Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng (d1 ): \left\{ \begin{array}{l}x - y + z - 5 = 0\\x - 3y + 6 = 0\end{array} ight. và ({d_2})\left\{ \begin{array}{l}2y + z - 5 = 0\\4x - 2y + 5z - 4 = 0\end{array} ight.

    Xét VTTĐ của (d1 ) và (d2 )? Tìm câu đúng ?

    Chuyển đường thẳng (d1 ) và (d2 ) về dạng tham số :

    ({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 + 3t\\y = t\\z = 11 - 2t\end{array} ight. \Rightarrow ({d_1}) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = (3,1, - 2) và qua A( - 6,0,11) .

    ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{15}}{4} - 3t'\\y = 3 - t'\\z = - 1 + 2t'\end{array} ight. \Rightarrow \left( {{d_2}} ight) có vectơ chỉ phương \overrightarrow b = (\frac{{15}}{4},3, - 1)

    \overrightarrow a earrow \swarrow \overrightarrow bvà hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} - 6 + 3t = \frac{{15}}{4} - 3t'\\t = 3 - t'\\11 - 2t = - 1 + 2t'\end{array} ight. vô nghiệm.

    \Rightarrow ({d_1})//(d_{2} ).

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1) và A(1;1;1). Hai điểm M(m;0;0),N(0 ;n;0) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0,n > 0. Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng (SMN). Bán kính của mặt cầu đó là:

    Phương trình mặt phẳng (SMN) là \frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{1} =1

    \Leftrightarrow nx + my + mnz - mn =0.

    Gọi I(a;b;c) và R là tâm và bán kính của mặt cầu cố định.

    Ta có

    R = d(I;(SMN))

    = \frac{|na + mb + mnc -mn|}{\sqrt{n^{2} + m^{2} + m^{2}n^{2}}}

    = \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{\sqrt{1 - 2mn + m^{2}n^{2}}}

    = \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{1 - mn}

    = \frac{\left| (1 - c)m^{2} + (b + c - a- 1)m + a ight|}{m^{2} - m + 1}

    Mà R không đổi nên \frac{1 - c}{1} = \frac{b + c - a - 1}{- 1} =\frac{a}{1} = t \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = t \\b = t \\c = 1 - t \\\end{matrix} ight., hay I(t;t;1- t).
    Mặt khác ta có R = IA = \sqrt{3t^{3} - 4t +2} = |t| \Rightarrow t = 1.

    Vậy R = 1.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hai mặt cầu sau:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 10z - 11 = 0;

    \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 6z - 5 = 0

    Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?

    Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong

    Đáp án là:

    Cho hai mặt cầu sau:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 10z - 11 = 0;

    \left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 6z - 5 = 0

    Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?

    Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong

     Theo đề bài, ta suy ra các hệ số, tâm và bán kính của (S):

    \left( S ight):a = 2;\,\,b = - 3;\,\,c = 5;\,\,d = - 11 \Rightarrow Tâm I\left( {2, - 3,5} ight); bán kính R=7

    \left( {S'} ight) = a' = 1;\,\,b' = - 1;\,c' = 3;\,\,d' = - 5 \Rightarrow Tâm J\left( {1, - 1,3} ight); bán kính R'=4

    I{J^2} = {\left( {1 - 2} ight)^2} + {\left( { - 1 + 3} ight)^2} + {\left( {3 - 5} ight)^2} = 9 \Rightarrow IJ = 3 = R - R'

    (S) và (S') tiếp xúc trong.

  • Câu 4: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(0;1;3),N(10;6;0) và mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 10 = 0. Biết rằng tồn tại điểm I( - 10;a;b) thuộc (P) sao cho |IM - IN| đạt giá trị lớn nhất. Tính T = a + b.

    Thay tọa độ điểm M và N vào vế trái phương trình mặt phẳng (P), ta có (0 - 2 + 3 - 10).(10 - 12 - 10) > 0 nên hai điểm M, N nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P).

    Khi đó ta có |IM - IN| \leq MN và đẳng thức xảy ra khi I = MN \cap (P)

    Phương trình tham số của đường thẳng MN là \left\{ \begin{matrix} x = 10t \\ y = 1 + 5t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.

    Tọa độ giao điểm của MN và (P) là nghiệm hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} x = 10t \\ y = 1 + 5t \\ z = 3 - 3t \\ x - 2y + 2z - 10 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 10 \\ y = - 4 \\ z = 6 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy T = a + b = 2

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng (d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).

    Ta có: \overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)

    Do đó: \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}

    Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 90^{0} - 60^{0} = 30^{0}.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz cho điểm H(1;2; - 3). Viết phương trình mặt phẳng (\alpha) đi qua H và cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz tại A,B,C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC?

    Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c),abc eq 0.

    Khi đó: (\alpha):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Ta có: \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA} = (a - 1; - 2;3) \\ \overrightarrow{HB} = ( - 1;b - 2;3) \\ \overrightarrow{BC} = (0; - b;c) \\ \overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\ \end{matrix} ight. vì H là trực tâm của tam giác ABC suy ra \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2b + 3c = 0 \\ a + 3c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow a = 2b = - 3c

    Mặt khác H \in (\alpha) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow \frac{1}{- 3c} + \frac{4}{- 3c} - \frac{3}{c} = 1

    \Leftrightarrow 14 = - 3c \Leftrightarrow c = \frac{- 14}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 14 \\ b = 7 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy (\alpha):\frac{x}{14} + \frac{y}{7} +\dfrac{z}{- \dfrac{14}{3}} = 1 hay (\alpha):x + 2y - 3z - 14 = 0.

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):2x + z - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:

    Mặt phẳng (P):2x + z - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là: \overrightarrow{n} = (2;0;1).

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho đường tròn (C) đường kính AB và đường thẳng \triangle. Để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh \triangle là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:

    Điều kiện để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh \triangle là một mặt cầu là trục quay \triangle phải cố định và hai điểm A, B cũng cố định trên \triangle.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1), mặt phẳng (P):x - z - 1 = 0 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 \\ z = - 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Gọi d_{1};d_{2} là các đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và đều có khoảng cách đến đường thẳng d bằng \sqrt{6}. Côsin của góc giữa d_{1} và d_{2} bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (1;0; - 1) \\ \overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} d\bot P \\ d \cap P = M(0;2; - 1) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{MA} = (2; - 1;2) \Rightarrow MA = 3

    Gọi H K; lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên d_{1} và d_{2}, ta có:

    \left\{ \begin{matrix} d\left( d_{1};d ight) = d\left( M;d_{1} ight) = MH \\ d\left( d_{2};d ight) = d\left( M;d_{2} ight) = MK \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow MK = MH = \sqrt{6} \Rightarrow \sin\widehat{MAK} = \sin\widehat{MAH} = \frac{HM}{AM} = \frac{\sqrt{6}}{3}

    \Rightarrow \cos\left( d_{1};d_{2} ight) = \left| \cos\left( 2.\widehat{MAH} ight) ight|

    = \left| 1 - 2\sin^{2}\left(\widehat{MAH} ight) ight| = \left| 1 - \frac{4}{3} ight| =\frac{1}{3}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;0; - 1) và mặt phẳng (P):x + y - 1 = 0. Đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy) có phương trình là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{n_{(P)}} = (1;1;0) \\\overrightarrow{n_{(Oxy)}} = (0;0;1) \\\end{matrix} ight.. Gọi d là đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy).

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{(P)}} \\\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{(Oxy)}} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack\overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Oxy)}} ightbrack = (1;- 1;0)

    Vậy \left\{ \begin{matrix}x = 2 + t \\y = - t \\z = - 1 \\\end{matrix} ight..

  • Câu 11: Nhận biết

    Điều kiện để \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + Ax + By + Cz + D = 0 là một mặt cầu là:

    Theo đề bài, ta có:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + Ax + By + Cz + D = 0 có dạng:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

    \Rightarrow a = - \frac{A}{2};\,\,b = - \frac{B}{2};\,\,c = - \frac{C}{2};\,\,d = D

    Như vậy, (S) là mặt cầu\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow {A^2} + {B^2} + {C^2} - 4D > 0

    \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0,\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1;1;2) và B(2; - 1;0) là:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1, - 2, - 2)

    Phương trình đường thẳng AB đi qua B(2; - 1;0) nhận vectơ \overrightarrow{AB} làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là: \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{2}.

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, khoảng cách từ A( - 2;1; - 6) đến mặt phẳng (Oxy) là

    Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy):z = 0 là:

    d\left( A;(Oxy) ight) = \frac{| - 6|}{\sqrt{1}} = 6

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 3x - 6y - 4z + 36 = 0. Gọi A,B,C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục tọa độ Ox,Oy,Oz. Tính thể tích V của khối chóp O.ABC.

    Ta có: (P):3x - 6y - 4z + 36 = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{- 12} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1

    (P) cắt các trục tọa độ tại A( - 12;0;0),B(0;6;0),C(0;0;9)

    Do OA,OB,OC đôi một vuông góc nên V = \frac{1}{6}.OA\ .OB\ OC = \frac{1}{6}.12.6.9 = 108

  • Câu 15: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):x + y - 2z - 5 = 0 và đường thẳng\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{3}. Gọi A là giao điểm của \Delta và (P) và M là điểm thuộc đường thẳng \Delta sao cho AM = \sqrt{84}. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P).

    Gọi \alpha = \left( \Delta,(P) ight)

    Khi đó ta có: \cos\alpha = \frac{|1.2 + 1.1 - 2.3|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + ( - 2)^{2}}.\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 3^{2}}} = \frac{\sqrt{21}}{14}

    Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P), khi đó:

    HM = MA.cos\alpha = \sqrt{84}.\frac{\sqrt{21}}{14} = 3

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):8x - 4y - 8z - 11 =0,(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):8x - 4y - 8z - 11 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (8; - 4; - 8)

    (Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{2}; - \sqrt{2};0 ight)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)

    = \frac{\left| 8.\sqrt{2} + 4.\sqrt{2} - 8.0 ight|}{\sqrt{8^{2} + ( - 4)^{2} + ( - 8)^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{2} ight)^{2} + \left( - \sqrt{2} ight)^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và d_{2}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - m}{1} = \frac{z + 2}{- 1}, (với m là tham số). Tìm m để hai đường thẳng d_{1} và d_{2} cắt nhau

    Ta có:

    d_{1} đi qua điểm M1(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 1;2)

    d_{2} đi qua điểm M2(1; m; −2) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{2}} = (2;1; - 1)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 1;5;3) \\ \overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (0;m - 2; - 5) \\ \end{matrix} ight.

    d_{1} và d_{2} cắt nhau \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack.\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = 0

    \Leftrightarrow - 1\ .0 + 5(m - 2) - 15 = 0 \Leftrightarrow m = 5

  • Câu 18: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 1; 1). Phương trình mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 1; 1). Phương trình mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giá trị dương của tham số m sao cho mặt phẳng (Oxy) tiếp xúc với mặt cầu (x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1 là:

    Ta có: (Oxy) có phương trình z = 0

    Mặt cầu (x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1 có tâm I(3;0;2) và bán kính R = \sqrt{m^{2} + 1}

    Để mặt phẳng (Oxy) tiếp xúc với mặt cầu (x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1 thì

    d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2|}{\sqrt{1}} = \sqrt{m^{2} + 1}

    \Leftrightarrow m^{2} + 1 = 4 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{3}. Vì m nhận giá trị dương nên m = \sqrt{3}.

    Vậy m = \sqrt{3} thỏa yêu cầu đề bài.

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{2}. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;0; - 1) và vuông góc với d.

    Phương trình mặt phẳng (P):

    1(x - 2) - 1(y - 0) + 2(z + 1) = 0

    \Leftrightarrow x - y + 2z = 0

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 51 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập