Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;1;1),B( - 1;2;1),C(36; - 5)$ . Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là:
- A.
  $M(1;2;0)$
- B.
  $M(0;0; - 1)$
- C.
  $M(1;3; - 1)$
- D.
  $M(1;3;0)$
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có: $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$

Dễ thấy $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, suy ra M là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng (Oxy).

Dễ thấy $G(1;3; - 1) \Rightarrow M(1;3;0)$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - 2y + z + 5 = 0$ . Tính khoảng cách từ điểm $M( - 1;2; - 3)$ đến mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $\frac{4}{3}$
- B.
  $\frac{1}{3}$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  $\frac{4}{9}$
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

$d\left( M;(P) ight) = \frac{| - 2 - 4 - 3 + 5|}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3}$
Câu 3: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(1; 0; 0), B(3; 2; 1)$ , $C\left( - \frac{5}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng $(ABC)$ nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng $(MAB),(MBC),(MCA)$ hợp với mặt phẳng $(ABC)$ các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.
- A.
  $\frac{\sqrt{26}}{3}$
- B.
  $\frac{5}{3}$
- C.
  $\sqrt{3}$
- D.
  $\frac{\sqrt{28}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).

Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn

$BC.\overrightarrow{HA} + AC.\overrightarrow{HB} + AB.\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}$

Ta có $AB = 3, AC = 4, BC = 5$ , suy ra

$\left\{ \begin{matrix} 5(x - 1) + 4(x - 3) + 3x + 5 = 0 \\ 5y + 4(y - 2) + 3y - 4 = 0\ \\ 5z + 4(z - 1) + 3z - 8 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow H(1;1;1)$

Phương trình đường thẳng MH nhận $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{ABC}}$ làm vectơ chỉ phương nên MH là: $\left\{ \begin{matrix} x\ = \ 1\ + \ t \\ y\ = \ 1\ - \ 2t \\ z\ = \ 1\ + \ 2t \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó: $OM_{\min} = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MH};\overrightarrow{OH} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{MH} ight|} = \frac{\sqrt{26}}{3}$
Câu 4: Nhận biết
Hai đường thẳng $({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x - y - z - 7 = 0\\3x - 4y - 11 = 0\end{array} ight.$ và $({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z + 1 = 0\\x + y + 1 = 0\end{array} ight.$ cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của A là:
- A. A (1, - 2, - 4)
- B. A (-1, - 2, - 4)
- C. A (1, 2, - 4)
- D. A (1, - 2, 4)
Để tìm được A là giao điểm của 2 đường thẳng, ta sẽ xét và giải hệ PT giữa chúng.
Từ phương trình của $({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x - y - z - 7 = 0\\3x - 4y - 11 = 0\end{array} ight.$ ,tính x,y theo z được
$\left\{ \begin{array}{l}x = 4z + 17\\y = 3z + 10\end{array} ight.$
Thế vào phương trình của $({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z + 1 = 0\\x + y + 1 = 0\end{array} ight.$ , được z = - 4 .
Từ đó suy ra x = 1, y = - 2
$\Rightarrow A(1, - 2, - 4)$
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2;0; - 1)$ và mặt phẳng $(P):x + y - 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua $A$ đồng thời song song với $(P)$ và mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix}x = 3 + t \\y = 2t \\z = 1 - t \\\end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix}x = 2 + t \\y = - t \\z = - 1 \\\end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix}x = 1 + 2t \\y = - 1 \\z = - t \\\end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix}x = 3 + t \\y = 1 + 2t \\z = - t \\\end{matrix} ight.$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{n_{(P)}} = (1;1;0) \\\overrightarrow{n_{(Oxy)}} = (0;0;1) \\\end{matrix} ight.$ . Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$ đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy).
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{(P)}} \\\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{(Oxy)}} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack\overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Oxy)}} ightbrack = (1;- 1;0)$
Vậy $\left\{ \begin{matrix}x = 2 + t \\y = - t \\z = - 1 \\\end{matrix} ight.$ .
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , tìm tọa độ điểm $M$ trên trục $Ox$ cách đều hai điểm $A(1;2; - 1)$ và $B(2;1;2)$ ?
- A.
  $M\left( \frac{1}{2};0;0 ight)$
- B.
  $M\left( \frac{3}{2};0;0 ight)$
- C.
  $M\left( \frac{2}{3};0;0 ight)$
- D.
  $M\left( \frac{1}{3};0;0 ight)$
Ta có: $M \in Ox \Rightarrow M(m;0;0)$

Theo bài ra ta có:

$MA = MB \Leftrightarrow MA^{2} = MB^{2}$

$\Leftrightarrow (m - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2} = (m - 2)^{2} + 1^{2} + 2^{2}$

$\Leftrightarrow (m - 1)^{2} = (m - 2)^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m - 1 = m - 2 \\ m - 1 = 2 - m \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow m = \frac{3}{2} \Rightarrow M\left( \frac{3}{2};0;0 ight)$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 1; - 3)$ và $B( - 2;2;1)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:
- A.
  $( - 3;3;4)$
- B.
  $( - 1;1;2)$
- C.
  $(3; - 3;4)$
- D.
  $( - 3;1;4)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = ( - 2 - 1;2 + 1;1 + 3) = ( - 3;3;4)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;4)$ .
Câu 8: Vận dụng cao
Cho biết có n mặt phẳng với phương trình tương ứng là $(P_i):x+a_iy+b_iz+c_i=0$ với $(i=1,2,...,n)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và không đi qua gốc tọa độ O , đồng thời cắt các trục tọa độ $Ox, Oy, Oz$ theo thứ tự tại A, B, C sao cho hình chóp OABC là hình chóp đều. Khi đó giá trị $a_1+a_2+...+a_n$ bằng?
- A. 3
- B. 1
- C. - 4
- D. - 1
Giả sử mặt phẳng $(P): x+ay+bz+c=0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán
+) Ta có: $(P)\cap Ox=A(-c;0;0),$
$(P)\cap Oy=B(0;\frac{-c}{a};0),$
$P)\cap Oz=C(0;0;\frac{-c}{b})$ .
Vì hình chóp OABC là hình chóp đều, suy ra $OA=OB=OC$
Nên ta có $\left | -c ight | =\left | \frac{-c}{a} ight |= \left | \frac{-c}{b} ight |$ (do (P) không đi qua gốc tọa độ nên $c eq 0$ )
+) Vì điểm $M(1;2;3)\in P$ nên suy ra: $1+2a+3b+c=0$
Nhận thấy nếu $a=1, b=-1$ thì $c=0$ , trường hợp này không thỏa mãn do $c eq 0$
Như vậy ta sẽ có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán lần lượt ứng với các trường hợp $a=b=1, a=b=-1$ và $a=-1.b=1$
Vậy $a_1=1, a_2=-1. a_3=-1$ suy ra $a_1+a_2+a_3=-1$ .
Câu 9: Vận dụng
Cho tam giác ABC với $A\left( {\,1,\,\, - 2,\,\,6\,} ight);\,\,B\left( {\,2,\,\,5,\,\,1} ight);\,\,C\left( {\, - 1,\,\,8,\,\,4} ight)$ . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $(R)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ song song phân giác ngoài AF của góc A?
- A. $x\,\, - \,\,23y\,\, + \,\,10z\,\, - 108 = \,\,\,0$
- B. $x\,\, + \,\,3y\,\, + \,\,z = \,\,0$
- C. $3x\,\, - \,\,z = \,\,0$
- D. $x\,\, - \,\,3y\,\, - \,\,z = \,\,0$
Một vecto chỉ phương của $(R)$ là $\overrightarrow n = 12\left( {3,1,2} ight)$
Ta có :
$\begin{array}{l}A{B^2} = 75 \Rightarrow AB = 5\sqrt 3 ;A{C^2} = 108 \Rightarrow AC = 6\sqrt 3 \\6\overrightarrow {FB} = 5\overrightarrow {FC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {2 - x} ight) = 5\left( { - 1 - x} ight)\\6\left( {5 - y} ight) = 5\left( {8 - y} ight)\\6\left( {1 - z} ight) = 5\left( {4 - z} ight)\end{array} ight. \Rightarrow F\left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = - 10\\z = - 14\end{array} ight.\end{array}$
Vecto chỉ phương thứ hai $\overrightarrow {AF} = 4\left( {4, - 2, - 5} ight)$
Suy ra vecto pháp tuyến của $(R)$ là $\overrightarrow N = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {AF} } ight] = \left( { - 1,23, - 10} ight)$
Mp $(R)$ đi qua $A (1, -2, 6)$ và nhận vecto $(-1, 23, -10)$ làm 1 VTPT có phương trình là:
$\Rightarrow \left( R ight):\left( {x - 1} ight)\left( { - 1} ight) + \left( {y + 2} ight)23 + \left( {z - 6} ight)\left( { - 10} ight) = 0$
$\Leftrightarrow x - 23y + 10z - 108 = 0$
Câu 10: Nhận biết
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua ba điểm $A\left( {\,2,\,\,0,\,\,3\,} ight);\,\,\,B\left( {\,4,\,\, - 3,\,\,2\,} ight);\,\,\,C\left( {\,0,\,\,2,\,\,5\,} ight)$
- A. $2x\,\, + \,\,y\,\, + \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
- B. $2x\,\, + \,\,y\,\, - \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
- C. $2x\,\, - \,\,y\,\, - \,\,z\,\, + \,\,7 = \,\,0$
- D. $x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
Theo đề bài, ta có cặp vecto chỉ phương của $\left( P ight):\overrightarrow {AB} = \left( {2, - 3, - 1} ight);\overrightarrow {AC} = \left( { - 2,2,2} ight)$
Từ đó, ta suy ra vecto pháp tuyến của (P) là tích có hướng của 2 VTCP của
$\left( P ight):\overrightarrow n = \left( { - 4, - 2, - 2} ight) = - 2\left( {2,1,1} ight)$
Mp (P) đi qua $A (2,0,3)$ và nhận vecto có tọa độ $(2,1,1)$ làm 1 VTPT có phương trình là:
$\Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)2 + y.1 + \left( {z - 3} ight).1 = 0$
$\Leftrightarrow 2x + y + z - 7 = 0$
Câu 11: Vận dụng
Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P); gọi $\alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma$ lần lượt là các góc tạo bởi vector pháp tuyến của (P) với ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của (P) là ( $OH = p$ ):
- A. $x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma - p = 0$
- B. $x\sin \alpha + y\sin \beta + z\sin \gamma - p = 0$
- C. $x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma + p = 0$
- D. $x\sin \alpha + y\sin \beta + z\sin \gamma + p = 0$
Theo đề bài, ta có: $H\left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight) \Rightarrow \overrightarrow {OH} = \left( {p\cos \alpha ,p\cos \beta ,c\cos \gamma } ight)$
Gọi $M\left( {x,y,z} ight) \in \left( P ight)$
$\Rightarrow \overrightarrow {HM} = \left( {x - p\cos \alpha ,y - p\cos \beta ,z - c\cos \gamma } ight)$
Ta có:
$\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {HM}$
$\Leftrightarrow \left( {x - p\cos \alpha } ight)p\cos \alpha + \left( {y - p\cos \beta } ight)p\cos \beta + \left( {z - p\cos \gamma } ight)p\cos \gamma \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$
$\Leftrightarrow \left( P ight):x\cos \alpha + y\cos \beta + z\cos \gamma - p = 0$
Câu 12: Thông hiểu
Cho điểm $M$ chia đoạn thẳng $AB$ theo tỉ số $k;(k eq 1)$ thì ta có: $\overrightarrow{MA} = k.\overrightarrow{MB}$ . Khi đó với một điểm $O$ tùy ý ta có:
- A.
  $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + k.\overrightarrow{OB}}{1 - k}$
- B.
  $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} - k.\overrightarrow{OB}}{1 + k}$
- C.
  $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + k.\overrightarrow{OB}}{1 + k}$
- D.
  $\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} - k.\overrightarrow{OB}}{1 - k}$
Ta có:

$\overrightarrow{MA} = k.\overrightarrow{MB} \Rightarrow \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} = k.\left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} ight)$

$\Rightarrow (1 - k)\overrightarrow{MO} = k.\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MO} = \frac{k.\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}}{1 - k} \Rightarrow \overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} - k.\overrightarrow{OB}}{1 - k}$
Câu 13: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(2, - 2,1),B( - 4,2,4),C( - 4,0,1)$ . Các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $M\left( - 1,0,\frac{5}{2} ight)$ là trung điểm của $BC$ . Sai||Đúng

b) $G(-2,0,2)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Đúng||Sai

c) $N(8; - 6; - 2)$ là điểm đối xứng của $B$ qua $A$ . Đúng||Sai

d) Tọa độ điểm $E( - 14;8;11)$ thỏa $B$ là trọng tâm tam giác $AOE$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(2, - 2,1),B( - 4,2,4),C( - 4,0,1)$ . Các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $M\left( - 1,0,\frac{5}{2} ight)$ là trung điểm của $BC$ . Sai||Đúng

b) $G(-2,0,2)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ . Đúng||Sai

c) $N(8; - 6; - 2)$ là điểm đối xứng của $B$ qua $A$ . Đúng||Sai

d) Tọa độ điểm $E( - 14;8;11)$ thỏa $B$ là trọng tâm tam giác $AOE$ . Đúng||Sai

a) Sai: Do tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ là

$M\left( \frac{- 4 + ( - 4)}{2};\frac{2 +0}{2};\frac{4 + 1}{2} ight)$ hay $M\left( - 4;1;\frac{5}{2}ight)$

b) Đúng: Do tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là

$G\left( \frac{2 + ( - 4) + ( -4)}{3};\frac{- 2 + 2 + 0}{3};\frac{1 + 4 + 1}{3} ight)$ hay $G(- 2;0;2)$

c) Đúng: $N$ là điểm đối xứng của $B$ qua $A$ thì $B$ là trung điểm $AN$ .

$\left\{ \begin{matrix}x_{B} = \dfrac{x_{A} + x_{N}}{2} \\y_{B} = \dfrac{y_{A} + y_{N}}{2} \\z_{B} = \dfrac{z_{A} + z_{N}}{2} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{N} = 2x_{B} - x_{A} \\y_{N} = 2y_{B} - y_{A} \\z_{N} = 2z_{B} - z_{A} \\\end{matrix} ight.\ ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{N} = 8 \\ y_{N} = - 6 \\ z_{N} = - 2 \\ \end{matrix} ight.$ $\Rightarrow N(8; - 6; - 2)$

d) Đúng: $B$ là trọng tâm tam giác $AOE$ .

$\left\{ \begin{matrix}x_{B} = \dfrac{x_{A} + x_{O} + x_{E}}{3} \\y_{B} = \dfrac{y_{A} + y_{O} + y_{E}}{3} \\z_{B} = \dfrac{z_{A} + z_{O} + z_{E}}{3} \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{E} = 3x_{B} - x_{A} - x_{O} \\ y_{E} = 2y_{B} - y_{A} - y_{O} \\ z_{E} = 3z_{B} - z_{A} - z_{O} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{E} = - 14 \\ y_{E} = 8 \\ z_{E} = 11 \\ \end{matrix} \Rightarrow E( - 14;8;11) ight.$
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;2;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha):4x + 3y - 7z + 1 = 0$ . Phương trình tham số của $d$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 4t \\ y = - 2 + 3t \\ z = - 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = - 7 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ nên nhận vectơ $\overrightarrow{n_{(\alpha)}}$ làm véc-tơ chỉ phương.

Suy ra, phương trình đường thẳng: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2;0; - 1),B(1; - 2;3),C(0;1;2)$ . Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A;B;C$ .
- A.
  $2x + y + z - 3 = 0$
- B.
  $10x + 3y + z - 19 = 0$
- C.
  $2x - y + z - 3 = 0$
- D.
  $10x - 3y - z - 21 = 0$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;1;3)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 1;4; - 5)$

Theo giả thiết mặt phẳng cần tìm qua A(2; 0; −1) và nhận $\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = - 5(2;1;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng qua $A;B;C$ là

$2(x - 2) + (y - 0) + (z + 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0$
Câu 16: Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $\overrightarrow{u}$ là một vecto tùy ý khác $\overrightarrow{0}$ .

Tính $T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

Đáp án: 1

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $\overrightarrow{u}$ là một vecto tùy ý khác $\overrightarrow{0}$ .

Tính $T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

Đáp án: 1

Giả sử $\overrightarrow{u} = (x,y,z)$ .

Ta có $\overrightarrow{i}(1,0,0);\overrightarrow{j}(0,1,0);\overrightarrow{k}(0,0,1)$

$cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

$= \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2}$

$= \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 1$

Vậy $T = 1$
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;5;3),M(2;1; - 2)$ . Tìm tọa độ điểm $B$ sao cho $M$ là trung điểm của $AB$ ?
- A.
  $B\left( \frac{1}{2};3;\frac{1}{2} ight)$ .
- B.
  $B( - 4;9;8)$ .
- C.
  $B(5;3; - 7)$ .
- D.
  $B(5; - 3; - 7)$ .
Gọi tọa độ điểm $B\left( x_{B};y_{B};z_{C} ight)$ . Vì M là trung điểm của AB nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = \dfrac{- 1 + x_{B}}{2} \\1 = \dfrac{5 + y_{B}}{2} \\- 2 = \dfrac{3 + z_{B}}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{B} = 5 \\y_{B} = - 3 \\z_{C} = - 7 \\\end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ điểm B cần tìm là $B(5; - 3; - 7)$ .
Câu 18: Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng: $\bigtriangleup_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2}$ và $\bigtriangleup_{2}:\frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}$

a) Vectơ có tọa độ $(1;2;3)$ là một vectơ chỉ phương của $\bigtriangleup_{1}$ . Sai||Đúng

b) Đường thẳng $\bigtriangleup_{2}$ đi qua điểm $A(0; - 3;14)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $\bigtriangleup_{3}$ đi qua $B(1;1; - 2)$ và vuông góc với $\bigtriangleup_{1}$ có phương trình tham số là $\bigtriangleup_{3}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 2 - 3t \\ \end{matrix} ight.$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai đường thẳng $\bigtriangleup_{1}$ và $\bigtriangleup_{2}$ khoảng $132^{0}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng: $\bigtriangleup_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2}$ và $\bigtriangleup_{2}:\frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}$

a) Vectơ có tọa độ $(1;2;3)$ là một vectơ chỉ phương của $\bigtriangleup_{1}$ . Sai||Đúng

b) Đường thẳng $\bigtriangleup_{2}$ đi qua điểm $A(0; - 3;14)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $\bigtriangleup_{3}$ đi qua $B(1;1; - 2)$ và vuông góc với $\bigtriangleup_{1}$ có phương trình tham số là $\bigtriangleup_{3}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 2 - 3t \\ \end{matrix} ight.$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai đường thẳng $\bigtriangleup_{1}$ và $\bigtriangleup_{2}$ khoảng $132^{0}$ . Sai||Đúng

a) Vectơ có tọa độ $(2;1; - 2)$ là một vectơ chỉ phương của $\bigtriangleup_{1}$ nên mệnh đề sai

b) Mệnh đề đúng

c) Gọi $B = \bigtriangleup_{1} \cap \bigtriangleup_{3} \Rightarrow B(1 + 2t;2 + t;3 - 2t)$

$\begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2t; - 1 - t; - 5 + 2t\ ) \\ \overrightarrow{AB}\bot u_{\bigtriangleup_{1}} \Rightarrow t = 1 \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 2; - 3\ ) \\ \end{matrix}$ nên mệnh đề đúng

d) Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn nên mệnh đề sai
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2)$ . Tính cosin góc $\widehat{BAC}$ ?
- A.
  $\frac{9}{\sqrt{35}}$
- B.
  $- \frac{9}{\sqrt{35}}$
- C.
  $- \frac{9}{2\sqrt{35}}$
- D.
  $\frac{9}{2\sqrt{35}}$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;5; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (5;4; - 1) \\ \end{matrix} ight.$ .

$\cos\widehat{BAC} = \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|} = \frac{5 + 20 + 2}{\sqrt{30}.\sqrt{42}} = \frac{9}{2\sqrt{35}}$
Câu 20: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 1}$ và hai điểm $A( - 1;3;1),B(0;2; - 1)$ . Gọi $C(m;n;p)$ là điểm thuộc đường thẳng $d$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $2\sqrt{2}$ . Giá trị của tổng $m + n + p$ bằng:
- A.
  $- 1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $- 5$
Phương trình tham số của đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = t \\ x = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Vì C thuộc d nên tọa độ của C có dạng $C( - 1 + 2t;t;2 - t)$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (2t;t - 3;1 - t) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3t - 7; - 3t - 1;3t - 3)$

Diện tích tam giác ABC là

$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = \frac{1}{2}\sqrt{(3t - 7)^{2} + ( - 3t - 1)^{2} + (3t - 3)^{2}}$

Theo bài ra ta có

$S_{\Delta ABC} = 2\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt{27t^{2} - 54t + 59} = 2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 27t^{2} - 54t + 59 = 32 \Leftrightarrow (t - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Với t = 1 thì C (1; 1; 1) nên $m = 1;n = 1;p = 1$

Vậy giá trị của tổng $m + n + p = 3$

67 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!