Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho hình chóp $OABC$ có $OA = OB = OC = 1$ , các cạnh $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ . Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OC};\overrightarrow{MA}$ .
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $- 1$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\left( \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} ight)$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OB} = 0 - 0 = 0$

Vậy $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} = 0$
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(3;0; - 1),B(1; - 1;3),C(0;1;3)$ . Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A;B;C$ .
- A.
  $8x + 4y + 5z - 19 = 0$
- B.
  $10x + 3y + z - 19 = 0$
- C.
  $2x - y + 5z - 3 = 0$
- D.
  $10x - 3y - z - 21 = 0$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 1;4) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 3;1;4) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt phẳng $(ABC)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 8; - 4; - 5)$

Từ đó phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $8x + 4y + 5z - 19 = 0$ .
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = (1;2;1),\overrightarrow{b} = (1;1;2),\overrightarrow{c} = (x;3x;x + 2)$ . Nếu ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng thì:
- A.
  $x = - 1$
- B.
  $x = 1$
- C.
  $x = - 2$
- D.
  $x = 2$
Ta có: $\left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack = (3; - 3;3)$

Ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng

$\Leftrightarrow \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack.\overrightarrow{c} = 0$

$\Leftrightarrow 3x - 3(3x) + 3(x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow x = 2$
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2;1;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 2}$ . Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
- A.
  $\frac{3\sqrt{5}}{2}$
- B.
  $\sqrt{5}$
- C.
  $2\sqrt{5}$
- D.
  $3\sqrt{5}$
Gọi $M(1;\ 2;\ 3) \in d$

$\Rightarrow AM = ( - 1;1;2) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 6;0; - 3)$

Ta có $d(A;d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{3\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình hộp $ABCD.A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ với các điểm $A( - 1;1;2)$ , $B( - 3;2;1)$ , $D(0; - 1;2)$ và $A^{'}(2;1;2)$ . Tìm tọa độ đỉnh $C^{'}$ .
- A.
  $C'(1;0;1)$ .
- B.
  $C'( - 3;1;3)$ .
- C.
  $C'( 0 ; 1; 0 )$ .
- D.
  $C'( - 1;3;1)$ .
Hình vẽ minh họa

.

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C^{'}} + 1 = 2 \\ y_{C^{'}} - 1 = - 1 \\ z_{C^{'}} - 2 = - 1 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C^{'}} = 1 \\ y_{C^{'}} = 0 \\ z_{C^{'}} = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow C'(1;0;1) ight.\ ight.$
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1; - 2;3),B( - 1;2;5),C(0;0;1)$ . Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
- A.
  $G(0;0;3)$
- B.
  $G(0;0;9)$
- C.
  $G( - 1;0;3)$
- D.
  $G(0;0;1)$
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 - 1 + 0}{3} = 0 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 + 2 + 0}{3} = 0 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{3 + 5 + 1}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(0;0;3)$

Vậy trọng tâm G tìm được là $G(0;0;3)$ .
Câu 7: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$ , $\widehat{ABC} = 60^{0}$ , mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H,M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,SA,SD$ và $P$ là giao điểm của $(HMN)$ với $CD$ . Khoảng cách từ trung điểm $K$ của đoạn thẳng $SP$ đến mặt phẳng $(HMN)$ bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$ , $\widehat{ABC} = 60^{0}$ , mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H,M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,SA,SD$ và $P$ là giao điểm của $(HMN)$ với $CD$ . Khoảng cách từ trung điểm $K$ của đoạn thẳng $SP$ đến mặt phẳng $(HMN)$ bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 8: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;3)$ . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục $x'Ox,y'Oy,z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $OA = OB = 2OC eq 0$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $8$
- C.
  $4$
- D.
  $2$
Đặt $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $abc eq 0$ .

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm $A, B, C$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

Do $OA = OB = 2OC$ nên ta có $|a| = |b| = 2|c|$ .

Suy ra $a = ±2c, b = ±2c$ .

Nếu $a = 2c$ và $b = 2c$ thì mặt phẳng (P) có dạng $\frac{x}{2c} + \frac{y}{2c} + \frac{z}{c} = 1$ .

Vì (P) đi qua M nên $\frac{1}{2c} + \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{9}{2}$ .

Ta có $(P): x + y + 2z − 9 = 0$ .

Nếu $a = 2c$ và $b = −2c$ thì mặt phẳng (P) có dạng $\frac{x}{2c} + \frac{y}{- 2c} + \frac{z}{c} = 1$ .

Vì (P) đi qua M nên $\frac{1}{2c} - \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{5}{2}$

Ta có $(P): x − y + 2z − 5 = 0$ .

Nếu $a = −2c$ và $b = 2c$ thì mặt phẳng (P) có dạng $\frac{x}{- 2c} + \frac{y}{2c} + \frac{z}{c} = 1$ .

Vì (P) đi qua M nên $\frac{1}{- 2c} + \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{7}{2}$

Ta có $(P): − x + y + 2z − 7 = 0$ .

Nếu $a = −2c$ và $b = −2c$ thì mặt phẳng (P) có dạng $\frac{x}{- 2c} + \frac{y}{- 2c} + \frac{z}{c} = 1$ .

Vì (P) đi qua M nên $\frac{1}{- 2c} + \frac{2}{- 2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{3}{2}$

Ta có $(P): − x − y + 2z − 3 = 0$ .

Vậy có bốn mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(0;1;1)$ và $B(1;2;3)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ .
- A.
  $(P):x + 3y + 4z - 26 = 0$ .
- B.
  $(P):x + y + 2z - 3 = 0$ .
- C.
  $(P):x + y + 2z - 6 = 0$ .
- D.
  $(P):x + 3y + 4z - 7 = 0$ .
Mặt phẳng $(P)$ có một véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (1;1;2)$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $x + y - 1 + 2(z - 1) = 0$ hay $(P):x + y + 2z - 3 = 0$ .
Câu 10: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng chéo nhau $d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 1} =\frac{z - 4}{1},$ $d_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z +3}{4}$ . Viết phương trình đường vuông góc chung của $d_{1},d_{2}$ .
- A.
  $\frac{x - 7}{3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 9}{- 1}$
- B.
  $\frac{x - 3}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{- 1}$
- C.
  $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$
- D.
  $\frac{x + 7}{3} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 9}{- 1}$
Đường thẳng $d_{1},d_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{1}} = (1; - 1;1),\overrightarrow{u_{2}} = (2; - 1;4)$

Gọi ∆ là đường vuông góc chung giữa $d_{1}$ và $d_{2}$ , suy ra ∆ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3; - 2;1)$

Giả sử ∆ giao với $d_{1},d_{2}$ lần lượt tại $\left\{ \begin{matrix} M(3 + m; - 1 - m;4 + m) \\ N(2 + 2n;4 - n; - 3 + 4n) \\ \end{matrix} ight.$ , khi đó ta có $\overrightarrow{MN} = ( - m + 2n - 1;m - n + 5; - m + 4n - 7)$

Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{MN} = 0 \\ \overrightarrow{u_{2}.}\overrightarrow{MN} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3m + 7n - 13 = 0\ \\ - 7m + 21n - 35 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 2 \\ n = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Từ đó suy ra đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}}$ và đi qua điểm $M(1; 1; 2)$ .

Vậy ta có phương trình đường thẳng: $\Delta:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$
Câu 11: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(2;0;0),B(0;3;0),C(0;0;3)$ và $D\left( 1;1;\frac{1}{2} ight)$ . Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong năm điểm $O,A,B,C,D$ ?
- A.
  $5$
- B.
  $6$
- C.
  $7$
- D.
  $10$
Hình vẽ minh họa

Ta có mặt phẳng (ABC): $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ .

Suy ra $D\left( 1;1;\frac{1}{2} ight)$ thuộc mặt phẳng (ABC).

Số mặt phẳng qua ba trong bốn điểm A, B, C, D là 1.

Số mặt phẳng qua điểm O và hai trong bốn điểm A, B, C, D là $C_{4}^{2} = 6$ .

Vậy số mặt phẳng phân biệt đi qua ba trong năm điểm $O,A,B,C,D$ là $1 + 6 = 7$ .
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ có phương trình $d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{- 4}$ . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng $d$ ?
- A.
  $Q( - 2; - 4;7)$
- B.
  $P(4;0; - 1)$
- C.
  $M(1; - 2;3)$
- D.
  $N(7;2;1)$
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng $d$ , điểm $N(7;2;1)$ có tọa độ không thỏa mãn phương trình đường thẳng $d$ .
Câu 13: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân
giác trong góc A là $\frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}$ . Biết rằng điểm $M(0; 5; 3)$ thuộc đường thẳng AB và điểm $N(1;1;0)$ thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?
- A. $\vec{u}(1;2;3)$
- B. $\vec{u}(0;-2;6)$
- C. $\vec{u}(0;1;-3)$
- D. $\vec{u}(0;1;3)$
Giả sử , $A(t; 6-4t; 6-3t)$ , ta có:
$\vec{u_d}=(1; -4; -3),$
$\vec{AM}=(-t;4t-1;-3+3t)$
$\vec{AN}=(1-t;-5+4t;3t-6)$
Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:
$\left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AM}) ight |= \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AN}) ight |$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left | 26t-13 ight |}{\sqrt{26t^2 -26t+10} } =\dfrac{\left | 26t-39 ight |}{\sqrt{26t^2 -78t+62} }$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left | 2t-1 ight |}{\sqrt{13t^2 -13t+5} } =\dfrac{\left | 2t-3 ight |}{\sqrt{13t^2 -39t+31} }$
Từ đây ta bình phương 2 vế được:
$(4t^2-4t+1)(13t^2-39t+31)=(4t^2-12t+9)(13t^2-13t+5)$
$\Leftrightarrow 14t=14$
$\Leftrightarrow t=1$
$\Rightarrow A(1;2;3)\Rightarrow \vec{AN}=(0; -1; -3)$
Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là $\vec{u}(0;1;3)$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M( - 1;1;2)$ và hai đường thẳng $d:\frac{x - 2}{3} =$ $\frac{y + 3}{2} = \frac{z - 1}{1},d^{'}:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{- 2}$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm $M$ , cắt $d$ và vuông góc với $d^{'}$ .
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = 1 + t \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = 1 - t \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
- C.
  $\ \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 1 - t \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 - 7t \\ y = 1 + 7t \\ z = 2 + 7t \\ \end{matrix} ight.\ .$
Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua điểm $M$ , cắt $d$ và vuông góc với $d^{'}$ .
Giả sử $\Delta \cap d = A \Rightarrow A(2 + 3t; - 3 + 2t;1 + t)$ .

$\overrightarrow{AM} = (3 + 3t; - 4 + 2t; - 1 + t)$

$\Delta\bot d^{'} \Rightarrow \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{u_{d^{'}}} = 0 \Leftrightarrow 3 + 3t + 3( - 4 + 2t) - 2( - 1 + t) = 0$

$\Leftrightarrow 7t = 7 \Leftrightarrow t = 1$

$\Rightarrow A(5; - 1;2),\overrightarrow{AM} = (6; - 2;0) = 2(3; - 1;0).$

$\Delta:\left\{ \begin{matrix}x = - 1 + 3t \\y = 1 - t \\z = 2 \\\end{matrix} ight.$
Câu 15: Thông hiểu
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng chéo nhau $\left( d_{1} ight):\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 6}{- 2}$ và $\left( d_{2} ight):\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z + 1}{3}$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\left( d_{1} ight)$ và song song với $\left( d_{2} ight)$ là
- A.
  $(P):x + 8y + 5z + 16 = 0$
- B.
  $(P):x + 8y + 5z - 16 = 0$
- C.
  $(P):2x + y - 6 = 0$
- D.
  $(P):x + 4y + 3z - 12 = 0$
Phương trình tham số $\left( d_{1} ight):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t_{1} \\ y = - 2 + t_{1} \\ z = 6 - 2t_{1} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t_{1}\mathbb{\in R} ight)$

$\left( d_{1} ight)$ đi qua điểm $M(2; - 2;6)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2)$

Phương trình tham số $\left( d_{2} ight):\left\{ \begin{matrix} x = 4 + t_{2} \\ y = - 2 - 2t_{2} \\ z = - 1 + 3t_{2} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t_{2}\mathbb{\in R} ight)$

$\left( d_{2} ight)$ đi qua điểm $N(4; - 2; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;3)$

Vì mặt phẳng $(P)$ chứa $\left( d_{1} ight)$ và song song với $\left( d_{2} ight)$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{u_{1}} \\ \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = - (1;8;5)$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(2; - 2;6)$ và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2)$ nên phương trình mặt phẳng $(P):(x - 2) + 8(y + 2) + 5(z - 6) = 0$ hay $(P):x + 8y + 5z - 16 = 0$ .
Câu 16: Thông hiểu

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ có $AB = AE = 2,AD = 3$ và đặt $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}$ . Lấy điểm $M$ thỏa $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD}$ và điểm $N$ thỏa $\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC}$ . (Quan sát hình vẽ).

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b}$ Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$ Sai||Đúng

c) $\left( m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} = m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} + p^{2}\overrightarrow{c^{2}}$ , với $m;n;p$ là các số thực. Đúng||Sai

d) $MN = \frac{\sqrt{61}}{5}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ có $AB = AE = 2,AD = 3$ và đặt $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}$ . Lấy điểm $M$ thỏa $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD}$ và điểm $N$ thỏa $\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC}$ . (Quan sát hình vẽ).

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b}$ Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$ Sai||Đúng

c) $\left( m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} = m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} + p^{2}\overrightarrow{c^{2}}$ , với $m;n;p$ là các số thực. Đúng||Sai

d) $MN = \frac{\sqrt{61}}{5}$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Ta có

$\overrightarrow{MA} = - \overrightarrow{AM} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b}$

b) Sai:

$\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC} = \frac{2}{5}(\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EH} + \overrightarrow{EA}) = \frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c})$

c) Đúng:

$(m.\overrightarrow{a} +n.\overrightarrow{b} + p.\overrightarrow{c})^{2} =m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} + n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2}$ $+p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2} +2mn.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ $+2np\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} +2mp.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$ $= m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} + n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2} + p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2}$

(vì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đôi một vuông góc nên $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0)$ .

Ta có

$\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EN}$

$= -\frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} +\frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -\overrightarrow{c})$

$= \frac{2}{5}\overrightarrow{a} +\frac{1}{5}\overrightarrow{b} +\frac{3}{5}\overrightarrow{c}$ .

d) Đúng:

$MN^{2} = {\overrightarrow{MN}}^{2} = \left( \frac{2}{5}\overrightarrow{a} + \frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \frac{3}{5}\overrightarrow{c} ight)^{2}$

$= \frac{4}{25}{\overrightarrow{a}}^{2} +\frac{1}{25}{\overrightarrow{b}}^{2} +\frac{9}{25}{\overrightarrow{c}}^{2}$ $= \frac{4}{25}.4 + \frac{1}{25}.9 +\frac{9}{25}.4 = \frac{61}{25}$

Suy ra $MN = \frac{\sqrt{61}}{5}$ .
Câu 17: Nhận biết
Xác định tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ , biết rằng $A(1;3;4),B(2; - 1;0),C(3;1;2)$ ?
- A.
  $G(2;1;2)$ .
- B.
  $G(6;3;6)$ .
- C.
  $G\left( 3;\frac{2}{3};3 ight)$ .
- D.
  $G(2; - 1;2)$ .
Tọa độ trọng tâm G của tam giác được xác định như sau:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 + 2 + 3}{3} = 2 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{3 - 1 + 1}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{4 + 0 + 2}{3} = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(2;1;2)$
Câu 18: Vận dụng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10)$ . Xác định tọa độ B’?
- A.
  $B'(8;4;10)$
- B.
  $B'(6;12;0)$
- C.
  $B'(10;8;6)$
- D.
  $B'(13;0;17)$
Hình vẽ minh họa

Giả sử điểm $D(a;b;c),B'(a';b';c')$

Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow O\left( \frac{1}{2};4; - \frac{7}{2} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = 8 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DD'} = (9;0;17) \\ \overrightarrow{BB'} = (a' - 4;b';c') \\ \end{matrix} ight.$ . Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{BB'}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a' = 13 \\ b' = 0 \\ c' = 17 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B'(13;0;17)$
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $(\beta):\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z}{2}$ và vuông góc với mặt phẳng $(\beta):x + y - 2z + 1 = 0$ . Hỏi giao tuyến của $(\alpha)$ và $(\beta)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $(1; - 2;0)$
- B.
  $(2;3;3)$
- C.
  $(5;6;8)$
- D.
  $(0;1;3)$
Ta có: $(\alpha):\left\{ \begin{matrix} d \subset (\alpha)\ \\ (\beta)\bot(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A(2;3;0) \in d \Rightarrow A \in (\alpha)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}}\bot\overrightarrow{u_{d}} = (1;1;2)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}}\bot\overrightarrow{n_{\beta}} = (1;1; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A(2;3;0) \in (\alpha)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{\beta}} ightbrack = ( - 4;4;0) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $(\alpha):x - y + 1 = 0$

Khi đó giao tuyến thỏa hệ $\left\{ \begin{matrix} x - y + 1 = 0 \\ x + y - 2z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Thay các phương án vào hệ, ta nhận phương án $(2;3;3)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ có điểm $A(4;2;1),B( - 2; - 1;4)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}$ ?
- A.
  $M(0;0;3)$
- B.
  $M(0;0; - 3)$
- C.
  $M( - 8; - 4;7)$
- D.
  $M(8;4; - 7)$
Ta có: $M(x;y;z)$ . Khi đó $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}$

$\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 4 = 2( - 2 - x) \\ y - 2 = 2( - 1 - y) \\ z - 1 = 2(4 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(0;0;3)$

Vậy giá trị cần tìm là $M(0;0;3)$ .

74 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!