Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt cầu tâm
bán kính
là:
Phương trình mặt cầu tâm bán kính
là:
Tổng quát .
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt cầu tâm
bán kính
là:
Phương trình mặt cầu tâm bán kính
là:
Tổng quát .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có:
Vậy khẳng định sai là: .
Trong không gian với hệ trục toạ độ
, cho mặt phẳng
. Hỏi có bao nhiêu điểm
thuộc mặt phẳng
với
là các số nguyên không âm.
Ta có nên mặt phẳng
đi qua các điểm
Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.
Tam giác ABC đều có các cạnh bằng , chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.
Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng
Trong không gian với hệ tọa độ
, đường thẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
Nếu một điểm nằm trên một đường thẳng thì khi thay tọa độ điểm đó vào phương trình đường thẳng thì sẽ thỏa mãn phương trình đường thẳng.
Lần lượt thay tọa độ M từ các phương án vào phương trình đường thẳng d ta được M(−3; 5; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
?
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
nên
có một vectơ chỉ phương là
.
Phương trình là
Kiểm tra được điểm thỏa mãn hệ (*).
Vậy phương trình: cũng là phương trình của
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Ta có:
Do đó:
Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng .
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau, được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của mỗi quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà nó tiếp xúc lần lượt bằng 1, 2, 3. Tính tổng các bình phương của hai bán kính của hai quả bóng đó.
Hình vẽ minh họa
Xét quả bóng tiếp xúc với hai bức tường, nền của căn nhà và chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (tương tự với góc tường còn lại).
Gọi là tâm của mặt cầu có bán kính
.
Phương trình mặt cầu là:
Xét điểm nằm trên mặt cầu sao cho
Suy ra
Vì M thuộc mặt cầu (S) nên từ (1) ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
, SAB là tam giác đều và
vuông góc với
. Tính cosϕ với ϕ là góc tạo bởi
và ![]()
Hình vẽ minh họa
Gọi O M, lần lượt là trung điểm của AB; CD.
Vì SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD) nên SO ⊥ (ABCD).
Xét hệ trục có
Suy ra
Suy ra
Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến
Cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Mặt phẳng (P) qua d và tạo với
một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:

Gọi ;
H là hình chiếu vuông góc của B lên ; K là hình chiếu của H lên
.
Suy ra: cố định;
.
Mà (vì
)
Suy ra nhỏ nhất bằng
khi
.
Khi đó và có một VTCP
.
Vậy (P) có một VTPT là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt cầu
qua bốn điểm ![]()
. Phương trình mặt cầu
là:
Gọi phương trình mặt cầu có
Vì mặt cầu đi qua bốn điểm đã cho nên ta có hệ phương trình
. Suy ra tâm mặt cầu
và bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
Trong không gian
, cho hình bình hành
với
. Diện tích hình bình hành
bằng:
Gọi là diện tích hình bình hành
khi đó
Mà
Vậy diện tích hình bình hành bằng 2.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
dạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi là điểm sao cho
.
Từ đó:
với là hình chiếu của
trên mặt phẳng
.
Từ đó suy ra dạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
.
Phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng
là:
.
Tọa độ diểm là nghiệm
của hệ
Suy ra .
Vậy, tọa độ điểm cần tìm là
.
Trong không gian
, cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
và chứa trục
là:
Mặt phẳng có VTPT
và đi qua điểm
.
Suy ra phương trình .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Viết phương trình đường thẳng
nằm trong mặt phẳng
cắt đồng thời vuông góc với
?
Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ phương trình:
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến , đường thẳng d có một vectơ chỉ phương
Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là
Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc:
Trong không gian tọa độ
, cho đường thẳng
và điểm
. Điểm đối xứng với điểm
qua đường thẳng
có tọa độ là:
Gọi
Vectơ chỉ phương của d là
Vì
Suy ra M(1; 1; 2), gọi A’(x; y; z) là điểm đối xứng của A qua d thì:
Điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng
có tọa độ là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Mặt phẳng
đi qua ba điểm
có phương trình tổng quát
. Biết
, tìm giá trị của
?
Do nên mặt phẳng
có phương trình
Do đi qua các điểm
nên ta có hệ:
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Tìm tất cả các giá trị của m để
tiếp xúc với mặt cầu
?
Ta có mặt cầu có tâm I(1; −1; 1) và bán kính R = 3.
Mặt phẳng tiếp xúc với
khi và chỉ khi:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Tính bán kính của mặt cầu
?
Phương trình mặt cầu:
với
có tâm
và bán kính
Ta có:
Khi đó
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
và
. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d’ một góc lớn nhất.
Đường thẳng có véc-tơ chỉ phương lần lượt là
.
Lấy điểm .
Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng
và cắt trục hoành tại điểm
.
Khi đó có cặp véc-tơ chỉ phương là
và
, suy ra
có véc-tơ pháp tuyến
Gọi là góc giữa đường thẳng
và
, suy ra
Đặt , suy ra
.
Nhận thấy, để góc lớn nhất thì
lớn nhất, điều đó đồng nghĩa với
phải lớn nhất.
Xét .
Trường hợp .
Trường hợp .
Phương trình có nghiệm
khi và chỉ khi
Từ đó suy ra, để tồn tại suy ra
.
Vậy khi đó
. Từ đó suy ra
và mặt phẳng
có phương trình