Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua ba điểm
là:
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn .
Ta có
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua ba điểm
là:
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn .
Ta có
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
và
. Giá trị của
sao cho
là
Ta có: có vectơ chỉ phương
, (Q) có vectơ chỉ phương
Để hai mặt phẳng song song thì
Vậy đáp án cần tìm là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
và
. Phương trình tham số của
là:
Nhận thấy đều thuộc (α) và (β) nên chúng cũng thuộc đường thẳng
.
Ta có là một vectơ chỉ phương của
.
Khi đó phương trình tham số của là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Giá trị của m để hai đường thẳng
và
cắt nhau là
Đường thẳng đi qua A(1; 0; −1), có vectơ chỉ phương
Đường thẳng đi qua B(1; 2; 3), có vectơ chỉ phương
Ta có và
Hai đường thẳng d và d 0 cắt nhau
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Gọi
là mặt phẳng chứa đường thẳng
và tạo với mặt phẳng
một góc
. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
?
Ta viết phương trình đường thẳng
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên có dạng:
⇒ có một vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Ta có:
Chọn
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
. Điểm
là điểm thuộc mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó,
có giá trị là:
Chọn sao cho
Ta tính được
Ta thấy
Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.
Vậy M là hình chiếu vuông góc của lên (Oxy)
Ta xác định được
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng ![]()
chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của
.
Đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là
Giả sử ∆ giao với lần lượt tại
, khi đó ta có
Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:
Đường vuông góc chung của nhận
làm VTCP và đi qua điểm
Vậy ta có phương trình đường thẳng:
Gọi
là hình chiếu của
lên đường thẳng
. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
Vì
(d) có vtcp
Suy ra . Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
cho mặt cầu
và điểm
. Ba mặt phẳng thay đổi đi qua
và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.

Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là
Với điểm I bất kỳ, hạ lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng
thì ta luôn có:
(1) .
Thật vậy , ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với , ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng
.
Khi đó tọa độ I(a;b;c) thì:
hay .
Vậy (1) được chứng minh.

Áp dụng giải bài:
Mặt cầu (S) có tâm và có bán kính
.
.
Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là và cắt mặt cầu (S) theo ba đường tròn lần lượt là
.
Gọi và
lần lượt là tâm và bán kính của
.
Khi đó : .
Tương tự có: và
.
Theo nhận xét ở trên ta có:
Ta có tổng diện tích các đường tròn là :
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với
.
Phương trình mặt phẳng (P):
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có tâm nằm trên mặt phẳng
và đi qua ba điểm
. Tọa độ tâm
của mặt cầu
là:
Gọi tâm mặt cầu là và phương trình mặt cầu
Do
Lại có
Vậy là đáp án cần tìm.
Trong không gian
, cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục tọa độ
lần lượt tại các điểm
không trùng với gốc tọa độ
sao cho
là trực tâm tam giác
. Viết phương trình mặt phẳng nào song song với mặt phẳng
?
Trong không gian , cho điểm
. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục tọa độ
lần lượt tại các điểm
không trùng với gốc tọa độ
sao cho
là trực tâm tam giác
. Viết phương trình mặt phẳng nào song song với mặt phẳng
?
Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu
tâm
và đi qua điểm
?
Vì mặt cầu tâm
và đi qua điểm
nên mặt cầu
nhận độ dài đoạn thẳng
làm bán kính.
Ta có:
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:
Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :
Giải (1),(2) tính theo
được
.
Thế vào phương trình (3) được , từ đó có
Vậy .
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Cho hình lăng trụ
có
. là tứ diện đều cạnh
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Gọi O là trung điểm của AB
Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho
Ta có: . Dễ thấy
có VTTP
M là trung điểm AA′
N là trung điểm BB′
Suy ra có VTTP
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho điểm
thoả mãn
. Biết rằng khoảng cách từ
tới mặt phẳng
lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
Ta có:
Giả sử khi đó ta có:
Mà
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Tính số đo góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .
Khi đó ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, tìm tọa độ tâm
và bán kính
của mặt cầu ![]()
Tâm của có tọa độ là
Bán kính mặt cầu là:
.
Trong không gian
, cho các điểm
. Tập hợp các điểm
thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là:
Giả sử
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy tập hợp điểm thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là
.