Trong không gian
cho
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Phương trình mặt phẳng là
Trong không gian
cho
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Phương trình mặt phẳng là
Cho
và hai mặt phẳng
. Khi đó:
Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn, do đó A ∈ (Q).
Vì nên
.
Cho mặt phẳng
qua điểm
và chắn trên ba trục tọa độ
theo ba đoạn có số đo đại số a, b, c. Viết phương trình tổng quát của
khi a, b, c tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2.
Theo đề bài, ta có a, b, c là cấp số nhân với công bội q=2
Phương trình của
(P) qua
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
. Gọi
là điểm nằm trên mặt phẳng
sao cho độ dài đoạn thẳng
ngắn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng
.
Ta có: là trọng tâm tam giác
nên
Mặt phẳng có phương trình
.
ngắn nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
. Khi đó, ta có:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
. Tìm tọa độ giao điểm
của đường thẳng
và
, biết đường thẳng d' có phương trình 
Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo thiết diện là đường tròn bán kính
bằng bao nhiêu?
Mặt cầu có tâm
và bán kính
.
Khoảng cách từ tâm đến
bằng
.
Trong không gian tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Gọi
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có: có một vectơ chỉ phương là
,
có một vectơ pháp tuyến là
.
Từ đó:
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
và
. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d’ một góc lớn nhất.
Đường thẳng có véc-tơ chỉ phương lần lượt là
.
Lấy điểm .
Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng
và cắt trục hoành tại điểm
.
Khi đó có cặp véc-tơ chỉ phương là
và
, suy ra
có véc-tơ pháp tuyến
Gọi là góc giữa đường thẳng
và
, suy ra
Đặt , suy ra
.
Nhận thấy, để góc lớn nhất thì
lớn nhất, điều đó đồng nghĩa với
phải lớn nhất.
Xét .
Trường hợp .
Trường hợp .
Phương trình có nghiệm
khi và chỉ khi
Từ đó suy ra, để tồn tại suy ra
.
Vậy khi đó
. Từ đó suy ra
và mặt phẳng
có phương trình
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Khi hai mặt phẳng
,
tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì mặt phẳng
đi qua điểm M nào sau đây?
Gọi là góc giữa
và
.
Ta có:
Do nên
nhỏ nhất khi
lớn nhất
.
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và điểm
. Viết phương trình đường thẳng qua
và vuông góc với
.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là
nên đường thẳng cần tìm có vectơ chỉ phương là
.
Vậy phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với
là:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
tâm
bán kính
. Bán kính đường tròn giao của mặt phẳng
và mặt cầu
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi bán kính đường tròn giao của mặt phẳng và mặt cầu
là
Ta có:
Suy ra
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là
. Tính tổng ![]()
Hình vẽ minh họa
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.
Phương trình tham số của
Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.
Khi đó
Lại có:
Vậy lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K
Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).
Vectơ pháp tuyến của (Q) là
Vectơ pháp tuyến của (P) là
Phương trình mặt phẳng (P) là
Vậy
Trong không gian
, cho tam giác
với
. Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh
của tam giác
nhận vectơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ phương?
Gọi là trung điểm của
, suy ra tọa độ điểm
.
Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có vectơ chỉ phương là
.
Trong không gian
, điểm
thuộc trục
và cách đều hai mặt phẳng
và
có tọa độ là?
Ta có suy ra
.
Theo đề bài ra ta có:
Vậy .
Trong hệ tọa độ
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Gọi
là mặt phẳng song song với
và cắt
theo thiết diện là đường tròn
sao cho khối nón có đỉnh là tâm của mặt cầu và đáy là hình tròn giới hạn bởi
có thể tích lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng
là
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và bán kính
Gọi r là bán kính đường tròn (C) và H là hình chiếu của I lên (Q).
Đặt IH = x ta có:
Vậy thể tích khối nón tạo được là:
Gọi ta có:
chỉ có
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy khi
Mặt phẳng (Q) // (P) nên
Vậy
Vậy mặt phẳng (Q) có phương trình hoặc
Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là p. Một mặt phẳng
cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là
. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng
bằng:
Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu.
Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R.
Theo giả thiết, ta có và
Suy ra .
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a; AD = b; AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với
lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng MN.
Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:
(MN) là đường thẳng đi qua M và nhận vecto là 1 VTCP có PT là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Viết phương trình đường thẳng
?
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
. Suy ra phương trình đường thẳng
là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Tâm mặt cầu
có tọa độ là:
Mặt cầu có tâm là
Mặt cầu có tâm
.