Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip (E): \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1 quay quanh trục hoành?

    Xét (E)a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2. Do đó hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ ( -
2;0),(2;0)

    \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1
\Rightarrow y^{2} = 1 - \frac{x^{2}}{4}

    Do đó thể tích khối tròn xoay là V_{Ox} =
\pi\int_{- 2}^{2}{y^{2}dx} = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 1 -
\frac{x^{2}}{4} ight)dx} = \frac{8\pi}{3}

  • Câu 2: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x +
1)(x + 2)?

    Ta có: f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^{2} + 3x
+ 2

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left(
x^{2} + 3x + 2 ight)dx} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{2}x^{2} + 2x +
C

  • Câu 3: Thông hiểu

    Xe đạp A xuất phát từ C, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) =
\frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30}(m/s) trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một xe đạp B cũng xuất phát từ C, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a\left( m/s^{2} ight) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng bao nhiêu?

    Quãng đường xe đạp A đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{25}{\left(
\frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30} ight)dt} =
\frac{375}{2}(m)

    Vận tốc của xe đạp B tại thời điểm t(s) tính từ lúc B xuất phát là: v_{B}(t) = at

    Quãng đường xe đạp B đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{15}{(at)dt} = \left. \
\left( \frac{at^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{15} =
\frac{225a}{2}(m)

    \Rightarrow \frac{225a}{2} =
\frac{375}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{3}

    Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là: v_{B}(15) = 15a = 25(m/s)

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho \int_{2}^{3}{\frac{1}{(x + 1)(x +
2)}dx} = aln2 + bln3 + cln5 với a;b;c là các số thực. Giá trị của biểu thức T = a + b^{2} - c^{3} bằng:

    Ta có:

    \int_{2}^{3}{\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}dx}
= \int_{2}^{3}{\left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2}
ight)dx}

    = \left. \ \ln\left| \frac{x + 1}{x + 2}
ight| ight|_{2}^{3} = \ln\frac{4}{5} - \ln\frac{3}{4} = 4ln2 - ln3 -
ln5

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 4 \\
b = - 1 \\
c = - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow T = a + b^{2} - c^{3} =
6

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}, cung tròn có phương trình y = \sqrt{4 - x^{2}} (với 0 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi, trong đó a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*}\frac{a}{b};\frac{c}{d} là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c +d?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}, cung tròn có phương trình y = \sqrt{4 - x^{2}} (với 0 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi, trong đó a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*}\frac{a}{b};\frac{c}{d} là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c +d?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình phẳng (H) như hình vẽ (phần tô đậm):

    Diện tích hình phẳng (H) là:

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H) theo hình vẽ suy ra S = \int_{1}^{3}{x\ln xdx}

    Theo công thức tích phân từng phần:

    S = \left. \ \frac{x^{2}}{2}.\ln2ight|_{2}^{3} + \int_{1}^{3}{\frac{x}{2}dx} = \left. \frac{x^{2}}{2}.\ln2 ight|_{2}^{3} - \left. \ \frac{x^{2}}{4}ight|_{2}^{3} = \frac{9}{4}\ln3 - 2.

  • Câu 7: Nhận biết

    Xác định tích phân I =
\int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx}?

    Ta có:

    I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx} = -
\frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(1 - 2x)}{1 - 2x}

    = - \frac{1}{2}.\left. \ \ln|1 - 2x|ight|_{1}^{5} = - \ln3

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0;x = 3 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x;(0 \leq x \leq 3) là hình chữ nhật có kích thước là x2\sqrt{9 - x^{2}}?

    Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x;(0 \leq x \leq 3) là hình chữ nhật có kích thước là x2\sqrt{9 - x^{2}}

    Diện tích thiết diện được xác định theo hàm là: S(x) = 2x\sqrt{9 - x^{2}}

    ⇒ Thể tích vật thể tròn xoay: V =
\int_{0}^{3}{2x\sqrt{9 - x^{2}}}dx = 18

  • Câu 9: Thông hiểu

    Hàm số F(x) là nguyên hàm của f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1
ight). Hỏi hàm số F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Ta có: F'(x) = f(x) = (1 -
x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 0
\Leftrightarrow (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
1 - x = 0 \\
\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x^{2} + 1 = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Phương trình F'(x) = 0 có 1 nghiệm đơn x = 1 và một nghiệm kép x = 0 nên hàm số F(x) có 1 điểm cực trị.

  • Câu 10: Nhận biết

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = \cos x;Ox;x = - \frac{\pi}{2};x =
\frac{\pi}{2}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \cos x = 0 \Rightarrow x =
\frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z}

    Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}
ight)

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left| \cos x ight|dx} = \left| \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos xdx} ight| = \left| \left. \ \sin x ight|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} ight| = 2

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
2x\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\
3x^{2} - 1\ \ khi\ x < 1 \\
\end{matrix} ight. có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F(0) = 1F(x) liên túc trên \mathbb{R}. Giá trị biểu thức K = F( - 1) - F(2) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =
\left\{ \begin{matrix}
x^{2} + C_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\
x^{3} - x + C_{2}\ \ khi\ x < 1 \\
\end{matrix} ight.

    F(0) = 1 \Rightarrow C_{2} =
1

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 1 tức là

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}F(x) = \lim_{x
ightarrow 1^{-}}F(x) = F(1)

    \Leftrightarrow 1 + C_{1} = C_{2}
\Leftrightarrow C_{1} = 0

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\
x^{3} - x + 1\ \ khi\ x < 1 \\
\end{matrix} ight.

    K = F( - 1) - F(2) = ( - 1 + 1 + 1) +
\left( 2^{2} ight) = 5

  • Câu 12: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm F(t) =
\int_{}^{}txdt.

    Ta có:

    F(t) = \int_{}^{}txdt = x\int_{}^{}tdt =
x.\frac{t^{2}}{2} + C

  • Câu 13: Thông hiểu

    Biết \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x +
C. Khi đó \int_{}^{}{f\left( e^{x}
ight)}dx tương ứng bằng

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x +
C \Rightarrow f(x) = 6x - 4

    \Rightarrow f\left( e^{x} ight) =
6e^{x} - 4

    \Rightarrow \int_{}^{}{f\left( e^{x}
ight)}dx = \int_{}^{}{\left( 6e^{x} - 4 ight)dx} = 6e^{x} - 4e^{x} +
C

  • Câu 14: Nhận biết

    Tính tích phân \int_{1}^{2}{\frac{x -
1}{x}dx}?

    Ta có: \int_{1}^{2}{\frac{x - 1}{x}dx} =
\int_{1}^{2}{\left( 1 - \frac{1}{x} ight)dx} = \left. \ \left( x -
\ln|x| ight) ight|_{1}^{2}

    = (2 - \ln2) - (1 - \ln1) = 1 -\ln2

  • Câu 15: Thông hiểu

    Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v_{1}(t) = 7t(m/s). Đi được 5s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = - 70\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

    Vận tốc vật đạt được sau 5s là: v_{0} =
7.5 = 35(m/s)

    Ta có: v_{2}(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} =
\int_{}^{}{- 70dt} = - 70t + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 35(m/s)
\Rightarrow v_{(t = 0)} = 35 \Rightarrow C = 35

    \Rightarrow v_{2}(t) = - 70t +
35

    Vật dừng hẳn khi v_{2}(t) = - 70t + 35 =
0 \Rightarrow t_{2} = \frac{1}{2}(s)

    Khi đó quãng đường đi được bằng

    S = \int_{0}^{5}{v_{1}(t)dt} +
\int_{0}^{\frac{1}{2}}{v_{2}(t)dt}

    = \int_{0}^{5}{7tdt} +
\int_{0}^{\frac{1}{2}}{( - 70t + 35)dt} = 96,25(m)

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1
ight|y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1
ight|y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H). Lúc dó S = 2S_{1} + 2S_{2}, trong đó S_{1} là diện tích phần gạch sọc ở bên phải OyS_{2} là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

    GọiA,B là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng y = k và đồ thị hàm sốy = \left| x^{2} - 1
ight|, trong đó A\left( \sqrt{1 -
k};k ight)B\left( \sqrt{1 +
k};k ight).

    Thco yêu cầu bài toán S = 2 \cdot 2S_{1}
\Leftrightarrow S_{1} = S_{2}.

    \Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 -
k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\  = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k
- 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1
ight)dx}.

    \Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} -
\frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}

    = \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1
- k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}

    \  + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1
+ k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 +
k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}

    \Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k}
ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx
0,59.

  • Câu 17: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x
- 1}{x^{2}}?

    Ta có: f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}} =
\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow F(x) = \ln|x| + \frac{1}{x} +
C

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

    Biết \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx}
= 7\int_{1}^{2}{2x.f'\left(
x^{2} - 1 ight)dx} = - 3. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = 3 là:

    Từ đồ thị hàm số ta suy ra f(0) =
2;f'(0) = 0

    Xét tích phân \int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1
ight)dx}. Đặt u = x^{2} - 1
\Rightarrow du = 2xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \Rightarrow u = 0 \\
x = 2 \Rightarrow u = 3 \\
\end{matrix} ight.

    Do đó \int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2}
- 1 ight)dx} = \int_{1}^{3}{f'(u)du} = \left. \ f(u)
ight|_{0}^{3} = f(3) - f(0)

    \Rightarrow f(3) - f(0) = - 3
\Rightarrow f(3) = - 1

    Xét tích phân \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx}. Đặt u = x - 1 \Rightarrow du = dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \Rightarrow u = 0 \\
x = 4 \Rightarrow u = 3 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{1}^{4}{x.f''(x
- 1)dx} = \int_{0}^{3}{(u + 1)f''(u)du} = \int_{0}^{3}{(u +
1)d\left\lbrack f'(u) ightbrack}

    = \left. \ (u + 1)f'(u)
ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f'(u)du}

    = 4f'(3) - f'(0) - \left. \ f(u)
ight|_{0}^{3}

    = 4f'(3) - f'(0) - f(3) +
f(0)

    Theo bài ra suy ra

    4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0) =
7

    \Rightarrow 4f'(3) = 7 + f(3) - f(0)
= 4 \Rightarrow f'(3) = 1

    Như vậy f(3) = - 1;f'(3) =
1. Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 3 là: y = x - 4.

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hai hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \lbrack 1;2brack thỏa mãn f(1) = 4f(x) = x.f'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}. Giá trị f(2) bằng:

    Chọn f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx +
d

    f(x) = xf'(x) - 2x^{3} -
3x^{2}

    \Leftrightarrow ax^{3} + bx^{2} + cx + d
= x\left( 3ax^{2} + 2bx + c ight) - 2x^{3} - 3x^{2}

    Từ đó suy ra \left\{ \begin{matrix}
a = 3a - 2 \\
b = 2b - 3 \\
c = 0 \\
d = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = 3 \\
c = 0 \\
d = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy f(x) = x^{3} + 3x^{2} \Rightarrow
f(2) = 20

  • Câu 20: Nhận biết

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{2} + 2x +
1 trục hoành và hai đường thẳng x =
- 1;x = 3.

    Diện tích hình phẳng được tính như sau:

    S = \int_{- 1}^{3}{\left( x^{2} + 2x + 1
ight)dx} = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + x ight)
ight|_{- 1}^{3} = \frac{64}{3}.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 13 lượt xem
Sắp xếp theo