Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2 = 0 và hai điểm A(1;2;3),B(1;0;1). Điểm C(a;\ b; - 2) \in (P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a + b.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2 = 0 và hai điểm A(1;2;3),B(1;0;1). Điểm C(a;\ b; - 2) \in (P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a + b.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 1}{1} và mặt phẳng (P):x - 2y - 2z + 5 = 0. Điểm A nào dưới đây thuộc d và thỏa mãn khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng 3?

    Vì A ∈ (d) nên ta có tọa độ điểm A(2a; −a; a − 1).

    Khoảng cách từ A đến (P) là

    \frac{\left| 2a + 2a - 2(a - 1) + 5 ight|}{\sqrt{9}} = 3

    \Leftrightarrow |2a + 9| = 9\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = 0 \\a = - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.

    Với a = 0 \Rightarrow A(0;\ 0; - 1)

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho điểm P(-3 , 1, -1)  và đường thẳng (d): \left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.

    Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:

    Chuyển (d) về dạng tham số : \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2} + 3t\\y = - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.

    Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: 3x + 4y + 2z + D = 0, cho qua P tính được D=7 .

    Ta có (Q): 3x + 4y + 2z + 7 = 0 .

    Thế x, y, z  theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được t = \frac{1}{2}

    Giao điểm I của (d) và (Q)  là I (1, -3, 1) .

    Vì I là trung điểm của PP’ nên \Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight).

  • Câu 4: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho vectơ \vec a hợp với \overrightarrow {Ox} góc 60^0, hợp với \overrightarrow {Oz} góc 60^0 . Tính góc hợp bởi \vec a và \overrightarrow {Oy}.

    Gọi \alpha = {60^0},\beta  và  \gamma = {60^0} lần lượt là các góc hợp bởi \vec a với ba trục \overrightarrow {Ox} ,\overrightarrow {Oy} ,\overrightarrow {Oz}. Đặt \left| {\overrightarrow a } ight| = a

    Ta có:

    \overrightarrow a = \left( {a\cos {{60}^0};a\cos \beta ;a\cos {{60}^0}} ight)

    \Rightarrow {\left| {\overrightarrow a } ight|^2} = {a^2} = {a^2}\left( {{{\cos }^2}{{60}^0} + {{\cos }^2}\beta + {{\cos }^2}{{60}^0}} ight)

       \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} + {\cos ^2}\beta + \dfrac{1}{4} = 1

       \Leftrightarrow {\cos ^2}\beta = \dfrac{1}{2}

       \Rightarrow \cos \beta = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \beta = {45^0} \vee \beta = {135^0}

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - 3y + 4z - 5 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

    Mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (a;b;c)

    Mặt phẳng (P):2x - 3y + 4z - 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là: \overrightarrow{n} = (2; - 3;4)

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| theo a?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi G là trọng tâm của \Delta BCD.

    Do đó \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = \left| 3\overrightarrow{AG} ight| = 3AG.

    Ta có BG = \frac{2}{3}BI = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.

    Mà ABCD là tứ diện đều nên AG\bot(BCD) \Rightarrow AG\bot BG.

    Suy ra AG = \sqrt{AB^{2} - BG^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}.

    Vậy \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = 3.\frac{a\sqrt{6}}{3} = a\sqrt{6}.

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng \left( P ight):x - 2y + 3z - 5 = 0;\,\,\left( Q ight):3x + 4y - z + 3 = 0. Đường thẳng (D) qua M (1, -2, 3) song song với (P) và (Q):

     Vì (D) song song với (P) và (Q)

    => Một vectơ chỉ phương của (D) là:

    \overrightarrow {{a_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } ight] = 10\left( { - 1,1,1} ight) \Rightarrow \overrightarrow a = \left( { - 1,1,1} ight)

    Xét vecto pháp tuyến của (R), có:

    \overrightarrow {{n_R}} = \left( {3,1,2} ight) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow {{n_R}} = - 3 + 1 + 2 = 0 \Rightarrow \left( D ight)//\left( R ight)

    Xét đáp án có điểm N

    \overrightarrow {NM} = \left( { - 2,2,2} ight) = 2\left( { - 1,1,1} ight) = 2\overrightarrow a \Rightarrow \left( D ight)qua\,\,N\left( {3, - 4,1} ight)

    \overrightarrow {{n_s}} = \left( {2, - 2, - 2} ight) \Rightarrow \frac{2}{{ - 1}} = \frac{{ - 2}}{1} = \frac{{ - 2}}{1} = - 2 \Rightarrow \overrightarrow acùng phương với \overrightarrow {{n_s}}

    => (D) vuông góc với (S).

  • Câu 8: Nhận biết

    Biết rằng \overrightarrow{a} = (0;1;3) và \overrightarrow{b} = ( - 2;3;1). Tính \overrightarrow{x} =3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} 3\overrightarrow{a} = (0;3;9) \\ 2\overrightarrow{b} = ( - 4;6;2) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{x} = 3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = ( - 4;9;11)

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua M\left( {\,{x_0},\,\,{y_0},\,\,{z_0}} ight) và có một vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight) với  {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3} e 0  có phương trình chính tắc là:

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua M\left( {\,{x_0},\,\,{y_0},\,\,{z_0}} ight) và có một vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight) với {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3} e 0 có phương trình chính tắc là:

    \frac{{x\, - \,{x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_0}}}{{{a_3}}}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (P):x + y + z - 6 = 0 và cách đều các điểm A(1;6;0),B( - 2;2; - 1),C(5; - 1;3). Tích T = a.b.c bằng

    Do M \in (P) và MA^{2} = MB^{2} = MC^{2}, nên ta được hệ:

    \left\{ \begin{matrix} a + b + c = 6 \\ (a - 1)^{2} + (b - 6)^{2} + c^{2} = (a + 2)^{2} + (b - 2)^{2} + (c + 1)^{2} \\ (a - 1)^{2} + (b - 6)^{2} + c^{2} = (a - 5)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a + b + c = 6 \\ 3a + 4b + c = 14 \\ 4a - 7b + 3c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 6

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(0;3; - 2) và N(2; - 1;0). Vectơ \overrightarrow{MN} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{MN} = (2 - 0; - 1 - 3;0 + 2) = (2; - 4;2)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{MN} = (2; - 4;2).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz , cho vectơ \overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; - 5;7). Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ của điểm A là (2; - 1;5). Đúng||Sai

    b) Gọi C(a;b;c) thỏa mãn ∆ABC nhận G(1;1;1) làm trọng tâm. Khi đó a + b + c = - 4 . Đúng||Sai

    c) Nếu A;B;M(x;y;1) thẳng hàng thì tổng x + y = 3 . Đúng||Sai

    d) Cho N \in (Oxy) để ∆ABN vuông cân tại A. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz , cho vectơ \overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; - 5;7). Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ của điểm A là (2; - 1;5). Đúng||Sai

    b) Gọi C(a;b;c) thỏa mãn ∆ABC nhận G(1;1;1) làm trọng tâm. Khi đó a + b + c = - 4 . Đúng||Sai

    c) Nếu A;B;M(x;y;1) thẳng hàng thì tổng x + y = 3 . Đúng||Sai

    d) Cho N \in (Oxy) để ∆ABN vuông cân tại A. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

    a) Ta có:

    Tọa độ của điểm A là (2; - 1;5).

    b) G là trọng tâm tam giác ABC

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{2 + 5 + x_{C}}{3} \\1 = \dfrac{- 1 - 5 + y_{C}}{3} \\1 = \dfrac{5 + 7 + x_{C}}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{C} = - 4 \\y_{C} = 9 \\x_{C} = - 9 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C( - 4;9; - 9)

    \Rightarrow a + b + c = - 4

    c) Ta có: \overrightarrow{AB} = (3; - 4;2);\overrightarrow{AC} = (x - 2;y + 1; - 4)

    Ba điểm A, B, M thằng hàng khi và chỉ khi

    \overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2 = 3k \\ y + 1 = k.( - 4) \\ - 4 = k.2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 7 \\ k = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra x + y = 3

    d) Ta có: N \in (Oxy) \Rightarrow N = (x;y;0)

    \Rightarrow \overrightarrow{AN} = (x - 2;y + 1; - 5),\overrightarrow{AB} = (3; - 4;2)

    Ta có ∆ABN vuông cân tại A \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} AN\bot AB(*) \\ AN = AB(**) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (*) \Leftrightarrow \overrightarrow{AN}\bot\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow 3(x - 2) - 4(y + 1) - 10 = 0

    \Leftrightarrow 3x - 4y = 20 \Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x - 5

    Từ (**) AN^{2} = AB^{2} \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + 25 = 9 + 16 + 4

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + \left( \frac{3x}{4} - 4 ight)^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \frac{16}{5}

    \Rightarrow y = - \frac{13}{5} \Rightarrow N\left( \frac{16}{5}; - \frac{13}{5};0 ight)

    Vậy x_{N} + y_{N} = \frac{3}{5}

  • Câu 13: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2; - 1),B(3;0;3). Biết mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách B một khoảng lớn nhất. Phương trình mặt phẳng (P) là

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P), suy ra d(B, (P)) = AH.

    Ta có BH ≤ AB.

    Dấu “=” xảy ra ⇔ H ≡ A

    ⇒ BHmax = AB khi AB ⊥ (P).

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} AB\bot(P) \\ A \in (P) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (P):2x - 2y + 4z + 6 = 0

    \Leftrightarrow x - y + 2z + 3 = 0

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;0;1),B( - 3;2;0),C(2; - 2;3). Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC đi qua điểm nào trong các điểm sau?

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 3;2;1),\overrightarrow{AC} = (2; - 2;2)

    \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (2;4;2)

    Một vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B của tam giác ABC là \overrightarrow{u} = \frac{1}{12}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;0; - 1)

    Phương trình đường cao kẻ từ B là: \left\{ \begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 2 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

    Ta thấy điểm P( - 1;2; - 2) thuộc đường thẳng trên.

  • Câu 15: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; - 1) và mặt phẳng (P):x + y - 2z - 3 = 0. Tìm điểm M \in (P) sao cho |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| dạt giá trị nhỏ nhất.

    Gọi I là điểm sao cho \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = 0 \Rightarrow I(0;0;0).

    Từ đó:

    |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| = |4\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC})| = 4IM \geq 4IH

    với H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

    Từ đó suy ra |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| dạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M \equiv H.

    Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) là: \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} ight..

    Tọa độ diểm H là nghiệm (x;y;z) của hệ

    \left\{ \begin{matrix}x = t \\y = t \\z = - 2t \\x + y - 2z - 3 = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{1}{2} \\y = \dfrac{1}{2} \\z = - 1 \\t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Suy ra H = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight).

    Vậy, tọa độ điểm M cần tìm là M = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight).

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm M( - 2;6;1),M'(a;b;c) đối xứng nhau qua mặt phẳng (Oyz). Tính giá trị biểu thức S = 7a - 2b + 2017c - 1?

    Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (Oyz) suy ra H(0; 6; 1)

    Do M’ đối xứng với M qua (Oyz) nên MM’ nhận H làm trung điểm suy ra M’(2; 6; 1) suy ra a = 2; b = 6; c = 1

    Vậy S = 7a - 2b + 2017c - 1 = 2018.

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC)?

    Phương trình mặt phẳng (ABC) là \frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 1} = 1

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1; - 2),B(2; - 3;5). Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA = 2MB, tọa độ điểm M là:

    Gọi tọa độ độ điểm M(x;y;z). Vì điểm M \in AB nên

    \overrightarrow{MA} =2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3 - x = - 2(2 - x) \\1 - y = - 2( - 3 - y) \\- 2 - z = - 2(5 - z) \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{3} \\y = - \dfrac{5}{3} \\z = \dfrac{8}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \dfrac{7}{3}; -\dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3} ight)

    Vậy đáp án cần tìm là: \left( \frac{7}{3}; - \frac{5}{3};\frac{8}{3} ight).

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;1),B(3; - 2;0),C(1;2; - 2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến mặt phẳng (P) lớn nhất, biết rằng (P) không cắt đoạn BC. Khi đó pháp tuyến của mặt phẳng (P):

    Hình vẽ minh họa

    Lấy M là trung điểm của đoạn BC, suy ra M(2; 0; −1).

    Gọi BB’, CC’, MM’ lần lượt là khoảng cách từ B, C, M đến mặt phẳng (P), từ đó suy ra BB’ + CC’ = 2MM’.

    Xét tam giác vuông AMM’, ta có MM' ≤ AM, từ đó suy ra để tổng khoảng cách từ B và C đến mặt phẳng (P) thì MM’ phải lớn nhất, điều này có nghĩa là M’ trùng với A hay MA ⊥ (P).

    Từ đó suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \overrightarrow{AM} = (1;0; - 2)

  • Câu 20: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A;B;C sao cho T = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} + \frac{1}{OC^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất là:

    Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực dương do OA, OB, OC khác 0.

    Khi đó phương trình mặt phẳng (P) qua A, B, C có phương trình là \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Mà M ∈ (P) nên \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1, do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

    T = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{14}\left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ight)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)

    \geq \frac{1}{14}\left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} ight)^{2} = \frac{1}{14}

    T đạt giá trị nhỏ nhất nên ta có dấu bằng xảy ra, tức là: \left\{ \begin{matrix}a = 2b = 3c \\\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 14 \\b = \dfrac{14}{2} \\c = \dfrac{14}{3} \\\end{matrix} ight.

    Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x + 2y + 3z - 14 = 0.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 79 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập