Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\left\{ 1 ight\}$ thỏa mãn $f'(x) = \frac{1}{x - 1}$ ; $f(0) = 2017;f(2) = 2018$ . Tính $T = f(3) - f( - 1)$ ?
- A.
  $T = \ln4035$
- B.
  $T = 4$
- C.
  $T = \ln2$
- D.
  $T = 1$
Trên khoảng $(1; + \infty)$ ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(x - 1) + C_{1}$

$\Rightarrow f(x) = \ln(x - 1) + C_{1}$

Mà $f(2) = 2018 \Rightarrow C_{1} = 2018$

Trên khoảng $( - \infty;1)$ ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(1 - x) + C_{2}$

$\Rightarrow f(x) = \ln(1 - x) + C_{2}$

Mà $f(0) = 2017 \Rightarrow C_{2} = 2017$

Vậy $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \ln(x - 1) + 2018\ \ \ khi\ x\ > \ 1 \\ \ln(1 - x) + 2017\ \ \ khi\ x\ < \ 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow T = f(3) - f( - 1) = 1$ .
Câu 2: Nhận biết
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack 1;3brack$ , trục Ox và hai đường thẳng $x = 1;x = 3$ có diện tích là:
- A.
  $S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}$
- B.
  $S = \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|dx}$
- C.
  $S = \int_{3}^{1}{f(x)dx}$
- D.
  $S = \int_{3}^{1}{\left| f(x) ight|dx}$
Công thức tính diện tích cần tìm là: $S = \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|dx}$ .
Câu 3: Nhận biết
Nếu $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 2;\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4$ . Khi đó $\int_{0}^{2}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $6$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $3$
Ta có: $\int_{0}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2 + 4 = 6$ .
Câu 4: Thông hiểu
Một chất điểm chuyển động với gia tốc $a(t) = 6t^{2} + 2t\left( m/s^{2} ight)$ . Vận tốc ban đầu của chất điểm là $2(m/s)$ . Hỏi vận tốc của chất điểm sau khi chuyển động với gia tốc đó được $2$ giây bằng bao nhiêu?
- A.
  $29m/s$
- B.
  $22m/s$
- C.
  $18m/s$
- D.
  $20m/s$
Ta có: $v(2) - v(0) = \int_{0}^{2}{a(t)dt}$

$\Rightarrow v(2) = \int_{0}^{2}{\left( 6t^{2} + 2t ight)dt} + v(0)$

$\Rightarrow v(2) = \left. \ \left( 2t^{3} + t^{2} ight) ight|_{0}^{2} + 2 = 22$
Câu 5: Nhận biết
Tích phân $\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx$ bằng:
- A.
  $\frac{45}{4}$
- B.
  $\frac{47}{4}$
- C.
  $\frac{25}{4}$
- D.
  $2$
Ta có:

$\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx = \left. \ \left( \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} ight) ight|_{1}^{8} = \frac{45}{4}$ .
Câu 6: Vận dụng cao

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ và $y = k$ , với $0 < k < 1$ . Tìm $k$ để diện tích hình phẳng $(H)$ gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,59

Đáp án là:

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ và $y = k$ , với $0 < k < 1$ . Tìm $k$ để diện tích hình phẳng $(H)$ gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,59

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $(H)$ . Lúc dó $S = 2S_{1} + 2S_{2}$ , trong đó $S_{1}$ là diện tích phần gạch sọc ở bên phải $Oy$ và $S_{2}$ là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

Gọi $A,B$ là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng $y = k$ và đồ thị hàm số $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ , trong đó $A\left( \sqrt{1 - k};k ight)$ và $B\left( \sqrt{1 + k};k ight)$ .

Thco yêu cầu bài toán $S = 2 \cdot 2S_{1} \Leftrightarrow S_{1} = S_{2}$ .

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 - k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\ = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k - 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1 ight)dx}$ .

$\Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}$

$= \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}$

$\ + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k} ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx 0,59$ .
Câu 7: Thông hiểu
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi Parabol $y = \frac{x^{2}}{12}$ và đường cong có phương trình $y = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ như hình vẽ:

Diện tích của hình phẳng $(H)$ bằng:
- A.
  $\frac{4\pi + \sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{4\sqrt{3} + \pi}{6}$
- C.
  $\frac{8\pi + 2\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\frac{4\pi + \sqrt{3}}{6}$
Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{x^{2}}{12} = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt{3}$

Diện tích hình phẳng $(H)$ bằng:

$S = 2\int_{0}^{2\sqrt{3}}{\left\lbrack \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} - \frac{x^{2}}{12} ightbrack dx}$

$= \int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} - \frac{1}{6}\int_{0}^{2\sqrt{3}}{x^{2}dx}$

$= \int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} + \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Đặt $x = 4\sin t$

$\Rightarrow\int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{16\cos^{2}tdt} = \frac{8\pi}{3} +2\sqrt{3}$

$\Rightarrow S = \frac{8\pi + 2\sqrt{3}}{3}$
Câu 8: Nhận biết
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{3}$ , trục hoành, $x = 0$ và $x = 2$ bằng
- A.
  $4$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $6$
Hình vẽ minh họa

Phương trình hoành độ giao điểm $x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Diện tích hình giới hạn là $S = \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{0}^{2}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{0}^{2} ight| = 4$
Câu 9: Thông hiểu
Biết rằng hàm số $y = f(x)$ có $f'(x) = 3x^{2} + 2x + m;f(2) = 1$ và đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $- 5$ . Hàm số $f(x)$ là:
- A.
  $x^{3} + 2x^{2} - 5x - 5$
- B.
  $2x^{3} + x^{2} - 7x - 5$
- C.
  $x^{3} + x^{2} - 3x - 5$
- D.
  $x^{3} + x^{2} + 4x - 5$
Theo lí thuyết $\int_{}^{}{f'(x)dx = f(x) + C}$

Ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx =}\int_{}^{}{\left( 3x^{2} + 2x + m ight)dx} = x^{3} + x^{2} + mx + C$

Khi đó $f(x)$ có dạng $f(x) = x^{3} + x^{2} + mx + C_{1}$

Theo đề ta có: $\left\{ \begin{matrix} f(2) = 1 \\ f(0) = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2^{3} + 2^{2} + 2m + C_{1} = 1 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 3 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số là $f(x) = x^{3} + x^{2} - 3x - 5$ .
Câu 10: Vận dụng

Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là $6cm$ , chiều cao trong lòng cốc là $10cm$ đang đựng một lượng nước.
Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là $6cm$ , chiều cao trong lòng cốc là $10cm$ đang đựng một lượng nước.
Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 11: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{(2x - 1)^{2}}$ ?
- A.
  $\frac{1}{2 - 4x} + C$
- B.
  $- \frac{1}{(2x - 1)^{2}} + C$
- C.
  $\frac{1}{4x - 2} + C$
- D.
  $- \frac{1}{2x - 1} + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\frac{1}{(2x -1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{(2x - 1)^{- 1}dx}$

$= - \frac{1}{2}.\frac{1}{2x -2} + C = \frac{1}{2 - 4x} + C$
Câu 12: Thông hiểu
Diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{3} - 2x - 1$ và $y = 2x - 1$ được tính theo công thức
- A.
  $S = \int_{- 2}^{0}{\left| x^{3} - 4x ight|dx}$
- B.
  $S = \int_{0}^{2}{\left| x^{3} - 4x ight|dx}$
- C.
  $S = \int_{- 2}^{2}{\left( x^{3} - 4x ight)dx}$
- D.
  $S = \int_{- 2}^{2}{\left| x^{3} - 4x ight|dx}$
Phương trình hoành độ giao điểm của $y = x^{3} - 2x - 1$ và $y = 2x - 1$ là:

$x^{3} - 2x - 1 = 2x - 1 \Leftrightarrow x^{3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = 0 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy diện tích hình phẳng $H$ được giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{3} - 2x - 1$ và $y = 2x - 1$ được tính theo công thức $S = \int_{- 2}^{2}{\left| x^{3} - 4x ight|dx}$ .
Câu 13: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'(x) - f(x) = e^{x}$ và $f(0) = 2$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y(x) = f(x)$ tại giao điểm với trục hoành là:
- A.
  $y = x + 2$
- B.
  $y = e^{2}(x - 4)$
- C.
  $y = e^{- 2}(x + 2)$
- D.
  $y = - x$
Ta có: $f'(x) - f(x) = e^{x}$ . Nhân cả hai vế với $e^{- x}$ ta được:

$e^{- x}f'(x) - e^{- x}.f(x) = 1$

$\Leftrightarrow \left( e^{- x}.f(x) ight)' = 1$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\Leftrightarrow \int_{}^{}{\left( e^{- x}.f(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow e^{- x}.f(x) = x + C$

$f(0) = 2 \Rightarrow f(0) = 0 + C \Leftrightarrow C = 2$

Suy ra $e^{- x}.f(x) = x + 2 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x + 2}{e^{- x}} = (x + 2)e^{x}$

$\Rightarrow f'(x) = (x + 3)e^{x}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $(x + 2)e^{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

Ta có: $f'( - 2) = ( - 2 + 3)e^{- 2} = e^{- 2};f( - 2) = 0$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là: $y = e^{- 2}(x + 2)$
Câu 14: Thông hiểu
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}}$ là:
- A.
  $\frac{3}{4}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
- B.
  $\frac{2}{3}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
- C.
  $\frac{x}{2(x + 1)\sqrt{x + 1}} + C$
- D.
  $\sqrt{x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} + C$
Đặt $t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\left( \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{t^{2} + 1}{t} ight)2tdt} = \int_{}^{}{\left( 2t^{2} + 2 ight)dt} = \frac{2t^{3}}{3} + 2t + C$

$= \frac{2(x + 1)\sqrt{x + 1}}{3} + 2\sqrt{x + 1} + C = \frac{2}{3}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
Câu 15: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x} + \sin x$ là:
- A.
  $\ln|x| + \cos x + C$
- B.
  $\ln|x| - \cos x + C$
- C.
  $\ln x + \cos x + C$
- D.
  $\frac{1}{x^{2}} - \cos x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \sin x ight)dx} = \ln|x| - \cos x + C$ .
Câu 16: Nhận biết
Tính $\int_{}^{}{\sin3xdx}$ ?
- A.
  $- \frac{1}{3}\cos3x +C$
- B.
  $- \cos3x + C$
- C.
  $\cos3x + C$
- D.
  $\frac{1}{3}\cos3x +C$
Áp dụng công thức $\int_{}^{}{\sin(ax + b)dx} = - \frac{1}{a}\cos(ax + b) + C$

Suy ra $\int_{}^{}{\sin3xdx} = -\frac{1}{3}\cos3x + C$
Câu 17: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = f(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

Biết $\int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx} = 7$ và $\int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx} = - 3$ . Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm có hoành độ $x = 3$ là:
- A.
  $y = x - 4$
- B.
  $y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$
- C.
  $y = 2x - 7$
- D.
  $y = 3x - 10$
Từ đồ thị hàm số ta suy ra $f(0) = 2;f'(0) = 0$

Xét tích phân $\int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx}$ . Đặt $u = x^{2} - 1 \Rightarrow du = 2xdx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow u = 0 \\ x = 2 \Rightarrow u = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Do đó $\int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx} = \int_{1}^{3}{f'(u)du} = \left. \ f(u) ight|_{0}^{3} = f(3) - f(0)$

$\Rightarrow f(3) - f(0) = - 3 \Rightarrow f(3) = - 1$

Xét tích phân $\int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx}$ . Đặt $u = x - 1 \Rightarrow du = dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow u = 0 \\ x = 4 \Rightarrow u = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx} = \int_{0}^{3}{(u + 1)f''(u)du} = \int_{0}^{3}{(u + 1)d\left\lbrack f'(u) ightbrack}$

$= \left. \ (u + 1)f'(u) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f'(u)du}$

$= 4f'(3) - f'(0) - \left. \ f(u) ight|_{0}^{3}$

$= 4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0)$

Theo bài ra suy ra

$4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0) = 7$

$\Rightarrow 4f'(3) = 7 + f(3) - f(0) = 4 \Rightarrow f'(3) = 1$

Như vậy $f(3) = - 1;f'(3) = 1$ . Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x = 3$ là: $y = x - 4$ .
Câu 18: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int_{0}^{2}{\left\lbrack f(x) + 3x^{2} ightbrack dx} = 10$ . Xác định giá trị của $\int_{0}^{2}{f(x)dx}$ ?
- A.
  $\int_{0}^{2}{f(x)dx} = - 18$
- B.
  $\int_{0}^{2}{f(x)dx} = - 2$
- C.
  $\int_{0}^{2}{f(x)dx} = 18$
- D.
  $\int_{0}^{2}{f(x)dx} = 2$
Ta có: $\int_{0}^{2}{\left\lbrack f(x) + 3x^{2} ightbrack dx} = 10 \Leftrightarrow \int_{0}^{2}{f(x)dx} = 10 - \int_{0}^{2}{3x^{2}dx}$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{2}{f(x)dx} = 10 - \left. \ x^{3} ight|_{0}^{2} = 2$
Câu 19: Thông hiểu
Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - \frac{1}{3}x + 1$ và trục hoành như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $S = \int_{- 1}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{3}{f(x)dx}$ .
- B.
  $S = 2\int_{1}^{3}{f(x)dx}$ .
- C.
  $S = 2\int_{- 1}^{1}{f(x)dx}$ .
- D.
  $S = \int_{- 1}^{3}{\left| f(x) ight|dx}$ .
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục hoành là:

$\frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - \frac{1}{3}x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Từ hình vẽ ta thấy $\left\{ \begin{matrix} f(x) > 0;\forall x \in ( - 1;1) \\ f(x) < 0;\forall x \in (1;3) \\ \end{matrix} ight.$

Do đó $S = \int_{- 1}^{3}{\left| f(x) ight|dx} = \int_{- 1}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{3}{f(x)dx} = 2\int_{- 1}^{1}{f(x)dx}$

Vậy mệnh đề sai là: $S = 2\int_{1}^{3}{f(x)dx}$
Câu 20: Thông hiểu
Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc $v_{0} = 16(m/s)$ thì tăng tốc với gia tốc $a(t) = t^{2} + 3t\left( m/s^{2} ight)$ . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian $4s$ kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
- A.
  $S = \frac{160}{3}m$
- B.
  $S = \frac{352}{3}m$
- C.
  $S = \frac{400}{3}m$
- D.
  $S = \frac{250}{3}m$
Ta có: $v(t) = a(t) = \int_{}^{}{\left( t^{2} + 3t ight)dt} = \frac{t^{3}}{3} + \frac{3t^{2}}{2} + C$ .

Khi đó $v_{0} = v(0) = C = 16 \Rightarrow v(t) = \frac{t^{3}}{3} + \frac{3t^{2}}{2} + 16$

Khi đó quãng đường đi được bằng:

$S(t) = \int_{0}^{4}{v(t)dt} = \int_{0}^{4}{\left( \frac{t^{3}}{3} + \frac{3t^{2}}{2} + 16 ight)dt}$

$= \left. \ \left( \frac{t^{4}}{12} + \frac{t^{3}}{2} + 16t ight) ight|_{0}^{4} = \frac{352}{2}(m)$

24 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!