Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho đường thẳng d:\frac{x - 5}{2} = \frac{y + 7}{2} = \frac{z - 12}{- 1} và mặt phẳng (\alpha):x + 2y - 3z - 3 = 0. Gọi M là giao điểm của d và (\alpha), A thuộc d sao cho AM = \sqrt{14}. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (\alpha).

    Hình vẽ minh họa

    Đường thẳng d:\frac{x - 5}{2} = \frac{y + 7}{2} = \frac{z - 12}{- 1} có một vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u} = (2;2; - 1)

    Mặt phẳng (\alpha):x + 2y - 3z - 3 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1;2; - 3)

    Ta có: \sin\left( d;(\alpha) ight) = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{3\sqrt{14}}{14}

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (α).

    Khi đó tam giác ∆MAH vuông tại H nên \sin\left( d;(\alpha) ight) = \sin\widehat{AMH} = \frac{AH}{AM}

    AH = \sin\left( d;(\alpha) ight).AM = 3

    Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) bằng 3.

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc 60^0 và điểm G là trọng tâm tam giác ABC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A'B'C' bằng:

      Bán kính mặt cầu

    Gọi M là trung điểm B’C’, ta có

    {60^0} = \widehat {\left( {AB'C'} ight),\left( {A'B'C'} ight)} = \widehat {AM,A'M} = \widehat {AMA'}.

    Trong \Delta AA'M, có A'M = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};

    AA' = A'M.\tan \widehat {AMA'} = \frac{{3a}}{2}.

    Gọi G’ là trọng tâm tam giác đều A’B’C’, suy ra G’ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp \Delta A'B'C'.

    Vì lặng trụ đứng nên GG' \bot \left( {A'B'C'} ight).

    Do đó GG' là trục của tam giác A'B'C'.

    Trong mặt phẳng \left( {GC'G'} ight), kẻ trung trực d của đoạn thẳng GC' cắt GG' tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G.A'B'C' , bán kính R = GI

    Ta có \Delta GPI\,\backsim\,\,\,\Delta GG'C' \Rightarrow \frac{{GP}}{{GI}} = \frac{{GG'}}{{GC'}}

    \Rightarrow R = GI = \frac{{GP.GC'}}{{GG'}} = \frac{{GC{'^2}}}{{2GG'}} = \frac{{GG{'^2} + G'C{'^2}}}{{2GG'}} = \frac{{31a}}{{36}}.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 2}{2} và điểm A(3;2;0). Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là:

    Gọi M( - 1 + t; - 3 + 2t; - 2 + 2t) \in d

    \Rightarrow AH = (t - 4;2t - 5;2t - 2)

    Vectơ chỉ phương của d là \overrightarrow{u} = (1;2;2)

    Vì \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{AH} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH} = 0

    \Leftrightarrow 1(t - 4) + 2(2t - 5) + 2(2t - 2) = 0 \Leftrightarrow t = 2

    Suy ra M(1; 1; 2), gọi A’(x; y; z) là điểm đối xứng của A qua d thì: \left\{ \begin{matrix} x = 2.1 - 3 = - 1 \\ y = 2.1 - 2 = 0 \\ z = 2.2 - 0 = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là: ( - 1;0;4).

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (\alpha):4x + 3y - 7z + 1 = 0. Phương trình tham số của d là:

    Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (\alpha) nên nhận vectơ \overrightarrow{n_{(\alpha)}} làm véc-tơ chỉ phương.

    Suy ra, phương trình đường thẳng: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm I(1; - 2;3). Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt trục Ox tại hai điểm A;B sao cho AB = 2\sqrt{3}?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm AB suy ra H là hình chiếu vuông góc của I lên Ox nên H(1;0;0)

    IH = \sqrt{13} \Rightarrow R = IA = \sqrt{IH^{2} + AH^{2}} = 4

    Phương trình mặt cầu là: (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16.

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A(0;1;2),B(1;3;4) là:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1;2;2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

    d đi qua điểm B(1;3;4), nên có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = 4 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho đường tròn (C) đường kính AB và đường thẳng \triangle. Để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh \triangle là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:

    Điều kiện để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh \triangle là một mặt cầu là trục quay \triangle phải cố định và hai điểm A, B cũng cố định trên \triangle.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-5=0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:

     khoảng cách nhỏ nhất

    Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).

    Ta có: (-3-2.0+2.1-5)(1+2.1+2.3-5) < 0 \Rightarrow A, B nằm về hai phía với (P).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) \Rightarrow BH cố định và d(B,(Q))=BH.

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay d//(P) .

    Ta có: BK \geq BH \Leftrightarrow d(B, d) \geq d(B, d) \Rightarrow d (B, d)bé nhất bằng BH  khi K trùng với điểm H.

    Gọi \vec{n} là VTPT của (ABH) \Rightarrow \vec{n}=[\vec{n_p}, \vec{AB}]=(-2;6;7)

    Ta có đường thẳng d cần lập qua  A, H và có VTCP là \vec{u_d}=[\vec{n},\vec{n_P}]=(26; 11; -2)

    Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là: \dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Ta có: \left| \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight| = \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|.sin\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight)

    Vậy khẳng định sai là: \left|\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight|= \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v}ight|.\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}ight).

  • Câu 10: Thông hiểu

    Hai đường thẳng \left( {d'} ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = - 3m - t\\z = 2t - 1\end{array} ight.và \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2m\\y = m + 2\\z = - m\end{array} ight.với cắt nhau tại M có tọa độ là :

     

    Để (d’) cắt (d) tại M \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + 4t = 4 - 2m\\ - 3 - t = m + 2\\2t - 1 = - m\end{array} ight. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t + m = 1\\t + m = - 5\end{array} ight. \\\Leftrightarrow t = 6;m = - 11

    \Rightarrow M\left( {26, - 9,11} ight)

     

  • Câu 11: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(4, -1, 1), B(3, 1, -1) và song song với trục Ox là:

     \overrightarrow {AB} = \left( { - 1,2, - 2} ight): vectơ chỉ phương của trục Ox: \overrightarrow i = \left( {1,0,0} ight) .

    \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow i } ight] = \left( {0, - 2, - 2} ight): Chọn làm vectơ pháp tuyến thì phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng y + z + D = 0, qua A nên:- 1 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = 0

    Vậy ta có phương trình mp cần tìm là:  y+z=0

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P);(Q) có các vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{a}\left( a_{1};b_{1};c_{1} ight),\overrightarrow{b}\left( a_{2};b_{2};c_{2} ight). Góc \alpha là góc giữa hai mặt phẳng đó \cos\alpha là biểu thức nào sau đây?

    Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:

    \cos\alpha = \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\left| a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} ight|}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|}

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 = 0 và đường thẳng d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}, sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng:

    Mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (4;3; - 1)

    Đường thẳng d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1} có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;3;1)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 4y + z + 1 = 0 và hai điểm A(1; 0; 2), B(2; 5; 3). Đường thẳng d đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d nhỏ nhất có phương trình là

    Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;b;c)

    Phương trình đường thẳng d có dạng \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = bt \\ z = 2 + ct \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Do đường thẳng d k (P) nên 1 - 4b + c = 0 \Rightarrow c = 4b - 1.

    Khoảng cách từ B đến đường thẳng d là:

    d(B;d) = \frac{\left| \overrightarrow{u} \land \overrightarrow{AB} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{378b^{2} - 216b + 54}}{\sqrt{17b^{2} - 8b + 2}}

    Xét hàm số f(b) = \frac{378b^{2} - 216b + 54}{17b^{2} - 8b + 2} có

    f'(b) = \frac{648b^{2} - 324b}{\left( 17b^{2} - 8b + 2 ight)^{2}} \Rightarrow f'(b) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} b = 0 \\ b = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta được khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất tại b = \frac{1}{2}

    Khi đó \overrightarrow{u} = \left( 1;\frac{1}{2};1 ight), chọn \overrightarrow{u} = (2;1;2).

    Phương trình đường thẳng d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{2} hay \frac{x - 3}{2} = \frac{1 - y}{- 1} = \frac{z - 4}{2}.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3),B( - 2;4;4),C(4;0;5). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho độ dài đoạn thẳng GM ngắn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng GM.

    Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC nên G = (1;2;4)

    Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0.

    GM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (Oxy). Khi đó, ta có:

    GM = d\left( G,(Oxy) ight) = \frac{4}{\sqrt{1}} = 4.

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD) và SA = a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SB, SD. Côsin của góc hợp bới hai mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A≡ O, B∈Ox, D∈Oy, S∈Oz.

    \Rightarrow B(a;0;0),D(0;a;0),S(0;0;a)

    \Rightarrow E\left( \frac{a}{2};0;\frac{a}{2} ight),F\left( 0;\frac{a}{2};\frac{a}{2} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{AE} = \left( \frac{a}{2};0;\frac{a}{2} ight);\overrightarrow{AF} = \left( 0;\frac{a}{2};\frac{a}{2} ight)

    Vectơ pháp tuyến của mp(AEF) là \overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AF} ightbrack = \left( \frac{- a}{4};\frac{- a}{4};\frac{a}{4} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{1}} = (1;1; - 1)

    Vectơ pháp tuyến của mp(ABCD) là: \overrightarrow{n_{2}} = \overrightarrow{AS} = (0;0;a)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{2}} = (0;0;1)

    Vậy côsin góc giữa 2 mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là:

    \cos\left( (AEF);(ABCD) ight) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

  • Câu 17: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz. Cho A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) với a;b;c > 0. Biết mặt phẳng (ABC) qua điểm I(1;3;3) và thể tích tứ diện O.ABC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình (ABC):

    Phương trình mặt phẳng (ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Vì I(1;3;3) \in (ABC) \Rightarrow (ABC):\frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{3}{c} = 1

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

    1 = \frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{3}{c} \geq \sqrt[3]{\frac{3^{2}}{abc}} \Rightarrow abc \geq 9

    Thể tích tứ diện O.ABC là V = \frac{1}{6}abc \geq \frac{3}{2}

    Đẳng thức xảy ra khi \frac{1}{a} = \frac{3}{b} = \frac{3}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = c = 9 \\ \end{matrix} ight.

    Phương trình mặt phẳng (ABC) là \frac{x}{3} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1 \Rightarrow 3x + y + z - 9 = 0

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu

    Phương trình mặt cầu tâm I bán kính R có dạng: (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

    Vậy đáp án cần tìm là: (x - 13)^{2} + (y - 24)^{2} + (z - 36)^{2} = 7^{2} .

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho 3 mặt phẳng \left( \alpha ight):x - 2z = 0,\left( \beta ight):3x - 2y + z - 3 = 0,\left( \gamma ight):x - 2y + z + 5 = 0 . Mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của (\alpha), (\beta) ,vuông góc với (\gamma) có phương trình tổng quát:

    Mặt phẳng (P) thuộc chùm mặt phẳng (\alpha), (\beta) nên phương trình có dạng:

    \left( {m + 3} ight)x - 2y + \left( {1 - 2m} ight)z - 3 = 0

    Vì (P) vuông góc với (\gamma) nên ta được:

    \left( {m + 3} ight).1 - 2.\left( { - 2} ight) + 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 8

    Vậy ta có phương trình (P) là : 11x - 2y - 15z - 3 = 0

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x + 2y + z - m^{2} - 3m = 0 và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 9. Tìm tất cả các giá trị của m để (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)?

    Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1; −1; 1) và bán kính R = 3.

    Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi:

    d\left\lbrack I;(P) ightbrack = R \Leftrightarrow \frac{\left| 1 - m^{2} - 3m ight|}{3} = 3

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m^{2} + 3m - 10 = 0 \\ m^{2} + 3m + 8 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} ight..

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 65 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập