Đề kiểm tra 15 phút Chương 6 Một số yếu tố thống kê và xác suất

Câu 1: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ một tổ có 9 học sinh. Biết rằng xác suất chọn được 2 học sinh nữ bằng $\frac{5}{18}$ , hỏi tổ có bao nhiêu học sinh nữ?

A.
6
B.
5
C.
3
D.
4

Gọi số học sinh nữ là $n$ $(2 ≤ n ≤ 9, n ∈ \mathbb{N})$

Chọn bất kỳ 2 học sinh ta có $C_9^2 = 36$ cách.

Do đó số phần tử của không gian mẫu là $n(Ω) = 36$

Gọi biến cố A: “2 học sinh được chọn là 2 học sinh nữ”.

Để chọn 2 học sinh được 2 học sinh nữ có:

$C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} ight)!}} = \frac{{n\left( {n - 1} ight)}}{2}$ (cách)

Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:

$n\left( A ight) = \frac{1}{2}n\left( {n-1} ight)$

Xác suất để chọn được 2 học sinh nữ là:

$P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.n.\left( {n - 1} ight)}}{{36}} = \frac{{n\left( {n - 1} ight)}}{{72}}$

Mà $P\left( A ight) = \frac{5}{{18}}$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)}}{{72}} = \dfrac{5}{{18}} \hfill \\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} ight) = 20 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {n = 5\left( {tm} ight)} \\ {n = - 4\left( {ktm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy có 5 học sinh nữ trong tổ.

Câu 2: Thông hiểu

Giáo viên chủ nhiệm mang đến lớp 6 cuốn sách khoa học và 4 cuốn sách tham khảo (các sách khác nhau từng đôi một). Giáo viên cho bạn C mượn ngẫu nhiên 3 quyển sách để đọc. Tính xác suất của biến cố: “X mượn ít nhất một cuốn sách tham khảo”.

A.
$\frac{1}{6}$
B.
$\frac{5}{6}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{3}{10}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{10}^{3} = 120$

Gọi A là biến cố: “X mượn ít nhất một cuốn sách tham khảo”.

Khi đó $\overline{A}$ là biến cố X mượn 3 cuốn sách khoa học. Khi đó: $n\left( \overline{A} ight) = C_{6}^{3} = 20$

Vậy xác suất của biến cố A là: $P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 - \frac{20}{120} = \frac{5}{6}$

Câu 3: Thông hiểu

Cho bảng tần số như sau:

Giá trị	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆
Tần số	15	9n - 1	12	$n^{2} + 7$	10	17

Tìm n để $M_{0}^{(1)}=x_2;M_{0}^{(2)}=x_4$ là hai mốt của bảng tần số trên.

A.
n = 1
B.
n = 7
C.
n = 8
D.
n = 1; n = 8

Ta có:

$M_{0}^{(1)}=x_2;M_{0}^{(2)}=x_4$

$\begin{matrix} \Rightarrow 9n - 1 = {n^2} + 7,\left( {n > 2} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow {n^2} - 9n + 8 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {n = 1\left( {ktm} ight)} \\ {n = 8\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy n = 8.

Câu 4: Thông hiểu

Liệt kê sĩ số của từng lớp trong khối 10 ta được bảng số liệu như sau:

Lớp	10A	10B	10C	10D	10E
Sĩ số	40	43	45	41	46

Xác định giá trị gần nhất với độ lệch chuẩn của mẫu số liệu?

A.
$2,42$
B.
$2,52$
C.
$2,25$
D.
$2,28$

Ta có: $N = 5$

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x} = \frac{40 + 43 + 45 + 42 + 46}{5} = 43$

Phương sai của mẫu số liệu là:

$s^{2} = \frac{(40 - 43)^{2} + (43 - 43)^{2} + (45 - 43)^{2} + (41 - 43)^{2} + (46 - 43)^{2}}{5} = 5,2$

Suy ra độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

$s = \sqrt{s^{2}} = 2,28$

Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là 2,28.

Câu 5: Nhận biết

Từ một hộp chứa $7$ quả cầu màu đỏ và $5$ quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ quả cầu. Tính xác suất để 3 quả cầu lấy được đều màu xanh.

A.
$\frac{1}{22}$ .
B.
$\frac{2}{7}$ .
C.
$\frac{5}{12}$ .
D.
$\frac{7}{44}$

Gọi $A$ là biến cố: “lấy được $3$ quả cầu màu xanh”.

Ta có $P(A) = \frac{C_{5}^{3}}{C_{12}^{3}} = \frac{1}{22}$ .

Câu 6: Nhận biết

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Xác suất của biến cố $A$ : "lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp" là bao nhiêu?

A.
$P(A) =\frac{1}{2}$ . .
B.
$P(A) =\frac{5}{8}$ .
C.
$P(A) =\frac{1}{8}$ .
D.
$P(A) = \frac{1}{4}$ .

Xác suất để lần đầu xuất hiện mặt sấp là $\frac{1}{2}$ . Lần 2 và 3 thì tùy ý nên xác suất là 1.

Theo quy tắc nhân xác suất: $P(A) =\frac{1}{2}.1.1 = \frac{1}{2}$ .

Câu 7: Nhận biết

Một hộp có 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp (sau khi chọn mỗi viên lại thả lại vào hộp). Không gian mẫu là:

A.
{XĐ; XV; ĐX; ĐV; VX; VĐ}
B.
{XX; XĐ; XV; ĐX; ĐV; VX; VĐ}
C.
{XĐ; XV; ĐV; ĐX; VX; VĐ; XX; VV; ĐĐ}
D.
{XĐ; XV}

Mô tả không gian mẫu: $\Omega = \{XD; XV; DV; DX; VX; VD; XX; VV; DD\}$ .

(Xanh là X, đỏ là D, vàng là V).

Câu 8: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên một gia đình có 4 người con và quan sát giới tính của bốn người con này. Xác suất của biến cố hai con đầu là con trai bằng:

A.
$\frac{1}{3}$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{1}{4}$
D.
$\frac{1}{5}$

Ta có: $n(\Omega) = 2^{4} =16$

Gọi A là biến cố “Hai con đầu là con trai”

$\Rightarrow A = \left\{TTGG;TTGT;TTTG;TTTT ight\}$

$\Rightarrow n(A) = 4$

Vậy $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} =\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ .

Câu 9: Thông hiểu

Tìm phương sai của mẫu số liệu: $8;\ 6;\ 7;\ 5;\ 9$ ?

A.
$4$
B.
$7$
C.
$2$
D.
$9$

Ta có: $N = 5$

Số trung bình là:

$\overline{x} = \frac{8 + 6 + 7 + 5 + 9}{5} = 7$

Phương sai của mẫu số liệu là:

$s^{2} = \frac{(8 - 7)^{2} + (6 - 7)^{2} + (7 - 7)^{2} + (5 - 7)^{2} + (9 - 7)^{2}}{5} = 2$

Vậy đáp án là 2.

Câu 10: Vận dụng

Bảng sau thống kê điểm kiểm tra của học sinh lớp 10C.

Tìm trung vị của dãy số liệu trên.

A.
16
B.
17
C.
20
D.
11

Cỡ mẫu số liệu này là: $3 + 7 + 4 + 4 + 6 +$ $7 + 3 + 3 + 2 + 2 = 41$ .

Suy ra giá trị chính giữa là giá trị ở vị trí thứ 20. Đó là số 17.

Vậy trung vị $M_{e} = 17$ .

Câu 11: Vận dụng

Biểu đồ dưới đây thể hiện tốc độ tăng trưởng GDP của Việt Nam giai đoạn 2014 – 2021. Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.

A.
1,72
B.
2,72
C.
1,76
D.
1,46

Số trung bình của mẫu là:

$\overline{x} =$ $\frac{5,98 + 6,68 + 6,21 + 6,81 + 7,08 + 7,02 + 2,91 + 2,58}{8}$ $= 5,65875$

Từ đó tính được phương sai: $s^{2} = 2,96$ .

Suy ra độ lệch chuẩn: $\sqrt{s^{2}} = 1,72$ .

Câu 12: Nhận biết

Biết $\sqrt[3]{5}=1.709975947....$ Viết gần đúng $\sqrt[3]{5}$ theo nguyên tắc làm tròn với hai chữ số thập phân và ước lượng sai số tuyệt đối.

A.
Số gần đúng: 1,71; Sai số mắc phải: 0,01
B.
Số gần đúng: 1,7; Sai số mắc phải: 0,1
C.
Số gần đúng: 1,710; Sai số mắc phải: 0,001
D.
Số gần đúng: 1,7100; Sai số mắc phải: 0,0001

Làm tròn với hai chữ số thập phân: $\sqrt[3]{5} = 1,71$

Sai số tuyệt đối: $\left| {1,71-\sqrt[3]{5}} ight| < \left| {1,71-1,7099} ight| = 0,0001$

Vậy sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0001.

Làm tròn với ba chữ số thập phân: $\sqrt[3]{5} = 1,710$

Sai số tuyệt đối: $\left| {1,71 - \sqrt[3]{5}} ight| < \left| {1,71 - 1,7099} ight| = 0,0001$

Vậy sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0001.

Làm tròn với bốn chữ số thập phân: $\sqrt[3]{5} = 1,7100$

$\left| {1,71 - \sqrt[3]{5}} ight| < \left| {1,71 - 1,7099} ight| = 0,0001$

Vậy sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0001.

Câu 13: Nhận biết

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu: 10; 8; 6; 2; 4.

A.
$2\sqrt{3}$
B.
$2\sqrt{2}$
C.
$\sqrt{2}$
D.
$4\sqrt{2}$

Số trung bình là $\overline{x} =$ $\frac{10 + 8 + 6 + 2 + 4}{5}$ $= 6$ .

Phương sai là $s^{2} =$ $\frac{(10 - 6)^{2} + (8 - 6)^{2} + (6 - 6)^{2} + (2 - 6)^{2} + (4 - 6)^{2}}{5}$ $= 8$ .

Độ lệch chuẩn là $\sqrt{s^{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ .

Câu 14: Nhận biết

Điểm thi học kì của một học sinh như sau: 4 6 7 2 10 9 3 5 8 7 3 8.

Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu trên.

A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:

$\overline x = \frac{{4 + 6 + 7.2 + 2 + 10 + 9 + 3.2 + 5 + 8.2}}{{12}} = 6$ .

Câu 15: Thông hiểu

Số điểm của một vận động viên trong 5 hiệp được ghi lại như sau: 9 8 15 8 20. Tính tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

A.
$Q_{1} = 8;\ Q_{2} = 9;\ Q_{3} = 17$
B.
$Q_{1} = 8,5;\ Q_{2} = 9;\ Q_{3} = 17,5$
C.
$Q_{1} = 9;\ Q_{2} = 10;\ Q_{3} = 17,5$
D.
$Q_{1} = 8;\ Q_{2} = 9;\ Q_{3} = 17,5$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 8 8 9 15 20.

Số liệu chính giữa là 9 nên trung vị của mẫu số liệu trên là 9.

Trung vị của mẫu số liệu 8 8 là $\frac{8 + 8}{2} = 8$ .

Trung vị của mẫu số liệu 15 20 là $\frac{15 + 20}{2} = 17,5$ .

Vậy $Q_{1} = 8;\ Q_{2} = 9;\ Q_{3} = 17,5$ .

Câu 16: Vận dụng

Một lớp học có $40$ học sinh trong đó có $4$ cặp anh em sinh đôi. Trong buổi họp đầu năm thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra $3$ học sinh để làm cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó và bí thư. Xác suất để chọn ra $3$ học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào là bao nhiêu?

A.
$\frac{64}{65}.$
B.
$\frac{2}{65}.$
C.
$\frac{3}{256}.$
D.
$\frac{255}{256}.$

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên $3$ học sinh trong $40$ học sinh.

Suy ra số phần tử không gian mẫu là $|\Omega| = C_{40}^{3} = 9880$ .

Gọi $A$ là biến cố $''3$ học sinh được chọn không có cặp anh em sinh đôi nào $''$ . Để tìm số phần tử của $A$ , ta đi tìm số phần tử của biến cố $\overline{A}$ , với biến cố $\overline{A}$ là $3$ học sinh được chọn luôn có $1$ cặp anh em sinh đôi.

+ Chọn $1$ cặp em sinh đôi trong $4$ cặp em sinh đôi, có $C_{4}^{1}$ cách.

+ Chọn thêm $1$ học sinh trong 38 học sinh, có $C_{38}^{1}$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là $\left| \Omega_{\overline{A}} ight| = C_{4}^{1}.C_{38}^{1} = 152$ .

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $\left| \Omega_{A} ight| = 9880 - 152 = 9728$ .

Vậy xác suất cần tính $P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{9728}{9880} = \frac{64}{65}$ .

Câu 17: Nhận biết

Cho giá trị gần đúng của $\frac{8}{17}$ là 0,47. Sai số tuyệt đối của 0,47 là:

A.
0,001.
B.
0,005.
C.
0,006.
D.
0,004.

Ta có $\left| 0,47 - \frac{8}{17} ight| < 0,00059$ suy ra sai số tuyệt đối của 0,47 là 0,001.

Câu 19: Nhận biết

Khoảng biến thiên tứ phân vị $\Delta Q$ được xác định bởi:

A.
$Q_{3} - Q_{1}$
B.
$Q_{3} - Q_{2}$
C.
$Q_{2} - Q_{1}$
D.
$Q_{2} + Q_{1}$

Khoảng biến thiên tứ phân vị $\Delta Q$ được xác định bởi $Q_{3} - Q_{1}$ .

Câu 20: Thông hiểu

Lớp trưởng lớp 10A thống kê số học sinh và số cây trồng được theo từng tổ trong buổi ngoại khóa như sau:

Tổ	1	2	3	4
Số học sinh	11	10	12	10
Số cây	30	30	38	29

Bạn lớp trưởng cho biết số cây mỗi bạn trong lớp trồng được đều không vượt quá 3 cây. Biết rằng bảng trên có một tổ bị thống kê sai. Tổ mà bạn lớp trưởng đã thống kê sai là:

A.
Tổ 1
B.
Tổ 2
C.
Tổ 3
D.
Tổ 4

Xét đáp án Tổ 1

Số cây tối đa tổ 1 trồng được là: 11.3 = 33 (cây)

Vì 30 (cây) < 33 (cây) nên thống kê số cây tổ 1 trồng được không sai.

Xét đáp án Tổ 2

Số cây tối đa tổ 2 trồng được là: 10.3 = 30 (cây)

Vì 30 (cây) = 30 (cây) nên thống kê số cây tổ 1 trồng được không sai.

Xét đáp án Tổ 3

Số cây tối đa tổ 3 trồng được là: 12.3 = 36 (cây)

Vì 38 (cây) > 36 (cây) nên thống kê số cây tổ 3 trồng được là sai.

Xét đáp án Tổ 4

Số cây tối đa tổ 3 trồng được là: 10.3 = 30 (cây)

Vì 29 (cây) < 30 (cây) nên thống kê số cây tổ 4 trồng được không sai.

Đề kiểm tra 15 phút Chương 6 Một số yếu tố thống kê và xác suất

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!