Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}. Giá trị của f(2) là:

     Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

    Ta có:

    \begin{matrix}  f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\   \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\   \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {a = 3a - 2} \\   {b = 2b - 3} \\   {d = 0} \\   {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {a = 1} \\   {b = 3} \\   {c = 0} \\   {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2} => f(x) = 20

  • Câu 2: Vận dụng

    Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1;1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y = x^{2}y = ax^{3} + bx. Tính giá trị a.b biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn.

    Đáp án: -2||- 2

    Đáp án là:

    Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1;1) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y = x^{2}y = ax^{3} + bx. Tính giá trị a.b biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn.

    Đáp án: -2||- 2

    Diện tích 1 cánh của hình trang trí là:

    S_{1} = \int_{0}^{1}\left( x^{2} -
ax^{3} - bx ight)dx = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} -
\frac{ax^{4}}{4} - \frac{bx^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{1} =
\frac{1}{2} - \frac{a}{4} - \frac{b}{2}

    \Rightarrow Diện tích hình trang trí là: S = 4S_{1} = \frac{4}{3} - a -
2b

    Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm \frac{1}{3} diện tích mặt sàn nên

    \frac{4}{3} - a - 2b = \frac{4}{3}
\Leftrightarrow a + 2b = 0

    Khi đó ta có: \left\{ \begin{matrix}
a + b = 1 \\
a + 2b = 0 \\
\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 2 \\
b = - 1 \\
\end{matrix} ight.\  ight.

    Vậy ab = - 2.

  • Câu 3: Nhận biết

    Tích phân I =
\int_{0}^{1}{3^{x}dx} bằng:

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{3^{x}dx} = \left. \frac{3^{x}}{\ln3} ight|_{0}^{1} = \frac{2}{\ln3}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tính tích phân A =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\cos^{2}\left( x - \dfrac{\pi}{3}ight)}dx} bằng

    Ta có:

    A =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\cos^{2}\left( x - \frac{\pi}{3}ight)}dx} = \left. \ \tan\left( x - \frac{\pi}{3} ight)ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}}

    = \tan\frac{\pi}{6} - \tan\left( -
\frac{\pi}{3} ight) = \frac{4\sqrt{3}}{3}

  • Câu 5: Nhận biết

    Xác định giá trị của tham số a thỏa mãn \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2
ight)dx} = a^{3} + 2?

    Ta có: \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2
ight)dx} = \left. \ \left( x^{3} + 2x ight) ight|_{0}^{a} = a^{3}
+ 2a

    \Rightarrow \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} +
2 ight)dx} = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a^{3} + 2a = a^{3} + 2
\Leftrightarrow a = 1

    Vậy đáp án a = 1.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Hàm số F(x) là nguyên hàm của f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1
ight). Hỏi hàm số F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Ta có: F'(x) = f(x) = (1 -
x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 0
\Leftrightarrow (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
1 - x = 0 \\
\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x^{2} + 1 = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Phương trình F'(x) = 0 có 1 nghiệm đơn x = 1 và một nghiệm kép x = 0 nên hàm số F(x) có 1 điểm cực trị.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB =6,\ AC = 8M là trung điểm của cạnh AC. Khi đó thể tích của khối tròn xoay do tam giác BMC quanh cạnh AB là:

    Hình vẽ minh họa

    Khi quay tam giác BMC quanh cạnh AB tạo ra 2 khối tròn xoay có thể tích là

    V = \frac{1}{3}\pi AC^{2}.AB -\frac{1}{3}\pi AM^{2}.AB

    = \frac{1}{3}\pi.8^{2}.6 -\frac{1}{3}\pi.4^{2}.6 = 96\pi

  • Câu 8: Nhận biết

    Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y =
g(x) liên tục trên đoạn \lbrack
a;bbrack và hai đường thẳng x =
a, x = b (a < b)

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y =
g(x) liên tục trên đoạn \lbrack
a;bbrack và hai đường thẳng x =
a, x = b (a < b)S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x)
ight|dx}.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{3} + 12x và đường thẳng y = - x^{2}?

    Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

    - x^{3} + 12x = - x^{2} \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 4 \\
x = - 3 \\
\end{matrix} ight.

    Diện tích S của hình phẳng (H) là:

    S = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} + 12x
- \left( - x^{2} ight) ight|dx} = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} +
12x + x^{2} ight|dx}

    = \int_{- 3}^{0}{\left| - x^{3} + 12x +
x^{2} ight|dx} + \int_{0}^{4}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2}
ight|dx}

    = \int_{- 3}^{0}{\left( - x^{3} + 12x +
x^{2} ight)dx} + \int_{0}^{4}{\left( - x^{3} + 12x + x^{2}
ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} -
6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight) ight|_{- 3}^{0} + \left. \ \left(
\frac{1}{4}x^{4} - 6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight)
ight|_{0}^{4}

    = 0 - \left( \frac{1}{4}.3^{4} - 6.3^{2}
+ \frac{1}{3}.3^{3} ight) + \left( - \frac{1}{4}.4^{4} + 6.4^{2} +
\frac{1}{3}.4^{3} ight) - 0 = \frac{937}{12}

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

    Đáp án: 6750000 đồng.

    Đáp án là:

    Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

    Đáp án: 6750000 đồng.

    Gọi phương trình parabol (P):y = ax^{2} +
bx + c.

    Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ( P) có đỉnh I ∈ Oy (như hình vẽ)

    Ta có hệ phương trình: \left\{
\begin{matrix}
\frac{9}{4} = c\ (I \in (P))\ \ \ \ \ \ \  \\
\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\
\frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\
\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
c = \frac{9}{4} \\
a = - 1 \\
b = 0 \\
\end{matrix} ight.\  ight.

    Vậy (P):y = - x^{2} +
\frac{9}{4}

    Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: S = \int_{\frac{- 3}{2}}^{\frac{3}{2}}\left( -
x^{2} + \frac{9}{4} ight)dx = 2\left. \ \left( - \frac{x}{3}^{3} +
\frac{9}{4}x ight) ight|_{0}^{\frac{9}{4}} =
\frac{9}{2}(m^{2}).

    Số tiền phải trả là \frac{9}{2}.1500000 =
6750000 đồng.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} - 4x + 6;y = - x^{2} - 2x +
6?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} - 4x + 6 = - x^{2} - 2x + 6
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 1 \\
\end{matrix} ight.

    Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{2} - 4x + 6;y = - x^{2}
- 2x + 6;x = 0;x = 1

    Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox l

    Diện tích hình phẳng là:

    V = \left| \pi\int_{0}^{1}{\left\lbrack
\left( x^{2} - 4x + 6 ight)^{2} - \left( - x^{2} - 2x + 6 ight)^{2}
ightbrack dx} ight|

    = \left| \pi\int_{0}^{1}{\left\lbrack
\left( 2x^{2} - 12 ight)(12 - 6x) ightbrack dx}
ight|

    = \left| \pi\int_{0}^{1}{\left( -
12x^{3} + 36x^{2} - 24x ight)dx} ight|

    = \left| \pi\left. \ \left( - 3x^{4} +
36x^{2} - 24x ight) ight|_{0}^{1} ight| = 3\pi

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hai hàm số F(x) = \left( x^{2} + bx +
c ight)e^{x}f(x) = \left(
x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x}. Biết a;b là các số thực để F(x) là một nguyên hàm của f(x). Tính S
= a + b?

    Từ giả thiết ta có:

    F'(x) = f(x)

    \Leftrightarrow (2x + a)e^{x} + \left(
x^{2} + ax + b ight)e^{x} = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x};\forall
x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow x^{2} + (2 + a)x + a + b
= x^{2} + 3x + 4;\forall x\mathbb{\in R}

    Đồng nhất hai vế ta có: \left\{
\begin{matrix}
a + 2 = 3 \\
a + b = 4 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow S = a + b = 4.

  • Câu 13: Nhận biết

    Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
f(x) liên tục trên đoạn \lbrack
1;3brack, trục Ox và hai đường thẳng x = 1;x = 3 có diện tích là:

    Công thức tính diện tích cần tìm là: S =
\int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|dx}.

  • Câu 14: Nhận biết

    Hàm số f(x) = x^{3} + \sin x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: F'(x) = 3x^{2} + \cos
x

  • Câu 15: Thông hiểu

    Biết \int_{1}^{e}{\frac{\ln
x}{\sqrt{x}}dx} = a\sqrt{e} + b với a;b\mathbb{\in Z}. Xác định giá trị biểu thức P = ab?

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln x \\dv = \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{dx}{x} \\v = 2\sqrt{x} \\\end{matrix} ight. khi đó ta có:

    \int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx} =
\left. \ \left( 2\sqrt{x}\ln x ight) ight|_{e}^{1} -
2\int_{1}^{e}\frac{dx}{x}

    = \left. \ \left( 2\sqrt{x}\ln x ight)
ight|_{e}^{1} - \left. \ \left( 4\sqrt{x} ight) ight|_{e}^{1} = -
2\sqrt{e} + 4

    Vậy \left\{ \begin{matrix}
a = - 2 \\
b = 4 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow P = a.b = - 8.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Biết \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x +
C. Khi đó \int_{}^{}{f\left( e^{x}
ight)}dx tương ứng bằng

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = 3x^{2} - 4x +
C \Rightarrow f(x) = 6x - 4

    \Rightarrow f\left( e^{x} ight) =
6e^{x} - 4

    \Rightarrow \int_{}^{}{f\left( e^{x}
ight)}dx = \int_{}^{}{\left( 6e^{x} - 4 ight)dx} = 6e^{x} - 4e^{x} +
C

  • Câu 17: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x - 8\sin x\cos x thỏa mãn F(\pi) = 2?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(2x - 8\sin x\cos x ight)dx}

    = \int_{}^{}{(2x - 4\sin2x)dx} = x^{2} +2\cos2x + C

    Theo bài ra ta có: F(\pi) =
2

    \Rightarrow \pi^{2} + 2 + C = 2
\Leftrightarrow C = - \pi^{2}

    Vậy F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Gọi d là đường thẳng tùy ý đi qua điểm M(1;1) và có hệ số góc âm. Giả sử d cắt các trục Ox;Oy lần lượt tại A;B. Quay tam giác OAB quanh trục Oy thu được một khối tròn xoay có thể tích là V. Giá trị nhỏ nhất của V bằng

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \Rightarrow d:x = -\frac{b}{a}x + b\ \ \ (1)

    Mà M(1; 1) ∈ d nên \frac{1}{a} +\frac{1}{b} = 1 \Rightarrow a + b = 2ab\ \ (2)

    Từ (1) suy ra d có hệ số góc là k = -\frac{b}{a}; theo giả thiết ta có -\frac{b}{a} < 0 \Rightarrow ab > 0

    Nếu a < 0;b < 0 \Rightarrow a + b< 0 mẫu thuẫn với (2) suy ra a> 0;b > 0

    Mặt khác từ (2) suy ra b = \frac{a}{a -1} kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1.

    Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao h = b và bán kính đường tròn đáy r = a

    Thể tích khối nón là V = \frac{1}{3}\pir^{2}h = \frac{1}{3}\pi a^{2}b = \frac{1}{3}\pi\frac{a^{3}}{a -1}

    Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi \frac{a^{3}}{a - 1} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Xét hàm số f(x) = \frac{x^{3}}{x - 1} =x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1} trên khoảng (1; + \infty)

    f'(x) = 2x + 1 - \frac{1}{(x -1)^{2}} = \frac{x^{2}(2x - 3)}{(x - 1)^{2}}

    f'(x) = 0 \Rightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \frac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng \frac{1}{3}\pi.f\left( \frac{3}{2} ight) =\frac{9\pi}{4}

  • Câu 19: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
\frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}} là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =
\int_{}^{}{\frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}}dx} =
\int_{}^{}\frac{d\left( e^{x} + 1 ight)}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}}
= - \frac{1}{e^{x} + 1} + C.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho a là số thực dương. Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}\left\lbrack \ln(ax) +
\frac{1}{x} ightbrack thỏa mãn F\left( \frac{1}{a} ight) = 0F(2018) = e^{2018}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    f(x) = e^{x}\left\lbrack \ln(ax) +
\frac{1}{2} ightbrack= \left( e^{x} ight)'\ln(ax) +e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack'= \left\{ e^{x}\left\lbrack \ln(ax)
ightbrack ight\}'

    \Rightarrow
\int_{\frac{1}{a}}^{2018}{f(x)}dx = F(2018) - F\left( \frac{1}{a}
ight)\Leftrightarrow \left. \ \left(
e^{x}\left\lbrack \ln(ax) ightbrack ight)
ight|_{\frac{1}{a}}^{2018} = e^{2018}

    \Leftrightarrow \ln(2018a) = 1
\Leftrightarrow a = \frac{e}{2018}

    Vậy a \in \left( \frac{1}{2018};1
ight).

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 8 lượt xem
Sắp xếp theo