Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Góc giữa hai mặt phẳng (A'B'CD)(ACC'A') bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ

    O \equiv A';Ox \equiv
A'D';Oy \equiv A'B';Oz \equiv AA'

    Khi đó: A(0;0;a),D(a;0;a),B(0;a;a),C(a;a;a)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{A'B'} = (0;a;0);\overrightarrow{A'D} =
(a;0;a) \\
\overrightarrow{A'A} = (0;0;a);\overrightarrow{A'C'} =
(a;a;0) \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{A'B'};\overrightarrow{A'D} ightbrack =
\left( a^{2};0; - a^{2} ight)

    Chọn \overrightarrow{n_{1}} = (1;0; -
1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (AB'CD)

    \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{A'A};\overrightarrow{A'C'} ightbrack =
\left( - a^{2};a^{2};0 ight)

    Chọn \overrightarrow{n_{2}} = ( -
1;1;0) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ACC'A')

    Góc giữa hai mặt phẳng (A'B'CD)(ACC'A') bằng:

    \cos\alpha = \left| \cos\left(
\overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{|
- 1|}{\sqrt{2}.\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha =
60^{0}

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 8; 2), điểm B(9; −7; 23) và mặt cầu (S) : (x − 5)^2 + (y + 3)^2 + (z − 7)^2 = 72. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Biết \vec{n} = (1; m; n) là một vectơ pháp tuyến của (P). Tính mn.

    Mặt cầu (S) có tâm I(5; −3; 7); bán kính R = 6\sqrt{2}.

    Phương trình mặt phẳng (P) : 1(x − 0) + m(y − 8) + n(z − 2) = 0.

    Vì (P) và (S) tiếp xúc nhau nên:

    d\left( I;(P) ight) = R
\Leftrightarrow \frac{|5 - 11m + 5n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} =
6\sqrt{2}

    \Leftrightarrow |5 - 11m + 5n| =
6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(*)

    Ta có: d\left( B;(P) ight) = \frac{|9 -
15m + 21n|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}}

    Ta có:

    |9 - 15m + 21n| = |5 - 11m + 5n + 4 - 4m
+ 16n|

    \leq |5 - 11m + 5n| + |4 - 4m +
16n|(**)

    Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

    (4 - 4m + 16n)^{2} \leq \left( 4^{2} +
4^{2} + 16^{2} ight)\left( 1 + m^{2} + n^{2} ight) = 288\left( 1 +
m^{2} + n^{2} ight)

    \Rightarrow |4 - 4m + 16n| \leq
12\sqrt{2}.\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}(***)

    Từ (*); (**); (***) ta có:

    |9 - 15m + 21n| \leq 18\sqrt{2}\sqrt{1 +
m^{2} + n^{2}}

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \left\{\begin{matrix}|5 - 11m + 5n| = 6\sqrt{2}\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}} \\(5 - 11m + 5n)(4 - 4m + 16n) \geq 0 \\\dfrac{1}{4} = \dfrac{m}{- 4} = \dfrac{n}{16} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow m = - 1;n = 4 \Rightarrow mn
= - 4.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2),B(2; - 2;0),C( - 2;0;1). Mặt phẳng (P) đi qua A, trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 2) \\
\overrightarrow{AC} = ( - 2; - 1; - 1) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;6; -
8)

    Phương trình mặt phẳng (ABC) là: x + 6y -
8z + 10 = 0.

    Phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với AC là: 2x + y + z - 2 = 0.

    Phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với AB là: 2x - 3y - 2z + 6 = 0.

    Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm H của tam giác ABC nên H\left( \frac{-
22}{101};\frac{70}{101};\frac{176}{101} ight).

    Mặt phẳng (P) đi qua A, H nên \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{AH} =
\left( \frac{- 22}{101}; - \frac{31}{101}; - \frac{26}{101} ight) = -
\frac{1}{101}(22;31;26)

    Mặt phẳng (P) ⊥ (ABC) nên \overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{n_{(ABC)}}
= (1;6; - 8).

    Vậy \left\lbrack
\overrightarrow{n_{(ABC)}};\overrightarrow{u_{AH}} ightbrack = (404;
- 202; - 101) là một vectơ pháp tuyến của (P).

    Chọn \overrightarrow{n_{P}} = (4; - 2; -
1) nên phương trình mặt phẳng (P) là 4x - 2y - z + 4 = 0.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho mặt cầu S\left( {O;R} ight) và một điểm A, biết OA = 2R. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B. Khi đó độ dài đoạn AB bằng:

    Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên AB \bot OB.

    Suy ra AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}}  = \sqrt {4{R^2} - {R^2}}  = R\sqrt 3 .

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 2 + t \\
y = - 3 + 2t \\
z = 1 + 3t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Gọi d' là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng tọa độ (Oxz). Viết phương trình đường thẳng d'.

    Ta có: d đi qua M(2; −3; 1) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;2;3)

    Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (0;1;0) và có phương trình y = 0.

    Suy ra \left\lbrack
\overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = ( -
3;0;1)

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Oxz ⇒ H(2; 0; 1).

    Suy ra d' là đường thẳng qua H(2; 0; 1) và nhận vectơ \overrightarrow{u'} = \left\lbrack
\overrightarrow{n}.\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u}
ightbrack ightbrack = (1;0;3) làm vectơ chỉ phương.

    Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là d':\left\{ \begin{matrix}
x = 2 + t \\
y = 3 - 2t \\
z = 1 + 3t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có A\left( {5,1,3} ight),B\left( {1,6,2} ight),C\left( {5,0,4} ight),D\left( {4,0,6} ight). Mặt phẳng chứa BC và song song với AD có phương trình :

    Theo đề bài, từ các điểm A\left( {5,1,3} ight),B\left( {1,6,2} ight),C\left( {5,0,4} ight),D\left( {4,0,6} ight), ta tính được các vecto tương ứng là: \overrightarrow {BC}  = \left( {4, - 6,2} ight);\overrightarrow {AD}  = \left( { - 1, - 1,3} ight)

    \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} } ight] = \left( { - 16, - 14, - 10} ight)cùng phương với \overrightarrow n  = \left( {8,7,5} ight)

    Chọn \vec{n} làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa BC và song song với AD.

    Phương trình (P) có dạng: 8x + 7y + 5z + D = 0

    Mặt khác, điểm B \in \left( P ight) \Leftrightarrow 8 + 42 + 10 + D = 0 \Leftrightarrow D =  - 60

    Vậy phương trình (P): 8x + 7y + 5z - 60 = 0.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - 3y + z - 6 = 0 cắt ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz lần lượt tại ba điểm A,B,C. Lúc đó thể tích V của khối tứ diện OABC là:

    Gọi A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) lần lượt là giao của mặt phẳng (P) với ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz.

    Khi đó A(3;0;0),B(0; -
2;0),C(0;0;6) và tứ diện OABCOA,OB,OC đôi một vuông góc tại O.

    Do đó V_{OABC} = \frac{1}{6}OA.OB.OC =
\frac{1}{6}.3.2.6 = 6

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;2),B(3;2; - 3). Mặt cầu (S) có tâm I
\in Ox và đi qua hai điểm A;B có phương trình là:

    Ta có: I \in Ox \Rightarrow
I(a;0;0)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{IA} = (1 - a;1;2) \\
\overrightarrow{IB} = (3 - a;2; - 3) \\
\end{matrix} ight.

    (S) đi qua hai điểm A;B nên

    IA = IB \Leftrightarrow \sqrt{(1 -
a)^{2} + 5} = \sqrt{(3 - a)^{2} + 13}

    \Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow
a = 4 \Rightarrow I(4;0;0)

    \Rightarrow R = IA =
\sqrt{14}

    Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 =
0.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách giữa đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 4} =
\frac{z - 4}{3} và trục Ox.

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{d}} = (2; - 4;3) và đi qua điểm M(1; - 2;4)

    Trục Ox có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0) và đi qua điểm N(1;0;0)

    Khoảng cách giữa đường thẳng d và trục Ox là:

    d(d;Ox) = \frac{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}}
ightbrack.\overrightarrow{MN} ight|}{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack ight|} =
\frac{\left| (0;3;4).(0;2; - 4) ight|}{\left| (0;3;4) ight|} =
2

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; - 2; - 1),B(1;4;3). Độ dài của đoạn AB

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (0;6;4) khi đó độ dài đoạn AB bằng:

    \left| \overrightarrow{AB} ight| =
\sqrt{0^{2} + 6^{2} + 4^{2}} = \sqrt{56} = 2\sqrt{13}

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 3 - t \\
y = - 1 + 2t \\
z = - 3t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight). Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng (d)?

    Đường thẳng (d) đi qua điểm M(3; - 1;0) và nhận \overrightarrow{u} = ( - 1;2; - 3) làm vectơ chỉ phương.

    Phương trình chính tắc của (d):\frac{x -
3}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 3}

  • Câu 12: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; - 2; - 1),B\left( - \frac{4}{3}; -
\frac{8}{3};\frac{8}{3} ight). Đường thẳng \Delta đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). Hỏi \Delta đi qua điểm nào dưới đây?

    Ta có: OA = 3,OB = 4,AB = 5

    Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

    \left\{ \begin{matrix}
x_{I} = \frac{AB.x_{O} + OB.x_{A} + OA.x_{B}}{AB + OB + OA} \\
y_{I} = \frac{AB.y_{O} + OB.y_{A} + OA.y_{B}}{AB + OB + OA} \\
z_{I} = \frac{AB.z_{O} + OB.z_{A} + OA.z_{B}}{AB + OB + OA} \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{I} = \frac{5.0 + 4.2 + 3.\left( - \frac{4}{3} ight)}{5 + 4 + 3} \\
y_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 2) + 3.\left( - \frac{8}{3} ight)}{5 + 4 +
3} \\
z_{I} = \frac{5.0 + 4.( - 1) + 3.\frac{8}{3}}{5 + 4 + 3} \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{I} = \frac{1}{3} \\
y_{I} = - \frac{4}{3} \\
z_{I} = \frac{1}{3} \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow I\left( \frac{1}{3}; -
\frac{4}{3};\frac{1}{3} ight)

    \left\lbrack
\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = ( - 8; - 4; - 8)
= - 4(2;1;2)

    Phương trình đường thẳng \Delta:\frac{x -
\frac{1}{3}}{2} = \frac{y + \frac{4}{3}}{1} = \frac{z -
\frac{1}{3}}{2}

    Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; −1; 1).

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x - 2y + 2z - 5 = 0. Xét mặt phẳng (Q):x + (2m - 1)z + 7 = 0, với m là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của m để (P) tạo với (Q) góc \frac{\pi}{4}.

    Ta có: (P)(Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \overrightarrow{n_{(P)}} = (1; -
2;2),\overrightarrow{n_{(Q)}} = (1;0;2m - 1)

    (P) tạo với (Q) góc \frac{\pi}{4}.

    \cos\frac{\pi}{4} = \cos\left(
\overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ight)

    \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} =
\frac{\left| 1 + 2(2m - 1) ight|}{3\sqrt{1 + (2m -
1)^{2}}}

    \Leftrightarrow 2(4m - 1)^{2} = 9\left(
4m^{2} - 4m + 2 ight)

    \Leftrightarrow 4m^{2} - 20m + 16 = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 1 \\
m = 4 \\
\end{matrix} ight..

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 - t \\
y = 2 + 2t \\
z = 3 + t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;0)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

    Khi đó ta có:

    \sin\alpha = \frac{\left|
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u}
ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( -
1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( -
1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60^{0}

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và mặt phẳng (P) có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc (S). Đường thẳng OM cắt (P) tại N. Hình chiếu của O trên (P) là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?

     Mệnh đề đúng

    Vì I là hình chiếu của O trên (P) nên  d\left[ {O,\left( P ight)} ight] = OId\left[ {O,\left( P ight)} ight] = R nên I là tiếp điểm của (P)(S).

    Đường thẳng OM cắt (P) tại N nên IN vuông góc với OI tại I.

    Suy ra IN tiếp xúc với (S).

    Tam giác OIN vuông tại I nên ON = R\sqrt 2  \Leftrightarrow IN = R.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 2z
- 19 = 0 và mặt phẳng (P):2x - y -
2z + m + 3 = 0, với m là tham số. Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi 6\pi. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc T bằng:

    Mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} +
(z + 1)^{2} = 25 có tâm I(2; 1; −1) và bán kính R = 5.

    Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi bằng 6π nên bán kính đường tròn bằng r = 3.

    Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là:

    d\left( I;(P) ight) = \sqrt{R^{2} -
r^{2}} = 4

    \Leftrightarrow \frac{|4 - 1 + 2 + m +
3|}{3} = 4

    \Leftrightarrow |m + 8| = 12
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 4 \\
m = - 20 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng −16.

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y
- 6 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):2x - y - 2z - 9 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; -
2)

    (Q):x - y - 6 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} = (1; -
1;0)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left(
\overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)

    = \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0
ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} =
\frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) =
45^{0}

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho điểm P(-3 , 1, -1)  và đường thẳng (d): \left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 13 = 0\\y - 2z + 5 = 0\end{array} ight.

    Điểm P' đối xứng với P qua đường thẳng (d) có tọa độ:

    Chuyển (d) về dạng tham số : \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2} + 3t\\y =  - 5 + 4t\\z = 2t\end{array} ight.

    Gọi (Q) là Mặt phẳng có vectơ chỉ phương của (d) có dạng: 3x + 4y + 2z + D = 0, cho qua P tính được D=7 .

    Ta có (Q): 3x + 4y + 2z + 7 = 0 .

    Thế x, y, z  theo t từ phương trình của (d) vào phương trình (Q) được t = \frac{1}{2}

    Giao điểm I của (d) và (Q)  là I (1, -3, 1) .

    Vì I là trung điểm của PP’ nên \Rightarrow P'\left( {5, - 7,3} ight).

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng?

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: 2x - 3y + 4z - 2024 = 0.

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1). Đường thẳng \Delta đi qua C và song song với AB có phương trình là:

    Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là \overrightarrow{BA} = (1;2;1)

    Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là \left\{ \begin{matrix}
x = 2 + t \\
y = 1 + 2t \\
z = - 1 + t \\
\end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 42 lượt xem
Sắp xếp theo