Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = ax + \frac{b}{x^{2}};(x eq
0), biết rằng F( - 1) = 1;F(1) =
4;f(1) = 0?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\left( ax +
\frac{b}{x^{2}} ight)dx = \frac{ax^{2}}{2} - \frac{b}{x} +
c}

    Theo bài ra ta có:

    F( - 1) = 1;F(1) = 4;f(1) =
0

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{2} + b + c = 1 \\\dfrac{a}{2} - b + c = 4 \\a + b = 0 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\b = - \dfrac{3}{2} \\c = \dfrac{7}{4} \\\end{matrix} ight.. Vậy F(x) =
\frac{3x^{2}}{4} + \frac{3}{2x} + \frac{7}{4}.

  • Câu 2: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của hàm số f(x) =
3x^{2} + \frac{x}{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =
\int_{}^{}\left( 3x^{2} + \frac{x}{2} ight)dx = x^{3} +
\frac{x^{2}}{4} + C.

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) biết f(0) = 1, f'(x) liên tục trên \lbrack 0;3brack\int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9. Tính f(3)?

    Ta có:

    \int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9
\Leftrightarrow \left. \ f(x) ight|_{0}^{3} = 9 \Rightarrow f(3) -
f(0) = 9

    \Rightarrow f(3) = 9 + f(0) = 9 + 1 =
10

  • Câu 4: Thông hiểu

    Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) = \sqrt{x}y = g(x) = x - 2 như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

    Đáp án: 3,3 m2

    Đáp án là:

    Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi y = f(x) = \sqrt{x}y = g(x) = x - 2 như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

    Đáp án: 3,3 m2

    Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số y = \sqrt{x},y = x - 2.

    \sqrt{x} = x - 2 \Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
x \geq 2 \\
x = (x - 2)^{2} \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x \geq 2 \\
x^{2} - 5x + 4 = 0 \\
\end{matrix} \Leftrightarrow x = 4. ight.

    Diện tích của hình phẳng cần tìm là

    S = \int_{0}^{4}\sqrt{x}dx -
\int_{0}^{4}(x - 2)dx = \frac{10}{3} \approx 3,3(m^{2}).

  • Câu 5: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
sin3x.

    Ta có \left( - \frac{1}{3}cos3x + C
ight)' = sin3x.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 như hình vẽ:

    Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x;( - 1 \leq x \leq 1)thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V của vật thể đó.?

    Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x;( - 1 \leq x \leq 1) thì được thiết diện là một tam giác đều có cạnh bằng 2\sqrt{1 - x^{2}}

    Do đó, diện tích của thiết diện: S(x) =\frac{\left( 2\sqrt{1 - x^{2}} ight)^{2}\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\left(1 - x^{2} ight)

    V = \int_{- 1}^{1}{S(x)dx} = \int_{-1}^{1}{\left\lbrack \sqrt{3}\left( 1 - x^{2} ight) ightbrackdx}

    = \sqrt{3}\left. \ \left( x -\frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{- 1}^{1} =\frac{4\sqrt{3}}{3}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Một vận động viên đua xe đang chạy với vận tốc 10m/s thì anh ta tăng tốc với vận tốc a(t) = 6t\left( m/s^{2} ight), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc, hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian 10s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu?

    Ta có: v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} =
\int_{}^{}{6tdt} = 3t^{2} + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 10
ightarrow v_{(t = 0)} = 10 \Rightarrow C = 10

    \Rightarrow v(t) = 3t^{2} +
10

    Khi đó quãng đường xe đi được sau 10 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

    S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} =
\int_{0}^{10}{\left( 3t^{2} + 10 ight)dt} = 1100(m)

  • Câu 8: Nhận biết

    Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2x};y = 0 và hai đường thẳng x = 1;x = 2 quanh trục Ox:

    Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2x};y = 0 và hai đường thẳng x = 1;x = 2 quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{1}^{2}{\left( \sqrt{2x}
ight)^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{x^{2}dx} = \pi\left. \ x^{2}
ight|_{1}^{2} = 3\pi.

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 10: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 150 - 15t(m/s). Hỏi rằng trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 150 - 15t = 0
\Rightarrow t = 10(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} =
\int_{0}^{10}{(150 - 15t)dt} = \frac{375}{2}m.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Xét (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 1, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = a;(a
> 0). Giá trị của a sao cho thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành bằng 57\pi là?

    Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là:

    V = \pi\int_{0}^{a}{(2x + 1)^{2}dx} =
\pi\left. \ \frac{(2x + 1)^{3}}{6} ight|_{0}^{a}

    = \pi\left\lbrack \frac{(2a + 1)^{3}}{6}
- \frac{1}{6} ightbrack

    V = 57\pi \Leftrightarrow
\pi\left\lbrack \frac{(2a + 1)^{3}}{6} - \frac{1}{6} ightbrack =
57\pi

    \Leftrightarrow (2a + 1)^{3} = 343
\Leftrightarrow a = 3

    Vậy a = 3 là giá trị cần tìm.

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f'(x).f^{2}(x) = x^{2}f(2) = 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g(x) = f(x) + x^{2} tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

    Ta có: f'(x).f^{2}(x) =
x^{2}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{f'(x).f^{2}(x)dx} =
\int_{}^{}{x^{2}dx}

    \Leftrightarrow
\int_{}^{}{f^{2}(x)df(x)} = \frac{x^{3}}{3} + C

    \Leftrightarrow \frac{f^{3}(x)}{3} =
\frac{x^{3}}{3} + C. Theo bài ra ta có: f(2) = 2 \Rightarrow \frac{f^{3}(2)}{3} =
\frac{2^{3}}{3} + C \Rightarrow C = 0

    Suy ra \frac{f^{3}(x)}{3} =
\frac{x^{3}}{3} \Leftrightarrow f(x) = x

    Vậy g(x) = x^{2} + x \Rightarrow
g'(x) = 2x + 1

    Ta có: g'(3) = 7;g(3) =
12

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

    y = g'(3)(x - 3) + g(3)

    \Leftrightarrow y = 7(x - 3) + 12
\Leftrightarrow y = 7x - 9

  • Câu 13: Thông hiểu

    Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = - x^{3} + 3x^{2} - 2, trục hoành và hai đường thẳng x = 0;x = 2

    Phương trình hoành độ giao điểm

    - x^{3} + 3x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow
(1 - x)\left( x^{2} - 2x - 2 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = 1 \\
x = 1 + \sqrt{3} \\
x = 1 - \sqrt{3} \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    S = \int_{0}^{2}{\left| - x^{3} + 3x^{2}
- 2 ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{\left| - x^{3} + 3x^{2} -
2 ight|dx} + \int_{1}^{2}{\left| - x^{3} + 3x^{2} - 2
ight|dx}

    = \left| \int_{0}^{1}{\left( - x^{3} +
3x^{2} - 2 ight)dx} ight| + \left| \int_{1}^{2}{\left( - x^{3} +
3x^{2} - 2 ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( -
\frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 2x ight) ight|_{0}^{1} ight| + \left|
\left. \ \left( - \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 2x ight) ight|_{1}^{2}
ight|

    = \frac{5}{2}

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \cos x;y = 0;x = 0;x =
\frac{\pi}{2}. Thể tích vật thể tròn xoay có được khi (H) quay quanh trục Ox bằng:

    Gọi V là thể tích khối tròn xoay cần tính. Ta có:

    V = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\cos x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1 +\cos2x}{2}dx}

    = \pi\left. \ \left( \frac{x}{2} +\frac{\sin2x}{4} ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi^{2}}{4}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Giả sử \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x +
1)(x + 2)(x + 3) + 1} = - \frac{1}{g(x)} + C với C là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình g(x) = 0 bằng:

    Ta có: \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x +
1)(x + 2)(x + 3) + 1} = \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{\left( x^{2} + 3x +
2 ight)\left( x^{2} + 3x ight) + 1}

    Đặt t = x^{2} + 3x \Rightarrow dt = (2x +
3)dx

    \int_{}^{}\frac{dt}{(t + 2)t + 1} =
\int_{}^{}\frac{dt}{(t + 1)^{2}} = - \frac{1}{t + 1} + C = -
\frac{1}{x^{2} + 3x + 1} + C

    \Rightarrow g(x) = x^{2} + 3x +
1

    Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm x_{1};x_{2}x_{1} + x_{2} = - 3.

  • Câu 16: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 17: Vận dụng

    Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa 2 điểm xa nhất bằng 10 cm và cắt quả bóng bằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó thì được đường tròn có diện tích bằng 16\pi\left( \ cm^{2}
ight). Thể tích của quả bóng bằng (Tính gần đúng đến hai chữ số thập phân, đơn vị lít)

    Quả bóng bầu dục sẽ có dạng elip.

    Độ dài trục lớn bằng 20\ cm \Rightarrow2a = 20 \Rightarrow a = 5\ \ (cm)

    Ta có diện tích đường tròn thiết diện là

    S = \pi b^{2} = 16\pi \Rightarrow b =4(\ cm)

    Ta sẽ có phương trình elip \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} =
1

    \Rightarrow V = \pi\int_{-
5}^{5}{16\left( 1 - \frac{x^{2}}{25} ight)}dx \approx 335\ \ \left( \
cm^{3} ight) = 0,34\ (l).

  • Câu 18: Thông hiểu

    Một học sinh đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v(t) = 40t + 100(m/p). Biết rằng sau khi đi được 1 phút thì quãng đường học sinh đó đi được là 120m. Biết quãng đường từ nhà đến trường là 3km. Hỏi thời gian học sinh đó đi đến trường là bao nhiêu phút?

    Ta có: S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} =
20t^{2} + 100t + C

    S(1) = 120 + C = 120 \Rightarrow C =
0

    Để học sinh đó đến trường thì S(t) =
20t^{2} + 100t = 3000 \Leftrightarrow t = 10

    Vậy đáp án cần tìm là 10 phút.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x -
1}{x^{2} + 2x + 1}?

    Ta có:

    f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x -
1}{x^{2} + 2x + 1} = \frac{(x + 1)^{3} - 2}{(x + 1)^{2}} = x + 1 -
\frac{2}{(x + 1)^{2}}

    \Rightarrow F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x +
\frac{2}{x + 1} + C

  • Câu 20: Thông hiểu

    Biết \int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x
ightbrack dx} = 1. Khi đó \int_{1}^{2}{f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x
ightbrack dx} = 1 \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} -
2\int_{1}^{2}{xdx} = 1

    \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} -
2\left. \ .x^{2} ight|_{1}^{2} = 1 \Leftrightarrow
4\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 \Leftrightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} =
1

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 8 lượt xem
Sắp xếp theo