Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Ta có

là 1 VTPT của mặt phẳng (ABC).

Do đó đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) có VTPT cùng phương với vectơ (−2; −1; 1).

Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D đường thẳng có 1 VTPT là (−2; 1; 1) cùng phương với (−2; −1; 1).

Phương trình (d) cho và vectơ chỉ phương của (d) là:

Phương trình cho vectơ chỉ phương của là :

Gọi là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :

Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.

PTTQ của mặt phẳng có dạng , với nên ta chọn .

Hình vẽ minh họa

Dựng hệ trục toạ độ Oxyz với O trùng A, tia Ox cùng hướng với tia BC, tia Oy trùng tia AB, tia Oz trùng với tia AS.

Ta có khi đó ta tính được (SAC) có vectơ pháp tuyến , (SBC) có vectơ pháp tuyến . Từ đó tính được:

.

Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):

Suy ra tâm I có tọa độ là

(P) cắt (S) khi:

Mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng và nên có dạng:

Mặt phẳng song song với trục nên .

Chọn n = 1 ta có

 Để xét điều kiện (D) và (d) cắt nhau ta cẩn kiểm tra rằnng (D) và d cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:

và (d)  cùng nằm trong một mặt phẳng

Để (D) và d cắt nhau, ta sẽ xét tỉ số sau:

và (d) cắt nhau.

 Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) ta có nên R nhỏ nhất khi thẳng hàng và I là trung điểm của AH.

Phương trình AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

Tọa độ H là nghiệm của hệ:

Suy ra, ta có:

Ta có: có một vectơ chỉ phương là , có một vectơ pháp tuyến là .

Từ đó:

Phương trình mặt cầu có tâm và bán kính là:

Ta có:

Vậy phương trình cần tìm là: .

Đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là

Gọi ∆ là đường vuông góc chung giữa và , suy ra ∆ có vectơ chỉ phương

Giả sử ∆ giao với lần lượt tại , khi đó ta có

Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:

Từ đó suy ra đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương và đi qua điểm .

Vậy ta có phương trình đường thẳng:

Do nên mặt phẳng có phương trình

Do đi qua các điểm nên ta có hệ:

Vậy .

Ta có:

Vậy diện tích mặt cầu là: .

Đường thẳng có véc-tơ chỉ phương lần lượt là .

Lấy điểm .

Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng và cắt trục hoành tại điểm .

Khi đó có cặp véc-tơ chỉ phương là và , suy ra có véc-tơ pháp tuyến

Gọi là góc giữa đường thẳng và , suy ra

Đặt , suy ra .

Nhận thấy, để góc lớn nhất thì lớn nhất, điều đó đồng nghĩa với phải lớn nhất.

Xét .

Trường hợp .

Trường hợp .

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Từ đó suy ra, để tồn tại suy ra .

Vậy khi đó . Từ đó suy ra và mặt phẳng có phương trình

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương và đi qua điểm M(−1; 0; 1).

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương .

Hai vectơ và cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.

Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.

Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

Trục có một vectơ chỉ phương là

Gọi α là góc giữa và mặt phẳng :

Đường thẳng (∆) đi qua M(−1; −4; 0), có vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng

Gọi P là hình chiếu vuông góc của A trên (∆).

Khi đó

Ta có . Vì nên

Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có tọa độ là hoặc .

Phương trình mặt cầu có bán kính

Xét phương trình mặt cầu ta có: