Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Giả sử f(x);g(x) là các hàm số bất kì liên tục trên \mathbb{R} và a;b;c là các số thực. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Theo tính chất tích phân ta có:

    \int_{a}^{b}{f(x)dx} + \int_{b}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{a}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} + \int_{b}^{c}{f(x)dx} - \int_{a}^{c}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{a}^{c}{f(x)dx} = 0

    \int_{a}^{b}{c.f(x)dx} = c.\int_{a}^{b}{f(x)dx};\forall x\mathbb{\in R}

    \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} - \int_{a}^{b}{g(x)dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx}

    Vậy mệnh đề sai: \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x)g(x) ightbrack dx} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}.\int_{a}^{b}{g(x)dx}

  • Câu 2: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn f(0) = 0. Biết rằng \int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \frac{9}{2} và \int_{0}^{1}{f'(x)\cos\frac{\pi x}{2}}dx= \frac{3\pi}{4}. Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)d(x)} bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn f(0) = 0. Biết rằng \int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \frac{9}{2} và \int_{0}^{1}{f'(x)\cos\frac{\pi x}{2}}dx= \frac{3\pi}{4}. Tích phân \int_{0}^{1}{f(x)d(x)} bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 4: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin^{4}x\cos x??

    Đặt t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx

    \int_{}^{}{\left( \sin^{4}x\cos xight)dx} = \int_{}^{}{t^{4}dt} = \frac{t^{5}}{5} + C =\frac{1}{5}\sin^{5}x + C

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m thỏa mãn \int_{0}^{m}{(2x + 1)dx} < 2?

    Ta có: \int_{0}^{m}{(2x + 1)dx} < 2 \Leftrightarrow \left. \ \left( x^{2} + x ight) ight|_{0}^{m} < 2

    \Leftrightarrow m^{2} + m - 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 1

  • Câu 6: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin3x.

    Ta có \left( - \frac{1}{3}cos3x + C ight)' = sin3x.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x\sin x, biết rằng F\left( \frac{\pi}{2} ight) = 2019?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \sin xdx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cos x \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{}^{}{x\sin xdx} = - x\cos x - \int_{}^{}{\left( - \cos x ight)dx} + C = - x\cos x + \sin x + C

    F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} + C = 2019 \Rightarrow C = 2018

    Vậy F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip (E) có phương trình \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1. Hình phẳng (H) giới hạn bởi nửa elip nằm trên trục hoành và trục hoành. Quay hình (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay, tính thể tích khối tròn xoay đó?

    Ta có: \frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{25} \Rightarrow y = \sqrt{9\left( 1 - \frac{x^{2}}{25} ight)} với x \in \lbrack - 5;5brack

    Khi đó thể tích cần tìm là: V = \pi\int_{- 5}^{5}{\left( 9 - \frac{9x^{2}}{25} ight)dx} = 60\pi

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

    Ta có: x^{4} - x^{2} + 1 = \left( x^{2} - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Do \int_{- 1}^{2018}{\left| x^{4} - x^{2} + 1 ight|^{3}dx} = \int_{- 1}^{2018}{\left( x^{4} - x^{2} + 1 ight)^{3}dx}

  • Câu 10: Nhận biết

    Giá trị của D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} bằng

    Ta có:

    D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} = \left. \ \left( x^{2019} - x ight) ight|_{0}^{1} = 0

  • Câu 11: Thông hiểu

    Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol (P):y = x^{2} và đường thẳng d:y = x xoay quanh trục Ox tính bởi công thức nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có (P) và d cắt nhau tại hai điểm (0;0),(1;1) và x > x^{2};\forall x \in (0;1)

    Suy ra thể tích khối tròn xoay đã cho T bằng thể tích khối tròn xoay T_{1} trừ đi thể tích khối tròn xoay T_{2}. Trong đó:

    T_{1} được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường d, trục Ox, x = 0, x = 1.

    T_{2} được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường (P), trục Ox, x = 0, x = 1.

    Vậy thể tích khối tròn xoay đã cho bằng \pi\int_{0}^{1}{x^{2}dx} - \pi\int_{0}^{1}{x^{4}dx}.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, thỏa mãn F(0) = 2020. Tính giá trị biểu thức T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, ta có: F(x) = e^{x} + C mà F(0) = 2020

    \Rightarrow C = 2019 \Rightarrow F(x) = e^{x} + 2019

    T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)

    T = 1 + e + e^{2} + .... + e^{2018} + e^{2019} + 2019.2020

    T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2019.2020.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tìm một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1}?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{\ln x}{x}\sqrt{\ln^{2}x + 1}dx}

    Đặt \sqrt{ln^{2}x + 1} \Rightarrow t^{2}= \ln^{2}x + 1 \Rightarrow tdt = \frac{\ln x}{x}dx

    Khi đó F(x) = \int_{}^{}{t^{2}dt} =\frac{t^{3}}{3} + C = \frac{\sqrt{\left( \ln^{2}x + 1 ight)^{3}}}{3} +C.

  • Câu 14: Nhận biết

    Vật thể B giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2. Cắt vật thể B với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x;(0 \leq x \leq 2) ta được thiết diện có diện tích bằng x^{2}(2 - x). Thể tích của vật thể B:

    Thể tích của vật thể B là:

    V = \int_{0}^{2}{x^{2}(2 - x)dx} = \int_{0}^{2}{\left( 2x^{2} - x^{3} ight)dx} = \frac{4}{3}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho vật thể (H) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = a và x = b với a < b. Gọi f(x) là diện tích thiết diện của (H) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x, với a \leq x \leq b. Biết hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack, khi đó thể tích V của vật thể (H) được cho bởi công thức:

    Vì f(x) là diện tích thiết diện của (H) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x, với a \leq x \leq b ta có: V = \int_{a}^{b}{f(x)}dx không phải là V = \pi{\int_{a}^{b}\left\lbrack f(x) ightbrack}^{2}dx.

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đáp án là:

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đặt hệ trục tọa độ có gốc O trùng với giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.

    Đồ thị của hàm số y = f(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm A( - 1;0)và A(2;1) có dạng hàm số (P_{1}):y = \frac{1}{2}x^{2} - 1.

    Đồ thị của hàm số y = g(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm C(1;0)và D(2; - 1) có dạng hàm số (P_{1}):y = - \frac{1}{2}x^{2} + 1.

    Giao điểm của hai parabol tại x_{1} = - \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{2}

    Do đó, diện tích của con cá là S = \int_{- \sqrt{2}}^{2}{\left| x^{2} - 2 ight|dx} \approx 4,32m^{2}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy với vận tốc 10\ m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 2t + 10(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng.

    Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0.

    Nên thời gian kể từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là - 2t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 5(\ s)

    Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là

    S_{2} = \int_{0}^{5}{( - 2t + 10)}dt = \left. \ \left( - t^{2} + 10t ight) ight|_{0}^{5} = 25m

    Như vậy trong 8 giây cuối thì có 3 giây ô tô ði với vận tốc 10\ m/s và 5 s ô tô chuyển động chậm dần đều.

    Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây trước khi đạp phanh là S_{1} = 3.10 = 30\ m

    Vậy trong 8 giây cuối ô tô đi được quang đường S = S_{1} + S_{2} = 30 + 25 = 55m

  • Câu 18: Nhận biết

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = \cos x;Ox;x = - \frac{\pi}{2};x = \frac{\pi}{2}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z}

    Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight)

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left| \cos x ight|dx} = \left| \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos xdx} ight| = \left| \left. \ \sin x ight|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} ight| = 2

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}, cung tròn có phương trình y = \sqrt{4 - x^{2}} (với 0 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi, trong đó a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*} và \frac{a}{b};\frac{c}{d} là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c +d?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}, cung tròn có phương trình y = \sqrt{4 - x^{2}} (với 0 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi, trong đó a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*} và \frac{a}{b};\frac{c}{d} là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c +d?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hai hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \lbrack 1;2brack thỏa mãn f(1) = 4 và f(x) = x.f'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}. Giá trị f(2) bằng:

    Chọn f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d

    f(x) = xf'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}

    \Leftrightarrow ax^{3} + bx^{2} + cx + d = x\left( 3ax^{2} + 2bx + c ight) - 2x^{3} - 3x^{2}

    Từ đó suy ra \left\{ \begin{matrix} a = 3a - 2 \\ b = 2b - 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy f(x) = x^{3} + 3x^{2} \Rightarrow f(2) = 20

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 8 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập