Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào 1 chiếc ghế dài sao cho bạn A ngồi chính giữa?
- A.
  120.
- B.
  256.
- C.
  24.
- D.
  32.
Xếp bạn A ngồi chính giữa: có 1 cách.

Khi đó xếp 4 bạn B, C, D, E vào 4 vị trí còn lại, có 4! = 24 cách.

Vậy có tất cả 24 cách xếp.
Câu 2: Nhận biết
Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn văn nghệ, mỗi đội chỉ được trình diễn một vở kịch, một điệu múa và một bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách hương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau?
- A.
  11.
- B.
  36.
- C.
  25.
- D.
  18.
Đội văn nghệ trên có 2 cách chọn trình diễn một vở kịch, có 3 cách chọn trình diễn một điệu múa, có 6 cách chọn trình diễn một bài hát. Theo quy tắc nhân, đội văn nghệ trên có 2.3.6 = 36cách hương trình diễn.
Câu 3: Vận dụng
Tìm hệ số của $x^{8}$ trong khai triển $\left( \frac{1}{x^{3}} + \sqrt{x^{5}} ight)^{n};\ (x > 0)$ biết $C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^{n} = 7(n + 3)$ là :
- A.
  1302.
- B.
  333.
- C.
  395.
- D.
  13689.
Điều kiện: $n\mathbb{\in N}$

Ta có :

$C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^{n} = 7(n + 3) \Leftrightarrow \frac{(n + 4)!}{(n + 1)!3!} - \frac{(n + 3)!}{n!3!} = 7(n + 3)$

$\Leftrightarrow \frac{(n + 4)(n + 3)(n + 2)}{6} - \frac{(n + 3)(n + 2)(n + 1)}{6} = 7(n + 3)$

$\Leftrightarrow 3n = 36 \Leftrightarrow n = 12$ .

Xét khai triển

$\left( \frac{1}{x^{3}} + \sqrt{x^{5}} ight)^{12} = \sum_{k = 0}^{12}{C_{12}^{k}\left( \frac{1}{x^{3}} ight)^{k}\left( \sqrt{x^{5}} ight)^{12 - k}}$ $\left( 0 \leq k \leq 12,\ k\mathbb{\in N} ight)$

$= \sum_{k = 0}^{12}{C_{12}^{k}x^{\frac{60 - 11k}{2}}}$ .

Để số hạng chứa $x^{8}$ thì $\frac{60 - 11k}{2} = 8 \Leftrightarrow k = 4$ .

Vậy hệ số chứa $x^{8}$ trong khai triển trên là $C_{12}^{4} = 495$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tìm số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $P(x) = (x + 2)^{5} - (x - 3)^{4}$ thành đa thức?
- A.
  $52x^{3}$
- B.
  $40x^{3}$
- C.
  $12x^{3}$
- D.
  $28x^{3}$
Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(x + 2)^{5}$ là $C_{5}^{2}.2^{2}.x^{3} = 40x^{3}$

Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(x - 3)^{4}$ là $C_{4}^{1}.( - 3)^{1}.x^{3} = - 12x^{3}$

Do đó số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $P(x) = (x + 2)^{5} - (x - 3)^{4}$ đã cho là: $40x^{3} - ( - 12)x^{3} = 52x^{3}$

Vậy số hạng cần tìm là $52x^{3}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Cho tập hợp các chữ số tự nhiên $A = \left\{ 0,1,2,3,4,5,6 ight\}$ . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?
- A.
  $120$
- B.
  $100$
- C.
  $220$
- D.
  $200$
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là: $\overline{abcd};(a eq 0)$ .

Tổng quát:

Số cách chọn $d$ là 2 cách chọn.

Số cách chọn a là 6 cách chọn.

Số cách chọn b là 5 cách chọn.

Số cách chọn c là 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: $2.6.5.4 = 240$ số

Vi phạm:

a = 0 có 1 cách chọn.

d = 5 có 1 cách chọn.

b có 5 cách chọn.

c có 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân: $1.1.5.4 = 20$ số

Số các số cần tìm là: $240 - 20 = 220$ số.
Câu 6: Thông hiểu
Một chiếc hộp chứ 5 quả cầu trắng và 6 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên đồng thời ba quả trong hộp, biết rằng các quả cầu có kích thước và khối lượng như nhau. Hỏi có bao nhiêu cách lấy được đồng thời 3 quả cầu sao cho 3 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả cầu trắng?
- A.
  $152$
- B.
  $128$
- C.
  $145$
- D.
  $103$
Trường hợp 1: 1 quả trắng và 2 quả đỏ.

Số cách lấy là $C_{5}^{1}.C_{6}^{2} = 75$

Trường hợp 2: 2 quả trắng và 1 quả đỏ.

Số cách lấy là $C_{5}^{2}.C_{6}^{1} = 60$

Trường hợp 3: 3 quả trắng.

Số cách lấy là $C_{5}^{3} = 10$

Do vậy số cách lấy ngẫu nhiên 3 quả cầy trong hộp sao cho trong 3 quả cầu lấy ra có ít nhất 1 quả cầu trắng là: 75 + 60 + 10 = 145 (cách)
Câu 7: Nhận biết
Cho tập hợp M = {a; b; c}. Số hoán vị của ba phần tử của M là:
- A.
  4
- B.
  5
- C.
  6
- D.
  7
Số hoán vị của ba phần tử của M là: 3! = 6.
Câu 8: Nhận biết
Khai triển $(x + 3y)^{4}$ thành đa thức ta được biểu thức gồm mấy số hạng?
- A.
  $3$
- B.
  $4$
- C.
  $5$
- D.
  $6$
Biểu thức $(x + 3y)^{4}$ khai triển thành đa thức có 5 hạng tử.
Câu 9: Nhận biết
Tìm hệ số của $x^{7}$ trong khai triển $(1 + x)^{10}$ .
- A.
  $190$ .
- B.
  $270$ .
- C.
  $230$ .
- D.
  $45$ .
Số hạng tổng quát là: $T_{k + 1} = C_{10}^{k}.x^{k}$ .

Số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển $(1 + x)^{10}$ là: $T_{8} = C_{10}^{8}.x^{7}$ nên hệ số là 45.
Câu 10: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 0;1;2;3;4;5 ight\}$ . Hỏi lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2 từ tập A.
- A.
  240.
- B.
  312.
- C.
  338.
- D.
  236.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ . Vì $\overline{abcde}$ chia hết cho 2 suy ra $e = \left\{ 0;2;4 ight\}$ .

TH1. Với $e = 0$ , khi đó $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ số.

TH2. Với $e = \left\{ 2;4 ight\}$ , khi đó có 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c, 2 cách chọn

$d$ .

Suy ra có $4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 2 = 192$ số. Vậy có tất cả $120 + 192 = 312$ số cần tìm.
Câu 11: Nhận biết
Số các hoán vị của n phần tử là:
- A.
  n
- B.
  n +1
- C.
  n -1
- D.
  n!
Số các hoán vị của n phần tử là: n!.
Câu 12: Nhận biết
Có tất cả bao nhiêu cách xếp $6$ quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách?
- A.
  $7!$ .
- B.
  $6^{6}$ .
- C.
  $6!$ .
- D.
  $6^{5}$ .
Mỗi cách sắp xếp $6$ quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách là một hoán vị của $6$ phần tử. Vậy số cách sáp xếp là $6!$ .
Câu 13: Nhận biết
Xếp 3 quyển sách Toán, 4 sách Lý, 2 sách Hóa và 5 sách Sinh vào một kệ sách. Tất cả các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp một cách tùy ý?
- A.
  $240$ cách
- B.
  $14!$ cách
- C.
  $5!$ cách
- D.
  $14$ cách
Trên kệ có tất cả 14 quyển sách khác nhau, số cách sắp xếp 14 quyển sách đó là 14!.
Câu 14: Vận dụng
Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số các vé gồm 5 chữ số khác nhau là bao nhiêu?
- A.
  30240
- B.
  32212
- C.
  23460
- D.
  32571
Gọi số in trên vé có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$

Số cách chọn $a_{1}$ là 10 ( $a_{1}$ có thể là 0).

Số cách chọn $a_{2}$ là 9.

Số cách chọn $a_{3}$ là 8.

Số cách chọn $a_{4}$ là 7.

Số cách chọn $a_{5}$ là 6.

Do đó có 10.9.8.7.6 = 23460 (số).
Câu 15: Nhận biết
Giả sử có một công việc có thể tiến hành theo hai công đoạn M và N. Công đoạn M có a cách, công đoạn N có b cách mà không trùng với cách nào của công đoạn M. Khi đó công việc có thể thực hiện bằng:
- A.
  $\frac{1}{2}a.b$ cách
- B.
  $\frac{1}{2}(a + b)$ cách
- C.
  $a + b$ cách
- D.
  $a.b$ cách
Khi đó công việc có thể được thực hiện bằng $a + b$ (cách) (theo quy tắc nhân)
Câu 16: Thông hiểu
Một nhóm học sinh có 5 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các học sinh thành hàng dọc sao cho các bạn học sinh nam đứng liền nhau và các học sinh nữ đứng liền nhau?
- A.
  $1440$
- B.
  $720$
- C.
  $480$
- D.
  $2160$
Để xếp 8 học sinh đã cho thành hàng dọc sao cho các học sinh nam đứng liền nhau và các học sinh nữ đứng liền nhau ta thực hiện các bước:

Bước 1: Xếp vị trí cho nam và nữ: có 2 cách (5 nam đứng đầu hàng, 3 nữ đứng cuối hàng hoặc 5 nam đứng cuối hàng, 3 nữ đầu hàng).

Bước 2: Xếp chỗ cho 5 nam vào 5 vị trí có 5! cách.

Bước 3: Xếp chỗ cho 3 nữ vào 3 vị trí có 3! cách.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: $2.5!.3! = 1440$ (cách).
Câu 17: Vận dụng
Cho đa giác đều $A_{1}A_{2}...A_{2n}$ nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong $2n$ của đa giác gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong $2n$ đỉnh của đa giác. Tìm $n$ .
- A.
  $n = 6$
- B.
  $n = 11$
- C.
  $n = 10$
- D.
  $n = 8$
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$ là $C_{2n}^{3}$

Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$ cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$

Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.

Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là $C_{n}^{2}$

Theo giả thiết ta có:

$C_{2n}^{3} = 20C_{n}^{2} \Leftrightarrow \frac{(2n)!}{3!(2n - 3)!} = 20.\frac{n!}{n!(n - 2)!}$

$\Leftrightarrow \frac{2n(2n - 1)(2n - 2)}{6} = 10n(n - 1)$

$\Leftrightarrow 4n^{3} - 36n^{2} + 32n = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0(L) \\ n = 1(L) \\ n = 8(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $n = 8$ .
Câu 18: Thông hiểu
Từ khai triển biểu thức $(x + 1)^{10}$ thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là:
- A.
  2013.
- B.
  512.
- C.
  1024.
- D.
  2028.
Xét khai triển $f(x) = (x + 1)^{10} = \sum_{k = 0}^{10}C_{10}^{k}.x^{k}$ .

Gọi $S$ là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có $S = f(1) = (1 + 1)^{10} = 2^{10} = 1024$ .
Câu 19: Thông hiểu
Mỗi khi thực hiện giao dịch qua app thanh toán tiền, ngân hàng sẽ gửi một mã xác thực (OTP – One Time Password) gồm 6 chữ số từ 0 đến 9. Hỏi có thể có bao nhiêu mã OTP?
- A.
  $1368425$
- B.
  $1000000$
- C.
  $8424725$
- D.
  $2481668$
Mỗi mã xác thực gồm 6 chữ số được tạo thành từ các số từ 0 đến 9

=> Với mỗi chữ số trong mã xác thực sẽ có 10 cách chọn

=> Số mã xác thực có thể tạo thành là: $10^{6} = 1000000$ mã.
Câu 20: Nhận biết
Khai triển biểu thức $\left( x^{2} - 5y ight)^{5}$ ta được:
- A.
  $- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} + 1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$
- B.
  $x^{10} - 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} -1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} - 3125y^{5}$
- C.
  $x^{10} + 25x^{8}y+ 250x^{6}y^{2} +1250x^{4}y^{3} + 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$
- D.
  $x^{10} - 25x^{8}y + 250x^{6}y^{2} -1250x^{4}y^{3} + 3125x^{2}y^{4} - 3125y^{5}$
Ta có:

$\left( x^{2} - 5y ight)^{5}$

$= C_{5}^{0}.\left( x^{2} ight)^{5} + C_{5}^{1}\left( x^{2} ight)^{4}.( - 5y) + C_{5}^{2}.\left( x^{2} ight)^{3}.( - 5y)^{2}$

$+ C_{5}^{3}.\left( x^{2} ight)^{2}.( - 5y)^{3} + C_{5}^{4}.\left( x^{2} ight)^{1}.( - 5y)^{4} + C_{5}^{5}.\left( x^{2} ight)^{0}.( - 5y)^{5}$

$=x^{10} - 25x^{8}y + 250x^{6}y^{2} -1250x^{4}y^{3} + 3125x^{2}y^{4} - 3125y^{5}$

104 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!