Khai triển biểu thức
ta thu được kết quả là:
Ta có: .
Khai triển biểu thức
ta thu được kết quả là:
Ta có: .
Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác có 3 người, cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách?
Trường hợp 1: 2 nhà toán học nữ và 1 nhà vật lý nam có cách
Trường hợp 2: 1 nhà toán học nữ và 2 nhà vật lý nam có cách
Trường hợp 3: 1 nhà toán học nữ, 1 nhà toán học nam và 1 nhà vật lý nam có cách
Theo quy tắc cộng có: cách lập.
Phát biểu nào sau đây đúng?
Phát biểu đúng là:
An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường?
Từ nhà An đến nhà Bình có 4 cách chọn đường.
Từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách chọn đường.
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn đường đi từ nhà An đến nhà Cường là: 4.6 = 24 (cách).
Thực hiện khai triển nhị thức Newton
ta được kết quả là:
Ta có:
Cho các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 7; 9. Từ các chữ số này, ta lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 10 và nhỏ hơn 5430?
Gọi số cần tìm có dạng . Vì
chia hết cho 10 suy ra
.
TH1. Với , ta có
+ Nếu suy ra
, do đó có 2 số cần tìm.
+ Nếu suy ra
và
, do đó có 14 số cần tìm.
TH2. Với suy ra có 2 cách chọn a, 7 cách chọn b, 7 cách chọn
C.
Suy ra có số cần tìm. Vậy có tất cả 114 số cần tìm.
Từ các số
,
,
,
,
. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
chữ số khác nhau đôi một?
Mỗi cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một hoán vị của 5 phần tử.
Vậy có số cần tìm.
Trong một cuốc thi hùng biện, ban tổ chức đã công bố danh sách các chủ đề cho thí sinh gồm 8 chủ đề về lịch sử, 7 chủ đề môi trường, 10 chủ đề về con người và 6 chủ đề về văn hóa. Mỗi thí sinh tham gia thi chỉ được thi với 1 chủ đề. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn chủ đề?
Số cách chọn chủ đề thi của mỗi thí sinh là: 8 + 7 + 10 + 6 = 31.
Có bao nhiêu cách xếp 6 người thành một hàng dọc
Xếp 6 người thành một hàng dọc có: 6! = 720 cách.
Từ các chữ số
,
,
,
,
,
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có
chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị?
Gọi là số cần tìm
Ta có và
Với thì
hoặc
Với thì
hoặc
Với thì
hoặc
Mỗi trường hợp có số thỏa mãn yêu cầu
Vậy có tất cả số cần tìm.
Tìm số hạng chứa
trong khai triển
biết
là số tự nhiên thỏa mãn
.
Điều kiện : .
Ta có
. Đối chiếu điều kiện ta được
.
Số hạng tổng quát của khai triển là :
Số hạng này chứa ứng với
.
Vậy hệ số của số hạng đó là .
Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ một hộp có 20 viên bi.
Chọn 3 viên bi từ 20 viên bi: cách.
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho năm người gồm 3 nam và 2 nữ vào năm cái ghế xếp thành một dãy nếu hai nữ luôn luôn ngồi kề nhau?
Coi 2 nữ là một phần tử A
Xếp phần tử A và 3 nam vào dãy có 4! cách.
Hoán đổi vị trí 2 nữ trong phần tử A có 2! cách.
Do đó có cách.
Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau từ tập hợp
và không vượt quá
?
TH1: Số cần tìm có dạng
Chữ số d có 7 cách chọn là một trong các chữ số .
Suy ra có 7 số thỏa mãn.
TH2: Số cần tìm có dạng
3 vị trí còn lại có cách chọn
Suy ra có 504 số thỏa mãn
Kết hợp cả hai trường hợp ta có: 504 + 7 = 511 số được tạo thành thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho tập
. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.
Gọi là số số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.
+ TH1. . Chọn
có 360 số.
+ TH2. Chọn
3 (cách).
Chọn 5 (cách).
Chọn
(cách).
có
số.
Vậy có. số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.
Với
là số nguyên dương thỏa mãn
, hệ số của
trong khai triển của biểu thức bằng
.
Giải phương trình .
Điều kiện .
Ta có: .
Vậy .
Ta có: .
Hệ số của trong khai triển bằng 0.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm
chữ số lớn hơn
và đôi một khác nhau?
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng .
Khi đó: có 5 cách chọn,
có 4 cách chọn,
có 3 cách chọn,
có 2 cách chọn,
có 1 cách chọn.
Nên có tất cảsố.
Nam muốn qua nhà Hải để cùng Hải đến chơi nhà Cường. Từ nhà Nam đến nhà Hải có 4 con đường đi, từ nhà Hải đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường cùng Hải?
Từ nhà Nam đến nhà Hải có 4 con đường.
Từ nhà Hải đến nhà Cường có 6 con đường.
Áp dụng quy tắc nhân, có 4.6 = 24 cách đi từ nhà Nam đến nhà Cường (đi qua nhà Hải).
Cho hai đường thẳng
gồm
điểm phân biệt và
gồm
điểm phân biệt. Biết rằng
. Số tam giác có ba đỉnh được tạo thành từ các điểm trên hai đường thẳng đã cho?
Một tam giác được hình thành bởi ba điểm không thẳng hàng.
TH1: 1 đỉnh thuộc đường thẳng (d) và 2 đỉnh thuộc đường thẳng (d’)
Số tam giác được tạo thành là: (tam giác)
TH2: 2 đỉnh thuộc đường thẳng (d) và 1 đỉnh thuộc đường thẳng (d’)
Số tam giác được tạo thành là: (tam giác)
Vậy số tam giác được tạo thành là .
Hệ số của
trong khai triển
bằng:
Ta có:
Hệ số của x3 trong khai triển là:
=> Hệ số của trong khai triển
bằng: 3 + 10 = 13