Trong không gian toạ độ
, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
PTTQ của mặt phẳng có dạng , với
nên ta chọn
.
Trong không gian toạ độ
, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
PTTQ của mặt phẳng có dạng , với
nên ta chọn
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
, điểm
và mặt cầu
. Gọi
là mặt phẳng qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến
là lớn nhất. Biết
là một vectơ pháp tuyến của
. Tính
.
Mặt cầu (S) có tâm I(5; −3; 7); bán kính .
Phương trình mặt phẳng
Vì (P) và (S) tiếp xúc nhau nên:
Ta có:
Ta có:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
Từ (*); (**); (***) ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
.
Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua hai điểm: ![]()
Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên VTCP của đường thẳng d chính là hay ta có:
Cho điểm
và đường thẳng
. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua
. Tọa độ điểm A' là:
Đưa phương trình về dạng tham số:
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với .
Phương trình mp (P) có dạng , qua A nên D = -2
Phương trình (P) là:
Thế x, y, z từ phương trình vào phương trình (P) được t=1
I là trung điểm của AA' nên:
.
Gọi
là hình chiếu của
lên đường thẳng
. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
Vì
(d) có vtcp
Suy ra . Vậy
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Phương trình mặt cầu có tâm
và đi qua
là:
Ta có:
Vậy phương trình mặt cầu tâm và đi qua điểm
có phương trình là:
.
Giá trị
phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu:
? ![]()
Ta có:
là mặt cầu
.
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Cho hình lập phương
có tâm
. Gọi
là tâm của hình vuông
và điểm
sao cho
(tham khảo hình vẽ).

Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng
Gắn hệ tọa độ như hình vẽ:
Cạnh hình lập phương là 1, ta được tọa độ các điểm như sau:
Khi đó
Suy ra
Cho hình hộp chữ nhật
có
trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với
lần lượt trùng với
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của giao tuyến (d) của mặt phẳng (MNP) và (xOy)
Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:
Như vậy ta tính được vecto và
theo a, b, c.
(MNP) có vecto pháp tuyến là tích có hướng của 2 vecto và
(MNP) có đi qua M và nhận làm 1 VTCP có phương trình là:
Cho mặt cầu tâm I bán kính
. Một mặt phẳng cắt mặt cầu và cách tâm I một khoảng bằng
. Thế thì bán kính của đường tròn do mặt phẳng cắt mặt cầu tạo nên là:
Theo đề bài, mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn
.
Vậy .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
và
, chứa điểm
là:
Vì mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng
và
nên thuộc chùm mặt phẳng
Mặt khác, ta có
Thế vào .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Gọi
là mặt phẳng chứa đường thẳng
và tạo với mặt phẳng
một góc
. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
?
Ta viết phương trình đường thẳng
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên có dạng:
⇒ có một vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Ta có:
Chọn
Trong không gian
đường thẳng
và mặt phẳng
. Góc giữa mặt phẳng
và đường thẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
:
Trong không gian
, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi qua điểm
và song song với mặt phẳng
?
Mặt phẳng có phương trình là
nên có một vectơ pháp tuyến là
.
Phương trình của mặt phẳng cần tìm có dạng
.
Trong hệ tục toạ độ không gian
, cho
, biết
, phương trình mặt phẳng
. Tính
biết
?
Ta có
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Vì nên
.
Theo giả thiết
(vì
).
Suy ra . Vậy
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, khoảng cách từ điểm
tới đường thẳng
bằng:
Đường thẳng đi qua
, có véc-tơ chỉ phương
.
Ta có và
.
Vậy khoảng cách từ đến đường thẳng
là:
Trong không gian
cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục tọa độ
tại
sao cho
là trực tâm của tam giác
?
Giả sử .
Khi đó:
Ta có:
Ta có: vì H là trực tâm của tam giác ABC suy ra
Mặt khác
Vậy hay
.
Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz:
,
. Với
. Gọi
và
. (D) và (d) chéo nhau khi và chỉ khi:
Để xét điều kiện (D) và (d) có chéo nhau hay không, ta cẩn kiểm tra rằng (D) và d không cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:
Suy ra (D) và (d) chéo nhau.
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là:
Mặt cầu có tâm
và bán kính
Khoảng cách từ đến (P):
Bán kính đường tròn giao tuyến
Diện tích đường tròn giao tuyến .