Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Số các số có $6$ chữ số khác nhau không bắt đầu bởi $12$ được lập từ $1;\ \ 2;\ \ 3;\ \ 4;\ \ 5;\ \ 6$ là:
- A.
  $820$ .
- B.
  $926$ .
- C.
  $696$ .
- D.
  $699$ .
Lập số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau, ta tìm được: $6!$ số.
Lập số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau nhưng bắt đầu bằng $12$ , ta tìm được: $4!$ số.
Vậy số các số có $6$ chữ số khác nhau không bắt đầu bởi $12$ là $6! - 4! = 696$ số.
Câu 2: Nhận biết
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi là
- A.
  600.
- B.
  120.
- C.
  3125.
- D.
  720.
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế là: 5! =120 (cách).
Câu 3: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ .
- A.
  $12$ .
- B.
  $16$ .
- C.
  $17$ .
- D.
  $20$ .
Số các số tự nhiên lớn nhất nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ là $96$ .

Số các số tự nhiên nhỏ nhất nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ là $0$ .

Số các số tự nhiên nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ là $\frac{96 - 0}{6} + 1 = 17$ .
Câu 4: Nhận biết
Cho hai số tự nhiên $k,x$ sao cho $0 \leq k \leq n$ . Chọn khẳng định đúng sau đây?
- A.
  $C_{x}^{k} = \frac{x!}{k!(x - k)!}$
- B.
  $A_{x}^{k} = \frac{x!}{k!(x - k)!}$
- C.
  $C_{x}^{k} = \frac{k!(x - k)!}{x!}$
- D.
  $A_{x}^{k} = \frac{k!(x - k)!}{x!}$
Khẳng định đúng là: $C_{x}^{k} = \frac{x!}{k!(x - k)!}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tính tổng các hệ số trong khai triển $(1 - 2x)^{2018}$ .
- A.
  -1.
- B.
  1.
- C.
  -2018.
- D.
  2018.
Xét khai triển $(1 - 2x)^{2018} =C_{2018}^{0} - 2x.C_{2018}^{1} + ( - 2x)^{2}.C_{2018}^{2} + ... + ( - 2x)^{2018}.C_{2018}^{2018}$

Tổng các hệ số trong khai triển là: $S = C_{2018}^{0} - 2.C_{2018}^{1} + ( - 2)^{2}.C_{2018}^{2} + ( - 2)^{3}.C_{2018}^{3} + ... + ( - 2)^{2018}.C_{2018}^{2018}$

Cho $x = 1$ ta có: $(1 - 2.1)^{2018} = C_{2018}^{0} - 2.1.C_{2018}^{1}+ ( - 2.1)^{2}.C_{2018}^{2} + ... + ( -2.1)^{2018}.C_{2018}^{2018}$

$\Leftrightarrow ( - 1)^{2018} = S\Leftrightarrow S = 1$
Câu 6: Thông hiểu
Biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển của $(1 - 3x)^{n}$ là $90$ . Tìm $n$ .
- A.
  $n = 7$ .
- B.
  $n = 6$ .
- C.
  $n = 8$ .
- D.
  $n = 5$ .
Số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển của $(1 - 3x)^{n}$ là: $T_{k + 1} = C_{n}^{k}( - 3)^{k}x^{k}$ .

Số hạng chứa $x^{2}$ ứng với $k = 2$ .

Ta có: $C_{n}^{2}( - 3)^{2} = 90 \Leftrightarrow C_{n}^{2} = 10$ (với $n \geq 2$ ; $n \in \mathbb{N}$ )

$\Leftrightarrow \frac{n!}{2!(n - 2)!} = 10 \Leftrightarrow n(n - 1) = 20 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 5 \\ n = - 4(L) \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy $n = 5$ .
Câu 7: Thông hiểu
Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước: Việt Nam có 3 người; Nhật có 5 người; Hàn Quốc có 2 người; Ấn Độ có 3 người; Thái Lan có 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch thì ngồi cạnh nhau?
- A.
  $4976640$
- B.
  $207360$
- C.
  $829440$
- D.
  $2057589$
Ta thấy tổng số nước tham dự hội nghị là 5 nước.

Để xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch thì ngồi cạnh nhau ̀ta thực hiện như sau:

Xếp cờ của 5 nước vào 5 vị trí xung quanh bàn tròn: có 4! cách xếp.

Ở vị trí cờ của Việt Nam xếp 3 người vào ba vị trí: có 3! cách xếp.

Ở vị trí cờ của Nhật xếp 5 người vào năm vị trí: có 5! cách xếp.

Ở vị trí cờ của Hàn Quốc xếp 2 người vào hai vị trí: có 2! cách xếp.

Ở vị trí cờ của Ấn Độ xếp 3 người vào ba vị trí: có 3! cách xếp.

Ở vị trí cờ của Thái Lan xếp 4 người vào bốn vị trí: có 4! cách xếp.

Áp dụng quy tắc nhân, có tất cả: $4!.3!.5!.2!.3!.4! = 4976640$ cách
Câu 8: Nhận biết
Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
- A.
  $A_{n}^{k}=n(n-1)...(n-k+1)$
- B.
  $P_{n}=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 2\times 1$
- C.
  $P_{n}=n!$
- D.
  $A_{n}^{k}=\frac{n!}{k!}$
Công thức sai là: $A_{n}^{k}=\frac{n!}{k!}$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
- A.
  $605$
- B.
  $91000$
- C.
  $505$
- D.
  $458$
Học sinh nam có 280 cách chọn

Học sinh nữ có 325 cách chọn

Chọn một học sinh khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố thì có $280 + 325 = 605$ cách.
Câu 10: Nhận biết
Có 8 vận động viên chạy thi. Người thắng sẽ nhận được huy chương vàng, người về đích thứ hai nhận huy chương bạc, người về đích thứ ba nhận huy chương đồng. Có bao nhiêu cách trao các huy chương này, nếu tất cả các kết cục của cuộc thi đều có thể xảy ra?
- A.
  $168$
- B.
  $336$
- C.
  $112$
- D.
  $302$
Số cách chọn 3 vận động viên về đích đầu tiên trong 8 vận động viên là $C_{8}^{3}$

Số cách trao 3 huy chương vàng, bạc, đồng cho 3 vận động viên về đích đầu là 3!

Vậy số cách trao các huy chương này là $C_{8}^{3}.3! = 336$
Câu 11: Nhận biết
Số hạng tử trong khai triển ${(x - 2y)^4}$ bằng
- A.
  8
- B.
  6
- C.
  5
- D.
  7
Số hạng tử trong khai triển ${(x - 2y)^4}$ là: 4 + 1 = 5 hạng tử.
Câu 12: Nhận biết
Giả sử có một công việc có thể tiến hành theo hai công đoạn M và N. Công đoạn M có a cách, công đoạn N có b cách. Khi đó công việc có thể thực hiện bằng:
- A.
  $\frac{1}{2}a.b$ cách
- B.
  $\frac{1}{2}(a + b)$ cách
- C.
  $a + b$ cách
- D.
  $a.b$ cách
Khi đó công việc có thể được thực hiện bằng $a.b$ (cách).
Câu 13: Vận dụng
Có 8 nhà khoa học Toán (6 nam, 2 nữ) và 5 nhà khoa học Vật Lí (toàn nam). Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 nhà khoa học trong đó có cả nam, nữ, cả Toán, Vật Lí?
- A.
  340.
- B.
  210.
- C.
  375.
- D.
  450.
+TH1. Có đúng 1 nữ nhà khoa học Toán, có 2 cách chọn. Lúc này chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn đề bài, có thể có hoặc không nhà khoa học Toán nam nào khác, số cách chọn 3 nhà khoa học còn lại là $C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3}$ . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. $2.\left( C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3} ight)$

+TH2. Có đúng 2 nữ nhà khoa học Toán, có 1 cách chọn. Cũng với ý tưởng như trên, chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn, số cách chọn 2 nhà khoa học còn lại là $C_{5}^{1}C_{6}^{1} + C_{5}^{2}$ . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. $C_{5}^{1}.C_{6}^{1} + C_{5}^{2}$ .

Vậy số cách lập cần tìm là. $2.\left( C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3} ight) + C_{5}^{1}.C_{6}^{1} + C_{5}^{2} = 375$ .
Câu 14: Thông hiểu
Cho tập hợp các chữ số tự nhiên $A = \left\{ 0,1,2,3,4,5,6 ight\}$ . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?
- A.
  $120$
- B.
  $100$
- C.
  $220$
- D.
  $200$
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là: $\overline{abcd};(a eq 0)$ .

Tổng quát:

Số cách chọn $d$ là 2 cách chọn.

Số cách chọn a là 6 cách chọn.

Số cách chọn b là 5 cách chọn.

Số cách chọn c là 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: $2.6.5.4 = 240$ số

Vi phạm:

a = 0 có 1 cách chọn.

d = 5 có 1 cách chọn.

b có 5 cách chọn.

c có 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân: $1.1.5.4 = 20$ số

Số các số cần tìm là: $240 - 20 = 220$ số.
Câu 15: Nhận biết
Một nhóm học sinh gồm $4$ học sinh nam và $5$ học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp $9$ học sinh trên thành $1$ hàng dọc sao cho nam nữ đứng xen kẽ?
- A.
  $7770$ .
- B.
  $2880$ .
- C.
  $240$ .
- D.
  $362660$ .
Xếp $4$ học sinh nam thành hàng dọc có $4!$ cách xếp.

Giữa $4$ học sinh nam có $5$ khoảng trống ta xếp các bạn nữ vào vị trí đó nên có $5!$ cách xếp.

Theo quy tắc nhân có $4!5! = 2880$ cách xếp thoả mãn.
Câu 16: Vận dụng
Cho các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 7; 9. Từ các chữ số này, ta lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 10 và nhỏ hơn 5430?
- A.
  114.
- B.
  235.
- C.
  209.
- D.
  125.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd}$ . Vì $\overline{abcd}$ chia hết cho 10 suy ra $d = 0$ .

TH1. Với $a = 5$ , ta có

+ Nếu $b = 4$ suy ra $c = \left\{ 0;1 ight\}$ , do đó có 2 số cần tìm.

+ Nếu $b < 4$ suy ra $b = \left\{ 0;1 ight\}$ và $c = \left\{ 0;1;4;5;6;7;9 ight\}$ , do đó có 14 số cần tìm.

TH2. Với $a < 5 \Rightarrow a = \left\{ 1;4 ight\}$ suy ra có 2 cách chọn a, 7 cách chọn b, 7 cách chọn

C.

Suy ra có $2 \times 7 \times 7 = 98$ số cần tìm. Vậy có tất cả 114 số cần tìm.
Câu 17: Nhận biết
Số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển biểu thức $(2x + 3)^{5}$ là:
- A.
  $32x^{4}$
- B.
  $240x^{4}$
- C.
  $720$
- D.
  $240$
Ta có: $(2x+3)^5=$ $32{x^5} + 240{x^4} + 720{x^3} + 1080{x^2} + 810x + 243$ .
Số hạng cần tìm là: $240x^{4}$ .
Câu 18: Thông hiểu
Từ các chữ số $1;4;5;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương $n < 200$ và n là số chẵn?
- A.
  $22$
- B.
  $120$
- C.
  $48$
- D.
  $68$
Trường hợp 1: n gồm một chữ số.

Vì n < 200 và n là số chẵn nên có 2 số thỏa mãn là 4; 8

Trường hợp 2: n gồm hai chữ số.

Gọi n có dạng $\overline{ab}$ thỏa mãn n < 200 và để n là số chẵn ta có

b có 2 lựa chọn là {4; 8}

a có 5 lựa chọn.

Có $2.5 = 10$

Trường hợp 3: n gồm ba chữ số. Vì n < 200 nên gọi n có dạng $\overline{1bc}$ và để n là số chẵn ta có

c có 2 lựa chọn là {4; 8}

b có 5 lựa chọn. Có $2.5 = 10$

Vậy có $10 + 10 + 2 = 22$ số n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 19: Vận dụng
Với $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $3C_{n + 1}^{3} - 3A_{n}^{2} = 52(n - 1)$ . Trong khai triển biểu thức $\left( x^{3} + 2y^{2} ight)^{n}$ , gọi $T_{k}$ là số hạng mà tổng số mũ của $x$ và $y$ của số hạng đó bằng $34$ . Hệ số của $T_{k}$ là :
- A.
  98789.
- B.
  1389.
- C.
  5543.
- D.
  41184.
Điều kiện: $n \geq 2$ , $n \in \mathbb{N}^{*}$ .

Ta có $3C_{n + 1}^{3} - 3A_{n}^{2} = 52(n - 1) \Leftrightarrow 3.\frac{(n + 1)!}{3!(n - 2)!} - 3\frac{n!}{(n - 2)!} = 52(n - 1)$

$\Leftrightarrow \frac{(n - 1)n(n + 1)}{2} - 3n(n - 1) = 52(n - 1) \Leftrightarrow n^{2} + n - 6n = 104$ .

$\Leftrightarrow n^{2} - 5n - 104 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 13 \\ n = - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow n = 13$ .

$\left( x^{3} + 2y^{2} ight)^{13} = \sum_{0}^{13}{C_{13}^{k}\left( x^{3} ight)^{13 - k}\left( 2y^{2} ight)^{k}} = \sum_{0}^{13}{C_{13}^{k}2^{k}x^{39 - 3k}y^{2k}}$ .

Ta có: $39 - 3k + 2k = 34 \Leftrightarrow k = 5$ . Vậy hệ số $C_{13}^{5}2^{5} = 41184$ .
Câu 20: Nhận biết
Tìm hệ số của $x^{7}$ trong khai triển $(1 + x)^{10}$ .
- A.
  $190$ .
- B.
  $270$ .
- C.
  $230$ .
- D.
  $45$ .
Số hạng tổng quát là: $T_{k + 1} = C_{10}^{k}.x^{k}$ .

Số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển $(1 + x)^{10}$ là: $T_{8} = C_{10}^{8}.x^{7}$ nên hệ số là 45.

99 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!