Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
, sin của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
, sin của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
Trong không gian
, cho mặt phẳng
có phương trình
. Xét mặt phẳng
, với
là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của m để
tạo với
góc
.
Ta có: và
có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Vì tạo với
góc
.
.
Trong không gian
cho mặt phẳng
. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
. Hai điểm
thay đổi sao cho
và
. Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua
và tiếp xúc với mặt phẳng
. Bán kính của mặt cầu đó là:
Phương trình mặt phẳng là
.
Gọi và
là tâm và bán kính của mặt cầu cố định.
Ta có
Mà không đổi nên
, hay
.
Mặt khác ta có .
Vậy .
Trong không gian
, mặt cầu
có bán kính bằng:
Bán kính của mặt cầu là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là
. Tính tổng ![]()
Hình vẽ minh họa
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.
Phương trình tham số của
Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.
Khi đó
Lại có:
Vậy lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K
Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).
Vectơ pháp tuyến của (Q) là
Vectơ pháp tuyến của (P) là
Phương trình mặt phẳng (P) là
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD) và SA = a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SB, SD. Côsin của góc hợp bới hai mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
Vectơ pháp tuyến của mp(AEF) là
Vectơ pháp tuyến của mp(ABCD) là:
Vậy côsin góc giữa 2 mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là:
Trong không gian
, đường thẳng
có một vectơ chỉ phương là:
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua
và song song với mặt phẳng (Q): ![]()
Vì mp nên ta có PTTQ mp
sẽ có dạng là:
Mặt khác, (P) qua
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Vị trí tương đối của
và
là
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương và đi qua điểm M(−1; 0; 1).
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương .
Hai vectơ và
cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.
Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Điểm
nằm trên đường thẳng
thì điểm M có dạng nào sau đây?
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
nên đường thẳng
có phương trình tham số là
Điểm nằm trên đường thẳng
nên điểm
có dạng
Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu
tâm
và đi qua điểm
?
Vì mặt cầu tâm
và đi qua điểm
nên mặt cầu
nhận độ dài đoạn thẳng
làm bán kính.
Ta có:
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên trục
. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm
bán kính
?
Hình chiếu vuông góc của trên
là:
Suy ra phương trình mặt cầu tâm bán kính
là:
.
Cho tam giác ABC có
.
Viết phương trình tổng quát của cạnh AC.
(AC) là đường thẳng đi qua 2 điểm A và C nên nhận làm 1 VTCP.
(AC) đi qua C (3,-2,5) và có 1 VTCP là (1,-2,4) có phương trình chính tắc:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các tia
lần lượt tại
sao cho độ dài
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng
. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ
đến mặt phẳng
.
Giả sử với
.
Phương trình mặt phẳng có dạng
Ta có đi qua điểm
nên ta có
(∗)
Vì theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên
.
Thay vào (∗), ta được
Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là hay
.
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
. Gọi
là tập hợp tất cả các số
sao cho
chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng
. Tính tổng tất cả các phần tử của
.
Vectơ chỉ phương của là
Khi đó: .
Gọi là mặt phẳng chứa
song song với
.
Tức là, qua
và nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Ta có phương trình
Xét điểm . Do
chéo nhau nên
.
Lại có:
Vậy tổng các phần tử của S là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, giá trị dương của tham số
sao cho mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu
là:
Ta có: có phương trình
Mặt cầu có tâm
và bán kính
Để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
thì
. Vì m nhận giá trị dương nên
.
Vậy thỏa yêu cầu đề bài.
Trong không gian
đường thẳng
và mặt phẳng
. Góc giữa mặt phẳng
và đường thẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
:
Trong không gian với hệ tọa độ
cho
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
chứa
và vuông góc với mặt phẳng
. Tìm phương trình mặt phẳng
.
Ta có
Do mặt phẳng Q chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)
Do đó .
Cho tam giác ABC có ![]()
Viết phương trình tham số của trung tuyến AM ?
Vì AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC. Gọi
Từ tọa độ của B và C, ta tính được tọa độ của M là nghiệm của hệ:
Ta có 1 vecto chỉ phương của (AM) là
(AM) là đường thẳng đi qua A (1,2,-3) và nhận vecto (3,-7,15) làm 1 VTCP có phương trình là: