Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 6z + 5 = 0$ và mặt phẳng $(\alpha):2x + y + 2z - 15 = 0$ . Mặt phẳng $(P)$ song song với $(\alpha)$ và tiếp xúc với $(S)$ là
- A.
  $(P):2x + y + 2z - 15 = 0$
- B.
  $(P):2x + y + 2z + 15 = 0$
- C.
  $(P):2x + y + 2z - 3 = 0$
- D.
  $(P):2x + y + 2z + 3 = 0$
Ta có:

(S) có tâm $I (1; −2; 3)$ , bán kính $R = 3$ . (P) song song với (α)

⇒ $(P):2x + y + 2z + m = 0$ , với $m eq - 15$

Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên $d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 15 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight.$ , so với điều kiện ta nhận $m = 3$ .

Vậy $(P):2x + y + 2z + 3 = 0$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x - y + 2z + 1 = 0$ và đường thẳng $(d):\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ . Tính góc giữa đường thẳng $(d)$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $120^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $30^{0}$
Ta có: $\overrightarrow{u_{d}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 1;2)$

Do đó: $\cos\left( \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{(P)}} ight) = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$

Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng $90^{0} - 60^{0} = 30^{0}$ .
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ , sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:
- A.
  $\frac{5}{13}$
- B.
  $\frac{8}{13}$
- C.
  $\frac{1}{13}$
- D.
  $\frac{12}{13}$
Mặt phẳng $(P):4x + 3y - z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (4;3; - 1)$

Đường thẳng $d:\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 4}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;3;1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{12}{13}$
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 4),B(1; - 3;1),C(2;2;3)$ . Tính đường kính $l$ của mặt cầu $(S)$ đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ ?
- A.
  $l = 2\sqrt{13}$
- B.
  $l = 2\sqrt{4}$
- C.
  $l = 2\sqrt{26}$
- D.
  $l = 2\sqrt{11}$
Gọi tâm mặt cầu là $I(x;y;0)$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} IA = IB \\ IA = IC \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} + 1^{2}} \\ \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + 3^{2}} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (y - 2)^{2} + 4^{2} = (y + 3)^{2} + 1 \\ x^{2} - 2x + 1 + 16 = x^{2} - 4x + 4 + 9 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 10y = 10 \\ 2x = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow l = 2R = 2\sqrt{( - 3)^{2} + ( - 1)^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{26}$ .
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;3; - 1),B(1;2;4)$ . Phương trình đường thẳng nào được cho dưới đây không phải là phương trình đường thẳng $AB$ ?
- A.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5}$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 3 - t \\ z = - 1 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 - t \\ z = 4 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 4}{- 5}$
Ta có $\overrightarrow{BA} = (1;1; - 5)$

Vì điểm $A(2;3; - 1) otin \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5}$ nên $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5}$ không phải là phương trình đường thẳng AB.

Các đường thẳng còn lại đều có vectơ chỉ phương là (1; 1; −5) và đi qua điểm A(2; 3; −1) hoặc đi qua điểm B(1; 2; 4).
Câu 6: Nhận biết
Ba mặt phẳng $x + 2y - z - 6 = 0,2x - y + 3z + 13 = 0,3x - 2y + 3z + 16 = 0$ cắt nhau tại điểm A. Tọa độ của điểm A đó là:
- A. $A(1, 2, 3)$
- B. $A(1, -2, 3)$
- C. $A(-1, 2, 3)$
- D. $A(-1,2,-3)$
Tọa độ giao điểm của ba mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :
$\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z - 6 = 0\left( 1 ight)\\2x - y + 3z + 13 = 0\left( 2 ight)\\3x - 2y + 3z + 16 = 0\left( 3 ight)\end{array} ight.$
Giải (1),(2) tính $x,y$ theo $z$ được $x = - z - 4;y = z + 5$ .
Thế vào phương trình (3) được $z=-3$ , từ đó có $x = - 1,y = 2$
Vậy $A(-1,2,-3)$ .
Câu 7: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 5 + t \\ y = - 2 + t \\ z = 4 + \sqrt{2}t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và mặt phẳng $(P):\ x - y + \sqrt{2}z - 7 = 0$ . Hãy xác định góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = \left( 1;1;\sqrt{2} ight)$

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \left( 1; - 1;\sqrt{2} ight)$

Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khi đó ta có:

$\sin\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{\left| 1.1 + 1.( - 1) + \sqrt{2}.\sqrt{2} ight|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \varphi = 30^{0}$
Câu 8: Vận dụng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh $a$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(A'B'CD)$ và $(ACC'A')$ bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $75^{0}$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ

$O \equiv A';Ox \equiv A'D';Oy \equiv A'B';Oz \equiv AA'$

Khi đó: $A(0;0;a),D(a;0;a),B(0;a;a),C(a;a;a)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{A'B'} = (0;a;0);\overrightarrow{A'D} = (a;0;a) \\ \overrightarrow{A'A} = (0;0;a);\overrightarrow{A'C'} = (a;a;0) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{A'B'};\overrightarrow{A'D} ightbrack = \left( a^{2};0; - a^{2} ight)$

Chọn $\overrightarrow{n_{1}} = (1;0; - 1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(AB'CD)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{A'A};\overrightarrow{A'C'} ightbrack = \left( - a^{2};a^{2};0 ight)$

Chọn $\overrightarrow{n_{2}} = ( - 1;1;0)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ACC'A')$

Góc giữa hai mặt phẳng $(A'B'CD)$ và $(ACC'A')$ bằng:

$\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{| - 1|}{\sqrt{2}.\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 9: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ cắt mặt phẳng $(P):2x - 3y + z - 2 = 0$ tại điểm $I(a;b;c)$ . Khi đó $a + b + c$ bằng:
- A.
  $9$
- B.
  $5$
- C.
  $3$
- D.
  $7$
Ta có $\left\{ I ight\} = d \cap (P)$ suy ra $\left\{ \begin{matrix} I \in d \\ I \in (P) \\ \end{matrix} ight.$

Vì $I \in d$ nên tọa độ của I có dạng $(1 + 2t;3 - t;1 + t),t\mathbb{\in R}$ .

Vì $I \in (P)$ nên ta có phương trình:

$2(1 + 2t) - 3(3 - t) + 1 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Vậy $I(3;2;2)$ suy ra $a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7$ .
Câu 10: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A (2; 1; 3) , B (6; 5; 5)$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng $(P) : 2x + by + cz + d = 0$ với $b, c, d ∈ \mathbb{Z}$ . Tính giá trị $T = b − c + d$ .
- A.
  $T = - 18$
- B.
  $T = - 20$
- C.
  $T = - 21$
- D.
  $T = - 19$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (4;4;2)$ mà $\overrightarrow{AB}\bot(P)$ nên $\frac{2}{4} = \frac{b}{4} = \frac{c}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 2 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra (P): 2x + 2y + z + d = 0.

Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).

Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên $(S)$ có $I(4;3;4);R = \frac{AB}{2} = 3$

Gọi r là bán kính đường tròn tâm H.

Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức

Ta có:

$V = \frac{1}{3}\pi r^{2}AH = \frac{1}{3}\pi r^{2}(R + IH)$

$= \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( R + \sqrt{R^{2} - r^{2}} ight)$

$= \frac{1}{3}\pi r^{2}\left( 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}} ight)$

Đặt $f(r) = 3r^{2} + r^{2}.\sqrt{9 - r^{2}};r \in (0;3brack$

$\Rightarrow f'(r) = r\left( 6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \frac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} ight)$

$\Rightarrow f'(r) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}r = 0(ktm) \\6 + 2\sqrt{9 - r^{2}} - \dfrac{r^{2}}{\sqrt{9 - r^{2}}} = 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{9 - r^{2}} = r^{2} - 6;\left( r^{2} \geq 6 ight)$

$\Leftrightarrow r^{4} - 8r^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = 0(L) \\ r^{2} = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} r = - 2\sqrt{2}(L) \\ r = 2\sqrt{2}(tm) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow HI = \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 1$

$\Rightarrow \frac{AH}{AI} = \frac{AI + HI}{AI} = \frac{R + HI}{R} = \frac{4}{3}$

$\Rightarrow AH = \frac{4}{3}AI \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AI} \Rightarrow H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight)$

Mà $H\left( \frac{13}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} ight) \in (P):2x + 2y + z + d = 0 \Rightarrow d = - 21$

Vậy $T = b − c + d = −20.$
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(a;b;1)$ thuộc mặt phẳng $(P):2x - y + z - 3 = 0$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A.
  $2a - b = 3$
- B.
  $2a - b = 2$
- C.
  $2a - b = - 2$
- D.
  $2a - b = 4$
Ta có điểm $M(a;b;1)$ thuộc mặt phẳng $(P):2x - y + z - 3 = 0$ nên:

$2a - b + 1 - 3 = 0 \Leftrightarrow 2a - b = 2$
Câu 12: Vận dụng cao
Cho điểm P(-3 , 1, -1) và đường thẳng (d): $\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.$
Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:
- A. P'(5, 7, 3)
- B. P' (-5, 7, -3)
- C. P' (5, -7, 3)
- D. P' (-5, -7, 3)
Chuyển (d) về dạng tham số : $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2} + 3t\\y = - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.$
Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: $3x + 4y + 2z + D = 0$ , cho qua P tính được D=7 .
Ta có (Q): $3x + 4y + 2z + 7 = 0$ .
Thế x, y, z theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được $t = \frac{1}{2}$
Giao điểm I của (d) và (Q) là I (1, -3, 1) .
Vì I là trung điểm của PP’ nên $\Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight)$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$ ?
- A.
  $Q( - 2;1; - 3)$
- B.
  $P(2; - 1;3)$
- C.
  $M( - 1;1;2)$
- D.
  $N(1; - 1;2)$
Dựa vào phương trình đường thẳng ta thấy đường thẳng đã cho đi qua điểm $N(1; - 1;2)$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - 3y + z - 6 = 0$ cắt ba trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại ba điểm $A,B,C$ . Lúc đó thể tích $V$ của khối tứ diện $OABC$ là:
- A.
  $V = 6$
- B.
  $V = 3$
- C.
  $V = 12$
- D.
  $V = 18$
Gọi $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ lần lượt là giao của mặt phẳng $(P)$ với ba trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ .

Khi đó $A(3;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0;6)$ và tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc tại O.

Do đó $V_{OABC} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}.3.2.6 = 6$
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(2;0;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{2}$ . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $d$ .
- A.
  $(1;0;2)$
- B.
  $( - 1; - 4;0)$
- C.
  $(0; - 2;1)$
- D.
  $(1;1;2)$
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua $M(2;0;1)$ và vuông góc với đường thẳng d.

Suy ra (P) nhận $\overrightarrow{u_{d}} = (1;2;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng

$(P):(x - 2) + 2y + z - 1 = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y + z - 3 = 0$ .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d, suy ra $H = d \cap (P)$ .

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x - 1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z - 2}{2} \\x + 2y + z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x - y = 2 \\y - 2z = - 4 \\x + 2y + z - 3 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 1 \\y = 0 \\z = 2 \\\end{matrix} ight.$
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng song song với mặt phẳng $(\beta):2x - 4y + 4z + 3 = 0$ và cách điểm $A(2; - 3;4)$ một khoảng $k = 3$ . Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là:
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - 4y + 4z - 5 = 0\ \\ 2x - 4y + 4z - 13 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $x - 2y + 2z - 25 = 0$
- C.
  $x - 2y + 2z - 7 = 0$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x - 2y + 2z - 25 = 0\ \\ x - 2y + 2z - 7 = 0 \\ \end{matrix} ight.$
Vì $(\alpha)//(\beta)$ suy ra $(\alpha):2x - 4y + 4z + m = 0;(m eq 3)$

Theo giả thiết ta có: $d\left( A;(\alpha) ight) = k = 3$

$\Leftrightarrow \frac{|32 + m|}{6} = 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 14 \\ m = - 50 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $x - 2y + 2z - 25 = 0$ hoặc $x - 2y + 2z - 7 = 0$ .
Câu 17: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 2$ có tọa độ tâm $I$ là:
- A.
  $I(3; - 1;1)$
- B.
  $I( - 3; - 1;1)$
- C.
  $I( - 3;1; - 1)$
- D.
  $I(3;1; - 1)$
Tâm của $(S)$ có tọa độ là $I( - 3; - 1;1)$ .
Câu 18: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{- 1}$ và hai điểm $A(1;\ 2; - 1),B(3; - 1; - 5)$ . Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ và cắt đường thẳng $\Delta$ sao cho khoảng cách từ điểm $B$ đến đường thẳng $d$ là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng $d$ là:
- A.
  $\frac{x - 3}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 5}{- 1}$
- B.
  $\frac{x}{- 1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z}{4}$
- C.
  $\frac{x + 2}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$
- D.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z + 1}{- 5}$
Gọi $I = \Delta \cap d$ . Khi đó $I( - 1 + 2t;3t; - 1 - t)$

Ta có $\overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4),\overrightarrow{AI} = (2t - 2;3t - 2; - t)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AI} ightbrack = (8 - 15t;6t - 8;10 - 12t)$

Khoảng cách từ B đến d được tính như sau:

$d(B;d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AI} ightbrack ight|}{\left| \overrightarrow{AI} ight|} = \sqrt{\frac{405t^{2} - 576t + 228}{14t^{2} - 20t + 8}}$

Xét hàm số $f(t) = \frac{405t^{2} - 576t + 228}{14t^{2} - 20t + 8}$ ta có:

$f'(t) = \dfrac{- 36t^{2} + 96t -48}{\left( 14t^{2} - 20t + 8 ight)^{2}} \Rightarrow f'(t) =\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = \dfrac{2}{3} \\t = 2 \\\end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $d(B;d)$ nhỏ nhất khi $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $27$ tại $t = \frac{2}{3}$

Suy ra $\overrightarrow{AI} = \left( \frac{1}{3};2; - \frac{5}{3} ight)$

Khi đó vectơ $\overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{AI} = (1;6; - 5)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z + 1}{- 5}$ .
Câu 19: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(2;0;0),B(2;3;0)$ và mặt phẳng $(P):x + y + z - 7 = 0$ . Tìm hoành độ $x_{M}$ của điểm $M$ thuộc mặt phẳng (P) sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(2;0;0),B(2;3;0)$ và mặt phẳng $(P):x + y + z - 7 = 0$ . Tìm hoành độ $x_{M}$ của điểm $M$ thuộc mặt phẳng (P) sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 20: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0$ . Bán kính của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $\sqrt{15}$
- B.
  $\sqrt{7}$
- C.
  $9$
- D.
  $3$
Ta có:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y + 2z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2.0.x - 2.1y - 2.( - 1)z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 1 \\ c = - 1 \\ d = - 7 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tâm mặt cầu là: $I(0;1; - 1)$

Bán kính mặt cầu là:

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2} - 7} = 3$

57 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!