Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC với A\left( {\,1,\,\, - 2,\,\,6\,} ight);\,\,B\left( {\,2,\,\,5,\,\,1} ight);\,\,C\left( {\, - 1,\,\,8,\,\,4} ight) .

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (ABC) song song đường cao AH của tam giác ABC.

     Theo đề bài, ta có: \left( P ight) \bot \left( {ABC} ight) song song đường cao AH \Rightarrow \left( P ight) \bot \overrightarrow {BC} = \left( { - 3,3,3} ight)

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 1} ight)\left( { - 3} ight) + \left( {y + 2} ight)3 + \left( {z - 6} ight)3 = 0

    \Leftrightarrow x - y - z + 3 = 0

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P);(Q) có các vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{a}\left( a_{1};b_{1};c_{1} ight),\overrightarrow{b}\left( a_{2};b_{2};c_{2} ight). Góc \alpha là góc giữa hai mặt phẳng đó \cos\alpha là biểu thức nào sau đây?

    Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:

    \cos\alpha = \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\left| a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} ight|}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; - 3;4), đường thẳng d:\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1} và mặt phẳng (P):2x + z - 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng \Delta qua M vuông góc với d và song song với (P).

    Đường thẳng d:\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1} có vec tơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (3; - 5; - 1).

    Mặt phẳng (P):2x + z - 2 = 0 có vec tơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{(P)}} = (2;0;1).

    Đường thẳng ∆ vuông góc với d nên vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}

    Đường thẳng ∆ song song với (P) nên \overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}

    Ta có \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = ( - 5; - 5;10)

    Suy ra vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là \overrightarrow{u_{\Delta}} = \frac{- 1}{5}.\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ightbrack = (1;1; - 2)

    Vậy phương trình đường thẳng ∆ là \Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}.

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 3}{- 5} đi qua điểm nào sau đây?

    Thay tọa độ điểm (1; - 2;3) vào phương trình đường thẳng d ta được \frac{0}{3} = \frac{0}{- 4} = \frac{0}{- 5}, do đó điểm này thuộc đường thẳng d.

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm A(100;50;100) và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là B(50;100;50),C(150;100;100). Máy bay sẽ bay qua điểm W của đường màu BC để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm W(a;b;c), hãy tính giá trị biểu thức T = a + b - 2c.

    Đáp án: 50

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm A(100;50;100) và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là B(50;100;50),C(150;100;100). Máy bay sẽ bay qua điểm W của đường màu BC để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm W(a;b;c), hãy tính giá trị biểu thức T = a + b - 2c.

    Đáp án: 50

    Ta có: \overrightarrow{BC} = (100;0;50)

    Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP \overrightarrow{u} = (2;0;1)có dạng (BC):\left\{ \begin{matrix} x = 50 + 2t \\ y = 100 \\ z = 50 + t \\ \end{matrix} ight.

    Điểm W \in (BC) \Rightarrow W(50 + 2t;100;50 + t) và \overrightarrow{AW} = (2t - 50;50;t - 50)

    Ta có: \overrightarrow{AW}.\overrightarrow{BC} = 0

    \Rightarrow 2(2t - 50) + (t - 50) = 0 \Rightarrow t = 30

    Vậy H(110;100;80) \Rightarrow a + b - 2c = 50.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2;3;4) trên mặt phẳng (P):2x - y - z + 6 = 0 là điểm nào dưới đây?

    Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P).

    Khi đó phương trình tham số của ∆ là \left\{ \begin{matrix} x = 2 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 4 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (M).

    Tọa độ điểm M’ là nghiệm của hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix}x = 2 + 2t \\y = 3 - t \\z = 4 - t \\2x - y - z + 6 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - \dfrac{1}{2} \\x = 1 \\y = \dfrac{7}{2} \\z = \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.

    Vậy M'\left( 1;\frac{7}{2};\frac{9}{2} ight)

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Trong không gian cho ba điểm A(3;0;0), B(1;2;1) và C(2;-1;2). Biết mặt

    phẳng qua B, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là (10;a;b). Tổng a+b là?

     Phương trình (OAB) là: -y+2z=0.

    Phương trình (OAC) là:2y+z=0.

    Phương trình (OBC) là: x-z=0.

    Phương trình (ABC) là: 5x+3y+4z-15=0 .

    Gọi I(a';b';c') là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.

    Do đó:

    I nằm cùng phía với A đối với (OBC) suy ra: (a'-c')>0.

    I nằm cùng phía với B đối với (OAC) suy ra: (2b'+c')>0.

    I nằm cùng phía với C đối với (OAB) suy ra: (-b'+2c')>0.

    I nằm cùng phía với O đối với (ABC) suy ra: (5a'+3b'+4c'-15)<0.

    Suy ra:

    \left\{\begin{matrix} d(I,(OAB))=d(I,(OAC)) \\ d(I,(OAB))=d(I,(OBC)) \\ d(I,(OAB))=d(I,(ABC)) \end{matrix}ight.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|2b'+c'|}{\sqrt 5} \\ \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|a'-c'|}{\sqrt 2} \\ \dfrac{|-b'+2c'|}{\sqrt 5}= \dfrac{|5a'+3b'+4c'-15|}{5\sqrt 2} \end{matrix}ight.

     

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} |-b'+2c'|= |2b'+c'| \\ \sqrt 2{|-b'+2c'|}= \sqrt 5|a'-c'|\\ \sqrt 10{|-b'+2c'|}= |5a'+3b'+4c'-15| \end{matrix}ight.

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -b'+2c'= 2b'+c' \\ \sqrt 2{(-b'+2c')}= \sqrt 5(a'-c')\\ \sqrt 10{(-b'+2c')}= -(5a'+3b'+4c'-15)\end{matrix}ight.

    \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a'=\dfrac{3}{ 2} \\ -b'=\dfrac{3 \sqrt 10 -9}{2} \\ c'=\dfrac{9 \sqrt 10 -27}{ 2} \end{matrix}ight.

    Suy ra:  I (\frac {3}{2} ;\frac {3\sqrt{10} -9}{2}; \frac {9\sqrt{10} -27}{2}), \Rightarrow \overrightarrow {BI}= (\frac {1}{2} ;\frac {3\sqrt{10} -13}{2}; \frac {9\sqrt{10} -29}{2}) ; \,\, \overrightarrow {BC}= (1;-3;1)

    \Rightarrow [\overrightarrow {BI}, \overrightarrow {BC}]= (-50+15 \sqrt{10} ; \frac {9\sqrt{10} -30}{2}; \frac {-3\sqrt{10} +10}{2})

    cùng phương với \vec n =(10;3;-1).

    Suy ra (BCI) có một VTPT là \vec n =(10;3;-1) =(10; a; b).

    Vậy: a+b=2.

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 81 tại điểm P( - 5; - 4;6) là:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3).

    Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.

    Do (α) tiếp xúc với (S) tại P nên mặt phẳng (α) đi qua P và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \overrightarrow{IP} = ( - 6; - 6;3)

    Phương trình mặt phẳng (α) là

    - 6(x + 5) - 6(y + 4) + 3(z - 6) = 0

    \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 24 = 0

  • Câu 9: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3},d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = m \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Gọi S là tập hợp tất cả các số m sao cho d_{1},d_{2} chéo nhau và khoảng cách giữa chúng bằng \frac{5}{\sqrt{19}}. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

    Vectơ chỉ phương của d_{1},d_{2} là \overrightarrow{u_{1}} = (2;1;3),\overrightarrow{u_{2}} = (1;1;0)

    Khi đó: \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 3;3;1).

    Gọi (P) là mặt phẳng chứa d_{1} song song với d_{2}.

    Tức là, (P) qua A(1;0;0) và nhận \overrightarrow{n} làm vectơ pháp tuyến.

    Ta có phương trình (P):3x - 3y - z - 3 = 0

    Xét điểm B(1;2;m) \in d_{2}. Do d_{1},d_{2} chéo nhau nên B otin (P) \Leftrightarrow m eq - 6.

    Lại có:

    d\left( d_{1};d_{2} ight) = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow d\left( B;(P) ight) = \frac{5}{\sqrt{19}}

    \Leftrightarrow \frac{|3 - 6 - m - 3|}{\sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{19}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 11 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng các phần tử của S là - 1 - 11 = - 12.

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oxz) có phương trình là

    Mặt phẳng (Oxz) đi qua điểm O(0;0;0) và nhận \overrightarrow{j} = (0;1;0) là một véc-tơ pháp tuyến nên phương trình của mặt phẳng (Oxz) là (Oxz).

  • Câu 11: Vận dụng

    Với giá trị nào của thì hai mặt phẳng sau song song:

    \left( P ight):(m - 2)x - 3my + 6z - 6 = 0;\,\,\,\,\,\left( Q ight):(m - 1)x + 2y + (3 - m)z + 5 = 0

    Áp dụng điều kiện để 2 mp song song, ta xét:

    {A_1}{B_2} - {A_2}{B_1} = \left( {m - 2} ight)2 + \left( {m - 1} ight)3m = 3{m^2} - m - 4 = 0

    \Leftrightarrow m = - 1,m = \frac{4}{3}

    {B_1}{C_2} - {B_2}{C_1} = - 3m\left( {3 - m} ight) - 2.6 = 3{m^2} - 9m - 12 = 0

    \Leftrightarrow m = - 1,m = 4

    {C_1}{A_2} - {C_1}{A_1} = 6\left( {m - 1} ight) - \left( {3 - m} ight)\left( {m - 2} ight) = {m^2} + m = 0

    \Leftrightarrow m = - 1,m = 0

    Với m=-1 thoả mãn cả 3 điều kiện trên \Rightarrow \left( P ight)//\left( Q ight)

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(0;1;0),N(2;0;0),P(0;0; - 3). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng (MNP)?

    Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (MNP) là: \frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} = 1

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A(0;1;2),B(1;3;4) là:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1;2;2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

    d đi qua điểm B(1;3;4), nên có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = 4 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2; - 1),B(2;0;1),C( - 2;2;3). Đường thẳng \Delta qua trực tâm H của tam giác ABC và nằm trong mặt phẳng (ABC) cùng tạo với các đường thẳng AB;AC một góc \alpha < 45^{0} có một véc-tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (a;b;c) với c là số nguyên tố và a;b là số nguyên. Giá trị biểu thức ab + bc + ca bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (1; - 2;2);\overrightarrow{AC} = ( - 3;0;4)

    \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 8; - 10; - 6)

    \cos(AB;\Delta) = \frac{|a - 2b + 2c|}{3\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

    \cos(AC;\Delta) = \frac{| - 3a + 4c|}{5\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

    Theo đề bài, ta suy ra:

    \cos(AB;\Delta) = \cos(AC;\Delta)

    \Leftrightarrow 5|a - 2b + 2c| = 3| - 3a + 4c|

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 7a - 5b - c = 0\ \ \ (1) \\ 2a + 5b - 11c = 0\ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.

    Vì ∆ ⊂ (ABC) nên \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_{(ABC)}} = 0 \Leftrightarrow 4a + 5b + 3c = 0\ \ (3)

    Trường hợp 1: Xét hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}7a - 5b - c = 0 \\4a + 5b + 3c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{- 2c}{11} \\b = \dfrac{- 5c}{11} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = \left(\dfrac{- 2c}{11};\dfrac{- 5c}{11};c ight)

    Chọn c = 11, ta có \overrightarrow{u} = ( - 2; - 5;11) (kiểm tra lại điều kiện \alpha < 45^{0} ta thấy \overrightarrow{u} đang xét thỏa mãn).

    Trường hợp 2: Xét hệ phương trình

    \left\{ \begin{matrix} 2a + 5b - 11c = 0 \\ 4a + 5b + 3c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 7c \\ b = 5c \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = ( - 7c;5c;c)

    Chọn c = 2, ta có \overrightarrow{u} = ( - 14;10;2) (kiểm tra lại điều kiện \alpha < 45^{0} ta thấy \overrightarrow{u} đang xét không thỏa mãn).

    Vậy ab + bc + ca = −67

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 6y - 4z - 2 = 0, mặt phẳng (\alpha):x + 4y + z - 11 = 0. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (\alpha), (P) song song với giá của vectơ \overrightarrow{v} = (1;6;2) và (P) tiếp xúc với (S). Lập phương trình mặt phẳng (P).

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R\ = \ 4.

    Từ giả thiết suy ra \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack là một vectơ pháp tuyến của (P).

    Ta có \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack = (2; - 1;2), suy ra (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2; - 1;2)

    Vậy (P) có phương trình dạng 2x - y + 2z + m = 0

    Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:

    d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2.1 + 3 + 2.2 + m|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = 4

    \Leftrightarrow |9 + m| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 3 \\ m = - 21 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là \left\lbrack \begin{matrix} 2x - y + 2z + 3 = 0 \\ 2x - y + 2z - 21 = 0 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} và mặt phẳng (P):2x - y - 2z + 1 = 0. Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: \Delta có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 1), (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (2; - 1; - 2).

    Từ đó: \sin\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ight) ight| = \left| \frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} ight| = \frac{4}{9}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hai điểm C\left( { - 1,4, - 2} ight);D\left( {2, - 5,1} ight). Mặt phẳng chứa đường thẳng CD và song song với Oz có phương trình :

    Theo đề bài ta có C\left( { - 1,4, - 2} ight);D\left( {2, - 5,1} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow {CD} = \left( {3, - 9,3} ight) cùng phương với vectơ \overrightarrow a = \left( {1, - 3,1} ight)

    Mặt khác, trục Oz có vectơ chỉ phương \overrightarrow k = \left( {0,0,1} ight)

    \Rightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow k } ight] = \left( { - 3, - 1,0} ight) cùng phương với vectơ \overrightarrow n = \left( {3,1,0} ight)

    Chọn \overrightarrow n = \left( {3,1,0} ight) làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa CD và song song với trục Oz. Phương trình mặt phẳng này có dạng : 3x + y + D = 0

    Mặt phẳng cần tìm còn qua điểm C nên ta thay tọa độ điểm C vào pt trên, có: 

    - 3 + 4 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 1

    Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm : 3x + y - 1 = 0

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + 2y - 2z + 3 = 0 và đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1}. Côsin của góc tạo bởi đường thẳng \Delta và mặt phẳng (P) là

    Ta có: \overrightarrow{u} = (2; - 2;1),\overrightarrow{n_{(P)}} = (1;2; - 2)

    Khi đó \sin\widehat{\left( \Delta;(P) ight)} = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_{(P)}} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n_{(P)}} ight|} = \frac{4}{9}

    Vì \cos\widehat{\left( \Delta;(P) ight)} > 0 nên \cos\widehat{\left( \Delta;(P) ight)} = \sqrt{1 - sin^{2}\widehat{\left( \Delta;(P) ight)}} = \frac{\sqrt{65}}{9}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 2z - 19 = 0 và mặt phẳng (P):2x - y - 2z + m + 3 = 0, với m là tham số. Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi 6\pi. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc T bằng:

    Mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 25 có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.

    Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.

    Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:

    d\left( I;(P) ight) = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 4

    \Leftrightarrow \frac{|4 - 1 + 2 + m + 3|}{3} = 4

    \Leftrightarrow |m + 8| = 12 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = - 20 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A, biết OA = 2R. Qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại B và C sao cho BC = R\sqrt 3. Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng:

     Gọi H là hình chiếu của O lên BC.

    Ta có OB=OC=R , suy ra H là trung điểm của BC nên HC = \frac{{CD}}{2} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}

    Suy ra OH = \sqrt {O{C^2} - H{C^2}} = \frac{R}{2}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 14 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập