Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;0),B(3; - 1;1),C(1;1;1). Tính diện tích tam giác ABC?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (2; - 3;1) \\
\overrightarrow{AC} = (0; - 1;1) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 2; - 2; -
2)

    Lại có diện tích tam giác ABC là:

    S_{ABC} = \frac{1}{2}\left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack =
\sqrt{3}

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y
- 6 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):2x - y - 2z - 9 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; -
2)

    (Q):x - y - 6 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} = (1; -
1;0)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left(
\overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)

    = \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0
ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} =
\frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) =
45^{0}

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): (x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=16 và điểm A(1;2;3) . Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba đường tròn tương ứng đó.

    Tính tổng diện tích

    Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là (P), (Q), (R).

    Với điểm I bất kỳ, hạ II_1, II_2, II_3 lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng (P), (Q), (R) thì ta luôn có: IA^2 = II_1 ^2+ II_2^2, II_3 ^2(1) .

    Thật vậy , ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O\equiv A , ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng (P), (Q), (R)..

    Khi đó tọa độ I(a;b;c) thì:

    IA^2=a^2+b^2+c^2=d^2(A;(Iyz))+d^2(A;(Ixz))+d^2(A;(Ixy))

    hay IA^2=II_1^2+II_2^2+II_3^2.

    Vậy (1) được chứng minh.

    Tính tổng diện tích

    Áp dụng giải bài:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;-1;2) và có bán kính r=4.

    \overrightarrow {IA}=(0;3;1) \Rightarrow IA= \sqrt {10}.

    Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua A đôi một vuông góc với nhau là (P), (Q), (R) và cắt mặt cầu (S) theo ba đường tròn lần lượt là(C_1),(C_2),(C_3).

    Gọi I_1, I_2, I_3 và  r_1, r_2, r_3 lần lượt là tâm và bán kính của (C_1),(C_2),(C_3).

    Khi đó : II_1\perp (P) \Rightarrow II_1^2+r_1^2=r^2 \Rightarrow r_1^2=r^2-II_1^2.

    Tương tự có: r_2^2=r^2-II_2^2  và  r_3^2=r^2-II_3^2.

    Theo nhận xét ở trên ta có: IA^2=II_1^2+II_2^2+II_3^2

    Ta có tổng diện tích các đường tròn là :

    S= \pi(r_1^2+r_2^2+r_3^2)=\pi(r^2-II_1^2+r^2-II_2^2+r^2-II_3^2)

    =\pi[3r^2-(II_1^2+II_2^2+II_3^2)]

    =\pi(3r^2-IA^2)=38 \pi.

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(3; 2; 1), C\left( -
\frac{5}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight) và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC) nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng (MAB),(MBC),(MCA) hợp với mặt phẳng (ABC) các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).

    Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn

    BC.\overrightarrow{HA} +
AC.\overrightarrow{HB} + AB.\overrightarrow{HC} =
\overrightarrow{0}

    Ta có AB = 3, AC = 4, BC = 5, suy ra

    \left\{ \begin{matrix}
5(x - 1) + 4(x - 3) + 3x + 5 = 0 \\
5y + 4(y - 2) + 3y - 4 = 0\  \\
5z + 4(z - 1) + 3z - 8 = 0\  \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 1 \\
z = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow H(1;1;1)

    Phương trình đường thẳng MH nhận \overrightarrow{u} =
\overrightarrow{n_{ABC}} làm vectơ chỉ phương nên MH là: \left\{ \begin{matrix}
x\  = \ 1\  + \ t \\
y\  = \ 1\  - \ 2t \\
z\  = \ 1\  + \ 2t \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó: OM_{\min} = \frac{\left|
\left\lbrack \overrightarrow{MH};\overrightarrow{OH} ightbrack
ight|}{\left| \overrightarrow{MH} ight|} =
\frac{\sqrt{26}}{3}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD). Tính cosϕ với ϕ là góc tạo bởi (SAC)(SCD)

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O M, lần lượt là trung điểm của AB; CD.

    Vì SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD) nên SO ⊥ (ABCD).

    Xét hệ trục OxyzO(0;0;0),M(1;0;0),A\left( 0;\frac{1}{2};0
ight),S\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{2} ight)

    Suy ra C\left( 1; - \frac{1}{2};0
ight),D\left( 1;\frac{1}{2};0 ight)

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{SA} = \left( 0;\dfrac{1}{2};\dfrac{- \sqrt{3}}{2}ight);\overrightarrow{AC} = (1; - 1;0) \\\overrightarrow{SC} = \left( 1;\dfrac{- 1}{2};\dfrac{- \sqrt{3}}{2}ight);\overrightarrow{CD} = (0;1;0) \\\end{matrix} ight.

    Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \left\lbrack
\overrightarrow{SA};\overrightarrow{AC} ightbrack = \left( -
\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}
ight)

    Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack
\overrightarrow{SC};\overrightarrow{CD} ightbrack = \left(
\frac{\sqrt{3}}{2};0;1 ight)

    \cos\varphi = \frac{\left|
\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_{1}} ight|}{\left|
\overrightarrow{n} ight|\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|} =
\frac{5}{7}

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 - t \\
y = 2 + 2t \\
z = 3 + t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;0)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

    Khi đó ta có:

    \sin\alpha = \frac{\left|
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u}
ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( -
1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( -
1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60^{0}

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tọa độ hai điểm A(1;2;3),B(5;4; -
1). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

    Gọi I là trung điểm của AB suy ra I(3;3;1)

    \overrightarrow{AB} = (4;2; - 4)
\Rightarrow AB = \sqrt{16 + 4 + 16} = 6

    Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3;3;1) và bán kính R = \frac{AB}{2} = 3 có phương trình là: (x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 1)^{2} =
9

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2;0; - 1) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a} = (4; - 6;2) là:

    Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;0; - 1) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a} = (4; - 6;2) nên có phương trình: \frac{x - 2}{2} = \frac{y}{-
3} = \frac{z + 1}{1}.

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB =
a;SA = a\sqrt{2}. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

    Gọi O = AC ∩ BD

    Tam giác SAO vuông nên suy ra SO =
\sqrt{SA^{2} - AO^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}

    Gắn tọa độ như hình vẽ:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0) \\D(0;a;0),O\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0 ight),S\left(\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2} ight) \\\end{matrix} ight.

    Vì G là trọng tâm tam giác SCD nên G\left(
\frac{a}{2};\frac{5a}{6};\frac{a\sqrt{6}}{6} ight)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AS} = \left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2}ight) = \dfrac{a}{2}\left( 1;1;\sqrt{6} ight) \\\overrightarrow{BG} = \left( -\dfrac{a}{2};\dfrac{5a}{6};\dfrac{a\sqrt{6}}{6} ight) = \dfrac{a}{6}\left(- 3;5;\sqrt{6} ight) \\\end{matrix} ight.

    Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

    \cos(BG;SA) = \frac{\left|
\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BG} ight|}{BG.AS} = \frac{| - 3 +
5 + 6|}{\sqrt{40}.\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{5}}{5}

    Vậy đáp án cần tìm là: \arccos\frac{\sqrt{5}}{5}.

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Ta có: \left| \left\lbrack
\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight| = \left|
\overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|.sin\left(
\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight)

    Vậy khẳng định sai là: \left|\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight|= \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v}ight|.\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}ight).

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d:\frac{x - 12}{4} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z -
1}{1} và mặt phẳng (P):3x + 5y - z
- 2 = 0?

    Gọi I là giao điểm của d và (P).

    Ta có I \in d \Leftrightarrow I(4t +
12;3t + 9;t + 1)

    I \in (P) \Leftrightarrow 3(4t + 12) +
5(3t + 9) - (t + 1) - 2 = 0

    \Leftrightarrow 26t = - 78
\Leftrightarrow t = - 3

    Suy ra I(0;0; - 2)

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho tam giác ABC có A\left( {3, - 1, - 1} ight);\,\,\,\,B\left( {1,2, - 7} ight);\,\,\,\,C\left( { - 5,14, - 3} ight). Viết phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC của tam giác ABC. 

    Theo đề bài, ta tính được \overrightarrow {BA}  = \left( {2, - 3,6} ight),\overrightarrow {BC}  = 2\left( { - 3,6,2} ight)

    Từ đó, suy ra VTPT của mặt phẳng (ABC) là: \overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } ight] =  - \left( {42,22, - 3} ight)

    Phương trình (ABC) là:

    \begin{array}{l}\left( {x - 3} ight)42 + \left( {y + 1} ight)22 + \left( {z + 1} ight)\left( { - 3} ight) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {ABC} ight):42x + 22y - 3z - 107 = 0\end{array}

    Mặt khác, ta có M là trung điểm của BC nên M có tọa độ là M (-2, 8, -5)

    Phương trình mặt phẳng trung trực (P) của cạnh BC là:

    \left( P ight):\,\,\left( {x + 2} ight)\left( { - 3} ight) + \left( {y - 8} ight)6 + \left( {z + 5} ight)2 = 0

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( P ight):3x - 6y - 2z + 44 = 0\\ \Rightarrow \left( d ight):42x + 22y - 3z - 107 = 0;\,\,3x - 6y - 2z + 44 = 0\end{array}

    Phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC:

    (d):\,\,\left\{ \begin{array}{l}42x + 22y - 3z - 107 = 0\\3x - 6y - 2z + 44 = 0\end{array} ight.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để x^{2} +
y^{2} + z^{2} + 2(m + 2)x - 2(m - 1)z + 3m^{2} - 5 = 0 là một phương trình mặt cầu

    Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

    (m + 2)^{2} + (m - 1)^{3} - 3m^{2} + 5
> 0

    \Leftrightarrow m^{2} - 2m - 10 <
0

    \Leftrightarrow m \in \left( - 1 -
\sqrt{11};1 + \sqrt{11} ight)

    Theo bài ra m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m
\in \left\{ - 2; - 1;0;1;2;3;4 ight\}

    Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - y + 3z - 7 = 0 và điểm A( - 1;2;5). Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P)?

    Mặt phẳng (Q) và song song với (P) nên (Q) có dạng 2x − y + 3z + D = 0, với D eq - 7

    A ∈ (Q) nên 2 .(−1) − 2 + 3 . 5 + D = 0 ⇔ D = −11.

    Vậy (Q): 2x − y + 3z − 11 = 0.

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I(2;1; - 2) bán kính R = 2 là:

    Phương trình mặt cầu tâm I(2;1; -
2) bán kính R = 2 là:

    (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2}
= 2^{2}

    Tổng quát x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y
+ 4z + 5 = 0.

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(2;0; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a} = (4; - 6;2). Phương trình tham số của đường thẳng \Delta là:

    Do (2; - 2;1) cũng là vectơ chỉ phương nên phương trình tham số là: \left\{
\begin{matrix}
x = 2 + 2t \\
y = - 3t \\
z = - 1 + t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 17: Nhận biết

    Ba mặt phẳng x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0 cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:

     Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :

    \left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z - 6 = 0\left( 1 ight)\\2x - y + 3z + 13 = 0\left( 2 ight)\\3x - 2y + 3z + 16 = 0\left( 3 ight)\end{array} ight.

    Giải (1),(2) tính x,y theo z được x =  - z - 4;y = z + 5.

    Thế vào phương trình (3) được z=-3 , từ đó có x =  - 1,y = 2

    Vậy  A(-1,2,-3).

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABCA(0;0;1),B( - 3;2;0),C(2; - 2;3). Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC đi qua điểm nào trong các điểm sau?

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( -
3;2;1),\overrightarrow{AC} = (2; - 2;2)

    \overrightarrow{n} = \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack =
(2;4;2)

    Một vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B của tam giác ABC\overrightarrow{u} = \frac{1}{12}.\left\lbrack
\overrightarrow{n};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;0; -
1)

    Phương trình đường cao kẻ từ B là: \left\{ \begin{matrix}
x = - 3 + t \\
y = 2 \\
z = - t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

    Ta thấy điểm P( - 1;2; - 2) thuộc đường thẳng trên.

  • Câu 19: Vận dụng

    Với giá trị nào của thì hai mặt phẳng sau song song:

    \left( P ight):(m - 2)x - 3my + 6z - 6 = 0;\,\,\,\,\,\left( Q ight):(m - 1)x + 2y + (3 - m)z + 5 = 0

    Áp dụng điều kiện để 2 mp song song, ta xét:

    {A_1}{B_2} - {A_2}{B_1} = \left( {m - 2} ight)2 + \left( {m - 1} ight)3m = 3{m^2} - m - 4 = 0

    \Leftrightarrow m =  - 1,m = \frac{4}{3}

    {B_1}{C_2} - {B_2}{C_1} =  - 3m\left( {3 - m} ight) - 2.6 = 3{m^2} - 9m - 12 = 0

    \Leftrightarrow m =  - 1,m = 4

    {C_1}{A_2} - {C_1}{A_1} = 6\left( {m - 1} ight) - \left( {3 - m} ight)\left( {m - 2} ight) = {m^2} + m = 0

    \Leftrightarrow m =  - 1,m = 0

    Với m=-1 thoả mãn cả 3 điều kiện trên \Rightarrow \left( P ight)//\left( Q ight)

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),C(0;0;3),B(0;2;0). Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA^{2} = MB^{2} + MC^{2} là mặt cầu có bán kính là:

    Giả sử M(x;y;z)

    Ta có:\left\{ \begin{matrix}
MA^{2} = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} \\
MB^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} \\
MC^{2} = x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} \\
\end{matrix} ight.

    Theo bài ra ta có:

    MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}

    \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} +
z^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} + x^{2} + y^{2} + (z -
3)^{2}

    \Leftrightarrow - 2x + 1 = (y - 2)^{2} +
x^{2} + (z - 3)^{2}

    \Leftrightarrow (x + 1)^{2} + (y -
2)^{2} + (z - 3)^{2} = 2

    Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn MA^{2} = MB^{2} + MC^{2} là mặt cầu có bán kính là R = \sqrt{2}.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 67 lượt xem
Sắp xếp theo