Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3},d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = m \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số $m$ sao cho $d_{1},d_{2}$ chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng $\frac{5}{\sqrt{19}}$ . Tính tổng tất cả các phần tử của $S$ .
- A.
  $- 11$
- B.
  $12$
- C.
  $- 12$
- D.
  $11$
Vectơ chỉ phương của $d_{1},d_{2}$ là $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;0)$

Khi đó: $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3;3;1)$ .

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d_{1}$ song song với $d_{2}$ .

Tức là, $(P)$ qua $A(1;0;0)$ và nhận $\overrightarrow{n}$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có phương trình $(P):3x - 3y - z - 3 = 0$

Xét điểm $B(1;2;m) \in d_{2}$ . Do $d_{1},d_{2}$ chéo nhau nên $B otin (P) \Leftrightarrow m eq - 6$ .

Lại có:

$d\left( d_{1};d_{2} ight) = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow d\left( B;(P) ight) = \frac{5}{\sqrt{19}}$

$\Leftrightarrow \frac{|3 - 6 - m - 3|}{\sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 11 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng các phần tử của S là $- 1 - 11 = - 12$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 1$ . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với $(\alpha)$ .
- A.
  $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}$
- B.
  $\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}$
- C.
  $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = 0 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 1$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1; - 1;2)$ .

Đường thẳng $d_{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{d_{1}}} = (1; - 1;2) = \overrightarrow{n_{(\alpha)}}$

Suy ra $d_{1}\bot(\alpha)$ .
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):x + 2y - z + 3 = 0$ và $(Q):x - 4y + (m - 1)z + 1 = 0$ , với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ .
- A.
  $m = - 3$
- B.
  $m = - 6$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = 1$
Gọi $\overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (1;2; - 1) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 4;m - 1) \\ \end{matrix} ight.$ . Để (P) ⊥ (Q)

$\Leftrightarrow \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0$

$\Leftrightarrow 1 - 8 - (m - 1) = 0 \Leftrightarrow m = - 6$
Câu 4: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(2, - 2,1),B( - 4,2,4),C( - 4,0,1)$ . Các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $M\left( - 1,0,\frac{5}{2} ight)$ là trung điểm của $BC$ . Sai||Đúng

b) $G(-2,0,2)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Đúng||Sai

c) $N(8; - 6; - 2)$ là điểm đối xứng của $B$ qua $A$ . Đúng||Sai

d) Tọa độ điểm $E( - 14;8;11)$ thỏa $B$ là trọng tâm tam giác $AOE$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(2, - 2,1),B( - 4,2,4),C( - 4,0,1)$ . Các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $M\left( - 1,0,\frac{5}{2} ight)$ là trung điểm của $BC$ . Sai||Đúng

b) $G(-2,0,2)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Đúng||Sai

c) $N(8; - 6; - 2)$ là điểm đối xứng của $B$ qua $A$ . Đúng||Sai

d) Tọa độ điểm $E( - 14;8;11)$ thỏa $B$ là trọng tâm tam giác $AOE$ . Đúng||Sai

a) Sai: Do tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ là

$M\left( \frac{- 4 + ( - 4)}{2};\frac{2 +0}{2};\frac{4 + 1}{2} ight)$ hay $M\left( - 4;1;\frac{5}{2}ight)$

b) Đúng: Do tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là

$G\left( \frac{2 + ( - 4) + ( -4)}{3};\frac{- 2 + 2 + 0}{3};\frac{1 + 4 + 1}{3} ight)$ hay $G(- 2;0;2)$

c) Đúng: $N$ là điểm đối xứng của $B$ qua $A$ thì $B$ là trung điểm $AN$ .

$\left\{ \begin{matrix}x_{B} = \dfrac{x_{A} + x_{N}}{2} \\y_{B} = \dfrac{y_{A} + y_{N}}{2} \\z_{B} = \dfrac{z_{A} + z_{N}}{2} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{N} = 2x_{B} - x_{A} \\y_{N} = 2y_{B} - y_{A} \\z_{N} = 2z_{B} - z_{A} \\\end{matrix} ight.\ ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{N} = 8 \\ y_{N} = - 6 \\ z_{N} = - 2 \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow N(8; - 6; - 2)$

d) Đúng: $B$ là trọng tâm tam giác $AOE$ .

$\left\{ \begin{matrix}x_{B} = \dfrac{x_{A} + x_{O} + x_{E}}{3} \\y_{B} = \dfrac{y_{A} + y_{O} + y_{E}}{3} \\z_{B} = \dfrac{z_{A} + z_{O} + z_{E}}{3} \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{E} = 3x_{B} - x_{A} - x_{O} \\ y_{E} = 2y_{B} - y_{A} - y_{O} \\ z_{E} = 3z_{B} - z_{A} - z_{O} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{E} = - 14 \\ y_{E} = 8 \\ z_{E} = 11 \\ \end{matrix} \Rightarrow E( - 14;8;11) ight.$
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa các điểm $A(1; - 3;3),B(2; - 4;5),C(a; - 2;b)$ và tam giác đó nhận điểm $G(1;c;3)$ làm trọng tâm. Xác định giá trị biểu thức $P = a + b + c$ ?
- A.
  $P = - 5$
- B.
  $P = 3$
- C.
  $P = 1$
- D.
  $P = - 2$
Vì tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1 + 2 + a}{3} = 1 \\\dfrac{- 3 - 4 - 2}{3} = c \\\dfrac{3 + 5 + b}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 0 \\b = 1 \\c = - 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a + b + c = - 2$
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0$ . Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng $(\alpha)$ ?
- A.
  $M(2;0;1)$
- B.
  $N(2;1;1)$
- C.
  $P(2; - 1;1)$
- D.
  $Q(1;0;1)$
Ta thấy tọa độ điểm $Q(1;0;1)$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng $(\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0$ nên điểm $Q$ nằm trên $(\alpha)$ .
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4}$ và $d_{2}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $2x + 3y - 9 = 0,y + 2z + 5 = 0$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng là:
- A.
  Song song
- B.
  Chéo nhau
- C.
  Cắt nhau
- D.
  Trùng nhau
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + 3y - 9 = 0 \\ y + 2z + 5 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Cho $y = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(3;1; - 3) \in d_{2\ }$

Cho $y = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ z = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(0;3; - 4) \in d_{2}$

Đường thẳng d₁ đi qua M (1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1;4)$

Đường thẳng d₂ đi qua A (3; 1; −3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}} = ( - 3;2; - 1) = \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} = (2; - 6; - 6)$

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 9; - 10;7)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack\overrightarrow{AM} = - 2.9 + 6.10 - 6.7 = 0$

Do đó vị trí tương đối của hai đường thẳng là cắt nhau.
Câu 8: Thông hiểu
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 3; - 1),B(4; - 1;2)$ . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ là
- A.
  $2x + 2y + 3z + 1 = 0$
- B.
  $4x - 4y - 6z + \frac{15}{2} = 0$
- C.
  $4x + 4y + 6z - 7 = 0$
- D.
  $x + y - z = 0$
Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của $AB$ .

Tọa độ trung điểm của $AB$ là $I\left( 3; - 2;\frac{1}{2} ight)$

Vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (2;2;3)$

Phương trình mặt phẳng

$\begin{matrix}(\alpha):2(x - 3) + 2(y + 2) + 3\left( z - \dfrac{1}{2} ight) = 0 \hfill \\\Leftrightarrow 4x + 4y + 6z - 7 = 0 \hfill\\\end{matrix}$
Câu 9: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , biết mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1;4;9)$ và cắt các tia dương $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại ba điểm $A,B,C$ khác gốc tọa độ $O$ , sao cho $OA + OB + OC$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Độ dài ba cạnh $OA;OB;OC$ bằng nhau.
- B.
  Độ dài ba cạnh $OA;OB;OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
- C.
  Độ dài ba cạnh $OA;OB;OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
- D.
  Độ dài ba cạnh $OA;OB;OC$ theo thứ tự là ba số hạng của một dãy số giảm.
Vì mặt phẳng $(P)$ cắt các tia dương của trục $Ox,Oy,Oz$ nên ta có

$\frac{x}{OA} + \frac{y}{OB} + \frac{z}{OC} = 1$

Ta có $M \in (P) \Rightarrow \frac{1}{OA} + \frac{4}{OB} + \frac{9}{OC} = 1$

Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$(OA + OB + OC)\left( \frac{1}{OA} + \frac{4}{OB} + \frac{9}{OC} ight)$

$\geq \left( \sqrt{OA}.\frac{1}{\sqrt{OA}} + \sqrt{OB}.\frac{2}{\sqrt{OB}} + \sqrt{OC}.\frac{3}{\sqrt{OC}} ight)^{2} = 36$

$\Rightarrow OA + OB + OC \geq 36$

Dấu bằng xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{OA} + \dfrac{4}{OB} + \dfrac{9}{OC} = 1 \\OA = \dfrac{OB}{2} = \dfrac{OC}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}OA = 6 \\OB = 12 \\OC = 18 \\\end{matrix} ight.$

Suy ra độ dài ba cạnh $OA;OB;OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $M( - 2; - 3;1)$
- B.
  $M(2; - 3;1)$
- C.
  $M(2; - 1;3)$
- D.
  $M(2;3;1)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ $M(2; - 3;1)$ .
Câu 11: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2;3),B(1;0; - 1),C(2; - 1;2)$ . Điểm $D$ thuộc tia $Oz$ sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện $ABCD$ bằng $\frac{3\sqrt{30}}{10}$ có tọa độ là
- A.
  $(0;0;1)$
- B.
  $(0;0;3)$
- C.
  $(0;0;2)$
- D.
  $(0;0;4)$
Ta có D thuộc tia $Oz$ nên $D(0; 0; d)$ với $d > 0$ .

Tính $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0; - 2; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1; - 3; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt phẳng $(ABC)$ : có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 10; - 4;2)$ và đi qua điểm $A(1; 2; 3)$ .

$\Rightarrow (ABC): - 10(x - 1) - 4(y - 2) + 2(z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow 5x + 2y - y - 6 = 0$

Ta có $d\left( D;(ABC) ight) = \frac{3\sqrt{30}}{10} \Leftrightarrow \frac{|d + 6|}{\sqrt{30}} = \frac{3\sqrt{30}}{10}$

$\Leftrightarrow |d + 6| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} d = 3(tm) \\ d = - 15(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $D(0;0;3)$ .
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , đường thẳng $d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 3}{- 5}$ đi qua điểm nào sau đây?
- A.
  $( - 1;2; - 3)$
- B.
  $(1; - 2;3)$
- C.
  $( - 3;4;5)$
- D.
  $(3; - 4; - 5)$
Thay tọa độ điểm $(1; - 2;3)$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\frac{0}{3} = \frac{0}{- 4} = \frac{0}{- 5}$ , do đó điểm này thuộc đường thẳng $d$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và có véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (2;4;6)$ . Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng $\Delta$ ?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 5 - 2t \\ y = - 10 - 4t \\ z = - 15 - 6t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 4 + 2t \\ z = 6 + 3t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 4t \\ z = 3 + 6t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight.$
Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 14: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Vì $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ nên $A(3;0; - 1)$ .

b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2)$ .

Vì $4:2:4 eq - 2:4:2$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương suy ra $A,B,C$ không thẳng hàng.

c) Đúng

Vì $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $D( - 5;4;7)$ .

Do đó $a = - 5,b = 4,c = 7$ . Vậy $a + b + c = 6$ .

d) Đúng. Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.$

$MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$=(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$

Do $IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$ không thay đổi nên $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất hay $M$ là hình chiếu của điểm $I$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Do đó $M(1;2;0)$ suy ra $m=1,n=2,p=0$ .

Vậy $2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0$ .
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(Oyz)$ bằng:
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(Oyz)$ bằng: $90^{0}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Hai đường thẳng $\left( {d'} ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = - 3m - t\\z = 2t - 1\end{array} ight.$ và $\left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2m\\y = m + 2\\z = - m\end{array} ight.$ với cắt nhau tại M có tọa độ là :
- A. M (26, 9, - 11)
- B. M (26, - 9, - 11)
- C. M (26, - 9, 11)
- D. M (9, 26, - 11)
Để (d’) cắt (d) tại $M \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + 4t = 4 - 2m\\ - 3 - t = m + 2\\2t - 1 = - m\end{array} ight. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t + m = 1\\t + m = - 5\end{array} ight. \\\Leftrightarrow t = 6;m = - 11$
$\Rightarrow M\left( {26, - 9,11} ight)$
Câu 17: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng $(Q):x + y + z + 3 = 0$ , cách điểm $M(3;2;1)$ một khoảng bằng $3\sqrt{3}$ biết rằng tồn tại một điểm $X(a;b;c)$ trên mặt phẳng đó thỏa mãn $a + b + c < - 2$ ?
- A.
  $1$
- B.
  Vô số
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Mặt phẳng song song với (Q) có dạng $(P):x + y + z + m = 0,(m eq 3)$ mà

$d\left( M,(P) ight) = \frac{|3 + 2 + 1 + m|}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 3(ktm) \\ m = - 15 \\ \end{matrix} ight.$

Với m = −15 thì với mọi $X(a;b;c) \in (P)$ ta có $a + b + c - 15 = 0 \Leftrightarrow a + b + c = 15 > - 2$

Do đó không có mặt phẳng nào thỏa mãn đề bài
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3)$ . Thể tích tứ diện $OABC$ bằng:
- A.
  $V = \frac{1}{3}$
- B.
  $V = \frac{1}{6}$
- C.
  $V = 1$
- D.
  $V = 2$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (1;0;0) \Rightarrow OA = 1 \\ \overrightarrow{OB} = (0;2;0) \Rightarrow OB = 2 \\ \overrightarrow{OC} = (0;0;3) \Rightarrow OC = 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Dễ thấy tứ diện $OABC$ vuông tại $O$ nên

$V_{OABC} = \frac{1}{6}.OA.OB.OC = \frac{1}{6}.1.2.3 = 1$

Vậy đáp án đúng là: $V = 1$ .
Câu 19: Vận dụng cao
Cho điểm P(-3 , 1, -1) và đường thẳng (d): $\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.$
Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:
- A. P'(5, 7, 3)
- B. P' (-5, 7, -3)
- C. P' (5, -7, 3)
- D. P' (-5, -7, 3)
Chuyển (d) về dạng tham số : $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2} + 3t\\y = - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.$
Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: $3x + 4y + 2z + D = 0$ , cho qua P tính được D=7 .
Ta có (Q): $3x + 4y + 2z + 7 = 0$ .
Thế x, y, z theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được $t = \frac{1}{2}$
Giao điểm I của (d) và (Q) là I (1, -3, 1) .
Vì I là trung điểm của PP’ nên $\Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight)$ .
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 4;3)$ và $B(2;2;7)$ . Trung điểm $M$ của $AB$ có tọa độ là:
- A.
  $(4; - 2;10)$
- B.
  $(1;3;2)$
- C.
  $(2;6;4)$
- D.
  $(2; - 1;5)$
Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2; - 1;5)$

Vậy đáp án đúng là: $(2; - 1;5)$ .

78 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!