Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Một học sinh có 12 quyển sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 sách Toán, 4 sách Văn, 6 sách Anh Văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các quyển sách lên một kệ sách dài nếu mọi quyển sách cùng môn được xếp kề nhau?
- A.
  $366$
- B.
  $240$
- C.
  $720$
- D.
  $144$
Có 3! = 6 cách xếp 3 loại sách.

Có 2! = 2 cách xếp 2 sách Toán.

Có 4! = 24 cách xếp 4 sách Văn.

Vậy theo qui tắc nhân có tất cả 6.2.24 = 720 cách xếp thoả mãn yêu cầu đề bài
Câu 2: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 0;1;2;3;4;5 ight\}$ . Hỏi lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2 từ tập A.
- A.
  240.
- B.
  312.
- C.
  338.
- D.
  236.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ . Vì $\overline{abcde}$ chia hết cho 2 suy ra $e = \left\{ 0;2;4 ight\}$ .

TH1. Với $e = 0$ , khi đó $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ số.

TH2. Với $e = \left\{ 2;4 ight\}$ , khi đó có 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c, 2 cách chọn

$d$ .

Suy ra có $4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 2 = 192$ số. Vậy có tất cả $120 + 192 = 312$ số cần tìm.
Câu 3: Thông hiểu
Cho biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển $(1 + 2x)^{n}$ bằng $180$ . Tìm $n$ .
- A.
  $n = 12$ .
- B.
  $n = 14$ .
- C.
  $n = 8$ .
- D.
  $n = 10$ .
Ta có $(1 + 2x)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1}.2x + C_{n}^{2}.(2x)^{2} + ... + C_{n}^{n}(2x)^{n}$ .

Hệ số của $x^{2}$ bằng $180 \Leftrightarrow 4.C_{n}^{2} = 180 \Leftrightarrow 4\frac{n!}{2!(n - 2)!} = 180 \Leftrightarrow n(n - 1) = 90$

$\Leftrightarrow n^{2} - n - 90 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = - 9(l) \\ n = 10 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $n = 10$ .
Câu 4: Nhận biết
Cho tập hợp $M = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Số tập con gồm 3 phần tử của $M$ sao cho không có số $0$ là:
- A.
  $A_{10}^{2}$ .
- B.
  $A_{10}^{3}$ .
- C.
  $C_{8}^{3}$ .
- D.
  $C_{9}^{3}$ .
Mỗi tập con gồm 3 phần tử của $M$ không có số $0$ là tổ hợp chập 3 của 9 phần tử.

Số tập con gồm 3 phần tử của $M$ không có số $0$ là. $C_{9}^{3}$ .
Câu 5: Nhận biết
Số cách xếp 5 học sinh $A;B;C;D;E$ vào một ghế dài sao cho bạn $A;C$ ngồi ở hai đầu ghế là:
- A.
  $20$ cách
- B.
  $24$ cách
- C.
  $12$ cách
- D.
  $18$ cách
Vì A; E ngồi ở hai đầu ghế nên ta có 3!.2! = 12 cách sắp xếp $A;B;C;D;E$
Câu 6: Nhận biết
Ngân hàng câu hỏi kiểm tra Toán lớp 11A gồm 35 câu hỏi đại số và 15 câu hỏi hình học. Học sinh được chọn một câu hỏi để trả lời. Khi đó số khả năng có thể xảy ra bằng:
- A.
  $50$
- B.
  $150$
- C.
  $375$
- D.
  $1505$
Áp dụng quy tắc cộng ta có số khả năng có thể xảy ra là: 35 + 15 = 50 khả năng.
Câu 7: Vận dụng
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ các chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chứa chữ số 2 và chia hết cho 5?
- A.
  19.
- B.
  32.
- C.
  42.
- D.
  23.
Giả sử số đó là $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}}$

Trường hợp 1. $a_{3} = 0$ xếp 2 vào có 2 vị trí, chọn số xếp vào vị trí còn lại có 6 cách nên có 2.6 = 12 số thỏa mãn.

Trường hợp 2. $a_{3} = 5$ . Với $a_{1} = 2$ chọn $a_{2}$ có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn. Với $a_{1} eq 2$ chọn $a_{1}$ có 5 cách chọn, và tất nhiên $a_{2} = 2$ nên có 5 số thỏa mãn. Do đó có $12 + 6 + 5 = 23$ số thỏa mãn.
Câu 8: Vận dụng
Tìm $n$ thuộc tập hợp số tự nhiên, biết rằng $1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = 256n$ ( $C_{n}^{k}$ là số tổ hợp chập k của n phần tử).
- A.
  $489888$ .
- B.
  $49888$ .
- C.
  $48988$ .
- D.
  $4889888$ .
Trước hết ta chứng minh công thức $\frac{k}{n}C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1}$ với $1 \leq k \leq n$ và $n \geq 2.$

Thật vậy, $\frac{k}{n}C_{n}^{k} = \frac{k}{n}.\frac{n!}{k!(n - k)!} = \frac{(n - 1)!}{(k - 1)!(n - k)!} = C_{n - 1}^{k - 1}.$ (đpcm)

Áp dụng công thức trên ta có

$1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = n\left( \frac{1}{n}.C_{n}^{1} + \frac{2}{n}.C_{n}^{2} + \frac{3}{n}.C_{n}^{3} + ... + \frac{n}{n}.C_{n}^{n} ight)$

$= n\left( C_{n - 1}^{0} + C_{n - 1}^{1} + C_{n - 1}^{2} + ... + C_{n - 1}^{n - 1} ight) = n2^{n - 1}$

Theo đề $1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = 256n \Leftrightarrow n2^{n - 1} = 256n \Leftrightarrow 2^{n - 1} = 256 \Leftrightarrow n = 9.$ .
Câu 9: Nhận biết
Khai triển $(x + 3y)^{4}$ thành đa thức ta được biểu thức gồm mấy số hạng?
- A.
  $3$
- B.
  $4$
- C.
  $5$
- D.
  $6$
Biểu thức $(x + 3y)^{4}$ khai triển thành đa thức có 5 hạng tử.
Câu 10: Nhận biết
Số các số tự nhiên có 2 chữ số mà hai chữ số đó là số chẵn là
- A.
  18.
- B.
  16.
- C.
  15.
- D.
  20.
Giả sử số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $\overline{ab}$ .

- Chọn a có 4 cách: a ∈ {2;4;6;8}.

- Chọn b có 5 cách: b ∈ {0;2;4;6;8}.

Vậy có tất cả: 4.5 = 20 số tự nhiên có 2 chữ số mà hai chữ số đó là số chẵn.
Câu 11: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển nhị thức Newton $\left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4} ight)^{5}$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $- \frac{5}{27}$
- C.
  $6$
- D.
  $\frac{5}{27}$
Ta có:

$\left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4} ight)^{5} = \frac{32}{243}x^{5} + \frac{20}{81}x^{4} + \frac{5}{27}x^{3} + \frac{5}{72}x^{2} + \frac{3}{384}x + \frac{1}{1024}$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển nhị thức là: $\frac{5}{27}$ .
Câu 12: Nhận biết
Tìm số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40}$ .
- A.
  $C_{40}^{31}x^{31}$ .
- B.
  $- C_{40}^{33}x^{32}$ .
- C.
  $C_{40}^{37}x^{31}$ .
- D.
  $C_{40}^{3}x^{31}$ .
Ta có khai triển: $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}x^{40 - k}\left( x^{- 2} ight)^{k}} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}x^{40 - 3k}}$ .

Số hạng tổng quát trong khai triển: $C_{40}^{k}x^{40 - 3k}$

Số hạng chứa $x^{31}$ ứng với: $40 - 3k = 31 \Leftrightarrow k = 3$

Vậy số hạng chứa $x^{31}$ là: $C_{40}^{3}x^{31}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Hai tổ sản xuất của một phân xưởng có 9 công nhân nam và 13 công nhân nữ trong đó có 2 cặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 7 người trong số 22 người nhưng không có cặp vợ chồng?
- A.
  $140350$
- B.
  $140352$
- C.
  $25704$
- D.
  $24054$
TH1: Chọn 7 người 18 người không là cặp vợ chồng: $C_{18}^{7}$

TH2: Chọn 1 trong 2 cặp vợ chồng và 6 người trong 18 người không là cặp vợ chồng: $C_{4}^{1}.C_{18}^{6}$

TH3: Chọn 2 trong 2 cặp vợ chồng nhưng không phải 1 cặp và 5 người trong 1 người không là cặp vợ chồng: $\left( C_{4}^{2} - 2 ight).C_{18}^{5}$

Vậy số cách chọn thỏa mãn là: $C_{18}^{7} + C_{4}^{1}.C_{18}^{6} + \left( C_{4}^{2} - 2 ight).C_{18}^{5} = 140352$ cách
Câu 14: Thông hiểu
Cho tập hợp các chữ số $B = \left\{ 1,2,3,4,5 ight\}$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau là:
- A.
  $A_{5}^{3}$
- B.
  $C_{5}^{3}$
- C.
  $3^{5}$
- D.
  $3!$
Mỗi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập hợp B là chỉnh hợp chập 3 của 5 nghĩa.

Suy ra có thể lập được $A_{5}^{3}$ số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 15: Nhận biết
Trên bàn có 5 quyển sách Toán khác nhau và 7 quyển sách Hóa khác nhau. Số cách chọn 2 quyển sách gồm đủ 2 loại Toán và Hóa bằng:
- A.
  $12$
- B.
  $35$
- C.
  $66$
- D.
  $31$
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn một quyển Toán và một quyển Hóa là: 5 . 7 = 35 cách chọn.
Câu 16: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8 ight\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5.
- A.
  15120
- B.
  23523
- C.
  16862
- D.
  23145
Vì $x$ lẻ và không chia hết cho 5 nên $d \in \left\{ 1,3,7 ight\} \Rightarrow d$ có 3 cách chọn

Số các chọn các chữ số còn lại là: $7.6.5.4.3.2.1$

Vậy $15120$ số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 17: Nhận biết
Một chiếc hộp chứ 5 quả cầu trắng và 6 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên đồng thời ba quả trong hộp, biết rằng các quả cầu có kích thước và khối lượng như nhau. Hỏi có bao nhiêu cách lấy được đồng thời 3 quả cầu?
- A.
  $154$
- B.
  $102$
- C.
  $165$
- D.
  $720$
Tổng số quả cầu trong hộp là 5 + 6 = 11

Mỗi cách lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu trong 11 quả cầu trong hộp là tổ hợp chập 3 của 11 phần tử

Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán là $C_{11}^{3} = 165$ (cách).
Câu 18: Thông hiểu
Trong khai triển nhị thức $(a + 2)^{2n+1}$ ( $n \in ℕ$ ). Có tất cả 6 số hạng. Vậy n bằng:
- A.
  2
- B.
  11
- C.
  10
- D.
  5
Khai triển có 6 hạng tử
=> $\left( {2n + 1} ight) + 1 = 6 \Rightarrow n = 2$
Câu 19: Thông hiểu
Có bao nhiêu số chẵn gồm bốn chữ số được lập từ các số 0; 1; 2; 4; 5; 6; 8.
- A.
  2058
- B.
  1470
- C.
  520
- D.
  368
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số có dạng: $\overline {abcd} ;\left( {a e 0} ight)$
Do số tự nhiên được tạo thành là chữ số chẵn nên $d \in \left\{ {0;2;4;6;8} ight\}$
Trường hợp 1: d = 0 ta có: d có 1 cách chọn
a có 6 cách chọn
b có 7 cách chọn
c có 7 cách chọn
=> Số các số được tạo thành là: 6.7.7.1 = 294 số
Trướng hợp 2: $d \in \left\{ {2;4;6;8} ight\}$ => d có 4 cách chọn
a có 6 cách chọn
b có 7 cách chọn
c có 7 cách chọn
=> Số các số tạo thành là: 4.6.7.7=1176 số
=> Có tất cả 294 + 1176 = 1470 số tự nhiên chẵn có 4 chữ số được tạo thành.
Câu 20: Thông hiểu
Có bao nhiêu cách xếp 40 học sinh gồm 20 học sinh trường A và 20 học sinh trường B thành 4 hàng dọc, mỗi hàng 10 người (tức 10 hàng ngang, mỗi hàng 4 người) trong đó không có học sinh cùng trường đứng kề nhau trong mỗi hàng dọc cũng như trong mỗi hàng ngang?
- A.
  $19!.20!$
- B.
  $19!.18!$
- C.
  $2.20!.20!$
- D.
  $17!.16!.2$
Giả sử 4 hàng dọc được kí hiệu là $D_{1};D_{2};D_{3};D_{4}$

Mỗi hàng các vị trí lại được kí hiệu từ 1 đến 10

Theo yêu cầu bài toán thì:

Các bạn trường A được xếp ở D1 ghi số chẵn, D2 ghi số lẽ, D3 ghi số chẵn, D4 ghi số lẽ.

Các bạn trường B ở các vị trí còn lại hoặc ngược lại.

Nên số cách xếp là $2.20!.20!$ cách.

85 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!