Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua hai điểm
và có một vectơ chỉ phương
.
Theo đề bài ta có:
Như vậy, VTPT của (P) là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương
Mp (P) đi qua và nhận vecto
làm 1 VTPT có phương trình là:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua hai điểm
và có một vectơ chỉ phương
.
Theo đề bài ta có:
Như vậy, VTPT của (P) là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương
Mp (P) đi qua và nhận vecto
làm 1 VTPT có phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng ![]()
?
Gọi lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 và d2 ta chọn
Giả sử M1 ∈ d1 và M2 ∈ d2, ta chọn suy ra
Khi đó và
. Do đó (d1) và (d2) chéo nhau.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Độ dài của đoạn
là
Ta có:
khi đó độ dài đoạn
bằng:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng:
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục tọa độ sao cho , như hình vẽ:
Khi đó ta có:
và
Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng
và
.
Ta có
Mà .
Suy ra .
Cho hình lập phương
cạnh
.

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
b) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
c) Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
d) Góc nhị diện
có số đo bằng
. Đúng||Sai
Cho hình lập phương cạnh
.
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
b) Góc giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
d) Góc nhị diện có số đo bằng
. Đúng||Sai
a) Vì ,
nên
. Mệnh đề đúng.
b) Do nên
. Mệnh đề đúng.
c) Vì nên
. Mệnh đề sai.
d) Ta có ,
nên góc nhị diện
có số đo bằng
. Mệnh đề đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Điểm
sao cho tam giác
có diện tích nhỏ nhất. Tính
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng
và hai điểm
. Điểm
sao cho tam giác
có diện tích nhỏ nhất. Tính
.
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên trục
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm
bán kính
?
Hình chiếu vuông góc của trên
là:
Suy ra phương trình mặt cầu tâm bán kính
là:
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho bốn điểm
. Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức
. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?
Gọi M(x; y; z) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có
Từ giả thiết
Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm và mặt cầu tâm
Dễ thấy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
tâm I và mặt phẳng
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn MH có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm M.
Ta có tâm và bán kính
. Do
nên mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S) . Do H là hình chiếu của I lên (P) và MH lớn nhất nên M là giao điểm của đường thẳng IH với mp (P) .
.
Phương trình đường thẳng IH là .
Giao điểm của IH với (S):
Suy ra:
.
Vậy điểm cần tìm là .
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) qua A (2, 3, 1) cắt đường thẳng
và vuông góc đường thẳng ![]()
Lấy điểm nằm trên đường thẳng (d1).
Theo đề bài, ta có (d1) qua có vecto chỉ phương là
Ta có:
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) chứa A và
(1)
Xét tiếp đường thẳng có vecto chỉ phương của là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua A và vuông góc với . Ta có phương trình mp (Q) là
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
Trong không gian
, cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Xét tứ diện OABC có các cạnh đôi một vuông góc với nhau.
Ta có:
Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.
Từ đó .
Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận làm vectơ pháp tuyến là:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính góc tạo bởi
với trục
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Trục có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa và mặt phẳng
:
Trong hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có đường kính
, với
. Viết phương trình
tiếp xúc với mặt cầu
tại
?
Hình vẽ minh họa
Vì mặt cầu có đường kính là AB nên tâm I của mặt cầu
là trung điểm của
.
Mặt cầu có tâm I(1; 1; 1).
Vì tiếp xúc với
tại
nên
đi qua
và nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm
và
?
Ta có là vectơ chỉ phương của đường thẳng
. Phương trình chính tắc của đường thẳng
là:
.
Trong không gian
, cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
và chứa trục
là:
Mặt phẳng có VTPT
và đi qua điểm
.
Suy ra phương trình .
Trong không gian với hệ tọa độ
, tính khoảng cách giữa đường thẳng
và trục
.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương và đi qua điểm
Trục Ox có vectơ chỉ phương và đi qua điểm
Khoảng cách giữa đường thẳng d và trục Ox là:
Trong hệ tọa độ
, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
?
Dựa vào phương trình đường thẳng ta thấy đường thẳng đã cho đi qua điểm .
Trong không gian
, cho mặt cầu
có tọa độ tâm
là:
Tâm của có tọa độ là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt cầu tâm
bán kính
là:
Phương trình mặt cầu tâm bán kính
là:
Tổng quát .
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
có các vectơ pháp tuyến là
. Góc
là góc giữa hai mặt phẳng đó
là biểu thức nào sau đây?
Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có: