Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Có 1 con mèo vàng, $1$ con mèo đen, $1$ con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím. Xếp 6 con mèo thành hàng ngang vào $6$ cái ghế sao cho mỗi ghế chỉ có một con mèo. Đếm số cách xếp chỗ sao cho mèo vàng và mèo đen ở cạnh nhau.
- A.
  $120$ .
- B.
  $520$ .
- C.
  $244$ .
- D.
  $240$ .
Số cách xếp con mèo vàng và con mèo đen ở cạnh nhau là $2$ .

Xem nhóm con mèo vàng và đen này là một phần tử, cùng với $1$ con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím, ta được $5$ phần tử. Xếp $5$ phần tử này là. $5!$

Vậy có $2.5! = 240$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong balo của học sinh A có 8 bút chì khác, 6 bút bi và 10 quyển vở. Số cách chọn một đồ vật trong balo là:
- A.
  $48$
- B.
  $24$
- C.
  $80$
- D.
  $60$
Áp dụng quy tắc cộng, số cách chọn một đồ vật trong balo là: 8 + 6 + 10 = 24 cách.
Câu 3: Nhận biết
Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?
- A.
  16.
- B.
  4.
- C.
  7.
- D.
  12.
Chọn 1 kiểu mặt từ 3 kiểu mặt có 3 cách.

Chọn 1 kiểu dây từ 4 kiểu dây có 4 cách.

Vậy theo quy tắc nhân có 12 cách chọn 1 chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây.
Câu 4: Nhận biết
Số hạng tử trong khai triển ${(x - 2y)^4}$ bằng
- A.
  8
- B.
  6
- C.
  5
- D.
  7
Số hạng tử trong khai triển ${(x - 2y)^4}$ là: 4 + 1 = 5 hạng tử.
Câu 5: Thông hiểu
Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển $\left( x^{2} - \frac{1}{x} ight)^{n}$ biết $A_{n}^{2} - C_{n}^{2} = 105$ .
- A.
  $- 3003$ .
- B.
  $- 5005$ .
- C.
  $5005$ .
- D.
  $3003$ .
Ta có: $A_{n}^{2} - C_{n}^{2} = 105 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} - \frac{n!}{2!(n - 2)!} = 105$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}n(n - 1) = 105$ $\Leftrightarrow n^{2} - n - 210 = 0$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 15 \\ n = - 14\ \ \ (L) \\ \end{matrix} ight.$ .

Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển: $T_{k + 1} = C_{15}^{k}.\left( x^{2} ight)^{15 - k}.\left( - \frac{1}{x} ight)^{k} = C_{15}^{k}.( - 1)^{k}.x^{30 - 3k}$ .

Tìm $30 - 3k = 0 \Leftrightarrow k = 10$ .

Vậy hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $C_{15}^{10}.( - 1)^{10} = 3003$ .
Câu 6: Nhận biết
Bạn Anh muốn qua nhà bạn Bình để rủ Bình đến nhà bạn Châu chơi. Từ nhà Anh đến nhà Bình có 3con đường. Từ nhà Bình đến nhà Châu có 5con đường. Hỏi bạn Anh có bao nhiêu cách chọn đường đi từ nhà mình đến nhà bạn Châu.
- A.
  8.
- B.
  4.
- C.
  15.
- D.
  6.
Từ nhà Anh đến nhà Bình có 3 cách chọn 1 con đường.

Từ nhà bạn Bình đến nhà Châu có 5 cách chọn 1 con đường.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn đường đi từ nhà Anh đến nhà Châu là 5.3 = 15.
Câu 7: Thông hiểu
Biết hệ số của số hạng chứa $x^{2}$ trong khai triển $(1 + 4x)^{n}$ là $3040$ . Số tự nhiên $n$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $28$ .
- B.
  $26$ .
- C.
  $24$ .
- D.
  $20$ .
Ta có: $(1 + 4x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}{C_{n}^{k}(4x)^{k}} = \sum_{k = 0}^{n}{C_{n}^{k}4^{k}x^{k}}$ .

Hệ số của số hạng chứa $x^{2}$ là: $C_{n}^{2}4^{2}$ .

Giả thiết suy ra $C_{n}^{2}4^{2} = 3040\Leftrightarrow C_{n}^{2} = 190 \Leftrightarrow \frac{n(n - 1)}{2} = 190\Leftrightarrow n^{2} - n - 380 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}n = 20\ \ (t/m) \ = - 19\ (loai) \\\end{matrix} ight.$
Câu 8: Vận dụng
Đội văn nghệ của nhà trường gồm $4$ học sinh lớp 12A, $3$ học sinh lớp 12B và $2$ học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?
- A.
  $206.$
- B.
  $202.$
- C.
  $98.$
- D.
  $230.$
Tổng số học sinh trong đội văn nghệ của nhà trường là $9$ học sinh.

Số cách chọn $5$ học sinh bất kì trong $9$ học sinh là. $C_{9}^{5}$ cách.

Số cách chọn $5$ học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12A là. $C_{5}^{5}$ cách.

Số cách chọn $5$ học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12B là. $C_{6}^{5}$ cách.

Số cách chọn $5$ học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12C là. $C_{7}^{5}$ cách.

Vậy có $C_{9}^{5} - \left( C_{5}^{5} + C_{6}^{5} + C_{7}^{5} ight) = 98$ cách thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 9: Thông hiểu
Từ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 6?
- A.
  $30$
- B.
  $18$
- C.
  $25$
- D.
  $34$
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là $\overline{abcd};(a eq b eq c eq d)$

Số chia hết cho 6 là số chẵn và chia hết cho 3. Khi đó, xét bộ bốn chữ số có tổng chia hết cho 3 là: $A = \left\{ (0;1;2;3),(0;2;3;4),(0;3;4;5);(1;2;4;5) ight\}$

Trường hợp 1: $\overline{abc0} \in \left\{ (0;1;2;3),(0;2;3;4),(0;3;4;5) ight\}$

Chọn a, b, c: $3! = 6$ cách chọn.

Trường hợp 2: $\overline{abcd} \in \left\{ 1;2;4;5 ight\}$

Chọn d có 2 cách chọn (vì $d \in \left\{ 2;4 ight\}$

Chọn a, b, c: $3! = 6$ cách chọn

Khi đó có 6.2 = 12 số

Vậy 6 + 12 = 18 (số)
Câu 10: Thông hiểu
Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước?
- A.
  $126$
- B.
  $202$
- C.
  $157$
- D.
  $169$
Gọi số có 5 chữ cố có dạng là $\overline{abcde}$ . Điều kiện $a eq 0;a < b < c < d < e$

Ta chuyển bài toán về tìm số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số $1;2;3;4;5;6;7;8;9$ để lập số thoả yêu cầu của bài toán.

Do đó sẽ có số các số có 5 chữ số khác nhau lập từ $1;2;3;4;5;6;7;8;9$ là $C_{9}^{5} = 126$ số
Câu 11: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển nhị thức Newton $\left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4} ight)^{5}$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $- \frac{5}{27}$
- C.
  $6$
- D.
  $\frac{5}{27}$
Ta có:

$\left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4} ight)^{5} = \frac{32}{243}x^{5} + \frac{20}{81}x^{4} + \frac{5}{27}x^{3} + \frac{5}{72}x^{2} + \frac{3}{384}x + \frac{1}{1024}$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển nhị thức là: $\frac{5}{27}$ .
Câu 12: Vận dụng
Tìm $n$ thuộc tập hợp số tự nhiên, biết rằng $1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = 256n$ ( $C_{n}^{k}$ là số tổ hợp chập k của n phần tử).
- A.
  $489888$ .
- B.
  $49888$ .
- C.
  $48988$ .
- D.
  $4889888$ .
Trước hết ta chứng minh công thức $\frac{k}{n}C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1}$ với $1 \leq k \leq n$ và $n \geq 2.$

Thật vậy, $\frac{k}{n}C_{n}^{k} = \frac{k}{n}.\frac{n!}{k!(n - k)!} = \frac{(n - 1)!}{(k - 1)!(n - k)!} = C_{n - 1}^{k - 1}.$ (đpcm)

Áp dụng công thức trên ta có

$1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = n\left( \frac{1}{n}.C_{n}^{1} + \frac{2}{n}.C_{n}^{2} + \frac{3}{n}.C_{n}^{3} + ... + \frac{n}{n}.C_{n}^{n} ight)$

$= n\left( C_{n - 1}^{0} + C_{n - 1}^{1} + C_{n - 1}^{2} + ... + C_{n - 1}^{n - 1} ight) = n2^{n - 1}$

Theo đề $1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = 256n \Leftrightarrow n2^{n - 1} = 256n \Leftrightarrow 2^{n - 1} = 256 \Leftrightarrow n = 9.$ .
Câu 13: Nhận biết
Cho tập hợp $M = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Số tập con gồm 3 phần tử của $M$ sao cho không có số $0$ là:
- A.
  $A_{10}^{2}$ .
- B.
  $A_{10}^{3}$ .
- C.
  $C_{8}^{3}$ .
- D.
  $C_{9}^{3}$ .
Mỗi tập con gồm 3 phần tử của $M$ không có số $0$ là tổ hợp chập 3 của 9 phần tử.

Số tập con gồm 3 phần tử của $M$ không có số $0$ là. $C_{9}^{3}$ .
Câu 14: Vận dụng
Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $9$ mà mỗi số $2011$ chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số $9$ .
- A.
  $\frac{9^{2011} - 2019.9^{2010} + 8}{9}$
- B.
  $\frac{9^{2011} - 2.9^{2010} + 8}{9}$
- C.
  $\frac{9^{2011} - 9^{2010} + 8}{9}$
- D.
  $\frac{9^{2011} - 19.9^{2010} + 8}{9}$
Đặt $X$ là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.

$A =$ { các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}

Với mỗi số thuộc A có $m$ chữ số $(m \leq 2008)$ thì ta có thể bổ sung thêm $2011 - m$ số $0$ vào phía trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng $\overline{a_{1}a_{2}...a_{2011}};\ a_{i} \in \left\{ 0,1,2,3,...,9 ight\}$

$A_{0} = \left\{ a \in A| ight.$ mà trong $a$ không có chữ số 9}

$A_{1} = \left\{ a \in A| ight.$ mà trong $a$ có đúng 1 chữ số 9}

$\bullet$ Ta thấy tập A có $1 + \frac{9^{2011} - 1}{9}$ phần tử

$\bullet$ Tính số phần tử của $A_{0}$

Với $x \in A_{0} \Rightarrow x = \overline{a_{1}...a_{2011}};a_{i} \in \left\{ 0,1,2,...,8 ight\}\ i = \overline{1,2010}$ và $a_{2011} = 9 - r$ với $r \in \lbrack 1;9brack,r \equiv \sum_{i = 1}^{2010}a_{i}$ . Từ đó ta suy ra $A_{0}$ có $9^{2010}$ phần tử.

$\bullet$ Tính số phần tử của $A_{1}$

Để lập số của thuộc tập $A_{1}$ ta thực hiện liên tiếp hai bước sau:

Bước 1: Lập một dãy gồm $2010$ chữ số thuộc tập $\left\{ 0,1,2...,8 ight\}$ và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số các dãy là $9^{2009}$ .

Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số 9.

Do đó $A_{1}$ có $2010.9^{2009}$ phần tử.

Vậy số các số cần lập là:

$1 + \frac{9^{2011} - 1}{9} - 9^{2010} - 2010.9^{2009} = \frac{9^{2011} - 2019.9^{2010} + 8}{9}$ .
Câu 15: Nhận biết
Từ các chữ số $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $5$ chữ số đôi một khác nhau?
- A.
  $120$ .
- B.
  $520$ .
- C.
  $20$ .
- D.
  $32$ .
Mỗi số tự nhiên gồm $5$ chữ số khác nhau được lập từ các số $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ là một hoán vị của $5$ phần tử đó. Nên số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là $P_{5} = 5!$ $= 120$ (số).
Câu 16: Nhận biết
Số cách xếp 5 học sinh $A;B;C;D;E$ vào một ghế dài sao cho bạn $C$ ngồi chính giữa là:
- A.
  $32$ cách
- B.
  $24$ cách
- C.
  $80$ cách
- D.
  $120$ cách
Vì C ngồi chính giữa nên ta có 4! = 24 cách sắp xếp $A;B;C;D;E$
Câu 17: Thông hiểu
Từ 6 điểm phân biệt thuộc đường thẳng ∆ và một điểm không thuộc đường thẳng ∆ ta có thể tạo được tất cả bao nhiêu tam giác?
- A.
  210
- B.
  30
- C.
  15
- D.
  35;
Một tam giác được lập thành từ 3 điểm.
Cứ 2 điểm thuộc $\Delta$ + 1 điểm nằm ngoài có sẵn, ta được một tam giác.
Số cách lấy 2 điểm từ 6 điểm thuộc $\Delta$ là: $C_6^2=15$ (cách).
Câu 18: Vận dụng
Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả 3 khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
- A.
  $40$ .
- B.
  $500$ .
- C.
  $1000$ .
- D.
  $250$ .
TH1. Có đúng 1 học sinh khối 10: $5.1.C_{5}^{4} + 5.C_{5}^{4}.1 = 50$ (cách). (1 lớp 10 + 5 lớp 11 + 4 lớp 12 hoặc 1 lớp 10 + 5 lớp 12 + 4 lớp 11)

TH2. Có đúng 2 học sinh khối 10: $C_{5}^{2}.C_{5}^{3}.C_{5}^{5} + C_{5}^{2}.C_{5}^{4}.C_{5}^{4} + C_{5}^{2}.C_{5}^{5}.C_{5}^{3} = 450$ (cách).

$\Rightarrow$ Có $50 + 450 = 500$ cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
Câu 19: Thông hiểu
Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau?
- A.
  $30240$
- B.
  $32212$
- C.
  $23460$
- D.
  $32571$
Gọi số in trên vé có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$

Số cách chọn $a_{1}$ là 10 ( $a_{1}$ có thể là 0).

Số cách chọn $a_{2}$ là 9.

Số cách chọn $a_{3}$ là 8.

Số cách chọn $a_{4}$ là 7.

Số cách chọn $a_{5}$ là 6.

Vậy có 10.9.8.7.6 = 30240 cách
Câu 20: Nhận biết
Biểu thức $A = 32x^{5} - 80x^{4} + 80x^{3} - 40x^{2} + 10x - 1$ là khai triển của nhị thức nào dưới đây?
- A.
  $A = (x - 1)^{5}$
- B.
  $A = (x - 2)^{5}$
- C.
  $A = (2x + 1)^{5}$
- D.
  $A = (1 - 2x)^{5}$
Ta có:

$A = (2x + 1)^{5} = 32x^{5} - 80x^{4} + 80x^{3} - 40x^{2} + 10x - 1$

61 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!