Trong không gian với hệ tọa độ
, đường thẳng đi qua điểm
và song song với trục
có phương trình tham số là:
Gọi là đường thẳng cần tìm.
Ta có nên
có vectơ chỉ phương là
.
Do đó .
Trong không gian với hệ tọa độ
, đường thẳng đi qua điểm
và song song với trục
có phương trình tham số là:
Gọi là đường thẳng cần tìm.
Ta có nên
có vectơ chỉ phương là
.
Do đó .
Cho tứ diện
. Gọi
theo thứ tự là trung điểm
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
Sai||Đúng
b)
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
d)
Đúng||Sai
Cho tứ diện . Gọi
theo thứ tự là trung điểm
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Sai||Đúng
b) Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
d) Đúng||Sai
a) Vì là trung điểm của
và
nên
và
Nên .
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Do N là trung điểm của CD nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng nào cách B một khoảng cách nhỏ nhất?
Hình vẽ minh họa
Gọi d là đường thẳng cần tìm.
Gọi (Q) là mặt phẳng qua A(−3; 0; 1) và song song với .
và
.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B lên d và (Q) thì .
Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi
.
Đường thẳng BK đi qua B(1; −1; 3) và vuông góc với (Q)
Lại có:
Đường thẳng d qua A và nhận làm vectơ chỉ phương nên đường thẳng cần tìm là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho 2 điểm
, đường thẳng
và mặt phẳng
. Đường thẳng
đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng
lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện
và
bằng nhau, biết
có một vectơ chỉ phương là
. Tính
.
Hình vẽ minh họa
Ta có
Nên . Vì
C là trung điểm của BD nên .
Điểm nên
là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với
.
Phương trình mặt phẳng (P):
Trong không gian với hệ tọa độ
cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và cắt các trục tọa độ tại
sao cho
là trực tâm tam giác
. Hãy viết trình mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Chứng minh tương tự BC ⊥ OH.
Do đó
Suy ra .
Xác định tọa độ trọng tâm
của tam giác
, biết rằng
?
Tọa độ trọng tâm G của tam giác được xác định như sau:
Cho tứ diện ABCD có
. Mặt phẳng chứa BC và song song với AD có phương trình :
Theo đề bài, từ các điểm , ta tính được các vecto tương ứng là:
cùng phương với
Chọn làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa BC và song song với AD.
Phương trình (P) có dạng:
Mặt khác, điểm
Vậy phương trình .
Trong không gian
, cho vectơ
. Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ của điểm
là
. Đúng||Sai
b) Gọi
thỏa mãn
nhận
làm trọng tâm. Khi đó
. Đúng||Sai
c) Nếu
thẳng hàng thì tổng
. Đúng||Sai
d) Cho
để
vuông cân tại
. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng
Trong không gian , cho vectơ
. Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ của điểm là
. Đúng||Sai
b) Gọi thỏa mãn
nhận
làm trọng tâm. Khi đó
. Đúng||Sai
c) Nếu thẳng hàng thì tổng
. Đúng||Sai
d) Cho để
vuông cân tại
. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng
a) Ta có:
Tọa độ của điểm là
.
b) G là trọng tâm tam giác ABC
c) Ta có:
Ba điểm A, B, M thằng hàng khi và chỉ khi
Suy ra
d) Ta có:
Ta có ∆ABN vuông cân tại A
Từ (*)
Từ (**)
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng ![]()
?
Gọi lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 và d2 ta chọn
Giả sử M1 ∈ d1 và M2 ∈ d2, ta chọn suy ra
Khi đó và
. Do đó (d1) và (d2) chéo nhau.
Trong không gian tọa độ
, mặt phẳng
đi qua
và chắn trên tia
một đoạn thẳng dài gấp đôi các đoạn thẳng mà nó chắn trên các tia
và
. Giả sử
, với
. Tính
.
Từ giả thiết, ta suy ra các giao điểm của (α) với các tia lần lượt là
.
Suy ra phương trình (đoạn chắn) của (α) là .
Do (α) đi qua M nên .
Suy ra .
Từ đó, ta tính được: .
Cho hình hộp
và tâm
. Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau?
Hình vẽ minh họa
Theo quy tắc hình bình hành suy ra đúng.
Do đối nhau và
đối nhau nên
đúng.
Do suy ra
nên
sai.
Do và
nên
đúng.
Tính góc của hai vectơ ![]()
Áp dụng công thức tính góc giữa 2 vecto, ta có:
Thay số suy ra được:
Trong không gian
, viết phương trình mặt phẳng
chứa
và đi qua điểm
?
Mặt phẳng có cặp véc-tơ chỉ phương là
Suy ra mặt phẳng có một véc-tơ pháp tuyến là
.
Mặt phẳng đi qua
có vectơ pháp tuyến (4; 3; 0).
Vậy mặt phẳng có phương trình tổng quát là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, khoảng cách từ
đến mặt phẳng
là
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Cho tam giác ABC có
.
Viết phương trình chính tắc của cạnh AB.
(AB) là đường thẳng đi qua A và B nên có 1 vecto chỉ phương:
(AB) đi qua A (1, 2, -3) và nhận vecto làm 1 VTCP có phương trình chính tắc là:
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm
đến điểm
trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng
. Xác định tọa độ vị trí điểm
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm
trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng
. Xác định tọa độ vị trí điểm
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)
Đáp án: N(1300; 750; 15,5)
Gọi là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.
.
.
Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên và
cùng hướng.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ đến
gấp 4 lần thời gian bay từ
đến
nên
.
Suy ra:
Tứ giác
là hình bình hành biết tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
và mặt phẳng
. Gọi M là điểm thuộc (P) sao cho
vuông tại M . Khoảng cách từ M đến (Oxy) bằng:
Ta có: suy ra M thuộc mặt cầu (S) đường kính AB.
Gọi I là trung điểm AB , khi đó và
.
Ta tính được suy ra (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau hay M là tiếp điểm của (P) và (S). Vậy M là hình chiếu của I trên (P) .
Phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) là:
Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
suy ra .
Suy ra .