Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A(4, -1, 1), B(3, 1, -1) và song song với trục Ox là:

     \overrightarrow {AB} = \left( { - 1,2, - 2} ight): vectơ chỉ phương của trục Ox: \overrightarrow i = \left( {1,0,0} ight) .

    \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow i } ight] = \left( {0, - 2, - 2} ight): Chọn làm vectơ pháp tuyến thì phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng y + z + D = 0, qua A nên:- 1 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = 0

    Vậy ta có phương trình mp cần tìm là:  y+z=0

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2} = 4. Tâm mặt cầu (S) có tọa độ là:

    Mặt cầu (S):(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2} có tâm là I(a;b;c)

    Mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 3)^{2} = 4 có tâm I(2; - 1;3).

  • Câu 3: Thông hiểu

    Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) qua hai điểm E\left( {\,3,\,\, - 2,\,\,4\,} ight);\,\,\,F\left( {\,1,\,\,\,3,\,\,6\,} ight) và song song với trục y'Oy

     Vì  \left( P ight)//y'Oy \Rightarrow Vecto chỉ phương của (P)  là: \overrightarrow {{e_2}} = \left( {0,1,0} ight)

    Theo đề bài, ta có vecto chỉ phương thứ hai của (P) là: \overrightarrow {EF} = \left( { - 2,5,2} ight)
    Từ 2 VTCP, ta suy ra được VTPT của (P) là tích có hướng của 2 VTCT

    \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{e_2}} ,\overrightarrow {EF} } ight] = 2\left( {1,0,1} ight)

    Mp (P) đi qua E (3,-2,4) và nhận vecto \vec{n_p}(1, 0, 1) làm 1 VTPT có phương trình là:

    \Rightarrow \left( P ight):\left( {x - 3} ight).1 + \left( {y + 2} ight).0 + \left( {z - 4} ight).1

    \Leftrightarrow x + z - 7 = 0

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm A(100;50;100) và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là B(50;100;50),C(150;100;100). Máy bay sẽ bay qua điểm W của đường màu BC để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm W(a;b;c), hãy tính giá trị biểu thức T = a + b - 2c.

    Đáp án: 50

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Máy bay điều khiển xuất phát phải đi qua điểm A(100;50;100) và bay với vận tốc không đổi về vạch đích trong không trung được xác định bởi 1 đường màu từ hai drone (máy bay không người lái) cố định toạ độ là B(50;100;50),C(150;100;100). Máy bay sẽ bay qua điểm W của đường màu BC để thời gian về đích là nhanh nhất. Giả sử toạ độ điểm W(a;b;c), hãy tính giá trị biểu thức T = a + b - 2c.

    Đáp án: 50

    Ta có: \overrightarrow{BC} = (100;0;50)

    Đường thẳng (BC) đi qua điểm B có VTCP \overrightarrow{u} = (2;0;1)có dạng (BC):\left\{ \begin{matrix} x = 50 + 2t \\ y = 100 \\ z = 50 + t \\ \end{matrix} ight.

    Điểm W \in (BC) \Rightarrow W(50 + 2t;100;50 + t) và \overrightarrow{AW} = (2t - 50;50;t - 50)

    Ta có: \overrightarrow{AW}.\overrightarrow{BC} = 0

    \Rightarrow 2(2t - 50) + (t - 50) = 0 \Rightarrow t = 30

    Vậy H(110;100;80) \Rightarrow a + b - 2c = 50.

  • Câu 5: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;0),B(2;2;2),C( - 2;3;1) và đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{2}. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để thể tích của tứ diện MABC bằng 3.

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2;1;2),\overrightarrow{AC}( - 2;2;1)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{(ABC)}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} ightbrack = ( - 3; - 6;6)

    Phương trình mặt phẳng (ABC):x + 2(y - 1) - 2z = 0

    \Leftrightarrow x + 2y - 2z - 2 = 0

    Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A suy ra

    S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{9}{2} \Rightarrow d\left( M;(ABC) ight) = \frac{3V_{M.ABC}}{S_{ABC}} = 2

    Mà M \in d \Rightarrow M(2t + 1; - t - 2;2t + 3)

    d\left( M;(ABC) ight) = \frac{| - 4t -10|}{3} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = - \dfrac{5}{4} \\t = - \dfrac{17}{4} \\\end{matrix} ight.

    Với t = - \frac{5}{4} \Rightarrow M\left( - \frac{3}{2}; - \frac{3}{4};\frac{1}{2} ight)

    Với t = - \frac{17}{4} \Rightarrow M\left( \frac{15}{2};\frac{9}{4}; - \frac{11}{2} ight)

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C và BC=a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, SA = SB = a, \widehat {ASB} = {120^0}. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC  là:

     Tính bán kính mặt cầu

    Gọi M là trung điểm AB , suy ra SM \bot AB và SM \bot \left( {ABC} ight).

    Do đó SM là trục của tam giác ABC.

    Trong mặt phẳng (SMB), kẻ đường trung trực d của đoạn SB cắt SM tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC , bán kính R=SI

    Ta có AB = \sqrt {S{A^2} + S{B^2} - 2SA.SB.\cos \widehat {ASB}} = a\sqrt 3 .

    Trong tam giác vuông SMB, ta có SM = SB.\cos \widehat {MSB} = a.\cos {60^0} = \frac{a}{2}.

    Ta có \Delta SMB \backsim\Delta SPI, suy ra

    \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SI}} \Rightarrow R = SI = \frac{{SB.SP}}{{SM}} = a

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (\alpha):x + y = 0\ ,(\alpha'):2x - y + z - 15= 0. Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và d', biết đường thẳng d' có phương trình \left\{ \begin{matrix}x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.

    Tọa độ giao điểm I của d và d’ thỏa mãn hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}x + y = 0 \\2x - y + z - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - t + 2 + 2t = 0 \\2(1 - t) - (2 + 2t) + 3 - 15 = 0 \\x = 1 - t \\y = 2 + 2t \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t = - 3 \\x = 4 \\y = - 4 \\z = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(4; - 4;3)

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình d:\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{- 4}. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d?

    Ta thay lần lượt tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng d, điểm N(7;2;1) có tọa độ không thỏa mãn phương trình đường thẳng d.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD). Tính cosϕ với ϕ là góc tạo bởi (SAC) và (SCD)

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O M, lần lượt là trung điểm của AB; CD.

    Vì SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD) nên SO ⊥ (ABCD).

    Xét hệ trục Oxyz có O(0;0;0),M(1;0;0),A\left( 0;\frac{1}{2};0 ight),S\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{2} ight)

    Suy ra C\left( 1; - \frac{1}{2};0 ight),D\left( 1;\frac{1}{2};0 ight)

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{SA} = \left( 0;\dfrac{1}{2};\dfrac{- \sqrt{3}}{2}ight);\overrightarrow{AC} = (1; - 1;0) \\\overrightarrow{SC} = \left( 1;\dfrac{- 1}{2};\dfrac{- \sqrt{3}}{2}ight);\overrightarrow{CD} = (0;1;0) \\\end{matrix} ight.

    Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{SA};\overrightarrow{AC} ightbrack = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2} ight)

    Mặt phẳng (SAD) có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{SC};\overrightarrow{CD} ightbrack = \left( \frac{\sqrt{3}}{2};0;1 ight)

    \cos\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_{1}} ight|}{\left| \overrightarrow{n} ight|\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|} = \frac{5}{7}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; - 4;1) và chắn trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz theo ba đoạn có độ dài đại số lần lượt là a;b;c. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) khi a;b;c theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 là:

    Do giả thiết suy ra \left\{ \begin{matrix} a,b,c eq 0\ \\ b = 2a,c = 2b \\ \end{matrix} ight..

    Giả sử A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) khi đó phương trình mặt phẳng\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

    Do M thuộc (P) nên \frac{2}{a} - \frac{4}{b} + \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{2}{a} - \frac{4}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}

    Suy ra b = \frac{1}{2};c = 1 do đó phương trình mặt phẳng (P):4x + 2y + z - 1 = 0.

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A(0;1;2),B(1;3;4) là:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (1;2;2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

    d đi qua điểm B(1;3;4), nên có phương trình là: \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 3 + 2t \\ z = 4 + 2t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;0; - 1) và mặt phẳng (P):x + y - 1 = 0. Đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy) có phương trình là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{n_{(P)}} = (1;1;0) \\\overrightarrow{n_{(Oxy)}} = (0;0;1) \\\end{matrix} ight.. Gọi d là đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy).

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{(P)}} \\\overrightarrow{u_{d}}\bot\overrightarrow{u_{(Oxy)}} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack\overrightarrow{n_{(P)}};\overrightarrow{n_{(Oxy)}} ightbrack = (1;- 1;0)

    Vậy \left\{ \begin{matrix}x = 2 + t \\y = - t \\z = - 1 \\\end{matrix} ight..

  • Câu 13: Thông hiểu

    Với giá trị nào của m thì mặt phẳng \left( P ight):2x - y + z - 5 = 0 tiếp xúc với mặt cầu 

    \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 2\left( {2 - m} ight)y - 4mz + 5{m^2} + 1 = 0?

    Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S): a = m;b = m - 2;c = 2m;d = 5{m^2} + 1

    Suy ra tâm I của cầu có tọa độ là I\left( {m,m - 2,2m} ight).

    \Rightarrow {R^2} = {m^2} + {\left( {m - 2} ight)^2} + 4{m^2} - 5{m^2} - 1 = {m^2} - 4m + 3 > 0

    \Rightarrow m < 1 \vee m > 3.\left( P ight) tiếp xúc (S) khi: 

    d\left( {I,P} ight) = \frac{{\left| {3m - 3} ight|}}{{\sqrt 6 }} = R = \sqrt {{m^2} - 4m+3}

    \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3 \vee m = 1   (loại)

    \Rightarrow m = - 3

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho mặt phẳng \left( P ight):2x - 4y + 4z + 5 = 0 và mặt cầu \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau

    Đáp án là:

    Cho mặt phẳng \left( P ight):2x - 4y + 4z + 5 = 0 và mặt cầu \left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu?Cắt nhau || cắt nhau

    Theo đề bài, ta xác định các hệ số của (S): 

    a = 1;b = - 2;c = - 1;d = - 3 \Rightarrow R = 3.

    Suy ra tâm I có tọa độ là: I = \left( {1, - 2, - 1} ight)

    Áp dụng CT, ta có d\left( {I,P} ight) = \frac{{11}}{6} < R = 3 \Rightarrow (P) cắt (S)

  • Câu 15: Nhận biết

    Câu nào sau đây đúng? Trong không gian Oxyz:

     A sai và có thể (P) và (Q) trùng nhau

    B sai, vì mỗi mặt phẳng có vô số vecto pháp tuyến. Suy ra D sai.

    C đúng vì 1 mặt phẳng được xác định nếu biết một điểm và một VTPT của nó.

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1 và mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 0. Góc giữa mặt phẳng (\alpha) và đường thẳng \Delta bằng:

    Mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z = 0 có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;2)

    Đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1} = 1 có một vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (1;2; - 1)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng \Delta và mặt phẳng (\alpha):

    \sin\alpha = \left| \cos\alpha ight| = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 10y - 6z + 49 = 0. Tính bán kính của mặt cầu (S)?

    Phương trình mặt cầu:

    (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0 có tâm I(a;b;c) và bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}

    Ta có: a = 4;b = - 5;c = 3;d = 49

    Khi đó R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = 1

  • Câu 18: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q):x + 2y - z - 5 = 0 và đường thẳng d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{1}. Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất là

    Vì (P) chứa d nên phương trình của (P) có dạng (P):a(x + 1) + b(y + 1) + c(z - 3) = 0 với \left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0 \\ 2a + b + c = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Gọi α là góc giữa (P) và (Q), ta có:

    \cos\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{n_{Q}} ight|}{\left| \overrightarrow{n_{P}} ight|.\left| \overrightarrow{n_{Q}} ight|} = \frac{|a + 2b - c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.\sqrt{6}} = \frac{\left| 3(a + b) ight|}{\sqrt{5a^{2} + 4ab + 2b^{2}}.\sqrt{6}}

    Nếu a = 0 thì \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha = 30^{0}

    Nếu a eq 0 thì \cos\alpha = \frac{\left| 3(1 + t) ight|}{\sqrt{6}.\sqrt{5 + 4t + 2t^{2}}};\left( t = \frac{b}{a} ight).

    Khi đó 0 \leq \cos\alpha < \frac{\sqrt{3}}{2}

    Ta có α nhỏ nhất khi và chỉ khi cosα lớn nhất.

    Do đó \alpha = 30^{0} và \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}.

    Khi đó a = 0, chọn b = 1,\ c = - 1.

    Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: (P):y - z + 4 = 0.

  • Câu 19: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;1),B(1;0;1),C(1;1;0). Có bao nhiêu điểm M cách đều các mặt phẳng (ABC),(OBC),(OAC),(OAB)?

    Ta có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (0;1;1);\overrightarrow{OB} = (1;0;1) \\ \overrightarrow{OC} = (1;1;0);\overrightarrow{AB} = (1; - 1;0) \\ \overrightarrow{AC} = (1;\ 0; - 1) \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = (1;\ 1; - 1) \Rightarrow (OAB):x + y - z = 0

    Ta có: \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{OC} ightbrack = ( - 1;1;1) \Rightarrow (OBC): - x + y + z = 0

    Gọi điểm M(a;b;c) cách đều các mặt phẳng (ABC),(OBC),(OAC),(OAB)

    Từ d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(OBC) ight)

    \Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{| - a + b + c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = c(1) \\ b = c(2) \\ \end{matrix} ight.

    Từ d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(OAC) ight)

    \Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{| - a + b - c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0(3) \\ b = c(4) \\ \end{matrix} ight.

    Từ d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(ABC) ight)

    \Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{|a + b + c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 0(5) \\ a = - b(6) \\ \end{matrix} ight.

    Từ (1), (3), (5) suy ra a = c = 0, b khác 0 tùy ý.

    Như vậy có vô số điểm cách đều bốn mặt phẳng

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( t\mathbb{\in R} ight) và mặt phẳng (P):x - y + 3 = 0. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = ( - 1;2;1)

    Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n} = (1; - 1;0)

    Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .

    Khi đó ta có:

    \sin\alpha = \frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} ight|}{\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{n} ight|} = \frac{\left| - 1.1 + 2.( - 1) + 1.0 ight|}{\sqrt{( - 1)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}.\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \alpha = 60^{0}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 49 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập