Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $B(1;2; - 3),C(7;4 - 2)$ . Tìm tọa độ điểm $E$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{CE} = 2\overrightarrow{EB}$ ?
- A.
  $E\left( 3;\frac{8}{3}; - \frac{8}{3} ight)$
- B.
  $E\left( \frac{8}{3};3; - \frac{8}{3} ight)$
- C.
  $E\left( 3;3; - \frac{8}{3} ight)$
- D.
  $E\left( 1;2;\frac{1}{3} ight)$
Gọi $E(x;y;z)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{CE} = (x - 7;y - 4;z + 2) \\ 2\overrightarrow{EB} = (2 - 2x;4 - 2y; - 6 - 2z) \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra ta có:

$\overrightarrow{CE} =2\overrightarrow{EB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x - 7 = 2 - 2x \\y - 4 = 4 - 2y \\z + 2 = - 6 - 2z \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y = \dfrac{8}{3} \\z = - \dfrac{8}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow E\left( 3;\frac{8}{3}; - \dfrac{8}{3}ight)$

Vậy điểm E có tọa độ là $E\left( 3;\frac{8}{3}; - \frac{8}{3} ight)$ .
Câu 2: Nhận biết
Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{AC_{1}}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA_{1}}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AA_{1}}$
- B.
  $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}$
- C.
  $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}$
- D.
  $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AA_{1}}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AC_{1}} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}$ (Theo quy tắc hình bình hành).
Câu 3: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M;N$ xác định bởi $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}$ . Tìm giá trị $x$ để $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M;N$ xác định bởi $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}$ . Tìm giá trị $x$ để $\overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4)$ . Gọi $\overrightarrow{x}$ là vectơ thoả mãn: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\ \end{matrix} ight.$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{x}$ là:
- A.
  $(2; 3 ; 1)$ .
- B.
  $(2;3; - 2)$ .
- C.
  $(3;2; - 2)$ .
- D.
  $(1;3;2)$ .
Đặt $\overrightarrow{x} = (a;b;c)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - b + 3c = - 5 \\a - 3b + 2c = - 11 \\3a + 2b - 4c = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 3 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Vậy $\overrightarrow{x} = (2;3; - 2)$ .
Câu 5: Nhận biết
Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A(3,-1, 2), B(4, -2, -1), C(2, 0, 2) là:
- A. $x+y-2=0$
- B. $x-y+2=0$
- C. $x+y+2=0$
- D. $x-y-2=0$
Theo đề bài, ta có được các vecto sau:
$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1, - 1, - 3} ight),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1,1,0} ight);\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB,} \overrightarrow {AC} } ight] = \left( {3,3,0} ight) = 3(1,1,0) = 3\overrightarrow n \end{array}$
Vì mặt phẳng đi qua 3 điểm nên VTPT của mp là tích có hướng của $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ .
Chọn $\overrightarrow n = \left( {1,1,0} ight)$ làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mp $(ABC)$ có dạng $x+y+D=0$
$(ABC)$ là mp qua A $\Leftrightarrow 3 - 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2$
Vậy phương trình $(ABC): x + y -2=0$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $M(1; - 1;2),N(3;1; - 4)$ . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của $MN$ .
- A.
  $x + y + 3z + 5 = 0$
- B.
  $x + y - 3z - 5 = 0$
- C.
  $x + y + 3z + 1 = 0$
- D.
  $x + y - 3z + 5 = 0$
Mặt phẳng trung trực $MN$ nhận $\frac{1}{2}\overrightarrow{MN} = (1;1; - 3)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm $I(2;0; - 1)$ của $MN$ nên ta có phương trình mặt phẳng $MN$ là: $x + y - 3z - 5 = 0$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha):x + 2z + 3 = 0$ . Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là:
- A.
  $\overrightarrow{b} = (2; - 1;0)$
- B.
  $\overrightarrow{v} = (1;2;3)$
- C.
  $\overrightarrow{a} = (1;0;2)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = (2;0; - 1)$
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1;0;2)$ .

Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng (α) nên có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{n} = (1;0;2)$ .
Câu 8: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): x − 4y + z + 1 = 0$ và hai điểm $A(1; 0; 2), B(2; 5; 3)$ . Đường thẳng d đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d nhỏ nhất có phương trình là
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{3}$
- B.
  $\frac{x - 1}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{1}$
- C.
  $\frac{x - 1}{5} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 1}$
- D.
  $\frac{x - 3}{2} = \frac{1 - y}{- 1} = \frac{z - 4}{2}$
Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;b;c)$

Phương trình đường thẳng d có dạng $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = bt \\ z = 2 + ct \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Do đường thẳng d k (P) nên $1 - 4b + c = 0 \Rightarrow c = 4b - 1$ .

Khoảng cách từ B đến đường thẳng d là:

$d(B;d) = \frac{\left| \overrightarrow{u} \land \overrightarrow{AB} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{378b^{2} - 216b + 54}}{\sqrt{17b^{2} - 8b + 2}}$

Xét hàm số $f(b) = \frac{378b^{2} - 216b + 54}{17b^{2} - 8b + 2}$ có

$f'(b) = \frac{648b^{2} - 324b}{\left( 17b^{2} - 8b + 2 ight)^{2}} \Rightarrow f'(b) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} b = 0 \\ b = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta được khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất tại $b = \frac{1}{2}$

Khi đó $\overrightarrow{u} = \left( 1;\frac{1}{2};1 ight)$ , chọn $\overrightarrow{u} = (2;1;2)$ .

Phương trình đường thẳng $d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$ hay $\frac{x - 3}{2} = \frac{1 - y}{- 1} = \frac{z - 4}{2}$ .
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha):x + y = 0\ ,(\alpha'):2x - y + z - 15= 0$ . Tìm tọa độ giao điểm $I$ của đường thẳng $d$ và $d'$ , biết đường thẳng d' có phương trình $\left\{ \begin{matrix}x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.$
- A.
  $I(0;0; - 1)$
- B.
  $I(0;0;2)$
- C.
  $I(1;2;3)$
- D.
  $I(4; - 4;3)$
Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{ \begin{matrix}x + y = 0 \\2x - y + z - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - t + 2 + 2t = 0 \\2(1 - t) - (2 + 2t) + 3 - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - 3 \\x = 4 \\y = - 4 \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(4; - 4;3)$
Câu 10: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A(1;2;3),B(3;4;4),C(2;6;6)$ và $I(a;b;c)$ là trực tâm tam giác $ABC$ . Tính $a + b + c$ ?
- A.
  $\frac{46}{5}$
- B.
  $\frac{31}{3}$
- C.
  $\frac{63}{5}$
- D.
  $10$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BC} = ( - 1;2;2);\overrightarrow{AC} = (1;4;3) \\ \overrightarrow{AI} = (a - 1;b - 2;c - 3) \\ \overrightarrow{BI} = (a - 3;b - 4;c - 4) \\ (ABC):2x - 5y + 6z - 10 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Lại có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ I \in (ABC) \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1(a - 1) + 2(b - 2) + 2(c - 3) = 0 \\1(a - 3) + 4(b - 4) + 3(c - 4) = 0 \\2a - 5b + 6c - 10 = 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{27}{5} \\b = 4 \\c = \dfrac{16}{5} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b + c = \dfrac{63}{5}$
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông $ABCD$ , $B(3;0;8),D( - 5; - 4;0)$ . Biết đỉnh $A$ thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} ight|$ bằng:
- A.
  $6\sqrt{10}$
- B.
  $10\sqrt{6}$ .
- C.
  $10\sqrt{5}$ .
- D.
  $5\sqrt{10}$ .
Ta có trung điểm BD là $I( - 1; - 2;4),BD = 12$ và điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên $A(a;b;0)$ . Lại có: ABCD là hình vuông $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB^{2} = AD^{2} \\ AI^{2} = \left( \frac{1}{2}BD ight)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 3)^{2} + b^{2} + 8^{2} = (a + 5)^{2} + (b + 4)^{2} \\ (a + 1)^{2} + (b + 2)^{2} + 4^{2} = 36 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 4 - 2a \\ (a + 1)^{2} + (6 - 2a)^{2} = 20 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a = \frac{17}{5} \\b = \dfrac{- 14}{5} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}A(1;2;0)(tm) \\A\left( \dfrac{17}{5};\dfrac{- 14}{5};0 ight)(ktm) \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow A(1;2;0) \Rightarrow C( - 3; - 6;8) \Rightarrow \overrightarrow{CA} = (4;8; - 8);\overrightarrow{CB} = (6;6;0)$

$\Rightarrow \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = (10;14; - 8) \Rightarrow \left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} ight| = 6\sqrt{10}$
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có tọa độ các điểm $B( - 1;2;1),B'( - 2;1;0),C'(5;3;2)$ . Xác định tọa độ điểm $C$ ?
- A.
  $C(6;4;3)$
- B.
  $C(4; - 1;2)$
- C.
  $C(2;3; - 5)$
- D.
  $C(3; - 5; - 1)$
Hình vẽ minh họa

Gọi tọa độ điểm $C(x;y;z)$

Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên

$\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - x = - 2 - ( - 1) \\ 3 - y = 1 - 2 \\ 2 - z = 0 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 6 \\ y = 4 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ $C(6;4;3)$ .
Câu 13: Vận dụng cao
Cho đường thẳng $d:\left\{\begin{matrix} x=-t \\ y=2t-1 \\ z=t+2\end{matrix}ight.$ và mặt phẳng $(\alpha): 2x-y-2z-2=0$ . Mặt phẳng (P) qua d và tạo với $(\alpha )$ một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:
- A. $\vec{n_p}=(-1;1;1)$
- B. $\vec{n_p}=(1;2;-3)$
- C. $\vec{n_p}=(2;1;0)$
- D. $\vec{n_p}=(3;-2;7)$
Gọi $\triangle = (\alpha)\cap (P), A =d \cap(\alpha), B \in d(Beq A)$ ;
H là hình chiếu vuông góc của B lên $(\alpha )$ ; K là hình chiếu của H lên $\triangle$ .
Suy ra: $(\widehat{(d),(\alpha)})=\widehat{BAH}$ cố định; $(\widehat{(\alpha),(P)})=\widehat{BKH}$ .
Mà $\widehat{BKH} \geqslant \widehat{BAH}$ (vì $HK \leq HA$ ) $\Rightarrow (\widehat{d, (\alpha)}) \leq (\widehat{(P),(\alpha)} )$
Suy ra $(\widehat{(P),(\alpha)})$ nhỏ nhất bằng $(\widehat{d, (\alpha)})$ khi $K\equiv A$ .
Khi đó $\triangle \perp d$ và có một VTCP $\vec{u_\triangle} = [\vec{u_d}, \vec{u_\alpha}]=-3(1;0;1)$ .
Vậy (P) có một VTPT là $\vec{n_p} = [\vec{u_\triangle}, \vec{u_d}]=2(-1;1;1)$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , khoảng cách từ điểm $M(2; - 4; - 1)$ tới đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ bằng:
- A.
  $\sqrt{14}$
- B.
  $\sqrt{6}$
- C.
  $2\sqrt{14}$
- D.
  $2\sqrt{6}$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $N(0;2;3)$ , có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1;2)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 2;6;4)$ và $\left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack = (16;8; - 4)$ .

Vậy khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là:

$d(M;\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{336}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{14}$
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;3; - 1),B(1;2;4)$ . Phương trình đường thẳng nào được cho dưới đây không phải là phương trình đường thẳng $AB$ ?
- A.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5}$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 3 - t \\ z = - 1 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 - t \\ z = 4 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 4}{- 5}$
Ta có $\overrightarrow{BA} = (1;1; - 5)$

Vì điểm $A(2;3; - 1) otin \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5}$ nên $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5}$ không phải là phương trình đường thẳng AB.

Các đường thẳng còn lại đều có vectơ chỉ phương là (1; 1; −5) và đi qua điểm A(2; 3; −1) hoặc đi qua điểm B(1; 2; 4).
Câu 16: Vận dụng cao

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tứ diện $ABCD$ có $A(1;1;1),B(2;0;2),$ $C( - 1; - 1;0),D(0;3;4)$ . Trên các cạnh $AB,AC,AD$ lần lượt lấy các điểm $B';C';D'$ sao cho $\frac{AB}{AB'} + \frac{AC}{AC'} +\frac{AD}{AD'} = 4$ . Viết phương trình mặt phẳng $(B'C'D')$ biết tứ diện $AB'C'D'$ có thể tích nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tứ diện $ABCD$ có $A(1;1;1),B(2;0;2),$ $C( - 1; - 1;0),D(0;3;4)$ . Trên các cạnh $AB,AC,AD$ lần lượt lấy các điểm $B';C';D'$ sao cho $\frac{AB}{AB'} + \frac{AC}{AC'} +\frac{AD}{AD'} = 4$ . Viết phương trình mặt phẳng $(B'C'D')$ biết tứ diện $AB'C'D'$ có thể tích nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{25}$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{5}$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{25}$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{5}$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}$
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P):x + y + z - 6 = 0$ và cách đều các điểm $A(1;6;0),B( - 2;2; - 1),C(5; - 1;3)$ . Tích $T = a.b.c$ bằng
- A.
  $T = 5$
- B.
  $T = - 1$
- C.
  $T = - 8$
- D.
  $T = 6$
Do $M \in (P)$ và $MA^{2} = MB^{2} = MC^{2}$ , nên ta được hệ:

$\left\{ \begin{matrix} a + b + c = 6 \\ (a - 1)^{2} + (b - 6)^{2} + c^{2} = (a + 2)^{2} + (b - 2)^{2} + (c + 1)^{2} \\ (a - 1)^{2} + (b - 6)^{2} + c^{2} = (a - 5)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a + b + c = 6 \\ 3a + 4b + c = 14 \\ 4a - 7b + 3c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 6$
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành $ABCD$ với $A(1;1;0),B(1;1;2),D(1;0;2)$ . Diện tích hình bình hành $ABCD$ bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $3$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Gọi $S$ là diện tích hình bình hành $ABCD$ khi đó $S = \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ightbrack ight|$

Mà $\overrightarrow{AB} = (0;0;2);\overrightarrow{AD} = (0; - 1;2)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ightbrack = (2;0;0)$

$\Rightarrow \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ightbrack ight| = 2 \Rightarrow S = 2$

Vậy diện tích hình bình hành $ABCD$ bằng 2.
Câu 20: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SD =\frac{a\sqrt{17}}{2}$ , hình chiếu vuông góc $H$ của S trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm của đoạn $AB$ . Gọi $K$ là trung điểm đoạn $AD$ (tham khảo hình vẽ)
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SD =\frac{a\sqrt{17}}{2}$ , hình chiếu vuông góc $H$ của S trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm của đoạn $AB$ . Gọi $K$ là trung điểm đoạn $AD$ (tham khảo hình vẽ)
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

78 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!