Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình mặt phẳng trung trực $(\alpha)$ của đoạn thẳng $AB$ với $A(0; - 4;1),B( - 2;2;3)$ là
- A.
  $(\alpha):x - 3y + z = 0$
- B.
  $(\alpha):x - 3y + z - 4 = 0$
- C.
  $(\alpha):x - 3y - z = 0$
- D.
  $(\alpha):x - 3y - z - 4 = 0$
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ suy ra $M( - 1; - 1;2)$

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow{AM} = ( - 1;3;1)$ làm vectơ pháp tuyến:

$\Rightarrow (\alpha): - x + 3y + z = 0$

$\Rightarrow (\alpha):x - 3y - z = 0$
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $Oz$ và đi qua điểm $P(3; - 4;7)$ ?
- A.
  $4x - 3y = 0$
- B.
  $3x + 4y = 0$
- C.
  $4x + 3y = 0$
- D.
  $- 3x + 4y = 0$
Mặt phẳng $(P)$ có cặp véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{k} = (0;0;1),\overrightarrow{OP} = (3; - 4;7)$

Suy ra mặt phẳng có $(P)$ một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{k} \land \overrightarrow{OP} = ( - 4; - 3;0) = - 1(4;3;0)$ .

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $O(0;0;0)$ có vectơ pháp tuyến (4; 3; 0).

Vậy mặt phẳng $(P)$ có phương trình tổng quát là $4x + 3y = 0$ .
Câu 3: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Tọa độ chân đường phân giác của góc $B$ trong tam giác $ABC$ là:
- A.
  $\left( - \frac{2}{3};\frac{11}{3};1 ight)$
- B.
  $\left( \frac{11}{3}; - 2;1 ight)$
- C.
  $\left( \frac{2}{3};\frac{11}{3};\frac{1}{3} ight)$
- D.
  $( - 2;11;1)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác kẻ từ $B$ lên $AC$ của tam giác $ABC$ .

Suy ra $\frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\ \overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)$
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;3; - 1),B(3; - 1;5)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}$ ?
- A.
  $M\left( \frac{5}{3};\frac{13}{3};1 ight)$
- B.
  $M\left( \frac{7}{3};\frac{1}{3};3 ight)$
- C.
  $M\left( \frac{7}{3};\frac{1}{3};3 ight)$
- D.
  $M(4; - 3;8)$
Ta có: $\overrightarrow{MA} =3\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} - 3x_{B}}{1 - 3} = 4 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} - 3y_{B}}{1 - 3} = - 3 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} - 3z_{B}}{1 - 3} = 8 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(4; - 3;8)$
Câu 5: Nhận biết
Xác định tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ , biết rằng $A(1;3;4),B(2; - 1;0),C(3;1;2)$ ?
- A.
  $G(2;1;2)$ .
- B.
  $G(6;3;6)$ .
- C.
  $G\left( 3;\frac{2}{3};3 ight)$ .
- D.
  $G(2; - 1;2)$ .
Tọa độ trọng tâm G của tam giác được xác định như sau:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 + 2 + 3}{3} = 2 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{3 - 1 + 1}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{4 + 0 + 2}{3} = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(2;1;2)$
Câu 6: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x - y + z - 3 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\beta)$ sao cho phép đối xứng qua mặt phẳng $(Oxy)$ biến mặt phẳng $(\alpha)$ thành mặt phẳng $(\beta)$ .
- A.
  $(\beta):x + y - z + 3 = 0$
- B.
  $(\beta):x - y - z + 3 = 0$
- C.
  $(\beta):x + y + z - 3 = 0$
- D.
  $(\beta):x - y - z - 3 = 0$
Tọa độ giao điểm của mặt phẳng (α) với các trục tọa độ là $A(3;0;0),B(0; - 3;0),C(0;0;3)$ .

Ta có $A; B ∈ (Oxy)$ và $C ∈ Oz$ .

Kí hiệu Đ(Oxy) là phép đối xứng qua mặt phẳng Oxy.

Ta có $Đ(Oxy):(\alpha) ightarrow (\beta) \Rightarrow Đ(Oxy):(A;B;C) ightarrow (A;B;C')$ , (ảnh của A, B trùng với chính nó vì $A,B \in (Oxy)$ ).

Do C’ đối xứng với $C(0;0;3)$ qua mặt phẳng Oxy, suy ra $C'(0;0; - 3)$

Từ đó suy ra mặt phẳng (β) có phương trình theo đoạn chắn là:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{- 3} = 1 \Leftrightarrow (\beta):x - y - z - 3 = 0$
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = (1;3;m)$ . Xác định giá trị tham số $m$ để $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0}$ ?
- A.
  $m = - 5$
- B.
  $m = 5$
- C.
  $m = 1$
- D.
  $m = - 2$
Ta có: $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow 5 - m = 0 \Leftrightarrow m = 5$

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.
Câu 8: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}$ . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d$ và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là $ax + by + cz + 9 = 0$ . Tính tổng $a + b + c$
- A.
  $T = 9$
- B.
  $T = 5$
- C.
  $T = 3$
- D.
  $T = 4$
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)$

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

Phương trình tham số của $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

Khi đó $\left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}$

Lại có: $\cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}$

Vậy $\widehat{NMH}$ lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

Vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)$

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)$

Phương trình mặt phẳng (P) là $1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0$

Vậy $a + b + c = 4$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có:
- A. 1 vectơ chỉ phương duy nhất
- B. 2 vectơ chỉ phương
- C. 3 vectơ chỉ phương
- D. Vô số vectơ chỉ phương
Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có vô số vecto chỉ phương.
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;2;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha):4x + 3y - 7z + 1 = 0$ . Phương trình tham số của $d$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 4t \\ y = - 2 + 3t \\ z = - 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = - 7 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ nên nhận vectơ $\overrightarrow{n_{(\alpha)}}$ làm véc-tơ chỉ phương.

Suy ra, phương trình đường thẳng: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 11: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2)$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 27$ . Sai||Đúng

b) $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{9}{2\sqrt{35}}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 15$ . Đúng||Sai

d) $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{5}{2\sqrt{21}}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2)$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 27$ . Sai||Đúng

b) $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{9}{2\sqrt{35}}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 15$ . Đúng||Sai

d) $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{5}{2\sqrt{21}}$ . Đúng||Sai

Ta có $\overrightarrow{AB} = (1;5; - 2),\overrightarrow{AC} = (5;4; - 1),\overrightarrow{AC} = (4; - 1;1)$ .

Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 5 + 20 + 2 = 27$ .

Ta có:

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = 5.( - 4) + 4.1 + ( - 1).( - 1) = - 15$ .

Ta có:

$\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB} ight|.|\overrightarrow{AC}|} =\frac{27}{\sqrt{30}.\sqrt{42}} = \frac{9}{2\sqrt{35}}$ .

Ta có:

$\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AB} ight||\overrightarrow{BC}|} =\frac{15}{\sqrt{42}.\sqrt{18}} = \frac{5}{2\sqrt{21}}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ ,cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2t' \\ y = - 1 + t' \\ z = t' \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} ight)$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ là:
- A.
  $\frac{1}{\sqrt{14}}$
- B.
  $\sqrt{7}$
- C.
  $\sqrt{14}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{7}}$
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;1; - 1)$

Đường thẳng $d'$ đi qua điểm $B(0; - 1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d'}} = (2;1;1);\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1;0)$

$\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack = \left( \left| \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} ight|;\left| \begin{matrix} - 1 & - 1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} ight|;\left| \begin{matrix} - 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} ight| ight) = (2; - 1; - 3)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ là:

$d(d;d') = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack.\overrightarrow{AB} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack ight|} = \frac{1}{\sqrt{14}}$
Câu 13: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(2; - 3;7),B(0;4;1),$ $C(3;0;5),D(3;3;3)$ . Gọi $M$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho biểu thức $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm $M$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(2; - 3;7),B(0;4;1),$ $C(3;0;5),D(3;3;3)$ . Gọi $M$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho biểu thức $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm $M$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 14: Nhận biết
Gọi $O$ là tâm của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{AO} = \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$

Vì $O$ là trung điểm của $AC'$ suy ra $\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC'} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)$
Câu 15: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với tọa độ các điểm $A(1;0; - 2),$ $B( - 2;3;4),C(4; - 6;1)$ .

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác là $(1; - 1;1)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AB} = (3; - 3;6),\overrightarrow{AC} = ( - 3;6; - 3)$ . Sai||Đúng

c) Tam giác $ABC$ là tam giác cân. Đúng||Sai

d) Nếu $ABDC$ là hình bình hành thì tọa độ điểm D là $(7; - 9; - 5)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với tọa độ các điểm $A(1;0; - 2),$ $B( - 2;3;4),C(4; - 6;1)$ .

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác là $(1; - 1;1)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AB} = (3; - 3;6),\overrightarrow{AC} = ( - 3;6; - 3)$ . Sai||Đúng

c) Tam giác $ABC$ là tam giác cân. Đúng||Sai

d) Nếu $ABDC$ là hình bình hành thì tọa độ điểm D là $(7; - 9; - 5)$ . Sai||Đúng

a) Đúng.

Trọng tâm tam giác có tọa độ là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = 1 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = - 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(1; - 1;1)$

b) Sai. Vì $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;6),\overrightarrow{AC} = (3; - 6;3)$

c) Đúng. Do $AB = AC = 3\sqrt{6}$ nên tam giác ABC cân tại A.

d) Sai. Gọi $D(x;y;z)$ , vì ABCD là hình bình hành nên

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow ( - 3;3;6) = (x - 4;y + 6;z - 1)$

$\Leftrightarrow (x;y;z) = (1; - 3;7)$
Câu 16: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A (2; 1; 1), B (0; 3; −1)$ . Điểm $M$ nằm trên mặt phẳng $(P) : 2x + y + z − 4 = 0$ sao cho $MA + MB$ nhỏ nhất là:
- A.
  $(1;0;2)$
- B.
  $(1;0;3)$
- C.
  $(1;2;0)$
- D.
  $(3;0;2)$
Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng $(P) : 2x + y + z − 4 = 0$ ta được: $(2.2 + 1 + 1 − 4) (2.0 + 3 − 1 − 4) = −4 < 0$

Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).

Vậy $MA + MB ≥ AB$ dấu “ = ” xảy ra khi $M = AB ∩ (P)$ .

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 2;2; - 2)$ chọn vtcp của đường thẳng AB: $\overrightarrow{u} = (1; - 1;1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng AB: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .

Tọa độ $(x; y; z)$ của M là nghiệm hệ:

$\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2x + y + z - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2(2 + t) + (1 - t) + (1 + t) - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \\ t = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(1;2;0)$
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P):2x + z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là:
- A.
  $\overrightarrow{n} = (2;1;0)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (0;2;1)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (2;1; - 1)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (2;0;1)$
Mặt phẳng $(P):2x + z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n} = (2;0;1)$ .
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;3)$ và hai mặt phẳng $(P):2x + 3y =$ $0,(Q):3x + 4y = 0$ . Dường thẳng đi qua $A$ và song song với hai mặt phẳng $(P),(Q)$ có phương trình là
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = t \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.$ .
- C.
  $\ \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ .(META)$
Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm.

Mặt phẳng $(P)$ có một véc-tơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{1} = (2;3;0)$ và $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{2} = (3;4;0)$ . Ta có $\left\lbrack {\overrightarrow{n}}_{1},{\overrightarrow{n}}_{2} ightbrack = (0;0;2)$ .

Khi đó, $\Delta$ đi qua điểm $A$ và nhận véc-tơ $\overrightarrow{u} = (0;0;1)$ làm vec-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$
Với $t = - 3$ thì điểm $B(1;2;0)$ thuộc $\Delta$ . Viết lại phương trình đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(2; - 1;1)$ và vectơ $\overrightarrow{n} = (1;3;4)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(2; - 1;1)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ .
- A.
  $2x - y + z + 3 = 0$
- B.
  $2x - y + z - 3 = 0$
- C.
  $x + 3y + 4z + 3 = 0$
- D.
  $x + 3y + 4z - 3 = 0$
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:

$(x - 2) + 3(y - 1) + 4(z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow x + 3y + 4z - 3 = 0$
Câu 20: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;3)$ . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục $x'Ox,y'Oy,z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $OA = OB = 2OC eq 0$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $8$
- C.
  $4$
- D.
  $2$
Đặt $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $abc eq 0$ .

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm $A, B, C$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

Do $OA = OB = 2OC$ nên ta có $|a| = |b| = 2|c|$ .

Suy ra $a = ±2c, b = ±2c$ .

Nếu $a = 2c$ và $b = 2c$ thì mặt phẳng (P) có dạng $\frac{x}{2c} + \frac{y}{2c} + \frac{z}{c} = 1$ .

Vì (P) đi qua M nên $\frac{1}{2c} + \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{9}{2}$ .

Ta có $(P): x + y + 2z − 9 = 0$ .

Nếu $a = 2c$ và $b = −2c$ thì mặt phẳng (P) có dạng $\frac{x}{2c} + \frac{y}{- 2c} + \frac{z}{c} = 1$ .

Vì (P) đi qua M nên $\frac{1}{2c} - \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{5}{2}$

Ta có $(P): x − y + 2z − 5 = 0$ .

Nếu $a = −2c$ và $b = 2c$ thì mặt phẳng (P) có dạng $\frac{x}{- 2c} + \frac{y}{2c} + \frac{z}{c} = 1$ .

Vì (P) đi qua M nên $\frac{1}{- 2c} + \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{7}{2}$

Ta có $(P): − x + y + 2z − 7 = 0$ .

Nếu $a = −2c$ và $b = −2c$ thì mặt phẳng (P) có dạng $\frac{x}{- 2c} + \frac{y}{- 2c} + \frac{z}{c} = 1$ .

Vì (P) đi qua M nên $\frac{1}{- 2c} + \frac{2}{- 2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{3}{2}$

Ta có $(P): − x − y + 2z − 3 = 0$ .

Vậy có bốn mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.

73 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!