Cho hai biến cố
và
của một phép thử T. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được gọi là xác suất của
với điều kiện
, ký hiệu là
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Nếu thì
.
Cho hai biến cố
và
của một phép thử T. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được gọi là xác suất của
với điều kiện
, ký hiệu là
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Nếu thì
.
Một công ty du lịch bố trí chỗ cho đoàn khách tại ba khách sạn
theo tỉ lệ
. Tỉ lệ hỏng điều hòa ở ba khách sạn lần lượt là
. Tính xác suất để một khách nghỉ ở phòng điều hòa bị hỏng.
Gọi ” Để một khách ở phòng điều hòa bị hỏng”
Gọi lần lượt là các biến cố Khách nghỉ tại ba khách sạn
.
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
.
Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh
mà tỉ lệ người mắc bệnh là
và một loại xét nghiệm
mà ai mắc bệnh
khi xét nghiệm
cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có
những người không bị bệnh
lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả uử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Xác suất người đó bị mắc bệnh
là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án : 0,03
Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh mà tỉ lệ người mắc bệnh là
và một loại xét nghiệm
mà ai mắc bệnh
khi xét nghiệm
cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có
những người không bị bệnh
lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả uử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Xác suất người đó bị mắc bệnh
là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án : 0,03
Xét các biến cố:
: "Người được chọn mắc bệnh
";
: "Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y".
Theo giả thiết ta có:
;
Theo công thức Bayes, ta có:
Vậy nếu người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm thì xác suất bị mắc bệnh
của người đó là khoảng 0,03.
Một đoàn tàu gồm
toa đỗ ở sân ga. Có
hành khách bước lên tàu, mỗi hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên
toa. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất
hành khách bước lên tàu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 0,62
Một đoàn tàu gồm toa đỗ ở sân ga. Có
hành khách bước lên tàu, mỗi hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên
toa. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất
hành khách bước lên tàu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 0,62
Không gian mẫu là số cách sắp xếp hành khách lên
toa tàu. Vì mỗi hành khách có
cách chọn toa nên có
cách xếp.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
hành khách bước lên tàu mà mỗi toa có ít nhất
hành khách
. Để tìm số phần tử của biến cố
ta đi tìm số phần tử của biến cố
, tức có toa không có hành khách nào bước lên tàu, có
khả năng sau:
Trường hợp thứ nhất: Có toa không có hành khách bước lên.
+) Chọn trong
toa để không có khách bước lên, có
cách.
+) Sau đó cả hành khách lên toa còn lại, có
cách.
Do đó trường hợp này có cách.
Trường hợp thứ hai: Có toa không có hành khách bước lên.
+) Chọn trong
toa để không có khách bước lên, có
cách.
+) Hai toa còn lại ta cần xếp hành khách lên và mỗi toa có ít nhất
hành khách, có
.
Do đó trường hợp này có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là
và dự án 2 là
. Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là:
Gọi A là biến cố ”Thắng thầu dự án 1″
Gọi B là biến cố “Thắng thầu dự án 2″
Theo đề bài ta có: với 2 biến cố
độc lập.
Gọi C là biến cố “Thắng thầu đúng 1 dự án” khi đó ta có:
Cho 2 lô sản phẩm. Lô I có 20 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm lỗi. Lô II có 20 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 1 lô và từ lô này lấy ngầu nhiên ra 1 sản phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt bằng
.Đúng||Sai
b) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm lỗi bằng
. Đúng||Sai
c) Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ II bằng
. Đúng||Sai
d) Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ I bằng
. Sai||Đúng
Cho 2 lô sản phẩm. Lô I có 20 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm lỗi. Lô II có 20 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 1 lô và từ lô này lấy ngầu nhiên ra 1 sản phẩm. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt bằng .Đúng||Sai
b) Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm lỗi bằng . Đúng||Sai
c) Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ II bằng . Đúng||Sai
d) Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Xác suất đế sản phẩm đó của lô thứ I bằng . Sai||Đúng
Gọi là biến cố: “Lô lấy ra là lô I”
Gọi là biến cố: “Lô lấy ra là lô II”
a) Gọi A là biến cố: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt”
Ta có:
Mà
Vậy
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
.
Một loại linh kiện do 3 nhà máy số I, số II, số III cùng sản xuất. Tỷ lệ phế phẩm của các nhà máy lần lượt là: I; 0,04; II: 0,03 và III: 0,05. Trong 1 lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I, 120 của nhà máy số II và 100 của nhà máy số III. Khách hàng lấy phải một linh kiện loại phế phẩm từ lô hàng đó. Khả năng linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao nhất?
Gọi E1 là biến cố phế phẩm máy số I
E2 là biến cố phế phẩm máy số II
E3 là biến cố phế phẩm máy số III
Gọi B là biến cố khách hàng lấy được 1 linh kiện tốt
Xác suất để khách hàng lấy được linh kiện tốt là:
Gọi là biến cố khách hàng lấy 1 linh kiện loại không tốt
Ta xác định được:
Vậy linh kiện đó do máy III là cao nhất.
Hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai. Tính xác suất của biến cố C: “Hai viên bi lấy ra khác màu”
Gọi A là biến cố “Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh”
Gọi B là biến cố “Viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ”.
Ta có:
Ta có sơ đồ cây:
Dựa vào sơ đồ cây, ta có:
Tỉ lệ chính phẩm của máy thứ nhất là
, của máy thứ hai là
. Một lô sản phẩm gồm
sản phẩm của máy thứ nhất và
sản phẩm của máy thứ hai. Người ta lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm để kiếm tra thấy là sản phẩm tốt. Tìm xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất?
Gọi A là biến cố “Sản phẩm kiểm tra là sản phẩm tốt”
B1 là biến cố “Sản phẩm do máy thứ nhất sản xuất”.
B2 là biến cố “Sản phẩm do máy thứ hai sản xuất”
Do là họ đầy đủ các biến cố.
Ta có:
Áp dụng công thức Bayes ta có:
Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.
Gọi A là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.
Gọi B là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.
Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì .
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Có hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai có 9 phiếu. Học sinh A đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Giáo viên rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó cho học sinh A rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ hai. Tính xác suất để học sinh trả lời được câu hỏi trong phiếu.
Gọi E1 là biến cố thầy giáo rút 1 câu thuộc từ hộp 1 bỏ vào hộp 2. Khi đó hộp 2 có 9 câu thuộc và 1 câu không thuộc.
Gọi E2 là biến cố thầy giáo rút 1 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ vào hộp 2. Khi đó hộp 2 có 8 câu thuộc và 2 câu không thuộc.
E1, E2 tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ. B xảy ra với 1 trong 2 biến cố.
Ta có:
Thay vào công thức suy ra
Để gây đột biến cho một tính trạng người ta tìm cách tác động lên hai gen
bằng phóng xạ. Xác suất đột biến của tính trạng do gen
là
; do gen B là
và do cả hai gen là
. Tính xác suất để có đột biến ở tính trạng đó biết rằng phóng xạ có thể tác động lên gen
với xác suất
và lên gen
với xác suất
?
Gọi C là biến cố có đột biến ở tính trạng đang xét
A là biến cố phóng xạ tác dụng lên gen A
B là biến cố phóng xạ tác dụng lên gen B
C1 là biến cố phóng xạ chỉ tác động lên gen A
C2 là biến cố phóng xạ chỉ tác dụng lên gen B
C3 là biến cố phóng xạ tác dụng lên cả 2 gen
là biến cố phóng xạ không tác dụng lên gen nào
Khi đó hệ là một hệ đầy đủ
Mặt khác độc lập nên
Mặt khác và
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
Một tập gồm 10 chứng từ, trong đó có 2 chứng từ không hợp lệ. Một cán bộ kế toán rút ngẫu nhiên 1 chứng từ và tiếp đó rút ngẫu nhiên 1 chứng từ khác để kiểm tra. Tính xác suất để cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ?
Gọi A là biến cố cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ
B là biến cố trong 3 chứng từ rút ra, chỉ có chứng từ thứ 3 không hợp lệ.
Theo yêu cầu của đầu bài ta phải tính xác xác suất
Nếu gọi Ai là biến cố chứng từ rút ra lần thứ i là hợp lệ} (i = 1,3).
Khi đó ta có: và
Vì vậy các xác suất cần tìm là:
Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt bằng 8
Số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố “Số chấm trên mặt hai lần gieo có tổng bằng 8”.
Theo bài ra, ta có
Khi đó số kết quả thuận lợi của biến cố là
Vậy xác suất cần tính .
Áo sơ mi May10 trước khi xuất khẩu sang phải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân
sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và
sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tìm xác suất để 1 chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu?
Gọi A là biến cố ”Qua được lần kiểm tra đầu tiên”
Gọi B là biên cố “Qua được lần kiểm tra thứ 2”
Chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu phải thỏa mãn 2 điều kiện trên hay ta đi tính
Ta có:
.
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Cho hai biến cố
và
với
. Biết ![]()
. Tính
?
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai?
Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai?