Trong không gian
, phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm
là:
Ta có là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
đi qua điểm
, nên có phương trình là:
.
Trong không gian
, phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm
là:
Ta có là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
đi qua điểm
, nên có phương trình là:
.
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho hai điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho khoảng cách từ
đến
là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách
từ
đến mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho khoảng cách từ
đến
là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách
từ
đến mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Cho tứ giác ABCD có
. Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua A, B và chia tứ diện thành hai khối ABCE và ABDE có tỉ số thể tích bằng 3.

Theo đề bài, ta có mp (P) cắt cạnh CD tại E, E chia đoạn CD theo tỷ số -3
Từ đó, ta suy ra:
Như vậy, VTPT mp (P) là:
Trong không gian với hệ toạ độ
, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : .
Một hình cầu có bán kính là 2m, một mặt phẳng cắt hình cầu theo một hình tròn có độ dài là
. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng là:
Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d, ta có .
Theo giả thiết R = 2m và .
Vậy .
Cho mặt cầu tâm
, bán kính
. Xét mặt phẳng
thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn
. Hình nón
có đỉnh S nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn
và có chiều cao là
. Hình trụ
có đáy là đường tròn
và có cùng chiều cao với hình nón
. Tính thể tích
khối trụ được tạo nên bởi
theo
, biết
có giá trị lớn nhất.
Hình vẽ minh họa
Gọi khoảng cách từ dến mặt phẳng
là
với
, đường tròn
có bán kính là
.
Ta có và
.
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, tính khoảng cách giữa đường thẳng
và trục
.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương và đi qua điểm
Trục Ox có vectơ chỉ phương và đi qua điểm
Khoảng cách giữa đường thẳng d và trục Ox là:
Trong không gian
, mặt phẳng
. Một véc tơ pháp tuyến của
có tọa độ là?
Mặt phẳng có VTPT là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
lần lượt có phương trình là
và cho điểm
. Tìm phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng
?
Ta có:
Do vuông góc với
nên
Chọn
Hơn nữa đi qua
nên có phương trình là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, mặt cầu
đi qua điểm
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
khác
thỏa mãn tam giác
có trọng tâm là điểm
. Tọa độ tâm của mặt cầu
là:
Gọi tọa độ các điểm trên ba tia lần lượt là
với
Vì G là trọng tâm tam giác nên
Gọi phương trình mặt cầu cần tìm là:
Vì qua các điểm
nên ta có hệ phương trình:
Vậy tọa độ tâm của mặt cầu là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, giá trị dương của tham số
sao cho mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu
là:
Ta có: có phương trình
Mặt cầu có tâm
và bán kính
Để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
thì
. Vì m nhận giá trị dương nên
.
Vậy thỏa yêu cầu đề bài.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Gọi
là mặt phẳng chứa đường thẳng
và tạo với mặt phẳng
một góc
. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
?
Ta viết phương trình đường thẳng
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên có dạng:
⇒ có một vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Ta có:
Chọn
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho bốn điểm
,
và M thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng
nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng
hợp với mặt phẳng
các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của OM.
Hình vẽ minh họa
Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC).
Giả thiết suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên thỏa mãn
Ta có , suy ra
Phương trình đường thẳng MH nhận làm vectơ chỉ phương nên MH là:
Khi đó:
Trong không gian
cho hai mặt phẳng ![]()
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Tính số đo góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .
Khi đó ta có:
Trong không gian
, cho đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
. Một vectơ chỉ phương của
là:
Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là .
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α) nên có vectơ chỉ phương là
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Điểm
nào dưới đây thuộc
và thỏa mãn khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
?
Vì A ∈ (d) nên ta có tọa độ điểm A(2a; −a; a − 1).
Khoảng cách từ A đến (P) là
Với
Trong không gian
, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu có tâm
và bán kính
?
Mặt cầu tâm , bán kính
có phương trình lá:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba đường thẳng ![]()
![]()
. Đường thẳng
vuông góc với
đồng thời cắt
tương ứng tại
sao cho độ dài
nhỏ nhất. Biết rằng
có một vectơ chỉ phương
. Giá trị
bằng?
Ta có
Suy ra
Đường thẳng d có một VTCP là
Ta có:
khi và chỉ khi
Trong không gian
,cho tam giác
vuông tại
,
, đường thẳng
có phương trình
, đường thẳng
nằm trên mặt phẳng
. Biết
là điểm có hoành độ dương, gọi
là tọa độ của
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Ta thấy đường thẳng AB có một VTCP là , mặt phẳng (α) có một VTPT là
nên góc giữa AB và (α) là
với
Suy ra
Hơn nữa, AC ⊂ (α) và BC ⊥ AC nên C là hình chiếu của B trên (α).
Ta tìm tọa độ của
Ta viết lại . Điểm A là giao điểm của AB và (α).
Xét phương trình .
Vậy .
Gọi , ta có
Suy ra t’ = −1 hoặc t’ = −3.
Mà B có hoành độ dương nên ta chọn t = −1, khi đó B(2; 3; −4).
Đường thẳng BC vuông góc với (α) nên nhận làm một VTCP, do đó
C chính là giao điểm của BC và (α).
Xét phương trình
Suy ra . Vậy
.