Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên
và thỏa mãn f(1) = 1,
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: và
=>
=>
Mà f(1) = 1 => và
Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên
và thỏa mãn f(1) = 1,
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: và
=>
=>
Mà f(1) = 1 => và
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó:
Biết
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Gọi
là một nguyên hàm của
thỏa mãn
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Do đó
Suy ra
Nên
Vậy
Từ đó
Vậy
Cho hàm số
có một nguyên hàm là
thỏa mãn
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Lại có
Do đó:
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Biết
với
. Giá trị của biểu thức
là:
Tính
Đặt khi đó:
Tính .
Đặt khi đó
Mà
Cho các hàm số
và
liên tục trên
thỏa mãn
với
. Tính
, biết rằng
?
Ta có: .
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành, đường thẳng
như hình vẽ sau:

Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Dựa vào hình biểu diễn hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành, đường thẳng
ta có:
.
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
. Từ (*) và (**) suy ra
Do đó
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng
Diện tích hình giới hạn là
Tính tích phân
?
Ta có:
Cho
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
và nửa elip có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Gọi
là diện tích của, biết
(với
). Tính
?
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
Do tính chất đối xứng của đồ thị nên
. Đặt
Đổi cận
Với
Suy ra
Vậy
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
và
bằng:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Hình vẽ minh họa
Diện tích hình phẳng là:
Cho hàm số
liên tục trên
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
bằng
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Cho biết
với
. Tính
?
Xét trên đoạn ta có:
Xét . Đặt
Xét . Đặt
Vậy .
Kí hiệu
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
với trục hoành (
). Quay hình
xung quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích
. Tìm
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Trường hợp 1: Với thì thể tích khối tròn xoay là:
Trường hợp 2: Với thì thể tích khối tròn xoay là:
Vậy .
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho
với
. Tính
?
Ta có:
Vậy
Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài
, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng
khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là
. Bề dày nhịp cầu không đổi là
. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu
? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 40 m3.
Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng
khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là
. Bề dày nhịp cầu không đổi là
. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu
? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 40 m3.
Cả hai bên cầu có tất cả nhịp cầu.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc là chân cầu, đỉnh
, điểm
Gọi Parabol phía trên có phương trình: (vì
)
là phương trình parabol phía dưới
(Vì bề dày nhịp cầu là )
Ta có
Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi và trục Ox nên ta có:
Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là
Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đường cong
, trục hoành và các đường thẳng
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
Ta có:
.