Trong không gian tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Tìm
để
vuông góc với
?
Ta có: (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau, tức là .
Trong không gian tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Tìm
để
vuông góc với
?
Ta có: (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau, tức là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai điểm
. Gọi
là mặt cầu có đường kính AB. Mặt phẳng (P) vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)) có thể tích lớn nhất, biết rằng
với
. Tính giá trị
.
Hình vẽ minh họa
Ta có: mà
nên
Suy ra (P): 2x + 2y + z + d = 0.
Ta có AB = 6. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra I (4; 3; 4).
Ta có (S) là mặt cầu có đường kính AB nên có
Gọi r là bán kính đường tròn tâm H.
Khi đó, thể tích khối nón đỉnh cần tìm được xác định bởi công thức
Ta có:
Đặt
Mà
Vậy
Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là p. Một mặt phẳng
cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là
. Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng
bằng:
Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu.
Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R.
Theo giả thiết, ta có và
Suy ra .
Trong không gian
đường thẳng
và mặt phẳng
. Góc giữa mặt phẳng
và đường thẳng
bằng:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
:
Cho hai đường thẳng (d1 ):
và ![]()
Xét VTTĐ của (d1 ) và (d2 )? Tìm câu đúng ?
Chuyển đường thẳng (d1 ) và (d2 ) về dạng tham số :
có vectơ chỉ phương
và qua
.
có vectơ chỉ phương
và hệ phương trình
vô nghiệm.
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hình bình hành
. Biết
và
. Diện tích hình bình hành
là:
Ta có:
Suy ra diện tích ABCD là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt cầu
qua bốn điểm ![]()
. Phương trình mặt cầu
là:
Gọi phương trình mặt cầu có
Vì mặt cầu đi qua bốn điểm đã cho nên ta có hệ phương trình
. Suy ra tâm mặt cầu
và bán kính
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?
Phương trình là phương trình của một mặt cầu nếu
.
Vậy phương trình không phải phương trình mặt cầu là:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
và mặt phẳng
. Tìm hoành độ
của điểm
thuộc mặt phẳng (P) sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian hệ trục tọa độ , cho các điểm
và mặt phẳng
. Tìm hoành độ
của điểm
thuộc mặt phẳng (P) sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho 2 đường thẳng
:
và điểm
. Đường thẳng
đi qua
, cắt
và vuông góc với
có một vectơ chỉ phương là
. Tính ![]()
Hình vẽ minh họa
Gọi là mặt phẳng chứa
và
.
Lấy .
Mặt phẳng có véc-tơ pháp tuyến vuông góc với các véc-tơ
và
.
Ta có .
Một trong các véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là
.
Đường thẳng nằm trong mặt phẳng
và vuông góc với
có
Vậy .
Cho tam giác ABC có
. Viết phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC của tam giác ABC.
Theo đề bài, ta tính được
Từ đó, suy ra VTPT của mặt phẳng (ABC) là:
Phương trình (ABC) là:
Mặt khác, ta có M là trung điểm của BC nên M có tọa độ là M (-2, 8, -5)
Phương trình mặt phẳng trung trực (P) của cạnh BC là:
Phương trình tổng quát của đường trung trực (d) của cạnh BC:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Tính số đo góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là
Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .
Khi đó ta có:
Trong không gian
, cho đường thẳng
. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng
?
Thay vào
ta được:
Thay vào
ta được:
Thay vào
ta được:
hệ vô nghiệm nên
.
Thay vào
ta được:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tam giác
có
. Đường cao kẻ từ
của tam giác
đi qua điểm nào trong các điểm sau?
Ta có:
Một vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B của tam giác là
Phương trình đường cao kẻ từ B là: .
Ta thấy điểm thuộc đường thẳng trên.
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho hai điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho khoảng cách từ
đến
là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách
từ
đến mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
sao cho khoảng cách từ
đến
là lớn nhất. Khi đó, khoảng cách
từ
đến mặt phẳng
bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
và
. Phương trình tham số của
là:
Nhận thấy đều thuộc (α) và (β) nên chúng cũng thuộc đường thẳng
.
Ta có là một vectơ chỉ phương của
.
Khi đó phương trình tham số của là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt cầu
và mặt phẳng
cắt nhau theo một đường tròn có chu vi là:
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
.
Ta có
Vì nên (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (α) ⇒ H là tâm của (C).
Lấy
Tam giác IHM vuông tại M
Suy ra chu vi của đường tròn (C) bằng .
Cho hình lập phương
có cạnh
. Góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ
Khi đó:
Chọn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Chọn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng và
bằng:
Trong không gian
, mặt phẳng
và đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
. Góc giữa
và
bằng:
Ta có: có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Vectơ chỉ phương của là
Gọi là góc giữa
và
, ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và cắt các trục tọa độ tại
sao cho
là trực tâm tam giác
. Hãy viết trình mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Chứng minh tương tự BC ⊥ OH.
Do đó
Suy ra .