Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Biết rằng $F(x) = \left( ax^{2} + bx + c ight)e^{- x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{- x}$ trên $\mathbb{R}$ . Giá trị của biểu thức $f\left( F(0) ight)$ bằng:
- A.
  $- \frac{1}{e}$
- B.
  $3e$
- C.
  $20e^{2}$
- D.
  $9e$
Ta có: $\left( F(x) ight)' = \left\lbrack \left( ax^{2} + bx + c ight)e^{- x} ightbrack'$

$= \left\lbrack - ax^{2} + (2a - b)x + b - c ightbrack e^{- x}$

$= \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{- x}$ suy ra $\left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\2a - b = - 5 \\b - c = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\b = 1 \\c = - 1 \\\end{matrix} ight.$ $\Rightarrow F(x) = \left( 2x^{2} + x - 1ight)e^{- x}$

$\Rightarrow F(0) = - 1 \Rightarrow f\left( F(0) ight) = f( - 1) = 9e$
Câu 2: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}$ ?
- A.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
- B.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
- C.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
- D.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{2}{3}\left( x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\left( x - \sqrt{x^{2} - 1} ight) ightbrack dx}$

$= \int_{}^{}{2x^{2}dx} - \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\sqrt{x^{2} - 1} ightbrack dx} = \frac{2}{3}x^{3} - \int_{}^{}{\left( x^{2} - 1 ight)^{\frac{1}{2}}d\left( x^{2} - 1 ight)}$

$= \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1} + C$

Vậy một nguyên hàm của hàm số là $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$ .
Câu 3: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}}$ là:
- A.
  $\frac{2}{e^{x} + 1} + C$ .
- B.
  $- \frac{2}{e^{x} + 1} + C$ .
- C.
  $\frac{- 1}{e^{x} + 1} + C$ .
- D.
  $\frac{1}{e^{x} + 1} + C$ .
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}}dx} = \int_{}^{}\frac{d\left( e^{x} + 1 ight)}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}} = - \frac{1}{e^{x} + 1} + C$ .
Câu 4: Nhận biết
Tích phân $\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 5}$ bằng:
- A.
  $\frac{1}{2}\log\frac{7}{5}$
- B.
  $\frac{1}{2}\log\frac{5}{7}$
- C.
  $\frac{1}{2}\ln\frac{7}{5}$
- D.
  $\frac{1}{2}\ln\frac{5}{7}$
Ta có: $\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 5} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{d(2x + 5)}{2x + 5}$

$= \left. \ \frac{1}{2}\ln(2x + 5) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\ln\frac{7}{5}$
Câu 5: Thông hiểu
Một ô tô đang chạy với vận tốc $20m/s$ thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = - 4t + 20(m/s)$ trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?
- A.
  $25m$
- B.
  $50m$
- C.
  $10m$
- D.
  $30m$
Khi vật dừng hẳn thì $v = 0 \Rightarrow - 4t + 20 = 0 \Rightarrow t = 5(s)$

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên là:

$S(t) = \int_{0}^{5}{v(t)dt} = \int_{0}^{5}{( - 4t + 20)dt} = 50m$
Câu 6: Thông hiểu
Cho biết $\int_{1}^{2}{\ln\left( 9 - x^{2} ight)dx} = aln5 + bln2 + c$ với $a;b;c\mathbb{\in Z}$ . Tính $S = |a| + |b| + |c|$ ?
- A.
  $S = 34$
- B.
  $S = 13$
- C.
  $S = 18$
- D.
  $S = 26$
Xét trên đoạn $\lbrack 1;2brack$ ta có:

$\ln\left( 9 - x^{2} ight) = \ln(3 - x) + \ln(3 + x)$

Xét $I_{1} = \int_{1}^{2}{\ln(3 - x)dx}$ . Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = \ln(3 - x) \\dv = dx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x - 3}dx \\v = x \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I_{1} = \left. \ x\ln(3 - x) ight|_{1}^{2} - \int_{1}^{2}{\frac{x}{x - 3}dx}$

$\Rightarrow I_{1} = \left. \ x\ln(3 - x)ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack x + 3\ln(3 - x) ightbrackight|_{1}^{2} = 2\ln2 - 1$

Xét $I_{2} = \int_{1}^{2}{\ln(3 + x)dx}$ . Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = \ln(3 + x) \\dv = dx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x + 3}dx \\v = x \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I_{2} = \left. \ x\ln(3 + x) ight|_{1}^{2} - \int_{1}^{2}{\frac{x}{x + 3}dx}$

$\Rightarrow I_{2} = \left. \ x\ln(3 + x)ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack x + 3\ln(3 + x) ightbrackight|_{1}^{2} = 5\ln5 - 8\ln2 - 1$

Vậy $\int_{1}^{2}{\ln\left( 9 - x^{2}ight)dx} = I_{1} + I_{2} = 5\ln5 - 6\ln2 - 2 \Rightarrow S =13$ .
Câu 7: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $(C)$ là đường cong như hình vẽ:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0;x = 2$ (phần tô đen) là:
- A.
  $\int_{0}^{2}{f(x)dx}$
- B.
  $- \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx}$
- C.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{2}{f(x)dx}$
- D.
  $\left| \int_{0}^{2}{f(x)dx} ight|$
Dựa vào hình vẽ ta thấy $x \in (0;1)$ thì $\left\{ \begin{matrix} f(x) > 0;\forall x \in (0;1) \\ f(x) < 0;\forall x \in (1;2) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $S = \int_{0}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{2}{f(x)dx}$
Câu 8: Vận dụng cao
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 6;5brack$ có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ:

Tính giá trị $I = \int_{- 6}^{5}{\left\lbrack f(x) + 2 ightbrack dx}$ ?
- A.
  $I = 2\pi + 35$
- B.
  $I = 2\pi + 34$
- C.
  $I = 2\pi + 33$
- D.
  $I = 2\pi + 32$
Hình vẽ minh họa

Dựa vào đồ thị ta có: $A( - 6; - 1),B( - 2;1)$ suy ra phương trình đường thẳng $AB:y = \frac{1}{2}x + 2$

$\Rightarrow I_{1} = \int_{0}^{- 2}{\left\lbrack \frac{1}{2}x + 2 + 2 ightbrack dx} = 8$

Phương trình đường tròn $(C)$ : $x^{2} + (y - 1)^{2} = 4 \Rightarrow y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$

$\Rightarrow I_{2} = \int_{- 2}^{2}{\left\lbrack 1 + \sqrt{4 - x^{2}} + 2 ightbrack dx} = 12 + 2\pi$

Điểm $C(2;1),D(5;3)$ nên phương trình đường thẳng $CD$ là: $y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$

$\Rightarrow I_{3} = \int_{2}^{5}{\left\lbrack \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} + 2 ightbrack dx} = 12$

Vậy $I = I_{1} + I_{2} + I_{3} = 32 + 2\pi$
Câu 9: Nhận biết
Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}}$ là:
- A.
  $\frac{- \sqrt{x}}{2} + C$
- B.
  $\frac{2}{\sqrt{x}} + C$
- C.
  $- \frac{2}{\sqrt{x}} + C$
- D.
  $\frac{\sqrt{x}}{2} + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x}}dx}$

$= \int_{}^{}{x^{- \frac{3}{2}}dx=}\dfrac{x^{- \frac{1}{2}}}{- \dfrac{1}{2}} + C = - \frac{2}{\sqrt{x}} +C$ .
Câu 10: Nhận biết
Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{- e^{x} + 4x}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1;x = 2$ . Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình $(H)$ xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
- A.
  $V = \pi\int_{1}^{2}{\left( e^{x} - 4x ight)dx}$
- B.
  $V = \int_{1}^{2}{\left( e^{x} - 4x ight)dx}$
- C.
  $V = \int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx}$
- D.
  $V = \pi\int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx}$
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:

$V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}dx}$

Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:

$V = \pi\int_{1}^{2}{\left\lbrack \sqrt{- e^{x} + 4x} ightbrack^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi $y = \ln x,y = 0,x = e$ là $V = \pi(a + be)$ . Tính $a + b$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $- 1$
- C.
  $0$
- D.
  $2$
Phương trình hoành độ giao điểm $\ln x = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Ta có:

$V =\pi\int_{1}^{e}{\ln^{2}xdx}$

$= \pi\left\lbrack \left. \ \left(x\ln^{2}x ight) ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{x.\frac{2}{x}.\ln xdx}ightbrack$

$= \pi\left\lbrack e - 2\int_{1}^{e}{\ln xdx} ightbrack$

$= \pi\left\{ e - 2.\left\lbrack \left. \ \left( x\ln x ight) ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{dx} ightbrack ight\}$

$= \pi\left\{ e - 2.\lbrack e - e + 1brack ight\} = \pi(e - 2)$

Vậy $a = - 2;b = 1 \Rightarrow a + b = - 1$
Câu 12: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x} + \sin x$ là:
- A.
  $\ln|x| + \cos x + C$
- B.
  $\ln|x| - \cos x + C$
- C.
  $\ln x + \cos x + C$
- D.
  $\frac{1}{x^{2}} - \cos x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \sin x ight)dx} = \ln|x| - \cos x + C$ .
Câu 13: Nhận biết
Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 3^{x};y = 0;x = 0;x = 2$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $S = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}$
- B.
  $S = \pi\int_{0}^{2}{3^{2x}dx}$
- C.
  $S = \pi\int_{0}^{2}{3^{x}dx}$
- D.
  $S = \int_{0}^{2}{3^{2x}dx}$
Ta có: $S = \int_{0}^{2}{\left| 3^{x} ight|dx} = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}$
Câu 14: Vận dụng

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}$ , cung tròn có phương trình $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ (với $0 \leq x \leq 2$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi$ , trong đó $a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*}$ và $\frac{a}{b};\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính $P = a + b + c +d$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}$ , cung tròn có phương trình $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ (với $0 \leq x \leq 2$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi$ , trong đó $a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*}$ và $\frac{a}{b};\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính $P = a + b + c +d$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 15: Thông hiểu
Một học sinh đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức $v(t) = 40t + 100(m/p)$ . Biết rằng sau khi đi được 1 phút thì quãng đường học sinh đó đi được là $120m$ . Biết quãng đường từ nhà đến trường là $3km$ . Hỏi thời gian học sinh đó đi đến trường là bao nhiêu phút?
- A.
  $9$ phút
- B.
  $15$ phút
- C.
  $10$ phút
- D.
  $12$ phút
Ta có: $S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} = 20t^{2} + 100t + C$

Vì $S(1) = 120 + C = 120 \Rightarrow C = 0$

Để học sinh đó đến trường thì $S(t) = 20t^{2} + 100t = 3000 \Leftrightarrow t = 10$

Vậy đáp án cần tìm là $10$ phút.
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho vật thể $(H)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $x = a$ và $x = b$ với $a < b$ . Gọi $f(x)$ là diện tích thiết diện của $(H)$ bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là $x$ , với $a \leq x \leq b$ . Biết hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ , khi đó thể tích $V$ của vật thể $(H)$ được cho bởi công thức:
- A.
  $V = \pi{\int_{a}^{b}\left\lbrack f(x) ightbrack}^{2}dx$
- B.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{f(x)}dx$
- C.
  $V = \int_{a}^{b}{f(x)}dx$
- D.
  $V = \int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx$
Vì $f(x)$ là diện tích thiết diện của $(H)$ bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là $x$ , với $a \leq x \leq b$ ta có: $V = \int_{a}^{b}{f(x)}dx$ không phải là $V = \pi{\int_{a}^{b}\left\lbrack f(x) ightbrack}^{2}dx$ .
Câu 17: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục nhận giá trị dương trên $(0; +\infty)$ và thỏa mãn $f(1) =1$ ; $f(x) = f'(x).\sqrt{3x +1};\forall x > 0$ . Giá trị $f(3)$ gần nhất với giá trị nào sau đây?
- A.
  $2,9$
- B.
  $3,2$
- C.
  $3,7$
- D.
  $2,5$
Vì $\left\{ \begin{matrix}f(x) > 0 \\f(x) = f'(x)\sqrt{3x + 1} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} =\frac{1}{\sqrt{3x + 1}}$
$\Rightarrow\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{3x +1}}dx} \Rightarrow \ln f(x) = \frac{2\sqrt{3x + 1}}{3} + C$
Mà $f(1) = 1 \Rightarrow C = -\frac{4}{3}$
$\Rightarrow f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}} \Rightarrow f\left( 3 ight) \approx 2,17$
Câu 18: Nhận biết
Cho các hàm số $f(x)$ và $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F'(x) = f(x)$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Tính $I = \int_{0}^{1}{f(x)dx}$ , biết rằng $F(0) = 2;F(1) = 5$ ?
- A.
  $I = - 3$
- B.
  $I = 7$
- C.
  $I = 1$
- D.
  $I = 3$
Ta có: $I = \int_{0}^{1}{f(x)dx} = F(1) - F(0) = 3$ .
Câu 19: Vận dụng cao

Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m² (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 4,32m².

Đáp án là:

Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m² (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 4,32m².

Đặt hệ trục tọa độ có gốc O trùng với giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.

Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm $A( - 1;0)$ và $A(2;1)$ có dạng hàm số $(P_{1}):y = \frac{1}{2}x^{2} - 1$ .

Đồ thị của hàm số $y = g(x)$ nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm $C(1;0)$ và $D(2; - 1)$ có dạng hàm số $(P_{1}):y = - \frac{1}{2}x^{2} + 1$ .

Giao điểm của hai parabol tại $x_{1} = - \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{2}$

Do đó, diện tích của con cá là $S = \int_{- \sqrt{2}}^{2}{\left| x^{2} - 2 ight|dx} \approx 4,32m^{2}$
Câu 20: Thông hiểu
Hàm số $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)$ . Hỏi hàm số $F(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
TXĐ: $D\mathbb{= R}$

Ta có: $F'(x) = f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)$

$\Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - x = 0 \\ \ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} + 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình $F'(x) = 0$ có 1 nghiệm đơn $x = 1$ và một nghiệm kép $x = 0$ nên hàm số $F(x)$ có 1 điểm cực trị.

36 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!