Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha):x + 2z + 3 = 0$ . Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là:
- A.
  $\overrightarrow{b} = (2; - 1;0)$
- B.
  $\overrightarrow{v} = (1;2;3)$
- C.
  $\overrightarrow{a} = (1;0;2)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = (2;0; - 1)$
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1;0;2)$ .

Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng (α) nên có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{n} = (1;0;2)$ .
Câu 2: Thông hiểu
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB với $A\left( {\,1,\,\,4,\,\,3\,} ight);\,\,B\left( {\,3,\,\, - 6,\,\,5\,} ight).$
- A. $x\,\, - \,\,5y\,\, + \,\,z\,\, - 1 = \,\,0$
- B. $x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,z\,\, - 11 = \,\,0$
- C. $x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,z\,\, + 11 = \,\,0$
- D. $x\,\, - \,\,5y\,\, + \,\,z\,\, - 11 = \,\,0$
Vì I là trung điểm của đoạn AB nên ta có tọa độ điểm I là: $I\left( {2, - 1,4} ight)$
Mặt khác, ta lại có (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB nên (P) nhận $\vec{AB}$ làm 1 VTPT. Ta có VTPT của $\left( P ight):\,\,\overrightarrow {AB} = 2\left( {1, - 5,1} ight)$
$\Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)1 + \left( {y + 1} ight)\left( { - 5} ight) + \left( {z - 4} ight).1 = 0$
$\Leftrightarrow x - 5y + z - 11 = 0$
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian Oxyz cho ba vectơ $\vec a,\,\,\vec b$ và $\vec c$ khác $\vec 0$ . Câu nào sai?
- A. $\vec a$ cùng phương $\vec b$ $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}]= 0$
- B. $\vec a, \vec b, \vec c$ đồng phẳng $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}].\vec c=\vec 0$
- C. $\vec a, \vec b, \vec c$ không đồng phẳng $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}].\vec c eq \vec 0$
- D. $|[\vec{a}, \vec{b}]|=|\vec a|.|\vec b |.\cos (\vec a , \vec b )$
Theo điều kiện để hai vecto cùng phương, ta có:
$\vec a$ cùng phương $\vec b$ $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}]=\vec 0$ Suy ra
$\vec a$ cùng phương $\vec b$ $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}]= 0$
sai vì thiếu dấu vecto.
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = - 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng $d$ ?
- A.
  $M(1;2; - 1)$
- B.
  $N(6; - 8;9)$
- C.
  $P( - 6;16; - 14)$
- D.
  $Q( - 19;42; - 41)$
Thay $M(1;2; - 1)$ vào $d$ ta được: $\left\{ \begin{matrix} 1 = 1 - t \\ 2 = 2 + 2t \\ - 1 = - 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow M \in d$

Thay $N(6; - 8;9)$ vào $d$ ta được: $\left\{ \begin{matrix} 6 = 1 - t \\ - 8 = 2 + 2t \\ 9 = - 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = - 5 \Rightarrow N \in d$

Thay $P( - 6;16; - 14)$ vào $d$ ta được: $\left\{ \begin{matrix} - 6 = 1 - t \\ 16 = 2 + 2t \\ - 14 = - 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = 7 \\ t = 7 \\ t = \frac{13}{2} \\ \end{matrix} ight.$ hệ vô nghiệm nên $P otin d$ .

Thay $Q( - 19;42; - 41)$ vào $d$ ta được: $\left\{ \begin{matrix} 19 = 1 - t \\ 42 = 2 + 2t \\ - 41 = - 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = 20 \Rightarrow Q \in d$
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2;0; - 1),B(1; - 2;3),C(0;1;2)$ . Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A;B;C$ .
- A.
  $2x + y + z - 3 = 0$
- B.
  $10x + 3y + z - 19 = 0$
- C.
  $2x - y + z - 3 = 0$
- D.
  $10x - 3y - z - 21 = 0$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;1;3)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 1;4; - 5)$

Theo giả thiết mặt phẳng cần tìm qua A(2; 0; −1) và nhận $\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = - 5(2;1;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng qua $A;B;C$ là

$2(x - 2) + (y - 0) + (z + 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;1),B(2;1; - 2),C( - 1;3;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D( - 2;2;5)$
- B.
  $D(1; - 1; - 2)$
- C.
  $D(0;4; - 1)$
- D.
  $D( - 1; - 1;1)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 1 \\ y - 3 = - 1 \\ z - 2 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 2 \\ z = 5 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 2;2;5)$
Câu 7: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;2;0), B(1;0;-2) và mặt
phẳng $(P): x+2y-z-1=0$ . Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA=MB
và góc $\widehat{ABM}$ có số đo lớn nhất. Khi đó giá trị $a+4b+c$ bằng ?
- A. 1
- B. 2
- C. 0
- D. 3
$MA=MB$ nên M thuộc mặt phẳng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Ta có phương trình trung trực của AB là (Q); y+z=0
M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên M thuộc đường thẳng
$(d): \left\{\begin{matrix} x=1+3t \\ y=-t \\ z=t \end{matrix}ight.$ .
Gọi $M( 1+3t;-t;t)$ , ta có $\cos\widehat{AMB}=\dfrac{\left | \vec{MA}.\vec{MB} ight | }{MA.MB}=\dfrac{11t^2-2t+1}{11t^2-2t+5}$ .
Khảo sát hàm số $f(t)=\dfrac{11t^2-2t+1}{11t^2-2t+5}$ , ta được $f(t)=\frac{5}{27}$ khi $t=\frac{1}{11}$ .
Suy ra $\widehat{AMB}$ có số đo lớn nhất khi $t=\frac{1}{11}$ , ta có $M(\frac{14}{11}; \frac{-1}{11};\frac{1}{11})$ .
Khi đó giá trị $a+4b+c=1$ .
Câu 8: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ CÓ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'} = k.\overrightarrow{AC'}$ . Giá trị của $k$ bằng:
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Ta có: $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'}$

Vậy $k = 1$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x + y + z - 6 = 0$ . Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ ?
- A.
  $M(1; - 1;1)$
- B.
  $Q(3;3;0)$
- C.
  $N(2;2;2)$
- D.
  $P(1;2;3)$
Điểm $M(1; - 1;1)$ không thuộc mặt phẳng $(\alpha):x + y + z - 6 = 0$ .
Câu 10: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 điểm $A(−2; 1; 3), B(3; −2; 4)$ , đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{11} = \frac{z + 1}{- 4}$ và mặt phẳng $(P): 41x − 6y + 54z + 49 = 0$ . Đường thẳng $(d)$ đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng $(P)$ lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện $ABCO$ và $OACD$ bằng nhau, biết $(d)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;b;c)$ . Tính $b + c$ .
- A.
  $b + c = 11$
- B.
  $b + c = 6$
- C.
  $b + c = 9$
- D.
  $b + c = 4$
Hình vẽ minh họa

Ta có $1 = \frac{V_{OABC}}{V_{OACD}} =\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( O;(ABC) ight).S_{ABC}}{\dfrac{1}{3}d\left(O;(ACD) ight).S_{ACD}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} =\frac{BC}{CD}$

Nên $BC = CD$ . Vì $C ∈ ∆$ $\Rightarrow C(2t + 1;11t + 6; - 4t - 1)$

C là trung điểm của BD nên $D(4t - 1;22t + 14; - 8t - 6)$ .

Điểm $D ∈ (P)$ nên $41(4t − 1) − 6(22t + 14) + 54(−8t − 6) + 49 = 0 ⇔ t = −1$

$⇒ C(−1; −5; 3).$

$\overrightarrow{CB} = (4;3;1) = \overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Vậy $b = 3, c = 1 ⇒ b + c = 4$
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 1; - 3)$ và $B( - 2;2;1)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $( - 3;3;4)$
- B.
  $( - 1;1;2)$
- C.
  $(3; - 3;4)$
- D.
  $( - 3;1;4)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = ( - 2 - 1;2 + 1;1 + 3) = ( - 3;3;4)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;4)$ .
Câu 12: Vận dụng
Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho điểm $M = (1; - 1;2)$ và hai đường thẳng $d_{1}$ : $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.$ $d_{2}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{1}$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua diểm $M$ và cắt cả hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;a;b)$ . Tính $a + b$ ?
- A.
  $a + b = - 1$ .
- B.
  $a + b = - 2$ .
- C.
  $a + b = 2$ .
- D.
  $a + b = 1$ .
Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với $d_{1},d_{2}$

$A \in d_{1} \Rightarrow A\left( t_{1};1 - t_{1}; - 1 ight);B \in d_{2} \Rightarrow B\left( - 1 + 2t_{2};1 + t_{2}; - 2 + t_{2} ight)$

$M \in \Delta \Leftrightarrow M,A,B\ \text{thẳng\ hàng~} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB}(1)$

$\overrightarrow{MA} = \left( t_{1} - 1;2 - t_{1}; - 3 ight);\overrightarrow{MB} = \left( 2t_{2} - 2;t_{2} + 2;t_{2} - 4 ight)$

$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 1 = k(2t_{2} - 2) \\ 2 - t_{1} = k(t_{2} + 2) \\ - 3 = k(t_{2} - 4) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 2kt_{2} + 2k = 1 \\ - t_{1} - kt_{2} - 2k = - 2 \\ kt_{2} - 4k = - 3 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} = 0 \\ kt_{2} = \frac{1}{3} \\ k = \frac{5}{6} \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Từ $t_{1} = 0 \Rightarrow A(0;1; - 1)$ .

Do đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A$ và $M$ nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{AM} = (1; - 2;3)$ .

Vậy $a = - 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 1$
Câu 13: Vận dụng
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M(1; - 3;8)$ và chắn trên tia $Oz$ một đoạn thẳng dài gấp đôi các đoạn thẳng mà nó chắn trên các tia $Ox$ và $Oy$ . Giả sử $(P):ax + by + cz + d = 0$ , với $a,b,c,d\mathbb{\in Z},d eq 0$ . Tính $S = \frac{a + b + c}{d}$ .
- A.
  $S = - \frac{5}{4}$
- B.
  $S = \frac{5}{4}$
- C.
  $S = 3$
- D.
  $S = - 3$
Từ giả thiết, ta suy ra các giao điểm của (α) với các tia $Ox, Oy, Oy$ lần lượt là $A(a; 0; 0), B(0; a; 0) ,C(0; 0; 2a), a > 0$ .

Suy ra phương trình (đoạn chắn) của (α) là $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{2a} = 1$ .

Do (α) đi qua M nên $a = 2$ .

Suy ra $(α): 2x + 2y + z − 4 = 0$ .

Từ đó, ta tính được: $S = \frac{a + b + c}{d} = \frac{2 + 2 + 1}{- 4} = - \frac{5}{4}$ .
Câu 14: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(3;2;1)$ . Viết phương trình mặt phẳng đi qua $M$ và cắt các trục $x'Ox,\ y'Oy,\ z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$ ?
- A.
  $3x + y + 2z - 14 = 0$
- B.
  $3x + 2y + z - 14 = 0$
- C.
  $\frac{x}{9} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1$
- D.
  $\frac{x}{12} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1$
Xét tứ diện OABC có các cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB\bot CM \\ AB\bot OC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(COM) \Rightarrow AB\bot OM$

Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.

Từ đó $OM ⊥ (ABC)$ .

Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận $\overrightarrow{OM} = (3;2;1)$ làm vectơ pháp tuyến là:

$3(x - 3) + 2(y - 2) + z - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 3x + 2y + z - 14 = \ 0$
Câu 15: Vận dụng
Phân tích vectơ $\overrightarrow V = \left( {4\,,\,3\,,\, - 5\,} ight)$ theo ba vectơ không đồng phẳng
$\overrightarrow a = \left( {2, - 1,1} ight);\,\,\overrightarrow b = \left( {1, - 3,2} ight);\,\,\overrightarrow c = \left( { - 3,2, - 2} ight).$
- A. $\overrightarrow V = \,\,31\overrightarrow a \,\, + \,\,2\overrightarrow b \,\, + \,\,20\overrightarrow c$
- B. $\overrightarrow V = \,\,31\overrightarrow a \,\, - \,\,2\overrightarrow b \,\, + \,\,20\overrightarrow c$
- C. $\overrightarrow V = \,\,21\overrightarrow a \,\, + \,\,2\overrightarrow b \,\, + \,\,10\overrightarrow c$
- D. $\overrightarrow V = \,\,21\overrightarrow a \,\, - \,\,2\overrightarrow b \,\, - \,\,10\overrightarrow c$
Ta có 3 vecto $\overrightarrow a ;\,\,\,\overrightarrow b ;\,\,\,\overrightarrow c$ không đồng phẳng. Khi đó luôn có :
$\begin{array}{l}\exists m,n,p \in \mathbb R :m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c = \overrightarrow V \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + n - 3p = 4 & \left( 1 ight)\\ - m - 3n + 2p = 3 & \left( 2 ight)\,\,\,\,\,;\left( 2 ight) + \left( 3 ight) \Rightarrow n = 2\\m + 2n - 2p = - 5 & \left( 3 ight)\end{array} ight.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 3p = 2 & \left( {1'} ight)\\ - m + 2p = 9 & \left( {2'} ight)\end{array} ight.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 31\\p = 20\end{array} ight.\\ \Rightarrow \overrightarrow V = 31\overrightarrow a + 2\overrightarrow b + 20\overrightarrow c \end{array}$
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ lần lượt có phương trình là $x - 4z + 8 = 0,2x - 8z = 0,y = 0$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $(P) \equiv (Q)$
- B.
  $(P)$ cắt $(Q)$
- C.
  $(R)//(Q)$
- D.
  $(P)$ cắt $(R)$
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{p} = (1;0; - 4)$ và mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{r} = (0;1;0)$

Do $\overrightarrow{p} eq k.\overrightarrow{r};\forall k\mathbb{\in R}$ nên vectơ $\overrightarrow{p}$ không cùng phương với vectơ $\overrightarrow{r}$ .

Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P).
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2; - 3),B(2;5;7),C( - 3;1;4)$ . Xác định tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D(6;6;0)$
- B.
  $D\left( 0;\frac{8}{3};\frac{8}{3} ight)$
- C.
  $D(0;8;8)$
- D.
  $D( - 4; - 2; - 6)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 3 - x \\ 3 = 1 - y \\ 20 = 4 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = - 6 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4; - 2; - 6)$ .
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông $ABCD$ , $B(3;0;8),D( - 5; - 4;0)$ . Biết đỉnh $A$ thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} ight|$ bằng:
- A.
  $6\sqrt{10}$
- B.
  $10\sqrt{6}$ .
- C.
  $10\sqrt{5}$ .
- D.
  $5\sqrt{10}$ .
Ta có trung điểm BD là $I( - 1; - 2;4),BD = 12$ và điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên $A(a;b;0)$ . Lại có: ABCD là hình vuông $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB^{2} = AD^{2} \\ AI^{2} = \left( \frac{1}{2}BD ight)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 3)^{2} + b^{2} + 8^{2} = (a + 5)^{2} + (b + 4)^{2} \\ (a + 1)^{2} + (b + 2)^{2} + 4^{2} = 36 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 4 - 2a \\ (a + 1)^{2} + (6 - 2a)^{2} = 20 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a = \frac{17}{5} \\b = \dfrac{- 14}{5} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}A(1;2;0)(tm) \\A\left( \dfrac{17}{5};\dfrac{- 14}{5};0 ight)(ktm) \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow A(1;2;0) \Rightarrow C( - 3; - 6;8) \Rightarrow \overrightarrow{CA} = (4;8; - 8);\overrightarrow{CB} = (6;6;0)$

$\Rightarrow \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = (10;14; - 8) \Rightarrow \left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} ight| = 6\sqrt{10}$
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(3;5;3)$ và hai mặt phẳng $(P):2x + y + 2z - 8 = 0,(Q):x - 4y + z - 4 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với hai mặt phẳng $(P),(Q)$ ?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 5 - t \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 5 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 5 \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 5 \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (2;1;2) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 4;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (9;0; - 9)$

Do đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;0; - 1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng d là $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 5 \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 1;2;1),B(2; - 1;4),C(1;1;4)$ . Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ ?
- A.
  $\frac{x}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}$
- B.
  $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$
- C.
  $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}$
- D.
  $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{- 1}$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3; - 3;3)//\overrightarrow{a} = (1; - 1;1) \\ \overrightarrow{AC} = (2; - 1;3) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{a};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 2; - 1;1)$ là 1 VTPT của mặt phẳng (ABC).

Do đó đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) có VTPT cùng phương với vectơ (−2; −1; 1).

Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D đường thẳng $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{- 1}$ có 1 VTPT là (−2; 1; 1) cùng phương với (−2; −1; 1).

39 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!