Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Cho hai hàm số $f(x) = ax^{3} + bx + c;g(x) = bx^{3} + ax + c;(a > 0)$ có đồ thị như hình vẽ:

Gọi $S_{1};S_{2}$ là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi $S_{1} + S_{2} = 3$ thì $\int_{0}^{1}{f(x)dx}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3$
- B.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = - 3$
- C.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 6$
- D.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = - 6$
Phương trình hoành độ giao điểm

$(a - b)x^{3} + (b - a)x = 0$

$\Leftrightarrow (a - b)\left( x^{3} - x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Ký hiệu $S_{3}$ là diện tích hình phẳng như hình vẽ:

Ta có:

$S_{1} = \int_{- 1}^{0}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} = (a - b)\int_{- 1}^{0}{\left( x^{3} - x ight)dx} = \frac{1}{4}(a - b)$

$S_{2} = - \int_{- 1}^{0}{g(x)dx} = - \int_{- 1}^{0}{\left( bx^{3} + ax + c ight)dx} = - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight)$

Vì vậy $S_{1} + S_{2} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{4}(a - b) - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight) = 3$

$\Leftrightarrow a + 2b + 4c = - 12$

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{\left( ax^{3} + bx + c ight)dx} = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = \frac{a + 2b + 4c}{4} = - 3$
Câu 2: Vận dụng cao
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau $y = \sqrt{x};y =1$ và đườDng thẳng $x = 4$ (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng $y = 1$ bằng
- A.
  $\frac{9\pi}{2}$
- B.
  $\frac{119\pi}{6}$
- C.
  $\frac{7\pi}{6}$
- D.
  $\frac{21\pi}{2}$
Đặt $\left\{ \begin{matrix}X = x - 1 \\Y = y - 1 \\\end{matrix} ight.$ . Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ
Ta có: $y = \sqrt{x} \Leftrightarrow Y + 1= \sqrt{X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt{X + 1} - 1$
Thể tích cần tìm là
$V = \pi\int_{0}^{3}{\left( \sqrt{X + 1}- 1 ight)^{2}dX} = \pi\int_{0}^{3}{\left( X + 2 - 2\sqrt{X + 1}ight)dX}$
$= \pi\left. \ \left\lbrack\frac{1}{2}X^{2} + 2X - \frac{4}{3}(X + 1)\sqrt{X + 1} ightbrackight|_{0}^{3}$
$= \pi\left\lbrack \left( \frac{9}{2} + 6- \frac{32}{3} ight) - \left( - \frac{4}{3} ight) ightbrack =\frac{7\pi}{6}$
Câu 3: Nhận biết
Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{2x - 1}$ , biết rằng $F(1) = 2$ . Khi đó giá trị $F(2)$ là:
- A.
  $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 -2$
- B.
  $F(2) = \ln3 + 2$ .
- C.
  $F(2) = 2\ln3 - 2$
- D.
  $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)$

Mà $F(1) = 2 \Rightarrow C = 2$ . Vậy với $x > \frac{1}{2}$ thì $F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2$

Vậy $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2$ .
Câu 4: Thông hiểu
Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - \frac{1}{3}x + 1$ và trục hoành như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $S = \int_{- 1}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{3}{f(x)dx}$ .
- B.
  $S = 2\int_{1}^{3}{f(x)dx}$ .
- C.
  $S = 2\int_{- 1}^{1}{f(x)dx}$ .
- D.
  $S = \int_{- 1}^{3}{\left| f(x) ight|dx}$ .
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục hoành là:

$\frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - \frac{1}{3}x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Từ hình vẽ ta thấy $\left\{ \begin{matrix} f(x) > 0;\forall x \in ( - 1;1) \\ f(x) < 0;\forall x \in (1;3) \\ \end{matrix} ight.$

Do đó $S = \int_{- 1}^{3}{\left| f(x) ight|dx} = \int_{- 1}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{3}{f(x)dx} = 2\int_{- 1}^{1}{f(x)dx}$

Vậy mệnh đề sai là: $S = 2\int_{1}^{3}{f(x)dx}$
Câu 5: Nhận biết
Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = - 12t + 24(m/s)$ trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
- A.
  $18m$
- B.
  $15m$
- C.
  $20m$
- D.
  $24m$
Khi dừng hẳn $v(t) = - 12t + 24 = 0 \Rightarrow t = 2(s)$

Do đó từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được:

$S = \int_{0}^{2}{v(t)dt} = \int_{0}^{2}{( - 12t + 24)dt} = 24m$
Câu 6: Nhận biết
Vật thể $B$ giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình $x = 0$ và $x = 2$ . Cắt vật thể $B$ với mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $x;(0 \leq x \leq 2)$ ta được thiết diện có diện tích bằng $x^{2}(2 - x)$ . Thể tích của vật thể $B$ :
- A.
  $V = \frac{2\pi}{3}$
- B.
  $V = \frac{2}{3}$
- C.
  $V = \frac{4}{3}$
- D.
  $V = \frac{4\pi}{3}$
Thể tích của vật thể B là:

$V = \int_{0}^{2}{x^{2}(2 - x)dx} = \int_{0}^{2}{\left( 2x^{2} - x^{3} ight)dx} = \frac{4}{3}$
Câu 7: Nhận biết
Xác định nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x + 5$ ?
- A.
  $F(x) = x^{2} + 5x + C$
- B.
  $F(x) = 2x^{2} + 5x + C$
- C.
  $F(x) = x^{2} + 5x$
- D.
  $F(x) = x^{2} + C$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x + 5)dx} = x^{2} + 5x + C$
Câu 8: Vận dụng
Biết rằng $F(x)$ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x^{2}(x +1)}$ thỏa mãn $F(1) + F( - 2) = \frac{1}{2}$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $F(2) + F( -3) =\frac{1}{3}$
- B.
  $F(2) + F( -3) = \frac{5}{6} +\ln2$
- C.
  $F(2) + F( -3) = \frac{1}{3} +\ln2$
- D.
  $F(2) + F( -3) =\frac{5}{6}$
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta có:
$f(x) = \frac{1}{x^{2}(x + 1)} =\frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ $= \frac{(A + C)x^{2} +(A + B)x + B}{x^{2}(x + 1)}$
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}A + C = 0 \\A + B = 0 \\B = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = 1 \\C = 1 \\\end{matrix} ight.$
$F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\left( - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1}ight)dx}$
$\Rightarrow F(x) = - \ln|x| -\frac{1}{x} + \ln|x + 1| + C = \ln\left| \frac{x + 1}{x} ight| -\frac{1}{x} + C$
Khi đó $F(x) = \left\{ \begin{matrix}\ln\dfrac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{1};x \in (0; + \infty) \\\ln\dfrac{- x - 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{2};x \in ( - 1;0) \\\ln\frac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{3};x \in ( - \infty; - 1) \\\end{matrix} ight.$
Mà $F(1) + F( - 2) =\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \ln2 - 1 + C_{1} +\ln\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + C_{3} = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow C_{1} + C_{3} =1$
Vậy $T = F(2) + F( - 3) = \ln\frac{3}{2} -\frac{1}{2} + C_{1} + \ln\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + C_{3} =\frac{5}{6}$
Câu 9: Thông hiểu
Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ và thỏa mãn $0 < g(x) < f(x),\forall x \in \lbrack a;bbrack$ . Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh $Ox$ hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường: $y = f(x),y = g(x),x = a,x = b$ . Khi đó $V$ được tính bởi công thức nào sau đây?
- A.
  $V = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
- B.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f^{2}(x) - g^{2}(x) ightbrack dx}$
- C.
  $V = \left( \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} ight)^{2}$
- D.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack^{2}dx}$
Ta cần nhớ lại công thức sau: Cho hai hàm số $y = f(x),y = g(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ . Khi đó thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi $y = f(x),y = g(x)$ (với $0 < g(x) < f(x)$ ) và hai đường thẳng $x = a,x = b$ khi quay quanh trục $Ox$ là $V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f^{2}(x) - g^{2}(x) ightbrack dx}$ .
Câu 10: Nhận biết
Cho hình vẽ:

Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ được xác định theo công thức:
- A.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( 2x^{2} - 2x - 4 ight)dx}$
- B.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( 2x^{2} + 2x - 4 ight)dx}$
- C.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} + 2x + 4 ight)dx}$
- D.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} - 2x + 4 ight)dx}$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy công thức tính diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int_{- 1}^{2}{\left( - x^{2} + 3 - x^{2} + 2x + 1 ight)dx} = \int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} + 2x + 4 ight)dx}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian $t(s)$ là $a(t) = 2t - 7\left( m/s^{2} ight)$ . Biết vận tốc đầu bằng $10(m/s)$ . Hỏi trong $6$ giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?
- A.
  $5s$
- B.
  $6s$
- C.
  $1s$
- D.
  $2s$
Ta có:

Vận tốc của vật được tính theo công thức: $v(t) = 10 + t^{2} - 7t(m/s)$

Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức: $S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} = \frac{t^{3}}{3} - \frac{7}{2}t^{2} + 10t$

Ta có: $S'(t) = t^{2} - 7t + 10 \Rightarrow S'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \\ t = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix}S(0) = 0 \\S(2) = \dfrac{26}{3} \\S(5) = \dfrac{25}{6} \\S(6) = 6 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \underset{\lbrack 0;6brack}{\max S(t) = S(2)} = \dfrac{26}{3}$

Vậy thời điểm chất điểm ở xa nhất về phía bên phải là 2s.
Câu 12: Nhận biết

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc $72$ $km/h$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $45\ \ m$ . Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t) = - 12t + 24\ \ (m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quảng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Quảng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$ . Đúng||Sai

b) Quãng đường $s(t) = - 12t^{2} + 24t$ . Đúng||Sai

c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là $10$ giây. Sai||Đúng

d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

Đáp án là:

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc $72$ $km/h$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $45\ \ m$ . Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t) = - 12t + 24\ \ (m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quảng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Quảng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$ . Đúng||Sai

b) Quãng đường $s(t) = - 12t^{2} + 24t$ . Đúng||Sai

c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là $10$ giây. Sai||Đúng

d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

Do $s'(t) = v(t)$ nên quãng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t)$ . Ta có: $\int_{}^{}{( - 12t + 24)}dt = - 6t^{2} + 24t + C$ với $C$ là hằng số.

Khi đó, ta gọi hàm số $s(t) = - 6t^{2} + 24t + C$ .

Do $s(0) = 0$ nên $C = 0$ . Suy ra $s(t) = - 6t^{2} + 24t$ .

Xe ô tô dừng hẳn khi $v(t) = 0$ hay $- 12t + 24 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ . Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ $72\ km/h = 20\ m/s$ .

Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: $s(2) = - 6.2^{2} + 24.2 = 24(\ m)$ .

Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: $20 + 24 \approx 44\ (\ m)$ .

Do $44 < 45$ nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.
Câu 13: Thông hiểu
Kí hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^{2} - ax$ với trục hoành ( $a eq 0$ ). Quay hình $(H)$ xung quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích $V = \frac{16\pi}{15}$ . Tìm $a$ ?
- A.
  $a = \pm 1$
- B.
  $a = 1$
- C.
  $a = 2$
- D.
  $a = \pm 2$
Phương trình hoành độ giao điểm

$x^{2} - ax = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = a \\ \end{matrix} ight.$

Trường hợp 1: Với $a > 0$ thì thể tích khối tròn xoay là:

$V = \pi\int_{0}^{a}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{a} = \frac{a^{5}\pi}{30}$

$\Rightarrow \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = 2$

Trường hợp 2: Với $a < 0$ thì thể tích khối tròn xoay là:

$V = \pi\int_{a}^{0}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{a}^{0} = - \frac{a^{5}\pi}{30}$

$\Rightarrow - \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = - 2$

Vậy $a = \pm 2$ .
Câu 14: Thông hiểu
Hàm số $y = f(x)$ có một nguyên hàm là $F(x) = e^{2x}$ . Tìm nguyên hàm của hàm số $\frac{f(x) + 1}{e^{x}}$ ?
- A.
  $\frac{1}{2}e^{x} - e^{- x} + C$
- B.
  $e^{x} - e^{- x} + C$
- C.
  $2e^{x} - e^{- x} + C$
- D.
  $2e^{x} + e^{- x} + C$
Ta có: $f(x) = F'(x) = \left( e^{2x} ight)' = 2.e^{2x}$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f(x) + 1}{e^{x}}dx} = \int_{}^{}{\frac{2e^{2x} + 1}{e^{x}}dx}$

$= 2e^{x} - e^{- x} + C$
Câu 15: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = 3x^{2} - 1$ . Phát biểu nào sau đây đúng?
- A.
  $f(x) = x^{3} + C$ .
- B.
  $\frac{x^{3}}{3} + x + C$ .
- C.
  $6x + C$ .
- D.
  $x^{3} - x + C$ .
Ta có $\int_{}^{}{\left( 3x^{2} - 1 ight)dx = x^{3} - x + C}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}}$ là:
- A.
  $\frac{3}{4}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
- B.
  $\frac{2}{3}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
- C.
  $\frac{x}{2(x + 1)\sqrt{x + 1}} + C$
- D.
  $\sqrt{x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} + C$
Đặt $t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\left( \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{t^{2} + 1}{t} ight)2tdt} = \int_{}^{}{\left( 2t^{2} + 2 ight)dt} = \frac{2t^{3}}{3} + 2t + C$

$= \frac{2(x + 1)\sqrt{x + 1}}{3} + 2\sqrt{x + 1} + C = \frac{2}{3}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
Câu 17: Thông hiểu
Biết tích phân $I = \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = a\ln b + c$ trong đó $a;b;c$ là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức $a + b + c$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Ta có:

$I = \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = \int_{0}^{1}{\left( 1 - \frac{2x}{x^{2} + 1} ight)dx}$

$= \left. \ \left( x - \ln\left| x^{2} + 1 ight| ight) ight|_{0}^{1} = 1 - ln2$

Khi đó $a = - 1;b = 2;c = 1 \Rightarrow a + b + c = 2$
Câu 18: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x}$ , biết rằng đồ thị hàm số $F(x)$ có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành?
- A.
  $e^{x^{3} - 3x} - e^{2}$
- B.
  $\frac{e^{x^{3} - 3x + 2} - 1}{3e^{2}}$
- C.
  $\frac{e^{x^{3} - 3x} - e^{2}}{3}$
- D.
  $\frac{e^{x^{3} - 3x} - 1}{3}$
Ta có:

$F(x) = \int_{}^{}{\left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x}dx} = \frac{1}{3}\int_{}^{}{e^{x^{3} - 3x}d\left( x^{3} - 3x ight)}$

$= \frac{1}{3}e^{x^{3} - 3x} + C$

Mà $F'(x) = f(x) = \left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

$F''(x) = 2xe^{x^{3} - 3x} + \left( x^{2} - 1 ight)e^{x^{3} - 3x};F''(1) > 0;F''(1) < 0$

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là $A(1;0)$

Suy ra $F(1) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}e^{- 2} + C = 0 \Rightarrow C = - \frac{1}{3e^{2}}$

Do đó $F(x) = \frac{e^{x^{3} - 3x + 2} - 1}{3e^{2}}$
Câu 19: Thông hiểu
Anh A xuất phát từ D, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v(t) = \frac{t^{2}}{180} + \frac{11t}{18}(m/s)$ trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc anh A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, anh B cũng xuất phát từ D, chuyển động thẳng cùng hướng với anh A nhưng chậm hơn $5$ giây so với anh A và có gia tốc bằng $a\left( m/s^{2} ight)$ ( $a$ là hằng số). Sau khi anh B xuất phát được $10$ giây thì đuổi kịp anh A. Vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A bằng bao nhiêu?
- A.
  $22m/s$
- B.
  $15m/s$
- C.
  $10m/s$
- D.
  $7m/s$
Quãng đường anh A đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:

$S = \int_{0}^{15}{\left( \frac{t^{2}}{180} + \frac{11t}{18} ight)dt} = 75(m)$

Vận tốc của anh B tại thời điểm $t(s)$ tính từ lúc anh B xuất phát là: $v_{B}(t) = at$

Quãng đường anh B đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:

$S = \int_{0}^{10}{(at)dt} = \left. \ \left( \frac{at^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{10} = 50a(m)$

$\Rightarrow 50a = 75 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$

Vậy vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A là: $v_{B}(20) = 10a = 15(m/s)$
Câu 20: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ và thỏa mãn $f(0) = 0$ . Biết rằng $\int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \frac{9}{2}$ và $\int_{0}^{1}{f'(x)\cos\frac{\pi x}{2}}dx= \frac{3\pi}{4}$ . Tích phân $\int_{0}^{1}{f(x)d(x)}$ bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ và thỏa mãn $f(0) = 0$ . Biết rằng $\int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \frac{9}{2}$ và $\int_{0}^{1}{f'(x)\cos\frac{\pi x}{2}}dx= \frac{3\pi}{4}$ . Tích phân $\int_{0}^{1}{f(x)d(x)}$ bằng bao nhiêu?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

45 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!