Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1; - 3;4)$ , đường thẳng $d:\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1}$ và mặt phẳng $(P):2x + z - 2 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $M$ vuông góc với d và song song với $(P)$ .
- A.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- B.
  $\Delta:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- C.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$
- D.
  $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z + 4}{2}$
Đường thẳng $d:\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1}$ có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (3; - 5; - 1)$ .

Mặt phẳng $(P):2x + z - 2 = 0$ có vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = (2;0;1)$ .

Đường thẳng ∆ vuông góc với $d$ nên vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}$

Đường thẳng ∆ song song với (P) nên $\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}$

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = ( - 5; - 5;10)$

Suy ra vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \frac{- 1}{5}.\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = (1;1; - 2)$

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y - 6 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):2x - y - 2z - 9 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; - 2)$

$(Q):x - y - 6 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 1;0)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $I(1; - 2;3)$ . Viết phương trình mặt cầu tâm $I$ cắt trục $Ox$ tại hai điểm $A;B$ sao cho $AB = 2\sqrt{3}$ ?
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$
- B.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 20$
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 9$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm AB suy ra H là hình chiếu vuông góc của I lên Ox nên $H(1;0;0)$

$IH = \sqrt{13} \Rightarrow R = IA = \sqrt{IH^{2} + AH^{2}} = 4$

Phương trình mặt cầu là: $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$ .
Câu 4: Nhận biết
Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $A(2;1;0)$ và đi qua điểm $B(0;1;2)$ ?
- A.
  $(x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 8$
- B.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 8$
- C.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 64$
- D.
  $(x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 64$
Vì mặt cầu $(S)$ tâm $A(2;1;0)$ và đi qua điểm $B(0;1;2)$ nên mặt cầu $(S)$ nhận độ dài đoạn thẳng $AB$ làm bán kính.

Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 2;0;2) \Rightarrow AB = 2\sqrt{2}$

$\Rightarrow R = 2\sqrt{2}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 8$ .
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ và mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ . Góc giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $\Delta$ bằng:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$

Đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ ,cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 1 + 2t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng $(d)$ ?
- A.
  $d:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}$
- B.
  $d:\frac{x + 3}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{- 3}$
- C.
  $d:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{- 3}$
- D.
  $d:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{- 3}$
Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M(3; - 1;0)$ và nhận $\overrightarrow{u} = ( - 1;2; - 3)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của $(d):\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}$
Câu 7: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 2)^2 = 9$ hai hai điểm $M(4; −4; 2),N(6; 0; 6)$ . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho $EM + EN$ đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E?
- A.
  $x - 2y + 2z + 8 = 0$
- B.
  $2x + y - 2z - 9 = 0$
- C.
  $2x + 2y + z + 1 = 0$
- D.
  $2x - 2y + z + 9 = 0$
Hình vẽ minh họa

Gọi I(1; 2; 2) là tâm của (S), P(5; −2; 4) là trung điểm MN.

Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-copx-ki và công thức độ dài trung tuyến ta được:

$(EM + EN)^{2} \leq 2\left( EM^{2} + EN^{2} ight) = 2\left( 2EP^{2} + \frac{MN^{2}}{2} ight)$

nên T = EM + EN đạt giá trị lớn nhất khi EM = EN và EP đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S) (I nằm giữa E và P). Đường thẳng IP có phương trình:

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$

Tọa độ E thỏa hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 9 \\\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{z - 2}{1} \\\end{matrix} ight.$

Tìm được E(3; 0; 3) hoặc E(−1; 4; 1), thử lại để EP lớn nhất ta được E(−1; 4; 1).

Khi đó phương trình tiếp diện với (S) tại E là $2x−2y+z+9 = 0$ .
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x + y - 2z + 4 = 0$ . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:
- A.
  $\overrightarrow{n} = (1;1; - 2)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 2;4)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: $\overrightarrow{n} = (1;1; - 2)$ .
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(2; - 4;1)$ và chắn trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ theo ba đoạn có độ dài đại số lần lượt là $a;b;c$ . Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$ khi $a;b;c$ theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng $2$ là:
- A.
  $4x + 2y - z - 1 = 0$
- B.
  $4x - 2y + z + 1 = 0$
- C.
  $16x + 4y - 4z - 1 = 0$
- D.
  $4x + 2y + z - 1 = 0$
Do giả thiết suy ra $\left\{ \begin{matrix} a,b,c eq 0\ \\ b = 2a,c = 2b \\ \end{matrix} ight.$ .

Giả sử $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ khi đó phương trình mặt phẳng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

Do M thuộc (P) nên $\frac{2}{a} - \frac{4}{b} + \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{a} - \frac{4}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}$

Suy ra $b = \frac{1}{2};c = 1$ do đó phương trình mặt phẳng $(P):4x + 2y + z - 1 = 0$ .
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ với $A(1;1;1),B( - 1;1;0),C(1;3;2)$ . Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ nhận vectơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ phương?
- A.
  $\overrightarrow{a} = (1;1;0)$
- B.
  $\overrightarrow{c} = ( - 1;2;1)$
- C.
  $\overrightarrow{b} = ( - 2;2;2)$
- D.
  $\overrightarrow{d} = ( - 1;1;0)$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , suy ra tọa độ điểm $M(0;2;1)$ .

Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AM} = ( - 1;1;0)$ .
Câu 11: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x + y - 2z - 5 = 0$ và đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{3}$ . Gọi $A$ là giao điểm của $\Delta$ và $(P)$ và $M$ là điểm thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $AM = \sqrt{84}$ . Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $\sqrt{6}$
- B.
  $\sqrt{14}$
- C.
  $3$
- D.
  $5$
Gọi $\alpha = \left( \Delta,(P) ight)$

Khi đó ta có: $\cos\alpha = \frac{|1.2 + 1.1 - 2.3|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + ( - 2)^{2}}.\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 3^{2}}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$

Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $(P)$ , khi đó:

$HM = MA.cos\alpha = \sqrt{84}.\frac{\sqrt{21}}{14} = 3$
Câu 12: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , xét mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2;1;3)$ đồng thời cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho tứ diện $OMNP$ có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ với $(P)$ có toạ độ là:
- A.
  $(4;6;1)$
- B.
  $(4;1;6)$
- C.
  $( - 4;6;1)$
- D.
  $(4; - 1;6)$
Gọi $M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c)$

Theo giả thiết, ta có $a;b;c$ là các số dương.

Phương trình mặt phẳng (P) là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

(P) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1$

Ta có: $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{1}{b}.\frac{3}{c}} = \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}}$

$\Leftrightarrow 1 \geq \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{abc} \geq 3\sqrt[3]{6} \Leftrightarrow abc \geq 112$

$V_{OMNP} = \frac{abc}{6} \geq 27$ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} \frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{3}{c} \\ \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 3 \\ c = 9 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $(P):\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1$

Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 1 \\ z = 6 \\ t = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy đáp án cần tìm là: $(4; - 1;6)$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 16$ có tâm là
- A.
  $I(1;0;3)$ .
- B.
  $I( - 1;0;3)$ .
- C.
  $I(1;0; - 3)$ .
- D.
  $I(1;2; - 3)$ .
Mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 16$ có tâm là: $I(1;0; - 3)$ .
Câu 14: Vận dụng
Cho tam giác ABC với $A\left( {\,1,\,\, - 2,\,\,6\,} ight);\,\,B\left( {\,2,\,\,5,\,\,1} ight);\,\,C\left( {\, - 1,\,\,8,\,\,4} ight)$ . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $(R)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ song song phân giác ngoài AF của góc A?
- A. $x\,\, - \,\,23y\,\, + \,\,10z\,\, - 108 = \,\,\,0$
- B. $x\,\, + \,\,3y\,\, + \,\,z = \,\,0$
- C. $3x\,\, - \,\,z = \,\,0$
- D. $x\,\, - \,\,3y\,\, - \,\,z = \,\,0$
Một vecto chỉ phương của $(R)$ là $\overrightarrow n = 12\left( {3,1,2} ight)$
Ta có :
$\begin{array}{l}A{B^2} = 75 \Rightarrow AB = 5\sqrt 3 ;A{C^2} = 108 \Rightarrow AC = 6\sqrt 3 \\6\overrightarrow {FB} = 5\overrightarrow {FC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {2 - x} ight) = 5\left( { - 1 - x} ight)\\6\left( {5 - y} ight) = 5\left( {8 - y} ight)\\6\left( {1 - z} ight) = 5\left( {4 - z} ight)\end{array} ight. \Rightarrow F\left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = - 10\\z = - 14\end{array} ight.\end{array}$
Vecto chỉ phương thứ hai $\overrightarrow {AF} = 4\left( {4, - 2, - 5} ight)$
Suy ra vecto pháp tuyến của $(R)$ là $\overrightarrow N = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {AF} } ight] = \left( { - 1,23, - 10} ight)$
Mp $(R)$ đi qua $A (1, -2, 6)$ và nhận vecto $(-1, 23, -10)$ làm 1 VTPT có phương trình là:
$\Rightarrow \left( R ight):\left( {x - 1} ight)\left( { - 1} ight) + \left( {y + 2} ight)23 + \left( {z - 6} ight)\left( { - 10} ight) = 0$
$\Leftrightarrow x - 23y + 10z - 108 = 0$
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A\left( - 1;\sqrt{3};0 ight),B\left(1;\sqrt{3};0 ight)$ $,C\left( 0;0;\sqrt{3} ight)$ và điểm $M$ thuộc trục $Oz$ sao cho hai mặt phẳng $(MAB)$ và $(ABC)$ vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(MAB)$ và $(OAB)$ .
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $15^{0}$
Ta có: $M(0;0;m)$ thuộc trục $Oz$ .

Ta có $\overrightarrow{AM} = (1; - \sqrt{3};m),\overrightarrow{AB} = (2;0;0),\overrightarrow{AC} = (1; - \sqrt{3};\sqrt{3})$ .

$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = \lbrack\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}brack = (0; - 2\sqrt{3}; - 2\sqrt{3}),{\overrightarrow{n}}_{2} = \lbrack\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM}brack = (0; - 2m; - 2\sqrt{3})$

Mặt phẳng $(ABC)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{1}$ , mặt phẳng $(MAB)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{2}$ .

Hai mặt phẳng $(MAB)$ và $(ABC)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi

${\overrightarrow{n}}_{1}\bot{\overrightarrow{n}}_{2} \Leftrightarrow 0.0 + \left( - 2\sqrt{3} ight).( - 2m) + \left( - 2\sqrt{3} ight).( - 2\sqrt{3}) = 0 \Leftrightarrow m = - \sqrt{3}.$

Mặt phẳng $(OAB)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{3} = \lbrack\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}brack = (0;0; - 2\sqrt{3})$ .

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(MAB)$ và $(OAB)$ . Khi đó

$cos\varphi = \left| cos\left( {\overrightarrow{n}}_{2},{\overrightarrow{n}}_{3} ight) ight| = \frac{\left| {\overrightarrow{n}}_{2}.{\overrightarrow{n}}_{3} ight|}{\left| {\overrightarrow{n}}_{2} ight|.\left| {\overrightarrow{n}}_{3} ight|} = \frac{12}{2\sqrt{6}.2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy góc cần tìm bằng $45^{0}$
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;0),C(0;0;3),B(0;2;0)$ . Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}$ là mặt cầu có bán kính là:
- A.
  $R = 2$
- B.
  $R = \sqrt{3}$
- C.
  $R = 3$
- D.
  $R = \sqrt{2}$
Giả sử $M(x;y;z)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} MA^{2} = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} \\ MB^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} \\ MC^{2} = x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra ta có:

$MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}$

$\Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} + x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2}$

$\Leftrightarrow - 2x + 1 = (y - 2)^{2} + x^{2} + (z - 3)^{2}$

$\Leftrightarrow (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 2$

Vậy tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}$ là mặt cầu có bán kính là $R = \sqrt{2}$ .
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P),(Q)$ lần lượt có phương trình là $x + y - z = 0,\ x - 2y + 3z = 4$ và cho điểm $M(1; - 2;5)$ . Tìm phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M$ và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(P),(Q)$ ?
- A.
  $5x + 2y - z + 14 = 0$
- B.
  $x - 4y - 3z + 6 = 0$
- C.
  $x - 4y - 3z - 6 = 0$
- D.
  $5x + 2y - z + 4 = 0$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (1;1; - 1) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 2;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (1; - 4; - 3)$

Do $(\alpha)$ vuông góc với $(P),(Q)$ nên $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} \\ \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\overrightarrow{n_{(Q)}} \\ \end{matrix} ight.$

Chọn $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (1; - 4; - 3)$

Hơn nữa $(\alpha)$ đi qua $M(1; - 2;5)$ nên có phương trình là:

$(x - 1) - 4(y + 2) - 3(z - 5) = 0$

$\Leftrightarrow x - 4y - 3z + 6 = 0$
Câu 18: Vận dụng cao
Cho đường thẳng $d:\left\{\begin{matrix} x=-t \\ y=2t-1 \\ z=t+2\end{matrix}ight.$ và mặt phẳng $(\alpha): 2x-y-2z-2=0$ . Mặt phẳng (P) qua d và tạo với $(\alpha )$ một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:
- A. $\vec{n_p}=(-1;1;1)$
- B. $\vec{n_p}=(1;2;-3)$
- C. $\vec{n_p}=(2;1;0)$
- D. $\vec{n_p}=(3;-2;7)$
Gọi $\triangle = (\alpha)\cap (P), A =d \cap(\alpha), B \in d(Beq A)$ ;
H là hình chiếu vuông góc của B lên $(\alpha )$ ; K là hình chiếu của H lên $\triangle$ .
Suy ra: $(\widehat{(d),(\alpha)})=\widehat{BAH}$ cố định; $(\widehat{(\alpha),(P)})=\widehat{BKH}$ .
Mà $\widehat{BKH} \geqslant \widehat{BAH}$ (vì $HK \leq HA$ ) $\Rightarrow (\widehat{d, (\alpha)}) \leq (\widehat{(P),(\alpha)} )$
Suy ra $(\widehat{(P),(\alpha)})$ nhỏ nhất bằng $(\widehat{d, (\alpha)})$ khi $K\equiv A$ .
Khi đó $\triangle \perp d$ và có một VTCP $\vec{u_\triangle} = [\vec{u_d}, \vec{u_\alpha}]=-3(1;0;1)$ .
Vậy (P) có một VTPT là $\vec{n_p} = [\vec{u_\triangle}, \vec{u_d}]=2(-1;1;1)$ .
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;2),B(2; - 1;3)$ . Viết phương trình đường thẳng $AB$ ?
- A.
  $AB:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$
- B.
  $AB:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$
- C.
  $AB:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{2}$
- D.
  $AB:\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB} = (1; - 2;1)$ . Suy ra phương trình đường thẳng $AB$ là:

$AB:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$
Câu 20: Nhận biết
Cho tứ diện $ABCD$ có $A(3, -2,1), B\left( { - 4,0,3} ight),C\left( {1,4, - 3} ight),D\left( {2,3,5} ight)$ . Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là:
- A. $12x + 10y + 21z + 35 = 0$
- B. $12x - 10y + 21z - 35 = 0$
- C. $12x - 10y - 21z - 35 = 0$
- D. $12x + 10y - 21z + 35 = 0$
Theo đề bài, ta có các vecto là
$\begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \left( { - 2,6, - 4} ight);\overrightarrow {BD} = \left( {6,3,2} ight)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } ight] = \left( {24, - 20, - 42} ight).\end{array}$
Có thể chọn $\overrightarrow n = \left( {12, - 10, - 21} ight)$ làm một vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng này có dạng $12x - 10y - 21z + D = 0$ .
Mặt khác, điểm A thuộc mặt phẳng nên ta thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng trên: $12.3 - 10( - 2) - 21.1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 35$
Vậy phương trình cần tìm $12x - 10y - 21z - 35 = 0$ .

13 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!