Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu $(S): (x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=16$ và điểm $A(1;2;3)$ . Ba mặt phẳng thay đổi đi qua $A$ và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.
- A. $10 \pi$
- B. $38 \pi$
- C. $33 \pi$
- D. $36\pi$
Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là $(P), (Q), (R).$
Với điểm I bất kỳ, hạ $II_1, II_2, II_3$ lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng $(P), (Q), (R)$ thì ta luôn có: $IA^2 = II_1 ^2+ II_2^2, II_3 ^2$ (1) .
Thật vậy , ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với $O\equiv A$ , ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng $(P), (Q), (R).$ .
Khi đó tọa độ I(a;b;c) thì:
$IA^2=a^2+b^2+c^2=d^2(A;(Iyz))+d^2(A;(Ixz))+d^2(A;(Ixy))$
hay $IA^2=II_1^2+II_2^2+II_3^2$ .
Vậy (1) được chứng minh.
Áp dụng giải bài:
Mặt cầu (S) có tâm $I(1;-1;2)$ và có bán kính $r=4$ .
$\overrightarrow {IA}=(0;3;1) \Rightarrow IA= \sqrt {10}$ .
Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là $(P), (Q), (R)$ và cắt mặt cầu (S) theo ba đường tròn lần lượt là $(C_1),(C_2),(C_3)$ .
Gọi $I_1, I_2, I_3$ và $r_1, r_2, r_3$ lần lượt là tâm và bán kính của $(C_1),(C_2),(C_3)$ .
Khi đó : $II_1\perp (P) \Rightarrow II_1^2+r_1^2=r^2 \Rightarrow r_1^2=r^2-II_1^2$ .
Tương tự có: $r_2^2=r^2-II_2^2$ và $r_3^2=r^2-II_3^2$ .
Theo nhận xét ở trên ta có: $IA^2=II_1^2+II_2^2+II_3^2$
Ta có tổng diện tích các đường tròn là :
$S= \pi(r_1^2+r_2^2+r_3^2)$ $=\pi(r^2-II_1^2+r^2-II_2^2+r^2-II_3^2)$
$=\pi[3r^2-(II_1^2+II_2^2+II_3^2)]$
$=\pi(3r^2-IA^2)=38 \pi$ .
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):x + 2y - 2z + 3 = 0;$ $(Q):x + 2y - 2z - 1 =0$ . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là
- A.
  $\frac{4}{9}$
- B.
  $\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{4}{3}$
- D.
  $- \frac{4}{3}$
Lấy $M( - 3;0;0) \in (P)$ .

Vì $(P)//(Q)$ nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q).

$d\left( M;(Q) ight) = \frac{\left| x_{M} + 2y_{M} - 2z_{M} - 1 ight|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = \frac{4}{3}$ .
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 25$ . Đường thẳng d cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $A, B$ . Biết tiếp diện của $(S)$ tại $A, B$ vuông góc. Tính độ dài $AB$ .
- A.
  $AB = \frac{5}{2}$
- B.
  $AB = 5$
- C.
  $AB = 5\sqrt{2}$
- D.
  $AB = \frac{5\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; −1)$ , bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.

Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.

Suy ra $AB = IA.\sqrt{2} = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ .
Câu 4: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(1; 0; 0), B(3; 2; 1)$ , $C\left( - \frac{5}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng $(ABC)$ nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng $(MAB),(MBC),(MCA)$ hợp với mặt phẳng $(ABC)$ các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.
- A.
  $\frac{\sqrt{26}}{3}$
- B.
  $\frac{5}{3}$
- C.
  $\sqrt{3}$
- D.
  $\frac{\sqrt{28}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).

Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn

$BC.\overrightarrow{HA} + AC.\overrightarrow{HB} + AB.\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}$

Ta có $AB = 3, AC = 4, BC = 5$ , suy ra

$\left\{ \begin{matrix} 5(x - 1) + 4(x - 3) + 3x + 5 = 0 \\ 5y + 4(y - 2) + 3y - 4 = 0\ \\ 5z + 4(z - 1) + 3z - 8 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow H(1;1;1)$

Phương trình đường thẳng MH nhận $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{ABC}}$ làm vectơ chỉ phương nên MH là: $\left\{ \begin{matrix} x\ = \ 1\ + \ t \\ y\ = \ 1\ - \ 2t \\ z\ = \ 1\ + \ 2t \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó: $OM_{\min} = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MH};\overrightarrow{OH} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{MH} ight|} = \frac{\sqrt{26}}{3}$
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z - 5}{4}$ và mặt phẳng $(P):x - 3y + 2z - 5 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $d$ cắt và không vuông góc với $(P)$ .
- B.
  $d$ vuông góc với $(P)$ .
- C.
  $d$ song song với $(P)$ .
- D.
  $d$ nằm trong $(P)$ .
Ta có: $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (2; - 3;4)$ , $(P)$ có véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 3;2)$ .

Do $\overrightarrow{u}$ không cùng phương $\overrightarrow{n}$ nên $d$ cắt $(P)$ .

Mặt khác $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 19 eq 0$ nên $d$ không vuông góc $(P)$ .

Vậy $d$ cắt nhưng không vuông góc với $(P)$ .
Câu 6: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(4;2;5),B(0;4; - 3),C(2; - 3;7)$ . Biết điểm $M(x;y;z)$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $P = x + y + z$ .
- A.
  $P = 0$
- B.
  $P = 6$
- C.
  $P = 3$
- D.
  $P = - 3$
Vì M ∈ (Oxy) nên $M(x;y;0)$ .

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có G(2; 1; 3).

Khi đó:

$\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = \left| \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight|$

$= \left| 3\overrightarrow{MG} ight| = 3MG = 3\sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + 3^{2}} \geq 9$

Dấu “=” xảy ra khi x= 2 và y= 1 hay M(2; 1; 0).

Vậy P = 3
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ ,cho đường thẳng $d:\frac{x - 5}{2} = \frac{y + 7}{2} = \frac{z - 12}{- 1}$ và mặt phẳng $(\alpha):x + 2y - 3z - 3 = 0$ . Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $(\alpha)$ , $A$ thuộc $d$ sao cho $AM = \sqrt{14}$ . Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ .
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $6$
- D.
  $\sqrt{14}$
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng $d:\frac{x - 5}{2} = \frac{y + 7}{2} = \frac{z - 12}{- 1}$ có một vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u} = (2;2; - 1)$

Mặt phẳng $(\alpha):x + 2y - 3z - 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1;2; - 3)$

Ta có: $\sin\left( d;(\alpha) ight) = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{3\sqrt{14}}{14}$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (α).

Khi đó tam giác ∆MAH vuông tại H nên $\sin\left( d;(\alpha) ight) = \sin\widehat{AMH} = \frac{AH}{AM}$

$AH = \sin\left( d;(\alpha) ight).AM = 3$

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) bằng 3.
Câu 8: Thông hiểu
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB với $A\left( {\,1,\,\,4,\,\,3\,} ight);\,\,B\left( {\,3,\,\, - 6,\,\,5\,} ight).$
- A. $x\,\, - \,\,5y\,\, + \,\,z\,\, - 1 = \,\,0$
- B. $x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,z\,\, - 11 = \,\,0$
- C. $x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,z\,\, + 11 = \,\,0$
- D. $x\,\, - \,\,5y\,\, + \,\,z\,\, - 11 = \,\,0$
Vì I là trung điểm của đoạn AB nên ta có tọa độ điểm I là: $I\left( {2, - 1,4} ight)$
Mặt khác, ta lại có (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB nên (P) nhận $\vec{AB}$ làm 1 VTPT. Ta có VTPT của $\left( P ight):\,\,\overrightarrow {AB} = 2\left( {1, - 5,1} ight)$
$\Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 2} ight)1 + \left( {y + 1} ight)\left( { - 5} ight) + \left( {z - 4} ight).1 = 0$
$\Leftrightarrow x - 5y + z - 11 = 0$
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(1;1;2),B(3;2; - 3)$ . Mặt cầu $(S)$ có tâm $I \in Ox$ và đi qua hai điểm $A;B$ có phương trình là:
- A.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 = 0$
- B.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 8x + 2 = 0$
- C.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2 = 0$
- D.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x - 2 = 0$
Ta có: $I \in Ox \Rightarrow I(a;0;0)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = (1 - a;1;2) \\ \overrightarrow{IB} = (3 - a;2; - 3) \\ \end{matrix} ight.$

Vì $(S)$ đi qua hai điểm $A;B$ nên

$IA = IB \Leftrightarrow \sqrt{(1 - a)^{2} + 5} = \sqrt{(3 - a)^{2} + 13}$

$\Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4 \Rightarrow I(4;0;0)$

$\Rightarrow R = IA = \sqrt{14}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 = 0$ .
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 = 0$
- A.
  $I( - 4;1;0),R = 2$
- B.
  $I( - 4;1;0),R = 4$
- C.
  $I(4; - 1;0),R = 2$
- D.
  $I(4; - 1;0),R = 4$
Ta có:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 16$

Vậy tọa độ bán kính và bán kính mặt cầu lần lượt là: $I(4; - 1;0),R = 4$
Câu 11: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1),B(2;0;1),C( - 2;2;3)$ . Đường thẳng $\Delta$ qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ và nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ cùng tạo với các đường thẳng $AB;AC$ một góc $\alpha < 45^{0}$ có một véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ với $c$ là số nguyên tố và $a;b$ là số nguyên. Giá trị biểu thức $ab + bc + ca$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $- 67$
- B.
  $23$
- C.
  $- 33$
- D.
  $- 37$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (1; - 2;2);\overrightarrow{AC} = ( - 3;0;4)$

$\overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 8; - 10; - 6)$

$\cos(AB;\Delta) = \frac{|a - 2b + 2c|}{3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

$\cos(AC;\Delta) = \frac{| - 3a + 4c|}{5\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Theo đề bài, ta suy ra:

$\cos(AB;\Delta) = \cos(AC;\Delta)$

$\Leftrightarrow 5|a - 2b + 2c| = 3| - 3a + 4c|$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 7a - 5b - c = 0\ \ \ (1) \\ 2a + 5b - 11c = 0\ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.$

Vì ∆ ⊂ (ABC) nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_{(ABC)}} = 0 \Leftrightarrow 4a + 5b + 3c = 0\ \ (3)$

Trường hợp 1: Xét hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}7a - 5b - c = 0 \\4a + 5b + 3c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{- 2c}{11} \\b = \dfrac{- 5c}{11} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = \left(\dfrac{- 2c}{11};\dfrac{- 5c}{11};c ight)$

Chọn c = 11, ta có $\overrightarrow{u} = ( - 2; - 5;11)$ (kiểm tra lại điều kiện $\alpha < 45^{0}$ ta thấy $\overrightarrow{u}$ đang xét thỏa mãn).

Trường hợp 2: Xét hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} 2a + 5b - 11c = 0 \\ 4a + 5b + 3c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 7c \\ b = 5c \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = ( - 7c;5c;c)$

Chọn c = 2, ta có $\overrightarrow{u} = ( - 14;10;2)$ (kiểm tra lại điều kiện $\alpha < 45^{0}$ ta thấy $\overrightarrow{u}$ đang xét không thỏa mãn).

Vậy $ab + bc + ca = −67$
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;4;2),B( - 1;2;4)$ và đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = - 2 + t \\ z = 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Điểm $M \in \Delta$ mà tổng $MA^{2} + MB^{2}$ có giá trị nhỏ nhất có tọa độ là:
- A.
  $( - 1;0;4)$
- B.
  $(0; - 1;4)$
- C.
  $(1;0;4)$
- D.
  $(1; - 2;0)$
Vì $M \in \Delta$ nên ta có tọa độ điểm $M(1 - t; - 2 + t;2t)$ .

Ta có:

$MA^{2} + MB^{2} = ( - t)^{2} + (t - 6)^{2} + (2t - 2)^{2} + (2 - t)^{2} + (t - 4)^{2} + (2t - 4)^{2}$

$= 12t^{2} - 48t + 76 = 12(t - 2)^{2} + 28 \geq 28$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $MA^{2} + MB^{2}$ là $28$ khi $t = 2 \Rightarrow M( - 1;0;4)$ .
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x + y - 2z + 1 = 0$ đi qua điểm $M(1; - 2;0)$ và cắt đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 11 + 2t \\ y = 2t \\ z = - 4t \\ \end{matrix}\ (t \in \mathbb{R}) ight.$ tại $N$ . Tính độ dài đoạn $MN$ .
- A.
  $7\sqrt{6}$ .
- B.
  $3\sqrt{11}$ .
- C.
  $\sqrt{10}$ .
- D.
  $4\sqrt{5}$ .
Điểm $N \in (d) \Rightarrow N(11 + 2t;2t; - 4t)$ . Mặt khác $N \in (\alpha)$ nên

$11 + 2t + 2t - 2( - 4t) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

Điểm $N(9; - 2;4) \Rightarrow \overrightarrow{MN} = (8;0;4) \Rightarrow MN = 4\sqrt{5}$ .
Câu 14: Nhận biết
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(4, -1, 1), B(3, 1, -1) và song song với trục Ox là:
- A. $y+z+2=0$
- B. $y-z-2=0$
- C. $y+z=0$
- D. $y-z=0$
$\overrightarrow {AB} = \left( { - 1,2, - 2} ight)$ : vectơ chỉ phương của trục Ox: $\overrightarrow i = \left( {1,0,0} ight)$ .
$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow i } ight] = \left( {0, - 2, - 2} ight)$ : Chọn làm vectơ pháp tuyến thì phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng $y + z + D = 0$ , qua A nên: $- 1 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = 0$
Vậy ta có phương trình mp cần tìm là: $y+z=0$
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S):x^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 6.$ Đường kính của $(S)$ bằng
- A.
  $\sqrt{6}$ .
- B.
  $12$ .
- C.
  $2\sqrt{6}$ .
- D.
  $3$ .
Ta có bán kính của $(S)$ là $\sqrt{6}$ nên đường kính của $(S)$ bằng $2\sqrt{6}$ .
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = - t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d':\frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{2}$ . Vị trí tương đối của $d$ và $d'$ là
- A.
  Song song
- B.
  Trùng nhau
- C.
  Chéo nhau
- D.
  Cắt nhau
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (3; - 1; - 2)$ và đi qua điểm M(−1; 0; 1).

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d'}} = ( - 3;1;2)$ .

Hai vectơ $\overrightarrow{u_{d}}$ và $\overrightarrow{u_{d'}}$ cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.

Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.
Câu 17: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 2; - 1),B\left( - \frac{4}{3}; - \frac{8}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ và vuông góc với mặt phẳng $(OAB)$ . Hỏi $\Delta$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $Q(5; - 1;5)$
- B.
  $N(3;0;2)$
- C.
  $M(1; - 1;1)$
- D.
  $P( - 5; - 4;5)$
Ta có: $OA = 3,OB = 4,AB = 5$

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ .

$\left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{AB.x_{O} + OB.x_{A} + OA.x_{B}}{AB + OB + OA} \\ y_{I} = \frac{AB.y_{O} + OB.y_{A} + OA.y_{B}}{AB + OB + OA} \\ z_{I} = \frac{AB.z_{O} + OB.z_{A} + OA.z_{B}}{AB + OB + OA} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{5.0 + 4.2 + 3.\left( - \frac{4}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\ y_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 2) + 3.\left( - \frac{8}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\ z_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 1) + 3.\frac{8}{3}}{5 + 4 + 3} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{1}{3} \\ y_{I} = - \frac{4}{3} \\ z_{I} = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I\left( \frac{1}{3}; - \frac{4}{3};\frac{1}{3} ight)$

$\left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 8; - 4; - 8) = - 4(2;1;2)$

Phương trình đường thẳng $\Delta:\frac{x - \frac{1}{3}}{2} = \frac{y + \frac{4}{3}}{1} = \frac{z - \frac{1}{3}}{2}$

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 1).
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ , sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{5}{13}$
- B.
  $\frac{8}{13}$
- C.
  $\frac{1}{13}$
- D.
  $\frac{12}{13}$
Mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (4;3; - 1)$

Đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;3;1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}$
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):8x - 4y - 8z - 11 =0,$ $(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):8x - 4y - 8z - 11 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (8; - 4; - 8)$

$(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{2}; - \sqrt{2};0 ight)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 8.\sqrt{2} + 4.\sqrt{2} - 8.0 ight|}{\sqrt{8^{2} + ( - 4)^{2} + ( - 8)^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{2} ight)^{2} + \left( - \sqrt{2} ight)^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - 2y + z + 2017 = 0$ , véc tơ nào trong các vectơ được cho dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (4; - 4;2)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 4;4)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 2;2)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = ( - 2;2;1)$
Ta có phương trình mặt phẳng $(P):2x - 2y + z + 2017 = 0$ nên có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: $\overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 2;1)$

Mặt khác $\overrightarrow{n} = (4; - 4;2)$ cùng phương với $\overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 2;1)$

Do đó $\overrightarrow{n} = (4; - 4;2)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P):2x - 2y + z + 2017 = 0$ .

13 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!