Xét những số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và bốn chữ số còn lại 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số nếu 5 chữ số 1 xếp kề nhau?
Gọi 11111 là số a.
Vậy ta cần sắp các số a, 2, 3, 4, 5.
⇒ Số cách sắp xếp số thỏa mãn là: 1.2.3.4.5 = 120 (số).
Xét những số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và bốn chữ số còn lại 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số nếu 5 chữ số 1 xếp kề nhau?
Gọi 11111 là số a.
Vậy ta cần sắp các số a, 2, 3, 4, 5.
⇒ Số cách sắp xếp số thỏa mãn là: 1.2.3.4.5 = 120 (số).
Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho
mà mỗi số
chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số
.
Đặt là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.
{ các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}
Với mỗi số thuộc A có chữ số
thì ta có thể bổ sung thêm
số
vào phía trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng
mà trong
không có chữ số 9}
mà trong
có đúng 1 chữ số 9}
Ta thấy tập A có
phần tử
Tính số phần tử của
Với và
với
. Từ đó ta suy ra
có
phần tử.
Tính số phần tử của
Để lập số của thuộc tập ta thực hiện liên tiếp hai bước sau:
Bước 1: Lập một dãy gồm chữ số thuộc tập
và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số các dãy là
.
Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số 9.
Do đó có
phần tử.
Vậy số các số cần lập là:
.
Xếp 3 quyển sách Toán, 4 sách Lý, 2 sách Hóa và 5 sách Sinh vào một kệ sách. Tất cả các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp một cách tùy ý?
Trên kệ có tất cả 14 quyển sách khác nhau, số cách sắp xếp 14 quyển sách đó là 14!.
Giả sử một công việc phải hoàn thành qua 2 giai đoạn:
Giai đoạn 1 có a cách thực hiện.
Với mỗi cách thực hiện của giai đoạn 1 ta có b cách thực hiện cho giai đoạn 2.
Khi đó số cách thực hiện công việc là:
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách thực hiện công việc là cách.
Giả sử rằng:
![]()
![]()
![]()
Hãy tính
?
Ta có:
Cho các số
,
,
,
. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có
chữ số với các số khác nhau lập từ các số đã cho?
Số các số tự nhiên có chữ số với các số khác nhau lập từ các số đã cho là:
số.
Tính tổng các hệ số các đơn thức trong khai triển nhị thức Newton
?
Để có tổng các hệ số ta thay ta được:
Số hạng không chứa
trong khai triển nhị thức
là:
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là:
Số hạng không chứa x khi và chỉ khi
Vậy số hạng không chứa x là: .
Cho tập
. Từ các phần tử của tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn?
Vì trong 6 chữ số khác nhau không có hai chữ số nào cùng chẵn nên có ít nhất 3 chữ số lẻ
TH1: Chọn 1 chữ số chẵn và 5 chữ số lẻ có:
TH2: Chọn 2 chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ có:
TH3: Chọn 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ có:
Vậy số các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn là: (số).
Có bao nhiêu cách xếp 40 học sinh gồm 20 học sinh trường A và 20 học sinh trường B thành 4 hàng dọc, mỗi hàng 10 người (tức 10 hàng ngang, mỗi hàng 4 người) trong đó không có học sinh cùng trường đứng kề nhau mỗi hàng ngang và tất cả các học sinh trong mỗi hàng đều cùng trường?
Giả sử 4 hàng dọc được kí hiệu là
Theo yêu cầu thì:
Các bạn trường A được xếp ở
Các bạn trường B được xếp ở hoặc ngược lại.
Nên số cách xếp là cách.
Trong khai triển nhị thức Newton của
, số hạng thứ hai theo số mũ tăng dần của biến
là:
Ta có:
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho năm người gồm 3 nam và 2 nữ vào năm cái ghế xếp thành một dãy nếu hai nữ luôn luôn ngồi kề nhau?
Coi 2 nữ là một phần tử A
Xếp phần tử A và 3 nam vào dãy có 4! cách.
Hoán đổi vị trí 2 nữ trong phần tử A có 2! cách.
Do đó có cách.
Có bao nhiêu cách lập các nhóm gồm 2, 3, 5 học sinh từ một tổ có 10 học sinh?
Số cách lập nhóm có hai học sinh là: cách
Số học sinh còn lại 8 học sinh (vì 2 học sinh lập nhóm đầu tiên)
=> Số cách lập nhóm có 3 học sinh là: cách
Số học sinh còn lại còn 5 học sinh để lập nhóm 5 học sinh
=> Số cách lập nhóm 5 học sinh là: cách
Mà các cách lập nhóm liên quan đến nhau
=> Số cách lập các nhóm gồm 2, 3, 5 học sinh từ một tổ có 10 học sinh là
cách.
Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn văn nghệ, mỗi đội chỉ được trình diễn một vở kịch, một điệu múa và một bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách hương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau?
Đội văn nghệ trên có 2 cách chọn trình diễn một vở kịch, có 3 cách chọn trình diễn một điệu múa, có 6 cách chọn trình diễn một bài hát. Theo quy tắc nhân, đội văn nghệ trên có 2.3.6 = 36cách hương trình diễn.
Cho
là số tự nhiên thỏa mãn phương trình
. Tìm hệ số của số hạng chứa
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
( với
).
Điều kiện và
.
(Vì
).
Khi đó ta có khai triển: .
Số hạng tổng quát của khai triển là .
Hệ số của số hạng chứa ứng với
thỏa mãn:
.
Vậy hệ số của số hạng chứa là:
.
Có bao nhiêu cách xếp 6 người thành một hàng dọc
Xếp 6 người thành một hàng dọc có: 6! = 720 cách.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và là số lẻ?
Gọi số thỏa mãn đề bài có dạng .
Vị trí C: có 5 cách chọn, đó là các số 1, 3, 5, 7, 9.
Vị tri A: có 8 cách chọn, bỏ số 0 và khác 1 số ở vị trí C.
Vị trí B: có 8 cách chọn, khác 1 số ở vị trí C, 1 số ở vị trí A.
Áp dụng quy tắc nhân, có 5.8.8 = 320 (số).
Cho đa giác đều
nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong
của đa giác gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong
đỉnh của đa giác. Tìm
.
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm là
Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm
Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.
Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là
Theo giả thiết ta có:
Vậy .
Trong balo của học sinh A có 8 bút chì khác, 6 bút bi và 10 quyển vở. Số cách chọn một đồ vật trong balo là:
Áp dụng quy tắc cộng, số cách chọn một đồ vật trong balo là: 8 + 6 + 10 = 24 cách.
Tìm số hạng chứa
trong khai triển
.
Ta có khai triển: .
Số hạng tổng quát trong khai triển:
Số hạng chứa ứng với:
Vậy số hạng chứa là:
.