Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , tìm tất cả giá trị tham số $m$ để đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1}$ song song với mặt phẳng $(P):2x + y - m^{2}z + m = 0$ .
- A.
  $m \in \left\{ - 2;2 ight\}$
- B.
  $m \in \varnothing$
- C.
  $m = - 2$
- D.
  $m = 2$
Ta có:

$d$ qua điểm $M(1; 0; 1)$ và có VTCP là $\overrightarrow{u} = (1;2;1)$

(P) có VTPT là $\overrightarrow{n} = \left( 2;1; - m^{2} ight)$

Vì d // (P) nên $\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2$

Với $m = 2, (P): 2x + y − 4z + 2 = 0 ⇒ M ∈ (P)$ (loại).

Với $m = −2, (P): 2x + y − 4z − 2 = 0$ $\Rightarrow M otin (P)$ (thỏa mãn).
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ . Điểm $M$ nằm trên đường thẳng $\Delta$ thì điểm M có dạng nào sau đây?
- A.
  $M(at;bt;ct)$
- B.
  $M\left( x_{0}t;y_{0}t;z_{0}t ight)$
- C.
  $M\left( a + x_{0}t;b + y_{0}t;c + z_{0}t ight)$
- D.
  $M\left( x_{0} + at;y_{0} + bt;z_{0} + ct ight)$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ nên đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số là $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + at \\ y = y_{0} + bt \\ z = z_{0} + ct \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Điểm $M$ nằm trên đường thẳng $\Delta$ nên điểm $M$ có dạng $M\left( x_{0} + at;y_{0} + bt;z_{0} + ct ight)$
Câu 3: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(Q):x + 2y - z - 5 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{1}$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $(Q)$ một góc nhỏ nhất là
- A.
  $(P):x - 2y - 1 = 0$
- B.
  $(P):y - z + 4 = 0$
- C.
  $(P):x - z + 4 = 0$
- D.
  $(P):x - 2y + 7 = 0$
Vì (P) chứa d nên phương trình của (P) có dạng $(P):a(x + 1) + b(y + 1) + c(z - 3) = 0$ với $\left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 \\ 2a + b + c = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Gọi α là góc giữa (P) và (Q), ta có:

$\cos\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{n_{Q}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{P}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{Q}} ight|} = \frac{|a + 2b - c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.\sqrt{6}} = \frac{\left| 3(a + b) ight|}{\sqrt{5a^{2} + 4ab + 2b^{2}}.\sqrt{6}}$

Nếu $a = 0$ thì $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$

Nếu $a eq 0$ thì $\cos\alpha = \frac{\left| 3(1 + t) ight|}{\sqrt{6}.\sqrt{5 + 4t + 2t^{2}}};\left( t = \frac{b}{a} ight)$ .

Khi đó $0 \leq \cos\alpha < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ta có α nhỏ nhất khi và chỉ khi cosα lớn nhất.

Do đó $\alpha = 30^{0}$ và $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Khi đó $a = 0$ , chọn $b = 1,\ c = - 1$ .

Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: $(P):y - z + 4 = 0$ .
Câu 4: Vận dụng
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):2x + y - 2z + 9 = 0$ và ba điểm $A(2; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 3;-1)$ . Điểm M ∈ (α) sao cho $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $x_{M} + y_{M} + z_{M} = 1$
- B.
  $x_{M} + y_{M} + z_{M} = 4$
- C.
  $x_{M} + y_{M} + z_{M} = 3$
- D.
  $x_{M} + y_{M} + z_{M} = 2$
Xét điểm I(a; b; c) thỏa mãn: $2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

Khi đó

$\left\{ \begin{matrix} 2(2 - a) - 3a - 4(1 - a) = 0\ \\ 2(1 - b) + 3(2 - b) - 4(3 - b) = 0\ \\ - 2c + 3(1 - c) - 4( - 1 - c) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0\ \\ b = - 4\ \\ c = 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0; - 4;7)$

Khi đó:

$\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| = \left| 2\overrightarrow{MI} + 3\overrightarrow{MI} - 4\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 4\overrightarrow{IC} ight| = IM$

Do đó $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì M là hình chiếu của I trên mặt phẳng $(\alpha)$ .

Do $M(x;y;z)$ là hình chiếu của I trên mặt phẳng $(\alpha)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IM} = k.\overrightarrow{n} \\ M \in (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2k\ \\ y + 4 = k\ \\ z - 7 = - 2k\ \\ 2x + y - 2z + 9 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = 1 \\ x = 2\ \\ y = - 3\ \\ z = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $M = (2; - 3;5) \Rightarrow x_{M} + y_{M} + z_{M} = 4$ .
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho $A(2;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ ?
- A.
  $\frac{x}{- 2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 0$
- B.
  $\frac{x}{- 2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$
- C.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$
- D.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 1} = 1$
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 1} = 1$
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình mặt cầu tâm $I(2;1; - 2)$ bán kính $R = 2$ là:
- A.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 2^{2}$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 4z + 5 = 0$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 4z + 5 = 0$
- D.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 2$
Phương trình mặt cầu tâm $I(2;1; - 2)$ bán kính $R = 2$ là:

$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 2^{2}$

Tổng quát $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 4z + 5 = 0$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9$ tâm I và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+24=0$ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn MH có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm M.
- A. $M(-1;0;4)$
- B. $M(0;1;2)$
- C. $M(3;4;2)$
- D. $M(4;1;2)$
Ta có tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R=3$ . Do $d(I;(P))=9>R$ nên mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S) . Do H là hình chiếu của I lên (P) và MH lớn nhất nên M là giao điểm của đường thẳng IH với mp (P) .
$\overrightarrow {IH} =\vec n_{(P)}=(2;2;-1)$ .
Phương trình đường thẳng IH là $\left\{\begin{matrix} x=1+2t \\ y=2+2t \\ z=3-t \end{matrix}ight.$ .
Giao điểm của IH với (S): $9t^2=9 \Leftrightarrow t=\pm 1 \Rightarrow M_1 (3;4;2) \mbox{ và } M_2 (-1;0;4)$
Suy ra:
$M_1H=d(M_1;(P))=12;$
$M_2H=d(M_2;(P))=6$ .
Vậy điểm cần tìm là $M(3;4;2)$ .
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x + y - 2z + 4 = 0$ . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:
- A.
  $\overrightarrow{n} = (1;1; - 2)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 2;4)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: $\overrightarrow{n} = (1;1; - 2)$ .
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;2;3),B(0;1;1),C(1;0; - 2)$ . Điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P):x + y + z + 2 = 0$ sao cho giá trị của biểu thức $T = MA^{2} + 2MB^{2} + 3MC^{2}$ nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của biểu thức $a + b + c$ là:
- A.
  $- 3$
- B.
  $2$
- C.
  $- 2$
- D.
  $3$
Điểm $M$ luôn tồn tại.

Ta có $M \in (P)$ nên $a + b + c + 2 = 0 \Leftrightarrow a + b + c = - 2$ .
Câu 10: Thông hiểu
Hai đường thẳng $\left( {d'} ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = - 3m - t\\z = 2t - 1\end{array} ight.$ và $\left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2m\\y = m + 2\\z = - m\end{array} ight.$ với cắt nhau tại M có tọa độ là :
- A. M (26, 9, - 11)
- B. M (26, - 9, - 11)
- C. M (26, - 9, 11)
- D. M (9, 26, - 11)
Để (d’) cắt (d) tại $M \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + 4t = 4 - 2m\\ - 3 - t = m + 2\\2t - 1 = - m\end{array} ight. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t + m = 1\\t + m = - 5\end{array} ight. \\\Leftrightarrow t = 6;m = - 11$
$\Rightarrow M\left( {26, - 9,11} ight)$
Câu 11: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$ . Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $3\ km$ .

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} = 9$ . Sai||Đúng

b) Điểm $A(2;2;7)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ . Sai||Đúng

c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(2;2;7)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$ . Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $3\ km$ .

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} = 9$ . Sai||Đúng

b) Điểm $A(2;2;7)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ . Sai||Đúng

c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(2;2;7)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

Phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;3;7)$ bán kính $3\ km$ mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 7)^{2} = 9$ .

Ta có: $IA = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (2 - 3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = \sqrt{2} < 3$ nên điểm $A$ nằm trong mặt cầu.

Vì điểm $A$ nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ $(2;2;7)$ có thể sử dưng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

Ta có: $IB = \sqrt{(5 - 1)^{2} + (6 - 3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = 5' > 3$ nên điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu.

Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ không thể sử dựng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó
Câu 12: Nhận biết
Cho mặt cầu $(S)$ tâm O, bán kính R và mặt phẳng $(P)$ có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc $(S)$ . Đường thẳng OM cắt $(P)$ tại N. Hình chiếu của O trên $(P)$ là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. NI tiếp xúc với $(S)$
- B. $ON = R\sqrt 2 \Leftrightarrow IN = R$
- C. Cả hai câu trên đều sai
- D. Cả hai câu trên đều đúng
Vì I là hình chiếu của O trên $(P)$ nên $d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = OI$ mà $d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = R$ nên I là tiếp điểm của $(P)$ và $(S)$ .
Đường thẳng OM cắt $(P)$ tại N nên IN vuông góc với OI tại I.
Suy ra IN tiếp xúc với $(S)$ .
Tam giác OIN vuông tại I nên $ON = R\sqrt 2 \Leftrightarrow IN = R$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = - t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d':\frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{2}$ . Vị trí tương đối của $d$ và $d'$ là
- A.
  Song song
- B.
  Trùng nhau
- C.
  Chéo nhau
- D.
  Cắt nhau
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (3; - 1; - 2)$ và đi qua điểm M(−1; 0; 1).

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d'}} = ( - 3;1;2)$ .

Hai vectơ $\overrightarrow{u_{d}}$ và $\overrightarrow{u_{d'}}$ cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.

Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y - 6 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):2x - y - 2z - 9 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; - 2)$

$(Q):x - y - 6 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 1;0)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):x + z + 4 = 0,(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):x + z + 4 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (1;0;1)$

$(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 2;2)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$ $= \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 16: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3;5; - 1),B(1;1;3)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight|$ ngắn nhất.
- A.
  $( - 2; - 3;0)$
- B.
  $(2; - 3;0)$
- C.
  $( - 2;3;0)$
- D.
  $(2;3;0)$
Gọi $J(x; y; z)$ là điểm sao cho $\overrightarrow{JA} + \overrightarrow{JB} = \overrightarrow{0}$ Suy ra J(2; 3; 1).

Khi đó $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JA} + \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JB} ight| = 2\left| \overrightarrow{MJ} ight|$

Vậy $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight|$ đạt GTNN khi và chỉ khi $\left| \overrightarrow{MJ} ight|$ đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).

Vậy M(2; 3; 0).
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 2 + t \\ z = 4 + \sqrt{2}t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và mặt phẳng $(P):\ x - y + \sqrt{2}z - 7 = 0$ . Hãy xác định góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = \left( 1;1;\sqrt{2} ight)$

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \left( 1; - 1;\sqrt{2} ight)$

Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khi đó ta có:

$\sin\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\left| 1.1 + 1.( - 1) + \sqrt{2}.\sqrt{2} ight|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \varphi = 30^{0}$
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;6;0),B(0;0; - 2);C( - 3;0;0)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua ba điểm $A;B;C$ là:
- A.
  $- 2x + y - 3z + 6 = 0$
- B.
  $\frac{x}{6} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 3} = 1$
- C.
  $2x - y + 3z + 6 = 0$
- D.
  $\frac{x}{3} + \frac{y}{- 6} + \frac{z}{2} = 1$
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

Ta có $\frac{x}{3} + \frac{y}{- 6} + \frac{z}{2} = 1$

$\Leftrightarrow - 2x + y - 3z = 6$

$\Leftrightarrow 2x - y + 3z + 6 = 0$
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 6y - 4z - 2 = 0$ , mặt phẳng $(\alpha):x + 4y + z - 11 = 0$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ , $(P)$ song song với giá của vectơ $\overrightarrow{v} = (1;6;2)$ và $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ . Lập phương trình mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - y + 2z - 2 = 0 \\ x - 2y + z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x - 2y + 2z + 3 = 0 \\ x - 2y + z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - y + 2z + 3 = 0 \\ 2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - y + 2z + 5 = 0 \\ 2x - y + 2z - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
Mặt cầu $(S)$ có tâm I(1; −3; 2) và bán kính $R\ = \ 4$ .

Từ giả thiết suy ra $\left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack = (2; - 1;2)$ , suy ra $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2; - 1;2)$

Vậy $(P)$ có phương trình dạng $2x - y + 2z + m = 0$

Do $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ nên:

$d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2.1 + 3 + 2.2 + m|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = 4$

$\Leftrightarrow |9 + m| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 3 \\ m = - 21 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - y + 2z + 3 = 0 \\ 2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 20: Vận dụng cao
Cho điểm P(-3 , 1, -1) và đường thẳng (d): $\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.$
Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:
- A. P'(5, 7, 3)
- B. P' (-5, 7, -3)
- C. P' (5, -7, 3)
- D. P' (-5, -7, 3)
Chuyển (d) về dạng tham số : $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2} + 3t\\y = - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.$
Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: $3x + 4y + 2z + D = 0$ , cho qua P tính được D=7 .
Ta có (Q): $3x + 4y + 2z + 7 = 0$ .
Thế x, y, z theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được $t = \frac{1}{2}$
Giao điểm I của (d) và (Q) là I (1, -3, 1) .
Vì I là trung điểm của PP’ nên $\Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight)$ .

56 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!