Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = - x^{3} + 3x^{2} - 2$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0;x = 2$ là
- A.
  $S = \frac{7}{2}$
- B.
  $S = 4$
- C.
  $S = \frac{3}{2}$
- D.
  $S = \frac{5}{2}$
Phương trình hoành độ giao điểm

$- x^{3} + 3x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow (1 - x)\left( x^{2} - 2x - 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 1 + \sqrt{3} \\ x = 1 - \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó:

$S = \int_{0}^{2}{\left| - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight|dx}$

$= \int_{0}^{1}{\left| - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight|dx} + \int_{1}^{2}{\left| - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight|dx}$

$= \left| \int_{0}^{1}{\left( - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight)dx} ight| + \left| \int_{1}^{2}{\left( - x^{3} + 3x^{2} - 2 ight)dx} ight|$

$= \left| \left. \ \left( - \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 2x ight) ight|_{0}^{1} ight| + \left| \left. \ \left( - \frac{x^{4}}{4} + x^{3} - 2x ight) ight|_{1}^{2} ight|$

$= \frac{5}{2}$
Câu 2: Thông hiểu
Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ trên khoảng $(1; + \infty)$ thỏa mãn $F(e + 1) = 4$ . Xác định công thức $F(x)$ ?
- A.
  $F(x) = 2\ln(x - 1) +2$
- B.
  $F(x) = \ln(x - 1) + 3$ .
- C.
  $F(x) = 4\ln(x - 1)$
- D.
  $F(x) = \ln(x - 1) - 3$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{x - 1} = \int_{}^{}\frac{d(x - 1)}{x - 1} = \ln|x - 1| + C = \ln(x - 1) + C$ (vì $(1; + \infty)$ )

Mà $F(e + 1) = 4 \Leftrightarrow \ln(e + 1 - 1) + C = 4 \Rightarrow C = 3$

Vậy $F(x) = \ln(x - 1) + 3$ .
Câu 3: Nhận biết
Cho hình vẽ:

Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ được xác định theo công thức:
- A.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( 2x^{2} - 2x - 4 ight)dx}$
- B.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( 2x^{2} + 2x - 4 ight)dx}$
- C.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} + 2x + 4 ight)dx}$
- D.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} - 2x + 4 ight)dx}$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy công thức tính diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int_{- 1}^{2}{\left( - x^{2} + 3 - x^{2} + 2x + 1 ight)dx} = \int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} + 2x + 4 ight)dx}$ .
Câu 4: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x +\sin2x$ là:
- A.
  $x^{2} - \frac{1}{2}\cos2x +c$
- B.
  $x^{2} + \frac{1}{2}\cos2x +c$
- C.
  $x^{2} - 2\cos2x + c$
- D.
  $x^{2} + 2\cos2x + c$
Ta có:
$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x +\sin2x)dx}$
$= 2.\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cos2x +c = x^{2} - \frac{1}{2}\cos2x + c$
Câu 5: Thông hiểu
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi Parabol $y = \frac{x^{2}}{12}$ và đường cong có phương trình $y = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ như hình vẽ:

Diện tích của hình phẳng $(H)$ bằng:
- A.
  $\frac{4\pi + \sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{4\sqrt{3} + \pi}{6}$
- C.
  $\frac{8\pi + 2\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\frac{4\pi + \sqrt{3}}{6}$
Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{x^{2}}{12} = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt{3}$

Diện tích hình phẳng $(H)$ bằng:

$S = 2\int_{0}^{2\sqrt{3}}{\left\lbrack \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} - \frac{x^{2}}{12} ightbrack dx}$

$= \int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} - \frac{1}{6}\int_{0}^{2\sqrt{3}}{x^{2}dx}$

$= \int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} + \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Đặt $x = 4\sin t$

$\Rightarrow\int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{16\cos^{2}tdt} = \frac{8\pi}{3} +2\sqrt{3}$

$\Rightarrow S = \frac{8\pi + 2\sqrt{3}}{3}$
Câu 6: Thông hiểu
Cho $\int_{2}^{3}{\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}dx} = aln2 + bln3 + cln5$ với $a;b;c$ là các số thực. Giá trị của biểu thức $T = a + b^{2} - c^{3}$ bằng:
- A.
  $T = 3$
- B.
  $T = 6$
- C.
  $T = 5$
- D.
  $T = 4$
Ta có:

$\int_{2}^{3}{\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}dx} = \int_{2}^{3}{\left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} ight)dx}$

$= \left. \ \ln\left| \frac{x + 1}{x + 2} ight| ight|_{2}^{3} = \ln\frac{4}{5} - \ln\frac{3}{4} = 4ln2 - ln3 - ln5$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = - 1 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = a + b^{2} - c^{3} = 6$
Câu 7: Thông hiểu
Cho $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx = 6}$ . Tính $I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\lbrack 3f(x) - 2sinxbrack dx}$ .
- A.
  $I = 20$ .
- B.
  $I = 16$ .
- C.
  $I = 8$ .
- D.
  $I = 4$ .
Ta có:

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\lbrack 3f(x) - 2sinxbrack dx}$

$= 3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} - 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = 3.6 - 2 = 16.$
Câu 8: Vận dụng cao
Tính tổng $T = \frac{C_{2018}^{0}}{3} - \frac{C_{2018}^{1}}{4} + \frac{C_{2018}^{2}}{5} - \frac{C_{2018}^{3}}{6} + ... - \frac{C_{2018}^{2017}}{2020} + \frac{C_{2018}^{2018}}{2021}$ ?
- A.
  $T = \frac{1}{4121202989}$
- B.
  $T = \frac{1}{4121202990}$
- C.
  $T = \frac{1}{4121202992}$
- D.
  $T = \frac{1}{4121202991}$
Ta có:

$x^{2}(1 - x)^{2018} = x^{2} \cdot \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k}( - 1)^{k} = \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}$ .

Do đó

$\int_{0}^{1}\mspace{2mu} x^{2}(1 -x)^{2018}dx = \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx$ .

Mặt khác:

$\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sum_{k =0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}x^{k + 2}( - 1)^{k}dx. =\left. \ \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu} C_{2018}^{k}\frac{x^{k + 3}}{k+ 3}( - 1)^{k} ight|_{0}^{1}$ $= \sum_{k = 0}^{2018}\mspace{2mu}C_{2018}^{k} \cdot \frac{( - 1)^{k}}{k + 3} = T$ .

Đặt $t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx$ .

Đổi cận $x = 0 \Rightarrow t = 1$ và $x = 1 \Rightarrow t = 0$ . Khi đó

$\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}x^{2}(1 - x)^{2018}dx = \int_{1}^{0}\mspace{2mu}\mspace{2mu}t^{2018}(1 - t)^{2}( - dt)$

$= \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} t^{2018}\left( t^{2} - 2t + 1 ight)dt = \left. \ \left( \frac{t^{2021}}{2021} - 2 \cdot \frac{t^{2020}}{2020} + \frac{t^{2019}}{2019} ight) ight|_{0}^{1}$

$= \frac{1}{2021} - \frac{2}{2020} + \frac{1}{2019} = \frac{1}{1010 \cdot 2019 \cdot 2021} = \frac{1}{4121202990}$
Câu 9: Nhận biết
Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = 30 - 2t(m/s)$ . Hỏi trong $5s$ trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?
- A.
  $50m$
- B.
  $225m$
- C.
  $125m$
- D.
  $25m$
Khi dừng hẳn $v(t) = 30 - 2t = 0 \Rightarrow t = 15(s)$

Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

$S = \int_{10}^{15}{v(t)dt} = \int_{10}^{15}{(30 - 2t)dt} = 25m$ .
Câu 10: Nhận biết
Tích phân $\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 5}$ bằng:
- A.
  $\frac{1}{2}\log\frac{7}{5}$
- B.
  $\frac{1}{2}\log\frac{5}{7}$
- C.
  $\frac{1}{2}\ln\frac{7}{5}$
- D.
  $\frac{1}{2}\ln\frac{5}{7}$
Ta có: $\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 5} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{d(2x + 5)}{2x + 5}$

$= \left. \ \frac{1}{2}\ln(2x + 5) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\ln\frac{7}{5}$
Câu 11: Nhận biết
Xác định nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x - 8\sin x\cos x$ thỏa mãn $F(\pi) = 2$ ?
- A.
  $F(x) = x^{2} + 4\cos2x - \pi^{2} -2$
- B.
  $F(x) = x^{2} - 2\cos2x - \pi^{2} +4$
- C.
  $F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}$
- D.
  $F(x) = x^{2} - 4\cos2x - \pi^{2} +6$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(2x - 8\sin x\cos x ight)dx}$

$= \int_{}^{}{(2x - 4\sin2x)dx} = x^{2} +2\cos2x + C$

Theo bài ra ta có: $F(\pi) = 2$

$\Rightarrow \pi^{2} + 2 + C = 2 \Leftrightarrow C = - \pi^{2}$

Vậy $F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}$
Câu 12: Vận dụng cao
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau $y = \sqrt{x};y =1$ và đườDng thẳng $x = 4$ (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng $y = 1$ bằng
- A.
  $\frac{9\pi}{2}$
- B.
  $\frac{119\pi}{6}$
- C.
  $\frac{7\pi}{6}$
- D.
  $\frac{21\pi}{2}$
Đặt $\left\{ \begin{matrix}X = x - 1 \\Y = y - 1 \\\end{matrix} ight.$ . Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ
Ta có: $y = \sqrt{x} \Leftrightarrow Y + 1= \sqrt{X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt{X + 1} - 1$
Thể tích cần tìm là
$V = \pi\int_{0}^{3}{\left( \sqrt{X + 1}- 1 ight)^{2}dX} = \pi\int_{0}^{3}{\left( X + 2 - 2\sqrt{X + 1}ight)dX}$
$= \pi\left. \ \left\lbrack\frac{1}{2}X^{2} + 2X - \frac{4}{3}(X + 1)\sqrt{X + 1} ightbrackight|_{0}^{3}$
$= \pi\left\lbrack \left( \frac{9}{2} + 6- \frac{32}{3} ight) - \left( - \frac{4}{3} ight) ightbrack =\frac{7\pi}{6}$
Câu 13: Thông hiểu
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}}$ là:
- A.
  $\frac{3}{4}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
- B.
  $\frac{2}{3}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
- C.
  $\frac{x}{2(x + 1)\sqrt{x + 1}} + C$
- D.
  $\sqrt{x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} + C$
Đặt $t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\left( \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{t^{2} + 1}{t} ight)2tdt} = \int_{}^{}{\left( 2t^{2} + 2 ight)dt} = \frac{2t^{3}}{3} + 2t + C$

$= \frac{2(x + 1)\sqrt{x + 1}}{3} + 2\sqrt{x + 1} + C = \frac{2}{3}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
Câu 14: Vận dụng
Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Các biểu thức $E;F;G;H$ xác định bởi $E = \int_{0}^{3}{f(x)dx};F = \int_{3}^{5}{f(x)dx};G = \int_{2}^{4}{f(x)dx};H = f'(x)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $F < E < G < H$
- B.
  $H < E < F < G$
- C.
  $E < H < G < F$
- D.
  $G < H < E < F$
Dựa vào hình vẽ và diện tích hình phẳng ta có:

$E = \int_{0}^{3}{f(x)dx} = - \int_{0}^{3}{\left| f(x) ight|dx} < - 2$

$F = \int_{3}^{5}{f(x)dx} > 3$

$0 < G = \int_{2}^{4}{f(x)dx} < 2$

$- 1 < H = f'(1) < 0$ (hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 1)

Như vậy $E < H < G < F$
Câu 15: Vận dụng
Cho hai hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\lbrack 1;2brack$ thỏa mãn $f(1) = 4$ và $f(x) = x.f'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}$ . Giá trị $f(2)$ bằng:
- A.
  $5$
- B.
  $20$
- C.
  $10$
- D.
  $15$
Chọn $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$

$f(x) = xf'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}$

$\Leftrightarrow ax^{3} + bx^{2} + cx + d = x\left( 3ax^{2} + 2bx + c ight) - 2x^{3} - 3x^{2}$

Từ đó suy ra $\left\{ \begin{matrix} a = 3a - 2 \\ b = 2b - 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $f(x) = x^{3} + 3x^{2} \Rightarrow f(2) = 20$
Câu 16: Thông hiểu
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $(S)$ giới hạn bởi các đường $y = 4 - x^{2};y = 0$ quanh trục $Ox$ có kết quả có dạng $\frac{\pi a}{b}$ với $a;b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó giá trị của $a - 30b$ bằng:
- A.
  $62$
- B.
  $26$
- C.
  $82$
- D.
  $28$
Phương trình hoành độ giao $4 - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích cần tính $V = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 4 - x^{2} ight)^{2}dx} = \left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{8x^{3}}{3} - 16x ight) ight|_{- 2}^{2} = \frac{512\pi}{15}$

Suy ra $a = 512;b = 15 \Rightarrow a - 30b = 62$ .
Câu 17: Nhận biết
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) =\sin5x.\cos x$ ?
- A.
  $- \frac{1}{5}\cos5x +C$
- B.
  $- \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12}+ C$
- C.
  $\frac{1}{5}\cos5x +C$
- D.
  $\frac{1}{8}\cos4x + \frac{1}{12}\cos6x+ C$
Ta có:

$\int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}$

$= - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C$
Câu 18: Thông hiểu
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_{1}(t) = 2t(m/s)$ . Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a = - 12\left( m/s^{2} ight)$ . Tính quãng đường $S(m)$ đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?
- A.
  $S = 168m$
- B.
  $S = 166m$
- C.
  $S = 144m$
- D.
  $S = 152m$
Quãng đường xe đi được trong 12s đầu là $S_{1} = \int_{0}^{12}{2tdt} = 144m$

Sau khi đi được 12s vật đạt vận tốc $v = 24(m/s)$ , sau đó vận tốc của vật có phương trình $v = 24 - 12t$

Vật dừng hẳn sau 2s kể từ khi phanh.

Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là

$S_{2} = \int_{0}^{2}{(24 - 22t)dt} = 24m$

Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là $S = S_{1} + S_{2} = 144 + 24 = 168(m)$
Câu 19: Nhận biết
Viết công thức tính thể tích $V$ của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm $x = a;x = b;a < b$ , có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x;(a \leq x \leq b)$ là $S(x)$ .
- A.
  $V = \int_{a}^{b}{S(x)dx}$
- B.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{S(x)dx}$
- C.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{S^{2}(x)dx}$
- D.
  $V = \int_{b}^{a}{S(x)dx}$
Thể tích của vật thể đã cho là: $V = \int_{a}^{b}{S(x)dx}$ .
Câu 20: Thông hiểu
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x}$ , thỏa mãn $F(0) = \frac{1}{\ln2}$ . Tính giá trị biểu thức $T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$ ?
- A.
  $T = 1009.\frac{2^{2019} +1}{\ln2}$
- B.
  $T = 2^{2019.2020}$
- C.
  $T = \frac{2^{2019} -1}{\ln2}$
- D.
  $T = \frac{2^{2020} - 1}{\ln2}$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{2^{x}dx} = \frac{2^{x}}{\ln2} + C$

$F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x}$ , ta có: $F(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} + C$ mà $F(0) = \frac{1}{\ln2}$

$\Rightarrow C = 0 \Rightarrow F(x) =\frac{2^{x}}{\ln2}$

$T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$

$T = \frac{1}{\ln2}\left( 1 + 2 + 2^{2} +.... + 2^{2018} + 2^{2019} ight)$

$T = \frac{1}{\ln2}.\frac{2^{2020} - 1}{2- 1} = \frac{2^{2020} - 1}{ln2}$

50 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!