Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng cao

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ và $y = k$ , với $0 < k < 1$ . Tìm $k$ để diện tích hình phẳng $(H)$ gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,59

Đáp án là:

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ và $y = k$ , với $0 < k < 1$ . Tìm $k$ để diện tích hình phẳng $(H)$ gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,59

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $(H)$ . Lúc dó $S = 2S_{1} + 2S_{2}$ , trong đó $S_{1}$ là diện tích phần gạch sọc ở bên phải $Oy$ và $S_{2}$ là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

Gọi $A,B$ là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng $y = k$ và đồ thị hàm số $y = \left| x^{2} - 1 ight|$ , trong đó $A\left( \sqrt{1 - k};k ight)$ và $B\left( \sqrt{1 + k};k ight)$ .

Thco yêu cầu bài toán $S = 2 \cdot 2S_{1} \Leftrightarrow S_{1} = S_{2}$ .

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 - k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\ = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k - 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1 ight)dx}$ .

$\Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}$

$= \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}$

$\ + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k} ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx 0,59$ .
Câu 2: Thông hiểu
Biết rằng $f'(x) = x\sqrt{1 + x^{2}}$ và $3f(0) = 4$ . Tìm hàm số $f(x)$ ?
- A.
  $\frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + 1$
- B.
  $\frac{1 + x^{2}}{3} + 1$
- C.
  $\frac{x^{2}\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{2}}{3} - 1$
- D.
  $\frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{2}}{3} - 1$
Ta có: $f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{x\sqrt{1 + x^{2}}dx}$

$= \frac{1}{2}\int_{}^{}{\left( 1 + x^{2} ight)^{\frac{1}{2}}d\left( 1 + x^{2} ight)} = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + C$

Mà $3f(0) = 4 \Leftrightarrow 3\frac{\left( \sqrt{1 + 0^{2}} ight)^{3}}{3} + 3C = 4 \Leftrightarrow C = 1$

Vậy $f(x) = \frac{\left( \sqrt{1 + x^{2}} ight)^{3}}{3} + 1$
Câu 3: Thông hiểu
Biết rằng $\int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = a\ln|x + 2| + b\ln|x + 3| + C$ . Tính giá trị biểu thức $T = a^{2} + ab + b^{2}$ ?
- A.
  $T = 13$
- B.
  $T = 12$
- C.
  $T = 14$
- D.
  $T = 15$
Ta có: $\int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}$

$= \frac{A(x + 2) + B(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{(A + B)x + (3A + 2B)}{(x + 2)(x + 3)}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 3A + 2B = 11 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 3 \\ B = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $\int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} ight)dx}$

$= 3ln|x + 2| + \ln|x + 3| + C$

Suy ra $a = 3;b = 1 \Rightarrow T = 13$
Câu 4: Thông hiểu

Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay, biết đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là $2dm$ và $4dm$ . Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay có đường sinh là đồ thị hàm số $y = \sqrt{x - 1}$ . Tính thể tích bình cắm hoa?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay, biết đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là $2dm$ và $4dm$ . Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay có đường sinh là đồ thị hàm số $y = \sqrt{x - 1}$ . Tính thể tích bình cắm hoa?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 5: Nhận biết
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack 1;3brack$ , trục Ox và hai đường thẳng $x = 1;x = 3$ có diện tích là:
- A.
  $S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}$
- B.
  $S = \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|dx}$
- C.
  $S = \int_{3}^{1}{f(x)dx}$
- D.
  $S = \int_{3}^{1}{\left| f(x) ight|dx}$
Công thức tính diện tích cần tìm là: $S = \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|dx}$ .
Câu 6: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) =2\sin x.\cos2x$ là:
- A.
  $- \frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- B.
  $\frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- C.
  $\frac{1}{3}\cos3x - \cos x +C$
- D.
  $- \cos3x + \cos x +C$
Ta có: $f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x$

Khi đó:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}$

$= \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C$
Câu 7: Thông hiểu
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ thỏa mãn $\int_{0}^{m}{(2x + 1)dx} < 2$ ?
- A.
  $m < - 2$
- B.
  $- 2 < m < 1$
- C.
  $m \geq 1$
- D.
  $m > 2$
Ta có: $\int_{0}^{m}{(2x + 1)dx} < 2 \Leftrightarrow \left. \ \left( x^{2} + x ight) ight|_{0}^{m} < 2$

$\Leftrightarrow m^{2} + m - 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 1$
Câu 8: Thông hiểu
Một ô tô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc $a(t) = 6 - 2t\left( m/s^{2} ight)$ , trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?
- A.
  $\frac{45}{2}m$
- B.
  $18m$
- C.
  $36m$
- D.
  $\frac{27}{7}m$
Ta có:

$v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{(6 - 2t)dt} = 6t - t^{2} + C$

Khi đó $v_{\max} \Leftrightarrow t = 3$ do ban đầu ô tô đang dừng nên $v(0) = 0 \Rightarrow C = 0$

Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là: $S = \int_{0}^{3}{\left( 6t - t^{2} ight)dt} = 18m$ .
Câu 9: Nhận biết
Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x}}$ là:
- A.
  $\frac{- \sqrt{x}}{2} + C$
- B.
  $\frac{2}{\sqrt{x}} + C$
- C.
  $- \frac{2}{\sqrt{x}} + C$
- D.
  $\frac{\sqrt{x}}{2} + C$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x}}dx}$

$= \int_{}^{}{x^{- \frac{3}{2}}dx=}\dfrac{x^{- \frac{1}{2}}}{- \dfrac{1}{2}} + C = - \frac{2}{\sqrt{x}} +C$ .
Câu 10: Thông hiểu
Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian $t(s)$ là $a(t) = 2t - 7\left( m/s^{2} ight)$ . Biết vận tốc đầu bằng $10(m/s)$ . Hỏi trong $6$ giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?
- A.
  $5s$
- B.
  $6s$
- C.
  $1s$
- D.
  $2s$
Ta có:

Vận tốc của vật được tính theo công thức: $v(t) = 10 + t^{2} - 7t(m/s)$

Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức: $S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} = \frac{t^{3}}{3} - \frac{7}{2}t^{2} + 10t$

Ta có: $S'(t) = t^{2} - 7t + 10 \Rightarrow S'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \\ t = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix}S(0) = 0 \\S(2) = \dfrac{26}{3} \\S(5) = \dfrac{25}{6} \\S(6) = 6 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \underset{\lbrack 0;6brack}{\max S(t) = S(2)} = \dfrac{26}{3}$

Vậy thời điểm chất điểm ở xa nhất về phía bên phải là 2s.
Câu 11: Nhận biết
Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).

Diện tích hình phẳng $(H)$ được tính theo công thức
- A.
  $S = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{g(x)dx}$
- B.
  $S = \int_{0}^{4}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx}$
- C.
  $S = \int_{0}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{4}{g(x)dx}$
- D.
  $S = \int_{0}^{4}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
Ta có:

$S = \int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{1}^{4}{\left| g(x) ight|dx}$

$= \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{g(x)dx}$
Câu 12: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{2} - 2x - 2$ và $y = \frac{x - 4}{2 - x}$ ?
- A.
  $\frac{4}{3}$
- B.
  $0,28$
- C.
  $\frac{5}{3} - 2ln2$
- D.
  $3 - ln4$
Phương trình hoành độ giao điểm $x^{2} - 2x - 2 = \frac{x - 4}{2 - x}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ \left( x^{2} - 2x - 2 ight)(2 - x) = x - 4 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ x\left( x^{2} - 4x + 3 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Diện tích hình giới hạn là

$S = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 2 - \frac{x - 4}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 2 - \frac{x - 4}{2 - x} ight|dx}$

$= \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 1 - \frac{2}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 1 - \frac{2}{x - 2} ight|dx}$

$= \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3}- x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight) ight|_{0}^{1} ight| + \left| \left.\ \left( \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight)ight|_{1}^{3} ight|$

$= \frac{5}{3} - 2\ln2 + \frac{4}{3} = 3 -\ln4$
Câu 13: Vận dụng
Biết rằng $F(x)$ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x^{2}(x +1)}$ thỏa mãn $F(1) + F( - 2) = \frac{1}{2}$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $F(2) + F( -3) =\frac{1}{3}$
- B.
  $F(2) + F( -3) = \frac{5}{6} +\ln2$
- C.
  $F(2) + F( -3) = \frac{1}{3} +\ln2$
- D.
  $F(2) + F( -3) =\frac{5}{6}$
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta có:
$f(x) = \frac{1}{x^{2}(x + 1)} =\frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ $= \frac{(A + C)x^{2} +(A + B)x + B}{x^{2}(x + 1)}$
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}A + C = 0 \\A + B = 0 \\B = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A = - 1 \\B = 1 \\C = 1 \\\end{matrix} ight.$
$F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\left( - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x + 1}ight)dx}$
$\Rightarrow F(x) = - \ln|x| -\frac{1}{x} + \ln|x + 1| + C = \ln\left| \frac{x + 1}{x} ight| -\frac{1}{x} + C$
Khi đó $F(x) = \left\{ \begin{matrix}\ln\dfrac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{1};x \in (0; + \infty) \\\ln\dfrac{- x - 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{2};x \in ( - 1;0) \\\ln\frac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{x} + C_{3};x \in ( - \infty; - 1) \\\end{matrix} ight.$
Mà $F(1) + F( - 2) =\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \ln2 - 1 + C_{1} +\ln\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + C_{3} = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow C_{1} + C_{3} =1$
Vậy $T = F(2) + F( - 3) = \ln\frac{3}{2} -\frac{1}{2} + C_{1} + \ln\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + C_{3} =\frac{5}{6}$
Câu 14: Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho khối cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} =25$ , mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x + 2y - 2z + 5 = 0$ cắt khối cầu $(S)$ thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu $(S)$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho khối cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} =25$ , mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x + 2y - 2z + 5 = 0$ cắt khối cầu $(S)$ thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu $(S)$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 15: Nhận biết
Cho các hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ và số $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  $\int_{a}^{a}{k.f(x)dx} = 0$
- B.
  $\int_{a}^{b}{x.f(x)dx} = x\int_{a}^{b}{f(x)dx}$
- C.
  $\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack dx} = \int_{a}^{b}{f(x)dx} + \int_{a}^{b}{g(x)dx}$
- D.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = - \int_{b}^{a}{f(x)dx}$
Khẳng định sai là: $\int_{a}^{b}{x.f(x)dx} = x\int_{a}^{b}{f(x)dx}$
Câu 16: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{3}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = - 1;x = 2$ biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là $2cm$ ?
- A.
  $S = \frac{15}{4}\left( cm^{2} ight)$
- B.
  $S = \frac{17}{4}\left( cm^{2} ight)$
- C.
  $S = 17\left( cm^{2} ight)$
- D.
  $S = 15\left( cm^{2} ight)$
Ta có: $S = \int_{- 1}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \int_{- 1}^{0}{\left| x^{3} ight|dx} + \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx}$

$= - \int_{- 1}^{0}{x^{3}dx} + \int_{0}^{2}{x^{3}dx} = \left. \ - \frac{x^{4}}{4} ight|_{- 1}^{0}\left. \ + \frac{x^{4}}{4} ight|_{0}^{2} = \frac{17}{4}$

Do mỗi đơn vị trên trục là 2 cm nên $S = \frac{17}{4}.2^{2} = 17\left( cm^{2} ight)$
Câu 17: Nhận biết
Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = 30 - 2t(m/s)$ . Hỏi trong $5s$ trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?
- A.
  $50m$
- B.
  $225m$
- C.
  $125m$
- D.
  $25m$
Khi dừng hẳn $v(t) = 30 - 2t = 0 \Rightarrow t = 15(s)$

Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

$S = \int_{10}^{15}{v(t)dt} = \int_{10}^{15}{(30 - 2t)dt} = 25m$ .
Câu 18: Thông hiểu
Cho hàm số $F(x) = \left( ax^{2} + bx - c ight).e^{2x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( 2018x^{2} - 3x + 1 ight)e^{2x}$ trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ . Giá trị biểu thức $a + 2b + 4c$ bằng:
- A.
  $1011$
- B.
  $- 3035$
- C.
  $1007$
- D.
  $- 5053$
Ta có: $F'(x) = (2ax + b)e^{2x} + 2\left( ax^{2} + bx - c ight)e^{2x}$

$= \left\lbrack 2ax^{2} + (2b + 2a)x + b - 2c ightbrack e^{2x}$

Theo bài ra ta có:

$\Rightarrow \left\lbrack 2ax^{2} + (2b + 2a)x + b - 2c ightbrack e^{2x} = \left( 2018x^{2} - 3x + 1 ight)e^{2x}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 2018 \\2(a + b) = - 3 \\b - 2c = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1009 \\b = \dfrac{- 2021}{2} \\c = \dfrac{- 2023}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + 2b + 4c = - 3035$
Câu 19: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm dương và liên tục trên $\lbrack 0;1brack$ thỏa mãn $f(0) = 1$ và $5\int_{0}^{1}{\left\{ f'(x)\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} + \frac{1}{25} ight\} dx} \leq 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack \sqrt{f'(x)}.f(x) ightbrack dx}$ . Tích phân $\int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx}$ là:
- A.
  $\frac{25}{33}$
- B.
  $\frac{5}{4}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{53}{50}$
$5\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\left\lbrack f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2} + \frac{1}{25} ightbrack dx \leqslant 2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

$\Leftrightarrow5\int_{0}^{1}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx+ \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\Rightarrow \left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} \leqslant \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}dx\cdot \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx$

$\Rightarrow 5\left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} + \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{2}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx$

$\Leftrightarrow 5\left( \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx - \frac{1}{5} ight)^{2} \leqslant 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx = \frac{1}{5}.$

Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi $\left\{\begin{matrix}\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx =\dfrac{1}{5} \Rightarrow k = \dfrac{1}{5} \\\sqrt{f^{'}(x)}f(x) = k \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{}^{}\ f^{'}(x)f^{2}(x)dx = \int_{}^{}\ \frac{1}{25}dx = \frac{1}{25}x + C$

$\Rightarrow \frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}}{3} = \frac{1}{25}x + C \Leftrightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 3C}$

$f(0) = 1 \Rightarrow 3C = 1 \Rightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 1}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx} = \int_{0}^{1}{\left( \frac{3}{25}x + 1 ight)dx} = \frac{53}{50}$
Câu 20: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$ ?
- A.
  $F(x) = - \ln|x| + \frac{1}{x} + C$
- B.
  $F(x) = \ln|x| - \frac{1}{x} + C$
- C.
  $F(x) = \ln|x| + \frac{1}{x} + C$
- D.
  $F(x) = - \ln|x| - \frac{1}{x} + C$
Ta có: $f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow F(x) = \ln|x| + \frac{1}{x} + C$

8 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!