Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho tập hợp M30 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của M là:

    Số tập con gồm 5 phần tử của M chính là số tổ hợp chập 5 của 30 phần tử, nghĩa là bằng C_{30}^{5}.

  • Câu 2: Vận dụng

    Tìm n thuộc tập hợp số tự nhiên, biết rằng 1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} +
3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = 256n (C_{n}^{k} là số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Trước hết ta chứng minh công thức \frac{k}{n}C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} với 1 \leq k \leq nn \geq 2.

    Thật vậy, \frac{k}{n}C_{n}^{k} =
\frac{k}{n}.\frac{n!}{k!(n - k)!} = \frac{(n - 1)!}{(k - 1)!(n - k)!} =
C_{n - 1}^{k - 1}.(đpcm)

    Áp dụng công thức trên ta có

    1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3}
+ ... + n.C_{n}^{n} = n\left( \frac{1}{n}.C_{n}^{1} +
\frac{2}{n}.C_{n}^{2} + \frac{3}{n}.C_{n}^{3} + ... +
\frac{n}{n}.C_{n}^{n} ight)

    = n\left( C_{n - 1}^{0} + C_{n - 1}^{1}
+ C_{n - 1}^{2} + ... + C_{n - 1}^{n - 1} ight) = n2^{n -
1}

    Theo đề 1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} +
3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = 256n \Leftrightarrow n2^{n - 1} = 256n
\Leftrightarrow 2^{n - 1} = 256 \Leftrightarrow n = 9..

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tính tổng S =
C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} + C_{5}^{3} + C_{5}^{4} +
C_{5}^{5}?

    Xét khai triển (1 + x)^{5} =
C_{5}^{0}.x^{5} + C_{5}^{1}.x^{4} + C_{5}^{2}.x^{3} + C_{5}^{3}.x^{2} +
C_{5}^{4}.x + C_{5}^{5}

    Chọn x = 1 ta được:

    (1 + 1)^{5} = C_{5}^{0}.1^{5} +
C_{5}^{1}.1^{4} + C_{5}^{2}.1^{3} + C_{5}^{3}.1^{2} + C_{5}^{4}.1 +
C_{5}^{5}

    = C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} +
C_{5}^{3} + C_{5}^{4} + C_{5}^{5} = S

    \Rightarrow S = 2^{5}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho x là số thực dương, số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức \left( x + \frac{2}{\sqrt{x}}
ight)^{30}là:

    Ta có \left( x + \frac{2}{\sqrt{x}}
ight)^{30} = \left( x + 2x^{- \frac{1}{2}} ight)^{30} = \sum_{k =
0}^{30}{C_{30}^{k}x^{30 - k}\left( 2x^{\frac{- 1}{2}} ight)^{k} =
\sum_{k = 0}^{30}{C_{30}^{k}2^{k}x^{30 - \frac{3}{2}k}}}

    Số hạng tổng quát thứ k + 1 trong khai triển là T_{k + 1} =
C_{30}^{k}2^{k}x^{30 - \frac{3}{2}k}.

    Số hạng này không chứa x tương ứng với trường hợp 30 - \frac{3k}{2} = 0
\Leftrightarrow k = 20.

    Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là T_{21} = C_{30}^{20}2^{20} =
2^{20}C_{30}^{10}.

  • Câu 5: Nhận biết

    Tính số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi. Biết rằng các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau.

    Sắp xếp 4 nữ sinh vào 4 ghế. 4! cách.

    Xem 4 nữ sinh lập thành nhóm X, sắp xếp nhóm X cùng với 6 nam sinh. có 7! cách

    vậy có 7! \times 4! cách sắp xếp.

  • Câu 6: Nhận biết

    Một tổ gồm n học sinh, biết rằng có 210 cách chọn 3 học sinh trong tổ để làm ba việc khác nhau. Số n thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?

    Chọn một học sinh để làm việc thứ nhất, có n cách chọn.

    Chọn một học sinh để làm việc thứ hai có n − 1 cách chọn.

    Chọn một học sinh để làm việc thứ ba có n − 2 cách chọn.

    Do đó có n(n−1)(n−2) = 210 cách chọn.

  • Câu 7: Nhận biết

    Hệ số của số hạng chứa x^{6}trong khai triển Newton \left( x - \frac{2}{x^{2}}
ight)^{15}là:

    \left( x - \frac{2}{x^{2}} ight)^{15}
= \sum_{k = 0}^{15}{C_{15}^{k}x^{15 - k}\left( - \frac{2}{x^{2}}
ight)^{k}} = \sum_{k = 0}^{15}{C_{15}^{k}x^{15 - k}( - 2)^{k}\left(
x^{- 2} ight)^{k} =}\sum_{k = 0}^{15}{C_{15}^{k}( - 2)^{k}x^{15 -
3k}}

    Số hạng tổng quát của khái triển T_{k +
1} = C_{15}^{k}( - 2)^{k}x^{15 - 3k}

    Số của số hạng chứa x^{6}: 15 - 3k = 6 \Leftrightarrow k = 3. Hệ số của số hạng chứa x^{6}C_{15}^{k}( - 2)^{k} =
C_{15}^{3}( - 2)^{3} = - 3640.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và số đó không lớn hơn 456?

    Ta có: \overline{abc} là số cần tìm.

    Trường hợp 1: 100 \leq \overline{abc}
< 400

    Chọn a ∈ {1; 2; 3}: 3 cách.

    Chọn b \in A\backslash\left\{ a
ight\}: 5 cách.

    Chọn c \in A\backslash\left\{ a,b
ight\}: 4 cách.

    ⇒ Có 3.4.5 = 60 số.

    Trường hợp 2: 400 \leq \overline{abc}
< 450

    Chọn a = 4: 1 cách.

    Chọn b ∈ {1; 2; 3}: 3 cách.

    Chọn c \in A\backslash\left\{ 4;b
ight\}: 4 cách.

    ⇒ Có: 1.3.4 = 12 số.

    Trường hợp 3: 450 \leq \overline{abc}
< 456

    Chọn a = 4: 1 cách.

    Chọn b = 5: 1 cách.

    Chọn c \in A\backslash\left\{ 4;5
ight\}: 4 cách.

    ⇒ Có: 1.1.4 = 4 số.

    Từ (1); (2); (3) có 60 + 12 + 4 =
76 số thoả yêu cầu bài toán.

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho tập B =
\left\{ 0;1;2;4;5;7 ight\}. Hỏi từ B lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?

    Gọi số cần tìm là số dạng \overline{abcde}. Vì \overline{abcde} chia hết cho 3 suy ra a + b + c + d + e \vdots 3.

    Khi đó bộ (a,b,c,d,e) = \left\{
(0;1;2;4;5),(0;2;4;5;7),(0;1;2;5;7) ight\}.

    Với bộ (a,b,c,d,e) = (0;1;2;4;5) suy ra có 4 \times 4 \times 3 \times 2
\times 1 = 96 số cần tìm.

    Tương tự với các bộ số còn lại.

  • Câu 10: Nhận biết

    Một hộp có 3 viên bi trắng, 2 viên bi đen và 2 viên bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp đó.

     Chọn 2 viên từ hộp 7 viên có: C_7^2 = 21 (cách).

  • Câu 11: Nhận biết

    Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn ABCDE vào 1 chiếc ghế dài sao cho bạn A ngồi chính giữa?

    Xếp bạn A ngồi chính giữa: có 1 cách.

    Khi đó xếp 4 bạn BCDE vào 4 vị trí còn lại, có 4! = 24 cách.

    Vậy có tất cả 24 cách xếp.

  • Câu 12: Nhận biết

    Một học sinh có 12 quyển sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 sách Toán, 4 sách Văn, 6 sách Anh Văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các quyển sách lên một kệ sách dài nếu mọi quyển sách cùng môn được xếp kề nhau?

    Có 3! = 6 cách xếp 3 loại sách.

    Có 2! = 2 cách xếp 2 sách Toán.

    Có 4! = 24 cách xếp 4 sách Văn.

    Vậy theo qui tắc nhân có tất cả 6.2.24 = 720 cách xếp thoả mãn yêu cầu đề bài

  • Câu 13: Nhận biết

    Giả sử một công việc phải hoàn thành qua 2 giai đoạn:

    Giai đoạn 1 có a cách thực hiện.

    Với mỗi cách thực hiện của giai đoạn 1 ta có b cách thực hiện cho giai đoạn 2.

    Khi đó số cách thực hiện công việc là:

    Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách thực hiện công việc là a.b cách.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Từ tập hợp các chữ số A = \left\{ 1,2,3,4,5,6 ight\} có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau thuộc khoảng (300;500)?

    Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm có dạng \overline{abc};(a eq 0)

    Số cần tìm thuộc khoảng (300;500) nên a \in \left\{ 3;4 ight\}=> a có 2 cách chọn.

    Số cách chọn b là 5 cách chọn

    Số cách chọn c là 4 cách chọn

    Vậy có thể lập được 2.5.4 =
40(số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Một nhóm học sinh gồm 6 nam và 4 nữ. Cần chọn ra một nhóm 5 người gồm cả nam và nữ đi trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu số bạn nữ luôn nhiều hơn số bạn nam.

    Trường hợp 1: 4 nữ, 1 nam

    Chọn 4 nữ từ 4 nữ và 1 nam từ 6 nam, có: C_4^4.C_6^1 = 6 (cách).

    Trường hợp 2: 3 nữ, 2 nam, có: C_4^3.C_6^2 = 60 (cách).

    Vậy có 6+60=66 (cách).

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho tập A =
\left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}. Từ các phần tử của tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn?

    Vì trong 6 chữ số khác nhau không có hai chữ số nào cùng chẵn nên có ít nhất 3 chữ số lẻ

    TH1: Chọn 1 chữ số chẵn và 5 chữ số lẻ có: 4.6! + 5.5! = 3480

    TH2: Chọn 2 chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ có: A_{5}^{4}.4.4.4 + A_{5}^{4}.6.A_{5}^{3} =
22080

    TH3: Chọn 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ có: A_{5}^{3}.3.4.A_{4}^{2} + A_{5}^{3}.A_{5}^{3} =
12240

    Vậy số các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn là: 3480 +
22080 + 12240 = 37800 (số).

  • Câu 17: Vận dụng

    Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?

    Nếu chữ số hàng chục là n thì số có chữ số hàng đơn vị là n - 1 thì số các chữ số nhỏ hơn n năm ở hàng đơn vị cũng bằng n. Do chữ số hang chục lớn hơn bằng 1 còn chữ số hang đơn vị thi \geq.

    Vậy số các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là:

    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 =
45.

  • Câu 18: Nhận biết

    Tìm hệ số của x^{7} trong khai triển (1 + x)^{10}.

    Số hạng tổng quát là: T_{k + 1} =
C_{10}^{k}.x^{k}.

    Số hạng chứa x^{7} trong khai triển (1 + x)^{10} là: T_{8} = C_{10}^{8}.x^{7} nên hệ số là 45.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Từ một hộp chứa 5 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vành, chọn ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số cách chọn để 4 viên bi lấy ra có số bi đỏ bằng số bi vàng?

    Th1: Chọn 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh có: C_{3}^{1}.C_{2}^{1}.C_{5}^{2} = 60 cách

    Th2: Chọn 2 bi đỏ và 2 bi vàng có: C_{3}^{2}.C_{2}^{2} = 3 cách

    Vậy số cách chọn 4 viên bi sao cho số bi đỏ bằng số bi vàng là 63 cách.

  • Câu 20: Nhận biết

    Tìm hệ số của số hạng chứa x^{2} trong khai triển (x + 3)^{4}?

    Ta có: (x + 3)^{4} = x^{4} + 4x^{3}.3 +
6.x^{2}.3^{2} + 4.x.3^{3} + 3^{4}

    Hệ số chứa x^{2} trong khai triển là: 6.3^{2} = 54.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 102 lượt xem
Sắp xếp theo