Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;2;3),B(0;1;1),C(1;0; - 2)$ . Điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P):x + y + z + 2 = 0$ sao cho giá trị của biểu thức $T = MA^{2} + 2MB^{2} + 3MC^{2}$ nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của biểu thức $a + b + c$ là:
- A.
  $- 3$
- B.
  $2$
- C.
  $- 2$
- D.
  $3$
Điểm $M$ luôn tồn tại.

Ta có $M \in (P)$ nên $a + b + c + 2 = 0 \Leftrightarrow a + b + c = - 2$ .
Câu 2: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A(1;2;3),B(3;4;4),C(2;6;6)$ và $I(a;b;c)$ là trực tâm tam giác $ABC$ . Tính $a + b + c$ ?
- A.
  $\frac{46}{5}$
- B.
  $\frac{31}{3}$
- C.
  $\frac{63}{5}$
- D.
  $10$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BC} = ( - 1;2;2);\overrightarrow{AC} = (1;4;3) \\ \overrightarrow{AI} = (a - 1;b - 2;c - 3) \\ \overrightarrow{BI} = (a - 3;b - 4;c - 4) \\ (ABC):2x - 5y + 6z - 10 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Lại có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ I \in (ABC) \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1(a - 1) + 2(b - 2) + 2(c - 3) = 0 \\1(a - 3) + 4(b - 4) + 3(c - 4) = 0 \\2a - 5b + 6c - 10 = 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{27}{5} \\b = 4 \\c = \dfrac{16}{5} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b + c = \dfrac{63}{5}$
Câu 3: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm $AB$ và $CD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 4\overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ Đúng||Sai

c) $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

d) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN}$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm $AB$ và $CD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 4\overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ Đúng||Sai

c) $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

d) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN}$ Đúng||Sai

a) Vì $M, N$ là trung điểm của $AB$ và $CD$ nên $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 2\overrightarrow{NM}$

Nên $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{0}$ .

b) Ta có:

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MD}$

$= \left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} ight) + \left( \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight)$

$= \overrightarrow{0} + 2\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{MN}$

c) Ta có:

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC}$

$= \left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight) + \left( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} ight) = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$

d) Do N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN}$
Câu 4: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ cho các điểm $A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3), D(2;-2;0)$ . Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 trong 5 điểm $O, A, B, C, D$ ?
- A. 7
- B. 5
- C. 6
- D. 10
Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình là:
$\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ $\Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0$ , do đó $D \in \left( {ABC} ight)$ .
Lại có A là trung điểm BD.
Ta có $(Oxy)$ chứa các điểm O, A, B, D;
$(Oyz)$ chứa các điểm O, B, C;
$(Oxz)$ chứa các điểm O, A, C;
$(ABC)$ chứa các điểm A, B, C, D;
$(OCD)$ chứa các điểm O, C ,D.
Vậy có mặt phẳng phân biệt thỏa mãn bài toán.
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;0;1),B( - 1;2;1)$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$ và vuông góc với mặt phẳng $(OAB)$ .
- A.
  $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 4 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AB có tọa độ I(0; 1; 1).

Mặt phẳng (OAB) có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 2; - 2;2)$ .

Suy ra đường thẳng ∆ có $\overrightarrow{u} = (1;1; - 1)$ và đi qua I(0; 1; 1).

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng $(P):x + y + z - 1 = 0$ ?
- A.
  $H(0;0;1)$
- B.
  $K(0;1;0)$
- C.
  $E(1;0;0)$
- D.
  $O(0;0;0)$
Dễ thấy điểm $O(0;0;0)$ không thuộc mặt phẳng $(P)$ .
Câu 7: Nhận biết
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua ba điểm $A\left( {\,2,\,\,0,\,\,3\,} ight);\,\,\,B\left( {\,4,\,\, - 3,\,\,2\,} ight);\,\,\,C\left( {\,0,\,\,2,\,\,5\,} ight)$
- A. $2x\,\, + \,\,y\,\, + \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
- B. $2x\,\, + \,\,y\,\, - \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
- C. $2x\,\, - \,\,y\,\, - \,\,z\,\, + \,\,7 = \,\,0$
- D. $x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
Theo đề bài, ta có cặp vecto chỉ phương của $\left( P ight):\overrightarrow {AB} = \left( {2, - 3, - 1} ight);\overrightarrow {AC} = \left( { - 2,2,2} ight)$
Từ đó, ta suy ra vecto pháp tuyến của (P) là tích có hướng của 2 VTCP của
$\left( P ight):\overrightarrow n = \left( { - 4, - 2, - 2} ight) = - 2\left( {2,1,1} ight)$
Mp (P) đi qua $A (2,0,3)$ và nhận vecto có tọa độ $(2,1,1)$ làm 1 VTPT có phương trình là:
$\Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)2 + y.1 + \left( {z - 3} ight).1 = 0$
$\Leftrightarrow 2x + y + z - 7 = 0$
Câu 8: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng: $\left. \ \begin{matrix}\overrightarrow{MR} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\overrightarrow{SN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{MR} =\overrightarrow{SN}$ .

b) Đúng: Vi $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM}$

Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN}$

Vì $G$ là trung điểm của $MN$ nên $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$

Do đó: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}) = 2.\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$

c) Sai: $\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} =\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AD}$

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{IG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) = 4\overrightarrow{IG}$ .

$\Rightarrow |\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}| = |4\overrightarrow{IG}| = 4IG$ .

Do đó: $|\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}|$ nhỏ nhất khi $IG = 0 \Leftrightarrow I \equiv G$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;3;1)$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 8$
- B.
  $2\overrightarrow{a} = (2; - 4;0)$
- C.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;1; - 1)$
- D.
  $\left| \overrightarrow{b} ight| = \sqrt{11}$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;1;1)$ suy ra “ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;1; - 1)$ ” là khẳng định sai.
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A( - 2;3;2)$ và $B(5;4; - 1)$ là
- A.
  $\frac{x + 2}{7} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{- 3}$ .
- B.
  $\frac{x - 2}{7} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z + 2}{- 3}$ .
- C.
  $\frac{x + 2}{5} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 2}{- 1}$ .
- D.
  $\frac{x - 2}{5} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z + 2}{- 1}$ .
Vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là $\overrightarrow{AB} = (7;1; - 3)$ và đường thẳng đi qua điểm $A( - 2;3;2)$ .

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $\frac{x + 2}{7} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{- 3}$ .
Câu 11: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; -1; 0) và đường thẳng d: $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có phương trình là:
- A. $x+y-z=0$
- B. $x+y-z-2=0$
- C. $x+y-z+1=0$
- D. $-x+2y+z+5=0$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên $(\alpha)$ , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có: $d(A, d)=AK$ cố định và $d(A, (\alpha))=AH\leq AK$
Suy ra $d(A, (\alpha))$ lớn nhất bằng AK khi $H\equiv K$ .
Ta có (d): $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}$ qua M(2; -1; 1) , có VTCP $\vec{u_d} = (-1; 2; 1)$ .
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT $\vec{n_p}=[\vec{u_d}, \vec{AM}]=(2; 0; 2)$ .
Mặt phẳng $(\alpha)$ có một VTPT là $\vec{n_\alpha}=[\vec{n_p}, \vec{u_d}]=(-4; -4; 4)=-4(1;1;-1)$ và $(\alpha)$ qua M (2; -1; 1) có phương trình: $1.(x-2)+1.(y+1)-1.(z-1)=0\Leftrightarrow x+y-z=0$
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(0;3; - 2)$ và $N(2; - 1;0)$ . Vectơ $\overrightarrow{MN}$ có tọa độ là:
- A.
  $\overrightarrow{MN} = (2; - 4;2)$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = (1;1; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = ( - 2;4; - 2)$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = (2;2; - 2)$
Ta có:

$\overrightarrow{MN} = (2 - 0; - 1 - 3;0 + 2) = (2; - 4;2)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{MN} = (2; - 4;2)$ .
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 + 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Gọi $d'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxz)$ . Viết phương trình đường thẳng $d'$ .
- A.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;2;3)$

Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (0;1;0)$ và có phương trình y = 0.

Suy ra $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 3;0;1)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).

Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ $\overrightarrow{u'} = \left\lbrack \overrightarrow{n}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack ightbrack = (1;0;3)$ làm vectơ chỉ phương.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;0)$ và $B(0;1;2)$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ ?
- A.
  $\overrightarrow{a} = ( - 1;0; - 2)$
- B.
  $\overrightarrow{b} = ( - 1;0;2)$
- C.
  $\overrightarrow{c} = (1;2;2)$
- D.
  $\overrightarrow{d} = ( - 1;1;2)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = ( - 1;0;2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ .

Vậy đáp án cần tìm là: $\overrightarrow{b} = ( - 1;0;2)$ .
Câu 15: Thông hiểu
Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.
- A.
  (0;435;0).
- B.
  (455;0;0).
- C.
  (0;455;0).
- D.
  (435;0;0).
Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:

$S = v.t = 890.\frac{1}{2} = 445\ \ (km).$

Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).
Câu 16: Thông hiểu
Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành biết tọa độ các điểm $M(1;2;3),N(2; - 3;1),P(3;1;2)$ . Tìm tọa độ điểm $Q$ ?
- A.
  $Q(2; - 6;4)$
- B.
  $Q(4; - 4;0)$
- C.
  $Q(2;6;4)$
- D.
  $Q( - 4; - 4;0)$
Giả sử điểm $Q(x;y;z)$ khi đó $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{QP} = (x - 3;y - 1;z - 2) \\ \overrightarrow{MN} = ( - 1;5;2) \\ \end{matrix} ight.$

ta có $MNPQ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{MN}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 3 = - 1 \\ y - 1 = 5 \\ z - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 6 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $Q(2;6;4)$ .
Câu 17: Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 2;4),B( - 3;3; - 1)$ và mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 8 = 0$ . Xét $M$ là điểm thay đổi thuộc $(P)$ , tính giá trị nhỏ nhất của $2MA^{2} + 3MB^{2}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 2;4),B( - 3;3; - 1)$ và mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 8 = 0$ . Xét $M$ là điểm thay đổi thuộc $(P)$ , tính giá trị nhỏ nhất của $2MA^{2} + 3MB^{2}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 18: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; - 1)$ và mặt phẳng $(P):x + y - 2z - 3 = 0$ . Tìm điểm $M \in (P)$ sao cho $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}|$ dạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $M\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight)$ .
- B.
  $M\left( - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2};1 ight)$ .
- C.
  $M(2;2; - 4)$ .
- D.
  $M( - 2; - 2;4)$ .
Gọi $I$ là điểm sao cho $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = 0 \Rightarrow I(0;0;0)$ .

Từ đó:

$|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| = |4\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC})| = 4IM \geq 4IH$

với $H$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $(P)$ .

Từ đó suy ra $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}|$ dạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $M \equiv H$ .

Phương trình đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} ight.$ .

Tọa độ diểm $H$ là nghiệm $(x;y;z)$ của hệ

$\left\{ \begin{matrix}x = t \\y = t \\z = - 2t \\x + y - 2z - 3 = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{1}{2} \\y = \dfrac{1}{2} \\z = - 1 \\t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ ight.$

Suy ra $H = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight)$ .

Vậy, tọa độ điểm $M$ cần tìm là $M = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight)$ .
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;1;1),B( - 1;2;1),C(36; - 5)$ . Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là:
- A.
  $M(1;2;0)$
- B.
  $M(0;0; - 1)$
- C.
  $M(1;3; - 1)$
- D.
  $M(1;3;0)$
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có: $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$

Dễ thấy $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, suy ra M là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng (Oxy).

Dễ thấy $G(1;3; - 1) \Rightarrow M(1;3;0)$ .
Câu 20: Thông hiểu

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$ . $E$ là điểm trên đoạn $CD$ sao cho $ED = 2CE$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Có 6 vectơ (khác vectơ $\overrightarrow{0}$ ) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng

b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng $60^{\circ}$ . Sai||Đúng

c) Nếu $\overrightarrow{BE} = m\overrightarrow{BA} + n\overrightarrow{BC} + p\overrightarrow{BD}$ thì $m + n + p = \frac{2}{3}$ . Sai||Đúng

d) Tích vô hướng $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} = \frac{a^{2}}{6}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$ . $E$ là điểm trên đoạn $CD$ sao cho $ED = 2CE$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Có 6 vectơ (khác vectơ $\overrightarrow{0}$ ) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng

b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng $60^{\circ}$ . Sai||Đúng

c) Nếu $\overrightarrow{BE} = m\overrightarrow{BA} + n\overrightarrow{BC} + p\overrightarrow{BD}$ thì $m + n + p = \frac{2}{3}$ . Sai||Đúng

d) Tích vô hướng $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} = \frac{a^{2}}{6}$ . Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Sai: Các vectơ (khác vectơ $\overrightarrow{0}$ ) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện là: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CA},$ $\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}$ .

Do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu.

b) Sai: $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) = 180^{\circ} - (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}) = 180^{\circ} - ABC = 120^{\circ}$

c) Sai: $\overrightarrow{BE} =\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$ $= \overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}(\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC}) =\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$ .

Do đó $m = 0,n = \frac{2}{3},p = \frac{1}{3}$ suy ra $m + n + p = 1$ .

d) Đúng: Ta có:

$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE}) - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AB}$

$= \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) - \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$

Suy ra

$\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} =\overrightarrow{AD}.\left( \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)$ $=\frac{2}{3}.\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC} +\frac{1}{3}.{\overrightarrow{AD}}^{2} -\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}$

$= \frac{2}{3}.a.a.\cos 60^{\circ} +\frac{1}{3}a^{2} - a.a.\cos60^{\circ} = \frac{a^{2}}{6}.$

35 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!