Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 3; - 1),B(4; - 1;2)$ . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ là
- A.
  $2x + 2y + 3z + 1 = 0$
- B.
  $4x - 4y - 6z + \frac{15}{2} = 0$
- C.
  $4x + 4y + 6z - 7 = 0$
- D.
  $x + y - z = 0$
Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của $AB$ .

Tọa độ trung điểm của $AB$ là $I\left( 3; - 2;\frac{1}{2} ight)$

Vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (2;2;3)$

Phương trình mặt phẳng

$\begin{matrix}(\alpha):2(x - 3) + 2(y + 2) + 3\left( z - \dfrac{1}{2} ight) = 0 \hfill \\\Leftrightarrow 4x + 4y + 6z - 7 = 0 \hfill\\\end{matrix}$
Câu 2: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 điểm $A(−2; 1; 3), B(3; −2; 4)$ , đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{11} = \frac{z + 1}{- 4}$ và mặt phẳng $(P): 41x − 6y + 54z + 49 = 0$ . Đường thẳng $(d)$ đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng $(P)$ lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện $ABCO$ và $OACD$ bằng nhau, biết $(d)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;b;c)$ . Tính $b + c$ .
- A.
  $b + c = 11$
- B.
  $b + c = 6$
- C.
  $b + c = 9$
- D.
  $b + c = 4$
Hình vẽ minh họa

Ta có $1 = \frac{V_{OABC}}{V_{OACD}} =\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( O;(ABC) ight).S_{ABC}}{\dfrac{1}{3}d\left(O;(ACD) ight).S_{ACD}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} =\frac{BC}{CD}$

Nên $BC = CD$ . Vì $C ∈ ∆$ $\Rightarrow C(2t + 1;11t + 6; - 4t - 1)$

C là trung điểm của BD nên $D(4t - 1;22t + 14; - 8t - 6)$ .

Điểm $D ∈ (P)$ nên $41(4t − 1) − 6(22t + 14) + 54(−8t − 6) + 49 = 0 ⇔ t = −1$

$⇒ C(−1; −5; 3).$

$\overrightarrow{CB} = (4;3;1) = \overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Vậy $b = 3, c = 1 ⇒ b + c = 4$
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;2;3),B( - 1;2;1),C(3; - 1; - 2)$ . Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ ?
- A.
  $- 6$
- B.
  $- 14$
- C.
  $14$
- D.
  $6$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2;0; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (2; - 3; - 5) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 6$
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $M(0;1;0),N(2;0;0),P(0;0; - 3)$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng $(MNP)$ ?
- A.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} = 1$
- B.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} = 0$
- C.
  $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1$
- D.
  $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 0$
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng $(MNP)$ là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} = 1$
Câu 5: Thông hiểu
Cho hình chóp $OABC$ có $OA = OB = OC = 1$ , các cạnh $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ . Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OC};\overrightarrow{MA}$ .
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $- 1$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\left( \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} ight)$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OB} = 0 - 0 = 0$

Vậy $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} = 0$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $M(3; - 2;1),N(1;0; - 3)$ . Gọi $M';N'$ lần lượt là hình chiếu của $M;N$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng $M'N'$ bằng:
- A.
  $M'N' = 8$
- B.
  $M'N' = 4$
- C.
  $M'N' = 2\sqrt{6}$
- D.
  $M'N' = 2\sqrt{2}$
Vì $M';N'$ lần lượt là hình chiếu của $M;N$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ nên $M'(3; - 2;0),N'(1;0;0)$ suy ra $\overrightarrow{M'N'} = ( - 2;2;0)$

$\Rightarrow M'N' = 2\sqrt{2}$ .
Câu 7: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{- 1}$ và hai điểm $A(1;\ 2; - 1),B(3; - 1; - 5)$ . Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ và cắt đường thẳng $\Delta$ sao cho khoảng cách từ điểm $B$ đến đường thẳng $d$ là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $d$ là:
- A.
  $\frac{x - 3}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 5}{- 1}$
- B.
  $\frac{x}{- 1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z}{4}$
- C.
  $\frac{x + 2}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$
- D.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z + 1}{- 5}$
Gọi $I = \Delta \cap d$ . Khi đó $I( - 1 + 2t;3t; - 1 - t)$

Ta có $\overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4),\overrightarrow{AI} = (2t - 2;3t - 2; - t)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AI} ightbrack = (8 - 15t;6t - 8;10 - 12t)$

Khoảng cách từ B đến d được tính như sau:

$d(B;d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AI} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{AI} ight|} = \sqrt{\frac{405t^{2} - 576t + 228}{14t^{2} - 20t + 8}}$

Xét hàm số $f(t) = \frac{405t^{2} - 576t + 228}{14t^{2} - 20t + 8}$ ta có:

$f'(t) = \dfrac{- 36t^{2} + 96t -48}{\left( 14t^{2} - 20t + 8 ight)^{2}} \Rightarrow f'(t) =\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = \dfrac{2}{3} \\t = 2 \\\end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $d(B;d)$ nhỏ nhất khi $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $27$ tại $t = \frac{2}{3}$

Suy ra $\overrightarrow{AI} = \left( \frac{1}{3};2; - \frac{5}{3} ight)$

Khi đó vectơ $\overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{AI} = (1;6; - 5)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z + 1}{- 5}$ .
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 3 = 0$ và $(Q):x + my + z - 1 = 0$ . Tìm tham số m để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau?
- A.
  $m = - 4$
- B.
  $m = - \frac{1}{2}$
- C.
  $m = \frac{1}{2}$
- D.
  $m = 4$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 1;2) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1;m;1) \\ \end{matrix} ight.$

Để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau thì

$\overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0 \Leftrightarrow 2 - m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 4$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 4;3)$ và $B(2;2;7)$ . Xác định tọa độ trung điểm $I$ của $AB$ ?
- A.
  $I(1;0;4)$
- B.
  $I(2;0;8)$
- C.
  $I(2; - 2; - 1)$
- D.
  $I( - 2;2;1)$
Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 1 \\y_{I} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 0 \\z_{I} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(1;0;4)$

Vậy đáp án đúng là: $I(1;0;4)$ .
Câu 10: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;P$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ . Đặt $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{d} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{d} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} ight)$
Ta có:

$\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{MC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

$= - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} ight)$

Vậy khẳng định đúng $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} ight)$ .
Câu 11: Vận dụng
Cho tam giác ABC với $A\left( {\,1,\,\, - 2,\,\,6\,} ight);\,\,B\left( {\,2,\,\,5,\,\,1} ight);\,\,C\left( {\, - 1,\,\,8,\,\,4} ight)$ . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $(R)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ song song phân giác ngoài AF của góc A?
- A. $x\,\, - \,\,23y\,\, + \,\,10z\,\, - 108 = \,\,\,0$
- B. $x\,\, + \,\,3y\,\, + \,\,z = \,\,0$
- C. $3x\,\, - \,\,z = \,\,0$
- D. $x\,\, - \,\,3y\,\, - \,\,z = \,\,0$
Một vecto chỉ phương của $(R)$ là $\overrightarrow n = 12\left( {3,1,2} ight)$
Ta có :
$\begin{array}{l}A{B^2} = 75 \Rightarrow AB = 5\sqrt 3 ;A{C^2} = 108 \Rightarrow AC = 6\sqrt 3 \\6\overrightarrow {FB} = 5\overrightarrow {FC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {2 - x} ight) = 5\left( { - 1 - x} ight)\\6\left( {5 - y} ight) = 5\left( {8 - y} ight)\\6\left( {1 - z} ight) = 5\left( {4 - z} ight)\end{array} ight. \Rightarrow F\left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = - 10\\z = - 14\end{array} ight.\end{array}$
Vecto chỉ phương thứ hai $\overrightarrow {AF} = 4\left( {4, - 2, - 5} ight)$
Suy ra vecto pháp tuyến của $(R)$ là $\overrightarrow N = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {AF} } ight] = \left( { - 1,23, - 10} ight)$
Mp $(R)$ đi qua $A (1, -2, 6)$ và nhận vecto $(-1, 23, -10)$ làm 1 VTPT có phương trình là:
$\Rightarrow \left( R ight):\left( {x - 1} ight)\left( { - 1} ight) + \left( {y + 2} ight)23 + \left( {z - 6} ight)\left( { - 10} ight) = 0$
$\Leftrightarrow x - 23y + 10z - 108 = 0$
Câu 12: Vận dụng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Giả sử điểm $C'(a;b;c)$ . Tính giá trị biểu thức $T=a+b+2c$ ?
- A.
  $T=0$
- B.
  $T=25$
- C.
  $T=12$
- D. $T=-11$
Gọi điểm $C'(x;y;z)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.$
Mà $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}$
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C'(13;4;4)$ suy ra $a=13;b=4;c=4$
Vậy $T=25$
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 + 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Gọi $d'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxz)$ . Viết phương trình đường thẳng $d'$ .
- A.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;2;3)$

Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (0;1;0)$ và có phương trình y = 0.

Suy ra $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 3;0;1)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).

Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ $\overrightarrow{u'} = \left\lbrack \overrightarrow{n}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack ightbrack = (1;0;3)$ làm vectơ chỉ phương.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 14: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + y + z - 9 = 0$ . Hỏi có bao nhiêu điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ với $a,b,c$ là các số nguyên không âm.
- A.
  $55$
- B.
  $45$
- C.
  $50$
- D.
  $60$
Ta có $(P):x + y + z - 9 = 0 \Rightarrow \frac{x}{9} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1$ nên mặt phẳng $(P)$ đi qua các điểm $A(9; 0; 0), B(0; 9; 0), C(0; 0; 9).$

Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.

Tam giác ABC đều có các cạnh bằng $9\sqrt{2}$ , chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.

Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng $1\ + \ 2\ + \ ...\ + \ 10\ = \ 55$
Câu 15: Thông hiểu

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):y = 0$ , $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0$ . Xét các vectơ $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ , $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = - 1$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $30{^\circ}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):y = 0$ , $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0$ . Xét các vectơ $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ , $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = - 1$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $30{^\circ}$ . Sai||Đúng

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

Ta có: $(P):y = 0 \Leftrightarrow 0x + 1y + 0z = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ .

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

Ta có: $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}x - y + 0z - 2024 = 0 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = 0.\sqrt{3} + 1.( - 1) + 0.0 = - 1$ .

d) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$

$\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}$

$= \frac{| - 1|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 0^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{3} ight)^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 60{^\circ}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $M(4;9;8),N(1; - 3;4),P(2;5; - 1)$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua ba điểm $M,N,P$ có phương trình tổng quát $Ax + By + Cz + D = 0$ . Biết $A = 92$ , tìm giá trị của $D$ ?
- A.
  $D = 101$
- B.
  $D = - 101$
- C.
  $D = - 63$
- D.
  $D = 36$
Do $A = 92$ nên mặt phẳng $(P)$ có phương trình $92x + By + Cz + D = 0$

Do $(P)$ đi qua các điểm $A;B;C$ nên ta có hệ:

$\left\{ \begin{matrix} 92.4 + B.9 + C.8 + D = 0 \\ 92.1 + B.( - 3) + C.4 + D = 0 \\ 92.2 + B.5 + C.( - 1) + D = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} B = - 19 \\ C = - 12 \\ D = - 101 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $D = - 101$ .
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ có phương trình $d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{- 4}$ . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng $d$ ?
- A.
  $Q( - 2; - 4;7)$
- B.
  $P(4;0; - 1)$
- C.
  $M(1; - 2;3)$
- D.
  $N(7;2;1)$
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng $d$ , điểm $N(7;2;1)$ có tọa độ không thỏa mãn phương trình đường thẳng $d$ .
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có:
- A. 1 vectơ chỉ phương duy nhất
- B. 2 vectơ chỉ phương
- C. 3 vectơ chỉ phương
- D. Vô số vectơ chỉ phương
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có vô số vecto chỉ phương.
Câu 19: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , biết mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1;4;9)$ và cắt các tia dương $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại ba điểm $A,B,C$ khác gốc tọa độ $O$ , sao cho $OA + OB + OC$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Độ dài ba cạnh $OA;OB;OC$ bằng nhau.
- B.
  Độ dài ba cạnh $OA;OB;OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
- C.
  Độ dài ba cạnh $OA;OB;OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
- D.
  Độ dài ba cạnh $OA;OB;OC$ theo thứ tự là ba số hạng của một dãy số giảm.
Vì mặt phẳng $(P)$ cắt các tia dương của trục $Ox,Oy,Oz$ nên ta có

$\frac{x}{OA} + \frac{y}{OB} + \frac{z}{OC} = 1$

Ta có $M \in (P) \Rightarrow \frac{1}{OA} + \frac{4}{OB} + \frac{9}{OC} = 1$

Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$(OA + OB + OC)\left( \frac{1}{OA} + \frac{4}{OB} + \frac{9}{OC} ight)$

$\geq \left( \sqrt{OA}.\frac{1}{\sqrt{OA}} + \sqrt{OB}.\frac{2}{\sqrt{OB}} + \sqrt{OC}.\frac{3}{\sqrt{OC}} ight)^{2} = 36$

$\Rightarrow OA + OB + OC \geq 36$

Dấu bằng xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{OA} + \dfrac{4}{OB} + \dfrac{9}{OC} = 1 \\OA = \dfrac{OB}{2} = \dfrac{OC}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}OA = 6 \\OB = 12 \\OC = 18 \\\end{matrix} ight.$

Suy ra độ dài ba cạnh $OA;OB;OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(3;4;5)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 2z - 3 = 0$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$ . Tìm tọa độ điểm $H$ ?
- A.
  $H(1;2;2)$
- B.
  $H(2;5;3)$
- C.
  $H(6;7;8)$
- D.
  $H(2; - 3; - 1)$
Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên (P) nên $H(3 + t;4 - t;5 + 2t)$

Điểm H thuộc mặt phẳng (P) nên ta có phương trình:

$(3 + t) - (4 - t) + 2(5 + 2t) - 3 = 0$

$\Leftrightarrow t = - 1 \Leftrightarrow H = (2;5;3)$

31 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!