Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):2x + y - z - 3 = 0,(\beta):2x - y + 5 =0. Viết phương trình của mặt phẳng (P) song song với trục Oz và chứa giao tuyến của (\alpha) và (\beta)?

    Mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha) và (\beta) nên có dạng:

    m(2x + y - z - 3) + n(2x - y + 5) = 0

    \Leftrightarrow (2m + 2n)x + (m - n)y - mz - 3m + 5n = 0

    Mặt phẳng (P) song song với trục Oz nên m = 0.

    Chọn n = 1 ta có (P):2x - y + 5 = 0

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P);(Q) có các vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{a}\left( a_{1};b_{1};c_{1} ight),\overrightarrow{b}\left( a_{2};b_{2};c_{2} ight). Góc \alpha là góc giữa hai mặt phẳng đó \cos\alpha là biểu thức nào sau đây?

    Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:

    \cos\alpha = \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\left| a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} ight|}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|}

  • Câu 3: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (\alpha) đi qua điểm M(1;2;1) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho độ dài OA,OB,OC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (\alpha).

    Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

    Phương trình mặt phẳng (α) có dạng \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Ta có (α) đi qua điểm M(1; 2; 1) nên ta có \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1 (∗)

    Vì OA, OB, OC theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên c = 2b = 4a.

    Thay vào (∗), ta được \frac{1}{a} + \frac{2}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{9}{4}

    Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = \frac{9}{4} hay 4x + 2y + z - 9 = 0

    \Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{| - 9|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}.

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1} và mặt phẳng (P):2x - y - 2z + 1 = 0. Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: \Delta có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 1), (P) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (2; - 1; - 2).

    Từ đó: \sin\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ight) ight| = \left| \frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{n} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} ight| = \frac{4}{9}

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng là : 2x + y = 0.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;m). Để mặt phẳng (ABC) hợp với mặt phẳng (Oxy) một góc 60^{0} thì giá trị của m là

    Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{k} = (0;0;1)

    Ta có \overrightarrow{AB} = ( - 1;2;0);\overrightarrow{AC} = ( - 1;0;m), suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (2m;m;2)

    Theo bài ra ta có:

    cos60^{0} = \frac{\left| \overrightarrow{k}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{k} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} \Leftrightarrow \sqrt{5m^{2} + 4} = 4

    \Leftrightarrow m^{2} = \frac{12}{5} \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{\frac{12}{5}}

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng \Delta đi qua điểm A(1;2;0) và vuông góc với mặt phẳng (P):2x + y - 3z + 5 = 0?

    Đường thẳng \Delta vuông góc với mặt phẳng (P):2x + y - 3z + 5 = 0 nên \Delta có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_{P}} = (2;1; - 3).

    Phương trình \Delta là \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \\ z = - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)\ \ \ (*)

    Kiểm tra được điểm M(3;3; - 3) thỏa mãn hệ (*).

    Vậy phương trình: \left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 3 - 3t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) cũng là phương trình của \Delta.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với  AB=2a, AD=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 45^0 . Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp S.ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N.ABC. Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

    Tìm biểu thức liên hệ

    Ta có {45^0} = \widehat {SC,\left( {ABCD} ight)} = \widehat {SC,AC} = \widehat {SCA} .

    Trong \Delta SAC, ta có h = SA = a\sqrt 5

    Ta có \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot BN.

    Mặt khác, ta lại có NA \bot AC.

    Do đó hai điểm A, B cùng nhìn đoạn dưới một góc vuông nên hình chóp N.ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính

    R = JN = \frac{{NC}}{2} = \frac{1}{2}.\sqrt {A{C^2} + {{\left( {\frac{{SA}}{2}} ight)}^2}} = \frac{{5a}}{4}.

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho hai đường thẳng: ({d_1}):\frac{{x - 3}}{{ - 7}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3},({d_2}):\frac{{x - 7}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 9}}{{ - 1}}

    và mặt phẳng (\alpha ):x + y + z + 3 = 0 .

    Hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1})  lên mặt phẳng (\alpha ) có phương trình tổng quát:

    Vectơ chỉ phương của ({d_1}):\overrightarrow a = ( - 7,2,3). Vectơ chỉ phương của ({d_2}):\overrightarrow b = (1,2, - 1).

    Phương trình của mặt phẳng chứa ({d_2}) và có phương của ({d_1})có dạng: 

    2x + y + 4z + D = 0

    Điểm A (7, 3, 9) thuộc mặt phẳng này 

    => D = -53

    Giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng (\alpha ) là hình chiếu của ({d_2}) theo phương của ({d_1}) lên (\alpha ): \left\{ \begin{array}{l}2x + y + 4z - 53 = 0\\x + y + z + 3 = 0\end{array} ight.

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    \overrightarrow{u} vuông góc \overrightarrow{n} thì d có thể nằm trong (P).

    d song song (P) thì \overrightarrow{u} vuông góc \overrightarrow{n}.

    d vuông góc (P) thì \overrightarrow{u} cùng phương \overrightarrow{n}.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, tìm tất cả giá trị tham số m để đường thẳng d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1} song song với mặt phẳng (P):2x + y - m^{2}z + m = 0.

    Ta có:

    d qua điểm M(1; 0; 1) và có VTCP là \overrightarrow{u} = (1;2;1)

    (P) có VTPT là \overrightarrow{n} = \left( 2;1; - m^{2} ight)

    Vì d // (P) nên \overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{n} \Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2

    Với m = 2, (P): 2x + y − 4z + 2 = 0 ⇒ M ∈ (P) (loại).

    Với m = −2, (P): 2x + y − 4z − 2 = 0\Rightarrow M otin (P) (thỏa mãn).

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥ (ABCD) và SA = a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SB, SD. Côsin của góc hợp bới hai mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A≡ O, B∈Ox, D∈Oy, S∈Oz.

    \Rightarrow B(a;0;0),D(0;a;0),S(0;0;a)

    \Rightarrow E\left( \frac{a}{2};0;\frac{a}{2} ight),F\left( 0;\frac{a}{2};\frac{a}{2} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{AE} = \left( \frac{a}{2};0;\frac{a}{2} ight);\overrightarrow{AF} = \left( 0;\frac{a}{2};\frac{a}{2} ight)

    Vectơ pháp tuyến của mp(AEF) là \overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AF} ightbrack = \left( \frac{- a}{4};\frac{- a}{4};\frac{a}{4} ight)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{1}} = (1;1; - 1)

    Vectơ pháp tuyến của mp(ABCD) là: \overrightarrow{n_{2}} = \overrightarrow{AS} = (0;0;a)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{2}} = (0;0;1)

    Vậy côsin góc giữa 2 mặt phẳng (AEF) và (ABCD) là:

    \cos\left( (AEF);(ABCD) ight) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{2}} ight|} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu

    Phương trình mặt cầu tâm I bán kính R có dạng: (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

    Vậy đáp án cần tìm là: (x - 13)^{2} + (y - 24)^{2} + (z - 36)^{2} = 7^{2} .

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 4z + m = 0 là phương trình của một mặt cầu?

    Phương trình x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 4z + m = 0 là một mặt cầu

    \Leftrightarrow 1^{2} + 1^{2} + 2^{2} - m > 0 \Leftrightarrow m < 6.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC có A\left( {1,2, - 3} ight);\,\,B\left( {2, - 1,4} ight);\,\,\,C\left( {3, - 2,5} ight).

    Viết phương trình tham số của trung tuyến AM ?

     Vì AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC. Gọi M\left( {{x_M},{y_M},{z_M}} ight)

    Từ tọa độ của B và C, ta tính được tọa độ của M là nghiệm của hệ:

    \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{2 + 3}}{2}\\{y_M} = \frac{{ - 1 - 2}}{2}\\{z_M} = \frac{{4 + 5}}{2}\end{array} ight.\\ \Rightarrow M\left( {\frac{5}{2}, - \frac{3}{2},\frac{9}{2}} ight)\end{array}

    Ta có 1 vecto chỉ phương của (AM) là \overrightarrow {AM} = \left( {\frac{3}{2}, - \frac{7}{2},\frac{{15}}{2}} ight) = \frac{1}{2}\left( {3, - 7,15} ight)

    (AM) là đường thẳng đi qua A (1,2,-3) và nhận vecto (3,-7,15) làm 1 VTCP có phương trình là:

    \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 - 7t\\z = 15t - 3\end{array} ight.\\(t \in R)\end{array}  

  • Câu 16: Vận dụng

    Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) qua A (2, 3, 1)  cắt đường thẳng \left( {{d_1}} ight):\frac{{x - 2}}{3} = y + 3 = \frac{{z + 1}}{2} và vuông góc đường thẳng \left( {{d_2}} ight):x = t - 2;\,\,y = 4 - 2t;\,\,z = 3 - t,\,\,\,t \in R\,\,

     Lấy điểm B\left( {2, - 3, - 1} ight) nằm trên đường thẳng (d1).

    Theo đề bài, ta có (d1) qua B\left( {2, - 3, - 1} ight) có vecto chỉ phương là \overrightarrow a = \left( {3,1,2} ight)

    Ta có: \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} = \left( {0, - 6, - 2} ight) = - 2\left( {0,3,1} ight)

    Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) chứa A và \left( {{d_1}} ight):\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } ight] = - \left( {5,3, - 9} ight)

    \Rightarrow \left( P ight):5\left( {x - 2} ight) + 3\left( {y - 3} ight) - 9\left( {z - 1} ight) = 0 \Leftrightarrow 5x + 3y - 9z - 10 = 0 (1)

    Xét tiếp đường thẳng có vecto chỉ phương của là vecto pháp tuyến của mặt phẳng qua A và vuông góc với . Ta có phương trình mp (Q) là

    \left( Q ight):\left( {x - 2} ight) - 2\left( {y - 3} ight) - \left( {z - 1} ight) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - z + 5 = 0 (2)

    Từ (1) và (2) ta suy ra:

    \Rightarrow \left( d ight):5x + 3y - 9z - 10 = 0;x - 2y - z + 5 = 0

  • Câu 17: Thông hiểu

    Với giá trị nào của m thì mặt phẳng \left( Q ight):x + y + z + 3 = 0 cắt mặt cầu

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + 2my - 2mz + 2{m^2} + 9 = 0?

    Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S):

    a = m + 1;b = - m;c = m;d = 2{m^2} + 9.

    Suy ra tâm I có tọa độ là I\left( {m + 1, - m,m} ight)

    \Rightarrow {R^2} = {\left( {m + 1} ight)^2} + {m^2} + {m^2} - 2{m^2} - 9 = {m^2} + 2m - 8 > 0

    \Rightarrow m < - 4 \vee m > 2

    (P) cắt (S) khi:

    d\left( {I,P} ight) < R \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 4} ight|}}{{\sqrt 3 }} < \sqrt {{m^2} + 2m - 8} \Leftrightarrow m < - 4 \vee m > 5

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0. Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng (\alpha)?

    Ta thấy tọa độ điểm Q(1;0;1) thỏa mãn phương trình mặt phẳng (\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0 nên điểm Q nằm trên (\alpha).

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm S(0;0;1), Hai điểm M(m;0;0),N(0;n;0) thay đổi sao cho m + n = 1 và m > 0,n > 0. Mặt phẳng (SMN) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định đi qua P(1;1;1) có bán kính là

    Phương trình (SMN):\frac{x}{m} +\frac{y}{n} + z = 1. Gọi I(a;b;c) và R là tâm và bán kính mặt cầu cố định trong đề bài, phương trình mặt cầu là (x -a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}.

    Ta có khoảng cách từ I đên (SMN) là d = \dfrac{\left| \dfrac{a}{m} +\dfrac{b}{n} + c - 1 ight|}{\sqrt{\dfrac{1}{m^{2}} + \dfrac{1}{n^{2}} +1}} = R

    Vì \ m + n = 1 \Rightarrow\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + 1

    = \frac{m^{2} + n^{2} +m^{2}n^{2}}{m^{2}n^{2}} = \frac{1 - 2mn +m^{2}n^{2}}{m^{2}n^{2}}

    \Rightarrow d = \frac{|an + bm + cmn -mn|}{1 - mn} = R

    Nếu an + bm + cmn - mn = R(1 -mn)

    \Leftrightarrow a(1 - m) + bm + cm(1 -m) - m(1 - m) = R - Rm(1 - m)

    \Leftrightarrow m^{2}(R + c - 1) + m(a -b - c - R + 1) - a + R = 0

    Đẳng thức đúng với mọi m \in(0;1) nên R + c - 1 = a - b - c - R+ 1 = - a + R hay a = b = R,c = 1 -R, thay vào phương trình mặt cầu ta có R = 1.

    Nếu an + bm + cmn − mn = −R(1 − mn)

    \Leftrightarrow m^{2}( - R + c - 1) +m(a - b - c + R + 1) - a - R = 0

    Đẳng thức đúng với mọi m ∈ (0; 1) nên R+c−1 = a−b−c−R+1 = −a+R hay a = b = −R, c = 1+R thay vào phương trình mặt cầu ta có R = −1 không thỏa mãn.

    Vậy R = 1.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):2x + 3y - z - 1 = 0 và (\beta):4x + 6y - mz - 2 = 0. Tìm m để hai mặt phẳng (\alpha) và (\beta) song song với nhau.

    Mặt phẳng (\alpha) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{1}} = (2;3; - 1)

    Mặt phẳng (\beta) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{2}} = (4;6; - m)

    Để (\alpha)//(\beta) thì \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{- 1}{- m} eq \frac{- 1}{- 2}

    Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 70 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập