Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ . Tính góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $150^{0}$
Mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 ight)$

Trục $Ox$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$

Gọi α là góc giữa $Ox$ và mặt phẳng $(P)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 2: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng $(P):x+y+2z-13=0$ . Xét các mặt cầu (S) có tâm $I(a;b;c)$ , đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Tính giá trị của biểu thức $T=a^2+2b^2+3c^2$ khi (S) có bán kính nhỏ nhất.
- A. $T=35$
- B. $T=20$
- C. $T=25$
- D. $T=30$
Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) ta có $IA + IH =2R$ nên R nhỏ nhất khi $I, A, H$ thẳng hàng và I là trung điểm của AH.
Phương trình AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là
$\left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \end{matrix}ight.$
Tọa độ H là nghiệm $(x;y;z)$ của hệ:
$\left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \\ x+y+2z-13=0 \end{matrix}ight.$
$\Rightarrow H(3;4;3)\Rightarrow I(2;3;1)$
Suy ra, ta có: $T=a^2+2b^2+3c^2 =2^2+2.3^2+3.1^2=25$
Câu 3: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): x − 4y + z + 1 = 0$ và hai điểm $A(1; 0; 2), B(2; 5; 3)$ . Đường thẳng d đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d nhỏ nhất có phương trình là
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{3}$
- B.
  $\frac{x - 1}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{1}$
- C.
  $\frac{x - 1}{5} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 1}$
- D.
  $\frac{x - 3}{2} = \frac{1 - y}{- 1} = \frac{z - 4}{2}$
Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;b;c)$

Phương trình đường thẳng d có dạng $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = bt \\ z = 2 + ct \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Do đường thẳng d k (P) nên $1 - 4b + c = 0 \Rightarrow c = 4b - 1$ .

Khoảng cách từ B đến đường thẳng d là:

$d(B;d) = \frac{\left| \overrightarrow{u} \land \overrightarrow{AB} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{378b^{2} - 216b + 54}}{\sqrt{17b^{2} - 8b + 2}}$

Xét hàm số $f(b) = \frac{378b^{2} - 216b + 54}{17b^{2} - 8b + 2}$ có

$f'(b) = \frac{648b^{2} - 324b}{\left( 17b^{2} - 8b + 2 ight)^{2}} \Rightarrow f'(b) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} b = 0 \\ b = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta được khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất tại $b = \frac{1}{2}$

Khi đó $\overrightarrow{u} = \left( 1;\frac{1}{2};1 ight)$ , chọn $\overrightarrow{u} = (2;1;2)$ .

Phương trình đường thẳng $d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$ hay $\frac{x - 3}{2} = \frac{1 - y}{- 1} = \frac{z - 4}{2}$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - 3y + 4z - 5 = 0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (2; - 3;4)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (2;3;4)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (2;4;5)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (2; - 3; - 5)$
Mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (a;b;c)$

Mặt phẳng $(P):2x - 3y + 4z - 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n} = (2; - 3;4)$
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ và mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ . Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ bằng
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Ta có:

∆ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$

(α) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$

$\sin\widehat{\left( \Delta;(\alpha) ight)} = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| 1.1 + 2.( - 1) + ( - 1).2 ight|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{\left( \Delta;(\alpha) ight)} = 30^{0}$ .
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 25$ . Đường thẳng d cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $A, B$ . Biết tiếp diện của $(S)$ tại $A, B$ vuông góc. Tính độ dài $AB$ .
- A.
  $AB = \frac{5}{2}$
- B.
  $AB = 5$
- C.
  $AB = 5\sqrt{2}$
- D.
  $AB = \frac{5\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; −1)$ , bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.

Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.

Suy ra $AB = IA.\sqrt{2} = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + 2y - z - 1 = 0$ và mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y + 6z + 5 = 0$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  (P) đi qua tâm của mặt cầu (S).
- B.
  (P) cắt mặt cầu (S).
- C.
  (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).
- D.
  (P) không cắt mặt cầu (S).
Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; −3)$ , bán kính $R = \sqrt{1 + 4 + 9 - 5} = 3$

Ta có:

$d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 2.1 + 2.2 - ( - 3) - 1 ight|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{8}{3} < R$

Do đó (P) cắt mặt cầu (S).
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 3 = 0$ . Tính số đo góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;0)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

Khi đó ta có:

$\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , gọi $d$ là đường thẳng đi qua $O$ , thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ và cách điểm $M(1; - 2;1)$ một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa $d$ và trục tung bằng
- A.
  $\frac{2}{5}$
- B.
  $\frac{1}{5}$
- C.
  $\frac{1}{\sqrt{5}}$
- D.
  $\frac{2}{\sqrt{5}}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H; K lần lượt là hình chiếu của M trên mặt phẳng (Oyz) và trên đường thẳng d.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} d(M;d) = MK \geq MH = 1 \\ H(0; - 2;1) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $d(M;d)$ nhỏ nhất khi $H \equiv K$ . Khi đó d có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow{OH} = (0; - 2;1)$

Khi đó: $\cos(d;Oy) = \frac{\left| \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{j} ight|}{\left| \overrightarrow{OH} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = \frac{2}{\sqrt{5}}$
Câu 10: Vận dụng
Cho hai điểm $A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight)$ và mặt phẳng $\left( \beta ight):3x - 2y + z + 9 = 0.$ Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng $(\beta)$ có phương trình:
- A. $x + y - z - 2 = 0$
- B. $x - y + z - 2 = 0$
- C. $x - y - z - 2 = 0$
- D. $x + y + z - 2 = 0$
Theo đề bài, ta có: $A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight)$ ; $\left( \beta ight):3x - 2y + z + 9 = 0.$
Suy ra $\overrightarrow {AB} = \left( {3, - 5, - 2} ight)$ ; $(\beta)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {3, - 2,1} ight)$
Ta có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } ight] = \left( { - 9, - 9,9} ight)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow p = \left( {1,1, - 1} ight)$
Chọn $\vec{p}$ làm 1 vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng $(\alpha)$ .
Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng: $x + y - z + D = 0$
$A \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow - 2 + 3 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2$
Mặt phẳng : $(\alpha): x + y - z - 2 = 0$
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , đường thẳng $d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 3}{- 5}$ đi qua điểm nào sau đây?
- A.
  $( - 1;2; - 3)$
- B.
  $(1; - 2;3)$
- C.
  $( - 3;4;5)$
- D.
  $(3; - 4; - 5)$
Thay tọa độ điểm $(1; - 2;3)$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\frac{0}{3} = \frac{0}{- 4} = \frac{0}{- 5}$ , do đó điểm này thuộc đường thẳng $d$ .
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ đỉnh $A(2;0;0),B(0;4;0),$ $C(0;0;6),D(2;4;6)$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ . Viết phương trình mặt cầu $(S')$ có tâm trùng với tâm của mặt cầu $(S)$ và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu $(S)$ ?
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z = 0$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 14$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + 6z - 12 = 0$
Gọi phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

Vì $(S)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} 2^{2} + 0^{2} + 0^{2} - 2.a.2 - 2.b.0 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 4^{2} + 0^{2} - 2.a.0 - 2.b.4 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 0^{2} + 6^{2} - 2.a.0 - 2.b.0 - 2.c.6 + d = 0 \\ 2^{2} + 4^{2} + 6^{2} - 2.a.2 - 2.b.4 - 2.c.6 + d = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4a + d = - 4 \\ - 8b + d = - 16 \\ - 12c + d = - 36 \\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Suy ra tâm mặt cầu $I(1;2;3)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{14}$

Vậy phương trình mặt cầu $(S')$ có tâm trùng với tâm của mặt cầu $(S)$ và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu $(S)$ là:

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56$
Câu 13: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(1; 0; 0), B(3; 2; 1)$ , $C\left( - \frac{5}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng $(ABC)$ nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng $(MAB),(MBC),(MCA)$ hợp với mặt phẳng $(ABC)$ các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.
- A.
  $\frac{\sqrt{26}}{3}$
- B.
  $\frac{5}{3}$
- C.
  $\sqrt{3}$
- D.
  $\frac{\sqrt{28}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).

Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn

$BC.\overrightarrow{HA} + AC.\overrightarrow{HB} + AB.\overrightarrow{HC} = \overrightarrow{0}$

Ta có $AB = 3, AC = 4, BC = 5$ , suy ra

$\left\{ \begin{matrix} 5(x - 1) + 4(x - 3) + 3x + 5 = 0 \\ 5y + 4(y - 2) + 3y - 4 = 0\ \\ 5z + 4(z - 1) + 3z - 8 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow H(1;1;1)$

Phương trình đường thẳng MH nhận $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{ABC}}$ làm vectơ chỉ phương nên MH là: $\left\{ \begin{matrix} x\ = \ 1\ + \ t \\ y\ = \ 1\ - \ 2t \\ z\ = \ 1\ + \ 2t \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó: $OM_{\min} = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MH};\overrightarrow{OH} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{MH} ight|} = \frac{\sqrt{26}}{3}$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình mặt phẳng trung trực $(\alpha)$ của đoạn thẳng $AB$ với $A(0; - 4;1),B( - 2;2;3)$ là
- A.
  $(\alpha):x - 3y + z = 0$
- B.
  $(\alpha):x - 3y + z - 4 = 0$
- C.
  $(\alpha):x - 3y - z = 0$
- D.
  $(\alpha):x - 3y - z - 4 = 0$
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ suy ra $M( - 1; - 1;2)$

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow{AM} = ( - 1;3;1)$ làm vectơ pháp tuyến:

$\Rightarrow (\alpha): - x + 3y + z = 0$

$\Rightarrow (\alpha):x - 3y - z = 0$
Câu 15: Nhận biết
Mặt cầu (S) có tâm A(1; -2; 2) và bán kính R = 8. Tìm phương trình mặt cầu (S).
- A.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 64$
- B.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 8$
- C.
  $(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 8$
- D.
  $(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 64$
Phương trình mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ bán kính R có dạng: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , hãy tính $p$ và $q$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $M(5; - 2;0)$ đến mặt phẳng $(Oxz)$ và mặt phẳng $(P):3x - 4z + 5 = 0$ ?
- A.
  $p = 2;q = 3$
- B.
  $p = 2;q = 4$
- C.
  $p = - 2;q = 4$
- D.
  $p = 5;q = 4$
Do mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình y = 0 nên

$p = d\left( M;(Oxz) ight) = \frac{| - 2|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} + 0^{2}}} = 2$

Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên

$q = d\left( M;(P) ight) = \frac{|3.5 - 4.0 + 5|}{\sqrt{3^{2} + 0^{2} + ( - 4)^{2}}} = 4$
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(2;0;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{2}$ . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $d$ .
- A.
  $(1;0;2)$
- B.
  $( - 1; - 4;0)$
- C.
  $(0; - 2;1)$
- D.
  $(1;1;2)$
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua $M(2;0;1)$ và vuông góc với đường thẳng d.

Suy ra (P) nhận $\overrightarrow{u_{d}} = (1;2;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng

$(P):(x - 2) + 2y + z - 1 = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y + z - 3 = 0$ .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d, suy ra $H = d \cap (P)$ .

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z - 2}{2} \\x + 2y + z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x - y = 2 \\y - 2z = - 4 \\x + 2y + z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 1 \\y = 0 \\z = 2 \\\end{matrix} ight.$
Câu 18: Vận dụng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh $a$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(A'B'CD)$ và $(ACC'A')$ bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $75^{0}$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ

$O \equiv A';Ox \equiv A'D';Oy \equiv A'B';Oz \equiv AA'$

Khi đó: $A(0;0;a),D(a;0;a),B(0;a;a),C(a;a;a)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{A'B'} = (0;a;0);\overrightarrow{A'D} = (a;0;a) \\ \overrightarrow{A'A} = (0;0;a);\overrightarrow{A'C'} = (a;a;0) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{A'B'};\overrightarrow{A'D} ightbrack = \left( a^{2};0; - a^{2} ight)$

Chọn $\overrightarrow{n_{1}} = (1;0; - 1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(AB'CD)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{A'A};\overrightarrow{A'C'} ightbrack = \left( - a^{2};a^{2};0 ight)$

Chọn $\overrightarrow{n_{2}} = ( - 1;1;0)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ACC'A')$

Góc giữa hai mặt phẳng $(A'B'CD)$ và $(ACC'A')$ bằng:

$\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{| - 1|}{\sqrt{2}.\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua $C$ và song song với $AB$ có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{BA} = (1;2;1)$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 1; - 2;0),B(0; - 4;0),C(0;0; - 3)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ nào dưới đây đi qua $A$ , gốc tọa độ $O$ và cách đều hai điểm $B$ và $C$ ?
- A.
  $(P):2x - y + 3z = 0$
- B.
  $(P):6x - 3y + 5z = 0$
- C.
  $(P):2x - y - 3z = 0$
- D.
  $(P): - 6x + 3y + 4z = 0$
Vì $(P)$ đi qua O nên phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng $ax + by + cz = 0\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 ight)$ .

Vì A ∈ (P) và B, C cách đều (P) nên $\left\{ \begin{matrix} - a - 2b = 0 \\ |4b| = |3c| \\ \end{matrix} ight.$

Chọn a = −6, ta có b = 3, suy ra c = ±4.

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là $−6x + 3y − 4z = 0$ hoặc $−6x + 3y + 4z = 0$ .

40 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!