Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho hai hàm số $F(x) = \left( x^{2} + bx + c ight)e^{x}$ và $f(x) = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x}$ . Biết $a;b$ là các số thực để $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ . Tính $S = a + b$ ?
- A.
  $S = - 6$
- B.
  $S = 12$
- C.
  $S = 6$
- D.
  $S = 4$
Từ giả thiết ta có:

$F'(x) = f(x)$

$\Leftrightarrow (2x + a)e^{x} + \left( x^{2} + ax + b ight)e^{x} = \left( x^{2} + 3x + 4 ight)e^{x};\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow x^{2} + (2 + a)x + a + b = x^{2} + 3x + 4;\forall x\mathbb{\in R}$

Đồng nhất hai vế ta có: $\left\{ \begin{matrix} a + 2 = 3 \\ a + b = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = a + b = 4$ .
Câu 2: Thông hiểu

Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x) = \sqrt{x}$ và $y = g(x) = x - 2$ như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 3,3 m²

Đáp án là:

Một khu đất trồng cây cảnh (phần được tô đậm) là hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x) = \sqrt{x}$ và $y = g(x) = x - 2$ như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m). Cần tính diện tích của khu đất để báo cho đơn vị thiết kế trước trồng cây cảnh khi kí hợp đồng. Diện tích của khu đất là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án: 3,3 m²

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số $y = \sqrt{x},y = x - 2.$

$\sqrt{x} = x - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x = (x - 2)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x^{2} - 5x + 4 = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow x = 4. ight.$

Diện tích của hình phẳng cần tìm là

$S = \int_{0}^{4}\sqrt{x}dx - \int_{0}^{4}(x - 2)dx = \frac{10}{3} \approx 3,3(m^{2}).$
Câu 3: Vận dụng
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và $f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}$ . Giá trị của f(2) là:
- A. 5
- B. 20
- C. 10
- D. 15
Chọn f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Ta có:
$\begin{matrix} f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3a - 2} \\ {b = 2b - 3} \\ {d = 0} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1} \\ {b = 3} \\ {c = 0} \\ {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2}$ => f(x) = 20
Câu 4: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm với mọi $x\mathbb{\in R}$ và $f'(x) = 2x + 1$ . Giá trị của $f(2) - f(1)$ bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $- 2$
- C.
  $2$
- D.
  $0$
Ta có:
$f'(x) = 2x + 1 \Rightarrow\int_{}^{}{f'(x)dx = \int_{}^{}{(2x + 1)dx}}$
$= x^{2} + x + C \Rightarrow \existsC_{1}\mathbb{\in R}:f(x) = x^{2} + x + C$
$\Rightarrow f(2) - f(1) = 2^{2} + 2 +C_{1} - \left( 1^{2} + 1 + C_{1} ight) = 4$
Câu 5: Nhận biết
Giá trị tích phân $I = \int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx}$ bằng:
- A.
  $- \frac{31}{125}$
- B.
  $\frac{31}{125}$
- C.
  $\frac{31}{160}$
- D.
  $\frac{24}{125}$
Ta có:

$I = \int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx} = \int_{1}^{2}{x^{- 6}dx} = \left. \ \frac{x^{- 5}}{- 5} ight|_{1}^{2} = \frac{31}{125}$
Câu 6: Thông hiểu
Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $f(x) = x^{3} - 3x + 2$ và $g(x) = x + 2$ ?
- A.
  $S = 8$
- B.
  $S = 4$
- C.
  $S = 12$
- D.
  $S = 16$
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số $f(x);g(x)$ là nghiệm của phương trình

$x^{3} - 3x + 2 = x + 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Hình vẽ minh hoạ

Diện tích S cần tìm là:

$S = \int_{- 2}^{0}{\left( x^{3} - 4x ight)dx} - \int_{0}^{2}{\left( x^{3} - 4x ight)dx}$

$= \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} ight) ight|_{- 2}^{0} - \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} ight) ight|_{0}^{2} = 8$
Câu 7: Vận dụng cao
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau $y = \sqrt{x};y =1$ và đườDng thẳng $x = 4$ (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng $y = 1$ bằng
- A.
  $\frac{9\pi}{2}$
- B.
  $\frac{119\pi}{6}$
- C.
  $\frac{7\pi}{6}$
- D.
  $\frac{21\pi}{2}$
Đặt $\left\{ \begin{matrix}X = x - 1 \\Y = y - 1 \\\end{matrix} ight.$ . Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ
Ta có: $y = \sqrt{x} \Leftrightarrow Y + 1= \sqrt{X + 1} \Leftrightarrow Y = \sqrt{X + 1} - 1$
Thể tích cần tìm là
$V = \pi\int_{0}^{3}{\left( \sqrt{X + 1}- 1 ight)^{2}dX} = \pi\int_{0}^{3}{\left( X + 2 - 2\sqrt{X + 1}ight)dX}$
$= \pi\left. \ \left\lbrack\frac{1}{2}X^{2} + 2X - \frac{4}{3}(X + 1)\sqrt{X + 1} ightbrackight|_{0}^{3}$
$= \pi\left\lbrack \left( \frac{9}{2} + 6- \frac{32}{3} ight) - \left( - \frac{4}{3} ight) ightbrack =\frac{7\pi}{6}$
Câu 8: Thông hiểu
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi Parabol $y = \frac{x^{2}}{12}$ và đường cong có phương trình $y = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ như hình vẽ:

Diện tích của hình phẳng $(H)$ bằng:
- A.
  $\frac{4\pi + \sqrt{3}}{3}$
- B.
  $\frac{4\sqrt{3} + \pi}{6}$
- C.
  $\frac{8\pi + 2\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\frac{4\pi + \sqrt{3}}{6}$
Phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{x^{2}}{12} = \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} \Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt{3}$

Diện tích hình phẳng $(H)$ bằng:

$S = 2\int_{0}^{2\sqrt{3}}{\left\lbrack \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}} - \frac{x^{2}}{12} ightbrack dx}$

$= \int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} - \frac{1}{6}\int_{0}^{2\sqrt{3}}{x^{2}dx}$

$= \int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} + \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Đặt $x = 4\sin t$

$\Rightarrow\int_{0}^{2\sqrt{3}}{\sqrt{16 - x^{2}}dx} =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{16\cos^{2}tdt} = \frac{8\pi}{3} +2\sqrt{3}$

$\Rightarrow S = \frac{8\pi + 2\sqrt{3}}{3}$
Câu 9: Thông hiểu
Tính tích phân $I =\int_{0}^{\pi}{\cos^{3}x.\sin xdx}$ ?
- A.
  $- \frac{\pi^{4}}{4}$
- B.
  $- \pi^{4}$
- C.
  $0$
- D.
  $\frac{1}{4}$
Đặt $x = \pi - t$ . Ta có:

$I = - \int_{\pi}^{0}{\cos^{3}(\pi -t).\sin(\pi - t)dt} = - \int_{0}^{\pi}{\cos^{3}t.\sin tdt}$ suy ra $2I = 0 \Rightarrow I = 0$ .
Câu 10: Vận dụng

Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là $6cm$ , chiều cao trong lòng cốc là $10cm$ đang đựng một lượng nước.
Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là $6cm$ , chiều cao trong lòng cốc là $10cm$ đang đựng một lượng nước.
Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 11: Nhận biết
Một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc là $v(t) = 3t^{2} + 5(m/s)$ . Hỏi quãng đường máy bay đi được từ giây thứ $4$ đến giây thứ $10$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $996m$
- B.
  $876m$
- C.
  $966m$
- D.
  $1086m$
Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:

$S = \int_{4}^{10}{v(t)dt} = \int_{4}^{10}{\left( 3t^{2} + 5 ight)dt}$

$= \left. \ \left( t^{3} + 5t ight) ight|_{4}^{10} = 996(m)$
Câu 12: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = f(x)$ dương và liên tục trên $\lbrack 1;3brack$ thỏa mãn $\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = 2;\min_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \frac{1}{2}$ và biểu thức $S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx}$ đạt giá trị lớn nhất, khi đó $\int_{1}^{3}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $\frac{7}{2}$
- B.
  $\frac{5}{2}$
- C.
  $\frac{7}{5}$
- D.
  $\frac{3}{5}$
Do $\frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2 \Rightarrow f(x) + \frac{1}{f(x)} \leq \frac{5}{2}$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + \frac{1}{f(x)} ightbrack dx} \leq 5$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{f(x)dx} + \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5 - \int_{1}^{3}{f(x)dx}$

$\Rightarrow S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx} ightbrack^{2}$

$\leq \frac{25}{4} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx - \frac{5}{2}} ightbrack^{2} \leq \frac{25}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\int_{1}^{3}{f(x)dx} = \frac{5}{2}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Biết $\int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x ightbrack dx} = 1$ . Khi đó $\int_{1}^{2}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $1$
- B.
  $- 3$
- C.
  $3$
- D.
  $- 1$
Ta có:

$\int_{1}^{2}{\left\lbrack 4f(x) - 2x ightbrack dx} = 1 \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} - 2\int_{1}^{2}{xdx} = 1$

$\Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} - 2\left. \ .x^{2} ight|_{1}^{2} = 1 \Leftrightarrow 4\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 \Leftrightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 1$
Câu 14: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sqrt[3]{x}$ là:
- A.
  $\frac{3\sqrt[3]{x^{2}}}{4} + C$
- B.
  $\frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} + C$
- C.
  $\frac{4}{3\sqrt[3]{x}} + C$
- D.
  $\frac{4x}{3\sqrt[3]{x^{2}}} + C$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \sqrt[3]{x} ight)dx} = \int_{}^{}{x^{\frac{2}{3}}dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} + C$ .
Câu 15: Nhận biết
Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sqrt{3x + 2}$ là:
- A.
  $\frac{2}{3}(3x + 2)\sqrt{3x + 2} + C$
- B.
  $\frac{1}{3}(3x + 2)\sqrt{3x + 2} + C$
- C.
  $\frac{2}{9}(3x + 2)\sqrt{3x + 2} + C$
- D.
  $\frac{3}{2}.\frac{1}{\sqrt{3x + 2}} + C$
Ta có:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\sqrt{3x + 2}dx} = \int_{}^{}{(3x + 2)^{\frac{1}{2}}dx}$

$= \frac{(3x + 2)^{1 + \frac{1}{2}}}{1 +\dfrac{1}{2}}.\frac{1}{3} + C = \frac{2}{9}.(2x + 3).\sqrt{3x + 2} +C$
Câu 16: Nhận biết
Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \cos x;y = 0;x = 0;x = \frac{\pi}{2}$ . Thể tích vật thể tròn xoay có được khi $(H)$ quay quanh trục $Ox$ bằng:
- A.
  $\frac{\pi^{2}}{4}$
- B.
  $2\pi$
- C.
  $\frac{\pi}{4}$
- D.
  $\frac{\pi^{2}}{2}$
Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay cần tính. Ta có:

$V = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\cos x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1 +\cos2x}{2}dx}$

$= \pi\left. \ \left( \frac{x}{2} +\frac{\sin2x}{4} ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi^{2}}{4}$
Câu 17: Thông hiểu
Biết rằng $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sin x + \cos x\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ 2(x + 1)\ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$ và $F(\pi) + F( - 1) = 1$ . Giá trị biểu thức $T = F(2\pi) + F( - 5)$ bằng:
- A.
  $T = 17$
- B.
  $T = 2\pi + 3$
- C.
  $T = 8$
- D.
  $T = \pi - 1$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + C_{2}\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$

$F(\pi) + F( - 1) = 1 \Rightarrow \left( \pi\sin\pi + C_{1} ight) + \left( 1 - 2 + C_{2} ight) = 1 \Rightarrow C_{1} + C_{2} = 2(*)$

Vì hàm số $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x = 0$ tức là

$\lim_{x ightarrow 0^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}F(x) = F(0)$

$\Leftrightarrow C_{1} = C_{2}(**)$ . Từ (*) và (**) suy ra $C_{1} = C_{2} = 1$

Do đó $F(x) = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + 1\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + 1\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$

$T = F(2\pi) + F( - 5) = 17$
Câu 18: Nhận biết
Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{2x - 1}$ , biết rằng $F(1) = 2$ . Khi đó giá trị $F(2)$ là:
- A.
  $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 -2$
- B.
  $F(2) = \ln3 + 2$ .
- C.
  $F(2) = 2\ln3 - 2$
- D.
  $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2$
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)$

Mà $F(1) = 2 \Rightarrow C = 2$ . Vậy với $x > \frac{1}{2}$ thì $F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2$

Vậy $F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2$ .
Câu 19: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ , có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
- A.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là diện tích hình thang cong $ABMN$ .
- B.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là độ dài đoạn $BP$ .
- C.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là độ dài đoạn $NM$ .
- D.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là độ dài đoạn cong $AB$ .
Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là diện tích hình thang cong $ABMN$ .
Câu 20: Thông hiểu
Một ô tô đang chạy với vận tốc $20m/s$ thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = - 4t + 20(m/s)$ trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?
- A.
  $25m$
- B.
  $50m$
- C.
  $10m$
- D.
  $30m$
Khi vật dừng hẳn thì $v = 0 \Rightarrow - 4t + 20 = 0 \Rightarrow t = 5(s)$

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên là:

$S(t) = \int_{0}^{5}{v(t)dt} = \int_{0}^{5}{( - 4t + 20)dt} = 50m$

17 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!