Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 2 - t \\
y = 1 + t \\
z = t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của d?

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = ( - 1;1;1) và đi qua điểm M(2;1;0). Do đó phương trình chính tắc của d là: \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{1} =
\frac{z}{1}

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt phẳng (\alpha) cắt ba trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại ba điểm A( - 3;0;0),B(0;4;0),C(0;0; -
2)?

    Phương trình mặt phẳng (\alpha): \frac{x}{- 3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{- 2}
= 1

    \Leftrightarrow 4x - 3y + 6z = -
12

    \Leftrightarrow 4x - 3y + 6z + 12 =
0

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1),B(3; - 1;5). Phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với AB và hợp với các trục tọa độ một tứ diện có thể tích bằng \frac{3}{2}

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 3;4)
\Rightarrow (P):2x - 3y + 4z + m = 0

    Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox, Oy, Oz

    Suy ra M\left( - \frac{m}{2};0;0
ight),N\left( 0;\frac{m}{3};0 ight),P\left( 0;0;\frac{- m}{4}
ight)

    Ta có thể tích tứ diện V_{O.MNP} =
\frac{1}{6}.\left| \frac{m^{3}}{24} ight| = \frac{3}{2}
\Leftrightarrow m = \pm 6

    Vậy đáp án cần tìm là: 2x - 3y + 4z \pm 6
= 0

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \widehat{ABC} = 60^{0}, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H,M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,SA,SDP là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm K của đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \widehat{ABC} = 60^{0}, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H,M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,SA,SDP là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm K của đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 5: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện đều ABCDA(4;
- 1;2),B(1;2;2),C(1; - 1;5),D\left( x_{D};\ y_{D};z_{D} ight) với y_{D} > 0. Tính p = 2x_{D} + \ y_{D} - z_{D}?

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G(2; 0; 3).

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;0) \\
\overrightarrow{AC} = ( - 3;0;3) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;\ 1;\ 1)

    AB = 3\sqrt{2}

    Đường thẳng đi qua G vuông góc với (ABC) có phương trình \left\{ \begin{matrix}
x = 2 + t \\
y = t \\
z = 3 + t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Do đó D(2 + t;t;3 + t)

    AD = AB \Rightarrow (t - 2)^{2} + 2(t
+ 1)^{2} = 18 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
t = 2 \\
t = - 2 \\
\end{matrix} ight.

    y_{D} > 0 \Rightarrow y = 2
\Rightarrow P = 5

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho \overrightarrow{MS} = -
2\overrightarrow{MA} và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho \overrightarrow{NB} = -
\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}. Biết biểu diễn \overrightarrow{MN} = m.\overrightarrow{AB} +
n.\overrightarrow{SC} là duy nhất. Tính giá trị biểu thức T = m + n?

    Hình vẽ minh họa

    Theo giả thiết ta có: \overrightarrow{MS}
= - 2\overrightarrow{MA}; \overrightarrow{NB} = -
\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}

    Lấy điểm P trên cạnh AC sao cho \overrightarrow{PC} = -
2\overrightarrow{PA}. Khi đó:

    \overrightarrow{MN} =
\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PN} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{SC} +
\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow T = 1

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix}
x = - 1 + 3t \\
y = 1 + t \\
z = 3t \\
\end{matrix}\ (t \in \mathbb{R}) ight. và hai điểm A(5;0;2),B(2; - 5;3). Tìm điểm M thuộc \Delta sao cho \bigtriangleup ABM vuông tại A.

    Điểm M thuộc đường thẳng \Delta nên M(
- 1 + 3t;1 + t;3t).

    Ta có \overrightarrow{AM} = (3t - 6;t +
1;3t - 2)\overrightarrow{AB} =
( - 3; - 5;1).

    Tam giác ABM vuông tại M khi và chỉ khi

    \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AM}
\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} =
0

    \Leftrightarrow - 3(3t - 6) - 5(t + 1) +
3t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1

    Khi đó tọa độ điểm M(2;2;3).

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;6; - 7);B(3;2;1). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:

    Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; -
4;8)

    Suy ra một vectơ pháp tuyến của (P)\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 2;4)

    Hơn nữa, trung điểm của AB là I(2; 4; −3) thuộc mặt phẳng (P) nên

    (P):(x - 2) - 2(y - 4) + 4(z + 3) = 0

    \Leftrightarrow x - 2y + 4z + 18 =
0.

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(1;2;3) và có véc-tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (2;4;6). Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng \Delta?

    Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình \left\{ \begin{matrix}
x = 3 + 2t \\
y = 6 + 4t \\
z = 12 + 6t \\
\end{matrix} ight..

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hình lập phương B^{'}C có đường chéo A^{'}C =
\frac{3}{16}. Gọi O là tâm hình vuông ABCD và điểm S thỏa mãn: \overrightarrow{OS} =
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +
\overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{OA^{'}} +
\overrightarrow{OB^{'}} + \overrightarrow{OC^{'}} +
\overrightarrow{OD^{'}}. Khi đó độ dài của đoạn OS bằng \frac{a\sqrt{3}}{b} với a,b \in \mathbb{N}\frac{a}{b} là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P = a^{2} +
b^{2}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình lập phương B^{'}C có đường chéo A^{'}C =
\frac{3}{16}. Gọi O là tâm hình vuông ABCD và điểm S thỏa mãn: \overrightarrow{OS} =
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +
\overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{OA^{'}} +
\overrightarrow{OB^{'}} + \overrightarrow{OC^{'}} +
\overrightarrow{OD^{'}}. Khi đó độ dài của đoạn OS bằng \frac{a\sqrt{3}}{b} với a,b \in \mathbb{N}\frac{a}{b} là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P = a^{2} +
b^{2}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A\frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{-
3}. Biết rằng điểm M(0;5;3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0) thuộc đường thẳng AC. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC.

    Hình chiếu H của M trên đường phân giác trong góc A có tọa độ: H\left( \frac{1}{2};4;\frac{9}{2}
ight)

    M’ là điểm đối xứng của M qua H. Từ đây ta tìm được tọa độ M’(1; 3; 6).

    Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC chính là vecto \overrightarrow{NM'} = (0;2;6).

    Suy ra, đường thẳng AC có một vectơ chỉ phương là (0; 1; 3)

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho ba mặt phẳng \left( P ight):2x + 2y - 6z + 5 = 0;\,\,\,\,\left( Q ight):3x + 4y + 2z - 6 = 0(R) qua hai điểm A\left( {1,3, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( { - 2,4, - 1} ight) và vuông góc với (R)  . Câu nào sau đây đúng? (Có thể chọn nhiều hơn 1 đáp án)

    Theo đề bài ta có \left( R ight) \bot \left( P ight) \Rightarrow Một vecto chỉ phương của (R) là: \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2,2, - 6} ight) \Rightarrow \overrightarrow a  = \left( { - 1, - 1,3} ight)

    => A đúng

    Vecto chỉ phương thứ hai của (R) là: \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  = \left( { - 3,1,1} ight)

    Một vecto pháp tuyến của (R) là: \overrightarrow {{n_R}}  = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] =  - 4\left( {1,2,1} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow n  = 4\left( {1,2,1} ight)

    => B đúng.

    Vecto chỉ phương của (D) là: \overrightarrow d  = 2\left( {14, - 11,1} ight)

    Ta có: \frac{1}{{14}} e  - \frac{2}{{11}} e \frac{1}{1},nên (R) không vuông góc với (D).

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(x;y;z). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz) thì M'(x; - y;z).

    Nếu M' đối xứng với M qua trục Oy thì M'( - x;y; - z).

    Nếu M' đối xứng với M qua gốc tọa độ thì M'( - x; - y; - z).

    Vậy mệnh đề đúng là: “Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) thì M'(x;y; - z)”.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A;B;C;D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A;B;C;D tạo thành hình bình hành là:

    Để A;B;C;D tạo thành hình bình thành thì \left\lbrack \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \\
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \\
\end{matrix} ight..

    Khi đó:

    \overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} +
\overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} -
\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} -
\overrightarrow{OC}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{CD}

    \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}
+ \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} =
\overrightarrow{0}, O là trọng tâm tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD. (Loại).

    \overrightarrow{OA} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} -
\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} -
\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{CA} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{BD} (Loại)

    \overrightarrow{OA} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} -
\overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} -
\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{BA} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{CD} (loại)

    Vậy đáp án cần tìm là \overrightarrow{OA}
+ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} +
\overrightarrow{OD}.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; - 1;1). Điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là:

    Giữ nguyên y, z và đổi dấu x nên ta suy ra điểm đối xứng với A qua (Oyz) có tọa độ là ( - 3; - 1;1).

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Cho điểm {m{A(2, - 1,1)}} và đường thẳng (\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}y + z - 4 = 0\\2x - y - z + 2 = 0\end{array} ight.. Gọi A'  là điểm đối xứng của A qua (\triangle) . Tọa độ điểm A'  là:

    Đưa phương trình (\triangle) về dạng tham số: \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 - t\\z = t\end{array} ight.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (\triangle).

    Phương trình mp (P) có dạng - y + z + D = 0 , qua A nên D =  -2

    Phương trình (P) là: y - z + 2 = 0

    Thế x, y, z từ phương trình (\triangle) vào phương trình (P) được t=1

    \Rightarrow (\triangle ) \cap (\alpha ) = (1,3,1).

    I là trung điểm của AA' nên: {x_{A'}} + 2 = 2;{y_{A'}} - 1 = 6;{z_{A'}} + 1 = 2

    \Rightarrow A'(0,7,1).

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{a} = (1;3;4). Hãy chọn vectơ cùng phương với \overrightarrow{a}?

    Ta có: \overrightarrow{b} cùng phương với \overrightarrow{a} khi \overrightarrow{b} =
k.\overrightarrow{a};\left( k\mathbb{\in R} ight). Khi đó đáp án cần tìm là \overrightarrow{b} = ( - 2; -
6; - 8) (vì \overrightarrow{b} = -2(1;3;4) = - 2\overrightarrow{a}).

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1; - 2;3),B( -
1;2;5),C(0;0;1). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

    Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:

    \left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 - 1 + 0}{3} = 0 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 + 2 + 0}{3} = 0 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{3 + 5 + 1}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow G(0;0;3)

    Vậy trọng tâm G tìm được là G(0;0;3).

  • Câu 19: Nhận biết

    Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua hai điểm: A\left( { - 1,3, - 2} ight);B\left( {2, - 3,4} ight)

     Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên VTCP của đường thẳng d chính là \overrightarrow {AB} hay ta có: \overrightarrow {AB}  = \left( {3, - 6,6} ight) = 3\left( {1, - 2,2} ight) =  - 3\left( { - 1,2, - 2} ight)

    \begin{array}{l} \Rightarrow \left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 1\\y = 3 - 6t\\z = 6t - 2\end{array} ight.\,\,;t \in \mathbb{R},\,\\hay\,\,\left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + m\\y =  - 3 - 2m\\z = 4 + 2m\end{array} ight.\,\,;m \in \mathbb{R}\\\hay\,\,\left( d ight)\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - \tan t\\y = 3 + 2\tan t\\z =  - 2 - 2\tan t\end{array} ight.\,\,;t \in\mathbb{R}\end{array}

     

  • Câu 20: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4;2;5),B(0;4; - 3),C(2; - 3;7). Biết điểm M(x;y;z) nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +
\overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng P = x + y + z.

    Vì M ∈ (Oxy) nên M(x;y;0).

    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

    Ta có G(2; 1; 3).

    Khi đó:

    \left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = \left|
\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{MG} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}
ight|

    = \left| 3\overrightarrow{MG} ight| =
3MG = 3\sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + 3^{2}} \geq 9

    Dấu “=” xảy ra khi x= 2 và y= 1 hay M(2; 1; 0).

    Vậy P = 3

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 77 lượt xem
Sắp xếp theo