Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho hình thang cong $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \frac{1}{x};y = 0;x = 1;x = 5$ . Đường thẳng $x = k;1 < k < 5$ chia $(H)$ thành hai phần có diện tích $S_{1}$ và $S_{2}$ (hình vẽ bên).

Tính giá trị $k$ để $S_{1} = 2S_{2}$ ?
- A.
  $k = 5$
- B.
  $k = ln5$
- C.
  $k = \sqrt[3]{5}$
- D.
  $k = \sqrt[3]{25}$
Ta có: $\frac{1}{x} > 0;x > 1$ do đó ta được:

$S_{1} = \int_{1}^{k}{\frac{1}{x}dx} = \left. \ \ln x ight|_{1}^{k} = \ln k$

$S_{2} = \int_{k}^{5}{\frac{1}{x}dx} = \left. \ \ln x ight|_{k}^{5} = ln5 - \ln k$

Theo bài ra ta có:

$S_{1} = 2S_{2}$

$\Leftrightarrow \ln k = 2\left( ln5 - \ln k ight) \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{25}$ .
Câu 2: Nhận biết
Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , $y = g(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ $(a < b)$ là
- A.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
- B.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx}$ .
- C.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack^{2}dx}$ .
- D.
  $S = \pi\int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ , $y = g(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ $(a < b)$ là $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Câu 3: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ 0 ight\}$ thỏa mãn $f(x) + xf'(x) = 3x^{2}$ và $f(2) = 8$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại giao điểm với trục hoành là:
- A.
  $y = x - 1$
- B.
  $y = 2x - 4$
- C.
  $y = 4x$
- D.
  $y = - 6x - 12$
Ta có: $f(x) + xf'(x) = 3x^{2}$

$\Leftrightarrow (x)'f(x) + xf'(x) = 3x^{2}$

$\Leftrightarrow \left( xf'(x) ight)' = 3x^{2}$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\int_{}^{}{\left( xf'(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{3x^{2}dx} \Leftrightarrow xf(x) = x^{3} + C$

Lại có $f(2) = 8 \Rightarrow 2f(2) = 8 + C \Leftrightarrow 2.8 = C + 8 \Leftrightarrow C = 8$

Từ đó suy ra $xf(x) = x^{3} + 8 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x^{3} + 8}{x}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x^{3} + 8}{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2$

Ta có: $f'(x) = \frac{2x^{3} - 8}{x^{2}} \Rightarrow f'( - 2) = - 6;f( - 2) = 0$

Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là

$y = f'( - 2)(x + 2) + f( - 2)$

$\Leftrightarrow y = - 6(x + 2) \Rightarrow y = - 6x - 12$
Câu 4: Vận dụng
Diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi parabol $(P):y = x^{2} + 1$ và đường thẳng $d:y = mx + 2$ là:
- A.
  $\frac{3}{4}$
- B.
  $1$
- C.
  $\frac{4}{3}$
- D.
  $\frac{2}{5}$
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của phương trình

$x^{2} + 1 = mx + 2 \Leftrightarrow x^{2} - mx - 1 = 0$

Vì $\Delta = m^{2} + 4 > 0;\forall m\mathbb{\in R}$ nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

$x_{1} = \frac{m - \sqrt{m^{2} + 4}}{2};x_{2} = \frac{m + \sqrt{m^{2} + 4}}{2}$ với $x_{1} < x_{2}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}.x_{2} = - 1 \\ x_{2} - x_{1} = \sqrt{m^{2} + 4} \\ \end{matrix} ight.$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) là:

$S = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left| \left( x^{2} - mx - 1 ight) ight|dx}$

$= \left| \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left( x^{2} - mx - 1 ight)dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{2} - \frac{mx^{2}}{2} - x ight) ight|_{x_{1}}^{x_{2}} ight|$

$= \left| \frac{1}{3}\left( {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3} ight) - \frac{m}{2}\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) - \left( x_{2} - x_{1} ight) ight|$

$= \left( x_{2} - x_{1} ight)\left| \frac{1}{3}\left( {x_{2}}^{2} + x_{1}x_{2} + {x_{1}}^{2} ight) - \frac{m}{2}\left( x_{2} + x_{1} ight) - 1 ight|$

$= \left( x_{2} - x_{1} ight)\left| \frac{1}{3}\left( x_{2} + x_{1} ight)^{2} - x_{2}x_{1} - \frac{m}{2}\left( x_{2} + x_{1} ight) - 1 ight|$

$= \sqrt{m^{2} + 4}.\left| \frac{m^{2} + 1}{3} - \frac{m^{2}}{2} - 1 ight|$

$= \sqrt{m^{2} + 4}.\left| \frac{m^{2}}{6} - \frac{2}{3} ight| = \sqrt{m^{2} + 4}.\frac{m^{2} + 4}{6} \geq \frac{4}{3};\forall m\mathbb{\in R}$

Vậy diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi parabol $(P):y = x^{2} + 1$ và đường thẳng $d:y = mx + 2$ là $\frac{4}{3}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Xe đạp A xuất phát từ C, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v(t) = \frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30}(m/s)$ trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một xe đạp B cũng xuất phát từ C, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn $10$ giây so với A và có gia tốc bằng $a\left( m/s^{2} ight)$ ( $a$ là hằng số). Sau khi B xuất phát được $15$ giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng bao nhiêu?
- A.
  $25m/s$
- B.
  $15m/s$
- C.
  $9m/s$
- D.
  $42m/s$
Quãng đường xe đạp A đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

$S = \int_{0}^{25}{\left( \frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30} ight)dt} = \frac{375}{2}(m)$

Vận tốc của xe đạp B tại thời điểm $t(s)$ tính từ lúc B xuất phát là: $v_{B}(t) = at$

Quãng đường xe đạp B đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

$S = \int_{0}^{15}{(at)dt} = \left. \ \left( \frac{at^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{15} = \frac{225a}{2}(m)$

$\Rightarrow \frac{225a}{2} = \frac{375}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{3}$

Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là: $v_{B}(15) = 15a = 25(m/s)$
Câu 6: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = \sin x;y = \cos x$ và các đường thẳng $x = 0;x = \pi$ ?
- A.
  $S = 3\sqrt{2}$
- B.
  $S = \sqrt{2}$
- C.
  $S = 2\sqrt{2}$
- D.
  $S = - 2\sqrt{2}$
Hình vẽ minh họa

Với $x \in \lbrack 0;\pibrack$ khi đó $\sin x = \cos x \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$

Diện tích hình phẳng $S = \int_{0}^{\pi}{\left| \sin x - \cos x ight|dx}$ ta được:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left( \cos x - \sin x ight)dx} + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}{\left( \sin x - \cos x ight)dx}$

$= \left. \ \left( \sin x - \cos x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \left. \ \left( - \sin x - \cos x ight) ight|_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}$

$= \left( \sqrt{2} - 1 ight) + \left( 1 + \sqrt{2} ight) = 2\sqrt{2}$
Câu 7: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x) = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x}$ , ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C$ . Tính giá trị biểu thức $S = m + n + p$ ?
- A.
  $S = \frac{1}{3}$
- B.
  $S = 2$
- C.
  $S = \frac{13}{6}$
- D.
  $S = \frac{7}{6}$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C$ nên $\left( me^{x^{3} + 2} + nxe^{2x} - pe^{2x} + C ight)' = f(x)$

$\Rightarrow 3mx^{2}e^{x^{3} + 2} + 2nxe^{2x} + (n - 2p)e^{2x} = 2x^{2}.e^{x^{3} + 2} + 2xe^{2x}$ đồng nhất 2 biểu thức ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}3m = 2 \\2n = 2 \ - 2p = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = 1 \\p = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = \dfrac{13}{6}$
Câu 8: Thông hiểu
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x}$ , thỏa mãn $F(0) = 2020$ . Tính giá trị biểu thức $T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$ ?
- A.
  $T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2019.2020$
- B.
  $T = \frac{e^{2019} - 1}{e - 1} + 2018.2019$
- C.
  $T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2020^{2}$
- D.
  $T = \frac{e^{2019} - 1}{e - 1} + 2019^{2}$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C$

$F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x}$ , ta có: $F(x) = e^{x} + C$ mà $F(0) = 2020$

$\Rightarrow C = 2019 \Rightarrow F(x) = e^{x} + 2019$

$T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$

$T = 1 + e + e^{2} + .... + e^{2018} + e^{2019} + 2019.2020$

$T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2019.2020$ .
Câu 9: Nhận biết
Hàm số $f(x) = x^{3} + \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
- A.
  $f(x) = 3x^{2} - \cos x$
- B.
  $f(x) = \frac{x^{4}}{4} - \cos x$
- C.
  $f(x) = 3x^{2} + \cos x$
- D.
  $f(x) = \frac{x^{4}}{4} + \cos x$
Ta có: $F'(x) = 3x^{2} + \cos x$
Câu 10: Thông hiểu
Anh A xuất phát từ D, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v(t) = \frac{t^{2}}{180} + \frac{11t}{18}(m/s)$ trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc anh A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, anh B cũng xuất phát từ D, chuyển động thẳng cùng hướng với anh A nhưng chậm hơn $5$ giây so với anh A và có gia tốc bằng $a\left( m/s^{2} ight)$ ( $a$ là hằng số). Sau khi anh B xuất phát được $10$ giây thì đuổi kịp anh A. Vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A bằng bao nhiêu?
- A.
  $22m/s$
- B.
  $15m/s$
- C.
  $10m/s$
- D.
  $7m/s$
Quãng đường anh A đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:

$S = \int_{0}^{15}{\left( \frac{t^{2}}{180} + \frac{11t}{18} ight)dt} = 75(m)$

Vận tốc của anh B tại thời điểm $t(s)$ tính từ lúc anh B xuất phát là: $v_{B}(t) = at$

Quãng đường anh B đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:

$S = \int_{0}^{10}{(at)dt} = \left. \ \left( \frac{at^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{10} = 50a(m)$

$\Rightarrow 50a = 75 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$

Vậy vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A là: $v_{B}(20) = 10a = 15(m/s)$
Câu 11: Nhận biết
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 5;3brack$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ . Biết rằng $F( - 5) = 3;F(3) = \frac{15}{7}$ . Xác định tích phân $I = \int_{- 5}^{3}{\left\lbrack 7f(x) - x ightbrack dx}$ ?
- A.
  $I = 2$
- B.
  $I = 11$
- C.
  $I = 19$
- D.
  $\frac{7}{2}$
Ta có: $I = \int_{- 5}^{3}{\left\lbrack 7f(x) - x ightbrack dx} = \left. \ \left( 7F(x) ight) ight|_{- 5}^{3} - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{- 5}^{3} = 2$ .
Câu 12: Nhận biết
Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin x + 1$ là:
- A.
  $\cos x + C$
- B.
  $\cos x + x + C$
- C.
  $- \cos x + C$
- D.
  $- \cos x + x + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\left( \sin x + 1 ight)dx} = - \cos x + x + C$
Câu 13: Nhận biết
Viết công thức tính thể tích $V$ của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm $x = a;x = b;a < b$ , có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x;(a \leq x \leq b)$ là $S(x)$ .
- A.
  $V = \int_{a}^{b}{S(x)dx}$
- B.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{S(x)dx}$
- C.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{S^{2}(x)dx}$
- D.
  $V = \int_{b}^{a}{S(x)dx}$
Thể tích của vật thể đã cho là: $V = \int_{a}^{b}{S(x)dx}$ .
Câu 14: Nhận biết
Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x + 3\sqrt{x}$ thỏa mãn $F(1) = 0$ ?
- A.
  $x^{2} + 3\sqrt[3]{x^{2}} - 4$
- B.
  $x^{2} + 2\sqrt{x^{3}} - 3$
- C.
  $x^{2} + 2\sqrt[3]{x^{2}} - 3$
- D.
  $x^{2} + 3\sqrt{x^{3}} - 4$
Ta có:

$F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\left( 2x + 3\sqrt{x} ight)dx}}$

$\Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{(2x)dx} + 6\int_{}^{}{\left( \sqrt{x} ight)^{2}d\left( \sqrt{x} ight)}$

$\Rightarrow F(x) = x^{2} + 2\sqrt{x^{3}} + C$

Theo bài ra ta có: $F(1) = 0 \Leftrightarrow 3 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 3$

Vậy $x^{2} + 2\sqrt{x^{3}} - 3$ .
Câu 15: Nhận biết
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên tập số thực và thỏa mãn $\int_{0}^{6}{f(x)dx}= 7;$ $\int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8;$ $\int_{3}^{6}{f(x)dx} = 9$ . Khi đó giá trị $I = \int_{0}^{10}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $5$
- B.
  $6$
- C.
  $7$
- D.
  $8$
Ta có:

$\int_{3}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}$

$\Leftrightarrow \int_{6}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} - \int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8 - 9 = 1$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx} = 7 - 1 = 6$
Câu 16: Thông hiểu
Xác định nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1}$ ?
- A.
  $F(x) = 1 + \frac{2}{(x + 1)^{2}} + C$
- B.
  $F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 1} + C$
- C.
  $F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{2}{x + 1} + C$
- D.
  $F(x) = 1 - \frac{2}{(x + 1)^{2}} + C$
Ta có:

$f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1} = \frac{(x + 1)^{3} - 2}{(x + 1)^{2}} = x + 1 - \frac{2}{(x + 1)^{2}}$

$\Rightarrow F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 1} + C$
Câu 17: Thông hiểu
Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ và thỏa mãn $0 < g(x) < f(x),\forall x \in \lbrack a;bbrack$ . Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh $Ox$ hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường: $y = f(x),y = g(x),x = a,x = b$ . Khi đó $V$ được tính bởi công thức nào sau đây?
- A.
  $V = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
- B.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f^{2}(x) - g^{2}(x) ightbrack dx}$
- C.
  $V = \left( \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} ight)^{2}$
- D.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack^{2}dx}$
Ta cần nhớ lại công thức sau: Cho hai hàm số $y = f(x),y = g(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ . Khi đó thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi $y = f(x),y = g(x)$ (với $0 < g(x) < f(x)$ ) và hai đường thẳng $x = a,x = b$ khi quay quanh trục $Ox$ là $V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f^{2}(x) - g^{2}(x) ightbrack dx}$ .
Câu 18: Vận dụng cao

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Đáp án là:

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Cả hai bên cầu có tất cả $2.10 = 20$ nhịp cầu.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc $O(0;0)$ là chân cầu, đỉnh $I(25;2)$ , điểm $A(50;0)$

Gọi Parabol phía trên có phương trình: $\left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c = ax^{2} + bx$ (vì $O \in \left( P_{1} ight)$ )

$\Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx - \frac{1}{5}$ là phương trình parabol phía dưới

(Vì bề dày nhịp cầu là $20cm = \frac{1}{5}m$ )

Ta có $I,A \in \left( P_{1} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 25^{2}a + 25b = 2 \\ 50^{2}a + 50b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{2}{625} \\ b = \frac{4}{25} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\ \ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x - \frac{1}{5}$

Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi $y_{1};y_{2}$ và trục Ox nên ta có:

$S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx + \int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}$

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là $S.0,2 \approx 1,985m^{3}.$

Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là $V = 20.S.0,2 \approx 40m^{3}$
Câu 19: Vận dụng cao

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\lbrack -1;1brack$ và $\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4$ . Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\lbrack -1;1brack$ và $\int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4$ . Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 20: Thông hiểu
Tính tích phân $I =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\cos^{3}x}dx}$ ?
- A.
  $I = \frac{5}{2}$
- B.
  $I = \frac{3}{2}$
- C.
  $I = \frac{\pi}{3} + \frac{9}{20}$
- D.
  $I = \frac{9}{4}$
Đặt $t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Khi đó:

$I = \int_{1}^{\frac{1}{2}}{\frac{- 1}{t^{3}}dt} = \int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{1}{t^{3}}dt} = \left. \ - \frac{1}{2t^{2}} ight|_{\frac{1}{2}}^{1} = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$ .

8 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!