Cho hai biến cố
và
với
. Biết ![]()
. Tính
?
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Cho hai biến cố
và
với
. Biết ![]()
. Tính
?
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Một hộp chứa 5 quả bóng gồm 2 quả màu đỏ (đánh số 1 và 2), 2 quả màu xanh (đánh số 3 và 4) và 1 quả màu vàng (đánh số 5). Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng liên tiếp không hoàn lại.
Xét các biến cố
: "Quả bóng lấy ra đầu tiên có màu đỏ"
: "Tổng số của hai quả bóng lấy ra là số lẻ"
Xác định
là biến cố
khi biết
đã xảy ra?
Khi A đã xảy ra, nghĩa là quả bóng đầu tiên lấy ra có màu đỏ (số 1 hoặc 2).
Do đó, không gian mẫu mới là
Biến cố khi biết
đã xảy ra là:
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Trong một kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, một tỉnh X có
học sinh lựa chọn tổ hợp A00 (gồm các môn Toán, Vật lí, Hoá học). Biết rằng, nếu một học sinh chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là
; còn nếu một học sinh không chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là
. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X đã tốt nghiệp trung học phổ thông trong kì thi trên. Biết rằng học sinh này đã đỗ đại học. Tính xác suất để học sinh đó chọn tổ hợp A00. (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).
Gọi A: “Học sinh đó chọn tổ hợp A00”
Và B: “Học sinh đó đỗ đại học”.
Ta cần tính
Ta có:
là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó chọn tổ hợp A00
là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó không chọn tổ hợp A00
Thay vào công thức Bayes ta được:
Nếu hai biến cố
thỏa mãn
thì
bằng bao nhiêu?
Theo công thức Bayes ta có:
Điều trị phương pháp I, phương pháp II, phương pháp III tương ứng cho
bệnh nhân. Xác suất khỏi của các phương pháp tương ứng là
. Tìm xác suất khỏi của 3 phương pháp khi điều trị cho bệnh nhân
Tổng số bệnh nhân điều trị là 10000 người
Gọi A1 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ I.
A2 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ II.
A3 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ III.
Khi đó:
Gọi B là biến cố điều trị khỏi bệnh.
Khi đó
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Cho hai biến cố
và
là hai biến cố độc lập, với
.
a)
Sai|| Đúng
b)
Đúng||Sai
c)
Sai|| Đúng
d)
Đúng||Sai
Cho hai biến cố và
là hai biến cố độc lập, với
.
a) Sai|| Đúng
b) Đúng||Sai
c) Sai|| Đúng
d) Đúng||Sai
Ta có:
Do hai biến cố và
là hai biến cố độc lập nên
và
;
và
;
và
độc lập với nhau.
a) và
là hai biến cố độc lập nên:
b) và
là hai biến cố độc lập nên:
c) và
là hai biến cố độc lập nên:
d) và
là hai biến cố độc lập nên:
Trong một kỳ thi, có
học sinh đã làm đúng bài toán đầu tiên và
học sinh đã làm đúng bài toán thứ hai. Biết rằng có
học sinh làm đúng cả hai bài toán. Xác suất để một học sinh làm đúng bài toán thứ hai biết rằng học sinh đó đã làm đúng bài toán đầu tiên là bao nhiêu?
Gọi biến cố : "học sinh đã làm đúng bài toán đầu tiên"
Biến cố : "học sinh đã làm đúng bài toán thứ hai”
Biến cố : "học sinh làm đúng cả hai bài toán"
Xác suất để một học sinh làm đúng bài toán thứ hai biết rằng học sinh đó đã làm đúng bài toán đầu tiên là:
Tan giờ học buổi chiều một sinh viên có
về nhà ngay, nhưng do giờ cao điểm nên có 30% ngày bị tắc đường nên bị về nhà muộn (từ 30 phút trở lên) còn
số ngày sinh viên đó vào quán Internet cạnh trường để chơi Games, những ngày này xác suất về nhà muộn là
. Còn lại những ngày khác sinh viên đó đi chơi với bạn bè có xác suất về muộn là
. Hôm nay sinh viên đó về muộn. Tính xác suất để để sinh viên đó đi chơi với bạn bè.
Gọi B là biến cố sinh viên đó đi học về muộn
E1 là biến cố tan học về nhà ngay
E2 là biến cố tan học đi chơi game
E3 là biến cố tan học về đi chơi với bạn
B có thể xảy ra một trong 3 biến cố
Xác suất để sinh viên đó đi chơi với bạn là:
Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là
và dự án 2 là
. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi
lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.
a)
là hai biến độc lập. Đúng||Sai
b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là
. Đúng||Sai
c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là
. Sai|| Đúng
d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án
. Sai|| Đúng
Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là và dự án 2 là
. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi
lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.
a) là hai biến độc lập. Đúng||Sai
b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là . Đúng||Sai
c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là . Sai|| Đúng
d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án . Sai|| Đúng
Ta có:
a) là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi
Mà nên
không độc lập.
b) Gọi C là biến cố thắng thầu đúng 1 dự án
.
c) Gọi D là biến cố thắng dự 2 biết thắng dự án 1
.
d) Gọi E là biến cố “thắng dự án 2 biết không thắng dự án 1”
.
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm người (trong đó
người không nhiễm bệnh). Biết rằng đối với người nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là
, nhưng đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có phản ứng dương tính là
. Tính xác suất để người được chọn ra không nhiễm bệnh và không có phản ứng dương tính.
Gọi A: “Người được chọn ra không nhiễm bệnh”.
Và B: “Người được chọn ra có phản ứng dương tính”
Theo bài ta có:
Ta có sơ đồ hình cây như sau:
Vậy
Trong một kho rượu, số lượng rượu loại M và loại N bằng nhau. Người ta chọn ngẫu nhiên một chai và đưa cho 5 người nếm thử. Biết xác suất đoán đúng của mỗi người là 0,8. Có 3 người kết luận rượu loại M, 2 người kết luận rượu loại N. Hỏi khi đó xác suất chai rượu đó thuộc loại M là bao nhiêu?
Gọi A là chai rượu thuộc loại M thì tạo thành hệ đầy đủ và
Gọi H là "có 3 người kết luận rượu loại M và 2 người kết luận rượu loại N".
Theo công thức toàn phần ta có:
Vậy xác suất cần tính là:
Một chiếc hộp có
viên bi, trong đó có
viên bi có tô màu và
viên bi không tô màu; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Nam lấy ra viên bi đầu tiên, sau đó bạn Việt lấy ra viên bi thứ hai.
a) Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là
. Đúng||Sai
b) Sơ đồ cây biểu thị tình huống trên là.
Đúng||Sai
c) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là:
Đúng||Sai
d) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu là:
. Đúng||Sai
Một chiếc hộp có viên bi, trong đó có
viên bi có tô màu và
viên bi không tô màu; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Nam lấy ra viên bi đầu tiên, sau đó bạn Việt lấy ra viên bi thứ hai.
a) Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là . Đúng||Sai
b) Sơ đồ cây biểu thị tình huống trên là. Đúng||Sai
c) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là: Đúng||Sai
d) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu là: . Đúng||Sai
Gọi A là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu”
Gọi B là biến cố “bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu”, suy ra B là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu”.
a) Xác suất để bạn Nam lấy ra viên bi có tô màu là .
b) Ta có:
Sơ đồ cây cần tìm là:
c) Xác suất để bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu là:
d) A là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi có tô màu” suy ra A là biến cố “bạn Việt lấy ra viên bi không có tô màu”
Một bình đựng 9 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi, mỗi lần lấy 1 bi không hoàn lại. Tính xác suất để bi thứ 2 màu xanh nếu biết bi thứ nhất màu đỏ?
Gọi A là biến cố “lần thứ nhất lấy được bi màu đỏ”.
Gọi B là biến cố “lần thứ hai lấy được bi màu xanh”.
Ta cần tìm
Không gian mẫu cách chọn
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi rong 15 bi còn lại có 15 cách chọn, do đó:
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi màu xanh có 9 cách chọn, do đó:
Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu xanh nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ là: .
Một nhóm học sinh có 30 học sinh, trong đó có 16 em học khá môn Toán, 25 em học khá môn Hóa học, 12 em học khá cả hai môn Toán và Hóa học. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số đó. Tính xác suất để học sinh đó học khá môn Toán biết rằng học sinh đó học khá môn Hóa học?
Gọi A: “Học sinh đó học khá môn Toán”
Và B: “Học sinh đó học khá môn Hóa học”
Theo bài ra ta có:
Trong một vùng dân cư, cứ
người thì có
người hút thuốc lá. Biết tỷ lệ người bị viêm họng trong số người hút thuốc lá là
, trong số người không hút thuốc lá là
. Khám ngẫu nhiên một người và thấy người đó bị viêm họng. Nếu người đó không bị viêm họng thì xác suất để người đó hút thuốc lá là bao nhiêu?
Gọi A: "Người này hút thuốc"
B: "Người này bị viêm họng"
Theo giả thiết ta có:
Ta thấy rằng là một hệ đầy đủ các biến cố.
Theo công thức xác suất toàn phần ta tính được:
Theo công thức Bayes, xác suất để người đó hút thuốc lá khi biết người đó không bị viêm họng là:
Bạn An đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để An hoàn thành câu dễ là
; hoàn thành câu trung bình là
và hoàn thành câu khó là
. Làm đúng mỗi một câu dễ An được
điểm, làm đúng mỗi câu trung bình An được
điểm và làm đúng mỗi câu khó An được
điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là
. Sai||Đúng
b) Khi An làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là
. Sai||Đúng
c) Khi An làm 3 câu thì xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất An làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai
d) Xác suất để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn
. Sai||Đúng
Bạn An đang làm đề ôn tập theo ba mức độ dễ, trung bình và khó. Xác suất để An hoàn thành câu dễ là ; hoàn thành câu trung bình là
và hoàn thành câu khó là
. Làm đúng mỗi một câu dễ An được
điểm, làm đúng mỗi câu trung bình An được
điểm và làm đúng mỗi câu khó An được
điểm. Hãy cho biết các khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại và đúng cả ba câu là . Sai||Đúng
b) Khi An làm 3 câu thuộc 3 loại khác nhau. Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là . Sai||Đúng
c) Khi An làm 3 câu thì xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại cao hơn xác suất An làm sai 3 câu ở mức độ trung bình. Đúng||Sai
d) Xác suất để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm lớn hơn . Sai||Đúng
Gọi A là biến cố An làm đúng câu dễ
B là biến cố An làm đúng câu trung bình
C là biến cố An làm đúng câu khó.
Khi đó A, B, C độc lập với nhau.
a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là:
. Khẳng định Sai.
b) Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là:
Khẳng định Sai.
c) Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là:
Xác suất An làm sai 3 câu mức độ trung bình. .
Khẳng định Đúng.
d) Để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau:
TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai
TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình
Vậy xác suất cần tìm là
Khẳng định Sai.
Hộp I có 4 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau đó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi. 1. Nếu viên rút ra sau cùng màu đỏ, tìm xác suất lúc ban đầu rút được viên bi đỏ ở hộp I cho vào hộp II?
Gọi D1, X1 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp I sang hộp II",
D2, X2 tương ứng là "lấy được viên bi đỏ, xanh từ hộp II sang hộp I".
Khi đó hệ D1D2, D1X2, X1D2, X1X2 tạo thành hệ đầy đủ.
Ta có:
Gọi A là "viên bi rút ra sau cùng là màu đỏ".
Ta xác định được:
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
Ta cần tính xác suất