Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - y + z - 1 = 0. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

    Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là (2; - 1;1) hoặc ( - 2;1; - 1).

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho ba điểm A\left( {3,1,0} ight);\,\,\,B\left( {2,1, - 1} ight);\,\,\,C\left( {x,y, - 1} ight). Tính x và y để ba điểm A, B, C đã cho thẳng hàng với nhau?

     A, B, C thẳng hàng \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} cùng phương với \overrightarrow {AC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 0\\{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2} = 0\\{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3} = 0\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1\left( {y - 1} ight) - 0\left( {x - 3} ight) = 0\\0\left( { - 1} ight) - \left( { - 1} ight)\left( {y - 1} ight) = 0\\ - 1\left( {x - 3} ight) - \left( { - 1} ight)\left( { - 1} ight) = 0\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} ight.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCAB = AC\widehat{SAB} = \widehat{SAC}. Góc giữa hai đường thẳng SABC là:

    Ta có:

    \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AS}
= \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}
ight).\overrightarrow{AS}

    =
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AS} -
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AS}

    = AC.AS.\cos\widehat{SAC} -AB.AS.\cos\widehat{SAB} = 0 (vì AB =
AC\widehat{SAB} =
\widehat{SAC}).

    Suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 90^{0}.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; - 1;5),B(m;2;7). Tìm giá trị tham số m để AB
= 7?

    Theo bài ra ta có:

    AB = 7 \Leftrightarrow \sqrt{(m - 3)^{2}
+ 3^{2} + 2^{2}} = 7

    \Leftrightarrow (m - 3)^{2} = 36
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m - 3 = 6 \\
m - 3 = - 6 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 9 \\
m = - 3 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là \left\lbrack
\begin{matrix}
m = 9 \\
m = - 3 \\
\end{matrix} ight..

  • Câu 5: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;5; - 1),B(1;1;3). Tìm tọa độ điểm M thuộc (Oxy) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}
ight| ngắn nhất.

    Gọi J(x; y; z) là điểm sao cho \overrightarrow{JA} + \overrightarrow{JB} =
\overrightarrow{0} Suy ra J(2; 3; 1).

    Khi đó \left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MJ} +
\overrightarrow{JA} + \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JB} ight|
= 2\left| \overrightarrow{MJ} ight|

    Vậy \left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} ight| đạt GTNN khi và chỉ khi \left| \overrightarrow{MJ} ight| đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).

    Vậy M(2; 3; 0).

  • Câu 6: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 1} =\frac{z - 4}{1},d_{2}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z +3}{4}. Viết phương trình đường vuông góc chung của d_{1},d_{2}.

    Đường thẳng d_{1},d_{2} lần lượt có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{1}} = (1; -
1;1),\overrightarrow{u_{2}} = (2; - 1;4)

    Gọi ∆ là đường vuông góc chung giữa d_{1}d_{2}, suy ra ∆ có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack
\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3; -
2;1)

    Giả sử ∆ giao với d_{1},d_{2} lần lượt tại \left\{ \begin{matrix}
M(3 + m; - 1 - m;4 + m) \\
N(2 + 2n;4 - n; - 3 + 4n) \\
\end{matrix} ight., khi đó ta có \overrightarrow{MN} = ( - m + 2n - 1;m - n + 5; -
m + 4n - 7)

    Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{MN} = 0 \\
\overrightarrow{u_{2}.}\overrightarrow{MN} = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- 3m + 7n - 13 = 0\  \\
- 7m + 21n - 35 = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = - 2 \\
n = 1 \\
\end{matrix} ight.

    Từ đó suy ra đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương \overrightarrow{u_{\Delta}} và đi qua điểm M(1; 1; 2).

    Vậy ta có phương trình đường thẳng: \Delta:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z
- 2}{- 1}

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1;2;3)\overrightarrow{v} = ( - 5;1;1). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1.( - 5) +2.1 + 3.1 = 0 \Rightarrow\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}

    Vậy khẳng định đúng là \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}

  • Câu 8: Nhận biết

    Biết rằng \overrightarrow{a} =
(0;1;3)\overrightarrow{b} = ( -
2;3;1). Tính \overrightarrow{x} =3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
3\overrightarrow{a} = (0;3;9) \\
2\overrightarrow{b} = ( - 4;6;2) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \overrightarrow{x} =
3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = ( - 4;9;11)

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y +
2}{1} = \frac{z}{- 1} không đi qua điểm nào dưới đây?

    Ta có \frac{- 1 - 1}{2} eq \frac{2 +
2}{1} eq \frac{0}{- 1} nên điểm (
- 1;2;0) không thuộc đường thẳng \Delta.

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hai vectơ \overrightarrow V  = \,m\overrightarrow a \,\, - \,\,2\overrightarrow b\overrightarrow W  = \,m\overrightarrow b \,\, - \,\,\overrightarrow avới \overrightarrow a  = \left( {2,\,1,\, - 1} ight)\overrightarrow b  = \left( {1,\, - 2,\,1} ight).Tìm m để \overrightarrow V\overrightarrow W vuông góc.

     Điều kiện để

    \overrightarrow V vuông góc \overrightarrow W  \Leftrightarrow \left( {m\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } ight)\left( {m\overrightarrow b  - \overrightarrow a } ight) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 ight)

    Với {\overrightarrow a ^2} = 6;\,{\overrightarrow b ^2} = 6;\,\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 1

    \begin{array}{l}\left( 1 ight) \Leftrightarrow {m^2} + 18m + 2 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m =  - 9 \pm \sqrt {79} \end{array}

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0. Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng (\alpha)?

    Ta thấy tọa độ điểm Q(1;0;1) thỏa mãn phương trình mặt phẳng (\alpha):x -
2y + 2z - 3 = 0 nên điểm Q nằm trên (\alpha).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M( - 1;1;2) và hai đường thẳng d:\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z -
1}{1},d^{'}:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{- 2}. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm M, cắt d và vuông góc với d^{'}.

    Gọi \Delta là đường thẳng đi qua điểm M, cắt d và vuông góc với d^{'}.
    Giả sử \Delta \cap d = A \Rightarrow A(2 +
3t; - 3 + 2t;1 + t).

    \overrightarrow{AM} = (3 + 3t; - 4 + 2t;
- 1 + t)

    \Delta\bot d^{'} \Rightarrow
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{u_{d^{'}}} = 0
\Leftrightarrow 3 + 3t + 3( - 4 + 2t) - 2( - 1 + t) = 0

    \Leftrightarrow 7t = 7 \Leftrightarrow t
= 1

    \Rightarrow A(5; -
1;2),\overrightarrow{AM} = (6; - 2;0) = 2(3; - 1;0).

    \Delta:\left\{ \begin{matrix}x = - 1 + 3t \\y = 1 - t \\z = 2 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{- 1} =
\frac{z - 1}{- 3} và mặt phẳng (P):3x - 3y + 2z + 1 = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Viết lại đường thẳng d ở dạng tham số \left\{ \begin{matrix}
x = - 1 + t \\
y = - t \\
z = 1 - 3t \\
\end{matrix} ight.

    Xét phương trình 3.( - 1 + t) - 3.( - t)
+ 2.(1 - 3t) + 1 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0

    Kết luận phương trình có vô số nghiệm \Rightarrow d \subset (P)

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại A, \widehat{ABC} = 30^{0}, BC = 3\sqrt{2}, đường thẳng BC có phương trình \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{-
4}, đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (\alpha):x + z - 3 =
0. Biết rằng đỉnh C có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh A.

    Hình vẽ minh họa:

    Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix}
\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4} \\
x + z - 3 = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow B(2;3;1)

    Do C ∈ BC nên C(4 + c;5 + c; - 7 -
4c)

    Theo giả thiết BC = 3\sqrt{2} nên: 18(2 + c)^{2} = 18 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
c = - 1 \Rightarrow C(3;4; - 3) \\
c = - 3 \Rightarrow C(1;2;5) \\
\end{matrix} ight.

    Mặt khác đỉnh C có cao độ âm nên C(3; 4; −3).

    Gọi A(x;y;3 - x) \in (\alpha). Do \widehat{ABC} = 30^{0} nên:

    \left\{ \begin{matrix}
AB = \frac{3\sqrt{6}}{2} \\
AC = \frac{3\sqrt{2}}{2} \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (2 - z)^{2} = \frac{27}{2} \\
(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} + (6 - z)^{2} = \frac{9}{2} \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\
2x^{2} - 18x + y^{2} - 8y + \frac{113}{2} = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
10x + 2y - 53 = 0 \\
2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
y = \frac{53 - 10x}{2} \\
2x^{2} - 8x + \left( \frac{53 - 10x}{2} ight)^{2} - 6.\left( \frac{53
- 10x}{2} ight) + \frac{7}{2} = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
y = \frac{53 - 10x}{2} \\
x = \frac{9}{2} \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
y = 4 \\
x = \frac{9}{2} \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow A\left( \frac{9}{2};4; - \frac{3}{2}
ight)

    Vậy đáp án cần tìm là \frac{9}{2}.

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 - t \\
y = 2 + 2t \\
z = - 1 - 2t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d?

    Thay M(1;2; - 1) vào d ta được: \left\{ \begin{matrix}
1 = 1 - t \\
2 = 2 + 2t \\
- 1 = - 1 - 2t \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow M \in
d

    Thay N(6; - 8;9) vào d ta được: \left\{ \begin{matrix}
6 = 1 - t \\
- 8 = 2 + 2t \\
9 = - 1 - 2t \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow t = - 5 \Rightarrow N \in
d

    Thay P( - 6;16; - 14) vào d ta được: \left\{ \begin{matrix}
- 6 = 1 - t \\
16 = 2 + 2t \\
- 14 = - 1 - 2t \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
t = 7 \\
t = 7 \\
t = \frac{13}{2} \\
\end{matrix} ight. hệ vô nghiệm nên P otin d.

    Thay Q( - 19;42; - 41) vào d ta được: \left\{ \begin{matrix}
19 = 1 - t \\
42 = 2 + 2t \\
- 41 = - 1 - 2t \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow t = 20 \Rightarrow Q \in
d

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; - 4;1) và chắn trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz theo ba đoạn có độ dài đại số lần lượt là a;b;c. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) khi a;b;c theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 là:

    Do giả thiết suy ra \left\{
\begin{matrix}
a,b,c eq 0\  \\
b = 2a,c = 2b \\
\end{matrix} ight..

    Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) khi đó phương trình mặt phẳng\frac{x}{a} + \frac{y}{b} +
\frac{z}{c} = 1.

    Do M thuộc (P) nên \frac{2}{a} -
\frac{4}{b} + \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{a} - \frac{4}{2a}
+ \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}

    Suy ra b = \frac{1}{2};c = 1 do đó phương trình mặt phẳng (P):4x + 2y + z -
1 = 0.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm M(1;1;1),\ N(2;3;4),\
P(7;7;5). Tìm tọa độ điểm Q để tứ giác MNPQ là hình bình hành

    Minh họa bằng hình vẽ sau:

    Ta có \overrightarrow{MN} = (1;2;3),\
\overrightarrow{QP} = \left( 7 - x_{Q};7 - y_{Q};5 - z_{Q}
ight).

    MNPQ là hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{MN} =
\overrightarrow{QP}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1 = 7 - x_{Q} \\
2 = 7 - y_{Q} \\
3 = 5 - z_{Q} \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{Q} = 6 \\
y_{Q} = 5 \\
z_{Q} = 2 \\
\end{matrix} ight..

    Vậy Q(6;5;2).

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (P):x - 2y + z - 1 = 0,(Q):x - 2y + z + 8 =0,(R):x - 2y + z - 4 = 0. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng (P),(Q),(R) lần lượt tại A,B,C. Tìm giá trị nhỏ nhất của T = AB^{2} + \frac{144}{AC}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (P):x - 2y + z - 1 = 0,(Q):x - 2y + z + 8 =0,(R):x - 2y + z - 4 = 0. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng (P),(Q),(R) lần lượt tại A,B,C. Tìm giá trị nhỏ nhất của T = AB^{2} + \frac{144}{AC}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{m} = (4;3;1),\overrightarrow{n} =
(0;0;1). Gọi \overrightarrow{p} là vectơ cùng hướng với vectơ \left\lbrack
\overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack (tích có hướng của hai vectơ \overrightarrow{m}\overrightarrow{n}. Biết \left| \overrightarrow{p} ight| = 15, tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{p}.

    Ta thấy \left\lbrack
\overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; -
4;0)

    \overrightarrow{p} là vectơ cùng hướng với vectơ \left\lbrack
\overrightarrow{m},\overrightarrow{n} ightbrack = (3; -
4;0) nên \overrightarrow{p} = (3k;
- 4k;0),k\mathbb{\in R};k > 0.

    Mặt khác \left| \overrightarrow{p}
ight| = 15 \Leftrightarrow \sqrt{9k^{2} + 16k^{2} + 0} = 15
\Rightarrow k = 3

    Vậy \overrightarrow{p} = (9; -
12;0).

  • Câu 20: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz cho điểm H(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt A;B;C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC?

    Giả sử (P) cắt các trục tọa độ tại A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c);(abc eq
0)

    Khi đó (P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} +
\frac{z}{c} = 1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{HA} = (a - 1; - 2; - 3) \\
\overrightarrow{HB} = ( - 1;b - 2; - 3) \\
\overrightarrow{BC} = (0; - b;c) \\
\overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\
\end{matrix} ight. mà H là trực tâm của tam giác ABC nên

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0} \\
\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0} \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2b - 3c = 0 \\
a - 3c = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow a = 2b = 3c

    Mặt khác H \in (P) \Rightarrow
\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow \frac{1}{3c} +
\frac{4}{3c} + \frac{3}{c} = 1

    \Rightarrow 14 = 3c \Leftrightarrow c =
\frac{14}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 14 \\
b = 7 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow (P):\dfrac{x}{14} +\dfrac{y}{7} + \dfrac{z}{\dfrac{14}{3}} = 1 \Rightarrow (P):x + 2y + 3z -14 = 0

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 78 lượt xem
Sắp xếp theo