Trong không gian
, hãy tính
và
lần lượt là khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
và mặt phẳng
?
Do mặt phẳng có phương trình y = 0 nên
Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên
Trong không gian
, hãy tính
và
lần lượt là khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
và mặt phẳng
?
Do mặt phẳng có phương trình y = 0 nên
Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có tâm
và đi qua điểm
. Phương trình mặt cầu
là:
Phương trình mặt cầu có tâm
và bán kính
là:
Ta có:
Vậy phương trình cần tìm là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
.
Ta có:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Từ đó phương trình mặt phẳng là
.
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
có các vectơ pháp tuyến là
. Góc
là góc giữa hai mặt phẳng đó
là biểu thức nào sau đây?
Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
lên
. Tìm tọa độ điểm
?
Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên (P) nên
Điểm H thuộc mặt phẳng (P) nên ta có phương trình:
Trong không gian với hệ trục
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Côsin của góc tạo bởi đường thẳng
và mặt phẳng
là
Ta có:
Khi đó
Vì nên
Trong không gian tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Gọi
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có: có một vectơ chỉ phương là
,
có một vectơ pháp tuyến là
.
Từ đó:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho 2 đường thẳng ![]()
. Tìm tất cả giá trị thực của
để
vuông góc với
?
Vectơ chỉ phương của lần lượt là:
.
Để thì
Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau nằm trên?
![]()
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của :
Suy ra ta gọi được tâm I của mặt cầu có tọa độ là
Xét là mặt cầu
Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng
tương ứng với .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Đường thẳng
đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
. Hỏi
đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có:
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
Phương trình đường thẳng
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 1).
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với
.
Hình vẽ minh họa
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên
Do vậy mặt cầu tâm O tiếp xúc với (P) nhận OH làm bán kính
⇒ Phương trình mặt cầu là .
Trong không gian
, đường thẳng
có một vectơ chỉ phương là:
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:
Điều kiện để
là một mặt cầu là:
Theo đề bài, ta có:
có dạng:
Như vậy, (S) là mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ
cho mặt cầu
và điểm
. Ba mặt phẳng thay đổi đi qua
và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.

Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là
Với điểm I bất kỳ, hạ lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng
thì ta luôn có:
(1) .
Thật vậy , ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với , ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng
.
Khi đó tọa độ I(a;b;c) thì:
hay .
Vậy (1) được chứng minh.

Áp dụng giải bài:
Mặt cầu (S) có tâm và có bán kính
.
.
Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là và cắt mặt cầu (S) theo ba đường tròn lần lượt là
.
Gọi và
lần lượt là tâm và bán kính của
.
Khi đó : .
Tương tự có: và
.
Theo nhận xét ở trên ta có:
Ta có tổng diện tích các đường tròn là :
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và hai mặt phẳng
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua
và song song với hai mặt phẳng
?
Ta có:
Do đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương là .
Vậy phương trình đường thẳng d là
Trong không gian với hệ toạ độ
, mặt phẳng
đi qua hai điểm
và vuông góc với mặt phẳng
. Tính tổng
.
Từ giả thiết ta có hệ phương trình:
Trong không gian với hệ tọa độ
, đường thẳng
đi qua điểm nào sau đây?
Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng
ta được
, do đó điểm này thuộc đường thẳng
.
Cho hai đường thẳng: ![]()
và mặt phẳng
.
Hình chiếu của
theo phương của
lên mặt phẳng
có phương trình tổng quát:
Vectơ chỉ phương của Vectơ chỉ phương của
Phương trình của mặt phẳng chứa và có phương của
có dạng:
Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này
=> D = -53
Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng là hình chiếu của
theo phương của
lên
:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng:
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục tọa độ sao cho , như hình vẽ:
Khi đó ta có:
và
Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng
và
.
Ta có
Mà .
Suy ra .
Trong không gian
, cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Trong không gian , cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?