Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) =
3x + 1?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(3x + 1)dx} =
\frac{1}{3}\int_{}^{}{(3x + 1)d(3x + 1)}

    = \frac{1}{3}.\frac{(3x + 1)^{2}}{2} + C
= \frac{1}{6}(3x + 1)^{2} + C

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hai hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \lbrack 1;2brack thỏa mãn f(1) = 4f(x) = x.f'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}. Giá trị f(2) bằng:

    Chọn f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx +
d

    f(x) = xf'(x) - 2x^{3} -
3x^{2}

    \Leftrightarrow ax^{3} + bx^{2} + cx + d
= x\left( 3ax^{2} + 2bx + c ight) - 2x^{3} - 3x^{2}

    Từ đó suy ra \left\{ \begin{matrix}
a = 3a - 2 \\
b = 2b - 3 \\
c = 0 \\
d = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = 3 \\
c = 0 \\
d = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy f(x) = x^{3} + 3x^{2} \Rightarrow
f(2) = 20

  • Câu 3: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 0x =
2 bằng

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{3} = 0
\Leftrightarrow x = 0

    Diện tích hình giới hạn là S =
\int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{0}^{2}{x^{3}dx}
ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{0}^{2}
ight| = 4

  • Câu 4: Nhận biết

    Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
f(x) liên tục trên đoạn \lbrack
1;3brack, trục Ox và hai đường thẳng x = 1;x = 3 có diện tích là:

    Công thức tính diện tích cần tìm là: S =
\int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|dx}.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{2} + 1;y = x^{3} + 1 quay quanh Ox.

    Xét phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{2} + 1 = x^{3} + 1 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 1 \\
\end{matrix} ight.

    Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

    V = \pi\int_{0}^{1}{\left| \left( x^{2}
+ 1 ight)^{2} - \left( x^{3} + 1 ight)^{2} ight|dx}

    = \pi\left| \int_{0}^{1}{\left\lbrack
\left( x^{2} + 1 ight)^{2} - \left( x^{3} + 1 ight)^{2}
ightbrack dx} ight|

    = \pi\left| \int_{0}^{1}{\left( - x^{6}
+ x^{4} - 2x^{3} + 2x^{2} ight)dx} ight|

    = \pi\left| \left. \ \left( -
\frac{1}{7}x^{7} + \frac{1}{5}x^{5} - \frac{1}{2}x^{4} +
\frac{2}{3}x^{3} ight) ight|_{0}^{1} ight| =
\frac{47\pi}{210}

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho đường cong (C):y = x^{3}. Xét điểm A có hoành độ dương thuộc (C), tiếp tuyến của (C) tại A tạo với (C) một hình phẳng có diện tích bằng 27. Hoành độ điểm A thuộc khoảng nào dưới đây??

    Ta có: y' = 3x^{2}A \in (C) \Rightarrow A\left( a;a^{3} ight);(a
> 0)

    Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là d:y = 3a^{2}(x - a) + a^{3}

    x^{3} = 3a^{2}(x - a) +
a^{3}

    \Leftrightarrow (x - a)^{2}(x + 2a) =
0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = a \\
x = - 2a \\
\end{matrix} ight.

    Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C)

    S = 27 \Leftrightarrow \int_{-
2a}^{a}\left| x^{3} - 3a^{2}(x - a) - a^{3} ight|dx = 27

    \Leftrightarrow \left| \int_{-
2a}^{a}\left( x^{3} - 3a^{2}x + 2a^{3} ight)dx ight| =
27

    \Leftrightarrow \left| \left. \ \left(
\frac{x^{4}}{4} - \frac{3a^{2}x^{2}}{2} + 2a^{3}x ight) ight|_{-
2a}^{a} ight| = 27

    \Leftrightarrow \frac{27}{4}a^{4} = 27
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
a = \sqrt{2}(tm) \\
a = - \sqrt{2}(ktm) \\
\end{matrix} ight.

    Vậy a = \sqrt{2} \in \left( 1;\frac{3}{2}
ight)

  • Câu 7: Nhận biết

    Vật thể B giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình x = 0x = 2. Cắt vật thể B với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x;(0 \leq x \leq 2) ta được thiết diện có diện tích bằng x^{2}(2 - x). Thể tích của vật thể B:

    Thể tích của vật thể B là:

    V = \int_{0}^{2}{x^{2}(2 - x)dx} =
\int_{0}^{2}{\left( 2x^{2} - x^{3} ight)dx} = \frac{4}{3}

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn \int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1) + xf'(x)
ightbrack dx = 0f(3) =
1. Biết \int_{0}^{3}{f(x)}dx =\frac{a + b\ln2}{2} với a;b \in
\mathbb{R}^{+}. Giá trị của biểu thức a + b là:

    Tính I = \int_{0}^{3}{2x\ln(x +
1)}dx

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln(x + 1) \\dv = 2xdx \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x + 1}dx \\v = x^{2} \\\end{matrix} ight. khi đó:

    I = \left. \ x^{2}\ln(x + 1)
ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{\frac{x^{2}}{x + 1}dx}

    = 9ln4 - \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2}
- x + \ln|x + 1| ight) ight|_{0}^{3} = 16ln2 -
\frac{3}{2}

    Tính J =
\int_{0}^{3}{xf'(x)}dx.

    Đặt \left\{ \begin{matrix}
u_{J} = x \\
dv_{J} = f'(x)dx \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
du_{J} = dx \\
v_{J} = f(x) \\
\end{matrix} ight. khi đó

    J = \int_{0}^{3}{xf'(x)}dx = \left.
\ xf(x) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f(x)}dx

    \int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1)
+ xf'(x) ightbrack dx = 0

    \Rightarrow I + J = 0 \Rightarrow 16\ln2- \frac{3}{2} + 3 - \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 0

    \Rightarrow \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 16\ln2+ \frac{3}{2} = \frac{3 + 32\ln2}{2}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 3 \\
b = 32 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow a + b = 35

  • Câu 9: Nhận biết

    Giả sử f(x) là một hàm số bất kì và liên tục trên khoảng (\alpha;\beta)a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Dựa vào tính chất của tích phân với f(x) là một số bất kì liên tục trên khoảng (\alpha;\beta)a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta) ta có:

    \int_{a}^{b}{f(x)dx} =
\int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} -
\int_{b}^{c}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{b + c}{f(x)dx} + \int_{b +
c}^{b}{f(x)dx}

  • Câu 10: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 150 - 15t(m/s). Hỏi rằng trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 150 - 15t = 0
\Rightarrow t = 10(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} =
\int_{0}^{10}{(150 - 15t)dt} = \frac{375}{2}m.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Biết \int_{0}^{1}{\frac{x^{2} + 2x}{(x +
3)^{2}}dx} = \frac{a}{4} - 4ln\frac{4}{b} với a;b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức a^{2} + b^{2} bằng:

    Giả sử I = \int_{0}^{1}{\frac{x^{2} +
2x}{(x + 3)^{2}}dx}. Đặt t = x + 3
\Rightarrow dt = dx, đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow t = 3 \\
x = 1 \Rightarrow t = 4 \\
\end{matrix} ight.

    I = \int_{3}^{4}{\frac{t^{2} - 4t +
3}{t^{2}}dx} = \int_{3}^{4}{\left( 1 - \frac{4}{t} + \frac{3}{t^{2}}
ight)dx}

    = \left. \ \left( t - 4ln|t| -
\frac{3}{t} ight) ight|_{3}^{4} = \frac{5}{4} -
4ln\frac{4}{3}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 5 \\
b = 3 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 34

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \frac{1}{2}x^{2} có đồ thị (P). Xét các điểm A;B \in (P) sao cho tiếp tuyến tại AB của (P) vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng \frac{9}{4}. Gọi x_{1};x_{2} lần lượt là hoành độ của AB. Giá trị của \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:y = \frac{1}{2}x^{2} có TXĐ: D\mathbb{= R}

    y' = x

    Giả sử A\left(
x_{1};\frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight),B\left(
x_{2};\frac{1}{2}{x_{2}}^{2} ight) \in (P)x_{1} eq x_{2}

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là y = x_{1}\left( x - x_{1} ight) +
\frac{1}{2}{x_{1}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{1}x -
\frac{1}{2}{x_{1}}^{2}\ \ \ \left( d_{1} ight)

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là y = x_{2}\left( x - x_{2} ight) +
\frac{1}{2}{x_{2}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{2}x -
\frac{1}{2}{x_{2}}^{2}\ \ \ \left( d_{2} ight)

    \left( d_{1} ight)\bot\left( d_{2}
ight) nên ta có: x_{1}x_{2} = - 1
\Leftrightarrow x_{2} = - \frac{1}{x_{1}}

    Phương trình đường thẳng AB

    \dfrac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} =\dfrac{y - \dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}{\dfrac{1}{2}{x_{2}}^{2} -\dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( x -
x_{1} ight)\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) = \left( y -
\frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow \left( x - x_{1}
ight)\left( x_{2} + x_{1} ight) = 2y - {x_{1}}^{2}

    \Leftrightarrow \left( x_{2} + x_{1}
ight)x - 2y - x_{1}x_{2} = 0

    \Leftrightarrow y =
\frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{2} + x_{1} ight)x - x_{1}x_{2}
ightbrack = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)x +
1 ightbrack

    Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:

    S =
\frac{1}{2}\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2}
ight)x + 1 - x^{2} ightbrack dx}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} =
\frac{1}{2}\left. \ \left\lbrack \left( x_{1} + x_{2}
ight)\frac{x^{2}}{2} + x - \frac{x^{3}}{3} ightbrack
ight|_{x_{1}}^{x_{2}}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} =
\frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)\left(
\frac{{x_{2}}^{2}}{2} - \frac{{x_{1}}^{2}}{2} ight) + \left( x_{2} -
x_{1} ight) - \frac{{x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3}}{3}
ightbrack

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left(
x_{1}{x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{2}x_{2} ight)
+ 6\left( x_{2} - x_{1} ight) - 2{x_{2}}^{3} +
2{x_{1}}^{3}

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left( x_{2} -
x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} +
{x_{2}}^{2} - 1 ight) + 6\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow 27 = 3\left( x_{2} -
x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} +
{x_{2}}^{2} - 1 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} -
x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} -
x_{1} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)^{2}

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} -
x_{1} ight)^{3} \Leftrightarrow x_{2} - x_{1} = 3

    Thay x_{2} = - \frac{1}{x_{1}} ta có:

    - \frac{1}{x_{1}} - x_{1} = 3
\Leftrightarrow - 1 - {x_{1}}^{2} - 3x_{1} = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x_{1} = \dfrac{- 3 - \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{2}{3 +\sqrt{5}} \\x_{1} = \dfrac{- 3 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{- 2}{- 3 +\sqrt{5}} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( x_{1} + x_{2}
ight)^{2} = 5

  • Câu 13: Thông hiểu

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x -
1}{x^{2} + 2x + 1}?

    Ta có:

    f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x -
1}{x^{2} + 2x + 1} = \frac{(x + 1)^{3} - 2}{(x + 1)^{2}} = x + 1 -
\frac{2}{(x + 1)^{2}}

    \Rightarrow F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x +
\frac{2}{x + 1} + C

  • Câu 14: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^{{x^2}}}\left( {{x^3} - 4x} ight). Hàm số F\left( {{x^2} + x} ight) có bao nhiêu điểm cực trị?

     \begin{matrix}  \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]\prime    \hfill \\   = \left( {2x + 1} ight)f\left( {{x^2} + x} ight) \hfill \\   = \left( {2x + 1} ight){e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}.\left[ {{{\left( {{x^2} + x} ight)}^3} - 4\left( {{x^2} + x} ight)} ight] \hfill \\   = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).\left( {{x^2} + x} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {{x^2} + x - 2} ight) \hfill \\   = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).x\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    => \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]' = 0 có 5 nghiệm đơn

    => Hàm số F\left( {{x^2} + x} ight) có 5 điểm cực trị

  • Câu 16: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
\frac{1}{(2x - 1)^{2}}?

    Ta có: \int_{}^{}{\frac{1}{(2x -1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{(2x - 1)^{- 1}dx}

    = - \frac{1}{2}.\frac{1}{2x -2} + C = \frac{1}{2 - 4x} + C

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = ax + \frac{b}{x^{2}};(x eq
0), biết rằng F( - 1) = 1;F(1) =
4;f(1) = 0?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\left( ax +
\frac{b}{x^{2}} ight)dx = \frac{ax^{2}}{2} - \frac{b}{x} +
c}

    Theo bài ra ta có:

    F( - 1) = 1;F(1) = 4;f(1) =
0

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{2} + b + c = 1 \\\dfrac{a}{2} - b + c = 4 \\a + b = 0 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\b = - \dfrac{3}{2} \\c = \dfrac{7}{4} \\\end{matrix} ight.. Vậy F(x) =
\frac{3x^{2}}{4} + \frac{3}{2x} + \frac{7}{4}.

  • Câu 18: Nhận biết

    Xác định tích phân I =
\int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx}?

    Ta có:

    I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx} = -
\frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(1 - 2x)}{1 - 2x}

    = - \frac{1}{2}.\left. \ \ln|1 - 2x|ight|_{1}^{5} = - \ln3

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tính tích phân A =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\cos^{2}\left( x - \dfrac{\pi}{3}ight)}dx} bằng

    Ta có:

    A =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\cos^{2}\left( x - \frac{\pi}{3}ight)}dx} = \left. \ \tan\left( x - \frac{\pi}{3} ight)ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}}

    = \tan\frac{\pi}{6} - \tan\left( -
\frac{\pi}{3} ight) = \frac{4\sqrt{3}}{3}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x^{2} - 2x}{x - 1}, đường thẳng y = x - 1 và các đường thẳng x = m;x = 2m;(m > 1). Giá trị của m sao cho S = ln3

    Diện tích cần tìm chính là tích phân:

    S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} -
2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx}

    Ta có:

    S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} -
2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx} = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{- 1}{x - 1}
ight|dx}

    = \int_{m}^{2m}{\frac{1}{|x - 1|}dx} =
\int_{m}^{2m}{\frac{1}{x - 1}dx};(m > 1)

    = \left. \ \left\lbrack \ln|x - 1|
ightbrack ight|_{m}^{2m} = \ln\frac{2m - 1}{m - 1}

    Do đó S = ln3 \Leftrightarrow \ln\frac{2m
- 1}{m - 1} = ln3 \Leftrightarrow m = 2

    Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 13 lượt xem
Sắp xếp theo