Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho tập hợp các chữ số $B = \left\{ 1,2,3,4,5 ight\}$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau là:
- A.
  $A_{5}^{3}$
- B.
  $C_{5}^{3}$
- C.
  $3^{5}$
- D.
  $3!$
Mỗi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập hợp B là chỉnh hợp chập 3 của 5 nghĩa.

Suy ra có thể lập được $A_{5}^{3}$ số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 2: Thông hiểu
Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển $(1 + 3x)^{2n}$ biết $A_{n}^{3} + 2A_{n}^{2} = 100$ .
- A.
  $61236$ .
- B.
  $63216$ .
- C.
  $61326$ .
- D.
  $66321$ .
Ta có: $A_{n}^{3} + 2A_{n}^{2} = 100 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 3)!} + 2\frac{n!}{(n - 2)!} = 100 \Leftrightarrow n(n - 1)(n - 2) + 2n(n - 1) = 100$

$\Leftrightarrow n^{3} - n^{2} - 100 = 0 \Leftrightarrow n = 5$ .

Ta có: $(1 + 3x)^{2n} = (1 + 3x)^{10} = \sum_{k = 0}^{10}{C_{10}^{k}(3x)^{k}}$ .

Hệ số $x^{5}$ sẽ là $C_{10}^{5}3^{5} = 61236$ .
Câu 3: Nhận biết
Trong khai triển $(x + 2y)^{5}$ số hạng chứa $x^{2}y^{3}$ là:
- A.
  $80x^{2}y^{3}$
- B.
  $40x^{2}y^{3}$
- C.
  $80$
- D.
  $10$
Ta có: $(x+2y)^5=$ ${x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^2} + 80{x^2}{y^3} + 80x{y^4} + 32{y^5}$ .
Vậy số hạng cần tìm là: $80x^{2}y^{3}$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton của $(2x - 3)^{5}$ bằng:
- A.
  $243$
- B.
  $- 1$
- C.
  $1054$
- D.
  $1$
Ta có:

$(2x - 3)^{5} = C_{5}^{0}(2x)^{5}.( - 3)^{0} + C_{5}^{1}.(2x)^{4}.( - 3)^{1}$

$+ ... + C_{5}^{4}.(2x)^{1}.( - 3)^{4} + C_{5}^{5}.(2x)^{0}.( - 3)^{5}$

$= C_{5}^{0}2^{5}.( - 3)^{0}.x^{5} + C_{5}^{1}.2^{4}.( - 3)^{1}.x^{4}$

$+ ... + C_{5}^{4}.2.( - 3)^{4}.x + C_{5}^{5}.( - 3)^{5}$

Cho $x = 1$ ta được:

$(2.1 - 3)^{5} = C_{5}^{0}2^{5}.( - 3)^{0}.1^{5} + C_{5}^{1}.2^{4}.( - 3)^{1}.1^{4} + ... + C_{5}^{4}.2.( - 3)^{4}.1 + C_{5}^{5}.( - 3)^{5} = - 1$

Vậy tổng hệ số trong khai triển đã cho bằng -1.
Câu 5: Vận dụng
Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả 3 khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
- A.
  $40$ .
- B.
  $500$ .
- C.
  $1000$ .
- D.
  $250$ .
TH1. Có đúng 1 học sinh khối 10: $5.1.C_{5}^{4} + 5.C_{5}^{4}.1 = 50$ (cách). (1 lớp 10 + 5 lớp 11 + 4 lớp 12 hoặc 1 lớp 10 + 5 lớp 12 + 4 lớp 11)

TH2. Có đúng 2 học sinh khối 10: $C_{5}^{2}.C_{5}^{3}.C_{5}^{5} + C_{5}^{2}.C_{5}^{4}.C_{5}^{4} + C_{5}^{2}.C_{5}^{5}.C_{5}^{3} = 450$ (cách).

$\Rightarrow$ Có $50 + 450 = 500$ cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
Câu 6: Nhận biết
Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó.
- A.
  90
- B.
  45
- C.
  1814400
- D.
  100
Số cách chọn hai học sinh từ 10 học sinh là chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử
=> Số cách chọn là: $A_{10}^2 = 90$ (cách)
Câu 7: Nhận biết
Cho hai dãy ghế được xếp như sau.

Xếp 4 bạn nam và 4 bạn nữ vào hai dãy ghế trên. Hai người được gọi là ngồi đối diện nhau nếu ngồi ở hai dãy và có cùng vị trí ghế (số ở ghế). Số cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ bằng bao nhiêu?
- A.
  $4!.4!.2^{4}$ . .
- B.
  $4!.5!$ .
- C.
  $4!.3$ .
- D.
  $4!.4!.3$ .
Xếp 4 bạn nam vào một dãy có $4!$ (cách xếp).

Xếp 4 bạn nữ vào một dãy có $4!$ (cách xếp).

Với mỗi một số ghế có 2 cách đổi vị trí cho bạn nam và bạn nữ ngồi đối diện nhau.

Số cách xếp theo yêu cầu là. $4!.4!.2^{4}$ (cách xếp).
Câu 8: Nhận biết
Hệ số của $x^{2}$ trong khai triển $(x + 1)^{5}$ là:
- A.
  10
- B.
  15
- C.
  30
- D.
  45
Ta có: ${(x + 1)^5} =$ ${x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1$ .
Hệ số của $x^2$ là 10.
Câu 9: Nhận biết
Một người có 7 áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cà vạt trong đó có 2 cà vạt vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn bộ áo và cà vạt nếu chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
- A.
  $12$
- B.
  $20$
- C.
  $35$
- D.
  $18$
Số cách chọn 1 một bộ áo và cà vạt là: $5.7 = 35$
Câu 10: Nhận biết
Cho tập hợp $E$ có 10 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có 8 phần tử của tập hợp $E$ ?
- A.
  120.
- B.
  88.
- C.
  45.
- D.
  89.
Mỗi tập con có 8 phần tử của tập hợp $E$ là một tổ hợp chập 8 của 10. Vậy số tập con có 8 phần tử của tập hợp $E$ là. $C_{10}^{8} = 45$ .
Câu 11: Vận dụng
Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức $\left( \sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5} ight)^{2019}$ ?
- A.
  133.
- B.
  333.
- C.
  135.
- D.
  234.
Ta có $\left( \sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5} ight)^{2019} = \sum_{k = 0}^{2019}{C_{2019}^{k}.\left( \sqrt[3]{3} ight)^{2019 - k}.\left( \sqrt[5]{5} ight)^{k}} = \sum_{k = 0}^{2019}{C_{2019}^{k}.3^{\frac{2019 - k}{3}}.5^{\frac{k}{5}}}$ .

Để trong khai triển có số hạng là số nguyên thì $\left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in N} \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ \frac{2019 - k}{3}\mathbb{\in N} \\ \frac{k}{5}\mathbb{\in N} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in N} \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ 673 - \frac{k}{3}\mathbb{\in N} \\ \frac{k}{5}\mathbb{\in N} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in N} \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ k \vdots 15 \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có $k \vdots 15 \Rightarrow k = 15m$ mà $0 \leq k \leq 2019 \Leftrightarrow 0 \leq 15m \leq 2019 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 134,6$ . Suy ra có $135$ số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức.
Câu 12: Nhận biết

Một lớp học có 33 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách giao 3 chức danh lớp trưởng, lớp phó, bí thư cho 3 sinh viên biết rằng mỗi sinh viên chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 chức danh và sinh viên nào cũng có thể đảm nhận chức danh?

Đáp án: 32736

Đáp án là:

Một lớp học có 33 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách giao 3 chức danh lớp trưởng, lớp phó, bí thư cho 3 sinh viên biết rằng mỗi sinh viên chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 chức danh và sinh viên nào cũng có thể đảm nhận chức danh?

Đáp án: 32736

Chọn 1 sinh viên làm lớp trưởng có 33 cách

Chọn 1 sinh viên làm lớp phó có 32 cách

Chọn 1 sinh viên làm bí thư có 31 cách

Có $33.32.31 = 32736$ cách
Câu 13: Nhận biết
Bạn Dũng có 9 quyển truyện tranh khác nhau và 6 quyển tiểu thuyết khác nhau. Bạn Dũng có bao nhiêu cách chọn ra một quyển sách để đọc vào cuối tuần.
- A.
  9
- B.
  6
- C.
  54
- D.
  15
Bạn Dũng có số cách chọn ra một quyển sách để đọc vào cuối tuần là 9 + 6 = 15 cách.
Câu 14: Thông hiểu
Từ tập hợp các chữ số $A = \left\{ 1,3,4,5,6,8,9 ight\}$ có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt số 1?
- A.
  $45$
- B.
  $56$
- C.
  $210$
- D.
  $90$
Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm có dạng $\overline{abc}$

TH1: $\overline{1bc}$ . Chọn b, c có 5.6 = 30 cách.

TH2: $\overline{a1c}$ . Chọn b, c có 5.6 = 30 cách.

TH3: $\overline{ab1}$ . Chọn b, c có 5.6 = 30 cách.

Vậy có thể lập được $30 + 30 + 30 = 90$ (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 15: Thông hiểu
Có bao nhiêu cách xếp 8 người vào một bàn tròn?
- A.
  720
- B.
  5040
- C.
  40320
- D.
  35280
Vì xếp vào bàn tròn nên vị trí xếp đầu tiên là như nhau nên có 1 cách xếp, ta xếp 7 người còn lại vào 7 vị trí nên có 7! cách xếp.
Vậy có 1.7! = 5040 cách xếp
Câu 16: Nhận biết
Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức $(2x - 3)^{2018}$ ?
- A.
  $2019$ .
- B.
  $2016$ .
- C.
  $2018$ .
- D.
  $1820$ .
Trong khai triển nhị thức $(a + b)^{n}$ thì số các số hạng là $n + 1$ nên trong khai triển $(2x - 3)^{2018}$ có $2019$ số hạng.
Câu 17: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Từ các phần tử của tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn?
- A.
  $26880$
- B.
  $37800$
- C.
  $34200$
- D.
  $27360$
Vì trong 6 chữ số khác nhau không có hai chữ số nào cùng chẵn nên có ít nhất 3 chữ số lẻ

TH1: Chọn 1 chữ số chẵn và 5 chữ số lẻ có: $4.6! + 5.5! = 3480$

TH2: Chọn 2 chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ có: $A_{5}^{4}.4.4.4 + A_{5}^{4}.6.A_{5}^{3} = 22080$

TH3: Chọn 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ có: $A_{5}^{3}.3.4.A_{4}^{2} + A_{5}^{3}.A_{5}^{3} = 12240$

Vậy số các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn là: $3480 + 22080 + 12240 = 37800$ (số).
Câu 18: Vận dụng
Cho $6$ chữ số $2,3,4,5,6,7$ số các số tự nhiên chẵn có $3$ chữ số lập thành từ $6$ chữ số đó:
- A.
  $36$ .
- B.
  $18$ .
- C.
  $256$ .
- D.
  $108$ .
Gọi số tự nhiên có $3$ chữ số cần tìm là: $\overline{abc},\ a eq 0$ , khi đó:

$c$ có $3$ cách chọn

$a$ có $6$ cách chọn

$b$ có $6$ cách chọn

Vậy có: $3.6.6 = 108$ số.
Câu 19: Nhận biết
Giá trị của $C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{n-1}-C_{n}^{n}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  n
- D.
  2n
Ta có:
$\begin{matrix} C_n^0 - C_n^1 + C_n^{n - 1} - C_n^n \hfill \\ = 1 - C_n^1 + C_n^1 - 1 = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 20: Thông hiểu
Bộ bài tây có 52 lá, trong đó có 4 con át. Rút ra 5 con. Hỏi có bao nhiêu cách để rút được các lá bài có nhiều nhất là hai con át?
- A.
  $1712304$
- B.
  $882096$
- C.
  $2490624$
- D.
  $2594400$
Th1: Lấy được 2 con át có $C_{4}^{2}.C_{48}^{3} = 103776$ cách

Th2: Lấy được 1 con át có $C_{4}^{1}.C_{48}^{4} = 778320$ cách

Th3: Không lấy được con át nào có $C_{48}^{5} = 1712304$ cách

Số cách rút 5 con trong đó có nhiều nhất 2 con át là:

103776 + 778320 + 1712304 = 2594400 cách.

104 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!