Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho vectơ $\overrightarrow{a} = (9;3)$ . Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ $\overrightarrow{a}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{v_{1}} = (1; - 3).$
- B.
  $\overrightarrow{v_{2}} = (2; - 6).$
- C.
  $\overrightarrow{v_{3}} = (1;3).$
- D.
  $\overrightarrow{v_{4}} = ( - 1;3).$
Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{v_{1}} = 9.1 + 3.( - 3) = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{v_{1}}$ nên đáp án $\overrightarrow{v_{1}} = (1; - 3)$ đúng.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{v_{2}} = 9.2 + 3.( - 6) = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{v_{2}}$ nên đáp án $\overrightarrow{v_{2}} = (2; - 6)$ đúng.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{v_{3}} = 9.1 + 3.3 = 18 eq 0$ nên đáp án $\overrightarrow{v_{3}} = (1;3)$ sai.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{v_{1}} = 9.( - 1) + 3.3 = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{v_{4}}$ nên đáp án $\overrightarrow{v_{4}} = ( - 1;3)$ đúng.
Câu 2: Nhận biết
Cho $\overrightarrow{a} e\overrightarrow{0}$ và điểm O. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thỏa mãn $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{ON}=-4\overrightarrow{a}$ . Tìm $\overrightarrow{MN}$ .
- A.
  $\overrightarrow{MN}=7\overrightarrow{a}$
- B.
  $\overrightarrow{MN}=-5\overrightarrow{a}$
- C.
  $\overrightarrow{MN}=-7\overrightarrow{a}$
- D.
  $\overrightarrow{MN}=5\overrightarrow{a}$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {ON} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow a + \left( { - 4\overrightarrow a } ight) \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow a - 4\overrightarrow a = 7\overrightarrow a \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 3: Nhận biết
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
- A.
  Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
- B.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
- C.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
- D.
  Chúng có cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Câu 4: Vận dụng
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho hình bình hành $OABC$ , điểm $C$ thuộc trục hoành. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB}$ có tung độ khác $0.$
- B.
  Hai điểm $A,\ B$ có tung độ khác nhau.
- C.
  $C$ có hoành độ bằng $0.$
- D.
  $x_{A} + x_{C} - x_{B} = 0.$
Từ giả thiết suy ra cạnh $OC$ thuộc trục hoành $\overset{}{ightarrow}$ cạnh $AB$ song song với trục hoành nên $y_{A} = y_{B}\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{AB} = \left( x_{A} - x_{B};0 ight)$ . Do đó loại đáp án $\overrightarrow{AB}$ có tung độ khác $0$ và đáp án hai điểm $A,\ B$ có tung độ khác nhau.

Nếu $C$ có hoành độ bằng $0\overset{}{ightarrow}C(0;0) \equiv O$ : mâu thuẩn với giả thiết $OABC$ là hình bình hành. Loại đáp án $C$ có hoành độ bằng $0.$

Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn $x_{A} + x_{C} - x_{B} = 0.$

Cách 2. Gọi $I$ là tâm của hình bình hành $OABC$ . Suy ra

$\bullet$ $I$ là trung điểm $AC\overset{}{ightarrow}I\left( \frac{x_{A} + x_{C}}{2};\frac{y_{A} + 0}{2} ight).$

$\bullet$ $I$ là trung điểm $OB\overset{}{ightarrow}I\left( \frac{0 + x_{B}}{2};\frac{0 + y_{B}}{2} ight).$

Từ đó suy ra $\frac{x_{A} + x_{C}}{2} =\frac{0 + x_{B}}{2}$ $\overset{}{ightarrow}x_{A} + x_{C} - x_{B} =0.$
Câu 5: Nhận biết
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $\sin\alpha > 0.$
- B.
  $\cos\alpha > 0.$
- C.
  $\tan\alpha > 0.$
- D.
  $\cot\alpha > 0.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai $ightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} \sin\alpha < 0 \\ \cos\alpha > 0 \\ \tan\alpha < 0 \\ \cot\alpha < 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 6: Nhận biết
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ . Tính độ dài véctơ $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$ .
- A.
  $a\sqrt{3}$ .
- B.
  $a\sqrt{2}$ .
- C.
  $a$ .
- D.
  $2a$
Hình vẽ minh họa:

$|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BD}| = a\sqrt{2}.$
Câu 7: Vận dụng
Gọi $AN,\ CM$ là các trung tuyến của tam giác $ABC$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AN} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CM}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AN} - \frac{2}{3}\overrightarrow{CM}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AN} + \frac{4}{3}\overrightarrow{CM}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AN} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CM}$ .
Ta có $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AM} \Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AM}$

Suy ra $\overrightarrow{AN} +\frac{1}{2}\overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} +\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} +\frac{1}{2}\overrightarrow{AM}$ $= \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} +\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} +\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} =\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$

Do đó $\overrightarrow{AB} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AN} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CM}$ .
Câu 8: Thông hiểu
Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $M,\ N,\ P,\ Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DA.$ Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{QP}.$
- B.
  $\left| \overrightarrow{QP} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight|.$
- C.
  $\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NP}.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{MN} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight|.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} MN \parallel PQ \\ MN = PQ \\ \end{matrix} ight.$ (do cùng song song và bằng $\frac{1}{2}AC$ ).

Do đó $MNPQ$ là hình bình hành.

Do đó $\left| \overrightarrow{MN} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight|$ sai.
Câu 9: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ , gọi $M$ là trung điểm $AB$ và $N$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $NC = 2NA$ . Gọi $K$ là trung điểm của $MN$ . Khi đó
- A.
  $\overrightarrow{AK} = \frac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}.$
- B.
  $\overrightarrow{AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow{AC}.$
- C.
  $\overrightarrow{AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AK} = \frac{1}{6}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}.$
Ta có $\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} ight) = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} ight) = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$ .
Câu 10: Nhận biết
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ . Tính $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$ .
- A.
  $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{DA}.$
- C.
  $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}.$
- D.
  $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB}.$
Ta có $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}$ .
Câu 11: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $2cosA = 1$ . Khi đó:
- A.
  $A = 30^{0}.$
- B.
  $A = 45^{0}.$
- C.
  $A = 120^{0}.$
- D.
  $A = 60^{0}.$
Ta có: $2cosA = 1 \Leftrightarrow$ $\cos A = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{A} = 60^{0}.$
Câu 12: Thông hiểu
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, BC = 5. Tính $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|$
- A.
  3
- B.
  4
- C.
  5
- D.
  6.
Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } ight| = \left| {\overrightarrow {AC} } ight| = AC$
Tam giác ABC vuông tại A ta có:
$\begin{matrix} A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \hfill \\ \Rightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {5^2} - {3^2} = 16 \hfill \\ \Rightarrow AC = 4 \hfill \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } ight| = AC = 4 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 13: Nhận biết
Tính giá trị $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ biết rằng $\overrightarrow{a} = (1; - 3),\overrightarrow{b} = (2;5)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 13$
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 5$
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 17$
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 40$
Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 1.2 + ( - 3).5 = - 13$
Câu 14: Thông hiểu
Điểm cuối của góc lượng giác $\alpha$ ở góc phần tư thứ mấy nếu $\sin\alpha,\ tan\alpha$ trái dấu?
- A.
  Thứ $I.$
- B.
  Thứ $II$ hoặc $IV.$
- C.
  Thứ $II$ hoặc $III.$
- D.
  Thứ $I$ hoặc $IV.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai thì $\sin\alpha > 0$ , $\cos\alpha < 0$ .

Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ tư thì $\sin\alpha < 0$ , $\cos\alpha > 0$ .

Vậy nếu $\sin\alpha,\ cos\alpha$ trái dấu thì điểm cuối của góc lượng giác $\alpha$ ở góc phần tư thứ $II$ hoặc $IV.$
Câu 15: Thông hiểu
Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ Xác định vị trí điểm M.
- A.
  M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM.
- B.
  M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
- C.
  Điểm M trùng với điểm C.
- D.
  M là trọng tâm của tam giác ABC.
Giả sử G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó ta có:
$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$
$\Rightarrow M \equiv G$
=> M là trọng tâm của tam giác ABC.
Câu 16: Nhận biết
Hãy chọn kết quả đúng khi phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ của tam giác $ABC$ với trung tuyến $AM$ .
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ .
- D.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\mathbf{)}$ .
Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ .
Câu 17: Nhận biết
Tứ giác MNPQ là hình bình hành nếu:
- A.
  $MN = PQ$
- B.
  MN // PQ
- C.
  $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PQ}$
- D.
  $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$
Hình vẽ minh họa
Ta có MNPQ là hình bình hành nếu $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP}$
Câu 18: Vận dụng cao
Chp parabol như hình vẽ:

Biết G là đỉnh parabol cách AB một khoảng bằng 6, $CD = 4;DE = \frac{10}{3}$ . Tính khoảng cách giữa hai điểm $A,B$ ?
- A.
  $AB = 6$
- B.
  $AB = 2$
- C.
  $AB = \frac{7}{3}$
- D.
  $AB = \frac{3}{4}$
Xét hệ tọa độ Oxy với O là trung điểm AB, tia Ox là tia OB.

Khi đó tọa độ $E\left( 2;\frac{10}{3} ight),G(0;6)$

Gọi biểu thức hàm số có đồ thị là hình parabol là $y = ax^{2} + bx + c$

Có G là đỉnh parabol suy ra $c = 6;b = 0$

Có $E\left( 2;\frac{10}{3} ight) \in (P)$ suy ra $\frac{10}{3} = 4a + 6 \Rightarrow a = - \frac{2}{3}$

Biểu thức hàm số là $y = - \frac{2}{3}x^{2} + 6$

Hoành độ giao điểm với trục hoành: $- \frac{2}{3}x^{2} + 6 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 3$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và B là $6$ .
Câu 19: Nhận biết
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $\overrightarrow{a} = (1;3),\ \ \overrightarrow{b}= ( - 2;1)$ . Tích vô hướng của 2 vectơ $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ là:
- A.
  1
- B.
  2.
- C.
  3.
- D.
  4.
Ta có $\overrightarrow{a} =(1;3),\overrightarrow{b} = ( - 2;1)$ , suy ra $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 1.( - 2) +3.1 = 1$ .
Câu 20: Thông hiểu
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm AM. Đường thẳng BN cắt AC tại P. Khi đó $\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{CP}$ thì giá trị của x là:
- A.
  $-\frac{4}{3}$
- B.
  $-\frac{2}{3}$
- C.
  $-\frac{3}{2}$
- D.
  $-\frac{5}{3}$
Hình vẽ minh họa
Kẻ $MD // BP, (D ∈ AC)$ . Do M là trung điểm BC
=> D là trung điểm CP (1).
Vì $MD // NP$ , mà N là trung điểm AM
=> P là trung điểm AD (2).
Từ (1), (2) ta suy ra $AP = PD = DC$ .
=> $AP = \frac{1}{2}CP$
Ta có $AC = AP + CP$
=> $AC = \frac{3}{2}CP$
Ta có: $\overrightarrow {AC} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {CP}$ (vì $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CP}$ ngược hướng)
=> $x = - \frac{3}{2}$

50 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!