Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):x + z + 4 = 0,(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):x + z + 4 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (1;0;1)

    (Q):x - 2y + 2z + 4 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} = (1; - 2;2)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)= \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 2)^2 = 9 hai hai điểm M(4; −4; 2),N(6; 0; 6). Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho EM + EN đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I(1; 2; 2) là tâm của (S), P(5; −2; 4) là trung điểm MN.

    Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-copx-ki và công thức độ dài trung tuyến ta được:

    (EM + EN)^{2} \leq 2\left( EM^{2} + EN^{2} ight) = 2\left( 2EP^{2} + \frac{MN^{2}}{2} ight)

    nên T = EM + EN đạt giá trị lớn nhất khi EM = EN và EP đạt giá trị lớn nhất.

    Khi đó E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S) (I nằm giữa E và P). Đường thẳng IP có phương trình:

    \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{1}

    Tọa độ E thỏa hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 9 \\\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{z - 2}{1} \\\end{matrix} ight.

    Tìm được E(3; 0; 3) hoặc E(−1; 4; 1), thử lại để EP lớn nhất ta được E(−1; 4; 1).

    Khi đó phương trình tiếp diện với (S) tại E là 2x−2y+z+9 = 0.

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(0; −1; 2), B(2; −3; 0), C(−2; 1; 1), D(0; −1; 3). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

    Gọi M(x; y; z) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x;y + 1;z - 2) \\ \overrightarrow{BM} = (x - 2;y + 3;z) \\ \overrightarrow{CM} = (x + 2;y - 1;z - 1) \\ \overrightarrow{DM} = (x;y + 1;z - 3) \\ \end{matrix} ight.

    Từ giả thiết \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 1 \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x(x - 2) + (y + 1)(y + 3) + z(z - 2) = 1 \\ x(x + 2) + (y + 1)(y - 1) + (z - 1)(z - 3) = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 2z + 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 4z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm I_1(1; −2; 1), R_1 = 2 và mặt cầu tâm I_2(−1; 0; 2), R_2 = 2

    I_{1}I_{2} = \sqrt{5}

    Dễ thấy r = \sqrt{{R_{1}}^{2} - \left( \frac{I_{1}I_{2}}{2} ight)^{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có A(0;1; - 1),B(1;1;2),C(1; - 1;0),D(0;0;1). Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD?

    Ta có:

    \overrightarrow{BA} = ( - 1;0; - 3),\overrightarrow{BC} = (0; - 2; - 2),\overrightarrow{BD} = ( - 1; - 1; - 1)

    \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} ightbrack = (0; - 2; - 2) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} ightbrack.\overrightarrow{BA} = 6

    V_{ABCD} = \frac{1}{3}AH.S_{BCD} \Rightarrow AH = \frac{3V_{ABCD}}{S_{BCD}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;2),B(3;2; - 3). Mặt cầu (S) có tâm I \in Ox và đi qua hai điểm A;B có phương trình là:

    Ta có: I \in Ox \Rightarrow I(a;0;0)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} = (1 - a;1;2) \\ \overrightarrow{IB} = (3 - a;2; - 3) \\ \end{matrix} ight.

    Vì (S) đi qua hai điểm A;B nên

    IA = IB \Leftrightarrow \sqrt{(1 - a)^{2} + 5} = \sqrt{(3 - a)^{2} + 13}

    \Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4 \Rightarrow I(4;0;0)

    \Rightarrow R = IA = \sqrt{14}

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 = 0.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;1),B( - 1;2;1). Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).

    Tam giác OAB vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AB có tọa độ I(0; 1; 1).

    Mặt phẳng (OAB) có véc-tơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 2; - 2;2).

    Suy ra đường thẳng ∆ có \overrightarrow{u} = (1;1; - 1) và đi qua I(0; 1; 1).

    Vậy phương trình đường thẳng ∆ là \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 2; - 1),B(1;4;3). Độ dài của đoạn AB là

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (0;6;4) khi đó độ dài đoạn AB bằng:

    \left| \overrightarrow{AB} ight| = \sqrt{0^{2} + 6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{56} = 2\sqrt{13}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với tọa độ Oxyz cho A(2; - 3;0) và mặt phẳng (\alpha):x + 2y - z + 3 = 0. Tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua A sao cho (P) vuông góc với (α) và (P) song song với trục Oz?

    Vì (P)\bot(\alpha) nên \overrightarrow{n_{(P)}}\bot\overrightarrow{n_{(\alpha)}} và (P)//Oz nên \overrightarrow{n_{(P)}}\bot\overrightarrow{k}

    Chọn \overrightarrow{n_{(P)}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(\alpha)}};\overrightarrow{k} ightbrack = (2; - 1;0)

    Phương trình mặt phẳng (P) là 2x - y - 7 = 0.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 1}{1} và mặt phẳng (P):x - 2y - 2z + 5 = 0. Điểm A nào dưới đây thuộc d và thỏa mãn khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng 3?

    Vì A ∈ (d) nên ta có tọa độ điểm A(2a; −a; a − 1).

    Khoảng cách từ A đến (P) là

    \frac{\left| 2a + 2a - 2(a - 1) + 5 ight|}{\sqrt{9}} = 3

    \Leftrightarrow |2a + 9| = 9\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = 0 \\a = - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.

    Với a = 0 \Rightarrow A(0;\ 0; - 1)

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hai điểm A\left( {2, - 3,4} ight);\,\,\,\,B\left( { - 1,4,3} ight). Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) vuông góc với AB, cắt ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại M, N, E sao cho thể tích hình chóp O.MNE  bằng \frac{3}{14} đvtt.

     Vecto pháp tuyến của \left( P ight):\overrightarrow {AB} = \left( { - 3,7, - 1} ight)

    Phương trình \left( P ight):3x - 7y + z + D = 0

    (P) cắt 3 trục tọa độ tại M\left( { - \frac{D}{3},0,0} ight);\,\,N\left( {0,\frac{D}{7},0} ight);\,\,E\left( {0,0, - D} ight)

    Thể tích hình chóp O.MNE là:

    V_{O.MNE} = \frac{1}{6}OM.ON.OE = \frac{1}{6}\left| {\frac{D}{3}.\frac{D}{7}.D} ight|

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left| D ight|}^3}}}{{126}} = \dfrac{3}{{14}} \Leftrightarrow {\left| D ight|^3} = 27 \Leftrightarrow D = \pm 3\\ \Rightarrow \left( P ight):3x - 7y + z \pm 3 = 0\end{array}

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng (d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).

    Ta có: \overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)

    Do đó: \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}

    Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 90^{0} - 60^{0} = 30^{0}.

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 81 tại điểm P( - 5; - 4;6) là:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3).

    Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.

    Do (α) tiếp xúc với (S) tại P nên mặt phẳng (α) đi qua P và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \overrightarrow{IP} = ( - 6; - 6;3)

    Phương trình mặt phẳng (α) là

    - 6(x + 5) - 6(y + 4) + 3(z - 6) = 0

    \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 24 = 0

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):2x - y + 3 = 0. Một véc tơ pháp tuyến của (P) có tọa độ là?

    Mặt phẳng (P) có VTPT là: \overrightarrow{n} = (2; - 1;0)

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ sao cho A \equiv O, như hình vẽ:

    Khi đó ta có:

    \overrightarrow{n_{1}} =\lbrack\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}brack = \left(2a^{2};0;4a^{2} ight) và \overrightarrow{n_{2}} =\lbrack\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MC}brack = \left( a^{2}; -a^{2};2a^{2} ight)

    \overrightarrow{SB} = (2a;0; -a),\overrightarrow{SC} = (2a;2a; - a),\overrightarrow{MA} = \left( 0; -a; - \frac{a}{2} ight),\overrightarrow{MC} = \left( 2a;a; -\frac{a}{2} ight)

    A(0;0;0),B(2a;0;0),D(0;2a;0),C(2a;2a;0),S(0;0;a),M\left(0;a;\frac{a}{2} ight)

    Gọi \alpha\left( 0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ} ight) là góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC).

    Ta có \cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight| \cdot \left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}

    = \frac{\left| 2a^{2} \cdot a^{2} + 4a^{2} \cdot 2a^{2} ight|}{\sqrt{\left( 2a^{2} ight)^{2} + \left( 4a^{2} ight)^{2}} \cdot \sqrt{\left( a^{2} ight)^{2} + \left( - a^{2} ight)^{2} + \left( 2a^{2} ight)^{2}}}

    = \frac{10a^{4}}{\sqrt{20 \cdot 6 \cdot \left( a^{4} ight)^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{30}}

    Mà \tan^{2}\alpha = \frac{1}{\cos^{2}\alpha} - 1 = \left( \frac{\sqrt{30}}{5} ight)^{2} - 1 = \frac{5}{25}.

    Suy ra \tan\alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính AB, với A(6;2; - 5),B( - 4;0;7). Viết phương trình (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A?

    Hình vẽ minh họa

    Vì mặt cầu (S) có đường kính là AB nên tâm I của mặt cầu (S) là trung điểm của AB.

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 1).

    Vì (P) tiếp xúc với (S) tại A nên (P) đi qua A và nhận \overrightarrow{IA} = (5;1; - 6) làm vectơ pháp tuyến.

    Suy ra (P):5(x - 6) + (y - 2) - 6(z + 5) = 0

    \Rightarrow (P):5x + y - 6z - 62 = 0

  • Câu 16: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng (\alpha):x - z - 3 = 0 và điểm M(1;1;1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz, gọi B là hình chiếu của A lên (\alpha). Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng:

    Gọi A (0; 0; a).

    Đường thẳng AB qua A và vuông góc với (α) nên có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = a - t \\ \end{matrix} ight.

    B là hình chiếu của A lên (α) nên tọa độ B thỏa mãn hệ \left\{ \begin{matrix}x = t \\y = 0 \\z = a - t \\x - z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{a + 3}{2} \\y = 0 \\z = \dfrac{a - 3}{2} \\\end{matrix} ight.

    Suy ra B\left( \frac{a + 3}{2};0;\frac{a - 3}{2} ight)

    Tam giác MAB cân tại M nên MA = MB

    \Leftrightarrow 1 + 1 + (1 - a)^{2} = \left( \frac{a + 1}{2} ight)^{2} + 1 + \left( \frac{a - 5}{2} ight)^{2}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Nếu a = 3 thì tọa độ A (0; 0; 3), B (3; 0; 0). Diện tích tam giác MAB là S = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{3}}{2}

    Nếu a = −3 thì tọa độ A (0; 0; −3) và B (0; 0; −3) trùng nhau nên không thỏa mãn.

    Vậy diện tích của tam giác MAB bằng: \frac{3\sqrt{3}}{2}.

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng \Delta?

    Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:

    \left\{ \begin{matrix} - 1 = 1 + 2t \\ - 4 = - 1 + 3t \\ 3 = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow M( - 1; - 4;3) \in \Delta.

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I\left( x_{0};y_{0} ; z_{0} ight) bán kính R có phương trình là

    Mặt cầu tâm I\left( x_{0};y_{0} ; z_{0} ight) và bán kính R có phương trình là:

    \left( x - x_{0} ight)^{2} + \left( y - y_{0} ight)^{2} + \left( z - z_{0} ight)^{2} = R^{2}

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (\alpha):4x + 3y - 7z + 1 = 0. Phương trình tham số của d là:

    Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (\alpha) nên nhận vectơ \overrightarrow{n_{(\alpha)}} làm véc-tơ chỉ phương.

    Suy ra, phương trình đường thẳng: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):3x + 4y + 5z + 8 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x - 2y + 1 = 0,(\beta):x - 2z - 3 = 0. Góc giữa d và (P) bằng:

    Ta có: (P),(\alpha),(\beta) có vectơ pháp tuyến lần lượt là\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (3;4;5) \\ \overrightarrow{n_{\alpha}} = (1; - 2;0) \\ \overrightarrow{n_{\beta}} = (1;0; - 2) \\ \end{matrix} ight.

    Vectơ chỉ phương của d là \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{\alpha}};\overrightarrow{n_{\beta}} ightbrack = (4;2;2)

    Gọi\varphi là góc giữa d và (P), ta có:

    \sin\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{u} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{(P)}} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \varphi = 60^{0}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 72 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập