Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z}{1}$ và điểm $A(2;0;1)$ . Hình chiếu vuông góc của A trên (∆) là điểm nào dưới đây?
- A.
  $Q(2;2;3)$
- B.
  $M( - 1;4; - 4)$
- C.
  $N(0; - 2;1)$
- D.
  $P(1;0;2)$
Đường thẳng (∆) đi qua M(−1; −4; 0), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{(\Delta)}} = (1;\ 2;\ 1)$

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 4 + 2t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.$

Gọi P là hình chiếu vuông góc của A trên (∆).

Khi đó $P \in (\Delta) \Rightarrow P( - 1 + t; - 4 + 2t;t)$

Ta có $\overrightarrow{AP} = ( - 3 + t; - 4 + 2t;t - 1)$ . Vì $\overrightarrow{AP}\bot\overrightarrow{u_{(\Delta)}} \Rightarrow \overrightarrow{AP}.\overrightarrow{u_{(\Delta)}} = 0$ nên

$\Leftrightarrow 1.( - 3 + t) + 2.( - 4 + 2t) + 1.(t - 1) = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow P(1;0;2)$
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;2),B(2; - 1;3)$ . Viết phương trình đường thẳng $AB$ ?
- A.
  $AB:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$
- B.
  $AB:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$
- C.
  $AB:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{2}$
- D.
  $AB:\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB} = (1; - 2;1)$ . Suy ra phương trình đường thẳng $AB$ là:

$AB:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y - 6 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):2x - y - 2z - 9 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; - 2)$

$(Q):x - y - 6 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 1;0)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 4: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $\widehat{ABC} = 30^{0}$ , $BC = 3\sqrt{2}$ , đường thẳng $BC$ có phương trình $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4}$ , đường thẳng $AB$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha):x + z - 3 = 0$ . Biết rằng đỉnh $C$ có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh $A$ .
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $3$
- C.
  $\frac{9}{2}$
- D.
  $\frac{5}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4} \\ x + z - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(2;3;1)$

Do C ∈ BC nên $C(4 + c;5 + c; - 7 - 4c)$

Theo giả thiết $BC = 3\sqrt{2}$ nên: $18(2 + c)^{2} = 18 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = - 1 \Rightarrow C(3;4; - 3) \\ c = - 3 \Rightarrow C(1;2;5) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt khác đỉnh C có cao độ âm nên C(3; 4; −3).

Gọi $A(x;y;3 - x) \in (\alpha)$ . Do $\widehat{ABC} = 30^{0}$ nên:

$\left\{ \begin{matrix} AB = \frac{3\sqrt{6}}{2} \\ AC = \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (2 - z)^{2} = \frac{27}{2} \\ (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} + (6 - z)^{2} = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ 2x^{2} - 18x + y^{2} - 8y + \frac{113}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10x + 2y - 53 = 0 \\ 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ 2x^{2} - 8x + \left( \frac{53 - 10x}{2} ight)^{2} - 6.\left( \frac{53 - 10x}{2} ight) + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 4 \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A\left( \frac{9}{2};4; - \frac{3}{2} ight)$

Vậy đáp án cần tìm là $\frac{9}{2}$ .
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu có tâm $I(1;1;1)$ và có diện tích bằng $4\pi$ có phương trình là:
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 4$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 1$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 4$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$
Ta có: $S = 4\pi R^{2} = 4\pi \Rightarrow R = 1$

Vậy mặt cầu tâm $I(1;1;1)$ có bán kính $R = 1$ có phương trình:

$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ , sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{5}{13}$
- B.
  $\frac{8}{13}$
- C.
  $\frac{1}{13}$
- D.
  $\frac{12}{13}$
Mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (4;3; - 1)$

Đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;3;1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}$
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha):x + 2z + 3 = 0$ . Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là:
- A.
  $\overrightarrow{b} = (2; - 1;0)$
- B.
  $\overrightarrow{v} = (1;2;3)$
- C.
  $\overrightarrow{a} = (1;0;2)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = (2;0; - 1)$
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1;0;2)$ .

Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng (α) nên có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{n} = (1;0;2)$ .
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 16$ có tâm là
- A.
  $I(1;0;3)$ .
- B.
  $I( - 1;0;3)$ .
- C.
  $I(1;0; - 3)$ .
- D.
  $I(1;2; - 3)$ .
Mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 16$ có tâm là: $I(1;0; - 3)$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M( - 3; - 2;3)$ và vuông góc với trục $Ox$ .
- A.
  $(P):x + 3 = 0$
- B.
  $(P):x + y + 5 = 0$
- C.
  $(P):y + z - 1 = 0$
- D.
  $(P):x - 3 = 0$
Vì mặt phẳng (P) vuông góc với Ox nên có một vectơ pháp tuyến là vectơ $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$ .

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là

$1\left( x - ( - 3) ight) + 0\left( y - ( - 2) ight) + 0(z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow x + 3 = 0$ .
Câu 10: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 1),B(3;0;3)$ . Biết mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và cách $B$ một khoảng lớn nhất. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là
- A.
  $x - 2y + 2z + 5 = 0$
- B.
  $x - y + 2z + 3 = 0$
- C.
  $2x - 2y + 4z + 3 = 0$
- D.
  $2x - y + 2z = 0$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P), suy ra d(B, (P)) = AH.

Ta có BH ≤ AB.

Dấu “=” xảy ra ⇔ H ≡ A

⇒ BH_max = AB khi AB ⊥ (P).

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AB\bot(P) \\ A \in (P) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (P):2x - 2y + 4z + 6 = 0$

$\Leftrightarrow x - y + 2z + 3 = 0$
Câu 11: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$ . Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $3\ km$ .

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} = 9$ . Sai||Đúng

b) Điểm $A(2;2;7)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ . Sai||Đúng

c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(2;2;7)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$ . Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $3\ km$ .

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} = 9$ . Sai||Đúng

b) Điểm $A(2;2;7)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ . Sai||Đúng

c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(2;2;7)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

Phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;3;7)$ bán kính $3\ km$ mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 7)^{2} = 9$ .

Ta có: $IA = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (2 - 3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = \sqrt{2} < 3$ nên điểm $A$ nằm trong mặt cầu.

Vì điểm $A$ nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ $(2;2;7)$ có thể sử dưng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

Ta có: $IB = \sqrt{(5 - 1)^{2} + (6 - 3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = 5' > 3$ nên điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu.

Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ không thể sử dựng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó
Câu 12: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9$ tâm I và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+24=0$ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn MH có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm M.
- A. $M(-1;0;4)$
- B. $M(0;1;2)$
- C. $M(3;4;2)$
- D. $M(4;1;2)$
Ta có tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R=3$ . Do $d(I;(P))=9>R$ nên mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S) . Do H là hình chiếu của I lên (P) và MH lớn nhất nên M là giao điểm của đường thẳng IH với mp (P) .
$\overrightarrow {IH} =\vec n_{(P)}=(2;2;-1)$ .
Phương trình đường thẳng IH là $\left\{\begin{matrix} x=1+2t \\ y=2+2t \\ z=3-t \end{matrix}ight.$ .
Giao điểm của IH với (S): $9t^2=9 \Leftrightarrow t=\pm 1 \Rightarrow M_1 (3;4;2) \mbox{ và } M_2 (-1;0;4)$
Suy ra:
$M_1H=d(M_1;(P))=12;$
$M_2H=d(M_2;(P))=6$ .
Vậy điểm cần tìm là $M(3;4;2)$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(1; - 1;2)$ và vectơ $\overrightarrow{n} = (2;4; - 6)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ qua A và nhận vectơ $\overrightarrow{n}$ làm vectơ pháp tuyến.
- A.
  $x + 2y - 3z - 5 = 0$ .
- B.
  $x + 2y - 3z + 7 = 0$ .
- C.
  $2x + 4y - 6z + 5 = 0$ .
- D.
  $x + 5y - 6z + 5 = 0$
Phương trình mặt phẳng có dạng:

$A\left( x - x_{A} ight) + B\left( y - y_{A} ight) + C\left( z - z_{A} ight) = 0$ .

$2(x - 1) + 4(y + 1) + 6(z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y - 3z + 7 = 0.$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - y + 3z - 7 = 0$ và điểm $A( - 1;2;5)$ . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P)?
- A.
  $2x - y + 3z - 11 = 0$
- B.
  $2x - y + 3z + 11 = 0$
- C.
  $2x - y + 3z + 15 = 0$
- D.
  $2x - y + 3z - 9 = 0$
Mặt phẳng (Q) và song song với (P) nên (Q) có dạng $2x − y + 3z + D = 0$ , với $D eq - 7$

Vì $A ∈ (Q)$ nên $2 .(−1) − 2 + 3 . 5 + D = 0 ⇔ D = −11$ .

Vậy $(Q): 2x − y + 3z − 11 = 0$ .
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 6z + 5 = 0$ và mặt phẳng $(\alpha):2x + y + 2z - 15 = 0$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với $(\alpha)$ và tiếp xúc với $(S)$ là
- A.
  $(P):2x + y + 2z - 15 = 0$
- B.
  $(P):2x + y + 2z + 15 = 0$
- C.
  $(P):2x + y + 2z - 3 = 0$
- D.
  $(P):2x + y + 2z + 3 = 0$
Ta có:

(S) có tâm $I (1; −2; 3)$ , bán kính $R = 3$ . (P) song song với (α)

⇒ $(P):2x + y + 2z + m = 0$ , với $m eq - 15$

Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên $d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 15 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight.$ , so với điều kiện ta nhận $m = 3$ .

Vậy $(P):2x + y + 2z + 3 = 0$ .
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành $ABCD$ với $A(1;1;0),B(1;1;2),D(1;0;2)$ . Diện tích hình bình hành $ABCD$ bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $3$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Gọi $S$ là diện tích hình bình hành $ABCD$ khi đó $S = \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ightbrack ight|$

Mà $\overrightarrow{AB} = (0;0;2);\overrightarrow{AD} = (0; - 1;2)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ightbrack = (2;0;0)$

$\Rightarrow \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ightbrack ight| = 2 \Rightarrow S = 2$

Vậy diện tích hình bình hành $ABCD$ bằng 2.
Câu 17: Vận dụng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh $a$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(A'B'CD)$ và $(ACC'A')$ bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $75^{0}$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ

$O \equiv A';Ox \equiv A'D';Oy \equiv A'B';Oz \equiv AA'$

Khi đó: $A(0;0;a),D(a;0;a),B(0;a;a),C(a;a;a)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{A'B'} = (0;a;0);\overrightarrow{A'D} = (a;0;a) \\ \overrightarrow{A'A} = (0;0;a);\overrightarrow{A'C'} = (a;a;0) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{A'B'};\overrightarrow{A'D} ightbrack = \left( a^{2};0; - a^{2} ight)$

Chọn $\overrightarrow{n_{1}} = (1;0; - 1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(AB'CD)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{A'A};\overrightarrow{A'C'} ightbrack = \left( - a^{2};a^{2};0 ight)$

Chọn $\overrightarrow{n_{2}} = ( - 1;1;0)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ACC'A')$

Góc giữa hai mặt phẳng $(A'B'CD)$ và $(ACC'A')$ bằng:

$\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{| - 1|}{\sqrt{2}.\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x - 2z - 6 = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ cắt đồng thời vuông góc với $d$ ?
- A.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 2}{1}$
- B.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
- C.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
- D.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$
Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x - 2z - 6 = 0 \\ x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(2;4; - 2)$

Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$ , đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;1; - 1)$

Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1)$

Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1)$ nên có phương trình chính tắc: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{- 1}$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.$ . Mặt phẳng $(P)$ qua $d_{1}$ tạo với $d_{2}$ một góc $45^{0}$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n} = (1;b;c)$ làm một vectơ pháp tuyến. Xác định tích $b.c$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} b.c = - 4 \\ b.c = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} b.c = 4 \\ b.c = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $b.c = - 4$
- D.
  $b.c = 4$
Hai đường phẳng $d_{1};d_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_{1}} = (2; - 2; - 1),\overrightarrow{u_{2}} = (1;0 - 1)$

Mặt phẳng (P) đi qua $d_{1} \Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_{1}} = 0 \Leftrightarrow 2 - 2b - c = 0\ \ (1)$

$\Rightarrow \sin\left( d_{2};(P) ight)= \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_{2}} ight|}{\left|\overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u_{2}} ight|} =\sin45^{0}$

$\Leftrightarrow \frac{|1 - c|}{\sqrt{b^{2} + c^{2} + 1}.\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow |1 - c| = \sqrt{b^{2} + c^{2} + 1} \Leftrightarrow b^{2} + 2c = 0(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 2 \\ c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow bc = - 4$
Câu 20: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3},d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = m \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số $m$ sao cho $d_{1},d_{2}$ chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng $\frac{5}{\sqrt{19}}$ . Tính tổng tất cả các phần tử của $S$ .
- A.
  $- 11$
- B.
  $12$
- C.
  $- 12$
- D.
  $11$
Vectơ chỉ phương của $d_{1},d_{2}$ là $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;0)$

Khi đó: $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3;3;1)$ .

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d_{1}$ song song với $d_{2}$ .

Tức là, $(P)$ qua $A(1;0;0)$ và nhận $\overrightarrow{n}$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có phương trình $(P):3x - 3y - z - 3 = 0$

Xét điểm $B(1;2;m) \in d_{2}$ . Do $d_{1},d_{2}$ chéo nhau nên $B otin (P) \Leftrightarrow m eq - 6$ .

Lại có:

$d\left( d_{1};d_{2} ight) = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow d\left( B;(P) ight) = \frac{5}{\sqrt{19}}$

$\Leftrightarrow \frac{|3 - 6 - m - 3|}{\sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 11 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng các phần tử của S là $- 1 - 11 = - 12$ .

65 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!