Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0. Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng (\alpha)?

    Ta thấy tọa độ điểm Q(1;0;1) thỏa mãn phương trình mặt phẳng (\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0 nên điểm Q nằm trên (\alpha).

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với  AB=2a, AD=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 45^0 . Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp S.ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N.ABC. Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

    Tìm biểu thức liên hệ

    Ta có {45^0} = \widehat {SC,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {SC,AC} = \widehat {SCA} .

    Trong \Delta SAC, ta có h = SA = a\sqrt 5

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot BN.

    Mặt khác, ta lại có NA \bot AC.

    Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính

    R = JN = \frac{{NC}}{2} = \frac{1}{2}.\sqrt {A{C^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} ight)}^2}} = \frac{{5a}}{4}.

  • Câu 3: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 1} và hai điểm A( - 1;3;1),B(0;2; - 1). Gọi C(m;n;p) là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2\sqrt{2}. Giá trị của tổng m + n + p bằng:

    Phương trình tham số của đường thẳng \left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = t \\ x = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Vì C thuộc d nên tọa độ của C có dạng C( - 1 + 2t;t;2 - t)

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (2t;t - 3;1 - t) \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (3t - 7; - 3t - 1;3t - 3)

    Diện tích tam giác ABC là

    S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}\left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = \frac{1}{2}\sqrt{(3t - 7)^{2} + ( - 3t - 1)^{2} + (3t - 3)^{2}}

    Theo bài ra ta có

    S_{\Delta ABC} = 2\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt{27t^{2} - 54t + 59} = 2\sqrt{2}

    \Leftrightarrow 27t^{2} - 54t + 59 = 32 \Leftrightarrow (t - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 1

    Với t = 1 thì C (1; 1; 1) nên m = 1;n = 1;p = 1

    Vậy giá trị của tổng m + n + p = 3

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng (P):x + y + z - 1 = 0?

    Dễ thấy điểm O(0;0;0) không thuộc mặt phẳng (P).

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, hai điểm A(7; - 2;2) và B(1;2;4). Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính AB?

    Mặt cầu nhận AB làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm I(4;0;3) của AB làm tâm và có bán kính R = \frac{AB}{2} = \sqrt{56}

    Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là (x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 56.

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P);(Q) có các vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{a}\left( a_{1};b_{1};c_{1} ight),\overrightarrow{b}\left( a_{2};b_{2};c_{2} ight). Góc \alpha là góc giữa hai mặt phẳng đó \cos\alpha là biểu thức nào sau đây?

    Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:

    \cos\alpha = \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\left| a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} ight|}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho (P):x - 2y + 2z - 5 = 0,A( - 3;0;1),B(1; - 1;3). Viết phương trình đường thẳng d qua A, song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất.

    Hình vẽ minh họa

    Vì ( - 3 - 2\ .0 + 2\ .1 - 5).\left( 1 - 2.( - 1) + 2.3 - 5 ight) < 0 nên hai điểm A, B khác phía so với (P).

    Gọi H là hình chiếu của B lên d.

    Ta có: BH ≤ BA nên khoảng cách BH từ B đến d lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A.

    Khi đó AB ⊥ d.

    VTPT của (P) là \overrightarrow{n} = (1; - 2;2),\overrightarrow{AB} = (4; - 1;2)

    VTCP của d là \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AB} ightbrack = ( - 2;6;7)

    Mà d qua A(−3; 0; 1) nên phương trình đường thẳng d là: \frac{x + 3}{2} = \frac{y}{- 6} = \frac{z - 1}{- 7}

  • Câu 8: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz cho điểm H(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt A;B;C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC?

    Giả sử (P) cắt các trục tọa độ tại A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c);(abc eq 0)

    Khi đó (P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA} = (a - 1; - 2; - 3) \\ \overrightarrow{HB} = ( - 1;b - 2; - 3) \\ \overrightarrow{BC} = (0; - b;c) \\ \overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\ \end{matrix} ight. mà H là trực tâm của tam giác ABC nên

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2b - 3c = 0 \\ a - 3c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow a = 2b = 3c

    Mặt khác H \in (P) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow \frac{1}{3c} + \frac{4}{3c} + \frac{3}{c} = 1

    \Rightarrow 14 = 3c \Leftrightarrow c = \frac{14}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 14 \\ b = 7 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow (P):\dfrac{x}{14} +\dfrac{y}{7} + \dfrac{z}{\dfrac{14}{3}} = 1 \Rightarrow (P):x + 2y + 3z -14 = 0

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A, biết OA = 2R. Qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại B và C sao cho BC = R\sqrt 3. Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng:

     Gọi H là hình chiếu của O lên BC.

    Ta có OB=OC=R , suy ra H là trung điểm của BC nên HC = \frac{{CD}}{2} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}

    Suy ra OH = \sqrt {O{C^2} - H{C^2}} = \frac{R}{2}.

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hai mặt phẳng \left( P ight):x - 2y + 3z - 5 = 0;\,\,\left( Q ight):3x + 4y - z + 3 = 0. Đường thẳng (D) qua M (1, -2, 3) song song với (P) và (Q):

     Vì (D) song song với (P) và (Q)

    => Một vectơ chỉ phương của (D) là:

    \overrightarrow {{a_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } ight] = 10\left( { - 1,1,1} ight) \Rightarrow \overrightarrow a = \left( { - 1,1,1} ight)

    Xét vecto pháp tuyến của (R), có:

    \overrightarrow {{n_R}} = \left( {3,1,2} ight) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow {{n_R}} = - 3 + 1 + 2 = 0 \Rightarrow \left( D ight)//\left( R ight)

    Xét đáp án có điểm N

    \overrightarrow {NM} = \left( { - 2,2,2} ight) = 2\left( { - 1,1,1} ight) = 2\overrightarrow a \Rightarrow \left( D ight)qua\,\,N\left( {3, - 4,1} ight)

    \overrightarrow {{n_s}} = \left( {2, - 2, - 2} ight) \Rightarrow \frac{2}{{ - 1}} = \frac{{ - 2}}{1} = \frac{{ - 2}}{1} = - 2 \Rightarrow \overrightarrow acùng phương với \overrightarrow {{n_s}}

    => (D) vuông góc với (S).

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 1; - 2;0),B(0; - 4;0),C(0;0; - 3). Phương trình mặt phẳng (P) nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?

    Vì (P) đi qua O nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng ax + by + cz = 0\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 ight).

    Vì A ∈ (P) và B, C cách đều (P) nên \left\{ \begin{matrix} - a - 2b = 0 \\ |4b| = |3c| \\ \end{matrix} ight.

    Chọn a = −6, ta có b = 3, suy ra c = ±4.

    Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là −6x + 3y − 4z = 0 hoặc −6x + 3y + 4z = 0.

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A'B'C'D' và điểm M \in OI sao cho MO = \frac{1}{2}MI (tham khảo hình vẽ).

    Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng

    Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.

    Chọn hệ trục tọa độ sao cho A′(0;0;0), B′(1;0;0), D′(0;1;0) và A(0;0;1) (như hình vẽ)

    Khi đó ta có: M\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{3} ight)

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (1;0;0) \\\overrightarrow{MA} = \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{2}{3}ight) \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack\overrightarrow{AB};\overrightarrow{MA} ightbrack = \left( 0; -\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{1}} = (0; - 4;3) là VTPT của mặt phẳng (MAB)

    Lại có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{D'C'} = (1;0;0) \\\overrightarrow{MD'} = \left( \dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}ight) \\\end{matrix} ight.\Rightarrow \left\lbrack\overrightarrow{D'C'};\overrightarrow{MD'} ightbrack =\left( 0;\frac{1}{3}; - \frac{1}{2} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{2}} = (0;2; - 3) là VTPT của mặt phẳng (MC’D’)

    Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng:

    \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}

    = \frac{\left| 0.0 - 4.2 + 3.( - 3) ight|}{\sqrt{0^{2} + ( - 4)^{2} + 3^{2}}.\sqrt{0^{2} + 2^{2} + ( - 3)^{2}}} = \frac{17\sqrt{13}}{65}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua I (-1, 5, 2) và song song với trục x'Ox:

    Theo đề bài, ta có (d) // x’Ox nên (d) có vecto chỉ phương là \overrightarrow {{e_1}} = \left( {1,0,0} ight)

    Như vậy, (d) qua I (-1, 5, 2) và nhận làm 1 VTCP \overrightarrow {{e_1}} = \left( {1,0,0} ight) có PTTS là:

    (d): \left\{ \begin{array}{l}x = t - 1\\y = 5\\z = 2\end{array} ight.\,\,\,;t \in \mathbb{R}

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân

    giác trong góc A là \frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}.  Biết rằng điểm M(0; 5; 3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0)thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?

    Giả sử , A(t; 6-4t; 6-3t), ta có:

    \vec{u_d}=(1; -4; -3),

    \vec{AM}=(-t;4t-1;-3+3t)

    \vec{AN}=(1-t;-5+4t;3t-6)

    Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:

    \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AM}) ight |= \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AN}) ight |

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 26t-13 ight |}{\sqrt{26t^2 -26t+10} } =\dfrac{\left | 26t-39 ight |}{\sqrt{26t^2 -78t+62} }

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 2t-1 ight |}{\sqrt{13t^2 -13t+5} } =\dfrac{\left | 2t-3 ight |}{\sqrt{13t^2 -39t+31} }

    Từ đây ta bình phương 2 vế được:

    (4t^2-4t+1)(13t^2-39t+31)=(4t^2-12t+9)(13t^2-13t+5)

    \Leftrightarrow 14t=14

    \Leftrightarrow t=1

    \Rightarrow A(1;2;3)\Rightarrow \vec{AN}=(0; -1; -3)

    Vậy một véc tơ chỉ phương của AC  là  \vec{u}(0;1;3).

  • Câu 15: Thông hiểu

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua hai điểm E\left( {\,3,\,\, - 2,\,\,4\,} ight);\,\,\,F\left( {\,1,\,\,\,3,\,\,6\,} ight) và song song với trục y'Oy

     Vì  \left( P ight)//y'Oy \Rightarrow Vecto chỉ phương của (P)  là: \overrightarrow {{e_2}} = \left( {0,1,0} ight)

    Theo đề bài, ta có vecto chỉ phương thứ hai của (P) là: \overrightarrow {EF} = \left( { - 2,5,2} ight)
    Từ 2 VTCP, ta suy ra được VTPT của (P) là tích có hướng của 2 VTCT

    \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{e_2}} ,\overrightarrow {EF} } ight] = 2\left( {1,0,1} ight)

    Mp (P) đi qua E (3,-2,4) và nhận vecto \vec{n_p}(1, 0, 1) làm 1 VTPT có phương trình là:

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 3} ight).1 + \left( {y + 2} ight).0 + \left( {z - 4} ight).1

    \Leftrightarrow x + z - 7 = 0

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1}. Vectơ nào trong các vectơ dưới đây không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng d?

    Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;1). Do đó vectơ \overrightarrow{u_{4}} = (1;2;1) không là vectơ chỉ phương của d.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 1;0;0),B(0;0;2),C(0; - 3;0). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:

    Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

    Phương trình mặt cầu (S) có dạng x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

    Vì O;A;B;C \in (S) nên ta có: \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ 1 + 2a + d = 0 \\ 4 - 4c + d = 0 \\ 9 + 6b + d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} d = 0 \\ a = - \frac{1}{2} \\ b = - \frac{3}{2} \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy bán kính mặt cầu (S) là:

    R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1} = \frac{\sqrt{14}}{2}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a, gọi α là góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (BB'D'D). Tính sinα.

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A \equiv O(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),A^{'}(0;0;a),

    B^{'}(a;0;a),C^{'}(a;a;a),D^{'}(0;a;a)

    Ta thấy OC\bot\left( BB^{'}D^{'}D ight) và \overrightarrow{OC} = (a;a;0) nên suy ra mặt phẳng \left( BB^{'}D^{'}D ight) có một vec tơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1;1;0.).

    Đường thẳng A^{'}B có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{A^{'}B} = (a;0; - a) ta chọn \overrightarrow{u} = (1;0; - 1).

    Ta có \sin\alpha =\frac{|\overrightarrow{n} \cdot\overrightarrow{u}|}{|\overrightarrow{n}| \cdot |\overrightarrow{u}|}=\frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot ( - 1)|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} +0^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 0^{2} + ( - 1)^{2}}} =\frac{1}{2}.

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1) và A(1;1;1). Hai điểm M(m;0;0),N(0 ;n;0) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0,n > 0. Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng (SMN). Bán kính của mặt cầu đó là:

    Phương trình mặt phẳng (SMN) là \frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{1} =1

    \Leftrightarrow nx + my + mnz - mn =0.

    Gọi I(a;b;c) và R là tâm và bán kính của mặt cầu cố định.

    Ta có

    R = d(I;(SMN))

    = \frac{|na + mb + mnc -mn|}{\sqrt{n^{2} + m^{2} + m^{2}n^{2}}}

    = \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{\sqrt{1 - 2mn + m^{2}n^{2}}}

    = \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{1 - mn}

    = \frac{\left| (1 - c)m^{2} + (b + c - a- 1)m + a ight|}{m^{2} - m + 1}

    Mà R không đổi nên \frac{1 - c}{1} = \frac{b + c - a - 1}{- 1} =\frac{a}{1} = t \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = t \\b = t \\c = 1 - t \\\end{matrix} ight., hay I(t;t;1- t).
    Mặt khác ta có R = IA = \sqrt{3t^{3} - 4t +2} = |t| \Rightarrow t = 1.

    Vậy R = 1.

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;0)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

    Khi đó ta có:

    \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60^{0}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 53 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập