Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 3 = 0$ . Tính số đo góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;0)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

Khi đó ta có:

$\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;3;1),B(0;1;2)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là:
- A.
  $(P):2x + 2y - z = 0$
- B.
  $(P):2x + 2y - z - 9 = 0$
- C.
  $(P):2x + 4y + 3z - 19 = 0$
- D.
  $(P):2x + 4y + 3z - 10 = 0$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 2; - 2;1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$- 2(x - 2) - 2(y - 3) + (z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (P):2x + 2y - z - 9 = 0$
Câu 3: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng $(P):x+y+2z-13=0$ . Xét các mặt cầu (S) có tâm $I(a;b;c)$ , đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Tính giá trị của biểu thức $T=a^2+2b^2+3c^2$ khi (S) có bán kính nhỏ nhất.
- A. $T=35$
- B. $T=20$
- C. $T=25$
- D. $T=30$
Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) ta có $IA + IH =2R$ nên R nhỏ nhất khi $I, A, H$ thẳng hàng và I là trung điểm của AH.
Phương trình AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là
$\left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \end{matrix}ight.$
Tọa độ H là nghiệm $(x;y;z)$ của hệ:
$\left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \\ x+y+2z-13=0 \end{matrix}ight.$
$\Rightarrow H(3;4;3)\Rightarrow I(2;3;1)$
Suy ra, ta có: $T=a^2+2b^2+3c^2 =2^2+2.3^2+3.1^2=25$
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha):x + y = 0\ ,(\alpha'):2x - y + z - 15= 0$ . Tìm tọa độ giao điểm $I$ của đường thẳng $d$ và $d'$ , biết đường thẳng d' có phương trình $\left\{ \begin{matrix}x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.$
- A.
  $I(0;0; - 1)$
- B.
  $I(0;0;2)$
- C.
  $I(1;2;3)$
- D.
  $I(4; - 4;3)$
Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{ \begin{matrix}x + y = 0 \\2x - y + z - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - t + 2 + 2t = 0 \\2(1 - t) - (2 + 2t) + 3 - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - 3 \\x = 4 \\y = - 4 \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(4; - 4;3)$
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2;1;1)$ , mặt phẳng $(P):x - z - 1 = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 \\ z = - 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Gọi $d_{1};d_{2}$ là các đường thẳng đi qua $A$ , nằm trong $(P)$ và đều có khoảng cách đến đường thẳng $d$ bằng $\sqrt{6}$ . Côsin của góc giữa $d_{1}$ và $d_{2}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{1}{3}$
- B.
  $\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\frac{\sqrt{2}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (1;0; - 1) \\ \overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} d\bot P \\ d \cap P = M(0;2; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{MA} = (2; - 1;2) \Rightarrow MA = 3$

Gọi H K; lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên $d_{1}$ và $d_{2}$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix} d\left( d_{1};d ight) = d\left( M;d_{1} ight) = MH \\ d\left( d_{2};d ight) = d\left( M;d_{2} ight) = MK \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow MK = MH = \sqrt{6} \Rightarrow \sin\widehat{MAK} = \sin\widehat{MAH} = \frac{HM}{AM} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow \cos\left( d_{1};d_{2} ight) = \left| \cos\left( 2.\widehat{MAH} ight) ight|$

$= \left| 1 - 2\sin^{2}\left(\widehat{MAH} ight) ight| = \left| 1 - \frac{4}{3} ight| =\frac{1}{3}$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(1;0;1),B(0;2;3),C(2;1;0)$ . Độ dài đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $C$ là:
- A.
  $\sqrt{26}$
- B.
  $\frac{\sqrt{26}}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{26}}{3}$
- D.
  $26$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1;2;2) \Rightarrow \left| \overrightarrow{AB} ight| = 3 \\ \overrightarrow{AC} = (1;1; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 4;1;3)$

$S_{ABC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \frac{\sqrt{26}}{2}$

Mà $S_{ABC} = \frac{1}{2}d(C;AB).AB$

$\Rightarrow d(C;AB) = \frac{2S_{ABC}}{AB} = \frac{\sqrt{26}}{3}$
Câu 7: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3;5; - 1),B(1;1;3)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight|$ ngắn nhất.
- A.
  $( - 2; - 3;0)$
- B.
  $(2; - 3;0)$
- C.
  $( - 2;3;0)$
- D.
  $(2;3;0)$
Gọi $J(x; y; z)$ là điểm sao cho $\overrightarrow{JA} + \overrightarrow{JB} = \overrightarrow{0}$ Suy ra J(2; 3; 1).

Khi đó $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JA} + \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JB} ight| = 2\left| \overrightarrow{MJ} ight|$

Vậy $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight|$ đạt GTNN khi và chỉ khi $\left| \overrightarrow{MJ} ight|$ đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).

Vậy M(2; 3; 0).
Câu 8: Vận dụng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh $a$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(A'B'CD)$ và $(ACC'A')$ bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $75^{0}$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ

$O \equiv A';Ox \equiv A'D';Oy \equiv A'B';Oz \equiv AA'$

Khi đó: $A(0;0;a),D(a;0;a),B(0;a;a),C(a;a;a)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{A'B'} = (0;a;0);\overrightarrow{A'D} = (a;0;a) \\ \overrightarrow{A'A} = (0;0;a);\overrightarrow{A'C'} = (a;a;0) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{A'B'};\overrightarrow{A'D} ightbrack = \left( a^{2};0; - a^{2} ight)$

Chọn $\overrightarrow{n_{1}} = (1;0; - 1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(AB'CD)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{A'A};\overrightarrow{A'C'} ightbrack = \left( - a^{2};a^{2};0 ight)$

Chọn $\overrightarrow{n_{2}} = ( - 1;1;0)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ACC'A')$

Góc giữa hai mặt phẳng $(A'B'CD)$ và $(ACC'A')$ bằng:

$\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{| - 1|}{\sqrt{2}.\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;2;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha):4x + 3y - 7z + 1 = 0$ . Phương trình tham số của $d$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 4t \\ y = - 2 + 3t \\ z = - 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = - 7 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ nên nhận vectơ $\overrightarrow{n_{(\alpha)}}$ làm véc-tơ chỉ phương.

Suy ra, phương trình đường thẳng: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ và mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ . Góc giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $\Delta$ bằng:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$

Đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 11: Nhận biết
Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $A(2;1;0)$ và đi qua điểm $B(0;1;2)$ ?
- A.
  $(x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 8$
- B.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 8$
- C.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 64$
- D.
  $(x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 64$
Vì mặt cầu $(S)$ tâm $A(2;1;0)$ và đi qua điểm $B(0;1;2)$ nên mặt cầu $(S)$ nhận độ dài đoạn thẳng $AB$ làm bán kính.

Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 2;0;2) \Rightarrow AB = 2\sqrt{2}$

$\Rightarrow R = 2\sqrt{2}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 8$ .
Câu 12: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1; −1; 2), B(−2; 0; 3), C(0; 1; −2)$ . Điểm $M(a; b; c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho biểu thức $S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + 3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, $T = 12a + 12b + c$ có giá trị là:
- A.
  $T = - 1$
- B.
  $T = 3$
- C.
  $T = - 3$
- D.
  $T = 1$
Chọn $I$ sao cho $4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

Ta tính được $I\left( - \frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)$

Ta thấy

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight) \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} ight) + \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} ight) + \overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} \\ \end{matrix} ight.$

$S = 6{\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} + 3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI}\left( 4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} ight)$

$\Rightarrow S = 6MI^{2} +\underset{CONST}{\overset{4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +5\overrightarrow{IC}}{︸}}$

Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.

Vậy M là hình chiếu vuông góc của $I\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)$ lên (Oxy) $\Rightarrow M\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};0 ight)$

Ta xác định được $\left\{ \begin{matrix}a = - \dfrac{1}{6} \\b = \dfrac{1}{12} \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = - 1$
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , hỏi trong các phương trình sau đây phương trình nào là phương trình của mặt cầu?
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4z - 1 = 0$
- B.
  $x^{2} + z^{2} + 3x - 2y + 4z - 1 = 0$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy - 4y + 4z - 1 = 0$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y - 4z + 8 = 0$
Phương trình $x^{2} + z^{2} + 3x - 2y + 4z - 1 = 0$ không có $y^{2}$ => Loại

Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy - 4y + 4z - 1 = 0$ có số hạng $2xy$ => Loại

Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y - 4z + 8 = 0$ loại vì

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 1 + 1 + 4 - 8 < 0$

Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4z - 1 = 0$ thỏa mãn vì

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 1 + 0 + 4 + 1 = 6 > 0$ .
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$ . Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây vuông góc với đường thẳng $d$ .
- A.
  $(P):x + y + 2z + 1 = 0$
- B.
  $(P):x - 2y + z + 1 = 0$
- C.
  $(P):x - 2y - z + 1 = 0$
- D.
  $(P):x + y + z + 1 = 0$
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 2;1)$

Mặt phẳng vuông góc với $d$ nhận vectơ $\overrightarrow{u}$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó $(P):x - 2y + z + 1 = 0$ là mặt phẳng thỏa mãn.
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;1; - 1)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và chứa trục $Ox$ là:
- A.
  $x + y = 0$
- B.
  $x + z = 0$
- C.
  $y - z = 0$
- D.
  $y + z = 0$
Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n}(0;1;1)$ và đi qua điểm $A(1;1; - 1)$ .

Suy ra phương trình $(P):y + z = 0$ .
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 4$ . Một mặt cầu $(S')$ có tâm $I'(9;1;6)$ và tiếp xúc ngoài với mặt cầu $(S)$ . Kết luận nào sau đây đúng về phương trình mặt cầu $(S')$ ?
- A.
  $(S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 64$
- B.
  $(S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 144$
- C.
  $(S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 36$
- D.
  $(S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 25$
Ta có tâm và bán kính mặt cầu $(S)$ lần lượt là $I(1;1;0);R = 2$ .

Suy ra $II' = 10$

Gọi $R'$ là bán kính mặt cầu $(S')$ . Theo giả thiết ta có:

$R + R' = II' \Leftrightarrow R' = II' - R = 8$

Khi đó phương trình mặt cầu cần tìm là: $(S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 64$ .
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(m + 2)x - 2(m - 1)z + 3m^{2} - 5 = 0$ là một phương trình mặt cầu
- A.
  $4$
- B.
  $6$
- C.
  $5$
- D.
  $7$
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

$(m + 2)^{2} + (m - 1)^{3} - 3m^{2} + 5 > 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 2m - 10 < 0$

$\Leftrightarrow m \in \left( - 1 - \sqrt{11};1 + \sqrt{11} ight)$

Theo bài ra $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2;3;4 ight\}$

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 18: Thông hiểu
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua $M (-2, 1, 3)$ và song song với mặt phẳng (Q): $2x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,3z\,\, + \,\,7 = \,\,0.$
- A. $2x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,3z\,\, - 8 = \,\,0$
- B. $2x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,3z\,\, - \,\,7 = \,\,0$
- C. $2x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,3z\,\, - \,\,18 = \,\,0$
- D. $2x\,\, + \,\,5y\,\, - \,\,3z\,\, + \,\,8 = \,\,0$
Vì mp $(P) // (Q)$ nên ta có PTTQ mp $(P)$ sẽ có dạng là:
$\left( P ight):2x + 5y - 3z + D = 0$
Mặt khác, (P) qua $M\left( { - 2,1,3} ight) \Rightarrow D = 8$
$\Rightarrow \left( P ight):2x + 5y - 3z + 8 = 0$
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2; - 3)$ và mặt phẳng $(P):2x + 2y - z + 9 = 0$ . Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (3;4; - 4)$ cắt $(P)$ tại điểm $B$ . Điểm $M$ thay đổi trong $(P)$ sao cho $M$ luôn nhìn đoạn $AB$ dưới góc $90^{0}$ . Khi độ dài $MB$ lớn nhất, đường thẳng $MB$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?
- A.
  $H( - 2; - 1;3)$
- B.
  $I( - 1; - 2;3)$
- C.
  $K(3;0;15)$
- D.
  $\ J( - 3;2;7)$
Hình vẽ minh họa

Phương trình $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Đường thẳng d cắt P tại $B(−2; −2; 1)$ .

Gọi H là hình chiếu của A lên (P).

Ta có: $H(−3; −2; −1)$

Vì $MB ⊥ MA; MB ⊥ AH$ nên MB ⊥ MH suy ra $MB ≤ BH$ .

Do đó: MB lớn nhất bằng BH khi $M \equiv H$

Vậy MB đi qua B, nhận $\overrightarrow{BH}$ là vectơ chỉ phương.

Phương trình $MB:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = - 2 \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ do đó MB đi qua điểm $I( - 1; - 2;3)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 1}{1}$ và mặt phẳng $(P):x - 2y - 2z + 5 = 0$ . Điểm $A$ nào dưới đây thuộc $d$ và thỏa mãn khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $3$ ?
- A.
  $A(4; - 2;1)$
- B.
  $A(2; - 1;0)$
- C.
  $A( - 2;1; - 2)$
- D.
  $A(0;0; - 1)$
Vì A ∈ (d) nên ta có tọa độ điểm A(2a; −a; a − 1).

Khoảng cách từ A đến (P) là

$\frac{\left| 2a + 2a - 2(a - 1) + 5 ight|}{\sqrt{9}} = 3$

$\Leftrightarrow |2a + 9| = 9\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = 0 \\a = - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.$

Với $a = 0 \Rightarrow A(0;\ 0; - 1)$

12 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!