Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , khoảng cách từ điểm $M(2; - 4; - 1)$ tới đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ bằng:
- A.
  $\sqrt{14}$
- B.
  $\sqrt{6}$
- C.
  $2\sqrt{14}$
- D.
  $2\sqrt{6}$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $N(0;2;3)$ , có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1;2)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 2;6;4)$ và $\left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack = (16;8; - 4)$ .

Vậy khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là:

$d(M;\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{336}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{14}$
Câu 2: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{-2},$ $\Delta_{1}:\frac{x - 3}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z -1}{1},$ $\Delta_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} =\frac{z}{1}$ . Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $d$ đồng thời cắt $\Delta_{1};\Delta_{2}$ tương ứng tại $H;K$ sao cho độ dài $HK$ nhỏ nhất. Biết rằng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (h;\ k;\ 1)$ . Giá trị $h - k$ bằng?
- A.
  $0$
- B.
  $4$
- C.
  $6$
- D.
  $- 2$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} H \in \Delta_{1} \Leftrightarrow H(3 + 2t;t;1 + t) \\ K \in \Delta_{2} \Leftrightarrow K(1 + m;2 + 2m;m) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\overrightarrow{HK} = (m - 2t - 2;2m - t + 2;m - t - 1)$

Đường thẳng d có một VTCP là $\overrightarrow{u_{d}} = (1;1; - 2)$

$\Delta\bot d \Rightarrow \overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{HK} = 0$

$\Leftrightarrow \ m - t + 2 = 0 \Leftrightarrow m = t - 2$

$\Rightarrow \overrightarrow{HK} = ( - t - 4;t - 2; - 3)$

Ta có: $HK^{2} = ( - t - 4)^{2} + (t - 2)^{2} + ( - 3)^{2} = 2(t + 1)^{2} + 27 \geq 27;\forall t\mathbb{\in R}$

$\Rightarrow \min HK = \sqrt{27}$ khi và chỉ khi $t = - 1$

$\Rightarrow \overrightarrow{HK} = ( - 3; - 3; - 3) \Rightarrow \overrightarrow{u} = (1;1;1)$

$\Rightarrow h = k = 1 \Rightarrow h - k = 0$
Câu 3: Vận dụng cao

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm $A(100;50;100)$ và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là $B(50;100;50),C(150;100;100)$ . Máy bay sẽ bay qua điểm $W$ của đường màu $BC$ để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm $W(a;b;c)$ , hãy tính giá trị biểu thức $T = a + b - 2c$ .

Đáp án: 50

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm $A(100;50;100)$ và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là $B(50;100;50),C(150;100;100)$ . Máy bay sẽ bay qua điểm $W$ của đường màu $BC$ để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm $W(a;b;c)$ , hãy tính giá trị biểu thức $T = a + b - 2c$ .

Đáp án: 50

Ta có: $\overrightarrow{BC} = (100;0;50)$

Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP $\overrightarrow{u} = (2;0;1)$ có dạng $(BC):\left\{ \begin{matrix} x = 50 + 2t \\ y = 100 \\ z = 50 + t \\ \end{matrix} ight.$

Điểm $W \in (BC) \Rightarrow W(50 + 2t;100;50 + t)$ và $\overrightarrow{AW} = (2t - 50;50;t - 50)$

Ta có: $\overrightarrow{AW}.\overrightarrow{BC} = 0$

$\Rightarrow 2(2t - 50) + (t - 50) = 0 \Rightarrow t = 30$

Vậy $H(110;100;80) \Rightarrow a + b - 2c = 50.$
Câu 4: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2;3),B(1;0; - 1),C(2; - 1;2)$ . Điểm $D$ thuộc tia $Oz$ sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện $ABCD$ bằng $\frac{3\sqrt{30}}{10}$ có tọa độ là
- A.
  $(0;0;1)$
- B.
  $(0;0;3)$
- C.
  $(0;0;2)$
- D.
  $(0;0;4)$
Ta có D thuộc tia $Oz$ nên $D(0; 0; d)$ với $d > 0$ .

Tính $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0; - 2; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1; - 3; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt phẳng $(ABC)$ : có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 10; - 4;2)$ và đi qua điểm $A(1; 2; 3)$ .

$\Rightarrow (ABC): - 10(x - 1) - 4(y - 2) + 2(z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow 5x + 2y - y - 6 = 0$

Ta có $d\left( D;(ABC) ight) = \frac{3\sqrt{30}}{10} \Leftrightarrow \frac{|d + 6|}{\sqrt{30}} = \frac{3\sqrt{30}}{10}$

$\Leftrightarrow |d + 6| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} d = 3(tm) \\ d = - 15(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $D(0;0;3)$ .
Câu 5: Nhận biết
Cho $A( - 1;2;1)$ và hai mặt phẳng $(P):2x + 4y - 6z - 5 = 0;(Q):x + 2y - 3z = 0$ . Khi đó:
- A.
  mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ và $(Q)//(P)$ .
- B.
  mặt phẳng $(Q)$ không qua $A$ và không song song với mặt phẳng $(P)$ .
- C.
  mặt phẳng $(Q)$ không qua $A$ và $(Q)//(P)$ .
- D.
  mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ và mặt phẳng $(Q)$ cắt mặt phẳng $(P)$ .
Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn, do đó A ∈ (Q).

Vì ${\overrightarrow{n}}_{(P)} = (2;4; - 6) = 2(1;2; - 3) = {\overrightarrow{n}}_{(Q)}$ nên $(Q)//(P)$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x - 2y + 4z - 3 = 0$
- B.
  $2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - x - y - z = 0$
- C.
  $2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} + 4x + 8y + 6z + 3 = 0$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0$
Phương trình $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là phương trình của một mặt cầu nếu $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ .

Vậy phương trình không phải phương trình mặt cầu là:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0$
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm $E(1;2;3)$ và song song với mặt phẳng $(Oxy)$ ?
- A.
  $z - 3 = 0$
- B.
  $x + y - 3 = 0$
- C.
  $x + y + z - 6 = 0$
- D.
  $z + 3 = 0$
Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là $z = 0$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$ .

Phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng

$0(x - 1) + 0(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow z = 3$ .
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho ba điểm $M(1;0;0),N(0; - 2;0),P(0;0;1)$ . Tính khoảng cách $h$ từ gốc toạ độ $O$ đến mặt phẳng $(MNP)$ ?
- A.
  $h = \frac{1}{3}$
- B.
  $h = \frac{1}{\sqrt{2}}$
- C.
  $h = \frac{2}{3}$
- D.
  $h = \frac{2}{\sqrt{5}}$
Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(MNP)$ có dạng:

$\frac{x}{1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 2x - y + 2z - 2 = 0$

Khoảng cách từ gốc tọa độ $(0;0;0)$ đến $(MNP)$ là: $h = \frac{| - 2|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{2}{3}$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình mặt cầu $(S)$ đường kính $AB$ biết $A(2; - 1; - 3),B(0;3; - 1)$ ?
- A.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6$
- B.
  $(S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 24$
- C.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 24$
- D.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6$
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ khi đó $I(1;1; - 2)$ là tâm mặt cầu $(S)$ .

Bán kính $R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 16 + 4} = \frac{\sqrt{24}}{2}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $(S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6$ .
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 3 = 0$ . Tính số đo góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;0)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

Khi đó ta có:

$\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu $(S)$ đi qua điểm $O$ và cắt các tia $Ox;Oy;Oz$ lần lượt tại các điểm $A;B;C$ khác $O$ thỏa mãn tam giác $ABC$ có trọng tâm là điểm $G( - 6; - 12;18)$ . Tọa độ tâm của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $(9;18; - 27)$
- B.
  $( - 3; - 6;9)$
- C.
  $(3;6; - 9)$
- D.
  $( - 9; - 18;27)$
Gọi tọa độ các điểm trên ba tia $Ox;Oy;Oz$ lần lượt là $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a;b;c > 0$

Vì G là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{matrix} \frac{a}{3} = - 6 \\ \frac{b}{3} = - 12 \\ \frac{c}{3} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 18 \\ b = - 36 \\ c = 54 \\ \end{matrix} ight.$

Gọi phương trình mặt cầu cần tìm là:

$(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2mx - 2ny - 2pz + q = 0$

Vì $(S)$ qua các điểm $OABC$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} q = 0 \\ 36m + q = - 18^{2} \\ 72n + q = - 36^{2} \\ - 108p + q = - 54^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} q = 0 \\ m = - 9 \\ n = - 18 \\ p = 27 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tọa độ tâm của mặt cầu $(S)$ là: $( - 9; - 18;27)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{- 3}$ và mặt phẳng $(P):3x - 3y + 2z + 1 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  d song song với (P).
- B.
  d nằm trong (P).
- C.
  d cắt và không vuông góc với (P).
- D.
  d vuông góc với (P).
Viết lại đường thẳng d ở dạng tham số $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = - t \\ z = 1 - 3t \\ \end{matrix} ight.$

Xét phương trình $3.( - 1 + t) - 3.( - t) + 2.(1 - 3t) + 1 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$

Kết luận phương trình có vô số nghiệm $\Rightarrow d \subset (P)$
Câu 13: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $AB = a,BC = 2a$ , cạnh SA vuông góc với mặt đáy $(ABC)$ và $SA = 3a$ . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ . Tính $\sin\alpha$ .
- A.
  $\sin\alpha = \frac{1}{3}$
- B.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{4138}}{120}$
- C.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{13}}{7}$
- D.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{5}$
Hình vẽ minh họa

Dựng hệ trục toạ độ Oxyz với O trùng A, tia Ox cùng hướng với tia BC, tia Oy trùng tia AB, tia Oz trùng với tia AS.

Ta có $A(0;0;0),B(0;a;0),C(2a;a;0),S(0;0;3a)$ khi đó ta tính được (SAC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (0; - 2;0)$ , (SBC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{m} = (0;3;1)$ . Từ đó tính được:

$\cos\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{m} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{m} ight|} = \frac{3\sqrt{2}}{5} \Rightarrow \sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{5}$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0;1;2),B(2; - 2;0),C( - 2;0;1)$ . Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ , trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình là:
- A.
  $4x - 2y - z + 4 = 0$
- B.
  $4x - 2y + z + 4 = 0$
- C.
  $4x + 2y + z - 4 = 0$
- D.
  $4x + 2y - z + 4 = 0$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 2; - 1; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;6; - 8)$

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $x + 6y - 8z + 10 = 0$ .

Phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với AC là: $2x + y + z - 2 = 0$ .

Phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với AB là: $2x - 3y - 2z + 6 = 0$ .

Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm H của tam giác ABC nên $H\left( \frac{- 22}{101};\frac{70}{101};\frac{176}{101} ight)$ .

Mặt phẳng (P) đi qua A, H nên $\overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{AH} = \left( \frac{- 22}{101}; - \frac{31}{101}; - \frac{26}{101} ight) = - \frac{1}{101}(22;31;26)$

Mặt phẳng (P) ⊥ (ABC) nên $\overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;6; - 8)$ .

Vậy $\left\lbrack \overrightarrow{n_{(ABC)}};\overrightarrow{u_{AH}} ightbrack = (404; - 202; - 101)$ là một vectơ pháp tuyến của (P).

Chọn $\overrightarrow{n_{P}} = (4; - 2; - 1)$ nên phương trình mặt phẳng (P) là $4x - 2y - z + 4 = 0$ .
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;2),B(2; - 1;3)$ . Viết phương trình đường thẳng $AB$ ?
- A.
  $AB:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$
- B.
  $AB:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$
- C.
  $AB:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{2}$
- D.
  $AB:\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB} = (1; - 2;1)$ . Suy ra phương trình đường thẳng $AB$ là:

$AB:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):x + z + 4 = 0,(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):x + z + 4 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (1;0;1)$

$(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 2;2)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$ $= \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 17: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $S(0;0;1)$ , Hai điểm $M(m;0;0),N(0;n;0)$ thay đổi sao cho $m + n = 1$ và $m > 0,n > 0$ . Mặt phẳng $(SMN)$ luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định đi qua $P(1;1;1)$ có bán kính là
- A.
  $1$
- B.
  $2\sqrt{2}$
- C.
  $\sqrt{5}$
- D.
  $3\sqrt{2}$
Phương trình $(SMN):\frac{x}{m} +\frac{y}{n} + z = 1$ . Gọi $I(a;b;c)$ và $R$ là tâm và bán kính mặt cầu cố định trong đề bài, phương trình mặt cầu là $(x -a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .
Ta có khoảng cách từ $I$ đên $(SMN)$ là $d = \dfrac{\left| \dfrac{a}{m} +\dfrac{b}{n} + c - 1 ight|}{\sqrt{\dfrac{1}{m^{2}} + \dfrac{1}{n^{2}} +1}} = R$
Vì $\ m + n = 1 \Rightarrow\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + 1$
$= \frac{m^{2} + n^{2} +m^{2}n^{2}}{m^{2}n^{2}} = \frac{1 - 2mn +m^{2}n^{2}}{m^{2}n^{2}}$
$\Rightarrow d = \frac{|an + bm + cmn -mn|}{1 - mn} = R$
Nếu $an + bm + cmn - mn = R(1 -mn)$
$\Leftrightarrow a(1 - m) + bm + cm(1 -m) - m(1 - m) = R - Rm(1 - m)$
$\Leftrightarrow m^{2}(R + c - 1) + m(a -b - c - R + 1) - a + R = 0$
Đẳng thức đúng với mọi $m \in(0;1)$ nên $R + c - 1 = a - b - c - R+ 1 = - a + R$ hay $a = b = R,c = 1 -R$ , thay vào phương trình mặt cầu ta có R = 1.
Nếu $an + bm + cmn − mn = −R(1 − mn)$
$\Leftrightarrow m^{2}( - R + c - 1) +m(a - b - c + R + 1) - a - R = 0$
Đẳng thức đúng với mọi m ∈ (0; 1) nên $R+c−1 = a−b−c−R+1 = −a+R$ hay $a = b = −R, c = 1+R$ thay vào phương trình mặt cầu ta có $R = −1$ không thỏa mãn.
Vậy $R = 1$ .
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + 2y + z - m^{2} - 3m = 0$ và mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 9$ . Tìm tất cả các giá trị của m để $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = - 2 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = - 5$
Ta có mặt cầu $(S)$ có tâm I(1; −1; 1) và bán kính R = 3.

Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ khi và chỉ khi:

$d\left\lbrack I;(P) ightbrack = R \Leftrightarrow \frac{\left| 1 - m^{2} - 3m ight|}{3} = 3$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m^{2} + 3m - 10 = 0 \\ m^{2} + 3m + 8 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 19: Vận dụng
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $A'.ABC$ . là tứ diện đều cạnh $a$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AA';BB'$ . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(CMN)$ .
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{5}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{2}}{5}$
- D.
  $\frac{4\sqrt{2}}{13}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là trung điểm của AB

Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho $\left\{ \begin{matrix} O(0;0;0),A\left( \frac{1}{2};0;0 ight),B\left( - \frac{1}{2};0;0 ight) \\ C\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{2};0 ight),H\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};0 ight);AH' = \frac{a\sqrt{6}}{3} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow A'\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'} \Rightarrow B'\left( - 1;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight)$ . Dễ thấy $(ABC)$ có VTTP $\overrightarrow{n_{1}} = (0;0;1)$

M là trung điểm AA′ $\Rightarrow M\left( \frac{1}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)$

N là trung điểm BB′ $\Rightarrow N\left( \frac{- 3}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)$

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MN} = ( - 1;0;0) \\\overrightarrow{CM} = \left( \dfrac{1}{4};\dfrac{-5\sqrt{3}}{12};\dfrac{\sqrt{6}}{6} ight) \\\end{matrix} ight.$

Suy ra $(CMN)$ có VTTP $\overrightarrow{n_{2}} = \left( 0;\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{5\sqrt{3}}{12} ight) = \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 0;2\sqrt{2};5 ight)$

$\cos\varphi = \frac{5}{\sqrt{33}}\Rightarrow \tan\varphi = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\varphi} - 1} =\frac{2\sqrt{2}}{5}$
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua $C$ và song song với $AB$ có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{BA} = (1;2;1)$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .

12 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!