Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hai vectơ \overrightarrow a = \,\,\left( {2, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow b = \,\,\left( { - 2,3,1} ight). Xác định vectơ \vec c, biết \vec c cùng phương với \vec a và \vec a .\vec c=-4

    Gọi tọa độ của \vec c  là \overrightarrow c = \left( {{c_1};{c_2};{c_3}} ight)

    Theo đề bài, ta có \vec c cùng phương \overrightarrow a \Leftrightarrow \frac{{{c_1}}}{2} = \frac{{{c_2}}}{{ - 1}} = \frac{{{c_3}}}{1}

    \Rightarrow {c_1} = 2{c_3};\,{c_2} = - {c_3}

    Mặt khác, \vec a .\vec c=-4, thay vào ta được:

    \begin{array}{l}\overrightarrow a .\overrightarrow c = - 4\\ \Leftrightarrow 2{c_1} - {c_2} + {c_3} = - 4\\ \Leftrightarrow 4{c_3} + {c_3} + {c_3} = - 4\\ \Leftrightarrow {c_3} = - \dfrac{2}{3}\end{array}

    \begin{array}{l} \Rightarrow {c_1} = 2{c_3} = - \dfrac{4}{3};\,{c_2} = \dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow \overrightarrow c = \left( { - \dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3}; - \dfrac{2}{3}} ight)\end{array}

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc trục tung Oy?

    Điểm thuộc trục tung Oy là M(0; - 10;0).

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz , cho vectơ \overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; - 5;7). Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ của điểm A là (2; - 1;5). Đúng||Sai

    b) Gọi C(a;b;c) thỏa mãn ∆ABC nhận G(1;1;1) làm trọng tâm. Khi đó a + b + c = - 4 . Đúng||Sai

    c) Nếu A;B;M(x;y;1) thẳng hàng thì tổng x + y = 3 . Đúng||Sai

    d) Cho N \in (Oxy) để ∆ABN vuông cân tại A. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz , cho vectơ \overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; - 5;7). Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ của điểm A là (2; - 1;5). Đúng||Sai

    b) Gọi C(a;b;c) thỏa mãn ∆ABC nhận G(1;1;1) làm trọng tâm. Khi đó a + b + c = - 4 . Đúng||Sai

    c) Nếu A;B;M(x;y;1) thẳng hàng thì tổng x + y = 3 . Đúng||Sai

    d) Cho N \in (Oxy) để ∆ABN vuông cân tại A. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

    a) Ta có:

    Tọa độ của điểm A là (2; - 1;5).

    b) G là trọng tâm tam giác ABC

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{2 + 5 + x_{C}}{3} \\1 = \dfrac{- 1 - 5 + y_{C}}{3} \\1 = \dfrac{5 + 7 + x_{C}}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{C} = - 4 \\y_{C} = 9 \\x_{C} = - 9 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C( - 4;9; - 9)

    \Rightarrow a + b + c = - 4

    c) Ta có: \overrightarrow{AB} = (3; - 4;2);\overrightarrow{AC} = (x - 2;y + 1; - 4)

    Ba điểm A, B, M thằng hàng khi và chỉ khi

    \overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2 = 3k \\ y + 1 = k.( - 4) \\ - 4 = k.2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 7 \\ k = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra x + y = 3

    d) Ta có: N \in (Oxy) \Rightarrow N = (x;y;0)

    \Rightarrow \overrightarrow{AN} = (x - 2;y + 1; - 5),\overrightarrow{AB} = (3; - 4;2)

    Ta có ∆ABN vuông cân tại A \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} AN\bot AB(*) \\ AN = AB(**) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (*) \Leftrightarrow \overrightarrow{AN}\bot\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow 3(x - 2) - 4(y + 1) - 10 = 0

    \Leftrightarrow 3x - 4y = 20 \Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x - 5

    Từ (**) AN^{2} = AB^{2} \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + 25 = 9 + 16 + 4

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + \left( \frac{3x}{4} - 4 ight)^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \frac{16}{5}

    \Rightarrow y = - \frac{13}{5} \Rightarrow N\left( \frac{16}{5}; - \frac{13}{5};0 ight)

    Vậy x_{N} + y_{N} = \frac{3}{5}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} có cạnh a. Gọi M là trung điểm của AD. Tính tích vô hướng \overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD_{1}} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AD}

    Ta có: \overrightarrow{B_{1}M} = \overrightarrow{B_{1}A} + \overrightarrow{AM} hay \overrightarrow{B_{1}M} = - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA_{1}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}

    Do đó \overrightarrow{B_{1}M}.\overrightarrow{BD_{1}} = AB^{2} - A_{1}A^{2} + \frac{1}{2}AD^{2} = \frac{a^{2}}{2}

  • Câu 5: Vận dụng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}. Gọi (P) là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ điểm A đến (P) là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P) bằng:

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên d và H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) thì d(A,(P)) = AH ≤ AK không đổi.

    Vậy d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K, khi đó (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.

    Ta tìm được (P):x - 4y + z - 3 = 0 \Rightarrow d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3; - 1),B(3; - 1;5). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức \overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}?

    Ta có: \overrightarrow{MA} =3\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} - 3x_{B}}{1 - 3} = 4 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} - 3y_{B}}{1 - 3} = - 3 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} - 3z_{B}}{1 - 3} = 8 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(4; - 3;8)

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho tứ diện OABC, có OA,OB,OC đôi một vuông góc, M là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi khoảng cách từ M đến các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) lần lượt là a,b,c. Tính độ dài đoạn OA,OB,OC sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất.

    Xét hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A thuộc tia Ox; B thuộc tia Oy và C thuộc tia Oz.

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix} d\left( M;(OBC) ight) = a \\ d\left( M;(OCA) ight) = b \\ d\left( M;(OAB) ight) = c \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(a;b;c)

    (ABC):\frac{x}{OA} + \frac{y}{OB} + \frac{z}{OC} = 1

    Ta có: M(a;b;c) \in (ABC) \Rightarrow 1 = \frac{a}{OA} + \frac{b}{OB} + \frac{c}{OC} \geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{OA.OB.OC}}

    \Rightarrow \frac{27abc}{OA.OB.OC} \leq1 \Rightarrow \dfrac{9abc}{\dfrac{1}{6}.OA.OB.OC} \leq 2

    \Rightarrow \frac{9abc}{V_{OABC}} \leq 2 \Rightarrow V_{OABC} = \frac{9abc}{2}

    Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi \left\{ \begin{matrix} \frac{a}{OA} = \frac{b}{OB} = \frac{c}{OC} \\ \frac{a}{OA} + \frac{b}{OB} + \frac{c}{OC} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} OA = 3a \\ OB = 3b \\ OC = 3c \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 8: Vận dụng

    Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P); gọi \alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma lần lượt là các góc tạo bởi vector pháp tuyến của (P) với ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của (P) là ( OH = p):

    Theo đề bài, ta có: H\left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight) \Rightarrow \overrightarrow {OH} = \left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight)

    Gọi M\left( {x,y,z} ight) \in \left( P ight)

    \Rightarrow \overrightarrow {HM} = \left( {x - p\cos \alpha ,y - p\cos \beta ,z - c\cos \gamma } ight)

    Ta có:

    \overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {HM}

    \Leftrightarrow \left( {x - p\cos \alpha } ight)p\cos \alpha + \left( {y - p\cos \beta } ight)p\cos \beta + \left( {z - p\cos \gamma } ight)p\cos \gamma \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,

    \Leftrightarrow \left( P ight):x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma - p = 0

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P):x + y - 2z + 4 = 0. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

    Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \overrightarrow{n} = (1;1; - 2).

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - y + z - 1 = 0. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

    Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là (2; - 1;1) hoặc ( - 2;1; - 1).

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân

    giác trong góc A là \frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}.  Biết rằng điểm M(0; 5; 3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0)thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?

    Giả sử , A(t; 6-4t; 6-3t), ta có:

    \vec{u_d}=(1; -4; -3),

    \vec{AM}=(-t;4t-1;-3+3t)

    \vec{AN}=(1-t;-5+4t;3t-6)

    Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:

    \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AM}) ight |= \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AN}) ight |

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 26t-13 ight |}{\sqrt{26t^2 -26t+10} } =\dfrac{\left | 26t-39 ight |}{\sqrt{26t^2 -78t+62} }

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 2t-1 ight |}{\sqrt{13t^2 -13t+5} } =\dfrac{\left | 2t-3 ight |}{\sqrt{13t^2 -39t+31} }

    Từ đây ta bình phương 2 vế được:

    (4t^2-4t+1)(13t^2-39t+31)=(4t^2-12t+9)(13t^2-13t+5)

    \Leftrightarrow 14t=14

    \Leftrightarrow t=1

    \Rightarrow A(1;2;3)\Rightarrow \vec{AN}=(0; -1; -3)

    Vậy một véc tơ chỉ phương của AC  là  \vec{u}(0;1;3).

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (2;1;0) và \overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2). Tính \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)?

    Ta có: \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, giao điểm của mặt phẳng (P):x + y - z - 2 = 0 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - t \\ z = 3 + 3t \\ \end{matrix} ight. là:

    Gọi A(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Ta có: 2 + t - t - (3 + 3t) - 2 = 0

    \Leftrightarrow - 3t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = - 1

    Suy ra \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(1;1;0).

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho ba điểm A\left( {3,1,0} ight);\,\,\,B\left( {2,1, - 1} ight);\,\,\,C\left( {x,y, - 1} ight). Tìm tọa độ của C để ABC là tam giác đều?

     Tam giác ABC đều

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = AB\\BC = AB\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 9 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 ight)\\{x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 ight)\end{array} ight.\\\left( 2 ight) - \left( 1 ight):2x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow {y^2} - 2y = 0 \Leftrightarrow y = 2 \vee y = 0\end{array}

    Suy ra tọa độ điểm C là có 2 nghiệm C thỏa mãn: 

    C\left( {3;2; - 1} ight);C'\left( {3;0; - 1} ight)

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC có A\left( {1,2, - 3} ight);\,\,B\left( {2, - 1,4} ight);\,\,\,C\left( {3, - 2,5} ight). Phương trình tổng quát của đường cao AH.

    Theo đề bài, ta tính được: \overrightarrow {AB} = \left( {1, - 3,7} ight);\,\,\overrightarrow {AC} = 2\left( {1, - 2,4} ight);\,\,\overrightarrow {BC} = 2\left( {1, - 1,1} ight)

    Mp (ABC) có 2 VTCP là \overrightarrow {AB} = \left( {1, - 3,7} ight);\,\,\overrightarrow {AC} = 2\left( {1, - 2,4} ight) nên vecto pháp tuyến của (ABC) chính là tích có hướng của 2 VTCP trên. Ta có:

    \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } ight] = \left( {2,3,1} ight)

    Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên ta có \overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC}.

    Mặt khác \overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow n nên ta viết được vecto chỉ phương của đường thẳng AH là tích có hướng của 2 vecto pháp tuyến

    \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {BC} } ight] = \left( {4, - 1, - 5} ight)

    Từ đây, ta có phương trình chính tắc của AH:\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{{ - 5}}

    \Rightarrow AH\left\{ \begin{array}{l}x + 4y - 9 = 0\\5x + 4z + 7 = 0\end{array} ight. \vee AH\left\{ \begin{array}{l}x + 4y - 9 = 0\\5y - z - 13 = 0\end{array} ight.

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d_{1}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- m} =\frac{z - 2}{- 3};d_{2}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z -1}{1}. Tìm tất cả giá trị thực của m để d_{1} vuông góc với d_{2}?

    Vectơ chỉ phương của d_{1};d_{2} lần lượt là: \overrightarrow{u_{1}} = (2; - m; - 3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;1).

    Để d_{1}\bot d_{2} thì \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = 0 \Leftrightarrow 2 - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 1

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 1 + 2t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng (d)?

    Đường thẳng (d) đi qua điểm M(3; - 1;0) và nhận \overrightarrow{u} = ( - 1;2; - 3) làm vectơ chỉ phương.

    Phương trình chính tắc của (d):\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A( - 1; - 2;1),B( - 4;2; - 2), C( - 1; - 1; - 2),D( - 5; - 5;2). Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).

    Ta có \overrightarrow{\ AB} = ( - 3;4; - 3),\overrightarrow{AC} = (0;1; - 3)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{\ AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 9; - 9; - 3)

    Mặt phẳng (ABC) đi qua A( - 1; - 2;1) và nhận \overrightarrow{n} = (3;3;1) là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là 3x + 3y + z + 8 = 0.

    Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) là:

    d = d\left( D;(ABC) ight) = \frac{| - 15 - 15 + 2 + 8|}{\sqrt{3^{2} + 3^{2} + 1^{2}}} = \frac{20}{\sqrt{19}}.

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho tứ giác ABCD có A\left( {0,1, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( {1,1,2} ight);\,\,C\left( {1, - 1,0} ight);\,\,\,\left( {0,0,1} ight) . Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua A, B và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3.

     PT mp cắt khối tứ diện

    Theo đề bài, ta có mp (P) cắt cạnh CD tại E, E chia đoạn CD theo tỷ số -3

    \Rightarrow E\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{x_C} + 3{x_D}}}{4} = \dfrac{{1 + 3.0}}{4} = \dfrac{1}{4}\\y = \dfrac{{{y_C} + 3{y_D}}}{4} = \dfrac{{ - 1 + 3.0}}{4} = \dfrac{{ - 1}}{4}\\z = \dfrac{{{z_C} + 3{z_D}}}{4} = \dfrac{{0 + 3.1}}{4} = \dfrac{3}{4}\end{array} ight.

    Từ đó, ta suy ra: \overrightarrow {AB} = \left( {1,0,3} ight);\,\,\overrightarrow {AE} = \left( {\frac{1}{4}; - \frac{5}{4};\frac{7}{4}} ight) = \frac{1}{4}\left( {1, - 5,7} ight)

    Như vậy, VTPT mp (P) là: \left( P ight):\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} } ight] = \left( {15, - 4, - 5} ight)

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 0} ight)15 + \left( {y - 1} ight)\left( { - 4} ight) + \left( {z + 1} ight)\left( { - 5} ight) = 0

    \Leftrightarrow 15x - 4y - 5z - 1 = 0

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - y + 1 = 0. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1;0).

    Ta có \frac{2}{2} = \frac{- 1}{1} eq \frac{0}{1} nên \overrightarrow{n_{P}} không cùng phương với \overrightarrow{n} = (2; - 1;1).

    Suy ra \overrightarrow{n} = (2; - 1;1) không là vectơ pháp tuyến của (P).

    Vậy khẳng định sai là: “Vectơ \overrightarrow{n} = (2; - 1;1) là một véc-tơ pháp tuyến của (P)”.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 79 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập