Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có $AB = a;SA = a\sqrt{2}$ . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
- A.
  $\arccos\frac{\sqrt{3}}{5}$
- B.
  $\arccos\frac{\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\arccos\frac{\sqrt{5}}{3}$
- D.
  $\arccos\frac{\sqrt{15}}{5}$
Gọi O = AC ∩ BD

Tam giác SAO vuông nên suy ra $SO = \sqrt{SA^{2} - AO^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Gắn tọa độ như hình vẽ:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0) \\D(0;a;0),O\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0 ight),S\left(\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2} ight) \\\end{matrix} ight.$

Vì G là trọng tâm tam giác SCD nên $G\left( \frac{a}{2};\frac{5a}{6};\frac{a\sqrt{6}}{6} ight)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AS} = \left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2}ight) = \dfrac{a}{2}\left( 1;1;\sqrt{6} ight) \\\overrightarrow{BG} = \left( -\dfrac{a}{2};\dfrac{5a}{6};\dfrac{a\sqrt{6}}{6} ight) = \dfrac{a}{6}\left(- 3;5;\sqrt{6} ight) \\\end{matrix} ight.$

Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

$\cos(BG;SA) = \frac{\left| \overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BG} ight|}{BG.AS} = \frac{| - 3 + 5 + 6|}{\sqrt{40}.\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Vậy đáp án cần tìm là: $\arccos\frac{\sqrt{5}}{5}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha)$ chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $2x - y + 3z + 4 = 0$ và $x + 3y - 2z + 7 = 0$ , chứa điểm $M\left( { - 1,2,4} ight)$ là:
- A. $x + 10y - 9z + 17 = 0$
- B. $x - 10y + 9z + 17 = 0$
- C. $x - 10y - 9z - 17 = 0$
- D. $x + 10y + 9z - 17 = 0$
Vì mặt phẳng $(\alpha)$ chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $2x - y + 3z + 4 = 0$ và $x + 3y - 2z + 7 = 0$ nên thuộc chùm mặt phẳng $2x - y + 3z + 4 + m\left( {x + 3y - 2z + 7} ight) = 0$
$\Leftrightarrow \left( {m + 2} ight)x + \left( {3m - 1} ight)y - \left( {2m - 3} ight)z + 7m + 4 = 0\left( * ight)$
Mặt khác, ta có $M \in (\alpha)$
$\begin{array}{l} \Rightarrow (*) \Leftrightarrow \left( {m + 2} ight).\left( { - 1} ight) + \left( {3m - 1} ight).2 - \left( {2m - 3} ight).4 + 7m + 4 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4m + 12 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = - 3\end{array}$
Thế vào $(*):\,\,\,\,\,x + 10y - 9z + 17 = 0$ .
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):3x - my - z + 7 = 0,(Q):6x + 5y - 2z - 4 = 0$ . Xác định $m$ để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau?
- A.
  $m = 4$
- B.
  $m = - \frac{5}{2}$
- C.
  $m = - 30$
- D.
  $m = \frac{5}{2}$
Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi

Tập xác định $\frac{3}{6} = \frac{- m}{5} = \frac{- 1}{- 2} eq \frac{7}{- 4}$

Vậy $m = - \frac{5}{2}$ thì hai mặt phẳng $(P);(Q)$ song song với nhau.
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ ,cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2t' \\ y = - 1 + t' \\ z = t' \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} ight)$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ là:
- A.
  $\frac{1}{\sqrt{14}}$
- B.
  $\sqrt{7}$
- C.
  $\sqrt{14}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{7}}$
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;1; - 1)$

Đường thẳng $d'$ đi qua điểm $B(0; - 1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d'}} = (2;1;1);\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1;0)$

$\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack = \left( \left| \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} ight|;\left| \begin{matrix} - 1 & - 1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} ight|;\left| \begin{matrix} - 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} ight| ight) = (2; - 1; - 3)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ là:

$d(d;d') = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack.\overrightarrow{AB} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack ight|} = \frac{1}{\sqrt{14}}$
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng đi qua điểm $A( - 2;4;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $2x - 3y + 6z + 19 = 0$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 4}{- 3} = \frac{z - 3}{6}$
- B.
  $\frac{x + 2}{2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z - 6}{3}$
- C.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 4}{- 3} = \frac{z + 3}{6}$
- D.
  $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z + 6}{3}$
Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $2x - 3y + 6z + 19 = 0$ là $\overrightarrow{n} = (2; - 3;6)$

Đường thẳng đi qua điểm $A( - 2;4;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $2x - 3y + 6z + 19 = 0$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n} = (2; - 3;6)$ nên có phương trình là $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 4}{- 3} = \frac{z - 3}{6}$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ và mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ . Góc giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $\Delta$ bằng:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$

Đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = 1 + t \\ z = 3t \\ \end{matrix}\ (t \in \mathbb{R}) ight.$ và hai điểm $A(5;0;2),B(2; - 5;3)$ . Tìm điểm $M$ thuộc $\Delta$ sao cho $\bigtriangleup ABM$ vuông tại $A$ .
- A.
  $M(2;2;3)$ .
- B.
  $M(5;3;6)$ .
- C.
  $M( - 4;0; - 3)$ .
- D.
  $M( - 7; - 1; - 6)$ .
Điểm $M$ thuộc đường thẳng $\Delta$ nên $M( - 1 + 3t;1 + t;3t)$ .

Ta có $\overrightarrow{AM} = (3t - 6;t + 1;3t - 2)$ và $\overrightarrow{AB} = ( - 3; - 5;1)$ .

Tam giác $ABM$ vuông tại $M$ khi và chỉ khi

$\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$

$\Leftrightarrow - 3(3t - 6) - 5(t + 1) + 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Khi đó tọa độ điểm $M(2;2;3)$ .
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $H(1; 2; −2)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $H$ và cắt các trục $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ . Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với $(P)$ .
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
Hình vẽ minh họa

Vì H là trực tâm tam giác ABC nên $AH ⊥ BC, CH ⊥ AB$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB\bot(OHC) \\ BC\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} (ABC)\bot(OHC) \\ (ABC)\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OH\bot(ABC)$

Do vậy mặt cầu tâm O tiếp xúc với (P) nhận OH làm bán kính

⇒ Phương trình mặt cầu là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(\alpha):x + 2y + 4z - 1 = 0;$ $(\beta):2x + 3y - 2z+ 5 = 0$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $(\alpha)\bot(\beta)$
- B.
  $(\alpha);(\beta)$ chéo nhau
- C.
  $(\alpha)//(\beta)$
- D.
  $(\alpha) \equiv (\beta)$
Hai mặt phẳng $(\alpha);(\beta)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;2;4),\overrightarrow{n_{(\beta)}} = (2;3; - 2)$

Ta có $\overrightarrow{n_{(\alpha)}}.\overrightarrow{n_{(\beta)}} = 1.2 + 2.3 + 4.( - 2) = 0$

⇒ $(\alpha)\bot(\beta)$ .
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2;1;1)$ , mặt phẳng $(P):x - z - 1 = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 \\ z = - 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Gọi $d_{1};d_{2}$ là các đường thẳng đi qua $A$ , nằm trong $(P)$ và đều có khoảng cách đến đường thẳng $d$ bằng $\sqrt{6}$ . Côsin của góc giữa $d_{1}$ và $d_{2}$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{1}{3}$
- B.
  $\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- D.
  $\frac{\sqrt{2}}{3}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (1;0; - 1) \\ \overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} d\bot P \\ d \cap P = M(0;2; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{MA} = (2; - 1;2) \Rightarrow MA = 3$

Gọi H K; lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên $d_{1}$ và $d_{2}$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix} d\left( d_{1};d ight) = d\left( M;d_{1} ight) = MH \\ d\left( d_{2};d ight) = d\left( M;d_{2} ight) = MK \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow MK = MH = \sqrt{6} \Rightarrow \sin\widehat{MAK} = \sin\widehat{MAH} = \frac{HM}{AM} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow \cos\left( d_{1};d_{2} ight) = \left| \cos\left( 2.\widehat{MAH} ight) ight|$

$= \left| 1 - 2\sin^{2}\left(\widehat{MAH} ight) ight| = \left| 1 - \frac{4}{3} ight| =\frac{1}{3}$
Câu 11: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(2; - 3;7),B(0;4;1),$ $C(3;0;5),D(3;3;3)$ . Gọi $M$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho biểu thức $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm $M$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(2; - 3;7),B(0;4;1),$ $C(3;0;5),D(3;3;3)$ . Gọi $M$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho biểu thức $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ điểm $M$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 12: Vận dụng cao
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): (x − 1)^2 + (y + 2)^2 + (z − 3)^2 = 12$ và mặt phẳng $(P): 2x + 2y − z − 3 = 0$ . Gọi $(Q)$ là mặt phẳng song song với $(P)$ và cắt $(S)$ theo thiết diện là đường tròn $(C)$ sao cho khối nón có đỉnh là tâm của mặt cầu và đáy là hình tròn giới hạn bởi $(C)$ có thể tích lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng $(Q)$ là
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x + 2y - z - 4 = 0 \\ 2x + 2y - z + 17 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x + 2y - z + 2 = 0 \\ 2x + 2y - z + 8 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x + 2y - z - 1 = 0 \\ 2x + 2y - z + 11 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x + 2y - z - 6 = 0 \\ 2x + 2y - z + 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và bán kính $R = 2\sqrt{3}$

Gọi r là bán kính đường tròn (C) và H là hình chiếu của I lên (Q).

Đặt IH = x ta có:

$r = \sqrt{R^{2} - x^{2}} = \sqrt{12 - x^{2}}$

Vậy thể tích khối nón tạo được là:

$V = \frac{1}{3}IH.S_{\left( (C) ight)} = \frac{1}{3}.x.\pi\left( \sqrt{12 - x^{2}} ight)^{2} = \frac{1}{3}.\pi\left( 12x - x^{3} ight)$

Gọi $f'(x) = 12x - 3x^{2}$ ta có: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$ chỉ có $x = 2 \in \left( 0;2\sqrt{3} ight)$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy $V_{\max} = \frac{1}{3}.\pi.16$ khi $x = IH = 2$

Mặt phẳng (Q) // (P) nên $(Q): 2x + 2y − z + a = 0$ $(a eq - 3)$

Vậy $d\left( I;(Q) ight) = IH \Leftrightarrow \frac{\left| 2 + 2( - 2) - 3 + a ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}} = 2$

$\Leftrightarrow |a - 5| = 6 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 11 \\ a = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy mặt phẳng (Q) có phương trình $2x + 2y − z − 1 = 0$ hoặc $2x + 2y − z + 11 =0$
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ và mặt phẳng $(P):2x - y - 2z + 1 = 0$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\cos\alpha = \frac{4}{9}$
- B.
  $\cos\alpha = - \frac{4}{9}$
- C.
  $\sin\alpha = \frac{4}{9}$
- D.
  $\sin\alpha = - \frac{4}{9}$
Ta có: $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 1)$ , $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (2; - 1; - 2)$ .

Từ đó: $\sin\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ight) ight| = \left| \frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} ight| = \frac{4}{9}$
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x - 2y + 4z - 3 = 0$
- B.
  $2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - x - y - z = 0$
- C.
  $2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} + 4x + 8y + 6z + 3 = 0$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0$
Phương trình $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là phương trình của một mặt cầu nếu $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ .

Vậy phương trình không phải phương trình mặt cầu là:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0$
Câu 15: Thông hiểu

Khi đặt hệ tọa độ $Oxyz$ vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu $(S)$ (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y - 10z + 29 = 0$ . Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.

Đáp án : 18km

Đáp án là:

Khi đặt hệ tọa độ $Oxyz$ vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu $(S)$ (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y - 10z + 29 = 0$ . Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.

Đáp án : 18km

Ta có $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y - 10z + 29 = 0$

$\Leftrightarrow (x + 7)^{2} + (y + 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 9^{2}$ .

Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là 18km.

Đáp số: 18km.
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;3; - 1),B(1;2;4)$ . Phương trình đường thẳng nào được cho dưới đây không phải là phương trình đường thẳng $AB$ ?
- A.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5}$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 3 - t \\ z = - 1 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 - t \\ z = 4 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 4}{- 5}$
Ta có $\overrightarrow{BA} = (1;1; - 5)$

Vì điểm $A(2;3; - 1) otin \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5}$ nên $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5}$ không phải là phương trình đường thẳng AB.

Các đường thẳng còn lại đều có vectơ chỉ phương là (1; 1; −5) và đi qua điểm A(2; 3; −1) hoặc đi qua điểm B(1; 2; 4).
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):x - 3y + 2z - 1 = 0,$ $(Q):x - z + 2 =0$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với cả $(P)$ và $(Q)$ đồng thời cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $3$ . Phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ là:
- A.
  $x + y + z - 3 = 0$
- B.
  $x + y + z + 3 = 0$
- C.
  $- 2x + z + 6 = 0$
- D.
  $- 2x + z - 6 = 0$
Ta có: (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{P}} = (1; - 3;2)$ , (Q) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{Q}} = (1;0; - 1)$ .

Vì mặt phẳng (α) vuông góc với cả (P) và (Q) nên (α) có một vectơ pháp tuyến là $\left\lbrack \overrightarrow{n_{P}};\overrightarrow{n_{Q}} ightbrack = (3;3;3) = 3(1;1;1)$

Vì mặt phẳng (α) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên (α) đi qua điểm M(3; 0; 0).

Vậy (α) đi qua điểm M(3; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;1;1)$ nên (α) có phương trình $x + y + z - 3 = 0$ .
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 10y - 6z + 49 = 0$ . Tính bán kính của mặt cầu $(S)$ ?
- A.
  $R = 1$
- B.
  $R = 7$
- C.
  $R = \sqrt{151}$
- D.
  $R = \sqrt{99}$
Phương trình mặt cầu:

$(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$

Ta có: $a = 4;b = - 5;c = 3;d = 49$

Khi đó $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = 1$
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3},d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = m \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số $m$ sao cho $d_{1},d_{2}$ chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng $\frac{5}{\sqrt{19}}$ . Tính tổng tất cả các phần tử của $S$ .
- A.
  $- 11$
- B.
  $12$
- C.
  $- 12$
- D.
  $11$
Vectơ chỉ phương của $d_{1},d_{2}$ là $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;0)$

Khi đó: $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3;3;1)$ .

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d_{1}$ song song với $d_{2}$ .

Tức là, $(P)$ qua $A(1;0;0)$ và nhận $\overrightarrow{n}$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có phương trình $(P):3x - 3y - z - 3 = 0$

Xét điểm $B(1;2;m) \in d_{2}$ . Do $d_{1},d_{2}$ chéo nhau nên $B otin (P) \Leftrightarrow m eq - 6$ .

Lại có:

$d\left( d_{1};d_{2} ight) = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow d\left( B;(P) ight) = \frac{5}{\sqrt{19}}$

$\Leftrightarrow \frac{|3 - 6 - m - 3|}{\sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 11 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng các phần tử của S là $- 1 - 11 = - 12$ .
Câu 20: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $\widehat{ABC} = 30^{0}$ , $BC = 3\sqrt{2}$ , đường thẳng $BC$ có phương trình $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4}$ , đường thẳng $AB$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha):x + z - 3 = 0$ . Biết rằng đỉnh $C$ có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh $A$ .
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $3$
- C.
  $\frac{9}{2}$
- D.
  $\frac{5}{2}$
Hình vẽ minh họa:

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4} \\ x + z - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(2;3;1)$

Do C ∈ BC nên $C(4 + c;5 + c; - 7 - 4c)$

Theo giả thiết $BC = 3\sqrt{2}$ nên: $18(2 + c)^{2} = 18 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = - 1 \Rightarrow C(3;4; - 3) \\ c = - 3 \Rightarrow C(1;2;5) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt khác đỉnh C có cao độ âm nên C(3; 4; −3).

Gọi $A(x;y;3 - x) \in (\alpha)$ . Do $\widehat{ABC} = 30^{0}$ nên:

$\left\{ \begin{matrix} AB = \frac{3\sqrt{6}}{2} \\ AC = \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (2 - z)^{2} = \frac{27}{2} \\ (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} + (6 - z)^{2} = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ 2x^{2} - 18x + y^{2} - 8y + \frac{113}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10x + 2y - 53 = 0 \\ 2x^{2} - 8x + y^{2} - 6y + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ 2x^{2} - 8x + \left( \frac{53 - 10x}{2} ight)^{2} - 6.\left( \frac{53 - 10x}{2} ight) + \frac{7}{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \frac{53 - 10x}{2} \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 4 \\ x = \frac{9}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A\left( \frac{9}{2};4; - \frac{3}{2} ight)$

Vậy đáp án cần tìm là $\frac{9}{2}$ .

12 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!