Cho
là số thực dương. Biết rằng
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy .
Cho
là số thực dương. Biết rằng
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng
Diện tích hình giới hạn là
Cho hàm số
dương và liên tục trên
thỏa mãn
và biểu thức
đạt giá trị lớn nhất, khi đó
bằng:
Do
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Vì:
Xe đạp A xuất phát từ C, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật
trong đó
(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một xe đạp B cũng xuất phát từ C, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn
giây so với A và có gia tốc bằng
(
là hằng số). Sau khi B xuất phát được
giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng bao nhiêu?
Quãng đường xe đạp A đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:
Vận tốc của xe đạp B tại thời điểm tính từ lúc B xuất phát là:
Quãng đường xe đạp B đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:
Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là:
Cho tích phân
. Tính tích phân
?
Đặt
Đổi cận
Khi đó
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường
và
(với
) được minh họa bằng hình vẽ bên (phần tô đậm):

Cho
quay quanh trục
, thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu?
Ta có:
Thể tích khối tròn xoay cần tính là
Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Khi đó
Suy ra suy ra
.
Cho đường thẳng
và parabol
(
là tham số thực). Gọi
lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được tô đậm và gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi
thì
thuộc khoảng nào dưới đây?

Phương trình hoành độ giao điểm của của hai đồ thị:
Theo giả thiết, phương trình có hai nghiệm phân biệt
Khi đó, phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
Diện tích hình phẳng:
Diện tích hình phẳng:
Theo giả thiết ta có:
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
. Tính tích phân
?
Ta có:
Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng
, trục nhỏ bằng
được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là
mỗi
trồng cây con và
mỗi
trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng , trục nhỏ bằng
được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là
mỗi
trồng cây con và
mỗi
trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Khi đó hiệu số
bằng:
Theo định nghĩa tích phân ta có:
suy ra
.
Cho hàm số
xác định trên
thỏa mãn
và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Lại có
Từ đó suy ra
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là
Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi
và
như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 3,3 m2
Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi và
như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án: 3,3 m2
Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số
Diện tích của hình phẳng cần tìm là
Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip (E):
quay quanh trục hoành?
Xét có
. Do đó hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ
Vì
Do đó thể tích khối tròn xoay là
Cho đồ thị của hàm số
như sau:

Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:
Dựa vào hình vẽ ta được: .
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .