Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 4}{4}$ có phương trình tham số là
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 3t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 4 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 3m \\ y = - 1 + 2m \\ z = 4 - 4m \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( m\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix}x = - 2 + 3\tan t \\y = 1 - 2\tan t \\z = - 4 + 4\tan t \\\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix}x = 2 - 3\cos t \\y = - 1 + 2\cos t \\z = - 4 - 4\cos t \\\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Gọi $\overrightarrow{u}$ vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ , ta chọn $\overrightarrow{u}( - 3;2; - 4)$

Giả sử $M_{0} \in d$ , chọn $M_{0}(2, - 1;4)$ suy ra phương trình tham số d là:

$\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 3m \\ y = - 1 + 2m \\ z = 4 - 4m \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( m\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho phương trình đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng $\Delta$ ?
- A.
  $(1;4; - 5)$
- B.
  $( - 1; - 4;3)$
- C.
  $(2;1;1)$
- D.
  $( - 5; - 2; - 8)$
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:

$\left\{ \begin{matrix} - 1 = 1 + 2t \\ - 4 = - 1 + 3t \\ 3 = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow M( - 1; - 4;3) \in \Delta$ .
Câu 3: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 điểm $A(−2; 1; 3), B(3; −2; 4)$ , đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{11} = \frac{z + 1}{- 4}$ và mặt phẳng $(P): 41x − 6y + 54z + 49 = 0$ . Đường thẳng $(d)$ đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng $(P)$ lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện $ABCO$ và $OACD$ bằng nhau, biết $(d)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;b;c)$ . Tính $b + c$ .
- A.
  $b + c = 11$
- B.
  $b + c = 6$
- C.
  $b + c = 9$
- D.
  $b + c = 4$
Hình vẽ minh họa

Ta có $1 = \frac{V_{OABC}}{V_{OACD}} =\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( O;(ABC) ight).S_{ABC}}{\dfrac{1}{3}d\left(O;(ACD) ight).S_{ACD}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} =\frac{BC}{CD}$

Nên $BC = CD$ . Vì $C ∈ ∆$ $\Rightarrow C(2t + 1;11t + 6; - 4t - 1)$

C là trung điểm của BD nên $D(4t - 1;22t + 14; - 8t - 6)$ .

Điểm $D ∈ (P)$ nên $41(4t − 1) − 6(22t + 14) + 54(−8t − 6) + 49 = 0 ⇔ t = −1$

$⇒ C(−1; −5; 3).$

$\overrightarrow{CB} = (4;3;1) = \overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Vậy $b = 3, c = 1 ⇒ b + c = 4$
Câu 4: Nhận biết
Cho tứ diện đều $ABCD$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}$
Vì tứ diện $ABCD$ là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc

Suy ra $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}$

Vậy mệnh đề chưa chính xác là: $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P),(Q)$ lần lượt có phương trình là $x + y - z = 0,\ x - 2y + 3z = 4$ và cho điểm $M(1; - 2;5)$ . Tìm phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M$ và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(P),(Q)$ ?
- A.
  $5x + 2y - z + 14 = 0$
- B.
  $x - 4y - 3z + 6 = 0$
- C.
  $x - 4y - 3z - 6 = 0$
- D.
  $5x + 2y - z + 4 = 0$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (1;1; - 1) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 2;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (1; - 4; - 3)$

Do $(\alpha)$ vuông góc với $(P),(Q)$ nên $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} \\ \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\overrightarrow{n_{(Q)}} \\ \end{matrix} ight.$

Chọn $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (1; - 4; - 3)$

Hơn nữa $(\alpha)$ đi qua $M(1; - 2;5)$ nên có phương trình là:

$(x - 1) - 4(y + 2) - 3(z - 5) = 0$

$\Leftrightarrow x - 4y - 3z + 6 = 0$
Câu 6: Nhận biết
Ba mặt phẳng $x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0$ cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:
- A. $A(1, 2, 3)$
- B. $A(1, -2, 3)$
- C. $A(-1, 2, 3)$
- D. $A(-1,2,-3)$
Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :
$\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z - 6 = 0\left( 1 ight)\\2x - y + 3z + 13 = 0\left( 2 ight)\\3x - 2y + 3z + 16 = 0\left( 3 ight)\end{array} ight.$
Giải (1),(2) tính $x,y$ theo $z$ được $x = - z - 4;y = z + 5$ .
Thế vào phương trình (3) được $z=-3$ , từ đó có $x = - 1,y = 2$
Vậy $A(-1,2,-3)$ .
Câu 7: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D$ và tâm $O$ . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau?
- A.
  $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$
- B.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'}$
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình bình hành suy ra $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ đúng.

Do $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ đối nhau và $\overrightarrow{BC'};\overrightarrow{D'A}$ đối nhau nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$ đúng.

Do $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD'}$ suy ra $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$ sai.

Do $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AC'}$ và $\overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{AC'}$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'}$ đúng.
Câu 8: Vận dụng
Trong không gian cho tam giác $ABC$ . Tìm $M$ sao cho giá trị của biểu thức $P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất?
- A.
  $M$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .
- B.
  $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .
- C.
  $M$ là trực tâm tam giác $ABC$ .
- D.
  $M$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ .
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra G cố định và $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

$P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$P = \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight)^{2}$

$P = 3{\overrightarrow{MG}}^{2} + 2\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight)^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$

$P = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2} \geq GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$

Dấu “=” xảy ra khi $M \equiv G$

Vậy $P_{\min} = GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$ với $M \equiv G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 3;4;0)$ và $\overrightarrow{b} = (5;0;12)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{3}{13}$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{5}{6}$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{5}{6}$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{3}{13}$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 15}{\sqrt{( - 3)^{2} + 4^{2} + 0^{2}}.\sqrt{5^{2} + 0^{2} + 12^{2}}} = - \frac{3}{13}$
Câu 10: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ . Cho $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a;b;c > 0$ . Biết mặt phẳng $(ABC)$ qua điểm $I(1;3;3)$ và thể tích tứ diện $O.ABC$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình $(ABC)$ :
- A.
  $x + 3y + 3z - 21 = 0$
- B.
  $3x + y + z - 9 = 0$
- C.
  $3x + y + z + 9 = 0$
- D.
  $3x + 3y + z - 15 = 0$
Phương trình mặt phẳng $(ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Vì $I(1;3;3) \in (ABC) \Rightarrow (ABC):\frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{3}{c} = 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$1 = \frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{3}{c} \geq \sqrt[3]{\frac{3^{2}}{abc}} \Rightarrow abc \geq 9$

Thể tích tứ diện $O.ABC$ là $V = \frac{1}{6}abc \geq \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{a} = \frac{3}{b} = \frac{3}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = c = 9 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $\frac{x}{3} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1 \Rightarrow 3x + y + z - 9 = 0$
Câu 11: Vận dụng cao
Trong không gian, với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0;1;2),B(2; - 2;0),C( - 2;0;1)$ . Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ , trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình là
- A.
  $4x + 2y - z + 4 = 0$
- B.
  $4x + 2y + z - 4 = 0$
- C.
  $4x - 2y - z + 4 = 0$
- D.
  $4x - 2y + z + 4 = 0$
Ta có: $\overrightarrow{\ AB} = (2; - 3;2),\overrightarrow{AC} = ( - 2; - 1; - 1),\overrightarrow{BC} = ( - 4;2;1)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{\ AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;6; - 8)$

Gọi tọa độ trực tâm $H(a;b;c)$ khi đó $\overrightarrow{\ AH} = (a;b - 1;c - 2),\overrightarrow{BH} = (a - 2;b + 2,c)$

Theo đề bài ta có

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{\ AH}\bot\overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{BH}\bot\overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{\ AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{\ AH} \in (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{\ AH}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \left\lbrack \overrightarrow{\ AB};\overrightarrow{AC} ightbrack.\overrightarrow{\ AH} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 4a + 2(b - 1) + c - 2 = 0 \\- 2(a - 2) - 1(b + 2) - c = 0 \\a + 6(b - 1) - 8(c - 2) = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{- 22}{101} \\b = \dfrac{70}{101} \\c = \dfrac{176}{101} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow H\left( \frac{- 22}{101};\frac{70}{101};\frac{176}{101} ight) \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \left( \frac{- 22}{101};\frac{- 31}{101};\frac{- 26}{101} ight)$

Gọi $\overrightarrow{n}$ là VTPT của mặt phẳng $(P)$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{\ AH}\bot\overrightarrow{n} \\ \overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{n_{(ABC)}} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{\ AH};\overrightarrow{n_{(ABC)}} ightbrack = (4; - 2; - 1)$

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(0; 1; 2) có một VTPT là $\overrightarrow{n} = (4; - 2; - 1)$ là

$4(x - 0) - 2(y - 1) - 1(z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow 4x - 2y - z + 4 = 0$

Vậy $(P):4x - 2y - z + 4\ = 0$ .
Câu 12: Thông hiểu

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ có $AB = AE = 2,AD = 3$ và đặt $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}$ . Lấy điểm $M$ thỏa $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD}$ và điểm $N$ thỏa $\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC}$ . (Quan sát hình vẽ).

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b}$ Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$ Sai||Đúng

c) $\left( m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} = m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} + p^{2}\overrightarrow{c^{2}}$ , với $m;n;p$ là các số thực. Đúng||Sai

d) $MN = \frac{\sqrt{61}}{5}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ có $AB = AE = 2,AD = 3$ và đặt $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}$ . Lấy điểm $M$ thỏa $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD}$ và điểm $N$ thỏa $\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC}$ . (Quan sát hình vẽ).

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b}$ Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$ Sai||Đúng

c) $\left( m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} = m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} + p^{2}\overrightarrow{c^{2}}$ , với $m;n;p$ là các số thực. Đúng||Sai

d) $MN = \frac{\sqrt{61}}{5}$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Ta có

$\overrightarrow{MA} = - \overrightarrow{AM} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b}$

b) Sai:

$\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC} = \frac{2}{5}(\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EH} + \overrightarrow{EA}) = \frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c})$

c) Đúng:

$(m.\overrightarrow{a} +n.\overrightarrow{b} + p.\overrightarrow{c})^{2} =m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} + n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2}$ $+p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2} +2mn.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ $+2np\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} +2mp.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$ $= m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} + n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2} + p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2}$

(vì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đôi một vuông góc nên $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0)$ .

Ta có

$\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EN}$

$= -\frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} +\frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -\overrightarrow{c})$

$= \frac{2}{5}\overrightarrow{a} +\frac{1}{5}\overrightarrow{b} +\frac{3}{5}\overrightarrow{c}$ .

d) Đúng:

$MN^{2} = {\overrightarrow{MN}}^{2} = \left( \frac{2}{5}\overrightarrow{a} + \frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \frac{3}{5}\overrightarrow{c} ight)^{2}$

$= \frac{4}{25}{\overrightarrow{a}}^{2} +\frac{1}{25}{\overrightarrow{b}}^{2} +\frac{9}{25}{\overrightarrow{c}}^{2}$ $= \frac{4}{25}.4 + \frac{1}{25}.9 +\frac{9}{25}.4 = \frac{61}{25}$

Suy ra $MN = \frac{\sqrt{61}}{5}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ các điểm $A(1;2;0),B(2;1;1),C(0;3; - 1)$ . Cho các khẳng định sau:

(I) $BC = 2AB$ .

(II) $B \in AC$ .

(III) Ba điểm $A;B;C$ tạo thành một tam giác.

(IV) Ba điểm $A;B;C$ thẳng hàng.

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng.
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1;1) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 1;1; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AB}$ nên $A$ là trung điểm của $BC$ và ba điểm $A;B;C$ thẳng hàng.

Vậy có 2 khẳng định sai và 2 khẳng định đúng.
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;2;3),B(0;1;1),C(1;0; - 2)$ . Điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P):x + y + z + 2 = 0$ sao cho giá trị của biểu thức $T = MA^{2} + 2MB^{2} + 3MC^{2}$ nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của biểu thức $a + b + c$ là:
- A.
  $- 3$
- B.
  $2$
- C.
  $- 2$
- D.
  $3$
Điểm $M$ luôn tồn tại.

Ta có $M \in (P)$ nên $a + b + c + 2 = 0 \Leftrightarrow a + b + c = - 2$ .
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(3; - 1;1)$ . Điểm đối xứng với $A$ qua mặt phẳng $(Oyz)$ có tọa độ là:
- A.
  $( - 3; - 1;1)$
- B.
  $(0; - 1;1)$
- C.
  $(0; - 1;0)$
- D.
  $(0;0;1)$
Giữ nguyên y, z và đổi dấu x nên ta suy ra điểm đối xứng với A qua $(Oyz)$ có tọa độ là $( - 3; - 1;1)$ .
Câu 16: Nhận biết
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua $A(2,-1,3), B (3, 1, 2)$ và song song với vectơ $\overrightarrow a = \left( {3, - 1, - 4} ight)$ là:
- A. $9x+y-7z+40=0$
- B. $9x-y+7z-40=0$
- C. $9x-y-7z+40=0$
- D. $9x+y+7z-40=0$
Theo đề bài, ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1,2, - 1} ight);\left[ {\overrightarrow {AB} \overrightarrow {,a} } ight] = \overrightarrow n = \left( { - 9,1, - 7} ight)$
Chọn $\overrightarrow n = \left( {9, - 1,7} ight)$ làm 1 vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng : $9x - y + 7z + D = 0$
Mà mp lại qua A nên $9.2 - ( - 1) + 7.3 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 40$
Phương trình cần tìm là: $9x - y + 7z - 40 = 0$ .
Câu 17: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;1;0),B(2;2;2),C( - 2;3;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{2}$ . Tìm điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$ để thể tích của tứ diện $MABC$ bằng $3$ .
- A.
  $M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4}; - \frac{11}{2} ight),M\left( - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight)$
- B.
  $M\left( - \frac{3}{5}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight),M\left( - \frac{15}{2};\frac{9}{4};\frac{11}{2} ight)$
- C.
  $M\left( \frac{3}{2}; - \frac{3}{2};\frac{1}{2} ight),M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4};\frac{11}{2} ight)$
- D.
  $M\left( \frac{3}{5}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight),M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4};\frac{11}{2} ight)$
Ta có $\overrightarrow{AB} = (2;1;2),\overrightarrow{AC}( - 2;2;1)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 3; - 6;6)$

Phương trình mặt phẳng $(ABC):x + 2(y - 1) - 2z = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y - 2z - 2 = 0$

Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A suy ra

$S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{9}{2} \Rightarrow d\left( M;(ABC) ight) = \frac{3V_{M.ABC}}{S_{ABC}} = 2$

Mà $M \in d \Rightarrow M(2t + 1; - t - 2;2t + 3)$

$d\left( M;(ABC) ight) = \frac{| - 4t -10|}{3} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = - \dfrac{5}{4} \\t = - \dfrac{17}{4} \\\end{matrix} ight.$

Với $t = - \frac{5}{4} \Rightarrow M\left( - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight)$

Với $t = - \frac{17}{4} \Rightarrow M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4}; - \frac{11}{2} ight)$
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , tìm tất cả giá trị tham số $m$ để đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1}$ song song với mặt phẳng $(P):2x + y - m^{2}z + m = 0$ .
- A.
  $m \in \left\{ - 2;2 ight\}$
- B.
  $m \in \varnothing$
- C.
  $m = - 2$
- D.
  $m = 2$
Ta có:

$d$ qua điểm $M(1; 0; 1)$ và có VTCP là $\overrightarrow{u} = (1;2;1)$

(P) có VTPT là $\overrightarrow{n} = \left( 2;1; - m^{2} ight)$

Vì d // (P) nên $\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2$

Với $m = 2, (P): 2x + y − 4z + 2 = 0 ⇒ M ∈ (P)$ (loại).

Với $m = −2, (P): 2x + y − 4z − 2 = 0$ $\Rightarrow M otin (P)$ (thỏa mãn).
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha):x + y = 0\ ,(\alpha'):2x - y + z - 15= 0$ . Tìm tọa độ giao điểm $I$ của đường thẳng $d$ và $d'$ , biết đường thẳng d' có phương trình $\left\{ \begin{matrix}x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.$
- A.
  $I(0;0; - 1)$
- B.
  $I(0;0;2)$
- C.
  $I(1;2;3)$
- D.
  $I(4; - 4;3)$
Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{ \begin{matrix}x + y = 0 \\2x - y + z - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - t + 2 + 2t = 0 \\2(1 - t) - (2 + 2t) + 3 - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - 3 \\x = 4 \\y = - 4 \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(4; - 4;3)$
Câu 20: Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $M(2;1;5)$ . Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$ . Tính khoảng cách từ điểm $I(1;2;3)$ đến mặt phẳng $(P)$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $M(2;1;5)$ . Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$ . Tính khoảng cách từ điểm $I(1;2;3)$ đến mặt phẳng $(P)$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

76 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!