Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và đường thẳng
?
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích S của hình phẳng (H) là:
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Giá trị của tích phân
bằng:
Ta có: .
Biết
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Gọi
là một nguyên hàm của
thỏa mãn
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Do đó
Suy ra
Nên
Vậy
Từ đó
Vậy
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường tròn
.

Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn
quanh trục hoành.
Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn
.
Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn quanh trục hoành.
Xác định tích phân
?
Ta có:
Cho hàm số
có đạo hàm và liên tục trên đoạn
với
. Đặt
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
?
Gọi sao cho
. Ta có:
Mà
Suy ra
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy giá trị nhỏ nhất của đạt được bằng
khi
.
Cho biết
với
là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức
bằng:
Đặt . Khi đó
Đổi cận
. Suy ra
. Do đó
.
Hàm số
có một nguyên hàm là
. Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi
là
. Tính
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Vậy
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ và
.

Tính diện tích của phần được gạch chéo theo
.
Từ đồ thị ta suy ra
Do đó, diện tích phần gạch chéo là
.
Cho đường thẳng
và parabol
(
là tham số thực). Gọi
lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được tô đậm và gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi
thì
thuộc khoảng nào dưới đây?

Phương trình hoành độ giao điểm của của hai đồ thị:
Theo giả thiết, phương trình có hai nghiệm phân biệt
Khi đó, phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
Diện tích hình phẳng:
Diện tích hình phẳng:
Theo giả thiết ta có:
Cho hai hàm số
và
. Biết
là các số thực để
là một nguyên hàm của
. Tính
?
Từ giả thiết ta có:
Đồng nhất hai vế ta có: .
Một học sinh đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức
. Biết rằng sau khi đi được 1 phút thì quãng đường học sinh đó đi được là
. Biết quãng đường từ nhà đến trường là
. Hỏi thời gian học sinh đó đi đến trường là bao nhiêu phút?
Ta có:
Vì
Để học sinh đó đến trường thì
Vậy đáp án cần tìm là phút.
Cho
với
là các số hữu tỉ. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Suy ra .
Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành, đường thẳng
như hình vẽ sau:

Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Dựa vào hình biểu diễn hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành, đường thẳng
ta có:
.
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
quanh trục
bằng
Ta có: