Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Số cách lấy một chiếc bút trong hộp gồm 4 chiếc bút bi và 6 chiếc bút máy bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $6$
- C.
  $10$
- D.
  $24$
Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách lấy một chiếc bút là:

$4 + 6 = 10$ cách.
Câu 2: Thông hiểu
Cho biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển $(1 + 2x)^{n}$ bằng $180$ . Tìm $n$ .
- A.
  $n = 12$ .
- B.
  $n = 14$ .
- C.
  $n = 8$ .
- D.
  $n = 10$ .
Ta có $(1 + 2x)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1}.2x + C_{n}^{2}.(2x)^{2} + ... + C_{n}^{n}(2x)^{n}$ .

Hệ số của $x^{2}$ bằng $180 \Leftrightarrow 4.C_{n}^{2} = 180 \Leftrightarrow 4\frac{n!}{2!(n - 2)!} = 180 \Leftrightarrow n(n - 1) = 90$

$\Leftrightarrow n^{2} - n - 90 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = - 9(l) \\ n = 10 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $n = 10$ .
Câu 3: Nhận biết
Bạn Công muốn mua một chiếc áo mới và một chiếc quần mới để đi dự sinh nhật bạn mình. Ở cửa hàng có 12 chiếc áo khác nhau, quần có 15 chiếc khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bộ quần và áo?
- A.
  27.
- B.
  180.
- C.
  12.
- D.
  15.
Số cách bạn Công chọn một chiếc áo mới là: 12 cách.

Số cách bạn Công chọn một chiếc quần mới là: 15 cách.

Theo quy tắc nhân, bạn Công có 12.15 = 180 cách để chọn một bộ quần và áo.
Câu 4: Nhận biết
Có tất cả bao nhiêu cách xếp $6$ quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách?
- A.
  $7!$ .
- B.
  $6^{6}$ .
- C.
  $6!$ .
- D.
  $6^{5}$ .
Mỗi cách sắp xếp $6$ quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách là một hoán vị của $6$ phần tử. Vậy số cách sáp xếp là $6!$ .
Câu 5: Thông hiểu
Trong phòng thi có hai dãy ghế đối diện nhau qua một cái bàn dài, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 nam sinh và 6 nữ sinh vào hai dãy ghế này. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho nam sinh và nữ sinh ngồi riêng dãy?
- A.
  $1128000$
- B.
  $518400$
- C.
  $1036800$
- D.
  $345600$
Giả sử gọi 2 dãy ghế là dãy A và dãy B.

Trường hợp 1: Các bạn nam ngồi dãy A, các bạn nữ ngồi dãy B

Số cách xếp là: $6!.6!$ cách.

Trường hợp 2: Các bạn nữ ngồi dãy A, các bạn nam ngồi dãy B

Số cách xếp là: $6!.6!$ cách.

Vậy số cách xếp là: $2.6!.6! = 1036800$ cách.
Câu 6: Thông hiểu
Tìm hệ số không chứa $x$ trong khai triển $\left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{n}$ , biết $n$ là sô nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 78$ .
- A.
  112640.
- B.
  112643.
- C.
  -112640.
- D.
  -112642.
$C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 78 \Leftrightarrow n + \frac{n(n - 1)}{2} = 78 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 12 \\ n = - 13(l) \\ \end{matrix} ight.$ .

$\left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{n} = \left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{12} = \sum_{k = 0}^{12}{C_{12}^{k}\left( x^{3} ight)^{12 - k}( - 2)^{k}\left( \frac{1}{x} ight)^{k} =}\sum_{k = 0}^{12}{C_{12}^{k}( - 2)^{k}x^{36 - 4k}}$ .

Số hạng không chứa $x$ ứng với $36 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 9$ là $C_{12}^{9}( - 2)^{9} = - 112640$ .
Câu 7: Thông hiểu
Hỏi có bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và là số lẻ.
- A.
  2230
- B.
  2240
- C.
  5220
- D.
  2260
Gọi số cần lập có dạng: $\overline {ABCD}$ .
D: có 5 cách chọn (1,3,5,7)
A: có 8 cách chọn (khác D và khác 0)
B: có 8 cách chọn (khác D và khác 0)
C: có 7 cách chọn (khác A,B,D)
Vậy có 5.8.8.7 = 2240 (số) có 4 chữ số đôi một khác nhau và là số lẻ.
Câu 8: Vận dụng
Trong khai triển của $\left( x^{\frac{1}{15}}y^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{5}} ight)^{2019}$ , số hạng mà lũy thừa của $x$ và $y$ bằng nhau là số hạng thứ bao nhiêu của khai triển?
- A.
  1343.
- B.
  1147.
- C.
  1247.
- D.
  1347.
Ta có số hạng thứ $k + 1$ là : $C_{2019}^{k}\left( x^{\frac{1}{15}}y^{\frac{1}{3}} ight)^{2019 - k}\left( x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{5}} ight)^{k} = C_{2019}^{k}x^{\frac{2019}{15} + \frac{4}{15}k}y^{\frac{2019}{3} - \frac{2}{15}k}$

Theo đề bài ta có; $\frac{2019}{15} + \frac{4}{15}k = \frac{2019}{3} - \frac{2}{15}k \Leftrightarrow k = 1346$

Vậy số hạng thỏa yêu cầu bài toán là số hạng thứ $1347$ .
Câu 9: Vận dụng
Từ $20$ người cần chọn ra một đoàn đại biểu gồm $1$ trưởng đoàn, $1$ phó đoàn, $1$ thư kí và $3$ ủy viên. Số cách chọn thỏa mãn là:
- A.
  $4651200.$
- B.
  $6541300.$
- C.
  $4301400.$
- D.
  $3301500.$
Số cách chọn $1$ người trong $20$ người làm trưởng đoàn là. $C_{20}^{1}$ cách.

Số cách chọn $1$ người trong $19$ người còn lại làm phó đoàn là. $C_{19}^{1}$ cách.

Số cách chọn $1$ người trong $18$ người còn lại làm thư kí là. $C_{18}^{1}$ cách.

Số cách chọn $3$ người trong $17$ người còn lại làm ủy viên là. $C_{17}^{3}$ cách.

Vậy số cách chọn đoàn đại biểu là $C_{20}^{1} \times C_{19}^{1} \times C_{18}^{1} \times C_{17}^{3} = 4651200$ .
Câu 10: Nhận biết
Khai triển biểu thức $(a + 2b)^{5}$ ta thu được kết quả là:
- A.
  $a^{5}+10a^{4}b+40a^{3}b^{2}+80a^{2}b^{3}+80ab^{4}+32b^{5}$
- B.
  $a^{5}-10a^{4}b-40a^{3}b^{2}-80a^{2}b^{3}-80ab^{4}-32b^{5}$
- C.
  $a^{5}+20a^{4}b+30a^{3}b^{2}+80a^{2}b^{3}+80ab^{4}+32b^{5}$
- D.
  $a^{5}+10a^{4}b+40a^{3}b^{2}+60a^{2}b^{3}+60ab^{4}+32b^{5}$
Ta có: $(a + 2b)^{5} =$ $a^{5}+10a^{4}b+40a^{3}b^{2}+80a^{2}b^{3}+80ab^{4}+32b^{5}$ .
Câu 11: Nhận biết
Trong khai triển nhị thức Newton $(3x - 2)^{5}$ , hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ bằng:
- A.
  $1080x^{3}$
- B.
  $- 1080x^{3}$
- C.
  $- 1080$
- D.
  $1080$
Hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(3x - 2)^{5}$ là: $C_{5}^{3}.3^{3}.( - 2)^{2} = 1080$ .
Câu 12: Nhận biết
Một học sinh có 12 quyển sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 sách Toán, 4 sách Văn, 6 sách Anh Văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các quyển sách lên một kệ sách dài nếu mọi quyển sách cùng môn được xếp kề nhau?
- A.
  $366$
- B.
  $240$
- C.
  $720$
- D.
  $144$
Có 3! = 6 cách xếp 3 loại sách.

Có 2! = 2 cách xếp 2 sách Toán.

Có 4! = 24 cách xếp 4 sách Văn.

Vậy theo qui tắc nhân có tất cả 6.2.24 = 720 cách xếp thoả mãn yêu cầu đề bài
Câu 13: Nhận biết
Số cách chọn một học sinh trong nhóm gồm 5 nữ và 4 nam là:
- A.
  $9$
- B.
  $20$
- C.
  $120$
- D.
  $64$
Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách chọn một học sinh là: 5 + 4 = 9 cách.
Câu 14: Vận dụng
Trong một tuần, bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong $12$ người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (Có thể thăm một bạn nhiều lần).
- A.
  $7!$ .
- B.
  $35831808$ .
- C.
  $12!$ .
- D.
  $3991680$ .
Thứ 2: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Thứ 3: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Thứ 4: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Thứ 5: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Thứ 6: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Thứ 7: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Chủ nhật: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Vậy theo quy tắc nhân, có $12^{7} = 35831808$ (kế hoạch).
Câu 15: Nhận biết
Tìm hệ số $h$ của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $\left( x^{2} + \frac{2}{x} ight)^{7}$ .
- A.
  $h = 184$ .
- B.
  $h = 762$ .
- C.
  $h = 650$ .
- D.
  $h = 280$ .
Ta có: $\left( x^{2} + \frac{2}{x} ight)^{7} = {\sum_{k = 0}^{7}{C_{7}^{k}\left( x^{2} ight)^{k}\left( \frac{2}{x} ight)}}^{7 - k} = \sum_{k = 0}^{7}{C_{7}^{k}.2^{7 - k}.x^{3k - 7}}$

Ta có: $3k - 7 = 5$ , suy ra $k = 4.$

Vậy hệ số $h$ của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $\left( x^{2} + \frac{2}{x} ight)^{7}$ là $h = C_{7}^{4}.2^{3} = 280.$
Câu 16: Thông hiểu
Có bao nhiêu giá trị của n thỏa mãn phương trình $\frac{10P_{n - 1}}{P_{n + 1}} - 4 = \frac{2}{n + 1}$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $0$
- D.
  $3$
Điều kiện $n\mathbb{\in N};n \geq 1$

Ta có:

$\frac{10P_{n - 1}}{P_{n + 1}} - 4 = \frac{2}{n + 1}$

$\Leftrightarrow \frac{10(n - 1)(n - 2)...2.1}{(n + 1)n(n - 1)(n - 2)...2.1} - 4 = \frac{2}{n + 1}$

$\Leftrightarrow \frac{10}{(n + 1).n} - 4 = \frac{2}{n + 1}$

$\Leftrightarrow 10 - 4(n + 1).n - 2n = 0$

$\Leftrightarrow - 4n^{2} - 6n + 10 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}n = 1(tm) \ = - \dfrac{5}{2}(ktm) \\\end{matrix} ight.$

Vậy phương trình chỉ có một giá trị của n thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 17: Nhận biết
Từ các chữ số $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $5$ chữ số đôi một khác nhau?
- A.
  $120$ .
- B.
  $520$ .
- C.
  $20$ .
- D.
  $32$ .
Mỗi số tự nhiên gồm $5$ chữ số khác nhau được lập từ các số $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ là một hoán vị của $5$ phần tử đó. Nên số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là $P_{5} = 5!$ $= 120$ (số).
Câu 18: Thông hiểu
Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, …, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1?
- A.
  $20160$
- B.
  $42000$
- C.
  $33600$
- D.
  $58800$
Gọi số cần lập có dạng $n = \overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}};\left( a_{1} eq 0 ight)$

Bước 1: Xếp chữ số 0 vào trong 5 vị trí từ $a_{2}$ đến $a_{6}$ , có 5 cách xếp.

Bước 2: Xếp chữ số 1 vào trong 5 vị trí còn lại (bỏ 1 vị trí chữ số 0 đã chọn), có 5 cách xếp.

Bước 3: Chọn 4 chữ số trong 8 chữ số {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} để xếp vào 4 vị trí còn lại, có 8.7.6.5 cách.

⇒ Theo quy tắc nhân có $5.5.8.7.6.5 = 42000$ số thỏa yêu cầu.
Câu 19: Vận dụng
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ các chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chứa chữ số 2 và chia hết cho 5?
- A.
  19.
- B.
  32.
- C.
  42.
- D.
  23.
Giả sử số đó là $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}}$

Trường hợp 1. $a_{3} = 0$ xếp 2 vào có 2 vị trí, chọn số xếp vào vị trí còn lại có 6 cách nên có 2.6 = 12 số thỏa mãn.

Trường hợp 2. $a_{3} = 5$ . Với $a_{1} = 2$ chọn $a_{2}$ có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn. Với $a_{1} eq 2$ chọn $a_{1}$ có 5 cách chọn, và tất nhiên $a_{2} = 2$ nên có 5 số thỏa mãn. Do đó có $12 + 6 + 5 = 23$ số thỏa mãn.
Câu 20: Nhận biết
Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng $\overline{abc}$ với $a$ , $b$ , $c \in\left\{ 0;1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\}$ sao cho $a < b < c$ .
- A.
  $220$ .
- B.
  $60$ .
- C.
  $80$ .
- D.
  $20$ .
Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng $\overline{abc}$ với $a$ , $b$ , $c \in\left\{ 0;1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\}$ sao cho $a < b < c$ nên $a$ , $b$ , $c \in\left\{ 1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\}$ . Suy ra số các số có dạng $\overline{abc}$ là $C_{6}^{3} = 20$ .

85 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!