Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $A(2;1;0)$ và đi qua điểm $B(0;1;2)$ ?
- A.
  $(x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 8$
- B.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 8$
- C.
  $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 64$
- D.
  $(x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 64$
Vì mặt cầu $(S)$ tâm $A(2;1;0)$ và đi qua điểm $B(0;1;2)$ nên mặt cầu $(S)$ nhận độ dài đoạn thẳng $AB$ làm bán kính.

Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 2;0;2) \Rightarrow AB = 2\sqrt{2}$

$\Rightarrow R = 2\sqrt{2}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 8$ .
Câu 2: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $M(0;1;3),N(10;6;0)$ và mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z - 10 = 0$ . Biết rằng tồn tại điểm $I( - 10;a;b)$ thuộc $(P)$ sao cho $|IM - IN|$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $T = a + b$ .
- A.
  $T = 5$
- B.
  $T = 1$
- C.
  $T = 2$
- D.
  $T = 6$
Thay tọa độ điểm M và N vào vế trái phương trình mặt phẳng (P), ta có $(0 - 2 + 3 - 10).(10 - 12 - 10) > 0$ nên hai điểm M, N nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P).

Khi đó ta có $|IM - IN| \leq MN$ và đẳng thức xảy ra khi $I = MN \cap (P)$

Phương trình tham số của đường thẳng MN là $\left\{ \begin{matrix} x = 10t \\ y = 1 + 5t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.$

Tọa độ giao điểm của MN và (P) là nghiệm hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} x = 10t \\ y = 1 + 5t \\ z = 3 - 3t \\ x - 2y + 2z - 10 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 10 \\ y = - 4 \\ z = 6 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $T = a + b = 2$
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x + y + 6z - 1 = 0$ và hai điểm $A(1; - 1;0),B( - 1;0;1)$ . Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng $AB$ trên mặt phẳng $(P)$ có độ dài bao nhiêu?
- A.
  $\sqrt{\frac{255}{61}}$
- B.
  $\sqrt{\frac{237}{41}}$
- C.
  $\sqrt{\frac{137}{41}}$
- D.
  $\sqrt{\frac{155}{61}}$
Ta có $\overrightarrow{BA} = (2; - 1; - 1)$ . Gọi α là góc giữa đường thẳng AB và (P).

Khi đó: $\sin\alpha = \left( \overrightarrow{BA};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{\left| 2.2 + 1.( - 1) + 6.( - 1) ight|}{\sqrt{41}.\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{246}}$

Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P) có độ dài bằng:

$AB.cos\alpha = AB.\sqrt{1 -\sin^{2}\alpha}$ $= \sqrt{6.\left( 1 - \frac{9}{246} ight)} =\sqrt{\frac{237}{41}}$
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z - 5}{4}$ và mặt phẳng $(P):x - 3y + 2z - 5 = 0$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $d$ cắt và không vuông góc với $(P)$ .
- B.
  $d$ vuông góc với $(P)$ .
- C.
  $d$ song song với $(P)$ .
- D.
  $d$ nằm trong $(P)$ .
Ta có: $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (2; - 3;4)$ , $(P)$ có véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 3;2)$ .

Do $\overrightarrow{u}$ không cùng phương $\overrightarrow{n}$ nên $d$ cắt $(P)$ .

Mặt khác $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 19 eq 0$ nên $d$ không vuông góc $(P)$ .

Vậy $d$ cắt nhưng không vuông góc với $(P)$ .
Câu 5: Nhận biết
Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha)$ qua điểm $B (3, 4, -5)$ và có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {3,1, - 1} ight),\,\,\,\overrightarrow b = \left( {1, - 2,1} ight)$ là:
- A. $x - 4y - 7z - 16 = 0$
- B. $x - 4y + 7z + 16 = 0$
- C. $x + 4y + 7z + 16 = 0$
- D. $x + 4y - 7z - 16 = 0$
Vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a \overrightarrow {,b} } ight] = \left( { - 1, - 4, - 7} ight)$ có thể thay thế bởi $\overrightarrow n = \left( {1,4,7} ight)$
Phương trình $(\alpha)$ có dạng $x + 4y + 7z + D = 0$
$B \in \left( \alpha ight) \Leftrightarrow 3 + 16 - 35 + D = 0 \Leftrightarrow D = 16$
Vậy $(\alpha): x + 4y +7z +16 = 0$
Câu 6: Vận dụng
Cho $A(1; - 1;0)$ và $(P):2x - 2y + z - 1 = 0$ . Điểm $M(a;b;c) \in (P)$ sao cho $MA\bot OA$ và đoạn $AM$ bằng 3 lần khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $a + b + c = - 3$
- B.
  $a + b + c = 3$
- C.
  $a + b + c = 5$
- D.
  $a + b + c = - 5$
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} M \in (P) \\ MA\bot OA \\ AM = 3d\left( A;(P) ight) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ 1(a - 1) - 1(b + 1) + 0(c - 0) = 0 \\ \sqrt{(a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + (c - 0)^{2}} = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 2b + c - 1 = 0 \\ a - b - 2 = 0 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = a - 2 \\ c = - 3 \\ (a - 1)^{2} + (b + 1)^{2} + c^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ c = - 3 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b + c = - 3$ .
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2;1;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 2}$ . Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
- A.
  $\frac{3\sqrt{5}}{2}$
- B.
  $\sqrt{5}$
- C.
  $2\sqrt{5}$
- D.
  $3\sqrt{5}$
Gọi $M(1;\ 2;\ 3) \in d$

$\Rightarrow AM = ( - 1;1;2) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 6;0; - 3)$

Ta có $d(A;d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{3\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$ .
Câu 8: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân
giác trong góc A là $\frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}$ . Biết rằng điểm $M(0; 5; 3)$ thuộc đường thẳng AB và điểm $N(1;1;0)$ thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?
- A. $\vec{u}(1;2;3)$
- B. $\vec{u}(0;-2;6)$
- C. $\vec{u}(0;1;-3)$
- D. $\vec{u}(0;1;3)$
Giả sử , $A(t; 6-4t; 6-3t)$ , ta có:
$\vec{u_d}=(1; -4; -3),$
$\vec{AM}=(-t;4t-1;-3+3t)$
$\vec{AN}=(1-t;-5+4t;3t-6)$
Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:
$\left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AM}) ight |= \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AN}) ight |$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left | 26t-13 ight |}{\sqrt{26t^2 -26t+10} } =\dfrac{\left | 26t-39 ight |}{\sqrt{26t^2 -78t+62} }$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left | 2t-1 ight |}{\sqrt{13t^2 -13t+5} } =\dfrac{\left | 2t-3 ight |}{\sqrt{13t^2 -39t+31} }$
Từ đây ta bình phương 2 vế được:
$(4t^2-4t+1)(13t^2-39t+31)=(4t^2-12t+9)(13t^2-13t+5)$
$\Leftrightarrow 14t=14$
$\Leftrightarrow t=1$
$\Rightarrow A(1;2;3)\Rightarrow \vec{AN}=(0; -1; -3)$
Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là $\vec{u}(0;1;3)$ .
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0; - 3)$ và đi qua điểm $M(4;0;0)$ . Phương trình mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 25$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 5$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 25$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 5$
Phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0; - 3)$ và bán kính $R$ là:

$x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = R^{2}$

Ta có: $M \in (S) \Rightarrow 4^{2} + 0^{2} + (0 + 3)^{2} = R^{2}$

$\Leftrightarrow R^{2} = 25$

Vậy phương trình cần tìm là: $x^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = 25$ .
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $H(1; 2; −2)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $H$ và cắt các trục $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ . Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với $(P)$ .
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
Hình vẽ minh họa

Vì H là trực tâm tam giác ABC nên $AH ⊥ BC, CH ⊥ AB$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB\bot(OHC) \\ BC\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} (ABC)\bot(OHC) \\ (ABC)\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OH\bot(ABC)$

Do vậy mặt cầu tâm O tiếp xúc với (P) nhận OH làm bán kính

⇒ Phương trình mặt cầu là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ .
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(1; - 1;2)$ và vectơ $\overrightarrow{n} = (2;4; - 6)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ qua A và nhận vectơ $\overrightarrow{n}$ làm vectơ pháp tuyến.
- A.
  $x + 2y - 3z - 5 = 0$ .
- B.
  $x + 2y - 3z + 7 = 0$ .
- C.
  $2x + 4y - 6z + 5 = 0$ .
- D.
  $x + 5y - 6z + 5 = 0$
Phương trình mặt phẳng có dạng:

$A\left( x - x_{A} ight) + B\left( y - y_{A} ight) + C\left( z - z_{A} ight) = 0$ .

$2(x - 1) + 4(y + 1) + 6(z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y - 3z + 7 = 0.$
Câu 12: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng $(P):x+y+2z-13=0$ . Xét các mặt cầu (S) có tâm $I(a;b;c)$ , đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Tính giá trị của biểu thức $T=a^2+2b^2+3c^2$ khi (S) có bán kính nhỏ nhất.
- A. $T=35$
- B. $T=20$
- C. $T=25$
- D. $T=30$
Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) ta có $IA + IH =2R$ nên R nhỏ nhất khi $I, A, H$ thẳng hàng và I là trung điểm của AH.
Phương trình AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là
$\left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \end{matrix}ight.$
Tọa độ H là nghiệm $(x;y;z)$ của hệ:
$\left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \\ x+y+2z-13=0 \end{matrix}ight.$
$\Rightarrow H(3;4;3)\Rightarrow I(2;3;1)$
Suy ra, ta có: $T=a^2+2b^2+3c^2 =2^2+2.3^2+3.1^2=25$
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x - 2z - 6 = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ cắt đồng thời vuông góc với $d$ ?
- A.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 2}{1}$
- B.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
- C.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
- D.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$
Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x - 2z - 6 = 0 \\ x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(2;4; - 2)$

Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$ , đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;1; - 1)$

Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1)$

Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1)$ nên có phương trình chính tắc: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(3;4;5)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 2z - 3 = 0$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$ . Tìm tọa độ điểm $H$ ?
- A.
  $H(1;2;2)$
- B.
  $H(2;5;3)$
- C.
  $H(6;7;8)$
- D.
  $H(2; - 3; - 1)$
Vì H là hình chiếu vuông góc của M lên (P) nên $H(3 + t;4 - t;5 + 2t)$

Điểm H thuộc mặt phẳng (P) nên ta có phương trình:

$(3 + t) - (4 - t) + 2(5 + 2t) - 3 = 0$

$\Leftrightarrow t = - 1 \Leftrightarrow H = (2;5;3)$
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):8x - 4y - 8z - 11 =0,$ $(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):8x - 4y - 8z - 11 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (8; - 4; - 8)$

$(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{2}; - \sqrt{2};0 ight)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 8.\sqrt{2} + 4.\sqrt{2} - 8.0 ight|}{\sqrt{8^{2} + ( - 4)^{2} + ( - 8)^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{2} ight)^{2} + \left( - \sqrt{2} ight)^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 16: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1),B(2;0;1),C( - 2;2;3)$ . Đường thẳng $\Delta$ qua trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ và nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ cùng tạo với các đường thẳng $AB;AC$ một góc $\alpha < 45^{0}$ có một véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ với $c$ là số nguyên tố và $a;b$ là số nguyên. Giá trị biểu thức $ab + bc + ca$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $- 67$
- B.
  $23$
- C.
  $- 33$
- D.
  $- 37$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (1; - 2;2);\overrightarrow{AC} = ( - 3;0;4)$

$\overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 8; - 10; - 6)$

$\cos(AB;\Delta) = \frac{|a - 2b + 2c|}{3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

$\cos(AC;\Delta) = \frac{| - 3a + 4c|}{5\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Theo đề bài, ta suy ra:

$\cos(AB;\Delta) = \cos(AC;\Delta)$

$\Leftrightarrow 5|a - 2b + 2c| = 3| - 3a + 4c|$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 7a - 5b - c = 0\ \ \ (1) \\ 2a + 5b - 11c = 0\ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.$

Vì ∆ ⊂ (ABC) nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_{(ABC)}} = 0 \Leftrightarrow 4a + 5b + 3c = 0\ \ (3)$

Trường hợp 1: Xét hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}7a - 5b - c = 0 \\4a + 5b + 3c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{- 2c}{11} \\b = \dfrac{- 5c}{11} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = \left(\dfrac{- 2c}{11};\dfrac{- 5c}{11};c ight)$

Chọn c = 11, ta có $\overrightarrow{u} = ( - 2; - 5;11)$ (kiểm tra lại điều kiện $\alpha < 45^{0}$ ta thấy $\overrightarrow{u}$ đang xét thỏa mãn).

Trường hợp 2: Xét hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} 2a + 5b - 11c = 0 \\ 4a + 5b + 3c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 7c \\ b = 5c \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = ( - 7c;5c;c)$

Chọn c = 2, ta có $\overrightarrow{u} = ( - 14;10;2)$ (kiểm tra lại điều kiện $\alpha < 45^{0}$ ta thấy $\overrightarrow{u}$ đang xét không thỏa mãn).

Vậy $ab + bc + ca = −67$
Câu 17: Thông hiểu
Cho hai điểm $A\left( {1, - 4,5} ight),B\left( { - 2,3, - 4} ight)$ và vectơ $\overrightarrow a = \left( {2, - 3, - 1} ight)$ . Mặt phẳng chứa hai điểm A, B và song song với vectơ $\vec{a}$ có phương trình:
- A. $34x - 21y + 5z - 25 = 0$
- B. $34x + 21y - 5z + 25 = 0$
- C. $34x + 21y + 5z + 25 = 0$
- D. $34x - 21y - 5z - 25 = 0$
Theo đề bài, ta có: $A\left( {1, - 4,5} ight);B\left( { - 2,3, - 4} ight)$
$\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 3,7, - 9} ight);\overrightarrow a = \left( {2, - 3, - 1} ight)$
Như vậy, $\vec{AB}$ và $\vec{a}$ sẽ là cặp vectơ chỉ phương của $(\beta)$
$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } ight] = \left( { - 34, - 21, - 5} ight) =\vec{n}$
Chọn $\overrightarrow n = \left( {34,21,5} ight)$ làm vectơ pháp tuyến của $(\beta)$
Phương trình mặt phẳng $(\beta)$ có dạng $34x + 21y + 5z + D = 0$
Mặt khác, vì điểm $A \in (\beta)$ nên thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng $(\beta)$ được: $34 - 84 + 25 + D = 0 \Leftrightarrow D = 25$
Vậy $(\beta)$ có phương trình là: $34x + 21y + 5z + 25 = 0$
Câu 18: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ đỉnh $A(2;0;0),B(0;4;0),$ $C(0;0;6),D(2;4;6)$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ . Viết phương trình mặt cầu $(S')$ có tâm trùng với tâm của mặt cầu $(S)$ và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu $(S)$ ?
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 6z = 0$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 14$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + 6z - 12 = 0$
Gọi phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

Vì $(S)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix} 2^{2} + 0^{2} + 0^{2} - 2.a.2 - 2.b.0 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 4^{2} + 0^{2} - 2.a.0 - 2.b.4 - 2.c.0 + d = 0 \\ 0^{2} + 0^{2} + 6^{2} - 2.a.0 - 2.b.0 - 2.c.6 + d = 0 \\ 2^{2} + 4^{2} + 6^{2} - 2.a.2 - 2.b.4 - 2.c.6 + d = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4a + d = - 4 \\ - 8b + d = - 16 \\ - 12c + d = - 36 \\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Suy ra tâm mặt cầu $I(1;2;3)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{14}$

Vậy phương trình mặt cầu $(S')$ có tâm trùng với tâm của mặt cầu $(S)$ và có bán kính gấp hai lần bán kính của mặt cầu $(S)$ là:

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 56$
Câu 19: Thông hiểu
Cho 3 mặt phẳng $\left( \alpha ight):x - 2z = 0,\left( \beta ight):3x - 2y + z - 3 = 0,\left( \gamma ight):x - 2y + z + 5 = 0$ . Mặt phẳng $(P)$ chứa giao tuyến của $(\alpha), (\beta)$ ,vuông góc với $(\gamma)$ có phương trình tổng quát:
- A. $11x + 2y - 15z + 3 = 0$
- B. $11x - 2y - 15z - 3 = 0$
- C. $11x + 2y + 15z - 3 = 0$
- D. $11x - 2y + 15z + 3 = 0$
Mặt phẳng $(P)$ thuộc chùm mặt phẳng $(\alpha), (\beta)$ nên phương trình có dạng:
$\left( {m + 3} ight)x - 2y + \left( {1 - 2m} ight)z - 3 = 0$
Vì $(P)$ vuông góc với $(\gamma)$ nên ta được:
$\left( {m + 3} ight).1 - 2.\left( { - 2} ight) + 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 8$
Vậy ta có phương trình $(P)$ là : $11x - 2y - 15z - 3 = 0$
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ , sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{5}{13}$
- B.
  $\frac{8}{13}$
- C.
  $\frac{1}{13}$
- D.
  $\frac{12}{13}$
Mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (4;3; - 1)$

Đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;3;1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}$

42 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!