Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số?
- A.
  $900$ .
- B.
  $901$ .
- C.
  $899$ .
- D.
  $999$ .
Cách 1: Số có $3$ chữ số là từ $100$ đến $999$ nên có $999 - 100 + 1 = 900$ số.

Cách 2:

Gọi số tự nhiên có $3$ chữ số cần tìm là: $\overline{abc},\ a eq 0$ , khi đó:

$a$ có $9$ cách chọn

$b$ có $10$ cách chọn

$c$ có $10$ cách chọn

Vậy có: $9.10.10 = 900$ số.
Câu 2: Nhận biết
Cho tập A có n phần tử (n ∈ ℕ, n ≥ 2), k là số nguyên thỏa mãn 1 ≤ k ≤ n. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử trên là:
- A.
  $n.k$
- B.
  $n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1)$
- C.
  $\frac{n}{k}$
- D.
  $\frac{k}{n}$
Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $A_n^k=n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1)$ .
Câu 3: Nhận biết
Cho tập hợp $X$ gồm $10$ phần tử. Số các hoán vị của $10$ phần tử của tập hợp $X$ là bao nhiêu?
- A.
  $10!$ .
- B.
  $10^{3}$ .
- C.
  $2^{10}$ .
- D.
  $10^{5}$ .
Số các hoán vị của $10$ phần tử: $10!$ .
Câu 4: Nhận biết

Một lớp học có 33 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách giao 3 chức danh lớp trưởng, lớp phó, bí thư cho 3 sinh viên biết rằng mỗi sinh viên chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 chức danh và sinh viên nào cũng có thể đảm nhận chức danh?

Đáp án: 32736

Đáp án là:

Một lớp học có 33 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách giao 3 chức danh lớp trưởng, lớp phó, bí thư cho 3 sinh viên biết rằng mỗi sinh viên chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 chức danh và sinh viên nào cũng có thể đảm nhận chức danh?

Đáp án: 32736

Chọn 1 sinh viên làm lớp trưởng có 33 cách

Chọn 1 sinh viên làm lớp phó có 32 cách

Chọn 1 sinh viên làm bí thư có 31 cách

Có $33.32.31 = 32736$ cách
Câu 5: Thông hiểu
Tìm số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $\left( x - \frac{2}{x} ight)^{n},$ biết $n$ là số tự nhiên thỏa mãn $C_{n}^{3} = \frac{4}{3}n + 2C_{n}^{2}$ .
- A.
  $134$ .
- B.
  $144$ .
- C.
  $115$ .
- D.
  $141$ .
Điều kiện : $n \geq 3,\ n \in \mathbb{Z}$ .

Ta có $C_{n}^{3} = \frac{4}{3}n +2C_{n}^{2} \Leftrightarrow \frac{n!}{3!(n - 3)!} = \frac{4}{3}n +\frac{n!}{(n - 2)!}$

$\Leftrightarrow n(n - 1)(n - 2) = 8n + 6n(n -1)$

$\Leftrightarrow n^{2} - 3n + 2 = 8 + 6n - 6 \Leftrightarrow n^{2} - 9n = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0 \\ n = 9 \\ \end{matrix} ight.$ . Đối chiếu điều kiện ta được $n = 9$ .

Số hạng tổng quát của khai triển $\left( x - \frac{2}{x} ight)^{9},$ là : $C_{9}^{k}x^{9 - k}.\frac{( - 2)^{k}}{x^{k}} = ( - 2)^{k}C_{9}^{k}x^{9 - 2k}$

Số hạng này chứa $x^{5}$ ứng với $9 - 2k = 5 \Leftrightarrow k = 2$ .

Vậy hệ số của số hạng đó là $4.C_{9}^{2} = 144$ .
Câu 6: Vận dụng
Tìm số hạng chứa $x^{26}$ trong khai triển $\left( \frac{1}{x^{4}} + x^{7} ight)^{n}$ . Cho biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức $C_{2n + 1}^{1} + C_{2n + 1}^{2} + ... + C_{2n + 1}^{n} = 2^{20} - 1$ .
- A.
  333.
- B.
  210.
- C.
  100.
- D.
  114.
Từ giả thiết ta suy ra $C_{2n + 1}^{0} + C_{2n + 1}^{1} + C_{2n + 1}^{2} + ... + C_{2n + 1}^{n} = 2^{20}$ .

Mặt khác: $C_{2n + 1}^{k} = C_{2n + 1}^{2n + 1 - k}\ \ ,\ \forall k\mathbb{\in N},\ 0 \leq k \leq 2n + 1$ nên ta có:

$C_{2n + 1}^{0} + C_{2n + 1}^{1} + C_{2n +1}^{2} + ... + C_{2n + 1}^{n}$

$= \frac{1}{2}\left( C_{2n + 1}^{0} + C_{2n+ 1}^{1} + C_{2n + 1}^{2} + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} ight) =\frac{1}{2}(1 + 1)^{2n + 1} = 2^{2n}$

Suy ra: $2^{2n} = 2^{20} \Leftrightarrow n = 10$ .

Số hạng tổng quát trong khai triển $\left( \frac{1}{x^{4}} + x^{7} ight)^{10}$ là: $T_{k + 1} = C_{10}^{k}\left( \frac{1}{x^{4}} ight)^{10 - k}\left( x^{7} ight)^{k} = C_{10}^{k}x^{11k - 40}$ .

Hệ số của $x^{26}$ là $C_{10}^{k}$ với $k$ thỏa mãn: $11k - 40 = 26 \Leftrightarrow k = 6$ .

Vậy hệ số của $x^{26}$ là $C_{10}^{6} = 210$ .
Câu 7: Nhận biết
Có tất cả bao nhiêu cách xếp $6$ quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách?
- A.
  $7!$ .
- B.
  $6^{6}$ .
- C.
  $6!$ .
- D.
  $6^{5}$ .
Mỗi cách sắp xếp $6$ quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách là một hoán vị của $6$ phần tử. Vậy số cách sáp xếp là $6!$ .
Câu 8: Nhận biết
Tìm hệ số của $x^{2}y^{2}$ trong khai triển nhị thức Newton của $(x + 2y)^{4}$ ?
- A.
  $32$
- B.
  $8$
- C.
  $12$
- D.
  $16$
Số hạng tổng quát là: $C_{n}^{k}a^{k}b^{n - k} = C_{4}^{k}.x^{k}.(2y)^{2 - k} = C_{4}^{k}.2^{k}.x^{k}.y^{2 - k}$

Hệ số của $x^{2}y^{2}$ tìm được khi $k = 2$

Vậy hệ số của $x^{2}y^{2}$ trong khai triển là $C_{4}^{2}.2^{2} = 12$ .
Câu 9: Thông hiểu
Cho tập hợp $B = \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7 ight\}$ . Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số được lập từ B sao cho chữ số đằng sau luôn lớn hơn chữ số đẳng trước nó?
- A.
  $56$ số
- B.
  $84$ số
- C.
  $105$ số
- D.
  $68$ số
Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm có dạng $\overline{abc};(a \leq b \leq c)$

TH1: $a < b < c$ có $C_{7}^{3} = 35$ số thỏa mãn.

TH2: $a = b < c$ có $C_{7}^{2} = 21$ số thỏa mãn.

TH3: $a < b = c$ có $C_{7}^{2} = 21$ số thỏa mãn.

TH4: $a = b = c$ có $C_{7}^{1} = 7$ số thỏa mãn.

Vậy số các số được tạo thành là: $35 + 2.21 + 7 = 84$ số.
Câu 10: Thông hiểu
Một thầy giáo có 10 cuốn sách khác nhau trong đó có 4 cuốn sách Toán, 3 cuốn sách Lý và 3 cuốn sách Hóa. Thầy muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 học sinh A, B, C, D, E mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách tặng nếu có ít nhất một cuốn sách Toán được tặng.
- A.
  $29520$
- B.
  $14528$
- C.
  $30240$
- D.
  $24480$
Số cách lấy 5 cuốn sách trong tổng số 10 cuốn sách ở ba thể loại để tặng cho 5 học sinh là $A_{10}^{5}$ (cách)

Số cách lấy 5 cuốn sách để chia cho 5 học sinh trong đó không có cuốn sách Toán nào là $A_{6}^{5}$ (cách).

Vậy số cách lấy 5 cuốn sách thỏa ycbt là: $A_{10}^{5} - A_{6}^{5} = 29520$ cách.
Câu 11: Nhận biết
Hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển nhị thức $\left( x - \frac{2}{x\sqrt{x}} ight)^{12}$ (với $x > 0$ ) là:
- A.
  $266$ .
- B.
  $- 264$ .
- C.
  $264$ .
- D.
  $250$ .
Số hạng tổng quát của khai triển $\left( x - \frac{2}{x\sqrt{x}} ight)^{12}$ (với $x > 0$ ) là:

$T_{k + 1} = C_{12}^{k}.x^{12 - k}.\left( - \frac{2}{x\sqrt{x}} ight)^{k} = ( - 2)^{k}.C_{12}^{k}.x^{12 - k}.x^{- \frac{3k}{2}} = ( - 2)^{k}.C_{12}^{k}.x^{12 - \frac{5k}{2}}$ .

Số hạng trên chứa $x^{7}$ suy ra $12 - \frac{5k}{2} = 7 \Leftrightarrow k = 2$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển trên là $= ( - 2)^{2}.C_{12}^{2} = 264$ .
Câu 12: Nhận biết
Từ các chữ số $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $5$ chữ số đôi một khác nhau?
- A.
  $120$ .
- B.
  $520$ .
- C.
  $20$ .
- D.
  $32$ .
Mỗi số tự nhiên gồm $5$ chữ số khác nhau được lập từ các số $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ là một hoán vị của $5$ phần tử đó. Nên số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là $P_{5} = 5!$ $= 120$ (số).
Câu 13: Thông hiểu
Một tập thể có 14 người gồm 6 nam và 8 nữ, trong đó có An và Bình, chọn một tồ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn sao cho trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ.
- A.
  $10296$
- B.
  $11088$
- C.
  $15048$
- D.
  $14875$
Trường hợp 1: An và Bình không có mặt trong tổ công tác:

Chọn 6 bạn trong 12 bạn (14 người loại An và Bình) có $C_{12}^{6}$ cách.

Trường hợp 2: An có trong tổ công tác, Bình không có trong tổ công tác:

Chọn An có 1 cách, Chọn 5 bạn trong 12 người còn lại có $C_{12}^{5}$ cách

Trường hợp 3: Bình có trong tổ công tác, An không có trong tổ công tác có $C_{12}^{5}$ cách.

Trong 1 tổ 6 người có 6 cách chọn ra 1 tổ trưởng

Như vậy có tất cả số cách là: $\left( C_{12}^{6} + C_{12}^{5} + C_{12}^{5} ight).6 = 15048$ cách
Câu 14: Vận dụng
Cho các chữ số 0; 1; 2; 4; 5; 6; 8. Hỏi từ các chữ số trên lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà trong mỗi số chữ số 1 luôn xuất hiện?
- A.
  444.
- B.
  840.
- C.
  230.
- D.
  120.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ . Vì $\overline{abcde}$ chia hết cho 5 suy ra $e = \left\{ 0;5 ight\}$ .

TH1. Với $e = 0$ suy ra có $4 \times 5 \times 4 \times 3 = 240$ số cần tìm.

TH2. Với $e = 5$ , suy ra có $5 \times 4 \times 3 + 3 \times 4 \times 4 \times 3 = 204$ số cần tìm.

Vậy có tất cả 444 số cần tìm.
Câu 15: Nhận biết
Tính số cách sắp xếp 8 học sinh thành 1 hàng dọc?
- A.
  $64$
- B.
  $512$
- C.
  $1024$
- D.
  $40320$
Số cách sắp xếp 8 học sinh thành 1 hàng dọc là 8! = 40320 cách.
Câu 16: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho số đó không bắt đầu bởi 125?
- A.
  165.
- B.
  362.
- C.
  2402.
- D.
  6705.
Gọi $\overline{125ab}$ là số bắt đầu bởi 125 và có 5 chữ số đôi một khác nhau.

Suy ra $b$ có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn $\Rightarrow$ có $3 \times 5 = 15$ số.

Số các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập A là $4 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 6720$ số.

Suy ra có tất cả $6720 - 15 = 6705$ số cần tìm.
Câu 17: Nhận biết
Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào 1 chiếc ghế dài sao cho bạn A ngồi chính giữa?
- A.
  120.
- B.
  256.
- C.
  24.
- D.
  32.
Xếp bạn A ngồi chính giữa: có 1 cách.

Khi đó xếp 4 bạn B, C, D, E vào 4 vị trí còn lại, có 4! = 24 cách.

Vậy có tất cả 24 cách xếp.
Câu 18: Thông hiểu
Tính tổng các hệ số trong khai triển $(1 - 2x)^{2018}$ .
- A.
  -1.
- B.
  1.
- C.
  -2018.
- D.
  2018.
Xét khai triển $(1 - 2x)^{2018} =C_{2018}^{0} - 2x.C_{2018}^{1} + ( - 2x)^{2}.C_{2018}^{2} + ... + ( - 2x)^{2018}.C_{2018}^{2018}$

Tổng các hệ số trong khai triển là: $S = C_{2018}^{0} - 2.C_{2018}^{1} + ( - 2)^{2}.C_{2018}^{2} + ( - 2)^{3}.C_{2018}^{3} + ... + ( - 2)^{2018}.C_{2018}^{2018}$

Cho $x = 1$ ta có: $(1 - 2.1)^{2018} = C_{2018}^{0} - 2.1.C_{2018}^{1}+ ( - 2.1)^{2}.C_{2018}^{2} + ... + ( -2.1)^{2018}.C_{2018}^{2018}$

$\Leftrightarrow ( - 1)^{2018} = S\Leftrightarrow S = 1$
Câu 19: Thông hiểu
Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng (2000; 3000) có thể tạo nên bằng các chữ số $1,2,3,4,5,6$ nếu các chữ số không nhất thiết khác nhau?
- A.
  $108$
- B.
  $216$
- C.
  $120$
- D.
  $148$
Gọi số tự nhiên trong khoảng $(2000;3000)$ có dạng $\overline{2abc}$

Vì là số tự nhiên lẻ nên c có 3 lựa chọn là $\left\{ 1;3;5 ight\}$

a, b có 6 lựa chọn.

Vậy có $6.6.3 = 108$ số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 20: Nhận biết
Biết rằng khai triển nhị thức Newton $(x + 2)^{n};\left( n\mathbb{\in N} ight)$ có tất cả 6 số hạng. Hãy xác định $n$ ?
- A.
  $n = 4$
- B.
  $n = 3$
- C.
  $n = 5$
- D.
  $n = 6$
Vì trong khai triển nhị thức Newton $(x + 2)^{n};\left( n\mathbb{\in N} ight)$ đã cho có tất cả 6 số hạng nên $n + 1 = 6 \Rightarrow n = 5$

Vậy n = 5 là giá trị cần tìm.

104 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20

Chưa làm Đã làm