Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tính thể tích V của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{2} + 1;y = x^{3} + 1 quay quanh Ox.

    Xét phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{2} + 1 = x^{3} + 1 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 1 \\
\end{matrix} ight.

    Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

    V = \pi\int_{0}^{1}{\left| \left( x^{2}
+ 1 ight)^{2} - \left( x^{3} + 1 ight)^{2} ight|dx}

    = \pi\left| \int_{0}^{1}{\left\lbrack
\left( x^{2} + 1 ight)^{2} - \left( x^{3} + 1 ight)^{2}
ightbrack dx} ight|

    = \pi\left| \int_{0}^{1}{\left( - x^{6}
+ x^{4} - 2x^{3} + 2x^{2} ight)dx} ight|

    = \pi\left| \left. \ \left( -
\frac{1}{7}x^{7} + \frac{1}{5}x^{5} - \frac{1}{2}x^{4} +
\frac{2}{3}x^{3} ight) ight|_{0}^{1} ight| =
\frac{47\pi}{210}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \cos4x có một nguyên hàm là F(x); F\left( \frac{\pi}{4} ight) = 2. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\cos4x}dx =\frac{1}{4}\sin4x + C

    F\left( \frac{\pi}{4} ight) = 2
\Rightarrow C = 2

    Ta được F(x) = \frac{1}{4}\sin4x +2

    \Rightarrow \int_{}^{}{F(x)dx} =\int_{}^{}{\left( \frac{1}{4}\sin4x + 2 ight)dx}

    = - \frac{\cos4x}{16} + 2x +C

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack và f(1) = 0. Giá trị tích phân D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Từ giả thiết ta có:

    f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} =
\ln\left\lbrack \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}
ightbrack

    \Leftrightarrow e^{\frac{f(x)}{x}} =
\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}

    \Leftrightarrow \frac{xf'(x) -
f(x)}{x^{2}}.e^{\frac{f(x)}{x}} = x

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\frac{f(x)}{x} ightbrack'.e^{\frac{f(x)}{x}} = x(*)

    Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} +
C

    f(1) = 0 \Rightarrow C =
\frac{1}{2} nên e^{\frac{f(x)}{x}}
= \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = x\ln\frac{x^{2} +
1}{2};\forall x \in (0; + \infty)

    D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} =\int_{1}^{5}{x.\ln\frac{x^{2} + 1}{2}dx}(**)

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln\dfrac{x^{2} + 1}{2} \\dv = xdx \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}dx \\v = \dfrac{x^{2} + 1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Theo công thức tích phân từng phần ta được:

    D = \left. \ \left( \frac{x^{2} +1}{2}.\ln\frac{x^{2} + 1}{2} ight) ight|_{1}^{5} - \int_{1}^{5}{xdx}= 13\ln13 - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{5} = 13\ln13 -12

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f'(x) - f(x) = e^{x}f(0) = 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y(x) = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có: f'(x) - f(x) = e^{x}. Nhân cả hai vế với e^{- x} ta được:

    e^{- x}f'(x) - e^{- x}.f(x) =
1

    \Leftrightarrow \left( e^{- x}.f(x)
ight)' = 1

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \Leftrightarrow \int_{}^{}{\left( e^{-
x}.f(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow e^{- x}.f(x) =
x + C

    f(0) = 2 \Rightarrow f(0) = 0 + C
\Leftrightarrow C = 2

    Suy ra e^{- x}.f(x) = x + 2
\Leftrightarrow f(x) = \frac{x + 2}{e^{- x}} = (x + 2)e^{x}

    \Rightarrow f'(x) = (x +
3)e^{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm (x +
2)e^{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2

    Ta có: f'( - 2) = ( - 2 + 3)e^{- 2} =
e^{- 2};f( - 2) = 0

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là: y = e^{- 2}(x + 2)

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm a + b biết rằng \int_{0}^{1}{x\sqrt[3]{1 - x}dx} =
\frac{a}{b} là phân số tối giản?

    Ta có: t = \sqrt[3]{1 - x} \Rightarrow
t^{3} = 1 - x \Rightarrow 3t^{2}dt = - dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow t = 1 \\
x = 1 \Rightarrow t = 0 \\
\end{matrix} ight. khi đó suy ra

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{x\sqrt[3]{1 -
x}dx} = 3\int_{0}^{1}{\left( 1 - t^{3} ight)t^{3}dt}

    = \left. \ 3\left( \frac{t^{4}}{4} -
\frac{t^{7}}{7} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{9}{28}

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;(a <
b) được tính theo công thức

    Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y
= f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;(a < b) được tính theo công thức: S = \int_{a}^{b}{\left| f(x)
ight|dx}.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A_{1};A_{2};B_{1};B_{2} như hình vẽ:

    Người ta chia elip bởi Parabol có đỉnh B_{1}, trục đối xứng B_{1}B_{2} và đi qua các điểm M;N. Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200 nghìn đồng/m2 và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500 nghìn đồng/m2. Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng A_{1}A_{2} =4m;B_{1}B_{2} = MN = 2m

    Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của A1A2. Tọa độ các đỉnh A1(−2; 0), A2(2; 0), B1(0; −1), B2(0; 1)

    Phương trình đường Elip (E):\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1\Leftrightarrow y = \pm \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}

    Ta có: M\left( - 1;\frac{\sqrt{3}}{2}ight),N\left( 1;\frac{\sqrt{3}}{2} ight) \in (E)

    Parabol (P) có đỉnh B1(0; −1) và trục đối xứng là Ox nên (P) có phương trình y = ax^{2} - 1, (a > 0), đi qua M; N

    \Rightarrow a = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1\Rightarrow (P):y = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight)x^{2} -1

    Diện tích phần tô đậm

    S_{1} = 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight)x^{2}+ 1 ightbrack dx}

    = \int_{0}^{1}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} -\frac{2}{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight) + 2

    Đặt x = 2\sin t;t \in \left\lbrack -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx =2\cos tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0 \\x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow S_{1} =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\sqrt{4 - 4\sin^{2}t}.2\cos tdt} -\frac{2}{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight) + 2

    = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\cos^{2}tdt}- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3} = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{(1 +\cos2t)dt} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3}

    = \left. \ (2t + \sin2t)ight|_{0}^{\frac{\pi}{6}} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3} =\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{4}{3}

    Diện tích hình Elip là S = πab = 2π

    Suy ra diện tích phần còn lại là: S_{2} =S - S_{1} = \frac{5\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6} -\frac{4}{3}

    Kinh phí sử dụng là 2.10^{5}S_{1} +5.10^{5}S_{2} \approx 2.341.000 đồng.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Biết rằng f'(x) = x\sqrt{1 +
x^{2}}3f(0) = 4. Tìm hàm số f(x)?

    Ta có: f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx} =
\int_{}^{}{x\sqrt{1 + x^{2}}dx}

    = \frac{1}{2}\int_{}^{}{\left( 1 + x^{2}
ight)^{\frac{1}{2}}d\left( 1 + x^{2} ight)} = \frac{\left( \sqrt{1 +
x^{2}} ight)^{3}}{3} + C

    3f(0) = 4 \Leftrightarrow
3\frac{\left( \sqrt{1 + 0^{2}} ight)^{3}}{3} + 3C = 4 \Leftrightarrow
C = 1

    Vậy f(x) = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}}
ight)^{3}}{3} + 1

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y =
x^{5}.Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \left(
\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}
ight)\mathbf{'}\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{5}}

    Vậy đáp án cần tìm là: \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}\mathbf{+
C}.

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hình phẳng (S) được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \left( P_{1} ight):y= x^{2},\left( P_{2} ight):y = \frac{x^{2}}{4},\left( H_{1} ight):y= \frac{2}{x},\left( H_{2} ight):y = \frac{8}{x}. Tính diện tích hình phẳng (S)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (S) được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \left( P_{1} ight):y= x^{2},\left( P_{2} ight):y = \frac{x^{2}}{4},\left( H_{1} ight):y= \frac{2}{x},\left( H_{2} ight):y = \frac{8}{x}. Tính diện tích hình phẳng (S)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 11: Nhận biết

    Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).

    Diện tích hình phẳng (H) được tính theo công thức

    Ta có:

    S = \int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx}
+ \int_{1}^{4}{\left| g(x) ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{f(x)dx} +
\int_{1}^{4}{g(x)dx}

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên tập số thực và thỏa mãn \int_{0}^{6}{f(x)dx}= 7;\int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8;\int_{3}^{6}{f(x)dx} = 9. Khi đó giá trị I = \int_{0}^{10}{f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{3}^{10}{f(x)dx} =
\int_{3}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}

    \Leftrightarrow \int_{6}^{10}{f(x)dx} =
\int_{3}^{6}{f(x)dx} - \int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8 - 9 = 1

    \Rightarrow I = \int_{0}^{6}{f(x)dx} +
\int_{6}^{10}{f(x)dx} = 7 - 1 = 6

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình vẽ:

    Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số f(x);g(x);h(x) như hình bên, bằng kết quả nào sau đây?

    Diện tích miền tích phân được chia thành hai phần. Phần 1 với x nằm trong khoảng a đến b và phần 2 với x nằm trong khoảng b đến c:

    S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x)
ight|dx} + \int_{b}^{c}{\left| g(x) - h(x) ight|dx}

    = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x)
ightbrack dx} + \int_{b}^{c}{\left\lbrack h(x) - g(x) ightbrack
dx}

    = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x)
ightbrack dx} - \int_{b}^{c}{\left\lbrack g(x) - h(x) ightbrack
dx}.

  • Câu 14: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x +\sin2x là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x +\sin2x)dx}

    = 2.\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cos2x +c = x^{2} - \frac{1}{2}\cos2x + c

  • Câu 15: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x + 3\sqrt{x} thỏa mãn F(1) = 0?

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx =
\int_{}^{}{\left( 2x + 3\sqrt{x} ight)dx}}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{(2x)dx} +
6\int_{}^{}{\left( \sqrt{x} ight)^{2}d\left( \sqrt{x}
ight)}

    \Rightarrow F(x) = x^{2} + 2\sqrt{x^{3}}
+ C

    Theo bài ra ta có: F(1) = 0
\Leftrightarrow 3 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 3

    Vậy x^{2} + 2\sqrt{x^{3}} -
3.

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) biết f(0) = 1, f'(x) liên tục trên \lbrack 0;3brack\int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9. Tính f(3)?

    Ta có:

    \int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9
\Leftrightarrow \left. \ f(x) ight|_{0}^{3} = 9 \Rightarrow f(3) -
f(0) = 9

    \Rightarrow f(3) = 9 + f(0) = 9 + 1 =
10

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = - x^{2} + 2x, trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (H);Ox là: -
x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó V = \pi\int_{0}^{2}{\left( - x^{2}
+ 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2}
ight)dx} = \frac{16\pi}{15}.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy với vận tốc 36km/h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc a(t) = 1 + \frac{t}{3}\left(
m/s^{2} ight). Tính quãng đường mà ô tô đi được sau 6 giây kể từ khi ôtô bắt đầu tăng tốc.

    Ta có:

    v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} =
\int_{}^{}{\left( 1 + \frac{t}{3} ight)dt} = t + \frac{t^{2}}{6} +
C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 36(km/h)
= 10(m/s)

    \Rightarrow v_{(t = 0)} = 10 \Rightarrow
C = 10 \Rightarrow v(t) = t + \frac{t^{2}}{6} + 10

    Khi đó quãng đường xe đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

    S = \int_{0}^{6}{v(t)dt} =
\int_{0}^{6}{\left( t + \frac{t^{2}}{6} + 10 ight)dt} =
90m

  • Câu 19: Nhận biết

    Nếu \int_{1}^{2}{f(x)dx} =
5;\int_{2}^{5}{f(x)dx} = - 1 thì \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{1}^{5}{f(x)dx} =
\int_{1}^{2}{f(x)dx} + \int_{2}^{5}{f(x)dx} = 5 + ( - 1) =
4

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho F\left( x ight) = \left( {x - 1} ight).{e^x} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'\left( x ight).{e^{2x}}

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}} nên:

    \begin{matrix}  F'\left( x ight) = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\   \Leftrightarrow \left[ {\left( {x - 1} ight).{e^x}} ight]' = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \end{matrix}

    Hay f\left( x ight).{e^{2x}} = {e^x} + \left( {x - 1} ight).{e^x} = x.{e^x}

    Xét I = \int {f'\left( x ight).{e^{2x}}dx}

    Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {u = {e^{2x}}} \\   {dv = f'\left( x ight)dx} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {du = 2{e^{2x}}dx} \\   {v = f\left( x ight)} \end{array}} ight.

    Khi đó

    I = f\left( x ight).{e^{2x}} - \int {2f\left( x ight).{e^{2x}}dx}  = x.{e^x} - 2\left( {x - 1} ight){e^x} + C = \left( {2 - x} ight).{e^x} + C

     

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 8 lượt xem
Sắp xếp theo