Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho các chữ số $2,3,4,5,6,7$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $6$ chữ số khác nhau?
- A.
  $356$ .
- B.
  $720$ .
- C.
  $220$ .
- D.
  $24$ .
Số cách lập số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho là số hoán vị của $6$ phần tử, do đó có $6! = 720$ .
Câu 2: Thông hiểu
Cho tập hợp $M = \left\{ 0;1;3;4;5;6;8 ight\}$ . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau từ các chữ số thuộc tập hợp $M$ ?
- A.
  $30$
- B.
  $152$
- C.
  $105$
- D.
  $70$
Gọi số tự nhiên có ba chữ số là: $\overline{abc};(a eq 0)$

TH1: c = 0

Chữ số a có 6 cách chọn.

Với mỗi cách chọn a có 5 cách chọn chữ số b

=> Số các số tạo thành là: 1 . 5 . 6 = 30 (số)

TH2: $c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$ => Chữ số c có 3 cách chọn.

Chữ số a có 5 cách chọn, với mỗi cách chọn a ta có 5 cách chọn b.

=> Số các số tạo thành là: 3 . 5 . 5 = 75 (số)

Vậy có tất cả 30 + 75 = 105 (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 3: Nhận biết
Có bao nhiêu các sắp xếp 10 bạn học sinh thành một hàng ngang ?
- A.
  $P_{10}$ .
- B.
  $C_{10}^{2}$ .
- C.
  $A_{10}^{10}$ .
- D.
  $C_{10}^{10}$ .
Mỗi cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của tập hợp có 10 phần tử.

Suy ra số cách sắp xếp là $P_{10}$ .
Câu 4: Nhận biết
Cho kiểu gen AaBb. Giả sử quá trình giảm phân tạo giao tử bình thường và không xảy ra đột biến. Sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử được biểu diễn như hình bên.
Từ sơ đồ cây, số loại giao tử của kiểu gen AaBb là:
- A.
  4
- B.
  2
- C.
  8
- D.
  16
Từ sơ đồ cây, ta thấy có 4 kết quả có thể xảy ra.
=> Số loại giao tử của kiểu gen AaBb là 4.
Câu 5: Vận dụng
Cho đa giác đều $A_{1}A_{2}...A_{2n}$ nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong $2n$ của đa giác gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong $2n$ đỉnh của đa giác. Tìm $n$ .
- A.
  $n = 6$
- B.
  $n = 11$
- C.
  $n = 10$
- D.
  $n = 8$
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$ là $C_{2n}^{3}$

Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$ cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$

Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.

Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là $C_{n}^{2}$

Theo giả thiết ta có:

$C_{2n}^{3} = 20C_{n}^{2} \Leftrightarrow \frac{(2n)!}{3!(2n - 3)!} = 20.\frac{n!}{n!(n - 2)!}$

$\Leftrightarrow \frac{2n(2n - 1)(2n - 2)}{6} = 10n(n - 1)$

$\Leftrightarrow 4n^{3} - 36n^{2} + 32n = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0(L) \\ n = 1(L) \\ n = 8(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $n = 8$ .
Câu 6: Vận dụng
Một cửa hàng có 3 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền cần xếp vào giá. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho đầu hàng và cuối hàng cùng một loại?
- A.
  25400 .
- B.
  17760 .
- C.
  18720 .
- D.
  $29870$ .
Đối với bài toán ta xét 2 trường hợp.

+) Đầu hàng và cuối hàng đều là gói bim bim. Số cách chọn 2 gói bim bim xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. $A_{3}^{2}$ (ở đây ta xem cách xếp 1 gói bim bim A ở đầu hàng, gói bim bim B ở cuối hàng với cách xếp gói bim bim A ở cuối hàng còn gói bim bim B ở đầu hàng là khác nhau). Lúc này, ta còn lại 1 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là. $A_{3}^{2}.6!$

+) Đầu hàng và cuối hàng đều là cốc mì ăn liền. Số cách chọn 2 cốc mì ăn liền xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. $A_{5}^{2}$ . Lúc này, còn lại 3 cốc mì ăn liền và 3 gói bim bim, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là. $A_{6}^{2}.6!$

$\Rightarrow$ Số cách xếp tất cả là. $6!\left( A_{3}^{2} + A_{5}^{2} ight) = 18720$ .
Câu 7: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ . Trên mỗi cạnh $AB; BC, AC$ lấy 9 điểm phân biệt là không có điểm nào trùng với 3 đỉnh $A, B, C$ . Hỏi từ 30 điểm đã cho (tính cả $A; B; C$ ) có thể lập được bao nhiêu tam giác?
- A.
  $3565$
- B.
  $2565$
- C.
  $5049$
- D.
  $4060$
Để tạo ra một tam giác ta lấy 3 điểm không thẳng hàng

Ta xét cách lấy ba điểm thẳng hàng thì có 3 trường hợp là: 3 điểm thuộc đoạn AB, 3 điểm thuộc đoạn AC, điểm thuộc đoạn BC. Trên mỗi đoạn thẳng có 11 điểm nên số cách lấy 3 điểm trên mỗi đoạn là: $C_{11}^{3}$

Số cách lấy 3 điểm bất kì trong 30 điểm là: $C_{30}^{3}$

Vậy số tam giác được tạo ra từ 30 điểm đã cho là: $C_{30}^{3} - 3.C_{11}^{3} = 3565$ tam giác.
Câu 8: Nhận biết
Cho biểu thức $(m + n)^{5}$ , khi khai triển nhị thức đã cho ta được bao nhiêu số hạng?
- A.
  $6$
- B.
  $5$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Trong khai triển nhị thức Newton $(m + n)^{5}$ có $5 + 1 = 6$ số hạng.
Câu 9: Thông hiểu
Có bao nhiêu số nguyên dương n gồm 5 chữ số có nghĩa (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong đó n là bội số của 5?
- A.
  $81000$
- B.
  $18000$
- C.
  $45000$
- D.
  $65400$
Gọi tập $X = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ và $n = \overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$ là số thỏa mãn yêu cầu:

Chọn $a_{1} \in X\backslash\left\{ 0 ight\}$ có: 9 cách.

Chọn $a_{2} \in X$ có: 10 cách.

Chọn $a_{3} \in X$ có: 10 cách.

Chọn $a_{4} \in X$ có: 10 cách.

Chọn $a_{5} \in \left\{ 0;5 ight\}$ có: 2 cách.

Theo quy tắc nhân có: $9.10.10.10.2 = 18000$ số.
Câu 10: Nhận biết
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đó đều lẻ?
- A.
  20.
- B.
  50.
- C.
  25.
- D.
  45.
- Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần lập thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\overline{ab}$ (a, b ∈ {1;3;5;7;9})

+ a: có 5 cách chọn

+ b: có 5 cách chọn.

Dó đó có: 5 x 5 = 25 cách lập số có 2 chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ.
Câu 11: Vận dụng
Dãy $\left( x_{1};x_{2};...;x_{10} ight)$ trong đó mỗi kí tự $x_{i}$ chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 được gọi là dãy nhị phân 10 bit. Hỏi có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit trong đó có ít nhất ba kí tự 0 và ít nhất ba kí tự 1?
- A.
  $912$
- B.
  $854$
- C.
  $957$
- D.
  $890$
Trường hợp 1: dãy nhị phân có ba kí tự 0 và bảy kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{3!.7!} = 120$ dãy nhị phân 10 bit.

Trường hợp 2: dãy nhị phân có bốn kí tự 0 và sáu kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{4!.6!} = 210$ dãy nhị phân 10 bit.

Trường hợp 3: dãy nhị phân có năm kí tự 0 và năm kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{5!.5!} = 252$ dãy nhị phân 10 bit.

Trường hợp 4: dãy nhị phân có sáu kí tự 0 và bốn kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{4!.6!} = 210$ dãy nhị phân 10 bit.

Trường hợp 5: dãy nhị phân có bảy kí tự 0 và ba kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{3!.7!} = 120$ dãy nhị phân 10 bit.

Vậy có $120 + 210 + 252 + 210 + 120 = 912$ dãy nhị phân 10 bit thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 12: Thông hiểu
Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển $(1 + 3x)^{2n}$ biết $A_{n}^{3} + 2A_{n}^{2} = 100$ .
- A.
  $61236$ .
- B.
  $63216$ .
- C.
  $61326$ .
- D.
  $66321$ .
Ta có: $A_{n}^{3} + 2A_{n}^{2} = 100 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 3)!} + 2\frac{n!}{(n - 2)!} = 100 \Leftrightarrow n(n - 1)(n - 2) + 2n(n - 1) = 100$

$\Leftrightarrow n^{3} - n^{2} - 100 = 0 \Leftrightarrow n = 5$ .

Ta có: $(1 + 3x)^{2n} = (1 + 3x)^{10} = \sum_{k = 0}^{10}{C_{10}^{k}(3x)^{k}}$ .

Hệ số $x^{5}$ sẽ là $C_{10}^{5}3^{5} = 61236$ .
Câu 13: Thông hiểu
Trong phòng thi có hai dãy ghế đối diện nhau qua một cái bàn dài, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 nam sinh và 6 nữ sinh vào hai dãy ghế này. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho nam sinh và nữ sinh ngồi xen kẽ nhau trong từng dãy?
- A.
  $2073600$
- B.
  $1036800$
- C.
  $1578426$
- D.
  $1157805$
Giả sử gọi 2 dãy ghế là dãy A và dãy B.

Chọn 3 bạn nam, 3 bạn nữ để xếp vào dãy A có $C_{6}^{3}.C_{6}^{3}$

Trong dãy đó xếp sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ nhau có: $3!.3!.2$ cách.

Xếp 3 nam, 3 nữ còn lại vào dãy B sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ nhau có $3!.3!.2$ cách.

Vậy số cách xếp là: $C_{6}^{3}.C_{6}^{3}.3!.3!.2.3!.3!.2 = 2073600$ cách.
Câu 14: Vận dụng
Cho khai triển $(1 + 3x)^{n} = a_{0} + a_{1}x^{1} + ... + a_{n}x^{n}$ trong đó $n\mathbb{\in N}*$ và các hệ số thỏa mãn hệ thức $a_{0} + \frac{a_{1}}{3} + ... + \frac{a_{n}}{3^{n}} = 4096$ . Hệ số lớn nhất là:
- A.
  176224.
- B.
  3899834.
- C.
  4330260
- D.
  4597265.
Xét khai triển $(1 + 3x)^{n} = a_{0} + a_{1}x^{1} + ... + a_{n}x^{n}$ .

Cho $x = \frac{1}{3}$ ta được $\left( 1 + 3.\frac{1}{3} ight)^{n} = a_{0} + \frac{a_{1}}{3^{1}} + ... + \frac{a_{n}}{3^{n}} \Rightarrow 2^{n} = 4096 \Leftrightarrow n = 12.$

Khi đó $(1 + 3x)^{12} = \sum_{k = 0}^{12}{C_{12}^{k}.3^{k}.x^{k}}$ .

Ta có hệ số $a_{k} = 3^{k}C_{12}^{k} = 3^{k}.\frac{12!}{k!.(12 - k)!}$

Hệ số $a_{k}$ lớn nhất nên $\left\{ \begin{matrix} a_{k} \geq a_{k - 1} \\ a_{k} \geq a_{k + 1} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3^{k}.\frac{12!}{k!.(12 - k)!} \geq 3^{k - 1}.\frac{12!}{(k - 1)!.(12 - k + 1)!} \\ 3^{k}.\frac{12!}{k!.(12 - k)!} \geq 3^{k + 1}.\frac{12!}{(k + 1)!.(12 - k - 1)!} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{3}{k} \geq \frac{1}{13 - k} \\ \frac{1}{12 - k} \geq \frac{3}{k + 1} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 39 - 3k \geq k \\ k + 1 \geq 36 - 3k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k \leq \frac{39}{4} \\ k \geq \frac{35}{4} \\ \end{matrix} ight.$

Vì $k\mathbb{\in N}$ nên nhận $k = 9.$

Vậy hệ số lớn nhất $a_{9} = 3^{9}.C_{12}^{9} = 4330260.$ .
Câu 15: Nhận biết
Thực hiện khai triển nhị thức Newton $(x + 2y)^{5}$ ta được kết quả là:
- A.
  $x^{5} + 10x^{4}y + 40x^{3}y^{2} + 40x^{2}y^{3} + 10xy^{4} + 2y^{5}$
- B.
  $x^{5} + 10x^{4}y + 20x^{3}y^{2} + 20x^{2}y^{3} + 10xy^{4} + 2y^{5}$
- C.
  $x^{5} + 10x^{4}y + 40x^{3}y^{2} + 80x^{2}y^{3} + 40xy^{4} + 32y^{5}$
- D.
  $x^{5} + 10x^{4}y + 40x^{3}y^{2} + 80x^{2}y^{3} + 80xy^{4} + 32y^{5}$
Ta có:

$(x + 2y)^{5} = x^{5} + 10x^{4}y + 40x^{3}y^{2} + 80x^{2}y^{3} + 80xy^{4} + 32y^{5}$
Câu 16: Thông hiểu
Cho biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển $(1 + 2x)^{n}$ bằng $180$ .Tìm $n$ .
- A.
  $n = 8$ .
- B.
  $n = 12$ .
- C.
  $n = 14$ .
- D.
  $n = 10$ .
Ta có: $T_{k + 1} = C_{n}^{k}.2^{k}x^{k}.$ .

Hệ số của $x^{2}$ trong khai triển bằng $180$

$C_{n}^{2}.2^{2} = 180 \Leftrightarrow\frac{n!}{(n - 2).2}.2^{2} = 180 \Leftrightarrow n(n - 1) = 90$

$\Leftrightarrow n^{2} - n - 90 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}n = 10 \ = - 9(l) \\\end{matrix} ight.$
Câu 17: Nhận biết
Khai triển nhị thức Newton $\left( x^{2} - y ight)^{5}$ ta được kết quả là:
- A.
  $x^{10} + 5x^{8}y - 10x^{6}y^{2} + 10x^{4}y^{3} - 5x^{2}y^{4} + y^{5}$
- B.
  $x^{10} - 5x^{8}y + 10x^{6}y^{2} - 10x^{4}y^{3} + 5x^{2}y^{4} - y^{5}$
- C.
  $x^{10} - 5x^{8}y - 10x^{6}y^{2} - 10x^{4}y^{3} - 5x^{2}y^{4} + y^{5}$
- D.
  $x^{10} + 5x^{8}y + 10x^{6}y^{2} + 10x^{4}y^{3} + 5x^{2}y^{4} + y^{5}$
Ta có:

$\left( x^{2} - y ight)^{5} = \sum_{k = 0}^{5}{C_{5}^{k}.\left( x^{2} ight)^{5 - k}.( - y)^{k}}$

$= C_{5}^{0}.\left( x^{2} ight)^{5} + C_{5}^{1}.\left( x^{2} ight)^{4}( - y) + C_{5}^{2}.\left( x^{2} ight)^{3}( - y)^{2}$

$+ C_{5}^{3}.\left( x^{2} ight)^{2}( - y)^{3} + C_{5}^{4}.\left( x^{2} ight)^{1}( - y)^{4} + C_{5}^{5}.\left( x^{2} ight)^{0}( - y)^{5}$

$= x^{10} - 5x^{8}y + 10x^{6}y^{2} - 10x^{4}y^{3} + 5x^{2}y^{4} - y^{5}$
Câu 18: Nhận biết
Cho đa giác đều có 54 đường chéo. Hãy tính xem đa giác này có bao nhiêu cạnh?
- A.
  $12$
- B.
  $8$
- C.
  $10$
- D.
  $14$
Đa giác n cạnh có n đỉnh.

Mỗi đỉnh nối với $n - 3$ đỉnh khác để tạo ra đường chéo

Do đó n đỉnh sẽ có $n(n - 3)$ đường

Mà 1 đường chéo được nối bởi 2 đỉnh nên số đường chéo thực là: $\frac{n(n - 3)}{2}$

Theo đề bài ta có:

$\frac{n(n - 3)}{2} = 54 \Leftrightarrow n^{2} - 3n - 108 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = - 9(ktm) \\ n = 12(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đa giác có 12 cạnh.
Câu 19: Nhận biết
Từ các chữ số 6; 7; 8; 9. có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có 3 chữ số.
- A.
  64
- B.
  24
- C.
  81
- D.
  50
Gọi số cần lập có dạng $\overline {ABC}$ .
A: có 4 cách chọn.
B: có 4 cách chọn.
C: có 4 cách chọn.
Vậy có 4.4.4 = 64 (số) tự nhiên có 3 chữ số.
Câu 20: Nhận biết
Có $3$ viên bi đen khác nhau, $4$ viên bi đỏ khác nhau, $5$ viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các viên bi trên thành dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
- A.
  $365400$ .
- B.
  $666400$ .
- C.
  $725420$ .
- D.
  $103680$ .
Số cách xếp $3$ viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng. $3!$ .

Số cách xếp $4$ viên bi đỏ khác nhau thành một dãy bằng. $4!$ .

Số cách xếp $5$ viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng. $5!$ .

Số cách xếp $3$ nhóm bi thành một dãy bằng. $3!$ .

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề bài bằng $3!.4!.5!.3! = 103680$ cách.

94 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!