Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = \frac{1}{x \ln3}?

    Ta có: y = \log_{3}x \Rightarrow y' = \frac{1}{x \ln3}.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^{ - 2x}} + \frac{1}{{\sqrt x }}

     \begin{matrix}  \int {\left( {{e^{ - 2x}} + \dfrac{1}{{\sqrt x }}} ight)dx}  = \int {{e^{ - 2x}}dx}  + \int {\dfrac{1}{{\sqrt x }}} dx =  - \dfrac{1}{2}\int {{e^{ - 2x}}d\left( { - 2x} ight)}  + 2\int {\dfrac{1}{{2\sqrt x }}} dx \hfill \\   =  - \dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2} + 2\sqrt x  + C =  - \dfrac{1}{{2{e^{2x}}}} + 2\sqrt x  + C \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Nhận biết

    Tính tích phân I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( \sin2x + \sin x ight)dx}?

    Ta có:

    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\sin2x + \sin x ight)dx} = \left. \ \left( - \frac{1}{2}\cos2x - \cos xight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 2x - x^{2};y = 0. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:

    Ta có: 2x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:

    V = \pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2}
ight)^{2}dx}

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\} thỏa mãn f'\left( x ight) = \frac{1}{{x - 1}};f\left( 0 ight) = 2017;f\left( 2 ight) = 2018. Giá trị của biểu thức T = \left[ {f\left( 3 ight) - 2018} ight].\left[ {f\left( { - 1} ight) - 2017} ight] là bao nhiêu?

     \begin{matrix}  f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx}  = \int {\dfrac{1}{{x - 1}}dx}  \hfill \\   = \ln \left| {x - 1} ight| + C = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\ln \left( {x - 1} ight) + {C_1}{\text{ khi x  >  1}}} \\   {\ln \left( {1 - x} ight) + {C_2}{\text{ khi x  <  1}}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {f\left( 0 ight) = 2017 \Rightarrow \ln \left( {1 - 0} ight) + {C_2} = 2017} \\   {f\left( 2 ight) = 2018 \Rightarrow \ln \left( {2 - 1} ight) + {C_1} = 2018} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {{C_2} = 2017} \\   {{C_1} = 2018} \end{array}} ight.

    Khi đó

    \begin{matrix}  T = \left[ {f\left( 3 ight) - 2018} ight].\left[ {f\left( { - 1} ight) - 2017} ight] \hfill \\   = \left[ {\ln \left( {3 - 1} ight) + 2018 - 2018} ight].\left[ {\ln \left( {1 - \left( { - 1} ight)} ight) + 2017 - 2017} ight] \hfill \\   = \ln 2.\ln 2 = {\ln ^2}2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ:

    Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox (phần gạch sọc) được tính bởi công thức

    Từ đồ thị hàm số ta thấy \left\{
\begin{matrix}
f(x) \geq 0;\forall x \in \lbrack - 3;1brack \\
f(x) \leq 0;\forall x \in \lbrack 1;3brack \\
\end{matrix} ight.

    Do đó:

    S = \int_{- 3}^{3}{\left| f(x)
ight|d(x)}

    = \int_{- 3}^{1}{\left| f(x)
ight|d(x)} + \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|d(x)}

    = \int_{- 3}^{1}{f(x)d(x)} -
\int_{1}^{3}{f(x)d(x)}

  • Câu 7: Nhận biết

    Xác định tích phân I =
\int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx}?

    Ta có:

    I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx} = -
\frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(1 - 2x)}{1 - 2x}

    = - \frac{1}{2}.\left. \ \ln|1 - 2x|ight|_{1}^{5} = - \ln3

  • Câu 8: Nhận biết

    Giả sử \int_{0}^{9}{f(x)dx} = 37\int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16. Khi đó I = \int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) +
3g(x) ightbrack dx} bằng

    Ta có: \int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16
\Rightarrow \int_{0}^{9}{g(x)dx} = - 16

    \Rightarrow I =
\int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} =
\int_{0}^{9}{2f(x)dx} + \int_{0}^{9}{3g(x)dx}

    = 2.37 + 3.( - 16) = 26

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho F(x) = (x - 1)e^{x} là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^{2x}?

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x} nên

    F'(x) = f(x)e^{2x} \Leftrightarrow
\left\lbrack (x - 1)e^{x} ightbrack' = f(x)e^{2x}

    Hay f(x)e^{2x} = e^{x} + (x - 1)e^{x} =
xe^{x}

    Xét I =
\int_{}^{}{f'(x)e^{2x}}dx, đặt \left\{ \begin{matrix}
u = e^{2x} \\
dv = f'(x)dx \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
du = 2e^{2x}dx \\
v = f(x) \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó

    I = f(x)e^{2x} -
\int_{}^{}{2f(x)e^{2x}}dx

    = xe^{x} - 2(x - 1)e^{x} + C = (2 -
x)e^{x} + C

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;(a <
b) được tính theo công thức

    Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y
= f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;(a < b) được tính theo công thức: S = \int_{a}^{b}{\left| f(x)
ight|dx}.

  • Câu 11: Vận dụng

    Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x + 3)^{2}, trục hoành và đường thẳng x = 0. Gọi A(0;9),B(b;0);( - 3 < b < 0). Tính giá trị của tham số b để đoạn thẳng AB chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 12: Vận dụng cao

    Biết F\left( x ight) = \left( {a{x^2} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{20{x^2} - 30x + 11}}{{\sqrt {2x - 3} }} trên khoảng \left( {\frac{3}{2}; + \infty } ight). Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng

     \begin{matrix}  f\left( x ight) = F'\left( x ight)\left[ {\left( {a{x^{u2}} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3} } ight]' = \dfrac{{5a{x^2} + x\left( {3b - 6a} ight) + c - 3b}}{{\sqrt {2x - 3} }} \hfill \\   \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {5a = 20} \\   {3b - 6a =  - 30} \\   {c - 3b = 11} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {a = 4} \\   {b =  - 2} \\   {c = 5} \end{array}} ight. \Rightarrow T = 7 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x +
1)(x + 2)(x + 3)?

    Ta có:

    f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) = x^{3} +
6x^{2} + 11x + 6

    \Rightarrow F(x) = \frac{x^{4}}{4} +
2x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} + 6x + C

  • Câu 14: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động với gia tốc a(t) = 6t^{2} + 2t\left( m/s^{2} ight). Vận tốc ban đầu của chất điểm là 2(m/s). Hỏi vận tốc của chất điểm sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2 giây bằng bao nhiêu?

    Ta có: v(2) - v(0) =
\int_{0}^{2}{a(t)dt}

    \Rightarrow v(2) = \int_{0}^{2}{\left(
6t^{2} + 2t ight)dt} + v(0)

    \Rightarrow v(2) = \left. \ \left(
2t^{3} + t^{2} ight) ight|_{0}^{2} + 2 = 22

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x^{2} - 4x + 4, đường cong y = x^{3} và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Tính diện tích S của hình (H)?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x^{3} = x^{2} - 4x + 4 \Leftrightarrow
(x - 1)\left( x^{2} + 4 ight) = 0 \Leftrightarrow x = 1

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{0}^{1}{x^{3}dx} +
\int_{1}^{2}{\left( x^{2} - 4x + 4 ight)dx}

    = \int_{0}^{1}{x^{3}dx} +
\int_{1}^{2}{(x - 2)^{2}d(x - 2)}

    = \left. \ \frac{x^{4}}{4}
ight|_{0}^{1} + \left. \ \frac{(x - 2)^{3}}{3} ight|_{1}^{2} =
\frac{7}{12}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho biết I =
\int_{0}^{\sqrt{7}}{\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{1 + x^{2}}}dx} =
\frac{m}{n} với \frac{m}{n} là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức m - 7n bằng:

    Đặt u = \sqrt[3]{1 + x^{2}}. Khi đó x^{2} = u^{3} - 1 \Rightarrow 2xdx =
3u^{2}du

    Đổi cận

    I = \int_{1}^{2}{\frac{\left( u^{3} - 1
ight)}{u}.\frac{3}{2}u^{2}du} = \frac{3}{2}\int_{1}^{2}{\left( u^{4} -
u ight)du}= \left. \ \frac{3}{2}\left(
\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{2}}{2} ight) ight|_{1}^{2} =
\frac{141}{20}. Suy ra m = 141;n =
20. Do đó m - 7n = 1.

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn \int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1) + xf'(x)
ightbrack dx = 0f(3) =
1. Biết \int_{0}^{3}{f(x)}dx =\frac{a + b\ln2}{2} với a;b \in
\mathbb{R}^{+}. Giá trị của biểu thức a + b là:

    Tính I = \int_{0}^{3}{2x\ln(x +
1)}dx

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln(x + 1) \\dv = 2xdx \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x + 1}dx \\v = x^{2} \\\end{matrix} ight. khi đó:

    I = \left. \ x^{2}\ln(x + 1)
ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{\frac{x^{2}}{x + 1}dx}

    = 9ln4 - \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2}
- x + \ln|x + 1| ight) ight|_{0}^{3} = 16ln2 -
\frac{3}{2}

    Tính J =
\int_{0}^{3}{xf'(x)}dx.

    Đặt \left\{ \begin{matrix}
u_{J} = x \\
dv_{J} = f'(x)dx \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
du_{J} = dx \\
v_{J} = f(x) \\
\end{matrix} ight. khi đó

    J = \int_{0}^{3}{xf'(x)}dx = \left.
\ xf(x) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f(x)}dx

    \int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1)
+ xf'(x) ightbrack dx = 0

    \Rightarrow I + J = 0 \Rightarrow 16\ln2- \frac{3}{2} + 3 - \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 0

    \Rightarrow \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 16\ln2+ \frac{3}{2} = \frac{3 + 32\ln2}{2}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 3 \\
b = 32 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow a + b = 35

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A_{1};A_{2};B_{1};B_{2} như hình vẽ:

    Người ta chia elip bởi Parabol có đỉnh B_{1}, trục đối xứng B_{1}B_{2} và đi qua các điểm M;N. Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200 nghìn đồng/m2 và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500 nghìn đồng/m2. Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng A_{1}A_{2} =4m;B_{1}B_{2} = MN = 2m

    Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của A1A2. Tọa độ các đỉnh A1(−2; 0), A2(2; 0), B1(0; −1), B2(0; 1)

    Phương trình đường Elip (E):\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1\Leftrightarrow y = \pm \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}

    Ta có: M\left( - 1;\frac{\sqrt{3}}{2}ight),N\left( 1;\frac{\sqrt{3}}{2} ight) \in (E)

    Parabol (P) có đỉnh B1(0; −1) và trục đối xứng là Ox nên (P) có phương trình y = ax^{2} - 1, (a > 0), đi qua M; N

    \Rightarrow a = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1\Rightarrow (P):y = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight)x^{2} -1

    Diện tích phần tô đậm

    S_{1} = 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight)x^{2}+ 1 ightbrack dx}

    = \int_{0}^{1}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} -\frac{2}{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight) + 2

    Đặt x = 2\sin t;t \in \left\lbrack -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx =2\cos tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0 \\x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow S_{1} =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\sqrt{4 - 4\sin^{2}t}.2\cos tdt} -\frac{2}{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight) + 2

    = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\cos^{2}tdt}- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3} = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{(1 +\cos2t)dt} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3}

    = \left. \ (2t + \sin2t)ight|_{0}^{\frac{\pi}{6}} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3} =\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{4}{3}

    Diện tích hình Elip là S = πab = 2π

    Suy ra diện tích phần còn lại là: S_{2} =S - S_{1} = \frac{5\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6} -\frac{4}{3}

    Kinh phí sử dụng là 2.10^{5}S_{1} +5.10^{5}S_{2} \approx 2.341.000 đồng.

  • Câu 19: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 1x =
3 bằng

    Diện tích hình giới hạn là S =
\int_{1}^{3}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{3}^{3}{x^{3}dx}
ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{1}^{3}
ight| = 20

  • Câu 20: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {7^x} là 

     Ta có:

    \int {{7^x}dx}  = \frac{{7x}}{{\ln 7}} + C

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 50 lượt xem
Sắp xếp theo