Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (x + 2)^{2};y = 0;x = 1;x = 3 bằng:

    Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Khi đó

    S = \int_{1}^{3}{(x + 2)^{2}dx} = \left. \ \frac{1}{3}(x + 2)^{3} ight|_{1}^{3} = \frac{98}{3}

  • Câu 2: Nhận biết

    Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f(x);y = g(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack và hai đường thẳng x = a;x = b;a < b là

    Ta có hình phẳng giới hạn bởi \left\{ \begin{matrix} \left( C_{1} ight):y = f(x) \\ \left( C_{2} ight):y = g(x) \\ x = a \\ x = b \\ \end{matrix} ight. là S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{3} - 2x - 1 và y = 2x - 1 được tính theo công thức

    Phương trình hoành độ giao điểm của y = x^{3} - 2x - 1 và y = 2x - 1 là:

    x^{3} - 2x - 1 = 2x - 1 \Leftrightarrow x^{3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = 0 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{3} - 2x - 1 và y = 2x - 1 được tính theo công thức S = \int_{- 2}^{2}{\left| x^{3} - 4x ight|dx}.

  • Câu 4: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = 3{x^2} + 1

     Ta có:

    \int {\left( {3{x^2} + 1} ight)dx} = \int {3{x^2}dx} + \int {1.dx} = {x^3} + x + C

  • Câu 5: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sin x + \cos x\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ 2(x + 1)\ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight. và F(\pi) + F( - 1) = 1. Giá trị biểu thức T = F(2\pi) + F( - 5) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + C_{2}\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    F(\pi) + F( - 1) = 1 \Rightarrow \left( \pi\sin\pi + C_{1} ight) + \left( 1 - 2 + C_{2} ight) = 1 \Rightarrow C_{1} + C_{2} = 2(*)

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 0 tức là

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}F(x) = F(0)

    \Leftrightarrow C_{1} = C_{2}(**). Từ (*) và (**) suy ra C_{1} = C_{2} = 1

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + 1\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + 1\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    T = F(2\pi) + F( - 5) = 17

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{e^{x} + 3} thỏa mãn F(0) = - \frac{1}{3}ln4. Tổng các nghiệm của phương trình 3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2 là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{e^{x} + 3} ight)dx} = \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx}

    Đặt t = e^{x} \Rightarrow dt = e^{x}dx

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx} = \int_{}^{}{\frac{t}{t(t + 3)}dt}

    = \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{1}{3t} - \frac{1}{3(t + 3)} ightbrack dt} = \frac{\ln|t|}{3} - \frac{\ln|t + 3|}{3} + C

    = \frac{\ln e^{x}}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C

    Theo bài ra ta có:

    F(0) = - \frac{1}{3}\ln4

    \Leftrightarrow \frac{x}{3} -\frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = -\frac{1}{3}\ln4

    \Leftrightarrow C = 0

    Ta có:

    3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2

    \Leftrightarrow 3\left( \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} ight) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2

    \Leftrightarrow x = 2

    Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 2.

  • Câu 7: Nhận biết

    Tích phân \int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx bằng:

    Ta có:

    \int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx = \left. \ \left( \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} ight) ight|_{1}^{8} = \frac{45}{4}.

  • Câu 8: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 9: Thông hiểu

    Xe đạp A xuất phát từ C, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) = \frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30}(m/s) trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một xe đạp B cũng xuất phát từ C, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a\left( m/s^{2} ight) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng bao nhiêu?

    Quãng đường xe đạp A đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{25}{\left( \frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30} ight)dt} = \frac{375}{2}(m)

    Vận tốc của xe đạp B tại thời điểm t(s) tính từ lúc B xuất phát là: v_{B}(t) = at

    Quãng đường xe đạp B đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{15}{(at)dt} = \left. \ \left( \frac{at^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{15} = \frac{225a}{2}(m)

    \Rightarrow \frac{225a}{2} = \frac{375}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{3}

    Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là: v_{B}(15) = 15a = 25(m/s)

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Biết F\left( x ight) = \left( {a{x^2} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{20{x^2} - 30x + 11}}{{\sqrt {2x - 3} }} trên khoảng \left( {\frac{3}{2}; + \infty } ight). Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng

     \begin{matrix} f\left( x ight) = F'\left( x ight)\left[ {\left( {a{x^{u2}} + bx + c} ight)\sqrt {2x - 3} } ight]' = \dfrac{{5a{x^2} + x\left( {3b - 6a} ight) + c - 3b}}{{\sqrt {2x - 3} }} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5a = 20} \\ {3b - 6a = - 30} \\ {c - 3b = 11} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 4} \\ {b = - 2} \\ {c = 5} \end{array}} ight. \Rightarrow T = 7 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho đường cong (C):y = x^{3}. Xét điểm A có hoành độ dương thuộc (C), tiếp tuyến của (C) tại A tạo với (C) một hình phẳng có diện tích bằng 27. Hoành độ điểm A thuộc khoảng nào dưới đây??

    Ta có: y' = 3x^{2} có A \in (C) \Rightarrow A\left( a;a^{3} ight);(a > 0)

    Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là d:y = 3a^{2}(x - a) + a^{3}

    x^{3} = 3a^{2}(x - a) + a^{3}

    \Leftrightarrow (x - a)^{2}(x + 2a) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a \\ x = - 2a \\ \end{matrix} ight.

    Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C)

    S = 27 \Leftrightarrow \int_{- 2a}^{a}\left| x^{3} - 3a^{2}(x - a) - a^{3} ight|dx = 27

    \Leftrightarrow \left| \int_{- 2a}^{a}\left( x^{3} - 3a^{2}x + 2a^{3} ight)dx ight| = 27

    \Leftrightarrow \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - \frac{3a^{2}x^{2}}{2} + 2a^{3}x ight) ight|_{- 2a}^{a} ight| = 27

    \Leftrightarrow \frac{27}{4}a^{4} = 27 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = \sqrt{2}(tm) \\ a = - \sqrt{2}(ktm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy a = \sqrt{2} \in \left( 1;\frac{3}{2} ight)

  • Câu 12: Nhận biết

    Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 12t + 24(m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = - 12t + 24 = 0 \Rightarrow t = 2(s)

    Do đó từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được:

    S = \int_{0}^{2}{v(t)dt} = \int_{0}^{2}{( - 12t + 24)dt} = 24m

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho vật thể (H) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = a và x = b với a < b. Gọi f(x) là diện tích thiết diện của (H) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x, với a \leq x \leq b. Biết hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack, khi đó thể tích V của vật thể (H) được cho bởi công thức:

    Vì f(x) là diện tích thiết diện của (H) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x, với a \leq x \leq b ta có: V = \int_{a}^{b}{f(x)}dx không phải là V = \pi{\int_{a}^{b}\left\lbrack f(x) ightbrack}^{2}dx.

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 như hình vẽ:

    Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x;( - 1 \leq x \leq 1)thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V của vật thể đó.?

    Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x;( - 1 \leq x \leq 1) thì được thiết diện là một tam giác đều có cạnh bằng 2\sqrt{1 - x^{2}}

    Do đó, diện tích của thiết diện: S(x) =\frac{\left( 2\sqrt{1 - x^{2}} ight)^{2}\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\left(1 - x^{2} ight)

    V = \int_{- 1}^{1}{S(x)dx} = \int_{-1}^{1}{\left\lbrack \sqrt{3}\left( 1 - x^{2} ight) ightbrackdx}

    = \sqrt{3}\left. \ \left( x -\frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{- 1}^{1} =\frac{4\sqrt{3}}{3}

  • Câu 15: Nhận biết

    Giá trị của \int_{0}^{3}{dx} bằng

    Ta có: \int_{0}^{3}{dx} = \left. \ x ight|_{0}^{3} = 3 - 0 = 3

  • Câu 16: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = f\left( x ight) = \frac{1}{{2x + 1}}

     \int {\frac{1}{{2x + 1}}dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} ight| + C

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên \left( 0;\frac{\pi}{2} ight) thỏa mãn f(x) + \tan xf'(x) = \frac{x}{\cos^{3}x}. Biết rằng \sqrt{3}f\left( \frac{\pi}{3} ight) - f\left( \frac{\pi}{6} ight) = a\pi\sqrt{3} + bln3 trong đó a;b\mathbb{\in R}. Kết luận nào sau đây đúng?

    Ta có: f(x) + \tan xf'(x) =\frac{x}{\cos^{3}x}

    \Leftrightarrow \cos xf(x) + \sin xf'(x) = \frac{x}{\cos^{2}x}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \sin xf(x)ightbrack' = \frac{x}{\cos^{2}x}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack \sin xf(x) ightbrack'dx} =\int_{}^{}{\frac{x}{\cos^{2}x}dx}

    \Rightarrow \sin xf(x) =\int_{}^{}{\frac{x}{\cos^{2}x}dx}.

    Tính I = \int_{}^{}{\frac{x}{cos^{2}x}dx}. Đặt \left\{ \begin{matrix}u = x \\dv = \dfrac{dx}{\cos^{2}x} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = dx \\v = \tan x \\\end{matrix} ight. khi đó:

    I = x\tan x - \int_{}^{}{\tan xdx} = x\tan x - \int_{}^{}\frac{d\left( \cos x ight)}{\cos x}

    = x\tan x + \ln\left| \cos x ight|

    \Rightarrow f(x) = \frac{x\tan x + \ln\left| \cos x ight|}{\sin x} = \frac{x}{\cos x} + \frac{\ln\left| \cos x ight|}{\sin x}

    Theo bài ra ta có:

    \Rightarrow \sqrt{3}f\left(\frac{\pi}{3} ight) - f\left( \frac{\pi}{6} ight) = \sqrt{3}\left(\frac{2\pi}{3} - \dfrac{2\ln2}{\sqrt{3}} ight)- \left(\frac{\pi\sqrt{3}}{9} + 2\ln\dfrac{\sqrt{3}}{2} ight) =\dfrac{5\pi\sqrt{3}}{9}\ln3

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{5}{9} \\b = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = - \frac{4}{9}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho biết \int_{1}^{2}{\ln\left( 9 - x^{2} ight)dx} = aln5 + bln2 + c với a;b;c\mathbb{\in Z}. Tính S = |a| + |b| + |c|?

    Xét trên đoạn \lbrack 1;2brack ta có:

    \ln\left( 9 - x^{2} ight) = \ln(3 - x) + \ln(3 + x)

    Xét I_{1} = \int_{1}^{2}{\ln(3 - x)dx}. Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln(3 - x) \\dv = dx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x - 3}dx \\v = x \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow I_{1} = \left. \ x\ln(3 - x) ight|_{1}^{2} - \int_{1}^{2}{\frac{x}{x - 3}dx}

    \Rightarrow I_{1} = \left. \ x\ln(3 - x)ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack x + 3\ln(3 - x) ightbrackight|_{1}^{2} = 2\ln2 - 1

    Xét I_{2} = \int_{1}^{2}{\ln(3 + x)dx}. Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln(3 + x) \\dv = dx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x + 3}dx \\v = x \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow I_{2} = \left. \ x\ln(3 + x) ight|_{1}^{2} - \int_{1}^{2}{\frac{x}{x + 3}dx}

    \Rightarrow I_{2} = \left. \ x\ln(3 + x)ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack x + 3\ln(3 + x) ightbrackight|_{1}^{2} = 5\ln5 - 8\ln2 - 1

    Vậy \int_{1}^{2}{\ln\left( 9 - x^{2}ight)dx} = I_{1} + I_{2} = 5\ln5 - 6\ln2 - 2 \Rightarrow S =13.

  • Câu 19: Nhận biết

    Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \sqrt{- e^{x} + 4x}, trục hoành và hai đường thẳng x = 1;x = 2. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?

    Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:

    V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}dx}

    Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:

    V = \pi\int_{1}^{2}{\left\lbrack \sqrt{- e^{x} + 4x} ightbrack^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx} .

  • Câu 20: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc x(m/s) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số v = - 5t + 20(m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0(m/s). Đúng||Sai

    b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5\ s. Sai||Đúng

    c) \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C. Đúng||Sai

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 400\ m. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc x(m/s) thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số v = - 5t + 20(m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0(m/s). Đúng||Sai

    b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5\ s. Sai||Đúng

    c) \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C. Đúng||Sai

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 400\ m. Sai||Đúng

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0(m/s). Mệnh đề đúng

    b) Cho v = 0 \Leftrightarrow - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t\ = \ 4\ (s). Mệnh đề sai

    c) \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C. Mệnh đề đúng

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là S = \int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = 40\ (m). Mệnh đề sai

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 57 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập