Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Biết $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}eq \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}|\times |\overrightarrow{b}|$ . Câu nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng
- B.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ nằm trên hai đường thẳng hợp với nhau một góc $120^{\circ}$
- C.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng
- D.
  Tất cả đáp án đều sai
Ta có:
$\begin{matrix} \vec a.\vec b = - |\vec a|.|\vec b| = |\vec a|.|\vec b|.\cos {180^0} \hfill \\ \Rightarrow \left( {\vec a,\vec b} ight) = {180^0} \hfill \\ \end{matrix}$
=> $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.
Câu 2: Thông hiểu
Cho $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ không cùng phương, $\overrightarrow{\ x\ } = - 2\ \overrightarrow{\ a\ \ } + \overrightarrow{\ b\ }$ . Vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{\ x\ \ }$ là:
- A.
  $2\ \overrightarrow{\ a\ \ } - \overrightarrow{\ b\ }$ .
- B.
  $- \ \overrightarrow{\ a\ \ } + \frac{1}{2}\overrightarrow{\ b\ }$ .
- C.
  $4\ \overrightarrow{\ a\ \ } + 2\overrightarrow{\ b\ }$ .
- D.
  $- \ \overrightarrow{\ a\ \ } + \overrightarrow{\ b\ }$ .
Ta có $- \ \overrightarrow{\ a\ \ } + \frac{1}{2}\overrightarrow{\ b\ } = \frac{1}{2}\left( - 2\ \overrightarrow{\ a\ \ } + \overrightarrow{\ b\ } ight) = \frac{1}{2}\overrightarrow{\ x\ }$ . Chọn $- \ \overrightarrow{\ a\ \ } + \frac{1}{2}\overrightarrow{\ b\ }$ .
Câu 3: Thông hiểu
Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác $\vec{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C?
- A.
  4
- B.
  6
- C.
  9
- D.
  12
Ta có các vectơ khác $\vec{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh tam giác ABC là:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} \hfill \\ \overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 4: Thông hiểu
Cho tam giác ABC có AK, BM là trung tuyến. Cho $\overrightarrow{AB} = m\overrightarrow{AK} + n\overrightarrow{BM}$ . Tính $5m - 3n$ .
- A.
  $\frac{4}{3}$
- B.
  $\frac{26}{3}$
- C.
  $\frac{14}{3}$
- D.
  $\frac{16}{3}$
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AK}+ \overrightarrow{KB} = \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{KM} +\overrightarrow{MB}$ $= \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{BM} -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AK} - \frac{2}{3}\overrightarrow{BM}$

$5m - 3n = 5.\frac{2}{3} + 3.\frac{2}{3} = \frac{16}{3}$ .
Câu 5: Vận dụng cao
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ $A(1; - 4),B(4;5),C(0; - 7)$ . Một điểm $M \in Ox$ bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ ?
- A.
  $\sqrt{15}$
- B.
  $2\sqrt{5}$
- C.
  $7\sqrt{10}$
- D.
  $6\sqrt{10}$
Ta có: $M \in Ox \Rightarrow M(x;0)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (1 - x; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (4 - x;5) \\ \overrightarrow{MC} = ( - x; - 7) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = (9 - 3x;6) \\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (4 - 2x; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$

$= 2\sqrt{(9 - 3x)^{2} + 6^{2}} + 3\sqrt{(4 - 2x)^{2} + ( - 2)^{2}}$

$= 6\left( \sqrt{(3 - x)^{2} + 2^{2}} + \sqrt{(2 - x)^{2} + ( - 1)^{2}} ight) = 6(ME + MF)$

(Với $E(3;2),F(2; - 1)$ )

Lại có: $\overrightarrow{EF} = ( - 1; - 3) \Rightarrow \left| \overrightarrow{EF} ight| = \sqrt{10}$

Mà $ME + MF \geq EF \Rightarrow T \geq 6\sqrt{10}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của EF và Ox => $M\left( \frac{7}{3};0 ight)$

Vậy biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất là $6\sqrt{10}$ .
Câu 6: Thông hiểu
Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{BC}=0$ là:
- A.
  một điểm
- B.
  đường thẳng
- C.
  đoạn thẳng
- D.
  đường tròn.
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC} = 0 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} } ight|.\left| {\overrightarrow {BC} } ight|\cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BC} } ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BC} } ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BC} } ight) = {90^0} \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \bot \overrightarrow {BC} \hfill \\ \Leftrightarrow MA \bot BC \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.
Câu 7: Thông hiểu
Cho hình vuông $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.$
- C.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight|.$
$ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{CB} \Rightarrow \left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight|$ .
Câu 8: Thông hiểu
Điểm cuối của góc lượng giác $\alpha$ ở góc phần tư thứ mấy nếu $\sin\alpha,\ tan\alpha$ trái dấu?
- A.
  Thứ $I.$
- B.
  Thứ $II$ hoặc $IV.$
- C.
  Thứ $II$ hoặc $III.$
- D.
  Thứ $I$ hoặc $IV.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai thì $\sin\alpha > 0$ , $\cos\alpha < 0$ .

Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ tư thì $\sin\alpha < 0$ , $\cos\alpha > 0$ .

Vậy nếu $\sin\alpha,\ cos\alpha$ trái dấu thì điểm cuối của góc lượng giác $\alpha$ ở góc phần tư thứ $II$ hoặc $IV.$
Câu 9: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.$
- B.
  $\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{AB}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{CA} ight| = a.$
- D.
  $\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{BC}.$
Độ dài các cạnh của tam giác là $a$ thì độ dài các vectơ $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{CA} ight| = a$ .
Câu 10: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(3; - 1),B(2;10),C( - 4;2).$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.$
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 40.$
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 40.$
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 26.$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 26.$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1;11)$ , $\overrightarrow{AC} = ( - 7;3)$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=40.$
Câu 11: Nhận biết
Cho $\overrightarrow{a} e\overrightarrow{0}$ và điểm O. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thỏa mãn $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{ON}=-4\overrightarrow{a}$ . Tìm $\overrightarrow{MN}$ .
- A.
  $\overrightarrow{MN}=7\overrightarrow{a}$
- B.
  $\overrightarrow{MN}=-5\overrightarrow{a}$
- C.
  $\overrightarrow{MN}=-7\overrightarrow{a}$
- D.
  $\overrightarrow{MN}=5\overrightarrow{a}$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {ON} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow a + \left( { - 4\overrightarrow a } ight) \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow a - 4\overrightarrow a = 7\overrightarrow a \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 12: Nhận biết
Hãy chọn kết quả đúng khi phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ của tam giác $ABC$ với trung tuyến $AM$ .
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ .
- D.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\mathbf{)}$ .
Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ .
Câu 13: Nhận biết
Tứ giác MNPQ là hình bình hành nếu:
- A.
  $MN = PQ$
- B.
  MN // PQ
- C.
  $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PQ}$
- D.
  $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$
Hình vẽ minh họa
Ta có MNPQ là hình bình hành nếu $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP}$
Câu 14: Nhận biết
Cho ba điểm phân biệt $A,\ \ B,\ \ C$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{CA} -\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}.$
- C.
  $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.$
Ta có $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} =\overrightarrow{CB}$ . Vậy $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} =\overrightarrow{CB}$ đúng.
Câu 15: Nhận biết
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.$
- B.
  $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DO}.$
- C.
  $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}.$
- D.
  $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}.$
Đẳng thức sai là $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}.$
Câu 16: Nhận biết
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  $\sin\alpha > 0.$
- B.
  $\cos\alpha < 0.$
- C.
  $\tan\alpha > 0.$
- D.
  $\cot\alpha > 0.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai $ightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} \sin\alpha < 0 \\ \cos\alpha < 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 17: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có $M$ thỏa mãn điều kiện $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ . Xác định vị trí điểm $M.$
- A.
  $M$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ACBM.$
- B.
  $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB.$
- C.
  $M$ trùng với $C.$
- D.
  $M$ là trọng tâm tam giác $ABC.$
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .

Ta có $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \Rightarrow M \equiv G$ .
Câu 18: Vận dụng
Cho hình thang $ABCD$ có đáy là $AB$ và $CD.$ Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC.$ Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DC}.$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{BN}.$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight).$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight).$
Vì $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của $AD,\ \ BC \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.\ .$ Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

$\bullet$ $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DC}$ đúng, vì $\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{CN} +\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{MN}$ $= \left( \overrightarrow{MD} +\overrightarrow{DC} ight) + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{MC}+ \overrightarrow{CN}$ $= \overrightarrow{MN}$

$\bullet$ $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{BN}$ đúng, vì $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MD} +\overrightarrow{BN} = \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}ight) - \overrightarrow{MD}$ $= \overrightarrow{AN} -\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MN}$

$\bullet \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight)$ đúng, vì $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}$ và $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CN}.$

Suy ra $2\overrightarrow{MN}$ $= \left(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MD} ight) + \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{DC} + \left( \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CN}ight)$ $= \overrightarrow{0} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}+ \overrightarrow{0} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{DC}$ $\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{MN} =\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}ight).$

$\bullet \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight)$ sai, vì theo phân tích ở đáp án trên. Chọn đáp án này.
Câu 19: Vận dụng
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $\overrightarrow{a} = (2;1),\overrightarrow{\ b} = (3;4),\ \overrightarrow{c} = (7;2)$ . Cho biết $\overrightarrow{c} = m.\overrightarrow{a} + n.\overrightarrow{b}$ . Khi đó
- A.
  $m = - \frac{22}{5};n = \frac{- 3}{5}$ .
- B.
  $m = \frac{1}{5};n = \frac{- 3}{5}$ .
- C.
  $m = \frac{22}{5};n = \frac{- 3}{5}$ .
- D.
  $m = \frac{22}{5};n = \frac{3}{5}$ .
Ta có: $\overrightarrow{c} =m.\overrightarrow{a} + n.\overrightarrow{b} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}7 = 2m + 3n \\2 = m + 4n \\\end{matrix} ight.$ $\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \frac{22}{5} \ = - \frac{3}{5} \\\end{matrix} ight.$ .
Câu 20: Nhận biết
Cho $\Delta ABC$ có $S = 84,a = 13,b = 14,c = 15.$ Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác trên là:
- A.
  $8,125.$
- B.
  $130.$
- C.
  $8.$
- D.
  $8,5.$
Ta có: $S_{\Delta ABC} = \frac{a.b.c}{4R} \Leftrightarrow$ $R = \frac{a.b.c}{4S} = \frac{13.14.15}{4.84} = \frac{65}{8}$ .

58 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!