Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên tập số thực và thỏa mãn \int_{0}^{6}{f(x)dx}= 7;\int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8;\int_{3}^{6}{f(x)dx} = 9. Khi đó giá trị I = \int_{0}^{10}{f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{3}^{10}{f(x)dx} =
\int_{3}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}

    \Leftrightarrow \int_{6}^{10}{f(x)dx} =
\int_{3}^{6}{f(x)dx} - \int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8 - 9 = 1

    \Rightarrow I = \int_{0}^{6}{f(x)dx} +
\int_{6}^{10}{f(x)dx} = 7 - 1 = 6

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 2x^{2}
- x + 1;\forall x\mathbb{\in R}. Tính I =
\int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx}

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx} =
\int_{0}^{1}{f^{2}(x)d\left( f(x) ight)} = \left. \ \frac{f^{3}(x)}{3}
ight|_{0}^{1} = - \frac{2}{3}.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C):y =
3x^{4} - 4x^{2} + 5, trục hoành, x
= 1x = 2 là:

    Ta có: 3x^{4} - 4x^{2} + 5 > 0;\forall
x\mathbb{\in R} nên ta có:

    S = \int_{1}^{2}{\left( 3x^{4} - 4x^{2}
+ 5 ight)dx} = \left. \ \left( \frac{3}{5}x^{5} - \frac{4}{3}x^{3} +
5x ight) ight|_{1}^{2} = \frac{214}{15}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x^{2} - 2xy = - x^{2} + x bằng:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} - 2x = - x^{2} + x \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = \frac{3}{2} \\
\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{0}^{\frac{3}{2}}{\left| 2x^{2}
- 3x ight|dx} = \left| \int_{0}^{\frac{3}{2}}{\left( 2x^{2} - 3x
ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left(
\frac{2}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{\frac{3}{2}}
ight| = \frac{9}{8}

  • Câu 5: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x - 8\sin x\cos x thỏa mãn F(\pi) = 2?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(2x - 8\sin x\cos x ight)dx}

    = \int_{}^{}{(2x - 4\sin2x)dx} = x^{2} +2\cos2x + C

    Theo bài ra ta có: F(\pi) =
2

    \Rightarrow \pi^{2} + 2 + C = 2
\Leftrightarrow C = - \pi^{2}

    Vậy F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}

  • Câu 6: Nhận biết

    Tích phân \int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx bằng:

    Ta có:

    \int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx = \left. \
\left( \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} ight) ight|_{1}^{8} =
\frac{45}{4}.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

    Biết \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx}
= 7\int_{1}^{2}{2x.f'\left(
x^{2} - 1 ight)dx} = - 3. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = 3 là:

    Từ đồ thị hàm số ta suy ra f(0) =
2;f'(0) = 0

    Xét tích phân \int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1
ight)dx}. Đặt u = x^{2} - 1
\Rightarrow du = 2xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \Rightarrow u = 0 \\
x = 2 \Rightarrow u = 3 \\
\end{matrix} ight.

    Do đó \int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2}
- 1 ight)dx} = \int_{1}^{3}{f'(u)du} = \left. \ f(u)
ight|_{0}^{3} = f(3) - f(0)

    \Rightarrow f(3) - f(0) = - 3
\Rightarrow f(3) = - 1

    Xét tích phân \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx}. Đặt u = x - 1 \Rightarrow du = dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \Rightarrow u = 0 \\
x = 4 \Rightarrow u = 3 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{1}^{4}{x.f''(x
- 1)dx} = \int_{0}^{3}{(u + 1)f''(u)du} = \int_{0}^{3}{(u +
1)d\left\lbrack f'(u) ightbrack}

    = \left. \ (u + 1)f'(u)
ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f'(u)du}

    = 4f'(3) - f'(0) - \left. \ f(u)
ight|_{0}^{3}

    = 4f'(3) - f'(0) - f(3) +
f(0)

    Theo bài ra suy ra

    4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0) =
7

    \Rightarrow 4f'(3) = 7 + f(3) - f(0)
= 4 \Rightarrow f'(3) = 1

    Như vậy f(3) = - 1;f'(3) =
1. Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 3 là: y = x - 4.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{3} + 12x và đường thẳng y = - x^{2}?

    Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

    - x^{3} + 12x = - x^{2} \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 4 \\
x = - 3 \\
\end{matrix} ight.

    Diện tích S của hình phẳng (H) là:

    S = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} + 12x
- \left( - x^{2} ight) ight|dx} = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} +
12x + x^{2} ight|dx}

    = \int_{- 3}^{0}{\left| - x^{3} + 12x +
x^{2} ight|dx} + \int_{0}^{4}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2}
ight|dx}

    = \int_{- 3}^{0}{\left( - x^{3} + 12x +
x^{2} ight)dx} + \int_{0}^{4}{\left( - x^{3} + 12x + x^{2}
ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} -
6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight) ight|_{- 3}^{0} + \left. \ \left(
\frac{1}{4}x^{4} - 6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight)
ight|_{0}^{4}

    = 0 - \left( \frac{1}{4}.3^{4} - 6.3^{2}
+ \frac{1}{3}.3^{3} ight) + \left( - \frac{1}{4}.4^{4} + 6.4^{2} +
\frac{1}{3}.4^{3} ight) - 0 = \frac{937}{12}

  • Câu 9: Nhận biết

    Vật thể B giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình x = 0x = 2. Cắt vật thể B với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x;(0 \leq x \leq 2) ta được thiết diện có diện tích bằng x^{2}(2 - x). Thể tích của vật thể B:

    Thể tích của vật thể B là:

    V = \int_{0}^{2}{x^{2}(2 - x)dx} =
\int_{0}^{2}{\left( 2x^{2} - x^{3} ight)dx} = \frac{4}{3}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Xe đạp A xuất phát từ C, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) =
\frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30}(m/s) trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một xe đạp B cũng xuất phát từ C, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng a\left( m/s^{2} ight) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng bao nhiêu?

    Quãng đường xe đạp A đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{25}{\left(
\frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30} ight)dt} =
\frac{375}{2}(m)

    Vận tốc của xe đạp B tại thời điểm t(s) tính từ lúc B xuất phát là: v_{B}(t) = at

    Quãng đường xe đạp B đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{15}{(at)dt} = \left. \
\left( \frac{at^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{15} =
\frac{225a}{2}(m)

    \Rightarrow \frac{225a}{2} =
\frac{375}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{3}

    Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là: v_{B}(15) = 15a = 25(m/s)

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Đáp án là:

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Cả hai bên cầu có tất cả 2.10 =
20 nhịp cầu.

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu, đỉnh I(25;2), điểm A(50;0)

    Gọi Parabol phía trên có phương trình: \left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c =
ax^{2} + bx (vì O \in \left( P_{1}
ight))

    \Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx -
\frac{1}{5} là phương trình parabol phía dưới

    (Vì bề dày nhịp cầu là 20cm =
\frac{1}{5}m)

    Ta có I,A \in \left( P_{1} ight)
\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
25^{2}a + 25b = 2 \\
50^{2}a + 50b = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - \frac{2}{625} \\
b = \frac{4}{25} \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} =
- \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\
\ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x -
\frac{1}{5}

    Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi y_{1};y_{2} và trục Ox nên ta có:

    S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( -
\frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx +
\int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}

    Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là S.0,2 \approx 1,985m^{3}.

    Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là V = 20.S.0,2 \approx
40m^{3}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Một vận động viên đua xe đang chạy với vận tốc 10m/s thì anh ta tăng tốc với vận tốc a(t) = 6t\left( m/s^{2} ight), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc, hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian 10s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu?

    Ta có: v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} =
\int_{}^{}{6tdt} = 3t^{2} + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 10
ightarrow v_{(t = 0)} = 10 \Rightarrow C = 10

    \Rightarrow v(t) = 3t^{2} +
10

    Khi đó quãng đường xe đi được sau 10 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

    S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} =
\int_{0}^{10}{\left( 3t^{2} + 10 ight)dt} = 1100(m)

  • Câu 13: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) =
2^{2x}.3^{x}.7^{x} là:

    Ta có: \int_{}^{}{\left(2^{2x}.3^{x}.7^{x} ight)dx =}\int_{}^{}{\left( 84^{x} ight)dx}=\frac{84^{x}}{\ln84} + C

  • Câu 14: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
\frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}} là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =
\int_{}^{}{\frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}}dx} =
\int_{}^{}\frac{d\left( e^{x} + 1 ight)}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}}
= - \frac{1}{e^{x} + 1} + C.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
\sin x + \cos x\ \ \ khi\ x \geq 0 \\
2(x + 1)\ \ \ khi\ x < 0 \\
\end{matrix} ight.F(\pi) +
F( - 1) = 1. Giá trị biểu thức T =
F(2\pi) + F( - 5) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =
\left\{ \begin{matrix}
x\sin x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 0 \\
x^{2} + 2x + C_{2}\ \ khi\ x < 0 \\
\end{matrix} ight.

    F(\pi) + F( - 1) = 1 \Rightarrow \left(
\pi\sin\pi + C_{1} ight) + \left( 1 - 2 + C_{2} ight) = 1
\Rightarrow C_{1} + C_{2} = 2(*)

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 0 tức là

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}F(x) = \lim_{x
ightarrow 0^{-}}F(x) = F(0)

    \Leftrightarrow C_{1} =
C_{2}(**). Từ (*) và (**) suy ra C_{1} = C_{2} = 1

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix}
x\sin x + 1\ \ \ khi\ x \geq 0 \\
x^{2} + 2x + 1\ \ khi\ x < 0 \\
\end{matrix} ight.

    T = F(2\pi) + F( - 5) = 17

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn f(x) >
0;\forall x\mathbb{\in R}f'(x) - 2f(x) = 0. Tính f( - 1) biết rằng f(1) = 1?

    f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in
R} nên ta có:

    f'(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow
\frac{f'(x)}{f(x)} = 2

    \Rightarrow
\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{2dx}

    \Rightarrow \exists C\mathbb{\in
R}:ln\left| f(x) ight| = 2x + C

    \Rightarrow \ln f(x) = 2x +
C

    Cho x = 1 \Rightarrow \ln f(1) = 2 + C\Rightarrow \ln1 = 2 + C \Rightarrow C = - 2

    Do đó \ln f(x) = 2x - 2 \Leftrightarrow
f(x) = e^{2x - 2} \Rightarrow f( - 1) = e^{- 4}

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hình vẽ:

    Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ được xác định theo công thức:

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy công thức tính diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{- 1}^{2}{\left( - x^{2} + 3 -
x^{2} + 2x + 1 ight)dx} = \int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} + 2x + 4
ight)dx}.

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f'(x).f^{2}(x) = x^{2}f(2) = 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g(x) = f(x) + x^{2} tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

    Ta có: f'(x).f^{2}(x) =
x^{2}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{f'(x).f^{2}(x)dx} =
\int_{}^{}{x^{2}dx}

    \Leftrightarrow
\int_{}^{}{f^{2}(x)df(x)} = \frac{x^{3}}{3} + C

    \Leftrightarrow \frac{f^{3}(x)}{3} =
\frac{x^{3}}{3} + C. Theo bài ra ta có: f(2) = 2 \Rightarrow \frac{f^{3}(2)}{3} =
\frac{2^{3}}{3} + C \Rightarrow C = 0

    Suy ra \frac{f^{3}(x)}{3} =
\frac{x^{3}}{3} \Leftrightarrow f(x) = x

    Vậy g(x) = x^{2} + x \Rightarrow
g'(x) = 2x + 1

    Ta có: g'(3) = 7;g(3) =
12

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

    y = g'(3)(x - 3) + g(3)

    \Leftrightarrow y = 7(x - 3) + 12
\Leftrightarrow y = 7x - 9

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}
2x\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\
3x^{2} - 1\ \ khi\ x < 1 \\
\end{matrix} ight. có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F(0) = 1F(x) liên túc trên \mathbb{R}. Giá trị biểu thức K = F( - 1) - F(2) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =
\left\{ \begin{matrix}
x^{2} + C_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\
x^{3} - x + C_{2}\ \ khi\ x < 1 \\
\end{matrix} ight.

    F(0) = 1 \Rightarrow C_{2} =
1

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 1 tức là

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}F(x) = \lim_{x
ightarrow 1^{-}}F(x) = F(1)

    \Leftrightarrow 1 + C_{1} = C_{2}
\Leftrightarrow C_{1} = 0

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\
x^{3} - x + 1\ \ khi\ x < 1 \\
\end{matrix} ight.

    K = F( - 1) - F(2) = ( - 1 + 1 + 1) +
\left( 2^{2} ight) = 5

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hai hàm số f(x) = ax^{3} + bx +
c;g(x) = bx^{3} + ax + c;(a > 0) có đồ thị như hình vẽ:

    Gọi S_{1};S_{2} là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi S_{1} + S_{2} = 3 thì \int_{0}^{1}{f(x)dx} bằng bao nhiêu?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    (a - b)x^{3} + (b - a)x = 0

    \Leftrightarrow (a - b)\left( x^{3} - x
ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = - 1 \\
x = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Ký hiệu S_{3} là diện tích hình phẳng như hình vẽ:

    Ta có:

    S_{1} = \int_{- 1}^{0}{\left\lbrack f(x)
- g(x) ightbrack dx} = (a - b)\int_{- 1}^{0}{\left( x^{3} - x
ight)dx} = \frac{1}{4}(a - b)

    S_{2} = - \int_{- 1}^{0}{g(x)dx} = -
\int_{- 1}^{0}{\left( bx^{3} + ax + c ight)dx} = - \left( \frac{b}{4}
+ \frac{a}{2} + c ight)

    Vì vậy S_{1} + S_{2} = 3 \Leftrightarrow
\frac{1}{4}(a - b) - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight) =
3

    \Leftrightarrow a + 2b + 4c = -
12

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} =
\int_{0}^{1}{\left( ax^{3} + bx + c ight)dx} = \frac{a}{4} +
\frac{b}{2} + c = \frac{a + 2b + 4c}{4} = - 3

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 37 lượt xem
Sắp xếp theo