Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (3;4)$ và $\overrightarrow{v} = ( - \ 8;6)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\left| \overrightarrow{u} ight| = \left| \overrightarrow{v} ight|.$
- B.
  $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương.
- C.
  $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{v}$ .
- D.
  $\overrightarrow{u} = - \ \overrightarrow{v}.$
Vì $\overrightarrow{u} = (3;4) \Rightarrow \left| \overrightarrow{u} ight| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ và $\overrightarrow{v} = ( - \ 8;6) \Rightarrow \left| \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{( - 8)^{2} + 6^{2}} = 10$ nên đáp án $\left| \overrightarrow{u} ight| = \left| \overrightarrow{v} ight|$ sai.

Vì $\frac{3}{- 8} eq \frac{4}{6}$ nên đáp án $M\left( 0; - \frac{1}{2} ight).$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương sai.

Vì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3.( - 8) + 4.6 = 0 \Rightarrow \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}$ nên đáp án $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{v}$ đúng.
Câu 2: Nhận biết
Vectơ có điểm đầu là $D$ , điểm cuối là $E$ được kí hiệu là
- A.
  $DE.$
- B.
  $\left| \overrightarrow{DE} ight|.$
- C.
  $\overrightarrow{ED}.$
- D.
  $\overrightarrow{DE}.$
Vectơ có điểm đầu là $D$ , điểm cuối là $E$ được kí hiệu là $\overrightarrow{DE}.$
Câu 3: Nhận biết
Cho hình thoi $ABCD$ có $AC = 8, BD = 5$ . Tính $\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{BD}$ .
- A.
  24
- B.
  26
- C.
  28
- D.
  0
Vì $AC\perp BD$ nên $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0$ .
Câu 4: Vận dụng
Cho tứ giác $ABCD.$ Trên cạnh $AB,\ \ CD$ lấy lần lượt các điểm $M,\ \ N$ sao cho $3\ \overrightarrow{AM} = 2\ \overrightarrow{AB}$ và $3\ \overrightarrow{DN} = 2\ \overrightarrow{DC}.$ Tính vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AD},\ \ \overrightarrow{BC}.$
- A.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}.$
Ta có $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}$ và $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}.$

Suy ra $3\ \overrightarrow{MN} =$ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} +2\left( \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}ight)$

$= \left( \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight) + \overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{BC} + \left( \overrightarrow{DN} + 2\overrightarrow{CN} ight).$

Theo bài ra, ta có $\overrightarrow{MA} + 2\ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{DN} + 2\ \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{0}.$

Vậy $3\ \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{AD} + 2\ \overrightarrow{BC}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} +\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.$
Câu 5: Thông hiểu
Cho bốn điểm phân biệt $A,\ B,\ C,\ D$ thỏa mãn $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng $\overrightarrow{CD}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB}$ cùng phương $\overrightarrow{CD}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{CD} ight|.$
- D.
  $ABCD$ là hình bình hành.
Phải suy ra $ABDC$ là hình bình hành (nếu $A,\ B,\ C,\ D$ không thẳng hàng) hoặc bốn điểm $A,\ B,\ C,\ D$ thẳng hàng.

Đáp án sai là $ABCD$ là hình bình hành.
Câu 6: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ cân ở $A$ , đường cao $AH$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.$
- B.
  $\overrightarrow{HC} = - \overrightarrow{HB}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight|.$
- D.
  $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{HC}.$
Tam giác $ABC$ cân ở $A$ , đường cao $AH$ . Do đó, $H$ là trung điểm $BC$ .

Ta có:

$AB = AC \Rightarrow \left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight|$

$H$ là trung điểm $BC \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HC} = - \overrightarrow{HB} \\ \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{HC} \\ \end{matrix} ight.$ .

Chọn đáp án sai là $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.$
Câu 7: Nhận biết
Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NP}.$
- C.
  $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB}.$
- D.
  $\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{AB}.$
Xét đáp án $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NP}.$ Ta có $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{NP}$ . Vậy đáp án này đúng.
Câu 8: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ , gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Câu nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM}$ .
- B.
  $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GA}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AG}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AM}$ .
Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có: $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM}$ .
Câu 9: Thông hiểu
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, AC, AB. Xác định các vectơ
$\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {NA}$
- A.
  $\overrightarrow {PA}$
- B.
  $\overrightarrow {PM}$
- C.
  $\overrightarrow {AN}$
- D.
  $\overrightarrow 0$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {NA} \hfill \\ = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PN} + \overrightarrow {NA} \hfill \\ = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PA} = \overrightarrow 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 10: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ , có thể xác định được bao nhiêu véctơ khác véctơ không có điểm đầu và điểm cuối là các đinh của tam giác đã cho?
- A.
  4
- B.
  5
- C.
  7
- D.
  6
Các véc tơ khác véc tơ không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tam giác đã cho gồm $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$ . Vậy có 6 véc tơ.
Câu 11: Thông hiểu
Cho $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) < 0.$
- B.
  $\tan\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) > 0.$
- C.
  $\tan\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) \leq 0.$
- D.
  $\tan\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) \geq 0.$
Ta có : $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} ightarrow 0 < \frac{3\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2}\overset{}{ightarrow}$ $\left\{ \begin{matrix} \sin\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) > 0 \\ \cos\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) > 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\overset{}{ightarrow}\tan\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha ight) > 0.$
Câu 12: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(3; - 1),B(2;10),C( - 4;2).$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.$
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 40.$
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 40.$
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 26.$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 26.$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1;11)$ , $\overrightarrow{AC} = ( - 7;3)$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=40.$
Câu 13: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 12,AC = 13,BC = 5$ . Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ là:
- A.
  $S = 30$ .
- B.
  $S = 40$ .
- C.
  $S = 50$ .
- D.
  $S = 60$ .
Ta có: $BA^{2} + BC^{2} = AC^{2}$ nên tam giác $ABC$ vuông tại B.

Diện tích tam giác là: $S = \frac{1}{2}BA \cdot BC = 30$ .
Câu 14: Vận dụng cao
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(1;0),\ B(0;3)$ và $C( - 3; - 5).$ Tìm điểm $M$ thuộc trục hoành sao cho biểu thức $P = \left| 2\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $M(4;0).$
- B.
  $M( - 4;0).$
- C.
  $M(16;0).$
- D.
  $M( - 16;0).$
Ta có

$2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} =$ $2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) - 3\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) + 2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight),\ \forall I$

$= \overrightarrow{MI} + 2\left( \overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} ight),\ \forall I.$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.$ $(*)$

Gọi $I(x;y)$ , từ $(*)$ ta có

$\left\{ \begin{matrix}2(1 - x) - 3(0 - x) + 2( - 3 - x) = 0 \\2(0 - y) - 3(2 - y) + 2( - 5 - y) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - 4 \\y = - 16 \\\end{matrix} ight.\ ight.$ $\ \Rightarrow I( - 4; - 16).$

Khi đó $P = \left| 2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ $= \left|\overrightarrow{MI} ight| = MI.$

Để $P$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất. Mà $M$ thuộc trục hoành nên $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên trục hoành $\overset{}{ightarrow}M( - 4;0).$
Câu 15: Nhận biết
Cho ba điểm phân biệt $A,\ \ B,\ \ C.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $AB + BC = AC.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}.$
- C.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \left| \overrightarrow{CA} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight|.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BC}.$
Đáp án $AB + BC = AC.$ chỉ đúng khi ba điểm $A,\ \ B,\ \ C$ thẳng hàng và $B$ nằm giữa $A,\ \ C$ .

Đáp án $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}.$ đúng theo quy tắc ba điểm. Chọn đáp án này.
Câu 16: Thông hiểu
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AF}$
- B.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AF}$
- C.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AE}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AF}$
- D.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AF}$
Hình vẽ minh họa
Ta có:
G là trọng tâm tam giác ABC => $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}$
D là trung điểm của BC => $2\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$
E là trung điểm của AC => $\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AE}$
F là trung điểm của AB => $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AF}$
Khi đó:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AD} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight) \hfill \\ = \dfrac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AF} + 2\overrightarrow {AE} } ight) \hfill \\ = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AF} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AE} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 17: Nhận biết
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $\sin\alpha > 0.$
- B.
  $\cos\alpha > 0.$
- C.
  $\tan\alpha > 0.$
- D.
  $\cot\alpha > 0.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai $ightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} \sin\alpha < 0 \\ \cos\alpha > 0 \\ \tan\alpha < 0 \\ \cot\alpha < 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 18: Nhận biết
Hãy chọn kết quả đúng khi phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ của tam giác $ABC$ với trung tuyến $AM$ .
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ .
- D.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\mathbf{)}$ .
Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ .
Câu 19: Nhận biết
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Mệnh đề nào sau đây là sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$
- B.
  $\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB})$
- C.
  $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$
- D.
  $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DA}$
Ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{CA}= \overrightarrow{BD}$ (Sai).
Câu 20: Vận dụng
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ có $C( - 2; - 4)$ , trọng tâm $G(0;4)$ và trung điểm cạnh $BC$ là $M(2;0).$ Tổng hoành độ của điểm $A$ và $B$ là
- A.
  $- 2.$
- B.
  $2.$
- C.
  $4.$
- D.
  $8.$
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\left\{ \begin{matrix}x_{B} = 2x_{M} - x_{C} = 2.2 - ( - 2) = 6 \\y_{B} = 2y_{M} - y_{C} = 2.0 - ( - 4) = 4 \\\end{matrix} ight.$ $\ \Rightarrow B(6;4).$

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{matrix}x_{A} = 3x_{G} - x_{B} - x_{C} = - 4 \\y_{A} = 3y_{G} - y_{B} - y_{C} = 12 \\\end{matrix} ight.$ $\ ightarrow A( - 4;12).$

Suy ra $x_{A} + x_{B} = 2.$

54 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!