Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau y = \sqrt{x};y =1 và đườDng thẳng x = 4 (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng y = 1 bằng

    Đặt \left\{ \begin{matrix}X = x - 1 \\Y = y - 1 \\\end{matrix} ight.. Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ

    Ta có: y = \sqrt{x} \Leftrightarrow Y + 1= \sqrt{X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt{X + 1} - 1

    Thể tích cần tìm là

    V = \pi\int_{0}^{3}{\left( \sqrt{X + 1}- 1 ight)^{2}dX} = \pi\int_{0}^{3}{\left( X + 2 - 2\sqrt{X + 1}ight)dX}

    = \pi\left. \ \left\lbrack\frac{1}{2}X^{2} + 2X - \frac{4}{3}(X + 1)\sqrt{X + 1} ightbrackight|_{0}^{3}

    = \pi\left\lbrack \left( \frac{9}{2} + 6- \frac{32}{3} ight) - \left( - \frac{4}{3} ight) ightbrack =\frac{7\pi}{6}

  • Câu 2: Nhận biết

    Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \cos x,y = 0,x = 0,x = \pi quay xung quanh Ox.

    Thể tích vật thể bằng:

    V = \pi\int_{0}^{\pi}{\left( \cos xight)^{2}dx} = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}{(1 + \cos2x)dx} = \pi\left.\ \left( x + \frac{1}{2}\sin2x ight) ight|_{1}^{\pi} =\frac{\pi^{2}}{2}.

  • Câu 3: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 - 2t(m/s). Hỏi trong 5s trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 30 - 2t = 0 \Rightarrow t = 15(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{10}^{15}{v(t)dt} = \int_{10}^{15}{(30 - 2t)dt} = 25m.

  • Câu 4: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{2x}.3^{x}.7^{x} là:

    Ta có: \int_{}^{}{\left(2^{2x}.3^{x}.7^{x} ight)dx =}\int_{}^{}{\left( 84^{x} ight)dx}=\frac{84^{x}}{\ln84} + C

  • Câu 5: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = 3x + \cos 3x

     Ta có: \int {\left( {3x + \cos 3x} ight)dx = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{\sin 3x}}{3} + C}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Biết \int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx} = a\sqrt{e} + b với a;b\mathbb{\in Z}. Xác định giá trị biểu thức P = ab?

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln x \\dv = \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{dx}{x} \\v = 2\sqrt{x} \\\end{matrix} ight. khi đó ta có:

    \int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx} = \left. \ \left( 2\sqrt{x}\ln x ight) ight|_{e}^{1} - 2\int_{1}^{e}\frac{dx}{x}

    = \left. \ \left( 2\sqrt{x}\ln x ight) ight|_{e}^{1} - \left. \ \left( 4\sqrt{x} ight) ight|_{e}^{1} = - 2\sqrt{e} + 4

    Vậy \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a.b = - 8.

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f'(x).f^{2}(x) = x^{2} và f(2) = 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g(x) = f(x) + x^{2} tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

    Ta có: f'(x).f^{2}(x) = x^{2}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{f'(x).f^{2}(x)dx} = \int_{}^{}{x^{2}dx}

    \Leftrightarrow \int_{}^{}{f^{2}(x)df(x)} = \frac{x^{3}}{3} + C

    \Leftrightarrow \frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C. Theo bài ra ta có: f(2) = 2 \Rightarrow \frac{f^{3}(2)}{3} = \frac{2^{3}}{3} + C \Rightarrow C = 0

    Suy ra \frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} \Leftrightarrow f(x) = x

    Vậy g(x) = x^{2} + x \Rightarrow g'(x) = 2x + 1

    Ta có: g'(3) = 7;g(3) = 12

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

    y = g'(3)(x - 3) + g(3)

    \Leftrightarrow y = 7(x - 3) + 12 \Leftrightarrow y = 7x - 9

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C):y = f(x), trục hoành, hai đường thẳng x = a;x = b (như hình vẽ bên).

    Giả sử S_{D} là diện tích của hình phẳng D. Chọn công thức đúng?

    Dựa vào đồ thị hình vẽ ta thấy:

    + Đồ thị cắt trục hoành tại điểm O(0;0)

    + Trên đoạn \lbrack a;0brack, đồ thị ở phía dưới trục hoành nên \left| f(x) ight| = - f(x)

    + Trên đoạn \lbrack 0;bbrack, đồ thị ở phía trên trục hoành nên \left| f(x) ight| = f(x)

    Do đó: S_{D} = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx} = - \int_{a}^{0}{f(x)dx} + \int_{0}^{b}{f(x)dx}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = a\ln|x + 2| + b\ln|x + 3| + C. Tính giá trị biểu thức T = a^{2} + ab + b^{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}

    = \frac{A(x + 2) + B(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{(A + B)x + (3A + 2B)}{(x + 2)(x + 3)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 3A + 2B = 11 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 3 \\ B = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} ight)dx}

    = 3ln|x + 2| + \ln|x + 3| + C

    Suy ra a = 3;b = 1 \Rightarrow T = 13

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho \int {f\left( x ight)dx} = F\left( x ight) + C. Với a e 0, khẳng định nào sau đây đúng?

     Xét \int {f\left( {ax + b} ight)dx}, đặt t = ax + b

    => I = \int {f\left( t ight)d\left( {\frac{{t - b}}{a}} ight) = \frac{1}{a}} \int {f\left( t ight)dt = \frac{1}{a}} \int {f\left( x ight)d} x

    => \int {f\left( {ax + b} ight)d\left( {ax + b} ight) = \frac{1}{a}\left[ {F\left( {ax + b} ight) + C'} ight] = \frac{1}{a}F\left( {ax + b} ight) + C}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Một vật chuyển động với vận tốc 10(m/s) thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t^{2}\left( m/s^{2} ight)Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

    Ta có:

    v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{\left( 3t + t^{2} ight)dt} = \frac{t^{3}}{3} + \frac{3}{2}t^{2} + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 10 \Rightarrow v_{(t = 0)} = 10 \Rightarrow C = 10

    \Rightarrow v(t) = \frac{t^{3}}{3} + \frac{3}{2}t^{2} + 10

    Khi đó quãng đường đi được bằng

    S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} = \int_{0}^{10}{\left( \frac{t^{3}}{3} + \frac{3}{2}t^{2} + 10 ight)dt} = \frac{4300}{3}(m)

  • Câu 12: Thông hiểu

    Dòng diện xoay chiều hình sin chạy qua mạch điện dao động LC lí tưởng có phương trình i = I_{0}\sin\left( \omega t + \frac{\pi}{2} ight). Ngoài ra i = q'(t) với q là điện tích tức thời trong tụ. Tính từ lúc t = 0, điện lượng chạy qua tiết diện thẳng của dây dẫn của mạch trong thời gian \frac{\pi}{2\omega} là

    Điện lượng cần tìm là:

    \int_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}}{\left\lbrack I_{0}\sin\left( \omega t + \frac{\pi}{2} ight) ightbrack dt} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}}{\left\lbrack I_{0}\cos(\omega t) ightbrack dt}

    = \left. \ \left\lbrack I_{0}\sin(\omega t) ightbrack ight|_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}} = \frac{I_{0}}{\omega}

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}, cung tròn có phương trình y = \sqrt{4 - x^{2}} (với 0 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi, trong đó a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*} và \frac{a}{b};\frac{c}{d} là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c +d?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}, cung tròn có phương trình y = \sqrt{4 - x^{2}} (với 0 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi, trong đó a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*} và \frac{a}{b};\frac{c}{d} là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c +d?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 14: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn f(0) = 0. Biết rằng \int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \frac{9}{2} và \int_{0}^{1}{f'(x)\cos\frac{\pi x}{2}}dx= \frac{3\pi}{4}. Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)d(x)} bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn f(0) = 0. Biết rằng \int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \frac{9}{2} và \int_{0}^{1}{f'(x)\cos\frac{\pi x}{2}}dx= \frac{3\pi}{4}. Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)d(x)} bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 15: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (x - 1)e^{2x}, trục hoành; x = 0 và x = 2 bằng:

    Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = (x - 1)e^{2x} và trục hoành là nghiệm của phương trình: (x - 1)e^{2x} = 0 \Leftrightarrow x = 1

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là:

    S = \int_{0}^{2}{\left| (x - 1)e^{2x} ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{\left\lbrack (1 - x)e^{2x} ightbrack dx} + \int_{1}^{2}{\left\lbrack (x - 1)e^{2x} ightbrack dx}

    = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{(1 - x)d\left( e^{2x} ight)} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{(x - 1)d\left( e^{2x} ight)}

    = \frac{1}{2}\left. \ (1 - x)e^{2x} ight|_{0}^{1} + \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{e^{2x}dx} + \frac{1}{2}\left. \ (x - 1)e^{2x} ight|_{1}^{2} - \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{e^{2x}dx}

    = \frac{e^{4}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\left. \ e^{2x} ight|_{0}^{1} - \frac{1}{4}\left. \ e^{2x} ight|_{1}^{2}

    = \frac{e^{4}}{4} + \frac{e^{2}}{2} - \frac{3}{4}

  • Câu 16: Nhận biết

    Giá trị của D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} bằng

    Ta có:

    D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} = \left. \ \left( x^{2019} - x ight) ight|_{0}^{1} = 0

  • Câu 17: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin^{4}x\cos x??

    Đặt t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx

    \int_{}^{}{\left( \sin^{4}x\cos xight)dx} = \int_{}^{}{t^{4}dt} = \frac{t^{5}}{5} + C =\frac{1}{5}\sin^{5}x + C

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x\sqrt{x^{2} + 1};x = 1 và trục hoành?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x\sqrt{x^{2} + 1} = 0 \Leftrightarrow x = 0

    Khi đó diện tích hình phẳng theo yêu cầu bài toán là:

    S = \int_{0}^{1}{x\sqrt{x^{2} + 1}dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\sqrt{x^{2} + 1}d\left( x^{2} + 1 ight)}

    = \frac{1}{2}\left. \ \left( x^{2} + 1 ight)^{\frac{3}{2}} ight|_{0}^{1} = \frac{2\sqrt{2} - 1}{3}.

  • Câu 19: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 0 và x = 2 bằng

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{0}^{2}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{0}^{2} ight| = 4

  • Câu 20: Thông hiểu

    Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} trên khoảng ( - 1; + \infty) là:

    Ta có: f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}}

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}} ight)dx}= 2\ln|x + 1| +\frac{3}{x + 1} + C

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 45 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập