Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} =
\frac{z}{- 1} = 1 và mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 0. Góc giữa mặt phẳng (\alpha) và đường thẳng \Delta bằng:

    Mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z =
0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;2)

    Đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} =
\frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1 có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;2; - 1)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (\alpha):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| =
\frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left|
\overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1
- 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha =
30^{0}

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz: \left( D ight):\,\frac{{x\, - \,{x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_1}}}{{{a_3}}} , \left( d ight):\,\frac{{x\, - \,{x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_2}}}{{{b_3}}}. Với {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3},\,\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3} e \,0 . Gọi \overrightarrow a  = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight);\,\,\overrightarrow b  = \left( {\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3}} ight)\overrightarrow {AB}  = \left( {\,{x_2}\, - \,{x_1},\,\,{y_2}\, - \,{y_1},\,\,{z_2}\, - \,{z_1}} ight). (D) và (d) song song khi và chỉ khi:

     Để xét điều kiện (D) và (d) cắt nhau ta cẩn kiểm tra rằnng (D) và d cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AB}  = 0 \Rightarrow \left( D ight)và (d) cùng nằm trong một mặt phẳng

    Để (D) và d song song, ta sẽ xét tỉ số chứng minh chúng cùng phương rồi kiểm tra rằng d không nằm trong (D):

      {a_1}:{a_2}:{a_3} = {b_1}:{b_2}:{b_3} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}} \Rightarrow \left( D ight)và (d)  cùng phương A\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} ight) \in \left( D ight)A otin \left( d ight) \Rightarrow \left( D ight) và (d) song song.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm H(2;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A;B;C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Hãy viết trình mặt phẳng (P).

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left| \begin{matrix}
AB\bot OC \\
AB\bot CH \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow AB\bot OH

    Chứng minh tương tự BC ⊥ OH.

    Do đó OH\bot(ABC) \Rightarrow
\overrightarrow{n_{ABC}} = \overrightarrow{OH} = (2;;1)

    Suy ra (P):2x + y + z - 6 =
0.

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ sao cho A \equiv
O, như hình vẽ:

    Khi đó ta có:

    \overrightarrow{n_{1}} =\lbrack\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}brack = \left(2a^{2};0;4a^{2} ight)\overrightarrow{n_{2}} =\lbrack\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MC}brack = \left( a^{2}; -a^{2};2a^{2} ight)

    \overrightarrow{SB} = (2a;0; -a),\overrightarrow{SC} = (2a;2a; - a),\overrightarrow{MA} = \left( 0; -a; - \frac{a}{2} ight),\overrightarrow{MC} = \left( 2a;a; -\frac{a}{2} ight)

    A(0;0;0),B(2a;0;0),D(0;2a;0),C(2a;2a;0),S(0;0;a),M\left(0;a;\frac{a}{2} ight)

    Gọi \alpha\left( 0^{\circ} \leq \alpha
\leq 90^{\circ} ight) là góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC)(SBC).

    Ta có \cos\alpha = \left| \cos\left(
\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| =
\frac{\left| \overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}
ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight| \cdot \left|
\overrightarrow{n_{2}} ight|}

    = \frac{\left| 2a^{2} \cdot a^{2} +
4a^{2} \cdot 2a^{2} ight|}{\sqrt{\left( 2a^{2} ight)^{2} + \left(
4a^{2} ight)^{2}} \cdot \sqrt{\left( a^{2} ight)^{2} + \left( -
a^{2} ight)^{2} + \left( 2a^{2} ight)^{2}}}

    = \frac{10a^{4}}{\sqrt{20 \cdot 6 \cdot
\left( a^{4} ight)^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{30}}

    \tan^{2}\alpha =
\frac{1}{\cos^{2}\alpha} - 1 = \left( \frac{\sqrt{30}}{5} ight)^{2} -
1 = \frac{5}{25}.

    Suy ra \tan\alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}.

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y
- 6 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):2x - y - 2z - 9 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; -
2)

    (Q):x - y - 6 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} = (1; -
1;0)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left(
\overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)

    = \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0
ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} =
\frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) =
45^{0}

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho mặt phẳng (P) qua điểm M\left( {2, - 4,1} ight) và chắn trên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo ba đoạn có số đo đại số a, b, c. Viết phương trình tổng quát của (P) khi a, b, c tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2.

    Theo đề bài, ta có a, b, c là cấp số nhân với công bội q=2

    \Rightarrow a,\,b = 2a;c = 4a;\,a e 0

    Phương trình của \left( P ight):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{4a}} = 1 \Leftrightarrow 4x + 2y + z - 4a = 0

    (P) qua M\left( {2, - 4,1} ight) \Rightarrow 8 - 8 + 1 - 4a = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}

    \Rightarrow \left( P ight):4x + 2y + z - 1 = 0

     

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 8; 2), điểm B(9; −7; 23) và mặt cầu (S) : (x − 5)^2 + (y + 3)^2 + (z − 7)^2 = 72. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Biết \vec{n} = (1; m; n) là một vectơ pháp tuyến của (P). Tính mn.

    Mặt cầu (S) có tâm I(5; −3; 7); bán kính R = 6\sqrt{2}.

    Phương trình mặt phẳng (P) : 1(x − 0) + m(y − 8) + n(z − 2) = 0.

    Vì (P) và (S) tiếp xúc nhau nên:

    d\left( I;(P) ight) = R
\Leftrightarrow \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} =
6\sqrt{2}

    \Leftrightarrow |5 - 11m + 5n| =
6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(*)

    Ta có: d\left( B;(P) ight) = \frac{|9 -
15m + 21n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}}

    Ta có:

    |9 - 15m + 21n| = |5 - 11m + 5n + 4 - 4m
+ 16n|

    \leq |5 - 11m + 5n| + |4 - 4m +
16n|(**)

    Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

    (4 - 4m + 16n)^{2} \leq \left( 4^{2} +
4^{2} + 16^{2} ight)\left( 1 + m^{2} + n^{2} ight) = 288\left( 1 +
m^{2} + n^{2} ight)

    \Rightarrow |4 - 4m + 16n| \leq
12\sqrt{2}.\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(***)

    Từ (*); (**); (***) ta có:

    |9 - 15m + 21n| \leq 18\sqrt{2}\sqrt{1 +
m^{2} + n^{2}}

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \left\{\begin{matrix}|5 - 11m + 5n| = 6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}} \\(5 - 11m + 5n)(4 - 4m + 16n) \geq 0 \\\dfrac{1}{4} = \dfrac{m}{- 4} = \dfrac{n}{16} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow m = - 1;n = 4 \Rightarrow mn
= - 4.

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A( - 2;3;2)B(5;4; - 1)

    Vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là \overrightarrow{AB} = (7;1; - 3) và đường thẳng đi qua điểm A( - 2;3;2).

    Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: \frac{x + 2}{7} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{-
3}.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong (S) sau là mặt cầu: 

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {2 - \ln t} ight)x + 4\ln t.y + 2\left( {\ln t + 1} ight)z + 5{\ln ^2}t + 8 = 0.

    Theo đề bài, ta có:

    a = \ln t - 2;\,\,b =  - 2\ln t;\,\,c =  - \ln t - 1;\,\,d = 5{\ln ^2}t + 8

    (S) là mặt cầu \Leftrightarrow {\left( {\ln t - 2} ight)^2} + 4{\ln ^2}t + {\left( {\ln t + 1} ight)^2} - 5{\ln ^2}t - 8 > 0

    \Leftrightarrow {\ln ^2}t - 2\ln t - 3 > 0

    \Leftrightarrow \ln t <  - 1 \vee \ln t > 3

    \Leftrightarrow 0 < t < \frac{1}{e} \vee t > {e^3}

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, khoảng cách từ A( - 2;1; - 6) đến mặt phẳng (Oxy)

    Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy):z = 0 là:

    d\left( A;(Oxy) ight) = \frac{| -
6|}{\sqrt{1}} = 6

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,BC
= 2a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy (ABC)SA =
3a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SAC)(SBC). Tính \sin\alpha.

    Hình vẽ minh họa

    Dựng hệ trục toạ độ Oxyz với O trùng A, tia Ox cùng hướng với tia BC, tia Oy trùng tia AB, tia Oz trùng với tia AS.

    Ta có A(0;0;0),B(0;a;0),C(2a;a;0),S(0;0;3a) khi đó ta tính được (SAC) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (0; - 2;0), (SBC) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{m} =
(0;3;1). Từ đó tính được:

    \cos\alpha = \frac{\left|
\overrightarrow{n}.\overrightarrow{m} ight|}{\left| \overrightarrow{n}
ight|.\left| \overrightarrow{m} ight|} = \frac{3\sqrt{2}}{5}
\Rightarrow \sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{5}.

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho điểm P(-3 , 1, -1)  và đường thẳng (d): \left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.

    Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:

    Chuyển (d) về dạng tham số : \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2} + 3t\\y =  - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.

    Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: 3x + 4y + 2z + D = 0, cho qua P tính được D=7 .

    Ta có (Q): 3x + 4y + 2z + 7 = 0 .

    Thế x, y, z  theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được t = \frac{1}{2}

    Giao điểm I của (d) và (Q)  là I (1, -3, 1) .

    Vì I là trung điểm của PP’ nên \Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight).

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z -
1)^{2} = 2 có tọa độ tâm I là:

    Tâm của (S) có tọa độ là I( - 3; - 1;1).

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng cắt nhau \Delta_{1}:\frac{x +1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{3},\Delta_{2}:\frac{x + 1}{1} =\frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 3}. Trong mặt phẳng \left( \Delta_{1};\Delta_{2} ight), hãy viết phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi \Delta_{1};\Delta_{2}

    Hai đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có các vectơ chỉ phương tương ứng là \overrightarrow{u_{1}} =
(1;2;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;2; - 3)

    Ta có \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = -
4 < 0, suy ra góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u_{1}}\overrightarrow{u_{2}} là góc tù.

    Lại có \left| \overrightarrow{u_{1}}
ight| = \left| \overrightarrow{u_{2}} ight|

    Kết hợp hai điều này, ta suy ra d có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u_{1}} -
\overrightarrow{u_{2}} = (0;0;6) = 6(0;0;1)

    Tóm lại, đường thẳng cần tìm đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} =
(0;0;1)

    Vậy phương trình đường thẳng d là: \left\{ \begin{matrix}
x = - 1 \\
y = 2 \\
z = - 1 + t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = (1;2;1),\overrightarrow{b} =
(1;1;2),\overrightarrow{c} = (x;3x;x + 2). Nếu ba vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} đồng phẳng thì:

    Ta có: \left\lbrack
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack = (3; -
3;3)

    Ba vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} đồng phẳng

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack.\overrightarrow{c} =
0

    \Leftrightarrow 3x - 3(3x) + 3(x + 2) =
0

    \Leftrightarrow x = 2

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2 = 0 và hai điểm A(1;2;3),B(1;0;1). Điểm C(a;\ b; - 2) \in (P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a + b.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2 = 0 và hai điểm A(1;2;3),B(1;0;1). Điểm C(a;\ b; - 2) \in (P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a + b.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 17: Nhận biết

    Cho mặt cầu S\left( {O;R} ight) và mặt phẳng (\alpha). Biết khoảng cách từ O đến (\alpha) bằng \frac{R}{2}. Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng (\alpha) với S\left( {O;R} ight) là một đường tròn có đường kính bằng:

     Tìm đường kính

    Gọi H là hình chiếu của O xuống (\alpha) .

    Ta có d\left[ {O,\left( \alpha  ight)} ight] = OH = \frac{R}{2} < R nên (\alpha) cắt S\left( {O;R} ight) theo đường tròn C\left( {H;r} ight).

    Bán kính đường tròn C\left( {H;r} ight)r = \sqrt {{R^2} - O{H^2}}  = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Suy ra đường kính bằng R\sqrt 3.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2;3;4) trên mặt phẳng (P):2x - y - z + 6 = 0 là điểm nào dưới đây?

    Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P).

    Khi đó phương trình tham số của ∆ là \left\{ \begin{matrix}
x = 2 + 2t \\
y = 3 - t \\
z = 4 - t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (M).

    Tọa độ điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix}x = 2 + 2t \\y = 3 - t \\z = 4 - t \\2x - y - z + 6 = 0 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\y = \dfrac{7}{2} \\z = \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.

    Vậy M'\left(
1;\frac{7}{2};\frac{9}{2} ight)

  • Câu 19: Thông hiểu

    Viết phương trình tham số của đường thẳng \left( d ight):\,\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + z - 4 = 0\\2x + 5y - 3z + 4 = 0\end{array} ight.

     Theo đề bài, đường thẳng d là giao của 2 mặt phẳng, ta gọi 2 mặt phẳng (P) và (Q) tương ứng lần lượt là:\left( P ight):2x - 3y + z - 4 = 0;\,\left( Q ight):2x + 5y - 3z + 4 = 0

    Mp (P) và (Q) có 2 vecto pháp tuyến tương ứng là: \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2, - 3,1} ight);\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2,5, - 3} ight)

    Từ đây ta suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng (d) là tích có hướng của 2 VTPT:

    \overrightarrow a  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } ight] = \left( {4,8,16} ight) \Leftrightarrow \overrightarrow a  = 4\left( {1,2,4} ight)

    Cho y = 0, ta có:

    y = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + z = 4\\2x - 3z =  - 4\end{array} ight.\, \Leftrightarrow x = 1;z = 2

    Đường thẳng (d) đi qua A( 1, 0, 2) và nhận vecto (1,2,4) làm 1 VTCP có PTTS là:

    A\left( {1,0,2} ight) \in \left( d ight) \Rightarrow \left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 2 + 4t\end{array} ight.\,\,;t \in R

  • Câu 20: Thông hiểu

    Giá trị (\alpha) phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu:

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {3 - {{\cos }^2}\alpha } ight)x + 4\left( {{{\sin }^2}\alpha  - 1} ight) + 2z + \cos 4\alpha  + 8 = 0? (k\in \mathbb{Z})

     Ta có: a = 2{\cos ^2}\alpha  - 3 = \cos 2\alpha  - 2;\,b = 2\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } ight) = \cos 2\alpha  + 1;c =  - 1;

    d = \cos 4\alpha  + 8 = 2{\cos ^2}2\alpha  + 7.\,\,\left( S ight) là mặt cầu \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0

    \Leftrightarrow  - 1 + \cos 2\alpha  <  - \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  < 2\alpha  < \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi

    \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} + k\pi  < \alpha  < \frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 64 lượt xem
Sắp xếp theo