Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Cho $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{e^{x} + 3}$ thỏa mãn $F(0) = - \frac{1}{3}ln4$ . Tổng các nghiệm của phương trình $3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2$ là:
- A.
  $2$
- B.
  $0$
- C.
  $- 2$
- D.
  $4$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{e^{x} + 3} ight)dx} = \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx}$

Đặt $t = e^{x} \Rightarrow dt = e^{x}dx$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx} = \int_{}^{}{\frac{t}{t(t + 3)}dt}$

$= \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{1}{3t} - \frac{1}{3(t + 3)} ightbrack dt} = \frac{\ln|t|}{3} - \frac{\ln|t + 3|}{3} + C$

$= \frac{\ln e^{x}}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C$

Theo bài ra ta có:

$F(0) = - \frac{1}{3}\ln4$

$\Leftrightarrow \frac{x}{3} -\frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = -\frac{1}{3}\ln4$

$\Leftrightarrow C = 0$

Ta có:

$3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2$

$\Leftrightarrow 3\left( \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} ight) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2$

$\Leftrightarrow x = 2$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 2.
Câu 2: Thông hiểu
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}}$ là:
- A.
  $\frac{3}{4}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
- B.
  $\frac{2}{3}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
- C.
  $\frac{x}{2(x + 1)\sqrt{x + 1}} + C$
- D.
  $\sqrt{x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} + C$
Đặt $t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\left( \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{t^{2} + 1}{t} ight)2tdt} = \int_{}^{}{\left( 2t^{2} + 2 ight)dt} = \frac{2t^{3}}{3} + 2t + C$

$= \frac{2(x + 1)\sqrt{x + 1}}{3} + 2\sqrt{x + 1} + C = \frac{2}{3}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
Câu 3: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{(2x - 1)^{2}}$ ?
- A.
  $\frac{1}{2 - 4x} + C$
- B.
  $- \frac{1}{(2x - 1)^{2}} + C$
- C.
  $\frac{1}{4x - 2} + C$
- D.
  $- \frac{1}{2x - 1} + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\frac{1}{(2x -1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{(2x - 1)^{- 1}dx}$

$= - \frac{1}{2}.\frac{1}{2x -2} + C = \frac{1}{2 - 4x} + C$
Câu 4: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x);y = g(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ . Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = f(x);y = g(x)$ và các đường thẳng $x = a;x = b$ . Diện tích hình $(H)$ được tính theo công thức?
- A.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx} - \int_{a}^{b}{\left| g(x) ight|dx}$
- B.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
- C.
  $S = \left| \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} ight|$
- D.
  $S = \int_{b}^{a}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Câu 5: Vận dụng cao

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Đáp án là:

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Cả hai bên cầu có tất cả $2.10 = 20$ nhịp cầu.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc $O(0;0)$ là chân cầu, đỉnh $I(25;2)$ , điểm $A(50;0)$

Gọi Parabol phía trên có phương trình: $\left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c = ax^{2} + bx$ (vì $O \in \left( P_{1} ight)$ )

$\Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx - \frac{1}{5}$ là phương trình parabol phía dưới

(Vì bề dày nhịp cầu là $20cm = \frac{1}{5}m$ )

Ta có $I,A \in \left( P_{1} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 25^{2}a + 25b = 2 \\ 50^{2}a + 50b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{2}{625} \\ b = \frac{4}{25} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\ \ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x - \frac{1}{5}$

Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi $y_{1};y_{2}$ và trục Ox nên ta có:

$S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx + \int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}$

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là $S.0,2 \approx 1,985m^{3}.$

Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là $V = 20.S.0,2 \approx 40m^{3}$
Câu 6: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ 0ight\}$ thỏa mãn $2xf(x) +x^{2}f'(x) = 1$ và $f(1) =0$ . Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại giao điểm với trục hoành là:
- A.
  $1$
- B.
  $-1$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Ta có: $2xf(x) + x^{2}f'(x) =1$
$\Leftrightarrow \left( x^{2}ight)'f(x) + x^{2}f'(x) = 1$
$\Leftrightarrow \left( x^{2}f'(x)ight)' = 1$
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
$\int_{}^{}{\left( x^{2}f'(x)ight)'dx} = \int_{}^{}{1dx} \Leftrightarrow x^{2}f(x) = x +C$
Lại có $f(1) = 0 \Rightarrow 1.f(1) = 1 +C \Rightarrow C = - 1$
Từ đó suy ra $x^{2}f(x) = x - 1\Leftrightarrow f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x - 1}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x =1(tm)$
Ta có: $f'(x) = \frac{2 - x}{x^{3}}\Rightarrow f'(1) = 1$
Vậy hệ số góc phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1.
Câu 7: Thông hiểu
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi Parabol $y = \frac{x^{2}}{12}$ và đường cong có phương trình $y = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ như hình vẽ:

Diện tích của hình phẳng $(H)$ bằng:
- A.
  $\frac{4\pi + \sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{4\sqrt{3} + \pi}{6}$
- C.
  $\frac{8\pi + 2\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\frac{4\pi + \sqrt{3}}{6}$
Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{x^{2}}{12} = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt{3}$

Diện tích hình phẳng $(H)$ bằng:

$S = 2\int_{0}^{2\sqrt{3}}{\left\lbrack \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} - \frac{x^{2}}{12} ightbrack dx}$

$= \int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} - \frac{1}{6}\int_{0}^{2\sqrt{3}}{x^{2}dx}$

$= \int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} + \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Đặt $x = 4\sin t$

$\Rightarrow\int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{16\cos^{2}tdt} = \frac{8\pi}{3} +2\sqrt{3}$

$\Rightarrow S = \frac{8\pi + 2\sqrt{3}}{3}$
Câu 8: Vận dụng cao

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\lbrack -1;1brack$ và $\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4$ . Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\lbrack -1;1brack$ và $\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4$ . Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 9: Thông hiểu
Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ và thỏa mãn $0 < g(x) < f(x),\forall x \in \lbrack a;bbrack$ . Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh $Ox$ hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường: $y = f(x),y = g(x),x = a,x = b$ . Khi đó $V$ được tính bởi công thức nào sau đây?
- A.
  $V = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
- B.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f^{2}(x) - g^{2}(x) ightbrack dx}$
- C.
  $V = \left( \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} ight)^{2}$
- D.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack^{2}dx}$
Ta cần nhớ lại công thức sau: Cho hai hàm số $y = f(x),y = g(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ . Khi đó thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi $y = f(x),y = g(x)$ (với $0 < g(x) < f(x)$ ) và hai đường thẳng $x = a,x = b$ khi quay quanh trục $Ox$ là $V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f^{2}(x) - g^{2}(x) ightbrack dx}$ .
Câu 10: Thông hiểu

Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay, biết đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là $2dm$ và $4dm$ . Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay có đường sinh là đồ thị hàm số $y = \sqrt{x - 1}$ . Tính thể tích bình cắm hoa?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay, biết đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là $2dm$ và $4dm$ . Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay có đường sinh là đồ thị hàm số $y = \sqrt{x - 1}$ . Tính thể tích bình cắm hoa?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 11: Nhận biết
Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng $x = a;x = b;\left( {a < b} ight)$ xung quanh trục Ox.
- A.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{f(x)dx}$
- B.
  $V = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}dx}$
- C.
  $V = \int_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}$
- D.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}$
Ta có : $V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx.$
Câu 12: Vận dụng

Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng $100m$ , trục nhỏ bằng $80m$ được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là $200$ mỗi $m^{2}$ trồng cây con và $4000$ mỗi $m^{2}$ trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng $100m$ , trục nhỏ bằng $80m$ được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là $200$ mỗi $m^{2}$ trồng cây con và $4000$ mỗi $m^{2}$ trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 13: Thông hiểu
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để tồn tại tích phân $\int_{1}^{1 + m}\frac{dx}{x(x - 5)(x - 4)}$ ?
- A.
  $m \in ( - 1;3)$
- B.
  $m \in ( - \infty; - 1)$
- C.
  $m\mathbb{\in R}\backslash\left\{ 4;5 ight\}$
- D.
  $m \in ( - \infty;3)$
Tích phân $\int_{1}^{1 + m}\frac{dx}{x(x - 5)(x - 4)}$ tồn tại khi và chỉ khi hàm số $y = \frac{1}{x(x - 5)(x - 4)}$ liên tục trên $\lbrack 1;1 + mbrack$ hoặc $\lbrack 1 + m;1brack$

Mà hàm số $y = \frac{1}{x(x - 5)(x - 4)}$ liên tục trên các khoảng $( - \infty;0),(0;4),(4;5),(5; + \infty)$

Nên hàm số $y = \frac{1}{x(x - 5)(x - 4)}$ liên tục trên $\lbrack 1;1 + mbrack$ hoặc $\lbrack 1 + m;1brack$ khi và chỉ khi

$0 < 1 + m < 4 \Leftrightarrow - 1 < m < 3 \Rightarrow m \in ( - 1;3)$ .
Câu 14: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = x^{5}$ .Phát biểu nào sau đây đúng?
- A.
  $5x^4+C$ .
- B.
  $\frac{1}{6}x^6+C$ .
- C.
  $x^6+C$ .
- D.
  $6x^6+C$ .
Ta có $\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}} ight)\mathbf{'}\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{5}}$

Vậy đáp án cần tìm là: $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}\mathbf{+ C}$ .
Câu 15: Thông hiểu
Một vật chuyển động với vận tốc $10(m/s)$ thì tăng tốc với gia tốc $a(t) = 3t + t^{2}\left( m/s^{2} ight)$ Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $10$ giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
- A.
  $S = \frac{4000}{3}m$
- B.
  $S = \frac{4350}{3}m$
- C.
  $S = \frac{4300}{3}m$
- D.
  $S = 1433m$
Ta có:

$v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{\left( 3t + t^{2} ight)dt} = \frac{t^{3}}{3} + \frac{3}{2}t^{2} + C$

Do khi bắt đầu tăng tốc $v_{0} = 10 \Rightarrow v_{(t = 0)} = 10 \Rightarrow C = 10$

$\Rightarrow v(t) = \frac{t^{3}}{3} + \frac{3}{2}t^{2} + 10$

Khi đó quãng đường đi được bằng

$S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} = \int_{0}^{10}{\left( \frac{t^{3}}{3} + \frac{3}{2}t^{2} + 10 ight)dt} = \frac{4300}{3}(m)$
Câu 16: Nhận biết
Một vật chuyển động với vận tốc $v(t) = \frac{6}{5} + \frac{t^{2} + 4}{t + 3}(m/s)$ . Tính quãng đường vật đó đi được trong $4$ giây đầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).?
- A.
  $1,64m$
- B.
  $11,01m$
- C.
  $11,81m$
- D.
  $11,18m$
Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu là:

$S = \int_{0}^{4}{v(t)dt} = \int_{0}^{4}{\left( \frac{6}{5} + \frac{t^{2} + 4}{t + 3} ight)dt} \approx 11,81(m)$ .
Câu 17: Thông hiểu

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left( \sin xight)dx} = 2\int_{0}^{1}{x.f(x)dx}$ Đúng||Sai

b) $\int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx}$ Đúng||Sai

c) $\int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{x.f(x)dx}$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left( \sin xight)dx} = 2\int_{0}^{1}{x.f(x)dx}$ Đúng||Sai

b) $\int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx}$ Đúng||Sai

c) $\int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{x.f(x)dx}$ Đúng||Sai

Ta có:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left(\sin x ight)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{2\sin x.\cos x.f\left( \sin xight)dx}$

Đặt $t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0 \\x = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\\end{matrix} ight.$ từ đó ta có:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left(\sin x ight)dx} = \int_{0}^{1}{2tf(t)dt} =2\int_{0}^{1}{2xf(x)dx}$

Ta có: $\int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx}$

Đặt $t = e^{x} \Rightarrow dt = e^{x}dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = e \\ \end{matrix} ight.$ từ đó ta có:

$\int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x} ight)}{e^{x}}dx} = \int_{0}^{e}{\frac{f(t)}{t^{2}}dt} = \int_{0}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx}$

Ta có: $\int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx}$

Đặt $t = x^{2} \Rightarrow dt = 2xdx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = a \Rightarrow t = a^{2} \\ \end{matrix} ight.$ từ đó ta có:

$\int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2} ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{tf(t)}dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{xf(x)}dx$
Câu 18: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4x\left( 1 + \ln x ight)$ là:
- A.
  $2x^{2}\ln x + 3x^{2}$
- B.
  $2x^{2}\ln x + x^{2}$
- C.
  $2x^{2}\ln x + 3x^{2} + C$
- D.
  $2x^{2}\ln x + x^{2} + C$
Ta có: $\left\{ \begin{gathered} u = 1 + \ln x \hfill \\ dv = 4xdx \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} du = \frac{1}{x}dx \hfill \\ v = 2{x^2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Khi đó $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{4x\left( 1 + \ln x ight)dx} = \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - \int_{}^{}{2xdx}$

$= \left( 1 + \ln x ight)2x^{2} - x^{2} + C = x^{2}(1 + 2lnx) + C$
Câu 19: Thông hiểu
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x}$ , thỏa mãn $F(0) = 2020$ . Tính giá trị biểu thức $T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$ ?
- A.
  $T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2019.2020$
- B.
  $T = \frac{e^{2019} - 1}{e - 1} + 2018.2019$
- C.
  $T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2020^{2}$
- D.
  $T = \frac{e^{2019} - 1}{e - 1} + 2019^{2}$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C$

$F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x}$ , ta có: $F(x) = e^{x} + C$ mà $F(0) = 2020$

$\Rightarrow C = 2019 \Rightarrow F(x) = e^{x} + 2019$

$T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$

$T = 1 + e + e^{2} + .... + e^{2018} + e^{2019} + 2019.2020$

$T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2019.2020$ .
Câu 20: Nhận biết
Giá trị của $D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx}$ bằng
- A.
  $0$
- B.
  $2^{2017} + 1$
- C.
  $2^{2017} - 1$
- D.
  $1$
Ta có:

$D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} = \left. \ \left( x^{2019} - x ight) ight|_{0}^{1} = 0$

62 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!