Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A.
  Nếu $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$ thì bốn điểm $A;B;C;D$ đồng phẳng.
- B.
  Tam giác $ABC$ có $I$ là trung điểm cạnh $BC$ thì ta có: $2\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ .
- C.
  Vì $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$ nên suy ra $B$ là trung điểm cạnh $AC$ .
- D.
  Vì $\overrightarrow{AB} = - 2\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AD}$ nên bốn điểm $A;B;C;D$ đồng phẳng.
Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$ đúng với mọi điểm $A;B;C;D$ nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng.
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2; −1; 3), B(4; 0; 1), C(−10; 5; 3)$ . Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;8;2)$
- B.
  $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;2;0)$
- C.
  $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1; - 2;2)$
- D.
  $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;2;2)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2;1; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 12;6;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (12;24;24) = 12(1;2;2)$

Vậy $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;2;2)$ là đáp án cần tìm.
Câu 3: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2; - 3)$ và mặt phẳng $(P):2x + 2y - z + 9 = 0$ . Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (3;4; - 4)$ cắt $(P)$ tại điểm $B$ . Điểm $M$ thay đổi trong $(P)$ sao cho $M$ luôn nhìn đoạn $AB$ dưới góc $90^{0}$ . Khi độ dài $MB$ lớn nhất, đường thẳng $MB$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?
- A.
  $H( - 2; - 1;3)$
- B.
  $I( - 1; - 2;3)$
- C.
  $K(3;0;15)$
- D.
  $\ J( - 3;2;7)$
Hình vẽ minh họa

Phương trình $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Đường thẳng d cắt P tại $B(−2; −2; 1)$ .

Gọi H là hình chiếu của A lên (P).

Ta có: $H(−3; −2; −1)$

Vì $MB ⊥ MA; MB ⊥ AH$ nên MB ⊥ MH suy ra $MB ≤ BH$ .

Do đó: MB lớn nhất bằng BH khi $M \equiv H$

Vậy MB đi qua B, nhận $\overrightarrow{BH}$ là vectơ chỉ phương.

Phương trình $MB:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = - 2 \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ do đó MB đi qua điểm $I( - 1; - 2;3)$ .
Câu 4: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(4;2;5),B(0;4; - 3),C(2; - 3;7)$ . Biết điểm $M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $P = x + y + z$ .
- A.
  $P = 0$
- B.
  $P = 6$
- C.
  $P = 3$
- D.
  $P = - 3$
Vì M ∈ (Oxy) nên $M(x;y;0)$ .

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có G(2; 1; 3).

Khi đó:

$\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = \left| \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight|$

$= \left| 3\overrightarrow{MG} ight| = 3MG = 3\sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + 3^{2}} \geq 9$

Dấu “=” xảy ra khi x= 2 và y= 1 hay M(2; 1; 0).

Vậy P = 3
Câu 5: Vận dụng cao
Một khối lập phương lớn tạo bởi 27 khối lập phương đơn vị. Một mặt phẳng vuông góc với đường chéo của khối lập phương lớn tại trung điểm của nó. Mặt phẳng này cắt ngang bao nhiêu khối lập phương đơn vị?
- A.
  $16$
- B.
  $17$
- C.
  $18$
- D.
  $19$
Giả sử các đỉnh của khối lập phương đơn vị là $(i,j,k)$ , với $i,j,k \in \left\{ 0;1;2;3 ight\}$ và đường chéo đang xét của khối lập phương lớn nối hai đỉnh là $O(0;0;0),A(3;3;3)$

Phương trình mặt trung trực của OA là $(\alpha):x + y + z - \frac{9}{2} = 0$

Mặt phẳng này cắt khối lập phương đơn vị khi và và chỉ khi các đầu mút $(i,j,k)$ và $(i + 1;j + 1;k + 1)$ của đường chéo của khối lập phương đơn vị nằm về hai phía đối với (α).

Do đó bài toán quy về đếm trong số 27 bộ $(i,j,k)$ , với $i,j,k \in \left\{ 0;1;2 ight\}$ , có bao nhiêu bộ ba thỏa mãn:

$\left\{ \begin{matrix} i + j + k - \frac{9}{2} < 0 \\ (i + 1) + (j + 1) + (k + 1) - \frac{9}{2} > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \frac{3}{2} < i + j + k < \frac{9}{2}$

Các bộ ba không thỏa điều kiện (1), tức là $\left\lbrack \begin{matrix} i + j + k < \frac{3}{2} \\ i + j + k > \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.$ là:

$(0;0;0),(0;0;1),(0;1;0),(1;0;0),(1;2;2),(2;1;2),(2;2;1),(2;2;2)$

Vậy có $27 - 8 = 19$ khối lập phương đơn vị bị cắt bởi (α).
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;0; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (4; - 6;2)$ . Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + 2t \\ y = - 6 - 3t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Do $(2; - 2;1)$ cũng là vectơ chỉ phương nên phương trình tham số là: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 7: Thông hiểu

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0$ và $\left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0$

a) Vectơ có tọa độ $(1\ ;\ 2\ ;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ . Sai||Đúng

b) Vectơ có toạ độ $( - 2;\ 1\ ;\ 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{2} ight)$ . Đúng||Sai

c) Côsin của góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1)$ và ${\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ bằng $- \frac{1}{6}$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ và $\left( P_{2} ight)$ bằng $100{^\circ}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0$ và $\left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0$

a) Vectơ có tọa độ $(1\ ;\ 2\ ;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ . Sai||Đúng

b) Vectơ có toạ độ $( - 2;\ 1\ ;\ 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{2} ight)$ . Đúng||Sai

c) Côsin của góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1)$ và ${\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ bằng $- \frac{1}{6}$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ và $\left( P_{2} ight)$ bằng $100{^\circ}$ . Sai||Đúng

a) $\overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = (1;2; - 1)$ nên mệnh đề sai

b) $\overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = ( - 2;1;1)$ nên mệnh đề đúng

c) $\cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) = \frac{1.( - 2) + 2.1 + ( - 1)1}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = - \frac{1}{6}$ mệnh đề đúng

d) Góc hai mặt phẳng không thể tù nên mệnh đề sai
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;3)$ và hai mặt phẳng $(P):2x + 3y =$ $0,(Q):3x + 4y = 0$ . Dường thẳng đi qua $A$ và song song với hai mặt phẳng $(P),(Q)$ có phương trình là
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = t \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.$ .
- C.
  $\ \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ .(META)$
Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm.

Mặt phẳng $(P)$ có một véc-tơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{1} = (2;3;0)$ và $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{2} = (3;4;0)$ . Ta có $\left\lbrack {\overrightarrow{n}}_{1},{\overrightarrow{n}}_{2} ightbrack = (0;0;2)$ .

Khi đó, $\Delta$ đi qua điểm $A$ và nhận véc-tơ $\overrightarrow{u} = (0;0;1)$ làm vec-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$
Với $t = - 3$ thì điểm $B(1;2;0)$ thuộc $\Delta$ . Viết lại phương trình đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 3 = 0$ và $(Q):x + my + z - 1 = 0$ . Tìm tham số m để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau?
- A.
  $m = - 4$
- B.
  $m = - \frac{1}{2}$
- C.
  $m = \frac{1}{2}$
- D.
  $m = 4$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 1;2) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1;m;1) \\ \end{matrix} ight.$

Để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau thì

$\overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0 \Leftrightarrow 2 - m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 4$
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(\alpha):x - 2y - 2z + 4 = 0$ và $(\beta): - x + 2y + 2z - 7 = 0$ . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)?
- A.
  $3$
- B.
  $- 1$
- C.
  $0$
- D.
  $1$
Ta thấy (α) và (β) song song với nhau nên với A(0; 2; 0) ∈ (α).

$\Rightarrow d\left\lbrack (\alpha);(\beta) ightbrack = d\left( A;(\beta) ight) = \frac{|4 - 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1$ .
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho $(P):x - 2y + 2z - 5 = 0,A( - 3;0;1),B(1; - 1;3)$ . Viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A$ , song song với $(P)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $d$ là lớn nhất.
- A.
  $\frac{x + 3}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$
- B.
  $\frac{x + 3}{3} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{2}$
- C.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{2}$
- D.
  $\frac{x + 3}{2} = \frac{y}{- 6} = \frac{z - 1}{- 7}$
Hình vẽ minh họa

Vì $( - 3 - 2\ .0 + 2\ .1 - 5).\left( 1 - 2.( - 1) + 2.3 - 5 ight) < 0$ nên hai điểm A, B khác phía so với (P).

Gọi H là hình chiếu của B lên d.

Ta có: BH ≤ BA nên khoảng cách BH từ B đến d lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A.

Khi đó AB ⊥ d.

VTPT của (P) là $\overrightarrow{n} = (1; - 2;2),\overrightarrow{AB} = (4; - 1;2)$

VTCP của d là $\overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AB} ightbrack = ( - 2;6;7)$

Mà d qua A(−3; 0; 1) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x + 3}{2} = \frac{y}{- 6} = \frac{z - 1}{- 7}$
Câu 12: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{BA'} + k\left( \overrightarrow{DB} +\overrightarrow{C'D} ight) = \overrightarrow{0}$
- A.
  $k = 0$
- B.
  $k = 1$
- C.
  $k = 4$
- D.
  $k = 2$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD'} = \overrightarrow{AD'} \\ \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C'D} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC'} = \overrightarrow{D'A} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA'} + k\left( \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C'D} ight) = \overrightarrow{AD'} + k.\overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AD'} + k.\overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow (k - 1).\overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = 1$ .

Vậy $k = 1$ .
Câu 13: Vận dụng cao
Cho đường thẳng $d:\left\{\begin{matrix} x=-t \\ y=2t-1 \\ z=t+2\end{matrix}ight.$ và mặt phẳng $(\alpha): 2x-y-2z-2=0$ . Mặt phẳng (P) qua d và tạo với $(\alpha )$ một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:
- A. $\vec{n_p}=(-1;1;1)$
- B. $\vec{n_p}=(1;2;-3)$
- C. $\vec{n_p}=(2;1;0)$
- D. $\vec{n_p}=(3;-2;7)$
Gọi $\triangle = (\alpha)\cap (P), A =d \cap(\alpha), B \in d(Beq A)$ ;
H là hình chiếu vuông góc của B lên $(\alpha )$ ; K là hình chiếu của H lên $\triangle$ .
Suy ra: $(\widehat{(d),(\alpha)})=\widehat{BAH}$ cố định; $(\widehat{(\alpha),(P)})=\widehat{BKH}$ .
Mà $\widehat{BKH} \geqslant \widehat{BAH}$ (vì $HK \leq HA$ ) $\Rightarrow (\widehat{d, (\alpha)}) \leq (\widehat{(P),(\alpha)} )$
Suy ra $(\widehat{(P),(\alpha)})$ nhỏ nhất bằng $(\widehat{d, (\alpha)})$ khi $K\equiv A$ .
Khi đó $\triangle \perp d$ và có một VTCP $\vec{u_\triangle} = [\vec{u_d}, \vec{u_\alpha}]=-3(1;0;1)$ .
Vậy (P) có một VTPT là $\vec{n_p} = [\vec{u_\triangle}, \vec{u_d}]=2(-1;1;1)$ .
Câu 14: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.EFGH$ có $\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{b};\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{c}$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $BG$ . Biểu thị $\overrightarrow{AI}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AI} =2\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} +\frac{1}{3}\overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{AI} =3\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b} +\overrightarrow{c}$
- C.
  $\overrightarrow{AI} =\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} +\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{AI} =\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} +\frac{1}{4}\overrightarrow{c}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BG}$

$= \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{BC} ight) = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
Câu 15: Vận dụng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ ; đáy là hình vuông cạnh $a$ . Trên cạnh $DC;BB'$ lần lượt lấy các điểm $M;N$ sao cho $DM = BN = x;(0 \leq x \leq a)$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $A'C$ và $MN$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ ; đáy là hình vuông cạnh $a$ . Trên cạnh $DC;BB'$ lần lượt lấy các điểm $M;N$ sao cho $DM = BN = x;(0 \leq x \leq a)$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $A'C$ và $MN$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có:
- A. 1 vectơ chỉ phương duy nhất
- B. 2 vectơ chỉ phương
- C. 3 vectơ chỉ phương
- D. Vô số vectơ chỉ phương
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có vô số vecto chỉ phương.
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;2; - 3)$ và $B(2; - 1;0)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $\overrightarrow{AB} = (3; - 3; - 3)$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = (3; - 3;3)$
- C.
  $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3; - 3)$
- D.
  $\overrightarrow{AB} = (1; - 1;1)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (2 + 1; - 1 - 2;0 + 3) = (3; - 3;3)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = (3; - 3;3)$ .
Câu 18: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0;1;1),B(1;0;1),C(1;1;0)$ . Có bao nhiêu điểm $M$ cách đều các mặt phẳng $(ABC),(OBC),(OAC),(OAB)$ ?
- A.
  Vô số
- B.
  $3$
- C.
  $55$
- D.
  $1$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (0;1;1);\overrightarrow{OB} = (1;0;1) \\ \overrightarrow{OC} = (1;1;0);\overrightarrow{AB} = (1; - 1;0) \\ \overrightarrow{AC} = (1;\ 0; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $\left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = (1;\ 1; - 1) \Rightarrow (OAB):x + y - z = 0$

Ta có: $\left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{OC} ightbrack = ( - 1;1;1) \Rightarrow (OBC): - x + y + z = 0$

Gọi điểm $M(a;b;c)$ cách đều các mặt phẳng $(ABC),(OBC),(OAC),(OAB)$

Từ $d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(OBC) ight)$

$\Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{| - a + b + c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = c(1) \\ b = c(2) \\ \end{matrix} ight.$

Từ $d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(OAC) ight)$

$\Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{| - a + b - c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0(3) \\ b = c(4) \\ \end{matrix} ight.$

Từ $d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(ABC) ight)$

$\Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{|a + b + c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 0(5) \\ a = - b(6) \\ \end{matrix} ight.$

Từ (1), (3), (5) suy ra $a = c = 0$ , b khác 0 tùy ý.

Như vậy có vô số điểm cách đều bốn mặt phẳng
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - y + 1 = 0$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
- A.
  $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q):x + 2y - 5z + 1 = 0$ .
- B.
  Điểm $A( - 1; - 1;5)$ thuộc $(P)$ .
- C.
  $(P)$ song song với trục $Oz$ .
- D.
  Vectơ $\overrightarrow{n} = (2; - 1;1)$ là một véc-tơ pháp tuyến của $(P)$ .
Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1;0)$ .

Ta có $\frac{2}{2} = \frac{- 1}{1} eq \frac{0}{1}$ nên $\overrightarrow{n_{P}}$ không cùng phương với $\overrightarrow{n} = (2; - 1;1)$ .

Suy ra $\overrightarrow{n} = (2; - 1;1)$ không là vectơ pháp tuyến của (P).

Vậy khẳng định sai là: “Vectơ $\overrightarrow{n} = (2; - 1;1)$ là một véc-tơ pháp tuyến của $(P)$ ”.
Câu 20: Thông hiểu
Cho ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng. Xét các vectơ $\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b},$ $\overrightarrow{y} = \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c},$ $\overrightarrow{z} = -3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  Ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng.
- B.
  Hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{a}$ cùng phương.
- C.
  Hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{b}$ cùng phương.
- D.
  Ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đôi một cùng phương.
Giả sử ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng, khi đó $\overrightarrow{x} =m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}m\overrightarrow{y} = m\overrightarrow{a} - m\overrightarrow{b} -m\overrightarrow{c} \\overrightarrow{z} = - 3n\overrightarrow{b} - 2n\overrightarrow{c} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow m\overrightarrow{y} +n\overrightarrow{z} = m\overrightarrow{a} - (m + 3n)\overrightarrow{b} -(m + 2n)\overrightarrow{c}$

Khi đó:

$2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}= m\overrightarrow{a} - (m + 3n)\overrightarrow{b} - (m +2n)\overrightarrow{c}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ m + 3n = - 1 \\ m + 2n = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ n = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng.

Vậy khẳng định đúng là: “Ba vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z}$ đồng phẳng”.

76 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!