Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Tìm số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển $\left( x - \frac{1}{x} ight)^{13}$ .
- A.
  $- C_{13}^{2}$ .
- B.
  $- C_{13}^{3}x^{7}$ .
- C.
  $- C_{13}^{4}x^{4}$ .
- D.
  $- C_{13}^{5}$ .
Ta có công thức của số hạng tổng quát:

$T_{k + 1} = C_{13}^{k}x^{13 - k}.\left( - \frac{1}{x} ight)^{k} = C_{13}^{k}x^{13 - k}( - 1)^{k}x^{- k} = C_{13}^{k}.( - 1)^{k}x^{13 - 2k}$

Số hạng chứa $x^{7}$ khi và chỉ khi $13 - 2k = 7 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển là $- C_{13}^{3}x^{7}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển của $(1 - 3x)^{n}$ là $90$ . Tìm $n$ .
- A.
  $n = 7$ .
- B.
  $n = 6$ .
- C.
  $n = 8$ .
- D.
  $n = 5$ .
Số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển của $(1 - 3x)^{n}$ là: $T_{k + 1} = C_{n}^{k}( - 3)^{k}x^{k}$ .

Số hạng chứa $x^{2}$ ứng với $k = 2$ .

Ta có: $C_{n}^{2}( - 3)^{2} = 90 \Leftrightarrow C_{n}^{2} = 10$ (với $n \geq 2$ ; $n \in \mathbb{N}$ )

$\Leftrightarrow \frac{n!}{2!(n - 2)!} = 10 \Leftrightarrow n(n - 1) = 20 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 5 \\ n = - 4(L) \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy $n = 5$ .
Câu 3: Thông hiểu
Cho tập $A = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8 ight\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5?
- A.
  $15120$
- B.
  $23523$
- C.
  $16862$
- D.
  $23145$
Vì x lẻ và không chia hết cho 5 nên $d \in \left\{ 1;3;7 ight\}$ => Có 3 cách chọn

Số các chọn các chữ số còn lại là: $7.6.5.4.3.2.1$

Vậy 15120 số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 4: Thông hiểu
Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển $\left( x^{3} - \frac{1}{x} ight)^{12}$ .
- A.
  $- \ 220$ .
- B.
  $220$ .
- C.
  $924$ .
- D.
  $- \ 924$ .
Công thức số hạng thứ $(k + 1)$ của khai triển $\left( x^{3} - \frac{1}{x} ight)^{12}$ là:

$T_{k} = C_{12}^{k}( - 1)^{k}\left( x^{3} ight)^{12 - k}.\frac{1}{x^{k}} = C_{12}^{k}( - 1)^{k}{x^{3}}^{6 - 4k},0 \leq k \leq 12,k \in \mathbb{N}$ .

Số hạng không chứa $x$ ứng với $36 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 9$ (thỏa mãn).

Suy ra $T_{7} = C_{12}^{9}( - 1)^{9} = - 220$ .
Câu 5: Nhận biết
Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ một hộp có 20 viên bi.
- A.
  $A_{20}^3$
- B.
  $P_3$
- C.
  $C_{20}^3$
- D.
  $C_{20}^4$
Chọn 3 viên bi từ 20 viên bi: $C_{20}^3$ cách.
Câu 6: Thông hiểu
Có bao nhiêu cách lập các nhóm gồm 2, 3, 5 học sinh từ một tổ có 10 học sinh?
- A.
  $C_{10}^{2}+C_{8}^{3}+C_{5}^{5}$
- B.
  $C_{10}^{2}\times C_{10}^{3}\times C_{10}^{5}$
- C.
  $C_{10}^{2}\times C_{8}^{3}\times C_{5}^{5}$
- D.
  $C_{10}^{2}+C_{10}^{3}+C_{10}^{5}$
Số cách lập nhóm có hai học sinh là: $C_{10}^2$ cách
Số học sinh còn lại 8 học sinh (vì 2 học sinh lập nhóm đầu tiên)
=> Số cách lập nhóm có 3 học sinh là: $C_8^3$ cách
Số học sinh còn lại còn 5 học sinh để lập nhóm 5 học sinh
=> Số cách lập nhóm 5 học sinh là: $C_5^5$ cách
Mà các cách lập nhóm liên quan đến nhau
=> Số cách lập các nhóm gồm 2, 3, 5 học sinh từ một tổ có 10 học sinh là
$C_{10}^{2}\times C_{8}^{3}\times C_{5}^{5}$ cách.
Câu 7: Nhận biết
Quân đến nhà Hoàng để cùng Hoàng đến nhà An. Từ nhà Quân đến nhà Hoàng có 4 con đường đi, từ nhà Hoàng đến nhà An có 6 con đường đi. Hỏi Quân có bao nhiêu cách chọn con đường đi từ nhà đến nhà An?
- A.
  $24$
- B.
  $10$
- C.
  $12$
- D.
  $16$
Giai đoạn 1: Quân đi từ nhà đến nhà Hoàng có 4 cách.

Giai đoạn 2: Quân đi từ nhà Bình đến nhà An có 6 cách.

Vậy số cách Quân lựa chọn con đường đi từ nhà đến nhà An là: $6.4 = 24$ cách
Câu 8: Vận dụng
Từ các số $1,2,3$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và mỗi số có các chữ số khác nhau?
- A.
  $15$ .
- B.
  $20$ .
- C.
  $72$ .
- D.
  $36$ .
TH1: số có 1 chữ số thì có 3 cách.

TH2: số có 2 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì có $3.2 = 6$ số.

TH3: số có 3 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì có $3.2.1 = 6$ số

Vậy có $3 + 6 + 6 = 15$ số.
Câu 9: Nhận biết
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 5?
- A.
  13260
- B.
  20000
- C.
  18000
- D.
  12070
Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: $\overline {abcde} ;\left( {a e 0} ight)$
Do số cần tìm chia hết cho 5 => $e \in \left\{ {0;5} ight\}$ => e có 2 cách chọn.
a có 9 cách chọn
b, c, d có 10 cách chọn
=> Số các số tạo thành là: 2.9.10.10.10 = 18 000 số.
Câu 10: Nhận biết
Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn $(x - y)^{5}$ .
- A.
  $x^{5} - 5x^{4}y + 10x^{3}y^{2} - 10x^{2}y^{3} + 5xy^{4} - y^{5}$ .
- B.
  $2x^{5} - 3x^{4}y - 10x^{3}y^{2} - 5x^{2}y^{3} - 5xy^{4} + y^{5}$ .
- C.
  $x^{5} + 2x^{4}y - 3x^{3}y^{2} - 3x^{2}y^{3} + 5xy^{4} + y^{5}$ .
- D.
  $x^{5} - 5x^{4}y - 10x^{3}y^{2} + 10x^{2}y^{3} + 5xy^{4} + y^{5}$ .
Ta có:

$(x - y)^{5} = \left\lbrack x + ( - y) ightbrack^{5}$

$= C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4}{\left( { - y} ight)^1} + C_5^2{x^3}{\left( { - y} ight)^2} + C_5^3{x^2}{\left( { - y} ight)^3} + C_5^4{x^1}{\left( { - y} ight)^4} + C_5^5{\left( { - y} ight)^5}$

Hay $(x - y)^{5} = x^{5} - 5x^{4}y + 10x^{3}y^{2} - 10x^{2}y^{3} + 5xy^{4} - y^{5}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn lại $2;3;4;5$ . Hỏi có bao nhiêu số như vậy biết rằng năm chữ số 1 được xếp kế nhau.
- A.
  $480$
- B.
  $120$
- C.
  $150$
- D.
  $360$
Xếp năm chữ số 1 kế nhau vào 9 vị trí có 5 cách.

Xếp $2;3;4;5$ vào 4 vị trí còn lại có 4! cách.

Theo quy tắc nhân, ta được $5.4! = 120$ (số).
Câu 12: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{2}$ trong khai triển $(x + 3)^{4}$ ?
- A.
  $9$
- B.
  $6$
- C.
  $54$
- D.
  $18$
Ta có: $(x + 3)^{4} = x^{4} + 4x^{3}.3 + 6.x^{2}.3^{2} + 4.x.3^{3} + 3^{4}$

Hệ số chứa $x^{2}$ trong khai triển là: $6.3^{2} = 54$ .
Câu 13: Vận dụng
Cho $n$ là số tự nhiên thỏa mãn $C_{n}^{0} + 2.C_{n}^{1} + 2^{2}.C_{n}^{2} + ... + 2^{n}.C_{n}^{n} = 59049$ . Biết số hạng thứ $3$ trong khai triển Newton của $\left( x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{n}$ có giá trị bằng $\frac{81}{2}n$ . Tìm giá trị của $x$ .
- A.
  $-1$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $\pm 1$ .
- D.
  $\pm3$ .
Ta có: $C_{n}^{0} + 2.C_{n}^{1} +2^{2}.C_{n}^{2} + ... + 2^{n}.C_{n}^{n} = 59049$

$\Rightarrow (2 + 1)^{n}= 59049 \Leftrightarrow 3^{n} = 3^{10} \Leftrightarrow n =10$ .

Ta được nhị thức $\left( x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{10}$ .

Số hạng thứ ba của khai triển là $T_{3} = C_{10}^{2}.\left( x^{2} ight)^{8}.\left( - \frac{3}{x} ight)^{2} = 405x^{14}$ .

Theo giả thiết ta có: $405x^{14} = \frac{81}{2}n$ $\Leftrightarrow$ $405x^{14} = 405$ $\Leftrightarrow$ $x^{14} = 1$ $\Leftrightarrow$ $x = \pm 1$ .
Câu 14: Vận dụng
Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả 3 khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
- A.
  $40$ .
- B.
  $500$ .
- C.
  $1000$ .
- D.
  $250$ .
TH1. Có đúng 1 học sinh khối 10: $5.1.C_{5}^{4} + 5.C_{5}^{4}.1 = 50$ (cách). (1 lớp 10 + 5 lớp 11 + 4 lớp 12 hoặc 1 lớp 10 + 5 lớp 12 + 4 lớp 11)

TH2. Có đúng 2 học sinh khối 10: $C_{5}^{2}.C_{5}^{3}.C_{5}^{5} + C_{5}^{2}.C_{5}^{4}.C_{5}^{4} + C_{5}^{2}.C_{5}^{5}.C_{5}^{3} = 450$ (cách).

$\Rightarrow$ Có $50 + 450 = 500$ cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
Câu 15: Nhận biết
Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2023 tại một điểm thi có $5$ sinh viên tình nguyện được phân công trục hướng dẫn thí sinh ở $5$ vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng $1$ sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công vị trí trực cho $5$ người đó?
- A.
  120.
- B.
  125.
- C.
  312.
- D.
  100.
Mỗi cách xếp $5$ sinh viên vào $5$ vị trí thỏa đề là một hoán vị của $5$ phần tử.

Suy ra số cách xếp là $5! = 120$ cách.
Câu 16: Nhận biết
Trong một cuốc thi hùng biện, ban tổ chức đã công bố danh sách các chủ đề cho thí sinh gồm 8 chủ đề về lịch sử, 7 chủ đề môi trường, 10 chủ đề về con người và 6 chủ đề về văn hóa. Mỗi thí sinh tham gia thi chỉ được thi với 1 chủ đề. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn chủ đề?
- A.
  $15$
- B.
  $20$
- C.
  $31$
- D.
  $56$
Số cách chọn chủ đề thi của mỗi thí sinh là: 8 + 7 + 10 + 6 = 31.
Câu 17: Thông hiểu
Cho tập hợp $B = \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7 ight\}$ . Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số được lập từ B sao cho chữ số đằng sau luôn lớn hơn chữ số đẳng trước nó?
- A.
  $56$ số
- B.
  $84$ số
- C.
  $105$ số
- D.
  $68$ số
Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm có dạng $\overline{abc};(a \leq b \leq c)$

TH1: $a < b < c$ có $C_{7}^{3} = 35$ số thỏa mãn.

TH2: $a = b < c$ có $C_{7}^{2} = 21$ số thỏa mãn.

TH3: $a < b = c$ có $C_{7}^{2} = 21$ số thỏa mãn.

TH4: $a = b = c$ có $C_{7}^{1} = 7$ số thỏa mãn.

Vậy số các số được tạo thành là: $35 + 2.21 + 7 = 84$ số.
Câu 18: Vận dụng
Từ $20$ người cần chọn ra một đoàn đại biểu gồm $1$ trưởng đoàn, $1$ phó đoàn, $1$ thư kí và $3$ ủy viên. Số cách chọn thỏa mãn là:
- A.
  $4651200.$
- B.
  $6541300.$
- C.
  $4301400.$
- D.
  $3301500.$
Số cách chọn $1$ người trong $20$ người làm trưởng đoàn là. $C_{20}^{1}$ cách.

Số cách chọn $1$ người trong $19$ người còn lại làm phó đoàn là. $C_{19}^{1}$ cách.

Số cách chọn $1$ người trong $18$ người còn lại làm thư kí là. $C_{18}^{1}$ cách.

Số cách chọn $3$ người trong $17$ người còn lại làm ủy viên là. $C_{17}^{3}$ cách.

Vậy số cách chọn đoàn đại biểu là $C_{20}^{1} \times C_{19}^{1} \times C_{18}^{1} \times C_{17}^{3} = 4651200$ .
Câu 19: Nhận biết
Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Người ta muốn chọn một ban điều hành gồm 3 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ban điều hành có 1 nam và 2 nữ?
- A.
  $2460$ cách
- B.
  $2625$ cách
- C.
  $1058$ cách
- D.
  $1850$ cách
Chọn ban điều hành gồm 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ có $C_{25}^{1}.C_{15}^{2} = 2625$ cách.
Câu 20: Nhận biết
Từ các số $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau đôi một?
- A.
  $50$ .
- B.
  $120$ .
- C.
  $64$ .
- D.
  $48$ .
Mỗi cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một hoán vị của 5 phần tử.

Vậy có $5! = 120$ số cần tìm.

104 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20

Chưa làm Đã làm