Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Sắp xếp 5 bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Đếm số cách sắp xếp thỏa mãn bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau?
- A.
  $36$ .
- B.
  $72$ ..
- C.
  $24$ .
- D.
  $38$ .
+) Xếp $5$ bạn vào $5$ chỗ ngồi có $5!$ cách.

+) Xếp An và Dũng ngồi cạnh nhau có $2$ cách. Xem An và Dũng là $1$ phần tử cùng với $3$ bạn còn lại là $4$ phần tử xếp vào $4$ chỗ. Suy ra số cách xếp $5$ bạn sao cho An và Dũng luôn ngồi cạnh nhau là. $2.4!$ cách.

Vậy số cách xếp $5$ bạn vào $5$ ghế sao cho An và Dũng không ngồi cạnh nhau là.

$5!–2.4! = 72$ .
Câu 2: Thông hiểu
Có 3 người đàn ông, 2 người đàn bà và 1 đứa trẻ được xếp ngồi vào 6 cái ghế xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà?
- A.
  $36$
- B.
  $48$
- C.
  $40$
- D.
  $28$
Ta đánh số thứ tự cho 6 chiếc ghế từ số 1 đến số 6

Ta thực hiện việc xếp 6 người vào 6 chiếc ghế sao cho đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà như sau:

Xếp đứa trẻ ngồi vào 1 trong các ghế có số thứ tự từ 2 đến 5 có 4 cách.

Xếp hai người đàn bà vào 2 ghế bên cạnh đứa trẻ có 2 cách.

Xếp 3 người đàn ông vào 3 ghế còn lại: có 3! cách.

Áp dụng quy tắc nhân, có tất cả: $4.2.6 = 48$ cách.
Câu 3: Thông hiểu
Xếp $6$ chữ số $1$ , $1$ , $2$ , $2$ , $3$ , $4$ thành hàng ngang sao cho hai chữ số giống nhau thì không xếp cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy?
- A.
  $140$ cách.
- B.
  $100$ cách.
- C.
  $160$ cách.
- D.
  $84$ cách.
Số cách xếp sáu chữ số thành hàng một cách tùy ý là $\frac{6!}{2!.2!} = 180$ .
*) Tìm số cách xếp sáu chữ số sao cho có hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau
+) TH1: Số cách xếp sao cho có hai chữ số $1$ đứng cạnh nhau $5.\frac{4!}{2!} = 60$ .
+) TH2: Số cách xếp sao cho có hai chữ số $2$ đứng cạnh nhau $5.\frac{4!}{2!} = 60$ .
+) TH3: Số cách xếp sao cho có hai chữ số $1$ đứng cạnh nhau và hai chữ số $2$ đứng cạnh nhau
-) Nếu hai chữ số $1$ ở vị trí $(1;2)$ và $(5;6)$ ta có số cách xếp là $2.3.2 = 12$ .
-) Nếu hai chữ số $1$ ở ba vị trí còn lại thì số các xếp là $3.2.2 =12$ .
Vậy số cách xếp hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau là $60 + 60 - 12 - 12 = 96$ .
$\Rightarrow$ Số cách xếp không có hai chữ số giống nhau nào đứng cạnh nhau là $180 - 96 = 84$ .
Câu 4: Nhận biết
Số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $(x - 2)^{5}$ là:
- A.
  $- 32x^{5}$
- B.
  $x^{5}$
- C.
  $5x^{5}$
- D.
  $1$
Công thức số hạng tổng quát: $C_{5}^{k}.x^{k}.( - 2)^{5 - k} \Rightarrow k = 5$ ta được số hạng chứa $x^{5}$ là: $x^{5}$
Câu 5: Nhận biết
Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ một hộp có 20 viên bi.
- A.
  $A_{20}^3$
- B.
  $P_3$
- C.
  $C_{20}^3$
- D.
  $C_{20}^4$
Chọn 3 viên bi từ 20 viên bi: $C_{20}^3$ cách.
Câu 6: Nhận biết
Khai triển $(x + 3y)^{4}$ thành đa thức ta được biểu thức gồm mấy số hạng?
- A.
  $3$
- B.
  $4$
- C.
  $5$
- D.
  $6$
Biểu thức $(x + 3y)^{4}$ khai triển thành đa thức có 5 hạng tử.
Câu 7: Thông hiểu
Câu lạc bộ cầu lông gồm 12 tay vợt nam và 9 tay vợt nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội đôi nam nữ từ câu lạc bộ để tham gia giải đấu giao lưu các trường?
- A.
  $108$
- B.
  $25$
- C.
  $C_{21}^{2}$
- D.
  $A_{21}^{2}$
Có 12 cách chọn 1 tay vợt nam

Ứng với mỗi cách chọn 1 tay vợt nam ta có 9 cách chọn một tay vợt nữ

Theo quy tắc nhân ta có: 9.12 = 108 cách chọn một đôi nam nữ tham gia giải đấu.
Câu 8: Nhận biết
An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con

đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn

đường đi đến nhà Cường cùng Bình (như hình vẽ dưới đây và không có con đường nào khác)?
- A.
  24.
- B.
  10.
- C.
  16.
- D.
  36.
Chọn đường đi từ nhà An đến nhà Bình có 4 cách chọn.

Chọn đường đi từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có 4.6 = 24 cách cho An chọn đường đi đến nhà Cường cùng Bình.
Câu 9: Vận dụng
Từ các số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số chia hết cho 5?
- A.
  360
- B.
  120
- C.
  480
- D.
  347
Vì $x$ chia hết cho 5 nên $d$ chỉ có thể là 5 $\Rightarrow$ có 1 cách chọn d.

Có 6 cách , 5 cách chọn b và 4 cách chọn c.

Vậy có $1.6.5.4 = 120$ số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 10: Nhận biết
Bộ bài tây có 52 lá, trong đó có 4 con át. Rút ra 5 con. Hỏi có bao nhiêu cách để rút được 2 con át?
- A.
  $103776$
- B.
  $194580$
- C.
  $248576$
- D.
  $203684$
Số cách lấy 5 con trong đó có 2 con át là: $C_{4}^{2}.C_{48}^{3} = 103776$ .
Câu 11: Nhận biết
Để giải một bài tập ta cần phải giải hai bài tập nhỏ. Bài tập 1 có 9 cách giải, bài tập 2 có 5 cách giải. Số các cách để giải hoàn thành bài tập trên là:
- A.
  3.
- B.
  45.
- C.
  5.
- D.
  12.
Sô cách giải bài toán 1 : 9 cách.

Số cách giải bài toán 2 : 5 cách.

Áp dụng quy tắc nhân: 9 × 5 = 45 cách.
Câu 12: Vận dụng
Cho tập $B = \left\{ 0;1;2;4;5;7 ight\}$ . Hỏi từ B lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
- A.
  804.
- B.
  291.
- C.
  630.
- D.
  288.
Gọi số cần tìm là số dạng $\overline{abcde}$ . Vì $\overline{abcde}$ chia hết cho 3 suy ra $a + b + c + d + e \vdots 3$ .

Khi đó bộ $(a,b,c,d,e) = \left\{ (0;1;2;4;5),(0;2;4;5;7),(0;1;2;5;7) ight\}$ .

Với bộ $(a,b,c,d,e) = (0;1;2;4;5)$ suy ra có $4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96$ số cần tìm.

Tương tự với các bộ số còn lại.
Câu 13: Thông hiểu
Cho hai đường thẳng $(d)$ gồm $5$ điểm phân biệt và $(d')$ gồm $7$ điểm phân biệt. Biết rằng $(d)//(d')$ . Số tam giác có ba đỉnh được tạo thành từ các điểm trên hai đường thẳng đã cho?
- A.
  $20$ tam giác
- B.
  $45$ tam giác
- C.
  $115$ tam giác
- D.
  $175$ tam giác
Một tam giác được hình thành bởi ba điểm không thẳng hàng.

TH1: 1 đỉnh thuộc đường thẳng (d) và 2 đỉnh thuộc đường thẳng (d’)

Số tam giác được tạo thành là: $C_{5}^{1}.C_{7}^{2}$ (tam giác)

TH2: 2 đỉnh thuộc đường thẳng (d) và 1 đỉnh thuộc đường thẳng (d’)

Số tam giác được tạo thành là: $C_{5}^{2}.C_{7}^{1}$ (tam giác)

Vậy số tam giác được tạo thành là $C_{5}^{1}.C_{7}^{2} + C_{5}^{2}.C_{7}^{1} = 175$ .
Câu 14: Nhận biết
Bộ bài tây có 52 lá, trong đó có 4 con át. Rút ra 5 con. Hỏi có bao nhiêu cách để rút được các lá bài trong đó có 1 con át và một con vua?
- A.
  $211904$
- B.
  $186543$
- C.
  $236450$
- D.
  $203684$
Số cách lấy 5 con trong đó có 1 con át và 1 con vua là $C_{4}^{1}C_{4}^{1}.C_{44}^{3} = 211904$ .
Câu 15: Nhận biết
Thực hiện khai triển nhị thức Newton $(x + 2y)^{5}$ ta được kết quả là:
- A.
  $x^{5} + 10x^{4}y + 40x^{3}y^{2} + 40x^{2}y^{3} + 10xy^{4} + 2y^{5}$
- B.
  $x^{5} + 10x^{4}y + 20x^{3}y^{2} + 20x^{2}y^{3} + 10xy^{4} + 2y^{5}$
- C.
  $x^{5} + 10x^{4}y + 40x^{3}y^{2} + 80x^{2}y^{3} + 40xy^{4} + 32y^{5}$
- D.
  $x^{5} + 10x^{4}y + 40x^{3}y^{2} + 80x^{2}y^{3} + 80xy^{4} + 32y^{5}$
Ta có:

$(x + 2y)^{5} = x^{5} + 10x^{4}y + 40x^{3}y^{2} + 80x^{2}y^{3} + 80xy^{4} + 32y^{5}$
Câu 16: Vận dụng
Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả 3 khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
- A.
  $40$ .
- B.
  $500$ .
- C.
  $1000$ .
- D.
  $250$ .
TH1. Có đúng 1 học sinh khối 10: $5.1.C_{5}^{4} + 5.C_{5}^{4}.1 = 50$ (cách). (1 lớp 10 + 5 lớp 11 + 4 lớp 12 hoặc 1 lớp 10 + 5 lớp 12 + 4 lớp 11)

TH2. Có đúng 2 học sinh khối 10: $C_{5}^{2}.C_{5}^{3}.C_{5}^{5} + C_{5}^{2}.C_{5}^{4}.C_{5}^{4} + C_{5}^{2}.C_{5}^{5}.C_{5}^{3} = 450$ (cách).

$\Rightarrow$ Có $50 + 450 = 500$ cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
Câu 17: Vận dụng
Cho khai triển $(1 - 2x)^{n} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ... + a_{n}x^{n}$ . Tìm hệ số $a_{5}$ biết rằng $a_{0} + a_{1} + a_{2} = 71.$
- A.
  -672.
- B.
  673.
- C.
  622.
- D.
  -688.
Ta có $(1 - 2x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}{C_{n}^{k}( - 2x)^{k}}$ . Vậy $a_{0} = 1$ ; $a_{1} = - 2C_{n}^{1}$ ; $a_{2} = 4C_{n}^{2}$ .

Theo bài ra $a_{0} + a_{1} + a_{2} = 71$ nên ta có:

$1 - 2C_{n}^{1} + 4C_{n}^{2} = 71 \Leftrightarrow 1 - 2\frac{n!}{1!(n - 1)!} + 4\frac{n!}{2!(n - 2)!} = 71 \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n(n - 1) = 71 \Leftrightarrow 2n^{2} - 4n - 70 = 0 \Leftrightarrow n^{2} - 2n - 35 = 0 \Leftrightarrow n = 7$ (thỏa mãn) hoặc $n = - 5$ (loại).

Từ đó ta có $a_{5} = C_{7}^{5}( - 2)^{5} = - 672$ .
Câu 18: Nhận biết
Trong menu của một nhà hàng gồm 5 món mặn, 5 món tráng miệng và 3 loại nước uống. Thực khách đến ăn sẽ được lên thực đơn gồm 1 món mặn, 1 món tráng miệng và 1 loại nước uống. Số thực đơn có thể có là:
- A.
  $25$
- B.
  $75$
- C.
  $100$
- D.
  $82$
Chọn món mặn có 5 cách chọn.

Số cách chọn món tráng miệng là 5 cách.

Số cách chọn một loại nước uống là 3 cách.

Theo quy tắc nhân ta có: $5.5.3 = 75$ (cách).
Câu 19: Thông hiểu
Biến đổi biểu thức $\left( 2 + \sqrt{3} ight)^{5} - \left( 2 - \sqrt{3} ight)^{4}$ dưới dạng $a + b\sqrt{3};\left( a,b\mathbb{\in Z} ight)$ . Tính giá trị biểu thức $M = a - 2b + 500$ ?
- A.
  $225$
- B.
  $255$
- C.
  $245$
- D.
  $235$
Ta có:

$\left( 2 + \sqrt{3} ight)^{5} - \left( 2 - \sqrt{3} ight)^{4} = 265 - 265\sqrt{3}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 265 \\ b = 265 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M = 235$
Câu 20: Thông hiểu
Tổng hệ số của $x^{3}$ và $x^{2}$ trong khai triển $(1 + 2x)^{4}$ là:
- A.
  24
- B.
  56
- C.
  20
- D.
  54
Ta có: $(1+2x)^4=16{x^4} + 32{x^3} + 24{x^2} + 8x + 1$ .
Tổng hệ số của $x^3$ và $x^2$ bằng $32+24=56$ .

85 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!