Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x + y - 2z + 1 = 0$ đi qua điểm $M(1; - 2;0)$ và cắt đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 11 + 2t \\ y = 2t \\ z = - 4t \\ \end{matrix}\ (t \in \mathbb{R}) ight.$ tại $N$ . Tính độ dài đoạn $MN$ .
- A.
  $7\sqrt{6}$ .
- B.
  $3\sqrt{11}$ .
- C.
  $\sqrt{10}$ .
- D.
  $4\sqrt{5}$ .
Điểm $N \in (d) \Rightarrow N(11 + 2t;2t; - 4t)$ . Mặt khác $N \in (\alpha)$ nên

$11 + 2t + 2t - 2( - 4t) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

Điểm $N(9; - 2;4) \Rightarrow \overrightarrow{MN} = (8;0;4) \Rightarrow MN = 4\sqrt{5}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 3 - t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $(Oxy)$ một góc $45^{0}$ . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $M(3;2;1)$
- B.
  $M(3;2; - 1)$
- C.
  $M(3; - 1;2)$
- D.
  $M(3; - 1; - 2)$
Ta viết phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y + z - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên có dạng:

$\left\{ \begin{matrix} mx + n(y + z - 3) = 0 \\ m^{2} + n^{2} eq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow mx + ny + nz - 3n = 0$

⇒ $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{(P)}} = (m;n;n)$

Mặt phẳng $(Oxy)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Ta có:

$\cos\left( (P);(Oxy) ight) = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{k} ight) ight|$

$\Leftrightarrow \cos45^{0} = \frac{\left|\overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{k} ight|}{\left|\overrightarrow{n_{(P)}} ight|.\left| \overrightarrow{k} ight|}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|n|}{\left| m^{2} + n^{2} +n^{2} ight|}$

$\Leftrightarrow \left| m^{2} + 2n^{2} ight| = \sqrt{2}|n| \Leftrightarrow m^{2} = 0 \Leftrightarrow m = 0$

Chọn $n = 1 \Rightarrow (P):y + z - 3 = 0 \Rightarrow M(3;2;1) \in (P)$
Câu 3: Vận dụng
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $A'.ABC$ . là tứ diện đều cạnh $a$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AA';BB'$ . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(CMN)$ .
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{5}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{2}}{5}$
- D.
  $\frac{4\sqrt{2}}{13}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là trung điểm của AB

Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho $\left\{ \begin{matrix} O(0;0;0),A\left( \frac{1}{2};0;0 ight),B\left( - \frac{1}{2};0;0 ight) \\ C\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{2};0 ight),H\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};0 ight);AH' = \frac{a\sqrt{6}}{3} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow A'\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'} \Rightarrow B'\left( - 1;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight)$ . Dễ thấy $(ABC)$ có VTTP $\overrightarrow{n_{1}} = (0;0;1)$

M là trung điểm AA′ $\Rightarrow M\left( \frac{1}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)$

N là trung điểm BB′ $\Rightarrow N\left( \frac{- 3}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)$

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MN} = ( - 1;0;0) \\\overrightarrow{CM} = \left( \dfrac{1}{4};\dfrac{-5\sqrt{3}}{12};\dfrac{\sqrt{6}}{6} ight) \\\end{matrix} ight.$

Suy ra $(CMN)$ có VTTP $\overrightarrow{n_{2}} = \left( 0;\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{5\sqrt{3}}{12} ight) = \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 0;2\sqrt{2};5 ight)$

$\cos\varphi = \frac{5}{\sqrt{33}}\Rightarrow \tan\varphi = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\varphi} - 1} =\frac{2\sqrt{2}}{5}$
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ ; cho bốn điểm $A(2;0;2),B(1; - 1; - 2),$ $C( - 1;1;0),D( -2;1;2)$ . Tính thể tích tứ diện $ABCD$ .
- A.
  $V = \frac{42}{3}$
- B.
  $V = \frac{14}{3}$
- C.
  $V = \frac{21}{3}$
- D.
  $V = \frac{7}{3}$
Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 1; - 1; - 4) \\ \overrightarrow{AD} = ( - 4;1;0) \\ \end{matrix} ight.$ suy ra

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ightbrack = (6;10; - 4)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ightbrack.\overrightarrow{AD} = - 14$

Vậy thể tích tứ diện $ABCD$ là:

$V_{ABCD} = \frac{1}{6}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ightbrack.\overrightarrow{AD} ight| = \frac{7}{3}$
Câu 5: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SD =\frac{a\sqrt{17}}{2}$ , hình chiếu vuông góc $H$ của S trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm của đoạn $AB$ . Gọi $K$ là trung điểm đoạn $AD$ (tham khảo hình vẽ)
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SD =\frac{a\sqrt{17}}{2}$ , hình chiếu vuông góc $H$ của S trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm của đoạn $AB$ . Gọi $K$ là trung điểm đoạn $AD$ (tham khảo hình vẽ)
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 6: Nhận biết
Ba mặt phẳng $x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0$ cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:
- A. $A(1, 2, 3)$
- B. $A(1, -2, 3)$
- C. $A(-1, 2, 3)$
- D. $A(-1,2,-3)$
Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :
$\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z - 6 = 0\left( 1 ight)\\2x - y + 3z + 13 = 0\left( 2 ight)\\3x - 2y + 3z + 16 = 0\left( 3 ight)\end{array} ight.$
Giải (1),(2) tính $x,y$ theo $z$ được $x = - z - 4;y = z + 5$ .
Thế vào phương trình (3) được $z=-3$ , từ đó có $x = - 1,y = 2$
Vậy $A(-1,2,-3)$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ . Tính góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $150^{0}$
Mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 ight)$

Trục $Ox$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$

Gọi α là góc giữa $Ox$ và mặt phẳng $(P)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ , sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{5}{13}$
- B.
  $\frac{8}{13}$
- C.
  $\frac{1}{13}$
- D.
  $\frac{12}{13}$
Mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (4;3; - 1)$

Đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;3;1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu tâm $I\left( x_{0};y_{0} ; z_{0} ight)$ bán kính $R$ có phương trình là
- A.
  $\left( x - x_{0} ight)^{2} + \left( y - y_{0} ight)^{2} + \left( z - z_{0} ight)^{2} = R^{2}$ .
- B.
  $\left( x - x_{0} ight)^{2} + \left( y - y_{0} ight)^{2} - \left( z - z_{0} ight)^{2} = R^{2}$ .
- C.
  $\left( x - x_{0} ight)^{2} - \left( y - y_{0} ight)^{2} + \left( z - z_{0} ight)^{2} = R^{2}$ .
- D.
  $- \left( x - x_{0} ight)^{2} + \left( y - y_{0} ight)^{2} + \left( z - z_{0} ight)^{2} = R^{2}$ .
Mặt cầu tâm $I\left( x_{0};y_{0} ; z_{0} ight)$ và bán kính $R$ có phương trình là:

$\left( x - x_{0} ight)^{2} + \left( y - y_{0} ight)^{2} + \left( z - z_{0} ight)^{2} = R^{2}$
Câu 10: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}$ . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d$ và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là $ax + by + cz + 9 = 0$ . Tính tổng $a + b + c$
- A.
  $T = 9$
- B.
  $T = 5$
- C.
  $T = 3$
- D.
  $T = 4$
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)$

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

Phương trình tham số của $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

Khi đó $\left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}$

Lại có: $\cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}$

Vậy $\widehat{NMH}$ lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

Vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)$

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)$

Phương trình mặt phẳng (P) là $1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0$

Vậy $a + b + c = 4$
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x - 2z - 6 = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ cắt đồng thời vuông góc với $d$ ?
- A.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 2}{1}$
- B.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
- C.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
- D.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$
Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x - 2z - 6 = 0 \\ x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(2;4; - 2)$

Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$ , đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;1; - 1)$

Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1)$

Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1)$ nên có phương trình chính tắc: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - my + z - 1 = 0;(m \in R)$ , mặt phẳng $(Q)$ chứa trục $Ox$ và đi qua điểm $A(1; - 3;1)$ . Tìm tham số m để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau?
- A.
  $m = - 3$
- B.
  $m = - \frac{1}{3}$
- C.
  $m = \frac{1}{3}$
- D.
  $m = 3$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (1; - 3;1) \\ \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt phẳng $(Q)$ chứa trục $Ox$ và đi qua điểm $A(1; - 3;1)$ ⇒ (Q) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(Q)}} = \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{i} ightbrack = (0;1;3)$

Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - m;1)$

Để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau thì

$\overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} = 0 \Leftrightarrow 0.1 + 1.( - m) + 1.3 = 0 \Leftrightarrow m = 3$
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ ,cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 1 + 2t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng $(d)$ ?
- A.
  $d:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}$
- B.
  $d:\frac{x + 3}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{- 3}$
- C.
  $d:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{- 3}$
- D.
  $d:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{- 3}$
Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M(3; - 1;0)$ và nhận $\overrightarrow{u} = ( - 1;2; - 3)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của $(d):\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}$
Câu 14: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt cầu $\left( S_{1} ight):x^{2} + y^{2} + z^{2} =1,\left( S_{2} ight):x^{2} +$ $(y -4)^{2} + z^{2} = 4$ và các điểm $A(4;0;0),B\left( \frac{1}{4};0;0ight),C(1;4;0),D(4;4;0)$ . Gọi $M$ là điểm thay đổi trên $\left( S_{1} ight),N$ là điểm thay đổi trên $\left( S_{2} ight)$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = MA + 2ND + 4MN +6BC$ là:
- A.
  $2\sqrt{265}$ .
- B.
  $\frac{5\sqrt{265}}{2}$ .
- C.
  $3\sqrt{265}$ .
- D.
  $\frac{7\sqrt{265}}{2}$ .
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu $\left( S_{1} ight)$ có tâm $O(0;0;0)$ bán kính bằng $1;$ mặt cầu $\left( S_{2} ight)$ có tâm $I(0;4;0)$ bán kính bằng 2 .
Ta có 4 diểm $O,A,D,I$ là 4 dỉnh của hình vuông cạnh bằng 4 và $OB =\frac{1}{4},IC = 1$ .
Ta có $\bigtriangleup OMA \backsim\bigtriangleup OBM$ (c.g.c) $\Rightarrow \frac{MA}{BM} = \frac{OM}{OB}\Rightarrow MA = 4MB$ .
Ta có $\bigtriangleup IND \backsim\bigtriangleup ICN$ (c.g.c) $\Rightarrow \frac{ND}{CN} = \frac{IN}{IC} = 2\Rightarrow ND = 2NC$ .
$Q = 4MB + 4NC + 4MN + 6BC$
$= 4(BM + MN + NC) + 6BC$
$\ \geq 4BC + 6BC = 10BC = 10 \cdot\frac{\sqrt{265}}{4} = \frac{5\sqrt{265}}{2}$
Vậy $Q$ nhỏ nhất là bằng $\frac{5\sqrt{265}}{2}$ , dấu " $=$ " xảy ra khi $M,N$ là giao điểm của $BC$ với các mặt cầu.
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian toạ độ $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
- A.
  $2x + 3y + z - 12 = 0$ .
- B.
  $x^{2} + y - z + - 7 = 0$ .
- C.
  $x - y^{2} + 3z - 6 = 0$ .
- D.
  $x + y + z^{2} - 7 = 0$ .
PTTQ của mặt phẳng có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ , với $A^{2} + B^{2} + C^{2} eq 0$ nên ta chọn $2x + 3y + z - 12 = 0$ .
Câu 16: Vận dụng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 3}{- 1} =\frac{z - 5}{2},$ $d_{2}:\frac{x - 4}{- 3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z +2}{2}$ và mặt phẳng $(P):2x + 3y - 5z + 1 = 0$ . Đường thẳng vuông góc với $(P)$ , cắt $d_{1}$ và $d_{2}$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{1}$
- B.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{- 5}$
- C.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z}{- 5}$
- D.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 13}{- 5}$
Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của đường thẳng d với các đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ .

Khi đó, tọa độ của A, B có dạng $A(3 + t; - 3 - t;5 + 2t),B(4 - 3s;1 + 2s; - 2 + 2s)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1 - 3s - t;4 + 2s + t; - 7 + 2s - 2t)$

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2;3; - 5)$ của mặt phẳng (P).

Do đó, ta có $\frac{1 - 3s - t}{2} = \frac{4 + 2s + t}{3} = \frac{- 7 + 2s - 2t}{- 5}$

Suy ra s = 0 và t = −1.

Do đó, A(2; −2; 3) và B(4; 1; −2).

Đường thẳng d đi qua A và có nhận vectơ $\overrightarrow{n}$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{- 5}$ .
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình mặt cầu tâm $I(2;1; - 2)$ bán kính $R = 2$ là:
- A.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 2^{2}$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 4z + 5 = 0$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 4z + 5 = 0$
- D.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 2$
Phương trình mặt cầu tâm $I(2;1; - 2)$ bán kính $R = 2$ là:

$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 2^{2}$

Tổng quát $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 4z + 5 = 0$ .
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;0),C(0;0;3),B(0;2;0)$ . Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}$ là mặt cầu có bán kính là:
- A.
  $R = 2$
- B.
  $R = \sqrt{3}$
- C.
  $R = 3$
- D.
  $R = \sqrt{2}$
Giả sử $M(x;y;z)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} MA^{2} = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} \\ MB^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} \\ MC^{2} = x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra ta có:

$MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}$

$\Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} + x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2}$

$\Leftrightarrow - 2x + 1 = (y - 2)^{2} + x^{2} + (z - 3)^{2}$

$\Leftrightarrow (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 2$

Vậy tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}$ là mặt cầu có bán kính là $R = \sqrt{2}$ .
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $I(1; - 2;3)$ . Viết phương trình mặt cầu tâm $I$ cắt trục $Ox$ tại hai điểm $A;B$ sao cho $AB = 2\sqrt{3}$ ?
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$
- B.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 20$
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 9$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm AB suy ra H là hình chiếu vuông góc của I lên Ox nên $H(1;0;0)$

$IH = \sqrt{13} \Rightarrow R = IA = \sqrt{IH^{2} + AH^{2}} = 4$

Phương trình mặt cầu là: $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$ .
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(2;0; - 1)$ và vuông góc với $d$ .
- A.
  $(P):x - y - 2z = 0$
- B.
  $(P):x - 2y - 2 = 0$
- C.
  $(P):x + y + 2z = 0$
- D.
  $(P):x - y + 2z = 0$
Phương trình mặt phẳng (P):

$1(x - 2) - 1(y - 0) + 2(z + 1) = 0$

$\Leftrightarrow x - y + 2z = 0$

71 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!