Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tính
.
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tính
.
Tính tổng
?
Ta có:
.
Do đó
.
Mặt khác:
.
Đặt .
Đổi cận và
. Khi đó
Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Tính
?
Áp dụng công thức
Suy ra
Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức
, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét. Biết tại thời điểm
thì vật đi được quãng đường là
. Hỏi tại thời điểm
thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?
Quãng đường vật đi được từ thời điểm đến
Tích phân
bằng:
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Ta có
Cho hình thang cong
giới hạn bởi các đường
. Đường thẳng
chia
thành hai phần có diện tích
và
(hình vẽ bên).

Tính giá trị
để
?
Ta có: do đó ta được:
Theo bài ra ta có:
.
Tính tích phân
bằng
Ta có:
Cho hàm số
là các hàm số liên tục trên
và thỏa mãn
và
. Tính tích phân
?
Theo bài ra ta có:
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
liên tục trên đoạn
, trục Ox và hai đường thẳng
có diện tích là:
Công thức tính diện tích cần tìm là: .
Viết công thức tính thể tích
của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
tại các điểm
, có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
là
.
Thể tích của vật thể đã cho là: .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành;
và
bằng:
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là nghiệm của phương trình:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường là:
Cho parabol
và hai điểm
thuộc
sao cho
. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
và đường thẳng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi và
là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.
Không mất tính tổng quát giả sử a < b.
Theo giả thiết ta có AB = 2 nên
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:
Mặt khác nên
do
Suy ra
Vậy dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.
Cho hai hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Gọi
là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi
thì
bằng bao nhiêu?
Phương trình hoành độ giao điểm
Ký hiệu là diện tích hình phẳng như hình vẽ:
Ta có:
Vì vậy
Cho hàm số
biết
,
liên tục trên
và
. Tính
?
Ta có:
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
,
và thỏa mãn hệ thức
với
. Giá trị của
là:
Ta có:
Mặt khác
Vậy
Vì .
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
Tìm nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng đồ thị hàm số
có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành?
Ta có:
Mà
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là
Suy ra
Do đó