Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Hai đường thẳng \left( {d'} ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y =  - 3m - t\\z = 2t - 1\end{array} ight.\left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2m\\y = m + 2\\z =  - m\end{array} ight.với cắt nhau tại M có tọa độ là :

     

    Để (d’) cắt (d) tại M \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + 4t = 4 - 2m\\ - 3 - t = m + 2\\2t - 1 =  - m\end{array} ight. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t + m = 1\\t + m =  - 5\end{array} ight. \\\Leftrightarrow t = 6;m =  - 11

    \Rightarrow M\left( {26, - 9,11} ight)

     

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt cầu (S_1): (x+3)^2+(y−2)^2+(z−4)^2 = 1, (S_2): x ^2 + (y − 2)^2 + (z − 4)^2 = 4, (S_3): x ^2 + y ^2 + z ^2 + 4x − 4y − 1 = 0. Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu (S_1), (S_2), (S_3)?

    Ta có \left( S_{1} ight),\left( S_{2}ight),\left( S_{3} ight) có tâm lần lượt là I_{1}( - 3;2;4),I_{2}(0;2;4),I_{3}( -2;2;0) và bán kính lần lượt là R_{1} = 1,R_{2} = 2,R_{3} = 3.

    Gọi (P):ax + by + cz + d = 0\left( a^{2} +b^{2} + c^{2} eq 0 ight) là mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu nói trên. Khi đó:

    \left\{ \begin{matrix}d\left( I_{1};(P) ight) = R_{1} \\d\left( I_{2};(P) ight) = R_{2} \\d\left( I_{3};(P) ight) = R_{3} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}| - 3a + 2b + 4c + d| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\|2b + 4c + d| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\| - 2a + 2b + d| = 3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}|2b + 4c + d| = 2\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \\2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b + 4c + d| \\3|2b + 4c + d| = 2| - 2a + 2b + d| \\\end{matrix} ight.

    Xét phương trình

    3|2b + 4c + d| = 2| - 2a + 2b +d|

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}3(2b + 4c + d) = 2( - 2a + 2b + d) \\3(2b + 4c + d) = - 2( - 2a + 2b + d) \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}d = - 4a - 2b - 12c \\5d = 4a - 10b - 12c \\\end{matrix} ight.

    (1) Với d = - 4a - 2b - 12c. Thay vào 2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b + 4c +d|, ta được

    2| - 7a - 8c| = | - 4a -8c|

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}7a + 8c = 2a + 4c \\7a + 8c = - 2a - 4c \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = - \dfrac{6c}{5} \\a = - \dfrac{4c}{3} \\\end{matrix} ight.\  ight.

    Với a = - \frac{6c}{5} \Rightarrow d = -\frac{36c}{5} - 2b.

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}, ta được:

    \left| \frac{18c}{5} + 2b + 4c -\frac{36c}{5} - 2b ight| = \sqrt{\left( - \frac{6c}{5} ight)^{2} +b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow \left| \frac{2c}{5}ight| = \frac{1}{5} \cdot \sqrt{25b^{2} + 61c^{2}} \Leftrightarrow4c^{2} = 25b^{2} + 61c^{2} \Leftrightarrow b = c = 0

    Với b = c = 0 \Rightarrow a = 0,d =0 (vô lí).

    Với a = - \frac{4c}{3} \Rightarrow d = -\frac{20c}{3} - 2b.

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}, ta được:

    \left| \frac{12c}{5} + 2b + 4c -\frac{20c}{5} - 2b ight| = \sqrt{\left( - \frac{4c}{3} ight)^{2} +b^{2} + c^{2}}

    \Leftrightarrow \left| \frac{4c}{3}ight| = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9b^{2} + 25c^{2}}

    \Leftrightarrow 16c^{2} = 9b^{2} +25c^{2} \Leftrightarrow b = c = 0

    Với b = c = 0 \Rightarrow a = 0,d =0 (vô lí).

    (2) Với 5d = 4a - 10b - 12c.

    Thay vào 2| - 3a + 2b + 4c + d| = |2b +4c + d|, ta được

    2| - 11a + 8c| = |4a + 8c

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}11a - 8c = 2a + 4c \\11a - 8c = - 2a - 4c \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{4c}{13} \\a = \dfrac{4c}{3} \\\end{matrix} ight.\  ight.

    Với a = \frac{4c}{13} \Rightarrow 5d = -\frac{140c}{13} - 10b.

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}, ta được

    \left| \frac{60c}{13} ight| =\frac{5}{13} \cdot \sqrt{169b^{2} + 185c^{2}}

    \Leftrightarrow 11c^{2} = 169b^{2}\Leftrightarrow c = \pm \frac{13b}{\sqrt{11}}

    Với c = \frac{13b}{\sqrt{11}} : chọn b = \sqrt{11} \Rightarrow c = 13\Rightarrow Tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu \left( S_{1} ight),\left( S_{2}ight),\left( S_{3} ight).

    Với a = \frac{4c}{3} \Rightarrow 5d = -\frac{20c}{3} - 10b

    Thay vào | - 3a + 2b + 4c + d| =\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} ta được:

    \left| \frac{20c}{3} ight| =\frac{5}{3}.\sqrt{9b^{2} + 25c^{2}} \Leftrightarrow 9b^{2} + 9c^{2} = 0\Leftrightarrow b = c = 0

    Với b = c = 0 ⇒ a = 0, d = 0 (vô lí).

    Vậy tồn tại 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu \left( S_{1} ight),\left( S_{2} ight),\left(S_{3} ight).

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(1;2;3) và có véc-tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (2;4;6). Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng \Delta?

    Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình \left\{ \begin{matrix}
x = 3 + 2t \\
y = 6 + 4t \\
z = 12 + 6t \\
\end{matrix} ight..

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) qua bốn điểm A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3),D(3;3;3). Phương trình mặt cầu (S) là:

    Gọi phương trình mặt cầu (S):x^{2} +
y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0

    Vì mặt cầu đi qua bốn điểm đã cho nên ta có hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix}18 - 6a - 6b + d = 0 \\18 - 6a - 6c + d = 0 \\18 - 6b - 6c + d = 0 \\27 - 6a - 6b - 6c + d = 0 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\b = \dfrac{3}{2} \\c = \dfrac{3}{2} \\d = 0 \\\end{matrix} ight.. Suy ra tâm mặt cầu I\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2}
ight) và bán kính R = \sqrt{a^{2}
+ b^{2} + c^{2} - d} = \frac{3\sqrt{3}}{2}

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: \left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y -
\frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} =
\frac{27}{4}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;1;1),B( - 1;1;0),C(1;3;2). Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận vectơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ phương?

    Gọi M là trung điểm của BC, suy ra tọa độ điểm M(0;2;1).

    Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{AM} = ( - 1;1;0).

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x + y + 6z - 1 = 0 và hai điểm A(1; - 1;0),B( - 1;0;1). Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bao nhiêu?

    Ta có \overrightarrow{BA} = (2; - 1; -
1). Gọi α là góc giữa đường thẳng AB và (P).

    Khi đó: \sin\alpha = \left(
\overrightarrow{BA};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{\left| 2.2
+ 1.( - 1) + 6.( - 1) ight|}{\sqrt{41}.\sqrt{6}} =
\frac{3}{\sqrt{246}}

    Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bằng:

    AB.cos\alpha = AB.\sqrt{1 -\sin^{2}\alpha}= \sqrt{6.\left( 1 - \frac{9}{246} ight)} =\sqrt{\frac{237}{41}}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABCA(1;0;1),B(0;2;3),C(2;1;0). Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ C là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = ( - 1;2;2) \Rightarrow \left| \overrightarrow{AB}
ight| = 3 \\
\overrightarrow{AC} = (1;1; - 1) \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( -
4;1;3)

    S_{ABC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack ight| =
\frac{\sqrt{26}}{2}

    S_{ABC} =
\frac{1}{2}d(C;AB).AB

    \Rightarrow d(C;AB) =
\frac{2S_{ABC}}{AB} = \frac{\sqrt{26}}{3}

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{- 2} =
\frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} và mặt phẳng (P):2x - y - 2z + 1 = 0. Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: \Delta có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 2;2; -
1), (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (2; - 1; -
2).

    Từ đó: \sin\alpha = \left| \cos\left(
\overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ight) ight| = \left|
\frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{n}
ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} ight| =
\frac{4}{9}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 20 =
0 và mặt phẳng (\alpha):x + 2y - 2z
+ 7 = 0 cắt nhau theo một đường tròn có chu vi là:

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 0) và bán kính R = 5.

    Ta có d\left( I,(\alpha) ight) = \
\frac{|1.1 + 2.2 - 2.0 + 7|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} =
4

    d(I,(α)) < R nên (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (α) ⇒ H là tâm của (C).

    Lấy M ∈ (C) ⇒ M ∈ (S)

    Tam giác IHM vuông tại M \Rightarrow HM =
\sqrt{IM^{2} - IH^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3

    Suy ra chu vi của đường tròn (C) bằng 2π . HM = 6π.

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0. Tính góc tạo bởi (P) với trục Ox?

    Mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 =
0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0
ight)

    Trục Ox có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{i} = (1;0;0)

    Gọi α là góc giữa Ox và mặt phẳng (P):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| =
\frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left|
\overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1
- 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha =
30^{0}

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có A\left( {5,1,3} ight),B\left( {1,6,2} ight),C\left( {5,0,4} ight),D\left( {4,0,6} ight). Mặt phẳng chứa BC và song song với AD có phương trình :

    Theo đề bài, từ các điểm A\left( {5,1,3} ight),B\left( {1,6,2} ight),C\left( {5,0,4} ight),D\left( {4,0,6} ight), ta tính được các vecto tương ứng là: \overrightarrow {BC}  = \left( {4, - 6,2} ight);\overrightarrow {AD}  = \left( { - 1, - 1,3} ight)

    \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} } ight] = \left( { - 16, - 14, - 10} ight)cùng phương với \overrightarrow n  = \left( {8,7,5} ight)

    Chọn \vec{n} làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa BC và song song với AD.

    Phương trình (P) có dạng: 8x + 7y + 5z + D = 0

    Mặt khác, điểm B \in \left( P ight) \Leftrightarrow 8 + 42 + 10 + D = 0 \Leftrightarrow D =  - 60

    Vậy phương trình (P): 8x + 7y + 5z - 60 = 0.

  • Câu 12: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y +
1}{1} = \frac{z - 2}{2}d':\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z -
1}{1}. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d’ một góc lớn nhất.

    Đường thẳng d,d^{'} có véc-tơ chỉ phương lần lượt là {\overrightarrow{u}}_{1} =
(2;1;2),{\overrightarrow{u}}_{2} = (1;2;1).

    Lấy điểm A(1; - 1;2) \in d.

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và cắt trục hoành tại điểm B(b;0;0).

    Khi đó (P) có cặp véc-tơ chỉ phương là {\overrightarrow{u}}_{1}\overrightarrow{AB} = (b - 1;1; -
2), suy ra (P) có véc-tơ pháp tuyến {\overrightarrow{n}}_{P} =
\left\lbrack {\overrightarrow{u}}_{1},\overrightarrow{AB} ightbrack
= ( - 4;2b + 2;3 - b)

    Gọi \varphi là góc giữa đường thẳng d^{'}(P), suy ra

    sin\varphi = \frac{\left|
{\overrightarrow{n}}_{P} \cdot {\overrightarrow{u}}_{2} ight|}{\left|
{\overrightarrow{n}}_{P} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{u}}_{2}
ight|} = \frac{|3b + 3|}{\sqrt{5b^{2} + 2b + 29} \cdot
\sqrt{6}}

    Đặt y = \frac{b^{2} + 2b + 1}{5b^{2} + 2b
+ 29} \geq 0, suy ra sin\varphi =
\sqrt{y} \cdot \frac{3}{\sqrt{6}}.

    Nhận thấy, để góc \varphi lớn nhất thì sin\varphi lớn nhất, điều đó đồng nghĩa với y phải lớn nhất.

    Xét y = \frac{b^{2} + 2b + 1}{5b^{2} + 2b
+ 29} \Leftrightarrow (5y - 1)b^{2} + (2y - 2)b + (29y - 1) =
0.

    Trường hợp y = \frac{1}{5} \Rightarrow b
= 3.

    Trường hợp y eq
\frac{1}{5}.

    Phương trình (*) có nghiệm b khi và chỉ khi

    \Delta^{'} = (y - 1)^{2} - (5y -
1)(29y - 1) \geq 0 \Leftrightarrow - 144y^{2} + 32y \geq 0 \Rightarrow 0
\leq y \leq \frac{2}{9}

    Từ đó suy ra, để tồn tại b suy ra 0 \leq y \leq \frac{2}{9}.

    Vậy y_{\max} = \frac{2}{9} khi đó b = 7. Từ đó suy ra {\overrightarrow{n}}_{P} = ( - 4;16; - 4) = - 4(1;
- 4;1) và mặt phẳng (P) có phương trình

    1(x - 1) - 4(y + 1) + 1(z - 2) = 0
\Leftrightarrow x - 4y + z - 7 = 0

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, hỏi trong các phương trình sau đây phương trình nào là phương trình của mặt cầu?

    Phương trình x^{2} + z^{2} + 3x - 2y + 4z
- 1 = 0 không có y^{2}=> Loại

    Phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy
- 4y + 4z - 1 = 0 có số hạng 2xy => Loại

    Phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x +
2y - 4z + 8 = 0 loại vì

    a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 1 + 1 + 4 -
8 < 0

    Phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x +
4z - 1 = 0 thỏa mãn vì

    a^{2} +
b^{2} + c^{2} - d = 1 + 0 + 4 + 1 = 6 > 0.

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} =
\frac{y}{1} = \frac{z}{3},d_{2}:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 + t \\
y = 2 + t \\
z = m \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Gọi S là tập hợp tất cả các số m sao cho d_{1},d_{2} chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng \frac{5}{\sqrt{19}}. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

    Vectơ chỉ phương của d_{1},d_{2}\overrightarrow{u_{1}} =
(2;1;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;0)

    Khi đó: \overrightarrow{n} = \left\lbrack
\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( -
3;3;1).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa d_{1} song song với d_{2}.

    Tức là, (P) qua A(1;0;0) và nhận \overrightarrow{n} làm vectơ pháp tuyến.

    Ta có phương trình (P):3x - 3y - z - 3 =
0

    Xét điểm B(1;2;m) \in d_{2}. Do d_{1},d_{2} chéo nhau nên B otin (P) \Leftrightarrow m eq -
6.

    Lại có:

    d\left( d_{1};d_{2} ight) =
\frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow d\left( B;(P) ight) =
\frac{5}{\sqrt{19}}

    \Leftrightarrow \frac{|3 - 6 - m -
3|}{\sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
m = - 1 \\
m = - 11 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy tổng các phần tử của S là - 1 - 11 =
- 12.

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính R = 2?

    Phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} +
z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 có bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}

    Xét phương trình mặt cầu (S):x^{2} +
y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
a = 2;b = - 1 \\
c = - 1;d = 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}
= \sqrt{4} = 2

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Biết B(2;3;7),D(4;1;3), lập phương trình mặt phẳng (SAC).

    Dễ dàng chứng minh được (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.

    Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC)\overrightarrow{BD} = (2; - 2; - 4).

    Mặt phẳng (SAC) đi qua trung điểm I(3;2;5) của BD và có vtcp \overrightarrow{BD} nên có phương trình: x - y - 2z + 9 = 0.

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng?

    Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

    \frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b}
= \frac{z - z_{0}}{c} với a.b.c
eq 0.

    Vậy đáp án đúng là : \frac{x - 6}{3} =
\frac{y - 3}{4} = \frac{z - 5}{3}

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (\alpha):4x + 3y - 7z + 1 = 0. Phương trình tham số của d là:

    Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (\alpha) nên nhận vectơ \overrightarrow{n_{(\alpha)}} làm véc-tơ chỉ phương.

    Suy ra, phương trình đường thẳng: \left\{
\begin{matrix}
x = 1 + 4t \\
y = 2 + 3t \\
z = 3 - 7t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = (1;2;1),\overrightarrow{b} =
(1;1;2),\overrightarrow{c} = (x;3x;x + 2). Nếu ba vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} đồng phẳng thì:

    Ta có: \left\lbrack
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack = (3; -
3;3)

    Ba vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} đồng phẳng

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack.\overrightarrow{c} =
0

    \Leftrightarrow 3x - 3(3x) + 3(x + 2) =
0

    \Leftrightarrow x = 2

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại A, \widehat{ABC} = 30^{0}, BC = 3\sqrt{2}, đường thẳng BC có phương trình \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{-
4}, đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (\alpha):x + z - 3 =
0. Biết rằng đỉnh C có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh A.

    Hình vẽ minh họa:

    Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix}
\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4} \\
x + z - 3 = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow B(2;3;1)

    Do C ∈ BC nên C(4 + c;5 + c; - 7 -
4c)

    Theo giả thiết BC = 3\sqrt{2} nên: 18(2 + c)^{2} = 18 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
c = - 1 \Rightarrow C(3;4; - 3) \\
c = - 3 \Rightarrow C(1;2;5) \\
\end{matrix} ight.

    Mặt khác đỉnh C có cao độ âm nên C(3; 4; −3).

    Gọi A(x;y;3 - x) \in (\alpha). Do \widehat{ABC} = 30^{0} nên:

    \left\{ \begin{matrix}
AB = \frac{3\sqrt{6}}{2} \\
AC = \frac{3\sqrt{2}}{2} \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (2 - z)^{2} = \frac{27}{2} \\
(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} + (6 - z)^{2} = \frac{9}{2} \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\
2x^{2} - 18x + y^{2} - 8y + \frac{113}{2} = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
10x + 2y - 53 = 0 \\
2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
y = \frac{53 - 10x}{2} \\
2x^{2} - 8x + \left( \frac{53 - 10x}{2} ight)^{2} - 6.\left( \frac{53
- 10x}{2} ight) + \frac{7}{2} = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
y = \frac{53 - 10x}{2} \\
x = \frac{9}{2} \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
y = 4 \\
x = \frac{9}{2} \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow A\left( \frac{9}{2};4; - \frac{3}{2}
ight)

    Vậy đáp án cần tìm là \frac{9}{2}.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 42 lượt xem
Sắp xếp theo