Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 2 - t \\
y = 1 + t \\
z = t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của d?

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = ( - 1;1;1) và đi qua điểm M(2;1;0). Do đó phương trình chính tắc của d là: \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{1} =
\frac{z}{1}

  • Câu 2: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(1;0; - 1),C(2; -
1;2). Điểm D thuộc tia Oz sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện ABCD bằng \frac{3\sqrt{30}}{10} có tọa độ là

    Ta có D thuộc tia Oz nên D(0; 0; d) với d > 0.

    Tính \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (0; - 2; - 4) \\
\overrightarrow{AC} = (1; - 3; - 1) \\
\end{matrix} ight.

    Mặt phẳng (ABC): có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 10; -
4;2) và đi qua điểm A(1; 2; 3).

    \Rightarrow (ABC): - 10(x - 1) - 4(y -
2) + 2(z - 3) = 0

    \Leftrightarrow 5x + 2y - y - 6 =
0

    Ta có d\left( D;(ABC) ight) =
\frac{3\sqrt{30}}{10} \Leftrightarrow \frac{|d + 6|}{\sqrt{30}} =
\frac{3\sqrt{30}}{10}

    \Leftrightarrow |d + 6| = 9
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
d = 3(tm) \\
d = - 15(ktm) \\
\end{matrix} ight.

    Vậy D(0;0;3).

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;m). Để mặt phẳng (ABC) hợp với mặt phẳng (Oxy) một góc 60^{0} thì giá trị của m là

    Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{k} = (0;0;1)

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( -
1;2;0);\overrightarrow{AC} = ( - 1;0;m), suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)\overrightarrow{n} = \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack =
(2m;m;2)

    Theo bài ra ta có:

    cos60^{0} = \frac{\left|
\overrightarrow{k}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{k}
ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} \Leftrightarrow \sqrt{5m^{2}
+ 4} = 4

    \Leftrightarrow m^{2} = \frac{12}{5}
\Leftrightarrow m = \pm \sqrt{\frac{12}{5}}

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho mặt cầu S(O;R) , A là một điểm ở trên mặt cầu (S) và (P) là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng 60^0. Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:

    Diện tích của đường tròn giao tuyến

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của (O) trên (P) thì

    ● H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

    \widehat {OA,\left( P ight)} = \widehat {\left( {OA,AH} ight)} = {60^0}

    Bán kính của đường tròn giao tuyến: r = HA = OA.\cos {60^0} = \frac{R}{2}.

    Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: \pi {r^2} = \pi {\left( {\frac{R}{2}} ight)^2} = \frac{{\pi {R^2}}}{4}.

  • Câu 5: Vận dụng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn đường thẳng \left( d_{1} ight):\frac{x - 3}{1} = \frac{y +1}{- 2} = \frac{z + 1}{1},\left( d_{2} ight):\frac{x}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z - 1}{1},\left( d_{3} ight):\frac{x - 1}{2} = \frac{y +1}{1} = \frac{z - 1}{1},\left( d_{4} ight):\frac{x}{1} = \frac{y -1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:

    Kiểm tra vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta thấy (d1) // (d2); (d4) cắt (d2), (d3).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2); (Q) là mặt phẳng chứa (d3) và (d4).

    Gọi (∆) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên.

    Ta thấy, (∆) cắt cả (d1), (d2) suy ra (∆) ⊂ (P).

    (∆) cắt cả (d3),(d4) suy ra (∆) ⊂ (Q).

    Mà (d2), (d4) có điểm chung nên (∆) là giao tuyến của (P) và (Q), do đó có duy nhất một đường thẳng thỏa mãn.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 8; 2), điểm B(9; −7; 23) và mặt cầu (S) : (x − 5)^2 + (y + 3)^2 + (z − 7)^2 = 72. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Biết \vec{n} = (1; m; n) là một vectơ pháp tuyến của (P). Tính mn.

    Mặt cầu (S) có tâm I(5; −3; 7); bán kính R = 6\sqrt{2}.

    Phương trình mặt phẳng (P) : 1(x − 0) + m(y − 8) + n(z − 2) = 0.

    Vì (P) và (S) tiếp xúc nhau nên:

    d\left( I;(P) ight) = R
\Leftrightarrow \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} =
6\sqrt{2}

    \Leftrightarrow |5 - 11m + 5n| =
6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(*)

    Ta có: d\left( B;(P) ight) = \frac{|9 -
15m + 21n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}}

    Ta có:

    |9 - 15m + 21n| = |5 - 11m + 5n + 4 - 4m
+ 16n|

    \leq |5 - 11m + 5n| + |4 - 4m +
16n|(**)

    Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

    (4 - 4m + 16n)^{2} \leq \left( 4^{2} +
4^{2} + 16^{2} ight)\left( 1 + m^{2} + n^{2} ight) = 288\left( 1 +
m^{2} + n^{2} ight)

    \Rightarrow |4 - 4m + 16n| \leq
12\sqrt{2}.\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(***)

    Từ (*); (**); (***) ta có:

    |9 - 15m + 21n| \leq 18\sqrt{2}\sqrt{1 +
m^{2} + n^{2}}

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \left\{\begin{matrix}|5 - 11m + 5n| = 6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}} \\(5 - 11m + 5n)(4 - 4m + 16n) \geq 0 \\\dfrac{1}{4} = \dfrac{m}{- 4} = \dfrac{n}{16} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow m = - 1;n = 4 \Rightarrow mn
= - 4.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm A(2;0;0),B(1;3;0),C( -
1;0;3),D(1;2;3). Tính bán kính R của (S)?

    Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A;B;C;D

    Khi đó ta có phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}
AI^{2} = BI^{2} \\
AI^{2} = CI^{2} \\
AI^{2} = DI^{2} \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
(a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 3)^{2} + c^{2} \\
(a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a + 1)^{2} + b^{2} + (c - 3)^{2} \\
(a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 3)^{2} \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a - 3b = - 3 \\
a - c = - 1 \\
a - 2b - 3c = - 5 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 0 \\
b = 1 \\
c = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow I(0;1;1)

    Vậy bán kính cần tìm là: R = IA =
\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):2x + y - z - 3 = 0(Q):x + y + z - 1 = 0. Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P),(Q) là:

    Xét hệ phương trình \left\{
\begin{matrix}
2x + y - z - 3 = 0 \\
x + y + z - 1 = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 2z - 2 = 0 \\
x + y + z - 1 = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2z + 2 \\
y = - 3z - 1 \\
\end{matrix} ight.. Đặt z =
t ta suy ra x = 2t + 2,y = - 3t -
1.

    Từ đó ta thu được phương trình đường thẳng: d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{- 3} =
\frac{z}{1}

    Xét điểm A(2; - 1;0) \in d, ta thấy A chỉ thuộc đường thẳng: \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z +
1}{1}

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có:

     Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có vô số vecto chỉ phương.

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, hai điểm A(7; - 2;2)B(1;2;4). Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính AB?

    Mặt cầu nhận AB làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm I(4;0;3) của AB làm tâm và có bán kính R = \frac{AB}{2} = \sqrt{56}

    Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là (x
- 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 56.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q):x + y + z - 3 = 0. Phương trình mặt phẳng (P) là:

    Ta có: (Q) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n}(1;1;1).

    Từ giả thiết, ta suy ra (P) có một vectơ pháp tuyến là \left\lbrack
\overrightarrow{n};\overrightarrow{i} ightbrack = (0;1; -
1).

    Do (P) đi qua gốc tọa độ O nên phương trình của (P) là y - z = 0.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Với giá trị nào của m thì mặt phẳng \left( P ight):2x - y + z - 5 = 0 tiếp xúc với mặt cầu 

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 2\left( {2 - m} ight)y - 4mz + 5{m^2} + 1 = 0?

    Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S): a = m;b = m - 2;c = 2m;d = 5{m^2} + 1

    Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là I\left( {m,m - 2,2m} ight).

    \Rightarrow {R^2} = {m^2} + {\left( {m - 2} ight)^2} + 4{m^2} - 5{m^2} - 1 = {m^2} - 4m + 3 > 0

    \Rightarrow m < 1 \vee m > 3.\left( P ight) tiếp xúc (S) khi: 

    d\left( {I,P} ight) = \frac{{\left| {3m - 3} ight|}}{{\sqrt 6 }} = R = \sqrt {{m^2} - 4m+3}

    \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3 \vee m = 1   (loại)

    \Rightarrow m =  - 3

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight.\left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.

    Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:

    Phương trình (d) cho biết A(2, 1, 0) \in (d) và (d) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a  = \left( {1, - 1,2} ight)

    Chuyển (\triangle ) về dạng tham số \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight. để có B(2, 3, 0) \in (\triangle ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow b  = \left( { - 2,0,1} ight) .

    Gọi I là trung điểm AB  thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ \in (P) .

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM}  = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0là phương trình của mặt phẳng (P).

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):8x - 4y - 8z - 11 =0,(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):8x - 4y - 8z - 11 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (8; - 4; -
8)

    (Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 =
0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{2}; -
\sqrt{2};0 ight)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left(
\overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)

    = \frac{\left| 8.\sqrt{2} + 4.\sqrt{2} -
8.0 ight|}{\sqrt{8^{2} + ( - 4)^{2} + ( - 8)^{2}}.\sqrt{\left(
\sqrt{2} ight)^{2} + \left( - \sqrt{2} ight)^{2} + 0}} =
\frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) =
45^{0}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;2; - 2),B(3; - 1;0). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P):x + y - z + 2 = 0 tại điểm I. Tỉ số \frac{IA}{IB} bằng

    Ta có: \frac{IA}{IB} = \frac{d\left(
A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} =
\frac{8}{\sqrt{3}}:\frac{4}{\sqrt{3}} = 2

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):2x + z - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:

    Mặt phẳng (P):2x + z - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là: \overrightarrow{n}
= (2;0;1).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y
+ 3}{2} = \frac{z + 2}{2} và điểm A(3;2;0). Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là:

    Gọi M( - 1 + t; - 3 + 2t; - 2 + 2t) \in
d

    \Rightarrow AH = (t - 4;2t - 5;2t -
2)

    Vectơ chỉ phương của d là \overrightarrow{u} = (1;2;2)

    \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{AH}
\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH} = 0

    \Leftrightarrow 1(t - 4) + 2(2t - 5) +
2(2t - 2) = 0 \Leftrightarrow t = 2

    Suy ra M(1; 1; 2), gọi A’(x; y; z) là điểm đối xứng của A qua d thì: \left\{ \begin{matrix}
x = 2.1 - 3 = - 1 \\
y = 2.1 - 2 = 0 \\
z = 2.2 - 0 = 4 \\
\end{matrix} ight.

    Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là: ( - 1;0;4).

  • Câu 18: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y +
1}{1} = \frac{z - 2}{2}d':\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z -
1}{1}. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d’ một góc lớn nhất.

    Đường thẳng d,d^{'} có véc-tơ chỉ phương lần lượt là {\overrightarrow{u}}_{1} =
(2;1;2),{\overrightarrow{u}}_{2} = (1;2;1).

    Lấy điểm A(1; - 1;2) \in d.

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và cắt trục hoành tại điểm B(b;0;0).

    Khi đó (P) có cặp véc-tơ chỉ phương là {\overrightarrow{u}}_{1}\overrightarrow{AB} = (b - 1;1; -
2), suy ra (P) có véc-tơ pháp tuyến {\overrightarrow{n}}_{P} =
\left\lbrack {\overrightarrow{u}}_{1},\overrightarrow{AB} ightbrack
= ( - 4;2b + 2;3 - b)

    Gọi \varphi là góc giữa đường thẳng d^{'}(P), suy ra

    sin\varphi = \frac{\left|
{\overrightarrow{n}}_{P} \cdot {\overrightarrow{u}}_{2} ight|}{\left|
{\overrightarrow{n}}_{P} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{u}}_{2}
ight|} = \frac{|3b + 3|}{\sqrt{5b^{2} + 2b + 29} \cdot
\sqrt{6}}

    Đặt y = \frac{b^{2} + 2b + 1}{5b^{2} + 2b
+ 29} \geq 0, suy ra sin\varphi =
\sqrt{y} \cdot \frac{3}{\sqrt{6}}.

    Nhận thấy, để góc \varphi lớn nhất thì sin\varphi lớn nhất, điều đó đồng nghĩa với y phải lớn nhất.

    Xét y = \frac{b^{2} + 2b + 1}{5b^{2} + 2b
+ 29} \Leftrightarrow (5y - 1)b^{2} + (2y - 2)b + (29y - 1) =
0.

    Trường hợp y = \frac{1}{5} \Rightarrow b
= 3.

    Trường hợp y eq
\frac{1}{5}.

    Phương trình (*) có nghiệm b khi và chỉ khi

    \Delta^{'} = (y - 1)^{2} - (5y -
1)(29y - 1) \geq 0 \Leftrightarrow - 144y^{2} + 32y \geq 0 \Rightarrow 0
\leq y \leq \frac{2}{9}

    Từ đó suy ra, để tồn tại b suy ra 0 \leq y \leq \frac{2}{9}.

    Vậy y_{\max} = \frac{2}{9} khi đó b = 7. Từ đó suy ra {\overrightarrow{n}}_{P} = ( - 4;16; - 4) = - 4(1;
- 4;1) và mặt phẳng (P) có phương trình

    1(x - 1) - 4(y + 1) + 1(z - 2) = 0
\Leftrightarrow x - 4y + z - 7 = 0

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 - t \\
y = 2 + 2t \\
z = 3 + t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;0)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

    Khi đó ta có:

    \sin\alpha = \frac{\left|
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u}
ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( -
1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( -
1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60^{0}

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0. Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng (\alpha)?

    Ta thấy tọa độ điểm Q(1;0;1) thỏa mãn phương trình mặt phẳng (\alpha):x -
2y + 2z - 3 = 0 nên điểm Q nằm trên (\alpha).

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 14 lượt xem
Sắp xếp theo