Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ . Tính góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $150^{0}$
Mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 ight)$

Trục $Ox$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$

Gọi α là góc giữa $Ox$ và mặt phẳng $(P)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 2: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A(1;2;3),B(3;4;4),C(2;6;6)$ và $I(a;b;c)$ là trực tâm tam giác $ABC$ . Tính $a + b + c$ ?
- A.
  $\frac{46}{5}$
- B.
  $\frac{31}{3}$
- C.
  $\frac{63}{5}$
- D.
  $10$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BC} = ( - 1;2;2);\overrightarrow{AC} = (1;4;3) \\ \overrightarrow{AI} = (a - 1;b - 2;c - 3) \\ \overrightarrow{BI} = (a - 3;b - 4;c - 4) \\ (ABC):2x - 5y + 6z - 10 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Lại có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ I \in (ABC) \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1(a - 1) + 2(b - 2) + 2(c - 3) = 0 \\1(a - 3) + 4(b - 4) + 3(c - 4) = 0 \\2a - 5b + 6c - 10 = 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{27}{5} \\b = 4 \\c = \dfrac{16}{5} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b + c = \dfrac{63}{5}$
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm $E(1;2;3)$ và song song với mặt phẳng $(Oxy)$ ?
- A.
  $z - 3 = 0$
- B.
  $x + y - 3 = 0$
- C.
  $x + y + z - 6 = 0$
- D.
  $z + 3 = 0$
Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là $z = 0$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$ .

Phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng

$0(x - 1) + 0(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow z = 3$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S):x^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 6.$ Đường kính của $(S)$ bằng
- A.
  $\sqrt{6}$ .
- B.
  $12$ .
- C.
  $2\sqrt{6}$ .
- D.
  $3$ .
Ta có bán kính của $(S)$ là $\sqrt{6}$ nên đường kính của $(S)$ bằng $2\sqrt{6}$ .
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - y + 2z + 1 = 0$ và đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ . Tính góc giữa đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Ta có: $\overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)$

Do đó: $\cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$

Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng $90^{0} - 60^{0} = 30^{0}$ .
Câu 6: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 điểm $A(−2; 1; 3), B(3; −2; 4)$ , đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{11} = \frac{z + 1}{- 4}$ và mặt phẳng $(P): 41x − 6y + 54z + 49 = 0$ . Đường thẳng $(d)$ đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng $(P)$ lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện $ABCO$ và $OACD$ bằng nhau, biết $(d)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;b;c)$ . Tính $b + c$ .
- A.
  $b + c = 11$
- B.
  $b + c = 6$
- C.
  $b + c = 9$
- D.
  $b + c = 4$
Hình vẽ minh họa

Ta có $1 = \frac{V_{OABC}}{V_{OACD}} =\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( O;(ABC) ight).S_{ABC}}{\dfrac{1}{3}d\left(O;(ACD) ight).S_{ACD}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} =\frac{BC}{CD}$

Nên $BC = CD$ . Vì $C ∈ ∆$ $\Rightarrow C(2t + 1;11t + 6; - 4t - 1)$

C là trung điểm của BD nên $D(4t - 1;22t + 14; - 8t - 6)$ .

Điểm $D ∈ (P)$ nên $41(4t − 1) − 6(22t + 14) + 54(−8t − 6) + 49 = 0 ⇔ t = −1$

$⇒ C(−1; −5; 3).$

$\overrightarrow{CB} = (4;3;1) = \overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Vậy $b = 3, c = 1 ⇒ b + c = 4$
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + 2y - 8 = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ . Khoảng cách giữa đưởng thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{4}{\sqrt{5}}$
- B.
  $\frac{2}{\sqrt{5}}$
- C.
  $\frac{3}{\sqrt{5}}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{5}}$
Đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$ đi qua $A(1;2;3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2; - 1;1)$

Mặt phẳng $(P):x + 2y - 8 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1;2;0)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 2 - 2 + 0 = 0 \\ A otin (P) \\ \end{matrix} ight.$ , nên đường thằng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$ .

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(P)$ :

$d\left( d;(P) ight) = d\left( A;(P) ight) = \frac{|1 + 4 - 8|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$
Câu 8: Vận dụng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 3}{- 1} =\frac{z - 5}{2},$ $d_{2}:\frac{x - 4}{- 3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z +2}{2}$ và mặt phẳng $(P):2x + 3y - 5z + 1 = 0$ . Đường thẳng vuông góc với $(P)$ , cắt $d_{1}$ và $d_{2}$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{1}$
- B.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{- 5}$
- C.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z}{- 5}$
- D.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 13}{- 5}$
Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của đường thẳng d với các đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ .

Khi đó, tọa độ của A, B có dạng $A(3 + t; - 3 - t;5 + 2t),B(4 - 3s;1 + 2s; - 2 + 2s)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1 - 3s - t;4 + 2s + t; - 7 + 2s - 2t)$

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2;3; - 5)$ của mặt phẳng (P).

Do đó, ta có $\frac{1 - 3s - t}{2} = \frac{4 + 2s + t}{3} = \frac{- 7 + 2s - 2t}{- 5}$

Suy ra s = 0 và t = −1.

Do đó, A(2; −2; 3) và B(4; 1; −2).

Đường thẳng d đi qua A và có nhận vectơ $\overrightarrow{n}$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{- 5}$ .
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $Oz$ và đi qua điểm $P(3; - 4;7)$ ?
- A.
  $4x - 3y = 0$
- B.
  $3x + 4y = 0$
- C.
  $4x + 3y = 0$
- D.
  $- 3x + 4y = 0$
Mặt phẳng $(P)$ có cặp véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{k} = (0;0;1),\overrightarrow{OP} = (3; - 4;7)$

Suy ra mặt phẳng có $(P)$ một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{k} \land \overrightarrow{OP} = ( - 4; - 3;0) = - 1(4;3;0)$ .

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $O(0;0;0)$ có vectơ pháp tuyến (4; 3; 0).

Vậy mặt phẳng $(P)$ có phương trình tổng quát là $4x + 3y = 0$ .
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $M(0;1;0),N(2;0;0),P(0;0; - 3)$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng $(MNP)$ ?
- A.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} = 1$
- B.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} = 0$
- C.
  $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1$
- D.
  $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 0$
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng $(MNP)$ là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} = 1$
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 2y + z - 3 = 0$ và điểm $A(1;2;0)$ . Viết phương trình đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $(P)$ .
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{1}$
- B.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{2}$
- C.
  $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$
- D.
  $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{1}$
Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 2;1)$ nên đường thẳng cần tìm có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{n} = (1; - 2;1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{1}$
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho $A(1; - 1;2),B(2;1;1)$ và mặt phẳng $(P):x + y + z + 1 = 0$ . Mặt phẳng $(Q)$ chứa $A;B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ . Tìm phương trình mặt phẳng $(Q)$ .
- A.
  $- x + y = 0$
- B.
  $3x - 2y - x + 3 = 0$
- C.
  $x + y + z - 2 = 0$
- D.
  $3x - 2y - x - 3 = 0$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{P}} = (1;1;1) \\ \overrightarrow{AB} = (1;2; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

Do mặt phẳng Q chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) $\Rightarrow \overrightarrow{n_{q}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}};\overrightarrow{AB} ightbrack = ( - 3;2;1)$

Do đó $(Q):3x - 2y - x - 3 = 0$ .
Câu 13: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ , trong đó $a > 0, b > 0, c > 0$ và $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7$ . Biết mặt phẳng $(ABC)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 3)^2 = 72/7$ . Thể tích của khối tứ diện $OABC$ là:
- A.
  $V = \frac{5}{6}$
- B.
  $V = \frac{3}{8}$
- C.
  $V = \frac{1}{6}$
- D.
  $V = \frac{2}{9}$
Mặt phẳng (ABC) có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 2; 3) và bán kính $R = \sqrt{\frac{72}{7}}$ . Khi đó:

$d\left( I;(ABC) ight) = \dfrac{\left|\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} ight|}{\sqrt{\dfrac{1}{a^{2}} +\dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}}}} = \sqrt{\dfrac{72}{7}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{7}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:

$49 = \left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} ight)^{2} \leq \left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ight)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) = \frac{7}{2}.14 = 49$

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 2b = 3c. Thay vào giả thiết ta có:

$a = 2;b = 1;c = \frac{2}{3}$

Vì OABC là tứ diện vuông tại O nên $V_{OABC} = \frac{abc}{2} = \frac{2}{9}$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):2x + y - z - 3 = 0$ và $(Q):x + y + z - 1 = 0$ . Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng $(P),(Q)$ là:
- A.
  $\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 1}{1}$
- B.
  $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
- C.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
- D.
  $\frac{x}{2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z - 1}{- 1}$
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + y - z - 3 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2z - 2 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2z + 2 \\ y = - 3z - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Đặt $z = t$ ta suy ra $x = 2t + 2,y = - 3t - 1$ .

Từ đó ta thu được phương trình đường thẳng: $d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z}{1}$

Xét điểm $A(2; - 1;0) \in d$ , ta thấy $A$ chỉ thuộc đường thẳng: $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
Câu 15: Nhận biết
Cho đường tròn (C) đường kính AB và đường thẳng $\triangle$ . Để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh $\triangle$ là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:
- A. Đường kính AB thuộc $\triangle$ .
- B. $\triangle$ cố định và đường kính AB thuộc $\triangle$ .
- C. $\triangle$ cố định và hai điểm A, B cố định trên $\triangle$ .
- D. Không cần thêm điều kiện nào
Điều kiện để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh $\triangle$ là một mặt cầu là trục quay $\triangle$ phải cố định và hai điểm A, B cũng cố định trên $\triangle$ .
Câu 16: Vận dụng
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có $AB = a;SA = a\sqrt{2}$ . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
- A.
  $\arccos\frac{\sqrt{3}}{5}$
- B.
  $\arccos\frac{\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\arccos\frac{\sqrt{5}}{3}$
- D.
  $\arccos\frac{\sqrt{15}}{5}$
Gọi O = AC ∩ BD

Tam giác SAO vuông nên suy ra $SO = \sqrt{SA^{2} - AO^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Gắn tọa độ như hình vẽ:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0) \\D(0;a;0),O\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0 ight),S\left(\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2} ight) \\\end{matrix} ight.$

Vì G là trọng tâm tam giác SCD nên $G\left( \frac{a}{2};\frac{5a}{6};\frac{a\sqrt{6}}{6} ight)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AS} = \left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2}ight) = \dfrac{a}{2}\left( 1;1;\sqrt{6} ight) \\\overrightarrow{BG} = \left( -\dfrac{a}{2};\dfrac{5a}{6};\dfrac{a\sqrt{6}}{6} ight) = \dfrac{a}{6}\left(- 3;5;\sqrt{6} ight) \\\end{matrix} ight.$

Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

$\cos(BG;SA) = \frac{\left| \overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BG} ight|}{BG.AS} = \frac{| - 3 + 5 + 6|}{\sqrt{40}.\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Vậy đáp án cần tìm là: $\arccos\frac{\sqrt{5}}{5}$ .
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 2z - 19 = 0$ và mặt phẳng $(P):2x - y - 2z + m + 3 = 0$ , với $m$ là tham số. Gọi $T$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có chu vi $6\pi$ . Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc $T$ bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $24$
- C.
  $- 20$
- D.
  $- 16$
Mặt cầu $(S):(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 25$ có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.

Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:

$d\left( I;(P) ight) = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 4$

$\Leftrightarrow \frac{|4 - 1 + 2 + m + 3|}{3} = 4$

$\Leftrightarrow |m + 8| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = - 20 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng đi qua $A(2; - 1;3)$ và nhận $\overrightarrow{a} = (1;1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = - 1 - t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
Đường thẳng đi qua $A(2; - 1;3)$ và nhận $\overrightarrow{a} = (1;1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + y + 6z - 1 = 0$ và hai điểm $A(1; - 1;0),B( - 1;0;1)$ . Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng $AB$ trên mặt phẳng $(P)$ có độ dài bao nhiêu?
- A.
  $\sqrt{\frac{255}{61}}$
- B.
  $\sqrt{\frac{237}{41}}$
- C.
  $\sqrt{\frac{137}{41}}$
- D.
  $\sqrt{\frac{155}{61}}$
Ta có $\overrightarrow{BA} = (2; - 1; - 1)$ . Gọi α là góc giữa đường thẳng AB và (P).

Khi đó: $\sin\alpha = \left( \overrightarrow{BA};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{\left| 2.2 + 1.( - 1) + 6.( - 1) ight|}{\sqrt{41}.\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{246}}$

Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bằng:

$AB.cos\alpha = AB.\sqrt{1 -\sin^{2}\alpha}$ $= \sqrt{6.\left( 1 - \frac{9}{246} ight)} =\sqrt{\frac{237}{41}}$
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(1;1;2),B(3;2; - 3)$ . Mặt cầu $(S)$ có tâm $I \in Ox$ và đi qua hai điểm $A;B$ có phương trình là:
- A.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 = 0$
- B.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 8x + 2 = 0$
- C.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2 = 0$
- D.
  $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x - 2 = 0$
Ta có: $I \in Ox \Rightarrow I(a;0;0)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = (1 - a;1;2) \\ \overrightarrow{IB} = (3 - a;2; - 3) \\ \end{matrix} ight.$

Vì $(S)$ đi qua hai điểm $A;B$ nên

$IA = IB \Leftrightarrow \sqrt{(1 - a)^{2} + 5} = \sqrt{(3 - a)^{2} + 13}$

$\Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4 \Rightarrow I(4;0;0)$

$\Rightarrow R = IA = \sqrt{14}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 = 0$ .

37 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!