Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} và mặt phẳng (P):2x - y - 2z + 1 = 0. Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: \Delta có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 1), (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (2; - 1; - 2).

    Từ đó: \sin\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ight) ight| = \left| \frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} ight| = \frac{4}{9}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho mặt cầu \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z - 2 = 0 và mặt phẳng \left( P ight):3x + 2y + 6z + 1 = 0. Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Tính tọa độ tâm H của (C).

     Theo đề bài, mặt cầu (S) có tâm I\left( { - 2,1, - 3} ight) và vecto pháp tuyến của (P):\,\,\overrightarrow n = \left( {3,2,6} ight)

    \begin{array}{l}IH \bot \left( P ight) \Rightarrow IH:x = - 2 + 3t;\,\,y = 1 + 2t;\,\,z = - 3 + 6t\\H \in \left( P ight) \Rightarrow 3\left( { - 2 + 3t} ight) + 2\left( {1 + 2t} ight) + 6\left( { - 3 + 6t} ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{3}{7}\\ \Rightarrow H\left( { - \dfrac{5}{7},\dfrac{{13}}{7}, - \dfrac{3}{7}} ight)\end{array}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;6;0),B(0;0; - 2);C( - 3;0;0). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A;B;C là:

    Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

    Ta có \frac{x}{3} + \frac{y}{- 6} + \frac{z}{2} = 1

    \Leftrightarrow - 2x + y - 3z = 6

    \Leftrightarrow 2x - y + 3z + 6 = 0

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 1}{1} và mặt phẳng (P):x - 2y - 2z + 5 = 0. Điểm A nào dưới đây thuộc d và thỏa mãn khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng 3?

    Vì A ∈ (d) nên ta có tọa độ điểm A(2a; −a; a − 1).

    Khoảng cách từ A đến (P) là

    \frac{\left| 2a + 2a - 2(a - 1) + 5 ight|}{\sqrt{9}} = 3

    \Leftrightarrow |2a + 9| = 9\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = 0 \\a = - \dfrac{9}{2} \\\end{matrix} ight.

    Với a = 0 \Rightarrow A(0;\ 0; - 1)

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a\sqrt{2} và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu \tan\alpha = \sqrt{2} thì góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I = AC \cap BD.

    Hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng a\sqrt{2} suy ra hình vuông đó có cạnh bằng a.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} (SBD) \cap (ABCD) = BD \\ SI\bot BD \\ AI\bot BD \\ \end{matrix} \Rightarrow ((SBD);(ABCD)) = (SI;AI) = SIA ight..

    Ta có tan\alpha = tanSIA = \frac{SA}{AI} \Leftrightarrow SA = a.

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),S(0;0;a).

    Khi đó \overrightarrow{SA} = (0;0; - a);\overrightarrow{SC} = (a;a; - a);\overrightarrow{SB} = (a;0; - a).

    Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến {\overrightarrow{n}}_{1} = ( - 1;1;0).

    Mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến {\overrightarrow{n}}_{2} = (1;0;1).

    Suy ra cos((SAC);(SBC)) = \frac{\left|{\overrightarrow{n}}_{1} \cdot {\overrightarrow{n}}_{2} ight|}{\left|{\overrightarrow{n}}_{1} ight| \cdot \left| {\overrightarrow{n}}_{2}ight|}= \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\Rightarrow((SAC);(SBC)) = 60^{\circ}.

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(a;b;1) thuộc mặt phẳng (P):2x - y + z - 3 = 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Ta có điểm M(a;b;1) thuộc mặt phẳng (P):2x - y + z - 3 = 0 nên:

    2a - b + 1 - 3 = 0 \Leftrightarrow 2a - b = 2

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Biết B(2;3;7),D(4;1;3), lập phương trình mặt phẳng (SAC).

    Dễ dàng chứng minh được (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.

    Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) là \overrightarrow{BD} = (2; - 2; - 4).

    Mặt phẳng (SAC) đi qua trung điểm I(3;2;5) của BD và có vtcp \overrightarrow{BD} nên có phương trình: x - y - 2z + 9 = 0.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight. và \left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.

    Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:

    Phương trình (d) cho biết A(2, 1, 0) \in (d) và (d) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)

    Chuyển (\triangle ) về dạng tham số \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight. để có B(2, 3, 0) \in (\triangle ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight) .

    Gọi I là trung điểm AB  thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ \in (P) .

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0là phương trình của mặt phẳng (P).

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2} = 4. Một mặt cầu (S') có tâm I'(9;1;6) và tiếp xúc ngoài với mặt cầu (S). Kết luận nào sau đây đúng về phương trình mặt cầu (S')?

    Ta có tâm và bán kính mặt cầu (S) lần lượt là I(1;1;0);R = 2.

    Suy ra II' = 10

    Gọi R' là bán kính mặt cầu (S'). Theo giả thiết ta có:

    R + R' = II' \Leftrightarrow R' = II' - R = 8

    Khi đó phương trình mặt cầu cần tìm là: (S'):(x - 9)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 64.

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (\alpha):4x + 3y - 7z + 1 = 0. Phương trình tham số của d là:

    Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (\alpha) nên nhận vectơ \overrightarrow{n_{(\alpha)}} làm véc-tơ chỉ phương.

    Suy ra, phương trình đường thẳng: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 4t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - 7t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):3x + 4y + 5z + 8 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x - 2y + 1 = 0,(\beta):x - 2z - 3 = 0. Góc giữa d và (P) bằng:

    Ta có: (P),(\alpha),(\beta) có vectơ pháp tuyến lần lượt là\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{n_{(P)}} = (3;4;5) \\ \overrightarrow{n_{\alpha}} = (1; - 2;0) \\ \overrightarrow{n_{\beta}} = (1;0; - 2) \\ \end{matrix} ight.

    Vectơ chỉ phương của d là \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{\alpha}};\overrightarrow{n_{\beta}} ightbrack = (4;2;2)

    Gọi\varphi là góc giữa d và (P), ta có:

    \sin\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{u} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{(P)}} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \varphi = 60^{0}

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x + 2y - z - 1 = 0 và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y + 6z + 5 = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; −3), bán kính R = \sqrt{1 + 4 + 9 - 5} = 3

    Ta có:

    d\left( I;(P) ight) = \frac{\left| 2.1 + 2.2 - ( - 3) - 1 ight|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{8}{3} < R

    Do đó (P) cắt mặt cầu (S).

  • Câu 13: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;1;3) đồng thời cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại M,N,P sao cho tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) với (P) có toạ độ là:

    Gọi M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c)

    Theo giả thiết, ta có a;b;c là các số dương.

    Phương trình mặt phẳng (P) là \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    (P) đi qua điểm A (2; 1; 3) nên \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1

    Ta có: \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{a}.\frac{1}{b}.\frac{3}{c}} = \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}}

    \Leftrightarrow 1 \geq \frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{abc}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{abc} \geq 3\sqrt[3]{6} \Leftrightarrow abc \geq 112

    V_{OMNP} = \frac{abc}{6} \geq 27. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{3}{c} \\ \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{3}{c} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 \\ b = 3 \\ c = 9 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy (P):\frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1

    Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ: \left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 4 + t \\ \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{9} = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = - 1 \\ z = 6 \\ t = 2 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy đáp án cần tìm là: (4; - 1;6).

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P):2x + z - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:

    Mặt phẳng (P):2x + z - 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là: \overrightarrow{n} = (2;0;1).

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-1) và mặt phẳng (P):x+y+2z-13=0. Xét các mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c), đi qua điểm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Tính giá trị của biểu thức T=a^2+2b^2+3c^2 khi (S) có bán kính nhỏ nhất.

     Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) ta có IA + IH =2R nên R nhỏ nhất khi I, A, H thẳng hàng và I là trung điểm của AH.

    Phương trình AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \end{matrix}ight.

    Tọa độ H là nghiệm (x;y;z) của hệ:

    \left\{\begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ z=-1+2t \\ x+y+2z-13=0 \end{matrix}ight.

    \Rightarrow H(3;4;3)\Rightarrow I(2;3;1)

    Suy ra, ta có: T=a^2+2b^2+3c^2 =2^2+2.3^2+3.1^2=25

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng (d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).

    Ta có: \overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)

    Do đó: \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}

    Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 90^{0} - 60^{0} = 30^{0}.

  • Câu 17: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M thoả mãn OM = 7. Biết rằng khoảng cách từ M tới mặt phẳng (Oxz),(Oyz) lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Oxy).

    Ta có: (Oxz):y = 0,(Oyz):x = 0

    Giả sử M(a;b;c) khi đó ta có:

    \left\{ \begin{matrix} OM = 7 \\ d\left( M;(Oxz) ight) = 2 \\ d\left( M;(Oyz) ight) = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 49 \\ b^{2} = 4 \\ a^{2} = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow c^{2} = 36

    Mà d\left( M;(Oxy) ight) = \sqrt{c^{2}} = 6

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 2}{1}. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây vuông góc với đường thẳng d.

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1; - 2;1)

    Mặt phẳng vuông góc với d nhận vectơ \overrightarrow{u} làm vectơ pháp tuyến.

    Do đó (P):x - 2y + z + 1 = 0 là mặt phẳng thỏa mãn.

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I( - 1;4;2) và có thể tích bằng \frac{256\pi}{3}. Khi đó phương trình mặt cầu (S) là:

    Thể tích mặt cầu là: V = \frac{4\pi R^{3}}{3} = \frac{256\pi}{3} \Rightarrow R = 4

    Vậy phương trình mặt cầu tâm I có bán kính R = 4 là: (x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 2)^{2} = 16

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 - 4t \\ z = 6 + 6t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và đường thẳng d_{2}:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{- 5}. Viết phương trình đường thẳng \Delta đi qua A(1; - 1;2), đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng d_{1} và d_{2}.

    Đường thẳng d_{1} và d_{2} có vectơ chỉ phương lần lượt là \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}} = (1; - 4;6)\ \\ \overrightarrow{u_{2}} = (2;1; - 5) \\ \end{matrix} ight.

    Gọi \overrightarrow{u} là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

    Do \left\{ \begin{matrix} \Delta\bot\overrightarrow{u_{1}} \\ \Delta\bot\overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{u_{1}} \\ \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = (14;17;9)

    Mà ∆ đi qua A(1; - 1;2) do đó ∆ có phương trình là \frac{x - 1}{14} = \frac{y + 1}{17} = \frac{z - 2}{9}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 44 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập