Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \cos x;y = 0;x = 0;x = \frac{\pi}{2}$ . Thể tích vật thể tròn xoay có được khi $(H)$ quay quanh trục $Ox$ bằng:
- A.
  $\frac{\pi^{2}}{4}$
- B.
  $2\pi$
- C.
  $\frac{\pi}{4}$
- D.
  $\frac{\pi^{2}}{2}$
Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay cần tính. Ta có:

$V = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\cos x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1 +\cos2x}{2}dx}$

$= \pi\left. \ \left( \frac{x}{2} +\frac{\sin2x}{4} ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi^{2}}{4}$
Câu 2: Nhận biết
Hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên tập số thực và $f'(x) = 2e^{2x} + 1;\forall x$ ; $f(0) = 2$ . Hàm số $f(x)$ là:
- A.
  $f(x) = 2e^{x} + 2x$
- B.
  $f(x) = 2e^{x} + 2$
- C.
  $f(x) = e^{2x} + x + 2$
- D.
  $f(x) = e^{2x} + x + 1$
Ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 2e^{2x} + 1 ight)dx} = e^{2x} + x + C$

$\Rightarrow f(x) = e^{2x} + x + C$

Theo bài ra ta có: $f(0) = 2 \Rightarrow 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1$

Vậy $f(x) = e^{2x} + x + 1$ .
Câu 3: Thông hiểu
Kí hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^{2} - ax$ với trục hoành ( $a eq 0$ ). Quay hình $(H)$ xung quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích $V = \frac{16\pi}{15}$ . Tìm $a$ ?
- A.
  $a = \pm 1$
- B.
  $a = 1$
- C.
  $a = 2$
- D.
  $a = \pm 2$
Phương trình hoành độ giao điểm

$x^{2} - ax = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = a \\ \end{matrix} ight.$

Trường hợp 1: Với $a > 0$ thì thể tích khối tròn xoay là:

$V = \pi\int_{0}^{a}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{a} = \frac{a^{5}\pi}{30}$

$\Rightarrow \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = 2$

Trường hợp 2: Với $a < 0$ thì thể tích khối tròn xoay là:

$V = \pi\int_{a}^{0}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{a}^{0} = - \frac{a^{5}\pi}{30}$

$\Rightarrow - \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = - 2$

Vậy $a = \pm 2$ .
Câu 4: Thông hiểu
Cho hai hàm số $F(x) = \left( x^{2} + bx + c ight)e^{x}$ và $f(x) = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x}$ . Biết $a;b$ là các số thực để $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ . Tính $S = a + b$ ?
- A.
  $S = - 6$
- B.
  $S = 12$
- C.
  $S = 6$
- D.
  $S = 4$
Từ giả thiết ta có:

$F'(x) = f(x)$

$\Leftrightarrow (2x + a)e^{x} + \left( x^{2} + ax + b ight)e^{x} = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x};\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow x^{2} + (2 + a)x + a + b = x^{2} + 3x + 4;\forall x\mathbb{\in R}$

Đồng nhất hai vế ta có: $\left\{ \begin{matrix} a + 2 = 3 \\ a + b = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = a + b = 4$ .
Câu 5: Nhận biết
Tích phân $\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 5}$ bằng:
- A.
  $\frac{1}{2}\log\frac{7}{5}$
- B.
  $\frac{1}{2}\log\frac{5}{7}$
- C.
  $\frac{1}{2}\ln\frac{7}{5}$
- D.
  $\frac{1}{2}\ln\frac{5}{7}$
Ta có: $\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 5} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{d(2x + 5)}{2x + 5}$

$= \left. \ \frac{1}{2}\ln(2x + 5) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\ln\frac{7}{5}$
Câu 6: Vận dụng cao

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ và $y = k$ , với $0 < k < 1$ . Tìm $k$ để diện tích hình phẳng $(H)$ gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,59

Đáp án là:

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ và $y = k$ , với $0 < k < 1$ . Tìm $k$ để diện tích hình phẳng $(H)$ gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,59

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $(H)$ . Lúc dó $S = 2S_{1} + 2S_{2}$ , trong đó $S_{1}$ là diện tích phần gạch sọc ở bên phải $Oy$ và $S_{2}$ là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

Gọi $A,B$ là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng $y = k$ và đồ thị hàm số $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ , trong đó $A\left( \sqrt{1 - k};k ight)$ và $B\left( \sqrt{1 + k};k ight)$ .

Thco yêu cầu bài toán $S = 2 \cdot 2S_{1} \Leftrightarrow S_{1} = S_{2}$ .

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 - k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\ = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k - 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1 ight)dx}$ .

$\Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}$

$= \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}$

$\ + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k} ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx 0,59$ .
Câu 7: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ , $f(0) = 0;f'(0) eq 0;f( - 2) > 2$ và thỏa mãn hệ thức $f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + (6x + 1)f(x)$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Giá trị của $f( - 2)$ là:
- A.
  $- 4$
- B.
  $4$
- C.
  $- 24$
- D.
  $24$
Ta có:

$f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + (6x + 1)f(x)$

$\Leftrightarrow 2f(x)f'(x) + 36x^{2} = 2\left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + 2(6x + 1)f(x)$

$\Leftrightarrow 2f(x)f'(x) - \left\lbrack 2\left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + 2(6x + 1)f(x) ightbrack = - 36x^{2}$

$\Rightarrow \left\lbrack f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) ightbrack' = - 36x^{2}$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) ightbrack'dx} = \int_{}^{}{\left( - 36x^{2} ight)dx}$

$\Rightarrow f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) = - 12x^{3} + C$

Mặt khác $f(0) = 0 \Rightarrow C = 0$

Vậy $f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) = - 12x^{3}$

$\Rightarrow f^{2}( - 2) - 20f( - 2) = 96 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f( - 2) = 24 \\ f( - 2) = - 4 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $f( - 2) > 2 \Rightarrow f( - 2) = 24$ .
Câu 8: Nhận biết
Xác định giá trị của tham số $a$ thỏa mãn $\int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2$ ?
- A.
  $a = 1$
- B.
  $a = 2$
- C.
  $a = 0$
- D.
  $a = 3$
Ta có: $\int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = \left. \ \left( x^{3} + 2x ight) ight|_{0}^{a} = a^{3} + 2a$

$\Rightarrow \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a^{3} + 2a = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a = 1$

Vậy đáp án $a = 1$ .
Câu 9: Vận dụng
Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}$ và nửa elip có phương trình $y = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}}$ (với $- 2 \leq x \leq 2$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Gọi $S$ là diện tích của, biết $S = \frac{a\pi + b\sqrt{3}}{c}$ (với $a;b;c\mathbb{\in R}$ ). Tính $P = a + b + c$ ?
- A.
  $P = 9$
- B.
  $P = 12$
- C.
  $P = 15$
- D.
  $P = 17$
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị: $\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow x = \pm 1$

Do tính chất đối xứng của đồ thị nên

$S = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} ight) = 2\left( S_{1} + S_{2} ight)$

$S_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

$S_{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx}$ . Đặt $x = 2\sin t\Rightarrow dx = 2\cos tdt$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{2} \\\end{matrix} ight.$

Với $t \in \left\lbrack\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow \cos t \geq 0\Rightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = 2\sqrt{\cos^{2}t} = 2\cos t$

$S_{2} =\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{4\cos^{2}tdt} =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{2\cos^{2}tdt}$

$=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{(1 + \cos2t)dt} = \left. \ \left( t+ \frac{1}{2}\sin2t ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Suy ra $S = \frac{4\pi - \sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = 4;b = - 1;c = 6$

Vậy $P = a + b + c = 9$
Câu 10: Thông hiểu
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x}$ , thỏa mãn $F(0) = \frac{1}{\ln2}$ . Tính giá trị biểu thức $T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$ ?
- A.
  $T = 1009.\frac{2^{2019} +1}{\ln2}$
- B.
  $T = 2^{2019.2020}$
- C.
  $T = \frac{2^{2019} -1}{\ln2}$
- D.
  $T = \frac{2^{2020} - 1}{\ln2}$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{2^{x}dx} = \frac{2^{x}}{\ln2} + C$

$F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x}$ , ta có: $F(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} + C$ mà $F(0) = \frac{1}{\ln2}$

$\Rightarrow C = 0 \Rightarrow F(x) =\frac{2^{x}}{\ln2}$

$T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$

$T = \frac{1}{\ln2}\left( 1 + 2 + 2^{2} +.... + 2^{2018} + 2^{2019} ight)$

$T = \frac{1}{\ln2}.\frac{2^{2020} - 1}{2- 1} = \frac{2^{2020} - 1}{ln2}$
Câu 11: Thông hiểu
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1$ ?
- A.
  $S = 4ln2 + e - 5$
- B.
  $S = 4ln2 + e - 6$
- C.
  $S = e^{2} - 7$
- D.
  $S = e - 3$
Phương trình hoành độ giao điểm $e^{x} = 2 \Leftrightarrow x = ln2 \in (0;1)$

Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1$

$S = \int_{0}^{1}{\left| e^{x} - 2 ight|dx}$

$= - \int_{0}^{\ln2}{\left( e^{x} - 2ight)dx} + \int_{\ln2}^{1}{\left( e^{x} - 2 ight)dx}$

$= - \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{0}^{\ln2} + \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{\ln2}^{1}$

$= - (2 - 2\ln2 - 1) + (e - 2 - 2 +2\ln2)$

$= 4\ln2 + e - 5$
Câu 12: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$ ?
- A.
  $F(x) = - \ln|x| + \frac{1}{x} + C$
- B.
  $F(x) = \ln|x| - \frac{1}{x} + C$
- C.
  $F(x) = \ln|x| + \frac{1}{x} + C$
- D.
  $F(x) = - \ln|x| - \frac{1}{x} + C$
Ta có: $f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow F(x) = \ln|x| + \frac{1}{x} + C$
Câu 13: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}}$ là:
- A.
  $\frac{2}{e^{x} + 1} + C$ .
- B.
  $- \frac{2}{e^{x} + 1} + C$ .
- C.
  $\frac{- 1}{e^{x} + 1} + C$ .
- D.
  $\frac{1}{e^{x} + 1} + C$ .
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}}dx} = \int_{}^{}\frac{d\left( e^{x} + 1 ight)}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}} = - \frac{1}{e^{x} + 1} + C$ .
Câu 14: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x);y = g(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ . Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = f(x);y = g(x)$ và các đường thẳng $x = a;x = b$ . Diện tích hình $(H)$ được tính theo công thức?
- A.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx} - \int_{a}^{b}{\left| g(x) ight|dx}$
- B.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
- C.
  $S = \left| \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} ight|$
- D.
  $S = \int_{b}^{a}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Câu 15: Thông hiểu
Biết tích phân $I = \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = a\ln b + c$ trong đó $a;b;c$ là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức $a + b + c$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Ta có:

$I = \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = \int_{0}^{1}{\left( 1 - \frac{2x}{x^{2} + 1} ight)dx}$

$= \left. \ \left( x - \ln\left| x^{2} + 1 ight| ight) ight|_{0}^{1} = 1 - ln2$

Khi đó $a = - 1;b = 2;c = 1 \Rightarrow a + b + c = 2$
Câu 16: Thông hiểu
Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc $v_{0} = 18(m/s)$ thì tăng tốc với gia tốc $a(t) = t^{2} + 5t\left( m/s^{2} ight)$ . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian $3s$ kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
- A.
  $S = \frac{117}{4}m$
- B.
  $S = \frac{333}{4}m$
- C.
  $S = \frac{63}{2}m$
- D.
  $S = 126m$
Ta có:

$v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{\left( t^{2} + 5t ight)dt} = \frac{t^{3}}{3} + \frac{5t^{2}}{2} + C$

Do khi bắt đầu tăng tốc $v_{0} = 18$ nên $v_{(t = 0)} = 18 \Rightarrow C = 18$

$\Rightarrow v(t) = \frac{t^{3}}{3} + \frac{5t^{2}}{2} + 18$

Khi đó quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

$S = \int_{0}^{3}{v(t)dt} = \int_{0}^{3}{\left( \frac{t^{3}}{3} + \frac{5t^{2}}{2} + 18 ight)dt} = \frac{333}{4}(m)$
Câu 17: Thông hiểu
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_{1}(t) = 7t(m/s)$ . Đi được $5s$ người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a = - 70\left( m/s^{2} ight)$ . Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
- A.
  $95,70m$
- B.
  $96,25m$
- C.
  $87,50m$
- D.
  $94m$
Vận tốc vật đạt được sau 5s là: $v_{0} = 7.5 = 35(m/s)$

Ta có: $v_{2}(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{- 70dt} = - 70t + C$

Do khi bắt đầu tăng tốc $v_{0} = 35(m/s) \Rightarrow v_{(t = 0)} = 35 \Rightarrow C = 35$

$\Rightarrow v_{2}(t) = - 70t + 35$

Vật dừng hẳn khi $v_{2}(t) = - 70t + 35 = 0 \Rightarrow t_{2} = \frac{1}{2}(s)$

Khi đó quãng đường đi được bằng

$S = \int_{0}^{5}{v_{1}(t)dt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{v_{2}(t)dt}$

$= \int_{0}^{5}{7tdt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{( - 70t + 35)dt} = 96,25(m)$
Câu 18: Thông hiểu

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v = - 5t + 20(m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(m/s)$ . Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5\ s$ . Sai||Đúng

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $400\ m$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Một ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v = - 5t + 20(m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(m/s)$ . Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5\ s$ . Sai||Đúng

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $400\ m$ . Sai||Đúng

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(m/s)$ . Mệnh đề đúng

b) Cho $v = 0 \Leftrightarrow - 5t + 20 = 0 \Leftrightarrow t\ = \ 4\ (s)$ . Mệnh đề sai

c) $\int_{}^{}{( - 5t + 20)dt =}\frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Mệnh đề đúng

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $S = \int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = 40\ (m)$ . Mệnh đề sai
Câu 19: Thông hiểu
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x};y = 0;x = 1;x = e$ là $S = a\sqrt{2} + b$ . Tính giá trị $a^{2} + b^{2}$ ?
- A.
  $\frac{2}{3}$
- B.
  $\frac{4}{3}$
- C.
  $\frac{20}{9}$
- D.
  $2$
Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int_{1}^{e}{\left| \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x} ight|dx} = \int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x}dx}$

Đặt $\sqrt{1 + \ln x} = t \Rightarrow 1 + \ln x = t^{2} \Rightarrow \frac{dx}{x} = 2tdt$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó:

$S = \int_{1}^{\sqrt{2}}{2t^{2}dt} = \frac{4}{3}.\sqrt{2} - \frac{2}{3}$ hay $a = \frac{4}{3};b = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} = \frac{20}{9}$
Câu 20: Vận dụng cao

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\lbrack -1;1brack$ và $\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4$ . Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\lbrack -1;1brack$ và $\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4$ . Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

39 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!