Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;3),B(2;3; - 4),C( - 3;1;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D( - 4; - 2;9)$
- B.
  $D( - 4;2;9)$
- C.
  $D(4; - 2;9)$
- D.
  $D(4;2; - 9)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3 - x = 1 \\ 1 - y = 3 \\ 2 - z = - 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = 9 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4; - 2;9)$ .
Câu 2: Thông hiểu

Cho hai mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 3 = 0$ và $(Q):x + my + z - 1 = 0$ . Tìm tham số $m$ để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau.

Đáp án: 4

Đáp án là:

Cho hai mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 3 = 0$ và $(Q):x + my + z - 1 = 0$ . Tìm tham số $m$ để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau.

Đáp án: 4

Ta có: $\overrightarrow{n_{P}} = (2; -1;2);\overrightarrow{n_{Q}} = (1;m;1)$

Để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau thì $\overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{n_{Q}}$ .

$\Leftrightarrow 2.1 - 1.m + 2.1 = 0 \Leftrightarrow m = 4.$
Câu 3: Vận dụng

Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ . Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{IA} + (2k - 1)\overrightarrow{IB}+ k\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ . Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{IA} + (2k - 1)\overrightarrow{IB}+ k\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 4: Vận dụng
Cho tứ diện ABCD có $A\left( {5,1,3} ight),B\left( {1,6,2} ight),C\left( {5,0,4} ight),D\left( {4,0,6} ight)$ . Mặt phẳng chứa BC và song song với AD có phương trình :
- A. $8x - 7y + 5z - 60 = 0$
- B. $8x + 7y + 5z - 60 = 0$
- C. $8x - 7y - 5z - 60 = 0$
- D. $8x + 7y - 5z - 60 = 0$
Theo đề bài, từ các điểm $A\left( {5,1,3} ight),B\left( {1,6,2} ight),C\left( {5,0,4} ight),D\left( {4,0,6} ight)$ , ta tính được các vecto tương ứng là: $\overrightarrow {BC} = \left( {4, - 6,2} ight);\overrightarrow {AD} = \left( { - 1, - 1,3} ight)$
$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} } ight] = \left( { - 16, - 14, - 10} ight)$ cùng phương với $\overrightarrow n = \left( {8,7,5} ight)$
Chọn $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa BC và song song với AD.
Phương trình (P) có dạng: $8x + 7y + 5z + D = 0$
Mặt khác, điểm $B \in \left( P ight) \Leftrightarrow 8 + 42 + 10 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 60$
Vậy phương trình $(P): 8x + 7y + 5z - 60 = 0$ .
Câu 5: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba mặt phẳng $(P):x - 2y + z - 1 = 0;$ $(Q):x - 2y + z + 8 =0;$ $(R):x - 2y + z - 4 = 0$ . Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt $(P),(Q),(R)$ lần lượt tại $A,B,C$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}}$ .
- A.
  $T_{\min} = 24$
- B.
  $T_{\min} = 36$
- C.
  $T_{\min} = 72$
- D.
  $T_{\min} = 144$
Dễ dàng nhận thấy (P)//(Q)//(R).

Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ cắt (P) tại H và cắt (Q) tại K.

Ta có $BH = d\left( (Q),(P) ight) = 9;HK = d\left( (P),(R) ight) = 3$

Khi đó ta có:

$T = AB^{2} + \frac{144}{AC^{2}} \geq 2\sqrt{AB^{2}.\frac{144}{AC^{2}}} = 24.\frac{AB}{AC} = 24.\frac{BH}{HK} = 24.\frac{9}{3} = 72$

Vậy $T_{\min} = 72$ .
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho vectơ $\overrightarrow{a} = 6.\overrightarrow{i} + 8.\overrightarrow{k} + 7.\overrightarrow{j}$ . Khi đó tọa độ của $\overrightarrow{a}$ là.
- A.
  $(6;\ 8;\ 7)$ .
- B.
  $(8;\ 7;\ 6)$ .
- C.
  $(6;7; 8)$ .
- D.
  $(8;\ 6;\ 7)$
Do $\overrightarrow{a} = 6\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{k} + 7\overrightarrow{j} = 6\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} + 8\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{a} = (6;\ 7;\ 8)$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}$ . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d$ và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là $ax + by + cz + 9 = 0$ . Tính tổng $a + b + c$
- A.
  $T = 9$
- B.
  $T = 5$
- C.
  $T = 3$
- D.
  $T = 4$
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)$

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

Phương trình tham số của $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

Khi đó $\left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}$

Lại có: $\cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}$

Vậy $\widehat{NMH}$ lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

Vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)$

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)$

Phương trình mặt phẳng (P) là $1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0$

Vậy $a + b + c = 4$
Câu 8: Thông hiểu
Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ có cạnh $a$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}}$ ?
- A.
  $\frac{a^{2}}{2}$
- B.
  $a^{2}$
- C.
  $\frac{3a^{2}}{4}$
- D.
  $\frac{3a^{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD_{1}} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AD}$

Ta có: $\overrightarrow{B_{1}M} = \overrightarrow{B_{1}A} + \overrightarrow{AM}$ hay $\overrightarrow{B_{1}M} = - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

Do đó $\overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}} = AB^{2} - A_{1}A^{2} + \frac{1}{2}AD^{2} = \frac{a^{2}}{2}$
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}$ . Gọi $I$ là trung điểm của $B'C'$ , $K$ là giao điểm của $A'I$ và $B'D'$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{DK} = \frac{1}{3}\left( 4\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{DK} = \frac{1}{3}\left( 4\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{DK} = 4\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{DK} = 4\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c}$
Hình vẽ minh họa

Vì I là trung điểm của B’C’ suy ra $\overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{A'C'} = 2\overrightarrow{A'I}$

Và K là giao điểm của $A'I';B'D'$ nên theo định lí Talet $\Rightarrow \overrightarrow{A'K} = \frac{2}{3}\overrightarrow{A'I}$

Ta có: $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{A'K} = \overrightarrow{AA'} + \frac{2}{3}\overrightarrow{A'I}$

$= \overrightarrow{AA'} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{A'C'} ight) = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

Khi đó

$\overrightarrow{DK} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AK} = \left( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} ight) + \overrightarrow{AK}$

$= \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \frac{4}{3}\overrightarrow{a} - \frac{2}{3}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

Vậy $\overrightarrow{DK} = \frac{1}{3}\left( 4\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c} ight)$ .
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , trục $Ox$ có phương trình tham số là
- A.
  $x = 0$
- B.
  $y + z = 0$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$
Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$ nên có phương trình tham số là $\left\{ \begin{matrix} x = 0 + 1t \\ y = 0 + 0t \\ z = 0 + 0t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , tìm phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ cắt ba trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại ba điểm $A( - 3;0;0),B(0;4;0),C(0;0; - 2)$ ?
- A.
  $4x - 3y + 6z - 12 = 0$ .
- B.
  $4x + 3y - 6z + 12 = 0$ .
- C.
  $4x - 3y + 6z + 12 = 0$ .
- D.
  $4x + 3y + 6z + 12 = 0$ .
Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ : $\frac{x}{- 3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{- 2} = 1$

$\Leftrightarrow 4x - 3y + 6z = - 12$

$\Leftrightarrow 4x - 3y + 6z + 12 = 0$
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1; - 3;4)$ , đường thẳng $d:\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1}$ và mặt phẳng $(P):2x + z - 2 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $M$ vuông góc với d và song song với $(P)$ .
- A.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- B.
  $\Delta:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- C.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- D.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z + 4}{2}$
Đường thẳng $d:\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1}$ có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (3; - 5; - 1)$ .

Mặt phẳng $(P):2x + z - 2 = 0$ có vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = (2;0;1)$ .

Đường thẳng ∆ vuông góc với $d$ nên vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}$

Đường thẳng ∆ song song với (P) nên $\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}$

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = ( - 5; - 5;10)$

Suy ra vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \frac{- 1}{5}.\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = (1;1; - 2)$

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 1$ . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với $(\alpha)$ .
- A.
  $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}$
- B.
  $\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}$
- C.
  $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = 0 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 1$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1; - 1;2)$ .

Đường thẳng $d_{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{d_{1}}} = (1; - 1;2) = \overrightarrow{n_{(\alpha)}}$

Suy ra $d_{1}\bot(\alpha)$ .
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình bình hành $ABCD$ . Biết $A(2;1; - 3),B(0; - 2;5)$ và $C(1;1;3)$ . Diện tích hình bình hành $ABCD$ là:
- A.
  $2\sqrt{87}$
- B.
  $\frac{\sqrt{349}}{2}$
- C.
  $\sqrt{349}$
- D.
  $\sqrt{87}$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 2; - 3;8),\overrightarrow{AC} = ( - 1;0;6)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 18;4; - 3)$

Suy ra diện tích ABCD là:

$S_{ABCD} = \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \sqrt{349}$
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(0;0;1),B( - 3;2;0),C(2; - 2;3)$ . Đường cao kẻ từ $B$ của tam giác $ABC$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?
- A.
  $P( - 1;2; - 2)$
- B.
  $M( - 1;3;4)$
- C.
  $N(0;3; - 2)$
- D.
  $Q( - 5;3;3)$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 3;2;1),\overrightarrow{AC} = (2; - 2;2)$

$\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (2;4;2)$

Một vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B của tam giác $ABC$ là $\overrightarrow{u} = \frac{1}{12}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;0; - 1)$

Phương trình đường cao kẻ từ B là: $\left\{ \begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 2 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .

Ta thấy điểm $P( - 1;2; - 2)$ thuộc đường thẳng trên.
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho ba điểm $M(1;0;0),N(0; - 2;0),P(0;0;1)$ . Tính khoảng cách $h$ từ gốc toạ độ $O$ đến mặt phẳng $(MNP)$ ?
- A.
  $h = \frac{1}{3}$
- B.
  $h = \frac{1}{\sqrt{2}}$
- C.
  $h = \frac{2}{3}$
- D.
  $h = \frac{2}{\sqrt{5}}$
Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(MNP)$ có dạng:

$\frac{x}{1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 2x - y + 2z - 2 = 0$

Khoảng cách từ gốc tọa độ $(0;0;0)$ đến $(MNP)$ là: $h = \frac{| - 2|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{2}{3}$
Câu 17: Vận dụng cao
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho các điểm $A(1;2;3),B(2;1;0),C(4; - 3; - 2),$ $D(3; - 2;1),E(1;1; - 1)$ . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều 5 điểm trên?
- A.
  $1$
- B.
  $4$
- C.
  $5$
- D.
  $3$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1; - 3) \\ \overrightarrow{DC} = (1; - 1; - 3) \\ \overrightarrow{AD} = (2; - 4; - 2) \\ \end{matrix} ight.$ . Suy ra $ABCD$ là hình bình hành.

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AE} = (0; - 1; - 4) \\ \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} ightbrack = ( - 10; - 4; - 2) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AE}.\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} ightbrack = 12 eq 0$ nên $E.ABCD$ là hình chóp đỉnh E có đáy ABCD là hình bình hành.

Gọi $G,H,I,K,M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $EA,EB,EC,ED$ $,AB,BC,CD,AD$ .

Do đó có 5 mặt phẳng cách đều 5 điểm là:

Mặt phẳng qua 4 trung điểm của 4 cạnh bên: (GHIK)

Mặt phẳng qua 4 trung điểm lần lượt của EC, ED, AD, BC: (IKQN)

Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EB, EA, AD, BC: (HGQN)

Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EA, ED, CD, AB: (GKPM)

Mặt phẳng qua 4 trung điểm của EB, EC, CD, AB: (HIPM)
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ ?
- A.
  $(2;2;0)$
- B.
  $(3; - 1;3)$
- C.
  $(3; - 1;2)$
- D.
  $(0;0;2)$
Do điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên điểm đó có tọa độ dạng $(x;y;0)$

Suy ra điểm $(2;2;0)$ là đáp án cần tìm.
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(0;2; - 2),B(2;2; - 4)$ . Giả sử $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$ . Tính $T = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .
- A.
  $T = 8$
- B.
  $T = 2$
- C.
  $T = 6$
- D.
  $T = 14$
Ta có: $\overrightarrow{OA} = (0;2; - 2),\overrightarrow{OB} = (2;2; - 4)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 4; - 4; - 4)$

Mặt phẳng (OAB) đi qua O và có vec-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = - \frac{1}{4}\left\lbrack \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = (1;1;1)$ nên có phương trình $x + y + z = 0$ .

Ta xác định được $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AI} = (a;b - 2;c + 2) \\ \overrightarrow{BI} = (a - 2;b - 2;c + 4) \\ \overrightarrow{OI} = (a;\ b;\ c) \\ \end{matrix} ight.$

Theo giả thiết $\left\{ \begin{matrix} AI = BI \\ AI = OI \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + (c + 2)^{2} = (a - 2)^{2} + (c + 4)^{2} \\ (b - 2)^{2} + (c + 2)^{2} = b^{2} + c^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - c = 4\ \ \ (1) \\ - b + c = - 2\ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt khác $I \in (OAB) \Rightarrow a + b + c = 0\ (3)$

Giải hệ gồm (1), (2) và (3) ta được $a = 2,b = 0,c = - 2$ .

Vậy $I(2;0; - 2) \Rightarrow T = a^{2} + b^{2} + c^{2} = 8$ .
Câu 20: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
- B.
  Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng phương thì hai vectơ đó bằng nhau.
- C.
  Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
- D.
  Độ dài vectơ là độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.

67 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!