Trong không gian
, cho điểm
thuộc mặt phẳng
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có điểm thuộc mặt phẳng
nên:
Trong không gian
, cho điểm
thuộc mặt phẳng
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có điểm thuộc mặt phẳng
nên:
Trong không gian
, cho điểm
và hai đường thẳng
và
. Gọi
là đường thẳng đi qua điểm
, cắt đường thẳng
và vuông góc với đường thẳng
. Đường thẳng
đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
Gọi
có một vectơ chỉ phương
.
Do nên
Ta có:
Suy ra đường thẳng đi qua
.
Cho hình lăng trụ
có
. là tứ diện đều cạnh
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Gọi O là trung điểm của AB
Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho
Ta có: . Dễ thấy
có VTTP
M là trung điểm AA′
N là trung điểm BB′
Suy ra có VTTP
Trong không gian với hệ toạ độ
, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
và
là
Vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là và đường thẳng đi qua điểm
.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: .
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian
, cho đường thẳng
. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây vuông góc với đường thẳng
.
Đường thẳng có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng vuông góc với nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến.
Do đó là mặt phẳng thỏa mãn.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
thuộc
sao cho
ngắn nhất.
Gọi là điểm sao cho
Suy ra J(2; 3; 1).
Khi đó
Vậy đạt GTNN khi và chỉ khi
đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).
Vậy M(2; 3; 0).
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho bốn điểm
. Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức
. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?
Gọi M(x; y; z) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có
Từ giả thiết
Suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm và mặt cầu tâm
Dễ thấy
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
,
, cạnh SA vuông góc với mặt đáy
và
. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng
và
. Tính
.
Hình vẽ minh họa
Dựng hệ trục toạ độ Oxyz với O trùng A, tia Ox cùng hướng với tia BC, tia Oy trùng tia AB, tia Oz trùng với tia AS.
Ta có khi đó ta tính được (SAC) có vectơ pháp tuyến
, (SBC) có vectơ pháp tuyến
. Từ đó tính được:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
. Điểm nào sau đây không nằm trên mặt phẳng
?
Phương trình mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
có dạng
Thay tọa độ các đáp án vào phương trình mặt phẳng ta có 3 điểm
thoả mãn, còn điểm
không thoả mãn.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
cắt các trục tọa độ
lần lượt tại
(khác
) sao cho
là trực tâm tam giác
là:
Mặt phẳng cắt trục
lần lượt tại
suy ra
là trực tâm của tam giác
và
Phương trình mặt phẳng .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba mặt phẳng ![]()
![]()
. Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt
lần lượt tại
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
.
Dễ dàng nhận thấy (P)//(Q)//(R).
Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng cắt (P) tại H và cắt (Q) tại K.
Ta có
Khi đó ta có:
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và
. Phương trình mặt cầu tâm
và đi qua
có phương trình là:
Bán kính mặt cầu là
Phương trình mặt cầu tâm và
là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Tìm tất cả các giá trị của m để
tiếp xúc với mặt cầu
?
Ta có mặt cầu có tâm I(1; −1; 1) và bán kính R = 3.
Mặt phẳng tiếp xúc với
khi và chỉ khi:
.
Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
, với
là tham số. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo một đường tròn có chu vi
. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc
bằng:
Mặt cầu có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.
Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:
Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.
Trong không gian
, cho hai đường thẳng song song
và
. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (d, d’), đồng thời cách đều hai đường thẳng d và d’.
Lấy .
Đường thẳng cần tìm đi qua trung điểm của MN, là điểm I(3; 0; 2), và song song với d và d’.
Phương trình đường thẳng cần tìm là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
, điểm
và mặt cầu
. Gọi
là mặt phẳng qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến
là lớn nhất. Biết
là một vectơ pháp tuyến của
. Tính
.
Mặt cầu (S) có tâm I(5; −3; 7); bán kính .
Phương trình mặt phẳng
Vì (P) và (S) tiếp xúc nhau nên:
Ta có:
Ta có:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
Từ (*); (**); (***) ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
.
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
, sin của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu
tâm
và đi qua điểm
?
Vì mặt cầu tâm
và đi qua điểm
nên mặt cầu
nhận độ dài đoạn thẳng
làm bán kính.
Ta có:
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .