Cho ba biến cố
độc lập từng đôi thỏa mãn
và
. Xác định
?
Ta có:
.
Cho ba biến cố
độc lập từng đôi thỏa mãn
và
. Xác định
?
Ta có:
.
Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. Bạn Hoa lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa.
Xét các biến cố:
: "Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn"
: "Quả bóng lấy ra lần hai có số lẻ".
Tính xác suất có điều kiện
?
Ta có:
Vậy
Một loài sinh vật có các kiểu gen AA, Aa, aa theo tỉ lệ:
. Nếu cá thể bố (mẹ) có kiểu gen AA lai với các thể mẹ (bố) có kiểu gen AA thì các cá thể con đều có kiểu gen AA. Nếu cá thể bố (mẹ) có kiểu gen AA lai với các thể mẹ (bố) có kiểu gen Aa thì cá thể con có kiểu gen AA, Aa theo tỉ lệ
. Nếu cá thể bố (mẹ) có kiểu gen AA lai với các thể mẹ (bố) có kiểu gen aa thì cá thể con chỉ có các kiểu Aa. Chọn một cá thể con từ cá thể mẹ có kiểu gen AA. Tính xác suất ñể cá thể con có kiểu gen Aa.
Gọi B là biến cố cá thể con có kiểu gen Aa
A1 là biến cố cá thể bố có kiểu gen AA
A2 là biến cố cá thể bố có kiểu gen Aa
A3 là biến cố cá thể bố có kiểu gen aa
Hệ: A1, A2, A3 là hệ đầy đủ
Ta xác định được:
Do đó:
Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là
và dự án 2 là
. Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2?
Gọi A là biến cố ”Thắng thầu dự án 1″
Gọi B là biến cố “Thắng thầu dự án 2″
Theo đề bài ta có: với 2 biến cố
độc lập.
Gọi D là biến cố “thắng thầu dự án thứ 2 biết thắng thầu dự án 1” do là hai biến cố độc lập nên:
Có 2 xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II, xác suất bắn trúng đích của các loại xạ thủ loại I là 0,9 và loại II là 0,7. Chọn ngẫu nhiên ra hai xạ thủ và mỗi người bắn một viên đạn. Tìm xác suất để cả hai viên đạn đó trúng đích.
Gọi B là biến cố "Cả 2 viên đạn trúng đích".
là biến cố "Chọn được i xạ thủ loại I".
Ta có tạo thành họ đầy đủ các biến cố.
Áp dụng công thức, ta có
Trong hộp có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ. Lấy lần lượt mỗi lần một viên theo cách lấy không trả lại. Tính xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng?
Gọi C là biến cố “viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng”.
Gọi D là biến cố “viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ”.
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu trắng có 3 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi trong 9 viên còn lại có 9 cách chọn, do đó:
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu trắng có 3 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, do đó:
Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu trắng nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ là: .
Hộp thứ nhất chứa 3 viên bi đen và 2 viên bi trắng. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đen và 5 viên bi trắng. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Mai lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai.
Gọi A: "Viên bi lấy ra lần thứ nhất là bi đen"
Và B: "Viên bi lấy ra lần thứ hai là bi trắng".
Biết rằng biến cố A xảy ra, tính xác suất của biến cố B?
Nếu biến cố A xảy ra thì bạn Mai lấy viên bi đen từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai.
Khi đó hộp thứ hai có 5 viên bi đen và 5 viên bi trắng.
Do đó, xác suất của biến cố B là: .
Người ta khảo sát khả năng chơi nhạc cụ của một nhóm học sinh nam nữ tại một trường phổ thông T. Xét phép thử chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong nhóm đó. Gọi
là biến cố “học sinh được chọn biết chơi ít nhất một nhạc cụ”, và
là biến cố “học sinh được chọn là nam”. Biết xác xuất học sinh được chọn là nam bằng
; xác suất học sinh được chọn là nam và biết chơi ít nhất một nhạc cụ là
; xác suất học sinh được chọn là nữ và biết chơi ít nhất một nhạc cụ là
. Tính
?
Theo bài ra ta có:
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
.
Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Gọi A là biến cố “Viên bị được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ”, B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ”. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Xác suất của biến cố B là
.Đúng||Sai
b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì khi đó
. Đúng||Sai
c) Gọi
: “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” thì
. Sai||Đúng
d) Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là
. Đúng||Sai
Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Gọi A là biến cố “Viên bị được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ”, B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ”. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Xác suất của biến cố B là .Đúng||Sai
b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì khi đó . Đúng||Sai
c) Gọi : “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” thì
. Sai||Đúng
d) Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là . Đúng||Sai
a) Ta có: B là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ” nên .
b) Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bị đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh nên .
c) Gọi : “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh” Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh.
Khi đó .
d) Ta có:
Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
.
Một hộp chứa 5 quả bóng gồm 2 quả màu đỏ (đánh số 1 và 2), 2 quả màu xanh (đánh số 3 và 4) và 1 quả màu vàng (đánh số 5). Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng liên tiếp không hoàn lại.
Xét các biến cố
: "Quả bóng lấy ra đầu tiên có màu đỏ"
: "Tổng số của hai quả bóng lấy ra là số lẻ"
Xác định
là biến cố
khi biết
đã xảy ra?
Khi A đã xảy ra, nghĩa là quả bóng đầu tiên lấy ra có màu đỏ (số 1 hoặc 2).
Do đó, không gian mẫu mới là
Biến cố khi biết
đã xảy ra là:
Một chiếc hộp có
viên bi, trong đó có
viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có
số viên bi màu đỏ đánh số và
số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số.
a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là
. Đúng||Sai
b) Số viên bi màu vàng không đánh số là
. Đúng||Sai
c) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là:
Sai|| Đúng
d) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là:
. Đúng||Sai
Một chiếc hộp có viên bi, trong đó có
viên bi màu đỏ và 30 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có
số viên bi màu đỏ đánh số và
số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số.
a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là . Đúng||Sai
b) Số viên bi màu vàng không đánh số là . Đúng||Sai
c) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra có đánh số là: Sai|| Đúng
d) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác suất để viên bi được lấy ra không có đánh số là: . Đúng||Sai
a) Số viên bi màu đỏ có đánh số là
b) Số viên bi màu vàng không đánh số là
c) Gọi A là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số”
Gọi B là biến cố “viên bi được lấy ra có màu đỏ”, suy ra B là biến cố “viên bi được lấy ra có màu vàng”
Lúc này ta đi tính theo công thức:
Ta có:
.
d) A là biến cố “viên bi được lấy ra có đánh số” suy ra A là biến cố “viên bi được lấy ra không có đánh số”. Khi đó ta có:
Một hệ thống được cấu tạo bởi 3 bộ phận độc lập nhau. Hệ thống sẽ hoạt động nếu ít nhất 2 trong 3 bộ phận còn hoạt động. Nếu độ tin cậy của mỗi bộ phận là 0.95 thì độ tin cậy của hệ thống là bao nhiêu?
Gọi Bi: "Bộ phận thứ i hoạt động tốt" (i = 1, 2, 3)
H: "Hệ thống hoạt động tốt"
Theo giả thiết, ta thấy rằng P(Bi) = 0.95 với i = 1, 2, 3 và
Do tính độc lập, xung khắc và đối xứng nên:
.
Một chiếc máy bay có thể xuất hiện không phận của điểm A với xác suất là
hoặc không phận của điểm B với xác suất là
. Giả sử có 3 phương án bố trí 4 khẩu pháo để hạ máy bay như sau:
Phương án 1: 3 khẩu đặt ở điểm A và 1 khẩu đặt ở điểm B.
Phương án 2: 2 khấu đặt ở điểm A và 2 khẩu đặt ở điểm B.
Phương án 3: 1 khẩu đặt ở điểm A và 3 khẩu đặt ở điểm B.
Biết rằng xác suất bắn trúng (hạ máy bay) của mỗi khẩu bằng
và các khẩu pháo bắn độc lập với nhau. Phương án nào xác suất bắn trúng máy bay cao nhất?
Phương án 1: 3 khẩu đặt tại A và 1 khẩu đặt tại B Nếu có 3 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.
Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:
(tính theo biến cố đối của biến cố: không có khẩu nào bắn trúng)
=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án I:
Phương án 2: 2 khẩu đặt tại 4 và 2 khẩu đặt tại B Nếu có 2 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.
Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay:
Tương tự, xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:
=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án II:
Phương án 3: 1 khẩu đặt tại A và 3 khẩu đặt tại B com Nếu có 3 khẩu đặt tại B thì để máy bay rơi cần ít nhất một khẩu bắn trúng.
Xác suất để ít nhất một khẩu tại B bắn trúng máy bay:
=> Xác suất để máy bay rơi trong phương án III:
Vậy phương án 2 có xác suất bắn trúng máy bay cao nhất.
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức Bayes:
.
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Cách 1:
Mà
Do đó:
Cách 2: Ta có:
.
Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số a, b phân biệt thuộc tập hợp
. Tính xác suất để
là một số nguyên dương.
Phép thử: "Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số a, b phân biệt thuộc tập hợp
Biến cố : "
là một số nguyên dương".
+ Giả sử là một số nguyên dương
|
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
Có 3 hộp bi:
Hộp 1: Có 3 xanh, 4 đỏ, 5 vàng.
Hộp 2: Có 4 xanh, 5 đỏ, 6 vàng.
Hộp 3: Có 5 xanh, 6 đỏ, 7 vàng
Chọn ngẫu nhiên 1 hộp và từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất để 3 bi lấy ra có 3 màu khác nhau. Trong trường hợp đó tính xác suất để 3 bi được lấy từ hộp thứ 3?
Gọi lần lượt là các biến cố “Chọn được hộp thứ 1, 2, 3” ta có hệ
là hệ biến cố xung khắc và đầy đủ:
Gọi C là biến cố” 3 bi lấy ra có ba màu khác nhau”
Ta có:
Một hộp chứa 8 bi trắng, 2 bi đỏ. Lần lượt lấy từng bi. Giả sử lần đầu tiên lấy được bi trắng. Xác định xác suất lần thứ hai lấy được bi đỏ.
Gọi A là biến cố lần một lấy được bi trắng.
Gọi B là biến cố lần hai lấy được bi đỏ.
Xác suất lần 2 lấy được bi đỏ khi lần 1 đã lấy được bi trắng là.
Ta có: khi đó:
.
Cho
và
là các biến cố của phép thử T. Biết rằng
. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
Theo công thức Bayes ta có:
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là: