Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Cho tam giác ABC có $A\left( { - 3,7,2} ight);\,\,B\left( {3, - 1,0} ight);\,\,\,C\left( {2,2, - 4} ight)$ . Gọi BD và BE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc B với D và E là chân của hai phân giác này trên AC. Tính tọa độ vectơ $\overrightarrow {BE}$
- A. $\left( { - 2,6, - 8} ight)$
- B. $\left( {4, - 2, - 10} ight)$
- C. $\left( {4,2,10} ight)$
- D. $\left( {2, - 6,8} ight)$
Gọi tọa độ điểm E là $E(x_E; y_E; z_E)$ .
Ta có $\overrightarrow {EA} = 2\overrightarrow {EC} \Rightarrow C$ là trung điểm của AE nên ta tính được tọa độ điểm E lần lượt là:
$\Rightarrow {x_E} = 2{x_C} - {x_A} = 4 + 3 = 7;\,$
$\,{y_E} = 4 - 7 = - 3;\,$
$\,{z_E} = - 8 - 2 = - 10$
$\Rightarrow \overrightarrow {BE} = \left( {7 - 3, - 3 + 1, - 10 - 0} ight) = \left( {4, - 2, - 10} ight)$
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0$ . Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng $(\alpha)$ ?
- A.
  $M(2;0;1)$
- B.
  $N(2;1;1)$
- C.
  $P(2; - 1;1)$
- D.
  $Q(1;0;1)$
Ta thấy tọa độ điểm $Q(1;0;1)$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng $(\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0$ nên điểm $Q$ nằm trên $(\alpha)$ .
Câu 3: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với tọa độ các điểm $A(1;0; - 2),$ $B( - 2;3;4),C(4; - 6;1)$ .

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác là $(1; - 1;1)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AB} = (3; - 3;6),\overrightarrow{AC} = ( - 3;6; - 3)$ . Sai||Đúng

c) Tam giác $ABC$ là tam giác cân. Đúng||Sai

d) Nếu $ABDC$ là hình bình hành thì tọa độ điểm D là $(7; - 9; - 5)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với tọa độ các điểm $A(1;0; - 2),$ $B( - 2;3;4),C(4; - 6;1)$ .

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác là $(1; - 1;1)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AB} = (3; - 3;6),\overrightarrow{AC} = ( - 3;6; - 3)$ . Sai||Đúng

c) Tam giác $ABC$ là tam giác cân. Đúng||Sai

d) Nếu $ABDC$ là hình bình hành thì tọa độ điểm D là $(7; - 9; - 5)$ . Sai||Đúng

a) Đúng.

Trọng tâm tam giác có tọa độ là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = 1 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = - 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(1; - 1;1)$

b) Sai. Vì $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;6),\overrightarrow{AC} = (3; - 6;3)$

c) Đúng. Do $AB = AC = 3\sqrt{6}$ nên tam giác ABC cân tại A.

d) Sai. Gọi $D(x;y;z)$ , vì ABCD là hình bình hành nên

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow ( - 3;3;6) = (x - 4;y + 6;z - 1)$

$\Leftrightarrow (x;y;z) = (1; - 3;7)$
Câu 4: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(1;2;1)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho độ dài $OA,OB,OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng $2$ . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ .
- A.
  $\frac{4}{\sqrt{21}}$
- B.
  $\frac{\sqrt{21}}{21}$
- C.
  $\frac{3\sqrt{21}}{7}$
- D.
  $9\sqrt{21}$
Giả sử $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ với $a, b, c > 0$ .

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Ta có $(α)$ đi qua điểm $M(1; 2; 1)$ nên ta có $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ (∗)

Vì $OA, OB, OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên $c = 2b = 4a$ .

Thay vào (∗), ta được $\frac{1}{a} + \frac{2}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{9}{4}$

Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = \frac{9}{4}$ hay $4x + 2y + z - 9 = 0$

$\Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{| - 9|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}$ .
Câu 5: Vận dụng cao

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm $A(100;50;100)$ và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là $B(50;100;50),C(150;100;100)$ . Máy bay sẽ bay qua điểm $W$ của đường màu $BC$ để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm $W(a;b;c)$ , hãy tính giá trị biểu thức $T = a + b - 2c$ .

Đáp án: 50

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm $A(100;50;100)$ và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là $B(50;100;50),C(150;100;100)$ . Máy bay sẽ bay qua điểm $W$ của đường màu $BC$ để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm $W(a;b;c)$ , hãy tính giá trị biểu thức $T = a + b - 2c$ .

Đáp án: 50

Ta có: $\overrightarrow{BC} = (100;0;50)$

Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP $\overrightarrow{u} = (2;0;1)$ có dạng $(BC):\left\{ \begin{matrix} x = 50 + 2t \\ y = 100 \\ z = 50 + t \\ \end{matrix} ight.$

Điểm $W \in (BC) \Rightarrow W(50 + 2t;100;50 + t)$ và $\overrightarrow{AW} = (2t - 50;50;t - 50)$

Ta có: $\overrightarrow{AW}.\overrightarrow{BC} = 0$

$\Rightarrow 2(2t - 50) + (t - 50) = 0 \Rightarrow t = 30$

Vậy $H(110;100;80) \Rightarrow a + b - 2c = 50.$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 đường thẳng $\Delta_{1}$ : $\left\{ \begin{matrix}x = 3 + t \\y = 1 + t \\z = 1 + 2t \\\end{matrix}(t \in \mathbb{R}); ight.$ $\Delta_{2}:\frac{x + 2}{2} =\frac{y - 2}{5} = \frac{z}{-1}$ và điểm $M(0;3;0)$ . Đường thẳng $d$ đi qua $M$ , cắt $\Delta_{1}$ và vuông góc với $\Delta_{2}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;a;b)$ . Tính $T = a + b$
- A.
  $T = - 2$
- B.
  $T = 4$ .
- C.
  $\ T = - 4.$
- D.
  $T = 2.$
Hình vẽ minh họa

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $M$ và $\Delta_{1}$ .

Lấy $A(3;1;1) \in \Delta_{1}$ .

Mặt phẳng $(P)$ có véc-tơ pháp tuyến vuông góc với các véc-tơ $\overrightarrow{MA} = (3; - 2;1)$ và ${\overrightarrow{u}}_{\Delta_{1}} = (1;1;2)$ .

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{MA},{\overrightarrow{u}}_{\Delta_{1}} ightbrack = ( - 5; - 5;5)$ .

Một trong các véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là ${\overrightarrow{n}}_{(P)} = (1;1; - 1)$ .

Đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và vuông góc với $\Delta_{2}$ có $\overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{u_{\Delta_{2}}} ightbrack = (4; - 1;3)$

Vậy $a = - 1;b = 3 \Rightarrow T = a + b = 2$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Cho điểm $A( - 3;5; - 5),B(5; - 3;7)$ và mặt phẳng $(\alpha):x + y + z = 0$ . Xét điểm $M$ thay đổi trên $(\alpha)$ , giá trị lớn nhất của $MA^{2} - 2MB^{2}$ bằng:
- A.
  $398$
- B.
  $379$
- C.
  $397$
- D.
  $489$
Hình vẽ minh họa

Xét $N$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB} = 0$ thế thì

$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{ON} - 2\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{ON} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{ON} = 2\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

hay $N(13; - 11;19)$ .

Ta có

$MA^{2} - 2MB^{2}$ = $= {\overrightarrow{MA}}^{2} - 2{\overrightarrow{MB}}^{2}$

$= (\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NA})^{2} - 2(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NB})^{2}$

$= - {\overrightarrow{MN}}^{2} + {\overrightarrow{NA}}^{2} - 2\overrightarrow{NB}\ ^{2} + 2\overrightarrow{MN}(\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB})$

$= - MN^{2} + NA^{2} - 2NB^{2}(\ \text{do~}\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB} = 0)$

$\leq - HN^{2} + NA^{2} - 2NB^{2}(H\ \text{là\ hình\ chiếu\ của~}N\ \text{lên~}(\alpha))$

$= - d^{2}\lbrack N,(\alpha)brack + NA^{2} - 2NB^{2} = 397$

Dấu " $=$ " xảy ra khi $M$ là hình chiếu của $N$ lên $(\alpha)$ .
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ trùng với gốc tọa độ $O$ . Các véc tơ $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{OC}$ , $\overrightarrow{OS}$ lần lượt cùng hướng với các véc tơ $\overrightarrow{i}$ , $\overrightarrow{j}$ , $\overrightarrow{k}$ và $OA = 3$ , $OS = 2$ . Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SB$ . Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{OM}$ là
- A.
  $(3 ; 1 ; 2)$ .
- B.
  $(2;0;1)$ .
- C.
  $(3;0; - 2)$ .
- D.
  $(1;0; - 2)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $OB = \sqrt{AB^{2} - OA^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$ .

Khi đó $\overrightarrow{OB} = (4;0;0),\ \ \ \overrightarrow{OS} = (0;0;2)$ .

Vì $M$ là trung điểm của $SB$ nên ta có

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OB} ight) = (2;0;1)$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian Oxyz cho ba vectơ $\vec a,\,\,\vec b$ và $\vec c$ khác $\vec 0$ . Câu nào sai?
- A. $\vec a$ cùng phương $\vec b$ $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}]= 0$
- B. $\vec a, \vec b, \vec c$ đồng phẳng $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}].\vec c=\vec 0$
- C. $\vec a, \vec b, \vec c$ không đồng phẳng $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}].\vec c eq \vec 0$
- D. $|[\vec{a}, \vec{b}]|=|\vec a|.|\vec b |.\cos (\vec a , \vec b )$
Theo điều kiện để hai vecto cùng phương, ta có:
$\vec a$ cùng phương $\vec b$ $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}]=\vec 0$ Suy ra
$\vec a$ cùng phương $\vec b$ $\Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}]= 0$
sai vì thiếu dấu vecto.
Câu 10: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3},d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = m \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số $m$ sao cho $d_{1},d_{2}$ chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng $\frac{5}{\sqrt{19}}$ . Tính tổng tất cả các phần tử của $S$ .
- A.
  $- 11$
- B.
  $12$
- C.
  $- 12$
- D.
  $11$
Vectơ chỉ phương của $d_{1},d_{2}$ là $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;0)$

Khi đó: $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3;3;1)$ .

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d_{1}$ song song với $d_{2}$ .

Tức là, $(P)$ qua $A(1;0;0)$ và nhận $\overrightarrow{n}$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có phương trình $(P):3x - 3y - z - 3 = 0$

Xét điểm $B(1;2;m) \in d_{2}$ . Do $d_{1},d_{2}$ chéo nhau nên $B otin (P) \Leftrightarrow m eq - 6$ .

Lại có:

$d\left( d_{1};d_{2} ight) = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow d\left( B;(P) ight) = \frac{5}{\sqrt{19}}$

$\Leftrightarrow \frac{|3 - 6 - m - 3|}{\sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 11 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng các phần tử của S là $- 1 - 11 = - 12$ .
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1;1;2)$ và mặt phẳng $(P):2x - y + 3z + 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z + 2}{3}$
- B.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 3}{2}$
- C.
  $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{2}$
- D.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$
Do đường thẳng $\Delta$ cần tìm vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nên vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1;3)$ cũng là vectơ chỉ phương của $\Delta$ .

Mặt khác $\Delta$ đi qua điểm $M(1;1;2)$ nên phương trình chính tắc của $\Delta$ là: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$
Câu 12: Vận dụng
Cho $A(1; - 1;0)$ và $(P):2x - 2y + z - 1 = 0$ . Điểm $M(a;b;c) \in (P)$ sao cho $MA\bot OA$ và đoạn $AM$ bằng 3 lần khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $a + b + c = - 3$
- B.
  $a + b + c = 3$
- C.
  $a + b + c = 5$
- D.
  $a + b + c = - 5$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} M \in (P) \\ MA\bot OA \\ AM = 3d\left( A;(P) ight) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ 1(a - 1) - 1(b + 1) + 0(c - 0) = 0 \\ \sqrt{(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 0)^{2}} = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ a - b - 2 = 0 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = a - 2 \\ c = - 3 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ c = - 3 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b + c = - 3$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(5; - 2;0),B( - 2;3;0),C(0;2;3)$ . Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
- A.
  $G(1;2;1)$
- B.
  $G(2;0; - 1)$
- C.
  $G(1;1;1)$
- D.
  $G(1;1; - 2)$
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{5 + ( - 2) + 0}{3} = 1\\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 + 3 + 2}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{0 + 0 + 3}{3} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(1;1;1)$

Vậy trọng tâm G tìm được là $G(1;1;1)$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1),P(1;m - 1;2)$ . Tìm giá trị của tham số $m$ để tam giác $MNP$ vuông tại $N$ ?
- A.
  $m = 2$
- B.
  $m = - 6$
- C.
  $m = 0$
- D.
  $m = - 4$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = ( - 3; - 2;2) \\ \overrightarrow{NP} = (2;m - 2;1) \\ \end{matrix} ight.$ .

Tam giác MNP vuông tại N $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NP} = 0 \Leftrightarrow - 6 - 2(m - 2) + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 0$

Vậy đáp án cần tìm là $m = 0$ .
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;0),B( - 2;0;3),M(0;0;1)$ và $N(0;3;1)$ . Mặt phẳng $(P)$ đi qua các điểm $M;N$ sao cho khoảng cách từ điểm $B$ đến $(P)$ gấp hai lần khoảng cách từ điểm $A$ đến $(P)$ . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng $(P)$ thỏa mãn đề bài?
- A.
  Chỉ có một mặt phẳng $(P)$ .
- B.
  Không có mặt phẳng $(P)$ nào.
- C.
  Có hai mặt phẳng $(P)$ .
- D.
  Có vô số mặt phẳng $(P)$ .
Gọi $\overrightarrow{n} = (a;b;c)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$ . Khi đó $(P): ax + by + cz + d = 0$ .

$M(0; 0; 1) ∈ (P) ⇔ c + d = 0 ⇔ c = −d.$

$N(0; 3; 1) ∈ (P) ⇔ 3b + c + d = 0 ⇔ 3b = 0 ⇔ b = 0.$

Do đó $(P): ax − dz + d = 0$

Khoảng cách từ điểm B đến $(P)$ gấp hai lần khoảng cách từ điểm A đến $(P)$

$\frac{| - 2a - 3d + d|}{\sqrt{a^{2} + d^{2}}} = 2.\frac{|a + d|}{\sqrt{a^{2} + d^{2}}}$

$\Leftrightarrow \frac{\left| - 2(a + d) ight|}{\sqrt{a^{2} + d^{2}}} = 2.\frac{|a + d|}{\sqrt{a^{2} + d^{2}}}$ (luôn đúng)

Vậy có vô số mặt phẳng $(P)$ .
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{- 1}$ không đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $( - 1;2;0)$
- B.
  $( - 1; - 3;1)$
- C.
  $(3; - 1; - 1)$
- D.
  $(1; - 2;0)$
Ta có $\frac{- 1 - 1}{2} eq \frac{2 + 2}{1} eq \frac{0}{- 1}$ nên điểm $( - 1;2;0)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$ .
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa điểm $M(1;3; - 2)$ , cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A;B;C$ (khác $O$ ) sao cho $\frac{OA}{1} = \frac{OB}{2} = \frac{OZ}{4}$ ?
- A.
  $2x - y - z - 1 = 0$
- B.
  $2x - y - z - 1 = 0$
- C.
  $4x + 2y + z + 1 = 0$
- D.
  $4x + 2y + z - 8 = 0$
Giả sử $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c > 0$ .

Phương trình mặt phẳng (P) là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ . Theo giả thiết ta có:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{1} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3} \\\frac{1}{a} + \dfrac{3}{b} - \dfrac{2}{c} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 4 \\c = 8 \\\end{matrix} ight.$

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là $4x + 2y + z - 8 = 0$ .
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(2; - 1;1)$ và vectơ $\overrightarrow{n} = (1;3;4)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(2; - 1;1)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ .
- A.
  $2x - y + z + 3 = 0$
- B.
  $2x - y + z - 3 = 0$
- C.
  $x + 3y + 4z + 3 = 0$
- D.
  $x + 3y + 4z - 3 = 0$
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:

$(x - 2) + 3(y - 1) + 4(z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow x + 3y + 4z - 3 = 0$
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 3;5;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?
- A.
  $D( - 2;8; - 3)$
- B.
  $D( - 4;8; - 5)$
- C.
  $D( - 2;2;5)$
- D.
  $D( - 4;8; - 3)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - 1 = - 3 - x \\ - 1 - 2 = 5 - y \\ 3 - ( - 1) = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 8 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4;8; - 3)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(0;1;1)$ và hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = - 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d_{2}:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$ . Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ , cắt đường thẳng $d_{1}$ và vuông góc với đường thẳng $d_{2}$ . Đường thẳng $d$ đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
- A.
  $N(2;1; - 5)$
- B.
  $Q(3;2;5)$
- C.
  $P( - 2; - 3;11)$
- D.
  $M(1;0; - 1)$
Gọi $\left\{ \begin{matrix} B = d_{1} \cap d \\ B \in d_{1} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} B( - 1; - 1 + t;t) \\ \overrightarrow{AB} = ( - 1;t - 2;t - 1) \\ \end{matrix} ight.$

$d_{2}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (3;1;1)$ .

Do $d\bot d_{2}$ nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow - 3 + t - 2 + t - 1 = 0$

$\Leftrightarrow t = 3 \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1;1;2)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AN} = (2;0;6);\overrightarrow{AQ} = (3;1;4) \\ \overrightarrow{AP} = ( - 2; - 4;10);\overrightarrow{AM} = (1; - 1; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra đường thẳng $d$ đi qua $M$ .

76 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!