Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) =\sin5x.\cos x$ ?
- A.
  $- \frac{1}{5}\cos5x +C$
- B.
  $- \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12}+ C$
- C.
  $\frac{1}{5}\cos5x +C$
- D.
  $\frac{1}{8}\cos4x + \frac{1}{12}\cos6x+ C$
Ta có:

$\int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}$

$= - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C$
Câu 2: Thông hiểu
Cho $\int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = a\ln|x - 1| + b\ln|x + 1| + C$ với $a;b$ là các số hữu tỉ. Khi đó $a - b$ bằng:
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $- 1$
Ta có: $\frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ight)dx} = \frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C$

Suy ra $a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a - b = 1$ .
Câu 3: Vận dụng cao
Cho parabol $(P):y = x^{2}$ và hai điểm $A;B$ thuộc $(P)$ sao cho $AB = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ và đường thẳng $AB$ .
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $\frac{4}{3}$
- C.
  $\frac{3}{4}$
- D.
  $\frac{5}{6}$
Hình vẽ minh họa
Gọi $A\left( a;a^{2} ight)$ và $(P):y = x^{2}$ là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.
Không mất tính tổng quát giả sử a < b.
Theo giả thiết ta có AB = 2 nên
$(b - a)^{2} + \left( b^{2} - a^{2}ight)^{2} = 4$
$\Leftrightarrow (b - a)^{2}\left\lbrack1 + (b + a)^{2} ightbrack = 4$
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là $y = (b + a)x - ab$
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:
$S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack (a + b)x -ab - x^{2} ightbrack dx}$
$= \left. \ \left\lbrack (a +b)\frac{x^{2}}{2} - abx - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{a}^{b}= \frac{(b - a)^{3}}{6}$
Mặt khác $(b - a)^{2}\left\lbrack 1 + (b +a)^{2} ightbrack = 4$ nên $|b -a| \leq 2$ do $1 + (b + a)^{2} \geq1$
Suy ra $S = \frac{(b - a)^{3}}{6} \leq\frac{2^{3}}{6}$
Vậy $S_{\max} = \frac{4}{3}$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.
Câu 4: Thông hiểu
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đường parabol $(P):y = x^{2} - x + 2$ và tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{2} + 1$ tại điểm có tọa độ $(1;2)$ . Diện tích của hình (H) là:
- A.
  $S = \frac{5}{6}$
- B.
  $S = \frac{1}{6}$
- C.
  $S = 1$
- D.
  $S = \frac{2}{3}$
Xét hàm số $y = x^{2} + 1$ trên $\mathbb{R}$ . Ta có: $y' = 2x$

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm $(1;2)$ của đồ thị hàm số $y = x^{2} + 1$ là

$y = y'(1)(x - 1) + 2 \Leftrightarrow y = 2x$

Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình $y = 2x$ . Xét phương trình tương giao của (P) và ∆

$x^{2} - x + 2 = 2x \Leftrightarrow x^{2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $(H)$ khi đó

$S = \int_{1}^{2}{\left| \left( x^{2} - x + 2 ight) - 2x ight|dx} = \int_{1}^{2}{\left| x^{2} - 3x + 2 ight|dx}$

Vì $x^{2} - 3x + 2 \leq 0;\forall x \in \lbrack 1;2brack$ nên

$S = - \int_{1}^{2}{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)dx}$

$= - \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2} + 2x ight) ight|_{1}^{2} = - \left( \frac{2}{3} - \frac{5}{6} ight) = \frac{1}{6}$
Câu 5: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ:

Tính tích phân $I = \int_{1}^{2}{f'(2x - 1)dx}$ ?
- A.
  $I = - 2$
- B.
  $I = - 1$
- C.
  $I = 1$
- D.
  $I = 2$
Ta có:

$I = \int_{1}^{2}{f'(2x - 1)dx} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{f'(2x - 1)d(2x - 1)}$

$= \frac{1}{2}\left. \ f(2x - 1)ight|_{1}^{2} = \frac{1}{2}\left\lbrack f(3) - f(1) ightbrack =2$
Câu 6: Vận dụng
Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = (x + 3)^{2}$ , trục hoành và đường thẳng $x = 0$ . Gọi $A(0;9),B(b;0);( - 3 < b < 0)$ . Tính giá trị của tham số $b$ để đoạn thẳng $AB$ chia $(H)$ thành hai phần có diện tích bằng nhau?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
- A.
  $b = - \frac{1}{2}$
- B.
  $b = - 2$
- C.
  $b = - \frac{3}{2}$
- D.
  $b = - 1$
Câu 7: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ . Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a;x = b;(a < b)$ được tính theo công thức
- A.
  $S = \left| \int_{a}^{b}{f(x)dx} ight|$
- B.
  $S = \int_{a}^{b}{f(x)dx}$
- C.
  $S = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}$
- D.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx}$
Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a;x = b;(a < b)$ được tính theo công thức: $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx}$ .
Câu 8: Thông hiểu
Dòng diện xoay chiều hình sin chạy qua mạch điện dao động $LC$ lí tưởng có phương trình $i = I_{0}\sin\left( \omega t + \frac{\pi}{2} ight)$ . Ngoài ra $i = q'(t)$ với $q$ là điện tích tức thời trong tụ. Tính từ lúc $t = 0$ , điện lượng chạy qua tiết diện thẳng của dây dẫn của mạch trong thời gian $\frac{\pi}{2\omega}$ là
- A.
  $\frac{I_{0}\pi}{\omega\sqrt{2}}$
- B.
  $0$
- C.
  $\frac{I_{0}\pi\sqrt{2}}{\omega}$
- D.
  $\frac{I_{0}}{\omega}$
Điện lượng cần tìm là:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}}{\left\lbrack I_{0}\sin\left( \omega t + \frac{\pi}{2} ight) ightbrack dt} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}}{\left\lbrack I_{0}\cos(\omega t) ightbrack dt}$

$= \left. \ \left\lbrack I_{0}\sin(\omega t) ightbrack ight|_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}} = \frac{I_{0}}{\omega}$
Câu 9: Nhận biết
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 25^{x}$ ?
- A.
  $F_{1}(x) = 25^{x}$ .
- B.
  $F_{2}(x) =25^{x}ln25$ .
- C.
  $F_{3}(x) = \frac{25^{x}}{log25}$ .
- D.
  $F_{4}(x) = \frac{25^{x}}{ln25}$ .
Vì: $\left( \frac{25^{x}}{ln25} ight)' = \frac{1}{ln25}.25^{x}.ln25 = 25^{x}$
Câu 10: Vận dụng
Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(1) = 3$ và $x\left\lbrack 4 - f'(x) ightbrack = f(x) - 1$ với mọi $x > 0$ . Tính $f(2)$ ?
- A.
  $f(2) = 6$
- B.
  $f(2) = 2$
- C.
  $f(2) = 5$
- D.
  $f(2) = 3$
Ta có:

$x\left\lbrack 4 - f'(x) ightbrack = f(x) - 1$

$\Leftrightarrow f(x) + xf'(x) = 4x + 1$

$\Leftrightarrow \left( xf(x) ight)' = 4x + 1$

$\Leftrightarrow xf(x) = \int_{}^{}{\left( xf(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{(4x + 1)dx}$

$\Leftrightarrow \int_{}^{}{(4x + 1)dx} = 2x^{2} + x + C$

Với $x = 1 \Rightarrow 1.f(1) = 3 + C \Leftrightarrow 3 = 3 + C \Rightarrow C = 0$

Do đó $xf(x) = 2x^{2} + x$

Vậy $2f(2) = 2.2^{2} + 2 \Rightarrow f(2) = 5$
Câu 11: Thông hiểu
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}}$ là:
- A.
  $\frac{3}{4}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
- B.
  $\frac{2}{3}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
- C.
  $\frac{x}{2(x + 1)\sqrt{x + 1}} + C$
- D.
  $\sqrt{x + 1} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} + C$
Đặt $t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\left( \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{t^{2} + 1}{t} ight)2tdt} = \int_{}^{}{\left( 2t^{2} + 2 ight)dt} = \frac{2t^{3}}{3} + 2t + C$

$= \frac{2(x + 1)\sqrt{x + 1}}{3} + 2\sqrt{x + 1} + C = \frac{2}{3}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C$
Câu 12: Nhận biết
Cho $\int_{- 1}^{2}{f(x)dx} = 2$ và $\int_{- 1}^{2}{g(x)dx} = - 1$ , khi đó $\int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx}$ bằng:
- A.
  $\frac{5}{2}$ .
- B.
  $\frac{7}{2}$ .
- C.
  $\frac{17}{2}$ .
- D.
  $\frac{11}{2}$ .
Ta có:

$\int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = \int_{- 1}^{2}{xdx} + 2\int_{- 1}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 1}^{2}{g(x)dx}$

$= \left. \ \frac{1}{2}x^{2} ight|_{- 1}^{2} + 2.2 + 3.( - 1) = \frac{5}{2}$
Câu 13: Thông hiểu
Tính tích phân $B = \int_{0}^{2}{2x\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}dx}$ ?
- A.
  $B = \frac{5^{2019} - 1}{2019}$
- B.
  $B = \frac{5^{2019} - 1}{4038}$
- C.
  $B = \frac{5^{2018} - 1}{4036}$
- D.
  $B = 1$
Ta có: $B = \int_{0}^{2}{2x\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}dx}$

$= \int_{0}^{2}{\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}d\left( x^{2} + 1 ight)}$

$= \left. \ \frac{\left( x^{2} + 1 ight)^{2019}}{2019} ight|_{0}^{2} = \frac{5^{2019} - 1}{2019}$
Câu 14: Vận dụng cao

Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

Đáp án: 6750000 đồng.

Đáp án là:

Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.

Đáp án: 6750000 đồng.

Gọi phương trình parabol $(P):y = ax^{2} + bx + c$ .

Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ( P) có đỉnh I ∈ Oy (như hình vẽ)

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} \frac{9}{4} = c\ (I \in (P))\ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = \frac{9}{4} \\ a = - 1 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

Vậy $(P):y = - x^{2} + \frac{9}{4}$

Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là: $S = \int_{\frac{- 3}{2}}^{\frac{3}{2}}\left( - x^{2} + \frac{9}{4} ight)dx = 2\left. \ \left( - \frac{x}{3}^{3} + \frac{9}{4}x ight) ight|_{0}^{\frac{9}{4}} = \frac{9}{2}(m^{2}).$

Số tiền phải trả là $\frac{9}{2}.1500000 = 6750000$ đồng.
Câu 15: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sqrt[3]{x}$ là:
- A.
  $\frac{3\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + C$
- B.
  $\frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} + C$
- C.
  $\frac{4}{3\sqrt[3]{x}} + C$
- D.
  $\frac{4x}{3\sqrt[3]{x^{2}}} + C$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \sqrt[3]{x} ight)dx} = \int_{}^{}{x^{\frac{2}{3}}dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} + C$ .
Câu 16: Thông hiểu
Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{x}$ trên $( - \infty;0)$ thỏa mãn $F( - 2) = 0$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $F(x) = \ln\left( - \frac{x}{2} ight);\forall x \in ( - \infty;0)$
- B.
  $F(x) = \ln|x| + C;\forall x \in ( - \infty;0)$ với $C$ là một số thực bất kì.
- C.
  $F(x) = \ln|x| + ln2;\forall x \in ( - \infty;0)$
- D.
  $F(x) = \ln( - x) + C;\forall x \in ( - \infty;0)$ với $C$ là một số thực bất kì.
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{x}dx} = \ln|x| + C = \ln( - x) + C;\forall x \in ( - \infty;0)$

Lại có $F( - 2) = 0 \Leftrightarrow \ln(2) + C = 0 \Rightarrow C = - ln2$

Do đó $F(x) = \ln( - x) - ln2 = \ln\left( - \frac{x}{2} ight)$

Vậy $F(x) = \ln\left( - \frac{x}{2} ight);\forall x \in ( - \infty;0)$ .
Câu 17: Thông hiểu
Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2x - 1};y = 1$ và đường thẳng $x = 2$ là
- A.
  $S = 1 + \ln3$
- B.
  $S = 1 - \frac{1}{2}\ln3$
- C.
  $S = \frac{1}{2}\ln3$
- D.
  $S = \frac{1}{2} +\ln3$
Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{1}{2x - 1} = 1 \Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{1}{2} \\2x - 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = 1$

Khi đó:

$S = \int_{1}^{2}{\left| \frac{1}{2x - 1} - 1 ight|dx} = \left| \int_{1}^{2}{\left( \frac{1}{2x - 1} - 1 ight)dx} ight|$

$= \left| \left. \ \left( \frac{\ln|2x -1|}{2} - x ight) ight|_{1}^{2} ight| = \left| \frac{1}{2}\ln3 - 1ight| = 1 - \frac{1}{2}\ln3$ .
Câu 18: Thông hiểu
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi Parabol $y = \frac{x^{2}}{12}$ và đường cong có phương trình $y = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ như hình vẽ:

Diện tích của hình phẳng $(H)$ bằng:
- A.
  $\frac{4\pi + \sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{4\sqrt{3} + \pi}{6}$
- C.
  $\frac{8\pi + 2\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\frac{4\pi + \sqrt{3}}{6}$
Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{x^{2}}{12} = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt{3}$

Diện tích hình phẳng $(H)$ bằng:

$S = 2\int_{0}^{2\sqrt{3}}{\left\lbrack \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} - \frac{x^{2}}{12} ightbrack dx}$

$= \int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} - \frac{1}{6}\int_{0}^{2\sqrt{3}}{x^{2}dx}$

$= \int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} + \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Đặt $x = 4\sin t$

$\Rightarrow\int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{16\cos^{2}tdt} = \frac{8\pi}{3} +2\sqrt{3}$

$\Rightarrow S = \frac{8\pi + 2\sqrt{3}}{3}$
Câu 19: Nhận biết
Xác định giá trị của tham số $a$ thỏa mãn $\int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2$ ?
- A.
  $a = 1$
- B.
  $a = 2$
- C.
  $a = 0$
- D.
  $a = 3$
Ta có: $\int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = \left. \ \left( x^{3} + 2x ight) ight|_{0}^{a} = a^{3} + 2a$

$\Rightarrow \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a^{3} + 2a = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a = 1$

Vậy đáp án $a = 1$ .
Câu 20: Nhận biết
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \cos x;y = 0;x = 0;x = \frac{\pi}{2}$ . Thể tích vật thể tròn xoay có được khi $(H)$ quay quanh trục $Ox$ bằng:
- A.
  $\frac{\pi^{2}}{4}$
- B.
  $2\pi$
- C.
  $\frac{\pi}{4}$
- D.
  $\frac{\pi^{2}}{2}$
Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay cần tính. Ta có:

$V = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\cos x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1 +\cos2x}{2}dx}$

$= \pi\left. \ \left( \frac{x}{2} +\frac{\sin2x}{4} ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi^{2}}{4}$

21 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!