Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Tìm số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40}$ .
- A.
  $C_{40}^{31}x^{31}$ .
- B.
  $- C_{40}^{33}x^{32}$ .
- C.
  $C_{40}^{37}x^{31}$ .
- D.
  $C_{40}^{3}x^{31}$ .
Ta có khai triển: $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}x^{40 - k}\left( x^{- 2} ight)^{k}} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}x^{40 - 3k}}$ .

Số hạng tổng quát trong khai triển: $C_{40}^{k}x^{40 - 3k}$

Số hạng chứa $x^{31}$ ứng với: $40 - 3k = 31 \Leftrightarrow k = 3$

Vậy số hạng chứa $x^{31}$ là: $C_{40}^{3}x^{31}$ .
Câu 2: Nhận biết
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi là
- A.
  600.
- B.
  120.
- C.
  3125.
- D.
  720.
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế là: 5! =120 (cách).
Câu 3: Vận dụng
Trong khai triển của $\left( x^{\frac{1}{15}}y^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{5}} ight)^{2019}$ , số hạng mà lũy thừa của $x$ và $y$ bằng nhau là số hạng thứ bao nhiêu của khai triển?
- A.
  1343.
- B.
  1147.
- C.
  1247.
- D.
  1347.
Ta có số hạng thứ $k + 1$ là : $C_{2019}^{k}\left( x^{\frac{1}{15}}y^{\frac{1}{3}} ight)^{2019 - k}\left( x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{5}} ight)^{k} = C_{2019}^{k}x^{\frac{2019}{15} + \frac{4}{15}k}y^{\frac{2019}{3} - \frac{2}{15}k}$

Theo đề bài ta có; $\frac{2019}{15} + \frac{4}{15}k = \frac{2019}{3} - \frac{2}{15}k \Leftrightarrow k = 1346$

Vậy số hạng thỏa yêu cầu bài toán là số hạng thứ $1347$ .
Câu 4: Vận dụng
Cho các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 7; 9. Từ các chữ số này, ta lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 10 và nhỏ hơn 5430?
- A.
  114.
- B.
  235.
- C.
  209.
- D.
  125.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd}$ . Vì $\overline{abcd}$ chia hết cho 10 suy ra $d = 0$ .

TH1. Với $a = 5$ , ta có

+ Nếu $b = 4$ suy ra $c = \left\{ 0;1 ight\}$ , do đó có 2 số cần tìm.

+ Nếu $b < 4$ suy ra $b = \left\{ 0;1 ight\}$ và $c = \left\{ 0;1;4;5;6;7;9 ight\}$ , do đó có 14 số cần tìm.

TH2. Với $a < 5 \Rightarrow a = \left\{ 1;4 ight\}$ suy ra có 2 cách chọn a, 7 cách chọn b, 7 cách chọn

C.

Suy ra có $2 \times 7 \times 7 = 98$ số cần tìm. Vậy có tất cả 114 số cần tìm.
Câu 5: Thông hiểu

Có nhiều nhất bao nhiêu biển đăng ký xe máy nếu mỗi biển chứa một dãy gồm một chữ cái, tiếp đến một chữ số khác 0 và cuối cùng là 5 chữ số.

Đáp án: 23400000

Đáp án là:

Có nhiều nhất bao nhiêu biển đăng ký xe máy nếu mỗi biển chứa một dãy gồm một chữ cái, tiếp đến một chữ số khác 0 và cuối cùng là 5 chữ số.

Đáp án: 23400000

Bước 1: Chọn 1 chữ cái trong 26 chữ cái có 26 cách.

Bước 2 chọn 1 chữ số khác 0 từ 9 chữ số.

⇒ Cuối cùng 5 chữ số còn lại mỗi số có 10 cách chọn.

⇒ Số các biển số xe thỏa mãn là: 26.9.10.10.10.10.10 = 23400000 biển.
Câu 6: Nhận biết

Dãy $\left( x_{1};x_{2};...;x_{10} ight)$ trong đó mỗi kí tự $x_{i}$ chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 được gọi là dãy nhị phân 10 bit. Hỏi có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit.

Đáp án: 1024

Đáp án là:

Dãy $\left( x_{1};x_{2};...;x_{10} ight)$ trong đó mỗi kí tự $x_{i}$ chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 được gọi là dãy nhị phân 10 bit. Hỏi có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit.

Đáp án: 1024

Có $2^{10} = 1024$ dãy nhị phân 10 bit.
Câu 7: Nhận biết
Cho đa giác đều có 54 đường chéo. Hãy tính xem đa giác này có bao nhiêu cạnh?
- A.
  $12$
- B.
  $8$
- C.
  $10$
- D.
  $14$
Đa giác n cạnh có n đỉnh.

Mỗi đỉnh nối với $n - 3$ đỉnh khác để tạo ra đường chéo

Do đó n đỉnh sẽ có $n(n - 3)$ đường

Mà 1 đường chéo được nối bởi 2 đỉnh nên số đường chéo thực là: $\frac{n(n - 3)}{2}$

Theo đề bài ta có:

$\frac{n(n - 3)}{2} = 54 \Leftrightarrow n^{2} - 3n - 108 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = - 9(ktm) \\ n = 12(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đa giác có 12 cạnh.
Câu 8: Thông hiểu
Tìm hệ số của $x^{3}$ trong khai triển $f(x) = (1 + x)^{3} + (1 + x)^{4} + (1 + x)^{5}$ thành đa thức?
- A.
  $16$
- B.
  $10$
- C.
  $14$
- D.
  $15$
Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(1 + x)^{3}$ là $x^{3}$

Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(1 + x)^{4}$ là $C_{4}^{3}x^{3} = 4x^{3}$

Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(1 + x)^{5}$ là $C_{5}^{3}x^{3} = 10x^{3}$

Do đó tổng các số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển đã cho là: $x^{3} + 4x^{3} + 10x^{3} = 15x^{3}$

Vậy hệ số cần tìm là $15$ .
Câu 9: Nhận biết
Một đoàn tàu có bốn toa đỗ ở ga. Có bốn hành khách bước lên tàu. Số trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa của bốn khách là:
- A.
  232.
- B.
  256.
- C.
  1.
- D.
  24.
Mỗi hành khách có 4 cách chọn toa.

⇒ Số trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa của bốn khách là: 4.4.4.4 = 4⁴ = 256.
Câu 10: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $5$ chữ số lớn hơn $4$ và đôi một khác nhau?
- A.
  $240$ .
- B.
  $120$ .
- C.
  $360$ .
- D.
  $24$ .
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ .

Khi đó: $a$ có 5 cách chọn, $b$ có 4 cách chọn, $c$ có 3 cách chọn, $d$ có 2 cách chọn, $e$ có 1 cách chọn.

Nên có tất cả $5.4.3.2.1 = 120$ số.
Câu 11: Thông hiểu
Nghiệm của phương trình $C_{x}^{1} + C_{x}^{2} + C_{x}^{3} = \frac{7}{2}x$ thuộc khoảng nào?
- A.
  $(0;3)$
- B.
  $(1;2)$
- C.
  $(3;5)$
- D.
  $( - 1;4)$
Điều kiện xác định $x\mathbb{\in N};x \geq 3$

Ta có:

$C_{x}^{1} + C_{x}^{2} + C_{x}^{3} = \frac{7}{2}x$

$\Leftrightarrow \frac{x!}{(x - 1)!} + \frac{x!}{2!(x - 2)!} + \frac{x!}{3!(x - 3)!} = \frac{7}{2}x$

$\Leftrightarrow x + \frac{x(x - 1)}{2} + \frac{x(x - 1)(x - 2)}{6} = \frac{7}{2}x$

$\Leftrightarrow 1 + \frac{x - 1}{2} + \frac{(x - 1)(x - 2)}{6} = \frac{7}{2}$

$\Leftrightarrow 6 + 3x - 3 + x^{2} - 3x + 2 - 21 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} = 16 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 4(tm) \\ x = - 4(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy nghiệm phương trình thuộc khoảng $(3;5)$ .
Câu 12: Vận dụng
Một cửa hàng có 3 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền cần xếp vào giá. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho đầu hàng và cuối hàng cùng một loại?
- A.
  25400 .
- B.
  17760 .
- C.
  18720 .
- D.
  $29870$ .
Đối với bài toán ta xét 2 trường hợp.

+) Đầu hàng và cuối hàng đều là gói bim bim. Số cách chọn 2 gói bim bim xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. $A_{3}^{2}$ (ở đây ta xem cách xếp 1 gói bim bim A ở đầu hàng, gói bim bim B ở cuối hàng với cách xếp gói bim bim A ở cuối hàng còn gói bim bim B ở đầu hàng là khác nhau). Lúc này, ta còn lại 1 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là. $A_{3}^{2}.6!$

+) Đầu hàng và cuối hàng đều là cốc mì ăn liền. Số cách chọn 2 cốc mì ăn liền xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. $A_{5}^{2}$ . Lúc này, còn lại 3 cốc mì ăn liền và 3 gói bim bim, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là. $A_{6}^{2}.6!$

$\Rightarrow$ Số cách xếp tất cả là. $6!\left( A_{3}^{2} + A_{5}^{2} ight) = 18720$ .
Câu 13: Thông hiểu
Cho biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển $(1 + 2x)^{n}$ bằng $180$ .Tìm $n$ .
- A.
  $n = 8$ .
- B.
  $n = 12$ .
- C.
  $n = 14$ .
- D.
  $n = 10$ .
Ta có: $T_{k + 1} = C_{n}^{k}.2^{k}x^{k}.$ .

Hệ số của $x^{2}$ trong khai triển bằng $180$

$C_{n}^{2}.2^{2} = 180 \Leftrightarrow\frac{n!}{(n - 2).2}.2^{2} = 180 \Leftrightarrow n(n - 1) = 90$

$\Leftrightarrow n^{2} - n - 90 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}n = 10 \ = - 9(l) \\\end{matrix} ight.$
Câu 14: Nhận biết
Cho tập $A$ gồm $12$ phần tử. Số tập con có $4$ phần tử của tập A là:
- A.
  $A_{12}^{2}$ .
- B.
  $C_{12}^{4}$ .
- C.
  $8!$ .
- D.
  $A_{12}^{4}$ .
Theo định nghĩa tổ hợp. “ Giả sử tập $A$ có $n$ phần tử $(n \geq 1)$ . Mỗi tập con gồm $k$ phần tử của $A$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho”.

Do đó theo yêu cầu bài toán số tập con có $4$ phần tử của tập A là $C_{12}^{4}$ .
Câu 15: Thông hiểu
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là:
- A.
  $3260$
- B.
  $3168$
- C.
  $9000$
- D.
  $12070$
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde};(a eq 0)$

Số cách chọn $e$ là 1 cách, ( $e = 0$ )

Số cách chọn $a$ là 9 cách; $(a eq 0)$

Số cách chọn $\overline{bcd}$ là $10^{3}$ cách

Vậy có $1.9.10^{3} = 9000$ số.
Câu 16: Nhận biết
Cho tập hợp $M$ có $30$ phần tử. Số tập con gồm $5$ phần tử của $M$ là:
- A.
  $A_{30}^{5}$ .
- B.
  $30^{4}$ .
- C.
  $30^{6}$ .
- D.
  $C_{30}^{5}$ .
Số tập con gồm $5$ phần tử của $M$ chính là số tổ hợp chập $5$ của $30$ phần tử, nghĩa là bằng $C_{30}^{5}$ .
Câu 17: Thông hiểu
Một đội cổ động viên gồm có 3 người mặc áo vàng, 4 người mặc áo đỏ, 5 người mặc áo xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 người sao cho luôn có 2 màu áo khác nhau.
- A.
  45
- B.
  49
- C.
  48
- D.
  47
Trường hợp 1: 1 áo vàng + 1 áo đỏ
Có: $C_3^1.C_4^1 = 12$ (cách).
Trường hợp 2: 1 áo đỏ + 1 áo xanh
Có: $C_4^1.C_5^1 = 20$ (cách).
Trường hợp 3: 1 áo xanh + 1 áo vàng
Có: $C_5^1.C_3^1 = 15$ (cách)
Vậy có $12+20+15=47$ (cách).
Câu 18: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ , (biết $x eq 0$ ).
- A.
  $176.$
- B.
  $88.$
- C.
  $- 276.$
- D.
  $286.$
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ .

$T_{k + 1} = C_{13}^{k}x^{13 - k}\left( \frac{1}{x} ight)^{k} = C_{13}^{k}x^{13 - 2k}$ .

$T_{k + 1}$ chứa $x^{7} \Leftrightarrow 13 - 2k = 7 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ bằng: $C_{13}^{3} = 286$ .
Câu 19: Nhận biết
Cho khai triển $\left( x + \frac{2}{\sqrt{x}} ight)^{6}$ với $x > 0$ . Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển trên.
- A.
  90.
- B.
  150.
- C.
  250.
- D.
  60.
Ta có: $\left( x + \frac{2}{\sqrt{x}} ight)^{6} = \sum_{k = 0}^{6}{C_{6}^{k}x^{6 - k}\left( \frac{2}{\sqrt{x}} ight)^{k} = \sum_{k = 0}^{6}{2^{k}C_{6}^{k}x^{6 - \frac{3k}{2}}}}$ .

Số hạng chứa $x^{3}$ ứng với $\mathbf{6}\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}\mathbf{k}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{\Rightarrow k =}\mathbf{2}$ . Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ bằng $2^{2}.C_{6}^{2} = 60$ .
Câu 20: Nhận biết
Một người có 7 áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cà vạt trong đó có 2 cà vạt vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn bộ áo và cà vạt nếu chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
- A.
  $12$
- B.
  $20$
- C.
  $35$
- D.
  $18$
Số cách chọn 1 một bộ áo và cà vạt là: $5.7 = 35$

85 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20

Chưa làm Đã làm