Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( - 1;3;1),B(1; - 1;2),C(2;1;3),D(0;1; - 1). Mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD có phương trình là:

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2; - 4;1) \\ \overrightarrow{CD} = ( - 2;0; - 4) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ightbrack = (8;3; - 4).

    Mặt phẳng (P) đi qua A( - 1;3;1), nhận \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ightbrack = (8;3; - 4) là vectơ pháp tuyến, có phương trình là

    \ 8(x + 1) + 3(y - 3) - 4(z - 1) = 0

    \Leftrightarrow 8x + 3y - 4z + 3 = 0

    (Thỏa mãn song song CD nên thỏa mãn đề bài).

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm H(2;1;2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P), số đo góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q):x + y - 11 = 0 bằng bao nhiêu?

    Vì H(2;1;2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P) nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(P)}} = \overrightarrow{OH} = (2;1;2).

    Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(Q)}} = (1;1;0).

    Gọi \varphi là số đo góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q), ta có:

    \cos\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{(P)}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{(Q)}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \varphi = 45^{0}

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho đường thẳng d:\left\{\begin{matrix} x=-t \\ y=2t-1 \\ z=t+2\end{matrix}ight. và mặt phẳng (\alpha): 2x-y-2z-2=0. Mặt phẳng (P) qua d  và tạo với (\alpha ) một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P)  là:

    Tìm vecto pháp tuyến

    Gọi \triangle = (\alpha)\cap (P), A =d \cap(\alpha), B \in d(Beq A);

    H là hình chiếu vuông góc của B lên (\alpha ); K là hình chiếu của H lên \triangle.

    Suy ra: (\widehat{(d),(\alpha)})=\widehat{BAH} cố định; (\widehat{(\alpha),(P)})=\widehat{BKH}.

    Mà \widehat{BKH} \geqslant \widehat{BAH} (vì HK \leq HA)  \Rightarrow (\widehat{d, (\alpha)}) \leq (\widehat{(P),(\alpha)} )

    Suy ra (\widehat{(P),(\alpha)}) nhỏ nhất bằng (\widehat{d, (\alpha)}) khi K\equiv A .

    Khi đó \triangle \perp dvà có một VTCP \vec{u_\triangle} = [\vec{u_d}, \vec{u_\alpha}]=-3(1;0;1) .

    Vậy (P) có một VTPT là \vec{n_p} = [\vec{u_\triangle}, \vec{u_d}]=2(-1;1;1).

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0. Tính góc tạo bởi (P) với trục Ox?

    Mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 ight)

    Trục Ox có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{i} = (1;0;0)

    Gọi α là góc giữa Ox và mặt phẳng (P):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x + y + z - 6 = 0. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng (\alpha)?

    Điểm M(1; - 1;1) không thuộc mặt phẳng (\alpha):x + y + z - 6 = 0.

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;0)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

    Khi đó ta có:

    \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60^{0}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm A(2;0;0),B(1;3;0),C( - 1;0;3),D(1;2;3). Tính bán kính R của (S)?

    Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A;B;C;D

    Khi đó ta có phương trình:

    \left\{ \begin{matrix} AI^{2} = BI^{2} \\ AI^{2} = CI^{2} \\ AI^{2} = DI^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 3)^{2} + c^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a + 1)^{2} + b^{2} + (c - 3)^{2} \\ (a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 3)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a - 3b = - 3 \\ a - c = - 1 \\ a - 2b - 3c = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0;1;1)

    Vậy bán kính cần tìm là: R = IA = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}

  • Câu 8: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4;2;5),B(0;4; - 3),C(2; - 3;7). Biết điểm M(x;y;z) nằm trên mặt phẳng (Oxy) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng P = x + y + z.

    Vì M ∈ (Oxy) nên M(x;y;0).

    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

    Ta có G(2; 1; 3).

    Khi đó:

    \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = \left| \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight|

    = \left| 3\overrightarrow{MG} ight| = 3MG = 3\sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + 3^{2}} \geq 9

    Dấu “=” xảy ra khi x= 2 và y= 1 hay M(2; 1; 0).

    Vậy P = 3

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ sao cho A \equiv O, như hình vẽ:

    Khi đó ta có:

    \overrightarrow{n_{1}} =\lbrack\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}brack = \left(2a^{2};0;4a^{2} ight) và \overrightarrow{n_{2}} =\lbrack\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MC}brack = \left( a^{2}; -a^{2};2a^{2} ight)

    \overrightarrow{SB} = (2a;0; -a),\overrightarrow{SC} = (2a;2a; - a),\overrightarrow{MA} = \left( 0; -a; - \frac{a}{2} ight),\overrightarrow{MC} = \left( 2a;a; -\frac{a}{2} ight)

    A(0;0;0),B(2a;0;0),D(0;2a;0),C(2a;2a;0),S(0;0;a),M\left(0;a;\frac{a}{2} ight)

    Gọi \alpha\left( 0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ} ight) là góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC) và (SBC).

    Ta có \cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight| \cdot \left| \overrightarrow{n_{2}} ight|}

    = \frac{\left| 2a^{2} \cdot a^{2} + 4a^{2} \cdot 2a^{2} ight|}{\sqrt{\left( 2a^{2} ight)^{2} + \left( 4a^{2} ight)^{2}} \cdot \sqrt{\left( a^{2} ight)^{2} + \left( - a^{2} ight)^{2} + \left( 2a^{2} ight)^{2}}}

    = \frac{10a^{4}}{\sqrt{20 \cdot 6 \cdot \left( a^{4} ight)^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{30}}

    Mà \tan^{2}\alpha = \frac{1}{\cos^{2}\alpha} - 1 = \left( \frac{\sqrt{30}}{5} ight)^{2} - 1 = \frac{5}{25}.

    Suy ra \tan\alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}.

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho mặt cầu S\left( {O;R} ight) và một điểm A, biết OA = 2R. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B. Khi đó độ dài đoạn AB bằng:

    Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên AB \bot OB.

    Suy ra AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 .

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = a\sqrt 3, góc \widehat {ACB} bằng 30^0. Góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) bằng 60^0. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC bằng:

     Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

    Ta có {60^0} = \widehat {AB',\left( {ABC} ight)} = \widehat {AB',AB} = \widehat {B'AB}.

    Trong \Delta ABC, ta có

    AB = AC.\sin \widehat {ACB} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.

    Trong \Delta B'BA, ta có

    BB' = AB.\tan \widehat {B'AB} = \frac{{3a}}{2}

    Gọi N là trung điểm AC , suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp \Delta ABC.

    Gọi I  là trung điểm A'C, suy ra  IN\parallel AA' \Rightarrow IN \bot \left( {ABC} ight).

    Do đó IN là trục của \Delta ABC , suy ra IA = IB = IC.  (1)

    Hơn nữa, tam giác A'AC vuông tại A có I là trung điểm A'C nên IA'=IC=IA . (2)

    Từ (1) và (2), ta có IA'=IA=IB=IC hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A'.ABC với bán kính R = IA' = \frac{{A'C}}{2} = \frac{{\sqrt {AA{'^2} + A{C^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt {21} }}{4}.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với  AB=2a, AD=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 45^0 . Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp S.ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N.ABC. Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

    Tìm biểu thức liên hệ

    Ta có {45^0} = \widehat {SC,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {SC,AC} = \widehat {SCA} .

    Trong \Delta SAC, ta có h = SA = a\sqrt 5

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot BN.

    Mặt khác, ta lại có NA \bot AC.

    Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính

    R = JN = \frac{{NC}}{2} = \frac{1}{2}.\sqrt {A{C^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} ight)}^2}} = \frac{{5a}}{4}.

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 2}. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.

    Gọi M(1;\ 2;\ 3) \in d

    \Rightarrow AM = ( - 1;1;2) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} ightbrack = ( - 6;0; - 3)

    Ta có d(A;d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{3\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;2; - 2),B(3; - 1;0). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P):x + y - z + 2 = 0 tại điểm I. Tỉ số \frac{IA}{IB} bằng

    Ta có: \frac{IA}{IB} = \frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} = \frac{8}{\sqrt{3}}:\frac{4}{\sqrt{3}} = 2

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3; - 1;4), đồng thời vuông góc với giá của vectơ \overrightarrow{a} = (1;1;2) có phương trình là:

    Mặt phẳng (P) nhận vectơ \overrightarrow{a} = (1;1;2) làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm M(3; - 1;4) nên có phương trình là1(x - 3) - 1(y + 1) + 2(z - 4) = 0

    \Leftrightarrow x - y + 2z - 12 = 0.

  • Câu 16: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng cắt nhau \Delta_{1}:\frac{x +1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{3},\Delta_{2}:\frac{x + 1}{1} =\frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 3}. Trong mặt phẳng \left( \Delta_{1};\Delta_{2} ight), hãy viết phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi \Delta_{1};\Delta_{2}

    Hai đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có các vectơ chỉ phương tương ứng là \overrightarrow{u_{1}} = (1;2;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;2; - 3)

    Ta có \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}} = - 4 < 0, suy ra góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u_{1}} và \overrightarrow{u_{2}} là góc tù.

    Lại có \left| \overrightarrow{u_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{u_{2}} ight|

    Kết hợp hai điều này, ta suy ra d có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u_{1}} - \overrightarrow{u_{2}} = (0;0;6) = 6(0;0;1)

    Tóm lại, đường thẳng cần tìm đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (0;0;1)

    Vậy phương trình đường thẳng d là: \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + 2y - 8 = 0 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.. Khoảng cách giữa đưởng thẳng d và mặt phẳng (P) bằng:

    Đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight. đi qua A(1;2;3) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (2; - 1;1)

    Mặt phẳng (P):x + 2y - 8 = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;2;0).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 2 - 2 + 0 = 0 \\ A otin (P) \\ \end{matrix} ight., nên đường thằng d song song với mặt phẳng (P).

    Vậy khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P):

    d\left( d;(P) ight) = d\left( A;(P) ight) = \frac{|1 + 4 - 8|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{5}}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):x - 2z - 6 = 0 và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Viết phương trình đường thẳng \Delta nằm trong mặt phẳng (\alpha) cắt đồng thời vuông góc với d?

    Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix} x - 2z - 6 = 0 \\ x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(2;4; - 2)

    Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;0; - 2), đường thẳng d có một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;1; - 1)

    Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1)

    Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1) nên có phương trình chính tắc: \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z + 2}{1}

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, hai điểm A(7; - 2;2) và B(1;2;4). Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính AB?

    Mặt cầu nhận AB làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm I(4;0;3) của AB làm tâm và có bán kính R = \frac{AB}{2} = \sqrt{56}

    Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là (x - 4)^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 56.

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của d?

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = ( - 1;1;1) và đi qua điểm M(2;1;0). Do đó phương trình chính tắc của d là: \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 16 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập