Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho \int_{0}^{1}{\frac{x}{(x + 2)^{2}}dx} = a + ln2 + cln3 với a;b;c là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức K = 3a + b + c bằng:

    Ta có: \int_{0}^{1}{\frac{x}{(x + 2)^{2}}dx} = \int_{0}^{1}{\frac{x + 2 - 2}{(x + 2)^{2}}dx}

    = \int_{0}^{1}{\frac{x + 2}{(x + 2)^{2}}dx} - \int_{0}^{1}{\frac{2}{(x + 2)^{2}}dx}

    = \int_{0}^{1}{\frac{1}{x + 2}dx} - \int_{0}^{1}{\frac{2}{(x + 2)^{2}}dx}

    = \left. \ \ln|x + 2| ight|_{0}^{1} -\left. \ \frac{2}{x + 2} ight|_{0}^{1} = \ln3 - \ln2 -\frac{1}{3}

    Suy ra a = - \frac{1}{3};b = - 1;c = 1 \Rightarrow K = - 1

  • Câu 2: Vận dụng

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với A( - 2;3),B(3;6),C(3;0),D( - 2;0). Quay hình thang ABCD xung quanh trục Ox thì thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu??

    Phương trình các cạnh của hình thang là: \left\{ \begin{matrix} AD:x = - 2 \\ CD:y = 0 \\ BC:x = 3 \\ AB:3x - 5y + 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta thấy ABCD là hình thang vuông có CD:y = 0 nên khối tròn xoay cần tính là

    V = \pi\int_{- 2}^{3}{\frac{(3x + 21)^{2}}{25}dx} = 105\pi

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162m so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v(t) = 10t - t^{2}, trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là:

    Khi bắt đầu tiếp đất vật chuyển động được quãng đường làs = 162m

    Ta có: S = \int_{0}^{t_{0}}{\left( 10t - t^{2} ight)dt} = \left. \ \left( 5t - \frac{t^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{t_{0}} = 5{t_{0}}^{2} - \frac{{t_{0}}^{3}}{3} (với t_{0} là thời điểm vật tiếp đất)

    Cho 5{t_{0}}^{2} - \frac{{t_{0}}^{3}}{3} = 162 \Leftrightarrow t_{0} = 9 (Do v(t) = 10t - t^{2} \Rightarrow 0 \leq t \leq 10)

    Khi đó vận tốc của vật là: v(9) = 10.9 - 9^{2} = 9(m/p).

  • Câu 4: Nhận biết

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = \cos x;Ox;x = - \frac{\pi}{2};x = \frac{\pi}{2}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z}

    Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight)

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left| \cos x ight|dx} = \left| \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos xdx} ight| = \left| \left. \ \sin x ight|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} ight| = 2

  • Câu 5: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ 0ight\} thỏa mãn 2xf(x) +x^{2}f'(x) = 1 và f(1) =0. Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có: 2xf(x) + x^{2}f'(x) =1

    \Leftrightarrow \left( x^{2}ight)'f(x) + x^{2}f'(x) = 1

    \Leftrightarrow \left( x^{2}f'(x)ight)' = 1

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{\left( x^{2}f'(x)ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow x^{2}f(x) = x +C

    Lại có f(1) = 0 \Rightarrow 1.f(1) = 1 +C \Rightarrow C = - 1

    Từ đó suy ra x^{2}f(x) = x - 1\Leftrightarrow f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{x - 1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x =1(tm)

    Ta có: f'(x) = \frac{2 - x}{x^{3}}\Rightarrow f'(1) = 1

    Vậy hệ số góc phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1.

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} và F\left( 1 ight) = \frac{1}{3}. Tính {\left[ {F\left( e ight)} ight]^2}

     Cách 1: \int {f\left( x ight)} = \int {\frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx = \int {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .} } \frac{{\ln x}}{x}dx

    Đặt \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} = t

    \begin{matrix} \Rightarrow {\ln ^2}x + 1 = {t^2} \hfill \\ \Rightarrow 2\ln x.\dfrac{1}{x}dx = 2tdt \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{\ln x}}{x}dx = tdt \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó \int {f\left( x ight)} = \int {t.t.dt} = \int {{t^2}dt} = \frac{{{t^3}}}{3} + C

    => F\left( x ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C

    Mặt khác F\left( 1 ight) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C

    => C = 0

    => F\left( e ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}e + 1} } ight)^3} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}

    => {\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} ight)^2} = \frac{8}{9}

    Cách 2: F\left( e ight) - F\left( 1 ight) = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx}. Sử dụng máy tính cầm tay để tính.

  • Câu 8: Nhận biết

    Giả sử \int_{0}^{9}{f(x)dx} = 37 và \int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16. Khi đó I = \int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} bằng

    Ta có: \int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16 \Rightarrow \int_{0}^{9}{g(x)dx} = - 16

    \Rightarrow I = \int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = \int_{0}^{9}{2f(x)dx} + \int_{0}^{9}{3g(x)dx}

    = 2.37 + 3.( - 16) = 26

  • Câu 9: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}?

    Đặt t = \tan x \Rightarrow dt =\frac{1}{\cos^{2}x}dx

    \int_{}^{}{\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx} = \int_{}^{}{e^{t}dt} = e^{t} + C = e^{\tan x} +C

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} thỏa mãn f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x -f(x)\sin x. Tính tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx}?

    Ta có:

    f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x- f(x)\sin x

    \Leftrightarrow f'(x).f(x) - \sin2x =\left\lbrack f(x)\cos x ightbrack'

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}\left\lbrack f'(x).f(x) -\sin2x ightbrack dx = \int_{}^{}{\left\lbrack f(x)\cos xightbrack'}dx

    \Leftrightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x + C

    Theo bài ra ta có: f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 \Rightarrow C = 0

    \Rightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x

    \Leftrightarrow f^{2}(x) + \cos2x =2f(x)\cos x

    \Leftrightarrow f^{2}(x) - 2f(x)\cos x +\cos^{2}x = \sin^{2}x

    \Leftrightarrow \left\lbrack f(x) - \cos x ightbrack^{2} = \sin^{2}x \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) - \cos x = \sin x \\f(x) - \cos x = - \sin x \\\end{matrix} ight.

    Vì f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 nên nhận f(x) = \cos x - \sin x

    Vậy I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left\lbrack \cos x - \sin x ightbrack dx} = \left. \ \left( \cos x - \sin x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} - 1

  • Câu 11: Nhận biết

    Hàm số f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: f'(x) = - e^{- x} + 2 nên f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số y = - e^{- x} + 2.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x}, ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C. Tính giá trị biểu thức S = m + n + p?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C nên \left( me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C ight)' = f(x)

    \Rightarrow 3mx^{2}e^{x^{3} + 2} + 2nxe^{2x} + (n - 2p)e^{2x} = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x} đồng nhất 2 biểu thức ta được hệ phương trình \left\{ \begin{matrix}3m = 2 \\2n = 2 \ - 2p = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = 1 \\p = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = \dfrac{13}{6}

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{2x - 1} , biết rằng F(1) = 2. Khi đó giá trị F(2) là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)

    Mà F(1) = 2 \Rightarrow C = 2. Vậy với x > \frac{1}{2} thì F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2

    Vậy F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2.

  • Câu 14: Nhận biết

    Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \cos x,y = 0,x = 0,x = \pi quay xung quanh Ox.

    Thể tích vật thể bằng:

    V = \pi\int_{0}^{\pi}{\left( \cos xight)^{2}dx} = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}{(1 + \cos2x)dx} = \pi\left.\ \left( x + \frac{1}{2}\sin2x ight) ight|_{1}^{\pi} =\frac{\pi^{2}}{2}.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x\sin x, biết rằng F\left( \frac{\pi}{2} ight) = 2019?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \sin xdx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cos x \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{}^{}{x\sin xdx} = - x\cos x - \int_{}^{}{\left( - \cos x ight)dx} + C = - x\cos x + \sin x + C

    F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} + C = 2019 \Rightarrow C = 2018

    Vậy F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} - 4x + 6;y = - x^{2} - 2x + 6?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} - 4x + 6 = - x^{2} - 2x + 6 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{2} - 4x + 6;y = - x^{2} - 2x + 6;x = 0;x = 1

    Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox l

    Diện tích hình phẳng là:

    V = \left| \pi\int_{0}^{1}{\left\lbrack \left( x^{2} - 4x + 6 ight)^{2} - \left( - x^{2} - 2x + 6 ight)^{2} ightbrack dx} ight|

    = \left| \pi\int_{0}^{1}{\left\lbrack \left( 2x^{2} - 12 ight)(12 - 6x) ightbrack dx} ight|

    = \left| \pi\int_{0}^{1}{\left( - 12x^{3} + 36x^{2} - 24x ight)dx} ight|

    = \left| \pi\left. \ \left( - 3x^{4} + 36x^{2} - 24x ight) ight|_{0}^{1} ight| = 3\pi

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hình vẽ:

    Diện tích của hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a,x = b,(a < b) (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức:

    Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có:

    S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx} = \int_{a}^{c}{\left\lbrack 0 - f(x) ightbrack dx} + \int_{c}^{b}{\left\lbrack f(x) - 0 ightbrack dx}

    = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}

    Vậy đáp án cần tìm là: S = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C):y = 3x^{4} - 4x^{2} + 5, trục hoành, x = 1 và x = 2 là:

    Ta có: 3x^{4} - 4x^{2} + 5 > 0;\forall x\mathbb{\in R} nên ta có:

    S = \int_{1}^{2}{\left( 3x^{4} - 4x^{2} + 5 ight)dx} = \left. \ \left( \frac{3}{5}x^{5} - \frac{4}{3}x^{3} + 5x ight) ight|_{1}^{2} = \frac{214}{15}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v_{1}(t) = 7t(m/s). Đi được 5s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = - 70\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

    Vận tốc vật đạt được sau 5s là: v_{0} = 7.5 = 35(m/s)

    Ta có: v_{2}(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{- 70dt} = - 70t + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 35(m/s) \Rightarrow v_{(t = 0)} = 35 \Rightarrow C = 35

    \Rightarrow v_{2}(t) = - 70t + 35

    Vật dừng hẳn khi v_{2}(t) = - 70t + 35 = 0 \Rightarrow t_{2} = \frac{1}{2}(s)

    Khi đó quãng đường đi được bằng

    S = \int_{0}^{5}{v_{1}(t)dt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{v_{2}(t)dt}

    = \int_{0}^{5}{7tdt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{( - 70t + 35)dt} = 96,25(m)

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đáp án là:

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đặt hệ trục tọa độ có gốc O trùng với giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.

    Đồ thị của hàm số y = f(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm A( - 1;0)và A(2;1) có dạng hàm số (P_{1}):y = \frac{1}{2}x^{2} - 1.

    Đồ thị của hàm số y = g(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm C(1;0)và D(2; - 1) có dạng hàm số (P_{1}):y = - \frac{1}{2}x^{2} + 1.

    Giao điểm của hai parabol tại x_{1} = - \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{2}

    Do đó, diện tích của con cá là S = \int_{- \sqrt{2}}^{2}{\left| x^{2} - 2 ight|dx} \approx 4,32m^{2}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 8 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập