Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Có $6$ học sinh và $2$ thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Đếm số cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?
- A.
  30240 cách. .
- B.
  620 cách.
- C.
  362550 cách.
- D.
  1660 cách.
Xếp 8 người thành hàng ngang có $P_{8}$ cách.

Xếp 8 người thành hàng ngang sao cho 2 thầy giáo đứng cạnh nhau có $7.2!.6!$ cách.

Vậy số cách xếp cần tìm là. $P_{8} - 7.2!.6! = 30240$ cách.
Câu 2: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ , (biết $x eq 0$ ).
- A.
  $176.$
- B.
  $88.$
- C.
  $- 276.$
- D.
  $286.$
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ .

$T_{k + 1} = C_{13}^{k}x^{13 - k}\left( \frac{1}{x} ight)^{k} = C_{13}^{k}x^{13 - 2k}$ .

$T_{k + 1}$ chứa $x^{7} \Leftrightarrow 13 - 2k = 7 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ bằng: $C_{13}^{3} = 286$ .
Câu 3: Vận dụng
Cho $n$ là số tự nhiên thỏa mãn $C_{n}^{0} + 2.C_{n}^{1} + 2^{2}.C_{n}^{2} + ... + 2^{n}.C_{n}^{n} = 59049$ . Biết số hạng thứ $3$ trong khai triển Newton của $\left( x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{n}$ có giá trị bằng $\frac{81}{2}n$ . Tìm giá trị của $x$ .
- A.
  $-1$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $\pm 1$ .
- D.
  $\pm3$ .
Ta có: $C_{n}^{0} + 2.C_{n}^{1} +2^{2}.C_{n}^{2} + ... + 2^{n}.C_{n}^{n} = 59049$

$\Rightarrow (2 + 1)^{n}= 59049 \Leftrightarrow 3^{n} = 3^{10} \Leftrightarrow n =10$ .

Ta được nhị thức $\left( x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{10}$ .

Số hạng thứ ba của khai triển là $T_{3} = C_{10}^{2}.\left( x^{2} ight)^{8}.\left( - \frac{3}{x} ight)^{2} = 405x^{14}$ .

Theo giả thiết ta có: $405x^{14} = \frac{81}{2}n$ $\Leftrightarrow$ $405x^{14} = 405$ $\Leftrightarrow$ $x^{14} = 1$ $\Leftrightarrow$ $x = \pm 1$ .
Câu 4: Thông hiểu
Từ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
- A.
  $30$
- B.
  $18$
- C.
  $25$
- D.
  $34$
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là $\overline{abcd};(a eq b eq c eq d)$

Bộ bốn chữ số có tổng chia hết cho 3 là: $A = \left\{ (0;1;2;3),(0;2;3;4),(0;3;4;5),(1;2;4;5) ight\}$

Trường hợp 1: $\overline{abcd} \in \left\{ (0;1;2;3),(0;2;3;4),(0;3;4;5) ight\}$

Chọn a: 3 cách (vì a ≠ 0).

Chọn b, c, d: $3! = 6$ cách chọn.

Khi đó: 3.6=18 (cách).

Trường hợp 2: $\overline{abcd} \in \left\{ 1;2;4;5 ight\}$

Chọn $a,b,c,d$ : $4! = 24$

Vậy 6 + 24 = 30 (số)
Câu 5: Thông hiểu
Từ các chữ số $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có $6$ chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị?
- A.
  $48$ .
- B.
  $72$ .
- C.
  $24$ .
- D.
  $36$ .
Gọi $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}$ là số cần tìm
Ta có $a_{6} \in \left\{ 1;\ 3;\ 5ight\}$ và $\left( a_{1} + a_{2} +a_{3} ight) - \left( a_{4} + a_{5} + a_{6} ight) = 1$
Với $a_{6} = 1$ thì $\left( a_{1} + a_{2} + a_{3} ight) - \left(a_{4} + a_{5} ight) = 2$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \in \left\{ 2,\ 3,\ 6 ight\} \\a_{4},\ a_{5} \in \left\{ 4,\ 5 ight\} \\\end{matrix} ight.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \in \left\{ 2,\ 4,\ 5 ight\} \\a_{4},\ a_{5} \in \left\{ 3,\ 6 ight\} \\\end{matrix} ight.$
Với $a_{6} = 3$ thì $\left( a_{1} + a_{2} + a_{3} ight) - \left(a_{4} + a_{5} ight) = 4$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \in \left\{ 2;\ 4;\ 5 ight\} \\a_{4},\ a_{5} \in \left\{ 1,\ 6 ight\} \\\end{matrix} ight.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \in \left\{ 1,\ 4,\ 6 ight\} \\a_{4},\ a_{5} \in \left\{ 2,\ 5 ight\} \\\end{matrix} ight.$
Với $a_{6} = 5$ thì $\left( a_{1} + a_{2} + a_{3} ight) - \left(a_{4} + a_{5} ight) = 6$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \in \left\{ 2,\ 3,\ 6 ight\} \\a_{4},\ a_{5} \in \left\{ 1,\ 4 ight\} \\\end{matrix} ight.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \in \left\{ 1,\ 4,\ 6 ight\} \\a_{4},\ a_{5} \in \left\{ 2,\ 3 ight\} \\\end{matrix} ight.$
Mỗi trường hợp có $3!.2! = 12$ số thỏa mãn yêu cầu
Vậy có tất cả $6.12 = 72$ số cần tìm.
Câu 6: Thông hiểu
Có bao nhiêu vectơ khác vectơ được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau?
- A.
  45
- B.
  90
- C.
  35
- D.
  55
Ta có vecto tạo thành từ hai điểm A, B ta được vecto $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BA}$ .
Chọn hai điểm bất kì trong 10 điểm phân biệt là tổ hợp chập 2 của 10 phần tử.
=> Số vectơ khác vectơ được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau là: $2C_{10}^2 = 90$ vecto.
Câu 7: Nhận biết
An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường?
- A.
  16
- B.
  10
- C.
  24
- D.
  36
Từ nhà An đến nhà Bình có 4 cách chọn đường.
Từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách chọn đường.
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn đường đi từ nhà An đến nhà Cường là: 4.6 = 24 (cách).
Câu 8: Vận dụng
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ.
- A.
  11523
- B.
  11520
- C.
  11346
- D.
  22311
Vì chữ số đứng đầu chẵn nên $a_{1}$ có $4$ cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên $a_{8}$ có 4 cách chọn. Các số còn lại có $6.5.4.3.2.1$ cách chọn

Vậy có $4^{2}.6.5.4.3.2.1 = 11520$ số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 9: Vận dụng
Quan sát mạch điện như sau:
Mạch điện có 6 công tắc khác nhau, trong đó mỗi công tắc có 2 trạng thái đóng và mở. Hỏi có bao nhiêu cách đóng mở 6 công tắc để mạch điện thông mạch từ E đến F?
- A.
  $32$
- B.
  $128$
- C.
  $64$
- D.
  $15$
Cả 3 công tắc của nhánh trên đóng còn 1 trong 3 công tắc của nhánh dưới mở có: $C_{3}^{1} = 3$
Cả 3 công tắc của nhánh trên đóng còn 2 trong 3 công tắc của nhánh dưới mở có: $C_{3}^{2} = 3$
Cả 3 công tắc của nhánh trên đóng còn 3 công tắc của nhánh dưới mở có: $C_{3}^{3} = 1$
Cả 3 công tắc của nhánh dưới đóng còn 1 trong 3 công tắc của nhánh trên mở có: Cả 3 công tắc của nhánh trên đóng còn 2 trong 3 công tắc của nhánh dưới mở có: $C_{3}^{1} = 3$
Cả 3 công tắc của nhánh dưới đóng còn 3 công tắc nhánh trên mở có: $C_{3}^{3} = 1$
Cả 3 công tắc của nhánh trên đóng và cả 3 công tắc nhánh dưới đóng có: $1$
Vậy có tất cả 15 cách.
Câu 10: Nhận biết
Cho các chữ số $2,3,4,5,6,7$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $6$ chữ số khác nhau?
- A.
  $356$ .
- B.
  $720$ .
- C.
  $220$ .
- D.
  $24$ .
Số cách lập số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho là số hoán vị của $6$ phần tử, do đó có $6! = 720$ .
Câu 11: Nhận biết
Hệ số $x^{4}$ trong khai triển nhị thức $(3x - 4)^{5}$ bằng:
- A.
  $60$
- B.
  $- 60$
- C.
  $- 1620$
- D.
  $1620$
Hệ số của $x^{4}$ trong khai triển $(3x - 4)^{5}$ là: $C_{5}^{1}.(3x)^{4}.( - 4)^{1} = - 1620$ .
Câu 12: Nhận biết
Có bao nhiêu cách chọn một học sinh từ nhóm gồm 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ?
- A.
  $35$
- B.
  $300$
- C.
  $150$
- D.
  $70$
Số cách chọn một học sinh trong nhóm học sinh là: 15 + 20 = 35 cách.
Câu 13: Nhận biết
Có bao nhiêu cách xếp 6 người thành một hàng dọc
- A.
  720
- B.
  6
- C.
  120
- D.
  480
Xếp 6 người thành một hàng dọc có: 6! = 720 cách.
Câu 14: Vận dụng
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ các chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chứa chữ số 2 và chia hết cho 5?
- A.
  19.
- B.
  32.
- C.
  42.
- D.
  23.
Giả sử số đó là $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}}$

Trường hợp 1. $a_{3} = 0$ xếp 2 vào có 2 vị trí, chọn số xếp vào vị trí còn lại có 6 cách nên có 2.6 = 12 số thỏa mãn.

Trường hợp 2. $a_{3} = 5$ . Với $a_{1} = 2$ chọn $a_{2}$ có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn. Với $a_{1} eq 2$ chọn $a_{1}$ có 5 cách chọn, và tất nhiên $a_{2} = 2$ nên có 5 số thỏa mãn. Do đó có $12 + 6 + 5 = 23$ số thỏa mãn.
Câu 15: Thông hiểu
Biểu thức $Q = x^{5} - 5x^{4}y + 10x^{3}y^{2} - 10x^{2}y^{3} + 5xy^{4} - y^{5}$ là khai triển của nhị thức nào dưới đây?
- A.
  $(2x - y)^{5}$
- B.
  $(x - 2y)^{5}$
- C.
  $(x - 3y)^{5}$
- D.
  $(x - y)^{5}$
Ta có:

$Q = x^{5} - 5x^{4}y + 10x^{3}y^{2} - 10x^{2}y^{3} + 5xy^{4} - y^{5}$

$Q = C_{5}^{0}x^{5} + C_{5}^{1}x^{4}( - y)^{1} + C_{5}^{2}.x^{3}( - y)^{2}$

$+ C_{5}^{3}x^{2}( - y)^{3} + C_{5}^{4}.x.( - y)^{4} + C_{5}^{5}( - y)^{5}$

$Q = (x - y)^{5}$
Câu 16: Nhận biết
Số hạng thứ $13$ trong khai triển $(2 - x)^{15}$ bằng?
- A.
  $5630x^{13}$ .
- B.
  $3640x^{12}$ .
- C.
  $- 240x^{12}$ .
- D.
  $7640$ .
Ta có $(2 - x)^{15} = \sum_{k = 0}^{15}{C_{15}^{k}.2^{15 - k}.( - x)^{k}}$

Số hạng thứ $13$ trong khai triển tương ứng với $k = 12$ . $\Rightarrow C_{15}^{12}.2^{15 - 12}.( - x)^{12} = 3640x^{12}$ .
Câu 17: Nhận biết
Có bao nhiêu cách sắp xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc?
- A.
  $5$ .
- B.
  $5!$ .
- C.
  $10$ .
- D.
  $5^{2}$ .
Số cách sắp xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc là $5!$ .
Câu 18: Nhận biết
Cho tập hợp $D$ gồm $x$ phần tử. Số các tổ hợp chập $k$ của $x$ phần tử từ tập hợp $D$ (với $k,x\mathbb{\in N},0 \leq k \leq x$ ) được xác định bởi công thức là:
- A.
  $C_{x}^{k} = \frac{k!(x - k)!}{x!}$
- B.
  $C_{x}^{k} = \frac{x!}{(x - k)!}$
- C.
  $C_{x}^{k} = \frac{x!}{k!(x - k)!}$
- D.
  $C_{x}^{k} = \frac{x!}{k!}$
Số các tổ hợp chập $k$ của $x$ phần tử từ tập hợp $D$ (với $k,x\mathbb{\in N},0 \leq k \leq x$ ) được xác định bởi công thức là: $C_{x}^{k} = \frac{x!}{k!(x - k)!}$ .
Câu 19: Thông hiểu
Cho khai triển $(1 - 2x)^{20} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \cdots + a_{20}x_{20}$ . Giá trị của $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{20}$ bằng:
- A.
  $1$ .
- B.
  $3^{20}$ .
- C.
  $0$ .
- D.
  $- 1$ .
$(1 - 2x)^{20} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \cdots + a_{20}x_{20}$ $(1)$ .

Thay $x = 1$ vào $(1)$ ta có: $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{20} = ( - 1)^{20} = 1$ .
Câu 20: Thông hiểu
Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ , có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n trong đó n gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó phải có 1 và 3 đứng cạnh nhau, không kể thứ tự trước sau.
- A.
  $6720$
- B.
  $8400$
- C.
  $5040$
- D.
  $10080$
Gọi $n = \overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}$ là số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn 2 vị trí cạnh nhau từ 6 vị trí (từ $a_{1} ightarrow a_{6}$ ) có: 5 cách.

Xếp số 1 và 3 vào 2 vị trí vừa chọn có: 2 cách.

Chọn số cho 4 vị trí từ tập $X\backslash\left\{ 1;3 ight\}$ có: $7.6.5.4 = 840$ cách.

Theo quy tắc nhân có: $5.2.840 = 8400$ số.

87 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20

Chưa làm Đã làm