Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng cao
Cho parabol $(P):y = x^{2}$ và hai điểm $A;B$ thuộc $(P)$ sao cho $AB = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ và đường thẳng $AB$ .
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $\frac{4}{3}$
- C.
  $\frac{3}{4}$
- D.
  $\frac{5}{6}$
Hình vẽ minh họa
Gọi $A\left( a;a^{2} ight)$ và $(P):y = x^{2}$ là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.
Không mất tính tổng quát giả sử a < b.
Theo giả thiết ta có AB = 2 nên
$(b - a)^{2} + \left( b^{2} - a^{2}ight)^{2} = 4$
$\Leftrightarrow (b - a)^{2}\left\lbrack1 + (b + a)^{2} ightbrack = 4$
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là $y = (b + a)x - ab$
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:
$S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack (a + b)x -ab - x^{2} ightbrack dx}$
$= \left. \ \left\lbrack (a +b)\frac{x^{2}}{2} - abx - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{a}^{b}= \frac{(b - a)^{3}}{6}$
Mặt khác $(b - a)^{2}\left\lbrack 1 + (b +a)^{2} ightbrack = 4$ nên $|b -a| \leq 2$ do $1 + (b + a)^{2} \geq1$
Suy ra $S = \frac{(b - a)^{3}}{6} \leq\frac{2^{3}}{6}$
Vậy $S_{\max} = \frac{4}{3}$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.
Câu 2: Thông hiểu
Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x.e^{- x}$ thỏa mãn $F(0) = 1$ ?
- A.
  $- (x + 1)e^{- x} + 1$
- B.
  $- (x + 1)e^{- x} + 2$
- C.
  $(x + 1)e^{- x} + 1$
- D.
  $(x + 1)e^{- x} + 2$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = e^{- x}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - e^{- x} \\ \end{matrix} ight.$

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( x.e^{- x} ight)dx}$

$= - xe^{- x} + \int_{}^{}{e^{- x}dx} + C$

$= - xe^{- x} - e^{- x} + C$ . Theo bài ra ta có: $F(0) = 1 \Leftrightarrow - 1 - 1 + C = 1 \Rightarrow C = 2$

Vậy $- (x + 1)e^{- x} + 2$ là đáp án cần tìm.
Câu 3: Thông hiểu
Cho $\int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = a\ln|x - 1| + b\ln|x + 1| + C$ với $a;b$ là các số hữu tỉ. Khi đó $a - b$ bằng:
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $- 1$
Ta có: $\frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ight)dx} = \frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C$

Suy ra $a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a - b = 1$ .
Câu 4: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'(x) - f(x) = e^{x}$ và $f(0) = 2$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y(x) = f(x)$ tại giao điểm với trục hoành là:
- A.
  $y = x + 2$
- B.
  $y = e^{2}(x - 4)$
- C.
  $y = e^{- 2}(x + 2)$
- D.
  $y = - x$
Ta có: $f'(x) - f(x) = e^{x}$ . Nhân cả hai vế với $e^{- x}$ ta được:

$e^{- x}f'(x) - e^{- x}.f(x) = 1$

$\Leftrightarrow \left( e^{- x}.f(x) ight)' = 1$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\Leftrightarrow \int_{}^{}{\left( e^{- x}.f(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow e^{- x}.f(x) = x + C$

$f(0) = 2 \Rightarrow f(0) = 0 + C \Leftrightarrow C = 2$

Suy ra $e^{- x}.f(x) = x + 2 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x + 2}{e^{- x}} = (x + 2)e^{x}$

$\Rightarrow f'(x) = (x + 3)e^{x}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $(x + 2)e^{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

Ta có: $f'( - 2) = ( - 2 + 3)e^{- 2} = e^{- 2};f( - 2) = 0$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là: $y = e^{- 2}(x + 2)$
Câu 5: Nhận biết
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \cos x,y = 0,x = 0,x = \pi$ quay xung quanh $Ox$ .
- A.
  $0$
- B.
  $2\pi$
- C.
  $\frac{\pi^{2}}{2}$
- D.
  $2$
Thể tích vật thể bằng:

$V = \pi\int_{0}^{\pi}{\left( \cos xight)^{2}dx} = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}{(1 + \cos2x)dx} = \pi\left.\ \left( x + \frac{1}{2}\sin2x ight) ight|_{1}^{\pi} =\frac{\pi^{2}}{2}$ .
Câu 6: Thông hiểu
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y^{2} = 4x$ và $y = x$ (với $0 \leq x \leq 4$ ) được minh họa bằng hình vẽ bên (phần tô đậm):

Cho $(H)$ quay quanh trục $Ox$ , thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = 11\pi$
- B.
  $V = \frac{32\pi}{3}$
- C.
  $V = \frac{15\pi}{7}$
- D.
  $V = 10\pi$
Ta có: $y^{2} = 4x \Rightarrow y = 2\sqrt{x};(y \geq 0)$

Thể tích khối tròn xoay cần tính là

$V = \pi\int_{0}^{4}{\left( 2\sqrt{x} ight)^{2}dx} - \pi\int_{0}^{4}{x^{2}dx}$

$= \left. \ 2\pi x^{2} ight|_{0}^{4} - \frac{\pi}{3}.\left. \ x^{3} ight|_{0}^{4} = \frac{32\pi}{3}$
Câu 7: Nhận biết
Xác định tích phân $I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx}$ ?
- A.
  $I = - \ln9$
- B.
  $I = \ln9$
- C.
  $I = - \ln3$
- D.
  $I = \ln3$
Ta có:

$I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx} = - \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(1 - 2x)}{1 - 2x}$

$= - \frac{1}{2}.\left. \ \ln|1 - 2x|ight|_{1}^{5} = - \ln3$
Câu 8: Thông hiểu
Một ô tô đang chạy với vận tốc $10\ m/s$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = - 2t + 10(m/s)$ , trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng.
- A.
  55 m.
- B.
  50 m.
- C.
  25 m.
- D.
  16 m.
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0.

Nên thời gian kể từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là $- 2t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 5(\ s)$

Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là

$S_{2} = \int_{0}^{5}{( - 2t + 10)}dt = \left. \ \left( - t^{2} + 10t ight) ight|_{0}^{5} = 25m$

Như vậy trong 8 giây cuối thì có 3 giây ô tô ði với vận tốc $10\ m/s$ và 5 s ô tô chuyển động chậm dần đều.

Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây trước khi đạp phanh là $S_{1} = 3.10 = 30\ m$

Vậy trong 8 giây cuối ô tô đi được quang đường $S = S_{1} + S_{2} = 30 + 25 = 55m$
Câu 9: Thông hiểu
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y = x^{2}$ và $y = x$ bằng:
- A.
  $\frac{1}{6}$
- B.
  $\frac{5}{6}$
- C.
  $- \frac{1}{6}$
- D.
  $\frac{\pi}{6}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm

$x^{2} = x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Diện tích hình phẳng là:

$S = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - x ight|dx} = \left| \int_{0}^{1}{\left( x^{2} - x ight)dx} ight|$

$= \left| \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{1} ight| = \frac{1}{6}$
Câu 10: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ và $f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)}$ với $\forall x\mathbb{\inR}$ . Tính giá trị $f(1)$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ và $f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)}$ với $\forall x\mathbb{\inR}$ . Tính giá trị $f(1)$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 11: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có một nguyên hàm là hàm số $F(x)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = f(b) - f(a)$
- B.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a)$
- C.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(a) - F(b)$
- D.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) + F(a)$
Theo định nghĩa tích phân ta có: $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_{1}(t) = 2t(m/s)$ . Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a = - 12\left( m/s^{2} ight)$ . Tính quãng đường $S(m)$ đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?
- A.
  $S = 168m$
- B.
  $S = 166m$
- C.
  $S = 144m$
- D.
  $S = 152m$
Quãng đường xe đi được trong 12s đầu là $S_{1} = \int_{0}^{12}{2tdt} = 144m$

Sau khi đi được 12s vật đạt vận tốc $v = 24(m/s)$ , sau đó vận tốc của vật có phương trình $v = 24 - 12t$

Vật dừng hẳn sau 2s kể từ khi phanh.

Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là

$S_{2} = \int_{0}^{2}{(24 - 22t)dt} = 24m$

Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là $S = S_{1} + S_{2} = 144 + 24 = 168(m)$
Câu 13: Nhận biết
Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y = e^{x}$ , trục hoành và các đường thẳng $x = 0;x = 1$ . Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{e^{2} - 1}{2}$
- B.
  $V = \frac{\pi\left( e^{2} + 1 ight)}{2}$
- C.
  $V = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}$
- D.
  $V = \frac{\pi e^{2}}{2}$
Ta có:

$V = \pi\int_{0}^{1}{e^{2x}dx} = \left. \ \frac{\pi}{2}e^{2x} ight|_{0}^{1} = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}$ .
Câu 14: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = x^{5}$ .Phát biểu nào sau đây đúng?
- A.
  $5x^4+C$ .
- B.
  $\frac{1}{6}x^6+C$ .
- C.
  $x^6+C$ .
- D.
  $6x^6+C$ .
Ta có $\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}} ight)\mathbf{'}\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{5}}$

Vậy đáp án cần tìm là: $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}\mathbf{+ C}$ .
Câu 15: Nhận biết
Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{2x - 1}$ , biết rằng $F(1) = 2$ . Khi đó giá trị $F(2)$ là:
- A.
  $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 -2$
- B.
  $F(2) = \ln3 + 2$ .
- C.
  $F(2) = 2\ln3 - 2$
- D.
  $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)$

Mà $F(1) = 2 \Rightarrow C = 2$ . Vậy với $x > \frac{1}{2}$ thì $F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2$

Vậy $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2$ .
Câu 16: Thông hiểu
Với giá trị nào của $m > 0$ thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{2}$ và $y = mx$ bằng $\frac{4}{3}$ ?
- A.
  $m = 1$
- B.
  $m = 4$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = 3$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^{2} = mx \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = m \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên được tính bởi

$\int_{0}^{m}{\left| x^{2} - mx ight|dx} = \int_{0}^{m}{\left( mx - x^{2} ight)dx} = \frac{m^{3}}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow m = 2$ .
Câu 17: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$ ?
- A.
  $F(x) = - \ln|x| + \frac{1}{x} + C$
- B.
  $F(x) = \ln|x| - \frac{1}{x} + C$
- C.
  $F(x) = \ln|x| + \frac{1}{x} + C$
- D.
  $F(x) = - \ln|x| - \frac{1}{x} + C$
Ta có: $f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow F(x) = \ln|x| + \frac{1}{x} + C$
Câu 18: Vận dụng
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hình thang $ABCD$ với $A( - 2;3),B(3;6),C(3;0),D( - 2;0)$ . Quay hình thang $ABCD$ xung quanh trục $Ox$ thì thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu??
- A.
  $72\pi$
- B.
  $74\pi$
- C.
  $76\pi$
- D.
  $105\pi$
Phương trình các cạnh của hình thang là: $\left\{ \begin{matrix} AD:x = - 2 \\ CD:y = 0 \\ BC:x = 3 \\ AB:3x - 5y + 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Ta thấy $ABCD$ là hình thang vuông có $CD:y = 0$ nên khối tròn xoay cần tính là

$V = \pi\int_{- 2}^{3}{\frac{(3x + 21)^{2}}{25}dx} = 105\pi$
Câu 19: Thông hiểu
Biết rằng $F(x) = \left( ax^{2} + bx + c ight)e^{- x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{- x}$ trên $\mathbb{R}$ . Giá trị của biểu thức $f\left( F(0) ight)$ bằng:
- A.
  $- \frac{1}{e}$
- B.
  $3e$
- C.
  $20e^{2}$
- D.
  $9e$
Ta có: $\left( F(x) ight)' = \left\lbrack \left( ax^{2} + bx + c ight)e^{- x} ightbrack'$

$= \left\lbrack - ax^{2} + (2a - b)x + b - c ightbrack e^{- x}$

$= \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{- x}$ suy ra $\left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\2a - b = - 5 \\b - c = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\b = 1 \\c = - 1 \\\end{matrix} ight.$ $\Rightarrow F(x) = \left( 2x^{2} + x - 1ight)e^{- x}$

$\Rightarrow F(0) = - 1 \Rightarrow f\left( F(0) ight) = f( - 1) = 9e$
Câu 20: Thông hiểu
Một vật chuyển động với vận tốc $v(t)(m/s)$ có gia tốc $v'(t) = \frac{3}{t + 1}\left( m/s^{2} ight)$ . Vận tốc ban đầu của vật là $6m/s$ . Tính vận tốc của vật sau $10$ giây, (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
- A.
  $10m/s$
- B.
  $8m/s$
- C.
  $15m/s$
- D.
  $13m/s$
Vận tốc của vật là: $v(t) = \int_{}^{}{v'(t)dt} = \int_{}^{}{\frac{3}{t + 1}dt} = 3ln(t + 1) + C$

Do vận tốc ban đầu của vật là $6m/s$

$\Rightarrow v_{(t = 0)} = 6 \Rightarrow 3ln1 + C = 6 \Rightarrow C = 6$

Vận tốc của vật sau 10s là $v(10) = 3ln11 + 6 \approx 13m/s$

62 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!