Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{- 1}$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.$ . Mặt phẳng $(P)$ qua $d_{1}$ tạo với $d_{2}$ một góc $45^{0}$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n} = (1;b;c)$ làm một vectơ pháp tuyến. Xác định tích $b.c$ ?
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} b.c = - 4 \\ b.c = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} b.c = 4 \\ b.c = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $b.c = - 4$
- D.
  $b.c = 4$
Hai đường phẳng $d_{1};d_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_{1}} = (2; - 2; - 1),\overrightarrow{u_{2}} = (1;0 - 1)$

Mặt phẳng (P) đi qua $d_{1} \Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_{1}} = 0 \Leftrightarrow 2 - 2b - c = 0\ \ (1)$

$\Rightarrow \sin\left( d_{2};(P) ight)= \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_{2}} ight|}{\left|\overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u_{2}} ight|} =\sin45^{0}$

$\Leftrightarrow \frac{|1 - c|}{\sqrt{b^{2} + c^{2} + 1}.\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow |1 - c| = \sqrt{b^{2} + c^{2} + 1} \Leftrightarrow b^{2} + 2c = 0(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 2 \\ c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow bc = - 4$
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu có tâm $I(1;1;1)$ và có diện tích bằng $4\pi$ có phương trình là:
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 4$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 1$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 4$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$
Ta có: $S = 4\pi R^{2} = 4\pi \Rightarrow R = 1$

Vậy mặt cầu tâm $I(1;1;1)$ có bán kính $R = 1$ có phương trình:

$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$ .
Câu 3: Vận dụng cao
Cho điểm P(-3 , 1, -1) và đường thẳng (d): $\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.$
Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:
- A. P'(5, 7, 3)
- B. P' (-5, 7, -3)
- C. P' (5, -7, 3)
- D. P' (-5, -7, 3)
Chuyển (d) về dạng tham số : $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2} + 3t\\y = - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.$
Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: $3x + 4y + 2z + D = 0$ , cho qua P tính được D=7 .
Ta có (Q): $3x + 4y + 2z + 7 = 0$ .
Thế x, y, z theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được $t = \frac{1}{2}$
Giao điểm I của (d) và (Q) là I (1, -3, 1) .
Vì I là trung điểm của PP’ nên $\Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight)$ .
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , tính khoảng cách từ điểm $M(1;2; - 3)$ đến mặt phẳng $(P):x + 2y - 2z - 2 = 0$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $\frac{11}{3}$
- C.
  $\frac{1}{3}$
- D.
  $1$
Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P):x + 2y - 2z - 2 = 0$ là:

$d\left( M;(P) ight) = \frac{\left| 1 + 2.2 - 2( - 3) - 2 ight|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = 3$
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):x + z + 4 = 0,(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):x + z + 4 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (1;0;1)$

$(Q):x - 2y + 2z + 4 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 2;2)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$ $= \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 6: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 3 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của $d$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u} = (2;0; - 3)$
- B.
  $\overrightarrow{u} = (2; - 3;5)$
- C.
  $\overrightarrow{u} = (2;3; - 5)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = (2;0;5)$
Ta có: $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = - 3t \\ z = - 3 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u} = (2; - 3;5)$
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình mặt cầu $(S)$ đường kính $AB$ biết $A(2; - 1; - 3),B(0;3; - 1)$ ?
- A.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6$
- B.
  $(S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 24$
- C.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 24$
- D.
  $(S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6$
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ khi đó $I(1;1; - 2)$ là tâm mặt cầu $(S)$ .

Bán kính $R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 16 + 4} = \frac{\sqrt{24}}{2}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $(S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 6$ .
Câu 8: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tứ diện đều $ABCD$ có $A(4; - 1;2),B(1;2;2),C(1; - 1;5),D\left( x_{D};\ y_{D};z_{D} ight)$ với $y_{D} > 0$ . Tính $p = 2x_{D} + \ y_{D} - z_{D}$ ?
- A.
  $P = - 3$
- B.
  $P = 1$
- C.
  $P = - 7$
- D.
  $P = 5$
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G(2; 0; 3).

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 3;3;0) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 3;0;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;\ 1;\ 1)$

$AB = 3\sqrt{2}$

Đường thẳng đi qua G vuông góc với (ABC) có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Do đó $D(2 + t;t;3 + t)$

Mà $AD = AB \Rightarrow (t - 2)^{2} + 2(t + 1)^{2} = 18 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \\ t = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $y_{D} > 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow P = 5$
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2;0; - 1)$ và mặt phẳng $(P):x + y - 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua $A$ đồng thời song song với $(P)$ và mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix}x = 3 + t \\y = 2t \\z = 1 - t \\\end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix}x = 2 + t \\y = - t \\z = - 1 \\\end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix}x = 1 + 2t \\y = - 1 \\z = - t \\\end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix}x = 3 + t \\y = 1 + 2t \\z = - t \\\end{matrix} ight.$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{n_{(P)}} = (1;1;0) \\\overrightarrow{n_{(Oxy)}} = (0;0;1) \\\end{matrix} ight.$ . Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$ đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy).
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{(P)}} \\\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{(Oxy)}} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack\overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Oxy)}} ightbrack = (1;- 1;0)$
Vậy $\left\{ \begin{matrix}x = 2 + t \\y = - t \\z = - 1 \\\end{matrix} ight.$ .
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;6;0),B(0;0; - 2);C( - 3;0;0)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua ba điểm $A;B;C$ là:
- A.
  $- 2x + y - 3z + 6 = 0$
- B.
  $\frac{x}{6} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 3} = 1$
- C.
  $2x - y + 3z + 6 = 0$
- D.
  $\frac{x}{3} + \frac{y}{- 6} + \frac{z}{2} = 1$
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

Ta có $\frac{x}{3} + \frac{y}{- 6} + \frac{z}{2} = 1$

$\Leftrightarrow - 2x + y - 3z = 6$

$\Leftrightarrow 2x - y + 3z + 6 = 0$
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ lần lượt có phương trình là $x - 4z + 8 = 0,2x - 8z = 0,y = 0$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $(P) \equiv (Q)$
- B.
  $(P)$ cắt $(Q)$
- C.
  $(R)//(Q)$
- D.
  $(P)$ cắt $(R)$
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{p} = (1;0; - 4)$ và mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{r} = (0;1;0)$

Do $\overrightarrow{p} eq k.\overrightarrow{r};\forall k\mathbb{\in R}$ nên vectơ $\overrightarrow{p}$ không cùng phương với vectơ $\overrightarrow{r}$ .

Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P).
Câu 12: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD) và SA = a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SB, SD. Côsin của góc hợp bới hai mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $\sqrt{3}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho $A≡ O, B∈Ox, D∈Oy, S∈Oz.$

$\Rightarrow B(a;0;0),D(0;a;0),S(0;0;a)$

$\Rightarrow E\left( \frac{a}{2};0;\frac{a}{2} ight),F\left( 0;\frac{a}{2};\frac{a}{2} ight)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AE} = \left( \frac{a}{2};0;\frac{a}{2} ight);\overrightarrow{AF} = \left( 0;\frac{a}{2};\frac{a}{2} ight)$

Vectơ pháp tuyến của mp(AEF) là $\overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AF} ightbrack = \left( \frac{- a}{4};\frac{- a}{4};\frac{a}{4} ight)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{1}} = (1;1; - 1)$

Vectơ pháp tuyến của mp(ABCD) là: $\overrightarrow{n_{2}} = \overrightarrow{AS} = (0;0;a)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{2}} = (0;0;1)$

Vậy côsin góc giữa 2 mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là:

$\cos\left( (AEF);(ABCD) ight) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Câu 13: Thông hiểu
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng chéo nhau $\left( d_{1} ight):\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 6}{- 2}$ và $\left( d_{2} ight):\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 2}{- 2} = \frac{z + 1}{3}$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\left( d_{1} ight)$ và song song với $\left( d_{2} ight)$ là
- A.
  $(P):x + 8y + 5z + 16 = 0$
- B.
  $(P):x + 8y + 5z - 16 = 0$
- C.
  $(P):2x + y - 6 = 0$
- D.
  $(P):x + 4y + 3z - 12 = 0$
Phương trình tham số $\left( d_{1} ight):\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t_{1} \\ y = - 2 + t_{1} \\ z = 6 - 2t_{1} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t_{1}\mathbb{\in R} ight)$

$\left( d_{1} ight)$ đi qua điểm $M(2; - 2;6)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2)$

Phương trình tham số $\left( d_{2} ight):\left\{ \begin{matrix} x = 4 + t_{2} \\ y = - 2 - 2t_{2} \\ z = - 1 + 3t_{2} \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t_{2}\mathbb{\in R} ight)$

$\left( d_{2} ight)$ đi qua điểm $N(4; - 2; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;3)$

Vì mặt phẳng $(P)$ chứa $\left( d_{1} ight)$ và song song với $\left( d_{2} ight)$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{u_{1}} \\ \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = - (1;8;5)$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(2; - 2;6)$ và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 2)$ nên phương trình mặt phẳng $(P):(x - 2) + 8(y + 2) + 5(z - 6) = 0$ hay $(P):x + 8y + 5z - 16 = 0$ .
Câu 14: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(0;2; - 2),B(2;2; - 4)$ . Giả sử $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$ . Tính $T = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .
- A.
  $T = 8$
- B.
  $T = 2$
- C.
  $T = 6$
- D.
  $T = 14$
Ta có: $\overrightarrow{OA} = (0;2; - 2),\overrightarrow{OB} = (2;2; - 4)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 4; - 4; - 4)$

Mặt phẳng (OAB) đi qua O và có vec-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = - \frac{1}{4}\left\lbrack \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} ightbrack = (1;1;1)$ nên có phương trình $x + y + z = 0$ .

Ta xác định được $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AI} = (a;b - 2;c + 2) \\ \overrightarrow{BI} = (a - 2;b - 2;c + 4) \\ \overrightarrow{OI} = (a;\ b;\ c) \\ \end{matrix} ight.$

Theo giả thiết $\left\{ \begin{matrix} AI = BI \\ AI = OI \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + (c + 2)^{2} = (a - 2)^{2} + (c + 4)^{2} \\ (b - 2)^{2} + (c + 2)^{2} = b^{2} + c^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - c = 4\ \ \ (1) \\ - b + c = - 2\ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt khác $I \in (OAB) \Rightarrow a + b + c = 0\ (3)$

Giải hệ gồm (1), (2) và (3) ta được $a = 2,b = 0,c = - 2$ .

Vậy $I(2;0; - 2) \Rightarrow T = a^{2} + b^{2} + c^{2} = 8$ .
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , hình chiếu vuông góc của điểm $M(2;3;4)$ trên mặt phẳng $(P):2x - y - z + 6 = 0$ là điểm nào dưới đây?
- A.
  $(2;8;2)$
- B.
  $\left( 1;\frac{7}{2};\frac{9}{2} ight)$
- C.
  $\left( 3;\frac{5}{2};\frac{7}{2} ight)$
- D.
  $(1;3;5)$
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P).

Khi đó phương trình tham số của ∆ là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 4 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (M).

Tọa độ điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix}x = 2 + 2t \\y = 3 - t \\z = 4 - t \\2x - y - z + 6 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\y = \dfrac{7}{2} \\z = \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.$

Vậy $M'\left( 1;\frac{7}{2};\frac{9}{2} ight)$
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 4),B(1; - 3;1),C(2;2;3)$ . Tính đường kính $l$ của mặt cầu $(S)$ đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ ?
- A.
  $l = 2\sqrt{13}$
- B.
  $l = 2\sqrt{4}$
- C.
  $l = 2\sqrt{26}$
- D.
  $l = 2\sqrt{11}$
Gọi tâm mặt cầu là $I(x;y;0)$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} IA = IB \\ IA = IC \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} + 1^{2}} \\ \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + 3^{2}} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (y - 2)^{2} + 4^{2} = (y + 3)^{2} + 1 \\ x^{2} - 2x + 1 + 16 = x^{2} - 4x + 4 + 9 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10y = 10 \\ 2x = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow l = 2R = 2\sqrt{( - 3)^{2} + ( - 1)^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{26}$ .
Câu 17: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , , cho hai mặt cầu $(S_1), (S_2)$ có phương trình lần lượt là $(x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 1)^2 = 16$ và $(x − 2)^2 + (y − 1)^2 + (z − 5)^2 = 4$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với cả hai mặt cầu $(S_1), (S_2)$ . Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $\frac{9}{2} - \sqrt{45}$
- B.
  $\sqrt{15}$
- C.
  $\frac{9 + \sqrt{15}}{2}$
- D.
  $\frac{8\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S₁) có tâm I(2; 1; 1) và bán kính $R_1 = 4$ .

Mặt cầu (S₂) có tâm J(2; 1; 5) và bán kính $R_2 = 2$ .

Gọi A, B lần lượt là hai tiếp điểm của (S₁), (S₂) với mặt phẳng (P).

Gọi M là giao điểm của IJ với mặt phẳng (P). Ta có:

$\frac{MI}{MJ} = \frac{IA}{IB} = 2$

Suy ra J là trung điểm của IM, do đó M(2; 1; 9).

Gọi véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (a;b;c),\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 ight)$ khi đó phương trình của mặt phẳng (P) là

$a(x − 2) + b(y − 1) + c(z − 9) = 0$

Ta có:

$d\left( I;(P) ight) = 4 \Leftrightarrow \frac{|8c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = 4$

$\Leftrightarrow \frac{|c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 3c^{2}$

$\Leftrightarrow \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} = 3\ \ \ (1)$

Mặt khác $d\left( O;(P) ight) = \frac{|2a + b + 9c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{|2a + b + 9c|}{2c} = \frac{1}{2}\left| \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} + 9 ight|\ \ \ (2)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

$\left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq \left( 2^{2} + 1^{2} ight)\left\lbrack \left( \frac{a}{c} ight)^{2} + \left( \frac{b}{c} ight)^{2} ightbrack\ \ \ (3)$

Từ (1) và (3) ta có: $\left( \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} ight)^{2} \leq 15 \Leftrightarrow - \sqrt{15} \leq \frac{2a}{c} + \frac{b}{c} \leq \sqrt{15}\ \ (4)$

Từ (2) và (4) suy ra:

$\frac{9 - \sqrt{15}}{2} \leq d\left( O;(P) ight) \leq \frac{9 + \sqrt{15}}{2}$

Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{9 + \sqrt{15}}{2}$ .
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ , biết $(\alpha)$ song song với mặt phẳng $(P):2x + y - 2z + 11 = 0$ và cắt mặt cầu theo thiết diện là một đường tròn có chu vi $8\pi$ ?
- A.
  $2x + y - 2z - 11 = 0$
- B.
  $2x - y - 2z - 7 = 0$
- C.
  $2x + y - 2z - 5 = 0$
- D.
  $2x + y - 2z - 7 = 0$
Vì $(α) // (P)$ nên phương trình mặt phẳng (α) có dạng $2x + y - 2z + c = 0$

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; 3)$ và bán kính $R = 5$ .

Đường tròn lớn có chu vi là $8\pi$ nên bán kính của $(S)$ là $\frac{8\pi}{2\pi} = 4$

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng P bằng 3

Từ đó ta có:

$d\left( I;(P) ight) = \frac{|2.1 + 2 - 2.3 + c|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + ( - 2)^{2}}} = 3$

$\Leftrightarrow | - 2 + c| = 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 11 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $(α) // (P)$ nên phương trình mặt phẳng (α) là $2x + y - 2z - 7 = 0$
Câu 19: Nhận biết
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$ thì $d$ song song với $(P)$ .
- B.
  $\overrightarrow{u}$ không vuông góc với $\overrightarrow{n}$ thì $d$ cắt $(P)$ .
- C.
  $d$ song song với $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{n}$ .
- D.
  $d$ vuông góc với $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$ .
$\overrightarrow{u}$ vuông góc $\overrightarrow{n}$ thì d có thể nằm trong $(P)$ .
$d$ song song $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ vuông góc $\overrightarrow{n}$ .
$d$ vuông góc $(P)$ thì $\overrightarrow{u}$ cùng phương $\overrightarrow{n}$ .
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - y + 2z + 1 = 0$ và đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ . Tính góc giữa đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Ta có: $\overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)$

Do đó: $\cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$

Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng $90^{0} - 60^{0} = 30^{0}$ .

37 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!