Số hạng không chứa
trong khai triển nhị thức
là:
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là:
Số hạng không chứa x khi và chỉ khi
Vậy số hạng không chứa x là: .
Số hạng không chứa
trong khai triển nhị thức
là:
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là:
Số hạng không chứa x khi và chỉ khi
Vậy số hạng không chứa x là: .
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi là
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế là: 5! =120 (cách).
Với số nguyên dương
, gọi
là hệ số của
trong khai triển thành đa thức của
. Tìm
để
.
Ta có:
Ta thấy không thoả mãn điều kiện bài toán.
Với ta có:
Do đó hệ số của trong khai triển thành đa thức của
.
.
Vậy là giá trị cần tìm.
Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2023 tại một điểm thi có
sinh viên tình nguyện được phân công trục hướng dẫn thí sinh ở
vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng
sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công vị trí trực cho
người đó?
Mỗi cách xếp sinh viên vào
vị trí thỏa đề là một hoán vị của
phần tử.
Suy ra số cách xếp là cách.
Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn văn nghệ, mỗi đội chỉ được trình diễn một vở kịch, một điệu múa và một bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách hương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau?
Đội văn nghệ trên có 2 cách chọn trình diễn một vở kịch, có 3 cách chọn trình diễn một điệu múa, có 6 cách chọn trình diễn một bài hát. Theo quy tắc nhân, đội văn nghệ trên có 2.3.6 = 36cách hương trình diễn.
Tìm hệ số không chứa
trong khai triển
, biết
là sô nguyên dương thỏa mãn
.
.
.
Số hạng không chứa ứng với
là
.
Bộ bài tây có 52 lá, trong đó có 4 con át. Rút ra 5 con. Hỏi có bao nhiêu cách để rút được các lá bài trong đó có 1 con át và một con vua?
Số cách lấy 5 con trong đó có 1 con át và 1 con vua là .
Tìm hệ số của số hạng chứa
trong khai triển nhị thức
, (biết
).
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức .
.
chứa
.
Vậy hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức
bằng:
.
Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra một học sinh đi dự trại hè của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bước 1: Với bài toán a thì ta thấy cô giáo có thể có hai phương án để chọn học sinh đi thi:
Bước 2: Đếm số cách chọn.
* Phương án 1: chọn 1 học sinh đi dự trại hè của trường thì có 25 cách chọn.
* Phương án 2: chọn học sinh nữ đi dự trại hè của trường thì có 20 cách chọn.
Bước 3: Áp dụng quy tắc cộng.
Vậy có 20 + 25 = 45 cách chọn.
Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho
mà mỗi số
chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số
.
Đặt là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.
{ các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}
Với mỗi số thuộc A có chữ số
thì ta có thể bổ sung thêm
số
vào phía trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng
mà trong
không có chữ số 9}
mà trong
có đúng 1 chữ số 9}
Ta thấy tập A có
phần tử
Tính số phần tử của
Với và
với
. Từ đó ta suy ra
có
phần tử.
Tính số phần tử của
Để lập số của thuộc tập ta thực hiện liên tiếp hai bước sau:
Bước 1: Lập một dãy gồm chữ số thuộc tập
và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số các dãy là
.
Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số 9.
Do đó có
phần tử.
Vậy số các số cần lập là:
.
Khai triển biểu thức
ta được:
Ta có:
Xác định số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton
. Biết rằng
.
Ta có:
Xét khai triển
Số hạng tổng quát
Số hạng không chứa x ứng với
Suy ra số hạng không chứa x là .
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số, mà tất cả các chữ số đều chẵn?
Gọi số cần lập có dạng .
A: có 4 cách chọn (2,4,6,8)
B: có 5 cách chọn (0,2,4,6,8)
C: có 5 cách chọn (0,2,4,6,8)
Vậy có 4.5.5 = 100 (số) có 3 chữ số và cả 3 chữ số đều chẵn.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh và 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam đứng cạnh nhau và nữ đứng cạnh nhau:
Trường hợp 1: Nữ đứng trước
Có 6 vị trí để xếp, vì nam đứng cạnh nhau và nữ đứng cạnh nhau nên nữ sẽ đứng vị trí số 1, 2, 3 còn nam đứng vị trí số 4, 5, 6
Sắp xếp học sinh nữ vào vị trí 1, 2, 3
Vị trí số 1 có 3 cách chọn (vì có thể chọn một bạn bất kỳ trong 3 bạn nữ)
Vị trí số 2 có 2 cách chọn (vì chỉ có thể chọn một trong hai bạn nữ còn lại)
Vị trí số 3 có 1 cách chọn (vì chỉ còn 1 bạn nữ để chọn)
Có 6 vị trí để xếp, vì nam nữ đứng xen kẽ nên nữ sẽ đứng vị trí số 1, 3, 5 còn nam đứng vị trí số 2, 4, 6.
Sắp xếp học sinh nam vào vị trí 4, 5, 6
Vị trí số 4 có 3 cách chọn (vì có thể chọn một bạn bất kỳ trong 3 bạn nam)
Vị trí số 5 có 2 cách chọn (vì chỉ có thể chọn một trong hai bạn nam còn lại)
Vị trí số 6 có 1 cách chọn (vì chỉ còn 1 bạn nam để chọn)
Trường hợp 1 có 3.2.1.3.2.1 = 36 (cách xếp)
Trường hợp 2: Nam đứng trước
Tương tự như trường hợp 1, trường hợp 2 có 36 (cách xếp)
Vậy áp dụng quy tắc cộng ta có cả hai trường hợp có 36 + 36 = 72 (cách xếp).
Cho tam giác
. Trên mỗi cạnh
lấy 9 điểm phân biệt là không có điểm nào trùng với 3 đỉnh
. Hỏi từ 30 điểm đã cho (tính cả
) có thể lập được bao nhiêu tam giác?
Để tạo ra một tam giác ta lấy 3 điểm không thẳng hàng
Ta xét cách lấy ba điểm thẳng hàng thì có 3 trường hợp là: 3 điểm thuộc đoạn AB, 3 điểm thuộc đoạn AC, điểm thuộc đoạn BC. Trên mỗi đoạn thẳng có 11 điểm nên số cách lấy 3 điểm trên mỗi đoạn là:
Số cách lấy 3 điểm bất kì trong 30 điểm là:
Vậy số tam giác được tạo ra từ 30 điểm đã cho là: tam giác.
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho năm người gồm 3 nam và 2 nữ vào năm cái ghế xếp thành một dãy nếu hai nữ ngồi ở đầu và cuối dãy ghế?
2 nữ ngồi ở đầu và cuối dãy ghế có 2! cách.
3 nam ngồi ở 3 ghế giữa có 3! cách.
Vậy có cách xếp.
Tổng tất cả các giá trị của tham số
thỏa mãn
bằng:
Điều kiện
Ta có:
Tổng tất cả các giá trị của tham số thỏa mãn
bằng
.
Cho các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 7; 9. Từ các chữ số này, ta lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 10 và nhỏ hơn 5430?
Gọi số cần tìm có dạng . Vì
chia hết cho 10 suy ra
.
TH1. Với , ta có
+ Nếu suy ra
, do đó có 2 số cần tìm.
+ Nếu suy ra
và
, do đó có 14 số cần tìm.
TH2. Với suy ra có 2 cách chọn a, 7 cách chọn b, 7 cách chọn
C.
Suy ra có số cần tìm. Vậy có tất cả 114 số cần tìm.
Cho tập
. Hỏi từ B lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
Gọi số cần tìm là số dạng . Vì
chia hết cho 3 suy ra
.
Khi đó bộ .
Với bộ suy ra có
số cần tìm.
Tương tự với các bộ số còn lại.
Lớp 10A có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo có bao nhiêu cách chọn ra hai học sinh một nam, một nữ để thi đấu cầu lông đôi nam nữ.
Chọn 1 nam có: 20 cách
Chọn 1 nữ có: 15 cách
Vậy số cách chọn 1 nam và 1 nữ là: 20.15 = 300 (cách).