Trong không gian với hệ tọa độ
, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng
?
Dễ thấy điểm không thuộc mặt phẳng
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng
?
Dễ thấy điểm không thuộc mặt phẳng
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình chính tắc của đường thẳng
đi qua điểm
có vectơ chỉ phương
là:
Phương trình đường thẳng đi qua điểm có vectơ chỉ phương
nên có phương trình:
.
Cho hình lăng trụ ABCDEF.
Gọi M, N, G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của DE, DF, AE, CE, CD, BC, BE.
Có nhận xét gì về bộ ba vecto
?
Bằng nhau || Đồng phẳng || Bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau, đồng phẳng
Cho hình lăng trụ ABCDEF.
Gọi M, N, G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của DE, DF, AE, CE, CD, BC, BE.
Có nhận xét gì về bộ ba vecto ?
Bằng nhau || Đồng phẳng || Bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau và đồng phẳng || bằng nhau, đồng phẳng

Theo giả thiết đề bài đã cho, M và N lần lượt là trung điểm của DE và DF
Suy ra, MN là đường trung bình trong tam giác DEF:
Tương tự: và
Vậy
đồng phẳng và bằng nhau.
Cho ba điểm
. Tìm điểm E trên mặt phẳng
cách đều ![]()
Gọi trên mặt phẳng
.
Ta có:
Cho tứ diện đều
với
lần lượt là trung điểm của
. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Ta có:
Do đó:
Ta lại có suy ra
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hai đường thẳng chéo nhau
và ![]()
Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:
Phương trình (d) cho biết và (d) có vectơ chỉ phương
Chuyển về dạng tham số
để có
và vectơ chỉ phương
.
Gọi I là trung điểm AB thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ .
là phương trình của mặt phẳng (P).
Trong không gian
, cho bốn điểm
và
. Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong năm điểm
?
Hình vẽ minh họa
Ta có mặt phẳng (ABC): .
Suy ra thuộc mặt phẳng (ABC).
Số mặt phẳng qua ba trong bốn điểm A, B, C, D là 1.
Số mặt phẳng qua điểm O và hai trong bốn điểm A, B, C, D là .
Vậy số mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong năm điểm là
.
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Vì lần lượt là trung điểm của
suy ra
Mà là trung điểm của
Khi đó
Vậy khẳng định sai là: .
Đường thẳng (d):
có phương trình tham số là:
Ta có đường thẳng (d) qua A ( 2, -1, 4) và có vectơ chỉ phương là có phương trình tham số là:
=> (d)
Trong không gian
cho
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Phương trình mặt phẳng là
Trong không gian
, cho tọa độ các vectơ
;
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có: suy ra “
” là mệnh đề sai.
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
, đường thẳng
và mặt phẳng
. Viết phương trình đường thẳng
qua
vuông góc với d và song song với
.
Đường thẳng có vec tơ chỉ phương
.
Mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến
.
Đường thẳng ∆ vuông góc với nên vectơ chỉ phương
Đường thẳng ∆ song song với (P) nên
Ta có
Suy ra vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là .
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
và
. Tập hợp tất cả các giá trị
để hai mặt phẳng này không song song là:
Ta có .
hệ này vô nghiệm
Hệ này vô nghiệm.
Do đó (P) không song song với (Q), với mọi giá trị của m.
Trong không gian
, đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là:
Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng
có một vectơ chỉ phương là
nên có phương trình là
.
Cho bốn điểm
trong không gian. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác
có điểm đầu và điểm cuối là
điểm?
Lấy làm gốc ta được 3 vectơ
. Tương tự đối với
ta được
vectơ.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Mặt phẳng
vuông góc với cả
và
đồng thời cắt trục
tại điểm có hoành độ bằng
. Phương trình của mặt phẳng
là:
Ta có: (P) có vectơ pháp tuyến , (Q) có vectơ pháp tuyến
.
Vì mặt phẳng (α) vuông góc với cả (P) và (Q) nên (α) có một vectơ pháp tuyến là
Vì mặt phẳng (α) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên (α) đi qua điểm M(3; 0; 0).
Vậy (α) đi qua điểm M(3; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến nên (α) có phương trình
.
Cho ba điểm
. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng ![]()
Gọi là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (yOz).
Ta có và
cùng phương.
Hai đường thẳng
và ![]()
Ta có đường thẳng (d’) qua E (-1, -1, 0) có vecto chỉ phương
Hai pháp vecto của hai đường thẳng lần lượt là
Vecto chỉ phương của
Ta có: và tọa độ
thỏa mãn phương trình của
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho mặt phẳng
. Hỏi có bao nhiêu điểm
thuộc mặt phẳng
với
là các số nguyên không âm.
Ta có nên mặt phẳng
đi qua các điểm
Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.
Tam giác ABC đều có các cạnh bằng , chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.
Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng
Một khối lập phương lớn tạo bởi 27 khối lập phương đơn vị. Một mặt phẳng vuông góc với đường chéo của khối lập phương lớn tại trung điểm của nó. Mặt phẳng này cắt ngang bao nhiêu khối lập phương đơn vị?
Giả sử các đỉnh của khối lập phương đơn vị là , với
và đường chéo đang xét của khối lập phương lớn nối hai đỉnh là
Phương trình mặt trung trực của OA là
Mặt phẳng này cắt khối lập phương đơn vị khi và và chỉ khi các đầu mút và
của đường chéo của khối lập phương đơn vị nằm về hai phía đối với (α).
Do đó bài toán quy về đếm trong số 27 bộ , với
, có bao nhiêu bộ ba thỏa mãn:
Các bộ ba không thỏa điều kiện (1), tức là là:
Vậy có khối lập phương đơn vị bị cắt bởi (α).