Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A( - 3; - 1; - 1)$ . Hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là điểm $A'(x;y;z)$ . Khi đó giá trị $2x + y + z$ bằng:
- A.
  $- 5$
- B.
  $- 4$
- C.
  $- 2$
- D.
  $- 3$
Hình chiếu vuông góc của $A( - 3; - 1; - 1)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là $A'(0; - 1; - 1)$

Suy ra $2x + y + z = - 2$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua $C$ và song song với $AB$ có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{BA} = (1;2;1)$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , điểm đối xứng của điểm $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ có tọa độ là
- A.
  $(1; - 2; - 3)$ .
- B.
  $(1;0;0)$ .
- C.
  $(0;2;3)$ .
- D.
  $( - 1; - 2; - 3)$ .
Gọi $M'$ là điểm đối xứng của $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ .

Hình chiếu vuông góc của $M(1;2;3)$ lên trục $Ox$ là $H(1;0;0)$

Khi đó $H(1;0;0)$ là trung điểm của $M'M$ . Do đó tọa độ của $M'$ là $(1; - 2; - 3)$
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;4;2),B( - 1;2;4)$ và đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = - 2 + t \\ z = 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Điểm $M \in \Delta$ mà tổng $MA^{2} + MB^{2}$ có giá trị nhỏ nhất có tọa độ là:
- A.
  $( - 1;0;4)$
- B.
  $(0; - 1;4)$
- C.
  $(1;0;4)$
- D.
  $(1; - 2;0)$
Vì $M \in \Delta$ nên ta có tọa độ điểm $M(1 - t; - 2 + t;2t)$ .

Ta có:

$MA^{2} + MB^{2} = ( - t)^{2} + (t - 6)^{2} + (2t - 2)^{2} + (2 - t)^{2} + (t - 4)^{2} + (2t - 4)^{2}$

$= 12t^{2} - 48t + 76 = 12(t - 2)^{2} + 28 \geq 28$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $MA^{2} + MB^{2}$ là $28$ khi $t = 2 \Rightarrow M( - 1;0;4)$ .
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ có điểm $A(4;2;1),B( - 2; - 1;4)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}$ ?
- A.
  $M(0;0;3)$
- B.
  $M(0;0; - 3)$
- C.
  $M( - 8; - 4;7)$
- D.
  $M(8;4; - 7)$
Ta có: $M(x;y;z)$ . Khi đó $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}$

$\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 4 = 2( - 2 - x) \\ y - 2 = 2( - 1 - y) \\ z - 1 = 2(4 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(0;0;3)$

Vậy giá trị cần tìm là $M(0;0;3)$ .
Câu 6: Nhận biết
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(4, -1, 1), B(3, 1, -1) và song song với trục Ox là:
- A. $y+z+2=0$
- B. $y-z-2=0$
- C. $y+z=0$
- D. $y-z=0$
$\overrightarrow {AB} = \left( { - 1,2, - 2} ight)$ : vectơ chỉ phương của trục Ox: $\overrightarrow i = \left( {1,0,0} ight)$ .
$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow i } ight] = \left( {0, - 2, - 2} ight)$ : Chọn làm vectơ pháp tuyến thì phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng $y + z + D = 0$ , qua A nên: $- 1 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = 0$
Vậy ta có phương trình mp cần tìm là: $y+z=0$
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $3x - 6y - 4z + 36 = 0$ . Gọi $A,B,C$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ với các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp $O.ABC$ .
- A.
  $V = 216$
- B.
  $V = 108$
- C.
  $V = 117$
- D.
  $V = 234$
Ta có: $(P):3x - 6y - 4z + 36 = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{- 12} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$

$(P)$ cắt các trục tọa độ tại $A( - 12;0;0),B(0;6;0),C(0;0;9)$

Do $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc nên $V = \frac{1}{6}.OA\ .OB\ OC = \frac{1}{6}.12.6.9 = 108$
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;2),B(2; - 1;3)$ . Viết phương trình đường thẳng $AB$ ?
- A.
  $AB:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$
- B.
  $AB:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$
- C.
  $AB:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{2}$
- D.
  $AB:\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB} = (1; - 2;1)$ . Suy ra phương trình đường thẳng $AB$ là:

$AB:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$
Câu 9: Vận dụng cao

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm $A(100;50;100)$ và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là $B(50;100;50),C(150;100;100)$ . Máy bay sẽ bay qua điểm $W$ của đường màu $BC$ để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm $W(a;b;c)$ , hãy tính giá trị biểu thức $T = a + b - 2c$ .

Đáp án: 50

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm $A(100;50;100)$ và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là $B(50;100;50),C(150;100;100)$ . Máy bay sẽ bay qua điểm $W$ của đường màu $BC$ để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm $W(a;b;c)$ , hãy tính giá trị biểu thức $T = a + b - 2c$ .

Đáp án: 50

Ta có: $\overrightarrow{BC} = (100;0;50)$

Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP $\overrightarrow{u} = (2;0;1)$ có dạng $(BC):\left\{ \begin{matrix} x = 50 + 2t \\ y = 100 \\ z = 50 + t \\ \end{matrix} ight.$

Điểm $W \in (BC) \Rightarrow W(50 + 2t;100;50 + t)$ và $\overrightarrow{AW} = (2t - 50;50;t - 50)$

Ta có: $\overrightarrow{AW}.\overrightarrow{BC} = 0$

$\Rightarrow 2(2t - 50) + (t - 50) = 0 \Rightarrow t = 30$

Vậy $H(110;100;80) \Rightarrow a + b - 2c = 50.$
Câu 10: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng $(Q):x + y + z + 3 = 0$ , cách điểm $M(3;2;1)$ một khoảng bằng $3\sqrt{3}$ biết rằng tồn tại một điểm $X(a;b;c)$ trên mặt phẳng đó thỏa mãn $a + b + c < - 2$ ?
- A.
  $1$
- B.
  Vô số
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Mặt phẳng song song với (Q) có dạng $(P):x + y + z + m = 0,(m eq 3)$ mà

$d\left( M,(P) ight) = \frac{|3 + 2 + 1 + m|}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 3(ktm) \\ m = - 15 \\ \end{matrix} ight.$

Với m = −15 thì với mọi $X(a;b;c) \in (P)$ ta có $a + b + c - 15 = 0 \Leftrightarrow a + b + c = 15 > - 2$

Do đó không có mặt phẳng nào thỏa mãn đề bài
Câu 11: Thông hiểu

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):y = 0$ , $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0$ . Xét các vectơ $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ , $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = - 1$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $30{^\circ}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):y = 0$ , $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0$ . Xét các vectơ $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ , $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = - 1$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $30{^\circ}$ . Sai||Đúng

a) $\overrightarrow{n_{1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

Ta có: $(P):y = 0 \Leftrightarrow 0x + 1y + 0z = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0)$ .

b) $\overrightarrow{n_{2}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

Ta có: $(Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}x - y + 0z - 2024 = 0 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{3}; - 1;0 ight)$ .

c) $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = 0.\sqrt{3} + 1.( - 1) + 0.0 = - 1$ .

d) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$

$\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}$

$= \frac{| - 1|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 0^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{3} ight)^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 60{^\circ}$ .
Câu 12: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c$ là những số thực dương sao cho $a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49$ . Tính $T = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ sao cho khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là lớn nhất
- A.
  $F = \frac{51}{5}$
- B.
  $F = \frac{51}{4}$
- C.
  $F = \frac{49}{5}$
- D.
  $F = \frac{49}{4}$
Phương trình mặt phẳng $(ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

$d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack =\dfrac{1}{\sqrt{\left( \dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} +\dfrac{1}{c^{2}} ight)}} = d$

Xét $\overrightarrow{u} = (a;2b;4c),\overrightarrow{v} = \left( \frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c} ight)$ ta có:

$\left( \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} ight)^{2} \leq {\overrightarrow{u}}^{2}.{\overrightarrow{v}}^{2}$

$\Rightarrow \left( a.\frac{1}{a} + 2b.\frac{1}{b} + 4c.\frac{1}{c} ight)^{2} \leq \left( a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} ight).\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)$

$\Rightarrow 49 \leq 49.\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)$

$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 1 \Rightarrow d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack \leq 1$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{\dfrac{1}{a}} = \dfrac{2b}{\dfrac{1}{b}} = \dfrac{4c}{\dfrac{1}{c}}\\a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a^{2} = 2b^{2} = 4c^{2} \\a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow 28c^{2} = 49 \Leftrightarrow c^{2} = \frac{7}{4} \Rightarrow F = 7c^{2} = \frac{49}{4}$

⇒ $\max d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack = 1$ , khi đó $F = \frac{49}{4}$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , hình chiếu vuông góc của điểm $M(1; - 3; - 5)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là:
- A.
  $(0; - 3;0)$ .
- B.
  $(0; - 3; - 5)$ .
- C.
  $(0; - 3;5)$ .
- D.
  $(1; - 3;0)$ .
Hình chiếu vuông góc của điểm $M(1; - 3; - 5)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là điểm có tọa độ $(0; - 3; - 5)$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 - 4t \\ z = 6 + 6t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và đường thẳng $d_{2}:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{- 5}$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1; - 1;2)$ , đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ .
- A.
  $\frac{x - 1}{14} = \frac{y + 1}{17} = \frac{z - 2}{9}$
- B.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{3}$
- C.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{4}$
- D.
  $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 2}{4}$
Đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 4;6)\ \\ \overrightarrow{u_{2}} = (2;1; - 5) \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Do $\left\{ \begin{matrix} \Delta\bot\overrightarrow{u_{1}} \\ \Delta\bot\overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{u_{1}} \\ \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = (14;17;9)$

Mà ∆ đi qua $A(1; - 1;2)$ do đó ∆ có phương trình là $\frac{x - 1}{14} = \frac{y + 1}{17} = \frac{z - 2}{9}$ .
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm $E(1;2;3)$ và song song với mặt phẳng $(Oxy)$ ?
- A.
  $z - 3 = 0$
- B.
  $x + y - 3 = 0$
- C.
  $x + y + z - 6 = 0$
- D.
  $z + 3 = 0$
Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là $z = 0$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$ .

Phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng

$0(x - 1) + 0(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow z = 3$ .
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho vectơ $\overrightarrow{a} = 6.\overrightarrow{i} + 8.\overrightarrow{k} + 7.\overrightarrow{j}$ . Khi đó tọa độ của $\overrightarrow{a}$ là.
- A.
  $(6;\ 8;\ 7)$ .
- B.
  $(8;\ 7;\ 6)$ .
- C.
  $(6;7; 8)$ .
- D.
  $(8;\ 6;\ 7)$
Do $\overrightarrow{a} = 6\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{k} + 7\overrightarrow{j} = 6\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} + 8\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{a} = (6;\ 7;\ 8)$ .
Câu 17: Vận dụng
Trong hệ tục toạ độ không gian $Oxyz$ , cho $A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ , biết $b,c > 0$ , phương trình mặt phẳng $(P):y - z + 1 = 0$ . Tính $M = b + c$ biết $(ABC)\bot(P),d\left( O;(ABC) ight) = \frac{1}{3}$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{5}{2}$
- D.
  $1$
Ta có $(ABC):\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

$\Rightarrow (ABC):bcx + cy + bz - bc = 0$

Hai mặt phẳng $(ABC);(P)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_{1}} = (bc;c;b),\overrightarrow{n_{2}} = (0;1; - 1)$

Vì $(P)\bot(ABC)$ nên $c - b = 0 \Leftrightarrow b = c$ .

Theo giả thiết

$d\left( O;(ABC) ight) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{| - bc|}{\sqrt{bc^{2} + c^{2} + b^{2}}} = \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow 3b^{2} = \sqrt{b^{4} + 2b^{2}} \Leftrightarrow 3b^{2} = b\sqrt{b^{2} + 2}$

$\Leftrightarrow 3b = \sqrt{b^{2} + 2} \Leftrightarrow 9b^{2} = b^{2} + 2 \Leftrightarrow b = \frac{1}{2}$ (vì $b > 0$ ).

Suy ra $c = 2$ . Vậy $M = b + c = 1$ .
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{m} = (4;3;1),\overrightarrow{n} = (0;0;1)$ . Gọi $\overrightarrow{p}$ là vectơ cùng hướng với vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack$ (tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{m}$ và $\overrightarrow{n}$ . Biết $\left| \overrightarrow{p} ight| = 15$ , tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{p}$ .
- A.
  $\overrightarrow{p} = (9; - 12;0)$
- B.
  $\overrightarrow{p} = (45; - 60;0)$
- C.
  $\overrightarrow{p} = (0;9; - 12)$
- D.
  $\overrightarrow{p} = (0;45; - 60)$
Ta thấy $\left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0)$

Vì $\overrightarrow{p}$ là vectơ cùng hướng với vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; - 4;0)$ nên $\overrightarrow{p} = (3k; - 4k;0),k\mathbb{\in R};k > 0$ .

Mặt khác $\left| \overrightarrow{p} ight| = 15 \Leftrightarrow \sqrt{9k^{2} + 16k^{2} + 0} = 15 \Rightarrow k = 3$

Vậy $\overrightarrow{p} = (9; - 12;0)$ .
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A (2; 1; 1), B (0; 3; −1)$ . Điểm $M$ nằm trên mặt phẳng $(P) : 2x + y + z − 4 = 0$ sao cho $MA + MB$ nhỏ nhất là:
- A.
  $(1;0;2)$
- B.
  $(1;0;3)$
- C.
  $(1;2;0)$
- D.
  $(3;0;2)$
Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng $(P) : 2x + y + z − 4 = 0$ ta được: $(2.2 + 1 + 1 − 4) (2.0 + 3 − 1 − 4) = −4 < 0$

Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).

Vậy $MA + MB ≥ AB$ dấu “ = ” xảy ra khi $M = AB ∩ (P)$ .

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 2;2; - 2)$ chọn vtcp của đường thẳng AB: $\overrightarrow{u} = (1; - 1;1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng AB: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .

Tọa độ $(x; y; z)$ của M là nghiệm hệ:

$\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2x + y + z - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2(2 + t) + (1 - t) + (1 + t) - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \\ t = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(1;2;0)$
Câu 20: Vận dụng
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có hai đỉnh $B;C$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ . Gọi $A'$ là hình chiếu vuông góc của đỉnh $A$ lên $(P)$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Tam giác $A'BC$ là tam giác vuông.
- B.
  Tam giác $A'BC$ là tam giác nhọn.
- C.
  Tam giác $A'BC$ là tam giác tù.
- D.
  Tam giác $A'BC$ có góc $A'$ không bé hơn góc vuông.
Nếu A nằm trên (P) tức A’ trùng với A thì tam giác A’BC có góc A vuông, nếu A không nằm trên (P) thì

$\overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{A'A}.\overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C}$

$= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC} ight)$

$= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'A} = - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AA'} < 0$ suy ra góc $\widehat{BA'C}$ là góc tù.

33 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!