Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2z - 7 =
0. Bán kính của mặt cầu (S) là:

    Ta có:

    x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2z - 7 =
0

    \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} -
2.( - 1)x - 2.0.y - 2.1z - 7 = 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - 1 \\
b = 0 \\
c = 1 \\
d = - 7 \\
\end{matrix} ight. suy ra tâm mặt cầu là: I( - 1;0;1)

    Bán kính mặt cầu là:

    R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} =
\sqrt{( - 1)^{2} + 0^{2} + 1^{2} - 7} = 3

  • Câu 2: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng (Q):x + y + z + 3 = 0, cách điểm M(3;2;1) một khoảng bằng 3\sqrt{3} biết rằng tồn tại một điểm X(a;b;c) trên mặt phẳng đó thỏa mãn a + b + c < - 2?

    Mặt phẳng song song với (Q) có dạng (P):x
+ y + z + m = 0,(m eq 3)

    d\left( M,(P) ight) = \frac{|3 + 2 + 1
+ m|}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 3(ktm) \\
m = - 15 \\
\end{matrix} ight.

    Với m = −15 thì với mọi X(a;b;c) \in
(P) ta có a + b + c - 15 = 0
\Leftrightarrow a + b + c = 15 > - 2

    Do đó không có mặt phẳng nào thỏa mãn đề bài

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),C(0;0;3),B(0;2;0). Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA^{2} = MB^{2} + MC^{2} là mặt cầu có bán kính là:

    Giả sử M(x;y;z)

    Ta có:\left\{ \begin{matrix}
MA^{2} = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} \\
MB^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} \\
MC^{2} = x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} \\
\end{matrix} ight.

    Theo bài ra ta có:

    MA^{2} = MB^{2} + MC^{2}

    \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} +
z^{2} = x^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} + x^{2} + y^{2} + (z -
3)^{2}

    \Leftrightarrow - 2x + 1 = (y - 2)^{2} +
x^{2} + (z - 3)^{2}

    \Leftrightarrow (x + 1)^{2} + (y -
2)^{2} + (z - 3)^{2} = 2

    Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn MA^{2} = MB^{2} + MC^{2} là mặt cầu có bán kính là R = \sqrt{2}.

  • Câu 4: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z- 3}{- 1},d_{2}:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 6}{3} chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của d_{1},d_{2}.

    Đường thẳng d_{1},d_{2} lần lượt có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u_{1}} = (1;1; -
1),\overrightarrow{u_{2}} = (1;2;3)

    Giả sử ∆ giao với d_{1},d_{2} lần lượt tại \left\{ \begin{matrix}
A(1 + s; - 2 + s;3 - s) \\
B(t;1 + 2t;6 + 3t) \\
\end{matrix} ight., khi đó ta có \overrightarrow{AB} = ( - 1 - s + t;3 - s + 2t;3 +
s + 3t)

    Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{AB} = 0 \\
\overrightarrow{u_{2}.}\overrightarrow{AB} = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1( - 1 - s + t) + 1(3 - s + 2t) - 1(3 + s + 3t) = 0 \\
1( - 1 - s + t) + 2(3 - s + 2t) + 3(3 + s + 3t) = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 3s = 1 \\14t = - 14 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}s = - \dfrac{1}{3} \\t = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Đường vuông góc chung của d_{1},d_{2} nhận \overrightarrow{AB} = \left( -
\frac{5}{3};\frac{4}{3}; - \frac{1}{3} ight) làm VTCP và đi qua điểm B( - 1; - 1;3)

    Vậy ta có phương trình đường thẳng: \frac{x + 1}{5} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z -
3}{1}

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC)?

    Phương trình mặt phẳng (ABC)\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{-
1} = 1

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3),B( - 2;4;4),C(4;0;5). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho độ dài đoạn thẳng GM ngắn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng GM.

    Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC nên G = (1;2;4)

    Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0.

    GM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (Oxy). Khi đó, ta có:

    GM = d\left( G,(Oxy) ight) =
\frac{4}{\sqrt{1}} = 4.

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - 2y + z - 3 = 0 và điểm A(1;2;0). Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P).

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; -
2;1) nên đường thẳng cần tìm có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{n} = (1; - 2;1).

    Vậy phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) là: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} =
\frac{z}{1}

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 =
0 và đường thẳng d:\frac{x - 1}{4}
= \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}, sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng:

    Mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 =
0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (4;3; - 1)

    Đường thẳng d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y -
6}{3} = \frac{z + 4}{1} có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;3;1)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| =
\frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left|
\overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} =
\frac{12}{13}

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó a > 0, b > 0, c > 0\frac{1}{a} + \frac{2}{b} +
\frac{3}{c} = 7. Biết mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 3)^2 = 72/7. Thể tích của khối tứ diện OABC là:

    Mặt phẳng (ABC) có phương trình là \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 2; 3) và bán kính R =
\sqrt{\frac{72}{7}}. Khi đó:

    d\left( I;(ABC) ight) = \dfrac{\left|\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} ight|}{\sqrt{\dfrac{1}{a^{2}} +\dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}}}} = \sqrt{\dfrac{72}{7}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} +
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{7}{2}

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:

    49 = \left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} +
\frac{3}{c} ight)^{2} \leq \left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ight)\left(
\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) =
\frac{7}{2}.14 = 49

    Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 2b = 3c. Thay vào giả thiết ta có:

    a = 2;b = 1;c = \frac{2}{3}

    Vì OABC là tứ diện vuông tại O nên V_{OABC} = \frac{abc}{2} =
\frac{2}{9}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):2x + 3y - z - 1 = 0(\beta):4x + 6y - mz - 2 = 0. Tìm m để hai mặt phẳng (\alpha)(\beta) song song với nhau.

    Mặt phẳng (\alpha) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{1}} = (2;3; -
1)

    Mặt phẳng (\beta) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{2}} = (4;6; -
m)

    Để (\alpha)//(\beta) thì \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{- 1}{- m} eq
\frac{- 1}{- 2}

    Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Khi đặt hệ tọa độ Oxyz vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu (S) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu (S) có phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y - 10z + 29 =
0. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.

    Đáp án : 18km

    Đáp án là:

    Khi đặt hệ tọa độ Oxyz vào không gian với các đơn vị trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu (S) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu (S) có phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y - 10z + 29 =
0. Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét.

    Đáp án : 18km

    Ta có x^{2} + y^{2} + z^{2} + 14x + 12y -
10z + 29 = 0

    \Leftrightarrow (x + 7)^{2} + (y + 6)^{2}
+ (z - 5)^{2} = 9^{2}.

    Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là 18km.

    Đáp số: 18km.

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ \overrightarrow{u} = (1;2; - 5) là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?

    Đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 6 - t \\
y = - 1 - 2t \\
z = 5t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{v} = ( -
1; - 2;5) cùng phương với vectơ \overrightarrow{u} = (1;2; - 5). Vậy \overrightarrow{u} = (1;2; - 5) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \left\{ \begin{matrix}
x = 6 - t \\
y = - 1 - 2t \\
z = 5t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;m). Để mặt phẳng (ABC) hợp với mặt phẳng (Oxy) một góc 60^{0} thì giá trị của m là

    Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{k} = (0;0;1)

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( -
1;2;0);\overrightarrow{AC} = ( - 1;0;m), suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)\overrightarrow{n} = \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack =
(2m;m;2)

    Theo bài ra ta có:

    cos60^{0} = \frac{\left|
\overrightarrow{k}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{k}
ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} \Leftrightarrow \sqrt{5m^{2}
+ 4} = 4

    \Leftrightarrow m^{2} = \frac{12}{5}
\Leftrightarrow m = \pm \sqrt{\frac{12}{5}}

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight.\left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.

    Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:

    Phương trình (d) cho biết A(2, 1, 0) \in (d) và (d) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a  = \left( {1, - 1,2} ight)

    Chuyển (\triangle ) về dạng tham số \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight. để có B(2, 3, 0) \in (\triangle ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow b  = \left( { - 2,0,1} ight) .

    Gọi I là trung điểm AB  thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ \in (P) .

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM}  = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0là phương trình của mặt phẳng (P).

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 + mt \\
y = t \\
z = - 1 + 2t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)d_{2}:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 - t' \\
y = 2 + 2t' \\
z = 3 - t' \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} ight). Giá trị của m để hai đường thẳng d_{1}d_{2} cắt nhau là

    Đường thẳng d_{1} đi qua A(1; 0; −1), có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{1}} = (m;1;2)

    Đường thẳng d_{2} đi qua B(1; 2; 3), có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{2}} = ( - 1;2; -
1)

    Ta có \left\lbrack
\overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 5;m -
2;2m + 1)\overrightarrow{AB} =
(0;2;4)

    Hai đường thẳng d và d 0 cắt nhau \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}}
ightbrack.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow m = 0

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + 2y - 8 = 0 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 + 2t \\
y = 2 - t \\
z = 3 + t \\
\end{matrix} ight.. Khoảng cách giữa đưởng thẳng d và mặt phẳng (P) bằng:

    Đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 + 2t \\
y = 2 - t \\
z = 3 + t \\
\end{matrix} ight. đi qua A(1;2;3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (2; - 1;1)

    Mặt phẳng (P):x + 2y - 8 = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} =
(1;2;0).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 2 - 2 + 0 = 0 \\
A otin (P) \\
\end{matrix} ight., nên đường thằng d song song với mặt phẳng (P).

    Vậy khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P):

    d\left( d;(P) ight) = d\left( A;(P)
ight) = \frac{|1 + 4 - 8|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} =
\frac{3}{\sqrt{5}}

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;1;1)B(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.

    Mặt phẳng (P) có một véctơ pháp tuyến \overrightarrow{n} =
\overrightarrow{AB} = (1;1;2)

    Phương trình mặt phẳng (P) là: x + y - 1 + 2(z - 1) = 0 hay (P):x + y + 2z - 3 = 0.

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A'B'C'D' và điểm M \in OI sao cho MO = \frac{1}{2}MI (tham khảo hình vẽ).

    Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng

    Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.

    Chọn hệ trục tọa độ sao cho A′(0;0;0), B′(1;0;0), D′(0;1;0) và A(0;0;1) (như hình vẽ)

    Khi đó ta có: M\left(
\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{3} ight)

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (1;0;0) \\\overrightarrow{MA} = \left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{2}{3}ight) \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\lbrack\overrightarrow{AB};\overrightarrow{MA} ightbrack = \left( 0; -\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{1}} = (0;
- 4;3) là VTPT của mặt phẳng (MAB)

    Lại có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{D'C'} = (1;0;0) \\\overrightarrow{MD'} = \left( \dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}ight) \\\end{matrix} ight.\Rightarrow \left\lbrack\overrightarrow{D'C'};\overrightarrow{MD'} ightbrack =\left( 0;\frac{1}{3}; - \frac{1}{2} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{2}} =
(0;2; - 3) là VTPT của mặt phẳng (MC’D’)

    Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng:

    \cos\left(
\overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight) = \frac{\left|
\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left|
\overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}}
ight|}

    = \frac{\left| 0.0 - 4.2 + 3.( - 3)
ight|}{\sqrt{0^{2} + ( - 4)^{2} + 3^{2}}.\sqrt{0^{2} + 2^{2} + ( -
3)^{2}}} = \frac{17\sqrt{13}}{65}

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{- 2} =
\frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} và mặt phẳng (P):2x - y - 2z + 1 = 0. Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: \Delta có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 2;2; -
1), (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (2; - 1; -
2).

    Từ đó: \sin\alpha = \left| \cos\left(
\overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ight) ight| = \left|
\frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{n}
ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} ight| =
\frac{4}{9}

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, hai điểm A(7; - 2;2)B(1;2;4). Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính AB?

    Mặt cầu nhận AB làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm I(4;0;3) của AB làm tâm và có bán kính R = \frac{AB}{2} = \sqrt{56}

    Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là (x
- 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 56.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 17 lượt xem
Sắp xếp theo