Đề kiểm tra 15 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện

Gọi A ”Hai chiếc bút lấy ra đều là chiếc mới”; B₀ ” Lấy ra một chiếc bút cũ” và B₁ ”Lấy ra một chiếc bút mới”

Nên B₀; B₀ là hệ biến cố đầy đủ.

Từ 15 chiếc bút có 9 chiếc bút mới và 6 chiếc bút cũ

Ta có:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

.

Theo công thức tính xác suất có điều kiện ta có:

Vì và là hai biến cố xung khắc và nên theo tính chất của xác suất ta có:

Phương án 1: 3 khẩu đặt tại A và 1 khẩu đặt tại B Nếu có 3 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:

(tính theo biến cố đối của biến cố: không có khẩu nào bắn trúng)

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án I:

Phương án 2: 2 khẩu đặt tại 4 và 2 khẩu đặt tại B Nếu có 2 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:

Tương tự, xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án II:

Phương án 3: 1 khẩu đặt tại A và 3 khẩu đặt tại B com Nếu có 3 khẩu đặt tại B thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.

Xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:

=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án III:

Vậy phương án 2 có xác suất bắn trúng máy bay cao nhất.

Gọi B_i: "Bộ phận thứ i hoạt động tốt" (i = 1, 2, 3)

H: "Hệ thống hoạt động tốt"

Theo giả thiết, ta thấy rằng P(B_i) = 0.95 với i = 1, 2, 3 và

Do tính độc lập, xung khắc và đối xứng nên:

.

Ta có: .

Gọi A là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.

Gọi B là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.

Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì .

Gọi A là biến cố lấy được bi trắng

Gọi K₁ là biến cố lấy bi ra từ hộp II của hộp I

Gọi K₂ là biến cố lấy bi ra từ hộp II của hộp II

Ta xác định được:

Khi đó:

Vậy xác suất để lấy được bi trắng của hộp I là:

Theo công thức Bayes ta có:

Gọi A: “Nhận được cặp sinh đôi thật”

B: “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”

Do các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính nên

Với các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập nhau và có xác suất là 0,5 nên

Do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

Thay số ta xác định được .

Do công thức Bayes:

Gọi A là biến cố lấy được quả bóng màu đen từ hộp thứ hai.

Biến cố A có thể xảy ra đòng thời với một trong hai biến cố sau đây tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố:

H₁ là biến cố quả bóng bỏ từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai là màu đen.

H₂ là biến cố quả bóng bỏ từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai không phải màu đen.

Xác suất để từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai là quả bóng màu đen bằng:

Xác suất để từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai không phải quả bóng màu đen bằng:

Xác suất có điều kiện để từ hộp thứ hai lấy được quả bóng màu đen khi các giả thuyết xảy ra là:

Do đó:

Gọi A_i là "lấy ra sản phẩm từ lô i" thì A₁, A₂, A₃ tạo thành hệ đầy đủ.

Gọi A là "lấy ra sản phẩm là phế phẩm".

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có

Gọi A là "người thích đi bộ", B là "người thích đi xe đạp"

Theo giả thiết: .

Ta có:

Ta có:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

Ta có:

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Hai biến cố và là hai biến cố độc lập nên .