Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho $2\pi < \alpha < \frac{5\pi}{2}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\tan\alpha > 0;cot\alpha > 0.$
- B.
  $\tan\alpha < 0;cot\alpha < 0.$
- C.
  $\tan\alpha > 0;cot\alpha < 0.$
- D.
  $\tan\alpha < 0;\cot\alpha > 0.$
Ta có $2\pi < \alpha < \frac{5\pi}{2}\overset{}{ightarrow}$ điểm cuối cung $\alpha - \pi$ thuộc góc phần tư thứ $I\overset{}{ightarrow}\left\{ \begin{matrix} \tan\alpha > 0 \\ \cot\alpha > 0 \\ \end{matrix} ight.\ .$
Câu 2: Nhận biết
Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.
- B.
  Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ.
- C.
  Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ.
- D.
  Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.
Vì vectơ - không cùng phương với mọi vectơ.
Câu 3: Nhận biết
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ . Tính độ dài véctơ $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$ .
- A.
  $a\sqrt{3}$ .
- B.
  $a\sqrt{2}$ .
- C.
  $a$ .
- D.
  $2a$
Hình vẽ minh họa:

$|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BD}| = a\sqrt{2}.$
Câu 4: Nhận biết
Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
- A.
  $(\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ})=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{PQ}$
- B.
  $\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}$
- C.
  $\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{MN}$
- D.
  $(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PQ})(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ})=MN^{2}-PQ^{2}$
Hệ thức sai là: $\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}$
Vì $\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP}$ (tính chất giao hoán)
Câu 5: Thông hiểu
Cho hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DB}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}.$
- C.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.$
Do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.$

Suy ra $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}.$
Câu 6: Thông hiểu
Cho hình vuông $ABCD$ . Khẳng định nào sau đậy đúng?
- A.
  $\left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight|$ .
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$ .
Ta có tứ giác $ABCD$ là hình vuông nên $AD = CB$ hay $\left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight|$ nên phương án $\left| \overrightarrow{AD} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight|$ đúng.
Câu 7: Nhận biết
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
- A.
  Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
- B.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
- C.
  Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
- D.
  Chúng có cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Câu 8: Vận dụng cao
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(1;0),\ B(0;3)$ và $C( - 3; - 5).$ Tìm điểm $M$ thuộc trục hoành sao cho biểu thức $P = \left| 2\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $M(4;0).$
- B.
  $M( - 4;0).$
- C.
  $M(16;0).$
- D.
  $M( - 16;0).$
Ta có

$2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} =$ $2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) - 3\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) + 2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight),\ \forall I$

$= \overrightarrow{MI} + 2\left( \overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} ight),\ \forall I.$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.$ $(*)$

Gọi $I(x;y)$ , từ $(*)$ ta có

$\left\{ \begin{matrix}2(1 - x) - 3(0 - x) + 2( - 3 - x) = 0 \\2(0 - y) - 3(2 - y) + 2( - 5 - y) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - 4 \\y = - 16 \\\end{matrix} ight.\ ight.$ $\ \Rightarrow I( - 4; - 16).$

Khi đó $P = \left| 2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ $= \left|\overrightarrow{MI} ight| = MI.$

Để $P$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất. Mà $M$ thuộc trục hoành nên $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên trục hoành $\overset{}{ightarrow}M( - 4;0).$
Câu 9: Thông hiểu
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm AM. Đường thẳng BN cắt AC tại P. Khi đó $\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{CP}$ thì giá trị của x là:
- A.
  $-\frac{4}{3}$
- B.
  $-\frac{2}{3}$
- C.
  $-\frac{3}{2}$
- D.
  $-\frac{5}{3}$
Hình vẽ minh họa
Kẻ $MD // BP, (D ∈ AC)$ . Do M là trung điểm BC
=> D là trung điểm CP (1).
Vì $MD // NP$ , mà N là trung điểm AM
=> P là trung điểm AD (2).
Từ (1), (2) ta suy ra $AP = PD = DC$ .
=> $AP = \frac{1}{2}CP$
Ta có $AC = AP + CP$
=> $AC = \frac{3}{2}CP$
Ta có: $\overrightarrow {AC} = - \frac{3}{2}\overrightarrow {CP}$ (vì $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CP}$ ngược hướng)
=> $x = - \frac{3}{2}$
Câu 10: Nhận biết
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ . Tính $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$ .
- A.
  $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{BC}.$
- B.
  $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{DA}.$
- C.
  $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA}.$
- D.
  $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB}.$
Ta có $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}$ .
Câu 11: Vận dụng
Cho $A(1;2),\ B( - 2;6)$ . Điểm $M$ trên trục $Oy$ sao cho ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng thì tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $\left( 0;\frac{10}{3} ight)$ .
- B.
  $(0; - 10)$ .
- C.
  $(10;0)$ .
- D.
  $( - 10;0)$ .
Ta có: $M$ trên trục $Oy \Rightarrow M(0;y)$ .

Ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AM}$ .

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 3;4),\ \ \overrightarrow{AM} = ( - 1;y - 2)$ . Do đó, $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \frac{- 1}{- 3} = \frac{y - 2}{4} \Rightarrow y = \frac{10}{3}$ . Vậy $M\left( 0;\frac{10}{3} ight)$ .Đáp án là $M\left( 0;\frac{10}{3} ight)$
Câu 12: Thông hiểu
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$ của tứ giác $ABCD$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 4\overrightarrow{MN}$ .
- B.
  $4\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$ .
- C.
  $4\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$ .
- D.
  $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$ .
Do M là trung điểm các cạnh AB nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{0}$ .

Do N lần lượt là trung điểm các cạnh DC nên $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$ .

Ta có

$2\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$ $= \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD}$ $=\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} + \left( \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} ight) = \overrightarrow{AD} +\overrightarrow{BC}$

Mặt khác $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BC} + \left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} ight) = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$

Do đó $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 4\overrightarrow{MN}$ .
Câu 13: Vận dụng
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$ của tứ giác $ABCD$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 4\overrightarrow{MN}$ .
- B.
  $4\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$ .
- C.
  $4\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$ .
- D.
  $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$ .
Do M là trung điểm các cạnh AB nên $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{0}$ .

Do N lần lượt là trung điểm các cạnh DC nên $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$ .

Ta có

$2\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD}$ $=\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} + \left( \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} ight) = \overrightarrow{AD} +\overrightarrow{BC}$

Mặt khác $\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD}$ $= \overrightarrow{BC} + \left( \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{CD} ight) = \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{AD}$

Do đó $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 4\overrightarrow{MN}$ .
Câu 14: Nhận biết
Cho M là trung điểm AB, tìm đẳng thức sai
- A.
  $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{AB}=-MA \times AB$
- B.
  $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=-MA\times MB$
- C.
  $\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{AB}=AM\times AB$
- D.
  $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=AM\times MB$
Ta có: $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=MA.MB.\cos180^{\circ} =-MA.MB$ .
Đáp án sai là $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MB}=AM\times MB$ .
Câu 15: Nhận biết
Cho tam giác $ABC$ có $AM$ là một đường trung tuyến. Biểu diễn vectơ $\overrightarrow {AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ .
- A.
  $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
- B.
  $\overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
- C.
  $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
- D.
  $\overrightarrow {AM} = -\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, BC = 5. Tính $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}|$
- A.
  3
- B.
  4
- C.
  5
- D.
  6.
Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } ight| = \left| {\overrightarrow {AC} } ight| = AC$
Tam giác ABC vuông tại A ta có:
$\begin{matrix} A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \hfill \\ \Rightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {5^2} - {3^2} = 16 \hfill \\ \Rightarrow AC = 4 \hfill \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } ight| = AC = 4 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 17: Thông hiểu
Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho $\overrightarrow{a} = (2; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;4)$ . Khẳng định nào sau đây là sai?
- A.
  Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là $- 10$ .
- B.
  Độ lớn của vectơ $\overrightarrow{a}$ là $\sqrt{5}$ .
- C.
  Độ lớn của vectơ $\overrightarrow{b}$ là $5$ .
- D.
  Góc giữa hai vectơ là $90^{o}$ .
Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 2.( - 3) + ( - 1).4 = - 10 eq 0$ nên đáp án Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là $- 10$ đúng.

Ta có: $\left| \overrightarrow{a} ight| = \sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{5}$ nên đáp án Độ lớn của vectơ $\overrightarrow{a}$ là $\sqrt{5}$ đúng.

Ta có: $\left| \overrightarrow{b} ight| = \sqrt{( - 3)^{2} + 4^{2}} = 5$ nên đáp án Độ lớn của vectơ $\overrightarrow{b}$ là $5$ đúng.

Đáp án sai là Góc giữa hai vectơ là $90^{o}$ .
Câu 18: Nhận biết
Cho $\overrightarrow{a} e\overrightarrow{0}$ và điểm O. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thỏa mãn $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{ON}=-4\overrightarrow{a}$ . Tìm $\overrightarrow{MN}$ .
- A.
  $\overrightarrow{MN}=7\overrightarrow{a}$
- B.
  $\overrightarrow{MN}=-5\overrightarrow{a}$
- C.
  $\overrightarrow{MN}=-7\overrightarrow{a}$
- D.
  $\overrightarrow{MN}=5\overrightarrow{a}$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {ON} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow a + \left( { - 4\overrightarrow a } ight) \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow a - 4\overrightarrow a = 7\overrightarrow a \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 19: Thông hiểu
Cho $\sin\alpha =\frac{1}{4}$ , với $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$ . Giá trị $\cos\alpha$ bằng
- A.
  $\frac{\sqrt{15}}{4}$ .
- B.
  $- \frac{\sqrt{15}}{4}$ .
- C.
  $- \frac{15}{16}$ .
- D.
  $\frac{15}{16}$ .
Ta có:

$\cos^{2}\alpha = 1 -\sin^{2}\alpha$

$= 1 - \left( \frac{1}{4} ight)^{2} = \frac{15}{16}$

$\Rightarrow \cos\alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ (do $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$ ).

Vậy $\cos\alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ .
Câu 20: Nhận biết
Cho $\Delta ABC$ có $b = 6,c = 8,\widehat{A} = 60^{0}$ . Độ dài cạnh $a$ là:
- A.
  $2\sqrt{13}.$
- B.
  $3\sqrt{12}.$
- C.
  $2\sqrt{37}.$
- D.
  $\sqrt{20}.$
Ta có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$ $= 36 + 64 - 2.6.8.cos60^{0} = 52$

$\Rightarrow a = 2\sqrt{13}$ .

60 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!