Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 2y - 3z - 2 = 0$ . Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có một vectơ chỉ phương có tọa độ là:
- A.
  $(1; - 2;2)$
- B.
  $(1; - 2; - 3)$
- C.
  $(1;2;3)$
- D.
  $(1; - 3; - 2)$
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 2; - 3)$ .

Do $d\bot(P)$ nên vectơ $\overrightarrow{n} = (1; - 2; - 3)$ cũng là một vectơ chỉ phương của $d$ .
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $(\beta):\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z}{2}$ và vuông góc với mặt phẳng $(\beta):x + y - 2z + 1 = 0$ . Hỏi giao tuyến của $(\alpha)$ và $(\beta)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $(1; - 2;0)$
- B.
  $(2;3;3)$
- C.
  $(5;6;8)$
- D.
  $(0;1;3)$
Ta có: $(\alpha):\left\{ \begin{matrix} d \subset (\alpha)\ \\ (\beta)\bot(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A(2;3;0) \in d \Rightarrow A \in (\alpha)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}}\bot\overrightarrow{u_{d}} = (1;1;2)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}}\bot\overrightarrow{n_{\beta}} = (1;1; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A(2;3;0) \in (\alpha)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{\beta}} ightbrack = ( - 4;4;0) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $(\alpha):x - y + 1 = 0$

Khi đó giao tuyến thỏa hệ $\left\{ \begin{matrix} x - y + 1 = 0 \\ x + y - 2z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Thay các phương án vào hệ, ta nhận phương án $(2;3;3)$ .
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}$ là:
- A.
  $(2; - 1; - 3)$
- B.
  $( - 3;2; - 1)$
- C.
  $( - 1;2; - 3)$
- D.
  $(2; - 3; - 1)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 1;2; - 3)$ .
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $H(2;1;1)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $H$ và cắt các trục tọa độ tại $A;B;C$ sao cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ . Hãy viết trình mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $2x + y + z - 6 = 0$
- B.
  $x + 2y + z - 6 = 0$
- C.
  $x + 2y + 2z - 6 = 0$
- D.
  $2x + y + z + 6 = 0$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left| \begin{matrix} AB\bot OC \\ AB\bot CH \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot OH$

Chứng minh tương tự BC ⊥ OH.

Do đó $OH\bot(ABC) \Rightarrow \overrightarrow{n_{ABC}} = \overrightarrow{OH} = (2;;1)$

Suy ra $(P):2x + y + z - 6 = 0$ .
Câu 5: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x - y + z - 3 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\beta)$ sao cho phép đối xứng qua mặt phẳng $(Oxy)$ biến mặt phẳng $(\alpha)$ thành mặt phẳng $(\beta)$ .
- A.
  $(\beta):x + y - z + 3 = 0$
- B.
  $(\beta):x - y - z + 3 = 0$
- C.
  $(\beta):x + y + z - 3 = 0$
- D.
  $(\beta):x - y - z - 3 = 0$
Tọa độ giao điểm của mặt phẳng (α) với các trục tọa độ là $A(3;0;0),B(0; - 3;0),C(0;0;3)$ .

Ta có $A; B ∈ (Oxy)$ và $C ∈ Oz$ .

Kí hiệu Đ(Oxy) là phép đối xứng qua mặt phẳng Oxy.

Ta có $Đ(Oxy):(\alpha) ightarrow (\beta) \Rightarrow Đ(Oxy):(A;B;C) ightarrow (A;B;C')$ , (ảnh của A, B trùng với chính nó vì $A,B \in (Oxy)$ ).

Do C’ đối xứng với $C(0;0;3)$ qua mặt phẳng Oxy, suy ra $C'(0;0; - 3)$

Từ đó suy ra mặt phẳng (β) có phương trình theo đoạn chắn là:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{- 3} = 1 \Leftrightarrow (\beta):x - y - z - 3 = 0$
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;2),B(2; - 1;3)$ . Viết phương trình đường thẳng $AB$ ?
- A.
  $AB:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$
- B.
  $AB:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$
- C.
  $AB:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{2}$
- D.
  $AB:\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB} = (1; - 2;1)$ . Suy ra phương trình đường thẳng $AB$ là:

$AB:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$
Câu 7: Vận dụng cao
Một khối lập phương lớn tạo bởi 27 khối lập phương đơn vị. Một mặt phẳng vuông góc với đường chéo của khối lập phương lớn tại trung điểm của nó. Mặt phẳng này cắt ngang bao nhiêu khối lập phương đơn vị?
- A.
  $16$
- B.
  $17$
- C.
  $18$
- D.
  $19$
Giả sử các đỉnh của khối lập phương đơn vị là $(i,j,k)$ , với $i,j,k \in \left\{ 0;1;2;3 ight\}$ và đường chéo đang xét của khối lập phương lớn nối hai đỉnh là $O(0;0;0),A(3;3;3)$

Phương trình mặt trung trực của OA là $(\alpha):x + y + z - \frac{9}{2} = 0$

Mặt phẳng này cắt khối lập phương đơn vị khi và và chỉ khi các đầu mút $(i,j,k)$ và $(i + 1;j + 1;k + 1)$ của đường chéo của khối lập phương đơn vị nằm về hai phía đối với (α).

Do đó bài toán quy về đếm trong số 27 bộ $(i,j,k)$ , với $i,j,k \in \left\{ 0;1;2 ight\}$ , có bao nhiêu bộ ba thỏa mãn:

$\left\{ \begin{matrix} i + j + k - \frac{9}{2} < 0 \\ (i + 1) + (j + 1) + (k + 1) - \frac{9}{2} > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \frac{3}{2} < i + j + k < \frac{9}{2}$

Các bộ ba không thỏa điều kiện (1), tức là $\left\lbrack \begin{matrix} i + j + k < \frac{3}{2} \\ i + j + k > \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.$ là:

$(0;0;0),(0;0;1),(0;1;0),(1;0;0),(1;2;2),(2;1;2),(2;2;1),(2;2;2)$

Vậy có $27 - 8 = 19$ khối lập phương đơn vị bị cắt bởi (α).
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm $E(1;2;3)$ và song song với mặt phẳng $(Oxy)$ ?
- A.
  $z - 3 = 0$
- B.
  $x + y - 3 = 0$
- C.
  $x + y + z - 6 = 0$
- D.
  $z + 3 = 0$
Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là $z = 0$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$ .

Phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng

$0(x - 1) + 0(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow z = 3$ .
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2; - 1; - 3)$ và mặt phẳng $(P):3x - 2y + 4z - 5 = 0$ . Mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A$ và song song với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:
- A.
  $(Q):3x - 2y + 4z - 4 = 0$
- B.
  $(Q):3x - 2y + 4z + 4 = 0$
- C.
  $(Q):3x - 2y + 4z + 5 = 0$
- D.
  $(Q):3x + 2y + 4z + 8 = 0$
Do mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (3; - 2;4)$

Phương trình mặt phẳng (Q) là:

$3(x - 2) - 2(y - 1) + 4(z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow 3x - 2y + 4z + 4 = 0$
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2; - 3),B(2;5;7),C( - 3;1;4)$ . Xác định tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D(6;6;0)$
- B.
  $D\left( 0;\frac{8}{3};\frac{8}{3} ight)$
- C.
  $D(0;8;8)$
- D.
  $D( - 4; - 2; - 6)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 3 - x \\ 3 = 1 - y \\ 20 = 4 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = - 6 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4; - 2; - 6)$ .
Câu 11: Thông hiểu
Cho tứ diện đều $ABCD$ . Số đo giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng:
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} ight) = \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$

Suu ra $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD}$ nên số đo góc giữa hai đường thẳng $AB;CD$ bằng $90^{0}$ .
Câu 12: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(1; 1; 1)$ , đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình $\frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5};\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1}$ . Biết $B (a; b; c)$ , khi đó $a + b + c$ bằng
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $- 2$
- D.
  $2$
Hình vẽ minh họa

Giả sử đường cao là $CH:\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1}$ ta có vectơ chỉ phương của CH là $\overrightarrow {u} = (2; 5; −1)$ .

B thuộc đường trung tuyến $BM:\frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5}$ nên $B(8 + 10t; −7 − 9t; 5 + 5 t)$ .

Suy ra $\overrightarrow{AB} = (7 + 10t; - 8 - 9t;4 + 5t)$

Vì $CH ⊥ AB$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u} = 0$ $⇔ −30t−30 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ B(−2; 2; 0)$ .

Vậy $a + b + c = 0$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 3 = 0$ và $(Q):x + my + z - 1 = 0$ . Tìm tham số m để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau?
- A.
  $m = - 4$
- B.
  $m = - \frac{1}{2}$
- C.
  $m = \frac{1}{2}$
- D.
  $m = 4$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 1;2) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1;m;1) \\ \end{matrix} ight.$

Để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau thì

$\overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0 \Leftrightarrow 2 - m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 4$
Câu 14: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; -1; 0) và đường thẳng d: $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có phương trình là:
- A. $x+y-z=0$
- B. $x+y-z-2=0$
- C. $x+y-z+1=0$
- D. $-x+2y+z+5=0$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên $(\alpha)$ , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có: $d(A, d)=AK$ cố định và $d(A, (\alpha))=AH\leq AK$
Suy ra $d(A, (\alpha))$ lớn nhất bằng AK khi $H\equiv K$ .
Ta có (d): $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}$ qua M(2; -1; 1) , có VTCP $\vec{u_d} = (-1; 2; 1)$ .
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT $\vec{n_p}=[\vec{u_d}, \vec{AM}]=(2; 0; 2)$ .
Mặt phẳng $(\alpha)$ có một VTPT là $\vec{n_\alpha}=[\vec{n_p}, \vec{u_d}]=(-4; -4; 4)=-4(1;1;-1)$ và $(\alpha)$ qua M (2; -1; 1) có phương trình: $1.(x-2)+1.(y+1)-1.(z-1)=0\Leftrightarrow x+y-z=0$
Câu 15: Thông hiểu
Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Tính $\overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD}$ .
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $- 1$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = \left( \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AC} ight)\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)$

$= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = 0$
Câu 16: Thông hiểu
Gọi $H(a;b;c)$ là hình chiếu của $A(2; - 1;1)$ lên đường thẳng $(d):\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 4 + 2t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} ight.$ . Đẳng thức nào dưới đây đúng?
- A.
  $a + 2b + 3c = 10$
- B.
  $a + 2b + 3c = 5$
- C.
  $a + 2b + 3c = 8$
- D.
  $a + 2b + 3c = 12$
Vì $H \in (d) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} H(1;4 + 2t; - 2t) \\ \overrightarrow{AH} = ( - 1;5 + 2t; - 1 - 2t) \\ \end{matrix} ight.$

(d) có vtcp $\overrightarrow{u} = (0;2; - 2)$

$\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0 \Leftrightarrow ( - 1).0 + (5 + 2t)2 + ( - 1 - 2t)( - 2) = 0$

$\Leftrightarrow 8t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{3}{2}$

Suy ra $H(1;1;3)$ . Vậy $a + 2b + 3c = 12$
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian cho tứ diện đều $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$
- B.
  $\overrightarrow{AC}\bot\overrightarrow{BC}$
- C.
  $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{BC}$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
Tứ diện $ABCD$ đều nên $\overrightarrow{AD}$ không thể vuông góc với $\overrightarrow{DC}$ .

Vậy khẳng định sai là: “ $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$ ”.
Câu 18: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho vectơ $\overrightarrow{OM}$ có độ dài $\left| \overrightarrow{OM} ight| = 1$ , gọi $\alpha;\beta;\gamma$ lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ trên ba trục $Ox;Oy;Oz$ và vectơ $\overrightarrow{OM}$ . Khi đó tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $M\left(\sin\beta\cos\alpha;\sin\alpha\cos\beta;cos\gammaight)$
- B.
  $M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$
- C.
  $M\left( \sin\alpha;\sin\beta;\sin\gammaight)$
- D.
  $M\left(\sin\alpha\cos\alpha;\sin\beta\cos\beta;\sin\gamma\cos\gammaight)$
Gọi $M(x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{OM} = (x;y;z)$ và $\overrightarrow{i} = (1;0;0),\overrightarrow{j} = (0;1;0),\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

$\left\{ \begin{matrix}\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{i}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{i} ight|} = x \\\cos\beta = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{j}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = y \\\cos\gamma = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{k}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{k} ight|} = z \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(1;2;1)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho độ dài $OA,OB,OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng $2$ . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ .
- A.
  $\frac{4}{\sqrt{21}}$
- B.
  $\frac{\sqrt{21}}{21}$
- C.
  $\frac{3\sqrt{21}}{7}$
- D.
  $9\sqrt{21}$
Giả sử $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ với $a, b, c > 0$ .

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Ta có $(α)$ đi qua điểm $M(1; 2; 1)$ nên ta có $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ (∗)

Vì $OA, OB, OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên $c = 2b = 4a$ .

Thay vào (∗), ta được $\frac{1}{a} + \frac{2}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{9}{4}$

Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = \frac{9}{4}$ hay $4x + 2y + z - 9 = 0$

$\Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{| - 9|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}$ .
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ các điểm $A(1;2;0),B(2;1;1),C(0;3; - 1)$ . Cho các khẳng định sau:

(I) $BC = 2AB$ .

(II) $B \in AC$ .

(III) Ba điểm $A;B;C$ tạo thành một tam giác.

(IV) Ba điểm $A;B;C$ thẳng hàng.

Trong các khẳng định trên, khẳng định nào sai?
- A.
  $(I);(II)$
- B.
  $(II);(III)$
- C.
  $(II);(IV)$
- D.
  $(III);(IV)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1;1) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 1;1; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AB}$ nên $A$ là trung điểm của $BC$ và ba điểm $A;B;C$ thẳng hàng

Vậy các khẳng định sai là: $(II);(III)$ .

46 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!