Nếu hai biến cố
thỏa mãn
thì
bằng bao nhiêu?
Theo công thức Bayes ta có:
Nếu hai biến cố
thỏa mãn
thì
bằng bao nhiêu?
Theo công thức Bayes ta có:
Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng
và
. do có nhiễu trên đường truyền nên
tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn
tín hiệu B bị méo và thu được như A. Tìm xác suất thu được tín hiệu A?
Gọi A, B lần lượt là "phát ra tín hiệu A, B".
Khi đó A, B tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi C là "thu được tín hiệu A".
Khi đó:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
.
Hộp thứ nhất chứa 3 viên bi đen và 2 viên bi trắng. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đen và 5 viên bi trắng. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Mai lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai.
Gọi A: "Viên bi lấy ra lần thứ nhất là bi đen"
Và B: "Viên bi lấy ra lần thứ hai là bi trắng".
Biết rằng biến cố A xảy ra, tính xác suất của biến cố B?
Nếu biến cố A xảy ra thì bạn Mai lấy viên bi đen từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai.
Khi đó hộp thứ hai có 5 viên bi đen và 5 viên bi trắng.
Do đó, xác suất của biến cố B là: .
Một túi đựng
bi xanh và
bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên
bi. Xác suất để cả hai bi đều đỏ là:
Ta có số phần từ của không gian mẫu là .
Gọi : "Hai bi lấy ra đều là bi đỏ".
Khi đó .
Vậy xác suất cần tính là .
Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là
. Thống kê cho thấy
cặp sinh đôi là trai;
cặp sinh đôi là gái và
cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật.
Gọi A: “Nhận được cặp sinh đôi thật”
B: “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”
Do các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính nên
Với các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập nhau và có xác suất là 0,5 nên
Do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Thay số ta xác định được .
Có 3 cửa hàng I, II, III cùng kinh doanh sản phẩm Y, trong đó thị phần của cửa hàng I, III như nhau và gấp đôi thị phần của cửa hàng II. Tỉ lệ sản phẩm loại A trong 3 cửa hàng lần lượt là
. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 1 cửa hàng và tử đó mua một sản phẩm. Giả sử khách hàng đã mua được sản phẩm loại A, hỏi khả năng người ấy đã mua được ở cửa hàng nào là nhiều nhất?
Gọi T: "Khách hàng mua được sản phẩm loại A"
Ai: "Mua ở cửa hàng i"
Ta có {A1, A2, A3} là một hệ đầy đủ các biến cố và xác định được:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A là:
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
Ta thấy rằng P(A1|T) là lớn nhất tức là khả năng người ấy đã mua ở cửa hàng I là nhiều nhất.
Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là
. Thống kê cho thấy
cặp sinh đôi là trai;
cặp sinh đôi là gái và
cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Tỉ lệ cặp sinh đôi thật trong số các cặp sinh đôi có cùng giới tính.
Gọi A: “Nhận được cặp sinh đôi thật”
B: “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”
Do các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính nên
Với các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập nhau và có xác suất là 0,5 nên
Do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Thay số ta xác định được .
Do công thức Bayes:
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là
và dự án 2 là
. Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là:
Gọi A là biến cố ”Thắng thầu dự án 1″
Gọi B là biến cố “Thắng thầu dự án 2″
Theo đề bài ta có: với 2 biến cố
độc lập.
Gọi C là biến cố “Thắng thầu đúng 1 dự án” khi đó ta có:
Cho ba biến cố
độc lập từng đôi thỏa mãn
và
. Xác định
?
Ta có:
.
Điều trị phương pháp I, phương pháp II, phương pháp III tương ứng cho
bệnh nhân. Xác suất khỏi của các phương pháp tương ứng là
. Tìm xác suất khỏi của 3 phương pháp khi điều trị cho bệnh nhân
Tổng số bệnh nhân điều trị là 10000 người
Gọi A1 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ I.
A2 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ II.
A3 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ III.
Khi đó:
Gọi B là biến cố điều trị khỏi bệnh.
Khi đó
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Gọi A là biến cố “Viên bị được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ”, B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ”. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Xác suất của biến cố B là
.Đúng||Sai
b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì khi đó
. Đúng||Sai
c) Gọi
: “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” thì
. Sai||Đúng
d) Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là
. Đúng||Sai
Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Gọi A là biến cố “Viên bị được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ”, B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ”. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Xác suất của biến cố B là .Đúng||Sai
b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì khi đó . Đúng||Sai
c) Gọi : “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” thì
. Sai||Đúng
d) Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là . Đúng||Sai
a) Ta có: B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ” nên .
b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh nên .
c) Gọi : “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh.
Khi đó .
d) Ta có:
Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
.
Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 95%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn là
Gọi A là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt".
B là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt".
C là biến cố: "Công ty hoàn thành đúng hạn".
Ta có là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt".
là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt".
là biến cố: "Công ty hoàn thành không đúng hạn".
Vì và
là hai biến cố độc lập nên
và
là hai biến cố độc lập
Mà
.
Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm người (trong đó
người không nhiễm bệnh). Biết rằng đối với người nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là
, nhưng đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có phản ứng dương tính là
. Tính xác suất để người được chọn ra không nhiễm bệnh và không có phản ứng dương tính.
Gọi A: “Người được chọn ra không nhiễm bệnh”.
Và B: “Người được chọn ra có phản ứng dương tính”
Theo bài ta có:
Ta có sơ đồ hình cây như sau:
Vậy
Cho ba biến cố
độc lập từng đôi thỏa mãn
và
. Xác định
?
Ta có:
Vì A, B, C có vai trò như nhau nên
Một chiếc hộp có
viên bi, trong đó có
viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có
số viên bi màu đỏ đánh số và
số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số.
a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là
. Đúng||Sai
b) Số viên bi màu vàng không đánh số là
. Đúng||Sai
c) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là:
Sai|| Đúng
d) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là:
. Đúng||Sai
Một chiếc hộp có viên bi, trong đó có
viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có
số viên bi màu đỏ đánh số và
số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số.
a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là . Đúng||Sai
b) Số viên bi màu vàng không đánh số là . Đúng||Sai
c) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là: Sai|| Đúng
d) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là: . Đúng||Sai
a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là
b) Số viên bi màu vàng không đánh số là
c) Gọi A là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số”
Gọi B là biến cố “viên bi được lấy ra có màu đỏ”, suy ra B là biến cố “viên bi được lấy ra có màu vàng”
Lúc này ta đi tính theo công thức:
Ta có:
.
d) A là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số” suy ra A là biến cố “viên bi được lấy ra không có đánh số”. Khi đó ta có:
Một hộp chứa 5 quả bóng gồm 2 quả màu đỏ (đánh số 1 và 2), 2 quả màu xanh (đánh số 3 và 4) và 1 quả màu vàng (đánh số 5). Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng liên tiếp không hoàn lại.
Xét các biến cố
: "Quả bóng lấy ra đầu tiên có màu đỏ"
: "Tổng số của hai quả bóng lấy ra là số lẻ"
Xác định
là biến cố
khi biết
đã xảy ra?
Khi A đã xảy ra, nghĩa là quả bóng đầu tiên lấy ra có màu đỏ (số 1 hoặc 2).
Do đó, không gian mẫu mới là
Biến cố khi biết
đã xảy ra là:
Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Anh, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng, khi đó:
a) Xác suất để có tên Anh là
.Đúng||Sai
b) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là
.Sai||Đúng
c) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là
.Đúng||Sai
d) Nếu giáo viên chủ nhiệm gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là
.Sai||Đúng
Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Anh, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng, khi đó:
a) Xác suất để có tên Anh là .Đúng||Sai
b) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là .Sai||Đúng
c) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là .Đúng||Sai
d) Nếu giáo viên chủ nhiệm gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là .Sai||Đúng
Gọi A là biến cố “tên là Anh”
Gọi B là biến cố “nữ”.
a) Xác suất để học sinh được gọi có tên là Anh là: .
b) Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là
Ta có:
c) Gọi C là biến cố “nam”.
Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là
Ta có:
.
d) Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là ,
.
Một bình đựng 5 viên bi (cùng kích cỡ và đồng chất) khác nhau về màu sắc. Trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ bình ra một viên bi ta được viên bi màu xanh, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Xác suất để lấy được viên bi đỏ ở lần thứ hai bằng bao nhiêu?
Cách 1:
Gọi A là biến cố “lấy viên bi thứ nhất là màu xanh”
Gọi B là biến cố “lấy viên bi thứ hai là màu đỏ”
Ta đi tính . Ta có:
Do đó:
Cách 2:
Gọi C là biến cố: “Lấy được một viên bi đỏ ở lần thứ hai”.
Vì một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất nên còn lại trong bình 4 viên bi trong đó số viên bi đỏ là 2 và số viên bi xanh cũng là 2.
Do đó, xác suất cần tìm là
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là: