Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Ta có .

Trong , ta có

Trong , ta có

Gọi N là trung điểm AC , suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Gọi  là trung điểm A'C, suy ra  .

Do đó IN là trục của , suy ra   (1)

Hơn nữa, tam giác vuông tại A có là trung điểm A'C nên . (2)

Từ (1) và (2), ta có hay là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp với bán kính .

Chuyển (d) về dạng tham số :

Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: , cho qua P tính được D=7 .

Ta có (Q): .

Thế x, y, z  theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được

Giao điểm I của (d) và (Q)  là I (1, -3, 1) .

Vì I là trung điểm của PP’ nên .

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nên có một vectơ chỉ phương là .

Phương trình là

Kiểm tra được điểm thỏa mãn hệ (*).

Vậy phương trình: cũng là phương trình của .

Ta có:

Do đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương là .

Vậy phương trình đường thẳng d là

Bán kính mặt cầu là

Phương trình mặt cầu tâm và là:

Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là

Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :

Ta có: suy ra

Mặt phẳng đi qua điểm , có 1 vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

Vì nên .

Ta có:

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng .

Vậy đáp án cần tìm là: .

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm AB suy ra H là hình chiếu vuông góc của I lên Ox nên

Phương trình mặt cầu là: .

Ta có .

hệ này vô nghiệm

Hệ này vô nghiệm.

Do đó (P) không song song với (Q), với mọi giá trị của m.

Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AB có tọa độ I(0; 1; 1).

Mặt phẳng (OAB) có véc-tơ pháp tuyến .

Suy ra đường thẳng ∆ có và đi qua I(0; 1; 1).

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là .

Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là

Ta có

⇒ .

Ta thấy tọa độ điểm thỏa mãn phương trình mặt phẳng nên điểm nằm trên .

Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là

có 1 vectơ pháp tuyến là

Khi đó:

Đường thẳng có véc-tơ chỉ phương lần lượt là .

Lấy điểm .

Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng và cắt trục hoành tại điểm .

Khi đó có cặp véc-tơ chỉ phương là và , suy ra có véc-tơ pháp tuyến

Gọi là góc giữa đường thẳng và , suy ra

Đặt , suy ra .

Nhận thấy, để góc lớn nhất thì lớn nhất, điều đó đồng nghĩa với phải lớn nhất.

Xét .

Trường hợp .

Trường hợp .

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Từ đó suy ra, để tồn tại suy ra .

Vậy khi đó . Từ đó suy ra và mặt phẳng có phương trình

Đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là

Gọi ∆ là đường vuông góc chung giữa và , suy ra ∆ có vectơ chỉ phương

Giả sử ∆ giao với lần lượt tại , khi đó ta có

Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:

Từ đó suy ra đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương và đi qua điểm .

Vậy ta có phương trình đường thẳng:

Ta có . Gọi α là góc giữa đường thẳng AB và (P).

Khi đó:

Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bằng:

Ta có:

suy ra tâm mặt cầu là:

Bán kính mặt cầu là: