Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên tập số thực và $f'(x) = 2e^{2x} + 1;\forall x$ ; $f(0) = 2$ . Hàm số $f(x)$ là:
- A.
  $f(x) = 2e^{x} + 2x$
- B.
  $f(x) = 2e^{x} + 2$
- C.
  $f(x) = e^{2x} + x + 2$
- D.
  $f(x) = e^{2x} + x + 1$
Ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 2e^{2x} + 1 ight)dx} = e^{2x} + x + C$

$\Rightarrow f(x) = e^{2x} + x + C$

Theo bài ra ta có: $f(0) = 2 \Rightarrow 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1$

Vậy $f(x) = e^{2x} + x + 1$ .
Câu 2: Vận dụng
Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Các biểu thức $E;F;G;H$ xác định bởi $E = \int_{0}^{3}{f(x)dx};F = \int_{3}^{5}{f(x)dx};G = \int_{2}^{4}{f(x)dx};H = f'(x)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $F < E < G < H$
- B.
  $H < E < F < G$
- C.
  $E < H < G < F$
- D.
  $G < H < E < F$
Dựa vào hình vẽ và diện tích hình phẳng ta có:

$E = \int_{0}^{3}{f(x)dx} = - \int_{0}^{3}{\left| f(x) ight|dx} < - 2$

$F = \int_{3}^{5}{f(x)dx} > 3$

$0 < G = \int_{2}^{4}{f(x)dx} < 2$

$- 1 < H = f'(1) < 0$ (hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 1)

Như vậy $E < H < G < F$
Câu 3: Thông hiểu
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1$ ?
- A.
  $S = 4ln2 + e - 5$
- B.
  $S = 4ln2 + e - 6$
- C.
  $S = e^{2} - 7$
- D.
  $S = e - 3$
Phương trình hoành độ giao điểm $e^{x} = 2 \Leftrightarrow x = ln2 \in (0;1)$

Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1$

$S = \int_{0}^{1}{\left| e^{x} - 2 ight|dx}$

$= - \int_{0}^{\ln2}{\left( e^{x} - 2ight)dx} + \int_{\ln2}^{1}{\left( e^{x} - 2 ight)dx}$

$= - \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{0}^{\ln2} + \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{\ln2}^{1}$

$= - (2 - 2\ln2 - 1) + (e - 2 - 2 +2\ln2)$

$= 4\ln2 + e - 5$
Câu 4: Vận dụng
Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{2x + 1}{x^{3} + 2x^{3} + x^{2}}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ thỏa mãn $F(1) = \frac{1}{2}$ . Giá trị của biểu thức $T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019)$ bằng:
- A.
  $\frac{2019}{2020}$
- B.
  $\frac{2019.2021}{2020}$
- C.
  $2018\frac{1}{2020}$
- D.
  $- \frac{2019}{2020}$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{2x + 1}{x^{2}(x + 1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} ight)dx}$

Suy ra $F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + C$ mà $F(1) = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1$ .Hay $F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + 1$

Ta có:

$T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019)$

$T = \left( - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + 4 ight) + ... + \left( - \frac{1}{2019} + \frac{1}{2020} + 1 ight)$

$T = - 1 + \frac{1}{2020} + 2019.1 = 2018 + \frac{1}{2020} = 2018\frac{1}{2020}$
Câu 5: Nhận biết
Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{2} + 2x + 1$ trục hoành và hai đường thẳng $x = - 1;x = 3$ .
- A.
  $S = \frac{64}{3}$
- B.
  $S = \frac{56}{3}$
- C.
  $S = \frac{37}{3}$
- D.
  $S = \frac{68}{3}$
Diện tích hình phẳng được tính như sau:

$S = \int_{- 1}^{3}{\left( x^{2} + 2x + 1 ight)dx} = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + x ight) ight|_{- 1}^{3} = \frac{64}{3}$ .
Câu 6: Thông hiểu
Cho $a;b$ là các số hữu tỉ thỏa mãn $\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} = a(x + 2)\sqrt{x + 2} + b(x + 1)\sqrt{x + 1} + C$ . Tính giá trị biểu thức $H = 3a + b$ ?
- A.
  $H = - \frac{2}{3}$
- B.
  $H = \frac{1}{3}$
- C.
  $H = \frac{4}{3}$
- D.
  $H = \frac{2}{3}$
Ta có:

$I = \int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1}} =}\int_{}^{}{\frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1}}{x + 2 - x + 1}dx}$

$= \int_{}^{}{\left( \sqrt{x + 2} - \sqrt{x + 1} ight)dx}$

$\Rightarrow I = \frac{2}{3}(x + 2)\sqrt{x + 2} - \frac{2}{3}(x + 1)\sqrt{x + 1} + C$

$\Rightarrow a = \frac{2}{3};b = - \frac{2}{3} \Rightarrow H = \frac{4}{3}$
Câu 7: Nhận biết
Tích phân $\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx$ bằng:
- A.
  $\frac{45}{4}$
- B.
  $\frac{47}{4}$
- C.
  $\frac{25}{4}$
- D.
  $2$
Ta có:

$\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx = \left. \ \left( \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} ight) ight|_{1}^{8} = \frac{45}{4}$ .
Câu 8: Nhận biết
Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = f(x);y = g(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ và hai đường thẳng $x = a;x = b;a < b$ là
- A.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
- B.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx}$
- C.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack^{2}dx}$
- D.
  $S = \pi\int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
Ta có hình phẳng giới hạn bởi $\left\{ \begin{matrix} \left( C_{1} ight):y = f(x) \\ \left( C_{2} ight):y = g(x) \\ x = a \\ x = b \\ \end{matrix} ight.$ là $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Câu 9: Vận dụng
Cho hai hàm số $f(x)$ và $f( - x)$ liên tục trên tập số thực và thỏa mãn $2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}$ . Tính tích phân $I = \int_{- 2}^{2}{f(x)dx}$ ?
- A.
  $I = \frac{\pi}{20}$
- B.
  $I = \frac{\pi}{10}$
- C.
  $I = - \frac{\pi}{20}$
- D.
  $I = - \frac{\pi}{10}$
Đặt $t = - x \Rightarrow dt = - dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 \Rightarrow t = 2 \\ x = 2 \Rightarrow t = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I = - \int_{2}^{- 2}{f( - t)dt} = \int_{- 2}^{2}{f( - x)dx}$

Theo bài ra ta có:

$2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}$

$\Leftrightarrow 2\int_{- 2}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 2}^{2}{f( - x)dx} = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx$

$\Leftrightarrow 2I + 3I = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx$

$\Leftrightarrow I = \frac{1}{5}\int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx$

Đặt $x = 2\tan u \Rightarrow dx =2.\frac{1}{\cos^{2}u}du = 2\left( 1 + \tan^{2}u ight)du$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = - 2 \Rightarrow u = - \dfrac{\pi}{4} \\x = 2 \Rightarrow u = \dfrac{\pi}{4} \\\end{matrix} ight.$ $\Rightarrow I = \dfrac{1}{5}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2\left( 1 + u^{2} ight)}{4 +4\tan^{2}u}du} = \frac{1}{10}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{du}$

$= \left. \ \frac{1}{10}u ight|_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{10}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} ight) = \frac{\pi}{20}$
Câu 10: Nhận biết
Cho đồ thị của hàm số $y = f(x)$ như sau:

Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:
- A.
  $S = \int_{- 3}^{4}{f(x)dx}$
- B.
  $S = \int_{0}^{- 3}{f(x)dx} + \int_{0}^{4}{f(x)dx}$
- C.
  $S = \int_{- 3}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{f(x)dx}$
- D.
  $S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}$
Dựa vào hình vẽ ta được: $S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Một vận động viên đua xe đang chạy với vận tốc $10m/s$ thì anh ta tăng tốc với vận tốc $a(t) = 6t\left( m/s^{2} ight)$ , trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc, hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian $10s$ kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu?
- A.
  $1100m$
- B.
  $100m$
- C.
  $1010m$
- D.
  $1110m$
Ta có: $v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{6tdt} = 3t^{2} + C$

Do khi bắt đầu tăng tốc $v_{0} = 10 ightarrow v_{(t = 0)} = 10 \Rightarrow C = 10$

$\Rightarrow v(t) = 3t^{2} + 10$

Khi đó quãng đường xe đi được sau 10 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

$S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} = \int_{0}^{10}{\left( 3t^{2} + 10 ight)dt} = 1100(m)$
Câu 12: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x) = x^{4} - 5x^{2} +4$ . Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y =f(x)$ và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $S = \int_{- 2}^{2}{\left| f(x)ight|dx}$
- B.
  $S = 2\left| \int_{0}^{1}{f(x)dx}ight| + 2\left| \int_{1}^{2}{f(x)dx} ight|$
- C.
  $S = 2\int_{0}^{2}{\left| f(x)ight|dx}$
- D.
  $S = 2\left| \int_{0}^{2}{f(x)dx}ight|$
Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x^{2} = 1 \\x^{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = - 1 \\x = 2 \\x = - 2 \\\end{matrix} ight.$
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S = \int_{- 2}^{2}{\left| f(x)ight|dx} = 2\int_{0}^{2}{\left| f(x) ight|dx}$
$= 2\int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} +2\int_{1}^{2}{\left| f(x) ight|dx}$
$= 2\left| \int_{0}^{1}{f(x)dx} ight| +2\left| \int_{1}^{2}{f(x)dx} ight|$ ((do trong khoảng (0; 1) và (1; 2) phương trình $f(x) = 0$ vô nghiệm)
Vậy mệnh đề sai là: $S = 2\left|\int_{0}^{2}{f(x)dx} ight|$ .
Câu 13: Thông hiểu
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_{1}(t) = 2t(m/s)$ . Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a = - 12\left( m/s^{2} ight)$ . Tính quãng đường $S(m)$ đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?
- A.
  $S = 168m$
- B.
  $S = 166m$
- C.
  $S = 144m$
- D.
  $S = 152m$
Quãng đường xe đi được trong 12s đầu là $S_{1} = \int_{0}^{12}{2tdt} = 144m$

Sau khi đi được 12s vật đạt vận tốc $v = 24(m/s)$ , sau đó vận tốc của vật có phương trình $v = 24 - 12t$

Vật dừng hẳn sau 2s kể từ khi phanh.

Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là

$S_{2} = \int_{0}^{2}{(24 - 22t)dt} = 24m$

Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là $S = S_{1} + S_{2} = 144 + 24 = 168(m)$
Câu 14: Thông hiểu
Hàm số $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)$ . Hỏi hàm số $F(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
TXĐ: $D\mathbb{= R}$

Ta có: $F'(x) = f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)$

$\Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - x = 0 \\ \ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} + 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình $F'(x) = 0$ có 1 nghiệm đơn $x = 1$ và một nghiệm kép $x = 0$ nên hàm số $F(x)$ có 1 điểm cực trị.
Câu 15: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có một nguyên hàm là hàm số $F(x)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = f(b) - f(a)$
- B.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a)$
- C.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(a) - F(b)$
- D.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) + F(a)$
Theo định nghĩa tích phân ta có: $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a)$ .
Câu 16: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) =\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}$ ?
- A.
  $e^{\tan x} + C$
- B.
  $e^{- \tan x} + C$
- C.
  $\tan x.e^{\tan x} + C$
- D.
  $- e^{\tan x} + C$
Đặt $t = \tan x \Rightarrow dt =\frac{1}{\cos^{2}x}dx$

$\int_{}^{}{\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx} = \int_{}^{}{e^{t}dt} = e^{t} + C = e^{\tan x} +C$
Câu 17: Nhận biết
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{x \ln3}$ ?
- A.
  $y = \ln x$ .
- B.
  $y = \ln(3x)$ .
- C.
  $y = \log_{3}x$ .
- D.
  $y = \ln\frac{x}{3}$ .
Ta có: $y = \log_{3}x$ $\Rightarrow y' = \frac{1}{x \ln3}.$
Câu 18: Vận dụng cao
Biết luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ và thỏa mãn $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
- A.
  $a\mathbb{\in R};b\mathbb{\in R}$
- B.
  $a = 1;b = 4$
- C.
  $a = 1;b = - 1$
- D.
  $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$
Do $4a - b eq 0 \Rightarrow F(x) eq C;\forall x\mathbb{\in R}$ . Vì luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ nên $f(x)$ không phải là hàm hằng.

Từ giả thiết $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x) \Leftrightarrow \frac{2f(x)}{F(x) - 1} = \frac{f'(x)}{f(x)}$

Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân $dx$ ta được:

$\int_{}^{}{\frac{2f(x)}{F(x) - 1}dx} =\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}$ $\Leftrightarrow 2\ln\left| F(x) - 1ight| = \ln\left| f(x) ight| + C$ với C là hằng số.

$\Leftrightarrow 2ln\left| F(x) - 1 ight| + \ln e^{C} = \ln\left| f(x) ight|$

$\Leftrightarrow \left| f(x) ight| = e^{C}.\left\lbrack F(x) - 1 ightbrack^{2} = e^{C}.\left( \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\\end{matrix} ight.$

TH1: $f(x) = e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} - 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} - 1}{e^{C}} ight)$

TH2: $f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$- e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\- e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} + 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} + 1}{e^{C}} ight)$

Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$ .
Câu 19: Nhận biết
Nếu $\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 5;\int_{2}^{5}{f(x)dx} = - 1$ thì $\int_{1}^{5}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $- 2$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Ta có:

$\int_{1}^{5}{f(x)dx} = \int_{1}^{2}{f(x)dx} + \int_{2}^{5}{f(x)dx} = 5 + ( - 1) = 4$
Câu 20: Vận dụng cao
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau $y = \sqrt{x};y =1$ và đườDng thẳng $x = 4$ (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng $y = 1$ bằng
- A.
  $\frac{9\pi}{2}$
- B.
  $\frac{119\pi}{6}$
- C.
  $\frac{7\pi}{6}$
- D.
  $\frac{21\pi}{2}$
Đặt $\left\{ \begin{matrix}X = x - 1 \\Y = y - 1 \\\end{matrix} ight.$ . Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ
Ta có: $y = \sqrt{x} \Leftrightarrow Y + 1= \sqrt{X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt{X + 1} - 1$
Thể tích cần tìm là
$V = \pi\int_{0}^{3}{\left( \sqrt{X + 1}- 1 ight)^{2}dX} = \pi\int_{0}^{3}{\left( X + 2 - 2\sqrt{X + 1}ight)dX}$
$= \pi\left. \ \left\lbrack\frac{1}{2}X^{2} + 2X - \frac{4}{3}(X + 1)\sqrt{X + 1} ightbrackight|_{0}^{3}$
$= \pi\left\lbrack \left( \frac{9}{2} + 6- \frac{32}{3} ight) - \left( - \frac{4}{3} ight) ightbrack =\frac{7\pi}{6}$

30 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!