Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{3}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = - 1;x = 2$ biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là $2cm$ ?
- A.
  $S = \frac{15}{4}\left( cm^{2} ight)$
- B.
  $S = \frac{17}{4}\left( cm^{2} ight)$
- C.
  $S = 17\left( cm^{2} ight)$
- D.
  $S = 15\left( cm^{2} ight)$
Ta có: $S = \int_{- 1}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \int_{- 1}^{0}{\left| x^{3} ight|dx} + \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx}$

$= - \int_{- 1}^{0}{x^{3}dx} + \int_{0}^{2}{x^{3}dx} = \left. \ - \frac{x^{4}}{4} ight|_{- 1}^{0}\left. \ + \frac{x^{4}}{4} ight|_{0}^{2} = \frac{17}{4}$

Do mỗi đơn vị trên trục là 2 cm nên $S = \frac{17}{4}.2^{2} = 17\left( cm^{2} ight)$
Câu 2: Nhận biết
Xác định giá trị của tham số $a$ thỏa mãn $\int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2$ ?
- A.
  $a = 1$
- B.
  $a = 2$
- C.
  $a = 0$
- D.
  $a = 3$
Ta có: $\int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = \left. \ \left( x^{3} + 2x ight) ight|_{0}^{a} = a^{3} + 2a$

$\Rightarrow \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a^{3} + 2a = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a = 1$

Vậy đáp án $a = 1$ .
Câu 3: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ . Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a;x = b;(a < b)$ được tính theo công thức
- A.
  $S = \left| \int_{a}^{b}{f(x)dx} ight|$
- B.
  $S = \int_{a}^{b}{f(x)dx}$
- C.
  $S = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}$
- D.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx}$
Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a;x = b;(a < b)$ được tính theo công thức: $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx}$ .
Câu 4: Nhận biết
Tìm nguyên hàm $F(t) = \int_{}^{}txdt$ .
- A.
  $F(t) = x + t + C$
- B.
  $F(t) = \frac{x^{2}t}{2} + C$
- C.
  $F(t) = \frac{xt^{2}}{2}$ $+ C$
- D.
  $F(t) = \frac{(tx)^{2}}{2} + C$
Ta có:

$F(t) = \int_{}^{}txdt = x\int_{}^{}tdt = x.\frac{t^{2}}{2} + C$
Câu 5: Vận dụng
Cho đường cong $(C):y = x^{3}$ . Xét điểm $A$ có hoành độ dương thuộc $(C)$ , tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ tạo với $(C)$ một hình phẳng có diện tích bằng $27$ . Hoành độ điểm $A$ thuộc khoảng nào dưới đây??
- A.
  $\left( 0;\frac{1}{2} ight)$ .
- B.
  $\left( \frac{1}{2};1 ight)$ .
- C.
  $\left( 1;\frac{3}{2} ight)$ .
- D.
  $\left( \frac{3}{2};2 ight)$ .
Ta có: $y' = 3x^{2}$ có $A \in (C) \Rightarrow A\left( a;a^{3} ight);(a > 0)$

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là $d:y = 3a^{2}(x - a) + a^{3}$

$x^{3} = 3a^{2}(x - a) + a^{3}$

$\Leftrightarrow (x - a)^{2}(x + 2a) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a \\ x = - 2a \\ \end{matrix} ight.$

Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C)

$S = 27 \Leftrightarrow \int_{- 2a}^{a}\left| x^{3} - 3a^{2}(x - a) - a^{3} ight|dx = 27$

$\Leftrightarrow \left| \int_{- 2a}^{a}\left( x^{3} - 3a^{2}x + 2a^{3} ight)dx ight| = 27$

$\Leftrightarrow \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - \frac{3a^{2}x^{2}}{2} + 2a^{3}x ight) ight|_{- 2a}^{a} ight| = 27$

$\Leftrightarrow \frac{27}{4}a^{4} = 27 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = \sqrt{2}(tm) \\ a = - \sqrt{2}(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $a = \sqrt{2} \in \left( 1;\frac{3}{2} ight)$
Câu 6: Vận dụng cao
Cho parabol $(P):y = x^{2}$ và hai điểm $A;B$ thuộc $(P)$ sao cho $AB = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ và đường thẳng $AB$ .
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $\frac{4}{3}$
- C.
  $\frac{3}{4}$
- D.
  $\frac{5}{6}$
Hình vẽ minh họa
Gọi $A\left( a;a^{2} ight)$ và $(P):y = x^{2}$ là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.
Không mất tính tổng quát giả sử a < b.
Theo giả thiết ta có AB = 2 nên
$(b - a)^{2} + \left( b^{2} - a^{2}ight)^{2} = 4$
$\Leftrightarrow (b - a)^{2}\left\lbrack1 + (b + a)^{2} ightbrack = 4$
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là $y = (b + a)x - ab$
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:
$S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack (a + b)x -ab - x^{2} ightbrack dx}$
$= \left. \ \left\lbrack (a +b)\frac{x^{2}}{2} - abx - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{a}^{b}= \frac{(b - a)^{3}}{6}$
Mặt khác $(b - a)^{2}\left\lbrack 1 + (b +a)^{2} ightbrack = 4$ nên $|b -a| \leq 2$ do $1 + (b + a)^{2} \geq1$
Suy ra $S = \frac{(b - a)^{3}}{6} \leq\frac{2^{3}}{6}$
Vậy $S_{\max} = \frac{4}{3}$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.
Câu 7: Thông hiểu
Biết $\int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx} = a\sqrt{e} + b$ với $a;b\mathbb{\in Z}$ . Xác định giá trị biểu thức $P = ab$ ?
- A.
  $P = 4$
- B.
  $P = - 8$
- C.
  $P = 8$
- D.
  $P = - 4$
Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = \ln x \\dv = \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{dx}{x} \\v = 2\sqrt{x} \\\end{matrix} ight.$ khi đó ta có:

$\int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx} = \left. \ \left( 2\sqrt{x}\ln x ight) ight|_{e}^{1} - 2\int_{1}^{e}\frac{dx}{x}$

$= \left. \ \left( 2\sqrt{x}\ln x ight) ight|_{e}^{1} - \left. \ \left( 4\sqrt{x} ight) ight|_{e}^{1} = - 2\sqrt{e} + 4$

Vậy $\left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a.b = - 8$ .
Câu 8: Thông hiểu
Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2x - 1};y = 1$ và đường thẳng $x = 2$ là
- A.
  $S = 1 + \ln3$
- B.
  $S = 1 - \frac{1}{2}\ln3$
- C.
  $S = \frac{1}{2}\ln3$
- D.
  $S = \frac{1}{2} +\ln3$
Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{1}{2x - 1} = 1 \Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{1}{2} \\2x - 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = 1$

Khi đó:

$S = \int_{1}^{2}{\left| \frac{1}{2x - 1} - 1 ight|dx} = \left| \int_{1}^{2}{\left( \frac{1}{2x - 1} - 1 ight)dx} ight|$

$= \left| \left. \ \left( \frac{\ln|2x -1|}{2} - x ight) ight|_{1}^{2} ight| = \left| \frac{1}{2}\ln3 - 1ight| = 1 - \frac{1}{2}\ln3$ .
Câu 9: Thông hiểu
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_{1}(t) = 2t(m/s)$ . Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a = - 12\left( m/s^{2} ight)$ . Tính quãng đường $S(m)$ đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?
- A.
  $S = 168m$
- B.
  $S = 166m$
- C.
  $S = 144m$
- D.
  $S = 152m$
Quãng đường xe đi được trong 12s đầu là $S_{1} = \int_{0}^{12}{2tdt} = 144m$

Sau khi đi được 12s vật đạt vận tốc $v = 24(m/s)$ , sau đó vận tốc của vật có phương trình $v = 24 - 12t$

Vật dừng hẳn sau 2s kể từ khi phanh.

Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là

$S_{2} = \int_{0}^{2}{(24 - 22t)dt} = 24m$

Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là $S = S_{1} + S_{2} = 144 + 24 = 168(m)$
Câu 10: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x);g(x)$ là các hàm số liên tục trên $\lbrack 1;3brack$ và thỏa mãn $\int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = 10$ và $\int_{1}^{3}{\left\lbrack 2f(x) - g(x) ightbrack dx} = 6$ . Tính tích phân $K = \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack dx}$ ?
- A.
  $K = 6$
- B.
  $K = 7$
- C.
  $K = 8$
- D.
  $K = 9$
Theo bài ra ta có:

$\left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = 10 \\\int_{1}^{3}{\left\lbrack 2f(x) - g(x) ightbrack dx} = 6 \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{f(x)dx} + 3\int_{1}^{3}{g(x)dx} = 10 \\2\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \int_{1}^{3}{g(x)dx} = 6 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{f(x)dx} = 4 \\\int_{1}^{3}{g(x)dx} = 2 \\\end{matrix} ight.$ $\Rightarrow K = \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) +g(x) ightbrack dx} = 4.2 = 6$
Câu 11: Thông hiểu
Hàm số $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)$ . Hỏi hàm số $F(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
TXĐ: $D\mathbb{= R}$

Ta có: $F'(x) = f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)$

$\Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - x = 0 \\ \ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} + 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình $F'(x) = 0$ có 1 nghiệm đơn $x = 1$ và một nghiệm kép $x = 0$ nên hàm số $F(x)$ có 1 điểm cực trị.
Câu 12: Nhận biết
Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = x -\sin2x$ ?
- A.
  $x^{2} + \frac{1}{2}cos2x + C$
- B.
  $\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cos2x +C$
- C.
  $\frac{x^{2}}{2} + \cos2x +C$
- D.
  $\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\cos2x +C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{(x- \sin2x)dx} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\cos2x + C$
Câu 13: Thông hiểu
Xét $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2x + 1$ , trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = a;(a > 0)$ . Giá trị của $a$ sao cho thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành bằng $57\pi$ là?
- A.
  $a = 3$
- B.
  $a = 5$
- C.
  $a = 4$
- D.
  $a = 2$
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là:

$V = \pi\int_{0}^{a}{(2x + 1)^{2}dx} = \pi\left. \ \frac{(2x + 1)^{3}}{6} ight|_{0}^{a}$

$= \pi\left\lbrack \frac{(2a + 1)^{3}}{6} - \frac{1}{6} ightbrack$

Mà $V = 57\pi \Leftrightarrow \pi\left\lbrack \frac{(2a + 1)^{3}}{6} - \frac{1}{6} ightbrack = 57\pi$

$\Leftrightarrow (2a + 1)^{3} = 343 \Leftrightarrow a = 3$

Vậy $a = 3$ là giá trị cần tìm.
Câu 14: Nhận biết
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{3}$ , trục hoành, $x = 0$ và $x = 2$ bằng
- A.
  $4$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $6$
Hình vẽ minh họa

Phương trình hoành độ giao điểm $x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Diện tích hình giới hạn là $S = \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{0}^{2}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{0}^{2} ight| = 4$
Câu 15: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}$ ?
- A.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
- B.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
- C.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
- D.
  $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} + \frac{2}{3}\left( x^{2} + 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\left( x - \sqrt{x^{2} - 1} ight) ightbrack dx}$

$= \int_{}^{}{2x^{2}dx} - \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\sqrt{x^{2} - 1} ightbrack dx} = \frac{2}{3}x^{3} - \int_{}^{}{\left( x^{2} - 1 ight)^{\frac{1}{2}}d\left( x^{2} - 1 ight)}$

$= \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1} + C$

Vậy một nguyên hàm của hàm số là $F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}$ .
Câu 16: Vận dụng
Cho hai hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\lbrack 1;2brack$ thỏa mãn $f(1) = 4$ và $f(x) = x.f'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}$ . Giá trị $f(2)$ bằng:
- A.
  $5$
- B.
  $20$
- C.
  $10$
- D.
  $15$
Chọn $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$

$f(x) = xf'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}$

$\Leftrightarrow ax^{3} + bx^{2} + cx + d = x\left( 3ax^{2} + 2bx + c ight) - 2x^{3} - 3x^{2}$

Từ đó suy ra $\left\{ \begin{matrix} a = 3a - 2 \\ b = 2b - 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $f(x) = x^{3} + 3x^{2} \Rightarrow f(2) = 20$
Câu 17: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\left\{ 1 ight\}$ thỏa mãn $f'(x) = \frac{1}{x - 1}$ ; $f(0) = 2017;f(2) = 2018$ . Tính $T = f(3) - f( - 1)$ ?
- A.
  $T = \ln4035$
- B.
  $T = 4$
- C.
  $T = \ln2$
- D.
  $T = 1$
Trên khoảng $(1; + \infty)$ ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(x - 1) + C_{1}$

$\Rightarrow f(x) = \ln(x - 1) + C_{1}$

Mà $f(2) = 2018 \Rightarrow C_{1} = 2018$

Trên khoảng $( - \infty;1)$ ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(1 - x) + C_{2}$

$\Rightarrow f(x) = \ln(1 - x) + C_{2}$

Mà $f(0) = 2017 \Rightarrow C_{2} = 2017$

Vậy $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \ln(x - 1) + 2018\ \ \ khi\ x\ > \ 1 \\ \ln(1 - x) + 2017\ \ \ khi\ x\ < \ 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow T = f(3) - f( - 1) = 1$ .
Câu 18: Vận dụng cao
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 6;5brack$ có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ:

Tính giá trị $I = \int_{- 6}^{5}{\left\lbrack f(x) + 2 ightbrack dx}$ ?
- A.
  $I = 2\pi + 35$
- B.
  $I = 2\pi + 34$
- C.
  $I = 2\pi + 33$
- D.
  $I = 2\pi + 32$
Hình vẽ minh họa

Dựa vào đồ thị ta có: $A( - 6; - 1),B( - 2;1)$ suy ra phương trình đường thẳng $AB:y = \frac{1}{2}x + 2$

$\Rightarrow I_{1} = \int_{0}^{- 2}{\left\lbrack \frac{1}{2}x + 2 + 2 ightbrack dx} = 8$

Phương trình đường tròn $(C)$ : $x^{2} + (y - 1)^{2} = 4 \Rightarrow y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$

$\Rightarrow I_{2} = \int_{- 2}^{2}{\left\lbrack 1 + \sqrt{4 - x^{2}} + 2 ightbrack dx} = 12 + 2\pi$

Điểm $C(2;1),D(5;3)$ nên phương trình đường thẳng $CD$ là: $y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$

$\Rightarrow I_{3} = \int_{2}^{5}{\left\lbrack \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} + 2 ightbrack dx} = 12$

Vậy $I = I_{1} + I_{2} + I_{3} = 32 + 2\pi$
Câu 19: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = x^{5}$ .Phát biểu nào sau đây đúng?
- A.
  $5x^4+C$ .
- B.
  $\frac{1}{6}x^6+C$ .
- C.
  $x^6+C$ .
- D.
  $6x^6+C$ .
Ta có $\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}} ight)\mathbf{'}\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{5}}$

Vậy đáp án cần tìm là: $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}\mathbf{+ C}$ .
Câu 20: Nhận biết
Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = 30 - 2t(m/s)$ . Hỏi trong $5s$ trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?
- A.
  $50m$
- B.
  $225m$
- C.
  $125m$
- D.
  $25m$
Khi dừng hẳn $v(t) = 30 - 2t = 0 \Rightarrow t = 15(s)$

Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

$S = \int_{10}^{15}{v(t)dt} = \int_{10}^{15}{(30 - 2t)dt} = 25m$ .

61 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!