Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và vectơ
. Viết phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) có dạng:
Hai đường thẳng
và
với cắt nhau tại M có tọa độ là :
Để (d’) cắt (d) tại
Trong không gian
cho hai mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
bằng:
Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là
có 1 vectơ pháp tuyến là
Khi đó:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt cầu
và các điểm
. Gọi
là điểm thay đổi trên
là điểm thay đổi trên
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
là:
Hình vẽ minh họa
Mặt cầu có tâm
bán kính bằng
mặt cầu
có tâm
bán kính bằng 2 .
Ta có 4 diểm là 4 dỉnh của hình vuông cạnh bằng 4 và
.
Ta có (c.g.c)
.
Ta có (c.g.c)
.
Vậy nhỏ nhất là bằng
, dấu "
" xảy ra khi
là giao điểm của
với các mặt cầu.
Trong hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và ba điểm
. Điểm M ∈ (α) sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
Xét điểm I(a; b; c) thỏa mãn:
Khi đó
Khi đó:
Do đó đạt giá trị nhỏ nhất thì M là hình chiếu của I trên mặt phẳng
.
Do là hình chiếu của I trên mặt phẳng
nên ta có:
Vậy .
Trong không gian
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
tâm
bán kính
. Bán kính đường tròn giao của mặt phẳng
và mặt cầu
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi bán kính đường tròn giao của mặt phẳng và mặt cầu
là
Ta có:
Suy ra
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho tam giác
với
. Diện tích của tam giác
là:
Ta có:
Diện tích tam giác là
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
và
. Phương trình tham số của
là:
Nhận thấy đều thuộc (α) và (β) nên chúng cũng thuộc đường thẳng
.
Ta có là một vectơ chỉ phương của
.
Khi đó phương trình tham số của là:
.
Cho hình lăng trụ
có
. là tứ diện đều cạnh
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Gọi O là trung điểm của AB
Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho
Ta có: . Dễ thấy
có VTTP
M là trung điểm AA′
N là trung điểm BB′
Suy ra có VTTP
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và cắt các trục
lần lượt tại các điểm
sao cho
là trực tâm của tam giác
. Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với
.
Hình vẽ minh họa
Vì H là trực tâm tam giác ABC nên
Do vậy mặt cầu tâm O tiếp xúc với (P) nhận OH làm bán kính
⇒ Phương trình mặt cầu là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
và mặt cầu
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Mặt cầu (S) có tâm , bán kính
Ta có:
Do đó (P) cắt mặt cầu (S).
Trong không gian
, biết hình chiếu của
lên mặt phẳng
là
. Số đo góc giữa mặt phẳng
với mặt phẳng
là
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) là ⇒ (P) qua H và nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
:
Cho
và mặt phẳng
. Mặt phẳng
song song với mặt phẳng
và
cách điểm
một khoảng bằng
. Phương trình mặt phẳng
là:
Vì
Mà
Vậy .
Cho hai đường thẳng (d1 ):
và ![]()
Xét VTTĐ của (d1 ) và (d2 )? Tìm câu đúng ?
Chuyển đường thẳng (d1 ) và (d2 ) về dạng tham số :
có vectơ chỉ phương
và qua
.
có vectơ chỉ phương
và hệ phương trình
vô nghiệm.
.
Cho tứ diện ABCD có
. Mặt phẳng chứa BC và song song với AD có phương trình :
Theo đề bài, từ các điểm , ta tính được các vecto tương ứng là:
cùng phương với
Chọn làm vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng chứa BC và song song với AD.
Phương trình (P) có dạng:
Mặt khác, điểm
Vậy phương trình .
Trong không gian
, cho mặt phẳng
. Tính góc tạo bởi
với trục
?
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Trục có một vectơ chỉ phương là
Gọi α là góc giữa và mặt phẳng
:
Trong không gian
, cho ba mặt phẳng
lần lượt có phương trình là
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là và mặt phẳng (R) có một vectơ pháp tuyến là
Do nên vectơ
không cùng phương với vectơ
.
Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P).
Trong không gian
, đường thẳng
không đi qua điểm nào dưới đây?
Ta có nên điểm
không thuộc đường thẳng
.
Trong không gian
, cho hai đường thẳng
,
. Đường thẳng
đi qua điểm
vuông góc với
và cắt đường thẳng
có phương trình là:
Đường thẳng có phương trình tham số là:
Gọi giao điểm của ∆ và d2 là
Đường thẳng
là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Phương trình
Cho mặt cầu
và một điểm A, biết
. Qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại B và C sao cho
. Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng:
Gọi H là hình chiếu của O lên BC.
Ta có , suy ra H là trung điểm của BC nên
Suy ra