Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.
- A.
  (0;435;0).
- B.
  (455;0;0).
- C.
  (0;455;0).
- D.
  (435;0;0).
Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:

$S = v.t = 890.\frac{1}{2} = 445\ \ (km).$

Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).
Câu 2: Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; -1)$ . Biết điểm $M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +3\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm $M$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; -1)$ . Biết điểm $M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +3\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm $M$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 3: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Điểm $G$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $G;S;O$ không thẳng hàng.
- B.
  $\overrightarrow{GS} = 4\overrightarrow{OG}$
- C.
  $\overrightarrow{GS} = 5\overrightarrow{OG}$
- D.
  $\overrightarrow{GS} = 3\overrightarrow{OG}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hình bình hành $ABCD$ suy ra $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$

Ta có:

$\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{GS} + 4\overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GS} + 4\overrightarrow{GO} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GS} = 4\overrightarrow{OG}$ suy ra ba điểm $G;S;O$ thẳng hàng.
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x + y - 2z + 4 = 0$ . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:
- A.
  $\overrightarrow{n} = (1;1; - 2)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 2;4)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: $\overrightarrow{n} = (1;1; - 2)$ .
Câu 5: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = - 2\overrightarrow{i} +4\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) Tọa độ điểm A là $(−2; 4; 2)$ . Đúng||Sai

b) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên trục $Ox$ là $A’(0; 4; 0)$ . Sai||Đúng

c) Trung điểm của $OA$ là $M(−1; 2; 1)$ . Đúng||Sai

d) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là $H(−2; 0; 2)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = - 2\overrightarrow{i} +4\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) Tọa độ điểm A là $(−2; 4; 2)$ . Đúng||Sai

b) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên trục $Ox$ là $A’(0; 4; 0)$ . Sai||Đúng

c) Trung điểm của $OA$ là $M(−1; 2; 1)$ . Đúng||Sai

d) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là $H(−2; 0; 2)$ . Sai||Đúng

a) Ta có $A(−2; 4; 2).$

b) Hình chiếu vuông góc của A lên Ox là $(−2; 0; 0)$ .

c) Trung điểm của $OA$ là điểm $M(−1; 2; 1)$ .

d) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là $H(0; 4; 2)$ .
Câu 6: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(4;9;1)$ , phương trình mặt phẳng $(\alpha):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ qua điểm $M$ và cắt ba tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho $OA + OB + OC$ nhỏ nhất. Tính $P = a + b + c$ .
- A.
  $P = 15$
- B.
  $P = 14$
- C.
  $P = 36$
- D.
  $P = 42$
Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt ba trục tọa độ lần lượt tại $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c > 0$ .

Do $(\alpha)$ đi qua điểm $M(4;9;1)$ nên:

$1 = \frac{4}{a} + \frac{9}{b} + \frac{1}{c} = \frac{2^{2}}{a} + \frac{3^{2}}{b} + \frac{1^{2}}{c} \geq \frac{(2 + 3 + 1)^{2}}{a + b + c} = \frac{36}{a + b + c}$

$\Rightarrow a + b + c \geq 36$

Mà OA + OB + OC = a + b + c nên OA + OB + OC nhỏ nhất khi a + b + c nhỏ nhất và bằng 36.
Câu 7: Vận dụng
Cho hình hộp chữ nhật OABC.DEFG có $OA = a;\,\,OC = b;\,\,CD = c$ . Gọi L là tâm hình hộp. Biểu thị vectơ $\overrightarrow {OL}$ theo ba vectơ $\overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow {OC}$ và $\overrightarrow {OD}$ ?
- A. $\overrightarrow {OL} \,\, = \,\,\overrightarrow {OA} \,\, + \,\,\overrightarrow {OC} \,\, + \overrightarrow {OD}$
- B. $\overrightarrow {OL} \,\, = \,\,\overrightarrow {OA} \,\, - \,\,\overrightarrow {OC} \,\, + \overrightarrow {OD}$
- C. $\overrightarrow {OL} \,\, = \,\,\frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \,\, - \,\,\overrightarrow {OC} \,\, + \,\,\frac{1}{3}\overrightarrow {OD}$
- D. $\overrightarrow {OL} \,\, = \,\,\frac{1}{2}(\overrightarrow {OA} \,\, + \,\,\overrightarrow {OC} \,\, + \overrightarrow {OD} )$
Vì I là tâm hình hộp theo giả thiết nên I là trung điểm đường chéo OF. Từ đây, suy ra
$\Rightarrow \overrightarrow {OL} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BF} } ight) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } ight)$
$\Rightarrow \overrightarrow {OL} = \left( {\frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2}} ight)$
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ các vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 1;1;0)$ ; $\overrightarrow{b} = (1;1;0)$ và $\overrightarrow{c} = (1;1;1)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{c}\bot\overrightarrow{b}$
- B.
  $\left| \overrightarrow{c} ight| = \sqrt{3}$
- C.
  $\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}$
- D.
  $\left| \overrightarrow{a} ight| = \sqrt{2}$
Ta có: $\overrightarrow{c}.\overrightarrow{b} = 1.1 + 1.1 + 1.0 = 2 eq 0$ suy ra “ $\overrightarrow{c}\bot\overrightarrow{b}$ ” là mệnh đề sai.
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(1;1;2)$ và $B(2; - 1;0)$ là:
- A.
  $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{2}$
- B.
  $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{2}$
- C.
  $\frac{x}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z - 4}{- 2}$
- D.
  $\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{- 2}$
Ta có $\overrightarrow{AB} = (1, - 2, - 2)$

Phương trình đường thẳng AB đi qua $B(2; - 1;0)$ nhận vectơ $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là: $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{2}$ .
Câu 10: Vận dụng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2;5;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d$ sao cho khoảng cách từ điểm $A$ đến $(P)$ là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(P)$ bằng:
- A.
  $\sqrt{2}$
- B.
  $\frac{3}{\sqrt{6}}$
- C.
  $\frac{11\sqrt{2}}{6}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên d và H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) thì d(A,(P)) = AH ≤ AK không đổi.

Vậy d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K, khi đó (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.

Ta tìm được $(P):x - 4y + z - 3 = 0 \Rightarrow d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .
Câu 11: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
- B.
  Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng phương thì hai vectơ đó bằng nhau.
- C.
  Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
- D.
  Độ dài vectơ là độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.
Câu 12: Thông hiểu
Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a.$ Tính $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight|$ theo $a?$
- A.
  $a \sqrt{6}.$
- B.
  $a\sqrt{3}.$
- C.
  $\frac{a\sqrt{6}}{2}.$
- D.
  $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$
Hình vẽ minh họa

Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta BCD.$

Do đó $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = \left| 3\overrightarrow{AG} ight| = 3AG.$

Ta có $BG = \frac{2}{3}BI = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.$

Mà $ABCD$ là tứ diện đều nên $AG\bot(BCD) \Rightarrow AG\bot BG.$

Suy ra $AG = \sqrt{AB^{2} - BG^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Vậy $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = 3.\frac{a\sqrt{6}}{3} = a\sqrt{6}.$
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}$ . Gọi ∆’ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng ∆ qua (Oxy). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
- A.
  $\overrightarrow{u} = ( - 1;3; - 1)$
- B.
  $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{u} = (1;3;0)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$
Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 11; 0).

Ta thấy B(1; 2; 3) ∈ ∆ và B’(1; 2; −3) là điểm đối xứng của điểm B qua mặt phẳng (Oxy).

Đường thẳng ∆’ đi qua các điểm A, B’.

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 3; - 9; - 3)$ , từ đó suy ra $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha):x + 2z + 3 = 0$ . Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là:
- A.
  $\overrightarrow{b} = (2; - 1;0)$
- B.
  $\overrightarrow{v} = (1;2;3)$
- C.
  $\overrightarrow{a} = (1;0;2)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = (2;0; - 1)$
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1;0;2)$ .

Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng (α) nên có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{n} = (1;0;2)$ .
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;3)$ và mặt phẳng $(P):2x + y - 4z + 1 = 0$ . Đường thẳng $(d)$ qua điểm $A$ , song song với mặt phẳng $(P)$ , đồng thời cắt trục $Oz$ . Viết phương trình tham số của đường thẳng $(d)$ .
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 5t \\ y = 2 - 6t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 6t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Gọi $B = d \cap Oz \Rightarrow B(0;0;b) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2;\ b - 3)$

Lại có $d\ //(P)\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} = (2;1; - 4)$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{(P)}} = 0 \Leftrightarrow - 2 - 2 - 4b + 12 = 0 \Leftrightarrow b = 2$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2 - 1)$

Do đó, (d) là đường thẳng qua B(0; 0; 2) và nhận $\overrightarrow{u} = (1;2;1)$ làm vectơ chỉ phương. Nên (d) có phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha)$ cắt các trục tọa độ tại $A,B,C$ . Biết trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G( - 1; - 3;2)$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với mặt phẳng nào sau đây?
- A.
  $6x - 2y + 3z - 1 = 0$
- B.
  $6x + 2y - 3z + 18 = 0$
- C.
  $6x + 2y + 3z - 18 = 0$
- D.
  $6x + 2y - 3z - 1 = 0$
Gọi $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ là giao điểm với ba trục tọa độ.

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên $\left\{ \begin{matrix} x_{A} + x_{B} + x_{C} = 3x_{G} \\ y_{A} + y_{B} + y_{C} = 3y_{G} \\ z_{A} + z_{B} + z_{C} = 3z_{G} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = - 9 \\ c = 6 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là $\frac{x}{- 3} + \frac{y}{- 9} + \frac{z}{6} = 1$ $\Leftrightarrow 6x + 2y - 3z + 18 = 0$

Vậy mặt phẳng song song với $(\alpha)$ trong các đáp án đã cho là $6x + 2y - 3z - 1 = 0$ .
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng song song với mặt phẳng $(\beta):2x - 4y + 4z + 3 = 0$ và cách điểm $A(2; - 3;4)$ một khoảng $k = 3$ . Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là:
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - 4y + 4z - 5 = 0\ \\ 2x - 4y + 4z - 13 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $x - 2y + 2z - 25 = 0$
- C.
  $x - 2y + 2z - 7 = 0$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x - 2y + 2z - 25 = 0\ \\ x - 2y + 2z - 7 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
Vì $(\alpha)//(\beta)$ suy ra $(\alpha):2x - 4y + 4z + m = 0;(m eq 3)$

Theo giả thiết ta có: $d\left( A;(\alpha) ight) = k = 3$

$\Leftrightarrow \frac{|32 + m|}{6} = 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 14 \\ m = - 50 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $x - 2y + 2z - 25 = 0$ hoặc $x - 2y + 2z - 7 = 0$ .
Câu 18: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $\widehat{ABC} = 30^{0}$ , $BC = 3\sqrt{2}$ , đường thẳng $BC$ có phương trình $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4}$ , đường thẳng $AB$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha):x + z - 3 = 0$ . Biết rằng đỉnh $C$ có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh $A$ .
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $3$
- C.
  $\frac{9}{2}$
- D.
  $\frac{5}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4} \\ x + z - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(2;3;1)$

Do C ∈ BC nên $C(4 + c;5 + c; - 7 - 4c)$

Theo giả thiết $BC = 3\sqrt{2}$ nên: $18(2 + c)^{2} = 18 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = - 1 \Rightarrow C(3;4; - 3) \\ c = - 3 \Rightarrow C(1;2;5) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt khác đỉnh C có cao độ âm nên C(3; 4; −3).

Gọi $A(x;y;3 - x) \in (\alpha)$ . Do $\widehat{ABC} = 30^{0}$ nên:

$\left\{ \begin{matrix} AB = \frac{3\sqrt{6}}{2} \\ AC = \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (2 - z)^{2} = \frac{27}{2} \\ (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} + (6 - z)^{2} = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ 2x^{2} - 18x + y^{2} - 8y + \frac{113}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10x + 2y - 53 = 0 \\ 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ 2x^{2} - 8x + \left( \frac{53 - 10x}{2} ight)^{2} - 6.\left( \frac{53 - 10x}{2} ight) + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 4 \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A\left( \frac{9}{2};4; - \frac{3}{2} ight)$

Vậy đáp án cần tìm là $\frac{9}{2}$ .
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x + y + z - 6 = 0$ . Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ ?
- A.
  $M(1; - 1;1)$
- B.
  $Q(3;3;0)$
- C.
  $N(2;2;2)$
- D.
  $P(1;2;3)$
Điểm $M(1; - 1;1)$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha):x + y + z - 6 = 0$ .
Câu 20: Vận dụng
Cho $A(1; - 1;0)$ và $(P):2x - 2y + z - 1 = 0$ . Điểm $M(a;b;c) \in (P)$ sao cho $MA\bot OA$ và đoạn $AM$ bằng 3 lần khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $a + b + c = - 3$
- B.
  $a + b + c = 3$
- C.
  $a + b + c = 5$
- D.
  $a + b + c = - 5$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} M \in (P) \\ MA\bot OA \\ AM = 3d\left( A;(P) ight) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ 1(a - 1) - 1(b + 1) + 0(c - 0) = 0 \\ \sqrt{(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 0)^{2}} = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ a - b - 2 = 0 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = a - 2 \\ c = - 3 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ c = - 3 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b + c = - 3$ .

47 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!