Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho hình $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = - x^{2} + 2x$ , trục hoành. Quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích là:
- A.
  $V = \frac{496\pi}{15}$
- B.
  $V = \frac{32\pi}{15}$
- C.
  $V = \frac{4\pi}{3}$
- D.
  $V = \frac{16\pi}{15}$
Phương trình hoành độ giao điểm của $(H);Ox$ là: $- x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $V = \pi\int_{0}^{2}{\left( - x^{2} + 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx} = \frac{16\pi}{15}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{2} - 2x - 2$ và $y = \frac{x - 4}{2 - x}$ ?
- A.
  $\frac{4}{3}$
- B.
  $0,28$
- C.
  $\frac{5}{3} - 2ln2$
- D.
  $3 - ln4$
Phương trình hoành độ giao điểm $x^{2} - 2x - 2 = \frac{x - 4}{2 - x}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ \left( x^{2} - 2x - 2 ight)(2 - x) = x - 4 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ x\left( x^{2} - 4x + 3 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Diện tích hình giới hạn là

$S = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 2 - \frac{x - 4}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 2 - \frac{x - 4}{2 - x} ight|dx}$

$= \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 1 - \frac{2}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 1 - \frac{2}{x - 2} ight|dx}$

$= \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3}- x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight) ight|_{0}^{1} ight| + \left| \left.\ \left( \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight)ight|_{1}^{3} ight|$

$= \frac{5}{3} - 2\ln2 + \frac{4}{3} = 3 -\ln4$
Câu 3: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục, luôn dương trên $\lbrack 0;3brack$ và thỏa mãn $I = \int_{0}^{3}{f(x)dx} = 4$ . Khi đó giá trị của tích phân $K = \int_{0}^{3}{\left( e^{1 + \ln f(x)} + 4 ight)dx}$ là:
- A.
  $4 + 12e$
- B.
  $12 + 4e$
- C.
  $14 + 3e$
- D.
  $14e + 3$
Ta có:

$K = \int_{0}^{3}{\left( e^{1 + \ln f(x)} + 4 ight)dx} = \int_{0}^{3}{\left\lbrack e.e^{\ln f(x)} ightbrack dx} + \int_{0}^{3}{4dx}$

$= e\int_{0}^{3}{f(x)dx} + \int_{0}^{3}{4dx} = 4e + 12$
Câu 4: Nhận biết
Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}}$ là:
- A.
  $\frac{- \sqrt{x}}{2} + C$
- B.
  $\frac{2}{\sqrt{x}} + C$
- C.
  $- \frac{2}{\sqrt{x}} + C$
- D.
  $\frac{\sqrt{x}}{2} + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x}}dx}$

$= \int_{}^{}{x^{- \frac{3}{2}}dx=}\dfrac{x^{- \frac{1}{2}}}{- \dfrac{1}{2}} + C = - \frac{2}{\sqrt{x}} +C$ .
Câu 5: Nhận biết
Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{2x - 1}$ , biết rằng $F(1) = 2$ . Khi đó giá trị $F(2)$ là:
- A.
  $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 -2$
- B.
  $F(2) = \ln3 + 2$ .
- C.
  $F(2) = 2\ln3 - 2$
- D.
  $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)$

Mà $F(1) = 2 \Rightarrow C = 2$ . Vậy với $x > \frac{1}{2}$ thì $F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2$

Vậy $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x.e^{- x}$ thỏa mãn $F(0) = 1$ ?
- A.
  $- (x + 1)e^{- x} + 1$
- B.
  $- (x + 1)e^{- x} + 2$
- C.
  $(x + 1)e^{- x} + 1$
- D.
  $(x + 1)e^{- x} + 2$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = e^{- x}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - e^{- x} \\ \end{matrix} ight.$

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( x.e^{- x} ight)dx}$

$= - xe^{- x} + \int_{}^{}{e^{- x}dx} + C$

$= - xe^{- x} - e^{- x} + C$ . Theo bài ra ta có: $F(0) = 1 \Leftrightarrow - 1 - 1 + C = 1 \Rightarrow C = 2$

Vậy $- (x + 1)e^{- x} + 2$ là đáp án cần tìm.
Câu 7: Thông hiểu
Biết $\int_{- 1}^{0}{\frac{3x^{2} + 5x - 1}{x - 2}dx} = a\ln\frac{2}{3} + b$ . Khi đó $P = a + 2b$ có giá trị bằng:
- A.
  $60$
- B.
  $40$
- C.
  $50$
- D.
  $30$
Ta có:

$I = \int_{- 1}^{0}{\frac{3x^{2} + 5x - 1}{x - 2}dx} = \int_{- 1}^{0}{(3x + 11)dx} + \int_{- 1}^{0}{\frac{21}{x - 2}dx}$

$= \left. \ \left( 3.\frac{x^{2}}{2} +11x ight) ight|_{- 1}^{0} + \left. \ \left( 21\ln|x - 2| ight)ight|_{- 1}^{0}$ $= \frac{19}{2} + 21\ln\frac{2}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 21 \\b = \dfrac{19}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a + 2b = 40$
Câu 8: Vận dụng
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và $f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}$ . Giá trị của f(2) là:
- A. 5
- B. 20
- C. 10
- D. 15
Chọn f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Ta có:
$\begin{matrix} f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3a - 2} \\ {b = 2b - 3} \\ {d = 0} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1} \\ {b = 3} \\ {c = 0} \\ {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2}$ => f(x) = 20
Câu 9: Thông hiểu
Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi $y = \ln x,y = 0,x = e$ là $V = \pi(a + be)$ . Tính $a + b$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $- 1$
- C.
  $0$
- D.
  $2$
Phương trình hoành độ giao điểm $\ln x = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Ta có:

$V =\pi\int_{1}^{e}{\ln^{2}xdx}$

$= \pi\left\lbrack \left. \ \left(x\ln^{2}x ight) ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{x.\frac{2}{x}.\ln xdx}ightbrack$

$= \pi\left\lbrack e - 2\int_{1}^{e}{\ln xdx} ightbrack$

$= \pi\left\{ e - 2.\left\lbrack \left. \ \left( x\ln x ight) ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{dx} ightbrack ight\}$

$= \pi\left\{ e - 2.\lbrack e - e + 1brack ight\} = \pi(e - 2)$

Vậy $a = - 2;b = 1 \Rightarrow a + b = - 1$
Câu 10: Nhận biết
Xác định giá trị của tham số $a$ thỏa mãn $\int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2$ ?
- A.
  $a = 1$
- B.
  $a = 2$
- C.
  $a = 0$
- D.
  $a = 3$
Ta có: $\int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = \left. \ \left( x^{3} + 2x ight) ight|_{0}^{a} = a^{3} + 2a$

$\Rightarrow \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a^{3} + 2a = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a = 1$

Vậy đáp án $a = 1$ .
Câu 11: Thông hiểu
Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 2x}{x - 1}$ , đường thẳng $y = x - 1$ và các đường thẳng $x = m;x = 2m;(m > 1)$ . Giá trị của $m$ sao cho $S = ln3$ là
- A.
  $m = 5$
- B.
  $m = 4$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = 3$
Diện tích cần tìm chính là tích phân:

$S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} - 2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx}$

Ta có:

$S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} - 2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx} = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{- 1}{x - 1} ight|dx}$

$= \int_{m}^{2m}{\frac{1}{|x - 1|}dx} = \int_{m}^{2m}{\frac{1}{x - 1}dx};(m > 1)$

$= \left. \ \left\lbrack \ln|x - 1| ightbrack ight|_{m}^{2m} = \ln\frac{2m - 1}{m - 1}$

Do đó $S = ln3 \Leftrightarrow \ln\frac{2m - 1}{m - 1} = ln3 \Leftrightarrow m = 2$

Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm.
Câu 12: Vận dụng
Cho đường cong $(C):y = x^{3}$ . Xét điểm $A$ có hoành độ dương thuộc $(C)$ , tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ tạo với $(C)$ một hình phẳng có diện tích bằng $27$ . Hoành độ điểm $A$ thuộc khoảng nào dưới đây??
- A.
  $\left( 0;\frac{1}{2} ight)$ .
- B.
  $\left( \frac{1}{2};1 ight)$ .
- C.
  $\left( 1;\frac{3}{2} ight)$ .
- D.
  $\left( \frac{3}{2};2 ight)$ .
Ta có: $y' = 3x^{2}$ có $A \in (C) \Rightarrow A\left( a;a^{3} ight);(a > 0)$

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là $d:y = 3a^{2}(x - a) + a^{3}$

$x^{3} = 3a^{2}(x - a) + a^{3}$

$\Leftrightarrow (x - a)^{2}(x + 2a) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a \\ x = - 2a \\ \end{matrix} ight.$

Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C)

$S = 27 \Leftrightarrow \int_{- 2a}^{a}\left| x^{3} - 3a^{2}(x - a) - a^{3} ight|dx = 27$

$\Leftrightarrow \left| \int_{- 2a}^{a}\left( x^{3} - 3a^{2}x + 2a^{3} ight)dx ight| = 27$

$\Leftrightarrow \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - \frac{3a^{2}x^{2}}{2} + 2a^{3}x ight) ight|_{- 2a}^{a} ight| = 27$

$\Leftrightarrow \frac{27}{4}a^{4} = 27 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = \sqrt{2}(tm) \\ a = - \sqrt{2}(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $a = \sqrt{2} \in \left( 1;\frac{3}{2} ight)$
Câu 13: Nhận biết
Giá trị của $\int_{0}^{3}{dx}$ bằng
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Ta có: $\int_{0}^{3}{dx} = \left. \ x ight|_{0}^{3} = 3 - 0 = 3$
Câu 14: Vận dụng cao
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 6;5brack$ có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ:

Tính giá trị $I = \int_{- 6}^{5}{\left\lbrack f(x) + 2 ightbrack dx}$ ?
- A.
  $I = 2\pi + 35$
- B.
  $I = 2\pi + 34$
- C.
  $I = 2\pi + 33$
- D.
  $I = 2\pi + 32$
Hình vẽ minh họa

Dựa vào đồ thị ta có: $A( - 6; - 1),B( - 2;1)$ suy ra phương trình đường thẳng $AB:y = \frac{1}{2}x + 2$

$\Rightarrow I_{1} = \int_{0}^{- 2}{\left\lbrack \frac{1}{2}x + 2 + 2 ightbrack dx} = 8$

Phương trình đường tròn $(C)$ : $x^{2} + (y - 1)^{2} = 4 \Rightarrow y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$

$\Rightarrow I_{2} = \int_{- 2}^{2}{\left\lbrack 1 + \sqrt{4 - x^{2}} + 2 ightbrack dx} = 12 + 2\pi$

Điểm $C(2;1),D(5;3)$ nên phương trình đường thẳng $CD$ là: $y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$

$\Rightarrow I_{3} = \int_{2}^{5}{\left\lbrack \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} + 2 ightbrack dx} = 12$

Vậy $I = I_{1} + I_{2} + I_{3} = 32 + 2\pi$
Câu 15: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)\left( x^{2} - 3 ight)\left( x^{4} - 1 ight)$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $f(2) < f(0) < f( - 2)$
- B.
  $f(0) < f( - 2) < f(2)$
- C.
  $f( - 2) < f(2) < f(0)$
- D.
  $f( - 2) < f(0) < f(2)$
Ta có: $f'(x) = (x - 1)\left( x^{2} - 3 ight)\left( x^{4} - 1 ight)$

$= x^{7} - x^{6} - 3x^{5} + 3x^{4} - x^{3} + x^{2} + 3x - 3$

Ta có:

$I_{1} = \int_{- 2}^{0}{f'(x)dx}$

$= \int_{- 2}^{0}{\left( x^{7} - x^{6} - 3x^{5} + 3x^{4} - x^{3} + x^{2} + 3x - 3 ight)dx}$

$= \frac{- 464}{105} < 0 \Rightarrow f(0) - f( - 2) < 0 \Rightarrow f(0) < f( - 2)$

$I_{2} = \int_{0}^{2}{f'(x)dx}$

$= \int_{0}^{2}{\left( x^{7} - x^{6} - 3x^{5} + 3x^{4} - x^{3} + x^{2} + 3x - 3 ight)dx}$

$= \frac{44}{105} < 0 \Rightarrow f(2) - f(0) < 0 \Rightarrow f(2) < f(0)$

Vậy $f(2) < f(0) < f( - 2)$ .
Câu 16: Vận dụng cao
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau $y = \sqrt{x};y =1$ và đườDng thẳng $x = 4$ (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng $y = 1$ bằng
- A.
  $\frac{9\pi}{2}$
- B.
  $\frac{119\pi}{6}$
- C.
  $\frac{7\pi}{6}$
- D.
  $\frac{21\pi}{2}$
Đặt $\left\{ \begin{matrix}X = x - 1 \\Y = y - 1 \\\end{matrix} ight.$ . Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ
Ta có: $y = \sqrt{x} \Leftrightarrow Y + 1= \sqrt{X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt{X + 1} - 1$
Thể tích cần tìm là
$V = \pi\int_{0}^{3}{\left( \sqrt{X + 1}- 1 ight)^{2}dX} = \pi\int_{0}^{3}{\left( X + 2 - 2\sqrt{X + 1}ight)dX}$
$= \pi\left. \ \left\lbrack\frac{1}{2}X^{2} + 2X - \frac{4}{3}(X + 1)\sqrt{X + 1} ightbrackight|_{0}^{3}$
$= \pi\left\lbrack \left( \frac{9}{2} + 6- \frac{32}{3} ight) - \left( - \frac{4}{3} ight) ightbrack =\frac{7\pi}{6}$
Câu 17: Nhận biết
Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{- e^{x} + 4x}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1;x = 2$ . Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình $(H)$ xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
- A.
  $V = \pi\int_{1}^{2}{\left( e^{x} - 4x ight)dx}$
- B.
  $V = \int_{1}^{2}{\left( e^{x} - 4x ight)dx}$
- C.
  $V = \int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx}$
- D.
  $V = \pi\int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx}$
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:

$V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}dx}$

Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:

$V = \pi\int_{1}^{2}{\left\lbrack \sqrt{- e^{x} + 4x} ightbrack^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx}$ .
Câu 18: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x\sin x$ , biết rằng $F\left( \frac{\pi}{2} ight) = 2019$ ?
- A.
  $F(x) = x\sin x + \cos x + 2019$
- B.
  $F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018$
- C.
  $F(x) = x\sin x - \cos x + 2019$
- D.
  $F(x) = x\sin x + \cos x + 2018$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \sin xdx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cos x \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{}^{}{x\sin xdx} = - x\cos x - \int_{}^{}{\left( - \cos x ight)dx} + C = - x\cos x + \sin x + C$

$F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} + C = 2019 \Rightarrow C = 2018$

Vậy $F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018$ .
Câu 19: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm với mọi $x\mathbb{\in R}$ và $f'(x) = 2x + 1$ . Giá trị của $f(2) - f(1)$ bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $- 2$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Ta có:
$f'(x) = 2x + 1 \Rightarrow\int_{}^{}{f'(x)dx = \int_{}^{}{(2x + 1)dx}}$
$= x^{2} + x + C \Rightarrow \existsC_{1}\mathbb{\in R}:f(x) = x^{2} + x + C$
$\Rightarrow f(2) - f(1) = 2^{2} + 2 +C_{1} - \left( 1^{2} + 1 + C_{1} ight) = 4$
Câu 20: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x} + \sin x$ là:
- A.
  $\ln|x| + \cos x + C$
- B.
  $\ln|x| - \cos x + C$
- C.
  $\ln x + \cos x + C$
- D.
  $\frac{1}{x^{2}} - \cos x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \sin x ight)dx} = \ln|x| - \cos x + C$ .

57 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!