Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Từ $20$ người cần chọn ra một đoàn đại biểu gồm $1$ trưởng đoàn, $1$ phó đoàn, $1$ thư kí và $3$ ủy viên. Số cách chọn thỏa mãn là:
- A.
  $4651200.$
- B.
  $6541300.$
- C.
  $4301400.$
- D.
  $3301500.$
Số cách chọn $1$ người trong $20$ người làm trưởng đoàn là. $C_{20}^{1}$ cách.

Số cách chọn $1$ người trong $19$ người còn lại làm phó đoàn là. $C_{19}^{1}$ cách.

Số cách chọn $1$ người trong $18$ người còn lại làm thư kí là. $C_{18}^{1}$ cách.

Số cách chọn $3$ người trong $17$ người còn lại làm ủy viên là. $C_{17}^{3}$ cách.

Vậy số cách chọn đoàn đại biểu là $C_{20}^{1} \times C_{19}^{1} \times C_{18}^{1} \times C_{17}^{3} = 4651200$ .
Câu 2: Nhận biết
Cho các chữ số $2,3,4,5,6,7$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $6$ chữ số khác nhau?
- A.
  $356$ .
- B.
  $720$ .
- C.
  $220$ .
- D.
  $24$ .
Số cách lập số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho là số hoán vị của $6$ phần tử, do đó có $6! = 720$ .
Câu 3: Vận dụng
Cho $n$ là số tự nhiên thỏa mãn phương trình $C_{n - 4}^{n - 6} + nA_{n}^{2} = 454$ . Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $\left( \frac{2}{x} - x^{3} ight)^{n}$ ( với $x eq 0$ ).
- A.
  1973.
- B.
  687.
- C.
  1296.
- D.
  -1792.
Điều kiện $n \geq 6$ và $n\mathbb{\in N}$ .

$C_{n - 4}^{n - 6} + nA_{n}^{2} = 454\Leftrightarrow \frac{(n - 4)!}{(n - 6)!2!} + n \cdot \frac{n!}{(n -2)!} = 454$

$\Leftrightarrow \frac{(n - 5)(n - 4)}{2} + n^{2}(n - 1) = 454\Leftrightarrow 2n^{3} - n^{2} - 9n - 888 = 0 \Leftrightarrow n =8$ (Vì $n\mathbb{\in N}$ ).

Khi đó ta có khai triển: $\left( \frac{2}{x} - x^{3} ight)^{8}$ .

Số hạng tổng quát của khai triển là $C_{8}^{k}\left( \frac{2}{x} ight)^{8 - k}\left( - x^{3} ight)^{k} = C_{8}^{k}( - 1)^{k}2^{8 - k}x^{4k - 8}$ .

Hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ ứng với $k$ thỏa mãn: $4k - 8 = 4 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ là: $C_{8}^{3}( - 1)^{3}2^{5} = - 1792$ .
Câu 4: Thông hiểu
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $P_{x}A_{x}^{2} + 72 = 6\left( 2P_{x} + A_{x}^{2} ight)$ bằng:
- A.
  $7$
- B.
  $10$
- C.
  $1$
- D.
  $6$
Điều kiện xác định: $x\mathbb{\in N};x \geq 2$

Ta có:

$P_{x}A_{x}^{2} + 72 = 6\left( 2P_{x} + A_{x}^{2} ight)$

$\Leftrightarrow x!.\frac{x!}{(x - 2)!} + 72 = 6\left\lbrack 2x! + \frac{x!}{(x - 2)!} ightbrack$

$\Leftrightarrow x!.x(x - 1) + 72 = 6\left\lbrack 2.x! + 2(x - 1) ightbrack$

$\Leftrightarrow x(x - 1)(x! - 6) + 12(6 - x!) = 0$

$\Leftrightarrow (x! - 6)\left\lbrack x(x - 1) - 12 ightbrack = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x! - 6 = 0 \\ x^{2} - x - 12 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3(tm) \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3(ktm) \\ x = 4(tm) \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

Vật tổng các nghiệm phương trình là: $T = 3 + 4 = 7$
Câu 5: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?
- A.
  $40$ .
- B.
  $45$ .
- C.
  $50$ .
- D.
  $55$ .
Nếu chữ số hàng chục là $n$ thì số có chữ số hàng đơn vị là $n - 1$ thì số các chữ số nhỏ hơn $n$ năm ở hàng đơn vị cũng bằng $n$ . Do chữ số hang chục lớn hơn bằng $1$ còn chữ số hang đơn vị thi $\geq$ .

Vậy số các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$ .
Câu 6: Nhận biết
Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là:
- A.
  $C_{7}^{3}$ .
- B.
  $\frac{5!}{3!}$ .
- C.
  $A_{7}^{5}$ .
- D.
  $30$ .
Số tập hợp con cần tìm là số tổ hợp chập 3 của 7 phần tử.

Vậy có $C_{7}^{3}$ tập con cần tìm.
Câu 7: Thông hiểu
Có bao nhiêu số nguyên dương n gồm 3 chữ số có nghĩa (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong đó chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của n giống hệt nhau và hai chữ số này khác chữ số hàng trăm của n?
- A.
  $90$
- B.
  $81$
- C.
  $72$
- D.
  $85$
Chọn $a_{1} \in X\backslash\left\{ 0 ight\}$ có: 9 cách.

Chọn $a_{2} \in X\backslash\left\{ a_{1} ight\}$ có: 9 cách.

Chọn $a_{3} = a_{2}$ có: 1 cách.

Theo quy tắc nhân có: $9.9 = 81$ số.
Câu 8: Nhận biết
Cho tập hợp $M = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Số tập con gồm 3 phần tử của $M$ sao cho không có số $0$ là:
- A.
  $A_{10}^{2}$ .
- B.
  $A_{10}^{3}$ .
- C.
  $C_{8}^{3}$ .
- D.
  $C_{9}^{3}$ .
Mỗi tập con gồm 3 phần tử của $M$ không có số $0$ là tổ hợp chập 3 của 9 phần tử.

Số tập con gồm 3 phần tử của $M$ không có số $0$ là. $C_{9}^{3}$ .
Câu 9: Thông hiểu
Cho biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển $(1 + 2x)^{n}$ bằng $180$ .Tìm $n$ .
- A.
  $n = 8$ .
- B.
  $n = 12$ .
- C.
  $n = 14$ .
- D.
  $n = 10$ .
Ta có: $T_{k + 1} = C_{n}^{k}.2^{k}x^{k}.$ .

Hệ số của $x^{2}$ trong khai triển bằng $180$

$C_{n}^{2}.2^{2} = 180 \Leftrightarrow\frac{n!}{(n - 2).2}.2^{2} = 180 \Leftrightarrow n(n - 1) = 90$

$\Leftrightarrow n^{2} - n - 90 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}n = 10 \ = - 9(l) \\\end{matrix} ight.$
Câu 10: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40}$ .
- A.
  $C_{40}^{37}$ .
- B.
  $C_{40}^{21}$ .
- C.
  $C_{40}^{5}$ .
- D.
  $C_{40}^{7}$ .
Ta có: $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}.x^{40 - k}}.\left( \frac{1}{x^{2}} ight)^{k} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}.x^{40 - 3k}}$ .

Số hạng tổng quát của khai triển là: $T_{k + 1} = C_{40}^{k}.x^{40 - 3k}$ .

Số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển tương ứng với $40 - 3k = 31 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số cần tìm là: $C_{40}^{3} = C_{40}^{37}$ (theo tính chất của tổ hợp: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ ).
Câu 11: Nhận biết
Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3.
- A.
  $12$
- B.
  $16$
- C.
  $17$
- D.
  $20$
Số các số tự nhiên lớn nhất nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là 96.
Số các số tự nhiên nhỏ nhất nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là 0.
Số các số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là $\frac{96 - 0}{6} + 1 = 17$ .
Câu 12: Thông hiểu
Tìm hệ số không chứa $x$ trong khai triển $\left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{n}$ , biết $n$ là sô nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 78$ .
- A.
  112640.
- B.
  112643.
- C.
  -112640.
- D.
  -112642.
$C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 78 \Leftrightarrow n + \frac{n(n - 1)}{2} = 78 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 12 \\ n = - 13(l) \\ \end{matrix} ight.$ .

$\left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{n} = \left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{12} = \sum_{k = 0}^{12}{C_{12}^{k}\left( x^{3} ight)^{12 - k}( - 2)^{k}\left( \frac{1}{x} ight)^{k} =}\sum_{k = 0}^{12}{C_{12}^{k}( - 2)^{k}x^{36 - 4k}}$ .

Số hạng không chứa $x$ ứng với $36 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 9$ là $C_{12}^{9}( - 2)^{9} = - 112640$ .
Câu 13: Nhận biết
Tính số cách sắp xếp 8 học sinh thành 1 hàng dọc?
- A.
  $64$
- B.
  $512$
- C.
  $1024$
- D.
  $40320$
Số cách sắp xếp 8 học sinh thành 1 hàng dọc là 8! = 40320 cách.
Câu 14: Thông hiểu
Cho đa giác đều có tất cả 12 cạnh. Hỏi đa giác có bao nhiêu đường chéo?
- A.
  $45$
- B.
  $54$
- C.
  $66$
- D.
  $78$
Từ 12 đỉnh của đa giác đều, ta xác định được $C_{12}^{2} = 66$ đoạn thẳng.

Vậy đa giác đều có tất cả $66 - 12 = 54$ đường chéo.
Câu 15: Vận dụng
Cho các chữ số 0; 1; 2; 4; 5; 6; 8. Hỏi từ các chữ số trên lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà trong mỗi số chữ số 1 luôn xuất hiện?
- A.
  444.
- B.
  840.
- C.
  230.
- D.
  120.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ . Vì $\overline{abcde}$ chia hết cho 5 suy ra $e = \left\{ 0;5 ight\}$ .

TH1. Với $e = 0$ suy ra có $4 \times 5 \times 4 \times 3 = 240$ số cần tìm.

TH2. Với $e = 5$ , suy ra có $5 \times 4 \times 3 + 3 \times 4 \times 4 \times 3 = 204$ số cần tìm.

Vậy có tất cả 444 số cần tìm.
Câu 16: Thông hiểu
Có bao nhiêu số nguyên dương n gồm 5 chữ số có nghĩa (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong đó n không chia hết cho 10?
- A.
  $81000$
- B.
  $18000$
- C.
  $45000$
- D.
  $65400$
Gọi tập $X = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ và $n = \overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$ là số thỏa mãn yêu cầu:

Chọn $a_{1} \in X\backslash\left\{ 0 ight\}$ có: 9 cách.

Chọn $a_{2} \in X$ có: 10 cách.

Chọn $a_{3} \in X$ có: 10 cách.

Chọn $a_{4} \in X$ có: 10 cách.

Chọn $a_{5} \in X\backslash\left\{ 0 ight\}$ có: 9 cách.

Theo quy tắc nhân có: $9.10.10.10.9 = 81000$ số.
Câu 17: Nhận biết
Khai triển nhị thức $(2x + 3)^{4}$ ta được kết quả là:
- A.
  $x^{4} + 216x^{3} + 216x^{2} + 96x + 81$
- B.
  $16x^{4} + 216x^{3} + 216x^{2} + 96x + 81$
- C.
  $16x^{4} + 96x^{3} + 216x^{2} + 216x + 81$
- D.
  $x^{4} + 96x^{3} + 216x^{2} + 216x + 81$
Ta có: $(2x + 3)^{4} =$ $16x^{4} + 96x^{3} + 216x^{2} + 216x + 81$ .
Câu 18: Nhận biết
Cho hai dãy ghế được xếp như sau.

Xếp 4 bạn nam và 4 bạn nữ vào hai dãy ghế trên. Hai người được gọi là ngồi đối diện nhau nếu ngồi ở hai dãy và có cùng vị trí ghế (số ở ghế). Số cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ bằng bao nhiêu?
- A.
  $4!.4!.2^{4}$ . .
- B.
  $4!.5!$ .
- C.
  $4!.3$ .
- D.
  $4!.4!.3$ .
Xếp 4 bạn nam vào một dãy có $4!$ (cách xếp).

Xếp 4 bạn nữ vào một dãy có $4!$ (cách xếp).

Với mỗi một số ghế có 2 cách đổi vị trí cho bạn nam và bạn nữ ngồi đối diện nhau.

Số cách xếp theo yêu cầu là. $4!.4!.2^{4}$ (cách xếp).
Câu 19: Nhận biết
Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn $(x - y)^{5}$ .
- A.
  $x^{5} - 5x^{4}y + 10x^{3}y^{2} - 10x^{2}y^{3} + 5xy^{4} - y^{5}$ .
- B.
  $2x^{5} - 3x^{4}y - 10x^{3}y^{2} - 5x^{2}y^{3} - 5xy^{4} + y^{5}$ .
- C.
  $x^{5} + 2x^{4}y - 3x^{3}y^{2} - 3x^{2}y^{3} + 5xy^{4} + y^{5}$ .
- D.
  $x^{5} - 5x^{4}y - 10x^{3}y^{2} + 10x^{2}y^{3} + 5xy^{4} + y^{5}$ .
Ta có:

$(x - y)^{5} = \left\lbrack x + ( - y) ightbrack^{5}$

$= C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4}{\left( { - y} ight)^1} + C_5^2{x^3}{\left( { - y} ight)^2} + C_5^3{x^2}{\left( { - y} ight)^3} + C_5^4{x^1}{\left( { - y} ight)^4} + C_5^5{\left( { - y} ight)^5}$

Hay $(x - y)^{5} = x^{5} - 5x^{4}y + 10x^{3}y^{2} - 10x^{2}y^{3} + 5xy^{4} - y^{5}$ .
Câu 20: Nhận biết
Có 3 cây bút đỏ, 4 cây bút xanh trong một hộp bút. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một cây bút từ hộp bút?
- A.
  7.
- B.
  12.
- C.
  3.
- D.
  4.
Số cách lấy ra 1 cây bút là màu đỏ có 3 cách.

Số cách lấy ra 1 cây bút là màu xanh có 4 cách.

Theo quy tắc cộng, số cách lấy ra 1 cây bút từ hộp bút là: 3 + 4 = 7 cách.

Vậy có 7 cách lấy 1 cây bút từ hộp bút.

46 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20

Chưa làm Đã làm