Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Có tất cả bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức Newton của $(3 - 2x)^{5}$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $4$
- C.
  $5$
- D.
  $6$
Khi viết nhị thức $(3 - 2x)^{5}$ dưới dạng khai triển $5 + 1 = 6$ số hạng.
Câu 2: Thông hiểu
Trong khai triển $\left( 3x^{2} + \frac{1}{x} ight)^{n}$ biết hệ số của $x^{3}$ là $3^{4}C_{n}^{5}$ . Giá trị $n$ có thể nhận là:
- A.
  $9$ .
- B.
  12.
- C.
  15.
- D.
  16.
Ta có $\left( 3x^{2} + \frac{1}{x} ight)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}{C_{n}^{k}\left( 3x^{2} ight)^{n - k}\left( \frac{1}{x} ight)^{k}} = \sum_{k = 0}^{n}{C_{n}^{k}3^{n - k}x^{2n - 3k}}$ .

Biết hệ số của $x^{3}$ là $3^{4}C_{n}^{5}$ nên $\left\{ \begin{matrix} 2n - 3k = 3 \\ n - k = 4 \\ k = 5 \\ 0 \leq k \leq n,(k,n \in N) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = 5 \\ n = 9 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 3: Nhận biết
Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là:
- A.
  $C_{7}^{3}$
- B.
  $A_{7}^{3}$
- C.
  $\frac{7!}{3!}$
- D.
  7
Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là tổ hợp chập 3 của 7 phần từ.
=> Số tập hợp con là: $C_{7}^{3}$ tập hợp
Câu 4: Nhận biết
Số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức $\left( x^{3} - \frac{1}{x^{2}} ight)^{5};(x eq 0)$ là:
- A.
  $3$
- B.
  $4$
- C.
  $- 10$
- D.
  $5$
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức $\left( x^{3} - \frac{1}{x^{2}} ight)^{5};(x eq 0)$ là:

$C_{5}^{k}.\left( x^{3} ight)^{5 - k}.\left( - \frac{1}{x^{2}} ight)^{k} = C_{5}^{k}.( - 1)^{k}.x^{15 - 5k}$

Số hạng không chứa x khi và chỉ khi $15 - 5k = 0 \Rightarrow k = 3$

Vậy số hạng không chứa x là: $C_{5}^{3}.( - 1)^{3} = - 10$ .
Câu 5: Thông hiểu
Trong phòng thi có hai dãy ghế đối diện nhau qua một cái bàn dài, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 nam sinh và 6 nữ sinh vào hai dãy ghế này. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho bất cứ 2 người nào ngồi cạnh nhau cũng đều khác giới và bất cứ 2 người nào ngồi đối diện nhau cũng đều khác giới?
- A.
  $1178420$
- B.
  $1036800$
- C.
  $1458620$
- D.
  $1254802$
Giả sử gọi 2 dãy ghế là dãy A và dãy B.

Dãy A các ghế đánh số từ 1 đến 6, dãy B các ghế đánh số từ 7 đến 12

Trường hợp 1: Các bạn nam gồi ghế ghi số chẵn ở dãy A và số lẻ ở dãy B.

Các bạn nữ ngồi ở ghế ghi số lẻ của dãy A và số chẵn ở dãy B có: $6!.6!$ cách.

Trường hợp 2: Ngược lại có $6!.6!$ cách.

Vậy số cách xếp là: $2.6!.6! = 1036800$ cách.
Câu 6: Thông hiểu
Một đội cổ động viên gồm có 3 người mặc áo vàng, 4 người mặc áo đỏ, 5 người mặc áo xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 người sao cho luôn có 2 màu áo khác nhau.
- A.
  45
- B.
  49
- C.
  48
- D.
  47
Trường hợp 1: 1 áo vàng + 1 áo đỏ
Có: $C_3^1.C_4^1 = 12$ (cách).
Trường hợp 2: 1 áo đỏ + 1 áo xanh
Có: $C_4^1.C_5^1 = 20$ (cách).
Trường hợp 3: 1 áo xanh + 1 áo vàng
Có: $C_5^1.C_3^1 = 15$ (cách)
Vậy có $12+20+15=47$ (cách).
Câu 7: Nhận biết
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi là
- A.
  600.
- B.
  120.
- C.
  3125.
- D.
  720.
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế là: 5! =120 (cách).
Câu 8: Thông hiểu
Xét những số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và bốn chữ số còn lại 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số nếu 5 chữ số được xếp tùy ý?
- A.
  $1680$
- B.
  $2688$
- C.
  $3024$
- D.
  $4536$
Lập một số có 9 chữ số thỏa mãn yêu cầu, thực chất là việc xếp các số 2, 3, 4, 5 vào 4 vị trí tùy ý trong 9 vị trí (5 vị trí còn lại là dành cho chữ số 1 lặp lại 5 lần)

⇒ Vậy có tất cả: $A_{9}^{4} = 3024$ (số)
Câu 9: Nhận biết
Số hạng chứa $x^{34}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{40}$ là:
- A.
  $- C_{40}^{38}x^{37}$ .
- B.
  $C_{40}^{3}x^{34}$ .
- C.
  $C_{40}^{2}x^{31}$ .
- D.
  $C_{40}^{2}x^{34}$ .
Số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{40}$ là:

$a_{k + 1} = C_{40}^{k}x^{40 - k}.\left( \frac{1}{x} ight)^{k} = C_{40}^{k}x^{40 - k}x^{- k} = C_{40}^{k}x^{40 - 2k}$ .

Số hạng chứa $x^{34}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{40}$ tương ứng với: $40 - 2k = 34 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy số hạng chứa $x^{34}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{40}$ là: $C_{40}^{3}x^{34}$ .
Câu 10: Nhận biết
Đếm số tập con gồm $3$ phần tử được lấy ra từ tập $A = \left\{ a;b;c;d;e;f ight\}$ ?
- A.
  $15$ .
- B.
  $65$ .
- C.
  $30$ .
- D.
  $20$ .
Mỗi tập con tập gồm $3$ phần tử được lấy ra từ tập $A$ có $6$ phần tử là một tổ hợp chập $3$ của $6$ phần tử.

Vậy số tập con gồm $3$ phần tử của $A$ là $C_{6}^{3} = 20$ tập con.
Câu 11: Thông hiểu
Từ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
- A.
  $30$
- B.
  $18$
- C.
  $25$
- D.
  $34$
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là $\overline{abcd};(a eq b eq c eq d)$

Bộ bốn chữ số có tổng chia hết cho 3 là: $A = \left\{ (0;1;2;3),(0;2;3;4),(0;3;4;5),(1;2;4;5) ight\}$

Trường hợp 1: $\overline{abcd} \in \left\{ (0;1;2;3),(0;2;3;4),(0;3;4;5) ight\}$

Chọn a: 3 cách (vì a ≠ 0).

Chọn b, c, d: $3! = 6$ cách chọn.

Khi đó: 3.6=18 (cách).

Trường hợp 2: $\overline{abcd} \in \left\{ 1;2;4;5 ight\}$

Chọn $a,b,c,d$ : $4! = 24$

Vậy 6 + 24 = 30 (số)
Câu 12: Nhận biết
Quân đến nhà Hoàng để cùng Hoàng đến nhà An. Từ nhà Quân đến nhà Hoàng có 4 con đường đi, từ nhà Hoàng đến nhà An có 6 con đường đi. Hỏi Quân có bao nhiêu cách chọn con đường đi từ nhà đến nhà An?
- A.
  $24$
- B.
  $10$
- C.
  $12$
- D.
  $16$
Giai đoạn 1: Quân đi từ nhà đến nhà Hoàng có 4 cách.

Giai đoạn 2: Quân đi từ nhà Bình đến nhà An có 6 cách.

Vậy số cách Quân lựa chọn con đường đi từ nhà đến nhà An là: $6.4 = 24$ cách
Câu 13: Nhận biết
Bạn Dũng có 9 quyển truyện tranh khác nhau và 6 quyển tiểu thuyết khác nhau. Bạn Dũng có bao nhiêu cách chọn ra một quyển sách để đọc vào cuối tuần.
- A.
  9
- B.
  6
- C.
  54
- D.
  15
Bạn Dũng có số cách chọn ra một quyển sách để đọc vào cuối tuần là 9 + 6 = 15 cách.
Câu 14: Nhận biết
Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2023 tại một điểm thi có $5$ sinh viên tình nguyện được phân công trục hướng dẫn thí sinh ở $5$ vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng $1$ sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công vị trí trực cho $5$ người đó?
- A.
  120.
- B.
  125.
- C.
  312.
- D.
  100.
Mỗi cách xếp $5$ sinh viên vào $5$ vị trí thỏa đề là một hoán vị của $5$ phần tử.

Suy ra số cách xếp là $5! = 120$ cách.
Câu 15: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần?
- A.
  $5$ .
- B.
  $15$ .
- C.
  $55$ .
- D.
  $10$ .
Với một cách chọn $9$ chữ số từ tập $\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ight\}$ ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ tự giảm dần.

Ta có $10$ cách chọn $9$ chữ số từ tập $\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ight\}$ .

Do đó có $10$ số tự nhiên cần tìm.
Câu 16: Thông hiểu
Xác định số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton $\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight)^{n},(x > 0)$ . Biết rằng $C_{n}^{0} + 3C_{n}^{1} + 9C_{n}^{2} + ... + 3^{n}.C_{n}^{n} = 256$ .
- A.
  $7$
- B.
  $6$
- C.
  $20$
- D.
  $15$
Ta có:

$C_{n}^{0} + 3C_{n}^{1} + 9C_{n}^{2} + ... + 3^{n}.C_{n}^{n} = 256$

$\Leftrightarrow (1 + 3)^{n} = 256 \Leftrightarrow 4^{n} = 256 \Leftrightarrow n = 4$

Xét khai triển $\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight)^{n},(x > 0)$

Số hạng tổng quát $C_{4}^{k}.\left( x^{2} ight)^{4 - k}.\left( \frac{1}{x^{2}} ight)^{k} = C_{4}^{k}.x^{8 - 4k}$

Số hạng không chứa x ứng với $8 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 2$

Suy ra số hạng không chứa x là $C_{4}^{2} = 6$ .
Câu 17: Vận dụng
Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả 3 khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
- A.
  $40$ .
- B.
  $500$ .
- C.
  $1000$ .
- D.
  $250$ .
TH1. Có đúng 1 học sinh khối 10: $5.1.C_{5}^{4} + 5.C_{5}^{4}.1 = 50$ (cách). (1 lớp 10 + 5 lớp 11 + 4 lớp 12 hoặc 1 lớp 10 + 5 lớp 12 + 4 lớp 11)

TH2. Có đúng 2 học sinh khối 10: $C_{5}^{2}.C_{5}^{3}.C_{5}^{5} + C_{5}^{2}.C_{5}^{4}.C_{5}^{4} + C_{5}^{2}.C_{5}^{5}.C_{5}^{3} = 450$ (cách).

$\Rightarrow$ Có $50 + 450 = 500$ cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
Câu 18: Vận dụng
Từ các chữ số 0, 1, 2, 5, 7, 9 lập được bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau chia hết cho 6?
- A.
  34.
- B.
  52.
- C.
  56.
- D.
  66.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ . Vì $\overline{abcd}$ chia hết cho 6 suy ra $\left\{ \begin{matrix} e = \left\{ 0;2 ight\} \\ (a + b + c + d + e) \vdots 3 \\ \end{matrix} ight.$

TH1. Với $e = 0$ suy ra $a + b + c + d \vdots 3$ , do đó gồm các bộ $(1;2;5;7)$ suy ra có 24 số.

TH2. Với $e = 2$ suy ra $a + b + c + d + 2 \vdots 3$ , do đó gồm các bộ $(0;1;5;7)$ , $(1;5;7;9)$ suy ra có 42 số.

Vậy có tất cả $24 + 42 = 66$ số cần tìm.
Câu 19: Nhận biết
Thầy giáo chủ nhiệm có 10 quyển sách khác nhau và 8 quyển vở khác nhau. Thầy chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau?
- A.
  10 .
- B.
  8 .
- C.
  80 .
- D.
  18.
Chọn một quyển sách có 10 cách chọn.

Chọn một quyển vở có 8 cách chọn.

Áp dụng quy tắc cộng có 18 cách chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi.
Câu 20: Vận dụng
Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $A_{n}^{2} = C_{n}^{2} + C_{n}^{1} + 4n + 6$ . Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ của khai triển biểu thức $P(x) = \left( x^{2} + \frac{3}{x} ight)^{n}$ .
- A.
  18698.
- B.
  24162.
- C.
  192456.
- D.
  287654.
$A_{n}^{2} = C_{n}^{2} + C_{n}^{1} + 4n + 6 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} = \frac{n!}{(n - 2)!.2!} + \frac{n!}{(n - 1)!.1!} + 4n + 6$

$\Leftrightarrow n(n - 1) = \frac{n(n - 1)}{2} + n + 4n + 6 \Leftrightarrow n^{2} - 11n - 12 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = - 1\ (l) \\ n = 12\ (n) \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó $P(x) = \left( x^{2} + \frac{3}{x} ight)^{12}$ .

Công thức số hạng tổng quát: $T_{k + 1} = C_{12}^{k}.\left( x^{2} ight)^{12 - k}.\left( \frac{3}{x} ight)^{k} = C_{12}^{k}.3^{k}.x^{24 - 3k}$ .

Số hạng chứa $x^{9} \Rightarrow 24 - 3k = 9 \Leftrightarrow k = 5$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ trong khai triển là $C_{12}^{5}.3^{5} = 192456$ .

55 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!