Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức $S = 2^{5}C_{5}^{0} + 2^{4}C_{5}^{1} + 2^{3}C_{5}^{2} + 2.C_{5}^{4} + C_{5}^{5}$
- A.
  $S = 32$
- B.
  $S = 243$
- C.
  $S = 81$
- D.
  $S = 121$
Áp dụng công thức $(a + b)^{n}$ cho $a = 2,b = 1,n = 5$ ta có:

$S = 2^{5}C_{5}^{0} + 2^{4}C_{5}^{1} + 2^{3}C_{5}^{2} + 2.C_{5}^{4} + C_{5}^{5}$

$S = (2 + 1)^{5} = 243$
Câu 2: Nhận biết
Hệ số $x^{4}$ trong khai triển nhị thức $(3x - 4)^{5}$ bằng:
- A.
  $60$
- B.
  $- 60$
- C.
  $- 1620$
- D.
  $1620$
Hệ số của $x^{4}$ trong khai triển $(3x - 4)^{5}$ là: $C_{5}^{1}.(3x)^{4}.( - 4)^{1} = - 1620$ .
Câu 3: Thông hiểu
Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 2 và gồm 4 chữ số?
- A.
  450
- B.
  550
- C.
  350
- D.
  400
Gọi số thỏa mãn đề bài có dạng $\overline{ABC}$ .

Trường hợp 1: C bằng 0. Suy ra có 1 cách chọn.

Vị trí A: có 9 cách chọn, khác số 0.

Vị trí B: có 10 cách chọn.

Suy ra có: 1.9.10 = 90 (số).

Trường hợp 2: C khác 0. Suy ra C có 4 cách chọn (2, 4, 6, 8).

Vị trí A: có 9 cách chọn, khác số 0.

Ví trí B: Có 10 cách chọn.

Suy ra có: 4.9.10 = 360 (số).

Vậy, áp dụng quy tắc cộng, có 90 + 360 = 450 (số).
Câu 4: Nhận biết
Khai triển nhị thức $(2x + 3)^{4}$ ta được kết quả là:
- A.
  $x^{4} + 216x^{3} + 216x^{2} + 96x + 81$
- B.
  $16x^{4} + 216x^{3} + 216x^{2} + 96x + 81$
- C.
  $16x^{4} + 96x^{3} + 216x^{2} + 216x + 81$
- D.
  $x^{4} + 96x^{3} + 216x^{2} + 216x + 81$
Ta có: $(2x + 3)^{4} =$ $16x^{4} + 96x^{3} + 216x^{2} + 216x + 81$ .
Câu 5: Thông hiểu
Cho biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển $(1 + 2x)^{n}$ bằng $180$ . Tìm $n$ .
- A.
  $n = 12$ .
- B.
  $n = 14$ .
- C.
  $n = 8$ .
- D.
  $n = 10$ .
Ta có $(1 + 2x)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1}.2x + C_{n}^{2}.(2x)^{2} + ... + C_{n}^{n}(2x)^{n}$ .

Hệ số của $x^{2}$ bằng $180 \Leftrightarrow 4.C_{n}^{2} = 180 \Leftrightarrow 4\frac{n!}{2!(n - 2)!} = 180 \Leftrightarrow n(n - 1) = 90$

$\Leftrightarrow n^{2} - n - 90 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = - 9(l) \\ n = 10 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $n = 10$ .
Câu 6: Thông hiểu
Có bao nhiêu cách lập các nhóm gồm 2, 3, 5 học sinh từ một tổ có 10 học sinh?
- A.
  $C_{10}^{2}+C_{8}^{3}+C_{5}^{5}$
- B.
  $C_{10}^{2}\times C_{10}^{3}\times C_{10}^{5}$
- C.
  $C_{10}^{2}\times C_{8}^{3}\times C_{5}^{5}$
- D.
  $C_{10}^{2}+C_{10}^{3}+C_{10}^{5}$
Số cách lập nhóm có hai học sinh là: $C_{10}^2$ cách
Số học sinh còn lại 8 học sinh (vì 2 học sinh lập nhóm đầu tiên)
=> Số cách lập nhóm có 3 học sinh là: $C_8^3$ cách
Số học sinh còn lại còn 5 học sinh để lập nhóm 5 học sinh
=> Số cách lập nhóm 5 học sinh là: $C_5^5$ cách
Mà các cách lập nhóm liên quan đến nhau
=> Số cách lập các nhóm gồm 2, 3, 5 học sinh từ một tổ có 10 học sinh là
$C_{10}^{2}\times C_{8}^{3}\times C_{5}^{5}$ cách.
Câu 7: Nhận biết
Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
- A.
  $605$
- B.
  $91000$
- C.
  $505$
- D.
  $458$
Học sinh nam có 280 cách chọn

Học sinh nữ có 325 cách chọn

Chọn một học sinh khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố thì có $280 + 325 = 605$ cách.
Câu 8: Nhận biết
Trong khai triển $(x + 2y)^{5}$ số hạng chứa $x^{2}y^{3}$ là:
- A.
  $80x^{2}y^{3}$
- B.
  $40x^{2}y^{3}$
- C.
  $80$
- D.
  $10$
Ta có: $(x+2y)^5=$ ${x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^2} + 80{x^2}{y^3} + 80x{y^4} + 32{y^5}$ .
Vậy số hạng cần tìm là: $80x^{2}y^{3}$ .
Câu 9: Nhận biết
Từ các số $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau đôi một?
- A.
  $50$ .
- B.
  $120$ .
- C.
  $64$ .
- D.
  $48$ .
Mỗi cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một hoán vị của 5 phần tử.

Vậy có $5! = 120$ số cần tìm.
Câu 10: Nhận biết
Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn văn nghệ, mỗi đội chỉ được trình diễn một vở kịch, một điệu múa và một bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách hương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau?
- A.
  11.
- B.
  36.
- C.
  25.
- D.
  18.
Đội văn nghệ trên có 2 cách chọn trình diễn một vở kịch, có 3 cách chọn trình diễn một điệu múa, có 6 cách chọn trình diễn một bài hát. Theo quy tắc nhân, đội văn nghệ trên có 2.3.6 = 36cách hương trình diễn.
Câu 11: Vận dụng
Cho các chữ số 0; 1; 2; 4; 5; 6; 8. Hỏi từ các chữ số trên lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà trong mỗi số chữ số 1 luôn xuất hiện?
- A.
  444.
- B.
  840.
- C.
  230.
- D.
  120.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ . Vì $\overline{abcde}$ chia hết cho 5 suy ra $e = \left\{ 0;5 ight\}$ .

TH1. Với $e = 0$ suy ra có $4 \times 5 \times 4 \times 3 = 240$ số cần tìm.

TH2. Với $e = 5$ , suy ra có $5 \times 4 \times 3 + 3 \times 4 \times 4 \times 3 = 204$ số cần tìm.

Vậy có tất cả 444 số cần tìm.
Câu 12: Vận dụng
Cho khai triển $(1 + 3x)^{n} = a_{0} + a_{1}x^{1} + ... + a_{n}x^{n}$ trong đó $n\mathbb{\in N}*$ và các hệ số thỏa mãn hệ thức $a_{0} + \frac{a_{1}}{3} + ... + \frac{a_{n}}{3^{n}} = 4096$ . Hệ số lớn nhất là:
- A.
  176224.
- B.
  3899834.
- C.
  4330260
- D.
  4597265.
Xét khai triển $(1 + 3x)^{n} = a_{0} + a_{1}x^{1} + ... + a_{n}x^{n}$ .

Cho $x = \frac{1}{3}$ ta được $\left( 1 + 3.\frac{1}{3} ight)^{n} = a_{0} + \frac{a_{1}}{3^{1}} + ... + \frac{a_{n}}{3^{n}} \Rightarrow 2^{n} = 4096 \Leftrightarrow n = 12.$

Khi đó $(1 + 3x)^{12} = \sum_{k = 0}^{12}{C_{12}^{k}.3^{k}.x^{k}}$ .

Ta có hệ số $a_{k} = 3^{k}C_{12}^{k} = 3^{k}.\frac{12!}{k!.(12 - k)!}$

Hệ số $a_{k}$ lớn nhất nên $\left\{ \begin{matrix} a_{k} \geq a_{k - 1} \\ a_{k} \geq a_{k + 1} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3^{k}.\frac{12!}{k!.(12 - k)!} \geq 3^{k - 1}.\frac{12!}{(k - 1)!.(12 - k + 1)!} \\ 3^{k}.\frac{12!}{k!.(12 - k)!} \geq 3^{k + 1}.\frac{12!}{(k + 1)!.(12 - k - 1)!} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{3}{k} \geq \frac{1}{13 - k} \\ \frac{1}{12 - k} \geq \frac{3}{k + 1} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 39 - 3k \geq k \\ k + 1 \geq 36 - 3k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k \leq \frac{39}{4} \\ k \geq \frac{35}{4} \\ \end{matrix} ight.$

Vì $k\mathbb{\in N}$ nên nhận $k = 9.$

Vậy hệ số lớn nhất $a_{9} = 3^{9}.C_{12}^{9} = 4330260.$ .
Câu 13: Nhận biết
Cho đa giác đều có 54 đường chéo. Hãy tính xem đa giác này có bao nhiêu cạnh?
- A.
  $12$
- B.
  $8$
- C.
  $10$
- D.
  $14$
Đa giác n cạnh có n đỉnh.

Mỗi đỉnh nối với $n - 3$ đỉnh khác để tạo ra đường chéo

Do đó n đỉnh sẽ có $n(n - 3)$ đường

Mà 1 đường chéo được nối bởi 2 đỉnh nên số đường chéo thực là: $\frac{n(n - 3)}{2}$

Theo đề bài ta có:

$\frac{n(n - 3)}{2} = 54 \Leftrightarrow n^{2} - 3n - 108 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = - 9(ktm) \\ n = 12(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đa giác có 12 cạnh.
Câu 14: Vận dụng
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ.
- A.
  11523
- B.
  11520
- C.
  11346
- D.
  22311
Vì chữ số đứng đầu chẵn nên $a_{1}$ có $4$ cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên $a_{8}$ có 4 cách chọn. Các số còn lại có $6.5.4.3.2.1$ cách chọn

Vậy có $4^{2}.6.5.4.3.2.1 = 11520$ số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 15: Thông hiểu
Từ 6 điểm phân biệt thuộc đường thẳng ∆ và một điểm không thuộc đường thẳng ∆ ta có thể tạo được tất cả bao nhiêu tam giác?
- A.
  210
- B.
  30
- C.
  15
- D.
  35;
Một tam giác được lập thành từ 3 điểm.
Cứ 2 điểm thuộc $\Delta$ + 1 điểm nằm ngoài có sẵn, ta được một tam giác.
Số cách lấy 2 điểm từ 6 điểm thuộc $\Delta$ là: $C_6^2=15$ (cách).
Câu 16: Thông hiểu
Từ tập hợp các chữ số $1,2,8,6,7,5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau?
- A.
  $30$
- B.
  $11$
- C.
  $12$
- D.
  $38$
Gọi số tự nhiên có hai chữ số $\overline{ab};(a eq 0)$

Số cách chọn a là 6 cách

Số cách chọn b là 5 cách

Vậy số các số tự nhiên có thể tạo thành từ tập hợp các chữ số đã cho là $6.5 = 30$ số.
Câu 17: Nhận biết
Có $3$ viên bi đen khác nhau, $4$ viên bi đỏ khác nhau, $5$ viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các viên bi trên thành dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
- A.
  $365400$ .
- B.
  $666400$ .
- C.
  $725420$ .
- D.
  $103680$ .
Số cách xếp $3$ viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng. $3!$ .

Số cách xếp $4$ viên bi đỏ khác nhau thành một dãy bằng. $4!$ .

Số cách xếp $5$ viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng. $5!$ .

Số cách xếp $3$ nhóm bi thành một dãy bằng. $3!$ .

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề bài bằng $3!.4!.5!.3! = 103680$ cách.
Câu 18: Nhận biết
Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
- A.
  $A_{n}^{k}=n(n-1)...(n-k+1)$
- B.
  $P_{n}=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 2\times 1$
- C.
  $P_{n}=n!$
- D.
  $A_{n}^{k}=\frac{n!}{k!}$
Công thức sai là: $A_{n}^{k}=\frac{n!}{k!}$ .
Câu 19: Nhận biết
Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7. Có bao nhiêu số có 3 chữ số được lập từ 6 chữ số đó?
- A.
  216.
- B.
  36.
- C.
  256.
- D.
  18.
Trong 6 chữ số đã cho không có chữ số 0, số có 3 chữ số không yêu cầu khác nhau nên mỗi chữ số đều có 6 cách chọn, do đó số các số thỏa mãn 6³ = 216.
Câu 20: Vận dụng
Từ các chữ số 0, 1, 2, 5, 7, 9 lập được bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau chia hết cho 6?
- A.
  34.
- B.
  52.
- C.
  56.
- D.
  66.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ . Vì $\overline{abcd}$ chia hết cho 6 suy ra $\left\{ \begin{matrix} e = \left\{ 0;2 ight\} \\ (a + b + c + d + e) \vdots 3 \\ \end{matrix} ight.$

TH1. Với $e = 0$ suy ra $a + b + c + d \vdots 3$ , do đó gồm các bộ $(1;2;5;7)$ suy ra có 24 số.

TH2. Với $e = 2$ suy ra $a + b + c + d + 2 \vdots 3$ , do đó gồm các bộ $(0;1;5;7)$ , $(1;5;7;9)$ suy ra có 42 số.

Vậy có tất cả $24 + 42 = 66$ số cần tìm.

85 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!