Cho hàm số
là một nguyên hàm của
. Khi đó số điểm cực trị của hàm số
là:
Ta có: là một nguyên hàm của hàm số
. Do
là nghiệm bội 1 còn
là nghiệm bội 2 nên hàm số
có hai điểm cực trị.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
. Khi đó số điểm cực trị của hàm số
là:
Ta có: là một nguyên hàm của hàm số
. Do
là nghiệm bội 1 còn
là nghiệm bội 2 nên hàm số
có hai điểm cực trị.
Cho hai hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Gọi
là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi
thì
bằng bao nhiêu?
Phương trình hoành độ giao điểm
Ký hiệu là diện tích hình phẳng như hình vẽ:
Ta có:
Vì vậy
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm F(x).
Theo bài ra ta có:
=>
Cho hàm số
là các hàm số liên tục trên
và thỏa mãn
và
. Tính tích phân
?
Theo bài ra ta có:
Cho hàm số
liên tục và có đạo hàm trên
thỏa mãn
. Biết rằng
trong đó
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Tính . Đặt
khi đó:
Theo bài ra ta có:
Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:
Ta có:
Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Đặt
Giả sử
và
. Khi đó
bằng
Ta có:
Tính tích phân
bằng cách đặt
. Công thức nào dưới đây chính xác?
Đặt
Suy ra
Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, đường thẳng
và các đường thẳng
. Giá trị của
sao cho
là
Diện tích cần tìm chính là tích phân:
Ta có:
Do đó
Vậy là giá trị cần tìm.
Tìm nguyên hàm của hàm số 
Đặt
=>
=>
Tính
?
Áp dụng công thức
Suy ra
Biết
với
. Xác định giá trị biểu thức
?
Đặt khi đó ta có:
Vậy .
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số nên:
Hay
Xét
Đặt
Khi đó
Cho parabol
và hai điểm
thuộc
sao cho
. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
và đường thẳng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi và
là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.
Không mất tính tổng quát giả sử a < b.
Theo giả thiết ta có AB = 2 nên
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:
Mặt khác nên
do
Suy ra
Vậy dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và các trục tọa độ.
Đồ thị hàm số đã cho cắt hai trục Ox tại điểm A(−1; 0) và cắt trục Oy tại điểm B, do đó diện tích cần tìm là
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
bằng:
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Khi đó
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
quanh trục
bằng
Ta có:
Giá trị của
bằng
Ta có: