Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của
?
Ta có: suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của
?
Ta có: suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
Trong không gian
, mặt phẳng
có phương trình là
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
là một véc-tơ pháp tuyến nên phương trình của mặt phẳng
là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
cho ba điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian
, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm
và song song với mặt phẳng
?
Mặt phẳng có phương trình là
nên có một vectơ pháp tuyến là
.
Phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng
.
Cho hình lập phương
có tâm
. Gọi
là tâm của hình vuông
và điểm
sao cho
(tham khảo hình vẽ).

Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng
Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho A′(0;0;0), B′(1;0;0), D′(0;1;0) và A(0;0;1) (như hình vẽ)
Khi đó ta có:
Khi đó
là VTPT của mặt phẳng (MAB)
Lại có:
là VTPT của mặt phẳng (MC’D’)
Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng:
Trong không gian
đường thẳng
và mặt phẳng
. Góc giữa mặt phẳng
và đường thẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
:
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
có các vectơ pháp tuyến là
. Góc
là góc giữa hai mặt phẳng đó
là biểu thức nào sau đây?
Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:
Đường thẳng (d):
có phương trình tham số là:
Ta có đường thẳng (d) qua A ( 2, -1, 4) và có vectơ chỉ phương là có phương trình tham số là:
=> (d)
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng
và mặt phẳng
?
Gọi I là giao điểm của d và (P).
Ta có
Suy ra
Trong không gian với hệ toạ độ
, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
và
là
Vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm là và đường thẳng đi qua điểm
.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: .
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với trục Ox có phương trình là:
Ta có: .
Phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với trục Ox có phương trình là:
Mặt cầu (S) có tâm A(1; -2; 2) và bán kính R = 8. Tìm phương trình mặt cầu (S).
Phương trình mặt cầu tâm bán kính R có dạng:
Trong không gian
, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để
là một phương trình mặt cầu
Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi
Theo bài ra
Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho điểm P(-3 , 1, -1) và đường thẳng (d): ![]()
Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:
Chuyển (d) về dạng tham số :
Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: , cho qua P tính được D=7 .
Ta có (Q): .
Thế x, y, z theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được
Giao điểm I của (d) và (Q) là I (1, -3, 1) .
Vì I là trung điểm của PP’ nên .
Trong không gian
, cho hình chóp
có đáy là hình vuông và
vuông góc với đáy. Biết
, lập phương trình mặt phẳng
.
Dễ dàng chứng minh được là mặt phẳng trung trực của
.
Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
.
Mặt phẳng đi qua trung điểm
của
và có vtcp
nên có phương trình:
.
Trong không gian tọa độ
, mặt cầu tâm
bán kính
có phương trình là
Mặt cầu tâm và bán kính
có phương trình là:
Cho hình lập phương
cạnh
.

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
b) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
c) Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
d) Góc nhị diện
có số đo bằng
. Đúng||Sai
Cho hình lập phương cạnh
.
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
b) Góc giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng
. Sai||Đúng
d) Góc nhị diện có số đo bằng
. Đúng||Sai
a) Vì ,
nên
. Mệnh đề đúng.
b) Do nên
. Mệnh đề đúng.
c) Vì nên
. Mệnh đề sai.
d) Ta có ,
nên góc nhị diện
có số đo bằng
. Mệnh đề đúng
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
. Hai điểm
thay đổi sao cho
và
. Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua
và tiếp xúc với mặt phẳng
. Bán kính của mặt cầu đó là:
Phương trình mặt phẳng là
.
Gọi và
là tâm và bán kính của mặt cầu cố định.
Ta có
Mà không đổi nên
, hay
.
Mặt khác ta có .
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và mặt phẳng
. Biết rằng tồn tại điểm
thuộc
sao cho
đạt giá trị lớn nhất. Tính
.
Thay tọa độ điểm M và N vào vế trái phương trình mặt phẳng (P), ta có nên hai điểm M, N nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P).
Khi đó ta có và đẳng thức xảy ra khi
Phương trình tham số của đường thẳng MN là
Tọa độ giao điểm của MN và (P) là nghiệm hệ phương trình
Vậy
Trong không gian
, cho các điểm
. Tập hợp các điểm
thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là:
Giả sử
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy tập hợp điểm thỏa mãn
là mặt cầu có bán kính là
.