Cho hình phẳng
giới hạn bởi đường cong
, trục hoành và các đường thẳng
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
Ta có:
.
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đường cong
, trục hoành và các đường thẳng
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
Ta có:
.
Cho parabol
và hai điểm
thuộc
sao cho
. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
và đường thẳng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi và
là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.
Không mất tính tổng quát giả sử a < b.
Theo giả thiết ta có AB = 2 nên
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:
Mặt khác nên
do
Suy ra
Vậy dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường tròn
.

Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn
quanh trục hoành.
Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn
.
Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn quanh trục hoành.
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
. Biết từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn thì ô tô di chuyển được
. Tìm
?
Khi dừng hẳn
Quãng đường xe đi được từ khi đạp phanh đến lúc dừng hẳn là:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và đường thẳng
?
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích S của hình phẳng (H) là:
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục
hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox l
Diện tích hình phẳng là:
Tích phân
bằng:
Ta có:
.
Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Ta có
Cho hàm số
có đạo hàm dương và liên tục trên
thỏa mãn
và
. Tích phân
là:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi
Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính
. Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được
nghìn đồng. Tuy nhiên, cần có khoảng trống để dựng chòi và đồ dùng nên người này căng sợi dây
vào hai đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này sau khi thu hoạch thu được bao nhiêu tiền? (Tính theo đơn vị nghìn đồng và bỏ số thập phân).
Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính . Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được
nghìn đồng. Tuy nhiên, cần có khoảng trống để dựng chòi và đồ dùng nên người này căng sợi dây
vào hai đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này sau khi thu hoạch thu được bao nhiêu tiền? (Tính theo đơn vị nghìn đồng và bỏ số thập phân).
Một vật chuyển động với gia tốc
. Vận tốc ban đầu của vật là
. Hỏi vận tốc của vật là bao nhiêu sau khi chuyển động với gia tốc đó được
.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc nên
Suy ra
Vận tốc của vật khi chuyển động với gia tốc đó được 2s là .
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Giả sử
là các hàm số bất kì liên tục trên
và
là các số thực. Mệnh đề nào sau đây sai?
Theo tính chất tích phân ta có:
Vậy mệnh đề sai:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
bằng:
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Khi đó
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Suy ra mà
.Hay
Ta có:
Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Khi đó
Suy ra suy ra
.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
.Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có
Vậy đáp án cần tìm là: .
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
là:
Ta có:
Cho
là các số hữu tỉ thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để tồn tại tích phân
?
Tích phân tồn tại khi và chỉ khi hàm số
liên tục trên
hoặc
Mà hàm số liên tục trên các khoảng
Nên hàm số liên tục trên
hoặc
khi và chỉ khi
.