Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;(a < b) được tính theo công thức

    Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;(a < b) được tính theo công thức: S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx}.

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho đường cong (C):y = x^{3}. Xét điểm A có hoành độ dương thuộc (C), tiếp tuyến của (C) tại A tạo với (C) một hình phẳng có diện tích bằng 27. Hoành độ điểm A thuộc khoảng nào dưới đây??

    Ta có: y' = 3x^{2} có A \in (C) \Rightarrow A\left( a;a^{3} ight);(a > 0)

    Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là d:y = 3a^{2}(x - a) + a^{3}

    x^{3} = 3a^{2}(x - a) + a^{3}

    \Leftrightarrow (x - a)^{2}(x + 2a) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a \\ x = - 2a \\ \end{matrix} ight.

    Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C)

    S = 27 \Leftrightarrow \int_{- 2a}^{a}\left| x^{3} - 3a^{2}(x - a) - a^{3} ight|dx = 27

    \Leftrightarrow \left| \int_{- 2a}^{a}\left( x^{3} - 3a^{2}x + 2a^{3} ight)dx ight| = 27

    \Leftrightarrow \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - \frac{3a^{2}x^{2}}{2} + 2a^{3}x ight) ight|_{- 2a}^{a} ight| = 27

    \Leftrightarrow \frac{27}{4}a^{4} = 27 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = \sqrt{2}(tm) \\ a = - \sqrt{2}(ktm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy a = \sqrt{2} \in \left( 1;\frac{3}{2} ight)

  • Câu 3: Nhận biết

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = \cos x;Ox;x = - \frac{\pi}{2};x = \frac{\pi}{2}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z}

    Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight)

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left| \cos x ight|dx} = \left| \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos xdx} ight| = \left| \left. \ \sin x ight|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} ight| = 2

  • Câu 4: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 5: Thông hiểu

    Hàm số f\left( x ight) = {x^3} + 3x - 2 có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:

     F\left( x ight) = \int {\left( {{x^3} + 3x - 2} ight)dx = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + C}

    Hàm số đi qua B(2; 10) => \frac{{{2^4}}}{4} + \frac{{{{3.2}^2}}}{2} - 2.2 + C = 10 \Rightarrow C = 4

    => F\left( x ight) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 4

    => F\left( { - 2} ight) = \frac{{{{\left( { - 2} ight)}^4}}}{4} + \frac{{3.{{\left( { - 2} ight)}^2}}}{2} - 2\left( { - 2} ight) + 4 = 6

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hai hàm số F(x) = \left( x^{2} + bx + c ight)e^{x} và f(x) = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x}. Biết a;b là các số thực để F(x) là một nguyên hàm của f(x). Tính S = a + b?

    Từ giả thiết ta có:

    F'(x) = f(x)

    \Leftrightarrow (2x + a)e^{x} + \left( x^{2} + ax + b ight)e^{x} = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x};\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow x^{2} + (2 + a)x + a + b = x^{2} + 3x + 4;\forall x\mathbb{\in R}

    Đồng nhất hai vế ta có: \left\{ \begin{matrix} a + 2 = 3 \\ a + b = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = a + b = 4.

  • Câu 7: Nhận biết

    Tính tích phân I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x}?

    Ta có: I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x} = \left. \ -\cot x ight|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}

    = - \left( \cot\frac{\pi}{3} - \cot\frac{\pi}{4} ight) = - \cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4}.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \frac{1}{2}x^{2} có đồ thị (P). Xét các điểm A;B \in (P) sao cho tiếp tuyến tại A và B của (P) vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng \frac{9}{4}. Gọi x_{1};x_{2} lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:y = \frac{1}{2}x^{2} có TXĐ: D\mathbb{= R}

    y' = x

    Giả sử A\left( x_{1};\frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight),B\left( x_{2};\frac{1}{2}{x_{2}}^{2} ight) \in (P) và x_{1} eq x_{2}

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là y = x_{1}\left( x - x_{1} ight) + \frac{1}{2}{x_{1}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{1}x - \frac{1}{2}{x_{1}}^{2}\ \ \ \left( d_{1} ight)

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là y = x_{2}\left( x - x_{2} ight) + \frac{1}{2}{x_{2}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{2}x - \frac{1}{2}{x_{2}}^{2}\ \ \ \left( d_{2} ight)

    Vì \left( d_{1} ight)\bot\left( d_{2} ight) nên ta có: x_{1}x_{2} = - 1 \Leftrightarrow x_{2} = - \frac{1}{x_{1}}

    Phương trình đường thẳng AB

    \dfrac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} =\dfrac{y - \dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}{\dfrac{1}{2}{x_{2}}^{2} -\dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( x - x_{1} ight)\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) = \left( y - \frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow \left( x - x_{1} ight)\left( x_{2} + x_{1} ight) = 2y - {x_{1}}^{2}

    \Leftrightarrow \left( x_{2} + x_{1} ight)x - 2y - x_{1}x_{2} = 0

    \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{2} + x_{1} ight)x - x_{1}x_{2} ightbrack = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)x + 1 ightbrack

    Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:

    S = \frac{1}{2}\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)x + 1 - x^{2} ightbrack dx}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} = \frac{1}{2}\left. \ \left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)\frac{x^{2}}{2} + x - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{x_{1}}^{x_{2}}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)\left( \frac{{x_{2}}^{2}}{2} - \frac{{x_{1}}^{2}}{2} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight) - \frac{{x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3}}{3} ightbrack

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left( x_{1}{x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{2}x_{2} ight) + 6\left( x_{2} - x_{1} ight) - 2{x_{2}}^{3} + 2{x_{1}}^{3}

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left( x_{2} - x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1 ight) + 6\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow 27 = 3\left( x_{2} - x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)^{2}

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)^{3} \Leftrightarrow x_{2} - x_{1} = 3

    Thay x_{2} = - \frac{1}{x_{1}} ta có:

    - \frac{1}{x_{1}} - x_{1} = 3 \Leftrightarrow - 1 - {x_{1}}^{2} - 3x_{1} = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x_{1} = \dfrac{- 3 - \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{2}{3 +\sqrt{5}} \\x_{1} = \dfrac{- 3 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{- 2}{- 3 +\sqrt{5}} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} = 5

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn \int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1) + xf'(x) ightbrack dx = 0 và f(3) = 1. Biết \int_{0}^{3}{f(x)}dx =\frac{a + b\ln2}{2} với a;b \in \mathbb{R}^{+}. Giá trị của biểu thức a + b là:

    Tính I = \int_{0}^{3}{2x\ln(x + 1)}dx

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln(x + 1) \\dv = 2xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x + 1}dx \\v = x^{2} \\\end{matrix} ight. khi đó:

    I = \left. \ x^{2}\ln(x + 1) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{\frac{x^{2}}{x + 1}dx}

    = 9ln4 - \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - x + \ln|x + 1| ight) ight|_{0}^{3} = 16ln2 - \frac{3}{2}

    Tính J = \int_{0}^{3}{xf'(x)}dx.

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u_{J} = x \\ dv_{J} = f'(x)dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du_{J} = dx \\ v_{J} = f(x) \\ \end{matrix} ight. khi đó

    J = \int_{0}^{3}{xf'(x)}dx = \left. \ xf(x) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f(x)}dx

    Mà \int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1) + xf'(x) ightbrack dx = 0

    \Rightarrow I + J = 0 \Rightarrow 16\ln2- \frac{3}{2} + 3 - \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 0

    \Rightarrow \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 16\ln2+ \frac{3}{2} = \frac{3 + 32\ln2}{2}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 32 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = 35

  • Câu 10: Thông hiểu

    Giá trị của H = \int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{2x + 1} + 3\sqrt{x} ight)dx}?

    Ta có:

    H = \int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{2x + 1} + 3\sqrt{x} ight)dx} = \left. \ \left( \frac{1}{2}\ln|2x + 1| + 2x^{\frac{3}{2}} ight) ight|_{0}^{1} = 2 + \ln\sqrt{3}

  • Câu 11: Nhận biết

    Tính \int_{}^{}{\sin3xdx}?

    Áp dụng công thức \int_{}^{}{\sin(ax + b)dx} = - \frac{1}{a}\cos(ax + b) + C

    Suy ra \int_{}^{}{\sin3xdx} = -\frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 12: Vận dụng

    Tìm nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}

     \int {f\left( x ight)} dx = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}} dx = {\int {\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)} ^{10}}.\frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    Đặt t = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \Rightarrow dt = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}dx}} \Rightarrow \frac{1}{3}dt = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    => \int {f\left( x ight)} dx = \int {{t^{10}}.\frac{1}{3}dt = \frac{1}{{33}}.{t^{11}} + C}

    => \frac{1}{{33}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C

  • Câu 13: Thông hiểu

    Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v_{1}(t) = 7t(m/s). Đi được 5s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = - 70\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

    Vận tốc vật đạt được sau 5s là: v_{0} = 7.5 = 35(m/s)

    Ta có: v_{2}(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{- 70dt} = - 70t + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 35(m/s) \Rightarrow v_{(t = 0)} = 35 \Rightarrow C = 35

    \Rightarrow v_{2}(t) = - 70t + 35

    Vật dừng hẳn khi v_{2}(t) = - 70t + 35 = 0 \Rightarrow t_{2} = \frac{1}{2}(s)

    Khi đó quãng đường đi được bằng

    S = \int_{0}^{5}{v_{1}(t)dt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{v_{2}(t)dt}

    = \int_{0}^{5}{7tdt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{( - 70t + 35)dt} = 96,25(m)

  • Câu 14: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Biết F\left( x ight) = \left( {a{x^2} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{20{x^2} - 30x + 11}}{{\sqrt {2x - 3} }} trên khoảng \left( {\frac{3}{2}; + \infty } ight). Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng

     \begin{matrix} f\left( x ight) = F'\left( x ight)\left[ {\left( {a{x^{u2}} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3} } ight]' = \dfrac{{5a{x^2} + x\left( {3b - 6a} ight) + c - 3b}}{{\sqrt {2x - 3} }} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5a = 20} \\ {3b - 6a = - 30} \\ {c - 3b = 11} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 4} \\ {b = - 2} \\ {c = 5} \end{array}} ight. \Rightarrow T = 7 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Nhận biết

    Xác định tích phân I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx}?

    Ta có:

    I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx} = - \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(1 - 2x)}{1 - 2x}

    = - \frac{1}{2}.\left. \ \ln|1 - 2x|ight|_{1}^{5} = - \ln3

  • Câu 17: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x};y = 0;x = 1;x = e là S = a\sqrt{2} + b. Tính giá trị a^{2} + b^{2}?

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{1}^{e}{\left| \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x} ight|dx} = \int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x}dx}

    Đặt \sqrt{1 + \ln x} = t \Rightarrow 1 + \ln x = t^{2} \Rightarrow \frac{dx}{x} = 2tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.. Khi đó:

    S = \int_{1}^{\sqrt{2}}{2t^{2}dt} = \frac{4}{3}.\sqrt{2} - \frac{2}{3} hay a = \frac{4}{3};b = \frac{2}{3}

    \Rightarrow a^{2} + b^{2} = \frac{20}{9}

  • Câu 18: Nhận biết

    Nếu \int_{0}^{1}{f(x)dx} = 2;\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4. Khi đó \int_{0}^{2}{f(x)dx} bằng:

    Ta có: \int_{0}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2 + 4 = 6.

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{1}{x} và các đường thẳng y = 0;x = 1;x = 4. Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục?

    Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{1}{x} ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( - \frac{1}{x^{4}} ight) ight|_{1}^{4} = \pi\left( - \frac{1}{4} + 1 ight) = \frac{3\pi}{4}.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hình phẳng (H) như hình vẽ (phần tô đậm):

    Diện tích hình phẳng (H) là:

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H) theo hình vẽ suy ra S = \int_{1}^{3}{x\ln xdx}

    Theo công thức tích phân từng phần:

    S = \left. \ \frac{x^{2}}{2}.\ln2ight|_{2}^{3} + \int_{1}^{3}{\frac{x}{2}dx} = \left. \frac{x^{2}}{2}.\ln2 ight|_{2}^{3} - \left. \ \frac{x^{2}}{4}ight|_{2}^{3} = \frac{9}{4}\ln3 - 2.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 2 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập