Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên tập số thực và thỏa mãn $\int_{0}^{6}{f(x)dx}= 7;$ $\int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8;$ $\int_{3}^{6}{f(x)dx} = 9$ . Khi đó giá trị $I = \int_{0}^{10}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $5$
- B.
  $6$
- C.
  $7$
- D.
  $8$
Ta có:

$\int_{3}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}$

$\Leftrightarrow \int_{6}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} - \int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8 - 9 = 1$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx} = 7 - 1 = 6$
Câu 2: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 2x^{2} - x + 1;\forall x\mathbb{\in R}$ . Tính $I = \int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx}$
- A.
  $I = \frac{2}{3}$
- B.
  $I = 2$
- C.
  $I = - \frac{2}{3}$
- D.
  $I = - 2$
Ta có:

$I = \int_{0}^{1}{f^{2}(x).f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{f^{2}(x)d\left( f(x) ight)} = \left. \ \frac{f^{3}(x)}{3} ight|_{0}^{1} = - \frac{2}{3}$ .
Câu 3: Thông hiểu
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C):y = 3x^{4} - 4x^{2} + 5$ , trục hoành, $x = 1$ và $x = 2$ là:
- A.
  $\frac{214}{15}$
- B.
  $\frac{213}{15}$
- C.
  $\frac{43}{3}$
- D.
  $\frac{212}{15}$
Ta có: $3x^{4} - 4x^{2} + 5 > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ nên ta có:

$S = \int_{1}^{2}{\left( 3x^{4} - 4x^{2} + 5 ight)dx} = \left. \ \left( \frac{3}{5}x^{5} - \frac{4}{3}x^{3} + 5x ight) ight|_{1}^{2} = \frac{214}{15}$
Câu 4: Thông hiểu
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y = x^{2} - 2x$ và $y = - x^{2} + x$ bằng:
- A.
  $\frac{9\pi}{8}$
- B.
  $\frac{27}{8}$
- C.
  $\frac{9}{8}$
- D.
  $\frac{27\pi}{8}$
Xét phương trình hoành độ giao điểm

$x^{2} - 2x = - x^{2} + x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \frac{3}{2} \\ \end{matrix} ight.$

Diện tích hình phẳng là:

$S = \int_{0}^{\frac{3}{2}}{\left| 2x^{2} - 3x ight|dx} = \left| \int_{0}^{\frac{3}{2}}{\left( 2x^{2} - 3x ight)dx} ight|$

$= \left| \left. \ \left( \frac{2}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{\frac{3}{2}} ight| = \frac{9}{8}$
Câu 5: Nhận biết
Xác định nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x - 8\sin x\cos x$ thỏa mãn $F(\pi) = 2$ ?
- A.
  $F(x) = x^{2} + 4\cos2x - \pi^{2} -2$
- B.
  $F(x) = x^{2} - 2\cos2x - \pi^{2} +4$
- C.
  $F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}$
- D.
  $F(x) = x^{2} - 4\cos2x - \pi^{2} +6$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(2x - 8\sin x\cos x ight)dx}$

$= \int_{}^{}{(2x - 4\sin2x)dx} = x^{2} +2\cos2x + C$

Theo bài ra ta có: $F(\pi) = 2$

$\Rightarrow \pi^{2} + 2 + C = 2 \Leftrightarrow C = - \pi^{2}$

Vậy $F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}$
Câu 6: Nhận biết
Tích phân $\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx$ bằng:
- A.
  $\frac{45}{4}$
- B.
  $\frac{47}{4}$
- C.
  $\frac{25}{4}$
- D.
  $2$
Ta có:

$\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}dx = \left. \ \left( \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} ight) ight|_{1}^{8} = \frac{45}{4}$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = f(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

Biết $\int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx} = 7$ và $\int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx} = - 3$ . Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm có hoành độ $x = 3$ là:
- A.
  $y = x - 4$
- B.
  $y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$
- C.
  $y = 2x - 7$
- D.
  $y = 3x - 10$
Từ đồ thị hàm số ta suy ra $f(0) = 2;f'(0) = 0$

Xét tích phân $\int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx}$ . Đặt $u = x^{2} - 1 \Rightarrow du = 2xdx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow u = 0 \\ x = 2 \Rightarrow u = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Do đó $\int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx} = \int_{1}^{3}{f'(u)du} = \left. \ f(u) ight|_{0}^{3} = f(3) - f(0)$

$\Rightarrow f(3) - f(0) = - 3 \Rightarrow f(3) = - 1$

Xét tích phân $\int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx}$ . Đặt $u = x - 1 \Rightarrow du = dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow u = 0 \\ x = 4 \Rightarrow u = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx} = \int_{0}^{3}{(u + 1)f''(u)du} = \int_{0}^{3}{(u + 1)d\left\lbrack f'(u) ightbrack}$

$= \left. \ (u + 1)f'(u) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f'(u)du}$

$= 4f'(3) - f'(0) - \left. \ f(u) ight|_{0}^{3}$

$= 4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0)$

Theo bài ra suy ra

$4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0) = 7$

$\Rightarrow 4f'(3) = 7 + f(3) - f(0) = 4 \Rightarrow f'(3) = 1$

Như vậy $f(3) = - 1;f'(3) = 1$ . Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x = 3$ là: $y = x - 4$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{3} + 12x$ và đường thẳng $y = - x^{2}$ ?
- A.
  $S = \frac{397}{4}$
- B.
  $S = \frac{937}{12}$
- C.
  $S = \frac{3943}{12}$
- D.
  $S = \frac{793}{4}$
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

$- x^{3} + 12x = - x^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 4 \\ x = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Diện tích S của hình phẳng (H) là:

$S = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} + 12x - \left( - x^{2} ight) ight|dx} = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2} ight|dx}$

$= \int_{- 3}^{0}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2} ight|dx} + \int_{0}^{4}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2} ight|dx}$

$= \int_{- 3}^{0}{\left( - x^{3} + 12x + x^{2} ight)dx} + \int_{0}^{4}{\left( - x^{3} + 12x + x^{2} ight)dx}$

$= \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} - 6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight) ight|_{- 3}^{0} + \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} - 6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight) ight|_{0}^{4}$

$= 0 - \left( \frac{1}{4}.3^{4} - 6.3^{2} + \frac{1}{3}.3^{3} ight) + \left( - \frac{1}{4}.4^{4} + 6.4^{2} + \frac{1}{3}.4^{3} ight) - 0 = \frac{937}{12}$
Câu 9: Nhận biết
Vật thể $B$ giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình $x = 0$ và $x = 2$ . Cắt vật thể $B$ với mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $x;(0 \leq x \leq 2)$ ta được thiết diện có diện tích bằng $x^{2}(2 - x)$ . Thể tích của vật thể $B$ :
- A.
  $V = \frac{2\pi}{3}$
- B.
  $V = \frac{2}{3}$
- C.
  $V = \frac{4}{3}$
- D.
  $V = \frac{4\pi}{3}$
Thể tích của vật thể B là:

$V = \int_{0}^{2}{x^{2}(2 - x)dx} = \int_{0}^{2}{\left( 2x^{2} - x^{3} ight)dx} = \frac{4}{3}$
Câu 10: Thông hiểu
Xe đạp A xuất phát từ C, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v(t) = \frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30}(m/s)$ trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một xe đạp B cũng xuất phát từ C, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn $10$ giây so với A và có gia tốc bằng $a\left( m/s^{2} ight)$ ( $a$ là hằng số). Sau khi B xuất phát được $15$ giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng bao nhiêu?
- A.
  $25m/s$
- B.
  $15m/s$
- C.
  $9m/s$
- D.
  $42m/s$
Quãng đường xe đạp A đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

$S = \int_{0}^{25}{\left( \frac{t^{2}}{100} + \frac{13t}{30} ight)dt} = \frac{375}{2}(m)$

Vận tốc của xe đạp B tại thời điểm $t(s)$ tính từ lúc B xuất phát là: $v_{B}(t) = at$

Quãng đường xe đạp B đi được cho đến khi hai xe gặp nhau là:

$S = \int_{0}^{15}{(at)dt} = \left. \ \left( \frac{at^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{15} = \frac{225a}{2}(m)$

$\Rightarrow \frac{225a}{2} = \frac{375}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{3}$

Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là: $v_{B}(15) = 15a = 25(m/s)$
Câu 11: Vận dụng cao

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Đáp án là:

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Cả hai bên cầu có tất cả $2.10 = 20$ nhịp cầu.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc $O(0;0)$ là chân cầu, đỉnh $I(25;2)$ , điểm $A(50;0)$

Gọi Parabol phía trên có phương trình: $\left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c = ax^{2} + bx$ (vì $O \in \left( P_{1} ight)$ )

$\Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx - \frac{1}{5}$ là phương trình parabol phía dưới

(Vì bề dày nhịp cầu là $20cm = \frac{1}{5}m$ )

Ta có $I,A \in \left( P_{1} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 25^{2}a + 25b = 2 \\ 50^{2}a + 50b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{2}{625} \\ b = \frac{4}{25} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\ \ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x - \frac{1}{5}$

Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi $y_{1};y_{2}$ và trục Ox nên ta có:

$S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx + \int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}$

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là $S.0,2 \approx 1,985m^{3}.$

Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là $V = 20.S.0,2 \approx 40m^{3}$
Câu 12: Thông hiểu
Một vận động viên đua xe đang chạy với vận tốc $10m/s$ thì anh ta tăng tốc với vận tốc $a(t) = 6t\left( m/s^{2} ight)$ , trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc, hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian $10s$ kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu?
- A.
  $1100m$
- B.
  $100m$
- C.
  $1010m$
- D.
  $1110m$
Ta có: $v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{6tdt} = 3t^{2} + C$

Do khi bắt đầu tăng tốc $v_{0} = 10 ightarrow v_{(t = 0)} = 10 \Rightarrow C = 10$

$\Rightarrow v(t) = 3t^{2} + 10$

Khi đó quãng đường xe đi được sau 10 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng

$S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} = \int_{0}^{10}{\left( 3t^{2} + 10 ight)dt} = 1100(m)$
Câu 13: Nhận biết
Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{2x}.3^{x}.7^{x}$ là:
- A.
  $\frac{84^{x}}{\ln84} +C$
- B.
  $\frac{2^{2x}.3^{x}.7^{x}}{\ln4.\ln3.\ln7} +C$
- C.
  $84^{x} + C$
- D.
  $84^{x}.\ln84 + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\left(2^{2x}.3^{x}.7^{x} ight)dx =}\int_{}^{}{\left( 84^{x} ight)dx}=\frac{84^{x}}{\ln84} + C$
Câu 14: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}}$ là:
- A.
  $\frac{2}{e^{x} + 1} + C$ .
- B.
  $- \frac{2}{e^{x} + 1} + C$ .
- C.
  $\frac{- 1}{e^{x} + 1} + C$ .
- D.
  $\frac{1}{e^{x} + 1} + C$ .
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}}dx} = \int_{}^{}\frac{d\left( e^{x} + 1 ight)}{\left( e^{x} + 1 ight)^{2}} = - \frac{1}{e^{x} + 1} + C$ .
Câu 15: Thông hiểu
Biết rằng $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sin x + \cos x\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ 2(x + 1)\ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$ và $F(\pi) + F( - 1) = 1$ . Giá trị biểu thức $T = F(2\pi) + F( - 5)$ bằng:
- A.
  $T = 17$
- B.
  $T = 2\pi + 3$
- C.
  $T = 8$
- D.
  $T = \pi - 1$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + C_{2}\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$

$F(\pi) + F( - 1) = 1 \Rightarrow \left( \pi\sin\pi + C_{1} ight) + \left( 1 - 2 + C_{2} ight) = 1 \Rightarrow C_{1} + C_{2} = 2(*)$

Vì hàm số $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x = 0$ tức là

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}F(x) = F(0)$

$\Leftrightarrow C_{1} = C_{2}(**)$ . Từ (*) và (**) suy ra $C_{1} = C_{2} = 1$

Do đó $F(x) = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + 1\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + 1\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$

$T = F(2\pi) + F( - 5) = 17$
Câu 16: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập số thực thỏa mãn $f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ và $f'(x) - 2f(x) = 0$ . Tính $f( - 1)$ biết rằng $f(1) = 1$ ?
- A.
  $e^{- 4}$
- B.
  $e^{3}$
- C.
  $e^{4}$
- D.
  $e^{- 2}$
Vì $f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ nên ta có:

$f'(x) - 2f(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx} = \int_{}^{}{2dx}$

$\Rightarrow \exists C\mathbb{\in R}:ln\left| f(x) ight| = 2x + C$

$\Rightarrow \ln f(x) = 2x + C$

Cho $x = 1 \Rightarrow \ln f(1) = 2 + C\Rightarrow \ln1 = 2 + C \Rightarrow C = - 2$

Do đó $\ln f(x) = 2x - 2 \Leftrightarrow f(x) = e^{2x - 2} \Rightarrow f( - 1) = e^{- 4}$
Câu 17: Nhận biết
Cho hình vẽ:

Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ được xác định theo công thức:
- A.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( 2x^{2} - 2x - 4 ight)dx}$
- B.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( 2x^{2} + 2x - 4 ight)dx}$
- C.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} + 2x + 4 ight)dx}$
- D.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} - 2x + 4 ight)dx}$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy công thức tính diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int_{- 1}^{2}{\left( - x^{2} + 3 - x^{2} + 2x + 1 ight)dx} = \int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} + 2x + 4 ight)dx}$ .
Câu 18: Vận dụng
Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'(x).f^{2}(x) = x^{2}$ và $f(2) = 2$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $g(x) = f(x) + x^{2}$ tại điểm có hoành độ bằng $3$ là:
- A.
  $y = 7x - 9$
- B.
  $y = x + 2$
- C.
  $y = 4x - 4$
- D.
  $y = x$
Ta có: $f'(x).f^{2}(x) = x^{2}$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\int_{}^{}{f'(x).f^{2}(x)dx} = \int_{}^{}{x^{2}dx}$

$\Leftrightarrow \int_{}^{}{f^{2}(x)df(x)} = \frac{x^{3}}{3} + C$

$\Leftrightarrow \frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} + C$ . Theo bài ra ta có: $f(2) = 2 \Rightarrow \frac{f^{3}(2)}{3} = \frac{2^{3}}{3} + C \Rightarrow C = 0$

Suy ra $\frac{f^{3}(x)}{3} = \frac{x^{3}}{3} \Leftrightarrow f(x) = x$

Vậy $g(x) = x^{2} + x \Rightarrow g'(x) = 2x + 1$

Ta có: $g'(3) = 7;g(3) = 12$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 3 là:

$y = g'(3)(x - 3) + g(3)$

$\Leftrightarrow y = 7(x - 3) + 12 \Leftrightarrow y = 7x - 9$
Câu 19: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ 3x^{2} - 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$ có một nguyên hàm là $F(x)$ thỏa mãn $F(0) = 1$ và $F(x)$ liên túc trên $\mathbb{R}$ . Giá trị biểu thức $K = F( - 1) - F(2)$ bằng:
- A.
  $K = 7$
- B.
  $K = 5$
- C.
  $K = 8$
- D.
  $K = 6$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + C_{1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + C_{2}\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$

$F(0) = 1 \Rightarrow C_{2} = 1$

Vì hàm số $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x = 1$ tức là

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}F(x) = F(1)$

$\Leftrightarrow 1 + C_{1} = C_{2} \Leftrightarrow C_{1} = 0$

Do đó $F(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ x^{3} - x + 1\ \ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$

$K = F( - 1) - F(2) = ( - 1 + 1 + 1) + \left( 2^{2} ight) = 5$
Câu 20: Vận dụng
Cho hai hàm số $f(x) = ax^{3} + bx + c;g(x) = bx^{3} + ax + c;(a > 0)$ có đồ thị như hình vẽ:

Gọi $S_{1};S_{2}$ là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi $S_{1} + S_{2} = 3$ thì $\int_{0}^{1}{f(x)dx}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3$
- B.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = - 3$
- C.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 6$
- D.
  $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = - 6$
Phương trình hoành độ giao điểm

$(a - b)x^{3} + (b - a)x = 0$

$\Leftrightarrow (a - b)\left( x^{3} - x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Ký hiệu $S_{3}$ là diện tích hình phẳng như hình vẽ:

Ta có:

$S_{1} = \int_{- 1}^{0}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} = (a - b)\int_{- 1}^{0}{\left( x^{3} - x ight)dx} = \frac{1}{4}(a - b)$

$S_{2} = - \int_{- 1}^{0}{g(x)dx} = - \int_{- 1}^{0}{\left( bx^{3} + ax + c ight)dx} = - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight)$

Vì vậy $S_{1} + S_{2} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{4}(a - b) - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight) = 3$

$\Leftrightarrow a + 2b + 4c = - 12$

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{\left( ax^{3} + bx + c ight)dx} = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = \frac{a + 2b + 4c}{4} = - 3$

37 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!