Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;1;1),B( - 1;1;0),C(1;3;2). Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận vectơ nào dưới đây làm một véc-tơ chỉ phương?

    Gọi M là trung điểm của BC, suy ra tọa độ điểm M(0;2;1).

    Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{AM} = ( - 1;1;0).

  • Câu 2: Thông hiểu

    Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong (S) sau là mặt cầu: 

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {2 - \ln t} ight)x + 4\ln t.y + 2\left( {\ln t + 1} ight)z + 5{\ln ^2}t + 8 = 0.

    Theo đề bài, ta có:

    a = \ln t - 2;\,\,b = - 2\ln t;\,\,c = - \ln t - 1;\,\,d = 5{\ln ^2}t + 8

    (S) là mặt cầu \Leftrightarrow {\left( {\ln t - 2} ight)^2} + 4{\ln ^2}t + {\left( {\ln t + 1} ight)^2} - 5{\ln ^2}t - 8 > 0

    \Leftrightarrow {\ln ^2}t - 2\ln t - 3 > 0

    \Leftrightarrow \ln t < - 1 \vee \ln t > 3

    \Leftrightarrow 0 < t < \frac{1}{e} \vee t > {e^3}

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính R = 2?

    Phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 có bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}

    Xét phương trình mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y + 2z + 2 = 0 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} a = 2;b = - 1 \\ c = - 1;d = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = \sqrt{4} = 2

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2; - 3) và B(2; - 3;1) có phương trình tham số là:

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (1; - 5;4)

    Đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; −3) và B(2; −3; 1) có phương trình tham số là \left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 5t \\ z = - 3 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Với t = −2, ta được M(3; −8; 5) thuộc đường thẳng AB. Khi đó, đường thẳng AB có phương trình tham số \left\{ \begin{matrix} x = 3 - t \\ y = - 8 + 5t \\ z = 5 - 4t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hình chóp :\ O(0;0;0)\ ,\ A\ a\ (0;\ ;0)\ ,\ B\ a(\ ;0;0)\ ,\ C\ a\ (0;0;\ ) có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. Gọi M là trung điểm cạnh AB. Góc tạo bởi hai vectơ \overrightarrow{BC} và \overrightarrow{OM} bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}O(0;0;0),A(0;a;0),B(a;0;0) \\C(0;0;a),M\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0 ight) \\\end{matrix} ight.

    Khi đó ta có: \overrightarrow{BC} = ( - a;0;a);\overrightarrow{OM} = \left( \frac{a}{2};\frac{a}{2};0 ight)

    \Rightarrow \cos\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{OM} ight) =\dfrac{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{OM}}{BC.OM} = \dfrac{-\dfrac{a^{2}}{2}}{a\sqrt{2}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}} = -\dfrac{1}{2}

    \Rightarrow \left( \overrightarrow{BC};\overrightarrow{OM} ight) = 120^{0}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1),B(3; - 1;5). Phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với AB và hợp với các trục tọa độ một tứ diện có thể tích bằng \frac{3}{2} là

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 3;4) \Rightarrow (P):2x - 3y + 4z + m = 0

    Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox, Oy, Oz

    Suy ra M\left( - \frac{m}{2};0;0 ight),N\left( 0;\frac{m}{3};0 ight),P\left( 0;0;\frac{- m}{4} ight)

    Ta có thể tích tứ diện V_{O.MNP} = \frac{1}{6}.\left| \frac{m^{3}}{24} ight| = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = \pm 6

    Vậy đáp án cần tìm là: 2x - 3y + 4z \pm 6 = 0

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a;SA = a\sqrt{2}. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

    Gọi O = AC ∩ BD

    Tam giác SAO vuông nên suy ra SO = \sqrt{SA^{2} - AO^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}

    Gắn tọa độ như hình vẽ:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0) \\D(0;a;0),O\left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};0 ight),S\left(\dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2} ight) \\\end{matrix} ight.

    Vì G là trọng tâm tam giác SCD nên G\left( \frac{a}{2};\frac{5a}{6};\frac{a\sqrt{6}}{6} ight)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AS} = \left( \dfrac{a}{2};\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{6}}{2}ight) = \dfrac{a}{2}\left( 1;1;\sqrt{6} ight) \\\overrightarrow{BG} = \left( -\dfrac{a}{2};\dfrac{5a}{6};\dfrac{a\sqrt{6}}{6} ight) = \dfrac{a}{6}\left(- 3;5;\sqrt{6} ight) \\\end{matrix} ight.

    Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

    \cos(BG;SA) = \frac{\left| \overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BG} ight|}{BG.AS} = \frac{| - 3 + 5 + 6|}{\sqrt{40}.\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{5}}{5}

    Vậy đáp án cần tìm là: \arccos\frac{\sqrt{5}}{5}.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d_{1}:\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}, d_{2}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1}. Đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;2;3) vuông góc với d_{1} và cắt đường thẳng d_{2} có phương trình là:

    Đường thẳng d_{2}:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{- 1} có phương trình tham số là: \left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)

    Gọi giao điểm của ∆ và d2 là B(1 - t;1 + 2t; - 1 - t)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - t;2t - 1; - t - 4)

    Đường thẳng \Delta\bot d_{1} \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d_{1}}} = 0

    \Rightarrow - t.3 + (2t - 1).2 + ( - t - 4)( - 1) = 0

    \Leftrightarrow 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 1

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1; - 3; - 3) là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

    Phương trình \Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z - 3}{- 3}

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c>0. Biết rằng mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(\frac 1 7; \frac 2 7 ; \frac 3 7) và tiếp xúc với mặt cầu (S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=\frac{72}{7}. Tính T=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.

    Mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) nên có phương trình là:

    \frac{x}{a} +\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1

    Ta có M(\frac 1 7; \frac 2 7 ; \frac 3 7) \in (ABC) nên \frac{1}{a} +\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7.

    Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=\sqrt \frac{72}{7}.

    (ABC) tiếp xúc với  (S)

    \Leftrightarrow d(I, (ABC))=R\Leftrightarrow \dfrac { | \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}-1 |}{\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}}=\sqrt{\frac{72}{7} }

    \Leftrightarrow \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}= \dfrac{7}{2}

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng: ({d_1}):\frac{{x - 3}}{{ - 7}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3},({d_2}):\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 9}}{{ - 1}}

    và mặt phẳng (\alpha ):x + y + z + 3 = 0 .

    Hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1})  lên mặt phẳng (\alpha ) có phương trình tổng quát:

    Vectơ chỉ phương của ({d_1}):\overrightarrow a = ( - 7,2,3). Vectơ chỉ phương của ({d_2}):\overrightarrow b = (1,2, - 1).

    Phương trình của mặt phẳng chứa ({d_2}) và có phương của ({d_1})có dạng: 

    2x + y + 4z + D = 0

    Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này 

    => D = -53

    Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng (\alpha ) là hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1}) lên (\alpha ): \left\{ \begin{array}{l}2x + y + 4z - 53 = 0\\x + y + z + 3 = 0\end{array} ight.

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta đi qua điểm M(1;2;3) và có véc-tơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (2;4;6). Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng \Delta?

    Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;2;0) và vuông góc với mặt phẳng (P):2x + y - 3z + 5 = 0?

    Đường thẳng \Delta vuông góc với mặt phẳng (P):2x + y - 3z + 5 = 0 nên \Delta có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 3).

    Phương trình \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)\ \ \ (*)

    Kiểm tra được điểm M(3;3; - 3) thỏa mãn hệ (*).

    Vậy phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) cũng là phương trình của \Delta.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm M(1;0;0),N(0; - 2;0),P(0;0;1). Tính khoảng cách h từ gốc toạ độ O đến mặt phẳng (MNP)?

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng (MNP) có dạng:

    \frac{x}{1} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 2x - y + 2z - 2 = 0

    Khoảng cách từ gốc tọa độ (0;0;0) đến (MNP) là: h = \frac{| - 2|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{2}{3}

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;1),B(3; - 2;0),C(1;2; - 2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến (P) lớn nhất, biết rằng (P) không cắt đoạn BC. Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

    Kiểm tra \overrightarrow{n} = (2; - 2; - 1): Mặt phẳng (P) có phương trình 2x − 2y − z − 1 = 0.

    Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại \overrightarrow{n} = (2; - 2; - 1).

    Kiểm tra \overrightarrow{n} = (1;0;2): Mặt phẳng (P) có phương trình x+ 2z −3 = 0.

    Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B ∈ (P) nên loại \overrightarrow{n} = (1;0;2).

    Kiểm tra \overrightarrow{n} = ( - 1;2; - 1): Mặt phẳng (P) có phương trình −x + 2y − z + 2 = 0.

    Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về 2 phía (P) nên loại \overrightarrow{n} = ( - 1;2; - 1).

    Kiểm tra v: Mặt phẳng (P) có phương trình x − 2z + 1 = 0.

    Thay tọa độ B, C vào (P) ta thấy B, C nằm về cùng phía (P) nên chọn \overrightarrow{n} = (1;0; - 2).

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0. Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng (\alpha)?

    Ta thấy tọa độ điểm Q(1;0;1) thỏa mãn phương trình mặt phẳng (\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0 nên điểm Q nằm trên (\alpha).

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} và mặt phẳng (P):2x - y - 2z + 1 = 0. Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: \Delta có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 1), (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (2; - 1; - 2).

    Từ đó: \sin\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ight) ight| = \left| \frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} ight| = \frac{4}{9}

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu

    Phương trình mặt cầu tâm I bán kính R có dạng: (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

    Vậy đáp án cần tìm là: (x - 13)^{2} + (y - 24)^{2} + (z - 36)^{2} = 7^{2} .

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y - 6 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P);(Q) bằng:

    Ta có: (P):2x - y - 2z - 9 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; - 2)

    (Q):x - y - 6 = 0 có 1 vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{2}} = (1; - 1;0)

    Khi đó:

    \cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)

    = \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

    \Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a;\,\,AD = b;\,\,AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với O;\,\,\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AE} lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, EF, DH. Tính khoảng cách giữa NP và CG.

    Ta biểu diễn các điểm N, P, C, G theo a, b, c được:

    N\left( {\frac{a}{2},0,c} ight);P\left( {0,b,\frac{c}{2}} ight);\,C\left( {a,b,0} ight);\,\,\,G\left( {a,b,c} ight)

    Từ đó, ta tính được các vecto tương ứng:

    \overrightarrow {NP} = \left( { - \frac{a}{2},b, - \frac{c}{2}} ight);\,\,\,\overrightarrow {CG} = \left( {0,0,c} ight);\,\,\overrightarrow {PC} = \left( {a,0, - \frac{c}{2}} ight)

    Để tính khoảng cách giữa NP và CG, ta cần tính tích có hướng và tích độ dài giữa chúng rồi áp dụng CT tính khoảng cách:

    \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {CG} ,\overrightarrow {NP} } ight] = \left( { - bc, - \dfrac{{ac}}{2},0} ight) = > \left| {\left[ {\overrightarrow {CG} ,\overrightarrow {NP} } ight]} ight| = \dfrac{c}{2}\sqrt {{a^2} + 4{b^2}} \\\left[ {\overrightarrow {CG} ,\overrightarrow {NP} } ight].\overrightarrow {PC} = - abc = > d\left( {NP,CG} ight) = \dfrac{{2ab\sqrt {{a^2} + 4{b^2}} }}{{{a^2} + 4{b^2}}}\end{array}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giá trị dương của tham số m sao cho mặt phẳng (Oxy) tiếp xúc với mặt cầu (x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1 là:

    Ta có: (Oxy) có phương trình z = 0

    Mặt cầu (x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1 có tâm I(3;0;2) và bán kính R = \sqrt{m^{2} + 1}

    Để mặt phẳng (Oxy) tiếp xúc với mặt cầu (x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1 thì

    d\left( I;(P) ight) = R \Leftrightarrow \frac{|2|}{\sqrt{1}} = \sqrt{m^{2} + 1}

    \Leftrightarrow m^{2} + 1 = 4 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{3}. Vì m nhận giá trị dương nên m = \sqrt{3}.

    Vậy m = \sqrt{3} thỏa yêu cầu đề bài.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 65 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập