Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x^{2} - 4x + 4, đường cong y = x^{3} và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Tính diện tích S của hình (H)?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x^{3} = x^{2} - 4x + 4 \Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} + 4 ight) = 0 \Leftrightarrow x = 1

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{0}^{1}{x^{3}dx} + \int_{1}^{2}{\left( x^{2} - 4x + 4 ight)dx}

    = \int_{0}^{1}{x^{3}dx} + \int_{1}^{2}{(x - 2)^{2}d(x - 2)}

    = \left. \ \frac{x^{4}}{4} ight|_{0}^{1} + \left. \ \frac{(x - 2)^{3}}{3} ight|_{1}^{2} = \frac{7}{12}

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn

    \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = a\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} + b\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C}

    Tính giá trị biểu thức M = a + b.

     I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} }}{{\left( {x + 2} ight) - \left( {x + 1} ight)}}dx} = \int {\left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} } ight)dx} }

    => I = \frac{2}{3}.\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} - \frac{2}{3}\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{2}{3}} \\ {b = \dfrac{{ - 2}}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow M = a + b = 0

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 2x - x^{2};y = 0. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:

    Ta có: 2x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:

    V = \pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}

  • Câu 4: Nhận biết

    Tính \int_{}^{}{\sin3xdx}?

    Áp dụng công thức \int_{}^{}{\sin(ax + b)dx} = - \frac{1}{a}\cos(ax + b) + C

    Suy ra \int_{}^{}{\sin3xdx} = -\frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack; f(b) = 5;\int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5}. Tính giá trị f(a)?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5} \Leftrightarrow f(b) - f(a) = 3\sqrt{5}

    \Leftrightarrow f(a) = f(b) - 3\sqrt{5} = \sqrt{5}\left( \sqrt{5} - 3 ight)

  • Câu 6: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x^{2} + 2x và y = x + 2 bằng:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} + 2x = x + 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Hình vẽ minh họa

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{- 2}^{1}{\left| \left( x^{2} + 2x ight) - (x + 2) ight|dx} = \int_{- 2}^{1}{\left| x^{2} + x - 2 ight|dx}

    = \int_{- 2}^{1}{\left\lbrack - \left( x^{2} + x - 2 ight) ightbrack dx} = \left| \left. \ \left( - \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2}x^{2} + 2x ight) ight|_{- 2}^{1} ight| = \frac{9}{2}

    = \left| \left. \ \left( \frac{2}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{\frac{3}{2}} ight| = \frac{9}{8}

  • Câu 7: Nhận biết

    Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f(x);y = g(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack và hai đường thẳng x = a;x = b;a < b là

    Ta có hình phẳng giới hạn bởi \left\{ \begin{matrix} \left( C_{1} ight):y = f(x) \\ \left( C_{2} ight):y = g(x) \\ x = a \\ x = b \\ \end{matrix} ight. là S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}2x^{2} + x;\ \ \ x \geq 0 \\x.\sin x;\ \ \ \ x \leq 0 \\\end{matrix} ight.. Tính tích phân \int_{- \pi}^{1}{f(x)dx}?

    Ta có:

    \int_{- \pi}^{1}{f(x)dx} = \int_{-\pi}^{0}{(x.\sin x)dx} + \int_{0}^{1}{\left( 2x^{2} + xight)dx}

    = - \int_{- \pi}^{0}{xd\left( \cos xight)} + \left. \ \left( \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} ight)ight|_{0}^{1}

    = \left. \ \left( - x\cos x ight) ight|_{- \pi}^{0} + \left. \ \left( \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{1}

    = \pi + \frac{7}{6} + \left. \ \left( \sin x ight) ight|_{- \pi}^{0} = \pi + \frac{7}{6}

  • Câu 9: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin^{4}x\cos x??

    Đặt t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx

    \int_{}^{}{\left( \sin^{4}x\cos xight)dx} = \int_{}^{}{t^{4}dt} = \frac{t^{5}}{5} + C =\frac{1}{5}\sin^{5}x + C

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hình vẽ:

    Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ được xác định theo công thức:

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy công thức tính diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{- 1}^{2}{\left( - x^{2} + 3 - x^{2} + 2x + 1 ight)dx} = \int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} + 2x + 4 ight)dx}.

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho hai hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \lbrack 1;2brack thỏa mãn f(1) = 4 và f(x) = x.f'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}. Giá trị f(2) bằng:

    Chọn f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d

    f(x) = xf'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}

    \Leftrightarrow ax^{3} + bx^{2} + cx + d = x\left( 3ax^{2} + 2bx + c ight) - 2x^{3} - 3x^{2}

    Từ đó suy ra \left\{ \begin{matrix} a = 3a - 2 \\ b = 2b - 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy f(x) = x^{3} + 3x^{2} \Rightarrow f(2) = 20

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = - \int_{b}^{a}{f(x)dx} nên khẳng định \int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{b}^{a}{f(x)dx} sai.

  • Câu 13: Nhận biết

    Giả sử \int_{0}^{9}{f(x)dx} = 37 và \int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16. Khi đó I = \int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} bằng

    Ta có: \int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16 \Rightarrow \int_{0}^{9}{g(x)dx} = - 16

    \Rightarrow I = \int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = \int_{0}^{9}{2f(x)dx} + \int_{0}^{9}{3g(x)dx}

    = 2.37 + 3.( - 16) = 26

  • Câu 14: Vận dụng

    Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa 2 điểm xa nhất bằng 10 cm và cắt quả bóng bằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó thì được đường tròn có diện tích bằng 16\pi\left( \ cm^{2} ight). Thể tích của quả bóng bằng (Tính gần đúng đến hai chữ số thập phân, đơn vị lít)

    Quả bóng bầu dục sẽ có dạng elip.

    Độ dài trục lớn bằng 20\ cm \Rightarrow2a = 20 \Rightarrow a = 5\ \ (cm)

    Ta có diện tích đường tròn thiết diện là

    S = \pi b^{2} = 16\pi \Rightarrow b =4(\ cm)

    Ta sẽ có phương trình elip \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1

    \Rightarrow V = \pi\int_{- 5}^{5}{16\left( 1 - \frac{x^{2}}{25} ight)}dx \approx 335\ \ \left( \ cm^{3} ight) = 0,34\ (l).

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\left( x - \sqrt{x^{2} - 1} ight) ightbrack dx}

    = \int_{}^{}{2x^{2}dx} - \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\sqrt{x^{2} - 1} ightbrack dx} = \frac{2}{3}x^{3} - \int_{}^{}{\left( x^{2} - 1 ight)^{\frac{1}{2}}d\left( x^{2} - 1 ight)}

    = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1} + C

    Vậy một nguyên hàm của hàm số là F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}.

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đáp án là:

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đặt hệ trục tọa độ có gốc O trùng với giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.

    Đồ thị của hàm số y = f(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm A( - 1;0)và A(2;1) có dạng hàm số (P_{1}):y = \frac{1}{2}x^{2} - 1.

    Đồ thị của hàm số y = g(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm C(1;0)và D(2; - 1) có dạng hàm số (P_{1}):y = - \frac{1}{2}x^{2} + 1.

    Giao điểm của hai parabol tại x_{1} = - \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{2}

    Do đó, diện tích của con cá là S = \int_{- \sqrt{2}}^{2}{\left| x^{2} - 2 ight|dx} \approx 4,32m^{2}

  • Câu 17: Nhận biết

    \int_{}^{}{x^{2}dx} bằng

    Ta có \int_{}^{}{x^{2}dx} =\frac{1}{3}x^{3} + C.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho \int_{0}^{3}{\frac{e^{\sqrt{x + 1}}}{\sqrt{x + 1}}dx} = ae^{2} + be + c với a;b;c\mathbb{\in Z}. Tính S = a + b + c?

    Ta có:

    \int_{0}^{3}{\frac{e^{\sqrt{x + 1}}}{\sqrt{x + 1}}dx} = 2\int_{0}^{3}{e^{\sqrt{x + 1}}d\left( \sqrt{x + 1} ight)} = \left. \ \left( 2e^{\sqrt{x + 1}} ight) ight|_{0}^{3} = 2e^{2} - 2e

    Vậy a = 2;b = - 2;c = 0 \Rightarrow S = 0

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn \int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1) + xf'(x) ightbrack dx = 0 và f(3) = 1. Biết \int_{0}^{3}{f(x)}dx =\frac{a + b\ln2}{2} với a;b \in \mathbb{R}^{+}. Giá trị của biểu thức a + b là:

    Tính I = \int_{0}^{3}{2x\ln(x + 1)}dx

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln(x + 1) \\dv = 2xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x + 1}dx \\v = x^{2} \\\end{matrix} ight. khi đó:

    I = \left. \ x^{2}\ln(x + 1) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{\frac{x^{2}}{x + 1}dx}

    = 9ln4 - \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - x + \ln|x + 1| ight) ight|_{0}^{3} = 16ln2 - \frac{3}{2}

    Tính J = \int_{0}^{3}{xf'(x)}dx.

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u_{J} = x \\ dv_{J} = f'(x)dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du_{J} = dx \\ v_{J} = f(x) \\ \end{matrix} ight. khi đó

    J = \int_{0}^{3}{xf'(x)}dx = \left. \ xf(x) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f(x)}dx

    Mà \int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1) + xf'(x) ightbrack dx = 0

    \Rightarrow I + J = 0 \Rightarrow 16\ln2- \frac{3}{2} + 3 - \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 0

    \Rightarrow \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 16\ln2+ \frac{3}{2} = \frac{3 + 32\ln2}{2}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 32 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = 35

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 4\cos^{2}x - 5 thỏa mãn F(\pi) = 0. Tìm F(x)?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\left( 4\cos^{2}x- 5 ight)dx} \Leftrightarrow F(x) = \int_{}^{}{(2\cos2x -3)dx}

    \Leftrightarrow F(x) = \sin2x - 3x +C

    Lại có F(\pi) = 0 \Leftrightarrow - 3\pi + C = 0 \Leftrightarrow C = 3\pi

    Vậy F(x) = - 3x + \sin2x +3\pi.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 30 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập