Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a, gọi α là góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (BB'D'D). Tính sinα.

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A \equiv O(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),A^{'}(0;0;a),

    B^{'}(a;0;a),C^{'}(a;a;a),D^{'}(0;a;a)

    Ta thấy OC\bot\left( BB^{'}D^{'}D ight) và \overrightarrow{OC} = (a;a;0) nên suy ra mặt phẳng \left( BB^{'}D^{'}D ight) có một vec tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1;1;0.).

    Đường thẳng A^{'}B có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{A^{'}B} = (a;0; - a) ta chọn \overrightarrow{u} = (1;0; - 1).

    Ta có \sin\alpha =\frac{|\overrightarrow{n} \cdot\overrightarrow{u}|}{|\overrightarrow{n}| \cdot |\overrightarrow{u}|}=\frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot ( - 1)|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} +0^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 0^{2} + ( - 1)^{2}}} =\frac{1}{2}.

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?

    Phương trình (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình của một mặt cầu nếu a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0.

    Vậy phương trình không phải phương trình mặt cầu là:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là \frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{- 3}. Biết rằng điểm M(0;5;3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0) thuộc đường thẳng AC. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC.

    Hình chiếu H của M trên đường phân giác trong góc A có tọa độ: H\left( \frac{1}{2};4;\frac{9}{2} ight)

    M’ là điểm đối xứng của M qua H. Từ đây ta tìm được tọa độ M’(1; 3; 6).

    Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC chính là vecto \overrightarrow{NM'} = (0;2;6).

    Suy ra, đường thẳng AC có một vectơ chỉ phương là (0; 1; 3)

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0. Tính góc tạo bởi (P) với trục Ox?

    Mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 ight)

    Trục Ox có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{i} = (1;0;0)

    Gọi α là góc giữa Ox và mặt phẳng (P):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P),(Q) lần lượt có phương trình là x + y - z = 0,\ x - 2y + 3z = 4 và cho điểm M(1; - 2;5). Tìm phương trình mặt phẳng (\alpha) đi qua điểm M và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q)?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (1;1; - 1) \\ \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 2;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (1; - 4; - 3)

    Do (\alpha) vuông góc với (P),(Q) nên \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} \\ \overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\overrightarrow{n_{(Q)}} \\ \end{matrix} ight.

    Chọn \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (1; - 4; - 3)

    Hơn nữa (\alpha) đi qua M(1; - 2;5) nên có phương trình là:

    (x - 1) - 4(y + 2) - 3(z - 5) = 0

    \Leftrightarrow x - 4y - 3z + 6 = 0

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;3; - 1),B(1;2;4). Phương trình đường thẳng nào được cho dưới đây không phải là phương trình đường thẳng AB?

    Ta có \overrightarrow{BA} = (1;1; - 5)

    Vì điểm A(2;3; - 1) otin \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5} nên \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5} không phải là phương trình đường thẳng AB.

    Các đường thẳng còn lại đều có vectơ chỉ phương là (1; 1; −5) và đi qua điểm A(2; 3; −1) hoặc đi qua điểm B(1; 2; 4).

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau, được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của mỗi quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà nó tiếp xúc lần lượt bằng 1, 2, 3. Tính tổng các bình phương của hai bán kính của hai quả bóng đó.

    Hình vẽ minh họa

    Xét quả bóng tiếp xúc với hai bức tường, nền của căn nhà và chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (tương tự với góc tường còn lại).

    Gọi I(a; a; a) là tâm của mặt cầu có bán kính R = a.

    Phương trình mặt cầu là: (S):(x - a)^{2}+ (y - a)^{2} + (z - a)^{2} = a^{2}\ \ \ (1)

    Xét điểm M(x; y; z) nằm trên mặt cầu sao cho

    d(M,(Oxz)) = 2, d(M,(Oyz)) = 1, d(M,(Oxy)) = 3.

    Suy ra M(2; 1; 3).

    Vì M thuộc mặt cầu (S) nên từ (1) ta có:

    (2 - a)^{2} + (1 - a)^{2} + (3 - a)^{2}= a^{2}

    \Leftrightarrow a^{2} - 6a + 7 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a_{1} = 3 + \sqrt{2} = R_{1} \\a_{2} = 3 - \sqrt{2} = R_{2} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow {R_{1}}^{2} + {R_{2}}^{2} =22

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm M(1;0;0),N(0; - 2;0),P(0;0;1). Tính khoảng cách h từ gốc toạ độ O đến mặt phẳng (MNP)?

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) có dạng:

    \frac{x}{1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 2x - y + 2z - 2 = 0

    Khoảng cách từ gốc tọa độ (0;0;0) đến (MNP) là: h = \frac{| - 2|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{2}{3}

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1 và mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 0. Góc giữa mặt phẳng (\alpha) và đường thẳng \Delta bằng:

    Mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;2)

    Đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1 có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;2; - 1)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (\alpha):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tọa độ hai điểm A(1;2;3),B(5;4; - 1). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

    Gọi I là trung điểm của AB suy ra I(3;3;1)

    \overrightarrow{AB} = (4;2; - 4) \Rightarrow AB = \sqrt{16 + 4 + 16} = 6

    Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3;3;1) và bán kính R = \frac{AB}{2} = 3 có phương trình là: (x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 1)^{2} = 9

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(m + 2)x - 2(m - 1)z + 3m^{2} - 5 = 0 là một phương trình mặt cầu

    Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

    (m + 2)^{2} + (m - 1)^{3} - 3m^{2} + 5 > 0

    \Leftrightarrow m^{2} - 2m - 10 < 0

    \Leftrightarrow m \in \left( - 1 - \sqrt{11};1 + \sqrt{11} ight)

    Theo bài ra m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2;3;4 ight\}

    Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 2; - 1),B(1;4;3). Độ dài của đoạn AB là

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (0;6;4) khi đó độ dài đoạn AB bằng:

    \left| \overrightarrow{AB} ight| = \sqrt{0^{2} + 6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{56} = 2\sqrt{13}

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-5=0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:

     khoảng cách nhỏ nhất

    Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).

    Ta có: (-3-2.0+2.1-5)(1+2.1+2.3-5) < 0 \Rightarrow A, B nằm về hai phía với (P).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) \Rightarrow BH cố định và d(B,(Q))=BH.

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay d//(P) .

    Ta có: BK \geq BH \Leftrightarrow d(B, d) \geq d(B, d) \Rightarrow d (B, d)bé nhất bằng BH  khi K trùng với điểm H.

    Gọi \vec{n} là VTPT của (ABH) \Rightarrow \vec{n}=[\vec{n_p}, \vec{AB}]=(-2;6;7)

    Ta có đường thẳng d cần lập qua  A, H và có VTCP là \vec{u_d}=[\vec{n},\vec{n_P}]=(26; 11; -2)

    Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là: \dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng (\alpha):x - z - 3 = 0 và điểm M(1;1;1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz, gọi B là hình chiếu của A lên (\alpha). Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng:

    Gọi A (0; 0; a).

    Đường thẳng AB qua A và vuông góc với (α) nên có phương trình \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = a - t \\ \end{matrix} ight.

    B là hình chiếu của A lên (α) nên tọa độ B thỏa mãn hệ \left\{ \begin{matrix}x = t \\y = 0 \\z = a - t \\x - z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{a + 3}{2} \\y = 0 \\z = \dfrac{a - 3}{2} \\\end{matrix} ight.

    Suy ra B\left( \frac{a + 3}{2};0;\frac{a - 3}{2} ight)

    Tam giác MAB cân tại M nên MA = MB

    \Leftrightarrow 1 + 1 + (1 - a)^{2} = \left( \frac{a + 1}{2} ight)^{2} + 1 + \left( \frac{a - 5}{2} ight)^{2}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Nếu a = 3 thì tọa độ A (0; 0; 3), B (3; 0; 0). Diện tích tam giác MAB là S = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} ightbrack ight| = \frac{3\sqrt{3}}{2}

    Nếu a = −3 thì tọa độ A (0; 0; −3) và B (0; 0; −3) trùng nhau nên không thỏa mãn.

    Vậy diện tích của tam giác MAB bằng: \frac{3\sqrt{3}}{2}.

  • Câu 15: Nhận biết

    Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua điểm E(2, -4, 3) và song song với đường thẳng MN với tọa độ M(3, 2, 5) và N(1, -2, 2)

     Đường thẳng d song song với MN nên VTCP của đường thẳng d chính là \overrightarrow {MN} hay ta có

    \left( d ight):\overrightarrow {MN} = \left( { - 2, - 3, - 3} ight) = - \left( {2,3,3} ight)

    Như vậy, (d) là đường thẳng đi qua điểm E (2, -4, 3) và nhận làm 1 VTCP có phương trình là:

    \left( d ight)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2n\\y = 3n - 4\\z = 3 + 3n\end{array} ight.\,\,;n \in \mathbb{R}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Với giá trị nào của m thì mặt phẳng \left( P ight):2x - y + z - 5 = 0 tiếp xúc với mặt cầu 

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 2\left( {2 - m} ight)y - 4mz + 5{m^2} + 1 = 0?

    Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S): a = m;b = m - 2;c = 2m;d = 5{m^2} + 1

    Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là I\left( {m,m - 2,2m} ight).

    \Rightarrow {R^2} = {m^2} + {\left( {m - 2} ight)^2} + 4{m^2} - 5{m^2} - 1 = {m^2} - 4m + 3 > 0

    \Rightarrow m < 1 \vee m > 3.\left( P ight) tiếp xúc (S) khi: 

    d\left( {I,P} ight) = \frac{{\left| {3m - 3} ight|}}{{\sqrt 6 }} = R = \sqrt {{m^2} - 4m+3}

    \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3 \vee m = 1   (loại)

    \Rightarrow m = - 3

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho (P):x - 2y + 2z - 5 = 0,A( - 3;0;1),B(1; - 1;3). Viết phương trình đường thẳng d qua A, song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất.

    Hình vẽ minh họa

    Vì ( - 3 - 2\ .0 + 2\ .1 - 5).\left( 1 - 2.( - 1) + 2.3 - 5 ight) < 0 nên hai điểm A, B khác phía so với (P).

    Gọi H là hình chiếu của B lên d.

    Ta có: BH ≤ BA nên khoảng cách BH từ B đến d lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A.

    Khi đó AB ⊥ d.

    VTPT của (P) là \overrightarrow{n} = (1; - 2;2),\overrightarrow{AB} = (4; - 1;2)

    VTCP của d là \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AB} ightbrack = ( - 2;6;7)

    Mà d qua A(−3; 0; 1) nên phương trình đường thẳng d là: \frac{x + 3}{2} = \frac{y}{- 6} = \frac{z - 1}{- 7}

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hai điểm A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight) và mặt phẳng \left( \beta ight):3x - 2y + z + 9 = 0. Mặt phẳng (\alpha) chứa hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng (\beta) có phương trình:

    Theo đề bài, ta có: A\left( { - 2,3, - 1} ight),B\left( {1, - 2, - 3} ight) ; \left( \beta ight):3x - 2y + z + 9 = 0.

    Suy ra \overrightarrow {AB} = \left( {3, - 5, - 2} ight); (\beta) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow n = \left( {3, - 2,1} ight)

    Ta có \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } ight] = \left( { - 9, - 9,9} ight) cùng phương với vectơ \overrightarrow p = \left( {1,1, - 1} ight)

    Chọn \vec{p} làm 1 vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng (\alpha) .

    Phương trình mặt phẳng (\alpha) có dạng: x + y - z + D = 0

    A \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow - 2 + 3 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2

    Mặt phẳng :(\alpha): x + y - z - 2 = 0

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A'B'C'D' và điểm M \in OI sao cho MO = \frac{1}{2}MI (tham khảo hình vẽ).

    Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng

    Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.

    Chọn hệ trục tọa độ sao cho A′(0;0;0), B′(1;0;0), D′(0;1;0) và A(0;0;1) (như hình vẽ)

    Khi đó ta có: M\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{3} ight)

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (1;0;0) \\\overrightarrow{MA} = \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{2}{3}ight) \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack\overrightarrow{AB};\overrightarrow{MA} ightbrack = \left( 0; -\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{1}} = (0; - 4;3) là VTPT của mặt phẳng (MAB)

    Lại có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{D'C'} = (1;0;0) \\\overrightarrow{MD'} = \left( \dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}ight) \\\end{matrix} ight.\Rightarrow \left\lbrack\overrightarrow{D'C'};\overrightarrow{MD'} ightbrack =\left( 0;\frac{1}{3}; - \frac{1}{2} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{2}} = (0;2; - 3) là VTPT của mặt phẳng (MC’D’)

    Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng:

    \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}

    = \frac{\left| 0.0 - 4.2 + 3.( - 3) ight|}{\sqrt{0^{2} + ( - 4)^{2} + 3^{2}}.\sqrt{0^{2} + 2^{2} + ( - 3)^{2}}} = \frac{17\sqrt{13}}{65}

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt phẳng (\alpha) cắt ba trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại ba điểm A( - 3;0;0),B(0;4;0),C(0;0; - 2)?

    Phương trình mặt phẳng (\alpha): \frac{x}{- 3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{- 2} = 1

    \Leftrightarrow 4x - 3y + 6z = - 12

    \Leftrightarrow 4x - 3y + 6z + 12 = 0

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 65 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập