Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, tìm tất cả giá trị tham số m để đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z -
1}{1} song song với mặt phẳng (P):2x + y - m^{2}z + m = 0.

    Ta có:

    d qua điểm M(1; 0; 1) và có VTCP là \overrightarrow{u} = (1;2;1)

    (P) có VTPT là \overrightarrow{n} =
\left( 2;1; - m^{2} ight)

    Vì d // (P) nên \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n}
\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \Leftrightarrow m
= \pm 2

    Với m = 2, (P): 2x + y − 4z + 2 = 0 ⇒ M ∈ (P) (loại).

    Với m = −2, (P): 2x + y − 4z − 2 = 0\Rightarrow M otin (P) (thỏa mãn).

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} =
\frac{z - z_{0}}{c}. Điểm M nằm trên đường thẳng \Delta thì điểm M có dạng nào sau đây?

    Đường thẳng \Delta đi qua điểm M\left( x_{0};y_{0};z_{0} ight) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} =
(a;b;c) nên đường thẳng \Delta có phương trình tham số là \Delta:\left\{ \begin{matrix}
x = x_{0} + at \\
y = y_{0} + bt \\
z = z_{0} + ct \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Điểm M nằm trên đường thẳng \Delta nên điểm M có dạng M\left( x_{0} + at;y_{0} + bt;z_{0} + ct
ight)

  • Câu 3: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q):x + 2y - z - 5 = 0 và đường thẳng d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{1} =
\frac{z - 3}{1}. Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất là

    Vì (P) chứa d nên phương trình của (P) có dạng (P):a(x + 1) + b(y + 1) + c(z - 3) = 0 với \left\{ \begin{matrix}
a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 \\
2a + b + c = 0 \\
\end{matrix} ight..

    Gọi α là góc giữa (P) và (Q), ta có:

    \cos\alpha = \frac{\left|
\overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{n_{Q}} ight|}{\left|
\overrightarrow{n_{P}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{Q}} ight|} =
\frac{|a + 2b - c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.\sqrt{6}} =
\frac{\left| 3(a + b) ight|}{\sqrt{5a^{2} + 4ab +
2b^{2}}.\sqrt{6}}

    Nếu a = 0 thì \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha
= 30^{0}

    Nếu a eq 0 thì \cos\alpha = \frac{\left| 3(1 + t)
ight|}{\sqrt{6}.\sqrt{5 + 4t + 2t^{2}}};\left( t = \frac{b}{a}
ight).

    Khi đó 0 \leq \cos\alpha <
\frac{\sqrt{3}}{2}

    Ta có α nhỏ nhất khi và chỉ khi cosα lớn nhất.

    Do đó \alpha = 30^{0}\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}.

    Khi đó a = 0, chọn b = 1,\ c = - 1.

    Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: (P):y - z + 4 = 0.

  • Câu 4: Vận dụng

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha):2x + y - 2z + 9 = 0 và ba điểm A(2; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 3;-1). Điểm M ∈ (α) sao cho \left| 2\overrightarrow{MA} +
3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Xét điểm I(a; b; c) thỏa mãn: 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} -
4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}

    Khi đó

    \left\{ \begin{matrix}
2(2 - a) - 3a - 4(1 - a) = 0\  \\
2(1 - b) + 3(2 - b) - 4(3 - b) = 0\  \\
- 2c + 3(1 - c) - 4( - 1 - c) = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 0\  \\
b = - 4\  \\
c = 7 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow I(0; - 4;7)

    Khi đó:

    \left| 2\overrightarrow{MA} +
3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| = \left|
2\overrightarrow{MI} + 3\overrightarrow{MI} - 4\overrightarrow{MI} +
2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} - 4\overrightarrow{IC}
ight| = IM

    Do đó \left| 2\overrightarrow{MA} +
3\overrightarrow{MB} - 4\overrightarrow{MC} ight| đạt giá trị nhỏ nhất thì M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (\alpha).

    Do M(x;y;z) là hình chiếu của I trên mặt phẳng (\alpha) nên ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{IM} = k.\overrightarrow{n} \\
M \in (\alpha) \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2k\  \\
y + 4 = k\  \\
z - 7 = - 2k\  \\
2x + y - 2z + 9 = 0\  \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
k = 1 \\
x = 2\  \\
y = - 3\  \\
z = 5 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy M = (2; - 3;5) \Rightarrow x_{M} +
y_{M} + z_{M} = 4.

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC)?

    Phương trình mặt phẳng (ABC)\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{-
1} = 1

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I(2;1; - 2) bán kính R = 2 là:

    Phương trình mặt cầu tâm I(2;1; -
2) bán kính R = 2 là:

    (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2}
= 2^{2}

    Tổng quát x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y
+ 4z + 5 = 0.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9  tâm I và mặt phẳng (P):2x+2y-z+24=0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn MH có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm M.

     Ta có tâm I(1;2;3)  và bán kính R=3. Do d(I;(P))=9>R  nên mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S) . Do H là hình chiếu của I lên (P) và MH lớn nhất nên M là giao điểm của đường thẳng IH với mp (P) .

    \overrightarrow {IH} =\vec n_{(P)}=(2;2;-1).

    Phương trình đường thẳng IH là \left\{\begin{matrix} x=1+2t \\ y=2+2t \\ z=3-t \end{matrix}ight..

    Giao điểm của IH với (S): 9t^2=9 \Leftrightarrow t=\pm 1 \Rightarrow M_1 (3;4;2) \mbox{  và } M_2 (-1;0;4)

    Suy ra:

    M_1H=d(M_1;(P))=12;

    M_2H=d(M_2;(P))=6.

    Vậy điểm cần tìm là M(3;4;2).

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P):x + y - 2z + 4 = 0. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

    Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \overrightarrow{n} = (1;1; - 2).

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1;2;3),B(0;1;1),C(1;0; - 2). Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (P):x + y + z + 2 = 0 sao cho giá trị của biểu thức T = MA^{2} + 2MB^{2} +
3MC^{2} nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của biểu thức a + b + c là:

    Điểm M luôn tồn tại.

    Ta có M \in (P) nên a + b + c + 2 = 0 \Leftrightarrow a + b + c = -
2.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Hai đường thẳng \left( {d'} ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y =  - 3m - t\\z = 2t - 1\end{array} ight.\left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 2m\\y = m + 2\\z =  - m\end{array} ight.với cắt nhau tại M có tọa độ là :

     

    Để (d’) cắt (d) tại M \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + 4t = 4 - 2m\\ - 3 - t = m + 2\\2t - 1 =  - m\end{array} ight. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t + m = 1\\t + m =  - 5\end{array} ight. \\\Leftrightarrow t = 6;m =  - 11

    \Rightarrow M\left( {26, - 9,11} ight)

     

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí I(1;3;7). Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3\ km.

    a) Phương trình mặt cầu (S) để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là (x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} =
9. Sai||Đúng

    b) Điểm A(2;2;7) nằm ngoài mặt cầu (S). Sai||Đúng

    c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (2;2;7) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

    d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (5;6;7) thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí I(1;3;7). Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3\ km.

    a) Phương trình mặt cầu (S) để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là (x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} =
9. Sai||Đúng

    b) Điểm A(2;2;7) nằm ngoài mặt cầu (S). Sai||Đúng

    c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (2;2;7) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

    d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (5;6;7) thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

    Phương trình mặt cầu (S) tâm I(1;3;7) bán kính 3\ km mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là (x - 1)^{2} +
(y - 3)^{2} + (z - 7)^{2} = 9.

    Ta có: IA = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (2 -
3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = \sqrt{2} < 3 nên điểm A nằm trong mặt cầu.

    Vì điểm A nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ (2;2;7) có thể sử dưng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

    Ta có: IB = \sqrt{(5 - 1)^{2} + (6 -
3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = 5' > 3 nên điểm B nằm ngoài mặt cầu.

    Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (5;6;7) không thể sử dựng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và mặt phẳng (P) có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc (S). Đường thẳng OM cắt (P) tại N. Hình chiếu của O trên (P) là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?

     Mệnh đề đúng

    Vì I là hình chiếu của O trên (P) nên  d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = OId\left[ {O,\left( P ight)} ight] = R nên I là tiếp điểm của (P)(S).

    Đường thẳng OM cắt (P) tại N nên IN vuông góc với OI tại I.

    Suy ra IN tiếp xúc với (S).

    Tam giác OIN vuông tại I nên ON = R\sqrt 2  \Leftrightarrow IN = R.

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = - 1 + 3t \\
y = - t \\
z = 1 - 2t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)d':\frac{x - 1}{- 3} = \frac{y - 2}{1} =
\frac{z - 3}{2}. Vị trí tương đối của dd'

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (3; - 1; - 2) và đi qua điểm M(−1; 0; 1).

    Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d'}} = ( -
3;1;2).

    Hai vectơ \overrightarrow{u_{d}}\overrightarrow{u_{d'}} cùng phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’.

    Do đó hai đường thẳng d và d’ song song với nhau.

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y
- 6 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):2x - y - 2z - 9 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; -
2)

    (Q):x - y - 6 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} = (1; -
1;0)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left(
\overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)

    = \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0
ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} =
\frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) =
45^{0}

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):x + z + 4 = 0,(Q):x - 2y + 2z
+ 4 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):x + z + 4 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} =
(1;0;1)

    (Q):x - 2y + 2z + 4 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} =
(1; - 2;2)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left(
\overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)= \frac{\left|
\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left|
\overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} =
\frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) =
45^{0}

  • Câu 16: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;5; - 1),B(1;1;3). Tìm tọa độ điểm M thuộc (Oxy) sao cho \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}
ight| ngắn nhất.

    Gọi J(x; y; z) là điểm sao cho \overrightarrow{JA} + \overrightarrow{JB} =
\overrightarrow{0} Suy ra J(2; 3; 1).

    Khi đó \left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MJ} +
\overrightarrow{JA} + \overrightarrow{MJ} + \overrightarrow{JB} ight|
= 2\left| \overrightarrow{MJ} ight|

    Vậy \left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} ight| đạt GTNN khi và chỉ khi \left| \overrightarrow{MJ} ight| đạt GTNN hay M là hình chiếu của J lên mặt phẳng (Oxy).

    Vậy M(2; 3; 0).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 5 + t \\
y = - 2 + t \\
z = 4 + \sqrt{2}t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và mặt phẳng (P):\ x - y + \sqrt{2}z - 7 =
0. Hãy xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)?

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = \left(
1;1;\sqrt{2} ight)

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \left( 1; -
1;\sqrt{2} ight)

    Gọi \varphi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khi đó ta có:

    \sin\varphi = \frac{\left|
\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} ight|}{\left| \overrightarrow{n}
ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\left| 1.1 + 1.( - 1)
+ \sqrt{2}.\sqrt{2} ight|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} +
{\sqrt{2}}^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}} =
\frac{1}{2}

    \Rightarrow \varphi =
30^{0}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;6;0),B(0;0; - 2);C( - 3;0;0). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A;B;C là:

    Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} =
1.

    Ta có \frac{x}{3} + \frac{y}{- 6} +
\frac{z}{2} = 1

    \Leftrightarrow - 2x + y - 3z =
6

    \Leftrightarrow 2x - y + 3z + 6 =
0

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 6y - 4z - 2 =
0, mặt phẳng (\alpha):x + 4y + z -
11 = 0. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (\alpha), (P) song song với giá của vectơ \overrightarrow{v} = (1;6;2)(P) tiếp xúc với (S). Lập phương trình mặt phẳng (P).

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) và bán kính R\  = \ 4.

    Từ giả thiết suy ra \left\lbrack
\overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack là một vectơ pháp tuyến của (P).

    Ta có \left\lbrack
\overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{v} ightbrack = (2; -
1;2), suy ra (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2; -
1;2)

    Vậy (P) có phương trình dạng 2x - y + 2z + m = 0

    Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:

    d\left( I;(P) ight) = R
\Leftrightarrow \frac{|2.1 + 3 + 2.2 + m|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}}
= 4

    \Leftrightarrow |9 + m| = 12
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 3 \\
m = - 21 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là \left\lbrack \begin{matrix}
2x - y + 2z + 3 = 0 \\
2x - y + 2z - 21 = 0 \\
\end{matrix} ight..

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho điểm P(-3 , 1, -1)  và đường thẳng (d): \left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.

    Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:

    Chuyển (d) về dạng tham số : \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2} + 3t\\y =  - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.

    Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: 3x + 4y + 2z + D = 0, cho qua P tính được D=7 .

    Ta có (Q): 3x + 4y + 2z + 7 = 0 .

    Thế x, y, z  theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được t = \frac{1}{2}

    Giao điểm I của (d) và (Q)  là I (1, -3, 1) .

    Vì I là trung điểm của PP’ nên \Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight).

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 56 lượt xem
Sắp xếp theo