Trong không gian với hệ tọa độ
cho
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
chứa
và vuông góc với mặt phẳng
. Tìm phương trình mặt phẳng
.
Ta có
Do mặt phẳng Q chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)
Do đó .
Trong không gian với hệ tọa độ
cho
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
chứa
và vuông góc với mặt phẳng
. Tìm phương trình mặt phẳng
.
Ta có
Do mặt phẳng Q chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)
Do đó .
Trong hệ tọa độ
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Gọi
là mặt phẳng song song với
và cắt
theo thiết diện là đường tròn
sao cho khối nón có đỉnh là tâm của mặt cầu và đáy là hình tròn giới hạn bởi
có thể tích lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng
là
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và bán kính
Gọi r là bán kính đường tròn (C) và H là hình chiếu của I lên (Q).
Đặt IH = x ta có:
Vậy thể tích khối nón tạo được là:
Gọi ta có:
chỉ có
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy khi
Mặt phẳng (Q) // (P) nên
Vậy
Vậy mặt phẳng (Q) có phương trình hoặc
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là
. Tính tổng ![]()
Hình vẽ minh họa
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.
Phương trình tham số của
Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.
Khi đó
Lại có:
Vậy lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K
Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).
Vectơ pháp tuyến của (Q) là
Vectơ pháp tuyến của (P) là
Phương trình mặt phẳng (P) là
Vậy
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng
và vuông góc với mặt phẳng ![]()
Theo đề bài, qua giao tuyến của hai mặt phẳng
nên
có dạng là
Chọn làm vectơ pháp tuyến của
, ta có:
Trong không gian
, tìm tất cả các giá trị của tham số
để
là phương trình mặt cầu
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là:
Trong không gian
, cho đường thẳng
. Vectơ nào trong các vectơ dưới đây không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng
?
Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là
. Do đó vectơ
không là vectơ chỉ phương của
.
Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz:
A sai và có thể (P) và (Q) trùng nhau
B sai, vì mỗi mặt phẳng có vô số vecto pháp tuyến. Suy ra D sai.
C đúng vì 1 mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một VTPT của nó.
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
, sin của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, tìm tất cả giá trị tham số
để đường thẳng
song song với mặt phẳng
.
Ta có:
qua điểm
và có VTCP là
(P) có VTPT là
Vì d // (P) nên
Với (loại).
Với (thỏa mãn).
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
?
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
nên
có một vectơ chỉ phương là
.
Phương trình là
Kiểm tra được điểm thỏa mãn hệ (*).
Vậy phương trình: cũng là phương trình của
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo thiết diện là đường tròn bán kính
bằng bao nhiêu?
Mặt cầu có tâm
và bán kính
.
Khoảng cách từ tâm đến
bằng
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
.
Ta có:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Từ đó phương trình mặt phẳng là
.
Một hình cầu có bán kính là 2m, một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ dài là
. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:
Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d, ta có .
Theo giả thiết R = 2m và .
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Để mặt phẳng
hợp với mặt phẳng
một góc
thì giá trị của m là
Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến là
Ta có , suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là
Theo bài ra ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, tính khoảng cách giữa đường thẳng
và trục
.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương và đi qua điểm
Trục Ox có vectơ chỉ phương và đi qua điểm
Khoảng cách giữa đường thẳng d và trục Ox là:
Tính góc của hai đường thẳng
và
.
Theo đề bài, ta có (d’) và (d) có vec-tơ chỉ phương lần lượt là:
Áp dụng công thức cosin của góc giữa 2 đường thẳng, ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Tính số đo góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .
Khi đó ta có:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua
và song song với vectơ
là:
Theo đề bài, ta có:
Chọn làm 1 vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng :
Mà mp lại qua A nên
Phương trình cần tìm là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có tâm là điểm
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo thiết diện là đường tròn có bán kính
. Diện tích của mặt cầu
là:
Ta có:
Vậy diện tích mặt cầu là: .
Trong không gian
, cho ba điểm
. Đường thẳng
qua trực tâm
của tam giác
và nằm trong mặt phẳng
cùng tạo với các đường thẳng
một góc
có một véc-tơ chỉ phương là
với
là số nguyên tố và
là số nguyên. Giá trị biểu thức
bằng bao nhiêu?
Ta có:
Theo đề bài, ta suy ra:
Vì ∆ ⊂ (ABC) nên
Trường hợp 1: Xét hệ phương trình:
Chọn c = 11, ta có (kiểm tra lại điều kiện
ta thấy
đang xét thỏa mãn).
Trường hợp 2: Xét hệ phương trình
Chọn c = 2, ta có (kiểm tra lại điều kiện
ta thấy
đang xét không thỏa mãn).
Vậy