Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 2z - 19 = 0$ và mặt phẳng $(P):2x - y - 2z + m + 3 = 0$ , với $m$ là tham số. Gọi $T$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có chu vi $6\pi$ . Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc $T$ bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $24$
- C.
  $- 20$
- D.
  $- 16$
Mặt cầu $(S):(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 25$ có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.

Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:

$d\left( I;(P) ight) = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 4$

$\Leftrightarrow \frac{|4 - 1 + 2 + m + 3|}{3} = 4$

$\Leftrightarrow |m + 8| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = - 20 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ và mặt phẳng $(P):2x - y - 2z + 1 = 0$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\cos\alpha = \frac{4}{9}$
- B.
  $\cos\alpha = - \frac{4}{9}$
- C.
  $\sin\alpha = \frac{4}{9}$
- D.
  $\sin\alpha = - \frac{4}{9}$
Ta có: $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 1)$ , $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (2; - 1; - 2)$ .

Từ đó: $\sin\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ight) ight| = \left| \frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} ight| = \frac{4}{9}$
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):8x - 4y - 8z - 11 =0,$ $(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):8x - 4y - 8z - 11 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (8; - 4; - 8)$

$(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{2}; - \sqrt{2};0 ight)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 8.\sqrt{2} + 4.\sqrt{2} - 8.0 ight|}{\sqrt{8^{2} + ( - 4)^{2} + ( - 8)^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{2} ight)^{2} + \left( - \sqrt{2} ight)^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 4: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(0; 8; 2)$ , điểm $B(9; −7; 23)$ và mặt cầu $(S) : (x − 5)^2 + (y + 3)^2 + (z − 7)^2 = 72$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến $(P)$ là lớn nhất. Biết $\vec{n} = (1; m; n)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ . Tính $mn$ .
- A.
  $- 2$
- B.
  $- 4$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Mặt cầu (S) có tâm I(5; −3; 7); bán kính $R = 6\sqrt{2}$ .

Phương trình mặt phẳng $(P) : 1(x − 0) + m(y − 8) + n(z − 2) = 0.$

Vì (P) và (S) tiếp xúc nhau nên:

$d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 6\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow |5 - 11m + 5n| = 6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(*)$

Ta có: $d\left( B;(P) ight) = \frac{|9 - 15m + 21n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}}$

Ta có:

$|9 - 15m + 21n| = |5 - 11m + 5n + 4 - 4m + 16n|$

$\leq |5 - 11m + 5n| + |4 - 4m + 16n|(**)$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

$(4 - 4m + 16n)^{2} \leq \left( 4^{2} + 4^{2} + 16^{2} ight)\left( 1 + m^{2} + n^{2} ight) = 288\left( 1 + m^{2} + n^{2} ight)$

$\Rightarrow |4 - 4m + 16n| \leq 12\sqrt{2}.\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(***)$

Từ (*); (**); (***) ta có:

$|9 - 15m + 21n| \leq 18\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{\begin{matrix}|5 - 11m + 5n| = 6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}} \\(5 - 11m + 5n)(4 - 4m + 16n) \geq 0 \\\dfrac{1}{4} = \dfrac{m}{- 4} = \dfrac{n}{16} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow m = - 1;n = 4 \Rightarrow mn = - 4$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $d:\frac{x - 12}{4} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z - 1}{1}$ và mặt phẳng $(P):3x + 5y - z - 2 = 0$ ?
- A.
  $(1;0;1)$
- B.
  $(0;0; - 2)$
- C.
  $(1;1;6)$
- D.
  $(12;9;1)$
Gọi I là giao điểm của d và (P).

Ta có $I \in d \Leftrightarrow I(4t + 12;3t + 9;t + 1)$

$I \in (P) \Leftrightarrow 3(4t + 12) + 5(3t + 9) - (t + 1) - 2 = 0$

$\Leftrightarrow 26t = - 78 \Leftrightarrow t = - 3$

Suy ra $I(0;0; - 2)$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 25$ . Đường thẳng d cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $A, B$ . Biết tiếp diện của $(S)$ tại $A, B$ vuông góc. Tính độ dài $AB$ .
- A.
  $AB = \frac{5}{2}$
- B.
  $AB = 5$
- C.
  $AB = 5\sqrt{2}$
- D.
  $AB = \frac{5\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; −1)$ , bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.

Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.

Suy ra $AB = IA.\sqrt{2} = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ .
Câu 7: Vận dụng
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):2x + y - 2z + 9 = 0$ và ba điểm $A(2; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 3;-1)$ . Điểm M ∈ (α) sao cho $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $x_{M} + y_{M} + z_{M} = 1$
- B.
  $x_{M} + y_{M} + z_{M} = 4$
- C.
  $x_{M} + y_{M} + z_{M} = 3$
- D.
  $x_{M} + y_{M} + z_{M} = 2$
Xét điểm I(a; b; c) thỏa mãn: $2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

Khi đó

$\left\{ \begin{matrix} 2(2 - a) - 3a - 4(1 - a) = 0\ \\ 2(1 - b) + 3(2 - b) - 4(3 - b) = 0\ \\ - 2c + 3(1 - c) - 4( - 1 - c) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0\ \\ b = - 4\ \\ c = 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0; - 4;7)$

Khi đó:

$\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| = \left| 2\overrightarrow{MI} + 3\overrightarrow{MI} - 4\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 4\overrightarrow{IC} ight| = IM$

Do đó $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì M là hình chiếu của I trên mặt phẳng $(\alpha)$ .

Do $M(x;y;z)$ là hình chiếu của I trên mặt phẳng $(\alpha)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IM} = k.\overrightarrow{n} \\ M \in (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2k\ \\ y + 4 = k\ \\ z - 7 = - 2k\ \\ 2x + y - 2z + 9 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = 1 \\ x = 2\ \\ y = - 3\ \\ z = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $M = (2; - 3;5) \Rightarrow x_{M} + y_{M} + z_{M} = 4$ .
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;1; - 1)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và chứa trục $Ox$ là:
- A.
  $x + y = 0$
- B.
  $x + z = 0$
- C.
  $y - z = 0$
- D.
  $y + z = 0$
Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n}(0;1;1)$ và đi qua điểm $A(1;1; - 1)$ .

Suy ra phương trình $(P):y + z = 0$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - 2y + z + 2017 = 0$ , véc tơ nào trong các vectơ được cho dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (4; - 4;2)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 4;4)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 2;2)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = ( - 2;2;1)$
Ta có phương trình mặt phẳng $(P):2x - 2y + z + 2017 = 0$ nên có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: $\overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 2;1)$

Mặt khác $\overrightarrow{n} = (4; - 4;2)$ cùng phương với $\overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 2;1)$

Do đó $\overrightarrow{n} = (4; - 4;2)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P):2x - 2y + z + 2017 = 0$ .
Câu 10: Vận dụng
Cho tam giác ABC với $A\left( {\,1,\,\, - 2,\,\,6\,} ight);\,\,B\left( {\,2,\,\,5,\,\,1} ight);\,\,C\left( {\, - 1,\,\,8,\,\,4} ight)$ . Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $(R)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ song song phân giác ngoài AF của góc A?
- A. $x\,\, - \,\,23y\,\, + \,\,10z\,\, - 108 = \,\,\,0$
- B. $x\,\, + \,\,3y\,\, + \,\,z = \,\,0$
- C. $3x\,\, - \,\,z = \,\,0$
- D. $x\,\, - \,\,3y\,\, - \,\,z = \,\,0$
Một vecto chỉ phương của $(R)$ là $\overrightarrow n = 12\left( {3,1,2} ight)$
Ta có :
$\begin{array}{l}A{B^2} = 75 \Rightarrow AB = 5\sqrt 3 ;A{C^2} = 108 \Rightarrow AC = 6\sqrt 3 \\6\overrightarrow {FB} = 5\overrightarrow {FC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {2 - x} ight) = 5\left( { - 1 - x} ight)\\6\left( {5 - y} ight) = 5\left( {8 - y} ight)\\6\left( {1 - z} ight) = 5\left( {4 - z} ight)\end{array} ight. \Rightarrow F\left\{ \begin{array}{l}x = 17\\y = - 10\\z = - 14\end{array} ight.\end{array}$
Vecto chỉ phương thứ hai $\overrightarrow {AF} = 4\left( {4, - 2, - 5} ight)$
Suy ra vecto pháp tuyến của $(R)$ là $\overrightarrow N = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {AF} } ight] = \left( { - 1,23, - 10} ight)$
Mp $(R)$ đi qua $A (1, -2, 6)$ và nhận vecto $(-1, 23, -10)$ làm 1 VTPT có phương trình là:
$\Rightarrow \left( R ight):\left( {x - 1} ight)\left( { - 1} ight) + \left( {y + 2} ight)23 + \left( {z - 6} ight)\left( { - 10} ight) = 0$
$\Leftrightarrow x - 23y + 10z - 108 = 0$
Câu 11: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$ , $AB = BC = a,AD = 2a$ , $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ , $SA = a$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $CD$ . Tính cosin của góc giữa $MN$ và $(SAC)$ .
- A.
  $\frac{2}{\sqrt{5}}$
- B.
  $\frac{\sqrt{55}}{10}$
- C.
  $\frac{3\sqrt{5}}{10}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{5}}$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ, với $O \equiv A$ . Khi đó ta có: $A(0;0;0),B(a;0;0),$ $C(a;a;0),D(0;2a;0),S(0;0;a)$ .

Khi đó: $M\left( \frac{a}{2};0;\frac{a}{2} ight),N\left( \frac{a}{2};\frac{3a}{2};0 ight)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \frac{- 1}{a}\overrightarrow{SA} = (0;0;1) = \overrightarrow{u} \\ \frac{1}{a}\overrightarrow{SC} = (1;1; - 1) = \overrightarrow{v} \\ \end{matrix} ight.$ . Gọi $\overrightarrow{n}$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) ta có $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack = ( - 1; - 1;0)$

Lại có $\frac{2}{a}\overrightarrow{MN} = (0;3; - 1) = \overrightarrow{w}$

Gọi α là góc giữa MN và (SAC) ta có:

$\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{w} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{w} ight|} = \frac{3}{2\sqrt{5}} \Rightarrow \cos\alpha = \frac{\sqrt{55}}{10}$ .
Câu 12: Vận dụng cao
Cho điểm ${m{A(2, - 1,1)}}$ và đường thẳng $(\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}y + z - 4 = 0\\2x - y - z + 2 = 0\end{array} ight.$ . Gọi A' là điểm đối xứng của A qua $(\triangle)$ . Tọa độ điểm A' là:
- A. A' ( 1, 7, 0)
- B. A' ( 0, 7,1)
- C. A' ( 0, 1, 7)
- D. A' ( 7, 1, 0)
Đưa phương trình $(\triangle)$ về dạng tham số: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 - t\\z = t\end{array} ight.$
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với $(\triangle)$ .
Phương trình mp (P) có dạng $- y + z + D = 0$ , qua A nên D = -2
Phương trình (P) là: $y - z + 2 = 0$
Thế x, y, z từ phương trình $(\triangle)$ vào phương trình (P) được t=1
$\Rightarrow (\triangle ) \cap (\alpha ) = (1,3,1).$
I là trung điểm của AA' nên: ${x_{A'}} + 2 = 2;{y_{A'}} - 1 = 6;{z_{A'}} + 1 = 2$
$\Rightarrow A'(0,7,1)$ .
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):x + y - z + 1 = 0$ và $(Q):x - y + z - 5 = 0$ . Có bao nhiêu điểm $M$ trên trục $Oy$ thỏa mãn $M$ cách đều hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ ?
- A.
  $0$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Vì $M \in Oy$ nên $M(0;y;0)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}d\left( M;(P) ight) = \dfrac{|y + 1|}{\sqrt{3}} \\d\left( M;(Q) ight) = \dfrac{| - y - 5|}{\sqrt{3}} \\\end{matrix} ight.$ .

Theo giả thiết:

$d\left( M;(P) ight) = d\left( M;(Q) ight) \Leftrightarrow \frac{|y + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{| - y - 5|}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y + 1 = - y - 5 \\ y + 1 = y + 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = - 3(TM) \\ 0y = 4(L) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow M(0; - 3;0)$

Vậy có 1 điểm $M$ thỏa mãn bài.
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = - t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d':\frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{2}$ . Vị trí tương đối của $d$ và $d'$ là
- A.
  Song song
- B.
  Trùng nhau
- C.
  Chéo nhau
- D.
  Cắt nhau
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (3; - 1; - 2)$ và đi qua điểm M(−1; 0; 1).

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d'}} = ( - 3;1;2)$ .

Hai vectơ $\overrightarrow{u_{d}}$ và $\overrightarrow{u_{d'}}$ cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.

Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $I(2;3;4)$ và $A(1;2;3)$ . Phương trình mặt cầu tâm $I$ và đi qua $A$ có phương trình là:
- A.
  $(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 4)^{2} = 3$
- B.
  $(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 4)^{2} = 9$
- C.
  $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 4)^{2} = 45$
- D.
  $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 4)^{2} = 3$
Bán kính mặt cầu là $R = IA = \sqrt{3}$

Phương trình mặt cầu tâm $I(2;3;4)$ và $R = IA = \sqrt{3}$ là:

$(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 4)^{2} = 3$
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu có tâm $I(7;6; - 5)$ và bán kính $9$ ?
- A.
  $(x + 7)^{2} + (y + 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 81$ .
- B.
  $(x + 7)^{2} + (y + 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 9$ .
- C.
  $(x - 7)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 5)^{2} = 81$ .
- D.
  $(x - 7)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 5)^{2} = 9$ .
Mặt cầu tâm $I(7;6; - 5)$ , bán kính $R = 9$ có phương trình lá:

$(x - 7)^{2} + (y - 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 81$ .
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ ,cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2t' \\ y = - 1 + t' \\ z = t' \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} ight)$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ là:
- A.
  $\frac{1}{\sqrt{14}}$
- B.
  $\sqrt{7}$
- C.
  $\sqrt{14}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{7}}$
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;1; - 1)$

Đường thẳng $d'$ đi qua điểm $B(0; - 1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d'}} = (2;1;1);\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1;0)$

$\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack = \left( \left| \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} ight|;\left| \begin{matrix} - 1 & - 1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} ight|;\left| \begin{matrix} - 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} ight| ight) = (2; - 1; - 3)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ là:

$d(d;d') = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack.\overrightarrow{AB} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack ight|} = \frac{1}{\sqrt{14}}$
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + 2y - 5z - 3 = 0$ và hai điểm $A(3;1;1),B(4;2;3)$ . Gọi $(Q)$ là mặt phẳng qua $AB$ và vuông góc với $(P)$ . Phương trình nào là phương trình của mặt phẳng $(Q)$ ?
- A.
  $9x - 7y - z + 19 = 0$
- B.
  $- 9x + 7y + z - 19 = 0$
- C.
  $- 9x - 7y + z - 19 = 0$
- D.
  $9x - 7y - z - 19 = 0$
Vì $(Q)$ là mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với $(P)$ nên mặt phẳng $(Q)$ nhận $\overrightarrow{AB} = (1;1;2);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1;2; - 5)$ làm hai vectơ chỉ phương.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\overrightarrow{n_{(Q)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = ( - 9;7;1)$

Phương trình mặt phẳng

$(Q): - 9(x - 3) + 7(y - 1) + 1(z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow 9x - 7y - z - 19 = 0$
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $M(1;3; - 1)$
- B.
  $M( - 3;5;3)$
- C.
  $M(3;5;3)$
- D.
  $M(1;2; - 3)$
Nếu một điểm nằm trên một đường thẳng thì khi thay tọa độ điểm đó vào phương trình đường thẳng thì sẽ thỏa mãn phương trình đường thẳng.

Lần lượt thay tọa độ M từ các phương án vào phương trình đường thẳng d ta được M(−3; 5; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 20: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD) và SA = a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SB, SD. Côsin của góc hợp bới hai mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $\sqrt{3}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho $A≡ O, B∈Ox, D∈Oy, S∈Oz.$

$\Rightarrow B(a;0;0),D(0;a;0),S(0;0;a)$

$\Rightarrow E\left( \frac{a}{2};0;\frac{a}{2} ight),F\left( 0;\frac{a}{2};\frac{a}{2} ight)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AE} = \left( \frac{a}{2};0;\frac{a}{2} ight);\overrightarrow{AF} = \left( 0;\frac{a}{2};\frac{a}{2} ight)$

Vectơ pháp tuyến của mp(AEF) là $\overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AF} ightbrack = \left( \frac{- a}{4};\frac{- a}{4};\frac{a}{4} ight)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{1}} = (1;1; - 1)$

Vectơ pháp tuyến của mp(ABCD) là: $\overrightarrow{n_{2}} = \overrightarrow{AS} = (0;0;a)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{2}} = (0;0;1)$

Vậy côsin góc giữa 2 mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là:

$\cos\left( (AEF);(ABCD) ight) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

42 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!