Trong không gian
, tìm tất cả các giá trị của
để phương trình
là phương trình của một mặt cầu?
Phương trình là một mặt cầu
.
Trong không gian
, tìm tất cả các giá trị của
để phương trình
là phương trình của một mặt cầu?
Phương trình là một mặt cầu
.
Cho đường tròn (C) đường kính AB và đường thẳng
. Để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh
là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:
Điều kiện để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh là một mặt cầu là trục quay
phải cố định và hai điểm A, B cũng cố định trên
.
Cho hai đường thẳng (d1 ):
và ![]()
Xét VTTĐ của (d1 ) và (d2 )? Tìm câu đúng ?
Chuyển đường thẳng (d1 ) và (d2 ) về dạng tham số :
có vectơ chỉ phương
và qua
.
có vectơ chỉ phương
và hệ phương trình
vô nghiệm.
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt đường thẳng
tại
. Tính độ dài đoạn
.
Điểm . Mặt khác
nên
Điểm .
Cho đường thẳng
có một vec-tơ chỉ phương là:
Ta có vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng
và
lần lượt là
Ta có vectơ chỉ phương của (D) là tích có hướng của 2 vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng:
Trong không gian
, mặt phẳng
có phương trình là
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
là một véc-tơ pháp tuyến nên phương trình của mặt phẳng
là
.
Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại
và
,
,
vuông góc với mặt đáy
,
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Tính cosin của góc giữa
và
.
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục như hình vẽ, với
. Khi đó ta có:
.
Khi đó:
Ta có: . Gọi
là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) ta có
Lại có
Gọi α là góc giữa MN và (SAC) ta có:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và hai điểm
. Gọi
là mặt phẳng qua
và vuông góc với
. Phương trình nào là phương trình của mặt phẳng
?
Vì là mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với
nên mặt phẳng
nhận
làm hai vectơ chỉ phương.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Gọi
là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng
với
. Tính giá trị
.
Hình vẽ minh họa
Ta có: mà
nên
Suy ra (P): 2x + 2y + z + d = 0.
Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).
Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên có
Gọi r là bán kính đường tròn tâm H.
Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức
Ta có:
Đặt
Mà
Vậy
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng
?
Điểm không thuộc mặt phẳng
.
Với giá trị nào của m thì mặt phẳng
cắt mặt cầu
?
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I có tọa độ là
(P) cắt (S) khi:
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
?
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
nên
có một vectơ chỉ phương là
.
Phương trình là
Kiểm tra được điểm thỏa mãn hệ (*).
Vậy phương trình: cũng là phương trình của
.
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính góc tạo bởi
với trục
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Trục có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa và mặt phẳng
:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
Gọi O = AC ∩ BD
Tam giác SAO vuông nên suy ra
Gắn tọa độ như hình vẽ:
Ta có:
Vì G là trọng tâm tam giác SCD nên
Ta có:
Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
, với
là tham số. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo một đường tròn có chu vi
. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc
bằng:
Mặt cầu có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.
Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:
Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Cho tam giác ABC với
. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
song song phân giác ngoài AF của góc A?
Một vecto chỉ phương của là
Ta có :
Vecto chỉ phương thứ hai
Suy ra vecto pháp tuyến của là
Mp đi qua
và nhận vecto
làm 1 VTPT có phương trình là:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a; AD = b; AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với
lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng MN.
Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:
(MN) là đường thẳng đi qua M và nhận vecto là 1 VTCP có PT là:
Trong không gian với hệ tọa độ
cho hai mặt phẳng
và
. Có bao nhiêu điểm
trên trục
thỏa mãn
cách đều hai mặt phẳng
và
?
Vì nên
Ta có: .
Theo giả thiết:
Vậy có 1 điểm thỏa mãn bài.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và hai mặt phẳng
. Dường thẳng đi qua
và song song với hai mặt phẳng
có phương trình là
Gọi là đường thẳng cần tìm.
Mặt phẳng có một véc-tơ pháp tuyến là
và
có một vectơ pháp tuyến là
. Ta có
.
Khi đó, đi qua điểm
và nhận véc-tơ
làm vec-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng
là
Với thì điểm
thuộc
. Viết lại phương trình đường thẳng