Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ , sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{5}{13}$
- B.
  $\frac{8}{13}$
- C.
  $\frac{1}{13}$
- D.
  $\frac{12}{13}$
Mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (4;3; - 1)$

Đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;3;1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}$
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - my + z - 1 = 0;(m \in R)$ , mặt phẳng $(Q)$ chứa trục $Ox$ và đi qua điểm $A(1; - 3;1)$ . Tìm tham số m để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau?
- A.
  $m = - 3$
- B.
  $m = - \frac{1}{3}$
- C.
  $m = \frac{1}{3}$
- D.
  $m = 3$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (1; - 3;1) \\ \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt phẳng $(Q)$ chứa trục $Ox$ và đi qua điểm $A(1; - 3;1)$ ⇒ (Q) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(Q)}} = \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{i} ightbrack = (0;1;3)$

Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - m;1)$

Để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau thì

$\overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0 \Leftrightarrow 0.1 + 1.( - m) + 1.3 = 0 \Leftrightarrow m = 3$
Câu 3: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d: \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y}{-1} = \dfrac z 4$ và mặt
cầu (S) tâm I(1;2;1), bán kính R. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với
(S) tạo với nhau góc $60^0$ . Hãy viết phương trình mặt cầu (S)
- A. $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=6$
- B. $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=3$
- C. $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=\dfrac{3}{2}$
- D. $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=1$
Gọi M, N là tiếp điểm của mặt phẳng (P), (Q) và mặt cầu (S). Gọi H là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng d.
$\Rightarrow IH=d(I,d)= \sqrt 6$
TH1: Góc $\widehat {MHN}=60^0$ :
Theo bài ra ta có: $R=IM=IH.\sin30^0= \sqrt 6 .\frac 1 2 = \frac{\sqrt 6}{2}$
$\Rightarrow(S) : (x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2= \frac 3 2$
TH2: Góc $\widehat {MHN}=120^0$ :
Theo bài ra ta có: $R=IM=IH.\sin60^0= \sqrt 6 .\frac {\sqrt 3}{2} = \frac{\sqrt18}{2}$
$\Rightarrow(S) : (x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2= \frac 9 2$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , hãy viết phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(0; - 1;0)$ và vuông góc với đường thẳng $OM$ .
- A.
  $(P):x + y + 1 = 0$
- B.
  $(P):x - y - 1 = 0$
- C.
  $(P):y - 1 = 0$
- D.
  $(P):y + 1 = 0$
Mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(0; - 1;0)$ và có một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{OM} = (0; - 1;0)$ nên có phương là:

$0(y - 0) + ( - 1)(y + 1) + 0(z - 0) = 0 \Leftrightarrow y + 1 = 0$ .
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(Oxy)$ cắt mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 3)^{2} = 25$ theo thiết diện là đường tròn bán kính $r$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $r = 5$
- B.
  $r = 3$
- C.
  $r = 16$
- D.
  $r = 4$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;1; - 3)$ và bán kính $R = 5$ .

Khoảng cách từ tâm $I$ đến $(Oxy)$ bằng $3$ .

$\Rightarrow r = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$
Câu 6: Nhận biết
Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha)$ qua điểm $B (3, 4, -5)$ và có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {3,1, - 1} ight),\,\,\,\overrightarrow b = \left( {1, - 2,1} ight)$ là:
- A. $x - 4y - 7z - 16 = 0$
- B. $x - 4y + 7z + 16 = 0$
- C. $x + 4y + 7z + 16 = 0$
- D. $x + 4y - 7z - 16 = 0$
Vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a \overrightarrow {,b} } ight] = \left( { - 1, - 4, - 7} ight)$ có thể thay thế bởi $\overrightarrow n = \left( {1,4,7} ight)$
Phương trình $(\alpha)$ có dạng $x + 4y + 7z + D = 0$
$B \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow 3 + 16 - 35 + D = 0 \Leftrightarrow D = 16$
Vậy $(\alpha): x + 4y +7z +16 = 0$
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{- 3}$ và mặt phẳng $(P):3x - 3y + 2z + 1 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  d song song với (P).
- B.
  d nằm trong (P).
- C.
  d cắt và không vuông góc với (P).
- D.
  d vuông góc với (P).
Viết lại đường thẳng d ở dạng tham số $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = - t \\ z = 1 - 3t \\ \end{matrix} ight.$

Xét phương trình $3.( - 1 + t) - 3.( - t) + 2.(1 - 3t) + 1 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$

Kết luận phương trình có vô số nghiệm $\Rightarrow d \subset (P)$
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho bốn điểm $A( - 1;3;1),B(1; - 1;2),C(2;1;3),D(0;1; - 1)$ . Mặt phẳng $(P)$ chứa $AB$ và song song với $CD$ có phương trình là:
- A.
  $(P):8x + 3y - 4z + 3 = 0$
- B.
  $(P):x + 2y + 6z - 11 = 0$
- C.
  $(P):x + 2z - 4 = 0$
- D.
  $(P):2x + y - 1 = 0$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 4;1) \\ \overrightarrow{CD} = ( - 2;0; - 4) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ightbrack = (8;3; - 4)$ .

Mặt phẳng (P) đi qua $A( - 1;3;1)$ , nhận $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ightbrack = (8;3; - 4)$ là vectơ pháp tuyến, có phương trình là

$\ 8(x + 1) + 3(y - 3) - 4(z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow 8x + 3y - 4z + 3 = 0$

(Thỏa mãn song song CD nên thỏa mãn đề bài).
Câu 9: Vận dụng
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $A'.ABC$ . là tứ diện đều cạnh $a$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AA';BB'$ . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(CMN)$ .
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{5}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{2}}{5}$
- D.
  $\frac{4\sqrt{2}}{13}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là trung điểm của AB

Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho $\left\{ \begin{matrix} O(0;0;0),A\left( \frac{1}{2};0;0 ight),B\left( - \frac{1}{2};0;0 ight) \\ C\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{2};0 ight),H\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};0 ight);AH' = \frac{a\sqrt{6}}{3} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow A'\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'} \Rightarrow B'\left( - 1;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight)$ . Dễ thấy $(ABC)$ có VTTP $\overrightarrow{n_{1}} = (0;0;1)$

M là trung điểm AA′ $\Rightarrow M\left( \frac{1}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)$

N là trung điểm BB′ $\Rightarrow N\left( \frac{- 3}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)$

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MN} = ( - 1;0;0) \\\overrightarrow{CM} = \left( \dfrac{1}{4};\dfrac{-5\sqrt{3}}{12};\dfrac{\sqrt{6}}{6} ight) \\\end{matrix} ight.$

Suy ra $(CMN)$ có VTTP $\overrightarrow{n_{2}} = \left( 0;\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{5\sqrt{3}}{12} ight) = \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 0;2\sqrt{2};5 ight)$

$\cos\varphi = \frac{5}{\sqrt{33}}\Rightarrow \tan\varphi = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\varphi} - 1} =\frac{2\sqrt{2}}{5}$
Câu 10: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $\widehat{ABC} = 30^{0}$ , $BC = 3\sqrt{2}$ , đường thẳng $BC$ có phương trình $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4}$ , đường thẳng $AB$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha):x + z - 3 = 0$ . Biết rằng đỉnh $C$ có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh $A$ .
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $3$
- C.
  $\frac{9}{2}$
- D.
  $\frac{5}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4} \\ x + z - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(2;3;1)$

Do C ∈ BC nên $C(4 + c;5 + c; - 7 - 4c)$

Theo giả thiết $BC = 3\sqrt{2}$ nên: $18(2 + c)^{2} = 18 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = - 1 \Rightarrow C(3;4; - 3) \\ c = - 3 \Rightarrow C(1;2;5) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt khác đỉnh C có cao độ âm nên C(3; 4; −3).

Gọi $A(x;y;3 - x) \in (\alpha)$ . Do $\widehat{ABC} = 30^{0}$ nên:

$\left\{ \begin{matrix} AB = \frac{3\sqrt{6}}{2} \\ AC = \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (2 - z)^{2} = \frac{27}{2} \\ (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} + (6 - z)^{2} = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ 2x^{2} - 18x + y^{2} - 8y + \frac{113}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10x + 2y - 53 = 0 \\ 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ 2x^{2} - 8x + \left( \frac{53 - 10x}{2} ight)^{2} - 6.\left( \frac{53 - 10x}{2} ight) + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 4 \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A\left( \frac{9}{2};4; - \frac{3}{2} ight)$

Vậy đáp án cần tìm là $\frac{9}{2}$ .
Câu 11: Nhận biết
Cho mặt cầu $(S)$ tâm O, bán kính R và mặt phẳng $(P)$ có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc $(S)$ . Đường thẳng OM cắt $(P)$ tại N. Hình chiếu của O trên $(P)$ là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. NI tiếp xúc với $(S)$
- B. $ON = R\sqrt 2 \Leftrightarrow IN = R$
- C. Cả hai câu trên đều sai
- D. Cả hai câu trên đều đúng
Vì I là hình chiếu của O trên $(P)$ nên $d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = OI$ mà $d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = R$ nên I là tiếp điểm của $(P)$ và $(S)$ .
Đường thẳng OM cắt $(P)$ tại N nên IN vuông góc với OI tại I.
Suy ra IN tiếp xúc với $(S)$ .
Tam giác OIN vuông tại I nên $ON = R\sqrt 2 \Leftrightarrow IN = R$ .
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):2x + y - z - 3 = 0$ và $(Q):x + y + z - 1 = 0$ . Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng $(P),(Q)$ là:
- A.
  $\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 1}{1}$
- B.
  $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
- C.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
- D.
  $\frac{x}{2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z - 1}{- 1}$
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + y - z - 3 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2z - 2 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2z + 2 \\ y = - 3z - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Đặt $z = t$ ta suy ra $x = 2t + 2,y = - 3t - 1$ .

Từ đó ta thu được phương trình đường thẳng: $d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z}{1}$

Xét điểm $A(2; - 1;0) \in d$ , ta thấy $A$ chỉ thuộc đường thẳng: $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 = 0$
- A.
  $I( - 4;1;0),R = 2$
- B.
  $I( - 4;1;0),R = 4$
- C.
  $I(4; - 1;0),R = 2$
- D.
  $I(4; - 1;0),R = 4$
Ta có:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 16$

Vậy tọa độ bán kính và bán kính mặt cầu lần lượt là: $I(4; - 1;0),R = 4$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1; - 2;3)$ . Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I$ bán kính $IM$ ?
- A.
  $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13$
- B.
  $(x + 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 17$
- C.
  $(x + 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13$
- D.
  $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = \sqrt{13}$
Hình chiếu vuông góc của $M$ trên $Ox$ là: $I(1;0;0)$

$\Rightarrow IM = \sqrt{13}$

Suy ra phương trình mặt cầu tâm $I$ bán kính $IM$ là: $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13$ .
Câu 15: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + y + z - 9 = 0$ . Hỏi có bao nhiêu điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ với $a,b,c$ là các số nguyên không âm.
- A.
  $55$
- B.
  $45$
- C.
  $50$
- D.
  $60$
Ta có $(P):x + y + z - 9 = 0 \Rightarrow \frac{x}{9} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1$ nên mặt phẳng $(P)$ đi qua các điểm $A(9; 0; 0), B(0; 9; 0), C(0; 0; 9).$

Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.

Tam giác ABC đều có các cạnh bằng $9\sqrt{2}$ , chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.

Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng $1\ + \ 2\ + \ ...\ + \ 10\ = \ 55$
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 đường thẳng $d_{1}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- m} =\frac{z - 2}{- 3};$ $d_{2}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z -1}{1}$ . Tìm tất cả giá trị thực của $m$ để $d_{1}$ vuông góc với $d_{2}$ ?
- A.
  $m = - 1$
- B.
  $m = 1$
- C.
  $m = - 5$
- D.
  $m = 5$
Vectơ chỉ phương của $d_{1};d_{2}$ lần lượt là: $\overrightarrow{u_{1}} = (2; - m; - 3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;1)$ .

Để $d_{1}\bot d_{2}$ thì $\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = 0 \Leftrightarrow 2 - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$
Câu 17: Vận dụng
Cho tam giác ABC có $A\left( {3, - 1, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( {1,2, - 7} ight);\,\,\,\,C\left( { - 5,14, - 3} ight)$ . Viết phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC của tam giác ABC.
- A. $\left\{ \begin{array}{l}42x - 22y - 3z + 107 = 0\\3x + 6y - 2z - 44 = 0\end{array} ight.$
- B. $\left\{ \begin{array}{l}42x + 22y + 3z + 107 = 0\\3x + 6y + 2z - 44 = 0\end{array} ight.$
- C. $\left\{ \begin{array}{l}42x + 22y - 3z - 107 = 0\\3x - 6y - 2z + 44 = 0\end{array} ight.$
- D. $\left\{ \begin{array}{l}42x + 22y - 3z + 107 = 0\\3x + 6y - 2z + 44 = 0\end{array} ight.$
Theo đề bài, ta tính được $\overrightarrow {BA} = \left( {2, - 3,6} ight),\overrightarrow {BC} = 2\left( { - 3,6,2} ight)$
Từ đó, suy ra VTPT của mặt phẳng (ABC) là: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } ight] = - \left( {42,22, - 3} ight)$
Phương trình (ABC) là:
$\begin{array}{l}\left( {x - 3} ight)42 + \left( {y + 1} ight)22 + \left( {z + 1} ight)\left( { - 3} ight) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {ABC} ight):42x + 22y - 3z - 107 = 0\end{array}$
Mặt khác, ta có M là trung điểm của BC nên M có tọa độ là M (-2, 8, -5)
Phương trình mặt phẳng trung trực (P) của cạnh BC là:
$\left( P ight):\,\,\left( {x + 2} ight)\left( { - 3} ight) + \left( {y - 8} ight)6 + \left( {z + 5} ight)2 = 0$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( P ight):3x - 6y - 2z + 44 = 0\\ \Rightarrow \left( d ight):42x + 22y - 3z - 107 = 0;\,\,3x - 6y - 2z + 44 = 0\end{array}$
Phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC:
$(d):\,\,\left\{ \begin{array}{l}42x + 22y - 3z - 107 = 0\\3x - 6y - 2z + 44 = 0\end{array} ight.$
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ . Tính góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $150^{0}$
Mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 ight)$

Trục $Ox$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$

Gọi α là góc giữa $Ox$ và mặt phẳng $(P)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 19: Nhận biết
Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua hai điểm: $A\left( { - 1,3, - 2} ight);B\left( {2, - 3,4} ight)$
- A. $\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 1\\y = 3 - 6t\\z = 6t - 2\end{array} ight.\,\,\,\,;t \in \mathbb{R}$
- B. $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + m\\y = - 3 - 2m\\z = 4 + 2m\end{array} ight.\,\,;m \in \mathbb{R}$
- C. $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \tan t\\y = 3 + 2\tan t\\z = - 2\tan t - 2\end{array} ight.\,\,;t \in \mathbb{R}$
- D. Cả ba câu trên
Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên VTCP của đường thẳng d chính là $\overrightarrow {AB}$ hay ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3, - 6,6} ight) = 3\left( {1, - 2,2} ight) = - 3\left( { - 1,2, - 2} ight)$
$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 1\\y = 3 - 6t\\z = 6t - 2\end{array} ight.\,\,;t \in \mathbb{R},\,\\hay\,\,\left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + m\\y = - 3 - 2m\\z = 4 + 2m\end{array} ight.\,\,;m \in \mathbb{R}\\\hay\,\,\left( d ight)\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \tan t\\y = 3 + 2\tan t\\z = - 2 - 2\tan t\end{array} ight.\,\,;t \in\mathbb{R}\end{array}$
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P):3x + 4y + 5z + 8 = 0$ và đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha):x - 2y + 1 = 0,(\beta):x - 2z - 3 = 0$ . Góc giữa $d$ và $(P)$ bằng:
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P),(\alpha),(\beta)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (3;4;5) \\ \overrightarrow{n_{\alpha}} = (1; - 2;0) \\ \overrightarrow{n_{\beta}} = (1;0; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{\alpha}};\overrightarrow{n_{\beta}} ightbrack = (4;2;2)$

Gọi $\varphi$ là góc giữa $d$ và $(P)$ , ta có:

$\sin\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{u} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{(P)}} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \varphi = 60^{0}$

13 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!