Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ và mặt phẳng $(P):x - y + 3 = 0$ . Tính số đo góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ .
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $45^{0}$
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)$

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (1; - 1;0)$

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

Khi đó ta có:

$\sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \alpha = 60^{0}$
Câu 2: Thông hiểu

Cho hai mặt cầu sau:
$\left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 10z - 11 = 0;$
$\left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 6z - 5 = 0$
Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?
Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong

Đáp án là:

Cho hai mặt cầu sau:
$\left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 10z - 11 = 0;$
$\left( {S'} ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 6z - 5 = 0$
Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu?
Tiếp xúc trong || tiếp xúc trong

Theo đề bài, ta suy ra các hệ số, tâm và bán kính của (S):
$\left( S ight):a = 2;\,\,b = - 3;\,\,c = 5;\,\,d = - 11 \Rightarrow$ Tâm $I\left( {2, - 3,5} ight);$ bán kính $R=7$
$\left( {S'} ight) = a' = 1;\,\,b' = - 1;\,c' = 3;\,\,d' = - 5 \Rightarrow$ Tâm $J\left( {1, - 1,3} ight)$ ; bán kính $R'=4$
$I{J^2} = {\left( {1 - 2} ight)^2} + {\left( { - 1 + 3} ight)^2} + {\left( {3 - 5} ight)^2} = 9 \Rightarrow IJ = 3 = R - R'$
(S) và (S') tiếp xúc trong.
Câu 3: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}$ . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d$ và tạo với trục tung góc lớn nhất. Biết rằng phương trình (P) có dạng là $ax + by + cz + 9 = 0$ . Tính tổng $a + b + c$
- A.
  $T = 9$
- B.
  $T = 5$
- C.
  $T = 3$
- D.
  $T = 4$
Hình vẽ minh họa

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; 0), có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1; - 2)$

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy.

Phương trình tham số của $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 + t \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$

Lấy điểm N(1; 2; 0) ∈ ∆.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N lên mặt phẳng (P) và đường thẳng d.

Khi đó $\left( (P),d ight) = \left( (P),\Delta ight) = \widehat{NMH}$

Lại có: $\cos\widehat{NMH} = \frac{MH}{NM} \leq \frac{MK}{NM}$

Vậy $\widehat{NMH}$ lớn nhất khi và chỉ khi H trùng với K

Suy ra (P) đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (Q), ((Q) là mặt phẳng chứa d và song song với Oy).

Vectơ pháp tuyến của (Q) là $\overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{j} ightbrack = (2;0;1)$

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{Q}},\overrightarrow{u} ightbrack = (1;5; - 2)$

Phương trình mặt phẳng (P) là $1(x - 1) + 5(y + 2) - 2(z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow x + 5y - 2z + 9 = 0$

Vậy $a + b + c = 4$
Câu 4: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm là điểm $A(2; 2; 2)$ , mặt phẳng $(P) : 2x + 2y + z + 8 = 0$ cắt mặt cầu $(S)$ theo thiết diện là đường tròn có bán kính $r = 8$ . Diện tích của mặt cầu $(S)$ là:
- A.
  $20\pi$
- B.
  $200\pi$
- C.
  $10\pi$
- D.
  $400\pi$
Ta có:

$d\left( A;(P) ight) = \frac{|4 + 4 + 2 + 8|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 6$

$R^{2} = d^{2}\left( A;(P) ight) + r^{2} = 100$

Vậy diện tích mặt cầu là: $S = 4\pi R^{2} = 400\pi$ .
Câu 5: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha):x - 2z - 6 = 0$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight)$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ cắt đồng thời vuông góc với $d$ ?
- A.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z + 2}{1}$
- B.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
- C.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
- D.
  $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$
Giao điểm I của d và (α) là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x - 2z - 6 = 0 \\ x = 1 + t \\ y = 3 + t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(2;4; - 2)$

Mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1;0; - 2)$ , đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;1; - 1)$

Khi đó đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1)$

Đường thẳng ∆ qua điểm I (2; 4; −2) và có một vectơ chỉ phương $\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} ightbrack = (2; - 1;1)$ nên có phương trình chính tắc: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$
Câu 6: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x - 2y + 2z - 5 = 0$ . Xét mặt phẳng $(Q):x + (2m - 1)z + 7 = 0$ , với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của m để $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\frac{\pi}{4}$ .
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 4 \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = 2\sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 2 \\ m = 4 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$
Ta có: $(P)$ và $(Q)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_{(P)}} = (1; - 2;2),\overrightarrow{n_{(Q)}} = (1;0;2m - 1)$

Vì $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\frac{\pi}{4}$ .

$\cos\frac{\pi}{4} = \cos\left( \overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Q)}} ight)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\left| 1 + 2(2m - 1) ight|}{3\sqrt{1 + (2m - 1)^{2}}}$

$\Leftrightarrow 2(4m - 1)^{2} = 9\left( 4m^{2} - 4m + 2 ight)$

$\Leftrightarrow 4m^{2} - 20m + 16 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 4 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 7: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;3)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua điểm $M$ và cách gốc tọa độ $O$ một khoảng cách lớn nhất, khi đó mặt phẳng $(P)$ cắt các trục tọa độ tại các điểm $A,B,C$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp $O.ABC$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;3)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua điểm $M$ và cách gốc tọa độ $O$ một khoảng cách lớn nhất, khi đó mặt phẳng $(P)$ cắt các trục tọa độ tại các điểm $A,B,C$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp $O.ABC$ .
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 81$ tại điểm $P( - 5; - 4;6)$ là:
- A.
  $7x + 8y + 67 = 0$
- B.
  $4x + 2y - 9z + 82 = 0$
- C.
  $x - 4z + 29 = 0$
- D.
  $2x + 2y - z + 24 = 0$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; 2; 3)$ .

Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.

Do (α) tiếp xúc với (S) tại P nên mặt phẳng (α) đi qua P và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{IP} = ( - 6; - 6;3)$

Phương trình mặt phẳng (α) là

$- 6(x + 5) - 6(y + 4) + 3(z - 6) = 0$

$\Leftrightarrow 2x + 2y - z + 24 = 0$
Câu 9: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $S(0;0;1)$ và $A(1;1;1)$ . Hai điểm $M(m;0;0),N(0 ;n;0)$ thay đổi sao cho $m + n = 1$ và $m > 0,n > 0$ . Biết rằng luôn tồn tại một mặt cầu cố định đi qua $A$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(SMN)$ . Bán kính của mặt cầu đó là:
- A.
  $\sqrt{2}$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $\sqrt{3}$
Phương trình mặt phẳng $(SMN)$ là $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{1} =1$
$\Leftrightarrow nx + my + mnz - mn =0$ .
Gọi $I(a;b;c)$ và $R$ là tâm và bán kính của mặt cầu cố định.
Ta có
$R = d(I;(SMN))$
$= \frac{|na + mb + mnc -mn|}{\sqrt{n^{2} + m^{2} + m^{2}n^{2}}}$
$= \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{\sqrt{1 - 2mn + m^{2}n^{2}}}$
$= \frac{|(1 - m)a + mb + m(1 - m)(c -1)|}{1 - mn}$
$= \frac{\left| (1 - c)m^{2} + (b + c - a- 1)m + a ight|}{m^{2} - m + 1}$
Mà $R$ không đổi nên $\frac{1 - c}{1} = \frac{b + c - a - 1}{- 1} =\frac{a}{1} = t \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = t \\b = t \\c = 1 - t \\\end{matrix} ight.$ , hay $I(t;t;1- t)$ .
Mặt khác ta có $R = IA = \sqrt{3t^{3} - 4t +2} = |t| \Rightarrow t = 1$ .
Vậy $R = 1$ .
Câu 10: Vận dụng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(0;1;0),B(2;2;2),C( - 2;3;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{2}$ . Tìm điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$ để thể tích của tứ diện $MABC$ bằng $3$ .
- A.
  $M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4}; - \frac{11}{2} ight),M\left( - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight)$
- B.
  $M\left( - \frac{3}{5}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight),M\left( - \frac{15}{2};\frac{9}{4};\frac{11}{2} ight)$
- C.
  $M\left( \frac{3}{2}; - \frac{3}{2};\frac{1}{2} ight),M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4};\frac{11}{2} ight)$
- D.
  $M\left( \frac{3}{5}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight),M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4};\frac{11}{2} ight)$
Ta có $\overrightarrow{AB} = (2;1;2),\overrightarrow{AC}( - 2;2;1)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 3; - 6;6)$

Phương trình mặt phẳng $(ABC):x + 2(y - 1) - 2z = 0$

$\Leftrightarrow x + 2y - 2z - 2 = 0$

Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A suy ra

$S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{9}{2} \Rightarrow d\left( M;(ABC) ight) = \frac{3V_{M.ABC}}{S_{ABC}} = 2$

Mà $M \in d \Rightarrow M(2t + 1; - t - 2;2t + 3)$

$d\left( M;(ABC) ight) = \frac{| - 4t -10|}{3} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = - \dfrac{5}{4} \\t = - \dfrac{17}{4} \\\end{matrix} ight.$

Với $t = - \frac{5}{4} \Rightarrow M\left( - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight)$

Với $t = - \frac{17}{4} \Rightarrow M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4}; - \frac{11}{2} ight)$
Câu 11: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1;1;2)$ và mặt phẳng $(P):2x - y + 3z + 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:
- A.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z + 2}{3}$
- B.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 3}{2}$
- C.
  $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{2}$
- D.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$
Do đường thẳng $\Delta$ cần tìm vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nên vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1;3)$ cũng là vectơ chỉ phương của $\Delta$ .

Mặt khác $\Delta$ đi qua điểm $M(1;1;2)$ nên phương trình chính tắc của $\Delta$ là: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(\alpha):x + 2y + 4z - 1 = 0;$ $(\beta):2x + 3y - 2z+ 5 = 0$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $(\alpha)\bot(\beta)$
- B.
  $(\alpha);(\beta)$ chéo nhau
- C.
  $(\alpha)//(\beta)$
- D.
  $(\alpha) \equiv (\beta)$
Hai mặt phẳng $(\alpha);(\beta)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;2;4),\overrightarrow{n_{(\beta)}} = (2;3; - 2)$

Ta có $\overrightarrow{n_{(\alpha)}}.\overrightarrow{n_{(\beta)}} = 1.2 + 2.3 + 4.( - 2) = 0$

⇒ $(\alpha)\bot(\beta)$ .
Câu 13: Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):x^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 6$ . Đường kính $(S)$ bằng:
- A.
  $3$
- B.
  $\sqrt{6}$
- C.
  $2\sqrt{6}$
- D.
  $12$
Đường kính của mặt cầu $(S)$ bằng: $2R = 2\sqrt{6}$ .
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}$ . Gọi ∆’ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng ∆ qua (Oxy). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
- A.
  $\overrightarrow{u} = ( - 1;3; - 1)$
- B.
  $\overrightarrow{u} = (1;2; - 1)$
- C.
  $\overrightarrow{u} = (1;3;0)$
- D.
  $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$
Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 11; 0).

Ta thấy B(1; 2; 3) ∈ ∆ và B’(1; 2; −3) là điểm đối xứng của điểm B qua mặt phẳng (Oxy).

Đường thẳng ∆’ đi qua các điểm A, B’.

Ta có $\overrightarrow{AB} = ( - 3; - 9; - 3)$ , từ đó suy ra $\overrightarrow{u} = (1;3;1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆’.
Câu 15: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , đường thẳng đi qua $A(2; - 1;3)$ và nhận $\overrightarrow{a} = (1;1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = - 1 + 3t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = - 1 - t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$
Đường thẳng đi qua $A(2; - 1;3)$ và nhận $\overrightarrow{a} = (1;1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 - t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 16: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ . Tính góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $150^{0}$
Mặt phẳng $(P): - \sqrt{3}x + y + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = \left( - \sqrt{3};1;0 ight)$

Trục $Ox$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$

Gọi α là góc giữa $Ox$ và mặt phẳng $(P)$ :

$\sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}$
Câu 17: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 1),B(3;0;3)$ . Biết mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và cách $B$ một khoảng lớn nhất. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là
- A.
  $x - 2y + 2z + 5 = 0$
- B.
  $x - y + 2z + 3 = 0$
- C.
  $2x - 2y + 4z + 3 = 0$
- D.
  $2x - y + 2z = 0$
Hình vẽ minh họa

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P), suy ra d(B, (P)) = AH.

Ta có BH ≤ AB.

Dấu “=” xảy ra ⇔ H ≡ A

⇒ BH_max = AB khi AB ⊥ (P).

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AB\bot(P) \\ A \in (P) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow (P):2x - 2y + 4z + 6 = 0$

$\Leftrightarrow x - y + 2z + 3 = 0$
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ cho $A(2;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ ?
- A.
  $\frac{x}{- 2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 0$
- B.
  $\frac{x}{- 2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$
- C.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$
- D.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 1} = 1$
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 1} = 1$
Câu 19: Thông hiểu
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1;2;3),B( - 2;4;4),C(4;0;5)$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Gọi $M$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho độ dài đoạn thẳng $GM$ ngắn nhất. Tính độ dài đoạn thẳng $GM$ .
- A.
  $GM = 4$
- B.
  $GM = \sqrt{5}$
- C.
  $GM = 1$
- D.
  $GM = \sqrt{2}$
Ta có: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G = (1;2;4)$

Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$ .

$GM$ ngắn nhất khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ . Khi đó, ta có:

$GM = d\left( G,(Oxy) ight) = \frac{4}{\sqrt{1}} = 4$ .
Câu 20: Vận dụng
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh $a$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(A'B'CD)$ và $(ACC'A')$ bằng:
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $30^{0}$
- C.
  $45^{0}$
- D.
  $75^{0}$
Hình vẽ minh họa

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ

$O \equiv A';Ox \equiv A'D';Oy \equiv A'B';Oz \equiv AA'$

Khi đó: $A(0;0;a),D(a;0;a),B(0;a;a),C(a;a;a)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{A'B'} = (0;a;0);\overrightarrow{A'D} = (a;0;a) \\ \overrightarrow{A'A} = (0;0;a);\overrightarrow{A'C'} = (a;a;0) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{A'B'};\overrightarrow{A'D} ightbrack = \left( a^{2};0; - a^{2} ight)$

Chọn $\overrightarrow{n_{1}} = (1;0; - 1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(AB'CD)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{A'A};\overrightarrow{A'C'} ightbrack = \left( - a^{2};a^{2};0 ight)$

Chọn $\overrightarrow{n_{2}} = ( - 1;1;0)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ACC'A')$

Góc giữa hai mặt phẳng $(A'B'CD)$ và $(ACC'A')$ bằng:

$\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| = \frac{| - 1|}{\sqrt{2}.\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^{0}$

42 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!