $2x + y + z + 6 = 0$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left| \begin{matrix} AB\bot OC \\ AB\bot CH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot OH$

Chứng minh tương tự BC ⊥ OH.

Do đó $OH\bot(ABC) \Rightarrow \overrightarrow{n_{ABC}} = \overrightarrow{OH} = (2;;1)$

Suy ra $(P):2x + y + z - 6 = 0$ .
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):x + my + (m - 1)z + 1 = 0$ và $(Q):x + y + 2z = 0$ . Tập hợp tất cả các giá trị $m$ để hai mặt phẳng này không song song là:
- A.
  $(0; + \infty)$
- B.
  $\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1;1;2 ight\}$
- C.
  $( - \infty;3)$
- D.
  $\mathbb{R}$
Ta có $A(0;0;0) \in (Q)$ .

$(P)//(Q) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{1} = \dfrac{m}{1} = \dfrac{m - 1}{2} \\A(0;0;0) otin (P) \\\end{matrix} ight.$ hệ này vô nghiệm

Hệ này vô nghiệm.

Do đó (P) không song song với (Q), với mọi giá trị của m.
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , giao điểm của mặt phẳng $(P):x + y - z - 2 = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - t \\ z = 3 + 3t \\ \end{matrix} ight.$ là:
- A.
  $(1;1;0)$
- B.
  $(0;2;4)$
- C.
  $(0;4;2)$
- D.
  $(2;0;3)$
Gọi $A(x;y;z)$ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Ta có: $2 + t - t - (3 + 3t) - 2 = 0$

$\Leftrightarrow - 3t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(1;1;0)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Cho tứ diện đều $ABCD$ với $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $CI;AJ$ ?
- A.
  $\frac{2}{3}$
- B.
  $- \frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{1}{3}$
- D.
  $\frac{1}{6}$
Hình vẽ minh họa

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} = \frac{a^{2}}{2}$

Ta có: $\overrightarrow{AJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{CI} = \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$

Do đó: $\overrightarrow{CI}.\overrightarrow{AJ} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} ight)\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight) = - \frac{1}{2}a^{2}$

Ta lại có $AJ = CI = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ suy ra $\cos\left( \overrightarrow{CI};\overrightarrow{AJ} ight) = - \frac{2}{3}$

Vậy đáp án cần tìm là $\frac{2}{3}$ .

65 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!