Cho hai biến cố
và
là hai biến cố độc lập, với
. Tính
?
Hai biến cố và
là hai biến cố độc lập nên
.
Cho hai biến cố
và
là hai biến cố độc lập, với
. Tính
?
Hai biến cố và
là hai biến cố độc lập nên
.
Cho hai biến cố
,
với
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
.
Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. Bạn Hoa lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa.
Xét các biến cố:
: "Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn"
: "Quả bóng lấy ra lần hai có số lẻ".
Tính xác suất có điều kiện
?
Ta có:
Vậy
Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là
. Thống kê cho thấy
cặp sinh đôi là trai;
cặp sinh đôi là gái và
cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Tỉ lệ cặp sinh đôi thật trong số các cặp sinh đôi có cùng giới tính.
Gọi A: “Nhận được cặp sinh đôi thật”
B: “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”
Do các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính nên
Với các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập nhau và có xác suất là 0,5 nên
Do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Thay số ta xác định được .
Do công thức Bayes:
Trong hộp có 20 nắp chai Cocacola trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng”. Bạn A được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp chai, xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng là:
Gọi A là biến cố “nắp đầu trúng thưởng”
Gọi B là biến cố “nắp thứ hai trúng thưởng”
Ta đi tìm giá trị
Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng do đó:
Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng, do đó:
Ta có:
.
Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất câu được cá ở mỗi chỗ lần lượt là
. Biết rằng mỗi chỗ người đó thả câu 3 lần thì chỉ có một lần câu được cá. Người đó đã câu được một con cá. Tính xác suất để con cá câu được đó ở chỗ thứ nhất.
Gọi A là sự kiện câu được cá ở chỗ thứ 1, B là sự kiện câu được 1 con cá.
Theo đề bài, ta biết rằng người đó chọn ngẫu nhiên 1 chỗ rồi thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cá.
Ta cần tìm xác suất P(A|B), tức là xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 khi biết đã câu được 1 con cá.
Theo công thức Bayes, ta có:
P(B|A) là xác suất câu được 1 con cá khi đã biết câu ở chỗ thứ 1 là A.
Vì xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 là , nên
P(A) là xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1.
Vì có 3 chỗ ưa thích như nhau, nên xác suất câu được cá ở chỗ thứ 1 là .
P(B) là xác suất câu được 1 con cá. Ta có thể tính xác suất này bằng cách sử dụng định lý xác suất toàn phần:
Trong đó:
là xác suất câu được 1 con cá khi không câu ở chỗ thứ 1 là A. Vì xác suất câu được cá ở chỗ thứ 2 và chỗ thứ 3 lần lượt là
và
nên
là xác suất không câu được cá ở chỗ thứ 1. Vì có 3 chỗ ưa thích như nhau, nên xác suất không câu được cá ở chỗ thứ 1 là
.
Thay các giá trị vào công thức Bayes, ta có:
Vậy Xác suất con cá câu được ở chỗ thứ 1 là:
Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt bằng 8
Số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố “Số chấm trên mặt hai lần gieo có tổng bằng 8”.
Theo bài ra, ta có
Khi đó số kết quả thuận lợi của biến cố là
Vậy xác suất cần tính .
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là
và dự án 2 là
. Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là:
Gọi A là biến cố ”Thắng thầu dự án 1″
Gọi B là biến cố “Thắng thầu dự án 2″
Theo đề bài ta có: với 2 biến cố
độc lập.
Gọi C là biến cố “Thắng thầu đúng 1 dự án” khi đó ta có:
Có ba kiện hàng (mỗi kiện hàng có
sản phẩm) với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện là
. Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả sản phẩm này lại kiện hàng vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Tính xác suất để các sản phẩm tốt đó được lấy từ kiện hàng thứ nhất?
Gọi Ai là "sản phẩm lấy từ kiện thứ i" thì A1, A2, A3 tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi A là các sản phẩm lấy ra đều tốt.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Từ đó ta có:
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Có 40 phiếu kiểm tra, mỗi phiếu có một câu hỏi, biết rằng có 13 câu hỏi lý thuyết (gồm 5 câu mức độ khó và 8 câu mức độ dễ) và 27 câu hỏi bài tập (gồm 12 câu mức độ khó và 15 câu mức độ dễ). Lấy ngẫu nhiên ra một phiếu. Tìm xác suất rút được câu hỏi lý thuyết mức độ khó.
Có 40 phiếu kiểm tra, mỗi phiếu có một câu hỏi, biết rằng có 13 câu hỏi lý thuyết (gồm 5 câu mức độ khó và 8 câu mức độ dễ) và 27 câu hỏi bài tập (gồm 12 câu mức độ khó và 15 câu mức độ dễ). Lấy ngẫu nhiên ra một phiếu. Tìm xác suất rút được câu hỏi lý thuyết mức độ khó.
Theo thống kê ở các gia đình có hai con thì xác suất để con thứ nhất và con thứ hai là đều con trai là
và hai con đều là gái là
, còn xác suất con thứ nhất và con thứ hai có một trai và một gái là đồng khả năng. Biết khi xét một gia đình được chọn ngẫu nhiên có con thứ nhất là con gái, tìm xác suất để con thứ hai là trai.
Gọi là 'con thứ nhất là con trai' và
là 'con thứ hai là con trai' thì theo đề bài ta có:
,
và
Ta cần tìm .
Ta có
Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng
và
. do có nhiễu trên đường truyền nên
tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn
tín hiệu B bị méo cà thu được như A. Xác suất thu được tín hiệu A là:
Gọi A là biến cố “Phát tín hiệu A ”
Gọi B là biến cố “Phát tín hiệu A ”
Gọi TA là biến cố “Phát được tín hiệu A ”
Gọi TB là biến cố “Phát được tín hiệu B”.
Ta cần tính ta có:
khi đó:
Theo công thức Bayes, ta có:
Cho
và
là các biến cố của phép thử T. Biết rằng
. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
Theo công thức Bayes ta có:
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,8 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là 0,1 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Chị Mai có tiếp xúc với người bệnh hai lần, một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất để chị Mai bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).
Đáp án: 0,82
Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,8 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là 0,1 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Chị Mai có tiếp xúc với người bệnh hai lần, một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất để chị Mai bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).
Đáp án: 0,82
Gọi là biến cố: "Chị Hoa bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc người bệnh mà không đeo khẩu trang" và
: "Chị Hoa bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc với người bệnh dù có đeo khẩu trang”.
Dễ thấy là hai biến cố độc lập.
Xác suất để chị Hoa không nhiễm bệnh trong cả hai lần tiếp xúc với người bệnh là
.
Gọi là xác suất để chị Hoa bị lây bệnh khi tiếp xúc người bệnh, ta có:
Một chiếc máy bay có thể xuất hiện không phận của điểm A với xác suất là
hoặc không phận của điểm B với xác suất là
. Giả sử có 3 phương án bố trí 4 khẩu pháo để hạ máy bay như sau:
Phương án 1: 3 khẩu đặt ở điểm A và 1 khẩu đặt ở điểm B.
Phương án 2: 2 khấu đặt ở điểm A và 2 khẩu đặt ở điểm B.
Phương án 3: 1 khẩu đặt ở điểm A và 3 khẩu đặt ở điểm B.
Biết rằng xác suất bắn trúng (hạ máy bay) của mỗi khẩu bằng
và các khẩu pháo bắn độc lập với nhau. Phương án nào xác suất bắn trúng máy bay cao nhất?
Phương án 1: 3 khẩu đặt tại A và 1 khẩu đặt tại B Nếu có 3 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.
Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:
(tính theo biến cố đối của biến cố: không có khẩu nào bắn trúng)
=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án I:
Phương án 2: 2 khẩu đặt tại 4 và 2 khẩu đặt tại B Nếu có 2 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.
Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:
Tương tự, xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:
=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án II:
Phương án 3: 1 khẩu đặt tại A và 3 khẩu đặt tại B com Nếu có 3 khẩu đặt tại B thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.
Xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:
=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án III:
Vậy phương án 2 có xác suất bắn trúng máy bay cao nhất.
Giả sử tỉ lệ người dân của tỉnh T nghiện thuốc lá là
; tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là
, trong số người không nghiện thuốc lá là
. Hỏi khi ta gặp ngẫu nhiên một người dân của tỉnh T thì khả năng mà đó bị bệnh phổi là bao nhiêu
?
Gọi A là biến cố “người nghiện thuốc lá”, suy ra A là biến cố “người không nghiện thuốc lá”
Gọi B là biến cố “người bị bệnh phổi”
Để người mà ta gặp bị bệnh phổi thì người đó nghiện thuốc lá hoặc không nghiện thuốc lá.
Ta cần tính
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Áp dụng công thức Bayes ta có: