Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Ta có:
Do đó:
Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Ta có:
Do đó:
Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
cắt mặt phẳng
tại điểm
. Khi đó
bằng:
Ta có suy ra
Vì nên tọa độ của I có dạng
.
Vì nên ta có phương trình:
Vậy suy ra
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt cầu tâm
bán kính
là:
Phương trình mặt cầu tâm bán kính
là:
Tổng quát .
Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong (S) sau là mặt cầu:
.
Theo đề bài, ta có:
là mặt cầu
Trong không gian
, đường thẳng đi qua
và nhận
làm vectơ chỉ phương có phương trình là:
Đường thẳng đi qua và nhận
làm vectơ chỉ phương có phương trình là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu
tại điểm
là:
Mặt cầu có tâm
.
Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.
Do (α) tiếp xúc với (S) tại P nên mặt phẳng (α) đi qua P và có vectơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng (α) là
Trong không gian
, cho ba điểm
. Đường thẳng
qua trực tâm
của tam giác
và nằm trong mặt phẳng
cùng tạo với các đường thẳng
một góc
có một véc-tơ chỉ phương là
với
là số nguyên tố và
là số nguyên. Giá trị biểu thức
bằng bao nhiêu?
Ta có:
Theo đề bài, ta suy ra:
Vì ∆ ⊂ (ABC) nên
Trường hợp 1: Xét hệ phương trình:
Chọn c = 11, ta có (kiểm tra lại điều kiện
ta thấy
đang xét thỏa mãn).
Trường hợp 2: Xét hệ phương trình
Chọn c = 2, ta có (kiểm tra lại điều kiện
ta thấy
đang xét không thỏa mãn).
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm
và
?
Ta có là vectơ chỉ phương của đường thẳng
. Phương trình chính tắc của đường thẳng
là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
, mặt phẳng
. Gọi
là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
,
song song với giá của vectơ
và
tiếp xúc với
. Lập phương trình mặt phẳng
.
Mặt cầu có tâm I(1; −3; 2) và bán kính
.
Từ giả thiết suy ra là một vectơ pháp tuyến của
.
Ta có , suy ra
có vectơ pháp tuyến
Vậy có phương trình dạng
Do tiếp xúc với mặt cầu
nên:
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
có các vectơ pháp tuyến là
. Góc
là góc giữa hai mặt phẳng đó
là biểu thức nào sau đây?
Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
, mặt phẳng
chứa trục
và đi qua điểm
. Tìm tham số m để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau?
Ta có
Mặt phẳng chứa trục
và đi qua điểm
⇒ (Q) có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến
Để hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau thì
Cho điểm
và mặt phẳng
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P).Tọa độ điểm A’ là :
Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua A vuông góc với (P): .
Thế x, y, z theo t vào phương trình của (P), ta được:
Thế tiếp vào phương trình của (d) được giao điểm I của (d) và (P):
Mặt khác, I là trung điểm của AA' nên suy ra được:
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
.
Trong không gian với hệ tọa đô
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
sao cho thể tích tứ diện
nhỏ nhất.
đi qua điểm nào dưới đây?
Gọi với
Phương trình mặt phẳng
Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Thể tích tứ diện là
Đẳng thức xảy ra khi
Phương trình mặt phẳng là
Mặt phẳng đi qua điểm
.
Cho tam giác ABC có
.
Viết phương trình tổng quát của cạnh AC.
(AC) là đường thẳng đi qua 2 điểm A và C nên nhận làm 1 VTCP.
(AC) đi qua C (3,-2,5) và có 1 VTCP là (1,-2,4) có phương trình chính tắc:
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm
. Chọn kết luận đúng?
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ![]()
. Gọi
là mặt cầu tâm
bán kính bằng
là mặt cầu tâm
bán kính bằng
. Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với hai mặt cầu
đồng thời song song với đường thẳng đi qua 2 điểm
,
?
Hình vẽ minh họa:
Ta có nên
nằm bên trong mặt cầu
.
Một mặt phẳng qua và
cắt hai mặt cầu theo hai đường tròn giao tuyến như hình bên.
Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn, tiếp tuyến này sẽ cắt đường thẳng tại
.
Gọi lần lượt là tiếp điểm với hai đường tròn như hình vẽ.
Tam giác đồng dạng tam giác
nên
.
Suy ra .
Gọi là mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu
và
.
Khi đó sẽ luôn đi qua
.
Gọi với
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
.
Phương trình .
Ta có:
Trường hợp : chọn
.
Khi đó (nhận).
Trường hợp : chọn
.
Khi đó (loại vì chứa
).
Trong không gian với hệ tọa độ
cho hai mặt phẳng
và
. Có bao nhiêu điểm
trên trục
thỏa mãn
cách đều hai mặt phẳng
và
?
Vì nên
Ta có: .
Theo giả thiết:
Vậy có 1 điểm thỏa mãn bài.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Mặt phẳng
qua
tạo với
một góc
và nhận vectơ
làm một vectơ pháp tuyến. Xác định tích
?
Hai đường phẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là
Mặt phẳng (P) đi qua
Từ (1) và (2) suy ra
Cho điểm
và đường thẳng
. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua
. Tọa độ điểm A' là:
Đưa phương trình về dạng tham số:
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với .
Phương trình mp (P) có dạng , qua A nên D = -2
Phương trình (P) là:
Thế x, y, z từ phương trình vào phương trình (P) được t=1
I là trung điểm của AA' nên:
.