Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh
mà tỉ lệ người mắc bệnh là
và một loại xét nghiệm
mà ai mắc bệnh
khi xét nghiệm
cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có
những người không bị bệnh
lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả uử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Xác suất người đó bị mắc bệnh
là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án : 0,03
Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh mà tỉ lệ người mắc bệnh là
và một loại xét nghiệm
mà ai mắc bệnh
khi xét nghiệm
cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có
những người không bị bệnh
lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả uử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Xác suất người đó bị mắc bệnh
là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án : 0,03
Xét các biến cố:
: "Người được chọn mắc bệnh
";
: "Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y".
Theo giả thiết ta có:
;
Theo công thức Bayes, ta có:
Vậy nếu người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm thì xác suất bị mắc bệnh
của người đó là khoảng 0,03.
Cho hai biến cố
với
. Giá trị
bằng:
Ta có:
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
Trong một vùng dân cư, cứ
người thì có
người hút thuốc lá. Biết tỷ lệ người bị viêm họng trong số người hút thuốc lá là
, trong số người không hút thuốc lá là
. Khám ngẫu nhiên một người và thấy người đó bị viêm họng. Tìm xác suất để người đó hút thuốc lá?
Gọi A: "Người này hút thuốc"
B: "Người này bị viêm họng"
Theo giả thiết ta có:
Ta thấy rằng là một hệ đầy đủ các biến cố.
Theo công thức xác suất toàn phần ta tính được:
Theo công thức Bayes, xác suất để người đó hút thuốc lá khi biết người đó bị viêm họng là:
Hộp I có 4 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi. 1. Nếu viên rút ra sau cùng màu đỏ, tìm xác suất lúc ban đầu rút được viên bi đỏ ở hộp I cho vào hộp II?
Gọi D1, X1 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp I sang hộp II",
D2, X2 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp II sang hộp I".
Khi đó hệ D1D2, D1X2, X1D2, X1X2 tạo thành hệ đầy đủ.
Ta có:
Gọi A là "viên bi rút ra sau cùng là màu đỏ".
Ta xác định được:
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
Ta cần tính xác suất
Một phân xưởng có 3 máy tự động: máy I sản xuất 25%, máy II sản xuất 30%, máy III sản xuất 45% số sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các máy lần lượt là 0,1%, 0,2% và 0,3%. Chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm của phân xưởng. 1. Biết nó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do máy I sản xuất.
Gọi Ai là "lấy ra sản phẩm từ lô i" thì A1, A2, A3 tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi A là "lấy ra sản phẩm là phế phẩm".
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có
Gọi B là "sản phẩm do máy I sản xuất". Khi đó ta cần tính P(B|A)
Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số a, b phân biệt thuộc tập hợp
. Tính xác suất để
là một số nguyên dương.
Phép thử: "Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số a, b phân biệt thuộc tập hợp
Biến cố : "
là một số nguyên dương".
+ Giả sử là một số nguyên dương
|
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà có 2 cách: hoặc đi theo đường ngầm hoặc đi qua cầu. Biết rằng ông ta đi lối đường ngầm trong
các trường hợp, còn lại đi lối cầu. Nếu đi lối đường ngầm
trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối; còn nếu đi lối cầu chỉ có
trường hợp ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối. Tìm xác suất để công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối.
Gọi A là biến cố đi đường ngầm suy ra là biến cố đi đường cầu
Ta xác định được
Gọi B là "về nhà sau 6 giờ tối", ta cần tính .
Sử dụng công thức Bayes:
Một hộp chứa 5 quả bóng gồm 2 quả màu đỏ (đánh số 1 và 2), 2 quả màu xanh (đánh số 3 và 4) và 1 quả màu vàng (đánh số 5). Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng liên tiếp không hoàn lại.
Xét các biến cố
: "Quả bóng lấy ra đầu tiên có màu đỏ"
: "Tổng số của hai quả bóng lấy ra là số lẻ"
Xác định
là biến cố
khi biết
đã xảy ra?
Khi A đã xảy ra, nghĩa là quả bóng đầu tiên lấy ra có màu đỏ (số 1 hoặc 2).
Do đó, không gian mẫu mới là
Biến cố khi biết
đã xảy ra là:
Điều trị phương pháp I, phương pháp II, phương pháp III tương ứng cho
bệnh nhân. Xác suất khỏi của các phương pháp tương ứng là
. Điều trị một trong 3 phương pháp cho bệnh nhân đã khỏi, tìm phương pháp có tỉ lệ chữa khỏi bệnh thấp nhất?
Tổng số bệnh nhân điều trị là 10000 người
Gọi A1 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ I.
A2 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ II.
A3 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ III.
Khi đó:
Gọi B là biến cố điều trị khỏi bệnh.
Khi đó
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Ta có:
Vậy phương pháp có tỉ lệ chữa khỏi bệnh thấp nhất là phương pháp III.
Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. Bạn Hoa lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa.
Xét các biến cố:
: "Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn"
: "Quả bóng lấy ra lần hai có số lẻ".
Tính xác suất có điều kiện
?
Ta có:
Vậy
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10, nếu biết rằng có ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm?
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10, nếu biết rằng có ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm?
Một lớp có 60 học sinh, trong đó 40 học sinh mặc áo có màu xanh, 10 học sinh mặc áo có cả xanh lẫn trắng. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất để học sinh đó áo có màu trắng với điều kiện áo em đó đã có màu xanh?
Minh họa bài toán
Gọi A là biến cố “học sinh được chọn mặc áo trắng”
Gọi B là biến cố “học sinh được chọn mặc áo xanh”
A.B là biến cố “học sinh được chọn mặc áo trắng lẫn xanh” Xác suất để học sinh đó áo có màu trắng với điều kiện áo em đó đã có màu xanh:
Cho
và
là các biến cố của phép thử T. Biết rằng
. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
Theo công thức Bayes ta có:
Câu lạc bộ thể thao của trường Việt Anh có 40 bạn đều biết chơi biết chơi ít nhất một trong hai môn là bóng đá và cầu lông, trong đó có 27 bạn biết chơi bóng đá và 25 bạn biết chơi cầu lông. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá biết bạn đó chơi được cầu lông là bao nhiều?
Đáp án: 0,48
Câu lạc bộ thể thao của trường Việt Anh có 40 bạn đều biết chơi biết chơi ít nhất một trong hai môn là bóng đá và cầu lông, trong đó có 27 bạn biết chơi bóng đá và 25 bạn biết chơi cầu lông. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá biết bạn đó chơi được cầu lông là bao nhiều?
Đáp án: 0,48
Xét các biến cố: : “Chọn được bạn biết chơi bóng đá”
: “Chọn được bạn biết chơi cầu lông”
Khi đó ;
;
.
Suy ra .
Vậy xác suất chọn được bạn biết chơi bóng đá, bạn đó biết chơi cầu lông là .
Đáp số: .
Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là
và dự án 2 là
. Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2?
Gọi A là biến cố ”Thắng thầu dự án 1″
Gọi B là biến cố “Thắng thầu dự án 2″
Theo đề bài ta có: với 2 biến cố
độc lập.
Gọi D là biến cố “thắng thầu dự án thứ 2 biết thắng thầu dự án 1” do là hai biến cố độc lập nên:
Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. Hùng lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa.
Xét các biến cố:
: "Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn"
: "Quả bóng lấy ra lần hai có số lẻ".
Xác định biến cố
: "biến cố
với điều kiện biết
đã xảy ra".
Ta có:
Khi biến cố xảy ra, thì không gian mẫu mới là
.
Khi đó, biến cố
Một thùng hàng có 30 sản phẩm, trong đó có 4 chất lượng thấp. Lấy liên tiếp hai sản phẩm trong thùng sản phẩm trên, trong đó sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất không được bỏ lại vào thùng. Tính xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp?
Gọi A: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất có chất lượng thấp”
Và B: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ hai có chất lượng thấp”.
Khi đó, xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp chính là:
Từ bài ra ta có:
Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng
và
. do có nhiễu trên đường truyền nên
tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn
tín hiệu B bị méo và thu được như A. Tìm xác suất thu được tín hiệu A?
Gọi A, B lần lượt là "phát ra tín hiệu A, B".
Khi đó A, B tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi C là "thu được tín hiệu A".
Khi đó:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
.