Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho tập hợp $S = \left\{ 1,2,3,4,7,8 ight\}$ , lấy ngẫu nhiên 1 chữ số. Các kết quả thuận lợi cho C “biến cố lấy được chữ số lẻ” là:
- A.
  $C = \left\{ 1;5;9 ight\}$
- B.
  $C = \left\{ 1;3;7 ight\}$
- C.
  $C = \left\{ 2;4;8 ight\}$
- D.
  $C = \left\{ 1,2,3,4,7,8 ight\}$
Các kết quả thuận lợi cho biến cố lấy được chữ số lẻ là: $C = \left\{ 1;3;7 ight\}$
Câu 2: Nhận biết
Hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển nhị thức $\left( x - \frac{2}{x\sqrt{x}} ight)^{12}$ (với $x > 0$ ) là:
- A.
  $266$ .
- B.
  $- 264$ .
- C.
  $264$ .
- D.
  $250$ .
Số hạng tổng quát của khai triển $\left( x - \frac{2}{x\sqrt{x}} ight)^{12}$ (với $x > 0$ ) là:

$T_{k + 1} = C_{12}^{k}.x^{12 - k}.\left( - \frac{2}{x\sqrt{x}} ight)^{k} = ( - 2)^{k}.C_{12}^{k}.x^{12 - k}.x^{- \frac{3k}{2}} = ( - 2)^{k}.C_{12}^{k}.x^{12 - \frac{5k}{2}}$ .

Số hạng trên chứa $x^{7}$ suy ra $12 - \frac{5k}{2} = 7 \Leftrightarrow k = 2$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển trên là $= ( - 2)^{2}.C_{12}^{2} = 264$ .
Câu 3: Thông hiểu
Một người có 5 chiếc áo trong đó có $3$ chiếc áo trắng. Người đó cũng có 3 chiếc cà vạt trong đó có 2 chiếc cà vạt màu vàng. Tìm số cách chọn một chiếc áo và một chiếc cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng.
- A.
  10
- B.
  8
- C.
  7
- D.
  9
5 chiếc áo gồm: 3 trắng và 2 màu khác.

3 chiếc cà vạt gồm: 2 vàng và 1 màu khác.

Trường hợp 1: Áo trắng, cà vạt màu khác vàng.

Áo trắng: có 3 cách chọn.

Cà vạt màu khác vàng: 1 cách chọn.

Suy ra có: 3.1 = 3 (cách).

Trường hợp 2: Áo màu khác trắng, cà vạt màu bất kì.

Áo màu khác trắng: 2 cách chọn.

Cà vạt màu bất kì: 3 cách chọn.

Suy ra có: 2.3 = 6 (cách).

Vậy có: 3+6 = 9 (cách) chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 4: Nhận biết
Thầy giáo chủ nhiệm có 10 quyển sách khác nhau và 8 quyển vở khác nhau. Thầy chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau?
- A.
  10 .
- B.
  8 .
- C.
  80 .
- D.
  18.
Chọn một quyển sách có 10 cách chọn.
Chọn một quyển vở có 8 cách chọn.
Áp dụng quy tắc cộng có 18 cách chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi.
Câu 5: Vận dụng
Tìm hệ số của $x^{4}$ trong khai triển nhị thức Newton $\left( 2x + \frac{1}{\sqrt[5]{x}} ight)^{n}$ với $x > 0$ , biết $n$ là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn $A_{n}^{5} \leq 18A_{n - 2}^{4}$ .
- A.
  8064.
- B.
  1243.
- C.
  66440.
- D.
  16568.
Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix} n \geq 6 \\ n\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $A_{n}^{5} \leq 18A_{n - 2}^{4} \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 5)!} \leq 18.\frac{(n - 2)!}{(n - 6)!}$

$\Leftrightarrow n(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4) \leq 18(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)$

$\Leftrightarrow n(n - 1) \leq 18(n - 5)$ $\Leftrightarrow n^{2} - 19n + 90 \leq 0$ $\Leftrightarrow 9 \leq n \leq 10\overset{n ightarrow \max}{ightarrow}n = 10$ .

Số hạng tổng quát trong khai triển $\left( 2x + \frac{1}{\sqrt[5]{x}} ight)^{10}$ là $T_{k + 1} = C_{10}^{k}.(2x)^{10 - k}.\left( \frac{1}{\sqrt[5]{x}} ight)^{k}$

$= C_{10}^{k}.2^{10 - k}.x^{10 - k}.x^{- \frac{k}{5}}$ $= C_{10}^{k}.2^{10 - k}.x^{\frac{50 - 6k}{5}}$ .

Tìm $k$ sao cho $\frac{50 - 6k}{5} = 4$ $\Leftrightarrow k = 5$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ là $C_{10}^{5}.2^{10 - 5} = 8064.$ .
Câu 6: Nhận biết
Có 8 vận động viên chạy thi. Người thắng sẽ nhận được huy chương vàng, người về đích thứ hai nhận huy chương bạc, người về đích thứ ba nhận huy chương đồng. Có bao nhiêu cách trao các huy chương này, nếu tất cả các kết cục của cuộc thi đều có thể xảy ra?
- A.
  $168$
- B.
  $336$
- C.
  $112$
- D.
  $302$
Số cách chọn 3 vận động viên về đích đầu tiên trong 8 vận động viên là $C_{8}^{3}$

Số cách trao 3 huy chương vàng, bạc, đồng cho 3 vận động viên về đích đầu là 3!

Vậy số cách trao các huy chương này là $C_{8}^{3}.3! = 336$
Câu 7: Thông hiểu
Tính tổng các hệ số trong khai triển $(1 - 2x)^{2018}$ .
- A.
  -1.
- B.
  1.
- C.
  -2018.
- D.
  2018.
Xét khai triển $(1 - 2x)^{2018} =C_{2018}^{0} - 2x.C_{2018}^{1} + ( - 2x)^{2}.C_{2018}^{2} + ... + ( - 2x)^{2018}.C_{2018}^{2018}$

Tổng các hệ số trong khai triển là: $S = C_{2018}^{0} - 2.C_{2018}^{1} + ( - 2)^{2}.C_{2018}^{2} + ( - 2)^{3}.C_{2018}^{3} + ... + ( - 2)^{2018}.C_{2018}^{2018}$

Cho $x = 1$ ta có: $(1 - 2.1)^{2018} = C_{2018}^{0} - 2.1.C_{2018}^{1}+ ( - 2.1)^{2}.C_{2018}^{2} + ... + ( -2.1)^{2018}.C_{2018}^{2018}$

$\Leftrightarrow ( - 1)^{2018} = S\Leftrightarrow S = 1$
Câu 8: Thông hiểu
Từ các chữ số $1;4;5;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n chia hết cho 55 và $555 < n < 5555$ ?
- A.
  $85$
- B.
  $63$
- C.
  $74$
- D.
  $77$
Trường hợp 1: n gồm ba chữ số.

Gọi n có dạng $\overline{abc}$ .

Vì n chia hết cho 5 nên c là chữ số 5.

Vì n gồm ba chữ số nên thỏa mãn n < 5555.

Để 555 < n ta có:

Nếu a là chữ số 5 thì b có 2 lựa chọn là {8; 9}

Nếu a có 2 lựa chọn là {8; 9} thì b có 5 lựa chọn

Có $2 + 2.5 = 12$

Trường hợp 2: n gồm bốn chữ số.

Gọi n có dạng $\overline{abcd}$

Vì n chia hết cho 5 nên d là chữ số 5

Vì n gồm bốn chữ số nên thỏa mãn 555 < n

Để n < 5555 ta có

Nếu a; b đều là chữ số 5 thì c có 2 lựa chọn là {1; 4}

Nếu a là chữ số 5 thì b có 2 lựa chọn là {1; 4} và c có 5 lựa chọn.

Nếu a có 2 lựa chọn là {1; 4} thì b; c có 5 lựa chọn.

Có $2 + 2.5 + 2.5.5 = 62$

Vậy có $12 + 62 = 74$ số n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 9: Nhận biết
Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng $\overline{abc}$ với $a$ , $b$ , $c \in\left\{ 0;1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\}$ sao cho $a < b < c$ .
- A.
  $220$ .
- B.
  $60$ .
- C.
  $80$ .
- D.
  $20$ .
Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng $\overline{abc}$ với $a$ , $b$ , $c \in\left\{ 0;1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\}$ sao cho $a < b < c$ nên $a$ , $b$ , $c \in\left\{ 1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\}$ . Suy ra số các số có dạng $\overline{abc}$ là $C_{6}^{3} = 20$ .
Câu 10: Nhận biết
Bạn Anh muốn qua nhà bạn Bình để rủ Bình đến nhà bạn Châu chơi. Từ nhà Anh đến nhà Bình có 3con đường. Từ nhà Bình đến nhà Châu có 5con đường. Hỏi bạn Anh có bao nhiêu cách chọn đường đi từ nhà mình đến nhà bạn Châu.
- A.
  8.
- B.
  4.
- C.
  15.
- D.
  6.
Từ nhà Anh đến nhà Bình có 3 cách chọn 1 con đường.

Từ nhà bạn Bình đến nhà Châu có 5 cách chọn 1 con đường.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn đường đi từ nhà Anh đến nhà Châu là 5.3 = 15.
Câu 11: Vận dụng
Cho $6$ chữ số $2,3,4,5,6,7$ số các số tự nhiên chẵn có $3$ chữ số lập thành từ $6$ chữ số đó:
- A.
  $36$ .
- B.
  $18$ .
- C.
  $256$ .
- D.
  $108$ .
Gọi số tự nhiên có $3$ chữ số cần tìm là: $\overline{abc},\ a eq 0$ , khi đó:

$c$ có $3$ cách chọn

$a$ có $6$ cách chọn

$b$ có $6$ cách chọn

Vậy có: $3.6.6 = 108$ số.
Câu 12: Thông hiểu
Từ 6 chữ số $0;1;2;3;4;5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau sao cho chữ số 2 vs 3 đứng cạnh nhau.
- A.
  $192$
- B.
  $185$
- C.
  $96$
- D.
  $146$
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcdef};(a eq 0)$ với $a,b,c \in \left\{ 2;4;6;8 ight\}$ .

Vì 2 và 3 đứng cạnh nhau ta gộp 2 và 3 thành 1 số $\overline{23}$ hoặc $\overline{32}$ thành 1 vị trí

Do đó ta còn lại 5 vị trí $\overline{abcde}$

Từ 5 chữ số trên ta lập được 5! số khác nhau có dạng $\overline{abcde}$

Cho $a = 0$ ta lập được 4! các số dạng $\overline{0bcde}$

Nên sẽ có 5! – 4! = 96 số có 5 chữ số khác nhau.

Mặt khác ta gộp 2 và 3 thành 1 số $\overline{23}$ hoặc $\overline{32}$ thành 1 vị trí nên ta sẽ có số các số cần tìm là: 96.2 = 192 số thỏa mãn đề bài.
Câu 13: Thông hiểu
Hai tổ sản xuất của một phân xưởng có 9 công nhân nam và 13 công nhân nữ trong đó có 2 cặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 7 người trong số 22 người nhưng không có cặp vợ chồng?
- A.
  $140350$
- B.
  $140352$
- C.
  $25704$
- D.
  $24054$
TH1: Chọn 7 người 18 người không là cặp vợ chồng: $C_{18}^{7}$

TH2: Chọn 1 trong 2 cặp vợ chồng và 6 người trong 18 người không là cặp vợ chồng: $C_{4}^{1}.C_{18}^{6}$

TH3: Chọn 2 trong 2 cặp vợ chồng nhưng không phải 1 cặp và 5 người trong 1 người không là cặp vợ chồng: $\left( C_{4}^{2} - 2 ight).C_{18}^{5}$

Vậy số cách chọn thỏa mãn là: $C_{18}^{7} + C_{4}^{1}.C_{18}^{6} + \left( C_{4}^{2} - 2 ight).C_{18}^{5} = 140352$ cách
Câu 14: Thông hiểu
Tìm hệ số không chứa $x$ trong khai triển $\left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{n}$ , biết $n$ là sô nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 78$ .
- A.
  112640.
- B.
  112643.
- C.
  -112640.
- D.
  -112642.
$C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 78 \Leftrightarrow n + \frac{n(n - 1)}{2} = 78 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 12 \\ n = - 13(l) \\ \end{matrix} ight.$ .

$\left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{n} = \left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{12} = \sum_{k = 0}^{12}{C_{12}^{k}\left( x^{3} ight)^{12 - k}( - 2)^{k}\left( \frac{1}{x} ight)^{k} =}\sum_{k = 0}^{12}{C_{12}^{k}( - 2)^{k}x^{36 - 4k}}$ .

Số hạng không chứa $x$ ứng với $36 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 9$ là $C_{12}^{9}( - 2)^{9} = - 112640$ .
Câu 15: Nhận biết
Phát biểu nào sau đây đúng?
- A.
  $(a + b)^{4} = a^{4} – 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} – 4ab^{3} + b^{4}$
- B.
  $(a – b)^{4} = a^{4} + 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} + 4ab^{3} + b^{4}$
- C.
  $(a + b)^{4} = a^{4} + 4a^{3}b – 6a^{2}b^{2} + 4ab^{3} + b^{4}$
- D.
  ${(a - b)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}$
Phát biểu đúng là: ${(a - b)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}$
Câu 16: Vận dụng
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8. Hỏi lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau, chia hết cho 2 và 3?
- A.
  30 số.
- B.
  31 số.
- C.
  35 số.
- D.
  29 số.
Chữ số cuối cùng bằng 0; các cặp số có thể xảy ra là $(1;2),(1;5),(1;8),(2;4),(4;5),(4;8)$ .

Trường hợp này có 2!.6 số.

Chữ số cuối bằng 2 ta có các bộ $(1;0),(4;0),(1;3),(3;4),(5;8)$ , hoán vị được $2!.3 + 2$ số.

Chữ số cuối bằng 4 ta có các bộ $(2;0),(2;3),(3;5),(3;8)$ , hoán vị được $2!.3 + 1$ số.

Chữ số cuối bằng 8 ta có các bộ $(0;1),(0;4),(1;3),(2;5),(3;4)$ , hoán vị được $2!.3 + 2$ số.

Kết hợp lại ta có 35 số.
Câu 17: Nhận biết
Số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức $\left( x^{3} - \frac{1}{x^{2}} ight)^{5};(x eq 0)$ là:
- A.
  $3$
- B.
  $4$
- C.
  $- 10$
- D.
  $5$
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức $\left( x^{3} - \frac{1}{x^{2}} ight)^{5};(x eq 0)$ là:

$C_{5}^{k}.\left( x^{3} ight)^{5 - k}.\left( - \frac{1}{x^{2}} ight)^{k} = C_{5}^{k}.( - 1)^{k}.x^{15 - 5k}$

Số hạng không chứa x khi và chỉ khi $15 - 5k = 0 \Rightarrow k = 3$

Vậy số hạng không chứa x là: $C_{5}^{3}.( - 1)^{3} = - 10$ .
Câu 18: Vận dụng
Có 8 nhà khoa học Toán (6 nam, 2 nữ) và 5 nhà khoa học Vật Lí (toàn nam). Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 nhà khoa học trong đó có cả nam, nữ, cả Toán, Vật Lí?
- A.
  340.
- B.
  210.
- C.
  375.
- D.
  450.
+TH1. Có đúng 1 nữ nhà khoa học Toán, có 2 cách chọn. Lúc này chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn đề bài, có thể có hoặc không nhà khoa học Toán nam nào khác, số cách chọn 3 nhà khoa học còn lại là $C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3}$ . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. $2.\left( C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3} ight)$

+TH2. Có đúng 2 nữ nhà khoa học Toán, có 1 cách chọn. Cũng với ý tưởng như trên, chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn, số cách chọn 2 nhà khoa học còn lại là $C_{5}^{1}C_{6}^{1} + C_{5}^{2}$ . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. $C_{5}^{1}.C_{6}^{1} + C_{5}^{2}$ .

Vậy số cách lập cần tìm là. $2.\left( C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3} ight) + C_{5}^{1}.C_{6}^{1} + C_{5}^{2} = 375$ .
Câu 19: Nhận biết
Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Người ta muốn chọn một ban điều hành gồm 3 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ban điều hành có ít nhất 1 nam?
- A.
  $6847$ cách
- B.
  $4876$ cách
- C.
  $7584$ cách
- D.
  $9425$ cách
Chọn ban điều hành gồm 3 học sinh không có học sinh nam nào có $C_{15}^{3} = 455$ cách

Số cách chọn ban điều hành gồm 3 học sinh có ít nhất 1 nam có: $9425$ cách.
Câu 20: Nhận biết
Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
- A.
  $A_{n}^{k}=n(n-1)...(n-k+1)$
- B.
  $P_{n}=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 2\times 1$
- C.
  $P_{n}=n!$
- D.
  $A_{n}^{k}=\frac{n!}{k!}$
Công thức sai là: $A_{n}^{k}=\frac{n!}{k!}$ .

95 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!