Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{2x - 1} , biết rằng F(1) = 2. Khi đó giá trị F(2) là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1}
= \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)

    F(1) = 2 \Rightarrow C = 2. Vậy với x > \frac{1}{2} thì F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) +
2

    Vậy F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Biết \int_{0}^{1}{\frac{x^{2} + 2x}{(x +
3)^{2}}dx} = \frac{a}{4} - 4ln\frac{4}{b} với a;b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức a^{2} + b^{2} bằng:

    Giả sử I = \int_{0}^{1}{\frac{x^{2} +
2x}{(x + 3)^{2}}dx}. Đặt t = x + 3
\Rightarrow dt = dx, đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow t = 3 \\
x = 1 \Rightarrow t = 4 \\
\end{matrix} ight.

    I = \int_{3}^{4}{\frac{t^{2} - 4t +
3}{t^{2}}dx} = \int_{3}^{4}{\left( 1 - \frac{4}{t} + \frac{3}{t^{2}}
ight)dx}

    = \left. \ \left( t - 4ln|t| -
\frac{3}{t} ight) ight|_{3}^{4} = \frac{5}{4} -
4ln\frac{4}{3}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 5 \\
b = 3 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 34

  • Câu 3: Nhận biết

    Giá trị của tích phân \int_{- 1}^{0}{e^{x
+ 1}dx} bằng:

    Ta có: \int_{- 1}^{0}{e^{x + 1}dx} =
\left. \ e^{x + 1} ight|_{- 1}^{0} = e^{1} - e^{0} = e -
1.

  • Câu 4: Nhận biết

    Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a;x = b;\left( {a < b} ight) xung quanh trục Ox.

    Ta có : V =
\pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm với mọi x\mathbb{\in R}f'(x) = 2x + 1. Giá trị của f(2) - f(1) bằng:

    Ta có:

    f'(x) = 2x + 1 \Rightarrow\int_{}^{}{f'(x)dx = \int_{}^{}{(2x + 1)dx}}

    = x^{2} + x + C \Rightarrow \existsC_{1}\mathbb{\in R}:f(x) = x^{2} + x + C

    \Rightarrow f(2) - f(1) = 2^{2} + 2 +C_{1} - \left( 1^{2} + 1 + C_{1} ight) = 4

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^{{x^2}}}\left( {{x^3} - 4x} ight). Hàm số F\left( {{x^2} + x} ight) có bao nhiêu điểm cực trị?

     \begin{matrix}  \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]\prime    \hfill \\   = \left( {2x + 1} ight)f\left( {{x^2} + x} ight) \hfill \\   = \left( {2x + 1} ight){e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}.\left[ {{{\left( {{x^2} + x} ight)}^3} - 4\left( {{x^2} + x} ight)} ight] \hfill \\   = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).\left( {{x^2} + x} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {{x^2} + x - 2} ight) \hfill \\   = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).x\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    => \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]' = 0 có 5 nghiệm đơn

    => Hàm số F\left( {{x^2} + x} ight) có 5 điểm cực trị

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho f(x);g(x) là các hàm số liên tục trên \mathbb{R} và thỏa mãn \int_{0}^{1}{f(x)dx} =
3;\int_{0}^{2}{\left\lbrack f(x) - 3g(x) ightbrack dx} = 4\int_{0}^{2}{\left\lbrack 2f(x) + g(x)
ightbrack dx} = 8. Tính tích phân I = \int_{1}^{2}{f(x)dx}?

    Đặt \left\{ \begin{matrix}
\int_{0}^{2}{f(x)dx} = a \\
\int_{0}^{2}{g(x)dx} = b \\
\end{matrix} ight.. Theo giả thiết ta có: \left\{ \begin{matrix}
a - 3b = 4 \\
2a + b = 8 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 4 \\
b = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Ta có:

    \int_{0}^{2}{f(x)dx} =
\int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx}

    \Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} =
\int_{0}^{2}{f(x)dx} - \int_{0}^{1}{f(x)dx}

    \Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 - 3
= 1

  • Câu 8: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 1x =
3 bằng

    Diện tích hình giới hạn là S =
\int_{1}^{3}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{3}^{3}{x^{3}dx}
ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{1}^{3}
ight| = 20

  • Câu 9: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \sqrt{3x +
2} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\sqrt{3x
+ 2}dx} = \int_{}^{}{(3x + 2)^{\frac{1}{2}}dx}

    = \frac{(3x + 2)^{1 + \frac{1}{2}}}{1 +\dfrac{1}{2}}.\frac{1}{3} + C = \frac{2}{9}.(2x + 3).\sqrt{3x + 2} +C

  • Câu 10: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x +\sin2x là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x +\sin2x)dx}

    = 2.\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cos2x +c = x^{2} - \frac{1}{2}\cos2x + c

  • Câu 11: Nhận biết

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3^{x};y = 0;x = 0;x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có: S = \int_{0}^{2}{\left| 3^{x}
ight|dx} = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn \int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1) + xf'(x)
ightbrack dx = 0f(3) =
1. Biết \int_{0}^{3}{f(x)}dx =\frac{a + b\ln2}{2} với a;b \in
\mathbb{R}^{+}. Giá trị của biểu thức a + b là:

    Tính I = \int_{0}^{3}{2x\ln(x +
1)}dx

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln(x + 1) \\dv = 2xdx \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x + 1}dx \\v = x^{2} \\\end{matrix} ight. khi đó:

    I = \left. \ x^{2}\ln(x + 1)
ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{\frac{x^{2}}{x + 1}dx}

    = 9ln4 - \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2}
- x + \ln|x + 1| ight) ight|_{0}^{3} = 16ln2 -
\frac{3}{2}

    Tính J =
\int_{0}^{3}{xf'(x)}dx.

    Đặt \left\{ \begin{matrix}
u_{J} = x \\
dv_{J} = f'(x)dx \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
du_{J} = dx \\
v_{J} = f(x) \\
\end{matrix} ight. khi đó

    J = \int_{0}^{3}{xf'(x)}dx = \left.
\ xf(x) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f(x)}dx

    \int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1)
+ xf'(x) ightbrack dx = 0

    \Rightarrow I + J = 0 \Rightarrow 16\ln2- \frac{3}{2} + 3 - \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 0

    \Rightarrow \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 16\ln2+ \frac{3}{2} = \frac{3 + 32\ln2}{2}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 3 \\
b = 32 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow a + b = 35

  • Câu 13: Vận dụng

    Giả sử hàm số f(x) luôn xác định. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2} + \left( {a + b} ight)x + ab}}

    \begin{matrix}  f\left( x ight) = \dfrac{1}{{{x^2} + \left( {a + b} ight)x + ab}} \hfill \\   \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{1}{{\left( {x + a} ight)\left( {x + b} ight)}} \hfill \\   \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + a} ight)}} - \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + b} ight)}} \hfill \\ \end{matrix} 

    \begin{matrix}  \int {f\left( x ight)dx}  = \int {\left[ {\dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + a} ight)}} - \dfrac{1}{{\left( {b - a} ight)\left( {x + b} ight)}}} ight]dx}  \hfill \\   = \dfrac{1}{{b - a}}.\int {\left[ {\dfrac{1}{{x + a}} - \dfrac{1}{{x + b}}} ight]dx}  \hfill \\   = \dfrac{1}{{b - a}}.\left[ {\ln \left| {x + a} ight| - \ln \left| {x + b} ight|} ight] + C = \dfrac{1}{{b - a}}\ln \left| {\dfrac{{x + a}}{{x + b}}} ight| + C \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên Ka;b \in K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

    Theo định nghĩa tích phân ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a).

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{3} + 12x và đường thẳng y = - x^{2}?

    Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

    - x^{3} + 12x = - x^{2} \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 4 \\
x = - 3 \\
\end{matrix} ight.

    Diện tích S của hình phẳng (H) là:

    S = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} + 12x
- \left( - x^{2} ight) ight|dx} = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} +
12x + x^{2} ight|dx}

    = \int_{- 3}^{0}{\left| - x^{3} + 12x +
x^{2} ight|dx} + \int_{0}^{4}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2}
ight|dx}

    = \int_{- 3}^{0}{\left( - x^{3} + 12x +
x^{2} ight)dx} + \int_{0}^{4}{\left( - x^{3} + 12x + x^{2}
ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} -
6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight) ight|_{- 3}^{0} + \left. \ \left(
\frac{1}{4}x^{4} - 6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight)
ight|_{0}^{4}

    = 0 - \left( \frac{1}{4}.3^{4} - 6.3^{2}
+ \frac{1}{3}.3^{3} ight) + \left( - \frac{1}{4}.4^{4} + 6.4^{2} +
\frac{1}{3}.4^{3} ight) - 0 = \frac{937}{12}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn f(x) >
0;\forall x\mathbb{\in R}f'(x) - 2f(x) = 0. Tính f( - 1) biết rằng f(1) = 1?

    f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in
R} nên ta có:

    f'(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow
\frac{f'(x)}{f(x)} = 2

    \Rightarrow
\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{2dx}

    \Rightarrow \exists C\mathbb{\in
R}:ln\left| f(x) ight| = 2x + C

    \Rightarrow \ln f(x) = 2x +
C

    Cho x = 1 \Rightarrow \ln f(1) = 2 + C\Rightarrow \ln1 = 2 + C \Rightarrow C = - 2

    Do đó \ln f(x) = 2x - 2 \Leftrightarrow
f(x) = e^{2x - 2} \Rightarrow f( - 1) = e^{- 4}

  • Câu 17: Vận dụng

    Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1;1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y = x^{2}y = ax^{3} + bx. Tính giá trị a.b biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn.

    Đáp án: -2||- 2

    Đáp án là:

    Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1;1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y = x^{2}y = ax^{3} + bx. Tính giá trị a.b biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn.

    Đáp án: -2||- 2

    Diện tích 1 cánh của hình trang trí là:

    S_{1} = \int_{0}^{1}\left( x^{2} -
ax^{3} - bx ight)dx = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} -
\frac{ax^{4}}{4} - \frac{bx^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{1} =
\frac{1}{2} - \frac{a}{4} - \frac{b}{2}

    \Rightarrow Diện tích hình trang trí là: S = 4S_{1} = \frac{4}{3} - a -
2b

    Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn nên

    \frac{4}{3} - a - 2b = \frac{4}{3}
\Leftrightarrow a + 2b = 0

    Khi đó ta có: \left\{ \begin{matrix}
a + b = 1 \\
a + 2b = 0 \\
\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 2 \\
b = - 1 \\
\end{matrix} ight.\  ight.

    Vậy ab = - 2.

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho parabol (P):y = x^{2} và hai điểm A;B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A\left( a;a^{2} ight)(P):y = x^{2} là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.

    Không mất tính tổng quát giả sử a < b.

    Theo giả thiết ta có AB = 2 nên

    (b - a)^{2} + \left( b^{2} - a^{2}ight)^{2} = 4

    \Leftrightarrow (b - a)^{2}\left\lbrack1 + (b + a)^{2} ightbrack = 4

    Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y = (b + a)x - ab

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:

    S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack (a + b)x -ab - x^{2} ightbrack dx}

    = \left. \ \left\lbrack (a +b)\frac{x^{2}}{2} - abx - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{a}^{b}= \frac{(b - a)^{3}}{6}

    Mặt khác (b - a)^{2}\left\lbrack 1 + (b +a)^{2} ightbrack = 4 nên |b -a| \leq 2 do 1 + (b + a)^{2} \geq1

    Suy ra S = \frac{(b - a)^{3}}{6} \leq\frac{2^{3}}{6}

    Vậy S_{\max} = \frac{4}{3} dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x^{2} - 2xy = - x^{2} + x bằng:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} - 2x = - x^{2} + x \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = \frac{3}{2} \\
\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{0}^{\frac{3}{2}}{\left| 2x^{2}
- 3x ight|dx} = \left| \int_{0}^{\frac{3}{2}}{\left( 2x^{2} - 3x
ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left(
\frac{2}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{\frac{3}{2}}
ight| = \frac{9}{8}

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho các hàm số y = f(x)y = g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack và số k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Khẳng định sai là: \int_{a}^{b}{x.f(x)dx}
= x\int_{a}^{b}{f(x)dx}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 66 lượt xem
Sắp xếp theo