Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Điểm cuối của góc lượng giác $\alpha$ ở góc phần tư thứ mấy nếu $\sin\alpha,\ cos\alpha$ cùng dấu?
- A.
  Thứ $II.$
- B.
  Thứ $IV.$
- C.
  Thứ $II$ hoặc $IV.$
- D.
  Thứ $I$ hoặc $III.$
Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất thì $\sin\alpha > 0$ , $\cos\alpha > 0$ .

Điểm cuối của $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất thì $\sin\alpha < 0$ , $\cos\alpha < 0$ .

Vậy nếu $\sin\alpha,\ cos\alpha$ cùng dấu thì điểm cuối của góc lượng giác $\alpha$ ở góc phần tư thứ $I$ hoặc $III.$
Câu 2: Vận dụng
Cho tam giác $ABC$ , $AB = 5,AC = 1$ . Tính tọa độ điểm $D$ là chân đường phân giác góc $A$ . Biết $B(7; - 2);C(1;4)$ .
- A.
  $\left( - \frac{1}{2};\frac{11}{2} ight)$
- B.
  $(2;3)$
- C.
  $(2;0)$
- D.
  $(3;0)$
Theo tính chất đường phân giác: $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$ . Suy ra $\overrightarrow{DB} = - 5\overrightarrow{DC}$ .

Gọi $D(x;y)$ . Suy ra $\overrightarrow{DB}(7 - x; - 2 - y);\overrightarrow{DC}(1 - x;4 - y)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 7 - x = - 5(1 - x) \\ - 2 - y = - 5(4 - y) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ điểm $D(2;3)$ .
Câu 3: Thông hiểu
Cho hình bình hành ABCD. Với mọi điểm M, ta có khẳng định nào sau đây:
- A.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$
- C.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$
- D.
  $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}$
Gọi O là giao điểm của AC và BD
=> OA OC, OB = OD
Ta có:
$\begin{matrix} \Rightarrow \overrightarrow {OA} earrow \swarrow \overrightarrow {OC} ;\overrightarrow {OB} earrow \swarrow \overrightarrow {OD} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \hfill \\ \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {MO} \hfill \\ \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {MO} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 4: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC,\ \ \ G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight).$
- B.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight).$
- C.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{2}\overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}.$
Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}.$ Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\ \overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight).$ Do đó $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight) = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight).$
Câu 5: Thông hiểu
Cho bốn điểm phân biệt $A,\ B,\ C,\ D$ thỏa mãn $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng $\overrightarrow{CD}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB}$ cùng phương $\overrightarrow{CD}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{CD} ight|.$
- D.
  $ABCD$ là hình bình hành.
Phải suy ra $ABDC$ là hình bình hành (nếu $A,\ B,\ C,\ D$ không thẳng hàng) hoặc bốn điểm $A,\ B,\ C,\ D$ thẳng hàng.

Đáp án sai là $ABCD$ là hình bình hành.
Câu 6: Nhận biết
Chọn công thức đúng trong các đáp án sau:
- A.
  $S = \frac{1}{2}bc\sin A\ .$
- B.
  $S = \frac{1}{2}ac\sin A\ .$
- C.
  $S = \frac{1}{2}bc\sin B\ .$
- D.
  $S = \frac{1}{2}bc\sin B\ .$
Ta có: $S = \frac{1}{2}bc\sin A =$ $\frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hai vecto $\overrightarrow{u} = (1;3)$ và $\overrightarrow{v} = ( - 2;2)$ . Tính $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= 4$
- B.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= - 5$
- C.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= 2$
- D.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= - 8$
Theo bài ra ta có:
$\overrightarrow{u} = (1;3)$ và $\overrightarrow{v} = ( - 2;2)$
Khi đó: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1.( - 2) +3.2 = 4$
Câu 8: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(3; - 1),B(2;10),C( - 4;2).$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.$
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 40.$
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 40.$
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 26.$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 26.$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1;11)$ , $\overrightarrow{AC} = ( - 7;3)$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=40.$
Câu 9: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ , có bao nhiêu điểm $M$ thỏa $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = 5$ ?
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  vô số.
- D.
  Không có điểm nào.
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ , ta có $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$ .

Thay vào ta được : $\left|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|= 5$ $\Leftrightarrow \left| 3\overrightarrow{MG} ight| = 5\Leftrightarrow MG = \frac{5}{3}$ , hay tập hợp các điểm $M$ là đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác $ABC$ và bán kính bằng $\frac{5}{3}$ .
Câu 10: Vận dụng
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$ của tứ giác $ABCD$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 4\overrightarrow{MN}$ .
- B.
  $4\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$ .
- C.
  $4\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$ .
- D.
  $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$ .
Do M là trung điểm các cạnh AB nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{0}$ .

Do N lần lượt là trung điểm các cạnh DC nên $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$ .

Ta có

$2\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD}$ $=\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} + \left( \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} ight) = \overrightarrow{AD} +\overrightarrow{BC}$

Mặt khác $\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD}$ $= \overrightarrow{BC} + \left( \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{CD} ight) = \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{AD}$

Do đó $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 4\overrightarrow{MN}$ .
Câu 11: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ có $AB=1;AC=\sqrt2;\hat A=45^{\circ}$ . Tính độ dài cạnh $BC$ .
- A.
  $\sqrt3$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{\sqrt2}2$
Áp dụng định lí côsin:
$BC^2=AB^2+AC^2-2.AB.AC.\cos A$ $=1+2-2.1.\sqrt2.\cos45^{\circ} =1$ .
Suy ra $BC=1$ .
Câu 12: Vận dụng cao
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ $A(1; - 4),B(4;5),C(0; - 7)$ . Một điểm $M \in Ox$ bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ ?
- A.
  $\sqrt{15}$
- B.
  $2\sqrt{5}$
- C.
  $7\sqrt{10}$
- D.
  $6\sqrt{10}$
Ta có: $M \in Ox \Rightarrow M(x;0)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (1 - x; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (4 - x;5) \\ \overrightarrow{MC} = ( - x; - 7) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = (9 - 3x;6) \\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (4 - 2x; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$

$= 2\sqrt{(9 - 3x)^{2} + 6^{2}} + 3\sqrt{(4 - 2x)^{2} + ( - 2)^{2}}$

$= 6\left( \sqrt{(3 - x)^{2} + 2^{2}} + \sqrt{(2 - x)^{2} + ( - 1)^{2}} ight) = 6(ME + MF)$

(Với $E(3;2),F(2; - 1)$ )

Lại có: $\overrightarrow{EF} = ( - 1; - 3) \Rightarrow \left| \overrightarrow{EF} ight| = \sqrt{10}$

Mà $ME + MF \geq EF \Rightarrow T \geq 6\sqrt{10}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của EF và Ox => $M\left( \frac{7}{3};0 ight)$

Vậy biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất là $6\sqrt{10}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Cho hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DB}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}.$
- C.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.$
Do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.$

Suy ra $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.$
Câu 14: Nhận biết
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
- A.
  Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
- B.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
- C.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
- D.
  Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi: Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Câu 15: Nhận biết
Trên đường thẳng $MN$ lấy điểm $P$ sao cho $\overrightarrow{MN} = - 3\overrightarrow{MP}$ . Điểm $P$ được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây:
- A.
  Hình 1.
- B.
  Hình 2.
- C.
  Hình 3.
- D.
  Hình 4.
Ta có $\overrightarrow{MN} = - 3\overrightarrow{MP}$ nên $MN = 3MP$ và $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ ngược hướng.
Câu 16: Nhận biết
Cho hình bình hành ABCD. Với mọi điểm M, ta có khẳng định nào sau đây:
- A.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$
- C.
  $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}$
- D.
  $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}$
Ta có: $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}= \overrightarrow {DC}$ (Đúng).
Câu 17: Nhận biết
Cho ba điểm phân biệt $M,N,P.$ Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm $M,N,P$ đã cho?
- A.
  $4$ .
- B.
  $5$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $8$ .
Các vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm $M,N,P$ đã cho là

$\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM},\overrightarrow{MP},\overrightarrow{PM},\overrightarrow{NP},\overrightarrow{PN}$ .
Câu 18: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.$
- B.
  $\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{AB}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{CA} ight| = a.$
- D.
  $\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{BC}.$
Độ dài các cạnh của tam giác là $a$ thì độ dài các vectơ $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{CA} ight| = a$ .
Câu 19: Thông hiểu
Cho tọa độ ba điểm $A(0;3),B(4;0),C( - 2; - 5)$ . Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 16$
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 9$
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = - 10$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = - 9$
Ta có: $A(0;3),B(4;0),C( - 2; - 5)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (4; - 3) \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6; - 5) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 4.( - 6) + ( - 3).( - 5) = - 9$
Câu 20: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và trung tuyến $AM$ . Khẳng định nào sau đây là sai.
- A.
  $\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{0}$ .
- B.
  $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$ , với mọi điểm $O$ .
- C.
  $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AM} = - 2\overrightarrow{MG}$ .
Ta có $AM = 3MG$

Mặt khác $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{MG}$ ngược hướng $\mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{AM} = - 3\overrightarrow{MG}$ .

24 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!