Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng với
,
,
sao cho
.
Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng với
,
,
sao cho
nên
,
,
. Suy ra số các số có dạng
là
.
Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng với
,
,
sao cho
.
Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng với
,
,
sao cho
nên
,
,
. Suy ra số các số có dạng
là
.
Một lớp có 34 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh để làm lớp trưởng, lớp phó, bí thư?
Chọn 3 học sinh từ 34 học sinh rồi xếp vào 3 vai trò lớp trưởng, lớp phó, bí thư có cách.
Một tổ chăm sóc khách hàng của một trung tâm điện tử gồm 12 nhân viên. Số cách phân công 3 nhân viên đi đến ba địa điểm khác nhau để chăm sóc khách hàng là
Số cách xếp 3 nhân viên từ 12 nhân viên vào 3 vị trí khác nhau là: cách.
Cho tập hợp . Có bao nhiêu số tự nhiên không chia hết cho 2 gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ tập hợp
?
Gọi số tự nhiên có năm chữ số cần tìm có dạng
Số cách chọn e là: 4 cách
Số cách chọn a là: 4 cách
Số cách chọn b là: 6 cách
Số cách chọn c là: 5 cách
Số cách chọn d là: 4 cách
Vậy số các số được tạo thành là: số.
Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển
?
Ta có:
Hệ số chứa trong khai triển là:
.
Có 10 quyển sách Toán, 8 quyển sách Lí, 5 quyển sách Văn. Cần chọn ra 8 quyển có ở cả ba môn sao cho số quyển Toán ít nhất là bốn và số quyển Văn nhiều nhất là hai. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Chọn 4 Toán, 2 Văn, 2 Lí có cách.
Chọn 4 Toán, 1 Văn, 3 Lí có cách.
Chọn 5 Toán, 2 Văn, 1 Lí có cách.
Chọn 5 Toán, 1 Văn, 2 Lí có cách.
Chọn 6 Toán, 1 Văn, 1 Lí có cách.
Tổng lại ta được 181440 cách thỏa mãn.
Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả 3 khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
TH1. Có đúng 1 học sinh khối 10: (cách). (1 lớp 10 + 5 lớp 11 + 4 lớp 12 hoặc 1 lớp 10 + 5 lớp 12 + 4 lớp 11)
TH2. Có đúng 2 học sinh khối 10: (cách).
Có
cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
Cho biểu thức với
,
. Số hạng không chứa
trong khai triển Niu-tơn của
là:
Ta có .
Nên .
Số hạng tổng quát của khai triển là: .
Khi thì số hạng không chứa
là
.
Từ các số lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số chia hết cho 5?
Vì chia hết cho 5 nên
chỉ có thể là 5
có 1 cách chọn d.
Có 6 cách , 5 cách chọn b và 4 cách chọn c.
Vậy có số thỏa yêu cầu bài toán.
Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra một học sinh đi dự trại hè của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bước 1: Với bài toán a thì ta thấy cô giáo có thể có hai phương án để chọn học sinh đi thi:
Bước 2: Đếm số cách chọn.
* Phương án 1: chọn 1 học sinh đi dự trại hè của trường thì có 25 cách chọn.
* Phương án 2: chọn học sinh nữ đi dự trại hè của trường thì có 20 cách chọn.
Bước 3: Áp dụng quy tắc cộng.
Vậy có 20 + 25 = 45 cách chọn.
Khai triển biểu thức ta thu được kết quả là:
Ta có: .
Khai triển nhị thức Niu-tơn của có bao nhiêu số hạng?
Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn có
số hạng.
Vậy trong khai triển nhị thức Niu-tơn của có
số hạng.
Tính tổng các hệ số trong khai triển .
Xét khai triển
Tổng các hệ số trong khai triển là:
Cho ta có:
Từ tập hợp các chữ số có thể lập được bao nhiêu số lẻ có ba chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt số 2?
Gọi số cần tìm có dạng
Vì số cần tìm là số lẻ nên => Có 4 cách chọn
Xếp chữ số 2 vào hai vị trí còn lại => Có 2 cách sắp xếp.
Chọn chữ số còn lại từ => Có 5 cách chọn.
Vậy có thể lập được (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Có bao nhiêu cách sắp xếp nữ sinh,
nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ?
Đánh số thứ tự các vị trí theo hàng dọc từ đến
.
Trường hợp 1. Nam đứng trước, nữ đứng sau.
Xếp nam (vào các vị trí đánh số ). Có
cách.
Xếp nữ (vào các vị trí đánh số ). Có
cách.
Vậy trường hợp này có. cách.
Trường hợp 2. Nữ đứng trước, nam đứng sau.
Xếp nữ (vào các vị trí đánh số ). Có
cách.
Xếp nam (vào các vị trí đánh số ). Có
cách.
Vậy trường hợp này có. cách.
Theo quy tắc cộng ta có. cách sắp xếp
nữ sinh,
nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ.
Giả sử một công việc phải hoàn thành qua 2 giai đoạn:
Giai đoạn 1 có a cách thực hiện.
Với mỗi cách thực hiện của giai đoạn 1 ta có b cách thực hiện cho giai đoạn 2.
Khi đó số cách thực hiện công việc là:
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách thực hiện công việc là cách.
Từ khai triển biểu thức thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là:
Xét khai triển .
Gọi là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có
.
Thầy giáo chủ nhiệm có 10 quyển sách khác nhau và 8 quyển vở khác nhau. Thầy chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau?
Chọn một quyển sách có 10 cách chọn.
Chọn một quyển vở có 8 cách chọn.
Áp dụng quy tắc cộng có 18 cách chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi.
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn lại . Hỏi có bao nhiêu số như vậy biết rằng năm chữ số 1 được xếp kế nhau.
Xếp năm chữ số 1 kế nhau vào 9 vị trí có 5 cách.
Xếp vào 4 vị trí còn lại có 4! cách.
Theo quy tắc nhân, ta được (số).
Từ 9 chữ số có thể lập được bao nhiêu số gồm 9 chữ số nếu như không có chữ số nào được lặp lại? Trong các số đó có bao nhiêu số mà các chữ số 1 và 7 không đứng cạnh nhau.
Từ 9 chữ số có thể lập được các số nếu như không có chữ số nào được lặp lại ta hiểu đó là số có 9 chữ số khác nhau.
Do đó sẽ có 9! số thỏa mãn.
Để tìm số mà các chữ số 1 và 7 không đứng cạnh nhau ta đi tìm các số mà 1 và 7 đứng cạnh nhau.
Coi 1 và 7 là 1 số thì ta sẽ có và
.
Đưa được về bài toán tìm số có 8 chữ số khác nhau.
Do đó số các số tìm được là 8! số.
Do 1 và 7 có 2 vị trí nên ta có 2.8! số.
Vậy số có 9 chữ số khác nhau không có 1 và 7 đứng cạnh là: số.