Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho mặt cầu S\left( {O;R} ight) và một điểm A, biết OA = 2R. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B. Khi đó độ dài đoạn AB bằng:

    Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên AB \bot OB.

    Suy ra AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 .

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y - 6 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):2x - y - 2z - 9 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; - 2)

    (Q):x - y - 6 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} = (1; - 1;0)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)

    = \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P):2x + y - 4z + 1 = 0. Đường thẳng (d) qua điểm A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt trục Oz. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d).

    Gọi B = d \cap Oz \Rightarrow B(0;0;b) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2;\ b - 3)

    Lại có d\ //(P)\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} = (2;1; - 4)

    Do đó \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{(P)}} = 0 \Leftrightarrow - 2 - 2 - 4b + 12 = 0 \Leftrightarrow b = 2

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2 - 1)

    Do đó, (d) là đường thẳng qua B(0; 0; 2) và nhận \overrightarrow{u} = (1;2;1) làm vectơ chỉ phương. Nên (d) có phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho đường thẳng d:\left\{\begin{matrix} x=-t \\ y=2t-1 \\ z=t+2\end{matrix}ight. và mặt phẳng (\alpha): 2x-y-2z-2=0. Mặt phẳng (P) qua d  và tạo với (\alpha ) một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P)  là:

    Tìm vecto pháp tuyến

    Gọi \triangle = (\alpha)\cap (P), A =d \cap(\alpha), B \in d(Beq A);

    H là hình chiếu vuông góc của B lên (\alpha ); K là hình chiếu của H lên \triangle.

    Suy ra: (\widehat{(d),(\alpha)})=\widehat{BAH} cố định; (\widehat{(\alpha),(P)})=\widehat{BKH}.

    Mà \widehat{BKH} \geqslant \widehat{BAH} (vì HK \leq HA)  \Rightarrow (\widehat{d, (\alpha)}) \leq (\widehat{(P),(\alpha)} )

    Suy ra (\widehat{(P),(\alpha)}) nhỏ nhất bằng (\widehat{d, (\alpha)}) khi K\equiv A .

    Khi đó \triangle \perp dvà có một VTCP \vec{u_\triangle} = [\vec{u_d}, \vec{u_\alpha}]=-3(1;0;1) .

    Vậy (P) có một VTPT là \vec{n_p} = [\vec{u_\triangle}, \vec{u_d}]=2(-1;1;1).

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x + y + z - 2 = 0. Điểm M(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (P) thỏa mãn MA = MB = MC. Tính T = a + 2b + 3c?

    Ta có M(a; b; c) ∈ (P) ⇔ a + b + c − 2 = 0 (1)

    MA^2 = (a − 2)^2 + (b − 0)^2 + (c − 1)^2 = a ^2 + b^ 2 + c^ 2 − 4a − 2c + 5

    MB^2 = (a − 1)^2 + b^ 2 + c ^2 = a^ 2 + b^ 2 + c^ 2 − 2a + 1

    MC^2 = (a − 1)^2 + (b − 1)^2 + (c − 1)^2 = a ^2 + b ^2 + c ^2 − 2a − 2b − 2c + 3

    Với MA = MB, ta có a + c − 2 = 0 (2)

    Với MA = MC, ta có a − b − 1 = 0 (3)

    Từ (1); (2); (3) ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} a + b + c = 2 \\ a + c = 2 \\ a - b = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 4

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P);(Q) có các vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{a}\left( a_{1};b_{1};c_{1} ight),\overrightarrow{b}\left( a_{2};b_{2};c_{2} ight). Góc \alpha là góc giữa hai mặt phẳng đó \cos\alpha là biểu thức nào sau đây?

    Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:

    \cos\alpha = \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\left| a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} ight|}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|}

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(1;2;3) và có véc-tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (2;4;6). Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng \Delta?

    Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho mặt cầu S(O;R) , A là một điểm ở trên mặt cầu (S) và (P) là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và (P) bằng 60^0. Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng:

    Diện tích của đường tròn giao tuyến

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của (O) trên (P) thì

    ● H là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S).

    ●\widehat {OA,\left( P ight)} = \widehat {\left( {OA,AH} ight)} = {60^0}

    Bán kính của đường tròn giao tuyến: r = HA = OA.\cos {60^0} = \frac{R}{2}.

    Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến: \pi {r^2} = \pi {\left( {\frac{R}{2}} ight)^2} = \frac{{\pi {R^2}}}{4}.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;2; - 2),B(3; - 1;0). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P):x + y - z + 2 = 0 tại điểm I. Tỉ số \frac{IA}{IB} bằng

    Ta có: \frac{IA}{IB} = \frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} = \frac{8}{\sqrt{3}}:\frac{4}{\sqrt{3}} = 2

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'.ABC. là tứ diện đều cạnh a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AA';BB'. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (CMN).

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là trung điểm của AB

    Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho \left\{ \begin{matrix} O(0;0;0),A\left( \frac{1}{2};0;0 ight),B\left( - \frac{1}{2};0;0 ight) \\ C\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{2};0 ight),H\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};0 ight);AH' = \frac{a\sqrt{6}}{3} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow A'\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight)

    Ta có: \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'} \Rightarrow B'\left( - 1;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight). Dễ thấy (ABC) có VTTP \overrightarrow{n_{1}} = (0;0;1)

    M là trung điểm AA′\Rightarrow M\left( \frac{1}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)

    N là trung điểm BB′ \Rightarrow N\left( \frac{- 3}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MN} = ( - 1;0;0) \\\overrightarrow{CM} = \left( \dfrac{1}{4};\dfrac{-5\sqrt{3}}{12};\dfrac{\sqrt{6}}{6} ight) \\\end{matrix} ight.

    Suy ra (CMN) có VTTP \overrightarrow{n_{2}} = \left( 0;\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{5\sqrt{3}}{12} ight) = \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 0;2\sqrt{2};5 ight)

    \cos\varphi = \frac{5}{\sqrt{33}}\Rightarrow \tan\varphi = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\varphi} - 1} =\frac{2\sqrt{2}}{5}

  • Câu 11: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm A(−3; 0; 1), B(1; −1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng nào cách B một khoảng cách nhỏ nhất?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi d là đường thẳng cần tìm.

    Gọi (Q) là mặt phẳng qua A(−3; 0; 1) và song song với (P): x − 2y + 2z − 5 = 0.

    ⇒ (Q): x − 2y + 2z + 1 = 0 và d ⊂ (Q).

    Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B lên d và (Q) thì BH > BK.

    Do đó d(B; d) nhỏ nhất khi và chỉ khi H ≡ K.

    Đường thẳng BK đi qua B(1; −1; 3) và vuông góc với (Q) \Rightarrow BK:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 3 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Lại có: K = BK \cap (Q) \Rightarrow K = \left( \frac{- 1}{9};\frac{11}{9};\frac{7}{9} ight)

    Đường thẳng d qua A và nhận \overrightarrow{AK} = \left( \frac{26}{9};\frac{11}{9};\frac{- 2}{9} ight) làm vectơ chỉ phương nên đường thẳng cần tìm là: \frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.

    a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B' và BC bằng a. Đúng||Sai

    b) Góc giữa hai đường thẳng AB và B^{'}D^{'} bằng \ 45{^\circ}. Đúng||Sai

    c) Góc giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (A'B'C'D') bằng 60{^\circ}. Sai||Đúng

    d) Góc nhị diện \left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack có số đo bằng 45{^\circ}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.

    a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B' và BC bằng a. Đúng||Sai

    b) Góc giữa hai đường thẳng AB và B^{'}D^{'} bằng \ 45{^\circ}. Đúng||Sai

    c) Góc giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (A'B'C'D') bằng 60{^\circ}. Sai||Đúng

    d) Góc nhị diện \left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack có số đo bằng 45{^\circ}. Đúng||Sai

    a) Vì A'B'\bot BB', BC\bot BB' nên d(A'B',BC) = BB' = a. Mệnh đề đúng.

    b) Do AB//A'B' nên (AB,B'D') = (A'B',B'D') = 45{^\circ}. Mệnh đề đúng.

    c) Vì CC'\bot(A'B'C'D') nên \left( CD',(A'B'C'D') ight) = (CD',C'D') = 45{^\circ}. Mệnh đề sai.

    d) Ta có B'C'\bot BB', B'D'\bot BB' nên góc nhị diện \left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack có số đo bằng \widehat{D'B'C'} = 45{^\circ}. Mệnh đề đúng

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong hệ tọa độ Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}?

    Dựa vào phương trình đường thẳng ta thấy đường thẳng đã cho đi qua điểm N(1; - 1;2).

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC có A\left( {1,2, - 3} ight);\,\,B\left( {2, - 1,4} ight);\,\,\,C\left( {3, - 2,5} ight).

    Viết phương trình tổng quát của cạnh AC.

    (AC) là đường thẳng đi qua 2 điểm A và C nên nhận \overrightarrow {AC} = 2\left( {1, - 2,4} ight) làm 1 VTCP.

    (AC) đi qua C (3,-2,5) và có 1 VTCP là (1,-2,4) có phương trình chính tắc:

    \begin{array}{l}x - 3 = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 5}}{4}\\ \Rightarrow PTTQ\,\,\,(AC):\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\4x - z - 7 = 0\end{array} ight. \vee \left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\2y + z - 1 = 0\end{array} ight.\end{array}

     

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 1. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với (\alpha).

    Mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 1 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1; - 1;2).

    Đường thẳng d_{1} có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{d_{1}}} = (1; - 1;2) = \overrightarrow{n_{(\alpha)}}

    Suy ra d_{1}\bot(\alpha).

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) có phương trình dạng x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0. Tập hợp các giá trị thực của tham số a để (S) có chu vi 8\pi?

    Đường tròn lớn có chu vi là 8\pi nên bán kính của (S) là \frac{8\pi}{2\pi} = 4

    Từ phương trình của (S) suy ra bán kính của (S) là R = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10a}

    Do đó \sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10a} = 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = - 1 \\ a = 11 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là: a \in \left\{ - 1;11 ight\}

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0. Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng (\alpha)?

    Ta thấy tọa độ điểm Q(1;0;1) thỏa mãn phương trình mặt phẳng (\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0 nên điểm Q nằm trên (\alpha).

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm S(0;0;1), Hai điểm M(m;0;0),N(0;n;0) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0,n > 0. Mặt phẳng (SMN) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định đi qua P(1;1;1) có bán kính là

    Phương trình (SMN):\frac{x}{m} +\frac{y}{n} + z = 1. Gọi I(a;b;c) và R là tâm và bán kính mặt cầu cố định trong đề bài, phương trình mặt cầu là (x -a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}.

    Ta có khoảng cách từ I đên (SMN) là d = \dfrac{\left| \dfrac{a}{m} +\dfrac{b}{n} + c - 1 ight|}{\sqrt{\dfrac{1}{m^{2}} + \dfrac{1}{n^{2}} +1}} = R

    Vì \ m + n = 1 \Rightarrow\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + 1

    = \frac{m^{2} + n^{2} +m^{2}n^{2}}{m^{2}n^{2}} = \frac{1 - 2mn +m^{2}n^{2}}{m^{2}n^{2}}

    \Rightarrow d = \frac{|an + bm + cmn -mn|}{1 - mn} = R

    Nếu an + bm + cmn - mn = R(1 -mn)

    \Leftrightarrow a(1 - m) + bm + cm(1 -m) - m(1 - m) = R - Rm(1 - m)

    \Leftrightarrow m^{2}(R + c - 1) + m(a -b - c - R + 1) - a + R = 0

    Đẳng thức đúng với mọi m \in(0;1) nên R + c - 1 = a - b - c - R+ 1 = - a + R hay a = b = R,c = 1 -R, thay vào phương trình mặt cầu ta có R = 1.

    Nếu an + bm + cmn − mn = −R(1 − mn)

    \Leftrightarrow m^{2}( - R + c - 1) +m(a - b - c + R + 1) - a - R = 0

    Đẳng thức đúng với mọi m ∈ (0; 1) nên R+c−1 = a−b−c−R+1 = −a+R hay a = b = −R, c = 1+R thay vào phương trình mặt cầu ta có R = −1 không thỏa mãn.

    Vậy R = 1.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 20 = 0 và mặt phẳng (\alpha):x + 2y - 2z + 7 = 0 cắt nhau theo một đường tròn có chu vi là:

    Hình vẽ minh họa

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 0) và bán kính R = 5.

    Ta có d\left( I,(\alpha) ight) = \ \frac{|1.1 + 2.2 - 2.0 + 7|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = 4

    Vì d(I,(α)) < R nên (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (α) ⇒ H là tâm của (C).

    Lấy M ∈ (C) ⇒ M ∈ (S)

    Tam giác IHM vuông tại M \Rightarrow HM = \sqrt{IM^{2} - IH^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3

    Suy ra chu vi của đường tròn (C) bằng 2π . HM = 6π.

  • Câu 20: Vận dụng

    Trong hệ tục toạ độ không gian Oxyz, cho A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c), biết b,c > 0, phương trình mặt phẳng (P):y - z + 1 = 0. Tính M = b + c biết (ABC)\bot(P),d\left( O;(ABC) ight) = \frac{1}{3}?

    Ta có (ABC):\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    \Rightarrow (ABC):bcx + cy + bz - bc = 0

    Hai mặt phẳng(ABC);(P) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \overrightarrow{n_{1}} = (bc;c;b),\overrightarrow{n_{2}} = (0;1; - 1)

    Vì (P)\bot(ABC) nên c - b = 0 \Leftrightarrow b = c.

    Theo giả thiết

    d\left( O;(ABC) ight) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{| - bc|}{\sqrt{bc^{2} + c^{2} + b^{2}}} = \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow 3b^{2} = \sqrt{b^{4} + 2b^{2}} \Leftrightarrow 3b^{2} = b\sqrt{b^{2} + 2}

    \Leftrightarrow 3b = \sqrt{b^{2} + 2} \Leftrightarrow 9b^{2} = b^{2} + 2 \Leftrightarrow b = \frac{1}{2} (vì b > 0).

    Suy ra c = 2. Vậy M = b + c = 1.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 72 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập