Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2x - 1};y = 1$ và đường thẳng $x = 2$ là
- A.
  $S = 1 + \ln3$
- B.
  $S = 1 - \frac{1}{2}\ln3$
- C.
  $S = \frac{1}{2}\ln3$
- D.
  $S = \frac{1}{2} +\ln3$
Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{1}{2x - 1} = 1 \Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{1}{2} \\2x - 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = 1$

Khi đó:

$S = \int_{1}^{2}{\left| \frac{1}{2x - 1} - 1 ight|dx} = \left| \int_{1}^{2}{\left( \frac{1}{2x - 1} - 1 ight)dx} ight|$

$= \left| \left. \ \left( \frac{\ln|2x -1|}{2} - x ight) ight|_{1}^{2} ight| = \left| \frac{1}{2}\ln3 - 1ight| = 1 - \frac{1}{2}\ln3$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x\sin x$ , biết rằng $F\left( \frac{\pi}{2} ight) = 2019$ ?
- A.
  $F(x) = x\sin x + \cos x + 2019$
- B.
  $F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018$
- C.
  $F(x) = x\sin x - \cos x + 2019$
- D.
  $F(x) = x\sin x + \cos x + 2018$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} u = x \\ dv = \sin xdx \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = - \cos x \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{}^{}{x\sin xdx} = - x\cos x - \int_{}^{}{\left( - \cos x ight)dx} + C = - x\cos x + \sin x + C$

$F\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} + C = 2019 \Rightarrow C = 2018$

Vậy $F(x) = - x\cos x + \sin x + 2018$ .
Câu 3: Thông hiểu
Tính tích phân $I =\int_{0}^{\pi}{\cos^{3}x.\sin xdx}$ ?
- A.
  $- \frac{\pi^{4}}{4}$
- B.
  $- \pi^{4}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{1}{4}$
Đặt $x = \pi - t$ . Ta có:

$I = - \int_{\pi}^{0}{\cos^{3}(\pi -t).\sin(\pi - t)dt} = - \int_{0}^{\pi}{\cos^{3}t.\sin tdt}$ suy ra $2I = 0 \Rightarrow I = 0$ .
Câu 4: Nhận biết
Tìm nguyên hàm $F(t) = \int_{}^{}txdt$ .
- A.
  $F(t) = x + t + C$
- B.
  $F(t) = \frac{x^{2}t}{2} + C$
- C.
  $F(t) = \frac{xt^{2}}{2}$ $+ C$
- D.
  $F(t) = \frac{(tx)^{2}}{2} + C$
Ta có:

$F(t) = \int_{}^{}txdt = x\int_{}^{}tdt = x.\frac{t^{2}}{2} + C$
Câu 5: Nhận biết
Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = f(x);y = g(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ và hai đường thẳng $x = a;x = b;a < b$ là
- A.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
- B.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx}$
- C.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack^{2}dx}$
- D.
  $S = \pi\int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
Ta có hình phẳng giới hạn bởi $\left\{ \begin{matrix} \left( C_{1} ight):y = f(x) \\ \left( C_{2} ight):y = g(x) \\ x = a \\ x = b \\ \end{matrix} ight.$ là $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Câu 6: Vận dụng
Biết rằng $F(x)$ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x^{2}(x +1)}$ thỏa mãn $F(1) + F( - 2) = \frac{1}{2}$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $F(2) + F( -3) =\frac{1}{3}$
- B.
  $F(2) + F( -3) = \frac{5}{6} +\ln2$
- C.
  $F(2) + F( -3) = \frac{1}{3} +\ln2$
- D.
  $F(2) + F( -3) =\frac{5}{6}$
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta có:
$f(x) = \frac{1}{x^{2}(x + 1)} =\frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ $= \frac{(A + C)x^{2} +(A + B)x + B}{x^{2}(x + 1)}$
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}A + C = 0 \\A + B = 0 \\B = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = 1 \\C = 1 \\\end{matrix} ight.$
$F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\left( - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1}ight)dx}$
$\Rightarrow F(x) = - \ln|x| -\frac{1}{x} + \ln|x + 1| + C = \ln\left| \frac{x + 1}{x} ight| -\frac{1}{x} + C$
Khi đó $F(x) = \left\{ \begin{matrix}\ln\dfrac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{1};x \in (0; + \infty) \\\ln\dfrac{- x - 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{2};x \in ( - 1;0) \\\ln\frac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{3};x \in ( - \infty; - 1) \\\end{matrix} ight.$
Mà $F(1) + F( - 2) =\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \ln2 - 1 + C_{1} +\ln\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + C_{3} = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow C_{1} + C_{3} =1$
Vậy $T = F(2) + F( - 3) = \ln\frac{3}{2} -\frac{1}{2} + C_{1} + \ln\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + C_{3} =\frac{5}{6}$
Câu 7: Thông hiểu
Một vật chuyển động với vận tốc $v(t)(m/s)$ có gia tốc $v'(t) = \frac{3}{t + 1}\left( m/s^{2} ight)$ . Vận tốc ban đầu của vật là $6m/s$ . Tính vận tốc của vật sau $10$ giây, (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
- A.
  $10m/s$
- B.
  $8m/s$
- C.
  $15m/s$
- D.
  $13m/s$
Vận tốc của vật là: $v(t) = \int_{}^{}{v'(t)dt} = \int_{}^{}{\frac{3}{t + 1}dt} = 3ln(t + 1) + C$

Do vận tốc ban đầu của vật là $6m/s$

$\Rightarrow v_{(t = 0)} = 6 \Rightarrow 3ln1 + C = 6 \Rightarrow C = 6$

Vận tốc của vật sau 10s là $v(10) = 3ln11 + 6 \approx 13m/s$
Câu 8: Thông hiểu
Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 2x}{x - 1}$ , đường thẳng $y = x - 1$ và các đường thẳng $x = m;x = 2m;(m > 1)$ . Giá trị của $m$ sao cho $S = ln3$ là
- A.
  $m = 5$
- B.
  $m = 4$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = 3$
Diện tích cần tìm chính là tích phân:

$S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} - 2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx}$

Ta có:

$S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} - 2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx} = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{- 1}{x - 1} ight|dx}$

$= \int_{m}^{2m}{\frac{1}{|x - 1|}dx} = \int_{m}^{2m}{\frac{1}{x - 1}dx};(m > 1)$

$= \left. \ \left\lbrack \ln|x - 1| ightbrack ight|_{m}^{2m} = \ln\frac{2m - 1}{m - 1}$

Do đó $S = ln3 \Leftrightarrow \ln\frac{2m - 1}{m - 1} = ln3 \Leftrightarrow m = 2$

Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm.
Câu 9: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = f(x)$ dương và liên tục trên $\lbrack 1;3brack$ thỏa mãn $\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = 2;\min_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \frac{1}{2}$ và biểu thức $S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx}$ đạt giá trị lớn nhất, khi đó $\int_{1}^{3}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $\frac{7}{2}$
- B.
  $\frac{5}{2}$
- C.
  $\frac{7}{5}$
- D.
  $\frac{3}{5}$
Do $\frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2 \Rightarrow f(x) + \frac{1}{f(x)} \leq \frac{5}{2}$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + \frac{1}{f(x)} ightbrack dx} \leq 5$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{f(x)dx} + \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5 - \int_{1}^{3}{f(x)dx}$

$\Rightarrow S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx} ightbrack^{2}$

$\leq \frac{25}{4} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx - \frac{5}{2}} ightbrack^{2} \leq \frac{25}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\int_{1}^{3}{f(x)dx} = \frac{5}{2}$ .
Câu 10: Vận dụng
Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Các biểu thức $E;F;G;H$ xác định bởi $E = \int_{0}^{3}{f(x)dx};F = \int_{3}^{5}{f(x)dx};G = \int_{2}^{4}{f(x)dx};H = f'(x)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $F < E < G < H$
- B.
  $H < E < F < G$
- C.
  $E < H < G < F$
- D.
  $G < H < E < F$
Dựa vào hình vẽ và diện tích hình phẳng ta có:

$E = \int_{0}^{3}{f(x)dx} = - \int_{0}^{3}{\left| f(x) ight|dx} < - 2$

$F = \int_{3}^{5}{f(x)dx} > 3$

$0 < G = \int_{2}^{4}{f(x)dx} < 2$

$- 1 < H = f'(1) < 0$ (hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 1)

Như vậy $E < H < G < F$
Câu 11: Nhận biết
Tích phân $\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 5}$ bằng:
- A.
  $\frac{1}{2}\log\frac{7}{5}$
- B.
  $\frac{1}{2}\log\frac{5}{7}$
- C.
  $\frac{1}{2}\ln\frac{7}{5}$
- D.
  $\frac{1}{2}\ln\frac{5}{7}$
Ta có: $\int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 5} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{d(2x + 5)}{2x + 5}$

$= \left. \ \frac{1}{2}\ln(2x + 5) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\ln\frac{7}{5}$
Câu 12: Vận dụng cao
Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng $1$ như hình vẽ:
Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x;( - 1 \leq x \leq 1)$ thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích $V$ của vật thể đó.?
- A.
  $V = \sqrt{3}$
- B.
  $V = 3\sqrt{3}$
- C.
  $V = \frac{4\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $V = \pi$
Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x;( - 1 \leq x \leq 1)$ thì được thiết diện là một tam giác đều có cạnh bằng $2\sqrt{1 - x^{2}}$
Do đó, diện tích của thiết diện: $S(x) =\frac{\left( 2\sqrt{1 - x^{2}} ight)^{2}\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\left(1 - x^{2} ight)$
$V = \int_{- 1}^{1}{S(x)dx} = \int_{-1}^{1}{\left\lbrack \sqrt{3}\left( 1 - x^{2} ight) ightbrackdx}$
$= \sqrt{3}\left. \ \left( x -\frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{- 1}^{1} =\frac{4\sqrt{3}}{3}$
Câu 13: Thông hiểu
Một ô tô đang chạy với vận tốc $20m/s$ thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = - 4t + 20(m/s)$ trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?
- A.
  $25m$
- B.
  $50m$
- C.
  $10m$
- D.
  $30m$
Khi vật dừng hẳn thì $v = 0 \Rightarrow - 4t + 20 = 0 \Rightarrow t = 5(s)$

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên là:

$S(t) = \int_{0}^{5}{v(t)dt} = \int_{0}^{5}{( - 4t + 20)dt} = 50m$
Câu 14: Thông hiểu
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x}$ , thỏa mãn $F(0) = 2020$ . Tính giá trị biểu thức $T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$ ?
- A.
  $T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2019.2020$
- B.
  $T = \frac{e^{2019} - 1}{e - 1} + 2018.2019$
- C.
  $T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2020^{2}$
- D.
  $T = \frac{e^{2019} - 1}{e - 1} + 2019^{2}$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C$

$F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x}$ , ta có: $F(x) = e^{x} + C$ mà $F(0) = 2020$

$\Rightarrow C = 2019 \Rightarrow F(x) = e^{x} + 2019$

$T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$

$T = 1 + e + e^{2} + .... + e^{2018} + e^{2019} + 2019.2020$

$T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2019.2020$ .
Câu 15: Nhận biết
Cho hình vẽ:

Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ được xác định theo công thức:
- A.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( 2x^{2} - 2x - 4 ight)dx}$
- B.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( 2x^{2} + 2x - 4 ight)dx}$
- C.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} + 2x + 4 ight)dx}$
- D.
  $\int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} - 2x + 4 ight)dx}$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy công thức tính diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int_{- 1}^{2}{\left( - x^{2} + 3 - x^{2} + 2x + 1 ight)dx} = \int_{- 1}^{2}{\left( - 2x^{2} + 2x + 4 ight)dx}$ .
Câu 16: Nhận biết
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack$ và $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} = 5$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left\lbrack f(x) + 2sinx ightbrack dx}$ ?
- A.
  $I = 5 + \pi$
- B.
  $I = 5 + \frac{\pi}{2}$
- C.
  $I = 7$
- D.
  $I = 3$
Ta có:

$I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left\lbrack f(x) + 2\sin x ightbrack dx} =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{2\sin xdx}$

$= 5 - \left. \ 2\cos xight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 7$
Câu 17: Thông hiểu
Biết rằng $\int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx = a\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| + b\ln|x| + C}$ . Tính giá trị biểu thức $H = 2a + b$ ?
- A.
  $H = 0$ .
- B.
  $H = 1$ .
- C.
  $H = \frac{1}{2}$ .
- D.
  $H = 1$ .
Ta có:

$\frac{1}{x^{3} - x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{D}{c + 1}$

$= \frac{A\left( x^{2} - 1 ight) + Bx(x + 1) + Dx(x - 1)}{x^{3} - x}$

$= \frac{(A + B + D)x^{2} + (B - D)x - A}{x^{3} - x}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A + B + D = 0 \\B - D = 0 \\- A = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = \dfrac{1}{2} \\D = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Khi đó $\int_{}^{}{\frac{1}{x^{3} - x}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{- 1}{x} + \frac{1}{2(x - 1)} + \frac{1}{2(x + 1)} ightbrack dx}$

$= \frac{1}{2}\ln\left| (x - 1)(x + 1) ight| - \ln|x| + C$

Suy ra $a = \frac{1}{2};b = - 1 \Rightarrow H = 0$ .
Câu 18: Thông hiểu
Tính thể tích $V$ của vật thể sinh ra khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = e^{x}.\sqrt{x}$ , đường thẳng $x = 1$ và trục hoành?
- A.
  $V = \frac{\pi}{4}\left( e^{2} + 1 ight)$
- B.
  $V = \frac{1}{4}\left( e^{2} + 1 ight)$
- C.
  $V = \frac{\pi}{4}\left( e^{4} - 1 ight)$
- D.
  $V = \frac{1}{4}\left( e^{4} - 1 ight)$
Thể tích V của vật thể là:

$V = \pi\int_{0}^{1}{\left( e^{x}\sqrt{x} ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{1}{\left( e^{2x}.x ight)dx}$

$= \frac{\pi}{2}\int_{0}^{1}{xd\left( e^{2x} ight)} = \frac{\pi}{2}\left\lbrack \left. \ \left( x.e^{2x} ight) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{2x}dx} ightbrack$

$= \frac{\pi}{4}\left( e^{2} + 1 ight)$
Câu 19: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x +\sin2x$ là:
- A.
  $x^{2} - \frac{1}{2}\cos2x +c$
- B.
  $x^{2} + \frac{1}{2}\cos2x +c$
- C.
  $x^{2} - 2\cos2x + c$
- D.
  $x^{2} + 2\cos2x + c$
Ta có:
$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{(2x +\sin2x)dx}$
$= 2.\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2}\cos2x +c = x^{2} - \frac{1}{2}\cos2x + c$
Câu 20: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{(2x - 1)^{2}}$ ?
- A.
  $\frac{1}{2 - 4x} + C$
- B.
  $- \frac{1}{(2x - 1)^{2}} + C$
- C.
  $\frac{1}{4x - 2} + C$
- D.
  $- \frac{1}{2x - 1} + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\frac{1}{(2x -1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{(2x - 1)^{- 1}dx}$

$= - \frac{1}{2}.\frac{1}{2x -2} + C = \frac{1}{2 - 4x} + C$

8 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!