Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 0 và x = 2 bằng

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{0}^{2}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{0}^{2} ight| = 4

  • Câu 2: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 25^{x}?

    Vì: \left( \frac{25^{x}}{ln25} ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị (C) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a;b;c với c\in (a;b) như hình bên. Đặt m =\int_{a}^{c}{f(x)dx;n} = \int_{c}^{b}{f(x)dx}. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành (phần tô đậm) bằng bao nhiêu?

    Diện tích hình phẳng

    Diện tích hình phẳng phần tô đậm được tính như sau:

    S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx}= \int_{a}^{c}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{c}^{b}{\left| f(x)ight|dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} -\int_{c}^{b}{f(x)dx} = m - n

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho đường thẳng y = \frac{1}{2}x +a và parabol y = x^{2} (a là tham số thực). Gọi S_{1};S_{2} lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được tô đậm và gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S_{1} = S_{2} thì A thuộc khoảng nào dưới đây?

    Phương trình hoành độ giao điểm của của hai đồ thị:

    \frac{1}{2}x + a = x^{2} \Leftrightarrow2x^{2} - x - 2a = 0

    Theo giả thiết, phương trình có hai nghiệm phân biệt

    \Delta = 1 + 16a > 0 \Rightarrow a> - \frac{1}{16}

    Khi đó, phương trình có hai nghiệm x_{1};x_{2};\left( x_{1} < x_{2}ight) thỏa mãn:

    \left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = \frac{1}{2} \\P = x_{1}.x_{2} = - a \\\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng:

    S_{1} = \int_{- 2a}^{x_{1}}{\left(\frac{x}{2} + a ight)dx} + \int_{x_{1}}^{0}{x^{2}dx}

    = \left. \ \left( \frac{x^{2}}{4} + axight) ight|_{- 2a}^{x_{1}} + \left. \ \frac{x^{3}}{3}ight|_{x_{1}}^{0}

    = \frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} -\frac{1}{4}.4a^{2} + 2a^{2} - \frac{1}{3}{x_{1}}^{3}

    = - \frac{1}{3}{x_{1}}^{3} +\frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} + a^{2}

    Diện tích hình phẳng:

    S_{2} = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left(\frac{1}{2}x + a - x^{2} ight)dx} = \frac{\left( x_{2} - x_{1}ight)^{3}}{6}

    Theo giả thiết ta có:

    S_{1} = S_{2}

    \Leftrightarrow = -\frac{1}{3}{x_{1}}^{3} + \frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} + a^{2} =\frac{\left( x_{2} - x_{1} ight)^{3}}{6}

    \Leftrightarrow \frac{1}{4}\left({x_{1}}^{2} - 4a^{2} ight) + a\left( x_{1} + 2a ight) -\frac{{x_{1}}^{3}}{3} = \frac{\left( x_{2} - x_{1}ight)^{3}}{6}

    \Leftrightarrow - \frac{1}{6}\left({x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} ight) + \frac{1}{2}x_{1}x_{2}\left( x_{2} -x_{1} ight) + \frac{{x_{1}}^{2}}{4} + ax_{1} + a^{2} = 0

    \Leftrightarrow - \frac{1}{6}\left(\frac{1}{8} + \frac{3a}{2} ight) - \frac{a}{2}\sqrt{\frac{1}{4} + 4a}+ \frac{\left( 1 + \sqrt{1 + 16a} ight)^{2}}{64} + a.\frac{1 - \sqrt{1+ 16a}}{4} + a^{2} = 0

    \Rightarrow a \approx 3,684 \in \left(\frac{7}{2};4 ight)

  • Câu 5: Vận dụng

    Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1;1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y = x^{2} và y = ax^{3} + bx. Tính giá trị a.b biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn.

    Đáp án: -2||- 2

    Đáp án là:

    Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1;1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y = x^{2} và y = ax^{3} + bx. Tính giá trị a.b biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn.

    Đáp án: -2||- 2

    Diện tích 1 cánh của hình trang trí là:

    S_{1} = \int_{0}^{1}\left( x^{2} - ax^{3} - bx ight)dx = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{ax^{4}}{4} - \frac{bx^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{a}{4} - \frac{b}{2}

    \Rightarrow Diện tích hình trang trí là: S = 4S_{1} = \frac{4}{3} - a - 2b

    Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn nên

    \frac{4}{3} - a - 2b = \frac{4}{3} \Leftrightarrow a + 2b = 0

    Khi đó ta có: \left\{ \begin{matrix} a + b = 1 \\ a + 2b = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    Vậy ab = - 2.

  • Câu 6: Vận dụng

    Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}}. Hỏi đồ thị của hàm số y = F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    Vì F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}} nên suy ra F'(x) = f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}}

    Ta có: F'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x - \cos x}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - \cos x = 0 \\ x \in \lbrack - 1;1brack\backslash\left\{ 0 ight\} \\ \end{matrix} ight.\ (1)

    Xét hàm số g(x) = x - \cos x trên \lbrack - 1;1brack, ta có: g'(x) = 1 + \sin x \geq 0;\forall x \in \lbrack - 1;1brack suy ra hàm số g(x) đồng biến trên \lbrack - 1;1brack.

    Vậy phương trình g(x) = x - \cos x = 0 có nhiều nhất một nghiệm trên \lbrack - 1;1brack (2)

    Mặt khác ta có hàm số g(x) = x - \cos x liên tục trên (0;1) và \left\{ \begin{matrix} g(0) = 0 - cos0 = - 1 < 0 \\ g(1) = 1 - cos1 > 0 \\ \end{matrix} ight. nên g(0)g(1) < 0.

    Suy ra tồn tại x_{0} \in (0;1) sao cho g\left( x_{0} ight) = 0 (3)

    Từ (1); (2); (3) suy ra phương trình F'(x) = 0 có nghiệm duy nhất x_{0} eq 0.

    Đồng thời vì x_{0} là nghiệm bội lẻ nên F'(x) đổi dấu qua x = x_{0}

    Vậy đồ thị hàm số y = F(x) có một điểm cực trị.

  • Câu 7: Nhận biết

    Giá trị của tích phân \int_{- 1}^{0}{e^{x + 1}dx} bằng:

    Ta có: \int_{- 1}^{0}{e^{x + 1}dx} = \left. \ e^{x + 1} ight|_{- 1}^{0} = e^{1} - e^{0} = e - 1.

  • Câu 8: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x + 5?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x + 5)dx} = x^{2} + 5x + C

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Biết F\left( x ight) = \left( {a{x^2} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{20{x^2} - 30x + 11}}{{\sqrt {2x - 3} }} trên khoảng \left( {\frac{3}{2}; + \infty } ight). Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng

     \begin{matrix} f\left( x ight) = F'\left( x ight)\left[ {\left( {a{x^{u2}} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3} } ight]' = \dfrac{{5a{x^2} + x\left( {3b - 6a} ight) + c - 3b}}{{\sqrt {2x - 3} }} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5a = 20} \\ {3b - 6a = - 30} \\ {c - 3b = 11} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 4} \\ {b = - 2} \\ {c = 5} \end{array}} ight. \Rightarrow T = 7 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Nhận biết

    Giá trị của D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} bằng

    Ta có:

    D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} = \left. \ \left( x^{2019} - x ight) ight|_{0}^{1} = 0

  • Câu 11: Thông hiểu

    Hàm số f\left( x ight) = {x^3} + 3x - 2 có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:

     F\left( x ight) = \int {\left( {{x^3} + 3x - 2} ight)dx = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + C}

    Hàm số đi qua B(2; 10) => \frac{{{2^4}}}{4} + \frac{{{{3.2}^2}}}{2} - 2.2 + C = 10 \Rightarrow C = 4

    => F\left( x ight) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 4

    => F\left( { - 2} ight) = \frac{{{{\left( { - 2} ight)}^4}}}{4} + \frac{{3.{{\left( { - 2} ight)}^2}}}{2} - 2\left( { - 2} ight) + 4 = 6

  • Câu 12: Thông hiểu

    Biết rằng hàm số y = f(x) có f'(x) = 3x^{2} + 2x + m;f(2) = 1 và đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 5. Hàm số f(x) là:

    Theo lí thuyết \int_{}^{}{f'(x)dx = f(x) + C}

    Ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx =}\int_{}^{}{\left( 3x^{2} + 2x + m ight)dx} = x^{3} + x^{2} + mx + C

    Khi đó f(x) có dạng f(x) = x^{3} + x^{2} + mx + C_{1}

    Theo đề ta có: \left\{ \begin{matrix} f(2) = 1 \\ f(0) = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2^{3} + 2^{2} + 2m + C_{1} = 1 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 3 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số là f(x) = x^{3} + x^{2} - 3x - 5.

  • Câu 13: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x - 8\sin x\cos x thỏa mãn F(\pi) = 2?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(2x - 8\sin x\cos x ight)dx}

    = \int_{}^{}{(2x - 4\sin2x)dx} = x^{2} +2\cos2x + C

    Theo bài ra ta có: F(\pi) = 2

    \Rightarrow \pi^{2} + 2 + C = 2 \Leftrightarrow C = - \pi^{2}

    Vậy F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack và \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} = 5. Tính tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left\lbrack f(x) + 2sinx ightbrack dx}?

    Ta có:

    I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left\lbrack f(x) + 2\sin x ightbrack dx} =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{2\sin xdx}

    = 5 - \left. \ 2\cos xight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 7

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:

    Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:

    Dựa vào hình vẽ ta được: S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho f(x);g(x) là các hàm số liên tục trên \mathbb{R} và thỏa mãn \int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3;\int_{0}^{2}{\left\lbrack f(x) - 3g(x) ightbrack dx} = 4 và \int_{0}^{2}{\left\lbrack 2f(x) + g(x) ightbrack dx} = 8. Tính tích phân I = \int_{1}^{2}{f(x)dx}?

    Đặt \left\{ \begin{matrix} \int_{0}^{2}{f(x)dx} = a \\ \int_{0}^{2}{g(x)dx} = b \\ \end{matrix} ight.. Theo giả thiết ta có: \left\{ \begin{matrix} a - 3b = 4 \\ 2a + b = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có:

    \int_{0}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx}

    \Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{2}{f(x)dx} - \int_{0}^{1}{f(x)dx}

    \Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 - 3 = 1

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho các hàm số f(x) có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} eq 0. Giá trị của biểu thức \frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) - f(0)} bằng:

    Đặt \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} = k

    Ta có:

    k = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f'(x) ightbrack}

    = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1} - k

    \Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1}

    Ta có:

    k = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f(x) ightbrack}

    = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} - k

    \Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1}

    Vậy \frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) - f(0)} = \frac{\left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1}}{\left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1}} = 1

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} - 4x + 6;y = - x^{2} - 2x + 6?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} - 4x + 6 = - x^{2} - 2x + 6 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{2} - 4x + 6;y = - x^{2} - 2x + 6;x = 0;x = 1

    Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox l

    Diện tích hình phẳng là:

    V = \left| \pi\int_{0}^{1}{\left\lbrack \left( x^{2} - 4x + 6 ight)^{2} - \left( - x^{2} - 2x + 6 ight)^{2} ightbrack dx} ight|

    = \left| \pi\int_{0}^{1}{\left\lbrack \left( 2x^{2} - 12 ight)(12 - 6x) ightbrack dx} ight|

    = \left| \pi\int_{0}^{1}{\left( - 12x^{3} + 36x^{2} - 24x ight)dx} ight|

    = \left| \pi\left. \ \left( - 3x^{4} + 36x^{2} - 24x ight) ight|_{0}^{1} ight| = 3\pi

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho tích phân I = \int_{0}^{4}{f(x)dx} = 32. Tính tích phân H = \int_{0}^{2}{f(2x)dx}?

    Đặt t = 2x \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{2}

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = 2 \Rightarrow t = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó H = \frac{1}{2}\int_{0}^{4}{f(t)dt} = \frac{1}{2}.32 = 16

  • Câu 20: Nhận biết

    Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2x};y = 0 và hai đường thẳng x = 1;x = 2 quanh trục Ox:

    Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2x};y = 0 và hai đường thẳng x = 1;x = 2 quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{1}^{2}{\left( \sqrt{2x} ight)^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{x^{2}dx} = \pi\left. \ x^{2} ight|_{1}^{2} = 3\pi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 69 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập