Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
có phương trình
. Gọi
lần lượt là giao điểm của mặt phẳng
với các trục tọa độ
. Tính thể tích
của khối chóp
.
Ta có:
cắt các trục tọa độ tại
Do đôi một vuông góc nên
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
có phương trình
. Gọi
lần lượt là giao điểm của mặt phẳng
với các trục tọa độ
. Tính thể tích
của khối chóp
.
Ta có:
cắt các trục tọa độ tại
Do đôi một vuông góc nên
Trong không gian
cho hai mặt phẳng ![]()
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Phương trình mặt cầu có tâm
và đi qua
là:
Ta có:
Vậy phương trình mặt cầu tâm và đi qua điểm
có phương trình là:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng
, cách điểm
một khoảng bằng
biết rằng tồn tại một điểm
trên mặt phẳng đó thỏa mãn
?
Mặt phẳng song song với (Q) có dạng mà
Với m = −15 thì với mọi ta có
Do đó không có mặt phẳng nào thỏa mãn đề bài
Trong không gian Oxyz, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
qua A và nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
. Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của
?
Ta có: suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
Trong không gian
, cho mặt phẳng
có phương trình
. Xét mặt phẳng
, với
là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của m để
tạo với
góc
.
Ta có: và
có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Vì tạo với
góc
.
.
Cho hai mặt phẳng
và
. Với
cho biết
và cặp vectơ chỉ phương
. Với
cho PTTQ
. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của
và
, qua điểm
là:
Trước tiên, ta cần đưa phương trình về dạng tổng quát.
Theo đề bài, ta có và cặp vectơ chỉ phương
nên vecto pháp tuyến của mp
là tích có hướng của 2 vecto chỉ phương.
Ta có .
Chọn làm vectơ pháp tuyến cho
thì phương trình tổng quát của
có dạng
.
Vậy phương trình
Để tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của và
ta xét chùm mặt phẳng :
Mặt khác, ta có
Thế vào (*) ta được:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho đường thẳng
có phương trình tham số là
Gọi vectơ chỉ phương của đường thẳng
, ta chọn
Giả sử , chọn
suy ra phương trình tham số d là:
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, giao điểm của mặt phẳng
và đường thẳng
là:
Gọi là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Ta có:
Suy ra .
Trong không gian với hệ tọa độ
cho điểm
và mặt phẳng
. Đường thẳng
đi qua
và có vectơ chỉ phương
cắt
tại điểm
. Điểm
thay đổi trong
sao cho
luôn nhìn đoạn
dưới góc
. Khi độ dài
lớn nhất, đường thẳng
đi qua điểm nào trong các điểm sau?
Hình vẽ minh họa
Phương trình
Đường thẳng d cắt P tại B(−2; −2; 1).
Gọi H là hình chiếu của A lên (P).
Ta có: H(−3; −2; −1).
Vì MB ⊥ MA; MB ⊥ AH nên MB ⊥ MH suy ra MB ≤ BH.
Do đó: MB lớn nhất bằng BH khi M ≡ H
Vậy MB đi qua B, nhận là vectơ chỉ phương.
Phương trình do đó MB đi qua điểm
.
Cho đường thẳng
và mặt phẳng
. Mặt phẳng (P) qua d và tạo với
một góc nhỏ nhất. Một véc tơ pháp tuyến của (P) là:

Gọi ;
H là hình chiếu vuông góc của B lên ; K là hình chiếu của H lên
.
Suy ra: cố định;
.
Mà (vì
)
Suy ra nhỏ nhất bằng
khi
.
Khi đó và có một VTCP
.
Vậy (P) có một VTPT là .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt cầu
. Bán kính của mặt cầu
là:
Ta có:
suy ra tâm mặt cầu là:
Bán kính mặt cầu là:
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho ba điểm
. Tính đường kính
của mặt cầu
đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng
?
Gọi tâm mặt cầu là
Ta có:
.
Mặt phẳng
và đường thẳng
:
Theo đề bài, ta có vecto pháp tuyến của
Đường thẳng (d) được cho dưới dạng hệ của hai mặt phẳng: và
cũng có 2 VTPT lần lượt
Như vậy, VTCP của (d) sẽ là tích có hướng của 2 VTPT:
và tọa độ của A không thỏa mãn phương trình của (P).
Vậy (d) // (P) .
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng
là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng
bằng
. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng
. Đẳng thức nào sau đây sai?
Ta có .
Tam giác ABC đều cạnh a nên .
Trong tam giác vuông SHA, ta có .
Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với (SAB) nên bán kính mặt cầu .
Ta có
Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AB và MB.
Suy ra và
.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE , suy ra (1).
Ta có (2)
Từ (1) và (2) , suy ra nên
.
Trong tam giác vuông SHE, ta có .
Vậy .
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và
. Tìm tham số m để hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau?
Ta có:
Để hai mặt phẳng và
vuông góc với nhau thì
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
Ta có:
Do đó:
Suy ra góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và hai mặt phẳng
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua
và song song với hai mặt phẳng
?
Ta có:
Do đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương là .
Vậy phương trình đường thẳng d là
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Tìm tất cả các giá trị của m để
tiếp xúc với mặt cầu
?
Ta có mặt cầu có tâm I(1; −1; 1) và bán kính R = 3.
Mặt phẳng tiếp xúc với
khi và chỉ khi:
.