Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình chóp OABCOA = OB = OC = 1, các cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow{OC};\overrightarrow{MA}.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}
= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}
ight)\left( \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}
ight)

    =
\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC} = - \frac{BC^{2}}{2} = -
\frac{1}{2}

    Như vậy:

    \cos\left(
\overrightarrow{OM};\overrightarrow{BC} ight) =
\frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{\left|
\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|} =
\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2} = - \frac{1}{2}

    \Rightarrow \left(
\overrightarrow{OM};\overrightarrow{BC} ight) = 120^{0}

  • Câu 2: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;2; - 2),B(2;2; - 4). Giả sử I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Tính T = a^{2} + b^{2} + c^{2}.

    Ta có: \overrightarrow{OA} = (0;2; -
2),\overrightarrow{OB} = (2;2; - 4)

    \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 4; - 4; -
4)

    Mặt phẳng (OAB) đi qua O và có vec-tơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = - \frac{1}{4}\left\lbrack
\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = (1;1;1) nên có phương trình x + y + z =
0.

    Ta xác định được \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AI} = (a;b - 2;c + 2) \\
\overrightarrow{BI} = (a - 2;b - 2;c + 4) \\
\overrightarrow{OI} = (a;\ b;\ c) \\
\end{matrix} ight.

    Theo giả thiết\left\{ \begin{matrix}
AI = BI \\
AI = OI \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a^{2} + (c + 2)^{2} = (a - 2)^{2} + (c + 4)^{2} \\
(b - 2)^{2} + (c + 2)^{2} = b^{2} + c^{2} \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a - c = 4\ \ \ (1) \\
- b + c = - 2\ \ \ (2) \\
\end{matrix} ight.

    Mặt khác I \in (OAB) \Rightarrow a + b +
c = 0\ (3)

    Giải hệ gồm (1), (2) và (3) ta được a =
2,b = 0,c = - 2.

    Vậy I(2;0; - 2) \Rightarrow T = a^{2} +
b^{2} + c^{2} = 8.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa trục Ox và đi qua điểm A(1;1; - 1) có phương trình là:

    Mặt phẳng chứa trục Ox có dạng By + Cz = 0;\left( B^{2} + C^{2} eq 0
ight)

    Mặt phẳng đi qua điểm A(1;1; -
1) nên B - C = 0 \Leftrightarrow B
= C

    Do đó chọn B = C = 1 suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là y + z =
0.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm của hai đường chéo ACBD trùng với gốc tọa độ O. Các véc tơ \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OS} lần lượt cùng hướng với các véc tơ \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}OA = 3, OS =
2. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Tọa độ của véc tơ \overrightarrow{OM}

    Hình vẽ minh họa

    Ta có OB = \sqrt{AB^{2} - OA^{2}} =
\sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4.

    Khi đó \overrightarrow{OB} = (4;0;0),\ \
\ \overrightarrow{OS} = (0;0;2).

    M là trung điểm của SB nên ta có

    \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OB} ight) =
(2;0;1).

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hai điểm A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight) và mặt phẳng \left( \beta  ight):3x - 2y + z + 9 = 0. Mặt phẳng (\alpha) chứa hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (\beta) có phương trình:

    Theo đề bài, ta có: A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight) ; \left( \beta  ight):3x - 2y + z + 9 = 0.

    Suy ra \overrightarrow {AB}  = \left( {3, - 5, - 2} ight); (\beta) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow n  = \left( {3, - 2,1} ight)

    Ta có \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } ight] = \left( { - 9, - 9,9} ight) cùng phương với vectơ \overrightarrow p  = \left( {1,1, - 1} ight)

    Chọn \vec{p} làm 1 vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng (\alpha) .

    Phương trình mặt phẳng (\alpha) có dạng: x + y - z + D = 0

    A \in \left( \alpha  ight) \Leftrightarrow  - 2 + 3 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D =  - 2

    Mặt phẳng :(\alpha): x + y - z - 2 = 0

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm A(100;50;100) và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là B(50;100;50),C(150;100;100). Máy bay sẽ bay qua điểm W của đường màu BC để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm W(a;b;c), hãy tính giá trị biểu thức T = a + b -
2c.

    Đáp án: 50

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm A(100;50;100) và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là B(50;100;50),C(150;100;100). Máy bay sẽ bay qua điểm W của đường màu BC để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm W(a;b;c), hãy tính giá trị biểu thức T = a + b -
2c.

    Đáp án: 50

    Ta có: \overrightarrow{BC} =
(100;0;50)

    Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP \overrightarrow{u} = (2;0;1)có dạng (BC):\left\{ \begin{matrix}
x = 50 + 2t \\
y = 100 \\
z = 50 + t \\
\end{matrix} ight.

    Điểm W \in (BC) \Rightarrow W(50 +
2t;100;50 + t) \overrightarrow{AW} = (2t - 50;50;t -
50)

    Ta có: \overrightarrow{AW}.\overrightarrow{BC} =
0

    \Rightarrow 2(2t - 50) + (t - 50) = 0
\Rightarrow t = 30

    Vậy H(110;100;80) \Rightarrow a + b - 2c
= 50.

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc trục tung Oy?

    Điểm thuộc trục tung Oy là M(0; -
10;0).

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P):2x + y - 4z + 1 = 0. Đường thẳng (d) qua điểm A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt trục Oz. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d).

    Gọi B = d \cap Oz \Rightarrow B(0;0;b)
\Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2;\ b - 3)

    Lại có d\ //(P)\  \Rightarrow
\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} = (2;1; -
4)

    Do đó \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{(P)}} = 0
\Leftrightarrow - 2 - 2 - 4b + 12 = 0 \Leftrightarrow b = 2

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1;
- 2 - 1)

    Do đó, (d) là đường thẳng qua B(0; 0; 2) và nhận \overrightarrow{u} = (1;2;1) làm vectơ chỉ phương. Nên (d) có phương trình: \left\{
\begin{matrix}
x = t \\
y = 2t \\
z = 2 + t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào dưới đây là sai?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC}

    Vậy đáp án sai là: \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} =
\overrightarrow{AC}.

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z -
3}{- 2}. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.

    Gọi M(1;\ 2;\ 3) \in d

    \Rightarrow AM = ( - 1;1;2) \Rightarrow
\left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} ightbrack = ( -
6;0; - 3)

    Ta có d(A;d) = \frac{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left|
\overrightarrow{u} ight|} = \frac{3\sqrt{5}}{3} =
\sqrt{5}.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AOCD bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của CD

    Vì ABCD là tứ diện đều nên AM\bot
CD;OM\bot CD

    Ta có: \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AO} =
\overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MO}
ight)

    =
\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} +
\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MO} =
\overrightarrow{0}

    Suy ra \overrightarrow{CD}\bot\overrightarrow{AO} nên số đo góc giữa hai đường thẳng bằng 90^{0}.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Biết rằng có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là \left( P_{i} ight):x + a_{i}y + b_{i}z + c_{i} =0,(i = 1,2,...n) đi qua M(1;2;3) (nhưng không đi qua O) và cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz theo thứ tự tại A,B,C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp đều. Tính tổng S = a_{1} + a_{2} + ... +
a_{n}.

    Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), với a,b,c eq 0. Khi đó trọng tâm của tam giác ABC là G\left(
\frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3} ight) mặt phẳng (Pi) có dạng \frac{x}{a} +
\frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow x + \frac{a}{b}y +
\frac{a}{c}z - a = 0.

    Theo bài ra (Pi) đi qua M(1; 2; 3) nên ta có: 1 + \frac{2a}{b} + \frac{3a}{c} - a = 0\ \ \
(1)

    Mặt khác, vì O.ABC là hình chóp đều nên tam giác ABC đều nên:

    AB = BC = AC

    \Leftrightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} =
\sqrt{a^{2} + c^{2}} = \sqrt{b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow a^{2} = b^{2} =
c^{2} kết hợp với (1) ta có các trường hợp sau:

    a = b = c ⇒ a = 1 + 2 + 3 = 6 nên (P_1): x + y + z − 6 = 0

    a = b = −c ⇒ a = 1 + 2 − 3 = 0 không thỏa yêu cầu.

    a = −b = c ⇒ a = 1 − 2 + 3 = 2 nên (P_2): x − y + z − 2 = 0

    a = −b = −c ⇒ a = 1 − 2 − 3 = −5 nên (P_3): x − y − z + 5 = 0

    −a = −b = c ⇒ a = 1 + 2 − 3 = 0, không thỏa yêu cầu

    −a = b = −c ⇒ a = 1 − 2 + 3 = 2 nên (P): x − y + z − 2 = 0 trùng với (P2)

    −a = b = c ⇒ a = 1 − 2 − 3 = −5 nên (P): x − y − z + 5 = 0 trùng với (P3)

    −a = −b = −c ⇒ a = 1 + 2 + 3 = 6 nên (P): x + y + z − 6 = 0 trùng với (P1)

    Vậy S = a_1 + a_2 + a_3 = 1 − 1 − 1 = −1.

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có:

     Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có vô số vecto chỉ phương.

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng cắt nhau \Delta_{1}:\frac{x +1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{3},\Delta_{2}:\frac{x + 1}{1} =\frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 3}. Trong mặt phẳng \left( \Delta_{1};\Delta_{2} ight), hãy viết phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi \Delta_{1};\Delta_{2}

    Hai đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có các vectơ chỉ phương tương ứng là \overrightarrow{u_{1}} =
(1;2;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;2; - 3)

    Ta có \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = -
4 < 0, suy ra góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u_{1}}\overrightarrow{u_{2}} là góc tù.

    Lại có \left| \overrightarrow{u_{1}}
ight| = \left| \overrightarrow{u_{2}} ight|

    Kết hợp hai điều này, ta suy ra d có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u_{1}} -
\overrightarrow{u_{2}} = (0;0;6) = 6(0;0;1)

    Tóm lại, đường thẳng cần tìm đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} =
(0;0;1)

    Vậy phương trình đường thẳng d là: \left\{ \begin{matrix}
x = - 1 \\
y = 2 \\
z = - 1 + t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(0;1;0),N(2;0;0),P(0;0; - 3). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng (MNP)?

    Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (MNP) là: \frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} =
1

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z -
1}{1} cắt mặt phẳng (P):2x - 3y + z
- 2 = 0 tại điểm I(a;b;c). Khi đó a + b + c bằng:

    Ta có \left\{ I ight\} = d \cap
(P) suy ra \left\{ \begin{matrix}
I \in d \\
I \in (P) \\
\end{matrix} ight.

    I \in d nên tọa độ của I có dạng (1 + 2t;3 - t;1 + t),t\mathbb{\in
R}.

    I \in (P) nên ta có phương trình:

    2(1 + 2t) - 3(3 - t) + 1 + t - 2 = 0
\Leftrightarrow t = 1

    Vậy I(3;2;2) suy ra a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7.

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P):x + y - 2z + 4 = 0. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

    Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \overrightarrow{n} = (1;1; - 2).

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hai điểm C\left( { - 1,4, - 2} ight);D\left( {2, - 5,1} ight). Mặt phẳng chứa đường thẳng CD và song song với Oz có phương trình :

    Theo đề bài ta có C\left( { - 1,4, - 2} ight);D\left( {2, - 5,1} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow {CD}  = \left( {3, - 9,3} ight) cùng phương với vectơ \overrightarrow a  = \left( {1, - 3,1} ight)

    Mặt khác, trục Oz có vectơ chỉ phương \overrightarrow k  = \left( {0,0,1} ight)

    \Rightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow k } ight] = \left( { - 3, - 1,0} ight) cùng phương với vectơ \overrightarrow n  = \left( {3,1,0} ight)

    Chọn \overrightarrow n  = \left( {3,1,0} ight) làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa CD và song song với trục Oz. Phương trình mặt phẳng này có dạng : 3x + y + D = 0

    Mặt phẳng cần tìm còn qua điểm C nên ta thay tọa độ điểm C vào pt trên, có: 

    - 3 + 4 + D = 0 \Leftrightarrow D =  - 1

    Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm : 3x + y - 1 = 0

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyzcho \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} +
\overrightarrow{k}. Khi đó tọa độ \overrightarrow{u} với hệ Oxyz là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =
(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =
(0;0;1)

    \overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i}
+ y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow
\overrightarrow{u} = (x;y;z)

    Lại có \overrightarrow{u} =
2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \Leftrightarrow
\overrightarrow{u} = (2;0;1)

  • Câu 20: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( - 2;3;1),B(5;6;2). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm M. Tính tỉ số \frac{AM}{BM}?

    Ta có: M \in (Oxz) \Rightarrow
M(x;0;z)

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (7;3;1) \Rightarrow AB = \sqrt{59} \\
\overrightarrow{AM} = (x + 2; - 3;z - 1) \\
\end{matrix} ight. và ba điểm A;B;M thẳng hàng

    \overrightarrow{AM} =
k.\overrightarrow{AB};\left( k\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
x + 2 = 7k \\
- 3 = 3k \\
z - 1 = k \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 9 \\
k = - 1 \\
z = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow M( - 9;0;0) \Rightarrow
\left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{BM} = ( - 14; - 6; - 2) \\
\overrightarrow{AM} = ( - 7; - 3; - 1) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow BM = 2AB

    Vậy đáp án đúng là \frac{AM}{BM} =
\frac{1}{2}.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 70 lượt xem
Sắp xếp theo