Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Tìm số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40}$ .
- A.
  $C_{40}^{31}x^{31}$ .
- B.
  $- C_{40}^{33}x^{32}$ .
- C.
  $C_{40}^{37}x^{31}$ .
- D.
  $C_{40}^{3}x^{31}$ .
Ta có khai triển: $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}x^{40 - k}\left( x^{- 2} ight)^{k}} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}x^{40 - 3k}}$ .

Số hạng tổng quát trong khai triển: $C_{40}^{k}x^{40 - 3k}$

Số hạng chứa $x^{31}$ ứng với: $40 - 3k = 31 \Leftrightarrow k = 3$

Vậy số hạng chứa $x^{31}$ là: $C_{40}^{3}x^{31}$ .
Câu 2: Nhận biết
Cho tập hợp $M$ có $30$ phần tử. Số tập con gồm $5$ phần tử của $M$ là:
- A.
  $A_{30}^{5}$ .
- B.
  $30^{4}$ .
- C.
  $30^{6}$ .
- D.
  $C_{30}^{5}$ .
Số tập con gồm $5$ phần tử của $M$ chính là số tổ hợp chập $5$ của $30$ phần tử, nghĩa là bằng $C_{30}^{5}$ .
Câu 3: Nhận biết
Bộ bài tây có 52 lá, trong đó có 4 con át. Rút ra 5 con. Hỏi có bao nhiêu cách để rút được các lá bài trong đó có 1 con át và một con vua?
- A.
  $211904$
- B.
  $186543$
- C.
  $236450$
- D.
  $203684$
Số cách lấy 5 con trong đó có 1 con át và 1 con vua là $C_{4}^{1}C_{4}^{1}.C_{44}^{3} = 211904$ .
Câu 4: Nhận biết
Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số từ tập hợp các chữ số $M = \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\}$ ?
- A.
  $6^{4}$
- B.
  $360$
- C.
  $4^{6}$
- D.
  $4^{4}$
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là: $\overline{abcd};(a eq 0)$ .

Mỗi chữ số có 6 cách chọn.

Mà số cần lập gồm 4 chữ số nên theo quy tắc nhân có thể lập được $6^{4}$ số.
Câu 5: Thông hiểu
Hệ số lớn nhất trong khai triển $\left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4}x ight)^{4}$ là:
- A.
  $\frac{27}{128}$ .
- B.
  $\frac{9}{32}$ .
- C.
  $\frac{27}{32}$ .
- D.
  $\frac{27}{64}$ .
Ta có $\left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4}x ight)^{4} = \sum_{k = 0}^{4}{C_{4}^{k}.\left( \frac{1}{4} ight)^{4 - k}.\left( \frac{3}{4} ight)^{k}}$

$= \frac{1}{256} + \frac{3}{64}x + \frac{27}{128}x^{2} + \frac{27}{64}x^{3} + \frac{81}{256}x^{4}$

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là $\frac{27}{64}$ .
Câu 6: Nhận biết
Có 1 con mèo vàng, $1$ con mèo đen, $1$ con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím. Xếp 6 con mèo thành hàng ngang vào $6$ cái ghế sao cho mỗi ghế chỉ có một con mèo. Đếm số cách xếp chỗ sao cho mèo vàng và mèo đen ở cạnh nhau.
- A.
  $120$ .
- B.
  $520$ .
- C.
  $244$ .
- D.
  $240$ .
Số cách xếp con mèo vàng và con mèo đen ở cạnh nhau là $2$ .

Xem nhóm con mèo vàng và đen này là một phần tử, cùng với $1$ con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím, ta được $5$ phần tử. Xếp $5$ phần tử này là. $5!$

Vậy có $2.5! = 240$ .
Câu 7: Vận dụng
Một rổ có 10 loại quả khác nhau trong đó có 1 mít và 1 bưởi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thành một hàng sao cho mít và bưởi cách nhau đúng 2 quả khác?
- A.
  6523920.
- B.
  786120.
- C.
  564480.
- D.
  120240.
Xếp cố định 8 quả khác mít và bưởi vào hàng, có 8! cách xếp. Lúc này trên hàng có 9 khoảng trống, gồm khoảng trống giữa 2 quả khác bất kì và vị trí đầu, cuối hàng. Trong đó ta có 7 cặp khoảng trống mà khoảng cách giữa khoảng có đúng 2 quả khá

C. Mỗi cặp khoảng trống đó ta sẽ cho vào đó quả mít và quả bưởi, có cách xếp mít và bưởi tương ứng là. $7.2!$ .

Vậy số cách xếp cần tìm. 8!.7.2! = 564480.
Câu 8: Thông hiểu
Biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển của $(1 - 3x)^{n}$ là $90$ . Tìm $n$ .
- A.
  $n = 7$ .
- B.
  $n = 6$ .
- C.
  $n = 8$ .
- D.
  $n = 5$ .
Số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển của $(1 - 3x)^{n}$ là: $T_{k + 1} = C_{n}^{k}( - 3)^{k}x^{k}$ .

Số hạng chứa $x^{2}$ ứng với $k = 2$ .

Ta có: $C_{n}^{2}( - 3)^{2} = 90 \Leftrightarrow C_{n}^{2} = 10$ (với $n \geq 2$ ; $n \in \mathbb{N}$ )

$\Leftrightarrow \frac{n!}{2!(n - 2)!} = 10 \Leftrightarrow n(n - 1) = 20 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 5 \\ n = - 4(L) \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy $n = 5$ .
Câu 9: Nhận biết
Thực hiện khai triển nhị thức Newton $(x + 2y)^{5}$ ta được kết quả là:
- A.
  $x^{5} + 10x^{4}y + 40x^{3}y^{2} + 40x^{2}y^{3} + 10xy^{4} + 2y^{5}$
- B.
  $x^{5} + 10x^{4}y + 20x^{3}y^{2} + 20x^{2}y^{3} + 10xy^{4} + 2y^{5}$
- C.
  $x^{5} + 10x^{4}y + 40x^{3}y^{2} + 80x^{2}y^{3} + 40xy^{4} + 32y^{5}$
- D.
  $x^{5} + 10x^{4}y + 40x^{3}y^{2} + 80x^{2}y^{3} + 80xy^{4} + 32y^{5}$
Ta có:

$(x + 2y)^{5} = x^{5} + 10x^{4}y + 40x^{3}y^{2} + 80x^{2}y^{3} + 80xy^{4} + 32y^{5}$
Câu 10: Nhận biết
Để giải một bài tập ta cần phải giải hai bài tập nhỏ. Bài tập 1 có 9 cách giải, bài tập 2 có 5 cách giải. Số các cách để giải hoàn thành bài tập trên là:
- A.
  3.
- B.
  45.
- C.
  5.
- D.
  12.
Sô cách giải bài toán 1 : 9 cách.

Số cách giải bài toán 2 : 5 cách.

Áp dụng quy tắc nhân: 9 × 5 = 45 cách.
Câu 11: Nhận biết
Cho tập $M$ gồm $10$ phần tử. Số tập con gồm $4$ phần tử của M là:
- A.
  $400$ .
- B.
  $A_{10}^{4}$ .
- C.
  $C_{10}^{4}$ .
- D.
  $140$ .
Số tập con gồm $4$ phần tử của $M$ là số cách chọn $4$ phần tử bất kì trong $10$ phần tử của $M$ .

Do đó số tập con gồm $4$ phần tử của $M$ là $C_{10}^{4}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Có 3 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bạn gồm cả nam và nữ đi trực nhật.
- A.
  10
- B.
  84
- C.
  18
- D. 21
Trường hợp 1: 2 nam + 1 nữ
Có $C_3^2.C_7^1 = 21$ cách.
Trường hợp 2: 1 nam + 2 nữ
Có $C_3^1.C_7^2 = 63$ cách.
Vậy có $21+63=84$ cách.
Câu 13: Nhận biết
Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3.
- A.
  $12$
- B.
  $16$
- C.
  $17$
- D.
  $20$
Số các số tự nhiên lớn nhất nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là 96.
Số các số tự nhiên nhỏ nhất nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là 0.
Số các số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là $\frac{96 - 0}{6} + 1 = 17$ .
Câu 14: Nhận biết
Hệ số $x^{4}$ trong khai triển nhị thức $(3x - 4)^{5}$ bằng:
- A.
  $60$
- B.
  $- 60$
- C.
  $- 1620$
- D.
  $1620$
Hệ số của $x^{4}$ trong khai triển $(3x - 4)^{5}$ là: $C_{5}^{1}.(3x)^{4}.( - 4)^{1} = - 1620$ .
Câu 15: Vận dụng
Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $9$ mà mỗi số $2011$ chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số $9$ .
- A.
  $\frac{9^{2011} - 2019.9^{2010} + 8}{9}$
- B.
  $\frac{9^{2011} - 2.9^{2010} + 8}{9}$
- C.
  $\frac{9^{2011} - 9^{2010} + 8}{9}$
- D.
  $\frac{9^{2011} - 19.9^{2010} + 8}{9}$
Đặt $X$ là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.

$A =$ { các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}

Với mỗi số thuộc A có $m$ chữ số $(m \leq 2008)$ thì ta có thể bổ sung thêm $2011 - m$ số $0$ vào phía trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng $\overline{a_{1}a_{2}...a_{2011}};\ a_{i} \in \left\{ 0,1,2,3,...,9 ight\}$

$A_{0} = \left\{ a \in A| ight.$ mà trong $a$ không có chữ số 9}

$A_{1} = \left\{ a \in A| ight.$ mà trong $a$ có đúng 1 chữ số 9}

$\bullet$ Ta thấy tập A có $1 + \frac{9^{2011} - 1}{9}$ phần tử

$\bullet$ Tính số phần tử của $A_{0}$

Với $x \in A_{0} \Rightarrow x = \overline{a_{1}...a_{2011}};a_{i} \in \left\{ 0,1,2,...,8 ight\}\ i = \overline{1,2010}$ và $a_{2011} = 9 - r$ với $r \in \lbrack 1;9brack,r \equiv \sum_{i = 1}^{2010}a_{i}$ . Từ đó ta suy ra $A_{0}$ có $9^{2010}$ phần tử.

$\bullet$ Tính số phần tử của $A_{1}$

Để lập số của thuộc tập $A_{1}$ ta thực hiện liên tiếp hai bước sau:

Bước 1: Lập một dãy gồm $2010$ chữ số thuộc tập $\left\{ 0,1,2...,8 ight\}$ và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số các dãy là $9^{2009}$ .

Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số 9.

Do đó $A_{1}$ có $2010.9^{2009}$ phần tử.

Vậy số các số cần lập là:

$1 + \frac{9^{2011} - 1}{9} - 9^{2010} - 2010.9^{2009} = \frac{9^{2011} - 2019.9^{2010} + 8}{9}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Từ 9 chữ số $1;2;3;4;5;6;7;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số gồm 9 chữ số nếu như không có chữ số nào được lặp lại? Trong các số đó có bao nhiêu số mà các chữ số 1 và 7 không đứng cạnh nhau.
- A.
  $322560$ số
- B.
  $295482$ số
- C.
  $282240$ số
- D.
  $241920$ số
Từ 9 chữ số $1;2;3;4;5;6;7;8;9$ có thể lập được các số nếu như không có chữ số nào được lặp lại ta hiểu đó là số có 9 chữ số khác nhau.

Do đó sẽ có 9! số thỏa mãn.

Để tìm số mà các chữ số 1 và 7 không đứng cạnh nhau ta đi tìm các số mà 1 và 7 đứng cạnh nhau.

Coi 1 và 7 là 1 số thì ta sẽ có $\overline{17}$ và $\overline{71}$ .

Đưa được về bài toán tìm số có 8 chữ số khác nhau.

Do đó số các số tìm được là 8! số.

Do 1 và 7 có 2 vị trí nên ta có 2.8! số.

Vậy số có 9 chữ số khác nhau không có 1 và 7 đứng cạnh là: $9! - 2.8! = 282240$ số.
Câu 17: Thông hiểu
Cho tập hợp $C = \left\{ 1;3;5;7 ight\}$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số?
- A.
  $256$
- B.
  $375$
- C.
  $214$
- D.
  $333$
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm là $\overline{abcd},(a eq 0)$ .

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 4 cách

Số cách chọn d là 4 cách

Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số có thể lập được là $4^{4} = 256$ .
Câu 18: Thông hiểu
Cho tập hợp $M = \left\{ 0;1;3;4;5;6;8 ight\}$ . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau từ các chữ số thuộc tập hợp $M$ ?
- A.
  $30$
- B.
  $152$
- C.
  $105$
- D.
  $70$
Gọi số tự nhiên có ba chữ số là: $\overline{abc};(a eq 0)$

TH1: c = 0

Chữ số a có 6 cách chọn.

Với mỗi cách chọn a có 5 cách chọn chữ số b

=> Số các số tạo thành là: 1 . 5 . 6 = 30 (số)

TH2: $c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$ => Chữ số c có 3 cách chọn.

Chữ số a có 5 cách chọn, với mỗi cách chọn a ta có 5 cách chọn b.

=> Số các số tạo thành là: 3 . 5 . 5 = 75 (số)

Vậy có tất cả 30 + 75 = 105 (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 19: Vận dụng
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8. Hỏi lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau, chia hết cho 2 và 3?
- A.
  30 số.
- B.
  31 số.
- C.
  35 số.
- D.
  29 số.
Chữ số cuối cùng bằng 0; các cặp số có thể xảy ra là $(1;2),(1;5),(1;8),(2;4),(4;5),(4;8)$ .

Trường hợp này có 2!.6 số.

Chữ số cuối bằng 2 ta có các bộ $(1;0),(4;0),(1;3),(3;4),(5;8)$ , hoán vị được $2!.3 + 2$ số.

Chữ số cuối bằng 4 ta có các bộ $(2;0),(2;3),(3;5),(3;8)$ , hoán vị được $2!.3 + 1$ số.

Chữ số cuối bằng 8 ta có các bộ $(0;1),(0;4),(1;3),(2;5),(3;4)$ , hoán vị được $2!.3 + 2$ số.

Kết hợp lại ta có 35 số.
Câu 20: Vận dụng
Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Newton của $\left( 2x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{n}$ $(x eq 0)$ . Cho biết $1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + nC_{n}^{n} = 256n$ ( $C_{n}^{k}$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử).
- A.
  489888.
- B.
  498888.
- C.
  48788.
- D.
  48877.
Xét khai triển $(1 + x)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1}x + C_{n}^{2}x^{2} + C_{n}^{3}x^{3} + ... + C_{n}^{n}x^{n}$ $(1)$

Đạo hàm hai vế của $(1)$ ta được: $n(1 + x)^{n - 1} = C_{n}^{1} + 2C_{n}^{2}x + 3C_{n}^{3}x^{2} + ... + nC_{n}^{n}x^{n - 1}$ $(2)$

Trong công thức $(2)$ ta cho $x = 1$ ta được:

$n2^{n - 1} = C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + nC_{n}^{n}$ $\Leftrightarrow n.2^{n - 1} = 256n$ $\Leftrightarrow 2^{n - 1} = 256$ $\Leftrightarrow n = 9$ .

Khi đó, $\left( 2x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{n} = \left( 2x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{9} = \sum_{n = 0}^{9}{C_{9}^{k}( - 3)^{k}2^{9 - k}.x^{18 - 3k}}$ .

Do đó số hạng không chứa $x$ trong khai triển $\left( 2x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{9}$ nếu $18 - 3k = 0$ hay $k = 6$ .

Suy ra số hạng cần tìm là $C_{9}^{6}( - 3)^{6}2^{3} = 489888$ .

99 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20

Chưa làm Đã làm