Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Đại số tổ hợp

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển nhị thức $\left( x - \frac{2}{x\sqrt{x}} ight)^{12}$ (với $x > 0$ ) là:
- A.
  $266$ .
- B.
  $- 264$ .
- C.
  $264$ .
- D.
  $250$ .
Số hạng tổng quát của khai triển $\left( x - \frac{2}{x\sqrt{x}} ight)^{12}$ (với $x > 0$ ) là:

$T_{k + 1} = C_{12}^{k}.x^{12 - k}.\left( - \frac{2}{x\sqrt{x}} ight)^{k} = ( - 2)^{k}.C_{12}^{k}.x^{12 - k}.x^{- \frac{3k}{2}} = ( - 2)^{k}.C_{12}^{k}.x^{12 - \frac{5k}{2}}$ .

Số hạng trên chứa $x^{7}$ suy ra $12 - \frac{5k}{2} = 7 \Leftrightarrow k = 2$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển trên là $= ( - 2)^{2}.C_{12}^{2} = 264$ .
Câu 2: Nhận biết
Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?
- A.
  16.
- B.
  4.
- C.
  7.
- D.
  12.
Chọn 1 kiểu mặt từ 3 kiểu mặt có 3 cách.

Chọn 1 kiểu dây từ 4 kiểu dây có 4 cách.

Vậy theo quy tắc nhân có 12 cách chọn 1 chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây.
Câu 3: Thông hiểu
Từ một hộp chứa 5 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vành, chọn ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số cách chọn để 4 viên bi lấy ra có số bi đỏ bằng số bi vàng?
- A.
  $9$
- B.
  $63$
- C.
  $68$
- D.
  $273$
Th1: Chọn 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh có: $C_{3}^{1}.C_{2}^{1}.C_{5}^{2} = 60$ cách

Th2: Chọn 2 bi đỏ và 2 bi vàng có: $C_{3}^{2}.C_{2}^{2} = 3$ cách

Vậy số cách chọn 4 viên bi sao cho số bi đỏ bằng số bi vàng là 63 cách.
Câu 4: Thông hiểu
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số?
- A.
  999 số
- B.
  900 số
- C.
  965 số
- D.
  899 số
Gọi số thỏa mãn đề bài có dạng $\overline{ABC}$ .

Vị trí A: có 9 cách chọn từ 1 đến 9 (bỏ số 0).

Vị trí B: có 10 cách chọn từ 0 đến 9.

Vị trí C: có 10 cách chọn từ 0 đến 9.

Áp dụng quy tắc nhân, có 9.10.10 = 900 (số).
Câu 5: Thông hiểu
Tìm hệ số của $x^{25}y^{10}$ trong khai triển $\left( x^{3} + xy ight)^{15}.$
- A.
  58690.
- B.
  4004.
- C.
  3003.
- D.
  5005.
Số hạng tổng quát của khai triển đã cho là $C_{15}^{k}.\left( x^{3} ight)^{15 - k}.(xy)^{k} = C_{15}^{k}.x^{45 - 2k}.y^{k},$

với $0 \leq k \leq 15$ , $k \in \mathbb{N}$ . Số hạng này chứa $x^{25}y^{10}$ khi và chỉ khi $k = 10$ (thỏa mãn).

Vậy hệ số của $x^{25}y^{10}$ trong khai triển $\left( x^{3} + xy ight)^{15}$ là $C_{15}^{10} = 3003.$ .
Câu 6: Vận dụng
Một rổ có 10 loại quả khác nhau trong đó có 1 mít và 1 bưởi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thành một hàng sao cho mít và bưởi cách nhau đúng 2 quả khác?
- A.
  6523920.
- B.
  786120.
- C.
  564480.
- D.
  120240.
Xếp cố định 8 quả khác mít và bưởi vào hàng, có 8! cách xếp. Lúc này trên hàng có 9 khoảng trống, gồm khoảng trống giữa 2 quả khác bất kì và vị trí đầu, cuối hàng. Trong đó ta có 7 cặp khoảng trống mà khoảng cách giữa khoảng có đúng 2 quả khá

C. Mỗi cặp khoảng trống đó ta sẽ cho vào đó quả mít và quả bưởi, có cách xếp mít và bưởi tương ứng là. $7.2!$ .

Vậy số cách xếp cần tìm. 8!.7.2! = 564480.
Câu 7: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ .
- A.
  $12$ .
- B.
  $16$ .
- C.
  $17$ .
- D.
  $20$ .
Số các số tự nhiên lớn nhất nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ là $96$ .

Số các số tự nhiên nhỏ nhất nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ là $0$ .

Số các số tự nhiên nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ là $\frac{96 - 0}{6} + 1 = 17$ .
Câu 8: Thông hiểu
Từ các chữ số $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có $6$ chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị?
- A.
  $48$ .
- B.
  $72$ .
- C.
  $24$ .
- D.
  $36$ .
Gọi $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}$ là số cần tìm
Ta có $a_{6} \in \left\{ 1;\ 3;\ 5ight\}$ và $\left( a_{1} + a_{2} +a_{3} ight) - \left( a_{4} + a_{5} + a_{6} ight) = 1$
Với $a_{6} = 1$ thì $\left( a_{1} + a_{2} + a_{3} ight) - \left(a_{4} + a_{5} ight) = 2$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \in \left\{ 2,\ 3,\ 6 ight\} \\a_{4},\ a_{5} \in \left\{ 4,\ 5 ight\} \\\end{matrix} ight.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \in \left\{ 2,\ 4,\ 5 ight\} \\a_{4},\ a_{5} \in \left\{ 3,\ 6 ight\} \\\end{matrix} ight.$
Với $a_{6} = 3$ thì $\left( a_{1} + a_{2} + a_{3} ight) - \left(a_{4} + a_{5} ight) = 4$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \in \left\{ 2;\ 4;\ 5 ight\} \\a_{4},\ a_{5} \in \left\{ 1,\ 6 ight\} \\\end{matrix} ight.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \in \left\{ 1,\ 4,\ 6 ight\} \\a_{4},\ a_{5} \in \left\{ 2,\ 5 ight\} \\\end{matrix} ight.$
Với $a_{6} = 5$ thì $\left( a_{1} + a_{2} + a_{3} ight) - \left(a_{4} + a_{5} ight) = 6$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \in \left\{ 2,\ 3,\ 6 ight\} \\a_{4},\ a_{5} \in \left\{ 1,\ 4 ight\} \\\end{matrix} ight.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a_{1},\ a_{2},\ a_{3} \in \left\{ 1,\ 4,\ 6 ight\} \\a_{4},\ a_{5} \in \left\{ 2,\ 3 ight\} \\\end{matrix} ight.$
Mỗi trường hợp có $3!.2! = 12$ số thỏa mãn yêu cầu
Vậy có tất cả $6.12 = 72$ số cần tìm.
Câu 9: Thông hiểu
Từ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 6?
- A.
  $30$
- B.
  $18$
- C.
  $25$
- D.
  $34$
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là $\overline{abcd};(a eq b eq c eq d)$

Số chia hết cho 6 là số chẵn và chia hết cho 3. Khi đó, xét bộ bốn chữ số có tổng chia hết cho 3 là: $A = \left\{ (0;1;2;3),(0;2;3;4),(0;3;4;5);(1;2;4;5) ight\}$

Trường hợp 1: $\overline{abc0} \in \left\{ (0;1;2;3),(0;2;3;4),(0;3;4;5) ight\}$

Chọn a, b, c: $3! = 6$ cách chọn.

Trường hợp 2: $\overline{abcd} \in \left\{ 1;2;4;5 ight\}$

Chọn d có 2 cách chọn (vì $d \in \left\{ 2;4 ight\}$

Chọn a, b, c: $3! = 6$ cách chọn

Khi đó có 6.2 = 12 số

Vậy 6 + 12 = 18 (số)
Câu 10: Nhận biết
Tìm hệ số $h$ của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $\left( x^{2} + \frac{2}{x} ight)^{7}$ .
- A.
  $h = 184$ .
- B.
  $h = 762$ .
- C.
  $h = 650$ .
- D.
  $h = 280$ .
Ta có: $\left( x^{2} + \frac{2}{x} ight)^{7} = {\sum_{k = 0}^{7}{C_{7}^{k}\left( x^{2} ight)^{k}\left( \frac{2}{x} ight)}}^{7 - k} = \sum_{k = 0}^{7}{C_{7}^{k}.2^{7 - k}.x^{3k - 7}}$

Ta có: $3k - 7 = 5$ , suy ra $k = 4.$

Vậy hệ số $h$ của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $\left( x^{2} + \frac{2}{x} ight)^{7}$ là $h = C_{7}^{4}.2^{3} = 280.$
Câu 11: Vận dụng
Cho khai triển $(1 - 2x)^{n} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ... + a_{n}x^{n}$ . Tìm hệ số $a_{5}$ biết rằng $a_{0} + a_{1} + a_{2} = 71.$
- A.
  -672.
- B.
  673.
- C.
  622.
- D.
  -688.
Ta có $(1 - 2x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}{C_{n}^{k}( - 2x)^{k}}$ . Vậy $a_{0} = 1$ ; $a_{1} = - 2C_{n}^{1}$ ; $a_{2} = 4C_{n}^{2}$ .

Theo bài ra $a_{0} + a_{1} + a_{2} = 71$ nên ta có:

$1 - 2C_{n}^{1} + 4C_{n}^{2} = 71 \Leftrightarrow 1 - 2\frac{n!}{1!(n - 1)!} + 4\frac{n!}{2!(n - 2)!} = 71 \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n(n - 1) = 71 \Leftrightarrow 2n^{2} - 4n - 70 = 0 \Leftrightarrow n^{2} - 2n - 35 = 0 \Leftrightarrow n = 7$ (thỏa mãn) hoặc $n = - 5$ (loại).

Từ đó ta có $a_{5} = C_{7}^{5}( - 2)^{5} = - 672$ .
Câu 12: Nhận biết
Có $3$ viên bi đen khác nhau, $4$ viên bi đỏ khác nhau, $5$ viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các viên bi trên thành dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
- A.
  $365400$ .
- B.
  $666400$ .
- C.
  $725420$ .
- D.
  $103680$ .
Số cách xếp $3$ viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng. $3!$ .

Số cách xếp $4$ viên bi đỏ khác nhau thành một dãy bằng. $4!$ .

Số cách xếp $5$ viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng. $5!$ .

Số cách xếp $3$ nhóm bi thành một dãy bằng. $3!$ .

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề bài bằng $3!.4!.5!.3! = 103680$ cách.
Câu 13: Nhận biết
Số cách xếp 5 học sinh $A;B;C;D;E$ vào một ghế dài sao cho bạn $A;C$ ngồi ở hai đầu ghế là:
- A.
  $20$ cách
- B.
  $24$ cách
- C.
  $12$ cách
- D.
  $18$ cách
Vì A; E ngồi ở hai đầu ghế nên ta có 3!.2! = 12 cách sắp xếp $A;B;C;D;E$
Câu 14: Vận dụng
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ các chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chứa chữ số 2 và chia hết cho 5?
- A.
  19.
- B.
  32.
- C.
  42.
- D.
  23.
Giả sử số đó là $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}}$

Trường hợp 1. $a_{3} = 0$ xếp 2 vào có 2 vị trí, chọn số xếp vào vị trí còn lại có 6 cách nên có 2.6 = 12 số thỏa mãn.

Trường hợp 2. $a_{3} = 5$ . Với $a_{1} = 2$ chọn $a_{2}$ có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn. Với $a_{1} eq 2$ chọn $a_{1}$ có 5 cách chọn, và tất nhiên $a_{2} = 2$ nên có 5 số thỏa mãn. Do đó có $12 + 6 + 5 = 23$ số thỏa mãn.
Câu 15: Nhận biết

Dãy $\left( x_{1};x_{2};...;x_{10} ight)$ trong đó mỗi kí tự $x_{i}$ chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 được gọi là dãy nhị phân 10 bit. Hỏi có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit.

Đáp án: 1024

Đáp án là:

Dãy $\left( x_{1};x_{2};...;x_{10} ight)$ trong đó mỗi kí tự $x_{i}$ chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 được gọi là dãy nhị phân 10 bit. Hỏi có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit.

Đáp án: 1024

Có $2^{10} = 1024$ dãy nhị phân 10 bit.
Câu 16: Nhận biết
Trên giá sách có 8 quyển tiểu thuyết khác nhau và 6 quyển truyện tranh khác nhau. Số cách chọn một trong các quyển sách đó là:
- A.
  $6$
- B.
  $8$
- C.
  $14$
- D.
  $32$
Số cách chọn một trong các quyển sách đó là: 8 + 6 = 14 cách.
Câu 17: Nhận biết
Tính số cách sắp xếp $6$ nam sinh và $4$ nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có $10$ chỗ ngồi. Biết rằng các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau.
- A.
  $9!$ .
- B.
  $7! \times 4!.$ .
- C.
  $7! \times 5!.$
- D.
  $3! \times 5!.$
Sắp xếp $4$ nữ sinh vào $4$ ghế. $4!$ cách.

Xem $4$ nữ sinh lập thành nhóm X, sắp xếp nhóm X cùng với $6$ nam sinh. có $7!$ cách

vậy có $7! \times 4!$ cách sắp xếp.
Câu 18: Nhận biết
Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
- A.
  $A_{n}^{k}=n(n-1)...(n-k+1)$
- B.
  $P_{n}=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 2\times 1$
- C.
  $P_{n}=n!$
- D.
  $A_{n}^{k}=\frac{n!}{k!}$
Công thức sai là: $A_{n}^{k}=\frac{n!}{k!}$ .
Câu 19: Thông hiểu
Từ khai triển biểu thức $(x + 1)^{10}$ thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là:
- A.
  1023.
- B.
  512.
- C.
  1024.
- D.
  2048.
Xét khai triển $f(x) = (x + 1)^{10} = \sum_{k = 0}^{10}C_{10}^{k}.x^{k}$ .

Gọi $S$ là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có $S = f(1) = (1 + 1)^{10} = 2^{10} = 1024$ .
Câu 20: Nhận biết
Chọn đáp án đúng khi khai triển nhị thức $(3x - 2y)^{4}$ ?
- A.
  $81x^{4} - 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} - 96xy^{3} + 16y^{4}$
- B.
  $81x^{4} + 216x^{3}y - 216x^{2}y^{2} + 96xy^{3} - 16y^{4}$
- C.
  $81x^{4} + 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} + 96xy^{3} + 16y^{4}$
- D.
  $3x^{4} - 24x^{3}y - 36x^{2}y^{2} - 24xy^{3} + 2y^{4}$
Ta có:

$(3x - 2y)^{4} = \sum_{k = 0}^{4}{C_{4}^{k}.(3x)^{4 - k}.( - 2y)^{k}}$

$= 81x^{4} - 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} - 96xy^{3} + 16y^{4}$

85 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20

Chưa làm Đã làm