Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x\sqrt{x^{2} + 1};x = 1$ và trục hoành?
- A.
  $S = \frac{3\sqrt{2} - 1}{5}$
- B.
  $S = \frac{5 - \sqrt{2}}{6}$
- C.
  $S = \frac{2\sqrt{2} - 1}{3}$
- D.
  $S = \frac{5 - 2\sqrt{2} - 1}{3}$
Phương trình hoành độ giao điểm

$x\sqrt{x^{2} + 1} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Khi đó diện tích hình phẳng theo yêu cầu bài toán là:

$S = \int_{0}^{1}{x\sqrt{x^{2} + 1}dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\sqrt{x^{2} + 1}d\left( x^{2} + 1 ight)}$

$= \frac{1}{2}\left. \ \left( x^{2} + 1 ight)^{\frac{3}{2}} ight|_{0}^{1} = \frac{2\sqrt{2} - 1}{3}$ .
Câu 2: Nhận biết
Tính tích phân $I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x}$ ?
- A.
  $I = \cot\frac{\pi}{3} - \cot\frac{\pi}{4}$
- B.
  $I = \cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4}$
- C.
  $I = - \cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4}$
- D.
  $I = - \cot\frac{\pi}{3} - \cot\frac{\pi}{4}$
Ta có: $I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x} = \left. \ -\cot x ight|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}$

$= - \left( \cot\frac{\pi}{3} - \cot\frac{\pi}{4} ight) = - \cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4}$ .
Câu 3: Vận dụng
Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}$ và nửa elip có phương trình $y = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}}$ (với $- 2 \leq x \leq 2$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Gọi $S$ là diện tích của, biết $S = \frac{a\pi + b\sqrt{3}}{c}$ (với $a;b;c\mathbb{\in R}$ ). Tính $P = a + b + c$ ?
- A.
  $P = 9$
- B.
  $P = 12$
- C.
  $P = 15$
- D.
  $P = 17$
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị: $\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow x = \pm 1$

Do tính chất đối xứng của đồ thị nên

$S = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} ight) = 2\left( S_{1} + S_{2} ight)$

$S_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

$S_{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx}$ . Đặt $x = 2\sin t\Rightarrow dx = 2\cos tdt$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{2} \\\end{matrix} ight.$

Với $t \in \left\lbrack\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow \cos t \geq 0\Rightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = 2\sqrt{\cos^{2}t} = 2\cos t$

$S_{2} =\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{4\cos^{2}tdt} =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{2\cos^{2}tdt}$

$=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{(1 + \cos2t)dt} = \left. \ \left( t+ \frac{1}{2}\sin2t ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Suy ra $S = \frac{4\pi - \sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = 4;b = - 1;c = 6$

Vậy $P = a + b + c = 9$
Câu 4: Vận dụng cao
Biết luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ và thỏa mãn $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
- A.
  $a\mathbb{\in R};b\mathbb{\in R}$
- B.
  $a = 1;b = 4$
- C.
  $a = 1;b = - 1$
- D.
  $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$
Do $4a - b eq 0 \Rightarrow F(x) eq C;\forall x\mathbb{\in R}$ . Vì luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ nên $f(x)$ không phải là hàm hằng.

Từ giả thiết $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x) \Leftrightarrow \frac{2f(x)}{F(x) - 1} = \frac{f'(x)}{f(x)}$

Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân $dx$ ta được:

$\int_{}^{}{\frac{2f(x)}{F(x) - 1}dx} =\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}$ $\Leftrightarrow 2\ln\left| F(x) - 1ight| = \ln\left| f(x) ight| + C$ với C là hằng số.

$\Leftrightarrow 2ln\left| F(x) - 1 ight| + \ln e^{C} = \ln\left| f(x) ight|$

$\Leftrightarrow \left| f(x) ight| = e^{C}.\left\lbrack F(x) - 1 ightbrack^{2} = e^{C}.\left( \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\\end{matrix} ight.$

TH1: $f(x) = e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} - 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} - 1}{e^{C}} ight)$

TH2: $f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$- e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\- e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} + 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} + 1}{e^{C}} ight)$

Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tính tích phân $A =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\cos^{2}\left( x - \dfrac{\pi}{3}ight)}dx}$ bằng
- A.
  $A = - \frac{4\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $A = - \frac{2\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $A = \frac{4\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $A = - \sqrt{3}$
Ta có:

$A =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\cos^{2}\left( x - \frac{\pi}{3}ight)}dx} = \left. \ \tan\left( x - \frac{\pi}{3} ight)ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \tan\frac{\pi}{6} - \tan\left( - \frac{\pi}{3} ight) = \frac{4\sqrt{3}}{3}$
Câu 6: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có một nguyên hàm là hàm số $F(x)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = f(b) - f(a)$
- B.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a)$
- C.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(a) - F(b)$
- D.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) + F(a)$
Theo định nghĩa tích phân ta có: $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a)$ .
Câu 7: Vận dụng
Cho hàm số $f(x)$ đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn $\lbrack 0;2brack$ và thỏa mãn $2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} - f(x).f''(x) + \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 0$ với $\forall x \in \lbrack 0;2brack$ . Biết rằng $f(0) = 1;f(2) = e^{6}$ khi đó tích phân $M = \int_{- 2}^{0}{(2x + 1)f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $1 + e$
- B.
  $1 - e^{2}$
- C.
  $1 - e$
- D.
  $1 - e^{- 1}$
Ta có:

$2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} - f(x).f''(x) + \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 0$

$\Leftrightarrow f(x).f''(x) - \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{f(x).f''(x) - \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}} = 2$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f'(x)}{f(x)} ightbrack' = 2 \Leftrightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{f'(x)}{f(x)} ightbrack'dx} = \int_{}^{}{2dx}$

$\Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2x + C_{1} \Leftrightarrow \ln\left| f(x) ight| = x^{2} + C_{1}x + C_{2}$

Theo bài ra ta có:

$\left\{ \begin{matrix} f(0) = 1 \\ f(2) = e^{6} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} ln1 = C_{2} \\ 4 + 2C_{1} = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} C_{2} = 0 \\ C_{1} = 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \ln\left| f(x) ight| = x^{2} + x \Rightarrow f(x) = e^{x^{2} + x}$

$\Rightarrow M = \int_{- 2}^{0}{(2x + 1)e^{x^{2} + x}dx} = \left. \ e^{x^{2} + x} ight|_{- 2}^{0} = 1 - e^{2}$
Câu 8: Nhận biết
Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{2x};y = 0$ và hai đường thẳng $x = 1;x = 2$ quanh trục $Ox$ :
- A.
  $V = 3$
- B.
  $V = \pi$
- C.
  $V = 1$
- D.
  $V = 3\pi$
Thể tích $V$ của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{2x};y = 0$ và hai đường thẳng $x = 1;x = 2$ quanh trục $Ox$ là:

$V = \pi\int_{1}^{2}{\left( \sqrt{2x} ight)^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{x^{2}dx} = \pi\left. \ x^{2} ight|_{1}^{2} = 3\pi$ .
Câu 9: Nhận biết
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{x \ln3}$ ?
- A.
  $y = \ln x$ .
- B.
  $y = \ln(3x)$ .
- C.
  $y = \log_{3}x$ .
- D.
  $y = \ln\frac{x}{3}$ .
Ta có: $y = \log_{3}x$ $\Rightarrow y' = \frac{1}{x \ln3}.$
Câu 10: Nhận biết
Giá trị của $\int_{0}^{3}{dx}$ bằng
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Ta có: $\int_{0}^{3}{dx} = \left. \ x ight|_{0}^{3} = 3 - 0 = 3$
Câu 11: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = 3x^{2} - 1$ . Phát biểu nào sau đây đúng?
- A.
  $f(x) = x^{3} + C$ .
- B.
  $\frac{x^{3}}{3} + x + C$ .
- C.
  $6x + C$ .
- D.
  $x^{3} - x + C$ .
Ta có $\int_{}^{}{\left( 3x^{2} - 1 ight)dx = x^{3} - x + C}$ .
Câu 12: Nhận biết
Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , $y = g(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ $(a < b)$ là
- A.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
- B.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx}$ .
- C.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack^{2}dx}$ .
- D.
  $S = \pi\int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , $y = g(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ $(a < b)$ là $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Hàm số $y = f(x)$ có một nguyên hàm là $F(x) = e^{2x}$ . Tìm nguyên hàm của hàm số $\frac{f(x) + 1}{e^{x}}$ ?
- A.
  $\frac{1}{2}e^{x} - e^{- x} + C$
- B.
  $e^{x} - e^{- x} + C$
- C.
  $2e^{x} - e^{- x} + C$
- D.
  $2e^{x} + e^{- x} + C$
Ta có: $f(x) = F'(x) = \left( e^{2x} ight)' = 2.e^{2x}$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f(x) + 1}{e^{x}}dx} = \int_{}^{}{\frac{2e^{2x} + 1}{e^{x}}dx}$

$= 2e^{x} - e^{- x} + C$
Câu 14: Vận dụng cao
Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng $1$ như hình vẽ:
Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x;( - 1 \leq x \leq 1)$ thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích $V$ của vật thể đó.?
- A.
  $V = \sqrt{3}$
- B.
  $V = 3\sqrt{3}$
- C.
  $V = \frac{4\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $V = \pi$
Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x;( - 1 \leq x \leq 1)$ thì được thiết diện là một tam giác đều có cạnh bằng $2\sqrt{1 - x^{2}}$
Do đó, diện tích của thiết diện: $S(x) =\frac{\left( 2\sqrt{1 - x^{2}} ight)^{2}\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\left(1 - x^{2} ight)$
$V = \int_{- 1}^{1}{S(x)dx} = \int_{-1}^{1}{\left\lbrack \sqrt{3}\left( 1 - x^{2} ight) ightbrackdx}$
$= \sqrt{3}\left. \ \left( x -\frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{- 1}^{1} =\frac{4\sqrt{3}}{3}$
Câu 15: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ , $f(0) = 0;f'(0) eq 0;f( - 2) > 2$ và thỏa mãn hệ thức $f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + (6x + 1)f(x)$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Giá trị của $f( - 2)$ là:
- A.
  $- 4$
- B.
  $4$
- C.
  $- 24$
- D.
  $24$
Ta có:

$f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + (6x + 1)f(x)$

$\Leftrightarrow 2f(x)f'(x) + 36x^{2} = 2\left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + 2(6x + 1)f(x)$

$\Leftrightarrow 2f(x)f'(x) - \left\lbrack 2\left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + 2(6x + 1)f(x) ightbrack = - 36x^{2}$

$\Rightarrow \left\lbrack f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) ightbrack' = - 36x^{2}$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) ightbrack'dx} = \int_{}^{}{\left( - 36x^{2} ight)dx}$

$\Rightarrow f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) = - 12x^{3} + C$

Mặt khác $f(0) = 0 \Rightarrow C = 0$

Vậy $f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) = - 12x^{3}$

$\Rightarrow f^{2}( - 2) - 20f( - 2) = 96 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f( - 2) = 24 \\ f( - 2) = - 4 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $f( - 2) > 2 \Rightarrow f( - 2) = 24$ .
Câu 16: Nhận biết
Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{- e^{x} + 4x}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1;x = 2$ . Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình $(H)$ xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
- A.
  $V = \pi\int_{1}^{2}{\left( e^{x} - 4x ight)dx}$
- B.
  $V = \int_{1}^{2}{\left( e^{x} - 4x ight)dx}$
- C.
  $V = \int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx}$
- D.
  $V = \pi\int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx}$
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:

$V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}dx}$

Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:

$V = \pi\int_{1}^{2}{\left\lbrack \sqrt{- e^{x} + 4x} ightbrack^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx}$ .
Câu 17: Thông hiểu
Biết rằng $\int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx = a\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| + b\ln|x| + C}$ . Tính giá trị biểu thức $H = 2a + b$ ?
- A.
  $H = 0$ .
- B.
  $H = 1$ .
- C.
  $H = \frac{1}{2}$ .
- D.
  $H = 1$ .
Ta có:

$\frac{1}{x^{3} - x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{D}{c + 1}$

$= \frac{A\left( x^{2} - 1 ight) + Bx(x + 1) + Dx(x - 1)}{x^{3} - x}$

$= \frac{(A + B + D)x^{2} + (B - D)x - A}{x^{3} - x}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A + B + D = 0 \\B - D = 0 \\- A = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = \dfrac{1}{2} \\D = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Khi đó $\int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{- 1}{x} + \frac{1}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)} ightbrack dx}$

$= \frac{1}{2}\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| - \ln|x| + C$

Suy ra $a = \frac{1}{2};b = - 1 \Rightarrow H = 0$ .
Câu 18: Thông hiểu

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left( \sin xight)dx} = 2\int_{0}^{1}{x.f(x)dx}$ Đúng||Sai

b) $\int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx}$ Đúng||Sai

c) $\int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{x.f(x)dx}$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left( \sin xight)dx} = 2\int_{0}^{1}{x.f(x)dx}$ Đúng||Sai

b) $\int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx}$ Đúng||Sai

c) $\int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{x.f(x)dx}$ Đúng||Sai

Ta có:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left(\sin x ight)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{2\sin x.\cos x.f\left( \sin xight)dx}$

Đặt $t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0 \\x = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\\end{matrix} ight.$ từ đó ta có:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left(\sin x ight)dx} = \int_{0}^{1}{2tf(t)dt} =2\int_{0}^{1}{2xf(x)dx}$

Ta có: $\int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx}$

Đặt $t = e^{x} \Rightarrow dt = e^{x}dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = e \\ \end{matrix} ight.$ từ đó ta có:

$\int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx} = \int_{0}^{e}{\frac{f(t)}{t^{2}}dt} = \int_{0}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx}$

Ta có: $\int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx}$

Đặt $t = x^{2} \Rightarrow dt = 2xdx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = a \Rightarrow t = a^{2} \\ \end{matrix} ight.$ từ đó ta có:

$\int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{tf(t)}dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{xf(x)}dx$
Câu 19: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) =2\sin x.\cos2x$ là:
- A.
  $- \frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- B.
  $\frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- C.
  $\frac{1}{3}\cos3x - \cos x +C$
- D.
  $- \cos3x + \cos x +C$
Ta có: $f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x$

Khi đó:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}$

$= \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C$
Câu 20: Thông hiểu
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{2} + |x|;y = x^{2} + 1$ được cho bởi công thức nào sau đây?
- A.
  $\int_{- 1}^{0}{( - x - 1)dx} +\int_{0}^{1}{(x - 1)dx}$
- B.
  $\left| \int_{- 1}^{0}{( - x - 1)dx}ight| + \left| \int_{0}^{1}{(x - 1)dx} ight|$
- C.
  $\int_{- 1}^{1}{\left( |x| - 1ight)dx}$
- D.
  $\int_{- 1}^{0}{(x - 1)dx} +\int_{0}^{1}{( - x - 1)dx}$
Ta có: $y = x^{2} + |x| = \left\{\begin{matrix}x^{2} + x;\ \ x \geq 0 \\x^{2} - x;\ \ x \leq 0 \\\end{matrix} ight.$
Với $x \geq 0 \Rightarrow x^{2} + x =x^{2} + 1 \Leftrightarrow x = 1$
Với $x \leq 0 \Rightarrow x^{2} - x =x^{2} + 1 \Leftrightarrow x = - 1$
Ta có:
$S = \left| \int_{- 1}^{0}{( - x - 1)dx}ight| + \left| \int_{0}^{1}{(x - 1)dx} ight|$

53 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!