Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho các điểm $A(0;1;2),B(2; - 2;1),C( - 2;0;1)$ . Phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ là:
- A.
  $2x - y - 1 = 0$
- B.
  $- y + 2z - 3 = 0$
- C.
  $2x - y + 1 = 0$
- D.
  $y + 2z - 5 = 0$
Ta có: $\overrightarrow{n} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = ( - 2;1;0)$

Vậy phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ là:

$- 2(x - 0) + 1(y - 1) = 0$

$\Leftrightarrow - 2x + y - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2x - y + 1 = 0$
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 3 = 0$ . Tính số đo góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;0)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

Khi đó ta có:

$\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 5)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 9$ . Tính bán kính $R$ của $(S)$ ?
- A.
  $R = 6$
- B.
  $R = 3$
- C.
  $R = 18$
- D.
  $R = 9$
Bán kính mặt cầu là: $R = \sqrt{9} = 3$
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , vectơ $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 2t \\ z = 3 - 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 4t \\ z = 5 + 6t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = ( - 1; - 2;5)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ . Vậy $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Câu 5: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M( - 1;0;3)$ . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho $3OA = 2OB = OC eq 0$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $8$
- C.
  $4$
- D.
  $2$
Từ giả thiết, ta có thể coi $A(2a;0;0),B(0;3b;0),C(0;0;6c)$ (với $|a| = |b| = |c| eq 0$ ).
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là $\frac{x}{2a} + \frac{y}{3b} + \frac{z}{6c} =1$ .
Do (P) đi qua M(−1; 0; 3) nên $-\frac{1}{2a} + \frac{1}{2c} = 1$ .
Theo trên có c = ±a, kết hợp với phương trình vừa thu được, ta suy ra a = −1, c = 1.
Cũng theo trên, b = ±a, nên có 2 giá trị của b.
Suy ra có 2 bộ (a, b, c) thỏa mãn, hay có 2 mặt phẳng thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ và mặt phẳng $(P):2x - y - 2z + 1 = 0$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\cos\alpha = \frac{4}{9}$
- B.
  $\cos\alpha = - \frac{4}{9}$
- C.
  $\sin\alpha = \frac{4}{9}$
- D.
  $\sin\alpha = - \frac{4}{9}$
Ta có: $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 1)$ , $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (2; - 1; - 2)$ .

Từ đó: $\sin\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ight) ight| = \left| \frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} ight| = \frac{4}{9}$
Câu 7: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ sao cho $A \equiv O$ , như hình vẽ:

Khi đó ta có:

$\overrightarrow{n_{1}} =\lbrack\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}brack = \left(2a^{2};0;4a^{2} ight)$ và $\overrightarrow{n_{2}} =\lbrack\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MC}brack = \left( a^{2}; -a^{2};2a^{2} ight)$

$\overrightarrow{SB} = (2a;0; -a),\overrightarrow{SC} = (2a;2a; - a),$ $\overrightarrow{MA} = \left( 0; -a; - \frac{a}{2} ight),\overrightarrow{MC} = \left( 2a;a; -\frac{a}{2} ight)$

$A(0;0;0),B(2a;0;0),D(0;2a;0),$ $C(2a;2a;0),S(0;0;a),M\left(0;a;\frac{a}{2} ight)$

Gọi $\alpha\left( 0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ} ight)$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $(AMC)$ và $(SBC)$ .

Ta có $\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight| \cdot \left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}$

$= \frac{\left| 2a^{2} \cdot a^{2} + 4a^{2} \cdot 2a^{2} ight|}{\sqrt{\left( 2a^{2} ight)^{2} + \left( 4a^{2} ight)^{2}} \cdot \sqrt{\left( a^{2} ight)^{2} + \left( - a^{2} ight)^{2} + \left( 2a^{2} ight)^{2}}}$

$= \frac{10a^{4}}{\sqrt{20 \cdot 6 \cdot \left( a^{4} ight)^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{30}}$

Mà $\tan^{2}\alpha = \frac{1}{\cos^{2}\alpha} - 1 = \left( \frac{\sqrt{30}}{5} ight)^{2} - 1 = \frac{5}{25}$ .

Suy ra $\tan\alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$ .
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho $(P):x - 2y + 2z - 5 = 0,A( - 3;0;1),B(1; - 1;3)$ . Viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A$ , song song với $(P)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $d$ là lớn nhất.
- A.
  $\frac{x + 3}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$
- B.
  $\frac{x + 3}{3} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{2}$
- C.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{2}$
- D.
  $\frac{x + 3}{2} = \frac{y}{- 6} = \frac{z - 1}{- 7}$
Hình vẽ minh họa

Vì $( - 3 - 2\ .0 + 2\ .1 - 5).\left( 1 - 2.( - 1) + 2.3 - 5 ight) < 0$ nên hai điểm A, B khác phía so với (P).

Gọi H là hình chiếu của B lên d.

Ta có: BH ≤ BA nên khoảng cách BH từ B đến d lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A.

Khi đó AB ⊥ d.

VTPT của (P) là $\overrightarrow{n} = (1; - 2;2),\overrightarrow{AB} = (4; - 1;2)$

VTCP của d là $\overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AB} ightbrack = ( - 2;6;7)$

Mà d qua A(−3; 0; 1) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x + 3}{2} = \frac{y}{- 6} = \frac{z - 1}{- 7}$
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + 2y - 8 = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ . Khoảng cách giữa đưởng thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{4}{\sqrt{5}}$
- B.
  $\frac{2}{\sqrt{5}}$
- C.
  $\frac{3}{\sqrt{5}}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{5}}$
Đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ đi qua $A(1;2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2; - 1;1)$

Mặt phẳng $(P):x + 2y - 8 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1;2;0)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 2 - 2 + 0 = 0 \\ A otin (P) \\ \end{matrix} ight.$ , nên đường thằng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$ .

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(P)$ :

$d\left( d;(P) ight) = d\left( A;(P) ight) = \frac{|1 + 4 - 8|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;0),C(0;0;3),B(0;2;0)$ . Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}$ là mặt cầu có bán kính là:
- A.
  $R = 2$
- B.
  $R = \sqrt{3}$
- C.
  $R = 3$
- D.
  $R = \sqrt{2}$
Giả sử $M(x;y;z)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} MA^{2} = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} \\ MB^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} \\ MC^{2} = x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra ta có:

$MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}$

$\Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} + x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2}$

$\Leftrightarrow - 2x + 1 = (y - 2)^{2} + x^{2} + (z - 3)^{2}$

$\Leftrightarrow (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 2$

Vậy tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}$ là mặt cầu có bán kính là $R = \sqrt{2}$ .
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm $E(1;2;3)$ và song song với mặt phẳng $(Oxy)$ ?
- A.
  $z - 3 = 0$
- B.
  $x + y - 3 = 0$
- C.
  $x + y + z - 6 = 0$
- D.
  $z + 3 = 0$
Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là $z = 0$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$ .

Phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng

$0(x - 1) + 0(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow z = 3$ .
Câu 12: Nhận biết
Mặt cầu (S) có tâm A(1; -2; 2) và bán kính R = 8. Tìm phương trình mặt cầu (S).
- A.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 64$
- B.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 8$
- C.
  $(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 8$
- D.
  $(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 64$
Phương trình mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ bán kính R có dạng: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$
Câu 13: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9$ tâm I và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+24=0$ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn MH có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm M.
- A. $M(-1;0;4)$
- B. $M(0;1;2)$
- C. $M(3;4;2)$
- D. $M(4;1;2)$
Ta có tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R=3$ . Do $d(I;(P))=9>R$ nên mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S) . Do H là hình chiếu của I lên (P) và MH lớn nhất nên M là giao điểm của đường thẳng IH với mp (P) .
$\overrightarrow {IH} =\vec n_{(P)}=(2;2;-1)$ .
Phương trình đường thẳng IH là $\left\{\begin{matrix} x=1+2t \\ y=2+2t \\ z=3-t \end{matrix}ight.$ .
Giao điểm của IH với (S): $9t^2=9 \Leftrightarrow t=\pm 1 \Rightarrow M_1 (3;4;2) \mbox{ và } M_2 (-1;0;4)$
Suy ra:
$M_1H=d(M_1;(P))=12;$
$M_2H=d(M_2;(P))=6$ .
Vậy điểm cần tìm là $M(3;4;2)$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ , biết $(\alpha)$ song song với mặt phẳng $(P):2x + y - 2z + 11 = 0$ và cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có chu vi $8\pi$ ?
- A.
  $2x + y - 2z - 11 = 0$
- B.
  $2x - y - 2z - 7 = 0$
- C.
  $2x + y - 2z - 5 = 0$
- D.
  $2x + y - 2z - 7 = 0$
Vì $(α) // (P)$ nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng $2x + y - 2z + c = 0$

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; 3)$ và bán kính $R = 5$ .

Đường tròn lớn có chu vi là $8\pi$ nên bán kính của $(S)$ là $\frac{8\pi}{2\pi} = 4$

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3

Từ đó ta có:

$d\left( I;(P) ight) = \frac{|2.1 + 2 - 2.3 + c|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + ( - 2)^{2}}} = 3$

$\Leftrightarrow | - 2 + c| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 11 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $(α) // (P)$ nên phương trình mặt phẳng (α) là $2x + y - 2z - 7 = 0$
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , điểm $M$ thuộc trục $Oy$ và cách đều hai mặt phẳng $(P):x + y - z + 1 = 0$ và $(Q):x - y + z - 5 = 0$ có tọa độ là?
- A.
  $M(0; - 3;0)$
- B.
  $M(0;3;0)$
- C.
  $M(0; - 2;0)$
- D.
  $M(0;1;0)$
Ta có $M \in Oy$ suy ra $M(0;m;0)$ .

Theo đề bài ra ta có:

$d\left( M,(P) ight) = d\left( M,(Q) ight)$

$\Leftrightarrow \frac{|m + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{| - m - 5|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow m = - 3$

Vậy $M(0; - 3;0)$ .
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):3x + 4y + 2z + 4 = 0$ và điểm $M(1; - 2;3)$ . Tính khoảng cách $d$ từ $M$ đến $(P)$ .
- A.
  $d = \frac{5}{\sqrt{29}}$
- B.
  $d = \frac{5}{29}$
- C.
  $d = \frac{\sqrt{5}}{3}$
- D.
  $d = \frac{5}{9}$
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:

$d\left( M;(P) ight) = \frac{|3.1 - 4.2 + 2.3 + 4|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 2^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$
Câu 17: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 1;2),B(3; - 4; - 2)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Điểm $I(a;b;c)$ thuộc $d$ là điểm thỏa mãn $IA + IB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $T = a + b + c$ bằng?
- A.
  $\frac{23}{58}$
- B.
  $- \frac{43}{58}$
- C.
  $\frac{65}{29}$
- D.
  $\frac{- 21}{58}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4; - 6; - 8)$

$A = (1; - 1;2),B = (3; - 4; - 2) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4)$

Ta có $\overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4)$ cùng phương với $\overrightarrow{u} = (4; - 6; - 8)$

Mà $A(1; - 1;2) otin d \Rightarrow \overrightarrow{AB}//d \Rightarrow A,B,d$ đồng phẳng.

Xét mặt phẳng chứa $AB$ và $d$ . Gọi $A^{'}$ là điểm đối xứng của $A$ qua $d_{1}$

$(\alpha)$ là mặt phẳng qua $A$ , vuông góc với $d$ .

Khi đó, giao điểm $H$ của $d$ với $(\alpha)$ là trung điểm của $AA^{'}$ .

$(\alpha)$ có 1 vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2; - 3; - 4)$ đi qua $A(1; - 1;2)$ có phương trình:

$2(x - 1) - 3(y + 1) - 4(z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow 2x - 3y - 4z + 3 = 0$

$H \in d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} \Rightarrow ight.$ Giả sử $H(2 + 4t; - 6t; - 1 - 8t)$ .

$H \in (\alpha) \Rightarrow 2(2 + 4t) - 3( - 6t) - 4( - 1 - 8t) + 3 = 0$

$\Leftrightarrow 58t + 11 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{11}{58} \Rightarrow H\left( \frac{36}{29};\frac{33}{29};\frac{15}{29} ight)$

Ta có $IA + IB = IA^{'} + IB^{'} \geq A^{'}B \Rightarrow min(IA + IB) = A^{'}B$ khi và chỉ khi $I$ trùng với $I_{0}$ là giao điểm của $A^{'}B$ và $d$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{HI_{0}} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I_{0}} - \dfrac{36}{29} = \dfrac{1}{2}.2 \\y_{I_{0}} - \dfrac{33}{29} = \dfrac{1}{2}.( - 3) \\z_{I_{0}} - \dfrac{15}{29} = \dfrac{1}{2}.( - 4) \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I_{0}} = \dfrac{65}{29} \\y_{I_{0}} = - \dfrac{21}{58} \\z_{I_{0}} = - \dfrac{43}{29} \\\end{matrix} ight.\ ight.\\Rightarrow I_{0}\left( \dfrac{65}{29}; - \dfrac{21}{58}; - \frac{43}{29}ight)$

$\Rightarrow a + b + c = \frac{65}{29} - \frac{21}{58} - \frac{43}{29} = - \frac{21}{58}$ .
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;2;0)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):2x + y - 3z + 5 = 0$ ?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P):2x + y - 3z + 5 = 0$ nên $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 3)$ .

Phương trình $\Delta$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)\ \ \ (*)$

Kiểm tra được điểm $M(3;3; - 3)$ thỏa mãn hệ (*).

Vậy phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ cũng là phương trình của $\Delta$ .
Câu 19: Vận dụng cao
Cho đường thẳng $d:\left\{\begin{matrix} x=-t \\ y=2t-1 \\ z=t+2\end{matrix}ight.$ và mặt phẳng $(\alpha): 2x-y-2z-2=0$ . Mặt phẳng (P) qua d và tạo với $(\alpha )$ một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:
- A. $\vec{n_p}=(-1;1;1)$
- B. $\vec{n_p}=(1;2;-3)$
- C. $\vec{n_p}=(2;1;0)$
- D. $\vec{n_p}=(3;-2;7)$
Gọi $\triangle = (\alpha)\cap (P), A =d \cap(\alpha), B \in d(Beq A)$ ;
H là hình chiếu vuông góc của B lên $(\alpha )$ ; K là hình chiếu của H lên $\triangle$ .
Suy ra: $(\widehat{(d),(\alpha)})=\widehat{BAH}$ cố định; $(\widehat{(\alpha),(P)})=\widehat{BKH}$ .
Mà $\widehat{BKH} \geqslant \widehat{BAH}$ (vì $HK \leq HA$ ) $\Rightarrow (\widehat{d, (\alpha)}) \leq (\widehat{(P),(\alpha)} )$
Suy ra $(\widehat{(P),(\alpha)})$ nhỏ nhất bằng $(\widehat{d, (\alpha)})$ khi $K\equiv A$ .
Khi đó $\triangle \perp d$ và có một VTCP $\vec{u_\triangle} = [\vec{u_d}, \vec{u_\alpha}]=-3(1;0;1)$ .
Vậy (P) có một VTPT là $\vec{n_p} = [\vec{u_\triangle}, \vec{u_d}]=2(-1;1;1)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{- 1}$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.$ . Mặt phẳng $(P)$ qua $d_{1}$ tạo với $d_{2}$ một góc $45^{0}$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n} = (1;b;c)$ làm một vectơ pháp tuyến. Xác định tích $b.c$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} b.c = - 4 \\ b.c = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} b.c = 4 \\ b.c = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $b.c = - 4$
- D.
  $b.c = 4$
Hai đường phẳng $d_{1};d_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_{1}} = (2; - 2; - 1),\overrightarrow{u_{2}} = (1;0 - 1)$

Mặt phẳng (P) đi qua $d_{1} \Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_{1}} = 0 \Leftrightarrow 2 - 2b - c = 0\ \ (1)$

$\Rightarrow \sin\left( d_{2};(P) ight)= \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_{2}} ight|}{\left|\overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u_{2}} ight|} =\sin45^{0}$

$\Leftrightarrow \frac{|1 - c|}{\sqrt{b^{2} + c^{2} + 1}.\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow |1 - c| = \sqrt{b^{2} + c^{2} + 1} \Leftrightarrow b^{2} + 2c = 0(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 2 \\ c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow bc = - 4$

72 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!