Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.

    a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B'BC bằng a. Đúng||Sai

    b) Góc giữa hai đường thẳng ABB^{'}D^{'} bằng \ 45{^\circ}. Đúng||Sai

    c) Góc giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (A'B'C'D') bằng 60{^\circ}. Sai||Đúng

    d) Góc nhị diện \left\lbrack
(BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack có số đo bằng 45{^\circ}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.

    a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B'BC bằng a. Đúng||Sai

    b) Góc giữa hai đường thẳng ABB^{'}D^{'} bằng \ 45{^\circ}. Đúng||Sai

    c) Góc giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (A'B'C'D') bằng 60{^\circ}. Sai||Đúng

    d) Góc nhị diện \left\lbrack
(BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack có số đo bằng 45{^\circ}. Đúng||Sai

    a) Vì A'B'\bot BB', BC\bot BB' nên d(A'B',BC) = BB' = a. Mệnh đề đúng.

    b) Do AB//A'B' nên (AB,B'D') = (A'B',B'D') =
45{^\circ}. Mệnh đề đúng.

    c) Vì CC'\bot(A'B'C'D') nên \left( CD',(A'B'C'D')
ight) = (CD',C'D') = 45{^\circ}. Mệnh đề sai.

    d) Ta có B'C'\bot
BB', B'D'\bot
BB' nên góc nhị diện \left\lbrack
(BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack có số đo bằng \widehat{D'B'C'} =
45{^\circ}. Mệnh đề đúng

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giá trị dương của tham số m sao cho mặt phẳng (Oxy) tiếp xúc với mặt cầu (x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} +
1 là:

    Ta có: (Oxy) có phương trình z = 0

    Mặt cầu (x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2}
= m^{2} + 1 có tâm I(3;0;2) và bán kính R = \sqrt{m^{2} + 1}

    Để mặt phẳng (Oxy) tiếp xúc với mặt cầu (x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} =
m^{2} + 1 thì

    d\left( I;(P) ight) = R
\Leftrightarrow \frac{|2|}{\sqrt{1}} = \sqrt{m^{2} + 1}

    \Leftrightarrow m^{2} + 1 = 4
\Leftrightarrow m = \pm \sqrt{3}. Vì m nhận giá trị dương nên m = \sqrt{3}.

    Vậy m = \sqrt{3} thỏa yêu cầu đề bài.

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d):\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z +
2}{3}. Trong các vectơ sau, vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)?

    Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:

    \frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b}
= \frac{z - z_{0}}{c} với a.b.c
eq 0.

    Vectơ chỉ phương \overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{=}\left(
\mathbf{a}\mathbf{;}\mathbf{b}\mathbf{;}\mathbf{c}
ight).

  • Câu 4: Vận dụng

    Hai đường thẳng \left( {d'} ight):x = 8t - 1;\,\,y =  - 1 - 14t;\,\,z =  - 12t và  \left( d ight):x - 2y + 3z - 1 = 0;\,\,\,2x + 2y - z + 4 = 0\,\,\,\left( {t \in R } ight)

    Ta có đường thẳng (d’) qua E (-1, -1, 0) có vecto chỉ phương \overrightarrow a  = \left( {8, - 14, - 12} ight)

    Hai pháp vecto của hai đường thẳng \left( d ight):x - 2y + 3z - 1 = 0;\,\,\,2x + 2y - z + 4 = 0\,\,\,\left( {t \in R } ight) lần lượt là \overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1, - 2,3} ight);\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2,2, - 1} ight)

    Vecto chỉ phương của \left( d ight):\overrightarrow b  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } ight] = \left( { - 4,7,6} ight)

    Ta có: \frac{8}{{ - 4}} = \frac{{ - 14}}{7} = \frac{{ - 12}}{6} =  - 2 và tọa độ E\left( { - 1, - 1,0} ight) thỏa mãn phương trình của \left( d ight) \Rightarrow \left( D ight) \equiv \left( d ight)

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, khoảng cách từ A( - 2;1; - 6) đến mặt phẳng (Oxy)

    Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy):z = 0 là:

    d\left( A;(Oxy) ight) = \frac{| -
6|}{\sqrt{1}} = 6

  • Câu 6: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y +
1}{1} = \frac{z - 2}{2}d':\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z -
1}{1}. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d’ một góc lớn nhất.

    Đường thẳng d,d^{'} có véc-tơ chỉ phương lần lượt là {\overrightarrow{u}}_{1} =
(2;1;2),{\overrightarrow{u}}_{2} = (1;2;1).

    Lấy điểm A(1; - 1;2) \in d.

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và cắt trục hoành tại điểm B(b;0;0).

    Khi đó (P) có cặp véc-tơ chỉ phương là {\overrightarrow{u}}_{1}\overrightarrow{AB} = (b - 1;1; -
2), suy ra (P) có véc-tơ pháp tuyến {\overrightarrow{n}}_{P} =
\left\lbrack {\overrightarrow{u}}_{1},\overrightarrow{AB} ightbrack
= ( - 4;2b + 2;3 - b)

    Gọi \varphi là góc giữa đường thẳng d^{'}(P), suy ra

    sin\varphi = \frac{\left|
{\overrightarrow{n}}_{P} \cdot {\overrightarrow{u}}_{2} ight|}{\left|
{\overrightarrow{n}}_{P} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{u}}_{2}
ight|} = \frac{|3b + 3|}{\sqrt{5b^{2} + 2b + 29} \cdot
\sqrt{6}}

    Đặt y = \frac{b^{2} + 2b + 1}{5b^{2} + 2b
+ 29} \geq 0, suy ra sin\varphi =
\sqrt{y} \cdot \frac{3}{\sqrt{6}}.

    Nhận thấy, để góc \varphi lớn nhất thì sin\varphi lớn nhất, điều đó đồng nghĩa với y phải lớn nhất.

    Xét y = \frac{b^{2} + 2b + 1}{5b^{2} + 2b
+ 29} \Leftrightarrow (5y - 1)b^{2} + (2y - 2)b + (29y - 1) =
0.

    Trường hợp y = \frac{1}{5} \Rightarrow b
= 3.

    Trường hợp y eq
\frac{1}{5}.

    Phương trình (*) có nghiệm b khi và chỉ khi

    \Delta^{'} = (y - 1)^{2} - (5y -
1)(29y - 1) \geq 0 \Leftrightarrow - 144y^{2} + 32y \geq 0 \Rightarrow 0
\leq y \leq \frac{2}{9}

    Từ đó suy ra, để tồn tại b suy ra 0 \leq y \leq \frac{2}{9}.

    Vậy y_{\max} = \frac{2}{9} khi đó b = 7. Từ đó suy ra {\overrightarrow{n}}_{P} = ( - 4;16; - 4) = - 4(1;
- 4;1) và mặt phẳng (P) có phương trình

    1(x - 1) - 4(y + 1) + 1(z - 2) = 0
\Leftrightarrow x - 4y + z - 7 = 0

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} =
16 có tâm là

    Mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + y^{2} + (z +
3)^{2} = 16 có tâm là: I(1;0; -
3) .

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho điểm {m{A(2, - 1,1)}} và đường thẳng (\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}y + z - 4 = 0\\2x - y - z + 2 = 0\end{array} ight.. Gọi A'  là điểm đối xứng của A qua (\triangle) . Tọa độ điểm A'  là:

    Đưa phương trình (\triangle) về dạng tham số: \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 - t\\z = t\end{array} ight.

    Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (\triangle).

    Phương trình mp (P) có dạng - y + z + D = 0 , qua A nên D =  -2

    Phương trình (P) là: y - z + 2 = 0

    Thế x, y, z từ phương trình (\triangle) vào phương trình (P) được t=1

    \Rightarrow (\triangle ) \cap (\alpha ) = (1,3,1).

    I là trung điểm của AA' nên: {x_{A'}} + 2 = 2;{y_{A'}} - 1 = 6;{z_{A'}} + 1 = 2

    \Rightarrow A'(0,7,1).

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 =
0

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 =
0

    \Leftrightarrow (x - 4)^{2} + (y +
1)^{2} + z^{2} = 16

    Vậy tọa độ bán kính và bán kính mặt cầu lần lượt là: I(4; - 1;0),R = 4

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P);(Q) có các vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{a}\left(
a_{1};b_{1};c_{1} ight),\overrightarrow{b}\left( a_{2};b_{2};c_{2}
ight). Góc \alpha là góc giữa hai mặt phẳng đó \cos\alpha là biểu thức nào sau đây?

    Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:

    \cos\alpha = \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\left| a_{1}a_{2}
+ b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} ight|}{\left| \overrightarrow{a}
ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( - 1;3;1),B(1; - 1;2),C(2;1;3),D(0;1;
- 1). Mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD có phương trình là:

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (2; - 4;1) \\
\overrightarrow{CD} = ( - 2;0; - 4) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ightbrack = (8;3; -
4).

    Mặt phẳng (P) đi qua A( -
1;3;1), nhận \overrightarrow{n} =
\left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ightbrack =
(8;3; - 4) là vectơ pháp tuyến, có phương trình là

    \ 8(x + 1) + 3(y - 3) - 4(z - 1) =
0

    \Leftrightarrow 8x + 3y - 4z + 3 =
0

    (Thỏa mãn song song CD nên thỏa mãn đề bài).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y
+ 3}{2} = \frac{z + 2}{2} và điểm A(3;2;0). Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là:

    Gọi M( - 1 + t; - 3 + 2t; - 2 + 2t) \in
d

    \Rightarrow AH = (t - 4;2t - 5;2t -
2)

    Vectơ chỉ phương của d là \overrightarrow{u} = (1;2;2)

    \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{AH}
\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH} = 0

    \Leftrightarrow 1(t - 4) + 2(2t - 5) +
2(2t - 2) = 0 \Leftrightarrow t = 2

    Suy ra M(1; 1; 2), gọi A’(x; y; z) là điểm đối xứng của A qua d thì: \left\{ \begin{matrix}
x = 2.1 - 3 = - 1 \\
y = 2.1 - 2 = 0 \\
z = 2.2 - 0 = 4 \\
\end{matrix} ight.

    Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là: ( - 1;0;4).

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC có A\left( {1,2, - 3} ight);\,\,B\left( {2, - 1,4} ight);\,\,\,C\left( {3, - 2,5} ight).

    Viết phương trình chính tắc của cạnh AB.

    (AB) là đường thẳng đi qua A và B nên có 1 vecto chỉ phương:  \overrightarrow {AB}  = \left( {1, - 3,7} ight)

    (AB) đi qua A (1, 2, -3) và nhận vecto \overrightarrow {AB}  = \left( {1, - 3,7} ight) làm 1 VTCP có phương trình chính tắc là:

     \begin{array}{l}AB:x - 1 = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{7}\\ \Leftrightarrow {m{ }}x - 2 = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{{z - 4}}{7}\\ \Leftrightarrow \,\,x - 1 = \frac{{2 - y}}{3} = \frac{{z + 3}}{7}\end{array}

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x^2 +y^2 +z^2 −2x+ 2z −2 = 0 và các điểm A(0; 1; 1), B(−1; −2; −3), C(1; 0; −3). Điểm D thuộc mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD bằng:

    Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 0; −1) và bán kính R = 2.

    Khi V_{DABC} lớn nhất thì \frac{V_{DABC}}{V_{IABC}} = \frac{d\left( D;(ABC)
ight)}{d\left( I;(ABC) ight)} = \frac{R + d\left( I;(ABC)
ight)}{d\left( I;(ABC) ight)}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 3; - 4) \\
\overrightarrow{AC} = (1; - 1; - 4) \\
\overrightarrow{AI} = (1; - 1; - 2) \\
\end{matrix} ight. suy ra:

    V_{IABC} = \frac{1}{6}\left|
\left\lbrack \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}
ightbrack.\overrightarrow{AI} ightbrack ight| =
\frac{4}{3}

    \Rightarrow d\left( I;(ABC) ight) =
\frac{6.V_{IABC}}{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack ight|} =
\frac{2}{3}

    \Rightarrow V_{DABC} =\dfrac{4}{3}.\dfrac{2 + \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3}} =\dfrac{16}{3}.

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3; - 1;4), đồng thời vuông góc với giá của vectơ \overrightarrow{a} =
(1;1;2) có phương trình là:

    Mặt phẳng (P) nhận vectơ \overrightarrow{a} = (1;1;2) làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm M(3; -
1;4) nên có phương trình là1(x - 3)
- 1(y + 1) + 2(z - 4) = 0

    \Leftrightarrow x - y + 2z - 12 =
0.

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz: \left( D ight):\,\frac{{x\, - \,{x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_1}}}{{{a_3}}} , \left( d ight):\,\frac{{x\, - \,{x_2}}}{{{b_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_2}}}{{{b_3}}}. Với {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3},\,\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3} e \,0 . Gọi \overrightarrow a  = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight);\,\,\overrightarrow b  = \left( {\,{b_1},\,\,{b_2},\,\,{b_3}} ight)\overrightarrow {AB}  = \left( {\,{x_2}\, - \,{x_1},\,\,{y_2}\, - \,{y_1},\,\,{z_2}\, - \,{z_1}} ight). (D) và (d) song song khi và chỉ khi:

     Để xét điều kiện (D) và (d) cắt nhau ta cẩn kiểm tra rằnng (D) và d cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AB}  = 0 \Rightarrow \left( D ight)và (d) cùng nằm trong một mặt phẳng

    Để (D) và d song song, ta sẽ xét tỉ số chứng minh chúng cùng phương rồi kiểm tra rằng d không nằm trong (D):

      {a_1}:{a_2}:{a_3} = {b_1}:{b_2}:{b_3} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{{a_3}}}{{{b_3}}} \Rightarrow \left( D ight)và (d)  cùng phương A\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} ight) \in \left( D ight)A otin \left( d ight) \Rightarrow \left( D ight) và (d) song song.

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho A(1; - 1;0)(P):2x - 2y + z - 1 = 0. Điểm M(a;b;c) \in (P) sao cho MA\bot OA và đoạn AM bằng 3 lần khoảng cách từ A đến (P). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
M \in (P) \\
MA\bot OA \\
AM = 3d\left( A;(P) ight) \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2a - 2b + c - 1 = 0 \\
1(a - 1) - 1(b + 1) + 0(c - 0) = 0 \\
\sqrt{(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 0)^{2}} = 3 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2a - 2b + c - 1 = 0 \\
a - b - 2 = 0 \\
(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
b = a - 2 \\
c = - 3 \\
(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
c = - 3 \\
b = - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow a + b + c = - 3.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCDA(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0; - 2),D(2;1;3). Tính độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D?

    Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

    \frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{x}{-
2} = 1 \Leftrightarrow 2x + y - 2z - 4 = 0

    Khoảng cách từ đỉnh D đến mặt phẳng (ABC) là

    d = \frac{|2.2 + 1 - 2.3 -
4|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = \frac{5}{3}.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình lập phương OABC.DEFG có cạnh bằng 1 có \overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow {OC} ,\,\,\overrightarrow {OG} trùng với ba trục \overrightarrow {Ox} ,{m{ }}\overrightarrow {Oy} ,{m{ }}\overrightarrow {Oz}. Viết phương trình mặt cầu \left( {{S_3}} ight) tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương.

     \left( {{S_2}} ight) tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương tại trung điểm của mỗi cạnh.

    Tâm I\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} ight) là trung điểm chng của 6 đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện đôi một có độ dài bằng \sqrt 2

    Bán kính {R_3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}

    \begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{S_2}} ight):{\left( {x - \dfrac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {y - \dfrac{1}{2}} ight)^2} + {\left( {z - \dfrac{1}{2}} ight)^2} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \left( {{S_3}} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \dfrac{1}{4} = 0\end{array}

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng (d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z
+ 1}{- 1}. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).

    Ta có: \overrightarrow{u_{d}} = (1;2; -
1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)

    Do đó: \cos\left(
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 -
2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}

    Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 90^{0} -
60^{0} = 30^{0}.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 12 lượt xem
Sắp xếp theo