Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{x}$ trên $( - \infty;0)$ thỏa mãn $F( - 2) = 0$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $F(x) = \ln\left( - \frac{x}{2} ight);\forall x \in ( - \infty;0)$
- B.
  $F(x) = \ln|x| + C;\forall x \in ( - \infty;0)$ với $C$ là một số thực bất kì.
- C.
  $F(x) = \ln|x| + ln2;\forall x \in ( - \infty;0)$
- D.
  $F(x) = \ln( - x) + C;\forall x \in ( - \infty;0)$ với $C$ là một số thực bất kì.
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{x}dx} = \ln|x| + C = \ln( - x) + C;\forall x \in ( - \infty;0)$

Lại có $F( - 2) = 0 \Leftrightarrow \ln(2) + C = 0 \Rightarrow C = - ln2$

Do đó $F(x) = \ln( - x) - ln2 = \ln\left( - \frac{x}{2} ight)$

Vậy $F(x) = \ln\left( - \frac{x}{2} ight);\forall x \in ( - \infty;0)$ .
Câu 2: Vận dụng
Biết $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}}$ . Hỏi đồ thị của hàm số $y = F(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Vì $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}}$ nên suy ra $F'(x) = f(x) = \frac{x - \cos x}{x^{2}}$

Ta có: $F'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x - \cos x}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - \cos x = 0 \\ x \in \lbrack - 1;1brack\backslash\left\{ 0 ight\} \\ \end{matrix} ight.\ (1)$

Xét hàm số $g(x) = x - \cos x$ trên $\lbrack - 1;1brack$ , ta có: $g'(x) = 1 + \sin x \geq 0;\forall x \in \lbrack - 1;1brack$ suy ra hàm số $g(x)$ đồng biến trên $\lbrack - 1;1brack$ .

Vậy phương trình $g(x) = x - \cos x = 0$ có nhiều nhất một nghiệm trên $\lbrack - 1;1brack$ (2)

Mặt khác ta có hàm số $g(x) = x - \cos x$ liên tục trên $(0;1)$ và $\left\{ \begin{matrix} g(0) = 0 - cos0 = - 1 < 0 \\ g(1) = 1 - cos1 > 0 \\ \end{matrix} ight.$ nên $g(0)g(1) < 0$ .

Suy ra tồn tại $x_{0} \in (0;1)$ sao cho $g\left( x_{0} ight) = 0$ (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra phương trình $F'(x) = 0$ có nghiệm duy nhất $x_{0} eq 0$ .

Đồng thời vì $x_{0}$ là nghiệm bội lẻ nên $F'(x)$ đổi dấu qua $x = x_{0}$

Vậy đồ thị hàm số $y = F(x)$ có một điểm cực trị.
Câu 3: Thông hiểu
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{2} + |x|;y = x^{2} + 1$ được cho bởi công thức nào sau đây?
- A.
  $\int_{- 1}^{0}{( - x - 1)dx} +\int_{0}^{1}{(x - 1)dx}$
- B.
  $\left| \int_{- 1}^{0}{( - x - 1)dx}ight| + \left| \int_{0}^{1}{(x - 1)dx} ight|$
- C.
  $\int_{- 1}^{1}{\left( |x| - 1ight)dx}$
- D.
  $\int_{- 1}^{0}{(x - 1)dx} +\int_{0}^{1}{( - x - 1)dx}$
Ta có: $y = x^{2} + |x| = \left\{\begin{matrix}x^{2} + x;\ \ x \geq 0 \\x^{2} - x;\ \ x \leq 0 \\\end{matrix} ight.$
Với $x \geq 0 \Rightarrow x^{2} + x =x^{2} + 1 \Leftrightarrow x = 1$
Với $x \leq 0 \Rightarrow x^{2} - x =x^{2} + 1 \Leftrightarrow x = - 1$
Ta có:
$S = \left| \int_{- 1}^{0}{( - x - 1)dx}ight| + \left| \int_{0}^{1}{(x - 1)dx} ight|$
Câu 4: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) =\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}$ ?
- A.
  $e^{\tan x} + C$
- B.
  $e^{- \tan x} + C$
- C.
  $\tan x.e^{\tan x} + C$
- D.
  $- e^{\tan x} + C$
Đặt $t = \tan x \Rightarrow dt =\frac{1}{\cos^{2}x}dx$

$\int_{}^{}{\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx} = \int_{}^{}{e^{t}dt} = e^{t} + C = e^{\tan x} +C$
Câu 5: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack 0;10brack$ và $\int_{0}^{10}{f(x)dx} = 7$ và $\int_{2}^{6}{f(x)dx} = 3$ . Tính $F = \int_{0}^{2}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}$ ?
- A.
  $F = - 4$
- B.
  $F = 10$
- C.
  $F = 7$
- D.
  $F = 4$
Ta có: $\int_{0}^{10}{f(x)dx} = \int_{0}^{2}{f(x)dx} + \int_{2}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}$

$\Rightarrow F = \int_{0}^{2}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx} = \int_{0}^{10}{f(x)dx} - \int_{2}^{6}{f(x)dx} = 7 - 3 = 4$
Câu 6: Nhận biết
Giá trị của tích phân $\int_{- 1}^{0}{e^{x + 1}dx}$ bằng:
- A.
  $1 - e$
- B.
  $e - 1$
- C.
  $- e$
- D.
  $e$
Ta có: $\int_{- 1}^{0}{e^{x + 1}dx} = \left. \ e^{x + 1} ight|_{- 1}^{0} = e^{1} - e^{0} = e - 1$ .
Câu 7: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) =2\sin x.\cos2x$ là:
- A.
  $- \frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- B.
  $\frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- C.
  $\frac{1}{3}\cos3x - \cos x +C$
- D.
  $- \cos3x + \cos x +C$
Ta có: $f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x$

Khi đó:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}$

$= \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C$
Câu 8: Thông hiểu
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
- A.
  $\int_{- 1}^{1}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{- 1}^{1}{x^{3}dx} ight|$
- B.
  $\int_{- 1}^{2018}{\left| x^{4} - x^{2} + 1 ight|^{3}dx} = \int_{- 1}^{2018}{\left( x^{4} - x^{2} + 1 ight)^{3}dx}$
- C.
  $\int_{- 2}^{3}{\left| e^{x}(x + 1) ight|dx} = \int_{- 2}^{3}{e^{x}(x + 1)^{3}dx}$
- D.
  $\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1 - cos^{2}x}dx} = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx}$
Ta có: $x^{4} - x^{2} + 1 = \left( x^{2} - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0;\forall x\mathbb{\in R}$

Do $\int_{- 1}^{2018}{\left| x^{4} - x^{2} + 1 ight|^{3}dx} = \int_{- 1}^{2018}{\left( x^{4} - x^{2} + 1 ight)^{3}dx}$
Câu 9: Thông hiểu
Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ cho elip $(E)$ có phương trình $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . Hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi nửa elip nằm trên trục hoành và trục hoành. Quay hình $(H)$ xung quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay, tính thể tích khối tròn xoay đó?
- A.
  $V = 60\pi$
- B.
  $V = 30\pi$
- C.
  $V = \frac{1188\pi}{25}$
- D.
  $V = \frac{1416\pi}{25}$
Ta có: $\frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{25} \Rightarrow y = \sqrt{9\left( 1 - \frac{x^{2}}{25} ight)}$ với $x \in \lbrack - 5;5brack$

Khi đó thể tích cần tìm là: $V = \pi\int_{- 5}^{5}{\left( 9 - \frac{9x^{2}}{25} ight)dx} = 60\pi$
Câu 10: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = f(x)$ dương và liên tục trên $\lbrack 1;3brack$ thỏa mãn $\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = 2;\min_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \frac{1}{2}$ và biểu thức $S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx}$ đạt giá trị lớn nhất, khi đó $\int_{1}^{3}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $\frac{7}{2}$
- B.
  $\frac{5}{2}$
- C.
  $\frac{7}{5}$
- D.
  $\frac{3}{5}$
Do $\frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2 \Rightarrow f(x) + \frac{1}{f(x)} \leq \frac{5}{2}$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + \frac{1}{f(x)} ightbrack dx} \leq 5$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{f(x)dx} + \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5 - \int_{1}^{3}{f(x)dx}$

$\Rightarrow S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx} ightbrack^{2}$

$\leq \frac{25}{4} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx - \frac{5}{2}} ightbrack^{2} \leq \frac{25}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\int_{1}^{3}{f(x)dx} = \frac{5}{2}$ .
Câu 11: Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường tròn $(C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} =1$ .
Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn $(C)$ quanh trục hoành.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường tròn $(C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} =1$ .
Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn $(C)$ quanh trục hoành.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 12: Vận dụng cao

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ và $y = k$ , với $0 < k < 1$ . Tìm $k$ để diện tích hình phẳng $(H)$ gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,59

Đáp án là:

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ và $y = k$ , với $0 < k < 1$ . Tìm $k$ để diện tích hình phẳng $(H)$ gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,59

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $(H)$ . Lúc dó $S = 2S_{1} + 2S_{2}$ , trong đó $S_{1}$ là diện tích phần gạch sọc ở bên phải $Oy$ và $S_{2}$ là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

Gọi $A,B$ là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng $y = k$ và đồ thị hàm số $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ , trong đó $A\left( \sqrt{1 - k};k ight)$ và $B\left( \sqrt{1 + k};k ight)$ .

Thco yêu cầu bài toán $S = 2 \cdot 2S_{1} \Leftrightarrow S_{1} = S_{2}$ .

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 - k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\ = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k - 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1 ight)dx}$ .

$\Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}$

$= \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}$

$\ + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k} ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx 0,59$ .
Câu 13: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\left\{ 1 ight\}$ thỏa mãn $f'(x) = \frac{1}{x - 1}$ ; $f(0) = 2017;f(2) = 2018$ . Tính $T = f(3) - f( - 1)$ ?
- A.
  $T = \ln4035$
- B.
  $T = 4$
- C.
  $T = \ln2$
- D.
  $T = 1$
Trên khoảng $(1; + \infty)$ ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(x - 1) + C_{1}$

$\Rightarrow f(x) = \ln(x - 1) + C_{1}$

Mà $f(2) = 2018 \Rightarrow C_{1} = 2018$

Trên khoảng $( - \infty;1)$ ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(1 - x) + C_{2}$

$\Rightarrow f(x) = \ln(1 - x) + C_{2}$

Mà $f(0) = 2017 \Rightarrow C_{2} = 2017$

Vậy $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \ln(x - 1) + 2018\ \ \ khi\ x\ > \ 1 \\ \ln(1 - x) + 2017\ \ \ khi\ x\ < \ 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow T = f(3) - f( - 1) = 1$ .
Câu 14: Thông hiểu
Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4\cos^{2}x - 5$ thỏa mãn $F(\pi) = 0$ . Tìm $F(x)$ ?
- A.
  $F(x) = - 3x +\sin2x +3\pi$
- B.
  $F(x) = - \frac{4}{3}\sin^{3}x - 5x +5\pi$
- C.
  $F(x) = - \frac{4}{3}\sin^{3}x - 5x +\frac{4}{3} + 5\pi$
- D.
  $F(x) = - 3x - \sin2x +3\pi$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\left( 4\cos^{2}x- 5 ight)dx} \Leftrightarrow F(x) = \int_{}^{}{(2\cos2x -3)dx}$

$\Leftrightarrow F(x) = \sin2x - 3x +C$

Lại có $F(\pi) = 0 \Leftrightarrow - 3\pi + C = 0 \Leftrightarrow C = 3\pi$

Vậy $F(x) = - 3x + \sin2x +3\pi$ .
Câu 15: Nhận biết
Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{2} + 2x + 1$ trục hoành và hai đường thẳng $x = - 1;x = 3$ .
- A.
  $S = \frac{64}{3}$
- B.
  $S = \frac{56}{3}$
- C.
  $S = \frac{37}{3}$
- D.
  $S = \frac{68}{3}$
Diện tích hình phẳng được tính như sau:

$S = \int_{- 1}^{3}{\left( x^{2} + 2x + 1 ight)dx} = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + x ight) ight|_{- 1}^{3} = \frac{64}{3}$ .
Câu 16: Nhận biết
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = (x + 2)^{2};y = 0;x = 1;x = 3$ bằng:
- A.
  $30$
- B.
  $18$
- C.
  $\frac{98}{3}$
- D.
  $21$
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Khi đó

$S = \int_{1}^{3}{(x + 2)^{2}dx} = \left. \ \frac{1}{3}(x + 2)^{3} ight|_{1}^{3} = \frac{98}{3}$
Câu 17: Nhận biết
Tích phân $\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx$ bằng:
- A.
  $\frac{45}{4}$
- B.
  $\frac{47}{4}$
- C.
  $\frac{25}{4}$
- D.
  $2$
Ta có:

$\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx = \left. \ \left( \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} ight) ight|_{1}^{8} = \frac{45}{4}$ .
Câu 18: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{3} - x$ và đồ thị hàm số $y = x - x^{2}$ ?
- A.
  $S = \frac{9}{4}$
- B.
  $S = 13$
- C.
  $S = \frac{37}{12}$
- D.
  $S = \frac{81}{12}$
Phương trình hoành độ giao điểm $x^{3} - x = x - x^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó ta có:

$S = \int_{- 2}^{1}{\left| x^{3} + x^{2} - 2x ight|dx}$

$= \int_{- 2}^{0}{\left| x^{3} + x^{2} - 2x ight|dx} + \int_{0}^{1}{\left| x^{3} + x^{2} - 2x ight|dx}$

$= \left| \int_{- 2}^{0}{\left( x^{3} + x^{2} - 2x ight)dx} ight| + \left| \int_{0}^{1}{\left( x^{3} + x^{2} - 2x ight)dx} ight|$

$= \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} ight) ight|_{- 2}^{0} ight| + \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} ight) ight|_{0}^{1} ight|$

$= \frac{8}{3} + \frac{5}{12} = \frac{37}{12}$
Câu 19: Thông hiểu
Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức $v(t) = 3t + 2$ , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét. Biết tại thời điểm $t = 2s$ thì vật đi được quãng đường là $10m$ . Hỏi tại thời điểm $t = 30s$ thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?
- A.
  $240m$
- B.
  $1140m$
- C.
  $300m$
- D.
  $1410m$
Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t = 2s$ đến $t = 30s$

$S = \int_{2}^{30}{v(t)dt} = \int_{2}^{30}{(3t + 2)dt} = 1400m = S(30) - S(2)$

$\Rightarrow S(30) = 1400m + S(2) = 1410m$
Câu 20: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin x\cos x + \frac{1}{x + 1}$ là:
- A.
  $F(x) = \frac{1}{4}\cos2x + \ln|x + 1|+ C$
- B.
  $F(x) = - 4\cos2x + \ln|x + 1| +C$
- C.
  $F(x) = \frac{1}{4}\cos2x + \ln(x + 1)+ C$
- D.
  $F(x) = - \frac{1}{4}\cos2x + \ln|x +1| + C$
Ta có:

$f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x +1}$

$\Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{\left(\frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x + 1} ight)dx} = - \frac{1}{4}\cos2x +\ln|x + 1| + C$

50 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!