Lớp 10 Toán 10 - Cánh diều

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Nếu C_{n}^{k}=10 và A_{n}^{k}=60. Thì k bằng:

     Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{C_n^k = 10}\\{A_n^k = 60}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}} = 10}\\{\frac{{n!}}{{(n - k)!}} = 60}\end{array}} ight.} ight.\Leftrightarrow k! = 6 \Leftrightarrow k = 3.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Biết rằng (7 - 8x)^{5} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + a_{4}x^{4} + a_{5}x^{5}. Chọn kết luận đúng?

    Thay x = 1 vào (7 - 8x)^{5} ta được:

    (7 - 8.1)^{5}

    = a_{0} + a_{1}.1 + a_{2}.1^{2} + a_{3}.1^{3} + a_{4}.1^{4} + a_{5}.1^{5}

    = a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}

    = \sum_{i = 0}^{5}a_{i} = - 1

  • Câu 3: Nhận biết

    Tính số chỉnh hợp chập 2 của 5 là:

    Số chỉnh hợp chập 2 của 5 là: A_{5}^{2}.

  • Câu 4: Nhận biết

    Nam muốn qua nhà Hải để cùng Hải đến chơi nhà Cường. Từ nhà Nam đến nhà Hải có 4 con đường đi, từ nhà Hải đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường cùng Hải?

    Từ nhà Nam đến nhà Hải có 4 con đường.

    Từ nhà Hải đến nhà Cường có 6 con đường.

    Áp dụng quy tắc nhân, có 4.6 = 24 cách đi từ nhà Nam đến nhà Cường (đi qua nhà Hải).

  • Câu 5: Thông hiểu

    Từ các chữ số 1;4;5;8;9 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n > 800 và gồm các chữ số đôi một khác nhau.

    Trường hợp 1: n gồm ba chữ số.

    Gọi n = \overline{abc}.

    Để n > 800 và gồm các chữ số đôi một khác nhau thì

    a có 2 lựa chọn là \left\{ 8;9 ight\}

    b có 4 lựa chọn vì phải khác a

    c có 3 lựa chọn vì phải khác a; b

    Vậy có 2.4.3 = 24 số.

    Trường hợp 2: n gồm bốn chữ số. Thỏa mãn n > 800.

    Để n gồm các chữ số đôi một khác nhau thì có A_{5}^{4} = 120 thỏa mãn.

    Trường hợp 3: n gồm năm chữ số. Thỏa mãn n > 800.

    Để n gồm các chữ số đôi một khác nhau thì có A_{5}^{4} = 120 thỏa mãn.

    Vậy có 120 + 120 + 24 = 264 số n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho tập M gồm 10 phần tử. Số tập con gồm 4 phần tử của M là:

    Số tập con gồm 4 phần tử của M là số cách chọn 4 phần tử bất kì trong 10 phần tử của M.

    Do đó số tập con gồm 4 phần tử của M là C_{10}^{4}.

  • Câu 7: Nhận biết

    Một tổ chăm sóc khách hàng của một trung tâm điện tử gồm 12 nhân viên. Số cách phân công 3 nhân viên đi đến ba địa điểm khác nhau để chăm sóc khách hàng là

    Số cách xếp 3 nhân viên từ 12 nhân viên vào 3 vị trí khác nhau là: A_{12}^{3} = 1320 cách.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Từ khai triển biểu thức (x + 1)^{10} thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là:

    Xét khai triển f(x) = (x + 1)^{10} = \sum_{k = 0}^{10}C_{10}^{k}.x^{k}.

    Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có S = f(1) = (1 + 1)^{10} = 2^{10} = 1024.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Có bao nhiêu cách xếp 40 học sinh gồm 20 học sinh trường A và 20 học sinh trường B thành 4 hàng dọc, mỗi hàng 10 người (tức 10 hàng ngang, mỗi hàng 4 người) trong đó không có học sinh cùng trường đứng kề nhau trong mỗi hàng dọc và tất cả các học sinh trong mỗi hàng ngang đều cùng trường?

    Giả sử 4 hàng dọc được kí hiệu là D_{1};D_{2};D_{3};D_{4}

    Mỗi hàng các vị trí lại được kí hiệu từ 1 đến 10

    Theo yêu cầu bài toán thì:

    Các bạn trường A được xếp ở D1 ghi số chẵn, D2 ghi số chẵn, D3 ghi số chẵn, D4 ghi số chẵn.

    Các bạn trường B ở các vị trí còn lại hoặc ngược lại.

    Nên số cách xếp là 2.20!.20! cách

  • Câu 10: Thông hiểu

    Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?

    Mỗi số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lập từ các số 1,2,3,4,5,6 là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử.

    Vậy từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được: A_{6}^{3} = 120 số tự nhiên có ba chữ số khác nhau.

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho tập hợp M = {a; b; c}. Số hoán vị của ba phần tử của M là:

     Số hoán vị của ba phần tử của M là: 3! = 6.

  • Câu 12: Nhận biết

    Tìm số hạng chứa x^{7} trong khai triển \left( x - \frac{1}{x} ight)^{13}.

    Ta có công thức của số hạng tổng quát:

    T_{k + 1} = C_{13}^{k}x^{13 - k}.\left( - \frac{1}{x} ight)^{k} = C_{13}^{k}x^{13 - k}( - 1)^{k}x^{- k} = C_{13}^{k}.( - 1)^{k}x^{13 - 2k}

    Số hạng chứa x^{7}khi và chỉ khi 13 - 2k = 7 \Leftrightarrow k = 3.

    Vậy số hạng chứa x^{7} trong khai triển là - C_{13}^{3}x^{7}.

  • Câu 13: Vận dụng

    Với số nguyên dương n, gọi a_{3n - 3} là hệ số của x^{3n - 3} trong khai triển thành đa thức của \left( x^{2} + 1 ight)^{n}(x + 2)^{n}. Tìm n để a_{3n - 3} = 26n.

    Ta có:

    \left( x^{2} + 1 ight)^{n} = C_{n}^{0}x^{2n} + C_{n}^{1}x^{2n - 2} + C_{n}^{2}x^{2n - 4} + \ldots + C_{n}^{n}

    (x + 2)^{n} = C_{n}^{0}x^{n} + 2C_{n}^{1}x^{n - 1} + 2^{2}C_{n}^{2}x^{n - 2} + \ldots + 2^{n}C_{n}^{n}

    Ta thấy n = 1,n = 2 không thoả mãn điều kiện bài toán.

    Với n \geq 3 ta có: x^{3n - 3} = x^{2n}.x^{n - 3} = x^{2n - 2}.x^{n - 1}

    Do đó hệ số của x^{3n - 3} trong khai triển thành đa thức của \left( x^{2} + 1 ight)^{n}(x + 2)^{n}.

    a_{3n - 3} = 2^{3}.C_{n}^{0}.C_{n}^{3} + 2.C_{n}^{1}.C_{n}^{1}.

    \Rightarrow a_{3n - 3} = 26n \Leftrightarrow \frac{2n\left( 2n^{2} - 3n + 4 ight)}{3} = 26n

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}n = 0\ \ (L) \ = - \dfrac{7}{2}\ \ (L). \ = 5\ \ (t/m) \\\end{matrix} ight.

    Vậy n = 5 là giá trị cần tìm.

  • Câu 14: Vận dụng

    Một cửa hàng có 3 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền cần xếp vào giá. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho đầu hàng và cuối hàng cùng một loại?

    Đối với bài toán ta xét 2 trường hợp.

    +) Đầu hàng và cuối hàng đều là gói bim bim. Số cách chọn 2 gói bim bim xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. A_{3}^{2} (ở đây ta xem cách xếp 1 gói bim bim A ở đầu hàng, gói bim bim B ở cuối hàng với cách xếp gói bim bim A ở cuối hàng còn gói bim bim B ở đầu hàng là khác nhau). Lúc này, ta còn lại 1 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là. A_{3}^{2}.6!

    +) Đầu hàng và cuối hàng đều là cốc mì ăn liền. Số cách chọn 2 cốc mì ăn liền xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. A_{5}^{2}. Lúc này, còn lại 3 cốc mì ăn liền và 3 gói bim bim, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là. A_{6}^{2}.6!

    \Rightarrow Số cách xếp tất cả là. 6!\left( A_{3}^{2} + A_{5}^{2} ight) = 18720.

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho đa giác đều có 54 đường chéo. Hãy tính xem đa giác này có bao nhiêu cạnh?

    Đa giác n cạnh có n đỉnh.

    Mỗi đỉnh nối với n - 3 đỉnh khác để tạo ra đường chéo

    Do đó n đỉnh sẽ có n(n - 3)đường

    Mà 1 đường chéo được nối bởi 2 đỉnh nên số đường chéo thực là: \frac{n(n - 3)}{2}

    Theo đề bài ta có:

    \frac{n(n - 3)}{2} = 54 \Leftrightarrow n^{2} - 3n - 108 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = - 9(ktm) \\ n = 12(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đa giác có 12 cạnh.

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho các số 1,2,3,4,5,6,7. Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho chữ số đầu tiên bằng 3 là:

    Gọi số cần tìm có dạng: \overline{abcde}.

    Chọn a: có 1 cách (a = 3)

    Chọn \overline{bcde}: có 7^{4} cách

    Theo quy tắc nhân, có 1.7^{4} = 2401(số).

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho đa giác đều A_{1}A_{2}...A_{2n} nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n của đa giác gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác. Tìm n.

    Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm A_{1};A_{2};...;A_{2n} là C_{2n}^{3}

    Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều A_{1};A_{2};...;A_{2n} cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm A_{1};A_{2};...;A_{2n}

    Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.

    Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là C_{n}^{2}

    Theo giả thiết ta có:

    C_{2n}^{3} = 20C_{n}^{2} \Leftrightarrow \frac{(2n)!}{3!(2n - 3)!} = 20.\frac{n!}{n!(n - 2)!}

    \Leftrightarrow \frac{2n(2n - 1)(2n - 2)}{6} = 10n(n - 1)

    \Leftrightarrow 4n^{3} - 36n^{2} + 32n = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0(L) \\ n = 1(L) \\ n = 8(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy n = 8.

  • Câu 18: Nhận biết

    Khai triển nhị thức (2x + 3)^{4} ta được kết quả là:

     Ta có: (2x + 3)^{4} =16x^{4} + 96x^{3} + 216x^{2} + 216x + 81.

  • Câu 19: Nhận biết

    Tìm hệ số của x^{7} trong khai triển (1 + x)^{10}.

    Số hạng tổng quát là: T_{k + 1} = C_{10}^{k}.x^{k}.

    Số hạng chứa x^{7} trong khai triển (1 + x)^{10} là: T_{8} = C_{10}^{8}.x^{7} nên hệ số là 45.

  • Câu 20: Nhận biết

    Một nhóm học sinh gồm 5 bạn nam và 6 bạn nữ. Hỏi số cách chọn một học sinh bất kì trong nhóm?

    Số cách chọn một học sinh bất kì trong nhóm là: 5 + 6 = 11 cách chọn.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 56 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập