Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} (G là trọng tâm của tứ diện). Gọi G_{0} là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Vì G_{0} là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD) suy ra G_{0} là trọng tâm tam giác BCD suy ra \overrightarrow{G_{0}B} + \overrightarrow{G_{0}C} + \overrightarrow{G_{0}D} = \overrightarrow{0}

    Theo bài ra ta có: \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GG_{0}} + \overrightarrow{G_{0}B} + \overrightarrow{G_{0}C} + \overrightarrow{G_{0}D} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GG_{0}} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} = 3\overrightarrow{G_{0}G}

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P),(Q),(R) lần lượt có phương trình là x - 4z + 8 = 0,2x - 8z = 0,y = 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{p} = (1;0; - 4) và mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{r} = (0;1;0)

    Do \overrightarrow{p} eq k.\overrightarrow{r};\forall k\mathbb{\in R} nên vectơ \overrightarrow{p} không cùng phương với vectơ \overrightarrow{r}.

    Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P).

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = 1 + t \\ z = 3t \\ \end{matrix}\ (t \in \mathbb{R}) ight. và hai điểm A(5;0;2),B(2; - 5;3). Tìm điểm M thuộc \Delta sao cho \bigtriangleup ABM vuông tại A.

    Điểm M thuộc đường thẳng \Delta nên M( - 1 + 3t;1 + t;3t).

    Ta có \overrightarrow{AM} = (3t - 6;t + 1;3t - 2) và \overrightarrow{AB} = ( - 3; - 5;1).

    Tam giác ABM vuông tại M khi và chỉ khi

    \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 0

    \Leftrightarrow - 3(3t - 6) - 5(t + 1) + 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1

    Khi đó tọa độ điểm M(2;2;3).

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;0; - 1) và mặt phẳng (P):x + y - 1 = 0. Đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy) có phương trình là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{n_{(P)}} = (1;1;0) \\\overrightarrow{n_{(Oxy)}} = (0;0;1) \\\end{matrix} ight.. Gọi d là đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy).

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{(P)}} \\\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{(Oxy)}} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack\overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Oxy)}} ightbrack = (1;- 1;0)

    Vậy \left\{ \begin{matrix}x = 2 + t \\y = - t \\z = - 1 \\\end{matrix} ight..

  • Câu 5: Vận dụng

    Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P); gọi \alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma lần lượt là các góc tạo bởi vector pháp tuyến của (P) với ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của (P) là ( OH = p):

    Theo đề bài, ta có: H\left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight) \Rightarrow \overrightarrow {OH} = \left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight)

    Gọi M\left( {x,y,z} ight) \in \left( P ight)

    \Rightarrow \overrightarrow {HM} = \left( {x - p\cos \alpha ,y - p\cos \beta ,z - c\cos \gamma } ight)

    Ta có:

    \overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {HM}

    \Leftrightarrow \left( {x - p\cos \alpha } ight)p\cos \alpha + \left( {y - p\cos \beta } ight)p\cos \beta + \left( {z - p\cos \gamma } ight)p\cos \gamma \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

    \Leftrightarrow \left( P ight):x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma - p = 0

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho ba điểm A\left( {2, - 1,1} ight);\,\,B\left( {3, - 2, - 1} ight);\,\,\,C\left( {1,3,4} ight). Tìm điểm E trên mặt phẳng (xOy) cách đều A, B, C.

     Gọi E\left( {x,y,0} ight)  trên mặt phẳng (xOy).

    Ta có:EA =EB=EC

    \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{E^2} = B{E^2}\\A{E^2} = C{E^2}\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} ight)^2} + {\left( {y + 1} ight)^2} + {\left( { - 1} ight)^2} = {\left( {x - 3} ight)^2} + {\left( {y + 2} ight)^2} + {1^2}\\{\left( {x - 2} ight)^2} + {\left( {y + 1} ight)^2} + {\left( { - 1} ight)^2} = {\left( {x - 1} ight)^2} + {\left( {y - 3} ight)^2} + {\left( { - 4} ight)^2}\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 4\\x - 4y = - 10\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{26}}{3}\\y = \dfrac{{14}}{3} \Rightarrow E\left( {\dfrac{{26}}{3},\dfrac{{14}}{3},0} ight)\end{array} ight.

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) bằng:

    Ta có: góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) bằng: 90^{0}.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-5=0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:

     khoảng cách nhỏ nhất

    Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).

    Ta có: (-3-2.0+2.1-5)(1+2.1+2.3-5) < 0 \Rightarrow A, B nằm về hai phía với (P).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) \Rightarrow BH cố định và d(B,(Q))=BH.

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay d//(P) .

    Ta có: BK \geq BH \Leftrightarrow d(B, d) \geq d(B, d) \Rightarrow d (B, d)bé nhất bằng BH  khi K trùng với điểm H.

    Gọi \vec{n} là VTPT của (ABH) \Rightarrow \vec{n}=[\vec{n_p}, \vec{AB}]=(-2;6;7)

    Ta có đường thẳng d cần lập qua  A, H và có VTCP là \vec{u_d}=[\vec{n},\vec{n_P}]=(26; 11; -2)

    Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là: \dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}

  • Câu 9: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5). Tọa độ chân đường phân giác của góc B trong tam giác ABC là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\ \end{matrix} ight.

    Gọi D(a;b;c) là chân đường phân giác kẻ từ B lên AC của tam giác ABC.

    Suy ra \frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\ \overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(1;2;3) và có véc-tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (2;4;6). Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng \Delta?

    Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 11: Thông hiểu

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (\alpha) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0 và x + 3y - 2z + 7 = 0, chứa điểm M\left( { - 1,2,4} ight) là:

    Vì mặt phẳng (\alpha) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 = 0 và x + 3y - 2z + 7 = 0 nên thuộc chùm mặt phẳng 2x - y + 3z + 4 + m\left( {x + 3y - 2z + 7} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left( {m + 2} ight)x + \left( {3m - 1} ight)y - \left( {2m - 3} ight)z + 7m + 4 = 0\left( * ight)

    Mặt khác, ta có M \in (\alpha)

    \begin{array}{l} \Rightarrow (*) \Leftrightarrow \left( {m + 2} ight).\left( { - 1} ight) + \left( {3m - 1} ight).2 - \left( {2m - 3} ight).4 + 7m + 4 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4m + 12 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = - 3\end{array}

    Thế vào (*):\,\,\,\,\,x + 10y - 9z + 17 = 0.

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d_{1}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- m} =\frac{z - 2}{- 3};d_{2}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z -1}{1}. Tìm tất cả giá trị thực của m để d_{1} vuông góc với d_{2}?

    Vectơ chỉ phương của d_{1};d_{2} lần lượt là: \overrightarrow{u_{1}} = (2; - m; - 3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;1).

    Để d_{1}\bot d_{2} thì \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = 0 \Leftrightarrow 2 - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 1

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Điểm G là điểm thỏa mãn \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}

    Ta có:

    \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{GS} + 4\overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{GS} + 4\overrightarrow{GO} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GS} = 4\overrightarrow{OG} suy ra ba điểm G;S;O thẳng hàng.

  • Câu 14: Nhận biết

    Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, biết rằng A(1;3;4),B(2; - 1;0),C(3;1;2)?

    Tọa độ trọng tâm G của tam giác được xác định như sau:

    \left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 + 2 + 3}{3} = 2 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{3 - 1 + 1}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{4 + 0 + 2}{3} = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(2;1;2)

  • Câu 15: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M( - 1;0;3). Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho 3OA = 2OB = OC eq 0?

    Từ giả thiết, ta có thể coi A(2a;0;0),B(0;3b;0),C(0;0;6c) (với |a| = |b| = |c| eq 0).

    Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là \frac{x}{2a} + \frac{y}{3b} + \frac{z}{6c} =1.

    Do (P) đi qua M(−1; 0; 3) nên -\frac{1}{2a} + \frac{1}{2c} = 1.

    Theo trên có c = ±a, kết hợp với phương trình vừa thu được, ta suy ra a = −1, c = 1.

    Cũng theo trên, b = ±a, nên có 2 giá trị của b.

    Suy ra có 2 bộ (a, b, c) thỏa mãn, hay có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu đề bài.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{B'C'} nên \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight) = \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} ight) = \widehat{CAD} = 45^{0}

    Suy ra \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}= \left| \overrightarrow{AC} ight|.\left|\overrightarrow{B'C'} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight)

    =a\sqrt{2}.a.\cos45^{0} =a^{2}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - 3y + z - 6 = 0 cắt ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz lần lượt tại ba điểm A,B,C. Lúc đó thể tích V của khối tứ diện OABC là:

    Gọi A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) lần lượt là giao của mặt phẳng (P) với ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz.

    Khi đó A(3;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0;6) và tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc tại O.

    Do đó V_{OABC} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.3.2.6 = 6

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y - 3z - 2 = 0. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) có một vectơ chỉ phương có tọa độ là:

    Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 2; - 3).

    Do d\bot(P) nên vectơ \overrightarrow{n} = (1; - 2; - 3) cũng là một vectơ chỉ phương của d.

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; - 1;1),B(0;1; - 2) và điểm M thay đổi trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm giá trị lớn nhất của |MA - MB|?

    Thay tọa độ của A, B vào phương trình mặt phẳng (Oxy): z = 0, ta có 1.( - 2) = - 2 < 0

    ⇒ A, B nằm về hai phía của (Oxy).

    Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (Oxy).

    Khi đó ta có: |MA - MB| = |MA' - MB| \leq A'B

    Suy ra |MA - MB| lớn nhất bằng A’B khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B và (Oxy).

    Ta có A'(1; - 1; - 1) \Rightarrow A'B = \sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{6}.

  • Câu 20: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD biết A(1; 0; 1), B(−3; 0; 1) và điểm D có cao độ âm. Mặt phẳng (ABCD) đi qua gốc tọa độ O. Khi đó đường thẳng d là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có phương trình là:

    Ta có:

    \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AO} ightbrack = (0; - 4;0) Mặt phẳng (ABCD) đi qua điểm A và nhận \overrightarrow{n} = (0;1;0) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình y = 0.

    Giả sử D\left( x_{D},\ y_{D},\ z_{D} ight). Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} = 0 \\ \left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{AB} ight| \\ D \in (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 0 \\ \left( x_{D} - 1 ight)^{2} + {y_{D}}^{2} + \left( z_{D} - 1 ight)^{2} = 16 \\ y_{D} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 0 \\ \left( z_{D} - 1 ight)^{2} = 16 \\ y_{D} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} z_{D} = 5 \\ z_{D} = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ y_{D} = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vì D có cao độ âm nên D(1; 0; −3). Khi đó, tâm I của hình vuông ABCD có tọa độ I(−1; 0; −1).

    Trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD đi qua I(−1; 0; −1) và nhận \overrightarrow{n} = (0;1;0) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 76 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập