Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức $\left( \sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5} ight)^{2019}$ ?
- A.
  133.
- B.
  333.
- C.
  135.
- D.
  234.
Ta có $\left( \sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5} ight)^{2019} = \sum_{k = 0}^{2019}{C_{2019}^{k}.\left( \sqrt[3]{3} ight)^{2019 - k}.\left( \sqrt[5]{5} ight)^{k}} = \sum_{k = 0}^{2019}{C_{2019}^{k}.3^{\frac{2019 - k}{3}}.5^{\frac{k}{5}}}$ .

Để trong khai triển có số hạng là số nguyên thì $\left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in N} \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ \frac{2019 - k}{3}\mathbb{\in N} \\ \frac{k}{5}\mathbb{\in N} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in N} \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ 673 - \frac{k}{3}\mathbb{\in N} \\ \frac{k}{5}\mathbb{\in N} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in N} \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ k \vdots 15 \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có $k \vdots 15 \Rightarrow k = 15m$ mà $0 \leq k \leq 2019 \Leftrightarrow 0 \leq 15m \leq 2019 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 134,6$ . Suy ra có $135$ số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức.
Câu 2: Nhận biết
Một lớp có 15 nam và 20 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 bạn đi trực nhật.
- A.
  35
- B.
  120
- C.
  360
- D.
  24
Trường hợp 1: Chọn 1 nam. Có 15 cách.
Trường hợp 2: Chọn 1 nữ. Có 20 cách.
Vậy có 15+20 = 35 cách.
Câu 3: Nhận biết
Có 8 vận động viên chạy thi. Người thắng sẽ nhận được huy chương vàng, người về đích thứ hai nhận huy chương bạc, người về đích thứ ba nhận huy chương đồng. Có bao nhiêu cách trao các huy chương này, nếu tất cả các kết cục của cuộc thi đều có thể xảy ra?
- A.
  $168$
- B.
  $336$
- C.
  $112$
- D.
  $302$
Số cách chọn 3 vận động viên về đích đầu tiên trong 8 vận động viên là $C_{8}^{3}$

Số cách trao 3 huy chương vàng, bạc, đồng cho 3 vận động viên về đích đầu là 3!

Vậy số cách trao các huy chương này là $C_{8}^{3}.3! = 336$
Câu 4: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức $S = 2^{5}C_{5}^{0} + 2^{4}C_{5}^{1} + 2^{3}C_{5}^{2} + 2.C_{5}^{4} + C_{5}^{5}$
- A.
  $S = 32$
- B.
  $S = 243$
- C.
  $S = 81$
- D.
  $S = 121$
Áp dụng công thức $(a + b)^{n}$ cho $a = 2,b = 1,n = 5$ ta có:

$S = 2^{5}C_{5}^{0} + 2^{4}C_{5}^{1} + 2^{3}C_{5}^{2} + 2.C_{5}^{4} + C_{5}^{5}$

$S = (2 + 1)^{5} = 243$
Câu 5: Nhận biết
Trong khai triển nhị thức $(a + 2)^{n-5}$ (n ∈ ℕ). Có tất cả 6 số hạng. Vậy n bằng:
- A.
  17
- B.
  21
- C.
  25
- D.
  10.
Khai triển bậc (n-5) có 6 số hạng. Suy ra (n-5) = 5. Vậy n = 10.
Câu 6: Thông hiểu
Cho tập hợp E ={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Có thể lập bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ E trong đó một trong ba chữ số đầu tiên bằng 1?
- A.
  $2200$
- B.
  $2280$
- C.
  $2154$
- D.
  $2198$
Gọi số cần tìm là $\overline{abcde}$
Trường hợp 1: a = 1.
Chọn b: 7 cách.
Chọn c: 6 cách.
Chọn d: 5 cách.
Chọn e: 4 cách.
⇒ Theo Quy tắc nhân có: 7.6.5.4 840 = số.
Trường hợp 2: b =1.
Chọn a: 6 cách.
Chọn c: 6 cách.
Chọn d: 5 cách.
Chọn e: 4 cách.
⇒ Theo quy tắc nhân có: 6.6.5.4 720 = số.
Trường hợp 3: c =1.
Chọn a: 6 cách.
Chọn b: 6 cách.
Chọn d: 5 cách.
Chọn e: 4 cách.
⇒ Theo quy tắc nhân có: $6.6.5.4 =720$ số.
⇒ Theo quy tắc cộng có tất cả $840 + 720 +720 = 2280$ số
Câu 7: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ .
- A.
  $12$ .
- B.
  $16$ .
- C.
  $17$ .
- D.
  $20$ .
Số các số tự nhiên lớn nhất nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ là $96$ .

Số các số tự nhiên nhỏ nhất nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ là $0$ .

Số các số tự nhiên nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ là $\frac{96 - 0}{6} + 1 = 17$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tìm hệ số của $x^{6}$ trong khai triển $\left( \frac{1}{x} + x^{3} ight)^{3n + 1}$ với $x eq 0,$ biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $3C_{n + 1}^{2} + nP_{2} = 4A_{n}^{2}.$
- A.
  $210x^{6}.$
- B.
  $210.$
- C.
  $120x^{6}.$
- D.
  $120.$
Đk: $n \geq 2,\ \ n \in \mathbb{N.}$

$\ \ \ \ \ \ \ 3C_{n + 1}^{2} + nP_{2} = 4A_{n}^{2}$

$\Leftrightarrow 3\frac{(n + 1)!}{(n - 1)!2!} + 2!n = 4\frac{n!}{(n - 2)!}$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2}n(n + 1) + 2n = 4n(n - 1)$

$\Leftrightarrow \frac{5}{2}n^{2} - \frac{15}{2}n = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0\ \ \ \ (L) \\ n = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Với $n = 3$ , nhị thức trở thành $\left( \frac{1}{x} + x^{3} ight)^{10}.$

Số hạng tổng quát là $C_{10}^{k}.\left( \frac{1}{x} ight)^{10 - k}.\left( x^{3} ight)^{k} = C_{10}^{k}.x^{4k - 10}$

Từ yêu cầu bài toán ta cần có: $4k - 10 = 6 \Leftrightarrow k = 4.$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{6}$ là $C_{10}^{4} = 210.$ .
Câu 9: Thông hiểu
Trong phòng thi có hai dãy ghế đối diện nhau qua một cái bàn dài, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 nam sinh và 6 nữ sinh vào hai dãy ghế này. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho nam sinh và nữ sinh ngồi xen kẽ nhau trong từng dãy?
- A.
  $2073600$
- B.
  $1036800$
- C.
  $1578426$
- D.
  $1157805$
Giả sử gọi 2 dãy ghế là dãy A và dãy B.

Chọn 3 bạn nam, 3 bạn nữ để xếp vào dãy A có $C_{6}^{3}.C_{6}^{3}$

Trong dãy đó xếp sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ nhau có: $3!.3!.2$ cách.

Xếp 3 nam, 3 nữ còn lại vào dãy B sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ nhau có $3!.3!.2$ cách.

Vậy số cách xếp là: $C_{6}^{3}.C_{6}^{3}.3!.3!.2.3!.3!.2 = 2073600$ cách.
Câu 10: Nhận biết
Khai triển nhị thức Niu-tơn của $(3 - 2x)^{2019}$ có bao nhiêu số hạng?
- A.
  $2029$ .
- B.
  $2098$ .
- C.
  $2020$ .
- D.
  $2022$ .
Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn $(a + b)^{n}$ có $n + 1$ số hạng.

Vậy trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(3 - 2x)^{2019}$ có $2020$ số hạng.
Câu 11: Thông hiểu
Một tập thể có 14 người gồm 6 nam và 8 nữ, trong đó có An và Bình, chọn một tồ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn sao cho trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ.
- A.
  $10296$
- B.
  $11088$
- C.
  $15048$
- D.
  $14875$
Trường hợp 1: An và Bình không có mặt trong tổ công tác:

Chọn 6 bạn trong 12 bạn (14 người loại An và Bình) có $C_{12}^{6}$ cách.

Trường hợp 2: An có trong tổ công tác, Bình không có trong tổ công tác:

Chọn An có 1 cách, Chọn 5 bạn trong 12 người còn lại có $C_{12}^{5}$ cách

Trường hợp 3: Bình có trong tổ công tác, An không có trong tổ công tác có $C_{12}^{5}$ cách.

Trong 1 tổ 6 người có 6 cách chọn ra 1 tổ trưởng

Như vậy có tất cả số cách là: $\left( C_{12}^{6} + C_{12}^{5} + C_{12}^{5} ight).6 = 15048$ cách
Câu 12: Nhận biết
Cho đa giác đều có 54 đường chéo. Hãy tính xem đa giác này có bao nhiêu cạnh?
- A.
  $12$
- B.
  $8$
- C.
  $10$
- D.
  $14$
Đa giác n cạnh có n đỉnh.

Mỗi đỉnh nối với $n - 3$ đỉnh khác để tạo ra đường chéo

Do đó n đỉnh sẽ có $n(n - 3)$ đường

Mà 1 đường chéo được nối bởi 2 đỉnh nên số đường chéo thực là: $\frac{n(n - 3)}{2}$

Theo đề bài ta có:

$\frac{n(n - 3)}{2} = 54 \Leftrightarrow n^{2} - 3n - 108 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = - 9(ktm) \\ n = 12(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đa giác có 12 cạnh.
Câu 13: Nhận biết
Một học sinh có 12 quyển sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 sách Toán, 4 sách Văn, 6 sách Anh Văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các quyển sách lên một kệ sách dài nếu mọi quyển sách cùng môn được xếp kề nhau?
- A.
  $366$
- B.
  $240$
- C.
  $720$
- D.
  $144$
Có 3! = 6 cách xếp 3 loại sách.

Có 2! = 2 cách xếp 2 sách Toán.

Có 4! = 24 cách xếp 4 sách Văn.

Vậy theo qui tắc nhân có tất cả 6.2.24 = 720 cách xếp thoả mãn yêu cầu đề bài
Câu 14: Thông hiểu
Cho tập hợp $N = \left\{ 0;1;2;3;4;5 ight\}$ . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số thuộc tập hợp $M$ ?
- A.
  $96$
- B.
  $135$
- C.
  $156$
- D.
  $110$
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là: $\overline{abcd};(a eq 0)$

TH1: d = 0 => d có 1 cách.

Số cách chọn a, b, c lần lượt là 5, 4, 3

=> Số các số tạo thành là: 1.5.4.3 = 60 (số)

TH2: $d \in \left\{ 2;4 ight\}$ => Chữ số d có 2 cách chọn.

=> Chữ số a có 4 cách.

=> Số cách chọn b, c lần lượt là 4, 3 cách.

=> Số các số tạo thành là: 2.4.4.3 = 96 (số)

Vậy có tất cả 60 + 96 = 156 (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 15: Nhận biết
Tìm số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40}$ .
- A.
  $C_{40}^{31}x^{31}$ .
- B.
  $- C_{40}^{33}x^{32}$ .
- C.
  $C_{40}^{37}x^{31}$ .
- D.
  $C_{40}^{3}x^{31}$ .
Ta có khai triển: $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}x^{40 - k}\left( x^{- 2} ight)^{k}} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}x^{40 - 3k}}$ .

Số hạng tổng quát trong khai triển: $C_{40}^{k}x^{40 - 3k}$

Số hạng chứa $x^{31}$ ứng với: $40 - 3k = 31 \Leftrightarrow k = 3$

Vậy số hạng chứa $x^{31}$ là: $C_{40}^{3}x^{31}$ .
Câu 16: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6 ight\}$ . Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.
- A.
  $8233$ .
- B.
  $1260$ .
- C.
  $3870$ .
- D.
  $1560$ .
Gọi $\overline{abcde}$ là số số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.

+ TH1. $e = 0$ . Chọn $a,b,c,d \in A\backslash\left\{ 0 ight\}:$ $A_{6}^{4} = 360 \Rightarrow$ có 360 số.

+ TH2. $e eq 0:$ Chọn $e \in \left\{ 2;4;6 ight\}:$ 3 (cách).

Chọn $a \in A\backslash\left\{ 0;e ight\}:$ 5 (cách).

Chọn $b,c,d \in A\backslash\left\{ a;e ight\}:$ $A_{5}^{3} = 60$ (cách).

$\Rightarrow$ có $3.5.60 = 900$ số.

Vậy có. $900 + 360 = 1260$ số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.
Câu 17: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho số đó không bắt đầu bởi 125?
- A.
  165.
- B.
  362.
- C.
  2402.
- D.
  6705.
Gọi $\overline{125ab}$ là số bắt đầu bởi 125 và có 5 chữ số đôi một khác nhau.

Suy ra $b$ có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn $\Rightarrow$ có $3 \times 5 = 15$ số.

Số các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập A là $4 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 6720$ số.

Suy ra có tất cả $6720 - 15 = 6705$ số cần tìm.
Câu 18: Nhận biết
Trên bàn có 5 quyển sách Toán khác nhau và 7 quyển sách Hóa khác nhau. Số cách chọn 2 quyển sách gồm đủ 2 loại Toán và Hóa bằng:
- A.
  $12$
- B.
  $35$
- C.
  $66$
- D.
  $31$
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn một quyển Toán và một quyển Hóa là: 5 . 7 = 35 cách chọn.
Câu 19: Nhận biết
Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn văn nghệ, mỗi đội chỉ được trình diễn một vở kịch, một điệu múa và một bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách hương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau?
- A.
  11.
- B.
  36.
- C.
  25.
- D.
  18.
Đội văn nghệ trên có 2 cách chọn trình diễn một vở kịch, có 3 cách chọn trình diễn một điệu múa, có 6 cách chọn trình diễn một bài hát. Theo quy tắc nhân, đội văn nghệ trên có 2.3.6 = 36cách hương trình diễn.
Câu 20: Nhận biết
Có bao nhiêu cách sắp xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc?
- A.
  $5$ .
- B.
  $5!$ .
- C.
  $10$ .
- D.
  $5^{2}$ .
Số cách sắp xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc là $5!$ .

55 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!