Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = - x^{2} + 2x, trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (H);Ox là: -
x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó V = \pi\int_{0}^{2}{\left( - x^{2}
+ 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2}
ight)dx} = \frac{16\pi}{15}.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} - 2x - 2y = \frac{x - 4}{2 - x}?

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{2} -
2x - 2 = \frac{x - 4}{2 - x}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x eq 2 \\
\left( x^{2} - 2x - 2 ight)(2 - x) = x - 4 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x eq 2 \\
x\left( x^{2} - 4x + 3 ight) = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 1 \\
x = 3 \\
\end{matrix} ight.

    Diện tích hình giới hạn là

    S = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 2 -
\frac{x - 4}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 2 -
\frac{x - 4}{2 - x} ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 1 -
\frac{2}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 1 -
\frac{2}{x - 2} ight|dx}

    = \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3}- x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight) ight|_{0}^{1} ight| + \left| \left.\ \left( \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight)ight|_{1}^{3} ight|

    = \frac{5}{3} - 2\ln2 + \frac{4}{3} = 3 -\ln4

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục, luôn dương trên \lbrack 0;3brack và thỏa mãn I = \int_{0}^{3}{f(x)dx} =
4. Khi đó giá trị của tích phân K =
\int_{0}^{3}{\left( e^{1 + \ln f(x)} + 4 ight)dx} là:

    Ta có:

    K = \int_{0}^{3}{\left( e^{1 + \ln f(x)}
+ 4 ight)dx} = \int_{0}^{3}{\left\lbrack e.e^{\ln f(x)} ightbrack
dx} + \int_{0}^{3}{4dx}

    = e\int_{0}^{3}{f(x)dx} +
\int_{0}^{3}{4dx} = 4e + 12

  • Câu 4: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) =
\frac{1}{x\sqrt{x}} là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =
\int_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x}}dx}

    = \int_{}^{}{x^{- \frac{3}{2}}dx=}\dfrac{x^{- \frac{1}{2}}}{- \dfrac{1}{2}} + C = - \frac{2}{\sqrt{x}} +C.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{2x - 1} , biết rằng F(1) = 2. Khi đó giá trị F(2) là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1}
= \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)

    F(1) = 2 \Rightarrow C = 2. Vậy với x > \frac{1}{2} thì F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) +
2

    Vậy F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x.e^{- x} thỏa mãn F(0) = 1?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
u = x \\
dv = e^{- x}dx \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
du = dx \\
v = - e^{- x} \\
\end{matrix} ight.

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(
x.e^{- x} ight)dx}

    = - xe^{- x} + \int_{}^{}{e^{- x}dx} +
C

    = - xe^{- x} - e^{- x} + C. Theo bài ra ta có: F(0) = 1 \Leftrightarrow - 1 -
1 + C = 1 \Rightarrow C = 2

    Vậy - (x + 1)e^{- x} + 2 là đáp án cần tìm.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Biết \int_{- 1}^{0}{\frac{3x^{2} + 5x -
1}{x - 2}dx} = a\ln\frac{2}{3} + b. Khi đó P = a + 2b có giá trị bằng:

    Ta có:

    I = \int_{- 1}^{0}{\frac{3x^{2} + 5x -
1}{x - 2}dx} = \int_{- 1}^{0}{(3x + 11)dx} + \int_{- 1}^{0}{\frac{21}{x
- 2}dx}

    = \left. \ \left( 3.\frac{x^{2}}{2} +11x ight) ight|_{- 1}^{0} + \left. \ \left( 21\ln|x - 2| ight)ight|_{- 1}^{0}= \frac{19}{2} + 21\ln\frac{2}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 21 \\b = \dfrac{19}{2} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow P = a + 2b = 40

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}. Giá trị của f(2) là:

     Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

    Ta có:

    \begin{matrix}  f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\   \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {a = 3a - 2} \\   {b = 2b - 3} \\   {d = 0} \\   {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {a = 1} \\   {b = 3} \\   {c = 0} \\   {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2} => f(x) = 20

  • Câu 9: Thông hiểu

    Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi y = \ln x,y = 0,x = eV = \pi(a + be). Tính a + b?

    Phương trình hoành độ giao điểm \ln x = 0
\Leftrightarrow x = 1

    Ta có:

    V =\pi\int_{1}^{e}{\ln^{2}xdx}

    = \pi\left\lbrack \left. \ \left(x\ln^{2}x ight) ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{x.\frac{2}{x}.\ln xdx}ightbrack

    = \pi\left\lbrack e - 2\int_{1}^{e}{\ln
xdx} ightbrack

    = \pi\left\{ e - 2.\left\lbrack \left. \
\left( x\ln x ight) ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{dx} ightbrack
ight\}

    = \pi\left\{ e - 2.\lbrack e - e +
1brack ight\} = \pi(e - 2)

    Vậy a = - 2;b = 1 \Rightarrow a + b = -
1

  • Câu 10: Nhận biết

    Xác định giá trị của tham số a thỏa mãn \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2
ight)dx} = a^{3} + 2?

    Ta có: \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2
ight)dx} = \left. \ \left( x^{3} + 2x ight) ight|_{0}^{a} = a^{3}
+ 2a

    \Rightarrow \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} +
2 ight)dx} = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a^{3} + 2a = a^{3} + 2
\Leftrightarrow a = 1

    Vậy đáp án a = 1.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x^{2} - 2x}{x - 1}, đường thẳng y = x - 1 và các đường thẳng x = m;x = 2m;(m > 1). Giá trị của m sao cho S = ln3

    Diện tích cần tìm chính là tích phân:

    S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} -
2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx}

    Ta có:

    S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} -
2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx} = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{- 1}{x - 1}
ight|dx}

    = \int_{m}^{2m}{\frac{1}{|x - 1|}dx} =
\int_{m}^{2m}{\frac{1}{x - 1}dx};(m > 1)

    = \left. \ \left\lbrack \ln|x - 1|
ightbrack ight|_{m}^{2m} = \ln\frac{2m - 1}{m - 1}

    Do đó S = ln3 \Leftrightarrow \ln\frac{2m
- 1}{m - 1} = ln3 \Leftrightarrow m = 2

    Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho đường cong (C):y = x^{3}. Xét điểm A có hoành độ dương thuộc (C), tiếp tuyến của (C) tại A tạo với (C) một hình phẳng có diện tích bằng 27. Hoành độ điểm A thuộc khoảng nào dưới đây??

    Ta có: y' = 3x^{2}A \in (C) \Rightarrow A\left( a;a^{3} ight);(a
> 0)

    Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là d:y = 3a^{2}(x - a) + a^{3}

    x^{3} = 3a^{2}(x - a) +
a^{3}

    \Leftrightarrow (x - a)^{2}(x + 2a) =
0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = a \\
x = - 2a \\
\end{matrix} ight.

    Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C)

    S = 27 \Leftrightarrow \int_{-
2a}^{a}\left| x^{3} - 3a^{2}(x - a) - a^{3} ight|dx = 27

    \Leftrightarrow \left| \int_{-
2a}^{a}\left( x^{3} - 3a^{2}x + 2a^{3} ight)dx ight| =
27

    \Leftrightarrow \left| \left. \ \left(
\frac{x^{4}}{4} - \frac{3a^{2}x^{2}}{2} + 2a^{3}x ight) ight|_{-
2a}^{a} ight| = 27

    \Leftrightarrow \frac{27}{4}a^{4} = 27
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
a = \sqrt{2}(tm) \\
a = - \sqrt{2}(ktm) \\
\end{matrix} ight.

    Vậy a = \sqrt{2} \in \left( 1;\frac{3}{2}
ight)

  • Câu 13: Nhận biết

    Giá trị của \int_{0}^{3}{dx} bằng

    Ta có: \int_{0}^{3}{dx} = \left. \ x
ight|_{0}^{3} = 3 - 0 = 3

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 6;5brack có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ:

    Tính giá trị I = \int_{-
6}^{5}{\left\lbrack f(x) + 2 ightbrack dx}?

    Hình vẽ minh họa

    Dựa vào đồ thị ta có: A( - 6; - 1),B( -
2;1) suy ra phương trình đường thẳng AB:y = \frac{1}{2}x + 2

    \Rightarrow I_{1} = \int_{0}^{-
2}{\left\lbrack \frac{1}{2}x + 2 + 2 ightbrack dx} = 8

    Phương trình đường tròn (C): x^{2} + (y - 1)^{2} = 4 \Rightarrow y = 1 +
\sqrt{4 - x^{2}}

    \Rightarrow I_{2} = \int_{-
2}^{2}{\left\lbrack 1 + \sqrt{4 - x^{2}} + 2 ightbrack dx} = 12 +
2\pi

    Điểm C(2;1),D(5;3) nên phương trình đường thẳng CD là: y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}

    \Rightarrow I_{3} =
\int_{2}^{5}{\left\lbrack \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} + 2 ightbrack
dx} = 12

    Vậy I = I_{1} + I_{2} + I_{3} = 32 +
2\pi

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)\left( x^{2} - 3 ight)\left(
x^{4} - 1 ight) với \forall
x\mathbb{\in R}. Chọn kết luận đúng?

    Ta có: f'(x) = (x - 1)\left( x^{2} -
3 ight)\left( x^{4} - 1 ight)

    = x^{7} - x^{6} - 3x^{5} + 3x^{4} -
x^{3} + x^{2} + 3x - 3

    Ta có:

    I_{1} = \int_{-
2}^{0}{f'(x)dx}

    = \int_{- 2}^{0}{\left( x^{7} - x^{6} -
3x^{5} + 3x^{4} - x^{3} + x^{2} + 3x - 3 ight)dx}

    = \frac{- 464}{105} < 0 \Rightarrow
f(0) - f( - 2) < 0 \Rightarrow f(0) < f( - 2)

    I_{2} =
\int_{0}^{2}{f'(x)dx}

    = \int_{0}^{2}{\left( x^{7} - x^{6} -
3x^{5} + 3x^{4} - x^{3} + x^{2} + 3x - 3 ight)dx}

    = \frac{44}{105} < 0 \Rightarrow f(2)
- f(0) < 0 \Rightarrow f(2) < f(0)

    Vậy f(2) < f(0) < f( -
2).

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau y = \sqrt{x};y =1 và đườDng thẳng x = 4 (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng y = 1 bằng

    Đặt \left\{ \begin{matrix}X = x - 1 \\Y = y - 1 \\\end{matrix} ight.. Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ

    Ta có: y = \sqrt{x} \Leftrightarrow Y + 1= \sqrt{X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt{X + 1} - 1

    Thể tích cần tìm là

    V = \pi\int_{0}^{3}{\left( \sqrt{X + 1}- 1 ight)^{2}dX} = \pi\int_{0}^{3}{\left( X + 2 - 2\sqrt{X + 1}ight)dX}

    = \pi\left. \ \left\lbrack\frac{1}{2}X^{2} + 2X - \frac{4}{3}(X + 1)\sqrt{X + 1} ightbrackight|_{0}^{3}

    = \pi\left\lbrack \left( \frac{9}{2} + 6- \frac{32}{3} ight) - \left( - \frac{4}{3} ight) ightbrack =\frac{7\pi}{6}

  • Câu 17: Nhận biết

    Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \sqrt{- e^{x} +
4x}, trục hoành và hai đường thẳng x = 1;x = 2. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?

    Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:

    V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x)
ightbrack^{2}dx}

    Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:

    V = \pi\int_{1}^{2}{\left\lbrack \sqrt{-
e^{x} + 4x} ightbrack^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x}
ight)dx} .

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x\sin x, biết rằng F\left( \frac{\pi}{2} ight) = 2019?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
u = x \\
dv = \sin xdx \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
du = dx \\
v = - \cos x \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{}^{}{x\sin xdx} = -
x\cos x - \int_{}^{}{\left( - \cos x ight)dx} + C = - x\cos x + \sin x
+ C

    F\left( \frac{\pi}{2} ight) = -
\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} + C = 2019
\Rightarrow C = 2018

    Vậy F(x) = - x\cos x + \sin x +
2018.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm với mọi x\mathbb{\in R}f'(x) = 2x + 1. Giá trị của f(2) - f(1) bằng:

    Ta có:

    f'(x) = 2x + 1 \Rightarrow\int_{}^{}{f'(x)dx = \int_{}^{}{(2x + 1)dx}}

    = x^{2} + x + C \Rightarrow \existsC_{1}\mathbb{\in R}:f(x) = x^{2} + x + C

    \Rightarrow f(2) - f(1) = 2^{2} + 2 +C_{1} - \left( 1^{2} + 1 + C_{1} ight) = 4

  • Câu 20: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
\frac{1}{x} + \sin x là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =
\int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \sin x ight)dx} = \ln|x| - \cos x +
C.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 57 lượt xem
Sắp xếp theo