Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành,
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Tìm họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng

Dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên là:
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên
thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Lại có
Do đó
Vậy .
Tính diện tích
của hình phẳng
được giới hạn bởi các đường
, trục hoành và các đường thẳng
?
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Gọi
là đường thẳng tùy ý đi qua điểm
và có hệ số góc âm. Giả sử
cắt các trục
lần lượt tại
. Quay tam giác
quanh trục
thu được một khối tròn xoay có thể tích là
. Giá trị nhỏ nhất của
bằng
Hình vẽ minh họa
Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d:
Mà M(1; 1) ∈ d nên
Từ (1) suy ra d có hệ số góc là ; theo giả thiết ta có
Nếu mẫu thuẫn với (2) suy ra
Mặt khác từ (2) suy ra kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1.
Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy
Thể tích khối nón là
Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét hàm số trên khoảng
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng
Biết
. Khi đó
có giá trị bằng:
Ta có:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng
Diện tích hình giới hạn là
Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Khi đó
Suy ra suy ra
.
Hàm số
có đạo hàm liên tục trên tập số thực và
;
. Hàm số
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Biết
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng
Giá trị của
bằng
Ta có:
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng ![]()
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
là một nguyên hàm của
. Biết rằng
. Xác định tích phân
?
Ta có: .
Cho
với
là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức
bằng
Đặt khi đó:
Xét hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và đường thẳng
. Gọi
. Tính giá trị của tham số
để đoạn thẳng
chia
thành hai phần có diện tích bằng nhau?

Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có:
Giá trị của
bằng
Ta có:
Cho hàm số
có đạo hàm trên khoảng
thỏa mãn
và
. Giá trị tích phân
bằng:
Từ giả thiết ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra
Vì nên
Đặt
Theo công thức tích phân từng phần ta được: