Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Đáp án là:

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Cả hai bên cầu có tất cả 2.10 = 20 nhịp cầu.

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu, đỉnh I(25;2), điểm A(50;0)

    Gọi Parabol phía trên có phương trình: \left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c = ax^{2} + bx (vì O \in \left( P_{1} ight))

    \Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx - \frac{1}{5} là phương trình parabol phía dưới

    (Vì bề dày nhịp cầu là 20cm = \frac{1}{5}m)

    Ta có I,A \in \left( P_{1} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 25^{2}a + 25b = 2 \\ 50^{2}a + 50b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{2}{625} \\ b = \frac{4}{25} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\ \ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x - \frac{1}{5}

    Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi y_{1};y_{2} và trục Ox nên ta có:

    S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx + \int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}

    Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là S.0,2 \approx 1,985m^{3}.

    Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là V = 20.S.0,2 \approx 40m^{3}

  • Câu 2: Nhận biết

    Tích phân I = \int_{0}^{1}{3^{x}dx} bằng:

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{3^{x}dx} = \left. \frac{3^{x}}{\ln3} ight|_{0}^{1} = \frac{2}{\ln3}

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;(a < b) được tính theo công thức

    Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;(a < b) được tính theo công thức: S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx}.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm với mọi x\mathbb{\in R} và f'(x) = 2x + 1. Giá trị của f(2) - f(1) bằng:

    Ta có:

    f'(x) = 2x + 1 \Rightarrow\int_{}^{}{f'(x)dx = \int_{}^{}{(2x + 1)dx}}

    = x^{2} + x + C \Rightarrow \existsC_{1}\mathbb{\in R}:f(x) = x^{2} + x + C

    \Rightarrow f(2) - f(1) = 2^{2} + 2 +C_{1} - \left( 1^{2} + 1 + C_{1} ight) = 4

  • Câu 5: Vận dụng

    Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1;1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y = x^{2} và y = ax^{3} + bx. Tính giá trị a.b biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn.

    Đáp án: -2||- 2

    Đáp án là:

    Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1;1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y = x^{2} và y = ax^{3} + bx. Tính giá trị a.b biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn.

    Đáp án: -2||- 2

    Diện tích 1 cánh của hình trang trí là:

    S_{1} = \int_{0}^{1}\left( x^{2} - ax^{3} - bx ight)dx = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{ax^{4}}{4} - \frac{bx^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{a}{4} - \frac{b}{2}

    \Rightarrow Diện tích hình trang trí là: S = 4S_{1} = \frac{4}{3} - a - 2b

    Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn nên

    \frac{4}{3} - a - 2b = \frac{4}{3} \Leftrightarrow a + 2b = 0

    Khi đó ta có: \left\{ \begin{matrix} a + b = 1 \\ a + 2b = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    Vậy ab = - 2.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{x - 1}{x + 2} và các đường thẳng y = 2;y = - 2x - 4 như hình vẽ:

    Phương trình hoành độ giao điểm

    \frac{x - 1}{x + 2} = - 2x - 4\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - \dfrac{7}{2} \\\end{matrix} ight.

    Xét - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 3

    Xét \frac{x - 1}{x + 2} = 2 \Leftrightarrow x = - 5

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{- 5}^{\frac{- 7}{2}}{\left( \frac{x - 1}{x + 2} - 2 ight)dx} + \int_{- \frac{7}{2}}^{- 3}{( - 2x - 4 - 2)dx}

    = - \frac{5}{4} + 3\ln2

  • Câu 7: Nhận biết

    Tính tích phân I = \int_{0}^{1}{(2x + 1)e^{x}dx} bằng cách đặt u = 2x + 1;dv = e^{x}dx. Công thức nào dưới đây chính xác?

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u = 2x + 1 \\ dv = e^{x}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = 2dx \\ v = e^{x} \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra I = \int_{0}^{1}{(2x + 1)e^{x}dx} = \left. \ \left\lbrack (2x + 1)e^{x} ightbrack ight|_{0}^{1} - 2\int_{0}^{1}{e^{x}dx}

  • Câu 8: Nhận biết

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = \cos x;Ox;x = - \frac{\pi}{2};x = \frac{\pi}{2}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z}

    Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight)

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left| \cos x ight|dx} = \left| \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos xdx} ight| = \left| \left. \ \sin x ight|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} ight| = 2

  • Câu 9: Nhận biết

    Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) là

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) là S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = a\ln|x + 2| + b\ln|x + 3| + C. Tính giá trị biểu thức T = a^{2} + ab + b^{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}

    = \frac{A(x + 2) + B(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{(A + B)x + (3A + 2B)}{(x + 2)(x + 3)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 3A + 2B = 11 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 3 \\ B = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} ight)dx}

    = 3ln|x + 2| + \ln|x + 3| + C

    Suy ra a = 3;b = 1 \Rightarrow T = 13

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho các hàm số f(x) và F(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn F'(x) = f(x) với \forall x\mathbb{\in R}. Tính I = \int_{0}^{1}{f(x)dx}, biết rằng F(0) = 2;F(1) = 5?

    Ta có: I = \int_{0}^{1}{f(x)dx} = F(1) - F(0) = 3.

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục nhận giá trị dương trên (0; +\infty) và thỏa mãn f(1) =1; f(x) = f'(x).\sqrt{3x +1};\forall x > 0. Giá trị f(3) gần nhất với giá trị nào sau đây?

    Vì \left\{ \begin{matrix}f(x) > 0 \\f(x) = f'(x)\sqrt{3x + 1} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} =\frac{1}{\sqrt{3x + 1}}

    \Rightarrow\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{3x +1}}dx} \Rightarrow \ln f(x) = \frac{2\sqrt{3x + 1}}{3} + C

    Mà f(1) = 1 \Rightarrow C = -\frac{4}{3}

    \Rightarrow f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}} \Rightarrow f\left( 3 ight) \approx 2,17

  • Câu 13: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4x\left( 1 + \ln x ight) là:

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} u = 1 + \ln x \hfill \\ dv = 4xdx \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} du = \frac{1}{x}dx \hfill \\ v = 2{x^2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{4x\left( 1 + \ln x ight)dx} = \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - \int_{}^{}{2xdx}

    = \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - x^{2} + C = x^{2}(1 + 2lnx) + C

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho \int_{0}^{3}{\frac{e^{\sqrt{x + 1}}}{\sqrt{x + 1}}dx} = ae^{2} + be + c với a;b;c\mathbb{\in Z}. Tính S = a + b + c?

    Ta có:

    \int_{0}^{3}{\frac{e^{\sqrt{x + 1}}}{\sqrt{x + 1}}dx} = 2\int_{0}^{3}{e^{\sqrt{x + 1}}d\left( \sqrt{x + 1} ight)} = \left. \ \left( 2e^{\sqrt{x + 1}} ight) ight|_{0}^{3} = 2e^{2} - 2e

    Vậy a = 2;b = - 2;c = 0 \Rightarrow S = 0

  • Câu 15: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sqrt[3]{x} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \sqrt[3]{x} ight)dx} = \int_{}^{}{x^{\frac{2}{3}}dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} + C.

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên \left( {0; + \infty } ight) và thỏa mãn f(1) = 1, f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1} ,\forall x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: f\left( x ight) > 0 và f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1}

    => \frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}

    => \int {\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}} dx \Rightarrow \ln f\left( x ight) = \frac{{2\sqrt {3x + 1} }}{3} + C

    Mà f(1) = 1 => C = - \frac{4}{3} và f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}}.f\left( 5 ight) = {e^{\frac{4}{3}}} \approx 3,79

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục, luôn dương trên \lbrack 0;3brack và thỏa mãn I = \int_{0}^{3}{f(x)dx} = 4. Khi đó giá trị của tích phân K = \int_{0}^{3}{\left( e^{1 + \ln f(x)} + 4 ight)dx} là:

    Ta có:

    K = \int_{0}^{3}{\left( e^{1 + \ln f(x)} + 4 ight)dx} = \int_{0}^{3}{\left\lbrack e.e^{\ln f(x)} ightbrack dx} + \int_{0}^{3}{4dx}

    = e\int_{0}^{3}{f(x)dx} + \int_{0}^{3}{4dx} = 4e + 12

  • Câu 18: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{5x - 2}}

     \int {\left[ {\frac{1}{{5x - 2}}} ight]dx} = \frac{1}{5}\int {\frac{{d\left( {5x - 2} ight)}}{{5x - 2}}} = \frac{1}{5}\ln \left| {5x - 2} ight| + C

  • Câu 19: Vận dụng

    Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn \int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1 bằng:

    Ta có:

    \int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1

    \Leftrightarrow \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} + m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1

    \Leftrightarrow m^{2} - m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} - \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} - 1 = 0

    Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với biến m, với các hệ số
    \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = - \int_{0}^{1}{\dfrac{3}{9^{x} + 3}dx} \\c = - \int_{0}^{1}{\dfrac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} \\\end{matrix} ight..

    Áp dụng hệ thứ Vi- et \Rightarrow m_{1} + m_{2} = \frac{- b}{a} = \int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = \frac{1}{2}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - \frac{1}{3}x + 1 và trục hoành như hình vẽ:

    Mệnh đề nào sau đây sai?

    Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và trục hoành là:

    \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - \frac{1}{3}x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Từ hình vẽ ta thấy \left\{ \begin{matrix} f(x) > 0;\forall x \in ( - 1;1) \\ f(x) < 0;\forall x \in (1;3) \\ \end{matrix} ight.

    Do đó S = \int_{- 1}^{3}{\left| f(x) ight|dx} = \int_{- 1}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{3}{f(x)dx} = 2\int_{- 1}^{1}{f(x)dx}

    Vậy mệnh đề sai là: S = 2\int_{1}^{3}{f(x)dx}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 66 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập