Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a; AD = b; AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với O;\,\,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng MN.

    Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:

    M\left( {a,\frac{b}{2},0} ight);\,\,\,N\left( {\frac{a}{2},0,c} ight) = > \,\,\overrightarrow {MN} = \left( { - \frac{a}{2}, - \frac{b}{2},c} ight)

    (MN) là đường thẳng đi qua M và nhận vecto \overrightarrow {MN} là 1 VTCP có PT là:

    = > \frac{{2\left( {x - a} ight)}}{{ - a}} = \frac{{2y - b}}{{ - b}} = \frac{z}{c} = > \left\{ \begin{array}{l}2bx - 2ay - ab = 0\\2cx + az - 2ac = 0\end{array} ight.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua I (-1, 5, 2) và song song với trục x'Ox:

    Theo đề bài, ta có (d) // x’Ox nên (d) có vecto chỉ phương là \overrightarrow {{e_1}} = \left( {1,0,0} ight)

    Như vậy, (d) qua I (-1, 5, 2) và nhận làm 1 VTCP \overrightarrow {{e_1}} = \left( {1,0,0} ight) có PTTS là:

    (d): \left\{ \begin{array}{l}x = t - 1\\y = 5\\z = 2\end{array} ight.\,\,\,;t \in \mathbb{R}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H(1; 2; −2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với (P).

    Hình vẽ minh họa

    Vì H là trực tâm tam giác ABC nên AH ⊥ BC, CH ⊥ AB

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB\bot(OHC) \\ BC\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} (ABC)\bot(OHC) \\ (ABC)\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OH\bot(ABC)

    Do vậy mặt cầu tâm O tiếp xúc với (P) nhận OH làm bán kính

    ⇒ Phương trình mặt cầu là x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A( - 2;4;3) và vuông góc với mặt phẳng 2x - 3y + 6z + 19 = 0 có phương trình là:

    Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x - 3y + 6z + 19 = 0 là \overrightarrow{n} = (2; - 3;6)

    Đường thẳng đi qua điểm A( - 2;4;3) và vuông góc với mặt phẳng 2x - 3y + 6z + 19 = 0 có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = \overrightarrow{n} = (2; - 3;6) nên có phương trình là \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 4}{- 3} = \frac{z - 3}{6}.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho bốn điểm A(2;0;2),B(1; - 1; - 2),C( - 1;1;0),D( -2;1;2). Tính thể tích tứ diện ABCD.

    Theo giả thiết ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 1; - 1; - 4) \\ \overrightarrow{AD} = ( - 4;1;0) \\ \end{matrix} ight. suy ra

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ightbrack = (6;10; - 4)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ightbrack.\overrightarrow{AD} = - 14

    Vậy thể tích tứ diện ABCD là:

    V_{ABCD} = \frac{1}{6}\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ightbrack.\overrightarrow{AD} ight| = \frac{7}{3}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4} và d_{2} là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x + 3y - 9 = 0,y + 2z + 5 = 0. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là:

    Xét hệ phương trình \left\{ \begin{matrix} 2x + 3y - 9 = 0 \\ y + 2z + 5 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Cho y = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(3;1; - 3) \in d_{2\ }

    Cho y = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ z = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(0;3; - 4) \in d_{2}

    Đường thẳng d1 đi qua M (1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{1}} = (2;1;4)

    Đường thẳng d2 đi qua A (3; 1; −3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{2}} = ( - 3;2; - 1) = \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} = (2; - 6; - 6)

    Ta có \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 9; - 10;7)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack\overrightarrow{AM} = - 2.9 + 6.10 - 6.7 = 0

    Do đó vị trí tương đối của hai đường thẳng là cắt nhau.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a,AD = 2a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), SA = a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và CD. Tính cosin của góc giữa MN và (SAC).

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với O \equiv A. Khi đó ta có: A(0;0;0),B(a;0;0), C(a;a;0),D(0;2a;0),S(0;0;a).

    Khi đó: M\left( \frac{a}{2};0;\frac{a}{2} ight),N\left( \frac{a}{2};\frac{3a}{2};0 ight)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \frac{- 1}{a}\overrightarrow{SA} = (0;0;1) = \overrightarrow{u} \\ \frac{1}{a}\overrightarrow{SC} = (1;1; - 1) = \overrightarrow{v} \\ \end{matrix} ight.. Gọi \overrightarrow{n} là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) ta có \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack = ( - 1; - 1;0)

    Lại có \frac{2}{a}\overrightarrow{MN} = (0;3; - 1) = \overrightarrow{w}

    Gọi α là góc giữa MN và (SAC) ta có:

    \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{w} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{w} ight|} = \frac{3}{2\sqrt{5}} \Rightarrow \cos\alpha = \frac{\sqrt{55}}{10}.

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, tìm tất cả các giá trị của tham số m để x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(m + 2)x + 4my + 19m - 6 = 0 là phương trình mặt cầu

    Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

    (m + 2)^{2} + 4m^{2} - 19m + 6 > 0

    \Leftrightarrow 5m^{2} - 15m + 10 > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là: \left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 9: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;5; - 1),B(1;1;3). Tìm tọa độ điểm M thuộc (Oxy) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| ngắn nhất.

    Gọi J(x; y; z) là điểm sao cho \overrightarrow{JA} + \overrightarrow{JB} = \overrightarrow{0} Suy ra J(2; 3; 1).

    Khi đó \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JA} + \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JB} ight| = 2\left| \overrightarrow{MJ} ight|

    Vậy \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| đạt GTNN khi và chỉ khi \left| \overrightarrow{MJ} ight| đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).

    Vậy M(2; 3; 0).

  • Câu 10: Thông hiểu

    Với giá trị nào của m thì mặt phẳng \left( P ight):2x - y + z - 5 = 0 tiếp xúc với mặt cầu 

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 2\left( {2 - m} ight)y - 4mz + 5{m^2} + 1 = 0?

    Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S): a = m;b = m - 2;c = 2m;d = 5{m^2} + 1

    Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là I\left( {m,m - 2,2m} ight).

    \Rightarrow {R^2} = {m^2} + {\left( {m - 2} ight)^2} + 4{m^2} - 5{m^2} - 1 = {m^2} - 4m + 3 > 0

    \Rightarrow m < 1 \vee m > 3.\left( P ight) tiếp xúc (S) khi: 

    d\left( {I,P} ight) = \frac{{\left| {3m - 3} ight|}}{{\sqrt 6 }} = R = \sqrt {{m^2} - 4m+3}

    \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3 \vee m = 1   (loại)

    \Rightarrow m = - 3

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng?

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: 2x - 3y + 4z - 2024 = 0.

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, trục Ox có phương trình tham số là

    Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có véctơ chỉ phương \overrightarrow{i} = (1;0;0) nên có phương trình tham số là \left\{ \begin{matrix} x = 0 + 1t \\ y = 0 + 0t \\ z = 0 + 0t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó a > 0, b > 0, c > 0 và \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7. Biết mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 3)^2 = 72/7. Thể tích của khối tứ diện OABC là:

    Mặt phẳng (ABC) có phương trình là \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 2; 3) và bán kính R = \sqrt{\frac{72}{7}}. Khi đó:

    d\left( I;(ABC) ight) = \dfrac{\left|\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} ight|}{\sqrt{\dfrac{1}{a^{2}} +\dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}}}} = \sqrt{\dfrac{72}{7}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{7}{2}

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:

    49 = \left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} ight)^{2} \leq \left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ight)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) = \frac{7}{2}.14 = 49

    Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 2b = 3c. Thay vào giả thiết ta có:

    a = 2;b = 1;c = \frac{2}{3}

    Vì OABC là tứ diện vuông tại O nên V_{OABC} = \frac{abc}{2} = \frac{2}{9}

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 2; - 1),B(1;4;3). Độ dài của đoạn AB là

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (0;6;4) khi đó độ dài đoạn AB bằng:

    \left| \overrightarrow{AB} ight| = \sqrt{0^{2} + 6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{56} = 2\sqrt{13}

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho 2 đường thẳng (d)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 1\end{array} ight. và  (\triangle )\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + t\\z = 3 - t\end{array} ight.

    Mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với (\triangle ) có phương trình tổng quát :

    Phương trình (d) cho A(2, - 1,1) \in (d) và vectơ chỉ phương của (d) là: \overrightarrow a = (2,1,0)

    Phương trình (\triangle ) cho vectơ chỉ phương của (\triangle ) là : \overrightarrow b = (0,1, - 1)

    Gọi M(x,y,z) là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :

    \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = (x - 2,y + 1,z - 1);\,\,\,\,\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = ( - 1,2,2)\\\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AM} = 0 \Leftrightarrow - (x - 2) + 2(y + 1) + 2(z - 1) = 0\\ \Leftrightarrow x - 2y - 2z - 2 = 0\end{array}

    Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'.ABC. là tứ diện đều cạnh a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AA';BB'. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (CMN).

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là trung điểm của AB

    Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho \left\{ \begin{matrix} O(0;0;0),A\left( \frac{1}{2};0;0 ight),B\left( - \frac{1}{2};0;0 ight) \\ C\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{2};0 ight),H\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};0 ight);AH' = \frac{a\sqrt{6}}{3} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow A'\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight)

    Ta có: \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'} \Rightarrow B'\left( - 1;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight). Dễ thấy (ABC) có VTTP \overrightarrow{n_{1}} = (0;0;1)

    M là trung điểm AA′\Rightarrow M\left( \frac{1}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)

    N là trung điểm BB′ \Rightarrow N\left( \frac{- 3}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MN} = ( - 1;0;0) \\\overrightarrow{CM} = \left( \dfrac{1}{4};\dfrac{-5\sqrt{3}}{12};\dfrac{\sqrt{6}}{6} ight) \\\end{matrix} ight.

    Suy ra (CMN) có VTTP \overrightarrow{n_{2}} = \left( 0;\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{5\sqrt{3}}{12} ight) = \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 0;2\sqrt{2};5 ight)

    \cos\varphi = \frac{5}{\sqrt{33}}\Rightarrow \tan\varphi = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\varphi} - 1} =\frac{2\sqrt{2}}{5}

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):8x - 4y - 8z - 11 =0,(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):8x - 4y - 8z - 11 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (8; - 4; - 8)

    (Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{2}; - \sqrt{2};0 ight)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)

    = \frac{\left| 8.\sqrt{2} + 4.\sqrt{2} - 8.0 ight|}{\sqrt{8^{2} + ( - 4)^{2} + ( - 8)^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{2} ight)^{2} + \left( - \sqrt{2} ight)^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(1;2; - 3). Gọi M,N,P là hình chiếu vuông góc của điểm A trên ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz. Viết phương trình mặt phẳng (MNP)?

    Có M(1;0;0),N(0;2;0),P(0;0; - 3) là hình chiếu của A lên các trục tọa độ nên mặt phẳng cần tìm là (MNP):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{- 3} = 1

    \Rightarrow (MNP):6x + 3y - 2z - 6 = 0

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P);(Q) có các vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{a}\left( a_{1};b_{1};c_{1} ight),\overrightarrow{b}\left( a_{2};b_{2};c_{2} ight). Góc \alpha là góc giữa hai mặt phẳng đó \cos\alpha là biểu thức nào sau đây?

    Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:

    \cos\alpha = \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\left| a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} ight|}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|}

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 6. Đường kính của (S) bằng

    Ta có bán kính của (S) là \sqrt{6} nên đường kính của (S) bằng 2\sqrt{6}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 28 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập