Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
. Thể tích vật thể tròn xoay có được khi
quay quanh trục
bằng:
Gọi là thể tích khối tròn xoay cần tính. Ta có:
Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
. Thể tích vật thể tròn xoay có được khi
quay quanh trục
bằng:
Gọi là thể tích khối tròn xoay cần tính. Ta có:
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho hàm số
có đồ thị
. Xét các điểm
sao cho tiếp tuyến tại
và
của
vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi
và đường thẳng
bằng
. Gọi
lần lượt là hoành độ của
và
. Giá trị của
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: có TXĐ:
Giả sử và
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là
Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là
Vì nên ta có:
Phương trình đường thẳng AB
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:
Thay ta có:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành,
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức
, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét. Biết tại thời điểm
thì vật đi được quãng đường là
. Hỏi tại thời điểm
thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?
Quãng đường vật đi được từ thời điểm đến
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Các biểu thức
xác định bởi
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dựa vào hình vẽ và diện tích hình phẳng ta có:
(hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 1)
Như vậy
Biết rằng
với
. Chọn kết luận đúng?
Đặt
Đổi cận khi đó ta được:
Đặt
Cho hàm số
. Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?
Phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
((do trong khoảng (0; 1) và (1; 2) phương trình
vô nghiệm)
Vậy mệnh đề sai là: .
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
là một nguyên hàm của
. Biết rằng
. Xác định tích phân
?
Ta có: .
Biết
. Khi đó
tương ứng bằng
Ta có:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Biết rằng giá trị lớn nhất của
trên khoảng
là
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Ta có:
Suy ra
Trên khoảng ta có:
Ta có bảng biến thiên
Giá trị lớn nhất của trên khoảng
là
nên t s có:
Vậy .
Đặt
với
là tham số thực. Tìm giá trị của tham số
để
?
Ta có:
Do .
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Suy ra mà
.Hay
Ta có:
Cho hàm số
biết rằng đồ thị hàm số F(x) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành. Chọn công thức đúng của
?
Ta có:
Mà
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là A(0; 1)
=>
=> Hay
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol
và đường thẳng
xoay quanh trục
tính bởi công thức nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có và
cắt nhau tại hai điểm
và
Suy ra thể tích khối tròn xoay đã cho bằng thể tích khối tròn xoay
trừ đi thể tích khối tròn xoay
. Trong đó:
được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục Ox, x = 0, x = 1.
được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục Ox, x = 0, x = 1.
Vậy thể tích khối tròn xoay đã cho bằng .
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Tính thể tích
của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
và hai đường thẳng
quanh trục
:
Thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
và hai đường thẳng
quanh trục
là:
.
Gọi
là một nguyên hàm của hàm số
, thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
, ta có:
mà
Cho hàm số
biết
,
liên tục trên
và
. Tính
?
Ta có: