Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Người ta muốn chọn một ban điều hành gồm 3 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ban điều hành có ít nhất 1 nam?
Chọn ban điều hành gồm 3 học sinh không có học sinh nam nào có cách
Số cách chọn ban điều hành gồm 3 học sinh có ít nhất 1 nam có: cách.
Giá trị của 
thoả mãn phương trình là:
Điều kiện: .
Thay vào phương trình, ta được:
(2 vế bằng nhau). Do đó
là nghiệm của phương trình.
Tìm số hạng chứa trong khai triển .
Ta có khai triển: .
Số hạng tổng quát trong khai triển:
Số hạng chứa ứng với:
Vậy số hạng chứa là:
.
Từ 5 chữ số 1, 2, 5, 7, 8 có thể lập bao nhiêu số chẵn gồm 3 chữ số phân biệt và nhỏ hơn hoặc bằng 278?
Gọi số cần tìm có dạng
Trường hợp 1: . Có 1 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp2:
a có 1 cách chọn.
c có 1 cách chọn.
b có 2 cách chọn.
⇒ Theo quy tắc nhân ta có: (số).
Trường hợp 3:
a có 1 cách chọn.
c có 2 cách chọn.
b có 3 cách chọn.
⇒ Theo quy tắc nhân ta có: (số).
Vậy có: (số).
Một người vào một cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn 1 món ăn trong 5 món khác nhau, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng khác nhau, 1 loại đồ uống trong 3 loại đồ uống khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn một thực đơn?
Người đó chọn 1 món ăn trong 5 món khác nhau có 5 cách.
Người đó chọn 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng khác nhau có 5 cách.
Người đó chọn 1 loại đồ uống trong 3 loại đồ uống khác nhau có 3 cách.
Áp dụng quy tắc nhân ta có 5.5.3 = 75cách.
Từ các chữ số , có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n trong đó n gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng 56 hoặc 65.
Gọi là số thỏa yêu cầu bài toán.
Chọn có: 2 cách.
Chọn có: 7 cách.
Chọn có: 6 cách.
Theo quy tắc nhân có: số.
Hệ số của trong khai triển thành đa thức của bằng bao nhiêu? Cho biết n là số tự nhiên thỏa mãn: .
Ta có
Thay vào
:
Thay vào
:
Phương trình trừ
theo vế:
.
Theo đề ta có
Số hạng tổng quát của khai triển :
Theo giả thiết ta có .
Vậy hệ số cần tìm .
Cho tập A có n phần tử (n ∈ ℕ, n ≥ 2), k là số nguyên thỏa mãn 1 ≤ k ≤ n. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử trên là:
Số các chỉnh hợp chập của
phần tử là
.
Cho là số thực dương, số hạng không chứa trong khai triển nhị thức là:
Ta có
Số hạng tổng quát thứ trong khai triển là
.
Số hạng này không chứa tương ứng với trường hợp
.
Vậy số hạng không chứa trong khai triển là
.
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi là
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế là: 5! =120 (cách).
Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để 2 học sinh nam xen giữa 3 học sinh nữ? (Biết rằng cứ đổi 2 học sinh bất kì được cách mới)
Xếp cố định 3 học sinh nữ vào hàng trước, có 3! cách xếp. Chọn 2 học sinh nam bất kì cho vào 2 khoảng trống nằm giữa 2 học sinh nữ, số cách chọn là . Xem nhóm 5 học sinh này là 1 học sinh, lúc này còn 3 học sinh nam vậy là ta đang có 4 học sinh. Số cách xếp 4 học sinh này thành hàng dọc là 4!. Vậy số cách xếp cần tìm là.
.
Có 10 quyển sách Toán, 8 quyển sách Lí, 5 quyển sách Văn. Cần chọn ra 8 quyển có ở cả ba môn sao cho số quyển Toán ít nhất là bốn và số quyển Văn nhiều nhất là hai. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Chọn 4 Toán, 2 Văn, 2 Lí có cách.
Chọn 4 Toán, 1 Văn, 3 Lí có cách.
Chọn 5 Toán, 2 Văn, 1 Lí có cách.
Chọn 5 Toán, 1 Văn, 2 Lí có cách.
Chọn 6 Toán, 1 Văn, 1 Lí có cách.
Tổng lại ta được 181440 cách thỏa mãn.
Tìm số tự nhiên thỏa
Điều kiện: .
Ta có:
Vậy .
Cho đa giác đều có đỉnh. Số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 trong số 2020 điểm là đỉnh của đa giác đã cho là bao nhiều?
Đa giác đều có 2020 đỉnh có 1010 đường chéo qua tâm, cứ hai đường chéo qua tâm cho ta một hình chữ nhật. Vậy số cách chọn ra 4 đỉnh tạo thành hình chữ nhật là .
Số số hạng trong khai triển là:
Số số hạng trong khai triển là: .
Tìm hệ số của trong khai triển biết .
Ta có:
.
Ta có: .
Hệ số sẽ là
.
Dãy trong đó mỗi kí tự chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 được gọi là dãy nhị phân 10 bit. Hỏi có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit trong đó có ít nhất ba kí tự 0 và ít nhất ba kí tự 1?
Trường hợp 1: dãy nhị phân có ba kí tự 0 và bảy kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Trường hợp 2: dãy nhị phân có bốn kí tự 0 và sáu kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Trường hợp 3: dãy nhị phân có năm kí tự 0 và năm kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Trường hợp 4: dãy nhị phân có sáu kí tự 0 và bốn kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Trường hợp 5: dãy nhị phân có bảy kí tự 0 và ba kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Vậy có dãy nhị phân 10 bit thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho biểu thức , khi khai triển nhị thức đã cho ta được bao nhiêu số hạng?
Trong khai triển nhị thức Newton có
số hạng.
Có 3 cây bút đỏ, 4 cây bút xanh trong một hộp bút. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một cây bút từ hộp bút?
Số cách lấy ra 1 cây bút là màu đỏ có 3 cách.
Số cách lấy ra 1 cây bút là màu xanh có 4 cách.
Theo quy tắc cộng, số cách lấy ra 1 cây bút từ hộp bút là: 3 + 4 = 7 cách.
Vậy có 7 cách lấy 1 cây bút từ hộp bút.
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đó đều lẻ?
- Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần lập thỏa mãn yêu cầu bài toán là (a, b ∈ {1;3;5;7;9})
+ a: có 5 cách chọn
+ b: có 5 cách chọn.
Dó đó có: 5 x 5 = 25 cách lập số có 2 chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ.
