Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính góc tạo bởi
với trục
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Trục có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa và mặt phẳng
:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính góc tạo bởi
với trục
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Trục có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa và mặt phẳng
:
Trong không gian
, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng
. Xét các mặt cầu (S) có tâm
, đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Tính giá trị của biểu thức
khi (S) có bán kính nhỏ nhất.
Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) ta có nên R nhỏ nhất khi
thẳng hàng và I là trung điểm của AH.
Phương trình AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là
Tọa độ H là nghiệm của hệ:
Suy ra, ta có:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Đường thẳng d đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d nhỏ nhất có phương trình là
Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
Phương trình đường thẳng d có dạng
Do đường thẳng d k (P) nên .
Khoảng cách từ B đến đường thẳng d là:
Xét hàm số có
Ta có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta được khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất tại
Khi đó , chọn
.
Phương trình đường thẳng hay
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
?
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là:
Trong không gian
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
Ta có:
∆ có vectơ chỉ phương là
(α) có vectơ pháp tuyến là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Đường thẳng d cắt mặt cầu
tại hai điểm
. Biết tiếp diện của
tại
vuông góc. Tính độ dài
.
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm , bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.
Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.
Suy ra .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Mặt cầu (S) có tâm , bán kính
Ta có:
Do đó (P) cắt mặt cầu (S).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Tính số đo góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .
Khi đó ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, gọi
là đường thẳng đi qua
, thuộc mặt phẳng
và cách điểm
một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa
và trục tung bằng
Hình vẽ minh họa
Gọi H; K lần lượt là hình chiếu của M trên mặt phẳng (Oyz) và trên đường thẳng d.
Ta có:
Suy ra nhỏ nhất khi
. Khi đó d có một vecto chỉ phương là
Khi đó:
Cho hai điểm
và mặt phẳng
Mặt phẳng
chứa hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình:
Theo đề bài, ta có: ;
Suy ra ;
có vectơ pháp tuyến
Ta có cùng phương với vectơ
Chọn làm 1 vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng
.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
Mặt phẳng :
Trong không gian với hệ tọa độ
, đường thẳng
đi qua điểm nào sau đây?
Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng
ta được
, do đó điểm này thuộc đường thẳng
.
Trong không gian
, cho tứ diện
có tọa độ đỉnh ![]()
. Gọi
là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
. Viết phương trình mặt cầu
có tâm trùng với tâm của mặt cầu
và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu
?
Gọi phương trình mặt cầu có
Vì là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
nên ta có hệ phương trình
. Suy ra tâm mặt cầu
và bán kính
Vậy phương trình mặt cầu có tâm trùng với tâm của mặt cầu
và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu
là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho bốn điểm
,
và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng
nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng
hợp với mặt phẳng
các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.
Hình vẽ minh họa
Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).
Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn
Ta có , suy ra
Phương trình đường thẳng MH nhận làm vectơ chỉ phương nên MH là:
Khi đó:
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt phẳng trung trực
của đoạn thẳng
với
là
Gọi là trung điểm của
suy ra
Phương trình mặt phẳng đi qua
và nhận
làm vectơ pháp tuyến:
Mặt cầu (S) có tâm A(1; -2; 2) và bán kính R = 8. Tìm phương trình mặt cầu (S).
Phương trình mặt cầu tâm bán kính R có dạng:
Trong không gian
, hãy tính
và
lần lượt là khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
và mặt phẳng
?
Do mặt phẳng có phương trình y = 0 nên
Do mặt phẳng (P) có phương trình 3x − 4z + 5 = 0 nên
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và đường thẳng
. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
.
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng d.
Suy ra (P) nhận làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d, suy ra .
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ
Cho hình lập phương
có cạnh
. Góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ
Khi đó:
Chọn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Chọn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng và
bằng:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Đường thẳng
đi qua
và song song với
có phương trình là:
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là
Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Phương trình mặt phẳng
nào dưới đây đi qua
, gốc tọa độ
và cách đều hai điểm
và
?
Vì đi qua O nên phương trình mặt phẳng
có dạng
.
Vì A ∈ (P) và B, C cách đều (P) nên
Chọn a = −6, ta có b = 3, suy ra c = ±4.
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là hoặc
.