Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh $a$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(A'B'CD)$ và $(ACC'A')$ bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $75^{0}$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ

$O \equiv A';Ox \equiv A'D';Oy \equiv A'B';Oz \equiv AA'$

Khi đó: $A(0;0;a),D(a;0;a),B(0;a;a),C(a;a;a)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{A'B'} = (0;a;0);\overrightarrow{A'D} = (a;0;a) \\ \overrightarrow{A'A} = (0;0;a);\overrightarrow{A'C'} = (a;a;0) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{A'B'};\overrightarrow{A'D} ightbrack = \left( a^{2};0; - a^{2} ight)$

Chọn $\overrightarrow{n_{1}} = (1;0; - 1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(AB'CD)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{A'A};\overrightarrow{A'C'} ightbrack = \left( - a^{2};a^{2};0 ight)$

Chọn $\overrightarrow{n_{2}} = ( - 1;1;0)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ACC'A')$

Góc giữa hai mặt phẳng $(A'B'CD)$ và $(ACC'A')$ bằng:

$\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{| - 1|}{\sqrt{2}.\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 2: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(0; 8; 2)$ , điểm $B(9; −7; 23)$ và mặt cầu $(S) : (x − 5)^2 + (y + 3)^2 + (z − 7)^2 = 72$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến $(P)$ là lớn nhất. Biết $\vec{n} = (1; m; n)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ . Tính $mn$ .
- A.
  $- 2$
- B.
  $- 4$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Mặt cầu (S) có tâm I(5; −3; 7); bán kính $R = 6\sqrt{2}$ .

Phương trình mặt phẳng $(P) : 1(x − 0) + m(y − 8) + n(z − 2) = 0.$

Vì (P) và (S) tiếp xúc nhau nên:

$d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 6\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow |5 - 11m + 5n| = 6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(*)$

Ta có: $d\left( B;(P) ight) = \frac{|9 - 15m + 21n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}}$

Ta có:

$|9 - 15m + 21n| = |5 - 11m + 5n + 4 - 4m + 16n|$

$\leq |5 - 11m + 5n| + |4 - 4m + 16n|(**)$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

$(4 - 4m + 16n)^{2} \leq \left( 4^{2} + 4^{2} + 16^{2} ight)\left( 1 + m^{2} + n^{2} ight) = 288\left( 1 + m^{2} + n^{2} ight)$

$\Rightarrow |4 - 4m + 16n| \leq 12\sqrt{2}.\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(***)$

Từ (*); (**); (***) ta có:

$|9 - 15m + 21n| \leq 18\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{\begin{matrix}|5 - 11m + 5n| = 6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}} \\(5 - 11m + 5n)(4 - 4m + 16n) \geq 0 \\\dfrac{1}{4} = \dfrac{m}{- 4} = \dfrac{n}{16} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow m = - 1;n = 4 \Rightarrow mn = - 4$ .
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0;1;2),B(2; - 2;0),C( - 2;0;1)$ . Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ , trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình là:
- A.
  $4x - 2y - z + 4 = 0$
- B.
  $4x - 2y + z + 4 = 0$
- C.
  $4x + 2y + z - 4 = 0$
- D.
  $4x + 2y - z + 4 = 0$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 2; - 1; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;6; - 8)$

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $x + 6y - 8z + 10 = 0$ .

Phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với AC là: $2x + y + z - 2 = 0$ .

Phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với AB là: $2x - 3y - 2z + 6 = 0$ .

Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm H của tam giác ABC nên $H\left( \frac{- 22}{101};\frac{70}{101};\frac{176}{101} ight)$ .

Mặt phẳng (P) đi qua A, H nên $\overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{AH} = \left( \frac{- 22}{101}; - \frac{31}{101}; - \frac{26}{101} ight) = - \frac{1}{101}(22;31;26)$

Mặt phẳng (P) ⊥ (ABC) nên $\overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;6; - 8)$ .

Vậy $\left\lbrack \overrightarrow{n_{(ABC)}};\overrightarrow{u_{AH}} ightbrack = (404; - 202; - 101)$ là một vectơ pháp tuyến của (P).

Chọn $\overrightarrow{n_{P}} = (4; - 2; - 1)$ nên phương trình mặt phẳng (P) là $4x - 2y - z + 4 = 0$ .
Câu 4: Nhận biết
Cho mặt cầu $S\left( {O;R} ight)$ và một điểm A, biết $OA = 2R$ . Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B. Khi đó độ dài đoạn AB bằng:
- A. $R$
- B. $\frac{R}{2}$
- C. $R\sqrt 2$
- D. $R\sqrt 3$
Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên $AB \bot OB$ .
Suy ra $AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 .$
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 3 + 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Gọi $d'$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng tọa độ $(Oxz)$ . Viết phương trình đường thẳng $d'$ .
- A.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;2;3)$

Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (0;1;0)$ và có phương trình y = 0.

Suy ra $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 3;0;1)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).

Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ $\overrightarrow{u'} = \left\lbrack \overrightarrow{n}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack ightbrack = (1;0;3)$ làm vectơ chỉ phương.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 6: Vận dụng
Cho tứ diện ABCD có $A\left( {5,1,3} ight),B\left( {1,6,2} ight),C\left( {5,0,4} ight),D\left( {4,0,6} ight)$ . Mặt phẳng chứa BC và song song với AD có phương trình :
- A. $8x - 7y + 5z - 60 = 0$
- B. $8x + 7y + 5z - 60 = 0$
- C. $8x - 7y - 5z - 60 = 0$
- D. $8x + 7y - 5z - 60 = 0$
Theo đề bài, từ các điểm $A\left( {5,1,3} ight),B\left( {1,6,2} ight),C\left( {5,0,4} ight),D\left( {4,0,6} ight)$ , ta tính được các vecto tương ứng là: $\overrightarrow {BC} = \left( {4, - 6,2} ight);\overrightarrow {AD} = \left( { - 1, - 1,3} ight)$
$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} } ight] = \left( { - 16, - 14, - 10} ight)$ cùng phương với $\overrightarrow n = \left( {8,7,5} ight)$
Chọn $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa BC và song song với AD.
Phương trình (P) có dạng: $8x + 7y + 5z + D = 0$
Mặt khác, điểm $B \in \left( P ight) \Leftrightarrow 8 + 42 + 10 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 60$
Vậy phương trình $(P): 8x + 7y + 5z - 60 = 0$ .
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - 3y + z - 6 = 0$ cắt ba trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại ba điểm $A,B,C$ . Lúc đó thể tích $V$ của khối tứ diện $OABC$ là:
- A.
  $V = 6$
- B.
  $V = 3$
- C.
  $V = 12$
- D.
  $V = 18$
Gọi $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ lần lượt là giao của mặt phẳng $(P)$ với ba trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ .

Khi đó $A(3;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0;6)$ và tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc tại O.

Do đó $V_{OABC} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.3.2.6 = 6$
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(1;1;2),B(3;2; - 3)$ . Mặt cầu $(S)$ có tâm $I \in Ox$ và đi qua hai điểm $A;B$ có phương trình là:
- A.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 = 0$
- B.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 8x + 2 = 0$
- C.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2 = 0$
- D.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x - 2 = 0$
Ta có: $I \in Ox \Rightarrow I(a;0;0)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = (1 - a;1;2) \\ \overrightarrow{IB} = (3 - a;2; - 3) \\ \end{matrix} ight.$

Vì $(S)$ đi qua hai điểm $A;B$ nên

$IA = IB \Leftrightarrow \sqrt{(1 - a)^{2} + 5} = \sqrt{(3 - a)^{2} + 13}$

$\Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4 \Rightarrow I(4;0;0)$

$\Rightarrow R = IA = \sqrt{14}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 = 0$ .
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tính khoảng cách giữa đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 4}{3}$ và trục $Ox$ .
- A.
  $1$
- B.
  $4$
- C.
  $3$
- D.
  $2$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (2; - 4;3)$ và đi qua điểm $M(1; - 2;4)$

Trục Ox có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0)$ và đi qua điểm $N(1;0;0)$

Khoảng cách giữa đường thẳng d và trục Ox là:

$d(d;Ox) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack.\overrightarrow{MN} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack ight|} = \frac{\left| (0;3;4).(0;2; - 4) ight|}{\left| (0;3;4) ight|} = 2$
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 2; - 1),B(1;4;3)$ . Độ dài của đoạn $AB$ là
- A.
  $3$
- B.
  $\sqrt{6}$
- C.
  $2\sqrt{3}$
- D.
  $2\sqrt{13}$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (0;6;4)$ khi đó độ dài đoạn $AB$ bằng:

$\left| \overrightarrow{AB} ight| = \sqrt{0^{2} + 6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{56} = 2\sqrt{13}$
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ ,cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 1 + 2t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng $(d)$ ?
- A.
  $d:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}$
- B.
  $d:\frac{x + 3}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{- 3}$
- C.
  $d:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{- 3}$
- D.
  $d:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{- 3}$
Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M(3; - 1;0)$ và nhận $\overrightarrow{u} = ( - 1;2; - 3)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của $(d):\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}$
Câu 12: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 2; - 1),B\left( - \frac{4}{3}; - \frac{8}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ và vuông góc với mặt phẳng $(OAB)$ . Hỏi $\Delta$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $Q(5; - 1;5)$
- B.
  $N(3;0;2)$
- C.
  $M(1; - 1;1)$
- D.
  $P( - 5; - 4;5)$
Ta có: $OA = 3,OB = 4,AB = 5$

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ .

$\left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{AB.x_{O} + OB.x_{A} + OA.x_{B}}{AB + OB + OA} \\ y_{I} = \frac{AB.y_{O} + OB.y_{A} + OA.y_{B}}{AB + OB + OA} \\ z_{I} = \frac{AB.z_{O} + OB.z_{A} + OA.z_{B}}{AB + OB + OA} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{5.0 + 4.2 + 3.\left( - \frac{4}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\ y_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 2) + 3.\left( - \frac{8}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\ z_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 1) + 3.\frac{8}{3}}{5 + 4 + 3} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{I} = \frac{1}{3} \\ y_{I} = - \frac{4}{3} \\ z_{I} = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I\left( \frac{1}{3}; - \frac{4}{3};\frac{1}{3} ight)$

$\left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 8; - 4; - 8) = - 4(2;1;2)$

Phương trình đường thẳng $\Delta:\frac{x - \frac{1}{3}}{2} = \frac{y + \frac{4}{3}}{1} = \frac{z - \frac{1}{3}}{2}$

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 1).
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x - 2y + 2z - 5 = 0$ . Xét mặt phẳng $(Q):x + (2m - 1)z + 7 = 0$ , với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của m để $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\frac{\pi}{4}$ .
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 4 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = 2\sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = 4 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$
Ta có: $(P)$ và $(Q)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 2;2),\overrightarrow{n_{(Q)}} = (1;0;2m - 1)$

Vì $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\frac{\pi}{4}$ .

$\cos\frac{\pi}{4} = \cos\left( \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ight)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\left| 1 + 2(2m - 1) ight|}{3\sqrt{1 + (2m - 1)^{2}}}$

$\Leftrightarrow 2(4m - 1)^{2} = 9\left( 4m^{2} - 4m + 2 ight)$

$\Leftrightarrow 4m^{2} - 20m + 16 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 4 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 3 = 0$ . Tính số đo góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;0)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

Khi đó ta có:

$\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 15: Nhận biết
Cho mặt cầu $(S)$ tâm O, bán kính R và mặt phẳng $(P)$ có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc $(S)$ . Đường thẳng OM cắt $(P)$ tại N. Hình chiếu của O trên $(P)$ là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. NI tiếp xúc với $(S)$
- B. $ON = R\sqrt 2 \Leftrightarrow IN = R$
- C. Cả hai câu trên đều sai
- D. Cả hai câu trên đều đúng
Vì I là hình chiếu của O trên $(P)$ nên $d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = OI$ mà $d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = R$ nên I là tiếp điểm của $(P)$ và $(S)$ .
Đường thẳng OM cắt $(P)$ tại N nên IN vuông góc với OI tại I.
Suy ra IN tiếp xúc với $(S)$ .
Tam giác OIN vuông tại I nên $ON = R\sqrt 2 \Leftrightarrow IN = R$ .
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 2z - 19 = 0$ và mặt phẳng $(P):2x - y - 2z + m + 3 = 0$ , với $m$ là tham số. Gọi $T$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có chu vi $6\pi$ . Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc $T$ bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $24$
- C.
  $- 20$
- D.
  $- 16$
Mặt cầu $(S):(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 25$ có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.

Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:

$d\left( I;(P) ight) = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 4$

$\Leftrightarrow \frac{|4 - 1 + 2 + m + 3|}{3} = 4$

$\Leftrightarrow |m + 8| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = - 20 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y - 6 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):2x - y - 2z - 9 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; - 2)$

$(Q):x - y - 6 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 1;0)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 18: Vận dụng cao
Cho điểm P(-3 , 1, -1) và đường thẳng (d): $\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.$
Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:
- A. P'(5, 7, 3)
- B. P' (-5, 7, -3)
- C. P' (5, -7, 3)
- D. P' (-5, -7, 3)
Chuyển (d) về dạng tham số : $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2} + 3t\\y = - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.$
Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: $3x + 4y + 2z + D = 0$ , cho qua P tính được D=7 .
Ta có (Q): $3x + 4y + 2z + 7 = 0$ .
Thế x, y, z theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được $t = \frac{1}{2}$
Giao điểm I của (d) và (Q) là I (1, -3, 1) .
Vì I là trung điểm của PP’ nên $\Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight)$ .
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng?
- A.
  $x - 3y^{2} + z - 1 = 0$ .
- B.
  $x^{2} + 2y + 4z - 2 =0$ .
- C.
  $2x - 3y + 4z - 2024 = 0$ .
- D.
  $2x - 3y + 4z^{2} - 2025 = 0$ .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: $2x - 3y + 4z - 2024 = 0$ .
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua $C$ và song song với $AB$ có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{BA} = (1;2;1)$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .

42 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!