Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) qua A (2, 3, 1) cắt đường thẳng 
và vuông góc đường thẳng
Lấy điểm nằm trên đường thẳng (d1).
Theo đề bài, ta có (d1) qua có vecto chỉ phương là
Ta có:
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) chứa A và
(1)
Xét tiếp đường thẳng có vecto chỉ phương của là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua A và vuông góc với . Ta có phương trình mp (Q) là
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
Trong không gian với hệ toạ độ , mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng . Tính tổng .
Từ giả thiết ta có hệ phương trình:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có:
Vậy khẳng định sai là: .
Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm . Gọi là mặt phẳng đi qua và cắt các trục tọa độ tại sao cho là trực tâm tam giác . Hãy viết trình mặt phẳng .
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Chứng minh tương tự BC ⊥ OH.
Do đó
Suy ra .
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng và mặt phẳng . Điểm nào dưới đây thuộc và thỏa mãn khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng ?
Vì A ∈ (d) nên ta có tọa độ điểm A(2a; −a; a − 1).
Khoảng cách từ A đến (P) là
Với
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là , trong đó là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính ?
Đáp án: 1223
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm
trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là
, trong đó
là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính
?
Đáp án: 1223
Gọi là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ gấp 4 lần thời gian bay từ
nên
Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên và
cùng hướng.
Suy ra
Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là .
Do đó,
Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm và mặt phẳng . Tìm điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm . Gọi là mặt phẳng đi qua sao cho tổng khoảng cách từ và đến mặt phẳng lớn nhất, biết rằng không cắt đoạn . Khi đó pháp tuyến của mặt phẳng :
Hình vẽ minh họa
Lấy M là trung điểm của đoạn BC, suy ra .
Gọi lần lượt là khoảng cách từ
đến mặt phẳng (P), từ đó suy ra
.
Xét tam giác vuông , ta có
, từ đó suy ra để tổng khoảng cách từ B và C đến mặt phẳng (P) thì MM’ phải lớn nhất, điều này có nghĩa là M’ trùng với A hay MA ⊥ (P).
Từ đó suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:
Ba mặt phẳng cắt nhau tại điểm . Chọn kết luận đúng?
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Biết khác và vuông góc với cả hai vectơ . Khẳng định nào sau đây đúng?
Theo đề bài ta có: khác
và vuông góc với cả hai vectơ
nên
Vậy khẳng định đúng là
Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm . Khi đó bằng:
Ta có suy ra
Vì nên tọa độ của I có dạng
.
Vì nên ta có phương trình:
Vậy suy ra
.
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho các điểm . Tìm tọa độ điểm sao cho tứ giác là hình bình hành?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Cho hình hộp có tâm . Gọi là tâm hình bình hành . Đặt . Chọn khẳng định đúng?
Vì là tâm hình bình hành
nên
Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng ?
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
nên
có một vectơ chỉ phương là
.
Phương trình là
Kiểm tra được điểm thỏa mãn hệ (*).
Vậy phương trình: cũng là phương trình của
.
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho ba điểm . Tìm điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất?
Vì suy ra
. Ta có:
Theo bài ra:
Vậy nhỏ nhất bằng
khi
. Hay
Trong không gian với hệ tọa độ có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng , cách điểm một khoảng bằng biết rằng tồn tại một điểm trên mặt phẳng đó thỏa mãn ?
Mặt phẳng song song với (Q) có dạng mà
Với m = −15 thì với mọi ta có
Do đó không có mặt phẳng nào thỏa mãn đề bài
Mệnh đề nào sau đây sai?
Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm và . Xác định tọa độ trung điểm của ?
Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian , hãy viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng ?
Đường thẳng đi qua điểm
và có một véc-tơ chỉ phương là
nên
có phương trình chính tắc là
.
Cho điểm P(-3 , 1, -1) và đường thẳng (d):
Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:
Chuyển (d) về dạng tham số :
Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: , cho qua P tính được D=7 .
Ta có (Q): .
Thế x, y, z theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được
Giao điểm I của (d) và (Q) là I (1, -3, 1) .
Vì I là trung điểm của PP’ nên .
