Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ có $C( - 2; - 4)$ , trọng tâm $G(0;4)$ và trung điểm cạnh $BC$ là $M(2;0).$ Tổng hoành độ của điểm $A$ và $B$ là
- A.
  $- 2.$
- B.
  $2.$
- C.
  $4.$
- D.
  $8.$
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\left\{ \begin{matrix}x_{B} = 2x_{M} - x_{C} = 2.2 - ( - 2) = 6 \\y_{B} = 2y_{M} - y_{C} = 2.0 - ( - 4) = 4 \\\end{matrix} ight.$ $\ \Rightarrow B(6;4).$

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{matrix}x_{A} = 3x_{G} - x_{B} - x_{C} = - 4 \\y_{A} = 3y_{G} - y_{B} - y_{C} = 12 \\\end{matrix} ight.$ $\ ightarrow A( - 4;12).$

Suy ra $x_{A} + x_{B} = 2.$
Câu 2: Vận dụng cao
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(1;0),\ B(0;3)$ và $C( - 3; - 5).$ Tìm điểm $M$ thuộc trục hoành sao cho biểu thức $P = \left| 2\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $M(4;0).$
- B.
  $M( - 4;0).$
- C.
  $M(16;0).$
- D.
  $M( - 16;0).$
Ta có

$2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} =$ $2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) - 3\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) + 2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight),\ \forall I$

$= \overrightarrow{MI} + 2\left( \overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} ight),\ \forall I.$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.$ $(*)$

Gọi $I(x;y)$ , từ $(*)$ ta có

$\left\{ \begin{matrix}2(1 - x) - 3(0 - x) + 2( - 3 - x) = 0 \\2(0 - y) - 3(2 - y) + 2( - 5 - y) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - 4 \\y = - 16 \\\end{matrix} ight.\ ight.$ $\ \Rightarrow I( - 4; - 16).$

Khi đó $P = \left| 2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ $= \left|\overrightarrow{MI} ight| = MI.$

Để $P$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất. Mà $M$ thuộc trục hoành nên $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên trục hoành $\overset{}{ightarrow}M( - 4;0).$
Câu 3: Nhận biết
Cho ba điểm phân biệt $A,\ \ B,\ \ C$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{CA} -\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}.$
- C.
  $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.$
Ta có $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} =\overrightarrow{CB}$ . Vậy $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} =\overrightarrow{CB}$ đúng.
Câu 4: Nhận biết
Tam giác $ABC$ có $AB = 5,\ \ BC = 7,\ \ CA = 8$ . Số đo góc $\widehat{A}$ bằng:
- A.
  $30{^\circ}.$
- B.
  $45{^\circ}.$
- C.
  $60{^\circ}.$
- D.
  $90{^\circ}.$
Theo định lí hàm cosin, ta có $\cos\widehat{A} = \frac{AB^{2} + AC^{2} - BC^{2}}{2AB.AC}$ $= \frac{5^{2} + 8^{2} - 7^{2}}{2.5.8} = \frac{1}{2}$ .

Do đó, $\widehat{A} = 60{^\circ}$ .
Câu 5: Nhận biết
Tính giá trị $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ biết rằng $\overrightarrow{a} = (1; - 3),\overrightarrow{b} = (2;5)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 13$
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 5$
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 17$
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 40$
Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 1.2 + ( - 3).5 = - 13$
Câu 6: Thông hiểu
Cho $\sin\alpha =\frac{1}{4}$ , với $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$ . Giá trị $\cos\alpha$ bằng
- A.
  $\frac{\sqrt{15}}{4}$ .
- B.
  $- \frac{\sqrt{15}}{4}$ .
- C.
  $- \frac{15}{16}$ .
- D.
  $\frac{15}{16}$ .
Ta có:

$\cos^{2}\alpha = 1 -\sin^{2}\alpha$

$= 1 - \left( \frac{1}{4} ight)^{2} = \frac{15}{16}$

$\Rightarrow \cos\alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ (do $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$ ).

Vậy $\cos\alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ .
Câu 7: Thông hiểu
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Tính $P=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\times \overrightarrow{BC}$
- A.
  $P=b^{2}-c^{2}$
- B.
  $P=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}$
- C.
  $P=\frac{c^{2}+b^{2}+a^{2}}{3}$
- D.
  $P=\frac{c^{2}+b^{2}-a^{2}}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} P = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight).\overrightarrow {BC} \hfill \\ \Rightarrow P = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight).\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } ight) \hfill \\ \Rightarrow P = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight).\left( { - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight) \hfill \\ \Rightarrow P = {\left( {\overrightarrow {AC} } ight)^2} - {\left( {\overrightarrow {AB} } ight)^2} = {\left| {\overrightarrow {AC} } ight|^2} - {\left| {\overrightarrow {AB} } ight|^2} \hfill \\ \Rightarrow P = {b^2} - {c^2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 8: Nhận biết
Cho hình thoi $ABCD$ có $AC = 8, BD = 5$ . Tính $\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{BD}$ .
- A.
  24
- B.
  26
- C.
  28
- D.
  0
Vì $AC\perp BD$ nên $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0$ .
Câu 9: Nhận biết
Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G. Khi đó $\overrightarrow{GA}=$
- A.
  $2\overrightarrow{GM}$
- B.
  $\frac{2}{3}\overrightarrow{GM}$
- C.
  $-\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$
- D.
  $\frac{1}{2}\overrightarrow{AM}$
Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC => $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AG = \dfrac{2}{3}AM} \\ {\overrightarrow {AG} earrow earrow \overrightarrow {AM} } \end{array}} ight. \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow {GA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}$
Câu 10: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ , gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng?
- A.
  $2\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AG}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AG}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{GM}$ .
Ta có $AM = \frac{3}{2}AG$

Mặt khác $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AG}$ cùng hướng $\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$ hay $2\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AG}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{CD}.$
- B.
  $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}.$
- C.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.$
- D.
  $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA}.$
Xét các đáp án:

Đáp án $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{CD}.$ . Ta có $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$ . Vậy đáp án này đúng.

Đáp án $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}.$ . Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CB} = - \overrightarrow{AD} \\ \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AD} \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy đáp án này sai.

Đáp án $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.$ . Ta có $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.$ Vậy đáp án này đúng.

Đáp án $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA}.$ . Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy đáp án này đúng.
Câu 12: Nhận biết
Cho hình bình hành $ABCD$ , vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình bình hành bằng với vectơ $\overrightarrow{AB}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{DC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{BA}$ .
- C.
  $\overrightarrow{CD}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AC}$ .
Ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\left\{ \begin{matrix} AB = CD \\ AB \parallel CD \\ \end{matrix} ight.$ do đó $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .
Câu 13: Nhận biết
Cho hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{CD}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BC}$ .
Ta có:

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD}$ sai do $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}$ .

$\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{CD}$ sai do $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD} =2\overrightarrow{CD}$ $\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} ight) - \left( \overrightarrow{AD} -\overrightarrow{AB} ight)\mathbf{=}2\overrightarrow{CD}$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow{AB} =2\overrightarrow{CD}$ .

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$ sai do $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BC}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CB}$ .

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{BC}$ đúng do $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} =\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD}\mathbf{=}$ $2\overrightarrow{BC} + \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} ight) = 2\overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{0} = 2\overrightarrow{BC}$ .
Câu 14: Vận dụng
Gọi $M,\ N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AD,\ BC$ của tứ giác $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{MN}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{MN}$ .
- D.
  $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MN}$ .
Do M là trung điểm các cạnh AD nên $\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{0}$

Do N lần lượt là trung điểm các cạnh BC nên $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB}$ . Nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MN}$ đúng.

Ta có

$2\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MD} +\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}$ $=\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \left( \overrightarrow{MD} +\overrightarrow{MA} ight) = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{DC} .$

Vậy $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{MN}$ . Nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{MN}$ đúng.

Mà $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} + \left( \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{DC} ight)$ $= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB}= 2\overrightarrow{MN}$ . Nên $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{MN}$ đúng.

Vậy $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ sai.
Câu 15: Thông hiểu
Cho hình chữ nhật $ABCD.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{0}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight|.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} ight| = \left| \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight|.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{DB} ight| = BD \\ \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight| = AC \\ \end{matrix} ight.\ .$

Mà $BD = AC \Rightarrow \left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight|.$
Câu 16: Thông hiểu
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm AM. Đường thẳng BN cắt AC tại P. Khi đó $\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{CP}$ thì giá trị của x là:
- A.
  $-\frac{4}{3}$
- B.
  $-\frac{2}{3}$
- C.
  $-\frac{3}{2}$
- D.
  $-\frac{5}{3}$
Hình vẽ minh họa
Kẻ $MD // BP, (D ∈ AC)$ . Do M là trung điểm BC
=> D là trung điểm CP (1).
Vì $MD // NP$ , mà N là trung điểm AM
=> P là trung điểm AD (2).
Từ (1), (2) ta suy ra $AP = PD = DC$ .
=> $AP = \frac{1}{2}CP$
Ta có $AC = AP + CP$
=> $AC = \frac{3}{2}CP$
Ta có: $\overrightarrow {AC} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {CP}$ (vì $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CP}$ ngược hướng)
=> $x = - \frac{3}{2}$
Câu 17: Nhận biết
Cho hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .
- B.
  Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .
- C.
  Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ , đó là $\overrightarrow{0}$ .
- D.
  Cả A, B, C đều sai.
Mệnh đề đúng là: "Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ , đó là $\overrightarrow{0}$ ."
Câu 18: Nhận biết
Cho hai điểm $A$ và $B$ phân biệt. Điều kiện để $I$ là trung điểm $AB$ là:
- A.
  $IA = IB.$
- B.
  $\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB}.$
- C.
  $\overrightarrow{IA} = - \overrightarrow{IB}.$
- D.
  $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{BI}.$
Điều kiện để $I$ là trung điểm $AB$ là: $\overrightarrow{IA} = - \overrightarrow{IB}.$
Câu 19: Thông hiểu
Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức sai?
- A.
  $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DO}$ .
- B.
  $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}$ .
- C.
  $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .
Từ hình vẽ ta thấy đẳng thức sai là $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}$ .
Câu 20: Nhận biết
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây.
- A.
  $\sin\alpha > 0.$
- B.
  $\cos\alpha < 0.$
- C.
  $\tan\alpha < 0.$
- D.
  $\cot\alpha < 0.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất $ightarrow \left\{ \begin{matrix} \sin\alpha > 0 \\ \cos\alpha > 0 \\ \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

58 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!