Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{BD}và \ \overrightarrow{B'C} bằng

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{BD}\ = \ \ \overrightarrow{B'D'}. Do đó,

    \left( \overrightarrow{BD}\ ,\ \overrightarrow{B'C} ight)\ = \ \left( \overrightarrow{B'D'}\ ,\ \overrightarrow{B'C} ight)\ = \widehat{\ D'B'C}

    Vì B'C\ = \ CD'\ = \ D'B'nên tam giác B'CD'là tam giác đều.

    Suy ra \widehat{\ D'B'C}\ = \ 60{^\circ}

    Vậy \left( \overrightarrow{BD}\ ,\ \overrightarrow{B'C} ight)\ = \ 60{^\circ}

  • Câu 2: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; - 1) và mặt phẳng (P):x + y - 2z - 3 = 0. Tìm điểm M \in (P) sao cho |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| dạt giá trị nhỏ nhất.

    Gọi I là điểm sao cho \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = 0 \Rightarrow I(0;0;0).

    Từ đó:

    |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| = |4\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC})| = 4IM \geq 4IH

    với H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

    Từ đó suy ra |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| dạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M \equiv H.

    Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) là: \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} ight..

    Tọa độ diểm H là nghiệm (x;y;z) của hệ

    \left\{ \begin{matrix}x = t \\y = t \\z = - 2t \\x + y - 2z - 3 = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{1}{2} \\y = \dfrac{1}{2} \\z = - 1 \\t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Suy ra H = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight).

    Vậy, tọa độ điểm M cần tìm là M = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight).

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho vectơ \overrightarrow{a} = 6.\overrightarrow{i} + 8.\overrightarrow{k} + 7.\overrightarrow{j}. Khi đó tọa độ của \overrightarrow{a} là.

    Do \overrightarrow{a} = 6\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{k} + 7\overrightarrow{j} = 6\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} + 8\overrightarrow{k} \Rightarrow \overrightarrow{a} = (6;\ 7;\ 8).

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; - 1;1) và vectơ \overrightarrow{n} = (1;3;4). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; - 1;1) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}.

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:

    (x - 2) + 3(y - 1) + 4(z - 1) = 0

    \Leftrightarrow x + 3y + 4z - 3 = 0

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;3; - 1),B(1;2;4). Phương trình đường thẳng nào được cho dưới đây không phải là phương trình đường thẳng AB?

    Ta có \overrightarrow{BA} = (1;1; - 5)

    Vì điểm A(2;3; - 1) otin \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5} nên \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5} không phải là phương trình đường thẳng AB.

    Các đường thẳng còn lại đều có vectơ chỉ phương là (1; 1; −5) và đi qua điểm A(2; 3; −1) hoặc đi qua điểm B(1; 2; 4).

  • Câu 6: Nhận biết

    Ba mặt phẳng x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0 cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:

     Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :

    \left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z - 6 = 0\left( 1 ight)\\2x - y + 3z + 13 = 0\left( 2 ight)\\3x - 2y + 3z + 16 = 0\left( 3 ight)\end{array} ight.

    Giải (1),(2) tính x,y theo z được x = - z - 4;y = z + 5.

    Thế vào phương trình (3) được z=-3 , từ đó có x = - 1,y = 2

    Vậy  A(-1,2,-3).

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \frac{x}{- 2} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{3} = 1 là:

    Mặt phẳng trên đi qua các điểm A( - 2;0;0),B(0; - 1;0),C(0;0;3)

    Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cùng phương với \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 1;0) \\ \overrightarrow{AC} = (2;0;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 3; - 6;2)

    Vậy chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là \overrightarrow{n} = (3;6; - 2).

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB;CD và G là trung điểm của MN. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Vì M,N lần lượt là trung điểm của AB;CD suy ra \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM} \\ \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN} \\ \end{matrix} ight.

    Mà G là trung điểm của MN

    \Leftrightarrow \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}

    Khi đó

    \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}

    = 4\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 4\overrightarrow{MG}

    Vậy khẳng định sai là: \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm M(1;0;0),N(0; - 2;0),P(0;0;1). Tính khoảng cách h từ gốc toạ độ O đến mặt phẳng (MNP)?

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) có dạng:

    \frac{x}{1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 2x - y + 2z - 2 = 0

    Khoảng cách từ gốc tọa độ (0;0;0) đến (MNP) là: h = \frac{| - 2|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{2}{3}

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0} đúng với mọi điểm A;B;C;D nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng.

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho điểm {m{A(2, - 1,1)}} và đường thẳng (\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}y + z - 4 = 0\\2x - y - z + 2 = 0\end{array} ight.. Gọi A'  là điểm đối xứng của A qua (\triangle) . Tọa độ điểm A'  là:

    Đưa phương trình (\triangle) về dạng tham số: \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 - t\\z = t\end{array} ight.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (\triangle).

    Phương trình mp (P) có dạng - y + z + D = 0 , qua A nên D =  -2

    Phương trình (P) là: y - z + 2 = 0

    Thế x, y, z từ phương trình (\triangle) vào phương trình (P) được t=1

    \Rightarrow (\triangle ) \cap (\alpha ) = (1,3,1).

    I là trung điểm của AA' nên: {x_{A'}} + 2 = 2;{y_{A'}} - 1 = 6;{z_{A'}} + 1 = 2

    \Rightarrow A'(0,7,1).

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong hệ tọa độ Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}?

    Dựa vào phương trình đường thẳng ta thấy đường thẳng đã cho đi qua điểm N(1; - 1;2).

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho A(1; - 1;0) và (P):2x - 2y + z - 1 = 0. Điểm M(a;b;c) \in (P) sao cho MA\bot OA và đoạn AM bằng 3 lần khoảng cách từ A đến (P). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} M \in (P) \\ MA\bot OA \\ AM = 3d\left( A;(P) ight) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ 1(a - 1) - 1(b + 1) + 0(c - 0) = 0 \\ \sqrt{(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 0)^{2}} = 3 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ a - b - 2 = 0 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = a - 2 \\ c = - 3 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ c = - 3 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b + c = - 3.

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;1). Mặt phẳng (P) qua M cắt chiều dương của các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A;B;C thỏa mãn OA = 2OB. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp OABC?

    Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a,b,c > 0.

    Khi đó mặt phẳng (P) có dạng: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

    Vì (P) đi qua M nên \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1

    Vì OA = 2OB \Rightarrow a = 2b \Rightarrow \frac{3}{2b} + \frac{1}{c} = 1

    Thể tích khối chóp OABC là: V = \frac{1}{6}abc = \frac{1}{3}b^{2}c

    Ta có: 1 = \frac{3}{2b} + \frac{1}{c} = \frac{3}{4b} + \frac{3}{4b} + \frac{1}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{9}{16b^{2}c}}

    \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{\frac{9}{16b^{2}c}} \leq \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{16b^{2}c}{9} \geq 27 \Leftrightarrow \frac{b^{2}c}{3} \geq \frac{81}{16}

    \Rightarrow V_{OABC}\min = \frac{81}{16} khi \dfrac{3}{4b} =\dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{9}{2} \\b = \dfrac{9}{4} \\c = 3 \\\end{matrix} ight..

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Đặt \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b}. Điểm M xác định bởi đẳng thức \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I;I' lần lượt là tâm các mặt đáy ABCD;A'B'C'D' suy ra O là trung điểm của II'

    Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    Theo giả thiết ta có:

    \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight) = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} ight) = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} ight) = \frac{1}{2}\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{IB}

    Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên từ đẳng thức \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{IB} suy ra M là trung điểm của BB'.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 + 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Gọi d' là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng tọa độ (Oxz). Viết phương trình đường thẳng d'.

    Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;2;3)

    Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (0;1;0) và có phương trình y = 0.

    Suy ra \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 3;0;1)

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).

    Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ \overrightarrow{u'} = \left\lbrack \overrightarrow{n}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack ightbrack = (1;0;3) làm vectơ chỉ phương.

    Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách giữa đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 4}{3} và trục Ox.

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (2; - 4;3) và đi qua điểm M(1; - 2;4)

    Trục Ox có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0) và đi qua điểm N(1;0;0)

    Khoảng cách giữa đường thẳng d và trục Ox là:

    d(d;Ox) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack.\overrightarrow{MN} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack ight|} = \frac{\left| (0;3;4).(0;2; - 4) ight|}{\left| (0;3;4) ight|} = 2

  • Câu 18: Nhận biết

    Tính chất nào sau đây sai?

    Tính chất sai là: \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}

  • Câu 19: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( - 3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Tìm tọa độ điểm C'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} + 0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{AC'} = 10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} + 4.\overrightarrow{k} mà A( - 3;0;0)

    \Rightarrow C'(7;4;4)

    Suy ra C'(7;4;4)

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hai điểm A\left( {2, - 3,4} ight);\,\,\,\,B\left( { - 1,4,3} ight). Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) vuông góc với AB, cắt ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại M, N, E sao cho thể tích hình chóp O.MNE  bằng \frac{3}{14} đvtt.

     Vecto pháp tuyến của \left( P ight):\overrightarrow {AB} = \left( { - 3,7, - 1} ight)

    Phương trình \left( P ight):3x - 7y + z + D = 0

    (P) cắt 3 trục tọa độ tại M\left( { - \frac{D}{3},0,0} ight);\,\,N\left( {0,\frac{D}{7},0} ight);\,\,E\left( {0,0, - D} ight)

    Thể tích hình chóp O.MNE là:

    V_{O.MNE} = \frac{1}{6}OM.ON.OE = \frac{1}{6}\left| {\frac{D}{3}.\frac{D}{7}.D} ight|

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left| D ight|}^3}}}{{126}} = \dfrac{3}{{14}} \Leftrightarrow {\left| D ight|^3} = 27 \Leftrightarrow D = \pm 3\\ \Rightarrow \left( P ight):3x - 7y + z \pm 3 = 0\end{array}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 65 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập