Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho số đó không bắt đầu bởi 125?
- A.
  165.
- B.
  362.
- C.
  2402.
- D.
  6705.
Gọi $\overline{125ab}$ là số bắt đầu bởi 125 và có 5 chữ số đôi một khác nhau.

Suy ra $b$ có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn $\Rightarrow$ có $3 \times 5 = 15$ số.

Số các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập A là $4 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 6720$ số.

Suy ra có tất cả $6720 - 15 = 6705$ số cần tìm.
Câu 2: Nhận biết
Hệ số của $x^{2}$ trong khai triển $(2x + 3)^{5}$ là:
- A.
  $- C_{5}^{2}.2^{3}.3^{2}$
- B.
  $- C_{5}^{3}.2^{2}.3^{3}$
- C.
  $C_{5}^{2}.2^{3}.3^{2}$
- D.
  $C_{5}^{3}.2^{2}.3^{3}$
Ta có số hạng tổng quát: $T_{k + 1} =C_{5}^{k}.(2x)^{5 - k}.3^{k} = C_{5}^{k}.2^{5 - k}.x^{5 -k}.3^{k}$

Số hạng chứa $x^{2}$ nên $5 - k = 2 \Rightarrow k = 3$

Vậy hệ số của $x^{2}$ trong khai triển đã cho là: $C_{5}^{3}.2^{2}.3^{3}$ .
Câu 3: Thông hiểu
Xếp $6$ chữ số $1$ , $1$ , $2$ , $2$ , $3$ , $4$ thành hàng ngang sao cho hai chữ số giống nhau thì không xếp cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy?
- A.
  $140$ cách.
- B.
  $100$ cách.
- C.
  $160$ cách.
- D.
  $84$ cách.
Số cách xếp sáu chữ số thành hàng một cách tùy ý là $\frac{6!}{2!.2!} = 180$ .
*) Tìm số cách xếp sáu chữ số sao cho có hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau
+) TH1: Số cách xếp sao cho có hai chữ số $1$ đứng cạnh nhau $5.\frac{4!}{2!} = 60$ .
+) TH2: Số cách xếp sao cho có hai chữ số $2$ đứng cạnh nhau $5.\frac{4!}{2!} = 60$ .
+) TH3: Số cách xếp sao cho có hai chữ số $1$ đứng cạnh nhau và hai chữ số $2$ đứng cạnh nhau
-) Nếu hai chữ số $1$ ở vị trí $(1;2)$ và $(5;6)$ ta có số cách xếp là $2.3.2 = 12$ .
-) Nếu hai chữ số $1$ ở ba vị trí còn lại thì số các xếp là $3.2.2 =12$ .
Vậy số cách xếp hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau là $60 + 60 - 12 - 12 = 96$ .
$\Rightarrow$ Số cách xếp không có hai chữ số giống nhau nào đứng cạnh nhau là $180 - 96 = 84$ .
Câu 4: Thông hiểu
Biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 78$ , số hạng chứa $x^{8}$ trong khai triển $\left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{n}$ là:
- A.
  $- 101376x^{8}$ .
- B.
  $- 101376$ .
- C.
  $- 112640$ .
- D.
  $101376x^{8}$ .
Ta có: $C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 78 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 1)!.1!} + \frac{n!}{(n - 2)!.2!} = 78 \Leftrightarrow n + \frac{(n - 1)n}{2} = 78$

$\Leftrightarrow n^{2} + n - 156 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 12 \\ n = - 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow n = 12$ (vì $n$ là số nguyên dương).

Số hạng tổng quát trong khai triển $\left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{12}$ là: $( - 1)^{k}C_{12}^{k}\left( x^{3} ight)^{12 - k}\left( \frac{2}{x} ight)^{k} = ( - 1)^{k}C_{12}^{k}.2^{k}.x^{36 - 4k}$ .

Cho $36 - 4k = 8 \Leftrightarrow k = 7$ .

Vậy số hạng chứa $x^{8}$ trong khai triển $\left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{12}$ là $- C_{12}^{7}.2^{7}.x^{8} = - 101376x^{8}$ .
Câu 5: Nhận biết
Tại khu vực giá sách tham khảo lớp 11 có 20 sách tham khảo môn Toán khác nhau, 40 sách tham khảo môn Vật lý khác nhau và 50 quyển sách tham khảo môn Hóa học khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một quyển sách trên giá sách?
- A.
  $100$
- B.
  $200$
- C.
  $150$
- D.
  $110$
Số cách chọn sách Toán là 20 cách.

Số cách chọn sách Vật lí là 40 cách.

Số cách chọn sách Hóa học là 50 cách.

Vậy để chọn một cuốn sách trên giá sách ta có 20 + 40 + 50 = 110 cách chọn.
Câu 6: Nhận biết
Cho các chữ số $2,3,4,5,6,7$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $6$ chữ số khác nhau?
- A.
  $356$ .
- B.
  $720$ .
- C.
  $220$ .
- D.
  $24$ .
Số cách lập số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho là số hoán vị của $6$ phần tử, do đó có $6! = 720$ .
Câu 7: Vận dụng
Dãy $\left( x_{1};x_{2};...;x_{10} ight)$ trong đó mỗi kí tự $x_{i}$ chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 được gọi là dãy nhị phân 10 bit. Hỏi có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit trong đó có ít nhất ba kí tự 0 và ít nhất ba kí tự 1?
- A.
  $912$
- B.
  $854$
- C.
  $957$
- D.
  $890$
Trường hợp 1: dãy nhị phân có ba kí tự 0 và bảy kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{3!.7!} = 120$ dãy nhị phân 10 bit.

Trường hợp 2: dãy nhị phân có bốn kí tự 0 và sáu kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{4!.6!} = 210$ dãy nhị phân 10 bit.

Trường hợp 3: dãy nhị phân có năm kí tự 0 và năm kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{5!.5!} = 252$ dãy nhị phân 10 bit.

Trường hợp 4: dãy nhị phân có sáu kí tự 0 và bốn kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{4!.6!} = 210$ dãy nhị phân 10 bit.

Trường hợp 5: dãy nhị phân có bảy kí tự 0 và ba kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{3!.7!} = 120$ dãy nhị phân 10 bit.

Vậy có $120 + 210 + 252 + 210 + 120 = 912$ dãy nhị phân 10 bit thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 8: Nhận biết
Thầy giáo chủ nhiệm có 10 quyển sách khác nhau và 8 quyển vở khác nhau. Thầy chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau?
- A.
  10 .
- B.
  8 .
- C.
  80 .
- D.
  18.
Chọn một quyển sách có 10 cách chọn.
Chọn một quyển vở có 8 cách chọn.
Áp dụng quy tắc cộng có 18 cách chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi.
Câu 9: Thông hiểu
Từ tập hợp các chữ số $1,2,8,6,7,5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau?
- A.
  $30$
- B.
  $11$
- C.
  $12$
- D.
  $38$
Gọi số tự nhiên có hai chữ số $\overline{ab};(a eq 0)$

Số cách chọn a là 6 cách

Số cách chọn b là 5 cách

Vậy số các số tự nhiên có thể tạo thành từ tập hợp các chữ số đã cho là $6.5 = 30$ số.
Câu 10: Nhận biết
Tìm số hạng chứa $x^3$ trong khai triển $\left( x - \frac{1}{2x} ight)^{9}$ .
- A.
  $- \frac{1}{8}C_{9}^{3}x^{3}$ .
- B.
  $\frac{1}{3}C_{6}^{3} \cdot x^{3}$ .
- C.
  $C_{9}^{4} \cdot x^{3}$ .
- D.
  $C_{9}^{5}x^{5}$ .
Số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển là: $T_{k + 1} = C_{9}^{k}x^{9 - k} \cdot \left( - \frac{1}{2x} ight)^{k} = C_{9}^{k} \cdot \left( - \frac{1}{2} ight)^{k}x^{9 - 2}$ .

Số hạng chứa $x^{3}$ có giá trị $k$ thỏa mãn: $9 - 2k = 3 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển là: $- \frac{1}{8}C_{9}^{3}x^{3}$ .
Câu 11: Nhận biết
Cho hai số tự nhiên $k,x$ sao cho $0 \leq k \leq n$ . Chọn khẳng định đúng sau đây?
- A.
  $C_{x}^{k} = \frac{x!}{k!(x - k)!}$
- B.
  $A_{x}^{k} = \frac{x!}{k!(x - k)!}$
- C.
  $C_{x}^{k} = \frac{k!(x - k)!}{x!}$
- D.
  $A_{x}^{k} = \frac{k!(x - k)!}{x!}$
Khẳng định đúng là: $C_{x}^{k} = \frac{x!}{k!(x - k)!}$ .
Câu 12: Nhận biết
Có $3$ viên bi đen khác nhau, $4$ viên bi đỏ khác nhau, $5$ viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các viên bi trên thành dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
- A.
  $365400$ .
- B.
  $666400$ .
- C.
  $725420$ .
- D.
  $103680$ .
Số cách xếp $3$ viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng. $3!$ .

Số cách xếp $4$ viên bi đỏ khác nhau thành một dãy bằng. $4!$ .

Số cách xếp $5$ viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng. $5!$ .

Số cách xếp $3$ nhóm bi thành một dãy bằng. $3!$ .

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề bài bằng $3!.4!.5!.3! = 103680$ cách.
Câu 13: Vận dụng
Cho các chữ số 0; 1; 2; 4; 5; 6; 8. Hỏi từ các chữ số trên lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà trong mỗi số chữ số 1 luôn xuất hiện?
- A.
  444.
- B.
  840.
- C.
  230.
- D.
  120.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ . Vì $\overline{abcde}$ chia hết cho 5 suy ra $e = \left\{ 0;5 ight\}$ .

TH1. Với $e = 0$ suy ra có $4 \times 5 \times 4 \times 3 = 240$ số cần tìm.

TH2. Với $e = 5$ , suy ra có $5 \times 4 \times 3 + 3 \times 4 \times 4 \times 3 = 204$ số cần tìm.

Vậy có tất cả 444 số cần tìm.
Câu 14: Thông hiểu
Từ 9 chữ số $1;2;3;4;5;6;7;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số gồm 9 chữ số nếu như không có chữ số nào được lặp lại? Trong các số đó có bao nhiêu số mà các chữ số 1 và 7 không đứng cạnh nhau.
- A.
  $322560$ số
- B.
  $295482$ số
- C.
  $282240$ số
- D.
  $241920$ số
Từ 9 chữ số $1;2;3;4;5;6;7;8;9$ có thể lập được các số nếu như không có chữ số nào được lặp lại ta hiểu đó là số có 9 chữ số khác nhau.

Do đó sẽ có 9! số thỏa mãn.

Để tìm số mà các chữ số 1 và 7 không đứng cạnh nhau ta đi tìm các số mà 1 và 7 đứng cạnh nhau.

Coi 1 và 7 là 1 số thì ta sẽ có $\overline{17}$ và $\overline{71}$ .

Đưa được về bài toán tìm số có 8 chữ số khác nhau.

Do đó số các số tìm được là 8! số.

Do 1 và 7 có 2 vị trí nên ta có 2.8! số.

Vậy số có 9 chữ số khác nhau không có 1 và 7 đứng cạnh là: $9! - 2.8! = 282240$ số.
Câu 15: Thông hiểu
Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ , có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n trong đó n gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và tận cùng bằng một chữ số khác 3.
- A.
  $16128$
- B.
  $11760$
- C.
  $13440$
- D.
  $18816$
Gọi $n = \overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$ là số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn $a_{5} \in X\backslash\left\{ 3 ight\}$ có: 8 cách.

Chọn $a_{1} \in X\backslash\left\{ a_{5} ight\}$ có: 8 cách.

Chọn $a_{2} \in X\backslash\left\{ a_{1};a_{5} ight\}$ có: 7 cách.

Chọn $a_{3} \in X\backslash\left\{ a_{1};a_{5};a_{2} ight\}$ có: 6 cách.

Chọn $a_{4} \in X\backslash\left\{ a_{1};a_{5};a_{2};a_{3} ight\}$ có: 5 cách.

Theo quy tắc nhân có: $8.8.7.6.5 = 13440$ số.
Câu 16: Thông hiểu
Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển $\left( x^{3} - \frac{1}{x} ight)^{12}$ .
- A.
  $- \ 220$ .
- B.
  $220$ .
- C.
  $924$ .
- D.
  $- \ 924$ .
Công thức số hạng thứ $(k + 1)$ của khai triển $\left( x^{3} - \frac{1}{x} ight)^{12}$ là:

$T_{k} = C_{12}^{k}( - 1)^{k}\left( x^{3} ight)^{12 - k}.\frac{1}{x^{k}} = C_{12}^{k}( - 1)^{k}{x^{3}}^{6 - 4k},0 \leq k \leq 12,k \in \mathbb{N}$ .

Số hạng không chứa $x$ ứng với $36 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 9$ (thỏa mãn).

Suy ra $T_{7} = C_{12}^{9}( - 1)^{9} = - 220$ .
Câu 17: Nhận biết
Có 3 bạn nam và 4 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 7 bạn vào 1 dãy ghế hàng ngang liền nhau gồm 7 chỗ ngồi?
- A.
  3!.4!
- B.
  7!
- C.
  7
- D.
  240
Xếp 7 bạn vào dãy 7 ghế: có 7! (cách).
Câu 18: Nhận biết
Khai triển biểu thức $\left( x^{2} - 5y ight)^{5}$ ta được:
- A.
  $- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} + 1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$
- B.
  $x^{10} - 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} -1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} - 3125y^{5}$
- C.
  $x^{10} + 25x^{8}y+ 250x^{6}y^{2} +1250x^{4}y^{3} + 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$
- D.
  $x^{10} - 25x^{8}y + 250x^{6}y^{2} -1250x^{4}y^{3} + 3125x^{2}y^{4} - 3125y^{5}$
Ta có:

$\left( x^{2} - 5y ight)^{5}$

$= C_{5}^{0}.\left( x^{2} ight)^{5} + C_{5}^{1}\left( x^{2} ight)^{4}.( - 5y) + C_{5}^{2}.\left( x^{2} ight)^{3}.( - 5y)^{2}$

$+ C_{5}^{3}.\left( x^{2} ight)^{2}.( - 5y)^{3} + C_{5}^{4}.\left( x^{2} ight)^{1}.( - 5y)^{4} + C_{5}^{5}.\left( x^{2} ight)^{0}.( - 5y)^{5}$

$=x^{10} - 25x^{8}y + 250x^{6}y^{2} -1250x^{4}y^{3} + 3125x^{2}y^{4} - 3125y^{5}$
Câu 19: Vận dụng
Tìm số hạng chứa $x^{26}$ trong khai triển $\left( \frac{1}{x^{4}} + x^{7} ight)^{n}$ . Cho biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức $C_{2n + 1}^{1} + C_{2n + 1}^{2} + ... + C_{2n + 1}^{n} = 2^{20} - 1$ .
- A.
  333.
- B.
  210.
- C.
  100.
- D.
  114.
Từ giả thiết ta suy ra $C_{2n + 1}^{0} + C_{2n + 1}^{1} + C_{2n + 1}^{2} + ... + C_{2n + 1}^{n} = 2^{20}$ .

Mặt khác: $C_{2n + 1}^{k} = C_{2n + 1}^{2n + 1 - k}\ \ ,\ \forall k\mathbb{\in N},\ 0 \leq k \leq 2n + 1$ nên ta có:

$C_{2n + 1}^{0} + C_{2n + 1}^{1} + C_{2n +1}^{2} + ... + C_{2n + 1}^{n}$

$= \frac{1}{2}\left( C_{2n + 1}^{0} + C_{2n+ 1}^{1} + C_{2n + 1}^{2} + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} ight) =\frac{1}{2}(1 + 1)^{2n + 1} = 2^{2n}$

Suy ra: $2^{2n} = 2^{20} \Leftrightarrow n = 10$ .

Số hạng tổng quát trong khai triển $\left( \frac{1}{x^{4}} + x^{7} ight)^{10}$ là: $T_{k + 1} = C_{10}^{k}\left( \frac{1}{x^{4}} ight)^{10 - k}\left( x^{7} ight)^{k} = C_{10}^{k}x^{11k - 40}$ .

Hệ số của $x^{26}$ là $C_{10}^{k}$ với $k$ thỏa mãn: $11k - 40 = 26 \Leftrightarrow k = 6$ .

Vậy hệ số của $x^{26}$ là $C_{10}^{6} = 210$ .
Câu 20: Nhận biết
Có bao nhiêu cách sắp xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc?
- A.
  $5$ .
- B.
  $5!$ .
- C.
  $10$ .
- D.
  $5^{2}$ .
Số cách sắp xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc là $5!$ .

85 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!