Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa các điểm
và tam giác đó nhận điểm
làm trọng tâm. Xác định giá trị biểu thức
?
Vì tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm nên ta có hệ phương trình:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa các điểm
và tam giác đó nhận điểm
làm trọng tâm. Xác định giá trị biểu thức
?
Vì tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm nên ta có hệ phương trình:
Trong không gian
, đường thẳng đi qua
và nhận
làm vectơ chỉ phương có phương trình là:
Đường thẳng đi qua và nhận
làm vectơ chỉ phương có phương trình là
.
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian
, đường thẳng đi qua hai điểm
và
có phương trình tham số là:
Ta có:
Đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; −3) và B(2; −3; 1) có phương trình tham số là
Với t = −2, ta được M(3; −8; 5) thuộc đường thẳng AB. Khi đó, đường thẳng AB có phương trình tham số .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
. Điểm
là điểm thuộc mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó,
có giá trị là:
Chọn sao cho
Ta tính được
Ta thấy
Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.
Vậy M là hình chiếu vuông góc của lên (Oxy)
Ta xác định được
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho tổng khoảng cách từ
và
đến
lớn nhất, biết rằng
không cắt đoạn
. Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Kiểm tra : Mặt phẳng (P) có phương trình 2x − 2y − z − 1 = 0.
Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại .
Kiểm tra : Mặt phẳng (P) có phương trình x+ 2z −3 = 0.
Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B ∈ (P) nên loại .
Kiểm tra : Mặt phẳng (P) có phương trình −x + 2y − z + 2 = 0.
Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại .
Kiểm tra v: Mặt phẳng (P) có phương trình x − 2z + 1 = 0.
Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về cùng phía (P) nên chọn .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Tìm
để hai mặt phẳng
và
song song với nhau.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
Để thì
Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
. Gọi
là tập hợp tất cả các số
sao cho
chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng
. Tính tổng tất cả các phần tử của
.
Vectơ chỉ phương của là
Khi đó: .
Gọi là mặt phẳng chứa
song song với
.
Tức là, qua
và nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Ta có phương trình
Xét điểm . Do
chéo nhau nên
.
Lại có:
Vậy tổng các phần tử của S là .
Trong không gian, với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Mặt phẳng
đi qua
, trực tâm
của tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là
Ta có:
Gọi tọa độ trực tâm khi đó
Theo đề bài ta có
Gọi là VTPT của mặt phẳng
ta có:
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(0; 1; 2) có một VTPT là là
Vậy .
Trong không gian
, cho tam giác
có
. Các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a)
là trung điểm của
. Sai||Đúng
b)
là trọng tâm tam giác
. Đúng||Sai
c)
là điểm đối xứng của
qua
. Đúng||Sai
d) Tọa độ điểm
thỏa
là trọng tâm tam giác
. Đúng||Sai
Trong không gian , cho tam giác
có
. Các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) là trung điểm của
. Sai||Đúng
b) là trọng tâm tam giác
. Đúng||Sai
c) là điểm đối xứng của
qua
. Đúng||Sai
d) Tọa độ điểm thỏa
là trọng tâm tam giác
. Đúng||Sai
a) Sai: Do tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
là
hay
b) Đúng: Do tọa độ trọng tâm của tam giác
là
hay
c) Đúng: là điểm đối xứng của
qua
thì
là trung điểm
.
d) Đúng: là trọng tâm tam giác
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, viết phương trình mặt phẳng
chứa điểm
, cắt các tia
lần lượt tại
(khác
) sao cho
?
Giả sử với
.
Phương trình mặt phẳng (P) là . Theo giả thiết ta có:
Vậy phương trình mặt phẳng là
.
Trong không gian
, cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Trong không gian , cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Gọi ∆’ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng ∆ qua (Oxy). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 11; 0).
Ta thấy B(1; 2; 3) ∈ ∆ và B’(1; 2; −3) là điểm đối xứng của điểm B qua mặt phẳng (Oxy).
Đường thẳng ∆’ đi qua các điểm A, B’.
Ta có , từ đó suy ra
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
Trong không gian
, cho ba điểm
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng
?
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng là:
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Khoảng cách giữa đưởng thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Ta có: , nên đường thằng
song song với mặt phẳng
.
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng khoảng cách từ
đến mặt phẳng
:
Trong không gian với hệ toạ độ
, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : .
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC, biết:
. Tìm tọa độ vectơ trung tuyến ![]()
Ta có nên suy ra được tọa độ 2 điểm tương ứng là:
Vậy ta được: .
Vì là vecto trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC. Suy ra M có tọa độ là:
.
Suy ra ta có
Vậy .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Tính độ dài vectơ
?
Ta có:
Khi đó
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để
?
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức
?
Vì các vectơ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên