Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn
.
Ta có:
Hay .
Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn
.
Ta có:
Hay .
Trong hộp có 5 quả cầu đỏ và 7 quả cầu xanh kích thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên 4 quả cầu từ hộp. Hỏi có bao nhiêu khả năng lấy được số quả cầu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh.
Trường hợp 1: 4 quả đỏ + 0 quả xanh
Chọn 4 quả đỏ từ 5 quả đỏ có: (cách).
Trường hợp 2: 3 quả đỏ + 1 quả xanh
Chọn 3 quả đỏ từ 5 quả đỏ, 1 quả xanh từ 7 quả xanh có: (cách).
Vậy có (cách).
Bộ bài tây có 52 lá, trong đó có 4 con át. Rút ra 5 con. Hỏi có bao nhiêu cách để rút được các lá bài trong đó có 1 con át và một con vua?
Số cách lấy 5 con trong đó có 1 con át và 1 con vua là .
Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để 2 học sinh nam xen giữa 3 học sinh nữ? (Biết rằng cứ đổi 2 học sinh bất kì được cách mới)
Xếp cố định 3 học sinh nữ vào hàng trước, có 3! cách xếp. Chọn 2 học sinh nam bất kì cho vào 2 khoảng trống nằm giữa 2 học sinh nữ, số cách chọn là . Xem nhóm 5 học sinh này là 1 học sinh, lúc này còn 3 học sinh nam vậy là ta đang có 4 học sinh. Số cách xếp 4 học sinh này thành hàng dọc là 4!. Vậy số cách xếp cần tìm là.
.
Tìm hệ số của
trong khai triển
với
biết
là số nguyên dương thỏa mãn ![]()
Đk:
Với , nhị thức trở thành
Số hạng tổng quát là
Từ yêu cầu bài toán ta cần có:
Vậy hệ số của số hạng chứa là
.
Nam muốn qua nhà Hải để cùng Hải đến chơi nhà Cường. Từ nhà Nam đến nhà Hải có 4 con đường đi, từ nhà Hải đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường cùng Hải?
Từ nhà Nam đến nhà Hải có 4 con đường.
Từ nhà Hải đến nhà Cường có 6 con đường.
Áp dụng quy tắc nhân, có 4.6 = 24 cách đi từ nhà Nam đến nhà Cường (đi qua nhà Hải).
Từ thành phố A đến thành phố B có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 3 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C sao cho bắt buộc phải đi qua B.
Đi từ A đến B: 2 cách.
Đi từ B đến C: 3 cách.
Vậy đi từ A đến C (qua B) có: 2.3 = 6 cách.
Từ các chữ số 0, 1, 2, 5, 7, 9 lập được bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau chia hết cho 6?
Gọi số cần tìm có dạng . Vì
chia hết cho 6 suy ra
TH1. Với suy ra
, do đó gồm các bộ
suy ra có 24 số.
TH2. Với suy ra
, do đó gồm các bộ
,
suy ra có 42 số.
Vậy có tất cả số cần tìm.
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?
Nếu chữ số hàng chục là thì số có chữ số hàng đơn vị là
thì số các chữ số nhỏ hơn
năm ở hàng đơn vị cũng bằng
. Do chữ số hang chục lớn hơn bằng
còn chữ số hang đơn vị thi
.
Vậy số các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là:
.
Tìm
thuộc tập hợp số tự nhiên, biết rằng
(
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
Trước hết ta chứng minh công thức với
và
Thật vậy, (đpcm)
Áp dụng công thức trên ta có
Theo đề .
Cho các số
,
,
,
. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có
chữ số với các số khác nhau lập từ các số đã cho?
Số các số tự nhiên có chữ số với các số khác nhau lập từ các số đã cho là:
số.
Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Người ta muốn chọn một ban điều hành gồm 3 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ban điều hành có 1 nam và 2 nữ?
Chọn ban điều hành gồm 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ có cách.
Trong khai triển
số hạng chứa
là:
Ta có: .
Vậy số hạng cần tìm là: .
Cho tập hợp
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số?
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm là .
Số cách chọn a là 4 cách
Số cách chọn b là 4 cách
Số cách chọn c là 4 cách
Số cách chọn d là 4 cách
Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số có thể lập được là .
Có sáu quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, năm quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và bảy quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 7. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra ba quả cầu vừa khác màu vừa khác số?
+) Chọn 1 quả màu đỏ có 5 cách.
+) Chọn 1 quả màu xanh khác số với quả màu đỏ có 5 cách.
+) Chọn 1 quả màu vàng khác số với quả màu đỏ và quả màu xanh có 5 cách.
Vậy số cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu, vừa khác số là: 5.5.5 = 125.
Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là:
Số tập hợp con cần tìm là số tổ hợp chập 3 của 7 phần tử.
Vậy có tập con cần tìm.
Cho tập hợp các chữ số tự nhiên
. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là: .
Tổng quát:
Số cách chọn là 2 cách chọn.
Số cách chọn a là 6 cách chọn.
Số cách chọn b là 5 cách chọn.
Số cách chọn c là 4 cách chọn.
Áp dụng quy tắc nhân ta có: số
Vi phạm:
a = 0 có 1 cách chọn.
d = 5 có 1 cách chọn.
b có 5 cách chọn.
c có 4 cách chọn.
Áp dụng quy tắc nhân: số
Số các số cần tìm là: số.
Khai triển biểu thức
ta thu được kết quả:
Ta có:
Tìm hệ số của
trong khai triển ![]()
Số hạng tổng quát của khai triển đã cho là
với ,
. Số hạng này chứa
khi và chỉ khi
(thỏa mãn).
Vậy hệ số của trong khai triển
là
.
Phương trình
có tất cả bao nhiêu nghiệm?
Điều kiện xác định
Ta có:
Đặt phương trình (*) trở thành:
Khi đó
Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện.