Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P):2x + y - 4z + 1 = 0. Đường thẳng (d) qua điểm A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt trục Oz. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d).

    Gọi B = d \cap Oz \Rightarrow B(0;0;b) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2;\ b - 3)

    Lại có d\ //(P)\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} = (2;1; - 4)

    Do đó \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{(P)}} = 0 \Leftrightarrow - 2 - 2 - 4b + 12 = 0 \Leftrightarrow b = 2

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2 - 1)

    Do đó, (d) là đường thẳng qua B(0; 0; 2) và nhận \overrightarrow{u} = (1;2;1) làm vectơ chỉ phương. Nên (d) có phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Trong không gian cho ba điểm A(3;0;0), B(1;2;1) và C(2;-1;2). Biết mặt

    phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là (10;a;b). Tổng a+b là?

     Phương trình (OAB) là: -y+2z=0.

    Phương trình (OAC) là:2y+z=0.

    Phương trình (OBC) là: x-z=0.

    Phương trình (ABC) là: 5x+3y+4z-15=0 .

    Gọi I(a';b';c') là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.

    Do đó:

    I nằm cùng phía với A đối với (OBC) suy ra: (a'-c')>0.

    I nằm cùng phía với B đối với (OAC) suy ra: (2b'+c')>0.

    I nằm cùng phía với C đối với (OAB) suy ra: (-b'+2c')>0.

    I nằm cùng phía với O đối với (ABC) suy ra: (5a'+3b'+4c'-15)<0.

    Suy ra:

    \left\{\begin{matrix} d(I,(OAB))=d(I,(OAC)) \\ d(I,(OAB))=d(I,(OBC)) \\ d(I,(OAB))=d(I,(ABC)) \end{matrix}ight.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|2b'+c'|}{\sqrt 5} \\ \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|a'-c'|}{\sqrt 2} \\ \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|5a'+3b'+4c'-15|}{5\sqrt 2} \end{matrix}ight.

     

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} |-b'+2c'|= |2b'+c'| \\ \sqrt 2{|-b'+2c'|}= \sqrt 5|a'-c'|\\ \sqrt 10{|-b'+2c'|}= |5a'+3b'+4c'-15| \end{matrix}ight.

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -b'+2c'= 2b'+c' \\ \sqrt 2{(-b'+2c')}= \sqrt 5(a'-c')\\ \sqrt 10{(-b'+2c')}= -(5a'+3b'+4c'-15)\end{matrix}ight.

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a'=\dfrac{3}{ 2} \\ -b'=\dfrac{3 \sqrt 10 -9}{2} \\ c'=\dfrac{9 \sqrt 10 -27}{ 2} \end{matrix}ight.

    Suy ra:  I (\frac {3}{2} ;\frac {3\sqrt{10} -9}{2}; \frac {9\sqrt{10} -27}{2}), \Rightarrow \overrightarrow {BI}= (\frac {1}{2} ;\frac {3\sqrt{10} -13}{2}; \frac {9\sqrt{10} -29}{2}) ; \,\, \overrightarrow {BC}= (1;-3;1)

    \Rightarrow [\overrightarrow {BI}, \overrightarrow {BC}]= (-50+15 \sqrt{10} ; \frac {9\sqrt{10} -30}{2}; \frac {-3\sqrt{10} +10}{2})

    cùng phương với \vec n =(10;3;-1).

    Suy ra (BCI) có một VTPT là \vec n =(10;3;-1) =(10; a; b).

    Vậy: a+b=2.

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;2;0) và vuông góc với mặt phẳng (P):2x + y - 3z + 5 = 0?

    Đường thẳng \Delta vuông góc với mặt phẳng (P):2x + y - 3z + 5 = 0 nên \Delta có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 3).

    Phương trình \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)\ \ \ (*)

    Kiểm tra được điểm M(3;3; - 3) thỏa mãn hệ (*).

    Vậy phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) cũng là phương trình của \Delta.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M( - 1;1;2) và hai đường thẳng d:\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 1}{1},d^{'}:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{- 2}. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm M, cắt d và vuông góc với d^{'}.

    Gọi \Delta là đường thẳng đi qua điểm M, cắt d và vuông góc với d^{'}.
    Giả sử \Delta \cap d = A \Rightarrow A(2 + 3t; - 3 + 2t;1 + t).

    \overrightarrow{AM} = (3 + 3t; - 4 + 2t; - 1 + t)

    \Delta\bot d^{'} \Rightarrow \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{u_{d^{'}}} = 0 \Leftrightarrow 3 + 3t + 3( - 4 + 2t) - 2( - 1 + t) = 0

    \Leftrightarrow 7t = 7 \Leftrightarrow t = 1

    \Rightarrow A(5; - 1;2),\overrightarrow{AM} = (6; - 2;0) = 2(3; - 1;0).

    \Delta:\left\{ \begin{matrix}x = - 1 + 3t \\y = 1 - t \\z = 2 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0. Tính góc tạo bởi (P) với trục Ox?

    Mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 ight)

    Trục Ox có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{i} = (1;0;0)

    Gọi α là góc giữa Ox và mặt phẳng (P):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}

  • Câu 6: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q):x + 2y - z - 5 = 0 và đường thẳng d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{1}. Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất là

    Vì (P) chứa d nên phương trình của (P) có dạng (P):a(x + 1) + b(y + 1) + c(z - 3) = 0 với \left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 \\ 2a + b + c = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Gọi α là góc giữa (P) và (Q), ta có:

    \cos\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{n_{Q}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{P}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{Q}} ight|} = \frac{|a + 2b - c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.\sqrt{6}} = \frac{\left| 3(a + b) ight|}{\sqrt{5a^{2} + 4ab + 2b^{2}}.\sqrt{6}}

    Nếu a = 0 thì \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}

    Nếu a eq 0 thì \cos\alpha = \frac{\left| 3(1 + t) ight|}{\sqrt{6}.\sqrt{5 + 4t + 2t^{2}}};\left( t = \frac{b}{a} ight).

    Khi đó 0 \leq \cos\alpha < \frac{\sqrt{3}}{2}

    Ta có α nhỏ nhất khi và chỉ khi cosα lớn nhất.

    Do đó \alpha = 30^{0} và \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}.

    Khi đó a = 0, chọn b = 1,\ c = - 1.

    Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: (P):y - z + 4 = 0.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1;2;3),B(0;1;1),C(1;0; - 2). Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (P):x + y + z + 2 = 0 sao cho giá trị của biểu thức T = MA^{2} + 2MB^{2} + 3MC^{2} nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của biểu thức a + b + c là:

    Điểm M luôn tồn tại.

    Ta có M \in (P) nên a + b + c + 2 = 0 \Leftrightarrow a + b + c = - 2.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí I(1;3;7). Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3\ km.

    a) Phương trình mặt cầu (S) để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là (x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} = 9. Sai||Đúng

    b) Điểm A(2;2;7) nằm ngoài mặt cầu (S). Sai||Đúng

    c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (2;2;7) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

    d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (5;6;7) thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí I(1;3;7). Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3\ km.

    a) Phương trình mặt cầu (S) để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là (x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} = 9. Sai||Đúng

    b) Điểm A(2;2;7) nằm ngoài mặt cầu (S). Sai||Đúng

    c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (2;2;7) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

    d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (5;6;7) thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

    Phương trình mặt cầu (S) tâm I(1;3;7) bán kính 3\ km mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là (x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 7)^{2} = 9.

    Ta có: IA = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (2 - 3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = \sqrt{2} < 3 nên điểm A nằm trong mặt cầu.

    Vì điểm A nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ (2;2;7) có thể sử dưng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

    Ta có: IB = \sqrt{(5 - 1)^{2} + (6 - 3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = 5' > 3 nên điểm B nằm ngoài mặt cầu.

    Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (5;6;7) không thể sử dựng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho mặt cầu S\left( {O;R} ight) và mặt phẳng (\alpha). Biết khoảng cách từ O đến (\alpha) bằng \frac{R}{2}. Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng (\alpha) với S\left( {O;R} ight) là một đường tròn có đường kính bằng:

     Tìm đường kính

    Gọi H là hình chiếu của O xuống (\alpha) .

    Ta có d\left[ {O,\left( \alpha ight)} ight] = OH = \frac{R}{2} < R nên (\alpha) cắt S\left( {O;R} ight) theo đường tròn C\left( {H;r} ight).

    Bán kính đường tròn C\left( {H;r} ight) là r = \sqrt {{R^2} - O{H^2}} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}.

    Suy ra đường kính bằng R\sqrt 3.

  • Câu 10: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; - 3) và mặt phẳng (P):2x + 2y - z + 9 = 0. Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (3;4; - 4) cắt (P) tại điểm B. Điểm M thay đổi trong (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90^{0}. Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Đường thẳng d cắt P tại B(−2; −2; 1).

    Gọi H là hình chiếu của A lên (P).

    Ta có: H(−3; −2; −1)

    Vì MB ⊥ MA; MB ⊥ AH nên MB ⊥ MH suy ra MB ≤ BH.

    Do đó: MB lớn nhất bằng BH khi M \equiv H

    Vậy MB đi qua B, nhận \overrightarrow{BH} là vectơ chỉ phương.

    Phương trình MB:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = - 2 \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) do đó MB đi qua điểm I( - 1; - 2;3).

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x + 2y - z - 1 = 0 và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y + 6z + 5 = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; −3), bán kính R = \sqrt{1 + 4 + 9 - 5} = 3

    Ta có:

    d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 2.1 + 2.2 - ( - 3) - 1 ight|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{8}{3} < R

    Do đó (P) cắt mặt cầu (S).

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1; - 1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa trục Ox là:

    Mặt phẳng (P) có VTPT \overrightarrow{n}(0;1;1) và đi qua điểm A(1;1; - 1).

    Suy ra phương trình (P):y + z = 0.

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 2}{1}. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây vuông góc với đường thẳng d.

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 2;1)

    Mặt phẳng vuông góc với d nhận vectơ \overrightarrow{u} làm vectơ pháp tuyến.

    Do đó (P):x - 2y + z + 1 = 0 là mặt phẳng thỏa mãn.

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 = 0 và đường thẳng d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}, sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng:

    Mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (4;3; - 1)

    Đường thẳng d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1} có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;3;1)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 6y - 4z - 2 = 0, mặt phẳng (\alpha):x + 4y + z - 11 = 0. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (\alpha), (P) song song với giá của vectơ \overrightarrow{v} = (1;6;2) và (P) tiếp xúc với (S). Lập phương trình mặt phẳng (P).

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R\ = \ 4.

    Từ giả thiết suy ra \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack là một vectơ pháp tuyến của (P).

    Ta có \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack = (2; - 1;2), suy ra (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2; - 1;2)

    Vậy (P) có phương trình dạng 2x - y + 2z + m = 0

    Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:

    d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2.1 + 3 + 2.2 + m|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = 4

    \Leftrightarrow |9 + m| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 3 \\ m = - 21 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là \left\lbrack \begin{matrix} 2x - y + 2z + 3 = 0 \\ 2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 16: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; - 3;7),B(0;4;1), C(3;0;5),D(3;3;3). Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oyz) sao cho biểu thức \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; - 3;7),B(0;4;1), C(3;0;5),D(3;3;3). Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oyz) sao cho biểu thức \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm M?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng (P):ax + by + cz - 27 = 0 đi qua hai điểm A(3;2;1),B( - 3;5;2) và vuông góc với mặt phẳng (Q):3x + y + z + 4 = 0. Tính tổng S = a + b + c.

    Từ giả thiết ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} 3a + 2b + c - 27 = 0 \\ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0 \\ 3a + b + c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 27 \\ c = - 45 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow S = a + b + c = - 12

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho điểm {m{A(2, - 1,1)}} và đường thẳng (\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}y + z - 4 = 0\\2x - y - z + 2 = 0\end{array} ight.. Gọi A'  là điểm đối xứng của A qua (\triangle) . Tọa độ điểm A'  là:

    Đưa phương trình (\triangle) về dạng tham số: \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 - t\\z = t\end{array} ight.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (\triangle).

    Phương trình mp (P) có dạng - y + z + D = 0 , qua A nên D =  -2

    Phương trình (P) là: y - z + 2 = 0

    Thế x, y, z từ phương trình (\triangle) vào phương trình (P) được t=1

    \Rightarrow (\triangle ) \cap (\alpha ) = (1,3,1).

    I là trung điểm của AA' nên: {x_{A'}} + 2 = 2;{y_{A'}} - 1 = 6;{z_{A'}} + 1 = 2

    \Rightarrow A'(0,7,1).

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua O, thuộc mặt phẳng (Oyz) và cách điểm M(1; - 2;1) một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa d và trục tung bằng

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H; K lần lượt là hình chiếu của M trên mặt phẳng (Oyz) và trên đường thẳng d.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} d(M;d) = MK \geq MH = 1 \\ H(0; - 2;1) \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra d(M;d) nhỏ nhất khi H \equiv K. Khi đó d có một vecto chỉ phương là \overrightarrow{OH} = (0; - 2;1)

    Khi đó: \cos(d;Oy) = \frac{\left| \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{j} ight|}{\left| \overrightarrow{OH} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = \frac{2}{\sqrt{5}}

  • Câu 20: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A(3,-1, 2), B(4, -2, -1), C(2, 0, 2) là:

     Theo đề bài, ta có được các vecto sau:

    \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1, - 1, - 3} ight),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1,1,0} ight);\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB,} \overrightarrow {AC} } ight] = \left( {3,3,0} ight) = 3(1,1,0) = 3\overrightarrow n \end{array}

    Vì mặt phẳng đi qua 3 điểm nên VTPT của mp là tích có hướng của \vec{AB} và \vec{AC} .

    Chọn \overrightarrow n = \left( {1,1,0} ight) làm một vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mp (ABC)có dạng x+y+D=0

    (ABC) là mp qua A  \Leftrightarrow 3 - 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2

    Vậy phương trình (ABC): x + y -2=0.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 13 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập