Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho parabol (P):y = x^{2} và hai điểm A;B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A\left( a;a^{2} ight) và (P):y = x^{2} là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.

    Không mất tính tổng quát giả sử a < b.

    Theo giả thiết ta có AB = 2 nên

    (b - a)^{2} + \left( b^{2} - a^{2}ight)^{2} = 4

    \Leftrightarrow (b - a)^{2}\left\lbrack1 + (b + a)^{2} ightbrack = 4

    Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y = (b + a)x - ab

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:

    S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack (a + b)x -ab - x^{2} ightbrack dx}

    = \left. \ \left\lbrack (a +b)\frac{x^{2}}{2} - abx - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{a}^{b}= \frac{(b - a)^{3}}{6}

    Mặt khác (b - a)^{2}\left\lbrack 1 + (b +a)^{2} ightbrack = 4 nên |b -a| \leq 2 do 1 + (b + a)^{2} \geq1

    Suy ra S = \frac{(b - a)^{3}}{6} \leq\frac{2^{3}}{6}

    Vậy S_{\max} = \frac{4}{3} dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.

  • Câu 2: Nhận biết

    Giá trị tích phân I = \int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx} bằng:

    Ta có:

    I = \int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx} = \int_{1}^{2}{x^{- 6}dx} = \left. \ \frac{x^{- 5}}{- 5} ight|_{1}^{2} = \frac{31}{125}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Có bao nhiêu số thực b \in (\pi;3\pi) sao cho \int_{\pi}^{b}{4\cos2xdx} = 1?

    Ta có:

    \int_{\pi}^{b}{4\cos2xdx} = 1\Leftrightarrow \left. \ 2\sin2x ight|_{\pi}^{b} = 1

    \Leftrightarrow \sin2b = 1\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}b = \dfrac{\pi}{12} + k\pi \\b = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do b \in (\pi;3\pi) nên có đúng 4 giá trị của b thỏa mãn.

  • Câu 4: Nhận biết

    Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack 1;3brack, trục Ox và hai đường thẳng x = 1;x = 3 có diện tích là:

    Công thức tính diện tích cần tìm là: S = \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|dx}.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x\sqrt{x^{2} + 1}, trục hoành và đường thẳng x = 1 khi quay quanh trục Ox?

    Phương trình hoành độ giao điểm của đường y = x\sqrt{x^{2} + 1} và trục hoành là:

    x\sqrt{x^{2} + 1} = 0 \Leftrightarrow x = 0

    Khi đó, thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x\sqrt{x^{2} + 1}, trục hoành và đường thẳng x = 1 khi quay quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{0}^{1}{\left( x\sqrt{x^{2} + 1} ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{1}{\left( x^{4} + x^{2} ight)dx}

    = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{8\pi}{15}

  • Câu 6: Vận dụng

    Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}}. Hỏi đồ thị của hàm số y = F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    Vì F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}} nên suy ra F'(x) = f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}}

    Ta có: F'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x - \cos x}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - \cos x = 0 \\ x \in \lbrack - 1;1brack\backslash\left\{ 0 ight\} \\ \end{matrix} ight.\ (1)

    Xét hàm số g(x) = x - \cos x trên \lbrack - 1;1brack, ta có: g'(x) = 1 + \sin x \geq 0;\forall x \in \lbrack - 1;1brack suy ra hàm số g(x) đồng biến trên \lbrack - 1;1brack.

    Vậy phương trình g(x) = x - \cos x = 0 có nhiều nhất một nghiệm trên \lbrack - 1;1brack (2)

    Mặt khác ta có hàm số g(x) = x - \cos x liên tục trên (0;1) và \left\{ \begin{matrix} g(0) = 0 - cos0 = - 1 < 0 \\ g(1) = 1 - cos1 > 0 \\ \end{matrix} ight. nên g(0)g(1) < 0.

    Suy ra tồn tại x_{0} \in (0;1) sao cho g\left( x_{0} ight) = 0 (3)

    Từ (1); (2); (3) suy ra phương trình F'(x) = 0 có nghiệm duy nhất x_{0} eq 0.

    Đồng thời vì x_{0} là nghiệm bội lẻ nên F'(x) đổi dấu qua x = x_{0}

    Vậy đồ thị hàm số y = F(x) có một điểm cực trị.

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y = x^{5}.Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}} ight)\mathbf{'}\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{5}}

    Vậy đáp án cần tìm là: \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}\mathbf{+ C}.

  • Câu 8: Nhận biết

    Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f(x);y = g(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack và hai đường thẳng x = a;x = b;a < b là

    Ta có hình phẳng giới hạn bởi \left\{ \begin{matrix} \left( C_{1} ight):y = f(x) \\ \left( C_{2} ight):y = g(x) \\ x = a \\ x = b \\ \end{matrix} ight. là S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}.

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho \int_{- 1}^{2}{f(x)dx} = 2 và \int_{- 1}^{2}{g(x)dx} = - 1, khi đó \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = \int_{- 1}^{2}{xdx} + 2\int_{- 1}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 1}^{2}{g(x)dx}

    = \left. \ \frac{1}{2}x^{2} ight|_{- 1}^{2} + 2.2 + 3.( - 1) = \frac{5}{2}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) được tính bằng triệu người/năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t) . Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7. Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) được tính bằng triệu người/năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t) . Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7. Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

    Ta có: S(t) là một nguyên hàm của S'(t) và

    \int_{}^{}{S'(t)}dt = \int_{}^{}{1,2698.e^{0,014t}}dt = 90,7.e^{0,014t} + C

    Do S(0) = 90,7 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S(t) = 90,7.e^{0,014t}

    Tốc độ tăng dân số của nước ta vào năm 2034 là

    S'(20) = 1,2698.e^{0,014.20} \approx 1,7( triệu người/năm)

    Dân số của nước ta vào năm 2034 là

    S(20) = 90,7.e^{0,014.20} \approx 120( triệu người)

  • Câu 11: Vận dụng

    Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m, trục nhỏ bằng 80m được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 200 mỗi m^{2} trồng cây con và 4000 mỗi m^{2} trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m, trục nhỏ bằng 80m được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 200 mỗi m^{2} trồng cây con và 4000 mỗi m^{2} trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 12: Nhận biết

    Tính tích phân \int_{1}^{2}{\frac{x - 1}{x}dx}?

    Ta có: \int_{1}^{2}{\frac{x - 1}{x}dx} = \int_{1}^{2}{\left( 1 - \frac{1}{x} ight)dx} = \left. \ \left( x - \ln|x| ight) ight|_{1}^{2}

    = (2 - \ln2) - (1 - \ln1) = 1 -\ln2

  • Câu 13: Thông hiểu

    Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3

     f\left( x ight) = \left[ {F\left( x ight)} ight]' = 2x + 4 \Rightarrow F\left( 3 ight) = 10

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f(x) = x^{3} - 3x + 2 và g(x) = x + 2?

    Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số f(x);g(x) là nghiệm của phương trình

    x^{3} - 3x + 2 = x + 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Hình vẽ minh hoạ

    Diện tích S cần tìm là:

    S = \int_{- 2}^{0}{\left( x^{3} - 4x ight)dx} - \int_{0}^{2}{\left( x^{3} - 4x ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} ight) ight|_{- 2}^{0} - \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} ight) ight|_{0}^{2} = 8

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho các hàm số f(x) có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} eq 0. Giá trị của biểu thức \frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) - f(0)} bằng:

    Đặt \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} = k

    Ta có:

    k = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f'(x) ightbrack}

    = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1} - k

    \Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1}

    Ta có:

    k = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f(x) ightbrack}

    = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} - k

    \Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1}

    Vậy \frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) - f(0)} = \frac{\left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1}}{\left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1}} = 1

  • Câu 16: Thông hiểu

    Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 12m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 12 - 2t(m/s) (trong đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh). Hỏi trong thời gian 8 giây cuối (tính đến khi xe dừng hẳn) thì ô tô đi được quãng đường bằng bao nhiêu?

    Khi dừng hẳn v(t) = 12 - 2t = 0 \Rightarrow t = 6(s)

    Khi đó trong 8s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được (bao gồm 2s trước khi đạp phanh):

    S = 2.12 + \int_{0}^{6}{v(t)dt} = 24 + \int_{0}^{6}{(12 - 2t)dt}

    = 24 + \left. \ \left( 12t - t^{2} ight) ight|_{0}^{6} = 24 + 36 = 60(m)

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\} thỏa mãn 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1;f\left( 1 ight) = 0. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có:

    \begin{matrix} 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2}} ight)'.f\left( x ight) + {x^2}.f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]' = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \begin{matrix} \int {\left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]'dx} = \int {1.dx} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2}f\left( x ight) = x + C \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow 1.f\left( 1 ight) = 1 + C \Rightarrow C = - 1 \hfill \\ \Rightarrow {x^2}f\left( x ight) = x - 1 \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ta có:

    \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow x = 1\left( {tm} ight)

    Ta lại có: f'\left( x ight) = \frac{{2 - x}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( 1 ight) = 1} \\ {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:

    y = f'\left( 1 ight)\left( {x - 1} ight) + f\left( 1 ight) \Rightarrow y = x - 1

  • Câu 18: Nhận biết

    Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{x}{4};y = 0;x = 1;x = 4. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox?

    Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox là

    V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{x}{4} ight)^{2}dx} = \left. \ \frac{\pi x^{3}}{48} ight|_{1}^{4} = \frac{21\pi}{16}.

  • Câu 19: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 3x

     Ta có: \int {\cos 3xdx} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C

  • Câu 20: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 7 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập