Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Ba điểm $C,\ \ M,\ \ B$ thẳng hàng.
- B.
  $AM$ là phân giác trong của góc $\widehat{BAC}.$
- C.
  $A,\ \ M$ và trọng tâm tam giác $ABC$ thẳng hàng.
- D.
  $\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}.$
Gọi $I,\ \ G$ lần lượt là trung điểm $BC$ và trọng tâm tam giác $ABC.$ Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\ \overrightarrow{MI}.$

Theo bài ra, ta có $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}$ suy ra $\overrightarrow{MA} = 2\overrightarrow{MI} \Rightarrow A,\ \ M,\ \ I$ thẳng hàng

Mặt khác $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC\overset{}{ightarrow}\ G \in AI.$ Do đó, ba điểm $A,\ \ M,\ \ G$ thẳng hàng.
Câu 2: Nhận biết
Cho ngũ giác $ABCDE$ . Từ các đỉnh của ngũ giác đã cho có thể lập được bao nhiêu vectơ có điểm cuối là điểm $A$ ?
- A.
  $4$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $5$ .
- D.
  $6$ .
Các vectơ có điểm cuối là điểm $A$ là $\overrightarrow{BA}$ ; $\overrightarrow{CA}$ ; $\overrightarrow{DA}$ ; $\overrightarrow{EA}$ .
Câu 3: Nhận biết
Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ ?
- A.
  $IA = IB.$
- B.
  $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}.$
- C.
  $\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}.$
- D.
  $\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB}.$
Điều kiện cần và đủ để $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là $\overrightarrow{IA} = - \overrightarrow{IB} \Leftrightarrow \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ .
Câu 4: Thông hiểu
Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}.$
- B.
  $\overrightarrow{0}$ cùng hướng với mọi vectơ.
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| > 0.$
- D.
  $\overrightarrow{0}$ cùng phương với mọi vectơ.
Chọn $\left| \overrightarrow{AB} ight| > 0.$

Vì có thể xảy ra trường hợp $\left| \overrightarrow{AB} ight| = 0 \Leftrightarrow A \equiv B.$
Câu 5: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC,\ \ \ I$ là trung điểm của $AM.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight).$
- B.
  $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} ight).$
- C.
  $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\ \overrightarrow{AM}.$ $(1)$ Mặt khác $I$ là trung điểm $AM$ nên $2\ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AM}.$ $(2)$

Từ $(1),\ \ (2)$ suy ra $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 4\ \overrightarrow{AI} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight).$
Câu 6: Thông hiểu
Cho $\sin\alpha =\frac{1}{4}$ , với $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$ . Giá trị $\cos\alpha$ bằng
- A.
  $\frac{\sqrt{15}}{4}$ .
- B.
  $- \frac{\sqrt{15}}{4}$ .
- C.
  $- \frac{15}{16}$ .
- D.
  $\frac{15}{16}$ .
Ta có:

$\cos^{2}\alpha = 1 -\sin^{2}\alpha$

$= 1 - \left( \frac{1}{4} ight)^{2} = \frac{15}{16}$

$\Rightarrow \cos\alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ (do $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$ ).

Vậy $\cos\alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ .
Câu 7: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng độ dài.
- B.
  Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng phương và cùng độ dài.
- C.
  Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng.
- D.
  Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Theo định nghĩa, hai véctơ bằng nhau phải thỏa mãn hai điều kiện:

+) Cùng hướng

+) Cùng độ dài.

Chọn đáp án: Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Câu 8: Nhận biết
Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho $\overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{MP}$ . Điểm P được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây:
- A.
  Hình 1
- B.
  Hình 2
- C.
  Hình 3
- D.
  Hình 4
Vì $\overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{MP}$ nên $M$ nằm giữa $N$ và $P$ , đồng thời $MN=3MP$ .
Câu 9: Nhận biết
Cho tam giác $ABC.$ Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC.$ Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AM}.$
- B.
  $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{NC}.$
- C.
  $\overrightarrow{BC} = - \ 2\overrightarrow{MN}.$
- D.
  $\overrightarrow{CN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$
Vì $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\ \ AC.$ Suy ra $MN$ là đường trung bình của tam giác

$ABC\overset{}{ightarrow}MN = \frac{1}{2}BC.$ Mà $\overrightarrow{BC},\ \ \ \overrightarrow{MN}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\overrightarrow{BC} = 2\ \overrightarrow{MN}.$
Câu 10: Nhận biết
Cho $\Delta ABC$ có $a = 6,b = 8,c = 10.$ Diện tích $S$ của tam giác trên là:
- A.
  $48.$
- B.
  $24.$
- C.
  $12.$
- D.
  $30.$
Ta có: Nửa chu vi $\Delta ABC$ : $p = \frac{a + b + c}{2}$ .

Áp dụng công thức Hê-rông: $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ $= \sqrt{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)}$ $= 24$ .
Câu 11: Vận dụng
Cho $A(1;2),\ B( - 2;6)$ . Điểm $M$ trên trục $Oy$ sao cho ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng thì tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $\left( 0;\frac{10}{3} ight)$ .
- B.
  $(0; - 10)$ .
- C.
  $(10;0)$ .
- D.
  $( - 10;0)$ .
Ta có: $M$ trên trục $Oy \Rightarrow M(0;y)$ .

Ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AM}$ .

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 3;4),\ \ \overrightarrow{AM} = ( - 1;y - 2)$ . Do đó, $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \frac{- 1}{- 3} = \frac{y - 2}{4} \Rightarrow y = \frac{10}{3}$ . Vậy $M\left( 0;\frac{10}{3} ight)$ .Đáp án là $M\left( 0;\frac{10}{3} ight)$
Câu 12: Nhận biết
Cho hai vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}eq \overrightarrow{0}$ . Xác định góc giữa hai vecto $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khi $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}|\times |\overrightarrow{b}|$
- A.
  $180^{\circ}$
- B.
  $0^{\circ}$
- C.
  $90^{\circ}$
- D.
  $45^{\circ}$
Ta có:
$\begin{matrix} \vec a \times \vec b = - |\vec a|.|\vec b| = |\vec a|.|\vec b|.\cos {180^0} \hfill \\ \Rightarrow \left( {\vec a,\vec b} ight) = {180^0} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 13: Thông hiểu
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, AC, AB. Xác định các vectơ
$\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {NA}$
- A.
  $\overrightarrow {PA}$
- B.
  $\overrightarrow {PM}$
- C.
  $\overrightarrow {AN}$
- D.
  $\overrightarrow 0$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {NA} \hfill \\ = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PN} + \overrightarrow {NA} \hfill \\ = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PA} = \overrightarrow 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 14: Thông hiểu
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ . Xác định góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khi $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.$
- A.
  $\alpha = 180^{0}.$
- B.
  $\alpha = 0^{0}.$
- C.
  $\alpha = 90^{0}.$
- D.
  $\alpha = 45^{0}.$
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = - \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ nên $cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = - 1 \Rightarrow (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = 180^{o}$ .
Câu 15: Nhận biết
Cặp vectơ nào sau đây vuông góc?
- A.
  $\overrightarrow{a} = (2; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ .
- B.
  $\overrightarrow{a} = (3; - 4)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ .
- C.
  $\overrightarrow{a} = ( - 2; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 6;4)$ .
- D.
  $\overrightarrow{a} = (7; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = (3; - 7)$ .
Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 2.( - 3) + ( - 1).4 = - 10 eq 0$ suy ra đáp án $\overrightarrow{a} = (2; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ sai.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3.( - 3) + ( - 4).4 = - 25 eq 0$ suy ra đáp án $\overrightarrow{a} = (3; - 4)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ sai.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 2.( - 6) - 3.4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}$ suy ra đáp án $\overrightarrow{a} = ( - 2; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 6;4)$ đúng.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 7.3 + ( - 3).( - 7) = 42 eq 0$ suy ra đáp án $\overrightarrow{a} = (7; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = (3; - 7)$ sai.
Câu 16: Vận dụng
Cho tam giác $ABC$ có $N$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $BN = 2NC$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AN} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ .
Ta có

$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BN}$ $= \overrightarrow{AB} +\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} ight)$ $= \overrightarrow{AB}- \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} =\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} +\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ .
Câu 17: Nhận biết
Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}$
- B.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$
- C.
  $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$
- D.
  $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$
Áp dụng quy tắc hình bình hành tại điểm B ta có:
$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$
Câu 18: Nhận biết
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
- A.
  sin 157°= sin 23°
- B.
  sin 143° = -sin 23°
- C.
  sin 243° = cos 23°
- D.
  sin 257° = -cos 23°
Ta có: $\sin157^{\circ} =\sin (180^{\circ} -157^{\circ} )=\sin 23^{\circ}$ . Vì $\sin \alpha =\sin (180^{\circ} -\alpha )$ .
Câu 19: Vận dụng cao
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ $A(1; - 4),B(4;5),C(0; - 7)$ . Một điểm $M \in Ox$ bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ ?
- A.
  $\sqrt{15}$
- B.
  $2\sqrt{5}$
- C.
  $7\sqrt{10}$
- D.
  $6\sqrt{10}$
Ta có: $M \in Ox \Rightarrow M(x;0)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (1 - x; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (4 - x;5) \\ \overrightarrow{MC} = ( - x; - 7) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = (9 - 3x;6) \\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (4 - 2x; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$

$= 2\sqrt{(9 - 3x)^{2} + 6^{2}} + 3\sqrt{(4 - 2x)^{2} + ( - 2)^{2}}$

$= 6\left( \sqrt{(3 - x)^{2} + 2^{2}} + \sqrt{(2 - x)^{2} + ( - 1)^{2}} ight) = 6(ME + MF)$

(Với $E(3;2),F(2; - 1)$ )

Lại có: $\overrightarrow{EF} = ( - 1; - 3) \Rightarrow \left| \overrightarrow{EF} ight| = \sqrt{10}$

Mà $ME + MF \geq EF \Rightarrow T \geq 6\sqrt{10}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của EF và Ox => $M\left( \frac{7}{3};0 ight)$

Vậy biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất là $6\sqrt{10}$ .
Câu 20: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ cân ở $A$ , đường cao $AH$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.$
- B.
  $\overrightarrow{HC} = - \overrightarrow{HB}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight|.$
- D.
  $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{HC}.$
Tam giác $ABC$ cân ở $A$ , đường cao $AH$ . Do đó, $H$ là trung điểm $BC$ .

Ta có:

$AB = AC \Rightarrow \left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight|$

$H$ là trung điểm $BC \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HC} = - \overrightarrow{HB} \\ \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{HC} \\ \end{matrix} ight.$ .

Chọn đáp án sai là $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.$

54 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!