Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 3}{- 5} đi qua điểm nào sau đây?

    Thay tọa độ điểm (1; - 2;3) vào phương trình đường thẳng d ta được \frac{0}{3} = \frac{0}{- 4} = \frac{0}{- 5}, do đó điểm này thuộc đường thẳng d.

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):8x - 4y - 8z - 11 =0,(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):8x - 4y - 8z - 11 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (8; - 4; - 8)

    (Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{2}; - \sqrt{2};0 ight)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)

    = \frac{\left| 8.\sqrt{2} + 4.\sqrt{2} - 8.0 ight|}{\sqrt{8^{2} + ( - 4)^{2} + ( - 8)^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{2} ight)^{2} + \left( - \sqrt{2} ight)^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, biết hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) là H(2; - 1; - 2). Số đo góc giữa mặt phẳng (P) với mặt phẳng (Q):x - y - 5 = 0 là

    Mặt phẳng (Q):x - y - 5 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;0)

    Hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) là H(2; - 1; - 2)⇒ (P) qua H và nhận \overrightarrow{OH} = (2; - 1; - 2) làm vectơ pháp tuyến.

    Gọi α là góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (\alpha):

    \sin\alpha = \left| \cos\left(\overrightarrow{OH};\overrightarrow{n} ight) ight| = \frac{\left|\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{n} ight|}{\left|\overrightarrow{OH} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|}=\frac{|2 + 1 + 0|}{\sqrt{4 + 1 + 4}.\sqrt{1 + 1 + 0}} =\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha = 45^{0}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, giao điểm của mặt phẳng (P):x + y - z - 2 = 0 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - t \\ z = 3 + 3t \\ \end{matrix} ight. là:

    Gọi A(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Ta có: 2 + t - t - (3 + 3t) - 2 = 0

    \Leftrightarrow - 3t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = - 1

    Suy ra \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(1;1;0).

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I( - 1;4;2) và có thể tích bằng \frac{256\pi}{3}. Khi đó phương trình mặt cầu (S) là:

    Thể tích mặt cầu là: V = \frac{4\pi R^{3}}{3} = \frac{256\pi}{3} \Rightarrow R = 4

    Vậy phương trình mặt cầu tâm I có bán kính R = 4 là: (x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 16

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có:

     Trong không gian Oxyz, một đường thẳng (d) có vô số vecto chỉ phương.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C không trùng với gốc tọa độ O sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng nào song song với mặt phẳng (P)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C không trùng với gốc tọa độ O sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt phẳng nào song song với mặt phẳng (P)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 5)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 9. Tính bán kính R của (S)?

    Bán kính mặt cầu là: R = \sqrt{9} = 3

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;0)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

    Khi đó ta có:

    \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60^{0}

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng(ABC) là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60^0. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB). Đẳng thức nào sau đây sai?

    Chọn câu sai 

    Ta có {60^0} = \widehat {SA,\left( {ABC} ight)} = \widehat {SA,HA} = \widehat {SAH}.

    Tam giác ABC đều cạnh a nên AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} .

    Trong tam giác vuông SHA, ta có SH = AH.\tan \widehat {SAH} = \frac{{3a}}{2}.

    Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với (SAB) nên bán kính mặt cầu R = d\left[ {G,\left( {SAB} ight)} ight].

    Ta có d\left[ {G,\left( {SAB} ight)} ight] = \frac{1}{3}d\left[ {C,\left( {SAB} ight)} ight] = \frac{2}{3}d\left[ {H,\left( {SAB} ight)} ight].

    Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AB và MB.

    Suy ra \left\{ \begin{array}{l}CM \bot AB\\CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array} ight. và  \left\{ \begin{array}{l}HE \bot AB\\HE = \dfrac{1}{2}CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\end{array} ight..

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE , suy ra HK \bot SE    (1).

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}HE \bot AB\\AB \bot SH\end{array} ight. \Rightarrow AB \bot \left( {SHE} ight) \Rightarrow AB \bot HK.   (2)

    Từ (1) và (2) , suy ra HK \bot \left( {SAB} ight)  nên  d\left[ {H,\left( {SAB} ight)} ight] = HK.

    Trong tam giác vuông SHE, ta có HK = \frac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \frac{{3a}}{{2\sqrt {13} }}.

    Vậy R = \frac{2}{3}HK = \frac{a}{{\sqrt {13} }}.

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho điểm {m{A(2, - 1,1)}} và đường thẳng (\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}y + z - 4 = 0\\2x - y - z + 2 = 0\end{array} ight.. Gọi A'  là điểm đối xứng của A qua (\triangle) . Tọa độ điểm A'  là:

    Đưa phương trình (\triangle) về dạng tham số: \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 - t\\z = t\end{array} ight.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (\triangle).

    Phương trình mp (P) có dạng - y + z + D = 0 , qua A nên D =  -2

    Phương trình (P) là: y - z + 2 = 0

    Thế x, y, z từ phương trình (\triangle) vào phương trình (P) được t=1

    \Rightarrow (\triangle ) \cap (\alpha ) = (1,3,1).

    I là trung điểm của AA' nên: {x_{A'}} + 2 = 2;{y_{A'}} - 1 = 6;{z_{A'}} + 1 = 2

    \Rightarrow A'(0,7,1).

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'.ABC. là tứ diện đều cạnh a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AA';BB'. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (CMN).

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là trung điểm của AB

    Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho \left\{ \begin{matrix} O(0;0;0),A\left( \frac{1}{2};0;0 ight),B\left( - \frac{1}{2};0;0 ight) \\ C\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{2};0 ight),H\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};0 ight);AH' = \frac{a\sqrt{6}}{3} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow A'\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight)

    Ta có: \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'} \Rightarrow B'\left( - 1;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight). Dễ thấy (ABC) có VTTP \overrightarrow{n_{1}} = (0;0;1)

    M là trung điểm AA′\Rightarrow M\left( \frac{1}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)

    N là trung điểm BB′ \Rightarrow N\left( \frac{- 3}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MN} = ( - 1;0;0) \\\overrightarrow{CM} = \left( \dfrac{1}{4};\dfrac{-5\sqrt{3}}{12};\dfrac{\sqrt{6}}{6} ight) \\\end{matrix} ight.

    Suy ra (CMN) có VTTP \overrightarrow{n_{2}} = \left( 0;\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{5\sqrt{3}}{12} ight) = \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 0;2\sqrt{2};5 ight)

    \cos\varphi = \frac{5}{\sqrt{33}}\Rightarrow \tan\varphi = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\varphi} - 1} =\frac{2\sqrt{2}}{5}

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng \left( \alpha ight):x + 5y - z + 1 = 0,\left( \beta ight):2x - y + z + 4 = 0.

    Gọi \varphi là góc nhọn tạo bởi (\alpha) và (\beta) thì giá trị đúng của cos \varphi là:

    Theo đề bài đã cho PTTQ , ta suy ra được các vecto pháp tuyến tương ứng là:

    (\alpha) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow a = \left( {1,5, - 2} ight)

    (\beta) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow b = \left( {2, - 1,1} ight)

    Áp dụng công thức tính cosin giữa 2 vecto, ta có:

    \cos \varphi = \frac{{\left| {1.2 + 5\left( { - 1} ight) + \left( { - 2} ight).1} ight|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {{\left( { - 2} ight)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} ight)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{6}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 6z + 5 = 0 và mặt phẳng (\alpha):2x + y + 2z - 15 = 0. Mặt phẳng (P) song song với (\alpha) và tiếp xúc với (S) là

    Ta có:

    (S) có tâm I (1; −2; 3), bán kính R = 3. (P) song song với (α)

    ⇒(P):2x + y + 2z + m = 0, với m eq - 15

    Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 15 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight., so với điều kiện ta nhận m = 3.

    Vậy (P):2x + y + 2z + 3 = 0.

  • Câu 15: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;1),B(1;0;1),C(1;1;0). Có bao nhiêu điểm M cách đều các mặt phẳng (ABC),(OBC),(OAC),(OAB)?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (0;1;1);\overrightarrow{OB} = (1;0;1) \\ \overrightarrow{OC} = (1;1;0);\overrightarrow{AB} = (1; - 1;0) \\ \overrightarrow{AC} = (1;\ 0; - 1) \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = (1;\ 1; - 1) \Rightarrow (OAB):x + y - z = 0

    Ta có: \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{OC} ightbrack = ( - 1;1;1) \Rightarrow (OBC): - x + y + z = 0

    Gọi điểm M(a;b;c) cách đều các mặt phẳng (ABC),(OBC),(OAC),(OAB)

    Từ d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(OBC) ight)

    \Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{| - a + b + c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = c(1) \\ b = c(2) \\ \end{matrix} ight.

    Từ d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(OAC) ight)

    \Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{| - a + b - c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0(3) \\ b = c(4) \\ \end{matrix} ight.

    Từ d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(ABC) ight)

    \Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{|a + b + c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 0(5) \\ a = - b(6) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (1), (3), (5) suy ra a = c = 0, b khác 0 tùy ý.

    Như vậy có vô số điểm cách đều bốn mặt phẳng

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) có phương trình dạng x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0. Tập hợp các giá trị thực của tham số a để (S) có chu vi 8\pi?

    Đường tròn lớn có chu vi là 8\pi nên bán kính của (S) là \frac{8\pi}{2\pi} = 4

    Từ phương trình của (S) suy ra bán kính của (S) là R = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10a}

    Do đó \sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10a} = 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = - 1 \\ a = 11 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là: a \in \left\{ - 1;11 ight\}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; - 3; - 1),B(4; - 1;2). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là

    Gọi (\alpha) là mặt phẳng trung trực của AB.

    Tọa độ trung điểm của AB là I\left( 3; - 2;\frac{1}{2} ight)

    Vectơ pháp tuyến của (\alpha) là \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (2;2;3)

    Phương trình mặt phẳng

    \begin{matrix}(\alpha):2(x - 3) + 2(y + 2) + 3\left( z - \dfrac{1}{2} ight) = 0 \hfill \\\Leftrightarrow 4x + 4y + 6z - 7 = 0 \hfill\\\end{matrix}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x - 2z - 6 = 0 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Viết phương trình đường thẳng \Delta nằm trong mặt phẳng (\alpha) cắt đồng thời vuông góc với d?

    Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix} x - 2z - 6 = 0 \\ x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(2;4; - 2)

    Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;0; - 2), đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1; - 1)

    Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1)

    Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1) nên có phương trình chính tắc: \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z + 2}{1}

  • Câu 19: Vận dụng

    Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M = (1; - 1;2) và hai đường thẳng d_{1} : \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight. d_{2}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{1}. Đường thẳng \Delta đi qua diểm M và cắt cả hai đường thẳng d_{1},d_{2} có véc tơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;a;b). Tính a + b?

    Gọi A,B lần lượt là giao điểm của đường thẳng \Delta với d_{1},d_{2}

    A \in d_{1} \Rightarrow A\left( t_{1};1 - t_{1}; - 1 ight);B \in d_{2} \Rightarrow B\left( - 1 + 2t_{2};1 + t_{2}; - 2 + t_{2} ight)

    M \in \Delta \Leftrightarrow M,A,B\ \text{thẳng\ hàng~} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB}(1)

    \overrightarrow{MA} = \left( t_{1} - 1;2 - t_{1}; - 3 ight);\overrightarrow{MB} = \left( 2t_{2} - 2;t_{2} + 2;t_{2} - 4 ight)

    (1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 1 = k(2t_{2} - 2) \\ 2 - t_{1} = k(t_{2} + 2) \\ - 3 = k(t_{2} - 4) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 2kt_{2} + 2k = 1 \\ - t_{1} - kt_{2} - 2k = - 2 \\ kt_{2} - 4k = - 3 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} = 0 \\ kt_{2} = \frac{1}{3} \\ k = \frac{5}{6} \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.

    Từ t_{1} = 0 \Rightarrow A(0;1; - 1).

    Do đường thẳng \Delta đi qua điểm A và M nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng \Delta là \overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{AM} = (1; - 2;3).

    Vậy a = - 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 1

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(1;2;3) và có véc-tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (2;4;6). Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng \Delta?

    Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight..

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 70 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập