Trong không gian với hệ toạ độ
, cho mặt phẳng
. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
?
Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có tọa độ là
hoặc
.
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho mặt phẳng
. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
?
Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có tọa độ là
hoặc
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình đường thẳng nào được cho dưới đây không phải là phương trình đường thẳng
?
Ta có
Vì điểm nên
không phải là phương trình đường thẳng AB.
Các đường thẳng còn lại đều có vectơ chỉ phương là (1; 1; −5) và đi qua điểm A(2; 3; −1) hoặc đi qua điểm B(1; 2; 4).
Trong không gian với hệ tọa độ
cho ba điểm
và
là trực tâm tam giác
. Tính
?
Ta có:
Lại có:
Cho hình lăng trụ
có
là trung điểm của
. Đặt
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Ta có: M là trung điểm của BB’ khi đó
Khi đó:
Vậy đẳng thức đúng là .
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
và
, (với
là tham số). Tìm
để hai đường thẳng
và
cắt nhau
Ta có:
đi qua điểm M1(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương
đi qua điểm M2(1; m; −2) và có vectơ chỉ phương
Ta có:
và
cắt nhau
Cho tứ diện
. Đặt
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của CD suy ra
Ta có:
Gọi
là tâm của hình lập phương
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Vì là trung điểm của
suy ra
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho ba điểm
. Tìm tất cả các điểm
sao cho
là hình thang có đáy
và tam giác
bằng
diện tích tứ giác
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ cho ba điểm
. Tìm tất cả các điểm
sao cho
là hình thang có đáy
và tam giác
bằng
diện tích tứ giác
?
Cho hình lập phương
. Tính
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
. Điểm
là điểm thuộc mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó,
có giá trị là:
Chọn sao cho
Ta tính được
Ta thấy
Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.
Vậy M là hình chiếu vuông góc của lên (Oxy)
Ta xác định được
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho 2 đường thẳng ![]()
. Tìm tất cả giá trị thực của
để
vuông góc với
?
Vectơ chỉ phương của lần lượt là:
.
Để thì
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
và mặt phẳng
. Điểm
nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
. Tính
?
Ta có
Với , ta có
Với , ta có
Từ (1); (2); (3) ta có hệ phương trình:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
, mặt phẳng
chứa trục
và đi qua điểm
. Tìm tham số m để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau?
Ta có
Mặt phẳng chứa trục
và đi qua điểm
⇒ (Q) có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến
Để hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau thì
Trong không gian
, cho đường thẳng
và hai điểm
. Gọi
là đường thẳng đi qua điểm
và cắt đường thẳng
sao cho khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng
là:
Gọi . Khi đó
Ta có
Khoảng cách từ B đến d được tính như sau:
Xét hàm số ta có:
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có: nhỏ nhất khi
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
tại
Suy ra
Khi đó vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Giá trị của m để hai đường thẳng
và
cắt nhau là
Đường thẳng đi qua A(1; 0; −1), có vectơ chỉ phương
Đường thẳng đi qua B(1; 2; 3), có vectơ chỉ phương
Ta có và
Hai đường thẳng d và d 0 cắt nhau
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất là:
Giả sử với
là các số thực dương do
khác 0.
Khi đó phương trình mặt phẳng qua
có phương trình là
Mà nên
, do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
T đạt giá trị nhỏ nhất nên ta có dấu bằng xảy ra, tức là:
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
. Mặt phẳng
qua
cắt chiều dương của các trục
lần lượt tại
thỏa mãn
. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp
?
Giả sử với
.
Khi đó mặt phẳng có dạng:
.
Vì (P) đi qua M nên
Vì
Thể tích khối chóp là:
Ta có:
khi
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vectơ
,
và
. Chọn mệnh đề đúng?
Ta có: là mệnh đề đúng.