Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(1;2; - 3)$ và mặt phẳng $(P):2x + 2y - z + 9 = 0$ . Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (3;4; - 4)$ cắt $P$ tại điểm $B$ . Điểm $M$ thay đổi trong $(P)$ sao cho $M$ luôn nhìn đoạn $AB$ dưới góc $90^{0}$ . Khi độ dài $MB$ lớn nhất, đường thẳng $MB$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?
- A.
  $H( - 2; - 1;3)$
- B.
  $I( - 1; - 2;3)$
- C.
  $K(3;0;15)$
- D.
  $J( - 3;2;7)$
Hình vẽ minh họa

Phương trình $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Đường thẳng d cắt P tại B(−2; −2; 1).

Gọi H là hình chiếu của A lên (P).

Ta có: H(−3; −2; −1).

Vì MB ⊥ MA; MB ⊥ AH nên MB ⊥ MH suy ra MB ≤ BH.

Do đó: MB lớn nhất bằng BH khi M ≡ H

Vậy MB đi qua B, nhận $\overrightarrow{BH}$ là vectơ chỉ phương.

Phương trình $MB:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = - 2 \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.$ do đó MB đi qua điểm $I( - 1; - 2;3)$ .
Câu 2: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1; −1; 2), B(−2; 0; 3), C(0; 1; −2)$ . Điểm $M(a; b; c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho biểu thức $S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + 3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, $T = 12a + 12b + c$ có giá trị là:
- A.
  $T = - 1$
- B.
  $T = 3$
- C.
  $T = - 3$
- D.
  $T = 1$
Chọn $I$ sao cho $4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

Ta tính được $I\left( - \frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)$

Ta thấy

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight) \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} ight) + \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} ight) + \overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} \\ \end{matrix} ight.$

$S = 6{\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} + 3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI}\left( 4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} ight)$

$\Rightarrow S = 6MI^{2} +\underset{CONST}{\overset{4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +5\overrightarrow{IC}}{︸}}$

Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.

Vậy M là hình chiếu vuông góc của $I\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)$ lên (Oxy) $\Rightarrow M\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};0 ight)$

Ta xác định được $\left\{ \begin{matrix}a = - \dfrac{1}{6} \\b = \dfrac{1}{12} \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = - 1$
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;3)$ và mặt phẳng $(P):2x + y - 4z + 1 = 0$ . Đường thẳng $(d)$ qua điểm $A$ , song song với mặt phẳng $(P)$ , đồng thời cắt trục $Oz$ . Viết phương trình tham số của đường thẳng $(d)$ .
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 5t \\ y = 2 - 6t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 6t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Gọi $B = d \cap Oz \Rightarrow B(0;0;b) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2;\ b - 3)$

Lại có $d\ //(P)\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} = (2;1; - 4)$

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{(P)}} = 0 \Leftrightarrow - 2 - 2 - 4b + 12 = 0 \Leftrightarrow b = 2$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2 - 1)$

Do đó, (d) là đường thẳng qua B(0; 0; 2) và nhận $\overrightarrow{u} = (1;2;1)$ làm vectơ chỉ phương. Nên (d) có phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + 2y - 2z + 3 = 0$ và đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1}$ . Côsin của góc tạo bởi đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ là
- A.
  $\frac{4}{9}$
- B.
  $\frac{\sqrt{65}}{9}$
- C.
  $\frac{5}{9}$
- D.
  $\frac{2\sqrt{3}}{9}$
Ta có: $\overrightarrow{u} = (2; - 2;1),\overrightarrow{n_{(P)}} = (1;2; - 2)$

Khi đó $\sin\widehat{\left( \Delta;(P) ight)} = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_{(P)}} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n_{(P)}} ight|} = \frac{4}{9}$

Vì $\cos\widehat{\left( \Delta;(P) ight)} > 0$ nên $\cos\widehat{\left( \Delta;(P) ight)} = \sqrt{1 - sin^{2}\widehat{\left( \Delta;(P) ight)}} = \frac{\sqrt{65}}{9}$
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ , sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{5}{13}$
- B.
  $\frac{8}{13}$
- C.
  $\frac{1}{13}$
- D.
  $\frac{12}{13}$
Mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (4;3; - 1)$

Đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;3;1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}$
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng $(P):x + y + z - 1 = 0$ ?
- A.
  $H(0;0;1)$
- B.
  $K(0;1;0)$
- C.
  $E(1;0;0)$
- D.
  $O(0;0;0)$
Dễ thấy điểm $O(0;0;0)$ không thuộc mặt phẳng $(P)$ .
Câu 7: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , xét mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2;1;3)$ đồng thời cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho tứ diện $OMNP$ có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ với $(P)$ có toạ độ là:
- A.
  $(4;6;1)$
- B.
  $(4;1;6)$
- C.
  $( - 4;6;1)$
- D.
  $(4; - 1;6)$
Gọi $M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c)$

Theo giả thiết, ta có $a;b;c$ là các số dương.

Phương trình mặt phẳng (P) là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

(P) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1$

Ta có: $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{1}{b}.\frac{3}{c}} = \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}}$

$\Leftrightarrow 1 \geq \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{abc} \geq 3\sqrt[3]{6} \Leftrightarrow abc \geq 112$

$V_{OMNP} = \frac{abc}{6} \geq 27$ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} \frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{3}{c} \\ \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 3 \\ c = 9 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $(P):\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1$

Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 1 \\ z = 6 \\ t = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy đáp án cần tìm là: $(4; - 1;6)$ .
Câu 8: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d: \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y}{-1} = \dfrac z 4$ và mặt
cầu (S) tâm I(1;2;1), bán kính R. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với
(S) tạo với nhau góc $60^0$ . Hãy viết phương trình mặt cầu (S)
- A. $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=6$
- B. $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=3$
- C. $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=\dfrac{3}{2}$
- D. $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=1$
Gọi M, N là tiếp điểm của mặt phẳng (P), (Q) và mặt cầu (S). Gọi H là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng d.
$\Rightarrow IH=d(I,d)= \sqrt 6$
TH1: Góc $\widehat {MHN}=60^0$ :
Theo bài ra ta có: $R=IM=IH.\sin30^0= \sqrt 6 .\frac 1 2 = \frac{\sqrt 6}{2}$
$\Rightarrow(S) : (x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2= \frac 3 2$
TH2: Góc $\widehat {MHN}=120^0$ :
Theo bài ra ta có: $R=IM=IH.\sin60^0= \sqrt 6 .\frac {\sqrt 3}{2} = \frac{\sqrt18}{2}$
$\Rightarrow(S) : (x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2= \frac 9 2$ .
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $M(4;9;8),N(1; - 3;4),P(2;5; - 1)$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua ba điểm $M,N,P$ có phương trình tổng quát $Ax + By + Cz + D = 0$ . Biết $A = 92$ , tìm giá trị của $D$ ?
- A.
  $D = 101$
- B.
  $D = - 101$
- C.
  $D = - 63$
- D.
  $D = 36$
Do $A = 92$ nên mặt phẳng $(P)$ có phương trình $92x + By + Cz + D = 0$

Do $(P)$ đi qua các điểm $A;B;C$ nên ta có hệ:

$\left\{ \begin{matrix} 92.4 + B.9 + C.8 + D = 0 \\ 92.1 + B.( - 3) + C.4 + D = 0 \\ 92.2 + B.5 + C.( - 1) + D = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} B = - 19 \\ C = - 12 \\ D = - 101 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $D = - 101$ .
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(Oxy)$ cắt mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 3)^{2} = 25$ theo thiết diện là đường tròn bán kính $r$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $r = 5$
- B.
  $r = 3$
- C.
  $r = 16$
- D.
  $r = 4$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;1; - 3)$ và bán kính $R = 5$ .

Khoảng cách từ tâm $I$ đến $(Oxy)$ bằng $3$ .

$\Rightarrow r = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$
Câu 11: Thông hiểu
Cho hai điểm $A\left( {1, - 4,5} ight),B\left( { - 2,3, - 4} ight)$ và vectơ $\overrightarrow a = \left( {2, - 3, - 1} ight)$ . Mặt phẳng chứa hai điểm A, B và song song với vectơ $\vec{a}$ có phương trình:
- A. $34x - 21y + 5z - 25 = 0$
- B. $34x + 21y - 5z + 25 = 0$
- C. $34x + 21y + 5z + 25 = 0$
- D. $34x - 21y - 5z - 25 = 0$
Theo đề bài, ta có: $A\left( {1, - 4,5} ight);B\left( { - 2,3, - 4} ight)$
$\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 3,7, - 9} ight);\overrightarrow a = \left( {2, - 3, - 1} ight)$
Như vậy, $\vec{AB}$ và $\vec{a}$ sẽ là cặp vectơ chỉ phương của $(\beta)$
$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } ight] = \left( { - 34, - 21, - 5} ight) =\vec{n}$
Chọn $\overrightarrow n = \left( {34,21,5} ight)$ làm vectơ pháp tuyến của $(\beta)$
Phương trình mặt phẳng $(\beta)$ có dạng $34x + 21y + 5z + D = 0$
Mặt khác, vì điểm $A \in (\beta)$ nên thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng $(\beta)$ được: $34 - 84 + 25 + D = 0 \Leftrightarrow D = 25$
Vậy $(\beta)$ có phương trình là: $34x + 21y + 5z + 25 = 0$
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(2;0; - 1)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (4; - 6;2)$ là:
- A.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 1}{1}$
- B.
  $\frac{x + 2}{4} = \frac{y}{6} = \frac{z - 1}{2}$
- C.
  $\frac{x + 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z - 1}{1}$
- D.
  $\frac{x - 4}{2} = \frac{y + 6}{- 3} = \frac{z - 2}{1}$
Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(2;0; - 1)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (4; - 6;2)$ nên có phương trình: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 1}{1}$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0$ . Bán kính của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $\sqrt{15}$
- B.
  $\sqrt{7}$
- C.
  $9$
- D.
  $3$
Ta có:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2.0.x - 2.1y - 2.( - 1)z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = - 1 \\ d = - 7 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tâm mặt cầu là: $I(0;1; - 1)$

Bán kính mặt cầu là:

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2} - 7} = 3$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}$ . Gọi ∆’ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng ∆ qua (Oxy). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
- A.
  $\overrightarrow{u} = ( - 1;3; - 1)$
- B.
  $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{u} = (1;3;0)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$
Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 11; 0).

Ta thấy B(1; 2; 3) ∈ ∆ và B’(1; 2; −3) là điểm đối xứng của điểm B qua mặt phẳng (Oxy).

Đường thẳng ∆’ đi qua các điểm A, B’.

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 3; - 9; - 3)$ , từ đó suy ra $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = - t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d':\frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{2}$ . Vị trí tương đối của $d$ và $d'$ là
- A.
  Song song
- B.
  Trùng nhau
- C.
  Chéo nhau
- D.
  Cắt nhau
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (3; - 1; - 2)$ và đi qua điểm M(−1; 0; 1).

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d'}} = ( - 3;1;2)$ .

Hai vectơ $\overrightarrow{u_{d}}$ và $\overrightarrow{u_{d'}}$ cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.

Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):2x + 4y + 3z - 5 = 0$ và $(Q):mx - ny - 6z + 2\ = \ 0$ . Giá trị của $m, n$ sao cho $(P)//(Q)$ là
- A.
  $m = 4;n = - 8$
- B.
  $m = n = 4$
- C.
  $m = - 4;n = 8$
- D.
  $m = n = - 4$
Ta có: $(P)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{(P)}} = (2;4;3)$ , (Q) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{(Q)}} = (m; - n; - 6)$

Để hai mặt phẳng song song thì $\overrightarrow{u_{(P)}} = k\overrightarrow{u_{(Q)}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2k \\ - n = 4k \\ - 6 = 3k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = - 2 \\ m = - 4 \\ n = 8 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là: $m = - 4;n = 8$ .
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 3 = 0$ . Tính số đo góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;0)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

Khi đó ta có:

$\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 18: Vận dụng
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M(1; - 3;8)$ và chắn trên tia $Oz$ một đoạn thẳng dài gấp đôi các đoạn thẳng mà nó chắn trên các tia $Ox$ và $Oy$ . Giả sử $(P):ax + by + cz + d = 0$ , với $a,b,c,d\mathbb{\in Z},d eq 0$ . Tính $S = \frac{a + b + c}{d}$ .
- A.
  $S = - \frac{5}{4}$
- B.
  $S = \frac{5}{4}$
- C.
  $S = 3$
- D.
  $S = - 3$
Từ giả thiết, ta suy ra các giao điểm của (α) với các tia $Ox, Oy, Oy$ lần lượt là $A(a; 0; 0), B(0; a; 0) ,C(0; 0; 2a), a > 0$ .

Suy ra phương trình (đoạn chắn) của (α) là $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{2a} = 1$ .

Do (α) đi qua M nên $a = 2$ .

Suy ra $(α): 2x + 2y + z − 4 = 0$ .

Từ đó, ta tính được: $S = \frac{a + b + c}{d} = \frac{2 + 2 + 1}{- 4} = - \frac{5}{4}$ .
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2} = 4$ . Tâm mặt cầu $(S)$ có tọa độ là:
- A.
  $( - 2;1; - 3)$
- B.
  $( - 4;2; - 6)$
- C.
  $(4; - 2;6)$
- D.
  $(2; - 1;3)$
Mặt cầu $(S):(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ có tâm là $I(a;b;c)$

Mặt cầu $(S):(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2} = 4$ có tâm $I(2; - 1;3)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho tứ diện đều $ABCD$ có $A(0;1;2)$ và hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $(BCD)$ là $H(4; - 3; - 2)$ . Tìm tọa độ tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ ?
- A.
  $I(3; - 2; - 1)$
- B.
  $I(2; - 1;0)$
- C.
  $I(3; - 2;1)$
- D.
  $I( - 3; - 2;1)$
Gọi $I(a;b;c) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = ( - a;1 - b;2 - c) \\ \overrightarrow{IH} = (4 - a; - 3 - b; - 2 - c) \\ \end{matrix} ight.$

$ABCD$ là tứ diện đều nên tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện

$\Rightarrow \overrightarrow{IA} = - 3\overrightarrow{IH} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - a = - 3(4 - a) \\ 1 - b = - 3(3 - b) \\ 2 - c = - 3( - 2 - c) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = - 2 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(3; - 2; - 1)$

42 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!