Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng $\overline{abc}$ với $a$ , $b$ , $c \in\left\{ 0;1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\}$ sao cho $a < b < c$ .
- A.
  $220$ .
- B.
  $60$ .
- C.
  $80$ .
- D.
  $20$ .
Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng $\overline{abc}$ với $a$ , $b$ , $c \in\left\{ 0;1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\}$ sao cho $a < b < c$ nên $a$ , $b$ , $c \in\left\{ 1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\}$ . Suy ra số các số có dạng $\overline{abc}$ là $C_{6}^{3} = 20$ .
Câu 2: Nhận biết
Cho $A = \left\{ 1,\ 2,\ 3,\ 4 ight\}$ . Từ tập hợp này lập được bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau?
- A.
  $50$ .
- B.
  $24$ .
- C.
  $64$ .
- D.
  $1$ .
Mỗi số tự nhiên tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau được lập từ tập $A$ là hoán vị của $4$ phần tử.

Vậy có $4! = 24$ số cần tìm.
Câu 3: Nhận biết
Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa và 3 chuyến máy bay. Hỏi một ngày có bao nhiêu cách lựa chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B?
- A.
  $150$
- B.
  $18$
- C.
  $12$
- D.
  $25$
Trường hợp 1: Số cách chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B bằng ô tô: có 10 cách.

Trường hợp 2: Số cách chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B bằng tàu hỏa: có 5 cách.

Trường hợp 3: Số cách chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B bằng máy bay: có 3 cách.

Vậy số cách lựa chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B là: $10 + 5 + 3 = 18$ cách
Câu 4: Thông hiểu
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn lại $2;3;4;5$ . Hỏi có bao nhiêu số như vậy biết rằng năm chữ số 1 được xếp kế nhau.
- A.
  $480$
- B.
  $120$
- C.
  $150$
- D.
  $360$
Xếp năm chữ số 1 kế nhau vào 9 vị trí có 5 cách.

Xếp $2;3;4;5$ vào 4 vị trí còn lại có 4! cách.

Theo quy tắc nhân, ta được $5.4! = 120$ (số).
Câu 5: Nhận biết
Biểu thức $C_{4}^{0}x^{4}+C_{4}^{1}x^{3}y+C_{4}^{2}x^{2}y^{2}+C_{4}^{3}xy^{3}+C_{4}^{4}y^{4}$ bằng:
- A.
  $(x + y)^{4}$
- B.
  $(x – y)^{4}$
- C.
  $(x + y)^{5}$
- D.
  $(x – y)^{5}$
Ta có:
$C_{4}^{0}x^{4}+C_{4}^{1}x^{3}y+C_{4}^{2}x^{2}y^{2}+C_{4}^{3}xy^{3}+C_{4}^{4}y^{4} =(x + y)^{4}$
Câu 6: Thông hiểu
Từ tập hợp các chữ số $Z = \left\{ 1,2,3,4,5,6,7 ight\}$ có thể lập được bao nhiêu số lẻ có ba chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt số 2?
- A.
  $25$
- B.
  $56$
- C.
  $15$
- D.
  $40$
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abc};(a eq 0,a eq b eq c)$

Vì số cần tìm là số lẻ nên $c \in \left\{ 1;3;5;7 ight\}$ => Có 4 cách chọn

Xếp chữ số 2 vào hai vị trí còn lại => Có 2 cách sắp xếp.

Chọn chữ số còn lại từ $Z\backslash\left\{ 2;c ight\}$ => Có 5 cách chọn.

Vậy có thể lập được $4.2.5 = 40$ (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 7: Thông hiểu
Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ giỏi khiêu vũ. Người ta chọn 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhêu cách chọn?
- A.
  $11572$
- B.
  $12840$
- C.
  $7200$
- D.
  $14400$
Chọn 3 nam trong 10 nam có $C_{10}^{3}$ cách.

Chọn 3 nữ trong 6 nữ có $C_{6}^{3}$ cách.

Ghép 3 nam và 3 nữ để thành 3 cặp có 3! cách.

Theo quy tắc nhân có: $C_{10}^{3}.C_{6}^{3}.3! = 14400$ cách chọn.
Câu 8: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho số đó không bắt đầu bởi 125?
- A.
  165.
- B.
  362.
- C.
  2402.
- D.
  6705.
Gọi $\overline{125ab}$ là số bắt đầu bởi 125 và có 5 chữ số đôi một khác nhau.

Suy ra $b$ có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn $\Rightarrow$ có $3 \times 5 = 15$ số.

Số các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập A là $4 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 6720$ số.

Suy ra có tất cả $6720 - 15 = 6705$ số cần tìm.
Câu 9: Nhận biết
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho năm người gồm 3 nam và 2 nữ vào năm cái ghế xếp thành một dãy nếu hai nữ luôn luôn ngồi kề nhau?
- A.
  $24$
- B.
  $12$
- C.
  $48$
- D.
  $36$
Coi 2 nữ là một phần tử A

Xếp phần tử A và 3 nam vào dãy có 4! cách.

Hoán đổi vị trí 2 nữ trong phần tử A có 2! cách.

Do đó có $4!.2! = 48$ cách.
Câu 10: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số?
- A.
  $900$ .
- B.
  $901$ .
- C.
  $899$ .
- D.
  $999$ .
Cách 1: Số có $3$ chữ số là từ $100$ đến $999$ nên có $999 - 100 + 1 = 900$ số.

Cách 2:

Gọi số tự nhiên có $3$ chữ số cần tìm là: $\overline{abc},\ a eq 0$ , khi đó:

$a$ có $9$ cách chọn

$b$ có $10$ cách chọn

$c$ có $10$ cách chọn

Vậy có: $9.10.10 = 900$ số.
Câu 11: Thông hiểu
Biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 78$ , số hạng chứa $x^{8}$ trong khai triển $\left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{n}$ là:
- A.
  $- 101376x^{8}$ .
- B.
  $- 101376$ .
- C.
  $- 112640$ .
- D.
  $101376x^{8}$ .
Ta có: $C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 78 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 1)!.1!} + \frac{n!}{(n - 2)!.2!} = 78 \Leftrightarrow n + \frac{(n - 1)n}{2} = 78$

$\Leftrightarrow n^{2} + n - 156 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 12 \\ n = - 13 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow n = 12$ (vì $n$ là số nguyên dương).

Số hạng tổng quát trong khai triển $\left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{12}$ là: $( - 1)^{k}C_{12}^{k}\left( x^{3} ight)^{12 - k}\left( \frac{2}{x} ight)^{k} = ( - 1)^{k}C_{12}^{k}.2^{k}.x^{36 - 4k}$ .

Cho $36 - 4k = 8 \Leftrightarrow k = 7$ .

Vậy số hạng chứa $x^{8}$ trong khai triển $\left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{12}$ là $- C_{12}^{7}.2^{7}.x^{8} = - 101376x^{8}$ .
Câu 12: Vận dụng
Cho $n$ là số tự nhiên thỏa mãn phương trình $C_{n - 4}^{n - 6} + nA_{n}^{2} = 454$ . Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $\left( \frac{2}{x} - x^{3} ight)^{n}$ ( với $x eq 0$ ).
- A.
  1973.
- B.
  687.
- C.
  1296.
- D.
  -1792.
Điều kiện $n \geq 6$ và $n\mathbb{\in N}$ .

$C_{n - 4}^{n - 6} + nA_{n}^{2} = 454\Leftrightarrow \frac{(n - 4)!}{(n - 6)!2!} + n \cdot \frac{n!}{(n -2)!} = 454$

$\Leftrightarrow \frac{(n - 5)(n - 4)}{2} + n^{2}(n - 1) = 454\Leftrightarrow 2n^{3} - n^{2} - 9n - 888 = 0 \Leftrightarrow n =8$ (Vì $n\mathbb{\in N}$ ).

Khi đó ta có khai triển: $\left( \frac{2}{x} - x^{3} ight)^{8}$ .

Số hạng tổng quát của khai triển là $C_{8}^{k}\left( \frac{2}{x} ight)^{8 - k}\left( - x^{3} ight)^{k} = C_{8}^{k}( - 1)^{k}2^{8 - k}x^{4k - 8}$ .

Hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ ứng với $k$ thỏa mãn: $4k - 8 = 4 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ là: $C_{8}^{3}( - 1)^{3}2^{5} = - 1792$ .
Câu 13: Thông hiểu
Cho hai đường thẳng $(d)$ gồm $5$ điểm phân biệt và $(d')$ gồm $7$ điểm phân biệt. Biết rằng $(d)//(d')$ . Số tam giác có ba đỉnh được tạo thành từ các điểm trên hai đường thẳng đã cho?
- A.
  $20$ tam giác
- B.
  $45$ tam giác
- C.
  $115$ tam giác
- D.
  $175$ tam giác
Một tam giác được hình thành bởi ba điểm không thẳng hàng.

TH1: 1 đỉnh thuộc đường thẳng (d) và 2 đỉnh thuộc đường thẳng (d’)

Số tam giác được tạo thành là: $C_{5}^{1}.C_{7}^{2}$ (tam giác)

TH2: 2 đỉnh thuộc đường thẳng (d) và 1 đỉnh thuộc đường thẳng (d’)

Số tam giác được tạo thành là: $C_{5}^{2}.C_{7}^{1}$ (tam giác)

Vậy số tam giác được tạo thành là $C_{5}^{1}.C_{7}^{2} + C_{5}^{2}.C_{7}^{1} = 175$ .
Câu 14: Thông hiểu
Tính tổng $S = C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} + C_{5}^{3} + C_{5}^{4} + C_{5}^{5}$ ?
- A.
  $S = 2^{5} - 1$
- B.
  $S = 2^{5}$
- C.
  $S = 2^{4}$
- D.
  $S = 2^{5} + 1$
Xét khai triển $(1 + x)^{5} = C_{5}^{0}.x^{5} + C_{5}^{1}.x^{4} + C_{5}^{2}.x^{3} + C_{5}^{3}.x^{2} + C_{5}^{4}.x + C_{5}^{5}$

Chọn $x = 1$ ta được:

$(1 + 1)^{5} = C_{5}^{0}.1^{5} + C_{5}^{1}.1^{4} + C_{5}^{2}.1^{3} + C_{5}^{3}.1^{2} + C_{5}^{4}.1 + C_{5}^{5}$

$= C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} + C_{5}^{3} + C_{5}^{4} + C_{5}^{5} = S$

$\Rightarrow S = 2^{5}$
Câu 15: Nhận biết
Một người có 7 áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cà vạt trong đó có 2 cà vạt vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn bộ áo và cà vạt nếu chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
- A.
  $12$
- B.
  $20$
- C.
  $35$
- D.
  $18$
Số cách chọn 1 một bộ áo và cà vạt là: $5.7 = 35$
Câu 16: Nhận biết
Từ thành phố A đến thành phố B có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 3 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C sao cho bắt buộc phải đi qua B.
- A.
  5
- B.
  3
- C.
  2
- D.
  6
Đi từ A đến B: 2 cách.
Đi từ B đến C: 3 cách.
Vậy đi từ A đến C (qua B) có: 2.3 = 6 cách.
Câu 17: Nhận biết
Khai triển nhị thức Newton $\left( x^{2} - y ight)^{5}$ ta được kết quả là:
- A.
  $x^{10} + 5x^{8}y - 10x^{6}y^{2} + 10x^{4}y^{3} - 5x^{2}y^{4} + y^{5}$
- B.
  $x^{10} - 5x^{8}y + 10x^{6}y^{2} - 10x^{4}y^{3} + 5x^{2}y^{4} - y^{5}$
- C.
  $x^{10} - 5x^{8}y - 10x^{6}y^{2} - 10x^{4}y^{3} - 5x^{2}y^{4} + y^{5}$
- D.
  $x^{10} + 5x^{8}y + 10x^{6}y^{2} + 10x^{4}y^{3} + 5x^{2}y^{4} + y^{5}$
Ta có:

$\left( x^{2} - y ight)^{5} = \sum_{k = 0}^{5}{C_{5}^{k}.\left( x^{2} ight)^{5 - k}.( - y)^{k}}$

$= C_{5}^{0}.\left( x^{2} ight)^{5} + C_{5}^{1}.\left( x^{2} ight)^{4}( - y) + C_{5}^{2}.\left( x^{2} ight)^{3}( - y)^{2}$

$+ C_{5}^{3}.\left( x^{2} ight)^{2}( - y)^{3} + C_{5}^{4}.\left( x^{2} ight)^{1}( - y)^{4} + C_{5}^{5}.\left( x^{2} ight)^{0}( - y)^{5}$

$= x^{10} - 5x^{8}y + 10x^{6}y^{2} - 10x^{4}y^{3} + 5x^{2}y^{4} - y^{5}$
Câu 18: Nhận biết
Số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $(x - 2)^{5}$ là:
- A.
  $- 32x^{5}$
- B.
  $x^{5}$
- C.
  $5x^{5}$
- D.
  $1$
Công thức số hạng tổng quát: $C_{5}^{k}.x^{k}.( - 2)^{5 - k} \Rightarrow k = 5$ ta được số hạng chứa $x^{5}$ là: $x^{5}$
Câu 19: Nhận biết
Cho tập hợp $M = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Số tập con gồm 3 phần tử của $M$ sao cho không có số $0$ là:
- A.
  $A_{10}^{2}$ .
- B.
  $A_{10}^{3}$ .
- C.
  $C_{8}^{3}$ .
- D.
  $C_{9}^{3}$ .
Mỗi tập con gồm 3 phần tử của $M$ không có số $0$ là tổ hợp chập 3 của 9 phần tử.

Số tập con gồm 3 phần tử của $M$ không có số $0$ là. $C_{9}^{3}$ .
Câu 20: Vận dụng
Có 8 nhà khoa học Toán (6 nam, 2 nữ) và 5 nhà khoa học Vật Lí (toàn nam). Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 nhà khoa học trong đó có cả nam, nữ, cả Toán, Vật Lí?
- A.
  340.
- B.
  210.
- C.
  375.
- D.
  450.
+TH1. Có đúng 1 nữ nhà khoa học Toán, có 2 cách chọn. Lúc này chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn đề bài, có thể có hoặc không nhà khoa học Toán nam nào khác, số cách chọn 3 nhà khoa học còn lại là $C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3}$ . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. $2.\left( C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3} ight)$

+TH2. Có đúng 2 nữ nhà khoa học Toán, có 1 cách chọn. Cũng với ý tưởng như trên, chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn, số cách chọn 2 nhà khoa học còn lại là $C_{5}^{1}C_{6}^{1} + C_{5}^{2}$ . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. $C_{5}^{1}.C_{6}^{1} + C_{5}^{2}$ .

Vậy số cách lập cần tìm là. $2.\left( C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3} ight) + C_{5}^{1}.C_{6}^{1} + C_{5}^{2} = 375$ .

98 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!