Trong không gian
, viết phương trình của mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với trục
.
Vì mặt phẳng (P) vuông góc với Ox nên có một vectơ pháp tuyến là vectơ .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là
.
Trong không gian
, viết phương trình của mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với trục
.
Vì mặt phẳng (P) vuông góc với Ox nên có một vectơ pháp tuyến là vectơ .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là
.
Với giá trị nào của m thì mặt phẳng
cắt mặt cầu
?
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I có tọa độ là
(P) cắt (S) khi:
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng:
Theo đề bài, ta biến đổi được (b) có dạng:
Thay x, y, z vào phương trình x+2y+z =9 , ta có:
=> Tọa độ giao điểm của (a) và (b): A (0, - 4, - 1)
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Viết phương trình đường thẳng
?
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
. Suy ra phương trình đường thẳng
là:
Trong không gian với hệ toạ độ
, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm bán kính
có dạng:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Trong không gian
, cho mặt phẳng
có phương trình
. Xét mặt phẳng
, với
là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của m để
tạo với
góc
.
Ta có: và
có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Vì tạo với
góc
.
.
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
và
. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d’ một góc lớn nhất.
Đường thẳng có véc-tơ chỉ phương lần lượt là
.
Lấy điểm .
Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng
và cắt trục hoành tại điểm
.
Khi đó có cặp véc-tơ chỉ phương là
và
, suy ra
có véc-tơ pháp tuyến
Gọi là góc giữa đường thẳng
và
, suy ra
Đặt , suy ra
.
Nhận thấy, để góc lớn nhất thì
lớn nhất, điều đó đồng nghĩa với
phải lớn nhất.
Xét .
Trường hợp .
Trường hợp .
Phương trình có nghiệm
khi và chỉ khi
Từ đó suy ra, để tồn tại suy ra
.
Vậy khi đó
. Từ đó suy ra
và mặt phẳng
có phương trình
Trong không gian với hệ toạ độ
, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Tính số đo góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .
Khi đó ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
cắt các trục tọa độ
lần lượt tại
(khác
) sao cho
là trực tâm tam giác
là:
Mặt phẳng cắt trục
lần lượt tại
suy ra
là trực tâm của tam giác
và
Phương trình mặt phẳng .
Trong không gian
cho hai mặt phẳng ![]()
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có
trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với
lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, EF, DH. Tính khoảng cách giữa NP và CG.
Ta biểu diễn các điểm N, P, C, G theo a, b, c được:
Từ đó, ta tính được các vecto tương ứng:
Để tính khoảng cách giữa NP và CG, ta cần tính tích có hướng và tích độ dài giữa chúng rồi áp dụng CT tính khoảng cách:
Trong không gian với hệ tọa đô
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
sao cho thể tích tứ diện
nhỏ nhất.
đi qua điểm nào dưới đây?
Gọi với
Phương trình mặt phẳng
Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Thể tích tứ diện là
Đẳng thức xảy ra khi
Phương trình mặt phẳng là
Mặt phẳng đi qua điểm
.
Cho hai đường thẳng: ![]()
và mặt phẳng
.
Hình chiếu của
theo phương của
lên mặt phẳng
có phương trình tổng quát:
Vectơ chỉ phương của Vectơ chỉ phương của
Phương trình của mặt phẳng chứa và có phương của
có dạng:
Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này
=> D = -53
Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng là hình chiếu của
theo phương của
lên
:
Cho tam giác ABC có
.
Viết phương trình tổng quát của cạnh AC.
(AC) là đường thẳng đi qua 2 điểm A và C nên nhận làm 1 VTCP.
(AC) đi qua C (3,-2,5) và có 1 VTCP là (1,-2,4) có phương trình chính tắc:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
. Hai điểm
thay đổi sao cho
và
. Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua
và tiếp xúc với mặt phẳng
. Bán kính của mặt cầu đó là:
Phương trình mặt phẳng là
.
Gọi và
là tâm và bán kính của mặt cầu cố định.
Ta có
Mà không đổi nên
, hay
.
Mặt khác ta có .
Vậy .
Trong không gian
, hãy viết phương trình của đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
?
Đường thẳng đi qua điểm
và có một véc-tơ chỉ phương là
nên
có phương trình chính tắc là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
lần lượt có phương trình là
và cho điểm
. Tìm phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng
?
Ta có:
Do vuông góc với
nên
Chọn
Hơn nữa đi qua
nên có phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Đường thẳng d cắt mặt cầu
tại hai điểm
. Biết tiếp diện của
tại
vuông góc. Tính độ dài
.
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm , bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.
Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.
Suy ra .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Mặt cầu đường kính
có phương trình là:
Gọi là trung điểm của
khi đó
là tâm mặt cầu
.
Bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .