Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức Bayes:
.
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức Bayes:
.
Cho hai biến cố
với
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
d)
Đúng||Sai
e) Biết
khi đó
.Sai||Đúng
Cho hai biến cố với
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Đúng||Sai
d) Đúng||Sai
e) Biết khi đó
.Sai||Đúng
Các khẳng định đúng là:
a)
b)
c)
d)
e) Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm người (trong đó
người không nhiễm bệnh). Biết rằng đối với người nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là
, nhưng đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có phản ứng dương tính là
. Tính xác suất để người được chọn ra không nhiễm bệnh và không có phản ứng dương tính.
Gọi A: “Người được chọn ra không nhiễm bệnh”.
Và B: “Người được chọn ra có phản ứng dương tính”
Theo bài ta có:
Ta có sơ đồ hình cây như sau:
Vậy
Một thùng hàng có 30 sản phẩm, trong đó có 4 chất lượng thấp. Lấy liên tiếp hai sản phẩm trong thùng sản phẩm trên, trong đó sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất không được bỏ lại vào thùng. Tính xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp?
Gọi A: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất có chất lượng thấp”
Và B: “Sản phẩm lấy ra ở lần thứ hai có chất lượng thấp”.
Khi đó, xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp chính là:
Từ bài ra ta có:
Cho hai biến cố
và
với
. Biết ![]()
. Tính
?
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Điều trị phương pháp I, phương pháp II, phương pháp III tương ứng cho
bệnh nhân. Xác suất khỏi của các phương pháp tương ứng là
. Tìm xác suất khỏi của 3 phương pháp khi điều trị cho bệnh nhân
Tổng số bệnh nhân điều trị là 10000 người
Gọi A1 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ I.
A2 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ II.
A3 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ III.
Khi đó:
Gọi B là biến cố điều trị khỏi bệnh.
Khi đó
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Cách 1:
Mà
Do đó:
Cách 2: Ta có:
.
Một sinh viên làm 2 bài tập kế tiếp. Xác suất làm đúng bài thứ nhất là
. Nếu làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ 2 là
, nhưng nếu làm sai bài thứ 1 thì khả năng làm đúng bài thứ 2 là
. Tính xác suất để sinh viên làm đúng ít nhất một bài?
Gọi A1 là biến cố làm đúng bài 1
Gọi A2 là biến cố làm đúng bài 2
Làm đúng ít nhất 1 bài
Nếu hai biến cố
thỏa mãn
thì
bằng bao nhiêu?
Theo công thức Bayes ta có:
Có 3 hộp đựng bi: hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ ba không có viên nào. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp thứ ba màu đỏ, tính xác suất để lúc đầu ta lấy được viên bi đỏ từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ ba?
Gọi A1, A2 lần lượt là "lấy bi đỏ từ hợp thứ 1 (thứ 2) bỏ vào hộp thứ ba" thì tạo thành một hệ đầy đủ.
Ta có:
Gọi A "lấy ra từ hộp 3 một viên bi màu đỏ". Ta có:
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:
Gọi B là sự kiện cần tính xác suất.
Dễ thấy . Theo công thức Bayes ta có:
Hộp thứ nhất chứa 3 viên bi đen và 2 viên bi trắng. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đen và 5 viên bi trắng. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Mai lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai.
Gọi A: "Viên bi lấy ra lần thứ nhất là bi đen"
Và B: "Viên bi lấy ra lần thứ hai là bi trắng".
Biết rằng biến cố A xảy ra, tính xác suất của biến cố B?
Nếu biến cố A xảy ra thì bạn Mai lấy viên bi đen từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai.
Khi đó hộp thứ hai có 5 viên bi đen và 5 viên bi trắng.
Do đó, xác suất của biến cố B là: .
Một túi đựng
bi xanh và
bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên
bi. Xác suất để cả hai bi đều đỏ là:
Ta có số phần từ của không gian mẫu là .
Gọi : "Hai bi lấy ra đều là bi đỏ".
Khi đó .
Vậy xác suất cần tính là .
Một chiếc hộp có
viên bi, trong đó có
viên bi có tô màu và
viên bi không tô màu; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Nam lấy ra viên bi đầu tiên, sau đó bạn Việt lấy ra viên bi thứ hai.
a) Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là
. Đúng||Sai
b) Sơ đồ cây biểu thị tình huống trên là.
Đúng||Sai
c) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là:
Đúng||Sai
d) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu là:
. Đúng||Sai
Một chiếc hộp có viên bi, trong đó có
viên bi có tô màu và
viên bi không tô màu; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Nam lấy ra viên bi đầu tiên, sau đó bạn Việt lấy ra viên bi thứ hai.
a) Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là . Đúng||Sai
b) Sơ đồ cây biểu thị tình huống trên là. Đúng||Sai
c) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là: Đúng||Sai
d) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu là: . Đúng||Sai
Gọi A là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu”
Gọi B là biến cố “bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu”, suy ra B là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu”.
a) Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là .
b) Ta có:
Sơ đồ cây cần tìm là:
c) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là:
d) A là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu” suy ra A là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu”
Năm 2012, Cộng đồng Châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Người ta tiến hành một loại xét nghiệm và cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm là
; còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để xảy ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm đó là
. Biết rằng ti lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 1,5 con trên 100000 con. Gọi
là biến cố một con bò bị bệnh bò điên,
là biến cố một con bò phản ứng dương tính với xét nghiệm.
a)
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Năm 2012, Cộng đồng Châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bị bệnh bò điên. Người ta tiến hành một loại xét nghiệm và cho kết quả như sau: Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm là ; còn khi con bò không bị bệnh thì xác suất để xảy ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm đó là
. Biết rằng ti lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 1,5 con trên 100000 con. Gọi
là biến cố một con bò bị bệnh bò điên,
là biến cố một con bò phản ứng dương tính với xét nghiệm.
a) . Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
Tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 1,5 con trên con nghĩa là
.
Khi con bò bị bệnh bò điên, thì xác suất để ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm là 60%, nghĩa là:
Khi con bò không bị bệnh, thì xác xuất để xả ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm đó là 20%, nghĩa là . Khi đó, ta có:
Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là
và dự án 2 là
. Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2?
Gọi A là biến cố ”Thắng thầu dự án 1″
Gọi B là biến cố “Thắng thầu dự án 2″
Theo đề bài ta có: với 2 biến cố A; B độc lập.
Gọi E là biến cố “thắng thầu dự án 2 biết không thắng thầu dự án 1” do A; B là hai biến cố độc lập nên:
.
Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là
. Thống kê cho thấy
cặp sinh đôi là trai;
cặp sinh đôi là gái và
cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Tỉ lệ cặp sinh đôi thật trong số các cặp sinh đôi có cùng giới tính.
Gọi A: “Nhận được cặp sinh đôi thật”
B: “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”
Do các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính nên
Với các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập nhau và có xác suất là 0,5 nên
Do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Thay số ta xác định được .
Do công thức Bayes:
Trong quân sự, một máy bay chiến đấu của đối phương có thể xuất hiện ở vị trí X với xác suất
. Nếu máy bay đó không xuất hiện ở vị trí X thì nó xuât hiện ở vị trí Y. Để phòng thủ, các bệ phóng tên lửa được bố trí tại các vị trí X và Y. Khi máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí X hoặc Y thì tên lửa sẽ được phóng để hạ máy bay đó. Xét phương án tác chiến sau:
Nếu máy bay xuất hiện tại X thì bắn hai quả tên lửa và nếu máy bay xuất hiện tại Y thì bắn 1 quả tên lửa. Biết rằng, xác suất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là
và các bệ phóng tên lửa hoạt động độc lập. Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất 1 quả tên lửa.
Tính xác suất bắn hạ máy bay đối phương trong phương án tác chiến nêu trên?
Xét biến cố A: “Máy bay xuất hiện ở vị trí X”, điều đó có nghĩa là biến cố : “Máy bay xuất hiện ở vị trí Y”.
Xét biến cố B: “Máy bay bị bắn hạ”.
Ta có
Tính được
Tính : Đây là xác suất để máy bay bị bắn hạ tại vị trí X.
Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất một 1 quả tên lửa (trong 2 quả tên lửa đối với máy bay ở vị trí X), mà xác suất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là 0,8, vậy:
Tính : Đây là xác suất để máy bay bị bắn hạ tại vị trí Y.
Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất một 1 quả tên lửa (trong 1 quả tên lửa đối với máy bay ở vị trí Y), mà xác suất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là 0,8 vậy
Vậy xác suất để máy bay bị bắn hạ là
Theo thống kê xác suất để hai ngày liên tiếp có mưa ở một thành phố vào mùa hè là
; còn không mưa là
. Biết các sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng. Tính xác suất để ngày thứ hai có mưa, biết ngày đầu không mưa?
Gọi A là "ngày đầu mưa" và B là "ngày thứ hai mưa" thì ta có:
Vì các sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng nên
Xác suất cần tính là có:
Một lớp có 60 học sinh, trong đó 40 học sinh mặc áo có màu xanh, 10 học sinh mặc áo có cả xanh lẫn trắng. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất để học sinh đó áo có màu trắng với điều kiện áo em đó đã có màu xanh?
Minh họa bài toán
Gọi A là biến cố “học sinh được chọn mặc áo trắng”
Gọi B là biến cố “học sinh được chọn mặc áo xanh”
A.B là biến cố “học sinh được chọn mặc áo trắng lẫn xanh” Xác suất để học sinh đó áo có màu trắng với điều kiện áo em đó đã có màu xanh:
Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là
. Người ta áp dụng phương pháp chẩn đoán mới thì thấy nếu khẳng định có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp; còn nếu khẳng định không bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. Tính xác suất để chẩn đoán có bệnh?
Gọi A là "người đến khám có bệnh" thì A, tạo thành hệ đầy đủ
Gọi B là "Chẩn đoán có bệnh".
Ta có
Tìm P(B) từ: