Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Tâm mặt cầu
có tọa độ là:
Mặt cầu có tâm là
Mặt cầu có tâm
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt cầu
. Tâm mặt cầu
có tọa độ là:
Mặt cầu có tâm là
Mặt cầu có tâm
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
?
Ta có:
Vậy là đáp án cần tìm.
Cho hai mặt phẳng
Đường thẳng (D) qua M (1, -2, 3) song song với (P) và (Q):
Vì (D) song song với (P) và (Q)
=> Một vectơ chỉ phương của (D) là:
Xét vecto pháp tuyến của (R), có:
Xét đáp án có điểm N
cùng phương với
=> (D) vuông góc với (S).
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a; AD = b; AE = c trong hệ trục Oxyz sao cho A trùng với
lần lượt trùng với Ox, Oy, Oz . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, EF, DH. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng MN.
Theo đề bài, ta biểu diễn được tọa độ các trung điểm M và N theo a, b, c lần lượt là:
(MN) là đường thẳng đi qua M và nhận vecto là 1 VTCP có PT là:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba mặt cầu
,
,
. Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu
?
Ta có có tâm lần lượt là
và bán kính lần lượt là
.
Gọi là mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu nói trên. Khi đó:
Xét phương trình
(1) Với . Thay vào
, ta được
Với .
Thay vào , ta được:
Với (vô lí).
Với .
Thay vào , ta được:
Với (vô lí).
(2) Với .
Thay vào , ta được
Với .
Thay vào , ta được
Với : chọn
Tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu
.
Với
Thay vào ta được:
Với (vô lí).
Vậy tồn tại 2 mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu .
Trong không gian
, cho mặt phẳng
đi qua điểm
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
(khác
). Viết phương trình mặt phẳng
sao cho
là trực tâm của tam giác
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có:
Vậy nên
nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Do đi qua
nên
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, khoảng cách từ
đến mặt phẳng
là
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Trong không gian với hệ toạ độ
, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm bán kính
có dạng:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Trong không gian tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và
. Tìm
để
vuông góc với
?
Ta có: (P) vuông góc với (Q) khi và chỉ khi các vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau, tức là .
Trong không gian tọa độ
, cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Khoảng cách giữa đưởng thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
.
Ta có: , nên đường thằng
song song với mặt phẳng
.
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng khoảng cách từ
đến mặt phẳng
:
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
tâm
bán kính
. Bán kính đường tròn giao của mặt phẳng
và mặt cầu
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi bán kính đường tròn giao của mặt phẳng và mặt cầu
là
Ta có:
Suy ra
Trong không gian
, cho hai mặt phẳng
có các vectơ pháp tuyến là
. Góc
là góc giữa hai mặt phẳng đó
là biểu thức nào sau đây?
Theo công thức góc giữa hai mặt phẳng ta có:
Trong không gian
, cho mặt cầu
và mặt phẳng
. Với giá trị nào của tham số
thì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu?
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính
Mặt phẳng (α) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là: .
Trong không gian với hệ toạ độ
, cho điểm
, đường thẳng
và mặt phẳng
. Viết phương trình đường thẳng
qua
vuông góc với d và song song với
.
Đường thẳng có vec tơ chỉ phương
.
Mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến
.
Đường thẳng ∆ vuông góc với nên vectơ chỉ phương
Đường thẳng ∆ song song với (P) nên
Ta có
Suy ra vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là .
Trong không gian
cho hai mặt phẳng ![]()
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian với hệ tọa độ
, trục
có phương trình tham số là
Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có véctơ chỉ phương nên có phương trình tham số là
.
Trong hệ tục toạ độ không gian
, cho
, biết
, phương trình mặt phẳng
. Tính
biết
?
Ta có
Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là
Vì nên
.
Theo giả thiết
(vì
).
Suy ra . Vậy
.
Trong không gian
, cho ba điểm
. Đường thẳng
qua trực tâm
của tam giác
và nằm trong mặt phẳng
cùng tạo với các đường thẳng
một góc
có một véc-tơ chỉ phương là
với
là số nguyên tố và
là số nguyên. Giá trị biểu thức
bằng bao nhiêu?
Ta có:
Theo đề bài, ta suy ra:
Vì ∆ ⊂ (ABC) nên
Trường hợp 1: Xét hệ phương trình:
Chọn c = 11, ta có (kiểm tra lại điều kiện
ta thấy
đang xét thỏa mãn).
Trường hợp 2: Xét hệ phương trình
Chọn c = 2, ta có (kiểm tra lại điều kiện
ta thấy
đang xét không thỏa mãn).
Vậy
Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại
và
,
,
vuông góc với mặt đáy
,
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Tính cosin của góc giữa
và
.
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục như hình vẽ, với
. Khi đó ta có:
.
Khi đó:
Ta có: . Gọi
là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) ta có
Lại có
Gọi α là góc giữa MN và (SAC) ta có:
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(3; -1; 0) và đường thẳng d:
. Mặt phẳng
chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất có phương trình là:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên , K là hình chiếu vuông góc của A lên d.
Ta có: cố định và
Suy ra lớn nhất bằng AK khi
.
Ta có (d): qua M(2; -1; 1) , có VTCP
.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa có VTPT .
Mặt phẳng có một VTPT là
và
qua M (2; -1; 1) có phương trình: