Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 1;2;1),B(2; - 1;4),C(1;1;4)$ . Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ ?
- A.
  $\frac{x}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}$
- B.
  $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$
- C.
  $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}$
- D.
  $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{- 1}$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3; - 3;3)//\overrightarrow{a} = (1; - 1;1) \\ \overrightarrow{AC} = (2; - 1;3) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{a};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 2; - 1;1)$ là 1 VTPT của mặt phẳng (ABC).

Do đó đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) có VTPT cùng phương với vectơ (−2; −1; 1).

Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D đường thẳng $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{- 1}$ có 1 VTPT là (−2; 1; 1) cùng phương với (−2; −1; 1).
Câu 2: Nhận biết
Điều kiện để $\left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + Ax + By + Cz + D = 0$ là một mặt cầu là:
- A. ${A^2} + {B^2} + {C^2} - D > 0$
- B. ${A^2} + {B^2} + {C^2} - 2D = 0$
- C. ${A^2} + {B^2} + {C^2} - 4D > 0$
- D. ${A^2} + {B^2} + {C^2} + D = 0$
Theo đề bài, ta có:
$\left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + Ax + By + Cz + D = 0$ có dạng:
$\left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$
$\Rightarrow a = - \frac{A}{2};\,\,b = - \frac{B}{2};\,\,c = - \frac{C}{2};\,\,d = D$
Như vậy, (S) là mặt cầu $\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow {A^2} + {B^2} + {C^2} - 4D > 0$
$\Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0,\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 2}{2}$ và điểm $A(3;2;0)$ . Điểm đối xứng với điểm $A$ qua đường thẳng $d$ có tọa độ là:
- A.
  $( - 1;0;4)$
- B.
  $(7;1; - 1)$
- C.
  $(2;1; - 2)$
- D.
  $(0;2; - 5)$
Gọi $M( - 1 + t; - 3 + 2t; - 2 + 2t) \in d$

$\Rightarrow AH = (t - 4;2t - 5;2t - 2)$

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u} = (1;2;2)$

Vì $\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{AH} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH} = 0$

$\Leftrightarrow 1(t - 4) + 2(2t - 5) + 2(2t - 2) = 0 \Leftrightarrow t = 2$

Suy ra M(1; 1; 2), gọi A’(x; y; z) là điểm đối xứng của A qua d thì: $\left\{ \begin{matrix} x = 2.1 - 3 = - 1 \\ y = 2.1 - 2 = 0 \\ z = 2.2 - 0 = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Điểm đối xứng với điểm $A$ qua đường thẳng $d$ có tọa độ là: $( - 1;0;4)$ .
Câu 4: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1),B(2;0;1),C( - 2;2;3)$ . Đường thẳng $\Delta$ qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ và nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ cùng tạo với các đường thẳng $AB;AC$ một góc $\alpha < 45^{0}$ có một véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ với $c$ là số nguyên tố và $a;b$ là số nguyên. Giá trị biểu thức $ab + bc + ca$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $- 67$
- B.
  $23$
- C.
  $- 33$
- D.
  $- 37$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (1; - 2;2);\overrightarrow{AC} = ( - 3;0;4)$

$\overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 8; - 10; - 6)$

$\cos(AB;\Delta) = \frac{|a - 2b + 2c|}{3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

$\cos(AC;\Delta) = \frac{| - 3a + 4c|}{5\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Theo đề bài, ta suy ra:

$\cos(AB;\Delta) = \cos(AC;\Delta)$

$\Leftrightarrow 5|a - 2b + 2c| = 3| - 3a + 4c|$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 7a - 5b - c = 0\ \ \ (1) \\ 2a + 5b - 11c = 0\ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.$

Vì ∆ ⊂ (ABC) nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_{(ABC)}} = 0 \Leftrightarrow 4a + 5b + 3c = 0\ \ (3)$

Trường hợp 1: Xét hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}7a - 5b - c = 0 \\4a + 5b + 3c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{- 2c}{11} \\b = \dfrac{- 5c}{11} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = \left(\dfrac{- 2c}{11};\dfrac{- 5c}{11};c ight)$

Chọn c = 11, ta có $\overrightarrow{u} = ( - 2; - 5;11)$ (kiểm tra lại điều kiện $\alpha < 45^{0}$ ta thấy $\overrightarrow{u}$ đang xét thỏa mãn).

Trường hợp 2: Xét hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} 2a + 5b - 11c = 0 \\ 4a + 5b + 3c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 7c \\ b = 5c \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = ( - 7c;5c;c)$

Chọn c = 2, ta có $\overrightarrow{u} = ( - 14;10;2)$ (kiểm tra lại điều kiện $\alpha < 45^{0}$ ta thấy $\overrightarrow{u}$ đang xét không thỏa mãn).

Vậy $ab + bc + ca = −67$
Câu 5: Thông hiểu
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua $M (-2, 1, 3)$ và song song với mặt phẳng (Q): $2x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,3z\,\, + \,\,7 = \,\,0.$
- A. $2x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,3z\,\, - 8 = \,\,0$
- B. $2x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,3z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
- C. $2x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,3z\,\, - \,\,18 = \,\,0$
- D. $2x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,3z\,\, + \,\,8 = \,\,0$
Vì mp $(P) // (Q)$ nên ta có PTTQ mp $(P)$ sẽ có dạng là:
$\left( P ight):2x + 5y - 3z + D = 0$
Mặt khác, (P) qua $M\left( { - 2,1,3} ight) \Rightarrow D = 8$
$\Rightarrow \left( P ight):2x + 5y - 3z + 8 = 0$
Câu 6: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;0;1),B(3; - 2;0),C(1;2; - 2)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ sao cho tổng khoảng cách từ $B$ và $C$ đến $(P)$ lớn nhất, biết rằng $(P)$ không cắt đoạn $BC$ . Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:
- A.
  $\overrightarrow{n} = (2; - 2; - 1)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1;0;2)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = ( - 1;2; - 1)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$
Kiểm tra $\overrightarrow{n} = (2; - 2; - 1)$ : Mặt phẳng (P) có phương trình 2x − 2y − z − 1 = 0.

Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại $\overrightarrow{n} = (2; - 2; - 1)$ .

Kiểm tra $\overrightarrow{n} = (1;0;2)$ : Mặt phẳng (P) có phương trình x+ 2z −3 = 0.

Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B ∈ (P) nên loại $\overrightarrow{n} = (1;0;2)$ .

Kiểm tra $\overrightarrow{n} = ( - 1;2; - 1)$ : Mặt phẳng (P) có phương trình −x + 2y − z + 2 = 0.

Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại $\overrightarrow{n} = ( - 1;2; - 1)$ .

Kiểm tra v: Mặt phẳng (P) có phương trình x − 2z + 1 = 0.

Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về cùng phía (P) nên chọn $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$ .
Câu 7: Thông hiểu
Cho hai điểm $A\left( {1, - 4,5} ight),B\left( { - 2,3, - 4} ight)$ và vectơ $\overrightarrow a = \left( {2, - 3, - 1} ight)$ . Mặt phẳng chứa hai điểm A, B và song song với vectơ $\vec{a}$ có phương trình:
- A. $34x - 21y + 5z - 25 = 0$
- B. $34x + 21y - 5z + 25 = 0$
- C. $34x + 21y + 5z + 25 = 0$
- D. $34x - 21y - 5z - 25 = 0$
Theo đề bài, ta có: $A\left( {1, - 4,5} ight);B\left( { - 2,3, - 4} ight)$
$\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 3,7, - 9} ight);\overrightarrow a = \left( {2, - 3, - 1} ight)$
Như vậy, $\vec{AB}$ và $\vec{a}$ sẽ là cặp vectơ chỉ phương của $(\beta)$
$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } ight] = \left( { - 34, - 21, - 5} ight) =\vec{n}$
Chọn $\overrightarrow n = \left( {34,21,5} ight)$ làm vectơ pháp tuyến của $(\beta)$
Phương trình mặt phẳng $(\beta)$ có dạng $34x + 21y + 5z + D = 0$
Mặt khác, vì điểm $A \in (\beta)$ nên thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng $(\beta)$ được: $34 - 84 + 25 + D = 0 \Leftrightarrow D = 25$
Vậy $(\beta)$ có phương trình là: $34x + 21y + 5z + 25 = 0$
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3;3; - 2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$ . Viết phương trình đường thẳng $d$ ?
- A.
  $d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y + 3}{3} = \frac{z - 2}{1}$
- B.
  $d:\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 2}{1}$
- C.
  $d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z - 1}{- 2}$
- D.
  $d:\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 3}{3} = \frac{z + 1}{- 2}$
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3;3; - 2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$ là:

$d:\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 2}{1}$
Câu 9: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , , cho hai mặt cầu $(S_1), (S_2)$ có phương trình lần lượt là $(x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 1)^2 = 16$ và $(x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 5)^2 = 4$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với cả hai mặt cầu $(S_1), (S_2)$ . Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $\frac{9}{2} - \sqrt{45}$
- B.
  $\sqrt{15}$
- C.
  $\frac{9 + \sqrt{15}}{2}$
- D.
  $\frac{8\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S₁) có tâm I(2; 1; 1) và bán kính $R_1 = 4$ .

Mặt cầu (S₂) có tâm J(2; 1; 5) và bán kính $R_2 = 2$ .

Gọi A, B lần lượt là hai tiếp điểm của (S₁), (S₂) với mặt phẳng (P).

Gọi M là giao điểm của IJ với mặt phẳng (P). Ta có:

$\frac{MI}{MJ} = \frac{IA}{IB} = 2$

Suy ra J là trung điểm của IM, do đó M(2; 1; 9).

Gọi véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (a;b;c),\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 ight)$ khi đó phương trình của mặt phẳng (P) là

$a(x − 2) + b(y − 1) + c(z − 9) = 0$

Ta có:

$d\left( I;(P) ight) = 4 \Leftrightarrow \frac{|8c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = 4$

$\Leftrightarrow \frac{|c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 3c^{2}$

$\Leftrightarrow \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} = 3\ \ \ (1)$

Mặt khác $d\left( O;(P) ight) = \frac{|2a + b + 9c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{|2a + b + 9c|}{2c} = \frac{1}{2}\left| \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} + 9 ight|\ \ \ (2)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

$\left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq \left( 2^{2} + 1^{2} ight)\left\lbrack \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} ightbrack\ \ \ (3)$

Từ (1) và (3) ta có: $\left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq 15 \Leftrightarrow - \sqrt{15} \leq \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} \leq \sqrt{15}\ \ (4)$

Từ (2) và (4) suy ra:

$\frac{9 - \sqrt{15}}{2} \leq d\left( O;(P) ight) \leq \frac{9 + \sqrt{15}}{2}$

Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{9 + \sqrt{15}}{2}$ .
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 25$ . Đường thẳng d cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $A, B$ . Biết tiếp diện của $(S)$ tại $A, B$ vuông góc. Tính độ dài $AB$ .
- A.
  $AB = \frac{5}{2}$
- B.
  $AB = 5$
- C.
  $AB = 5\sqrt{2}$
- D.
  $AB = \frac{5\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; −1)$ , bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.

Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.

Suy ra $AB = IA.\sqrt{2} = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ .
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ , sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{5}{13}$
- B.
  $\frac{8}{13}$
- C.
  $\frac{1}{13}$
- D.
  $\frac{12}{13}$
Mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (4;3; - 1)$

Đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;3;1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}$
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 81$ tại điểm $P( - 5; - 4;6)$ là:
- A.
  $7x + 8y + 67 = 0$
- B.
  $4x + 2y - 9z + 82 = 0$
- C.
  $x - 4z + 29 = 0$
- D.
  $2x + 2y - z + 24 = 0$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; 2; 3)$ .

Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.

Do (α) tiếp xúc với (S) tại P nên mặt phẳng (α) đi qua P và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{IP} = ( - 6; - 6;3)$

Phương trình mặt phẳng (α) là

$- 6(x + 5) - 6(y + 4) + 3(z - 6) = 0$

$\Leftrightarrow 2x + 2y - z + 24 = 0$
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , gọi $d$ là đường thẳng đi qua $O$ , thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ và cách điểm $M(1; - 2;1)$ một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa $d$ và trục tung bằng
- A.
  $\frac{2}{5}$
- B.
  $\frac{1}{5}$
- C.
  $\frac{1}{\sqrt{5}}$
- D.
  $\frac{2}{\sqrt{5}}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H; K lần lượt là hình chiếu của M trên mặt phẳng (Oyz) và trên đường thẳng d.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} d(M;d) = MK \geq MH = 1 \\ H(0; - 2;1) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $d(M;d)$ nhỏ nhất khi $H \equiv K$ . Khi đó d có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow{OH} = (0; - 2;1)$

Khi đó: $\cos(d;Oy) = \frac{\left| \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{j} ight|}{\left| \overrightarrow{OH} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = \frac{2}{\sqrt{5}}$
Câu 14: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân
giác trong góc A là $\frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}$ . Biết rằng điểm $M(0; 5; 3)$ thuộc đường thẳng AB và điểm $N(1;1;0)$ thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?
- A. $\vec{u}(1;2;3)$
- B. $\vec{u}(0;-2;6)$
- C. $\vec{u}(0;1;-3)$
- D. $\vec{u}(0;1;3)$
Giả sử , $A(t; 6-4t; 6-3t)$ , ta có:
$\vec{u_d}=(1; -4; -3),$
$\vec{AM}=(-t;4t-1;-3+3t)$
$\vec{AN}=(1-t;-5+4t;3t-6)$
Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:
$\left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AM}) ight |= \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AN}) ight |$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left | 26t-13 ight |}{\sqrt{26t^2 -26t+10} } =\dfrac{\left | 26t-39 ight |}{\sqrt{26t^2 -78t+62} }$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left | 2t-1 ight |}{\sqrt{13t^2 -13t+5} } =\dfrac{\left | 2t-3 ight |}{\sqrt{13t^2 -39t+31} }$
Từ đây ta bình phương 2 vế được:
$(4t^2-4t+1)(13t^2-39t+31)=(4t^2-12t+9)(13t^2-13t+5)$
$\Leftrightarrow 14t=14$
$\Leftrightarrow t=1$
$\Rightarrow A(1;2;3)\Rightarrow \vec{AN}=(0; -1; -3)$
Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là $\vec{u}(0;1;3)$ .
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 4),B(1; - 3;1),C(2;2;3)$ . Tính đường kính $l$ của mặt cầu $(S)$ đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ ?
- A.
  $l = 2\sqrt{13}$
- B.
  $l = 2\sqrt{4}$
- C.
  $l = 2\sqrt{26}$
- D.
  $l = 2\sqrt{11}$
Gọi tâm mặt cầu là $I(x;y;0)$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} IA = IB \\ IA = IC \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} + 1^{2}} \\ \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + 3^{2}} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (y - 2)^{2} + 4^{2} = (y + 3)^{2} + 1 \\ x^{2} - 2x + 1 + 16 = x^{2} - 4x + 4 + 9 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10y = 10 \\ 2x = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow l = 2R = 2\sqrt{( - 3)^{2} + ( - 1)^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{26}$ .
Câu 16: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , xét mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2;1;3)$ đồng thời cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho tứ diện $OMNP$ có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ với $(P)$ có toạ độ là:
- A.
  $(4;6;1)$
- B.
  $(4;1;6)$
- C.
  $( - 4;6;1)$
- D.
  $(4; - 1;6)$
Gọi $M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c)$

Theo giả thiết, ta có $a;b;c$ là các số dương.

Phương trình mặt phẳng (P) là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

(P) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1$

Ta có: $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{1}{b}.\frac{3}{c}} = \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}}$

$\Leftrightarrow 1 \geq \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{abc} \geq 3\sqrt[3]{6} \Leftrightarrow abc \geq 112$

$V_{OMNP} = \frac{abc}{6} \geq 27$ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} \frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{3}{c} \\ \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 3 \\ c = 9 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $(P):\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1$

Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 1 \\ z = 6 \\ t = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy đáp án cần tìm là: $(4; - 1;6)$ .
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - y + 2z + 1 = 0$ và đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ . Tính góc giữa đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Ta có: $\overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)$

Do đó: $\cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$

Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng $90^{0} - 60^{0} = 30^{0}$ .
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(2;0; - 1)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (4; - 6;2)$ là:
- A.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 1}{1}$
- B.
  $\frac{x + 2}{4} = \frac{y}{6} = \frac{z - 1}{2}$
- C.
  $\frac{x + 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z - 1}{1}$
- D.
  $\frac{x - 4}{2} = \frac{y + 6}{- 3} = \frac{z - 2}{1}$
Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(2;0; - 1)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (4; - 6;2)$ nên có phương trình: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 1}{1}$ .
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):3x - my - z + 7 = 0,(Q):6x + 5y - 2z - 4 = 0$ . Xác định $m$ để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau?
- A.
  $m = 4$
- B.
  $m = - \frac{5}{2}$
- C.
  $m = - 30$
- D.
  $m = \frac{5}{2}$
Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi

Tập xác định $\frac{3}{6} = \frac{- m}{5} = \frac{- 1}{- 2} eq \frac{7}{- 4}$

Vậy $m = - \frac{5}{2}$ thì hai mặt phẳng $(P);(Q)$ song song với nhau.
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P):2x - y + 3 = 0$ . Một véc tơ pháp tuyến của $(P)$ có tọa độ là?
- A.
  $(2;1;0)$
- B.
  $(2; - 1;3)$
- C.
  $(2; - 1;0)$
- D.
  $(2;1;3)$
Mặt phẳng $(P)$ có VTPT là: $\overrightarrow{n} = (2; - 1;0)$

15 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!