Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba điểm
. Tính đường kính
của mặt cầu
đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng
?
Gọi tâm mặt cầu là
Ta có:
.
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba điểm
. Tính đường kính
của mặt cầu
đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng
?
Gọi tâm mặt cầu là
Ta có:
.
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
, sin của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Mặt phẳng
đi qua ba điểm
có phương trình tổng quát
. Biết
, tìm giá trị của
?
Do nên mặt phẳng
có phương trình
Do đi qua các điểm
nên ta có hệ:
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Ta có:
Do đó:
Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho 2 điểm
, đường thẳng
và mặt phẳng
. Đường thẳng
đi qua B, cắt đường thẳng ∆ và mặt phẳng
lần lượt tại C và D sao cho thể tích của 2 tứ diện
và
bằng nhau, biết
có một vectơ chỉ phương là
. Tính
.
Hình vẽ minh họa
Ta có
Nên . Vì
C là trung điểm của BD nên .
Điểm nên
là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Vậy
Trong không gian
, đường thẳng đi qua hai điểm
và
có phương trình tham số là:
Ta có:
Đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; −3) và B(2; −3; 1) có phương trình tham số là
Với t = −2, ta được M(3; −8; 5) thuộc đường thẳng AB. Khi đó, đường thẳng AB có phương trình tham số .
Trong không gian
, cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính
?
Phương trình mặt cầu có bán kính
Xét phương trình mặt cầu ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Điểm
nằm trên đường thẳng
thì điểm M có dạng nào sau đây?
Đường thẳng đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
nên đường thẳng
có phương trình tham số là
Điểm nằm trên đường thẳng
nên điểm
có dạng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Gọi
là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng
với
. Tính giá trị
.
Hình vẽ minh họa
Ta có: mà
nên
Suy ra (P): 2x + 2y + z + d = 0.
Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).
Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên có
Gọi r là bán kính đường tròn tâm H.
Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức
Ta có:
Đặt
Mà
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng:
và ![]()
a) Vectơ có tọa độ
là một vectơ chỉ phương của
. Sai||Đúng
b) Đường thẳng
đi qua điểm
. Đúng||Sai
c) Đường thẳng
đi qua
và vuông góc với
có phương trình tham số là
. Đúng||Sai
d) Góc giữa hai đường thẳng
và
khoảng
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng:
và
a) Vectơ có tọa độ là một vectơ chỉ phương của
. Sai||Đúng
b) Đường thẳng đi qua điểm
. Đúng||Sai
c) Đường thẳng đi qua
và vuông góc với
có phương trình tham số là
. Đúng||Sai
d) Góc giữa hai đường thẳng và
khoảng
. Sai||Đúng
a) Vectơ có tọa độ là một vectơ chỉ phương của
nên mệnh đề sai
b) Mệnh đề đúng
c) Gọi
nên mệnh đề đúng
d) Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn nên mệnh đề sai
Cho mặt cầu
tâm O, bán kính R và mặt phẳng
có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc
. Đường thẳng OM cắt
tại N. Hình chiếu của O trên
là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Vì I là hình chiếu của O trên nên
mà
nên I là tiếp điểm của
và
.
Đường thẳng OM cắt tại N nên IN vuông góc với OI tại I.
Suy ra IN tiếp xúc với .
Tam giác OIN vuông tại I nên .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng ![]()
chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của
.
Đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là
Giả sử ∆ giao với lần lượt tại
, khi đó ta có
Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:
Đường vuông góc chung của nhận
làm VTCP và đi qua điểm
Vậy ta có phương trình đường thẳng:
Trong không gian với hệ trục
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Côsin của góc tạo bởi đường thẳng
và mặt phẳng
là
Ta có:
Khi đó
Vì nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, tính thể tích tứ diện
, biết
lần lượt là giao điểm của mặt phẳng
với trục
.
Theo giả thiết ta có: suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
và
.
Ta có:
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
. Giá trị của m để hai đường thẳng
và
cắt nhau là
Đường thẳng đi qua A(1; 0; −1), có vectơ chỉ phương
Đường thẳng đi qua B(1; 2; 3), có vectơ chỉ phương
Ta có và
Hai đường thẳng d và d 0 cắt nhau
Cho hình lập phương
có cạnh
. Góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ
Khi đó:
Chọn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Chọn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng và
bằng:
Trong không gian
, cho hình bình hành
với
. Diện tích hình bình hành
bằng:
Gọi là diện tích hình bình hành
khi đó
Mà
Vậy diện tích hình bình hành bằng 2.
Trong không gian với hệ tọa độ
cho ba điểm
và
là trực tâm tam giác
. Tính
?
Ta có:
Lại có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Tìm tất cả các giá trị của m để
tiếp xúc với mặt cầu
?
Ta có mặt cầu có tâm I(1; −1; 1) và bán kính R = 3.
Mặt phẳng tiếp xúc với
khi và chỉ khi:
.