Trong không gian tọa độ
, cho tọa độ hai điểm
. Phương trình mặt cầu đường kính
là:
Gọi I là trung điểm của AB suy ra
Mặt cầu đường kính có tâm
và bán kính
có phương trình là:
Trong không gian tọa độ
, cho tọa độ hai điểm
. Phương trình mặt cầu đường kính
là:
Gọi I là trung điểm của AB suy ra
Mặt cầu đường kính có tâm
và bán kính
có phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng đi qua
đồng thời song song với
và mặt phẳng
có phương trình là:
Ta có: . Gọi
là đường thẳng đi qua
đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy).
Khi đó:
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hình bình hành
. Biết
và
. Diện tích hình bình hành
là:
Ta có:
Suy ra diện tích ABCD là:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua ba điểm ![]()
Theo đề bài, ta có cặp vecto chỉ phương của
Từ đó, ta suy ra vecto pháp tuyến của (P) là tích có hướng của 2 VTCP của
Mp (P) đi qua và nhận vecto có tọa độ
làm 1 VTPT có phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và hai đường thẳng
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm
, cắt
và vuông góc với
.
Gọi là đường thẳng đi qua điểm
, cắt
và vuông góc với
.
Giả sử .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
có phương trình
. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng
?
Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng , điểm
có tọa độ không thỏa mãn phương trình đường thẳng
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba mặt phẳng ![]()
![]()
. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt
lần lượt tại
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Dễ dàng nhận thấy (P)//(Q)//(R).
Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng cắt (P) tại H và cắt (Q) tại K.
Ta có
Khi đó ta có:
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo thiết diện là đường tròn bán kính
bằng bao nhiêu?
Mặt cầu có tâm
và bán kính
.
Khoảng cách từ tâm đến
bằng
.
Trong không gian với hệ tọa độ
; cho bốn điểm ![]()
. Tính thể tích tứ diện
.
Theo giả thiết ta có: suy ra
Vậy thể tích tứ diện là:
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
, gọi α là góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng
. Tính sinα.
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục tọa độ với
,
Ta thấy và
nên suy ra mặt phẳng
có một vec tơ pháp tuyến là
.
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là
ta chọn
.
Ta có .
Trong không gian với hệ tọa độ
cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Gọi
là giao điểm của
và
và
là điểm thuộc đường thẳng
sao cho
. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
Gọi
Khi đó ta có:
Gọi là hình chiếu của
lên mặt phẳng
, khi đó:
Trong không gian
, cho tam giác
vuông tại
,
,
, đường thẳng
có phương trình
, đường thẳng
nằm trong mặt phẳng
. Biết rằng đỉnh
có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh
.
Hình vẽ minh họa:
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình
Do C ∈ BC nên
Theo giả thiết nên:
Mặt khác đỉnh C có cao độ âm nên C(3; 4; −3).
Gọi . Do
nên:
Vậy đáp án cần tìm là .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Ta có:
Do đó:
Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng .
Trong không gian với hệ tọa độ
, đường thẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
Nếu một điểm nằm trên một đường thẳng thì khi thay tọa độ điểm đó vào phương trình đường thẳng thì sẽ thỏa mãn phương trình đường thẳng.
Lần lượt thay tọa độ M từ các phương án vào phương trình đường thẳng d ta được M(−3; 5; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hai điểm
. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
vuông góc với AB, cắt ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại M, N, E sao cho thể tích hình chóp
bằng
đvtt.
Vecto pháp tuyến của
Phương trình
cắt 3 trục tọa độ tại
Thể tích hình chóp là:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính góc tạo bởi
với trục
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Trục có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa và mặt phẳng
:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với
.
Hình vẽ minh họa
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên
Do vậy mặt cầu tâm O tiếp xúc với (P) nhận OH làm bán kính
⇒ Phương trình mặt cầu là .
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng
là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
bằng
. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng
. Đẳng thức nào sau đây sai?
Ta có .
Tam giác ABC đều cạnh a nên .
Trong tam giác vuông SHA, ta có .
Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với (SAB) nên bán kính mặt cầu .
Ta có
Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Suy ra và
.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE , suy ra (1).
Ta có (2)
Từ (1) và (2) , suy ra nên
.
Trong tam giác vuông SHE, ta có .
Vậy .
Trong không gian
, mặt cầu
có bán kính bằng:
Bán kính của mặt cầu là
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Một mặt phẳng
đi qua hai điểm
và vuông góc với
có dạng
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Vì (Q) vuông góc với (P) nên (Q) nhận véc-tơ pháp tuyến làm véc-tơ chỉ phương.
Mặt khác do (Q) đi qua hai điểm A, B nên nhận làm véc-tơ chỉ phương.
Vậy (Q) có véc-tơ pháp tuyến là
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là:
Vậy .