Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua
và có một vectơ chỉ phương
với
có phương trình chính tắc là:
Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua và có một vectơ chỉ phương
với
có phương trình chính tắc là:
Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua
và có một vectơ chỉ phương
với
có phương trình chính tắc là:
Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua và có một vectơ chỉ phương
với
có phương trình chính tắc là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Đường thẳng d cắt mặt cầu
tại hai điểm
. Biết tiếp diện của
tại
vuông góc. Tính độ dài
.
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm , bán kính R = 5. Xét mặt phẳng (P) chứa d cắt giao tuyến của hai tiếp diện tại O.
Ta có tứ giác OIAB là hình vuông.
Suy ra .
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho phương trình
. Viết phương trình mặt phẳng
, biết
song song với mặt phẳng
và cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có chu vi
?
Vì nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
.
Đường tròn lớn có chu vi là nên bán kính của
là
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3
Từ đó ta có:
Vì nên phương trình mặt phẳng (α) là
Cho 3 mặt phẳng
. Mặt phẳng
chứa giao tuyến của
,vuông góc với
có phương trình tổng quát:
Mặt phẳng thuộc chùm mặt phẳng
nên phương trình có dạng:
Vì vuông góc với
nên ta được:
Vậy ta có phương trình là :
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Mặt cầu đường kính
có phương trình là:
Gọi là trung điểm của
khi đó
là tâm mặt cầu
.
Bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
, điểm
và mặt cầu
. Gọi
là mặt phẳng qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến
là lớn nhất. Biết
là một vectơ pháp tuyến của
. Tính
.
Mặt cầu (S) có tâm I(5; −3; 7); bán kính .
Phương trình mặt phẳng
Vì (P) và (S) tiếp xúc nhau nên:
Ta có:
Ta có:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
Từ (*); (**); (***) ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt cầu
. Bán kính của mặt cầu
là:
Ta có:
suy ra tâm mặt cầu là:
Bán kính mặt cầu là:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính góc tạo bởi
với trục
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Trục có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa và mặt phẳng
:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu
thì góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi .
Hình vuông có độ dài đường chéo bằng
suy ra hình vuông đó có cạnh bằng
.
Ta có .
Ta có .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có
.
Khi đó .
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Suy ra .
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
, SAB là tam giác đều và
vuông góc với
. Tính cosϕ với ϕ là góc tạo bởi
và ![]()
Hình vẽ minh họa
Gọi O M, lần lượt là trung điểm của AB; CD.
Vì SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD) nên SO ⊥ (ABCD).
Xét hệ trục có
Suy ra
Suy ra
Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và đường thẳng
. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
.
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng d.
Suy ra (P) nhận làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d, suy ra .
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ
Cho 2 đường thẳng
và 
Mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với
có phương trình tổng quát :
Phương trình (d) cho và vectơ chỉ phương của (d) là:
Phương trình cho vectơ chỉ phương của
là :
Gọi là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :
Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:
Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :
Giải (1),(2) tính theo
được
.
Thế vào phương trình (3) được , từ đó có
Vậy .
Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua điểm E(2, -4, 3) và song song với đường thẳng MN với tọa độ M(3, 2, 5) và N(1, -2, 2)
Đường thẳng d song song với MN nên VTCP của đường thẳng d chính là hay ta có
Như vậy, (d) là đường thẳng đi qua điểm E (2, -4, 3) và nhận làm 1 VTCP có phương trình là:
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) qua A (2, 3, 1) cắt đường thẳng
và vuông góc đường thẳng ![]()
Lấy điểm nằm trên đường thẳng (d1).
Theo đề bài, ta có (d1) qua có vecto chỉ phương là
Ta có:
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) chứa A và
(1)
Xét tiếp đường thẳng có vecto chỉ phương của là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua A và vuông góc với . Ta có phương trình mp (Q) là
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua ba điểm
là:
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn .
Ta có
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
?
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hình hộp chữ nhật
có điểm
trùng với gốc tọa độ
,
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Giá trị của tỉ số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hình hộp chữ nhật
có điểm
trùng với gốc tọa độ
,
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Giá trị của tỉ số
để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và hai điểm
. Tìm điểm
thuộc
sao cho
vuông tại
.
Điểm thuộc đường thẳng
nên
.
Ta có và
.
Tam giác vuông tại
khi và chỉ khi
Khi đó tọa độ điểm .
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó: