Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Với giá trị nào của thì hai mặt phẳng sau song song:
$\left( P ight):(m - 2)x - 3my + 6z - 6 = 0;\,\,\,\,\,\left( Q ight):(m - 1)x + 2y + (3 - m)z + 5 = 0$
- A. 2
- B. 3
- C. 0
- D. -1
Áp dụng điều kiện để 2 mp song song, ta xét:
${A_1}{B_2} - {A_2}{B_1} = \left( {m - 2} ight)2 + \left( {m - 1} ight)3m = 3{m^2} - m - 4 = 0$
$\Leftrightarrow m = - 1,m = \frac{4}{3}$
${B_1}{C_2} - {B_2}{C_1} = - 3m\left( {3 - m} ight) - 2.6 = 3{m^2} - 9m - 12 = 0$
$\Leftrightarrow m = - 1,m = 4$
${C_1}{A_2} - {C_1}{A_1} = 6\left( {m - 1} ight) - \left( {3 - m} ight)\left( {m - 2} ight) = {m^2} + m = 0$
$\Leftrightarrow m = - 1,m = 0$
Với $m=-1$ thoả mãn cả 3 điều kiện trên $\Rightarrow \left( P ight)//\left( Q ight)$
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;0)$ và $B(0;1;2)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $(0;1;0)$
- B.
  $(1;2;2)$
- C.
  $(1;0; - 2)$
- D.
  $( - 1;0;2)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (0 - 1;1 - 1;2 - 0) = ( - 1;0; - 2)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = (1;2;3)$ .
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(5; - 4;2),B(1;2;4)$ . Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là:
- A.
  $3x - y + 3z - 25 = 0$
- B.
  $2x - 3y - z + 8 = 0$
- C.
  $3x - y + 3z - 13 = 0$
- D.
  $2x - 3y - z - 20 = 0$
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua $A(5; - 4;2)$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ .

Do (α) vuông góc với AB nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = \overrightarrow{n_{AB}} = ( - 4;6;2)$

Vậy phương trình mặt phẳng (α) là:

$- 4(x - 5) + 6(y + 4) + 2(z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow 2x - 3y - z - 20 = 0$
Câu 4: Vận dụng
Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ . Đặt $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Gọi điểm $I \in CC'$ sao cho $\overrightarrow{C'I} = \frac{1}{3}\overrightarrow{C'C}$ , $G$ là trọng tâm tứ diện $BAB'C'$ . Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{IG}$ qua các vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ . Đáp án nào dưới đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left( - 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{b} ight)$
Ta có G là trọng tâm của tứ diện $BA'B'C'$ nên

$4\overrightarrow{IG} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA'} + \overrightarrow{IB'} + \overrightarrow{IC'}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{CB} ight) + \left( \overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'A'} ight) + \left( \overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'B'} ight) + \overrightarrow{IC'}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \overrightarrow{IC'} + \left( 2\overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{IC} ight) + \left( \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{C'B'} ight) + \overrightarrow{C'A'}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{0} + 2\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AA'} + 2\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + 2\left( \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} ight) - \overrightarrow{c}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} ight)$
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình là
- A.
  $z = 0$
- B.
  $x + y + z = 0$
- C.
  $y = 0$
- D.
  $x = 0$
Mặt phẳng $(Oxz)$ đi qua điểm $O(0;0;0)$ và nhận $\overrightarrow{j} = (0;1;0)$ là một véc-tơ pháp tuyến nên phương trình của mặt phẳng $(Oxz)$ là $(Oxz)$ .
Câu 6: Vận dụng
Cho $A(1; - 1;0)$ và $(P):2x - 2y + z - 1 = 0$ . Điểm $M(a;b;c) \in (P)$ sao cho $MA\bot OA$ và đoạn $AM$ bằng 3 lần khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $a + b + c = - 3$
- B.
  $a + b + c = 3$
- C.
  $a + b + c = 5$
- D.
  $a + b + c = - 5$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} M \in (P) \\ MA\bot OA \\ AM = 3d\left( A;(P) ight) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ 1(a - 1) - 1(b + 1) + 0(c - 0) = 0 \\ \sqrt{(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 0)^{2}} = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ a - b - 2 = 0 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = a - 2 \\ c = - 3 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ c = - 3 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b + c = - 3$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho các điểm $A(1;2;3),B(2;1;0),C(4; - 3; - 2),$ $D(3; - 2;1),E(1;1; - 1)$ . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều 5 điểm trên?
- A.
  $1$
- B.
  $4$
- C.
  $5$
- D.
  $3$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1; - 3) \\ \overrightarrow{DC} = (1; - 1; - 3) \\ \overrightarrow{AD} = (2; - 4; - 2) \\ \end{matrix} ight.$ . Suy ra $ABCD$ là hình bình hành.

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AE} = (0; - 1; - 4) \\ \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} ightbrack = ( - 10; - 4; - 2) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AE}.\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} ightbrack = 12 eq 0$ nên $E.ABCD$ là hình chóp đỉnh E có đáy ABCD là hình bình hành.

Gọi $G,H,I,K,M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $EA,EB,EC,ED$ $,AB,BC,CD,AD$ .

Do đó có 5 mặt phẳng cách đều 5 điểm là:

Mặt phẳng qua 4 trung điểm của 4 cạnh bên: (GHIK)

Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EC, ED, AD, BC: (IKQN)

Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EB, EA, AD, BC: (HGQN)

Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EA, ED, CD, AB: (GKPM)

Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EB, EC, CD, AB: (HIPM)
Câu 8: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 1}$ và hai điểm $A( - 1;3;1),B(0;2; - 1)$ . Gọi $C(m;n;p)$ là điểm thuộc đường thẳng $d$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $2\sqrt{2}$ . Giá trị của tổng $m + n + p$ bằng:
- A.
  $- 1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $- 5$
Phương trình tham số của đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = t \\ x = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Vì C thuộc d nên tọa độ của C có dạng $C( - 1 + 2t;t;2 - t)$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (2t;t - 3;1 - t) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3t - 7; - 3t - 1;3t - 3)$

Diện tích tam giác ABC là

$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = \frac{1}{2}\sqrt{(3t - 7)^{2} + ( - 3t - 1)^{2} + (3t - 3)^{2}}$

Theo bài ra ta có

$S_{\Delta ABC} = 2\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt{27t^{2} - 54t + 59} = 2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 27t^{2} - 54t + 59 = 32 \Leftrightarrow (t - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Với t = 1 thì C (1; 1; 1) nên $m = 1;n = 1;p = 1$

Vậy giá trị của tổng $m + n + p = 3$
Câu 9: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0};\widehat{CAD} = 90^{0}$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ . Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{IJ}$ ?
- A.
  $120^{0}$ .
- B.
  $90^{0}$ .
- C.
  $60^{0}$ .
- D.
  $45^{0}$ .
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ICD có I là trung điểm đoạn CD $\Rightarrow \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight)$

Tam giác ABC có $AB = AC$ và $\widehat{BAC} = 60^{0}$ suy ra tam giác $ABC$ đều suy ra $CI\bot AB$

Tương tự ta cũng có tam giác ABD đều nên $DI\bot AB$

Ta có: $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{ÂB} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight).\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{IJ}\bot\overrightarrow{AB} \Rightarrow \left( \overrightarrow{IJ};\overrightarrow{AB} ight) = 90^{0}$
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha):x + y = 0\ ,(\alpha'):2x - y + z - 15= 0$ . Tìm tọa độ giao điểm $I$ của đường thẳng $d$ và $d'$ , biết đường thẳng d' có phương trình $\left\{ \begin{matrix}x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.$
- A.
  $I(0;0; - 1)$
- B.
  $I(0;0;2)$
- C.
  $I(1;2;3)$
- D.
  $I(4; - 4;3)$
Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{ \begin{matrix}x + y = 0 \\2x - y + z - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - t + 2 + 2t = 0 \\2(1 - t) - (2 + 2t) + 3 - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - 3 \\x = 4 \\y = - 4 \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(4; - 4;3)$
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):(m - 1)x + y - 2z + m = 0$ và $(Q):2x - z + 3 = 0$ . Tìm $m$ để $(P)$ vuông góc với $(Q)$ ?
- A.
  $m = 0$
- B.
  $m = \frac{3}{2}$
- C.
  $m = 5$
- D.
  $m = - 1$
Ta có: (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau, tức là $(m - 1;1; - 2).(2;0; - 1) = 0 \Leftrightarrow m = 0$ .
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , hình chiếu vuông góc của điểm $M(2;3;4)$ trên mặt phẳng $(P):2x - y - z + 6 = 0$ là điểm nào dưới đây?
- A.
  $(2;8;2)$
- B.
  $\left( 1;\frac{7}{2};\frac{9}{2} ight)$
- C.
  $\left( 3;\frac{5}{2};\frac{7}{2} ight)$
- D.
  $(1;3;5)$
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P).

Khi đó phương trình tham số của ∆ là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 4 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (M).

Tọa độ điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix}x = 2 + 2t \\y = 3 - t \\z = 4 - t \\2x - y - z + 6 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\y = \dfrac{7}{2} \\z = \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.$

Vậy $M'\left( 1;\frac{7}{2};\frac{9}{2} ight)$
Câu 13: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Đặt $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD suy ra $\overrightarrow{BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BM}$

Ta có: $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BM}$

$= \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} ight) = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} ight)$

$= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)$

$= \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight) = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - y + 3z - 7 = 0$ và điểm $A( - 1;2;5)$ . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P)?
- A.
  $2x - y + 3z - 11 = 0$
- B.
  $2x - y + 3z + 11 = 0$
- C.
  $2x - y + 3z + 15 = 0$
- D.
  $2x - y + 3z - 9 = 0$
Mặt phẳng (Q) và song song với (P) nên (Q) có dạng $2x − y + 3z + D = 0$ , với $D eq - 7$

Vì $A ∈ (Q)$ nên $2 .(−1) − 2 + 3 . 5 + D = 0 ⇔ D = −11$ .

Vậy $(Q): 2x − y + 3z − 11 = 0$ .
Câu 15: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1; −1; 2), B(−2; 0; 3), C(0; 1; −2)$ . Điểm $M(a; b; c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho biểu thức $S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + 3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, $T = 12a + 12b + c$ có giá trị là:
- A.
  $T = - 1$
- B.
  $T = 3$
- C.
  $T = - 3$
- D.
  $T = 1$
Chọn $I$ sao cho $4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

Ta tính được $I\left( - \frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)$

Ta thấy

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight) \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} ight) + \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} ight) + \overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} \\ \end{matrix} ight.$

$S = 6{\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} + 3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI}\left( 4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} ight)$

$\Rightarrow S = 6MI^{2} +\underset{CONST}{\overset{4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +5\overrightarrow{IC}}{︸}}$

Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.

Vậy M là hình chiếu vuông góc của $I\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)$ lên (Oxy) $\Rightarrow M\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};0 ight)$

Ta xác định được $\left\{ \begin{matrix}a = - \dfrac{1}{6} \\b = \dfrac{1}{12} \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = - 1$
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (3;0;1)$ và $\overrightarrow{v} = (2;1;0)$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 8$
- B.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 6$
- C.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0$
- D.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = - 6$
Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3.2 + 0.1 + 1.0 = 6$
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D(1;8; - 2)$
- B.
  $D(11;2;2)$
- C.
  $D(1;8;2)$
- D.
  $D(11;2; - 2)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6 - x = 3 + 2 \\ 5 - y = 0 - 3 \\ - z = - 1 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 8 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;8;2)$ .
Câu 18: Nhận biết
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$ thì $d$ song song với $(P)$ .
- B.
  $\overrightarrow{u}$ không vuông góc với $\overrightarrow{n}$ thì $d$ cắt $(P)$ .
- C.
  $d$ song song với $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{n}$ .
- D.
  $d$ vuông góc với $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$ .
$\overrightarrow{u}$ vuông góc $\overrightarrow{n}$ thì d có thể nằm trong $(P)$ .
$d$ song song $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ vuông góc $\overrightarrow{n}$ .
$d$ vuông góc $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ cùng phương $\overrightarrow{n}$ .
Câu 19: Thông hiểu
Cho tứ diện đều $ABCD$ , $M$ là trung điểm cạnh $BC$ . Khi đó $\cos(AB;DM)$ bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{6}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Giả sử cạnh tứ diện bằng a

Tam giác BCD đều suy ra $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ABC đều suy ra $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{\left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{DM} ight|} =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$

Mặt khác $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AD} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$

$= \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AM} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} ight) - \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight)$

$= a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{a^{2}}{4}$

$\Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = \frac{\sqrt{3}}{6} > 0$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = (AB;DM)$

$\Rightarrow \cos(AB;DM) = \frac{\sqrt{3}}{6}$
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha):x + 3y - 5z + 6 = 0$ và $(\beta):x - y + 3z - 6 = 0$ . Phương trình tham số của $d$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 3 - t \\ y = 3 + 2t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 3 + 2t \\ z = 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 - t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Nhận thấy $A(1;1;2),B(2; - 1;1)$ đều thuộc (α) và (β) nên chúng cũng thuộc đường thẳng $d$ .

Ta có $\overrightarrow{AB} = (1; - 2; - 1)$ là một vectơ chỉ phương của $d$ .

Khi đó phương trình tham số của $d$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .

59 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!