Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Vectơ sách CTST

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Vectơ gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 2; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = (4; - 3)$ . Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}.$
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = - \frac{\sqrt{5}}{5}.$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{2\sqrt{5}}{5}.$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{\sqrt{3}}{2}.$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = \frac{1}{2}.$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 5}{\sqrt{5}.5} = \frac{- \sqrt{5}}{5}$ .
Câu 2: Nhận biết
Trong hệ tọa độ $Oxy$ cho tọa độ hai điểm $A(2; - 3),B(4;7)$ . Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ ?
- A.
  $I(3;2)$
- B.
  $I(8; - 2)$
- C.
  $I(2;1)$
- D.
  $I(6;4)$
Tọa độ trung điểm của AB là: $\left\{\begin{matrix}x_{I} = \dfrac{2 + 4}{2} = 3 \\y_{I} = \dfrac{- 3 + 7}{2} = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(3;2)$
Câu 3: Thông hiểu
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương?
- A.
  $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$ .
- B.
  $\overrightarrow{u} = \frac{3}{5}\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{5}\overrightarrow{b}$ .
- C.
  $\overrightarrow{u} = \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{a} - 9\overrightarrow{b}$ .
- D.
  $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{2}\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$ .
Ta có $\overrightarrow{v} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} = - \frac{1}{6}\left( 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{2}\overrightarrow{b} ight) = - \frac{1}{6}\overrightarrow{u}$ .

Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là cùng phương.

Chọn đáp án $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - \frac{3}{2}\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$ .
Câu 4: Vận dụng
Cho hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ cùng tác động vào một vật đứng tại điểm $O$ , biết hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ đều có cường độ là 50 (N) và chúng hợp với nhau một góc 60°. Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu?
- A.
  $100N$
- B.
  $50\sqrt{3} (N)$
- C.
  $100\sqrt{3} (N)$
- D.
  Đáp án khác
Đặt $\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC},\overrightarrow {AD}$ tương ứng với các vectơ $\overrightarrow {F}$ như hình vẽ.
Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } ight| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} } ight| = \left| {\overrightarrow {AD} } ight| = AD$ .
Theo đề bài, góc $\widehat{B AC}$ bằng 60 độ. Suy ra $\hat B=120^{\circ}$ .
$A{D^2} = A{B^2} + B{D^2} - 2.AB.BD.\cos 60^\circ = 7500$ . Suy ra $AD=50\sqrt3N$ .
Câu 5: Thông hiểu
Trong hệ tọa độ $Oxy$ , cho các điểm $A(0;1),B(1;3),C(2;7)$ . Xác định tọa độ điểm $N$ thỏa mãn biểu thức $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AN} + 3\overrightarrow{CN}$ ?
- A.
  $N(7;5)$
- B.
  $N\left( \frac{7}{5};5 ight)$
- C.
  $N\left( - \frac{7}{5};5 ight)$
- D.
  $N(5;7)$
Theo bài ra ta có:

$\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AN} + 3\overrightarrow{CN}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{AO} + 2\overrightarrow{ON} + 3\overrightarrow{CO} + 3\overrightarrow{ON}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{ON} = \frac{1}{5}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} ight)$

$\Rightarrow N\left( \frac{1 + 6}{5};\frac{1 + 3 + 21}{5} ight) = \left( \frac{7}{5};5 ight)$
Câu 6: Nhận biết
Cho tam giác đều $ABC$ có đường cao $AH$ . Tính $(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BA})$ .
- A.
  30°
- B.
  60°
- C.
  120°
- D.
  150°
Lấy $D$ sao cho $\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {AH}$ .
Ta có: $(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BA}) =(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BA})=90^{\circ} +60^{\circ}= 150^{\circ}$ .
Câu 7: Vận dụng cao
Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$ . Điểm $E$ xác định $2\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{0}$ . Đường thẳng $d$ đi qua $E$ song song với $AB$ cắt $AM,BC$ lần lượt tại $D;F$ . Điểm $G$ nằm trên cạnh $AB$ sao cho diện tích các tam giác $BFG$ và $ADE$ bằng nhau. Biết $\overrightarrow{AG} = \alpha\overrightarrow{AB}$ . Tính giá trị của $\alpha$ ?
- A.
  $\alpha = \frac{1}{2}$
- B.
  $\alpha = \frac{1}{3}$
- C.
  $\alpha = \frac{1}{4}$
- D.
  $\alpha = \frac{2}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Theo định lí Ta – lét ta có:

$\frac{FB}{FC} = \frac{EA}{EC} = \frac{1}{2} \Rightarrow FC = \frac{2}{3}BC$

$\Rightarrow FM = \frac{2}{3}BC - MC = \frac{2}{3}BC - \frac{1}{2}BC = \frac{1}{6}BC$

$\Rightarrow \overrightarrow{FM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{FC}$

Mặt khác $\overrightarrow{EC} = - 2\overrightarrow{EA};\overrightarrow{DA} = - \frac{DA}{DM}.\overrightarrow{DM}$ mà ba điểm $D;E;F$ thẳng hàng nên theo định lí Menelaus ta được:

$\left( - \frac{DA}{DM} ight).\frac{1}{4}.( - 2) = 1$

$\Rightarrow \frac{DA}{DM} = 2$

Ta có:

$\overrightarrow{AD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight) = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Chú ý rằng khoảng cách từ F đến AB bằng khoảng cách từ A đến DE nên hai tam giác ADE và BGF có cùng diện tích suy ra BG = DE do đó $\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{DE}$

Ta có:

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BG}$

Mà $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \Rightarrow \overrightarrow{BG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$

Hay $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

Vậy $\alpha = \frac{2}{3}$
Câu 8: Vận dụng
Cho hai điểm cố định $A,B$ ; gọi $I$ là trung điểm $AB$ . Tập hợp các điểm $M$ thoả: $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} ight|$ là:
- A.
  Đường tròn đường kính $AB$ .
- B.
  Trung trực của $AB$ .
- C.
  Đường tròn tâm $I$ , bán kính $AB$ .
- D.
  Nửa đường tròn đường kính $AB$ .
Ta có $\left| \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} ight| = \left| \overrightarrow{MA} -\overrightarrow{MB} ight|$ $\Leftrightarrow \left| 2\overrightarrow{MI}ight| = \left| \overrightarrow{BA} ight| \Leftrightarrow 2MI = BA$ $\Leftrightarrow MI = \frac{BA}{2}$

Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $AB$ .
Câu 9: Nhận biết
Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}$
- B.
  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$
- C.
  $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$
- D.
  $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$
Áp dụng quy tắc hình bình hành tại điểm B ta có:
$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$
Câu 10: Thông hiểu
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ biết $A(2;5),B(0;2),C(2;1)$ . Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ ?
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\frac{5\sqrt{10}}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{53}}{2}$
Gọi M là trung điểm của BC

Khi đó tọa độ của M là: $\left\{\begin{matrix}x_{M} = \dfrac{2 + 0}{2} = 1 \\y_{M} = \dfrac{1 + 2}{2} = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( 1;\dfrac{3}{2}ight)$

Suy ra độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A hay độ dài đoạn AM là:

$AM = \sqrt{(1 - 2)^{2} + \left( \frac{3}{2} - 5 ight)^{2}} = \frac{\sqrt{53}}{2}$

Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là $\frac{\sqrt{53}}{2}$ .
Câu 11: Vận dụng
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $\overrightarrow{a} = (2;1),\overrightarrow{\ b} = (3;4),\ \overrightarrow{c} = (7;2)$ . Cho biết $\overrightarrow{c} = m.\overrightarrow{a} + n.\overrightarrow{b}$ . Khi đó
- A.
  $m = - \frac{22}{5};n = \frac{- 3}{5}$ .
- B.
  $m = \frac{1}{5};n = \frac{- 3}{5}$ .
- C.
  $m = \frac{22}{5};n = \frac{- 3}{5}$ .
- D.
  $m = \frac{22}{5};n = \frac{3}{5}$ .
Ta có: $\overrightarrow{c} =m.\overrightarrow{a} + n.\overrightarrow{b} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}7 = 2m + 3n \\2 = m + 4n \\\end{matrix} ight.$ $\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \frac{22}{5} \ = - \frac{3}{5} \\\end{matrix} ight.$ .
Câu 12: Nhận biết
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ . Tính độ dài véctơ $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}$ .
- A.
  $a\sqrt{3}$ .
- B.
  $a\sqrt{2}$ .
- C.
  $a$ .
- D.
  $2a$
Hình vẽ minh họa:

$|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BD}| = a\sqrt{2}.$
Câu 13: Nhận biết
Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là
- A.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ .
- B.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt thẳng hàng là $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Câu 14: Thông hiểu
Cho hình vuông $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}.$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight|.$
- D.
  Hai vectơ $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}$ cùng hướng.
Chọn $\left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight|.$ Vì $AB = BC \Leftrightarrow \left| \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{BC} ight|.$
Câu 15: Thông hiểu
Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\overrightarrow{AB}=0$ là:
- A.
  Tam giác OAB đều
- B.
  Tam giác OAB cân tại O
- C.
  Tam giác OAB vuông tại O
- D.
  Tam giác OAB vuông cân tại O
Chọn đáp án: Tam giác OAB cân tại O.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$ .
Ta có: $\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } ight).\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {AB} = 0$ (do $OM\perp AB$ ).
Câu 16: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ đều có cạnh là 6. Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$ .
- A.
  $6\sqrt{2}$
- B.
  18
- C.
  12
- D.
  $6\sqrt{3}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ . Vì tam giác $ABC$ đều có cạnh là 6, nên ta có $AI\bot BC$ .

Xét tam giác $AIB$ vuông tại $I$ , có

$AB^{2} = AI^{2} + IB^{2}$

$\Rightarrow AI^{2} = AB^{2} - IB^{2} = 6^{2} - 3^{2} = 27$ .

Suy ra $AI = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

Mặt khác ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |2\overrightarrow{AI}| = 2|\overrightarrow{AI}| = 2AI = 6\sqrt{3}$ .
Câu 17: Nhận biết
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ có $A(3;5),\ B(1;2),\ C(5;2).$ Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC?$
- A.
  $G( - 3; - 3).$
- B.
  $G\left( \frac{9}{2};\frac{9}{2} ight).$
- C.
  $G(9;9).$
- D.
  $G(3;3).$
Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{G} = \frac{3 + 1 + 5}{3} = 3 \\ y_{G} = \frac{5 + 2 + 2}{3} = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}G(3;3).$
Câu 18: Nhận biết
Hãy chọn kết quả đúng khi phân tích vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ của tam giác $ABC$ với trung tuyến $AM$ .
- A.
  $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ .
- B.
  $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ .
- D.
  $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\mathbf{)}$ .
Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ .
Câu 19: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có $AB = 3,\ \ AC = 4$ . Tính $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight|$ .
- A.
  $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = 2.$
- B.
  $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = 2\sqrt{13}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = 5.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = \sqrt{13}.$
Ta có $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} ight| = \left| \overrightarrow{CB} ight| = CB = \sqrt{AC^{2} + AB^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ .
Câu 20: Nhận biết
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$ . Đẳng thức nào sau đây sai?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.$
- B.
  $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DO}.$
- C.
  $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}.$
- D.
  $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DA}.$
Đẳng thức sai là $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC}.$

48 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Vectơ sách CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!