Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Tính số cách sắp xếp $6$ nam sinh và $4$ nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có $10$ chỗ ngồi. Biết rằng các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau.
- A.
  $9!$ .
- B.
  $7! \times 4!.$ .
- C.
  $7! \times 5!.$
- D.
  $3! \times 5!.$
Sắp xếp $4$ nữ sinh vào $4$ ghế. $4!$ cách.

Xem $4$ nữ sinh lập thành nhóm X, sắp xếp nhóm X cùng với $6$ nam sinh. có $7!$ cách

vậy có $7! \times 4!$ cách sắp xếp.
Câu 2: Vận dụng
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ.
- A.
  11523
- B.
  11520
- C.
  11346
- D.
  22311
Vì chữ số đứng đầu chẵn nên $a_{1}$ có $4$ cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên $a_{8}$ có 4 cách chọn. Các số còn lại có $6.5.4.3.2.1$ cách chọn

Vậy có $4^{2}.6.5.4.3.2.1 = 11520$ số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 3: Nhận biết
Cho các số 1, 2, 4, 5, 7. Có bao nhiêu cách chọn ra một số chẵn gồm ba chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho?
- A.
  120.
- B.
  24.
- C.
  36.
- D.
  256.
Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ .

+ Chọn c: có 2 cách.

+ Chọn a: có 4 cách.

+ Chọn b: có 3 cách.

Áp dụng quy tắc nhân ta có 2.4.3 = 24 số.
Câu 4: Thông hiểu
Tìm số các số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ?
- A.
  $320$ .
- B.
  $164$ .
- C.
  $190$ .
- D.
  $50$ .
Trường hợp 1: 3 chữ số đều lẻ. Có $A_{5}^{3} = 60$ số thỏa mãn.
Trường hợp 2: số đó gồm 2 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ
- Chọn 2 chữ số chẵn khác nhau có $C_{5}^{2} = 10$ cách.
- Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách.
- Từ 3 số đã chọn đó lập được $3! =6$ số.
Do đó có $10.5.6 = 300$ dãy gồm 3 chữ số phân biệt, trong đó có 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ kể cả chữ số 0 đứng đầu.
Xét dãy số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng 0
- Chọn 1 chữ số lẻ có 5 cách.
- Chọn 1 chữ số chẵn khác chữ số 0 có 4 cách.
Vậy có $4.5.2! = 40$ số có 3 chữ số phân biệt, gồm 2 chữ số chẵn, 1 chữ số lẻ mà chữ số đầu bằng 0.
Do đó có $60 + 300 - 40 = 320$ số tự nhiên có 3 chữ số phân biệt mà tổng các chữ số là số lẻ.
Câu 5: Thông hiểu
Một người có 5 chiếc áo trong đó có $3$ chiếc áo trắng. Người đó cũng có 3 chiếc cà vạt trong đó có 2 chiếc cà vạt màu vàng. Tìm số cách chọn một chiếc áo và một chiếc cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng.
- A.
  10
- B.
  8
- C.
  7
- D.
  9
5 chiếc áo gồm: 3 trắng và 2 màu khác.

3 chiếc cà vạt gồm: 2 vàng và 1 màu khác.

Trường hợp 1: Áo trắng, cà vạt màu khác vàng.

Áo trắng: có 3 cách chọn.

Cà vạt màu khác vàng: 1 cách chọn.

Suy ra có: 3.1 = 3 (cách).

Trường hợp 2: Áo màu khác trắng, cà vạt màu bất kì.

Áo màu khác trắng: 2 cách chọn.

Cà vạt màu bất kì: 3 cách chọn.

Suy ra có: 2.3 = 6 (cách).

Vậy có: 3+6 = 9 (cách) chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 6: Nhận biết
Cho các chữ số $2,3,4,5,6,7$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $6$ chữ số khác nhau?
- A.
  $356$ .
- B.
  $720$ .
- C.
  $220$ .
- D.
  $24$ .
Số cách lập số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho là số hoán vị của $6$ phần tử, do đó có $6! = 720$ .
Câu 7: Nhận biết
Giá trị của $C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{n-1}-C_{n}^{n}$ bằng:
- A.
  0
- B.
  1
- C.
  n
- D.
  2n
Ta có:
$\begin{matrix} C_n^0 - C_n^1 + C_n^{n - 1} - C_n^n \hfill \\ = 1 - C_n^1 + C_n^1 - 1 = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 8: Thông hiểu
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $P_{x}A_{x}^{2} + 72 = 6\left( 2P_{x} + A_{x}^{2} ight)$ bằng:
- A.
  $7$
- B.
  $10$
- C.
  $1$
- D.
  $6$
Điều kiện xác định: $x\mathbb{\in N};x \geq 2$

Ta có:

$P_{x}A_{x}^{2} + 72 = 6\left( 2P_{x} + A_{x}^{2} ight)$

$\Leftrightarrow x!.\frac{x!}{(x - 2)!} + 72 = 6\left\lbrack 2x! + \frac{x!}{(x - 2)!} ightbrack$

$\Leftrightarrow x!.x(x - 1) + 72 = 6\left\lbrack 2.x! + 2(x - 1) ightbrack$

$\Leftrightarrow x(x - 1)(x! - 6) + 12(6 - x!) = 0$

$\Leftrightarrow (x! - 6)\left\lbrack x(x - 1) - 12 ightbrack = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x! - 6 = 0 \\ x^{2} - x - 12 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3(tm) \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3(ktm) \\ x = 4(tm) \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

Vật tổng các nghiệm phương trình là: $T = 3 + 4 = 7$
Câu 9: Nhận biết
Một hộp có 5 bi đỏ và 4 bi vàng. Số cách lấy ra hai viên bi từ hộp là:
- A.
  18
- B.
  72
- C.
  54
- D.
  36
Số cách lấy 2 viên bi từ 9 viên bi là: $C_9^2=36$ (cách).
Câu 10: Nhận biết
Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?
- A.
  16.
- B.
  4.
- C.
  7.
- D.
  12.
Chọn 1 kiểu mặt từ 3 kiểu mặt có 3 cách.

Chọn 1 kiểu dây từ 4 kiểu dây có 4 cách.

Vậy theo quy tắc nhân có 12 cách chọn 1 chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây.
Câu 11: Thông hiểu
Tìm số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $P(x) = (x + 2)^{5} - (x - 3)^{4}$ thành đa thức?
- A.
  $52x^{3}$
- B.
  $40x^{3}$
- C.
  $12x^{3}$
- D.
  $28x^{3}$
Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(x + 2)^{5}$ là $C_{5}^{2}.2^{2}.x^{3} = 40x^{3}$

Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(x - 3)^{4}$ là $C_{4}^{1}.( - 3)^{1}.x^{3} = - 12x^{3}$

Do đó số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $P(x) = (x + 2)^{5} - (x - 3)^{4}$ đã cho là: $40x^{3} - ( - 12)x^{3} = 52x^{3}$

Vậy số hạng cần tìm là $52x^{3}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Cho tập hợp các chữ số $C = \left\{ 1,2,3,4,5 ight\}$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau là:
- A.
  $120$
- B.
  $100$
- C.
  $54$
- D.
  $24$
Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ tập hợp C là một hoán vị của 5.

Suy ra có thể lập được $5! = 120$ số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 13: Nhận biết
Biết rằng khai triển nhị thức Newton $(m + 2)^{n - 3}$ với $n\mathbb{\in N},n > 3;m eq - 2$ có tất cả 6 số hạng. Hãy xác định $n$ ?
- A.
  $n = 10$
- B.
  $n = 9$
- C.
  $n = 8$
- D.
  $n = 11$
Vì trong khai triển nhị thức Newton $(m + 2)^{n - 3}$ đã cho có tất cả 6 số hạng nên $n - 3 = 5 \Rightarrow n = 8$

Vậy n = 8 là giá trị cần tìm.
Câu 14: Nhận biết
Để giải một bài tập ta cần phải giải hai bài tập nhỏ. Bài tập 1 có 9 cách giải, bài tập 2 có 5 cách giải. Số các cách để giải hoàn thành bài tập trên là:
- A.
  3.
- B.
  45.
- C.
  5.
- D.
  12.
Sô cách giải bài toán 1 : 9 cách.

Số cách giải bài toán 2 : 5 cách.

Áp dụng quy tắc nhân: 9 × 5 = 45 cách.
Câu 15: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho số đó không bắt đầu bởi 125?
- A.
  165.
- B.
  362.
- C.
  2402.
- D.
  6705.
Gọi $\overline{125ab}$ là số bắt đầu bởi 125 và có 5 chữ số đôi một khác nhau.

Suy ra $b$ có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn $\Rightarrow$ có $3 \times 5 = 15$ số.

Số các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập A là $4 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 6720$ số.

Suy ra có tất cả $6720 - 15 = 6705$ số cần tìm.
Câu 16: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{2}$ trong khai triển $(x + 3)^{4}$ ?
- A.
  $9$
- B.
  $6$
- C.
  $54$
- D.
  $18$
Ta có: $(x + 3)^{4} = x^{4} + 4x^{3}.3 + 6.x^{2}.3^{2} + 4.x.3^{3} + 3^{4}$

Hệ số chứa $x^{2}$ trong khai triển là: $6.3^{2} = 54$ .
Câu 17: Vận dụng
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ các chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chứa chữ số 2 và chia hết cho 5?
- A.
  19.
- B.
  32.
- C.
  42.
- D.
  23.
Giả sử số đó là $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}}$

Trường hợp 1. $a_{3} = 0$ xếp 2 vào có 2 vị trí, chọn số xếp vào vị trí còn lại có 6 cách nên có 2.6 = 12 số thỏa mãn.

Trường hợp 2. $a_{3} = 5$ . Với $a_{1} = 2$ chọn $a_{2}$ có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn. Với $a_{1} eq 2$ chọn $a_{1}$ có 5 cách chọn, và tất nhiên $a_{2} = 2$ nên có 5 số thỏa mãn. Do đó có $12 + 6 + 5 = 23$ số thỏa mãn.
Câu 18: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40}$ .
- A.
  $C_{40}^{37}$ .
- B.
  $C_{40}^{21}$ .
- C.
  $C_{40}^{5}$ .
- D.
  $C_{40}^{7}$ .
Ta có: $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}.x^{40 - k}}.\left( \frac{1}{x^{2}} ight)^{k} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}.x^{40 - 3k}}$ .

Số hạng tổng quát của khai triển là: $T_{k + 1} = C_{40}^{k}.x^{40 - 3k}$ .

Số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển tương ứng với $40 - 3k = 31 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số cần tìm là: $C_{40}^{3} = C_{40}^{37}$ (theo tính chất của tổ hợp: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ ).
Câu 19: Vận dụng
Khai triển $(\sqrt{5} - \sqrt[4]{7})^{124}$ . Hỏi có tất cả bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
- A.
  35.
- B.
  39.
- C.
  32.
- D.
  30.
Ta có $(\sqrt{5} - \sqrt[4]{7})^{124} = \sum_{k = 0}^{124}{C_{124}^{k}.( - 1)^{k}.5^{\frac{124 - k}{2}}.7^{\frac{k}{4}}}$

Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với $\left\{ \begin{matrix} \frac{124 - k}{2}\mathbb{\in Z} \\ \frac{k}{4}\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow k \in \left\{ 0;4;8;12;...;124 ight\}$ .

Vậy số các giá trị $k$ là: $\frac{124 - 0}{4} + 1 = 32$ .
Câu 20: Thông hiểu
Cho biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển $(1 + 2x)^{n}$ bằng $180$ . Tìm $n$ .
- A.
  $n = 12$ .
- B.
  $n = 14$ .
- C.
  $n = 8$ .
- D.
  $n = 10$ .
Ta có $(1 + 2x)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1}.2x + C_{n}^{2}.(2x)^{2} + ... + C_{n}^{n}(2x)^{n}$ .

Hệ số của $x^{2}$ bằng $180 \Leftrightarrow 4.C_{n}^{2} = 180 \Leftrightarrow 4\frac{n!}{2!(n - 2)!} = 180 \Leftrightarrow n(n - 1) = 90$

$\Leftrightarrow n^{2} - n - 90 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = - 9(l) \\ n = 10 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $n = 10$ .

105 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!