Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
quanh trục
bằng
Ta có:
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
quanh trục
bằng
Ta có:
Cho
là số thực dương. Biết rằng
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy .
Cho hàm số
. Tính tích phân
?
Ta có:
Cho hai hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Gọi
là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi
thì
bằng bao nhiêu?
Phương trình hoành độ giao điểm
Ký hiệu là diện tích hình phẳng như hình vẽ:
Ta có:
Vì vậy
Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc
. Hỏi rằng trong
trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn
Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:
.
Cho các hàm số
có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên
và thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Đặt
Ta có:
Ta có:
Vậy
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đường cong
, trục hoành và các đường thẳng
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
Ta có:
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
và
bằng:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Hình vẽ minh họa
Diện tích hình phẳng là:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
, F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)
Ta có:
=>
=>
=>
Khi đó:
Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5
=>
=>
=>
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có: . Nhân cả hai vế với
ta được:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Suy ra
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là:
Cho hàm số
biết
,
liên tục trên
và
. Tính
?
Ta có:
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Một vật chuyển động với vận tốc
. Tính quãng đường vật đó đi được trong
giây đầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).?
Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu là:
.
Với giá trị nào của
thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và
bằng
?
Xét phương trình hoành độ giao điểm .
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên được tính bởi
.
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Đặt
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng
Diện tích hình giới hạn là
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .
Cho hàm số
có đồ thị
. Xét các điểm
sao cho tiếp tuyến tại
và
của
vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi
và đường thẳng
bằng
. Gọi
lần lượt là hoành độ của
và
. Giá trị của
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: có TXĐ:
Giả sử và
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là
Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là
Vì nên ta có:
Phương trình đường thẳng AB
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:
Thay ta có:
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: là một nguyên hàm của hàm số
nên
Hay
Xét , đặt
Khi đó