Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Với giá trị nào của tham số
thì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu?
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
Mặt phẳng (α) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là: .
Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Với giá trị nào của tham số
thì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu?
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
Mặt phẳng (α) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
hai hai điểm
. Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho
đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E?
Hình vẽ minh họa
Gọi I(1; 2; 2) là tâm của (S), P(5; −2; 4) là trung điểm MN.
Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-copx-ki và công thức độ dài trung tuyến ta được:
nên T = EM + EN đạt giá trị lớn nhất khi EM = EN và EP đạt giá trị lớn nhất.
Khi đó E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S) (I nằm giữa E và P). Đường thẳng IP có phương trình:
Tọa độ E thỏa hệ phương trình:
Tìm được E(3; 0; 3) hoặc E(−1; 4; 1), thử lại để EP lớn nhất ta được E(−1; 4; 1).
Khi đó phương trình tiếp diện với (S) tại E là .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Ta có:
Do đó:
Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng .
Cho hình lập phương
cạnh
.

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
b) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
c) Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
d) Góc nhị diện
có số đo bằng
. Đúng||Sai
Cho hình lập phương cạnh
.
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
b) Góc giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
d) Góc nhị diện có số đo bằng
. Đúng||Sai
a) Vì ,
nên
. Mệnh đề đúng.
b) Do nên
. Mệnh đề đúng.
c) Vì nên
. Mệnh đề sai.
d) Ta có ,
nên góc nhị diện
có số đo bằng
. Mệnh đề đúng
Trong không gian
, mặt phẳng
đi qua điểm
, đồng thời vuông góc với giá của vectơ
có phương trình là:
Mặt phẳng nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm
nên có phương trình là
.
Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua
và có một vectơ chỉ phương
với
có phương trình chính tắc là:
Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua và có một vectơ chỉ phương
với
có phương trình chính tắc là:
Trong không gian
cho mặt cầu
Đường kính của
bằng
Ta có bán kính của là
nên đường kính của
bằng
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và đường thẳng
. Điểm
mà tổng
có giá trị nhỏ nhất có tọa độ là:
Vì nên ta có tọa độ điểm
.
Ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của là
khi
.
Cho hai đường thẳng chéo nhau
và ![]()
Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:
Phương trình (d) cho biết và (d) có vectơ chỉ phương
Chuyển về dạng tham số
để có
và vectơ chỉ phương
.
Gọi I là trung điểm AB thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ .
là phương trình của mặt phẳng (P).
Trong không gian
, tìm phương trình mặt phẳng
cắt ba trục
lần lượt tại ba điểm
?
Phương trình mặt phẳng :
Trong không gian
, cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Trong không gian , cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Tính góc của hai đường thẳng
và
.
Theo đề bài, ta có (d’) và (d) có vec-tơ chỉ phương lần lượt là:
Áp dụng công thức cosin của góc giữa 2 đường thẳng, ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và đường thẳng
. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
.
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng d.
Suy ra (P) nhận làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d, suy ra .
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
, sin của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Viết phương trình đường thẳng
?
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
. Suy ra phương trình đường thẳng
là:
Trong không gian
, hỏi trong các phương trình sau đây phương trình nào là phương trình của mặt cầu?
Phương trình không có
=> Loại
Phương trình có số hạng
=> Loại
Phương trình loại vì
Phương trình thỏa mãn vì
.
Trong không gian với hệ tọa độ
cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Gọi
là giao điểm của
và
và
là điểm thuộc đường thẳng
sao cho
. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
Gọi
Khi đó ta có:
Gọi là hình chiếu của
lên mặt phẳng
, khi đó:
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng
vuông góc với
và hợp với các trục tọa độ một tứ diện có thể tích bằng
là
Ta có
Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox, Oy, Oz
Suy ra
Ta có thể tích tứ diện
Vậy đáp án cần tìm là:
Trong không gian với hệ tọa độ
; cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Ta có:
Vậy
Cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Tính tọa độ tâm H của (C).
Theo đề bài, mặt cầu (S) có tâm và vecto pháp tuyến của