Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3; - 1),B(3; - 1;5). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức \overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}?

    Ta có: \overrightarrow{MA} =3\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} - 3x_{B}}{1 - 3} = 4 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} - 3y_{B}}{1 - 3} = - 3 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} - 3z_{B}}{1 - 3} = 8 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(4; - 3;8)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là \frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{- 3}. Biết rằng điểm M(0;5;3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0) thuộc đường thẳng AC. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC.

    Hình chiếu H của M trên đường phân giác trong góc A có tọa độ: H\left( \frac{1}{2};4;\frac{9}{2} ight)

    M’ là điểm đối xứng của M qua H. Từ đây ta tìm được tọa độ M’(1; 3; 6).

    Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC chính là vecto \overrightarrow{NM'} = (0;2;6).

    Suy ra, đường thẳng AC có một vectơ chỉ phương là (0; 1; 3)

  • Câu 3: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; -1). Biết điểm M(x;y;z) nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +3\overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; -1). Biết điểm M(x;y;z) nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +3\overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 1;2) và vectơ \overrightarrow{n} = (2;4; - 6). Viết phương trình mặt phẳng (\alpha) qua A và nhận vectơ \overrightarrow{n} làm vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng có dạng:

    A\left( x - x_{A} ight) + B\left( y - y_{A} ight) + C\left( z - z_{A} ight) = 0 .

    2(x - 1) + 4(y + 1) + 6(z - 2) = 0

    \Leftrightarrow x + 2y - 3z + 7 = 0.

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    \overrightarrow{u} vuông góc \overrightarrow{n} thì d có thể nằm trong (P).

    d song song (P) thì \overrightarrow{u} vuông góc \overrightarrow{n}.

    d vuông góc (P) thì \overrightarrow{u} cùng phương \overrightarrow{n}.

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2; - 3) và B(2; - 3;1) có phương trình tham số là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (1; - 5;4)

    Đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; −3) và B(2; −3; 1) có phương trình tham số là \left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 5t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Với t = −2, ta được M(3; −8; 5) thuộc đường thẳng AB. Khi đó, đường thẳng AB có phương trình tham số \left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 8 + 5t \\ z = 5 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M;P lần lượt là trung điểm của AB;CD. Đặt \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{MC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}

    = - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} ight)

    Vậy khẳng định đúng \overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} ight).

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho vectơ \overrightarrow{a} = 6.\overrightarrow{i} + 8.\overrightarrow{k} + 7.\overrightarrow{j}. Khi đó tọa độ của \overrightarrow{a} là.

    Do \overrightarrow{a} = 6\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{k} + 7\overrightarrow{j} = 6\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} + 8\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{a} = (6;\ 7;\ 8).

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho M trên đường thẳng AB với A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} ight) và B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} ight). Nếu \overrightarrow {AM} = k.\overrightarrow {BM} với k e - 1 thì tọa độ của M là:

    Vì M nằm trên AB và nên \overrightarrow {AM} = k.\overrightarrow {BM}khi xét theo tọa độ vecto 2 điểm A và B, ta có:

     \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - {x_A} = k\left( {{x_B} - x} ight)\\y - {y_A} = k\left( {{y_B} - y} ight)\\z - {z_A} = k\left( {{z_B} - z} ight)\end{array} ight.\\ \Rightarrow M\left( {x = \dfrac{{{x_A} + k{x_B}}}{{1 + k}},y = \dfrac{{{y_A} + k{y_B}}}{{1 + k}},z = \dfrac{{{z_A} + k{z_B}}}{{1 + k}}} ight)\end{array}

  • Câu 10: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1;2),B(3; - 4; - 2) và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Điểm I(a;b;c) thuộc d là điểm thỏa mãn IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T = a + b + c bằng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4; - 6; - 8)

    A = (1; - 1;2),B = (3; - 4; - 2) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4)

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4) cùng phương với \overrightarrow{u} = (4; - 6; - 8)

    Mà A(1; - 1;2) otin d \Rightarrow \overrightarrow{AB}//d \Rightarrow A,B,d đồng phẳng.

    Xét mặt phẳng chứa AB và d. Gọi A^{'} là điểm đối xứng của A qua d_{1}

    (\alpha) là mặt phẳng qua A, vuông góc với d.

    Khi đó, giao điểm H của d với (\alpha) là trung điểm của AA^{'}.

    (\alpha) có 1 vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2; - 3; - 4) đi qua A(1; - 1;2) có phương trình:

    2(x - 1) - 3(y + 1) - 4(z - 2) = 0

    \Leftrightarrow 2x - 3y - 4z + 3 = 0

    H \in d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} \Rightarrow ight. Giả sử H(2 + 4t; - 6t; - 1 - 8t).

    H \in (\alpha) \Rightarrow 2(2 + 4t) - 3( - 6t) - 4( - 1 - 8t) + 3 = 0

    \Leftrightarrow 58t + 11 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{11}{58} \Rightarrow H\left( \frac{36}{29};\frac{33}{29};\frac{15}{29} ight)

    Ta có IA + IB = IA^{'} + IB^{'} \geq A^{'}B \Rightarrow min(IA + IB) = A^{'}B khi và chỉ khi I trùng với I_{0} là giao điểm của A^{'}B và d.

    \Rightarrow \overrightarrow{HI_{0}} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I_{0}} - \dfrac{36}{29} = \dfrac{1}{2}.2 \\y_{I_{0}} - \dfrac{33}{29} = \dfrac{1}{2}.( - 3) \\z_{I_{0}} - \dfrac{15}{29} = \dfrac{1}{2}.( - 4) \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I_{0}} = \dfrac{65}{29} \\y_{I_{0}} = - \dfrac{21}{58} \\z_{I_{0}} = - \dfrac{43}{29} \\\end{matrix} ight.\ ight.\\Rightarrow I_{0}\left( \dfrac{65}{29}; - \dfrac{21}{58}; - \frac{43}{29}ight)

    \Rightarrow a + b + c = \frac{65}{29} - \frac{21}{58} - \frac{43}{29} = - \frac{21}{58}.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho \overrightarrow{MS} = - 2\overrightarrow{MA} và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho \overrightarrow{NB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{NC}. Biết biểu diễn \overrightarrow{MN} = m.\overrightarrow{AB} + n.\overrightarrow{SC} là duy nhất. Tính giá trị biểu thức T = m + n?

    Hình vẽ minh họa

    Theo giả thiết ta có: \overrightarrow{MS} = - 2\overrightarrow{MA}; \overrightarrow{NB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{NC}

    Lấy điểm P trên cạnh AC sao cho \overrightarrow{PC} = - 2\overrightarrow{PA}. Khi đó:

    \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{SC} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 1

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho tứ giác ABCD có A\left( {0,1, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( {1,1,2} ight);\,\,C\left( {1, - 1,0} ight);\,\,\,\left( {0,0,1} ight). Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (BCD) và chia tứ diện thành hai khối AMNF và MNFBCD có tỉ số thể tích bằng \frac{1}{27} .

    Tỷ số thể tích hai khối AMNE và ABCD: {\left( {\frac{{AM}}{{AB}}} ight)^3} = \frac{1}{{27}}

    \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow M chia cạnh BA theo tỷ số -2

    \Rightarrow E\left\{ \begin{array}{l}x=\dfrac{{1 + 2.0}}{3} = \dfrac{1}{3}\\y = \dfrac{{1 + 2.1}}{3} = 1\\z = \dfrac{{2 + 2\left( { - 1} ight)}}{3} = 0\end{array} ight.;\,\,

    \overrightarrow {BC} = - 2\left( {0,1,1} ight);\,\,\overrightarrow {BD} = - \left( {1,1,1} ight)

    Vecto pháp tuyến của \left( Q ight):\overrightarrow n = \left( {0,1, - 1} ight)

    \begin{array}{l} \Rightarrow M \in \left( Q ight) \Rightarrow \left( Q ight):\left( {x - \frac{1}{3}} ight)0 + \left( {y - 1} ight)1 + \left( {z - 0} ight)\left( { - 1} ight) = 0\\ \Rightarrow \left( P ight):y - z - 1 = 0\end{array}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (\alpha) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0 và x + 3y - 2z + 7 = 0, chứa điểm M\left( { - 1,2,4} ight) là:

    Vì mặt phẳng (\alpha) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0 và x + 3y - 2z + 7 = 0 nên thuộc chùm mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 + m\left( {x + 3y - 2z + 7} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left( {m + 2} ight)x + \left( {3m - 1} ight)y - \left( {2m - 3} ight)z + 7m + 4 = 0\left( * ight)

    Mặt khác, ta có M \in (\alpha)

    \begin{array}{l} \Rightarrow (*) \Leftrightarrow \left( {m + 2} ight).\left( { - 1} ight) + \left( {3m - 1} ight).2 - \left( {2m - 3} ight).4 + 7m + 4 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4m + 12 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = - 3\end{array}

    Thế vào (*):\,\,\,\,\,x + 10y - 9z + 17 = 0.

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P):x + y - 2z + 4 = 0. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

    Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \overrightarrow{n} = (1;1; - 2).

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + 2y - 2z + 3 = 0;(Q):x + 2y - 2z - 1 =0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là

    Lấy M( - 3;0;0) \in (P).

    Vì (P)//(Q) nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q).

    d\left( M;(Q) ight) = \frac{\left| x_{M} + 2y_{M} - 2z_{M} - 1 ight|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = \frac{4}{3}.

  • Câu 16: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết rằng tọa độ các điểm A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c) và hình thang ABCD có diện tích bằng 6\sqrt{2}. Tính giá trị biểu thức a+b+c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết rằng tọa độ các điểm A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c) và hình thang ABCD có diện tích bằng 6\sqrt{2}. Tính giá trị biểu thức a+b+c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A( - 1;2;1),B(2; - 1;4),C(1;1;4). Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng (ABC)?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3; - 3;3)//\overrightarrow{a} = (1; - 1;1) \\ \overrightarrow{AC} = (2; - 1;3) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{a};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 2; - 1;1) là 1 VTPT của mặt phẳng (ABC).

    Do đó đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) có VTPT cùng phương với vectơ (−2; −1; 1).

    Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D đường thẳng \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{- 1} có 1 VTPT là (−2; 1; 1) cùng phương với (−2; −1; 1).

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;3; - 1) và B( - 4;1;9). Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{AB} ?

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = ( - 4 - 2;1 - 3;9 + 1) = ( - 6; - 2;10)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} = ( - 6; - 2;10).

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1;2), B(-3;1;0)  và mặt phẳng (P):x+y+3z-14=0. Gọi M là điểm thuộc (P) sao cho \triangle AMB vuông tại M . Khoảng cách từ M đến (Oxy) bằng:

    Ta có: \widehat{AMB}=90^{\circ} suy ra M thuộc mặt cầu (S) đường kính AB.

    Gọi I là trung điểm AB , khi đó I(0;0;1) và R=\frac{AB}{2}=\sqrt{11}.

    Ta tính được d(I;(P))=\sqrt{11}=R suy ra (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau hay M là tiếp điểm của (P) và (S). Vậy M là hình chiếu của I trên (P) .

    Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) là: 

    \left\{\begin{matrix} x=t \\ y=t \\ z=1+3t \end{matrix}ight., t\in \mathbb{R}

    Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

     \left\{\begin{matrix} x=t \\ y=t \\ z=1+3t \\x+y+3z-14=0 \end{matrix}ight., t\in \mathbb{R}

    suy ra t=1.

    Suy ra M(1;1;4)\Rightarrow d(M;(Oxy))=4.

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng (d1 ): \left\{ \begin{array}{l}x - y + z - 5 = 0\\x - 3y + 6 = 0\end{array} ight. và ({d_2})\left\{ \begin{array}{l}2y + z - 5 = 0\\4x - 2y + 5z - 4 = 0\end{array} ight.

    Xét VTTĐ của (d1 ) và (d2 )? Tìm câu đúng ?

    Chuyển đường thẳng (d1 ) và (d2 ) về dạng tham số :

    ({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 + 3t\\y = t\\z = 11 - 2t\end{array} ight. \Rightarrow ({d_1}) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = (3,1, - 2) và qua A( - 6,0,11) .

    ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{15}}{4} - 3t'\\y = 3 - t'\\z = - 1 + 2t'\end{array} ight. \Rightarrow \left( {{d_2}} ight) có vectơ chỉ phương \overrightarrow b = (\frac{{15}}{4},3, - 1)

    \overrightarrow a earrow \swarrow \overrightarrow bvà hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} - 6 + 3t = \frac{{15}}{4} - 3t'\\t = 3 - t'\\11 - 2t = - 1 + 2t'\end{array} ight. vô nghiệm.

    \Rightarrow ({d_1})//(d_{2} ).

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 65 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập