Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Biết xe^{x} là một nguyên hàm của hàm số f( - x) trên khoảng ( - \infty; + \infty). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f'(x)e^{x} thỏa mãn F(0) = 1. Giá trị của F( - 1) bằng:

    Ta có: f( - x) = \left( xe^{x} ight)' = e^{x} + xe^{x};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Do đó f( - x) = e^{- ( - x)} - ( - x)e^{- ( - x)};\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Suy ra f(x) = e^{- x}(1 - x);\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    Nên f'(x) = \left\lbrack e^{- x}(1 - x) ightbrack' = e^{- x}(x - 2)

    \Rightarrow f'(x)e^{x} = e^{- x}(x - 2)e^{x} = x - 2

    Vậy F(x) = \int_{}^{}{(x - 2)dx} = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + C

    Từ đó F(0) = \frac{1}{2}(0 - 2)^{2} + C = C + 2

    F(0) = 1 \Rightarrow C = - 1

    Vậy F(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1 \Rightarrow F( - 1) = \frac{1}{2}( - 1 - 2)^{2} - 1 = \frac{7}{2}

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Đáp án là:

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Cả hai bên cầu có tất cả 2.10 = 20 nhịp cầu.

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu, đỉnh I(25;2), điểm A(50;0)

    Gọi Parabol phía trên có phương trình: \left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c = ax^{2} + bx (vì O \in \left( P_{1} ight))

    \Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx - \frac{1}{5} là phương trình parabol phía dưới

    (Vì bề dày nhịp cầu là 20cm = \frac{1}{5}m)

    Ta có I,A \in \left( P_{1} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 25^{2}a + 25b = 2 \\ 50^{2}a + 50b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{2}{625} \\ b = \frac{4}{25} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\ \ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x - \frac{1}{5}

    Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi y_{1};y_{2} và trục Ox nên ta có:

    S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx + \int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}

    Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là S.0,2 \approx 1,985m^{3}.

    Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là V = 20.S.0,2 \approx 40m^{3}

  • Câu 3: Nhận biết

    Vật thể B giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2. Cắt vật thể B với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x;(0 \leq x \leq 2) ta được thiết diện có diện tích bằng x^{2}(2 - x). Thể tích của vật thể B:

    Thể tích của vật thể B là:

    V = \int_{0}^{2}{x^{2}(2 - x)dx} = \int_{0}^{2}{\left( 2x^{2} - x^{3} ight)dx} = \frac{4}{3}

  • Câu 4: Nhận biết

    Xác định tích phân I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx}?

    Ta có:

    I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx} = - \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(1 - 2x)}{1 - 2x}

    = - \frac{1}{2}.\left. \ \ln|1 - 2x|ight|_{1}^{5} = - \ln3

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1}?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{\ln x}{x}\sqrt{\ln^{2}x + 1}dx}

    Đặt \sqrt{ln^{2}x + 1} \Rightarrow t^{2}= \ln^{2}x + 1 \Rightarrow tdt = \frac{\ln x}{x}dx

    Khi đó F(x) = \int_{}^{}{t^{2}dt} =\frac{t^{3}}{3} + C = \frac{\sqrt{\left( \ln^{2}x + 1 ight)^{3}}}{3} +C.

  • Câu 6: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = 3{x^2} + 1

     Ta có:

    \int {\left( {3{x^2} + 1} ight)dx} = \int {3{x^2}dx} + \int {1.dx} = {x^3} + x + C

  • Câu 7: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^{2} + \frac{x}{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}\left( 3x^{2} + \frac{x}{2} ight)dx = x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C.

  • Câu 8: Nhận biết

    \int_{}^{}{x^{2}dx} bằng

    Ta có \int_{}^{}{x^{2}dx} =\frac{1}{3}x^{3} + C.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip (E): \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1 quay quanh trục hoành?

    Xét (E) có a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2. Do đó hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ ( - 2;0),(2;0)

    Vì \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1 \Rightarrow y^{2} = 1 - \frac{x^{2}}{4}

    Do đó thể tích khối tròn xoay là V_{Ox} = \pi\int_{- 2}^{2}{y^{2}dx} = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 1 - \frac{x^{2}}{4} ight)dx} = \frac{8\pi}{3}

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:

    Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:

    Dựa vào hình vẽ ta được: S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}.

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack và \int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack và \int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x^{2} - 4x + 4, đường cong y = x^{3} và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Tính diện tích S của hình (H)?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x^{3} = x^{2} - 4x + 4 \Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} + 4 ight) = 0 \Leftrightarrow x = 1

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{0}^{1}{x^{3}dx} + \int_{1}^{2}{\left( x^{2} - 4x + 4 ight)dx}

    = \int_{0}^{1}{x^{3}dx} + \int_{1}^{2}{(x - 2)^{2}d(x - 2)}

    = \left. \ \frac{x^{4}}{4} ight|_{0}^{1} + \left. \ \frac{(x - 2)^{3}}{3} ight|_{1}^{2} = \frac{7}{12}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho biết \int_{1}^{2}{\ln\left( 9 - x^{2} ight)dx} = aln5 + bln2 + c với a;b;c\mathbb{\in Z}. Tính S = |a| + |b| + |c|?

    Xét trên đoạn \lbrack 1;2brack ta có:

    \ln\left( 9 - x^{2} ight) = \ln(3 - x) + \ln(3 + x)

    Xét I_{1} = \int_{1}^{2}{\ln(3 - x)dx}. Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln(3 - x) \\dv = dx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x - 3}dx \\v = x \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow I_{1} = \left. \ x\ln(3 - x) ight|_{1}^{2} - \int_{1}^{2}{\frac{x}{x - 3}dx}

    \Rightarrow I_{1} = \left. \ x\ln(3 - x)ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack x + 3\ln(3 - x) ightbrackight|_{1}^{2} = 2\ln2 - 1

    Xét I_{2} = \int_{1}^{2}{\ln(3 + x)dx}. Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln(3 + x) \\dv = dx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x + 3}dx \\v = x \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow I_{2} = \left. \ x\ln(3 + x) ight|_{1}^{2} - \int_{1}^{2}{\frac{x}{x + 3}dx}

    \Rightarrow I_{2} = \left. \ x\ln(3 + x)ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack x + 3\ln(3 + x) ightbrackight|_{1}^{2} = 5\ln5 - 8\ln2 - 1

    Vậy \int_{1}^{2}{\ln\left( 9 - x^{2}ight)dx} = I_{1} + I_{2} = 5\ln5 - 6\ln2 - 2 \Rightarrow S =13.

  • Câu 14: Nhận biết

    Tính tích phân I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( \sin2x + \sin x ight)dx}?

    Ta có:

    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\sin2x + \sin x ight)dx} = \left. \ \left( - \frac{1}{2}\cos2x - \cos xight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2

  • Câu 15: Thông hiểu

    Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v_{1}(t) = 2t(m/s). Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = - 12\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường S(m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?

    Quãng đường xe đi được trong 12s đầu là S_{1} = \int_{0}^{12}{2tdt} = 144m

    Sau khi đi được 12s vật đạt vận tốc v = 24(m/s), sau đó vận tốc của vật có phương trình v = 24 - 12t

    Vật dừng hẳn sau 2s kể từ khi phanh.

    Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là

    S_{2} = \int_{0}^{2}{(24 - 22t)dt} = 24m

    Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là S = S_{1} + S_{2} = 144 + 24 = 168(m)

  • Câu 16: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, thỏa mãn F(0) = 2020. Tính giá trị biểu thức T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, ta có: F(x) = e^{x} + C mà F(0) = 2020

    \Rightarrow C = 2019 \Rightarrow F(x) = e^{x} + 2019

    T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)

    T = 1 + e + e^{2} + .... + e^{2018} + e^{2019} + 2019.2020

    T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2019.2020.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Hàm số y = f(x) có một nguyên hàm là F(x) = e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số \frac{f(x) + 1}{e^{x}}?

    Ta có: f(x) = F'(x) = \left( e^{2x} ight)' = 2.e^{2x}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f(x) + 1}{e^{x}}dx} = \int_{}^{}{\frac{2e^{2x} + 1}{e^{x}}dx}

    = 2e^{x} - e^{- x} + C

  • Câu 18: Thông hiểu

    Biết \int_{- 1}^{0}{\frac{3x^{2} + 5x - 1}{x - 2}dx} = a\ln\frac{2}{3} + b. Khi đó P = a + 2b có giá trị bằng:

    Ta có:

    I = \int_{- 1}^{0}{\frac{3x^{2} + 5x - 1}{x - 2}dx} = \int_{- 1}^{0}{(3x + 11)dx} + \int_{- 1}^{0}{\frac{21}{x - 2}dx}

    = \left. \ \left( 3.\frac{x^{2}}{2} +11x ight) ight|_{- 1}^{0} + \left. \ \left( 21\ln|x - 2| ight)ight|_{- 1}^{0}= \frac{19}{2} + 21\ln\frac{2}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 21 \\b = \dfrac{19}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a + 2b = 40

  • Câu 19: Vận dụng

    Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước.

    Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước.

    Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x\sin2x;y = 2x;x = \frac{\pi}{2}?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x\sin2x = 2x \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\\sin2x = 2(L) \\\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left| x\sin x - 2x ight|dx} = \left| \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( x\sin x - 2x ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left(\frac{1}{4}\sin2x - \frac{1}{2}x\cos2x - x^{2} ight)ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} ight| = \frac{\pi^{2}}{4} -\frac{\pi}{4}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 10 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập