Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ . Cho $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a;b;c > 0$ . Biết mặt phẳng $(ABC)$ qua điểm $I(1;3;3)$ và thể tích tứ diện $O.ABC$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình $(ABC)$ :
- A.
  $x + 3y + 3z - 21 = 0$
- B.
  $3x + y + z - 9 = 0$
- C.
  $3x + y + z + 9 = 0$
- D.
  $3x + 3y + z - 15 = 0$
Phương trình mặt phẳng $(ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Vì $I(1;3;3) \in (ABC) \Rightarrow (ABC):\frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{3}{c} = 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$1 = \frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{3}{c} \geq \sqrt[3]{\frac{3^{2}}{abc}} \Rightarrow abc \geq 9$

Thể tích tứ diện $O.ABC$ là $V = \frac{1}{6}abc \geq \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{a} = \frac{3}{b} = \frac{3}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = c = 9 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $\frac{x}{3} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1 \Rightarrow 3x + y + z - 9 = 0$
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 2y + z - 3 = 0$ và điểm $A(1;2;0)$ . Viết phương trình đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $(P)$ .
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{1}$
- B.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{2}$
- C.
  $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$
- D.
  $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{1}$
Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 2;1)$ nên đường thẳng cần tìm có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{n} = (1; - 2;1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{1}$
Câu 3: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.EFFH$ . Phân tích nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC}$
- D.
  $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} ight)$
Hình vẽ minh họa

Biến đổi biểu thức

$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} ight)$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{CH}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AE} + \left( \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AF} ight) = \overrightarrow{CH}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CH}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CH}$ (đúng)

Vậy phân tích đúng là $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} ight)$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình bình hành $ABCD$ . Biết $A(2;1; - 3),B(0; - 2;5)$ và $C(1;1;3)$ . Diện tích hình bình hành $ABCD$ là:
- A.
  $2\sqrt{87}$
- B.
  $\frac{\sqrt{349}}{2}$
- C.
  $\sqrt{349}$
- D.
  $\sqrt{87}$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 2; - 3;8),\overrightarrow{AC} = ( - 1;0;6)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 18;4; - 3)$

Suy ra diện tích ABCD là:

$S_{ABCD} = \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \sqrt{349}$
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho vectơ $\overrightarrow{a} = 6.\overrightarrow{i} + 8.\overrightarrow{k} + 7.\overrightarrow{j}$ . Khi đó tọa độ của $\overrightarrow{a}$ là.
- A.
  $(6;\ 8;\ 7)$ .
- B.
  $(8;\ 7;\ 6)$ .
- C.
  $(6;7; 8)$ .
- D.
  $(8;\ 6;\ 7)$
Do $\overrightarrow{a} = 6\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{k} + 7\overrightarrow{j} = 6\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} + 8\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{a} = (6;\ 7;\ 8)$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng đi qua hai điểm $A(1;2; - 3)$ và $B(2; - 3;1)$ có phương trình tham số là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 - 5t \\ z = 2 + 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 8 + 5t \\ z = 5 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 - 5t \\ z = - 3 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 + 5t \\ z = 1 + 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = (1; - 5;4)$

Đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; −3) và B(2; −3; 1) có phương trình tham số là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 5t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Với t = −2, ta được M(3; −8; 5) thuộc đường thẳng AB. Khi đó, đường thẳng AB có phương trình tham số $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 8 + 5t \\ z = 5 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho các điểm $A(1;2;3),B(2;1;0),C(4; - 3; - 2),$ $D(3; - 2;1),E(1;1; - 1)$ . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều 5 điểm trên?
- A.
  $1$
- B.
  $4$
- C.
  $5$
- D.
  $3$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1; - 3) \\ \overrightarrow{DC} = (1; - 1; - 3) \\ \overrightarrow{AD} = (2; - 4; - 2) \\ \end{matrix} ight.$ . Suy ra $ABCD$ là hình bình hành.

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AE} = (0; - 1; - 4) \\ \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} ightbrack = ( - 10; - 4; - 2) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AE}.\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} ightbrack = 12 eq 0$ nên $E.ABCD$ là hình chóp đỉnh E có đáy ABCD là hình bình hành.

Gọi $G,H,I,K,M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $EA,EB,EC,ED$ $,AB,BC,CD,AD$ .

Do đó có 5 mặt phẳng cách đều 5 điểm là:

Mặt phẳng qua 4 trung điểm của 4 cạnh bên: (GHIK)

Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EC, ED, AD, BC: (IKQN)

Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EB, EA, AD, BC: (HGQN)

Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EA, ED, CD, AB: (GKPM)

Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EB, EC, CD, AB: (HIPM)
Câu 8: Vận dụng
Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ và $P$ là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{PI} = k.\left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} ight)$ ?
- A.
  $k = 2$
- B.
  $k = \frac{1}{4}$
- C.
  $k = 4$
- D.
  $k = \frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Vì $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ nên ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM} \\ \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = 2\overrightarrow{IN} \\ \end{matrix} ight.$ .

Mặt khác $\overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0}$ (vì I là trung điểm của MN) suy ra $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$

Theo bài ra ta có:

$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD}$

$= 4\overrightarrow{PI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{PI}$

$\Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4}$
Câu 9: Thông hiểu
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ . Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A'C'}$ có giá trị bằng:
- A.
  $a^{2}$
- B.
  $a\sqrt{2}$
- C.
  $a^{2}\sqrt{2}$
- D.
  $\frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$
Ta có:

$\left( \overrightarrow{A'C'};\overrightarrow{AB} ight) = \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{BAC} = 45^{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{A'C'}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{A'C'} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{A'C'};\overrightarrow{AB} ight) = a.a.1 = a^{2}$
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian cho điểm $O$ và bốn điểm $A;B;C;D$ không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để $A;B;C;D$ tạo thành hình bình hành là:
- A.
  $\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$
- B.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$
- D.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$
Để $A;B;C;D$ tạo thành hình bình thành thì $\left\lbrack \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \\ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó:

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ , O là trọng tâm tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD. (Loại).

$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{CA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$ (Loại)

$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$ (loại)

Vậy đáp án cần tìm là $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $(\beta):\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z}{2}$ và vuông góc với mặt phẳng $(\beta):x + y - 2z + 1 = 0$ . Hỏi giao tuyến của $(\alpha)$ và $(\beta)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $(1; - 2;0)$
- B.
  $(2;3;3)$
- C.
  $(5;6;8)$
- D.
  $(0;1;3)$
Ta có: $(\alpha):\left\{ \begin{matrix} d \subset (\alpha)\ \\ (\beta)\bot(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A(2;3;0) \in d \Rightarrow A \in (\alpha)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}}\bot\overrightarrow{u_{d}} = (1;1;2)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}}\bot\overrightarrow{n_{\beta}} = (1;1; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A(2;3;0) \in (\alpha)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{\beta}} ightbrack = ( - 4;4;0) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $(\alpha):x - y + 1 = 0$

Khi đó giao tuyến thỏa hệ $\left\{ \begin{matrix} x - y + 1 = 0 \\ x + y - 2z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Thay các phương án vào hệ, ta nhận phương án $(2;3;3)$ .
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2;2;1)$ . Tính độ dài đoạn thẳng $OA$ ?
- A.
  $OA = \sqrt{5}$
- B.
  $OA = 5$
- C.
  $OA = 3$
- D.
  $OA = 9$
Ta có: $\overrightarrow{OA} = (2;2;1) \Rightarrow OA = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = 3$
Câu 13: Nhận biết
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua ba điểm $A\left( {\,2,\,\,0,\,\,3\,} ight);\,\,\,B\left( {\,4,\,\, - 3,\,\,2\,} ight);\,\,\,C\left( {\,0,\,\,2,\,\,5\,} ight)$
- A. $2x\,\, + \,\,y\,\, + \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
- B. $2x\,\, + \,\,y\,\, - \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
- C. $2x\,\, - \,\,y\,\, - \,\,z\,\, + \,\,7 = \,\,0$
- D. $x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
Theo đề bài, ta có cặp vecto chỉ phương của $\left( P ight):\overrightarrow {AB} = \left( {2, - 3, - 1} ight);\overrightarrow {AC} = \left( { - 2,2,2} ight)$
Từ đó, ta suy ra vecto pháp tuyến của (P) là tích có hướng của 2 VTCP của
$\left( P ight):\overrightarrow n = \left( { - 4, - 2, - 2} ight) = - 2\left( {2,1,1} ight)$
Mp (P) đi qua $A (2,0,3)$ và nhận vecto có tọa độ $(2,1,1)$ làm 1 VTPT có phương trình là:
$\Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)2 + y.1 + \left( {z - 3} ight).1 = 0$
$\Leftrightarrow 2x + y + z - 7 = 0$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2;4;1),\ B( - 1;1;3)$ và mặt phẳng $(P):x - 3y + 2z - 5 = 0$ . Một mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A;B$ và vuông góc với $(P)$ có dạng $ax + by + cz - 11 = 0$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $a + b + c = 5$
- B.
  $a + b + c = 15$
- C.
  $a + b + c = - 5$
- D.
  $a + b + c = - 15$
Vì (Q) vuông góc với (P) nên (Q) nhận véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 3;2)$ làm véc-tơ chỉ phương.

Mặt khác do (Q) đi qua hai điểm A, B nên nhận $\overrightarrow{n_{AB}} = ( - 3; - 3;2)$ làm véc-tơ chỉ phương.

Vậy (Q) có véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{(Q)}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{AB}} ightbrack = (0;8;12)$

Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là:

$0(x - 2) + 8(y - 4) + 12(z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2y + 3z - 11 = 0$

Vậy $a + b + c = 5$ .
Câu 15: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}$ . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d$ và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là $ax + by + cz + 9 = 0$ . Tính tổng $a + b + c$
- A.
  $T = 9$
- B.
  $T = 5$
- C.
  $T = 3$
- D.
  $T = 4$
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)$

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

Phương trình tham số của $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

Khi đó $\left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}$

Lại có: $\cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}$

Vậy $\widehat{NMH}$ lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

Vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)$

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)$

Phương trình mặt phẳng (P) là $1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0$

Vậy $a + b + c = 4$
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}$ là:
- A.
  $(2; - 1; - 3)$
- B.
  $( - 3;2; - 1)$
- C.
  $( - 1;2; - 3)$
- D.
  $(2; - 3; - 1)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 1;2; - 3)$ .
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ và mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ . Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ bằng
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Ta có:

∆ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$

(α) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$

$\sin\widehat{\left( \Delta;(\alpha) ight)} = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| 1.1 + 2.( - 1) + ( - 1).2 ight|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{\left( \Delta;(\alpha) ight)} = 30^{0}$ .
Câu 18: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 1),B(3;0;3)$ . Biết mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và cách $B$ một khoảng lớn nhất. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là
- A.
  $x - 2y + 2z + 5 = 0$
- B.
  $x - y + 2z + 3 = 0$
- C.
  $2x - 2y + 4z + 3 = 0$
- D.
  $2x - y + 2z = 0$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P), suy ra d(B, (P)) = AH.

Ta có BH ≤ AB.

Dấu “=” xảy ra ⇔ H ≡ A

⇒ BH_max = AB khi AB ⊥ (P).

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AB\bot(P) \\ A \in (P) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (P):2x - 2y + 4z + 6 = 0$

$\Leftrightarrow x - y + 2z + 3 = 0$
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho bốn đường thẳng $\left( d_{1} ight):\frac{x - 3}{1} = \frac{y +1}{- 2} = \frac{z + 1}{1},$ $\left( d_{2} ight):\frac{x}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z - 1}{1},$ $\left( d_{3} ight):\frac{x - 1}{2} = \frac{y +1}{1} = \frac{z - 1}{1},$ $\left( d_{4} ight):\frac{x}{1} = \frac{y -1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ . Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  Vô số
Kiểm tra vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta thấy (d₁) // (d₂); (d₄) cắt (d₂), (d₃).

Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d₁) và (d₂); (Q) là mặt phẳng chứa (d₃) và (d₄).

Gọi (∆) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên.

Ta thấy, (∆) cắt cả (d₁), (d₂) suy ra (∆) ⊂ (P).

(∆) cắt cả (d₃),(d₄) suy ra (∆) ⊂ (Q).

Mà (d₂), (d₄) có điểm chung nên (∆) là giao tuyến của (P) và (Q), do đó có duy nhất một đường thẳng thỏa mãn.
Câu 20: Thông hiểu
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng chéo nhau $\left( d_{1} ight):\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 6}{- 2}$ và $\left( d_{2} ight):\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z + 1}{3}$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\left( d_{1} ight)$ và song song với $\left( d_{2} ight)$ là
- A.
  $(P):x + 8y + 5z + 16 = 0$
- B.
  $(P):x + 8y + 5z - 16 = 0$
- C.
  $(P):2x + y - 6 = 0$
- D.
  $(P):x + 4y + 3z - 12 = 0$
Phương trình tham số $\left( d_{1} ight):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t_{1} \\ y = - 2 + t_{1} \\ z = 6 - 2t_{1} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t_{1}\mathbb{\in R} ight)$

$\left( d_{1} ight)$ đi qua điểm $M(2; - 2;6)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2)$

Phương trình tham số $\left( d_{2} ight):\left\{ \begin{matrix} x = 4 + t_{2} \\ y = - 2 - 2t_{2} \\ z = - 1 + 3t_{2} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t_{2}\mathbb{\in R} ight)$

$\left( d_{2} ight)$ đi qua điểm $N(4; - 2; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;3)$

Vì mặt phẳng $(P)$ chứa $\left( d_{1} ight)$ và song song với $\left( d_{2} ight)$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{u_{1}} \\ \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = - (1;8;5)$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(2; - 2;6)$ và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2)$ nên phương trình mặt phẳng $(P):(x - 2) + 8(y + 2) + 5(z - 6) = 0$ hay $(P):x + 8y + 5z - 16 = 0$ .

25 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!