Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ:

Tính tích phân $I = \int_{1}^{2}{f'(2x - 1)dx}$ ?
- A.
  $I = - 2$
- B.
  $I = - 1$
- C.
  $I = 1$
- D.
  $I = 2$
Ta có:

$I = \int_{1}^{2}{f'(2x - 1)dx} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{f'(2x - 1)d(2x - 1)}$

$= \frac{1}{2}\left. \ f(2x - 1)ight|_{1}^{2} = \frac{1}{2}\left\lbrack f(3) - f(1) ightbrack =2$
Câu 2: Vận dụng
Biết rằng $F(x)$ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x^{2}(x +1)}$ thỏa mãn $F(1) + F( - 2) = \frac{1}{2}$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $F(2) + F( -3) =\frac{1}{3}$
- B.
  $F(2) + F( -3) = \frac{5}{6} +\ln2$
- C.
  $F(2) + F( -3) = \frac{1}{3} +\ln2$
- D.
  $F(2) + F( -3) =\frac{5}{6}$
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta có:
$f(x) = \frac{1}{x^{2}(x + 1)} =\frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ $= \frac{(A + C)x^{2} +(A + B)x + B}{x^{2}(x + 1)}$
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}A + C = 0 \\A + B = 0 \\B = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = 1 \\C = 1 \\\end{matrix} ight.$
$F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\left( - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1}ight)dx}$
$\Rightarrow F(x) = - \ln|x| -\frac{1}{x} + \ln|x + 1| + C = \ln\left| \frac{x + 1}{x} ight| -\frac{1}{x} + C$
Khi đó $F(x) = \left\{ \begin{matrix}\ln\dfrac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{1};x \in (0; + \infty) \\\ln\dfrac{- x - 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{2};x \in ( - 1;0) \\\ln\frac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{3};x \in ( - \infty; - 1) \\\end{matrix} ight.$
Mà $F(1) + F( - 2) =\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \ln2 - 1 + C_{1} +\ln\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + C_{3} = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow C_{1} + C_{3} =1$
Vậy $T = F(2) + F( - 3) = \ln\frac{3}{2} -\frac{1}{2} + C_{1} + \ln\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + C_{3} =\frac{5}{6}$
Câu 3: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ 0ight\}$ thỏa mãn $2xf(x) +x^{2}f'(x) = 1$ và $f(1) =0$ . Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại giao điểm với trục hoành là:
- A.
  $1$
- B.
  $-1$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Ta có: $2xf(x) + x^{2}f'(x) =1$
$\Leftrightarrow \left( x^{2}ight)'f(x) + x^{2}f'(x) = 1$
$\Leftrightarrow \left( x^{2}f'(x)ight)' = 1$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
$\int_{}^{}{\left( x^{2}f'(x)ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow x^{2}f(x) = x +C$
Lại có $f(1) = 0 \Rightarrow 1.f(1) = 1 +C \Rightarrow C = - 1$
Từ đó suy ra $x^{2}f(x) = x - 1\Leftrightarrow f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x - 1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x =1(tm)$
Ta có: $f'(x) = \frac{2 - x}{x^{3}}\Rightarrow f'(1) = 1$
Vậy hệ số góc phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1.
Câu 4: Nhận biết
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) =\sin5x.\cos x$ ?
- A.
  $- \frac{1}{5}\cos5x +C$
- B.
  $- \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12}+ C$
- C.
  $\frac{1}{5}\cos5x +C$
- D.
  $\frac{1}{8}\cos4x + \frac{1}{12}\cos6x+ C$
Ta có:

$\int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}$

$= - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C$
Câu 5: Thông hiểu
Tính diện tích $S_{D}$ của hình phẳng $D$ được giới hạn bởi các đường $y = \left| \frac{\ln x}{x} ight|$ , trục hoành và các đường thẳng $x = \frac{1}{e};x = 2$ ?
- A.
  $S_{D} = \frac{1}{2}(1 +\ln2)$
- B.
  $S_{D} = \frac{1}{2}\left( 1 + \ln^{2}2ight)$
- C.
  $S_{D} = \frac{1}{2}\ln^{2}x -\frac{1}{2}$
- D.
  $S_{D} = \frac{1}{2}\left( 1 - \ln^{2}2ight)$
Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S_{D} = \int_{\frac{1}{e}}^{2}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx} = \int_{\frac{1}{e}}^{1}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx} + \int_{1}^{2}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx}$

$= - \int_{\frac{1}{e}}^{1}{\frac{\ln x}{x}dx} + \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x}dx}$

$= - \left. \ \frac{\left( \ln x ight)^{2}}{2} ight|_{\frac{1}{e}}^{1} + \left. \ \frac{\left( \ln x ight)^{2}}{2} ight|_{1}^{2}$

$= \frac{1}{2} + \frac{\ln^{2}2}{2} =\frac{1}{2}\left( 1 + \ln^{2}2 ight)$
Câu 6: Nhận biết
Đặt $I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx}$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của tham số $m$ để $I = 4$ ?
- A.
  $m = - 1$
- B.
  $m = - 2$
- C.
  $m = 1$
- D.
  $m = 2$
Ta có: $I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx} = \left. \ \left( mx^{2} + x ight) ight|_{1}^{2} = 3m + 1$

Do $I = 4 \Leftrightarrow 3m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = 1$ .
Câu 7: Vận dụng

Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với $O$ là tâm hình vuông sao cho $A(1;1)$ như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình $y = x^{2}$ và $y = ax^{3} + bx$ . Tính giá trị $a.b$ biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn.

Đáp án: -2||- 2

Đáp án là:

Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với $O$ là tâm hình vuông sao cho $A(1;1)$ như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình $y = x^{2}$ và $y = ax^{3} + bx$ . Tính giá trị $a.b$ biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn.

Đáp án: -2||- 2

Diện tích 1 cánh của hình trang trí là:

$S_{1} = \int_{0}^{1}\left( x^{2} - ax^{3} - bx ight)dx = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{ax^{4}}{4} - \frac{bx^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{a}{4} - \frac{b}{2}$

$\Rightarrow$ Diện tích hình trang trí là: $S = 4S_{1} = \frac{4}{3} - a - 2b$

Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn nên

$\frac{4}{3} - a - 2b = \frac{4}{3} \Leftrightarrow a + 2b = 0$

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix} a + b = 1 \\ a + 2b = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

Vậy $ab = - 2$ .
Câu 8: Nhận biết
Tích phân $I = \int_{0}^{1}{3^{x}dx}$ bằng:
- A.
  $I = \frac{2}{\ln3}$
- B.
  $I = \frac{3}{\ln3}$
- C.
  $I = \frac{9}{5}$
- D.
  $I = 2\ln3$
Ta có:

$I = \int_{0}^{1}{3^{x}dx} = \left. \frac{3^{x}}{\ln3} ight|_{0}^{1} = \frac{2}{\ln3}$
Câu 9: Thông hiểu
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{2} - 4x + 6;y = - x^{2} - 2x + 6$ ?
- A.
  $3\pi$
- B.
  $\pi - 1$
- C.
  $\pi$
- D.
  $2\pi$
Phương trình hoành độ giao điểm

$x^{2} - 4x + 6 = - x^{2} - 2x + 6 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{2} - 4x + 6;y = - x^{2} - 2x + 6;x = 0;x = 1$

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox l

Diện tích hình phẳng là:

$V = \left| \pi\int_{0}^{1}{\left\lbrack \left( x^{2} - 4x + 6 ight)^{2} - \left( - x^{2} - 2x + 6 ight)^{2} ightbrack dx} ight|$

$= \left| \pi\int_{0}^{1}{\left\lbrack \left( 2x^{2} - 12 ight)(12 - 6x) ightbrack dx} ight|$

$= \left| \pi\int_{0}^{1}{\left( - 12x^{3} + 36x^{2} - 24x ight)dx} ight|$

$= \left| \pi\left. \ \left( - 3x^{4} + 36x^{2} - 24x ight) ight|_{0}^{1} ight| = 3\pi$
Câu 10: Nhận biết
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = 2x - x^{2};y = 0$ . Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:
- A.
  $\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)dx}$
- B.
  $\pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
- C.
  $\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
- D.
  $\pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)dx}$
Ta có: $2x - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:

$V = \pi\int_{0}^{2}{\left( 2x - x^{2} ight)^{2}dx}$
Câu 11: Thông hiểu
Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}}$ trên khoảng $( - 1; + \infty)$ là:
- A.
  $2\ln(x + 1) + \frac{2}{x + 1} +C$
- B.
  $2\ln(x + 1) + \frac{3}{x + 1} +C$
- C.
  $2\ln(x + 1) - \frac{2}{x + 1} +C$
- D.
  $2\ln(x + 1) - \frac{3}{x + 1} +C$
Ta có: $f(x) = \frac{2x - 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}}$

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{(x + 1)^{2}} ight)dx}$ $= 2\ln|x + 1| +\frac{3}{x + 1} + C$
Câu 12: Thông hiểu
Tính tích phân $B = \int_{0}^{2}{2x\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}dx}$ ?
- A.
  $B = \frac{5^{2019} - 1}{2019}$
- B.
  $B = \frac{5^{2019} - 1}{4038}$
- C.
  $B = \frac{5^{2018} - 1}{4036}$
- D.
  $B = 1$
Ta có: $B = \int_{0}^{2}{2x\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}dx}$

$= \int_{0}^{2}{\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}d\left( x^{2} + 1 ight)}$

$= \left. \ \frac{\left( x^{2} + 1 ight)^{2019}}{2019} ight|_{0}^{2} = \frac{5^{2019} - 1}{2019}$
Câu 13: Vận dụng cao

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Đáp án là:

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Cả hai bên cầu có tất cả $2.10 = 20$ nhịp cầu.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc $O(0;0)$ là chân cầu, đỉnh $I(25;2)$ , điểm $A(50;0)$

Gọi Parabol phía trên có phương trình: $\left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c = ax^{2} + bx$ (vì $O \in \left( P_{1} ight)$ )

$\Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx - \frac{1}{5}$ là phương trình parabol phía dưới

(Vì bề dày nhịp cầu là $20cm = \frac{1}{5}m$ )

Ta có $I,A \in \left( P_{1} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 25^{2}a + 25b = 2 \\ 50^{2}a + 50b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{2}{625} \\ b = \frac{4}{25} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\ \ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x - \frac{1}{5}$

Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi $y_{1};y_{2}$ và trục Ox nên ta có:

$S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx + \int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}$

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là $S.0,2 \approx 1,985m^{3}.$

Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là $V = 20.S.0,2 \approx 40m^{3}$
Câu 14: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ và $f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)}$ với $\forall x\mathbb{\inR}$ . Tính giá trị $f(1)$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ và $f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)}$ với $\forall x\mathbb{\inR}$ . Tính giá trị $f(1)$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 15: Thông hiểu
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = - 4t + x(m/s)$ . Biết từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn thì ô tô di chuyển được $50m$ . Tìm $x$ ?
- A.
  $x = 12,5$ .
- B.
  $x = 15$ .
- C.
  $x = 25$ .
- D.
  $x = 20$ .
Khi dừng hẳn $v(t) = - 4t + x = 0 \Rightarrow t = \frac{x}{4}(s)$

Quãng đường xe đi được từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn là: $S = \int_{0}^{\frac{x}{4}}{v(t)dt} = \int_{0}^{\frac{x}{4}}{( - 4t + x)dt}$

$= \left. \ \left( - 2t^{2} + xt ight) ight|_{0}^{\frac{x}{4}} = \frac{- x^{2}}{8} + \frac{x^{2}}{4} = 50$

$\Leftrightarrow x^{2} = 400 \Leftrightarrow x = 20(m/s)$
Câu 16: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4x\left( 1 + \ln x ight)$ là:
- A.
  $2x^{2}\ln x + 3x^{2}$
- B.
  $2x^{2}\ln x + x^{2}$
- C.
  $2x^{2}\ln x + 3x^{2} + C$
- D.
  $2x^{2}\ln x + x^{2} + C$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} u = 1 + \ln x \hfill \\ dv = 4xdx \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} du = \frac{1}{x}dx \hfill \\ v = 2{x^2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Khi đó $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{4x\left( 1 + \ln x ight)dx} = \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - \int_{}^{}{2xdx}$

$= \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - x^{2} + C = x^{2}(1 + 2lnx) + C$
Câu 17: Thông hiểu

Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau $t$ năm được xác định bởi hàm số $S(t)$ ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với $S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}$ , với $t$ là số năm kể từ năm 2014, $S'(t)$ được tính bằng triệu người/năm.

a) $S(t)$ là một nguyên hàm của $S'(t)$ . Đúng||Sai

b) $S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7$ . Sai||Đúng

c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

Đáp án là:

Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau $t$ năm được xác định bởi hàm số $S(t)$ ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với $S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}$ , với $t$ là số năm kể từ năm 2014, $S'(t)$ được tính bằng triệu người/năm.

a) $S(t)$ là một nguyên hàm của $S'(t)$ . Đúng||Sai

b) $S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7$ . Sai||Đúng

c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

Ta có: $S(t)$ là một nguyên hàm của $S'(t)$ và

$\int_{}^{}{S'(t)}dt = \int_{}^{}{1,2698.e^{0,014t}}dt = 90,7.e^{0,014t} + C$

Do $S(0) = 90,7 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S(t) = 90,7.e^{0,014t}$

Tốc độ tăng dân số của nước ta vào năm 2034 là

$S'(20) = 1,2698.e^{0,014.20} \approx 1,7$ ( triệu người/năm)

Dân số của nước ta vào năm 2034 là

$S(20) = 90,7.e^{0,014.20} \approx 120$ ( triệu người)
Câu 18: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ , có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
- A.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là diện tích hình thang cong $ABMN$ .
- B.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là độ dài đoạn $BP$ .
- C.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là độ dài đoạn $NM$ .
- D.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là độ dài đoạn cong $AB$ .
Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là diện tích hình thang cong $ABMN$ .
Câu 19: Nhận biết
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 25^{x}$ ?
- A.
  $F_{1}(x) = 25^{x}$ .
- B.
  $F_{2}(x) =25^{x}ln25$ .
- C.
  $F_{3}(x) = \frac{25^{x}}{log25}$ .
- D.
  $F_{4}(x) = \frac{25^{x}}{ln25}$ .
Vì: $\left( \frac{25^{x}}{ln25} ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}$
Câu 20: Thông hiểu
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x};y = 0;x = 1;x = e$ là $S = a\sqrt{2} + b$ . Tính giá trị $a^{2} + b^{2}$ ?
- A.
  $\frac{2}{3}$
- B.
  $\frac{4}{3}$
- C.
  $\frac{20}{9}$
- D.
  $2$
Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int_{1}^{e}{\left| \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x} ight|dx} = \int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x}dx}$

Đặt $\sqrt{1 + \ln x} = t \Rightarrow 1 + \ln x = t^{2} \Rightarrow \frac{dx}{x} = 2tdt$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó:

$S = \int_{1}^{\sqrt{2}}{2t^{2}dt} = \frac{4}{3}.\sqrt{2} - \frac{2}{3}$ hay $a = \frac{4}{3};b = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} = \frac{20}{9}$

59 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!