Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $\overrightarrow{a} = (1;3),\ \ \overrightarrow{b}= ( - 2;1)$ . Tích vô hướng của 2 vectơ $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ là:
- A.
  1
- B.
  2.
- C.
  3.
- D.
  4.
Ta có $\overrightarrow{a} =(1;3),\overrightarrow{b} = ( - 2;1)$ , suy ra $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 1.( - 2) +3.1 = 1$ .
Câu 2: Nhận biết
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ . Tính độ dài véctơ $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$ .
- A.
  $a\sqrt{3}$ .
- B.
  $a\sqrt{2}$ .
- C.
  $a$ .
- D.
  $2a$
Hình vẽ minh họa:

$|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BD}| = a\sqrt{2}.$
Câu 3: Nhận biết
Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Khi đó:
- A.
  Điều kiện cần và đủ để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}.$
- B.
  Điều kiện đủ để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là với mọi $M,$ $\overrightarrow{MA}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}.$
- C.
  Điều kiện cần để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là với mọi $M,$ $\overrightarrow{MA}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}.$
- D.
  Điều kiện cần để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.$
Chọn: Điều kiện cần và đủ để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}.$
Câu 4: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ $M$ là trung điểm của $BC.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.$
- B.
  $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.$
- C.
  $\overrightarrow{MB} = - \ \overrightarrow{MC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{BC}}{2}.$
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{MB} = - \ \overrightarrow{MC}.$
Câu 5: Thông hiểu
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a.$ Tính $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight|.$
- A.
  $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight| = 0.$
- B.
  $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight| = a.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight| = a\sqrt{2}.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight| = 2a.$
Ta có $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight| = \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight| = AC = a\sqrt{2}.$
Câu 6: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC,$ điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $3\ AM = AB$ và $N$ là trung điểm của $AC.$ Tính $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$
- A.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$
Vì $N$ là trung điểm $AC$ nên $2\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC}. \Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = 2\ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.$

Suy ra $\overrightarrow{MN} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$
Câu 7: Nhận biết
Cho biết $\tan\alpha = \frac{1}{2}$ . Tính $\cot\alpha$ .
- A.
  $\cot\alpha = 2$ .
- B.
  $\cot\alpha = \frac{1}{4}$ .
- C.
  $\cot\alpha = \frac{1}{2}$ .
- D.
  $\cot\alpha = \sqrt{2}$ .
Ta có: $\tan\alpha.cot\alpha = 1 \Rightarrow$ $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ .
Câu 8: Vận dụng
Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Tam giác ABC đều
- B.
  Tam giác ABC cân tại C
- C.
  Tam giác ABC vuông tại C
- D.
  Tam giác ABC cân tại B.
Ta có: $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}| \Leftrightarrow$ $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } ight| = \left| {\overrightarrow {BA} } ight|$ .
Vẽ hình bình hành $ACBD$ , suy ra $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } ight| = \left| {\overrightarrow {CD} } ight|$ . Mà $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } ight| = \left| {\overrightarrow {BA} } ight|$ . Suy ra $CD=BA$ . Do đó $ACBD$ là hình chữ nhật. Do đó tam giác $ACB$ vuông $C$ .
Câu 9: Nhận biết
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
- A.
  Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
- B.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
- C.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
- D.
  Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Câu 10: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ . Tìm công thức sai:
- A.
  $\frac{a}{\sin A} = 2R\ .$
- B.
  $\sin A = \frac{a}{2R}\ .$
- C.
  $b\sin B = 2R\ .$
- D.
  $\sin C = \frac{c\sin A}{a}\ .$
Ta có: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R.$
Câu 11: Thông hiểu
Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos\alpha = - \frac{\sqrt{5}}{3}$ và $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ . Tính $\tan\alpha.$
- A.
  $\tan\alpha = - \frac{3}{\sqrt{5}}.$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}.$
- C.
  $\tan\alpha = - \frac{4}{\sqrt{5}}.$
- D.
  $\tan\alpha = - \frac{2}{\sqrt{5}}.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \sin\alpha = \pm \sqrt{1 - cos^{2}\alpha} = \pm \frac{2}{3} \\ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \\ \end{matrix} ight.$ $\overset{}{ightarrow}\sin\alpha = - \frac{2}{3}\overset{}{ightarrow}\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2}{\sqrt{5}}.$
Câu 12: Thông hiểu
Cho tứ giác $ABCD$ . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác?
- A.
  $4.$
- B.
  $6.$
- C.
  $8.$
- D.
  $12.$
Xét các vectơ có điểm $A$ là điểm đầu thì có các vectơ thỏa mãn bài toán là $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AD}\overset{}{ightarrow}$ có 3 vectơ.

Tương tự cho các điểm còn lại $B,\ C,\ D.$

Vậy chọn đáp án 12.
Câu 13: Vận dụng cao
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(1;0),\ B(0;3)$ và $C( - 3; - 5).$ Tìm điểm $M$ thuộc trục hoành sao cho biểu thức $P = \left| 2\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $M(4;0).$
- B.
  $M( - 4;0).$
- C.
  $M(16;0).$
- D.
  $M( - 16;0).$
Ta có

$2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} =$ $2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) - 3\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) + 2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight),\ \forall I$

$= \overrightarrow{MI} + 2\left( \overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} ight),\ \forall I.$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.$ $(*)$

Gọi $I(x;y)$ , từ $(*)$ ta có

$\left\{ \begin{matrix}2(1 - x) - 3(0 - x) + 2( - 3 - x) = 0 \\2(0 - y) - 3(2 - y) + 2( - 5 - y) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - 4 \\y = - 16 \\\end{matrix} ight.\ ight.$ $\ \Rightarrow I( - 4; - 16).$

Khi đó $P = \left| 2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ $= \left|\overrightarrow{MI} ight| = MI.$

Để $P$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất. Mà $M$ thuộc trục hoành nên $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên trục hoành $\overset{}{ightarrow}M( - 4;0).$
Câu 14: Vận dụng
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ có $A(1; - 1)$ , $B(5; - 3)$ và $C$ thuộc trục $Oy$ , trọng tâm $G$ của tam giác thuộc trục $Ox$ . Tìm tọa độ điểm $C.$
- A.
  $C(0;4)$
- B.
  $C(2;4)$
- C.
  $C(0;2)$
- D.
  $C(0; - 4)$
Vì $C$ thuộc trục $Oy\overset{}{ightarrow}$ $C$ có hoành độ bằng $0$ . Loại $C(2;4)$ .

Trọng tâm $G$ thuộc trục $Ox\overset{}{ightarrow}$ $G$ có tung độ bằng $0.$ Xét các đáp án còn lại chỉ có đáp án $C(0;4)$ thỏa mãn $\frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = 0.$
Câu 15: Nhận biết
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}$ bằng:
- A.
  $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}$
- B.
  $\overrightarrow{AB}$
- C.
  $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}$
- D.
  $\overrightarrow{CD}$
Ta có: $\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD}$
Câu 16: Nhận biết
Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là
- A.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ .
- B.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt thẳng hàng là $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Câu 17: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(3; - 1),B(2;10),C( - 4;2).$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.$
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 40.$
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 40.$
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 26.$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 26.$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1;11)$ , $\overrightarrow{AC} = ( - 7;3)$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=40.$
Câu 18: Thông hiểu
Cho 5 điểm M, N, P, Q, R. Tính tổng $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{QR}$
- A.
  $\overrightarrow{MR}$
- B.
  $\overrightarrow{MN}$
- C.
  $\overrightarrow{PR}$
- D.
  $\overrightarrow{MP}$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR} \hfill \\ = \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} } ight) + \left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} } ight) + \overrightarrow {RN} \hfill \\ = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PR} + \overrightarrow {RN} \hfill \\ = \left( {\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PR} } ight) + \overrightarrow {RN} \hfill \\ = \overrightarrow {MR} + \overrightarrow {RN} = \overrightarrow {MN} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 19: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ , có trọng tâm $G$ . Gọi $A_{1},B_{1},C_{1}$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$ . Chọn khẳng định sai?
- A.
  $\overrightarrow{GA_{1}} + \overrightarrow{GB_{1}} + \overrightarrow{GC_{1}} = \overrightarrow{0}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{0}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{BB_{1}} + \overrightarrow{CC_{1}} = \overrightarrow{0}$ .
- D.
  $\overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GC_{1}}$ .
Ta có: $\overrightarrow{GC} = - 2\overrightarrow{GC_{1}}$ nên $\overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GC_{1}}$ sai.

Chọn $\overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GC_{1}}$ .
Câu 20: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{B} = 60^{\circ},AB = a$ . Tính $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB}$
- A.
  $3a^{2}$ .
- B.
  $- 3a^{2}$ .
- C.
  $3a$ .
- D.
  0.
Ta có:

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB} = AC \cdot BC \cdot \cos 150^{\circ}$

$= a\sqrt{3} \cdot 2a \cdot \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} ight) = - 3a^{2}$

45 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!