Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Giá trị của \int_{0}^{3}{dx} bằng

    Ta có: \int_{0}^{3}{dx} = \left. \ x ight|_{0}^{3} = 3 - 0 = 3

  • Câu 2: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x} + x là

    Ta có: \int_{}^{}f(x)dx = \int_{}^{}\left( 2^{x} + x ight)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C.

  • Câu 3: Nhận biết

    Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).

    Diện tích hình phẳng (H) được tính theo công thức

    Ta có:

    S = \int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{1}^{4}{\left| g(x) ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{g(x)dx}

  • Câu 4: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{(2x - 1)^{2}}?

    Ta có: \int_{}^{}{\frac{1}{(2x -1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{(2x - 1)^{- 1}dx}

    = - \frac{1}{2}.\frac{1}{2x -2} + C = \frac{1}{2 - 4x} + C

  • Câu 5: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {7^x} là 

     Ta có:

    \int {{7^x}dx} = \frac{{7x}}{{\ln 7}} + C

  • Câu 6: Nhận biết

    Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack 1;3brack, trục Ox và hai đường thẳng x = 1;x = 3 có diện tích là:

    Công thức tính diện tích cần tìm là: S = \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|dx}.

  • Câu 7: Nhận biết

    Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{x}{4};y = 0;x = 1;x = 4. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox?

    Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox là

    V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{x}{4} ight)^{2}dx} = \left. \ \frac{\pi x^{3}}{48} ight|_{1}^{4} = \frac{21\pi}{16}.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc x(m/s) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 4t + x(m/s). Biết từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn thì ô tô di chuyển được 50m. Tìm x?

    Khi dừng hẳn v(t) = - 4t + x = 0 \Rightarrow t = \frac{x}{4}(s)

    Quãng đường xe đi được từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn là:S = \int_{0}^{\frac{x}{4}}{v(t)dt} = \int_{0}^{\frac{x}{4}}{( - 4t + x)dt}

    = \left. \ \left( - 2t^{2} + xt ight) ight|_{0}^{\frac{x}{4}} = \frac{- x^{2}}{8} + \frac{x^{2}}{4} = 50

    \Leftrightarrow x^{2} = 400 \Leftrightarrow x = 20(m/s)

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hình vẽ:

    Diện tích của hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a,x = b,(a < b) (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức:

    Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có:

    S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx} = \int_{a}^{c}{\left\lbrack 0 - f(x) ightbrack dx} + \int_{c}^{b}{\left\lbrack f(x) - 0 ightbrack dx}

    = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}

    Vậy đáp án cần tìm là: S = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{2} - 2x có đồ thị (P). Các tiếp tuyến với đồ thị tại O(0;0) và tại A(3;3) cắt nhau tại B. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung OA của (P) và hai tiếp tuyến BO;BA?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    y' = 2x - 2

    Tiếp tuyến tại O(0; 0) là OB: y = y'(0)(x - 0) + 0 \Leftrightarrow y = - 2x

    Tiếp tuyến tại A(3; 3) là AB: y = y'(3)(x - 3) + 3 \Leftrightarrow y = 4x - 9

    Suy ra OA \cap OB = B\left( \frac{3}{2}; - 3 ight)

    Diện tích hình giới hạn là

    S = \int_{0}^{\frac{3}{2}}{x^{2}dx} + \int_{\frac{3}{2}}^{3}{\left( x^{2} - 6x + 9 ight)dx} = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} = \frac{9}{4}

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho parabol (P):y = x^{2} và hai điểm A;B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A\left( a;a^{2} ight) và (P):y = x^{2} là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.

    Không mất tính tổng quát giả sử a < b.

    Theo giả thiết ta có AB = 2 nên

    (b - a)^{2} + \left( b^{2} - a^{2}ight)^{2} = 4

    \Leftrightarrow (b - a)^{2}\left\lbrack1 + (b + a)^{2} ightbrack = 4

    Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y = (b + a)x - ab

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:

    S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack (a + b)x -ab - x^{2} ightbrack dx}

    = \left. \ \left\lbrack (a +b)\frac{x^{2}}{2} - abx - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{a}^{b}= \frac{(b - a)^{3}}{6}

    Mặt khác (b - a)^{2}\left\lbrack 1 + (b +a)^{2} ightbrack = 4 nên |b -a| \leq 2 do 1 + (b + a)^{2} \geq1

    Suy ra S = \frac{(b - a)^{3}}{6} \leq\frac{2^{3}}{6}

    Vậy S_{\max} = \frac{4}{3} dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack và \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} = 5. Tính tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left\lbrack f(x) + 2sinx ightbrack dx}?

    Ta có:

    I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left\lbrack f(x) + 2\sin x ightbrack dx} =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{2\sin xdx}

    = 5 - \left. \ 2\cos xight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 7

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = 2\cos 3x - {3^{x - 1}} thỏa mãn F\left( 0 ight) = 0. Tìm F(x)

     F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx }

    = \int {2\cos 3xdx - \int {{3^{x - 1}}dx - \frac{1}{3}\int {{3^x}dx} = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{3\ln 3}} + C} }

    Mặt khác F\left( 0 ight) = 0 \Rightarrow \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{3\ln 3}} + C = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{{3\ln 3}}

    => F\left( x ight) = \frac{{2\sin 3x}}{3} - \frac{{{3^{x - 1}}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{3\ln 3}}

  • Câu 14: Nhận biết

    Tích phân I = \int_{0}^{1}{3^{x}dx} bằng:

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{3^{x}dx} = \left. \frac{3^{x}}{\ln3} ight|_{0}^{1} = \frac{2}{\ln3}

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho F\left( x ight) = \left( {x - 1} ight).{e^x} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'\left( x ight).{e^{2x}}

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight).{e^{2x}} nên:

    \begin{matrix} F'\left( x ight) = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {x - 1} ight).{e^x}} ight]' = f\left( x ight).{e^{2x}} \hfill \\ \end{matrix}

    Hay f\left( x ight).{e^{2x}} = {e^x} + \left( {x - 1} ight).{e^x} = x.{e^x}

    Xét I = \int {f'\left( x ight).{e^{2x}}dx}

    Đặt \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = {e^{2x}}} \\ {dv = f'\left( x ight)dx} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = 2{e^{2x}}dx} \\ {v = f\left( x ight)} \end{array}} ight.

    Khi đó

    I = f\left( x ight).{e^{2x}} - \int {2f\left( x ight).{e^{2x}}dx} = x.{e^x} - 2\left( {x - 1} ight){e^x} + C = \left( {2 - x} ight).{e^x} + C

     

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho các hàm số f(x) có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} eq 0. Giá trị của biểu thức \frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) - f(0)} bằng:

    Đặt \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} = k

    Ta có:

    k = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f'(x) ightbrack}

    = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1} - k

    \Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1}

    Ta có:

    k = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f(x) ightbrack}

    = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} - k

    \Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1}

    Vậy \frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) - f(0)} = \frac{\left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1}}{\left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1}} = 1

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ 0ight\} thỏa mãn 2xf(x) +x^{2}f'(x) = 1 và f(1) =0. Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có: 2xf(x) + x^{2}f'(x) =1

    \Leftrightarrow \left( x^{2}ight)'f(x) + x^{2}f'(x) = 1

    \Leftrightarrow \left( x^{2}f'(x)ight)' = 1

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{\left( x^{2}f'(x)ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow x^{2}f(x) = x +C

    Lại có f(1) = 0 \Rightarrow 1.f(1) = 1 +C \Rightarrow C = - 1

    Từ đó suy ra x^{2}f(x) = x - 1\Leftrightarrow f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{x - 1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x =1(tm)

    Ta có: f'(x) = \frac{2 - x}{x^{3}}\Rightarrow f'(1) = 1

    Vậy hệ số góc phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1.

  • Câu 18: Vận dụng

    Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x + 3)^{2}, trục hoành và đường thẳng x = 0. Gọi A(0;9),B(b;0);( - 3 < b < 0). Tính giá trị của tham số b để đoạn thẳng AB chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Thông hiểu

    Một học sinh đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v(t) = 40t + 100(m/p). Biết rằng sau khi đi được 1 phút thì quãng đường học sinh đó đi được là 120m. Biết quãng đường từ nhà đến trường là 3km. Hỏi thời gian học sinh đó đi đến trường là bao nhiêu phút?

    Ta có: S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} = 20t^{2} + 100t + C

    Vì S(1) = 120 + C = 120 \Rightarrow C = 0

    Để học sinh đó đến trường thì S(t) = 20t^{2} + 100t = 3000 \Leftrightarrow t = 10

    Vậy đáp án cần tìm là 10 phút.

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\} thỏa mãn f'\left( x ight) = \frac{2}{{x - 1}};f\left( 0 ight) = 3;f\left( 2 ight) = 4. Tính giá trị của biểu thức  N = f\left( { - 2} ight) + f\left( 5 ight)

     

    f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} = \int {\frac{2}{{x - 1}}dx} = \ln \left| {2x - 1} ight| + C

    => f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\ln \left( {x - 1} ight) + {C_1}{\text{ khi x > }}1} \\ {2\ln \left| {1 - x} ight| + {C_2}{\text{ khi x < }}1} \end{array}} ight.

    Theo bài ra ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 ight) = 3 \Rightarrow \ln \left( {1 - 0} ight) + {C_2} = 3} \\ {f\left( 2 ight) = 4 \Rightarrow \ln \left( {2 - 1} ight) + {C_1} = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_2} = 3} \\ {{C_1} = 4} \end{array}} ight.

    => f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\ln \left( {x - 1} ight) + 4{\text{ khi x > }}1} \\ {2\ln \left| {1 - x} ight| + 3{\text{ khi x < }}1} \end{array}} ight.

    => N = f\left( { - 2} ight) + f\left( 5 ight) = \left\{ {2\ln \left[ {1 - \left( { - 2} ight)} ight] + 3} ight\} + \left\{ {2\ln \left( {5 - 1} ight) + 4} ight\}

    = 2\ln 3 + 2\ln 4 + 7

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 32 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập