Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Với giá trị nào của tham số
thì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu?
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
Mặt phẳng (α) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là: .
Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Với giá trị nào của tham số
thì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu?
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
Mặt phẳng (α) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là: .
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
, Hai điểm
thay đổi sao cho
và
. Mặt phẳng
luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định đi qua
có bán kính là
Phương trình . Gọi
và
là tâm và bán kính mặt cầu cố định trong đề bài, phương trình mặt cầu là
.
Ta có khoảng cách từ đên
là
Vì
Nếu
Đẳng thức đúng với mọi nên
hay
, thay vào phương trình mặt cầu ta có R = 1.
Nếu
Đẳng thức đúng với mọi m ∈ (0; 1) nên hay
thay vào phương trình mặt cầu ta có
không thỏa mãn.
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt đường thẳng
tại
. Tính độ dài đoạn
.
Điểm . Mặt khác
nên
Điểm .
Trong không gian
, cho ba điểm
. Đường thẳng
qua trực tâm
của tam giác
và nằm trong mặt phẳng
cùng tạo với các đường thẳng
một góc
có một véc-tơ chỉ phương là
với
là số nguyên tố và
là số nguyên. Giá trị biểu thức
bằng bao nhiêu?
Ta có:
Theo đề bài, ta suy ra:
Vì ∆ ⊂ (ABC) nên
Trường hợp 1: Xét hệ phương trình:
Chọn c = 11, ta có (kiểm tra lại điều kiện
ta thấy
đang xét thỏa mãn).
Trường hợp 2: Xét hệ phương trình
Chọn c = 2, ta có (kiểm tra lại điều kiện
ta thấy
đang xét không thỏa mãn).
Vậy
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
, với
là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực
để mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
.
Gọi lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).
Ta có: . Để (P) ⊥ (Q)
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính góc tạo bởi
với trục
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Trục có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa và mặt phẳng
:
Trong không gian với hệ tọa độ
, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
và
.
Ta có:
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tam giác
có
. Độ dài đường cao của tam giác
kẻ từ
là:
Ta có:
Mà
Trong không gian tọa độ
, cho đường thẳng
và điểm
. Điểm đối xứng với điểm
qua đường thẳng
có tọa độ là:
Gọi
Vectơ chỉ phương của d là
Vì
Suy ra M(1; 1; 2), gọi A’(x; y; z) là điểm đối xứng của A qua d thì:
Điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng
có tọa độ là:
.
Trong không gian
cho hai mặt phẳng ![]()
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt cầu có tâm
và có diện tích bằng
có phương trình là:
Ta có:
Vậy mặt cầu tâm có bán kính
có phương trình:
.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a; AD = b; AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với
lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng MN.
Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:
(MN) là đường thẳng đi qua M và nhận vecto là 1 VTCP có PT là:
Cho mặt cầu
tâm O, bán kính R và mặt phẳng
có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc
. Đường thẳng OM cắt
tại N. Hình chiếu của O trên
là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Vì I là hình chiếu của O trên nên
mà
nên I là tiếp điểm của
và
.
Đường thẳng OM cắt tại N nên IN vuông góc với OI tại I.
Suy ra IN tiếp xúc với .
Tam giác OIN vuông tại I nên .
Trong không gian
, tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là
. Tính tổng ![]()
Hình vẽ minh họa
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.
Phương trình tham số của
Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.
Khi đó
Lại có:
Vậy lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K
Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).
Vectơ pháp tuyến của (Q) là
Vectơ pháp tuyến của (P) là
Phương trình mặt phẳng (P) là
Vậy
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho đường thẳng
có phương trình tham số là
Gọi vectơ chỉ phương của đường thẳng
, ta chọn
Giả sử , chọn
suy ra phương trình tham số d là:
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các điểm ![]()
và điểm
thuộc trục
sao cho hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai mặt phẳng
và
.
Ta có: thuộc trục
.
Ta có .
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
, mặt phẳng
có một vectơ pháp tuyến là
.
Hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau khi và chỉ khi
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
.
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng
và
. Khi đó
Vậy góc cần tìm bằng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
. Trong các vectơ sau, vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)?
Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:
với
.
Vectơ chỉ phương .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho các điểm
. Biết điểm
nằm trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
.
Vì M ∈ (Oxy) nên .
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có G(2; 1; 3).
Khi đó:
Dấu “=” xảy ra khi x= 2 và y= 1 hay M(2; 1; 0).
Vậy P = 3
Trong không gian
, cho các điểm
. Tập hợp các điểm
thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là:
Giả sử
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy tập hợp điểm thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là
.