Số các số tự nhiên gồm
chữ số chia hết cho
là:
Gọi số cần tìm có dạng: .
Chọn : có 1 cách
Chọn : có 9 cách
Chọn : có
cách
Theo quy tắc nhân, có (số).
Số các số tự nhiên gồm
chữ số chia hết cho
là:
Gọi số cần tìm có dạng: .
Chọn : có 1 cách
Chọn : có 9 cách
Chọn : có
cách
Theo quy tắc nhân, có (số).
Tính giá trị biểu thức ![]()
Áp dụng công thức cho
ta có:
Từ khai triển biểu thức
thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là:
Xét khai triển .
Gọi là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có
.
Có tất cả bao nhiêu cách xếp
quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách?
Mỗi cách sắp xếp quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách là một hoán vị của
phần tử. Vậy số cách sáp xếp là
.
Có bao nhiêu số chẵn gồm bốn chữ số được lập từ các số 0; 1; 2; 4; 5; 6; 8.
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số có dạng:
Do số tự nhiên được tạo thành là chữ số chẵn nên
Trường hợp 1: d = 0 ta có: d có 1 cách chọn
a có 6 cách chọn
b có 7 cách chọn
c có 7 cách chọn
=> Số các số được tạo thành là: 6.7.7.1 = 294 số
Trướng hợp 2: => d có 4 cách chọn
a có 6 cách chọn
b có 7 cách chọn
c có 7 cách chọn
=> Số các số tạo thành là: 4.6.7.7=1176 số
=> Có tất cả 294 + 1176 = 1470 số tự nhiên chẵn có 4 chữ số được tạo thành.
Thầy giáo chủ nhiệm có 10 quyển sách khác nhau và 8 quyển vở khác nhau. Thầy chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau?
Chọn một quyển sách có 10 cách chọn.
Chọn một quyển vở có 8 cách chọn.
Áp dụng quy tắc cộng có 18 cách chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi.
Cho tập
. Hỏi lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2 từ tập A.
Gọi số cần tìm có dạng . Vì
chia hết cho 2 suy ra
.
TH1. Với , khi đó
số.
TH2. Với , khi đó có 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c, 2 cách chọn
.
Suy ra có số. Vậy có tất cả
số cần tìm.
Một hộp có 3 viên bi trắng, 2 viên bi đen và 2 viên bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp đó.
Chọn 2 viên từ hộp 7 viên có: (cách).
Giả sử một công việc phải hoàn thành qua 2 giai đoạn:
Giai đoạn 1 có a cách thực hiện.
Với mỗi cách thực hiện của giai đoạn 1 ta có b cách thực hiện cho giai đoạn 2.
Khi đó số cách thực hiện công việc là:
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách thực hiện công việc là cách.
Số số hạng trong khai triển
là:
Số số hạng trong khai triển là: .
Tìm
thuộc tập hợp số tự nhiên, biết rằng
(
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
Trước hết ta chứng minh công thức với
và
Thật vậy, (đpcm)
Áp dụng công thức trên ta có
Theo đề .
Có bao nhiêu vectơ khác vectơ được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau?
Ta có vecto tạo thành từ hai điểm A, B ta được vecto và
.
Chọn hai điểm bất kì trong 10 điểm phân biệt là tổ hợp chập 2 của 10 phần tử.
=> Số vectơ khác vectơ được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau là: vecto.
Từ 6 chữ số
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 1 và 2?
Gọi số cần tìm có dạng
Số cách sắp xếp số 1; 2 vào 5 vị trí ta có: cách
3 vị trí còn lại có cách
Vậy số cần thành lập là: số.
Biểu thức
bằng:
Ta có:
Có 3 cây bút đỏ, 4 cây bút xanh trong một hộp bút. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một cây bút từ hộp bút?
Số cách lấy ra 1 cây bút là màu đỏ có 3 cách.
Số cách lấy ra 1 cây bút là màu xanh có 4 cách.
Theo quy tắc cộng, số cách lấy ra 1 cây bút từ hộp bút là: 3 + 4 = 7 cách.
Vậy có 7 cách lấy 1 cây bút từ hộp bút.
Sắp xếp 5 bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Đếm số cách sắp xếp thỏa mãn bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau?
+) Xếp bạn vào
chỗ ngồi có
cách.
+) Xếp An và Dũng ngồi cạnh nhau có cách. Xem An và Dũng là
phần tử cùng với
bạn còn lại là
phần tử xếp vào
chỗ. Suy ra số cách xếp
bạn sao cho An và Dũng luôn ngồi cạnh nhau là.
cách.
Vậy số cách xếp bạn vào
ghế sao cho An và Dũng không ngồi cạnh nhau là.
.
Cho tập
. Hỏi từ B lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
Gọi số cần tìm là số dạng . Vì
chia hết cho 3 suy ra
.
Khi đó bộ .
Với bộ suy ra có
số cần tìm.
Tương tự với các bộ số còn lại.
Cho tập hợp
có
phần tử. Số tập con gồm
phần tử của
là:
Số tập con gồm phần tử của
chính là số tổ hợp chập
của
phần tử, nghĩa là bằng
.
Tìm số hạng chứa
trong khai triển
.
Số hạng thứ trong khai triển là:
.
Số hạng chứa có giá trị
thỏa mãn:
.
Vậy số hạng chứa trong khai triển là:
.
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là:
Gọi số cần tìm có dạng
Số cách chọn là 1 cách, (
)
Số cách chọn là 9 cách;
Số cách chọn là
cách
Vậy có số.