Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho tập hợp M = \left\{ 0;1;3;4;5;6;8 ight\}. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau từ các chữ số thuộc tập hợp M?

    Gọi số tự nhiên có ba chữ số là: \overline{abc};(a eq 0)

    TH1: c = 0

    Chữ số a có 6 cách chọn.

    Với mỗi cách chọn a có 5 cách chọn chữ số b

    => Số các số tạo thành là: 1 . 5 . 6 = 30 (số)

    TH2: c \in \left\{ 4;6;8 ight\} => Chữ số c có 3 cách chọn.

    Chữ số a có 5 cách chọn, với mỗi cách chọn a ta có 5 cách chọn b.

    => Số các số tạo thành là: 3 . 5 . 5 = 75 (số)

    Vậy có tất cả 30 + 75 = 105 (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 2: Nhận biết

    Phát biểu nào sau đây đúng?

    Phát biểu đúng là: {(a - b)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}

  • Câu 3: Vận dụng

    Một rổ có 10 loại quả khác nhau trong đó có 1 mít và 1 bưởi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thành một hàng sao cho mít và bưởi cách nhau đúng 2 quả khác?

    Xếp cố định 8 quả khác mít và bưởi vào hàng, có 8! cách xếp. Lúc này trên hàng có 9 khoảng trống, gồm khoảng trống giữa 2 quả khác bất kì và vị trí đầu, cuối hàng. Trong đó ta có 7 cặp khoảng trống mà khoảng cách giữa khoảng có đúng 2 quả khá

    C. Mỗi cặp khoảng trống đó ta sẽ cho vào đó quả mít và quả bưởi, có cách xếp mít và bưởi tương ứng là. 7.2! .

    Vậy số cách xếp cần tìm. 8!.7.2! = 564480.

  • Câu 4: Vận dụng

    Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?

    Nếu chữ số hàng chục là n thì số có chữ số hàng đơn vị là n - 1 thì số các chữ số nhỏ hơn n năm ở hàng đơn vị cũng bằng n. Do chữ số hang chục lớn hơn bằng 1 còn chữ số hang đơn vị thi \geq.

    Vậy số các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là:

    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Một thầy giáo có 10 cuốn sách khác nhau trong đó có 4 cuốn sách Toán, 3 cuốn sách Lý và 3 cuốn sách Hóa. Thầy muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 học sinh A, B, C, D, E mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách tặng nếu sau khi tặng xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn.

    Số cách lấy 5 cuốn sách trong 10 cuốn để tặng 5 học sinh là: A_{10}^{5}

    Giả sử sau khi lấy 5 cuốn sách tặng cho học sinh mà số sách còn lại không đủ ba môn.

    Khi đó xét các trường hợp sau:

    Trường hợp 1: 4 sách Toán và 1 sách Lý hoặc Hóa C_{4}^{4}.C_{6}^{1}.5! cách.

    Trường hợp 2: 3 sách Lý và 2 sách Toán hoặc Hóa C_{3}^{3}.C_{7}^{2}.5! cách.

    Trường hợp 3: 3 sách Hóa và 2 sách Toán hoặc Lý C_{3}^{3}.C_{7}^{2}.5! cách.

    Theo quy tắc cộng ta có: C_{4}^{4}.C_{6}^{1}.5! + C_{3}^{3}.C_{7}^{2}.5! + C_{3}^{3}.C_{7}^{2}.5! cách.

    Như vậy số cách thỏa yêu cầu bài toán là:

    A_{10}^{5} - \left( C_{4}^{4}.C_{6}^{1}.5! + C_{3}^{3}.C_{7}^{2}.5! + C_{3}^{3}.C_{7}^{2}.5! ight) = 24480 (cách).

  • Câu 6: Thông hiểu

    Có bao nhiêu cách xếp 40 học sinh gồm 20 học sinh trường A và 20 học sinh trường B thành 4 hàng dọc, mỗi hàng 10 người (tức 10 hàng ngang, mỗi hàng 4 người) trong đó không có học sinh cùng trường đứng kề nhau mỗi hàng ngang và tất cả các học sinh trong mỗi hàng đều cùng trường?

    Giả sử 4 hàng dọc được kí hiệu là D_{1};D_{2};D_{3};D_{4}

    Theo yêu cầu thì:

    Các bạn trường A được xếp ở D_{1};D_{3}

    Các bạn trường B được xếp ở D_{2};D_{4} hoặc ngược lại.

    Nên số cách xếp là 2.20!.20! cách.

  • Câu 7: Nhận biết

    Hệ số của số hạng chứa x^{6}trong khai triển Newton \left( x - \frac{2}{x^{2}} ight)^{15}là:

    \left( x - \frac{2}{x^{2}} ight)^{15} = \sum_{k = 0}^{15}{C_{15}^{k}x^{15 - k}\left( - \frac{2}{x^{2}} ight)^{k}} = \sum_{k = 0}^{15}{C_{15}^{k}x^{15 - k}( - 2)^{k}\left( x^{- 2} ight)^{k} =}\sum_{k = 0}^{15}{C_{15}^{k}( - 2)^{k}x^{15 - 3k}}

    Số hạng tổng quát của khái triển T_{k + 1} = C_{15}^{k}( - 2)^{k}x^{15 - 3k}

    Số của số hạng chứa x^{6}: 15 - 3k = 6 \Leftrightarrow k = 3. Hệ số của số hạng chứa x^{6}C_{15}^{k}( - 2)^{k} = C_{15}^{3}( - 2)^{3} = - 3640.

  • Câu 8: Vận dụng

    Tìm n thuộc tập hợp số tự nhiên, biết rằng 1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = 256n (C_{n}^{k} là số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Trước hết ta chứng minh công thức \frac{k}{n}C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} với 1 \leq k \leq n và n \geq 2.

    Thật vậy, \frac{k}{n}C_{n}^{k} = \frac{k}{n}.\frac{n!}{k!(n - k)!} = \frac{(n - 1)!}{(k - 1)!(n - k)!} = C_{n - 1}^{k - 1}.(đpcm)

    Áp dụng công thức trên ta có

    1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = n\left( \frac{1}{n}.C_{n}^{1} + \frac{2}{n}.C_{n}^{2} + \frac{3}{n}.C_{n}^{3} + ... + \frac{n}{n}.C_{n}^{n} ight)

    = n\left( C_{n - 1}^{0} + C_{n - 1}^{1} + C_{n - 1}^{2} + ... + C_{n - 1}^{n - 1} ight) = n2^{n - 1}

    Theo đề 1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = 256n \Leftrightarrow n2^{n - 1} = 256n \Leftrightarrow 2^{n - 1} = 256 \Leftrightarrow n = 9..

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho tập A = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8 ight\}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5?

    Vì x lẻ và không chia hết cho 5 nên d \in \left\{ 1;3;7 ight\}=> Có 3 cách chọn

    Số các chọn các chữ số còn lại là: 7.6.5.4.3.2.1

    Vậy 15120 số thỏa yêu cầu bài toán.

  • Câu 10: Nhận biết

    Tìm hệ số của số hạng chứa x^{2} trong khai triển (x + 3)^{4}?

    Ta có: (x + 3)^{4} = x^{4} + 4x^{3}.3 + 6.x^{2}.3^{2} + 4.x.3^{3} + 3^{4}

    Hệ số chứa x^{2} trong khai triển là: 6.3^{2} = 54.

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho tập hợp M có 30 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của M là:

    Số tập con gồm 5 phần tử của M chính là số tổ hợp chập 5 của 30 phần tử, nghĩa là bằng C_{30}^{5}.

  • Câu 12: Nhận biết

    Một lớp học có 15 bạn nam và 10 bạn nữ. Số cách chọn hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ là

    Số cách chọn một bạn nam là 15 cách.

    Số cách chọn một bạn nữ là 10 cách.

    Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ là 15.10 = 150 cách.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tính tổng các hệ số trong khai triển (1 - 2x)^{2018}.

    Xét khai triển (1 - 2x)^{2018} =C_{2018}^{0} - 2x.C_{2018}^{1} + ( - 2x)^{2}.C_{2018}^{2} + ... + ( - 2x)^{2018}.C_{2018}^{2018}

    Tổng các hệ số trong khai triển là: S = C_{2018}^{0} - 2.C_{2018}^{1} + ( - 2)^{2}.C_{2018}^{2} + ( - 2)^{3}.C_{2018}^{3} + ... + ( - 2)^{2018}.C_{2018}^{2018}

    Cho x = 1 ta có: (1 - 2.1)^{2018} = C_{2018}^{0} - 2.1.C_{2018}^{1}+ ( - 2.1)^{2}.C_{2018}^{2} + ... + ( -2.1)^{2018}.C_{2018}^{2018}

    \Leftrightarrow ( - 1)^{2018} = S\Leftrightarrow S = 1

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho tập A = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6 ight\}. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.

    Gọi \overline{abcde} là số số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.

    + TH1. e = 0. Chọn a,b,c,d \in A\backslash\left\{ 0 ight\}: A_{6}^{4} = 360 \Rightarrowcó 360 số.

    + TH2. e eq 0:Chọn e \in \left\{ 2;4;6 ight\}:3 (cách).

    Chọn a \in A\backslash\left\{ 0;e ight\}:5 (cách).

    Chọn b,c,d \in A\backslash\left\{ a;e ight\}: A_{5}^{3} = 60 (cách).

    \Rightarrow có 3.5.60 = 900 số.

    Vậy có. 900 + 360 = 1260số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.

  • Câu 15: Nhận biết

    Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ?

    Đánh số thứ tự các vị trí theo hàng dọc từ 1 đến 6.

    Trường hợp 1. Nam đứng trước, nữ đứng sau.

    Xếp nam (vào các vị trí đánh số 1,3,5). Có 3! = 6 cách.

    Xếp nữ (vào các vị trí đánh số 2,4,6). Có 3! = 6 cách.

    Vậy trường hợp này có. 6.6 = 36 cách.

    Trường hợp 2. Nữ đứng trước, nam đứng sau.

    Xếp nữ (vào các vị trí đánh số 1,3,5). Có 3! = 6 cách.

    Xếp nam (vào các vị trí đánh số 2,4,6). Có 3! = 6 cách.

    Vậy trường hợp này có. 6.6 = 36 cách.

    Theo quy tắc cộng ta có. 36 + 36 = 72 cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ.

  • Câu 16: Nhận biết

    Bạn Anh muốn qua nhà bạn Bình để rủ Bình đến nhà bạn Châu chơi. Từ nhà Anh đến nhà Bình có 3con đường. Từ nhà Bình đến nhà Châu có 5con đường. Hỏi bạn Anh có bao nhiêu cách chọn đường đi từ nhà mình đến nhà bạn Châu.

    Từ nhà Anh đến nhà Bình có 3 cách chọn 1 con đường.

    Từ nhà bạn Bình đến nhà Châu có 5 cách chọn 1 con đường.

    Theo quy tắc nhân, số cách chọn đường đi từ nhà Anh đến nhà Châu là 5.3 = 15.

  • Câu 17: Nhận biết

    Có 3 cây bút đỏ, 4 cây bút xanh trong một hộp bút. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một cây bút từ hộp bút?

    Số cách lấy ra 1 cây bút là màu đỏ có 3 cách.

    Số cách lấy ra 1 cây bút là màu xanh có 4 cách.

    Theo quy tắc cộng, số cách lấy ra 1 cây bút từ hộp bút là: 3 + 4 = 7 cách.

    Vậy có 7 cách lấy 1 cây bút từ hộp bút.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Biết hệ số của x^{3} trong khai triển của {(1 - 3x)^n} là – 270. Giá trị của n là

    Khai triển biểu thức như sau:

    \begin{matrix} {(1 - 3x)^n} = \sumolimits_{k = 0}^n {C_n^k.{{\left( 1 ight)}^{n - k}}.{{\left( { - 3x} ight)}^k}} \hfill \\ = \sumolimits_{k = 0}^n {C_n^k.{{\left( { - 3} ight)}^k}.{x^k}} \hfill \\ \end{matrix}

    Hệ số của x3 trong khai triển bằng -270

    => C_n^3.{\left( { - 3} ight)^3} = - 270 \Rightarrow n = 5

  • Câu 19: Nhận biết

    Kết quả của phép tính C_{6}^{2}-C_{6}^{3} là:

     Ta có: C_{6}^{2}-C_{6}^{3} =-5.

  • Câu 20: Nhận biết

    Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho năm người gồm 3 nam và 2 nữ vào năm cái ghế xếp thành một dãy nếu hai nữ ngồi ở đầu và cuối dãy ghế?

    2 nữ ngồi ở đầu và cuối dãy ghế có 2! cách.

    3 nam ngồi ở 3 ghế giữa có 3! cách.

    Vậy có 2!.3! = 12 cách xếp.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 97 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập