Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
- A.
  Cho hình chóp $S.ABCD$ , nếu có $\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC}$ thì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
- B.
  Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$ .
- C.
  Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$ .
- D.
  Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$ .
Nếu $\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC}$ thì

$\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SD} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

Suy ra tứ giác $ABCD$ là hình bình hành

Mệnh đề sai $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$ vì:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$
Câu 2: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0};\widehat{CAD} = 90^{0}$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ . Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{IJ}$ ?
- A.
  $120^{0}$ .
- B.
  $90^{0}$ .
- C.
  $60^{0}$ .
- D.
  $45^{0}$ .
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ICD có I là trung điểm đoạn CD $\Rightarrow \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight)$

Tam giác ABC có $AB = AC$ và $\widehat{BAC} = 60^{0}$ suy ra tam giác $ABC$ đều suy ra $CI\bot AB$

Tương tự ta cũng có tam giác ABD đều nên $DI\bot AB$

Ta có: $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{ÂB} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight).\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{IJ}\bot\overrightarrow{AB} \Rightarrow \left( \overrightarrow{IJ};\overrightarrow{AB} ight) = 90^{0}$
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , trục $Ox$ có phương trình tham số là
- A.
  $x = 0$
- B.
  $y + z = 0$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$
Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$ nên có phương trình tham số là $\left\{ \begin{matrix} x = 0 + 1t \\ y = 0 + 0t \\ z = 0 + 0t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(1; - 1;2)$ và vectơ $\overrightarrow{n} = (2;4; - 6)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ qua A và nhận vectơ $\overrightarrow{n}$ làm vectơ pháp tuyến.
- A.
  $x + 2y - 3z - 5 = 0$ .
- B.
  $x + 2y - 3z + 7 = 0$ .
- C.
  $2x + 4y - 6z + 5 = 0$ .
- D.
  $x + 5y - 6z + 5 = 0$
Phương trình mặt phẳng có dạng:

$A\left( x - x_{A} ight) + B\left( y - y_{A} ight) + C\left( z - z_{A} ight) = 0$ .

$2(x - 1) + 4(y + 1) + 6(z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y - 3z + 7 = 0.$
Câu 5: Vận dụng
Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P); gọi $\alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma$ lần lượt là các góc tạo bởi vector pháp tuyến của (P) với ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của (P) là ( $OH = p$ ):
- A. $x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma - p = 0$
- B. $x\sin \alpha + y\sin \beta + z\sin \gamma - p = 0$
- C. $x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma + p = 0$
- D. $x\sin \alpha + y\sin \beta + z\sin \gamma + p = 0$
Theo đề bài, ta có: $H\left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight) \Rightarrow \overrightarrow {OH} = \left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight)$
Gọi $M\left( {x,y,z} ight) \in \left( P ight)$
$\Rightarrow \overrightarrow {HM} = \left( {x - p\cos \alpha ,y - p\cos \beta ,z - c\cos \gamma } ight)$
Ta có:
$\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {HM}$
$\Leftrightarrow \left( {x - p\cos \alpha } ight)p\cos \alpha + \left( {y - p\cos \beta } ight)p\cos \beta + \left( {z - p\cos \gamma } ight)p\cos \gamma \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$
$\Leftrightarrow \left( P ight):x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma - p = 0$
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(3; - 1;4)$ , đồng thời vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow{a} = (1;1;2)$ có phương trình là:
- A.
  $3x - y + 4z - 12 = 0$
- B.
  $3x - y + 4z + 12 = 0$
- C.
  $x - y + 2z - 12 = 0$
- D.
  $x - y + 2z + 12 = 0$
Mặt phẳng $(P)$ nhận vectơ $\overrightarrow{a} = (1;1;2)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $M(3; - 1;4)$ nên có phương trình là $1(x - 3) - 1(y + 1) + 2(z - 4) = 0$

$\Leftrightarrow x - y + 2z - 12 = 0$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Trong không gian, với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0;1;2),B(2; - 2;0),C( - 2;0;1)$ . Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ , trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình là
- A.
  $4x + 2y - z + 4 = 0$
- B.
  $4x + 2y + z - 4 = 0$
- C.
  $4x - 2y - z + 4 = 0$
- D.
  $4x - 2y + z + 4 = 0$
Ta có: $\overrightarrow{\ AB} = (2; - 3;2),\overrightarrow{AC} = ( - 2; - 1; - 1),\overrightarrow{BC} = ( - 4;2;1)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{\ AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;6; - 8)$

Gọi tọa độ trực tâm $H(a;b;c)$ khi đó $\overrightarrow{\ AH} = (a;b - 1;c - 2),\overrightarrow{BH} = (a - 2;b + 2,c)$

Theo đề bài ta có

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{\ AH}\bot\overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{BH}\bot\overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{\ AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{\ AH} \in (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{\ AH}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \left\lbrack \overrightarrow{\ AB};\overrightarrow{AC} ightbrack.\overrightarrow{\ AH} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 4a + 2(b - 1) + c - 2 = 0 \\- 2(a - 2) - 1(b + 2) - c = 0 \\a + 6(b - 1) - 8(c - 2) = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{- 22}{101} \\b = \dfrac{70}{101} \\c = \dfrac{176}{101} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow H\left( \frac{- 22}{101};\frac{70}{101};\frac{176}{101} ight) \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \left( \frac{- 22}{101};\frac{- 31}{101};\frac{- 26}{101} ight)$

Gọi $\overrightarrow{n}$ là VTPT của mặt phẳng $(P)$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{\ AH}\bot\overrightarrow{n} \\ \overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{n_{(ABC)}} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{\ AH};\overrightarrow{n_{(ABC)}} ightbrack = (4; - 2; - 1)$

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(0; 1; 2) có một VTPT là $\overrightarrow{n} = (4; - 2; - 1)$ là

$4(x - 0) - 2(y - 1) - 1(z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow 4x - 2y - z + 4 = 0$

Vậy $(P):4x - 2y - z + 4\ = 0$ .
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tính khoảng cách giữa đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 4}{3}$ và trục $Ox$ .
- A.
  $1$
- B.
  $4$
- C.
  $3$
- D.
  $2$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (2; - 4;3)$ và đi qua điểm $M(1; - 2;4)$

Trục Ox có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0)$ và đi qua điểm $N(1;0;0)$

Khoảng cách giữa đường thẳng d và trục Ox là:

$d(d;Ox) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack.\overrightarrow{MN} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack ight|} = \frac{\left| (0;3;4).(0;2; - 4) ight|}{\left| (0;3;4) ight|} = 2$
Câu 9: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}$ . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d$ và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là $ax + by + cz + 9 = 0$ . Tính tổng $a + b + c$
- A.
  $T = 9$
- B.
  $T = 5$
- C.
  $T = 3$
- D.
  $T = 4$
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)$

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

Phương trình tham số của $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

Khi đó $\left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}$

Lại có: $\cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}$

Vậy $\widehat{NMH}$ lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

Vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)$

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)$

Phương trình mặt phẳng (P) là $1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0$

Vậy $a + b + c = 4$
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $M(1;3; - 1)$
- B.
  $M( - 3;5;3)$
- C.
  $M(3;5;3)$
- D.
  $M(1;2; - 3)$
Nếu một điểm nằm trên một đường thẳng thì khi thay tọa độ điểm đó vào phương trình đường thẳng thì sẽ thỏa mãn phương trình đường thẳng.

Lần lượt thay tọa độ M từ các phương án vào phương trình đường thẳng d ta được M(−3; 5; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(\alpha):2x + 3y - z - 1 = 0$ và $(\beta):4x + 6y - mz - 2 = 0$ . Tìm $m$ để hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau.
- A.
  $m = 1$ .
- B.
  Không tồn tại $m$ .
- C.
  $m = - 1$ .
- D.
  $m = - 2$ .
Mặt phẳng $(\alpha)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}} = (2;3; - 1)$

Mặt phẳng $(\beta)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{2}} = (4;6; - m)$

Để $(\alpha)//(\beta)$ thì $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{- 1}{- m} eq \frac{- 1}{- 2}$

Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , khoảng cách từ điểm $M(2; - 4; - 1)$ tới đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ bằng:
- A.
  $\sqrt{14}$
- B.
  $\sqrt{6}$
- C.
  $2\sqrt{14}$
- D.
  $2\sqrt{6}$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $N(0;2;3)$ , có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1;2)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 2;6;4)$ và $\left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack = (16;8; - 4)$ .

Vậy khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là:

$d(M;\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{336}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{14}$
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2;2;1)$ . Tính độ dài đoạn thẳng $OA$ ?
- A.
  $OA = \sqrt{5}$
- B.
  $OA = 5$
- C.
  $OA = 3$
- D.
  $OA = 9$
Ta có: $\overrightarrow{OA} = (2;2;1) \Rightarrow OA = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = 3$
Câu 14: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ . Biết rằng tọa độ các điểm $A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c)$ và hình thang $ABCD$ có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Tính giá trị biểu thức $a+b+c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ . Biết rằng tọa độ các điểm $A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c)$ và hình thang $ABCD$ có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Tính giá trị biểu thức $a+b+c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 15: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có điểm $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ , $B(a;0;0),D(0;a;0),$ $A'(0;0;b),(a > 0,b > 0)$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $CC'$ . Giá trị của tỉ số $\frac{a}{b}$ để hai mặt phẳng $(A’BD)$ và $(MBD)$ vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có điểm $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ , $B(a;0;0),D(0;a;0),$ $A'(0;0;b),(a > 0,b > 0)$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $CC'$ . Giá trị của tỉ số $\frac{a}{b}$ để hai mặt phẳng $(A’BD)$ và $(MBD)$ vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2;3),B(2; - 1;5),C(3;2; - 1)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D(2;6;8)$
- B.
  $D(0;0;8)$
- C.
  $D(2;6; - 4)$
- D.
  $D(4; - 2;4)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 3 - 2 \\ y - 3 = 2 + 1 \\ z - 2 = - 1 - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 6 \\ z = - 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(2;6; - 4)$ .
Câu 17: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'.$ Khẳng định nào dưới đây là sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B'C'}.$
- B.
  $\overrightarrow{D'A'} + \overrightarrow{D'C'} - \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{D'B}.$
- C.
  $\overrightarrow{A'D'} +\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC}$

Vậy đáp án sai là: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , điểm nào dưới đây thuộc trục $Oy$ ?
- A.
  $H(2;0;0)$
- B.
  $K(0;3;2)$
- C.
  $U(2;0;3)$
- D.
  $T(0; - 3;0)$
Điểm $A(x;y;z) \in Oy \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Suy ra trong bốn điểm đã cho điểm $T(0; - 3;0) \in Oy$ .
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):x + y - 2z + 5 = 0$ và $(Q): - x - y + 2z + 9 = 0$ . Mặt phẳng nào sau đây cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q)?
- A.
  $- x + y + 2z + 2 = 0$
- B.
  $x - y + 2z - 2 = 0$
- C.
  $- x - y + 2z + 2 = 0$
- D.
  $x + y - 2z + 2 = 0$
Gọi (R) là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) thì $(P)//(Q)//(R)$

Do đó (R) có dạng $x + y − 2z + m = 0$ .

Gọi $A(1; 0; 3) ∈ (P) , B(1; 0; −4) ∈ (Q)$ .

Khi đó trung điểm M của đoạn AB nằm trên (R), tức $M\left( 1;0; - \frac{1}{2} ight) \in (R)$ .

Suy ra $1 + 0 - 2.\left( - \frac{1}{2} ight) + m = 0 \Leftrightarrow m = - 2$ .

Vậy $(R): x + y − 2z − 2 = 0$ hay $(R): −x − y + 2z + 2 = 0$ .
Câu 20: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , xét mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2;1;3)$ đồng thời cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho tứ diện $OMNP$ có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ với $(P)$ có toạ độ là:
- A.
  $(4;6;1)$
- B.
  $(4;1;6)$
- C.
  $( - 4;6;1)$
- D.
  $(4; - 1;6)$
Gọi $M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c)$

Theo giả thiết, ta có $a;b;c$ là các số dương.

Phương trình mặt phẳng (P) là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

(P) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1$

Ta có: $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{1}{b}.\frac{3}{c}} = \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}}$

$\Leftrightarrow 1 \geq \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{abc} \geq 3\sqrt[3]{6} \Leftrightarrow abc \geq 112$

$V_{OMNP} = \frac{abc}{6} \geq 27$ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} \frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{3}{c} \\ \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 3 \\ c = 9 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $(P):\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1$

Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 1 \\ z = 6 \\ t = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy đáp án cần tìm là: $(4; - 1;6)$ .

76 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!