Trong không gian
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
tâm
bán kính
. Bán kính đường tròn giao của mặt phẳng
và mặt cầu
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi bán kính đường tròn giao của mặt phẳng và mặt cầu
là
Ta có:
Suy ra
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
tâm
bán kính
. Bán kính đường tròn giao của mặt phẳng
và mặt cầu
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi bán kính đường tròn giao của mặt phẳng và mặt cầu
là
Ta có:
Suy ra
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD) và SA = a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SB, SD. Côsin của góc hợp bới hai mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
Vectơ pháp tuyến của mp(AEF) là
Vectơ pháp tuyến của mp(ABCD) là:
Vậy côsin góc giữa 2 mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là:
Trong không gian
, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để
là một phương trình mặt cầu
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi
Theo bài ra
Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
, sin của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng:
và ![]()
a) Vectơ có tọa độ
là một vectơ chỉ phương của
. Sai||Đúng
b) Đường thẳng
đi qua điểm
. Đúng||Sai
c) Đường thẳng
đi qua
và vuông góc với
có phương trình tham số là
. Đúng||Sai
d) Góc giữa hai đường thẳng
và
khoảng
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng:
và
a) Vectơ có tọa độ là một vectơ chỉ phương của
. Sai||Đúng
b) Đường thẳng đi qua điểm
. Đúng||Sai
c) Đường thẳng đi qua
và vuông góc với
có phương trình tham số là
. Đúng||Sai
d) Góc giữa hai đường thẳng và
khoảng
. Sai||Đúng
a) Vectơ có tọa độ là một vectơ chỉ phương của
nên mệnh đề sai
b) Mệnh đề đúng
c) Gọi
nên mệnh đề đúng
d) Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn nên mệnh đề sai
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
có các vectơ pháp tuyến là
. Góc
là góc giữa hai mặt phẳng đó
là biểu thức nào sau đây?
Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:
Trong không gian
, tìm phương trình mặt phẳng
cắt ba trục
lần lượt tại ba điểm
?
Phương trình mặt phẳng :
Trong không gian
, cho đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
. Một vectơ chỉ phương của
là:
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là .
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α) nên có vectơ chỉ phương là
.
Trong không gian
,cho hai đường thẳng
và
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
là:
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng và
là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Điểm
thuộc mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất là:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có:
Dễ thấy nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, suy ra M là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng (Oxy).
Dễ thấy .
Trong không gian
, đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là:
Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng
có một vectơ chỉ phương là
nên có phương trình là
.
Trong không gian
, cho đường thẳng
và hai điểm
. Gọi
là đường thẳng đi qua điểm
và cắt đường thẳng
sao cho khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng
là:
Gọi . Khi đó
Ta có
Khoảng cách từ B đến d được tính như sau:
Xét hàm số ta có:
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có: nhỏ nhất khi
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
tại
Suy ra
Khi đó vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: .
Trong không gian
, hai điểm
và
. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính
?
Mặt cầu nhận làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm
của
làm tâm và có bán kính
Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Mặt phẳng
đi qua ba điểm
có phương trình tổng quát
. Biết
, tìm giá trị của
?
Do nên mặt phẳng
có phương trình
Do đi qua các điểm
nên ta có hệ:
Vậy .
Trong không gian
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
và tạo với mặt phẳng
một góc
thỏa mãn
là
Giả sử có vectơ pháp tuyến
có vectơ chỉ phương
có phương trình x = 0 nên có vectơ pháp tuyến
Mà
Thay (1) vào (2) ta được
Chọn ta có
Hay , Vậy
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho bốn điểm
,
và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng
nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng
hợp với mặt phẳng
các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.
Hình vẽ minh họa
Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).
Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn
Ta có , suy ra
Phương trình đường thẳng MH nhận làm vectơ chỉ phương nên MH là:
Khi đó:
Trong không gian
, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng?
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt cầu tâm
bán kính
là:
Phương trình mặt cầu tâm bán kính
là:
Tổng quát .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
. Hai điểm
thay đổi sao cho
và
. Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua
và tiếp xúc với mặt phẳng
. Bán kính của mặt cầu đó là:
Phương trình mặt phẳng là
.
Gọi và
là tâm và bán kính của mặt cầu cố định.
Ta có
Mà không đổi nên
, hay
.
Mặt khác ta có .
Vậy .
Trong không gian
, cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Trong không gian , cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?