Nếu hai biến cố
thỏa mãn
thì
bằng bao nhiêu?
Theo công thức Bayes ta có:
Nếu hai biến cố
thỏa mãn
thì
bằng bao nhiêu?
Theo công thức Bayes ta có:
Một cửa hàng có hai loại bóng đèn Led, trong đó có
bóng đèn Led là màu trắng và
bóng đèn Led là màu xanh, các bóng đèn có kích thước như nhau. Các bóng đèn Led màu trắng có tỉ lệ hỏng là
và các bóng đèn Led màu xanh có tỉ lệ hỏng là
. Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên một bóng đèn Led từ cửa hàng. Xác suất để khách hàng chọn được bóng đèn Led không hỏng bằng bao nhiêu?
Xét các biến cố:
A: "Khách hàng chọn được bóng đèn Led màu trắng"
B: "Khách hàng chọn được bóng đèn Led không hỏng".
Ta có:
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
Hộp I có 4 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi. 1. Tính xác suất để viên bi rút ra sau cùng màu đỏ?
Gọi D1, X1 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp I sang hộp II",
D2, X2 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp II sang hộp I".
Khi đó hệ D1D2, D1X2, X1D2, X1X2 tạo thành hệ đầy đủ.
Ta có:
Gọi A là "viên bi rút ra sau cùng là màu đỏ".
Ta xác định được:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức Bayes:
.
Một gia đình có 2 đứa trẻ. Biết rằng có ít nhất 1 đứa trẻ là con gái. Xác suất để một đứa trẻ là trai hoặc gái là bằng nhau. Hỏi xác suất hai đứa trẻ đều là con gái là bao nhiêu?
Giới tính cả 2 đứa trẻ là ngẫu nhiên và không liên quan đến nhau.
Do gia đình có 2 đứa trẻ nên sẽ có thể xảy ra 4 khả năng: (trai, trai), (gái, gái), (gái, trai), (trai, gái).
Gọi A là biến cố “Cả hai đứa trẻ đều là con gái” Gọi B là biến cố “Có ít nhất một đứa trẻ là con gái”
Ta có:
Do nếu xảy ra A thì đương nhiên sẽ xảy ra B nên ta có:
Suy ra, xác suất để cả hai đứa trẻ đều là con gái khi biết ít nhất có một đứa trẻ là gái là: .
Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng
và
. do có nhiễu trên đường truyền nên
tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn
tín hiệu B bị méo và thu được như A. Tìm xác suất thu được tín hiệu A?
Gọi A, B lần lượt là "phát ra tín hiệu A, B".
Khi đó A, B tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi C là "thu được tín hiệu A".
Khi đó:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
.
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Có 2 xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II, xác suất bắn trúng đích của các loại xạ thủ loại I là 0,9 và loại II là 0,7. Chọn ngẫu nhiên ra một xạ thủ và xạ thủ đó bắn một viên đạn. Tìm xác suất để viên đạn đó trúng đích.
Gọi A là biến cố "Viên đạn trúng đích".
là biến cố "Chọn xạ thủ loại I bắn".
là biến cố "Chọn xạ thủ loại II bắn".
Ta có tạo thành họ đầy đủ các biến cố.
Áp dụng công thức ta có:
Một chiếc máy bay có thể xuất hiện không phận của điểm A với xác suất là
hoặc không phận của điểm B với xác suất là
. Giả sử có 3 phương án bố trí 4 khẩu pháo để hạ máy bay như sau:
Phương án 1: 3 khẩu đặt ở điểm A và 1 khẩu đặt ở điểm B.
Phương án 2: 2 khấu đặt ở điểm A và 2 khẩu đặt ở điểm B.
Phương án 3: 1 khẩu đặt ở điểm A và 3 khẩu đặt ở điểm B.
Biết rằng xác suất bắn trúng (hạ máy bay) của mỗi khẩu bằng
và các khẩu pháo bắn độc lập với nhau. Phương án nào xác suất bắn trúng máy bay cao nhất?
Phương án 1: 3 khẩu đặt tại A và 1 khẩu đặt tại B Nếu có 3 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.
Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:
(tính theo biến cố đối của biến cố: không có khẩu nào bắn trúng)
=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án I:
Phương án 2: 2 khẩu đặt tại 4 và 2 khẩu đặt tại B Nếu có 2 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.
Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:
Tương tự, xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:
=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án II:
Phương án 3: 1 khẩu đặt tại A và 3 khẩu đặt tại B com Nếu có 3 khẩu đặt tại B thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.
Xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:
=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án III:
Vậy phương án 2 có xác suất bắn trúng máy bay cao nhất.
Cho hai biến cố
và
. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được gọi là xác suất của
với điều kiện
, ký hiệu là
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Công thức tính xác suất của biến cố khi biết biến cố
đã xảy ra
là:
.
Một cửa hàng sách ước lượng rằng: trong tổng số các khách hàng đến cửa hàng có
khách cần hỏi nhân viên bán hàng,
khách mua sách và
khách thực hiện cả hai điều trên. Gặp ngẫu nhiên một khách trong nhà sách. Tính xác suất để người này không mua sách, biết rằng người này đã hỏi nhân viên bán hàng?
Gọi A là "khách hỏi nhân viên bán hàng" và B là "khách mua sách".
Ta có:
.
Tan giờ học buổi chiều một sinh viên có
về nhà ngay, nhưng do giờ cao điểm nên có 30% ngày bị tắc đường nên bị về nhà muộn (từ 30 phút trở lên) còn
số ngày sinh viên đó vào quán Internet cạnh trường để chơi Games, những ngày này xác suất về nhà muộn là
. Còn lại những ngày khác sinh viên đó đi chơi với bạn bè có xác suất về muộn là
. Tính xác suất để trong một ngày nào đó sinh viên không về muộn.
Gọi B là biến cố sinh viên đó đi học về muộn
là biến cố sinh viên đó đi học không về muộn
E1 là biến cố tan học về nhà ngay
E2 là biến cố tan học đi chơi game
E3 là biến cố tan học về đi chơi với bạn
B có thể xảy ra một trong 3 biến cố
Một hệ thống được cấu tạo bởi 3 bộ phận độc lập nhau. Hệ thống sẽ hoạt động nếu ít nhất 2 trong 3 bộ phận còn hoạt động. Nếu độ tin cậy của mỗi bộ phận là 0.95 thì độ tin cậy của hệ thống là bao nhiêu?
Gọi Bi: "Bộ phận thứ i hoạt động tốt" (i = 1, 2, 3)
H: "Hệ thống hoạt động tốt"
Theo giả thiết, ta thấy rằng P(Bi) = 0.95 với i = 1, 2, 3 và
Do tính độc lập, xung khắc và đối xứng nên:
.
Cho hai biến cố
với
. Tính
?
Ta có:
Điều trị phương pháp I, phương pháp II, phương pháp III tương ứng cho
bệnh nhân. Xác suất khỏi của các phương pháp tương ứng là
. Điều trị một trong 3 phương pháp cho bệnh nhân đã khỏi, tìm phương pháp có tỉ lệ chữa khỏi bệnh thấp nhất?
Tổng số bệnh nhân điều trị là 10000 người
Gọi A1 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ I.
A2 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ II.
A3 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ III.
Khi đó:
Gọi B là biến cố điều trị khỏi bệnh.
Khi đó
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Ta có:
Vậy phương pháp có tỉ lệ chữa khỏi bệnh thấp nhất là phương pháp III.
Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là
và dự án 2 là
. Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là:
Gọi A là biến cố ”Thắng thầu dự án 1″
Gọi B là biến cố “Thắng thầu dự án 2″
Theo đề bài ta có: với 2 biến cố
độc lập.
Gọi C là biến cố “Thắng thầu đúng 1 dự án” khi đó ta có:
Có 6 khẩu súng cũ và 4 khẩu súng mới, trong đó xác suất trúng khi bắn bằng súng cũ là
, còn súng mới là
. Thực hiện bắn bằng một khẩu súng vào một mục tiêu thì thấy trúng. Hỏi sử dụng loại súng nào khả năng bắn trúng cao hơn?
Gọi M là biến cố "bắn bằng khẩu mới" thì là biến cố "bắn bằng khẩu cũ".
Có P(M) = 0,4 và P( ) = 0,6.
Gọi T là biến cố "bắn trúng" thì theo đề bài, ta có:
P(T | M) = 0,95; P(T | ) = 0,8.
Áp dụng công thức xác suất điều kiện suy ra
Suy ra bắn bằng khẩu cũ có khả năng xảy ra cao hơn.
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Trong một túi có một số viên kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 viên kẹo màu trắng, còn lại là kẹo màu xanh. Bạn T lấy ngẫu nhiên 1 viên kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó T lại lấy ngẫu nhiên thêm 1 viên kẹo khác từ trong túi. Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu viên kẹo? Biết rằng xác suất T lấy được cả hai viên kẹo màu trắng là
.
Gọi A là biến cố “T lấy được viên kẹo màu trắng ở lần thứ nhất”
Gọi B là biến cố “T lấy được viên kẹo màu trắng ở lần thứ hai”.
Ta có xác suất để T lấy được cả hai viên kẹo màu trắng là:
Gọi số kẹo ban đầu trong túi là: (viên)
Điều kiện
Ta có:
Theo công thức nhân xác suất, ta có:
Mà
Vậy ban đầu trong túi có 10 viên kẹo.
Cho
và
là hai biến cố độc lập thoả mãn
và
. Khi đó,
bằng:
A và B là hai biến cố độc lập nên