Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x} + \sin x$ là:
- A.
  $\ln|x| + \cos x + C$
- B.
  $\ln|x| - \cos x + C$
- C.
  $\ln x + \cos x + C$
- D.
  $\frac{1}{x^{2}} - \cos x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \sin x ight)dx} = \ln|x| - \cos x + C$ .
Câu 2: Thông hiểu
Cho biết $\int_{1}^{2}{\ln\left( 9 - x^{2} ight)dx} = aln5 + bln2 + c$ với $a;b;c\mathbb{\in Z}$ . Tính $S = |a| + |b| + |c|$ ?
- A.
  $S = 34$
- B.
  $S = 13$
- C.
  $S = 18$
- D.
  $S = 26$
Xét trên đoạn $\lbrack 1;2brack$ ta có:

$\ln\left( 9 - x^{2} ight) = \ln(3 - x) + \ln(3 + x)$

Xét $I_{1} = \int_{1}^{2}{\ln(3 - x)dx}$ . Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = \ln(3 - x) \\dv = dx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x - 3}dx \\v = x \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I_{1} = \left. \ x\ln(3 - x) ight|_{1}^{2} - \int_{1}^{2}{\frac{x}{x - 3}dx}$

$\Rightarrow I_{1} = \left. \ x\ln(3 - x)ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack x + 3\ln(3 - x) ightbrackight|_{1}^{2} = 2\ln2 - 1$

Xét $I_{2} = \int_{1}^{2}{\ln(3 + x)dx}$ . Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = \ln(3 + x) \\dv = dx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x + 3}dx \\v = x \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I_{2} = \left. \ x\ln(3 + x) ight|_{1}^{2} - \int_{1}^{2}{\frac{x}{x + 3}dx}$

$\Rightarrow I_{2} = \left. \ x\ln(3 + x)ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack x + 3\ln(3 + x) ightbrackight|_{1}^{2} = 5\ln5 - 8\ln2 - 1$

Vậy $\int_{1}^{2}{\ln\left( 9 - x^{2}ight)dx} = I_{1} + I_{2} = 5\ln5 - 6\ln2 - 2 \Rightarrow S =13$ .
Câu 3: Nhận biết
Hàm số $f(x) = x^{3} + \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
- A.
  $f(x) = 3x^{2} - \cos x$
- B.
  $f(x) = \frac{x^{4}}{4} - \cos x$
- C.
  $f(x) = 3x^{2} + \cos x$
- D.
  $f(x) = \frac{x^{4}}{4} + \cos x$
Ta có: $F'(x) = 3x^{2} + \cos x$
Câu 4: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'(x).f^{2}(x) = x^{2}$ và $f(2) = 2$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $g(x) = f(x) + x^{2}$ tại điểm có hoành độ bằng $3$ là:
- A.
  $y = 7x - 9$
- B.
  $y = x + 2$
- C.
  $y = 4x - 4$
- D.
  $y = x$
Ta có: $f'(x).f^{2}(x) = x^{2}$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\int_{}^{}{f'(x).f^{2}(x)dx} = \int_{}^{}{x^{2}dx}$

$\Leftrightarrow \int_{}^{}{f^{2}(x)df(x)} = \frac{x^{3}}{3} + C$

$\Leftrightarrow \frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C$ . Theo bài ra ta có: $f(2) = 2 \Rightarrow \frac{f^{3}(2)}{3} = \frac{2^{3}}{3} + C \Rightarrow C = 0$

Suy ra $\frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} \Leftrightarrow f(x) = x$

Vậy $g(x) = x^{2} + x \Rightarrow g'(x) = 2x + 1$

Ta có: $g'(3) = 7;g(3) = 12$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

$y = g'(3)(x - 3) + g(3)$

$\Leftrightarrow y = 7(x - 3) + 12 \Leftrightarrow y = 7x - 9$
Câu 5: Vận dụng

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}$ , cung tròn có phương trình $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ (với $0 \leq x \leq 2$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi$ , trong đó $a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*}$ và $\frac{a}{b};\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính $P = a + b + c +d$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}$ , cung tròn có phương trình $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ (với $0 \leq x \leq 2$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi$ , trong đó $a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*}$ và $\frac{a}{b};\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính $P = a + b + c +d$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 6: Thông hiểu
Biết rằng $F(x) = \left( ax^{2} + bx + c ight)e^{- x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{- x}$ trên $\mathbb{R}$ . Giá trị của biểu thức $f\left( F(0) ight)$ bằng:
- A.
  $- \frac{1}{e}$
- B.
  $3e$
- C.
  $20e^{2}$
- D.
  $9e$
Ta có: $\left( F(x) ight)' = \left\lbrack \left( ax^{2} + bx + c ight)e^{- x} ightbrack'$

$= \left\lbrack - ax^{2} + (2a - b)x + b - c ightbrack e^{- x}$

$= \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{- x}$ suy ra $\left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\2a - b = - 5 \\b - c = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\b = 1 \\c = - 1 \\\end{matrix} ight.$ $\Rightarrow F(x) = \left( 2x^{2} + x - 1ight)e^{- x}$

$\Rightarrow F(0) = - 1 \Rightarrow f\left( F(0) ight) = f( - 1) = 9e$
Câu 7: Thông hiểu
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):y = x^{2}$ và đường thẳng $d:y = x$ xoay quanh trục $Ox$ tính bởi công thức nào sau đây?
- A.
  $\pi\int_{0}^{1}{x^{2}dx} - \pi\int_{0}^{1}{x^{4}dx}$
- B.
  $\pi\int_{0}^{1}{x^{2}dx} + \pi\int_{0}^{1}{x^{4}dx}$
- C.
  $\pi\int_{0}^{1}{\left( x^{2} - x ight)^{2}dx}$
- D.
  $\pi\int_{0}^{1}{\left( x^{2} - x ight)dx}$
Hình vẽ minh họa

Ta có $(P)$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm $(0;0),(1;1)$ và $x > x^{2};\forall x \in (0;1)$

Suy ra thể tích khối tròn xoay đã cho $T$ bằng thể tích khối tròn xoay $T_{1}$ trừ đi thể tích khối tròn xoay $T_{2}$ . Trong đó:

$T_{1}$ được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $d$ , trục Ox, x = 0, x = 1.

$T_{2}$ được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $(P)$ , trục Ox, x = 0, x = 1.

Vậy thể tích khối tròn xoay đã cho bằng $\pi\int_{0}^{1}{x^{2}dx} - \pi\int_{0}^{1}{x^{4}dx}$ .
Câu 8: Thông hiểu
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = - x^{3} + 3x^{2} - 2$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0;x = 2$ là
- A.
  $S = \frac{7}{2}$
- B.
  $S = 4$
- C.
  $S = \frac{3}{2}$
- D.
  $S = \frac{5}{2}$
Phương trình hoành độ giao điểm

$- x^{3} + 3x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow (1 - x)\left( x^{2} - 2x - 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 1 + \sqrt{3} \\ x = 1 - \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó:

$S = \int_{0}^{2}{\left| - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight|dx}$

$= \int_{0}^{1}{\left| - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight|dx} + \int_{1}^{2}{\left| - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight|dx}$

$= \left| \int_{0}^{1}{\left( - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight)dx} ight| + \left| \int_{1}^{2}{\left( - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight)dx} ight|$

$= \left| \left. \ \left( - \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 2x ight) ight|_{0}^{1} ight| + \left| \left. \ \left( - \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 2x ight) ight|_{1}^{2} ight|$

$= \frac{5}{2}$
Câu 9: Thông hiểu
Cho $f(x);g(x)$ là các hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3;\int_{0}^{2}{\left\lbrack f(x) - 3g(x) ightbrack dx} = 4$ và $\int_{0}^{2}{\left\lbrack 2f(x) + g(x) ightbrack dx} = 8$ . Tính tích phân $I = \int_{1}^{2}{f(x)dx}$ ?
- A.
  $I = 1$ .
- B.
  $I = 2$ .
- C.
  $I = 3$ .
- D.
  $I = 0$ .
Đặt $\left\{ \begin{matrix} \int_{0}^{2}{f(x)dx} = a \\ \int_{0}^{2}{g(x)dx} = b \\ \end{matrix} ight.$ . Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{matrix} a - 3b = 4 \\ 2a + b = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$\int_{0}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx}$

$\Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{2}{f(x)dx} - \int_{0}^{1}{f(x)dx}$

$\Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 - 3 = 1$
Câu 10: Nhận biết
Tính tích phân $I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( \sin2x + \sin x ight)dx}$ ?
- A.
  $I = 5$
- B.
  $I = 3$
- C.
  $I = 4$
- D.
  $I = 2$
Ta có:

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\sin2x + \sin x ight)dx} = \left. \ \left( - \frac{1}{2}\cos2x - \cos xight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2$
Câu 11: Nhận biết
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 5;3brack$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ . Biết rằng $F( - 5) = 3;F(3) = \frac{15}{7}$ . Xác định tích phân $I = \int_{- 5}^{3}{\left\lbrack 7f(x) - x ightbrack dx}$ ?
- A.
  $I = 2$
- B.
  $I = 11$
- C.
  $I = 19$
- D.
  $\frac{7}{2}$
Ta có: $I = \int_{- 5}^{3}{\left\lbrack 7f(x) - x ightbrack dx} = \left. \ \left( 7F(x) ight) ight|_{- 5}^{3} - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{- 5}^{3} = 2$ .
Câu 12: Thông hiểu
Cho $a$ là số thực dương. Biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x}\left\lbrack \ln(ax) + \frac{1}{x} ightbrack$ thỏa mãn $F\left( \frac{1}{a} ight) = 0$ và $F(2018) = e^{2018}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $a \in \left( \frac{1}{2018};1 ight)$
- B.
  $a \in \left( 0;\frac{1}{2018} ightbrack$
- C.
  $a \in \lbrack 1;2018)$
- D.
  $a \in \lbrack 2018; + \infty)$
Ta có:

$f(x) = e^{x}\left\lbrack \ln(ax) + \frac{1}{2} ightbrack$ $= \left( e^{x} ight)'\ln(ax) +e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack'$ $= \left\{ e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack ight\}'$

$\Rightarrow \int_{\frac{1}{a}}^{2018}{f(x)}dx = F(2018) - F\left( \frac{1}{a} ight)$ $\Leftrightarrow \left. \ \left( e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack ight) ight|_{\frac{1}{a}}^{2018} = e^{2018}$

$\Leftrightarrow \ln(2018a) = 1 \Leftrightarrow a = \frac{e}{2018}$

Vậy $a \in \left( \frac{1}{2018};1 ight)$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}$ ?
- A.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
- B.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
- C.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
- D.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{2}{3}\left( x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\left( x - \sqrt{x^{2} - 1} ight) ightbrack dx}$

$= \int_{}^{}{2x^{2}dx} - \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\sqrt{x^{2} - 1} ightbrack dx} = \frac{2}{3}x^{3} - \int_{}^{}{\left( x^{2} - 1 ight)^{\frac{1}{2}}d\left( x^{2} - 1 ight)}$

$= \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1} + C$

Vậy một nguyên hàm của hàm số là $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$ .
Câu 14: Nhận biết
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = 2x - x^{2};y = 0$ . Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:
- A.
  $\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)dx}$
- B.
  $\pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
- C.
  $\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
- D.
  $\pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)dx}$
Ta có: $2x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:

$V = \pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
Câu 15: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ 0ight\}$ thỏa mãn $2xf(x) +x^{2}f'(x) = 1$ và $f(1) =0$ . Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại giao điểm với trục hoành là:
- A.
  $1$
- B.
  $-1$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Ta có: $2xf(x) + x^{2}f'(x) =1$
$\Leftrightarrow \left( x^{2}ight)'f(x) + x^{2}f'(x) = 1$
$\Leftrightarrow \left( x^{2}f'(x)ight)' = 1$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
$\int_{}^{}{\left( x^{2}f'(x)ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow x^{2}f(x) = x +C$
Lại có $f(1) = 0 \Rightarrow 1.f(1) = 1 +C \Rightarrow C = - 1$
Từ đó suy ra $x^{2}f(x) = x - 1\Leftrightarrow f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x - 1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x =1(tm)$
Ta có: $f'(x) = \frac{2 - x}{x^{3}}\Rightarrow f'(1) = 1$
Vậy hệ số góc phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1.
Câu 16: Nhận biết
Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}}$ là:
- A.
  $\frac{- \sqrt{x}}{2} + C$
- B.
  $\frac{2}{\sqrt{x}} + C$
- C.
  $- \frac{2}{\sqrt{x}} + C$
- D.
  $\frac{\sqrt{x}}{2} + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x}}dx}$

$= \int_{}^{}{x^{- \frac{3}{2}}dx=}\dfrac{x^{- \frac{1}{2}}}{- \dfrac{1}{2}} + C = - \frac{2}{\sqrt{x}} +C$ .
Câu 17: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm dương và liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ thỏa mãn $f(0) = 1$ và $5\int_{0}^{1}{\left\{ f'(x)\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} + \frac{1}{25} ight\} dx} \leq 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack \sqrt{f'(x)}.f(x) ightbrack dx}$ . Tích phân $\int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx}$ là:
- A.
  $\frac{25}{33}$
- B.
  $\frac{5}{4}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{53}{50}$
$5\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\left\lbrack f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2} + \frac{1}{25} ightbrack dx \leqslant 2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

$\Leftrightarrow5\int_{0}^{1}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx+ \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\Rightarrow \left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} \leqslant \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}dx\cdot \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx$

$\Rightarrow 5\left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} + \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{2}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

$\Leftrightarrow 5\left( \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx - \frac{1}{5} ight)^{2} \leqslant 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx = \frac{1}{5}.$

Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi $\left\{\begin{matrix}\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx =\dfrac{1}{5} \Rightarrow k = \dfrac{1}{5} \\\sqrt{f^{'}(x)}f(x) = k \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{}^{}\ f^{'}(x)f^{2}(x)dx = \int_{}^{}\ \frac{1}{25}dx = \frac{1}{25}x + C$

$\Rightarrow \frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}}{3} = \frac{1}{25}x + C \Leftrightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 3C}$

$f(0) = 1 \Rightarrow 3C = 1 \Rightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 1}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx} = \int_{0}^{1}{\left( \frac{3}{25}x + 1 ight)dx} = \frac{53}{50}$
Câu 18: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ . Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C):y = f(x)$ , trục hoành, hai đường thẳng $x = a;x = b$ (như hình vẽ bên).

Giả sử $S_{D}$ là diện tích của hình phẳng $D$ . Chọn công thức đúng?
- A.
  $S_{D} = - \int_{a}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{b}{f(x)dx}$
- B.
  $S_{D} = \int_{a}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{b}{f(x)dx}$
- C.
  $S_{D} = - \int_{a}^{0}{f(x)dx} + \int_{0}^{b}{f(x)dx}$
- D.
  $S_{D} = \int_{a}^{0}{f(x)dx} + \int_{0}^{b}{f(x)dx}$
Dựa vào đồ thị hình vẽ ta thấy:

+ Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $O(0;0)$

+ Trên đoạn $\lbrack a;0brack$ , đồ thị ở phía dưới trục hoành nên $\left| f(x) ight| = - f(x)$

+ Trên đoạn $\lbrack 0;bbrack$ , đồ thị ở phía trên trục hoành nên $\left| f(x) ight| = f(x)$

Do đó: $S_{D} = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx} = - \int_{a}^{0}{f(x)dx} + \int_{0}^{b}{f(x)dx}$
Câu 19: Vận dụng cao

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Đáp án là:

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Cả hai bên cầu có tất cả $2.10 = 20$ nhịp cầu.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc $O(0;0)$ là chân cầu, đỉnh $I(25;2)$ , điểm $A(50;0)$

Gọi Parabol phía trên có phương trình: $\left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c = ax^{2} + bx$ (vì $O \in \left( P_{1} ight)$ )

$\Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx - \frac{1}{5}$ là phương trình parabol phía dưới

(Vì bề dày nhịp cầu là $20cm = \frac{1}{5}m$ )

Ta có $I,A \in \left( P_{1} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 25^{2}a + 25b = 2 \\ 50^{2}a + 50b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{2}{625} \\ b = \frac{4}{25} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\ \ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x - \frac{1}{5}$

Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi $y_{1};y_{2}$ và trục Ox nên ta có:

$S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx + \int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}$

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là $S.0,2 \approx 1,985m^{3}.$

Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là $V = 20.S.0,2 \approx 40m^{3}$
Câu 20: Nhận biết
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \cos x,y = 0,x = 0,x = \pi$ quay xung quanh $Ox$ .
- A.
  $0$
- B.
  $2\pi$
- C.
  $\frac{\pi^{2}}{2}$
- D.
  $2$
Thể tích vật thể bằng:

$V = \pi\int_{0}^{\pi}{\left( \cos xight)^{2}dx} = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}{(1 + \cos2x)dx} = \pi\left.\ \left( x + \frac{1}{2}\sin2x ight) ight|_{1}^{\pi} =\frac{\pi^{2}}{2}$ .

13 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!