Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng:

     Theo đề bài, ta biến đổi được (b) có dạng:

    \begin{array}{l}\left( b ight):\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\\ \Rightarrow \frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 1}}{2} = t\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 2t\\y + 3 = t\\z - 1 = 2t\end{array} ight.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3 + t\\z = 1 + 2t\end{array} ight.\end{array}

    Thay x, y, z vào phương trình x+2y+z =9 , ta có:

    => Tọa độ giao điểm của (a) và (b): A (0, - 4, - 1)

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1;1;4),B(2;7;9) và C(0;9;13).

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (1;6;5),\overrightarrow{AC} = ( - 1;8;9)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (14; - 14;14) = 14(1; - 1;1)

    Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(1;1;4) và nhận \overrightarrow{n} = (1; - 1;1) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

    x - 1 - (y - 1) + z - 4 = 0

    \Leftrightarrow x - y + z - 4 = 0

  • Câu 3: Thông hiểu

    Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm A(2;0;0),B(1;3;0),C( - 1;0;3),D(1;2;3). Tính bán kính R của (S)?

    Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A;B;C;D

    Khi đó ta có phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} AI^{2} = BI^{2} \\ AI^{2} = CI^{2} \\ AI^{2} = DI^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 3)^{2} + c^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a + 1)^{2} + b^{2} + (c - 3)^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 3b = - 3 \\ a - c = - 1 \\ a - 2b - 3c = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0;1;1)

    Vậy bán kính cần tìm là: R = IA = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng (P):x+y+2z-13=0. Xét các mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Tính giá trị của biểu thức T=a^2+2b^2+3c^2 khi (S) có bán kính nhỏ nhất.

     Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) ta có IA + IH =2R nên R nhỏ nhất khi I, A, H thẳng hàng và I là trung điểm của AH.

    Phương trình AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \end{matrix}ight.

    Tọa độ H là nghiệm (x;y;z) của hệ:

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \\ x+y+2z-13=0 \end{matrix}ight.

    \Rightarrow H(3;4;3)\Rightarrow I(2;3;1)

    Suy ra, ta có: T=a^2+2b^2+3c^2 =2^2+2.3^2+3.1^2=25

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho H(1;1; - 3). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua H cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz lần lượt tại A;B;C (khác O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC là:

    Mặt phẳng (P) cắt trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A;B;C suy ra H là trực tâm của tam giác ABC và OH\bot(ABC)

    Phương trình mặt phẳng x + y - 3z - 11 = 0.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A( - 1;2;4),B(0;1;5). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A( - 1;2;4),B(0;1;5). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng (d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).

    Ta có: \overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)

    Do đó: \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}

    Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 90^{0} - 60^{0} = 30^{0}.

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng?

    Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

    \frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} với a.b.c eq 0.

    Vậy đáp án đúng là : \frac{x - 6}{3} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 5}{3}

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;0)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

    Khi đó ta có:

    \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60^{0}

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1; - 1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa trục Ox là:

    Mặt phẳng (P) có VTPT \overrightarrow{n}(0;1;1) và đi qua điểm A(1;1; - 1).

    Suy ra phương trình (P):y + z = 0.

  • Câu 11: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + y + z - 9 = 0. Hỏi có bao nhiêu điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (P) với a,b,c là các số nguyên không âm.

    Ta có (P):x + y + z - 9 = 0 \Rightarrow \frac{x}{9} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1 nên mặt phẳng (P) đi qua các điểm A(9; 0; 0), B(0; 9; 0), C(0; 0; 9).

    Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.

    Tam giác ABC đều có các cạnh bằng 9\sqrt{2}, chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.

    Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng 1\ + \ 2\ + \ ...\ + \ 10\ = \ 55

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm H(2;1;2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P), số đo góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q):x + y - 11 = 0 bằng bao nhiêu?

    Vì H(2;1;2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(P)}} = \overrightarrow{OH} = (2;1;2).

    Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1;1;0).

    Gọi \varphi là số đo góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q), ta có:

    \cos\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{(P)}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{(Q)}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \varphi = 45^{0}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với  AB=2a, AD=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 45^0 . Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp S.ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N.ABC. Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

    Tìm biểu thức liên hệ

    Ta có {45^0} = \widehat {SC,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {SC,AC} = \widehat {SCA} .

    Trong \Delta SAC, ta có h = SA = a\sqrt 5

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot BN.

    Mặt khác, ta lại có NA \bot AC.

    Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính

    R = JN = \frac{{NC}}{2} = \frac{1}{2}.\sqrt {A{C^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} ight)}^2}} = \frac{{5a}}{4}.

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 81 tại điểm P( - 5; - 4;6) là:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3).

    Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.

    Do (α) tiếp xúc với (S) tại P nên mặt phẳng (α) đi qua P và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \overrightarrow{IP} = ( - 6; - 6;3)

    Phương trình mặt phẳng (α) là

    - 6(x + 5) - 6(y + 4) + 3(z - 6) = 0

    \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 24 = 0

  • Câu 15: Vận dụng

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):2x + y - 2z + 9 = 0 và ba điểm A(2; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 3;-1). Điểm M ∈ (α) sao cho \left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Xét điểm I(a; b; c) thỏa mãn: 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}

    Khi đó

    \left\{ \begin{matrix} 2(2 - a) - 3a - 4(1 - a) = 0\ \\ 2(1 - b) + 3(2 - b) - 4(3 - b) = 0\ \\ - 2c + 3(1 - c) - 4( - 1 - c) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0\ \\ b = - 4\ \\ c = 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0; - 4;7)

    Khi đó:

    \left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| = \left| 2\overrightarrow{MI} + 3\overrightarrow{MI} - 4\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 4\overrightarrow{IC} ight| = IM

    Do đó \left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất thì M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (\alpha).

    Do M(x;y;z) là hình chiếu của I trên mặt phẳng (\alpha) nên ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IM} = k.\overrightarrow{n} \\ M \in (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2k\ \\ y + 4 = k\ \\ z - 7 = - 2k\ \\ 2x + y - 2z + 9 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = 1 \\ x = 2\ \\ y = - 3\ \\ z = 5 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy M = (2; - 3;5) \Rightarrow x_{M} + y_{M} + z_{M} = 4.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách giữa đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 4}{3} và trục Ox.

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (2; - 4;3) và đi qua điểm M(1; - 2;4)

    Trục Ox có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0) và đi qua điểm N(1;0;0)

    Khoảng cách giữa đường thẳng d và trục Ox là:

    d(d;Ox) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack.\overrightarrow{MN} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack ight|} = \frac{\left| (0;3;4).(0;2; - 4) ight|}{\left| (0;3;4) ight|} = 2

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a;SA = a\sqrt{2}. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

    Gọi O = AC ∩ BD

    Tam giác SAO vuông nên suy ra SO = \sqrt{SA^{2} - AO^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}

    Gắn tọa độ như hình vẽ:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0) \\D(0;a;0),O\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0 ight),S\left(\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2} ight) \\\end{matrix} ight.

    Vì G là trọng tâm tam giác SCD nên G\left( \frac{a}{2};\frac{5a}{6};\frac{a\sqrt{6}}{6} ight)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AS} = \left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2}ight) = \dfrac{a}{2}\left( 1;1;\sqrt{6} ight) \\\overrightarrow{BG} = \left( -\dfrac{a}{2};\dfrac{5a}{6};\dfrac{a\sqrt{6}}{6} ight) = \dfrac{a}{6}\left(- 3;5;\sqrt{6} ight) \\\end{matrix} ight.

    Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

    \cos(BG;SA) = \frac{\left| \overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BG} ight|}{BG.AS} = \frac{| - 3 + 5 + 6|}{\sqrt{40}.\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{5}}{5}

    Vậy đáp án cần tìm là: \arccos\frac{\sqrt{5}}{5}.

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 2}{3}. Trong các vectơ sau, vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)?

    Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

    \frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} với a.b.c eq 0.

    Vectơ chỉ phương \overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{=}\left( \mathbf{a}\mathbf{;}\mathbf{b}\mathbf{;}\mathbf{c} ight).

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; -1; 0)  và đường thẳng d: \frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}  . Mặt phẳng (\alpha) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến  lớn nhất có phương trình là:

    Mã của khoảng cách

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (\alpha) , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.

    Ta có: d(A, d)=AKcố định và  d(A, (\alpha))=AH\leq AK

    Suy ra  d(A, (\alpha)) lớn nhất bằng AK khi H\equiv K .

    Ta có (d): \frac{x-2}{-1} = \frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1} qua M(2; -1; 1) , có VTCP \vec{u_d} = (-1; 2; 1) .

    Gọi (P)  là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT \vec{n_p}=[\vec{u_d}, \vec{AM}]=(2; 0; 2) .

    Mặt phẳng (\alpha) có một VTPT là \vec{n_\alpha}=[\vec{n_p}, \vec{u_d}]=(-4; -4; 4)=-4(1;1;-1) và (\alpha)  qua  M (2; -1; 1) có phương trình: 1.(x-2)+1.(y+1)-1.(z-1)=0\Leftrightarrow x+y-z=0

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, hai điểm A(7; - 2;2) và B(1;2;4). Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính AB?

    Mặt cầu nhận AB làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm I(4;0;3) của AB làm tâm và có bán kính R = \frac{AB}{2} = \sqrt{56}

    Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là (x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 56.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 72 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập