Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm với mọi $x\mathbb{\in R}$ và $f'(x) = 2x + 1$ . Giá trị của $f(2) - f(1)$ bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $- 2$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Ta có:
$f'(x) = 2x + 1 \Rightarrow\int_{}^{}{f'(x)dx = \int_{}^{}{(2x + 1)dx}}$
$= x^{2} + x + C \Rightarrow \existsC_{1}\mathbb{\in R}:f(x) = x^{2} + x + C$
$\Rightarrow f(2) - f(1) = 2^{2} + 2 +C_{1} - \left( 1^{2} + 1 + C_{1} ight) = 4$
Câu 2: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x\sin x$ , biết rằng $F\left( \frac{\pi}{2} ight) = 2019$ ?
- A.
  $F(x) = x\sin x + \cos x + 2019$
- B.
  $F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018$
- C.
  $F(x) = x\sin x - \cos x + 2019$
- D.
  $F(x) = x\sin x + \cos x + 2018$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \sin xdx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cos x \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{}^{}{x\sin xdx} = - x\cos x - \int_{}^{}{\left( - \cos x ight)dx} + C = - x\cos x + \sin x + C$

$F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} + C = 2019 \Rightarrow C = 2018$

Vậy $F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018$ .
Câu 3: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = sin3x$ .
- A.
  $\int_{}^{}{sin3xdx} = - \frac{1}{3}cos3x + C$
- B.
  $\int_{}^{}{sin3xdx} = \frac{1}{3}cos3x + C$
- C.
  $\int_{}^{}{sin3xdx} = - 3cos3x + C$
- D.
  $\int_{}^{}{sin3xdx} = 3cos3x + C$
Ta có $\left( - \frac{1}{3}cos3x + C ight)' = sin3x.$
Câu 4: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'(x) - f(x) = e^{x}$ và $f(0) = 2$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y(x) = f(x)$ tại giao điểm với trục hoành là:
- A.
  $y = x + 2$
- B.
  $y = e^{2}(x - 4)$
- C.
  $y = e^{- 2}(x + 2)$
- D.
  $y = - x$
Ta có: $f'(x) - f(x) = e^{x}$ . Nhân cả hai vế với $e^{- x}$ ta được:

$e^{- x}f'(x) - e^{- x}.f(x) = 1$

$\Leftrightarrow \left( e^{- x}.f(x) ight)' = 1$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\Leftrightarrow \int_{}^{}{\left( e^{- x}.f(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow e^{- x}.f(x) = x + C$

$f(0) = 2 \Rightarrow f(0) = 0 + C \Leftrightarrow C = 2$

Suy ra $e^{- x}.f(x) = x + 2 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x + 2}{e^{- x}} = (x + 2)e^{x}$

$\Rightarrow f'(x) = (x + 3)e^{x}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $(x + 2)e^{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

Ta có: $f'( - 2) = ( - 2 + 3)e^{- 2} = e^{- 2};f( - 2) = 0$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là: $y = e^{- 2}(x + 2)$
Câu 5: Vận dụng
Cho đường cong $(C):y = x^{3}$ . Xét điểm $A$ có hoành độ dương thuộc $(C)$ , tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ tạo với $(C)$ một hình phẳng có diện tích bằng $27$ . Hoành độ điểm $A$ thuộc khoảng nào dưới đây??
- A.
  $\left( 0;\frac{1}{2} ight)$ .
- B.
  $\left( \frac{1}{2};1 ight)$ .
- C.
  $\left( 1;\frac{3}{2} ight)$ .
- D.
  $\left( \frac{3}{2};2 ight)$ .
Ta có: $y' = 3x^{2}$ có $A \in (C) \Rightarrow A\left( a;a^{3} ight);(a > 0)$

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là $d:y = 3a^{2}(x - a) + a^{3}$

$x^{3} = 3a^{2}(x - a) + a^{3}$

$\Leftrightarrow (x - a)^{2}(x + 2a) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a \\ x = - 2a \\ \end{matrix} ight.$

Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C)

$S = 27 \Leftrightarrow \int_{- 2a}^{a}\left| x^{3} - 3a^{2}(x - a) - a^{3} ight|dx = 27$

$\Leftrightarrow \left| \int_{- 2a}^{a}\left( x^{3} - 3a^{2}x + 2a^{3} ight)dx ight| = 27$

$\Leftrightarrow \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - \frac{3a^{2}x^{2}}{2} + 2a^{3}x ight) ight|_{- 2a}^{a} ight| = 27$

$\Leftrightarrow \frac{27}{4}a^{4} = 27 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = \sqrt{2}(tm) \\ a = - \sqrt{2}(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $a = \sqrt{2} \in \left( 1;\frac{3}{2} ight)$
Câu 6: Thông hiểu
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đường parabol $(P):y = x^{2} - x + 2$ và tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{2} + 1$ tại điểm có tọa độ $(1;2)$ . Diện tích của hình (H) là:
- A.
  $S = \frac{5}{6}$
- B.
  $S = \frac{1}{6}$
- C.
  $S = 1$
- D.
  $S = \frac{2}{3}$
Xét hàm số $y = x^{2} + 1$ trên $\mathbb{R}$ . Ta có: $y' = 2x$

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm $(1;2)$ của đồ thị hàm số $y = x^{2} + 1$ là

$y = y'(1)(x - 1) + 2 \Leftrightarrow y = 2x$

Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình $y = 2x$ . Xét phương trình tương giao của (P) và ∆

$x^{2} - x + 2 = 2x \Leftrightarrow x^{2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $(H)$ khi đó

$S = \int_{1}^{2}{\left| \left( x^{2} - x + 2 ight) - 2x ight|dx} = \int_{1}^{2}{\left| x^{2} - 3x + 2 ight|dx}$

Vì $x^{2} - 3x + 2 \leq 0;\forall x \in \lbrack 1;2brack$ nên

$S = - \int_{1}^{2}{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)dx}$

$= - \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2} + 2x ight) ight|_{1}^{2} = - \left( \frac{2}{3} - \frac{5}{6} ight) = \frac{1}{6}$
Câu 7: Vận dụng cao
Biết luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ và thỏa mãn $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
- A.
  $a\mathbb{\in R};b\mathbb{\in R}$
- B.
  $a = 1;b = 4$
- C.
  $a = 1;b = - 1$
- D.
  $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$
Do $4a - b eq 0 \Rightarrow F(x) eq C;\forall x\mathbb{\in R}$ . Vì luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ nên $f(x)$ không phải là hàm hằng.

Từ giả thiết $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x) \Leftrightarrow \frac{2f(x)}{F(x) - 1} = \frac{f'(x)}{f(x)}$

Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân $dx$ ta được:

$\int_{}^{}{\frac{2f(x)}{F(x) - 1}dx} =\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}$ $\Leftrightarrow 2\ln\left| F(x) - 1ight| = \ln\left| f(x) ight| + C$ với C là hằng số.

$\Leftrightarrow 2ln\left| F(x) - 1 ight| + \ln e^{C} = \ln\left| f(x) ight|$

$\Leftrightarrow \left| f(x) ight| = e^{C}.\left\lbrack F(x) - 1 ightbrack^{2} = e^{C}.\left( \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\\end{matrix} ight.$

TH1: $f(x) = e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} - 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} - 1}{e^{C}} ight)$

TH2: $f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$- e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\- e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} + 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} + 1}{e^{C}} ight)$

Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$ .
Câu 8: Thông hiểu
Một khối cầu có bán kính $5dm$ , người ta cắt bỏ $2$ phần bằng $2$ mặt phẳng song song và vuông góc với bán kính, hai mặt phẳng đó đều cách tâm của khối cầu $3dm$ để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích nước mà chiếc lu chứa được (coi độ dày của bề mặt không đáng kể).
- A.
  $132\pi\left( dm^{3} ight)$
- B.
  $41\pi\left( dm^{3} ight)$
- C.
  $\frac{100\pi}{3}\left( dm^{3} ight)$
- D.
  $43\pi\left( dm^{3} ight)$
Hình vẽ minh họa

Đặt trục tọa độ như hình vẽ. Thể tích cái được tính bằng cách cho đường tròn có phương trình $x^{2} + y^{2} = 25 \Leftrightarrow y^{2} = 25 - x^{2}$ quay quanh trục Ox.

Thể tích cái lu bằng;

$V = \pi\int_{- 3}^{3}{\left( 25 - x^{2} ight)dx} = \pi\left. \ \left( 25x - \frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{- 3}^{3} = 132\pi\left( dm^{3} ight)$
Câu 9: Nhận biết
Một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc là $v(t) = 3t^{2} + 5(m/s)$ . Hỏi quãng đường máy bay đi được từ giây thứ $4$ đến giây thứ $10$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $996m$
- B.
  $876m$
- C.
  $966m$
- D.
  $1086m$
Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:

$S = \int_{4}^{10}{v(t)dt} = \int_{4}^{10}{\left( 3t^{2} + 5 ight)dt}$

$= \left. \ \left( t^{3} + 5t ight) ight|_{4}^{10} = 996(m)$
Câu 10: Nhận biết
Hàm số $f(x) = e^{- x} + 2x - 5$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
- A.
  $y = - e^{- x} + \frac{1}{2}x^{2} - 5x + 1$
- B.
  $y = - e^{- x} + x^{2} - 5x$
- C.
  $y = - e^{- x} + 2$
- D.
  $y = e^{- x} + x^{2} - 5x + 3$
Ta có: $f'(x) = - e^{- x} + 2$ nên $f(x) = e^{- x} + 2x - 5$ là một nguyên hàm của hàm số $y = - e^{- x} + 2$ .
Câu 11: Nhận biết
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{3}$ , trục hoành, $x = 0$ và $x = 2$ bằng
- A.
  $4$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $6$
Hình vẽ minh họa

Phương trình hoành độ giao điểm $x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Diện tích hình giới hạn là $S = \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{0}^{2}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{0}^{2} ight| = 4$
Câu 12: Nhận biết
Giả sử $f(x)$ là một hàm số bất kì và liên tục trên khoảng $(\alpha;\beta)$ và $a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$
- B.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{b + c}{f(x)dx} - \int_{c}^{a}{f(x)dx}$
- C.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{b + c}{f(x)dx} + \int_{b + c}^{a}{f(x)dx}$
- D.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{b}^{c}{f(x)dx}$
Dựa vào tính chất của tích phân với $f(x)$ là một số bất kì liên tục trên khoảng $(\alpha;\beta)$ và $a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta)$ ta có:

$\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$

$= \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{b}^{c}{f(x)dx}$

$= \int_{a}^{b + c}{f(x)dx} + \int_{b + c}^{b}{f(x)dx}$
Câu 13: Thông hiểu
Tích phân $\int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x\left( \ln x + 2 ight)^{2}}dx} = a\ln3 + b\ln2 +\frac{c}{3}$ với $a;b;c\mathbb{\in Z}$ . Kết luận nào dưới đây đúng?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 11$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 9$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$
Ta có: $I = \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x\left( \ln x + 2 ight)^{2}}dx}$ . Đặt $t = \ln x + 2 \Rightarrow dt = \frac{dx}{x}$

Đổi cận tích phân $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 2 \\ x = e \Rightarrow t = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $I = \int_{2}^{3}{\frac{t -2}{t^{2}}dt} = \int_{2}^{3}{\left( \frac{1}{t} - \frac{2}{t^{2}}ight)dt} = \left. \ \left( \ln t + \frac{2}{t} ight) ight|_{2}^{3}= \ln3 - \ln2 - \frac{1}{3}$

Suy ra $a = 1;b = - 1;c = - 1$ . Vậy $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ .
Câu 14: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(0; + \infty)$ thỏa mãn $f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack$ và $f(1) = 0$ . Giá trị tích phân $D = \int_{1}^{5}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $12\ln13 - 13$
- B.
  $13\ln13 - 12$
- C.
  $12\ln13 + 13$
- D.
  $13\ln13 + 12$
Từ giả thiết ta có:

$f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack$

$\Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} = \ln\left\lbrack \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack$

$\Leftrightarrow e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}$

$\Leftrightarrow \frac{xf'(x) - f(x)}{x^{2}}.e^{\frac{f(x)}{x}} = x$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f(x)}{x} ightbrack'.e^{\frac{f(x)}{x}} = x(*)$

Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra $e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + C$

Vì $f(1) = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{2}$ nên $e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = x\ln\frac{x^{2} + 1}{2};\forall x \in (0; + \infty)$

$D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} =\int_{1}^{5}{x.\ln\frac{x^{2} + 1}{2}dx}(**)$

Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = \ln\dfrac{x^{2} + 1}{2} \\dv = xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}dx \\v = \dfrac{x^{2} + 1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Theo công thức tích phân từng phần ta được:

$D = \left. \ \left( \frac{x^{2} +1}{2}.\ln\frac{x^{2} + 1}{2} ight) ight|_{1}^{5} - \int_{1}^{5}{xdx}= 13\ln13 - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{5} = 13\ln13 -12$
Câu 15: Nhận biết
Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x} + x$ là
- A.
  $2^{x} + x^{2} + C$ .
- B.
  $\frac{2^{x}}{ln2} + x^{2} + C$ .
- C.
  $2^{x} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .
- D.
  $\frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .
Ta có: $\int_{}^{}f(x)dx = \int_{}^{}\left( 2^{x} + x ight)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .
Câu 16: Nhận biết
Gọi $(D)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{x}{4};y = 0;x = 1;x = 4$ . Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình $(D)$ quanh trục $Ox$ ?
- A.
  $V = \frac{15}{16}$
- B.
  $V = \frac{15\pi}{8}$
- C.
  $V = \frac{21\pi}{16}$
- D.
  $V = \frac{21}{16}$
Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình $(D)$ quanh trục $Ox$ là

$V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{x}{4} ight)^{2}dx} = \left. \ \frac{\pi x^{3}}{48} ight|_{1}^{4} = \frac{21\pi}{16}$ .
Câu 17: Thông hiểu
Một ô tô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc $a(t) = 6 - 2t\left( m/s^{2} ight)$ , trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?
- A.
  $\frac{45}{2}m$
- B.
  $18m$
- C.
  $36m$
- D.
  $\frac{27}{7}m$
Ta có:

$v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{(6 - 2t)dt} = 6t - t^{2} + C$

Khi đó $v_{\max} \Leftrightarrow t = 3$ do ban đầu ô tô đang dừng nên $v(0) = 0 \Rightarrow C = 0$

Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là: $S = \int_{0}^{3}{\left( 6t - t^{2} ight)dt} = 18m$ .
Câu 18: Nhận biết
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = 2x - x^{2};y = 0$ . Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:
- A.
  $\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)dx}$
- B.
  $\pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
- C.
  $\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
- D.
  $\pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)dx}$
Ta có: $2x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:

$V = \pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
Câu 19: Vận dụng cao

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ và $y = k$ , với $0 < k < 1$ . Tìm $k$ để diện tích hình phẳng $(H)$ gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,59

Đáp án là:

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ và $y = k$ , với $0 < k < 1$ . Tìm $k$ để diện tích hình phẳng $(H)$ gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,59

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $(H)$ . Lúc dó $S = 2S_{1} + 2S_{2}$ , trong đó $S_{1}$ là diện tích phần gạch sọc ở bên phải $Oy$ và $S_{2}$ là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

Gọi $A,B$ là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng $y = k$ và đồ thị hàm số $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ , trong đó $A\left( \sqrt{1 - k};k ight)$ và $B\left( \sqrt{1 + k};k ight)$ .

Thco yêu cầu bài toán $S = 2 \cdot 2S_{1} \Leftrightarrow S_{1} = S_{2}$ .

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 - k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\ = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k - 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1 ight)dx}$ .

$\Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}$

$= \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}$

$\ + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k} ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx 0,59$ .
Câu 20: Nhận biết
Tính tích phân $I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x}$ ?
- A.
  $I = \cot\frac{\pi}{3} - \cot\frac{\pi}{4}$
- B.
  $I = \cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4}$
- C.
  $I = - \cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4}$
- D.
  $I = - \cot\frac{\pi}{3} - \cot\frac{\pi}{4}$
Ta có: $I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x} = \left. \ -\cot x ight|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}$

$= - \left( \cot\frac{\pi}{3} - \cot\frac{\pi}{4} ight) = - \cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4}$ .

28 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!