Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D$ và tâm $O$ . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau?
- A.
  $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$
- B.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'}$
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình bình hành suy ra $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ đúng.

Do $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ đối nhau và $\overrightarrow{BC'};\overrightarrow{D'A}$ đối nhau nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$ đúng.

Do $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD'}$ suy ra $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$ sai.

Do $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AC'}$ và $\overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{AC'}$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'}$ đúng.
Câu 2: Thông hiểu
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
- A.
  Cho hình chóp $S.ABCD$ , nếu có $\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC}$ thì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
- B.
  Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$ .
- C.
  Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$ .
- D.
  Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$ .
Nếu $\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC}$ thì

$\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SD} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

Suy ra tứ giác $ABCD$ là hình bình hành

Mệnh đề sai $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$ vì:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$
Câu 3: Nhận biết
Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz:
- A. Hai mặt phẳng (P) và (Q) có cùng một vecto pháp tuyến thì chúng song song .
- B. Mỗi mặt phẳng chỉ có một vecto pháp tuyến duy nhất.
- C. Một mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một vecto pháp tuyến của nó.
- D. Hai câu A và B
A sai và có thể (P) và (Q) trùng nhau
B sai, vì mỗi mặt phẳng có vô số vecto pháp tuyến. Suy ra D sai.
C đúng vì 1 mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một VTPT của nó.
Câu 4: Nhận biết
Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua hai điểm: $A\left( { - 1,3, - 2} ight);B\left( {2, - 3,4} ight)$
- A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 1\\y = 3 - 6t\\z = 6t - 2\end{array} ight.\,\,\,\,;t \in \mathbb{R}$
- B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + m\\y = - 3 - 2m\\z = 4 + 2m\end{array} ight.\,\,;m \in \mathbb{R}$
- C. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \tan t\\y = 3 + 2\tan t\\z = - 2\tan t - 2\end{array} ight.\,\,;t \in \mathbb{R}$
- D. Cả ba câu trên
Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên VTCP của đường thẳng d chính là $\overrightarrow {AB}$ hay ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3, - 6,6} ight) = 3\left( {1, - 2,2} ight) = - 3\left( { - 1,2, - 2} ight)$
$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 1\\y = 3 - 6t\\z = 6t - 2\end{array} ight.\,\,;t \in \mathbb{R},\,\\hay\,\,\left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + m\\y = - 3 - 2m\\z = 4 + 2m\end{array} ight.\,\,;m \in \mathbb{R}\\\hay\,\,\left( d ight)\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \tan t\\y = 3 + 2\tan t\\z = - 2 - 2\tan t\end{array} ight.\,\,;t \in\mathbb{R}\end{array}$
Câu 5: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Nếu $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thì bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng.
- B.
  $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{BC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$ .
- C.
  Nếu $\overrightarrow{AB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ thì $B$ là trung điểm của $AC$ .
- D.
  Cho $d \subset (\alpha);d \subset (\beta)$ . Nếu mặt phẳng $(\alpha)\bot(\beta)$ thì $d\bot d'$ .
Ta có: $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thỏa mãn biểu thức $\overrightarrow{c} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b}$ (với $m;n$ duy nhất) của định lí về các vectơ đồng phẳng.

Vậy đáp án đúng là: “Nếu $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thì bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng.”
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{m} = (4;3;1),\overrightarrow{n} = (0;0;1)$ . Gọi $\overrightarrow{p}$ là vectơ cùng hướng với vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack$ (tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{m}$ và $\overrightarrow{n}$ . Biết $\left| \overrightarrow{p} ight| = 15$ , tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{p}$ .
- A.
  $\overrightarrow{p} = (9; - 12;0)$
- B.
  $\overrightarrow{p} = (45; - 60;0)$
- C.
  $\overrightarrow{p} = (0;9; - 12)$
- D.
  $\overrightarrow{p} = (0;45; - 60)$
Ta thấy $\left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0)$

Vì $\overrightarrow{p}$ là vectơ cùng hướng với vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0)$ nên $\overrightarrow{p} = (3k; - 4k;0),k\mathbb{\in R};k > 0$ .

Mặt khác $\left| \overrightarrow{p} ight| = 15 \Leftrightarrow \sqrt{9k^{2} + 16k^{2} + 0} = 15 \Rightarrow k = 3$

Vậy $\overrightarrow{p} = (9; - 12;0)$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):2x + y + z - 3 = 0$ và hai điểm $A(m;1;0),B(1; - m;2)$ . Gọi $E;F$ lần lượt là hình chiếu của $A;B$ lên mặt phẳng (P). Biết $EF = \sqrt{5}$ . Tổng tất cả các giá trị của tham số m là
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $- 6$
- D.
  $- 3$
Hình vẽ minh họa

Xét trường hợp m = 1. Khi đó cả $A;B$ đều thuộc (P). Trong trường hợp này $EF = AB = 2\sqrt{2}$ (loại).

Khi $m eq 1$ . Ta tính toán các đại lượng:

$d\left( A;(P) ight) = \frac{|2m - 2|}{\sqrt{6}};d\left( B;(P) ight) = \frac{|1 - m|}{\sqrt{6}}$

Từ đó suy ra $A;B$ khác phía với (P) và $d\left( A;(P) ight) = 2d\left( B;(P) ight)$

Gọi H là giao điểm của AB với (P).

Theo Thales ta có:

$EH = \frac{2\sqrt{5}}{3};AH = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}\sqrt{(1 - m)^{2} + (m + 1)^{2} + 2^{2}}$

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác AEH ta có:

$AE^{2} + EH^{2} = AH^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(2m - 2)^{2}}{6} + \left( \frac{2\sqrt{5}}{3} ight)^{2} = \frac{4}{9}\left\lbrack (1 - m)^{2} + (m + 1)^{2} + 4 ightbrack$

$\Leftrightarrow \frac{3\left( 4m^{2} - 8m + 4 ight)}{18} + \frac{40}{18} = \frac{8\left( 2m^{2} + 6 ight)}{18}$

$\Leftrightarrow 4m^{2} + 24m - 4 = 0$

Phương trình này có hai nghiệm và tổng hai nghiệm đó bằng: $- \frac{24}{4} = - 6$ .
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(3; - 1;4)$ , đồng thời vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow{a} = (1;1;2)$ có phương trình là:
- A.
  $3x - y + 4z - 12 = 0$
- B.
  $3x - y + 4z + 12 = 0$
- C.
  $x - y + 2z - 12 = 0$
- D.
  $x - y + 2z + 12 = 0$
Mặt phẳng $(P)$ nhận vectơ $\overrightarrow{a} = (1;1;2)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $M(3; - 1;4)$ nên có phương trình là $1(x - 3) - 1(y + 1) + 2(z - 4) = 0$

$\Leftrightarrow x - y + 2z - 12 = 0$ .
Câu 9: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng: $\left. \ \begin{matrix}\overrightarrow{MR} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\overrightarrow{SN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{MR} =\overrightarrow{SN}$ .

b) Đúng: Vi $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM}$

Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN}$

Vì $G$ là trung điểm của $MN$ nên $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$

Do đó: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}) = 2.\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$

c) Sai: $\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} =\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AD}$

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{IG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) = 4\overrightarrow{IG}$ .

$\Rightarrow |\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}| = |4\overrightarrow{IG}| = 4IG$ .

Do đó: $|\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}|$ nhỏ nhất khi $IG = 0 \Leftrightarrow I \equiv G$
Câu 10: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 1),B(3;0;3)$ . Biết mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và cách $B$ một khoảng lớn nhất. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là
- A.
  $x - 2y + 2z + 5 = 0$
- B.
  $x - y + 2z + 3 = 0$
- C.
  $2x - 2y + 4z + 3 = 0$
- D.
  $2x - y + 2z = 0$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P), suy ra d(B, (P)) = AH.

Ta có BH ≤ AB.

Dấu “=” xảy ra ⇔ H ≡ A

⇒ BH_max = AB khi AB ⊥ (P).

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AB\bot(P) \\ A \in (P) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (P):2x - 2y + 4z + 6 = 0$

$\Leftrightarrow x - y + 2z + 3 = 0$
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha):x + y = 0\ ,(\alpha'):2x - y + z - 15= 0$ . Tìm tọa độ giao điểm $I$ của đường thẳng $d$ và $d'$ , biết đường thẳng d' có phương trình $\left\{ \begin{matrix}x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.$
- A.
  $I(0;0; - 1)$
- B.
  $I(0;0;2)$
- C.
  $I(1;2;3)$
- D.
  $I(4; - 4;3)$
Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{ \begin{matrix}x + y = 0 \\2x - y + z - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - t + 2 + 2t = 0 \\2(1 - t) - (2 + 2t) + 3 - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - 3 \\x = 4 \\y = - 4 \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(4; - 4;3)$
Câu 12: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng $(Q):x + y + z + 3 = 0$ , cách điểm $M(3;2;1)$ một khoảng bằng $3\sqrt{3}$ biết rằng tồn tại một điểm $X(a;b;c)$ trên mặt phẳng đó thỏa mãn $a + b + c < - 2$ ?
- A.
  $1$
- B.
  Vô số
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Mặt phẳng song song với (Q) có dạng $(P):x + y + z + m = 0,(m eq 3)$ mà

$d\left( M,(P) ight) = \frac{|3 + 2 + 1 + m|}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 3(ktm) \\ m = - 15 \\ \end{matrix} ight.$

Với m = −15 thì với mọi $X(a;b;c) \in (P)$ ta có $a + b + c - 15 = 0 \Leftrightarrow a + b + c = 15 > - 2$

Do đó không có mặt phẳng nào thỏa mãn đề bài
Câu 13: Vận dụng
Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho điểm $M = (1; - 1;2)$ và hai đường thẳng $d_{1}$ : $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.$ $d_{2}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{1}$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua diểm $M$ và cắt cả hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;a;b)$ . Tính $a + b$ ?
- A.
  $a + b = - 1$ .
- B.
  $a + b = - 2$ .
- C.
  $a + b = 2$ .
- D.
  $a + b = 1$ .
Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với $d_{1},d_{2}$

$A \in d_{1} \Rightarrow A\left( t_{1};1 - t_{1}; - 1 ight);B \in d_{2} \Rightarrow B\left( - 1 + 2t_{2};1 + t_{2}; - 2 + t_{2} ight)$

$M \in \Delta \Leftrightarrow M,A,B\ \text{thẳng\ hàng~} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB}(1)$

$\overrightarrow{MA} = \left( t_{1} - 1;2 - t_{1}; - 3 ight);\overrightarrow{MB} = \left( 2t_{2} - 2;t_{2} + 2;t_{2} - 4 ight)$

$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 1 = k(2t_{2} - 2) \\ 2 - t_{1} = k(t_{2} + 2) \\ - 3 = k(t_{2} - 4) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 2kt_{2} + 2k = 1 \\ - t_{1} - kt_{2} - 2k = - 2 \\ kt_{2} - 4k = - 3 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} = 0 \\ kt_{2} = \frac{1}{3} \\ k = \frac{5}{6} \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Từ $t_{1} = 0 \Rightarrow A(0;1; - 1)$ .

Do đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A$ và $M$ nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{AM} = (1; - 2;3)$ .

Vậy $a = - 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 1$
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;2;3),B( - 1;2;1),C(3; - 1; - 2)$ . Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ ?
- A.
  $- 6$
- B.
  $- 14$
- C.
  $14$
- D.
  $6$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2;0; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (2; - 3; - 5) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 6$
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $B(2;1; - 3)$ , đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(Q):x + y + 3z = 0,(R):2x - y + z = 0$ là:
- A.
  $4x + 5y - 3z + 22 = 0$
- B.
  $4x - 5y - 3z - 12 = 0$
- C.
  $2x + y - 3z - 14 = 0$
- D.
  $4x + 5y - 3z - 22 = 0$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{1}} = (1;1;3) \\ \overrightarrow{n_{2}} = (2; - 1;1) \\ \end{matrix} ight.$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng $(Q),(R)$ .

Do mặt phẳng $(P)$ vuông góc với hai mặt phẳng $(Q),(R)$ nên $\left\lbrack \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ightbrack = (4;5; - 3)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Từ đó suy ra mặt phẳng $(P)$ có phương trình $4x + 5y - 3z - 22 = 0$ .
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;3)$ và hai mặt phẳng $(P):2x + 3y =$ $0,(Q):3x + 4y = 0$ . Dường thẳng đi qua $A$ và song song với hai mặt phẳng $(P),(Q)$ có phương trình là
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = t \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.$ .
- C.
  $\ \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ .(META)$
Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm.

Mặt phẳng $(P)$ có một véc-tơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{1} = (2;3;0)$ và $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{2} = (3;4;0)$ . Ta có $\left\lbrack {\overrightarrow{n}}_{1},{\overrightarrow{n}}_{2} ightbrack = (0;0;2)$ .

Khi đó, $\Delta$ đi qua điểm $A$ và nhận véc-tơ $\overrightarrow{u} = (0;0;1)$ làm vec-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$
Với $t = - 3$ thì điểm $B(1;2;0)$ thuộc $\Delta$ . Viết lại phương trình đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 17: Thông hiểu
Cho tứ diện $SABC$ có $SA = SB = SC = AB = AC = a$ và $BC = a\sqrt{2}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $SC$ và $AB$ ?
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa
Ta có: $\left(\overrightarrow{SA};\overrightarrow{AB} ight) = 120^{0}$ ; $AC^{2} + AB^{2} = BC^{2}$ suy ra $AC\bot AB$ . Ta có:
$\cos\left(\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB} ight) =\frac{\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{SC} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|} =\frac{\left( \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC}ight).\overrightarrow{AB}}{\left| \overrightarrow{SC} ight|.\left|\overrightarrow{AB} ight|}$
$=\dfrac{\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}}{a^{2}} = \dfrac{-\dfrac{a^{2}}{2} + 0}{a^{2}} = - \dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \left(\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB} ight) = 120^{0}$ . Vậy góc giữa hai đường thẳng cần tìm là $180^{0}- 120^{0} = 60^{0}$
Câu 18: Vận dụng cao
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P): x-2y+2z-5=0$ và hai điểm $A(-3;0;1), B(1;-1;3)$ . Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:
- A. $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
- B. $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{-11}=\dfrac{z-1}{-2}$
- C. $\dfrac{x-3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z+1}{-2}$
- D. $\dfrac{x+2}{26}=\dfrac{y-1}{11}=\dfrac{z+3}{-2}$
Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).
Ta có: $(-3-2.0+2.1-5)(1+2.1+2.3-5) < 0 \Rightarrow A, B$ nằm về hai phía với (P).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) $\Rightarrow$ BH cố định và $d(B,(Q))=BH$ .
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay $d//(P)$ .
Ta có: $BK \geq BH \Leftrightarrow d(B, d) \geq d(B, d) \Rightarrow d (B, d)$ bé nhất bằng BH khi K trùng với điểm H.
Gọi $\vec{n}$ là VTPT của (ABH) $\Rightarrow \vec{n}=[\vec{n_p}, \vec{AB}]=(-2;6;7)$
Ta có đường thẳng d cần lập qua A, H và có VTCP là $\vec{u_d}=[\vec{n},\vec{n_P}]=(26; 11; -2)$
Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là: $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = (1;3;m)$ . Xác định giá trị tham số $m$ để $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0}$ ?
- A.
  $m = - 5$
- B.
  $m = 5$
- C.
  $m = 1$
- D.
  $m = - 2$
Ta có: $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow 5 - m = 0 \Leftrightarrow m = 5$

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;2;0)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):2x + y - 3z + 5 = 0$ ?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P):2x + y - 3z + 5 = 0$ nên $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 3)$ .

Phương trình $\Delta$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)\ \ \ (*)$

Kiểm tra được điểm $M(3;3; - 3)$ thỏa mãn hệ (*).

Vậy phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ cũng là phương trình của $\Delta$ .

79 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!