Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ ,cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ , $\widehat{ABC} = 60^{0},AB = 3\sqrt{2}$ , đường thẳng $AB$ có phương trình $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 8}{- 4}$ , đường thẳng $AC$ nằm trên mặt phẳng $(\alpha):x + z - 1 = 0$ . Biết $B$ là điểm có hoành độ dương, gọi $(a;b;c)$ là tọa độ của $C$ . Tính $T = a + b + c$ ?
- A.
  $T = 3$
- B.
  $T = 2$
- C.
  $T = 4$
- D.
  $T = 7$
Hình vẽ minh họa

Ta thấy đường thẳng AB có một VTCP là , $\overrightarrow{u} = (1;1; - 4)$ mặt phẳng (α) có một VTPT là $\overrightarrow{n} = (1;0;1)$ nên góc giữa AB và (α) là $\varphi$ với

$\sin\varphi = \frac{\left| 1.1 + 1.0 + ( - 4).1 ight|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + ( - 4)^{2}}.\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{2}$

Suy ra $\varphi = 30^{0} = \widehat{BAC}$

Hơn nữa, AC ⊂ (α) và BC ⊥ AC nên C là hình chiếu của B trên (α).

Ta tìm tọa độ của $B$

Ta viết lại $AB:\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = 4 + t \\ z = - 8 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Điểm A là giao điểm của AB và (α).

Xét phương trình $(3 + t) + ( - 8 - t) - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 2$ .

Vậy $A(1;2;0)$ .

Gọi $B(3 + t';4 + t'; - 8 - 4t')$ , ta có $AB = 3\sqrt{2} \Leftrightarrow (t' + 2)^{2} + (t' + 2)^{2} + ( - 4t' - 8)^{2} = 18$

Suy ra t’ = −1 hoặc t’ = −3.

Mà B có hoành độ dương nên ta chọn t = −1, khi đó B(2; 3; −4).

Đường thẳng BC vuông góc với (α) nên nhận $\overrightarrow{n} = (1;0;1)$ làm một VTCP, do đó $BC:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 \\ z = - 4 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

C chính là giao điểm của BC và (α).

Xét phương trình $(2 + t) + ( - 4 + t) - 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}$

Suy ra $C\left( \frac{7}{2};3; - \frac{5}{2} ight)$ . Vậy $T = a + b + c = 4$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):8x - 4y - 8z - 11 =0,$ $(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):8x - 4y - 8z - 11 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (8; - 4; - 8)$

$(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{2}; - \sqrt{2};0 ight)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 8.\sqrt{2} + 4.\sqrt{2} - 8.0 ight|}{\sqrt{8^{2} + ( - 4)^{2} + ( - 8)^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{2} ight)^{2} + \left( - \sqrt{2} ight)^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = (1;2;1),\overrightarrow{b} = (1;1;2),\overrightarrow{c} = (x;3x;x + 2)$ . Nếu ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng thì:
- A.
  $x = - 1$
- B.
  $x = 1$
- C.
  $x = - 2$
- D.
  $x = 2$
Ta có: $\left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack = (3; - 3;3)$

Ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng

$\Leftrightarrow \left\lbrack \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ightbrack.\overrightarrow{c} = 0$

$\Leftrightarrow 3x - 3(3x) + 3(x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow x = 2$
Câu 4: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(3;2;1)$ . Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và cắt các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ không trùng với gốc tọa độ $O$ sao cho $M$ là trực tâm tam giác $ABC$ . Viết phương trình mặt phẳng nào song song với mặt phẳng $(P)$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(3;2;1)$ . Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và cắt các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ không trùng với gốc tọa độ $O$ sao cho $M$ là trực tâm tam giác $ABC$ . Viết phương trình mặt phẳng nào song song với mặt phẳng $(P)$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}$ . Gọi ∆’ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng ∆ qua (Oxy). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
- A.
  $\overrightarrow{u} = ( - 1;3; - 1)$
- B.
  $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{u} = (1;3;0)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$
Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 11; 0).

Ta thấy B(1; 2; 3) ∈ ∆ và B’(1; 2; −3) là điểm đối xứng của điểm B qua mặt phẳng (Oxy).

Đường thẳng ∆’ đi qua các điểm A, B’.

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 3; - 9; - 3)$ , từ đó suy ra $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ và mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ . Góc giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $\Delta$ bằng:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$

Đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 7: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3;5; - 1),B(1;1;3)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(Oxy)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight|$ ngắn nhất.
- A.
  $( - 2; - 3;0)$
- B.
  $(2; - 3;0)$
- C.
  $( - 2;3;0)$
- D.
  $(2;3;0)$
Gọi $J(x; y; z)$ là điểm sao cho $\overrightarrow{JA} + \overrightarrow{JB} = \overrightarrow{0}$ Suy ra J(2; 3; 1).

Khi đó $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JA} + \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JB} ight| = 2\left| \overrightarrow{MJ} ight|$

Vậy $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight|$ đạt GTNN khi và chỉ khi $\left| \overrightarrow{MJ} ight|$ đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).

Vậy M(2; 3; 0).
Câu 8: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , SAB là tam giác đều và $(SAB)$ vuông góc với $(ABCD)$ . Tính cosϕ với ϕ là góc tạo bởi $(SAC)$ và $(SCD)$
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{7}$
- B.
  $\frac{6}{7}$
- C.
  $\frac{5}{7}$
- D.
  $\frac{\sqrt{2}}{7}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O M, lần lượt là trung điểm của AB; CD.

Vì SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD) nên SO ⊥ (ABCD).

Xét hệ trục $Oxyz$ có $O(0;0;0),M(1;0;0),A\left( 0;\frac{1}{2};0 ight),S\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{2} ight)$

Suy ra $C\left( 1; - \frac{1}{2};0 ight),D\left( 1;\frac{1}{2};0 ight)$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{SA} = \left( 0;\dfrac{1}{2};\dfrac{- \sqrt{3}}{2}ight);\overrightarrow{AC} = (1; - 1;0) \\\overrightarrow{SC} = \left( 1;\dfrac{- 1}{2};\dfrac{- \sqrt{3}}{2}ight);\overrightarrow{CD} = (0;1;0) \\\end{matrix} ight.$

Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{SA};\overrightarrow{AC} ightbrack = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2} ight)$

Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{SC};\overrightarrow{CD} ightbrack = \left( \frac{\sqrt{3}}{2};0;1 ight)$

$\cos\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_{1}} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|} = \frac{5}{7}$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $I(1;1;1)$ và $A(1;2;3)$ . Phương trình mặt cầu có tâm $I$ và đi qua $A$ là:
- A.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 5$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 29$
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 5$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 25$
Ta có: $R = IA = \sqrt{(1 - 1)^{2} + (2 - 1)^{2} + (3 - 1)^{2}} = \sqrt{5}$

Vậy phương trình mặt cầu tâm $I$ và đi qua điểm $A$ có phương trình là:

$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 5$ .
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ , $d_{2}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;2;3)$ vuông góc với $d_{1}$ và cắt đường thẳng $d_{2}$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{1}$
- B.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 3}$
- C.
  $\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 5}$
- D.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{4}$
Đường thẳng $d_{2}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ có phương trình tham số là: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Gọi giao điểm của ∆ và d₂ là $B(1 - t;1 + 2t; - 1 - t)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - t;2t - 1; - t - 4)$

Đường thẳng $\Delta\bot d_{1} \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d_{1}}} = 0$

$\Rightarrow - t.3 + (2t - 1).2 + ( - t - 4)( - 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1; - 3; - 3)$ là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

Phương trình $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 3}$
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + 2y + z - m^{2} - 3m = 0$ và mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 9$ . Tìm tất cả các giá trị của m để $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = - 2 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = - 5$
Ta có mặt cầu $(S)$ có tâm I(1; −1; 1) và bán kính R = 3.

Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ khi và chỉ khi:

$d\left\lbrack I;(P) ightbrack = R \Leftrightarrow \frac{\left| 1 - m^{2} - 3m ight|}{3} = 3$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m^{2} + 3m - 10 = 0 \\ m^{2} + 3m + 8 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 12: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1; −1; 2), B(−2; 0; 3), C(0; 1; −2)$ . Điểm $M(a; b; c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho biểu thức $S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + 3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, $T = 12a + 12b + c$ có giá trị là:
- A.
  $T = - 1$
- B.
  $T = 3$
- C.
  $T = - 3$
- D.
  $T = 1$
Chọn $I$ sao cho $4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

Ta tính được $I\left( - \frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)$

Ta thấy

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight) \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight).\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} ight) + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} \\ \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} ight) + \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} \\ \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA} = {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} ight) + \overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} \\ \end{matrix} ight.$

$S = 6{\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC} + 3\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI}\left( 4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} + 5\overrightarrow{IC} ight)$

$\Rightarrow S = 6MI^{2} +\underset{CONST}{\overset{4\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +5\overrightarrow{IC}}{︸}}$

Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.

Vậy M là hình chiếu vuông góc của $I\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};\frac{7}{12} ight)$ lên (Oxy) $\Rightarrow M\left( \frac{- 1}{6};\frac{1}{12};0 ight)$

Ta xác định được $\left\{ \begin{matrix}a = - \dfrac{1}{6} \\b = \dfrac{1}{12} \\c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = - 1$
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{- 1}$ không đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $( - 1;2;0)$
- B.
  $( - 1; - 3;1)$
- C.
  $(3; - 1; - 1)$
- D.
  $(1; - 2;0)$
Ta có $\frac{- 1 - 1}{2} eq \frac{2 + 2}{1} eq \frac{0}{- 1}$ nên điểm $( - 1;2;0)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$ .
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 4)^{2} = 20$
- A.
  $I( - 1;2; - 4),R = 2\sqrt{5}$
- B.
  $I(1; - 2;4),R = 20$
- C.
  $I(1; - 2;4),R = 2\sqrt{5}$
- D.
  $I( - 1;2; - 4),R = 5\sqrt{2}$
Tâm của $(S)$ có tọa độ là $I(1; - 2;4)$

Bán kính mặt cầu $(S)$ là: $R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ .
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $Oz$ và đi qua điểm $P(3; - 4;7)$ ?
- A.
  $4x - 3y = 0$
- B.
  $3x + 4y = 0$
- C.
  $4x + 3y = 0$
- D.
  $- 3x + 4y = 0$
Mặt phẳng $(P)$ có cặp véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{k} = (0;0;1),\overrightarrow{OP} = (3; - 4;7)$

Suy ra mặt phẳng có $(P)$ một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{k} \land \overrightarrow{OP} = ( - 4; - 3;0) = - 1(4;3;0)$ .

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $O(0;0;0)$ có vectơ pháp tuyến (4; 3; 0).

Vậy mặt phẳng $(P)$ có phương trình tổng quát là $4x + 3y = 0$ .
Câu 16: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt cầu $\left( S_{1} ight):x^{2} + y^{2} + z^{2} =1,\left( S_{2} ight):x^{2} +$ $(y -4)^{2} + z^{2} = 4$ và các điểm $A(4;0;0),B\left( \frac{1}{4};0;0ight),C(1;4;0),D(4;4;0)$ . Gọi $M$ là điểm thay đổi trên $\left( S_{1} ight),N$ là điểm thay đổi trên $\left( S_{2} ight)$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = MA + 2ND + 4MN +6BC$ là:
- A.
  $2\sqrt{265}$ .
- B.
  $\frac{5\sqrt{265}}{2}$ .
- C.
  $3\sqrt{265}$ .
- D.
  $\frac{7\sqrt{265}}{2}$ .
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu $\left( S_{1} ight)$ có tâm $O(0;0;0)$ bán kính bằng $1;$ mặt cầu $\left( S_{2} ight)$ có tâm $I(0;4;0)$ bán kính bằng 2 .
Ta có 4 diểm $O,A,D,I$ là 4 dỉnh của hình vuông cạnh bằng 4 và $OB =\frac{1}{4},IC = 1$ .
Ta có $\bigtriangleup OMA \backsim\bigtriangleup OBM$ (c.g.c) $\Rightarrow \frac{MA}{BM} = \frac{OM}{OB}\Rightarrow MA = 4MB$ .
Ta có $\bigtriangleup IND \backsim\bigtriangleup ICN$ (c.g.c) $\Rightarrow \frac{ND}{CN} = \frac{IN}{IC} = 2\Rightarrow ND = 2NC$ .
$Q = 4MB + 4NC + 4MN + 6BC$
$= 4(BM + MN + NC) + 6BC$
$\ \geq 4BC + 6BC = 10BC = 10 \cdot\frac{\sqrt{265}}{4} = \frac{5\sqrt{265}}{2}$
Vậy $Q$ nhỏ nhất là bằng $\frac{5\sqrt{265}}{2}$ , dấu " $=$ " xảy ra khi $M,N$ là giao điểm của $BC$ với các mặt cầu.
Câu 17: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;1;0),B(2;2;2),C( - 2;3;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{2}$ . Tìm điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$ để thể tích của tứ diện $MABC$ bằng $3$ .
- A.
  $M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4}; - \frac{11}{2} ight),M\left( - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight)$
- B.
  $M\left( - \frac{3}{5}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight),M\left( - \frac{15}{2};\frac{9}{4};\frac{11}{2} ight)$
- C.
  $M\left( \frac{3}{2}; - \frac{3}{2};\frac{1}{2} ight),M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4};\frac{11}{2} ight)$
- D.
  $M\left( \frac{3}{5}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight),M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4};\frac{11}{2} ight)$
Ta có $\overrightarrow{AB} = (2;1;2),\overrightarrow{AC}( - 2;2;1)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 3; - 6;6)$

Phương trình mặt phẳng $(ABC):x + 2(y - 1) - 2z = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y - 2z - 2 = 0$

Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A suy ra

$S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{9}{2} \Rightarrow d\left( M;(ABC) ight) = \frac{3V_{M.ABC}}{S_{ABC}} = 2$

Mà $M \in d \Rightarrow M(2t + 1; - t - 2;2t + 3)$

$d\left( M;(ABC) ight) = \frac{| - 4t -10|}{3} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = - \dfrac{5}{4} \\t = - \dfrac{17}{4} \\\end{matrix} ight.$

Với $t = - \frac{5}{4} \Rightarrow M\left( - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight)$

Với $t = - \frac{17}{4} \Rightarrow M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4}; - \frac{11}{2} ight)$
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , trục $Ox$ có phương trình tham số là
- A.
  $x = 0$
- B.
  $y + z = 0$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$
Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$ nên có phương trình tham số là $\left\{ \begin{matrix} x = 0 + 1t \\ y = 0 + 0t \\ z = 0 + 0t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 19: Nhận biết
Ba mặt phẳng $x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0$ cắt nhau tại điểm $A$ . Chọn kết luận đúng?
- A.
  $A( - 1;2; - 3)$
- B.
  $A(1; - 2;3)$
- C.
  $A( - 1; - 2;3)$
- D.
  $A(1;2;3)$
Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} x + 2y - z - 6 = 0 \\ 2x - y + 3z + 13 = 0 \\ 3x - 2y + 3z + 16 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A( - 1;2; - 3)$
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 1;0;0),B(0;0;2),C(0; - 3;0)$ . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là:
- A.
  $\frac{\sqrt{14}}{3}$
- B.
  $\frac{\sqrt{14}}{4}$
- C.
  $\frac{\sqrt{14}}{2}$
- D.
  $\sqrt{14}$
Gọi $(S)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$

Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$

Vì $O;A;B;C \in (S)$ nên ta có: $\left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ 1 + 2a + d = 0 \\ 4 - 4c + d = 0 \\ 9 + 6b + d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ a = - \frac{1}{2} \\ b = - \frac{3}{2} \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy bán kính mặt cầu $(S)$ là:

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \frac{\sqrt{14}}{2}$

42 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!