Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
có các vectơ pháp tuyến là
. Góc
là góc giữa hai mặt phẳng đó
là biểu thức nào sau đây?
Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
có các vectơ pháp tuyến là
. Góc
là góc giữa hai mặt phẳng đó
là biểu thức nào sau đây?
Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:
Cho hình lăng trụ
có
. là tứ diện đều cạnh
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Gọi O là trung điểm của AB
Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho
Ta có: . Dễ thấy
có VTTP
M là trung điểm AA′
N là trung điểm BB′
Suy ra có VTTP
Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau, được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của mỗi quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà nó tiếp xúc lần lượt bằng 1, 2, 3. Tính tổng các bình phương của hai bán kính của hai quả bóng đó.
Hình vẽ minh họa
Xét quả bóng tiếp xúc với hai bức tường, nền của căn nhà và chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (tương tự với góc tường còn lại).
Gọi là tâm của mặt cầu có bán kính
.
Phương trình mặt cầu là:
Xét điểm nằm trên mặt cầu sao cho
Suy ra
Vì M thuộc mặt cầu (S) nên từ (1) ta có:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với hai mặt phẳng
và
. Phương trình của mặt phẳng
là
Ta có các vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) là
Theo giả thiết mặt phẳng (α) vuông góc với (P) và (Q) do đó
Suy ra, phương trình mặt phẳng (α) có dạng
Hay
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
đi qua hai điểm
tạo với mặt phẳng
một góc
. Khi đó
thuộc khoảng nào dưới đây?
Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B nên
Vì tạo với mặt phẳng
một góc
nên
Thay a = b = 1 vào phương trình (*) được:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho phương trình đường thẳng
. Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng
?
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:
.
Trong không gian
, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để
là một phương trình mặt cầu
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi
Theo bài ra
Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
?
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
nên
có một vectơ chỉ phương là
.
Phương trình là
Kiểm tra được điểm thỏa mãn hệ (*).
Vậy phương trình: cũng là phương trình của
.
Khoảng cánh giữa hai đường thẳng :
và
là:
Chuyển d1 về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của (d1):
.
Chuyển (d2) về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của
Áp dụng công thức tính Khoảng cách d1 và d2 , ta được:
.
Một hình cầu có bán kính là 2m, một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ dài là
. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:
Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d, ta có .
Theo giả thiết R = 2m và .
Vậy .
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật với
. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng
. Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp
và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
. Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

Ta có .
Trong , ta có
Ta có .
Mặt khác, ta lại có .
Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, khoảng cách từ điểm
tới đường thẳng
bằng:
Đường thẳng đi qua
, có véc-tơ chỉ phương
.
Ta có và
.
Vậy khoảng cách từ đến đường thẳng
là:
Trong không gian với hệ tọa độ
; cho điểm
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của điểm
trên ba trục tọa độ
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Có là hình chiếu của
lên các trục tọa độ nên mặt phẳng cần tìm là
Trong không gian
, cho các điểm
. Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng
?
Ta có
là 1 VTPT của mặt phẳng (ABC).
Do đó đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) có VTPT cùng phương với vectơ (−2; −1; 1).
Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D đường thẳng có 1 VTPT là (−2; 1; 1) cùng phương với (−2; −1; 1).
Trong không gian Oxyz, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
qua A và nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
.
Cho hai đường thẳng chéo nhau
và ![]()
Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:
Phương trình (d) cho biết và (d) có vectơ chỉ phương
Chuyển về dạng tham số
để có
và vectơ chỉ phương
.
Gọi I là trung điểm AB thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ .
là phương trình của mặt phẳng (P).
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính góc tạo bởi
với trục
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Trục có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa và mặt phẳng
:
Trong không gian
, cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính
?
Phương trình mặt cầu có bán kính
Xét phương trình mặt cầu ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất là:
Giả sử với
là các số thực dương do
khác 0.
Khi đó phương trình mặt phẳng qua
có phương trình là
Mà nên
, do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
T đạt giá trị nhỏ nhất nên ta có dấu bằng xảy ra, tức là:
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là .