Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba mặt phẳng $(P):x - 2y + z - 1 = 0;$ $(Q):x - 2y + z + 8 =0;$ $(R):x - 2y + z - 4 = 0$ . Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt $(P),(Q),(R)$ lần lượt tại $A,B,C$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}}$ .
- A.
  $T_{\min} = 24$
- B.
  $T_{\min} = 36$
- C.
  $T_{\min} = 72$
- D.
  $T_{\min} = 144$
Dễ dàng nhận thấy (P)//(Q)//(R).

Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ cắt (P) tại H và cắt (Q) tại K.

Ta có $BH = d\left( (Q),(P) ight) = 9;HK = d\left( (P),(R) ight) = 3$

Khi đó ta có:

$T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}} \geq 2\sqrt{AB^{2}.\frac{144}{AC^{2}}} = 24.\frac{AB}{AC} = 24.\frac{BH}{HK} = 24.\frac{9}{3} = 72$

Vậy $T_{\min} = 72$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng $(P):x + y + z - 1 = 0$ ?
- A.
  $H(0;0;1)$
- B.
  $K(0;1;0)$
- C.
  $E(1;0;0)$
- D.
  $O(0;0;0)$
Dễ thấy điểm $O(0;0;0)$ không thuộc mặt phẳng $(P)$ .
Câu 3: Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; -1)$ . Biết điểm $M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +3\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm $M$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; -1)$ . Biết điểm $M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +3\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm $M$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 4: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ đều cạnh bằng $a$ . Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ . Góc giữa $AO$ và $CD$ bằng:
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $0^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Vì ABCD là tứ diện đều nên $AM\bot CD;OM\bot CD$

Ta có: $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MO} ight)$

$= \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{CD}\bot\overrightarrow{AO}$ nên số đo góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{0}$ .
Câu 5: Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với $A(1;0; - 2)$ , $B( - 2;3;4)$ , $,\ C(4; - 6;1)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AB} = (3\ ;\ - 3\ ;\ - 6)$ . Sai||Đúng

c) Hình chiếu vuông góc của điểm $B$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ là điểm $B( - 2\ ;\ 3\ ;\ 0)$ . Đúng||Sai

d) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì tọa độ điểm D là $(1; - 3;7)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với $A(1;0; - 2)$ , $B( - 2;3;4)$ , $,\ C(4; - 6;1)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AB} = (3\ ;\ - 3\ ;\ - 6)$ . Sai||Đúng

c) Hình chiếu vuông góc của điểm $B$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ là điểm $B( - 2\ ;\ 3\ ;\ 0)$ . Đúng||Sai

d) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì tọa độ điểm D là $(1; - 3;7)$ . Sai||Đúng

Ta có:

$A(1;0; - 2)$ $\Rightarrow \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} + 0\overrightarrow{j} - 2\overrightarrow{k}$ $\Rightarrow$ a) sai.

$\overrightarrow{AB} = \left( x_{B} - x_{A}\ ;\ y_{B} - y_{A}\ ;\ z_{B} - z_{A} ight)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 3\ ;\ 3\ ;\ 6)$ $\Rightarrow$ b) sai.

c) đúng

d) Gọi $D(x;y;z)$ ,

$\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;6)$ , $\overrightarrow{DC} = (4 - x; - 6 - y;1 - z)$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 - x = - 3 \\ - 6 - y = 3 \\ 1 - z = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 7 \\ y = - 9 \\ z = - 5 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow D(7\ ;\ - 9\ ;\ - 5)$ .

Vậy d) sai
Câu 6: Vận dụng

Cho hình lập phương $B^{'}C$ có đường chéo $A^{'}C = \frac{3}{16}$ . Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ và điểm S thỏa mãn: $\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$ $+ \overrightarrow{OA^{'}} + \overrightarrow{OB^{'}} + \overrightarrow{OC^{'}} + \overrightarrow{OD^{'}}$ . Khi đó độ dài của đoạn $OS$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{b}$ với $a,b \in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $P = a^{2} + b^{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình lập phương $B^{'}C$ có đường chéo $A^{'}C = \frac{3}{16}$ . Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ và điểm S thỏa mãn: $\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$ $+ \overrightarrow{OA^{'}} + \overrightarrow{OB^{'}} + \overrightarrow{OC^{'}} + \overrightarrow{OD^{'}}$ . Khi đó độ dài của đoạn $OS$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{b}$ với $a,b \in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $P = a^{2} + b^{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1)$ và mặt phẳng $(P):x + y + z - 2 = 0$ . Điểm $M(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ thỏa mãn $MA = MB = MC$ . Tính $T = a + 2b + 3c$ ?
- A.
  $5$
- B.
  $3$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Ta có $M(a; b; c) ∈ (P) ⇔ a + b + c − 2 = 0 (1)$

$MA^2 = (a − 2)^2 + (b − 0)^2 + (c − 1)^2 = a ^2 + b^ 2 + c^ 2 − 4a − 2c + 5$

$MB^2 = (a − 1)^2 + b^ 2 + c ^2 = a^ 2 + b^ 2 + c^ 2 − 2a + 1$

$MC^2 = (a − 1)^2 + (b − 1)^2 + (c − 1)^2 = a ^2 + b ^2 + c ^2 − 2a − 2b − 2c + 3$

Với $MA = MB$ , ta có $a + c − 2 = 0 (2)$

Với $MA = MC$ , ta có $a − b − 1 = 0 (3)$

Từ (1); (2); (3) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} a + b + c = 2 \\ a + c = 2 \\ a - b = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 4$
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + mt \\ y = t \\ z = - 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t' \\ y = 2 + 2t' \\ z = 3 - t' \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} ight)$ . Giá trị của m để hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ cắt nhau là
- A.
  $m = - 1$
- B.
  $m = 1$
- C.
  $m = 0$
- D.
  $m = 2$
Đường thẳng $d_{1}$ đi qua A(1; 0; −1), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (m;1;2)$

Đường thẳng $d_{2}$ đi qua B(1; 2; 3), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}} = ( - 1;2; - 1)$

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 5;m - 2;2m + 1)$ và $\overrightarrow{AB} = (0;2;4)$

Hai đường thẳng d và d 0 cắt nhau $\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow m = 0$
Câu 9: Nhận biết
Cho $A( - 1;2;1)$ và hai mặt phẳng $(P):2x + 4y - 6z - 5 = 0;(Q):x + 2y - 3z = 0$ . Khi đó:
- A.
  mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ và $(Q)//(P)$ .
- B.
  mặt phẳng $(Q)$ không qua $A$ và không song song với mặt phẳng $(P)$ .
- C.
  mặt phẳng $(Q)$ không qua $A$ và $(Q)//(P)$ .
- D.
  mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ và mặt phẳng $(Q)$ cắt mặt phẳng $(P)$ .
Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn, do đó A ∈ (Q).

Vì ${\overrightarrow{n}}_{(P)} = (2;4; - 6) = 2(1;2; - 3) = {\overrightarrow{n}}_{(Q)}$ nên $(Q)//(P)$ .
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(1;1;2)$ và $B(2; - 1;0)$ là:
- A.
  $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{2}$
- B.
  $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{2}$
- C.
  $\frac{x}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z - 4}{- 2}$
- D.
  $\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{- 2}$
Ta có $\overrightarrow{AB} = (1, - 2, - 2)$

Phương trình đường thẳng AB đi qua $B(2; - 1;0)$ nhận vectơ $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là: $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{2}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = \frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = a^{2}$
- C.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = a^{2}\sqrt{2}$
- D.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = 2a^{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{B'C'}$ nên $\left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight) = \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} ight) = \widehat{CAD} = 45^{0}$

Suy ra $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}= \left| \overrightarrow{AC} ight|.\left|\overrightarrow{B'C'} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight)$

$=a\sqrt{2}.a.\cos45^{0} =a^{2}$
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ tạo với nhau một góc $120^{0}$ . Biết rằng $\left| \overrightarrow{u} ight| = 2;\left| \overrightarrow{v} ight| = 5$ , tính $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight|$ ?
- A.
  $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{19}$
- B.
  $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = - 5$
- C.
  $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = 7$
- D.
  $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{39}$
Ta có: $\left( \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| ight)^{2} = \left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight)^{2} = {\overrightarrow{u}}^{2} + 2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} + {\overrightarrow{v}}^{2}$

$= \left| \overrightarrow{u} ight|^{2} + 2\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) + \left| \overrightarrow{v} ight|^{2} = 2^{2} + 2.2.5.\left( - \frac{1}{2} ight) + 5^{2} = 19$

$\Rightarrow \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{19}$

Vậy đáp án đúng là: $\left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{19}$ .
Câu 13: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(P)$ qua hai điểm $M(1;8;0), C(0;0;3)$ cắt các nửa trục dương Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OG nhỏ nhất (G là trọng tâm tam giác ABC). Biết $G( a, b ,c)$ . Tính $P=a+b+c$ .
- A. 7
- B. 12
- C. 3
- D. 6
Gọi $A(m;0;0), B(0;n;0)$ mà $C(0;0;3)$ nên $G(\frac{m}{3};\frac{n}{3};1)$ và $OG^2=\frac{1}{9} (m^2+n^2)+1$ .
$(P):\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{3}=1.(P)$ qua hai điểm $M(1; 8; 0)$ nên $\frac{1}{m}+\frac{8}{n}=1$ .
Ta có: $1=\frac{1}{m}+\frac{8}{n}=\frac{1}{m}+\frac{16}{2n} \geq\frac{(1+4)^2}{m+2n}$
$\Rightarrow m+2n \geq25$
Suy ra
$25 \leq m+2n \leq \sqrt{5(m^2+n^2)} \Leftrightarrow m^2+n^2 \geq 125$
$\Rightarrow OG^2 \geq \frac{134}{9}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{m}+ \dfrac{8}{n}=1 \\ \dfrac{m}{1}= \dfrac{n}{2} \end{matrix}ight. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=5 \\ n=10 \end{matrix}ight. \Rightarrow G(\frac{5}{3}; \frac{10}{3}; 1)$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $Oz$ và đi qua điểm $P(3; - 4;7)$ ?
- A.
  $4x - 3y = 0$
- B.
  $3x + 4y = 0$
- C.
  $4x + 3y = 0$
- D.
  $- 3x + 4y = 0$
Mặt phẳng $(P)$ có cặp véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{k} = (0;0;1),\overrightarrow{OP} = (3; - 4;7)$

Suy ra mặt phẳng có $(P)$ một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{k} \land \overrightarrow{OP} = ( - 4; - 3;0) = - 1(4;3;0)$ .

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $O(0;0;0)$ có vectơ pháp tuyến (4; 3; 0).

Vậy mặt phẳng $(P)$ có phương trình tổng quát là $4x + 3y = 0$ .
Câu 15: Nhận biết
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DH}$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Vì $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}$ ( $ADHE$ là hình vuông) nên $\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DH} ight) = \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE} ight) = \widehat{BAE} = 90^{0}$
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;0; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (4; - 6;2)$ . Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + 2t \\ y = - 3t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;0; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2; - 3;1)$ nên có phương trình tham số $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 17: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân
giác trong góc A là $\frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}$ . Biết rằng điểm $M(0; 5; 3)$ thuộc đường thẳng AB và điểm $N(1;1;0)$ thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?
- A. $\vec{u}(1;2;3)$
- B. $\vec{u}(0;-2;6)$
- C. $\vec{u}(0;1;-3)$
- D. $\vec{u}(0;1;3)$
Giả sử , $A(t; 6-4t; 6-3t)$ , ta có:
$\vec{u_d}=(1; -4; -3),$
$\vec{AM}=(-t;4t-1;-3+3t)$
$\vec{AN}=(1-t;-5+4t;3t-6)$
Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:
$\left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AM}) ight |= \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AN}) ight |$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left | 26t-13 ight |}{\sqrt{26t^2 -26t+10} } =\dfrac{\left | 26t-39 ight |}{\sqrt{26t^2 -78t+62} }$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left | 2t-1 ight |}{\sqrt{13t^2 -13t+5} } =\dfrac{\left | 2t-3 ight |}{\sqrt{13t^2 -39t+31} }$
Từ đây ta bình phương 2 vế được:
$(4t^2-4t+1)(13t^2-39t+31)=(4t^2-12t+9)(13t^2-13t+5)$
$\Leftrightarrow 14t=14$
$\Leftrightarrow t=1$
$\Rightarrow A(1;2;3)\Rightarrow \vec{AN}=(0; -1; -3)$
Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là $\vec{u}(0;1;3)$ .
Câu 18: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3;5; - 1),B(1;1;3)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight|$ ngắn nhất.
- A.
  $( - 2; - 3;0)$
- B.
  $(2; - 3;0)$
- C.
  $( - 2;3;0)$
- D.
  $(2;3;0)$
Gọi $J(x; y; z)$ là điểm sao cho $\overrightarrow{JA} + \overrightarrow{JB} = \overrightarrow{0}$ Suy ra J(2; 3; 1).

Khi đó $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JA} + \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JB} ight| = 2\left| \overrightarrow{MJ} ight|$

Vậy $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight|$ đạt GTNN khi và chỉ khi $\left| \overrightarrow{MJ} ight|$ đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).

Vậy M(2; 3; 0).
Câu 19: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Ba vectơ đồng phẳng thì có giá song song với nhau.
- B.
  Ba vectơ đồng phẳng thì có giá nằm trong một mặt phẳng.
- C.
  Nếu ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
- D.
  Nếu giá của ba vectơ đôi một vuông góc thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(0;1;1)$ và hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = - 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d_{2}:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$ . Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ , cắt đường thẳng $d_{1}$ và vuông góc với đường thẳng $d_{2}$ . Đường thẳng $d$ đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
- A.
  $N(2;1; - 5)$
- B.
  $Q(3;2;5)$
- C.
  $P( - 2; - 3;11)$
- D.
  $M(1;0; - 1)$
Gọi $\left\{ \begin{matrix} B = d_{1} \cap d \\ B \in d_{1} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} B( - 1; - 1 + t;t) \\ \overrightarrow{AB} = ( - 1;t - 2;t - 1) \\ \end{matrix} ight.$

$d_{2}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (3;1;1)$ .

Do $d\bot d_{2}$ nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow - 3 + t - 2 + t - 1 = 0$

$\Leftrightarrow t = 3 \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1;1;2)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AN} = (2;0;6);\overrightarrow{AQ} = (3;1;4) \\ \overrightarrow{AP} = ( - 2; - 4;10);\overrightarrow{AM} = (1; - 1; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra đường thẳng $d$ đi qua $M$ .

33 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!