Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tam giác
có
. Độ dài đường cao của tam giác
kẻ từ
là:
Ta có:
Mà
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tam giác
có
. Độ dài đường cao của tam giác
kẻ từ
là:
Ta có:
Mà
Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
và
là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Hình vẽ minh họa
Vì lần lượt là trung điểm của các cạnh
nên ta có:
.
Mặt khác (vì I là trung điểm của MN) suy ra
Theo bài ra ta có:
Trong không gian
, xét mặt phẳng
đi qua điểm
đồng thời cắt các tia
lần lượt tại
sao cho tứ diện
có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng
với
có toạ độ là:
Gọi
Theo giả thiết, ta có là các số dương.
Phương trình mặt phẳng (P) là
(P) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên
Ta có:
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy
Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: .
Vậy đáp án cần tìm là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
là:
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Ta có
Suy ra một vectơ pháp tuyến của là
Hơn nữa, trung điểm của AB là I(2; 4; −3) thuộc mặt phẳng (P) nên
.
Trong không gian cho hai đường thẳng
lần lượt có vectơ chỉ phương
. Gọi
là góc giữa hai đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Khẳng định đúng: “Nếu thì
”.
Trong không gian
, cho điểm
và đường thẳng
. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
Gọi
Ta có .
Cho tam giác ABC có
.
Viết phương trình tổng quát của cạnh AC.
(AC) là đường thẳng đi qua 2 điểm A và C nên nhận làm 1 VTCP.
(AC) đi qua C (3,-2,5) và có 1 VTCP là (1,-2,4) có phương trình chính tắc:
Trong không gian tọa độ
, góc giữa hai vectơ
và
là:
Ta có:
Cho tứ diện
có
và
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Trong không gian
, mặt phẳng
có một vectơ pháp tuyến là:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
và đường thẳng
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua
, đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng
và
.
Đường thẳng và
có vectơ chỉ phương lần lượt là
Gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Do
Mà ∆ đi qua do đó ∆ có phương trình là
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hình bình hành
. Biết
và
. Diện tích hình bình hành
là:
Ta có:
Suy ra diện tích ABCD là:
Trong không gian
, cho đường thẳng
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
. Phương trình tham số của đường thẳng
là
đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
nên có phương trình tham số
.
Trong không gian cho ba vectơ
có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì ba vectơ có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng nên
Giá các vectơ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Giá các vectơ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Giá các vectơ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Giá của các vectơ cùng nằm trên một mặt phẳng
Vậy mệnh đề đúng là: “Giá các vectơ không cùng nằm trên một mặt phẳng.”
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
có phương trình dạng
,
và có
. Để mặt phẳng
đi qua điểm
và cách gốc tọa độ
một khoảng lớn nhất thì đẳng thức nào sau đây đúng?
Mặt phẳng (P) đi qua điểm suy ra
.
Khi đó:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Từ đó tìm được hoặc
.
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
thuộc
sao cho
ngắn nhất.
Gọi là điểm sao cho
Suy ra J(2; 3; 1).
Khi đó
Vậy đạt GTNN khi và chỉ khi
đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).
Vậy M(2; 3; 0).
Trong không gian, cho hình lập phương
. Góc giữa hai vectơ
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Ta có: . Do đó,
Vì nên tam giác
là tam giác đều.
Suy ra
Vậy
Cho hình chóp
có
và
. Góc giữa cặp vectơ
và
là:
Ta có:
Vậy góc giữa cặp vectơ và
là
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; -1; 0) và đường thẳng d:
. Mặt phẳng
chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có phương trình là:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có: cố định và
Suy ra lớn nhất bằng AK khi
.
Ta có (d): qua M(2; -1; 1) , có VTCP
.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT .
Mặt phẳng có một VTPT là
và
qua M (2; -1; 1) có phương trình:
Cho mặt phẳng
qua điểm
và chắn trên ba trục tọa độ
theo ba đoạn có số đo đại số a, b, c. Viết phương trình tổng quát của
khi a, b, c tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2.
Theo đề bài, ta có a, b, c là cấp số nhân với công bội q=2
Phương trình của
(P) qua