Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Biết rằng  F(x) nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{x^{2}(x +1)} thỏa mãn F(1) + F( - 2) = \frac{1}{2}. Chọn mệnh đề đúng?

    Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta có:

    f(x) = \frac{1}{x^{2}(x + 1)} =\frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x + 1}= \frac{(A + C)x^{2} +(A + B)x + B}{x^{2}(x + 1)}

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}A + C = 0 \\A + B = 0 \\B = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = 1 \\C = 1 \\\end{matrix} ight.

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\left( - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1}ight)dx}

    \Rightarrow F(x) = - \ln|x| -\frac{1}{x} + \ln|x + 1| + C = \ln\left| \frac{x + 1}{x} ight| -\frac{1}{x} + C

    Khi đó F(x) = \left\{ \begin{matrix}\ln\dfrac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{1};x \in (0; + \infty) \\\ln\dfrac{- x - 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{2};x \in ( - 1;0) \\\ln\frac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{3};x \in ( - \infty; - 1) \\\end{matrix} ight.

    F(1) + F( - 2) =\frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \ln2 - 1 + C_{1} +\ln\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + C_{3} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow C_{1} + C_{3} =1

    Vậy T = F(2) + F( - 3) = \ln\frac{3}{2} -\frac{1}{2} + C_{1} + \ln\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + C_{3} =\frac{5}{6}

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn điều kiện f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0 với \forall x\mathbb{\in R}f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)} với \forall x\mathbb{\inR}. Tính giá trị f(1)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn điều kiện f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0 với \forall x\mathbb{\in R}f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)} với \forall x\mathbb{\inR}. Tính giá trị f(1)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e^{x}, trục hoành và các đường thẳng x = 0;x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    V = \pi\int_{0}^{1}{e^{2x}dx} = \left. \
\frac{\pi}{2}e^{2x} ight|_{0}^{1} = \frac{\pi\left( e^{2} - 1
ight)}{2}.

  • Câu 4: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x +
1)(x + 2)(x + 3)?

    Ta có:

    f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) = x^{3} +
6x^{2} + 11x + 6

    \Rightarrow F(x) = \frac{x^{4}}{4} +
2x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} + 6x + C

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} - 2x - 2y = \frac{x - 4}{2 - x}?

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{2} -
2x - 2 = \frac{x - 4}{2 - x}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x eq 2 \\
\left( x^{2} - 2x - 2 ight)(2 - x) = x - 4 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x eq 2 \\
x\left( x^{2} - 4x + 3 ight) = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 1 \\
x = 3 \\
\end{matrix} ight.

    Diện tích hình giới hạn là

    S = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 2 -
\frac{x - 4}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 2 -
\frac{x - 4}{2 - x} ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 1 -
\frac{2}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 1 -
\frac{2}{x - 2} ight|dx}

    = \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3}- x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight) ight|_{0}^{1} ight| + \left| \left.\ \left( \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight)ight|_{1}^{3} ight|

    = \frac{5}{3} - 2\ln2 + \frac{4}{3} = 3 -\ln4

  • Câu 6: Nhận biết

    Tính tích phân \int_{1}^{2}{\frac{x -
1}{x}dx}?

    Ta có: \int_{1}^{2}{\frac{x - 1}{x}dx} =
\int_{1}^{2}{\left( 1 - \frac{1}{x} ight)dx} = \left. \ \left( x -
\ln|x| ight) ight|_{1}^{2}

    = (2 - \ln2) - (1 - \ln1) = 1 -\ln2

  • Câu 7: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x
- 1}{x^{2}}?

    Ta có: f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}} =
\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow F(x) = \ln|x| + \frac{1}{x} +
C

  • Câu 8: Nhận biết

    Giả sử f(x);g(x) là các hàm số bất kì liên tục trên \mathbb{R}a;b;c là các số thực. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Theo tính chất tích phân ta có:

    \int_{a}^{b}{f(x)dx} +
\int_{b}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{a}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} +
\int_{b}^{c}{f(x)dx} - \int_{a}^{c}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} -
\int_{a}^{c}{f(x)dx} = 0

    \int_{a}^{b}{c.f(x)dx} =
c.\int_{a}^{b}{f(x)dx};\forall x\mathbb{\in R}

    \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x)
ightbrack dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx} -
\int_{a}^{b}{g(x)dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}

    = \int_{a}^{b}{f(x)dx}

    Vậy mệnh đề sai: \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x)g(x) ightbrack
dx} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}.\int_{a}^{b}{g(x)dx}

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho parabol (P):y = x^{2} và hai điểm A;B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A\left( a;a^{2} ight)(P):y = x^{2} là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.

    Không mất tính tổng quát giả sử a < b.

    Theo giả thiết ta có AB = 2 nên

    (b - a)^{2} + \left( b^{2} - a^{2}ight)^{2} = 4

    \Leftrightarrow (b - a)^{2}\left\lbrack1 + (b + a)^{2} ightbrack = 4

    Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y = (b + a)x - ab

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:

    S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack (a + b)x -ab - x^{2} ightbrack dx}

    = \left. \ \left\lbrack (a +b)\frac{x^{2}}{2} - abx - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{a}^{b}= \frac{(b - a)^{3}}{6}

    Mặt khác (b - a)^{2}\left\lbrack 1 + (b +a)^{2} ightbrack = 4 nên |b -a| \leq 2 do 1 + (b + a)^{2} \geq1

    Suy ra S = \frac{(b - a)^{3}}{6} \leq\frac{2^{3}}{6}

    Vậy S_{\max} = \frac{4}{3} dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C):y =
3x^{4} - 4x^{2} + 5, trục hoành, x
= 1x = 2 là:

    Ta có: 3x^{4} - 4x^{2} + 5 > 0;\forall
x\mathbb{\in R} nên ta có:

    S = \int_{1}^{2}{\left( 3x^{4} - 4x^{2}
+ 5 ight)dx} = \left. \ \left( \frac{3}{5}x^{5} - \frac{4}{3}x^{3} +
5x ight) ight|_{1}^{2} = \frac{214}{15}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

    a) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left( \sin xight)dx} = 2\int_{0}^{1}{x.f(x)dx} Đúng||Sai

    b) \int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x}
ight)}{e^{x}}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx} Đúng||Sai

    c) \int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2}
ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{x.f(x)dx} Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

    a) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left( \sin xight)dx} = 2\int_{0}^{1}{x.f(x)dx} Đúng||Sai

    b) \int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x}
ight)}{e^{x}}dx} = \int_{1}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx} Đúng||Sai

    c) \int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2}
ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{x.f(x)dx} Đúng||Sai

    Ta có:

    \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left(\sin x ight)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{2\sin x.\cos x.f\left( \sin xight)dx}

    Đặt t = \sin x \Rightarrow dt = \cos
xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0 \\x = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow t = 1 \\\end{matrix} ight. từ đó ta có:

    \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin2x.f\left(\sin x ight)dx} = \int_{0}^{1}{2tf(t)dt} =2\int_{0}^{1}{2xf(x)dx}

    Ta có: \int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x}
ight)}{e^{x}}dx}

    Đặt t = e^{x} \Rightarrow dt =
e^{x}dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow t = 1 \\
x = 1 \Rightarrow t = e \\
\end{matrix} ight. từ đó ta có:

    \int_{0}^{1}{\frac{f\left( e^{x}
ight)}{e^{x}}dx} = \int_{0}^{e}{\frac{f(t)}{t^{2}}dt} =
\int_{0}^{e}{\frac{f(x)}{x^{2}}dx}

    Ta có: \int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2}
ight)dx}

    Đặt t = x^{2} \Rightarrow dt =
2xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow t = 0 \\
x = a \Rightarrow t = a^{2} \\
\end{matrix} ight. từ đó ta có:

    \int_{0}^{a}{x^{3}f\left( x^{2}
ight)dx} = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{tf(t)}dt =
\frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}}{xf(x)}dx

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y =
x^{5}.Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \left(
\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}
ight)\mathbf{'}\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{5}}

    Vậy đáp án cần tìm là: \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}\mathbf{+
C}.

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y =
\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} và nửa elip có phương trình y = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} (với - 2 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Gọi S là diện tích của, biết S = \frac{a\pi + b\sqrt{3}}{c} (với a;b;c\mathbb{\in R}). Tính P = a + b + c?

    Hoành độ giao điểm của hai đồ thị: \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 -
x^{2}} \Leftrightarrow x = \pm 1

    Do tính chất đối xứng của đồ thị nên

    S = 2\left(
\frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} +
\frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} ight) = 2\left( S_{1} +
S_{2} ight)

    S_{1} =
\frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} =
\frac{\sqrt{3}}{6}

    S_{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 -
x^{2}}dx}. Đặt x = 2\sin t\Rightarrow dx = 2\cos tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{2} \\\end{matrix} ight.

    Với t \in \left\lbrack\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow \cos t \geq 0\Rightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = 2\sqrt{\cos^{2}t} = 2\cos t

    S_{2} =\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{4\cos^{2}tdt} =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{2\cos^{2}tdt}

    =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{(1 + \cos2t)dt} = \left. \ \left( t+ \frac{1}{2}\sin2t ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}

    Suy ra S = \frac{4\pi - \sqrt{3}}{6}
\Rightarrow a = 4;b = - 1;c = 6

    Vậy P = a + b + c = 9

  • Câu 14: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{0}^{\pi^{2}}{\left(
\sin\sqrt{x} - \cos\sqrt{x} ight)dx = A + Bx} với A;B\mathbb{\in Z}. Chọn kết luận đúng?

    Đặt t = \sqrt{x} \Rightarrow t^{2} = x
\Rightarrow 2tdt = dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow t = 0 \\
x = \pi^{2} \Rightarrow t = \pi \\
\end{matrix} ight. khi đó ta được:

    \int_{0}^{\pi^{2}}{\left( \sin\sqrt{x} -\cos\sqrt{x} ight)dx =}\int_{0}^{\pi}{\left( \sin t - \cos tight)tdt} = I

    Đặt \left\{ \begin{matrix}
u = t \\
dv = \left( \sin t - \cos t ight)dt \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
du = dt \\
v = - \cos t - \sin t \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow I = 2\left\lbrack \left. \
t\left( - \cos t - \sin t ight) ight|_{0}^{\pi} +
\int_{0}^{\pi}{\left( \cos t + \sin t ight)dt}
ightbrack

    \Rightarrow I = 2\left\lbrack \left. \
\pi + \left( \sin t - \cos t ight) ight|_{0}^{\pi} ightbrack = 4
+ 2\pi

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
A = 4 \\
B = 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow A + B = 6

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho f(x);g(x) là các hàm số liên tục trên \mathbb{R} và thỏa mãn \int_{0}^{1}{f(x)dx} =
3;\int_{0}^{2}{\left\lbrack f(x) - 3g(x) ightbrack dx} = 4\int_{0}^{2}{\left\lbrack 2f(x) + g(x)
ightbrack dx} = 8. Tính tích phân I = \int_{1}^{2}{f(x)dx}?

    Đặt \left\{ \begin{matrix}
\int_{0}^{2}{f(x)dx} = a \\
\int_{0}^{2}{g(x)dx} = b \\
\end{matrix} ight.. Theo giả thiết ta có: \left\{ \begin{matrix}
a - 3b = 4 \\
2a + b = 8 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 4 \\
b = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Ta có:

    \int_{0}^{2}{f(x)dx} =
\int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx}

    \Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} =
\int_{0}^{2}{f(x)dx} - \int_{0}^{1}{f(x)dx}

    \Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 - 3
= 1

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x.e^{- x} thỏa mãn F(0) = 1?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
u = x \\
dv = e^{- x}dx \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
du = dx \\
v = - e^{- x} \\
\end{matrix} ight.

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(
x.e^{- x} ight)dx}

    = - xe^{- x} + \int_{}^{}{e^{- x}dx} +
C

    = - xe^{- x} - e^{- x} + C. Theo bài ra ta có: F(0) = 1 \Leftrightarrow - 1 -
1 + C = 1 \Rightarrow C = 2

    Vậy - (x + 1)e^{- x} + 2 là đáp án cần tìm.

  • Câu 17: Nhận biết

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{2} + 2x +
1 trục hoành và hai đường thẳng x =
- 1;x = 3.

    Diện tích hình phẳng được tính như sau:

    S = \int_{- 1}^{3}{\left( x^{2} + 2x + 1
ight)dx} = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + x ight)
ight|_{- 1}^{3} = \frac{64}{3}.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) được tính bằng triệu người/năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t) . Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7.e^{0,014t} +
90,7. Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau t năm được xác định bởi hàm số S(t) ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}, với t là số năm kể từ năm 2014, S'(t) được tính bằng triệu người/năm.

    a) S(t) là một nguyên hàm của S'(t) . Đúng||Sai

    b) S(t) = 90,7.e^{0,014t} +
90,7. Sai||Đúng

    c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

    d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

    Ta có: S(t) là một nguyên hàm của S'(t)

    \int_{}^{}{S'(t)}dt =
\int_{}^{}{1,2698.e^{0,014t}}dt = 90,7.e^{0,014t} + C

    Do S(0) = 90,7 \Rightarrow C = 0
\Rightarrow S(t) = 90,7.e^{0,014t}

    Tốc độ tăng dân số của nước ta vào năm 2034 là

    S'(20) = 1,2698.e^{0,014.20} \approx
1,7( triệu người/năm)

    Dân số của nước ta vào năm 2034 là

    S(20)
= 90,7.e^{0,014.20} \approx 120( triệu người)

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{\sin
x} có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0. Giá trị của e^{F\left( \frac{2\pi}{3}
ight)} bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{\sin x}dx} =\int_{}^{}{\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}.\cos\frac{x}{2}}dx}

    = \int {\frac{1}{{2\tan \frac{x}{2}.{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}dx}  = \int {\frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}}d\left( {\tan \frac{x}{2}} ight)}= \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} ight| + C

    Lại có F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0
\Leftrightarrow \ln\left| \tan\frac{\pi}{6} ight| + C = 0

    \Rightarrow C = - \ln\frac{\sqrt{3}}{3}= \ln\sqrt{3} = \frac{1}{2}\ln3

    Do đó: {e^{F\left( {\frac{{2\pi }}{3}} ight)}} = {e^{\ln \left| {\tan \frac{\pi }{3}} ight| + \frac{1}{2}\ln 3}} = {e^{\ln 3}} = 3

  • Câu 20: Thông hiểu

    Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y^{2} = 4xy = x (với 0
\leq x \leq 4) được minh họa bằng hình vẽ bên (phần tô đậm):

    Cho (H) quay quanh trục Ox, thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu?

    Ta có: y^{2} = 4x \Rightarrow y =
2\sqrt{x};(y \geq 0)

    Thể tích khối tròn xoay cần tính là

    V = \pi\int_{0}^{4}{\left( 2\sqrt{x}
ight)^{2}dx} - \pi\int_{0}^{4}{x^{2}dx}

    = \left. \ 2\pi x^{2} ight|_{0}^{4} -
\frac{\pi}{3}.\left. \ x^{3} ight|_{0}^{4} =
\frac{32\pi}{3}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 43 lượt xem
Sắp xếp theo