Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Giá trị $cot\frac{\pi }{6}$ là:
- A.
  $\sqrt{3}$
- B.
  $-\sqrt{3}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ta có: $cot\frac{\pi }{6} =\sqrt3$ .
Câu 2: Thông hiểu
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AF}$
- B.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AF}$
- C.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AE}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AF}$
- D.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AF}$
Ta có: $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )$ $= \frac{1}{3}(2\overrightarrow {AF} + 2\overrightarrow {AE} ) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AF} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AE}$ .
Câu 3: Nhận biết
Hãy chọn kết quả đúng khi phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ của tam giác $ABC$ với trung tuyến $AM$ .
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ .
- D.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\mathbf{)}$ .
Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ .
Câu 4: Nhận biết
Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là
- A.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ .
- B.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt thẳng hàng là $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo hai vecto $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$
- A.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
- B.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
- C.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
- D.
  $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$
Cách 1: Giả sử I là trung điểm của BC
$\begin{matrix} \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AI} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight) = \overrightarrow {AI} \hfill \\ \end{matrix}$
Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác ABC ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AG = \dfrac{2}{3}AI} \\ {\overrightarrow {AG} earrow earrow \overrightarrow {AI} } \end{array}} ight. \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AI}$
$\begin{matrix} \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight) \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight) \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \hfill \\ \end{matrix}$
Cách 2: Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA} = 3\overrightarrow {AG} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow 0 = 3\overrightarrow {AG} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight) = \overrightarrow {AG} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 6: Thông hiểu
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $A(1;2),\ \ B(4;1),\ \ C(5;4)$ . Tính $\widehat{BAC}$ ?
- A.
  $60^{o}$ .
- B.
  $45^{o}$ .
- C.
  $90^{o}$ .
- D.
  $120^{o}$ .
Ta có $\overrightarrow{AB} = (3; - 1)$ , $\overrightarrow{AC} = (4;2)$ suy ra $\cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB.AC} = \frac{10}{\sqrt{10}.\sqrt{20}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = 45^{o}$ .
Câu 7: Vận dụng
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho $A( - 1;5),\ B(5;5),\ C( - 1;11).$ Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $A,\ B,\ C$ thẳng hàng.
- B.
  $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}$ cùng phương.
- C.
  $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}$ không cùng phương.
- D.
  $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}$ cùng hướng.
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (6;0) \\ \overrightarrow{AC} = (0;6) \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}6.6 eq 0.0\overset{}{ightarrow}\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}$ không cùng phương.
Câu 8: Nhận biết
Cho hình thoi $ABCD$ có $AC = 8, BD = 5$ . Tính $\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{BD}$ .
- A.
  24
- B.
  26
- C.
  28
- D.
  0
Vì $AC\perp BD$ nên $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0$ .
Câu 9: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có $M$ thỏa mãn điều kiện $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ . Xác định vị trí điểm $M.$
- A.
  $M$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ACBM.$
- B.
  $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB.$
- C.
  $M$ trùng với $C.$
- D.
  $M$ là trọng tâm tam giác $ABC.$
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .

Ta có $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \Rightarrow M \equiv G$ .
Câu 10: Vận dụng cao
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho ba điểm $A(1;0),\ B(0;3)$ và $C( - 3; - 5).$ Tìm điểm $M$ thuộc trục hoành sao cho biểu thức $P = \left| 2\overrightarrow{MA} - 3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $M(4;0).$
- B.
  $M( - 4;0).$
- C.
  $M(16;0).$
- D.
  $M( - 16;0).$
Ta có

$2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} =$ $2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) - 3\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) + 2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight),\ \forall I$

$= \overrightarrow{MI} + 2\left( \overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} ight),\ \forall I.$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA} - 3\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.$ $(*)$

Gọi $I(x;y)$ , từ $(*)$ ta có

$\left\{ \begin{matrix}2(1 - x) - 3(0 - x) + 2( - 3 - x) = 0 \\2(0 - y) - 3(2 - y) + 2( - 5 - y) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - 4 \\y = - 16 \\\end{matrix} ight.\ ight.$ $\ \Rightarrow I( - 4; - 16).$

Khi đó $P = \left| 2\overrightarrow{MA} -3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} ight|$ $= \left|\overrightarrow{MI} ight| = MI.$

Để $P$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất. Mà $M$ thuộc trục hoành nên $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên trục hoành $\overset{}{ightarrow}M( - 4;0).$
Câu 11: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ đều có cạnh là 6. Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$ .
- A.
  $6\sqrt{2}$
- B.
  18
- C.
  12
- D.
  $6\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ . Vì tam giác $ABC$ đều có cạnh là 6, nên ta có $AI\bot BC$ .

Xét tam giác $AIB$ vuông tại $I$ , có

$AB^{2} = AI^{2} + IB^{2}$

$\Rightarrow AI^{2} = AB^{2} - IB^{2} = 6^{2} - 3^{2} = 27$ .

Suy ra $AI = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

Mặt khác ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |2\overrightarrow{AI}| = 2|\overrightarrow{AI}| = 2AI = 6\sqrt{3}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Gọi $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,\ \ AC$ của tam giác đều $ABC$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BC}.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{BC} ight| = 2\left| \overrightarrow{MN} ight|.$
Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ .

Do đó $BC = 2MN\overset{}{ightarrow}\left| \overrightarrow{BC} ight| = 2\left| \overrightarrow{MN} ight|.$
Câu 13: Thông hiểu
Giá trị $α, (0° ≤ α ≤ 180°)$ thoả mãn $\tanα = 1,607$ gần nhất với giá trị:
- A.
  0.03°
- B.
  3°
- C.
  58°
- D.
  122°
Để tìm α khi biết tanα = 1,607 thì ta sử dụng máy tính cầm tay và tính được: α ≈ 58°.
Vậy α ≈ 58°
Câu 14: Nhận biết
Cho $\Delta ABC$ có $a = 6,b = 8,c = 10.$ Diện tích $S$ của tam giác trên là:
- A.
  $48.$
- B.
  $24.$
- C.
  $12.$
- D.
  $30.$
Ta có: Nửa chu vi $\Delta ABC$ : $p = \frac{a + b + c}{2}$ .

Áp dụng công thức Hê-rông: $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ $= \sqrt{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)}$ $= 24$ .
Câu 15: Nhận biết
Tính tổng $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{QR}$ .
- A.
  $\overrightarrow{MR}.$
- B.
  $\overrightarrow{MN}.$
- C.
  $\overrightarrow{PR}.$
- D.
  $\overrightarrow{MP}.$
Ta có $\overrightarrow{MN} +\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{RN} + \overrightarrow{NP} +\overrightarrow{QR}$ $= \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} +\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{RN} =\overrightarrow{MN}$ .
Câu 16: Nhận biết
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.$
- B.
  $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DO}.$
- C.
  $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}.$
- D.
  $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}.$
Đẳng thức sai là $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}.$
Câu 17: Vận dụng
Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Tam giác ABC đều
- B.
  Tam giác ABC cân tại C
- C.
  Tam giác ABC vuông tại C
- D.
  Tam giác ABC cân tại B.
Ta có: $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}| \Leftrightarrow$ $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } ight| = \left| {\overrightarrow {BA} } ight|$ .
Vẽ hình bình hành $ACBD$ , suy ra $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } ight| = \left| {\overrightarrow {CD} } ight|$ . Mà $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } ight| = \left| {\overrightarrow {BA} } ight|$ . Suy ra $CD=BA$ . Do đó $ACBD$ là hình chữ nhật. Do đó tam giác $ACB$ vuông $C$ .
Câu 18: Nhận biết
Cho hình bình hành ABCD. Với mọi điểm M, ta có khẳng định nào sau đây:
- A.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$
- B.
  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$
- C.
  $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}$
- D.
  $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}$
Ta có: $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}= \overrightarrow {DC}$ (Đúng).
Câu 19: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hai vecto $\overrightarrow{u} = (1;3)$ và $\overrightarrow{v} = ( - 2;2)$ . Tính $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= 4$
- B.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= - 5$
- C.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= 2$
- D.
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= - 8$
Theo bài ra ta có:
$\overrightarrow{u} = (1;3)$ và $\overrightarrow{v} = ( - 2;2)$
Khi đó: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1.( - 2) +3.2 = 4$
Câu 20: Nhận biết
Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Khi đó:
- A.
  Điều kiện cần và đủ để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}.$
- B.
  Điều kiện đủ để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là với mọi $M,$ $\overrightarrow{MA}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}.$
- C.
  Điều kiện cần để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là với mọi $M,$ $\overrightarrow{MA}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}.$
- D.
  Điều kiện cần để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.$
Chọn: Điều kiện cần và đủ để $A,\ B,\ C$ thẳng hàng là $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}.$

55 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!