Trong không gian
, cho các điểm
. Tập hợp các điểm
thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là:
Giả sử
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy tập hợp điểm thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là
.
Trong không gian
, cho các điểm
. Tập hợp các điểm
thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là:
Giả sử
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy tập hợp điểm thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là
.
Trong không gian tọa độ
, cho đường thẳng
và điểm
. Điểm đối xứng với điểm
qua đường thẳng
có tọa độ là:
Gọi
Vectơ chỉ phương của d là
Vì
Suy ra M(1; 1; 2), gọi A’(x; y; z) là điểm đối xứng của A qua d thì:
Điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng
có tọa độ là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và đường thẳng
. Biết điểm
thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị
bằng:
Vì nên SMAB nhỏ nhất khi d(M, AB) nhỏ nhất. Phương trình của
Dễ dàng kiểm tra AB và d chéo nhau.
Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB.
Khi đó nhỏ nhất khi MH là đoạn vuông góc chung của d và AB.
Ta có:
Vectơ chỉ phương của d và AB theo thứ tự là
Vậy
Trong không gian
, cho ba mặt phẳng
lần lượt có phương trình là
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là và mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là
Do nên vectơ
không cùng phương với vectơ
.
Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P).
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ
xuống mặt phẳng
, số đo góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Vì là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P) nên mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Gọi là số đo góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
, ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Mặt cầu đường kính
có phương trình là:
Gọi là trung điểm của
khi đó
là tâm mặt cầu
.
Bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
và mặt phẳng
. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
là
Đường thẳng đi qua
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình
.
Gọi
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:

Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).
Ta có: nằm về hai phía với (P).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) BH cố định và
.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay .
Ta có: bé nhất bằng BH khi K trùng với điểm H.
Gọi là VTPT của (ABH)
Ta có đường thẳng d cần lập qua A, H và có VTCP là
Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, trục
có phương trình tham số là
Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có véctơ chỉ phương nên có phương trình tham số là
.
Trong không gian tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Gọi
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có: có một vectơ chỉ phương là
,
có một vectơ pháp tuyến là
.
Từ đó:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu
thì góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi .
Hình vuông có độ dài đường chéo bằng
suy ra hình vuông đó có cạnh bằng
.
Ta có .
Ta có .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có
.
Khi đó .
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Suy ra .
Trong không gian
, cho mặt cầu
và các điểm
. Điểm
thuộc mặt cầu
. Thể tích lớn nhất của tứ diện
bằng:
Mặt cầu có tâm là
và bán kính
.
Khi lớn nhất thì
Ta có: suy ra:
.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có:
Vậy khẳng định sai là: .
Trong không gian
, cho điểm
và đường thẳng
. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
Gọi
Ta có .
Trong không gian với hệ tọa đô
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
sao cho thể tích tứ diện
nhỏ nhất.
đi qua điểm nào dưới đây?
Gọi với
Phương trình mặt phẳng
Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Thể tích tứ diện là
Đẳng thức xảy ra khi
Phương trình mặt phẳng là
Mặt phẳng đi qua điểm
.
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
,
. Đường thẳng
đi qua điểm
vuông góc với
và cắt đường thẳng
có phương trình là:
Đường thẳng có phương trình tham số là:
Gọi giao điểm của ∆ và d2 là
Đường thẳng
là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Phương trình
Cho mặt cầu S(O;R) , A là một điểm ở trên mặt cầu (S) và (P) là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng
. Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của (O) trên (P) thì
● H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).
●
Bán kính của đường tròn giao tuyến: .
Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: .
Trong không gian
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
(khác
). Viết phương trình mặt phẳng
sao cho
là trực tâm của tam giác
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có:
Vậy nên
nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Do đi qua
nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
, mặt phẳng
. Gọi
là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
,
song song với giá của vectơ
và
tiếp xúc với
. Lập phương trình mặt phẳng
.
Mặt cầu có tâm I(1; −3; 2) và bán kính
.
Từ giả thiết suy ra là một vectơ pháp tuyến của
.
Ta có , suy ra
có vectơ pháp tuyến
Vậy có phương trình dạng
Do tiếp xúc với mặt cầu
nên:
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là .