Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình mặt cầu tâm $I(2;1; - 2)$ bán kính $R = 2$ là:
- A.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 2^{2}$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 4z + 5 = 0$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 4z + 5 = 0$
- D.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 2$
Phương trình mặt cầu tâm $I(2;1; - 2)$ bán kính $R = 2$ là:

$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 2^{2}$

Tổng quát $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 4z + 5 = 0$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ không cùng phương thì giá của vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack$ vuông góc với mọi mặt phẳng với giá của các vectơ $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ .
- B.
  $\left| \left\lbrack\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight| = \left|\overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|.\cos\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight)$ .
- C.
  $\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack.\overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack.\overrightarrow{v} = 0$ .
- D.
  $\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ cùng phương.
Ta có: $\left| \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight| = \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|.sin\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight)$

Vậy khẳng định sai là: $\left|\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight|= \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v}ight|.\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}ight)$ .
Câu 3: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + y + z - 9 = 0$ . Hỏi có bao nhiêu điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ với $a,b,c$ là các số nguyên không âm.
- A.
  $55$
- B.
  $45$
- C.
  $50$
- D.
  $60$
Ta có $(P):x + y + z - 9 = 0 \Rightarrow \frac{x}{9} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1$ nên mặt phẳng $(P)$ đi qua các điểm $A(9; 0; 0), B(0; 9; 0), C(0; 0; 9).$

Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.

Tam giác ABC đều có các cạnh bằng $9\sqrt{2}$ , chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.

Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng $1\ + \ 2\ + \ ...\ + \ 10\ = \ 55$
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $M(1;3; - 1)$
- B.
  $M( - 3;5;3)$
- C.
  $M(3;5;3)$
- D.
  $M(1;2; - 3)$
Nếu một điểm nằm trên một đường thẳng thì khi thay tọa độ điểm đó vào phương trình đường thẳng thì sẽ thỏa mãn phương trình đường thẳng.

Lần lượt thay tọa độ M từ các phương án vào phương trình đường thẳng d ta được M(−3; 5; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;2;0)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):2x + y - 3z + 5 = 0$ ?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P):2x + y - 3z + 5 = 0$ nên $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 3)$ .

Phương trình $\Delta$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)\ \ \ (*)$

Kiểm tra được điểm $M(3;3; - 3)$ thỏa mãn hệ (*).

Vậy phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ cũng là phương trình của $\Delta$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - y + 2z + 1 = 0$ và đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ . Tính góc giữa đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Ta có: $\overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)$

Do đó: $\cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$

Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng $90^{0} - 60^{0} = 30^{0}$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y - 6 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):2x - y - 2z - 9 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; - 2)$

$(Q):x - y - 6 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 1;0)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 8: Vận dụng cao
Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau, được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của mỗi quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà nó tiếp xúc lần lượt bằng 1, 2, 3. Tính tổng các bình phương của hai bán kính của hai quả bóng đó.
- A.
  $22$
- B.
  $26$
- C.
  $20$
- D.
  $24$
Hình vẽ minh họa
Xét quả bóng tiếp xúc với hai bức tường, nền của căn nhà và chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (tương tự với góc tường còn lại).
Gọi $I(a; a; a)$ là tâm của mặt cầu có bán kính $R = a$ .
Phương trình mặt cầu là: $(S):(x - a)^{2}+ (y - a)^{2} + (z - a)^{2} = a^{2}\ \ \ (1)$
Xét điểm $M(x; y; z)$ nằm trên mặt cầu sao cho
$d(M,(Oxz)) = 2, d(M,(Oyz)) = 1, d(M,(Oxy)) = 3.$
Suy ra $M(2; 1; 3).$
Vì M thuộc mặt cầu (S) nên từ (1) ta có:
$(2 - a)^{2} + (1 - a)^{2} + (3 - a)^{2}= a^{2}$
$\Leftrightarrow a^{2} - 6a + 7 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a_{1} = 3 + \sqrt{2} = R_{1} \\a_{2} = 3 - \sqrt{2} = R_{2} \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow {R_{1}}^{2} + {R_{2}}^{2} =22$
Câu 9: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , SAB là tam giác đều và $(SAB)$ vuông góc với $(ABCD)$ . Tính cosϕ với ϕ là góc tạo bởi $(SAC)$ và $(SCD)$
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{7}$
- B.
  $\frac{6}{7}$
- C.
  $\frac{5}{7}$
- D.
  $\frac{\sqrt{2}}{7}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O M, lần lượt là trung điểm của AB; CD.

Vì SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD) nên SO ⊥ (ABCD).

Xét hệ trục $Oxyz$ có $O(0;0;0),M(1;0;0),A\left( 0;\frac{1}{2};0 ight),S\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{2} ight)$

Suy ra $C\left( 1; - \frac{1}{2};0 ight),D\left( 1;\frac{1}{2};0 ight)$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{SA} = \left( 0;\dfrac{1}{2};\dfrac{- \sqrt{3}}{2}ight);\overrightarrow{AC} = (1; - 1;0) \\\overrightarrow{SC} = \left( 1;\dfrac{- 1}{2};\dfrac{- \sqrt{3}}{2}ight);\overrightarrow{CD} = (0;1;0) \\\end{matrix} ight.$

Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{SA};\overrightarrow{AC} ightbrack = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2} ight)$

Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{SC};\overrightarrow{CD} ightbrack = \left( \frac{\sqrt{3}}{2};0;1 ight)$

$\cos\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_{1}} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|} = \frac{5}{7}$
Câu 10: Vận dụng cao
Cho đường thẳng $d:\left\{\begin{matrix} x=-t \\ y=2t-1 \\ z=t+2\end{matrix}ight.$ và mặt phẳng $(\alpha): 2x-y-2z-2=0$ . Mặt phẳng (P) qua d và tạo với $(\alpha )$ một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:
- A. $\vec{n_p}=(-1;1;1)$
- B. $\vec{n_p}=(1;2;-3)$
- C. $\vec{n_p}=(2;1;0)$
- D. $\vec{n_p}=(3;-2;7)$
Gọi $\triangle = (\alpha)\cap (P), A =d \cap(\alpha), B \in d(Beq A)$ ;
H là hình chiếu vuông góc của B lên $(\alpha )$ ; K là hình chiếu của H lên $\triangle$ .
Suy ra: $(\widehat{(d),(\alpha)})=\widehat{BAH}$ cố định; $(\widehat{(\alpha),(P)})=\widehat{BKH}$ .
Mà $\widehat{BKH} \geqslant \widehat{BAH}$ (vì $HK \leq HA$ ) $\Rightarrow (\widehat{d, (\alpha)}) \leq (\widehat{(P),(\alpha)} )$
Suy ra $(\widehat{(P),(\alpha)})$ nhỏ nhất bằng $(\widehat{d, (\alpha)})$ khi $K\equiv A$ .
Khi đó $\triangle \perp d$ và có một VTCP $\vec{u_\triangle} = [\vec{u_d}, \vec{u_\alpha}]=-3(1;0;1)$ .
Vậy (P) có một VTPT là $\vec{n_p} = [\vec{u_\triangle}, \vec{u_d}]=2(-1;1;1)$ .
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu $(S)$ qua bốn điểm $A(3;3;0),B(3;0;3),$ $C(0;3;3),D(3;3;3)$ . Phương trình mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y + \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
- C.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z + \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
- D.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
Gọi phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

Vì mặt cầu đi qua bốn điểm đã cho nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix}18 - 6a - 6b + d = 0 \\18 - 6a - 6c + d = 0 \\18 - 6b - 6c + d = 0 \\27 - 6a - 6b - 6c + d = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\b = \dfrac{3}{2} \\c = \dfrac{3}{2} \\d = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Suy ra tâm mặt cầu $I\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2} ight)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành $ABCD$ với $A(1;1;0),B(1;1;2),D(1;0;2)$ . Diện tích hình bình hành $ABCD$ bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $3$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Gọi $S$ là diện tích hình bình hành $ABCD$ khi đó $S = \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ightbrack ight|$

Mà $\overrightarrow{AB} = (0;0;2);\overrightarrow{AD} = (0; - 1;2)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ightbrack = (2;0;0)$

$\Rightarrow \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ightbrack ight| = 2 \Rightarrow S = 2$

Vậy diện tích hình bình hành $ABCD$ bằng 2.
Câu 13: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; - 1)$ và mặt phẳng $(P):x + y - 2z - 3 = 0$ . Tìm điểm $M \in (P)$ sao cho $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}|$ dạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $M\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight)$ .
- B.
  $M\left( - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2};1 ight)$ .
- C.
  $M(2;2; - 4)$ .
- D.
  $M( - 2; - 2;4)$ .
Gọi $I$ là điểm sao cho $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = 0 \Rightarrow I(0;0;0)$ .

Từ đó:

$|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| = |4\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC})| = 4IM \geq 4IH$

với $H$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $(P)$ .

Từ đó suy ra $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}|$ dạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $M \equiv H$ .

Phương trình đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} ight.$ .

Tọa độ diểm $H$ là nghiệm $(x;y;z)$ của hệ

$\left\{ \begin{matrix}x = t \\y = t \\z = - 2t \\x + y - 2z - 3 = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{1}{2} \\y = \dfrac{1}{2} \\z = - 1 \\t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ ight.$

Suy ra $H = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight)$ .

Vậy, tọa độ điểm $M$ cần tìm là $M = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight)$ .
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;1; - 1)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và chứa trục $Ox$ là:
- A.
  $x + y = 0$
- B.
  $x + z = 0$
- C.
  $y - z = 0$
- D.
  $y + z = 0$
Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n}(0;1;1)$ và đi qua điểm $A(1;1; - 1)$ .

Suy ra phương trình $(P):y + z = 0$ .
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x - 2z - 6 = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ cắt đồng thời vuông góc với $d$ ?
- A.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 2}{1}$
- B.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
- C.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
- D.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$
Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x - 2z - 6 = 0 \\ x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(2;4; - 2)$

Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$ , đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;1; - 1)$

Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1)$

Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1)$ nên có phương trình chính tắc: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 2}{2}$ và điểm $A(3;2;0)$ . Điểm đối xứng với điểm $A$ qua đường thẳng $d$ có tọa độ là:
- A.
  $( - 1;0;4)$
- B.
  $(7;1; - 1)$
- C.
  $(2;1; - 2)$
- D.
  $(0;2; - 5)$
Gọi $M( - 1 + t; - 3 + 2t; - 2 + 2t) \in d$

$\Rightarrow AH = (t - 4;2t - 5;2t - 2)$

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u} = (1;2;2)$

Vì $\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{AH} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH} = 0$

$\Leftrightarrow 1(t - 4) + 2(2t - 5) + 2(2t - 2) = 0 \Leftrightarrow t = 2$

Suy ra M(1; 1; 2), gọi A’(x; y; z) là điểm đối xứng của A qua d thì: $\left\{ \begin{matrix} x = 2.1 - 3 = - 1 \\ y = 2.1 - 2 = 0 \\ z = 2.2 - 0 = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Điểm đối xứng với điểm $A$ qua đường thẳng $d$ có tọa độ là: $( - 1;0;4)$ .
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $M(4;9;8),N(1; - 3;4),P(2;5; - 1)$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua ba điểm $M,N,P$ có phương trình tổng quát $Ax + By + Cz + D = 0$ . Biết $A = 92$ , tìm giá trị của $D$ ?
- A.
  $D = 101$
- B.
  $D = - 101$
- C.
  $D = - 63$
- D.
  $D = 36$
Do $A = 92$ nên mặt phẳng $(P)$ có phương trình $92x + By + Cz + D = 0$

Do $(P)$ đi qua các điểm $A;B;C$ nên ta có hệ:

$\left\{ \begin{matrix} 92.4 + B.9 + C.8 + D = 0 \\ 92.1 + B.( - 3) + C.4 + D = 0 \\ 92.2 + B.5 + C.( - 1) + D = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} B = - 19 \\ C = - 12 \\ D = - 101 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $D = - 101$ .
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + 2y + z - m^{2} - 3m = 0$ và mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 9$ . Tìm tất cả các giá trị của m để $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = - 2 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = - 5$
Ta có mặt cầu $(S)$ có tâm I(1; −1; 1) và bán kính R = 3.

Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ khi và chỉ khi:

$d\left\lbrack I;(P) ightbrack = R \Leftrightarrow \frac{\left| 1 - m^{2} - 3m ight|}{3} = 3$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m^{2} + 3m - 10 = 0 \\ m^{2} + 3m + 8 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 10y - 6z + 49 = 0$ . Tính bán kính của mặt cầu $(S)$ ?
- A.
  $R = 1$
- B.
  $R = 7$
- C.
  $R = \sqrt{151}$
- D.
  $R = \sqrt{99}$
Phương trình mặt cầu:

$(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$

Ta có: $a = 4;b = - 5;c = 3;d = 49$

Khi đó $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = 1$
Câu 20: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$ và $d':\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1}$ . Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d’ một góc lớn nhất.
- A.
  $(P):x - z + 1 = 0$
- B.
  $(P):x - 4y + z - 7 = 0$
- C.
  $(P):3x - 2y - 2z - 1 = 0$
- D.
  $(P): - \ x + 4y - z - 7 = 0$
Đường thẳng $d,d^{'}$ có véc-tơ chỉ phương lần lượt là ${\overrightarrow{u}}_{1} = (2;1;2),{\overrightarrow{u}}_{2} = (1;2;1)$ .

Lấy điểm $A(1; - 1;2) \in d$ .

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và cắt trục hoành tại điểm $B(b;0;0)$ .

Khi đó $(P)$ có cặp véc-tơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{1}$ và $\overrightarrow{AB} = (b - 1;1; - 2)$ , suy ra $(P)$ có véc-tơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{P} = \left\lbrack {\overrightarrow{u}}_{1},\overrightarrow{AB} ightbrack = ( - 4;2b + 2;3 - b)$

Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $d^{'}$ và $(P)$ , suy ra

$sin\varphi = \frac{\left| {\overrightarrow{n}}_{P} \cdot {\overrightarrow{u}}_{2} ight|}{\left| {\overrightarrow{n}}_{P} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{u}}_{2} ight|} = \frac{|3b + 3|}{\sqrt{5b^{2} + 2b + 29} \cdot \sqrt{6}}$

Đặt $y = \frac{b^{2} + 2b + 1}{5b^{2} + 2b + 29} \geq 0$ , suy ra $sin\varphi = \sqrt{y} \cdot \frac{3}{\sqrt{6}}$ .

Nhận thấy, để góc $\varphi$ lớn nhất thì $sin\varphi$ lớn nhất, điều đó đồng nghĩa với $y$ phải lớn nhất.

Xét $y = \frac{b^{2} + 2b + 1}{5b^{2} + 2b + 29} \Leftrightarrow (5y - 1)b^{2} + (2y - 2)b + (29y - 1) = 0$ .

Trường hợp $y = \frac{1}{5} \Rightarrow b = 3$ .

Trường hợp $y eq \frac{1}{5}$ .

Phương trình $(*)$ có nghiệm $b$ khi và chỉ khi

$\Delta^{'} = (y - 1)^{2} - (5y - 1)(29y - 1) \geq 0 \Leftrightarrow - 144y^{2} + 32y \geq 0 \Rightarrow 0 \leq y \leq \frac{2}{9}$

Từ đó suy ra, để tồn tại $b$ suy ra $0 \leq y \leq \frac{2}{9}$ .

Vậy $y_{\max} = \frac{2}{9}$ khi đó $b = 7$ . Từ đó suy ra ${\overrightarrow{n}}_{P} = ( - 4;16; - 4) = - 4(1; - 4;1)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình

$1(x - 1) - 4(y + 1) + 1(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 4y + z - 7 = 0$

53 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!