Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(2;0; - 1),B(1;1;0)$ và $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ . Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1; - 1)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1;1; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1;1)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (1;1;1)$
Do $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên $(\alpha)$ nhận $\overrightarrow{AB} = ( - 1;1;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra $\overrightarrow{n}(1; - 1; - 1) = - \overrightarrow{AB}$ cũng là vectơ pháp tuyến của (α).
Câu 2: Vận dụng

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định. Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A( - 3;0;1),B(2; - 4;6),C(1;2; - 7)$ và hai vecto $\overrightarrow{u} = (3;0; - 1),\overrightarrow{v} = (3;5; - 7).$

a) Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ bằng $15.$ Đúng||Sai

b) Trung điểm của đoạn $AC$ có tọa độ là $(1;1; - 4)$ . Sai||Đúng

c) Tọa độ của vecto $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ là $(5; - 9; - 3)$ . Sai||Đúng

d) Hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác $ABC$ lên mặt phẳng $(Oxz)$ là $O.$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định. Trong không gian $Oxyz,$ cho ba điểm $A( - 3;0;1),B(2; - 4;6),C(1;2; - 7)$ và hai vecto $\overrightarrow{u} = (3;0; - 1),\overrightarrow{v} = (3;5; - 7).$

a) Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ bằng $15.$ Đúng||Sai

b) Trung điểm của đoạn $AC$ có tọa độ là $(1;1; - 4)$ . Sai||Đúng

c) Tọa độ của vecto $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ là $(5; - 9; - 3)$ . Sai||Đúng

d) Hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác $ABC$ lên mặt phẳng $(Oxz)$ là $O.$ Đúng||Sai

a) đúng, b) sai, c) sai, d) đúng.

a) Ta có $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3.3 + 0.5 + ( - 1).( - 7) = 15.$

b) Ta có trung điểm của đoạn $AC$ có tọa độ là $\left( \frac{( - 3) + 1}{2};\frac{0 + 2}{2};\frac{1 + ( - 7)}{2} ight) = ( - 1;1; - 3).$

c) Ta có

$\begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (5; - 4;5). \\ \overrightarrow{u} = (3;0; - 1), \\ \overrightarrow{v} = (3;5; - 7). \\ \end{matrix}$

Suy ra $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = (5; - 9;11).$

d) Ta có $G\left( 0;\frac{- 2}{3};0 ight)$ Suy ra hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác $ABC$ lên mặt phẳng $(Oxz)$ là $O(0;0;0)$ .
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , khoảng cách từ điểm $M(2; - 4; - 1)$ tới đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ bằng:
- A.
  $\sqrt{14}$
- B.
  $\sqrt{6}$
- C.
  $2\sqrt{14}$
- D.
  $2\sqrt{6}$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $N(0;2;3)$ , có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1;2)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 2;6;4)$ và $\left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack = (16;8; - 4)$ .

Vậy khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là:

$d(M;\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{336}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{14}$
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 3y + 2z + 1 = 0$ và $(Q):(2m - 1)x + m(1 - 2m)y + (2m - 4)z + 14 = 0$ với $m$ là tham số thực. Tổng các giá trị của m để $(P)$ và $(Q)$ vuông góc nhau bằng bao nhiêu?
- A.
  $- \frac{7}{2}$
- B.
  $- \frac{5}{2}$
- C.
  $- \frac{3}{2}$
- D.
  $- \frac{1}{2}$
Ta có:

$(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 3;2)$

$(Q)$ có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(Q)}} = \left( 2m - 1;,m(1 - 2m);2m - 4 ight)$

(P) và (Q) vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_{(P)}}\bot\overrightarrow{n_{(Q)}}$

Điều này tương đương với

$\overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0 \Leftrightarrow 6m^{2} + 3m - 9 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 1 \\m = - \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 1 + \left( - \frac{3}{2} ight)= - \dfrac{1}{2}$ .
Câu 5: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(4;2;5),B(0;4; - 3),C(2; - 3;7)$ . Biết điểm $M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $P = x + y + z$ .
- A.
  $P = 0$
- B.
  $P = 6$
- C.
  $P = 3$
- D.
  $P = - 3$
Vì M ∈ (Oxy) nên $M(x;y;0)$ .

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có G(2; 1; 3).

Khi đó:

$\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = \left| \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight|$

$= \left| 3\overrightarrow{MG} ight| = 3MG = 3\sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + 3^{2}} \geq 9$

Dấu “=” xảy ra khi x= 2 và y= 1 hay M(2; 1; 0).

Vậy P = 3
Câu 6: Vận dụng cao
Cho biết có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là $(P_i):x+a_iy+b_iz+c_i=0$ với $(i=1,2,...,n)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và không đi qua gốc tọa độ O , đồng thời cắt các trục tọa độ $Ox, Oy, Oz$ theo thứ tự tại A, B, C sao cho hình chóp OABC là hình chóp đều. Khi đó giá trị $a_1+a_2+...+a_n$ bằng?
- A. 3
- B. 1
- C. - 4
- D. - 1
Giả sử mặt phẳng $(P): x+ay+bz+c=0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán
+) Ta có: $(P)\cap Ox=A(-c;0;0),$
$(P)\cap Oy=B(0;\frac{-c}{a};0),$
$P)\cap Oz=C(0;0;\frac{-c}{b})$ .
Vì hình chóp OABC là hình chóp đều, suy ra $OA=OB=OC$
Nên ta có $\left | -c ight | =\left | \frac{-c}{a} ight |= \left | \frac{-c}{b} ight |$ (do (P) không đi qua gốc tọa độ nên $c eq 0$ )
+) Vì điểm $M(1;2;3)\in P$ nên suy ra: $1+2a+3b+c=0$
Nhận thấy nếu $a=1, b=-1$ thì $c=0$ , trường hợp này không thỏa mãn do $c eq 0$
Như vậy ta sẽ có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán lần lượt ứng với các trường hợp $a=b=1, a=b=-1$ và $a=-1.b=1$
Vậy $a_1=1, a_2=-1. a_3=-1$ suy ra $a_1+a_2+a_3=-1$ .
Câu 7: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 2; - 1),B\left( - \frac{4}{3}; - \frac{8}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ và vuông góc với mặt phẳng $(OAB)$ . Hỏi $\Delta$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $Q(5; - 1;5)$
- B.
  $N(3;0;2)$
- C.
  $M(1; - 1;1)$
- D.
  $P( - 5; - 4;5)$
Ta có: $OA = 3,OB = 4,AB = 5$

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ .

$\left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{AB.x_{O} + OB.x_{A} + OA.x_{B}}{AB + OB + OA} \\ y_{I} = \frac{AB.y_{O} + OB.y_{A} + OA.y_{B}}{AB + OB + OA} \\ z_{I} = \frac{AB.z_{O} + OB.z_{A} + OA.z_{B}}{AB + OB + OA} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{5.0 + 4.2 + 3.\left( - \frac{4}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\ y_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 2) + 3.\left( - \frac{8}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\ z_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 1) + 3.\frac{8}{3}}{5 + 4 + 3} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{1}{3} \\ y_{I} = - \frac{4}{3} \\ z_{I} = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I\left( \frac{1}{3}; - \frac{4}{3};\frac{1}{3} ight)$

$\left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 8; - 4; - 8) = - 4(2;1;2)$

Phương trình đường thẳng $\Delta:\frac{x - \frac{1}{3}}{2} = \frac{y + \frac{4}{3}}{1} = \frac{z - \frac{1}{3}}{2}$

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 1).
Câu 8: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}$ . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d$ và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là $ax + by + cz + 9 = 0$ . Tính tổng $a + b + c$
- A.
  $T = 9$
- B.
  $T = 5$
- C.
  $T = 3$
- D.
  $T = 4$
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)$

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

Phương trình tham số của $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

Khi đó $\left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}$

Lại có: $\cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}$

Vậy $\widehat{NMH}$ lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

Vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)$

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)$

Phương trình mặt phẳng (P) là $1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0$

Vậy $a + b + c = 4$
Câu 9: Thông hiểu
Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Tính $\overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD}$ .
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $- 1$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = \left( \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AC} ight)\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)$

$= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = 0$
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng song song $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = 4 - 2t \\ \end{matrix} ight.$ và $d':\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z}{2}$ . Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (d, d’), đồng thời cách đều hai đường thẳng d và d’.
- A.
  $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- B.
  $\frac{x + 3}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z + 2}{2}$
- C.
  $\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 2}{2}$
- D.
  $\frac{x + 3}{- 1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 2}{- 2}$
Lấy $M(2;1;4) \in d,N(4; - 1;0) \in d'$ .

Đường thẳng cần tìm đi qua trung điểm của MN, là điểm I(3; 0; 2), và song song với d và d’.

Phương trình đường thẳng cần tìm là: $\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 2}{2}$
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(2;0; - 1)$ và vuông góc với $d$ .
- A.
  $(P):x - y - 2z = 0$
- B.
  $(P):x - 2y - 2 = 0$
- C.
  $(P):x + y + 2z = 0$
- D.
  $(P):x - y + 2z = 0$
Phương trình mặt phẳng (P):

$1(x - 2) - 1(y - 0) + 2(z + 1) = 0$

$\Leftrightarrow x - y + 2z = 0$
Câu 12: Thông hiểu

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Đáp án là:

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}\ \ \ \ (t\mathbb{\in R}) ight.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (a; - 2)$ .

Đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = (4; - 3)$ .

Ta có:

$\cos\varphi = |cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|$

$\Leftrightarrow cos45^{0} = \frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|4a + 6|}{5\sqrt{a^{2} + 4}}$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{a^{2} + 4} = \sqrt{2}|4a + 6|$

$\Leftrightarrow 25a^{2} + 100 = 32a^{2} + 96a + 72$

$\Leftrightarrow 7a^{2} + 96a - 28 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{2}{7} \\a = - 14 \\\end{matrix}. ight.$

Vậy tích tất cả các giá trị của tham số a bằng -4.
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(4;2; - 1),C(5; - 2;0)$ . Điểm $D(a;b;c)$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCD$ . Khi đó giá trị biểu thức $H = 2a + b + c$ có giá trị bằng bao nhiêu?
- A.
  $H = 0$
- B.
  $H = 1$
- C.
  $H = - 1$
- D.
  $H = 2$
Gọi tọa độ điểm $D(a;b;c)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (6; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{DC} = (5 - a; - 2 - b; - c) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $ABCM$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - a = 6 \\ - 2 - b = - 1 \\ - c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ c = 2 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra điểm $D( - 1; - 1;2)$

Khi đó $H = 2a + b + c = 2.( - 1) - 1 + 2 = - 1$ .
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho phương trình đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng $\Delta$ ?
- A.
  $(1;4; - 5)$
- B.
  $( - 1; - 4;3)$
- C.
  $(2;1;1)$
- D.
  $( - 5; - 2; - 8)$
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:

$\left\{ \begin{matrix} - 1 = 1 + 2t \\ - 4 = - 1 + 3t \\ 3 = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow M( - 1; - 4;3) \in \Delta$ .
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P):2x + z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là:
- A.
  $\overrightarrow{n} = (2;1;0)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (0;2;1)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (2;1; - 1)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (2;0;1)$
Mặt phẳng $(P):2x + z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n} = (2;0;1)$ .
Câu 16: Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; -1)$ . Biết điểm $M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +3\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm $M$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; -1)$ . Biết điểm $M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +3\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm $M$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 17: Thông hiểu
Cho ba điểm $A\left( {3,1,0} ight);\,\,\,B\left( {2,1, - 1} ight);\,\,\,C\left( {x,y, - 1} ight)$ . Tìm tọa độ của C để ABC là tam giác đều?
- A. $\left( {3,2, - 1} ight)$
- B. $\left( {3,0, - 1} ight)$
- C. $\left( {-3,-2, 1} ight)$ ; $\left( {3,0, - 1} ight)$
- D. $\left( {3,2, - 1} ight)$ ; $\left( {3,0, - 1} ight)$
Tam giác ABC đều
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = AB\\BC = AB\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 9 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 ight)\\{x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 ight)\end{array} ight.\\\left( 2 ight) - \left( 1 ight):2x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \Rightarrow {y^2} - 2y = 0 \Leftrightarrow y = 2 \vee y = 0\end{array}$
Suy ra tọa độ điểm C là có 2 nghiệm C thỏa mãn:
$C\left( {3;2; - 1} ight);C'\left( {3;0; - 1} ight)$
Câu 18: Nhận biết
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ . Đặt $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{d}$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$
- C.
  $\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d}$
Ta có: $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}$

Do đó $\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{u} = (1;2;0)$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{u}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{u} =2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$
- B.
  $\overrightarrow{u} =\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}$
- C.
  $\overrightarrow{u} =\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$
- D.
  $\overrightarrow{u} =\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{k}$
Ta có: $\overrightarrow{i} =(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =(0;0;1)$
$\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i}+ y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow\overrightarrow{u} = (x;y;z)$
Suy ra $\overrightarrow{u} = (1;2;0)\Leftrightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j}$
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2;0; - 1),B(1; - 2;3),C(0;1;2)$ . Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A;B;C$ .
- A.
  $2x + y + z - 3 = 0$
- B.
  $10x + 3y + z - 19 = 0$
- C.
  $2x - y + z - 3 = 0$
- D.
  $10x - 3y - z - 21 = 0$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;1;3)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 1;4; - 5)$

Theo giả thiết mặt phẳng cần tìm qua A(2; 0; −1) và nhận $\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = - 5(2;1;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng qua $A;B;C$ là

$2(x - 2) + (y - 0) + (z + 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0$

79 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!