Xét những số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và bốn chữ số còn lại 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số nếu 5 chữ số 1 xếp kề nhau?
Gọi 11111 là số a.
Vậy ta cần sắp các số a, 2, 3, 4, 5.
⇒ Số cách sắp xếp số thỏa mãn là: 1.2.3.4.5 = 120 (số).
Xét những số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và bốn chữ số còn lại 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số nếu 5 chữ số 1 xếp kề nhau?
Gọi 11111 là số a.
Vậy ta cần sắp các số a, 2, 3, 4, 5.
⇒ Số cách sắp xếp số thỏa mãn là: 1.2.3.4.5 = 120 (số).
Cho là số tự nhiên thỏa mãn
. Tìm hệ số của
trong khai triển
.
Ta có
.
Xét khai triển
Tìm hệ số của tìm
thỏa mãn
.
Vậy hệ số của trong khai triển
là
.
Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn .
Ta có:
Hay .
Bạn Công muốn mua một chiếc áo mới và một chiếc quần mới để đi dự sinh nhật bạn mình. Ở cửa hàng có 12 chiếc áo khác nhau, quần có 15 chiếc khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bộ quần và áo?
Số cách bạn Công chọn một chiếc áo mới là: 12 cách.
Số cách bạn Công chọn một chiếc quần mới là: 15 cách.
Theo quy tắc nhân, bạn Công có 12.15 = 180 cách để chọn một bộ quần và áo.
Dãy trong đó mỗi kí tự
chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 được gọi là dãy nhị phân 10 bit. Hỏi có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit trong đó có ít nhất ba kí tự 0 và ít nhất ba kí tự 1?
Trường hợp 1: dãy nhị phân có ba kí tự 0 và bảy kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Trường hợp 2: dãy nhị phân có bốn kí tự 0 và sáu kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Trường hợp 3: dãy nhị phân có năm kí tự 0 và năm kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Trường hợp 4: dãy nhị phân có sáu kí tự 0 và bốn kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Trường hợp 5: dãy nhị phân có bảy kí tự 0 và ba kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Vậy có dãy nhị phân 10 bit thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Một chiếc hộp chứ 5 quả cầu trắng và 6 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên đồng thời ba quả trong hộp, biết rằng các quả cầu có kích thước và khối lượng như nhau. Hỏi có bao nhiêu cách lấy được đồng thời 3 quả cầu?
Tổng số quả cầu trong hộp là 5 + 6 = 11
Mỗi cách lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu trong 11 quả cầu trong hộp là tổ hợp chập 3 của 11 phần tử
Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán là (cách).
Cho biểu thức , khi khai triển nhị thức đã cho ta được bao nhiêu số hạng?
Trong khai triển nhị thức Newton có
số hạng.
Cho đa giác đều nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong
của đa giác gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong
đỉnh của đa giác. Tìm
.
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm là
Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm
Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.
Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là
Theo giả thiết ta có:
Vậy .
Một đoàn tàu có bốn toa đỗ ở ga. Có bốn hành khách bước lên tàu. Số trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa của bốn khách là:
Mỗi hành khách có 4 cách chọn toa.
⇒ Số trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa của bốn khách là: 4.4.4.4 = 44 = 256.
Tìm số các số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ?
Trường hợp 1: 3 chữ số đều lẻ. Có số thỏa mãn.
Trường hợp 2: số đó gồm 2 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ
- Chọn 2 chữ số chẵn khác nhau có cách.
- Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách.
- Từ 3 số đã chọn đó lập được số.
Do đó có dãy gồm 3 chữ số phân biệt, trong đó có 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ kể cả chữ số 0 đứng đầu.
Xét dãy số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng 0
- Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách.
- Chọn 1 chữ số chẵn khác chữ số 0 có 4 cách.
Vậy có số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng 0.
Do đó có số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ.
Cho các số tự nhiên m, n thỏa mãn đồng thời các điều kiện và
. Khi đó m + n bằng
Điều kiện:
Ta có:
Mặt khác ta có:
=>
vậy tổng m và n là: 18 + 8 = 26.
Giả sử có một công việc có thể tiến hành theo hai công đoạn M và N. Công đoạn M có a cách, công đoạn N có b cách. Khi đó công việc có thể thực hiện bằng:
Khi đó công việc có thể được thực hiện bằng (cách).
Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là:
Số tập hợp con cần tìm là số tổ hợp chập 3 của 7 phần tử.
Vậy có tập con cần tìm.
Tìm hệ số của số hạng chứa
trong khai triển
.
Ta có:
Ta có: , suy ra
Vậy hệ số của số hạng chứa
trong khai triển
là
Cho tập hợp có
phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của
là:
Mỗi cách lấy ra phần tử trong
phần tử của
để tạo thành tập con gồm
phần tử là một tổ hợp chập
của
phần tử
Số tập con của
gồm
phần tử là
.
Tìm hệ số của trong khai triển
Số hạng tổng quát của khai triển đã cho là
với ,
. Số hạng này chứa
khi và chỉ khi
(thỏa mãn).
Vậy hệ số của trong khai triển
là
.
Tổng số nguyên dương n thỏa mãn là:
Điều kiện. .
hoặc
.
Vậy tổng số nguyên dương n bằng 11.
Tìm số hạng chứa trong khai triển
thành đa thức?
Số hạng chứa trong khai triển
là
Số hạng chứa trong khai triển
là
Do đó số hạng chứa trong khai triển
đã cho là:
Vậy số hạng cần tìm là .
Có học sinh và
thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Đếm số cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?
Xếp 8 người thành hàng ngang có cách.
Xếp 8 người thành hàng ngang sao cho 2 thầy giáo đứng cạnh nhau có cách.
Vậy số cách xếp cần tìm là. cách.
Có nhiều nhất bao nhiêu biển đăng ký xe máy nếu mỗi biển chứa một dãy gồm một chữ cái, tiếp đến một chữ số khác 0 và cuối cùng là 5 chữ số.
Đáp án: 23400000
Có nhiều nhất bao nhiêu biển đăng ký xe máy nếu mỗi biển chứa một dãy gồm một chữ cái, tiếp đến một chữ số khác 0 và cuối cùng là 5 chữ số.
Đáp án: 23400000
Bước 1: Chọn 1 chữ cái trong 26 chữ cái có 26 cách.
Bước 2 chọn 1 chữ số khác 0 từ 9 chữ số.
⇒ Cuối cùng 5 chữ số còn lại mỗi số có 10 cách chọn.
⇒ Số các biển số xe thỏa mãn là: 26.9.10.10.10.10.10 = 23400000 biển.