Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Cho tứ diện ABCD có $A\left( {5,1,3} ight),B\left( {1,6,2} ight),C\left( {5,0,4} ight),D\left( {4,0,6} ight)$ . Mặt phẳng chứa BC và song song với AD có phương trình :
- A. $8x - 7y + 5z - 60 = 0$
- B. $8x + 7y + 5z - 60 = 0$
- C. $8x - 7y - 5z - 60 = 0$
- D. $8x + 7y - 5z - 60 = 0$
Theo đề bài, từ các điểm $A\left( {5,1,3} ight),B\left( {1,6,2} ight),C\left( {5,0,4} ight),D\left( {4,0,6} ight)$ , ta tính được các vecto tương ứng là: $\overrightarrow {BC} = \left( {4, - 6,2} ight);\overrightarrow {AD} = \left( { - 1, - 1,3} ight)$
$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} } ight] = \left( { - 16, - 14, - 10} ight)$ cùng phương với $\overrightarrow n = \left( {8,7,5} ight)$
Chọn $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa BC và song song với AD.
Phương trình (P) có dạng: $8x + 7y + 5z + D = 0$
Mặt khác, điểm $B \in \left( P ight) \Leftrightarrow 8 + 42 + 10 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 60$
Vậy phương trình $(P): 8x + 7y + 5z - 60 = 0$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(2;1;4),B( - 2;2;6),C(6;0; - 1)$ . Tích $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ bằng:
- A.
  $- 67$
- B.
  $65$
- C.
  $33$
- D.
  $67$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 4;1; - 10) \\ \overrightarrow{AC} = (4; - 1; - 5) \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 33$ .
Câu 3: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{-2},$ $\Delta_{1}:\frac{x - 3}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z -1}{1},$ $\Delta_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} =\frac{z}{1}$ . Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $d$ đồng thời cắt $\Delta_{1};\Delta_{2}$ tương ứng tại $H;K$ sao cho độ dài $HK$ nhỏ nhất. Biết rằng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (h;\ k;\ 1)$ . Giá trị $h - k$ bằng?
- A.
  $0$
- B.
  $4$
- C.
  $6$
- D.
  $- 2$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} H \in \Delta_{1} \Leftrightarrow H(3 + 2t;t;1 + t) \\ K \in \Delta_{2} \Leftrightarrow K(1 + m;2 + 2m;m) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\overrightarrow{HK} = (m - 2t - 2;2m - t + 2;m - t - 1)$

Đường thẳng d có một VTCP là $\overrightarrow{u_{d}} = (1;1; - 2)$

$\Delta\bot d \Rightarrow \overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{HK} = 0$

$\Leftrightarrow \ m - t + 2 = 0 \Leftrightarrow m = t - 2$

$\Rightarrow \overrightarrow{HK} = ( - t - 4;t - 2; - 3)$

Ta có: $HK^{2} = ( - t - 4)^{2} + (t - 2)^{2} + ( - 3)^{2} = 2(t + 1)^{2} + 27 \geq 27;\forall t\mathbb{\in R}$

$\Rightarrow \min HK = \sqrt{27}$ khi và chỉ khi $t = - 1$

$\Rightarrow \overrightarrow{HK} = ( - 3; - 3; - 3) \Rightarrow \overrightarrow{u} = (1;1;1)$

$\Rightarrow h = k = 1 \Rightarrow h - k = 0$
Câu 4: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AC;BD$ , $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$ và $O$ là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị của $k$ thỏa mãn đẳng thức $k.\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} ight) = \overrightarrow{OG}$ ?
- A.
  $k = 4$
- B.
  $k = \frac{1}{4}$
- C.
  $k = \frac{1}{2}$
- D.
  $k = 2$
Vì G là trọng tâm tứ diện nên

$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OD} ight) = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{OG}$

$\Leftrightarrow k = \dfrac{1}{4}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0;1;2),B(2; - 2;0),C( - 2;0;1)$ . Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ , trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình là:
- A.
  $4x - 2y - z + 4 = 0$
- B.
  $4x - 2y + z + 4 = 0$
- C.
  $4x + 2y + z - 4 = 0$
- D.
  $4x + 2y - z + 4 = 0$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 2; - 1; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;6; - 8)$

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $x + 6y - 8z + 10 = 0$ .

Phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với AC là: $2x + y + z - 2 = 0$ .

Phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với AB là: $2x - 3y - 2z + 6 = 0$ .

Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm H của tam giác ABC nên $H\left( \frac{- 22}{101};\frac{70}{101};\frac{176}{101} ight)$ .

Mặt phẳng (P) đi qua A, H nên $\overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{AH} = \left( \frac{- 22}{101}; - \frac{31}{101}; - \frac{26}{101} ight) = - \frac{1}{101}(22;31;26)$

Mặt phẳng (P) ⊥ (ABC) nên $\overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;6; - 8)$ .

Vậy $\left\lbrack \overrightarrow{n_{(ABC)}};\overrightarrow{u_{AH}} ightbrack = (404; - 202; - 101)$ là một vectơ pháp tuyến của (P).

Chọn $\overrightarrow{n_{P}} = (4; - 2; - 1)$ nên phương trình mặt phẳng (P) là $4x - 2y - z + 4 = 0$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , đường thẳng $d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 3}{- 5}$ đi qua điểm nào sau đây?
- A.
  $( - 1;2; - 3)$
- B.
  $(1; - 2;3)$
- C.
  $( - 3;4;5)$
- D.
  $(3; - 4; - 5)$
Thay tọa độ điểm $(1; - 2;3)$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\frac{0}{3} = \frac{0}{- 4} = \frac{0}{- 5}$ , do đó điểm này thuộc đường thẳng $d$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; -1; 0) và đường thẳng d: $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có phương trình là:
- A. $x+y-z=0$
- B. $x+y-z-2=0$
- C. $x+y-z+1=0$
- D. $-x+2y+z+5=0$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên $(\alpha)$ , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có: $d(A, d)=AK$ cố định và $d(A, (\alpha))=AH\leq AK$
Suy ra $d(A, (\alpha))$ lớn nhất bằng AK khi $H\equiv K$ .
Ta có (d): $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}$ qua M(2; -1; 1) , có VTCP $\vec{u_d} = (-1; 2; 1)$ .
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT $\vec{n_p}=[\vec{u_d}, \vec{AM}]=(2; 0; 2)$ .
Mặt phẳng $(\alpha)$ có một VTPT là $\vec{n_\alpha}=[\vec{n_p}, \vec{u_d}]=(-4; -4; 4)=-4(1;1;-1)$ và $(\alpha)$ qua M (2; -1; 1) có phương trình: $1.(x-2)+1.(y+1)-1.(z-1)=0\Leftrightarrow x+y-z=0$
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;3)$ và mặt phẳng $(P):2x + y - 4z + 1 = 0$ . Đường thẳng $(d)$ qua điểm $A$ , song song với mặt phẳng $(P)$ , đồng thời cắt trục $Oz$ . Viết phương trình tham số của đường thẳng $(d)$ .
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 5t \\ y = 2 - 6t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 6t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Gọi $B = d \cap Oz \Rightarrow B(0;0;b) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2;\ b - 3)$

Lại có $d\ //(P)\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} = (2;1; - 4)$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{(P)}} = 0 \Leftrightarrow - 2 - 2 - 4b + 12 = 0 \Leftrightarrow b = 2$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2 - 1)$

Do đó, (d) là đường thẳng qua B(0; 0; 2) và nhận $\overrightarrow{u} = (1;2;1)$ làm vectơ chỉ phương. Nên (d) có phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):x + y - 2z + 5 = 0$ và $(Q): - x - y + 2z + 9 = 0$ . Mặt phẳng nào sau đây cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q)?
- A.
  $- x + y + 2z + 2 = 0$
- B.
  $x - y + 2z - 2 = 0$
- C.
  $- x - y + 2z + 2 = 0$
- D.
  $x + y - 2z + 2 = 0$
Gọi (R) là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) thì $(P)//(Q)//(R)$

Do đó (R) có dạng $x + y − 2z + m = 0$ .

Gọi $A(1; 0; 3) ∈ (P) , B(1; 0; −4) ∈ (Q)$ .

Khi đó trung điểm M của đoạn AB nằm trên (R), tức $M\left( 1;0; - \frac{1}{2} ight) \in (R)$ .

Suy ra $1 + 0 - 2.\left( - \frac{1}{2} ight) + m = 0 \Leftrightarrow m = - 2$ .

Vậy $(R): x + y − 2z − 2 = 0$ hay $(R): −x − y + 2z + 2 = 0$ .
Câu 10: Nhận biết
Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A(3,-1, 2), B(4, -2, -1), C(2, 0, 2) là:
- A. $x+y-2=0$
- B. $x-y+2=0$
- C. $x+y+2=0$
- D. $x-y-2=0$
Theo đề bài, ta có được các vecto sau:
$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1, - 1, - 3} ight),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1,1,0} ight);\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB,} \overrightarrow {AC} } ight] = \left( {3,3,0} ight) = 3(1,1,0) = 3\overrightarrow n \end{array}$
Vì mặt phẳng đi qua 3 điểm nên VTPT của mp là tích có hướng của $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ .
Chọn $\overrightarrow n = \left( {1,1,0} ight)$ làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình mp $(ABC)$ có dạng $x+y+D=0$
$(ABC)$ là mp qua A $\Leftrightarrow 3 - 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2$
Vậy phương trình $(ABC): x + y -2=0$ .
Câu 11: Vận dụng
Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P); gọi $\alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma$ lần lượt là các góc tạo bởi vector pháp tuyến của (P) với ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của (P) là ( $OH = p$ ):
- A. $x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma - p = 0$
- B. $x\sin \alpha + y\sin \beta + z\sin \gamma - p = 0$
- C. $x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma + p = 0$
- D. $x\sin \alpha + y\sin \beta + z\sin \gamma + p = 0$
Theo đề bài, ta có: $H\left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight) \Rightarrow \overrightarrow {OH} = \left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight)$
Gọi $M\left( {x,y,z} ight) \in \left( P ight)$
$\Rightarrow \overrightarrow {HM} = \left( {x - p\cos \alpha ,y - p\cos \beta ,z - c\cos \gamma } ight)$
Ta có:
$\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {HM}$
$\Leftrightarrow \left( {x - p\cos \alpha } ight)p\cos \alpha + \left( {y - p\cos \beta } ight)p\cos \beta + \left( {z - p\cos \gamma } ight)p\cos \gamma \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$
$\Leftrightarrow \left( P ight):x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma - p = 0$
Câu 12: Nhận biết
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua ba điểm $A\left( {\,2,\,\,0,\,\,3\,} ight);\,\,\,B\left( {\,4,\,\, - 3,\,\,2\,} ight);\,\,\,C\left( {\,0,\,\,2,\,\,5\,} ight)$
- A. $2x\,\, + \,\,y\,\, + \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
- B. $2x\,\, + \,\,y\,\, - \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
- C. $2x\,\, - \,\,y\,\, - \,\,z\,\, + \,\,7 = \,\,0$
- D. $x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
Theo đề bài, ta có cặp vecto chỉ phương của $\left( P ight):\overrightarrow {AB} = \left( {2, - 3, - 1} ight);\overrightarrow {AC} = \left( { - 2,2,2} ight)$
Từ đó, ta suy ra vecto pháp tuyến của (P) là tích có hướng của 2 VTCP của
$\left( P ight):\overrightarrow n = \left( { - 4, - 2, - 2} ight) = - 2\left( {2,1,1} ight)$
Mp (P) đi qua $A (2,0,3)$ và nhận vecto có tọa độ $(2,1,1)$ làm 1 VTPT có phương trình là:
$\Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)2 + y.1 + \left( {z - 3} ight).1 = 0$
$\Leftrightarrow 2x + y + z - 7 = 0$
Câu 13: Thông hiểu
Cho hình chóp $OABC$ có $OA = OB = OC = 1$ , các cạnh $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ . Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OC};\overrightarrow{MA}$ .
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $- 1$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\left( \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} ight)$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OB} = 0 - 0 = 0$

Vậy $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} = 0$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(0;0;1),B( - 3;2;0),C(2; - 2;3)$ . Đường cao kẻ từ $B$ của tam giác $ABC$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?
- A.
  $P( - 1;2; - 2)$
- B.
  $M( - 1;3;4)$
- C.
  $N(0;3; - 2)$
- D.
  $Q( - 5;3;3)$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 3;2;1),\overrightarrow{AC} = (2; - 2;2)$

$\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (2;4;2)$

Một vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B của tam giác $ABC$ là $\overrightarrow{u} = \frac{1}{12}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;0; - 1)$

Phương trình đường cao kẻ từ B là: $\left\{ \begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 2 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .

Ta thấy điểm $P( - 1;2; - 2)$ thuộc đường thẳng trên.
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng đi qua $A(2; - 1;3)$ và nhận $\overrightarrow{a} = (1;1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = - 1 - t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
Đường thẳng đi qua $A(2; - 1;3)$ và nhận $\overrightarrow{a} = (1;1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{25}$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{5}$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{25}$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{5}$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}$
Câu 17: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ và các cạnh bên đều bằng $a$ . Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $SD$ . Số đo của góc $(MN;SC)$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Do ABCD là hình vuông cạnh a suy ra $AC = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow AC^{2} = 2a^{2} = SA^{2} + SC^{2}$ suy ra tam giác SAC vuông tại S.

Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác $DSA$ $\Rightarrow \overrightarrow{NM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SA}$

Khi đó $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{SC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} = 0$ suy ra $MN\bot SC \Rightarrow (MN;SC) = 90^{0}$
Câu 18: Vận dụng

Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ . Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{IA} + (2k - 1)\overrightarrow{IB}+ k\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ . Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{IA} + (2k - 1)\overrightarrow{IB}+ k\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 19: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;3)$ . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục $x'Ox,y'Oy,z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $OA = OB = 2OC eq 0$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $8$
- C.
  $4$
- D.
  $2$
Đặt $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $abc eq 0$ .

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm $A, B, C$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

Do $OA = OB = 2OC$ nên ta có $|a| = |b| = 2|c|$ .

Suy ra $a = ±2c, b = ±2c$ .

Nếu $a = 2c$ và $b = 2c$ thì mặt phẳng (P) có dạng $\frac{x}{2c} + \frac{y}{2c} + \frac{z}{c} = 1$ .

Vì (P) đi qua M nên $\frac{1}{2c} + \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{9}{2}$ .

Ta có $(P): x + y + 2z − 9 = 0$ .

Nếu $a = 2c$ và $b = −2c$ thì mặt phẳng (P) có dạng $\frac{x}{2c} + \frac{y}{- 2c} + \frac{z}{c} = 1$ .

Vì (P) đi qua M nên $\frac{1}{2c} - \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{5}{2}$

Ta có $(P): x − y + 2z − 5 = 0$ .

Nếu $a = −2c$ và $b = 2c$ thì mặt phẳng (P) có dạng $\frac{x}{- 2c} + \frac{y}{2c} + \frac{z}{c} = 1$ .

Vì (P) đi qua M nên $\frac{1}{- 2c} + \frac{2}{2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{7}{2}$

Ta có $(P): − x + y + 2z − 7 = 0$ .

Nếu $a = −2c$ và $b = −2c$ thì mặt phẳng (P) có dạng $\frac{x}{- 2c} + \frac{y}{- 2c} + \frac{z}{c} = 1$ .

Vì (P) đi qua M nên $\frac{1}{- 2c} + \frac{2}{- 2c} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow c = \frac{3}{2}$

Ta có $(P): − x − y + 2z − 3 = 0$ .

Vậy có bốn mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 20: Thông hiểu
Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ . Đặt $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{B'C}$ qua các vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ . Chọn đáp án đúng?
- A.
  $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
- B.
  $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
- C.
  $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
- D.
  $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AA'}$

$= - \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .

31 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!