Trong không gian
, hãy viết phương trình của đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
?
Đường thẳng đi qua điểm
và có một véc-tơ chỉ phương là
nên
có phương trình chính tắc là
.
Trong không gian
, hãy viết phương trình của đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
?
Đường thẳng đi qua điểm
và có một véc-tơ chỉ phương là
nên
có phương trình chính tắc là
.
Cho ba điểm
. Tính x và y để ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng với nhau?
A, B, C thẳng hàng cùng phương với
Trong không gian
, cho bốn điểm
. Mặt phẳng
chứa
và song song với
có phương trình là:
Ta có .
Mặt phẳng (P) đi qua , nhận
là vectơ pháp tuyến, có phương trình là
(Thỏa mãn song song CD nên thỏa mãn đề bài).
Cho mặt phẳng
qua điểm
và chắn trên ba trục tọa độ
theo ba đoạn có số đo đại số a, b, c. Viết phương trình tổng quát của
khi a, b, c tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2.
Theo đề bài, ta có a, b, c là cấp số nhân với công bội q=2
Phương trình của
(P) qua
Trong không gian
, tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Cho 2 đường thẳng
và 
Mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với
có phương trình tổng quát :
Phương trình (d) cho và vectơ chỉ phương của (d) là:
Phương trình cho vectơ chỉ phương của
là :
Gọi là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :
Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.
Trong không gian
, cho tọa độ ba điểm
. Góc giữa hai đường thẳng
và
là
Ta có: .
Trong không gian
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua điểm
và cách gốc tọa độ
một khoảng cách lớn nhất, khi đó mặt phẳng
cắt các trục tọa độ tại các điểm
. Tính thể tích
của khối chóp
.
Trong không gian , cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua điểm
và cách gốc tọa độ
một khoảng cách lớn nhất, khi đó mặt phẳng
cắt các trục tọa độ tại các điểm
. Tính thể tích
của khối chóp
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Xác định tích vô hướng
?
Ta có: nên
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Tính tích vô hướng
?
Ta có:
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Vì lần lượt là trung điểm của
suy ra
Mà là trung điểm của
Khi đó
Vậy khẳng định sai là: .
Cho hai đường thẳng 
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua (d’)và song song với (d’’).
Vì (P) đi qua (d’) nên (P) nhận VTCP của (d’) làm 1 VTCP
Vì (P) song song với (d’’) nên (P) có VTCP thứ hai là :
Từ đây, ta suy ra VTPT của (P) chính là tích có hướng của 2 VTCP và :
Lấy điểm A(3,1,-2) trên đường thẳng (d’) mà (d’) nằm trong (P) nên ta có được A cũng phải thuộc (P):
Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A(3,-1, 2), B(4, -2, -1), C(2, 0, 2) là:
Theo đề bài, ta có được các vecto sau:
Vì mặt phẳng đi qua 3 điểm nên VTPT của mp là tích có hướng của và
.
Chọn làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mp có dạng
là mp qua A
Vậy phương trình .
Trong không gian
, cho điểm
. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
?
Đặt với
.
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm có dạng
.
Do nên ta có
.
Suy ra .
Nếu và
thì mặt phẳng (P) có dạng
.
Vì (P) đi qua M nên .
Ta có .
Nếu và
thì mặt phẳng (P) có dạng
.
Vì (P) đi qua M nên
Ta có .
Nếu và
thì mặt phẳng (P) có dạng
.
Vì (P) đi qua M nên
Ta có .
Nếu và
thì mặt phẳng (P) có dạng
.
Vì (P) đi qua M nên
Ta có .
Vậy có bốn mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.
Trong không gian cho hình hộp
có
. Gọi
là trung điểm của
,
là giao điểm của
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì I là trung điểm của B’C’ suy ra
Và K là giao điểm của nên theo định lí Talet
Ta có:
Khi đó
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho hình thang
vuông tại
và
. Biết rằng tọa độ các điểm
và hình thang
có diện tích bằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hình thang
vuông tại
và
. Biết rằng tọa độ các điểm
và hình thang
có diện tích bằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và đường thẳng
. Biết điểm
thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị
bằng:
Vì nên SMAB nhỏ nhất khi d(M, AB) nhỏ nhất. Phương trình của
Dễ dàng kiểm tra AB và d chéo nhau.
Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB.
Khi đó nhỏ nhất khi MH là đoạn vuông góc chung của d và AB.
Ta có:
Vectơ chỉ phương của d và AB theo thứ tự là
Vậy
Trong không gian
, cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Trong không gian , cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và điểm
. Viết phương trình đường thẳng qua
và vuông góc với
.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là
nên đường thẳng cần tìm có vectơ chỉ phương là
.
Vậy phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với
là:
Trong không gian
, cho điểm
và hai đường thẳng
và
. Gọi
là đường thẳng đi qua điểm
, cắt đường thẳng
và vuông góc với đường thẳng
. Đường thẳng
đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
Gọi
có một vectơ chỉ phương
.
Do nên
Ta có:
Suy ra đường thẳng đi qua
.