Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
và đường thẳng
. Tìm điểm
thuộc đường thẳng
để thể tích của tứ diện
bằng
.
Ta có
Phương trình mặt phẳng
Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A suy ra
Mà
Với
Với
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
và đường thẳng
. Tìm điểm
thuộc đường thẳng
để thể tích của tứ diện
bằng
.
Ta có
Phương trình mặt phẳng
Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A suy ra
Mà
Với
Với
Trong không gian
, hai điểm
và
. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính
?
Mặt cầu nhận làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm
của
làm tâm và có bán kính
Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là .
Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại
và
,
,
vuông góc với mặt đáy
,
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Tính cosin của góc giữa
và
.
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục như hình vẽ, với
. Khi đó ta có:
.
Khi đó:
Ta có: . Gọi
là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) ta có
Lại có
Gọi α là góc giữa MN và (SAC) ta có:
.
Trong không gian
, cho hai đường thẳng song song
và
. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (d, d’), đồng thời cách đều hai đường thẳng d và d’.
Lấy .
Đường thẳng cần tìm đi qua trung điểm của MN, là điểm I(3; 0; 2), và song song với d và d’.
Phương trình đường thẳng cần tìm là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt cầu
qua bốn điểm ![]()
. Phương trình mặt cầu
là:
Gọi phương trình mặt cầu có
Vì mặt cầu đi qua bốn điểm đã cho nên ta có hệ phương trình
. Suy ra tâm mặt cầu
và bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình đường thẳng nào được cho dưới đây không phải là phương trình đường thẳng
?
Ta có
Vì điểm nên
không phải là phương trình đường thẳng AB.
Các đường thẳng còn lại đều có vectơ chỉ phương là (1; 1; −5) và đi qua điểm A(2; 3; −1) hoặc đi qua điểm B(1; 2; 4).
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(4, -1, 1), B(3, 1, -1) và song song với trục Ox là:
: vectơ chỉ phương của trục Ox:
.
: Chọn làm vectơ pháp tuyến thì phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng
, qua A nên:
Vậy ta có phương trình mp cần tìm là:
Cho 2 đường thẳng
và 
Mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với
có phương trình tổng quát :
Phương trình (d) cho và vectơ chỉ phương của (d) là:
Phương trình cho vectơ chỉ phương của
là :
Gọi là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :
Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.
Trong hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng chéo nhau
và
. Phương trình mặt phẳng
chứa
và song song với
là
Phương trình tham số
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Phương trình tham số
đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Vì mặt phẳng chứa
và song song với
, ta có:
Mặt phẳng đi qua
và vectơ pháp tuyến
nên phương trình mặt phẳng
hay
.
Trong không gian
, viết phương trình của mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với trục
.
Vì mặt phẳng (P) vuông góc với Ox nên có một vectơ pháp tuyến là vectơ .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
lần lượt có phương trình là
và cho điểm
. Tìm phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng
?
Ta có:
Do vuông góc với
nên
Chọn
Hơn nữa đi qua
nên có phương trình là:
Cho hai điểm
. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
vuông góc với AB, cắt ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại M, N, E sao cho thể tích hình chóp
bằng
đvtt.
Vecto pháp tuyến của
Phương trình
cắt 3 trục tọa độ tại
Thể tích hình chóp là:
Cho hình lập phương
có tâm
. Gọi
là tâm của hình vuông
và điểm
sao cho
(tham khảo hình vẽ).

Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng
Gắn hệ tọa độ như hình vẽ:
Cạnh hình lập phương là 1, ta được tọa độ các điểm như sau:
Khi đó
Suy ra
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính góc tạo bởi
với trục
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Trục có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa và mặt phẳng
:
Trong không gian
, cho mặt cầu
. Tính bán kính
của
?
Bán kính mặt cầu là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Đường thẳng d cắt mặt cầu
tại hai điểm
. Biết tiếp diện của
tại
vuông góc. Tính độ dài
.
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm , bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.
Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.
Suy ra .
Trong không gian
, cho điểm
và đường thẳng
. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
Gọi
Ta có .
Trong không gian
, cho hai điểm
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
.
Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AB có tọa độ I(0; 1; 1).
Mặt phẳng (OAB) có véc-tơ pháp tuyến .
Suy ra đường thẳng ∆ có và đi qua I(0; 1; 1).
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt
cầu (S) tâm I(1;2;1), bán kính R. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với
(S) tạo với nhau góc
. Hãy viết phương trình mặt cầu (S)

Gọi M, N là tiếp điểm của mặt phẳng (P), (Q) và mặt cầu (S). Gọi H là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng d.
TH1: Góc :
Theo bài ra ta có:
TH2: Góc :
Theo bài ra ta có:
.