Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho tam giác ABC có $a = 8,b = 10$ , góc $C$ bằng $60^{0}$ . Độ dài cạnh $c$ là ?
- A.
  $c = 3\sqrt{21}$ .
- B.
  $c = 7\sqrt{2}$ .
- C.
  $c = 2\sqrt{11}$ .
- D.
  $c = 2\sqrt{21}$ .
Ta có: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2a.b.cosC$ $= 8^{2} + 10^{2} - 2.8.10.cos60^{0} = 84$ $\Rightarrow c = 2\sqrt{21}$ .
Câu 2: Vận dụng
Cho $A(1;2),\ B( - 2;6)$ . Điểm $M$ trên trục $Oy$ sao cho ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng thì tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $\left( 0;\frac{10}{3} ight)$ .
- B.
  $(0; - 10)$ .
- C.
  $(10;0)$ .
- D.
  $( - 10;0)$ .
Ta có: $M$ trên trục $Oy \Rightarrow M(0;y)$ .

Ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AM}$ .

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 3;4),\ \ \overrightarrow{AM} = ( - 1;y - 2)$ . Do đó, $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \frac{- 1}{- 3} = \frac{y - 2}{4} \Rightarrow y = \frac{10}{3}$ . Vậy $M\left( 0;\frac{10}{3} ight)$ .Đáp án là $M\left( 0;\frac{10}{3} ight)$
Câu 3: Thông hiểu
Cho hình bình hành $ABCD$ , điểm $M$ thoả mãn: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AB}$ . Khi đó $M$ là trung điểm của:
- A.
  $AB$ .
- B.
  $BC$ .
- C.
  $AD$ .
- D.
  $CD$ .
Ta có: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI} = \overrightarrow{AB}$ .

Vậy $M$ là trung điểm của $AD$ .
Câu 4: Thông hiểu
Cho hình bình hành $ABCD$ , điểm $M$ thỏa mãn: $4\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}$ . Khi đó điểm $M$ là:
- A.
  Trung điểm của AC
- B.
  Điểm C
- C.
  Trung điểm của AB
- D.
  Trung điểm của AD
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AC} = 4\overrightarrow{AM}$
Câu 5: Nhận biết
Cho hình bình hành ABCD, với giao điểm hai đường chéo I. Khi đó:
- A.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{BI}$
- B.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$
- C.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}$
Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$ (2 vectơ đối nhau).
Câu 6: Nhận biết
Tứ giác MNPQ là hình bình hành nếu:
- A.
  $MN = PQ$
- B.
  MN // PQ
- C.
  $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PQ}$
- D.
  $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$
Hình vẽ minh họa
Ta có MNPQ là hình bình hành nếu $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP}$
Câu 7: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có $AB = 3,\ \ AC = 4$ . Tính $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight|$ .
- A.
  $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = 2.$
- B.
  $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = 2\sqrt{13}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = 5.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = \sqrt{13}.$
Ta có $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight| = CB = \sqrt{AC^{2} + AB^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ .
Câu 8: Thông hiểu
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow {OC}$ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác bằng :
- A.
  $4$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $6$ .
Các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow {OC}$ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác là $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{ED}$ .
Câu 9: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ có $AB=1;AC=\sqrt2;\hat A=45^{\circ}$ . Tính độ dài cạnh $BC$ .
- A.
  $\sqrt3$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{\sqrt2}2$
Áp dụng định lí côsin:
$BC^2=AB^2+AC^2-2.AB.AC.\cos A$ $=1+2-2.1.\sqrt2.\cos45^{\circ} =1$ .
Suy ra $BC=1$ .
Câu 10: Vận dụng
Cho tam giác $OAB$ vuông cân tại $O,$ cạnh $OA = a.$ Tính $\left| 2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} ight|.$
- A.
  $a.$
- B.
  $\left( 1 + \sqrt{2} ight)a.$
- C.
  $a\sqrt{5}.$
- D.
  $2a\sqrt{2}.$
Gọi $C$ là điểm đối xứng của $O$ qua $A \Rightarrow OC = 2a.$ Tam giác $OBC$ vuông tại $O,$ có $BC = \sqrt{OB^{2} + OC^{2}} = a\sqrt{5}.$

Ta có $2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BC},$ suy ra $\left| 2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight| = a\sqrt{5}.$
Câu 11: Nhận biết
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}.$ Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được xác định bằng công thức nào dưới đây?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.sin\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$ .
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}.$ Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b},$ được xác định bởi công thức sau:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .
Câu 12: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ có $AM$ là một đường trung tuyến. Biểu diễn vectơ $\overrightarrow {AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ .
- A.
  $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
- B.
  $\overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
- C.
  $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
- D.
  $\overrightarrow {AM} = -\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$ .
Câu 13: Nhận biết
Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là các vectơ khác $\overrightarrow{0}$ với $\overrightarrow{a}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{b}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ cùng phương.
- B.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ ngược hướng.
- C.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ cùng độ dài.
- D.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ chung điểm đầu.
Ta có $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{b}$ . Do đó, $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.

Chọn đáp án sai là: Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ chung điểm đầu.
Câu 14: Nhận biết
Cặp vectơ nào sau đây vuông góc?
- A.
  $\overrightarrow{a} = (2; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ .
- B.
  $\overrightarrow{a} = (3; - 4)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ .
- C.
  $\overrightarrow{a} = ( - 2; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 6;4)$ .
- D.
  $\overrightarrow{a} = (7; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = (3; - 7)$ .
Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 2.( - 3) + ( - 1).4 = - 10 eq 0$ suy ra đáp án $\overrightarrow{a} = (2; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ sai.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3.( - 3) + ( - 4).4 = - 25 eq 0$ suy ra đáp án $\overrightarrow{a} = (3; - 4)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ sai.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 2.( - 6) - 3.4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}$ suy ra đáp án $\overrightarrow{a} = ( - 2; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 6;4)$ đúng.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 7.3 + ( - 3).( - 7) = 42 eq 0$ suy ra đáp án $\overrightarrow{a} = (7; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = (3; - 7)$ sai.
Câu 15: Nhận biết
Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là
- A.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ .
- B.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt thẳng hàng là $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Câu 16: Nhận biết
Cho ba điểm phân biệt $M,N,P.$ Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm $M,N,P$ đã cho?
- A.
  $4$ .
- B.
  $5$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $8$ .
Các vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm $M,N,P$ đã cho là

$\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM},\overrightarrow{MP},\overrightarrow{PM},\overrightarrow{NP},\overrightarrow{PN}$ .
Câu 17: Thông hiểu
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho vectơ $\overrightarrow{a} = (9;3)$ . Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ $\overrightarrow{a}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{v_{1}} = (1; - 3).$
- B.
  $\overrightarrow{v_{2}} = (2; - 6).$
- C.
  $\overrightarrow{v_{3}} = (1;3).$
- D.
  $\overrightarrow{v_{4}} = ( - 1;3).$
Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{v_{1}} = 9.1 + 3.( - 3) = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{v_{1}}$ nên đáp án $\overrightarrow{v_{1}} = (1; - 3)$ đúng.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{v_{2}} = 9.2 + 3.( - 6) = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{v_{2}}$ nên đáp án $\overrightarrow{v_{2}} = (2; - 6)$ đúng.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{v_{3}} = 9.1 + 3.3 = 18 eq 0$ nên đáp án $\overrightarrow{v_{3}} = (1;3)$ sai.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{v_{1}} = 9.( - 1) + 3.3 = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{v_{4}}$ nên đáp án $\overrightarrow{v_{4}} = ( - 1;3)$ đúng.
Câu 18: Thông hiểu
Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos\alpha = - \frac{12}{13}$ và $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi.$ Tính $\tan\alpha.$
- A.
  $\tan\alpha = - \frac{12}{5}.$
- B.
  $\tan\alpha = \frac{5}{12}.$
- C.
  $\tan\alpha = - \frac{5}{12}.$
- D.
  $\tan\alpha = \frac{12}{5}.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \sin\alpha = \pm \sqrt{1 - cos^{2}\alpha} = \pm \frac{5}{13} \\ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi. \\ \end{matrix} ight.$ $\overset{}{ightarrow}\sin\alpha = \frac{5}{13}\overset{}{ightarrow}\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = - \frac{5}{12}.$
Câu 19: Vận dụng cao
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(1;0),\ B(0;3)$ và $C( - 3; - 5).$ Tìm điểm $M$ thuộc trục hoành sao cho biểu thức $P = \left| 2\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $M(4;0).$
- B.
  $M( - 4;0).$
- C.
  $M(16;0).$
- D.
  $M( - 16;0).$
Ta có

$2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} =$ $2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) - 3\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) + 2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight),\ \forall I$

$= \overrightarrow{MI} + 2\left( \overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} ight),\ \forall I.$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.$ $(*)$

Gọi $I(x;y)$ , từ $(*)$ ta có

$\left\{ \begin{matrix}2(1 - x) - 3(0 - x) + 2( - 3 - x) = 0 \\2(0 - y) - 3(2 - y) + 2( - 5 - y) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - 4 \\y = - 16 \\\end{matrix} ight.\ ight.$ $\ \Rightarrow I( - 4; - 16).$

Khi đó $P = \left| 2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ $= \left|\overrightarrow{MI} ight| = MI.$

Để $P$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất. Mà $M$ thuộc trục hoành nên $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên trục hoành $\overset{}{ightarrow}M( - 4;0).$
Câu 20: Thông hiểu
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
- A.
  $- 3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ và $- \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + 6\overrightarrow{b}$ .
- B.
  $- \frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ và $2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ .
- C.
  $\frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ và $- \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ .
- D.
  $\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$ .
Ta có $\frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = - \left( - \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)$ nên chọn đáp án $\frac{1}{2}\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ và $- \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ .

55 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!