Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
, khi đó tọa độ điểm
là:
Gọi ta có:
khi đó
nên tọa độ điểm cần tìm là
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
, khi đó tọa độ điểm
là:
Gọi ta có:
khi đó
nên tọa độ điểm cần tìm là
.
Cho ba điểm
. Tính x và y để ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng với nhau?
A, B, C thẳng hàng cùng phương với
Cho hình lập phương
có đường chéo
. Gọi
là tâm hình vuông
và điểm S thỏa mãn: ![]()
. Khi đó độ dài của đoạn
bằng
với
và
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức
.
Cho hình lập phương có đường chéo
. Gọi
là tâm hình vuông
và điểm S thỏa mãn:
. Khi đó độ dài của đoạn
bằng
với
và
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức
.
Trong không gian
, đường thẳng
có một vectơ chỉ phương là:
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:
Cho hai đường thẳng 
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua (d’)và song song với (d’’).
Vì (P) đi qua (d’) nên (P) nhận VTCP của (d’) làm 1 VTCP
Vì (P) song song với (d’’) nên (P) có VTCP thứ hai là :
Từ đây, ta suy ra VTPT của (P) chính là tích có hướng của 2 VTCP và :
Lấy điểm A(3,1,-2) trên đường thẳng (d’) mà (d’) nằm trong (P) nên ta có được A cũng phải thuộc (P):
Trong không gian với hệ tọa độ
cho ba điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ
; cho điểm
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của điểm
trên ba trục tọa độ
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Có là hình chiếu của
lên các trục tọa độ nên mặt phẳng cần tìm là
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng đi qua
đồng thời song song với
và mặt phẳng
có phương trình là:
Ta có: . Gọi
là đường thẳng đi qua
đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy).
Khi đó:
Vậy .
Cho điểm
và hai mặt phẳng ![]()
Gọi
là mặt phẳng chứa điểm M , vuông góc với cả hai mặt phẳng
và
. Phương trình mặt phẳng
:
Theo đề bài, ta có:
có vectơ pháp tuyến
có vectơ pháp tuyến
Suy ra tích có hướng giữa 2 vecto là
Ta chọn làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng
Phương trình có dạng
Mặt khác, ta có
Vậy phương trình cần tìm là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm
và
?
Ta có là vectơ chỉ phương của đường thẳng
. Phương trình chính tắc của đường thẳng
là:
.
Trong không gian
, cho
. Tính diện tích tam giác
?
Ta có:
Lại có diện tích tam giác là:
Trong không gian cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Khi đó
bằng.
Do là tâm của hình bình hành
nên
.
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có
Trong không gian
, mặt phẳng
đi qua điểm
, đồng thời vuông góc với giá của vectơ
có phương trình là:
Mặt phẳng nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm
nên có phương trình là
.
Cho hình hộp
. Gọi
là tâm hình bình hành
và
là tâm của hình bình hành
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì I; K lần lượt là trung điểm của AF và CF suy ra IK là đường trung bình tam giác AFC suy ra IK // AC => IK // (ABCD)
Mà GF // (ABCD); suy ra
đồng phẳng.
Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua điểm E(2, -4, 3) và song song với đường thẳng MN với tọa độ M(3, 2, 5) và N(1, -2, 2)
Đường thẳng d song song với MN nên VTCP của đường thẳng d chính là hay ta có
Như vậy, (d) là đường thẳng đi qua điểm E (2, -4, 3) và nhận làm 1 VTCP có phương trình là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Có bao nhiêu điểm
cách đều các mặt phẳng
?
Ta có
Ta có:
Ta có:
Gọi điểm cách đều các mặt phẳng
Từ
Từ
Từ
Từ (1), (3), (5) suy ra , b khác 0 tùy ý.
Như vậy có vô số điểm cách đều bốn mặt phẳng
Hai đường thẳng
và ![]()
Ta có đường thẳng (d’) qua E (-1, -1, 0) có vecto chỉ phương
Hai pháp vecto của hai đường thẳng lần lượt là
Vecto chỉ phương của
Ta có: và tọa độ
thỏa mãn phương trình của
Trong không gian cho hình hộp
. Hỏi bốn vectơ nào có giá cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Từ hình vẽ ta thấy các vectơ có giá cùng thuộc một mặt phẳng
.
Cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Mặt phẳng (P) qua d và tạo với
một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:

Gọi ;
H là hình chiếu vuông góc của B lên ; K là hình chiếu của H lên
.
Suy ra: cố định;
.
Mà (vì
)
Suy ra nhỏ nhất bằng
khi
.
Khi đó và có một VTCP
.
Vậy (P) có một VTPT là .
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: do đó
Vậy đáp án cần tìm là .