Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 25. Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B. Biết tiếp diện của (S) tại A, B vuông góc. Tính độ dài AB.

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; −1), bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.

    Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.

    Suy ra AB = IA.\sqrt{2} = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2}.

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a;SA = a\sqrt{2}. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

    Gọi O = AC ∩ BD

    Tam giác SAO vuông nên suy ra SO = \sqrt{SA^{2} - AO^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}

    Gắn tọa độ như hình vẽ:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0) \\D(0;a;0),O\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0 ight),S\left(\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2} ight) \\\end{matrix} ight.

    Vì G là trọng tâm tam giác SCD nên G\left( \frac{a}{2};\frac{5a}{6};\frac{a\sqrt{6}}{6} ight)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AS} = \left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2}ight) = \dfrac{a}{2}\left( 1;1;\sqrt{6} ight) \\\overrightarrow{BG} = \left( -\dfrac{a}{2};\dfrac{5a}{6};\dfrac{a\sqrt{6}}{6} ight) = \dfrac{a}{6}\left(- 3;5;\sqrt{6} ight) \\\end{matrix} ight.

    Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

    \cos(BG;SA) = \frac{\left| \overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BG} ight|}{BG.AS} = \frac{| - 3 + 5 + 6|}{\sqrt{40}.\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{5}}{5}

    Vậy đáp án cần tìm là: \arccos\frac{\sqrt{5}}{5}.

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(2;1; - 3),B(0; - 2;5) và C(1;1;3). Diện tích hình bình hành ABCD là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 3;8),\overrightarrow{AC} = ( - 1;0;6)

    \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 18;4; - 3)

    Suy ra diện tích ABCD là:

    S_{ABCD} = \left| \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack ight| = \sqrt{349}

  • Câu 4: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha) đi qua điểm M(1;2;1) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho độ dài OA,OB,OC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (\alpha).

    Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

    Phương trình mặt phẳng (α) có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Ta có (α) đi qua điểm M(1; 2; 1) nên ta có \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1 (∗)

    Vì OA, OB, OC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên c = 2b = 4a.

    Thay vào (∗), ta được \frac{1}{a} + \frac{2}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{9}{4}

    Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = \frac{9}{4} hay 4x + 2y + z - 9 = 0

    \Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{| - 9|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}.

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính R = 2?

    Phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 có bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}

    Xét phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} a = 2;b = - 1 \\ c = - 1;d = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{4} = 2

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):x + z + 4 = 0,(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):x + z + 4 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (1;0;1)

    (Q):x - 2y + 2z + 4 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} = (1; - 2;2)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)= \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong hệ tọa độ Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}?

    Dựa vào phương trình đường thẳng ta thấy đường thẳng đã cho đi qua điểm N(1; - 1;2).

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tọa độ hai điểm A(1;2;3),B(5;4; - 1). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

    Gọi I là trung điểm của AB suy ra I(3;3;1)

    \overrightarrow{AB} = (4;2; - 4) \Rightarrow AB = \sqrt{16 + 4 + 16} = 6

    Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3;3;1) và bán kính R = \frac{AB}{2} = 3 có phương trình là: (x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 1)^{2} = 9

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = - t \\ z = 1 - 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)và d':\frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{2}. Vị trí tương đối của d và d' là

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (3; - 1; - 2) và đi qua điểm M(−1; 0; 1).

    Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d'}} = ( - 3;1;2).

    Hai vectơ \overrightarrow{u_{d}} và \overrightarrow{u_{d'}} cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.

    Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a; AD = b; AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với O;\,\,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng MN.

    Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:

    M\left( {a,\frac{b}{2},0} ight);\,\,\,N\left( {\frac{a}{2},0,c} ight) = > \,\,\overrightarrow {MN} = \left( { - \frac{a}{2}, - \frac{b}{2},c} ight)

    (MN) là đường thẳng đi qua M và nhận vecto \overrightarrow {MN} là 1 VTCP có PT là:

    = > \frac{{2\left( {x - a} ight)}}{{ - a}} = \frac{{2y - b}}{{ - b}} = \frac{z}{c} = > \left\{ \begin{array}{l}2bx - 2ay - ab = 0\\2cx + az - 2ac = 0\end{array} ight.

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-5=0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:

     khoảng cách nhỏ nhất

    Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).

    Ta có: (-3-2.0+2.1-5)(1+2.1+2.3-5) < 0 \Rightarrow A, B nằm về hai phía với (P).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) \Rightarrow BH cố định và d(B,(Q))=BH.

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay d//(P) .

    Ta có: BK \geq BH \Leftrightarrow d(B, d) \geq d(B, d) \Rightarrow d (B, d)bé nhất bằng BH  khi K trùng với điểm H.

    Gọi \vec{n} là VTPT của (ABH) \Rightarrow \vec{n}=[\vec{n_p}, \vec{AB}]=(-2;6;7)

    Ta có đường thẳng d cần lập qua  A, H và có VTCP là \vec{u_d}=[\vec{n},\vec{n_P}]=(26; 11; -2)

    Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là: \dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng (P):x+y+2z-13=0. Xét các mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Tính giá trị của biểu thức T=a^2+2b^2+3c^2 khi (S) có bán kính nhỏ nhất.

     Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) ta có IA + IH =2R nên R nhỏ nhất khi I, A, H thẳng hàng và I là trung điểm của AH.

    Phương trình AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \end{matrix}ight.

    Tọa độ H là nghiệm (x;y;z) của hệ:

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \\ x+y+2z-13=0 \end{matrix}ight.

    \Rightarrow H(3;4;3)\Rightarrow I(2;3;1)

    Suy ra, ta có: T=a^2+2b^2+3c^2 =2^2+2.3^2+3.1^2=25

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có A(0;1; - 1),B(1;1;2),C(1; - 1;0),D(0;0;1). Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD?

    Ta có:

    \overrightarrow{BA} = ( - 1;0; - 3),\overrightarrow{BC} = (0; - 2; - 2),\overrightarrow{BD} = ( - 1; - 1; - 1)

    \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} ightbrack = (0; - 2; - 2) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} ightbrack.\overrightarrow{BA} = 6

    V_{ABCD} = \frac{1}{3}AH.S_{BCD} \Rightarrow AH = \frac{3V_{ABCD}}{S_{BCD}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a,\ AD = 2a. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a\sqrt{5}. Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Xét hình chóp S.ABCD trong hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó ta có:

    A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;2a;0)

    S\left( 0;0;\sqrt{5} ight),M(0;a;0),C(a;a;0)

    Ta có: \overrightarrow{BC} = (0;a;0),\overrightarrow{SB} = \left( a;0; - a\sqrt{5} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{(SBC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{SB} ightbrack = \left( - a^{2}\sqrt{5};0; - a^{2} ight)

    Ta có: \overrightarrow{CD} = ( - a;a;0),\overrightarrow{SC} = \left( a;a; - a\sqrt{5} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{(SCD)}} = \left\lbrack \overrightarrow{CD},\overrightarrow{SC} ightbrack = \left( - a^{2}\sqrt{5}; - a^{2}\sqrt{5}; - 2a^{2} ight)

    Ta có \cos\left( (SBC);(SCD) ight) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{(SBC)}}.\overrightarrow{n_{(SCD)}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{(SBC)}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{(SCD)}} ight|} = \frac{\left| 5a^{4} + 2a^{4} ight|}{a^{2}\sqrt{6}.a^{2}\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{21}}{6}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A( - 1;2;1),B(2; - 1;4),C(1;1;4). Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng (ABC)?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3; - 3;3)//\overrightarrow{a} = (1; - 1;1) \\ \overrightarrow{AC} = (2; - 1;3) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{a};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 2; - 1;1) là 1 VTPT của mặt phẳng (ABC).

    Do đó đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) có VTPT cùng phương với vectơ (−2; −1; 1).

    Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D đường thẳng \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{- 1} có 1 VTPT là (−2; 1; 1) cùng phương với (−2; −1; 1).

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = 1 + t \\ z = 3t \\ \end{matrix}\ (t \in \mathbb{R}) ight. và hai điểm A(5;0;2),B(2; - 5;3). Tìm điểm M thuộc \Delta sao cho \bigtriangleup ABM vuông tại A.

    Điểm M thuộc đường thẳng \Delta nên M( - 1 + 3t;1 + t;3t).

    Ta có \overrightarrow{AM} = (3t - 6;t + 1;3t - 2) và \overrightarrow{AB} = ( - 3; - 5;1).

    Tam giác ABM vuông tại M khi và chỉ khi

    \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 0

    \Leftrightarrow - 3(3t - 6) - 5(t + 1) + 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1

    Khi đó tọa độ điểm M(2;2;3).

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;3;1),B(0;1;2). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 2;1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

    Phương trình mặt phẳng (P) là:

    - 2(x - 2) - 2(y - 3) + (z - 1) = 0

    \Leftrightarrow (P):2x + 2y - z - 9 = 0

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} và mặt phẳng (P):2x - y - 2z + 1 = 0. Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: \Delta có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 1), (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (2; - 1; - 2).

    Từ đó: \sin\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ight) ight| = \left| \frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} ight| = \frac{4}{9}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \frac{x}{- 2} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{3} = 1 là:

    Mặt phẳng trên đi qua các điểm A( - 2;0;0),B(0; - 1;0),C(0;0;3)

    Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cùng phương với \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 1;0) \\ \overrightarrow{AC} = (2;0;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 3; - 6;2)

    Vậy chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là \overrightarrow{n} = (3;6; - 2).

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (Oxy) cắt mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 3)^{2} = 25 theo thiết diện là đường tròn bán kính r bằng bao nhiêu?

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;1; - 3) và bán kính R = 5.

    Khoảng cách từ tâm I đến (Oxy) bằng 3.

    \Rightarrow r = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 51 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập