Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;1; - 1)$ và $B(1;0;1)$ và mặt phẳng $(P):x + 2y - z = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ qua $A;B$ và vuông góc với $(P)$ ?
- A.
  $(Q):2x - y + 3 = 0$
- B.
  $(Q):3x - y + z - 4 = 0$
- C.
  $(Q): - x + y + z = 0$
- D.
  $(Q):3x - y + z = 0$
Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (1;2; - 1);\overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1;2)$

Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{AB} ightbrack = (3; - 1;1)$

Từ đó, phương trình mặt phẳng $(Q)$ là $(Q):3x - y + z - 4 = 0$ .
Câu 2: Nhận biết
Cho $A( - 1;2;1)$ và hai mặt phẳng $(P):2x + 4y - 6z - 5 = 0;(Q):x + 2y - 3z = 0$ . Khi đó:
- A.
  mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ và $(Q)//(P)$ .
- B.
  mặt phẳng $(Q)$ không qua $A$ và không song song với mặt phẳng $(P)$ .
- C.
  mặt phẳng $(Q)$ không qua $A$ và $(Q)//(P)$ .
- D.
  mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ và mặt phẳng $(Q)$ cắt mặt phẳng $(P)$ .
Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn, do đó A ∈ (Q).

Vì ${\overrightarrow{n}}_{(P)} = (2;4; - 6) = 2(1;2; - 3) = {\overrightarrow{n}}_{(Q)}$ nên $(Q)//(P)$ .
Câu 3: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):2x - y - 2z - 9 = 0,(Q):x - y - 6 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):2x - y - 2z - 9 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (2; - 1; - 2)$

$(Q):x - y - 6 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = (1; - 1;0)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 2.1 + ( - 1).( - 1) + 0 ight|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , biết hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $(P)$ là $H(2; - 1; - 2)$ . Số đo góc giữa mặt phẳng $(P)$ với mặt phẳng $(Q):x - y - 5 = 0$ là
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $60^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Mặt phẳng $(Q):x - y - 5 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;0)$

Hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) là $H(2; - 1; - 2)$ ⇒ (P) qua H và nhận $\overrightarrow{OH} = (2; - 1; - 2)$ làm vectơ pháp tuyến.

Gọi α là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\left(\overrightarrow{OH};\overrightarrow{n} ight) ight| = \frac{\left|\overrightarrow{OH}.\overrightarrow{n} ight|}{\left|\overrightarrow{OH} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|}$ $=\frac{|2 + 1 + 0|}{\sqrt{4 + 1 + 4}.\sqrt{1 + 1 + 0}} =\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha = 45^{0}$
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ . Tính góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $150^{0}$
Mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 ight)$

Trục $Ox$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$

Gọi α là góc giữa $Ox$ và mặt phẳng $(P)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 6: Vận dụng cao
Cho 2 đường thẳng $(d)\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 1\end{array} ight.$ và $(\triangle )\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + t\\z = 3 - t\end{array} ight.$
Mặt phẳng (P) chứa (d) và song song với $(\triangle )$ có phương trình tổng quát :
- A. $x - 2y + 2z - 2 = 0$
- B. $x + 2y + 2z + 2 = 0$
- C. $x + 2y - 2z + 2 = 0$
- D. $x - 2y - 2z - 2 = 0$
Phương trình (d) cho $A(2, - 1,1) \in (d)$ và vectơ chỉ phương của (d) là: $\overrightarrow a = (2,1,0)$
Phương trình $(\triangle )$ cho vectơ chỉ phương của $(\triangle )$ là : $\overrightarrow b = (0,1, - 1)$
Gọi $M(x,y,z)$ là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) thì :
$\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = (x - 2,y + 1,z - 1);\,\,\,\,\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = ( - 1,2,2)\\\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight].\overrightarrow {AM} = 0 \Leftrightarrow - (x - 2) + 2(y + 1) + 2(z - 1) = 0\\ \Leftrightarrow x - 2y - 2z - 2 = 0\end{array}$
Câu hỏi này cho ta thấy mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ 2 đường thảng ta có thể viết PT được của 1 mp.
Câu 7: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho tứ diện đều $ABCD$ có $A(4; - 1;2),B(1;2;2),C(1; - 1;5),D\left( x_{D};\ y_{D};z_{D} ight)$ với $y_{D} > 0$ . Tính $p = 2x_{D} + \ y_{D} - z_{D}$ ?
- A.
  $P = - 3$
- B.
  $P = 1$
- C.
  $P = - 7$
- D.
  $P = 5$
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G(2; 0; 3).

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 3;3;0) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 3;0;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (1;\ 1;\ 1)$

$AB = 3\sqrt{2}$

Đường thẳng đi qua G vuông góc với (ABC) có phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Do đó $D(2 + t;t;3 + t)$

Mà $AD = AB \Rightarrow (t - 2)^{2} + 2(t + 1)^{2} = 18 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \\ t = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $y_{D} > 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow P = 5$
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , xét mặt cầu $(S)$ có phương trình dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0$ . Tập hợp các giá trị thực của tham số $a$ để $(S)$ có chu vi $8\pi$ ?
- A.
  $a \in \left\{ 1;10 ight\}$
- B.
  $a \in \left\{ 2; - 10 ight\}$
- C.
  $a \in \left\{ - 1;11 ight\}$
- D.
  $a \in \left\{ 1; - 11 ight\}$
Đường tròn lớn có chu vi là $8\pi$ nên bán kính của $(S)$ là $\frac{8\pi}{2\pi} = 4$

Từ phương trình của $(S)$ suy ra bán kính của $(S)$ là $R = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10a}$

Do đó $\sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10a} = 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = - 1 \\ a = 11 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là: $a \in \left\{ - 1;11 ight\}$
Câu 9: Nhận biết
Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(1; - 1;2)$ và vectơ $\overrightarrow{n} = (2;4; - 6)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ qua A và nhận vectơ $\overrightarrow{n}$ làm vectơ pháp tuyến.
- A.
  $x + 2y - 3z - 5 = 0$ .
- B.
  $x + 2y - 3z + 7 = 0$ .
- C.
  $2x + 4y - 6z + 5 = 0$ .
- D.
  $x + 5y - 6z + 5 = 0$
Phương trình mặt phẳng có dạng:

$A\left( x - x_{A} ight) + B\left( y - y_{A} ight) + C\left( z - z_{A} ight) = 0$ .

$2(x - 1) + 4(y + 1) + 6(z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y - 3z + 7 = 0.$
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua $C$ và song song với $AB$ có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{BA} = (1;2;1)$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 3}{4}$ và $d_{2}$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $2x + 3y - 9 = 0,y + 2z + 5 = 0$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng là:
- A.
  Song song
- B.
  Chéo nhau
- C.
  Cắt nhau
- D.
  Trùng nhau
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + 3y - 9 = 0 \\ y + 2z + 5 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Cho $y = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A(3;1; - 3) \in d_{2\ }$

Cho $y = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ z = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B(0;3; - 4) \in d_{2}$

Đường thẳng d₁ đi qua M (1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1;4)$

Đường thẳng d₂ đi qua A (3; 1; −3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}} = ( - 3;2; - 1) = \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} = (2; - 6; - 6)$

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack = ( - 9; - 10;7)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{u_{2}} ightbrack\overrightarrow{AM} = - 2.9 + 6.10 - 6.7 = 0$

Do đó vị trí tương đối của hai đường thẳng là cắt nhau.
Câu 12: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho 2 đường thẳng $\Delta_{1}$ : $\left\{ \begin{matrix}x = 3 + t \\y = 1 + t \\z = 1 + 2t \\\end{matrix}(t \in \mathbb{R}); ight.$ $\Delta_{2}:\frac{x + 2}{2} =\frac{y - 2}{5} = \frac{z}{-1}$ và điểm $M(0;3;0)$ . Đường thẳng $d$ đi qua $M$ , cắt $\Delta_{1}$ và vuông góc với $\Delta_{2}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (4;a;b)$ . Tính $T = a + b$
- A.
  $T = - 2$
- B.
  $T = 4$ .
- C.
  $\ T = - 4.$
- D.
  $T = 2.$
Hình vẽ minh họa

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $M$ và $\Delta_{1}$ .

Lấy $A(3;1;1) \in \Delta_{1}$ .

Mặt phẳng $(P)$ có véc-tơ pháp tuyến vuông góc với các véc-tơ $\overrightarrow{MA} = (3; - 2;1)$ và ${\overrightarrow{u}}_{\Delta_{1}} = (1;1;2)$ .

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{MA},{\overrightarrow{u}}_{\Delta_{1}} ightbrack = ( - 5; - 5;5)$ .

Một trong các véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là ${\overrightarrow{n}}_{(P)} = (1;1; - 1)$ .

Đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và vuông góc với $\Delta_{2}$ có $\overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{u_{\Delta_{2}}} ightbrack = (4; - 1;3)$

Vậy $a = - 1;b = 3 \Rightarrow T = a + b = 2$ .
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(3;0; - 1),B(1; - 1;3),C(0;1;3)$ . Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A;B;C$ .
- A.
  $8x + 4y + 5z - 19 = 0$
- B.
  $10x + 3y + z - 19 = 0$
- C.
  $2x - y + 5z - 3 = 0$
- D.
  $10x - 3y - z - 21 = 0$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2; - 1;4) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 3;1;4) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt phẳng $(ABC)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 8; - 4; - 5)$

Từ đó phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $8x + 4y + 5z - 19 = 0$ .
Câu 14: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; - 4;0)$ có bán kính bằng $3$ . Phương trình của $(S)$ là:
- A.
  $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + z^{2} = 9$
- B.
  $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + z^{2} = 9$
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + z^{2} = 3$
- D.
  $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + z^{2} = 3$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; - 4;0)$ và bán kính bằng $3$ có phương trình là:

$(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + (z - 0)^{2} = 3^{2}$

$\Rightarrow (x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} + z^{2} = 9$
Câu 15: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + y + z - 9 = 0$ . Hỏi có bao nhiêu điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ với $a,b,c$ là các số nguyên không âm.
- A.
  $55$
- B.
  $45$
- C.
  $50$
- D.
  $60$
Ta có $(P):x + y + z - 9 = 0 \Rightarrow \frac{x}{9} + \frac{y}{9} + \frac{z}{9} = 1$ nên mặt phẳng $(P)$ đi qua các điểm $A(9; 0; 0), B(0; 9; 0), C(0; 0; 9).$

Từ đó suy ra tất cả các điểm có toạ độ nguyên của mặt phẳng (P) đều nằm trong miền tam giác ABC.

Tam giác ABC đều có các cạnh bằng $9\sqrt{2}$ , chiếu các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác ABC xuống mặt phẳng (Oxy) ta được các điểm có toạ độ nguyên của hình tam giác OAB.

Mà số điểm có toạ độ nguyên của tam giác OAB bằng $1\ + \ 2\ + \ ...\ + \ 10\ = \ 55$
Câu 16: Nhận biết
Cho mặt cầu $S\left( {O;R} ight)$ và một điểm A, biết $OA = 2R$ . Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B. Khi đó độ dài đoạn AB bằng:
- A. $R$
- B. $\frac{R}{2}$
- C. $R\sqrt 2$
- D. $R\sqrt 3$
Vì AB tiếp xúc với (S) tại B nên $AB \bot OB$ .
Suy ra $AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {4{R^2} - {R^2}} = R\sqrt 3 .$
Câu 17: Vận dụng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(Q):x + 2y - z - 5 = 0$ và đường thẳng $d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{1}$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d$ và tạo với mặt phẳng $(Q)$ một góc nhỏ nhất là
- A.
  $(P):x - 2y - 1 = 0$
- B.
  $(P):y - z + 4 = 0$
- C.
  $(P):x - z + 4 = 0$
- D.
  $(P):x - 2y + 7 = 0$
Vì (P) chứa d nên phương trình của (P) có dạng $(P):a(x + 1) + b(y + 1) + c(z - 3) = 0$ với $\left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 \\ 2a + b + c = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Gọi α là góc giữa (P) và (Q), ta có:

$\cos\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{n_{Q}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{P}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{Q}} ight|} = \frac{|a + 2b - c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.\sqrt{6}} = \frac{\left| 3(a + b) ight|}{\sqrt{5a^{2} + 4ab + 2b^{2}}.\sqrt{6}}$

Nếu $a = 0$ thì $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$

Nếu $a eq 0$ thì $\cos\alpha = \frac{\left| 3(1 + t) ight|}{\sqrt{6}.\sqrt{5 + 4t + 2t^{2}}};\left( t = \frac{b}{a} ight)$ .

Khi đó $0 \leq \cos\alpha < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ta có α nhỏ nhất khi và chỉ khi cosα lớn nhất.

Do đó $\alpha = 30^{0}$ và $\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Khi đó $a = 0$ , chọn $b = 1,\ c = - 1$ .

Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: $(P):y - z + 4 = 0$ .
Câu 18: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d: \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y}{-1} = \dfrac z 4$ và mặt
cầu (S) tâm I(1;2;1), bán kính R. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa d và tiếp xúc với
(S) tạo với nhau góc $60^0$ . Hãy viết phương trình mặt cầu (S)
- A. $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=6$
- B. $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=3$
- C. $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=\dfrac{3}{2}$
- D. $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=1$
Gọi M, N là tiếp điểm của mặt phẳng (P), (Q) và mặt cầu (S). Gọi H là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng d.
$\Rightarrow IH=d(I,d)= \sqrt 6$
TH1: Góc $\widehat {MHN}=60^0$ :
Theo bài ra ta có: $R=IM=IH.\sin30^0= \sqrt 6 .\frac 1 2 = \frac{\sqrt 6}{2}$
$\Rightarrow(S) : (x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2= \frac 3 2$
TH2: Góc $\widehat {MHN}=120^0$ :
Theo bài ra ta có: $R=IM=IH.\sin60^0= \sqrt 6 .\frac {\sqrt 3}{2} = \frac{\sqrt18}{2}$
$\Rightarrow(S) : (x-1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2= \frac 9 2$ .
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1;1;2)$ và mặt phẳng $(P):2x - y + 3z + 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z + 2}{3}$
- B.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 3}{2}$
- C.
  $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{2}$
- D.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$
Do đường thẳng $\Delta$ cần tìm vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nên vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1;3)$ cũng là vectơ chỉ phương của $\Delta$ .

Mặt khác $\Delta$ đi qua điểm $M(1;1;2)$ nên phương trình chính tắc của $\Delta$ là: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$
Câu 20: Thông hiểu
Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong (S) sau là mặt cầu:
$\left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {2 - \ln t} ight)x + 4\ln t.y + 2\left( {\ln t + 1} ight)z + 5{\ln ^2}t + 8 = 0$ .
- A. $t < \frac{1}{e} \vee t > 3e$
- B. $\frac{1}{e} < t < 3e$
- C. $e < t < {e^3}$
- D. $0 < t < \frac{1}{e} \vee t > {e^3}$
Theo đề bài, ta có:
$a = \ln t - 2;\,\,b = - 2\ln t;\,\,c = - \ln t - 1;\,\,d = 5{\ln ^2}t + 8$
$(S)$ là mặt cầu $\Leftrightarrow {\left( {\ln t - 2} ight)^2} + 4{\ln ^2}t + {\left( {\ln t + 1} ight)^2} - 5{\ln ^2}t - 8 > 0$
$\Leftrightarrow {\ln ^2}t - 2\ln t - 3 > 0$
$\Leftrightarrow \ln t < - 1 \vee \ln t > 3$
$\Leftrightarrow 0 < t < \frac{1}{e} \vee t > {e^3}$

39 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!