Với giá trị nào của m thì mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu
![]()
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là .
tiếp xúc (S) khi:
(loại)
Với giá trị nào của m thì mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu
![]()
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là .
tiếp xúc (S) khi:
(loại)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân
giác trong góc A là
. Biết rằng điểm
thuộc đường thẳng AB và điểm
thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?
Giả sử , , ta có:
Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:
Từ đây ta bình phương 2 vế được:
Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt đường thẳng
tại
. Tính độ dài đoạn
.
Điểm . Mặt khác
nên
Điểm .
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
, SAB là tam giác đều và
vuông góc với
. Tính cosϕ với ϕ là góc tạo bởi
và ![]()
Hình vẽ minh họa
Gọi O M, lần lượt là trung điểm của AB; CD.
Vì SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD) nên SO ⊥ (ABCD).
Xét hệ trục có
Suy ra
Suy ra
Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến
Khoảng cánh giữa hai đường thẳng :
và
là:
Chuyển d1 về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của (d1):
.
Chuyển (d2) về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của
Áp dụng công thức tính Khoảng cách d1 và d2 , ta được:
.
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và
. Tìm tham số m để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau?
Ta có:
Để hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau thì
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)?
Ta thấy (α) và (β) song song với nhau nên với A(0; 2; 0) ∈ (α).
.
Trong không gian
, hai điểm
và
. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính
?
Mặt cầu nhận làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm
của
làm tâm và có bán kính
Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là .
Trong không gian
, gọi
là mặt phẳng chứa trục
và vuông góc với mặt phẳng
. Phương trình mặt phẳng
là:
Ta có: (Q) có một vectơ pháp tuyến là .
Từ giả thiết, ta suy ra có một vectơ pháp tuyến là
.
Do (P) đi qua gốc tọa độ O nên phương trình của (P) là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là:
Do đường thẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng
nên vectơ pháp tuyến của (P) là
cũng là vectơ chỉ phương của
.
Mặt khác đi qua điểm
nên phương trình chính tắc của
là:
Trong không gian
, cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Xét tứ diện OABC có các cạnh đôi một vuông góc với nhau.
Ta có:
Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.
Từ đó .
Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận làm vectơ pháp tuyến là:
Trong không gian
, cho hình chóp
có đáy là hình vuông và
vuông góc với đáy. Biết
, lập phương trình mặt phẳng
.
Dễ dàng chứng minh được là mặt phẳng trung trực của
.
Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
.
Mặt phẳng đi qua trung điểm
của
và có vtcp
nên có phương trình:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và hai mặt phẳng
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua
và song song với hai mặt phẳng
?
Ta có:
Do đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương là .
Vậy phương trình đường thẳng d là
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có tâm là điểm
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo thiết diện là đường tròn có bán kính
. Diện tích của mặt cầu
là:
Ta có:
Vậy diện tích mặt cầu là: .
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
có các vectơ pháp tuyến là
. Góc
là góc giữa hai mặt phẳng đó
là biểu thức nào sau đây?
Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Đường thẳng
đi qua
và song song với
có phương trình là:
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là
Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là .
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính góc tạo bởi
với trục
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Trục có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa và mặt phẳng
:
Cho hình lập phương
có tâm
. Gọi
là tâm của hình vuông
và điểm
sao cho
(tham khảo hình vẽ).

Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng
Gắn hệ tọa độ như hình vẽ:
Cạnh hình lập phương là 1, ta được tọa độ các điểm như sau:
Khi đó
Suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba mặt cầu
,
,
. Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu
?
Ta có có tâm lần lượt là
và bán kính lần lượt là
.
Gọi là mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu nói trên. Khi đó:
Xét phương trình
(1) Với . Thay vào
, ta được
Với .
Thay vào , ta được:
Với (vô lí).
Với .
Thay vào , ta được:
Với (vô lí).
(2) Với .
Thay vào , ta được
Với .
Thay vào , ta được
Với : chọn
Tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu
.
Với
Thay vào ta được:
Với (vô lí).
Vậy tồn tại 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu .
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt cầu tâm
bán kính
là:
Phương trình mặt cầu tâm bán kính
là:
Tổng quát .