Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ cắt mặt phẳng $(P):2x - 3y + z - 2 = 0$ tại điểm $I(a;b;c)$ . Khi đó $a + b + c$ bằng:
- A.
  $9$
- B.
  $5$
- C.
  $3$
- D.
  $7$
Ta có $\left\{ I ight\} = d \cap (P)$ suy ra $\left\{ \begin{matrix} I \in d \\ I \in (P) \\ \end{matrix} ight.$

Vì $I \in d$ nên tọa độ của I có dạng $(1 + 2t;3 - t;1 + t),t\mathbb{\in R}$ .

Vì $I \in (P)$ nên ta có phương trình:

$2(1 + 2t) - 3(3 - t) + 1 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Vậy $I(3;2;2)$ suy ra $a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7$ .
Câu 2: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(2;1;3)$ và mặt phẳng $(P): x+my+(2m+1)z-m-2=0$ , m là tham số. Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm trên . Tính khi khoảng cách từ điểm đến lớn nhất ?
- A. $a+b= \frac{-1}{2}$
- B. $a+b=2$
- C. $a+b=0$
- D. $a+b=\frac{3}{2}$
Ta có $d(A,(P))=\dfrac{\left | 6m+3 ight |}{\sqrt{5m^2+4m+2}}$
$d^2(A,(P))=\dfrac{\left | 36m^2+36m+9 ight |}{5m^2+4m+2}$
Xét hàm số $f(m)=\dfrac{ 36m^2+36m+9}{5m^2+4m+2}$
$\Rightarrow f'(m)=\dfrac{ -36m^2+54m+36}{(5m^2+4m+2)^2}$
$\Rightarrow f'(m)=0 \Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}; m=2$
Ta lập bảng biến thiên cho hàm số trên, được:
Qua bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt GTLN khi $m=2 \Rightarrow (P): x+2y+5z-4=0$
Đường thẳng $\triangle$ qua A và vuông góc với (P) có phương trình là $\left\{\begin{matrix} x=2+t \\ y=1+2t \\ z=3+5t \end{matrix}ight.$
Ta có $H\in \triangle \Rightarrow H(2+t;1+2t;3+5t)$
$H\in P \Rightarrow 2+t+2(1+2t)+5(3+5t)-4=0$
$\Rightarrow t=\frac{-1}{2}\Rightarrow H(\frac{3}{2};0;\frac{1}{2})\Rightarrow a+b=\frac{3}{2}$
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2; −1; 3), B(4; 0; 1), C(−10; 5; 3)$ . Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;8;2)$
- B.
  $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;2;0)$
- C.
  $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1; - 2;2)$
- D.
  $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;2;2)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2;1; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 12;6;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (12;24;24) = 12(1;2;2)$

Vậy $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;2;2)$ là đáp án cần tìm.
Câu 4: Thông hiểu
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng chéo nhau $\left( d_{1} ight):\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 6}{- 2}$ và $\left( d_{2} ight):\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z + 1}{3}$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\left( d_{1} ight)$ và song song với $\left( d_{2} ight)$ là
- A.
  $(P):x + 8y + 5z + 16 = 0$
- B.
  $(P):x + 8y + 5z - 16 = 0$
- C.
  $(P):2x + y - 6 = 0$
- D.
  $(P):x + 4y + 3z - 12 = 0$
Phương trình tham số $\left( d_{1} ight):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t_{1} \\ y = - 2 + t_{1} \\ z = 6 - 2t_{1} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t_{1}\mathbb{\in R} ight)$

$\left( d_{1} ight)$ đi qua điểm $M(2; - 2;6)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2)$

Phương trình tham số $\left( d_{2} ight):\left\{ \begin{matrix} x = 4 + t_{2} \\ y = - 2 - 2t_{2} \\ z = - 1 + 3t_{2} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t_{2}\mathbb{\in R} ight)$

$\left( d_{2} ight)$ đi qua điểm $N(4; - 2; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;3)$

Vì mặt phẳng $(P)$ chứa $\left( d_{1} ight)$ và song song với $\left( d_{2} ight)$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{u_{1}} \\ \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = - (1;8;5)$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(2; - 2;6)$ và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2)$ nên phương trình mặt phẳng $(P):(x - 2) + 8(y + 2) + 5(z - 6) = 0$ hay $(P):x + 8y + 5z - 16 = 0$ .
Câu 5: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , tìm tập hợp các điểm cách đều cặp mặt phẳng sau đây: $4x - y - 2z - 3 = 0;4x - y - 2z - 5 = 0$ .
- A.
  $4x - y - 2z - 6 = 0$
- B.
  $4x - y - 2z - 4 = 0$
- C.
  $4x - y - 2z - 1 = 0$
- D.
  $4x - y - 2z - 2 = 0$
Gọi điểm

$A (0; −3; 0) ∈ 4x − y − 2z − 3 = 0 (α)$

$B (0; −5; 0) ∈ 4x − y − 2z − 5 = 0 (β)$

Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng trên có dạng: $4x − y − 2z + m = 0 (γ).$

Để mp (γ) cách đều hai mp trên thì $d (A; (β)) = 2d (A; (γ)) ⇔ |m + 3| = 1$

$⇔ m = −2$ hoặc $m = −4$

Mặt khác điểm hai điểm A; B phải nằm về hai phía của mp (γ).

Với $m = −2$ ta có $(4 .0 + 3 – 2.0 − 2) (4.0 + 5 – 2.0 − 2) > 0$ nên A; B cùng phía.

Với $m = −4$ ta có $(4 .0 + 3 – 2.0 − 4) (4.0 + 5 – 2.0 − 4) < 0$ nên A; B khác phía.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $4x − y − 2z − 4 = 0 (γ)$ .
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , tìm tất cả giá trị tham số $m$ để đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1}$ song song với mặt phẳng $(P):2x + y - m^{2}z + m = 0$ .
- A.
  $m \in \left\{ - 2;2 ight\}$
- B.
  $m \in \varnothing$
- C.
  $m = - 2$
- D.
  $m = 2$
Ta có:

$d$ qua điểm $M(1; 0; 1)$ và có VTCP là $\overrightarrow{u} = (1;2;1)$

(P) có VTPT là $\overrightarrow{n} = \left( 2;1; - m^{2} ight)$

Vì d // (P) nên $\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2$

Với $m = 2, (P): 2x + y − 4z + 2 = 0 ⇒ M ∈ (P)$ (loại).

Với $m = −2, (P): 2x + y − 4z − 2 = 0$ $\Rightarrow M otin (P)$ (thỏa mãn).
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1}$ . Vectơ nào trong các vectơ dưới đây không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u_{4}} = (1;2;1)$
- B.
  $\overrightarrow{u_{3}} = ( - 1;2; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{u_{2}} = (2; - 4;2)$
- D.
  $\overrightarrow{u_{1}} = ( - 3;6; - 3)$
Đường thẳng $d$ có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;1)$ . Do đó vectơ $\overrightarrow{u_{4}} = (1;2;1)$ không là vectơ chỉ phương của $d$ .
Câu 8: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ . Biết rằng tọa độ các điểm $A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c)$ và hình thang $ABCD$ có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Tính giá trị biểu thức $a+b+c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ . Biết rằng tọa độ các điểm $A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c)$ và hình thang $ABCD$ có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Tính giá trị biểu thức $a+b+c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 9: Nhận biết
Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A(3,-1, 2), B(4, -2, -1), C(2, 0, 2) là:
- A. $x+y-2=0$
- B. $x-y+2=0$
- C. $x+y+2=0$
- D. $x-y-2=0$
Theo đề bài, ta có được các vecto sau:
$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1, - 1, - 3} ight),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1,1,0} ight);\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB,} \overrightarrow {AC} } ight] = \left( {3,3,0} ight) = 3(1,1,0) = 3\overrightarrow n \end{array}$
Vì mặt phẳng đi qua 3 điểm nên VTPT của mp là tích có hướng của $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ .
Chọn $\overrightarrow n = \left( {1,1,0} ight)$ làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mp $(ABC)$ có dạng $x+y+D=0$
$(ABC)$ là mp qua A $\Leftrightarrow 3 - 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2$
Vậy phương trình $(ABC): x + y -2=0$ .
Câu 10: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , xét mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2;1;3)$ đồng thời cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho tứ diện $OMNP$ có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ với $(P)$ có toạ độ là:
- A.
  $(4;6;1)$
- B.
  $(4;1;6)$
- C.
  $( - 4;6;1)$
- D.
  $(4; - 1;6)$
Gọi $M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c)$

Theo giả thiết, ta có $a;b;c$ là các số dương.

Phương trình mặt phẳng (P) là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

(P) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1$

Ta có: $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{1}{b}.\frac{3}{c}} = \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}}$

$\Leftrightarrow 1 \geq \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{abc} \geq 3\sqrt[3]{6} \Leftrightarrow abc \geq 112$

$V_{OMNP} = \frac{abc}{6} \geq 27$ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} \frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{3}{c} \\ \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 3 \\ c = 9 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $(P):\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1$

Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 1 \\ z = 6 \\ t = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy đáp án cần tìm là: $(4; - 1;6)$ .
Câu 11: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $M$ thoả mãn $OM = 7$ . Biết rằng khoảng cách từ $M$ tới mặt phẳng $(Oxz),(Oyz)$ lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ .
- A.
  $12$
- B.
  $5$
- C.
  $2$
- D.
  $6$
Ta có: $(Oxz):y = 0,(Oyz):x = 0$

Giả sử $M(a;b;c)$ khi đó ta có:

$\left\{ \begin{matrix} OM = 7 \\ d\left( M;(Oxz) ight) = 2 \\ d\left( M;(Oyz) ight) = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 49 \\ b^{2} = 4 \\ a^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow c^{2} = 36$

Mà $d\left( M;(Oxy) ight) = \sqrt{c^{2}} = 6$
Câu 12: Vận dụng cao
Cho hai đường thẳng chéo nhau $\left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight.$ và $\left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.$
Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:
- A. $x + 5y - 2z + 12 = 0$
- B. $x - 5y + 2z - 12 = 0$
- C. $x + 5y + 2z - 12 = 0$
- D. $x - 5y - 2z + 12 = 0$
Phương trình (d) cho biết $A(2, 1, 0) \in (d)$ và (d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)$
Chuyển $(\triangle )$ về dạng tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight.$ để có $B(2, 3, 0) \in (\triangle )$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight)$ .
Gọi I là trung điểm AB thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ $\in (P)$ .
$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0$ là phương trình của mặt phẳng (P).
Câu 13: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ trọng tâm $G$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$
Hình vẽ minh họa

Vì G là trọng tâm tứ diện ABCD nên suy ra:

$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} ight) + \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC} ight) + \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AD} ight)$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$

Suy ra mệnh đề sai là $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0;0;3),B(0;0; - 1),C(1;0; - 1),D(0;1; - 1)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $AB\bot BD$
- B.
  $AB\bot BC$
- C.
  $AB\bot AC$
- D.
  $AB\bot CD$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0;0; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1;0; - 4) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 16 eq 0$ suy ra $AB$ và $AC$ không vuông góc với nhau.

Vậy mệnh đề sai là: “ $AB\bot AC$ ”.
Câu 15: Nhận biết
Cho tứ diện $ABCD$ . Điểm $N$ xác định bởi công thức $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $N$ là trung điểm của $BD$
- B.
  $N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $BCDN$
- C.
  $N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $CDBN$
- D.
  $N \equiv A$
Ta có:

$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AD}$

Vậy $N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $CDBN$ .
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ , nhận vectơ $\overrightarrow{a}$ làm vectơ chỉ phương và đường thẳng $d'$ đi qua điểm $M'$ , nhận vectơ $\overrightarrow{a'}$ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng $d$ song song với $d'$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M \in d' \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a'} \\ M \in d' \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} eq k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$
Điều kiện để $d//d'$ là: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P):2x - y + 3 = 0$ . Một véc tơ pháp tuyến của $(P)$ có tọa độ là?
- A.
  $(2;1;0)$
- B.
  $(2; - 1;3)$
- C.
  $(2; - 1;0)$
- D.
  $(2;1;3)$
Mặt phẳng $(P)$ có VTPT là: $\overrightarrow{n} = (2; - 1;0)$
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j}$ . Tìm tọa độ của $\overrightarrow{u}$ là.
- A.
  $(1; - 1;2)$ .
- B.
  $(1;1; - 2)$ .
- C.
  $(1;1;2)$ .
- D.
  $(1; - 2;1)$ .
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \overrightarrow{k} = (0;0;1) \\ \overrightarrow{j} = (0;1;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j} = (1;1; - 2)$
Câu 19: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;3;0)$ và $B(2;0; - 3)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3)$ . Sai||Đúng

d) Tứ giác $OABC$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;3;0)$ và $B(2;0; - 3)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3)$ . Sai||Đúng

d) Tứ giác $OABC$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Đúng||Sai

a) Đúng

$\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ .

b) Sai

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{k}$ .

c) Sai

$\overrightarrow{AB} = \left( x_{B} - x_{A}^{};y_{B} - y_{A};z_{B} - z_{A} ight) = (3; - 3; - 3)$ .

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3; - 3; - 3)$ ,

$OABC$ là hình bình hành

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} = 3 \\ y_{C} = - 3 \\ z_{C} = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow C(3; - 3; - 3)$
Câu 20: Thông hiểu
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = \frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$
- B.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = a^{2}$
- C.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = a^{2}\sqrt{2}$
- D.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = 2a^{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{B'C'}$ nên $\left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight) = \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} ight) = \widehat{CAD} = 45^{0}$

Suy ra $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}= \left| \overrightarrow{AC} ight|.\left|\overrightarrow{B'C'} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight)$

$=a\sqrt{2}.a.\cos45^{0} =a^{2}$

74 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!