Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Khai triển (\sqrt{5} - \sqrt[4]{7})^{124}. Hỏi có tất cả bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?

    Ta có (\sqrt{5} - \sqrt[4]{7})^{124} = \sum_{k = 0}^{124}{C_{124}^{k}.( - 1)^{k}.5^{\frac{124 - k}{2}}.7^{\frac{k}{4}}}

    Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với \left\{ \begin{matrix} \frac{124 - k}{2}\mathbb{\in Z} \\ \frac{k}{4}\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow k \in \left\{ 0;4;8;12;...;124 ight\}.

    Vậy số các giá trị k là: \frac{124 - 0}{4} + 1 = 32.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Biết hệ số của số hạng chứa x^{2} trong khai triển (1 + 4x)^{n} là 3040. Số tự nhiên n bằng bao nhiêu?

    Ta có: (1 + 4x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}{C_{n}^{k}(4x)^{k}} = \sum_{k = 0}^{n}{C_{n}^{k}4^{k}x^{k}}.

    Hệ số của số hạng chứa x^{2} là: C_{n}^{2}4^{2}.

    Giả thiết suy ra C_{n}^{2}4^{2} = 3040\Leftrightarrow C_{n}^{2} = 190 \Leftrightarrow \frac{n(n - 1)}{2} = 190\Leftrightarrow n^{2} - n - 380 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}n = 20\ \ (t/m) \ = - 19\ (loai) \\\end{matrix} ight.

  • Câu 3: Nhận biết

    Hệ số của x^{2} trong khai triển (x + 1)^{5} là:

     Ta có: {(x + 1)^5} ={x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1.

    Hệ số của x^2 là 10.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho tập A gồm n điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Tìm n sao cho số tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 điểm thuộc A gấp đôi số đoạn thẳng được nối từ 2 điểm thuộc A.

    Điều kiện: n \ge 3

    Số tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 điểm thuộc A là tổ hợp chập 3 của n phần tử 

    => Số tam giác là: C_n^3 (tam giác)

    Số đoạn thẳng được nối từ 2 điểm thuộc A là tổ hợp chập n phần tử

    => Số đoạn thẳng là: C_n^2

    Theo bài ra ta có: 

    Số tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 điểm thuộc A gấp đôi số đoạn thẳng được nối từ 2 điểm thuộc A.

    \begin{matrix} \Rightarrow C_n^3 = 2C_n^2 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} ight)!}} = 2\dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} ight)!}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)\left( {n - 2} ight)\left( {n - 3} ight)!}}{{6\left( {n - 3} ight)!}} = \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)\left( {n - 2} ight)!}}{{\left( {n - 2} ight)!}} \hfill \\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} ight)\left( {n - 2} ight) = 6n\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} n\left( {n - 1} ight) = 0 \hfill \\ n - 2 = 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} n = 0\left( {ktm} ight) \hfill \\ n = 1\left( {ktm} ight) \hfill \\ n = 8\left( {tm} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy n = 8.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho tập hợp M = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}. Số tập con gồm 3 phần tử của M sao cho không có số 0 là:

    Mỗi tập con gồm 3 phần tử của M không có số 0 là tổ hợp chập 3 của 9 phần tử.

    Số tập con gồm 3 phần tử của M không có số 0 là. C_{9}^{3}.

  • Câu 6: Nhận biết

    Có bao nhiêu số hạng trong khai triển (6x + 4)^{4}?

    Trong khai triển nhị thức (6x + 4)^{4} có n = 4 nên có 5 số hạng.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tìm số hạng chứa x^{4} trong khai triển (x^{2}-\frac{1}{x})^{n} biết A_{n}^{2}-C_{n}^{2}=10.

    Ta có:

    \begin{matrix} A_n^2 - C_n^2 = 10 \hfill \\ \Leftrightarrow A_n^2 - \dfrac{{A_n^2}}{{2!}} = 10 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}A_n^2 = 10 \hfill \\ \Leftrightarrow A_n^2 = 20 \Leftrightarrow n = 5 \hfill \\ \end{matrix}

    Khai triển biểu thức như sau:

    \begin{matrix} {\left( {{x^2} - \dfrac{1}{x}} ight)^5} = \sumolimits_{k = 0}^5 {C_5^k.{{\left( {{x^2}} ight)}^{5 - k}}.{{\left( { - \dfrac{1}{x}} ight)}^k}} \hfill \\ = \sumolimits_{k = 0}^5 {C_5^k.{{\left( { - 1} ight)}^k}.{x^{10 - 3k}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Số hạng chứa x^{4} nghĩa là: 10 - 3k = 4 \Rightarrow k = 2

    => Số hạng cần tìm là C_5^2 = 10

  • Câu 8: Vận dụng

    Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3.

    Số các số tự nhiên lớn nhất nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là 96.

    Số các số tự nhiên nhỏ nhất nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là 0.

    Số các số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là \frac{96 - 0}{6} + 1 = 17.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Có bao nhiêu cách xếp 40 học sinh gồm 20 học sinh trường A và 20 học sinh trường B thành 4 hàng dọc, mỗi hàng 10 người (tức 10 hàng ngang, mỗi hàng 4 người) trong đó không có học sinh cùng trường đứng kề nhau mỗi hàng ngang và tất cả các học sinh trong mỗi hàng đều cùng trường?

    Giả sử 4 hàng dọc được kí hiệu là D_{1};D_{2};D_{3};D_{4}

    Theo yêu cầu thì:

    Các bạn trường A được xếp ở D_{1};D_{3}

    Các bạn trường B được xếp ở D_{2};D_{4} hoặc ngược lại.

    Nên số cách xếp là 2.20!.20! cách.

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho tập hợp X gồm 10 phần tử. Số các hoán vị của 10 phần tử của tập hợp X là bao nhiêu?

    Số các hoán vị của 10 phần tử: 10!.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trên giá sách có 7 quyển sách Tiếng Nga khác nhau, 9 quyển sách Tiếng Anh khác nhau và 8 quyển sách Tiếng Việt khác nhau. Số cách chọn hai quyển sách khác loại là

    Ta có các trường hợp xảy ra như sau:

    Trường hợp 1: Chọn được sách Tiếng Nga và Tiếng Anh

    Tiếng Nga có 7 cách chọn

    Tiếng Anh có 9 cách chọn

    => Số cách chọn 2 quyển sách khác loại là: 7.9 = 63 (cách)

    Trường hợp 2: Chọn được sách Tiếng Nga và Tiếng Việt

    Tiếng Nga có 9 cách chọn

    Tiếng Việt có 8 cách chọn

    => Số cách chọn 2 quyển sách khác loại là 9.8 = 72 (cách)

    Trường hợp 3: Chọn được sách Tiếng Anh và Tiếng Việt

    Tiếng Anh có 7 cách chọn

    Tiếng Việt có 8 cách chọn

    => Số cách chọn 2 quyển sách khác loại là 7.8 = 56 cách

    => Số cách chọn hai quyển sách khác loại trong 3 loại trên là: 63 + 72 + 56 = 191 (cách).

  • Câu 12: Nhận biết

    Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?

    Số cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là 5!.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 2 và gồm 4 chữ số?

    Gọi số thỏa mãn đề bài có dạng \overline{ABC}.

    Trường hợp 1: C bằng 0. Suy ra có 1 cách chọn.

    Vị trí A: có 9 cách chọn, khác số 0.

    Vị trí B: có 10 cách chọn.

    Suy ra có: 1.9.10 = 90 (số).

    Trường hợp 2: C khác 0. Suy ra C có 4 cách chọn (2, 4, 6, 8).

    Vị trí A: có 9 cách chọn, khác số 0.

    Ví trí B: Có 10 cách chọn.

    Suy ra có: 4.9.10 = 360 (số).

    Vậy, áp dụng quy tắc cộng, có 90 + 360 = 450 (số).

  • Câu 14: Nhận biết

    Tính số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi. Biết rằng các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau.

    Sắp xếp 4 nữ sinh vào 4 ghế. 4! cách.

    Xem 4 nữ sinh lập thành nhóm X, sắp xếp nhóm X cùng với 6 nam sinh. có 7! cách

    vậy có 7! \times 4! cách sắp xếp.

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho đa giác đều A_{1}A_{2}...A_{2n} nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n của đa giác gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác. Tìm n.

    Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm A_{1};A_{2};...;A_{2n} là C_{2n}^{3}

    Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều A_{1};A_{2};...;A_{2n} cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm A_{1};A_{2};...;A_{2n}

    Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.

    Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là C_{n}^{2}

    Theo giả thiết ta có:

    C_{2n}^{3} = 20C_{n}^{2} \Leftrightarrow \frac{(2n)!}{3!(2n - 3)!} = 20.\frac{n!}{n!(n - 2)!}

    \Leftrightarrow \frac{2n(2n - 1)(2n - 2)}{6} = 10n(n - 1)

    \Leftrightarrow 4n^{3} - 36n^{2} + 32n = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0(L) \\ n = 1(L) \\ n = 8(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy n = 8.

  • Câu 16: Nhận biết

    Số các số tự nhiên có 2 chữ số mà hai chữ số đó là số chẵn là

    Giả sử số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \overline{ab}.

    - Chọn a có 4 cách: a ∈ {2;4;6;8}.

    - Chọn b có 5 cách: b ∈ {0;2;4;6;8}.

    Vậy có tất cả: 4.5 = 20 số tự nhiên có 2 chữ số mà hai chữ số đó là số chẵn.

  • Câu 17: Nhận biết

    Giả sử có một công việc có thể tiến hành theo hai công đoạn M và N. Công đoạn M có a cách, công đoạn N có b cách. Khi đó công việc có thể thực hiện bằng:

    Khi đó công việc có thể được thực hiện bằng a.b (cách).

  • Câu 18: Nhận biết

    Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?

    Chọn 1 kiểu mặt từ 3 kiểu mặt có 3 cách.

    Chọn 1 kiểu dây từ 4 kiểu dây có 4 cách.

    Vậy theo quy tắc nhân có 12 cách chọn 1 chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây.

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho tập A = \left\{ 0;1;2;3;4;5 ight\}. Hỏi lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2 từ tập A.

    Gọi số cần tìm có dạng \overline{abcde}. Vì \overline{abcde} chia hết cho 2 suy ra e = \left\{ 0;2;4 ight\}.

    TH1. Với e = 0, khi đó 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120 số.

    TH2. Với e = \left\{ 2;4 ight\}, khi đó có 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c, 2 cách chọn

    d.

    Suy ra có 4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 2 = 192 số. Vậy có tất cả 120 + 192 = 312 số cần tìm.

  • Câu 20: Nhận biết

    Hệ số x^{4} trong khai triển nhị thức (3x - 4)^{5} bằng:

    Hệ số của x^{4} trong khai triển (3x - 4)^{5} là: C_{5}^{1}.(3x)^{4}.( - 4)^{1} = - 1620.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 98 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập