Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack, có đồ thị hàm số y = f'(x) như sau:

    Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

    Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì \int_{a}^{b}{f'(x)dx} là diện tích hình thang cong ABMN.

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hai hàm số f(x)f( - x) liên tục trên tập số thực và thỏa mãn 2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 +
x^{2}}. Tính tích phân I = \int_{-
2}^{2}{f(x)dx}?

    Đặt t = - x \Rightarrow dt = -
dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = - 2 \Rightarrow t = 2 \\
x = 2 \Rightarrow t = - 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow I = - \int_{2}^{- 2}{f( - t)dt} =
\int_{- 2}^{2}{f( - x)dx}

    Theo bài ra ta có:

    2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 +
x^{2}}

    \Leftrightarrow 2\int_{- 2}^{2}{f(x)dx}
+ 3\int_{- 2}^{2}{f( - x)dx} = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 +
x^{2}}dx

    \Leftrightarrow 2I + 3I = \int_{-
2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    \Leftrightarrow I = \frac{1}{5}\int_{-
2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    Đặt x = 2\tan u \Rightarrow dx =2.\frac{1}{\cos^{2}u}du = 2\left( 1 + \tan^{2}u ight)du

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = - 2 \Rightarrow u = - \dfrac{\pi}{4} \\x = 2 \Rightarrow u = \dfrac{\pi}{4} \\\end{matrix} ight.\Rightarrow I = \dfrac{1}{5}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2\left( 1 + u^{2} ight)}{4 +4\tan^{2}u}du} = \frac{1}{10}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{du}

    = \left. \ \frac{1}{10}u ight|_{-
\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{10}\left( \frac{\pi}{4} +
\frac{\pi}{4} ight) = \frac{\pi}{20}

  • Câu 3: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 0x =
2 bằng

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{3} = 0
\Leftrightarrow x = 0

    Diện tích hình giới hạn là S =
\int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{0}^{2}{x^{3}dx}
ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{0}^{2}
ight| = 4

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}. Giá trị của f(2) là:

     Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

    Ta có:

    \begin{matrix}  f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\   \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {a = 3a - 2} \\   {b = 2b - 3} \\   {d = 0} \\   {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {a = 1} \\   {b = 3} \\   {c = 0} \\   {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2} => f(x) = 20

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hai hàm số f(x) = ax^{3} + bx +
c;g(x) = bx^{3} + ax + c;(a > 0) có đồ thị như hình vẽ:

    Gọi S_{1};S_{2} là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi S_{1} + S_{2} = 3 thì \int_{0}^{1}{f(x)dx} bằng bao nhiêu?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    (a - b)x^{3} + (b - a)x = 0

    \Leftrightarrow (a - b)\left( x^{3} - x
ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = - 1 \\
x = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Ký hiệu S_{3} là diện tích hình phẳng như hình vẽ:

    Ta có:

    S_{1} = \int_{- 1}^{0}{\left\lbrack f(x)
- g(x) ightbrack dx} = (a - b)\int_{- 1}^{0}{\left( x^{3} - x
ight)dx} = \frac{1}{4}(a - b)

    S_{2} = - \int_{- 1}^{0}{g(x)dx} = -
\int_{- 1}^{0}{\left( bx^{3} + ax + c ight)dx} = - \left( \frac{b}{4}
+ \frac{a}{2} + c ight)

    Vì vậy S_{1} + S_{2} = 3 \Leftrightarrow
\frac{1}{4}(a - b) - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight) =
3

    \Leftrightarrow a + 2b + 4c = -
12

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} =
\int_{0}^{1}{\left( ax^{3} + bx + c ight)dx} = \frac{a}{4} +
\frac{b}{2} + c = \frac{a + 2b + 4c}{4} = - 3

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight) = 4;g\left( x ight) =  - xf'\left( x ight);f\left( x ight) =  - xg'\left( x ight). Kết luận nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix}  \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {g\left( x ight) =  - xf'\left( x ight)} \\   {f\left( x ight) =  - xg'\left( x ight)} \end{array}} ight. \hfill \\   \Rightarrow f\left( x ight) + g\left( x ight) =  - x\left[ {f'\left( x ight) + g'\left( x ight)} ight] \hfill \\   \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = \dfrac{{ - 1}}{x} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix}   \Rightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}}dx = \int\limits_1^4 {\dfrac{{ - 1}}{x}dx} }  \hfill \\   \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{d\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = } \left. {\ln \left| x ight|} ight|_1^4 =  - \ln 4 \hfill \\   \Rightarrow \ln \left| {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight|_1^4 =  - \ln 4 \hfill \\   \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| - \ln \left| {f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight)} ight| =  - \ln 4 \hfill \\   \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| = 0 \hfill \\   \Rightarrow f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 7: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x - 8\sin x\cos x thỏa mãn F(\pi) = 2?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(2x - 8\sin x\cos x ight)dx}

    = \int_{}^{}{(2x - 4\sin2x)dx} = x^{2} +2\cos2x + C

    Theo bài ra ta có: F(\pi) =
2

    \Rightarrow \pi^{2} + 2 + C = 2
\Leftrightarrow C = - \pi^{2}

    Vậy F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{3}^{4}{\frac{5x -8}{x^{2} - 3x + 2}dx} = a\ln3 + b\ln2 + c\ln5 với a;b;c là các số hữu tủ. Giá trị của 2^{a - 3b + c} bằng:

    Ta có:

    \int_{3}^{4}{\frac{5x - 8}{x^{2} - 3x +2}dx} = \int_{3}^{4}{\left( \frac{3}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}ight)dx}

    = \left. \ 3\ln|x - 1| ight|_{3}^{4} +2\left. \ \ln|x - 2| ight|_{3}^{4}

    = 3\ln2 - 3\ln2 + 2\ln2 = - \ln2 +3\ln3

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 3 \\b = - 1 \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow 2^{a - 3b + c} = 2^{6} =64

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho các hàm số y = f(x)y = g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack và số k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Khẳng định sai là: \int_{a}^{b}{x.f(x)dx}
= x\int_{a}^{b}{f(x)dx}

  • Câu 10: Nhận biết

    Một vật chuyển động với vận tốc v(t) =
\frac{6}{5} + \frac{t^{2} + 4}{t + 3}(m/s). Tính quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).?

    Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu là:

    S = \int_{0}^{4}{v(t)dt} = \int_{0}^{4}{\left(
\frac{6}{5} + \frac{t^{2} + 4}{t + 3} ight)dt} \approx
11,81(m).

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau y = \sqrt{x};y =1 và đườDng thẳng x = 4 (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng y = 1 bằng

    Đặt \left\{ \begin{matrix}X = x - 1 \\Y = y - 1 \\\end{matrix} ight.. Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ

    Ta có: y = \sqrt{x} \Leftrightarrow Y + 1= \sqrt{X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt{X + 1} - 1

    Thể tích cần tìm là

    V = \pi\int_{0}^{3}{\left( \sqrt{X + 1}- 1 ight)^{2}dX} = \pi\int_{0}^{3}{\left( X + 2 - 2\sqrt{X + 1}ight)dX}

    = \pi\left. \ \left\lbrack\frac{1}{2}X^{2} + 2X - \frac{4}{3}(X + 1)\sqrt{X + 1} ightbrackight|_{0}^{3}

    = \pi\left\lbrack \left( \frac{9}{2} + 6- \frac{32}{3} ight) - \left( - \frac{4}{3} ight) ightbrack =\frac{7\pi}{6}

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y =
x^{5}.Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \left(
\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}
ight)\mathbf{'}\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{5}}

    Vậy đáp án cần tìm là: \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}\mathbf{+
C}.

  • Câu 13: Nhận biết

    Giá trị tích phân I =
\int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx} bằng:

    Ta có:

    I = \int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx} =
\int_{1}^{2}{x^{- 6}dx} = \left. \ \frac{x^{- 5}}{- 5} ight|_{1}^{2} =
\frac{31}{125}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x^{2} + 2xy = x + 2 bằng:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} + 2x = x + 2 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = - 2 \\
x = 1 \\
\end{matrix} ight.

    Hình vẽ minh họa

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{- 2}^{1}{\left| \left( x^{2} +
2x ight) - (x + 2) ight|dx} = \int_{- 2}^{1}{\left| x^{2} + x - 2
ight|dx}

    = \int_{- 2}^{1}{\left\lbrack - \left(
x^{2} + x - 2 ight) ightbrack dx} = \left| \left. \ \left( -
\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2}x^{2} + 2x ight) ight|_{- 2}^{1}
ight| = \frac{9}{2}

    = \left| \left. \ \left(
\frac{2}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{\frac{3}{2}}
ight| = \frac{9}{8}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) = \left( ax^{2} + bx - c
ight).e^{2x} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left( 2018x^{2} - 3x + 1
ight)e^{2x} trên khoảng ( -
\infty; + \infty). Giá trị biểu thức a + 2b + 4c bằng:

    Ta có: F'(x) = (2ax + b)e^{2x} +
2\left( ax^{2} + bx - c ight)e^{2x}

    = \left\lbrack 2ax^{2} + (2b + 2a)x + b
- 2c ightbrack e^{2x}

    Theo bài ra ta có:

    \Rightarrow \left\lbrack 2ax^{2} + (2b +
2a)x + b - 2c ightbrack e^{2x} = \left( 2018x^{2} - 3x + 1
ight)e^{2x}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 2018 \\2(a + b) = - 3 \\b - 2c = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1009 \\b = \dfrac{- 2021}{2} \\c = \dfrac{- 2023}{4} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow a + 2b + 4c = - 3035

  • Câu 16: Thông hiểu

    Xe đạp A xuất phát từ C, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) =
\frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30}(m/s) trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một xe đạp B cũng xuất phát từ C, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a\left( m/s^{2} ight) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng bao nhiêu?

    Quãng đường xe đạp A đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{25}{\left(
\frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30} ight)dt} =
\frac{375}{2}(m)

    Vận tốc của xe đạp B tại thời điểm t(s) tính từ lúc B xuất phát là: v_{B}(t) = at

    Quãng đường xe đạp B đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{15}{(at)dt} = \left. \
\left( \frac{at^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{15} =
\frac{225a}{2}(m)

    \Rightarrow \frac{225a}{2} =
\frac{375}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{3}

    Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là: v_{B}(15) = 15a = 25(m/s)

  • Câu 17: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (x - 1)e^{2x}, trục hoành; x = 0x =
2 bằng:

    Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y =
(x - 1)e^{2x} và trục hoành là nghiệm của phương trình: (x - 1)e^{2x} = 0 \Leftrightarrow x =
1

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là:

    S = \int_{0}^{2}{\left| (x - 1)e^{2x}
ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{\left\lbrack (1 -
x)e^{2x} ightbrack dx} + \int_{1}^{2}{\left\lbrack (x - 1)e^{2x}
ightbrack dx}

    = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{(1 - x)d\left(
e^{2x} ight)} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{(x - 1)d\left( e^{2x}
ight)}

    = \frac{1}{2}\left. \ (1 - x)e^{2x}
ight|_{0}^{1} + \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{e^{2x}dx} + \frac{1}{2}\left.
\ (x - 1)e^{2x} ight|_{1}^{2} -
\frac{1}{2}\int_{1}^{2}{e^{2x}dx}

    = \frac{e^{4}}{2} - \frac{1}{2} +
\frac{1}{4}\left. \ e^{2x} ight|_{0}^{1} - \frac{1}{4}\left. \ e^{2x}
ight|_{1}^{2}

    = \frac{e^{4}}{4} + \frac{e^{2}}{2} -
\frac{3}{4}

  • Câu 18: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx}  = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 19: Thông hiểu

    Biết \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x +
C. Khi đó \int_{}^{}{f\left( e^{x}
ight)}dx tương ứng bằng

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x +
C \Rightarrow f(x) = 6x - 4

    \Rightarrow f\left( e^{x} ight) =
6e^{x} - 4

    \Rightarrow \int_{}^{}{f\left( e^{x}
ight)}dx = \int_{}^{}{\left( 6e^{x} - 4 ight)dx} = 6e^{x} - 4e^{x} +
C

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 2x - x^{2};y = 0. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:

    Ta có: 2x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:

    V = \pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2}
ight)^{2}dx}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 41 lượt xem
Sắp xếp theo