Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Thể tích $V$ của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x\sqrt{x^{2} + 1}$ , trục hoành và đường thẳng $x = 1$ khi quay quanh trục $Ox$ ?
- A.
  $V = \frac{9}{15}$
- B.
  $V = \frac{8\pi}{15}$
- C.
  $V = \frac{8}{15}$
- D.
  $V = \frac{9\pi}{15}$
Phương trình hoành độ giao điểm của đường $y = x\sqrt{x^{2} + 1}$ và trục hoành là:

$x\sqrt{x^{2} + 1} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Khi đó, thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x\sqrt{x^{2} + 1}$ , trục hoành và đường thẳng x = 1 khi quay quanh trục Ox là:

$V = \pi\int_{0}^{1}{\left( x\sqrt{x^{2} + 1} ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{1}{\left( x^{4} + x^{2} ight)dx}$

$= \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{8\pi}{15}$
Câu 2: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{(2x - 1)^{2}}$ ?
- A.
  $\frac{1}{2 - 4x} + C$
- B.
  $- \frac{1}{(2x - 1)^{2}} + C$
- C.
  $\frac{1}{4x - 2} + C$
- D.
  $- \frac{1}{2x - 1} + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\frac{1}{(2x -1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{(2x - 1)^{- 1}dx}$

$= - \frac{1}{2}.\frac{1}{2x -2} + C = \frac{1}{2 - 4x} + C$
Câu 3: Thông hiểu
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = - 4t + x(m/s)$ . Biết từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn thì ô tô di chuyển được $50m$ . Tìm $x$ ?
- A.
  $x = 12,5$ .
- B.
  $x = 15$ .
- C.
  $x = 25$ .
- D.
  $x = 20$ .
Khi dừng hẳn $v(t) = - 4t + x = 0 \Rightarrow t = \frac{x}{4}(s)$

Quãng đường xe đi được từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn là: $S = \int_{0}^{\frac{x}{4}}{v(t)dt} = \int_{0}^{\frac{x}{4}}{( - 4t + x)dt}$

$= \left. \ \left( - 2t^{2} + xt ight) ight|_{0}^{\frac{x}{4}} = \frac{- x^{2}}{8} + \frac{x^{2}}{4} = 50$

$\Leftrightarrow x^{2} = 400 \Leftrightarrow x = 20(m/s)$
Câu 4: Nhận biết
Tính tích phân $I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( \sin2x + \sin x ight)dx}$ ?
- A.
  $I = 5$
- B.
  $I = 3$
- C.
  $I = 4$
- D.
  $I = 2$
Ta có:

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\sin2x + \sin x ight)dx} = \left. \ \left( - \frac{1}{2}\cos2x - \cos xight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2$
Câu 5: Thông hiểu
Biết $\int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x ightbrack dx} = 1$ . Khi đó $\int_{1}^{2}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $1$
- B.
  $- 3$
- C.
  $3$
- D.
  $- 1$
Ta có:

$\int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x ightbrack dx} = 1 \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} - 2\int_{1}^{2}{xdx} = 1$

$\Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} - 2\left. \ .x^{2} ight|_{1}^{2} = 1 \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 \Leftrightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 1$
Câu 6: Vận dụng cao

Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

Đáp án: 6750000 đồng.

Đáp án là:

Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

Đáp án: 6750000 đồng.

Gọi phương trình parabol $(P):y = ax^{2} + bx + c$ .

Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ( P) có đỉnh I ∈ Oy (như hình vẽ)

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} \frac{9}{4} = c\ (I \in (P))\ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = \frac{9}{4} \\ a = - 1 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

Vậy $(P):y = - x^{2} + \frac{9}{4}$

Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: $S = \int_{\frac{- 3}{2}}^{\frac{3}{2}}\left( - x^{2} + \frac{9}{4} ight)dx = 2\left. \ \left( - \frac{x}{3}^{3} + \frac{9}{4}x ight) ight|_{0}^{\frac{9}{4}} = \frac{9}{2}(m^{2}).$

Số tiền phải trả là $\frac{9}{2}.1500000 = 6750000$ đồng.
Câu 7: Nhận biết
Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x} + x$ là
- A.
  $2^{x} + x^{2} + C$ .
- B.
  $\frac{2^{x}}{ln2} + x^{2} + C$ .
- C.
  $2^{x} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .
- D.
  $\frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .
Ta có: $\int_{}^{}f(x)dx = \int_{}^{}\left( 2^{x} + x ight)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .
Câu 8: Nhận biết
Gọi $(D)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{x}{4};y = 0;x = 1;x = 4$ . Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình $(D)$ quanh trục $Ox$ ?
- A.
  $V = \frac{15}{16}$
- B.
  $V = \frac{15\pi}{8}$
- C.
  $V = \frac{21\pi}{16}$
- D.
  $V = \frac{21}{16}$
Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình $(D)$ quanh trục $Ox$ là

$V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{x}{4} ight)^{2}dx} = \left. \ \frac{\pi x^{3}}{48} ight|_{1}^{4} = \frac{21\pi}{16}$ .
Câu 9: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x\sin x$ , biết rằng $F\left( \frac{\pi}{2} ight) = 2019$ ?
- A.
  $F(x) = x\sin x + \cos x + 2019$
- B.
  $F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018$
- C.
  $F(x) = x\sin x - \cos x + 2019$
- D.
  $F(x) = x\sin x + \cos x + 2018$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \sin xdx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cos x \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{}^{}{x\sin xdx} = - x\cos x - \int_{}^{}{\left( - \cos x ight)dx} + C = - x\cos x + \sin x + C$

$F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} + C = 2019 \Rightarrow C = 2018$

Vậy $F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018$ .
Câu 10: Thông hiểu
Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 2x}{x - 1}$ , đường thẳng $y = x - 1$ và các đường thẳng $x = m;x = 2m;(m > 1)$ . Giá trị của $m$ sao cho $S = ln3$ là
- A.
  $m = 5$
- B.
  $m = 4$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = 3$
Diện tích cần tìm chính là tích phân:

$S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} - 2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx}$

Ta có:

$S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} - 2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx} = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{- 1}{x - 1} ight|dx}$

$= \int_{m}^{2m}{\frac{1}{|x - 1|}dx} = \int_{m}^{2m}{\frac{1}{x - 1}dx};(m > 1)$

$= \left. \ \left\lbrack \ln|x - 1| ightbrack ight|_{m}^{2m} = \ln\frac{2m - 1}{m - 1}$

Do đó $S = ln3 \Leftrightarrow \ln\frac{2m - 1}{m - 1} = ln3 \Leftrightarrow m = 2$

Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm.
Câu 11: Thông hiểu
Tính tích phân $B = \int_{0}^{2}{2x\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}dx}$ ?
- A.
  $B = \frac{5^{2019} - 1}{2019}$
- B.
  $B = \frac{5^{2019} - 1}{4038}$
- C.
  $B = \frac{5^{2018} - 1}{4036}$
- D.
  $B = 1$
Ta có: $B = \int_{0}^{2}{2x\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}dx}$

$= \int_{0}^{2}{\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}d\left( x^{2} + 1 ight)}$

$= \left. \ \frac{\left( x^{2} + 1 ight)^{2019}}{2019} ight|_{0}^{2} = \frac{5^{2019} - 1}{2019}$
Câu 12: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập số thực thỏa mãn $f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ và $f'(x) - 2f(x) = 0$ . Tính $f( - 1)$ biết rằng $f(1) = 1$ ?
- A.
  $e^{- 4}$
- B.
  $e^{3}$
- C.
  $e^{4}$
- D.
  $e^{- 2}$
Vì $f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ nên ta có:

$f'(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{2dx}$

$\Rightarrow \exists C\mathbb{\in R}:ln\left| f(x) ight| = 2x + C$

$\Rightarrow \ln f(x) = 2x + C$

Cho $x = 1 \Rightarrow \ln f(1) = 2 + C\Rightarrow \ln1 = 2 + C \Rightarrow C = - 2$

Do đó $\ln f(x) = 2x - 2 \Leftrightarrow f(x) = e^{2x - 2} \Rightarrow f( - 1) = e^{- 4}$
Câu 13: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$ ?
- A.
  $F(x) = - \ln|x| + \frac{1}{x} + C$
- B.
  $F(x) = \ln|x| - \frac{1}{x} + C$
- C.
  $F(x) = \ln|x| + \frac{1}{x} + C$
- D.
  $F(x) = - \ln|x| - \frac{1}{x} + C$
Ta có: $f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow F(x) = \ln|x| + \frac{1}{x} + C$
Câu 14: Thông hiểu
Biết rằng $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ 4x^{3} - 18\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Giá trị biểu thức $F( - 1) - F(3)$ bằng:
- A.
  $7$
- B.
  $18$
- C.
  $8$
- D.
  $32$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{3} + 2x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{4} - 18x + C_{2}\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vì hàm số $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x = 2$ tức là

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}F(x) = F(2)$

$\Leftrightarrow 12 + C_{1} = - 20 + C_{2} \Leftrightarrow C_{1} - C_{2} = - 32$

Do đó

$F( - 1) - F(3) = \left( 1 + 18 + C_{2} ight) - \left( 27 + 6 + C_{1} ight)$

$= - 14 - \left( C_{1} - C_{2} ight) = - 14 + 32 = 18$
Câu 15: Vận dụng
Cho hai hàm số $f(x) = ax^{3} + bx + c;g(x) = bx^{3} + ax + c;(a > 0)$ có đồ thị như hình vẽ:

Gọi $S_{1};S_{2}$ là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi $S_{1} + S_{2} = 3$ thì $\int_{0}^{1}{f(x)dx}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3$
- B.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = - 3$
- C.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 6$
- D.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = - 6$
Phương trình hoành độ giao điểm

$(a - b)x^{3} + (b - a)x = 0$

$\Leftrightarrow (a - b)\left( x^{3} - x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Ký hiệu $S_{3}$ là diện tích hình phẳng như hình vẽ:

Ta có:

$S_{1} = \int_{- 1}^{0}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} = (a - b)\int_{- 1}^{0}{\left( x^{3} - x ight)dx} = \frac{1}{4}(a - b)$

$S_{2} = - \int_{- 1}^{0}{g(x)dx} = - \int_{- 1}^{0}{\left( bx^{3} + ax + c ight)dx} = - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight)$

Vì vậy $S_{1} + S_{2} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{4}(a - b) - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight) = 3$

$\Leftrightarrow a + 2b + 4c = - 12$

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{\left( ax^{3} + bx + c ight)dx} = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = \frac{a + 2b + 4c}{4} = - 3$
Câu 16: Nhận biết
Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ . Khi đó hiệu số $F(0) - F(1)$ bằng:
- A.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx}$
- B.
  $\int_{0}^{1}{- F(x)dx}$
- C.
  $\int_{0}^{1}{F(x)dx}$
- D.
  $- \int_{0}^{1}{f(x)dx}$
Theo định nghĩa tích phân ta có:

$\int_{0}^{1}{f(x)dx} = F(1) - F(0)$ suy ra $F(0) - F(1) = - \int_{0}^{1}{f(x)dx}$ .
Câu 17: Vận dụng cao
Gọi $d$ là đường thẳng tùy ý đi qua điểm $M(1;1)$ và có hệ số góc âm. Giả sử $d$ cắt các trục $Ox;Oy$ lần lượt tại $A;B$ . Quay tam giác $OAB$ quanh trục $Oy$ thu được một khối tròn xoay có thể tích là $V$ . Giá trị nhỏ nhất của $V$ bằng
- A.
  $3\pi$
- B.
  $\frac{9\pi}{4}$
- C.
  $2\pi$
- D.
  $\frac{5\pi}{2}$
Hình vẽ minh họa
Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \Rightarrow d:x = -\frac{b}{a}x + b\ \ \ (1)$
Mà M(1; 1) ∈ d nên $\frac{1}{a} +\frac{1}{b} = 1 \Rightarrow a + b = 2ab\ \ (2)$
Từ (1) suy ra d có hệ số góc là $k = -\frac{b}{a}$ ; theo giả thiết ta có $-\frac{b}{a} < 0 \Rightarrow ab > 0$
Nếu $a < 0;b < 0 \Rightarrow a + b< 0$ mẫu thuẫn với (2) suy ra $a> 0;b > 0$
Mặt khác từ (2) suy ra $b = \frac{a}{a -1}$ kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1.
Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao $h = b$ và bán kính đường tròn đáy $r = a$
Thể tích khối nón là $V = \frac{1}{3}\pir^{2}h = \frac{1}{3}\pi a^{2}b = \frac{1}{3}\pi\frac{a^{3}}{a -1}$
Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi $\frac{a^{3}}{a - 1}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét hàm số $f(x) = \frac{x^{3}}{x - 1} =x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ trên khoảng $(1; + \infty)$
$f'(x) = 2x + 1 - \frac{1}{(x -1)^{2}} = \frac{x^{2}(2x - 3)}{(x - 1)^{2}}$
$f'(x) = 0 \Rightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \frac{3}{2} \\\end{matrix} ight.$
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng $\frac{1}{3}\pi.f\left( \frac{3}{2} ight) =\frac{9\pi}{4}$
Câu 18: Vận dụng
Biết $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}}$ . Hỏi đồ thị của hàm số $y = F(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Vì $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}}$ nên suy ra $F'(x) = f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}}$

Ta có: $F'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x - \cos x}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - \cos x = 0 \\ x \in \lbrack - 1;1brack\backslash\left\{ 0 ight\} \\ \end{matrix} ight.\ (1)$

Xét hàm số $g(x) = x - \cos x$ trên $\lbrack - 1;1brack$ , ta có: $g'(x) = 1 + \sin x \geq 0;\forall x \in \lbrack - 1;1brack$ suy ra hàm số $g(x)$ đồng biến trên $\lbrack - 1;1brack$ .

Vậy phương trình $g(x) = x - \cos x = 0$ có nhiều nhất một nghiệm trên $\lbrack - 1;1brack$ (2)

Mặt khác ta có hàm số $g(x) = x - \cos x$ liên tục trên $(0;1)$ và $\left\{ \begin{matrix} g(0) = 0 - cos0 = - 1 < 0 \\ g(1) = 1 - cos1 > 0 \\ \end{matrix} ight.$ nên $g(0)g(1) < 0$ .

Suy ra tồn tại $x_{0} \in (0;1)$ sao cho $g\left( x_{0} ight) = 0$ (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra phương trình $F'(x) = 0$ có nghiệm duy nhất $x_{0} eq 0$ .

Đồng thời vì $x_{0}$ là nghiệm bội lẻ nên $F'(x)$ đổi dấu qua $x = x_{0}$

Vậy đồ thị hàm số $y = F(x)$ có một điểm cực trị.
Câu 19: Thông hiểu
Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 0;x = 3$ biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x;(0 \leq x \leq 3)$ là hình chữ nhật có kích thước là $x$ và $2\sqrt{9 - x^{2}}$ ?
- A.
  $V = 36$
- B.
  $V = 9$
- C.
  $V = 18$
- D.
  $V = 54$
Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại điểm có hoành độ $x;(0 \leq x \leq 3)$ là hình chữ nhật có kích thước là $x$ và $2\sqrt{9 - x^{2}}$

Diện tích thiết diện được xác định theo hàm là: $S(x) = 2x\sqrt{9 - x^{2}}$

⇒ Thể tích vật thể tròn xoay: $V = \int_{0}^{3}{2x\sqrt{9 - x^{2}}}dx = 18$
Câu 20: Nhận biết
Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y = e^{x}$ , trục hoành và các đường thẳng $x = 0;x = 1$ . Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{e^{2} - 1}{2}$
- B.
  $V = \frac{\pi\left( e^{2} + 1 ight)}{2}$
- C.
  $V = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}$
- D.
  $V = \frac{\pi e^{2}}{2}$
Ta có:

$V = \pi\int_{0}^{1}{e^{2x}dx} = \left. \ \frac{\pi}{2}e^{2x} ight|_{0}^{1} = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}$ .

8 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!