Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'.$ Khẳng định nào dưới đây là sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B'C'}.$
- B.
  $\overrightarrow{D'A'} + \overrightarrow{D'C'} - \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{D'B}.$
- C.
  $\overrightarrow{A'D'} +\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC}$

Vậy đáp án sai là: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):x + my + (m - 1)z + 1 = 0$ và $(Q):x + y + 2z = 0$ . Tập hợp tất cả các giá trị $m$ để hai mặt phẳng này không song song là:
- A.
  $(0; + \infty)$
- B.
  $\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1;1;2 ight\}$
- C.
  $( - \infty;3)$
- D.
  $\mathbb{R}$
Ta có $A(0;0;0) \in (Q)$ .

$(P)//(Q) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{1} = \dfrac{m}{1} = \dfrac{m - 1}{2} \\A(0;0;0) otin (P) \\\end{matrix} ight.$ hệ này vô nghiệm

Hệ này vô nghiệm.

Do đó (P) không song song với (Q), với mọi giá trị của m.
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng
- A.
  $x + z + 1 = y^{2}$ .
- B.
  $x^{2} + y + z + 2 = 0$ .
- C.
  $2x + y = 0$ .
- D.
  $2x + y + z^{2} + 4 = 0$ .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : $2x + y = 0$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{u} = (1;2;0)$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{u}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{u} =2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$
- B.
  $\overrightarrow{u} =\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}$
- C.
  $\overrightarrow{u} =\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$
- D.
  $\overrightarrow{u} =\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{k}$
Ta có: $\overrightarrow{i} =(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =(0;0;1)$
$\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i}+ y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow\overrightarrow{u} = (x;y;z)$
Suy ra $\overrightarrow{u} = (1;2;0)\Leftrightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j}$
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 2y - 3z - 2 = 0$ . Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có một vectơ chỉ phương có tọa độ là:
- A.
  $(1; - 2;2)$
- B.
  $(1; - 2; - 3)$
- C.
  $(1;2;3)$
- D.
  $(1; - 3; - 2)$
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 2; - 3)$ .

Do $d\bot(P)$ nên vectơ $\overrightarrow{n} = (1; - 2; - 3)$ cũng là một vectơ chỉ phương của $d$ .
Câu 6: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(2;1;3)$ và mặt phẳng $(P): x+my+(2m+1)z-m-2=0$ , m là tham số. Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm trên . Tính khi khoảng cách từ điểm đến lớn nhất ?
- A. $a+b= \frac{-1}{2}$
- B. $a+b=2$
- C. $a+b=0$
- D. $a+b=\frac{3}{2}$
Ta có $d(A,(P))=\dfrac{\left | 6m+3 ight |}{\sqrt{5m^2+4m+2}}$
$d^2(A,(P))=\dfrac{\left | 36m^2+36m+9 ight |}{5m^2+4m+2}$
Xét hàm số $f(m)=\dfrac{ 36m^2+36m+9}{5m^2+4m+2}$
$\Rightarrow f'(m)=\dfrac{ -36m^2+54m+36}{(5m^2+4m+2)^2}$
$\Rightarrow f'(m)=0 \Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}; m=2$
Ta lập bảng biến thiên cho hàm số trên, được:
Qua bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt GTLN khi $m=2 \Rightarrow (P): x+2y+5z-4=0$
Đường thẳng $\triangle$ qua A và vuông góc với (P) có phương trình là $\left\{\begin{matrix} x=2+t \\ y=1+2t \\ z=3+5t \end{matrix}ight.$
Ta có $H\in \triangle \Rightarrow H(2+t;1+2t;3+5t)$
$H\in P \Rightarrow 2+t+2(1+2t)+5(3+5t)-4=0$
$\Rightarrow t=\frac{-1}{2}\Rightarrow H(\frac{3}{2};0;\frac{1}{2})\Rightarrow a+b=\frac{3}{2}$
Câu 7: Vận dụng
Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho điểm $M = (1; - 1;2)$ và hai đường thẳng $d_{1}$ : $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.$ $d_{2}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{1}$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua diểm $M$ và cắt cả hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;a;b)$ . Tính $a + b$ ?
- A.
  $a + b = - 1$ .
- B.
  $a + b = - 2$ .
- C.
  $a + b = 2$ .
- D.
  $a + b = 1$ .
Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với $d_{1},d_{2}$

$A \in d_{1} \Rightarrow A\left( t_{1};1 - t_{1}; - 1 ight);B \in d_{2} \Rightarrow B\left( - 1 + 2t_{2};1 + t_{2}; - 2 + t_{2} ight)$

$M \in \Delta \Leftrightarrow M,A,B\ \text{thẳng\ hàng~} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB}(1)$

$\overrightarrow{MA} = \left( t_{1} - 1;2 - t_{1}; - 3 ight);\overrightarrow{MB} = \left( 2t_{2} - 2;t_{2} + 2;t_{2} - 4 ight)$

$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 1 = k(2t_{2} - 2) \\ 2 - t_{1} = k(t_{2} + 2) \\ - 3 = k(t_{2} - 4) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 2kt_{2} + 2k = 1 \\ - t_{1} - kt_{2} - 2k = - 2 \\ kt_{2} - 4k = - 3 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} = 0 \\ kt_{2} = \frac{1}{3} \\ k = \frac{5}{6} \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Từ $t_{1} = 0 \Rightarrow A(0;1; - 1)$ .

Do đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A$ và $M$ nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{AM} = (1; - 2;3)$ .

Vậy $a = - 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 1$
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(3;5;3)$ và hai mặt phẳng $(P):2x + y + 2z - 8 = 0,(Q):x - 4y + z - 4 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với hai mặt phẳng $(P),(Q)$ ?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 5 - t \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 5 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 5 \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 5 \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (2;1;2) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 4;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (9;0; - 9)$

Do đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;0; - 1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng d là $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 5 \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ ?
- A.
  $(2;2;0)$
- B.
  $(3; - 1;3)$
- C.
  $(3; - 1;2)$
- D.
  $(0;0;2)$
Do điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên điểm đó có tọa độ dạng $(x;y;0)$

Suy ra điểm $(2;2;0)$ là đáp án cần tìm.
Câu 10: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$= \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)$

$= \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos60^{0} - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC}ight|.\cos60^{0}$

Mà $AC = AD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0 \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ight) = 90^{0}$
Câu 11: Thông hiểu
Tìm $m$ để góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u} = \left(1;\log_{3}5;\log_{m}2 ight),\overrightarrow{v} = \left( 3;\log_{5}3;4ight)$ là góc nhọn.
- A.
  $m > \frac{1}{2},m eq1$ .
- B.
  $m > 1$ .
- C.
  $0 < m < \frac{1}{2}$ .
- D.
  $m > 1$ hoặc $0 < m < \frac{1}{2}$ .
Để $\left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) < {90^0} \Rightarrow \cos \left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) > 0$

$\Rightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} > 0 \Leftrightarrow 3 +\log_{3}5.\log_{5}3 + 4\log_{m}2 > 0$

$\Leftrightarrow 4 + 4log_{m}2 > 0 \Leftrightarrow log_{m}2 > - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 1 \\ m < \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$ .

Kết hợp điều kiện $m > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m > 1} \\ {0 < m < \frac{1}{2}} \end{array}} ight.$
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $N( 3;-2; 6)$ và vuông góc với trục Ox có phương trình là:
- A.
  $x = - 3$
- B.
  $y = - 2$
- C.
  $z = 6$
- D.
  $x = 3$
Ta có: $\overrightarrow{u_{Ox}} = \overrightarrow{i} = (1;0;0)$ .

$Vì\ (P)\bot Ox\ nên\ \overrightarrow{n_{P}} = \overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0).$

Phương trình mặt phẳng đi qua $N(3; - 2;6)$ và vuông góc với trục Ox có phương trình là:

$x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3.$
Câu 13: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $\widehat{ABC} = 30^{0}$ , $BC = 3\sqrt{2}$ , đường thẳng $BC$ có phương trình $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4}$ , đường thẳng $AB$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha):x + z - 3 = 0$ . Biết rằng đỉnh $C$ có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh $A$ .
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $3$
- C.
  $\frac{9}{2}$
- D.
  $\frac{5}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4} \\ x + z - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(2;3;1)$

Do C ∈ BC nên $C(4 + c;5 + c; - 7 - 4c)$

Theo giả thiết $BC = 3\sqrt{2}$ nên: $18(2 + c)^{2} = 18 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = - 1 \Rightarrow C(3;4; - 3) \\ c = - 3 \Rightarrow C(1;2;5) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt khác đỉnh C có cao độ âm nên C(3; 4; −3).

Gọi $A(x;y;3 - x) \in (\alpha)$ . Do $\widehat{ABC} = 30^{0}$ nên:

$\left\{ \begin{matrix} AB = \frac{3\sqrt{6}}{2} \\ AC = \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (2 - z)^{2} = \frac{27}{2} \\ (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} + (6 - z)^{2} = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ 2x^{2} - 18x + y^{2} - 8y + \frac{113}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10x + 2y - 53 = 0 \\ 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ 2x^{2} - 8x + \left( \frac{53 - 10x}{2} ight)^{2} - 6.\left( \frac{53 - 10x}{2} ight) + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 4 \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A\left( \frac{9}{2};4; - \frac{3}{2} ight)$

Vậy đáp án cần tìm là $\frac{9}{2}$ .
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z - 5}{4}$ và mặt phẳng $(P):x - 3y + 2z - 5 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $d$ cắt và không vuông góc với $(P)$ .
- B.
  $d$ vuông góc với $(P)$ .
- C.
  $d$ song song với $(P)$ .
- D.
  $d$ nằm trong $(P)$ .
Ta có: $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (2; - 3;4)$ , $(P)$ có véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 3;2)$ .

Do $\overrightarrow{u}$ không cùng phương $\overrightarrow{n}$ nên $d$ cắt $(P)$ .

Mặt khác $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 19 eq 0$ nên $d$ không vuông góc $(P)$ .

Vậy $d$ cắt nhưng không vuông góc với $(P)$ .
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2; - 1;5),B(5; - 5;7)$ và điểm $M \in (Oxy)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ để ba điểm $A;B;M$ thẳng hàng?
- A.
  $M(4; - 5;0)$
- B.
  $M(2; - 3;0)$
- C.
  $M(0;0;1)$
- D.
  $M(4;5;0)$
Ta có: $M \in (Oxy) \Rightarrow M(x;y;0)$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2;3;1) \\ \overrightarrow{AM} = (x - 2;y + 2; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

Vì ba điểm A; B; M thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{x - 2}{- 2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{- 1}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(4; - 5;0)$

Vậy đáp án cần tìm là $M(4; - 5;0)$ .
Câu 16: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A;B;C$ sao cho $T = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} + \frac{1}{OC^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất là:
- A.
  $x + 2y + 3z - 14 = 0$
- B.
  $3x + 2y + z - 10 = 0$
- C.
  $6x + 3y + 2z - 18 = 0$
- D.
  $6x - 3y + 2z - 6 = 0$
Giả sử $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ với $a, b, c$ là các số thực dương do $OA, OB, OC$ khác 0.

Khi đó phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A, B, C$ có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Mà $M ∈ (P)$ nên $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1$ , do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

$T = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{14}\left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ight)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)$

$\geq \frac{1}{14}\left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} ight)^{2} = \frac{1}{14}$

T đạt giá trị nhỏ nhất nên ta có dấu bằng xảy ra, tức là: $\left\{ \begin{matrix}a = 2b = 3c \\\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 14 \\b = \dfrac{14}{2} \\c = \dfrac{14}{3} \\\end{matrix} ight.$

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là $x + 2y + 3z - 14 = 0$ .
Câu 17: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x - y + z - 3 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\beta)$ sao cho phép đối xứng qua mặt phẳng $(Oxy)$ biến mặt phẳng $(\alpha)$ thành mặt phẳng $(\beta)$ .
- A.
  $(\beta):x + y - z + 3 = 0$
- B.
  $(\beta):x - y - z + 3 = 0$
- C.
  $(\beta):x + y + z - 3 = 0$
- D.
  $(\beta):x - y - z - 3 = 0$
Tọa độ giao điểm của mặt phẳng (α) với các trục tọa độ là $A(3;0;0),B(0; - 3;0),C(0;0;3)$ .

Ta có $A; B ∈ (Oxy)$ và $C ∈ Oz$ .

Kí hiệu Đ(Oxy) là phép đối xứng qua mặt phẳng Oxy.

Ta có $Đ(Oxy):(\alpha) ightarrow (\beta) \Rightarrow Đ(Oxy):(A;B;C) ightarrow (A;B;C')$ , (ảnh của A, B trùng với chính nó vì $A,B \in (Oxy)$ ).

Do C’ đối xứng với $C(0;0;3)$ qua mặt phẳng Oxy, suy ra $C'(0;0; - 3)$

Từ đó suy ra mặt phẳng (β) có phương trình theo đoạn chắn là:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{- 3} = 1 \Leftrightarrow (\beta):x - y - z - 3 = 0$
Câu 18: Vận dụng

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( a;b;\frac{c}{d} ight)$ , trong đó $a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d}$ là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính $a + b + c + d$ ?

Đáp án: 1223

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( a;b;\frac{c}{d} ight)$ , trong đó $a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d}$ là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính $a + b + c + d$ ?

Đáp án: 1223

Gọi $Q(x;y;z)$ là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.

$\overrightarrow{MN} = (300;100;2)$

$\overrightarrow{NQ} = (x - 800;y - 300;z - 10)$

Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ $M ightarrow N$ gấp 4 lần thời gian bay từ $N ightarrow Q$ nên $MN = 4NQ$

Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NQ}$ cùng hướng.

Suy ra $\overrightarrow{MN} = 4\overrightarrow{NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 300 = 4(x - 800) \\ 100 = 4(y - 300) \\ 2 = 4(z - 10) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 875 \\ y = 325 \\ z = 10,5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow Q\left( 875;325;\frac{21}{2} ight)$

Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $\left( 875;325;\frac{21}{2} ight) \Rightarrow a = 875,\ \ b = 325,\ \ c = 21,\ \ d = 2$ .

Do đó, $a + b + c + d = 1223.$
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):2x + y - z - 3 = 0$ và $(Q):x + y + z - 1 = 0$ . Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng $(P),(Q)$ là:
- A.
  $\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 1}{1}$
- B.
  $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
- C.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
- D.
  $\frac{x}{2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z - 1}{- 1}$
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + y - z - 3 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2z - 2 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2z + 2 \\ y = - 3z - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Đặt $z = t$ ta suy ra $x = 2t + 2,y = - 3t - 1$ .

Từ đó ta thu được phương trình đường thẳng: $d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z}{1}$

Xét điểm $A(2; - 1;0) \in d$ , ta thấy $A$ chỉ thuộc đường thẳng: $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - y + z - 1 = 0$ . Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (2; - 1; - 1)$ .
- B.
  $\overrightarrow{n} = ( - 2;1; - 1)$ .
- C.
  $\overrightarrow{n} = (2;1; - 1)$ .
- D.
  $\overrightarrow{n} = ( - 1;1; - 1)$ .
Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ có tọa độ là $(2; - 1;1)$ hoặc $( - 2;1; - 1)$ .

72 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!