Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm
. Chọn kết luận đúng?
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Ba mặt phẳng
cắt nhau tại điểm
. Chọn kết luận đúng?
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Trong không gian với hệ tọa độ
, đường thẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
Nếu một điểm nằm trên một đường thẳng thì khi thay tọa độ điểm đó vào phương trình đường thẳng thì sẽ thỏa mãn phương trình đường thẳng.
Lần lượt thay tọa độ M từ các phương án vào phương trình đường thẳng d ta được M(−3; 5; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hai đường thẳng chéo nhau
và ![]()
Mặt phẳng song song và cách đều và có phương trình tổng quát:
Phương trình (d) cho biết và (d) có vectơ chỉ phương
Chuyển về dạng tham số
để có
và vectơ chỉ phương
.
Gọi I là trung điểm AB thì I (2, 2, 0), M(x, y, z) bất kỳ .
là phương trình của mặt phẳng (P).
Trong không gian
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và chắn trên các trục tọa độ
theo ba đoạn có độ dài đại số lần lượt là
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
khi
theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng
là:
Do giả thiết suy ra .
Giả sử khi đó phương trình mặt phẳng
.
Do M thuộc (P) nên
Suy ra do đó phương trình mặt phẳng
.
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
, gọi α là góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng
. Tính sinα.
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục tọa độ với
,
Ta thấy và
nên suy ra mặt phẳng
có một vec tơ pháp tuyến là
.
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là
ta chọn
.
Ta có .
Trong không gian
, cho hai đường thẳng cắt nhau ![]()
. Trong mặt phẳng
, hãy viết phương trình đường phân giác
của góc nhọn tạo bởi ![]()
Hai đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có các vectơ chỉ phương tương ứng là
Ta có , suy ra góc giữa hai vectơ
và
là góc tù.
Lại có
Kết hợp hai điều này, ta suy ra d có một vectơ chỉ phương là
Tóm lại, đường thẳng cần tìm đi qua điểm I(−1; 2; −1) và có một vectơ chỉ phương là
Vậy phương trình đường thẳng d là:
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian
, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
và
là:
Ta có
Phương trình đường thẳng AB đi qua nhận vectơ
làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là:
.
Trong không gian
. Cho
với
. Biết mặt phẳng
qua điểm
và thể tích tứ diện
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình
:
Phương trình mặt phẳng
Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Thể tích tứ diện là
Đẳng thức xảy ra khi
Phương trình mặt phẳng là
Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là p. Một mặt phẳng
cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là
. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng
bằng:
Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu.
Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R.
Theo giả thiết, ta có và
Suy ra .
Trong không gian
cho
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Phương trình mặt phẳng là
Cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau
Cho mặt phẳng và mặt cầu
. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau
Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):
Suy ra tâm I có tọa độ là:
Áp dụng CT, ta có (P) cắt (S)
Trong không gian
cho hai mặt phẳng ![]()
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba mặt cầu
,
,
. Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu
?
Ta có có tâm lần lượt là
và bán kính lần lượt là
.
Gọi là mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu nói trên. Khi đó:
Xét phương trình
(1) Với . Thay vào
, ta được
Với .
Thay vào , ta được:
Với (vô lí).
Với .
Thay vào , ta được:
Với (vô lí).
(2) Với .
Thay vào , ta được
Với .
Thay vào , ta được
Với : chọn
Tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu
.
Với
Thay vào ta được:
Với (vô lí).
Vậy tồn tại 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
. Gọi
là điểm nằm trên mặt phẳng
sao cho độ dài đoạn thẳng
ngắn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng
.
Ta có: là trọng tâm tam giác
nên
Mặt phẳng có phương trình
.
ngắn nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
. Khi đó, ta có:
.
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
và
, (với
là tham số). Tìm
để hai đường thẳng
và
cắt nhau
Ta có:
đi qua điểm M1(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương
đi qua điểm M2(1; m; −2) và có vectơ chỉ phương
Ta có:
và
cắt nhau
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt cầu
và mặt phẳng
cắt nhau theo một đường tròn có chu vi là:
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
.
Ta có
Vì nên (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (α) ⇒ H là tâm của (C).
Lấy
Tam giác IHM vuông tại M
Suy ra chu vi của đường tròn (C) bằng .
Trong không gian với hệ tọa độ
, phương trình mặt cầu tâm
bán kính
là:
Phương trình mặt cầu tâm bán kính
là:
Tổng quát .
Trong không gian
, cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng
qua điểm
, song song với mặt phẳng
, đồng thời cắt trục
. Viết phương trình tham số của đường thẳng
.
Gọi
Lại có
Do đó
Do đó, (d) là đường thẳng qua B(0; 0; 2) và nhận làm vectơ chỉ phương. Nên (d) có phương trình:
.
Cho hình lập phương
có cạnh
. Góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ
Khi đó:
Chọn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Chọn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng và
bằng: