Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB với A\left( {\,1,\,\,4,\,\,3\,} ight);\,\,B\left( {\,3,\,\, - 6,\,\,5\,} ight).

    Vì I là trung điểm của đoạn AB nên ta có tọa độ điểm I là: I\left( {2, - 1,4} ight)

    Mặt khác, ta lại có (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB nên (P) nhận \vec{AB} làm 1 VTPT. Ta có VTPT của \left( P ight):\,\,\overrightarrow {AB} = 2\left( {1, - 5,1} ight)

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)1 + \left( {y + 1} ight)\left( { - 5} ight) + \left( {z - 4} ight).1 = 0

    \Leftrightarrow x - 5y + z - 11 = 0

  • Câu 2: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(1;0; - 1),C(2; - 1;2). Điểm D thuộc tia Oz sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện ABCD bằng \frac{3\sqrt{30}}{10} có tọa độ là

    Ta có D thuộc tia Oz nên D(0; 0; d) với d > 0.

    Tính \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0; - 2; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1; - 3; - 1) \\ \end{matrix} ight.

    Mặt phẳng (ABC): có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 10; - 4;2) và đi qua điểm A(1; 2; 3).

    \Rightarrow (ABC): - 10(x - 1) - 4(y - 2) + 2(z - 3) = 0

    \Leftrightarrow 5x + 2y - y - 6 = 0

    Ta có d\left( D;(ABC) ight) = \frac{3\sqrt{30}}{10} \Leftrightarrow \frac{|d + 6|}{\sqrt{30}} = \frac{3\sqrt{30}}{10}

    \Leftrightarrow |d + 6| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} d = 3(tm) \\ d = - 15(ktm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy D(0;0;3).

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = ( - 2;3;0) và \overrightarrow{v} = (2; - 2;1). Tính độ dài vectơ \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}?

    Ta có: \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} = ( - 2;3;0) - 2(2; - 2;1) = ( - 6;7; - 2)

    Khi đó \left| \overrightarrow{w} ight| = \sqrt{89}

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2; - 3) và B(2; - 3;1) có phương trình tham số là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (1; - 5;4)

    Đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; −3) và B(2; −3; 1) có phương trình tham số là \left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 5t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Với t = −2, ta được M(3; −8; 5) thuộc đường thẳng AB. Khi đó, đường thẳng AB có phương trình tham số \left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 8 + 5t \\ z = 5 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 5: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; −1; 2), B(1; 1; 2) và đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}. Biết điểm M(a; b; c) thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị T = a + 2b + 3c bằng:

    Vì S_{MAB} = \frac{1}{2}.AB.d(M,AB) nên SMAB nhỏ nhất khi d(M, AB) nhỏ nhất. Phương trình của AB:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Dễ dàng kiểm tra AB và d chéo nhau.

    Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB.

    Khi đó d(M, AB) = MH nhỏ nhất khi MH là đoạn vuông góc chung của d và AB.

    Ta có: M \in d \Rightarrow M( - 1 + s;s;1 + s),H \in AB

    \Rightarrow H(t; - 1 + 2t;2)

    \Rightarrow \overrightarrow{MH} = (t - s + 1;2t - s - 1;1 - s)

    Vectơ chỉ phương của d và AB theo thứ tự là \overrightarrow{u} = (1;1;1),\overrightarrow{v} = (1;2;0)

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MH}\bot\overrightarrow{u} \\\overrightarrow{MH}\bot\overrightarrow{v} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1(t - s + 1) + 1(2t - s - 1) + 1(1 - s) = 0\ \\1(t - s + 1) + 2(2t - s - 1) + 0(1 - s) = 0 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = 1 \\s = \dfrac{4}{3} \\\end{matrix} ight.

    Vậy M\left( \frac{1}{3};\frac{4}{3};\frac{7}{3} ight) \Rightarrow T = 10

  • Câu 6: Nhận biết

    Tích vô hướng của 2 vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}trong không gian được tính bằng:

    Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vecto, ta có: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight).

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Đặt \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Gọi M là trung điểm của BC. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Vì M là trung điểm của BC nên suy ra \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}

    Ta có: \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}

    = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} ight) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}

    = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} ight)

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục Ox.

    Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là (1;0;0)

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q):x + y + z - 3 = 0. Phương trình mặt phẳng (P) là:

    Ta có: (Q) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n}(1;1;1).

    Từ giả thiết, ta suy ra (P) có một vectơ pháp tuyến là \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{i} ightbrack = (0;1; - 1).

    Do (P) đi qua gốc tọa độ O nên phương trình của (P) là y - z = 0.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 2;3;3). Điểm M(a;b;c) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM. Khi đó giá trị biểu thức T = a + b - c có giá trị bằng bao nhiêu?

    Gọi tọa độ điểm M(x;y;z)

    Ta có: ABCM là hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2 - x = 1 \\ 3 - y = - 3 \\ 3 - z = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 3 \\ y = 6 \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight. suy ra điểm M( - 3;6; - 1)

    Khi đó T = a + b - c = - 3 + 6 - ( - 1) = 4.

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Ta có: \left| \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight| = \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|.sin\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight)

    Vậy khẳng định sai là: \left|\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight|= \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v}ight|.\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}ight).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0}. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{CD}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}

    = \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)

    = \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos60^{0} - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC}ight|.\cos60^{0}

    Mà AC = AD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0 \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ight) = 90^{0}

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho tứ diện OABC, có OA,OB,OC đôi một vuông góc, M là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) lần lượt là a,b,c. Tính độ dài đoạn OA,OB,OC sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất.

    Xét hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A thuộc tia Ox; B thuộc tia Oy và C thuộc tia Oz.

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix} d\left( M;(OBC) ight) = a \\ d\left( M;(OCA) ight) = b \\ d\left( M;(OAB) ight) = c \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(a;b;c)

    (ABC):\frac{x}{OA} + \frac{y}{OB} + \frac{z}{OC} = 1

    Ta có: M(a;b;c) \in (ABC) \Rightarrow 1 = \frac{a}{OA} + \frac{b}{OB} + \frac{c}{OC} \geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{OA.OB.OC}}

    \Rightarrow \frac{27abc}{OA.OB.OC} \leq1 \Rightarrow \dfrac{9abc}{\dfrac{1}{6}.OA.OB.OC} \leq 2

    \Rightarrow \frac{9abc}{V_{OABC}} \leq 2 \Rightarrow V_{OABC} = \frac{9abc}{2}

    Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi \left\{ \begin{matrix} \frac{a}{OA} = \frac{b}{OB} = \frac{c}{OC} \\ \frac{a}{OA} + \frac{b}{OB} + \frac{c}{OC} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} OA = 3a \\ OB = 3b \\ OC = 3c \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;0;1),B( - 3;2;0),C(2; - 2;3). Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC đi qua điểm nào trong các điểm sau?

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 3;2;1),\overrightarrow{AC} = (2; - 2;2)

    \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (2;4;2)

    Một vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B của tam giác ABC là \overrightarrow{u} = \frac{1}{12}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;0; - 1)

    Phương trình đường cao kẻ từ B là: \left\{ \begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 2 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

    Ta thấy điểm P( - 1;2; - 2) thuộc đường thẳng trên.

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng (d1 ): \left\{ \begin{array}{l}x - y + z - 5 = 0\\x - 3y + 6 = 0\end{array} ight. và ({d_2})\left\{ \begin{array}{l}2y + z - 5 = 0\\4x - 2y + 5z - 4 = 0\end{array} ight.

    Xét VTTĐ của (d1 ) và (d2 )? Tìm câu đúng ?

    Chuyển đường thẳng (d1 ) và (d2 ) về dạng tham số :

    ({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 + 3t\\y = t\\z = 11 - 2t\end{array} ight. \Rightarrow ({d_1}) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = (3,1, - 2) và qua A( - 6,0,11) .

    ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{15}}{4} - 3t'\\y = 3 - t'\\z = - 1 + 2t'\end{array} ight. \Rightarrow \left( {{d_2}} ight) có vectơ chỉ phương \overrightarrow b = (\frac{{15}}{4},3, - 1)

    \overrightarrow a earrow \swarrow \overrightarrow bvà hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} - 6 + 3t = \frac{{15}}{4} - 3t'\\t = 3 - t'\\11 - 2t = - 1 + 2t'\end{array} ight. vô nghiệm.

    \Rightarrow ({d_1})//(d_{2} ).

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 3 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?

    Ta có: d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 3 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \overrightarrow{u} = (2; - 3;5)

  • Câu 17: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; - 3;7),B(0;4;1), C(3;0;5),D(3;3;3). Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oyz) sao cho biểu thức \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; - 3;7),B(0;4;1), C(3;0;5),D(3;3;3). Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oyz) sao cho biểu thức \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 18: Thông hiểu

    Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d:\frac{x - 12}{4} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z - 1}{1} và mặt phẳng (P):3x + 5y - z - 2 = 0?

    Gọi I là giao điểm của d và (P).

    Ta có I \in d \Leftrightarrow I(4t + 12;3t + 9;t + 1)

    I \in (P) \Leftrightarrow 3(4t + 12) + 5(3t + 9) - (t + 1) - 2 = 0

    \Leftrightarrow 26t = - 78 \Leftrightarrow t = - 3

    Suy ra I(0;0; - 2)

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):2x - y + 3 = 0. Một véc tơ pháp tuyến của (P) có tọa độ là?

    Mặt phẳng (P) có VTPT là: \overrightarrow{n} = (2; - 1;0)

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'; đáy là hình vuông cạnh a. Trên cạnh DC;BB' lần lượt lấy các điểm M;N sao cho DM = BN = x;(0 \leq x \leq a). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng A'C và MN.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'; đáy là hình vuông cạnh a. Trên cạnh DC;BB' lần lượt lấy các điểm M;N sao cho DM = BN = x;(0 \leq x \leq a). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng A'C và MN.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 79 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập