Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x + y - 2z + 4 = 0$ . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:
- A.
  $\overrightarrow{n} = (1;1; - 2)$
- B.
  $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$
- C.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 2;4)$
- D.
  $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: $\overrightarrow{n} = (1;1; - 2)$ .
Câu 2: Vận dụng cao
Cho hai đường thẳng chéo nhau $\left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight.$ và $\left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.$
Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:
- A. $x + 5y - 2z + 12 = 0$
- B. $x - 5y + 2z - 12 = 0$
- C. $x + 5y + 2z - 12 = 0$
- D. $x - 5y - 2z + 12 = 0$
Phương trình (d) cho biết $A(2, 1, 0) \in (d)$ và (d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)$
Chuyển $(\triangle )$ về dạng tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight.$ để có $B(2, 3, 0) \in (\triangle )$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight)$ .
Gọi I là trung điểm AB thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ $\in (P)$ .
$\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0$ là phương trình của mặt phẳng (P).
Câu 3: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $H(1;2;3)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $H$ và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt $A;B;C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ ?
- A.
  $(P):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$
- B.
  $(P):x + 2y + 3z - 14 = 0$
- C.
  $(P):x + y + z - 6 = 0$
- D.
  $(P):\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$
Giả sử (P) cắt các trục tọa độ tại $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c);(abc eq 0)$

Khi đó $(P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA} = (a - 1; - 2; - 3) \\ \overrightarrow{HB} = ( - 1;b - 2; - 3) \\ \overrightarrow{BC} = (0; - b;c) \\ \overrightarrow{AC} = ( - a;0;c) \\ \end{matrix} ight.$ mà H là trực tâm của tam giác ABC nên

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2b - 3c = 0 \\ a - 3c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow a = 2b = 3c$

Mặt khác $H \in (P) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1 \Rightarrow \frac{1}{3c} + \frac{4}{3c} + \frac{3}{c} = 1$

$\Rightarrow 14 = 3c \Leftrightarrow c = \frac{14}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 14 \\ b = 7 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (P):\dfrac{x}{14} +\dfrac{y}{7} + \dfrac{z}{\dfrac{14}{3}} = 1 \Rightarrow (P):x + 2y + 3z -14 = 0$
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - 2y + z - 3 = 0$ và điểm $A(1;2;0)$ . Viết phương trình đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $(P)$ .
- A.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{1}$
- B.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z}{2}$
- C.
  $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$
- D.
  $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{1}$
Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 2;1)$ nên đường thẳng cần tìm có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{n} = (1; - 2;1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{1}$
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):x + 2y - 2z + 3 = 0;$ $(Q):x + 2y - 2z - 1 =0$ . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là
- A.
  $\frac{4}{9}$
- B.
  $\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{4}{3}$
- D.
  $- \frac{4}{3}$
Lấy $M( - 3;0;0) \in (P)$ .

Vì $(P)//(Q)$ nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Q).

$d\left( M;(Q) ight) = \frac{\left| x_{M} + 2y_{M} - 2z_{M} - 1 ight|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = \frac{4}{3}$ .
Câu 6: Vận dụng
Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho điểm $M = (1; - 1;2)$ và hai đường thẳng $d_{1}$ : $\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.$ $d_{2}:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{1}$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua diểm $M$ và cắt cả hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;a;b)$ . Tính $a + b$ ?
- A.
  $a + b = - 1$ .
- B.
  $a + b = - 2$ .
- C.
  $a + b = 2$ .
- D.
  $a + b = 1$ .
Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với $d_{1},d_{2}$

$A \in d_{1} \Rightarrow A\left( t_{1};1 - t_{1}; - 1 ight);B \in d_{2} \Rightarrow B\left( - 1 + 2t_{2};1 + t_{2}; - 2 + t_{2} ight)$

$M \in \Delta \Leftrightarrow M,A,B\ \text{thẳng\ hàng~} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB}(1)$

$\overrightarrow{MA} = \left( t_{1} - 1;2 - t_{1}; - 3 ight);\overrightarrow{MB} = \left( 2t_{2} - 2;t_{2} + 2;t_{2} - 4 ight)$

$(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 1 = k(2t_{2} - 2) \\ 2 - t_{1} = k(t_{2} + 2) \\ - 3 = k(t_{2} - 4) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 2kt_{2} + 2k = 1 \\ - t_{1} - kt_{2} - 2k = - 2 \\ kt_{2} - 4k = - 3 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} = 0 \\ kt_{2} = \frac{1}{3} \\ k = \frac{5}{6} \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Từ $t_{1} = 0 \Rightarrow A(0;1; - 1)$ .

Do đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A$ và $M$ nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{AM} = (1; - 2;3)$ .

Vậy $a = - 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 1$
Câu 7: Thông hiểu
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua hai điểm $A(\,\, - 2,\,\,3,\,\,5);\,\,\,B\left( {\, - 4,\,\, - 2,\,\,3\,} ight)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {\,2,\,\, - 3,\,\,4\,} ight)$ .
- A. $9x\,\, + \,\,3y\,\, - \,\,z\,\, + \,\,4 = \,\,0$
- B. $9x\,\, + \,\,3y\,\, - \,\,z\,\, - \,\,4 = \,\,0$
- C. $13x\,\, - \,\,2y\,\, - \,\,8z\,\, + \,\,72 = \,\,0$
- D. $13x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,8z\,\, + \,\,72 = \,\,0$
Theo đề bài ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2, - 5, - 2} ight)$
Như vậy, VTPT của (P) là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương $\Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} } ight] = 2\left( {13, - 2, - 8} ight)$
Mp (P) đi qua $A (-2,3,5)$ và nhận vecto $\vec{n_P}(13, -2, -8)$ làm 1 VTPT có phương trình là:
$\Rightarrow \left( P ight):\left( {x + 2} ight)13 + \left( {y - 3} ight)\left( { - 2} ight) + \left( {z - 5} ight)\left( { - 8} ight) = 0$
$\Leftrightarrow 13x - 2y - 8z + 72 = 0$
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ và mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ . Góc giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $\Delta$ bằng:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$

Đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 9: Thông hiểu
Hai đường thẳng $\left( {d'} ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = - 3m - t\\z = 2t - 1\end{array} ight.$ và $\left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2m\\y = m + 2\\z = - m\end{array} ight.$ với cắt nhau tại M có tọa độ là :
- A. M (26, 9, - 11)
- B. M (26, - 9, - 11)
- C. M (26, - 9, 11)
- D. M (9, 26, - 11)
Để (d’) cắt (d) tại $M \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + 4t = 4 - 2m\\ - 3 - t = m + 2\\2t - 1 = - m\end{array} ight. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t + m = 1\\t + m = - 5\end{array} ight. \\\Leftrightarrow t = 6;m = - 11$
$\Rightarrow M\left( {26, - 9,11} ight)$
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha):x + 3y - 5z + 6 = 0$ và $(\beta):x - y + 3z - 6 = 0$ . Phương trình tham số của $d$ là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 3 - t \\ y = 3 + 2t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + t \\ y = - 3 + 2t \\ z = 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 - t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Nhận thấy $A(1;1;2),B(2; - 1;1)$ đều thuộc (α) và (β) nên chúng cũng thuộc đường thẳng $d$ .

Ta có $\overrightarrow{AB} = (1; - 2; - 1)$ là một vectơ chỉ phương của $d$ .

Khi đó phương trình tham số của $d$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 11: Nhận biết
Cho mặt cầu $(S)$ tâm O, bán kính R và mặt phẳng $(P)$ có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc $(S)$ . Đường thẳng OM cắt $(P)$ tại N. Hình chiếu của O trên $(P)$ là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. NI tiếp xúc với $(S)$
- B. $ON = R\sqrt 2 \Leftrightarrow IN = R$
- C. Cả hai câu trên đều sai
- D. Cả hai câu trên đều đúng
Vì I là hình chiếu của O trên $(P)$ nên $d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = OI$ mà $d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = R$ nên I là tiếp điểm của $(P)$ và $(S)$ .
Đường thẳng OM cắt $(P)$ tại N nên IN vuông góc với OI tại I.
Suy ra IN tiếp xúc với $(S)$ .
Tam giác OIN vuông tại I nên $ON = R\sqrt 2 \Leftrightarrow IN = R$ .
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ đỉnh $A(2;0;0),B(0;4;0),$ $C(0;0;6),D(2;4;6)$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ . Viết phương trình mặt cầu $(S')$ có tâm trùng với tâm của mặt cầu $(S)$ và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu $(S)$ ?
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z = 0$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 14$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + 6z - 12 = 0$
Gọi phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

Vì $(S)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} 2^{2} + 0^{2} + 0^{2} - 2.a.2 - 2.b.0 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 4^{2} + 0^{2} - 2.a.0 - 2.b.4 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 0^{2} + 6^{2} - 2.a.0 - 2.b.0 - 2.c.6 + d = 0 \\ 2^{2} + 4^{2} + 6^{2} - 2.a.2 - 2.b.4 - 2.c.6 + d = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4a + d = - 4 \\ - 8b + d = - 16 \\ - 12c + d = - 36 \\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Suy ra tâm mặt cầu $I(1;2;3)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{14}$

Vậy phương trình mặt cầu $(S')$ có tâm trùng với tâm của mặt cầu $(S)$ và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu $(S)$ là:

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56$
Câu 13: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(0; 8; 2)$ , điểm $B(9; −7; 23)$ và mặt cầu $(S) : (x − 5)^2 + (y + 3)^2 + (z − 7)^2 = 72$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến $(P)$ là lớn nhất. Biết $\vec{n} = (1; m; n)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ . Tính $mn$ .
- A.
  $- 2$
- B.
  $- 4$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Mặt cầu (S) có tâm I(5; −3; 7); bán kính $R = 6\sqrt{2}$ .

Phương trình mặt phẳng $(P) : 1(x − 0) + m(y − 8) + n(z − 2) = 0.$

Vì (P) và (S) tiếp xúc nhau nên:

$d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 6\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow |5 - 11m + 5n| = 6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(*)$

Ta có: $d\left( B;(P) ight) = \frac{|9 - 15m + 21n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}}$

Ta có:

$|9 - 15m + 21n| = |5 - 11m + 5n + 4 - 4m + 16n|$

$\leq |5 - 11m + 5n| + |4 - 4m + 16n|(**)$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

$(4 - 4m + 16n)^{2} \leq \left( 4^{2} + 4^{2} + 16^{2} ight)\left( 1 + m^{2} + n^{2} ight) = 288\left( 1 + m^{2} + n^{2} ight)$

$\Rightarrow |4 - 4m + 16n| \leq 12\sqrt{2}.\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(***)$

Từ (*); (**); (***) ta có:

$|9 - 15m + 21n| \leq 18\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{\begin{matrix}|5 - 11m + 5n| = 6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}} \\(5 - 11m + 5n)(4 - 4m + 16n) \geq 0 \\\dfrac{1}{4} = \dfrac{m}{- 4} = \dfrac{n}{16} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow m = - 1;n = 4 \Rightarrow mn = - 4$ .
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , hai điểm $A(7; - 2;2)$ và $B(1;2;4)$ . Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính $AB$ ?
- A.
  $(x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 14$
- B.
  $(x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 2\sqrt{14}$
- C.
  $(x - 7)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 14$
- D.
  $(x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 56$
Mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm $I(4;0;3)$ của $AB$ làm tâm và có bán kính $R = \frac{AB}{2} = \sqrt{56}$

Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là $(x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 56$ .
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):x + z + 4 = 0,(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):x + z + 4 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (1;0;1)$

$(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 2;2)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$ $= \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có phương trình đường phân giác trong góc $A$ là $\frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{- 3}$ . Biết rằng điểm $M(0;5;3)$ thuộc đường thẳng $AB$ và điểm $N(1;1;0)$ thuộc đường thẳng $AC$ . Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng $AC$ .
- A.
  $\overrightarrow{u} = (1;2;3)$
- B.
  $\overrightarrow{u} = (0; - 2;6)$
- C.
  $\overrightarrow{u} = (0;1; - 3)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = (0;1;3)$
Hình chiếu H của M trên đường phân giác trong góc A có tọa độ: $H\left( \frac{1}{2};4;\frac{9}{2} ight)$

M’ là điểm đối xứng của M qua H. Từ đây ta tìm được tọa độ M’(1; 3; 6).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC chính là vecto $\overrightarrow{NM'} = (0;2;6)$ .

Suy ra, đường thẳng AC có một vectơ chỉ phương là (0; 1; 3)
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;3;1),B(0;1;2)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là:
- A.
  $(P):2x + 2y - z = 0$
- B.
  $(P):2x + 2y - z - 9 = 0$
- C.
  $(P):2x + 4y + 3z - 19 = 0$
- D.
  $(P):2x + 4y + 3z - 10 = 0$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 2; - 2;1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$- 2(x - 2) - 2(y - 3) + (z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (P):2x + 2y - z - 9 = 0$
Câu 18: Thông hiểu

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ .

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B'$ và $BC$ bằng $a$ . Đúng||Sai

b) Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{'}D^{'}$ bằng $\ 45{^\circ}$ . Đúng||Sai

c) Góc giữa đường thẳng $CD'$ và mặt phẳng $(A'B'C'D')$ bằng $60{^\circ}$ . Sai||Đúng

d) Góc nhị diện $\left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack$ có số đo bằng $45{^\circ}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ .

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B'$ và $BC$ bằng $a$ . Đúng||Sai

b) Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{'}D^{'}$ bằng $\ 45{^\circ}$ . Đúng||Sai

c) Góc giữa đường thẳng $CD'$ và mặt phẳng $(A'B'C'D')$ bằng $60{^\circ}$ . Sai||Đúng

d) Góc nhị diện $\left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack$ có số đo bằng $45{^\circ}$ . Đúng||Sai

a) Vì $A'B'\bot BB'$ , $BC\bot BB'$ nên $d(A'B',BC) = BB' = a$ . Mệnh đề đúng.

b) Do $AB//A'B'$ nên $(AB,B'D') = (A'B',B'D') = 45{^\circ}$ . Mệnh đề đúng.

c) Vì $CC'\bot(A'B'C'D')$ nên $\left( CD',(A'B'C'D') ight) = (CD',C'D') = 45{^\circ}$ . Mệnh đề sai.

d) Ta có $B'C'\bot BB'$ , $B'D'\bot BB'$ nên góc nhị diện $\left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack$ có số đo bằng $\widehat{D'B'C'} = 45{^\circ}$ . Mệnh đề đúng
Câu 19: Vận dụng
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $A'.ABC$ . là tứ diện đều cạnh $a$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AA';BB'$ . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(CMN)$ .
- A.
  $\frac{\sqrt{2}}{5}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{2}}{4}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{2}}{5}$
- D.
  $\frac{4\sqrt{2}}{13}$
Hình vẽ minh họa

Gọi O là trung điểm của AB

Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho $\left\{ \begin{matrix} O(0;0;0),A\left( \frac{1}{2};0;0 ight),B\left( - \frac{1}{2};0;0 ight) \\ C\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{2};0 ight),H\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};0 ight);AH' = \frac{a\sqrt{6}}{3} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow A'\left( 0;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'} \Rightarrow B'\left( - 1;\frac{\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{6}}{3} ight)$ . Dễ thấy $(ABC)$ có VTTP $\overrightarrow{n_{1}} = (0;0;1)$

M là trung điểm AA′ $\Rightarrow M\left( \frac{1}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)$

N là trung điểm BB′ $\Rightarrow N\left( \frac{- 3}{4};\frac{\sqrt{3}}{12};\frac{\sqrt{6}}{6} ight)$

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MN} = ( - 1;0;0) \\\overrightarrow{CM} = \left( \dfrac{1}{4};\dfrac{-5\sqrt{3}}{12};\dfrac{\sqrt{6}}{6} ight) \\\end{matrix} ight.$

Suy ra $(CMN)$ có VTTP $\overrightarrow{n_{2}} = \left( 0;\frac{\sqrt{6}}{6};\frac{5\sqrt{3}}{12} ight) = \frac{\sqrt{3}}{12}\left( 0;2\sqrt{2};5 ight)$

$\cos\varphi = \frac{5}{\sqrt{33}}\Rightarrow \tan\varphi = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\varphi} - 1} =\frac{2\sqrt{2}}{5}$
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(P):x + \sqrt{2}y - z + 3 = 0$ cắt mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 5$ theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là:
- A.
  $\frac{11\pi}{4}$
- B.
  $\frac{9\pi}{4}$
- C.
  $\frac{15\pi}{4}$
- D.
  $\frac{7\pi}{4}$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính $R = \sqrt{5}$

Khoảng cách từ $O$ đến (P): $d\left( O;(P) ight) = \frac{3}{2}$

Bán kính đường tròn giao tuyến

$r = \sqrt{R^{2} - \left\lbrack d\left( O;(P) ight) ightbrack^{2}} = \sqrt{5 - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{11}{4}}$

Diện tích đường tròn giao tuyến $S = 2\pi r^{2} = \frac{11\pi}{4}$ .

65 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!