Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; - 1; - 3) và mặt phẳng (P):3x - 2y + 4z - 5 = 0. Mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là:

    Do mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (3; -
2;4)

    Phương trình mặt phẳng (Q) là:

    3(x - 2) - 2(y - 1) + 4(z - 3) =
0

    \Leftrightarrow 3x - 2y + 4z + 4 =
0

  • Câu 2: Nhận biết

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua ba điểm A\left( {\,2,\,\,0,\,\,3\,} ight);\,\,\,B\left( {\,4,\,\, - 3,\,\,2\,} ight);\,\,\,C\left( {\,0,\,\,2,\,\,5\,} ight)

    Theo đề bài, ta có cặp vecto chỉ phương của \left( P ight):\overrightarrow {AB}  = \left( {2, - 3, - 1} ight);\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2,2,2} ight)

    Từ đó, ta suy ra vecto pháp tuyến của (P) là tích có hướng của 2 VTCP của

    \left( P ight):\overrightarrow n  = \left( { - 4, - 2, - 2} ight) =  - 2\left( {2,1,1} ight)

    Mp (P) đi qua A (2,0,3) và nhận vecto có tọa độ (2,1,1) làm 1 VTPT có phương trình là:

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)2 + y.1 + \left( {z - 3} ight).1 = 0

    \Leftrightarrow 2x + y + z - 7 = 0

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(3; 2; 1), C\left( -
\frac{5}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight) và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC) nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng (MAB),(MBC),(MCA) hợp với mặt phẳng (ABC) các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).

    Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn

    BC.\overrightarrow{HA} +
AC.\overrightarrow{HB} + AB.\overrightarrow{HC} =
\overrightarrow{0}

    Ta có AB = 3, AC = 4, BC = 5, suy ra

    \left\{ \begin{matrix}
5(x - 1) + 4(x - 3) + 3x + 5 = 0 \\
5y + 4(y - 2) + 3y - 4 = 0\  \\
5z + 4(z - 1) + 3z - 8 = 0\  \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 1 \\
z = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow H(1;1;1)

    Phương trình đường thẳng MH nhận \overrightarrow{u} =
\overrightarrow{n_{ABC}} làm vectơ chỉ phương nên MH là: \left\{ \begin{matrix}
x\  = \ 1\  + \ t \\
y\  = \ 1\  - \ 2t \\
z\  = \ 1\  + \ 2t \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó: OM_{\min} = \frac{\left|
\left\lbrack \overrightarrow{MH};\overrightarrow{OH} ightbrack
ight|}{\left| \overrightarrow{MH} ight|} =
\frac{\sqrt{26}}{3}

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M(1;2;3) và song song với trục Oy có phương trình tham số là:

    Gọi d là đường thẳng cần tìm.

    Ta có d//Oy nên d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (0;1;0).

    Do đó \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 2 + t \\
z = 3 \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A;B;C;D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A;B;C;D tạo thành hình bình hành là:

    Để A;B;C;D tạo thành hình bình thành thì \left\lbrack \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \\
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \\
\end{matrix} ight..

    Khi đó:

    \overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} +
\overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} -
\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} -
\overrightarrow{OC}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{CD}

    \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}
+ \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} =
\overrightarrow{0}, O là trọng tâm tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD. (Loại).

    \overrightarrow{OA} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} -
\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} -
\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{CA} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{BD} (Loại)

    \overrightarrow{OA} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} -
\overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} -
\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{BA} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{CD} (loại)

    Vậy đáp án cần tìm là \overrightarrow{OA}
+ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} +
\overrightarrow{OD}.

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z - 3 = 0 đi qua điểm nào sau đây?

    Xét điểm \left( 1;1;\frac{3}{2}
ight) ta có: 1 - 1 +
2.\frac{3}{2} - 3 = 0 đúng nên \left( 1;1;\frac{3}{2} ight) \in
(\alpha).

  • Câu 7: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4;2;5),B(0;4; - 3),C(2; - 3;7). Biết điểm M(x;y;z) nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +
\overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng P = x + y + z.

    Vì M ∈ (Oxy) nên M(x;y;0).

    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

    Ta có G(2; 1; 3).

    Khi đó:

    \left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = \left|
\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{MG} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}
ight|

    = \left| 3\overrightarrow{MG} ight| =
3MG = 3\sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + 3^{2}} \geq 9

    Dấu “=” xảy ra khi x= 2 và y= 1 hay M(2; 1; 0).

    Vậy P = 3

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 2 + t \\
y = - 3 + 2t \\
z = 1 + 3t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Gọi d' là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng tọa độ (Oxz). Viết phương trình đường thẳng d'.

    Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;2;3)

    Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (0;1;0) và có phương trình y = 0.

    Suy ra \left\lbrack
\overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = ( -
3;0;1)

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).

    Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ \overrightarrow{u'} = \left\lbrack
\overrightarrow{n}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u}
ightbrack ightbrack = (1;0;3) làm vectơ chỉ phương.

    Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là d':\left\{ \begin{matrix}
x = 2 + t \\
y = 3 - 2t \\
z = 1 + 3t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ \overrightarrow{a} = ( - 1;1;0),\overrightarrow{b}
= (1;1;0)\overrightarrow{c} =
(1;1;0). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \cos\left(
\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) =
\frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}

    \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} =
0

    \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} không cùng phương vì \frac{- 1}{1} eq
\frac{1}{1}

    \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
+ \overrightarrow{c} = (1;2;1)

    Vậy mệnh đề đúng là \cos\left(
\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) =
\frac{2}{\sqrt{6}}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z -
1}{1} cắt mặt phẳng (P):2x - 3y + z
- 2 = 0 tại điểm I(a;b;c). Khi đó a + b + c bằng:

    Ta có \left\{ I ight\} = d \cap
(P) suy ra \left\{ \begin{matrix}
I \in d \\
I \in (P) \\
\end{matrix} ight.

    I \in d nên tọa độ của I có dạng (1 + 2t;3 - t;1 + t),t\mathbb{\in
R}.

    I \in (P) nên ta có phương trình:

    2(1 + 2t) - 3(3 - t) + 1 + t - 2 = 0
\Leftrightarrow t = 1

    Vậy I(3;2;2) suy ra a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7.

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = (1; - 1;0) và hai điểm A( - 4;7;3),B(4;4;5). Giả sử M;N là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng (Oxy) sao cho \overrightarrow{MN} cùng hướng với \overrightarrow{a}MN = 5\sqrt{2}. Giá trị lớn nhất của |AM - BN| bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = (1; - 1;0) và hai điểm A( - 4;7;3),B(4;4;5). Giả sử M;N là hai điểm thay đổi trong mặt phẳng (Oxy) sao cho \overrightarrow{MN} cùng hướng với \overrightarrow{a}MN = 5\sqrt{2}. Giá trị lớn nhất của |AM - BN| bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCDA(0;1; - 1),B(1;1;2),C(1; -
1;0),D(0;0;1). Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD?

    Ta có:

    \overrightarrow{BA} = ( - 1;0; -
3),\overrightarrow{BC} = (0; - 2; - 2),\overrightarrow{BD} = ( - 1; - 1;
- 1)

    \left\lbrack
\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} ightbrack = (0; - 2; - 2)
\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD}
ightbrack.\overrightarrow{BA} = 6

    V_{ABCD} = \frac{1}{3}AH.S_{BCD}
\Rightarrow AH = \frac{3V_{ABCD}}{S_{BCD}} = \frac{3}{\sqrt{2}} =
\frac{3\sqrt{2}}{2}.

  • Câu 13: Nhận biết

    Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua điểm E(2, -4, 3) và song song với đường thẳng MN với tọa độ M(3, 2, 5) và N(1, -2, 2)

     Đường thẳng d song song với MN nên VTCP của đường thẳng d chính là \overrightarrow {MN} hay ta có

    \left( d ight):\overrightarrow {MN}  = \left( { - 2, - 3, - 3} ight) =  - \left( {2,3,3} ight)

    Như vậy, (d) là đường thẳng đi qua điểm E (2, -4, 3) và nhận làm 1 VTCP có phương trình là:

    \left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2n\\y = 3n - 4\\z = 3 + 3n\end{array} ight.\,\,;n \in \mathbb{R}

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(2;1; - 3),B(0; - 2;5)C(1;1;3). Diện tích hình bình hành ABCD là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2; -
3;8),\overrightarrow{AC} = ( - 1;0;6)

    \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 18;4; -
3)

    Suy ra diện tích ABCD là:

    S_{ABCD} = \left| \left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| =
\sqrt{349}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tứ giác ABCD là hình bình hành biết tọa độ các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1;
- 1;1). Tìm tọa độ điểm C?

    Giả sử điểm C(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 1 = 2 - 1 \\
y + 1 = 1 - 0 \\
z - 1 = 2 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 0 \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm C(2;0;2).

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác AB'C. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'} =
\overrightarrow{BD'}

    Do G là trọng tâm tam giác AB'C suy ra \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{BB'} = 3\overrightarrow{BG} \Leftrightarrow
\overrightarrow{BD'} = 3\overrightarrow{BG}

  • Câu 17: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và cắt các trục x'Ox,\ y'Oy,\ z'Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho M là trực tâm của tam giác ABC?

    Xét tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.

    Ta có: \left\{
\begin{matrix}
AB\bot CM \\
AB\bot OC \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow AB\bot(COM) \Rightarrow AB\bot
OM

    Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.

    Từ đó OM ⊥ (ABC).

    Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận \overrightarrow{OM} = (3;2;1) làm vectơ pháp tuyến là:

    3(x - 3) + 2(y - 2) + z - 1 =
0

    \Leftrightarrow 3x + 2y + z - 14 = \
0

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (2; -
1;1)\overrightarrow{v} = (0; -
3; - m). Xác định giá trị tham số m để \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =
1?

    Ta có: \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1
\Leftrightarrow 3 - m = 1 \Leftrightarrow m = 2

    Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

  • Câu 19: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 4y + z + 1 = 0 và hai điểm A(1; 0; 2), B(2; 5; 3). Đường thẳng d đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d nhỏ nhất có phương trình là

    Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;b;c)

    Phương trình đường thẳng d có dạng \left\{ \begin{matrix}
x = 1 + t \\
y = bt \\
z = 2 + ct \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Do đường thẳng d k (P) nên 1 - 4b + c = 0
\Rightarrow c = 4b - 1.

    Khoảng cách từ B đến đường thẳng d là:

    d(B;d) = \frac{\left| \overrightarrow{u}
\land \overrightarrow{AB} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} =
\frac{\sqrt{378b^{2} - 216b + 54}}{\sqrt{17b^{2} - 8b + 2}}

    Xét hàm số f(b) = \frac{378b^{2} - 216b +
54}{17b^{2} - 8b + 2}

    f'(b) = \frac{648b^{2} -
324b}{\left( 17b^{2} - 8b + 2 ight)^{2}} \Rightarrow f'(b) = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
b = 0 \\
b = \frac{1}{2} \\
\end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta được khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất tại b = \frac{1}{2}

    Khi đó \overrightarrow{u} = \left(
1;\frac{1}{2};1 ight), chọn \overrightarrow{u} = (2;1;2).

    Phương trình đường thẳng d:\frac{x -
3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{2} hay \frac{x - 3}{2} = \frac{1 - y}{- 1} = \frac{z -
4}{2}.

  • Câu 20: Vận dụng

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500;200;8)đến điểm N(800;300;10) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( a;b;\frac{c}{d}
ight), trong đó a,b,c,d \in
\mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d} là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính a + b + c + d?

    Đáp án: 1223

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500;200;8)đến điểm N(800;300;10) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( a;b;\frac{c}{d}
ight), trong đó a,b,c,d \in
\mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d} là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính a + b + c + d?

    Đáp án: 1223

    Gọi Q(x;y;z) là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.

    \overrightarrow{MN} =
(300;100;2)

    \overrightarrow{NQ} = (x - 800;y - 300;z
- 10)

    Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ M ightarrow N gấp 4 lần thời gian bay từ N ightarrow Q nên MN = 4NQ

    Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên \overrightarrow{MN}\overrightarrow{NQ} cùng hướng.

    Suy ra \overrightarrow{MN} =
4\overrightarrow{NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
300 = 4(x - 800) \\
100 = 4(y - 300) \\
2 = 4(z - 10) \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 875 \\
y = 325 \\
z = 10,5 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow Q\left( 875;325;\frac{21}{2}
ight)

    Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( 875;325;\frac{21}{2} ight) \Rightarrow a
= 875,\ \ b = 325,\ \ c = 21,\ \ d = 2.

    Do đó, a + b + c + d = 1223.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 44 lượt xem
Sắp xếp theo