Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(a;b;1) thuộc mặt phẳng (P):2x - y + z - 3 = 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có điểm M(a;b;1) thuộc mặt phẳng (P):2x - y + z - 3 = 0 nên:

    2a - b + 1 - 3 = 0 \Leftrightarrow 2a - b = 2

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k}. Tọa độ điểm A là:

    Ta có: \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} \Leftrightarrow A(0;1; - 2)

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho A( - 1;2;1) và hai mặt phẳng (P):2x + 4y - 6z - 5 = 0;(Q):x + 2y - 3z = 0. Khi đó:

    Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn, do đó A ∈ (Q).

    Vì {\overrightarrow{n}}_{(P)} = (2;4; - 6) = 2(1;2; - 3) = {\overrightarrow{n}}_{(Q)} nên (Q)//(P).

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Trên hai tia Bt,Ds vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm E;F sao cho BE = \frac{a}{2};DF = a. Tính góc \varphi giữa hai mặt phẳng (AEF);(CEF).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Trên hai tia Bt,Ds vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm E;F sao cho BE = \frac{a}{2};DF = a. Tính góc \varphi giữa hai mặt phẳng (AEF);(CEF).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{2}. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;0; - 1) và vuông góc với d.

    Phương trình mặt phẳng (P):

    1(x - 2) - 1(y - 0) + 2(z + 1) = 0

    \Leftrightarrow x - y + 2z = 0

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{a} = (1;3;4). Hãy chọn vectơ cùng phương với \overrightarrow{a}?

    Ta có: \overrightarrow{b} cùng phương với \overrightarrow{a} khi \overrightarrow{b} = k.\overrightarrow{a};\left( k\mathbb{\in R} ight). Khi đó đáp án cần tìm là \overrightarrow{b} = ( - 2; - 6; - 8) (vì \overrightarrow{b} = -2(1;3;4) = - 2\overrightarrow{a}).

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm B(1;2; - 3),C(7;4 - 2). Tìm tọa độ điểm E thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{CE} = 2\overrightarrow{EB}?

    Gọi E(x;y;z)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{CE} = (x - 7;y - 4;z + 2) \\ 2\overrightarrow{EB} = (2 - 2x;4 - 2y; - 6 - 2z) \\ \end{matrix} ight.

    Theo bài ra ta có:

    \overrightarrow{CE} =2\overrightarrow{EB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x - 7 = 2 - 2x \\y - 4 = 4 - 2y \\z + 2 = - 6 - 2z \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y = \dfrac{8}{3} \\z = - \dfrac{8}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow E\left( 3;\frac{8}{3}; - \dfrac{8}{3}ight)

    Vậy điểm E có tọa độ là E\left( 3;\frac{8}{3}; - \frac{8}{3} ight).

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 1 + 2t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng (d)?

    Đường thẳng (d) đi qua điểm M(3; - 1;0) và nhận \overrightarrow{u} = ( - 1;2; - 3) làm vectơ chỉ phương.

    Phương trình chính tắc của (d):\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3),B( - 2;4;4),C(4;0;5). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho độ dài đoạn thẳng GM ngắn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng GM.

    Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC nên G = (1;2;4)

    Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0.

    GM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (Oxy). Khi đó, ta có:

    GM = d\left( G,(Oxy) ight) = \frac{4}{\sqrt{1}} = 4.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC có A\left( {1,2, - 3} ight);\,\,B\left( {2, - 1,4} ight);\,\,\,C\left( {3, - 2,5} ight).

    Viết phương trình tổng quát của cạnh AC.

    (AC) là đường thẳng đi qua 2 điểm A và C nên nhận \overrightarrow {AC} = 2\left( {1, - 2,4} ight) làm 1 VTCP.

    (AC) đi qua C (3,-2,5) và có 1 VTCP là (1,-2,4) có phương trình chính tắc:

    \begin{array}{l}x - 3 = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 5}}{4}\\ \Rightarrow PTTQ\,\,\,(AC):\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\4x - z - 7 = 0\end{array} ight. \vee \left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\2y + z - 1 = 0\end{array} ight.\end{array}

     

  • Câu 11: Vận dụng

    Trong hệ tục toạ độ không gian Oxyz, cho A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), biết b,c > 0, phương trình mặt phẳng (P):y - z + 1 = 0. Tính M = b + c biết (ABC)\bot(P),d\left( O;(ABC) ight) = \frac{1}{3}?

    Ta có (ABC):\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    \Rightarrow (ABC):bcx + cy + bz - bc = 0

    Hai mặt phẳng(ABC);(P) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \overrightarrow{n_{1}} = (bc;c;b),\overrightarrow{n_{2}} = (0;1; - 1)

    Vì (P)\bot(ABC) nên c - b = 0 \Leftrightarrow b = c.

    Theo giả thiết

    d\left( O;(ABC) ight) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{| - bc|}{\sqrt{bc^{2} + c^{2} + b^{2}}} = \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow 3b^{2} = \sqrt{b^{4} + 2b^{2}} \Leftrightarrow 3b^{2} = b\sqrt{b^{2} + 2}

    \Leftrightarrow 3b = \sqrt{b^{2} + 2} \Leftrightarrow 9b^{2} = b^{2} + 2 \Leftrightarrow b = \frac{1}{2} (vì b > 0).

    Suy ra c = 2. Vậy M = b + c = 1.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + 2y - z + 3 = 0 và (Q):x - 4y + (m - 1)z + 1 = 0, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q).

    Gọi \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (1;2; - 1) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 4;m - 1) \\ \end{matrix} ight. . Để (P) ⊥ (Q)

    \Leftrightarrow \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0

    \Leftrightarrow 1 - 8 - (m - 1) = 0 \Leftrightarrow m = - 6

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho 2 đường thẳng (d)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 1\end{array} ight. và  (\triangle )\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + t\\z = 3 - t\end{array} ight.

    Mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với (\triangle ) có phương trình tổng quát :

    Phương trình (d) cho A(2, - 1,1) \in (d) và vectơ chỉ phương của (d) là: \overrightarrow a = (2,1,0)

    Phương trình (\triangle ) cho vectơ chỉ phương của (\triangle ) là : \overrightarrow b = (0,1, - 1)

    Gọi M(x,y,z) là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :

    \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = (x - 2,y + 1,z - 1);\,\,\,\,\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = ( - 1,2,2)\\\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AM} = 0 \Leftrightarrow - (x - 2) + 2(y + 1) + 2(z - 1) = 0\\ \Leftrightarrow x - 2y - 2z - 2 = 0\end{array}

    Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hình chóp OABC có OA = OB = OC = 1, các cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow{OC};\overrightarrow{MA}.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} ight)\left( \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} ight)

    = \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC} = - \frac{BC^{2}}{2} = - \frac{1}{2}

    Như vậy:

    \cos\left( \overrightarrow{OM};\overrightarrow{BC} ight) = \frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|} = \frac{1}{2}:\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2} = - \frac{1}{2}

    \Rightarrow \left( \overrightarrow{OM};\overrightarrow{BC} ight) = 120^{0}

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;0;1). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Vì tọa độ điểm A(3;0;1) có x = 3;y = 0;z = 1 nên A \in (Oxz).

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;0),B(0;0;1),C(2;1;1). Tính diện tích tam giác ABC?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1;0;1) \\ \overrightarrow{AC} = (1;1;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = ( - 1).1 + 0.1 + 1.1 = 0

    Suy ra \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AC}. Lại có: \left\{ \begin{matrix} \left| \overrightarrow{AB} ight| = \sqrt{2} \\ \left| \overrightarrow{AC} ight| = \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra diện tích tam giác ABC là: S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{\sqrt{6}}{2}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 2}{2} và điểm A(3;2;0). Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là:

    Gọi M( - 1 + t; - 3 + 2t; - 2 + 2t) \in d

    \Rightarrow AH = (t - 4;2t - 5;2t - 2)

    Vectơ chỉ phương của d là \overrightarrow{u} = (1;2;2)

    Vì \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{AH} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH} = 0

    \Leftrightarrow 1(t - 4) + 2(2t - 5) + 2(2t - 2) = 0 \Leftrightarrow t = 2

    Suy ra M(1; 1; 2), gọi A’(x; y; z) là điểm đối xứng của A qua d thì: \left\{ \begin{matrix} x = 2.1 - 3 = - 1 \\ y = 2.1 - 2 = 0 \\ z = 2.2 - 0 = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là: ( - 1;0;4).

  • Câu 18: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;1;3) đồng thời cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại M,N,P sao cho tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) với (P) có toạ độ là:

    Gọi M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c)

    Theo giả thiết, ta có a;b;c là các số dương.

    Phương trình mặt phẳng (P) là \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    (P) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1

    Ta có: \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{1}{b}.\frac{3}{c}} = \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}}

    \Leftrightarrow 1 \geq \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{abc} \geq 3\sqrt[3]{6} \Leftrightarrow abc \geq 112

    V_{OMNP} = \frac{abc}{6} \geq 27. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{3}{c} \\ \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 3 \\ c = 9 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy (P):\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1

    Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 1 \\ z = 6 \\ t = 2 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy đáp án cần tìm là: (4; - 1;6).

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, (A,B,C,D \in Z) và có UCLN\left( |A|,|B|,|C|,|D| ight) = 1. Để mặt phẳng (P) đi qua điểm B(1;2; - 1) và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất thì đẳng thức nào sau đây đúng?

    Mặt phẳng (P) đi qua điểm B(1; 2; −1) suy ra A + 2B − C + D = 0 (1).

    Khi đó:

    d\left( O;(P) ight) = \frac{|D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} = \frac{|A + 2B - C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}

     

    \leq \frac{\sqrt{\left\lbrack 1^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2} ightbrack\left( A^{2} + B^{2} + C^{2} ight)}}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} = \sqrt{6}

    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

    \left\{ \begin{matrix}A + 2B - C + D = 0 \\\dfrac{A}{1} = \dfrac{B}{2} = \dfrac{C}{- 1} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}D = - 3B \\B = 2A = - 2C \\A;B;C\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.

    Từ đó tìm được A = - C = 1,B = 2,D = - 6 hoặc A = - C = - 1,B = - 2,D = 6.

    Vậy A^{2} + B^{2} + C^{2} + D^{2} = 42.

  • Câu 20: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Giả sử điểm C'(a;b;c). Tính giá trị biểu thức T=a+b+2c?

    Gọi điểm C'(x;y;z)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.

    Mà \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'} \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C'(13;4;4) suy ra a=13;b=4;c=4

    Vậy  T=25

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 73 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập