Từ các chữ số 
, có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n trong đó n gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó phải có 1 và 3 đứng cạnh nhau, không kể thứ tự trước sau.
Gọi là số thỏa yêu cầu bài toán.
Chọn 2 vị trí cạnh nhau từ 6 vị trí (từ ) có: 5 cách.
Xếp số 1 và 3 vào 2 vị trí vừa chọn có: 2 cách.
Chọn số cho 4 vị trí từ tập có:
cách.
Theo quy tắc nhân có: số.
Từ các số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và mỗi số có các chữ số khác nhau?
TH1: số có 1 chữ số thì có 3 cách.
TH2: số có 2 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì cósố.
TH3: số có 3 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì cósố
Vậy có số.
Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả 3 khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
TH1. Có đúng 1 học sinh khối 10: (cách). (1 lớp 10 + 5 lớp 11 + 4 lớp 12 hoặc 1 lớp 10 + 5 lớp 12 + 4 lớp 11)
TH2. Có đúng 2 học sinh khối 10: (cách).
Có
cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi là
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế là: 5! =120 (cách).
Từ các chữ số có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
Có thể lập được số nguyên dương n gồm bốn chữ số đôi một khác nhau.
Khai triển biểu thức ta được:
Ta có:
Số hạng chứa trong khai triển biểu thức là:
Ta có: .
Số hạng cần tìm là: .
Cho hai đường thẳng song song d và d’. Trên đường thẳng d lấy 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d’ lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 điểm vừa nói trên.
Trường hợp 1: Lấy 2 điểm trên d và 1 điểm trên d’
Trường hợp 2: Lấy 1 điểm trên d và 2 điểm trên d’.
Số tam giác thỏa bài toán là: tam giác.
Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức ?
Trong khai triển nhị thức thì số các số hạng là
nên trong khai triển
có
số hạng.
Từ các chữ số , , , , . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau?
Mỗi số tự nhiên gồm chữ số khác nhau được lập từ các số
,
,
,
,
là một hoán vị của
phần tử đó. Nên số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là
(số).
Có tất cả bao nhiêu cách xếp quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách?
Mỗi cách sắp xếp quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách là một hoán vị của
phần tử. Vậy số cách sáp xếp là
.
Một cửa hàng có 3 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền cần xếp vào giá. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho đầu hàng và cuối hàng cùng một loại?
Đối với bài toán ta xét 2 trường hợp.
+) Đầu hàng và cuối hàng đều là gói bim bim. Số cách chọn 2 gói bim bim xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. (ở đây ta xem cách xếp 1 gói bim bim A ở đầu hàng, gói bim bim B ở cuối hàng với cách xếp gói bim bim A ở cuối hàng còn gói bim bim B ở đầu hàng là khác nhau). Lúc này, ta còn lại 1 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là.
+) Đầu hàng và cuối hàng đều là cốc mì ăn liền. Số cách chọn 2 cốc mì ăn liền xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. . Lúc này, còn lại 3 cốc mì ăn liền và 3 gói bim bim, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là.
Số cách xếp tất cả là.
.
Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
Học sinh nam có 280 cách chọn
Học sinh nữ có 325 cách chọn
Chọn một học sinh khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố thì có cách.
Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức Newton với , biết là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn .
Điều kiện:
Khi đó
.
Số hạng tổng quát trong khai triển là
.
Tìm sao cho
.
Vậy hệ số của số hạng chứa là
.
Một học sinh có 12 quyển sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 sách Toán, 4 sách Văn, 6 sách Anh Văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các quyển sách lên một kệ sách dài nếu mọi quyển sách cùng môn được xếp kề nhau?
Có 3! = 6 cách xếp 3 loại sách.
Có 2! = 2 cách xếp 2 sách Toán.
Có 4! = 24 cách xếp 4 sách Văn.
Vậy theo qui tắc nhân có tất cả 6.2.24 = 720 cách xếp thoả mãn yêu cầu đề bài
Cho tập hợp . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số thuộc tập hợp ?
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là:
TH1: d = 0 => d có 1 cách.
Số cách chọn a, b, c lần lượt là 5, 4, 3
=> Số các số tạo thành là: 1.5.4.3 = 60 (số)
TH2: => Chữ số d có 2 cách chọn.
=> Chữ số a có 4 cách.
=> Số cách chọn b, c lần lượt là 4, 3 cách.
=> Số các số tạo thành là: 2.4.4.3 = 96 (số)
Vậy có tất cả 60 + 96 = 156 (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Trong khai triển nhị thức hệ số của là . Giá trị của n là
Khai triển biểu thức như sau:
Theo bài ra ta có:
Hệ số của là
khi đó: k = 1
Từ thành phố A đến thành phố B có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 3 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C sao cho bắt buộc phải đi qua B.
Đi từ A đến B: 2 cách.
Đi từ B đến C: 3 cách.
Vậy đi từ A đến C (qua B) có: 2.3 = 6 cách.
Tìm hệ số của trong khai triển với biết là số nguyên dương thỏa mãn
Đk:
Với , nhị thức trở thành
Số hạng tổng quát là
Từ yêu cầu bài toán ta cần có:
Vậy hệ số của số hạng chứa là
.
Giá trị của thoả mãn phương trình là:
Điều kiện: .
Thay vào phương trình, ta được:
(2 vế bằng nhau). Do đó
là nghiệm của phương trình.
