Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng cao
Cho tam giác $ABC$ có $AB = c;BC = a;AC = b$ và $\widehat{C} < \widehat{B}$ . Biết rằng:

$\dfrac{\sin\left( \widehat{B} -\widehat{C} ight)}{\sin\left( \widehat{B} + \widehat{C} ight)} =\dfrac{b^{2} - c^{2}}{b^{2} + c^{2}}$

Chọn khẳng định đúng?
- A.
  Tam giác cân tại A
- B.
  Tam giác vuông cân tại C
- C.
  Tam giác vuông tại A
- D.
  Tam giác cân tại C
Ta có:

$\frac{\sin\left( \widehat{B} -\widehat{C} ight)}{\sin\left( \widehat{B} + \widehat{C} ight)} =\frac{\sin\widehat{B}.\cos\widehat{C} -\sin\widehat{C}.\cos\widehat{B}}{\sin\widehat{B}.\cos\widehat{C} +\sin\widehat{C}.\cos\widehat{B}}$

$= \dfrac{\dfrac{b}{2R}.\cos\widehat{C} -\dfrac{c}{2R}.\cos\widehat{B}}{\dfrac{b}{2R}.\cos\widehat{C} +\dfrac{c}{2R}.\cos\widehat{B}}$

$= \dfrac{2ab\cos\widehat{C} -2ac.\cos\widehat{B}}{2ab\cos\widehat{C} +2ac.\cos\widehat{B}}$

$= \frac{\left( a^{2} + b^{2} - c^{2} ight) - \left( a^{2} + c^{2} - b^{2} ight)}{\left( a^{2} + b^{2} - c^{2} ight) + \left( a^{2} + c^{2} - b^{2} ight)}$

$= \frac{b^{2} - c^{2}}{a^{2}}$

Mà $\frac{\sin\left( \widehat{B} - \widehat{C} ight)}{\sin\left( \widehat{B} + \widehat{C} ight)} = \frac{b^{2} - c^{2}}{b^{2} + c^{2}}$

$\Rightarrow \frac{b^{2} - c^{2}}{a^{2}} = \frac{b^{2} - c^{2}}{b^{2} + c^{2}}$

$\Rightarrow a^{2} = b^{2} + c^{2}$

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
Câu 2: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ có $AB =4cm;AC = 12cm$ và góc $\widehat{BAC} = 120^{\circ}$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ .
- A.
  $12\sqrt{3}\left( {cm}^{2}ight)$ .
- B.
  $24\sqrt{3}\left( {cm}^{2}ight)$
- C.
  $12\left( {cm}^{2}ight)$ .
- D.
  $24\left( {cm}^{2}ight)$ .
$S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin\widehat{BAC}$

$= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 \cdot \sin 120^{\circ}$

$= 12\sqrt{3}\left( {cm}^{2}ight)$
Câu 3: Thông hiểu
Cho $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ với $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ . Tính $\sin\alpha$ .
- A.
  $\sin\alpha = \frac{1}{5}$ .
- B.
  $\sin\alpha = - \frac{1}{5}$ .
- C.
  $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ .
- D.
  $\sin\alpha = \pm \frac{3}{5}$ .
Ta có: $sin^{2}\alpha = 1 - cos^{2}\alpha = 1 - \left( \frac{4}{5} ight)^{2} = \frac{9}{25}$ $\Rightarrow \sin\alpha = \pm \frac{3}{5}$ .

Do $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ nên $\sin\alpha > 0$ . Suy ra, $\sin\alpha = \frac{3}{5}$
Câu 4: Nhận biết
Cho tam giác ABC có $a = 8,b = 10$ , góc $C$ bằng $60^{0}$ . Độ dài cạnh $c$ là ?
- A.
  $c = 3\sqrt{21}$ .
- B.
  $c = 7\sqrt{2}$ .
- C.
  $c = 2\sqrt{11}$ .
- D.
  $c = 2\sqrt{21}$ .
Ta có: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2a.b.cosC$ $= 8^{2} + 10^{2} - 2.8.10.cos60^{0} = 84$ $\Rightarrow c = 2\sqrt{21}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Cho $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) < 0.$
- B.
  $\tan\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) > 0.$
- C.
  $\tan\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) \leq 0.$
- D.
  $\tan\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) \geq 0.$
Ta có : $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} ightarrow 0 < \frac{3\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2}\overset{}{ightarrow}$ $\left\{ \begin{matrix} \sin\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) > 0 \\ \cos\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) > 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\overset{}{ightarrow}\tan\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) > 0.$
Câu 6: Thông hiểu
Bà Sáu sở hữu một mảnh đất hình tam giác. Chiều dài của hàng rào $MN$ là $150m$ , chiều dài của hàng rào $MP$ là $230m$ . Góc giữa hai hàng rào $MN$ và $MP$ là $110^{\circ}$ (như hình vẽ)

Diện tích mảnh đất mà gia đình bà Sáu sở hữu là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
- A.
  $15247,6\left( m^{2} ight)$
- B.
  $16209,7\left( m^{2} ight)$
- C.
  $18436,8\left( m^{2} ight)$
- D.
  $17486,3\left( m^{2} ight)$
Diện tích mảnh đất của gia đình bà Sáu (tam giác $MNP$ ) là:

$S = \frac{1}{2}MN \cdot MP \cdot \sin M$

$= \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 230 \cdot \sin110^{\circ} \approx 16209,7\left( {m}^{2}ight)$ .
Câu 7: Nhận biết
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  $\sin\alpha > 0.$
- B.
  $\cos\alpha < 0.$
- C.
  $\tan\alpha > 0.$
- D.
  $\cot\alpha > 0.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai $ightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} \sin\alpha < 0 \\ \cos\alpha < 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 8: Vận dụng
Cho $\cot\alpha = - 3\sqrt{2}$ với $\ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ . Khi đó giá trị $\tan\frac{\alpha}{2} + \cot\frac{\alpha}{2}$ bằng:
- A.
  $2\sqrt{19}$ .
- B.
  $- 2\sqrt{19}$ .
- C.
  $- \sqrt{19}$ .
- D.
  $\sqrt{19}$ .
$\frac{1}{sin^{2}\alpha} = 1 + cot^{2}\alpha = 1 + 18 = 19$

$ightarrow sin^{2}\alpha = \frac{1}{19} ightarrow \sin\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{19}}$

Vì

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \sin\alpha > 0$ $\Rightarrow \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{19}}$

Suy ra $\tan\frac{\alpha}{2} + \cot\frac{\alpha}{2} = \frac{sin^{2}\frac{\alpha}{2} + cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}$ $= \frac{2}{\sin\alpha} = 2\sqrt{19}$ .
Câu 9: Nhận biết
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $\sin\alpha > 0.$
- B.
  $\cos\alpha > 0.$
- C.
  $\tan\alpha > 0.$
- D.
  $\cot\alpha > 0.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai $ightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} \sin\alpha < 0 \\ \cos\alpha > 0 \\ \tan\alpha < 0 \\ \cot\alpha < 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 10: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $2cosA = 1$ . Khi đó:
- A.
  $A = 30^{0}.$
- B.
  $A = 45^{0}.$
- C.
  $A = 120^{0}.$
- D.
  $A = 60^{0}.$
Ta có: $2cosA = 1 \Leftrightarrow$ $\cos A = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{A} = 60^{0}.$
Câu 11: Nhận biết
Cho $\Delta ABC$ có $S = 10\sqrt{3}$ , nửa chu vi $p = 10$ . Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp $r$ của tam giác trên là:
- A.
  $3.$
- B.
  $2.$
- C.
  $\sqrt{2}.$
- D.
  $\sqrt{3}\ .$
Ta có: $S = pr$ $\Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}.$
Câu 12: Thông hiểu
Bà Sáu sở hữu một mảnh đất hình tam giác. Chiều dài của hàng rào $MN$ là $150m$ , chiều dài của hàng rào $MP$ là $230m$ . Góc giữa hai hàng rào $MN$ và $MP$ là $110^{\circ}$ (như hình vẽ).

Chiều dài hàng rào $NP$ là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
- A.
  $347,3m$
- B.
  $314,6m$
- C.
  $326,7m$
- D.
  $334,8m$
Áp dụng định li côsin ta

$NP^{2} = MN^{2} + MP^{2} - 2MN \cdot MP \cdot \cos M$

$= 150^{2} + 230^{2} - 2 \cdot 150 \cdot 230 \cdot cos110^{\circ}$ $\approx 98999,39$ .

Suy ra $NP \approx \sqrt{98999,39} \approx 314,6(m)$ .

Vậy chiều dài hàng rào $NP$ là khoảng $314,6m$ .
Câu 13: Nhận biết
Tam giác $ABC$ có $AB = 5,\ \ BC = 7,\ \ CA = 8$ . Số đo góc $\widehat{A}$ bằng:
- A.
  $30{^\circ}.$
- B.
  $45{^\circ}.$
- C.
  $60{^\circ}.$
- D.
  $90{^\circ}.$
Theo định lí hàm cosin, ta có $\cos\widehat{A} = \frac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2AB.AC}$ $= \frac{5^{2} + 8^{2} - 7^{2}}{2.5.8} = \frac{1}{2}$ .

Do đó, $\widehat{A} = 60{^\circ}$ .
Câu 14: Vận dụng
Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao $5m$ . Từ vị trí quan sát $A$ cao $7m$ so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh $B$ và chân $C$ của cột ăng-ten dưới góc $50^{0}$ và $40^{0}$ so với phương nằm ngang.

Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?
- A.
  $12m$ .
- B.
  $19m$ .
- C.
  $24m$ .
- D.
  $29m$ .
Từ hình vẽ, suy ra $\widehat{BAC} = 10^{0}$ và $\widehat{ABD} = 180^{0} - \left( \widehat{BAD} + \widehat{ADB} ight)$ $= 180^{0} - \left( 50^{0} + 90^{0} ight) = 40^{0}$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ , ta có $\frac{BC}{\sin\widehat{BAC}} = \frac{AC}{\sin\widehat{ABC}}$ $\overset{}{ightarrow}AC = \frac{BC.sin\widehat{ABC}}{\sin\widehat{BAC}} = \frac{5.sin40^{0}}{sin10^{0}}$ $\approx 18,5m$ .Trong tam giác vuông $ADC$ , ta có $\sin\widehat{CAD} = \frac{CD}{AC}\overset{}{ightarrow}CD = AC.sin\widehat{CAD} = 11,9m.$ Vậy $CH = CD + DH =$ $11,9 + 7 = 18,9m.$
Câu 15: Thông hiểu
Cho góc $\alpha$ thỏa $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ và $90^{O} < \alpha < 180^{O}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\cot\alpha = - \frac{4}{5}.$
- B.
  $\cos\alpha = \frac{4}{5}.$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{5}{4}.$
- D.
  $\cos\alpha = - \frac{4}{5}.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \cos\alpha = \pm \sqrt{1 - sin^{2}\alpha} = \pm \frac{4}{5} \\ 90{^\circ} < \alpha < 180{^\circ} \\ \end{matrix} ight.$ $\overset{}{ightarrow}\cos\alpha = - \frac{4}{5}.$
Câu 16: Nhận biết
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây.
- A.
  $\sin\alpha > 0.$
- B.
  $\cos\alpha < 0.$
- C.
  $\tan\alpha < 0.$
- D.
  $\cot\alpha < 0.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất $ightarrow \left\{ \begin{matrix} \sin\alpha > 0 \\ \cos\alpha > 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 17: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ , chọn công thức đúng trong các đáp án sau:
- A.
  $m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{4}.$
- B.
  $m_{a}^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4}.$
- C.
  $m_{a}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4}.$
- D.
  $m_{a}^{2} = \frac{2c^{2} + 2b^{2} - a^{2}}{4}.$
Ta có: $m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}$ $= \frac{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}{4}.$
Câu 18: Thông hiểu
Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\sin\alpha = \frac{12}{13}$ và $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ . Tính $\cos\alpha.$
- A.
  $\cos\alpha = \frac{1}{13}.$
- B.
  $\cos\alpha = \frac{5}{13}.$
- C.
  $\cos\alpha = - \frac{5}{13}.$
- D.
  $\cos\alpha = - \frac{1}{13}.$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \cos\alpha = \pm \sqrt{1 - sin^{2}\alpha} = \pm \frac{5}{13} \\ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \\ \end{matrix} ight.$ $\overset{}{ightarrow}\cos\alpha = - \frac{5}{13}.$
Câu 19: Nhận biết
Tam giác ABC có BC = 10 và $\widehat{A}=30°$ . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- A.
  $R=5$
- B.
  $R=10$
- C.
  $R=\frac{10}{\sqrt{3}}$
- D.
  $R=10\sqrt{3}$
Ta có: $\frac {BC}{\sin A}=2R \Leftrightarrow R= \frac{BC}{2\sin A} =\frac {10}{2.sin30^{\circ} }=10$ .
Câu 20: Thông hiểu
Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5, $\cos A = \frac{3}{5}$ . Đường cao $h_{a}$ của tam giác ABC là:
- A.
  $\frac{7\sqrt{2}}{2}.$
- B.
  $8.$
- C.
  $8\sqrt{3}\ .$
- D.
  $80\sqrt{3}\ .$
Ta có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A =$ $7^{2} + 5^{2} - 2.7.5.\frac{3}{5} = 32 \Rightarrow a = 4\sqrt{2}.$

Mặt khác: $sin^{2}A + cos^{2}A = 1 \Rightarrow sin^{2}A = 1 - cos^{2}A$ $= 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}$ (Vì $\sin A > 0$ ).

Mà: $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}b.c.sinA = \frac{1}{2}a.h_{a}$ $\Rightarrow h_{a} = \frac{bc\sin A}{a} = \frac{7.5.\frac{4}{5}}{4\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$ .

54 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!