Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và mặt phẳng (P) có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc (S). Đường thẳng OM cắt (P) tại N. Hình chiếu của O trên (P) là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?

     Mệnh đề đúng

    Vì I là hình chiếu của O trên (P) nên  d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = OI mà d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = R nên I là tiếp điểm của (P) và (S).

    Đường thẳng OM cắt (P) tại N nên IN vuông góc với OI tại I.

    Suy ra IN tiếp xúc với (S).

    Tam giác OIN vuông tại I nên ON = R\sqrt 2 \Leftrightarrow IN = R.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}, d_{2}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1}. Đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;2;3) vuông góc với d_{1} và cắt đường thẳng d_{2} có phương trình là:

    Đường thẳng d_{2}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1} có phương trình tham số là: \left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Gọi giao điểm của ∆ và d2 là B(1 - t;1 + 2t; - 1 - t)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - t;2t - 1; - t - 4)

    Đường thẳng \Delta\bot d_{1} \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d_{1}}} = 0

    \Rightarrow - t.3 + (2t - 1).2 + ( - t - 4)( - 1) = 0

    \Leftrightarrow 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 1

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1; - 3; - 3) là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

    Phương trình \Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 3}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Biết B(2;3;7),D(4;1;3), lập phương trình mặt phẳng (SAC).

    Dễ dàng chứng minh được (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.

    Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) là \overrightarrow{BD} = (2; - 2; - 4).

    Mặt phẳng (SAC) đi qua trung điểm I(3;2;5) của BD và có vtcp \overrightarrow{BD} nên có phương trình: x - y - 2z + 9 = 0.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + 2y - 2z + 1 = 0 và (Q):x + my + (m - 1)z + 2019 = 0. Khi hai mặt phẳng (P), (Q) tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì mặt phẳng (Q) đi qua điểm M nào sau đây?

    Gọi \alpha là góc giữa (P) và (Q).

    Ta có:

    \cos\alpha = \dfrac{\left|{\overrightarrow{n}}_{P} \cdot {\overrightarrow{n}}_{Q} ight|}{\left|{\overrightarrow{n}}_{P} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{n}}_{Q}ight|}= \dfrac{1}{3\sqrt{2m^{2} - 2m + 2}} = \dfrac{1}{3\sqrt{2\left( m- \dfrac{1}{2} ight)^{2} + \dfrac{3}{2}}}

    \leq \dfrac{1}{3\sqrt{2\left( m -\dfrac{1}{2} ight)^{2} + \dfrac{3}{2}}} \leq\dfrac{1}{3\sqrt{\dfrac{3}{2}}}

    Do 0 \leq \alpha \leq 90^{\circ} nên \alpha nhỏ nhất khi \cos\alpha lớn nhất \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.

    \Rightarrow (Q):2x + y - z + 4038 = 0 \Rightarrow M( - 2019;1;1) \in (Q).

  • Câu 5: Nhận biết

    Một hình cầu có bán kính là 2m, một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ dài là 2,4\pi {m{m}} . Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:

    Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d, ta có {d^2} = {R^2} - {r^2} .

    Theo giả thiết R = 2m và 2\pi r = 2,4\pi m \Rightarrow r = \frac{{2,4\pi }}{{2\pi }} = 1,2{m{m}}.

    Vậy 2\pi r = 2,4\pi m \Rightarrow r = \frac{{2,4\pi }}{{2\pi }} = 1,2{m{m}}.

  • Câu 6: Nhận biết

    Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua điểm E(2, -4, 3) và song song với đường thẳng MN với tọa độ M(3, 2, 5) và N(1, -2, 2)

     Đường thẳng d song song với MN nên VTCP của đường thẳng d chính là \overrightarrow {MN} hay ta có

    \left( d ight):\overrightarrow {MN} = \left( { - 2, - 3, - 3} ight) = - \left( {2,3,3} ight)

    Như vậy, (d) là đường thẳng đi qua điểm E (2, -4, 3) và nhận làm 1 VTCP có phương trình là:

    \left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2n\\y = 3n - 4\\z = 3 + 3n\end{array} ight.\,\,;n \in \mathbb{R}

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):8x - 4y - 8z - 11 =0,(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):8x - 4y - 8z - 11 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (8; - 4; - 8)

    (Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{2}; - \sqrt{2};0 ight)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)

    = \frac{\left| 8.\sqrt{2} + 4.\sqrt{2} - 8.0 ight|}{\sqrt{8^{2} + ( - 4)^{2} + ( - 8)^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{2} ight)^{2} + \left( - \sqrt{2} ight)^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ sao cho A \equiv O, như hình vẽ:

    Khi đó ta có:

    \overrightarrow{n_{1}} =\lbrack\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}brack = \left(2a^{2};0;4a^{2} ight) và \overrightarrow{n_{2}} =\lbrack\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MC}brack = \left( a^{2}; -a^{2};2a^{2} ight)

    \overrightarrow{SB} = (2a;0; -a),\overrightarrow{SC} = (2a;2a; - a),\overrightarrow{MA} = \left( 0; -a; - \frac{a}{2} ight),\overrightarrow{MC} = \left( 2a;a; -\frac{a}{2} ight)

    A(0;0;0),B(2a;0;0),D(0;2a;0),C(2a;2a;0),S(0;0;a),M\left(0;a;\frac{a}{2} ight)

    Gọi \alpha\left( 0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ} ight) là góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC).

    Ta có \cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight| \cdot \left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}

    = \frac{\left| 2a^{2} \cdot a^{2} + 4a^{2} \cdot 2a^{2} ight|}{\sqrt{\left( 2a^{2} ight)^{2} + \left( 4a^{2} ight)^{2}} \cdot \sqrt{\left( a^{2} ight)^{2} + \left( - a^{2} ight)^{2} + \left( 2a^{2} ight)^{2}}}

    = \frac{10a^{4}}{\sqrt{20 \cdot 6 \cdot \left( a^{4} ight)^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{30}}

    Mà \tan^{2}\alpha = \frac{1}{\cos^{2}\alpha} - 1 = \left( \frac{\sqrt{30}}{5} ight)^{2} - 1 = \frac{5}{25}.

    Suy ra \tan\alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 1; - 2;0),B(0; - 4;0),C(0;0; - 3). Phương trình mặt phẳng (P) nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?

    Vì (P) đi qua O nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng ax + by + cz = 0\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 ight).

    Vì A ∈ (P) và B, C cách đều (P) nên \left\{ \begin{matrix} - a - 2b = 0 \\ |4b| = |3c| \\ \end{matrix} ight.

    Chọn a = −6, ta có b = 3, suy ra c = ±4.

    Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là −6x + 3y − 4z = 0 hoặc −6x + 3y + 4z = 0.

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 2}{3}. Trong các vectơ sau, vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)?

    Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

    \frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} với a.b.c eq 0.

    Vectơ chỉ phương \overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a}\mathbf{;}\mathbf{b}\mathbf{;}\mathbf{c} ight).

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, tìm tất cả giá trị tham số m để đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1} song song với mặt phẳng (P):2x + y - m^{2}z + m = 0.

    Ta có:

    d qua điểm M(1; 0; 1) và có VTCP là \overrightarrow{u} = (1;2;1)

    (P) có VTPT là \overrightarrow{n} = \left( 2;1; - m^{2} ight)

    Vì d // (P) nên \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2

    Với m = 2, (P): 2x + y − 4z + 2 = 0 ⇒ M ∈ (P) (loại).

    Với m = −2, (P): 2x + y − 4z − 2 = 0\Rightarrow M otin (P) (thỏa mãn).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Với giá trị nào của m thì mặt phẳng \left( Q ight):x + y + z + 3 = 0 cắt mặt cầu

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + 2my - 2mz + 2{m^2} + 9 = 0?

    Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):

    a = m + 1;b = - m;c = m;d = 2{m^2} + 9.

    Suy ra tâm I có tọa độ là I\left( {m + 1, - m,m} ight)

    \Rightarrow {R^2} = {\left( {m + 1} ight)^2} + {m^2} + {m^2} - 2{m^2} - 9 = {m^2} + 2m - 8 > 0

    \Rightarrow m < - 4 \vee m > 2

    (P) cắt (S) khi:

    d\left( {I,P} ight) < R \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 4} ight|}}{{\sqrt 3 }} < \sqrt {{m^2} + 2m - 8} \Leftrightarrow m < - 4 \vee m > 5

  • Câu 13: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; - 3) và mặt phẳng (P):2x + 2y - z + 9 = 0. Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (3;4; - 4) cắt (P) tại điểm B. Điểm M thay đổi trong (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90^{0}. Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Đường thẳng d cắt P tại B(−2; −2; 1).

    Gọi H là hình chiếu của A lên (P).

    Ta có: H(−3; −2; −1)

    Vì MB ⊥ MA; MB ⊥ AH nên MB ⊥ MH suy ra MB ≤ BH.

    Do đó: MB lớn nhất bằng BH khi M \equiv H

    Vậy MB đi qua B, nhận \overrightarrow{BH} là vectơ chỉ phương.

    Phương trình MB:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = - 2 \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) do đó MB đi qua điểm I( - 1; - 2;3).

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Cho điểm {m{A(2, - 1,1)}} và đường thẳng (\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}y + z - 4 = 0\\2x - y - z + 2 = 0\end{array} ight.. Gọi A'  là điểm đối xứng của A qua (\triangle) . Tọa độ điểm A'  là:

    Đưa phương trình (\triangle) về dạng tham số: \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 - t\\z = t\end{array} ight.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (\triangle).

    Phương trình mp (P) có dạng - y + z + D = 0 , qua A nên D =  -2

    Phương trình (P) là: y - z + 2 = 0

    Thế x, y, z từ phương trình (\triangle) vào phương trình (P) được t=1

    \Rightarrow (\triangle ) \cap (\alpha ) = (1,3,1).

    I là trung điểm của AA' nên: {x_{A'}} + 2 = 2;{y_{A'}} - 1 = 6;{z_{A'}} + 1 = 2

    \Rightarrow A'(0,7,1).

  • Câu 15: Vận dụng

    Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt phẳng (\alpha) đi qua M(1; - 3;8) và chắn trên tia Oz một đoạn thẳng dài gấp đôi các đoạn thẳng mà nó chắn trên các tia Ox và Oy. Giả sử (P):ax + by + cz + d = 0, với a,b,c,d\mathbb{\in Z},d eq 0. Tính S = \frac{a + b + c}{d}.

    Từ giả thiết, ta suy ra các giao điểm của (α) với các tia Ox, Oy, Oy lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; a; 0) ,C(0; 0; 2a), a > 0.

    Suy ra phương trình (đoạn chắn) của (α) là \frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{2a} = 1.

    Do (α) đi qua M nên a = 2.

    Suy ra (α): 2x + 2y + z − 4 = 0.

    Từ đó, ta tính được: S = \frac{a + b + c}{d} = \frac{2 + 2 + 1}{- 4} = - \frac{5}{4}.

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng?

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: 2x - 3y + 4z - 2024 = 0.

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng (P):x+y+2z-13=0. Xét các mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Tính giá trị của biểu thức T=a^2+2b^2+3c^2 khi (S) có bán kính nhỏ nhất.

     Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) ta có IA + IH =2R nên R nhỏ nhất khi I, A, H thẳng hàng và I là trung điểm của AH.

    Phương trình AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \end{matrix}ight.

    Tọa độ H là nghiệm (x;y;z) của hệ:

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \\ x+y+2z-13=0 \end{matrix}ight.

    \Rightarrow H(3;4;3)\Rightarrow I(2;3;1)

    Suy ra, ta có: T=a^2+2b^2+3c^2 =2^2+2.3^2+3.1^2=25

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = (1;2;1),\overrightarrow{b} = (1;1;2),\overrightarrow{c} = (x;3x;x + 2). Nếu ba vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} đồng phẳng thì:

    Ta có: \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack = (3; - 3;3)

    Ba vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} đồng phẳng

    \Leftrightarrow \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack.\overrightarrow{c} = 0

    \Leftrightarrow 3x - 3(3x) + 3(x + 2) = 0

    \Leftrightarrow x = 2

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (Oxy) cắt mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 3)^{2} = 25 theo thiết diện là đường tròn bán kính r bằng bao nhiêu?

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;1; - 3) và bán kính R = 5.

    Khoảng cách từ tâm I đến (Oxy) bằng 3.

    \Rightarrow r = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 = 0 và đường thẳng d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}, sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng:

    Mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (4;3; - 1)

    Đường thẳng d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1} có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;3;1)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 7 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập