Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Biết rằng $f'(x) = x\sqrt{1 + x^{2}}$ và $3f(0) = 4$ . Tìm hàm số $f(x)$ ?
- A.
  $\frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + 1$
- B.
  $\frac{1 + x^{2}}{3} + 1$
- C.
  $\frac{x^{2}\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{2}}{3} - 1$
- D.
  $\frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{2}}{3} - 1$
Ta có: $f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{x\sqrt{1 + x^{2}}dx}$

$= \frac{1}{2}\int_{}^{}{\left( 1 + x^{2} ight)^{\frac{1}{2}}d\left( 1 + x^{2} ight)} = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + C$

Mà $3f(0) = 4 \Leftrightarrow 3\frac{\left( \sqrt{1 + 0^{2}} ight)^{3}}{3} + 3C = 4 \Leftrightarrow C = 1$

Vậy $f(x) = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + 1$
Câu 2: Nhận biết
Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y = e^{x}$ , trục hoành và các đường thẳng $x = 0;x = 1$ . Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{e^{2} - 1}{2}$
- B.
  $V = \frac{\pi\left( e^{2} + 1 ight)}{2}$
- C.
  $V = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}$
- D.
  $V = \frac{\pi e^{2}}{2}$
Ta có:

$V = \pi\int_{0}^{1}{e^{2x}dx} = \left. \ \frac{\pi}{2}e^{2x} ight|_{0}^{1} = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}$ .
Câu 3: Nhận biết
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack 1;3brack$ , trục Ox và hai đường thẳng $x = 1;x = 3$ có diện tích là:
- A.
  $S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}$
- B.
  $S = \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|dx}$
- C.
  $S = \int_{3}^{1}{f(x)dx}$
- D.
  $S = \int_{3}^{1}{\left| f(x) ight|dx}$
Công thức tính diện tích cần tìm là: $S = \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|dx}$ .
Câu 4: Thông hiểu
Xét $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2x + 1$ , trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = a;(a > 0)$ . Giá trị của $a$ sao cho thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành bằng $57\pi$ là?
- A.
  $a = 3$
- B.
  $a = 5$
- C.
  $a = 4$
- D.
  $a = 2$
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là:

$V = \pi\int_{0}^{a}{(2x + 1)^{2}dx} = \pi\left. \ \frac{(2x + 1)^{3}}{6} ight|_{0}^{a}$

$= \pi\left\lbrack \frac{(2a + 1)^{3}}{6} - \frac{1}{6} ightbrack$

Mà $V = 57\pi \Leftrightarrow \pi\left\lbrack \frac{(2a + 1)^{3}}{6} - \frac{1}{6} ightbrack = 57\pi$

$\Leftrightarrow (2a + 1)^{3} = 343 \Leftrightarrow a = 3$

Vậy $a = 3$ là giá trị cần tìm.
Câu 5: Vận dụng
Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = (x + 3)^{2}$ , trục hoành và đường thẳng $x = 0$ . Gọi $A(0;9),B(b;0);( - 3 < b < 0)$ . Tính giá trị của tham số $b$ để đoạn thẳng $AB$ chia $(H)$ thành hai phần có diện tích bằng nhau?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
- A.
  $b = - \frac{1}{2}$
- B.
  $b = - 2$
- C.
  $b = - \frac{3}{2}$
- D.
  $b = - 1$
Câu 6: Nhận biết
Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{2x - 1}$ , biết rằng $F(1) = 2$ . Khi đó giá trị $F(2)$ là:
- A.
  $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 -2$
- B.
  $F(2) = \ln3 + 2$ .
- C.
  $F(2) = 2\ln3 - 2$
- D.
  $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)$

Mà $F(1) = 2 \Rightarrow C = 2$ . Vậy với $x > \frac{1}{2}$ thì $F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2$

Vậy $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2$ .
Câu 7: Thông hiểu
Một vật chuyển động với vận tốc $10(m/s)$ thì tăng tốc với gia tốc $a(t) = 3t + t^{2}\left( m/s^{2} ight)$ Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $10$ giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
- A.
  $S = \frac{4000}{3}m$
- B.
  $S = \frac{4350}{3}m$
- C.
  $S = \frac{4300}{3}m$
- D.
  $S = 1433m$
Ta có:

$v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{\left( 3t + t^{2} ight)dt} = \frac{t^{3}}{3} + \frac{3}{2}t^{2} + C$

Do khi bắt đầu tăng tốc $v_{0} = 10 \Rightarrow v_{(t = 0)} = 10 \Rightarrow C = 10$

$\Rightarrow v(t) = \frac{t^{3}}{3} + \frac{3}{2}t^{2} + 10$

Khi đó quãng đường đi được bằng

$S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} = \int_{0}^{10}{\left( \frac{t^{3}}{3} + \frac{3}{2}t^{2} + 10 ight)dt} = \frac{4300}{3}(m)$
Câu 8: Thông hiểu
Biết rằng $\int_{0}^{\pi^{2}}{\left( \sin\sqrt{x} - \cos\sqrt{x} ight)dx = A + Bx}$ với $A;B\mathbb{\in Z}$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $A + B = 7$
- B.
  $A + B = 6$
- C.
  $A + B = 5$
- D.
  $A + B = 4$
Đặt $t = \sqrt{x} \Rightarrow t^{2} = x \Rightarrow 2tdt = dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = \pi^{2} \Rightarrow t = \pi \\ \end{matrix} ight.$ khi đó ta được:

$\int_{0}^{\pi^{2}}{\left( \sin\sqrt{x} -\cos\sqrt{x} ight)dx =}\int_{0}^{\pi}{\left( \sin t - \cos tight)tdt} = I$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u = t \\ dv = \left( \sin t - \cos t ight)dt \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dt \\ v = - \cos t - \sin t \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I = 2\left\lbrack \left. \ t\left( - \cos t - \sin t ight) ight|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi}{\left( \cos t + \sin t ight)dt} ightbrack$

$\Rightarrow I = 2\left\lbrack \left. \ \pi + \left( \sin t - \cos t ight) ight|_{0}^{\pi} ightbrack = 4 + 2\pi$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 4 \\ B = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A + B = 6$
Câu 9: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}}$ là:
- A.
  $\frac{2}{e^{x} + 1} + C$ .
- B.
  $- \frac{2}{e^{x} + 1} + C$ .
- C.
  $\frac{- 1}{e^{x} + 1} + C$ .
- D.
  $\frac{1}{e^{x} + 1} + C$ .
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}}dx} = \int_{}^{}\frac{d\left( e^{x} + 1 ight)}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}} = - \frac{1}{e^{x} + 1} + C$ .
Câu 10: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục nhận giá trị dương trên $(0; +\infty)$ và thỏa mãn $f(1) =1$ ; $f(x) = f'(x).\sqrt{3x +1};\forall x > 0$ . Giá trị $f(3)$ gần nhất với giá trị nào sau đây?
- A.
  $2,9$
- B.
  $3,2$
- C.
  $3,7$
- D.
  $2,5$
Vì $\left\{ \begin{matrix}f(x) > 0 \\f(x) = f'(x)\sqrt{3x + 1} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} =\frac{1}{\sqrt{3x + 1}}$
$\Rightarrow\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{3x +1}}dx} \Rightarrow \ln f(x) = \frac{2\sqrt{3x + 1}}{3} + C$
Mà $f(1) = 1 \Rightarrow C = -\frac{4}{3}$
$\Rightarrow f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}} \Rightarrow f\left( 3 ight) \approx 2,17$
Câu 11: Thông hiểu
Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2x - 1};y = 1$ và đường thẳng $x = 2$ là
- A.
  $S = 1 + \ln3$
- B.
  $S = 1 - \frac{1}{2}\ln3$
- C.
  $S = \frac{1}{2}\ln3$
- D.
  $S = \frac{1}{2} +\ln3$
Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{1}{2x - 1} = 1 \Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{1}{2} \\2x - 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = 1$

Khi đó:

$S = \int_{1}^{2}{\left| \frac{1}{2x - 1} - 1 ight|dx} = \left| \int_{1}^{2}{\left( \frac{1}{2x - 1} - 1 ight)dx} ight|$

$= \left| \left. \ \left( \frac{\ln|2x -1|}{2} - x ight) ight|_{1}^{2} ight| = \left| \frac{1}{2}\ln3 - 1ight| = 1 - \frac{1}{2}\ln3$ .
Câu 12: Nhận biết
Tìm nguyên hàm $F(t) = \int_{}^{}txdt$ .
- A.
  $F(t) = x + t + C$
- B.
  $F(t) = \frac{x^{2}t}{2} + C$
- C.
  $F(t) = \frac{xt^{2}}{2}$ $+ C$
- D.
  $F(t) = \frac{(tx)^{2}}{2} + C$
Ta có:

$F(t) = \int_{}^{}txdt = x\int_{}^{}tdt = x.\frac{t^{2}}{2} + C$
Câu 13: Thông hiểu
Tìm $a + b$ biết rằng $\int_{0}^{1}{x\sqrt[3]{1 - x}dx} = \frac{a}{b}$ là phân số tối giản?
- A.
  $36$
- B.
  $38$
- C.
  $37$
- D.
  $35$
Ta có: $t = \sqrt[3]{1 - x} \Rightarrow t^{3} = 1 - x \Rightarrow 3t^{2}dt = - dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ \end{matrix} ight.$ khi đó suy ra

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{x\sqrt[3]{1 - x}dx} = 3\int_{0}^{1}{\left( 1 - t^{3} ight)t^{3}dt}$

$= \left. \ 3\left( \frac{t^{4}}{4} - \frac{t^{7}}{7} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{9}{28}$
Câu 14: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int_{0}^{2}{f(x)dx}\ = 5,\int_{1}^{2}{f(x)dx\ } = 3$ . Giá trị của biểu thức $\int_{0}^{1}{f(x)dx}$ bằng
- A.
  7.
- B.
  2.
- C.
  12.
- D.
  0,75.
Ta có: $\int_{0}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} = \int_{0}^{2}{f(x)dx} - \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 5 - 3 = 2$
Câu 15: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm dương và liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ thỏa mãn $f(0) = 1$ và $5\int_{0}^{1}{\left\{ f'(x)\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} + \frac{1}{25} ight\} dx} \leq 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack \sqrt{f'(x)}.f(x) ightbrack dx}$ . Tích phân $\int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx}$ là:
- A.
  $\frac{25}{33}$
- B.
  $\frac{5}{4}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{53}{50}$
$5\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\left\lbrack f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2} + \frac{1}{25} ightbrack dx \leqslant 2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

$\Leftrightarrow5\int_{0}^{1}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx+ \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\Rightarrow \left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} \leqslant \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}dx\cdot \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx$

$\Rightarrow 5\left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} + \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{2}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

$\Leftrightarrow 5\left( \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx - \frac{1}{5} ight)^{2} \leqslant 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx = \frac{1}{5}.$

Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi $\left\{\begin{matrix}\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx =\dfrac{1}{5} \Rightarrow k = \dfrac{1}{5} \\\sqrt{f^{'}(x)}f(x) = k \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{}^{}\ f^{'}(x)f^{2}(x)dx = \int_{}^{}\ \frac{1}{25}dx = \frac{1}{25}x + C$

$\Rightarrow \frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}}{3} = \frac{1}{25}x + C \Leftrightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 3C}$

$f(0) = 1 \Rightarrow 3C = 1 \Rightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 1}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx} = \int_{0}^{1}{\left( \frac{3}{25}x + 1 ight)dx} = \frac{53}{50}$
Câu 16: Nhận biết
Giá trị tích phân $I = \int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx}$ bằng:
- A.
  $- \frac{31}{125}$
- B.
  $\frac{31}{125}$
- C.
  $\frac{31}{160}$
- D.
  $\frac{24}{125}$
Ta có:

$I = \int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx} = \int_{1}^{2}{x^{- 6}dx} = \left. \ \frac{x^{- 5}}{- 5} ight|_{1}^{2} = \frac{31}{125}$
Câu 17: Thông hiểu
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y = x^{2} + 2x$ và $y = x + 2$ bằng:
- A.
  $\frac{7}{2}$
- B.
  $\frac{9}{2}$
- C.
  $\frac{11}{2}$
- D.
  $\frac{5}{2}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm

$x^{2} + 2x = x + 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Hình vẽ minh họa

Diện tích hình phẳng là:

$S = \int_{- 2}^{1}{\left| \left( x^{2} + 2x ight) - (x + 2) ight|dx} = \int_{- 2}^{1}{\left| x^{2} + x - 2 ight|dx}$

$= \int_{- 2}^{1}{\left\lbrack - \left( x^{2} + x - 2 ight) ightbrack dx} = \left| \left. \ \left( - \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2}x^{2} + 2x ight) ight|_{- 2}^{1} ight| = \frac{9}{2}$

$= \left| \left. \ \left( \frac{2}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{\frac{3}{2}} ight| = \frac{9}{8}$
Câu 18: Thông hiểu
Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ trên khoảng $(1; + \infty)$ thỏa mãn $F(e + 1) = 4$ . Xác định công thức $F(x)$ ?
- A.
  $F(x) = 2\ln(x - 1) +2$
- B.
  $F(x) = \ln(x - 1) + 3$ .
- C.
  $F(x) = 4\ln(x - 1)$
- D.
  $F(x) = \ln(x - 1) - 3$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{x - 1} = \int_{}^{}\frac{d(x - 1)}{x - 1} = \ln|x - 1| + C = \ln(x - 1) + C$ (vì $(1; + \infty)$ )

Mà $F(e + 1) = 4 \Leftrightarrow \ln(e + 1 - 1) + C = 4 \Rightarrow C = 3$

Vậy $F(x) = \ln(x - 1) + 3$ .
Câu 19: Vận dụng cao
Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng $1$ như hình vẽ:
Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x;( - 1 \leq x \leq 1)$ thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích $V$ của vật thể đó.?
- A.
  $V = \sqrt{3}$
- B.
  $V = 3\sqrt{3}$
- C.
  $V = \frac{4\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $V = \pi$
Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x;( - 1 \leq x \leq 1)$ thì được thiết diện là một tam giác đều có cạnh bằng $2\sqrt{1 - x^{2}}$
Do đó, diện tích của thiết diện: $S(x) =\frac{\left( 2\sqrt{1 - x^{2}} ight)^{2}\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\left(1 - x^{2} ight)$
$V = \int_{- 1}^{1}{S(x)dx} = \int_{-1}^{1}{\left\lbrack \sqrt{3}\left( 1 - x^{2} ight) ightbrackdx}$
$= \sqrt{3}\left. \ \left( x -\frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{- 1}^{1} =\frac{4\sqrt{3}}{3}$
Câu 20: Thông hiểu
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x}$ , thỏa mãn $F(0) = \frac{1}{\ln2}$ . Tính giá trị biểu thức $T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$ ?
- A.
  $T = 1009.\frac{2^{2019} +1}{\ln2}$
- B.
  $T = 2^{2019.2020}$
- C.
  $T = \frac{2^{2019} -1}{\ln2}$
- D.
  $T = \frac{2^{2020} - 1}{\ln2}$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{2^{x}dx} = \frac{2^{x}}{\ln2} + C$

$F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x}$ , ta có: $F(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} + C$ mà $F(0) = \frac{1}{\ln2}$

$\Rightarrow C = 0 \Rightarrow F(x) =\frac{2^{x}}{\ln2}$

$T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$

$T = \frac{1}{\ln2}\left( 1 + 2 + 2^{2} +.... + 2^{2018} + 2^{2019} ight)$

$T = \frac{1}{\ln2}.\frac{2^{2020} - 1}{2- 1} = \frac{2^{2020} - 1}{ln2}$

8 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!