Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $A_{n}^{2} = C_{n}^{2} + C_{n}^{1} + 4n + 6$ . Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ của khai triển biểu thức $P(x) = \left( x^{2} + \frac{3}{x} ight)^{n}$ .
- A.
  18698.
- B.
  24162.
- C.
  192456.
- D.
  287654.
$A_{n}^{2} = C_{n}^{2} + C_{n}^{1} + 4n + 6 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} = \frac{n!}{(n - 2)!.2!} + \frac{n!}{(n - 1)!.1!} + 4n + 6$

$\Leftrightarrow n(n - 1) = \frac{n(n - 1)}{2} + n + 4n + 6 \Leftrightarrow n^{2} - 11n - 12 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = - 1\ (l) \\ n = 12\ (n) \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó $P(x) = \left( x^{2} + \frac{3}{x} ight)^{12}$ .

Công thức số hạng tổng quát: $T_{k + 1} = C_{12}^{k}.\left( x^{2} ight)^{12 - k}.\left( \frac{3}{x} ight)^{k} = C_{12}^{k}.3^{k}.x^{24 - 3k}$ .

Số hạng chứa $x^{9} \Rightarrow 24 - 3k = 9 \Leftrightarrow k = 5$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ trong khai triển là $C_{12}^{5}.3^{5} = 192456$ .
Câu 2: Thông hiểu
Lớp 11A có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một nhóm học sinh đại diện gồm 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm học sinh đại diện?
- A.
  $125861$
- B.
  $119700$
- C.
  $115843$
- D.
  $128499$
Số cách chọn 3 học sinh nam là $C_{20}^{3}$ cách.

Số cách chọn 2 học sinh nữ là: $C_{15}^{2}$ cách.

Vậy số cách chọn nhóm học sinh đại diện là: $C_{20}^{3}.C_{15}^{2} = 119700$ cách.
Câu 3: Thông hiểu
Phương trình $P_{x + 3} = 825.A_{x}^{2}.P_{x - 5}$ có tất cả bao nhiêu nghiệm?
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $1$
- D.
  $4$
Điều kiện xác định $x\mathbb{\in N};x \geq 6$

Ta có:

$P_{x + 3} = 825.A_{x}^{2}.P_{x - 5}$

$\Leftrightarrow (x + 3)! = 825x.(x - 1).(x - 5)!$

$\Leftrightarrow \frac{(x + 3)!}{(x - 5)!} = 825x.(x - 1)$

$\Leftrightarrow (x + 3)(x + 2)(x + 1)x(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 825x.(x - 1)$

$\Leftrightarrow (x + 3)(x + 2)(x + 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 825$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - x - 2 ight)\left( x^{2} - x - 6 ight)\left( x^{2} - x - 12 ight) = 825\ \ (*)$

Đặt $x^{2} - x - 2 = t$ phương trình (*) trở thành:

$t(t - 4)(t - 10) = 825$

$\Leftrightarrow t^{2} - 14t^{2} - 825 = 0 \Leftrightarrow t = 15$

Khi đó $x^{2} - x - 2 = 15 \Leftrightarrow x^{2} - x - 17 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{1 + \sqrt{69}}{2}(ktm) \\x = \dfrac{1 - \sqrt{69}}{2}(ktm) \\\end{matrix} ight.$

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện.
Câu 4: Thông hiểu
Có bao nhiêu cách xếp 8 người vào một bàn tròn?
- A.
  720
- B.
  5040
- C.
  40320
- D.
  35280
Vì xếp vào bàn tròn nên vị trí xếp đầu tiên là như nhau nên có 1 cách xếp, ta xếp 7 người còn lại vào 7 vị trí nên có 7! cách xếp.
Vậy có 1.7! = 5040 cách xếp
Câu 5: Nhận biết
Giá trị của $C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{n-1}-C_{n}^{n}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  n
- D.
  2n
Ta có:
$\begin{matrix} C_n^0 - C_n^1 + C_n^{n - 1} - C_n^n \hfill \\ = 1 - C_n^1 + C_n^1 - 1 = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 6: Thông hiểu
Tổng hệ số của $x^{3}$ và $x^{2}$ trong khai triển $(1 + 2x)^{4}$ là:
- A.
  24
- B.
  56
- C.
  20
- D.
  54
Ta có: $(1+2x)^4=16{x^4} + 32{x^3} + 24{x^2} + 8x + 1$ .
Tổng hệ số của $x^3$ và $x^2$ bằng $32+24=56$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong khai triển nhị thức Newton $(3x - 2)^{5}$ , hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ bằng:
- A.
  $1080x^{3}$
- B.
  $- 1080x^{3}$
- C.
  $- 1080$
- D.
  $1080$
Hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(3x - 2)^{5}$ là: $C_{5}^{3}.3^{3}.( - 2)^{2} = 1080$ .
Câu 8: Nhận biết
Từ các chữ số 1; 2; 3; 5; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau.
- A.
  36
- B.
  60
- C.
  120
- D.
  144
Gọi số cần lập có dạng $\overline {ABC}$ .
A: có 5 cách chọn.
B: có 4 cách chọn.
C: có 3 cách chọn.
Vậy có 5.4.3 = 60 (số) có 3 chữ số đôi một khác nhau.
Câu 9: Nhận biết
Số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức $\left( x^{3} - \frac{1}{x^{2}} ight)^{5};(x eq 0)$ là:
- A.
  $3$
- B.
  $4$
- C.
  $- 10$
- D.
  $5$
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức $\left( x^{3} - \frac{1}{x^{2}} ight)^{5};(x eq 0)$ là:

$C_{5}^{k}.\left( x^{3} ight)^{5 - k}.\left( - \frac{1}{x^{2}} ight)^{k} = C_{5}^{k}.( - 1)^{k}.x^{15 - 5k}$

Số hạng không chứa x khi và chỉ khi $15 - 5k = 0 \Rightarrow k = 3$

Vậy số hạng không chứa x là: $C_{5}^{3}.( - 1)^{3} = - 10$ .
Câu 10: Nhận biết
Số hạng thứ $13$ trong khai triển $(2 - x)^{15}$ bằng?
- A.
  $5630x^{13}$ .
- B.
  $3640x^{12}$ .
- C.
  $- 240x^{12}$ .
- D.
  $7640$ .
Ta có $(2 - x)^{15} = \sum_{k = 0}^{15}{C_{15}^{k}.2^{15 - k}.( - x)^{k}}$

Số hạng thứ $13$ trong khai triển tương ứng với $k = 12$ . $\Rightarrow C_{15}^{12}.2^{15 - 12}.( - x)^{12} = 3640x^{12}$ .
Câu 11: Nhận biết
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một bàn dài là:
- A.
  $120$ .
- B.
  $36$ .
- C.
  $24$ .
- D.
  $1$ .
Ta có số cách xếp 5 học sinh vào một bàn dài là số các hoán vị của $5$ học sinh đó. Vậy kết quả là: $P_{5} = 5! = 120$ .
Câu 12: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ .
- A.
  $12$ .
- B.
  $16$ .
- C.
  $17$ .
- D.
  $20$ .
Số các số tự nhiên lớn nhất nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ là $96$ .

Số các số tự nhiên nhỏ nhất nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ là $0$ .

Số các số tự nhiên nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ là $\frac{96 - 0}{6} + 1 = 17$ .
Câu 13: Vận dụng
Đội văn nghệ của nhà trường gồm $4$ học sinh lớp 12A, $3$ học sinh lớp 12B và $2$ học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?
- A.
  $206.$
- B.
  $202.$
- C.
  $98.$
- D.
  $230.$
Tổng số học sinh trong đội văn nghệ của nhà trường là $9$ học sinh.

Số cách chọn $5$ học sinh bất kì trong $9$ học sinh là. $C_{9}^{5}$ cách.

Số cách chọn $5$ học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12A là. $C_{5}^{5}$ cách.

Số cách chọn $5$ học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12B là. $C_{6}^{5}$ cách.

Số cách chọn $5$ học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12C là. $C_{7}^{5}$ cách.

Vậy có $C_{9}^{5} - \left( C_{5}^{5} + C_{6}^{5} + C_{7}^{5} ight) = 98$ cách thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 14: Thông hiểu
Cho hai đường thẳng $(d)$ gồm $5$ điểm phân biệt và $(d')$ gồm $7$ điểm phân biệt. Biết rằng $(d)//(d')$ . Số tam giác có ba đỉnh được tạo thành từ các điểm trên hai đường thẳng đã cho?
- A.
  $20$ tam giác
- B.
  $45$ tam giác
- C.
  $115$ tam giác
- D.
  $175$ tam giác
Một tam giác được hình thành bởi ba điểm không thẳng hàng.

TH1: 1 đỉnh thuộc đường thẳng (d) và 2 đỉnh thuộc đường thẳng (d’)

Số tam giác được tạo thành là: $C_{5}^{1}.C_{7}^{2}$ (tam giác)

TH2: 2 đỉnh thuộc đường thẳng (d) và 1 đỉnh thuộc đường thẳng (d’)

Số tam giác được tạo thành là: $C_{5}^{2}.C_{7}^{1}$ (tam giác)

Vậy số tam giác được tạo thành là $C_{5}^{1}.C_{7}^{2} + C_{5}^{2}.C_{7}^{1} = 175$ .
Câu 15: Nhận biết
Trong balo của học sinh A có 8 bút chì khác, 6 bút bi và 10 quyển vở. Số cách chọn một đồ vật trong balo là:
- A.
  $48$
- B.
  $24$
- C.
  $80$
- D.
  $60$
Áp dụng quy tắc cộng, số cách chọn một đồ vật trong balo là: 8 + 6 + 10 = 24 cách.
Câu 16: Thông hiểu
Hệ số lớn nhất trong khai triển $\left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4}x ight)^{4}$ là:
- A.
  $\frac{27}{128}$ .
- B.
  $\frac{9}{32}$ .
- C.
  $\frac{27}{32}$ .
- D.
  $\frac{27}{64}$ .
Ta có $\left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4}x ight)^{4} = \sum_{k = 0}^{4}{C_{4}^{k}.\left( \frac{1}{4} ight)^{4 - k}.\left( \frac{3}{4} ight)^{k}}$

$= \frac{1}{256} + \frac{3}{64}x + \frac{27}{128}x^{2} + \frac{27}{64}x^{3} + \frac{81}{256}x^{4}$

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là $\frac{27}{64}$ .
Câu 17: Nhận biết
Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số từ tập hợp các chữ số $M = \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\}$ ?
- A.
  $6^{4}$
- B.
  $360$
- C.
  $4^{6}$
- D.
  $4^{4}$
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là: $\overline{abcd};(a eq 0)$ .

Mỗi chữ số có 6 cách chọn.

Mà số cần lập gồm 4 chữ số nên theo quy tắc nhân có thể lập được $6^{4}$ số.
Câu 18: Nhận biết
Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là:
- A.
  $C_{7}^{3}$
- B.
  $A_{7}^{3}$
- C.
  $\frac{7!}{3!}$
- D.
  7
Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là tổ hợp chập 3 của 7 phần từ.
=> Số tập hợp con là: $C_{7}^{3}$ tập hợp
Câu 19: Vận dụng
Có 8 nhà khoa học Toán (6 nam, 2 nữ) và 5 nhà khoa học Vật Lí (toàn nam). Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 nhà khoa học trong đó có cả nam, nữ, cả Toán, Vật Lí?
- A.
  340.
- B.
  210.
- C.
  375.
- D.
  450.
+TH1. Có đúng 1 nữ nhà khoa học Toán, có 2 cách chọn. Lúc này chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn đề bài, có thể có hoặc không nhà khoa học Toán nam nào khác, số cách chọn 3 nhà khoa học còn lại là $C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3}$ . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. $2.\left( C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3} ight)$

+TH2. Có đúng 2 nữ nhà khoa học Toán, có 1 cách chọn. Cũng với ý tưởng như trên, chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn, số cách chọn 2 nhà khoa học còn lại là $C_{5}^{1}C_{6}^{1} + C_{5}^{2}$ . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. $C_{5}^{1}.C_{6}^{1} + C_{5}^{2}$ .

Vậy số cách lập cần tìm là. $2.\left( C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3} ight) + C_{5}^{1}.C_{6}^{1} + C_{5}^{2} = 375$ .
Câu 20: Nhận biết
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho năm người gồm 3 nam và 2 nữ vào năm cái ghế xếp thành một dãy nếu hai nữ luôn luôn ngồi kề nhau?
- A.
  $24$
- B.
  $12$
- C.
  $48$
- D.
  $36$
Coi 2 nữ là một phần tử A

Xếp phần tử A và 3 nam vào dãy có 4! cách.

Hoán đổi vị trí 2 nữ trong phần tử A có 2! cách.

Do đó có $4!.2! = 48$ cách.

85 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!