Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3$ và $\int_{0}^{5}{f(x)dx} = 6$ . Tính tích phân $C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x - 2) ight|dx}$ ?
- A.
  $C = 3$
- B.
  $C = - 2$
- C.
  $C = 4$
- D.
  $C = 9$
Ta có: $C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x - 2) ight|dx} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)dx} + \int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x - 2)dx} = C_{1} + C_{2}$ .

Ta có:

$C_{1} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)dx} = - \frac{1}{3}\int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)d( - 3x + 2)}$

Đặt $t = - 3x + 2 \Rightarrow dt = - 3dx$ . Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = - 1 \Rightarrow t = 5 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight.$ do đó:

$C_{1} = \frac{1}{3}\int_{0}^{5}{f(t)dt} = 2$

Ta có:

$C_{2} = \int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x - 2)dx} = \frac{1}{3}\int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x + 2)d(3x + 2)}$

Đặt $t = 3x - 2 \Rightarrow dt = 3dx$ . Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight.$ do đó:

$C_{2} = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}{f(t)dt} = 1$ .

Vậy $C = C_{1} + C_{2} = 3$
Câu 2: Nhận biết
Tích phân $\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx$ bằng:
- A.
  $\frac{45}{4}$
- B.
  $\frac{47}{4}$
- C.
  $\frac{25}{4}$
- D.
  $2$
Ta có:

$\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx = \left. \ \left( \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} ight) ight|_{1}^{8} = \frac{45}{4}$ .
Câu 3: Nhận biết
Tìm nguyên hàm $F(t) = \int_{}^{}txdt$ .
- A.
  $F(t) = x + t + C$
- B.
  $F(t) = \frac{x^{2}t}{2} + C$
- C.
  $F(t) = \frac{xt^{2}}{2}$ $+ C$
- D.
  $F(t) = \frac{(tx)^{2}}{2} + C$
Ta có:

$F(t) = \int_{}^{}txdt = x\int_{}^{}tdt = x.\frac{t^{2}}{2} + C$
Câu 4: Nhận biết
Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y = e^{x}$ , trục hoành và các đường thẳng $x = 0;x = 1$ . Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{e^{2} - 1}{2}$
- B.
  $V = \frac{\pi\left( e^{2} + 1 ight)}{2}$
- C.
  $V = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}$
- D.
  $V = \frac{\pi e^{2}}{2}$
Ta có:

$V = \pi\int_{0}^{1}{e^{2x}dx} = \left. \ \frac{\pi}{2}e^{2x} ight|_{0}^{1} = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}$ .
Câu 5: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'(x) - f(x) = e^{x}$ và $f(0) = 2$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y(x) = f(x)$ tại giao điểm với trục hoành là:
- A.
  $y = x + 2$
- B.
  $y = e^{2}(x - 4)$
- C.
  $y = e^{- 2}(x + 2)$
- D.
  $y = - x$
Ta có: $f'(x) - f(x) = e^{x}$ . Nhân cả hai vế với $e^{- x}$ ta được:

$e^{- x}f'(x) - e^{- x}.f(x) = 1$

$\Leftrightarrow \left( e^{- x}.f(x) ight)' = 1$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\Leftrightarrow \int_{}^{}{\left( e^{- x}.f(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow e^{- x}.f(x) = x + C$

$f(0) = 2 \Rightarrow f(0) = 0 + C \Leftrightarrow C = 2$

Suy ra $e^{- x}.f(x) = x + 2 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x + 2}{e^{- x}} = (x + 2)e^{x}$

$\Rightarrow f'(x) = (x + 3)e^{x}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $(x + 2)e^{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

Ta có: $f'( - 2) = ( - 2 + 3)e^{- 2} = e^{- 2};f( - 2) = 0$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là: $y = e^{- 2}(x + 2)$
Câu 6: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ ta có: $f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x -f(x)\sin x$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx}$ ?
- A.
  $I = 1$
- B.
  $I = \sqrt{2} - 1$
- C.
  $I = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1$
- D.
  $I = 2$
Ta có:

$f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x- f(x)\sin x$

$\Leftrightarrow f'(x).f(x) - \sin2x =\left\lbrack f(x)\cos x ightbrack'$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\int_{}^{}\left\lbrack f'(x).f(x) -\sin2x ightbrack dx = \int_{}^{}{\left\lbrack f(x)\cos xightbrack'}dx$

$\Leftrightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x + C$

Theo bài ra ta có: $f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 \Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x$

$\Leftrightarrow f^{2}(x) + \cos2x =2f(x)\cos x$

$\Leftrightarrow f^{2}(x) - 2f(x)\cos x +\cos^{2}x = \sin^{2}x$

$\Leftrightarrow \left\lbrack f(x) - \cos x ightbrack^{2} = \sin^{2}x \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) - \cos x = \sin x \\f(x) - \cos x = - \sin x \\\end{matrix} ight.$

Vì $f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1$ nên nhận $f(x) = \cos x - \sin x$

Vậy $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left\lbrack \cos x - \sin x ightbrack dx} = \left. \ \left( \cos x - \sin x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} - 1$
Câu 7: Thông hiểu
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $(S)$ giới hạn bởi các đường $y = 4 - x^{2};y = 0$ quanh trục $Ox$ có kết quả có dạng $\frac{\pi a}{b}$ với $a;b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó giá trị của $a - 30b$ bằng:
- A.
  $62$
- B.
  $26$
- C.
  $82$
- D.
  $28$
Phương trình hoành độ giao $4 - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích cần tính $V = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 4 - x^{2} ight)^{2}dx} = \left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{8x^{3}}{3} - 16x ight) ight|_{- 2}^{2} = \frac{512\pi}{15}$

Suy ra $a = 512;b = 15 \Rightarrow a - 30b = 62$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $f(x) = x^{3} - 3x + 2$ và $g(x) = x + 2$ ?
- A.
  $S = 8$
- B.
  $S = 4$
- C.
  $S = 12$
- D.
  $S = 16$
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số $f(x);g(x)$ là nghiệm của phương trình

$x^{3} - 3x + 2 = x + 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Hình vẽ minh hoạ

Diện tích S cần tìm là:

$S = \int_{- 2}^{0}{\left( x^{3} - 4x ight)dx} - \int_{0}^{2}{\left( x^{3} - 4x ight)dx}$

$= \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} ight) ight|_{- 2}^{0} - \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} ight) ight|_{0}^{2} = 8$
Câu 9: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{2} - 2x - 2$ và $y = \frac{x - 4}{2 - x}$ ?
- A.
  $\frac{4}{3}$
- B.
  $0,28$
- C.
  $\frac{5}{3} - 2ln2$
- D.
  $3 - ln4$
Phương trình hoành độ giao điểm $x^{2} - 2x - 2 = \frac{x - 4}{2 - x}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ \left( x^{2} - 2x - 2 ight)(2 - x) = x - 4 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ x\left( x^{2} - 4x + 3 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Diện tích hình giới hạn là

$S = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 2 - \frac{x - 4}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 2 - \frac{x - 4}{2 - x} ight|dx}$

$= \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 1 - \frac{2}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 1 - \frac{2}{x - 2} ight|dx}$

$= \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3}- x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight) ight|_{0}^{1} ight| + \left| \left.\ \left( \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight)ight|_{1}^{3} ight|$

$= \frac{5}{3} - 2\ln2 + \frac{4}{3} = 3 -\ln4$
Câu 10: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ 3x^{2} - 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$ có một nguyên hàm là $F(x)$ thỏa mãn $F(0) = 1$ và $F(x)$ liên túc trên $\mathbb{R}$ . Giá trị biểu thức $K = F( - 1) - F(2)$ bằng:
- A.
  $K = 7$
- B.
  $K = 5$
- C.
  $K = 8$
- D.
  $K = 6$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + C_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + C_{2}\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$

$F(0) = 1 \Rightarrow C_{2} = 1$

Vì hàm số $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x = 1$ tức là

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}F(x) = F(1)$

$\Leftrightarrow 1 + C_{1} = C_{2} \Leftrightarrow C_{1} = 0$

Do đó $F(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$

$K = F( - 1) - F(2) = ( - 1 + 1 + 1) + \left( 2^{2} ight) = 5$
Câu 11: Nhận biết
Xác định nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x - 8\sin x\cos x$ thỏa mãn $F(\pi) = 2$ ?
- A.
  $F(x) = x^{2} + 4\cos2x - \pi^{2} -2$
- B.
  $F(x) = x^{2} - 2\cos2x - \pi^{2} +4$
- C.
  $F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}$
- D.
  $F(x) = x^{2} - 4\cos2x - \pi^{2} +6$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(2x - 8\sin x\cos x ight)dx}$

$= \int_{}^{}{(2x - 4\sin2x)dx} = x^{2} +2\cos2x + C$

Theo bài ra ta có: $F(\pi) = 2$

$\Rightarrow \pi^{2} + 2 + C = 2 \Leftrightarrow C = - \pi^{2}$

Vậy $F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}$
Câu 12: Thông hiểu
Biết $\int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x ightbrack dx} = 1$ . Khi đó $\int_{1}^{2}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $1$
- B.
  $- 3$
- C.
  $3$
- D.
  $- 1$
Ta có:

$\int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x ightbrack dx} = 1 \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} - 2\int_{1}^{2}{xdx} = 1$

$\Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} - 2\left. \ .x^{2} ight|_{1}^{2} = 1 \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 \Leftrightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 1$
Câu 13: Thông hiểu
Biết rằng $\int_{3}^{4}{\frac{5x -8}{x^{2} - 3x + 2}dx} = a\ln3 + b\ln2 + c\ln5$ với $a;b;c$ là các số hữu tủ. Giá trị của $2^{a - 3b + c}$ bằng:
- A.
  $12$
- B.
  $6$
- C.
  $1$
- D.
  $64$
Ta có:
$\int_{3}^{4}{\frac{5x - 8}{x^{2} - 3x +2}dx} = \int_{3}^{4}{\left( \frac{3}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}ight)dx}$
$= \left. \ 3\ln|x - 1| ight|_{3}^{4} +2\left. \ \ln|x - 2| ight|_{3}^{4}$
$= 3\ln2 - 3\ln2 + 2\ln2 = - \ln2 +3\ln3$
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 3 \\b = - 1 \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow 2^{a - 3b + c} = 2^{6} =64$
Câu 14: Thông hiểu
Hàm số $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)$ . Hỏi hàm số $F(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
TXĐ: $D\mathbb{= R}$

Ta có: $F'(x) = f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)$

$\Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - x = 0 \\ \ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} + 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình $F'(x) = 0$ có 1 nghiệm đơn $x = 1$ và một nghiệm kép $x = 0$ nên hàm số $F(x)$ có 1 điểm cực trị.
Câu 15: Vận dụng
Cho đường cong $(C):y = x^{3}$ . Xét điểm $A$ có hoành độ dương thuộc $(C)$ , tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ tạo với $(C)$ một hình phẳng có diện tích bằng $27$ . Hoành độ điểm $A$ thuộc khoảng nào dưới đây??
- A.
  $\left( 0;\frac{1}{2} ight)$ .
- B.
  $\left( \frac{1}{2};1 ight)$ .
- C.
  $\left( 1;\frac{3}{2} ight)$ .
- D.
  $\left( \frac{3}{2};2 ight)$ .
Ta có: $y' = 3x^{2}$ có $A \in (C) \Rightarrow A\left( a;a^{3} ight);(a > 0)$

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là $d:y = 3a^{2}(x - a) + a^{3}$

$x^{3} = 3a^{2}(x - a) + a^{3}$

$\Leftrightarrow (x - a)^{2}(x + 2a) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a \\ x = - 2a \\ \end{matrix} ight.$

Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C)

$S = 27 \Leftrightarrow \int_{- 2a}^{a}\left| x^{3} - 3a^{2}(x - a) - a^{3} ight|dx = 27$

$\Leftrightarrow \left| \int_{- 2a}^{a}\left( x^{3} - 3a^{2}x + 2a^{3} ight)dx ight| = 27$

$\Leftrightarrow \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - \frac{3a^{2}x^{2}}{2} + 2a^{3}x ight) ight|_{- 2a}^{a} ight| = 27$

$\Leftrightarrow \frac{27}{4}a^{4} = 27 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = \sqrt{2}(tm) \\ a = - \sqrt{2}(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $a = \sqrt{2} \in \left( 1;\frac{3}{2} ight)$
Câu 16: Nhận biết
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x + 1$ ?
- A.
  $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{3}{2}(3x + 1)^{2} + C$
- B.
  $\int_{}^{}{f(x)dx} = (3x + 1)^{2} + C$
- C.
  $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{1}{6}(3x + 1)^{2} + C$
- D.
  $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{1}{2}(3x + 1)^{2} + C$
Ta có:

$\int_{}^{}{(3x + 1)dx} = \frac{1}{3}\int_{}^{}{(3x + 1)d(3x + 1)}$

$= \frac{1}{3}.\frac{(3x + 1)^{2}}{2} + C = \frac{1}{6}(3x + 1)^{2} + C$
Câu 17: Vận dụng cao

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Đáp án là:

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Cả hai bên cầu có tất cả $2.10 = 20$ nhịp cầu.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc $O(0;0)$ là chân cầu, đỉnh $I(25;2)$ , điểm $A(50;0)$

Gọi Parabol phía trên có phương trình: $\left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c = ax^{2} + bx$ (vì $O \in \left( P_{1} ight)$ )

$\Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx - \frac{1}{5}$ là phương trình parabol phía dưới

(Vì bề dày nhịp cầu là $20cm = \frac{1}{5}m$ )

Ta có $I,A \in \left( P_{1} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 25^{2}a + 25b = 2 \\ 50^{2}a + 50b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{2}{625} \\ b = \frac{4}{25} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\ \ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x - \frac{1}{5}$

Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi $y_{1};y_{2}$ và trục Ox nên ta có:

$S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx + \int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}$

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là $S.0,2 \approx 1,985m^{3}.$

Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là $V = 20.S.0,2 \approx 40m^{3}$
Câu 18: Thông hiểu
Cho hàm số $y = \cos4x$ có một nguyên hàm là $F(x)$ ; $F\left( \frac{\pi}{4} ight) = 2$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\int_{}^{}{F(x)}dx = -\frac{\cos4x}{4} + 2x + C$
- B.
  $\int_{}^{}{F(x)}dx = - 4\cos4x + 2x +C$
- C.
  $\int_{}^{}{F(x)}dx = - \cos4x + 2x +C$
- D.
  $\int_{}^{}{F(x)}dx = -\frac{\cos4x}{16} + 2x + C$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\cos4x}dx =\frac{1}{4}\sin4x + C$

$F\left( \frac{\pi}{4} ight) = 2 \Rightarrow C = 2$

Ta được $F(x) = \frac{1}{4}\sin4x +2$

$\Rightarrow \int_{}^{}{F(x)dx} =\int_{}^{}{\left( \frac{1}{4}\sin4x + 2 ight)dx}$

$= - \frac{\cos4x}{16} + 2x +C$
Câu 19: Nhận biết
Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 3^{x};y = 0;x = 0;x = 2$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $S = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}$
- B.
  $S = \pi\int_{0}^{2}{3^{2x}dx}$
- C.
  $S = \pi\int_{0}^{2}{3^{x}dx}$
- D.
  $S = \int_{0}^{2}{3^{2x}dx}$
Ta có: $S = \int_{0}^{2}{\left| 3^{x} ight|dx} = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}$
Câu 20: Nhận biết
Tính tích phân $\int_{1}^{2}{\frac{x - 1}{x}dx}$ ?
- A.
  $1 - \ln2$
- B.
  $\frac{7}{2}$
- C.
  $1 + \ln2$
- D.
  $2\ln2$
Ta có: $\int_{1}^{2}{\frac{x - 1}{x}dx} = \int_{1}^{2}{\left( 1 - \frac{1}{x} ight)dx} = \left. \ \left( x - \ln|x| ight) ight|_{1}^{2}$

$= (2 - \ln2) - (1 - \ln1) = 1 -\ln2$

8 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!