Tính tổng
?
Ta có:
.
Do đó
.
Mặt khác:
.
Đặt .
Đổi cận và
. Khi đó
Tính tổng
?
Ta có:
.
Do đó
.
Mặt khác:
.
Đặt .
Đổi cận và
. Khi đó
Cho
là các số hữu tỉ thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .
Tìm nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Cho
với
là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức
bằng
Đặt khi đó:
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Cho hình
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
, đường cong
và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Tính diện tích
của hình
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng là:
Cho
với
là các số thực. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Cho
và
, khi đó
bằng:
Ta có:
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục
hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox l
Diện tích hình phẳng là:
Gọi
là một nguyên hàm của hàm số
, thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
, ta có:
mà
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng
Diện tích hình giới hạn là
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài
, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng
khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là
. Bề dày nhịp cầu không đổi là
. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu
? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 40 m3.
Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng
khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là
. Bề dày nhịp cầu không đổi là
. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu
? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 40 m3.
Cả hai bên cầu có tất cả nhịp cầu.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc là chân cầu, đỉnh
, điểm
Gọi Parabol phía trên có phương trình: (vì
)
là phương trình parabol phía dưới
(Vì bề dày nhịp cầu là )
Ta có
Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi và trục Ox nên ta có:
Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là
Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là
Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
, cung tròn có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành là
, trong đó
và
là các phân số tối giản. Tính
?
Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số , cung tròn có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành là
, trong đó
và
là các phân số tối giản. Tính
?
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị
cắt trục
tại ba điểm có hoành độ
với
như hình bên. Đặt
. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
và trục hoành (phần tô đậm) bằng bao nhiêu?

Diện tích hình phẳng phần tô đậm được tính như sau:
Cho hàm số
thỏa mãn
và
với mọi
. Tính
?
Ta có:
Với
Do đó
Vậy
Biết
. Khi đó
có giá trị bằng:
Ta có:
Viết công thức tính thể tích
của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
tại các điểm
, có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
là
.
Thể tích của vật thể đã cho là: .