Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{2x - 1}$ , biết rằng $F(1) = 2$ . Khi đó giá trị $F(2)$ là:
- A.
  $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 -2$
- B.
  $F(2) = \ln3 + 2$ .
- C.
  $F(2) = 2\ln3 - 2$
- D.
  $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)$

Mà $F(1) = 2 \Rightarrow C = 2$ . Vậy với $x > \frac{1}{2}$ thì $F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2$

Vậy $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1$ ?
- A.
  $S = 4ln2 + e - 5$
- B.
  $S = 4ln2 + e - 6$
- C.
  $S = e^{2} - 7$
- D.
  $S = e - 3$
Phương trình hoành độ giao điểm $e^{x} = 2 \Leftrightarrow x = ln2 \in (0;1)$

Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1$

$S = \int_{0}^{1}{\left| e^{x} - 2 ight|dx}$

$= - \int_{0}^{\ln2}{\left( e^{x} - 2ight)dx} + \int_{\ln2}^{1}{\left( e^{x} - 2 ight)dx}$

$= - \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{0}^{\ln2} + \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{\ln2}^{1}$

$= - (2 - 2\ln2 - 1) + (e - 2 - 2 +2\ln2)$

$= 4\ln2 + e - 5$
Câu 3: Vận dụng cao
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau $y = \sqrt{x};y =1$ và đườDng thẳng $x = 4$ (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng $y = 1$ bằng
- A.
  $\frac{9\pi}{2}$
- B.
  $\frac{119\pi}{6}$
- C.
  $\frac{7\pi}{6}$
- D.
  $\frac{21\pi}{2}$
Đặt $\left\{ \begin{matrix}X = x - 1 \\Y = y - 1 \\\end{matrix} ight.$ . Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ
Ta có: $y = \sqrt{x} \Leftrightarrow Y + 1= \sqrt{X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt{X + 1} - 1$
Thể tích cần tìm là
$V = \pi\int_{0}^{3}{\left( \sqrt{X + 1}- 1 ight)^{2}dX} = \pi\int_{0}^{3}{\left( X + 2 - 2\sqrt{X + 1}ight)dX}$
$= \pi\left. \ \left\lbrack\frac{1}{2}X^{2} + 2X - \frac{4}{3}(X + 1)\sqrt{X + 1} ightbrackight|_{0}^{3}$
$= \pi\left\lbrack \left( \frac{9}{2} + 6- \frac{32}{3} ight) - \left( - \frac{4}{3} ight) ightbrack =\frac{7\pi}{6}$
Câu 4: Thông hiểu
Hàm số $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)$ . Hỏi hàm số $F(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
TXĐ: $D\mathbb{= R}$

Ta có: $F'(x) = f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)$

$\Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - x = 0 \\ \ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} + 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình $F'(x) = 0$ có 1 nghiệm đơn $x = 1$ và một nghiệm kép $x = 0$ nên hàm số $F(x)$ có 1 điểm cực trị.
Câu 5: Nhận biết
Một vật chuyển động với vận tốc $v(t) = \frac{6}{5} + \frac{t^{2} + 4}{t + 3}(m/s)$ . Tính quãng đường vật đó đi được trong $4$ giây đầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).?
- A.
  $1,64m$
- B.
  $11,01m$
- C.
  $11,81m$
- D.
  $11,18m$
Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu là:

$S = \int_{0}^{4}{v(t)dt} = \int_{0}^{4}{\left( \frac{6}{5} + \frac{t^{2} + 4}{t + 3} ight)dt} \approx 11,81(m)$ .
Câu 6: Nhận biết
Giả sử $f(x)$ là một hàm số bất kì và liên tục trên khoảng $(\alpha;\beta)$ và $a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$
- B.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{b + c}{f(x)dx} - \int_{c}^{a}{f(x)dx}$
- C.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{b + c}{f(x)dx} + \int_{b + c}^{a}{f(x)dx}$
- D.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{b}^{c}{f(x)dx}$
Dựa vào tính chất của tích phân với $f(x)$ là một số bất kì liên tục trên khoảng $(\alpha;\beta)$ và $a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta)$ ta có:

$\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}$

$= \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{b}^{c}{f(x)dx}$

$= \int_{a}^{b + c}{f(x)dx} + \int_{b + c}^{b}{f(x)dx}$
Câu 7: Nhận biết
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = 2x - x^{2};y = 0$ . Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:
- A.
  $\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)dx}$
- B.
  $\pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
- C.
  $\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
- D.
  $\pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)dx}$
Ta có: $2x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:

$V = \pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
Câu 8: Thông hiểu
Một khối cầu có bán kính $5dm$ , người ta cắt bỏ $2$ phần bằng $2$ mặt phẳng song song và vuông góc với bán kính, hai mặt phẳng đó đều cách tâm của khối cầu $3dm$ để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích nước mà chiếc lu chứa được (coi độ dày của bề mặt không đáng kể).
- A.
  $132\pi\left( dm^{3} ight)$
- B.
  $41\pi\left( dm^{3} ight)$
- C.
  $\frac{100\pi}{3}\left( dm^{3} ight)$
- D.
  $43\pi\left( dm^{3} ight)$
Hình vẽ minh họa

Đặt trục tọa độ như hình vẽ. Thể tích cái được tính bằng cách cho đường tròn có phương trình $x^{2} + y^{2} = 25 \Leftrightarrow y^{2} = 25 - x^{2}$ quay quanh trục Ox.

Thể tích cái lu bằng;

$V = \pi\int_{- 3}^{3}{\left( 25 - x^{2} ight)dx} = \pi\left. \ \left( 25x - \frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{- 3}^{3} = 132\pi\left( dm^{3} ight)$
Câu 9: Thông hiểu
Giá trị của $H = \int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{2x + 1} + 3\sqrt{x} ight)dx}$ ?
- A.
  $H = 1 + \sqrt{3}$
- B.
  $H = 2 + ln3$
- C.
  $H = 2 + \ln\sqrt{3}$
- D.
  $H = 4 + ln3$
Ta có:

$H = \int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{2x + 1} + 3\sqrt{x} ight)dx} = \left. \ \left( \frac{1}{2}\ln|2x + 1| + 2x^{\frac{3}{2}} ight) ight|_{0}^{1} = 2 + \ln\sqrt{3}$
Câu 10: Nhận biết
Xác định nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x + 5$ ?
- A.
  $F(x) = x^{2} + 5x + C$
- B.
  $F(x) = 2x^{2} + 5x + C$
- C.
  $F(x) = x^{2} + 5x$
- D.
  $F(x) = x^{2} + C$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x + 5)dx} = x^{2} + 5x + C$
Câu 11: Thông hiểu
Tính tích phân $A =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\cos^{2}\left( x - \dfrac{\pi}{3}ight)}dx}$ bằng
- A.
  $A = - \frac{4\sqrt{3}}{3}$
- B.
  $A = - \frac{2\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $A = \frac{4\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $A = - \sqrt{3}$
Ta có:

$A =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\cos^{2}\left( x - \frac{\pi}{3}ight)}dx} = \left. \ \tan\left( x - \frac{\pi}{3} ight)ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \tan\frac{\pi}{6} - \tan\left( - \frac{\pi}{3} ight) = \frac{4\sqrt{3}}{3}$
Câu 12: Nhận biết
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$ và các đường thẳng $y = 0;x = 1;x = 4$ . Thể tích $V$ của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng $(H)$ quay quanh trục?
- A.
  $V = 2\pi ln2$
- B.
  $V = \frac{3\pi}{4}$
- C.
  $V = \frac{3}{4}$
- D.
  $V = 2ln2$
Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng $(H)$ quay quanh trục $Ox$ là:

$V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{1}{x} ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( - \frac{1}{x^{4}} ight) ight|_{1}^{4} = \pi\left( - \frac{1}{4} + 1 ight) = \frac{3\pi}{4}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Hàm số $y = f(x)$ có một nguyên hàm là $F(x) = e^{2x}$ . Tìm nguyên hàm của hàm số $\frac{f(x) + 1}{e^{x}}$ ?
- A.
  $\frac{1}{2}e^{x} - e^{- x} + C$
- B.
  $e^{x} - e^{- x} + C$
- C.
  $2e^{x} - e^{- x} + C$
- D.
  $2e^{x} + e^{- x} + C$
Ta có: $f(x) = F'(x) = \left( e^{2x} ight)' = 2.e^{2x}$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f(x) + 1}{e^{x}}dx} = \int_{}^{}{\frac{2e^{2x} + 1}{e^{x}}dx}$

$= 2e^{x} - e^{- x} + C$
Câu 14: Thông hiểu
Cho tích phân $I = \int_{0}^{4}{f(x)dx} = 32$ . Tính tích phân $H = \int_{0}^{2}{f(2x)dx}$ ?
- A.
  $H = 64$
- B.
  $H = 8$
- C.
  $H = 16$
- D.
  $H = 32$
Đặt $t = 2x \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{2}$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = 2 \Rightarrow t = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $H = \frac{1}{2}\int_{0}^{4}{f(t)dt} = \frac{1}{2}.32 = 16$
Câu 15: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{2} - 2x - 2$ và $y = \frac{x - 4}{2 - x}$ ?
- A.
  $\frac{4}{3}$
- B.
  $0,28$
- C.
  $\frac{5}{3} - 2ln2$
- D.
  $3 - ln4$
Phương trình hoành độ giao điểm $x^{2} - 2x - 2 = \frac{x - 4}{2 - x}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ \left( x^{2} - 2x - 2 ight)(2 - x) = x - 4 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ x\left( x^{2} - 4x + 3 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Diện tích hình giới hạn là

$S = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 2 - \frac{x - 4}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 2 - \frac{x - 4}{2 - x} ight|dx}$

$= \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 1 - \frac{2}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 1 - \frac{2}{x - 2} ight|dx}$

$= \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3}- x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight) ight|_{0}^{1} ight| + \left| \left.\ \left( \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight)ight|_{1}^{3} ight|$

$= \frac{5}{3} - 2\ln2 + \frac{4}{3} = 3 -\ln4$
Câu 16: Vận dụng

Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng $100m$ , trục nhỏ bằng $80m$ được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là $200$ mỗi $m^{2}$ trồng cây con và $4000$ mỗi $m^{2}$ trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng $100m$ , trục nhỏ bằng $80m$ được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là $200$ mỗi $m^{2}$ trồng cây con và $4000$ mỗi $m^{2}$ trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 17: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'(x).f^{2}(x) = x^{2}$ và $f(2) = 2$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $g(x) = f(x) + x^{2}$ tại điểm có hoành độ bằng $3$ là:
- A.
  $y = 7x - 9$
- B.
  $y = x + 2$
- C.
  $y = 4x - 4$
- D.
  $y = x$
Ta có: $f'(x).f^{2}(x) = x^{2}$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\int_{}^{}{f'(x).f^{2}(x)dx} = \int_{}^{}{x^{2}dx}$

$\Leftrightarrow \int_{}^{}{f^{2}(x)df(x)} = \frac{x^{3}}{3} + C$

$\Leftrightarrow \frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C$ . Theo bài ra ta có: $f(2) = 2 \Rightarrow \frac{f^{3}(2)}{3} = \frac{2^{3}}{3} + C \Rightarrow C = 0$

Suy ra $\frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} \Leftrightarrow f(x) = x$

Vậy $g(x) = x^{2} + x \Rightarrow g'(x) = 2x + 1$

Ta có: $g'(3) = 7;g(3) = 12$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

$y = g'(3)(x - 3) + g(3)$

$\Leftrightarrow y = 7(x - 3) + 12 \Leftrightarrow y = 7x - 9$
Câu 18: Thông hiểu
Biết $\int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x + C$ . Khi đó $\int_{}^{}{f\left( e^{x} ight)}dx$ tương ứng bằng
- A.
  $\frac{3}{2}e^{2x} - 4e^{x} + C$
- B.
  $3e^{2x} - 4e^{x} + C$
- C.
  $6e^{x} + 4x + C$
- D.
  $6e^{x} - 4x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x + C \Rightarrow f(x) = 6x - 4$

$\Rightarrow f\left( e^{x} ight) = 6e^{x} - 4$

$\Rightarrow \int_{}^{}{f\left( e^{x} ight)}dx = \int_{}^{}{\left( 6e^{x} - 4 ight)dx} = 6e^{x} - 4e^{x} + C$
Câu 19: Vận dụng cao
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 6;5brack$ có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ:

Tính giá trị $I = \int_{- 6}^{5}{\left\lbrack f(x) + 2 ightbrack dx}$ ?
- A.
  $I = 2\pi + 35$
- B.
  $I = 2\pi + 34$
- C.
  $I = 2\pi + 33$
- D.
  $I = 2\pi + 32$
Hình vẽ minh họa

Dựa vào đồ thị ta có: $A( - 6; - 1),B( - 2;1)$ suy ra phương trình đường thẳng $AB:y = \frac{1}{2}x + 2$

$\Rightarrow I_{1} = \int_{0}^{- 2}{\left\lbrack \frac{1}{2}x + 2 + 2 ightbrack dx} = 8$

Phương trình đường tròn $(C)$ : $x^{2} + (y - 1)^{2} = 4 \Rightarrow y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$

$\Rightarrow I_{2} = \int_{- 2}^{2}{\left\lbrack 1 + \sqrt{4 - x^{2}} + 2 ightbrack dx} = 12 + 2\pi$

Điểm $C(2;1),D(5;3)$ nên phương trình đường thẳng $CD$ là: $y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$

$\Rightarrow I_{3} = \int_{2}^{5}{\left\lbrack \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} + 2 ightbrack dx} = 12$

Vậy $I = I_{1} + I_{2} + I_{3} = 32 + 2\pi$
Câu 20: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = 3x^{2} - 1$ . Phát biểu nào sau đây đúng?
- A.
  $f(x) = x^{3} + C$ .
- B.
  $\frac{x^{3}}{3} + x + C$ .
- C.
  $6x + C$ .
- D.
  $x^{3} - x + C$ .
Ta có $\int_{}^{}{\left( 3x^{2} - 1 ight)dx = x^{3} - x + C}$ .

50 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!