Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 2y + z - 3 = 0$ và điểm $A(1;2;0)$ . Viết phương trình đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $(P)$ .
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{1}$
- B.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{2}$
- C.
  $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$
- D.
  $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{1}$
Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 2;1)$ nên đường thẳng cần tìm có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{n} = (1; - 2;1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{1}$
Câu 2: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.EFGH$ . Gọi $I$ là tâm hình bình hành $ABEF$ và $K$ là tâm của hình bình hành $BCGF$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{AK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
- B.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
- C.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{EK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
- D.
  $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{GC}$ đồng phẳng.
Hình vẽ minh họa

Vì I; K lần lượt là trung điểm của AF và CF suy ra IK là đường trung bình tam giác AFC suy ra IK // AC => IK // (ABCD)

Mà GF // (ABCD); $BD \subset (ABCD)$ suy ra $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng đi qua $A(2; - 1;3)$ và nhận $\overrightarrow{a} = (1;1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = - 1 - t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
Đường thẳng đi qua $A(2; - 1;3)$ và nhận $\overrightarrow{a} = (1;1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + 2y - 8 = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ . Khoảng cách giữa đưởng thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{4}{\sqrt{5}}$
- B.
  $\frac{2}{\sqrt{5}}$
- C.
  $\frac{3}{\sqrt{5}}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{5}}$
Đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ đi qua $A(1;2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2; - 1;1)$

Mặt phẳng $(P):x + 2y - 8 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1;2;0)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 2 - 2 + 0 = 0 \\ A otin (P) \\ \end{matrix} ight.$ , nên đường thằng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$ .

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(P)$ :

$d\left( d;(P) ight) = d\left( A;(P) ight) = \frac{|1 + 4 - 8|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$
Câu 5: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):2x + y + z - 3 = 0$ và hai điểm $A(m;1;0),B(1; - m;2)$ . Gọi $E;F$ lần lượt là hình chiếu của $A;B$ lên mặt phẳng (P). Biết $EF = \sqrt{5}$ . Tổng tất cả các giá trị của tham số m là
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $- 6$
- D.
  $- 3$
Hình vẽ minh họa

Xét trường hợp m = 1. Khi đó cả $A;B$ đều thuộc (P). Trong trường hợp này $EF = AB = 2\sqrt{2}$ (loại).

Khi $m eq 1$ . Ta tính toán các đại lượng:

$d\left( A;(P) ight) = \frac{|2m - 2|}{\sqrt{6}};d\left( B;(P) ight) = \frac{|1 - m|}{\sqrt{6}}$

Từ đó suy ra $A;B$ khác phía với (P) và $d\left( A;(P) ight) = 2d\left( B;(P) ight)$

Gọi H là giao điểm của AB với (P).

Theo Thales ta có:

$EH = \frac{2\sqrt{5}}{3};AH = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}\sqrt{(1 - m)^{2} + (m + 1)^{2} + 2^{2}}$

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác AEH ta có:

$AE^{2} + EH^{2} = AH^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{(2m - 2)^{2}}{6} + \left( \frac{2\sqrt{5}}{3} ight)^{2} = \frac{4}{9}\left\lbrack (1 - m)^{2} + (m + 1)^{2} + 4 ightbrack$

$\Leftrightarrow \frac{3\left( 4m^{2} - 8m + 4 ight)}{18} + \frac{40}{18} = \frac{8\left( 2m^{2} + 6 ight)}{18}$

$\Leftrightarrow 4m^{2} + 24m - 4 = 0$

Phương trình này có hai nghiệm và tổng hai nghiệm đó bằng: $- \frac{24}{4} = - 6$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(3;0;1)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $A \in (Oyz)$
- B.
  $A \in (Oxy)$
- C.
  $A \equiv O$
- D.
  $A \in (Oxz)$
Vì tọa độ điểm $A(3;0;1)$ có $x = 3;y = 0;z = 1$ nên $A \in (Oxz)$ .
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;1),B(2;1; - 2),C( - 1;3;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D( - 2;2;5)$
- B.
  $D(1; - 1; - 2)$
- C.
  $D(0;4; - 1)$
- D.
  $D( - 1; - 1;1)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 1 \\ y - 3 = - 1 \\ z - 2 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 2 \\ z = 5 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 2;2;5)$
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $Oz$ và đi qua điểm $P(3; - 4;7)$ ?
- A.
  $4x - 3y = 0$
- B.
  $3x + 4y = 0$
- C.
  $4x + 3y = 0$
- D.
  $- 3x + 4y = 0$
Mặt phẳng $(P)$ có cặp véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{k} = (0;0;1),\overrightarrow{OP} = (3; - 4;7)$

Suy ra mặt phẳng có $(P)$ một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{k} \land \overrightarrow{OP} = ( - 4; - 3;0) = - 1(4;3;0)$ .

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $O(0;0;0)$ có vectơ pháp tuyến (4; 3; 0).

Vậy mặt phẳng $(P)$ có phương trình tổng quát là $4x + 3y = 0$ .
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):2x + y - z - 3 = 0$ và $(Q):x + y + z - 1 = 0$ . Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng $(P),(Q)$ là:
- A.
  $\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 1}{1}$
- B.
  $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
- C.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
- D.
  $\frac{x}{2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z - 1}{- 1}$
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + y - z - 3 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2z - 2 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2z + 2 \\ y = - 3z - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Đặt $z = t$ ta suy ra $x = 2t + 2,y = - 3t - 1$ .

Từ đó ta thu được phương trình đường thẳng: $d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z}{1}$

Xét điểm $A(2; - 1;0) \in d$ , ta thấy $A$ chỉ thuộc đường thẳng: $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
Câu 10: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 điểm $A(−2; 1; 3), B(3; −2; 4)$ , đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{11} = \frac{z + 1}{- 4}$ và mặt phẳng $(P): 41x − 6y + 54z + 49 = 0$ . Đường thẳng $(d)$ đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng $(P)$ lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện $ABCO$ và $OACD$ bằng nhau, biết $(d)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;b;c)$ . Tính $b + c$ .
- A.
  $b + c = 11$
- B.
  $b + c = 6$
- C.
  $b + c = 9$
- D.
  $b + c = 4$
Hình vẽ minh họa

Ta có $1 = \frac{V_{OABC}}{V_{OACD}} =\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( O;(ABC) ight).S_{ABC}}{\dfrac{1}{3}d\left(O;(ACD) ight).S_{ACD}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} =\frac{BC}{CD}$

Nên $BC = CD$ . Vì $C ∈ ∆$ $\Rightarrow C(2t + 1;11t + 6; - 4t - 1)$

C là trung điểm của BD nên $D(4t - 1;22t + 14; - 8t - 6)$ .

Điểm $D ∈ (P)$ nên $41(4t − 1) − 6(22t + 14) + 54(−8t − 6) + 49 = 0 ⇔ t = −1$

$⇒ C(−1; −5; 3).$

$\overrightarrow{CB} = (4;3;1) = \overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Vậy $b = 3, c = 1 ⇒ b + c = 4$
Câu 11: Nhận biết
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Điểm $M$ xác định bởi công thức $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $M \equiv G$
- B.
  $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$
- C.
  $G$ là trung điểm của $AM$
- D.
  $M$ là trung điểm của $AG$
Do G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AG}$

Vậy mệnh đề đúng là “ $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$ ”.
Câu 12: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tâm $O$ . Gọi $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ . Đặt $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{u};\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{v};\overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{x};\overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{y}$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $2\overrightarrow{OI} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} ight)$
- B.
  $2\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} ight)$
- C.
  $2\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} ight)$
- D.
  $2\overrightarrow{OI} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} ight)$
Vì $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên

$4\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{OI} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C'A} + \overrightarrow{D'B} + \overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{B'D} ight)$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{BD'} + \overrightarrow{CA'} + \overrightarrow{DB'} ight)$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} ight)$
Câu 13: Vận dụng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 3}{- 1} =\frac{z - 5}{2},$ $d_{2}:\frac{x - 4}{- 3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z +2}{2}$ và mặt phẳng $(P):2x + 3y - 5z + 1 = 0$ . Đường thẳng vuông góc với $(P)$ , cắt $d_{1}$ và $d_{2}$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{1}$
- B.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{- 5}$
- C.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z}{- 5}$
- D.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 13}{- 5}$
Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của đường thẳng d với các đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ .

Khi đó, tọa độ của A, B có dạng $A(3 + t; - 3 - t;5 + 2t),B(4 - 3s;1 + 2s; - 2 + 2s)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1 - 3s - t;4 + 2s + t; - 7 + 2s - 2t)$

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2;3; - 5)$ của mặt phẳng (P).

Do đó, ta có $\frac{1 - 3s - t}{2} = \frac{4 + 2s + t}{3} = \frac{- 7 + 2s - 2t}{- 5}$

Suy ra s = 0 và t = −1.

Do đó, A(2; −2; 3) và B(4; 1; −2).

Đường thẳng d đi qua A và có nhận vectơ $\overrightarrow{n}$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{- 5}$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho $A(1; - 1;2),B(2;1;1)$ và mặt phẳng $(P):x + y + z + 1 = 0$ . Mặt phẳng $(Q)$ chứa $A;B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ . Tìm phương trình mặt phẳng $(Q)$ .
- A.
  $- x + y = 0$
- B.
  $3x - 2y - x + 3 = 0$
- C.
  $x + y + z - 2 = 0$
- D.
  $3x - 2y - x - 3 = 0$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{P}} = (1;1;1) \\ \overrightarrow{AB} = (1;2; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

Do mặt phẳng Q chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) $\Rightarrow \overrightarrow{n_{q}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}};\overrightarrow{AB} ightbrack = ( - 3;2;1)$

Do đó $(Q):3x - 2y - x - 3 = 0$ .
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm $E(1;2;3)$ và song song với mặt phẳng $(Oxy)$ ?
- A.
  $z - 3 = 0$
- B.
  $x + y - 3 = 0$
- C.
  $x + y + z - 6 = 0$
- D.
  $z + 3 = 0$
Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là $z = 0$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$ .

Phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng

$0(x - 1) + 0(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow z = 3$ .
Câu 16: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0;1;1),B(1;0;1),C(1;1;0)$ . Có bao nhiêu điểm $M$ cách đều các mặt phẳng $(ABC),(OBC),(OAC),(OAB)$ ?
- A.
  Vô số
- B.
  $3$
- C.
  $55$
- D.
  $1$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (0;1;1);\overrightarrow{OB} = (1;0;1) \\ \overrightarrow{OC} = (1;1;0);\overrightarrow{AB} = (1; - 1;0) \\ \overrightarrow{AC} = (1;\ 0; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $\left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = (1;\ 1; - 1) \Rightarrow (OAB):x + y - z = 0$

Ta có: $\left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{OC} ightbrack = ( - 1;1;1) \Rightarrow (OBC): - x + y + z = 0$

Gọi điểm $M(a;b;c)$ cách đều các mặt phẳng $(ABC),(OBC),(OAC),(OAB)$

Từ $d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(OBC) ight)$

$\Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{| - a + b + c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = c(1) \\ b = c(2) \\ \end{matrix} ight.$

Từ $d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(OAC) ight)$

$\Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{| - a + b - c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0(3) \\ b = c(4) \\ \end{matrix} ight.$

Từ $d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(ABC) ight)$

$\Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{|a + b + c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 0(5) \\ a = - b(6) \\ \end{matrix} ight.$

Từ (1), (3), (5) suy ra $a = c = 0$ , b khác 0 tùy ý.

Như vậy có vô số điểm cách đều bốn mặt phẳng
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(2;1;2)$ , $N(4; 2; 1)$ , tọa độ điểm $P$ thuộc trục $Oz$ sao cho $M;N; P$ thẳng hàng là
- A.
  $P(0;0;3)$ .
- B.
  $P(0;0; - 3)$ .
- C.
  $P(3;0;0)$ .
- D.
  $P(0;3;0)$ .
Vì điểm $P$ thuộc trục $Oz$ nên $P$ có tọa độ $P(0;0;z)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN}(2;1; - 1)$ ; $\overrightarrow{NP}( - 4; - 2;z - 1)$

$M;\ N;\ P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{- 4}{2} = \frac{- 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} \Leftrightarrow z - 1 = 2 \Leftrightarrow z = 3$

Vậy điểm $P(0;0;3)$ .
Câu 18: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$ , $\widehat{ABC} = 60^{0}$ , mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H,M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,SA,SD$ và $P$ là giao điểm của $(HMN)$ với $CD$ . Khoảng cách từ trung điểm $K$ của đoạn thẳng $SP$ đến mặt phẳng $(HMN)$ bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$ , $\widehat{ABC} = 60^{0}$ , mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H,M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,SA,SD$ và $P$ là giao điểm của $(HMN)$ với $CD$ . Khoảng cách từ trung điểm $K$ của đoạn thẳng $SP$ đến mặt phẳng $(HMN)$ bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 19: Vận dụng
Cho tam giác ABC có $A\left( { - 3,7,2} ight);\,\,B\left( {3, - 1,0} ight);\,\,\,C\left( {2,2, - 4} ight)$ . Gọi BD và BE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc B với D và E là chân của hai phân giác này trên AC. Tính tọa độ vectơ $\overrightarrow {BE}$
- A. $\left( { - 2,6, - 8} ight)$
- B. $\left( {4, - 2, - 10} ight)$
- C. $\left( {4,2,10} ight)$
- D. $\left( {2, - 6,8} ight)$
Gọi tọa độ điểm E là $E(x_E; y_E; z_E)$ .
Ta có $\overrightarrow {EA} = 2\overrightarrow {EC} \Rightarrow C$ là trung điểm của AE nên ta tính được tọa độ điểm E lần lượt là:
$\Rightarrow {x_E} = 2{x_C} - {x_A} = 4 + 3 = 7;\,$
$\,{y_E} = 4 - 7 = - 3;\,$
$\,{z_E} = - 8 - 2 = - 10$
$\Rightarrow \overrightarrow {BE} = \left( {7 - 3, - 3 + 1, - 10 - 0} ight) = \left( {4, - 2, - 10} ight)$
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $M(0;1;0),N(2;0;0),P(0;0; - 3)$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng $(MNP)$ ?
- A.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} = 1$
- B.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} = 0$
- C.
  $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1$
- D.
  $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 0$
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng $(MNP)$ là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} = 1$

56 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!