Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;2;0)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):2x + y - 3z + 5 = 0$ ?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P):2x + y - 3z + 5 = 0$ nên $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 3)$ .

Phương trình $\Delta$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)\ \ \ (*)$

Kiểm tra được điểm $M(3;3; - 3)$ thỏa mãn hệ (*).

Vậy phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ cũng là phương trình của $\Delta$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ lần lượt có phương trình là $x - 4z + 8 = 0,2x - 8z = 0,y = 0$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $(P) \equiv (Q)$
- B.
  $(P)$ cắt $(Q)$
- C.
  $(R)//(Q)$
- D.
  $(P)$ cắt $(R)$
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{p} = (1;0; - 4)$ và mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{r} = (0;1;0)$

Do $\overrightarrow{p} eq k.\overrightarrow{r};\forall k\mathbb{\in R}$ nên vectơ $\overrightarrow{p}$ không cùng phương với vectơ $\overrightarrow{r}$ .

Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P).
Câu 3: Vận dụng cao
Cho điểm $A( - 3;5; - 5),B(5; - 3;7)$ và mặt phẳng $(\alpha):x + y + z = 0$ . Xét điểm $M$ thay đổi trên $(\alpha)$ , giá trị lớn nhất của $MA^{2} - 2MB^{2}$ bằng:
- A.
  $398$
- B.
  $379$
- C.
  $397$
- D.
  $489$
Hình vẽ minh họa

Xét $N$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB} = 0$ thế thì

$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{ON} - 2\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{ON} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{ON} = 2\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

hay $N(13; - 11;19)$ .

Ta có

$MA^{2} - 2MB^{2}$ = $= {\overrightarrow{MA}}^{2} - 2{\overrightarrow{MB}}^{2}$

$= (\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NA})^{2} - 2(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NB})^{2}$

$= - {\overrightarrow{MN}}^{2} + {\overrightarrow{NA}}^{2} - 2\overrightarrow{NB}\ ^{2} + 2\overrightarrow{MN}(\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB})$

$= - MN^{2} + NA^{2} - 2NB^{2}(\ \text{do~}\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB} = 0)$

$\leq - HN^{2} + NA^{2} - 2NB^{2}(H\ \text{là\ hình\ chiếu\ của~}N\ \text{lên~}(\alpha))$

$= - d^{2}\lbrack N,(\alpha)brack + NA^{2} - 2NB^{2} = 397$

Dấu " $=$ " xảy ra khi $M$ là hình chiếu của $N$ lên $(\alpha)$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ ?
- A.
  $(2;2;0)$
- B.
  $(3; - 1;3)$
- C.
  $(3; - 1;2)$
- D.
  $(0;0;2)$
Do điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên điểm đó có tọa độ dạng $(x;y;0)$

Suy ra điểm $(2;2;0)$ là đáp án cần tìm.
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + 2y - 5z - 3 = 0$ và hai điểm $A(3;1;1),B(4;2;3)$ . Gọi $(Q)$ là mặt phẳng qua $AB$ và vuông góc với $(P)$ . Phương trình nào là phương trình của mặt phẳng $(Q)$ ?
- A.
  $9x - 7y - z + 19 = 0$
- B.
  $- 9x + 7y + z - 19 = 0$
- C.
  $- 9x - 7y + z - 19 = 0$
- D.
  $9x - 7y - z - 19 = 0$
Vì $(Q)$ là mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với $(P)$ nên mặt phẳng $(Q)$ nhận $\overrightarrow{AB} = (1;1;2);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1;2; - 5)$ làm hai vectơ chỉ phương.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\overrightarrow{n_{(Q)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = ( - 9;7;1)$

Phương trình mặt phẳng

$(Q): - 9(x - 3) + 7(y - 1) + 1(z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow 9x - 7y - z - 19 = 0$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (5;3; - 2);\overrightarrow{b} = (m; - 1;m + 3)$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ là góc tù?
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $1$
- D.
  $5$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{3m - 9}{\sqrt{38}.\sqrt{2m^{2} + 6m + 10}}$

Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ là góc tù khi và chỉ khi

$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) < 0 \Leftrightarrow \frac{3m - 9}{\sqrt{38}.\sqrt{2m^{2} + 6m + 10}} < 0$

$\Leftrightarrow 3m - 9 < 0 \Leftrightarrow m < 3$

Mà $m \in \mathbb{Z}^{+} \Rightarrow m = \left\{ 1;2 ight\}$

Suy ra có 2 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy đáp án cần tìm là $2$ .
Câu 7: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $M$ thoả mãn $OM = 7$ . Biết rằng khoảng cách từ $M$ tới mặt phẳng $(Oxz),(Oyz)$ lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ .
- A.
  $12$
- B.
  $5$
- C.
  $2$
- D.
  $6$
Ta có: $(Oxz):y = 0,(Oyz):x = 0$

Giả sử $M(a;b;c)$ khi đó ta có:

$\left\{ \begin{matrix} OM = 7 \\ d\left( M;(Oxz) ight) = 2 \\ d\left( M;(Oyz) ight) = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 49 \\ b^{2} = 4 \\ a^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow c^{2} = 36$

Mà $d\left( M;(Oxy) ight) = \sqrt{c^{2}} = 6$
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):x + y - z + 1 = 0$ và $(Q):x - y + z - 5 = 0$ . Có bao nhiêu điểm $M$ trên trục $Oy$ thỏa mãn $M$ cách đều hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Vì $M \in Oy$ nên $M(0;y;0)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}d\left( M;(P) ight) = \dfrac{|y + 1|}{\sqrt{3}} \\d\left( M;(Q) ight) = \dfrac{| - y - 5|}{\sqrt{3}} \\\end{matrix} ight.$ .

Theo giả thiết:

$d\left( M;(P) ight) = d\left( M;(Q) ight) \Leftrightarrow \frac{|y + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{| - y - 5|}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y + 1 = - y - 5 \\ y + 1 = y + 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = - 3(TM) \\ 0y = 4(L) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow M(0; - 3;0)$

Vậy có 1 điểm $M$ thỏa mãn bài.
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $M(2;1;4)$ và $M'(a;b;c)$ là điểm đối xứng cới điểm $M$ qua $Oy$ . Khi đó $a + b + c$ bằng:
- A.
  $3$
- B.
  $- 5$
- C.
  $5$
- D.
  $- 1$
Gọi $H$ là hình chiếu của M trên $Oy$ ta có $H(0;1;0)$ . Do $M'$ đối xứng với $M$ qua $Oy$ , khi đó $H$ là trung điểm của $M'M$

Suy ra $M'( - 2;1; - 4)$ từ đó $a + b + c = - 5$ .
Câu 10: Vận dụng cao
Cho điểm P(-3 , 1, -1) và đường thẳng (d): $\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.$
Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:
- A. P'(5, 7, 3)
- B. P' (-5, 7, -3)
- C. P' (5, -7, 3)
- D. P' (-5, -7, 3)
Chuyển (d) về dạng tham số : $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2} + 3t\\y = - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.$
Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: $3x + 4y + 2z + D = 0$ , cho qua P tính được D=7 .
Ta có (Q): $3x + 4y + 2z + 7 = 0$ .
Thế x, y, z theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được $t = \frac{1}{2}$
Giao điểm I của (d) và (Q) là I (1, -3, 1) .
Vì I là trung điểm của PP’ nên $\Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight)$ .
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(a;b;1)$ thuộc mặt phẳng $(P):2x - y + z - 3 = 0$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $2a - b = 3$
- B.
  $2a - b = 2$
- C.
  $2a - b = - 2$
- D.
  $2a - b = 4$
Ta có điểm $M(a;b;1)$ thuộc mặt phẳng $(P):2x - y + z - 3 = 0$ nên:

$2a - b + 1 - 3 = 0 \Leftrightarrow 2a - b = 2$
Câu 12: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với tọa độ các điểm $A(1;0; - 2),$ $B( - 2;3;4),C(4; - 6;1)$ .

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác là $(1; - 1;1)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AB} = (3; - 3;6),\overrightarrow{AC} = ( - 3;6; - 3)$ . Sai||Đúng

c) Tam giác $ABC$ là tam giác cân. Đúng||Sai

d) Nếu $ABDC$ là hình bình hành thì tọa độ điểm D là $(7; - 9; - 5)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với tọa độ các điểm $A(1;0; - 2),$ $B( - 2;3;4),C(4; - 6;1)$ .

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác là $(1; - 1;1)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AB} = (3; - 3;6),\overrightarrow{AC} = ( - 3;6; - 3)$ . Sai||Đúng

c) Tam giác $ABC$ là tam giác cân. Đúng||Sai

d) Nếu $ABDC$ là hình bình hành thì tọa độ điểm D là $(7; - 9; - 5)$ . Sai||Đúng

a) Đúng.

Trọng tâm tam giác có tọa độ là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = 1 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = - 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(1; - 1;1)$

b) Sai. Vì $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;6),\overrightarrow{AC} = (3; - 6;3)$

c) Đúng. Do $AB = AC = 3\sqrt{6}$ nên tam giác ABC cân tại A.

d) Sai. Gọi $D(x;y;z)$ , vì ABCD là hình bình hành nên

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow ( - 3;3;6) = (x - 4;y + 6;z - 1)$

$\Leftrightarrow (x;y;z) = (1; - 3;7)$
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 - 4t \\ z = 6 + 6t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và đường thẳng $d_{2}:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{- 5}$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1; - 1;2)$ , đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ .
- A.
  $\frac{x - 1}{14} = \frac{y + 1}{17} = \frac{z - 2}{9}$
- B.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{3}$
- C.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{4}$
- D.
  $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 2}{4}$
Đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 4;6)\ \\ \overrightarrow{u_{2}} = (2;1; - 5) \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Do $\left\{ \begin{matrix} \Delta\bot\overrightarrow{u_{1}} \\ \Delta\bot\overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{u_{1}} \\ \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = (14;17;9)$

Mà ∆ đi qua $A(1; - 1;2)$ do đó ∆ có phương trình là $\frac{x - 1}{14} = \frac{y + 1}{17} = \frac{z - 2}{9}$ .
Câu 14: Nhận biết
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DH}$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Vì $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}$ ( $ADHE$ là hình vuông) nên $\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DH} ight) = \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE} ight) = \widehat{BAE} = 90^{0}$
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của $d$ ?
- A.
  $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 3}{- 1}$
- B.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 3}{1}$
- C.
  $x - 2 = y = z + 3$
- D.
  $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = ( - 1;1;1)$ và đi qua điểm $M(2;1;0)$ . Do đó phương trình chính tắc của $d$ là: $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 + 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Gọi $d'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxz)$ . Viết phương trình đường thẳng $d'$ .
- A.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;2;3)$

Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (0;1;0)$ và có phương trình y = 0.

Suy ra $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 3;0;1)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).

Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ $\overrightarrow{u'} = \left\lbrack \overrightarrow{n}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack ightbrack = (1;0;3)$ làm vectơ chỉ phương.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 17: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(−1; 0; 1), B(1; 1; −1); C(5; 0; −2)$ . Tìm tọa độ điểm H sao cho tứ giác $ABCH$ lập thành hình thang cân với hai đáy $AB, CH$ .
- A.
  $H(3; - 1;0)$
- B.
  $H(7;1; - 4)$
- C.
  $H( - 1; - 3;4)$
- D.
  $H(1; - 2;2)$
Ta có $\overrightarrow{AB} = (2;1; - 2);M\left( 0;\frac{1}{2};0 ight)$ là trung điểm AB.

Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của AB $\Rightarrow (\alpha):2x + y - 2z - \frac{1}{2} = 0$

Gọi d là đường thẳng qua C và song song AB $\Rightarrow d:\left\{ \begin{matrix} x = 5 + 2t \\ y = t \\ z = - 2 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Gọi I là hình chiếu của C lên (α).

Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}x = 5 + 2t \\y = t \\z = - 2 - 2t \\2x + y - 2z - \dfrac{1}{2} = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = - \dfrac{3}{2} \\z = 1 \\t = - \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I\left( 2; - \dfrac{3}{2};1ight)$

Do ABCH là hình thang cân nên H và C đối xứng nhau qua mp(α).

⇒ I là trung điểm CH

$⇒ H(−1; −3; 4).$
Câu 18: Vận dụng
Với giá trị nào của thì hai mặt phẳng sau song song:
$\left( P ight):(m - 2)x - 3my + 6z - 6 = 0;\,\,\,\,\,\left( Q ight):(m - 1)x + 2y + (3 - m)z + 5 = 0$
- A. 2
- B. 3
- C. 0
- D. -1
Áp dụng điều kiện để 2 mp song song, ta xét:
${A_1}{B_2} - {A_2}{B_1} = \left( {m - 2} ight)2 + \left( {m - 1} ight)3m = 3{m^2} - m - 4 = 0$
$\Leftrightarrow m = - 1,m = \frac{4}{3}$
${B_1}{C_2} - {B_2}{C_1} = - 3m\left( {3 - m} ight) - 2.6 = 3{m^2} - 9m - 12 = 0$
$\Leftrightarrow m = - 1,m = 4$
${C_1}{A_2} - {C_1}{A_1} = 6\left( {m - 1} ight) - \left( {3 - m} ight)\left( {m - 2} ight) = {m^2} + m = 0$
$\Leftrightarrow m = - 1,m = 0$
Với $m=-1$ thoả mãn cả 3 điều kiện trên $\Rightarrow \left( P ight)//\left( Q ight)$
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10)$ . Xác định tọa độ B’?
- A.
  $B'(8;4;10)$
- B.
  $B'(6;12;0)$
- C.
  $B'(10;8;6)$
- D.
  $B'(13;0;17)$
Hình vẽ minh họa

Giả sử điểm $D(a;b;c),B'(a';b';c')$

Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow O\left( \frac{1}{2};4; - \frac{7}{2} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = 8 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DD'} = (9;0;17) \\ \overrightarrow{BB'} = (a' - 4;b';c') \\ \end{matrix} ight.$ . Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{BB'}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a' = 13 \\ b' = 0 \\ c' = 17 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B'(13;0;17)$
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $B(1;2; - 3),C(7;4 - 2)$ . Tìm tọa độ điểm $E$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{CE} = 2\overrightarrow{EB}$ ?
- A.
  $E\left( 3;\frac{8}{3}; - \frac{8}{3} ight)$
- B.
  $E\left( \frac{8}{3};3; - \frac{8}{3} ight)$
- C.
  $E\left( 3;3; - \frac{8}{3} ight)$
- D.
  $E\left( 1;2;\frac{1}{3} ight)$
Gọi $E(x;y;z)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{CE} = (x - 7;y - 4;z + 2) \\ 2\overrightarrow{EB} = (2 - 2x;4 - 2y; - 6 - 2z) \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra ta có:

$\overrightarrow{CE} =2\overrightarrow{EB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x - 7 = 2 - 2x \\y - 4 = 4 - 2y \\z + 2 = - 6 - 2z \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y = \dfrac{8}{3} \\z = - \dfrac{8}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow E\left( 3;\frac{8}{3}; - \dfrac{8}{3}ight)$

Vậy điểm E có tọa độ là $E\left( 3;\frac{8}{3}; - \frac{8}{3} ight)$ .

71 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!