Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
. Gọi
là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình
xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:
Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:
.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và đồ thị hàm số
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Khi đó ta có:
Cho tích phân
. Tính tích phân
?
Đặt
Đổi cận
Khi đó
Cho hàm số
có đồ thị
. Xét các điểm
sao cho tiếp tuyến tại
và
của
vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi
và đường thẳng
bằng
. Gọi
lần lượt là hoành độ của
và
. Giá trị của
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: có TXĐ:
Giả sử và
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là
Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là
Vì nên ta có:
Phương trình đường thẳng AB
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:
Thay ta có:
Tìm nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
là một nguyên hàm của
. Biết rằng
. Xác định tích phân
?
Ta có: .
Cho hai hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Gọi
là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi
thì
bằng bao nhiêu?
Phương trình hoành độ giao điểm
Ký hiệu là diện tích hình phẳng như hình vẽ:
Ta có:
Vì vậy
Cho là một nguyên hàm của hàm số
và
. Tính ![]()
Cách 1:
Đặt
Khi đó
=>
Mặt khác
=> C = 0
=>
=>
Cách 2: . Sử dụng máy tính cầm tay để tính.
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số nên:
Hay
Xét
Đặt
Khi đó
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đường cong
, trục hoành và các đường thẳng
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
Ta có:
.
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
quay xung quanh
.
Thể tích vật thể bằng:
.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Đặt . Đổi cận
Ta có: .
Vậy khẳng định đúng .
Cho hàm số
xác định trên
thỏa mãn
và
. Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Lại có
Từ đó suy ra
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Vậy hệ số góc phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1.
Giả sử
là một hàm số bất kì và liên tục trên khoảng
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Dựa vào tính chất của tích phân với là một số bất kì liên tục trên khoảng
và
ta có:
Cho hàm số
liên tục và có đạo hàm trên
thỏa mãn
. Biết rằng
trong đó
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Tính . Đặt
khi đó:
Theo bài ra ta có:
Giá trị tích phân
bằng:
Ta có:
Trong không gian
, cho vật thể
giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình
và
với
. Gọi
là diện tích thiết diện của
bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ là
, với
. Biết hàm số
liên tục trên đoạn
, khi đó thể tích
của vật thể
được cho bởi công thức:
Vì là diện tích thiết diện của
bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ là
, với
ta có:
không phải là
.
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()