Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và đường thẳng
. Điểm
mà tổng
có giá trị nhỏ nhất có tọa độ là:
Vì nên ta có tọa độ điểm
.
Ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của là
khi
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và đường thẳng
. Điểm
mà tổng
có giá trị nhỏ nhất có tọa độ là:
Vì nên ta có tọa độ điểm
.
Ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của là
khi
.
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
,
. Đường thẳng
đi qua điểm
vuông góc với
và cắt đường thẳng
có phương trình là:
Đường thẳng có phương trình tham số là:
Gọi giao điểm của ∆ và d2 là
Đường thẳng
là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Phương trình
Trong không gian
, cho ba điểm
. Mặt phẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có: suy ra
Mặt phẳng đi qua điểm
, có 1 vectơ pháp tuyến
nên có phương trình là:
Vì nên
.
Tính góc của hai đường thẳng
và
.
Theo đề bài, ta có (d’) và (d) có vec-tơ chỉ phương lần lượt là:
Áp dụng công thức cosin của góc giữa 2 đường thẳng, ta có:
Trong hệ tọa độ
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Gọi
là mặt phẳng song song với
và cắt
theo thiết diện là đường tròn
sao cho khối nón có đỉnh là tâm của mặt cầu và đáy là hình tròn giới hạn bởi
có thể tích lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng
là
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và bán kính
Gọi r là bán kính đường tròn (C) và H là hình chiếu của I lên (Q).
Đặt IH = x ta có:
Vậy thể tích khối nón tạo được là:
Gọi ta có:
chỉ có
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy khi
Mặt phẳng (Q) // (P) nên
Vậy
Vậy mặt phẳng (Q) có phương trình hoặc
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
. Mặt cầu
có tâm
và đi qua hai điểm
có phương trình là:
Ta có:
Vì đi qua hai điểm
nên
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Cho
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
song song với mặt phẳng
và
cách điểm
một khoảng bằng
. Phương trình mặt phẳng
là:
Vì
Mà
Vậy .
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
, SAB là tam giác đều và
vuông góc với
. Tính cosϕ với ϕ là góc tạo bởi
và ![]()
Hình vẽ minh họa
Gọi O M, lần lượt là trung điểm của AB; CD.
Vì SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD) nên SO ⊥ (ABCD).
Xét hệ trục có
Suy ra
Suy ra
Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Đường thẳng d cắt mặt cầu
tại hai điểm
. Biết tiếp diện của
tại
vuông góc. Tính độ dài
.
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm , bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.
Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.
Suy ra .
Trong không gian
đường thẳng
và mặt phẳng
. Góc giữa mặt phẳng
và đường thẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
?
Ta có:
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
Vậy đáp án cần tìm là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho tổng khoảng cách từ
và
đến
lớn nhất, biết rằng
không cắt đoạn
. Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Kiểm tra : Mặt phẳng (P) có phương trình 2x − 2y − z − 1 = 0.
Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại .
Kiểm tra : Mặt phẳng (P) có phương trình x+ 2z −3 = 0.
Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B ∈ (P) nên loại .
Kiểm tra : Mặt phẳng (P) có phương trình −x + 2y − z + 2 = 0.
Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại .
Kiểm tra v: Mặt phẳng (P) có phương trình x − 2z + 1 = 0.
Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về cùng phía (P) nên chọn .
Trong không gian Oxyz, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
qua A và nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
.
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Cho hình lập phương
có cạnh
. Góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ
Khi đó:
Chọn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Chọn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng và
bằng:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?
Phương trình là phương trình của một mặt cầu nếu
.
Vậy phương trình không phải phương trình mặt cầu là:
Trong không gian
, cho mặt cầu
có tọa độ tâm
là:
Tâm của có tọa độ là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, đường thẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
Nếu một điểm nằm trên một đường thẳng thì khi thay tọa độ điểm đó vào phương trình đường thẳng thì sẽ thỏa mãn phương trình đường thẳng.
Lần lượt thay tọa độ M từ các phương án vào phương trình đường thẳng d ta được M(−3; 5; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong không gian
, mặt phẳng
. Một véc tơ pháp tuyến của
có tọa độ là?
Mặt phẳng có VTPT là:
Cho hai đường thẳng: ![]()
và mặt phẳng
.
Hình chiếu của
theo phương của
lên mặt phẳng
có phương trình tổng quát:
Vectơ chỉ phương của Vectơ chỉ phương của
Phương trình của mặt phẳng chứa và có phương của
có dạng:
Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này
=> D = -53
Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng là hình chiếu của
theo phương của
lên
: