Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 1; - 2;0),B(0; - 4;0),C(0;0; - 3)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ nào dưới đây đi qua $A$ , gốc tọa độ $O$ và cách đều hai điểm $B$ và $C$ ?
- A.
  $(P):2x - y + 3z = 0$
- B.
  $(P):6x - 3y + 5z = 0$
- C.
  $(P):2x - y - 3z = 0$
- D.
  $(P): - 6x + 3y + 4z = 0$
Vì $(P)$ đi qua O nên phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng $ax + by + cz = 0\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 ight)$ .

Vì A ∈ (P) và B, C cách đều (P) nên $\left\{ \begin{matrix} - a - 2b = 0 \\ |4b| = |3c| \\ \end{matrix} ight.$

Chọn a = −6, ta có b = 3, suy ra c = ±4.

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là $−6x + 3y − 4z = 0$ hoặc $−6x + 3y + 4z = 0$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình là
- A.
  $z = 0$
- B.
  $x + y + z = 0$
- C.
  $y = 0$
- D.
  $x = 0$
Mặt phẳng $(Oxz)$ đi qua điểm $O(0;0;0)$ và nhận $\overrightarrow{j} = (0;1;0)$ là một véc-tơ pháp tuyến nên phương trình của mặt phẳng $(Oxz)$ là $(Oxz)$ .
Câu 3: Thông hiểu

Cho hai mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 3 = 0$ và $(Q):x + my + z - 1 = 0$ . Tìm tham số $m$ để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau.

Đáp án: 4

Đáp án là:

Cho hai mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 3 = 0$ và $(Q):x + my + z - 1 = 0$ . Tìm tham số $m$ để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau.

Đáp án: 4

Ta có: $\overrightarrow{n_{P}} = (2; -1;2);\overrightarrow{n_{Q}} = (1;m;1)$

Để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau thì $\overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{n_{Q}}$ .

$\Leftrightarrow 2.1 - 1.m + 2.1 = 0 \Leftrightarrow m = 4.$
Câu 4: Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1)$ . Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là $( - 4; - 1;3)$ . Đúng||Sai

c) Cho $P(1;m - 1;3)$ , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

d) Điểm $I(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn $T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1)$ . Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là $( - 4; - 1;3)$ . Đúng||Sai

c) Cho $P(1;m - 1;3)$ , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

d) Điểm $I(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn $T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

a) Sai: Hình chiếu của điểm $M$ trên trục $Oy$ có tọa độ là $(0;3;0)$

b) Đúng: Vì $N$ là trung điểm của $ME$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1 = \dfrac{2 + x_{E}}{2} \\1 = \dfrac{3 + y_{E}}{2} \\1 = \dfrac{- 1 + z_{E}}{2} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{E} = - 4 \\y_{E} = - 1 \\z_{E} = 3 \\\end{matrix} \Rightarrow E( - 4; - 1;3) ight.\ ight.$ .

c) Đúng: Ta có $\overrightarrow{NM} = (3;2; - 2);\overrightarrow{NP} = (2;m - 2;2)$ .

$\bigtriangleup MNP$ vuông tại $N$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{NP} = 0$

$\Leftrightarrow 3.2 + 2.(m - 2) + ( - 2).2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ .

d) Sai.

Gọi $J(x;y;z)$ thỏa $3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{JN} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - ( - 1 - x) = 0 \\3(3 - y) - (1 - y) = 0 \\3( - 1 - z) - (1 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{2} \\y = 4 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.$

Suy ra $J\left( \frac{7}{2};4; - 2 ight)$ .

Khi đó $T = |3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN}| = |3\overrightarrow{IJ} + 3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{IJ} - \overrightarrow{JN}| = |2\overrightarrow{IJ}| = 2IJ$ .

$T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $I$ là hình chiếu của $J$ trên $(Oxy)$

$\Leftrightarrow I\left( \frac{7}{2};4;0 ight)$ .

Vậy $a = \frac{7}{2};b = 4;c = 0$ .

Suy ra $2a+b+c=11$
Câu 5: Vận dụng
Với giá trị nào của thì hai mặt phẳng sau song song:
$\left( P ight):(m - 2)x - 3my + 6z - 6 = 0;\,\,\,\,\,\left( Q ight):(m - 1)x + 2y + (3 - m)z + 5 = 0$
- A. 2
- B. 3
- C. 0
- D. -1
Áp dụng điều kiện để 2 mp song song, ta xét:
${A_1}{B_2} - {A_2}{B_1} = \left( {m - 2} ight)2 + \left( {m - 1} ight)3m = 3{m^2} - m - 4 = 0$
$\Leftrightarrow m = - 1,m = \frac{4}{3}$
${B_1}{C_2} - {B_2}{C_1} = - 3m\left( {3 - m} ight) - 2.6 = 3{m^2} - 9m - 12 = 0$
$\Leftrightarrow m = - 1,m = 4$
${C_1}{A_2} - {C_1}{A_1} = 6\left( {m - 1} ight) - \left( {3 - m} ight)\left( {m - 2} ight) = {m^2} + m = 0$
$\Leftrightarrow m = - 1,m = 0$
Với $m=-1$ thoả mãn cả 3 điều kiện trên $\Rightarrow \left( P ight)//\left( Q ight)$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ , $d_{2}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;2;3)$ vuông góc với $d_{1}$ và cắt đường thẳng $d_{2}$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{1}$
- B.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 3}$
- C.
  $\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 5}$
- D.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{4}$
Đường thẳng $d_{2}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ có phương trình tham số là: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Gọi giao điểm của ∆ và d₂ là $B(1 - t;1 + 2t; - 1 - t)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - t;2t - 1; - t - 4)$

Đường thẳng $\Delta\bot d_{1} \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d_{1}}} = 0$

$\Rightarrow - t.3 + (2t - 1).2 + ( - t - 4)( - 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1; - 3; - 3)$ là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Phương trình $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 3}$
Câu 7: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'.$ Khẳng định nào dưới đây là sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B'C'}.$
- B.
  $\overrightarrow{D'A'} + \overrightarrow{D'C'} - \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{D'B}.$
- C.
  $\overrightarrow{A'D'} +\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC}$

Vậy đáp án sai là: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$
Câu 8: Thông hiểu
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = \frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = a^{2}$
- C.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = a^{2}\sqrt{2}$
- D.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = 2a^{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{B'C'}$ nên $\left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight) = \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} ight) = \widehat{CAD} = 45^{0}$

Suy ra $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}= \left| \overrightarrow{AC} ight|.\left|\overrightarrow{B'C'} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight)$

$=a\sqrt{2}.a.\cos45^{0} =a^{2}$
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , tìm tất cả giá trị tham số $m$ để đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1}$ song song với mặt phẳng $(P):2x + y - m^{2}z + m = 0$ .
- A.
  $m \in \left\{ - 2;2 ight\}$
- B.
  $m \in \varnothing$
- C.
  $m = - 2$
- D.
  $m = 2$
Ta có:

$d$ qua điểm $M(1; 0; 1)$ và có VTCP là $\overrightarrow{u} = (1;2;1)$

(P) có VTPT là $\overrightarrow{n} = \left( 2;1; - m^{2} ight)$

Vì d // (P) nên $\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2$

Với $m = 2, (P): 2x + y − 4z + 2 = 0 ⇒ M ∈ (P)$ (loại).

Với $m = −2, (P): 2x + y − 4z − 2 = 0$ $\Rightarrow M otin (P)$ (thỏa mãn).
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , hãy viết phương trình của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M( - 1;0;0)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):x + 2y - z + 1 = 0$ ?
- A.
  $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$
- B.
  $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$
- C.
  $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$
- D.
  $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M( - 1;0;0)$ và có một véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$ nên $d$ có phương trình chính tắc là $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ .
Câu 11: Vận dụng cao
Cho đường thẳng $d:\left\{\begin{matrix} x=-t \\ y=2t-1 \\ z=t+2\end{matrix}ight.$ và mặt phẳng $(\alpha): 2x-y-2z-2=0$ . Mặt phẳng (P) qua d và tạo với $(\alpha )$ một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:
- A. $\vec{n_p}=(-1;1;1)$
- B. $\vec{n_p}=(1;2;-3)$
- C. $\vec{n_p}=(2;1;0)$
- D. $\vec{n_p}=(3;-2;7)$
Gọi $\triangle = (\alpha)\cap (P), A =d \cap(\alpha), B \in d(Beq A)$ ;
H là hình chiếu vuông góc của B lên $(\alpha )$ ; K là hình chiếu của H lên $\triangle$ .
Suy ra: $(\widehat{(d),(\alpha)})=\widehat{BAH}$ cố định; $(\widehat{(\alpha),(P)})=\widehat{BKH}$ .
Mà $\widehat{BKH} \geqslant \widehat{BAH}$ (vì $HK \leq HA$ ) $\Rightarrow (\widehat{d, (\alpha)}) \leq (\widehat{(P),(\alpha)} )$
Suy ra $(\widehat{(P),(\alpha)})$ nhỏ nhất bằng $(\widehat{d, (\alpha)})$ khi $K\equiv A$ .
Khi đó $\triangle \perp d$ và có một VTCP $\vec{u_\triangle} = [\vec{u_d}, \vec{u_\alpha}]=-3(1;0;1)$ .
Vậy (P) có một VTPT là $\vec{n_p} = [\vec{u_\triangle}, \vec{u_d}]=2(-1;1;1)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 2; - 4)$ và $\overrightarrow{b} = (1; - 1;1)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (3; - 3; - 3)$ .
- B.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ cùng phương.
- C.
  $\left| \overrightarrow{b} ight| = \sqrt{3}$
- D.
  $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (3; - 3; - 3)$ đúng

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = 2(1; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{b} = (1; - 1;1) \\ \end{matrix} ight.$ suy ra Hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ không cùng phương.

Vậy mệnh đề sai là: “Hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ cùng phương”.
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho phương trình đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng $\Delta$ ?
- A.
  $(1;4; - 5)$
- B.
  $( - 1; - 4;3)$
- C.
  $(2;1;1)$
- D.
  $( - 5; - 2; - 8)$
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:

$\left\{ \begin{matrix} - 1 = 1 + 2t \\ - 4 = - 1 + 3t \\ 3 = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow M( - 1; - 4;3) \in \Delta$ .
Câu 14: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D$ và tâm $O$ . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau?
- A.
  $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$
- B.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'}$
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình bình hành suy ra $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ đúng.

Do $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ đối nhau và $\overrightarrow{BC'};\overrightarrow{D'A}$ đối nhau nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$ đúng.

Do $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD'}$ suy ra $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$ sai.

Do $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AC'}$ và $\overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{AC'}$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'}$ đúng.
Câu 15: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z - 5 = 0$ và hai điểm $A(−3; 0; 1), B(1; −1; 3)$ . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng nào cách B một khoảng cách nhỏ nhất?
- A.
  $\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}$
- B.
  $\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{- 11} = \frac{z - 1}{- 2}$
- C.
  $\frac{x - 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z + 1}{- 2}$
- D.
  $\frac{x + 2}{26} = \frac{y - 1}{11} = \frac{z + 3}{- 2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi d là đường thẳng cần tìm.

Gọi (Q) là mặt phẳng qua A(−3; 0; 1) và song song với $(P): x − 2y + 2z − 5 = 0$ .

$⇒ (Q): x − 2y + 2z + 1 = 0$ và $d ⊂ (Q)$ .

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B lên d và (Q) thì $BH > BK$ .

Do đó $d(B; d)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $H ≡ K$ .

Đường thẳng BK đi qua B(1; −1; 3) và vuông góc với (Q) $\Rightarrow BK:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Lại có: $K = BK \cap (Q) \Rightarrow K = \left( \frac{- 1}{9};\frac{11}{9};\frac{7}{9} ight)$

Đường thẳng d qua A và nhận $\overrightarrow{AK} = \left( \frac{26}{9};\frac{11}{9};\frac{- 2}{9} ight)$ làm vectơ chỉ phương nên đường thẳng cần tìm là: $\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}$ .
Câu 16: Vận dụng cao

Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ có hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm $A(1;1;1),B(0; - 2;2)$ đồng thời cắt các trục tọa độ $Ox,Oy$ tại hai điểm cách đều $O$ . Giả sử $(P)$ có phương trình $x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1} = 0$ và $(Q)$ có phương trình $x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2} = 0$ . Tính giá trị biểu thức $U = b_{1}b_{2} +c_{1}c_{2}$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ có hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm $A(1;1;1),B(0; - 2;2)$ đồng thời cắt các trục tọa độ $Ox,Oy$ tại hai điểm cách đều $O$ . Giả sử $(P)$ có phương trình $x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1} = 0$ và $(Q)$ có phương trình $x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2} = 0$ . Tính giá trị biểu thức $U = b_{1}b_{2} +c_{1}c_{2}$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 17: Nhận biết
Cho 3 vectơ $\vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c$ đều khác $\vec{0}$ . Ba vectơ $\vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c$ đồng phẳng khi và chỉ khi (có thể chọn 2 đáp án):
- A. Hệ phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}m{b_1} + n{c_1} = {a_1}\\m{b_2} + n{c_2} = {a_2}\\m{b_3} + n{c_3} = {a_3}\end{array} ight.$ có nghiệm m, n
- B. Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}m{b_1} + n{c_1} + p{c_1} = 0\\m{b_2} + n{c_2} + p{c_2} = 0\\m{b_3} + n{c_3} + p{c_3} = 0\end{array} ight.$ có nghiệm m, n, p khác 0
- C. $\forall \vec V,\,\,\exists \alpha ,\,\beta ,\,\,\gamma \in \mathbb{R}:\vec V = \alpha \vec a + \beta \vec b + \gamma \vec c$
- D. Không có câu nào đúng
Áp dụng Điều kiện để 3 vecto đồng phẳng là:
$\vec a,\,\,\vec b,\,\,\,\vec c$ cùng vuông góc với $\vec{d} eq \vec{0}$ và có giá vuông góc với mp(P)
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tính thể tích tứ diện $OABC$ , biết $A;B;C$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $2x - 3y + 4z + 24 = 0$ với trục $Ox,Oy,Oz$ .
- A.
  $V = 192$
- B.
  $V = 288$
- C.
  $V = 96$
- D.
  $V = 78$
Theo giả thiết ta có: $A( - 12;0;0),B(0;8;0),C(0;0; - 6)$ suy ra

$V_{OABC} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.12.8.6 = 96$
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(3;2;1)$ . Viết phương trình mặt phẳng đi qua $M$ và cắt các trục $x'Ox,\ y'Oy,\ z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$ ?
- A.
  $3x + y + 2z - 14 = 0$
- B.
  $3x + 2y + z - 14 = 0$
- C.
  $\frac{x}{9} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1$
- D.
  $\frac{x}{12} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1$
Xét tứ diện OABC có các cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB\bot CM \\ AB\bot OC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(COM) \Rightarrow AB\bot OM$

Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.

Từ đó $OM ⊥ (ABC)$ .

Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận $\overrightarrow{OM} = (3;2;1)$ làm vectơ pháp tuyến là:

$3(x - 3) + 2(y - 2) + z - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 3x + 2y + z - 14 = \ 0$
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1;2;1);\overrightarrow{b} = ( - 1;3;0)$ . Vectơ $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ có tọa độ là:
- A.
  $\overrightarrow{c} = (1;7;2)$
- B.
  $\overrightarrow{c} = (1;5;2)$
- C.
  $\overrightarrow{c} = (3;7;2)$
- D.
  $\overrightarrow{c} = (1;7;3)$
Ta có: $2\overrightarrow{a} = (2;4;2)$ . Khi đó $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left( 2 + ( - 1);4 + 3;2 + 0 ight) = (1;7;2)$

Vậy $\overrightarrow{c} = (1;7;2)$

78 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!