Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):2x + y - z - 3 = 0$ và $(Q):x + y + z - 1 = 0$ . Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng $(P),(Q)$ là:
- A.
  $\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 1}{1}$
- B.
  $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
- C.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
- D.
  $\frac{x}{2} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z - 1}{- 1}$
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + y - z - 3 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2z - 2 = 0 \\ x + y + z - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2z + 2 \\ y = - 3z - 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Đặt $z = t$ ta suy ra $x = 2t + 2,y = - 3t - 1$ .

Từ đó ta thu được phương trình đường thẳng: $d:\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z}{1}$

Xét điểm $A(2; - 1;0) \in d$ , ta thấy $A$ chỉ thuộc đường thẳng: $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A\left( - 1;\sqrt{3};0 ight),B\left(1;\sqrt{3};0 ight)$ $,C\left( 0;0;\sqrt{3} ight)$ và điểm $M$ thuộc trục $Oz$ sao cho hai mặt phẳng $(MAB)$ và $(ABC)$ vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(MAB)$ và $(OAB)$ .
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $15^{0}$
Ta có: $M(0;0;m)$ thuộc trục $Oz$ .

Ta có $\overrightarrow{AM} = (1; - \sqrt{3};m),\overrightarrow{AB} = (2;0;0),\overrightarrow{AC} = (1; - \sqrt{3};\sqrt{3})$ .

$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{1} = \lbrack\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}brack = (0; - 2\sqrt{3}; - 2\sqrt{3}),{\overrightarrow{n}}_{2} = \lbrack\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM}brack = (0; - 2m; - 2\sqrt{3})$

Mặt phẳng $(ABC)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{1}$ , mặt phẳng $(MAB)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{2}$ .

Hai mặt phẳng $(MAB)$ và $(ABC)$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi

${\overrightarrow{n}}_{1}\bot{\overrightarrow{n}}_{2} \Leftrightarrow 0.0 + \left( - 2\sqrt{3} ight).( - 2m) + \left( - 2\sqrt{3} ight).( - 2\sqrt{3}) = 0 \Leftrightarrow m = - \sqrt{3}.$

Mặt phẳng $(OAB)$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{3} = \lbrack\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}brack = (0;0; - 2\sqrt{3})$ .

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(MAB)$ và $(OAB)$ . Khi đó

$cos\varphi = \left| cos\left( {\overrightarrow{n}}_{2},{\overrightarrow{n}}_{3} ight) ight| = \frac{\left| {\overrightarrow{n}}_{2}.{\overrightarrow{n}}_{3} ight|}{\left| {\overrightarrow{n}}_{2} ight|.\left| {\overrightarrow{n}}_{3} ight|} = \frac{12}{2\sqrt{6}.2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy góc cần tìm bằng $45^{0}$
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 1$ . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với $(\alpha)$ .
- A.
  $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}$
- B.
  $\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}$
- C.
  $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{- 1}$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = 0 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 1$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1; - 1;2)$ .

Đường thẳng $d_{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{d_{1}}} = (1; - 1;2) = \overrightarrow{n_{(\alpha)}}$

Suy ra $d_{1}\bot(\alpha)$ .
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{- 3}$ và mặt phẳng $(P):3x - 3y + 2z + 1 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  d song song với (P).
- B.
  d nằm trong (P).
- C.
  d cắt và không vuông góc với (P).
- D.
  d vuông góc với (P).
Viết lại đường thẳng d ở dạng tham số $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = - t \\ z = 1 - 3t \\ \end{matrix} ight.$

Xét phương trình $3.( - 1 + t) - 3.( - t) + 2.(1 - 3t) + 1 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$

Kết luận phương trình có vô số nghiệm $\Rightarrow d \subset (P)$
Câu 5: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(0; −1; 2), B(1; 1; 2)$ và đường thẳng $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}$ . Biết điểm $M(a; b; c)$ thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị $T = a + 2b + 3c$ bằng:
- A.
  $5$
- B.
  $3$
- C.
  $4$
- D.
  $10$
Vì $S_{MAB} = \frac{1}{2}.AB.d(M,AB)$ nên S_MAB nhỏ nhất khi d(M, AB) nhỏ nhất. Phương trình của $AB:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Dễ dàng kiểm tra AB và d chéo nhau.

Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB.

Khi đó $d(M, AB) = MH$ nhỏ nhất khi MH là đoạn vuông góc chung của d và AB.

Ta có: $M \in d \Rightarrow M( - 1 + s;s;1 + s),H \in AB$

$\Rightarrow H(t; - 1 + 2t;2)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MH} = (t - s + 1;2t - s - 1;1 - s)$

Vectơ chỉ phương của d và AB theo thứ tự là $\overrightarrow{u} = (1;1;1),\overrightarrow{v} = (1;2;0)$

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MH}\bot\overrightarrow{u} \\\overrightarrow{MH}\bot\overrightarrow{v} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1(t - s + 1) + 1(2t - s - 1) + 1(1 - s) = 0\ \\1(t - s + 1) + 2(2t - s - 1) + 0(1 - s) = 0 \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = 1 \\s = \dfrac{4}{3} \\\end{matrix} ight.$

Vậy $M\left( \frac{1}{3};\frac{4}{3};\frac{7}{3} ight) \Rightarrow T = 10$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ và đi qua ba điểm $A(1;2; - 4),B(1; - 3;1),C(2;2;3)$ . Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $(2; - 1;0)$
- B.
  $( - 2;1;0)$
- C.
  $(0;0; - 2)$
- D.
  $(0;0;0)$
Gọi tâm mặt cầu là $I(a;b;c)$ và phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

Do $I \in (Oxy) \Rightarrow c = 0$

$\Rightarrow (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by + d = 0$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} A \in (S) \\ B \in (S) \\ C \in (S) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a + 4b - d = 21 \\ 2a - 6b - d = 11 \\ 4a + 4b - d = 17 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 1 \\ d = - 21 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $I( - 2;1;0)$ là đáp án cần tìm.
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho phương trình đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng $\Delta$ ?
- A.
  $(1;4; - 5)$
- B.
  $( - 1; - 4;3)$
- C.
  $(2;1;1)$
- D.
  $( - 5; - 2; - 8)$
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:

$\left\{ \begin{matrix} - 1 = 1 + 2t \\ - 4 = - 1 + 3t \\ 3 = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow M( - 1; - 4;3) \in \Delta$ .
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình mặt cầu tâm $I(2;1; - 2)$ bán kính $R = 2$ là:
- A.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 2^{2}$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 4z + 5 = 0$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 4z + 5 = 0$
- D.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 2$
Phương trình mặt cầu tâm $I(2;1; - 2)$ bán kính $R = 2$ là:

$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 2^{2}$

Tổng quát $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 4z + 5 = 0$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - y + 2z + 1 = 0$ và đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ . Tính góc giữa đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Ta có: $\overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)$

Do đó: $\cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$

Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng $90^{0} - 60^{0} = 30^{0}$ .
Câu 10: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng $a\sqrt{2}$ và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu $\tan\alpha = \sqrt{2}$ thì góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $I = AC \cap BD$ .

Hình vuông $ABCD$ có độ dài đường chéo bằng $a\sqrt{2}$ suy ra hình vuông đó có cạnh bằng $a$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} (SBD) \cap (ABCD) = BD \\ SI\bot BD \\ AI\bot BD \\ \end{matrix} \Rightarrow ((SBD);(ABCD)) = (SI;AI) = SIA ight.$ .

Ta có $tan\alpha = tanSIA = \frac{SA}{AI} \Leftrightarrow SA = a$ .

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ. Ta có $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),S(0;0;a)$ .

Khi đó $\overrightarrow{SA} = (0;0; - a);\overrightarrow{SC} = (a;a; - a);\overrightarrow{SB} = (a;0; - a)$ .

Mặt phẳng $(SAC)$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1} = ( - 1;1;0)$ .

Mặt phẳng $(SBC)$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{2} = (1;0;1)$ .

Suy ra $cos((SAC);(SBC)) = \frac{\left|{\overrightarrow{n}}_{1} \cdot {\overrightarrow{n}}_{2} ight|}{\left|{\overrightarrow{n}}_{1} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{n}}_{2}ight|}$ $= \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow((SAC);(SBC)) = 60^{\circ}$ .
Câu 11: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , , cho hai mặt cầu $(S_1), (S_2)$ có phương trình lần lượt là $(x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 1)^2 = 16$ và $(x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 5)^2 = 4$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với cả hai mặt cầu $(S_1), (S_2)$ . Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $\frac{9}{2} - \sqrt{45}$
- B.
  $\sqrt{15}$
- C.
  $\frac{9 + \sqrt{15}}{2}$
- D.
  $\frac{8\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S₁) có tâm I(2; 1; 1) và bán kính $R_1 = 4$ .

Mặt cầu (S₂) có tâm J(2; 1; 5) và bán kính $R_2 = 2$ .

Gọi A, B lần lượt là hai tiếp điểm của (S₁), (S₂) với mặt phẳng (P).

Gọi M là giao điểm của IJ với mặt phẳng (P). Ta có:

$\frac{MI}{MJ} = \frac{IA}{IB} = 2$

Suy ra J là trung điểm của IM, do đó M(2; 1; 9).

Gọi véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (a;b;c),\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 ight)$ khi đó phương trình của mặt phẳng (P) là

$a(x − 2) + b(y − 1) + c(z − 9) = 0$

Ta có:

$d\left( I;(P) ight) = 4 \Leftrightarrow \frac{|8c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = 4$

$\Leftrightarrow \frac{|c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 3c^{2}$

$\Leftrightarrow \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} = 3\ \ \ (1)$

Mặt khác $d\left( O;(P) ight) = \frac{|2a + b + 9c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{|2a + b + 9c|}{2c} = \frac{1}{2}\left| \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} + 9 ight|\ \ \ (2)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

$\left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq \left( 2^{2} + 1^{2} ight)\left\lbrack \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} ightbrack\ \ \ (3)$

Từ (1) và (3) ta có: $\left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq 15 \Leftrightarrow - \sqrt{15} \leq \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} \leq \sqrt{15}\ \ (4)$

Từ (2) và (4) suy ra:

$\frac{9 - \sqrt{15}}{2} \leq d\left( O;(P) ight) \leq \frac{9 + \sqrt{15}}{2}$

Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{9 + \sqrt{15}}{2}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $M(3;4;5)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 2z - 3 = 0$ . Hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $(P)$ là
- A.
  $H(1;2;2)$
- B.
  $H(2;5;3)$
- C.
  $H(6;7;8)$
- D.
  $H(2; - 3; - 1)$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(3;4;5)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 4 - t \\ z = 5 + 2t \\ \end{matrix} ight.$ .

Gọi $H = \Delta \cap (P) \Rightarrow H(3 + t;4 - t;5 + 2t)$

$H \in (P)\ \Rightarrow 3 + t - (4 - t) + 2(5 + 2t) - 3 = 0$

$\Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H(2;5;3)$
Câu 13: Vận dụng cao
Cho điểm ${m{A(2, - 1,1)}}$ và đường thẳng $(\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}y + z - 4 = 0\\2x - y - z + 2 = 0\end{array} ight.$ . Gọi A' là điểm đối xứng của A qua $(\triangle)$ . Tọa độ điểm A' là:
- A. A' ( 1, 7, 0)
- B. A' ( 0, 7,1)
- C. A' ( 0, 1, 7)
- D. A' ( 7, 1, 0)
Đưa phương trình $(\triangle)$ về dạng tham số: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4 - t\\z = t\end{array} ight.$
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với $(\triangle)$ .
Phương trình mp (P) có dạng $- y + z + D = 0$ , qua A nên D = -2
Phương trình (P) là: $y - z + 2 = 0$
Thế x, y, z từ phương trình $(\triangle)$ vào phương trình (P) được t=1
$\Rightarrow (\triangle ) \cap (\alpha ) = (1,3,1).$
I là trung điểm của AA' nên: ${x_{A'}} + 2 = 2;{y_{A'}} - 1 = 6;{z_{A'}} + 1 = 2$
$\Rightarrow A'(0,7,1)$ .
Câu 14: Thông hiểu
Cho hai điểm $C\left( { - 1,4, - 2} ight);D\left( {2, - 5,1} ight)$ . Mặt phẳng chứa đường thẳng $CD$ và song song với $Oz$ có phương trình :
- A. $3x-y+1=0$
- B. $3x+y-1=0$
- C. $x-3y+1=0$
- D. $x+3y-1=0$
Theo đề bài ta có $C\left( { - 1,4, - 2} ight);D\left( {2, - 5,1} ight)$
$\Rightarrow \overrightarrow {CD} = \left( {3, - 9,3} ight)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow a = \left( {1, - 3,1} ight)$
Mặt khác, trục $Oz$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow k = \left( {0,0,1} ight)$
$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow k } ight] = \left( { - 3, - 1,0} ight)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow n = \left( {3,1,0} ight)$
Chọn $\overrightarrow n = \left( {3,1,0} ight)$ làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa $CD$ và song song với trục $Oz$ . Phương trình mặt phẳng này có dạng : $3x + y + D = 0$
Mặt phẳng cần tìm còn qua điểm C nên ta thay tọa độ điểm C vào pt trên, có:
$- 3 + 4 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 1$
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm : $3x + y - 1 = 0$
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 3 = 0$ . Tính số đo góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;0)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

Khi đó ta có:

$\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu có tâm $I(7;6; - 5)$ và bán kính $9$ ?
- A.
  $(x + 7)^{2} + (y + 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 81$ .
- B.
  $(x + 7)^{2} + (y + 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 9$ .
- C.
  $(x - 7)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 5)^{2} = 81$ .
- D.
  $(x - 7)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 5)^{2} = 9$ .
Mặt cầu tâm $I(7;6; - 5)$ , bán kính $R = 9$ có phương trình lá:

$(x - 7)^{2} + (y - 6)^{2} + (z - 5)^{2} = 81$ .
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(2; - 1;1)$ và vectơ $\overrightarrow{n} = (1;3;4)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(2; - 1;1)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ .
- A.
  $2x - y + z + 3 = 0$
- B.
  $2x - y + z - 3 = 0$
- C.
  $x + 3y + 4z + 3 = 0$
- D.
  $x + 3y + 4z - 3 = 0$
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:

$(x - 2) + 3(y - 1) + 4(z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow x + 3y + 4z - 3 = 0$
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ , biết $(\alpha)$ song song với mặt phẳng $(P):2x + y - 2z + 11 = 0$ và cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có chu vi $8\pi$ ?
- A.
  $2x + y - 2z - 11 = 0$
- B.
  $2x - y - 2z - 7 = 0$
- C.
  $2x + y - 2z - 5 = 0$
- D.
  $2x + y - 2z - 7 = 0$
Vì $(α) // (P)$ nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng $2x + y - 2z + c = 0$

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; 3)$ và bán kính $R = 5$ .

Đường tròn lớn có chu vi là $8\pi$ nên bán kính của $(S)$ là $\frac{8\pi}{2\pi} = 4$

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3

Từ đó ta có:

$d\left( I;(P) ight) = \frac{|2.1 + 2 - 2.3 + c|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + ( - 2)^{2}}} = 3$

$\Leftrightarrow | - 2 + c| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 11 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $(α) // (P)$ nên phương trình mặt phẳng (α) là $2x + y - 2z - 7 = 0$
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):3x + 4y + 2z + 4 = 0$ và điểm $M(1; - 2;3)$ . Tính khoảng cách $d$ từ $M$ đến $(P)$ .
- A.
  $d = \frac{5}{\sqrt{29}}$
- B.
  $d = \frac{5}{29}$
- C.
  $d = \frac{\sqrt{5}}{3}$
- D.
  $d = \frac{5}{9}$
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:

$d\left( M;(P) ight) = \frac{|3.1 - 4.2 + 2.3 + 4|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 2^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$
Câu 20: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;0;1),B(3; - 2;0),C(1;2; - 2)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ sao cho tổng khoảng cách từ $B$ và $C$ đến $(P)$ lớn nhất, biết rằng $(P)$ không cắt đoạn $BC$ . Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:
- A.
  $\overrightarrow{n} = (2; - 2; - 1)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1;0;2)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = ( - 1;2; - 1)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$
Kiểm tra $\overrightarrow{n} = (2; - 2; - 1)$ : Mặt phẳng (P) có phương trình 2x − 2y − z − 1 = 0.

Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại $\overrightarrow{n} = (2; - 2; - 1)$ .

Kiểm tra $\overrightarrow{n} = (1;0;2)$ : Mặt phẳng (P) có phương trình x+ 2z −3 = 0.

Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B ∈ (P) nên loại $\overrightarrow{n} = (1;0;2)$ .

Kiểm tra $\overrightarrow{n} = ( - 1;2; - 1)$ : Mặt phẳng (P) có phương trình −x + 2y − z + 2 = 0.

Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại $\overrightarrow{n} = ( - 1;2; - 1)$ .

Kiểm tra v: Mặt phẳng (P) có phương trình x − 2z + 1 = 0.

Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về cùng phía (P) nên chọn $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$ .

65 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!