Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} =
\frac{z - z_{0}}{c}. Điểm M nằm trên đường thẳng \Delta thì điểm M có dạng nào sau đây?

    Đường thẳng \Delta đi qua điểm M\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} =
(a;b;c) nên đường thẳng \Delta có phương trình tham số là \Delta:\left\{ \begin{matrix}
x = x_{0} + at \\
y = y_{0} + bt \\
z = z_{0} + ct \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Điểm M nằm trên đường thẳng \Delta nên điểm M có dạng M\left( x_{0} + at;y_{0} + bt;z_{0} + ct
ight)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ).

    Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{AC} =
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}. Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{AC'} =
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AA'}. Đúng||Sai

    c) \left(
\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'C'} ight) =
45^{\circ}. Đúng||Sai

    d) \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}
= \frac{\sqrt{2}a^{2}}{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ).

    Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{AC} =
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}. Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{AC'} =
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AA'}. Đúng||Sai

    c) \left(
\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'C'} ight) =
45^{\circ}. Đúng||Sai

    d) \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}
= \frac{\sqrt{2}a^{2}}{2}. Sai||Đúng

    a) Vì ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{AC}.

    b) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC'}.

    c) Vì \overrightarrow{B'C'} =
\overrightarrow{AD} nên \left(
\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'C'} ight) = \left(
\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ight) = \widehat{CAD} =
45^{0}.

    d) Tam giác ADC vuông tại D nên AC =
\sqrt{AD^{2} + DC^{2}} = \sqrt{2}a.

    Ta có

    \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}
= \left| \overrightarrow{AC} ight|.\left|
\overrightarrow{B'C'} ight|.cos\left(
\overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'C'} ight)

    = \sqrt{2}a.a.cos45^{0} =
a^{2}.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC với A\left( {\,1,\,\, - 2,\,\,6\,} ight);\,\,B\left( {\,2,\,\,5,\,\,1} ight);\,\,C\left( {\, - 1,\,\,8,\,\,4} ight) .

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (ABC) song song đường cao AH của tam giác ABC.

     Theo đề bài, ta có: \left( P ight) \bot \left( {ABC} ight) song song đường cao AH \Rightarrow \left( P ight) \bot \overrightarrow {BC}  = \left( { - 3,3,3} ight)

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 1} ight)\left( { - 3} ight) + \left( {y + 2} ight)3 + \left( {z - 6} ight)3 = 0

    \Leftrightarrow x - y - z + 3 = 0

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 3 - t \\
y = - 1 + 2t \\
z = - 3t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng (d)?

    Đường thẳng (d) đi qua điểm M(3; - 1;0) và nhận \overrightarrow{u} = ( - 1;2; - 3) làm vectơ chỉ phương.

    Phương trình chính tắc của (d):\frac{x -
3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}

  • Câu 5: Vận dụng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z -
2}{2}. Gọi (P) là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ điểm A đến (P) là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P) bằng:

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên d và H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) thì d(A,(P)) = AH ≤ AK không đổi.

    Vậy d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K, khi đó (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.

    Ta tìm được (P):x - 4y + z - 3 = 0
\Rightarrow d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{\sqrt{18}} =
\frac{1}{\sqrt{2}}.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; - 1;1),B(0;1; - 2) và điểm M thay đổi trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm giá trị lớn nhất của |MA - MB|?

    Thay tọa độ của A, B vào phương trình mặt phẳng (Oxy): z = 0, ta có 1.( - 2) = - 2 < 0

    ⇒ A, B nằm về hai phía của (Oxy).

    Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (Oxy).

    Khi đó ta có: |MA - MB| = |MA' - MB|
\leq A'B

    Suy ra |MA - MB| lớn nhất bằng A’B khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B và (Oxy).

    Ta có A'(1; - 1; - 1) \Rightarrow
A'B = \sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}} =
\sqrt{6}.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; −1; 2), B(−2; 0; 3), C(0; 1; −2). Điểm M(a; b; c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} +
2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} +
3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, T = 12a + 12b + c có giá trị là:

    Chọn I sao cho 4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +
5\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}

    Ta tính được I\left( -
\frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)

    Ta thấy

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} +
\overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} +
\overrightarrow{IB} ight) \\
\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = \left( \overrightarrow{MI} +
\overrightarrow{IB} ight).\left( \overrightarrow{MI} +
\overrightarrow{IC} ight) \\
\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = \left( \overrightarrow{MI} +
\overrightarrow{IC} ight).\left( \overrightarrow{MI} +
\overrightarrow{IA} ight) \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = {\overrightarrow{MI}}^{2} +
\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}
ight) + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} \\
\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = {\overrightarrow{MI}}^{2} +
\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}
ight) + \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} \\
\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = {\overrightarrow{MI}}^{2} +
\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA}
ight) + \overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} \\
\end{matrix} ight.

    S = 6{\overrightarrow{MI}}^{2} +
\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} +
2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} +
3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI}\left(
4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC}
ight)

    \Rightarrow S = 6MI^{2} +\underset{CONST}{\overset{4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +5\overrightarrow{IC}}{︸}}

    Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.

    Vậy M là hình chiếu vuông góc của I\left(
\frac{- 1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight) lên (Oxy) \Rightarrow M\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};0
ight)

    Ta xác định được \left\{ \begin{matrix}a = - \dfrac{1}{6} \\b = \dfrac{1}{12} \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow T = - 1

  • Câu 8: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;2; - 2),B(2;2; - 4). Giả sử I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Tính T = a^{2} + b^{2} + c^{2}.

    Ta có: \overrightarrow{OA} = (0;2; -
2),\overrightarrow{OB} = (2;2; - 4)

    \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 4; - 4; -
4)

    Mặt phẳng (OAB) đi qua O và có vec-tơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = - \frac{1}{4}\left\lbrack
\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = (1;1;1) nên có phương trình x + y + z =
0.

    Ta xác định được \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AI} = (a;b - 2;c + 2) \\
\overrightarrow{BI} = (a - 2;b - 2;c + 4) \\
\overrightarrow{OI} = (a;\ b;\ c) \\
\end{matrix} ight.

    Theo giả thiết\left\{ \begin{matrix}
AI = BI \\
AI = OI \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a^{2} + (c + 2)^{2} = (a - 2)^{2} + (c + 4)^{2} \\
(b - 2)^{2} + (c + 2)^{2} = b^{2} + c^{2} \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a - c = 4\ \ \ (1) \\
- b + c = - 2\ \ \ (2) \\
\end{matrix} ight.

    Mặt khác I \in (OAB) \Rightarrow a + b +
c = 0\ (3)

    Giải hệ gồm (1), (2) và (3) ta được a =
2,b = 0,c = - 2.

    Vậy I(2;0; - 2) \Rightarrow T = a^{2} +
b^{2} + c^{2} = 8.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1;1; -
2);\overrightarrow{v} = (1;0;m). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}
ight) = 45^{0}?

    Ta có: \left(
\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) = 45^{0} \Leftrightarrow
\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) =
\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow
\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u}
ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|} =
\frac{\sqrt{2}}{2}

    \Leftrightarrow \frac{1 -
2m}{\sqrt{6}.\sqrt{1 + m^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow
\sqrt{3\left( m^{2} + 1 ight)} = 1 - 2m

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - 2m \geq 0 \\3m^{2} + 3 = 1 - 4m + 4m^{2} \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \leq \dfrac{1}{2} \\m^{2} - 4m - 2 = 0 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow m = 2 - \sqrt{6}

    Vậy đáp án cần tìm là m = 2 -
\sqrt{6}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGHAB = AE = 2,AD = 3 và đặt \overrightarrow{a} =
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} =
\overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}. Lấy điểm M thỏa \overrightarrow{AM} =
\frac{1}{5}\overrightarrow{AD} và điểm N thỏa \overrightarrow{EN} =
\frac{2}{5}\overrightarrow{EC}. (Quan sát hình vẽ).

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \overrightarrow{MA} = -
\frac{1}{5}\overrightarrow{b} Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{EN} =
\frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +
\overrightarrow{c} ight) Sai||Đúng

    c) \left( m\overrightarrow{a} +
n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} =
m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} +
p^{2}\overrightarrow{c^{2}}, với m;n;p là các số thực. Đúng||Sai

    d) MN = \frac{\sqrt{61}}{5}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGHAB = AE = 2,AD = 3 và đặt \overrightarrow{a} =
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} =
\overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}. Lấy điểm M thỏa \overrightarrow{AM} =
\frac{1}{5}\overrightarrow{AD} và điểm N thỏa \overrightarrow{EN} =
\frac{2}{5}\overrightarrow{EC}. (Quan sát hình vẽ).

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \overrightarrow{MA} = -
\frac{1}{5}\overrightarrow{b} Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{EN} =
\frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +
\overrightarrow{c} ight) Sai||Đúng

    c) \left( m\overrightarrow{a} +
n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} =
m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} +
p^{2}\overrightarrow{c^{2}}, với m;n;p là các số thực. Đúng||Sai

    d) MN = \frac{\sqrt{61}}{5}. Đúng||Sai

    a) Đúng: Ta có

    \overrightarrow{MA} = -
\overrightarrow{AM} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} = -
\frac{1}{5}\overrightarrow{b}

    b) Sai:

    \overrightarrow{EN} =
\frac{2}{5}\overrightarrow{EC} = \frac{2}{5}(\overrightarrow{EF} +
\overrightarrow{EH} + \overrightarrow{EA}) =
\frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -
\overrightarrow{c})

    c) Đúng:

    (m.\overrightarrow{a} +n.\overrightarrow{b} + p.\overrightarrow{c})^{2} =m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} + n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2}+p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2} +2mn.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+2np\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} +2mp.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}= m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} +
n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2} + p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2}

    (vì \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} đôi một vuông góc nên \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} =
\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} =
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0).

    Ta có

    \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EN}

    = -\frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} +\frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -\overrightarrow{c})

    = \frac{2}{5}\overrightarrow{a} +\frac{1}{5}\overrightarrow{b} +\frac{3}{5}\overrightarrow{c}.

    d) Đúng:

    MN^{2} =
{\overrightarrow{MN}}^{2} = \left( \frac{2}{5}\overrightarrow{a} +
\frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \frac{3}{5}\overrightarrow{c}
ight)^{2}

    = \frac{4}{25}{\overrightarrow{a}}^{2} +\frac{1}{25}{\overrightarrow{b}}^{2} +\frac{9}{25}{\overrightarrow{c}}^{2}= \frac{4}{25}.4 + \frac{1}{25}.9 +\frac{9}{25}.4 = \frac{61}{25}

    Suy ra MN =
\frac{\sqrt{61}}{5}.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
AM\bot BC \\
OA\bot BC \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow BC\bot OM

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
BM\bot AC \\
OB\bot AC \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow AC\bot OM

    Vậy OM\bot(ABC) nên (P) nhận \overrightarrow{OM} = (1;2;3) làm vectơ pháp tuyến.

    Do (P) đi qua M(1;2;3) nên (P):x - 1 + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0

    \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 =
0

  • Câu 12: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, tìm tập hợp các điểm cách đều cặp mặt phẳng sau đây: 4x - y - 2z - 3 = 0;4x - y - 2z - 5 =
0.

    Gọi điểm

    A (0; −3; 0) ∈ 4x − y − 2z − 3 = 0 (α)

    B (0; −5; 0) ∈ 4x − y − 2z − 5 = 0 (β)

    Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng trên có dạng: 4x − y − 2z + m = 0 (γ).

    Để mp (γ) cách đều hai mp trên thì d (A; (β)) = 2d (A; (γ)) ⇔ |m + 3| = 1

    ⇔ m = −2 hoặc m = −4

    Mặt khác điểm hai điểm A; B phải nằm về hai phía của mp (γ).

    Với m = −2 ta có (4 .0 + 3 – 2.0 − 2) (4.0 + 5 – 2.0 − 2) > 0 nên A; B cùng phía.

    Với m = −4 ta có (4 .0 + 3 – 2.0 − 4) (4.0 + 5 – 2.0 − 4) < 0 nên A; B khác phía.

    Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 4x − y − 2z − 4 = 0 (γ).

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} +
\overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}. Tọa độ vectơ \overrightarrow{a} là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =
(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =
(0;0;1)

    Theo bài ra ta có: \overrightarrow{a} =
2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j} suy ra tọa độ vectơ \overrightarrow{a} = (2;
- 3;1).

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2). Tìm x để các đường thẳng AD;BC;MN cùng song song với một mặt phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2). Tìm x để các đường thẳng AD;BC;MN cùng song song với một mặt phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;3; - 1)B( - 4;1;9). Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{AB} ?

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = ( - 4 - 2;1 - 3;9
+ 1) = ( - 6; - 2;10)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} =
( - 6; - 2;10).

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt phẳng (\alpha) cắt ba trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại ba điểm A( - 3;0;0),B(0;4;0),C(0;0; -
2)?

    Phương trình mặt phẳng (\alpha): \frac{x}{- 3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{- 2}
= 1

    \Leftrightarrow 4x - 3y + 6z = -
12

    \Leftrightarrow 4x - 3y + 6z + 12 =
0

  • Câu 17: Thông hiểu

    Hai đường thẳng \left( {d'} ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y =  - 3m - t\\z = 2t - 1\end{array} ight.\left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2m\\y = m + 2\\z =  - m\end{array} ight.với cắt nhau tại M có tọa độ là :

     

    Để (d’) cắt (d) tại M \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + 4t = 4 - 2m\\ - 3 - t = m + 2\\2t - 1 =  - m\end{array} ight. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t + m = 1\\t + m =  - 5\end{array} ight. \\\Leftrightarrow t = 6;m =  - 11

    \Rightarrow M\left( {26, - 9,11} ight)

     

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCDAC = \frac{3}{2}AD;\widehat{CAB} = \widehat{DAB} =
60^{0};CD = AD. Gọi \varphi là góc giữa ABCD. Chọn khẳng định đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \cos(AB;CD) = \frac{\left|
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} ight|}{\left|
\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{CD} ight|} =
\frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}
ight|}{AB.CD}

    Mặt khác \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} =
\overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}
ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} -
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}

    = \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)

    = AB.AD.\frac{1}{2} -
AB.\frac{3}{2}.AD.\frac{1}{2} = - \frac{1}{4}AB.AD = -
\frac{1}{4}AB.CD

    Do đó: \cos(AB;CD) = \frac{\left| -\dfrac{1}{4}AB.CD ight|}{AB.CD} = \dfrac{1}{4}

    Vậy \cos\varphi =
\frac{1}{4}

  • Câu 19: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(2,-1,3),  B (3, 1, 2) và song song với vectơ \overrightarrow a  = \left( {3, - 1, - 4} ight) là:

    Theo đề bài, ta có: \overrightarrow {AB}  = \left( {1,2, - 1} ight);\left[ {\overrightarrow {AB} \overrightarrow {,a} } ight] = \overrightarrow n  = \left( { - 9,1, - 7} ight)

    Chọn \overrightarrow n  = \left( {9, - 1,7} ight) làm 1 vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng : 9x - y + 7z + D = 0

    Mà mp lại qua A nên 9.2 - ( - 1) + 7.3 + D = 0 \Leftrightarrow D =  - 40

    Phương trình cần tìm là: 9x - y + 7z - 40 = 0.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} =
\frac{z}{- 1} và mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 0. Góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (\alpha) bằng

    Ta có:

    ∆ có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;2; - 1)

    (α) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;2)

    \sin\widehat{\left( \Delta;(\alpha)
ight)} = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}
ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n}
ight|} = \frac{\left| 1.1 + 2.( - 1) + ( - 1).2 ight|}{\sqrt{1^{2} +
2^{2} + ( - 1)^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}}} =
\frac{1}{2}

    \Rightarrow \widehat{\left(
\Delta;(\alpha) ight)} = 30^{0}.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 31 lượt xem
Sắp xếp theo