Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 2;4),B( - 3;3; - 1)$ và mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 8 = 0$ . Xét $M$ là điểm thay đổi thuộc $(P)$ , tính giá trị nhỏ nhất của $2MA^{2} + 3MB^{2}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 2;4),B( - 3;3; - 1)$ và mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 8 = 0$ . Xét $M$ là điểm thay đổi thuộc $(P)$ , tính giá trị nhỏ nhất của $2MA^{2} + 3MB^{2}$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 2: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 2)^2 = 9$ hai hai điểm $M(4; −4; 2),N(6; 0; 6)$ . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho $EM + EN$ đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E?
- A.
  $x - 2y + 2z + 8 = 0$
- B.
  $2x + y - 2z - 9 = 0$
- C.
  $2x + 2y + z + 1 = 0$
- D.
  $2x - 2y + z + 9 = 0$
Hình vẽ minh họa

Gọi I(1; 2; 2) là tâm của (S), P(5; −2; 4) là trung điểm MN.

Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-copx-ki và công thức độ dài trung tuyến ta được:

$(EM + EN)^{2} \leq 2\left( EM^{2} + EN^{2} ight) = 2\left( 2EP^{2} + \frac{MN^{2}}{2} ight)$

nên T = EM + EN đạt giá trị lớn nhất khi EM = EN và EP đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S) (I nằm giữa E và P). Đường thẳng IP có phương trình:

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$

Tọa độ E thỏa hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 9 \\\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{z - 2}{1} \\\end{matrix} ight.$

Tìm được E(3; 0; 3) hoặc E(−1; 4; 1), thử lại để EP lớn nhất ta được E(−1; 4; 1).

Khi đó phương trình tiếp diện với (S) tại E là $2x−2y+z+9 = 0$ .
Câu 3: Vận dụng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 3}{- 1} =\frac{z - 5}{2},$ $d_{2}:\frac{x - 4}{- 3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z +2}{2}$ và mặt phẳng $(P):2x + 3y - 5z + 1 = 0$ . Đường thẳng vuông góc với $(P)$ , cắt $d_{1}$ và $d_{2}$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{1}$
- B.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{- 5}$
- C.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z}{- 5}$
- D.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 13}{- 5}$
Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của đường thẳng d với các đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ .

Khi đó, tọa độ của A, B có dạng $A(3 + t; - 3 - t;5 + 2t),B(4 - 3s;1 + 2s; - 2 + 2s)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1 - 3s - t;4 + 2s + t; - 7 + 2s - 2t)$

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2;3; - 5)$ của mặt phẳng (P).

Do đó, ta có $\frac{1 - 3s - t}{2} = \frac{4 + 2s + t}{3} = \frac{- 7 + 2s - 2t}{- 5}$

Suy ra s = 0 và t = −1.

Do đó, A(2; −2; 3) và B(4; 1; −2).

Đường thẳng d đi qua A và có nhận vectơ $\overrightarrow{n}$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{- 5}$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - 3y + 4z - 5 = 0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (2; - 3;4)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (2;3;4)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (2;4;5)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (2; - 3; - 5)$
Mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (a;b;c)$

Mặt phẳng $(P):2x - 3y + 4z - 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n} = (2; - 3;4)$
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3;0;1),B(6; - 2;1)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A;B$ và tạo với mặt phẳng $(Oyz)$ một góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos\alpha = \frac{2}{7}$ là
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x + 3y + 6z - 12 = 0 \\ 2x + 3y - 6z = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - 3y + 6z - 12 = 0 \\ 2x - 3y - 6z = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - 3y + 6z - 12 = 0 \\ 2x - 3y - 6z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x + 3y + 6z - 12 = 0 \\ 2x - + 3y - 6z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
Giả sử $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}} = (a;b;c)$

$(P)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (3; - 2;0) \Rightarrow \overrightarrow{n_{1}}\bot\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{AB} = 0$

$\Rightarrow 3a + b( - 2) + 0.c = 0 \Rightarrow a = \frac{3}{2}b\ \ \ (1)$

$(Oyz)$ có phương trình x = 0 nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{2}} = (1;0;0)$

Mà $\cos\alpha = \frac{2}{7} \Leftrightarrow \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{2}{7}$

$\Leftrightarrow \frac{|a.1 + b.0 + c.0|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = \frac{2}{7}$

$\Leftrightarrow \frac{|a|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{2}{7} \Leftrightarrow 7|a| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

$\Leftrightarrow 79a^{2} = 4\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} ight) \Leftrightarrow 45a^{2} - 4b^{2} - 4c^{2} = 0\ \ \ (2)$

Thay (1) vào (2) ta được $4b^{2} - c^{2} = 0$

Chọn $c = 2$ ta có $4b^{2} - 2^{2} = 0\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}b = 1 \Rightarrow a = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \overrightarrow{n} =\left( \dfrac{2}{3};1;2 ight) \\b = - 1 \Rightarrow a = \dfrac{- 2}{3} \Rightarrow \overrightarrow{n} =\left( - \dfrac{2}{3}; - 1;2 ight) \\\end{matrix} ight.$

Hay $\left\lbrack \begin{matrix} \overrightarrow{n} = (2;3;6) \\ \overrightarrow{n} = (2;3; - 6) \\ \end{matrix} ight.$ , Vậy $\left\lbrack \begin{matrix} (P):2x + 3y + 6z - 12 = 0 \\ (P):2x + 3y - 6z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):8x - 4y - 8z - 11 =0,$ $(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):8x - 4y - 8z - 11 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (8; - 4; - 8)$

$(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{2}; - \sqrt{2};0 ight)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 8.\sqrt{2} + 4.\sqrt{2} - 8.0 ight|}{\sqrt{8^{2} + ( - 4)^{2} + ( - 8)^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{2} ight)^{2} + \left( - \sqrt{2} ight)^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 7: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ ,cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ , $\widehat{ABC} = 60^{0},AB = 3\sqrt{2}$ , đường thẳng $AB$ có phương trình $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 8}{- 4}$ , đường thẳng $AC$ nằm trên mặt phẳng $(\alpha):x + z - 1 = 0$ . Biết $B$ là điểm có hoành độ dương, gọi $(a;b;c)$ là tọa độ của $C$ . Tính $T = a + b + c$ ?
- A.
  $T = 3$
- B.
  $T = 2$
- C.
  $T = 4$
- D.
  $T = 7$
Hình vẽ minh họa

Ta thấy đường thẳng AB có một VTCP là , $\overrightarrow{u} = (1;1; - 4)$ mặt phẳng (α) có một VTPT là $\overrightarrow{n} = (1;0;1)$ nên góc giữa AB và (α) là $\varphi$ với

$\sin\varphi = \frac{\left| 1.1 + 1.0 + ( - 4).1 ight|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + ( - 4)^{2}}.\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{2}$

Suy ra $\varphi = 30^{0} = \widehat{BAC}$

Hơn nữa, AC ⊂ (α) và BC ⊥ AC nên C là hình chiếu của B trên (α).

Ta tìm tọa độ của $B$

Ta viết lại $AB:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 4 + t \\ z = - 8 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Điểm A là giao điểm của AB và (α).

Xét phương trình $(3 + t) + ( - 8 - t) - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 2$ .

Vậy $A(1;2;0)$ .

Gọi $B(3 + t';4 + t'; - 8 - 4t')$ , ta có $AB = 3\sqrt{2} \Leftrightarrow (t' + 2)^{2} + (t' + 2)^{2} + ( - 4t' - 8)^{2} = 18$

Suy ra t’ = −1 hoặc t’ = −3.

Mà B có hoành độ dương nên ta chọn t = −1, khi đó B(2; 3; −4).

Đường thẳng BC vuông góc với (α) nên nhận $\overrightarrow{n} = (1;0;1)$ làm một VTCP, do đó $BC:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 \\ z = - 4 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

C chính là giao điểm của BC và (α).

Xét phương trình $(2 + t) + ( - 4 + t) - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}$

Suy ra $C\left( \frac{7}{2};3; - \frac{5}{2} ight)$ . Vậy $T = a + b + c = 4$ .
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - y + 2z + 1 = 0$ và đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ . Tính góc giữa đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Ta có: $\overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)$

Do đó: $\cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$

Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng $90^{0} - 60^{0} = 30^{0}$ .
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(\alpha):2x + y - z - 3 = 0,$ $(\beta):2x - y + 5 =0$ . Viết phương trình của mặt phẳng $(P)$ song song với trục $Oz$ và chứa giao tuyến của $(\alpha)$ và $(\beta)$ ?
- A.
  $(P):2x - y - 5 = 0$
- B.
  $(P):2x + y + 5 = 0$
- C.
  $(P):x - 2y + 5 = 0$
- D.
  $(P):2x - y + 5 = 0$
Mặt phẳng $(P)$ chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ nên có dạng:

$m(2x + y - z - 3) + n(2x - y + 5) = 0$

$\Leftrightarrow (2m + 2n)x + (m - n)y - mz - 3m + 5n = 0$

Mặt phẳng $(P)$ song song với trục $Oz$ nên $m = 0$ .

Chọn n = 1 ta có $(P):2x - y + 5 = 0$
Câu 10: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; -1; 0) và đường thẳng d: $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có phương trình là:
- A. $x+y-z=0$
- B. $x+y-z-2=0$
- C. $x+y-z+1=0$
- D. $-x+2y+z+5=0$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên $(\alpha)$ , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có: $d(A, d)=AK$ cố định và $d(A, (\alpha))=AH\leq AK$
Suy ra $d(A, (\alpha))$ lớn nhất bằng AK khi $H\equiv K$ .
Ta có (d): $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}$ qua M(2; -1; 1) , có VTCP $\vec{u_d} = (-1; 2; 1)$ .
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT $\vec{n_p}=[\vec{u_d}, \vec{AM}]=(2; 0; 2)$ .
Mặt phẳng $(\alpha)$ có một VTPT là $\vec{n_\alpha}=[\vec{n_p}, \vec{u_d}]=(-4; -4; 4)=-4(1;1;-1)$ và $(\alpha)$ qua M (2; -1; 1) có phương trình: $1.(x-2)+1.(y+1)-1.(z-1)=0\Leftrightarrow x+y-z=0$
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 2y - 3z - 2 = 0$ . Đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có một vectơ chỉ phương có tọa độ là:
- A.
  $(1; - 2;2)$
- B.
  $(1; - 2; - 3)$
- C.
  $(1;2;3)$
- D.
  $(1; - 3; - 2)$
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 2; - 3)$ .

Do $d\bot(P)$ nên vectơ $\overrightarrow{n} = (1; - 2; - 3)$ cũng là một vectơ chỉ phương của $d$ .
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0$ . Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng $(\alpha)$ ?
- A.
  $M(2;0;1)$
- B.
  $N(2;1;1)$
- C.
  $P(2; - 1;1)$
- D.
  $Q(1;0;1)$
Ta thấy tọa độ điểm $Q(1;0;1)$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng $(\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0$ nên điểm $Q$ nằm trên $(\alpha)$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng đi qua điểm $A( - 2;4;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $2x - 3y + 6z + 19 = 0$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 4}{- 3} = \frac{z - 3}{6}$
- B.
  $\frac{x + 2}{2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z - 6}{3}$
- C.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 4}{- 3} = \frac{z + 3}{6}$
- D.
  $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z + 6}{3}$
Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $2x - 3y + 6z + 19 = 0$ là $\overrightarrow{n} = (2; - 3;6)$

Đường thẳng đi qua điểm $A( - 2;4;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $2x - 3y + 6z + 19 = 0$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n} = (2; - 3;6)$ nên có phương trình là $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 4}{- 3} = \frac{z - 3}{6}$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + 2y - 8 = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ . Khoảng cách giữa đưởng thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{4}{\sqrt{5}}$
- B.
  $\frac{2}{\sqrt{5}}$
- C.
  $\frac{3}{\sqrt{5}}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{5}}$
Đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ đi qua $A(1;2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2; - 1;1)$

Mặt phẳng $(P):x + 2y - 8 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1;2;0)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 2 - 2 + 0 = 0 \\ A otin (P) \\ \end{matrix} ight.$ , nên đường thằng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$ .

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(P)$ :

$d\left( d;(P) ight) = d\left( A;(P) ight) = \frac{|1 + 4 - 8|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;1;1),B( - 1;2;1),C(36; - 5)$ . Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là:
- A.
  $M(1;2;0)$
- B.
  $M(0;0; - 1)$
- C.
  $M(1;3; - 1)$
- D.
  $M(1;3;0)$
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có: $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$

Dễ thấy $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, suy ra M là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng (Oxy).

Dễ thấy $G(1;3; - 1) \Rightarrow M(1;3;0)$ .
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 10y - 6z + 49 = 0$ . Tính bán kính của mặt cầu $(S)$ ?
- A.
  $R = 1$
- B.
  $R = 7$
- C.
  $R = \sqrt{151}$
- D.
  $R = \sqrt{99}$
Phương trình mặt cầu:

$(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$

Ta có: $a = 4;b = - 5;c = 3;d = 49$

Khi đó $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = 1$
Câu 17: Thông hiểu
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có đường kính $AB$ , với $A(6;2; - 5),B( - 4;0;7)$ . Viết phương trình $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $A$ ?
- A.
  $(P):5x + y - 6z + 62 = 0$
- B.
  $(P):5x + y - 6z - 62 = 0$
- C.
  $(P):5x - y - 6z - 62 = 0$
- D.
  $(P):5x + y + 6z + 62 = 0$
Hình vẽ minh họa

Vì mặt cầu $(S)$ có đường kính là AB nên tâm I của mặt cầu $(S)$ là trung điểm của $AB$ .

Mặt cầu $(S)$ có tâm I(1; 1; 1).

Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $A$ nên $(P)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow{IA} = (5;1; - 6)$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra $(P):5(x - 6) + (y - 2) - 6(z + 5) = 0$

$\Rightarrow (P):5x + y - 6z - 62 = 0$
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + 2y - z - 1 = 0$ và mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y + 6z + 5 = 0$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  (P) đi qua tâm của mặt cầu (S).
- B.
  (P) cắt mặt cầu (S).
- C.
  (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).
- D.
  (P) không cắt mặt cầu (S).
Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; −3)$ , bán kính $R = \sqrt{1 + 4 + 9 - 5} = 3$

Ta có:

$d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 2.1 + 2.2 - ( - 3) - 1 ight|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{8}{3} < R$

Do đó (P) cắt mặt cầu (S).
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(P):x + \sqrt{2}y - z + 3 = 0$ cắt mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 5$ theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là:
- A.
  $\frac{11\pi}{4}$
- B.
  $\frac{9\pi}{4}$
- C.
  $\frac{15\pi}{4}$
- D.
  $\frac{7\pi}{4}$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính $R = \sqrt{5}$

Khoảng cách từ $O$ đến (P): $d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{2}$

Bán kính đường tròn giao tuyến

$r = \sqrt{R^{2} - \left\lbrack d\left( O;(P) ight) ightbrack^{2}} = \sqrt{5 - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{11}{4}}$

Diện tích đường tròn giao tuyến $S = 2\pi r^{2} = \frac{11\pi}{4}$ .
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có phương trình đường phân giác trong góc $A$ là $\frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{- 3}$ . Biết rằng điểm $M(0;5;3)$ thuộc đường thẳng $AB$ và điểm $N(1;1;0)$ thuộc đường thẳng $AC$ . Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng $AC$ .
- A.
  $\overrightarrow{u} = (1;2;3)$
- B.
  $\overrightarrow{u} = (0; - 2;6)$
- C.
  $\overrightarrow{u} = (0;1; - 3)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = (0;1;3)$
Hình chiếu H của M trên đường phân giác trong góc A có tọa độ: $H\left( \frac{1}{2};4;\frac{9}{2} ight)$

M’ là điểm đối xứng của M qua H. Từ đây ta tìm được tọa độ M’(1; 3; 6).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC chính là vecto $\overrightarrow{NM'} = (0;2;6)$ .

Suy ra, đường thẳng AC có một vectơ chỉ phương là (0; 1; 3)

53 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!