Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Cho $n$ là số tự nhiên thỏa mãn $C_{n}^{0} + 2.C_{n}^{1} + 2^{2}.C_{n}^{2} + ... + 2^{n}.C_{n}^{n} = 59049$ . Biết số hạng thứ $3$ trong khai triển Newton của $\left( x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{n}$ có giá trị bằng $\frac{81}{2}n$ . Tìm giá trị của $x$ .
- A.
  $-1$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $\pm 1$ .
- D.
  $\pm3$ .
Ta có: $C_{n}^{0} + 2.C_{n}^{1} +2^{2}.C_{n}^{2} + ... + 2^{n}.C_{n}^{n} = 59049$

$\Rightarrow (2 + 1)^{n}= 59049 \Leftrightarrow 3^{n} = 3^{10} \Leftrightarrow n =10$ .

Ta được nhị thức $\left( x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{10}$ .

Số hạng thứ ba của khai triển là $T_{3} = C_{10}^{2}.\left( x^{2} ight)^{8}.\left( - \frac{3}{x} ight)^{2} = 405x^{14}$ .

Theo giả thiết ta có: $405x^{14} = \frac{81}{2}n$ $\Leftrightarrow$ $405x^{14} = 405$ $\Leftrightarrow$ $x^{14} = 1$ $\Leftrightarrow$ $x = \pm 1$ .
Câu 2: Nhận biết
Hệ số của $x^{31}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40}(x eq 0)$ là:
- A.
  $C_{40}^{5}$ .
- B.
  $C_{20}^{3}$ .
- C.
  $C_{40}^{3}$ .
- D.
  $C_{40}^{6}$ .
$\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}x^{40 - k}.x^{- 2k}} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}x^{40 - 3k}}$

Theo giả thiết: $40 - 3k = 31 \Rightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số của $x^{31}$ là $C_{40}^{3} = 9880$ .
Câu 3: Nhận biết
Số cách xếp 5 học sinh $A;B;C;D;E$ vào một ghế dài sao cho bạn $A;C$ ngồi ở hai đầu ghế là:
- A.
  $20$ cách
- B.
  $24$ cách
- C.
  $12$ cách
- D.
  $18$ cách
Vì A; E ngồi ở hai đầu ghế nên ta có 3!.2! = 12 cách sắp xếp $A;B;C;D;E$
Câu 4: Thông hiểu
Từ các chữ số $1;4;5;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương $n < 200$ và n là số chẵn?
- A.
  $22$
- B.
  $120$
- C.
  $48$
- D.
  $68$
Trường hợp 1: n gồm một chữ số.

Vì n < 200 và n là số chẵn nên có 2 số thỏa mãn là 4; 8

Trường hợp 2: n gồm hai chữ số.

Gọi n có dạng $\overline{ab}$ thỏa mãn n < 200 và để n là số chẵn ta có

b có 2 lựa chọn là {4; 8}

a có 5 lựa chọn.

Có $2.5 = 10$

Trường hợp 3: n gồm ba chữ số. Vì n < 200 nên gọi n có dạng $\overline{1bc}$ và để n là số chẵn ta có

c có 2 lựa chọn là {4; 8}

b có 5 lựa chọn. Có $2.5 = 10$

Vậy có $10 + 10 + 2 = 22$ số n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5: Nhận biết
Khai triển biểu thức $(a + 2b)^{5}$ ta thu được kết quả là:
- A.
  $a^{5}+10a^{4}b+40a^{3}b^{2}+80a^{2}b^{3}+80ab^{4}+32b^{5}$
- B.
  $a^{5}-10a^{4}b-40a^{3}b^{2}-80a^{2}b^{3}-80ab^{4}-32b^{5}$
- C.
  $a^{5}+20a^{4}b+30a^{3}b^{2}+80a^{2}b^{3}+80ab^{4}+32b^{5}$
- D.
  $a^{5}+10a^{4}b+40a^{3}b^{2}+60a^{2}b^{3}+60ab^{4}+32b^{5}$
Ta có: $(a + 2b)^{5} =$ $a^{5}+10a^{4}b+40a^{3}b^{2}+80a^{2}b^{3}+80ab^{4}+32b^{5}$ .
Câu 6: Vận dụng
Trong một tuần, bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong $12$ người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (Có thể thăm một bạn nhiều lần).
- A.
  $7!$ .
- B.
  $35831808$ .
- C.
  $12!$ .
- D.
  $3991680$ .
Thứ 2: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Thứ 3: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Thứ 4: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Thứ 5: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Thứ 6: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Thứ 7: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Chủ nhật: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Vậy theo quy tắc nhân, có $12^{7} = 35831808$ (kế hoạch).
Câu 7: Thông hiểu
Cho các chữ số $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có $4$ chữ số và các chữ số đôi một bất kỳ khác nhau?
- A.
  $240$ .
- B.
  $156$ .
- C.
  $252$ .
- D.
  $360$ .
Gọi số cần tìm là: $\overline{abcd}$ (với $b,\ c,\ d\ \in \left\{ 0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5ight\}$ , $a\ \in \left\{ 1;\ 2;\3;\ 4;\ 5 ight\}$ ).
Trường hợp 1:
Chọn $d = 0$ , nên có $1$ cách chọn.
Chọn $a \in \left\{ \left. \ 1,\ 2,\ 3,\4,\ 5 ight\} ight.$ nên có $5$ cách chọn.
Chọn $b$ có $4$ cách chọn.
Chọn $c$ có $3$ cách chọn.
Suy ra, có $1.5.4.3 = 60$ số.
Trường hợp 2:
Chọn $d \in \left\{ 2,\ 4ight\}$ , nên có $2$ cách chọn.
Chọn $a eq 0$ nên có $4$ cách chọn.
Chọn $b$ có $4$ cách chọn.
Chọn $c$ có $3$ cách chọn.
Suy ra, có $2.4.4.3 = 96$ số.
Vậy có tất cả: $60 + 96 = 156$ số.
Câu 8: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ , (biết $x eq 0$ ).
- A.
  $176.$
- B.
  $88.$
- C.
  $- 276.$
- D.
  $286.$
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ .

$T_{k + 1} = C_{13}^{k}x^{13 - k}\left( \frac{1}{x} ight)^{k} = C_{13}^{k}x^{13 - 2k}$ .

$T_{k + 1}$ chứa $x^{7} \Leftrightarrow 13 - 2k = 7 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ bằng: $C_{13}^{3} = 286$ .
Câu 9: Nhận biết
Bộ bài tây có 52 lá, trong đó có 4 con át. Rút ra 5 con. Hỏi có bao nhiêu cách để rút được các lá bài trong đó có 1 con át và một con vua?
- A.
  $211904$
- B.
  $186543$
- C.
  $236450$
- D.
  $203684$
Số cách lấy 5 con trong đó có 1 con át và 1 con vua là $C_{4}^{1}C_{4}^{1}.C_{44}^{3} = 211904$ .
Câu 10: Nhận biết
Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra một học sinh đi dự trại hè của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
- A.
  45
- B.
  500
- C.
  25
- D.
  5.
Bước 1: Với bài toán a thì ta thấy cô giáo có thể có hai phương án để chọn học sinh đi thi:
Bước 2: Đếm số cách chọn.
* Phương án 1: chọn 1 học sinh đi dự trại hè của trường thì có 25 cách chọn.
* Phương án 2: chọn học sinh nữ đi dự trại hè của trường thì có 20 cách chọn.
Bước 3: Áp dụng quy tắc cộng.
Vậy có 20 + 25 = 45 cách chọn.
Câu 11: Thông hiểu
Hỏi có bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và là số lẻ.
- A.
  2230
- B.
  2240
- C.
  5220
- D.
  2260
Gọi số cần lập có dạng: $\overline {ABCD}$ .
D: có 5 cách chọn (1,3,5,7)
A: có 8 cách chọn (khác D và khác 0)
B: có 8 cách chọn (khác D và khác 0)
C: có 7 cách chọn (khác A,B,D)
Vậy có 5.8.8.7 = 2240 (số) có 4 chữ số đôi một khác nhau và là số lẻ.
Câu 12: Nhận biết
Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó.
- A.
  90
- B.
  45
- C.
  1814400
- D.
  100
Số cách chọn hai học sinh từ 10 học sinh là chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử
=> Số cách chọn là: $A_{10}^2 = 90$ (cách)
Câu 13: Nhận biết
Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau?
- A.
  $11$
- B.
  $36$
- C.
  $20$
- D.
  $28$
Chọn 1 vở kịch có 2 cách

Chọn 1 điệu múa có 3 cách

Chọn 1 bài hát có 6 cách

Có 2.3.6 = 36 cách.
Câu 14: Nhận biết
Một hộp chứa 5 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp. Số khả năng xảy ra là:
- A.
  $20$
- B.
  $36$
- C.
  $9$
- D.
  $16$
Áp dụng quy tắc cộng ta có số khả năng xảy ra là: 5 + 4 = 9 khả năng.
Câu 15: Thông hiểu
Trong khai triển $\left( 3x^{2} + \frac{1}{x} ight)^{n}$ biết hệ số của $x^{3}$ là $3^{4}C_{n}^{5}$ . Giá trị $n$ có thể nhận là:
- A.
  $9$ .
- B.
  12.
- C.
  15.
- D.
  16.
Ta có $\left( 3x^{2} + \frac{1}{x} ight)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}{C_{n}^{k}\left( 3x^{2} ight)^{n - k}\left( \frac{1}{x} ight)^{k}} = \sum_{k = 0}^{n}{C_{n}^{k}3^{n - k}x^{2n - 3k}}$ .

Biết hệ số của $x^{3}$ là $3^{4}C_{n}^{5}$ nên $\left\{ \begin{matrix} 2n - 3k = 3 \\ n - k = 4 \\ k = 5 \\ 0 \leq k \leq n,(k,n \in N) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = 5 \\ n = 9 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 16: Vận dụng
Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để 2 học sinh nam xen giữa 3 học sinh nữ? (Biết rằng cứ đổi 2 học sinh bất kì được cách mới)
- A.
  2880.
- B.
  7860.
- C.
  2540.
- D.
  8760.
Xếp cố định 3 học sinh nữ vào hàng trước, có 3! cách xếp. Chọn 2 học sinh nam bất kì cho vào 2 khoảng trống nằm giữa 2 học sinh nữ, số cách chọn là $A_{5}^{2}$ . Xem nhóm 5 học sinh này là 1 học sinh, lúc này còn 3 học sinh nam vậy là ta đang có 4 học sinh. Số cách xếp 4 học sinh này thành hàng dọc là 4!. Vậy số cách xếp cần tìm là. $3!.A_{5}^{2}.4! = 2880$ .
Câu 17: Thông hiểu
Tìm hệ số không chứa $x$ trong khai triển $\left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{n}$ , biết $n$ là sô nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 78$ .
- A.
  112640.
- B.
  112643.
- C.
  -112640.
- D.
  -112642.
$C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} = 78 \Leftrightarrow n + \frac{n(n - 1)}{2} = 78 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 12 \\ n = - 13(l) \\ \end{matrix} ight.$ .

$\left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{n} = \left( x^{3} - \frac{2}{x} ight)^{12} = \sum_{k = 0}^{12}{C_{12}^{k}\left( x^{3} ight)^{12 - k}( - 2)^{k}\left( \frac{1}{x} ight)^{k} =}\sum_{k = 0}^{12}{C_{12}^{k}( - 2)^{k}x^{36 - 4k}}$ .

Số hạng không chứa $x$ ứng với $36 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 9$ là $C_{12}^{9}( - 2)^{9} = - 112640$ .
Câu 18: Vận dụng
Một cửa hàng có 3 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền cần xếp vào giá. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho đầu hàng và cuối hàng cùng một loại?
- A.
  25400 .
- B.
  17760 .
- C.
  18720 .
- D.
  $29870$ .
Đối với bài toán ta xét 2 trường hợp.

+) Đầu hàng và cuối hàng đều là gói bim bim. Số cách chọn 2 gói bim bim xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. $A_{3}^{2}$ (ở đây ta xem cách xếp 1 gói bim bim A ở đầu hàng, gói bim bim B ở cuối hàng với cách xếp gói bim bim A ở cuối hàng còn gói bim bim B ở đầu hàng là khác nhau). Lúc này, ta còn lại 1 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là. $A_{3}^{2}.6!$

+) Đầu hàng và cuối hàng đều là cốc mì ăn liền. Số cách chọn 2 cốc mì ăn liền xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. $A_{5}^{2}$ . Lúc này, còn lại 3 cốc mì ăn liền và 3 gói bim bim, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là. $A_{6}^{2}.6!$

$\Rightarrow$ Số cách xếp tất cả là. $6!\left( A_{3}^{2} + A_{5}^{2} ight) = 18720$ .
Câu 19: Nhận biết
Từ các chữ số $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $5$ chữ số đôi một khác nhau?
- A.
  $120$ .
- B.
  $520$ .
- C.
  $20$ .
- D.
  $32$ .
Mỗi số tự nhiên gồm $5$ chữ số khác nhau được lập từ các số $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ là một hoán vị của $5$ phần tử đó. Nên số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là $P_{5} = 5!$ $= 120$ (số).
Câu 20: Thông hiểu
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn lại $2;3;4;5$ . Hỏi có bao nhiêu số như vậy biết rằng năm chữ số 1 được xếp kế nhau.
- A.
  $480$
- B.
  $120$
- C.
  $150$
- D.
  $360$
Xếp năm chữ số 1 kế nhau vào 9 vị trí có 5 cách.

Xếp $2;3;4;5$ vào 4 vị trí còn lại có 4! cách.

Theo quy tắc nhân, ta được $5.4! = 120$ (số).

99 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!