Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm Tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = - 2x^{3} + x^{2} + x + 5 và đồ thị (C') của hàm số y = x^{2} - x + 5?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    - 2x^{3} + x^{2} + x + 5 = x^{2} - x + 5

    \Leftrightarrow - 2x^{3} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{- 1}^{1}{\left| 2x^{3} - 2x ight|dx}

    = \left| \int_{- 1}^{0}{\left( 2x^{3} - 2x ight)dx} ight| + \left| \int_{0}^{1}{\left( 2x^{3} - 2x ight)dx} ight|

    = 1

  • Câu 2: Thông hiểu

    Biết rằng A = \int_{}^{}\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}dx;B = \int_{}^{}\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx. Xác định T = 4B - 2A?

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} A + B = \int 1 dx = x + {C_1} \hfill \\ A - B = \int {\frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x + \cos x}}} dx = \ln \left| {\sin x + \cos x} ight| + {C_2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Do đó:\left\{ \begin{gathered} A = \frac{{x + \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} + {C_2}}}{2} \hfill \\ B = \frac{{x - \ln \left| {\sin x + \cos x} ight|}}{2} + \frac{{{C_1} - {C_2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow T = 4B - 2A = x - 3\ln\left|\sin x + \cos x ight| + C

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đáp án là:

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đặt hệ trục tọa độ có gốc O trùng với giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.

    Đồ thị của hàm số y = f(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm A( - 1;0)và A(2;1) có dạng hàm số (P_{1}):y = \frac{1}{2}x^{2} - 1.

    Đồ thị của hàm số y = g(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm C(1;0)và D(2; - 1) có dạng hàm số (P_{1}):y = - \frac{1}{2}x^{2} + 1.

    Giao điểm của hai parabol tại x_{1} = - \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{2}

    Do đó, diện tích của con cá là S = \int_{- \sqrt{2}}^{2}{\left| x^{2} - 2 ight|dx} \approx 4,32m^{2}

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y = 3x^{2} - 1. Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \int_{}^{}{\left( 3x^{2} - 1 ight)dx = x^{3} - x + C}.

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên \left( 0;\frac{\pi}{2} ight) thỏa mãn f(x) + \tan xf'(x) = \frac{x}{\cos^{3}x}. Biết rằng \sqrt{3}f\left( \frac{\pi}{3} ight) - f\left( \frac{\pi}{6} ight) = a\pi\sqrt{3} + bln3 trong đó a;b\mathbb{\in R}. Kết luận nào sau đây đúng?

    Ta có: f(x) + \tan xf'(x) =\frac{x}{\cos^{3}x}

    \Leftrightarrow \cos xf(x) + \sin xf'(x) = \frac{x}{\cos^{2}x}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \sin xf(x)ightbrack' = \frac{x}{\cos^{2}x}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack \sin xf(x) ightbrack'dx} =\int_{}^{}{\frac{x}{\cos^{2}x}dx}

    \Rightarrow \sin xf(x) =\int_{}^{}{\frac{x}{\cos^{2}x}dx}.

    Tính I = \int_{}^{}{\frac{x}{cos^{2}x}dx}. Đặt \left\{ \begin{matrix}u = x \\dv = \dfrac{dx}{\cos^{2}x} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = dx \\v = \tan x \\\end{matrix} ight. khi đó:

    I = x\tan x - \int_{}^{}{\tan xdx} = x\tan x - \int_{}^{}\frac{d\left( \cos x ight)}{\cos x}

    = x\tan x + \ln\left| \cos x ight|

    \Rightarrow f(x) = \frac{x\tan x + \ln\left| \cos x ight|}{\sin x} = \frac{x}{\cos x} + \frac{\ln\left| \cos x ight|}{\sin x}

    Theo bài ra ta có:

    \Rightarrow \sqrt{3}f\left(\frac{\pi}{3} ight) - f\left( \frac{\pi}{6} ight) = \sqrt{3}\left(\frac{2\pi}{3} - \dfrac{2\ln2}{\sqrt{3}} ight)- \left(\frac{\pi\sqrt{3}}{9} + 2\ln\dfrac{\sqrt{3}}{2} ight) =\dfrac{5\pi\sqrt{3}}{9}\ln3

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{5}{9} \\b = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = - \frac{4}{9}

  • Câu 6: Vận dụng

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} =1.

    Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (C) quanh trục hoành.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} =1.

    Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (C) quanh trục hoành.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 7: Nhận biết

    Tính tích phân I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x}?

    Ta có: I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x} = \left. \ -\cot x ight|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}

    = - \left( \cot\frac{\pi}{3} - \cot\frac{\pi}{4} ight) = - \cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4}.

  • Câu 8: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 - 2t(m/s). Hỏi trong 5s trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 30 - 2t = 0 \Rightarrow t = 15(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{10}^{15}{v(t)dt} = \int_{10}^{15}{(30 - 2t)dt} = 25m.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) được tính bằng triệu người/năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t) . Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7. Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) được tính bằng triệu người/năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t) . Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7. Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

    Ta có: S(t) là một nguyên hàm của S'(t) và

    \int_{}^{}{S'(t)}dt = \int_{}^{}{1,2698.e^{0,014t}}dt = 90,7.e^{0,014t} + C

    Do S(0) = 90,7 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S(t) = 90,7.e^{0,014t}

    Tốc độ tăng dân số của nước ta vào năm 2034 là

    S'(20) = 1,2698.e^{0,014.20} \approx 1,7( triệu người/năm)

    Dân số của nước ta vào năm 2034 là

    S(20) = 90,7.e^{0,014.20} \approx 120( triệu người)

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn

    \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = a\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} + b\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C}

    Tính giá trị biểu thức M = a + b.

     I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = \int {\frac{{\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} }}{{\left( {x + 2} ight) - \left( {x + 1} ight)}}dx} = \int {\left( {\sqrt {x + 2} - \sqrt {x + 1} } ight)dx} }

    => I = \frac{2}{3}.\left( {x + 2} ight)\sqrt {x + 2} - \frac{2}{3}\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} + C

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{2}{3}} \\ {b = \dfrac{{ - 2}}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow M = a + b = 0

  • Câu 11: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {7^x} là 

     Ta có:

    \int {{7^x}dx} = \frac{{7x}}{{\ln 7}} + C

  • Câu 12: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 0 và x = 2 bằng

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{0}^{2}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{0}^{2} ight| = 4

  • Câu 13: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = \sqrt{3x + 2} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\sqrt{3x + 2}dx} = \int_{}^{}{(3x + 2)^{\frac{1}{2}}dx}

    = \frac{(3x + 2)^{1 + \frac{1}{2}}}{1 +\dfrac{1}{2}}.\frac{1}{3} + C = \frac{2}{9}.(2x + 3).\sqrt{3x + 2} +C

  • Câu 14: Vận dụng

    Tìm nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}

     \int {f\left( x ight)} dx = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}} dx = {\int {\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)} ^{10}}.\frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    Đặt t = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \Rightarrow dt = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}dx}} \Rightarrow \frac{1}{3}dt = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    => \int {f\left( x ight)} dx = \int {{t^{10}}.\frac{1}{3}dt = \frac{1}{{33}}.{t^{11}} + C}

    => \frac{1}{{33}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tích phân \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x\left( \ln x + 2 ight)^{2}}dx} = a\ln3 + b\ln2 +\frac{c}{3} với a;b;c\mathbb{\in Z}. Kết luận nào dưới đây đúng?

    Ta có:I = \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x\left( \ln x + 2 ight)^{2}}dx}. Đặt t = \ln x + 2 \Rightarrow dt = \frac{dx}{x}

    Đổi cận tích phân \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 2 \\ x = e \Rightarrow t = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy I = \int_{2}^{3}{\frac{t -2}{t^{2}}dt} = \int_{2}^{3}{\left( \frac{1}{t} - \frac{2}{t^{2}}ight)dt} = \left. \ \left( \ln t + \frac{2}{t} ight) ight|_{2}^{3}= \ln3 - \ln2 - \frac{1}{3}

    Suy ra a = 1;b = - 1;c = - 1. Vậy a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3.

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên K và a;b \in K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

    Theo định nghĩa tích phân ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a).

  • Câu 17: Nhận biết

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = \cos x;Ox;x = - \frac{\pi}{2};x = \frac{\pi}{2}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z}

    Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight)

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left| \cos x ight|dx} = \left| \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos xdx} ight| = \left| \left. \ \sin x ight|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} ight| = 2

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1?

    Phương trình hoành độ giao điểm e^{x} = 2 \Leftrightarrow x = ln2 \in (0;1)

    Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1

    S = \int_{0}^{1}{\left| e^{x} - 2 ight|dx}

    = - \int_{0}^{\ln2}{\left( e^{x} - 2ight)dx} + \int_{\ln2}^{1}{\left( e^{x} - 2 ight)dx}

    = - \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{0}^{\ln2} + \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{\ln2}^{1}

    = - (2 - 2\ln2 - 1) + (e - 2 - 2 +2\ln2)

    = 4\ln2 + e - 5

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại tích phân \int_{1}^{1 + m}\frac{dx}{x(x - 5)(x - 4)}?

    Tích phân \int_{1}^{1 + m}\frac{dx}{x(x - 5)(x - 4)} tồn tại khi và chỉ khi hàm số y = \frac{1}{x(x - 5)(x - 4)} liên tục trên \lbrack 1;1 + mbrack hoặc \lbrack 1 + m;1brack

    Mà hàm số y = \frac{1}{x(x - 5)(x - 4)} liên tục trên các khoảng ( - \infty;0),(0;4),(4;5),(5; + \infty)

    Nên hàm số y = \frac{1}{x(x - 5)(x - 4)} liên tục trên \lbrack 1;1 + mbrack hoặc \lbrack 1 + m;1brack khi và chỉ khi

    0 < 1 + m < 4 \Leftrightarrow - 1 < m < 3 \Rightarrow m \in ( - 1;3).

  • Câu 20: Nhận biết

    Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm x = a;x = b;a < b, có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x;(a \leq x \leq b) là S(x).

    Thể tích của vật thể đã cho là: V = \int_{a}^{b}{S(x)dx}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 66 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập