Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Đường thẳng $\Delta$ đi qua $C$ và song song với $AB$ có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{BA} = (1;2;1)$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 3}{- 2} = \frac{z + 1}{1}$ . Vectơ nào trong các vectơ dưới đây không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u_{4}} = (1;2;1)$
- B.
  $\overrightarrow{u_{3}} = ( - 1;2; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{u_{2}} = (2; - 4;2)$
- D.
  $\overrightarrow{u_{1}} = ( - 3;6; - 3)$
Đường thẳng $d$ có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;1)$ . Do đó vectơ $\overrightarrow{u_{4}} = (1;2;1)$ không là vectơ chỉ phương của $d$ .
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho các điểm $A(0;1;2),B(2; - 2;1),C( - 2;0;1)$ . Phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ là:
- A.
  $2x - y - 1 = 0$
- B.
  $- y + 2z - 3 = 0$
- C.
  $2x - y + 1 = 0$
- D.
  $y + 2z - 5 = 0$
Ta có: $\overrightarrow{n} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = ( - 2;1;0)$

Vậy phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ là:

$- 2(x - 0) + 1(y - 1) = 0$

$\Leftrightarrow - 2x + y - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 2x - y + 1 = 0$
Câu 4: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ và mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ . Góc giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $\Delta$ bằng:
- A.
  $30^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $150^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;2)$

Đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 5: Vận dụng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho bốn đường thẳng $\left( d_{1} ight):\frac{x - 3}{1} = \frac{y +1}{- 2} = \frac{z + 1}{1},$ $\left( d_{2} ight):\frac{x}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z - 1}{1},$ $\left( d_{3} ight):\frac{x - 1}{2} = \frac{y +1}{1} = \frac{z - 1}{1},$ $\left( d_{4} ight):\frac{x}{1} = \frac{y -1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ . Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:
- A.
  $0$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  Vô số
Kiểm tra vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ta thấy (d₁) // (d₂); (d₄) cắt (d₂), (d₃).

Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d₁) và (d₂); (Q) là mặt phẳng chứa (d₃) và (d₄).

Gọi (∆) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên.

Ta thấy, (∆) cắt cả (d₁), (d₂) suy ra (∆) ⊂ (P).

(∆) cắt cả (d₃),(d₄) suy ra (∆) ⊂ (Q).

Mà (d₂), (d₄) có điểm chung nên (∆) là giao tuyến của (P) và (Q), do đó có duy nhất một đường thẳng thỏa mãn.
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x - 2y + 2z - 5 = 0$ . Xét mặt phẳng $(Q):x + (2m - 1)z + 7 = 0$ , với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của m để $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\frac{\pi}{4}$ .
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 4 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = 2\sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = 4 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$
Ta có: $(P)$ và $(Q)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 2;2),\overrightarrow{n_{(Q)}} = (1;0;2m - 1)$

Vì $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\frac{\pi}{4}$ .

$\cos\frac{\pi}{4} = \cos\left( \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ight)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\left| 1 + 2(2m - 1) ight|}{3\sqrt{1 + (2m - 1)^{2}}}$

$\Leftrightarrow 2(4m - 1)^{2} = 9\left( 4m^{2} - 4m + 2 ight)$

$\Leftrightarrow 4m^{2} - 20m + 16 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 4 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P): x-2y+2z-5=0$ và hai điểm $A(-3;0;1), B(1;-1;3)$ . Trong các đường thẳng đi qua A và song song (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là:
- A. $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
- B. $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{-11}=\dfrac{z-1}{-2}$
- C. $\dfrac{x-3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z+1}{-2}$
- D. $\dfrac{x+2}{26}=\dfrac{y-1}{11}=\dfrac{z+3}{-2}$
Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song (P).
Ta có: $(-3-2.0+2.1-5)(1+2.1+2.3-5) < 0 \Rightarrow A, B$ nằm về hai phía với (P).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (Q) $\Rightarrow$ BH cố định và $d(B,(Q))=BH$ .
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên bất kì qua A và nằm trong (Q) hay $d//(P)$ .
Ta có: $BK \geq BH \Leftrightarrow d(B, d) \geq d(B, d) \Rightarrow d (B, d)$ bé nhất bằng BH khi K trùng với điểm H.
Gọi $\vec{n}$ là VTPT của (ABH) $\Rightarrow \vec{n}=[\vec{n_p}, \vec{AB}]=(-2;6;7)$
Ta có đường thẳng d cần lập qua A, H và có VTCP là $\vec{u_d}=[\vec{n},\vec{n_P}]=(26; 11; -2)$
Vậy phương trình đường thẳng d cần lập là: $\dfrac{x+3}{26}=\dfrac{y}{11}=\dfrac{z-1}{-2}$
Câu 8: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 20 = 0$ và mặt phẳng $(\alpha):x + 2y - 2z + 7 = 0$ cắt nhau theo một đường tròn có chu vi là:
- A.
  $6\pi$
- B.
  $12\pi$
- C.
  $3\pi$
- D.
  $10\pi$
Hình vẽ minh họa

Mặt cầu (S) có tâm $I(1; 2; 0)$ và bán kính $R = 5$ .

Ta có $d\left( I,(\alpha) ight) = \ \frac{|1.1 + 2.2 - 2.0 + 7|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = 4$

Vì $d(I,(α)) < R$ nên (α) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (α) ⇒ H là tâm của (C).

Lấy $M ∈ (C) ⇒ M ∈ (S)$

Tam giác IHM vuông tại M $\Rightarrow HM = \sqrt{IM^{2} - IH^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$

Suy ra chu vi của đường tròn (C) bằng $2π . HM = 6π$ .
Câu 9: Thông hiểu
Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha)$ chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $2x - y + 3z + 4 = 0$ và $x + 3y - 2z + 7 = 0$ , chứa điểm $M\left( { - 1,2,4} ight)$ là:
- A. $x + 10y - 9z + 17 = 0$
- B. $x - 10y + 9z + 17 = 0$
- C. $x - 10y - 9z - 17 = 0$
- D. $x + 10y + 9z - 17 = 0$
Vì mặt phẳng $(\alpha)$ chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $2x - y + 3z + 4 = 0$ và $x + 3y - 2z + 7 = 0$ nên thuộc chùm mặt phẳng $2x - y + 3z + 4 + m\left( {x + 3y - 2z + 7} ight) = 0$
$\Leftrightarrow \left( {m + 2} ight)x + \left( {3m - 1} ight)y - \left( {2m - 3} ight)z + 7m + 4 = 0\left( * ight)$
Mặt khác, ta có $M \in (\alpha)$
$\begin{array}{l} \Rightarrow (*) \Leftrightarrow \left( {m + 2} ight).\left( { - 1} ight) + \left( {3m - 1} ight).2 - \left( {2m - 3} ight).4 + 7m + 4 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4m + 12 = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = - 3\end{array}$
Thế vào $(*):\,\,\,\,\,x + 10y - 9z + 17 = 0$ .
Câu 10: Nhận biết
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - y + z - 1 = 0$ . Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (2; - 1; - 1)$ .
- B.
  $\overrightarrow{n} = ( - 2;1; - 1)$ .
- C.
  $\overrightarrow{n} = (2;1; - 1)$ .
- D.
  $\overrightarrow{n} = ( - 1;1; - 1)$ .
Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ có tọa độ là $(2; - 1;1)$ hoặc $( - 2;1; - 1)$ .
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , mặt cầu có tâm $I(1;1;1)$ và có diện tích bằng $4\pi$ có phương trình là:
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 4$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 1$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 4$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$
Ta có: $S = 4\pi R^{2} = 4\pi \Rightarrow R = 1$

Vậy mặt cầu tâm $I(1;1;1)$ có bán kính $R = 1$ có phương trình:

$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1$ .
Câu 12: Vận dụng
Trong hệ tục toạ độ không gian $Oxyz$ , cho $A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ , biết $b,c > 0$ , phương trình mặt phẳng $(P):y - z + 1 = 0$ . Tính $M = b + c$ biết $(ABC)\bot(P),d\left( O;(ABC) ight) = \frac{1}{3}$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{5}{2}$
- D.
  $1$
Ta có $(ABC):\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

$\Rightarrow (ABC):bcx + cy + bz - bc = 0$

Hai mặt phẳng $(ABC);(P)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_{1}} = (bc;c;b),\overrightarrow{n_{2}} = (0;1; - 1)$

Vì $(P)\bot(ABC)$ nên $c - b = 0 \Leftrightarrow b = c$ .

Theo giả thiết

$d\left( O;(ABC) ight) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{| - bc|}{\sqrt{bc^{2} + c^{2} + b^{2}}} = \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow 3b^{2} = \sqrt{b^{4} + 2b^{2}} \Leftrightarrow 3b^{2} = b\sqrt{b^{2} + 2}$

$\Leftrightarrow 3b = \sqrt{b^{2} + 2} \Leftrightarrow 9b^{2} = b^{2} + 2 \Leftrightarrow b = \frac{1}{2}$ (vì $b > 0$ ).

Suy ra $c = 2$ . Vậy $M = b + c = 1$ .
Câu 13: Thông hiểu
Gọi $H(a;b;c)$ là hình chiếu của $A(2; - 1;1)$ lên đường thẳng $(d):\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 4 + 2t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} ight.$ . Đẳng thức nào dưới đây đúng?
- A.
  $a + 2b + 3c = 10$
- B.
  $a + 2b + 3c = 5$
- C.
  $a + 2b + 3c = 8$
- D.
  $a + 2b + 3c = 12$
Vì $H \in (d) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} H(1;4 + 2t; - 2t) \\ \overrightarrow{AH} = ( - 1;5 + 2t; - 1 - 2t) \\ \end{matrix} ight.$

(d) có vtcp $\overrightarrow{u} = (0;2; - 2)$

$\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0 \Leftrightarrow ( - 1).0 + (5 + 2t)2 + ( - 1 - 2t)( - 2) = 0$

$\Leftrightarrow 8t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{3}{2}$

Suy ra $H(1;1;3)$ . Vậy $a + 2b + 3c = 12$
Câu 14: Thông hiểu
Trong hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có đường kính $AB$ , với $A(6;2; - 5),B( - 4;0;7)$ . Viết phương trình $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $A$ ?
- A.
  $(P):5x + y - 6z + 62 = 0$
- B.
  $(P):5x + y - 6z - 62 = 0$
- C.
  $(P):5x - y - 6z - 62 = 0$
- D.
  $(P):5x + y + 6z + 62 = 0$
Hình vẽ minh họa

Vì mặt cầu $(S)$ có đường kính là AB nên tâm I của mặt cầu $(S)$ là trung điểm của $AB$ .

Mặt cầu $(S)$ có tâm I(1; 1; 1).

Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $A$ nên $(P)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow{IA} = (5;1; - 6)$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra $(P):5(x - 6) + (y - 2) - 6(z + 5) = 0$

$\Rightarrow (P):5x + y - 6z - 62 = 0$
Câu 15: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x + y - 2z + 1 = 0$ đi qua điểm $M(1; - 2;0)$ và cắt đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 11 + 2t \\ y = 2t \\ z = - 4t \\ \end{matrix}\ (t \in \mathbb{R}) ight.$ tại $N$ . Tính độ dài đoạn $MN$ .
- A.
  $7\sqrt{6}$ .
- B.
  $3\sqrt{11}$ .
- C.
  $\sqrt{10}$ .
- D.
  $4\sqrt{5}$ .
Điểm $N \in (d) \Rightarrow N(11 + 2t;2t; - 4t)$ . Mặt khác $N \in (\alpha)$ nên

$11 + 2t + 2t - 2( - 4t) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

Điểm $N(9; - 2;4) \Rightarrow \overrightarrow{MN} = (8;0;4) \Rightarrow MN = 4\sqrt{5}$ .
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P):8x - 4y - 8z - 11 =0,$ $(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(P);(Q)$ bằng:
- A.
  $90^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Ta có: $(P):8x - 4y - 8z - 11 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}} = (8; - 4; - 8)$

$(Q):\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + 7 = 0$ có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{2}} = \left( \sqrt{2}; - \sqrt{2};0 ight)$

Khi đó:

$\cos\left( (P);(Q) ight) = \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight)$

$= \frac{\left| 8.\sqrt{2} + 4.\sqrt{2} - 8.0 ight|}{\sqrt{8^{2} + ( - 4)^{2} + ( - 8)^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{2} ight)^{2} + \left( - \sqrt{2} ight)^{2} + 0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \left( (P);(Q) ight) = 45^{0}$
Câu 17: Vận dụng cao
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): x^2 +y^2 +z^2 −2x+ 2z −2 = 0$ và các điểm $A(0; 1; 1), B(−1; −2; −3), C(1; 0; −3)$ . Điểm $D$ thuộc mặt cầu $(S)$ . Thể tích lớn nhất của tứ diện $ABCD$ bằng:
- A.
  $V_{\max} = 9$
- B.
  $V_{\max} = \frac{8}{3}$
- C.
  $V_{\max} = 7$
- D.
  $V_{\max} = \frac{16}{3}$
Mặt cầu $(S)$ có tâm là $I(1; 0; −1)$ và bán kính $R = 2$ .

Khi $V_{DABC}$ lớn nhất thì $\frac{V_{DABC}}{V_{IABC}} = \frac{d\left( D;(ABC) ight)}{d\left( I;(ABC) ight)} = \frac{R + d\left( I;(ABC) ight)}{d\left( I;(ABC) ight)}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 3; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1; - 1; - 4) \\ \overrightarrow{AI} = (1; - 1; - 2) \\ \end{matrix} ight.$ suy ra:

$V_{IABC} = \frac{1}{6}\left| \left\lbrack \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack.\overrightarrow{AI} ightbrack ight| = \frac{4}{3}$

$\Rightarrow d\left( I;(ABC) ight) = \frac{6.V_{IABC}}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack ight|} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow V_{DABC} =\dfrac{4}{3}.\dfrac{2 + \dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3}} =\dfrac{16}{3}$ .
Câu 18: Vận dụng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có tâm $O$ . Gọi $I$ là tâm của hình vuông $A'B'C'D'$ và điểm $M \in OI$ sao cho $MO = 2MI$ (tham khảo hình vẽ).

Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D′) và (MAB) bằng
- A.
  $\frac{7\sqrt{85}}{85}$
- B.
  $\frac{17\sqrt{13}}{65}$
- C.
  $\frac{6\sqrt{85}}{85}$
- D.
  $\frac{6\sqrt{13}}{65}$
Gắn hệ tọa độ như hình vẽ:

Cạnh hình lập phương là 1, ta được tọa độ các điểm như sau:

$\left\{ \begin{matrix}M\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{6}ight),C'(0;1;0),D'(1;1;0) \\A(1;0;1),B(0;0;1) \\\end{matrix} ight.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{n_{(MC'D')}} = (0;1;3) \\\overrightarrow{n_{(MAB)}} = (0;5;3) \\\end{matrix} ight.$ $\Rightarrow \cos\left( (MC'D');(MAB)ight)$ $= \frac{|5.1 + 3.3|}{\sqrt{5^{2} + 3^{2}}.\sqrt{1^{2} + 3^{2}}}= \frac{7\sqrt{85}}{85}$

Suy ra $\sin\left( (MC'D');(MAB) ight) = \sqrt{1 - \left( \frac{7\sqrt{85}}{85} ight)^{2}} = \frac{6\sqrt{85}}{85}$
Câu 19: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , viết phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M( - 3; - 2;3)$ và vuông góc với trục $Ox$ .
- A.
  $(P):x + 3 = 0$
- B.
  $(P):x + y + 5 = 0$
- C.
  $(P):y + z - 1 = 0$
- D.
  $(P):x - 3 = 0$
Vì mặt phẳng (P) vuông góc với Ox nên có một vectơ pháp tuyến là vectơ $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$ .

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là

$1\left( x - ( - 3) ight) + 0\left( y - ( - 2) ight) + 0(z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow x + 3 = 0$ .
Câu 20: Nhận biết
Cho đường tròn (C) đường kính AB và đường thẳng $\triangle$ . Để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh $\triangle$ là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:
- A. Đường kính AB thuộc $\triangle$ .
- B. $\triangle$ cố định và đường kính AB thuộc $\triangle$ .
- C. $\triangle$ cố định và hai điểm A, B cố định trên $\triangle$ .
- D. Không cần thêm điều kiện nào
Điều kiện để hình tròn xoay sinh bởi (C) khi quay quanh $\triangle$ là một mặt cầu là trục quay $\triangle$ phải cố định và hai điểm A, B cũng cố định trên $\triangle$ .

44 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!