Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}$ và nửa elip có phương trình $y = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}}$ (với $- 2 \leq x \leq 2$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Gọi $S$ là diện tích của, biết $S = \frac{a\pi + b\sqrt{3}}{c}$ (với $a;b;c\mathbb{\in R}$ ). Tính $P = a + b + c$ ?
- A.
  $P = 9$
- B.
  $P = 12$
- C.
  $P = 15$
- D.
  $P = 17$
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị: $\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow x = \pm 1$

Do tính chất đối xứng của đồ thị nên

$S = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} ight) = 2\left( S_{1} + S_{2} ight)$

$S_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

$S_{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx}$ . Đặt $x = 2\sin t\Rightarrow dx = 2\cos tdt$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{2} \\\end{matrix} ight.$

Với $t \in \left\lbrack\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow \cos t \geq 0\Rightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = 2\sqrt{\cos^{2}t} = 2\cos t$

$S_{2} =\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{4\cos^{2}tdt} =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{2\cos^{2}tdt}$

$=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{(1 + \cos2t)dt} = \left. \ \left( t+ \frac{1}{2}\sin2t ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Suy ra $S = \frac{4\pi - \sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = 4;b = - 1;c = 6$

Vậy $P = a + b + c = 9$
Câu 2: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục nhận giá trị dương trên $(0; +\infty)$ và thỏa mãn $f(1) =1$ ; $f(x) = f'(x).\sqrt{3x +1};\forall x > 0$ . Giá trị $f(3)$ gần nhất với giá trị nào sau đây?
- A.
  $2,9$
- B.
  $3,2$
- C.
  $3,7$
- D.
  $2,5$
Vì $\left\{ \begin{matrix}f(x) > 0 \\f(x) = f'(x)\sqrt{3x + 1} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} =\frac{1}{\sqrt{3x + 1}}$
$\Rightarrow\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{3x +1}}dx} \Rightarrow \ln f(x) = \frac{2\sqrt{3x + 1}}{3} + C$
Mà $f(1) = 1 \Rightarrow C = -\frac{4}{3}$
$\Rightarrow f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}} \Rightarrow f\left( 3 ight) \approx 2,17$
Câu 3: Nhận biết
Xác định nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x + 5$ ?
- A.
  $F(x) = x^{2} + 5x + C$
- B.
  $F(x) = 2x^{2} + 5x + C$
- C.
  $F(x) = x^{2} + 5x$
- D.
  $F(x) = x^{2} + C$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x + 5)dx} = x^{2} + 5x + C$
Câu 4: Vận dụng cao
Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh $A_{1};A_{2};B_{1};B_{2}$ như hình vẽ:
Người ta chia elip bởi Parabol có đỉnh $B_{1}$ , trục đối xứng $B_{1}B_{2}$ và đi qua các điểm $M;N$ . Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200 nghìn đồng/m² và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500 nghìn đồng/m². Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng $A_{1}A_{2} =4m;B_{1}B_{2} = MN = 2m$
- A.
  $2.431.000$ đồng
- B.
  $2.057.000$ đồng
- C.
  $2.760.000$ đồng
- D.
  $1.664.000$ đồng
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của A₁A₂. Tọa độ các đỉnh A₁(−2; 0), A₂(2; 0), B₁(0; −1), B₂(0; 1)
Phương trình đường Elip $(E):\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1\Leftrightarrow y = \pm \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}$
Ta có: $M\left( - 1;\frac{\sqrt{3}}{2}ight),N\left( 1;\frac{\sqrt{3}}{2} ight) \in (E)$
Parabol (P) có đỉnh B1(0; −1) và trục đối xứng là Ox nên (P) có phương trình $y = ax^{2} - 1$ , (a > 0), đi qua M; N
$\Rightarrow a = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1\Rightarrow (P):y = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight)x^{2} -1$
Diện tích phần tô đậm
$S_{1} = 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight)x^{2}+ 1 ightbrack dx}$
$= \int_{0}^{1}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} -\frac{2}{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight) + 2$
Đặt $x = 2\sin t;t \in \left\lbrack -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx =2\cos tdt$
Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0 \\x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow S_{1} =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\sqrt{4 - 4\sin^{2}t}.2\cos tdt} -\frac{2}{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight) + 2$
$= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\cos^{2}tdt}- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3} = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{(1 +\cos2t)dt} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3}$
$= \left. \ (2t + \sin2t)ight|_{0}^{\frac{\pi}{6}} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3} =\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{4}{3}$
Diện tích hình Elip là $S = πab = 2π$
Suy ra diện tích phần còn lại là: $S_{2} =S - S_{1} = \frac{5\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6} -\frac{4}{3}$
Kinh phí sử dụng là $2.10^{5}S_{1} +5.10^{5}S_{2} \approx 2.341.000$ đồng.
Câu 5: Thông hiểu
Biết rằng $F(x) = \left( ax^{2} + bx + c ight)e^{- x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{- x}$ trên $\mathbb{R}$ . Giá trị của biểu thức $f\left( F(0) ight)$ bằng:
- A.
  $- \frac{1}{e}$
- B.
  $3e$
- C.
  $20e^{2}$
- D.
  $9e$
Ta có: $\left( F(x) ight)' = \left\lbrack \left( ax^{2} + bx + c ight)e^{- x} ightbrack'$

$= \left\lbrack - ax^{2} + (2a - b)x + b - c ightbrack e^{- x}$

$= \left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)e^{- x}$ suy ra $\left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\2a - b = - 5 \\b - c = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = - 2 \\b = 1 \\c = - 1 \\\end{matrix} ight.$ $\Rightarrow F(x) = \left( 2x^{2} + x - 1ight)e^{- x}$

$\Rightarrow F(0) = - 1 \Rightarrow f\left( F(0) ight) = f( - 1) = 9e$
Câu 6: Thông hiểu
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi Parabol $y = \frac{x^{2}}{12}$ và đường cong có phương trình $y = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ như hình vẽ:

Diện tích của hình phẳng $(H)$ bằng:
- A.
  $\frac{4\pi + \sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{4\sqrt{3} + \pi}{6}$
- C.
  $\frac{8\pi + 2\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\frac{4\pi + \sqrt{3}}{6}$
Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{x^{2}}{12} = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt{3}$

Diện tích hình phẳng $(H)$ bằng:

$S = 2\int_{0}^{2\sqrt{3}}{\left\lbrack \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} - \frac{x^{2}}{12} ightbrack dx}$

$= \int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} - \frac{1}{6}\int_{0}^{2\sqrt{3}}{x^{2}dx}$

$= \int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} + \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Đặt $x = 4\sin t$

$\Rightarrow\int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{16\cos^{2}tdt} = \frac{8\pi}{3} +2\sqrt{3}$

$\Rightarrow S = \frac{8\pi + 2\sqrt{3}}{3}$
Câu 7: Thông hiểu
Xe đạp A xuất phát từ C, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v(t) = \frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30}(m/s)$ trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một xe đạp B cũng xuất phát từ C, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn $10$ giây so với A và có gia tốc bằng $a\left( m/s^{2} ight)$ ( $a$ là hằng số). Sau khi B xuất phát được $15$ giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng bao nhiêu?
- A.
  $25m/s$
- B.
  $15m/s$
- C.
  $9m/s$
- D.
  $42m/s$
Quãng đường xe đạp A đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

$S = \int_{0}^{25}{\left( \frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30} ight)dt} = \frac{375}{2}(m)$

Vận tốc của xe đạp B tại thời điểm $t(s)$ tính từ lúc B xuất phát là: $v_{B}(t) = at$

Quãng đường xe đạp B đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

$S = \int_{0}^{15}{(at)dt} = \left. \ \left( \frac{at^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{15} = \frac{225a}{2}(m)$

$\Rightarrow \frac{225a}{2} = \frac{375}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{3}$

Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là: $v_{B}(15) = 15a = 25(m/s)$
Câu 8: Thông hiểu
Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức $v(t) = 3t + 2$ , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét. Biết tại thời điểm $t = 2s$ thì vật đi được quãng đường là $10m$ . Hỏi tại thời điểm $t = 30s$ thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?
- A.
  $240m$
- B.
  $1140m$
- C.
  $300m$
- D.
  $1410m$
Quãng đường vật đi được từ thời điểm $t = 2s$ đến $t = 30s$

$S = \int_{2}^{30}{v(t)dt} = \int_{2}^{30}{(3t + 2)dt} = 1400m = S(30) - S(2)$

$\Rightarrow S(30) = 1400m + S(2) = 1410m$
Câu 9: Nhận biết
Tính tích phân $I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( \sin2x + \sin x ight)dx}$ ?
- A.
  $I = 5$
- B.
  $I = 3$
- C.
  $I = 4$
- D.
  $I = 2$
Ta có:

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\sin2x + \sin x ight)dx} = \left. \ \left( - \frac{1}{2}\cos2x - \cos xight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2$
Câu 10: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) =\sin^{4}x\cos x$ ??
- A.
  $F(x) = - \frac{1}{5}\sin^{5}x +C$
- B.
  $F(x) = \sin^{5}x + C$
- C.
  $F(x) = \frac{1}{5}\sin^{5}x +C$
- D.
  $F(x) = - \sin^{5}x +C$
Đặt $t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx$

$\int_{}^{}{\left( \sin^{4}x\cos xight)dx} = \int_{}^{}{t^{4}dt} = \frac{t^{5}}{5} + C =\frac{1}{5}\sin^{5}x + C$
Câu 11: Nhận biết
Vật thể $B$ giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình $x = 0$ và $x = 2$ . Cắt vật thể $B$ với mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $x;(0 \leq x \leq 2)$ ta được thiết diện có diện tích bằng $x^{2}(2 - x)$ . Thể tích của vật thể $B$ :
- A.
  $V = \frac{2\pi}{3}$
- B.
  $V = \frac{2}{3}$
- C.
  $V = \frac{4}{3}$
- D.
  $V = \frac{4\pi}{3}$
Thể tích của vật thể B là:

$V = \int_{0}^{2}{x^{2}(2 - x)dx} = \int_{0}^{2}{\left( 2x^{2} - x^{3} ight)dx} = \frac{4}{3}$
Câu 12: Thông hiểu
Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số $y = cos2x$ ?
- A.
  $y = \sin2x + C$
- B.
  $y = \frac{1}{2}\cos2x +C$
- C.
  $y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C$
- D.
  $y = 2\sin2x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\cos2xdx} =\frac{1}{2}\sin2x + C$

$= \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + C =\frac{1}{2}.\left( 1 + 2\sin x\cos x ight) + C -\frac{1}{2}$

$= \frac{1}{2}.\left( \sin^{2}x +2\sin x\cos x + \cos^{2}x ight) + C'$

$= \frac{1}{2}.\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C'$

Vậy đáp án cần tìm là: $y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C$ .
Câu 13: Thông hiểu
Biết rằng $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ 4x^{3} - 18\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Giá trị biểu thức $F( - 1) - F(3)$ bằng:
- A.
  $7$
- B.
  $18$
- C.
  $8$
- D.
  $32$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{3} + 2x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{4} - 18x + C_{2}\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vì hàm số $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x = 2$ tức là

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}F(x) = F(2)$

$\Leftrightarrow 12 + C_{1} = - 20 + C_{2} \Leftrightarrow C_{1} - C_{2} = - 32$

Do đó

$F( - 1) - F(3) = \left( 1 + 18 + C_{2} ight) - \left( 27 + 6 + C_{1} ight)$

$= - 14 - \left( C_{1} - C_{2} ight) = - 14 + 32 = 18$
Câu 14: Nhận biết
Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng $x = a;x = b;\left( {a < b} ight)$ xung quanh trục Ox.
- A.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{f(x)dx}$
- B.
  $V = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}dx}$
- C.
  $V = \int_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}$
- D.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}$
Ta có : $V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx.$
Câu 15: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) =2\sin x.\cos2x$ là:
- A.
  $- \frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- B.
  $\frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- C.
  $\frac{1}{3}\cos3x - \cos x +C$
- D.
  $- \cos3x + \cos x +C$
Ta có: $f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x$

Khi đó:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}$

$= \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C$
Câu 16: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $(C)$ cắt trục $Ox$ tại ba điểm có hoành độ $a;b;c$ với $c\in (a;b)$ như hình bên. Đặt $m =\int_{a}^{c}{f(x)dx;n} = \int_{c}^{b}{f(x)dx}$ . Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ và trục hoành (phần tô đậm) bằng bao nhiêu?
- A.
  $m + n$
- B.
  $- m - n$
- C.
  $m - n$
- D.
  $n - m$
Diện tích hình phẳng phần tô đậm được tính như sau:
$S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx}= \int_{a}^{c}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{c}^{b}{\left| f(x)ight|dx}$
$= \int_{a}^{c}{f(x)dx} -\int_{c}^{b}{f(x)dx} = m - n$
Câu 17: Thông hiểu
Tích phân $\int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x\left( \ln x + 2 ight)^{2}}dx} = a\ln3 + b\ln2 +\frac{c}{3}$ với $a;b;c\mathbb{\in Z}$ . Kết luận nào dưới đây đúng?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 11$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 9$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$
Ta có: $I = \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x\left( \ln x + 2 ight)^{2}}dx}$ . Đặt $t = \ln x + 2 \Rightarrow dt = \frac{dx}{x}$

Đổi cận tích phân $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 2 \\ x = e \Rightarrow t = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $I = \int_{2}^{3}{\frac{t -2}{t^{2}}dt} = \int_{2}^{3}{\left( \frac{1}{t} - \frac{2}{t^{2}}ight)dt} = \left. \ \left( \ln t + \frac{2}{t} ight) ight|_{2}^{3}= \ln3 - \ln2 - \frac{1}{3}$

Suy ra $a = 1;b = - 1;c = - 1$ . Vậy $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ .
Câu 18: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x\sin2x;y = 2x;x = \frac{\pi}{2}$ ?
- A.
  $\frac{\pi^{2}}{4} + \frac{\pi}{4}$
- B.
  $\pi^{2} + \pi$
- C.
  $\frac{\pi^{2}}{4} - \frac{\pi}{4}$
- D.
  $\frac{\pi^{2}}{4} - 4$
Phương trình hoành độ giao điểm

$x\sin2x = 2x \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\\sin2x = 2(L) \\\end{matrix} ight.$

Diện tích hình phẳng là:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left| x\sin x - 2x ight|dx} = \left| \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( x\sin x - 2x ight)dx} ight|$

$= \left| \left. \ \left(\frac{1}{4}\sin2x - \frac{1}{2}x\cos2x - x^{2} ight)ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} ight| = \frac{\pi^{2}}{4} -\frac{\pi}{4}$
Câu 19: Nhận biết
Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = - 12t + 24(m/s)$ trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
- A.
  $18m$
- B.
  $15m$
- C.
  $20m$
- D.
  $24m$
Khi dừng hẳn $v(t) = - 12t + 24 = 0 \Rightarrow t = 2(s)$

Do đó từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được:

$S = \int_{0}^{2}{v(t)dt} = \int_{0}^{2}{( - 12t + 24)dt} = 24m$
Câu 20: Vận dụng cao
Tính tổng $T = \frac{C_{2018}^{0}}{3} - \frac{C_{2018}^{1}}{4} + \frac{C_{2018}^{2}}{5} - \frac{C_{2018}^{3}}{6} + ... - \frac{C_{2018}^{2017}}{2020} + \frac{C_{2018}^{2018}}{2021}$ ?
- A.
  $T = \frac{1}{4121202989}$
- B.
  $T = \frac{1}{4121202990}$
- C.
  $T = \frac{1}{4121202992}$
- D.
  $T = \frac{1}{4121202991}$
Ta có:

$x^{2}(1 - x)^{2018} = x^{2} \cdot \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k}( - 1)^{k} = \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}$ .

Do đó

$\int_{0}^{1}\mspace{2mu} x^{2}(1 -x)^{2018}dx = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx$ .

Mặt khác:

$\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx. =\left. \ \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}\frac{x^{k + 3}}{k+ 3}( - 1)^{k} ight|_{0}^{1}$ $= \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu}C_{2018}^{k} \cdot \frac{( - 1)^{k}}{k + 3} = T$ .

Đặt $t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx$ .

Đổi cận $x = 0 \Rightarrow t = 1$ và $x = 1 \Rightarrow t = 0$ . Khi đó

$\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}x^{2}(1 - x)^{2018}dx = \int_{1}^{0}\mspace{2mu}\mspace{2mu}t^{2018}(1 - t)^{2}( - dt)$

$= \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} t^{2018}\left( t^{2} - 2t + 1 ight)dt = \left. \ \left( \frac{t^{2021}}{2021} - 2 \cdot \frac{t^{2020}}{2020} + \frac{t^{2019}}{2019} ight) ight|_{0}^{1}$

$= \frac{1}{2021} - \frac{2}{2020} + \frac{1}{2019} = \frac{1}{1010 \cdot 2019 \cdot 2021} = \frac{1}{4121202990}$

8 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!