Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian KNTT

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương pháp tọa độ trong không gian của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tính khoảng cách giữa đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 4}{3}$ và trục $Ox$ .
- A.
  $1$
- B.
  $4$
- C.
  $3$
- D.
  $2$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (2; - 4;3)$ và đi qua điểm $M(1; - 2;4)$

Trục Ox có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0)$ và đi qua điểm $N(1;0;0)$

Khoảng cách giữa đường thẳng d và trục Ox là:

$d(d;Ox) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack.\overrightarrow{MN} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack ight|} = \frac{\left| (0;3;4).(0;2; - 4) ight|}{\left| (0;3;4) ight|} = 2$
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng đi qua điểm $A( - 2;4;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $2x - 3y + 6z + 19 = 0$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 4}{- 3} = \frac{z - 3}{6}$
- B.
  $\frac{x + 2}{2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z - 6}{3}$
- C.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 4}{- 3} = \frac{z + 3}{6}$
- D.
  $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z + 6}{3}$
Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $2x - 3y + 6z + 19 = 0$ là $\overrightarrow{n} = (2; - 3;6)$

Đường thẳng đi qua điểm $A( - 2;4;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $2x - 3y + 6z + 19 = 0$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n} = (2; - 3;6)$ nên có phương trình là $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 4}{- 3} = \frac{z - 3}{6}$ .
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ ; cho điểm $A(1;1;3),B(1;3;2),C( - 1;2;3)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ ?
- A.
  $(ABC):x + 2y + 4z + 15 = 0$
- B.
  $(ABC):x - 2y + 4z + 11 = 0$
- C.
  $(ABC):x - 2y + 4z - 11 = 0$
- D.
  $(ABC):x + 2y + 4z - 15 = 0$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0;2; - 1) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 2;1;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;2;4)$

Vậy $(ABC):x - 1 + 2(y - 1) + 4(z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y + 4z - 15 = 0$
Câu 4: Vận dụng
Cho mặt cầu (S): ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0$ và điểm $A\left( { - 6, - 1,3} ight)$ . Gọi M là tiếp điểm của (S) và tiếp tuyến di động qua (d). Tìm tập hợp các điểm M.
(Có thể chọn nhiều đáp án)
- A. ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0; 4x - y - 2z - 5 = 0$
- B. ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 4y - 2z - 12 = 0; 4x - y - 2z - 5 = 0$
- C. ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0; 5y - 7 = 0$
- D. Đáp án khác
Theo đề bài, (S) có tâm $I\left( {2, - 3,1} ight).\,\overrightarrow {IM} = \left( {x - 2,y + 3,z + 1} ight);\,\,\overrightarrow {AM} = \left( {x + 6,y + 1,z - 3} ight)$
Ta có:
$\begin{array}{l}\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {AM} = \left( {x - 2} ight)\left( {x + 6} ight) + \left( {y + 3} ight)\left( {y + 1} ight) + \left( {z + 1} ight)\left( {z - 3} ight) = 0\\ \Rightarrow M \in \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 4y - 3z - 12 = 0;\,\,M \in \left( S ight)\end{array}$
$\Rightarrow M \in$ đường tròn $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y + 2z - 2 = 0\\4x - y - 2z - 5 = 0\end{array} ight.$
Hay $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 4y - 2z - 12 = 0\\4x - y - 2z - 5 = 0\end{array} ight.$
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ và đi qua ba điểm $A(1;2; - 4),B(1; - 3;1),C(2;2;3)$ . Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $(2; - 1;0)$
- B.
  $( - 2;1;0)$
- C.
  $(0;0; - 2)$
- D.
  $(0;0;0)$
Gọi tâm mặt cầu là $I(a;b;c)$ và phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

Do $I \in (Oxy) \Rightarrow c = 0$

$\Rightarrow (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by + d = 0$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} A \in (S) \\ B \in (S) \\ C \in (S) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a + 4b - d = 21 \\ 2a - 6b - d = 11 \\ 4a + 4b - d = 17 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 1 \\ d = - 21 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $I( - 2;1;0)$ là đáp án cần tìm.
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , hãy viết phương trình của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M( - 1;0;0)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):x + 2y - z + 1 = 0$ ?
- A.
  $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$
- B.
  $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$
- C.
  $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$
- D.
  $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M( - 1;0;0)$ và có một véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$ nên $d$ có phương trình chính tắc là $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ .
Câu 7: Thông hiểu
Cho hình chóp $:\ O(0;0;0)\ ,\ A\ a\ (0;\ ;0)\ ,\ B\ a(\ ;0;0)\ ,\ C\ a\ (0;0;\ )$ có ba cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và $OA = OB = OC = a$ . Gọi M là trung điểm cạnh AB. Góc tạo bởi hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{OM}$ bằng:
- A.
  $135^{0}$
- B.
  $150^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}O(0;0;0),A(0;a;0),B(a;0;0) \\C(0;0;a),M\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0 ight) \\\end{matrix} ight.$

Khi đó ta có: $\overrightarrow{BC} = ( - a;0;a);\overrightarrow{OM} = \left( \frac{a}{2};\frac{a}{2};0 ight)$

$\Rightarrow \cos\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{OM} ight) =\dfrac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{OM}}{BC.OM} = \dfrac{-\dfrac{a^{2}}{2}}{a\sqrt{2}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}} = -\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{BC};\overrightarrow{OM} ight) = 120^{0}$
Câu 8: Thông hiểu
Cho tam giác ABC với $A\left( {\,1,\,\, - 2,\,\,6\,} ight);\,\,B\left( {\,2,\,\,5,\,\,1} ight);\,\,C\left( {\, - 1,\,\,8,\,\,4} ight)$ .
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ song song đường cao AH của tam giác ABC.
- A. $x\,\, + \,\,y\,\, + \,\,z\,\, - \,\,3 = \,\,0$
- B. $x\,\, + \,\,y\,\, + \,\,z\,\, + \,\,3 = \,\,0$
- C. $x\,\, - \,\,y\,\, + \,\,z\,\, + \,\,3 = \,\,0$
- D. $x\,\, - \,\,y\,\, - \,\,z\,\, + \,\,3 = \,\,0$
Theo đề bài, ta có: $\left( P ight) \bot \left( {ABC} ight)$ song song đường cao $AH \Rightarrow \left( P ight) \bot \overrightarrow {BC} = \left( { - 3,3,3} ight)$
$\Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 1} ight)\left( { - 3} ight) + \left( {y + 2} ight)3 + \left( {z - 6} ight)3 = 0$
$\Leftrightarrow x - y - z + 3 = 0$
Câu 9: Thông hiểu
Hai đường thẳng $\left( {d'} ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = - 3m - t\\z = 2t - 1\end{array} ight.$ và $\left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2m\\y = m + 2\\z = - m\end{array} ight.$ với cắt nhau tại M có tọa độ là :
- A. M (26, 9, - 11)
- B. M (26, - 9, - 11)
- C. M (26, - 9, 11)
- D. M (9, 26, - 11)
Để (d’) cắt (d) tại $M \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + 4t = 4 - 2m\\ - 3 - t = m + 2\\2t - 1 = - m\end{array} ight. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t + m = 1\\t + m = - 5\end{array} ight. \\\Leftrightarrow t = 6;m = - 11$
$\Rightarrow M\left( {26, - 9,11} ight)$
Câu 10: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ sao cho $A \equiv O$ , như hình vẽ:

Khi đó ta có:

$\overrightarrow{n_{1}} =\lbrack\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}brack = \left(2a^{2};0;4a^{2} ight)$ và $\overrightarrow{n_{2}} =\lbrack\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MC}brack = \left( a^{2}; -a^{2};2a^{2} ight)$

$\overrightarrow{SB} = (2a;0; -a),\overrightarrow{SC} = (2a;2a; - a),$ $\overrightarrow{MA} = \left( 0; -a; - \frac{a}{2} ight),\overrightarrow{MC} = \left( 2a;a; -\frac{a}{2} ight)$

$A(0;0;0),B(2a;0;0),D(0;2a;0),$ $C(2a;2a;0),S(0;0;a),M\left(0;a;\frac{a}{2} ight)$

Gọi $\alpha\left( 0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ} ight)$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $(AMC)$ và $(SBC)$ .

Ta có $\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight| \cdot \left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}$

$= \frac{\left| 2a^{2} \cdot a^{2} + 4a^{2} \cdot 2a^{2} ight|}{\sqrt{\left( 2a^{2} ight)^{2} + \left( 4a^{2} ight)^{2}} \cdot \sqrt{\left( a^{2} ight)^{2} + \left( - a^{2} ight)^{2} + \left( 2a^{2} ight)^{2}}}$

$= \frac{10a^{4}}{\sqrt{20 \cdot 6 \cdot \left( a^{4} ight)^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{30}}$

Mà $\tan^{2}\alpha = \frac{1}{\cos^{2}\alpha} - 1 = \left( \frac{\sqrt{30}}{5} ight)^{2} - 1 = \frac{5}{25}$ .

Suy ra $\tan\alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu $(S)$ đi qua điểm $O$ và cắt các tia $Ox;Oy;Oz$ lần lượt tại các điểm $A;B;C$ khác $O$ thỏa mãn tam giác $ABC$ có trọng tâm là điểm $G( - 6; - 12;18)$ . Tọa độ tâm của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $(9;18; - 27)$
- B.
  $( - 3; - 6;9)$
- C.
  $(3;6; - 9)$
- D.
  $( - 9; - 18;27)$
Gọi tọa độ các điểm trên ba tia $Ox;Oy;Oz$ lần lượt là $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a;b;c > 0$

Vì G là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{matrix} \frac{a}{3} = - 6 \\ \frac{b}{3} = - 12 \\ \frac{c}{3} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 18 \\ b = - 36 \\ c = 54 \\ \end{matrix} ight.$

Gọi phương trình mặt cầu cần tìm là:

$(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2mx - 2ny - 2pz + q = 0$

Vì $(S)$ qua các điểm $OABC$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} q = 0 \\ 36m + q = - 18^{2} \\ 72n + q = - 36^{2} \\ - 108p + q = - 54^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} q = 0 \\ m = - 9 \\ n = - 18 \\ p = 27 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ tâm của mặt cầu $(S)$ là: $( - 9; - 18;27)$ .
Câu 12: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng cắt nhau $\Delta_{1}:\frac{x +1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{3},$ $\Delta_{2}:\frac{x + 1}{1} =\frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 3}$ . Trong mặt phẳng $\left( \Delta_{1};\Delta_{2} ight)$ , hãy viết phương trình đường phân giác $d$ của góc nhọn tạo bởi $\Delta_{1};\Delta_{2}$
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = 2 \\ z = - 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = 2 - 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Hai đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có các vectơ chỉ phương tương ứng là $\overrightarrow{u_{1}} = (1;2;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;2; - 3)$

Ta có $\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = - 4 < 0$ , suy ra góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u_{1}}$ và $\overrightarrow{u_{2}}$ là góc tù.

Lại có $\left| \overrightarrow{u_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{u_{2}} ight|$

Kết hợp hai điều này, ta suy ra d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{u_{1}} - \overrightarrow{u_{2}} = (0;0;6) = 6(0;0;1)$

Tóm lại, đường thẳng cần tìm đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (0;0;1)$

Vậy phương trình đường thẳng d là: $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Câu 13: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(0; 8; 2)$ , điểm $B(9; −7; 23)$ và mặt cầu $(S) : (x − 5)^2 + (y + 3)^2 + (z − 7)^2 = 72$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến $(P)$ là lớn nhất. Biết $\vec{n} = (1; m; n)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ . Tính $mn$ .
- A.
  $- 2$
- B.
  $- 4$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Mặt cầu (S) có tâm I(5; −3; 7); bán kính $R = 6\sqrt{2}$ .

Phương trình mặt phẳng $(P) : 1(x − 0) + m(y − 8) + n(z − 2) = 0.$

Vì (P) và (S) tiếp xúc nhau nên:

$d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 6\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow |5 - 11m + 5n| = 6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(*)$

Ta có: $d\left( B;(P) ight) = \frac{|9 - 15m + 21n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}}$

Ta có:

$|9 - 15m + 21n| = |5 - 11m + 5n + 4 - 4m + 16n|$

$\leq |5 - 11m + 5n| + |4 - 4m + 16n|(**)$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

$(4 - 4m + 16n)^{2} \leq \left( 4^{2} + 4^{2} + 16^{2} ight)\left( 1 + m^{2} + n^{2} ight) = 288\left( 1 + m^{2} + n^{2} ight)$

$\Rightarrow |4 - 4m + 16n| \leq 12\sqrt{2}.\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(***)$

Từ (*); (**); (***) ta có:

$|9 - 15m + 21n| \leq 18\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{\begin{matrix}|5 - 11m + 5n| = 6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}} \\(5 - 11m + 5n)(4 - 4m + 16n) \geq 0 \\\dfrac{1}{4} = \dfrac{m}{- 4} = \dfrac{n}{16} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow m = - 1;n = 4 \Rightarrow mn = - 4$ .
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và có véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (2;4;6)$ . Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng $\Delta$ ?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 5 - 2t \\ y = - 10 - 4t \\ z = - 15 - 6t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 4 + 2t \\ z = 6 + 3t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 4t \\ z = 3 + 6t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight.$
Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 15: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2;3),B(1;0; - 1),C(2; - 1;2)$ . Điểm $D$ thuộc tia $Oz$ sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện $ABCD$ bằng $\frac{3\sqrt{30}}{10}$ có tọa độ là
- A.
  $(0;0;1)$
- B.
  $(0;0;3)$
- C.
  $(0;0;2)$
- D.
  $(0;0;4)$
Ta có D thuộc tia $Oz$ nên $D(0; 0; d)$ với $d > 0$ .

Tính $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0; - 2; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1; - 3; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt phẳng $(ABC)$ : có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 10; - 4;2)$ và đi qua điểm $A(1; 2; 3)$ .

$\Rightarrow (ABC): - 10(x - 1) - 4(y - 2) + 2(z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow 5x + 2y - y - 6 = 0$

Ta có $d\left( D;(ABC) ight) = \frac{3\sqrt{30}}{10} \Leftrightarrow \frac{|d + 6|}{\sqrt{30}} = \frac{3\sqrt{30}}{10}$

$\Leftrightarrow |d + 6| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} d = 3(tm) \\ d = - 15(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $D(0;0;3)$ .
Câu 16: Nhận biết
Ba mặt phẳng $x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0$ cắt nhau tại điểm $A$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $A( - 1;2; - 3)$
- B.
  $A(1; - 2;3)$
- C.
  $A( - 1; - 2;3)$
- D.
  $A(1;2;3)$
Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} x + 2y - z - 6 = 0 \\ 2x - y + 3z + 13 = 0 \\ 3x - 2y + 3z + 16 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A( - 1;2; - 3)$
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ , sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{5}{13}$
- B.
  $\frac{8}{13}$
- C.
  $\frac{1}{13}$
- D.
  $\frac{12}{13}$
Mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (4;3; - 1)$

Đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;3;1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}$
Câu 18: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}$ . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d$ và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là $ax + by + cz + 9 = 0$ . Tính tổng $a + b + c$
- A.
  $T = 9$
- B.
  $T = 5$
- C.
  $T = 3$
- D.
  $T = 4$
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)$

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

Phương trình tham số của $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

Khi đó $\left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}$

Lại có: $\cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}$

Vậy $\widehat{NMH}$ lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

Vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)$

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)$

Phương trình mặt phẳng (P) là $1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0$

Vậy $a + b + c = 4$
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 2 + t \\ z = 4 + \sqrt{2}t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và mặt phẳng $(P):\ x - y + \sqrt{2}z - 7 = 0$ . Hãy xác định góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = \left( 1;1;\sqrt{2} ight)$

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \left( 1; - 1;\sqrt{2} ight)$

Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khi đó ta có:

$\sin\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\left| 1.1 + 1.( - 1) + \sqrt{2}.\sqrt{2} ight|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \varphi = 30^{0}$
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $I(2;3;4)$ và $A(1;2;3)$ . Phương trình mặt cầu tâm $I$ và đi qua $A$ có phương trình là:
- A.
  $(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 4)^{2} = 3$
- B.
  $(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 4)^{2} = 9$
- C.
  $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 4)^{2} = 45$
- D.
  $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 4)^{2} = 3$
Bán kính mặt cầu là $R = IA = \sqrt{3}$

Phương trình mặt cầu tâm $I(2;3;4)$ và $R = IA = \sqrt{3}$ là:

$(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 4)^{2} = 3$

17 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương pháp tọa độ trong không gian KNTT

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!