Trong không gian
cho hai mặt phẳng ![]()
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian
cho hai mặt phẳng ![]()
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Phương trình mặt phẳng
nào dưới đây đi qua
, gốc tọa độ
và cách đều hai điểm
và
?
Vì đi qua O nên phương trình mặt phẳng
có dạng
.
Vì A ∈ (P) và B, C cách đều (P) nên
Chọn a = −6, ta có b = 3, suy ra c = ±4.
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là hoặc
.
Trong không gian
, cho ba điểm
, trong đó
và
. Biết mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu
. Thể tích của khối tứ diện
là:
Mặt phẳng (ABC) có phương trình là
Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 2; 3) và bán kính . Khi đó:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 2b = 3c. Thay vào giả thiết ta có:
Vì OABC là tứ diện vuông tại O nên
Cho hai mặt phẳng
Đường thẳng (D) qua M (1, -2, 3) song song với (P) và (Q):
Vì (D) song song với (P) và (Q)
=> Một vectơ chỉ phương của (D) là:
Xét vecto pháp tuyến của (R), có:
Xét đáp án có điểm N
cùng phương với
=> (D) vuông góc với (S).
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD) và SA = a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SB, SD. Côsin của góc hợp bới hai mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
Vectơ pháp tuyến của mp(AEF) là
Vectơ pháp tuyến của mp(ABCD) là:
Vậy côsin góc giữa 2 mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là:
Trong không gian
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua điểm
và cách gốc tọa độ
một khoảng cách lớn nhất, khi đó mặt phẳng
cắt các trục tọa độ tại các điểm
. Tính thể tích
của khối chóp
.
Trong không gian , cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua điểm
và cách gốc tọa độ
một khoảng cách lớn nhất, khi đó mặt phẳng
cắt các trục tọa độ tại các điểm
. Tính thể tích
của khối chóp
.
Trong hệ tọa độ
, cho đường thẳng
có vectơ chỉ phương
và mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
vuông góc
thì d có thể nằm trong
.
song song
thì
vuông góc
.
vuông góc
thì
cùng phương
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho bốn điểm
,
và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng
nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng
hợp với mặt phẳng
các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.
Hình vẽ minh họa
Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).
Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn
Ta có , suy ra
Phương trình đường thẳng MH nhận làm vectơ chỉ phương nên MH là:
Khi đó:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
và điểm
. Hình chiếu vuông góc của A trên (∆) là điểm nào dưới đây?
Đường thẳng (∆) đi qua M(−1; −4; 0), có vectơ chỉ phương
Phương trình tham số của đường thẳng
Gọi P là hình chiếu vuông góc của A trên (∆).
Khi đó
Ta có . Vì
nên
Cho hình lập phương
cạnh
.

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
b) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
c) Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
d) Góc nhị diện
có số đo bằng
. Đúng||Sai
Cho hình lập phương cạnh
.
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
b) Góc giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
d) Góc nhị diện có số đo bằng
. Đúng||Sai
a) Vì ,
nên
. Mệnh đề đúng.
b) Do nên
. Mệnh đề đúng.
c) Vì nên
. Mệnh đề sai.
d) Ta có ,
nên góc nhị diện
có số đo bằng
. Mệnh đề đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu ![]()
Ta có:
Vậy tọa độ bán kính và bán kính mặt cầu lần lượt là:
Trong hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và ba điểm
. Điểm M ∈ (α) sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
Xét điểm I(a; b; c) thỏa mãn:
Khi đó
Khi đó:
Do đó đạt giá trị nhỏ nhất thì M là hình chiếu của I trên mặt phẳng
.
Do là hình chiếu của I trên mặt phẳng
nên ta có:
Vậy .
Trong không gian
, cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Trong không gian , cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
cắt trục
lần lượt tại
(không trùng với gốc tọa độ
) sao cho
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
?
Trong không gian với hệ tọa độ
, xét mặt cầu
có phương trình dạng
. Tập hợp các giá trị thực của tham số
để
có chu vi
?
Đường tròn lớn có chu vi là nên bán kính của
là
Từ phương trình của suy ra bán kính của
là
Do đó
Vậy đáp án cần tìm là:
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
, sin của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
. Tìm tọa độ giao điểm
của đường thẳng
và
, biết đường thẳng d' có phương trình 
Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:
Trong không gian
, tìm tất cả các giá trị của tham số
để
là phương trình mặt cầu
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là:
Cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau
Cho mặt phẳng và mặt cầu
. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I có tọa độ là:
Áp dụng CT, ta có (P) cắt (S)
Trong không gian
, cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
và chứa trục
là:
Mặt phẳng có VTPT
và đi qua điểm
.
Suy ra phương trình .
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:
Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :
Giải (1),(2) tính theo
được
.
Thế vào phương trình (3) được , từ đó có
Vậy .