Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;2),B(2; - 1;3). Viết phương trình đường thẳng AB?

    Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB\overrightarrow{AB} = (1; - 2;1). Suy ra phương trình đường thẳng AB là:

    AB:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} =
\frac{z - 2}{1}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + 2y - 8 = 0 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 + 2t \\
y = 2 - t \\
z = 3 + t \\
\end{matrix} ight.. Khoảng cách giữa đưởng thẳng d và mặt phẳng (P) bằng:

    Đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 + 2t \\
y = 2 - t \\
z = 3 + t \\
\end{matrix} ight. đi qua A(1;2;3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (2; - 1;1)

    Mặt phẳng (P):x + 2y - 8 = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} =
(1;2;0).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 2 - 2 + 0 = 0 \\
A otin (P) \\
\end{matrix} ight., nên đường thằng d song song với mặt phẳng (P).

    Vậy khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P):

    d\left( d;(P) ight) = d\left( A;(P)
ight) = \frac{|1 + 4 - 8|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} =
\frac{3}{\sqrt{5}}

  • Câu 3: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;1),B(0;1;2),C( - 2;1;4) và mặt phẳng (P):x - y + z + 2 = 0. Tìm điểm N \in (P) sao cho S = 2NA^{2} + NB^{2} + NC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;1),B(0;1;2),C( - 2;1;4) và mặt phẳng (P):x - y + z + 2 = 0. Tìm điểm N \in (P) sao cho S = 2NA^{2} + NB^{2} + NC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 4: Vận dụng cao

    Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng (P)(Q) cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm A(1;1;1),B(0; - 2;2) đồng thời cắt các trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm cách đều O. Giả sử (P) có phương trình x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1} = 0(Q) có phương trình x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2} = 0. Tính giá trị biểu thức U = b_{1}b_{2} +c_{1}c_{2}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng (P)(Q) cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm A(1;1;1),B(0; - 2;2) đồng thời cắt các trục tọa độ Ox,Oy tại hai điểm cách đều O. Giả sử (P) có phương trình x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1} = 0(Q) có phương trình x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2} = 0. Tính giá trị biểu thức U = b_{1}b_{2} +c_{1}c_{2}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0; - 1),B(1; - 2;3),C(0;1;2). Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A;B;C.

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 1; -
2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;1;3)

    \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 1;4; -
5)

    Theo giả thiết mặt phẳng cần tìm qua A(2; 0; −1) và nhận \left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = -
5(2;1;1) làm vectơ pháp tuyến.

    Vậy phương trình mặt phẳng qua A;B;C

    2(x - 2) + (y - 0) + (z + 1) =
0

    \Leftrightarrow 2x + y + z - 3 =
0

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho A(1; - 1;0)(P):2x - 2y + z - 1 = 0. Điểm M(a;b;c) \in (P) sao cho MA\bot OA và đoạn AM bằng 3 lần khoảng cách từ A đến (P). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
M \in (P) \\
MA\bot OA \\
AM = 3d\left( A;(P) ight) \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2a - 2b + c - 1 = 0 \\
1(a - 1) - 1(b + 1) + 0(c - 0) = 0 \\
\sqrt{(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 0)^{2}} = 3 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2a - 2b + c - 1 = 0 \\
a - b - 2 = 0 \\
(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
b = a - 2 \\
c = - 3 \\
(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
c = - 3 \\
b = - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow a + b + c = - 3.

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng aa' lần lượt có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u}\overrightarrow{u'}. Nếu \varphi là góc giữa hai đường thẳng aa' thì:

    Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là \cos\varphi = \left| \cos\left(
\overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|.

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Hãy phân tích vectơ \overrightarrow{AC_{1}} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA_{1}}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AC_{1}} =
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}} (Theo quy tắc hình bình hành).

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):3x - my - z + 7 = 0,(Q):6x + 5y - 2z - 4 =
0. Xác định m để hai mặt phẳng (P)(Q) song song với nhau?

    Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi

    Tập xác định \frac{3}{6} = \frac{- m}{5}
= \frac{- 1}{- 2} eq \frac{7}{- 4}

    Vậy m = - \frac{5}{2} thì hai mặt phẳng (P);(Q) song song với nhau.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian, cho hai vectơ \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} có cùng độ dài bằng 6. Biết độ dài của vectơ \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} bằng 6\sqrt{3}. Biết số đo góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}x độ. Giá trị của x là bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian, cho hai vectơ \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} có cùng độ dài bằng 6. Biết độ dài của vectơ \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} bằng 6\sqrt{3}. Biết số đo góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}x độ. Giá trị của x là bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 11: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(3; 2; 1), C\left( -
\frac{5}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight) và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC) nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng (MAB),(MBC),(MCA) hợp với mặt phẳng (ABC) các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).

    Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn

    BC.\overrightarrow{HA} +
AC.\overrightarrow{HB} + AB.\overrightarrow{HC} =
\overrightarrow{0}

    Ta có AB = 3, AC = 4, BC = 5, suy ra

    \left\{ \begin{matrix}
5(x - 1) + 4(x - 3) + 3x + 5 = 0 \\
5y + 4(y - 2) + 3y - 4 = 0\  \\
5z + 4(z - 1) + 3z - 8 = 0\  \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 1 \\
z = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow H(1;1;1)

    Phương trình đường thẳng MH nhận \overrightarrow{u} =
\overrightarrow{n_{ABC}} làm vectơ chỉ phương nên MH là: \left\{ \begin{matrix}
x\  = \ 1\  + \ t \\
y\  = \ 1\  - \ 2t \\
z\  = \ 1\  + \ 2t \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó: OM_{\min} = \frac{\left|
\left\lbrack \overrightarrow{MH};\overrightarrow{OH} ightbrack
ight|}{\left| \overrightarrow{MH} ight|} =
\frac{\sqrt{26}}{3}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Oz và đi qua điểm P(3; - 4;7)?

    Mặt phẳng (P) có cặp véc-tơ chỉ phương là \overrightarrow{k} =
(0;0;1),\overrightarrow{OP} = (3; - 4;7)

    Suy ra mặt phẳng có (P) một véc-tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} =
\overrightarrow{k} \land \overrightarrow{OP} = ( - 4; - 3;0) = -
1(4;3;0).

    Mặt phẳng (P) đi qua O(0;0;0) có vectơ pháp tuyến (4; 3; 0).

    Vậy mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là 4x + 3y = 0.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCSA = SB = SC\widehat{ASB} = \widehat{BSC} =
\widehat{CSA}. Góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{SA}\overrightarrow{BC} là:

    Ta có: \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC} =
\overrightarrow{SA}.\left( \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB}
ight)

    =
\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} -
\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}

    = \left| \overrightarrow{SA}ight|.\left| \overrightarrow{SC} ight|.\cos\widehat{ASC} - \left|\overrightarrow{SA} ight|.\left| \overrightarrow{SB}ight|.\cos\widehat{ASB} = 0

    Vậy góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{SA}\overrightarrow{BC}90^{0}.

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(2;1; - 3),B(0; - 2;5)C(1;1;3). Diện tích hình bình hành ABCD là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2; -
3;8),\overrightarrow{AC} = ( - 1;0;6)

    \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 18;4; -
3)

    Suy ra diện tích ABCD là:

    S_{ABCD} = \left| \left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| =
\sqrt{349}

  • Câu 15: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{-2},\Delta_{1}:\frac{x - 3}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z -1}{1},\Delta_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} =\frac{z}{1}. Đường thẳng \Delta vuông góc với d đồng thời cắt \Delta_{1};\Delta_{2} tương ứng tại H;K sao cho độ dài HK nhỏ nhất. Biết rằng \Delta có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (h;\ k;\ 1). Giá trị h - k bằng?

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
H \in \Delta_{1} \Leftrightarrow H(3 + 2t;t;1 + t) \\
K \in \Delta_{2} \Leftrightarrow K(1 + m;2 + 2m;m) \\
\end{matrix} ight.

    Suy ra \overrightarrow{HK} = (m - 2t -
2;2m - t + 2;m - t - 1)

    Đường thẳng d có một VTCP là \overrightarrow{u_{d}} = (1;1; - 2)

    \Delta\bot d \Rightarrow
\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{HK} = 0

    \Leftrightarrow \ m - t + 2 = 0
\Leftrightarrow m = t - 2

    \Rightarrow \overrightarrow{HK} = ( - t
- 4;t - 2; - 3)

    Ta có: HK^{2} = ( - t - 4)^{2} + (t -
2)^{2} + ( - 3)^{2} = 2(t + 1)^{2} + 27 \geq 27;\forall t\mathbb{\in
R}

    \Rightarrow \min HK = \sqrt{27} khi và chỉ khi t = - 1

    \Rightarrow \overrightarrow{HK} = ( - 3;
- 3; - 3) \Rightarrow \overrightarrow{u} = (1;1;1)

    \Rightarrow h = k = 1 \Rightarrow h - k
= 0

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành hình bình hành. Biết các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1). Xác định tọa độ điểm C?

    Giả sử điểm C(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{DC} =
\overrightarrow{AB}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 1 = 1 \\
y + 1 = 1 \\
z - 1 = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 0 \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm C(2;0;2).

  • Câu 17: Vận dụng

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(1000;600;14) đến điểm N trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng Q(1400;800;16). Xác định tọa độ vị trí điểm N. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

    Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(1000;600;14) đến điểm N trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng Q(1400;800;16). Xác định tọa độ vị trí điểm N. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

    Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

    Gọi N(x;y;z) là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.

    \overrightarrow{MQ} =
(400;200;2).

    \overrightarrow{NQ} = (1400 - x;800 -
y;16 - z).

    Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên \overrightarrow{MQ}\overrightarrow{NQ} cùng hướng.

    Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ M đến Q gấp 4 lần thời gian bay từ N đến Q nên MQ =
4NQ.

    Suy ra: \overrightarrow{MQ} =
4\overrightarrow{NQ}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
400 = 4(1400 - x) \\
200 = 4(800 - y) \\
2 = 4(16 - z) \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1300 \\
y = 750 \\
z = 15,5 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow N(1300;750;15,5)

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x + y - 2z + 1 = 0 đi qua điểm M(1; - 2;0) và cắt đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 11 + 2t \\
y = 2t \\
z = - 4t \\
\end{matrix}\ (t \in \mathbb{R}) ight. tại N. Tính độ dài đoạn MN.

    Điểm N \in (d) \Rightarrow N(11 + 2t;2t;
- 4t). Mặt khác N \in
(\alpha) nên

    11 + 2t + 2t - 2( - 4t) + 1 = 0
\Leftrightarrow t = - 1

    Điểm N(9; - 2;4) \Rightarrow
\overrightarrow{MN} = (8;0;4) \Rightarrow MN = 4\sqrt{5}.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow{AB}\overrightarrow{A'C'} có giá trị bằng:

    Ta có:

    \left(
\overrightarrow{A'C'};\overrightarrow{AB} ight) = \left(
\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{BAC} =
45^{0}

    \Rightarrow
\overrightarrow{A'C'}.\overrightarrow{AB} = \left|
\overrightarrow{A'C'} ight|.\left| \overrightarrow{AB}
ight|.cos\left( \overrightarrow{A'C'};\overrightarrow{AB}
ight) = a.a.1 = a^{2}

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z -
1}{2}. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;0; - 1) và vuông góc với d.

    Phương trình mặt phẳng (P):

    1(x - 2) - 1(y - 0) + 2(z + 1) =
0

    \Leftrightarrow x - y + 2z =
0

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 65 lượt xem
Sắp xếp theo