Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $5$ chữ số lớn hơn $4$ và đôi một khác nhau?
- A.
  $240$ .
- B.
  $120$ .
- C.
  $360$ .
- D.
  $24$ .
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ .

Khi đó: $a$ có 5 cách chọn, $b$ có 4 cách chọn, $c$ có 3 cách chọn, $d$ có 2 cách chọn, $e$ có 1 cách chọn.

Nên có tất cả $5.4.3.2.1 = 120$ số.
Câu 2: Thông hiểu
Một người có 5 chiếc áo trong đó có $3$ chiếc áo trắng. Người đó cũng có 3 chiếc cà vạt trong đó có 2 chiếc cà vạt màu vàng. Tìm số cách chọn một chiếc áo và một chiếc cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng.
- A.
  10
- B.
  8
- C.
  7
- D.
  9
5 chiếc áo gồm: 3 trắng và 2 màu khác.

3 chiếc cà vạt gồm: 2 vàng và 1 màu khác.

Trường hợp 1: Áo trắng, cà vạt màu khác vàng.

Áo trắng: có 3 cách chọn.

Cà vạt màu khác vàng: 1 cách chọn.

Suy ra có: 3.1 = 3 (cách).

Trường hợp 2: Áo màu khác trắng, cà vạt màu bất kì.

Áo màu khác trắng: 2 cách chọn.

Cà vạt màu bất kì: 3 cách chọn.

Suy ra có: 2.3 = 6 (cách).

Vậy có: 3+6 = 9 (cách) chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 3: Nhận biết
Có 8 vận động viên chạy thi. Người thắng sẽ nhận được huy chương vàng, người về đích thứ hai nhận huy chương bạc, người về đích thứ ba nhận huy chương đồng. Có bao nhiêu cách trao các huy chương này, nếu tất cả các kết cục của cuộc thi đều có thể xảy ra?
- A.
  $168$
- B.
  $336$
- C.
  $112$
- D.
  $302$
Số cách chọn 3 vận động viên về đích đầu tiên trong 8 vận động viên là $C_{8}^{3}$

Số cách trao 3 huy chương vàng, bạc, đồng cho 3 vận động viên về đích đầu là 3!

Vậy số cách trao các huy chương này là $C_{8}^{3}.3! = 336$
Câu 4: Thông hiểu
Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau?
- A.
  $751$
- B.
  $736$
- C.
  $648$
- D.
  $684$
Gọi số tự nhiên có ba chữ số có dạng $\overline{abc};(a eq 0)$

Có 9 cách chọn a

Có 9 cách chọn b

Có 8 cách chọn c

=> Số các số được tạo thành là: $9.9.8 = 648$ số.
Câu 5: Nhận biết
Nam muốn qua nhà Hải để cùng Hải đến chơi nhà Cường. Từ nhà Nam đến nhà Hải có 4 con đường đi, từ nhà Hải đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường cùng Hải?
- A.
  24
- B.
  10
- C.
  12
- D.
  6
Từ nhà Nam đến nhà Hải có 4 con đường.

Từ nhà Hải đến nhà Cường có 6 con đường.

Áp dụng quy tắc nhân, có 4.6 = 24 cách đi từ nhà Nam đến nhà Cường (đi qua nhà Hải).
Câu 6: Nhận biết
Có bao nhiêu các sắp xếp 10 bạn học sinh thành một hàng ngang ?
- A.
  $P_{10}$ .
- B.
  $C_{10}^{2}$ .
- C.
  $A_{10}^{10}$ .
- D.
  $C_{10}^{10}$ .
Mỗi cách xếp 10 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của tập hợp có 10 phần tử.

Suy ra số cách sắp xếp là $P_{10}$ .
Câu 7: Vận dụng
Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả 3 khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
- A.
  $40$ .
- B.
  $500$ .
- C.
  $1000$ .
- D.
  $250$ .
TH1. Có đúng 1 học sinh khối 10: $5.1.C_{5}^{4} + 5.C_{5}^{4}.1 = 50$ (cách). (1 lớp 10 + 5 lớp 11 + 4 lớp 12 hoặc 1 lớp 10 + 5 lớp 12 + 4 lớp 11)

TH2. Có đúng 2 học sinh khối 10: $C_{5}^{2}.C_{5}^{3}.C_{5}^{5} + C_{5}^{2}.C_{5}^{4}.C_{5}^{4} + C_{5}^{2}.C_{5}^{5}.C_{5}^{3} = 450$ (cách).

$\Rightarrow$ Có $50 + 450 = 500$ cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
Câu 8: Vận dụng
Cho đa giác đều $A_{1}A_{2}...A_{2n}$ nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong $2n$ của đa giác gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong $2n$ đỉnh của đa giác. Tìm $n$ .
- A.
  $n = 6$
- B.
  $n = 11$
- C.
  $n = 10$
- D.
  $n = 8$
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$ là $C_{2n}^{3}$

Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$ cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$

Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.

Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là $C_{n}^{2}$

Theo giả thiết ta có:

$C_{2n}^{3} = 20C_{n}^{2} \Leftrightarrow \frac{(2n)!}{3!(2n - 3)!} = 20.\frac{n!}{n!(n - 2)!}$

$\Leftrightarrow \frac{2n(2n - 1)(2n - 2)}{6} = 10n(n - 1)$

$\Leftrightarrow 4n^{3} - 36n^{2} + 32n = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0(L) \\ n = 1(L) \\ n = 8(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $n = 8$ .
Câu 9: Nhận biết
Cho tập hợp $S = \left\{ 1,2,3,4,7,8 ight\}$ , lấy ngẫu nhiên 1 chữ số. Các kết quả thuận lợi cho C “biến cố lấy được chữ số lẻ” là:
- A.
  $C = \left\{ 1;5;9 ight\}$
- B.
  $C = \left\{ 1;3;7 ight\}$
- C.
  $C = \left\{ 2;4;8 ight\}$
- D.
  $C = \left\{ 1,2,3,4,7,8 ight\}$
Các kết quả thuận lợi cho biến cố lấy được chữ số lẻ là: $C = \left\{ 1;3;7 ight\}$
Câu 10: Nhận biết
Trong khai triển nhị thức Newton $(3x - 2)^{5}$ , hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ bằng:
- A.
  $1080x^{3}$
- B.
  $- 1080x^{3}$
- C.
  $- 1080$
- D.
  $1080$
Hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(3x - 2)^{5}$ là: $C_{5}^{3}.3^{3}.( - 2)^{2} = 1080$ .
Câu 11: Nhận biết
Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức $(2x - 3)^{2018}$ ?
- A.
  $2019$ .
- B.
  $2016$ .
- C.
  $2018$ .
- D.
  $1820$ .
Trong khai triển nhị thức $(a + b)^{n}$ thì số các số hạng là $n + 1$ nên trong khai triển $(2x - 3)^{2018}$ có $2019$ số hạng.
Câu 12: Thông hiểu
Tìm số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(3x + 2)^{4}$ ?
- A.
  $24x^{3}$
- B.
  $96x^{3}$
- C.
  $216x^{3}$
- D.
  $8x^{3}$
Số hạng tổng quát theo thứ tự giảm dần số mũ x là:

$C_{4}^{k}(3x)^{4 - k}.2^{k} = C_{4}^{k}.3^{4 - k}.2^{k}.x^{4 - k}$

Số hạng chứa $x^{3}$ ứng với $4 - k = 3 \Rightarrow k = 1$

Số hạng cần tìm là $C_{4}^{1}.3^{4 - 1}.2.x^{4 - 1} = 216x^{3}$ .
Câu 13: Nhận biết
An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường?
- A.
  16
- B.
  10
- C.
  24
- D.
  36
Từ nhà An đến nhà Bình có 4 cách chọn đường.
Từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách chọn đường.
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn đường đi từ nhà An đến nhà Cường là: 4.6 = 24 (cách).
Câu 14: Thông hiểu
Tìm hệ số của $x^{25}y^{10}$ trong khai triển $\left( x^{3} + xy ight)^{15}.$
- A.
  58690.
- B.
  4004.
- C.
  3003.
- D.
  5005.
Số hạng tổng quát của khai triển đã cho là $C_{15}^{k}.\left( x^{3} ight)^{15 - k}.(xy)^{k} = C_{15}^{k}.x^{45 - 2k}.y^{k},$

với $0 \leq k \leq 15$ , $k \in \mathbb{N}$ . Số hạng này chứa $x^{25}y^{10}$ khi và chỉ khi $k = 10$ (thỏa mãn).

Vậy hệ số của $x^{25}y^{10}$ trong khai triển $\left( x^{3} + xy ight)^{15}$ là $C_{15}^{10} = 3003.$ .
Câu 15: Nhận biết
Cho tập $M$ gồm $10$ phần tử. Số tập con gồm $4$ phần tử của M là:
- A.
  $400$ .
- B.
  $A_{10}^{4}$ .
- C.
  $C_{10}^{4}$ .
- D.
  $140$ .
Số tập con gồm $4$ phần tử của $M$ là số cách chọn $4$ phần tử bất kì trong $10$ phần tử của $M$ .

Do đó số tập con gồm $4$ phần tử của $M$ là $C_{10}^{4}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Cho hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ song song với nhau. Trên đường thẳng $d_{1}$ lấy 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng $d_{2}$ lấy 4 điểm phân biệt. Số tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm có được từ các điểm trên là bao nhiêu?
- A.
  $70$
- B.
  $45$
- C.
  $62$
- D.
  $58$
Th1: Chọn 2 điểm trên đường thẳng $d_{1}$ và 1 điểm trên đường thẳng $d_{1}$ suy ra ta có: $C_{5}^{2}.C_{4}^{1} = 40$

Th2: Chọn 1 điểm trên đường thẳng $d_{1}$ và 2 điểm trên đường thẳng $d_{1}$ suy ra ta có: $C_{5}^{1}.C_{4}^{2} = 30$

Vậy số tam giác được tạo thành là: 30 + 40 = 70 tam giác.
Câu 17: Vận dụng
Cho $n$ là số tự nhiên thỏa mãn $C_{n}^{0} + 2.C_{n}^{1} + 2^{2}.C_{n}^{2} + ... + 2^{n}.C_{n}^{n} = 59049$ . Biết số hạng thứ $3$ trong khai triển Newton của $\left( x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{n}$ có giá trị bằng $\frac{81}{2}n$ . Tìm giá trị của $x$ .
- A.
  $-1$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $\pm 1$ .
- D.
  $\pm3$ .
Ta có: $C_{n}^{0} + 2.C_{n}^{1} +2^{2}.C_{n}^{2} + ... + 2^{n}.C_{n}^{n} = 59049$

$\Rightarrow (2 + 1)^{n}= 59049 \Leftrightarrow 3^{n} = 3^{10} \Leftrightarrow n =10$ .

Ta được nhị thức $\left( x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{10}$ .

Số hạng thứ ba của khai triển là $T_{3} = C_{10}^{2}.\left( x^{2} ight)^{8}.\left( - \frac{3}{x} ight)^{2} = 405x^{14}$ .

Theo giả thiết ta có: $405x^{14} = \frac{81}{2}n$ $\Leftrightarrow$ $405x^{14} = 405$ $\Leftrightarrow$ $x^{14} = 1$ $\Leftrightarrow$ $x = \pm 1$ .
Câu 18: Nhận biết
Cho khai triển $\left( x + \frac{2}{\sqrt{x}} ight)^{6}$ với $x > 0$ . Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển trên.
- A.
  90.
- B.
  150.
- C.
  250.
- D.
  60.
Ta có: $\left( x + \frac{2}{\sqrt{x}} ight)^{6} = \sum_{k = 0}^{6}{C_{6}^{k}x^{6 - k}\left( \frac{2}{\sqrt{x}} ight)^{k} = \sum_{k = 0}^{6}{2^{k}C_{6}^{k}x^{6 - \frac{3k}{2}}}}$ .

Số hạng chứa $x^{3}$ ứng với $\mathbf{6}\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}\mathbf{k}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{\Rightarrow k =}\mathbf{2}$ . Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ bằng $2^{2}.C_{6}^{2} = 60$ .
Câu 19: Nhận biết
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi là
- A.
  600.
- B.
  120.
- C.
  3125.
- D.
  720.
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế là: 5! =120 (cách).
Câu 20: Thông hiểu
Trong phòng thi có hai dãy ghế đối diện nhau qua một cái bàn dài, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 nam sinh và 6 nữ sinh vào hai dãy ghế này. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho nam sinh và nữ sinh ngồi riêng dãy?
- A.
  $1128000$
- B.
  $518400$
- C.
  $1036800$
- D.
  $345600$
Giả sử gọi 2 dãy ghế là dãy A và dãy B.

Trường hợp 1: Các bạn nam ngồi dãy A, các bạn nữ ngồi dãy B

Số cách xếp là: $6!.6!$ cách.

Trường hợp 2: Các bạn nữ ngồi dãy A, các bạn nam ngồi dãy B

Số cách xếp là: $6!.6!$ cách.

Vậy số cách xếp là: $2.6!.6! = 1036800$ cách.

100 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!