Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 3 và mặt phẳng (\alpha):(m - 4)x + 3y - 3mz + 2m - 8 = 0. Với giá trị nào của tham số m thì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu?

    Mặt cầu (S) có tâm I(−3; 1; −1) và bán kính R = \sqrt{3}

    Mặt phẳng (α) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi

    d\left( I;(P) ight) = R

    \Leftrightarrow \frac{\left| (m - 4).( - 3) + 3.1 - 3m.( - 1) + 2m - 8 ight|}{\sqrt{(m - 4)^{2} + 3^{2} + ( - 3m)^{2}}} = \sqrt{3}

    \Leftrightarrow \frac{|2m + 7|}{\sqrt{10m^{2} - 8m + 25}} = \sqrt{3}

    \Leftrightarrow 26m^{2} - 52m + 26 = 0 \Leftrightarrow m = 1

    Vậy đáp án cần tìm là: m = 1.

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 2)^2 = 9 hai hai điểm M(4; −4; 2),N(6; 0; 6). Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho EM + EN đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I(1; 2; 2) là tâm của (S), P(5; −2; 4) là trung điểm MN.

    Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-copx-ki và công thức độ dài trung tuyến ta được:

    (EM + EN)^{2} \leq 2\left( EM^{2} + EN^{2} ight) = 2\left( 2EP^{2} + \frac{MN^{2}}{2} ight)

    nên T = EM + EN đạt giá trị lớn nhất khi EM = EN và EP đạt giá trị lớn nhất.

    Khi đó E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S) (I nằm giữa E và P). Đường thẳng IP có phương trình:

    \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{1}

    Tọa độ E thỏa hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 9 \\\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{z - 2}{1} \\\end{matrix} ight.

    Tìm được E(3; 0; 3) hoặc E(−1; 4; 1), thử lại để EP lớn nhất ta được E(−1; 4; 1).

    Khi đó phương trình tiếp diện với (S) tại E là 2x−2y+z+9 = 0.

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x - y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng (d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).

    Ta có: \overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)

    Do đó: \cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}

    Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 90^{0} - 60^{0} = 30^{0}.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.

    a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B' và BC bằng a. Đúng||Sai

    b) Góc giữa hai đường thẳng AB và B^{'}D^{'} bằng \ 45{^\circ}. Đúng||Sai

    c) Góc giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (A'B'C'D') bằng 60{^\circ}. Sai||Đúng

    d) Góc nhị diện \left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack có số đo bằng 45{^\circ}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.

    a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B' và BC bằng a. Đúng||Sai

    b) Góc giữa hai đường thẳng AB và B^{'}D^{'} bằng \ 45{^\circ}. Đúng||Sai

    c) Góc giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (A'B'C'D') bằng 60{^\circ}. Sai||Đúng

    d) Góc nhị diện \left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack có số đo bằng 45{^\circ}. Đúng||Sai

    a) Vì A'B'\bot BB', BC\bot BB' nên d(A'B',BC) = BB' = a. Mệnh đề đúng.

    b) Do AB//A'B' nên (AB,B'D') = (A'B',B'D') = 45{^\circ}. Mệnh đề đúng.

    c) Vì CC'\bot(A'B'C'D') nên \left( CD',(A'B'C'D') ight) = (CD',C'D') = 45{^\circ}. Mệnh đề sai.

    d) Ta có B'C'\bot BB', B'D'\bot BB' nên góc nhị diện \left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack có số đo bằng \widehat{D'B'C'} = 45{^\circ}. Mệnh đề đúng

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3; - 1;4), đồng thời vuông góc với giá của vectơ \overrightarrow{a} = (1;1;2) có phương trình là:

    Mặt phẳng (P) nhận vectơ \overrightarrow{a} = (1;1;2) làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm M(3; - 1;4) nên có phương trình là1(x - 3) - 1(y + 1) + 2(z - 4) = 0

    \Leftrightarrow x - y + 2z - 12 = 0.

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua M\left( {\,{x_0},\,\,{y_0},\,\,{z_0}} ight) và có một vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight) với  {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3} e 0  có phương trình chính tắc là:

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua M\left( {\,{x_0},\,\,{y_0},\,\,{z_0}} ight) và có một vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {\,{a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3}} ight) với {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_3} e 0 có phương trình chính tắc là:

    \frac{{x\, - \,{x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y\, - \,{y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z\, - \,{z_0}}}{{{a_3}}}

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 6. Đường kính của (S) bằng

    Ta có bán kính của (S) là \sqrt{6} nên đường kính của (S) bằng 2\sqrt{6}.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2),B( - 1;2;4) và đường thẳng \Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = - 2 + t \\ z = 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Điểm M \in \Delta mà tổng MA^{2} + MB^{2} có giá trị nhỏ nhất có tọa độ là:

    Vì M \in \Delta nên ta có tọa độ điểm M(1 - t; - 2 + t;2t).

    Ta có:

    MA^{2} + MB^{2} = ( - t)^{2} + (t - 6)^{2} + (2t - 2)^{2} + (2 - t)^{2} + (t - 4)^{2} + (2t - 4)^{2}

    = 12t^{2} - 48t + 76 = 12(t - 2)^{2} + 28 \geq 28

    Vậy giá trị nhỏ nhất của MA^{2} + MB^{2} là 28 khi t = 2 \Rightarrow M( - 1;0;4).

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng chéo nhau \left( d ight):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} ight. và \left( d' ight):\left\{ \begin{array}{l}x + 2z - 2 = 0\\y - 3 = 0\end{array} ight.

    Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:

    Phương trình (d) cho biết A(2, 1, 0) \in (d) và (d) có vectơ chỉ phương \overrightarrow a = \left( {1, - 1,2} ight)

    Chuyển (\triangle ) về dạng tham số \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 3\\z = t\end{array} ight. để có B(2, 3, 0) \in (\triangle ) và vectơ chỉ phương \overrightarrow b = \left( { - 2,0,1} ight) .

    Gọi I là trung điểm AB  thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ \in (P) .

    \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {IM} = 0 \Leftrightarrow x + 5y + 2z - 12 = 0là phương trình của mặt phẳng (P).

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt phẳng (\alpha) cắt ba trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại ba điểm A( - 3;0;0),B(0;4;0),C(0;0; - 2)?

    Phương trình mặt phẳng (\alpha): \frac{x}{- 3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{- 2} = 1

    \Leftrightarrow 4x - 3y + 6z = - 12

    \Leftrightarrow 4x - 3y + 6z + 12 = 0

  • Câu 11: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 1; 1). Phương trình mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 1; 1). Phương trình mặt phẳng (P) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 12: Vận dụng

    Tính góc của hai đường thẳng \left( {d'} ight):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{{z + 2}}{4}và \left( d ight):x = 3 + 2t;\,\,y = 2t - 4;\,\,z = 2\,\,\,\left( {t \in R} ight).

    Theo đề bài, ta có (d’) và (d) có vec-tơ chỉ phương lần lượt là:\overrightarrow a = \left( {2,4,4} ight);\overrightarrow b = \left( {2,2,0} ight)

    Áp dụng công thức cosin của góc giữa 2 đường thẳng, ta có:

    \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 4.0} ight|}}{{6.2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = {45^0}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;0;1) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{2}. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d.

    Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M(2;0;1) và vuông góc với đường thẳng d.

    Suy ra (P) nhận \overrightarrow{u_{d}} = (1;2;1) làm vectơ pháp tuyến.

    Phương trình mặt phẳng

    (P):(x - 2) + 2y + z - 1 = 0

    \Leftrightarrow x + 2y + z - 3 = 0.

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d, suy ra H = d \cap (P).

    Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z - 2}{2} \\x + 2y + z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x - y = 2 \\y - 2z = - 4 \\x + 2y + z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 1 \\y = 0 \\z = 2 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 = 0 và đường thẳng d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}, sin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng:

    Mặt phẳng (P):4x + 3y - z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (4;3; - 1)

    Đường thẳng d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1} có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (4;3;1)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;2),B(2; - 1;3). Viết phương trình đường thẳng AB?

    Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là \overrightarrow{AB} = (1; - 2;1). Suy ra phương trình đường thẳng AB là:

    AB:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{1}

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, hỏi trong các phương trình sau đây phương trình nào là phương trình của mặt cầu?

    Phương trình x^{2} + z^{2} + 3x - 2y + 4z - 1 = 0 không có y^{2}=> Loại

    Phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy - 4y + 4z - 1 = 0 có số hạng 2xy => Loại

    Phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y - 4z + 8 = 0 loại vì

    a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 1 + 1 + 4 - 8 < 0

    Phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4z - 1 = 0 thỏa mãn vì

    a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 1 + 0 + 4 + 1 = 6 > 0.

  • Câu 17: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):x + y - 2z - 5 = 0 và đường thẳng\Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{3}. Gọi A là giao điểm của \Delta và (P) và M là điểm thuộc đường thẳng \Delta sao cho AM = \sqrt{84}. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P).

    Gọi \alpha = \left( \Delta,(P) ight)

    Khi đó ta có: \cos\alpha = \frac{|1.2 + 1.1 - 2.3|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + ( - 2)^{2}}.\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 3^{2}}} = \frac{\sqrt{21}}{14}

    Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P), khi đó:

    HM = MA.cos\alpha = \sqrt{84}.\frac{\sqrt{21}}{14} = 3

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1),B(3; - 1;5). Phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với AB và hợp với các trục tọa độ một tứ diện có thể tích bằng \frac{3}{2} là

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 3;4) \Rightarrow (P):2x - 3y + 4z + m = 0

    Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox, Oy, Oz

    Suy ra M\left( - \frac{m}{2};0;0 ight),N\left( 0;\frac{m}{3};0 ight),P\left( 0;0;\frac{- m}{4} ight)

    Ta có thể tích tứ diện V_{O.MNP} = \frac{1}{6}.\left| \frac{m^{3}}{24} ight| = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = \pm 6

    Vậy đáp án cần tìm là: 2x - 3y + 4z \pm 6 = 0

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(1;1;3),B(1;3;2),C( - 1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (ABC)?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0;2; - 1) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 2;1;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;2;4)

    Vậy (ABC):x - 1 + 2(y - 1) + 4(z - 3) = 0

    \Leftrightarrow x + 2y + 4z - 15 = 0

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho mặt cầu \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z - 2 = 0 và mặt phẳng \left( P ight):3x + 2y + 6z + 1 = 0. Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Tính tọa độ tâm H của (C).

     Theo đề bài, mặt cầu (S) có tâm I\left( { - 2,1, - 3} ight) và vecto pháp tuyến của (P):\,\,\overrightarrow n = \left( {3,2,6} ight)

    \begin{array}{l}IH \bot \left( P ight) \Rightarrow IH:x = - 2 + 3t;\,\,y = 1 + 2t;\,\,z = - 3 + 6t\\H \in \left( P ight) \Rightarrow 3\left( { - 2 + 3t} ight) + 2\left( {1 + 2t} ight) + 6\left( { - 3 + 6t} ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{3}{7}\\ \Rightarrow H\left( { - \dfrac{5}{7},\dfrac{{13}}{7}, - \dfrac{3}{7}} ight)\end{array}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 14 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập