Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(2;0; - 1)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (4; - 6;2)$ là:
- A.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 1}{1}$
- B.
  $\frac{x + 2}{4} = \frac{y}{6} = \frac{z - 1}{2}$
- C.
  $\frac{x + 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z - 1}{1}$
- D.
  $\frac{x - 4}{2} = \frac{y + 6}{- 3} = \frac{z - 2}{1}$
Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(2;0; - 1)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (4; - 6;2)$ nên có phương trình: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 1}{1}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;P$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ . Đặt $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{d} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{d} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} ight)$
Ta có:

$\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{MC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

$= - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} ight)$

Vậy khẳng định đúng $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} ight)$ .
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 4;3)$ và $B(2;2;7)$ . Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là:
- A.
  $(1;3;2)$
- B.
  $(2; - 1;5)$
- C.
  $(2; - 1; - 5)$
- D.
  $(2;6;4)$
Gọi $M\left( x_{M};y_{M};z_{M} ight)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = \dfrac{2 + 2}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{- 4 + 2}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = \dfrac{3 + 7}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2; - 1;5)$

Vậy tọa độ trung điểm của AB là: $(2; - 1;5)$ .
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;0;1),B( - 1;2;1)$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$ và vuông góc với mặt phẳng $(OAB)$ .
- A.
  $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 4 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AB có tọa độ I(0; 1; 1).

Mặt phẳng (OAB) có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 2; - 2;2)$ .

Suy ra đường thẳng ∆ có $\overrightarrow{u} = (1;1; - 1)$ và đi qua I(0; 1; 1).

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 5: Vận dụng
Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ và $P$ là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{PI} = k.\left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} ight)$ ?
- A.
  $k = 2$
- B.
  $k = \frac{1}{4}$
- C.
  $k = 4$
- D.
  $k = \frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Vì $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ nên ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM} \\ \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = 2\overrightarrow{IN} \\ \end{matrix} ight.$ .

Mặt khác $\overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0}$ (vì I là trung điểm của MN) suy ra $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$

Theo bài ra ta có:

$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD}$

$= 4\overrightarrow{PI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{PI}$

$\Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4}$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - y + 3z - 7 = 0$ và điểm $A( - 1;2;5)$ . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P)?
- A.
  $2x - y + 3z - 11 = 0$
- B.
  $2x - y + 3z + 11 = 0$
- C.
  $2x - y + 3z + 15 = 0$
- D.
  $2x - y + 3z - 9 = 0$
Mặt phẳng (Q) và song song với (P) nên (Q) có dạng $2x − y + 3z + D = 0$ , với $D eq - 7$

Vì $A ∈ (Q)$ nên $2 .(−1) − 2 + 3 . 5 + D = 0 ⇔ D = −11$ .

Vậy $(Q): 2x − y + 3z − 11 = 0$ .
Câu 7: Nhận biết
Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua hai điểm: $A\left( { - 1,3, - 2} ight);B\left( {2, - 3,4} ight)$
- A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 1\\y = 3 - 6t\\z = 6t - 2\end{array} ight.\,\,\,\,;t \in \mathbb{R}$
- B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + m\\y = - 3 - 2m\\z = 4 + 2m\end{array} ight.\,\,;m \in \mathbb{R}$
- C. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \tan t\\y = 3 + 2\tan t\\z = - 2\tan t - 2\end{array} ight.\,\,;t \in \mathbb{R}$
- D. Cả ba câu trên
Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên VTCP của đường thẳng d chính là $\overrightarrow {AB}$ hay ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3, - 6,6} ight) = 3\left( {1, - 2,2} ight) = - 3\left( { - 1,2, - 2} ight)$
$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 1\\y = 3 - 6t\\z = 6t - 2\end{array} ight.\,\,;t \in \mathbb{R},\,\\hay\,\,\left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + m\\y = - 3 - 2m\\z = 4 + 2m\end{array} ight.\,\,;m \in \mathbb{R}\\\hay\,\,\left( d ight)\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \tan t\\y = 3 + 2\tan t\\z = - 2 - 2\tan t\end{array} ight.\,\,;t \in\mathbb{R}\end{array}$
Câu 8: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ . Cho $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a;b;c > 0$ . Biết mặt phẳng $(ABC)$ qua điểm $I(1;3;3)$ và thể tích tứ diện $O.ABC$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình $(ABC)$ :
- A.
  $x + 3y + 3z - 21 = 0$
- B.
  $3x + y + z - 9 = 0$
- C.
  $3x + y + z + 9 = 0$
- D.
  $3x + 3y + z - 15 = 0$
Phương trình mặt phẳng $(ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Vì $I(1;3;3) \in (ABC) \Rightarrow (ABC):\frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{3}{c} = 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$1 = \frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{3}{c} \geq \sqrt[3]{\frac{3^{2}}{abc}} \Rightarrow abc \geq 9$

Thể tích tứ diện $O.ABC$ là $V = \frac{1}{6}abc \geq \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{a} = \frac{3}{b} = \frac{3}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = c = 9 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $\frac{x}{3} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1 \Rightarrow 3x + y + z - 9 = 0$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;2;3),B( - 1;2;1),C(3; - 1; - 2)$ . Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ ?
- A.
  $- 6$
- B.
  $- 14$
- C.
  $14$
- D.
  $6$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2;0; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (2; - 3; - 5) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 6$
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $N( 3;-2; 6)$ và vuông góc với trục Ox có phương trình là:
- A.
  $x = - 3$
- B.
  $y = - 2$
- C.
  $z = 6$
- D.
  $x = 3$
Ta có: $\overrightarrow{u_{Ox}} = \overrightarrow{i} = (1;0;0)$ .

$Vì\ (P)\bot Ox\ nên\ \overrightarrow{n_{P}} = \overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0).$

Phương trình mặt phẳng đi qua $N(3; - 2;6)$ và vuông góc với trục Ox có phương trình là:

$x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3.$
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 1;2;1),B(2; - 1;4),C(1;1;4)$ . Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ ?
- A.
  $\frac{x}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}$
- B.
  $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$
- C.
  $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}$
- D.
  $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{- 1}$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3; - 3;3)//\overrightarrow{a} = (1; - 1;1) \\ \overrightarrow{AC} = (2; - 1;3) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{a};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 2; - 1;1)$ là 1 VTPT của mặt phẳng (ABC).

Do đó đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) có VTPT cùng phương với vectơ (−2; −1; 1).

Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D đường thẳng $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{- 1}$ có 1 VTPT là (−2; 1; 1) cùng phương với (−2; −1; 1).
Câu 12: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{BA'} + k\left( \overrightarrow{DB} +\overrightarrow{C'D} ight) = \overrightarrow{0}$
- A.
  $k = 0$
- B.
  $k = 1$
- C.
  $k = 4$
- D.
  $k = 2$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD'} = \overrightarrow{AD'} \\ \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C'D} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC'} = \overrightarrow{D'A} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA'} + k\left( \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C'D} ight) = \overrightarrow{AD'} + k.\overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AD'} + k.\overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow (k - 1).\overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = 1$ .

Vậy $k = 1$ .
Câu 13: Vận dụng cao
Trong không gian, với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0;1;2),B(2; - 2;0),C( - 2;0;1)$ . Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ , trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình là
- A.
  $4x + 2y - z + 4 = 0$
- B.
  $4x + 2y + z - 4 = 0$
- C.
  $4x - 2y - z + 4 = 0$
- D.
  $4x - 2y + z + 4 = 0$
Ta có: $\overrightarrow{\ AB} = (2; - 3;2),\overrightarrow{AC} = ( - 2; - 1; - 1),\overrightarrow{BC} = ( - 4;2;1)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{\ AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;6; - 8)$

Gọi tọa độ trực tâm $H(a;b;c)$ khi đó $\overrightarrow{\ AH} = (a;b - 1;c - 2),\overrightarrow{BH} = (a - 2;b + 2,c)$

Theo đề bài ta có

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{\ AH}\bot\overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{BH}\bot\overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{\ AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{\ AH} \in (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{\ AH}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \left\lbrack \overrightarrow{\ AB};\overrightarrow{AC} ightbrack.\overrightarrow{\ AH} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 4a + 2(b - 1) + c - 2 = 0 \\- 2(a - 2) - 1(b + 2) - c = 0 \\a + 6(b - 1) - 8(c - 2) = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{- 22}{101} \\b = \dfrac{70}{101} \\c = \dfrac{176}{101} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow H\left( \frac{- 22}{101};\frac{70}{101};\frac{176}{101} ight) \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \left( \frac{- 22}{101};\frac{- 31}{101};\frac{- 26}{101} ight)$

Gọi $\overrightarrow{n}$ là VTPT của mặt phẳng $(P)$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{\ AH}\bot\overrightarrow{n} \\ \overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{n_{(ABC)}} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{\ AH};\overrightarrow{n_{(ABC)}} ightbrack = (4; - 2; - 1)$

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(0; 1; 2) có một VTPT là $\overrightarrow{n} = (4; - 2; - 1)$ là

$4(x - 0) - 2(y - 1) - 1(z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow 4x - 2y - z + 4 = 0$

Vậy $(P):4x - 2y - z + 4\ = 0$ .
Câu 14: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ đều cạnh bằng $a$ . Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ . Góc giữa $AO$ và $CD$ bằng:
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $0^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Vì ABCD là tứ diện đều nên $AM\bot CD;OM\bot CD$

Ta có: $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MO} ight)$

$= \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{CD}\bot\overrightarrow{AO}$ nên số đo góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{0}$ .
Câu 15: Nhận biết
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua ba điểm $A\left( {\,2,\,\,0,\,\,3\,} ight);\,\,\,B\left( {\,4,\,\, - 3,\,\,2\,} ight);\,\,\,C\left( {\,0,\,\,2,\,\,5\,} ight)$
- A. $2x\,\, + \,\,y\,\, + \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
- B. $2x\,\, + \,\,y\,\, - \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
- C. $2x\,\, - \,\,y\,\, - \,\,z\,\, + \,\,7 = \,\,0$
- D. $x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
Theo đề bài, ta có cặp vecto chỉ phương của $\left( P ight):\overrightarrow {AB} = \left( {2, - 3, - 1} ight);\overrightarrow {AC} = \left( { - 2,2,2} ight)$
Từ đó, ta suy ra vecto pháp tuyến của (P) là tích có hướng của 2 VTCP của
$\left( P ight):\overrightarrow n = \left( { - 4, - 2, - 2} ight) = - 2\left( {2,1,1} ight)$
Mp (P) đi qua $A (2,0,3)$ và nhận vecto có tọa độ $(2,1,1)$ làm 1 VTPT có phương trình là:
$\Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)2 + y.1 + \left( {z - 3} ight).1 = 0$
$\Leftrightarrow 2x + y + z - 7 = 0$
Câu 16: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(1; 1; 1)$ , đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình $\frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5};\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1}$ . Biết $B (a; b; c)$ , khi đó $a + b + c$ bằng
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $- 2$
- D.
  $2$
Hình vẽ minh họa

Giả sử đường cao là $CH:\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 3}{- 1}$ ta có vectơ chỉ phương của CH là $\overrightarrow {u} = (2; 5; −1)$ .

B thuộc đường trung tuyến $BM:\frac{x - 8}{10} = \frac{y + 7}{- 9} = \frac{z - 5}{5}$ nên $B(8 + 10t; −7 − 9t; 5 + 5 t)$ .

Suy ra $\overrightarrow{AB} = (7 + 10t; - 8 - 9t;4 + 5t)$

Vì $CH ⊥ AB$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u} = 0$ $⇔ −30t−30 = 0 ⇔ t = −1 ⇒ B(−2; 2; 0)$ .

Vậy $a + b + c = 0$ .
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - 2y + z + 5 = 0$ . Tính khoảng cách từ điểm $M( - 1;2; - 3)$ đến mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $\frac{4}{3}$
- B.
  $\frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{4}{9}$
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

$d\left( M;(P) ight) = \frac{| - 2 - 4 - 3 + 5|}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$
Câu 18: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng $(Q):x + y + z + 3 = 0$ , cách điểm $M(3;2;1)$ một khoảng bằng $3\sqrt{3}$ biết rằng tồn tại một điểm $X(a;b;c)$ trên mặt phẳng đó thỏa mãn $a + b + c < - 2$ ?
- A.
  $1$
- B.
  Vô số
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Mặt phẳng song song với (Q) có dạng $(P):x + y + z + m = 0,(m eq 3)$ mà

$d\left( M,(P) ight) = \frac{|3 + 2 + 1 + m|}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 3(ktm) \\ m = - 15 \\ \end{matrix} ight.$

Với m = −15 thì với mọi $X(a;b;c) \in (P)$ ta có $a + b + c - 15 = 0 \Leftrightarrow a + b + c = 15 > - 2$

Do đó không có mặt phẳng nào thỏa mãn đề bài
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3; - 1;5),B(m;2;7)$ . Tìm giá trị tham số $m$ để $AB = 7$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = - 9 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 3 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.$
Theo bài ra ta có:

$AB = 7 \Leftrightarrow \sqrt{(m - 3)^{2} + 3^{2} + 2^{2}} = 7$

$\Leftrightarrow (m - 3)^{2} = 36 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m - 3 = 6 \\ m - 3 = - 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là $\left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 20: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1; −1; 2), B(−2; 0; 3), C(0; 1; −2)$ . Điểm $M(a; b; c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho biểu thức $S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + 3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, $T = 12a + 12b + c$ có giá trị là:
- A.
  $T = - 1$
- B.
  $T = 3$
- C.
  $T = - 3$
- D.
  $T = 1$
Chọn $I$ sao cho $4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

Ta tính được $I\left( - \frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)$

Ta thấy

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight) \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} ight) + \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} ight) + \overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} \\ \end{matrix} ight.$

$S = 6{\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} + 3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI}\left( 4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} ight)$

$\Rightarrow S = 6MI^{2} +\underset{CONST}{\overset{4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +5\overrightarrow{IC}}{︸}}$

Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.

Vậy M là hình chiếu vuông góc của $I\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)$ lên (Oxy) $\Rightarrow M\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};0 ight)$

Ta xác định được $\left\{ \begin{matrix}a = - \dfrac{1}{6} \\b = \dfrac{1}{12} \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = - 1$

25 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!