Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu CTST

Vì I là hình chiếu của O trên nên  mà  nên I là tiếp điểm của và .

Đường thẳng OM cắt tại N nên IN vuông góc với OI tại I.

Suy ra IN tiếp xúc với .

Tam giác OIN vuông tại I nên .

Theo đề bài, ta tính được:

Mp (ABC) có 2 VTCP là nên vecto pháp tuyến của (ABC) chính là tích có hướng của 2 VTCP trên. Ta có:

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên ta có .

Mặt khác nên ta viết được vecto chỉ phương của đường thẳng AH là tích có hướng của 2 vecto pháp tuyến

Từ đây, ta có phương trình chính tắc của

Mặt cầu có tâm là

Mặt cầu có tâm .

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

Theo bài ra

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ta có:

Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

Ta có:

Theo đề bài, ta suy ra:

Vì ∆ ⊂ (ABC) nên

Trường hợp 1: Xét hệ phương trình:

Chọn c = 11, ta có (kiểm tra lại điều kiện ta thấy đang xét thỏa mãn).

Trường hợp 2: Xét hệ phương trình

Chọn c = 2, ta có (kiểm tra lại điều kiện ta thấy đang xét không thỏa mãn).

Vậy

Xét tứ diện OABC có các cạnh đôi một vuông góc với nhau.

Ta có:

Chứng minh tương tự, ta được AC ⊥ OM.

Từ đó .

Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua M(3; 2; 1) và nhận làm vectơ pháp tuyến là:

Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn, do đó A ∈ (Q).

Vì nên .

Ta có: có một vectơ chỉ phương là , có một vectơ pháp tuyến là .

Từ đó:

Gọi I là giao điểm của d và (P).

Ta có

Suy ra

Gọi

là tứ diện đều nên tâm của mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm tứ diện

Ta có các vectơ pháp tuyến của (P) và (Q) là

Theo giả thiết mặt phẳng (α) vuông góc với (P) và (Q) do đó

Suy ra, phương trình mặt phẳng (α) có dạng

Hay

Thay tọa độ điểm M và N vào vế trái phương trình mặt phẳng (P), ta có nên hai điểm M, N nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P).

Khi đó ta có và đẳng thức xảy ra khi

Phương trình tham số của đường thẳng MN là

Tọa độ giao điểm của MN và (P) là nghiệm hệ phương trình

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có

Nên . Vì

C là trung điểm của BD nên .

Điểm nên

là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Vậy

Vì suy ra

Theo giả thiết ta có:

Vậy hoặc .

Ta có: có 1 vectơ pháp tuyến là

có 1 vectơ pháp tuyến là

Khi đó:

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là:

Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

Ta có:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (α).

Khi đó tam giác ∆MAH vuông tại H nên

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) bằng 3.

Ta có một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là

Đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng có một vectơ chỉ phương là nên có phương trình là .

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là:

Ta có .

Trong , ta có

Trong , ta có

Gọi N là trung điểm AC , suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Gọi  là trung điểm A'C, suy ra  .

Do đó IN là trục của , suy ra   (1)

Hơn nữa, tam giác vuông tại A có là trung điểm A'C nên . (2)

Từ (1) và (2), ta có hay là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp với bán kính .