Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Vectơ sách CTST

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Vectơ gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng cao
Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a.$ Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} ight| = \left| \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} ight|$ là đường tròn cố định có bán kính $R.$ Tính bán kính $R$ theo $a.$
- A.
  $R = \frac{a}{3}.$
- B.
  $R = \frac{a}{9}.$
- C.
  $R = \frac{a}{2}.$
- D.
  $R = \frac{a}{6}.$
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Ta có

$2\overrightarrow{MA} +3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC}$ $= 2\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} ight) + 3\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} ight) + 4\left(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} ight).$

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow 3\left(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} ight)+ \overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA} =\overrightarrow{0}.$

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = 3\ \overrightarrow{IG}.$

Khi đó $\overrightarrow{IG} +\overrightarrow{IC} - \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}\Leftrightarrow 9\ \overrightarrow{IG} + \overrightarrow{AI} +\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{IG} = \overrightarrow{CA}.$ $(*)$

Do đó $\left| 2\overrightarrow{MA} +3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC} ight| = \left|\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA} ight|$ $\Leftrightarrow \left|9\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +4\overrightarrow{IC} ight| = \left| \overrightarrow{AB} ight|$ $\Leftrightarrow 9MI = AB.$

Vì $I$ là điểm cố định thỏa mãn $(*)$ nên tập hợp các điểm $M$ cần tìm là đường tròn tâm $I,$ bán kính $R = \frac{AB}{9} = \frac{a}{9}.$
Câu 2: Nhận biết
Trên đường thẳng $MN$ lấy điểm $P$ sao cho $\overrightarrow{MN} = - 3\overrightarrow{MP}$ . Điểm $P$ được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây:
- A.
  Hình 1.
- B.
  Hình 2.
- C.
  Hình 3.
- D.
  Hình 4.
Ta có $\overrightarrow{MN} = - 3\overrightarrow{MP}$ nên $MN = 3MP$ và $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ ngược hướng.
Câu 3: Nhận biết
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}.$ Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được xác định bằng công thức nào dưới đây?
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.sin\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$ .
Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}.$ Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b},$ được xác định bởi công thức sau:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .
Câu 4: Nhận biết
Cho $\overrightarrow{u} = (3; - 2)$ và tọa độ hai điểm $A(0; - 3),B(1;5)$ . Biết $2\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$ , tọa độ vecto $\overrightarrow{x}$ là:
- A.
  $(5; - 12)$
- B.
  $\left( - \frac{5}{2};6 ight)$
- C.
  $\left( \frac{5}{2}; - 6 ight)$
- D.
  $( - 5;12)$
Tọa độ vecto $\overrightarrow{x} = \left( - \frac{5}{2};6 ight)$ .
Câu 5: Vận dụng
Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ và $AB = \sqrt{2}.$ Tính độ dài của $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.$
- A.
  $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight| = \sqrt{5}.$
- B.
  $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight| = 2\sqrt{5}.$
- C.
  $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight| = \sqrt{3}.$
- D.
  $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} ight| = 2\sqrt{3}.$
Ta có $AB = \sqrt{2} \Rightarrow AC = CB = 1.$

Gọi $I$ là trung điểm $BC \Rightarrow AI = \sqrt{AC^{2} + CI^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2}.$

Khi đó $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI} \Rightarrow \left| \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} ight| = 2\left| \overrightarrow{AI} ight| = 2.\frac{\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}.$
Câu 6: Nhận biết
Cho ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là
- A.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ .
- B.
  $\forall M:\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MB}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ .
- D.
  $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm $A,\ B,\ C$ phân biệt thẳng hàng là $\exists k \in R:\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Câu 7: Vận dụng
Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A.
  Tam giác ABC đều
- B.
  Tam giác ABC cân tại C
- C.
  Tam giác ABC vuông tại C
- D.
  Tam giác ABC cân tại B.
Ta có: $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}| \Leftrightarrow$ $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } ight| = \left| {\overrightarrow {BA} } ight|$ .
Vẽ hình bình hành $ACBD$ , suy ra $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } ight| = \left| {\overrightarrow {CD} } ight|$ . Mà $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } ight| = \left| {\overrightarrow {BA} } ight|$ . Suy ra $CD=BA$ . Do đó $ACBD$ là hình chữ nhật. Do đó tam giác $ACB$ vuông $C$ .
Câu 8: Nhận biết
Cho hai điểm $A$ và $B$ phân biệt. Điều kiện để $I$ là trung điểm $AB$ là:
- A.
  $IA = IB.$
- B.
  $\overrightarrow{IA} = \overrightarrow{IB}.$
- C.
  $\overrightarrow{IA} = - \overrightarrow{IB}.$
- D.
  $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{BI}.$
Điều kiện để $I$ là trung điểm $AB$ là: $\overrightarrow{IA} = - \overrightarrow{IB}.$
Câu 9: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ , gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Câu nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM}$ .
- B.
  $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GA}$ .
- C.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AG}$ .
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AM}$ .
Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có: $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM}$ .
Câu 10: Thông hiểu
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 2\ \ cm,BC = 3\ \ cm,CA = 5\ \ cm.$ Tính $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}.$
- A.
  $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = 13.$
- B.
  $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = 15.$
- C.
  $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = 17.$
- D.
  $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = 19.$
Ta có $\cos C = \frac{BC^{2} + AC^{2} -AB^{2}}{2.BC.AC}$ $= \frac{3^{2} + 5^{2} - 2^{2}}{2.3.5} = 1$

$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = \left| \overrightarrow{CA} ight|.\left| \overrightarrow{CB} ight|.cosC = 15$
Câu 11: Nhận biết
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}$ bằng:
- A.
  $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}$
- B.
  $\overrightarrow{AB}$
- C.
  $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}$
- D.
  $\overrightarrow{CD}$
Ta có: $\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD}$
Câu 12: Vận dụng
Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ có $A(1; - 1)$ , $B(5; - 3)$ và $C$ thuộc trục $Oy$ , trọng tâm $G$ của tam giác thuộc trục $Ox$ . Tìm tọa độ điểm $C.$
- A.
  $C(0;4)$
- B.
  $C(2;4)$
- C.
  $C(0;2)$
- D.
  $C(0; - 4)$
Vì $C$ thuộc trục $Oy\overset{}{ightarrow}$ $C$ có hoành độ bằng $0$ . Loại $C(2;4)$ .

Trọng tâm $G$ thuộc trục $Ox\overset{}{ightarrow}$ $G$ có tung độ bằng $0.$ Xét các đáp án còn lại chỉ có đáp án $C(0;4)$ thỏa mãn $\frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = 0.$
Câu 13: Thông hiểu
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, AC, AB. Xác định các vectơ
$\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {NA}$
- A.
  $\overrightarrow {PA}$
- B.
  $\overrightarrow {PM}$
- C.
  $\overrightarrow {AN}$
- D.
  $\overrightarrow 0$
Ta có:
$\begin{matrix} \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {NA} \hfill \\ = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PN} + \overrightarrow {NA} \hfill \\ = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PA} = \overrightarrow 0 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 14: Nhận biết
Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ .Trong các kết quả sau đây,hãy chọn kết quả đúng.
- A.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
- B.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$ .
- C.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 1$ .
- D.
  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
Ta thấy vế trái của 4 phương án giống nhau.

Bài toán cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ suy ra $\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 0^{0}$

Do đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos0^{o} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ nên
Câu 15: Thông hiểu
Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Số các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow {OC}$ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác bằng :
- A.
  $4$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $6$ .
Các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow {OC}$ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác là $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{ED}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Cho $\overrightarrow{a} = ( - 5;0),\ \overrightarrow{b} = (4;x).$ Tìm $x$ để hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ cùng phương.
- A.
  $x = - 5.$
- B.
  $x = 4.$
- C.
  $x = 0.$
- D.
  $x = - 1.$
Hai vectơ $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow - 5.x = 0.4\overset{}{ightarrow}x = 0.$
Câu 17: Thông hiểu
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ biết $A(2;5),B(0;2),C(2;1)$ . Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ ?
- A.
  $\frac{3}{2}$
- B.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\frac{5\sqrt{10}}{2}$
- D.
  $\frac{\sqrt{53}}{2}$
Gọi M là trung điểm của BC

Khi đó tọa độ của M là: $\left\{\begin{matrix}x_{M} = \dfrac{2 + 0}{2} = 1 \\y_{M} = \dfrac{1 + 2}{2} = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( 1;\dfrac{3}{2}ight)$

Suy ra độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A hay độ dài đoạn AM là:

$AM = \sqrt{(1 - 2)^{2} + \left( \frac{3}{2} - 5 ight)^{2}} = \frac{\sqrt{53}}{2}$

Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là $\frac{\sqrt{53}}{2}$ .
Câu 18: Nhận biết
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $P( - 3;1),Q(6; - 4)$ . Xác định tọa độ trọng tâm $H$ của tam giác $OPQ$ ?
- A.
  $H(9; - 5)$
- B.
  $H( - 1;1)$
- C.
  $H(1; - 1)$
- D.
  $H(2; - 2)$
Vì H là trọng tâm tam giác OPQ nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix}x_{H} = \dfrac{x_{O} + x_{P} + x_{Q}}{3} \\y_{H} = \dfrac{y_{O} + y_{P} + y_{Q}}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{H} = \dfrac{0 - 3 + 6}{3} = 1 \\y_{H} = \dfrac{0 + 1 - 4}{3} = - 1 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow H(1; - 1)$

Vậy trọng tâm tam giác cần tìm là $H(1; - 1)$ .
Câu 19: Nhận biết
Cho hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Không có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .
- B.
  Có vô số vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .
- C.
  Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ , đó là $\overrightarrow{0}$ .
- D.
  Cả A, B, C đều sai.
Mệnh đề đúng là: "Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ , đó là $\overrightarrow{0}$ ."
Câu 20: Thông hiểu
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Tính $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|$ .
- A.
  $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|=0$
- B.
  $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|=a$
- C.
  $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|=a\sqrt{2}$
- D.
  $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}|=2a$
Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {DA} } ight| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } ight| = \left| \overrightarrow {AC} ight| = AC = a\sqrt 2$ . (hình vuông cạnh $a$ thì đường chéo bằng $a\sqrt2$ ).

14 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 5 Vectơ sách CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!