Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Nếu \int_{0}^{1}{f(x)dx} =
2;\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4. Khi đó \int_{0}^{2}{f(x)dx} bằng:

    Ta có: \int_{0}^{2}{f(x)dx} =
\int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2 + 4 = 6.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack 0;10brack\int_{0}^{10}{f(x)dx} = 7\int_{2}^{6}{f(x)dx} = 3. Tính F = \int_{0}^{2}{f(x)dx} +
\int_{6}^{10}{f(x)dx}?

    Ta có: \int_{0}^{10}{f(x)dx} =
\int_{0}^{2}{f(x)dx} + \int_{2}^{6}{f(x)dx} +
\int_{6}^{10}{f(x)dx}

    \Rightarrow F = \int_{0}^{2}{f(x)dx} +
\int_{6}^{10}{f(x)dx} = \int_{0}^{10}{f(x)dx} - \int_{2}^{6}{f(x)dx} = 7
- 3 = 4

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm với mọi x\mathbb{\in R}f'(x) = 2x + 1. Giá trị của f(2) - f(1) bằng:

    Ta có:

    f'(x) = 2x + 1 \Rightarrow\int_{}^{}{f'(x)dx = \int_{}^{}{(2x + 1)dx}}

    = x^{2} + x + C \Rightarrow \existsC_{1}\mathbb{\in R}:f(x) = x^{2} + x + C

    \Rightarrow f(2) - f(1) = 2^{2} + 2 +C_{1} - \left( 1^{2} + 1 + C_{1} ight) = 4

  • Câu 4: Nhận biết

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{2} + 2x +
1 trục hoành và hai đường thẳng x =
- 1;x = 3.

    Diện tích hình phẳng được tính như sau:

    S = \int_{- 1}^{3}{\left( x^{2} + 2x + 1
ight)dx} = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + x ight)
ight|_{- 1}^{3} = \frac{64}{3}.

  • Câu 5: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x + 3\sqrt{x} thỏa mãn F(1) = 0?

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx =
\int_{}^{}{\left( 2x + 3\sqrt{x} ight)dx}}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{(2x)dx} +
6\int_{}^{}{\left( \sqrt{x} ight)^{2}d\left( \sqrt{x}
ight)}

    \Rightarrow F(x) = x^{2} + 2\sqrt{x^{3}}
+ C

    Theo bài ra ta có: F(1) = 0
\Leftrightarrow 3 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 3

    Vậy x^{2} + 2\sqrt{x^{3}} -
3.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường parabol (P):y = x^{2} - x + 2 và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{2} +
1 tại điểm có tọa độ (1;2). Diện tích của hình (H) là:

    Xét hàm số y = x^{2} + 1 trên \mathbb{R}. Ta có: y' = 2x

    Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm (1;2) của đồ thị hàm số y = x^{2} + 1

    y = y'(1)(x - 1) + 2 \Leftrightarrow
y = 2x

    Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình y =
2x. Xét phương trình tương giao của (P) và ∆

    x^{2} - x + 2 = 2x \Leftrightarrow x^{2}
- 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H) khi đó

    S = \int_{1}^{2}{\left| \left( x^{2} - x
+ 2 ight) - 2x ight|dx} = \int_{1}^{2}{\left| x^{2} - 3x + 2
ight|dx}

    x^{2} - 3x + 2 \leq 0;\forall x \in
\lbrack 1;2bracknên

    S = - \int_{1}^{2}{\left( x^{2} - 3x + 2
ight)dx}

    = - \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} -
\frac{3x^{2}}{2} + 2x ight) ight|_{1}^{2} = - \left( \frac{2}{3} -
\frac{5}{6} ight) = \frac{1}{6}

  • Câu 7: Nhận biết

    Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x^{2} - 2;y = 0;x = - 1;x
= 2 quanh trục Ox bằng

    Ta có:

    V = \pi\int_{- 1}^{2}{\left( x^{2} - 2x
ight)^{2}dx} = \pi\int_{- 1}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2}
ight)dx}

    = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} -
x^{4} + \frac{4x^{3}}{3} ight) ight|_{- 1}^{2} =
\frac{18\pi}{5}

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{e^{x} + 3} thỏa mãn F(0) = - \frac{1}{3}ln4. Tổng các nghiệm của phương trình 3F(x) +
\ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2 là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)}dx =
\int_{}^{}{\left( \frac{1}{e^{x} + 3} ight)dx} =
\int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx}

    Đặt t = e^{x} \Rightarrow dt =
e^{x}dx

    \Rightarrow
\int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx} =
\int_{}^{}{\frac{t}{t(t + 3)}dt}

    = \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{1}{3t} -
\frac{1}{3(t + 3)} ightbrack dt} = \frac{\ln|t|}{3} - \frac{\ln|t +
3|}{3} + C

    = \frac{\ln e^{x}}{3} - \frac{\ln\left(
e^{x} + 3 ight)}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3
ight)}{3} + C

    Theo bài ra ta có:

    F(0) = - \frac{1}{3}\ln4

    \Leftrightarrow \frac{x}{3} -\frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = -\frac{1}{3}\ln4

    \Leftrightarrow C = 0

    Ta có:

    3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) =
2

    \Leftrightarrow 3\left( \frac{x}{3} -
\frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} ight) + \ln\left( e^{x} + 3
ight) = 2

    \Leftrightarrow x = 2

    Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 2.

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Đáp án là:

    Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng 5m,khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là 40m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu m^{3}? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 40 m3.

    Cả hai bên cầu có tất cả 2.10 =
20 nhịp cầu.

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu, đỉnh I(25;2), điểm A(50;0)

    Gọi Parabol phía trên có phương trình: \left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c =
ax^{2} + bx (vì O \in \left( P_{1}
ight))

    \Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx -
\frac{1}{5} là phương trình parabol phía dưới

    (Vì bề dày nhịp cầu là 20cm =
\frac{1}{5}m)

    Ta có I,A \in \left( P_{1} ight)
\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
25^{2}a + 25b = 2 \\
50^{2}a + 50b = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - \frac{2}{625} \\
b = \frac{4}{25} \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} =
- \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\
\ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x -
\frac{1}{5}

    Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi y_{1};y_{2} và trục Ox nên ta có:

    S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( -
\frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx +
\int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}

    Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là S.0,2 \approx 1,985m^{3}.

    Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là V = 20.S.0,2 \approx
40m^{3}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x^{2} - 4x + 4, đường cong y = x^{3} và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Tính diện tích S của hình (H)?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x^{3} = x^{2} - 4x + 4 \Leftrightarrow
(x - 1)\left( x^{2} + 4 ight) = 0 \Leftrightarrow x = 1

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{0}^{1}{x^{3}dx} +
\int_{1}^{2}{\left( x^{2} - 4x + 4 ight)dx}

    = \int_{0}^{1}{x^{3}dx} +
\int_{1}^{2}{(x - 2)^{2}d(x - 2)}

    = \left. \ \frac{x^{4}}{4}
ight|_{0}^{1} + \left. \ \frac{(x - 2)^{3}}{3} ight|_{1}^{2} =
\frac{7}{12}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x.e^{- x} thỏa mãn F(0) = 1?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
u = x \\
dv = e^{- x}dx \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
du = dx \\
v = - e^{- x} \\
\end{matrix} ight.

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(
x.e^{- x} ight)dx}

    = - xe^{- x} + \int_{}^{}{e^{- x}dx} +
C

    = - xe^{- x} - e^{- x} + C. Theo bài ra ta có: F(0) = 1 \Leftrightarrow - 1 -
1 + C = 1 \Rightarrow C = 2

    Vậy - (x + 1)e^{- x} + 2 là đáp án cần tìm.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3

     f\left( x ight) = \left[ {F\left( x ight)} ight]' = 2x + 4 \Rightarrow F\left( 3 ight) = 10

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} thỏa mãn f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x -f(x)\sin x. Tính tích phân I =
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx}?

    Ta có:

    f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x- f(x)\sin x

    \Leftrightarrow f'(x).f(x) - \sin2x =\left\lbrack f(x)\cos x ightbrack'

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}\left\lbrack f'(x).f(x) -\sin2x ightbrack dx = \int_{}^{}{\left\lbrack f(x)\cos xightbrack'}dx

    \Leftrightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x + C

    Theo bài ra ta có: f\left( \frac{\pi}{2}
ight) = - 1 \Rightarrow C = 0

    \Rightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x

    \Leftrightarrow f^{2}(x) + \cos2x =2f(x)\cos x

    \Leftrightarrow f^{2}(x) - 2f(x)\cos x +\cos^{2}x = \sin^{2}x

    \Leftrightarrow \left\lbrack f(x) - \cos x ightbrack^{2} = \sin^{2}x \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) - \cos x = \sin x \\f(x) - \cos x = - \sin x \\\end{matrix} ight.

    f\left( \frac{\pi}{2} ight) = -
1 nên nhận f(x) = \cos x - \sin
x

    Vậy I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx}
= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left\lbrack \cos x - \sin x ightbrack
dx} = \left. \ \left( \cos x - \sin x ight)
ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} - 1

  • Câu 14: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy với vận tốc 10\
m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = - 2t +
10(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng.

    Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0.

    Nên thời gian kể từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là - 2t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 5(\
s)

    Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là

    S_{2} = \int_{0}^{5}{( - 2t + 10)}dt =
\left. \ \left( - t^{2} + 10t ight) ight|_{0}^{5} = 25m

    Như vậy trong 8 giây cuối thì có 3 giây ô tô ði với vận tốc 10\ m/s và 5 s ô tô chuyển động chậm dần đều.

    Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây trước khi đạp phanh là S_{1} = 3.10 = 30\ m

    Vậy trong 8 giây cuối ô tô đi được quang đường S = S_{1} + S_{2} = 30 + 25 = 55m

  • Câu 15: Thông hiểu

    Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = -
1;x = 1 và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x;(
- 1 \leq x \leq 1) là một hình tròn có diện tích bằng 3\pi. Thể tích của vật thể là?

    Ta có: V = \int_{- 1}^{1}{S(x)dx} =
\int_{- 1}^{1}{3\pi dx} = 6\pi

  • Câu 16: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 25^{x}?

    Vì: \left( \frac{25^{x}}{ln25}
ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Các biểu thức E;F;G;H xác định bởi E = \int_{0}^{3}{f(x)dx};F =
\int_{3}^{5}{f(x)dx};G = \int_{2}^{4}{f(x)dx};H = f'(x). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Dựa vào hình vẽ và diện tích hình phẳng ta có:

    E = \int_{0}^{3}{f(x)dx} = -
\int_{0}^{3}{\left| f(x) ight|dx} < - 2

    F = \int_{3}^{5}{f(x)dx} >
3

    0 < G = \int_{2}^{4}{f(x)dx} <
2

    - 1 < H = f'(1) < 0 (hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 1)

    Như vậy E < H < G <
F

  • Câu 18: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x} +
x

    Ta có: \int_{}^{}f(x)dx =
\int_{}^{}\left( 2^{x} + x ight)dx = \frac{2^{x}}{ln2} +
\frac{x^{2}}{2} + C.

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack; f(b) = 5;\int_{a}^{b}{f'(x)dx} =
3\sqrt{5}. Tính giá trị f(a)?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f'(x)dx} =
3\sqrt{5} \Leftrightarrow f(b) - f(a) = 3\sqrt{5}

    \Leftrightarrow f(a) = f(b) - 3\sqrt{5}
= \sqrt{5}\left( \sqrt{5} - 3 ight)

  • Câu 20: Thông hiểu

    Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v_{1}(t) = 7t(m/s). Đi được 5s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = - 70\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

    Vận tốc vật đạt được sau 5s là: v_{0} =
7.5 = 35(m/s)

    Ta có: v_{2}(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} =
\int_{}^{}{- 70dt} = - 70t + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 35(m/s)
\Rightarrow v_{(t = 0)} = 35 \Rightarrow C = 35

    \Rightarrow v_{2}(t) = - 70t +
35

    Vật dừng hẳn khi v_{2}(t) = - 70t + 35 =
0 \Rightarrow t_{2} = \frac{1}{2}(s)

    Khi đó quãng đường đi được bằng

    S = \int_{0}^{5}{v_{1}(t)dt} +
\int_{0}^{\frac{1}{2}}{v_{2}(t)dt}

    = \int_{0}^{5}{7tdt} +
\int_{0}^{\frac{1}{2}}{( - 70t + 35)dt} = 96,25(m)

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 54 lượt xem
Sắp xếp theo