Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ với $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là trung điểm của. Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}.$
- B.
  $\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{0}.$
- C.
  $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PM} = \overrightarrow{0}.$
- D.
  $\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MP}.$
Xét các đáp án:

Đáp án $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}.$ . Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}.$

Đáp án $\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{0}.$ . Ta có $\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$

$= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} ight) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}.$

Đáp án $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PM} = \overrightarrow{0}.$ . Ta có $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PM} = \overrightarrow{MM} = \overrightarrow{0}.$

Đáp án $\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MP}.$ . Ta có $\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{MC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{PM} = - \overrightarrow{MP}.$ Chọn đáp án này.
Câu 2: Vận dụng cao
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ $A(1; - 4),B(4;5),C(0; - 7)$ . Một điểm $M \in Ox$ bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ ?
- A.
  $\sqrt{15}$
- B.
  $2\sqrt{5}$
- C.
  $7\sqrt{10}$
- D.
  $6\sqrt{10}$
Ta có: $M \in Ox \Rightarrow M(x;0)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (1 - x; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (4 - x;5) \\ \overrightarrow{MC} = ( - x; - 7) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = (9 - 3x;6) \\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (4 - 2x; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$

$= 2\sqrt{(9 - 3x)^{2} + 6^{2}} + 3\sqrt{(4 - 2x)^{2} + ( - 2)^{2}}$

$= 6\left( \sqrt{(3 - x)^{2} + 2^{2}} + \sqrt{(2 - x)^{2} + ( - 1)^{2}} ight) = 6(ME + MF)$

(Với $E(3;2),F(2; - 1)$ )

Lại có: $\overrightarrow{EF} = ( - 1; - 3) \Rightarrow \left| \overrightarrow{EF} ight| = \sqrt{10}$

Mà $ME + MF \geq EF \Rightarrow T \geq 6\sqrt{10}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của EF và Ox => $M\left( \frac{7}{3};0 ight)$

Vậy biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất là $6\sqrt{10}$ .
Câu 3: Nhận biết
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ . Tính $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$ .
- A.
  $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{DA}.$
- C.
  $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}.$
- D.
  $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB}.$
Ta có $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}$ .
Câu 4: Nhận biết
Cho $\Delta ABC$ có $S = 84,a = 13,b = 14,c = 15.$ Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác trên là:
- A.
  $8,125.$
- B.
  $130.$
- C.
  $8.$
- D.
  $8,5.$
Ta có: $S_{\Delta ABC} = \frac{a.b.c}{4R} \Leftrightarrow$ $R = \frac{a.b.c}{4S} = \frac{13.14.15}{4.84} = \frac{65}{8}$ .
Câu 5: Nhận biết
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
- A.
  sin(180° – α) = ‒cos α
- B.
  sin(180° – α) = ‒sin α
- C.
  sin(180° – α) = sin α
- D.
  sin(180° – α) = cos α
Đáp án đúng là sin(180° – α) = sin α
Câu 6: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và trung tuyến $AM$ . Khẳng định nào sau đây là sai.
- A.
  $\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{0}$ .
- B.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$ , với mọi điểm $O$ .
- C.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AM} = - 2\overrightarrow{MG}$ .
Ta có $AM = 3MG$

Mặt khác $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{MG}$ ngược hướng $\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{AM} = - 3\overrightarrow{MG}$ .
Câu 7: Vận dụng
Gọi $M,\ N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AD,\ BC$ của tứ giác $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{MN}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{MN}$ .
- D.
  $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MN}$ .
Do M là trung điểm các cạnh AD nên $\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{0}$

Do N lần lượt là trung điểm các cạnh BC nên $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB}$ . Nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MN}$ đúng.

Ta có

$2\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MD} +\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}$ $=\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \left( \overrightarrow{MD} +\overrightarrow{MA} ight) = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{DC} .$

Vậy $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{MN}$ . Nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{MN}$ đúng.

Mà $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} + \left( \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{DC} ight)$ $= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB}= 2\overrightarrow{MN}$ . Nên $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{MN}$ đúng.

Vậy $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ sai.
Câu 8: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(3; - 1),B(2;10),C( - 4;2).$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.$
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 40.$
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 40.$
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 26.$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 26.$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1;11)$ , $\overrightarrow{AC} = ( - 7;3)$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=40.$
Câu 9: Thông hiểu
Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ Xác định vị trí điểm M.
- A.
  M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM.
- B.
  M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
- C.
  Điểm M trùng với điểm C.
- D.
  M là trọng tâm của tam giác ABC.
Giả sử G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó ta có:
$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$
$\Rightarrow M \equiv G$
=> M là trọng tâm của tam giác ABC.
Câu 10: Thông hiểu
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ . Xác định góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khi $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left| \overrightarrow{a} ight|.|\overrightarrow{b}|$ .
- A.
  $\alpha = 180^{\circ}$ .
- B.
  $\alpha = 0^{\circ}$ .
- C.
  $\alpha = 90^{\circ}$ .
- D.
  $\alpha = 45^{\circ}$ .
Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left|\overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b}ight|.\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ .

Mà theo giả thiết $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left|\overrightarrow{a} ight|.|\overrightarrow{b}|$

Suy ra $\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) = - 1\longrightarrow (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) =180^{\circ}$
Câu 11: Vận dụng
Cho $A(1;2),\ B( - 2;6)$ . Điểm $M$ trên trục $Oy$ sao cho ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng thì tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $\left( 0;\frac{10}{3} ight)$ .
- B.
  $(0; - 10)$ .
- C.
  $(10;0)$ .
- D.
  $( - 10;0)$ .
Ta có: $M$ trên trục $Oy \Rightarrow M(0;y)$ .

Ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AM}$ .

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 3;4),\ \ \overrightarrow{AM} = ( - 1;y - 2)$ . Do đó, $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \frac{- 1}{- 3} = \frac{y - 2}{4} \Rightarrow y = \frac{10}{3}$ . Vậy $M\left( 0;\frac{10}{3} ight)$ .Đáp án là $M\left( 0;\frac{10}{3} ight)$
Câu 12: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC,\ \ \ I$ là trung điểm của $AM.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight).$
- B.
  $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} ight).$
- C.
  $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\ \overrightarrow{AM}.$ $(1)$ Mặt khác $I$ là trung điểm $AM$ nên $2\ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AM}.$ $(2)$

Từ $(1),\ \ (2)$ suy ra $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 4\ \overrightarrow{AI} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight).$
Câu 13: Thông hiểu
Cho bốn điểm phân biệt $A,\ B,\ C,\ D$ và không cùng nằm trên một đường thẳng. Điều kiện nào trong các đáp án A, B, C, D sau đây là điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ?
- A.
  $ABCD$ là hình bình hành.
- B.
  $ABDC$ là hình bình hành.
- C.
  $AC = BD.$
- D.
  $AB = CD.$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB \parallel CD \\ AB = CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow ABDC$ là hình bình hành.

Mặt khác, $ABDC$ là hình bình hành $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB \parallel CD \\ AB = CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .

Do đó, điều kiện cần và đủ để $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ là $ABDC$ là hình bình hành.
Câu 14: Nhận biết
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
- A.
  Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
- B.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
- C.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
- D.
  Chúng có cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Câu 15: Nhận biết
Cho tam giác đều $ABC$ có đường cao $AH$ . Tính $(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BA})$ .
- A.
  30°
- B.
  60°
- C.
  120°
- D.
  150°
Lấy $D$ sao cho $\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {AH}$ .
Ta có: $(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BA}) =(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA})=90^{\circ} +60^{\circ}= 150^{\circ}$ .
Câu 16: Nhận biết
Gọi $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,\ \ AC$ của tam giác đều $ABC$ . Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?
- A.
  $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{CB}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MB}.$
- C.
  $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}.$
- D.
  $\overrightarrow{AN}$ và $\overrightarrow{CA}.$
Cặp $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MB}$ là cặp vectơ cùng hướng.
Câu 17: Thông hiểu
Cho góc $\alpha$ thỏa $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ và $90^{O} < \alpha < 180^{O}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\cot\alpha = - \frac{4}{5}.$
- B.
  $\cos\alpha = \frac{4}{5}.$
- C.
  $\tan\alpha = \frac{5}{4}.$
- D.
  $\cos\alpha = - \frac{4}{5}.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \cos\alpha = \pm \sqrt{1 - sin^{2}\alpha} = \pm \frac{4}{5} \\ 90{^\circ} < \alpha < 180{^\circ} \\ \end{matrix} ight.$ $\overset{}{ightarrow}\cos\alpha = - \frac{4}{5}.$
Câu 18: Nhận biết
Cho 4 điểm $A, B, C, D$ phân biệt. Khi đó $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}$ bằng
- A.
  $\overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{BD}$
- C.
  $\overrightarrow{AC}$
- D.
  $\overrightarrow{DC}$
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})$ $=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$ .
Câu 19: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ có $AM$ là một đường trung tuyến. Biểu diễn vectơ $\overrightarrow {AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ .
- A.
  $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
- B.
  $\overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
- C.
  $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
- D.
  $\overrightarrow {AM} = -\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$ .
Câu 20: Thông hiểu
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm AM. Đường thẳng BN cắt AC tại P. Khi đó $\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{CP}$ thì giá trị của x là:
- A.
  $-\frac{4}{3}$
- B.
  $-\frac{2}{3}$
- C.
  $-\frac{3}{2}$
- D.
  $-\frac{5}{3}$
Hình vẽ minh họa
Kẻ $MD // BP, (D ∈ AC)$ . Do M là trung điểm BC
=> D là trung điểm CP (1).
Vì $MD // NP$ , mà N là trung điểm AM
=> P là trung điểm AD (2).
Từ (1), (2) ta suy ra $AP = PD = DC$ .
=> $AP = \frac{1}{2}CP$
Ta có $AC = AP + CP$
=> $AC = \frac{3}{2}CP$
Ta có: $\overrightarrow {AC} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {CP}$ (vì $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CP}$ ngược hướng)
=> $x = - \frac{3}{2}$

57 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!