Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A (2; 1; 1), B (0; 3; −1)$ . Điểm $M$ nằm trên mặt phẳng $(P) : 2x + y + z − 4 = 0$ sao cho $MA + MB$ nhỏ nhất là:
- A.
  $(1;0;2)$
- B.
  $(1;0;3)$
- C.
  $(1;2;0)$
- D.
  $(3;0;2)$
Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng $(P) : 2x + y + z − 4 = 0$ ta được: $(2.2 + 1 + 1 − 4) (2.0 + 3 − 1 − 4) = −4 < 0$

Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).

Vậy $MA + MB ≥ AB$ dấu “ = ” xảy ra khi $M = AB ∩ (P)$ .

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 2;2; - 2)$ chọn vtcp của đường thẳng AB: $\overrightarrow{u} = (1; - 1;1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng AB: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .

Tọa độ $(x; y; z)$ của M là nghiệm hệ:

$\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2x + y + z - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + t \\ 2(2 + t) + (1 - t) + (1 + t) - 4 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \\ t = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(1;2;0)$
Câu 2: Nhận biết
Điều kiện để $\left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + Ax + By + Cz + D = 0$ là một mặt cầu là:
- A. ${A^2} + {B^2} + {C^2} - D > 0$
- B. ${A^2} + {B^2} + {C^2} - 2D = 0$
- C. ${A^2} + {B^2} + {C^2} - 4D > 0$
- D. ${A^2} + {B^2} + {C^2} + D = 0$
Theo đề bài, ta có:
$\left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + Ax + By + Cz + D = 0$ có dạng:
$\left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$
$\Rightarrow a = - \frac{A}{2};\,\,b = - \frac{B}{2};\,\,c = - \frac{C}{2};\,\,d = D$
Như vậy, (S) là mặt cầu $\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow {A^2} + {B^2} + {C^2} - 4D > 0$
$\Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0,\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$
Câu 3: Vận dụng cao
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P): x-2y+2z-5=0$ và hai điểm $A(-3;0;1), B(1;-1;3)$ . Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:
- A. $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
- B. $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{-11}=\dfrac{z-1}{-2}$
- C. $\dfrac{x-3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z+1}{-2}$
- D. $\dfrac{x+2}{26}=\dfrac{y-1}{11}=\dfrac{z+3}{-2}$
Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).
Ta có: $(-3-2.0+2.1-5)(1+2.1+2.3-5) < 0 \Rightarrow A, B$ nằm về hai phía với (P).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) $\Rightarrow$ BH cố định và $d(B,(Q))=BH$ .
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay $d//(P)$ .
Ta có: $BK \geq BH \Leftrightarrow d(B, d) \geq d(B, d) \Rightarrow d (B, d)$ bé nhất bằng BH khi K trùng với điểm H.
Gọi $\vec{n}$ là VTPT của (ABH) $\Rightarrow \vec{n}=[\vec{n_p}, \vec{AB}]=(-2;6;7)$
Ta có đường thẳng d cần lập qua A, H và có VTCP là $\vec{u_d}=[\vec{n},\vec{n_P}]=(26; 11; -2)$
Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là: $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ ,cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \\ z = - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d':\left\{ \begin{matrix} x = 2t' \\ y = - 1 + t' \\ z = t' \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t'\mathbb{\in R} ight)$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ là:
- A.
  $\frac{1}{\sqrt{14}}$
- B.
  $\sqrt{7}$
- C.
  $\sqrt{14}$
- D.
  $\frac{1}{\sqrt{7}}$
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;1; - 1)$

Đường thẳng $d'$ đi qua điểm $B(0; - 1;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d'}} = (2;1;1);\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1;0)$

$\left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack = \left( \left| \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} ight|;\left| \begin{matrix} - 1 & - 1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} ight|;\left| \begin{matrix} - 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} ight| ight) = (2; - 1; - 3)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ là:

$d(d;d') = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack.\overrightarrow{AB} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{d'}} ightbrack ight|} = \frac{1}{\sqrt{14}}$
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(2; - 1;1)$ và vectơ $\overrightarrow{n} = (1;3;4)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(2; - 1;1)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ .
- A.
  $2x - y + z + 3 = 0$
- B.
  $2x - y + z - 3 = 0$
- C.
  $x + 3y + 4z + 3 = 0$
- D.
  $x + 3y + 4z - 3 = 0$
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:

$(x - 2) + 3(y - 1) + 4(z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow x + 3y + 4z - 3 = 0$
Câu 6: Vận dụng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh $a$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(A'B'CD)$ và $(ACC'A')$ bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $75^{0}$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ

$O \equiv A';Ox \equiv A'D';Oy \equiv A'B';Oz \equiv AA'$

Khi đó: $A(0;0;a),D(a;0;a),B(0;a;a),C(a;a;a)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{A'B'} = (0;a;0);\overrightarrow{A'D} = (a;0;a) \\ \overrightarrow{A'A} = (0;0;a);\overrightarrow{A'C'} = (a;a;0) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{A'B'};\overrightarrow{A'D} ightbrack = \left( a^{2};0; - a^{2} ight)$

Chọn $\overrightarrow{n_{1}} = (1;0; - 1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(AB'CD)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{A'A};\overrightarrow{A'C'} ightbrack = \left( - a^{2};a^{2};0 ight)$

Chọn $\overrightarrow{n_{2}} = ( - 1;1;0)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ACC'A')$

Góc giữa hai mặt phẳng $(A'B'CD)$ và $(ACC'A')$ bằng:

$\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{| - 1|}{\sqrt{2}.\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1)$ và mặt phẳng $(P):x + y + z - 2 = 0$ . Điểm $M(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ thỏa mãn $MA = MB = MC$ . Tính $T = a + 2b + 3c$ ?
- A.
  $5$
- B.
  $3$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Ta có $M(a; b; c) ∈ (P) ⇔ a + b + c − 2 = 0 (1)$

$MA^2 = (a − 2)^2 + (b − 0)^2 + (c − 1)^2 = a ^2 + b^ 2 + c^ 2 − 4a − 2c + 5$

$MB^2 = (a − 1)^2 + b^ 2 + c ^2 = a^ 2 + b^ 2 + c^ 2 − 2a + 1$

$MC^2 = (a − 1)^2 + (b − 1)^2 + (c − 1)^2 = a ^2 + b ^2 + c ^2 − 2a − 2b − 2c + 3$

Với $MA = MB$ , ta có $a + c − 2 = 0 (2)$

Với $MA = MC$ , ta có $a − b − 1 = 0 (3)$

Từ (1); (2); (3) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} a + b + c = 2 \\ a + c = 2 \\ a - b = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 4$
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1;1;2)$ và mặt phẳng $(P):2x - y + 3z + 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z + 2}{3}$
- B.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 3}{2}$
- C.
  $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{2}$
- D.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$
Do đường thẳng $\Delta$ cần tìm vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nên vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1;3)$ cũng là vectơ chỉ phương của $\Delta$ .

Mặt khác $\Delta$ đi qua điểm $M(1;1;2)$ nên phương trình chính tắc của $\Delta$ là: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ ,cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 1 + 2t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng $(d)$ ?
- A.
  $d:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}$
- B.
  $d:\frac{x + 3}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{- 3}$
- C.
  $d:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{- 3}$
- D.
  $d:\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{- 3}$
Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M(3; - 1;0)$ và nhận $\overrightarrow{u} = ( - 1;2; - 3)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của $(d):\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}$
Câu 10: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu $(S)$ qua bốn điểm $A(3;3;0),B(3;0;3),$ $C(0;3;3),D(3;3;3)$ . Phương trình mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y + \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
- C.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z + \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
- D.
  $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
Gọi phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$

Vì mặt cầu đi qua bốn điểm đã cho nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix}18 - 6a - 6b + d = 0 \\18 - 6a - 6c + d = 0 \\18 - 6b - 6c + d = 0 \\27 - 6a - 6b - 6c + d = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{3}{2} \\b = \dfrac{3}{2} \\c = \dfrac{3}{2} \\d = 0 \\\end{matrix} ight.$ . Suy ra tâm mặt cầu $I\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2} ight)$ và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: $\left( x - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( y - \frac{3}{2} ight)^{2} + \left( z - \frac{3}{2} ight)^{2} = \frac{27}{4}$
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $H(1; 2; −2)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $H$ và cắt các trục $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ sao cho $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ . Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với $(P)$ .
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$
Hình vẽ minh họa

Vì H là trực tâm tam giác ABC nên $AH ⊥ BC, CH ⊥ AB$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB\bot(OHC) \\ BC\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} (ABC)\bot(OHC) \\ (ABC)\bot(AHO) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OH\bot(ABC)$

Do vậy mặt cầu tâm O tiếp xúc với (P) nhận OH làm bán kính

⇒ Phương trình mặt cầu là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ .
Câu 12: Nhận biết
Cho tứ diện $ABCD$ có $A(3, -2,1), B\left( { - 4,0,3} ight),C\left( {1,4, - 3} ight),D\left( {2,3,5} ight)$ . Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa AC và song song với BD là:
- A. $12x + 10y + 21z + 35 = 0$
- B. $12x - 10y + 21z - 35 = 0$
- C. $12x - 10y - 21z - 35 = 0$
- D. $12x + 10y - 21z + 35 = 0$
Theo đề bài, ta có các vecto là
$\begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \left( { - 2,6, - 4} ight);\overrightarrow {BD} = \left( {6,3,2} ight)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } ight] = \left( {24, - 20, - 42} ight).\end{array}$
Có thể chọn $\overrightarrow n = \left( {12, - 10, - 21} ight)$ làm một vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng.
Phương trình mặt phẳng này có dạng $12x - 10y - 21z + D = 0$ .
Mặt khác, điểm A thuộc mặt phẳng nên ta thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng trên: $12.3 - 10( - 2) - 21.1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 35$
Vậy phương trình cần tìm $12x - 10y - 21z - 35 = 0$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ . Tính góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $150^{0}$
Mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 ight)$

Trục $Ox$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$

Gọi α là góc giữa $Ox$ và mặt phẳng $(P)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $H(2;1;2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O$ xuống mặt phẳng $(P)$ , số đo góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q):x + y - 11 = 0$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Vì $H(2;1;2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P) nên mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(P)}} = \overrightarrow{OH} = (2;1;2)$ .

Mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{(Q)}} = (1;1;0)$ .

Gọi $\varphi$ là số đo góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ , ta có:

$\cos\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{(P)}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{(Q)}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \varphi = 45^{0}$
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ , sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{5}{13}$
- B.
  $\frac{8}{13}$
- C.
  $\frac{1}{13}$
- D.
  $\frac{12}{13}$
Mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (4;3; - 1)$

Đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;3;1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}$
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(0;1;1)$ và hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = - 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và $d_{2}:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$ . Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ , cắt đường thẳng $d_{1}$ và vuông góc với đường thẳng $d_{2}$ . Đường thẳng $d$ đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
- A.
  $N(2;1; - 5)$
- B.
  $Q(3;2;5)$
- C.
  $P( - 2; - 3;11)$
- D.
  $M(1;0; - 1)$
Gọi $\left\{ \begin{matrix} B = d_{1} \cap d \\ B \in d_{1} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} B( - 1; - 1 + t;t) \\ \overrightarrow{AB} = ( - 1;t - 2;t - 1) \\ \end{matrix} ight.$

$d_{2}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (3;1;1)$ .

Do $d\bot d_{2}$ nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow - 3 + t - 2 + t - 1 = 0$

$\Leftrightarrow t = 3 \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1;1;2)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AN} = (2;0;6);\overrightarrow{AQ} = (3;1;4) \\ \overrightarrow{AP} = ( - 2; - 4;10);\overrightarrow{AM} = (1; - 1; - 2) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra đường thẳng $d$ đi qua $M$ .
Câu 17: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):x + my + (m - 1)z + 1 = 0$ và $(Q):x + y + 2z = 0$ . Tập hợp tất cả các giá trị $m$ để hai mặt phẳng này không song song là:
- A.
  $(0; + \infty)$
- B.
  $\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1;1;2 ight\}$
- C.
  $( - \infty;3)$
- D.
  $\mathbb{R}$
Ta có $A(0;0;0) \in (Q)$ .

$(P)//(Q) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{1} = \dfrac{m}{1} = \dfrac{m - 1}{2} \\A(0;0;0) otin (P) \\\end{matrix} ight.$ hệ này vô nghiệm

Hệ này vô nghiệm.

Do đó (P) không song song với (Q), với mọi giá trị của m.
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu có tâm $I(1;1;1)$ và có diện tích bằng $4\pi$ có phương trình là:
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 4$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 1$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 4$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$
Ta có: $S = 4\pi R^{2} = 4\pi \Rightarrow R = 1$

Vậy mặt cầu tâm $I(1;1;1)$ có bán kính $R = 1$ có phương trình:

$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$ .
Câu 19: Vận dụng
Cho tứ diện ABCD có $A\left( {5,1,3} ight),B\left( {1,6,2} ight),C\left( {5,0,4} ight),D\left( {4,0,6} ight)$ . Mặt phẳng chứa BC và song song với AD có phương trình :
- A. $8x - 7y + 5z - 60 = 0$
- B. $8x + 7y + 5z - 60 = 0$
- C. $8x - 7y - 5z - 60 = 0$
- D. $8x + 7y - 5z - 60 = 0$
Theo đề bài, từ các điểm $A\left( {5,1,3} ight),B\left( {1,6,2} ight),C\left( {5,0,4} ight),D\left( {4,0,6} ight)$ , ta tính được các vecto tương ứng là: $\overrightarrow {BC} = \left( {4, - 6,2} ight);\overrightarrow {AD} = \left( { - 1, - 1,3} ight)$
$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} } ight] = \left( { - 16, - 14, - 10} ight)$ cùng phương với $\overrightarrow n = \left( {8,7,5} ight)$
Chọn $\vec{n}$ làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa BC và song song với AD.
Phương trình (P) có dạng: $8x + 7y + 5z + D = 0$
Mặt khác, điểm $B \in \left( P ight) \Leftrightarrow 8 + 42 + 10 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 60$
Vậy phương trình $(P): 8x + 7y + 5z - 60 = 0$ .
Câu 20: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ , trong đó $a > 0, b > 0, c > 0$ và $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 7$ . Biết mặt phẳng $(ABC)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 3)^2 = 72/7$ . Thể tích của khối tứ diện $OABC$ là:
- A.
  $V = \frac{5}{6}$
- B.
  $V = \frac{3}{8}$
- C.
  $V = \frac{1}{6}$
- D.
  $V = \frac{2}{9}$
Mặt phẳng (ABC) có phương trình là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 2; 3) và bán kính $R = \sqrt{\frac{72}{7}}$ . Khi đó:

$d\left( I;(ABC) ight) = \dfrac{\left|\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} ight|}{\sqrt{\dfrac{1}{a^{2}} +\dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}}}} = \sqrt{\dfrac{72}{7}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{7}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:

$49 = \left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} ight)^{2} \leq \left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} ight)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) = \frac{7}{2}.14 = 49$

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 2b = 3c. Thay vào giả thiết ta có:

$a = 2;b = 1;c = \frac{2}{3}$

Vì OABC là tứ diện vuông tại O nên $V_{OABC} = \frac{abc}{2} = \frac{2}{9}$

71 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!