Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
có một vectơ chỉ phương có tọa độ là:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
.
Do nên vectơ
cũng là một vectơ chỉ phương của
.
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
có một vectơ chỉ phương có tọa độ là:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
.
Do nên vectơ
cũng là một vectơ chỉ phương của
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt cầu
và các điểm
. Gọi
là điểm thay đổi trên
là điểm thay đổi trên
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
là:
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu có tâm
bán kính bằng
mặt cầu
có tâm
bán kính bằng 2 .
Ta có 4 diểm là 4 dỉnh của hình vuông cạnh bằng 4 và
.
Ta có (c.g.c)
.
Ta có (c.g.c)
.
Vậy nhỏ nhất là bằng
, dấu "
" xảy ra khi
là giao điểm của
với các mặt cầu.
Hai đường thẳng
và ![]()
Ta có đường thẳng (d’) qua E (-1, -1, 0) có vecto chỉ phương
Hai pháp vecto của hai đường thẳng lần lượt là
Vecto chỉ phương của
Ta có: và tọa độ
thỏa mãn phương trình của
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
, mặt phẳng
và đường thẳng
. Gọi
là các đường thẳng đi qua
, nằm trong
và đều có khoảng cách đến đường thẳng
bằng
. Côsin của góc giữa
và
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Gọi H K; lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên và
, ta có:
Trong không gian
, cho
. Tính diện tích tam giác
?
Ta có:
Lại có diện tích tam giác là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có tâm
có bán kính bằng
. Phương trình của
là:
Mặt cầu có tâm
và bán kính bằng
có phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ
cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Gọi
là giao điểm của
và
và
là điểm thuộc đường thẳng
sao cho
. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
Gọi
Khi đó ta có:
Gọi là hình chiếu của
lên mặt phẳng
, khi đó:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và hai đường thẳng
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm
, cắt
và vuông góc với
.
Gọi là đường thẳng đi qua điểm
, cắt
và vuông góc với
.
Giả sử .
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
là:
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Ta có
Suy ra một vectơ pháp tuyến của là
Hơn nữa, trung điểm của AB là I(2; 4; −3) thuộc mặt phẳng (P) nên
.
Cho 2 đường thẳng
và 
Mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với
có phương trình tổng quát :
Phương trình (d) cho và vectơ chỉ phương của (d) là:
Phương trình cho vectơ chỉ phương của
là :
Gọi là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :
Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.
Trong không gian với hệ tọa độ
cho ba điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Viết phương trình tham số của đường thẳng ![]()
Theo đề bài, đường thẳng d là giao của 2 mặt phẳng, ta gọi 2 mặt phẳng (P) và (Q) tương ứng lần lượt là:
Mp (P) và (Q) có 2 vecto pháp tuyến tương ứng là:
Từ đây ta suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng (d) là tích có hướng của 2 VTPT:
Cho y = 0, ta có:
Đường thẳng (d) đi qua A( 1, 0, 2) và nhận vecto (1,2,4) làm 1 VTCP có PTTS là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo thiết diện là đường tròn bán kính
bằng bao nhiêu?
Mặt cầu có tâm
và bán kính
.
Khoảng cách từ tâm đến
bằng
.
Trong không gian
cho hai mặt phẳng ![]()
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
. Xác định
để hai mặt phẳng
và
song song với nhau?
Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi
Tập xác định
Vậy thì hai mặt phẳng
song song với nhau.
Một hình cầu có bán kính là 2m, một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ dài là
. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:
Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d, ta có .
Theo giả thiết R = 2m và .
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Đường thẳng d cắt mặt cầu
tại hai điểm
. Biết tiếp diện của
tại
vuông góc. Tính độ dài
.
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm , bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.
Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.
Suy ra .
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình chính tắc của đường thẳng
đi qua điểm
có vectơ chỉ phương
là:
Phương trình đường thẳng đi qua điểm có vectơ chỉ phương
nên có phương trình:
.