Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng chéo nhau $\left( d_{1} ight):\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 6}{- 2}$ và $\left( d_{2} ight):\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z + 1}{3}$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\left( d_{1} ight)$ và song song với $\left( d_{2} ight)$ là
- A.
  $(P):x + 8y + 5z + 16 = 0$
- B.
  $(P):x + 8y + 5z - 16 = 0$
- C.
  $(P):2x + y - 6 = 0$
- D.
  $(P):x + 4y + 3z - 12 = 0$
Phương trình tham số $\left( d_{1} ight):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t_{1} \\ y = - 2 + t_{1} \\ z = 6 - 2t_{1} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t_{1}\mathbb{\in R} ight)$

$\left( d_{1} ight)$ đi qua điểm $M(2; - 2;6)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2)$

Phương trình tham số $\left( d_{2} ight):\left\{ \begin{matrix} x = 4 + t_{2} \\ y = - 2 - 2t_{2} \\ z = - 1 + 3t_{2} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t_{2}\mathbb{\in R} ight)$

$\left( d_{2} ight)$ đi qua điểm $N(4; - 2; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;3)$

Vì mặt phẳng $(P)$ chứa $\left( d_{1} ight)$ và song song với $\left( d_{2} ight)$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{u_{1}} \\ \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = - (1;8;5)$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(2; - 2;6)$ và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2)$ nên phương trình mặt phẳng $(P):(x - 2) + 8(y + 2) + 5(z - 6) = 0$ hay $(P):x + 8y + 5z - 16 = 0$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , khoảng cách từ $A( - 2;1; - 6)$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ là
- A.
  $6$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{41}}$
Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(Oxy):z = 0$ là:

$d\left( A;(Oxy) ight) = \frac{| - 6|}{\sqrt{1}} = 6$
Câu 3: Nhận biết
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I( - 1;4;2)$ và có thể tích bằng $\frac{256\pi}{3}$ . Khi đó phương trình mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 16$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 4$
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z + 2)^{2} = 4$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z + 2)^{2} = 4$
Thể tích mặt cầu là: $V = \frac{4\pi R^{3}}{3} = \frac{256\pi}{3} \Rightarrow R = 4$

Vậy phương trình mặt cầu tâm $I$ có bán kính $R = 4$ là: $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 16$
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A\left( - 1;\sqrt{3};0 ight),B\left(1;\sqrt{3};0 ight)$ $,C\left( 0;0;\sqrt{3} ight)$ và điểm $M$ thuộc trục $Oz$ sao cho hai mặt phẳng $(MAB)$ và $(ABC)$ vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(MAB)$ và $(OAB)$ .
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $15^{0}$
Ta có: $M(0;0;m)$ thuộc trục $Oz$ .

Ta có $\overrightarrow{AM} = (1; - \sqrt{3};m),\overrightarrow{AB} = (2;0;0),\overrightarrow{AC} = (1; - \sqrt{3};\sqrt{3})$ .

$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = \lbrack\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}brack = (0; - 2\sqrt{3}; - 2\sqrt{3}),{\overrightarrow{n}}_{2} = \lbrack\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM}brack = (0; - 2m; - 2\sqrt{3})$

Mặt phẳng $(ABC)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{1}$ , mặt phẳng $(MAB)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{2}$ .

Hai mặt phẳng $(MAB)$ và $(ABC)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi

${\overrightarrow{n}}_{1}\bot{\overrightarrow{n}}_{2} \Leftrightarrow 0.0 + \left( - 2\sqrt{3} ight).( - 2m) + \left( - 2\sqrt{3} ight).( - 2\sqrt{3}) = 0 \Leftrightarrow m = - \sqrt{3}.$

Mặt phẳng $(OAB)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{3} = \lbrack\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}brack = (0;0; - 2\sqrt{3})$ .

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(MAB)$ và $(OAB)$ . Khi đó

$cos\varphi = \left| cos\left( {\overrightarrow{n}}_{2},{\overrightarrow{n}}_{3} ight) ight| = \frac{\left| {\overrightarrow{n}}_{2}.{\overrightarrow{n}}_{3} ight|}{\left| {\overrightarrow{n}}_{2} ight|.\left| {\overrightarrow{n}}_{3} ight|} = \frac{12}{2\sqrt{6}.2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy góc cần tìm bằng $45^{0}$
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{- 3}$ và mặt phẳng $(P):3x - 3y + 2z + 1 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  d song song với (P).
- B.
  d nằm trong (P).
- C.
  d cắt và không vuông góc với (P).
- D.
  d vuông góc với (P).
Viết lại đường thẳng d ở dạng tham số $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = - t \\ z = 1 - 3t \\ \end{matrix} ight.$

Xét phương trình $3.( - 1 + t) - 3.( - t) + 2.(1 - 3t) + 1 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$

Kết luận phương trình có vô số nghiệm $\Rightarrow d \subset (P)$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho $(P):x - 2y + 2z - 5 = 0,A( - 3;0;1),B(1; - 1;3)$ . Viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A$ , song song với $(P)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $d$ là lớn nhất.
- A.
  $\frac{x + 3}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$
- B.
  $\frac{x + 3}{3} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{2}$
- C.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{2}$
- D.
  $\frac{x + 3}{2} = \frac{y}{- 6} = \frac{z - 1}{- 7}$
Hình vẽ minh họa

Vì $( - 3 - 2\ .0 + 2\ .1 - 5).\left( 1 - 2.( - 1) + 2.3 - 5 ight) < 0$ nên hai điểm A, B khác phía so với (P).

Gọi H là hình chiếu của B lên d.

Ta có: BH ≤ BA nên khoảng cách BH từ B đến d lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A.

Khi đó AB ⊥ d.

VTPT của (P) là $\overrightarrow{n} = (1; - 2;2),\overrightarrow{AB} = (4; - 1;2)$

VTCP của d là $\overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AB} ightbrack = ( - 2;6;7)$

Mà d qua A(−3; 0; 1) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x + 3}{2} = \frac{y}{- 6} = \frac{z - 1}{- 7}$
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng đi qua $A(2; - 1;3)$ và nhận $\overrightarrow{a} = (1;1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = - 1 - t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
Đường thẳng đi qua $A(2; - 1;3)$ và nhận $\overrightarrow{a} = (1;1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 3 = 0$ . Tính số đo góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;0)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

Khi đó ta có:

$\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ và mặt phẳng $(P):2x - y - 2z + 1 = 0$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\cos\alpha = \frac{4}{9}$
- B.
  $\cos\alpha = - \frac{4}{9}$
- C.
  $\sin\alpha = \frac{4}{9}$
- D.
  $\sin\alpha = - \frac{4}{9}$
Ta có: $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 1)$ , $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (2; - 1; - 2)$ .

Từ đó: $\sin\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ight) ight| = \left| \frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} ight| = \frac{4}{9}$
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , xét mặt cầu $(S)$ có phương trình dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0$ . Tập hợp các giá trị thực của tham số $a$ để $(S)$ có chu vi $8\pi$ ?
- A.
  $a \in \left\{ 1;10 ight\}$
- B.
  $a \in \left\{ 2; - 10 ight\}$
- C.
  $a \in \left\{ - 1;11 ight\}$
- D.
  $a \in \left\{ 1; - 11 ight\}$
Đường tròn lớn có chu vi là $8\pi$ nên bán kính của $(S)$ là $\frac{8\pi}{2\pi} = 4$

Từ phương trình của $(S)$ suy ra bán kính của $(S)$ là $R = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10a}$

Do đó $\sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10a} = 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = - 1 \\ a = 11 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là: $a \in \left\{ - 1;11 ight\}$
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 4),B(1; - 3;1),C(2;2;3)$ . Tính đường kính $l$ của mặt cầu $(S)$ đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ ?
- A.
  $l = 2\sqrt{13}$
- B.
  $l = 2\sqrt{4}$
- C.
  $l = 2\sqrt{26}$
- D.
  $l = 2\sqrt{11}$
Gọi tâm mặt cầu là $I(x;y;0)$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} IA = IB \\ IA = IC \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} + 1^{2}} \\ \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + 3^{2}} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (y - 2)^{2} + 4^{2} = (y + 3)^{2} + 1 \\ x^{2} - 2x + 1 + 16 = x^{2} - 4x + 4 + 9 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10y = 10 \\ 2x = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow l = 2R = 2\sqrt{( - 3)^{2} + ( - 1)^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{26}$ .
Câu 12: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + y + z - 9 = 0$ . Hỏi có bao nhiêu điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ với $a,b,c$ là các số nguyên không âm.
- A.
  $55$
- B.
  $45$
- C.
  $50$
- D.
  $60$
Ta có $(P):x + y + z - 9 = 0 \Rightarrow \frac{x}{9} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1$ nên mặt phẳng $(P)$ đi qua các điểm $A(9; 0; 0), B(0; 9; 0), C(0; 0; 9).$

Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.

Tam giác ABC đều có các cạnh bằng $9\sqrt{2}$ , chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.

Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng $1\ + \ 2\ + \ ...\ + \ 10\ = \ 55$
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , vectơ $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 2t \\ z = 3 - 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 4t \\ z = 5 + 6t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = ( - 1; - 2;5)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ . Vậy $\overrightarrow{u} = (1;2; - 5)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 6 - t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Câu 14: Vận dụng cao
Cho 2 đường thẳng $(d)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 1\end{array} ight.$ và $(\triangle )\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + t\\z = 3 - t\end{array} ight.$
Mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với $(\triangle )$ có phương trình tổng quát :
- A. $x - 2y + 2z - 2 = 0$
- B. $x + 2y + 2z + 2 = 0$
- C. $x + 2y - 2z + 2 = 0$
- D. $x - 2y - 2z - 2 = 0$
Phương trình (d) cho $A(2, - 1,1) \in (d)$ và vectơ chỉ phương của (d) là: $\overrightarrow a = (2,1,0)$
Phương trình $(\triangle )$ cho vectơ chỉ phương của $(\triangle )$ là : $\overrightarrow b = (0,1, - 1)$
Gọi $M(x,y,z)$ là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :
$\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = (x - 2,y + 1,z - 1);\,\,\,\,\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = ( - 1,2,2)\\\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AM} = 0 \Leftrightarrow - (x - 2) + 2(y + 1) + 2(z - 1) = 0\\ \Leftrightarrow x - 2y - 2z - 2 = 0\end{array}$
Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $H(1;1; - 3)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $H$ cắt các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A;B;C$ (khác $O$ ) sao cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ là:
- A.
  $x + y + 3z + 7 = 0$
- B.
  $x + y - 3z + 11 = 0$
- C.
  $x + y - 3z - 11 = 0$
- D.
  $x + y + 3z - 7 = 0$
Mặt phẳng $(P)$ cắt trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A;B;C$ suy ra $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $OH\bot(ABC)$

Phương trình mặt phẳng $x + y - 3z - 11 = 0$ .
Câu 16: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $S(0;0;1)$ và $A(1;1;1)$ . Hai điểm $M(m;0;0),N(0 ;n;0)$ thay đổi sao cho $m + n = 1$ và $m > 0,n > 0$ . Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua $A$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(SMN)$ . Bán kính của mặt cầu đó là:
- A.
  $\sqrt{2}$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $\sqrt{3}$
Phương trình mặt phẳng $(SMN)$ là $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{1} =1$
$\Leftrightarrow nx + my + mnz - mn =0$ .
Gọi $I(a;b;c)$ và $R$ là tâm và bán kính của mặt cầu cố định.
Ta có
$R = d(I;(SMN))$
$= \frac{|na + mb + mnc -mn|}{\sqrt{n^{2} + m^{2} + m^{2}n^{2}}}$
$= \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{\sqrt{1 - 2mn + m^{2}n^{2}}}$
$= \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{1 - mn}$
$= \frac{\left| (1 - c)m^{2} + (b + c - a- 1)m + a ight|}{m^{2} - m + 1}$
Mà $R$ không đổi nên $\frac{1 - c}{1} = \frac{b + c - a - 1}{- 1} =\frac{a}{1} = t \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = t \\b = t \\c = 1 - t \\\end{matrix} ight.$ , hay $I(t;t;1- t)$ .
Mặt khác ta có $R = IA = \sqrt{3t^{3} - 4t +2} = |t| \Rightarrow t = 1$ .
Vậy $R = 1$ .
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 81$ tại điểm $P( - 5; - 4;6)$ là:
- A.
  $7x + 8y + 67 = 0$
- B.
  $4x + 2y - 9z + 82 = 0$
- C.
  $x - 4z + 29 = 0$
- D.
  $2x + 2y - z + 24 = 0$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; 2; 3)$ .

Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.

Do (α) tiếp xúc với (S) tại P nên mặt phẳng (α) đi qua P và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{IP} = ( - 6; - 6;3)$

Phương trình mặt phẳng (α) là

$- 6(x + 5) - 6(y + 4) + 3(z - 6) = 0$

$\Leftrightarrow 2x + 2y - z + 24 = 0$
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(\alpha):x + 2y + 4z - 1 = 0;$ $(\beta):2x + 3y - 2z+ 5 = 0$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $(\alpha)\bot(\beta)$
- B.
  $(\alpha);(\beta)$ chéo nhau
- C.
  $(\alpha)//(\beta)$
- D.
  $(\alpha) \equiv (\beta)$
Hai mặt phẳng $(\alpha);(\beta)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;2;4),\overrightarrow{n_{(\beta)}} = (2;3; - 2)$

Ta có $\overrightarrow{n_{(\alpha)}}.\overrightarrow{n_{(\beta)}} = 1.2 + 2.3 + 4.( - 2) = 0$

⇒ $(\alpha)\bot(\beta)$ .
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(1;2; - 3)$ và mặt phẳng $(P):2x + 2y - z + 9 = 0$ . Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (3;4; - 4)$ cắt $P$ tại điểm $B$ . Điểm $M$ thay đổi trong $(P)$ sao cho $M$ luôn nhìn đoạn $AB$ dưới góc $90^{0}$ . Khi độ dài $MB$ lớn nhất, đường thẳng $MB$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?
- A.
  $H( - 2; - 1;3)$
- B.
  $I( - 1; - 2;3)$
- C.
  $K(3;0;15)$
- D.
  $J( - 3;2;7)$
Hình vẽ minh họa

Phương trình $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Đường thẳng d cắt P tại B(−2; −2; 1).

Gọi H là hình chiếu của A lên (P).

Ta có: H(−3; −2; −1).

Vì MB ⊥ MA; MB ⊥ AH nên MB ⊥ MH suy ra MB ≤ BH.

Do đó: MB lớn nhất bằng BH khi M ≡ H

Vậy MB đi qua B, nhận $\overrightarrow{BH}$ là vectơ chỉ phương.

Phương trình $MB:\left\{ \begin{matrix} x = - 2 + t \\ y = - 2 \\ z = 1 + 2t \\ \end{matrix} ight.$ do đó MB đi qua điểm $I( - 1; - 2;3)$ .
Câu 20: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z - 5 = 0$ và hai điểm $A(−3; 0; 1), B(1; −1; 3)$ . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng nào cách B một khoảng cách nhỏ nhất?
- A.
  $\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}$
- B.
  $\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{- 11} = \frac{z - 1}{- 2}$
- C.
  $\frac{x - 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z + 1}{- 2}$
- D.
  $\frac{x + 2}{26} = \frac{y - 1}{11} = \frac{z + 3}{- 2}$
Hình vẽ minh họa

Gọi d là đường thẳng cần tìm.

Gọi (Q) là mặt phẳng qua A(−3; 0; 1) và song song với $(P): x − 2y + 2z − 5 = 0$ .

$⇒ (Q): x − 2y + 2z + 1 = 0$ và $d ⊂ (Q)$ .

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B lên d và (Q) thì $BH > BK$ .

Do đó $d(B; d)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $H ≡ K$ .

Đường thẳng BK đi qua B(1; −1; 3) và vuông góc với (Q) $\Rightarrow BK:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Lại có: $K = BK \cap (Q) \Rightarrow K = \left( \frac{- 1}{9};\frac{11}{9};\frac{7}{9} ight)$

Đường thẳng d qua A và nhận $\overrightarrow{AK} = \left( \frac{26}{9};\frac{11}{9};\frac{- 2}{9} ight)$ làm vectơ chỉ phương nên đường thẳng cần tìm là: $\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}$ .

71 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!