Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau nằm trên?
![]()
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của :
Suy ra ta gọi được tâm I của mặt cầu có tọa độ là
Xét là mặt cầu
Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng
tương ứng với .
Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau nằm trên?
![]()
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của :
Suy ra ta gọi được tâm I của mặt cầu có tọa độ là
Xét là mặt cầu
Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng
tương ứng với .
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
.
Trong không gian
, mặt phẳng
và đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
. Góc giữa
và
bằng:
Ta có: có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Vectơ chỉ phương của là
Gọi là góc giữa
và
, ta có:
Cho tam giác ABC có
. Viết phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC của tam giác ABC.
Theo đề bài, ta tính được
Từ đó, suy ra VTPT của mặt phẳng (ABC) là:
Phương trình (ABC) là:
Mặt khác, ta có M là trung điểm của BC nên M có tọa độ là M (-2, 8, -5)
Phương trình mặt phẳng trung trực (P) của cạnh BC là:
Phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC:
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu
tại điểm
là:
Mặt cầu có tâm
.
Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.
Do (α) tiếp xúc với (S) tại P nên mặt phẳng (α) đi qua P và có vectơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng (α) là
Cho điểm P(-3 , 1, -1) và đường thẳng (d): ![]()
Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:
Chuyển (d) về dạng tham số :
Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: , cho qua P tính được D=7 .
Ta có (Q): .
Thế x, y, z theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được
Giao điểm I của (d) và (Q) là I (1, -3, 1) .
Vì I là trung điểm của PP’ nên .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
có phương trình
. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng
?
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng , điểm
có tọa độ không thỏa mãn phương trình đường thẳng
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
cắt các trục tọa độ tại
. Biết trọng tâm của tam giác
là
. Mặt phẳng
song song với mặt phẳng nào sau đây?
Gọi là giao điểm với ba trục tọa độ.
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên
Vậy phương trình mặt phẳng là
Vậy mặt phẳng song song với trong các đáp án đã cho là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt cầu tâm
bán kính
là:
Phương trình mặt cầu tâm bán kính
là:
Tổng quát .
Trong không gian
đường thẳng
và mặt phẳng
. Góc giữa mặt phẳng
và đường thẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
:
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
và
. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d’ một góc lớn nhất.
Đường thẳng có véc-tơ chỉ phương lần lượt là
.
Lấy điểm .
Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng
và cắt trục hoành tại điểm
.
Khi đó có cặp véc-tơ chỉ phương là
và
, suy ra
có véc-tơ pháp tuyến
Gọi là góc giữa đường thẳng
và
, suy ra
Đặt , suy ra
.
Nhận thấy, để góc lớn nhất thì
lớn nhất, điều đó đồng nghĩa với
phải lớn nhất.
Xét .
Trường hợp .
Trường hợp .
Phương trình có nghiệm
khi và chỉ khi
Từ đó suy ra, để tồn tại suy ra
.
Vậy khi đó
. Từ đó suy ra
và mặt phẳng
có phương trình
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng
vuông góc với
và hợp với các trục tọa độ một tứ diện có thể tích bằng
là
Ta có
Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox, Oy, Oz
Suy ra
Ta có thể tích tứ diện
Vậy đáp án cần tìm là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và hai mặt phẳng
. Dường thẳng đi qua
và song song với hai mặt phẳng
có phương trình là
Gọi là đường thẳng cần tìm.
Mặt phẳng có một véc-tơ pháp tuyến là
và
có một vectơ pháp tuyến là
. Ta có
.
Khi đó, đi qua điểm
và nhận véc-tơ
làm vec-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng
là
Với thì điểm
thuộc
. Viết lại phương trình đường thẳng
Trong không gian cho ba điểm
và
. Biết mặt
phẳng qua
và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện
có một vectơ pháp tuyến là
. Tổng
là?
Phương trình là:
Phương trình là:
.
Phương trình là:
Phương trình là:
.
Gọi là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện
.
Do đó:
nằm cùng phía với A đối với
suy ra:
.
nằm cùng phía với B đối với
suy ra:
.
nằm cùng phía với C đối với
suy ra:
.
nằm cùng phía với O đối với
suy ra:
.
Suy ra:
Suy ra: ,
cùng phương với .
Suy ra có một VTPT là
.
Vậy: .
Cho hai điểm
và mặt phẳng
Mặt phẳng
chứa hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình:
Theo đề bài, ta có: ;
Suy ra ;
có vectơ pháp tuyến
Ta có cùng phương với vectơ
Chọn làm 1 vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng
.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
Mặt phẳng :
Trong không gian
, đường thẳng
có một vectơ chỉ phương là:
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:
Trong không gian
, cho các điểm
. Tập hợp các điểm
thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là:
Giả sử
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy tập hợp điểm thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là
.
Trong không gian
, cho tam giác
với
. Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh
của tam giác
nhận vectơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ phương?
Gọi là trung điểm của
, suy ra tọa độ điểm
.
Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có vectơ chỉ phương là
.
Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz:
,
. Với
. Gọi
và
. (D) và (d) cắt nhau khi và chỉ khi:
Để xét điều kiện (D) và (d) cắt nhau ta cẩn kiểm tra rằnng (D) và d cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:
và (d) cùng nằm trong một mặt phẳng
Để (D) và d cắt nhau, ta sẽ xét tỉ số sau:
và (d) cắt nhau.
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính góc tạo bởi
với trục
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Trục có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa và mặt phẳng
: