Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất v = 50m/s, sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 667m

    Đáp án là:

    Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất v = 50m/s, sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 667m

    Giả sử hàm số biểu thị cho vận tốc có dạng (P):v(t) = at^{2} + bt + c\left( a,b,c\mathbb{\in R} ight)

    Do (P) đi qua gốc O nên c = 0

    (P) có đỉnh là I(10;50) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{- b}{2a} = 10 \\ 50 = a.100 + b.10 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{1}{2} \\ b = 10 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó (P):v(t) = - \frac{1}{2}t^{2} + 10t

    Xe dừng lại khi v(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = 20 \\ \end{matrix} ight.

    Quảng đường xe ô tô di chuyển trong 20 giây là S = \int_{0}^{20}{\left( - \frac{1}{2}t^{2} + 10t ight)dt} \approx 667m

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ 3x^{2} - 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight. có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F(0) = 1 và F(x) liên túc trên \mathbb{R}. Giá trị biểu thức K = F( - 1) - F(2) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + C_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + C_{2}\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    F(0) = 1 \Rightarrow C_{2} = 1

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 1 tức là

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}F(x) = F(1)

    \Leftrightarrow 1 + C_{1} = C_{2} \Leftrightarrow C_{1} = 0

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    K = F( - 1) - F(2) = ( - 1 + 1 + 1) + \left( 2^{2} ight) = 5

  • Câu 3: Nhận biết

    Vật thể B giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2. Cắt vật thể B với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x;(0 \leq x \leq 2) ta được thiết diện có diện tích bằng x^{2}(2 - x). Thể tích của vật thể B:

    Thể tích của vật thể B là:

    V = \int_{0}^{2}{x^{2}(2 - x)dx} = \int_{0}^{2}{\left( 2x^{2} - x^{3} ight)dx} = \frac{4}{3}

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hình vẽ:

    Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ được xác định theo công thức:

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy công thức tính diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{- 1}^{2}{\left( - x^{2} + 3 - x^{2} + 2x + 1 ight)dx} = \int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} + 2x + 4 ight)dx}.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x\sin x, biết rằng F\left( \frac{\pi}{2} ight) = 2019?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \sin xdx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cos x \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{}^{}{x\sin xdx} = - x\cos x - \int_{}^{}{\left( - \cos x ight)dx} + C = - x\cos x + \sin x + C

    F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} + C = 2019 \Rightarrow C = 2018

    Vậy F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018.

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x} trên khoảng (0;\pi). Biết rằng giá trị lớn nhất của F(x) trên khoảng (0;\pi) là \sqrt{3}. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\dfrac{2\cos x - 1}{\sin^{2}x}dx} =\int_{}^{}{\dfrac{2\cos x}{\sin^{2}x}dx} -\int_{}^{}{\dfrac{1}{\sin^{2}x}dx}

    = \int_{}^{}\frac{2d\left( \sin xight)}{\sin^{2}x} - \int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx} = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C

    Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x} trên khoảng (0;\pi) nên hàm số F(x) có công thức dạng F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C với mọi x \in (0;\pi)

    Xét hàm số F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C xác định và liên tục trên (0;\pi)

    Ta có: F'(x) = f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}

    \Rightarrow F'(x) = 0\Leftrightarrow \frac{2\cos x - 1}{\sin^{2}x} = 0

    \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Trên khoảng (0;\pi) phương trình F'(x) = 0 có một nghiệm x = \frac{\pi}{3}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    \underset{(0;\pi)}{\max F(x)} = F\left( \frac{\pi}{3} ight) = - \sqrt{3} + C. Theo bài ra ta có: - \sqrt{3} + C = \sqrt{3} \Rightarrow C = 2\sqrt{3}

    Do đó F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + 2\sqrt{3} suy ra F\left( \frac{\pi}{6} ight) = 3\sqrt{3} - 4.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1 ight| và y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1 ight| và y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H). Lúc dó S = 2S_{1} + 2S_{2}, trong đó S_{1} là diện tích phần gạch sọc ở bên phải Oy và S_{2} là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

    GọiA,B là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng y = k và đồ thị hàm sốy = \left| x^{2} - 1 ight|, trong đó A\left( \sqrt{1 - k};k ight) và B\left( \sqrt{1 + k};k ight).

    Thco yêu cầu bài toán S = 2 \cdot 2S_{1} \Leftrightarrow S_{1} = S_{2}.

    \Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 - k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\ = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k - 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1 ight)dx}.

    \Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}

    = \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}

    \ + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}

    \Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k} ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx 0,59.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Có bao nhiêu số thực b \in (\pi;3\pi) sao cho \int_{\pi}^{b}{4\cos2xdx} = 1?

    Ta có:

    \int_{\pi}^{b}{4\cos2xdx} = 1\Leftrightarrow \left. \ 2\sin2x ight|_{\pi}^{b} = 1

    \Leftrightarrow \sin2b = 1\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}b = \dfrac{\pi}{12} + k\pi \\b = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do b \in (\pi;3\pi) nên có đúng 4 giá trị của b thỏa mãn.

  • Câu 9: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight)?

    Ta có: \int_{}^{}\left\lbrack e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight) ightbrack dx = \int_{}^{}\left( 2017e^{x} - \frac{2018}{x^{5}} ight)dx

    = 2017e^{x} + \frac{504,5}{x^{4}} + C

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn

    \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = a\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} + b\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C}

    Tính giá trị biểu thức M = a + b.

     I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} }}{{\left( {x + 2} ight) - \left( {x + 1} ight)}}dx} = \int {\left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} } ight)dx} }

    => I = \frac{2}{3}.\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} - \frac{2}{3}\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{2}{3}} \\ {b = \dfrac{{ - 2}}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow M = a + b = 0

  • Câu 11: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm F(t) = \int_{}^{}txdt.

    Ta có:

    F(t) = \int_{}^{}txdt = x\int_{}^{}tdt = x.\frac{t^{2}}{2} + C

  • Câu 12: Nhận biết

    Tích phân \int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx bằng:

    Ta có:

    \int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx = \left. \ \left( \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} ight) ight|_{1}^{8} = \frac{45}{4}.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip (E) có phương trình \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1. Hình phẳng (H) giới hạn bởi nửa elip nằm trên trục hoành và trục hoành. Quay hình (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay, tính thể tích khối tròn xoay đó?

    Ta có: \frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{25} \Rightarrow y = \sqrt{9\left( 1 - \frac{x^{2}}{25} ight)} với x \in \lbrack - 5;5brack

    Khi đó thể tích cần tìm là: V = \pi\int_{- 5}^{5}{\left( 9 - \frac{9x^{2}}{25} ight)dx} = 60\pi

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ:

    Tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{2}{f'(2x - 1)dx}?

    Ta có:

    I = \int_{1}^{2}{f'(2x - 1)dx} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{f'(2x - 1)d(2x - 1)}

    = \frac{1}{2}\left. \ f(2x - 1)ight|_{1}^{2} = \frac{1}{2}\left\lbrack f(3) - f(1) ightbrack =2

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) biết f(0) = 1, f'(x) liên tục trên \lbrack 0;3brack và \int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9. Tính f(3)?

    Ta có:

    \int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9 \Leftrightarrow \left. \ f(x) ight|_{0}^{3} = 9 \Rightarrow f(3) - f(0) = 9

    \Rightarrow f(3) = 9 + f(0) = 9 + 1 = 10

  • Câu 16: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x - 8\sin x\cos x thỏa mãn F(\pi) = 2?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(2x - 8\sin x\cos x ight)dx}

    = \int_{}^{}{(2x - 4\sin2x)dx} = x^{2} +2\cos2x + C

    Theo bài ra ta có: F(\pi) = 2

    \Rightarrow \pi^{2} + 2 + C = 2 \Leftrightarrow C = - \pi^{2}

    Vậy F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho vật thể (H) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = a và x = b với a < b. Gọi f(x) là diện tích thiết diện của (H) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x, với a \leq x \leq b. Biết hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack, khi đó thể tích V của vật thể (H) được cho bởi công thức:

    Vì f(x) là diện tích thiết diện của (H) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x, với a \leq x \leq b ta có: V = \int_{a}^{b}{f(x)}dx không phải là V = \pi{\int_{a}^{b}\left\lbrack f(x) ightbrack}^{2}dx.

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 2x - x^{2};y = 0. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:

    Ta có: 2x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:

    V = \pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hai hàm số f(x) = ax^{3} + bx + c;g(x) = bx^{3} + ax + c;(a > 0) có đồ thị như hình vẽ:

    Gọi S_{1};S_{2} là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi S_{1} + S_{2} = 3 thì \int_{0}^{1}{f(x)dx} bằng bao nhiêu?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    (a - b)x^{3} + (b - a)x = 0

    \Leftrightarrow (a - b)\left( x^{3} - x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ký hiệu S_{3} là diện tích hình phẳng như hình vẽ:

    Ta có:

    S_{1} = \int_{- 1}^{0}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} = (a - b)\int_{- 1}^{0}{\left( x^{3} - x ight)dx} = \frac{1}{4}(a - b)

    S_{2} = - \int_{- 1}^{0}{g(x)dx} = - \int_{- 1}^{0}{\left( bx^{3} + ax + c ight)dx} = - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight)

    Vì vậy S_{1} + S_{2} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{4}(a - b) - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight) = 3

    \Leftrightarrow a + 2b + 4c = - 12

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{\left( ax^{3} + bx + c ight)dx} = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = \frac{a + 2b + 4c}{4} = - 3

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó hiệu số F(0) - F(1) bằng:

    Theo định nghĩa tích phân ta có:

    \int_{0}^{1}{f(x)dx} = F(1) - F(0) suy ra F(0) - F(1) = - \int_{0}^{1}{f(x)dx}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 8 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập