Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} và các trục tọa độ.

    Đồ thị hàm số đã cho cắt hai trục Ox tại điểm A(−1; 0) và cắt trục Oy tại điểm B\left( 0; - \frac{1}{2} ight), do đó diện tích cần tìm là

    S = \int_{- 1}^{0}{\left| \frac{x + 1}{x - 2} ight|dx} = \left| \int_{- 1}^{0}{\left( 1 + \frac{3}{x - 2} ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( x + 3\ln|x - 2|ight) ight|_{- 1}^{0} ight| = 3\ln\frac{3}{2} - 1

  • Câu 2: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin x\cos x + \frac{1}{x + 1} là:

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x +1}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{\left(\frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x + 1} ight)dx} = - \frac{1}{4}\cos2x +\ln|x + 1| + C

  • Câu 3: Vận dụng

    Tìm nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}

     \int {f\left( x ight)} dx = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} ight)}^{10}}}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^{12}}}}} dx = {\int {\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)} ^{10}}.\frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    Đặt t = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \Rightarrow dt = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}dx}} \Rightarrow \frac{1}{3}dt = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}dx

    => \int {f\left( x ight)} dx = \int {{t^{10}}.\frac{1}{3}dt = \frac{1}{{33}}.{t^{11}} + C}

    => \frac{1}{{33}}{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} ight)^{11}} + C

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2. Hãy tính \int_{1}^{4}{\frac{f\left( \sqrt{x} ight)}{\sqrt{x}}dx}?

    Đặt t = \sqrt{x} \Rightarrow dt = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx \Rightarrow 2dt = \frac{1}{\sqrt{x}}dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = 4 \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight. ta có:

    2\int_{1}^{2}{f(t)dt} = 2\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2.2 = 4

    Vậy \int_{1}^{4}{\frac{f\left( \sqrt{x} ight)}{\sqrt{x}}dx} = 4

  • Câu 5: Thông hiểu

    Giả sử \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1} = - \frac{1}{g(x)} + C với C là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình g(x) = 0 bằng:

    Ta có: \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1} = \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)\left( x^{2} + 3x ight) + 1}

    Đặt t = x^{2} + 3x \Rightarrow dt = (2x + 3)dx

    \int_{}^{}\frac{dt}{(t + 2)t + 1} = \int_{}^{}\frac{dt}{(t + 1)^{2}} = - \frac{1}{t + 1} + C = - \frac{1}{x^{2} + 3x + 1} + C

    \Rightarrow g(x) = x^{2} + 3x + 1

    Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm x_{1};x_{2} và x_{1} + x_{2} = - 3.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1 ight| và y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1 ight| và y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H). Lúc dó S = 2S_{1} + 2S_{2}, trong đó S_{1} là diện tích phần gạch sọc ở bên phải Oy và S_{2} là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

    GọiA,B là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng y = k và đồ thị hàm sốy = \left| x^{2} - 1 ight|, trong đó A\left( \sqrt{1 - k};k ight) và B\left( \sqrt{1 + k};k ight).

    Thco yêu cầu bài toán S = 2 \cdot 2S_{1} \Leftrightarrow S_{1} = S_{2}.

    \Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 - k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\ = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k - 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1 ight)dx}.

    \Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}

    = \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}

    \ + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}

    \Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k} ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx 0,59.

  • Câu 7: Nhận biết

    Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a;x = b;\left( {a < b} ight) xung quanh trục Ox.

    Ta có : V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 4\cos^{2}x - 5 thỏa mãn F(\pi) = 0. Tìm F(x)?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\left( 4\cos^{2}x- 5 ight)dx} \Leftrightarrow F(x) = \int_{}^{}{(2\cos2x -3)dx}

    \Leftrightarrow F(x) = \sin2x - 3x +C

    Lại có F(\pi) = 0 \Leftrightarrow - 3\pi + C = 0 \Leftrightarrow C = 3\pi

    Vậy F(x) = - 3x + \sin2x +3\pi.

  • Câu 9: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^{2} + \frac{x}{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}\left( 3x^{2} + \frac{x}{2} ight)dx = x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C.

  • Câu 10: Vận dụng

    Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1;1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y = x^{2} và y = ax^{3} + bx. Tính giá trị a.b biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn.

    Đáp án: -2||- 2

    Đáp án là:

    Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1;1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y = x^{2} và y = ax^{3} + bx. Tính giá trị a.b biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn.

    Đáp án: -2||- 2

    Diện tích 1 cánh của hình trang trí là:

    S_{1} = \int_{0}^{1}\left( x^{2} - ax^{3} - bx ight)dx = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{ax^{4}}{4} - \frac{bx^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{a}{4} - \frac{b}{2}

    \Rightarrow Diện tích hình trang trí là: S = 4S_{1} = \frac{4}{3} - a - 2b

    Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn nên

    \frac{4}{3} - a - 2b = \frac{4}{3} \Leftrightarrow a + 2b = 0

    Khi đó ta có: \left\{ \begin{matrix} a + b = 1 \\ a + 2b = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    Vậy ab = - 2.

  • Câu 11: Nhận biết

    Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 12t + 24(m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = - 12t + 24 = 0 \Rightarrow t = 2(s)

    Do đó từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được:

    S = \int_{0}^{2}{v(t)dt} = \int_{0}^{2}{( - 12t + 24)dt} = 24m

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường parabol (P):y = x^{2} - x + 2 và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{2} + 1 tại điểm có tọa độ (1;2). Diện tích của hình (H) là:

    Xét hàm số y = x^{2} + 1 trên \mathbb{R}. Ta có: y' = 2x

    Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm (1;2) của đồ thị hàm số y = x^{2} + 1 là

    y = y'(1)(x - 1) + 2 \Leftrightarrow y = 2x

    Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình y = 2x. Xét phương trình tương giao của (P) và ∆

    x^{2} - x + 2 = 2x \Leftrightarrow x^{2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H) khi đó

    S = \int_{1}^{2}{\left| \left( x^{2} - x + 2 ight) - 2x ight|dx} = \int_{1}^{2}{\left| x^{2} - 3x + 2 ight|dx}

    Vì x^{2} - 3x + 2 \leq 0;\forall x \in \lbrack 1;2bracknên

    S = - \int_{1}^{2}{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)dx}

    = - \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2} + 2x ight) ight|_{1}^{2} = - \left( \frac{2}{3} - \frac{5}{6} ight) = \frac{1}{6}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(x +1)\cos2xdx} = \frac{1}{a} + \frac{\pi}{b} với a;b là các số hữu tỉ. Giá trị của a.b là:

    Ta có: I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(x +1)\cos2xdx}

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = x + 1 \\dv = \cos2xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = dx \\v = \dfrac{1}{2}\sin2x \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow I = \left. \ \frac{1}{2}(x +1)\sin2x ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} -\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sin2xdx}

    \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4} + 1 ight) + \left. \ \frac{1}{4}\cos2xight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}

    \Rightarrow a.b = 8.4 = 32

  • Câu 14: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (x + 2)^{2};y = 0;x = 1;x = 3 bằng:

    Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Khi đó

    S = \int_{1}^{3}{(x + 2)^{2}dx} = \left. \ \frac{1}{3}(x + 2)^{3} ight|_{1}^{3} = \frac{98}{3}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tính diện tích S_{D} của hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y = \left| \frac{\ln x}{x} ight|, trục hoành và các đường thẳng x = \frac{1}{e};x = 2?

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S_{D} = \int_{\frac{1}{e}}^{2}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx} = \int_{\frac{1}{e}}^{1}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx} + \int_{1}^{2}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx}

    = - \int_{\frac{1}{e}}^{1}{\frac{\ln x}{x}dx} + \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x}dx}

    = - \left. \ \frac{\left( \ln x ight)^{2}}{2} ight|_{\frac{1}{e}}^{1} + \left. \ \frac{\left( \ln x ight)^{2}}{2} ight|_{1}^{2}

    = \frac{1}{2} + \frac{\ln^{2}2}{2} =\frac{1}{2}\left( 1 + \ln^{2}2 ight)

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{x - 1} trên khoảng (1; + \infty) thỏa mãn F(e + 1) = 4. Xác định công thức F(x)?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{x - 1} = \int_{}^{}\frac{d(x - 1)}{x - 1} = \ln|x - 1| + C = \ln(x - 1) + C (vì (1; + \infty))

    Mà F(e + 1) = 4 \Leftrightarrow \ln(e + 1 - 1) + C = 4 \Rightarrow C = 3

    Vậy F(x) = \ln(x - 1) + 3.

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) dương và liên tục trên \lbrack 1;3brack thỏa mãn \max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = 2;\min_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \frac{1}{2} và biểu thức S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} đạt giá trị lớn nhất, khi đó \int_{1}^{3}{f(x)dx} bằng:

    Do \frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2 \Rightarrow f(x) + \frac{1}{f(x)} \leq \frac{5}{2}

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + \frac{1}{f(x)} ightbrack dx} \leq 5

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{f(x)dx} + \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5 - \int_{1}^{3}{f(x)dx}

    \Rightarrow S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx} ightbrack^{2}

    \leq \frac{25}{4} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx - \frac{5}{2}} ightbrack^{2} \leq \frac{25}{4}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \int_{1}^{3}{f(x)dx} = \frac{5}{2}.

  • Câu 18: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = 3x + \cos 3x

     Ta có: \int {\left( {3x + \cos 3x} ight)dx = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{\sin 3x}}{3} + C}

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho \int_{- 1}^{2}{f(x)dx} = 2 và \int_{- 1}^{2}{g(x)dx} = - 1, khi đó \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = \int_{- 1}^{2}{xdx} + 2\int_{- 1}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 1}^{2}{g(x)dx}

    = \left. \ \frac{1}{2}x^{2} ight|_{- 1}^{2} + 2.2 + 3.( - 1) = \frac{5}{2}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Biết \int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x ightbrack dx} = 1. Khi đó \int_{1}^{2}{f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x ightbrack dx} = 1 \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} - 2\int_{1}^{2}{xdx} = 1

    \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} - 2\left. \ .x^{2} ight|_{1}^{2} = 1 \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 \Leftrightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 1

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 61 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập