Cho hai điểm
cố định trong không gian có độ dài
. Biết rằng tập hợp các điểm
trong không gian sao cho
là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng bao nhiêu?
Ta có:
(*)
Gọi thỏa mãn
nên
Từ (*) suy ra .
Cho hai điểm
cố định trong không gian có độ dài
. Biết rằng tập hợp các điểm
trong không gian sao cho
là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng bao nhiêu?
Ta có:
(*)
Gọi thỏa mãn
nên
Từ (*) suy ra .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và hai điểm
. Tìm điểm
thuộc
sao cho
vuông tại
.
Điểm thuộc đường thẳng
nên
.
Ta có và
.
Tam giác vuông tại
khi và chỉ khi
Khi đó tọa độ điểm .
Trong không gian
, viết phương trình mặt phẳng
chứa
và đi qua điểm
?
Mặt phẳng có cặp véc-tơ chỉ phương là
Suy ra mặt phẳng có một véc-tơ pháp tuyến là
.
Mặt phẳng đi qua
có vectơ pháp tuyến (4; 3; 0).
Vậy mặt phẳng có phương trình tổng quát là
.
Trong không gian
đường thẳng
và mặt phẳng
. Góc giữa mặt phẳng
và đường thẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Viết phương trình mặt phẳng
sao cho phép đối xứng qua mặt phẳng
biến mặt phẳng
thành mặt phẳng
.
Tọa độ giao điểm của mặt phẳng (α) với các trục tọa độ là .
Ta có và
.
Kí hiệu Đ(Oxy) là phép đối xứng qua mặt phẳng Oxy.
Ta có , (ảnh của A, B trùng với chính nó vì
).
Do C’ đối xứng với qua mặt phẳng Oxy, suy ra
Từ đó suy ra mặt phẳng (β) có phương trình theo đoạn chắn là:
Cho điểm P(-3 , 1, -1) và đường thẳng (d): ![]()
Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:
Chuyển (d) về dạng tham số :
Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: , cho qua P tính được D=7 .
Ta có (Q): .
Thế x, y, z theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được
Giao điểm I của (d) và (Q) là I (1, -3, 1) .
Vì I là trung điểm của PP’ nên .
Trong không gian
, cho
. Tính diện tích tam giác
?
Ta có:
Lại có diện tích tam giác là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Mặt cầu đường kính
có phương trình là:
Gọi là trung điểm của
khi đó
là tâm mặt cầu
.
Bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
có các vectơ pháp tuyến là
. Góc
là góc giữa hai mặt phẳng đó
là biểu thức nào sau đây?
Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:
Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau nằm trên?
![]()
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của :
Suy ra ta gọi được tâm I của mặt cầu có tọa độ là
Xét là mặt cầu
Vậy tập hợp các điểm I là phân đường thẳng
tương ứng với .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ
xuống mặt phẳng
, số đo góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Vì là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P) nên mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Gọi là số đo góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
, ta có:
Trong không gian tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Tìm
để
vuông góc với
?
Ta có: (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau, tức là .
Cho hình lăng trụ
có
. là tứ diện đều cạnh
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Gọi O là trung điểm của AB
Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho
Ta có: . Dễ thấy
có VTTP
M là trung điểm AA′
N là trung điểm BB′
Suy ra có VTTP
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho đường thẳng
có phương trình tham số là
Gọi vectơ chỉ phương của đường thẳng
, ta chọn
Giả sử , chọn
suy ra phương trình tham số d là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Tâm mặt cầu
có tọa độ là:
Mặt cầu có tâm là
Mặt cầu có tâm
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của
.
Mặt phẳng trung trực nhận
làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm
của
nên ta có phương trình mặt phẳng
là:
.
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho bốn đường thẳng ![]()
![]()
![]()
. Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:
Kiểm tra vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta thấy (d1) // (d2); (d4) cắt (d2), (d3).
Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d2); (Q) là mặt phẳng chứa (d3) và (d4).
Gọi (∆) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên.
Ta thấy, (∆) cắt cả (d1), (d2) suy ra (∆) ⊂ (P).
(∆) cắt cả (d3),(d4) suy ra (∆) ⊂ (Q).
Mà (d2), (d4) có điểm chung nên (∆) là giao tuyến của (P) và (Q), do đó có duy nhất một đường thẳng thỏa mãn.
Cho hai đường thẳng 
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua (d’)và song song với (d’’).
Vì (P) đi qua (d’) nên (P) nhận VTCP của (d’) làm 1 VTCP
Vì (P) song song với (d’’) nên (P) có VTCP thứ hai là :
Từ đây, ta suy ra VTPT của (P) chính là tích có hướng của 2 VTCP và :
Lấy điểm A(3,1,-2) trên đường thẳng (d’) mà (d’) nằm trong (P) nên ta có được A cũng phải thuộc (P):
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng
là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
bằng
. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng
. Đẳng thức nào sau đây sai?
Ta có .
Tam giác ABC đều cạnh a nên .
Trong tam giác vuông SHA, ta có .
Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với (SAB) nên bán kính mặt cầu .
Ta có
Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Suy ra và
.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE , suy ra (1).
Ta có (2)
Từ (1) và (2) , suy ra nên
.
Trong tam giác vuông SHE, ta có .
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và điểm
. Viết phương trình đường thẳng qua
và vuông góc với
.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là
nên đường thẳng cần tìm có vectơ chỉ phương là
.
Vậy phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với
là: