Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2;5;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d$ sao cho khoảng cách từ điểm $A$ đến $(P)$ là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(P)$ bằng:
- A.
  $\sqrt{2}$
- B.
  $\frac{3}{\sqrt{6}}$
- C.
  $\frac{11\sqrt{2}}{6}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên d và H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) thì d(A,(P)) = AH ≤ AK không đổi.

Vậy d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K, khi đó (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.

Ta tìm được $(P):x - 4y + z - 3 = 0 \Rightarrow d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ . Tính góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $150^{0}$
Mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 ight)$

Trục $Ox$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$

Gọi α là góc giữa $Ox$ và mặt phẳng $(P)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 3: Vận dụng
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M(1; - 3;8)$ và chắn trên tia $Oz$ một đoạn thẳng dài gấp đôi các đoạn thẳng mà nó chắn trên các tia $Ox$ và $Oy$ . Giả sử $(P):ax + by + cz + d = 0$ , với $a,b,c,d\mathbb{\in Z},d eq 0$ . Tính $S = \frac{a + b + c}{d}$ .
- A.
  $S = - \frac{5}{4}$
- B.
  $S = \frac{5}{4}$
- C.
  $S = 3$
- D.
  $S = - 3$
Từ giả thiết, ta suy ra các giao điểm của (α) với các tia $Ox, Oy, Oy$ lần lượt là $A(a; 0; 0), B(0; a; 0) ,C(0; 0; 2a), a > 0$ .

Suy ra phương trình (đoạn chắn) của (α) là $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{2a} = 1$ .

Do (α) đi qua M nên $a = 2$ .

Suy ra $(α): 2x + 2y + z − 4 = 0$ .

Từ đó, ta tính được: $S = \frac{a + b + c}{d} = \frac{2 + 2 + 1}{- 4} = - \frac{5}{4}$ .
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + 2y - 2z + 3 = 0$ và đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1}$ . Côsin của góc tạo bởi đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ là
- A.
  $\frac{4}{9}$
- B.
  $\frac{\sqrt{65}}{9}$
- C.
  $\frac{5}{9}$
- D.
  $\frac{2\sqrt{3}}{9}$
Ta có: $\overrightarrow{u} = (2; - 2;1),\overrightarrow{n_{(P)}} = (1;2; - 2)$

Khi đó $\sin\widehat{\left( \Delta;(P) ight)} = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_{(P)}} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n_{(P)}} ight|} = \frac{4}{9}$

Vì $\cos\widehat{\left( \Delta;(P) ight)} > 0$ nên $\cos\widehat{\left( \Delta;(P) ight)} = \sqrt{1 - sin^{2}\widehat{\left( \Delta;(P) ight)}} = \frac{\sqrt{65}}{9}$
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2;0; - 1),B(1; - 2;3),C(0;1;2)$ . Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A;B;C$ .
- A.
  $2x + y + z - 3 = 0$
- B.
  $10x + 3y + z - 19 = 0$
- C.
  $2x - y + z - 3 = 0$
- D.
  $10x - 3y - z - 21 = 0$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;1;3)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 1;4; - 5)$

Theo giả thiết mặt phẳng cần tìm qua A(2; 0; −1) và nhận $\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = - 5(2;1;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng qua $A;B;C$ là

$2(x - 2) + (y - 0) + (z + 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0$
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(\alpha):x + 2y + 4z - 1 = 0;$ $(\beta):2x + 3y - 2z+ 5 = 0$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $(\alpha)\bot(\beta)$
- B.
  $(\alpha);(\beta)$ chéo nhau
- C.
  $(\alpha)//(\beta)$
- D.
  $(\alpha) \equiv (\beta)$
Hai mặt phẳng $(\alpha);(\beta)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;2;4),\overrightarrow{n_{(\beta)}} = (2;3; - 2)$

Ta có $\overrightarrow{n_{(\alpha)}}.\overrightarrow{n_{(\beta)}} = 1.2 + 2.3 + 4.( - 2) = 0$

⇒ $(\alpha)\bot(\beta)$ .
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2;0; - 1)$ và mặt phẳng $(P):x + y - 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua $A$ đồng thời song song với $(P)$ và mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix}x = 3 + t \\y = 2t \\z = 1 - t \\\end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix}x = 2 + t \\y = - t \\z = - 1 \\\end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix}x = 1 + 2t \\y = - 1 \\z = - t \\\end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix}x = 3 + t \\y = 1 + 2t \\z = - t \\\end{matrix} ight.$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{n_{(P)}} = (1;1;0) \\\overrightarrow{n_{(Oxy)}} = (0;0;1) \\\end{matrix} ight.$ . Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$ đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy).
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{(P)}} \\\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{(Oxy)}} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack\overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Oxy)}} ightbrack = (1;- 1;0)$
Vậy $\left\{ \begin{matrix}x = 2 + t \\y = - t \\z = - 1 \\\end{matrix} ight.$ .
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu có tâm $I(7;6; - 5)$ và bán kính $9$ ?
- A.
  $(x + 7)^{2} + (y + 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 81$ .
- B.
  $(x + 7)^{2} + (y + 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 9$ .
- C.
  $(x - 7)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 5)^{2} = 81$ .
- D.
  $(x - 7)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 5)^{2} = 9$ .
Mặt cầu tâm $I(7;6; - 5)$ , bán kính $R = 9$ có phương trình lá:

$(x - 7)^{2} + (y - 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 81$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(1; - 1;2)$ và vectơ $\overrightarrow{n} = (2;4; - 6)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ qua A và nhận vectơ $\overrightarrow{n}$ làm vectơ pháp tuyến.
- A.
  $x + 2y - 3z - 5 = 0$ .
- B.
  $x + 2y - 3z + 7 = 0$ .
- C.
  $2x + 4y - 6z + 5 = 0$ .
- D.
  $x + 5y - 6z + 5 = 0$
Phương trình mặt phẳng có dạng:

$A\left( x - x_{A} ight) + B\left( y - y_{A} ight) + C\left( z - z_{A} ight) = 0$ .

$2(x - 1) + 4(y + 1) + 6(z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y - 3z + 7 = 0.$
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 4$ . Một mặt cầu $(S')$ có tâm $I'(9;1;6)$ và tiếp xúc ngoài với mặt cầu $(S)$ . Kết luận nào sau đây đúng về phương trình mặt cầu $(S')$ ?
- A.
  $(S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 64$
- B.
  $(S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 144$
- C.
  $(S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 36$
- D.
  $(S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 25$
Ta có tâm và bán kính mặt cầu $(S)$ lần lượt là $I(1;1;0);R = 2$ .

Suy ra $II' = 10$

Gọi $R'$ là bán kính mặt cầu $(S')$ . Theo giả thiết ta có:

$R + R' = II' \Leftrightarrow R' = II' - R = 8$

Khi đó phương trình mặt cầu cần tìm là: $(S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 64$ .
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha):x + 3y - 5z + 6 = 0$ và $(\beta):x - y + 3z - 6 = 0$ . Phương trình tham số của $d$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 3 - t \\ y = 3 + 2t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 3 + 2t \\ z = 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 - t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Nhận thấy $A(1;1;2),B(2; - 1;1)$ đều thuộc (α) và (β) nên chúng cũng thuộc đường thẳng $d$ .

Ta có $\overrightarrow{AB} = (1; - 2; - 1)$ là một vectơ chỉ phương của $d$ .

Khi đó phương trình tham số của $d$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 12: Vận dụng cao
Cho điểm ${m{A(2, - 1,1)}}$ và đường thẳng $(\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}y + z - 4 = 0\\2x - y - z + 2 = 0\end{array} ight.$ . Gọi A' là điểm đối xứng của A qua $(\triangle)$ . Tọa độ điểm A' là:
- A. A' ( 1, 7, 0)
- B. A' ( 0, 7,1)
- C. A' ( 0, 1, 7)
- D. A' ( 7, 1, 0)
Đưa phương trình $(\triangle)$ về dạng tham số: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 - t\\z = t\end{array} ight.$
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với $(\triangle)$ .
Phương trình mp (P) có dạng $- y + z + D = 0$ , qua A nên D = -2
Phương trình (P) là: $y - z + 2 = 0$
Thế x, y, z từ phương trình $(\triangle)$ vào phương trình (P) được t=1
$\Rightarrow (\triangle ) \cap (\alpha ) = (1,3,1).$
I là trung điểm của AA' nên: ${x_{A'}} + 2 = 2;{y_{A'}} - 1 = 6;{z_{A'}} + 1 = 2$
$\Rightarrow A'(0,7,1)$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1;1;2)$ và mặt phẳng $(P):2x - y + 3z + 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z + 2}{3}$
- B.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 3}{2}$
- C.
  $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{2}$
- D.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$
Do đường thẳng $\Delta$ cần tìm vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nên vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1;3)$ cũng là vectơ chỉ phương của $\Delta$ .

Mặt khác $\Delta$ đi qua điểm $M(1;1;2)$ nên phương trình chính tắc của $\Delta$ là: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 1}{1}$ và mặt phẳng $(P):x - 2y - 2z + 5 = 0$ . Điểm $A$ nào dưới đây thuộc $d$ và thỏa mãn khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $3$ ?
- A.
  $A(4; - 2;1)$
- B.
  $A(2; - 1;0)$
- C.
  $A( - 2;1; - 2)$
- D.
  $A(0;0; - 1)$
Vì A ∈ (d) nên ta có tọa độ điểm A(2a; −a; a − 1).

Khoảng cách từ A đến (P) là

$\frac{\left| 2a + 2a - 2(a - 1) + 5 ight|}{\sqrt{9}} = 3$

$\Leftrightarrow |2a + 9| = 9\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = 0 \\a = - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.$

Với $a = 0 \Rightarrow A(0;\ 0; - 1)$
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ hai điểm $A(1;2;3),B(5;4; - 1)$ . Phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là:
- A.
  $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 1)^{2} = 9$
- B.
  $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 1)^{2} = 6$
- C.
  $(x + 3)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 1)^{2} = 9$
- D.
  $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 1)^{2} = 36$
Gọi I là trung điểm của AB suy ra $I(3;3;1)$

$\overrightarrow{AB} = (4;2; - 4) \Rightarrow AB = \sqrt{16 + 4 + 16} = 6$

Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I(3;3;1)$ và bán kính $R = \frac{AB}{2} = 3$ có phương trình là: $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 1)^{2} = 9$
Câu 16: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(Q):x + 2y - z - 5 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{1}$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $(Q)$ một góc nhỏ nhất là
- A.
  $(P):x - 2y - 1 = 0$
- B.
  $(P):y - z + 4 = 0$
- C.
  $(P):x - z + 4 = 0$
- D.
  $(P):x - 2y + 7 = 0$
Vì (P) chứa d nên phương trình của (P) có dạng $(P):a(x + 1) + b(y + 1) + c(z - 3) = 0$ với $\left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 \\ 2a + b + c = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Gọi α là góc giữa (P) và (Q), ta có:

$\cos\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{n_{Q}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{P}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{Q}} ight|} = \frac{|a + 2b - c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.\sqrt{6}} = \frac{\left| 3(a + b) ight|}{\sqrt{5a^{2} + 4ab + 2b^{2}}.\sqrt{6}}$

Nếu $a = 0$ thì $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$

Nếu $a eq 0$ thì $\cos\alpha = \frac{\left| 3(1 + t) ight|}{\sqrt{6}.\sqrt{5 + 4t + 2t^{2}}};\left( t = \frac{b}{a} ight)$ .

Khi đó $0 \leq \cos\alpha < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ta có α nhỏ nhất khi và chỉ khi cosα lớn nhất.

Do đó $\alpha = 30^{0}$ và $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Khi đó $a = 0$ , chọn $b = 1,\ c = - 1$ .

Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: $(P):y - z + 4 = 0$ .
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y - 6 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):2x - y - 2z - 9 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; - 2)$

$(Q):x - y - 6 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 1;0)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(P)$ đi qua $M( - 1;2;4)$ và chứa trục $Oy$ có phương trình là:
- A.
  $(P):4x - z = 0$
- B.
  $(P):4x + z = 0$
- C.
  $(P):x - 4z = 0$
- D.
  $(P):x + 4z = 0$
Ta có: (P) có cặp véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{v_{Oy}} = (0;1;0),\overrightarrow{OM} = ( - 1;2;4)$

Khi đó véc-tơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = ( - 4;0; - 1)$ , ta chọn $\overrightarrow{n_{P}} = (4;0;1)$ .

Mặt phẳng (P) đi qua $M( - 1;2;4)$ và có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{P}} = (4;0;1)$ nên có phương trình $4(x + 1) + (z - 4) = 0$ hay $4x + z = 0$ .
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ , biết $(\alpha)$ song song với mặt phẳng $(P):2x + y - 2z + 11 = 0$ và cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có chu vi $8\pi$ ?
- A.
  $2x + y - 2z - 11 = 0$
- B.
  $2x - y - 2z - 7 = 0$
- C.
  $2x + y - 2z - 5 = 0$
- D.
  $2x + y - 2z - 7 = 0$
Vì $(α) // (P)$ nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng $2x + y - 2z + c = 0$

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; 3)$ và bán kính $R = 5$ .

Đường tròn lớn có chu vi là $8\pi$ nên bán kính của $(S)$ là $\frac{8\pi}{2\pi} = 4$

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3

Từ đó ta có:

$d\left( I;(P) ight) = \frac{|2.1 + 2 - 2.3 + c|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + ( - 2)^{2}}} = 3$

$\Leftrightarrow | - 2 + c| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 11 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $(α) // (P)$ nên phương trình mặt phẳng (α) là $2x + y - 2z - 7 = 0$
Câu 20: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A (2; 1; 3) , B (6; 5; 5)$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng $(P) : 2x + by + cz + d = 0$ với $b, c, d ∈ \mathbb{Z}$ . Tính giá trị $T = b − c + d$ .
- A.
  $T = - 18$
- B.
  $T = - 20$
- C.
  $T = - 21$
- D.
  $T = - 19$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (4;4;2)$ mà $\overrightarrow{AB}\bot(P)$ nên $\frac{2}{4} = \frac{b}{4} = \frac{c}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 2 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra (P): 2x + 2y + z + d = 0.

Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).

Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên $(S)$ có $I(4;3;4);R = \frac{AB}{2} = 3$

Gọi r là bán kính đường tròn tâm H.

Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức

Ta có:

$V = \frac{1}{3}\pi r^{2}AH = \frac{1}{3}\pi r^{2}(R + IH)$

$= \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( R + \sqrt{R^{2} - r^{2}} ight)$

$= \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}} ight)$

Đặt $f(r) = 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}};r \in (0;3brack$

$\Rightarrow f'(r) = r\left( 6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \frac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} ight)$

$\Rightarrow f'(r) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}r = 0(ktm) \\6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \dfrac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} = 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{9 - r^{2}} = r^{2} - 6;\left( r^{2} \geq 6 ight)$

$\Leftrightarrow r^{4} - 8r^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = 0(L) \\ r^{2} = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = - 2\sqrt{2}(L) \\ r = 2\sqrt{2}(tm) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow HI = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 1$

$\Rightarrow \frac{AH}{AI} = \frac{AI + HI}{AI} = \frac{R + HI}{R} = \frac{4}{3}$

$\Rightarrow AH = \frac{4}{3}AI \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AI} \Rightarrow H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight)$

Mà $H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight) \in (P):2x + 2y + z + d = 0 \Rightarrow d = - 21$

Vậy $T = b − c + d = −20.$

42 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!