Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
, sin của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
, sin của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Mặt phẳng
vuông góc với cả
và
đồng thời cắt trục
tại điểm có hoành độ bằng
. Phương trình của mặt phẳng
là:
Ta có: (P) có vectơ pháp tuyến , (Q) có vectơ pháp tuyến
.
Vì mặt phẳng (α) vuông góc với cả (P) và (Q) nên (α) có một vectơ pháp tuyến là
Vì mặt phẳng (α) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên (α) đi qua điểm M(3; 0; 0).
Vậy (α) đi qua điểm M(3; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến nên (α) có phương trình
.
Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là p. Một mặt phẳng
cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là
. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng
bằng:
Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu.
Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R.
Theo giả thiết, ta có và
Suy ra .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Đường thẳng
đi qua
và song song với
có phương trình là:
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là
Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là .
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho tam giác
có phương trình đường phân giác trong góc
là
. Biết rằng điểm
thuộc đường thẳng
và điểm
thuộc đường thẳng
. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
Hình chiếu H của M trên đường phân giác trong góc A có tọa độ:
M’ là điểm đối xứng của M qua H. Từ đây ta tìm được tọa độ M’(1; 3; 6).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC chính là vecto .
Suy ra, đường thẳng AC có một vectơ chỉ phương là (0; 1; 3)
Cho điểm
và mặt phẳng
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P).Tọa độ điểm A’ là :
Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua A vuông góc với (P): .
Thế x, y, z theo t vào phương trình của (P), ta được:
Thế tiếp vào phương trình của (d) được giao điểm I của (d) và (P):
Mặt khác, I là trung điểm của AA' nên suy ra được:
Trong không gian
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
và tạo với mặt phẳng
một góc
thỏa mãn
là
Giả sử có vectơ pháp tuyến
có vectơ chỉ phương
có phương trình x = 0 nên có vectơ pháp tuyến
Mà
Thay (1) vào (2) ta được
Chọn ta có
Hay , Vậy
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua
và song song với vectơ
là:
Theo đề bài, ta có:
Chọn làm 1 vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng :
Mà mp lại qua A nên
Phương trình cần tìm là: .
Trong không gian tọa độ
, mặt cầu tâm
bán kính
có phương trình là
Mặt cầu tâm và bán kính
có phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có tâm là điểm
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo thiết diện là đường tròn có bán kính
. Diện tích của mặt cầu
là:
Ta có:
Vậy diện tích mặt cầu là: .
Cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau
Cho mặt phẳng và mặt cầu
. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I có tọa độ là:
Áp dụng CT, ta có (P) cắt (S)
Cho điểm
và đường thẳng
. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua
. Tọa độ điểm A' là:
Đưa phương trình về dạng tham số:
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với .
Phương trình mp (P) có dạng , qua A nên D = -2
Phương trình (P) là:
Thế x, y, z từ phương trình vào phương trình (P) được t=1
I là trung điểm của AA' nên:
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Phương trình mặt phẳng
chứa đường thẳng
và tạo với mặt phẳng
một góc nhỏ nhất là
Vì (P) chứa d nên phương trình của (P) có dạng với
.
Gọi α là góc giữa (P) và (Q), ta có:
Nếu thì
Nếu thì
.
Khi đó
Ta có α nhỏ nhất khi và chỉ khi cosα lớn nhất.
Do đó và
.
Khi đó , chọn
.
Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: .
Trong không gian
, hãy viết phương trình của mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với đường thẳng
.
Mặt phẳng (P) đi qua điểm và có một véc-tơ pháp tuyến là
nên có phương là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Tính số đo góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .
Khi đó ta có:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
qua hai điểm
và song song với trục ![]()
Vì Vecto chỉ phương của (P) là:
Theo đề bài, ta có vecto chỉ phương thứ hai của (P) là:
Từ 2 VTCP, ta suy ra được VTPT của (P) là tích có hướng của 2 VTCT
Mp (P) đi qua và nhận vecto
làm 1 VTPT có phương trình là:
Trong không gian
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Viết lại đường thẳng d ở dạng tham số
Xét phương trình
Kết luận phương trình có vô số nghiệm
Trong không gian
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các tia
lần lượt tại
sao cho độ dài
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng
. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ
đến mặt phẳng
.
Giả sử với
.
Phương trình mặt phẳng có dạng
Ta có đi qua điểm
nên ta có
(∗)
Vì theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên
.
Thay vào (∗), ta được
Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là hay
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, đường thẳng
đi qua điểm nào sau đây?
Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng
ta được
, do đó điểm này thuộc đường thẳng
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
với
. Biết rằng mặt phẳng
đi qua điểm
và tiếp xúc với mặt cầu
. Tính
.
Mặt phẳng đi qua ba điểm
nên có phương trình là:
Ta có nên
.
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
.
tiếp xúc với (S)