Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 25$ . Đường thẳng d cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $A, B$ . Biết tiếp diện của $(S)$ tại $A, B$ vuông góc. Tính độ dài $AB$ .
- A.
  $AB = \frac{5}{2}$
- B.
  $AB = 5$
- C.
  $AB = 5\sqrt{2}$
- D.
  $AB = \frac{5\sqrt{2}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; −1)$ , bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.

Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.

Suy ra $AB = IA.\sqrt{2} = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):x + y - 2z + 5 = 0$ và $(Q): - x - y + 2z + 9 = 0$ . Mặt phẳng nào sau đây cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q)?
- A.
  $- x + y + 2z + 2 = 0$
- B.
  $x - y + 2z - 2 = 0$
- C.
  $- x - y + 2z + 2 = 0$
- D.
  $x + y - 2z + 2 = 0$
Gọi (R) là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) thì $(P)//(Q)//(R)$

Do đó (R) có dạng $x + y − 2z + m = 0$ .

Gọi $A(1; 0; 3) ∈ (P) , B(1; 0; −4) ∈ (Q)$ .

Khi đó trung điểm M của đoạn AB nằm trên (R), tức $M\left( 1;0; - \frac{1}{2} ight) \in (R)$ .

Suy ra $1 + 0 - 2.\left( - \frac{1}{2} ight) + m = 0 \Leftrightarrow m = - 2$ .

Vậy $(R): x + y − 2z − 2 = 0$ hay $(R): −x − y + 2z + 2 = 0$ .
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(0;1;1)$ và $B(1;2;3)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ .
- A.
  $(P):x + 3y + 4z - 26 = 0$ .
- B.
  $(P):x + y + 2z - 3 = 0$ .
- C.
  $(P):x + y + 2z - 6 = 0$ .
- D.
  $(P):x + 3y + 4z - 7 = 0$ .
Mặt phẳng $(P)$ có một véctơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} = (1;1;2)$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $x + y - 1 + 2(z - 1) = 0$ hay $(P):x + y + 2z - 3 = 0$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ . Điểm $M$ nằm trên đường thẳng $\Delta$ thì điểm M có dạng nào sau đây?
- A.
  $M(at;bt;ct)$
- B.
  $M\left( x_{0}t;y_{0}t;z_{0}t ight)$
- C.
  $M\left( a + x_{0}t;b + y_{0}t;c + z_{0}t ight)$
- D.
  $M\left( x_{0} + at;y_{0} + bt;z_{0} + ct ight)$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ nên đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số là $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + at \\ y = y_{0} + bt \\ z = z_{0} + ct \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Điểm $M$ nằm trên đường thẳng $\Delta$ nên điểm $M$ có dạng $M\left( x_{0} + at;y_{0} + bt;z_{0} + ct ight)$
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):x + z + 4 = 0,(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):x + z + 4 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (1;0;1)$

$(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 2;2)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$ $= \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 6: Vận dụng cao
Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau, được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của mỗi quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà nó tiếp xúc lần lượt bằng 1, 2, 3. Tính tổng các bình phương của hai bán kính của hai quả bóng đó.
- A.
  $22$
- B.
  $26$
- C.
  $20$
- D.
  $24$
Hình vẽ minh họa
Xét quả bóng tiếp xúc với hai bức tường, nền của căn nhà và chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (tương tự với góc tường còn lại).
Gọi $I(a; a; a)$ là tâm của mặt cầu có bán kính $R = a$ .
Phương trình mặt cầu là: $(S):(x - a)^{2}+ (y - a)^{2} + (z - a)^{2} = a^{2}\ \ \ (1)$
Xét điểm $M(x; y; z)$ nằm trên mặt cầu sao cho
$d(M,(Oxz)) = 2, d(M,(Oyz)) = 1, d(M,(Oxy)) = 3.$
Suy ra $M(2; 1; 3).$
Vì M thuộc mặt cầu (S) nên từ (1) ta có:
$(2 - a)^{2} + (1 - a)^{2} + (3 - a)^{2}= a^{2}$
$\Leftrightarrow a^{2} - 6a + 7 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a_{1} = 3 + \sqrt{2} = R_{1} \\a_{2} = 3 - \sqrt{2} = R_{2} \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow {R_{1}}^{2} + {R_{2}}^{2} =22$
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\frac{x}{- 2} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{3} = 1$ là:
- A.
  $\overrightarrow{n} = (3;6; - 2)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (2; - 1;3)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = ( - 3; - 6; - 2)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = ( - 2; - 1; - 3)$
Mặt phẳng trên đi qua các điểm $A( - 2;0;0),B(0; - 1;0),C(0;0;3)$

Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cùng phương với $\left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 1;0) \\ \overrightarrow{AC} = (2;0;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 3; - 6;2)$

Vậy chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là $\overrightarrow{n} = (3;6; - 2)$ .
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):x + 2y - 2z + 2018 = 0,(Q):x + my +$ $(m - 1)z + 2017 = 0$ (với $m$ là tham số thực). Khi hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì điểm $M$ nào dưới đây nằm trong $(Q)$ ?
- A.
  $M( - 2017;1;1)$
- B.
  $M(0;0;2017)$
- C.
  $M(0; - 2017;0)$
- D.
  $M(2017;1;1)$
Ta có: $(P)$ có 1 VTPT ${\overrightarrow{n}}_{P} = (1;2; - 2),(Q)$ có 1 VTPT ${\overrightarrow{n}}_{Q} = (1;m;m - 1)$ .

Gọi $\alpha$ là góc giữa $(P)$ và $(Q)$ .

Ta có:

$cos\alpha = \frac{\left| {\overrightarrow{n}}_{P} \cdot {\overrightarrow{n}}_{Q} ight|}{\left| {\overrightarrow{n}}_{P} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{n}}_{Q} ight|} = \frac{|1 + 2m - 2m + 2|}{3\sqrt{1 + m^{2} + (m - 1)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2m^{2} - 2m + 2}} = \frac{1}{\sqrt{2\left( m - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{2}}}$ .

Do $0 \leq \alpha \leq 90^{\circ}$ nên $\alpha$ nhỏ nhất khi $cos\alpha$ lớn nhất $\Leftrightarrow \sqrt{2\left( m - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{2}}$ nhỏ nhất

$\Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$ .

$\Rightarrow (Q):2x + y - z + 4034 = 0 \Rightarrow M( - 2017;1;1) \in (Q)$ .
Câu 9: Nhận biết
Hai đường thẳng $({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x - y - z - 7 = 0\\3x - 4y - 11 = 0\end{array} ight.$ và $({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z + 1 = 0\\x + y + 1 = 0\end{array} ight.$ cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của A là:
- A. A (1, - 2, - 4)
- B. A (-1, - 2, - 4)
- C. A (1, 2, - 4)
- D. A (1, - 2, 4)
Để tìm được A là giao điểm của 2 đường thẳng, ta sẽ xét và giải hệ PT giữa chúng.
Từ phương trình của $({d_1}):\left\{ \begin{array}{l}x - y - z - 7 = 0\\3x - 4y - 11 = 0\end{array} ight.$ ,tính x,y theo z được
$\left\{ \begin{array}{l}x = 4z + 17\\y = 3z + 10\end{array} ight.$
Thế vào phương trình của $({d_2}):\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z + 1 = 0\\x + y + 1 = 0\end{array} ight.$ , được z = - 4 .
Từ đó suy ra x = 1, y = - 2
$\Rightarrow A(1, - 2, - 4)$
Câu 10: Vận dụng cao

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm $A(100;50;100)$ và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là $B(50;100;50),C(150;100;100)$ . Máy bay sẽ bay qua điểm $W$ của đường màu $BC$ để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm $W(a;b;c)$ , hãy tính giá trị biểu thức $T = a + b - 2c$ .

Đáp án: 50

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm $A(100;50;100)$ và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là $B(50;100;50),C(150;100;100)$ . Máy bay sẽ bay qua điểm $W$ của đường màu $BC$ để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm $W(a;b;c)$ , hãy tính giá trị biểu thức $T = a + b - 2c$ .

Đáp án: 50

Ta có: $\overrightarrow{BC} = (100;0;50)$

Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP $\overrightarrow{u} = (2;0;1)$ có dạng $(BC):\left\{ \begin{matrix} x = 50 + 2t \\ y = 100 \\ z = 50 + t \\ \end{matrix} ight.$

Điểm $W \in (BC) \Rightarrow W(50 + 2t;100;50 + t)$ và $\overrightarrow{AW} = (2t - 50;50;t - 50)$

Ta có: $\overrightarrow{AW}.\overrightarrow{BC} = 0$

$\Rightarrow 2(2t - 50) + (t - 50) = 0 \Rightarrow t = 30$

Vậy $H(110;100;80) \Rightarrow a + b - 2c = 50.$
Câu 11: Nhận biết
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua $A(2,-1,3), B (3, 1, 2)$ và song song với vectơ $\overrightarrow a = \left( {3, - 1, - 4} ight)$ là:
- A. $9x+y-7z+40=0$
- B. $9x-y+7z-40=0$
- C. $9x-y-7z+40=0$
- D. $9x+y+7z-40=0$
Theo đề bài, ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1,2, - 1} ight);\left[ {\overrightarrow {AB} \overrightarrow {,a} } ight] = \overrightarrow n = \left( { - 9,1, - 7} ight)$
Chọn $\overrightarrow n = \left( {9, - 1,7} ight)$ làm 1 vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng : $9x - y + 7z + D = 0$
Mà mp lại qua A nên $9.2 - ( - 1) + 7.3 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 40$
Phương trình cần tìm là: $9x - y + 7z - 40 = 0$ .
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0; - 3)$ và đi qua điểm $M(4;0;0)$ . Phương trình mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 25$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 5$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 25$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 5$
Phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0; - 3)$ và bán kính $R$ là:

$x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = R^{2}$

Ta có: $M \in (S) \Rightarrow 4^{2} + 0^{2} + (0 + 3)^{2} = R^{2}$

$\Leftrightarrow R^{2} = 25$

Vậy phương trình cần tìm là: $x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 25$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 4z + m = 0$ là phương trình của một mặt cầu?
- A.
  $m < 6$
- B.
  $m \geq 6$
- C.
  $m \leq 6$
- D.
  $m > 6$
Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 4z + m = 0$ là một mặt cầu

$\Leftrightarrow 1^{2} + 1^{2} + 2^{2} - m > 0 \Leftrightarrow m < 6$ .
Câu 14: Vận dụng
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có $AB = a;SA = a\sqrt{2}$ . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
- A.
  $\arccos\frac{\sqrt{3}}{5}$
- B.
  $\arccos\frac{\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\arccos\frac{\sqrt{5}}{3}$
- D.
  $\arccos\frac{\sqrt{15}}{5}$
Gọi O = AC ∩ BD

Tam giác SAO vuông nên suy ra $SO = \sqrt{SA^{2} - AO^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Gắn tọa độ như hình vẽ:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0) \\D(0;a;0),O\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0 ight),S\left(\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2} ight) \\\end{matrix} ight.$

Vì G là trọng tâm tam giác SCD nên $G\left( \frac{a}{2};\frac{5a}{6};\frac{a\sqrt{6}}{6} ight)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AS} = \left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2}ight) = \dfrac{a}{2}\left( 1;1;\sqrt{6} ight) \\\overrightarrow{BG} = \left( -\dfrac{a}{2};\dfrac{5a}{6};\dfrac{a\sqrt{6}}{6} ight) = \dfrac{a}{6}\left(- 3;5;\sqrt{6} ight) \\\end{matrix} ight.$

Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

$\cos(BG;SA) = \frac{\left| \overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BG} ight|}{BG.AS} = \frac{| - 3 + 5 + 6|}{\sqrt{40}.\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Vậy đáp án cần tìm là: $\arccos\frac{\sqrt{5}}{5}$ .
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y - 6 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):2x - y - 2z - 9 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; - 2)$

$(Q):x - y - 6 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 1;0)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $I(1; - 2;3)$ . Viết phương trình mặt cầu tâm $I$ cắt trục $Ox$ tại hai điểm $A;B$ sao cho $AB = 2\sqrt{3}$ ?
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$
- B.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 20$
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 9$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm AB suy ra H là hình chiếu vuông góc của I lên Ox nên $H(1;0;0)$

$IH = \sqrt{13} \Rightarrow R = IA = \sqrt{IH^{2} + AH^{2}} = 4$

Phương trình mặt cầu là: $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$ .
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 đường thẳng $\Delta_{1}$ : $\left\{ \begin{matrix}x = 3 + t \\y = 1 + t \\z = 1 + 2t \\\end{matrix}(t \in \mathbb{R}); ight.$ $\Delta_{2}:\frac{x + 2}{2} =\frac{y - 2}{5} = \frac{z}{-1}$ và điểm $M(0;3;0)$ . Đường thẳng $d$ đi qua $M$ , cắt $\Delta_{1}$ và vuông góc với $\Delta_{2}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;a;b)$ . Tính $T = a + b$
- A.
  $T = - 2$
- B.
  $T = 4$ .
- C.
  $\ T = - 4.$
- D.
  $T = 2.$
Hình vẽ minh họa

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $M$ và $\Delta_{1}$ .

Lấy $A(3;1;1) \in \Delta_{1}$ .

Mặt phẳng $(P)$ có véc-tơ pháp tuyến vuông góc với các véc-tơ $\overrightarrow{MA} = (3; - 2;1)$ và ${\overrightarrow{u}}_{\Delta_{1}} = (1;1;2)$ .

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{MA},{\overrightarrow{u}}_{\Delta_{1}} ightbrack = ( - 5; - 5;5)$ .

Một trong các véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là ${\overrightarrow{n}}_{(P)} = (1;1; - 1)$ .

Đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và vuông góc với $\Delta_{2}$ có $\overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{u_{\Delta_{2}}} ightbrack = (4; - 1;3)$

Vậy $a = - 1;b = 3 \Rightarrow T = a + b = 2$ .
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(3;5;3)$ và hai mặt phẳng $(P):2x + y + 2z - 8 = 0,(Q):x - 4y + z - 4 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với hai mặt phẳng $(P),(Q)$ ?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 5 - t \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 5 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 5 \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 5 \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (2;1;2) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 4;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (9;0; - 9)$

Do đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;0; - 1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng d là $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 5 \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , tìm tập hợp các điểm cách đều cặp mặt phẳng sau đây: $4x - y - 2z - 3 = 0;4x - y - 2z - 5 = 0$ .
- A.
  $4x - y - 2z - 6 = 0$
- B.
  $4x - y - 2z - 4 = 0$
- C.
  $4x - y - 2z - 1 = 0$
- D.
  $4x - y - 2z - 2 = 0$
Gọi điểm

$A (0; −3; 0) ∈ 4x − y − 2z − 3 = 0 (α)$

$B (0; −5; 0) ∈ 4x − y − 2z − 5 = 0 (β)$

Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng trên có dạng: $4x − y − 2z + m = 0 (γ).$

Để mp (γ) cách đều hai mp trên thì $d (A; (β)) = 2d (A; (γ)) ⇔ |m + 3| = 1$

$⇔ m = −2$ hoặc $m = −4$

Mặt khác điểm hai điểm A; B phải nằm về hai phía của mp (γ).

Với $m = −2$ ta có $(4 .0 + 3 – 2.0 − 2) (4.0 + 5 – 2.0 − 2) > 0$ nên A; B cùng phía.

Với $m = −4$ ta có $(4 .0 + 3 – 2.0 − 4) (4.0 + 5 – 2.0 − 4) < 0$ nên A; B khác phía.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $4x − y − 2z − 4 = 0 (γ)$ .
Câu 20: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ ,cho mặt phẳng $(\alpha):x - z - 3 = 0$ và điểm $M(1;1;1)$ . Gọi $A$ là điểm thuộc tia $Oz$ , gọi $B$ là hình chiếu của $A$ lên $(\alpha)$ . Biết rằng tam giác $MAB$ cân tại $M$ . Diện tích của tam giác $MAB$ bằng:
- A.
  $6\sqrt{3}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{3\sqrt{123}}{2}$
- D.
  $3\sqrt{3}$
Gọi $A (0; 0; a).$

Đường thẳng AB qua A và vuông góc với (α) nên có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = a - t \\ \end{matrix} ight.$

B là hình chiếu của A lên (α) nên tọa độ B thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{matrix}x = t \\y = 0 \\z = a - t \\x - z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{a + 3}{2} \\y = 0 \\z = \dfrac{a - 3}{2} \\\end{matrix} ight.$

Suy ra $B\left( \frac{a + 3}{2};0;\frac{a - 3}{2} ight)$

Tam giác MAB cân tại M nên $MA = MB$

$\Leftrightarrow 1 + 1 + (1 - a)^{2} = \left( \frac{a + 1}{2} ight)^{2} + 1 + \left( \frac{a - 5}{2} ight)^{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Nếu a = 3 thì tọa độ $A (0; 0; 3), B (3; 0; 0)$ . Diện tích tam giác MAB là $S = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Nếu a = −3 thì tọa độ A (0; 0; −3) và B (0; 0; −3) trùng nhau nên không thỏa mãn.

Vậy diện tích của tam giác $MAB$ bằng: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ .

67 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!