Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0. Tính góc tạo bởi (P) với trục Ox?

    Mặt phẳng (P): - \sqrt{3}x + y + 1 =
0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0
ight)

    Trục Ox có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{i} = (1;0;0)

    Gọi α là góc giữa Ox và mặt phẳng (P):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| =
\frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left|
\overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1
- 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha =
30^{0}

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(0;1;0),N(2;0;0),P(0;0; - 3). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng (MNP)?

    Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (MNP) là: \frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{- 3} =
1

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z -
1}{1} cắt mặt phẳng (P):2x - 3y + z
- 2 = 0 tại điểm I(a;b;c). Khi đó a + b + c bằng:

    Ta có \left\{ I ight\} = d \cap
(P) suy ra \left\{ \begin{matrix}
I \in d \\
I \in (P) \\
\end{matrix} ight.

    I \in d nên tọa độ của I có dạng (1 + 2t;3 - t;1 + t),t\mathbb{\in
R}.

    I \in (P) nên ta có phương trình:

    2(1 + 2t) - 3(3 - t) + 1 + t - 2 = 0
\Leftrightarrow t = 1

    Vậy I(3;2;2) suy ra a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7.

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I( - 1;4;2) và có thể tích bằng \frac{256\pi}{3}. Khi đó phương trình mặt cầu (S) là:

    Thể tích mặt cầu là: V = \frac{4\pi
R^{3}}{3} = \frac{256\pi}{3} \Rightarrow R = 4

    Vậy phương trình mặt cầu tâm I có bán kính R = 4 là: (x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} =
16

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng (P):x + y + z - 1 = 0?

    Dễ thấy điểm O(0;0;0) không thuộc mặt phẳng (P).

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    \overrightarrow{u} vuông góc \overrightarrow{n} thì d có thể nằm trong (P).

    d song song (P) thì \overrightarrow{u} vuông góc \overrightarrow{n}.

    d vuông góc (P) thì \overrightarrow{u} cùng phương \overrightarrow{n}.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 8; 2), điểm B(9; −7; 23) và mặt cầu (S) : (x − 5)^2 + (y + 3)^2 + (z − 7)^2 = 72. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Biết \vec{n} = (1; m; n) là một vectơ pháp tuyến của (P). Tính mn.

    Mặt cầu (S) có tâm I(5; −3; 7); bán kính R = 6\sqrt{2}.

    Phương trình mặt phẳng (P) : 1(x − 0) + m(y − 8) + n(z − 2) = 0.

    Vì (P) và (S) tiếp xúc nhau nên:

    d\left( I;(P) ight) = R
\Leftrightarrow \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} =
6\sqrt{2}

    \Leftrightarrow |5 - 11m + 5n| =
6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(*)

    Ta có: d\left( B;(P) ight) = \frac{|9 -
15m + 21n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}}

    Ta có:

    |9 - 15m + 21n| = |5 - 11m + 5n + 4 - 4m
+ 16n|

    \leq |5 - 11m + 5n| + |4 - 4m +
16n|(**)

    Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

    (4 - 4m + 16n)^{2} \leq \left( 4^{2} +
4^{2} + 16^{2} ight)\left( 1 + m^{2} + n^{2} ight) = 288\left( 1 +
m^{2} + n^{2} ight)

    \Rightarrow |4 - 4m + 16n| \leq
12\sqrt{2}.\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(***)

    Từ (*); (**); (***) ta có:

    |9 - 15m + 21n| \leq 18\sqrt{2}\sqrt{1 +
m^{2} + n^{2}}

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \left\{\begin{matrix}|5 - 11m + 5n| = 6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}} \\(5 - 11m + 5n)(4 - 4m + 16n) \geq 0 \\\dfrac{1}{4} = \dfrac{m}{- 4} = \dfrac{n}{16} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow m = - 1;n = 4 \Rightarrow mn
= - 4.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 6z + 5 =
0 và mặt phẳng (\alpha):2x + y + 2z
- 15 = 0. Mặt phẳng (P) song song với (\alpha) và tiếp xúc với (S)

    Ta có:

    (S) có tâm I (1; −2; 3), bán kính R = 3. (P) song song với (α)

    (P):2x + y + 2z + m = 0, với m eq - 15

    Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
m = - 15 \\
m = 3 \\
\end{matrix} ight., so với điều kiện ta nhận m = 3.

    Vậy (P):2x + y + 2z + 3 = 0.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + 2y - 2z + 3 = 0 và đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 2} =
\frac{z + 1}{1}. Côsin của góc tạo bởi đường thẳng \Delta và mặt phẳng (P)

    Ta có: \overrightarrow{u} = (2; -
2;1),\overrightarrow{n_{(P)}} = (1;2; - 2)

    Khi đó \sin\widehat{\left( \Delta;(P)
ight)} = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_{(P)}}
ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left|
\overrightarrow{n_{(P)}} ight|} = \frac{4}{9}

    \cos\widehat{\left( \Delta;(P)
ight)} > 0 nên \cos\widehat{\left( \Delta;(P) ight)} = \sqrt{1
- sin^{2}\widehat{\left( \Delta;(P) ight)}} =
\frac{\sqrt{65}}{9}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 1; - 2;0),B(0; - 4;0),C(0;0; - 3). Phương trình mặt phẳng (P) nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm BC?

    (P) đi qua O nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng ax + by + cz = 0\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} >
0 ight).

    Vì A ∈ (P) và B, C cách đều (P) nên \left\{ \begin{matrix}
- a - 2b = 0 \\
|4b| = |3c| \\
\end{matrix} ight.

    Chọn a = −6, ta có b = 3, suy ra c = ±4.

    Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn là −6x + 3y − 4z = 0 hoặc −6x + 3y + 4z = 0.

  • Câu 11: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz,cho tam giác ABC vuông tại C, \widehat{ABC} = 60^{0},AB = 3\sqrt{2}, đường thẳng AB có phương trình \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z
+ 8}{- 4}, đường thẳng AC nằm trên mặt phẳng (\alpha):x + z - 1 =
0. Biết B là điểm có hoành độ dương, gọi (a;b;c) là tọa độ của C. Tính T = a + b + c?

    Hình vẽ minh họa

    Ta thấy đường thẳng AB có một VTCP là , \overrightarrow{u} = (1;1; - 4) mặt phẳng (α) có một VTPT là \overrightarrow{n} =
(1;0;1) nên góc giữa AB và (α) là \varphi với

    \sin\varphi = \frac{\left| 1.1 + 1.0 + ( - 4).1
ight|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + ( - 4)^{2}}.\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 1^{2}}}
= \frac{1}{2}

    Suy ra \varphi = 30^{0} =
\widehat{BAC}

    Hơn nữa, AC ⊂ (α) và BC ⊥ AC nên C là hình chiếu của B trên (α).

    Ta tìm tọa độ của B

    Ta viết lại AB:\left\{ \begin{matrix}
x = 3 + t \\
y = 4 + t \\
z = - 8 - 4t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) . Điểm A là giao điểm của AB và (α).

    Xét phương trình (3 + t) + ( - 8 - t) - 1
= 0 \Leftrightarrow t = - 2.

    Vậy A(1;2;0).

    Gọi B(3 + t';4 + t'; - 8 -
4t'), ta có AB = 3\sqrt{2}
\Leftrightarrow (t' + 2)^{2} + (t' + 2)^{2} + ( - 4t' -
8)^{2} = 18

    Suy ra t’ = −1 hoặc t’ = −3.

    Mà B có hoành độ dương nên ta chọn t = −1, khi đó B(2; 3; −4).

    Đường thẳng BC vuông góc với (α) nên nhận \overrightarrow{n} = (1;0;1) làm một VTCP, do đó BC:\left\{ \begin{matrix}
x = 2 + t \\
y = 3 \\
z = - 4 + t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    C chính là giao điểm của BC và (α).

    Xét phương trình (2 + t) + ( - 4 + t) - 1
= 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}

    Suy ra C\left( \frac{7}{2};3; -
\frac{5}{2} ight). Vậy T = a + b
+ c = 4.

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z -
3}{- 5} đi qua điểm nào sau đây?

    Thay tọa độ điểm (1; - 2;3) vào phương trình đường thẳng d ta được \frac{0}{3} = \frac{0}{- 4} = \frac{0}{-
5}, do đó điểm này thuộc đường thẳng d.

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} =
6. Đường kính của (S) bằng

    Ta có bán kính của (S)\sqrt{6} nên đường kính của (S) bằng 2\sqrt{6}.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABCA(1;0;1),B(0;2;3),C(2;1;0). Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ C là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = ( - 1;2;2) \Rightarrow \left| \overrightarrow{AB}
ight| = 3 \\
\overrightarrow{AC} = (1;1; - 1) \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( -
4;1;3)

    S_{ABC} = \frac{1}{2}\left| \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack ight| =
\frac{\sqrt{26}}{2}

    S_{ABC} =
\frac{1}{2}d(C;AB).AB

    \Rightarrow d(C;AB) =
\frac{2S_{ABC}}{AB} = \frac{\sqrt{26}}{3}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với  AB=2a, AD=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 45^0 . Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp S.ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N.ABC. Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

    Tìm biểu thức liên hệ

    Ta có {45^0} = \widehat {SC,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {SC,AC} = \widehat {SCA} .

    Trong \Delta SAC, ta có h = SA = a\sqrt 5

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot BN.

    Mặt khác, ta lại có NA \bot AC.

    Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính

    R = JN = \frac{{NC}}{2} = \frac{1}{2}.\sqrt {A{C^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} ight)}^2}}  = \frac{{5a}}{4}.

  • Câu 16: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; - 2; - 1),B\left( - \frac{4}{3}; -
\frac{8}{3};\frac{8}{3} ight). Đường thẳng \Delta đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). Hỏi \Delta đi qua điểm nào dưới đây?

    Ta có: OA = 3,OB = 4,AB = 5

    Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

    \left\{ \begin{matrix}
x_{I} = \frac{AB.x_{O} + OB.x_{A} + OA.x_{B}}{AB + OB + OA} \\
y_{I} = \frac{AB.y_{O} + OB.y_{A} + OA.y_{B}}{AB + OB + OA} \\
z_{I} = \frac{AB.z_{O} + OB.z_{A} + OA.z_{B}}{AB + OB + OA} \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{I} = \frac{5.0 + 4.2 + 3.\left( - \frac{4}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\
y_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 2) + 3.\left( - \frac{8}{3} ight)}{5 + 4 +
3} \\
z_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 1) + 3.\frac{8}{3}}{5 + 4 + 3} \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{I} = \frac{1}{3} \\
y_{I} = - \frac{4}{3} \\
z_{I} = \frac{1}{3} \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow I\left( \frac{1}{3}; -
\frac{4}{3};\frac{1}{3} ight)

    \left\lbrack
\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 8; - 4; - 8)
= - 4(2;1;2)

    Phương trình đường thẳng \Delta:\frac{x -
\frac{1}{3}}{2} = \frac{y + \frac{4}{3}}{1} = \frac{z -
\frac{1}{3}}{2}

    Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 1).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz,cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 - t \\
y = t \\
z = - t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)d':\left\{ \begin{matrix}
x = 2t' \\
y = - 1 + t' \\
z = t' \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} ight). Khoảng cách giữa hai đường thẳng dd' là:

    Đường thẳng d đi qua điểm A(1;0;0) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;1; -
1)

    Đường thẳng d' đi qua điểm B(0; - 1;0) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d'}} =
(2;1;1);\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1;0)

    \left\lbrack
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack =
\left( \left| \begin{matrix}
1 & - 1 \\
1 & 1 \\
\end{matrix} ight|;\left| \begin{matrix}
- 1 & - 1 \\
1 & 2 \\
\end{matrix} ight|;\left| \begin{matrix}
- 1 & 1 \\
2 & 1 \\
\end{matrix} ight| ight) = (2; - 1; - 3)

    Khoảng cách giữa hai đường thẳng dd' là:

    d(d;d') = \frac{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}}
ightbrack.\overrightarrow{AB} ight|}{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack
ight|} = \frac{1}{\sqrt{14}}

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng (d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z
+ 1}{- 1}. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).

    Ta có: \overrightarrow{u_{d}} = (1;2; -
1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)

    Do đó: \cos\left(
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 -
2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}

    Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 90^{0} -
60^{0} = 30^{0}.

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho điểm P(-3 , 1, -1)  và đường thẳng (d): \left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.

    Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:

    Chuyển (d) về dạng tham số : \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2} + 3t\\y =  - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.

    Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: 3x + 4y + 2z + D = 0, cho qua P tính được D=7 .

    Ta có (Q): 3x + 4y + 2z + 7 = 0 .

    Thế x, y, z  theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được t = \frac{1}{2}

    Giao điểm I của (d) và (Q)  là I (1, -3, 1) .

    Vì I là trung điểm của PP’ nên \Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight).

  • Câu 20: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;5; - 1),B(1;1;3). Tìm tọa độ điểm M thuộc (Oxy) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}
ight| ngắn nhất.

    Gọi J(x; y; z) là điểm sao cho \overrightarrow{JA} + \overrightarrow{JB} =
\overrightarrow{0} Suy ra J(2; 3; 1).

    Khi đó \left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MJ} +
\overrightarrow{JA} + \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JB} ight|
= 2\left| \overrightarrow{MJ} ight|

    Vậy \left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} ight| đạt GTNN khi và chỉ khi \left| \overrightarrow{MJ} ight| đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).

    Vậy M(2; 3; 0).

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 13 lượt xem
Sắp xếp theo