Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho đa giác đều A_{1}A_{2}...A_{2n} nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n của đa giác gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác. Tìm n.

    Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm A_{1};A_{2};...;A_{2n} là C_{2n}^{3}

    Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều A_{1};A_{2};...;A_{2n} cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm A_{1};A_{2};...;A_{2n}

    Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.

    Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là C_{n}^{2}

    Theo giả thiết ta có:

    C_{2n}^{3} = 20C_{n}^{2} \Leftrightarrow \frac{(2n)!}{3!(2n - 3)!} = 20.\frac{n!}{n!(n - 2)!}

    \Leftrightarrow \frac{2n(2n - 1)(2n - 2)}{6} = 10n(n - 1)

    \Leftrightarrow 4n^{3} - 36n^{2} + 32n = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0(L) \\ n = 1(L) \\ n = 8(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy n = 8.

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong khai triển nhị thức Newton (3x - 2)^{5}, hệ số của số hạng chứa x^{3} bằng:

    Hệ số của số hạng chứa x^{3} trong khai triển (3x - 2)^{5} là: C_{5}^{3}.3^{3}.( - 2)^{2} = 1080.

  • Câu 3: Vận dụng

    Một cửa hàng có 3 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền cần xếp vào giá. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho đầu hàng và cuối hàng cùng một loại?

    Đối với bài toán ta xét 2 trường hợp.

    +) Đầu hàng và cuối hàng đều là gói bim bim. Số cách chọn 2 gói bim bim xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. A_{3}^{2} (ở đây ta xem cách xếp 1 gói bim bim A ở đầu hàng, gói bim bim B ở cuối hàng với cách xếp gói bim bim A ở cuối hàng còn gói bim bim B ở đầu hàng là khác nhau). Lúc này, ta còn lại 1 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là. A_{3}^{2}.6!

    +) Đầu hàng và cuối hàng đều là cốc mì ăn liền. Số cách chọn 2 cốc mì ăn liền xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. A_{5}^{2}. Lúc này, còn lại 3 cốc mì ăn liền và 3 gói bim bim, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là. A_{6}^{2}.6!

    \Rightarrow Số cách xếp tất cả là. 6!\left( A_{3}^{2} + A_{5}^{2} ight) = 18720.

  • Câu 4: Nhận biết

    Khối lớp 11 có 300 học sinh nam và 250 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn hai học sinh làm đại diện cho khối 11 trong đó có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ. Số cách chọn là:

    Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ là:

    300.250 = 75000 cách chọn.

  • Câu 5: Nhận biết

    Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn văn nghệ, mỗi đội chỉ được trình diễn một vở kịch, một điệu múa và một bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách hương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau?

    Đội văn nghệ trên có 2 cách chọn trình diễn một vở kịch, có 3 cách chọn trình diễn một điệu múa, có 6 cách chọn trình diễn một bài hát. Theo quy tắc nhân, đội văn nghệ trên có 2.3.6 = 36cách hương trình diễn.

  • Câu 6: Nhận biết

    Có bao nhiêu cách xếp 6 người thành một hàng dọc

     Xếp 6 người thành một hàng dọc có: 6! = 720 cách.

  • Câu 7: Nhận biết

    Có 1 con mèo vàng, 1 con mèo đen, 1 con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím. Xếp 6 con mèo thành hàng ngang vào 6 cái ghế sao cho mỗi ghế chỉ có một con mèo. Đếm số cách xếp chỗ sao cho mèo vàng và mèo đen ở cạnh nhau.

    Số cách xếp con mèo vàng và con mèo đen ở cạnh nhau là 2.

    Xem nhóm con mèo vàng và đen này là một phần tử, cùng với 1 con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím, ta được 5 phần tử. Xếp 5 phần tử này là. 5!

    Vậy có 2.5! = 240.

  • Câu 8: Nhận biết

    Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó.

    Số cách chọn hai học sinh từ 10 học sinh là chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử 

    => Số cách chọn là: A_{10}^2 = 90 (cách)

  • Câu 9: Nhận biết

    Một bài trắc nghiệm khách quan có 10 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời. Có bao nhiêu phương án trả lời?

    Mỗi câu hỏi có 4 cách chọn phương án trả lời.

    Mười câu hỏi sẽ có số cách chọn phương án trả lời là 410.

  • Câu 10: Nhận biết

    Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Đếm số cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?

    Xếp 8 người thành hàng ngang có P_{8} cách.

    Xếp 8 người thành hàng ngang sao cho 2 thầy giáo đứng cạnh nhau có 7.2!.6! cách.

    Vậy số cách xếp cần tìm là. P_{8} - 7.2!.6! = 30240 cách.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tìm số hạng không chứa x trong khai triển \left( x^{3} - \frac{1}{x} ight)^{12}.

    Công thức số hạng thứ (k + 1) của khai triển \left( x^{3} - \frac{1}{x} ight)^{12}là:

    T_{k} = C_{12}^{k}( - 1)^{k}\left( x^{3} ight)^{12 - k}.\frac{1}{x^{k}} = C_{12}^{k}( - 1)^{k}{x^{3}}^{6 - 4k},0 \leq k \leq 12,k \in \mathbb{N}.

    Số hạng không chứa x ứng với 36 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 9 (thỏa mãn).

    Suy ra T_{7} = C_{12}^{9}( - 1)^{9} = - 220.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Từ các chữ số 1;4;5;8;9 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n chia hết cho 55 và 555 < n < 5555?

    Trường hợp 1: n gồm ba chữ số.

    Gọi n có dạng \overline{abc}.

    Vì n chia hết cho 5 nên c là chữ số 5.

    Vì n gồm ba chữ số nên thỏa mãn n < 5555.

    Để 555 < n ta có:

    Nếu a là chữ số 5 thì b có 2 lựa chọn là {8; 9}

    Nếu a có 2 lựa chọn là {8; 9} thì b có 5 lựa chọn

    Có 2 + 2.5 = 12

    Trường hợp 2: n gồm bốn chữ số.

    Gọi n có dạng \overline{abcd}

    Vì n chia hết cho 5 nên d là chữ số 5

    Vì n gồm bốn chữ số nên thỏa mãn 555 < n

    Để n < 5555 ta có

    Nếu a; b đều là chữ số 5 thì c có 2 lựa chọn là {1; 4}

    Nếu a là chữ số 5 thì b có 2 lựa chọn là {1; 4} và c có 5 lựa chọn.

    Nếu a có 2 lựa chọn là {1; 4} thì b; c có 5 lựa chọn.

    Có 2 + 2.5 + 2.5.5 = 62

    Vậy có 12 + 62 = 74 số n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 13: Vận dụng

    Dãy \left( x_{1};x_{2};...;x_{10} ight) trong đó mỗi kí tự x_{i} chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 được gọi là dãy nhị phân 10 bit. Hỏi có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit trong đó có ít nhất ba kí tự 0 và ít nhất ba kí tự 1?

    Trường hợp 1: dãy nhị phân có ba kí tự 0 và bảy kí tự 1.

    Khi đó có \frac{10!}{3!.7!} = 120 dãy nhị phân 10 bit.

    Trường hợp 2: dãy nhị phân có bốn kí tự 0 và sáu kí tự 1.

    Khi đó có \frac{10!}{4!.6!} = 210 dãy nhị phân 10 bit.

    Trường hợp 3: dãy nhị phân có năm kí tự 0 và năm kí tự 1.

    Khi đó có \frac{10!}{5!.5!} = 252 dãy nhị phân 10 bit.

    Trường hợp 4: dãy nhị phân có sáu kí tự 0 và bốn kí tự 1.

    Khi đó có \frac{10!}{4!.6!} = 210 dãy nhị phân 10 bit.

    Trường hợp 5: dãy nhị phân có bảy kí tự 0 và ba kí tự 1.

    Khi đó có \frac{10!}{3!.7!} = 120 dãy nhị phân 10 bit.

    Vậy có 120 + 210 + 252 + 210 + 120 = 912 dãy nhị phân 10 bit thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào một băng ghế dài sao cho C luôn ở chính giữa.

    Giả sử 5 bạn ngồi vào 5 vị trí được đánh số 1, 2, 3, 4, 5.

    Xếp bạn C vào vị trí số 3: có 1 cách.

    Xếp 1 bạn trong 4 bạn còn lại vào vị trí 1: có 4 cách.

    Xếp 1 bạn trong 3 bạn còn lại vào vị trí 2: có 3 cách.

    Xếp 1 bạn trong 2 bạn còn lại vào vị trí 3: có 2 cách.

    Xếp bạn còn lại vào vị trí 5: có 1 cách.

    Áp dụng quy tắc nhân, có 1.4.3.2 = 24 cách xếp 5 bạn vào ghế băng dài sao cho C luôn ở chính giữa.

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho khai triển \left( x + \frac{2}{\sqrt{x}} ight)^{6}với x > 0. Tìm hệ số của số hạng chứa x^{3} trong khai triển trên.

    Ta có: \left( x + \frac{2}{\sqrt{x}} ight)^{6} = \sum_{k = 0}^{6}{C_{6}^{k}x^{6 - k}\left( \frac{2}{\sqrt{x}} ight)^{k} = \sum_{k = 0}^{6}{2^{k}C_{6}^{k}x^{6 - \frac{3k}{2}}}}.

    Số hạng chứa x^{3} ứng với \mathbf{6}\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}\mathbf{k}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{\Rightarrow k =}\mathbf{2}. Vậy hệ số của số hạng chứa x^{3} bằng 2^{2}.C_{6}^{2} = 60.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Số các số có 6 chữ số khác nhau không bắt đầu bởi 12 được lập từ 1;\ \ 2;\ \ 3;\ \ 4;\ \ 5;\ \ 6 là:

    Lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, ta tìm được: 6! số.

    Lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau nhưng bắt đầu bằng 12, ta tìm được: 4! số.

    Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau không bắt đầu bởi 12 là 6! - 4! = 696 số.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Biết rằng (7 - 8x)^{5} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + a_{4}x^{4} + a_{5}x^{5}. Chọn kết luận đúng?

    Thay x = 1 vào (7 - 8x)^{5} ta được:

    (7 - 8.1)^{5}

    = a_{0} + a_{1}.1 + a_{2}.1^{2} + a_{3}.1^{3} + a_{4}.1^{4} + a_{5}.1^{5}

    = a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}

    = \sum_{i = 0}^{5}a_{i} = - 1

  • Câu 18: Thông hiểu

    Nghiệm của phương trình C_{x}^{1} + C_{x}^{2} + C_{x}^{3} = \frac{7}{2}x thuộc khoảng nào?

    Điều kiện xác định x\mathbb{\in N};x \geq 3

    Ta có:

    C_{x}^{1} + C_{x}^{2} + C_{x}^{3} = \frac{7}{2}x

    \Leftrightarrow \frac{x!}{(x - 1)!} + \frac{x!}{2!(x - 2)!} + \frac{x!}{3!(x - 3)!} = \frac{7}{2}x

    \Leftrightarrow x + \frac{x(x - 1)}{2} + \frac{x(x - 1)(x - 2)}{6} = \frac{7}{2}x

    \Leftrightarrow 1 + \frac{x - 1}{2} + \frac{(x - 1)(x - 2)}{6} = \frac{7}{2}

    \Leftrightarrow 6 + 3x - 3 + x^{2} - 3x + 2 - 21 = 0

    \Leftrightarrow x^{2} = 16 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 4(tm) \\ x = - 4(ktm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy nghiệm phương trình thuộc khoảng (3;5).

  • Câu 19: Nhận biết

    Tìm số hạng chứa x^{7} trong khai triển \left( x - \frac{1}{x} ight)^{13}.

    Ta có công thức của số hạng tổng quát:

    T_{k + 1} = C_{13}^{k}x^{13 - k}.\left( - \frac{1}{x} ight)^{k} = C_{13}^{k}x^{13 - k}( - 1)^{k}x^{- k} = C_{13}^{k}.( - 1)^{k}x^{13 - 2k}

    Số hạng chứa x^{7}khi và chỉ khi 13 - 2k = 7 \Leftrightarrow k = 3.

    Vậy số hạng chứa x^{7} trong khai triển là - C_{13}^{3}x^{7}.

  • Câu 20: Vận dụng

    Với n là số nguyên dương thỏa mãn C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=10 , hệ số của x^{5} trong khai triển của biểu thức bằng (x^{3}+\frac{2}{x})^{n}.

     Giải phương trình C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=10. 

    Điều kiện n \ge2.

    Ta có: C_n^1 + C_n^2 = 10 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{1!(n - 1)!}} + \frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 10\Leftrightarrow n + \frac{1}{2}n(n - 1) = 10 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 4}\\{n = - 5}\end{array}} ight..

    Vậy n=4.

    Ta có: (x^{3}+\frac{2}{x})^{4} =\frac{{{x^{16}} + 8{x^{12}} + 24{x^8} + 32{x^4} + 16}}{{{x^4}}}= {x^{12}} + 8{x^8} + 24{x^4} + 32 + \frac{{16}}{{{x^4}}}.

    Hệ số của x^5 trong khai triển bằng 0.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 102 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập