Trong không gian
, cho mặt cầu
và các điểm
. Điểm
thuộc mặt cầu
. Thể tích lớn nhất của tứ diện
bằng:
Mặt cầu có tâm là
và bán kính
.
Khi lớn nhất thì
Ta có: suy ra:
.
Trong không gian
, cho mặt cầu
và các điểm
. Điểm
thuộc mặt cầu
. Thể tích lớn nhất của tứ diện
bằng:
Mặt cầu có tâm là
và bán kính
.
Khi lớn nhất thì
Ta có: suy ra:
.
Trong không gian tọa độ
, cho tọa độ hai điểm
. Phương trình mặt cầu đường kính
là:
Gọi I là trung điểm của AB suy ra
Mặt cầu đường kính có tâm
và bán kính
có phương trình là:
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian
, cho ba mặt phẳng
lần lượt có phương trình là
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là và mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là
Do nên vectơ
không cùng phương với vectơ
.
Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P).
Trong không gian với hệ tọa độ
,cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Gọi
là giao điểm của
và
,
thuộc
sao cho
. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Ta có:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (α).
Khi đó tam giác ∆MAH vuông tại H nên
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) bằng 3.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Viết phương trình đường thẳng
nằm trong mặt phẳng
cắt đồng thời vuông góc với
?
Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ phương trình:
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến , đường thẳng d có một vectơ chỉ phương
Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là
Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc:
Trong không gian với hệ toạ độ
, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : .
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
và
. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d’ một góc lớn nhất.
Đường thẳng có véc-tơ chỉ phương lần lượt là
.
Lấy điểm .
Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng
và cắt trục hoành tại điểm
.
Khi đó có cặp véc-tơ chỉ phương là
và
, suy ra
có véc-tơ pháp tuyến
Gọi là góc giữa đường thẳng
và
, suy ra
Đặt , suy ra
.
Nhận thấy, để góc lớn nhất thì
lớn nhất, điều đó đồng nghĩa với
phải lớn nhất.
Xét .
Trường hợp .
Trường hợp .
Phương trình có nghiệm
khi và chỉ khi
Từ đó suy ra, để tồn tại suy ra
.
Vậy khi đó
. Từ đó suy ra
và mặt phẳng
có phương trình
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: có vectơ chỉ phương là
,
có véc-tơ pháp tuyến là
.
Do không cùng phương
nên
cắt
.
Mặt khác nên
không vuông góc
.
Vậy cắt nhưng không vuông góc với
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hình hộp chữ nhật
có điểm
trùng với gốc tọa độ
,
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Giá trị của tỉ số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hình hộp chữ nhật
có điểm
trùng với gốc tọa độ
,
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Giá trị của tỉ số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
và
, (với
là tham số). Tìm
để hai đường thẳng
và
cắt nhau
Ta có:
đi qua điểm M1(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương
đi qua điểm M2(1; m; −2) và có vectơ chỉ phương
Ta có:
và
cắt nhau
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và đường thẳng
. Biết điểm
thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị
bằng:
Vì nên SMAB nhỏ nhất khi d(M, AB) nhỏ nhất. Phương trình của
Dễ dàng kiểm tra AB và d chéo nhau.
Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB.
Khi đó nhỏ nhất khi MH là đoạn vuông góc chung của d và AB.
Ta có:
Vectơ chỉ phương của d và AB theo thứ tự là
Vậy
Trong không gian
, đường thẳng đi qua
và nhận
làm vectơ chỉ phương có phương trình là:
Đường thẳng đi qua và nhận
làm vectơ chỉ phương có phương trình là
.
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho điểm
. Viết phương trình mặt cầu tâm
cắt trục
tại hai điểm
sao cho
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm AB suy ra H là hình chiếu vuông góc của I lên Ox nên
Phương trình mặt cầu là: .
Cho hai mặt phẳng
và
. Với
cho biết
và cặp vectơ chỉ phương
. Với
cho PTTQ
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của
và
, qua điểm
là:
Trước tiên, ta cần đưa phương trình về dạng tổng quát.
Theo đề bài, ta có và cặp vectơ chỉ phương
nên vecto pháp tuyến của mp
là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương.
Ta có .
Chọn làm vectơ pháp tuyến cho
thì phương trình tổng quát của
có dạng
.
Vậy phương trình
Để tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của và
ta xét chùm mặt phẳng :
Mặt khác, ta có
Thế vào (*) ta được:
Trong không gian với hệ tọa độ
, xét mặt cầu
có phương trình dạng
. Tập hợp các giá trị thực của tham số
để
có chu vi
?
Đường tròn lớn có chu vi là nên bán kính của
là
Từ phương trình của suy ra bán kính của
là
Do đó
Vậy đáp án cần tìm là:
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
, sin của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
Trong không gian
, hỏi trong các phương trình sau đây phương trình nào là phương trình của mặt cầu?
Phương trình không có
=> Loại
Phương trình có số hạng
=> Loại
Phương trình loại vì
Phương trình thỏa mãn vì
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
là:
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Ta có
Suy ra một vectơ pháp tuyến của là
Hơn nữa, trung điểm của AB là I(2; 4; −3) thuộc mặt phẳng (P) nên
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; -1; 0) và đường thẳng d:
. Mặt phẳng
chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có phương trình là:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có: cố định và
Suy ra lớn nhất bằng AK khi
.
Ta có (d): qua M(2; -1; 1) , có VTCP
.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT .
Mặt phẳng có một VTPT là
và
qua M (2; -1; 1) có phương trình: