Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng
với
,
,
sao cho
.
Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng với
,
,
sao cho
nên
,
,
. Suy ra số các số có dạng
là
.
Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng
với
,
,
sao cho
.
Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng với
,
,
sao cho
nên
,
,
. Suy ra số các số có dạng
là
.
Cho
. Từ tập hợp này lập được bao nhiêu số tự nhiên có
chữ số đôi một khác nhau?
Mỗi số tự nhiên tự nhiên có chữ số khác nhau được lập từ tập
là hoán vị của
phần tử.
Vậy có số cần tìm.
Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa và 3 chuyến máy bay. Hỏi một ngày có bao nhiêu cách lựa chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B?
Trường hợp 1: Số cách chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B bằng ô tô: có 10 cách.
Trường hợp 2: Số cách chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B bằng tàu hỏa: có 5 cách.
Trường hợp 3: Số cách chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B bằng máy bay: có 3 cách.
Vậy số cách lựa chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B là: cách
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn lại
. Hỏi có bao nhiêu số như vậy biết rằng năm chữ số 1 được xếp kế nhau.
Xếp năm chữ số 1 kế nhau vào 9 vị trí có 5 cách.
Xếp vào 4 vị trí còn lại có 4! cách.
Theo quy tắc nhân, ta được (số).
Biểu thức
bằng:
Ta có:
Từ tập hợp các chữ số
có thể lập được bao nhiêu số lẻ có ba chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt số 2?
Gọi số cần tìm có dạng
Vì số cần tìm là số lẻ nên => Có 4 cách chọn
Xếp chữ số 2 vào hai vị trí còn lại => Có 2 cách sắp xếp.
Chọn chữ số còn lại từ => Có 5 cách chọn.
Vậy có thể lập được (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ giỏi khiêu vũ. Người ta chọn 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhêu cách chọn?
Chọn 3 nam trong 10 nam có cách.
Chọn 3 nữ trong 6 nữ có cách.
Ghép 3 nam và 3 nữ để thành 3 cặp có 3! cách.
Theo quy tắc nhân có: cách chọn.
Cho tập
. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho số đó không bắt đầu bởi 125?
Gọi là số bắt đầu bởi 125 và có 5 chữ số đôi một khác nhau.
Suy ra có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn
có
số.
Số các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập A là số.
Suy ra có tất cả số cần tìm.
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho năm người gồm 3 nam và 2 nữ vào năm cái ghế xếp thành một dãy nếu hai nữ luôn luôn ngồi kề nhau?
Coi 2 nữ là một phần tử A
Xếp phần tử A và 3 nam vào dãy có 4! cách.
Hoán đổi vị trí 2 nữ trong phần tử A có 2! cách.
Do đó có cách.
Có bao nhiêu số tự nhiên có
chữ số?
Cách 1: Số có chữ số là từ
đến
nên có
số.
Cách 2:
Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm là:
, khi đó:
có
cách chọn
có
cách chọn
có
cách chọn
Vậy có: số.
Biết
là số nguyên dương thỏa mãn
, số hạng chứa
trong khai triển
là:
Ta có:
(vì
là số nguyên dương).
Số hạng tổng quát trong khai triển là:
.
Cho .
Vậy số hạng chứa trong khai triển
là
.
Cho
là số tự nhiên thỏa mãn phương trình
. Tìm hệ số của số hạng chứa
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
( với
).
Điều kiện và
.
(Vì
).
Khi đó ta có khai triển: .
Số hạng tổng quát của khai triển là .
Hệ số của số hạng chứa ứng với
thỏa mãn:
.
Vậy hệ số của số hạng chứa là:
.
Cho hai đường thẳng
gồm
điểm phân biệt và
gồm
điểm phân biệt. Biết rằng
. Số tam giác có ba đỉnh được tạo thành từ các điểm trên hai đường thẳng đã cho?
Một tam giác được hình thành bởi ba điểm không thẳng hàng.
TH1: 1 đỉnh thuộc đường thẳng (d) và 2 đỉnh thuộc đường thẳng (d’)
Số tam giác được tạo thành là: (tam giác)
TH2: 2 đỉnh thuộc đường thẳng (d) và 1 đỉnh thuộc đường thẳng (d’)
Số tam giác được tạo thành là: (tam giác)
Vậy số tam giác được tạo thành là .
Tính tổng
?
Xét khai triển
Chọn ta được:
Một người có 7 áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cà vạt trong đó có 2 cà vạt vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn bộ áo và cà vạt nếu chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
Số cách chọn 1 một bộ áo và cà vạt là:
Từ thành phố A đến thành phố B có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 3 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C sao cho bắt buộc phải đi qua B.
Đi từ A đến B: 2 cách.
Đi từ B đến C: 3 cách.
Vậy đi từ A đến C (qua B) có: 2.3 = 6 cách.
Khai triển nhị thức Newton
ta được kết quả là:
Ta có:
Số hạng chứa
trong khai triển
là:
Công thức số hạng tổng quát: ta được số hạng chứa
là:
Cho tập hợp
. Số tập con gồm 3 phần tử của
sao cho không có số
là:
Mỗi tập con gồm 3 phần tử của không có số
là tổ hợp chập 3 của 9 phần tử.
Số tập con gồm 3 phần tử của không có số
là.
.
Có 8 nhà khoa học Toán (6 nam, 2 nữ) và 5 nhà khoa học Vật Lí (toàn nam). Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 nhà khoa học trong đó có cả nam, nữ, cả Toán, Vật Lí?
+TH1. Có đúng 1 nữ nhà khoa học Toán, có 2 cách chọn. Lúc này chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn đề bài, có thể có hoặc không nhà khoa học Toán nam nào khác, số cách chọn 3 nhà khoa học còn lại là . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là.
+TH2. Có đúng 2 nữ nhà khoa học Toán, có 1 cách chọn. Cũng với ý tưởng như trên, chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn, số cách chọn 2 nhà khoa học còn lại là . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là.
.
Vậy số cách lập cần tìm là. .