Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 1}$ và hai điểm $A( - 1;3;1),B(0;2; - 1)$ . Gọi $C(m;n;p)$ là điểm thuộc đường thẳng $d$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $2\sqrt{2}$ . Giá trị của tổng $m + n + p$ bằng:
- A.
  $- 1$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $- 5$
Phương trình tham số của đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = t \\ x = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Vì C thuộc d nên tọa độ của C có dạng $C( - 1 + 2t;t;2 - t)$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (2t;t - 3;1 - t) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3t - 7; - 3t - 1;3t - 3)$

Diện tích tam giác ABC là

$S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = \frac{1}{2}\sqrt{(3t - 7)^{2} + ( - 3t - 1)^{2} + (3t - 3)^{2}}$

Theo bài ra ta có

$S_{\Delta ABC} = 2\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt{27t^{2} - 54t + 59} = 2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 27t^{2} - 54t + 59 = 32 \Leftrightarrow (t - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Với t = 1 thì C (1; 1; 1) nên $m = 1;n = 1;p = 1$

Vậy giá trị của tổng $m + n + p = 3$
Câu 2: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x + y - 2z - 5 = 0$ và đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{3}$ . Gọi $A$ là giao điểm của $\Delta$ và $(P)$ và $M$ là điểm thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $AM = \sqrt{84}$ . Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $\sqrt{6}$
- B.
  $\sqrt{14}$
- C.
  $3$
- D.
  $5$
Gọi $\alpha = \left( \Delta,(P) ight)$

Khi đó ta có: $\cos\alpha = \frac{|1.2 + 1.1 - 2.3|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + ( - 2)^{2}}.\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 3^{2}}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$

Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $(P)$ , khi đó:

$HM = MA.cos\alpha = \sqrt{84}.\frac{\sqrt{21}}{14} = 3$
Câu 3: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3;5; - 1),B(1;1;3)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight|$ ngắn nhất.
- A.
  $( - 2; - 3;0)$
- B.
  $(2; - 3;0)$
- C.
  $( - 2;3;0)$
- D.
  $(2;3;0)$
Gọi $J(x; y; z)$ là điểm sao cho $\overrightarrow{JA} + \overrightarrow{JB} = \overrightarrow{0}$ Suy ra J(2; 3; 1).

Khi đó $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JA} + \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JB} ight| = 2\left| \overrightarrow{MJ} ight|$

Vậy $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight|$ đạt GTNN khi và chỉ khi $\left| \overrightarrow{MJ} ight|$ đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).

Vậy M(2; 3; 0).
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 81$ tại điểm $P( - 5; - 4;6)$ là:
- A.
  $7x + 8y + 67 = 0$
- B.
  $4x + 2y - 9z + 82 = 0$
- C.
  $x - 4z + 29 = 0$
- D.
  $2x + 2y - z + 24 = 0$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; 2; 3)$ .

Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.

Do (α) tiếp xúc với (S) tại P nên mặt phẳng (α) đi qua P và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{IP} = ( - 6; - 6;3)$

Phương trình mặt phẳng (α) là

$- 6(x + 5) - 6(y + 4) + 3(z - 6) = 0$

$\Leftrightarrow 2x + 2y - z + 24 = 0$
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa điểm $M(1;3; - 2)$ , cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A;B;C$ (khác $O$ ) sao cho $\frac{OA}{1} = \frac{OB}{2} = \frac{OZ}{4}$ ?
- A.
  $2x - y - z - 1 = 0$
- B.
  $2x - y - z - 1 = 0$
- C.
  $4x + 2y + z + 1 = 0$
- D.
  $4x + 2y + z - 8 = 0$
Giả sử $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c > 0$ .

Phương trình mặt phẳng (P) là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ . Theo giả thiết ta có:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{1} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3} \\\frac{1}{a} + \dfrac{3}{b} - \dfrac{2}{c} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 4 \\c = 8 \\\end{matrix} ight.$

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là $4x + 2y + z - 8 = 0$ .
Câu 6: Thông hiểu
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ , gọi α là góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng $(BB'D'D)$ . Tính sinα.
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{5}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{4}$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $A \equiv O(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),A^{'}(0;0;a)$ ,

$B^{'}(a;0;a),C^{'}(a;a;a),D^{'}(0;a;a)$

Ta thấy $OC\bot\left( BB^{'}D^{'}D ight)$ và $\overrightarrow{OC} = (a;a;0)$ nên suy ra mặt phẳng $\left( BB^{'}D^{'}D ight)$ có một vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1;1;0$ . $).$

Đường thẳng $A^{'}B$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{A^{'}B} = (a;0; - a)$ ta chọn $\overrightarrow{u} = (1;0; - 1)$ .

Ta có $\sin\alpha =\frac{|\overrightarrow{n} \cdot\overrightarrow{u}|}{|\overrightarrow{n}| \cdot |\overrightarrow{u}|}$ $=\frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot ( - 1)|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} +0^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 0^{2} + ( - 1)^{2}}} =\frac{1}{2}$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0$ . Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng $(\alpha)$ ?
- A.
  $M(2;0;1)$
- B.
  $N(2;1;1)$
- C.
  $P(2; - 1;1)$
- D.
  $Q(1;0;1)$
Ta thấy tọa độ điểm $Q(1;0;1)$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng $(\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0$ nên điểm $Q$ nằm trên $(\alpha)$ .
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ và đi qua ba điểm $A(1;2; - 4),B(1; - 3;1),C(2;2;3)$ . Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $(2; - 1;0)$
- B.
  $( - 2;1;0)$
- C.
  $(0;0; - 2)$
- D.
  $(0;0;0)$
Gọi tâm mặt cầu là $I(a;b;c)$ và phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

Do $I \in (Oxy) \Rightarrow c = 0$

$\Rightarrow (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by + d = 0$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} A \in (S) \\ B \in (S) \\ C \in (S) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a + 4b - d = 21 \\ 2a - 6b - d = 11 \\ 4a + 4b - d = 17 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 1 \\ d = - 21 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $I( - 2;1;0)$ là đáp án cần tìm.
Câu 9: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân
giác trong góc A là $\frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}$ . Biết rằng điểm $M(0; 5; 3)$ thuộc đường thẳng AB và điểm $N(1;1;0)$ thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?
- A. $\vec{u}(1;2;3)$
- B. $\vec{u}(0;-2;6)$
- C. $\vec{u}(0;1;-3)$
- D. $\vec{u}(0;1;3)$
Giả sử , $A(t; 6-4t; 6-3t)$ , ta có:
$\vec{u_d}=(1; -4; -3),$
$\vec{AM}=(-t;4t-1;-3+3t)$
$\vec{AN}=(1-t;-5+4t;3t-6)$
Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:
$\left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AM}) ight |= \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AN}) ight |$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left | 26t-13 ight |}{\sqrt{26t^2 -26t+10} } =\dfrac{\left | 26t-39 ight |}{\sqrt{26t^2 -78t+62} }$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left | 2t-1 ight |}{\sqrt{13t^2 -13t+5} } =\dfrac{\left | 2t-3 ight |}{\sqrt{13t^2 -39t+31} }$
Từ đây ta bình phương 2 vế được:
$(4t^2-4t+1)(13t^2-39t+31)=(4t^2-12t+9)(13t^2-13t+5)$
$\Leftrightarrow 14t=14$
$\Leftrightarrow t=1$
$\Rightarrow A(1;2;3)\Rightarrow \vec{AN}=(0; -1; -3)$
Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là $\vec{u}(0;1;3)$ .
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x - 2y + 4z - 3 = 0$
- B.
  $2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - x - y - z = 0$
- C.
  $2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} + 4x + 8y + 6z + 3 = 0$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0$
Phương trình $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là phương trình của một mặt cầu nếu $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ .

Vậy phương trình không phải phương trình mặt cầu là:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0$
Câu 11: Vận dụng cao
Cho mặt cầu tâm $O$ , bán kính $R$ . Xét mặt phẳng $(P)$ thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ . Hình nón $(N)$ có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn $(C)$ và có chiều cao là $h(h > R)$ . Hình trụ $(T)$ có đáy là đường tròn $(C)$ và có cùng chiều cao với hình nón $(N)$ . Tính thể tích $V$ khối trụ được tạo nên bởi $(T)$ theo $R$ , biết $V$ có giá trị lớn nhất.
- A.
  $V = \frac{32}{27}\pi R^{3}$ .
- B.
  $V = \frac{32}{81}\piR^{3}$ .
- C.
  $V = \frac{16}{27}\piR^{3}$ .
- D.
  $V = \frac{64}{9}\piR^{3}$ .
Hình vẽ minh họa
Gọi khoảng cách từ $O$ dến mặt phẳng $(P)$ là $d$ với $(0 \leqd \leq R)$ , đường tròn $(C)$ có bán kính là $r$ .
$V = h \cdot \pi \cdot r^{2} = \pi(R +d)\left( R^{2} - d^{2} ight) = \pi\left( - d^{3} - Rd^{2} + R^{2}d +R^{3} ight)$
$V^{'}(d) = \pi\left( - 3d^{2} - 2Rd+ R^{2} ight) = 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}d = - 1 \\d = \frac{R}{3} \\\end{matrix} \Rightarrow d = \frac{R}{3} ight.$
Ta có $V(0) = \pi R^{3},V(R) = 0$ và $V\left( \frac{R}{3} ight) =\frac{32}{27}\pi R^{3}$ .
Vậy $V = \frac{32}{27}\piR^{3}$
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ . Tính góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $150^{0}$
Mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 ight)$

Trục $Ox$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$

Gọi α là góc giữa $Ox$ và mặt phẳng $(P)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - y + 2z + 1 = 0$ và đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ . Tính góc giữa đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Ta có: $\overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)$

Do đó: $\cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$

Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng $90^{0} - 60^{0} = 30^{0}$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}$ . Gọi ∆’ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng ∆ qua (Oxy). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
- A.
  $\overrightarrow{u} = ( - 1;3; - 1)$
- B.
  $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{u} = (1;3;0)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$
Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 11; 0).

Ta thấy B(1; 2; 3) ∈ ∆ và B’(1; 2; −3) là điểm đối xứng của điểm B qua mặt phẳng (Oxy).

Đường thẳng ∆’ đi qua các điểm A, B’.

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 3; - 9; - 3)$ , từ đó suy ra $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
Câu 15: Thông hiểu
Gọi $H(a;b;c)$ là hình chiếu của $A(2; - 1;1)$ lên đường thẳng $(d):\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 4 + 2t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} ight.$ . Đẳng thức nào dưới đây đúng?
- A.
  $a + 2b + 3c = 10$
- B.
  $a + 2b + 3c = 5$
- C.
  $a + 2b + 3c = 8$
- D.
  $a + 2b + 3c = 12$
Vì $H \in (d) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} H(1;4 + 2t; - 2t) \\ \overrightarrow{AH} = ( - 1;5 + 2t; - 1 - 2t) \\ \end{matrix} ight.$

(d) có vtcp $\overrightarrow{u} = (0;2; - 2)$

$\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0 \Leftrightarrow ( - 1).0 + (5 + 2t)2 + ( - 1 - 2t)( - 2) = 0$

$\Leftrightarrow 8t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{3}{2}$

Suy ra $H(1;1;3)$ . Vậy $a + 2b + 3c = 12$
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A( - 2;3;2)$ và $B(5;4; - 1)$ là
- A.
  $\frac{x + 2}{7} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{- 3}$ .
- B.
  $\frac{x - 2}{7} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z + 2}{- 3}$ .
- C.
  $\frac{x + 2}{5} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 2}{- 1}$ .
- D.
  $\frac{x - 2}{5} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z + 2}{- 1}$ .
Vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là $\overrightarrow{AB} = (7;1; - 3)$ và đường thẳng đi qua điểm $A( - 2;3;2)$ .

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $\frac{x + 2}{7} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{- 3}$ .
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ ,cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 1 + 2t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng $(d)$ ?
- A.
  $d:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}$
- B.
  $d:\frac{x + 3}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{- 3}$
- C.
  $d:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{- 3}$
- D.
  $d:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{- 3}$
Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M(3; - 1;0)$ và nhận $\overrightarrow{u} = ( - 1;2; - 3)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của $(d):\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}$
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , hãy viết phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(0; - 1;0)$ và vuông góc với đường thẳng $OM$ .
- A.
  $(P):x + y + 1 = 0$
- B.
  $(P):x - y - 1 = 0$
- C.
  $(P):y - 1 = 0$
- D.
  $(P):y + 1 = 0$
Mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(0; - 1;0)$ và có một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{OM} = (0; - 1;0)$ nên có phương là:

$0(y - 0) + ( - 1)(y + 1) + 0(z - 0) = 0 \Leftrightarrow y + 1 = 0$ .
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;1; - 2),B(3;1;1);C( - 2;0;3)$ . Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $N(2;1;0)$ .
- B.
  $Q( - 2;1;0)$ .
- C.
  $M(2; - 1;0)$ .
- D.
  $H( - 2; - 1;0)$ .
Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3;0;3),\overrightarrow{AC} = ( - 2; - 1;5)$ suy ra $\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (3; - 21; - 3)$

Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua điểm $B (3; 1; 1)$ , có 1 vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \frac{1}{3}\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = (1; - 7; - 1)$ nên có phương trình là: $x - 7y - z + 5 = 0$

Vì $2 - 7.1 - 0 + 5 = 0$ nên $N(2;1;0) \in (ABC)$ .
Câu 20: Thông hiểu
Gọi $(S)$ là mặt cầu đi qua bốn điểm $A(2;0;0),B(1;3;0),C( - 1;0;3),D(1;2;3)$ . Tính bán kính $R$ của $(S)$ ?
- A.
  $R = 2\sqrt{2}$
- B.
  $R = 3$
- C.
  $R = 6$
- D.
  $R = \sqrt{6}$
Gọi $I(a;b;c)$ là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm $A;B;C;D$

Khi đó ta có phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} AI^{2} = BI^{2} \\ AI^{2} = CI^{2} \\ AI^{2} = DI^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 3)^{2} + c^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a + 1)^{2} + b^{2} + (c - 3)^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 3b = - 3 \\ a - c = - 1 \\ a - 2b - 3c = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0;1;1)$

Vậy bán kính cần tìm là: $R = IA = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}$

65 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!