Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{2} + 2x + 1$ trục hoành và hai đường thẳng $x = - 1;x = 3$ .
- A.
  $S = \frac{64}{3}$
- B.
  $S = \frac{56}{3}$
- C.
  $S = \frac{37}{3}$
- D.
  $S = \frac{68}{3}$
Diện tích hình phẳng được tính như sau:

$S = \int_{- 1}^{3}{\left( x^{2} + 2x + 1 ight)dx} = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + x ight) ight|_{- 1}^{3} = \frac{64}{3}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng
- A.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} + 2x + 4 ight)dx}$ .
- B.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( 2x^{2} - 2x - 4 ight)dx}$ .
- C.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} - 2x + 4 ight)dx}$ .
- D.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( 2x^{2} + 2x - 4 ight)dx}$ .
Dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên là:

$\int_{- 1}^{2}{\left\lbrack \left( - x^{2} + 2 ight) - \left( x^{2} - 2x - 2 ight) ightbrack dx} = \int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} + 2x + 4 ight)dx}.$
Câu 3: Nhận biết
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $K$ và $a;b \in K$ , $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
- A.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \left. \ F(x) ight|_{a}^{b}$
- B.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \left. \ \left( \int_{}^{}{f(x)dx} ight) ight|_{a}^{b}$
- C.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{b}{f(t)dt}$
- D.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(a) - F(b)$
Theo định nghĩa tích phân ta có: $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a)$ .
Câu 4: Thông hiểu
Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số $y = cos2x$ ?
- A.
  $y = \sin2x + C$
- B.
  $y = \frac{1}{2}\cos2x +C$
- C.
  $y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C$
- D.
  $y = 2\sin2x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\cos2xdx} =\frac{1}{2}\sin2x + C$

$= \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + C =\frac{1}{2}.\left( 1 + 2\sin x\cos x ight) + C -\frac{1}{2}$

$= \frac{1}{2}.\left( \sin^{2}x +2\sin x\cos x + \cos^{2}x ight) + C'$

$= \frac{1}{2}.\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C'$

Vậy đáp án cần tìm là: $y = \frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C$ .
Câu 5: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) =2\sin x.\cos2x$ là:
- A.
  $- \frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- B.
  $\frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- C.
  $\frac{1}{3}\cos3x - \cos x +C$
- D.
  $- \cos3x + \cos x +C$
Ta có: $f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x$

Khi đó:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}$

$= \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C$
Câu 6: Nhận biết
Hàm số $f(x) = x^{3} + \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
- A.
  $f(x) = 3x^{2} - \cos x$
- B.
  $f(x) = \frac{x^{4}}{4} - \cos x$
- C.
  $f(x) = 3x^{2} + \cos x$
- D.
  $f(x) = \frac{x^{4}}{4} + \cos x$
Ta có: $F'(x) = 3x^{2} + \cos x$
Câu 7: Thông hiểu
Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian $t(s)$ là $a(t) = 2t - 7\left( m/s^{2} ight)$ . Biết vận tốc đầu bằng $10(m/s)$ . Hỏi trong $6$ giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?
- A.
  $5s$
- B.
  $6s$
- C.
  $1s$
- D.
  $2s$
Ta có:

Vận tốc của vật được tính theo công thức: $v(t) = 10 + t^{2} - 7t(m/s)$

Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức: $S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} = \frac{t^{3}}{3} - \frac{7}{2}t^{2} + 10t$

Ta có: $S'(t) = t^{2} - 7t + 10 \Rightarrow S'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \\ t = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix}S(0) = 0 \\S(2) = \dfrac{26}{3} \\S(5) = \dfrac{25}{6} \\S(6) = 6 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \underset{\lbrack 0;6brack}{\max S(t) = S(2)} = \dfrac{26}{3}$

Vậy thời điểm chất điểm ở xa nhất về phía bên phải là 2s.
Câu 8: Vận dụng
Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa 2 điểm xa nhất bằng 10 cm và cắt quả bóng bằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó thì được đường tròn có diện tích bằng $16\pi\left( \ cm^{2} ight)$ . Thể tích của quả bóng bằng (Tính gần đúng đến hai chữ số thập phân, đơn vị lít)
- A.
  0,15
- B.
  0,34
- C.
  0,32
- D.
  1
Quả bóng bầu dục sẽ có dạng elip.

Độ dài trục lớn bằng $20\ cm \Rightarrow2a = 20 \Rightarrow a = 5\ \ (cm)$

Ta có diện tích đường tròn thiết diện là

$S = \pi b^{2} = 16\pi \Rightarrow b =4(\ cm)$

Ta sẽ có phương trình elip $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

$\Rightarrow V = \pi\int_{- 5}^{5}{16\left( 1 - \frac{x^{2}}{25} ight)}dx \approx 335\ \ \left( \ cm^{3} ight) = 0,34\ (l).$
Câu 9: Vận dụng cao
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 6;5brack$ có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ:

Tính giá trị $I = \int_{- 6}^{5}{\left\lbrack f(x) + 2 ightbrack dx}$ ?
- A.
  $I = 2\pi + 35$
- B.
  $I = 2\pi + 34$
- C.
  $I = 2\pi + 33$
- D.
  $I = 2\pi + 32$
Hình vẽ minh họa

Dựa vào đồ thị ta có: $A( - 6; - 1),B( - 2;1)$ suy ra phương trình đường thẳng $AB:y = \frac{1}{2}x + 2$

$\Rightarrow I_{1} = \int_{0}^{- 2}{\left\lbrack \frac{1}{2}x + 2 + 2 ightbrack dx} = 8$

Phương trình đường tròn $(C)$ : $x^{2} + (y - 1)^{2} = 4 \Rightarrow y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$

$\Rightarrow I_{2} = \int_{- 2}^{2}{\left\lbrack 1 + \sqrt{4 - x^{2}} + 2 ightbrack dx} = 12 + 2\pi$

Điểm $C(2;1),D(5;3)$ nên phương trình đường thẳng $CD$ là: $y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$

$\Rightarrow I_{3} = \int_{2}^{5}{\left\lbrack \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} + 2 ightbrack dx} = 12$

Vậy $I = I_{1} + I_{2} + I_{3} = 32 + 2\pi$
Câu 10: Thông hiểu
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y = x^{2} + 2x$ và $y = x + 2$ bằng:
- A.
  $\frac{7}{2}$
- B.
  $\frac{9}{2}$
- C.
  $\frac{11}{2}$
- D.
  $\frac{5}{2}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm

$x^{2} + 2x = x + 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Hình vẽ minh họa

Diện tích hình phẳng là:

$S = \int_{- 2}^{1}{\left| \left( x^{2} + 2x ight) - (x + 2) ight|dx} = \int_{- 2}^{1}{\left| x^{2} + x - 2 ight|dx}$

$= \int_{- 2}^{1}{\left\lbrack - \left( x^{2} + x - 2 ight) ightbrack dx} = \left| \left. \ \left( - \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2}x^{2} + 2x ight) ight|_{- 2}^{1} ight| = \frac{9}{2}$

$= \left| \left. \ \left( \frac{2}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{\frac{3}{2}} ight| = \frac{9}{8}$
Câu 11: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục, luôn dương trên $\lbrack 0;3brack$ và thỏa mãn $I = \int_{0}^{3}{f(x)dx} = 4$ . Khi đó giá trị của tích phân $K = \int_{0}^{3}{\left( e^{1 + \ln f(x)} + 4 ight)dx}$ là:
- A.
  $4 + 12e$
- B.
  $12 + 4e$
- C.
  $14 + 3e$
- D.
  $14e + 3$
Ta có:

$K = \int_{0}^{3}{\left( e^{1 + \ln f(x)} + 4 ight)dx} = \int_{0}^{3}{\left\lbrack e.e^{\ln f(x)} ightbrack dx} + \int_{0}^{3}{4dx}$

$= e\int_{0}^{3}{f(x)dx} + \int_{0}^{3}{4dx} = 4e + 12$
Câu 12: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x);g(x)$ là các hàm số liên tục trên $\lbrack 1;3brack$ và thỏa mãn $\int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = 10$ và $\int_{1}^{3}{\left\lbrack 2f(x) - g(x) ightbrack dx} = 6$ . Tính tích phân $K = \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack dx}$ ?
- A.
  $K = 6$
- B.
  $K = 7$
- C.
  $K = 8$
- D.
  $K = 9$
Theo bài ra ta có:

$\left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = 10 \\\int_{1}^{3}{\left\lbrack 2f(x) - g(x) ightbrack dx} = 6 \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{f(x)dx} + 3\int_{1}^{3}{g(x)dx} = 10 \\2\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \int_{1}^{3}{g(x)dx} = 6 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{f(x)dx} = 4 \\\int_{1}^{3}{g(x)dx} = 2 \\\end{matrix} ight.$ $\Rightarrow K = \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) +g(x) ightbrack dx} = 4.2 = 6$
Câu 13: Thông hiểu
Biết F(x) = x²+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3
- A. $f\left( 3 ight) = 6$
- B. $f\left( 3 ight) = 10$
- C. $f\left( 3 ight) = 22$
- D. $f\left( 3 ight) = 15$
$f\left( x ight) = \left[ {F\left( x ight)} ight]' = 2x + 4 \Rightarrow F\left( 3 ight) = 10$
Câu 14: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'(x).f^{2}(x) = x^{2}$ và $f(2) = 2$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $g(x) = f(x) + x^{2}$ tại điểm có hoành độ bằng $3$ là:
- A.
  $y = 7x - 9$
- B.
  $y = x + 2$
- C.
  $y = 4x - 4$
- D.
  $y = x$
Ta có: $f'(x).f^{2}(x) = x^{2}$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\int_{}^{}{f'(x).f^{2}(x)dx} = \int_{}^{}{x^{2}dx}$

$\Leftrightarrow \int_{}^{}{f^{2}(x)df(x)} = \frac{x^{3}}{3} + C$

$\Leftrightarrow \frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C$ . Theo bài ra ta có: $f(2) = 2 \Rightarrow \frac{f^{3}(2)}{3} = \frac{2^{3}}{3} + C \Rightarrow C = 0$

Suy ra $\frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} \Leftrightarrow f(x) = x$

Vậy $g(x) = x^{2} + x \Rightarrow g'(x) = 2x + 1$

Ta có: $g'(3) = 7;g(3) = 12$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

$y = g'(3)(x - 3) + g(3)$

$\Leftrightarrow y = 7(x - 3) + 12 \Leftrightarrow y = 7x - 9$
Câu 15: Nhận biết
Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin x + 1$ là:
- A.
  $\cos x + C$
- B.
  $\cos x + x + C$
- C.
  $- \cos x + C$
- D.
  $- \cos x + x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\left( \sin x + 1 ight)dx} = - \cos x + x + C$
Câu 16: Nhận biết
Một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc là $v(t) = 3t^{2} + 5(m/s)$ . Hỏi quãng đường máy bay đi được từ giây thứ $4$ đến giây thứ $10$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $996m$
- B.
  $876m$
- C.
  $966m$
- D.
  $1086m$
Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:

$S = \int_{4}^{10}{v(t)dt} = \int_{4}^{10}{\left( 3t^{2} + 5 ight)dt}$

$= \left. \ \left( t^{3} + 5t ight) ight|_{4}^{10} = 996(m)$
Câu 17: Vận dụng cao
Gọi $d$ là đường thẳng tùy ý đi qua điểm $M(1;1)$ và có hệ số góc âm. Giả sử $d$ cắt các trục $Ox;Oy$ lần lượt tại $A;B$ . Quay tam giác $OAB$ quanh trục $Oy$ thu được một khối tròn xoay có thể tích là $V$ . Giá trị nhỏ nhất của $V$ bằng
- A.
  $3\pi$
- B.
  $\frac{9\pi}{4}$
- C.
  $2\pi$
- D.
  $\frac{5\pi}{2}$
Hình vẽ minh họa
Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \Rightarrow d:x = -\frac{b}{a}x + b\ \ \ (1)$
Mà M(1; 1) ∈ d nên $\frac{1}{a} +\frac{1}{b} = 1 \Rightarrow a + b = 2ab\ \ (2)$
Từ (1) suy ra d có hệ số góc là $k = -\frac{b}{a}$ ; theo giả thiết ta có $-\frac{b}{a} < 0 \Rightarrow ab > 0$
Nếu $a < 0;b < 0 \Rightarrow a + b< 0$ mẫu thuẫn với (2) suy ra $a> 0;b > 0$
Mặt khác từ (2) suy ra $b = \frac{a}{a -1}$ kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1.
Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao $h = b$ và bán kính đường tròn đáy $r = a$
Thể tích khối nón là $V = \frac{1}{3}\pir^{2}h = \frac{1}{3}\pi a^{2}b = \frac{1}{3}\pi\frac{a^{3}}{a -1}$
Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi $\frac{a^{3}}{a - 1}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét hàm số $f(x) = \frac{x^{3}}{x - 1} =x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ trên khoảng $(1; + \infty)$
$f'(x) = 2x + 1 - \frac{1}{(x -1)^{2}} = \frac{x^{2}(2x - 3)}{(x - 1)^{2}}$
$f'(x) = 0 \Rightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \frac{3}{2} \\\end{matrix} ight.$
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng $\frac{1}{3}\pi.f\left( \frac{3}{2} ight) =\frac{9\pi}{4}$
Câu 18: Thông hiểu
Biết rằng hàm số $y = f(x)$ có $f'(x) = 3x^{2} + 2x + m;f(2) = 1$ và đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $- 5$ . Hàm số $f(x)$ là:
- A.
  $x^{3} + 2x^{2} - 5x - 5$
- B.
  $2x^{3} + x^{2} - 7x - 5$
- C.
  $x^{3} + x^{2} - 3x - 5$
- D.
  $x^{3} + x^{2} + 4x - 5$
Theo lí thuyết $\int_{}^{}{f'(x)dx = f(x) + C}$

Ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx =}\int_{}^{}{\left( 3x^{2} + 2x + m ight)dx} = x^{3} + x^{2} + mx + C$

Khi đó $f(x)$ có dạng $f(x) = x^{3} + x^{2} + mx + C_{1}$

Theo đề ta có: $\left\{ \begin{matrix} f(2) = 1 \\ f(0) = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2^{3} + 2^{2} + 2m + C_{1} = 1 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 3 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số là $f(x) = x^{3} + x^{2} - 3x - 5$ .
Câu 19: Nhận biết
Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 3^{x};y = 0;x = 0;x = 2$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $S = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}$
- B.
  $S = \pi\int_{0}^{2}{3^{2x}dx}$
- C.
  $S = \pi\int_{0}^{2}{3^{x}dx}$
- D.
  $S = \int_{0}^{2}{3^{2x}dx}$
Ta có: $S = \int_{0}^{2}{\left| 3^{x} ight|dx} = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}$
Câu 20: Thông hiểu
Cho hình phẳng $(H)$ như hình vẽ (phần tô đậm):

Diện tích hình phẳng $(H)$ là:
- A.
  $\frac{9}{2}\ln3 -\frac{3}{2}$
- B.
  $1$
- C.
  $\frac{9}{2}\ln3 - 4$
- D.
  $\frac{9}{2}\ln3 -2$
Gọi S là diện tích hình phẳng (H) theo hình vẽ suy ra $S = \int_{1}^{3}{x\ln xdx}$

Theo công thức tích phân từng phần:

$S = \left. \ \frac{x^{2}}{2}.\ln2ight|_{2}^{3} + \int_{1}^{3}{\frac{x}{2}dx} = \left. \frac{x^{2}}{2}.\ln2 ight|_{2}^{3} - \left. \ \frac{x^{2}}{4}ight|_{2}^{3} = \frac{9}{4}\ln3 - 2$ .

8 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!