Cho biểu thức
với
,
. Số hạng không chứa
trong khai triển Niu-tơn của
là:
Ta có .
Nên .
Số hạng tổng quát của khai triển là: .
Khi thì số hạng không chứa
là
.
Cho biểu thức
với
,
. Số hạng không chứa
trong khai triển Niu-tơn của
là:
Ta có .
Nên .
Số hạng tổng quát của khai triển là: .
Khi thì số hạng không chứa
là
.
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ các chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chứa chữ số 2 và chia hết cho 5?
Giả sử số đó là
Trường hợp 1. xếp 2 vào có 2 vị trí, chọn số xếp vào vị trí còn lại có 6 cách nên có 2.6 = 12 số thỏa mãn.
Trường hợp 2. . Với
chọn
có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn. Với
chọn
có 5 cách chọn, và tất nhiên
nên có 5 số thỏa mãn. Do đó có
số thỏa mãn.
Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2023 tại một điểm thi có
sinh viên tình nguyện được phân công trục hướng dẫn thí sinh ở
vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng
sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công vị trí trực cho
người đó?
Mỗi cách xếp sinh viên vào
vị trí thỏa đề là một hoán vị của
phần tử.
Suy ra số cách xếp là cách.
Biết hệ số của số hạng chứa
trong khai triển
là
. Số tự nhiên
bằng bao nhiêu?
Ta có: .
Hệ số của số hạng chứa là:
.
Giả thiết suy ra
Cho kiểu gen AaBb. Giả sử quá trình giảm phân tạo giao tử bình thường và không xảy ra đột biến. Sơ đồ hình cây biểu thị sự hình thành giao tử được biểu diễn như hình bên.

Từ sơ đồ cây, số loại giao tử của kiểu gen AaBb là:
Từ sơ đồ cây, ta thấy có 4 kết quả có thể xảy ra.
=> Số loại giao tử của kiểu gen AaBb là 4.
Từ tập hợp các chữ số
có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt số 1?
Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm có dạng
TH1: . Chọn b, c có 5.6 = 30 cách.
TH2: . Chọn b, c có 5.6 = 30 cách.
TH3: . Chọn b, c có 5.6 = 30 cách.
Vậy có thể lập được (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Số hạng không chứa
trong khai triển nhị thức
là:
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là:
Số hạng không chứa x khi và chỉ khi
Vậy số hạng không chứa x là: .
Trong một bản đồ được lập theo kỹ thuật số của thành phố X, mọi căn nhà trong thành phố đều được lập địa chỉ và “địa chỉ số” của mỗi căn nhà là một dãy gồm 16 chữ số lấy từ hai chữ số 0 và 1. Ví dụ: 0000110000111100 (4 chữ số 0, 2 chữ số 1, 4 chữ số 0, 4 chữ số 1, 2 chữ số 0). Hỏi thành phố X có tối đa bao nhiêu căn nhà?
Ta có: “địa chỉ số” của mỗi căn nhà là một dãy gồm 16 chữ số
Mà mỗi chữ số có 2 cách chọn. (0 hoặc 1)
Nên theo quy tắc nhân, thành phố X có tối đa: căn nhà.
Xếp 3 quyển sách Toán, 4 sách Lý, 2 sách Hóa và 5 sách Sinh vào một kệ sách. Tất cả các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp một cách tùy ý?
Trên kệ có tất cả 14 quyển sách khác nhau, số cách sắp xếp 14 quyển sách đó là 14!.
Trên bàn có 5 quyển sách Toán khác nhau và 7 quyển sách Hóa khác nhau. Số cách chọn 2 quyển sách gồm đủ 2 loại Toán và Hóa bằng:
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn một quyển Toán và một quyển Hóa là: 5 . 7 = 35 cách chọn.
Có sáu quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, năm quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và bảy quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 7. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra ba quả cầu vừa khác màu vừa khác số?
+) Chọn 1 quả màu đỏ có 5 cách.
+) Chọn 1 quả màu xanh khác số với quả màu đỏ có 5 cách.
+) Chọn 1 quả màu vàng khác số với quả màu đỏ và quả màu xanh có 5 cách.
Vậy số cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu, vừa khác số là: 5.5.5 = 125.
Có bao nhiêu cách sắp xếp
nữ sinh,
nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ?
Đánh số thứ tự các vị trí theo hàng dọc từ đến
.
Trường hợp 1. Nam đứng trước, nữ đứng sau.
Xếp nam (vào các vị trí đánh số ). Có
cách.
Xếp nữ (vào các vị trí đánh số ). Có
cách.
Vậy trường hợp này có. cách.
Trường hợp 2. Nữ đứng trước, nam đứng sau.
Xếp nữ (vào các vị trí đánh số ). Có
cách.
Xếp nam (vào các vị trí đánh số ). Có
cách.
Vậy trường hợp này có. cách.
Theo quy tắc cộng ta có. cách sắp xếp
nữ sinh,
nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ.
Có 1 con mèo vàng,
con mèo đen,
con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím. Xếp 6 con mèo thành hàng ngang vào
cái ghế sao cho mỗi ghế chỉ có một con mèo. Đếm số cách xếp chỗ sao cho mèo vàng và mèo đen ở cạnh nhau.
Số cách xếp con mèo vàng và con mèo đen ở cạnh nhau là .
Xem nhóm con mèo vàng và đen này là một phần tử, cùng với con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím, ta được
phần tử. Xếp
phần tử này là.
Vậy có .
Biết hệ số của
trong khai triển của
là – 270. Giá trị của n là
Khai triển biểu thức như sau:
Hệ số của x3 trong khai triển bằng -270
=>
Xếp
chữ số
,
,
,
,
,
thành hàng ngang sao cho hai chữ số giống nhau thì không xếp cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy?
Số cách xếp sáu chữ số thành hàng một cách tùy ý là .
*) Tìm số cách xếp sáu chữ số sao cho có hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau
+) TH1: Số cách xếp sao cho có hai chữ số đứng cạnh nhau
.
+) TH2: Số cách xếp sao cho có hai chữ số đứng cạnh nhau
.
+) TH3: Số cách xếp sao cho có hai chữ số đứng cạnh nhau và hai chữ số
đứng cạnh nhau
-) Nếu hai chữ số ở vị trí
và
ta có số cách xếp là
.
-) Nếu hai chữ số ở ba vị trí còn lại thì số các xếp là
.
Vậy số cách xếp hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau là .
Số cách xếp không có hai chữ số giống nhau nào đứng cạnh nhau là
.
Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn
chia hết cho
và
.
Số các số tự nhiên lớn nhất nhỏ hơn chia hết cho
và
là
.
Số các số tự nhiên nhỏ nhất nhỏ hơn chia hết cho
và
là
.
Số các số tự nhiên nhỏ hơn chia hết cho
và
là
.
Trong khai triển nhị thức Newton
, hệ số của số hạng chứa
bằng:
Hệ số của số hạng chứa trong khai triển
là:
.
Một cửa hàng có 3 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền cần xếp vào giá. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho đầu hàng và cuối hàng cùng một loại?
Đối với bài toán ta xét 2 trường hợp.
+) Đầu hàng và cuối hàng đều là gói bim bim. Số cách chọn 2 gói bim bim xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. (ở đây ta xem cách xếp 1 gói bim bim A ở đầu hàng, gói bim bim B ở cuối hàng với cách xếp gói bim bim A ở cuối hàng còn gói bim bim B ở đầu hàng là khác nhau). Lúc này, ta còn lại 1 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là.
+) Đầu hàng và cuối hàng đều là cốc mì ăn liền. Số cách chọn 2 cốc mì ăn liền xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. . Lúc này, còn lại 3 cốc mì ăn liền và 3 gói bim bim, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là.
Số cách xếp tất cả là.
.
Tổng tất cả các giá trị của tham số
thỏa mãn
bằng:
Điều kiện
Ta có:
Tổng tất cả các giá trị của tham số thỏa mãn
bằng
.
Có tất cả bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức Newton của
?
Khi viết nhị thức dưới dạng khai triển
số hạng.