Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx = 6}. Tính I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\lbrack 3f(x) - 2sinxbrack dx}.

    Ta có:

    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\lbrack 3f(x) - 2sinxbrack dx}

    = 3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} - 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = 3.6 - 2 = 16.

  • Câu 2: Nhận biết

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x + 1?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(3x + 1)dx} = \frac{1}{3}\int_{}^{}{(3x + 1)d(3x + 1)}

    = \frac{1}{3}.\frac{(3x + 1)^{2}}{2} + C = \frac{1}{6}(3x + 1)^{2} + C

  • Câu 3: Nhận biết

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3^{x};y = 0;x = 0;x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có: S = \int_{0}^{2}{\left| 3^{x} ight|dx} = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hai hàm số f(x) = ax^{3} + bx + c;g(x) = bx^{3} + ax + c;(a > 0) có đồ thị như hình vẽ:

    Gọi S_{1};S_{2} là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi S_{1} + S_{2} = 3 thì \int_{0}^{1}{f(x)dx} bằng bao nhiêu?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    (a - b)x^{3} + (b - a)x = 0

    \Leftrightarrow (a - b)\left( x^{3} - x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ký hiệu S_{3} là diện tích hình phẳng như hình vẽ:

    Ta có:

    S_{1} = \int_{- 1}^{0}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} = (a - b)\int_{- 1}^{0}{\left( x^{3} - x ight)dx} = \frac{1}{4}(a - b)

    S_{2} = - \int_{- 1}^{0}{g(x)dx} = - \int_{- 1}^{0}{\left( bx^{3} + ax + c ight)dx} = - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight)

    Vì vậy S_{1} + S_{2} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{4}(a - b) - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight) = 3

    \Leftrightarrow a + 2b + 4c = - 12

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{\left( ax^{3} + bx + c ight)dx} = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = \frac{a + 2b + 4c}{4} = - 3

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hai hàm số f(x) và f( - x) liên tục trên tập số thực và thỏa mãn 2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}. Tính tích phân I = \int_{- 2}^{2}{f(x)dx}?

    Đặt t = - x \Rightarrow dt = - dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \Rightarrow t = 2 \\ x = 2 \Rightarrow t = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I = - \int_{2}^{- 2}{f( - t)dt} = \int_{- 2}^{2}{f( - x)dx}

    Theo bài ra ta có:

    2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}

    \Leftrightarrow 2\int_{- 2}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 2}^{2}{f( - x)dx} = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    \Leftrightarrow 2I + 3I = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    \Leftrightarrow I = \frac{1}{5}\int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    Đặt x = 2\tan u \Rightarrow dx =2.\frac{1}{\cos^{2}u}du = 2\left( 1 + \tan^{2}u ight)du

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = - 2 \Rightarrow u = - \dfrac{\pi}{4} \\x = 2 \Rightarrow u = \dfrac{\pi}{4} \\\end{matrix} ight.\Rightarrow I = \dfrac{1}{5}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2\left( 1 + u^{2} ight)}{4 +4\tan^{2}u}du} = \frac{1}{10}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{du}

    = \left. \ \frac{1}{10}u ight|_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{10}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} ight) = \frac{\pi}{20}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho I =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{\ln\left( \sin x + 2\cos xight)}{\cos^{2}x}dx} = a\ln3 + b\ln2 + c\pi với a;b;c là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức S = a.b.c bằng

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln\left( \sin x + 2\cos x ight) \\dv = \dfrac{dx}{\cos x} \\\end{matrix} ight.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{\cos x - 2\sin x}{\sin x + 2\cos x} \\v = \tan x + 2 = \dfrac{\sin x + 2\cos x}{\cos x} \\\end{matrix} ight. khi đó:

    I = \left. \ \left( \tan x + 2ight)\ln\left( \sin x + 2\cos x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} -\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left( 1 - 2\frac{\sin x}{\cos x}ight)dx}

    I = 3\ln\frac{3\sqrt{2}}{2} - 2\ln2 -\left. \ \left\lbrack x + 2\ln\left( \cos x ight) ightbrackight|_{0}^{\frac{\pi}{4}}

    I = 3\ln\frac{3\sqrt{2}}{2} - 2\ln2 -\frac{\pi}{4} - 2\ln\frac{\sqrt{2}}{2}

    I = 3\ln3 - \dfrac{5}{2}\ln2 -\dfrac{1}{4}\pi \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 3 \\b = - \frac{5}{2} \\c = - \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = \dfrac{15}{8}

  • Câu 7: Vận dụng

    Xác định hàm số f(x) biết rằng f'\left( x ight) = x\sqrt {1 + {x^2}} ;3f\left( 0 ight) = 4

     \begin{matrix} f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \int {x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \dfrac{1}{2}\int {{{\left( {{x^2} + 1} ight)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{x^2} + 1} ight) = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} \hfill \\ \end{matrix}

    Mà 3f\left( 0 ight) = 4 \Rightarrow 3\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt {{0^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} ight] = 4 \Rightarrow C = 1

    Vậy hàm số cần tìm là f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + 1

  • Câu 8: Thông hiểu

    Biết \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x + C. Khi đó \int_{}^{}{f\left( e^{x} ight)}dx tương ứng bằng

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x + C \Rightarrow f(x) = 6x - 4

    \Rightarrow f\left( e^{x} ight) = 6e^{x} - 4

    \Rightarrow \int_{}^{}{f\left( e^{x} ight)}dx = \int_{}^{}{\left( 6e^{x} - 4 ight)dx} = 6e^{x} - 4e^{x} + C

  • Câu 9: Nhận biết

    Hàm số f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: f'(x) = - e^{- x} + 2 nên f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số y = - e^{- x} + 2.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x\sin2x;y = 2x;x = \frac{\pi}{2}?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x\sin2x = 2x \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\\sin2x = 2(L) \\\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left| x\sin x - 2x ight|dx} = \left| \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( x\sin x - 2x ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left(\frac{1}{4}\sin2x - \frac{1}{2}x\cos2x - x^{2} ight)ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} ight| = \frac{\pi^{2}}{4} -\frac{\pi}{4}

  • Câu 11: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {2^x} + {e^x} là:

     Ta có: \int {\left( {{2^x} + {e^x}} ight)dx} = \int {{2^x}dx} + \int {{e^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + {e^x} + C

  • Câu 12: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} + |x|;y = x^{2} + 1 được cho bởi công thức nào sau đây?

    Ta có: y = x^{2} + |x| = \left\{\begin{matrix}x^{2} + x;\ \ x \geq 0 \\x^{2} - x;\ \ x \leq 0 \\\end{matrix} ight.

    Với x \geq 0 \Rightarrow x^{2} + x =x^{2} + 1 \Leftrightarrow x = 1

    Với x \leq 0 \Rightarrow x^{2} - x =x^{2} + 1 \Leftrightarrow x = - 1

    Ta có:

    S = \left| \int_{- 1}^{0}{( - x - 1)dx}ight| + \left| \int_{0}^{1}{(x - 1)dx} ight|

  • Câu 13: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 150 - 15t(m/s). Hỏi rằng trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 150 - 15t = 0 \Rightarrow t = 10(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} = \int_{0}^{10}{(150 - 15t)dt} = \frac{375}{2}m.

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên tập số thực và thỏa mãn \int_{0}^{6}{f(x)dx}= 7;\int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8;\int_{3}^{6}{f(x)dx} = 9. Khi đó giá trị I = \int_{0}^{10}{f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{3}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}

    \Leftrightarrow \int_{6}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} - \int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8 - 9 = 1

    \Rightarrow I = \int_{0}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx} = 7 - 1 = 6

  • Câu 15: Nhận biết

    Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \sqrt{- e^{x} + 4x}, trục hoành và hai đường thẳng x = 1;x = 2. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?

    Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:

    V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}dx}

    Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:

    V = \pi\int_{1}^{2}{\left\lbrack \sqrt{- e^{x} + 4x} ightbrack^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx} .

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau y = \sqrt{x};y =1 và đườDng thẳng x = 4 (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng y = 1 bằng

    Đặt \left\{ \begin{matrix}X = x - 1 \\Y = y - 1 \\\end{matrix} ight.. Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ

    Ta có: y = \sqrt{x} \Leftrightarrow Y + 1= \sqrt{X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt{X + 1} - 1

    Thể tích cần tìm là

    V = \pi\int_{0}^{3}{\left( \sqrt{X + 1}- 1 ight)^{2}dX} = \pi\int_{0}^{3}{\left( X + 2 - 2\sqrt{X + 1}ight)dX}

    = \pi\left. \ \left\lbrack\frac{1}{2}X^{2} + 2X - \frac{4}{3}(X + 1)\sqrt{X + 1} ightbrackight|_{0}^{3}

    = \pi\left\lbrack \left( \frac{9}{2} + 6- \frac{32}{3} ight) - \left( - \frac{4}{3} ight) ightbrack =\frac{7\pi}{6}

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên \left( {0; + \infty } ight) và thỏa mãn f(1) = 1, f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1} ,\forall x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: f\left( x ight) > 0 và f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1}

    => \frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}

    => \int {\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}} dx \Rightarrow \ln f\left( x ight) = \frac{{2\sqrt {3x + 1} }}{3} + C

    Mà f(1) = 1 => C = - \frac{4}{3} và f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}}.f\left( 5 ight) = {e^{\frac{4}{3}}} \approx 3,79

  • Câu 18: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = a\ln|x + 1| + b\ln|x - 2| + C. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}

    = \frac{A(x - 2) + B(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{(A + B)x + ( - 2A + B)}{(x + 1)(x - 2)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 2 \\ - 2A + B = - 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 5 \\ B = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{5}{x + 1} - \frac{3}{x - 2} ight)dx}

    = 5\ln|x + 1| - 3\ln|x - 2| +C

    Suy ra a = 5;b = - 3 suy ra a - b = 8.

  • Câu 19: Nhận biết

    Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \cos x,y = 0,x = 0,x = \pi quay xung quanh Ox.

    Thể tích vật thể bằng:

    V = \pi\int_{0}^{\pi}{\left( \cos xight)^{2}dx} = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}{(1 + \cos2x)dx} = \pi\left.\ \left( x + \frac{1}{2}\sin2x ight) ight|_{1}^{\pi} =\frac{\pi^{2}}{2}.

  • Câu 20: Nhận biết

    Đặt I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx} với m là tham số thực. Tìm giá trị của tham số m để I = 4?

    Ta có: I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx} = \left. \ \left( mx^{2} + x ight) ight|_{1}^{2} = 3m + 1

    Do I = 4 \Leftrightarrow 3m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = 1.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 9 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập