Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua $A(2,-1,3), B (3, 1, 2)$ và song song với vectơ $\overrightarrow a = \left( {3, - 1, - 4} ight)$ là:
- A. $9x+y-7z+40=0$
- B. $9x-y+7z-40=0$
- C. $9x-y-7z+40=0$
- D. $9x+y+7z-40=0$
Theo đề bài, ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1,2, - 1} ight);\left[ {\overrightarrow {AB} \overrightarrow {,a} } ight] = \overrightarrow n = \left( { - 9,1, - 7} ight)$
Chọn $\overrightarrow n = \left( {9, - 1,7} ight)$ làm 1 vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng : $9x - y + 7z + D = 0$
Mà mp lại qua A nên $9.2 - ( - 1) + 7.3 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 40$
Phương trình cần tìm là: $9x - y + 7z - 40 = 0$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình mặt cầu tâm $I(2;1; - 2)$ bán kính $R = 2$ là:
- A.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 2^{2}$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 4z + 5 = 0$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 4z + 5 = 0$
- D.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 2$
Phương trình mặt cầu tâm $I(2;1; - 2)$ bán kính $R = 2$ là:

$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 2^{2}$

Tổng quát $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 4z + 5 = 0$ .
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(1;2;0),B(3; - 1;1),C(1;1;1)$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ ?
- A.
  $S = 1$
- B.
  $S = \sqrt{3}$
- C.
  $S = \frac{1}{2}$
- D.
  $S = \sqrt{2}$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 3;1) \\ \overrightarrow{AC} = (0; - 1;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 2; - 2; - 2)$

Lại có diện tích tam giác $ABC$ là:

$S_{ABC} = \frac{1}{2}\left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = \sqrt{3}$
Câu 4: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)$ với $a, b, c>0$ . Biết rằng mặt phẳng $(ABC)$ đi qua điểm $M(\frac 1 7; \frac 2 7 ; \frac 3 7)$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=\frac{72}{7}$ . Tính $T=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$ .
- A. $T= 14$
- B. $T=\frac {1}{7}$
- C. $T=7$
- D. $T=\frac {7}{2}$
Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua ba điểm $A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)$ nên có phương trình là:
$\frac{x}{a} +\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
Ta có $M(\frac 1 7; \frac 2 7 ; \frac 3 7) \in (ABC)$ nên $\frac{1}{a} +\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7$ .
Mặt cầu (S) có tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R=\sqrt \frac{72}{7}$ .
$(ABC)$ tiếp xúc với (S)
$\Leftrightarrow d(I, (ABC))=R\Leftrightarrow \dfrac { | \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}-1 |}{\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}}=\sqrt{\frac{72}{7} }$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}= \dfrac{7}{2}$
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(0;0;1),B( - 3;2;0),C(2; - 2;3)$ . Đường cao kẻ từ $B$ của tam giác $ABC$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?
- A.
  $P( - 1;2; - 2)$
- B.
  $M( - 1;3;4)$
- C.
  $N(0;3; - 2)$
- D.
  $Q( - 5;3;3)$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 3;2;1),\overrightarrow{AC} = (2; - 2;2)$

$\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (2;4;2)$

Một vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B của tam giác $ABC$ là $\overrightarrow{u} = \frac{1}{12}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;0; - 1)$

Phương trình đường cao kẻ từ B là: $\left\{ \begin{matrix} x = - 3 + t \\ y = 2 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .

Ta thấy điểm $P( - 1;2; - 2)$ thuộc đường thẳng trên.
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha):x + 2z + 3 = 0$ . Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là:
- A.
  $\overrightarrow{b} = (2; - 1;0)$
- B.
  $\overrightarrow{v} = (1;2;3)$
- C.
  $\overrightarrow{a} = (1;0;2)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = (2;0; - 1)$
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1;0;2)$ .

Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng (α) nên có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{n} = (1;0;2)$ .
Câu 7: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$ . Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $3\ km$ .

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} = 9$ . Sai||Đúng

b) Điểm $A(2;2;7)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ . Sai||Đúng

c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(2;2;7)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$ . Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $3\ km$ .

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} = 9$ . Sai||Đúng

b) Điểm $A(2;2;7)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ . Sai||Đúng

c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(2;2;7)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

Phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;3;7)$ bán kính $3\ km$ mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 7)^{2} = 9$ .

Ta có: $IA = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (2 - 3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = \sqrt{2} < 3$ nên điểm $A$ nằm trong mặt cầu.

Vì điểm $A$ nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ $(2;2;7)$ có thể sử dưng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

Ta có: $IB = \sqrt{(5 - 1)^{2} + (6 - 3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = 5' > 3$ nên điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu.

Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ không thể sử dựng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó
Câu 8: Vận dụng cao
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P): x-2y+2z-5=0$ và hai điểm $A(-3;0;1), B(1;-1;3)$ . Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:
- A. $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
- B. $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{-11}=\dfrac{z-1}{-2}$
- C. $\dfrac{x-3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z+1}{-2}$
- D. $\dfrac{x+2}{26}=\dfrac{y-1}{11}=\dfrac{z+3}{-2}$
Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).
Ta có: $(-3-2.0+2.1-5)(1+2.1+2.3-5) < 0 \Rightarrow A, B$ nằm về hai phía với (P).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) $\Rightarrow$ BH cố định và $d(B,(Q))=BH$ .
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay $d//(P)$ .
Ta có: $BK \geq BH \Leftrightarrow d(B, d) \geq d(B, d) \Rightarrow d (B, d)$ bé nhất bằng BH khi K trùng với điểm H.
Gọi $\vec{n}$ là VTPT của (ABH) $\Rightarrow \vec{n}=[\vec{n_p}, \vec{AB}]=(-2;6;7)$
Ta có đường thẳng d cần lập qua A, H và có VTCP là $\vec{u_d}=[\vec{n},\vec{n_P}]=(26; 11; -2)$
Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là: $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
Câu 9: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x + y - 2z - 5 = 0$ và đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{3}$ . Gọi $A$ là giao điểm của $\Delta$ và $(P)$ và $M$ là điểm thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $AM = \sqrt{84}$ . Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $\sqrt{6}$
- B.
  $\sqrt{14}$
- C.
  $3$
- D.
  $5$
Gọi $\alpha = \left( \Delta,(P) ight)$

Khi đó ta có: $\cos\alpha = \frac{|1.2 + 1.1 - 2.3|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + ( - 2)^{2}}.\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 3^{2}}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$

Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $(P)$ , khi đó:

$HM = MA.cos\alpha = \sqrt{84}.\frac{\sqrt{21}}{14} = 3$
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2z - 7 = 0$ . Bán kính của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $3$
- B.
  $\sqrt{15}$
- C.
  $\sqrt{7}$
- D.
  $9$
Ta có:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2.( - 1)x - 2.0.y - 2.1z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \\ d = - 7 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tâm mặt cầu là: $I( - 1;0;1)$

Bán kính mặt cầu là:

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{( - 1)^{2} + 0^{2} + 1^{2} - 7} = 3$
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $(\beta):\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z}{2}$ và vuông góc với mặt phẳng $(\beta):x + y - 2z + 1 = 0$ . Hỏi giao tuyến của $(\alpha)$ và $(\beta)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $(1; - 2;0)$
- B.
  $(2;3;3)$
- C.
  $(5;6;8)$
- D.
  $(0;1;3)$
Ta có: $(\alpha):\left\{ \begin{matrix} d \subset (\alpha)\ \\ (\beta)\bot(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A(2;3;0) \in d \Rightarrow A \in (\alpha)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}}\bot\overrightarrow{u_{d}} = (1;1;2)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}}\bot\overrightarrow{n_{\beta}} = (1;1; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A(2;3;0) \in (\alpha)\ \\ \overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{\beta}} ightbrack = ( - 4;4;0) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $(\alpha):x - y + 1 = 0$

Khi đó giao tuyến thỏa hệ $\left\{ \begin{matrix} x - y + 1 = 0 \\ x + y - 2z + 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Thay các phương án vào hệ, ta nhận phương án $(2;3;3)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1; - 2;3)$ . Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I$ bán kính $IM$ ?
- A.
  $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13$
- B.
  $(x + 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 17$
- C.
  $(x + 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13$
- D.
  $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = \sqrt{13}$
Hình chiếu vuông góc của $M$ trên $Ox$ là: $I(1;0;0)$

$\Rightarrow IM = \sqrt{13}$

Suy ra phương trình mặt cầu tâm $I$ bán kính $IM$ là: $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 13$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):x + z + 4 = 0,(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):x + z + 4 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (1;0;1)$

$(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 2;2)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$ $= \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 14: Vận dụng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 3}{- 1} =\frac{z - 5}{2},$ $d_{2}:\frac{x - 4}{- 3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z +2}{2}$ và mặt phẳng $(P):2x + 3y - 5z + 1 = 0$ . Đường thẳng vuông góc với $(P)$ , cắt $d_{1}$ và $d_{2}$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{1}$
- B.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{- 5}$
- C.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z}{- 5}$
- D.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 13}{- 5}$
Gọi A, B lần lượt là các giao điểm của đường thẳng d với các đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ .

Khi đó, tọa độ của A, B có dạng $A(3 + t; - 3 - t;5 + 2t),B(4 - 3s;1 + 2s; - 2 + 2s)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1 - 3s - t;4 + 2s + t; - 7 + 2s - 2t)$

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2;3; - 5)$ của mặt phẳng (P).

Do đó, ta có $\frac{1 - 3s - t}{2} = \frac{4 + 2s + t}{3} = \frac{- 7 + 2s - 2t}{- 5}$

Suy ra s = 0 và t = −1.

Do đó, A(2; −2; 3) và B(4; 1; −2).

Đường thẳng d đi qua A và có nhận vectơ $\overrightarrow{n}$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{- 5}$ .
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 2 + t \\ z = 4 + \sqrt{2}t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và mặt phẳng $(P):\ x - y + \sqrt{2}z - 7 = 0$ . Hãy xác định góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = \left( 1;1;\sqrt{2} ight)$

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \left( 1; - 1;\sqrt{2} ight)$

Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khi đó ta có:

$\sin\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\left| 1.1 + 1.( - 1) + \sqrt{2}.\sqrt{2} ight|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \varphi = 30^{0}$
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 3 = 0$ . Tính số đo góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;0)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

Khi đó ta có:

$\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , đường thẳng $d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 3}{- 5}$ đi qua điểm nào sau đây?
- A.
  $( - 1;2; - 3)$
- B.
  $(1; - 2;3)$
- C.
  $( - 3;4;5)$
- D.
  $(3; - 4; - 5)$
Thay tọa độ điểm $(1; - 2;3)$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\frac{0}{3} = \frac{0}{- 4} = \frac{0}{- 5}$ , do đó điểm này thuộc đường thẳng $d$ .
Câu 18: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(1;2;1)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho độ dài $OA,OB,OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng $2$ . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ .
- A.
  $\frac{4}{\sqrt{21}}$
- B.
  $\frac{\sqrt{21}}{21}$
- C.
  $\frac{3\sqrt{21}}{7}$
- D.
  $9\sqrt{21}$
Giả sử $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ với $a, b, c > 0$ .

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Ta có $(α)$ đi qua điểm $M(1; 2; 1)$ nên ta có $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ (∗)

Vì $OA, OB, OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên $c = 2b = 4a$ .

Thay vào (∗), ta được $\frac{1}{a} + \frac{2}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{9}{4}$

Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = \frac{9}{4}$ hay $4x + 2y + z - 9 = 0$

$\Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{| - 9|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}$ .
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - 3y + z - 6 = 0$ cắt ba trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại ba điểm $A,B,C$ . Lúc đó thể tích $V$ của khối tứ diện $OABC$ là:
- A.
  $V = 6$
- B.
  $V = 3$
- C.
  $V = 12$
- D.
  $V = 18$
Gọi $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ lần lượt là giao của mặt phẳng $(P)$ với ba trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ .

Khi đó $A(3;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0;6)$ và tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc tại O.

Do đó $V_{OABC} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.3.2.6 = 6$
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(P):2x + z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là:
- A.
  $\overrightarrow{n} = (2;1;0)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (0;2;1)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (2;1; - 1)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (2;0;1)$
Mặt phẳng $(P):2x + z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n} = (2;0;1)$ .

71 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!