Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm dương và liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ thỏa mãn $f(0) = 1$ và $5\int_{0}^{1}{\left\{ f'(x)\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} + \frac{1}{25} ight\} dx} \leq 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack \sqrt{f'(x)}.f(x) ightbrack dx}$ . Tích phân $\int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx}$ là:
- A.
  $\frac{25}{33}$
- B.
  $\frac{5}{4}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{53}{50}$
$5\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\left\lbrack f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2} + \frac{1}{25} ightbrack dx \leqslant 2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

$\Leftrightarrow5\int_{0}^{1}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx+ \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\Rightarrow \left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} \leqslant \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}dx\cdot \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx$

$\Rightarrow 5\left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} + \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{2}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

$\Leftrightarrow 5\left( \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx - \frac{1}{5} ight)^{2} \leqslant 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx = \frac{1}{5}.$

Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi $\left\{\begin{matrix}\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx =\dfrac{1}{5} \Rightarrow k = \dfrac{1}{5} \\\sqrt{f^{'}(x)}f(x) = k \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{}^{}\ f^{'}(x)f^{2}(x)dx = \int_{}^{}\ \frac{1}{25}dx = \frac{1}{25}x + C$

$\Rightarrow \frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}}{3} = \frac{1}{25}x + C \Leftrightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 3C}$

$f(0) = 1 \Rightarrow 3C = 1 \Rightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 1}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx} = \int_{0}^{1}{\left( \frac{3}{25}x + 1 ight)dx} = \frac{53}{50}$
Câu 2: Thông hiểu
Tính diện tích $S_{D}$ của hình phẳng $D$ được giới hạn bởi các đường $y = \left| \frac{\ln x}{x} ight|$ , trục hoành và các đường thẳng $x = \frac{1}{e};x = 2$ ?
- A.
  $S_{D} = \frac{1}{2}(1 +\ln2)$
- B.
  $S_{D} = \frac{1}{2}\left( 1 + \ln^{2}2ight)$
- C.
  $S_{D} = \frac{1}{2}\ln^{2}x -\frac{1}{2}$
- D.
  $S_{D} = \frac{1}{2}\left( 1 - \ln^{2}2ight)$
Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S_{D} = \int_{\frac{1}{e}}^{2}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx} = \int_{\frac{1}{e}}^{1}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx} + \int_{1}^{2}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx}$

$= - \int_{\frac{1}{e}}^{1}{\frac{\ln x}{x}dx} + \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x}dx}$

$= - \left. \ \frac{\left( \ln x ight)^{2}}{2} ight|_{\frac{1}{e}}^{1} + \left. \ \frac{\left( \ln x ight)^{2}}{2} ight|_{1}^{2}$

$= \frac{1}{2} + \frac{\ln^{2}2}{2} =\frac{1}{2}\left( 1 + \ln^{2}2 ight)$
Câu 3: Nhận biết
Tính $\int_{}^{}{\sin3xdx}$ ?
- A.
  $- \frac{1}{3}\cos3x +C$
- B.
  $- \cos3x + C$
- C.
  $\cos3x + C$
- D.
  $\frac{1}{3}\cos3x +C$
Áp dụng công thức $\int_{}^{}{\sin(ax + b)dx} = - \frac{1}{a}\cos(ax + b) + C$

Suy ra $\int_{}^{}{\sin3xdx} = -\frac{1}{3}\cos3x + C$
Câu 4: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ , $f(0) = 0;f'(0) eq 0;f( - 2) > 2$ và thỏa mãn hệ thức $f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + (6x + 1)f(x)$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Giá trị của $f( - 2)$ là:
- A.
  $- 4$
- B.
  $4$
- C.
  $- 24$
- D.
  $24$
Ta có:

$f(x)f'(x) + 18x^{2} = \left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + (6x + 1)f(x)$

$\Leftrightarrow 2f(x)f'(x) + 36x^{2} = 2\left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + 2(6x + 1)f(x)$

$\Leftrightarrow 2f(x)f'(x) - \left\lbrack 2\left( 3x^{2} + x ight)f'(x) + 2(6x + 1)f(x) ightbrack = - 36x^{2}$

$\Rightarrow \left\lbrack f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) ightbrack' = - 36x^{2}$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) ightbrack'dx} = \int_{}^{}{\left( - 36x^{2} ight)dx}$

$\Rightarrow f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) = - 12x^{3} + C$

Mặt khác $f(0) = 0 \Rightarrow C = 0$

Vậy $f^{2}(x) - 2\left( 3x^{2} + x ight)f(x) = - 12x^{3}$

$\Rightarrow f^{2}( - 2) - 20f( - 2) = 96 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f( - 2) = 24 \\ f( - 2) = - 4 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $f( - 2) > 2 \Rightarrow f( - 2) = 24$ .
Câu 5: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có một nguyên hàm là hàm số $F(x)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = f(b) - f(a)$
- B.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a)$
- C.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(a) - F(b)$
- D.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) + F(a)$
Theo định nghĩa tích phân ta có: $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a)$ .
Câu 6: Thông hiểu
Biết $\int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx} = a\sqrt{e} + b$ với $a;b\mathbb{\in Z}$ . Xác định giá trị biểu thức $P = ab$ ?
- A.
  $P = 4$
- B.
  $P = - 8$
- C.
  $P = 8$
- D.
  $P = - 4$
Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = \ln x \\dv = \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{dx}{x} \\v = 2\sqrt{x} \\\end{matrix} ight.$ khi đó ta có:

$\int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx} = \left. \ \left( 2\sqrt{x}\ln x ight) ight|_{e}^{1} - 2\int_{1}^{e}\frac{dx}{x}$

$= \left. \ \left( 2\sqrt{x}\ln x ight) ight|_{e}^{1} - \left. \ \left( 4\sqrt{x} ight) ight|_{e}^{1} = - 2\sqrt{e} + 4$

Vậy $\left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a.b = - 8$ .
Câu 7: Thông hiểu
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y^{2} = 4x$ và $y = x$ (với $0 \leq x \leq 4$ ) được minh họa bằng hình vẽ bên (phần tô đậm):

Cho $(H)$ quay quanh trục $Ox$ , thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = 11\pi$
- B.
  $V = \frac{32\pi}{3}$
- C.
  $V = \frac{15\pi}{7}$
- D.
  $V = 10\pi$
Ta có: $y^{2} = 4x \Rightarrow y = 2\sqrt{x};(y \geq 0)$

Thể tích khối tròn xoay cần tính là

$V = \pi\int_{0}^{4}{\left( 2\sqrt{x} ight)^{2}dx} - \pi\int_{0}^{4}{x^{2}dx}$

$= \left. \ 2\pi x^{2} ight|_{0}^{4} - \frac{\pi}{3}.\left. \ x^{3} ight|_{0}^{4} = \frac{32\pi}{3}$
Câu 8: Nhận biết
Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , $y = g(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ $(a < b)$ là
- A.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
- B.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx}$ .
- C.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack^{2}dx}$ .
- D.
  $S = \pi\int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , $y = g(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ $(a < b)$ là $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Câu 9: Thông hiểu
Một vận động viên đua xe đang chạy với vận tốc $10m/s$ thì anh ta tăng tốc với vận tốc $a(t) = 6t\left( m/s^{2} ight)$ , trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc, hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian $10s$ kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu?
- A.
  $1100m$
- B.
  $100m$
- C.
  $1010m$
- D.
  $1110m$
Ta có: $v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{6tdt} = 3t^{2} + C$

Do khi bắt đầu tăng tốc $v_{0} = 10 ightarrow v_{(t = 0)} = 10 \Rightarrow C = 10$

$\Rightarrow v(t) = 3t^{2} + 10$

Khi đó quãng đường xe đi được sau 10 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

$S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} = \int_{0}^{10}{\left( 3t^{2} + 10 ight)dt} = 1100(m)$
Câu 10: Thông hiểu

Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau $t$ năm được xác định bởi hàm số $S(t)$ ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với $S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}$ , với $t$ là số năm kể từ năm 2014, $S'(t)$ được tính bằng triệu người/năm.

a) $S(t)$ là một nguyên hàm của $S'(t)$ . Đúng||Sai

b) $S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7$ . Sai||Đúng

c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

Đáp án là:

Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau $t$ năm được xác định bởi hàm số $S(t)$ ( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với $S'(t) = 1,2698.e^{0,014t}$ , với $t$ là số năm kể từ năm 2014, $S'(t)$ được tính bằng triệu người/năm.

a) $S(t)$ là một nguyên hàm của $S'(t)$ . Đúng||Sai

b) $S(t) = 90,7.e^{0,014t} + 90,7$ . Sai||Đúng

c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai

d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai

Ta có: $S(t)$ là một nguyên hàm của $S'(t)$ và

$\int_{}^{}{S'(t)}dt = \int_{}^{}{1,2698.e^{0,014t}}dt = 90,7.e^{0,014t} + C$

Do $S(0) = 90,7 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow S(t) = 90,7.e^{0,014t}$

Tốc độ tăng dân số của nước ta vào năm 2034 là

$S'(20) = 1,2698.e^{0,014.20} \approx 1,7$ ( triệu người/năm)

Dân số của nước ta vào năm 2034 là

$S(20) = 90,7.e^{0,014.20} \approx 120$ ( triệu người)
Câu 11: Vận dụng cao

Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m² (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 4,32m².

Đáp án là:

Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m² (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án: 4,32m².

Đặt hệ trục tọa độ có gốc O trùng với giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.

Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm $A( - 1;0)$ và $A(2;1)$ có dạng hàm số $(P_{1}):y = \frac{1}{2}x^{2} - 1$ .

Đồ thị của hàm số $y = g(x)$ nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm $C(1;0)$ và $D(2; - 1)$ có dạng hàm số $(P_{1}):y = - \frac{1}{2}x^{2} + 1$ .

Giao điểm của hai parabol tại $x_{1} = - \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{2}$

Do đó, diện tích của con cá là $S = \int_{- \sqrt{2}}^{2}{\left| x^{2} - 2 ight|dx} \approx 4,32m^{2}$
Câu 12: Nhận biết
Xác định tích phân $I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx}$ ?
- A.
  $I = - \ln9$
- B.
  $I = \ln9$
- C.
  $I = - \ln3$
- D.
  $I = \ln3$
Ta có:

$I = \int_{1}^{5}{\frac{1}{1 - 2x}dx} = - \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{d(1 - 2x)}{1 - 2x}$

$= - \frac{1}{2}.\left. \ \ln|1 - 2x|ight|_{1}^{5} = - \ln3$
Câu 13: Nhận biết
Cho hình $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = - x^{2} + 2x$ , trục hoành. Quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích là:
- A.
  $V = \frac{496\pi}{15}$
- B.
  $V = \frac{32\pi}{15}$
- C.
  $V = \frac{4\pi}{3}$
- D.
  $V = \frac{16\pi}{15}$
Phương trình hoành độ giao điểm của $(H);Ox$ là: $- x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $V = \pi\int_{0}^{2}{\left( - x^{2} + 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx} = \frac{16\pi}{15}$ .
Câu 14: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = sin3x$ .
- A.
  $\int_{}^{}{sin3xdx} = - \frac{1}{3}cos3x + C$
- B.
  $\int_{}^{}{sin3xdx} = \frac{1}{3}cos3x + C$
- C.
  $\int_{}^{}{sin3xdx} = - 3cos3x + C$
- D.
  $\int_{}^{}{sin3xdx} = 3cos3x + C$
Ta có $\left( - \frac{1}{3}cos3x + C ight)' = sin3x.$
Câu 15: Thông hiểu
Tích phân $\int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x\left( \ln x + 2 ight)^{2}}dx} = a\ln3 + b\ln2 +\frac{c}{3}$ với $a;b;c\mathbb{\in Z}$ . Kết luận nào dưới đây đúng?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 11$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 9$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$
Ta có: $I = \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x\left( \ln x + 2 ight)^{2}}dx}$ . Đặt $t = \ln x + 2 \Rightarrow dt = \frac{dx}{x}$

Đổi cận tích phân $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 2 \\ x = e \Rightarrow t = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $I = \int_{2}^{3}{\frac{t -2}{t^{2}}dt} = \int_{2}^{3}{\left( \frac{1}{t} - \frac{2}{t^{2}}ight)dt} = \left. \ \left( \ln t + \frac{2}{t} ight) ight|_{2}^{3}= \ln3 - \ln2 - \frac{1}{3}$

Suy ra $a = 1;b = - 1;c = - 1$ . Vậy $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ .
Câu 16: Thông hiểu

Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x) = \sqrt{x}$ và $y = g(x) = x - 2$ như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 3,3 m²

Đáp án là:

Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x) = \sqrt{x}$ và $y = g(x) = x - 2$ như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 3,3 m²

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số $y = \sqrt{x},y = x - 2.$

$\sqrt{x} = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x = (x - 2)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x^{2} - 5x + 4 = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow x = 4. ight.$

Diện tích của hình phẳng cần tìm là

$S = \int_{0}^{4}\sqrt{x}dx - \int_{0}^{4}(x - 2)dx = \frac{10}{3} \approx 3,3(m^{2}).$
Câu 17: Thông hiểu
Hàm số $F\left( x ight) = 2\sin x - 3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
- A. $f\left( x ight) = 2\cos x + 3\sin x$
- B. $f\left( x ight) = - 2\cos x + 3\sin x$
- C. $f\left( x ight) = - 2\cos x - 3\sin x$
- D. $f\left( x ight) = 2\cos x - 3\sin x$
$F'\left( x ight) = f\left( x ight) = 2\cos x + 3\sin x$
Câu 18: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1}$ ?
- A.
  $F(x) = 1 + \frac{2}{(x + 1)^{2}} + C$
- B.
  $F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 1} + C$
- C.
  $F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{2}{x + 1} + C$
- D.
  $F(x) = 1 - \frac{2}{(x + 1)^{2}} + C$
Ta có:

$f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1} = \frac{(x + 1)^{3} - 2}{(x + 1)^{2}} = x + 1 - \frac{2}{(x + 1)^{2}}$

$\Rightarrow F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 1} + C$
Câu 19: Vận dụng
Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}$ và nửa elip có phương trình $y = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}}$ (với $- 2 \leq x \leq 2$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Gọi $S$ là diện tích của, biết $S = \frac{a\pi + b\sqrt{3}}{c}$ (với $a;b;c\mathbb{\in R}$ ). Tính $P = a + b + c$ ?
- A.
  $P = 9$
- B.
  $P = 12$
- C.
  $P = 15$
- D.
  $P = 17$
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị: $\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow x = \pm 1$

Do tính chất đối xứng của đồ thị nên

$S = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} ight) = 2\left( S_{1} + S_{2} ight)$

$S_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

$S_{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx}$ . Đặt $x = 2\sin t\Rightarrow dx = 2\cos tdt$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{2} \\\end{matrix} ight.$

Với $t \in \left\lbrack\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow \cos t \geq 0\Rightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = 2\sqrt{\cos^{2}t} = 2\cos t$

$S_{2} =\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{4\cos^{2}tdt} =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{2\cos^{2}tdt}$

$=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{(1 + \cos2t)dt} = \left. \ \left( t+ \frac{1}{2}\sin2t ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Suy ra $S = \frac{4\pi - \sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = 4;b = - 1;c = 6$

Vậy $P = a + b + c = 9$
Câu 20: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) =\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}$ ?
- A.
  $e^{\tan x} + C$
- B.
  $e^{- \tan x} + C$
- C.
  $\tan x.e^{\tan x} + C$
- D.
  $- e^{\tan x} + C$
Đặt $t = \tan x \Rightarrow dt =\frac{1}{\cos^{2}x}dx$

$\int_{}^{}{\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx} = \int_{}^{}{e^{t}dt} = e^{t} + C = e^{\tan x} +C$

62 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!