Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 2z - 19 = 0$ và mặt phẳng $(P):2x - y - 2z + m + 3 = 0$ , với $m$ là tham số. Gọi $T$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có chu vi $6\pi$ . Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc $T$ bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $24$
- C.
  $- 20$
- D.
  $- 16$
Mặt cầu $(S):(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 25$ có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.

Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:

$d\left( I;(P) ight) = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 4$

$\Leftrightarrow \frac{|4 - 1 + 2 + m + 3|}{3} = 4$

$\Leftrightarrow |m + 8| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = - 20 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(2;0; - 1),B(1;1;0)$ và $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ . Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1; - 1)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1;1; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1;1)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (1;1;1)$
Do $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên $(\alpha)$ nhận $\overrightarrow{AB} = ( - 1;1;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra $\overrightarrow{n}(1; - 1; - 1) = - \overrightarrow{AB}$ cũng là vectơ pháp tuyến của (α).
Câu 3: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 điểm $A(−2; 1; 3), B(3; −2; 4)$ , đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 6}{11} = \frac{z + 1}{- 4}$ và mặt phẳng $(P): 41x − 6y + 54z + 49 = 0$ . Đường thẳng $(d)$ đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng $(P)$ lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện $ABCO$ và $OACD$ bằng nhau, biết $(d)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;b;c)$ . Tính $b + c$ .
- A.
  $b + c = 11$
- B.
  $b + c = 6$
- C.
  $b + c = 9$
- D.
  $b + c = 4$
Hình vẽ minh họa

Ta có $1 = \frac{V_{OABC}}{V_{OACD}} =\dfrac{\dfrac{1}{3}d\left( O;(ABC) ight).S_{ABC}}{\dfrac{1}{3}d\left(O;(ACD) ight).S_{ACD}} = \dfrac{S_{ABC}}{S_{ACD}} =\frac{BC}{CD}$

Nên $BC = CD$ . Vì $C ∈ ∆$ $\Rightarrow C(2t + 1;11t + 6; - 4t - 1)$

C là trung điểm của BD nên $D(4t - 1;22t + 14; - 8t - 6)$ .

Điểm $D ∈ (P)$ nên $41(4t − 1) − 6(22t + 14) + 54(−8t − 6) + 49 = 0 ⇔ t = −1$

$⇒ C(−1; −5; 3).$

$\overrightarrow{CB} = (4;3;1) = \overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Vậy $b = 3, c = 1 ⇒ b + c = 4$
Câu 4: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt cầu $\left( S_{1} ight):x^{2} + y^{2} + z^{2} =1,\left( S_{2} ight):x^{2} +$ $(y -4)^{2} + z^{2} = 4$ và các điểm $A(4;0;0),B\left( \frac{1}{4};0;0ight),C(1;4;0),D(4;4;0)$ . Gọi $M$ là điểm thay đổi trên $\left( S_{1} ight),N$ là điểm thay đổi trên $\left( S_{2} ight)$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = MA + 2ND + 4MN +6BC$ là:
- A.
  $2\sqrt{265}$ .
- B.
  $\frac{5\sqrt{265}}{2}$ .
- C.
  $3\sqrt{265}$ .
- D.
  $\frac{7\sqrt{265}}{2}$ .
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu $\left( S_{1} ight)$ có tâm $O(0;0;0)$ bán kính bằng $1;$ mặt cầu $\left( S_{2} ight)$ có tâm $I(0;4;0)$ bán kính bằng 2 .
Ta có 4 diểm $O,A,D,I$ là 4 dỉnh của hình vuông cạnh bằng 4 và $OB =\frac{1}{4},IC = 1$ .
Ta có $\bigtriangleup OMA \backsim\bigtriangleup OBM$ (c.g.c) $\Rightarrow \frac{MA}{BM} = \frac{OM}{OB}\Rightarrow MA = 4MB$ .
Ta có $\bigtriangleup IND \backsim\bigtriangleup ICN$ (c.g.c) $\Rightarrow \frac{ND}{CN} = \frac{IN}{IC} = 2\Rightarrow ND = 2NC$ .
$Q = 4MB + 4NC + 4MN + 6BC$
$= 4(BM + MN + NC) + 6BC$
$\ \geq 4BC + 6BC = 10BC = 10 \cdot\frac{\sqrt{265}}{4} = \frac{5\sqrt{265}}{2}$
Vậy $Q$ nhỏ nhất là bằng $\frac{5\sqrt{265}}{2}$ , dấu " $=$ " xảy ra khi $M,N$ là giao điểm của $BC$ với các mặt cầu.
Câu 5: Thông hiểu
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng chéo nhau $\left( d_{1} ight):\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 6}{- 2}$ và $\left( d_{2} ight):\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z + 1}{3}$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\left( d_{1} ight)$ và song song với $\left( d_{2} ight)$ là
- A.
  $(P):x + 8y + 5z + 16 = 0$
- B.
  $(P):x + 8y + 5z - 16 = 0$
- C.
  $(P):2x + y - 6 = 0$
- D.
  $(P):x + 4y + 3z - 12 = 0$
Phương trình tham số $\left( d_{1} ight):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t_{1} \\ y = - 2 + t_{1} \\ z = 6 - 2t_{1} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t_{1}\mathbb{\in R} ight)$

$\left( d_{1} ight)$ đi qua điểm $M(2; - 2;6)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2)$

Phương trình tham số $\left( d_{2} ight):\left\{ \begin{matrix} x = 4 + t_{2} \\ y = - 2 - 2t_{2} \\ z = - 1 + 3t_{2} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t_{2}\mathbb{\in R} ight)$

$\left( d_{2} ight)$ đi qua điểm $N(4; - 2; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;3)$

Vì mặt phẳng $(P)$ chứa $\left( d_{1} ight)$ và song song với $\left( d_{2} ight)$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{u_{1}} \\ \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = - (1;8;5)$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(2; - 2;6)$ và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2)$ nên phương trình mặt phẳng $(P):(x - 2) + 8(y + 2) + 5(z - 6) = 0$ hay $(P):x + 8y + 5z - 16 = 0$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của $d$ ?
- A.
  $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 3}{- 1}$
- B.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 3}{1}$
- C.
  $x - 2 = y = z + 3$
- D.
  $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = ( - 1;1;1)$ và đi qua điểm $M(2;1;0)$ . Do đó phương trình chính tắc của $d$ là: $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 3 = 0$ . Tính số đo góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;0)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

Khi đó ta có:

$\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 8: Vận dụng
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có $AB = a;SA = a\sqrt{2}$ . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
- A.
  $\arccos\frac{\sqrt{3}}{5}$
- B.
  $\arccos\frac{\sqrt{5}}{5}$
- C.
  $\arccos\frac{\sqrt{5}}{3}$
- D.
  $\arccos\frac{\sqrt{15}}{5}$
Gọi O = AC ∩ BD

Tam giác SAO vuông nên suy ra $SO = \sqrt{SA^{2} - AO^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Gắn tọa độ như hình vẽ:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0) \\D(0;a;0),O\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0 ight),S\left(\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2} ight) \\\end{matrix} ight.$

Vì G là trọng tâm tam giác SCD nên $G\left( \frac{a}{2};\frac{5a}{6};\frac{a\sqrt{6}}{6} ight)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AS} = \left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2}ight) = \dfrac{a}{2}\left( 1;1;\sqrt{6} ight) \\\overrightarrow{BG} = \left( -\dfrac{a}{2};\dfrac{5a}{6};\dfrac{a\sqrt{6}}{6} ight) = \dfrac{a}{6}\left(- 3;5;\sqrt{6} ight) \\\end{matrix} ight.$

Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

$\cos(BG;SA) = \frac{\left| \overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BG} ight|}{BG.AS} = \frac{| - 3 + 5 + 6|}{\sqrt{40}.\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Vậy đáp án cần tìm là: $\arccos\frac{\sqrt{5}}{5}$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{- 1}$ không đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $( - 1;2;0)$
- B.
  $( - 1; - 3;1)$
- C.
  $(3; - 1; - 1)$
- D.
  $(1; - 2;0)$
Ta có $\frac{- 1 - 1}{2} eq \frac{2 + 2}{1} eq \frac{0}{- 1}$ nên điểm $( - 1;2;0)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$ .
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(Oxy)$ cắt mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 3)^{2} = 25$ theo thiết diện là đường tròn bán kính $r$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $r = 5$
- B.
  $r = 3$
- C.
  $r = 16$
- D.
  $r = 4$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;1; - 3)$ và bán kính $R = 5$ .

Khoảng cách từ tâm $I$ đến $(Oxy)$ bằng $3$ .

$\Rightarrow r = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):x + z + 4 = 0,(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):x + z + 4 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (1;0;1)$

$(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 2;2)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$ $= \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 2$ có tọa độ tâm $I$ là:
- A.
  $I(3; - 1;1)$
- B.
  $I( - 3; - 1;1)$
- C.
  $I( - 3;1; - 1)$
- D.
  $I(3;1; - 1)$
Tâm của $(S)$ có tọa độ là $I( - 3; - 1;1)$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian toạ độ $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
- A.
  $2x + 3y + z - 12 = 0$ .
- B.
  $x^{2} + y - z + - 7 = 0$ .
- C.
  $x - y^{2} + 3z - 6 = 0$ .
- D.
  $x + y + z^{2} - 7 = 0$ .
PTTQ của mặt phẳng có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ , với $A^{2} + B^{2} + C^{2} eq 0$ nên ta chọn $2x + 3y + z - 12 = 0$ .
Câu 14: Vận dụng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2;5;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $d$ sao cho khoảng cách từ điểm $A$ đến $(P)$ là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(P)$ bằng:
- A.
  $\sqrt{2}$
- B.
  $\frac{3}{\sqrt{6}}$
- C.
  $\frac{11\sqrt{2}}{6}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên d và H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) thì d(A,(P)) = AH ≤ AK không đổi.

Vậy d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K, khi đó (P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với AK.

Ta tìm được $(P):x - 4y + z - 3 = 0 \Rightarrow d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .
Câu 15: Vận dụng
Cho $A(1; - 1;0)$ và $(P):2x - 2y + z - 1 = 0$ . Điểm $M(a;b;c) \in (P)$ sao cho $MA\bot OA$ và đoạn $AM$ bằng 3 lần khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $a + b + c = - 3$
- B.
  $a + b + c = 3$
- C.
  $a + b + c = 5$
- D.
  $a + b + c = - 5$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} M \in (P) \\ MA\bot OA \\ AM = 3d\left( A;(P) ight) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ 1(a - 1) - 1(b + 1) + 0(c - 0) = 0 \\ \sqrt{(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 0)^{2}} = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ a - b - 2 = 0 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = a - 2 \\ c = - 3 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ c = - 3 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b + c = - 3$ .
Câu 16: Thông hiểu
Cho hai đường thẳng $\left( {d'} ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 1 + t\\z = - 2 - t\end{array} ight.\,\,;\,\,\,\,\,\left( {d''} ight)\left\{ \begin{array}{l}x = m - 3\\y = 2 + 2m\\z = 1 - 4m\end{array} ight.\,\,;t,\,\,m \in \mathbb{R}$
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua (d’)và song song với (d’’).
- A. $x + 7y + 5z - 20 = 0$
- B. $2x + 9y + 5z - 5 = 0$
- C. $x - 7y - 5z = 0$
- D. $x - 7y + 5z + 20 = 0$
Vì (P) đi qua (d’) nên (P) nhận VTCP của (d’) làm 1 VTCP
$VTCP\left( P ight):\overrightarrow a = \left( { - 2,1, - 1} ight)$
Vì (P) song song với (d’’) nên (P) có VTCP thứ hai là :
$VTCP\left( P ight):\overrightarrow b = \left( {1,2, - 4} ight)$
Từ đây, ta suy ra VTPT của (P) chính là tích có hướng của 2 VTCP và :
$VTPT\left( P ight):\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = \left( {2,9,5} ight)$
Lấy điểm A(3,1,-2) trên đường thẳng (d’) mà (d’) nằm trong (P) nên ta có được A cũng phải thuộc (P):
$\begin{array}{l}A\left( {3,1, - 2} ight) \in \left( P ight) \Rightarrow \left( {x - 3} ight)2 + \left( {y - 1} ight)9 + \left( {z + 2} ight)5 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \left( P ight):2x + 9y + 5z - 5 = 0\end{array}$
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình mặt phẳng trung trực $(\alpha)$ của đoạn thẳng $AB$ với $A(0; - 4;1),B( - 2;2;3)$ là
- A.
  $(\alpha):x - 3y + z = 0$
- B.
  $(\alpha):x - 3y + z - 4 = 0$
- C.
  $(\alpha):x - 3y - z = 0$
- D.
  $(\alpha):x - 3y - z - 4 = 0$
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ suy ra $M( - 1; - 1;2)$

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow{AM} = ( - 1;3;1)$ làm vectơ pháp tuyến:

$\Rightarrow (\alpha): - x + 3y + z = 0$

$\Rightarrow (\alpha):x - 3y - z = 0$
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ ,cho đường thẳng $d:\frac{x - 5}{2} = \frac{y + 7}{2} = \frac{z - 12}{- 1}$ và mặt phẳng $(\alpha):x + 2y - 3z - 3 = 0$ . Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $(\alpha)$ , $A$ thuộc $d$ sao cho $AM = \sqrt{14}$ . Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ .
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $6$
- D.
  $\sqrt{14}$
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng $d:\frac{x - 5}{2} = \frac{y + 7}{2} = \frac{z - 12}{- 1}$ có một vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u} = (2;2; - 1)$

Mặt phẳng $(\alpha):x + 2y - 3z - 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1;2; - 3)$

Ta có: $\sin\left( d;(\alpha) ight) = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{3\sqrt{14}}{14}$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (α).

Khi đó tam giác ∆MAH vuông tại H nên $\sin\left( d;(\alpha) ight) = \sin\widehat{AMH} = \frac{AH}{AM}$

$AH = \sin\left( d;(\alpha) ight).AM = 3$

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) bằng 3.
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(3;4;5)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 2z - 3 = 0$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$ . Tìm tọa độ điểm $H$ ?
- A.
  $H(1;2;2)$
- B.
  $H(2;5;3)$
- C.
  $H(6;7;8)$
- D.
  $H(2; - 3; - 1)$
Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên (P) nên $H(3 + t;4 - t;5 + 2t)$

Điểm H thuộc mặt phẳng (P) nên ta có phương trình:

$(3 + t) - (4 - t) + 2(5 + 2t) - 3 = 0$

$\Leftrightarrow t = - 1 \Leftrightarrow H = (2;5;3)$
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ hai điểm $A(1;2;3),B(5;4; - 1)$ . Phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là:
- A.
  $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 1)^{2} = 9$
- B.
  $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 1)^{2} = 6$
- C.
  $(x + 3)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 1)^{2} = 9$
- D.
  $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 1)^{2} = 36$
Gọi I là trung điểm của AB suy ra $I(3;3;1)$

$\overrightarrow{AB} = (4;2; - 4) \Rightarrow AB = \sqrt{16 + 4 + 16} = 6$

Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I(3;3;1)$ và bán kính $R = \frac{AB}{2} = 3$ có phương trình là: $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 1)^{2} = 9$

53 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!