Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(2;1;4),B( - 2;2;6),C(6;0; - 1)$ . Tích $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ bằng:
- A.
  $- 67$
- B.
  $65$
- C.
  $33$
- D.
  $67$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 4;1; - 10) \\ \overrightarrow{AC} = (4; - 1; - 5) \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 33$ .
Câu 2: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + y + z - 9 = 0$ . Hỏi có bao nhiêu điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ với $a,b,c$ là các số nguyên không âm.
- A.
  $55$
- B.
  $45$
- C.
  $50$
- D.
  $60$
Ta có $(P):x + y + z - 9 = 0 \Rightarrow \frac{x}{9} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1$ nên mặt phẳng $(P)$ đi qua các điểm $A(9; 0; 0), B(0; 9; 0), C(0; 0; 9).$

Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.

Tam giác ABC đều có các cạnh bằng $9\sqrt{2}$ , chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.

Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng $1\ + \ 2\ + \ ...\ + \ 10\ = \ 55$
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 4;3)$ và $B(2;2;7)$ . Trung điểm $M$ của $AB$ có tọa độ là:
- A.
  $(4; - 2;10)$
- B.
  $(1;3;2)$
- C.
  $(2;6;4)$
- D.
  $(2; - 1;5)$
Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2; - 1;5)$

Vậy đáp án đúng là: $(2; - 1;5)$ .
Câu 4: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;4;3)$ và mặt phẳng $(P):2y - z = 0$ . Tìm điểm $C$ thuộc $(P)$ , điểm $B$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho chu vi tam giác $ABC$ bé nhất. Giá trị chu vi tam giác $ABC$ bé nhất là:
- A.
  $4\sqrt{5}$
- B.
  $2\sqrt{5}$
- C.
  $\sqrt{5}$
- D.
  $6\sqrt{5}$
Hình vẽ minh họa:

Gọi $H;K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên các mặt phẳng (P) và (Oxy) ta được $H(1;2;4),K(1;4;0)$ .

Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng với $A$ qua các mặt phẳng (P) và (Oxy).

Khi đó ta có $AB = NB,CA = CM$ nên $AB + BC + CA = NB + BC + CM \geq MN = 2KH = 4\sqrt{5}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng MN với các mặt phẳng (Oxy) và (P).
Câu 5: Thông hiểu
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $d:\frac{x - 12}{4} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z - 1}{1}$ và mặt phẳng $(P):3x + 5y - z - 2 = 0$ ?
- A.
  $(1;0;1)$
- B.
  $(0;0; - 2)$
- C.
  $(1;1;6)$
- D.
  $(12;9;1)$
Gọi I là giao điểm của d và (P).

Ta có $I \in d \Leftrightarrow I(4t + 12;3t + 9;t + 1)$

$I \in (P) \Leftrightarrow 3(4t + 12) + 5(3t + 9) - (t + 1) - 2 = 0$

$\Leftrightarrow 26t = - 78 \Leftrightarrow t = - 3$

Suy ra $I(0;0; - 2)$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;3),B(2;3; - 4),C( - 3;1;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D( - 4; - 2;9)$
- B.
  $D( - 4;2;9)$
- C.
  $D(4; - 2;9)$
- D.
  $D(4;2; - 9)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3 - x = 1 \\ 1 - y = 3 \\ 2 - z = - 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = 9 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4; - 2;9)$ .
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = (1;3;m)$ . Xác định giá trị tham số $m$ để $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0}$ ?
- A.
  $m = - 5$
- B.
  $m = 5$
- C.
  $m = 1$
- D.
  $m = - 2$
Ta có: $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow 5 - m = 0 \Leftrightarrow m = 5$

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.
Câu 8: Thông hiểu
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành biết tọa độ các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $C$ ?
- A.
  $C(0; - 2;0)$
- B.
  $C(2;2;2)$
- C.
  $C(2;0;2)$
- D.
  $C(2; - 2;2)$
Giả sử điểm $C(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 2 - 1 \\ y + 1 = 1 - 0 \\ z - 1 = 2 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $C(2;0;2)$ .
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông và $SA$ vuông góc với đáy. Biết $B(2;3;7),D(4;1;3)$ , lập phương trình mặt phẳng $(SAC)$ .
- A.
  $x + y - 2z + 9 = 0$
- B.
  $x - y - 2z - 9 = 0$
- C.
  $x - y - 2z + 9 = 0$
- D.
  $x - y + 2z + 9 = 0$
Dễ dàng chứng minh được $(SAC)$ là mặt phẳng trung trực của $BD$ .

Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ là $\overrightarrow{BD} = (2; - 2; - 4)$ .

Mặt phẳng $(SAC)$ đi qua trung điểm $I(3;2;5)$ của $BD$ và có vtcp $\overrightarrow{BD}$ nên có phương trình: $x - y - 2z + 9 = 0$ .
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;2a;0),A'(0;0;2a)$ với $a eq 0$ . Độ dài đoạn thẳng $AC'$ là:
- A.
  $|a|$
- B.
  $|2a|$
- C.
  $3|a|$
- D.
  $\frac{3}{2}|a|$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (a;0;0) \\ \overrightarrow{AD} = (0;2a;0) \\ \overrightarrow{AA'} = (0;0;2a) \\ \end{matrix} ight.$

Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} \Rightarrow \overrightarrow{AC'} = (a;2a;2a)$

Suy ra $AC' = \left| \overrightarrow{AC'} ight| = \sqrt{a^{2} + (2a)^{2} + (2a)^{2}} = 3|a|$

Vậy độ dài AC’ bằng $3|a|$ .
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 7}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z- 9}{- 1};$ $d_{2}:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z -1}{3}$ ?
- A.
  (d₁) và (d₂) cắt nhau.
- B.
  (d₁) và (d₂) vuông góc nhau
- C.
  (d₁) và (d₂) trùng nhau
- D.
  (d₁) và (d₂) chéo nhau
Gọi $\overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của d₁ và d₂ ta chọn $\overrightarrow{u_{1}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{u_{2}} = ( - 1;2;3)$

Giả sử M₁ ∈ d₁ và M₂ ∈ d₂, ta chọn $M_{1}(7;\ 3;\ 9);M_{2}( - 1;2;3)$ suy ra $\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = ( - 8; - 1; - 6)$

Khi đó $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = (8; - 2;4)$ và $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack.\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = 0$ . Do đó (d₁) và (d₂) chéo nhau.
Câu 12: Thông hiểu
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 3; - 1),B(4; - 1;2)$ . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ là
- A.
  $2x + 2y + 3z + 1 = 0$
- B.
  $4x - 4y - 6z + \frac{15}{2} = 0$
- C.
  $4x + 4y + 6z - 7 = 0$
- D.
  $x + y - z = 0$
Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của $AB$ .

Tọa độ trung điểm của $AB$ là $I\left( 3; - 2;\frac{1}{2} ight)$

Vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (2;2;3)$

Phương trình mặt phẳng

$\begin{matrix}(\alpha):2(x - 3) + 2(y + 2) + 3\left( z - \dfrac{1}{2} ight) = 0 \hfill \\\Leftrightarrow 4x + 4y + 6z - 7 = 0 \hfill\\\end{matrix}$
Câu 13: Nhận biết
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ không cùng phương thì giá của vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack$ vuông góc với mọi mặt phẳng với giá của các vectơ $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ .
- B.
  $\left| \left\lbrack\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight| = \left|\overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|.\cos\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight)$ .
- C.
  $\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack.\overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack.\overrightarrow{v} = 0$ .
- D.
  $\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ cùng phương.
Ta có: $\left| \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight| = \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|.sin\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight)$

Vậy khẳng định sai là: $\left|\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight|= \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v}ight|.\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}ight)$ .
Câu 14: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có điểm $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ , $B(a;0;0),D(0;a;0),$ $A'(0;0;b),(a > 0,b > 0)$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $CC'$ . Giá trị của tỉ số $\frac{a}{b}$ để hai mặt phẳng $(A’BD)$ và $(MBD)$ vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có điểm $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ , $B(a;0;0),D(0;a;0),$ $A'(0;0;b),(a > 0,b > 0)$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $CC'$ . Giá trị của tỉ số $\frac{a}{b}$ để hai mặt phẳng $(A’BD)$ và $(MBD)$ vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(2;0; - 1)$ và vuông góc với $d$ .
- A.
  $(P):x - y - 2z = 0$
- B.
  $(P):x - 2y - 2 = 0$
- C.
  $(P):x + y + 2z = 0$
- D.
  $(P):x - y + 2z = 0$
Phương trình mặt phẳng (P):

$1(x - 2) - 1(y - 0) + 2(z + 1) = 0$

$\Leftrightarrow x - y + 2z = 0$
Câu 16: Vận dụng cao
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P): x-2y+2z-5=0$ và hai điểm $A(-3;0;1), B(1;-1;3)$ . Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:
- A. $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
- B. $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{-11}=\dfrac{z-1}{-2}$
- C. $\dfrac{x-3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z+1}{-2}$
- D. $\dfrac{x+2}{26}=\dfrac{y-1}{11}=\dfrac{z+3}{-2}$
Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).
Ta có: $(-3-2.0+2.1-5)(1+2.1+2.3-5) < 0 \Rightarrow A, B$ nằm về hai phía với (P).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) $\Rightarrow$ BH cố định và $d(B,(Q))=BH$ .
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay $d//(P)$ .
Ta có: $BK \geq BH \Leftrightarrow d(B, d) \geq d(B, d) \Rightarrow d (B, d)$ bé nhất bằng BH khi K trùng với điểm H.
Gọi $\vec{n}$ là VTPT của (ABH) $\Rightarrow \vec{n}=[\vec{n_p}, \vec{AB}]=(-2;6;7)$
Ta có đường thẳng d cần lập qua A, H và có VTCP là $\vec{u_d}=[\vec{n},\vec{n_P}]=(26; 11; -2)$
Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là: $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
Câu 17: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;1;0),B(2;2;2),C( - 2;3;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{2}$ . Tìm điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$ để thể tích của tứ diện $MABC$ bằng $3$ .
- A.
  $M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4}; - \frac{11}{2} ight),M\left( - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight)$
- B.
  $M\left( - \frac{3}{5}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight),M\left( - \frac{15}{2};\frac{9}{4};\frac{11}{2} ight)$
- C.
  $M\left( \frac{3}{2}; - \frac{3}{2};\frac{1}{2} ight),M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4};\frac{11}{2} ight)$
- D.
  $M\left( \frac{3}{5}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight),M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4};\frac{11}{2} ight)$
Ta có $\overrightarrow{AB} = (2;1;2),\overrightarrow{AC}( - 2;2;1)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 3; - 6;6)$

Phương trình mặt phẳng $(ABC):x + 2(y - 1) - 2z = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y - 2z - 2 = 0$

Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A suy ra

$S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{9}{2} \Rightarrow d\left( M;(ABC) ight) = \frac{3V_{M.ABC}}{S_{ABC}} = 2$

Mà $M \in d \Rightarrow M(2t + 1; - t - 2;2t + 3)$

$d\left( M;(ABC) ight) = \frac{| - 4t -10|}{3} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = - \dfrac{5}{4} \\t = - \dfrac{17}{4} \\\end{matrix} ight.$

Với $t = - \frac{5}{4} \Rightarrow M\left( - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight)$

Với $t = - \frac{17}{4} \Rightarrow M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4}; - \frac{11}{2} ight)$
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = - t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d':\frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{2}$ . Vị trí tương đối của $d$ và $d'$ là
- A.
  Song song
- B.
  Trùng nhau
- C.
  Chéo nhau
- D.
  Cắt nhau
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (3; - 1; - 2)$ và đi qua điểm M(−1; 0; 1).

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d'}} = ( - 3;1;2)$ .

Hai vectơ $\overrightarrow{u_{d}}$ và $\overrightarrow{u_{d'}}$ cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.

Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.
Câu 19: Nhận biết
Ba mặt phẳng $x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0$ cắt nhau tại điểm $A$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $A( - 1;2; - 3)$
- B.
  $A(1; - 2;3)$
- C.
  $A( - 1; - 2;3)$
- D.
  $A(1;2;3)$
Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} x + 2y - z - 6 = 0 \\ 2x - y + 3z + 13 = 0 \\ 3x - 2y + 3z + 16 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A( - 1;2; - 3)$
Câu 20: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2)$ . Có tất cả bao nhiêu điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $M eq A,M eq B,M eq C$ và $\widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2)$ . Có tất cả bao nhiêu điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $M eq A,M eq B,M eq C$ và $\widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

78 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!