Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;2; - 3) và mặt phẳng (P):2x + 2y - z + 9 = 0. Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (3;4; - 4) cắt P tại điểm B. Điểm M thay đổi trong (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90^{0}. Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Đường thẳng d cắt P tại B(−2; −2; 1).

    Gọi H là hình chiếu của A lên (P).

    Ta có: H(−3; −2; −1).

    Vì MB ⊥ MA; MB ⊥ AH nên MB ⊥ MH suy ra MB ≤ BH.

    Do đó: MB lớn nhất bằng BH khi M ≡ H

    Vậy MB đi qua B, nhận \overrightarrow{BH} là vectơ chỉ phương.

    Phương trình MB:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = - 2 \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight. do đó MB đi qua điểm I( - 1; - 2;3).

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0. Tính góc tạo bởi (P) với trục Ox?

    Mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 ight)

    Trục Ox có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{i} = (1;0;0)

    Gọi α là góc giữa Ox và mặt phẳng (P):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hình chóp :\ O(0;0;0)\ ,\ A\ a\ (0;\ ;0)\ ,\ B\ a(\ ;0;0)\ ,\ C\ a\ (0;0;\ ) có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. Gọi M là trung điểm cạnh AB. Góc tạo bởi hai vectơ \overrightarrow{BC} và \overrightarrow{OM} bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}O(0;0;0),A(0;a;0),B(a;0;0) \\C(0;0;a),M\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0 ight) \\\end{matrix} ight.

    Khi đó ta có: \overrightarrow{BC} = ( - a;0;a);\overrightarrow{OM} = \left( \frac{a}{2};\frac{a}{2};0 ight)

    \Rightarrow \cos\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{OM} ight) =\dfrac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{OM}}{BC.OM} = \dfrac{-\dfrac{a^{2}}{2}}{a\sqrt{2}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}} = -\dfrac{1}{2}

    \Rightarrow \left( \overrightarrow{BC};\overrightarrow{OM} ight) = 120^{0}

  • Câu 4: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1;2),B(3; - 4; - 2) và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Điểm I(a;b;c) thuộc d là điểm thỏa mãn IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T = a + b + c bằng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4; - 6; - 8)

    A = (1; - 1;2),B = (3; - 4; - 2) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4)

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4) cùng phương với \overrightarrow{u} = (4; - 6; - 8)

    Mà A(1; - 1;2) otin d \Rightarrow \overrightarrow{AB}//d \Rightarrow A,B,d đồng phẳng.

    Xét mặt phẳng chứa AB và d. Gọi A^{'} là điểm đối xứng của A qua d_{1}

    (\alpha) là mặt phẳng qua A, vuông góc với d.

    Khi đó, giao điểm H của d với (\alpha) là trung điểm của AA^{'}.

    (\alpha) có 1 vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2; - 3; - 4) đi qua A(1; - 1;2) có phương trình:

    2(x - 1) - 3(y + 1) - 4(z - 2) = 0

    \Leftrightarrow 2x - 3y - 4z + 3 = 0

    H \in d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} \Rightarrow ight. Giả sử H(2 + 4t; - 6t; - 1 - 8t).

    H \in (\alpha) \Rightarrow 2(2 + 4t) - 3( - 6t) - 4( - 1 - 8t) + 3 = 0

    \Leftrightarrow 58t + 11 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{11}{58} \Rightarrow H\left( \frac{36}{29};\frac{33}{29};\frac{15}{29} ight)

    Ta có IA + IB = IA^{'} + IB^{'} \geq A^{'}B \Rightarrow min(IA + IB) = A^{'}B khi và chỉ khi I trùng với I_{0} là giao điểm của A^{'}B và d.

    \Rightarrow \overrightarrow{HI_{0}} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I_{0}} - \dfrac{36}{29} = \dfrac{1}{2}.2 \\y_{I_{0}} - \dfrac{33}{29} = \dfrac{1}{2}.( - 3) \\z_{I_{0}} - \dfrac{15}{29} = \dfrac{1}{2}.( - 4) \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I_{0}} = \dfrac{65}{29} \\y_{I_{0}} = - \dfrac{21}{58} \\z_{I_{0}} = - \dfrac{43}{29} \\\end{matrix} ight.\ ight.\\Rightarrow I_{0}\left( \dfrac{65}{29}; - \dfrac{21}{58}; - \frac{43}{29}ight)

    \Rightarrow a + b + c = \frac{65}{29} - \frac{21}{58} - \frac{43}{29} = - \frac{21}{58}.

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1;1;4),B(2;7;9) và C(0;9;13).

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (1;6;5),\overrightarrow{AC} = ( - 1;8;9)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (14; - 14;14) = 14(1; - 1;1)

    Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(1;1;4) và nhận \overrightarrow{n} = (1; - 1;1) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

    x - 1 - (y - 1) + z - 4 = 0

    \Leftrightarrow x - y + z - 4 = 0

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng (d1 ): \left\{ \begin{array}{l}x - y + z - 5 = 0\\x - 3y + 6 = 0\end{array} ight. và ({d_2})\left\{ \begin{array}{l}2y + z - 5 = 0\\4x - 2y + 5z - 4 = 0\end{array} ight.

    Xét VTTĐ của (d1 ) và (d2 )? Tìm câu đúng ?

    Chuyển đường thẳng (d1 ) và (d2 ) về dạng tham số :

    ({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 + 3t\\y = t\\z = 11 - 2t\end{array} ight. \Rightarrow ({d_1}) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = (3,1, - 2) và qua A( - 6,0,11) .

    ({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{15}}{4} - 3t'\\y = 3 - t'\\z = - 1 + 2t'\end{array} ight. \Rightarrow \left( {{d_2}} ight) có vectơ chỉ phương \overrightarrow b = (\frac{{15}}{4},3, - 1)

    \overrightarrow a earrow \swarrow \overrightarrow bvà hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} - 6 + 3t = \frac{{15}}{4} - 3t'\\t = 3 - t'\\11 - 2t = - 1 + 2t'\end{array} ight. vô nghiệm.

    \Rightarrow ({d_1})//(d_{2} ).

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;0; - 1) và mặt phẳng (P):x + y - 1 = 0. Đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy) có phương trình là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{n_{(P)}} = (1;1;0) \\\overrightarrow{n_{(Oxy)}} = (0;0;1) \\\end{matrix} ight.. Gọi d là đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy).

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{(P)}} \\\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{(Oxy)}} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack\overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Oxy)}} ightbrack = (1;- 1;0)

    Vậy \left\{ \begin{matrix}x = 2 + t \\y = - t \\z = - 1 \\\end{matrix} ight..

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;1;1) và hai mặt phẳng (Q):y = 0,(P):2x - y + 3z - 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, vuông góc với cả hai mặt phẳng (Q),(P)?

    Gọi \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{p} = (2; - 1;3) \\ \overrightarrow{q} = (0;1;0) \\ \end{matrix} ight. lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

    Khi đó mặt phẳng (R) nhận vectơ \overrightarrow{\omega} = - \left\lbrack \overrightarrow{p};\overrightarrow{q} ightbrack = (3;0; - 2) làm một vectơ pháp tuyến.

    Do đó (R) có phương trình 3x - 2z - 1 = 0.

  • Câu 9: Nhận biết

    Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu (S) tâm A(2;1;0) và đi qua điểm B(0;1;2)?

    Vì mặt cầu (S) tâm A(2;1;0) và đi qua điểm B(0;1;2) nên mặt cầu (S) nhận độ dài đoạn thẳng AB làm bán kính.

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2;0;2) \Rightarrow AB = 2\sqrt{2}

    \Rightarrow R = 2\sqrt{2}

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 8.

  • Câu 10: Nhận biết

    Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua hai điểm: A\left( { - 1,3, - 2} ight);B\left( {2, - 3,4} ight)

     Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên VTCP của đường thẳng d chính là \overrightarrow {AB} hay ta có: \overrightarrow {AB} = \left( {3, - 6,6} ight) = 3\left( {1, - 2,2} ight) = - 3\left( { - 1,2, - 2} ight)

    \begin{array}{l} \Rightarrow \left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 1\\y = 3 - 6t\\z = 6t - 2\end{array} ight.\,\,;t \in \mathbb{R},\,\\hay\,\,\left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + m\\y = - 3 - 2m\\z = 4 + 2m\end{array} ight.\,\,;m \in \mathbb{R}\\\hay\,\,\left( d ight)\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \tan t\\y = 3 + 2\tan t\\z = - 2 - 2\tan t\end{array} ight.\,\,;t \in\mathbb{R}\end{array}

     

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho đường tròn (C) đường kính AB và đường thẳng \triangle. Để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh \triangle là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:

    Điều kiện để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh \triangle là một mặt cầu là trục quay \triangle phải cố định và hai điểm A, B cũng cố định trên \triangle.

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oxz) có phương trình là

    Mặt phẳng (Oxz) đi qua điểm O(0;0;0) và nhận \overrightarrow{j} = (0;1;0) là một véc-tơ pháp tuyến nên phương trình của mặt phẳng (Oxz) là (Oxz).

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; - 2;3). Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM?

    Hình chiếu vuông góc của M trên Ox là: I(1;0;0)

    \Rightarrow IM = \sqrt{13}

    Suy ra phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM là: (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13.

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng(ABC) là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60^0. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB). Đẳng thức nào sau đây sai?

    Chọn câu sai 

    Ta có {60^0} = \widehat {SA,\left( {ABC} ight)} = \widehat {SA,HA} = \widehat {SAH}.

    Tam giác ABC đều cạnh a nên AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} .

    Trong tam giác vuông SHA, ta có SH = AH.\tan \widehat {SAH} = \frac{{3a}}{2}.

    Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với (SAB) nên bán kính mặt cầu R = d\left[ {G,\left( {SAB} ight)} ight].

    Ta có d\left[ {G,\left( {SAB} ight)} ight] = \frac{1}{3}d\left[ {C,\left( {SAB} ight)} ight] = \frac{2}{3}d\left[ {H,\left( {SAB} ight)} ight].

    Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AB và MB.

    Suy ra \left\{ \begin{array}{l}CM \bot AB\\CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array} ight. và  \left\{ \begin{array}{l}HE \bot AB\\HE = \dfrac{1}{2}CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\end{array} ight..

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE , suy ra HK \bot SE    (1).

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}HE \bot AB\\AB \bot SH\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SHE} ight) \Rightarrow AB \bot HK.   (2)

    Từ (1) và (2) , suy ra HK \bot \left( {SAB} ight)  nên  d\left[ {H,\left( {SAB} ight)} ight] = HK.

    Trong tam giác vuông SHE, ta có HK = \frac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \frac{{3a}}{{2\sqrt {13} }}.

    Vậy R = \frac{2}{3}HK = \frac{a}{{\sqrt {13} }}.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hai điểm A;B cố định trong không gian có độ dài AB = 4. Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA = 3MB là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng bao nhiêu?

    Ta có: MA = 3MB \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}

    \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight)^{2} = 9\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight)^{2}

    \Leftrightarrow IA^{2} - 9IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} ight) = 8MI^{2}(*)

    Gọi I thỏa mãn \overrightarrow{IA} - 9\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BI} = \frac{1}{8}\overrightarrow{AB} nên IB = \frac{1}{2};IA = \frac{9}{2}

    Từ (*) suy ra 8MI^{2} = 18 \Leftrightarrow MI = \frac{3}{2} \Rightarrow M \in S\left( I;\frac{3}{2} ight).

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 = 0 và đường thẳng d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}, sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng:

    Mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (4;3; - 1)

    Đường thẳng d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1} có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;3;1)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0) và B(0;1;2). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = ( - 1;0;2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

    Vậy đáp án cần tìm là: \overrightarrow{b} = ( - 1;0;2).

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - y + 1 = 0. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1;0).

    Ta có \frac{2}{2} = \frac{- 1}{1} eq \frac{0}{1} nên \overrightarrow{n_{P}} không cùng phương với \overrightarrow{n} = (2; - 1;1).

    Suy ra \overrightarrow{n} = (2; - 1;1) không là vectơ pháp tuyến của (P).

    Vậy khẳng định sai là: “Vectơ \overrightarrow{n} = (2; - 1;1) là một véc-tơ pháp tuyến của (P)”.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{- 3} và mặt phẳng (P):3x - 3y + 2z + 1 = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Viết lại đường thẳng d ở dạng tham số \left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = - t \\ z = 1 - 3t \\ \end{matrix} ight.

    Xét phương trình 3.( - 1 + t) - 3.( - t) + 2.(1 - 3t) + 1 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0

    Kết luận phương trình có vô số nghiệm \Rightarrow d \subset (P)

  • Câu 20: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + y + z - 9 = 0. Hỏi có bao nhiêu điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (P) với a,b,c là các số nguyên không âm.

    Ta có (P):x + y + z - 9 = 0 \Rightarrow \frac{x}{9} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1 nên mặt phẳng (P) đi qua các điểm A(9; 0; 0), B(0; 9; 0), C(0; 0; 9).

    Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.

    Tam giác ABC đều có các cạnh bằng 9\sqrt{2}, chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.

    Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng 1\ + \ 2\ + \ ...\ + \ 10\ = \ 55

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 42 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập