Cho tứ diện
và các điểm
xác định bởi
. Tìm giá trị
để
đồng phẳng?
Cho tứ diện và các điểm
xác định bởi
. Tìm giá trị
để
đồng phẳng?
Cho tứ diện
và các điểm
xác định bởi
. Tìm giá trị
để
đồng phẳng?
Cho tứ diện và các điểm
xác định bởi
. Tìm giá trị
để
đồng phẳng?
Trong không gian tọa độ
, mặt phẳng
đi qua
và chắn trên tia
một đoạn thẳng dài gấp đôi các đoạn thẳng mà nó chắn trên các tia
và
. Giả sử
, với
. Tính
.
Từ giả thiết, ta suy ra các giao điểm của (α) với các tia lần lượt là
.
Suy ra phương trình (đoạn chắn) của (α) là .
Do (α) đi qua M nên .
Suy ra .
Từ đó, ta tính được: .
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; -1; 0) và đường thẳng d:
. Mặt phẳng
chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có phương trình là:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có: cố định và
Suy ra lớn nhất bằng AK khi
.
Ta có (d): qua M(2; -1; 1) , có VTCP
.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT .
Mặt phẳng có một VTPT là
và
qua M (2; -1; 1) có phương trình:
Cho
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
song song với mặt phẳng
và
cách điểm
một khoảng bằng
. Phương trình mặt phẳng
là:
Vì
Mà
Vậy .
Trong không gian Oxyz cho ba vectơ
và
khác
. Câu nào sai?
Theo điều kiện để hai vecto cùng phương, ta có:
cùng phương
Suy ra
sai vì thiếu dấu vecto.
Trong không gian
, cho ba điểm
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng
?
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng là:
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Hình vẽ minh họa
Ta có N là trung điểm của CD nên
M là trung điểm của AB nên
Suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của
.
Mặt phẳng trung trực nhận
làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm
của
nên ta có phương trình mặt phẳng
là:
.
Biết
khác
và vuông góc với cả hai vectơ
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Theo đề bài ta có: khác
và vuông góc với cả hai vectơ
nên
Vậy khẳng định đúng là
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
và điểm
thay đổi trên mặt phẳng tọa độ
. Tìm giá trị lớn nhất của
?
Thay tọa độ của A, B vào phương trình mặt phẳng (Oxy): z = 0, ta có
⇒ A, B nằm về hai phía của (Oxy).
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (Oxy).
Khi đó ta có:
Suy ra lớn nhất bằng A’B khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B và (Oxy).
Ta có .
Trong không gian
, cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Xét tứ diện OABC có các cạnh đôi một vuông góc với nhau.
Ta có:
Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.
Từ đó .
Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận làm vectơ pháp tuyến là:
Trong không gian
, cho hai điểm
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
. Sai||Đúng
b) Tọa độ của vectơ
. Đúng||Sai
c) Điểm
là hình chiếu của điểm
trên mặt phẳng tọa độ
thì
. Sai||Đúng
d) Tọa độ điểm
để tứ giác
là hình bình hành là
. Sai||Đúng
Trong không gian , cho hai điểm
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) . Sai||Đúng
b) Tọa độ của vectơ . Đúng||Sai
c) Điểm là hình chiếu của điểm
trên mặt phẳng tọa độ
thì
. Sai||Đúng
d) Tọa độ điểm để tứ giác
là hình bình hành là
. Sai||Đúng
a) Điểm .
b) .
c) là hình chiếu của điểm
trên mặt phẳng tọa độ
nên
.
Suy ra .
d) Gọi .
Ta có .
Tứ giác là hình bình hành nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho 2 đường thẳng ![]()
. Tìm tất cả giá trị thực của
để
vuông góc với
?
Vectơ chỉ phương của lần lượt là:
.
Để thì
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và
là
Lấy .
Vì nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q).
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và hai điểm
. Tìm điểm
thuộc
sao cho
vuông tại
.
Điểm thuộc đường thẳng
nên
.
Ta có và
.
Tam giác vuông tại
khi và chỉ khi
Khi đó tọa độ điểm .
Trong không gian
, cho đường thẳng
. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng
?
Thay vào
ta được:
Thay vào
ta được:
Thay vào
ta được:
hệ vô nghiệm nên
.
Thay vào
ta được:
Trong không gian
, cho vectơ
. Tọa độ điểm
là:
Ta có:
Trong không gian
, cho các điểm
. Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng
?
Ta có
là 1 VTPT của mặt phẳng (ABC).
Do đó đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) có VTPT cùng phương với vectơ (−2; −1; 1).
Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D đường thẳng có 1 VTPT là (−2; 1; 1) cùng phương với (−2; −1; 1).
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì tọa độ điểm có
nên
.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có
trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với
lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, EF, DH. Tính khoảng cách giữa NP và CG.
Ta biểu diễn các điểm N, P, C, G theo a, b, c được:
Từ đó, ta tính được các vecto tương ứng:
Để tính khoảng cách giữa NP và CG, ta cần tính tích có hướng và tích độ dài giữa chúng rồi áp dụng CT tính khoảng cách: