Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): (x − 1)^2 + (y − 2)^2 + (z − 2)^2 = 9$ hai hai điểm $M(4; −4; 2),N(6; 0; 6)$ . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho $EM + EN$ đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E?
- A.
  $x - 2y + 2z + 8 = 0$
- B.
  $2x + y - 2z - 9 = 0$
- C.
  $2x + 2y + z + 1 = 0$
- D.
  $2x - 2y + z + 9 = 0$
Hình vẽ minh họa

Gọi I(1; 2; 2) là tâm của (S), P(5; −2; 4) là trung điểm MN.

Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-copx-ki và công thức độ dài trung tuyến ta được:

$(EM + EN)^{2} \leq 2\left( EM^{2} + EN^{2} ight) = 2\left( 2EP^{2} + \frac{MN^{2}}{2} ight)$

nên T = EM + EN đạt giá trị lớn nhất khi EM = EN và EP đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó E là giao điểm của đường thẳng IP với mặt cầu (S) (I nằm giữa E và P). Đường thẳng IP có phương trình:

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$

Tọa độ E thỏa hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 9 \\\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{z - 2}{1} \\\end{matrix} ight.$

Tìm được E(3; 0; 3) hoặc E(−1; 4; 1), thử lại để EP lớn nhất ta được E(−1; 4; 1).

Khi đó phương trình tiếp diện với (S) tại E là $2x−2y+z+9 = 0$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;3; - 1),B(1;2;4)$ . Phương trình đường thẳng nào được cho dưới đây không phải là phương trình đường thẳng $AB$ ?
- A.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5}$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 3 - t \\ z = - 1 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 - t \\ z = 4 + 5t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 4}{- 5}$
Ta có $\overrightarrow{BA} = (1;1; - 5)$

Vì điểm $A(2;3; - 1) otin \frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5}$ nên $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{- 5}$ không phải là phương trình đường thẳng AB.

Các đường thẳng còn lại đều có vectơ chỉ phương là (1; 1; −5) và đi qua điểm A(2; 3; −1) hoặc đi qua điểm B(1; 2; 4).
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y - 6 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):2x - y - 2z - 9 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; - 2)$

$(Q):x - y - 6 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 1;0)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tính khoảng cách giữa đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 4}{3}$ và trục $Ox$ .
- A.
  $1$
- B.
  $4$
- C.
  $3$
- D.
  $2$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}} = (2; - 4;3)$ và đi qua điểm $M(1; - 2;4)$

Trục Ox có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0)$ và đi qua điểm $N(1;0;0)$

Khoảng cách giữa đường thẳng d và trục Ox là:

$d(d;Ox) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack.\overrightarrow{MN} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{u_{Ox}} ightbrack ight|} = \frac{\left| (0;3;4).(0;2; - 4) ight|}{\left| (0;3;4) ight|} = 2$
Câu 5: Thông hiểu
Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong (S) sau là mặt cầu:
$\left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {2 - \ln t} ight)x + 4\ln t.y + 2\left( {\ln t + 1} ight)z + 5{\ln ^2}t + 8 = 0$ .
- A. $t < \frac{1}{e} \vee t > 3e$
- B. $\frac{1}{e} < t < 3e$
- C. $e < t < {e^3}$
- D. $0 < t < \frac{1}{e} \vee t > {e^3}$
Theo đề bài, ta có:
$a = \ln t - 2;\,\,b = - 2\ln t;\,\,c = - \ln t - 1;\,\,d = 5{\ln ^2}t + 8$
$(S)$ là mặt cầu $\Leftrightarrow {\left( {\ln t - 2} ight)^2} + 4{\ln ^2}t + {\left( {\ln t + 1} ight)^2} - 5{\ln ^2}t - 8 > 0$
$\Leftrightarrow {\ln ^2}t - 2\ln t - 3 > 0$
$\Leftrightarrow \ln t < - 1 \vee \ln t > 3$
$\Leftrightarrow 0 < t < \frac{1}{e} \vee t > {e^3}$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z}{1}$ và điểm $A(2;0;1)$ . Hình chiếu vuông góc của A trên (∆) là điểm nào dưới đây?
- A.
  $Q(2;2;3)$
- B.
  $M( - 1;4; - 4)$
- C.
  $N(0; - 2;1)$
- D.
  $P(1;0;2)$
Đường thẳng (∆) đi qua M(−1; −4; 0), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{(\Delta)}} = (1;\ 2;\ 1)$

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 4 + 2t \\ z = t \\ \end{matrix} ight.$

Gọi P là hình chiếu vuông góc của A trên (∆).

Khi đó $P \in (\Delta) \Rightarrow P( - 1 + t; - 4 + 2t;t)$

Ta có $\overrightarrow{AP} = ( - 3 + t; - 4 + 2t;t - 1)$ . Vì $\overrightarrow{AP}\bot\overrightarrow{u_{(\Delta)}} \Rightarrow \overrightarrow{AP}.\overrightarrow{u_{(\Delta)}} = 0$ nên

$\Leftrightarrow 1.( - 3 + t) + 2.( - 4 + 2t) + 1.(t - 1) = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow P(1;0;2)$
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):3x + 4y + 2z + 4 = 0$ và điểm $M(1; - 2;3)$ . Tính khoảng cách $d$ từ $M$ đến $(P)$ .
- A.
  $d = \frac{5}{\sqrt{29}}$
- B.
  $d = \frac{5}{29}$
- C.
  $d = \frac{\sqrt{5}}{3}$
- D.
  $d = \frac{5}{9}$
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:

$d\left( M;(P) ight) = \frac{|3.1 - 4.2 + 2.3 + 4|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 2^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$
Câu 8: Thông hiểu

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ .

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B'$ và $BC$ bằng $a$ . Đúng||Sai

b) Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{'}D^{'}$ bằng $\ 45{^\circ}$ . Đúng||Sai

c) Góc giữa đường thẳng $CD'$ và mặt phẳng $(A'B'C'D')$ bằng $60{^\circ}$ . Sai||Đúng

d) Góc nhị diện $\left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack$ có số đo bằng $45{^\circ}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ .

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B'$ và $BC$ bằng $a$ . Đúng||Sai

b) Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{'}D^{'}$ bằng $\ 45{^\circ}$ . Đúng||Sai

c) Góc giữa đường thẳng $CD'$ và mặt phẳng $(A'B'C'D')$ bằng $60{^\circ}$ . Sai||Đúng

d) Góc nhị diện $\left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack$ có số đo bằng $45{^\circ}$ . Đúng||Sai

a) Vì $A'B'\bot BB'$ , $BC\bot BB'$ nên $d(A'B',BC) = BB' = a$ . Mệnh đề đúng.

b) Do $AB//A'B'$ nên $(AB,B'D') = (A'B',B'D') = 45{^\circ}$ . Mệnh đề đúng.

c) Vì $CC'\bot(A'B'C'D')$ nên $\left( CD',(A'B'C'D') ight) = (CD',C'D') = 45{^\circ}$ . Mệnh đề sai.

d) Ta có $B'C'\bot BB'$ , $B'D'\bot BB'$ nên góc nhị diện $\left\lbrack (BCC'B'),BB',(BDD'B') ightbrack$ có số đo bằng $\widehat{D'B'C'} = 45{^\circ}$ . Mệnh đề đúng
Câu 9: Nhận biết
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- A.
  Nếu $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ không cùng phương thì giá của vectơ $\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack$ vuông góc với mọi mặt phẳng với giá của các vectơ $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ .
- B.
  $\left| \left\lbrack\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight| = \left|\overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|.\cos\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight)$ .
- C.
  $\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack.\overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack.\overrightarrow{v} = 0$ .
- D.
  $\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ cùng phương.
Ta có: $\left| \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight| = \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|.sin\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight)$

Vậy khẳng định sai là: $\left|\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ightbrack ight|= \left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v}ight|.\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}ight)$ .
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $I(1;1;1)$ và $A(1;2;3)$ . Phương trình mặt cầu có tâm $I$ và đi qua $A$ là:
- A.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 5$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 29$
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 5$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 25$
Ta có: $R = IA = \sqrt{(1 - 1)^{2} + (2 - 1)^{2} + (3 - 1)^{2}} = \sqrt{5}$

Vậy phương trình mặt cầu tâm $I$ và đi qua điểm $A$ có phương trình là:

$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 5$ .
Câu 11: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD) và SA = a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SB, SD. Côsin của góc hợp bới hai mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{3}}{3}$
- C.
  $\sqrt{3}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho $A≡ O, B∈Ox, D∈Oy, S∈Oz.$

$\Rightarrow B(a;0;0),D(0;a;0),S(0;0;a)$

$\Rightarrow E\left( \frac{a}{2};0;\frac{a}{2} ight),F\left( 0;\frac{a}{2};\frac{a}{2} ight)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AE} = \left( \frac{a}{2};0;\frac{a}{2} ight);\overrightarrow{AF} = \left( 0;\frac{a}{2};\frac{a}{2} ight)$

Vectơ pháp tuyến của mp(AEF) là $\overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AF} ightbrack = \left( \frac{- a}{4};\frac{- a}{4};\frac{a}{4} ight)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{1}} = (1;1; - 1)$

Vectơ pháp tuyến của mp(ABCD) là: $\overrightarrow{n_{2}} = \overrightarrow{AS} = (0;0;a)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{2}} = (0;0;1)$

Vậy côsin góc giữa 2 mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là:

$\cos\left( (AEF);(ABCD) ight) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 3 = 0$ . Tính số đo góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;0)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

Khi đó ta có:

$\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho phương trình đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng $\Delta$ ?
- A.
  $(1;4; - 5)$
- B.
  $( - 1; - 4;3)$
- C.
  $(2;1;1)$
- D.
  $( - 5; - 2; - 8)$
Thay tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng ∆, ta thấy:

$\left\{ \begin{matrix} - 1 = 1 + 2t \\ - 4 = - 1 + 3t \\ 3 = 2 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow M( - 1; - 4;3) \in \Delta$ .
Câu 14: Thông hiểu

Cho hai mặt cầu sau:
$\left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 10z - 11 = 0;$
$\left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 6z - 5 = 0$
Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?
Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong

Đáp án là:

Cho hai mặt cầu sau:
$\left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 10z - 11 = 0;$
$\left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 6z - 5 = 0$
Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?
Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong

Theo đề bài, ta suy ra các hệ số, tâm và bán kính của (S):
$\left( S ight):a = 2;\,\,b = - 3;\,\,c = 5;\,\,d = - 11 \Rightarrow$ Tâm $I\left( {2, - 3,5} ight);$ bán kính $R=7$
$\left( {S'} ight) = a' = 1;\,\,b' = - 1;\,c' = 3;\,\,d' = - 5 \Rightarrow$ Tâm $J\left( {1, - 1,3} ight)$ ; bán kính $R'=4$
$I{J^2} = {\left( {1 - 2} ight)^2} + {\left( { - 1 + 3} ight)^2} + {\left( {3 - 5} ight)^2} = 9 \Rightarrow IJ = 3 = R - R'$
(S) và (S') tiếp xúc trong.
Câu 15: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z- 3}{- 1},$ $d_{2}:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 6}{3}$ chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của $d_{1},d_{2}$ .
- A.
  $\frac{x - 1}{5} = \frac{y + 2}{- 4} = \frac{z - 3}{1}$
- B.
  $\frac{x - 1}{5} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{z - 1}{1}$
- C.
  $\frac{x + 1}{5} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{1}$
- D.
  $\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 3}{1}$
Đường thẳng $d_{1},d_{2}$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{1}} = (1;1; - 1),\overrightarrow{u_{2}} = (1;2;3)$

Giả sử ∆ giao với $d_{1},d_{2}$ lần lượt tại $\left\{ \begin{matrix} A(1 + s; - 2 + s;3 - s) \\ B(t;1 + 2t;6 + 3t) \\ \end{matrix} ight.$ , khi đó ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 1 - s + t;3 - s + 2t;3 + s + 3t)$

Do ∆ là đường vuông góc chung, suy ra:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{AB} = 0 \\ \overrightarrow{u_{2}.}\overrightarrow{AB} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1( - 1 - s + t) + 1(3 - s + 2t) - 1(3 + s + 3t) = 0 \\ 1( - 1 - s + t) + 2(3 - s + 2t) + 3(3 + s + 3t) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 3s = 1 \\14t = - 14 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}s = - \dfrac{1}{3} \\t = - 1 \\\end{matrix} ight.$

Đường vuông góc chung của $d_{1},d_{2}$ nhận $\overrightarrow{AB} = \left( - \frac{5}{3};\frac{4}{3}; - \frac{1}{3} ight)$ làm VTCP và đi qua điểm $B( - 1; - 1;3)$

Vậy ta có phương trình đường thẳng: $\frac{x + 1}{5} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{1}$
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $N( 3;-2; 6)$ và vuông góc với trục Ox có phương trình là:
- A.
  $x = - 3$
- B.
  $y = - 2$
- C.
  $z = 6$
- D.
  $x = 3$
Ta có: $\overrightarrow{u_{Ox}} = \overrightarrow{i} = (1;0;0)$ .

$Vì\ (P)\bot Ox\ nên\ \overrightarrow{n_{P}} = \overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0).$

Phương trình mặt phẳng đi qua $N(3; - 2;6)$ và vuông góc với trục Ox có phương trình là:

$x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3.$
Câu 17: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân
giác trong góc A là $\frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}$ . Biết rằng điểm $M(0; 5; 3)$ thuộc đường thẳng AB và điểm $N(1;1;0)$ thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?
- A. $\vec{u}(1;2;3)$
- B. $\vec{u}(0;-2;6)$
- C. $\vec{u}(0;1;-3)$
- D. $\vec{u}(0;1;3)$
Giả sử , $A(t; 6-4t; 6-3t)$ , ta có:
$\vec{u_d}=(1; -4; -3),$
$\vec{AM}=(-t;4t-1;-3+3t)$
$\vec{AN}=(1-t;-5+4t;3t-6)$
Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:
$\left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AM}) ight |= \left | \cos(\vec{u_d}, \vec{AN}) ight |$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left | 26t-13 ight |}{\sqrt{26t^2 -26t+10} } =\dfrac{\left | 26t-39 ight |}{\sqrt{26t^2 -78t+62} }$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left | 2t-1 ight |}{\sqrt{13t^2 -13t+5} } =\dfrac{\left | 2t-3 ight |}{\sqrt{13t^2 -39t+31} }$
Từ đây ta bình phương 2 vế được:
$(4t^2-4t+1)(13t^2-39t+31)=(4t^2-12t+9)(13t^2-13t+5)$
$\Leftrightarrow 14t=14$
$\Leftrightarrow t=1$
$\Rightarrow A(1;2;3)\Rightarrow \vec{AN}=(0; -1; -3)$
Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là $\vec{u}(0;1;3)$ .
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + x - 2y + 4z - 3 = 0$
- B.
  $2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - x - y - z = 0$
- C.
  $2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} + 4x + 8y + 6z + 3 = 0$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0$
Phương trình $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là phương trình của một mặt cầu nếu $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ .

Vậy phương trình không phải phương trình mặt cầu là:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0$
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2;0; - 1),B(1; - 2;3),C(0;1;2)$ . Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A;B;C$ .
- A.
  $2x + y + z - 3 = 0$
- B.
  $10x + 3y + z - 19 = 0$
- C.
  $2x - y + z - 3 = 0$
- D.
  $10x - 3y - z - 21 = 0$
Ta có: $\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;1;3)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 1;4; - 5)$

Theo giả thiết mặt phẳng cần tìm qua A(2; 0; −1) và nhận $\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = - 5(2;1;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng qua $A;B;C$ là

$2(x - 2) + (y - 0) + (z + 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0$
Câu 20: Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A(1;1;1),B(0;1;2),C( - 2;1;4)$ và mặt phẳng $(P):x - y + z + 2 = 0$ . Tìm điểm $N \in (P)$ sao cho $S = 2NA^{2} + NB^{2} + NC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A(1;1;1),B(0;1;2),C( - 2;1;4)$ và mặt phẳng $(P):x - y + z + 2 = 0$ . Tìm điểm $N \in (P)$ sao cho $S = 2NA^{2} + NB^{2} + NC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

72 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!