Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}. Giá trị của f(2) là:

     Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

    Ta có:

    \begin{matrix}  f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\   \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {a = 3a - 2} \\   {b = 2b - 3} \\   {d = 0} \\   {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {a = 1} \\   {b = 3} \\   {c = 0} \\   {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2} => f(x) = 20

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{3} + 12x và đường thẳng y = - x^{2}?

    Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

    - x^{3} + 12x = - x^{2} \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 4 \\
x = - 3 \\
\end{matrix} ight.

    Diện tích S của hình phẳng (H) là:

    S = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} + 12x
- \left( - x^{2} ight) ight|dx} = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} +
12x + x^{2} ight|dx}

    = \int_{- 3}^{0}{\left| - x^{3} + 12x +
x^{2} ight|dx} + \int_{0}^{4}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2}
ight|dx}

    = \int_{- 3}^{0}{\left( - x^{3} + 12x +
x^{2} ight)dx} + \int_{0}^{4}{\left( - x^{3} + 12x + x^{2}
ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} -
6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight) ight|_{- 3}^{0} + \left. \ \left(
\frac{1}{4}x^{4} - 6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight)
ight|_{0}^{4}

    = 0 - \left( \frac{1}{4}.3^{4} - 6.3^{2}
+ \frac{1}{3}.3^{3} ight) + \left( - \frac{1}{4}.4^{4} + 6.4^{2} +
\frac{1}{3}.4^{3} ight) - 0 = \frac{937}{12}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tích phân \int_{0}^{1}{\frac{(x -
1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = a - \ln b với a;b\mathbb{\in Z}. Giá trị của a + b bằng:

    Ta có: \int_{0}^{1}{\frac{(x -
1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = \int_{0}^{1}{\left( 1 - \frac{2x}{x^{2} + 1}
ight)dx}

    = \left. \ x ight|_{0}^{1} - \left. \
\ln\left( x^{2} + 1 ight) ight| = 1 - ln2

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow a + b = 3

  • Câu 4: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, thỏa mãn F(0) = 2020. Tính giá trị biểu thức T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) +
F(2019)?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =
\int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, ta có: F(x) = e^{x} + CF(0) = 2020

    \Rightarrow C = 2019 \Rightarrow F(x) =
e^{x} + 2019

    T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) +
F(2019)

    T = 1 + e + e^{2} + .... + e^{2018} +
e^{2019} + 2019.2020

    T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} +
2019.2020.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Biết \int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x
ightbrack dx} = 1. Khi đó \int_{1}^{2}{f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x
ightbrack dx} = 1 \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} -
2\int_{1}^{2}{xdx} = 1

    \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} -
2\left. \ .x^{2} ight|_{1}^{2} = 1 \Leftrightarrow
4\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 \Leftrightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} =
1

  • Câu 6: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc x m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số v(t) = - 5t + 20 m/s, trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 m/s. Đúng||Sai

    b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5s. Sai||Đúng

    c) \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt} = \frac{-
5t^{2}}{2} + 20t + C. Đúng||Sai

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là 400m. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc x m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số v(t) = - 5t + 20 m/s, trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 m/s. Đúng||Sai

    b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5s. Sai||Đúng

    c) \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt} = \frac{-
5t^{2}}{2} + 20t + C. Đúng||Sai

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là 400m. Sai||Đúng

    Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0m/s.

    Khi xe dừng hẳn thì v(t) = 0m/s nên 0 = - 5t + 20 \Leftrightarrow t =
4s.

    Nguyên hàm của hàm số vận tốc \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} +
20t + C}, C\mathbb{\in
R}.

    Quãng đường từ lúc đạ phanh cho đến khi xe dừng hẳn là

    \int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = \left. \
\left( \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t ight) ight|_{0}^{4} =
40m.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình phẳng (H) như hình vẽ (phần tô đậm):

    Diện tích hình phẳng (H) là:

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H) theo hình vẽ suy ra S = \int_{1}^{3}{x\ln xdx}

    Theo công thức tích phân từng phần:

    S = \left. \ \frac{x^{2}}{2}.\ln2ight|_{2}^{3} + \int_{1}^{3}{\frac{x}{2}dx} = \left. \frac{x^{2}}{2}.\ln2 ight|_{2}^{3} - \left. \ \frac{x^{2}}{4}ight|_{2}^{3} = \frac{9}{4}\ln3 - 2.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^2} thỏa mãn F\left( 0 ight) = \frac{1}{3}. Tính giá trị của biểu thức A = {\log _2}\left[ {3F\left( 1 ight) - 2F\left( 2 ight)} ight]

     F\left( x ight) = \int {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}dx = \frac{1}{2}\int {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}d\left( {2x - 3} ight) = } \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {2x - 3} ight)}^2}}}{3} + C}

    Ta có: F\left( 0 ight) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = \frac{{29}}{6}

    F\left( 1 ight) = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{ - 1}}{3}} ight) + \frac{{29}}{6} = \frac{{14}}{3};F\left( 2 ight) = \frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{3}} ight) + \frac{{29}}{6} = 5

    => A = {\log _2}\left[ {3F\left( 1 ight) - 2F\left( 2 ight)} ight] = A = {\log _2}\left[ {3\frac{{14}}{3} - 2.5} ight] = {\log _2}4 = 2

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 6;5brack có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ:

    Tính giá trị I = \int_{-
6}^{5}{\left\lbrack f(x) + 2 ightbrack dx}?

    Hình vẽ minh họa

    Dựa vào đồ thị ta có: A( - 6; - 1),B( -
2;1) suy ra phương trình đường thẳng AB:y = \frac{1}{2}x + 2

    \Rightarrow I_{1} = \int_{0}^{-
2}{\left\lbrack \frac{1}{2}x + 2 + 2 ightbrack dx} = 8

    Phương trình đường tròn (C): x^{2} + (y - 1)^{2} = 4 \Rightarrow y = 1 +
\sqrt{4 - x^{2}}

    \Rightarrow I_{2} = \int_{-
2}^{2}{\left\lbrack 1 + \sqrt{4 - x^{2}} + 2 ightbrack dx} = 12 +
2\pi

    Điểm C(2;1),D(5;3) nên phương trình đường thẳng CD là: y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}

    \Rightarrow I_{3} =
\int_{2}^{5}{\left\lbrack \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} + 2 ightbrack
dx} = 12

    Vậy I = I_{1} + I_{2} + I_{3} = 32 +
2\pi

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hai hàm số f(x)g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack và thỏa mãn 0 < g(x) < f(x),\forall x \in \lbrack
a;bbrack. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = f(x),y = g(x),x = a,x = b. Khi đó V được tính bởi công thức nào sau đây?

    Ta cần nhớ lại công thức sau: Cho hai hàm số y = f(x),y = g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack. Khi đó thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi y = f(x),y =
g(x) (với 0 < g(x) <
f(x)) và hai đường thẳng x = a,x =
b khi quay quanh trục OxV = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f^{2}(x)
- g^{2}(x) ightbrack dx}.

  • Câu 11: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     Ta có:

    \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx}  = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho \int_{- 1}^{2}{f(x)dx} = 2\int_{- 1}^{2}{g(x)dx} = - 1, khi đó \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x)
+ 3g(x) ightbrack dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) +
3g(x) ightbrack dx} = \int_{- 1}^{2}{xdx} + 2\int_{- 1}^{2}{f(x)dx}
+ 3\int_{- 1}^{2}{g(x)dx}

    = \left. \ \frac{1}{2}x^{2} ight|_{-
1}^{2} + 2.2 + 3.( - 1) = \frac{5}{2}

  • Câu 13: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 - 2t(m/s). Hỏi trong 5s trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 30 - 2t = 0
\Rightarrow t = 15(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{10}^{15}{v(t)dt} =
\int_{10}^{15}{(30 - 2t)dt} = 25m.

  • Câu 14: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}?

    Đặt t = \tan x \Rightarrow dt =\frac{1}{\cos^{2}x}dx

    \int_{}^{}{\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx} = \int_{}^{}{e^{t}dt} = e^{t} + C = e^{\tan x} +C

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack, có đồ thị hàm số y = f'(x) như sau:

    Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

    Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì \int_{a}^{b}{f'(x)dx} là diện tích hình thang cong ABMN.

  • Câu 16: Nhận biết

    Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, đường thẳng x = a;x = b như hình vẽ sau:

    Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

    Dựa vào hình biểu diễn hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành, đường thẳng x = a;x = b ta có: S = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} +
\int_{c}^{b}{f(x)dx}.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v_{1}(t) = 2t(m/s). Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = -
12\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường S(m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?

    Quãng đường xe đi được trong 12s đầu là S_{1} = \int_{0}^{12}{2tdt} = 144m

    Sau khi đi được 12s vật đạt vận tốc v =
24(m/s), sau đó vận tốc của vật có phương trình v = 24 - 12t

    Vật dừng hẳn sau 2s kể từ khi phanh.

    Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là

    S_{2} = \int_{0}^{2}{(24 - 22t)dt} =
24m

    Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là S =
S_{1} + S_{2} = 144 + 24 = 168(m)

  • Câu 18: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = f\left( x ight) = \frac{1}{{2x + 1}}

     \int {\frac{1}{{2x + 1}}dx}  = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} ight| + C

  • Câu 19: Vận dụng

    Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x + 3)^{2}, trục hoành và đường thẳng x = 0. Gọi A(0;9),B(b;0);( - 3 < b < 0). Tính giá trị của tham số b để đoạn thẳng AB chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1
ight|y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1
ight|y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H). Lúc dó S = 2S_{1} + 2S_{2}, trong đó S_{1} là diện tích phần gạch sọc ở bên phải OyS_{2} là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

    GọiA,B là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng y = k và đồ thị hàm sốy = \left| x^{2} - 1
ight|, trong đó A\left( \sqrt{1 -
k};k ight)B\left( \sqrt{1 +
k};k ight).

    Thco yêu cầu bài toán S = 2 \cdot 2S_{1}
\Leftrightarrow S_{1} = S_{2}.

    \Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 -
k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\  = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k
- 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1
ight)dx}.

    \Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} -
\frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}

    = \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1
- k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}

    \  + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1
+ k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 +
k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}

    \Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k}
ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx
0,59.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 56 lượt xem
Sắp xếp theo