Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Người ta muốn chọn một ban điều hành gồm 3 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ban điều hành có 1 nam và 2 nữ?
- A.
  $2460$ cách
- B.
  $2625$ cách
- C.
  $1058$ cách
- D.
  $1850$ cách
Chọn ban điều hành gồm 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ có $C_{25}^{1}.C_{15}^{2} = 2625$ cách.
Câu 2: Thông hiểu
Trong hộp có 5 quả cầu đỏ và 7 quả cầu xanh kích thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên 4 quả cầu từ hộp. Hỏi có bao nhiêu khả năng lấy được số quả cầu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh.
- A.
  245
- B.
  348
- C.
  75
- D.
  33
Trường hợp 1: 4 quả đỏ + 0 quả xanh
Chọn 4 quả đỏ từ 5 quả đỏ có: $C_5^4 = 5$ (cách).
Trường hợp 2: 3 quả đỏ + 1 quả xanh
Chọn 3 quả đỏ từ 5 quả đỏ, 1 quả xanh từ 7 quả xanh có: $C_5^3.C_7^1 = 70$ (cách).
Vậy có $5+70=75$ (cách).
Câu 3: Nhận biết
Ban chấp hành chi đoàn của một lớp có bạn An, Bình, Công. Hỏi có bao nhiêu cách phân công các bạn này vào các chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủy viên mà không bạn nào kiêm nhiệm?
- A.
  $5$ .
- B.
  $4$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $12$ .
Mỗi cách phân công $\mathbf{3}$ bạn An, Bình, Công vào $3$ chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủy viên mà không bạn nào kiêm nhiệm là một hoán vị của $3$ phần tử. Vậy có $3!\ \ = \ \ 6$ cách.
Câu 4: Nhận biết
Giả sử có một công việc có thể tiến hành theo hai công đoạn M và N. Công đoạn M có a cách, công đoạn N có b cách. Khi đó công việc có thể thực hiện bằng:
- A.
  $\frac{1}{2}a.b$ cách
- B.
  $\frac{1}{2}(a + b)$ cách
- C.
  $a + b$ cách
- D.
  $a.b$ cách
Khi đó công việc có thể được thực hiện bằng $a.b$ (cách).
Câu 5: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6 ight\}$ . Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.
- A.
  $8233$ .
- B.
  $1260$ .
- C.
  $3870$ .
- D.
  $1560$ .
Gọi $\overline{abcde}$ là số số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.

+ TH1. $e = 0$ . Chọn $a,b,c,d \in A\backslash\left\{ 0 ight\}:$ $A_{6}^{4} = 360 \Rightarrow$ có 360 số.

+ TH2. $e eq 0:$ Chọn $e \in \left\{ 2;4;6 ight\}:$ 3 (cách).

Chọn $a \in A\backslash\left\{ 0;e ight\}:$ 5 (cách).

Chọn $b,c,d \in A\backslash\left\{ a;e ight\}:$ $A_{5}^{3} = 60$ (cách).

$\Rightarrow$ có $3.5.60 = 900$ số.

Vậy có. $900 + 360 = 1260$ số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.
Câu 6: Vận dụng
Cho tập hợp số: $A = \left\{ 0,1,2,3,4,5,6 ight\}$ .Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
- A.
  114
- B.
  144
- C.
  146
- D.
  148
Ta có một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3. Trong tập A có các tập con các chữ số chia hết cho 3 là $\{ 0,1,2,3\},$ $\{ 0,1,2,6\}$ , $\{ 0,2,3,4\}$ , $\{ 0,3,4,5\}$ , $\{ 1,2,4,5\}$ , $\{ 1,2,3,6\}$ , $\left\{ 1,3,5,6 ight\}$ .

Vậy số các số cần lập là: $4(4! - 3!) + 3.4! = 144$ số.
Câu 7: Nhận biết
Có bao nhiêu số hạng trong khai triển $(6x + 4)^{4}$ ?
- A.
  $7$
- B.
  $6$
- C.
  $5$
- D.
  $4$
Trong khai triển nhị thức $(6x + 4)^{4}$ có $n = 4$ nên có 5 số hạng.
Câu 8: Nhận biết
Có bao nhiêu cách xếp 6 người thành một hàng dọc
- A.
  720
- B.
  6
- C.
  120
- D.
  480
Xếp 6 người thành một hàng dọc có: 6! = 720 cách.
Câu 9: Vận dụng
Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để 2 học sinh nam xen giữa 3 học sinh nữ? (Biết rằng cứ đổi 2 học sinh bất kì được cách mới)
- A.
  2880.
- B.
  7860.
- C.
  2540.
- D.
  8760.
Xếp cố định 3 học sinh nữ vào hàng trước, có 3! cách xếp. Chọn 2 học sinh nam bất kì cho vào 2 khoảng trống nằm giữa 2 học sinh nữ, số cách chọn là $A_{5}^{2}$ . Xem nhóm 5 học sinh này là 1 học sinh, lúc này còn 3 học sinh nam vậy là ta đang có 4 học sinh. Số cách xếp 4 học sinh này thành hàng dọc là 4!. Vậy số cách xếp cần tìm là. $3!.A_{5}^{2}.4! = 2880$ .
Câu 10: Nhận biết
Cho tập hợp M = {a; b; c}. Số hoán vị của ba phần tử của M là:
- A.
  4
- B.
  5
- C.
  6
- D.
  7
Số hoán vị của ba phần tử của M là: 3! = 6.
Câu 11: Thông hiểu
Biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 78$ , số hạng chứa $x^{8}$ trong khai triển $\left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{n}$ là:
- A.
  $- 101376x^{8}$ .
- B.
  $- 101376$ .
- C.
  $- 112640$ .
- D.
  $101376x^{8}$ .
Ta có: $C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 78 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 1)!.1!} + \frac{n!}{(n - 2)!.2!} = 78 \Leftrightarrow n + \frac{(n - 1)n}{2} = 78$

$\Leftrightarrow n^{2} + n - 156 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 12 \\ n = - 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow n = 12$ (vì $n$ là số nguyên dương).

Số hạng tổng quát trong khai triển $\left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{12}$ là: $( - 1)^{k}C_{12}^{k}\left( x^{3} ight)^{12 - k}\left( \frac{2}{x} ight)^{k} = ( - 1)^{k}C_{12}^{k}.2^{k}.x^{36 - 4k}$ .

Cho $36 - 4k = 8 \Leftrightarrow k = 7$ .

Vậy số hạng chứa $x^{8}$ trong khai triển $\left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{12}$ là $- C_{12}^{7}.2^{7}.x^{8} = - 101376x^{8}$ .
Câu 12: Vận dụng
Hệ số của $x^{5}$ trong khai triển thành đa thức của $(2 - 3x)^{2n}$ bằng bao nhiêu? Cho biết n là số tự nhiên thỏa mãn: $C_{2n + 1}^{0} + C_{2n + 1}^{2} + C_{2n + 1}^{4} + ... + C_{2n + 1}^{2n} = 1024$ .
- A.
  $2099529$ .
- B.
  $- 2099520$ .
- C.
  $- 1959552$ .
- D.
  $1959552$ .
Ta có $(x + 1)^{2n + 1} = C_{2n + 1}^{0}.x^{2n + 1} + C_{2n + 1}^{1}.x^{2n} + ... + C_{2n + 1}^{2n}.x + C_{2n + 1}^{2n + 1}$ $(1)$

Thay $x = 1$ vào $(1)$ : $2^{2n + 1} = C_{2n + 1}^{0} + C_{2n + 1}^{1} + ... + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1}$ $(2)$

Thay $x = - 1$ vào $(1)$ : $0 = - C_{2n + 1}^{0} + C_{2n + 1}^{1} - ... - C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1}$ $(3)$

Phương trình $(2)$ trừ $(3)$ theo vế: $2^{2n + 1} = 2\left( C_{2n + 1}^{0} + C_{2n + 1}^{2} + ... + C_{2n + 1}^{2n} ight)$ .

Theo đề ta có $2^{2n + 1} = 2.1024 \Leftrightarrow n = 5$

Số hạng tổng quát của khai triển $(2 - 3x)^{10}$ :

$T_{k + 1} = C_{10}^{k}.2^{10 - k}.( - 3x)^{k} = C_{10}^{k}.2^{10 - k}.( - 3)^{k}.x^{k}$

Theo giả thiết ta có $k = 5$ .

Vậy hệ số cần tìm $C_{10}^{5}.2^{5}.( - 3)^{5} = - 1959552$ .
Câu 13: Nhận biết
Số cách lấy một chiếc bút trong hộp gồm 4 chiếc bút bi và 6 chiếc bút máy bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $6$
- C.
  $10$
- D.
  $24$
Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách lấy một chiếc bút là:

$4 + 6 = 10$ cách.
Câu 14: Thông hiểu
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số lẻ?
- A.
  125
- B.
  500
- C.
  450
- D.
  350
Gọi số thỏa mãn đề bài có dạng $\overline{ABC}$ .

Vị trí A: có 5 cách chọn, đó là các số 1, 3, 5, 7, 9.

Vị trí B: có 5 cách chọn, đó là các số 1, 3, 5, 7, 9.

Vị trí C: có 5 cách chọn, đó là các số 1, 3, 5, 7, 9.

Áp dụng quy tắc nhân, có 5.5.5 = 125 (số).
Câu 15: Thông hiểu
Tìm hệ số của $x^{3}$ trong khai triển $f(x) = (1 + x)^{3} + (1 + x)^{4} + (1 + x)^{5}$ thành đa thức?
- A.
  $16$
- B.
  $10$
- C.
  $14$
- D.
  $15$
Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(1 + x)^{3}$ là $x^{3}$

Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(1 + x)^{4}$ là $C_{4}^{3}x^{3} = 4x^{3}$

Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(1 + x)^{5}$ là $C_{5}^{3}x^{3} = 10x^{3}$

Do đó tổng các số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển đã cho là: $x^{3} + 4x^{3} + 10x^{3} = 15x^{3}$

Vậy hệ số cần tìm là $15$ .
Câu 16: Thông hiểu
Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng (2000; 3000) có thể tạo nên bằng các chữ số $1,2,3,4,5,6$ nếu các chữ số không nhất thiết khác nhau?
- A.
  $108$
- B.
  $216$
- C.
  $120$
- D.
  $148$
Gọi số tự nhiên trong khoảng $(2000;3000)$ có dạng $\overline{2abc}$

Vì là số tự nhiên lẻ nên c có 3 lựa chọn là $\left\{ 1;3;5 ight\}$

a, b có 6 lựa chọn.

Vậy có $6.6.3 = 108$ số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 17: Nhận biết
Số các số tự nhiên có 2 chữ số mà hai chữ số đó là số chẵn là
- A.
  18.
- B.
  16.
- C.
  15.
- D.
  20.
Giả sử số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $\overline{ab}$ .

- Chọn a có 4 cách: a ∈ {2;4;6;8}.

- Chọn b có 5 cách: b ∈ {0;2;4;6;8}.

Vậy có tất cả: 4.5 = 20 số tự nhiên có 2 chữ số mà hai chữ số đó là số chẵn.
Câu 18: Nhận biết
Số hạng thứ $13$ trong khai triển $(2 - x)^{15}$ bằng?
- A.
  $5630x^{13}$ .
- B.
  $3640x^{12}$ .
- C.
  $- 240x^{12}$ .
- D.
  $7640$ .
Ta có $(2 - x)^{15} = \sum_{k = 0}^{15}{C_{15}^{k}.2^{15 - k}.( - x)^{k}}$

Số hạng thứ $13$ trong khai triển tương ứng với $k = 12$ . $\Rightarrow C_{15}^{12}.2^{15 - 12}.( - x)^{12} = 3640x^{12}$ .
Câu 19: Thông hiểu
Một tổ gồm 7 học sinh trong đó có 4 nam, 3 nữ cùng với 2 cô giáo xếp thành một hàng dọc để tham gia trò chơi đồng đội. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng cho nhóm 3 học sinh nữ luôn đứng cạnh nhau và nhóm hai cô giáo cũng đứng cạnh nhau?
- A.
  $728$ cách
- B.
  $1474$ cách
- C.
  $8640$ cách
- D.
  $2458$ cách
Xếp nhóm A gồm 3 học sinh nữ đứng cạnh nhau có: $3! = 6$ cách.

Xếp nhóm B gồm 2 cô giáo đứng cạnh nhau có: $2! = 2$ cách.

Xếp nhóm A và nhóm B với 4 học sinh nam còn lại có $6! = 720$ cách.

Theo quy tắc nhân ta có: $6.2.720 = 8640$ cách.
Câu 20: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{2}$ trong khai triển $(x + 3)^{4}$ ?
- A.
  $9$
- B.
  $6$
- C.
  $54$
- D.
  $18$
Ta có: $(x + 3)^{4} = x^{4} + 4x^{3}.3 + 6.x^{2}.3^{2} + 4.x.3^{3} + 3^{4}$

Hệ số chứa $x^{2}$ trong khai triển là: $6.3^{2} = 54$ .

99 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!