Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho $\Delta ABC$ có $S = 84,a = 13,b = 14,c = 15.$ Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác trên là:
- A.
  $8,125.$
- B.
  $130.$
- C.
  $8.$
- D.
  $8,5.$
Ta có: $S_{\Delta ABC} = \frac{a.b.c}{4R} \Leftrightarrow$ $R = \frac{a.b.c}{4S} = \frac{13.14.15}{4.84} = \frac{65}{8}$ .
Câu 2: Nhận biết
Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}$
- B.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$
- C.
  $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$
- D.
  $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$
Áp dụng quy tắc hình bình hành tại điểm B ta có:
$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$
Câu 3: Thông hiểu
Trong các điều kiện dưới đây, chọn điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt A và B?
- A.
  $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ ngược hướng
- B.
  $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng phương
- C.
  $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ cùng hướng
- D.
  $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng
Điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm giữa hai điểm phân biệt A và B là $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng.
Câu 4: Nhận biết
Cho hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .
- B.
  Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .
- C.
  Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ , đó là $\overrightarrow{0}$ .
- D.
  Cả A, B, C đều sai.
Mệnh đề đúng là: "Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ , đó là $\overrightarrow{0}$ ."
Câu 5: Nhận biết
Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
- A.
  $(\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ})=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{PQ}$
- B.
  $\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}$
- C.
  $\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{MN}$
- D.
  $(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PQ})(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ})=MN^{2}-PQ^{2}$
Hệ thức sai là: $\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}$
Vì $\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP}$ (tính chất giao hoán)
Câu 6: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ . Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{BC}=0$ là:
- A.
  một điểm
- B.
  đường thẳng
- C.
  đoạn thẳng
- D.
  đường tròn
Vì $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC} = 0$ , mà $A,B,C$ cố định nên suy ra tập hợp $M$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ .
Câu 7: Vận dụng
Cho hình thang $ABCD$ có đáy là $AB$ và $CD.$ Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC.$ Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DC}.$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{BN}.$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight).$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight).$
Vì $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của $AD,\ \ BC \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.\ .$ Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

$\bullet$ $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DC}$ đúng, vì $\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{MN} = \left( \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC} ight) + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{MN}$

$\bullet$ $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{BN}$ đúng, vì $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{BN} = \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} ight) - \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MN}$

$\bullet \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight)$ đúng, vì $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}$ và $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CN}.$

Suy ra $2\overrightarrow{MN} = \left( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD} ight) + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \left( \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CN} ight) = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight).$

$\bullet \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight)$ sai, vì theo phân tích ở đáp án trên. Chọn đáp án này.
Câu 8: Nhận biết
Biết $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}eq \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}|\times |\overrightarrow{b}|$ . Câu nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng
- B.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ nằm trên hai đường thẳng hợp với nhau một góc $120^{\circ}$
- C.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng
- D.
  Tất cả đáp án đều sai
Ta có:
$\begin{matrix} \vec a.\vec b = - |\vec a|.|\vec b| = |\vec a|.|\vec b|.\cos {180^0} \hfill \\ \Rightarrow \left( {\vec a,\vec b} ight) = {180^0} \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.
Câu 9: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ có $AB=1;AC=\sqrt2;\hat A=45^{\circ}$ . Tính độ dài cạnh $BC$ .
- A.
  $\sqrt3$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{\sqrt2}2$
Áp dụng định lí côsin:
$BC^2=AB^2+AC^2-2.AB.AC.\cos A$ $=1+2-2.1.\sqrt2.\cos45^{\circ} =1$ .
Suy ra $BC=1$ .
Câu 10: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ và đặt $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{BC},\ \ \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AC}.$ Cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
- A.
  $2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}.$
- B.
  $2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}.$
- C.
  $5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\ \ - \ 10\ \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}.$
- D.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}.$
Dễ thấy $- 10\ \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = - \ 2\ \left( 5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)\overset{}{ightarrow}$ hai vectơ $5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\ \ - 10\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$ cùng phương.
Câu 11: Thông hiểu
Cho hình bình hành $ABCD$ , điểm $M$ thoả mãn: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AB}$ . Khi đó $M$ là trung điểm của:
- A.
  $AB$ .
- B.
  $BC$ .
- C.
  $AD$ .
- D.
  $CD$ .
Ta có: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI} = \overrightarrow{AB}$ .

Vậy $M$ là trung điểm của $AD$ .
Câu 12: Nhận biết
Cho ba điểm phân biệt $M,N,P.$ Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm $M,N,P$ đã cho?
- A.
  $4$ .
- B.
  $5$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $8$ .
Các vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm $M,N,P$ đã cho là

$\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM},\overrightarrow{MP},\overrightarrow{PM},\overrightarrow{NP},\overrightarrow{PN}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB = a$ . Tính $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight|.$
- A.
  $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight| = a\sqrt{2}.$
- B.
  $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight| = \frac{a\sqrt{2}}{2}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight| = 2a.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight| = a.$
Gọi $M$ là trung điểm $BC\overset{}{ightarrow}AM = \frac{1}{2}BC.$

Ta có $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight| = \left| 2\overrightarrow{AM} ight| = 2AM = BC = a\sqrt{2}.$
Câu 14: Nhận biết
Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là các vectơ khác $\overrightarrow{0}$ với $\overrightarrow{a}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{b}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ cùng phương.
- B.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ ngược hướng.
- C.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ cùng độ dài.
- D.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ chung điểm đầu.
Ta có $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{b}$ . Do đó, $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.

Chọn đáp án sai là: Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ chung điểm đầu.
Câu 15: Vận dụng cao
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(1;0),\ B(0;3)$ và $C( - 3; - 5).$ Tìm điểm $M$ thuộc trục hoành sao cho biểu thức $P = \left| 2\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $M(4;0).$
- B.
  $M( - 4;0).$
- C.
  $M(16;0).$
- D.
  $M( - 16;0).$
Ta có

$2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} =$ $2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) - 3\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) + 2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight),\ \forall I$

$= \overrightarrow{MI} + 2\left( \overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} ight),\ \forall I.$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.$ $(*)$

Gọi $I(x;y)$ , từ $(*)$ ta có

$\left\{ \begin{matrix}2(1 - x) - 3(0 - x) + 2( - 3 - x) = 0 \\2(0 - y) - 3(2 - y) + 2( - 5 - y) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - 4 \\y = - 16 \\\end{matrix} ight.\ ight.$ $\ \Rightarrow I( - 4; - 16).$

Khi đó $P = \left| 2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ $= \left|\overrightarrow{MI} ight| = MI.$

Để $P$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất. Mà $M$ thuộc trục hoành nên $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên trục hoành $\overset{}{ightarrow}M( - 4;0).$
Câu 16: Thông hiểu
Giá trị biểu thức $T = \tan 1^{\circ}.\tan2^{\circ}\ldots.\tan89^{\circ}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  -1
- D.
  2
Ta có:

$\ T = \left( \tan 1^{\circ}.\tan89^{\circ}ight)\left( \tan 2^{\circ}.\tan88^{\circ} ight)\ldots\left( \tan44^{\circ}.\tan 46^{\circ} ight).\tan45^{\circ}$

$= \left( \tan 1^{\circ}.\cot 1^{0} ight)\left( \tan 2^{\circ}.\cot 2^{\circ} ight)\ldots\left( \tan 44^{\circ}.\cot 44^{\circ} ight)\tan 45^{\circ}$

$= 1.1.1\ldots 1 = 1$ .
Câu 17: Thông hiểu
Gọi $M,\ N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AD,\ BC$ của tứ giác $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{MN}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{MN}$ .
- D.
  $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MN}$ .
Do M là trung điểm các cạnh AD nên $\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{0}$

Do N lần lượt là trung điểm các cạnh BC nên $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB}$ . Nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MN}$ đúng.

Ta có

$2\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB}$ $= \overrightarrow{MD} +\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}$ $=\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \left( \overrightarrow{MD} +\overrightarrow{MA} ight) = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{DC}$

Vậy $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{MN}$ . Nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{MN}$ đúng.

Mà $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} + \left( \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{DC} ight)$ $= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB}= 2\overrightarrow{MN}$ . Nên $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{MN}$ đúng.

Vậy $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ sai.
Câu 18: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có $M$ thỏa mãn điều kiện $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ . Xác định vị trí điểm $M.$
- A.
  $M$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ACBM.$
- B.
  $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB.$
- C.
  $M$ trùng với $C.$
- D.
  $M$ là trọng tâm tam giác $ABC.$
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .

Ta có $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \Rightarrow M \equiv G$ .
Câu 19: Nhận biết
Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G. Khi đó $\overrightarrow{GA}=$
- A.
  $2\overrightarrow{GM}$
- B.
  $\frac{2}{3}\overrightarrow{GM}$
- C.
  $-\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$
- D.
  $\frac{1}{2}\overrightarrow{AM}$
Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC => $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AG = \dfrac{2}{3}AM} \\ {\overrightarrow {AG} earrow earrow \overrightarrow {AM} } \end{array}} ight. \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow {GA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}$
Câu 20: Vận dụng
Trong hệ tọa độ $Oxy$ , cho hai điểm $A(2; - 3),\ B(3;4).$ Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục hoành sao cho $A,\ B,\ M$ thẳng hàng.
- A.
  $M(1;0).$
- B.
  $M(4;0).$
- C.
  $M\left( - \frac{5}{3}; - \frac{1}{3} ight).$
- D.
  $M\left( \frac{17}{7};0 ight).$
Điểm $M \in Ox\overset{}{ightarrow}M(m;0).$ Ta có $\overrightarrow{AB} = (1;7)$ và $\overrightarrow{AM} = (m - 2;3).$

Để $A,B,M$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \frac{m - 2}{1} = \frac{3}{7} \Leftrightarrow m = \frac{17}{7}.$

30 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!