Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (Oxy) cắt mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 3)^{2} =
25 theo thiết diện là đường tròn bán kính r bằng bao nhiêu?

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;1; - 3) và bán kính R = 5.

    Khoảng cách từ tâm I đến (Oxy) bằng 3.

    \Rightarrow r = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} =
4

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm M(1;0;0),N(0; - 2;0),P(0;0;1). Tính khoảng cách h từ gốc toạ độ O đến mặt phẳng (MNP)?

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) có dạng:

    \frac{x}{1} + \frac{y}{- 2} +
\frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 2x - y + 2z - 2 = 0

    Khoảng cách từ gốc tọa độ (0;0;0) đến (MNP) là: h =
\frac{| - 2|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{2}{3}

  • Câu 3: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + y + z - 9 = 0. Hỏi có bao nhiêu điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (P) với a,b,c là các số nguyên không âm.

    Ta có (P):x + y + z - 9 = 0 \Rightarrow
\frac{x}{9} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1 nên mặt phẳng (P) đi qua các điểm A(9; 0; 0), B(0; 9; 0), C(0; 0; 9).

    Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.

    Tam giác ABC đều có các cạnh bằng 9\sqrt{2}, chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.

    Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng 1\  + \ 2\  + \ ...\  + \ 10\  = \ 55

  • Câu 4: Nhận biết

    Mặt cầu (S) có tâm A(1; -2; 2) và bán kính R = 8. Tìm phương trình mặt cầu (S).

    Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R có dạng: (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} =
R^{2}

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ sao cho A \equiv
O, như hình vẽ:

    Khi đó ta có:

    \overrightarrow{n_{1}} =\lbrack\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}brack = \left(2a^{2};0;4a^{2} ight)\overrightarrow{n_{2}} =\lbrack\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MC}brack = \left( a^{2}; -a^{2};2a^{2} ight)

    \overrightarrow{SB} = (2a;0; -a),\overrightarrow{SC} = (2a;2a; - a),\overrightarrow{MA} = \left( 0; -a; - \frac{a}{2} ight),\overrightarrow{MC} = \left( 2a;a; -\frac{a}{2} ight)

    A(0;0;0),B(2a;0;0),D(0;2a;0),C(2a;2a;0),S(0;0;a),M\left(0;a;\frac{a}{2} ight)

    Gọi \alpha\left( 0^{\circ} \leq \alpha
\leq 90^{\circ} ight) là góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC)(SBC).

    Ta có \cos\alpha = \left| \cos\left(
\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| =
\frac{\left| \overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}
ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight| \cdot \left|
\overrightarrow{n_{2}} ight|}

    = \frac{\left| 2a^{2} \cdot a^{2} +
4a^{2} \cdot 2a^{2} ight|}{\sqrt{\left( 2a^{2} ight)^{2} + \left(
4a^{2} ight)^{2}} \cdot \sqrt{\left( a^{2} ight)^{2} + \left( -
a^{2} ight)^{2} + \left( 2a^{2} ight)^{2}}}

    = \frac{10a^{4}}{\sqrt{20 \cdot 6 \cdot
\left( a^{4} ight)^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{30}}

    \tan^{2}\alpha =
\frac{1}{\cos^{2}\alpha} - 1 = \left( \frac{\sqrt{30}}{5} ight)^{2} -
1 = \frac{5}{25}.

    Suy ra \tan\alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}.

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(1; - 1;2),N(3;1; - 4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của MN.

    Mặt phẳng trung trực MN nhận \frac{1}{2}\overrightarrow{MN} = (1;1; -
3) làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm I(2;0; - 1) của MN nên ta có phương trình mặt phẳng MN là: x + y
- 3z - 5 = 0.

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):x + z + 4 = 0,(Q):x - 2y + 2z
+ 4 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):x + z + 4 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} =
(1;0;1)

    (Q):x - 2y + 2z + 4 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} =
(1; - 2;2)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left(
\overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)= \frac{\left|
\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left|
\overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} =
\frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) =
45^{0}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi E,M lần lượt là trung điểm của các cạnh BCSA, \alpha là góc tạo bởi đường thẳng EM và mặt phẳng (SBD). Tính \tan\alpha?

    Hình vẽ minh họa

    Không mất tính tổng quát, giả sử các cạnh của hình chóp bằng 2\sqrt{2}.

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

    Khi đó: E(1;1;0),M(0; -
1;1),\overrightarrow{ME} = (1;2; - 1)\overrightarrow{OC} = (0;2;0) là vectơ pháp tuyến của (SBD).

    Do đó:

    \sin\alpha = \sin\left( EM,(SBD) ight)
= \left| \cos\left( \overrightarrow{EM};\overrightarrow{OC} ight)
ight| = \frac{\left| \overrightarrow{EM}.\overrightarrow{OC}
ight|}{\left| \overrightarrow{EM} ight|.\left| \overrightarrow{OC}
ight|} = \frac{2}{\sqrt{6}}

    Vậy \tan\alpha =
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1 - \left(
\sin\alpha ight)^{2}}} = \sqrt{2}

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):x - 2y - 2z + 4 = 0(\beta): - x + 2y + 2z - 7 = 0. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)?

    Ta thấy (α) và (β) song song với nhau nên với A(0; 2; 0) ∈ (α).

    \Rightarrow d\left\lbrack
(\alpha);(\beta) ightbrack = d\left( A;(\beta) ight) = \frac{|4 -
7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1.

  • Câu 10: Vận dụng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 3}{- 1} =\frac{z - 5}{2},d_{2}:\frac{x - 4}{- 3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z +2}{2} và mặt phẳng (P):2x + 3y - 5z
+ 1 = 0. Đường thẳng vuông góc với (P), cắt d_{1}d_{2} có phương trình là:

    Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của đường thẳng d với các đường thẳng d_{1}d_{2}.

    Khi đó, tọa độ của A, B có dạng A(3 + t;
- 3 - t;5 + 2t),B(4 - 3s;1 + 2s; - 2 + 2s)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1 - 3s
- t;4 + 2s + t; - 7 + 2s - 2t)

    Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ \overrightarrow{AB} cùng phương với vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2;3; -
5) của mặt phẳng (P).

    Do đó, ta có \frac{1 - 3s - t}{2} =
\frac{4 + 2s + t}{3} = \frac{- 7 + 2s - 2t}{- 5}

    Suy ra s = 0 và t = −1.

    Do đó, A(2; −2; 3) và B(4; 1; −2).

    Đường thẳng d đi qua A và có nhận vectơ \overrightarrow{n} làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: \frac{x - 2}{2} =
\frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{- 5}.

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau, được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của mỗi quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà nó tiếp xúc lần lượt bằng 1, 2, 3. Tính tổng các bình phương của hai bán kính của hai quả bóng đó.

    Hình vẽ minh họa

    Xét quả bóng tiếp xúc với hai bức tường, nền của căn nhà và chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (tương tự với góc tường còn lại).

    Gọi I(a; a; a) là tâm của mặt cầu có bán kính R = a.

    Phương trình mặt cầu là: (S):(x - a)^{2}+ (y - a)^{2} + (z - a)^{2} = a^{2}\ \ \ (1)

    Xét điểm M(x; y; z) nằm trên mặt cầu sao cho

    d(M,(Oxz)) = 2, d(M,(Oyz)) = 1, d(M,(Oxy)) = 3.

    Suy ra M(2; 1; 3).

    Vì M thuộc mặt cầu (S) nên từ (1) ta có:

    (2 - a)^{2} + (1 - a)^{2} + (3 - a)^{2}= a^{2}

    \Leftrightarrow a^{2} - 6a + 7 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a_{1} = 3 + \sqrt{2} = R_{1} \\a_{2} = 3 - \sqrt{2} = R_{2} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow {R_{1}}^{2} + {R_{2}}^{2} =22

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có:

     Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có vô số vecto chỉ phương.

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} =
\frac{z}{- 1} = 1 và mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 0. Góc giữa mặt phẳng (\alpha) và đường thẳng \Delta bằng:

    Mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z =
0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;2)

    Đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} =
\frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1 có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;2; - 1)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (\alpha):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| =
\frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left|
\overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1
- 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha =
30^{0}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABCA(0;0;1),B( - 3;2;0),C(2; - 2;3). Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC đi qua điểm nào trong các điểm sau?

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( -
3;2;1),\overrightarrow{AC} = (2; - 2;2)

    \overrightarrow{n} = \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack =
(2;4;2)

    Một vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B của tam giác ABC\overrightarrow{u} = \frac{1}{12}.\left\lbrack
\overrightarrow{n};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;0; -
1)

    Phương trình đường cao kẻ từ B là: \left\{ \begin{matrix}
x = - 3 + t \\
y = 2 \\
z = - t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

    Ta thấy điểm P( - 1;2; - 2) thuộc đường thẳng trên.

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân

    giác trong góc A là \frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}.  Biết rằng điểm M(0; 5; 3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0)thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?

    Giả sử , A(t; 6-4t; 6-3t), ta có:

    \vec{u_d}=(1; -4; -3),

    \vec{AM}=(-t;4t-1;-3+3t)

    \vec{AN}=(1-t;-5+4t;3t-6)

    Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:

    \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AM}) ight |= \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AN}) ight |

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 26t-13 ight |}{\sqrt{26t^2 -26t+10} } =\dfrac{\left | 26t-39 ight |}{\sqrt{26t^2 -78t+62} }

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 2t-1 ight |}{\sqrt{13t^2 -13t+5} } =\dfrac{\left | 2t-3 ight |}{\sqrt{13t^2 -39t+31} }

    Từ đây ta bình phương 2 vế được:

    (4t^2-4t+1)(13t^2-39t+31)=(4t^2-12t+9)(13t^2-13t+5)

    \Leftrightarrow 14t=14

    \Leftrightarrow t=1

    \Rightarrow A(1;2;3)\Rightarrow \vec{AN}=(0; -1; -3)

    Vậy một véc tơ chỉ phương của AC  là  \vec{u}(0;1;3).

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ \overrightarrow{u} = (1;2; - 5) là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?

    Đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 6 - t \\
y = - 1 - 2t \\
z = 5t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{v} = ( -
1; - 2;5) cùng phương với vectơ \overrightarrow{u} = (1;2; - 5). Vậy \overrightarrow{u} = (1;2; - 5) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \left\{ \begin{matrix}
x = 6 - t \\
y = - 1 - 2t \\
z = 5t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 6z + 5 =
0 và mặt phẳng (\alpha):2x + y + 2z
- 15 = 0. Mặt phẳng (P) song song với (\alpha) và tiếp xúc với (S)

    Ta có:

    (S) có tâm I (1; −2; 3), bán kính R = 3. (P) song song với (α)

    (P):2x + y + 2z + m = 0, với m eq - 15

    Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
m = - 15 \\
m = 3 \\
\end{matrix} ight., so với điều kiện ta nhận m = 3.

    Vậy (P):2x + y + 2z + 3 = 0.

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB biết A(2; - 1; - 3),B(0;3; - 1)?

    Gọi I là trung điểm của AB khi đó I(1;1; - 2) là tâm mặt cầu (S).

    Bán kính R = \frac{1}{2}AB =
\frac{1}{2}\sqrt{4 + 16 + 4} = \frac{\sqrt{24}}{2}

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} =
6.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x + y = 0\ ,(\alpha'):2x - y + z - 15= 0. Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng dd', biết đường thẳng d' có phương trình \left\{ \begin{matrix}x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.

    Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}x + y = 0 \\2x - y + z - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - t + 2 + 2t = 0 \\2(1 - t) - (2 + 2t) + 3 - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - 3 \\x = 4 \\y = - 4 \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow I(4; - 4;3)

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x + my + (m - 1)z + 1 =
0(Q):x + y + 2z = 0. Tập hợp tất cả các giá trị m để hai mặt phẳng này không song song là:

    Ta có A(0;0;0) \in (Q).

    (P)//(Q) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{1} = \dfrac{m}{1} = \dfrac{m - 1}{2} \\A(0;0;0) otin (P) \\\end{matrix} ight. hệ này vô nghiệm

    Hệ này vô nghiệm.

    Do đó (P) không song song với (Q), với mọi giá trị của m.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 42 lượt xem
Sắp xếp theo