Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng đi qua
đồng thời song song với
và mặt phẳng
có phương trình là:
Ta có: . Gọi
là đường thẳng đi qua
đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy).
Khi đó:
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng đi qua
đồng thời song song với
và mặt phẳng
có phương trình là:
Ta có: . Gọi
là đường thẳng đi qua
đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy).
Khi đó:
Vậy .
Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
, biết
song song với giá của vectơ
, vuông góc với
và tiếp xúc với
.
Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R = 4.
Vectơ pháp tuyến của (α) là
Theo giả thiết, suy ra (P) có vectơ pháp tuyến là
Phương trình của mặt phẳng (P) có dạng
Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên ta có:
Vậy có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
, mặt phẳng
. Gọi
là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
,
song song với giá của vectơ
và
tiếp xúc với
. Lập phương trình mặt phẳng
.
Mặt cầu có tâm I(1; −3; 2) và bán kính
.
Từ giả thiết suy ra là một vectơ pháp tuyến của
.
Ta có , suy ra
có vectơ pháp tuyến
Vậy có phương trình dạng
Do tiếp xúc với mặt cầu
nên:
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Mặt cầu (S) có tâm , bán kính
Ta có:
Do đó (P) cắt mặt cầu (S).
Cho hai mặt phẳng
và
. Với
cho biết
và cặp vectơ chỉ phương
. Với
cho PTTQ
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của
và
, qua điểm
là:
Trước tiên, ta cần đưa phương trình về dạng tổng quát.
Theo đề bài, ta có và cặp vectơ chỉ phương
nên vecto pháp tuyến của mp
là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương.
Ta có .
Chọn làm vectơ pháp tuyến cho
thì phương trình tổng quát của
có dạng
.
Vậy phương trình
Để tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của và
ta xét chùm mặt phẳng :
Mặt khác, ta có
Thế vào (*) ta được:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là:
Do đường thẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng
nên vectơ pháp tuyến của (P) là
cũng là vectơ chỉ phương của
.
Mặt khác đi qua điểm
nên phương trình chính tắc của
là:
Trong không gian
, hãy viết phương trình của đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
?
Đường thẳng đi qua điểm
và có một véc-tơ chỉ phương là
nên
có phương trình chính tắc là
.
Với giá trị nào của m thì mặt phẳng
cắt mặt cầu
?
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I có tọa độ là
(P) cắt (S) khi:
Trong không gian
cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Giả sử (P) cắt các trục tọa độ tại
Khi đó
Ta có: mà H là trực tâm của tam giác ABC nên
Mặt khác
Trong không gian
,cho tam giác
vuông tại
,
, đường thẳng
có phương trình
, đường thẳng
nằm trên mặt phẳng
. Biết
là điểm có hoành độ dương, gọi
là tọa độ của
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Ta thấy đường thẳng AB có một VTCP là , mặt phẳng (α) có một VTPT là
nên góc giữa AB và (α) là
với
Suy ra
Hơn nữa, AC ⊂ (α) và BC ⊥ AC nên C là hình chiếu của B trên (α).
Ta tìm tọa độ của
Ta viết lại . Điểm A là giao điểm của AB và (α).
Xét phương trình .
Vậy .
Gọi , ta có
Suy ra t’ = −1 hoặc t’ = −3.
Mà B có hoành độ dương nên ta chọn t = −1, khi đó B(2; 3; −4).
Đường thẳng BC vuông góc với (α) nên nhận làm một VTCP, do đó
C chính là giao điểm của BC và (α).
Xét phương trình
Suy ra . Vậy
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Chọn khẳng định đúng.
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Ta có
⇒ .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho bốn điểm
. Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức
. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?
Gọi M(x; y; z) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có
Từ giả thiết
Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm và mặt cầu tâm
Dễ thấy
Trong không gian
, , cho hai mặt cầu
có phương trình lần lượt là
và
. Gọi
là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với cả hai mặt cầu
. Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S1) có tâm I(2; 1; 1) và bán kính .
Mặt cầu (S2) có tâm J(2; 1; 5) và bán kính .
Gọi A, B lần lượt là hai tiếp điểm của (S1), (S2) với mặt phẳng (P).
Gọi M là giao điểm của IJ với mặt phẳng (P). Ta có:
Suy ra J là trung điểm của IM, do đó M(2; 1; 9).
Gọi véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là khi đó phương trình của mặt phẳng (P) là
Ta có:
Mặt khác
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
Từ (1) và (3) ta có:
Từ (2) và (4) suy ra:
Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) bằng .
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng
và mặt phẳng
?
Gọi I là giao điểm của d và (P).
Ta có
Suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và điểm
. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P)?
Mặt phẳng (Q) và song song với (P) nên (Q) có dạng , với
Vì nên
.
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
?
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
đi qua hai điểm
tạo với mặt phẳng
một góc
. Khi đó
thuộc khoảng nào dưới đây?
Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B nên
Vì tạo với mặt phẳng
một góc
nên
Thay a = b = 1 vào phương trình (*) được:
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có
trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với
lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, EF, DH. Tính khoảng cách giữa NP và CG.
Ta biểu diễn các điểm N, P, C, G theo a, b, c được:
Từ đó, ta tính được các vecto tương ứng:
Để tính khoảng cách giữa NP và CG, ta cần tính tích có hướng và tích độ dài giữa chúng rồi áp dụng CT tính khoảng cách:
Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại
và
,
,
vuông góc với mặt đáy
,
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Tính cosin của góc giữa
và
.
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục như hình vẽ, với
. Khi đó ta có:
.
Khi đó:
Ta có: . Gọi
là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) ta có
Lại có
Gọi α là góc giữa MN và (SAC) ta có:
.