Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha):x + 2z + 3 = 0$ . Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là:
- A.
  $\overrightarrow{b} = (2; - 1;0)$
- B.
  $\overrightarrow{v} = (1;2;3)$
- C.
  $\overrightarrow{a} = (1;0;2)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = (2;0; - 1)$
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1;0;2)$ .

Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng (α) nên có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{n} = (1;0;2)$ .
Câu 2: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh $AB = a, AD = 2a$ , cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{0}$ . Sai||Đúng

c) Tích vô hướng của $\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB}$ bằng $\frac{a^{2}}{2}$ . Đúng||Sai

d) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN}$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh $AB = a, AD = 2a$ , cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{0}$ . Sai||Đúng

c) Tích vô hướng của $\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB}$ bằng $\frac{a^{2}}{2}$ . Đúng||Sai

d) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN}$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Sai||Đúng

a) Sai

Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên $AB//CD$

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

b) Sai

Ta có ABCD là hình chữ nhật nên $AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}$

Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

Suy ra $\tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'$

Ta có: $\left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left( \overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'$

c) Đúng

Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

Suy ra $SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{5}$

Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

$AM = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Lại có M là trung điểm của SB nên $MB = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Ta tính được $\cos MAB = \frac{MA^{2} + AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Mà $\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{MAB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}$

d) Sai

Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

Do đó $MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Suy ra $\left| \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| = \frac{a\sqrt{5}}{2}$
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ cắt mặt phẳng $(P):2x - 3y + z - 2 = 0$ tại điểm $I(a;b;c)$ . Khi đó $a + b + c$ bằng:
- A.
  $9$
- B.
  $5$
- C.
  $3$
- D.
  $7$
Ta có $\left\{ I ight\} = d \cap (P)$ suy ra $\left\{ \begin{matrix} I \in d \\ I \in (P) \\ \end{matrix} ight.$

Vì $I \in d$ nên tọa độ của I có dạng $(1 + 2t;3 - t;1 + t),t\mathbb{\in R}$ .

Vì $I \in (P)$ nên ta có phương trình:

$2(1 + 2t) - 3(3 - t) + 1 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Vậy $I(3;2;2)$ suy ra $a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7$ .
Câu 4: Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2;0;0),M(1;1;1)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng thay đổi qua $A,M$ và cắt các trục $Oy,Oz$ lần lượt tại $B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $b > 0,c > 0$ . Khi diện tích tam giác $ABC$ nhỏ nhất, hãy tính giá trị của tích $bc$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2;0;0),M(1;1;1)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng thay đổi qua $A,M$ và cắt các trục $Oy,Oz$ lần lượt tại $B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $b > 0,c > 0$ . Khi diện tích tam giác $ABC$ nhỏ nhất, hãy tính giá trị của tích $bc$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;3)$ và hai mặt phẳng $(P):2x + 3y =$ $0,(Q):3x + 4y = 0$ . Dường thẳng đi qua $A$ và song song với hai mặt phẳng $(P),(Q)$ có phương trình là
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = t \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.$ .
- C.
  $\ \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ .(META)$
Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm.

Mặt phẳng $(P)$ có một véc-tơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{1} = (2;3;0)$ và $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{2} = (3;4;0)$ . Ta có $\left\lbrack {\overrightarrow{n}}_{1},{\overrightarrow{n}}_{2} ightbrack = (0;0;2)$ .

Khi đó, $\Delta$ đi qua điểm $A$ và nhận véc-tơ $\overrightarrow{u} = (0;0;1)$ làm vec-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$
Với $t = - 3$ thì điểm $B(1;2;0)$ thuộc $\Delta$ . Viết lại phương trình đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 6: Vận dụng cao
Cho điểm ${m{A(2, - 1,1)}}$ và đường thẳng $(\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}y + z - 4 = 0\\2x - y - z + 2 = 0\end{array} ight.$ . Gọi A' là điểm đối xứng của A qua $(\triangle)$ . Tọa độ điểm A' là:
- A. A' ( 1, 7, 0)
- B. A' ( 0, 7,1)
- C. A' ( 0, 1, 7)
- D. A' ( 7, 1, 0)
Đưa phương trình $(\triangle)$ về dạng tham số: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 - t\\z = t\end{array} ight.$
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với $(\triangle)$ .
Phương trình mp (P) có dạng $- y + z + D = 0$ , qua A nên D = -2
Phương trình (P) là: $y - z + 2 = 0$
Thế x, y, z từ phương trình $(\triangle)$ vào phương trình (P) được t=1
$\Rightarrow (\triangle ) \cap (\alpha ) = (1,3,1).$
I là trung điểm của AA' nên: ${x_{A'}} + 2 = 2;{y_{A'}} - 1 = 6;{z_{A'}} + 1 = 2$
$\Rightarrow A'(0,7,1)$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng đi qua hai điểm $A(1;2; - 3)$ và $B(2; - 3;1)$ có phương trình tham số là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 - 5t \\ z = 2 + 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 8 + 5t \\ z = 5 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 - 5t \\ z = - 3 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 + 5t \\ z = 1 + 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = (1; - 5;4)$

Đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; −3) và B(2; −3; 1) có phương trình tham số là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 5t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Với t = −2, ta được M(3; −8; 5) thuộc đường thẳng AB. Khi đó, đường thẳng AB có phương trình tham số $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 8 + 5t \\ z = 5 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1)$ và mặt phẳng $(P):x + y + z - 2 = 0$ . Điểm $M(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ thỏa mãn $MA = MB = MC$ . Tính $T = a + 2b + 3c$ ?
- A.
  $5$
- B.
  $3$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Ta có $M(a; b; c) ∈ (P) ⇔ a + b + c − 2 = 0 (1)$

$MA^2 = (a − 2)^2 + (b − 0)^2 + (c − 1)^2 = a ^2 + b^ 2 + c^ 2 − 4a − 2c + 5$

$MB^2 = (a − 1)^2 + b^ 2 + c ^2 = a^ 2 + b^ 2 + c^ 2 − 2a + 1$

$MC^2 = (a − 1)^2 + (b − 1)^2 + (c − 1)^2 = a ^2 + b ^2 + c ^2 − 2a − 2b − 2c + 3$

Với $MA = MB$ , ta có $a + c − 2 = 0 (2)$

Với $MA = MC$ , ta có $a − b − 1 = 0 (3)$

Từ (1); (2); (3) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} a + b + c = 2 \\ a + c = 2 \\ a - b = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 4$
Câu 9: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa đô $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;4)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho thể tích tứ diện $O.ABC$ nhỏ nhất. $(P)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $(0;1;3)$
- B.
  $(2;2;0)$
- C.
  $(1;1;2)$
- D.
  $( - 1;1;4)$
Gọi $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c > 0$

Phương trình mặt phẳng $(ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Vì $M \in (P) \Rightarrow (P):\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} = 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1.2.4}{abc}} \Rightarrow abc \geq 8.27$

Thể tích tứ diện $O.ABC$ là $V = \frac{1}{6}abc \geq 36$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{4}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \\ c = 12 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{12} = 1 \Rightarrow 4x + 2y + z - 12 = 0$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $(2;2;0)$ .
Câu 10: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z - 5 = 0$ và hai điểm $A(−3; 0; 1), B(1; −1; 3)$ . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng nào cách B một khoảng cách nhỏ nhất?
- A.
  $\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}$
- B.
  $\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{- 11} = \frac{z - 1}{- 2}$
- C.
  $\frac{x - 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z + 1}{- 2}$
- D.
  $\frac{x + 2}{26} = \frac{y - 1}{11} = \frac{z + 3}{- 2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi d là đường thẳng cần tìm.

Gọi (Q) là mặt phẳng qua A(−3; 0; 1) và song song với $(P): x − 2y + 2z − 5 = 0$ .

$⇒ (Q): x − 2y + 2z + 1 = 0$ và $d ⊂ (Q)$ .

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B lên d và (Q) thì $BH > BK$ .

Do đó $d(B; d)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $H ≡ K$ .

Đường thẳng BK đi qua B(1; −1; 3) và vuông góc với (Q) $\Rightarrow BK:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Lại có: $K = BK \cap (Q) \Rightarrow K = \left( \frac{- 1}{9};\frac{11}{9};\frac{7}{9} ight)$

Đường thẳng d qua A và nhận $\overrightarrow{AK} = \left( \frac{26}{9};\frac{11}{9};\frac{- 2}{9} ight)$ làm vectơ chỉ phương nên đường thẳng cần tìm là: $\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}$ .
Câu 11: Nhận biết
Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A(3,-1, 2), B(4, -2, -1), C(2, 0, 2) là:
- A. $x+y-2=0$
- B. $x-y+2=0$
- C. $x+y+2=0$
- D. $x-y-2=0$
Theo đề bài, ta có được các vecto sau:
$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1, - 1, - 3} ight),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1,1,0} ight);\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB,} \overrightarrow {AC} } ight] = \left( {3,3,0} ight) = 3(1,1,0) = 3\overrightarrow n \end{array}$
Vì mặt phẳng đi qua 3 điểm nên VTPT của mp là tích có hướng của $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ .
Chọn $\overrightarrow n = \left( {1,1,0} ight)$ làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mp $(ABC)$ có dạng $x+y+D=0$
$(ABC)$ là mp qua A $\Leftrightarrow 3 - 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2$
Vậy phương trình $(ABC): x + y -2=0$ .
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{m} = (4;3;1),\overrightarrow{n} = (0;0;1)$ . Gọi $\overrightarrow{p}$ là vectơ cùng hướng với vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack$ (tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{m}$ và $\overrightarrow{n}$ . Biết $\left| \overrightarrow{p} ight| = 15$ , tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{p}$ .
- A.
  $\overrightarrow{p} = (9; - 12;0)$
- B.
  $\overrightarrow{p} = (45; - 60;0)$
- C.
  $\overrightarrow{p} = (0;9; - 12)$
- D.
  $\overrightarrow{p} = (0;45; - 60)$
Ta thấy $\left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0)$

Vì $\overrightarrow{p}$ là vectơ cùng hướng với vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0)$ nên $\overrightarrow{p} = (3k; - 4k;0),k\mathbb{\in R};k > 0$ .

Mặt khác $\left| \overrightarrow{p} ight| = 15 \Leftrightarrow \sqrt{9k^{2} + 16k^{2} + 0} = 15 \Rightarrow k = 3$

Vậy $\overrightarrow{p} = (9; - 12;0)$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k}$ . Khi đó tọa độ $\overrightarrow{u}$ với hệ $Oxyz$ là:
- A.
  $(1;0;2)$
- B.
  $(0;2;1)$
- C.
  $(2;0;1)$
- D.
  $(2;1;0)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

$\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (x;y;z)$

Lại có $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (2;0;1)$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{u} = \left( - \sqrt{3};0;1 ight)$ là:
- A.
  $120^{0}$ .
- B.
  $60^{0}$ .
- C.
  $150^{0}$ .
- D.
  $30^{0}$ .
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$

$\Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{i};\overrightarrow{u} ight) = \frac{\overrightarrow{i}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{i} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{1.\left( - \sqrt{3} + 0.0 + 0.1 ight)}{1.\sqrt{\left( - \sqrt{3} ight)^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{i};\overrightarrow{u} ight) = 150^{0}$
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(5; - 2;0),B( - 2;3;0),C(0;2;3)$ . Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
- A.
  $G(1;2;1)$
- B.
  $G(2;0; - 1)$
- C.
  $G(1;1;1)$
- D.
  $G(1;1; - 2)$
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{5 + ( - 2) + 0}{3} = 1\\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 + 3 + 2}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{0 + 0 + 3}{3} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(1;1;1)$

Vậy trọng tâm G tìm được là $G(1;1;1)$ .
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{u} =2\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$ và $\overrightarrow{v} = (m;2;m + 1)$ (với $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để $\left| \overrightarrow{u} ight| = \left|\overrightarrow{v} ight|$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Ta có: $\overrightarrow{u} = (2; -2;1)$
Khi đó $\left\{ \begin{matrix}\left| \overrightarrow{u} ight| = \sqrt{2^{2} + ( - 2)^{2} + 1^{2}} =3 \\\left| \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{m^{2} + 2^{2} + (m + 1)^{2}} =\sqrt{2m^{2} + 2m + 5} \\\end{matrix} ight.$
Do đó $\left| \overrightarrow{u} ight| =\left| \overrightarrow{v} ight| \Leftrightarrow 9 = 2m^{2} + 2m +5$
$\Leftrightarrow m^{2} + m - 2 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 1 \\m = - 2 \\\end{matrix} ight.$
Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa các điểm $A( - 1; - 2;4),B( - 4; - 2;0),C(3; - 2;1)$ . Tính số đo góc $B$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = (3;0;4) \\ \overrightarrow{BC} = (7;0;1) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \cos\widehat{B} = \cos\left( \overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC} ight) = \frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{BA} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|}$

$= \frac{3.7 + 0.0 + 4.1}{\sqrt{3^{2} + 0^{2} + 4^{2}}.\sqrt{7^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \widehat{B} = 45^{0}$
Câu 18: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tâm $O$ . Đặt $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b}$ . Điểm $M$ xác định bởi đẳng thức $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $M$ là trung điểm của $BB'$ .
- B.
  $M$ là tâm hình bình hành $BCC'B'$ .
- C.
  $M$ là trung điểm của $CC'$ .
- D.
  $M$ là tâm hình bình hành $ABB'A'$ .
Hình vẽ minh họa

Gọi $I;I'$ lần lượt là tâm các mặt đáy $ABCD;A'B'C'D'$ suy ra $O$ là trung điểm của $II'$

Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

Theo giả thiết ta có:

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight) = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} ight) = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} ight) = \frac{1}{2}\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{IB}$

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên từ đẳng thức $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{IB}$ suy ra M là trung điểm của $BB'$ .
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M(1; - 3;8)$ và chắn trên tia $Oz$ một đoạn thẳng dài gấp đôi các đoạn thẳng mà nó chắn trên các tia $Ox$ và $Oy$ . Giả sử $(P):ax + by + cz + d = 0$ , với $a,b,c,d\mathbb{\in Z},d eq 0$ . Tính $S = \frac{a + b + c}{d}$ .
- A.
  $S = - \frac{5}{4}$
- B.
  $S = \frac{5}{4}$
- C.
  $S = 3$
- D.
  $S = - 3$
Từ giả thiết, ta suy ra các giao điểm của (α) với các tia $Ox, Oy, Oy$ lần lượt là $A(a; 0; 0), B(0; a; 0) ,C(0; 0; 2a), a > 0$ .

Suy ra phương trình (đoạn chắn) của (α) là $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{2a} = 1$ .

Do (α) đi qua M nên $a = 2$ .

Suy ra $(α): 2x + 2y + z − 4 = 0$ .

Từ đó, ta tính được: $S = \frac{a + b + c}{d} = \frac{2 + 2 + 1}{- 4} = - \frac{5}{4}$ .
Câu 20: Nhận biết
Ba mặt phẳng $x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0$ cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:
- A. $A(1, 2, 3)$
- B. $A(1, -2, 3)$
- C. $A(-1, 2, 3)$
- D. $A(-1,2,-3)$
Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :
$\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z - 6 = 0\left( 1 ight)\\2x - y + 3z + 13 = 0\left( 2 ight)\\3x - 2y + 3z + 16 = 0\left( 3 ight)\end{array} ight.$
Giải (1),(2) tính $x,y$ theo $z$ được $x = - z - 4;y = z + 5$ .
Thế vào phương trình (3) được $z=-3$ , từ đó có $x = - 1,y = 2$
Vậy $A(-1,2,-3)$ .

78 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!