Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Nguyên hàm và tích phân của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Có bao nhiêu số thực b \in
(\pi;3\pi) sao cho \int_{\pi}^{b}{4\cos2xdx} = 1?

    Ta có:

    \int_{\pi}^{b}{4\cos2xdx} = 1\Leftrightarrow \left. \ 2\sin2x ight|_{\pi}^{b} = 1

    \Leftrightarrow \sin2b = 1\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}b = \dfrac{\pi}{12} + k\pi \\b = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do b \in (\pi;3\pi) nên có đúng 4 giá trị của b thỏa mãn.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số y = cos2x?

    Ta có: \int_{}^{}{\cos2xdx} =\frac{1}{2}\sin2x + C

    = \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + C =\frac{1}{2}.\left( 1 + 2\sin x\cos x ight) + C -\frac{1}{2}

    = \frac{1}{2}.\left( \sin^{2}x +2\sin x\cos x + \cos^{2}x ight) + C'

    = \frac{1}{2}.\left( \sin x + \cos x
ight)^{2} + C'

    Vậy đáp án cần tìm là: y =
\frac{1}{2}\left( \sin x + \cos x ight)^{2} + C.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{x - 1}{x + 2} và các đường thẳng y = 2;y = - 2x - 4 như hình vẽ:

    Phương trình hoành độ giao điểm

    \frac{x - 1}{x + 2} = - 2x - 4\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - \dfrac{7}{2} \\\end{matrix} ight.

    Xét - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = -
3

    Xét \frac{x - 1}{x + 2} = 2
\Leftrightarrow x = - 5

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{- 5}^{\frac{- 7}{2}}{\left(
\frac{x - 1}{x + 2} - 2 ight)dx} + \int_{- \frac{7}{2}}^{- 3}{( - 2x -
4 - 2)dx}

    = - \frac{5}{4} + 3\ln2

  • Câu 4: Nhận biết

    Tích phân \int_{0}^{1}\frac{dx}{2x +
5} bằng:

    Ta có: \int_{0}^{1}\frac{dx}{2x + 5} =
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{d(2x + 5)}{2x + 5}

    = \left. \ \frac{1}{2}\ln(2x + 5)
ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2}\ln\frac{7}{5}

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên tập số thực và thỏa mãn \int_{0}^{6}{f(x)dx}= 7;\int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8;\int_{3}^{6}{f(x)dx} = 9. Khi đó giá trị I = \int_{0}^{10}{f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{3}^{10}{f(x)dx} =
\int_{3}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}

    \Leftrightarrow \int_{6}^{10}{f(x)dx} =
\int_{3}^{6}{f(x)dx} - \int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8 - 9 = 1

    \Rightarrow I = \int_{0}^{6}{f(x)dx} +
\int_{6}^{10}{f(x)dx} = 7 - 1 = 6

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip (E): \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1 quay quanh trục hoành?

    Xét (E)a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2. Do đó hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ ( -
2;0),(2;0)

    \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1
\Rightarrow y^{2} = 1 - \frac{x^{2}}{4}

    Do đó thể tích khối tròn xoay là V_{Ox} =
\pi\int_{- 2}^{2}{y^{2}dx} = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 1 -
\frac{x^{2}}{4} ight)dx} = \frac{8\pi}{3}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Hàm số F(x) là nguyên hàm của f(x) = (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1
ight). Hỏi hàm số F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Ta có: F'(x) = f(x) = (1 -
x)\ln\left( x^{2} + 1 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 0
\Leftrightarrow (1 - x)\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
1 - x = 0 \\
\ln\left( x^{2} + 1 ight) = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x^{2} + 1 = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Phương trình F'(x) = 0 có 1 nghiệm đơn x = 1 và một nghiệm kép x = 0 nên hàm số F(x) có 1 điểm cực trị.

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2x + 1}{x^{3} + 2x^{3} +
x^{2}} trên khoảng (0; +
\infty) thỏa mãn F(1) =
\frac{1}{2}. Giá trị của biểu thức T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019) bằng:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =
\int_{}^{}{\frac{2x + 1}{x^{2}(x + 1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{\left(
\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} ight)dx}

    Suy ra F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x
+ 1} + CF(1) = \frac{1}{2}
\Rightarrow C = 1 .Hay F(x) = -
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + 1

    Ta có:

    T = F(1) + F(2) + F(3) + ... +
F(2019)

    T = \left( - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} +
1 ight) + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + 1 ight) + \left( -
\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + 4 ight) + ... + \left( - \frac{1}{2019} +
\frac{1}{2020} + 1 ight)

    T = - 1 + \frac{1}{2020} + 2019.1 = 2018
+ \frac{1}{2020} = 2018\frac{1}{2020}

  • Câu 9: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
\frac{1}{x} + \sin x là:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =
\int_{}^{}{\left( \frac{1}{x} + \sin x ight)dx} = \ln|x| - \cos x +
C.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Anh A xuất phát từ D, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật v(t) =
\frac{t^{2}}{180} + \frac{11t}{18}(m/s) trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc anh A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, anh B cũng xuất phát từ D, chuyển động thẳng cùng hướng với anh A nhưng chậm hơn 5 giây so với anh A và có gia tốc bằng a\left( m/s^{2} ight) (a là hằng số). Sau khi anh B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp anh A. Vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A bằng bao nhiêu?

    Quãng đường anh A đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{15}{\left(
\frac{t^{2}}{180} + \frac{11t}{18} ight)dt} = 75(m)

    Vận tốc của anh B tại thời điểm t(s) tính từ lúc anh B xuất phát là: v_{B}(t) = at

    Quãng đường anh B đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:

    S = \int_{0}^{10}{(at)dt} = \left. \
\left( \frac{at^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{10} = 50a(m)

    \Rightarrow 50a = 75 \Rightarrow a =
\frac{3}{2}

    Vậy vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A là: v_{B}(20) = 10a = 15(m/s)

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường parabol (P):y = x^{2} - x + 2 và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{2} +
1 tại điểm có tọa độ (1;2). Diện tích của hình (H) là:

    Xét hàm số y = x^{2} + 1 trên \mathbb{R}. Ta có: y' = 2x

    Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm (1;2) của đồ thị hàm số y = x^{2} + 1

    y = y'(1)(x - 1) + 2 \Leftrightarrow
y = 2x

    Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình y =
2x. Xét phương trình tương giao của (P) và ∆

    x^{2} - x + 2 = 2x \Leftrightarrow x^{2}
- 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H) khi đó

    S = \int_{1}^{2}{\left| \left( x^{2} - x
+ 2 ight) - 2x ight|dx} = \int_{1}^{2}{\left| x^{2} - 3x + 2
ight|dx}

    x^{2} - 3x + 2 \leq 0;\forall x \in
\lbrack 1;2bracknên

    S = - \int_{1}^{2}{\left( x^{2} - 3x + 2
ight)dx}

    = - \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} -
\frac{3x^{2}}{2} + 2x ight) ight|_{1}^{2} = - \left( \frac{2}{3} -
\frac{5}{6} ight) = \frac{1}{6}

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 6;5brack có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ:

    Tính giá trị I = \int_{-
6}^{5}{\left\lbrack f(x) + 2 ightbrack dx}?

    Hình vẽ minh họa

    Dựa vào đồ thị ta có: A( - 6; - 1),B( -
2;1) suy ra phương trình đường thẳng AB:y = \frac{1}{2}x + 2

    \Rightarrow I_{1} = \int_{0}^{-
2}{\left\lbrack \frac{1}{2}x + 2 + 2 ightbrack dx} = 8

    Phương trình đường tròn (C): x^{2} + (y - 1)^{2} = 4 \Rightarrow y = 1 +
\sqrt{4 - x^{2}}

    \Rightarrow I_{2} = \int_{-
2}^{2}{\left\lbrack 1 + \sqrt{4 - x^{2}} + 2 ightbrack dx} = 12 +
2\pi

    Điểm C(2;1),D(5;3) nên phương trình đường thẳng CD là: y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}

    \Rightarrow I_{3} =
\int_{2}^{5}{\left\lbrack \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} + 2 ightbrack
dx} = 12

    Vậy I = I_{1} + I_{2} + I_{3} = 32 +
2\pi

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\cos ^2}x

     f\left( x ight) = {\cos ^2}x = \frac{{\cos 2x + 1}}{2} = \frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}

    \int {f\left( x ight)dx}  = \int {\left( {\frac{{\cos 2x}}{2} + \frac{1}{2}} ight)dx = } \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin 2x + C

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tính tích phân I =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\cos^{3}x}dx}?

    Đặt t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin
xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    I = \int_{1}^{\frac{1}{2}}{\frac{-
1}{t^{3}}dt} = \int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{1}{t^{3}}dt} = \left. \  -
\frac{1}{2t^{2}} ight|_{\frac{1}{2}}^{1} = - \frac{1}{2} + 2 =
\frac{3}{2}.

  • Câu 15: Nhận biết

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3^{x};y = 0;x = 0;x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có: S = \int_{0}^{2}{\left| 3^{x}
ight|dx} = \int_{0}^{2}{3^{x}dx}

  • Câu 16: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 0x =
2 bằng

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{3} = 0
\Leftrightarrow x = 0

    Diện tích hình giới hạn là S =
\int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{0}^{2}{x^{3}dx}
ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{0}^{2}
ight| = 4

  • Câu 17: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =
\sqrt[3]{x} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left(
\sqrt[3]{x} ight)dx} = \int_{}^{}{x^{\frac{2}{3}}dx} =
\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} +
C.

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho đường cong (C):y = x^{3}. Xét điểm A có hoành độ dương thuộc (C), tiếp tuyến của (C) tại A tạo với (C) một hình phẳng có diện tích bằng 27. Hoành độ điểm A thuộc khoảng nào dưới đây??

    Ta có: y' = 3x^{2}A \in (C) \Rightarrow A\left( a;a^{3} ight);(a
> 0)

    Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là d:y = 3a^{2}(x - a) + a^{3}

    x^{3} = 3a^{2}(x - a) +
a^{3}

    \Leftrightarrow (x - a)^{2}(x + 2a) =
0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = a \\
x = - 2a \\
\end{matrix} ight.

    Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C)

    S = 27 \Leftrightarrow \int_{-
2a}^{a}\left| x^{3} - 3a^{2}(x - a) - a^{3} ight|dx = 27

    \Leftrightarrow \left| \int_{-
2a}^{a}\left( x^{3} - 3a^{2}x + 2a^{3} ight)dx ight| =
27

    \Leftrightarrow \left| \left. \ \left(
\frac{x^{4}}{4} - \frac{3a^{2}x^{2}}{2} + 2a^{3}x ight) ight|_{-
2a}^{a} ight| = 27

    \Leftrightarrow \frac{27}{4}a^{4} = 27
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
a = \sqrt{2}(tm) \\
a = - \sqrt{2}(ktm) \\
\end{matrix} ight.

    Vậy a = \sqrt{2} \in \left( 1;\frac{3}{2}
ight)

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 như hình vẽ:

    Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x;( - 1 \leq x \leq 1)thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V của vật thể đó.?

    Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x;( - 1 \leq x \leq 1) thì được thiết diện là một tam giác đều có cạnh bằng 2\sqrt{1 - x^{2}}

    Do đó, diện tích của thiết diện: S(x) =\frac{\left( 2\sqrt{1 - x^{2}} ight)^{2}\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\left(1 - x^{2} ight)

    V = \int_{- 1}^{1}{S(x)dx} = \int_{-1}^{1}{\left\lbrack \sqrt{3}\left( 1 - x^{2} ight) ightbrackdx}

    = \sqrt{3}\left. \ \left( x -\frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{- 1}^{1} =\frac{4\sqrt{3}}{3}

  • Câu 20: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sin x\cos x + \frac{1}{x + 1} là:

    Ta có:

    f(x) = \frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x +1}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{\left(\frac{1}{2}\sin2x + \frac{1}{x + 1} ight)dx} = - \frac{1}{4}\cos2x +\ln|x + 1| + C

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân KNTT Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 47 lượt xem
Sắp xếp theo