Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 25$ . Đường thẳng d cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $A, B$ . Biết tiếp diện của $(S)$ tại $A, B$ vuông góc. Tính độ dài $AB$ .
- A.
  $AB = \frac{5}{2}$
- B.
  $AB = 5$
- C.
  $AB = 5\sqrt{2}$
- D.
  $AB = \frac{5\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; −1)$ , bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.

Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.

Suy ra $AB = IA.\sqrt{2} = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - y + z - 1 = 0$ . Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (2; - 1; - 1)$ .
- B.
  $\overrightarrow{n} = ( - 2;1; - 1)$ .
- C.
  $\overrightarrow{n} = (2;1; - 1)$ .
- D.
  $\overrightarrow{n} = ( - 1;1; - 1)$ .
Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ có tọa độ là $(2; - 1;1)$ hoặc $( - 2;1; - 1)$ .
Câu 3: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SD =\frac{a\sqrt{17}}{2}$ , hình chiếu vuông góc $H$ của S trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm của đoạn $AB$ . Gọi $K$ là trung điểm đoạn $AD$ (tham khảo hình vẽ)
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SD =\frac{a\sqrt{17}}{2}$ , hình chiếu vuông góc $H$ của S trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm của đoạn $AB$ . Gọi $K$ là trung điểm đoạn $AD$ (tham khảo hình vẽ)
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ . Điểm $M$ nằm trên đường thẳng $\Delta$ thì điểm M có dạng nào sau đây?
- A.
  $M(at;bt;ct)$
- B.
  $M\left( x_{0}t;y_{0}t;z_{0}t ight)$
- C.
  $M\left( a + x_{0}t;b + y_{0}t;c + z_{0}t ight)$
- D.
  $M\left( x_{0} + at;y_{0} + bt;z_{0} + ct ight)$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ nên đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số là $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + at \\ y = y_{0} + bt \\ z = z_{0} + ct \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Điểm $M$ nằm trên đường thẳng $\Delta$ nên điểm $M$ có dạng $M\left( x_{0} + at;y_{0} + bt;z_{0} + ct ight)$
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;2;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha):4x + 3y - 7z + 1 = 0$ . Phương trình tham số của $d$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 4t \\ y = - 2 + 3t \\ z = - 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = - 7 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ nên nhận vectơ $\overrightarrow{n_{(\alpha)}}$ làm véc-tơ chỉ phương.

Suy ra, phương trình đường thẳng: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 6z + 5 = 0$ và mặt phẳng $(\alpha):2x + y + 2z - 15 = 0$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với $(\alpha)$ và tiếp xúc với $(S)$ là
- A.
  $(P):2x + y + 2z - 15 = 0$
- B.
  $(P):2x + y + 2z + 15 = 0$
- C.
  $(P):2x + y + 2z - 3 = 0$
- D.
  $(P):2x + y + 2z + 3 = 0$
Ta có:

(S) có tâm $I (1; −2; 3)$ , bán kính $R = 3$ . (P) song song với (α)

⇒ $(P):2x + y + 2z + m = 0$ , với $m eq - 15$

Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên $d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 15 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight.$ , so với điều kiện ta nhận $m = 3$ .

Vậy $(P):2x + y + 2z + 3 = 0$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):8x - 4y - 8z - 11 =0,$ $(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):8x - 4y - 8z - 11 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (8; - 4; - 8)$

$(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{2}; - \sqrt{2};0 ight)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 8.\sqrt{2} + 4.\sqrt{2} - 8.0 ight|}{\sqrt{8^{2} + ( - 4)^{2} + ( - 8)^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{2} ight)^{2} + \left( - \sqrt{2} ight)^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ và mặt phẳng $(P):2x - y - 2z + 1 = 0$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\cos\alpha = \frac{4}{9}$
- B.
  $\cos\alpha = - \frac{4}{9}$
- C.
  $\sin\alpha = \frac{4}{9}$
- D.
  $\sin\alpha = - \frac{4}{9}$
Ta có: $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 1)$ , $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (2; - 1; - 2)$ .

Từ đó: $\sin\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ight) ight| = \left| \frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} ight| = \frac{4}{9}$
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + y + 6z - 1 = 0$ và hai điểm $A(1; - 1;0),B( - 1;0;1)$ . Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng $AB$ trên mặt phẳng $(P)$ có độ dài bao nhiêu?
- A.
  $\sqrt{\frac{255}{61}}$
- B.
  $\sqrt{\frac{237}{41}}$
- C.
  $\sqrt{\frac{137}{41}}$
- D.
  $\sqrt{\frac{155}{61}}$
Ta có $\overrightarrow{BA} = (2; - 1; - 1)$ . Gọi α là góc giữa đường thẳng AB và (P).

Khi đó: $\sin\alpha = \left( \overrightarrow{BA};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{\left| 2.2 + 1.( - 1) + 6.( - 1) ight|}{\sqrt{41}.\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{246}}$

Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bằng:

$AB.cos\alpha = AB.\sqrt{1 -\sin^{2}\alpha}$ $= \sqrt{6.\left( 1 - \frac{9}{246} ight)} =\sqrt{\frac{237}{41}}$
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng $(P):x + y + z - 1 = 0$ ?
- A.
  $H(0;0;1)$
- B.
  $K(0;1;0)$
- C.
  $E(1;0;0)$
- D.
  $O(0;0;0)$
Dễ thấy điểm $O(0;0;0)$ không thuộc mặt phẳng $(P)$ .
Câu 11: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba mặt cầu $(S_1): (x+3)^2+(y−2)^2+(z−4)^2 = 1$ , $(S_2): x ^2 + (y − 2)^2 + (z − 4)^2 = 4$ , $(S_3): x ^2 + y ^2 + z ^2 + 4x − 4y − 1 = 0$ . Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $(S_1), (S_2), (S_3)$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $6$
- C.
  $8$
- D.
  $4$
Ta có $\left( S_{1} ight),\left( S_{2}ight),\left( S_{3} ight)$ có tâm lần lượt là $I_{1}( - 3;2;4),I_{2}(0;2;4),I_{3}( -2;2;0)$ và bán kính lần lượt là $R_{1} = 1,R_{2} = 2,R_{3} = 3$ .
Gọi $(P):ax + by + cz + d = 0\left( a^{2} +b^{2} + c^{2} eq 0 ight)$ là mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu nói trên. Khi đó:
$\left\{ \begin{matrix}d\left( I_{1};(P) ight) = R_{1} \\d\left( I_{2};(P) ight) = R_{2} \\d\left( I_{3};(P) ight) = R_{3} \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}| - 3a + 2b + 4c + d| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\|2b + 4c + d| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\| - 2a + 2b + d| = 3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}|2b + 4c + d| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b + 4c + d| \\3|2b + 4c + d| = 2| - 2a + 2b + d| \\\end{matrix} ight.$
Xét phương trình
$3|2b + 4c + d| = 2| - 2a + 2b +d|$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}3(2b + 4c + d) = 2( - 2a + 2b + d) \\3(2b + 4c + d) = - 2( - 2a + 2b + d) \\\end{matrix} ight.$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}d = - 4a - 2b - 12c \\5d = 4a - 10b - 12c \\\end{matrix} ight.$
(1) Với $d = - 4a - 2b - 12c$ . Thay vào $2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b + 4c +d|$ , ta được
$2| - 7a - 8c| = | - 4a -8c|$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}7a + 8c = 2a + 4c \\7a + 8c = - 2a - 4c \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = - \dfrac{6c}{5} \\a = - \dfrac{4c}{3} \\\end{matrix} ight.\ ight.$
Với $a = - \frac{6c}{5} \Rightarrow d = -\frac{36c}{5} - 2b$ .
Thay vào $| - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ , ta được:
$\left| \frac{18c}{5} + 2b + 4c -\frac{36c}{5} - 2b ight| = \sqrt{\left( - \frac{6c}{5} ight)^{2} +b^{2} + c^{2}}$
$\Leftrightarrow \left| \frac{2c}{5}ight| = \frac{1}{5} \cdot \sqrt{25b^{2} + 61c^{2}} \Leftrightarrow4c^{2} = 25b^{2} + 61c^{2} \Leftrightarrow b = c = 0$
Với $b = c = 0 \Rightarrow a = 0,d =0$ (vô lí).
Với $a = - \frac{4c}{3} \Rightarrow d = -\frac{20c}{3} - 2b$ .
Thay vào $| - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ , ta được:
$\left| \frac{12c}{5} + 2b + 4c -\frac{20c}{5} - 2b ight| = \sqrt{\left( - \frac{4c}{3} ight)^{2} +b^{2} + c^{2}}$
$\Leftrightarrow \left| \frac{4c}{3}ight| = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9b^{2} + 25c^{2}}$
$\Leftrightarrow 16c^{2} = 9b^{2} +25c^{2} \Leftrightarrow b = c = 0$
Với $b = c = 0 \Rightarrow a = 0,d =0$ (vô lí).
(2) Với $5d = 4a - 10b - 12c$ .
Thay vào $2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b +4c + d|$ , ta được
$2| - 11a + 8c| = |4a + 8c$
$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}11a - 8c = 2a + 4c \\11a - 8c = - 2a - 4c \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{4c}{13} \\a = \dfrac{4c}{3} \\\end{matrix} ight.\ ight.$
Với $a = \frac{4c}{13} \Rightarrow 5d = -\frac{140c}{13} - 10b$ .
Thay vào $| - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ , ta được
$\left| \frac{60c}{13} ight| =\frac{5}{13} \cdot \sqrt{169b^{2} + 185c^{2}}$
$\Leftrightarrow 11c^{2} = 169b^{2}\Leftrightarrow c = \pm \frac{13b}{\sqrt{11}}$
Với $c = \frac{13b}{\sqrt{11}}$ : chọn $b = \sqrt{11} \Rightarrow c = 13\Rightarrow$ Tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $\left( S_{1} ight),\left( S_{2}ight),\left( S_{3} ight)$ .
Với $a = \frac{4c}{3} \Rightarrow 5d = -\frac{20c}{3} - 10b$
Thay vào $| - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ ta được:
$\left| \frac{20c}{3} ight| =\frac{5}{3}.\sqrt{9b^{2} + 25c^{2}} \Leftrightarrow 9b^{2} + 9c^{2} = 0\Leftrightarrow b = c = 0$
Với $b = c = 0 ⇒ a = 0, d = 0$ (vô lí).
Vậy tồn tại 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $\left( S_{1} ight),\left( S_{2} ight),\left(S_{3} ight)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P),(Q)$ lần lượt có phương trình là $x + y - z = 0,\ x - 2y + 3z = 4$ và cho điểm $M(1; - 2;5)$ . Tìm phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M$ và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(P),(Q)$ ?
- A.
  $5x + 2y - z + 14 = 0$
- B.
  $x - 4y - 3z + 6 = 0$
- C.
  $x - 4y - 3z - 6 = 0$
- D.
  $5x + 2y - z + 4 = 0$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (1;1; - 1) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 2;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (1; - 4; - 3)$

Do $(\alpha)$ vuông góc với $(P),(Q)$ nên $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} \\ \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\overrightarrow{n_{(Q)}} \\ \end{matrix} ight.$

Chọn $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (1; - 4; - 3)$

Hơn nữa $(\alpha)$ đi qua $M(1; - 2;5)$ nên có phương trình là:

$(x - 1) - 4(y + 2) - 3(z - 5) = 0$

$\Leftrightarrow x - 4y - 3z + 6 = 0$
Câu 13: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $M(0;1;3),N(10;6;0)$ và mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z - 10 = 0$ . Biết rằng tồn tại điểm $I( - 10;a;b)$ thuộc $(P)$ sao cho $|IM - IN|$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $T = a + b$ .
- A.
  $T = 5$
- B.
  $T = 1$
- C.
  $T = 2$
- D.
  $T = 6$
Thay tọa độ điểm M và N vào vế trái phương trình mặt phẳng (P), ta có $(0 - 2 + 3 - 10).(10 - 12 - 10) > 0$ nên hai điểm M, N nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P).

Khi đó ta có $|IM - IN| \leq MN$ và đẳng thức xảy ra khi $I = MN \cap (P)$

Phương trình tham số của đường thẳng MN là $\left\{ \begin{matrix} x = 10t \\ y = 1 + 5t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.$

Tọa độ giao điểm của MN và (P) là nghiệm hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} x = 10t \\ y = 1 + 5t \\ z = 3 - 3t \\ x - 2y + 2z - 10 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 10 \\ y = - 4 \\ z = 6 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $T = a + b = 2$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , hình chiếu vuông góc của điểm $M(2;3;4)$ trên mặt phẳng $(P):2x - y - z + 6 = 0$ là điểm nào dưới đây?
- A.
  $(2;8;2)$
- B.
  $\left( 1;\frac{7}{2};\frac{9}{2} ight)$
- C.
  $\left( 3;\frac{5}{2};\frac{7}{2} ight)$
- D.
  $(1;3;5)$
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P).

Khi đó phương trình tham số của ∆ là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 4 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (M).

Tọa độ điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix}x = 2 + 2t \\y = 3 - t \\z = 4 - t \\2x - y - z + 6 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\y = \dfrac{7}{2} \\z = \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.$

Vậy $M'\left( 1;\frac{7}{2};\frac{9}{2} ight)$
Câu 15: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{5}}{5}$
- B.
  $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ sao cho $A \equiv O$ , như hình vẽ:

Khi đó ta có:

$\overrightarrow{n_{1}} =\lbrack\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}brack = \left(2a^{2};0;4a^{2} ight)$ và $\overrightarrow{n_{2}} =\lbrack\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MC}brack = \left( a^{2}; -a^{2};2a^{2} ight)$

$\overrightarrow{SB} = (2a;0; -a),\overrightarrow{SC} = (2a;2a; - a),$ $\overrightarrow{MA} = \left( 0; -a; - \frac{a}{2} ight),\overrightarrow{MC} = \left( 2a;a; -\frac{a}{2} ight)$

$A(0;0;0),B(2a;0;0),D(0;2a;0),$ $C(2a;2a;0),S(0;0;a),M\left(0;a;\frac{a}{2} ight)$

Gọi $\alpha\left( 0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ} ight)$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $(AMC)$ và $(SBC)$ .

Ta có $\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight| \cdot \left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}$

$= \frac{\left| 2a^{2} \cdot a^{2} + 4a^{2} \cdot 2a^{2} ight|}{\sqrt{\left( 2a^{2} ight)^{2} + \left( 4a^{2} ight)^{2}} \cdot \sqrt{\left( a^{2} ight)^{2} + \left( - a^{2} ight)^{2} + \left( 2a^{2} ight)^{2}}}$

$= \frac{10a^{4}}{\sqrt{20 \cdot 6 \cdot \left( a^{4} ight)^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{30}}$

Mà $\tan^{2}\alpha = \frac{1}{\cos^{2}\alpha} - 1 = \left( \frac{\sqrt{30}}{5} ight)^{2} - 1 = \frac{5}{25}$ .

Suy ra $\tan\alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(1;1;1)$ và hai mặt phẳng $(Q):y = 0,(P):2x - y + 3z - 1 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(R)$ chứa $A$ , vuông góc với cả hai mặt phẳng $(Q),(P)$ ?
- A.
  $3x - y + 2z - 4 = 0$
- B.
  $3x + y - 2z - 2 = 0$
- C.
  $3x - 2z = 0$
- D.
  $3x - 2z - 1 = 0$
Gọi $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{p} = (2; - 1;3) \\ \overrightarrow{q} = (0;1;0) \\ \end{matrix} ight.$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ .

Khi đó mặt phẳng $(R)$ nhận vectơ $\overrightarrow{\omega} = - \left\lbrack \overrightarrow{p};\overrightarrow{q} ightbrack = (3;0; - 2)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Do đó $(R)$ có phương trình $3x - 2z - 1 = 0$ .
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu có tâm $I(7;6; - 5)$ và bán kính $9$ ?
- A.
  $(x + 7)^{2} + (y + 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 81$ .
- B.
  $(x + 7)^{2} + (y + 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 9$ .
- C.
  $(x - 7)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 5)^{2} = 81$ .
- D.
  $(x - 7)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 5)^{2} = 9$ .
Mặt cầu tâm $I(7;6; - 5)$ , bán kính $R = 9$ có phương trình lá:

$(x - 7)^{2} + (y - 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 81$ .
Câu 18: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}$ . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d$ và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là $ax + by + cz + 9 = 0$ . Tính tổng $a + b + c$
- A.
  $T = 9$
- B.
  $T = 5$
- C.
  $T = 3$
- D.
  $T = 4$
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)$

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

Phương trình tham số của $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

Khi đó $\left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}$

Lại có: $\cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}$

Vậy $\widehat{NMH}$ lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

Vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)$

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)$

Phương trình mặt phẳng (P) là $1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0$

Vậy $a + b + c = 4$
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ cắt mặt phẳng $(P):2x - 3y + z - 2 = 0$ tại điểm $I(a;b;c)$ . Khi đó $a + b + c$ bằng:
- A.
  $9$
- B.
  $5$
- C.
  $3$
- D.
  $7$
Ta có $\left\{ I ight\} = d \cap (P)$ suy ra $\left\{ \begin{matrix} I \in d \\ I \in (P) \\ \end{matrix} ight.$

Vì $I \in d$ nên tọa độ của I có dạng $(1 + 2t;3 - t;1 + t),t\mathbb{\in R}$ .

Vì $I \in (P)$ nên ta có phương trình:

$2(1 + 2t) - 3(3 - t) + 1 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Vậy $I(3;2;2)$ suy ra $a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7$ .
Câu 20: Nhận biết
Cho mặt cầu $S\left( {O;R} ight)$ và một điểm A, biết $OA = 2R$ . Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B. Khi đó độ dài đoạn AB bằng:
- A. $R$
- B. $\frac{R}{2}$
- C. $R\sqrt 2$
- D. $R\sqrt 3$
Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên $AB \bot OB$ .
Suy ra $AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 .$

65 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!