Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack, có đồ thị hàm số y = f'(x) như sau:

    Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

    Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì \int_{a}^{b}{f'(x)dx} là diện tích hình thang cong ABMN.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, thỏa mãn F(0) = 2020. Tính giá trị biểu thức T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) +
F(2019)?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =
\int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, ta có: F(x) = e^{x} + CF(0) = 2020

    \Rightarrow C = 2019 \Rightarrow F(x) =
e^{x} + 2019

    T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) +
F(2019)

    T = 1 + e + e^{2} + .... + e^{2018} +
e^{2019} + 2019.2020

    T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} +
2019.2020.

  • Câu 3: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 - 2t(m/s). Hỏi trong 5s trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 30 - 2t = 0
\Rightarrow t = 15(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{10}^{15}{v(t)dt} =
\int_{10}^{15}{(30 - 2t)dt} = 25m.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho các hàm số f(x)F(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn F'(x) = f(x) với \forall x\mathbb{\in R}. Tính I = \int_{0}^{1}{f(x)dx}, biết rằng F(0) = 2;F(1) = 5?

    Ta có: I = \int_{0}^{1}{f(x)dx} = F(1) -
F(0) = 3.

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\} thỏa mãn f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2};f\left( 2 ight) = 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

     Ta có:

    \begin{matrix}  f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\   \Leftrightarrow \left( x ight)'f\left( x ight) + xf'\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ {xf\left( x ight)} ight]' = 3{x^2} \hfill \\ \end{matrix}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \begin{matrix}  \int {\left[ {xf\left( x ight)} ight]'dx = \int {3{x^2}dx} }  \hfill \\   \Leftrightarrow xf\left( x ight) = {x^3} + C \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác f\left( 2 ight) = 8 \Rightarrow 3.f\left( 2 ight) = 8 + C \Rightarrow C = 8

    => xf\left( x ight) = {x^3} + 8 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{{{x^3} + 8}}{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{{{x^3} + 8}}{x} = 0 \Rightarrow x =  - 2

    Ta có: f'\left( x ight) = \frac{{2{x^3} - 8}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {f'\left( { - 2} ight) =  - 6} \\   {f\left( { - 2} ight) = 0} \end{array}} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:

    y = f'\left( { - 2} ight)\left( {x + 2} ight) + f\left( { - 2} ight) \Rightarrow y =  - 6x - 12

  • Câu 6: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{5x - 2}}

     \int {\left[ {\frac{1}{{5x - 2}}} ight]dx}  = \frac{1}{5}\int {\frac{{d\left( {5x - 2} ight)}}{{5x - 2}}}  = \frac{1}{5}\ln \left| {5x - 2} ight| + C

  • Câu 7: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = \frac{1}{x \ln3}?

    Ta có: y = \log_{3}x \Rightarrow y' = \frac{1}{x \ln3}.

  • Câu 8: Vận dụng

    Biết xe^{x} là một nguyên hàm của hàm số f( - x) trên khoảng ( - \infty; + \infty). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f'(x)e^{x} thỏa mãn F(0) = 1. Giá trị của F( - 1) bằng:

    Ta có: f( - x) = \left( xe^{x}
ight)' = e^{x} + xe^{x};\forall x \in ( - \infty; +
\infty)

    Do đó f( - x) = e^{- ( - x)} - ( - x)e^{-
( - x)};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Suy ra f(x) = e^{- x}(1 - x);\forall x
\in ( - \infty; + \infty)

    Nên f'(x) = \left\lbrack e^{- x}(1 -
x) ightbrack' = e^{- x}(x - 2)

    \Rightarrow f'(x)e^{x} = e^{- x}(x -
2)e^{x} = x - 2

    Vậy F(x) = \int_{}^{}{(x - 2)dx} =
\frac{1}{2}(x - 2)^{2} + C

    Từ đó F(0) = \frac{1}{2}(0 - 2)^{2} + C =
C + 2

    F(0) = 1 \Rightarrow C = -
1

    Vậy F(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1
\Rightarrow F( - 1) = \frac{1}{2}( - 1 - 2)^{2} - 1 =
\frac{7}{2}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered}
  \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}{\text{   khi }}x \geqslant 0 \hfill \\
  {\left( {2x + 1} ight)^3}{\text{   khi }}x < 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.F(4) + F(
- 1) = 8. Giá trị biểu thức Q = F(
- 2) + F(12) bằng:

    Ta có: F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx}  = \left\{ \begin{gathered}
  \sqrt {2x + 1}  + {C_1}{\text{   khi }}x \geqslant 0 \hfill \\
  \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^4}}}{8}{\text{ + }}{{\text{C}}_2}{\text{   khi }}x < 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

    F(4) + F( - 1) = 8\Rightarrow \sqrt{8 +1} + C_{1} + \frac{( - 2 + 1)^{4}}{8} + C_{2} = 8\Rightarrow C_{1} +C_{2} = \frac{39}{8}(*)

    Do đó: Q = F( - 2) + F(12) = \sqrt{2.12 +
1} + \frac{( - 4 + 1)^{4}}{8} + C_{1} + C_{2} = 20

  • Câu 10: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight)?

    Ta có: \int_{}^{}\left\lbrack e^{x}\left(
2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight) ightbrack dx =
\int_{}^{}\left( 2017e^{x} - \frac{2018}{x^{5}} ight)dx

    = 2017e^{x} + \frac{504,5}{x^{4}} +
C

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Các biểu thức E;F;G;H xác định bởi E = \int_{0}^{3}{f(x)dx};F =
\int_{3}^{5}{f(x)dx};G = \int_{2}^{4}{f(x)dx};H = f'(x). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Dựa vào hình vẽ và diện tích hình phẳng ta có:

    E = \int_{0}^{3}{f(x)dx} = -
\int_{0}^{3}{\left| f(x) ight|dx} < - 2

    F = \int_{3}^{5}{f(x)dx} >
3

    0 < G = \int_{2}^{4}{f(x)dx} <
2

    - 1 < H = f'(1) < 0 (hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 1)

    Như vậy E < H < G <
F

  • Câu 12: Nhận biết

    Giả sử f(x);g(x) là các hàm số bất kì liên tục trên \mathbb{R}a;b;c là các số thực. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Theo tính chất tích phân ta có:

    \int_{a}^{b}{f(x)dx} +
\int_{b}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{a}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} +
\int_{b}^{c}{f(x)dx} - \int_{a}^{c}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} -
\int_{a}^{c}{f(x)dx} = 0

    \int_{a}^{b}{c.f(x)dx} =
c.\int_{a}^{b}{f(x)dx};\forall x\mathbb{\in R}

    \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x)
ightbrack dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} -
\int_{a}^{b}{g(x)dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx}

    Vậy mệnh đề sai: \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x)g(x) ightbrack
dx} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}.\int_{a}^{b}{g(x)dx}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C):y =
3x^{4} - 4x^{2} + 5, trục hoành, x
= 1x = 2 là:

    Ta có: 3x^{4} - 4x^{2} + 5 > 0;\forall
x\mathbb{\in R} nên ta có:

    S = \int_{1}^{2}{\left( 3x^{4} - 4x^{2}
+ 5 ight)dx} = \left. \ \left( \frac{3}{5}x^{5} - \frac{4}{3}x^{3} +
5x ight) ight|_{1}^{2} = \frac{214}{15}

  • Câu 14: Nhận biết

    Vật thể B giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình x = 0x = 2. Cắt vật thể B với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x;(0 \leq x \leq 2) ta được thiết diện có diện tích bằng x^{2}(2 - x). Thể tích của vật thể B:

    Thể tích của vật thể B là:

    V = \int_{0}^{2}{x^{2}(2 - x)dx} =
\int_{0}^{2}{\left( 2x^{2} - x^{3} ight)dx} = \frac{4}{3}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho biết I =
\int_{0}^{\sqrt{7}}{\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{1 + x^{2}}}dx} =
\frac{m}{n} với \frac{m}{n} là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức m - 7n bằng:

    Đặt u = \sqrt[3]{1 + x^{2}}. Khi đó x^{2} = u^{3} - 1 \Rightarrow 2xdx =
3u^{2}du

    Đổi cận

    I = \int_{1}^{2}{\frac{\left( u^{3} - 1
ight)}{u}.\frac{3}{2}u^{2}du} = \frac{3}{2}\int_{1}^{2}{\left( u^{4} -
u ight)du}= \left. \ \frac{3}{2}\left(
\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{2}}{2} ight) ight|_{1}^{2} =
\frac{141}{20}. Suy ra m = 141;n =
20. Do đó m - 7n = 1.

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack và f(1) = 0. Giá trị tích phân D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Từ giả thiết ta có:

    f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} =
\ln\left\lbrack \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}
ightbrack

    \Leftrightarrow e^{\frac{f(x)}{x}} =
\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}

    \Leftrightarrow \frac{xf'(x) -
f(x)}{x^{2}}.e^{\frac{f(x)}{x}} = x

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\frac{f(x)}{x} ightbrack'.e^{\frac{f(x)}{x}} = x(*)

    Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} +
C

    f(1) = 0 \Rightarrow C =
\frac{1}{2} nên e^{\frac{f(x)}{x}}
= \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = x\ln\frac{x^{2} +
1}{2};\forall x \in (0; + \infty)

    D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} =\int_{1}^{5}{x.\ln\frac{x^{2} + 1}{2}dx}(**)

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln\dfrac{x^{2} + 1}{2} \\dv = xdx \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}dx \\v = \dfrac{x^{2} + 1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Theo công thức tích phân từng phần ta được:

    D = \left. \ \left( \frac{x^{2} +1}{2}.\ln\frac{x^{2} + 1}{2} ight) ight|_{1}^{5} - \int_{1}^{5}{xdx}= 13\ln13 - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{5} = 13\ln13 -12

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} và các trục tọa độ.

    Đồ thị hàm số đã cho cắt hai trục Ox tại điểm A(−1; 0) và cắt trục Oy tại điểm B\left( 0; - \frac{1}{2}
ight), do đó diện tích cần tìm là

    S = \int_{- 1}^{0}{\left| \frac{x + 1}{x
- 2} ight|dx} = \left| \int_{- 1}^{0}{\left( 1 + \frac{3}{x - 2}
ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( x + 3\ln|x - 2|ight) ight|_{- 1}^{0} ight| = 3\ln\frac{3}{2} - 1

  • Câu 18: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t(s)a(t)
= 2t - 7\left( m/s^{2} ight). Biết vận tốc đầu bằng 10(m/s). Hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?

    Ta có:

    Vận tốc của vật được tính theo công thức: v(t) = 10 + t^{2} - 7t(m/s)

    Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức: S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} = \frac{t^{3}}{3} -
\frac{7}{2}t^{2} + 10t

    Ta có: S'(t) = t^{2} - 7t + 10
\Rightarrow S'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
t = 2 \\
t = 5 \\
\end{matrix} ight.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}S(0) = 0 \\S(2) = \dfrac{26}{3} \\S(5) = \dfrac{25}{6} \\S(6) = 6 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \underset{\lbrack 0;6brack}{\max S(t) = S(2)} = \dfrac{26}{3}

    Vậy thời điểm chất điểm ở xa nhất về phía bên phải là 2s.

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \frac{1}{2}x^{2} có đồ thị (P). Xét các điểm A;B \in (P) sao cho tiếp tuyến tại AB của (P) vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng \frac{9}{4}. Gọi x_{1};x_{2} lần lượt là hoành độ của AB. Giá trị của \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:y = \frac{1}{2}x^{2} có TXĐ: D\mathbb{= R}

    y' = x

    Giả sử A\left(
x_{1};\frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight),B\left(
x_{2};\frac{1}{2}{x_{2}}^{2} ight) \in (P)x_{1} eq x_{2}

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là y = x_{1}\left( x - x_{1} ight) +
\frac{1}{2}{x_{1}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{1}x -
\frac{1}{2}{x_{1}}^{2}\ \ \ \left( d_{1} ight)

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là y = x_{2}\left( x - x_{2} ight) +
\frac{1}{2}{x_{2}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{2}x -
\frac{1}{2}{x_{2}}^{2}\ \ \ \left( d_{2} ight)

    \left( d_{1} ight)\bot\left( d_{2}
ight) nên ta có: x_{1}x_{2} = - 1
\Leftrightarrow x_{2} = - \frac{1}{x_{1}}

    Phương trình đường thẳng AB

    \dfrac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} =\dfrac{y - \dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}{\dfrac{1}{2}{x_{2}}^{2} -\dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( x -
x_{1} ight)\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) = \left( y -
\frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow \left( x - x_{1}
ight)\left( x_{2} + x_{1} ight) = 2y - {x_{1}}^{2}

    \Leftrightarrow \left( x_{2} + x_{1}
ight)x - 2y - x_{1}x_{2} = 0

    \Leftrightarrow y =
\frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{2} + x_{1} ight)x - x_{1}x_{2}
ightbrack = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)x +
1 ightbrack

    Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:

    S =
\frac{1}{2}\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2}
ight)x + 1 - x^{2} ightbrack dx}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} =
\frac{1}{2}\left. \ \left\lbrack \left( x_{1} + x_{2}
ight)\frac{x^{2}}{2} + x - \frac{x^{3}}{3} ightbrack
ight|_{x_{1}}^{x_{2}}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} =
\frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)\left(
\frac{{x_{2}}^{2}}{2} - \frac{{x_{1}}^{2}}{2} ight) + \left( x_{2} -
x_{1} ight) - \frac{{x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3}}{3}
ightbrack

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left(
x_{1}{x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{2}x_{2} ight)
+ 6\left( x_{2} - x_{1} ight) - 2{x_{2}}^{3} +
2{x_{1}}^{3}

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left( x_{2} -
x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} +
{x_{2}}^{2} - 1 ight) + 6\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow 27 = 3\left( x_{2} -
x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} +
{x_{2}}^{2} - 1 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} -
x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} -
x_{1} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)^{2}

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} -
x_{1} ight)^{3} \Leftrightarrow x_{2} - x_{1} = 3

    Thay x_{2} = - \frac{1}{x_{1}} ta có:

    - \frac{1}{x_{1}} - x_{1} = 3
\Leftrightarrow - 1 - {x_{1}}^{2} - 3x_{1} = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x_{1} = \dfrac{- 3 - \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{2}{3 +\sqrt{5}} \\x_{1} = \dfrac{- 3 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{- 2}{- 3 +\sqrt{5}} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( x_{1} + x_{2}
ight)^{2} = 5

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = - x^{2} + 2x, trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (H);Ox là: -
x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó V = \pi\int_{0}^{2}{\left( - x^{2}
+ 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2}
ight)dx} = \frac{16\pi}{15}.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 40 lượt xem
Sắp xếp theo