Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số y = f\left( x ight) = \frac{1}{{{e^x} + 3}} thỏa mãn F\left( 0 ight) =  - \frac{{ - 1}}{3}\ln 4. Tìm tập nghiệm S của phương trình 3F\left( x ight) + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2

    F\left( x ight) = \int {\frac{1}{{{e^x} + 3}}dx}  = \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 3} ight)}}dx}

     Đặt t = {e^x} \Rightarrow dt = {e^x}dx

    \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 3} ight)}}dx}  = \int {\frac{1}{{t\left( {t + 3} ight)}}dt}

    = \int {\left( {\frac{1}{{3t}} - \frac{1}{{3\left( {t + 3} ight)}}} ight)dt = \frac{{\ln |t|}}{3} - \frac{{\ln |t + 3|}}{3} + C}

    = \frac{{\ln \left( {{e^x}} ight)}}{3} - \frac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3} + C

    F\left( 0 ight) =  - \frac{1}{3}\ln 4 \Rightarrow  - \frac{{\ln 4}}{3} + C =  - \frac{1}{3}\ln 4 \Rightarrow C = 0

    Ta có:

    \begin{matrix}  3F\left( x ight) + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2 \hfill \\   \Leftrightarrow 3\left[ {\dfrac{x}{3} - \dfrac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3}} ight] + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2 \hfill \\   \Leftrightarrow x = 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1
ight|y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1
ight|y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H). Lúc dó S = 2S_{1} + 2S_{2}, trong đó S_{1} là diện tích phần gạch sọc ở bên phải OyS_{2} là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

    GọiA,B là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng y = k và đồ thị hàm sốy = \left| x^{2} - 1
ight|, trong đó A\left( \sqrt{1 -
k};k ight)B\left( \sqrt{1 +
k};k ight).

    Thco yêu cầu bài toán S = 2 \cdot 2S_{1}
\Leftrightarrow S_{1} = S_{2}.

    \Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 -
k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\  = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k
- 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1
ight)dx}.

    \Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} -
\frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}

    = \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1
- k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}

    \  + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1
+ k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 +
k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}

    \Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k}
ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx
0,59.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Hàm số F(x) là nguyên hàm của f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1
ight). Hỏi hàm số F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Ta có: F'(x) = f(x) = (1 -
x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 0
\Leftrightarrow (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
1 - x = 0 \\
\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x^{2} + 1 = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Phương trình F'(x) = 0 có 1 nghiệm đơn x = 1 và một nghiệm kép x = 0 nên hàm số F(x) có 1 điểm cực trị.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = - x^{2} + 2x, trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (H);Ox là: -
x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó V = \pi\int_{0}^{2}{\left( - x^{2}
+ 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2}
ight)dx} = \frac{16\pi}{15}.

  • Câu 5: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x
- 1}{x^{2}}?

    Ta có: f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}} =
\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow F(x) = \ln|x| + \frac{1}{x} +
C

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn \int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3\int_{0}^{5}{f(x)dx} = 6. Tính tích phân C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x - 2)
ight|dx}?

    Ta có: C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x -
2) ight|dx} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)dx} +
\int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x - 2)dx} = C_{1} + C_{2}.

    Ta có:

    C_{1} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x
+ 2)dx} = - \frac{1}{3}\int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)d( - 3x +
2)}

    Đặt t = - 3x + 2 \Rightarrow dt = -
3dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = - 1 \Rightarrow t = 5 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight. do đó:

    C_{1} = \frac{1}{3}\int_{0}^{5}{f(t)dt}
= 2

    Ta có:

    C_{2} = \int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x -
2)dx} = \frac{1}{3}\int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x + 2)d(3x +
2)}

    Đặt t = 3x - 2 \Rightarrow dt =
3dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight. do đó:

    C_{2} = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}{f(t)dt} =
1.

    Vậy C = C_{1} + C_{2} = 3

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính diện tích S_{D} của hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y = \left| \frac{\ln x}{x} ight|, trục hoành và các đường thẳng x =
\frac{1}{e};x = 2?

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S_{D} = \int_{\frac{1}{e}}^{2}{\left|
\frac{\ln x}{x} ight|dx} = \int_{\frac{1}{e}}^{1}{\left| \frac{\ln
x}{x} ight|dx} + \int_{1}^{2}{\left| \frac{\ln x}{x}
ight|dx}

    = - \int_{\frac{1}{e}}^{1}{\frac{\ln
x}{x}dx} + \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x}dx}

    = - \left. \ \frac{\left( \ln x
ight)^{2}}{2} ight|_{\frac{1}{e}}^{1} + \left. \ \frac{\left( \ln x
ight)^{2}}{2} ight|_{1}^{2}

    = \frac{1}{2} + \frac{\ln^{2}2}{2} =\frac{1}{2}\left( 1 + \ln^{2}2 ight)

  • Câu 8: Nhận biết

    Tính tích phân I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x}?

    Ta có: I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x} = \left. \  -\cot x ight|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}

    = - \left( \cot\frac{\pi}{3} -
\cot\frac{\pi}{4} ight) = - \cot\frac{\pi}{3} +
\cot\frac{\pi}{4}.

  • Câu 9: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 - 2t(m/s). Hỏi trong 5s trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 30 - 2t = 0
\Rightarrow t = 15(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{10}^{15}{v(t)dt} =
\int_{10}^{15}{(30 - 2t)dt} = 25m.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực thỏa mãn f(x) >
0;\forall x\mathbb{\in R}f'(x) - 2f(x) = 0. Tính f( - 1) biết rằng f(1) = 1?

    f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in
R} nên ta có:

    f'(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow
\frac{f'(x)}{f(x)} = 2

    \Rightarrow
\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{2dx}

    \Rightarrow \exists C\mathbb{\in
R}:ln\left| f(x) ight| = 2x + C

    \Rightarrow \ln f(x) = 2x +
C

    Cho x = 1 \Rightarrow \ln f(1) = 2 + C\Rightarrow \ln1 = 2 + C \Rightarrow C = - 2

    Do đó \ln f(x) = 2x - 2 \Leftrightarrow
f(x) = e^{2x - 2} \Rightarrow f( - 1) = e^{- 4}

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn điều kiện f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0 với \forall x\mathbb{\in R}f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)} với \forall x\mathbb{\inR}. Tính giá trị f(1)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn điều kiện f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0 với \forall x\mathbb{\in R}f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)} với \forall x\mathbb{\inR}. Tính giá trị f(1)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hình phẳng (S) được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \left( P_{1} ight):y= x^{2},\left( P_{2} ight):y = \frac{x^{2}}{4},\left( H_{1} ight):y= \frac{2}{x},\left( H_{2} ight):y = \frac{8}{x}. Tính diện tích hình phẳng (S)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (S) được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \left( P_{1} ight):y= x^{2},\left( P_{2} ight):y = \frac{x^{2}}{4},\left( H_{1} ight):y= \frac{2}{x},\left( H_{2} ight):y = \frac{8}{x}. Tính diện tích hình phẳng (S)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 13: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 1x =
3 bằng

    Diện tích hình giới hạn là S =
\int_{1}^{3}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{3}^{3}{x^{3}dx}
ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{1}^{3}
ight| = 20

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho vật thể (H) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = ax = b với a
< b. Gọi f(x) là diện tích thiết diện của (H) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x, với a \leq x \leq b. Biết hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack, khi đó thể tích V của vật thể (H) được cho bởi công thức:

    f(x) là diện tích thiết diện của (H) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x, với a \leq x \leq b ta có: V = \int_{a}^{b}{f(x)}dx không phải là V = \pi{\int_{a}^{b}\left\lbrack f(x)
ightbrack}^{2}dx.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v_{0} = 18(m/s) thì tăng tốc với gia tốc a(t) = t^{2} + 5t\left( m/s^{2}
ight). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

    Ta có:

    v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} =
\int_{}^{}{\left( t^{2} + 5t ight)dt} = \frac{t^{3}}{3} +
\frac{5t^{2}}{2} + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} =
18 nên v_{(t = 0)} = 18 \Rightarrow
C = 18

    \Rightarrow v(t) = \frac{t^{3}}{3} +
\frac{5t^{2}}{2} + 18

    Khi đó quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

    S = \int_{0}^{3}{v(t)dt} =
\int_{0}^{3}{\left( \frac{t^{3}}{3} + \frac{5t^{2}}{2} + 18 ight)dt} =
\frac{333}{4}(m)

  • Câu 16: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    Đặt t = 1 - x \Rightarrow dt = -
dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow t = 1 \\
x = 1 \Rightarrow t = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Ta có: \int_{0}^{1}{\sin(1 - x)dx} = -
\int_{1}^{0}{\sin tdt} = \int_{0}^{1}{\sin xdx}.

    Vậy khẳng định đúng \int_{0}^{1}{\sin(1 -
x)dx} = \int_{0}^{1}{\sin xdx}.

  • Câu 17: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 3x

     Ta có: \int {\cos 3xdx}  = \frac{{\sin 3x}}{3} + C

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hai hàm số F(x) = \left( x^{2} + bx +
c ight)e^{x}f(x) = \left(
x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x}. Biết a;b là các số thực để F(x) là một nguyên hàm của f(x). Tính S
= a + b?

    Từ giả thiết ta có:

    F'(x) = f(x)

    \Leftrightarrow (2x + a)e^{x} + \left(
x^{2} + ax + b ight)e^{x} = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x};\forall
x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow x^{2} + (2 + a)x + a + b
= x^{2} + 3x + 4;\forall x\mathbb{\in R}

    Đồng nhất hai vế ta có: \left\{
\begin{matrix}
a + 2 = 3 \\
a + b = 4 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow S = a + b = 4.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x^{2} - 2x}{x - 1}, đường thẳng y = x - 1 và các đường thẳng x = m;x = 2m;(m > 1). Giá trị của m sao cho S = ln3

    Diện tích cần tìm chính là tích phân:

    S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} -
2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx}

    Ta có:

    S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} -
2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx} = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{- 1}{x - 1}
ight|dx}

    = \int_{m}^{2m}{\frac{1}{|x - 1|}dx} =
\int_{m}^{2m}{\frac{1}{x - 1}dx};(m > 1)

    = \left. \ \left\lbrack \ln|x - 1|
ightbrack ight|_{m}^{2m} = \ln\frac{2m - 1}{m - 1}

    Do đó S = ln3 \Leftrightarrow \ln\frac{2m
- 1}{m - 1} = ln3 \Leftrightarrow m = 2

    Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

  • Câu 20: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f\left( x ight) = 3{x^2} + 1

     Ta có:

    \int {\left( {3{x^2} + 1} ight)dx}  = \int {3{x^2}dx}  + \int {1.dx}  = {x^3} + x + C

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 56 lượt xem
Sắp xếp theo