Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Tính $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|$ .
- A.
  $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|=0$
- B.
  $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|=a$
- C.
  $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|=a\sqrt{2}$
- D.
  $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|=2a$
Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DA} } ight| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } ight| = \left| \overrightarrow {AC} ight| = AC = a\sqrt 2$ . (hình vuông cạnh $a$ thì đường chéo bằng $a\sqrt2$ ).
Câu 2: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ và đặt $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{BC},\ \ \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AC}.$ Cặp vectơ nào sau đây cùng phương?
- A.
  $2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}.$
- B.
  $2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}.$
- C.
  $5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\ \ - \ 10\ \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}.$
- D.
  $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}.$
Dễ thấy $- 10\ \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} = - \ 2\ \left( 5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)\overset{}{ightarrow}$ hai vectơ $5\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b},\ \ - 10\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}$ cùng phương.
Câu 3: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ , có bao nhiêu điểm $M$ thỏa $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = 5$ ?
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  vô số.
- D.
  Không có điểm nào.
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ , ta có $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$ .

Thay vào ta được : $\left|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|= 5$ $\Leftrightarrow \left| 3\overrightarrow{MG} ight| = 5\Leftrightarrow MG = \frac{5}{3}$ , hay tập hợp các điểm $M$ là đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác $ABC$ và bán kính bằng $\frac{5}{3}$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(3; - 1),B(2;10),C( - 4;2).$ Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.$
- A.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 40.$
- B.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 40.$
- C.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 26.$
- D.
  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 26.$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1;11)$ , $\overrightarrow{AC} = ( - 7;3)$ $\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=40.$
Câu 5: Nhận biết
Cho hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .
- B.
  Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .
- C.
  Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ , đó là $\overrightarrow{0}$ .
- D.
  Cả A, B, C đều sai.
Mệnh đề đúng là: "Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ , đó là $\overrightarrow{0}$ ."
Câu 6: Nhận biết
Tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 60{^\circ},\ \ \widehat{C} = 45{^\circ}$ và $AB = 5$ . Tính độ dài cạnh $AC$ .
- A.
  $AC = \frac{5\sqrt{6}}{2}.$
- B.
  $AC = 5\sqrt{3}.$
- C.
  $AC = 5\sqrt{2}.$
- D.
  $AC = 10.$
Theo định lí hàm sin, ta có $\frac{AB}{\sin\widehat{C}} = \frac{AC}{\sin\widehat{B}} \Leftrightarrow \frac{5}{sin45{^\circ}} = \frac{AC}{sin60{^\circ}}$ $\Rightarrow AC = \frac{5\sqrt{6}}{2}$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ $A(1; - 4),B(4;5),C(0; - 7)$ . Một điểm $M \in Ox$ bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ ?
- A.
  $\sqrt{15}$
- B.
  $2\sqrt{5}$
- C.
  $7\sqrt{10}$
- D.
  $6\sqrt{10}$
Ta có: $M \in Ox \Rightarrow M(x;0)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (1 - x; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (4 - x;5) \\ \overrightarrow{MC} = ( - x; - 7) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = (9 - 3x;6) \\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (4 - 2x; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$

$= 2\sqrt{(9 - 3x)^{2} + 6^{2}} + 3\sqrt{(4 - 2x)^{2} + ( - 2)^{2}}$

$= 6\left( \sqrt{(3 - x)^{2} + 2^{2}} + \sqrt{(2 - x)^{2} + ( - 1)^{2}} ight) = 6(ME + MF)$

(Với $E(3;2),F(2; - 1)$ )

Lại có: $\overrightarrow{EF} = ( - 1; - 3) \Rightarrow \left| \overrightarrow{EF} ight| = \sqrt{10}$

Mà $ME + MF \geq EF \Rightarrow T \geq 6\sqrt{10}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của EF và Ox => $M\left( \frac{7}{3};0 ight)$

Vậy biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất là $6\sqrt{10}$ .
Câu 8: Nhận biết
Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
- A.
  $(\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ})=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{PQ}$
- B.
  $\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}$
- C.
  $\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{MN}$
- D.
  $(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PQ})(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ})=MN^{2}-PQ^{2}$
Hệ thức sai là: $\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}$
Vì $\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP}$ (tính chất giao hoán)
Câu 9: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ $M$ là trung điểm của $BC.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.$
- B.
  $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.$
- C.
  $\overrightarrow{MB} = - \ \overrightarrow{MC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{BC}}{2}.$
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{MB} = - \ \overrightarrow{MC}.$
Câu 10: Thông hiểu
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a.$ Tính $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight|.$
- A.
  $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight| = 0.$
- B.
  $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight| = a.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight| = a\sqrt{2}.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight| = 2a.$
Ta có $\left| \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DA} ight| = \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{AC} ight| = AC = a\sqrt{2}.$
Câu 11: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.$
- B.
  $\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{AB}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{CA} ight| = a.$
- D.
  $\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{BC}.$
Độ dài các cạnh của tam giác là $a$ thì độ dài các vectơ $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight| = \left| \overrightarrow{CA} ight| = a$ .
Câu 12: Vận dụng
Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Tam giác ABC đều
- B.
  Tam giác ABC cân tại C
- C.
  Tam giác ABC vuông tại C
- D.
  Tam giác ABC cân tại B.
Ta có: $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}| \Leftrightarrow$ $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } ight| = \left| {\overrightarrow {BA} } ight|$ .
Vẽ hình bình hành $ACBD$ , suy ra $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } ight| = \left| {\overrightarrow {CD} } ight|$ . Mà $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } ight| = \left| {\overrightarrow {BA} } ight|$ . Suy ra $CD=BA$ . Do đó $ACBD$ là hình chữ nhật. Do đó tam giác $ACB$ vuông $C$ .
Câu 13: Thông hiểu
Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ . Ba vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{BA}$ là:
- A.
  $\overrightarrow{CO}$ , $\overrightarrow{FO}$ , $\overrightarrow{ED}$ .
- B.
  $\overrightarrow{OC}$ , $\overrightarrow{OF}$ , $\overrightarrow{DE}$ .
- C.
  $\overrightarrow{FO}$ , $\overrightarrow{CO}$ , $\overrightarrow{DE}$ .
- D.
  $\overrightarrow{DE}$ , $\overrightarrow{CO}$ , $\overrightarrow{OF}$ .
Ba vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{BA}$ là: $\overrightarrow{DE}$ , $\overrightarrow{CO}$ , $\overrightarrow{OF}$ .
Câu 14: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC,\ \ \ I$ là trung điểm của $AM.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- B.
  $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + 2\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- C.
  $2\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
- D.
  $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}.$
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM}.$ Mặt khác $I$ là trung điểm $AM$ nên $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IM} = \overrightarrow{0}.$ Suy ra $\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + 2\overrightarrow{IA} = 2\overrightarrow{IM} + 2\overrightarrow{IA} = 2\left( \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IA} ight) = \overrightarrow{0}.$
Câu 15: Thông hiểu
Cho góc α, (0° ≤ α ≤ 180°). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  $\sin^{2}α + \cos^{2}α = 1$
- B.
  $\tanα . \cotα = 1$ , (0° < α < 180° và α ≠ 90°)
- C.
  $1+\tan^{2}α=\frac{1}{\cos^{2}α}$ , (α ≠ 90°)
- D.
  $1+\cot^{2}α=\frac{1}{\cos^{2}α}$ , (0° < α < 180° và α ≠ 90°)
Khẳng định sai là: " $1+\cot^{2}α=\frac{1}{\cos^{2}α}$ , (0° < α < 180° và α ≠ 90°)"
Sửa lại là " $1+\cot^{2}α=-\frac{1}{\sin^{2}α}$ , (0° < α < 180° và α ≠ 90°)".
Câu 16: Vận dụng
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ có $M(2;3),\ N(0; - 4),\ P( - 1;6)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,\ CA,\ AB$ . Tìm tọa độ đỉnh $A$ ?
- A.
  $A(1;5).$
- B.
  $A( - 3; - 1).$
- C.
  $A( - 2; - 7).$
- D.
  $A(1; - 10).$
Gọi $A(x;y)$ .

Từ giả thiết, ta suy ra $\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{MN}.$ $(*)$

Ta có $\overrightarrow{PA} = (x + 1;y - 6)$ và $\overrightarrow{MN} = ( - 2; - 7).$

Khi đó $(*) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x + 1 = - 2 \\y - 6 = - 7 \\\end{matrix} ight.\ \overset{}{\leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix}x = - 3 \\y = - 1 \\\end{matrix} ight.$ $\ \overset{}{ightarrow}A( - 3; - 1).$
Câu 17: Nhận biết
Cho tam giác $ABC.$ Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh $A,\ B,\ C?$
- A.
  $3.$
- B.
  $6.$
- C.
  $4.$
- D.
  $9.$
Đó là các vectơ: $\overrightarrow{AB},\ \ \overrightarrow{BA},\ \ \overrightarrow{BC},\ \ \overrightarrow{CB},\ \ \overrightarrow{CA},\ \ \overrightarrow{AC}.$
Câu 18: Thông hiểu
Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\overrightarrow{AB}=0$ là:
- A.
  Tam giác OAB đều
- B.
  Tam giác OAB cân tại O
- C.
  Tam giác OAB vuông tại O
- D.
  Tam giác OAB vuông cân tại O
Chọn đáp án: Tam giác OAB cân tại O.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$ .
Ta có: $\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } ight).\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AB} = 0$ (do $OM\perp AB$ ).
Câu 19: Nhận biết
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
- A.
  sin(180° – α) = ‒cos α
- B.
  sin(180° – α) = ‒sin α
- C.
  sin(180° – α) = sin α
- D.
  sin(180° – α) = cos α
Đáp án đúng là sin(180° – α) = sin α
Câu 20: Nhận biết
Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là các vectơ khác $\overrightarrow{0}$ với $\overrightarrow{a}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{b}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ cùng phương.
- B.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ ngược hướng.
- C.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ cùng độ dài.
- D.
  Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ chung điểm đầu.
Ta có $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{b}$ . Do đó, $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau.

Chọn đáp án sai là: Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{b}$ chung điểm đầu.

58 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!