Cho hai điểm
. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
vuông góc với AB, cắt ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại M, N, E sao cho thể tích hình chóp
bằng
đvtt.
Vecto pháp tuyến của
Phương trình
cắt 3 trục tọa độ tại
Thể tích hình chóp là:
Cho hai điểm
. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
vuông góc với AB, cắt ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại M, N, E sao cho thể tích hình chóp
bằng
đvtt.
Vecto pháp tuyến của
Phương trình
cắt 3 trục tọa độ tại
Thể tích hình chóp là:
Trong không gian
, cho
. Tính diện tích tam giác
?
Ta có:
Lại có diện tích tam giác là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và hai điểm
. Tìm điểm
thuộc
sao cho
vuông tại
.
Điểm thuộc đường thẳng
nên
.
Ta có và
.
Tam giác vuông tại
khi và chỉ khi
Khi đó tọa độ điểm .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
. Biết
. Tọa độ điểm
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Trong không gian
, cho điểm
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì tọa độ điểm có
nên
.
Cho hình lập phương
. Hãy phân tích vectơ
theo các vectơ
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: (Theo quy tắc hình bình hành).
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
,
là trọng tâm của tứ diện
và
là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị của
thỏa mãn đẳng thức
?
Vì G là trọng tâm tứ diện nên
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)?
Ta thấy (α) và (β) song song với nhau nên với A(0; 2; 0) ∈ (α).
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
. Viết phương trình đường thẳng
?
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
có phương trình
. Gọi
lần lượt là giao điểm của mặt phẳng
với các trục tọa độ
. Tính thể tích
của khối chóp
.
Ta có:
cắt các trục tọa độ tại
Do đôi một vuông góc nên
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho bốn đường thẳng ![]()
![]()
![]()
. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:
Kiểm tra vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta thấy (d1) // (d2); (d4) cắt (d2), (d3).
Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2); (Q) là mặt phẳng chứa (d3) và (d4).
Gọi (∆) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên.
Ta thấy, (∆) cắt cả (d1), (d2) suy ra (∆) ⊂ (P).
(∆) cắt cả (d3),(d4) suy ra (∆) ⊂ (Q).
Mà (d2), (d4) có điểm chung nên (∆) là giao tuyến của (P) và (Q), do đó có duy nhất một đường thẳng thỏa mãn.
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
Nếu thì
Suy ra tứ giác là hình bình hành
Mệnh đề sai vì:
Trong không gian với hệ tọa độ
, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng
?
Dễ thấy điểm không thuộc mặt phẳng
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho phương trình đường thẳng
. Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng
?
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
thuộc
sao cho
ngắn nhất.
Gọi là điểm sao cho
Suy ra J(2; 3; 1).
Khi đó
Vậy đạt GTNN khi và chỉ khi
đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).
Vậy M(2; 3; 0).
Cho tứ diện
trọng tâm
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Vì G là trọng tâm tứ diện ABCD nên suy ra:
Suy ra mệnh đề sai là .
Cho tam giác ABC có
. Gọi BD và BE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc B với D và E là chân của hai phân giác này trên AC. Tính tọa độ vectơ ![]()
Gọi tọa độ điểm E là .
Ta có là trung điểm của AE nên ta tính được tọa độ điểm E lần lượt là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba mặt phẳng ![]()
![]()
. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng
lần lượt tại
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba mặt phẳng
. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng
lần lượt tại
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, tìm tất cả giá trị tham số
để đường thẳng
song song với mặt phẳng
.
Ta có:
qua điểm
và có VTCP là
(P) có VTPT là
Vì d // (P) nên
Với (loại).
Với (thỏa mãn).
Cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Mặt phẳng (P) qua d và tạo với
một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:

Gọi ;
H là hình chiếu vuông góc của B lên ; K là hình chiếu của H lên
.
Suy ra: cố định;
.
Mà (vì
)
Suy ra nhỏ nhất bằng
khi
.
Khi đó và có một VTCP
.
Vậy (P) có một VTPT là .