Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng
- A.
  $x + z + 1 = y^{2}$ .
- B.
  $x^{2} + y + z + 2 = 0$ .
- C.
  $2x + y = 0$ .
- D.
  $2x + y + z^{2} + 4 = 0$ .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : $2x + y = 0$ .
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tính khoảng cách giữa đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 4}{3}$ và trục $Ox$ .
- A.
  $1$
- B.
  $4$
- C.
  $3$
- D.
  $2$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (2; - 4;3)$ và đi qua điểm $M(1; - 2;4)$

Trục Ox có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0)$ và đi qua điểm $N(1;0;0)$

Khoảng cách giữa đường thẳng d và trục Ox là:

$d(d;Ox) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack.\overrightarrow{MN} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack ight|} = \frac{\left| (0;3;4).(0;2; - 4) ight|}{\left| (0;3;4) ight|} = 2$
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(3; - 1;1)$ . Điểm đối xứng với $A$ qua mặt phẳng $(Oyz)$ có tọa độ là:
- A.
  $( - 3; - 1;1)$
- B.
  $(0; - 1;1)$
- C.
  $(0; - 1;0)$
- D.
  $(0;0;1)$
Giữ nguyên y, z và đổi dấu x nên ta suy ra điểm đối xứng với A qua $(Oyz)$ có tọa độ là $( - 3; - 1;1)$ .
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(2;1;2)$ , $N(4; 2; 1)$ , tọa độ điểm $P$ thuộc trục $Oz$ sao cho $M;N; P$ thẳng hàng là
- A.
  $P(0;0;3)$ .
- B.
  $P(0;0; - 3)$ .
- C.
  $P(3;0;0)$ .
- D.
  $P(0;3;0)$ .
Vì điểm $P$ thuộc trục $Oz$ nên $P$ có tọa độ $P(0;0;z)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN}(2;1; - 1)$ ; $\overrightarrow{NP}( - 4; - 2;z - 1)$

$M;\ N;\ P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{- 4}{2} = \frac{- 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} \Leftrightarrow z - 1 = 2 \Leftrightarrow z = 3$

Vậy điểm $P(0;0;3)$ .
Câu 5: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB = AC$ và $\widehat{SAB} = \widehat{SAC}$ . Góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ là:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có:

$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AS} = \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight).\overrightarrow{AS}$

$= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AS} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AS}$

$= AC.AS.\cos\widehat{SAC} -AB.AS.\cos\widehat{SAB} = 0$ (vì $AB = AC$ và $\widehat{SAB} = \widehat{SAC}$ ).

Suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng $90^{0}$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;3)$ . Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục $Ox$ .
- A.
  $(2;0;0)$ .
- B.
  $(1;0;0)$ .
- C.
  $(3;0;0)$ .
- D.
  $(0;2;3)$ .
Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là $(1;0;0)$
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x + y - 2z + 1 = 0$ đi qua điểm $M(1; - 2;0)$ và cắt đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 11 + 2t \\ y = 2t \\ z = - 4t \\ \end{matrix}\ (t \in \mathbb{R}) ight.$ tại $N$ . Tính độ dài đoạn $MN$ .
- A.
  $7\sqrt{6}$ .
- B.
  $3\sqrt{11}$ .
- C.
  $\sqrt{10}$ .
- D.
  $4\sqrt{5}$ .
Điểm $N \in (d) \Rightarrow N(11 + 2t;2t; - 4t)$ . Mặt khác $N \in (\alpha)$ nên

$11 + 2t + 2t - 2( - 4t) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

Điểm $N(9; - 2;4) \Rightarrow \overrightarrow{MN} = (8;0;4) \Rightarrow MN = 4\sqrt{5}$ .
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng đi qua hai điểm $A(1;2; - 3)$ và $B(2; - 3;1)$ có phương trình tham số là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 - 5t \\ z = 2 + 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 8 + 5t \\ z = 5 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 - 5t \\ z = - 3 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 + 5t \\ z = 1 + 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = (1; - 5;4)$

Đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; −3) và B(2; −3; 1) có phương trình tham số là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 5t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Với t = −2, ta được M(3; −8; 5) thuộc đường thẳng AB. Khi đó, đường thẳng AB có phương trình tham số $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 8 + 5t \\ z = 5 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 9: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(2;0;0),B(2;3;0)$ và mặt phẳng $(P):x + y + z - 7 = 0$ . Tìm hoành độ $x_{M}$ của điểm $M$ thuộc mặt phẳng (P) sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(2;0;0),B(2;3;0)$ và mặt phẳng $(P):x + y + z - 7 = 0$ . Tìm hoành độ $x_{M}$ của điểm $M$ thuộc mặt phẳng (P) sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P),(Q)$ lần lượt có phương trình là $x + y - z = 0,\ x - 2y + 3z = 4$ và cho điểm $M(1; - 2;5)$ . Tìm phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M$ và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(P),(Q)$ ?
- A.
  $5x + 2y - z + 14 = 0$
- B.
  $x - 4y - 3z + 6 = 0$
- C.
  $x - 4y - 3z - 6 = 0$
- D.
  $5x + 2y - z + 4 = 0$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (1;1; - 1) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 2;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (1; - 4; - 3)$

Do $(\alpha)$ vuông góc với $(P),(Q)$ nên $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} \\ \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\overrightarrow{n_{(Q)}} \\ \end{matrix} ight.$

Chọn $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (1; - 4; - 3)$

Hơn nữa $(\alpha)$ đi qua $M(1; - 2;5)$ nên có phương trình là:

$(x - 1) - 4(y + 2) - 3(z - 5) = 0$

$\Leftrightarrow x - 4y - 3z + 6 = 0$
Câu 11: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; -1; 0) và đường thẳng d: $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có phương trình là:
- A. $x+y-z=0$
- B. $x+y-z-2=0$
- C. $x+y-z+1=0$
- D. $-x+2y+z+5=0$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên $(\alpha)$ , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có: $d(A, d)=AK$ cố định và $d(A, (\alpha))=AH\leq AK$
Suy ra $d(A, (\alpha))$ lớn nhất bằng AK khi $H\equiv K$ .
Ta có (d): $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}$ qua M(2; -1; 1) , có VTCP $\vec{u_d} = (-1; 2; 1)$ .
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT $\vec{n_p}=[\vec{u_d}, \vec{AM}]=(2; 0; 2)$ .
Mặt phẳng $(\alpha)$ có một VTPT là $\vec{n_\alpha}=[\vec{n_p}, \vec{u_d}]=(-4; -4; 4)=-4(1;1;-1)$ và $(\alpha)$ qua M (2; -1; 1) có phương trình: $1.(x-2)+1.(y+1)-1.(z-1)=0\Leftrightarrow x+y-z=0$
Câu 12: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;2;0), B(1;0;-2) và mặt
phẳng $(P): x+2y-z-1=0$ . Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA=MB
và góc $\widehat{ABM}$ có số đo lớn nhất. Khi đó giá trị $a+4b+c$ bằng ?
- A. 1
- B. 2
- C. 0
- D. 3
$MA=MB$ nên M thuộc mặt phẳng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Ta có phương trình trung trực của AB là (Q); y+z=0
M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên M thuộc đường thẳng
$(d): \left\{\begin{matrix} x=1+3t \\ y=-t \\ z=t \end{matrix}ight.$ .
Gọi $M( 1+3t;-t;t)$ , ta có $\cos\widehat{AMB}=\dfrac{\left | \vec{MA}.\vec{MB} ight | }{MA.MB}=\dfrac{11t^2-2t+1}{11t^2-2t+5}$ .
Khảo sát hàm số $f(t)=\dfrac{11t^2-2t+1}{11t^2-2t+5}$ , ta được $f(t)=\frac{5}{27}$ khi $t=\frac{1}{11}$ .
Suy ra $\widehat{AMB}$ có số đo lớn nhất khi $t=\frac{1}{11}$ , ta có $M(\frac{14}{11}; \frac{-1}{11};\frac{1}{11})$ .
Khi đó giá trị $a+4b+c=1$ .
Câu 13: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M( - 1;0;3)$ . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho $3OA = 2OB = OC eq 0$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $8$
- C.
  $4$
- D.
  $2$
Từ giả thiết, ta có thể coi $A(2a;0;0),B(0;3b;0),C(0;0;6c)$ (với $|a| = |b| = |c| eq 0$ ).
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là $\frac{x}{2a} + \frac{y}{3b} + \frac{z}{6c} =1$ .
Do (P) đi qua M(−1; 0; 3) nên $-\frac{1}{2a} + \frac{1}{2c} = 1$ .
Theo trên có c = ±a, kết hợp với phương trình vừa thu được, ta suy ra a = −1, c = 1.
Cũng theo trên, b = ±a, nên có 2 giá trị của b.
Suy ra có 2 bộ (a, b, c) thỏa mãn, hay có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 14: Vận dụng
Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho điểm $M = (1; - 1;2)$ và hai đường thẳng $d_{1}$ : $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.$ $d_{2}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{1}$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua diểm $M$ và cắt cả hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;a;b)$ . Tính $a + b$ ?
- A.
  $a + b = - 1$ .
- B.
  $a + b = - 2$ .
- C.
  $a + b = 2$ .
- D.
  $a + b = 1$ .
Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với $d_{1},d_{2}$

$A \in d_{1} \Rightarrow A\left( t_{1};1 - t_{1}; - 1 ight);B \in d_{2} \Rightarrow B\left( - 1 + 2t_{2};1 + t_{2}; - 2 + t_{2} ight)$

$M \in \Delta \Leftrightarrow M,A,B\ \text{thẳng\ hàng~} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB}(1)$

$\overrightarrow{MA} = \left( t_{1} - 1;2 - t_{1}; - 3 ight);\overrightarrow{MB} = \left( 2t_{2} - 2;t_{2} + 2;t_{2} - 4 ight)$

$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 1 = k(2t_{2} - 2) \\ 2 - t_{1} = k(t_{2} + 2) \\ - 3 = k(t_{2} - 4) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 2kt_{2} + 2k = 1 \\ - t_{1} - kt_{2} - 2k = - 2 \\ kt_{2} - 4k = - 3 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} = 0 \\ kt_{2} = \frac{1}{3} \\ k = \frac{5}{6} \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Từ $t_{1} = 0 \Rightarrow A(0;1; - 1)$ .

Do đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A$ và $M$ nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{AM} = (1; - 2;3)$ .

Vậy $a = - 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 1$
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;1; - 1)$ và $B(1;0;1)$ và mặt phẳng $(P):x + 2y - z = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ qua $A;B$ và vuông góc với $(P)$ ?
- A.
  $(Q):2x - y + 3 = 0$
- B.
  $(Q):3x - y + z - 4 = 0$
- C.
  $(Q): - x + y + z = 0$
- D.
  $(Q):3x - y + z = 0$
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1;2)$

Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{AB} ightbrack = (3; - 1;1)$

Từ đó, phương trình mặt phẳng $(Q)$ là $(Q):3x - y + z - 4 = 0$ .
Câu 16: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC = \frac{3}{2}AD;\widehat{CAB} = \widehat{DAB} = 60^{0};CD = AD$ . Gọi $\varphi$ là góc giữa $AB$ và $CD$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $\cos\varphi = \frac{3}{4}$
- B.
  $\varphi = 60^{0}$
- C.
  $\varphi = 30^{0}$
- D.
  $\cos\varphi = \frac{1}{4}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\cos(AB;CD) = \frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} ight|}{\left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{CD} ight|} = \frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} ight|}{AB.CD}$

Mặt khác $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$= \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)$

$= AB.AD.\frac{1}{2} - AB.\frac{3}{2}.AD.\frac{1}{2} = - \frac{1}{4}AB.AD = - \frac{1}{4}AB.CD$

Do đó: $\cos(AB;CD) = \frac{\left| -\dfrac{1}{4}AB.CD ight|}{AB.CD} = \dfrac{1}{4}$

Vậy $\cos\varphi = \frac{1}{4}$
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc trục tung $Oy$ ?
- A.
  $M(0; - 10;0)$
- B.
  $N(10;0;0)$
- C.
  $P(0;0; - 10)$
- D.
  $Q( - 10;0;10)$
Điểm thuộc trục tung Oy là $M(0; - 10;0)$ .
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ có phương trình $d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{- 4}$ . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng $d$ ?
- A.
  $Q( - 2; - 4;7)$
- B.
  $P(4;0; - 1)$
- C.
  $M(1; - 2;3)$
- D.
  $N(7;2;1)$
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng $d$ , điểm $N(7;2;1)$ có tọa độ không thỏa mãn phương trình đường thẳng $d$ .
Câu 19: Vận dụng
Tính thể tích hình lăng trụ ABCD.EFGH, biết $\overrightarrow {AB} = \left( {2, - 4,3} ight);\overrightarrow {EH} = \left( {3, - 2,1} ight)$ và $\overrightarrow {CG} = \left( { - 1,3, - 2} ight)$ .
- A. 3 đvtt
- B. 43 đvtt
- C. 6 đvtt
- D. 18 đvtt
Theo đề bài, ta có:
$\overrightarrow {AB} = \left( {2, - 4,3} ight);\,$
$\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {EH} = \left( {3, - 2,1} ight);\,$
$\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {CG} = \left( { - 1,3, - 2} ight)$
Áp dụng CT tính thể tích khối lăng trụ: ${V_{ABCDEFGH}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } ight].\overrightarrow {AE} } ight|$
Suy ra: $\begin{array}{l}V = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } ight].\overrightarrow {AE} } ight|\\\,\,\,\,\, = \left| {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 4}&3\\3&{ - 2}&1\\{ - 1}&3&{ - 2}\end{array}} ight|} ight|\\\,\,\,\,\, = \left| {2 - 20 + 21} ight| = 3\end{array}$ .
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - 3y + 4z - 5 = 0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (2; - 3;4)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (2;3;4)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (2;4;5)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (2; - 3; - 5)$
Mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (a;b;c)$

Mặt phẳng $(P):2x - 3y + 4z - 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n} = (2; - 3;4)$

71 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!