Cho hai biến cố
với
. Tính
?
Ta có:
Cho hai biến cố
với
. Tính
?
Ta có:
Áo sơ mi An Phước trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và 95% sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tìm xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án : 0,93
Áo sơ mi An Phước trước khi xuất khẩu sang Mỹ phải qua 2 lần kiểm tra, nếu cả hai lần đều đạt thì chiếc áo đó mới đủ tiêu chuẩn xuất khẩu. Biết rằng bình quân 98% sản phẩm làm ra qua được lần kiểm tra thứ nhất và 95% sản phẩm qua được lần kiểm tra đầu sẽ tiếp tục qua được lần kiểm tra thứ hai. Tìm xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án : 0,93
Gọi A là biến cố “qua được lần kiểm tra đầu tiên”
Gọi B là biến cố “qua được lần kiểm tra thứ 2”
Chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu phải thỏa mãn 2 điều kiện trên, hay ta đi tính .
Ta có
Theo thống kê ở các gia đình có hai con thì xác suất để con thứ nhất và con thứ hai là đều con trai là
và hai con đều là gái là
, còn xác suất con thứ nhất và con thứ hai có một trai và một gái là đồng khả năng. Biết khi xét một gia đình được chọn ngẫu nhiên có con thứ nhất là con gái, tìm xác suất để con thứ hai là trai.
Gọi là 'con thứ nhất là con trai' và
là 'con thứ hai là con trai' thì theo đề bài ta có:
,
và
Ta cần tìm .
Ta có
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Cho hai biến cố
và
của một phép thử T. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được gọi là xác suất của
với điều kiện
, ký hiệu là
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Nếu thì
.
Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh X mà tỉ lệ người mắc bệnh là
và một loại xét nghiệm Y mà ai mắc bệnh X khi xét nghiệm Y cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có
những người không bị bệnh X lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Chọn ngẫu nhiên một người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả sử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Xác suất người đó bị mắc bệnh X là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Xét các biến cố:
A: "Người được chọn mắc bệnh X"
B: "Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y".
Theo giả thiết ta có:
Theo công thức Bayes, ta có:
Trong hộp có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ. Lấy lần lượt mỗi lần một viên theo cách lấy không trả lại. Tính xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng?
Gọi C là biến cố “viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng”.
Gọi D là biến cố “viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ”.
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu trắng có 3 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi trong 9 viên còn lại có 9 cách chọn, do đó:
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu trắng có 3 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, do đó:
Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu trắng nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ là: .
Cho hai hộp đựng phiếu bốc thăm trúng thưởng giống nhau:
Hộp thứ nhất có tỉ lệ trúng thưởng bằng
.
Hộp thứ hai có tỉ lệ trúng thưởng bằng
.
Chọn ngẫu nhiên một thùng và lấy ngẫu nhiên một phiếu trong thùng đó thấy phiếu đó trúng thưởng. Bỏ lại phiếu trở lại thùng, từ thùng đó lấy tiếp một phiếu. Tìm xác suất để lần thứ hai cũng lấy được phiếu trúng thưởng.
Gọi A là biến cố phiếu đầu tiên lấy là phiếu trúng thưởng.
Biến cố A có thể xảy ra cùng với một trong các biến cố sau:
H1 phiếu bốc thăm lấy ra từ thùng I.
H2 phiếu bốc thăm lấy ra từ thùng II.
Theo công thức xác xuất toàn phần ta có:
Theo dữ kiện đề bài ta có:
Do đó:
Sau khi biến cố A đã xảy ra, xác suất của các biến cố thay đổi theo công thức Bayes như sau:
Gọi B là biến cố lấy phiếu lần thứ hai là trúng thưởng.
B vẫn có thể xảy ra với một trong hai giả thiết do đó theo công thức xác suất toàn phần ta có:
Vì phiếu lấy lần thứ nhất bỏ trở lại thùng, do đó tỉ lệ trúng thưởng ở các thùng đó vẫn không thay đổi.
Vì thế
Có hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai có 9 phiếu. Học sinh A đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Giáo viên rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó cho học sinh A rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ hộp thứ hai. Tính xác suất để học sinh trả lời được câu hỏi trong phiếu.
Gọi E1 là biến cố thầy giáo rút 1 câu thuộc từ hộp 1 bỏ vào hộp 2. Khi đó hộp 2 có 9 câu thuộc và 1 câu không thuộc.
Gọi E2 là biến cố thầy giáo rút 1 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ vào hộp 2. Khi đó hộp 2 có 8 câu thuộc và 2 câu không thuộc.
E1, E2 tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ. B xảy ra với 1 trong 2 biến cố.
Ta có:
Thay vào công thức suy ra
Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây, người ta trồng hạt giống của loại cây đó trên hai lô đất thí nghiệm
khác nhau. Xác suất phát triển bình thường của cây đó trên các lô đất
và
lần lượt là 0,56 và 0,62. Lặp lại thí nghiệm trên với đầy đủ các điều kiện tương đồng. Xét các biến cố:
: "Cây phát triển bình thường trên lô đất
";
: "Cây phát triển bình thường trên lô đất
".
a) Các cặp biến cố
và
và
là độc lập. Đúng||Sai
b) Hai biến cố
và
không là hai biến cố xung khắc.Sai||Đúng
c)
. Sai||Đúng
d) Xác suất để cây chỉ phát triển bình thường trên một lô đất là 0,4856. Đúng||Sai
Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây, người ta trồng hạt giống của loại cây đó trên hai lô đất thí nghiệm khác nhau. Xác suất phát triển bình thường của cây đó trên các lô đất
và
lần lượt là 0,56 và 0,62. Lặp lại thí nghiệm trên với đầy đủ các điều kiện tương đồng. Xét các biến cố:
: "Cây phát triển bình thường trên lô đất
";
: "Cây phát triển bình thường trên lô đất
".
a) Các cặp biến cố và
và
là độc lập. Đúng||Sai
b) Hai biến cố và
không là hai biến cố xung khắc.Sai||Đúng
c) . Sai||Đúng
d) Xác suất để cây chỉ phát triển bình thường trên một lô đất là 0,4856. Đúng||Sai
Các cặp biến cố và
và
là độc lập vì hai lô đất khác nhau.
Hai biến cố và
là hai biến cố xung khắc.
Ta có: .
Xác suất để cây chi phát triển bình thường trên một lô đất là:
Ba khẩu pháo cùng bắn vào một mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi khẩu là
. Biết rằng xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt khi trúng một phát đạn là
, khi trúng 2 phát đạn là
, còn trúng 3 phát đạn thì chắc chắn mục tiêu bị tiêu diệt. Giả sử mỗi khẩu pháo bắn 1 phát. Tính xác suất để khẩu thứ 3 có đóng góp vào thành công đó?
Gọi : "Khẫu pháo thứ
bắn trúng"
)
: "Mục tiêu trúng
phát đạn"
: "Mục tiêu bị tiêu diệt".
Ta có: là một hệ đầy đủ các biến cố và
Ta có các giả thiết sau:
Từ đó, ta tính được:
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
Khi đó ta có:
Do đó
Một nhóm học sinh có 30 học sinh, trong đó có 16 em học khá môn Toán, 25 em học khá môn Hóa học, 12 em học khá cả hai môn Toán và Hóa học. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số đó. Tính xác suất để học sinh đó học khá môn Toán biết rằng học sinh đó học khá môn Hóa học?
Gọi A: “Học sinh đó học khá môn Toán”
Và B: “Học sinh đó học khá môn Hóa học”
Theo bài ra ta có:
Tan giờ học buổi chiều một sinh viên có
về nhà ngay, nhưng do giờ cao điểm nên có 30% ngày bị tắc đường nên bị về nhà muộn (từ 30 phút trở lên) còn
số ngày sinh viên đó vào quán Internet cạnh trường để chơi Games, những ngày này xác suất về nhà muộn là
. Còn lại những ngày khác sinh viên đó đi chơi với bạn bè có xác suất về muộn là
. Tính xác suất để trong một ngày nào đó sinh viên không về muộn.
Gọi B là biến cố sinh viên đó đi học về muộn
là biến cố sinh viên đó đi học không về muộn
E1 là biến cố tan học về nhà ngay
E2 là biến cố tan học đi chơi game
E3 là biến cố tan học về đi chơi với bạn
B có thể xảy ra một trong 3 biến cố
Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là
. Người ta áp dụng phương pháp chẩn đoán mới thì thấy nếu khẳng định có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp; còn nếu khẳng định không bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. Tính xác suất để chẩn đoán có bệnh?
Gọi A là "người đến khám có bệnh" thì A, tạo thành hệ đầy đủ
Gọi B là "Chẩn đoán có bệnh".
Ta có
Tìm P(B) từ:
Một tập gồm 10 chứng từ, trong đó có 2 chứng từ không hợp lệ. Một cán bộ kế toán rút ngẫu nhiên 1 chứng từ và tiếp đó rút ngẫu nhiên 1 chứng từ khác để kiểm tra. Tính xác suất để cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ?
Gọi A là biến cố cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ
Theo yêu cầu của đầu bài ta phải tính xác xác suất P(A)
Nếu gọi Ai là biến cố chứng từ rút ra lần thứ i là hợp lệ} (i = 1,3).
Khi đó ta có:
Vì vậy các xác suất cần tìm là:
Trong một kỳ thi, có
học sinh đã làm đúng bài toán đầu tiên và
học sinh đã làm đúng bài toán thứ hai. Biết rằng có
học sinh làm đúng cả hai bài toán. Xác suất để một học sinh làm đúng bài toán thứ hai biết rằng học sinh đó đã làm đúng bài toán đầu tiên là bao nhiêu?
Gọi biến cố : "học sinh đã làm đúng bài toán đầu tiên"
Biến cố : "học sinh đã làm đúng bài toán thứ hai”
Biến cố : "học sinh làm đúng cả hai bài toán"
Xác suất để một học sinh làm đúng bài toán thứ hai biết rằng học sinh đó đã làm đúng bài toán đầu tiên là:
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Cho
và
là các biến cố của phép thử T. Biết rằng
. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
Theo công thức Bayes ta có:
Cho một hộp kín có 6 thẻ ngân hàng của BIDV và 4 thẻ ngân hàng của Techcombank. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 thẻ (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được thẻ ngân hàng của Techcombank nếu biết lần thứ nhất đã lấy được thẻ ngân hàng của BIDV
Gọi A là biến cố “lần thứ hai lấy được thẻ ngân hàng Techcombank“, B là biến cố “lần thứ nhất lấy được thẻ ngân hàng của BIDV “.
Ta cần tìm Sau khi lấy lần thứ nhất (biến cố B đã xảy ra) trong hộp còn lại 9 thẻ (trong đó 4 thẻ Techcombank) nên
.
Phòng thi đánh giá năng lực có 10 học sinh trong đó có 2 học sinh giỏi (trả lời 100% các câu hỏi), 3 học sinh khá (trả lời 80% các câu hỏi), 5 học sinh trung bình (trả lời 50% các câu hỏi). Gọi ngẫu nhiên một học sinh vào thi và phát đề có 4 câu hỏi (được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu). Thấy học sinh này trả lời được cả 4 câu, tính xác suất để học sinh đó là học sinh khá? Xác suất gần bằng số nào sau đây?
Gọi lần lượt là các biến cố gọi một học sinh Giỏi, Khá, Trung Bình
Nên là hệ biến cố đầy đủ.
Gọi B “học sinh đó trả lời được 4 câu hỏi”
Ta có:
Ta lại có:
2 học sinh Giỏi (trả lời 100% các câu hỏi) ⇒ Trả lời 20 câu hỏi
3 học sinh Khá (trả lời 80% các câu hỏi) ⇒ Trả lời câu hỏi.
5 học sinh Trung Bình (trả lời 50% các câu hỏi) ⇒ Trả lời câu hỏi.
Từ đó:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
Xác suất để sinh viên đó là sinh viên khá là
Áp dụng công thức Bayes ta có: