Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1),B(2;0;1),C( - 2;2;3)$ . Đường thẳng $\Delta$ qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ và nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ cùng tạo với các đường thẳng $AB;AC$ một góc $\alpha < 45^{0}$ có một véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ với $c$ là số nguyên tố và $a;b$ là số nguyên. Giá trị biểu thức $ab + bc + ca$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $- 67$
- B.
  $23$
- C.
  $- 33$
- D.
  $- 37$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (1; - 2;2);\overrightarrow{AC} = ( - 3;0;4)$

$\overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 8; - 10; - 6)$

$\cos(AB;\Delta) = \frac{|a - 2b + 2c|}{3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

$\cos(AC;\Delta) = \frac{| - 3a + 4c|}{5\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Theo đề bài, ta suy ra:

$\cos(AB;\Delta) = \cos(AC;\Delta)$

$\Leftrightarrow 5|a - 2b + 2c| = 3| - 3a + 4c|$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 7a - 5b - c = 0\ \ \ (1) \\ 2a + 5b - 11c = 0\ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.$

Vì ∆ ⊂ (ABC) nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_{(ABC)}} = 0 \Leftrightarrow 4a + 5b + 3c = 0\ \ (3)$

Trường hợp 1: Xét hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}7a - 5b - c = 0 \\4a + 5b + 3c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{- 2c}{11} \\b = \dfrac{- 5c}{11} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = \left(\dfrac{- 2c}{11};\dfrac{- 5c}{11};c ight)$

Chọn c = 11, ta có $\overrightarrow{u} = ( - 2; - 5;11)$ (kiểm tra lại điều kiện $\alpha < 45^{0}$ ta thấy $\overrightarrow{u}$ đang xét thỏa mãn).

Trường hợp 2: Xét hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} 2a + 5b - 11c = 0 \\ 4a + 5b + 3c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 7c \\ b = 5c \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = ( - 7c;5c;c)$

Chọn c = 2, ta có $\overrightarrow{u} = ( - 14;10;2)$ (kiểm tra lại điều kiện $\alpha < 45^{0}$ ta thấy $\overrightarrow{u}$ đang xét không thỏa mãn).

Vậy $ab + bc + ca = −67$
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 3 - t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $(Oxy)$ một góc $45^{0}$ . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $M(3;2;1)$
- B.
  $M(3;2; - 1)$
- C.
  $M(3; - 1;2)$
- D.
  $M(3; - 1; - 2)$
Ta viết phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y + z - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên có dạng:

$\left\{ \begin{matrix} mx + n(y + z - 3) = 0 \\ m^{2} + n^{2} eq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow mx + ny + nz - 3n = 0$

⇒ $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{(P)}} = (m;n;n)$

Mặt phẳng $(Oxy)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Ta có:

$\cos\left( (P);(Oxy) ight) = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{k} ight) ight|$

$\Leftrightarrow \cos45^{0} = \frac{\left|\overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{k} ight|}{\left|\overrightarrow{n_{(P)}} ight|.\left| \overrightarrow{k} ight|}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|n|}{\left| m^{2} + n^{2} +n^{2} ight|}$

$\Leftrightarrow \left| m^{2} + 2n^{2} ight| = \sqrt{2}|n| \Leftrightarrow m^{2} = 0 \Leftrightarrow m = 0$

Chọn $n = 1 \Rightarrow (P):y + z - 3 = 0 \Rightarrow M(3;2;1) \in (P)$
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ , nhận vectơ $\overrightarrow{a}$ làm vectơ chỉ phương và đường thẳng $d'$ đi qua điểm $M'$ , nhận vectơ $\overrightarrow{a'}$ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng $d$ song song với $d'$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M \in d' \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a'} \\ M \in d' \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} eq k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$
Điều kiện để $d//d'$ là: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = k.\overrightarrow{a'};(k eq 0) \\ M otin d' \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 4: Vận dụng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2;5;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d$ sao cho khoảng cách từ điểm $A$ đến $(P)$ là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(P)$ bằng:
- A.
  $\sqrt{2}$
- B.
  $\frac{3}{\sqrt{6}}$
- C.
  $\frac{11\sqrt{2}}{6}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên d và H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) thì d(A,(P)) = AH ≤ AK không đổi.

Vậy d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K, khi đó (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.

Ta tìm được $(P):x - 4y + z - 3 = 0 \Rightarrow d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .
Câu 5: Vận dụng cao
Cho đường thẳng $d:\left\{\begin{matrix} x=-t \\ y=2t-1 \\ z=t+2\end{matrix}ight.$ và mặt phẳng $(\alpha): 2x-y-2z-2=0$ . Mặt phẳng (P) qua d và tạo với $(\alpha )$ một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:
- A. $\vec{n_p}=(-1;1;1)$
- B. $\vec{n_p}=(1;2;-3)$
- C. $\vec{n_p}=(2;1;0)$
- D. $\vec{n_p}=(3;-2;7)$
Gọi $\triangle = (\alpha)\cap (P), A =d \cap(\alpha), B \in d(Beq A)$ ;
H là hình chiếu vuông góc của B lên $(\alpha )$ ; K là hình chiếu của H lên $\triangle$ .
Suy ra: $(\widehat{(d),(\alpha)})=\widehat{BAH}$ cố định; $(\widehat{(\alpha),(P)})=\widehat{BKH}$ .
Mà $\widehat{BKH} \geqslant \widehat{BAH}$ (vì $HK \leq HA$ ) $\Rightarrow (\widehat{d, (\alpha)}) \leq (\widehat{(P),(\alpha)} )$
Suy ra $(\widehat{(P),(\alpha)})$ nhỏ nhất bằng $(\widehat{d, (\alpha)})$ khi $K\equiv A$ .
Khi đó $\triangle \perp d$ và có một VTCP $\vec{u_\triangle} = [\vec{u_d}, \vec{u_\alpha}]=-3(1;0;1)$ .
Vậy (P) có một VTPT là $\vec{n_p} = [\vec{u_\triangle}, \vec{u_d}]=2(-1;1;1)$ .
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2;1),B(3; - 1;5)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $AB$ và hợp với các trục tọa độ một tứ diện có thể tích bằng $\frac{3}{2}$ là
- A.
  $2x - 3y + 4z - 3 = 0$
- B.
  $2x - 3y + 4z + 3 = 0$
- C.
  $2x - 3y + 4z \pm 12 = 0$
- D.
  $2x - 3y + 4z \pm 6 = 0$
Ta có $\overrightarrow{AB} = (2; - 3;4) \Rightarrow (P):2x - 3y + 4z + m = 0$

Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox, Oy, Oz

Suy ra $M\left( - \frac{m}{2};0;0 ight),N\left( 0;\frac{m}{3};0 ight),P\left( 0;0;\frac{- m}{4} ight)$

Ta có thể tích tứ diện $V_{O.MNP} = \frac{1}{6}.\left| \frac{m^{3}}{24} ight| = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = \pm 6$

Vậy đáp án cần tìm là: $2x - 3y + 4z \pm 6 = 0$
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu $(S)$ qua bốn điểm $A(3;3;0),B(3;0;3),$ $C(0;3;3),D(3;3;3)$ . Phương trình mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y + \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
- C.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z + \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
- D.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
Gọi phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

Vì mặt cầu đi qua bốn điểm đã cho nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix}18 - 6a - 6b + d = 0 \\18 - 6a - 6c + d = 0 \\18 - 6b - 6c + d = 0 \\27 - 6a - 6b - 6c + d = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\b = \dfrac{3}{2} \\c = \dfrac{3}{2} \\d = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Suy ra tâm mặt cầu $I\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2} ight)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng?
- A.
  $x - 3y^{2} + z - 1 = 0$ .
- B.
  $x^{2} + 2y + 4z - 2 =0$ .
- C.
  $2x - 3y + 4z - 2024 = 0$ .
- D.
  $2x - 3y + 4z^{2} - 2025 = 0$ .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: $2x - 3y + 4z - 2024 = 0$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $M(1; - 1;2),N(3;1; - 4)$ . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của $MN$ .
- A.
  $x + y + 3z + 5 = 0$
- B.
  $x + y - 3z - 5 = 0$
- C.
  $x + y + 3z + 1 = 0$
- D.
  $x + y - 3z + 5 = 0$
Mặt phẳng trung trực $MN$ nhận $\frac{1}{2}\overrightarrow{MN} = (1;1; - 3)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm $I(2;0; - 1)$ của $MN$ nên ta có phương trình mặt phẳng $MN$ là: $x + y - 3z - 5 = 0$ .
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M( - 1;1;2)$ và hai đường thẳng $d:\frac{x - 2}{3} =$ $\frac{y + 3}{2} = \frac{z - 1}{1},d^{'}:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{- 2}$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm $M$ , cắt $d$ và vuông góc với $d^{'}$ .
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = 1 + t \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = 1 - t \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
- C.
  $\ \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 1 - t \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 - 7t \\ y = 1 + 7t \\ z = 2 + 7t \\ \end{matrix} ight.\ .$
Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua điểm $M$ , cắt $d$ và vuông góc với $d^{'}$ .
Giả sử $\Delta \cap d = A \Rightarrow A(2 + 3t; - 3 + 2t;1 + t)$ .

$\overrightarrow{AM} = (3 + 3t; - 4 + 2t; - 1 + t)$

$\Delta\bot d^{'} \Rightarrow \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{u_{d^{'}}} = 0 \Leftrightarrow 3 + 3t + 3( - 4 + 2t) - 2( - 1 + t) = 0$

$\Leftrightarrow 7t = 7 \Leftrightarrow t = 1$

$\Rightarrow A(5; - 1;2),\overrightarrow{AM} = (6; - 2;0) = 2(3; - 1;0).$

$\Delta:\left\{ \begin{matrix}x = - 1 + 3t \\y = 1 - t \\z = 2 \\\end{matrix} ight.$
Câu 11: Nhận biết
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$ thì $d$ song song với $(P)$ .
- B.
  $\overrightarrow{u}$ không vuông góc với $\overrightarrow{n}$ thì $d$ cắt $(P)$ .
- C.
  $d$ song song với $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{n}$ .
- D.
  $d$ vuông góc với $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$ .
$\overrightarrow{u}$ vuông góc $\overrightarrow{n}$ thì d có thể nằm trong $(P)$ .
$d$ song song $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ vuông góc $\overrightarrow{n}$ .
$d$ vuông góc $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ cùng phương $\overrightarrow{n}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ và mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ . Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ bằng
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Ta có:

∆ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$

(α) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$

$\sin\widehat{\left( \Delta;(\alpha) ight)} = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| 1.1 + 2.( - 1) + ( - 1).2 ight|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{\left( \Delta;(\alpha) ight)} = 30^{0}$ .
Câu 13: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)$ với $a, b, c>0$ . Biết rằng mặt phẳng $(ABC)$ đi qua điểm $M(\frac 1 7; \frac 2 7 ; \frac 3 7)$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=\frac{72}{7}$ . Tính $T=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$ .
- A. $T= 14$
- B. $T=\frac {1}{7}$
- C. $T=7$
- D. $T=\frac {7}{2}$
Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua ba điểm $A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)$ nên có phương trình là:
$\frac{x}{a} +\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
Ta có $M(\frac 1 7; \frac 2 7 ; \frac 3 7) \in (ABC)$ nên $\frac{1}{a} +\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7$ .
Mặt cầu (S) có tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R=\sqrt \frac{72}{7}$ .
$(ABC)$ tiếp xúc với (S)
$\Leftrightarrow d(I, (ABC))=R\Leftrightarrow \dfrac { | \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}-1 |}{\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}}=\sqrt{\frac{72}{7} }$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}= \dfrac{7}{2}$
Câu 14: Nhận biết
Mặt cầu (S) có tâm A(1; -2; 2) và bán kính R = 8. Tìm phương trình mặt cầu (S).
- A.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 64$
- B.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 8$
- C.
  $(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 8$
- D.
  $(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 64$
Phương trình mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ bán kính R có dạng: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - y + 2z + 1 = 0$ và đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ . Tính góc giữa đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Ta có: $\overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)$

Do đó: $\cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$

Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng $90^{0} - 60^{0} = 30^{0}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình mặt phẳng trung trực $(\alpha)$ của đoạn thẳng $AB$ với $A(0; - 4;1),B( - 2;2;3)$ là
- A.
  $(\alpha):x - 3y + z = 0$
- B.
  $(\alpha):x - 3y + z - 4 = 0$
- C.
  $(\alpha):x - 3y - z = 0$
- D.
  $(\alpha):x - 3y - z - 4 = 0$
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ suy ra $M( - 1; - 1;2)$

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow{AM} = ( - 1;3;1)$ làm vectơ pháp tuyến:

$\Rightarrow (\alpha): - x + 3y + z = 0$

$\Rightarrow (\alpha):x - 3y - z = 0$
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ và mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ . Góc giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $\Delta$ bằng:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$

Đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1; - 2;3)$ . Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I$ bán kính $IM$ ?
- A.
  $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13$
- B.
  $(x + 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 17$
- C.
  $(x + 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13$
- D.
  $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = \sqrt{13}$
Hình chiếu vuông góc của $M$ trên $Ox$ là: $I(1;0;0)$

$\Rightarrow IM = \sqrt{13}$

Suy ra phương trình mặt cầu tâm $I$ bán kính $IM$ là: $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13$ .
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 5)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 9$ . Tính bán kính $R$ của $(S)$ ?
- A.
  $R = 6$
- B.
  $R = 3$
- C.
  $R = 18$
- D.
  $R = 9$
Bán kính mặt cầu là: $R = \sqrt{9} = 3$
Câu 20: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ . Cho $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a;b;c > 0$ . Biết mặt phẳng $(ABC)$ qua điểm $I(1;3;3)$ và thể tích tứ diện $O.ABC$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình $(ABC)$ :
- A.
  $x + 3y + 3z - 21 = 0$
- B.
  $3x + y + z - 9 = 0$
- C.
  $3x + y + z + 9 = 0$
- D.
  $3x + 3y + z - 15 = 0$
Phương trình mặt phẳng $(ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Vì $I(1;3;3) \in (ABC) \Rightarrow (ABC):\frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{3}{c} = 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$1 = \frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{3}{c} \geq \sqrt[3]{\frac{3^{2}}{abc}} \Rightarrow abc \geq 9$

Thể tích tứ diện $O.ABC$ là $V = \frac{1}{6}abc \geq \frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{a} = \frac{3}{b} = \frac{3}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = c = 9 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $\frac{x}{3} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1 \Rightarrow 3x + y + z - 9 = 0$

64 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!