Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho $\int_{2}^{3}{\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}dx} = aln2 + bln3 + cln5$ với $a;b;c$ là các số thực. Giá trị của biểu thức $T = a + b^{2} - c^{3}$ bằng:
- A.
  $T = 3$
- B.
  $T = 6$
- C.
  $T = 5$
- D.
  $T = 4$
Ta có:

$\int_{2}^{3}{\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}dx} = \int_{2}^{3}{\left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} ight)dx}$

$= \left. \ \ln\left| \frac{x + 1}{x + 2} ight| ight|_{2}^{3} = \ln\frac{4}{5} - \ln\frac{3}{4} = 4ln2 - ln3 - ln5$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = - 1 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = a + b^{2} - c^{3} = 6$
Câu 2: Nhận biết
Xác định nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^{2} + \frac{x}{2}$ ?
- A.
  $x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$
- B.
  $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{4} + C$
- C.
  $x^{3} - \frac{x^{2}}{2} + C$
- D.
  $x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}\left( 3x^{2} + \frac{x}{2} ight)dx = x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C$ .
Câu 3: Nhận biết
Cho các hàm số $f(x)$ và $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F'(x) = f(x)$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Tính $I = \int_{0}^{1}{f(x)dx}$ , biết rằng $F(0) = 2;F(1) = 5$ ?
- A.
  $I = - 3$
- B.
  $I = 7$
- C.
  $I = 1$
- D.
  $I = 3$
Ta có: $I = \int_{0}^{1}{f(x)dx} = F(1) - F(0) = 3$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x\sin x$ , biết rằng $F\left( \frac{\pi}{2} ight) = 2019$ ?
- A.
  $F(x) = x\sin x + \cos x + 2019$
- B.
  $F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018$
- C.
  $F(x) = x\sin x - \cos x + 2019$
- D.
  $F(x) = x\sin x + \cos x + 2018$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \sin xdx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cos x \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{}^{}{x\sin xdx} = - x\cos x - \int_{}^{}{\left( - \cos x ight)dx} + C = - x\cos x + \sin x + C$

$F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} + C = 2019 \Rightarrow C = 2018$

Vậy $F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018$ .
Câu 5: Thông hiểu
Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4\cos^{2}x - 5$ thỏa mãn $F(\pi) = 0$ . Tìm $F(x)$ ?
- A.
  $F(x) = - 3x +\sin2x +3\pi$
- B.
  $F(x) = - \frac{4}{3}\sin^{3}x - 5x +5\pi$
- C.
  $F(x) = - \frac{4}{3}\sin^{3}x - 5x +\frac{4}{3} + 5\pi$
- D.
  $F(x) = - 3x - \sin2x +3\pi$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\left( 4\cos^{2}x- 5 ight)dx} \Leftrightarrow F(x) = \int_{}^{}{(2\cos2x -3)dx}$

$\Leftrightarrow F(x) = \sin2x - 3x +C$

Lại có $F(\pi) = 0 \Leftrightarrow - 3\pi + C = 0 \Leftrightarrow C = 3\pi$

Vậy $F(x) = - 3x + \sin2x +3\pi$ .
Câu 6: Thông hiểu
Biết rằng $\int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = a\ln|x + 1| + b\ln|x - 2| + C$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $a + 2b = 8$
- B.
  $a + b = 8$
- C.
  $2a - b = 8$
- D.
  $a - b = 8$
Ta có: $\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 2}$

$= \frac{A(x - 2) + B(x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{(A + B)x + ( - 2A + B)}{(x + 1)(x - 2)}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 2 \\ - 2A + B = - 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 5 \\ B = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $\int_{}^{}{\frac{2x - 13}{(x + 1)(x - 2)}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{5}{x + 1} - \frac{3}{x - 2} ight)dx}$

$= 5\ln|x + 1| - 3\ln|x - 2| +C$

Suy ra $a = 5;b = - 3$ suy ra $a - b = 8$ .
Câu 7: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) =2\sin x.\cos2x$ là:
- A.
  $- \frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- B.
  $\frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- C.
  $\frac{1}{3}\cos3x - \cos x +C$
- D.
  $- \cos3x + \cos x +C$
Ta có: $f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x$

Khi đó:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}$

$= \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C$
Câu 8: Vận dụng
Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{2x + 1}{x^{3} + 2x^{3} + x^{2}}$ trên khoảng $(0; + \infty)$ thỏa mãn $F(1) = \frac{1}{2}$ . Giá trị của biểu thức $T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019)$ bằng:
- A.
  $\frac{2019}{2020}$
- B.
  $\frac{2019.2021}{2020}$
- C.
  $2018\frac{1}{2020}$
- D.
  $- \frac{2019}{2020}$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{2x + 1}{x^{2}(x + 1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} ight)dx}$

Suy ra $F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + C$ mà $F(1) = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1$ .Hay $F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + 1$

Ta có:

$T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019)$

$T = \left( - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + 4 ight) + ... + \left( - \frac{1}{2019} + \frac{1}{2020} + 1 ight)$

$T = - 1 + \frac{1}{2020} + 2019.1 = 2018 + \frac{1}{2020} = 2018\frac{1}{2020}$
Câu 9: Nhận biết
Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = f(x);y = g(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ và hai đường thẳng $x = a;x = b;a < b$ là
- A.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
- B.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx}$
- C.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack^{2}dx}$
- D.
  $S = \pi\int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
Ta có hình phẳng giới hạn bởi $\left\{ \begin{matrix} \left( C_{1} ight):y = f(x) \\ \left( C_{2} ight):y = g(x) \\ x = a \\ x = b \\ \end{matrix} ight.$ là $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Câu 10: Vận dụng cao

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ và $y = k$ , với $0 < k < 1$ . Tìm $k$ để diện tích hình phẳng $(H)$ gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,59

Đáp án là:

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ và $y = k$ , với $0 < k < 1$ . Tìm $k$ để diện tích hình phẳng $(H)$ gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,59

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $(H)$ . Lúc dó $S = 2S_{1} + 2S_{2}$ , trong đó $S_{1}$ là diện tích phần gạch sọc ở bên phải $Oy$ và $S_{2}$ là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

Gọi $A,B$ là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng $y = k$ và đồ thị hàm số $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ , trong đó $A\left( \sqrt{1 - k};k ight)$ và $B\left( \sqrt{1 + k};k ight)$ .

Thco yêu cầu bài toán $S = 2 \cdot 2S_{1} \Leftrightarrow S_{1} = S_{2}$ .

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 - k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\ = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k - 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1 ight)dx}$ .

$\Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}$

$= \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}$

$\ + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k} ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx 0,59$ .
Câu 11: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = f(x)$ dương và liên tục trên $\lbrack 1;3brack$ thỏa mãn $\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = 2;\min_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \frac{1}{2}$ và biểu thức $S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx}$ đạt giá trị lớn nhất, khi đó $\int_{1}^{3}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $\frac{7}{2}$
- B.
  $\frac{5}{2}$
- C.
  $\frac{7}{5}$
- D.
  $\frac{3}{5}$
Do $\frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2 \Rightarrow f(x) + \frac{1}{f(x)} \leq \frac{5}{2}$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + \frac{1}{f(x)} ightbrack dx} \leq 5$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{f(x)dx} + \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5 - \int_{1}^{3}{f(x)dx}$

$\Rightarrow S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx} ightbrack^{2}$

$\leq \frac{25}{4} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx - \frac{5}{2}} ightbrack^{2} \leq \frac{25}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\int_{1}^{3}{f(x)dx} = \frac{5}{2}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Tích phân $\int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x\left( \ln x + 2 ight)^{2}}dx} = a\ln3 + b\ln2 +\frac{c}{3}$ với $a;b;c\mathbb{\in Z}$ . Kết luận nào dưới đây đúng?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 11$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 9$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$
Ta có: $I = \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x\left( \ln x + 2 ight)^{2}}dx}$ . Đặt $t = \ln x + 2 \Rightarrow dt = \frac{dx}{x}$

Đổi cận tích phân $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 2 \\ x = e \Rightarrow t = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $I = \int_{2}^{3}{\frac{t -2}{t^{2}}dt} = \int_{2}^{3}{\left( \frac{1}{t} - \frac{2}{t^{2}}ight)dt} = \left. \ \left( \ln t + \frac{2}{t} ight) ight|_{2}^{3}= \ln3 - \ln2 - \frac{1}{3}$

Suy ra $a = 1;b = - 1;c = - 1$ . Vậy $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ .
Câu 13: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ:

Tính tích phân $I = \int_{1}^{2}{f'(2x - 1)dx}$ ?
- A.
  $I = - 2$
- B.
  $I = - 1$
- C.
  $I = 1$
- D.
  $I = 2$
Ta có:

$I = \int_{1}^{2}{f'(2x - 1)dx} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{f'(2x - 1)d(2x - 1)}$

$= \frac{1}{2}\left. \ f(2x - 1)ight|_{1}^{2} = \frac{1}{2}\left\lbrack f(3) - f(1) ightbrack =2$
Câu 14: Thông hiểu
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y = x^{2} - 2x$ và $y = - x^{2} + x$ bằng:
- A.
  $\frac{9\pi}{8}$
- B.
  $\frac{27}{8}$
- C.
  $\frac{9}{8}$
- D.
  $\frac{27\pi}{8}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm

$x^{2} - 2x = - x^{2} + x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \frac{3}{2} \\ \end{matrix} ight.$

Diện tích hình phẳng là:

$S = \int_{0}^{\frac{3}{2}}{\left| 2x^{2} - 3x ight|dx} = \left| \int_{0}^{\frac{3}{2}}{\left( 2x^{2} - 3x ight)dx} ight|$

$= \left| \left. \ \left( \frac{2}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{\frac{3}{2}} ight| = \frac{9}{8}$
Câu 15: Vận dụng

Cho hình phẳng $(S)$ được giới hạn bởi đồ thị các hàm số $\left( P_{1} ight):y= x^{2},\left( P_{2} ight):y = \frac{x^{2}}{4},$ $\left( H_{1} ight):y= \frac{2}{x},\left( H_{2} ight):y = \frac{8}{x}$ . Tính diện tích hình phẳng $(S)$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình phẳng $(S)$ được giới hạn bởi đồ thị các hàm số $\left( P_{1} ight):y= x^{2},\left( P_{2} ight):y = \frac{x^{2}}{4},$ $\left( H_{1} ight):y= \frac{2}{x},\left( H_{2} ight):y = \frac{8}{x}$ . Tính diện tích hình phẳng $(S)$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 16: Nhận biết
Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = 30 - 2t(m/s)$ . Hỏi trong $5s$ trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?
- A.
  $50m$
- B.
  $225m$
- C.
  $125m$
- D.
  $25m$
Khi dừng hẳn $v(t) = 30 - 2t = 0 \Rightarrow t = 15(s)$

Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

$S = \int_{10}^{15}{v(t)dt} = \int_{10}^{15}{(30 - 2t)dt} = 25m$ .
Câu 17: Nhận biết
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = x^{2} - 2;y = 0;x = - 1;x = 2$ quanh trục $Ox$ bằng
- A.
  $V = \frac{16\pi}{5}$
- B.
  $V = \frac{17\pi}{5}$
- C.
  $V = \frac{18\pi}{5}$
- D.
  $V = \frac{5\pi}{18}$
Ta có:

$V = \pi\int_{- 1}^{2}{\left( x^{2} - 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{- 1}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx}$

$= \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - x^{4} + \frac{4x^{3}}{3} ight) ight|_{- 1}^{2} = \frac{18\pi}{5}$
Câu 18: Thông hiểu
Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ cho elip $(E)$ có phương trình $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi nửa elip nằm trên trục hoành và trục hoành. Quay hình $(H)$ xung quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay, tính thể tích khối tròn xoay đó?
- A.
  $V = 60\pi$
- B.
  $V = 30\pi$
- C.
  $V = \frac{1188\pi}{25}$
- D.
  $V = \frac{1416\pi}{25}$
Ta có: $\frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{25} \Rightarrow y = \sqrt{9\left( 1 - \frac{x^{2}}{25} ight)}$ với $x \in \lbrack - 5;5brack$

Khi đó thể tích cần tìm là: $V = \pi\int_{- 5}^{5}{\left( 9 - \frac{9x^{2}}{25} ight)dx} = 60\pi$
Câu 19: Nhận biết
Tính $\int_{}^{}{\sin3xdx}$ ?
- A.
  $- \frac{1}{3}\cos3x +C$
- B.
  $- \cos3x + C$
- C.
  $\cos3x + C$
- D.
  $\frac{1}{3}\cos3x +C$
Áp dụng công thức $\int_{}^{}{\sin(ax + b)dx} = - \frac{1}{a}\cos(ax + b) + C$

Suy ra $\int_{}^{}{\sin3xdx} = -\frac{1}{3}\cos3x + C$
Câu 20: Thông hiểu
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):y = x^{2}$ và đường thẳng $d:y = x$ xoay quanh trục $Ox$ tính bởi công thức nào sau đây?
- A.
  $\pi\int_{0}^{1}{x^{2}dx} - \pi\int_{0}^{1}{x^{4}dx}$
- B.
  $\pi\int_{0}^{1}{x^{2}dx} + \pi\int_{0}^{1}{x^{4}dx}$
- C.
  $\pi\int_{0}^{1}{\left( x^{2} - x ight)^{2}dx}$
- D.
  $\pi\int_{0}^{1}{\left( x^{2} - x ight)dx}$
Hình vẽ minh họa

Ta có $(P)$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm $(0;0),(1;1)$ và $x > x^{2};\forall x \in (0;1)$

Suy ra thể tích khối tròn xoay đã cho $T$ bằng thể tích khối tròn xoay $T_{1}$ trừ đi thể tích khối tròn xoay $T_{2}$ . Trong đó:

$T_{1}$ được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $d$ , trục Ox, x = 0, x = 1.

$T_{2}$ được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $(P)$ , trục Ox, x = 0, x = 1.

Vậy thể tích khối tròn xoay đã cho bằng $\pi\int_{0}^{1}{x^{2}dx} - \pi\int_{0}^{1}{x^{4}dx}$ .

45 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!