Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho góc $\alpha$ thỏa $\cot\alpha = \frac{3}{4}$ và $0^{O} < \alpha < 90^{O}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\cos\alpha = - \frac{4}{5}.$
- B.
  $\cos\alpha = \frac{4}{5}.$
- C.
  $\sin\alpha = \frac{4}{5}.$
- D.
  $\sin\alpha = - \frac{4}{5}.$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{sin^{2}\alpha} = 1 + cot^{2}\alpha = 1 + \left( \frac{3}{4} ight)^{2} = \frac{25}{16} \\ 0{^\circ} < \alpha < 90{^\circ} \\ \end{matrix} ight.$ $\overset{}{ightarrow}\sin\alpha = \frac{4}{5}.$
Câu 2: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 2\ \ cm,BC = 3\ \ cm,CA = 5\ \ cm.$ Tính $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}.$
- A.
  $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = 13.$
- B.
  $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = 15.$
- C.
  $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = 17.$
- D.
  $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = 19.$
Ta có $\cos C = \frac{BC^{2} + AC^{2} -AB^{2}}{2.BC.AC}$ $= \frac{3^{2} + 5^{2} - 2^{2}}{2.3.5} = 1$

$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = \left| \overrightarrow{CA} ight|.\left| \overrightarrow{CB} ight|.cosC = 15$
Câu 3: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC.$ Hai điểm $M,\ \ N$ chia cạnh $BC$ theo ba phần bằng nhau $BM = MN = NC.$ Tính $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$
- B.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$
- C.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}.$
Ta có $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight) = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$
Câu 4: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC,$ điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $3\ AM = AB$ và $N$ là trung điểm của $AC.$ Tính $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}.$
- A.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$
Vì $N$ là trung điểm $AC$ nên $2\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC}. \Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = 2\ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.$

Suy ra $\overrightarrow{MN} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$
Câu 5: Nhận biết
Cặp vectơ nào sau đây vuông góc?
- A.
  $\overrightarrow{a} = (2; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ .
- B.
  $\overrightarrow{a} = (3; - 4)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ .
- C.
  $\overrightarrow{a} = ( - 2; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 6;4)$ .
- D.
  $\overrightarrow{a} = (7; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = (3; - 7)$ .
Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 2.( - 3) + ( - 1).4 = - 10 eq 0$ suy ra đáp án $\overrightarrow{a} = (2; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ sai.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3.( - 3) + ( - 4).4 = - 25 eq 0$ suy ra đáp án $\overrightarrow{a} = (3; - 4)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ sai.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 2.( - 6) - 3.4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}$ suy ra đáp án $\overrightarrow{a} = ( - 2; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 6;4)$ đúng.

Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 7.3 + ( - 3).( - 7) = 42 eq 0$ suy ra đáp án $\overrightarrow{a} = (7; - 3)$ và $\overrightarrow{b} = (3; - 7)$ sai.
Câu 6: Nhận biết
Giá trị $cot\frac{\pi }{6}$ là:
- A.
  $\sqrt{3}$
- B.
  $-\sqrt{3}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ta có: $cot\frac{\pi }{6} =\sqrt3$ .
Câu 7: Nhận biết
Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng độ dài.
- B.
  Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng phương và cùng độ dài.
- C.
  Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng.
- D.
  Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Theo định nghĩa, hai véctơ bằng nhau phải thỏa mãn hai điều kiện:

+) Cùng hướng

+) Cùng độ dài.

Chọn đáp án: Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Câu 8: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 2; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = (4; - 3)$ . Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}.$
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = - \frac{\sqrt{5}}{5}.$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{2\sqrt{5}}{5}.$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{1}{2}.$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 5}{\sqrt{5}.5} = \frac{- \sqrt{5}}{5}$ .
Câu 9: Nhận biết
Cho hình bình hành ABCD, với giao điểm hai đường chéo I. Khi đó:
- A.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{BI}$
- B.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$
- C.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$
- D.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}$
Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$ (2 vectơ đối nhau).
Câu 10: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ với $M,\ \ N,\ \ P$ lần lượt là trung điểm của. Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}.$
- B.
  $\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{0}.$
- C.
  $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PM} = \overrightarrow{0}.$
- D.
  $\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MP}.$
Xét các đáp án:

Đáp án $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}.$ . Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}.$

Đáp án $\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{0}.$ . Ta có $\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$

$= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} ight) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}.$

Đáp án $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PM} = \overrightarrow{0}.$ . Ta có $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PM} = \overrightarrow{MM} = \overrightarrow{0}.$

Đáp án $\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MP}.$ . Ta có $\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{MC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{PM} = - \overrightarrow{MP}.$ Chọn đáp án này.
Câu 11: Thông hiểu
Cho hình vuông $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight|.$
- D.
  Hai vectơ $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}$ cùng hướng.
Chọn $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight|.$ Vì $AB = BC \Leftrightarrow \left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight|.$
Câu 12: Nhận biết
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Mệnh đề nào sau đây là sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$
- B.
  $\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB})$
- C.
  $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$
- D.
  $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DA}$
Ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{CA}= \overrightarrow{BD}$ (Sai).
Câu 13: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB = a$ . Tính $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight|.$
- A.
  $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight| = a\sqrt{2}.$
- B.
  $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight| = \frac{a\sqrt{2}}{2}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight| = 2a.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight| = a.$
Gọi $M$ là trung điểm $BC\overset{}{ightarrow}AM = \frac{1}{2}BC.$

Ta có $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight| = \left| 2\overrightarrow{AM} ight| = 2AM = BC = a\sqrt{2}.$
Câu 14: Nhận biết
Vectơ có điểm đầu là $D$ , điểm cuối là $E$ được kí hiệu là
- A.
  $DE.$
- B.
  $\left| \overrightarrow{DE} ight|.$
- C.
  $\overrightarrow{ED}.$
- D.
  $\overrightarrow{DE}.$
Vectơ có điểm đầu là $D$ , điểm cuối là $E$ được kí hiệu là $\overrightarrow{DE}.$
Câu 15: Vận dụng
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho $A( - 1;5),\ B(5;5),\ C( - 1;11).$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $A,\ B,\ C$ thẳng hàng.
- B.
  $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}$ cùng phương.
- C.
  $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}$ không cùng phương.
- D.
  $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}$ cùng hướng.
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (6;0) \\ \overrightarrow{AC} = (0;6) \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}6.6 eq 0.0\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}$ không cùng phương.
Câu 16: Vận dụng
Cho tam giác $OAB$ vuông cân tại $O,$ cạnh $OA = a.$ Tính $\left| 2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} ight|.$
- A.
  $a.$
- B.
  $\left( 1 + \sqrt{2} ight)a.$
- C.
  $a\sqrt{5}.$
- D.
  $2a\sqrt{2}.$
Gọi $C$ là điểm đối xứng của $O$ qua $A \Rightarrow OC = 2a.$ Tam giác $OBC$ vuông tại $O,$ có $BC = \sqrt{OB^{2} + OC^{2}} = a\sqrt{5}.$

Ta có $2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BC},$ suy ra $\left| 2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight| = a\sqrt{5}.$
Câu 17: Nhận biết
Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M bất kỳ. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MO}$
- B.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO}$
- C.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=3\overrightarrow{MO}$
- D.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$
Ta có: ABCD là hình bình hành tâm O
=> $OA = OC, OB = OD$
$\begin{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MO} \hfill \\ \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MO} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 18: Nhận biết
Cho $\Delta ABC$ có $S = 84,a = 13,b = 14,c = 15.$ Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác trên là:
- A.
  $8,125.$
- B.
  $130.$
- C.
  $8.$
- D.
  $8,5.$
Ta có: $S_{\Delta ABC} = \frac{a.b.c}{4R} \Leftrightarrow$ $R = \frac{a.b.c}{4S} = \frac{13.14.15}{4.84} = \frac{65}{8}$ .
Câu 19: Nhận biết
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}$ bằng:
- A.
  $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}$
- B.
  $\overrightarrow{AB}$
- C.
  $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}$
- D.
  $\overrightarrow{CD}$
Ta có: $\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD}$
Câu 20: Vận dụng cao
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tọa độ $A(1; - 4),B(4;5),C(0; - 7)$ . Một điểm $M \in Ox$ bất kì. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ ?
- A.
  $\sqrt{15}$
- B.
  $2\sqrt{5}$
- C.
  $7\sqrt{10}$
- D.
  $6\sqrt{10}$
Ta có: $M \in Ox \Rightarrow M(x;0)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (1 - x; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (4 - x;5) \\ \overrightarrow{MC} = ( - x; - 7) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = (9 - 3x;6) \\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (4 - 2x; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$T = 2\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} ight| + 3\left| \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$

$= 2\sqrt{(9 - 3x)^{2} + 6^{2}} + 3\sqrt{(4 - 2x)^{2} + ( - 2)^{2}}$

$= 6\left( \sqrt{(3 - x)^{2} + 2^{2}} + \sqrt{(2 - x)^{2} + ( - 1)^{2}} ight) = 6(ME + MF)$

(Với $E(3;2),F(2; - 1)$ )

Lại có: $\overrightarrow{EF} = ( - 1; - 3) \Rightarrow \left| \overrightarrow{EF} ight| = \sqrt{10}$

Mà $ME + MF \geq EF \Rightarrow T \geq 6\sqrt{10}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của EF và Ox => $M\left( \frac{7}{3};0 ight)$

Vậy biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất là $6\sqrt{10}$ .

61 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!