Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Cho hai biến cố
và
là hai biến cố độc lập, với
. Tính
?
Hai biến cố và
là hai biến cố độc lập nên
.
Một bình đựng 5 viên bi (cùng kích cỡ và đồng chất) khác nhau về màu sắc. Trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ bình ra một viên bi ta được viên bi màu xanh, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Xác suất để lấy được viên bi đỏ ở lần thứ hai bằng bao nhiêu?
Cách 1:
Gọi A là biến cố “lấy viên bi thứ nhất là màu xanh”
Gọi B là biến cố “lấy viên bi thứ hai là màu đỏ”
Ta đi tính . Ta có:
Do đó:
Cách 2:
Gọi C là biến cố: “Lấy được một viên bi đỏ ở lần thứ hai”.
Vì một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất nên còn lại trong bình 4 viên bi trong đó số viên bi đỏ là 2 và số viên bi xanh cũng là 2.
Do đó, xác suất cần tìm là
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Trong danh sách sĩ số hai lớp 12 có 95 học sinh, trong đó có 40 nam và 55 nữ. Trong kỳ thi kiểm tra chất lượng có 23 học sinh đạt điểm giỏi (trong đó có 12 nam và 11 nữ). Gọi tên ngẫu nhiên một học sinh trong danh sách. Tìm xác suất gọi được học sinh đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ?
Gọi A là biến cố “gọi được học sinh nữ”
Gọi B là biến cố “gọi được học sinh đạt điểm giỏi”
Ta đi tính . Ta có:
Khi đó: .
Trong một cửa hàng có 18 bóng đèn loại I và 2 bóng đèn loại II, các bóng đèn có hình dạng và kích thước như nhau. Một một người mua hàng lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 bóng đèn (lấy không hoàn lại) trong cửa hàng.
a) Xác suất để lần thứ nhất lấy được bóng đèn loại II là
. Sai||Đúng
b) Xác suất để lần thứ hai lấy được bóng đèn loại II, biết lần thứ nhất lấy được bóng đèn loại II là
. Đúng||Sai
c) Xác suất để cả hai lần đều lấy được bóng đèn loại II là
. Sai||Đúng
d) Xác suất để ít nhất 1 lần lấy được bóng đèn loại I là
. Đúng||Sai
Trong một cửa hàng có 18 bóng đèn loại I và 2 bóng đèn loại II, các bóng đèn có hình dạng và kích thước như nhau. Một một người mua hàng lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 bóng đèn (lấy không hoàn lại) trong cửa hàng.
a) Xác suất để lần thứ nhất lấy được bóng đèn loại II là . Sai||Đúng
b) Xác suất để lần thứ hai lấy được bóng đèn loại II, biết lần thứ nhất lấy được bóng đèn loại II là . Đúng||Sai
c) Xác suất để cả hai lần đều lấy được bóng đèn loại II là . Sai||Đúng
d) Xác suất để ít nhất 1 lần lấy được bóng đèn loại I là . Đúng||Sai
Xét các biến cố: A: "Lần thứ nhất lấy được bóng đèn loại II"; B: "Lần thứ hai lấy được bóng đèn loại II".
a) Xác suất đề lần thứ nhất lấy được bóng đèn loại II là: .
b) Sau khi lấy 1 bóng đèn loại II thì chỉ còn 1 bóng đèn loại II trong hộp. Suy ra xác suất để lần thứ hai lấy được quá bóng đèn loại II, biết lần thứ nhất lấy được bóng đèn loại II là: .
c) Khi đó, xác suất để cả hai lần đều lấy được bóng đèn loại II là:
.
d) Để ít nhất 1 lần lấy được bóng đèn loại I là:
.
Câu lạc bộ thể thao của trường Việt Anh có 40 bạn đều biết chơi biết chơi ít nhất một trong hai môn là bóng đá và cầu lông, trong đó có 27 bạn biết chơi bóng đá và 25 bạn biết chơi cầu lông. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá biết bạn đó chơi được cầu lông là bao nhiều?
Đáp án: 0,48
Câu lạc bộ thể thao của trường Việt Anh có 40 bạn đều biết chơi biết chơi ít nhất một trong hai môn là bóng đá và cầu lông, trong đó có 27 bạn biết chơi bóng đá và 25 bạn biết chơi cầu lông. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá biết bạn đó chơi được cầu lông là bao nhiều?
Đáp án: 0,48
Xét các biến cố: : “Chọn được bạn biết chơi bóng đá”
: “Chọn được bạn biết chơi cầu lông”
Khi đó ;
;
.
Suy ra .
Vậy xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá, bạn đó biết chơi cầu lông là .
Đáp số: .
Có hai hộp thuốc:
Hộp I có 2 vỉ thuốc ngoại và 5 vỉ thuốc nội.
Hộp II có 3 vỉ thuốc ngoại và 6 vỉ thuốc nội.
Từ hộp I và hộp II lần lượt lấy ra 2 vỉ thuốc và 1 vỉ thuốc. Từ 3 vỉ thuốc đó lại lấy ra một vỉ. Biết vỉ lấy ra sau cùng là thuốc ngoại. Tính xác suất để vỉ thuốc này thuộc hộp số II?
Gọi A1 là biến cố “vỉ thuốc lấy ra sau cùng là của hộp I”
A1 là biến cố “vỉ thuốc lấy ra sau cùng là của hộp II”
Ta có A1, A2 lập thành hệ đầy đủ các biến cố khi đó ta xác định được:
Gọi B là biến cố “vỉ thuốc lấy ra sau cùng là thuốc ngoại”.
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
.
Áp dụng công thức Bayes ta có:
.
Để gây đột biến cho một tính trạng người ta tìm cách tác động lên hai gen
bằng phóng xạ. Xác suất đột biến của tính trạng do gen
là
; do gen B là
và do cả hai gen là
. Tính xác suất để có đột biến ở tính trạng đó biết rằng phóng xạ có thể tác động lên gen
với xác suất
và lên gen
với xác suất
?
Gọi C là biến cố có đột biến ở tính trạng đang xét
A là biến cố phóng xạ tác dụng lên gen A
B là biến cố phóng xạ tác dụng lên gen B
C1 là biến cố phóng xạ chỉ tác động lên gen A
C2 là biến cố phóng xạ chỉ tác dụng lên gen B
C3 là biến cố phóng xạ tác dụng lên cả 2 gen
là biến cố phóng xạ không tác dụng lên gen nào
Khi đó hệ là một hệ đầy đủ
Mặt khác độc lập nên
Mặt khác và
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
Có 2 xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II, xác suất bắn trúng đích của các loại xạ thủ loại I là 0,9 và loại II là 0,7. Chọn ngẫu nhiên ra hai xạ thủ và mỗi người bắn một viên đạn. Tìm xác suất để cả hai viên đạn đó trúng đích.
Gọi B là biến cố "Cả 2 viên đạn trúng đích".
là biến cố "Chọn được i xạ thủ loại I".
Ta có tạo thành họ đầy đủ các biến cố.
Áp dụng công thức, ta có
Cho
và
là các biến cố của phép thử T. Biết rằng
. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
Theo công thức Bayes ta có:
Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 95%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn là
Gọi A là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt".
B là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt".
C là biến cố: "Công ty hoàn thành đúng hạn".
Ta có là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt".
là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt".
là biến cố: "Công ty hoàn thành không đúng hạn".
Vì và
là hai biến cố độc lập nên
và
là hai biến cố độc lập
Mà
.
Cho
và
là hai biến cố độc lập thoả mãn
và
. Khi đó,
bằng:
A và B là hai biến cố độc lập nên
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10, nếu biết rằng có ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm?
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10, nếu biết rằng có ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm?
Một chiếc hộp có
viên bi, trong đó có
viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có
số viên bi màu đỏ đánh số và
số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số.
a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là
. Đúng||Sai
b) Số viên bi màu vàng không đánh số là
. Đúng||Sai
c) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là:
Sai|| Đúng
d) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là:
. Đúng||Sai
Một chiếc hộp có viên bi, trong đó có
viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có
số viên bi màu đỏ đánh số và
số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số.
a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là . Đúng||Sai
b) Số viên bi màu vàng không đánh số là . Đúng||Sai
c) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là: Sai|| Đúng
d) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là: . Đúng||Sai
a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là
b) Số viên bi màu vàng không đánh số là
c) Gọi A là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số”
Gọi B là biến cố “viên bi được lấy ra có màu đỏ”, suy ra B là biến cố “viên bi được lấy ra có màu vàng”
Lúc này ta đi tính theo công thức:
Ta có:
.
d) A là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số” suy ra A là biến cố “viên bi được lấy ra không có đánh số”. Khi đó ta có:
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức Bayes:
.
Giả sử
email của bạn nhận được là email rác. Bạn sử dụng một hệ thống lọc email rác mà khả năng lọc đúng email rác của hệ thống này là
và có
những email không phải là email rác nhưng vẫn bị lọc. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Gọi A: “Email nhận được là email rác”.
Và B: “Email bị lọc đúng email rác của hệ thống lọc email rác”.
Vì 5% email nhận được là rác nên xác suất nhận được một email rác là
b) Xác suất email bị lọc của email rác là .
c) Xác suất email nhận được không phải rác là
Xác suất email bị lọc của email không phải rác là
Vậy xác suất chọn một email bị lọc bất kể là rác hay không là
d) Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc thực sự là email rác là
.
Năm 2012, Cộng đồng Châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Người ta tiến hành một loại xét nghiệm và cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm là
; còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để xảy ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm đó là
. Biết rằng ti lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 1,5 con trên 100000 con. Gọi
là biến cố một con bò bị bệnh bò điên,
là biến cố một con bò phản ứng dương tính với xét nghiệm.
a)
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Năm 2012, Cộng đồng Châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Người ta tiến hành một loại xét nghiệm và cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm là ; còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để xảy ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm đó là
. Biết rằng ti lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 1,5 con trên 100000 con. Gọi
là biến cố một con bò bị bệnh bò điên,
là biến cố một con bò phản ứng dương tính với xét nghiệm.
a) . Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
Tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 1,5 con trên con nghĩa là
.
Khi con bò bị bệnh bò điên, thì xác suất để ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm là 60%, nghĩa là:
Khi con bò không bị bệnh, thì xác xuất để xả ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm đó là 20%, nghĩa là . Khi đó, ta có:
Trong học kỳ I năm học 2024 - 2025, sinh viên phải thi 4 học phần. Xác suất để sinh viên thi đạt một học phần trong mỗi lần thi đều là 0,8. Nếu thi không đạt học phần nào phải thi lại học phần đó. Tính xác suất để một sinh viên thi đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần.
Gọi là "đạt
học phần ở lần thi đầu".
Khi đó, tạo thành hệ đầy đủ và
Gọi là "đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần".
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là
. Thống kê cho thấy
cặp sinh đôi là trai;
cặp sinh đôi là gái và
cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật.
Gọi A: “Nhận được cặp sinh đôi thật”
B: “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”
Do các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính nên
Với các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập nhau và có xác suất là 0,5 nên
Do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Thay số ta xác định được .