Biểu thức
bằng:
Ta có:
Biểu thức
bằng:
Ta có:
Có 7 nam 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp, biết rằng 2 vị trí đầu và cuối là nam và không có 2 nữ nào đứng cạnh nhau?
Số cách chọn 2 nam đứng ở đầu và cuối là. . Lúc này còn lại 5 nam và 5 nữ, để đưa 10 người này vào hàng thì trước tiên sẽ cho 5 nam đứng riêng thành hàng ngang, số cách đứng là 5!. Sau đó lần lượt “nhét” 5 nữ vào các khoảng trống ở giữa hoặc đầu, hoặc cuối của hàng 5 nam này, mỗi khoảng trống chỉ “nhét” 1 nữ hoặc không “nhét”, có tất cả 6 khoảng trống nên số cách xếp vào là
. Số cách xếp 10 người này thành hàng ngang mà 2 nữ bất kì không đứng cạnh nhau là.
Đưa 10 người này vào giữa 2 nam đầu và cuối đã chọn, số cách xếp là. .
Tìm số hạng chứa
trong khai triển
?
Số hạng tổng quát theo thứ tự giảm dần số mũ x là:
Số hạng chứa ứng với
Số hạng cần tìm là .
Cho hai dãy ghế được xếp như sau.

Xếp 4 bạn nam và 4 bạn nữ vào hai dãy ghế trên. Hai người được gọi là ngồi đối diện nhau nếu ngồi ở hai dãy và có cùng vị trí ghế (số ở ghế). Số cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ bằng bao nhiêu?
Xếp 4 bạn nam vào một dãy có (cách xếp).
Xếp 4 bạn nữ vào một dãy có (cách xếp).
Với mỗi một số ghế có 2 cách đổi vị trí cho bạn nam và bạn nữ ngồi đối diện nhau.
Số cách xếp theo yêu cầu là. (cách xếp).
Giả sử rằng:
![]()
![]()
![]()
Hãy tính
?
Ta có:
Tìm hệ số của
trong khai triển
.
Số hạng tổng quát là: .
Số hạng chứa trong khai triển
là:
nên hệ số là 45.
Khai triển biểu thức
ta thu được kết quả là:
Ta có: .
Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một học sinh tiên tiến trong lớp 11A hoặc lớp 12B. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, biết rằng lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến và lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến?
Để chọn được một học sinh đi dự ta có 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Học sinh ở lớp 11A: có 31 cách
Trường hợp 2: Học sinh ở lớp 12B: có 22 cách
Vậy có cách.
Số cách lấy một chiếc bút trong hộp gồm 4 chiếc bút bi và 6 chiếc bút máy bằng:
Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách lấy một chiếc bút là:
cách.
Từ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là
Bộ bốn chữ số có tổng chia hết cho 3 là:
Trường hợp 1:
Chọn a: 3 cách (vì a ≠ 0).
Chọn b, c, d: cách chọn.
Khi đó: 3.6=18 (cách).
Trường hợp 2:
Chọn :
Vậy 6 + 24 = 30 (số)
Từ 6 điểm phân biệt thuộc đường thẳng ∆ và một điểm không thuộc đường thẳng ∆ ta có thể tạo được tất cả bao nhiêu tam giác?
Một tam giác được lập thành từ 3 điểm.
Cứ 2 điểm thuộc + 1 điểm nằm ngoài có sẵn, ta được một tam giác.
Số cách lấy 2 điểm từ 6 điểm thuộc là:
(cách).
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một bàn dài là:
Ta có số cách xếp 5 học sinh vào một bàn dài là số các hoán vị của học sinh đó. Vậy kết quả là:
.
Giả sử một công việc phải hoàn thành qua 2 giai đoạn:
Giai đoạn 1 có a cách thực hiện.
Với mỗi cách thực hiện của giai đoạn 1 ta có b cách thực hiện cho giai đoạn 2.
Khi đó số cách thực hiện công việc là:
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách thực hiện công việc là cách.
Từ 5 chữ số 1, 2, 5, 7, 8 có thể lập bao nhiêu số chẵn gồm 3 chữ số phân biệt và nhỏ hơn hoặc bằng 278?
Gọi số cần tìm có dạng
Trường hợp 1: . Có 1 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp2:
a có 1 cách chọn.
c có 1 cách chọn.
b có 2 cách chọn.
⇒ Theo quy tắc nhân ta có: (số).
Trường hợp 3:
a có 1 cách chọn.
c có 2 cách chọn.
b có 3 cách chọn.
⇒ Theo quy tắc nhân ta có: (số).
Vậy có: (số).
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?
Nếu chữ số hàng chục là thì số có chữ số hàng đơn vị là
thì số các chữ số nhỏ hơn
năm ở hàng đơn vị cũng bằng
. Do chữ số hang chục lớn hơn bằng
còn chữ số hang đơn vị thi
.
Vậy số các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là:
.
Một hộp có 5 bi đỏ và 4 bi vàng. Số cách lấy ra hai viên bi từ hộp là:
Số cách lấy 2 viên bi từ 9 viên bi là: (cách).
Với
là số nguyên dương thỏa mãn
. Trong khai triển biểu thức
, gọi
là số hạng mà tổng số mũ của
và
của số hạng đó bằng
. Hệ số của
là :
Điều kiện: ,
.
Ta có
.
.
.
Ta có: . Vậy hệ số
.
Cho
. Từ tập hợp này lập được bao nhiêu số tự nhiên có
chữ số đôi một khác nhau?
Mỗi số tự nhiên tự nhiên có chữ số khác nhau được lập từ tập
là hoán vị của
phần tử.
Vậy có số cần tìm.
Xếp
chữ số
,
,
,
,
,
thành hàng ngang sao cho hai chữ số giống nhau thì không xếp cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy?
Số cách xếp sáu chữ số thành hàng một cách tùy ý là .
*) Tìm số cách xếp sáu chữ số sao cho có hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau
+) TH1: Số cách xếp sao cho có hai chữ số đứng cạnh nhau
.
+) TH2: Số cách xếp sao cho có hai chữ số đứng cạnh nhau
.
+) TH3: Số cách xếp sao cho có hai chữ số đứng cạnh nhau và hai chữ số
đứng cạnh nhau
-) Nếu hai chữ số ở vị trí
và
ta có số cách xếp là
.
-) Nếu hai chữ số ở ba vị trí còn lại thì số các xếp là
.
Vậy số cách xếp hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau là .
Số cách xếp không có hai chữ số giống nhau nào đứng cạnh nhau là
.
Cho các chữ số 0; 1; 2; 4; 5; 6; 8. Hỏi từ các chữ số trên lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà trong mỗi số chữ số 1 luôn xuất hiện?
Gọi số cần tìm có dạng . Vì
chia hết cho 5 suy ra
.
TH1. Với suy ra có
số cần tìm.
TH2. Với , suy ra có
số cần tìm.
Vậy có tất cả 444 số cần tìm.