Cho mặt cầu tâm I bán kính
. Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm I một khoảng bằng
. Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:
Theo đề bài, mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn
.
Vậy .
Cho mặt cầu tâm I bán kính
. Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm I một khoảng bằng
. Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:
Theo đề bài, mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn
.
Vậy .
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
, Hai điểm
thay đổi sao cho
và
. Mặt phẳng
luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định đi qua
có bán kính là
Phương trình . Gọi
và
là tâm và bán kính mặt cầu cố định trong đề bài, phương trình mặt cầu là
.
Ta có khoảng cách từ đên
là
Vì
Nếu
Đẳng thức đúng với mọi nên
hay
, thay vào phương trình mặt cầu ta có R = 1.
Nếu
Đẳng thức đúng với mọi m ∈ (0; 1) nên hay
thay vào phương trình mặt cầu ta có
không thỏa mãn.
Vậy .
Cho tứ giác ABCD có
. Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua A, B và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3.

Theo đề bài, ta có mp (P) cắt cạnh CD tại E, E chia đoạn CD theo tỷ số -3
Từ đó, ta suy ra:
Như vậy, VTPT mp (P) là:
Trong không gian
, cho đường thẳng
. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng
?
Thay vào
ta được:
Thay vào
ta được:
Thay vào
ta được:
hệ vô nghiệm nên
.
Thay vào
ta được:
Khoảng cánh giữa hai đường thẳng :
và
là:
Chuyển d1 về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của (d1):
.
Chuyển (d2) về dạng tham số :
Qua đó, ta có và 1 vectơ chỉ phương của
Áp dụng công thức tính Khoảng cách d1 và d2 , ta được:
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Điểm
nào dưới đây thuộc
và thỏa mãn khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
?
Vì A ∈ (d) nên ta có tọa độ điểm A(2a; −a; a − 1).
Khoảng cách từ A đến (P) là
Với
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
. Điểm
là điểm thuộc mặt phẳng
sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó,
có giá trị là:
Chọn sao cho
Ta tính được
Ta thấy
Do vậy, biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.
Vậy M là hình chiếu vuông góc của lên (Oxy)
Ta xác định được
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho đường thẳng
có phương trình tham số là
Gọi vectơ chỉ phương của đường thẳng
, ta chọn
Giả sử , chọn
suy ra phương trình tham số d là:
.
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho phương trình
. Viết phương trình mặt phẳng
, biết
song song với mặt phẳng
và cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có chu vi
?
Vì nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
.
Đường tròn lớn có chu vi là nên bán kính của
là
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3
Từ đó ta có:
Vì nên phương trình mặt phẳng (α) là
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD) và SA = a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SB, SD. Côsin của góc hợp bới hai mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
Vectơ pháp tuyến của mp(AEF) là
Vectơ pháp tuyến của mp(ABCD) là:
Vậy côsin góc giữa 2 mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua hai điểm
và có một vectơ chỉ phương
.
Theo đề bài ta có:
Như vậy, VTPT của (P) là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương
Mp (P) đi qua và nhận vecto
làm 1 VTPT có phương trình là:
Trong không gian
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
và tạo với mặt phẳng
một góc
thỏa mãn
là
Giả sử có vectơ pháp tuyến
có vectơ chỉ phương
có phương trình x = 0 nên có vectơ pháp tuyến
Mà
Thay (1) vào (2) ta được
Chọn ta có
Hay , Vậy
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu
tại điểm
là:
Mặt cầu có tâm
.
Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.
Do (α) tiếp xúc với (S) tại P nên mặt phẳng (α) đi qua P và có vectơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng (α) là
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
có tâm là điểm
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo thiết diện là đường tròn có bán kính
. Diện tích của mặt cầu
là:
Ta có:
Vậy diện tích mặt cầu là: .
Cho 3 mặt phẳng
. Mặt phẳng
chứa giao tuyến của
,vuông góc với
có phương trình tổng quát:
Mặt phẳng thuộc chùm mặt phẳng
nên phương trình có dạng:
Vì vuông góc với
nên ta được:
Vậy ta có phương trình là :
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng tọa độ
. Viết phương trình đường thẳng
.
Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến và có phương trình y = 0.
Suy ra
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).
Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là .
Trong không gian với hệ toạ độ
, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : .
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
, sin của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
Trong không gian
, đường thẳng
có một vectơ chỉ phương là:
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là: