Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2;3),B(1;0; - 1),C(2; - 1;2)$ . Điểm $D$ thuộc tia $Oz$ sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh D của tứ diện $ABCD$ bằng $\frac{3\sqrt{30}}{10}$ có tọa độ là
- A.
  $(0;0;1)$
- B.
  $(0;0;3)$
- C.
  $(0;0;2)$
- D.
  $(0;0;4)$
Ta có D thuộc tia $Oz$ nên $D(0; 0; d)$ với $d > 0$ .

Tính $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0; - 2; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1; - 3; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt phẳng $(ABC)$ : có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 10; - 4;2)$ và đi qua điểm $A(1; 2; 3)$ .

$\Rightarrow (ABC): - 10(x - 1) - 4(y - 2) + 2(z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow 5x + 2y - y - 6 = 0$

Ta có $d\left( D;(ABC) ight) = \frac{3\sqrt{30}}{10} \Leftrightarrow \frac{|d + 6|}{\sqrt{30}} = \frac{3\sqrt{30}}{10}$

$\Leftrightarrow |d + 6| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} d = 3(tm) \\ d = - 15(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $D(0;0;3)$ .
Câu 2: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{- 3}$ và mặt phẳng $(P):3x - 3y + 2z + 1 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  d song song với (P).
- B.
  d nằm trong (P).
- C.
  d cắt và không vuông góc với (P).
- D.
  d vuông góc với (P).
Viết lại đường thẳng d ở dạng tham số $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = - t \\ z = 1 - 3t \\ \end{matrix} ight.$

Xét phương trình $3.( - 1 + t) - 3.( - t) + 2.(1 - 3t) + 1 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$

Kết luận phương trình có vô số nghiệm $\Rightarrow d \subset (P)$
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y - 6 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):2x - y - 2z - 9 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; - 2)$

$(Q):x - y - 6 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 1;0)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 4$ . Một mặt cầu $(S')$ có tâm $I'(9;1;6)$ và tiếp xúc ngoài với mặt cầu $(S)$ . Kết luận nào sau đây đúng về phương trình mặt cầu $(S')$ ?
- A.
  $(S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 64$
- B.
  $(S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 144$
- C.
  $(S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 36$
- D.
  $(S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 25$
Ta có tâm và bán kính mặt cầu $(S)$ lần lượt là $I(1;1;0);R = 2$ .

Suy ra $II' = 10$

Gọi $R'$ là bán kính mặt cầu $(S')$ . Theo giả thiết ta có:

$R + R' = II' \Leftrightarrow R' = II' - R = 8$

Khi đó phương trình mặt cầu cần tìm là: $(S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 64$ .
Câu 5: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , xét mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2;1;3)$ đồng thời cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho tứ diện $OMNP$ có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ với $(P)$ có toạ độ là:
- A.
  $(4;6;1)$
- B.
  $(4;1;6)$
- C.
  $( - 4;6;1)$
- D.
  $(4; - 1;6)$
Gọi $M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c)$

Theo giả thiết, ta có $a;b;c$ là các số dương.

Phương trình mặt phẳng (P) là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

(P) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1$

Ta có: $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{1}{b}.\frac{3}{c}} = \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}}$

$\Leftrightarrow 1 \geq \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{abc} \geq 3\sqrt[3]{6} \Leftrightarrow abc \geq 112$

$V_{OMNP} = \frac{abc}{6} \geq 27$ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} \frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{3}{c} \\ \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 3 \\ c = 9 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $(P):\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1$

Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 1 \\ z = 6 \\ t = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy đáp án cần tìm là: $(4; - 1;6)$ .
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 6$ . Đường kính $(S)$ bằng:
- A.
  $3$
- B.
  $\sqrt{6}$
- C.
  $2\sqrt{6}$
- D.
  $12$
Đường kính của mặt cầu $(S)$ bằng: $2R = 2\sqrt{6}$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;0)$ và $B(0;1;2)$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ ?
- A.
  $\overrightarrow{a} = ( - 1;0; - 2)$
- B.
  $\overrightarrow{b} = ( - 1;0;2)$
- C.
  $\overrightarrow{c} = (1;2;2)$
- D.
  $\overrightarrow{d} = ( - 1;1;2)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = ( - 1;0;2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ .

Vậy đáp án cần tìm là: $\overrightarrow{b} = ( - 1;0;2)$ .
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;1; - 1)$ và $B(1;0;1)$ và mặt phẳng $(P):x + 2y - z = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ qua $A;B$ và vuông góc với $(P)$ ?
- A.
  $(Q):2x - y + 3 = 0$
- B.
  $(Q):3x - y + z - 4 = 0$
- C.
  $(Q): - x + y + z = 0$
- D.
  $(Q):3x - y + z = 0$
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1;2)$

Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{AB} ightbrack = (3; - 1;1)$

Từ đó, phương trình mặt phẳng $(Q)$ là $(Q):3x - y + z - 4 = 0$ .
Câu 9: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng $a\sqrt{2}$ và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu $\tan\alpha = \sqrt{2}$ thì góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $I = AC \cap BD$ .

Hình vuông $ABCD$ có độ dài đường chéo bằng $a\sqrt{2}$ suy ra hình vuông đó có cạnh bằng $a$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} (SBD) \cap (ABCD) = BD \\ SI\bot BD \\ AI\bot BD \\ \end{matrix} \Rightarrow ((SBD);(ABCD)) = (SI;AI) = SIA ight.$ .

Ta có $tan\alpha = tanSIA = \frac{SA}{AI} \Leftrightarrow SA = a$ .

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ. Ta có $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),S(0;0;a)$ .

Khi đó $\overrightarrow{SA} = (0;0; - a);\overrightarrow{SC} = (a;a; - a);\overrightarrow{SB} = (a;0; - a)$ .

Mặt phẳng $(SAC)$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{1} = ( - 1;1;0)$ .

Mặt phẳng $(SBC)$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{2} = (1;0;1)$ .

Suy ra $cos((SAC);(SBC)) = \frac{\left|{\overrightarrow{n}}_{1} \cdot {\overrightarrow{n}}_{2} ight|}{\left|{\overrightarrow{n}}_{1} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{n}}_{2}ight|}$ $= \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow((SAC);(SBC)) = 60^{\circ}$ .
Câu 10: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ , $AB = a,BC = 2a$ , cạnh SA vuông góc với mặt đáy $(ABC)$ và $SA = 3a$ . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ . Tính $\sin\alpha$ .
- A.
  $\sin\alpha = \frac{1}{3}$
- B.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{4138}}{120}$
- C.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{13}}{7}$
- D.
  $\sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{5}$
Hình vẽ minh họa

Dựng hệ trục toạ độ Oxyz với O trùng A, tia Ox cùng hướng với tia BC, tia Oy trùng tia AB, tia Oz trùng với tia AS.

Ta có $A(0;0;0),B(0;a;0),C(2a;a;0),S(0;0;3a)$ khi đó ta tính được (SAC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (0; - 2;0)$ , (SBC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{m} = (0;3;1)$ . Từ đó tính được:

$\cos\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{m} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{m} ight|} = \frac{3\sqrt{2}}{5} \Rightarrow \sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{5}$ .
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - 2y + z + 2017 = 0$ , véc tơ nào trong các vectơ được cho dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (4; - 4;2)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 4;4)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 2;2)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = ( - 2;2;1)$
Ta có phương trình mặt phẳng $(P):2x - 2y + z + 2017 = 0$ nên có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: $\overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 2;1)$

Mặt khác $\overrightarrow{n} = (4; - 4;2)$ cùng phương với $\overrightarrow{n_{(P)}} = (2; - 2;1)$

Do đó $\overrightarrow{n} = (4; - 4;2)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P):2x - 2y + z + 2017 = 0$ .
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của $d$ ?
- A.
  $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 3}{- 1}$
- B.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 3}{1}$
- C.
  $x - 2 = y = z + 3$
- D.
  $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = ( - 1;1;1)$ và đi qua điểm $M(2;1;0)$ . Do đó phương trình chính tắc của $d$ là: $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}$
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $M(1; - 1;2),N(3;1; - 4)$ . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của $MN$ .
- A.
  $x + y + 3z + 5 = 0$
- B.
  $x + y - 3z - 5 = 0$
- C.
  $x + y + 3z + 1 = 0$
- D.
  $x + y - 3z + 5 = 0$
Mặt phẳng trung trực $MN$ nhận $\frac{1}{2}\overrightarrow{MN} = (1;1; - 3)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm $I(2;0; - 1)$ của $MN$ nên ta có phương trình mặt phẳng $MN$ là: $x + y - 3z - 5 = 0$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(3;4;5)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 2z - 3 = 0$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$ . Tìm tọa độ điểm $H$ ?
- A.
  $H(1;2;2)$
- B.
  $H(2;5;3)$
- C.
  $H(6;7;8)$
- D.
  $H(2; - 3; - 1)$
Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên (P) nên $H(3 + t;4 - t;5 + 2t)$

Điểm H thuộc mặt phẳng (P) nên ta có phương trình:

$(3 + t) - (4 - t) + 2(5 + 2t) - 3 = 0$

$\Leftrightarrow t = - 1 \Leftrightarrow H = (2;5;3)$
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):x - 3y + 2z - 1 = 0,$ $(Q):x - z + 2 =0$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với cả $(P)$ và $(Q)$ đồng thời cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $3$ . Phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ là:
- A.
  $x + y + z - 3 = 0$
- B.
  $x + y + z + 3 = 0$
- C.
  $- 2x + z + 6 = 0$
- D.
  $- 2x + z - 6 = 0$
Ta có: (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{P}} = (1; - 3;2)$ , (Q) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{Q}} = (1;0; - 1)$ .

Vì mặt phẳng (α) vuông góc với cả (P) và (Q) nên (α) có một vectơ pháp tuyến là $\left\lbrack \overrightarrow{n_{P}};\overrightarrow{n_{Q}} ightbrack = (3;3;3) = 3(1;1;1)$

Vì mặt phẳng (α) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên (α) đi qua điểm M(3; 0; 0).

Vậy (α) đi qua điểm M(3; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;1;1)$ nên (α) có phương trình $x + y + z - 3 = 0$ .
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 20 = 0$ và mặt phẳng $(\alpha):x + 2y - 2z + 7 = 0$ cắt nhau theo một đường tròn có chu vi là:
- A.
  $6\pi$
- B.
  $12\pi$
- C.
  $3\pi$
- D.
  $10\pi$
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; 0)$ và bán kính $R = 5$ .

Ta có $d\left( I,(\alpha) ight) = \ \frac{|1.1 + 2.2 - 2.0 + 7|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = 4$

Vì $d(I,(α)) < R$ nên (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (α) ⇒ H là tâm của (C).

Lấy $M ∈ (C) ⇒ M ∈ (S)$

Tam giác IHM vuông tại M $\Rightarrow HM = \sqrt{IM^{2} - IH^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$

Suy ra chu vi của đường tròn (C) bằng $2π . HM = 6π$ .
Câu 17: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 2)^2 = 9$ hai hai điểm $M(4; −4; 2),N(6; 0; 6)$ . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho $EM + EN$ đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E?
- A.
  $x - 2y + 2z + 8 = 0$
- B.
  $2x + y - 2z - 9 = 0$
- C.
  $2x + 2y + z + 1 = 0$
- D.
  $2x - 2y + z + 9 = 0$
Hình vẽ minh họa

Gọi I(1; 2; 2) là tâm của (S), P(5; −2; 4) là trung điểm MN.

Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-copx-ki và công thức độ dài trung tuyến ta được:

$(EM + EN)^{2} \leq 2\left( EM^{2} + EN^{2} ight) = 2\left( 2EP^{2} + \frac{MN^{2}}{2} ight)$

nên T = EM + EN đạt giá trị lớn nhất khi EM = EN và EP đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S) (I nằm giữa E và P). Đường thẳng IP có phương trình:

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$

Tọa độ E thỏa hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 9 \\\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{z - 2}{1} \\\end{matrix} ight.$

Tìm được E(3; 0; 3) hoặc E(−1; 4; 1), thử lại để EP lớn nhất ta được E(−1; 4; 1).

Khi đó phương trình tiếp diện với (S) tại E là $2x−2y+z+9 = 0$ .
Câu 18: Vận dụng cao
Cho 2 đường thẳng $(d)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 1\end{array} ight.$ và $(\triangle )\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + t\\z = 3 - t\end{array} ight.$
Mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với $(\triangle )$ có phương trình tổng quát :
- A. $x - 2y + 2z - 2 = 0$
- B. $x + 2y + 2z + 2 = 0$
- C. $x + 2y - 2z + 2 = 0$
- D. $x - 2y - 2z - 2 = 0$
Phương trình (d) cho $A(2, - 1,1) \in (d)$ và vectơ chỉ phương của (d) là: $\overrightarrow a = (2,1,0)$
Phương trình $(\triangle )$ cho vectơ chỉ phương của $(\triangle )$ là : $\overrightarrow b = (0,1, - 1)$
Gọi $M(x,y,z)$ là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :
$\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = (x - 2,y + 1,z - 1);\,\,\,\,\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = ( - 1,2,2)\\\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AM} = 0 \Leftrightarrow - (x - 2) + 2(y + 1) + 2(z - 1) = 0\\ \Leftrightarrow x - 2y - 2z - 2 = 0\end{array}$
Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ , sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{5}{13}$
- B.
  $\frac{8}{13}$
- C.
  $\frac{1}{13}$
- D.
  $\frac{12}{13}$
Mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (4;3; - 1)$

Đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;3;1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}$
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 4z + m = 0$ là phương trình của một mặt cầu?
- A.
  $m < 6$
- B.
  $m \geq 6$
- C.
  $m \leq 6$
- D.
  $m > 6$
Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 4z + m = 0$ là một mặt cầu

$\Leftrightarrow 1^{2} + 1^{2} + 2^{2} - m > 0 \Leftrightarrow m < 6$ .

42 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!