Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M( - 1;1;2) và hai đường thẳng d:\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z -
1}{1},d^{'}:\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{- 2}. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm M, cắt d và vuông góc với d^{'}.

    Gọi \Delta là đường thẳng đi qua điểm M, cắt d và vuông góc với d^{'}.
    Giả sử \Delta \cap d = A \Rightarrow A(2 +
3t; - 3 + 2t;1 + t).

    \overrightarrow{AM} = (3 + 3t; - 4 + 2t;
- 1 + t)

    \Delta\bot d^{'} \Rightarrow
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{u_{d^{'}}} = 0
\Leftrightarrow 3 + 3t + 3( - 4 + 2t) - 2( - 1 + t) = 0

    \Leftrightarrow 7t = 7 \Leftrightarrow t
= 1

    \Rightarrow A(5; -
1;2),\overrightarrow{AM} = (6; - 2;0) = 2(3; - 1;0).

    \Delta:\left\{ \begin{matrix}x = - 1 + 3t \\y = 1 - t \\z = 2 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} =
9 có bán kính bằng:

    Bán kính của mặt cầu (S)R = \sqrt{9} = 3.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm A(2;0;0),B(1;3;0),C( -
1;0;3),D(1;2;3). Tính bán kính R của (S)?

    Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A;B;C;D

    Khi đó ta có phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}
AI^{2} = BI^{2} \\
AI^{2} = CI^{2} \\
AI^{2} = DI^{2} \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
(a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 3)^{2} + c^{2} \\
(a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a + 1)^{2} + b^{2} + (c - 3)^{2} \\
(a - 2)^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - 1)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 3)^{2} \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a - 3b = - 3 \\
a - c = - 1 \\
a - 2b - 3c = - 5 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 0 \\
b = 1 \\
c = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow I(0;1;1)

    Vậy bán kính cần tìm là: R = IA =
\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}

  • Câu 4: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; - 2; - 1),B( - 2; - 4;3),C(1;3; - 1) và mặt phẳng (P):x + y - 2z - 3 =
0. Tìm điểm M \in (P) sao cho |\overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| dạt giá trị nhỏ nhất.

    Gọi I là điểm sao cho \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +
2\overrightarrow{IC} = 0 \Rightarrow I(0;0;0).

    Từ đó:

    |\overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| = |4\overrightarrow{MI} +
(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC})| =
4IM \geq 4IH

    với H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

    Từ đó suy ra |\overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| dạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M \equiv H.

    Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) là: \left\{ \begin{matrix}
x = t \\
y = t \\
z = - 2t \\
\end{matrix} ight..

    Tọa độ diểm H là nghiệm (x;y;z) của hệ

    \left\{ \begin{matrix}x = t \\y = t \\z = - 2t \\x + y - 2z - 3 = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{1}{2} \\y = \dfrac{1}{2} \\z = - 1 \\t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\  ight.

    Suy ra H = \left(
\frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1 ight).

    Vậy, tọa độ điểm M cần tìm là M = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1
ight).

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;m). Để mặt phẳng (ABC) hợp với mặt phẳng (Oxy) một góc 60^{0} thì giá trị của m là

    Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{k} = (0;0;1)

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( -
1;2;0);\overrightarrow{AC} = ( - 1;0;m), suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)\overrightarrow{n} = \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack =
(2m;m;2)

    Theo bài ra ta có:

    cos60^{0} = \frac{\left|
\overrightarrow{k}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{k}
ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} \Leftrightarrow \sqrt{5m^{2}
+ 4} = 4

    \Leftrightarrow m^{2} = \frac{12}{5}
\Leftrightarrow m = \pm \sqrt{\frac{12}{5}}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (Oxy) cắt mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 3)^{2} =
25 theo thiết diện là đường tròn bán kính r bằng bao nhiêu?

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;1; - 3) và bán kính R = 5.

    Khoảng cách từ tâm I đến (Oxy) bằng 3.

    \Rightarrow r = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} =
4

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(2;0; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{a} = (4; - 6;2). Phương trình tham số của đường thẳng \Delta

    đường thẳng \Delta đi qua điểm M(2;0; - 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (2; - 3;1) nên có phương trình tham số \left\{
\begin{matrix}
x = 2 + 2t \\
y = - 3t \\
z = - 1 + t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \widehat{ABC} = 60^{0}, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H,M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,SA,SDP là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm K của đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \widehat{ABC} = 60^{0}, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H,M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,SA,SDP là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm K của đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1)A(1;1;1). Hai điểm M(m;0;0),N(0  ;n;0) thay đổi sao cho m + n = 1m > 0,n > 0. Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng (SMN). Bán kính của mặt cầu đó là:

    Phương trình mặt phẳng (SMN)\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{1} =1

    \Leftrightarrow nx + my + mnz - mn =0.

    Gọi I(a;b;c)R là tâm và bán kính của mặt cầu cố định.

    Ta có

    R = d(I;(SMN))

    = \frac{|na + mb + mnc -mn|}{\sqrt{n^{2} + m^{2} + m^{2}n^{2}}}

    = \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{\sqrt{1 - 2mn + m^{2}n^{2}}}

    = \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{1 - mn}

    = \frac{\left| (1 - c)m^{2} + (b + c - a- 1)m + a ight|}{m^{2} - m + 1}

    R không đổi nên \frac{1 - c}{1} = \frac{b + c - a - 1}{- 1} =\frac{a}{1} = t \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = t \\b = t \\c = 1 - t \\\end{matrix} ight., hay I(t;t;1- t).
    Mặt khác ta có R = IA = \sqrt{3t^{3} - 4t +2} = |t| \Rightarrow t = 1.

    Vậy R = 1.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P),(Q) lần lượt có phương trình là x + y - z = 0,\ x - 2y + 3z = 4 và cho điểm M(1; - 2;5). Tìm phương trình mặt phẳng (\alpha) đi qua điểm M và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q)?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{n_{(P)}} = (1;1; - 1) \\
\overrightarrow{n_{(Q)}} = (1; - 2;3) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ightbrack = (1; -
4; - 3)

    Do (\alpha) vuông góc với (P),(Q) nên \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\overrightarrow{n_{(P)}} \\
\overrightarrow{n_{(\alpha)}}\bot\overrightarrow{n_{(Q)}} \\
\end{matrix} ight.

    Chọn \overrightarrow{n_{(\alpha)}} =
\left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}}
ightbrack = (1; - 4; - 3)

    Hơn nữa (\alpha) đi qua M(1; - 2;5) nên có phương trình là:

    (x - 1) - 4(y + 2) - 3(z - 5) =
0

    \Leftrightarrow x - 4y - 3z + 6 =
0

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(1;2;3) và có véc-tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (2;4;6). Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng \Delta?

    Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình \left\{ \begin{matrix}
x = 3 + 2t \\
y = 6 + 4t \\
z = 12 + 6t \\
\end{matrix} ight..

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC có A\left( {1,2, - 3} ight);\,\,B\left( {2, - 1,4} ight);\,\,\,C\left( {3, - 2,5} ight).

    Viết phương trình chính tắc của cạnh AB.

    (AB) là đường thẳng đi qua A và B nên có 1 vecto chỉ phương:  \overrightarrow {AB}  = \left( {1, - 3,7} ight)

    (AB) đi qua A (1, 2, -3) và nhận vecto \overrightarrow {AB}  = \left( {1, - 3,7} ight) làm 1 VTCP có phương trình chính tắc là:

     \begin{array}{l}AB:x - 1 = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{7}\\ \Leftrightarrow {m{ }}x - 2 = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{{z - 4}}{7}\\ \Leftrightarrow \,\,x - 1 = \frac{{2 - y}}{3} = \frac{{z + 3}}{7}\end{array}

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân

    giác trong góc A là \frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}.  Biết rằng điểm M(0; 5; 3) thuộc đường thẳng AB và điểm N(1;1;0)thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?

    Giả sử , A(t; 6-4t; 6-3t), ta có:

    \vec{u_d}=(1; -4; -3),

    \vec{AM}=(-t;4t-1;-3+3t)

    \vec{AN}=(1-t;-5+4t;3t-6)

    Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:

    \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AM}) ight |= \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AN}) ight |

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 26t-13 ight |}{\sqrt{26t^2 -26t+10} } =\dfrac{\left | 26t-39 ight |}{\sqrt{26t^2 -78t+62} }

    \Leftrightarrow \dfrac{\left | 2t-1 ight |}{\sqrt{13t^2 -13t+5} } =\dfrac{\left | 2t-3 ight |}{\sqrt{13t^2 -39t+31} }

    Từ đây ta bình phương 2 vế được:

    (4t^2-4t+1)(13t^2-39t+31)=(4t^2-12t+9)(13t^2-13t+5)

    \Leftrightarrow 14t=14

    \Leftrightarrow t=1

    \Rightarrow A(1;2;3)\Rightarrow \vec{AN}=(0; -1; -3)

    Vậy một véc tơ chỉ phương của AC  là  \vec{u}(0;1;3).

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{- 2} =
\frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} và mặt phẳng (P):2x - y - 2z + 1 = 0. Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: \Delta có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 2;2; -
1), (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (2; - 1; -
2).

    Từ đó: \sin\alpha = \left| \cos\left(
\overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ight) ight| = \left|
\frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{n}
ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} ight| =
\frac{4}{9}

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):2x + 4y + 3z - 5 = 0(Q):mx - ny - 6z + 2\  = \ 0. Giá trị của m, n sao cho (P)//(Q)

    Ta có: (P) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{(P)}} = (2;4;3), (Q) có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{(Q)}} = (m; - n; -
6)

    Để hai mặt phẳng song song thì \overrightarrow{u_{(P)}} =
k\overrightarrow{u_{(Q)}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = 2k \\
- n = 4k \\
- 6 = 3k \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
k = - 2 \\
m = - 4 \\
n = 8 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là: m = - 4;n =
8.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho 3 mặt phẳng \left( \alpha  ight):x - 2z = 0,\left( \beta  ight):3x - 2y + z - 3 = 0,\left( \gamma  ight):x - 2y + z + 5 = 0 . Mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của (\alpha), (\beta) ,vuông góc với (\gamma) có phương trình tổng quát:

    Mặt phẳng (P) thuộc chùm mặt phẳng (\alpha), (\beta) nên phương trình có dạng:

    \left( {m + 3} ight)x - 2y + \left( {1 - 2m} ight)z - 3 = 0

    (P) vuông góc với (\gamma) nên ta được:

    \left( {m + 3} ight).1 - 2.\left( { - 2} ight) + 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 8

    Vậy ta có phương trình (P) là : 11x - 2y - 15z - 3 = 0

  • Câu 17: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q):x + 2y - z - 5 = 0 và đường thẳng d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{1} =
\frac{z - 3}{1}. Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất là

    Vì (P) chứa d nên phương trình của (P) có dạng (P):a(x + 1) + b(y + 1) + c(z - 3) = 0 với \left\{ \begin{matrix}
a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 \\
2a + b + c = 0 \\
\end{matrix} ight..

    Gọi α là góc giữa (P) và (Q), ta có:

    \cos\alpha = \frac{\left|
\overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{n_{Q}} ight|}{\left|
\overrightarrow{n_{P}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{Q}} ight|} =
\frac{|a + 2b - c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.\sqrt{6}} =
\frac{\left| 3(a + b) ight|}{\sqrt{5a^{2} + 4ab +
2b^{2}}.\sqrt{6}}

    Nếu a = 0 thì \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha
= 30^{0}

    Nếu a eq 0 thì \cos\alpha = \frac{\left| 3(1 + t)
ight|}{\sqrt{6}.\sqrt{5 + 4t + 2t^{2}}};\left( t = \frac{b}{a}
ight).

    Khi đó 0 \leq \cos\alpha <
\frac{\sqrt{3}}{2}

    Ta có α nhỏ nhất khi và chỉ khi cosα lớn nhất.

    Do đó \alpha = 30^{0}\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}.

    Khi đó a = 0, chọn b = 1,\ c = - 1.

    Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: (P):y - z + 4 = 0.

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x + 3y - 5z + 6 = 0(\beta):x - y + 3z - 6 = 0. Phương trình tham số của d là:

    Nhận thấy A(1;1;2),B(2; - 1;1) đều thuộc (α) và (β) nên chúng cũng thuộc đường thẳng d.

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1; - 2; -
1) là một vectơ chỉ phương của d.

    Khi đó phương trình tham số của d là: \left\{
\begin{matrix}
x = 1 + t \\
y = 1 - 2t \\
z = 2 - t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và mặt phẳng (P) có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc (S). Đường thẳng OM cắt (P) tại N. Hình chiếu của O trên (P) là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?

     Mệnh đề đúng

    Vì I là hình chiếu của O trên (P) nên  d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = OId\left[ {O,\left( P ight)} ight] = R nên I là tiếp điểm của (P)(S).

    Đường thẳng OM cắt (P) tại N nên IN vuông góc với OI tại I.

    Suy ra IN tiếp xúc với (S).

    Tam giác OIN vuông tại I nên ON = R\sqrt 2  \Leftrightarrow IN = R.

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng (d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z
+ 1}{- 1}. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).

    Ta có: \overrightarrow{u_{d}} = (1;2; -
1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)

    Do đó: \cos\left(
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 -
2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}

    Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 90^{0} -
60^{0} = 30^{0}.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 42 lượt xem
Sắp xếp theo