Cho đa giác n cạnh. Tìm n để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh.
Đa giác n cạnh có n đỉnh.
Mỗi đỉnh nối với đỉnh khác để tạo ra đường chéo
Do đó n đỉnh sẽ có đường
Mà 1 đường chéo được nối bởi 2 đỉnh nên số đường chéo thực là:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Cho hai đường thẳng song song d và d’. Trên đường thẳng d lấy 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d’ lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 điểm vừa nói trên.
Trường hợp 1: Lấy 2 điểm trên d và 1 điểm trên d’
Trường hợp 2: Lấy 1 điểm trên d và 2 điểm trên d’.
Số tam giác thỏa bài toán là: tam giác.
Biết 
là số nguyên dương thỏa mãn , số hạng chứa trong khai triển là:
Ta có:
(vì
là số nguyên dương).
Số hạng tổng quát trong khai triển là:
.
Cho .
Vậy số hạng chứa trong khai triển
là
.
Một hộp có 3 viên bi trắng, 2 viên bi đen và 2 viên bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp đó.
Chọn 2 viên từ hộp 7 viên có: (cách).
Một hộp có 5 bi đỏ và 4 bi vàng. Số cách lấy ra hai viên bi từ hộp là:
Số cách lấy 2 viên bi từ 9 viên bi là: (cách).
Tìm số hạng chứa trong khai triển . Cho biết là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức .
Từ giả thiết ta suy ra .
Mặt khác: nên ta có:
Suy ra: .
Số hạng tổng quát trong khai triển là:
.
Hệ số của là
với
thỏa mãn:
.
Vậy hệ số của là
.
Số hạng chứa trong khai triển biểu thức là:
Ta có: .
Số hạng cần tìm là: .
Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương và n là số chẵn?
Trường hợp 1: n gồm một chữ số.
Vì n < 200 và n là số chẵn nên có 2 số thỏa mãn là 4; 8
Trường hợp 2: n gồm hai chữ số.
Gọi n có dạng thỏa mãn n < 200 và để n là số chẵn ta có
b có 2 lựa chọn là {4; 8}
a có 5 lựa chọn.
Có
Trường hợp 3: n gồm ba chữ số. Vì n < 200 nên gọi n có dạng và để n là số chẵn ta có
c có 2 lựa chọn là {4; 8}
b có 5 lựa chọn. Có
Vậy có số n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tìm số tự nhiên thỏa
Điều kiện: .
Ta có:
Vậy .
Tìm hệ số của trong khai triển
Số hạng tổng quát của khai triển đã cho là
với ,
. Số hạng này chứa
khi và chỉ khi
(thỏa mãn).
Vậy hệ số của trong khai triển
là
.
An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường?
Từ nhà An đến nhà Bình có 4 cách chọn đường.
Từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách chọn đường.
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn đường đi từ nhà An đến nhà Cường là: 4.6 = 24 (cách).
Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để 2 học sinh nam xen giữa 3 học sinh nữ? (Biết rằng cứ đổi 2 học sinh bất kì được cách mới)
Xếp cố định 3 học sinh nữ vào hàng trước, có 3! cách xếp. Chọn 2 học sinh nam bất kì cho vào 2 khoảng trống nằm giữa 2 học sinh nữ, số cách chọn là . Xem nhóm 5 học sinh này là 1 học sinh, lúc này còn 3 học sinh nam vậy là ta đang có 4 học sinh. Số cách xếp 4 học sinh này thành hàng dọc là 4!. Vậy số cách xếp cần tìm là.
.
Cho các chữ số . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác nhau?
Số cách lập số tự nhiên có chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho là số hoán vị của
phần tử, do đó có
.
Cho tập . Hỏi lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2 từ tập A.
Gọi số cần tìm có dạng . Vì
chia hết cho 2 suy ra
.
TH1. Với , khi đó
số.
TH2. Với , khi đó có 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c, 2 cách chọn
.
Suy ra có số. Vậy có tất cả
số cần tìm.
Từ các số lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số chia hết cho 5?
Vì chia hết cho 5 nên
chỉ có thể là 5
có 1 cách chọn d.
Có 6 cách , 5 cách chọn b và 4 cách chọn c.
Vậy có số thỏa yêu cầu bài toán.
Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào 1 chiếc ghế dài sao cho bạn A ngồi chính giữa?
Xếp bạn A ngồi chính giữa: có 1 cách.
Khi đó xếp 4 bạn B, C, D, E vào 4 vị trí còn lại, có 4! = 24 cách.
Vậy có tất cả 24 cách xếp.
Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Newton ?
Ta có:
Vậy hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức là:
.
Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức ?
Trong khai triển nhị thức thì số các số hạng là
nên trong khai triển
có
số hạng.
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là:
Gọi số cần tìm có dạng
Số cách chọn là 1 cách, (
)
Số cách chọn là 9 cách;
Số cách chọn là
cách
Vậy có số.
Từ các chữ số 1; 2; 3; 5; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau.
Gọi số cần lập có dạng .
A: có 5 cách chọn.
B: có 4 cách chọn.
C: có 3 cách chọn.
Vậy có 5.4.3 = 60 (số) có 3 chữ số đôi một khác nhau.
