Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả 3 khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
- A.
  $40$ .
- B.
  $500$ .
- C.
  $1000$ .
- D.
  $250$ .
TH1. Có đúng 1 học sinh khối 10: $5.1.C_{5}^{4} + 5.C_{5}^{4}.1 = 50$ (cách). (1 lớp 10 + 5 lớp 11 + 4 lớp 12 hoặc 1 lớp 10 + 5 lớp 12 + 4 lớp 11)

TH2. Có đúng 2 học sinh khối 10: $C_{5}^{2}.C_{5}^{3}.C_{5}^{5} + C_{5}^{2}.C_{5}^{4}.C_{5}^{4} + C_{5}^{2}.C_{5}^{5}.C_{5}^{3} = 450$ (cách).

$\Rightarrow$ Có $50 + 450 = 500$ cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
Câu 2: Nhận biết
Khối lớp 11 có 300 học sinh nam và 250 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn hai học sinh làm đại diện cho khối 11 trong đó có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ. Số cách chọn là:
- A.
  $550$
- B.
  $750$
- C.
  $15000$
- D.
  $75000$
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ là:

$300.250 = 75000$ cách chọn.
Câu 3: Nhận biết
Giả sử có một công việc có thể tiến hành theo hai công đoạn M và N. Công đoạn M có a cách, công đoạn N có b cách. Khi đó công việc có thể thực hiện bằng:
- A.
  $\frac{1}{2}a.b$ cách
- B.
  $\frac{1}{2}(a + b)$ cách
- C.
  $a + b$ cách
- D.
  $a.b$ cách
Khi đó công việc có thể được thực hiện bằng $a.b$ (cách).
Câu 4: Vận dụng
Một tập hợp M gồm 20 phần tử. Hỏi M có bao nhiêu tập con khác rỗng mà có số phần tử chẵn?
- A.
  $2^{19}$
- B.
  $2^{19} - 1$
- C.
  $2^{20} + 1$
- D.
  $2^{20}$
Tổng số các tập con của tập M là: $2^{20}$

Trong đó số tập con khác rỗng và có số phần tử chẵn là:

$C_{20}^{2} + C_{20}^{4} + ... + C_{20}^{20}$

Lại có: $C_{20}^{0} + C_{20}^{1} + C_{20}^{2} + ... + C_{20}^{19} + C_{20}^{20} = (1 + 1)^{20} = 2^{20}$

Và $C_{20}^{0} - C_{20}^{1} + C_{20}^{2} + ... - C_{20}^{19} + C_{20}^{20} = (1 - 1)^{20} = 0$

Do đó:

$C_{20}^{0} + C_{20}^{2} + C_{20}^{4} + ... + C_{20}^{20} = C_{20}^{1} + C_{20}^{3} + C_{20}^{5} + ... + C_{20}^{17} + C_{20}^{19} = 2^{19}$

$\Rightarrow C_{20}^{2} + C_{20}^{4} + ... + C_{20}^{20} = 2^{19} - C_{20}^{0} = 2^{19} - 1$
Câu 5: Thông hiểu
Từ 9 chữ số $1;2;3;4;5;6;7;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số gồm 9 chữ số nếu như không có chữ số nào được lặp lại? Trong các số đó có bao nhiêu số mà các chữ số 1 và 7 không đứng cạnh nhau.
- A.
  $322560$ số
- B.
  $295482$ số
- C.
  $282240$ số
- D.
  $241920$ số
Từ 9 chữ số $1;2;3;4;5;6;7;8;9$ có thể lập được các số nếu như không có chữ số nào được lặp lại ta hiểu đó là số có 9 chữ số khác nhau.

Do đó sẽ có 9! số thỏa mãn.

Để tìm số mà các chữ số 1 và 7 không đứng cạnh nhau ta đi tìm các số mà 1 và 7 đứng cạnh nhau.

Coi 1 và 7 là 1 số thì ta sẽ có $\overline{17}$ và $\overline{71}$ .

Đưa được về bài toán tìm số có 8 chữ số khác nhau.

Do đó số các số tìm được là 8! số.

Do 1 và 7 có 2 vị trí nên ta có 2.8! số.

Vậy số có 9 chữ số khác nhau không có 1 và 7 đứng cạnh là: $9! - 2.8! = 282240$ số.
Câu 6: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ , (biết $x eq 0$ ).
- A.
  $176.$
- B.
  $88.$
- C.
  $- 276.$
- D.
  $286.$
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ .

$T_{k + 1} = C_{13}^{k}x^{13 - k}\left( \frac{1}{x} ight)^{k} = C_{13}^{k}x^{13 - 2k}$ .

$T_{k + 1}$ chứa $x^{7} \Leftrightarrow 13 - 2k = 7 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ bằng: $C_{13}^{3} = 286$ .
Câu 7: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức: $A = C_{2016}^{1} + C_{2016}^{2} + C_{2016}^{3} + ... + C_{2016}^{2016}$ .
- A.
  $A = 2^{2016}$
- B.
  $A = 2^{2016} + 1$
- C.
  $A = 4^{2016}$
- D.
  $A = 2^{2016} - 1$
Xét khai triển $(x + 1)^{2016} = C_{2016}^{0}x^{2016} + C_{2016}^{1}.x^{2015} + ... + C_{2016}^{2016}$

Thay $x = 1$ ta được:

$(1 + 1)^{2016} = C_{2016}^{0}.1^{2016} + C_{2016}^{1}.1^{2015} + ... + C_{2016}^{2016}$

$= C_{2016}^{0} + C_{2016}^{1} + ... + C_{2016}^{2016} = 1 + A$

$\Leftrightarrow 1 + A = 2^{2016}$

$\Leftrightarrow A = 2^{2016} - 1$
Câu 8: Thông hiểu
Từ tập hợp các chữ số $A = \left\{ 1,2,3,4,5,6 ight\}$ có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau thuộc khoảng $(300;500)$ ?
- A.
  $720$ số
- B.
  $40$ số
- C.
  $20$ số
- D.
  $41$ số
Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm có dạng $\overline{abc};(a eq 0)$

Số cần tìm thuộc khoảng $(300;500)$ nên $a \in \left\{ 3;4 ight\}$ => a có 2 cách chọn.

Số cách chọn b là 5 cách chọn

Số cách chọn c là 4 cách chọn

Vậy có thể lập được $2.5.4 = 40$ (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 9: Thông hiểu
Từ 5 chữ số 1, 2, 5, 7, 8 có thể lập bao nhiêu số chẵn gồm 3 chữ số phân biệt và nhỏ hơn hoặc bằng 278?
- A.
  $12$
- B.
  $9$
- C.
  $15$
- D.
  $20$
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abc};\left( a,b \in \left\{ 1;2;5;7;8 ight\},c \in \left\{ 2;8 ight\} ight)$

Trường hợp 1: $a = 2;b = 7;c = 8$ . Có 1 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp2: $a = 2;b < 7;c = 8$

a có 1 cách chọn.

c có 1 cách chọn.

b có 2 cách chọn.

⇒ Theo quy tắc nhân ta có: $1.1.2 = 2$ (số).

Trường hợp 3: $a < 2;c \in \left\{ 2;8 ight\}$

a có 1 cách chọn.

c có 2 cách chọn.

b có 3 cách chọn.

⇒ Theo quy tắc nhân ta có: $1.2.3 = 6$ (số).

Vậy có: $1 + 2 + 6 = 9$ (số).
Câu 10: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40}$ .
- A.
  $C_{40}^{37}$ .
- B.
  $C_{40}^{21}$ .
- C.
  $C_{40}^{5}$ .
- D.
  $C_{40}^{7}$ .
Ta có: $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}.x^{40 - k}}.\left( \frac{1}{x^{2}} ight)^{k} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}.x^{40 - 3k}}$ .

Số hạng tổng quát của khai triển là: $T_{k + 1} = C_{40}^{k}.x^{40 - 3k}$ .

Số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển tương ứng với $40 - 3k = 31 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số cần tìm là: $C_{40}^{3} = C_{40}^{37}$ (theo tính chất của tổ hợp: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ ).
Câu 11: Nhận biết
Khai triển nhị thức Niu-tơn của $(3 - 2x)^{2019}$ có bao nhiêu số hạng?
- A.
  $2029$ .
- B.
  $2098$ .
- C.
  $2020$ .
- D.
  $2022$ .
Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn $(a + b)^{n}$ có $n + 1$ số hạng.

Vậy trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(3 - 2x)^{2019}$ có $2020$ số hạng.
Câu 12: Nhận biết
Cho tập hợp $E$ có 10 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có 8 phần tử của tập hợp $E$ ?
- A.
  120.
- B.
  88.
- C.
  45.
- D.
  89.
Mỗi tập con có 8 phần tử của tập hợp $E$ là một tổ hợp chập 8 của 10. Vậy số tập con có 8 phần tử của tập hợp $E$ là. $C_{10}^{8} = 45$ .
Câu 13: Vận dụng
Số các số tự nhiên gồm $5$ chữ số chia hết cho $10$ là:
- A.
  $3260$ .
- B.
  $3168$ .
- C.
  $9000$ .
- D.
  $12070$ .
Gọi số cần tìm có dạng: $\overline{abcde}\ \ \ \ \ \ \ (a eq 0)$ .

Chọn $e$ : có 1 cách $(e = 0)$

Chọn $a$ : có 9 cách $(a eq 0)$

Chọn $\overline{bcd}$ : có $10^{3}$ cách

Theo quy tắc nhân, có $1.9.10^{3} = 9000$ (số).
Câu 14: Thông hiểu
Tìm số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(3x + 2)^{4}$ ?
- A.
  $24x^{3}$
- B.
  $96x^{3}$
- C.
  $216x^{3}$
- D.
  $8x^{3}$
Số hạng tổng quát theo thứ tự giảm dần số mũ x là:

$C_{4}^{k}(3x)^{4 - k}.2^{k} = C_{4}^{k}.3^{4 - k}.2^{k}.x^{4 - k}$

Số hạng chứa $x^{3}$ ứng với $4 - k = 3 \Rightarrow k = 1$

Số hạng cần tìm là $C_{4}^{1}.3^{4 - 1}.2.x^{4 - 1} = 216x^{3}$ .
Câu 15: Nhận biết
Tính số chỉnh hợp chập 2 của 5 là:
- A.
  $C_{5}^{2}$
- B.
  $A_{5}^{2}$
- C.
  $P_{2}$
- D.
  $5!$
Số chỉnh hợp chập 2 của 5 là: $A_{5}^{2}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số $5,\ 6,\ 7,\ 8,9.$ Tính tổng tất cả các số thuộc tập $S.$
- A.
  $9344420.$
- B.
  $45566200.$
- C.
  $9333240.$
- D.
  $42266240.$
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ $5,6,7,8,9$ là $5! = 120$ số.
Vì vai trò các chữ số như nhau nên mỗi chữ số $5,6,7,8,9$ xuất hiện ở hàng đơn vị là $4! = 24$ lần.
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là $24(5 + 6+ 7 + 8 + 9) = 840$ .
Tương tự thì mỗi lần xuất hiện ở các hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn của mỗi chữ số là 24 lần.
Vậy tổng các số thuộc tập $S$ là $840\left( 1 + 10 + 10^{2} + 10^{3} + 10^{4}ight) = 9333240$ .
Câu 17: Vận dụng
Cho đa giác đều $A_{1}A_{2}...A_{2n}$ nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong $2n$ của đa giác gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong $2n$ đỉnh của đa giác. Tìm $n$ .
- A.
  $n = 6$
- B.
  $n = 11$
- C.
  $n = 10$
- D.
  $n = 8$
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$ là $C_{2n}^{3}$

Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$ cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$

Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.

Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là $C_{n}^{2}$

Theo giả thiết ta có:

$C_{2n}^{3} = 20C_{n}^{2} \Leftrightarrow \frac{(2n)!}{3!(2n - 3)!} = 20.\frac{n!}{n!(n - 2)!}$

$\Leftrightarrow \frac{2n(2n - 1)(2n - 2)}{6} = 10n(n - 1)$

$\Leftrightarrow 4n^{3} - 36n^{2} + 32n = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0(L) \\ n = 1(L) \\ n = 8(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $n = 8$ .
Câu 18: Nhận biết
Có bao nhiêu cách sắp xếp $3$ nữ sinh, $3$ nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ?
- A.
  $9$ .
- B.
  $36$ .
- C.
  $120$ .
- D.
  $72$ .
Đánh số thứ tự các vị trí theo hàng dọc từ $1$ đến $6$ .

Trường hợp 1. Nam đứng trước, nữ đứng sau.

Xếp nam (vào các vị trí đánh số $1,3,5$ ). Có $3! = 6$ cách.

Xếp nữ (vào các vị trí đánh số $2,4,6$ ). Có $3! = 6$ cách.

Vậy trường hợp này có. $6.6 = 36$ cách.

Trường hợp 2. Nữ đứng trước, nam đứng sau.

Xếp nữ (vào các vị trí đánh số $1,3,5$ ). Có $3! = 6$ cách.

Xếp nam (vào các vị trí đánh số $2,4,6$ ). Có $3! = 6$ cách.

Vậy trường hợp này có. $6.6 = 36$ cách.

Theo quy tắc cộng ta có. $36 + 36 = 72$ cách sắp xếp $3$ nữ sinh, $3$ nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ.
Câu 19: Nhận biết
Có $6$ học sinh và $2$ thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Đếm số cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?
- A.
  30240 cách. .
- B.
  620 cách.
- C.
  362550 cách.
- D.
  1660 cách.
Xếp 8 người thành hàng ngang có $P_{8}$ cách.

Xếp 8 người thành hàng ngang sao cho 2 thầy giáo đứng cạnh nhau có $7.2!.6!$ cách.

Vậy số cách xếp cần tìm là. $P_{8} - 7.2!.6! = 30240$ cách.
Câu 20: Nhận biết
Số cách xếp 5 học sinh $A;B;C;D;E$ vào một ghế dài sao cho bạn $A;C$ ngồi ở hai đầu ghế là:
- A.
  $20$ cách
- B.
  $24$ cách
- C.
  $12$ cách
- D.
  $18$ cách
Vì A; E ngồi ở hai đầu ghế nên ta có 3!.2! = 12 cách sắp xếp $A;B;C;D;E$

102 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20

Chưa làm Đã làm