Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 4),B(1; - 3;1),C(2;2;3)$ . Tính đường kính $l$ của mặt cầu $(S)$ đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ ?
- A.
  $l = 2\sqrt{13}$
- B.
  $l = 2\sqrt{4}$
- C.
  $l = 2\sqrt{26}$
- D.
  $l = 2\sqrt{11}$
Gọi tâm mặt cầu là $I(x;y;0)$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} IA = IB \\ IA = IC \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} + 1^{2}} \\ \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + 3^{2}} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (y - 2)^{2} + 4^{2} = (y + 3)^{2} + 1 \\ x^{2} - 2x + 1 + 16 = x^{2} - 4x + 4 + 9 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10y = 10 \\ 2x = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow l = 2R = 2\sqrt{( - 3)^{2} + ( - 1)^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{26}$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ , sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{5}{13}$
- B.
  $\frac{8}{13}$
- C.
  $\frac{1}{13}$
- D.
  $\frac{12}{13}$
Mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (4;3; - 1)$

Đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;3;1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}$
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $M(4;9;8),N(1; - 3;4),P(2;5; - 1)$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua ba điểm $M,N,P$ có phương trình tổng quát $Ax + By + Cz + D = 0$ . Biết $A = 92$ , tìm giá trị của $D$ ?
- A.
  $D = 101$
- B.
  $D = - 101$
- C.
  $D = - 63$
- D.
  $D = 36$
Do $A = 92$ nên mặt phẳng $(P)$ có phương trình $92x + By + Cz + D = 0$

Do $(P)$ đi qua các điểm $A;B;C$ nên ta có hệ:

$\left\{ \begin{matrix} 92.4 + B.9 + C.8 + D = 0 \\ 92.1 + B.( - 3) + C.4 + D = 0 \\ 92.2 + B.5 + C.( - 1) + D = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} B = - 19 \\ C = - 12 \\ D = - 101 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $D = - 101$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - y + 2z + 1 = 0$ và đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ . Tính góc giữa đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Ta có: $\overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)$

Do đó: $\cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$

Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng $90^{0} - 60^{0} = 30^{0}$ .
Câu 5: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 điểm $A(−2; 1; 3), B(3; −2; 4)$ , đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{11} = \frac{z + 1}{- 4}$ và mặt phẳng $(P): 41x − 6y + 54z + 49 = 0$ . Đường thẳng $(d)$ đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng $(P)$ lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện $ABCO$ và $OACD$ bằng nhau, biết $(d)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;b;c)$ . Tính $b + c$ .
- A.
  $b + c = 11$
- B.
  $b + c = 6$
- C.
  $b + c = 9$
- D.
  $b + c = 4$
Hình vẽ minh họa

Ta có $1 = \frac{V_{OABC}}{V_{OACD}} =\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( O;(ABC) ight).S_{ABC}}{\dfrac{1}{3}d\left(O;(ACD) ight).S_{ACD}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} =\frac{BC}{CD}$

Nên $BC = CD$ . Vì $C ∈ ∆$ $\Rightarrow C(2t + 1;11t + 6; - 4t - 1)$

C là trung điểm của BD nên $D(4t - 1;22t + 14; - 8t - 6)$ .

Điểm $D ∈ (P)$ nên $41(4t − 1) − 6(22t + 14) + 54(−8t − 6) + 49 = 0 ⇔ t = −1$

$⇒ C(−1; −5; 3).$

$\overrightarrow{CB} = (4;3;1) = \overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Vậy $b = 3, c = 1 ⇒ b + c = 4$
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng đi qua hai điểm $A(1;2; - 3)$ và $B(2; - 3;1)$ có phương trình tham số là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 - 5t \\ z = 2 + 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 8 + 5t \\ z = 5 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 - 5t \\ z = - 3 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 + 5t \\ z = 1 + 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = (1; - 5;4)$

Đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; −3) và B(2; −3; 1) có phương trình tham số là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 5t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Với t = −2, ta được M(3; −8; 5) thuộc đường thẳng AB. Khi đó, đường thẳng AB có phương trình tham số $\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 8 + 5t \\ z = 5 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính $R = 2$ ?
- A.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0$
- B.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z - 10 = 0$
- C.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0$
- D.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 5 = 0$
Phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$

Xét phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} a = 2;b = - 1 \\ c = - 1;d = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{4} = 2$
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ . Điểm $M$ nằm trên đường thẳng $\Delta$ thì điểm M có dạng nào sau đây?
- A.
  $M(at;bt;ct)$
- B.
  $M\left( x_{0}t;y_{0}t;z_{0}t ight)$
- C.
  $M\left( a + x_{0}t;b + y_{0}t;c + z_{0}t ight)$
- D.
  $M\left( x_{0} + at;y_{0} + bt;z_{0} + ct ight)$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ nên đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số là $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + at \\ y = y_{0} + bt \\ z = z_{0} + ct \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Điểm $M$ nằm trên đường thẳng $\Delta$ nên điểm $M$ có dạng $M\left( x_{0} + at;y_{0} + bt;z_{0} + ct ight)$
Câu 9: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A (2; 1; 3) , B (6; 5; 5)$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng $(P) : 2x + by + cz + d = 0$ với $b, c, d ∈ \mathbb{Z}$ . Tính giá trị $T = b − c + d$ .
- A.
  $T = - 18$
- B.
  $T = - 20$
- C.
  $T = - 21$
- D.
  $T = - 19$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (4;4;2)$ mà $\overrightarrow{AB}\bot(P)$ nên $\frac{2}{4} = \frac{b}{4} = \frac{c}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 2 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra (P): 2x + 2y + z + d = 0.

Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).

Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên $(S)$ có $I(4;3;4);R = \frac{AB}{2} = 3$

Gọi r là bán kính đường tròn tâm H.

Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức

Ta có:

$V = \frac{1}{3}\pi r^{2}AH = \frac{1}{3}\pi r^{2}(R + IH)$

$= \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( R + \sqrt{R^{2} - r^{2}} ight)$

$= \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}} ight)$

Đặt $f(r) = 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}};r \in (0;3brack$

$\Rightarrow f'(r) = r\left( 6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \frac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} ight)$

$\Rightarrow f'(r) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}r = 0(ktm) \\6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \dfrac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} = 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{9 - r^{2}} = r^{2} - 6;\left( r^{2} \geq 6 ight)$

$\Leftrightarrow r^{4} - 8r^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = 0(L) \\ r^{2} = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = - 2\sqrt{2}(L) \\ r = 2\sqrt{2}(tm) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow HI = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 1$

$\Rightarrow \frac{AH}{AI} = \frac{AI + HI}{AI} = \frac{R + HI}{R} = \frac{4}{3}$

$\Rightarrow AH = \frac{4}{3}AI \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AI} \Rightarrow H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight)$

Mà $H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight) \in (P):2x + 2y + z + d = 0 \Rightarrow d = - 21$

Vậy $T = b − c + d = −20.$
Câu 10: Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng: $\bigtriangleup_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2}$ và $\bigtriangleup_{2}:\frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}$

a) Vectơ có tọa độ $(1;2;3)$ là một vectơ chỉ phương của $\bigtriangleup_{1}$ . Sai||Đúng

b) Đường thẳng $\bigtriangleup_{2}$ đi qua điểm $A(0; - 3;14)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $\bigtriangleup_{3}$ đi qua $B(1;1; - 2)$ và vuông góc với $\bigtriangleup_{1}$ có phương trình tham số là $\bigtriangleup_{3}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 2 - 3t \\ \end{matrix} ight.$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai đường thẳng $\bigtriangleup_{1}$ và $\bigtriangleup_{2}$ khoảng $132^{0}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng: $\bigtriangleup_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{- 2}$ và $\bigtriangleup_{2}:\frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z - 6}{2}$

a) Vectơ có tọa độ $(1;2;3)$ là một vectơ chỉ phương của $\bigtriangleup_{1}$ . Sai||Đúng

b) Đường thẳng $\bigtriangleup_{2}$ đi qua điểm $A(0; - 3;14)$ . Đúng||Sai

c) Đường thẳng $\bigtriangleup_{3}$ đi qua $B(1;1; - 2)$ và vuông góc với $\bigtriangleup_{1}$ có phương trình tham số là $\bigtriangleup_{3}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - 2t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 2 - 3t \\ \end{matrix} ight.$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai đường thẳng $\bigtriangleup_{1}$ và $\bigtriangleup_{2}$ khoảng $132^{0}$ . Sai||Đúng

a) Vectơ có tọa độ $(2;1; - 2)$ là một vectơ chỉ phương của $\bigtriangleup_{1}$ nên mệnh đề sai

b) Mệnh đề đúng

c) Gọi $B = \bigtriangleup_{1} \cap \bigtriangleup_{3} \Rightarrow B(1 + 2t;2 + t;3 - 2t)$

$\begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2t; - 1 - t; - 5 + 2t\ ) \\ \overrightarrow{AB}\bot u_{\bigtriangleup_{1}} \Rightarrow t = 1 \\ \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 2; - 3\ ) \\ \end{matrix}$ nên mệnh đề đúng

d) Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn nên mệnh đề sai
Câu 11: Nhận biết
Cho mặt cầu $(S)$ tâm O, bán kính R và mặt phẳng $(P)$ có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc $(S)$ . Đường thẳng OM cắt $(P)$ tại N. Hình chiếu của O trên $(P)$ là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. NI tiếp xúc với $(S)$
- B. $ON = R\sqrt 2 \Leftrightarrow IN = R$
- C. Cả hai câu trên đều sai
- D. Cả hai câu trên đều đúng
Vì I là hình chiếu của O trên $(P)$ nên $d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = OI$ mà $d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = R$ nên I là tiếp điểm của $(P)$ và $(S)$ .
Đường thẳng OM cắt $(P)$ tại N nên IN vuông góc với OI tại I.
Suy ra IN tiếp xúc với $(S)$ .
Tam giác OIN vuông tại I nên $ON = R\sqrt 2 \Leftrightarrow IN = R$ .
Câu 12: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z- 3}{- 1},$ $d_{2}:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 6}{3}$ chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của $d_{1},d_{2}$ .
- A.
  $\frac{x - 1}{5} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 3}{1}$
- B.
  $\frac{x - 1}{5} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{z - 1}{1}$
- C.
  $\frac{x + 1}{5} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{1}$
- D.
  $\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 3}{1}$
Đường thẳng $d_{1},d_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{1}} = (1;1; - 1),\overrightarrow{u_{2}} = (1;2;3)$

Giả sử ∆ giao với $d_{1},d_{2}$ lần lượt tại $\left\{ \begin{matrix} A(1 + s; - 2 + s;3 - s) \\ B(t;1 + 2t;6 + 3t) \\ \end{matrix} ight.$ , khi đó ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 1 - s + t;3 - s + 2t;3 + s + 3t)$

Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{AB} = 0 \\ \overrightarrow{u_{2}.}\overrightarrow{AB} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1( - 1 - s + t) + 1(3 - s + 2t) - 1(3 + s + 3t) = 0 \\ 1( - 1 - s + t) + 2(3 - s + 2t) + 3(3 + s + 3t) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 3s = 1 \\14t = - 14 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}s = - \dfrac{1}{3} \\t = - 1 \\\end{matrix} ight.$

Đường vuông góc chung của $d_{1},d_{2}$ nhận $\overrightarrow{AB} = \left( - \frac{5}{3};\frac{4}{3}; - \frac{1}{3} ight)$ làm VTCP và đi qua điểm $B( - 1; - 1;3)$

Vậy ta có phương trình đường thẳng: $\frac{x + 1}{5} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{1}$
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + 2y - 2z + 3 = 0$ và đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1}$ . Côsin của góc tạo bởi đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ là
- A.
  $\frac{4}{9}$
- B.
  $\frac{\sqrt{65}}{9}$
- C.
  $\frac{5}{9}$
- D.
  $\frac{2\sqrt{3}}{9}$
Ta có: $\overrightarrow{u} = (2; - 2;1),\overrightarrow{n_{(P)}} = (1;2; - 2)$

Khi đó $\sin\widehat{\left( \Delta;(P) ight)} = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_{(P)}} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n_{(P)}} ight|} = \frac{4}{9}$

Vì $\cos\widehat{\left( \Delta;(P) ight)} > 0$ nên $\cos\widehat{\left( \Delta;(P) ight)} = \sqrt{1 - sin^{2}\widehat{\left( \Delta;(P) ight)}} = \frac{\sqrt{65}}{9}$
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tính thể tích tứ diện $OABC$ , biết $A;B;C$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $2x - 3y + 4z + 24 = 0$ với trục $Ox,Oy,Oz$ .
- A.
  $V = 192$
- B.
  $V = 288$
- C.
  $V = 96$
- D.
  $V = 78$
Theo giả thiết ta có: $A( - 12;0;0),B(0;8;0),C(0;0; - 6)$ suy ra

$V_{OABC} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.12.8.6 = 96$
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A(1;1;4),B(2;7;9)$ và $C(0;9;13)$ .
- A.
  $2x + y + z + 1 = 0$
- B.
  $x - y + z - 4 = 0$
- C.
  $7x - 2y + z - 9 = 0$
- D.
  $7x - 2y + z - 9 = 0$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = (1;6;5),\overrightarrow{AC} = ( - 1;8;9)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (14; - 14;14) = 14(1; - 1;1)$

Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua điểm $A(1;1;4)$ và nhận $\overrightarrow{n} = (1; - 1;1)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

$x - 1 - (y - 1) + z - 4 = 0$

$\Leftrightarrow x - y + z - 4 = 0$
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + mt \\ y = t \\ z = - 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t' \\ y = 2 + 2t' \\ z = 3 - t' \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} ight)$ . Giá trị của m để hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ cắt nhau là
- A.
  $m = - 1$
- B.
  $m = 1$
- C.
  $m = 0$
- D.
  $m = 2$
Đường thẳng $d_{1}$ đi qua A(1; 0; −1), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (m;1;2)$

Đường thẳng $d_{2}$ đi qua B(1; 2; 3), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}} = ( - 1;2; - 1)$

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 5;m - 2;2m + 1)$ và $\overrightarrow{AB} = (0;2;4)$

Hai đường thẳng d và d 0 cắt nhau $\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow m = 0$
Câu 17: Vận dụng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh $a$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(A'B'CD)$ và $(ACC'A')$ bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $75^{0}$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ

$O \equiv A';Ox \equiv A'D';Oy \equiv A'B';Oz \equiv AA'$

Khi đó: $A(0;0;a),D(a;0;a),B(0;a;a),C(a;a;a)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{A'B'} = (0;a;0);\overrightarrow{A'D} = (a;0;a) \\ \overrightarrow{A'A} = (0;0;a);\overrightarrow{A'C'} = (a;a;0) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{A'B'};\overrightarrow{A'D} ightbrack = \left( a^{2};0; - a^{2} ight)$

Chọn $\overrightarrow{n_{1}} = (1;0; - 1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(AB'CD)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{A'A};\overrightarrow{A'C'} ightbrack = \left( - a^{2};a^{2};0 ight)$

Chọn $\overrightarrow{n_{2}} = ( - 1;1;0)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ACC'A')$

Góc giữa hai mặt phẳng $(A'B'CD)$ và $(ACC'A')$ bằng:

$\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{| - 1|}{\sqrt{2}.\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành $ABCD$ với $A(1;1;0),B(1;1;2),D(1;0;2)$ . Diện tích hình bình hành $ABCD$ bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $3$
- C.
  $1$
- D.
  $2$
Gọi $S$ là diện tích hình bình hành $ABCD$ khi đó $S = \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ightbrack ight|$

Mà $\overrightarrow{AB} = (0;0;2);\overrightarrow{AD} = (0; - 1;2)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ightbrack = (2;0;0)$

$\Rightarrow \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ightbrack ight| = 2 \Rightarrow S = 2$

Vậy diện tích hình bình hành $ABCD$ bằng 2.
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A(1;2;3),B(3;4;4),C(2;6;6)$ và $I(a;b;c)$ là trực tâm tam giác $ABC$ . Tính $a + b + c$ ?
- A.
  $\frac{46}{5}$
- B.
  $\frac{31}{3}$
- C.
  $\frac{63}{5}$
- D.
  $10$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BC} = ( - 1;2;2);\overrightarrow{AC} = (1;4;3) \\ \overrightarrow{AI} = (a - 1;b - 2;c - 3) \\ \overrightarrow{BI} = (a - 3;b - 4;c - 4) \\ (ABC):2x - 5y + 6z - 10 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Lại có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ I \in (ABC) \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1(a - 1) + 2(b - 2) + 2(c - 3) = 0 \\1(a - 3) + 4(b - 4) + 3(c - 4) = 0 \\2a - 5b + 6c - 10 = 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{27}{5} \\b = 4 \\c = \dfrac{16}{5} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b + c = \dfrac{63}{5}$
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + 2y + z - m^{2} - 3m = 0$ và mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 9$ . Tìm tất cả các giá trị của m để $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = - 2 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = - 5$
Ta có mặt cầu $(S)$ có tâm I(1; −1; 1) và bán kính R = 3.

Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ khi và chỉ khi:

$d\left\lbrack I;(P) ightbrack = R \Leftrightarrow \frac{\left| 1 - m^{2} - 3m ight|}{3} = 3$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m^{2} + 3m - 10 = 0 \\ m^{2} + 3m + 8 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} ight.$ .

71 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!