Cho khai triển
trong đó
và các hệ số thỏa mãn hệ thức
. Hệ số lớn nhất là:
Xét khai triển .
Cho ta được
Khi đó .
Ta có hệ số
Hệ số lớn nhất nên
Vì nên nhận
Vậy hệ số lớn nhất .
Cho khai triển
trong đó
và các hệ số thỏa mãn hệ thức
. Hệ số lớn nhất là:
Xét khai triển .
Cho ta được
Khi đó .
Ta có hệ số
Hệ số lớn nhất nên
Vì nên nhận
Vậy hệ số lớn nhất .
Tìm hệ số không chứa
trong khai triển
, biết
là sô nguyên dương thỏa mãn
.
.
.
Số hạng không chứa ứng với
là
.
Tổng hệ số của
và
trong khai triển
là:
Ta có: .
Tổng hệ số của và
bằng
.
Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng (2000; 3000) có thể tạo nên bằng các chữ số
nếu các chữ số khác nhau?
Gọi số tự nhiên trong khoảng có dạng
Vì là số tự nhiên lẻ nên c có 3 lựa chọn là
a có 4 lựa chọn vì khác 2 và c
b có 3 lựa chọn vì khác 2 và c, a.
Vậy có số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ các chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chứa chữ số 2 và chia hết cho 5?
Giả sử số đó là
Trường hợp 1. xếp 2 vào có 2 vị trí, chọn số xếp vào vị trí còn lại có 6 cách nên có 2.6 = 12 số thỏa mãn.
Trường hợp 2. . Với
chọn
có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn. Với
chọn
có 5 cách chọn, và tất nhiên
nên có 5 số thỏa mãn. Do đó có
số thỏa mãn.
Có 7 nam 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp, biết rằng 2 vị trí đầu và cuối là nam và không có 2 nữ nào đứng cạnh nhau?
Số cách chọn 2 nam đứng ở đầu và cuối là. . Lúc này còn lại 5 nam và 5 nữ, để đưa 10 người này vào hàng thì trước tiên sẽ cho 5 nam đứng riêng thành hàng ngang, số cách đứng là 5!. Sau đó lần lượt “nhét” 5 nữ vào các khoảng trống ở giữa hoặc đầu, hoặc cuối của hàng 5 nam này, mỗi khoảng trống chỉ “nhét” 1 nữ hoặc không “nhét”, có tất cả 6 khoảng trống nên số cách xếp vào là
. Số cách xếp 10 người này thành hàng ngang mà 2 nữ bất kì không đứng cạnh nhau là.
Đưa 10 người này vào giữa 2 nam đầu và cuối đã chọn, số cách xếp là. .
Từ các chữ số
,
,
,
,
. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
chữ số đôi một khác nhau?
Mỗi số tự nhiên gồm chữ số khác nhau được lập từ các số
,
,
,
,
là một hoán vị của
phần tử đó. Nên số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là
(số).
Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
Học sinh nam có 280 cách chọn
Học sinh nữ có 325 cách chọn
Chọn một học sinh khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố thì có cách.
Có bao nhiêu số nguyên dương n gồm 3 chữ số có nghĩa (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong đó chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của n giống hệt nhau?
Chọn có: 9 cách.
Chọn có: 10 cách.
Chọn có: 1 cách.
Theo quy tắc nhân có: số.
Cho tập hợp
. Số tập con gồm 3 phần tử của
sao cho không có số
là:
Mỗi tập con gồm 3 phần tử của không có số
là tổ hợp chập 3 của 9 phần tử.
Số tập con gồm 3 phần tử của không có số
là.
.
Khai triển nhị thức Newton
ta được kết quả là:
Ta có:
Có 3 người đàn ông, 2 người đàn bà và 1 đứa trẻ được xếp ngồi vào 6 cái ghế xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông?
Ta đánh số thứ tự cho 6 chiếc ghế từ số 1 đến số 6
Ta thực hiện việc xếp 6 người vào 6 chiếc ghế sao cho đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông như sau:
Xếp đứa trẻ ngồi vào 1 trong các ghế có số thứ tự từ 2 đến 5 có 4 cách.
Chọn và xếp 2 người đàn ông trong 3 người đàn ông vào 2 ghế bên cạnh đứa trẻ: cách.
Xếp 3 người còn lại vào 3 ghế còn lại có 3! Cách.
Áp dụng quy tắc nhân, có tất cả: cách.
Khai triển biểu thức
ta thu được kết quả là:
Ta có: .
Hệ số của số hạng chứa
trong khai triển Newton
là:
Số hạng tổng quát của khái triển
Số của số hạng chứa :
. Hệ số của số hạng chứa
.
Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn
chia hết cho
và
.
Số các số tự nhiên lớn nhất nhỏ hơn chia hết cho
và
là
.
Số các số tự nhiên nhỏ nhất nhỏ hơn chia hết cho
và
là
.
Số các số tự nhiên nhỏ hơn chia hết cho
và
là
.
Khối lớp 11 có 300 học sinh nam và 250 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn hai học sinh làm đại diện cho khối 11 trong đó có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ. Số cách chọn là:
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ là:
cách chọn.
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn lại
. Hỏi có bao nhiêu số như vậy biết rằng năm chữ số 1 được xếp kế nhau.
Xếp năm chữ số 1 kế nhau vào 9 vị trí có 5 cách.
Xếp vào 4 vị trí còn lại có 4! cách.
Theo quy tắc nhân, ta được (số).
Có 1 con mèo vàng,
con mèo đen,
con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím. Xếp 6 con mèo thành hàng ngang vào
cái ghế sao cho mỗi ghế chỉ có một con mèo. Đếm số cách xếp chỗ sao cho mèo vàng và mèo đen ở cạnh nhau.
Số cách xếp con mèo vàng và con mèo đen ở cạnh nhau là .
Xem nhóm con mèo vàng và đen này là một phần tử, cùng với con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím, ta được
phần tử. Xếp
phần tử này là.
Vậy có .
Cho tập hợp
gồm
phần tử. Số các tổ hợp chập
của
phần tử từ tập hợp
(với
) được xác định bởi công thức là:
Số các tổ hợp chập của
phần tử từ tập hợp
(với
) được xác định bởi công thức là:
.
Có bao nhiêu cách sắp xếp
học sinh thành một hàng dọc?
Số cách sắp xếp học sinh thành một hàng dọc là
.