Trong không gian
, cho tứ diện đều
có
và hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
là
. Tìm tọa độ tâm
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
?
Gọi
là tứ diện đều nên tâm
của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện
Trong không gian
, cho tứ diện đều
có
và hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
là
. Tìm tọa độ tâm
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
?
Gọi
là tứ diện đều nên tâm
của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với
.
Hình vẽ minh họa
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên
Do vậy mặt cầu tâm O tiếp xúc với (P) nhận OH làm bán kính
⇒ Phương trình mặt cầu là .
Cho hình lập phương
có tâm
. Gọi
là tâm của hình vuông
và điểm
sao cho
(tham khảo hình vẽ).

Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng
Không mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho A′(0;0;0), B′(1;0;0), D′(0;1;0) và A(0;0;1) (như hình vẽ)
Khi đó ta có:
Khi đó
là VTPT của mặt phẳng (MAB)
Lại có:
là VTPT của mặt phẳng (MC’D’)
Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng:
Trong không gian
, cho các mặt cầu dưới đây. Hỏi mặt cầu nào có bán kính
?
Phương trình mặt cầu có bán kính
Xét phương trình mặt cầu ta có:
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm
và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là
. Máy bay sẽ bay qua điểm
của đường màu
để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm
, hãy tính giá trị biểu thức
.
Đáp án: 50
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là
. Máy bay sẽ bay qua điểm
của đường màu
để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm
, hãy tính giá trị biểu thức
.
Đáp án: 50
Ta có:
Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP có dạng
Điểm và
Ta có:
Vậy
Cho đường tròn (C) đường kính AB và đường thẳng
. Để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh
là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:
Điều kiện để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh là một mặt cầu là trục quay
phải cố định và hai điểm A, B cũng cố định trên
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng ![]()
. Chọn khẳng định đúng.
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Ta có
⇒ .
Trong không gian
, cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Viết lại đường thẳng d ở dạng tham số
Xét phương trình
Kết luận phương trình có vô số nghiệm
Trong không gian với hệ tọa đô
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
sao cho thể tích tứ diện
nhỏ nhất.
đi qua điểm nào dưới đây?
Gọi với
Phương trình mặt phẳng
Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Thể tích tứ diện là
Đẳng thức xảy ra khi
Phương trình mặt phẳng là
Mặt phẳng đi qua điểm
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, viết phương trình mặt phẳng
chứa điểm
, cắt các tia
lần lượt tại
(khác
) sao cho
?
Giả sử với
.
Phương trình mặt phẳng (P) là . Theo giả thiết ta có:
Vậy phương trình mặt phẳng là
.
Trong không gian
, tính khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
?
Ta có:
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
Vậy đáp án cần tìm là: .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ
xuống mặt phẳng
, số đo góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Vì là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O xuống mặt phẳng (P) nên mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Gọi là số đo góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
, ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
và đường thẳng
. Điểm
thuộc
là điểm thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
bằng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: có một vectơ chỉ phương là
Ta có cùng phương với
Mà đồng phẳng.
Xét mặt phẳng chứa và
. Gọi
là điểm đối xứng của
qua
là mặt phẳng qua
, vuông góc với
.
Khi đó, giao điểm của
với
là trung điểm của
.
có 1 vectơ pháp tuyến
đi qua
có phương trình:
Giả sử
.
Ta có khi và chỉ khi
trùng với
là giao điểm của
và
.
.
Cho hai đường thẳng trong không gian Oxyz:
,
. Với
. Gọi
và
. (D) và (d) chéo nhau khi và chỉ khi:
Để xét điều kiện (D) và (d) có chéo nhau hay không, ta cẩn kiểm tra rằng (D) và d không cùng nằm trong 1 mặt phẳng hay ta có:
Suy ra (D) và (d) chéo nhau.
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng
và mặt phẳng
?
Gọi I là giao điểm của d và (P).
Ta có
Suy ra
Trong không gian
cho hai mặt phẳng ![]()
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
, Hai điểm
thay đổi sao cho
và
. Mặt phẳng
luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định đi qua
có bán kính là
Phương trình . Gọi
và
là tâm và bán kính mặt cầu cố định trong đề bài, phương trình mặt cầu là
.
Ta có khoảng cách từ đên
là
Vì
Nếu
Đẳng thức đúng với mọi nên
hay
, thay vào phương trình mặt cầu ta có R = 1.
Nếu
Đẳng thức đúng với mọi m ∈ (0; 1) nên hay
thay vào phương trình mặt cầu ta có
không thỏa mãn.
Vậy .
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho hai điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho khoảng cách từ
đến
là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách
từ
đến mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho khoảng cách từ
đến
là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách
từ
đến mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Tính số đo góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .
Khi đó ta có: