Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tứ diện đều
có
với
. Tính
?
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G(2; 0; 3).
Ta có:
Đường thẳng đi qua G vuông góc với (ABC) có phương trình
Do đó
Mà
Vì
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tứ diện đều
có
với
. Tính
?
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G(2; 0; 3).
Ta có:
Đường thẳng đi qua G vuông góc với (ABC) có phương trình
Do đó
Mà
Vì
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm
và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là
. Máy bay sẽ bay qua điểm
của đường màu
để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm
, hãy tính giá trị biểu thức
.
Đáp án: 50
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là
. Máy bay sẽ bay qua điểm
của đường màu
để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm
, hãy tính giá trị biểu thức
.
Đáp án: 50
Ta có:
Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP có dạng
Điểm và
Ta có:
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu ![]()
Ta có:
Vậy tọa độ bán kính và bán kính mặt cầu lần lượt là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của
.
Mặt phẳng trung trực nhận
làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm
của
nên ta có phương trình mặt phẳng
là:
.
Cho mặt cầu S(O;R) , A là một điểm ở trên mặt cầu (S) và (P) là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng
. Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của (O) trên (P) thì
● H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).
●
Bán kính của đường tròn giao tuyến: .
Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: .
Trong không gian
, cho tam giác
với
. Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh
của tam giác
nhận vectơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ phương?
Gọi là trung điểm của
, suy ra tọa độ điểm
.
Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có vectơ chỉ phương là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng
đi qua
và có vectơ chỉ phương
cắt
tại điểm
. Điểm
thay đổi trong
sao cho
luôn nhìn đoạn
dưới góc
. Khi độ dài
lớn nhất, đường thẳng
đi qua điểm nào trong các điểm sau?
Hình vẽ minh họa
Phương trình
Đường thẳng d cắt P tại B(−2; −2; 1).
Gọi H là hình chiếu của A lên (P).
Ta có: H(−3; −2; −1).
Vì MB ⊥ MA; MB ⊥ AH nên MB ⊥ MH suy ra MB ≤ BH.
Do đó: MB lớn nhất bằng BH khi M ≡ H
Vậy MB đi qua B, nhận là vectơ chỉ phương.
Phương trình do đó MB đi qua điểm
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho phương trình đường thẳng
. Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng
?
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:
.
Cho hình lập phương
cạnh
.

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
b) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
c) Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
d) Góc nhị diện
có số đo bằng
. Đúng||Sai
Cho hình lập phương cạnh
.
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
b) Góc giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
d) Góc nhị diện có số đo bằng
. Đúng||Sai
a) Vì ,
nên
. Mệnh đề đúng.
b) Do nên
. Mệnh đề đúng.
c) Vì nên
. Mệnh đề sai.
d) Ta có ,
nên góc nhị diện
có số đo bằng
. Mệnh đề đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
đi qua
và chứa trục
có phương trình là:
Ta có: (P) có cặp véc-tơ chỉ phương
Khi đó véc-tơ pháp tuyến của (P) là , ta chọn
.
Mặt phẳng (P) đi qua và có véc-tơ pháp tuyến
nên có phương trình
hay
.
Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua
và có một vectơ chỉ phương
với
có phương trình chính tắc là:
Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua và có một vectơ chỉ phương
với
có phương trình chính tắc là:
Trong không gian
. Cho
với
. Biết mặt phẳng
qua điểm
và thể tích tứ diện
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình
:
Phương trình mặt phẳng
Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Thể tích tứ diện là
Đẳng thức xảy ra khi
Phương trình mặt phẳng là
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho phương trình
. Viết phương trình mặt phẳng
, biết
song song với mặt phẳng
và cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có chu vi
?
Vì nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
.
Đường tròn lớn có chu vi là nên bán kính của
là
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3
Từ đó ta có:
Vì nên phương trình mặt phẳng (α) là
Đường thẳng (d):
có phương trình tham số là:
Ta có đường thẳng (d) qua A ( 2, -1, 4) và có vectơ chỉ phương là có phương trình tham số là:
=> (d)
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Chọn khẳng định đúng.
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Ta có
⇒ .
Trong hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
là
Gọi là mặt phẳng trung trực của
.
Tọa độ trung điểm của là
Vectơ pháp tuyến của là
Phương trình mặt phẳng
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính góc tạo bởi
với trục
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Trục có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa và mặt phẳng
:
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
có các vectơ pháp tuyến là
. Góc
là góc giữa hai mặt phẳng đó
là biểu thức nào sau đây?
Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:
Trong không gian cho ba điểm
và
. Biết mặt
phẳng qua
và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện
có một vectơ pháp tuyến là
. Tổng
là?
Phương trình là:
Phương trình là:
.
Phương trình là:
Phương trình là:
.
Gọi là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện
.
Do đó:
nằm cùng phía với A đối với
suy ra:
.
nằm cùng phía với B đối với
suy ra:
.
nằm cùng phía với C đối với
suy ra:
.
nằm cùng phía với O đối với
suy ra:
.
Suy ra:
Suy ra: ,
cùng phương với .
Suy ra có một VTPT là
.
Vậy: .
Trong hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có đường kính
, với
. Viết phương trình
tiếp xúc với mặt cầu
tại
?
Hình vẽ minh họa
Vì mặt cầu có đường kính là AB nên tâm I của mặt cầu
là trung điểm của
.
Mặt cầu có tâm I(1; 1; 1).
Vì tiếp xúc với
tại
nên
đi qua
và nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Suy ra