Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua ba điểm
là:
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn .
Ta có
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua ba điểm
là:
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn .
Ta có
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian với hệ tọa độ
cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Gọi
là giao điểm của
và
và
là điểm thuộc đường thẳng
sao cho
. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
Gọi
Khi đó ta có:
Gọi là hình chiếu của
lên mặt phẳng
, khi đó:
Trong không gian
, cho ba điểm
, trong đó
và
. Biết mặt phẳng
tiếp xúc với mặt cầu
. Thể tích của khối tứ diện
là:
Mặt phẳng (ABC) có phương trình là
Mặt cầu (S) có tâm là I(1; 2; 3) và bán kính . Khi đó:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 2b = 3c. Thay vào giả thiết ta có:
Vì OABC là tứ diện vuông tại O nên
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
và mặt phẳng
. Tìm điểm
sao cho
dạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi là điểm sao cho
.
Từ đó:
với là hình chiếu của
trên mặt phẳng
.
Từ đó suy ra dạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
.
Phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng
là:
.
Tọa độ diểm là nghiệm
của hệ
Suy ra .
Vậy, tọa độ điểm cần tìm là
.
Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua điểm E(2, -4, 3) và song song với đường thẳng MN với tọa độ M(3, 2, 5) và N(1, -2, 2)
Đường thẳng d song song với MN nên VTCP của đường thẳng d chính là hay ta có
Như vậy, (d) là đường thẳng đi qua điểm E (2, -4, 3) và nhận làm 1 VTCP có phương trình là:
Trong không gian
, hai điểm
và
. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu đường kính
?
Mặt cầu nhận làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm
của
làm tâm và có bán kính
Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng đi qua
đồng thời song song với
và mặt phẳng
có phương trình là:
Ta có: . Gọi
là đường thẳng đi qua
đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy).
Khi đó:
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
,cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Gọi
là giao điểm của
và
,
thuộc
sao cho
. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Ta có:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (α).
Khi đó tam giác ∆MAH vuông tại H nên
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) bằng 3.
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo giao tuyến là đường tròn có diện tích là:
Mặt cầu có tâm
và bán kính
Khoảng cách từ đến (P):
Bán kính đường tròn giao tuyến
Diện tích đường tròn giao tuyến .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai mặt phẳng
. Xác định
để hai mặt phẳng
và
song song với nhau?
Hai mặt phẳng đã cho song song với nhau khi và chỉ khi
Tập xác định
Vậy thì hai mặt phẳng
song song với nhau.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
song song với
và tiếp xúc với
là
Ta có:
(S) có tâm , bán kính
. (P) song song với (α)
⇒, với
Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên , so với điều kiện ta nhận
.
Vậy .
Trong không gian
cho mặt cầu
Đường kính của
bằng
Ta có bán kính của là
nên đường kính của
bằng
.
Cho tam giác ABC có
.
Viết phương trình chính tắc của cạnh AB.
(AB) là đường thẳng đi qua A và B nên có 1 vecto chỉ phương:
(AB) đi qua A (1, 2, -3) và nhận vecto làm 1 VTCP có phương trình chính tắc là:
Cho điểm
và đường thẳng
. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua
. Tọa độ điểm A' là:
Đưa phương trình về dạng tham số:
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với .
Phương trình mp (P) có dạng , qua A nên D = -2
Phương trình (P) là:
Thế x, y, z từ phương trình vào phương trình (P) được t=1
I là trung điểm của AA' nên:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, vectơ
là vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
cùng phương với vectơ
. Vậy
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng (P); gọi
lần lượt là các góc tạo bởi vector pháp tuyến của (P) với ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình của (P) là (
):
Theo đề bài, ta có:
Gọi
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
và vuông góc với đường thẳng
là:
Ta có: là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng là:
Trong không gian
, cho bốn điểm
. Mặt phẳng
chứa
và song song với
có phương trình là:
Ta có .
Mặt phẳng (P) đi qua , nhận
là vectơ pháp tuyến, có phương trình là
(Thỏa mãn song song CD nên thỏa mãn đề bài).
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
có các vectơ pháp tuyến là
. Góc
là góc giữa hai mặt phẳng đó
là biểu thức nào sau đây?
Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có: