Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt cầu có tâm
và có diện tích bằng
có phương trình là:
Ta có:
Vậy mặt cầu tâm có bán kính
có phương trình:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt cầu có tâm
và có diện tích bằng
có phương trình là:
Ta có:
Vậy mặt cầu tâm có bán kính
có phương trình:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với hai mặt phẳng
và
. Phương trình của mặt phẳng
là
Ta có các vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) là
Theo giả thiết mặt phẳng (α) vuông góc với (P) và (Q) do đó
Suy ra, phương trình mặt phẳng (α) có dạng
Hay
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
, mặt phẳng
và đường thẳng
. Gọi
là các đường thẳng đi qua
, nằm trong
và đều có khoảng cách đến đường thẳng
bằng
. Côsin của góc giữa
và
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Gọi H K; lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên và
, ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: có vectơ chỉ phương là
,
có véc-tơ pháp tuyến là
.
Do không cùng phương
nên
cắt
.
Mặt khác nên
không vuông góc
.
Vậy cắt nhưng không vuông góc với
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
tâm I và mặt phẳng
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn MH có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm M.
Ta có tâm và bán kính
. Do
nên mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S) . Do H là hình chiếu của I lên (P) và MH lớn nhất nên M là giao điểm của đường thẳng IH với mp (P) .
.
Phương trình đường thẳng IH là .
Giao điểm của IH với (S):
Suy ra:
.
Vậy điểm cần tìm là .
Trong không gian với hệ tọa độ
cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng
đi qua
và có vectơ chỉ phương
cắt
tại điểm
. Điểm
thay đổi trong
sao cho
luôn nhìn đoạn
dưới góc
. Khi độ dài
lớn nhất, đường thẳng
đi qua điểm nào trong các điểm sau?
Hình vẽ minh họa
Phương trình
Đường thẳng d cắt P tại B(−2; −2; 1).
Gọi H là hình chiếu của A lên (P).
Ta có: H(−3; −2; −1).
Vì MB ⊥ MA; MB ⊥ AH nên MB ⊥ MH suy ra MB ≤ BH.
Do đó: MB lớn nhất bằng BH khi M ≡ H
Vậy MB đi qua B, nhận là vectơ chỉ phương.
Phương trình do đó MB đi qua điểm
.
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:
Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :
Giải (1),(2) tính theo
được
.
Thế vào phương trình (3) được , từ đó có
Vậy .
Trong không gian
, cho hai điểm
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
và vuông góc với mặt phẳng
.
Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AB có tọa độ I(0; 1; 1).
Mặt phẳng (OAB) có véc-tơ pháp tuyến .
Suy ra đường thẳng ∆ có và đi qua I(0; 1; 1).
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
. Điểm
là điểm thuộc mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó,
có giá trị là:
Chọn sao cho
Ta tính được
Ta thấy
Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.
Vậy M là hình chiếu vuông góc của lên (Oxy)
Ta xác định được
Hai đường thẳng
và ![]()
Ta có đường thẳng (d’) qua E (-1, -1, 0) có vecto chỉ phương
Hai pháp vecto của hai đường thẳng lần lượt là
Vecto chỉ phương của
Ta có: và tọa độ
thỏa mãn phương trình của
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và đường thẳng
. Điểm
mà tổng
có giá trị nhỏ nhất có tọa độ là:
Vì nên ta có tọa độ điểm
.
Ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của là
khi
.
Trong không gian
cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Giả sử (P) cắt các trục tọa độ tại
Khi đó
Ta có: mà H là trực tâm của tam giác ABC nên
Mặt khác
Trong không gian
, hỏi trong các phương trình sau đây phương trình nào là phương trình của mặt cầu?
Phương trình không có
=> Loại
Phương trình có số hạng
=> Loại
Phương trình loại vì
Phương trình thỏa mãn vì
.
Trong không gian
đường thẳng
và mặt phẳng
. Góc giữa mặt phẳng
và đường thẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
:
Cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Tính tọa độ tâm H của (C).
Theo đề bài, mặt cầu (S) có tâm và vecto pháp tuyến của
Hai đường thẳng
và
cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của A là:
Để tìm được A là giao điểm của 2 đường thẳng, ta sẽ xét và giải hệ PT giữa chúng.
Từ phương trình của ,tính x,y theo z được
Thế vào phương trình của , được z = - 4 .
Từ đó suy ra x = 1, y = - 2
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Điểm
sao cho tam giác
có diện tích nhỏ nhất. Tính
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng
và hai điểm
. Điểm
sao cho tam giác
có diện tích nhỏ nhất. Tính
.
Trong không gian
, hãy tính
và
lần lượt là khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
và mặt phẳng
?
Do mặt phẳng có phương trình y = 0 nên
Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên
Cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau
Cho mặt phẳng và mặt cầu
. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I có tọa độ là:
Áp dụng CT, ta có (P) cắt (S)
Trong không gian tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Gọi
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có: có một vectơ chỉ phương là
,
có một vectơ pháp tuyến là
.
Từ đó: