Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x + y - 2z + 4 = 0$ . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:
- A.
  $\overrightarrow{n} = (1;1; - 2)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 2;4)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: $\overrightarrow{n} = (1;1; - 2)$ .
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(P):ax + by + cz - 27 = 0$ đi qua hai điểm $A(3;2;1),B( - 3;5;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):3x + y + z + 4 = 0$ . Tính tổng $S = a + b + c$ .
- A.
  $S = - 12$
- B.
  $S = 2$
- C.
  $S = - 4$
- D.
  $S = - 2$
Từ giả thiết ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} 3a + 2b + c - 27 = 0 \\ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0 \\ 3a + b + c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 27 \\ c = - 45 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow S = a + b + c = - 12$
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ , $d_{2}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;2;3)$ vuông góc với $d_{1}$ và cắt đường thẳng $d_{2}$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{1}$
- B.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 3}$
- C.
  $\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 5}$
- D.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{4}$
Đường thẳng $d_{2}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ có phương trình tham số là: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Gọi giao điểm của ∆ và d₂ là $B(1 - t;1 + 2t; - 1 - t)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - t;2t - 1; - t - 4)$

Đường thẳng $\Delta\bot d_{1} \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d_{1}}} = 0$

$\Rightarrow - t.3 + (2t - 1).2 + ( - t - 4)( - 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1; - 3; - 3)$ là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Phương trình $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 3}$
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;3)$ và hai mặt phẳng $(P):2x + 3y =$ $0,(Q):3x + 4y = 0$ . Dường thẳng đi qua $A$ và song song với hai mặt phẳng $(P),(Q)$ có phương trình là
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = t \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.$ .
- C.
  $\ \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ .(META)$
Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm.

Mặt phẳng $(P)$ có một véc-tơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{1} = (2;3;0)$ và $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{2} = (3;4;0)$ . Ta có $\left\lbrack {\overrightarrow{n}}_{1},{\overrightarrow{n}}_{2} ightbrack = (0;0;2)$ .

Khi đó, $\Delta$ đi qua điểm $A$ và nhận véc-tơ $\overrightarrow{u} = (0;0;1)$ làm vec-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$
Với $t = - 3$ thì điểm $B(1;2;0)$ thuộc $\Delta$ . Viết lại phương trình đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 5: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 1;2),B(3; - 4; - 2)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Điểm $I(a;b;c)$ thuộc $d$ là điểm thỏa mãn $IA + IB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $T = a + b + c$ bằng?
- A.
  $\frac{23}{58}$
- B.
  $- \frac{43}{58}$
- C.
  $\frac{65}{29}$
- D.
  $\frac{- 21}{58}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4; - 6; - 8)$

$A = (1; - 1;2),B = (3; - 4; - 2) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4)$

Ta có $\overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4)$ cùng phương với $\overrightarrow{u} = (4; - 6; - 8)$

Mà $A(1; - 1;2) otin d \Rightarrow \overrightarrow{AB}//d \Rightarrow A,B,d$ đồng phẳng.

Xét mặt phẳng chứa $AB$ và $d$ . Gọi $A^{'}$ là điểm đối xứng của $A$ qua $d_{1}$

$(\alpha)$ là mặt phẳng qua $A$ , vuông góc với $d$ .

Khi đó, giao điểm $H$ của $d$ với $(\alpha)$ là trung điểm của $AA^{'}$ .

$(\alpha)$ có 1 vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2; - 3; - 4)$ đi qua $A(1; - 1;2)$ có phương trình:

$2(x - 1) - 3(y + 1) - 4(z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow 2x - 3y - 4z + 3 = 0$

$H \in d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \\ \end{matrix} \Rightarrow ight.$ Giả sử $H(2 + 4t; - 6t; - 1 - 8t)$ .

$H \in (\alpha) \Rightarrow 2(2 + 4t) - 3( - 6t) - 4( - 1 - 8t) + 3 = 0$

$\Leftrightarrow 58t + 11 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{11}{58} \Rightarrow H\left( \frac{36}{29};\frac{33}{29};\frac{15}{29} ight)$

Ta có $IA + IB = IA^{'} + IB^{'} \geq A^{'}B \Rightarrow min(IA + IB) = A^{'}B$ khi và chỉ khi $I$ trùng với $I_{0}$ là giao điểm của $A^{'}B$ và $d$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{HI_{0}} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I_{0}} - \dfrac{36}{29} = \dfrac{1}{2}.2 \\y_{I_{0}} - \dfrac{33}{29} = \dfrac{1}{2}.( - 3) \\z_{I_{0}} - \dfrac{15}{29} = \dfrac{1}{2}.( - 4) \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I_{0}} = \dfrac{65}{29} \\y_{I_{0}} = - \dfrac{21}{58} \\z_{I_{0}} = - \dfrac{43}{29} \\\end{matrix} ight.\ ight.\\Rightarrow I_{0}\left( \dfrac{65}{29}; - \dfrac{21}{58}; - \frac{43}{29}ight)$

$\Rightarrow a + b + c = \frac{65}{29} - \frac{21}{58} - \frac{43}{29} = - \frac{21}{58}$ .
Câu 6: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 điểm $A(−2; 1; 3), B(3; −2; 4)$ , đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{11} = \frac{z + 1}{- 4}$ và mặt phẳng $(P): 41x − 6y + 54z + 49 = 0$ . Đường thẳng $(d)$ đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng $(P)$ lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện $ABCO$ và $OACD$ bằng nhau, biết $(d)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;b;c)$ . Tính $b + c$ .
- A.
  $b + c = 11$
- B.
  $b + c = 6$
- C.
  $b + c = 9$
- D.
  $b + c = 4$
Hình vẽ minh họa

Ta có $1 = \frac{V_{OABC}}{V_{OACD}} =\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( O;(ABC) ight).S_{ABC}}{\dfrac{1}{3}d\left(O;(ACD) ight).S_{ACD}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} =\frac{BC}{CD}$

Nên $BC = CD$ . Vì $C ∈ ∆$ $\Rightarrow C(2t + 1;11t + 6; - 4t - 1)$

C là trung điểm của BD nên $D(4t - 1;22t + 14; - 8t - 6)$ .

Điểm $D ∈ (P)$ nên $41(4t − 1) − 6(22t + 14) + 54(−8t − 6) + 49 = 0 ⇔ t = −1$

$⇒ C(−1; −5; 3).$

$\overrightarrow{CB} = (4;3;1) = \overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Vậy $b = 3, c = 1 ⇒ b + c = 4$
Câu 7: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu $(S): (x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=16$ và điểm $A(1;2;3)$ . Ba mặt phẳng thay đổi đi qua $A$ và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.
- A. $10 \pi$
- B. $38 \pi$
- C. $33 \pi$
- D. $36\pi$
Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là $(P), (Q), (R).$
Với điểm I bất kỳ, hạ $II_1, II_2, II_3$ lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng $(P), (Q), (R)$ thì ta luôn có: $IA^2 = II_1 ^2+ II_2^2, II_3 ^2$ (1) .
Thật vậy , ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với $O\equiv A$ , ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng $(P), (Q), (R).$ .
Khi đó tọa độ I(a;b;c) thì:
$IA^2=a^2+b^2+c^2=d^2(A;(Iyz))+d^2(A;(Ixz))+d^2(A;(Ixy))$
hay $IA^2=II_1^2+II_2^2+II_3^2$ .
Vậy (1) được chứng minh.
Áp dụng giải bài:
Mặt cầu (S) có tâm $I(1;-1;2)$ và có bán kính $r=4$ .
$\overrightarrow {IA}=(0;3;1) \Rightarrow IA= \sqrt {10}$ .
Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là $(P), (Q), (R)$ và cắt mặt cầu (S) theo ba đường tròn lần lượt là $(C_1),(C_2),(C_3)$ .
Gọi $I_1, I_2, I_3$ và $r_1, r_2, r_3$ lần lượt là tâm và bán kính của $(C_1),(C_2),(C_3)$ .
Khi đó : $II_1\perp (P) \Rightarrow II_1^2+r_1^2=r^2 \Rightarrow r_1^2=r^2-II_1^2$ .
Tương tự có: $r_2^2=r^2-II_2^2$ và $r_3^2=r^2-II_3^2$ .
Theo nhận xét ở trên ta có: $IA^2=II_1^2+II_2^2+II_3^2$
Ta có tổng diện tích các đường tròn là :
$S= \pi(r_1^2+r_2^2+r_3^2)$ $=\pi(r^2-II_1^2+r^2-II_2^2+r^2-II_3^2)$
$=\pi[3r^2-(II_1^2+II_2^2+II_3^2)]$
$=\pi(3r^2-IA^2)=38 \pi$ .
Câu 8: Vận dụng
Cho tứ diện ABCD có $A\left( {5,1,3} ight),B\left( {1,6,2} ight),C\left( {5,0,4} ight),D\left( {4,0,6} ight)$ . Mặt phẳng chứa BC và song song với AD có phương trình :
- A. $8x - 7y + 5z - 60 = 0$
- B. $8x + 7y + 5z - 60 = 0$
- C. $8x - 7y - 5z - 60 = 0$
- D. $8x + 7y - 5z - 60 = 0$
Theo đề bài, từ các điểm $A\left( {5,1,3} ight),B\left( {1,6,2} ight),C\left( {5,0,4} ight),D\left( {4,0,6} ight)$ , ta tính được các vecto tương ứng là: $\overrightarrow {BC} = \left( {4, - 6,2} ight);\overrightarrow {AD} = \left( { - 1, - 1,3} ight)$
$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} } ight] = \left( { - 16, - 14, - 10} ight)$ cùng phương với $\overrightarrow n = \left( {8,7,5} ight)$
Chọn $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa BC và song song với AD.
Phương trình (P) có dạng: $8x + 7y + 5z + D = 0$
Mặt khác, điểm $B \in \left( P ight) \Leftrightarrow 8 + 42 + 10 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 60$
Vậy phương trình $(P): 8x + 7y + 5z - 60 = 0$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 2y + z - 3 = 0$ và điểm $A(1;2;0)$ . Viết phương trình đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $(P)$ .
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{1}$
- B.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{2}$
- C.
  $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$
- D.
  $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{1}$
Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 2;1)$ nên đường thẳng cần tìm có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{n} = (1; - 2;1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{1}$
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + 2y + z - 2 = 0$ và mặt cầu $(S)$ tâm $I(2;1; - 1)$ bán kính $R = 2$ . Bán kính đường tròn giao của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $r = \sqrt{3}$
- B.
  $r = 3$
- C.
  $r = \sqrt{5}$
- D.
  $r = 1$
Hình vẽ minh họa

Gọi bán kính đường tròn giao của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S)$ là $r$

Ta có:

$h = d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 2.2 + 2.( - 1) - 1 - 2 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 1$

Suy ra $r = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0$ . Bán kính của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $\sqrt{15}$
- B.
  $\sqrt{7}$
- C.
  $9$
- D.
  $3$
Ta có:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2.0.x - 2.1y - 2.( - 1)z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = - 1 \\ d = - 7 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tâm mặt cầu là: $I(0;1; - 1)$

Bán kính mặt cầu là:

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2} - 7} = 3$
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ và mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ . Góc giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $\Delta$ bằng:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$

Đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 đường thẳng $d_{1}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- m} =\frac{z - 2}{- 3};$ $d_{2}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z -1}{1}$ . Tìm tất cả giá trị thực của $m$ để $d_{1}$ vuông góc với $d_{2}$ ?
- A.
  $m = - 1$
- B.
  $m = 1$
- C.
  $m = - 5$
- D.
  $m = 5$
Vectơ chỉ phương của $d_{1};d_{2}$ lần lượt là: $\overrightarrow{u_{1}} = (2; - m; - 3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;1)$ .

Để $d_{1}\bot d_{2}$ thì $\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = 0 \Leftrightarrow 2 - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , điểm $M$ thuộc trục $Oy$ và cách đều hai mặt phẳng $(P):x + y - z + 1 = 0$ và $(Q):x - y + z - 5 = 0$ có tọa độ là?
- A.
  $M(0; - 3;0)$
- B.
  $M(0;3;0)$
- C.
  $M(0; - 2;0)$
- D.
  $M(0;1;0)$
Ta có $M \in Oy$ suy ra $M(0;m;0)$ .

Theo đề bài ra ta có:

$d\left( M,(P) ight) = d\left( M,(Q) ight)$

$\Leftrightarrow \frac{|m + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{| - m - 5|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow m = - 3$

Vậy $M(0; - 3;0)$ .
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình mặt cầu tâm $I(2;1; - 2)$ bán kính $R = 2$ là:
- A.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 2^{2}$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 4z + 5 = 0$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 4z + 5 = 0$
- D.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 2$
Phương trình mặt cầu tâm $I(2;1; - 2)$ bán kính $R = 2$ là:

$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 2^{2}$

Tổng quát $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 4z + 5 = 0$ .
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình là
- A.
  $z = 0$
- B.
  $x + y + z = 0$
- C.
  $y = 0$
- D.
  $x = 0$
Mặt phẳng $(Oxz)$ đi qua điểm $O(0;0;0)$ và nhận $\overrightarrow{j} = (0;1;0)$ là một véc-tơ pháp tuyến nên phương trình của mặt phẳng $(Oxz)$ là $(Oxz)$ .
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , gọi $d$ là đường thẳng đi qua $O$ , thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ và cách điểm $M(1; - 2;1)$ một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa $d$ và trục tung bằng
- A.
  $\frac{2}{5}$
- B.
  $\frac{1}{5}$
- C.
  $\frac{1}{\sqrt{5}}$
- D.
  $\frac{2}{\sqrt{5}}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H; K lần lượt là hình chiếu của M trên mặt phẳng (Oyz) và trên đường thẳng d.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} d(M;d) = MK \geq MH = 1 \\ H(0; - 2;1) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $d(M;d)$ nhỏ nhất khi $H \equiv K$ . Khi đó d có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow{OH} = (0; - 2;1)$

Khi đó: $\cos(d;Oy) = \frac{\left| \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{j} ight|}{\left| \overrightarrow{OH} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = \frac{2}{\sqrt{5}}$
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):8x - 4y - 8z - 11 =0,$ $(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):8x - 4y - 8z - 11 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (8; - 4; - 8)$

$(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{2}; - \sqrt{2};0 ight)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 8.\sqrt{2} + 4.\sqrt{2} - 8.0 ight|}{\sqrt{8^{2} + ( - 4)^{2} + ( - 8)^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{2} ight)^{2} + \left( - \sqrt{2} ight)^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(1;2; - 3)$ và mặt phẳng $(P):2x + 2y - z + 9 = 0$ . Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (3;4; - 4)$ cắt $P$ tại điểm $B$ . Điểm $M$ thay đổi trong $(P)$ sao cho $M$ luôn nhìn đoạn $AB$ dưới góc $90^{0}$ . Khi độ dài $MB$ lớn nhất, đường thẳng $MB$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?
- A.
  $H( - 2; - 1;3)$
- B.
  $I( - 1; - 2;3)$
- C.
  $K(3;0;15)$
- D.
  $J( - 3;2;7)$
Hình vẽ minh họa

Phương trình $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Đường thẳng d cắt P tại B(−2; −2; 1).

Gọi H là hình chiếu của A lên (P).

Ta có: H(−3; −2; −1).

Vì MB ⊥ MA; MB ⊥ AH nên MB ⊥ MH suy ra MB ≤ BH.

Do đó: MB lớn nhất bằng BH khi M ≡ H

Vậy MB đi qua B, nhận $\overrightarrow{BH}$ là vectơ chỉ phương.

Phương trình $MB:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = - 2 \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.$ do đó MB đi qua điểm $I( - 1; - 2;3)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho tứ diện đều $ABCD$ có $A(0;1;2)$ và hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $(BCD)$ là $H(4; - 3; - 2)$ . Tìm tọa độ tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ ?
- A.
  $I(3; - 2; - 1)$
- B.
  $I(2; - 1;0)$
- C.
  $I(3; - 2;1)$
- D.
  $I( - 3; - 2;1)$
Gọi $I(a;b;c) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = ( - a;1 - b;2 - c) \\ \overrightarrow{IH} = (4 - a; - 3 - b; - 2 - c) \\ \end{matrix} ight.$

$ABCD$ là tứ diện đều nên tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện

$\Rightarrow \overrightarrow{IA} = - 3\overrightarrow{IH} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - a = - 3(4 - a) \\ 1 - b = - 3(3 - b) \\ 2 - c = - 3( - 2 - c) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = - 2 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(3; - 2; - 1)$

49 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!