Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương?
- A.
  $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$ .
- B.
  $\overrightarrow{u} = \frac{3}{5}\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{5}\overrightarrow{b}$ .
- C.
  $\overrightarrow{u} = \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{a} - 9\overrightarrow{b}$ .
- D.
  $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{2}\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$ .
Ta có $\overrightarrow{v} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} = - \frac{1}{6}\left( 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{2}\overrightarrow{b} ight) = - \frac{1}{6}\overrightarrow{u}$ .

Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là cùng phương.

Chọn đáp án $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{2}\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$ .
Câu 2: Nhận biết
Cho đoạn thẳng $AB$ và $M$ là một điểm trên đoạn $AB$ sao cho $MA = \frac{1}{5}AB$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$
- B.
  $\overrightarrow{MA} = - \frac{1}{4}\overrightarrow{MB}$
- C.
  $\overrightarrow{MB} = - 4\overrightarrow{MA}$
- D.
  $\overrightarrow{MB} = - \frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$
Hình vẽ minh họa

Ta thấy $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{MB} = - \frac{4}{5}\overrightarrow{AB}$ là sai.
Câu 3: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ $M$ là trung điểm của $BC.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.$
- B.
  $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.$
- C.
  $\overrightarrow{MB} = - \ \overrightarrow{MC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{BC}}{2}.$
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{MB} = - \ \overrightarrow{MC}.$
Câu 4: Nhận biết
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}.$ Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được xác định bằng công thức nào dưới đây?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.sin\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$ .
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}.$ Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b},$ được xác định bởi công thức sau:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .
Câu 5: Nhận biết
Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NP}.$
- C.
  $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB}.$
- D.
  $\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{AB}.$
Xét đáp án $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NP}.$ Ta có $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{NP}$ . Vậy đáp án này đúng.
Câu 6: Thông hiểu
Cho hình bình hành $ABCD$ , điểm $M$ thỏa mãn: $4\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}$ . Khi đó điểm $M$ là:
- A.
  Trung điểm của AC
- B.
  Điểm C
- C.
  Trung điểm của AB
- D.
  Trung điểm của AD
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AC} = 4\overrightarrow{AM}$
Câu 7: Nhận biết
Cho ngũ giác $ABCDE$ . Từ các đỉnh của ngũ giác đã cho có thể lập được bao nhiêu vectơ có điểm cuối là điểm $A$ ?
- A.
  $4$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $5$ .
- D.
  $6$ .
Các vectơ có điểm cuối là điểm $A$ là $\overrightarrow{BA}$ ; $\overrightarrow{CA}$ ; $\overrightarrow{DA}$ ; $\overrightarrow{EA}$ .
Câu 8: Thông hiểu
Cho lục giác đều $ABCDEF$ có tâm $O.$ Đẳng thức nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED}.$
- B.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{AF} ight|.$
- C.
  $\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{BC}.$
- D.
  $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OE}.$
Đẳng thức sai là $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OE}.$
Câu 9: Nhận biết
Tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 60^{\circ},\widehat{C} = 45^{\circ}$ và $AB = 5$ . Tính độ dài cạnh $AC$ .
- A.
  $AC = \frac{5\sqrt{6}}{2}$ .
- B.
  $AC = 5\sqrt{3}$ .
- C.
  $AC = \frac{5\sqrt{6}}{3}$ .
- D.
  $AC = \frac{5\sqrt{6}}{4}$ .
Theo định lí sin ta có:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \Leftrightarrow \frac{5}{\sin 45^{\circ}} = \frac{AC}{\sin 60^{\circ}}$

$\Leftrightarrow AC = \frac{5\sqrt{6}}{2}.$
Câu 10: Thông hiểu
Điểm cuối của góc lượng giác $\alpha$ ở góc phần tư thứ mấy nếu $\cos\alpha = \sqrt{1 - sin^{2}\alpha}.$
- A.
  Thứ $II.$
- B.
  Thứ $I$ hoặc $II.$
- C.
  Thứ $II$ hoặc $III.$
- D.
  Thứ $I$ hoặc $IV.$
Ta có $\cos\alpha = \sqrt{1 - sin^{2}\alpha} \Leftrightarrow \cos\alpha = \sqrt{cos^{2}\alpha}$ $\Leftrightarrow \cos\alpha = \left| \cos\alpha ight| \Leftrightarrow \cos\alpha.$

Đẳng thức $\left| \cos\alpha ight| \Leftrightarrow \cos\alpha\overset{}{ightarrow}\cos\alpha \geq 0\overset{}{ightarrow}$ điểm cuối của góc lượng giác $\alpha$ ở góc phần tư thứ $I$ hoặc $IV.$
Câu 11: Thông hiểu
Biết $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}eq \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}|\times |\overrightarrow{b}|$ . Câu nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng
- B.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ nằm trên hai đường thẳng hợp với nhau một góc $120^{\circ}$
- C.
  $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng
- D.
  3 đáp án còn lại đều sai
Ta có: $\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } ight|.\left| {\overrightarrow b } ight| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } ight|.\left| {\overrightarrow b } ight|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight)$ $= - \left| {\overrightarrow a } ight|.\left| {\overrightarrow b } ight| \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight) = - 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight) = 180^\circ$ .
Suy ra $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược hướng.
Câu 12: Nhận biết
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ . Tính độ dài véctơ $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$ .
- A.
  $a\sqrt{3}$ .
- B.
  $a\sqrt{2}$ .
- C.
  $a$ .
- D.
  $2a$
Hình vẽ minh họa:

$|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BD}| = a\sqrt{2}.$
Câu 13: Vận dụng
Cho tam giác $ABC$ có $N$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $BN = 2NC$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AN} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ .
Ta có

$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BN}$ $= \overrightarrow{AB} +\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} ight)$ $= \overrightarrow{AB}- \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} =\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} +\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ .
Câu 14: Nhận biết
Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Khi đó:
- A.
  Điều kiện cần và đủ để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}.$
- B.
  Điều kiện đủ để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là với mọi $M,$ $\overrightarrow{MA}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}.$
- C.
  Điều kiện cần để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là với mọi $M,$ $\overrightarrow{MA}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}.$
- D.
  Điều kiện cần để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.$
Chọn: Điều kiện cần và đủ để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}.$
Câu 15: Thông hiểu
Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{3(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})}{2}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{3}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})}{3}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}$ .
Gọi $M$ là trung điểm $BC$ .

Ta có $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight) \Rightarrow \overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{3}$ .
Câu 16: Nhận biết
Cặp vectơ nào sau đây vuông góc?
- A.
  $\overrightarrow{a} = (2; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ .
- B.
  $\overrightarrow{a} = (3; - 4)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ .
- C.
  $\overrightarrow{a} = ( - 2; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 6;4)$ .
- D.
  $\overrightarrow{a} = (7; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = (3; - 7)$ .
Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 2.( - 3) + ( - 1).4 = - 10 eq 0$ suy ra đáp án $\overrightarrow{a} = (2; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ sai.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3.( - 3) + ( - 4).4 = - 25 eq 0$ suy ra đáp án $\overrightarrow{a} = (3; - 4)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ sai.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 2.( - 6) - 3.4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}$ suy ra đáp án $\overrightarrow{a} = ( - 2; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 6;4)$ đúng.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 7.3 + ( - 3).( - 7) = 42 eq 0$ suy ra đáp án $\overrightarrow{a} = (7; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = (3; - 7)$ sai.
Câu 17: Vận dụng cao
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(1;0),\ B(0;3)$ và $C( - 3; - 5).$ Tìm điểm $M$ thuộc trục hoành sao cho biểu thức $P = \left| 2\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $M(4;0).$
- B.
  $M( - 4;0).$
- C.
  $M(16;0).$
- D.
  $M( - 16;0).$
Ta có

$2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} =$ $2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) - 3\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) + 2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight),\ \forall I$

$= \overrightarrow{MI} + 2\left( \overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} ight),\ \forall I.$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.$ $(*)$

Gọi $I(x;y)$ , từ $(*)$ ta có

$\left\{ \begin{matrix}2(1 - x) - 3(0 - x) + 2( - 3 - x) = 0 \\2(0 - y) - 3(2 - y) + 2( - 5 - y) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - 4 \\y = - 16 \\\end{matrix} ight.\ ight.$ $\ \Rightarrow I( - 4; - 16).$

Khi đó $P = \left| 2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ $= \left|\overrightarrow{MI} ight| = MI.$

Để $P$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất. Mà $M$ thuộc trục hoành nên $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên trục hoành $\overset{}{ightarrow}M( - 4;0).$
Câu 18: Vận dụng
Cho tam giác $ABC$ , $AB = 5,AC = 1$ . Tính tọa độ điểm $D$ là chân đường phân giác góc $A$ . Biết $B(7; - 2);C(1;4)$ .
- A.
  $\left( - \frac{1}{2};\frac{11}{2} ight)$
- B.
  $(2;3)$
- C.
  $(2;0)$
- D.
  $(3;0)$
Theo tính chất đường phân giác: $\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC}$ . Suy ra $\overrightarrow{DB} = - 5\overrightarrow{DC}$ .

Gọi $D(x;y)$ . Suy ra $\overrightarrow{DB}(7 - x; - 2 - y);\overrightarrow{DC}(1 - x;4 - y)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 7 - x = - 5(1 - x) \\ - 2 - y = - 5(4 - y) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ điểm $D(2;3)$ .
Câu 19: Nhận biết
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
- A.
  sin(180° – α) = ‒cos α
- B.
  sin(180° – α) = ‒sin α
- C.
  sin(180° – α) = sin α
- D.
  sin(180° – α) = cos α
Đáp án đúng là sin(180° – α) = sin α
Câu 20: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có $M$ thỏa mãn điều kiện $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ . Xác định vị trí điểm $M.$
- A.
  $M$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ACBM.$
- B.
  $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB.$
- C.
  $M$ trùng với $C.$
- D.
  $M$ là trọng tâm tam giác $ABC.$
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .

Ta có $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \Rightarrow M \equiv G$ .

34 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!