Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Từ các chữ số $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $5$ chữ số đôi một khác nhau?
- A.
  $120$ .
- B.
  $520$ .
- C.
  $20$ .
- D.
  $32$ .
Mỗi số tự nhiên gồm $5$ chữ số khác nhau được lập từ các số $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ là một hoán vị của $5$ phần tử đó. Nên số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là $P_{5} = 5!$ $= 120$ (số).
Câu 2: Thông hiểu
Cho tập hợp $M = \left\{ 0;1;3;4;5;6;8 ight\}$ . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau từ các chữ số thuộc tập hợp $M$ ?
- A.
  $30$
- B.
  $152$
- C.
  $105$
- D.
  $70$
Gọi số tự nhiên có ba chữ số là: $\overline{abc};(a eq 0)$

TH1: c = 0

Chữ số a có 6 cách chọn.

Với mỗi cách chọn a có 5 cách chọn chữ số b

=> Số các số tạo thành là: 1 . 5 . 6 = 30 (số)

TH2: $c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$ => Chữ số c có 3 cách chọn.

Chữ số a có 5 cách chọn, với mỗi cách chọn a ta có 5 cách chọn b.

=> Số các số tạo thành là: 3 . 5 . 5 = 75 (số)

Vậy có tất cả 30 + 75 = 105 (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 3: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển nhị thức Newton $\left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4} ight)^{5}$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $- \frac{5}{27}$
- C.
  $6$
- D.
  $\frac{5}{27}$
Ta có:

$\left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4} ight)^{5} = \frac{32}{243}x^{5} + \frac{20}{81}x^{4} + \frac{5}{27}x^{3} + \frac{5}{72}x^{2} + \frac{3}{384}x + \frac{1}{1024}$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển nhị thức là: $\frac{5}{27}$ .
Câu 4: Vận dụng
Một rổ có 10 loại quả khác nhau trong đó có 1 mít và 1 bưởi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thành một hàng sao cho mít và bưởi cách nhau đúng 2 quả khác?
- A.
  6523920.
- B.
  786120.
- C.
  564480.
- D.
  120240.
Xếp cố định 8 quả khác mít và bưởi vào hàng, có 8! cách xếp. Lúc này trên hàng có 9 khoảng trống, gồm khoảng trống giữa 2 quả khác bất kì và vị trí đầu, cuối hàng. Trong đó ta có 7 cặp khoảng trống mà khoảng cách giữa khoảng có đúng 2 quả khá

C. Mỗi cặp khoảng trống đó ta sẽ cho vào đó quả mít và quả bưởi, có cách xếp mít và bưởi tương ứng là. $7.2!$ .

Vậy số cách xếp cần tìm. 8!.7.2! = 564480.
Câu 5: Thông hiểu
Biết rằng $n\mathbb{\in N}$ thỏa mãn biểu thức $A_{n}^{2} - C_{n}^{2} = 19900$ . Tính giá trị biểu thức $B =\frac{n.C_{2n}^{n}}{C_{2n}^{n + 1}}$ ?
- A.
  $B = 201$
- B.
  $B = 175$
- C.
  $B = 249$
- D.
  $B = 190$
Ta có:
$A_{n}^{2} - C_{n}^{2} =19900$
$\Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} -\frac{n!}{2!(n - 2)!} = 19900$
$\Leftrightarrow (n - 1).n = 39800\Leftrightarrow n = 200$
Lại có:
$B = \frac{n.C_{2n}^{n}}{C_{2n}^{n + 1}}= \frac{n(2n)!}{n!.n!} = \frac{(n + 1)!.(n - 1)!}{(2n)!} = n +1$
$\Rightarrow B = 201$
Câu 6: Thông hiểu
Tìm số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $\left( x - \frac{2}{x} ight)^{n},$ biết $n$ là số tự nhiên thỏa mãn $C_{n}^{3} = \frac{4}{3}n + 2C_{n}^{2}$ .
- A.
  $134$ .
- B.
  $144$ .
- C.
  $115$ .
- D.
  $141$ .
Điều kiện : $n \geq 3,\ n \in \mathbb{Z}$ .

Ta có $C_{n}^{3} = \frac{4}{3}n +2C_{n}^{2} \Leftrightarrow \frac{n!}{3!(n - 3)!} = \frac{4}{3}n +\frac{n!}{(n - 2)!}$

$\Leftrightarrow n(n - 1)(n - 2) = 8n + 6n(n -1)$

$\Leftrightarrow n^{2} - 3n + 2 = 8 + 6n - 6 \Leftrightarrow n^{2} - 9n = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0 \\ n = 9 \\ \end{matrix} ight.$ . Đối chiếu điều kiện ta được $n = 9$ .

Số hạng tổng quát của khai triển $\left( x - \frac{2}{x} ight)^{9},$ là : $C_{9}^{k}x^{9 - k}.\frac{( - 2)^{k}}{x^{k}} = ( - 2)^{k}C_{9}^{k}x^{9 - 2k}$

Số hạng này chứa $x^{5}$ ứng với $9 - 2k = 5 \Leftrightarrow k = 2$ .

Vậy hệ số của số hạng đó là $4.C_{9}^{2} = 144$ .
Câu 7: Thông hiểu
Từ tập hợp các chữ số $1,2,8,6,7,5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau?
- A.
  $30$
- B.
  $11$
- C.
  $12$
- D.
  $38$
Gọi số tự nhiên có hai chữ số $\overline{ab};(a eq 0)$

Số cách chọn a là 6 cách

Số cách chọn b là 5 cách

Vậy số các số tự nhiên có thể tạo thành từ tập hợp các chữ số đã cho là $6.5 = 30$ số.
Câu 8: Vận dụng
Tìm hệ số của $x^{8}$ trong khai triển $\left( \frac{1}{x^{3}} + \sqrt{x^{5}} ight)^{n};\ (x > 0)$ biết $C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^{n} = 7(n + 3)$ là :
- A.
  1302.
- B.
  333.
- C.
  395.
- D.
  13689.
Điều kiện: $n\mathbb{\in N}$

Ta có :

$C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^{n} = 7(n + 3) \Leftrightarrow \frac{(n + 4)!}{(n + 1)!3!} - \frac{(n + 3)!}{n!3!} = 7(n + 3)$

$\Leftrightarrow \frac{(n + 4)(n + 3)(n + 2)}{6} - \frac{(n + 3)(n + 2)(n + 1)}{6} = 7(n + 3)$

$\Leftrightarrow 3n = 36 \Leftrightarrow n = 12$ .

Xét khai triển

$\left( \frac{1}{x^{3}} + \sqrt{x^{5}} ight)^{12} = \sum_{k = 0}^{12}{C_{12}^{k}\left( \frac{1}{x^{3}} ight)^{k}\left( \sqrt{x^{5}} ight)^{12 - k}}$ $\left( 0 \leq k \leq 12,\ k\mathbb{\in N} ight)$

$= \sum_{k = 0}^{12}{C_{12}^{k}x^{\frac{60 - 11k}{2}}}$ .

Để số hạng chứa $x^{8}$ thì $\frac{60 - 11k}{2} = 8 \Leftrightarrow k = 4$ .

Vậy hệ số chứa $x^{8}$ trong khai triển trên là $C_{12}^{4} = 495$ .
Câu 9: Vận dụng
Có 7 nam 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp, biết rằng 2 vị trí đầu và cuối là nam và không có 2 nữ nào đứng cạnh nhau?
- A.
  876540800.
- B.
  111409600.
- C.
  21500800.
- D.
  3628800.
Số cách chọn 2 nam đứng ở đầu và cuối là. $A_{7}^{2}$ . Lúc này còn lại 5 nam và 5 nữ, để đưa 10 người này vào hàng thì trước tiên sẽ cho 5 nam đứng riêng thành hàng ngang, số cách đứng là 5!. Sau đó lần lượt “nhét” 5 nữ vào các khoảng trống ở giữa hoặc đầu, hoặc cuối của hàng 5 nam này, mỗi khoảng trống chỉ “nhét” 1 nữ hoặc không “nhét”, có tất cả 6 khoảng trống nên số cách xếp vào là $A_{6}^{5}$ . Số cách xếp 10 người này thành hàng ngang mà 2 nữ bất kì không đứng cạnh nhau là. $5!.A_{6}^{5}$

Đưa 10 người này vào giữa 2 nam đầu và cuối đã chọn, số cách xếp là. $A_{7}^{2}.5!.A_{6}^{5} = 3628800$ .
Câu 10: Nhận biết
Cho tập hợp $M$ có $10$ phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của $M$ là:
- A.
  $C_{10}^{2}$ .
- B.
  $100$ .
- C.
  $A_{10}^{10}$ .
- D.
  $A_{10}^{2}$ .
Mỗi cách lấy ra $2$ phần tử trong $10$ phần tử của $M$ để tạo thành tập con gồm $2$ phần tử là một tổ hợp chập $2$ của $10$ phần tử $\Rightarrow$ Số tập con của $M$ gồm $2$ phần tử là $C_{10}^{2}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Số các số có $6$ chữ số khác nhau không bắt đầu bởi $12$ được lập từ $1;\ \ 2;\ \ 3;\ \ 4;\ \ 5;\ \ 6$ là:
- A.
  $820$ .
- B.
  $926$ .
- C.
  $696$ .
- D.
  $699$ .
Lập số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau, ta tìm được: $6!$ số.
Lập số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau nhưng bắt đầu bằng $12$ , ta tìm được: $4!$ số.
Vậy số các số có $6$ chữ số khác nhau không bắt đầu bởi $12$ là $6! - 4! = 696$ số.
Câu 12: Nhận biết
Giả sử có một công việc có thể tiến hành theo hai công đoạn M và N. Công đoạn M có a cách, công đoạn N có b cách. Khi đó công việc có thể thực hiện bằng:
- A.
  $\frac{1}{2}a.b$ cách
- B.
  $\frac{1}{2}(a + b)$ cách
- C.
  $a + b$ cách
- D.
  $a.b$ cách
Khi đó công việc có thể được thực hiện bằng $a.b$ (cách).
Câu 13: Nhận biết
Từ các chữ số $1;4;5;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
- A.
  $120$
- B.
  $425$
- C.
  $625$
- D.
  $358$
Có thể lập được $A_{5}^{4} = 120$ số nguyên dương n gồm bốn chữ số đôi một khác nhau.
Câu 14: Nhận biết
Từ các chữ số 1; 2; 3; 5; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau.
- A.
  36
- B.
  60
- C.
  120
- D.
  144
Gọi số cần lập có dạng $\overline {ABC}$ .
A: có 5 cách chọn.
B: có 4 cách chọn.
C: có 3 cách chọn.
Vậy có 5.4.3 = 60 (số) có 3 chữ số đôi một khác nhau.
Câu 15: Nhận biết
Tìm số hạng chứa $x^3$ trong khai triển $\left( x - \frac{1}{2x} ight)^{9}$ .
- A.
  $- \frac{1}{8}C_{9}^{3}x^{3}$ .
- B.
  $\frac{1}{3}C_{6}^{3} \cdot x^{3}$ .
- C.
  $C_{9}^{4} \cdot x^{3}$ .
- D.
  $C_{9}^{5}x^{5}$ .
Số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển là: $T_{k + 1} = C_{9}^{k}x^{9 - k} \cdot \left( - \frac{1}{2x} ight)^{k} = C_{9}^{k} \cdot \left( - \frac{1}{2} ight)^{k}x^{9 - 2}$ .

Số hạng chứa $x^{3}$ có giá trị $k$ thỏa mãn: $9 - 2k = 3 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển là: $- \frac{1}{8}C_{9}^{3}x^{3}$ .
Câu 16: Nhận biết
Một chiếc hộp chứ 5 quả cầu trắng và 6 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên đồng thời ba quả trong hộp, biết rằng các quả cầu có kích thước và khối lượng như nhau. Hỏi có bao nhiêu cách lấy được đồng thời 3 quả cầu?
- A.
  $154$
- B.
  $102$
- C.
  $165$
- D.
  $720$
Tổng số quả cầu trong hộp là 5 + 6 = 11

Mỗi cách lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu trong 11 quả cầu trong hộp là tổ hợp chập 3 của 11 phần tử

Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán là $C_{11}^{3} = 165$ (cách).
Câu 17: Vận dụng
Cho các số $1,2,3,4,5,6,7$ . Số các số tự nhiên gồm $5$ chữ số lấy từ $7$ chữ số trên sao cho chữ số đầu tiên bằng $3$ là:
- A.
  $7^{5}$ .
- B.
  $7!$ .
- C.
  $240$ .
- D.
  $2401$ .
Gọi số cần tìm có dạng: $\overline{abcde}$ .

Chọn $a$ : có 1 cách $(a = 3)$

Chọn $\overline{bcde}$ : có $7^{4}$ cách

Theo quy tắc nhân, có $1.7^{4} = 2401$ (số).
Câu 18: Nhận biết
Cho tập A gồm 5 phần tử. Số tập con có 3 phần tử của A là:
- A.
  5
- B.
  10
- C.
  15
- D.
  20
Số tập con có 3 phần tử từ tập 5 phần tử là: $C_5^3 = 10$ .
Câu 19: Thông hiểu
Tìm hệ số của $x^{3}$ trong khai triển $f(x) = (1 + x)^{3} + (1 + x)^{4} + (1 + x)^{5}$ thành đa thức?
- A.
  $16$
- B.
  $10$
- C.
  $14$
- D.
  $15$
Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(1 + x)^{3}$ là $x^{3}$

Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(1 + x)^{4}$ là $C_{4}^{3}x^{3} = 4x^{3}$

Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(1 + x)^{5}$ là $C_{5}^{3}x^{3} = 10x^{3}$

Do đó tổng các số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển đã cho là: $x^{3} + 4x^{3} + 10x^{3} = 15x^{3}$

Vậy hệ số cần tìm là $15$ .
Câu 20: Nhận biết
Tìm hệ số của $x^{2}y^{2}$ trong khai triển nhị thức Newton của $(x + 2y)^{4}$ ?
- A.
  $32$
- B.
  $8$
- C.
  $12$
- D.
  $16$
Số hạng tổng quát là: $C_{n}^{k}a^{k}b^{n - k} = C_{4}^{k}.x^{k}.(2y)^{2 - k} = C_{4}^{k}.2^{k}.x^{k}.y^{2 - k}$

Hệ số của $x^{2}y^{2}$ tìm được khi $k = 2$

Vậy hệ số của $x^{2}y^{2}$ trong khai triển là $C_{4}^{2}.2^{2} = 12$ .

103 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!