Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho $\Delta ABC$ thỏa mãn : $2cosB = \sqrt{2}$ . Khi đó:
- A.
  $B = 30^{0}.$
- B.
  $B = 60^{0}.$
- C.
  $B = 45^{0}.$
- D.
  $B = 75^{0}.$
Ta có: $2cosB = \sqrt{2} \Leftrightarrow \cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow \widehat{B} = 45^{0}.$
Câu 2: Thông hiểu
Tam giác $ABC$ có đoạn thẳng nối trung điểm của $AB$ và $BC$ bằng $3$ , cạnh $AB = 9$ và $\widehat{ACB} = 60{^\circ}$ . Tính độ dài cạnh cạnh $BC$ .
- A.
  $BC = 3 + 3\sqrt{6}.$
- B.
  $BC = 3\sqrt{6} - 3.$
- C.
  $BC = 3\sqrt{7}.$
- D.
  $BC = \frac{3 + 3\sqrt{33}}{2}.$
Gọi $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\ \ BC$ .

$\overset{}{ightarrow}MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ .

$\overset{}{ightarrow}MN = \frac{1}{2}AC$ . Mà $MN = 3$ , suy ra $AC = 6$ .

Theo định lí hàm cosin, ta có:

$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} - 2.AC.BC.cos\widehat{ACB}$

$\Leftrightarrow 9^{2} = 6^{2} + BC^{2} - 2.6.BC.cos60{^\circ}$

$\Rightarrow BC = 3 + 3\sqrt{6}$
Câu 3: Vận dụng
Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ và $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$ . Tính $P = \sin\alpha - \cos\alpha.$
- A.
  $P = \frac{\sqrt{3}}{2}.$
- B.
  $P = \frac{1}{2} \cdot$
- C.
  $P = - \frac{1}{2} \cdot$
- D.
  $P = - \frac{\sqrt{3}}{2}.$
Ta có $\left( \sin\alpha - \cos\alpha ight)^{2} + \left( \sin\alpha + \cos\alpha ight)^{2}$ $= 2\left( sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha ight) = 2$ .

Suy ra $\left( \sin\alpha - \cos\alpha ight)^{2} = 2 - \left( \sin\alpha + \cos\alpha ight)^{2}$ $= 2 - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$ .

Do $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ suy ra $\sin\alpha < \cos\alpha$ nên $\sin\alpha - \cos\alpha < 0$ . Vậy $P = - \frac{\sqrt{3}}{2}.$
Câu 4: Thông hiểu
Điểm cuối của góc lượng giác $\alpha$ ở góc phần tư thứ mấy nếu $\sin\alpha,\ cos\alpha$ cùng dấu?
- A.
  Thứ $II.$
- B.
  Thứ $IV.$
- C.
  Thứ $II$ hoặc $IV.$
- D.
  Thứ $I$ hoặc $III.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất thì $\sin\alpha > 0$ , $\cos\alpha > 0$ .

Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất thì $\sin\alpha < 0$ , $\cos\alpha < 0$ .

Vậy nếu $\sin\alpha,\ cos\alpha$ cùng dấu thì điểm cuối của góc lượng giác $\alpha$ ở góc phần tư thứ $I$ hoặc $III.$
Câu 5: Nhận biết
Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{C} = 45^{0},\widehat{B} = 75^{0}$ . Số đo của góc $A$ là:
- A.
  $A = 65^{0}.$
- B.
  $A = 70^{0}$
- C.
  $A = 60^{0}.$
- D.
  $A = 75^{0}.$
Ta có: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{0}$ $\Rightarrow \widehat{A} = 180^{0} - \widehat{B} - \widehat{C} =$ $180^{0} - 75^{0} - 45^{0} = 60^{0}.$
Câu 6: Nhận biết
Chọn công thức đúng trong các đáp án sau:
- A.
  $S = \frac{1}{2}bc\sin A\ .$
- B.
  $S = \frac{1}{2}ac\sin A\ .$
- C.
  $S = \frac{1}{2}bc\sin B\ .$
- D.
  $S = \frac{1}{2}bc\sin B\ .$
Ta có: $S = \frac{1}{2}bc\sin A =$ $\frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$ .
Câu 7: Vận dụng
Khoảng cách từ $A$ đến $B$ không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm $C$ mà từ đó có thể nhìn được $A$ và $B$ dưới một góc $56^{0}16'$ . Biết $CA = 200\ m$ , $CB = 180\ m$ . Khoảng cách $AB$ gần nhất với kết quả nào sau đây?
- A.
  $163\ m.$
- B.
  $224\ m.$
- C.
  $112\ m.$
- D.
  $168\ m.$
Ta có: $AB^{2} = CA^{2} + CB^{2} - 2CB.CA.cosC$ $= 200^{2} + 180^{2} - 2.200.180.cos56^{0}16'$ $\simeq 32416 \Rightarrow AB \simeq 180.$
Câu 8: Thông hiểu
Bà Sáu sở hữu một mảnh đất hình tam giác. Chiều dài của hàng rào $MN$ là $150m$ , chiều dài của hàng rào $MP$ là $230m$ . Góc giữa hai hàng rào $MN$ và $MP$ là $110^{\circ}$ (như hình vẽ)

Diện tích mảnh đất mà gia đình bà Sáu sở hữu là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
- A.
  $15247,6\left( m^{2} ight)$
- B.
  $16209,7\left( m^{2} ight)$
- C.
  $18436,8\left( m^{2} ight)$
- D.
  $17486,3\left( m^{2} ight)$
Diện tích mảnh đất của gia đình bà Sáu (tam giác $MNP$ ) là:

$S = \frac{1}{2}MN \cdot MP \cdot \sin M$

$= \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 230 \cdot \sin110^{\circ} \approx 16209,7\left( {m}^{2}ight)$ .
Câu 9: Vận dụng cao
Cho tam giác $ABC$ có $AB = c;BC = a;AC = b$ , độ dài các cạnh tam giác thỏa mãn biểu thức $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} = \frac{3}{a + b + c}$ . Tính độ lớn góc $\widehat{B}$ ?
- A.
  $\widehat{B} = 120^{0}$
- B.
  $\widehat{B} = 90^{0}$
- C.
  $\widehat{B} = 60^{0}$
- D.
  $\widehat{B} = 30^{0}$
Ta có:

$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} = \frac{3}{a + b + c}$

$\Leftrightarrow \frac{a + b + c}{a + b} + \frac{a + b + c}{b + c} = 3$

$\Leftrightarrow 1 + \frac{c}{a + b} + 1 + \frac{a}{b + c} = 3$

$\Leftrightarrow \frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} = 1$

$\Leftrightarrow c(b + c) + a(a + b) = (b + c)(a + b)$

$\Leftrightarrow c^{2} + cb + a^{2} + ab = ab + b^{2} + ac + bc$

$\Leftrightarrow c^{2} + a^{2} - b^{2} = ac$

$\Leftrightarrow \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2ac} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos\widehat{B} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \widehat{B} = 60^{0}$
Câu 10: Nhận biết
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  $\sin\alpha > 0.$
- B.
  $\cos\alpha < 0.$
- C.
  $\tan\alpha > 0.$
- D.
  $\cot\alpha > 0.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai $ightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} \sin\alpha < 0 \\ \cos\alpha < 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 11: Nhận biết
Cho $2\pi < \alpha < \frac{5\pi}{2}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha > 0;cot\alpha > 0.$
- B.
  $\tan\alpha < 0;cot\alpha < 0.$
- C.
  $\tan\alpha > 0;cot\alpha < 0.$
- D.
  $\tan\alpha < 0;\cot\alpha > 0.$
Ta có $2\pi < \alpha < \frac{5\pi}{2}\overset{}{ightarrow}$ điểm cuối cung $\alpha - \pi$ thuộc góc phần tư thứ $I\overset{}{ightarrow}\left\{ \begin{matrix} \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.\ .$
Câu 12: Nhận biết
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
- A.
  sin 157°= sin 23°
- B.
  sin 143° = -sin 23°
- C.
  sin 243° = cos 23°
- D.
  sin 257° = -cos 23°
Ta có: $\sin157^{\circ} =\sin (180^{\circ} -157^{\circ} )=\sin 23^{\circ}$ . Vì $\sin \alpha =\sin (180^{\circ} -\alpha )$ .
Câu 13: Nhận biết
Cho $\Delta ABC$ có $S = 10\sqrt{3}$ , nửa chu vi $p = 10$ . Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp $r$ của tam giác trên là:
- A.
  $3.$
- B.
  $2.$
- C.
  $\sqrt{2}.$
- D.
  $\sqrt{3}\ .$
Ta có: $S = pr$ $\Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}.$
Câu 14: Thông hiểu
Cho hình thoi $ABCD$ cạnh bằng $1\ \ cm$ và có $\widehat{BAD} = 60{^\circ}$ . Tính độ dài cạnh $AC$ .
- A.
  $AC = \sqrt{3}.$
- B.
  $AC = \sqrt{2}.$
- C.
  $AC = 2\sqrt{3}.$
- D.
  $AC = 2.$
Do $ABCD$ là hình thoi, có $\widehat{BAD} = 60{^\circ} \Rightarrow \widehat{ABC} = 120{^\circ}$ .

Theo định lí hàm cosin, ta có

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2.AB.BC.cos\widehat{ABC}$

$= 1^{2} + 1^{2} - 2.1.1.cos120{^\circ} = 3$ $\Rightarrow AC = \sqrt{3}$
Câu 15: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ có $AB=1;AC=\sqrt2;\hat A=45^{\circ}$ . Tính độ dài cạnh $BC$ .
- A.
  $\sqrt3$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{\sqrt2}2$
Áp dụng định lí côsin:
$BC^2=AB^2+AC^2-2.AB.AC.\cos A$ $=1+2-2.1.\sqrt2.\cos45^{\circ} =1$ .
Suy ra $BC=1$ .
Câu 16: Thông hiểu
Cho $\sin\alpha =\frac{1}{4}$ , với $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$ . Giá trị $\cos\alpha$ bằng
- A.
  $\frac{\sqrt{15}}{4}$ .
- B.
  $- \frac{\sqrt{15}}{4}$ .
- C.
  $- \frac{15}{16}$ .
- D.
  $\frac{15}{16}$ .
Ta có:

$\cos^{2}\alpha = 1 -\sin^{2}\alpha$

$= 1 - \left( \frac{1}{4} ight)^{2} = \frac{15}{16}$

$\Rightarrow \cos\alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ (do $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$ ).

Vậy $\cos\alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ .
Câu 17: Nhận biết
Tam giác $ABC$ có $AB = 5,\ \ BC = 7,\ \ CA = 8$ . Số đo góc $\widehat{A}$ bằng:
- A.
  $30{^\circ}.$
- B.
  $45{^\circ}.$
- C.
  $60{^\circ}.$
- D.
  $90{^\circ}.$
Theo định lí hàm cosin, ta có $\cos\widehat{A} = \frac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2AB.AC}$ $= \frac{5^{2} + 8^{2} - 7^{2}}{2.5.8} = \frac{1}{2}$ .

Do đó, $\widehat{A} = 60{^\circ}$ .
Câu 18: Thông hiểu
Cho góc $\alpha$ thỏa $\cot\alpha = \frac{3}{4}$ và $0^{O} < \alpha < 90^{O}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\cos\alpha = - \frac{4}{5}.$
- B.
  $\cos\alpha = \frac{4}{5}.$
- C.
  $\sin\alpha = \frac{4}{5}.$
- D.
  $\sin\alpha = - \frac{4}{5}.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{sin^{2}\alpha} = 1 + cot^{2}\alpha = 1 + \left( \frac{3}{4} ight)^{2} = \frac{25}{16} \\ 0{^\circ} < \alpha < 90{^\circ} \\ \end{matrix} ight.$ $\overset{}{ightarrow}\sin\alpha = \frac{4}{5}.$
Câu 19: Thông hiểu
Tam giác $ABC$ có $AB = \sqrt{2},\ \ AC = \sqrt{3}$ và $\widehat{C} = 45{^\circ}$ . Tính độ dài cạnh $BC$ .
- A.
  $BC = \sqrt{5}.$
- B.
  $BC = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}.$
- C.
  $BC = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}.$
- D.
  $BC = \sqrt{6}.$
Theo định lí hàm cosin, ta có

$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} - 2.AC.BC.cos\widehat{C}$

$\Rightarrow \left( \sqrt{2} ight)^{2}$ $= \left( \sqrt{3} ight)^{2} + BC^{2} - 2.\sqrt{3}.BC.cos45{^\circ}$

$\Rightarrow BC = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ .
Câu 20: Thông hiểu
Giá trị biểu thức $T = \tan 1^{\circ}.\tan2^{\circ}\ldots.\tan89^{\circ}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  -1
- D.
  2
Ta có:

$\ T = \left( \tan 1^{\circ}.\tan89^{\circ}ight)\left( \tan 2^{\circ}.\tan88^{\circ} ight)\ldots\left( \tan44^{\circ}.\tan 46^{\circ} ight).\tan45^{\circ}$

$= \left( \tan 1^{\circ}.\cot 1^{0} ight)\left( \tan 2^{\circ}.\cot 2^{\circ} ight)\ldots\left( \tan 44^{\circ}.\cot 44^{\circ} ight)\tan 45^{\circ}$

$= 1.1.1\ldots 1 = 1$ .

46 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!