Đề kiểm tra 15 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Xác suất có điều kiện của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hai biến cố AB với 0 <
P(A) < 1. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính P(B) là:

    Ta có công thức xác suất toàn phần tính P(B) là:

    P(B) = P(A).P\left( B|A ight) + P\left(
\overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong hộp có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ. Lấy lần lượt mỗi lần một viên theo cách lấy không trả lại. Tính xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng?

    Gọi C là biến cố “viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng”.

    Gọi D là biến cố “viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ”.

    Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu trắng có 3 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi trong 9 viên còn lại có 9 cách chọn, do đó: P(C) = \frac{3.9}{10.9} =
\frac{3}{10}

    Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu trắng có 3 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, do đó: P(C
\cap D) = \frac{3.7}{10.9} = \frac{7}{30}

    Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu trắng nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ là: P\left( D|C ight) = \dfrac{P(C \cap D)}{P(C)} =\dfrac{\dfrac{7}{30}}{\dfrac{3}{10}} = \dfrac{7}{9}.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Một thùng sách có 5 quyển sách Toán, 7 quyển sách Vật Lí và 4 quyển sách Hóa. Chọn ngẫu nhiên 3 cuốn sách, tính xác suất để 3 cuốn sách được chọn không cùng một loại (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

    Đáp án: 0,91

    Đáp án là:

    Một thùng sách có 5 quyển sách Toán, 7 quyển sách Vật Lí và 4 quyển sách Hóa. Chọn ngẫu nhiên 3 cuốn sách, tính xác suất để 3 cuốn sách được chọn không cùng một loại (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

    Đáp án: 0,91

    Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(\Omega) = C_{16}^{3} = 560.

    Gọi A là biến cố ''3 cuốn sách lấy ra không cùng một loại''.

    Để tìm số phần tử của A, ta đi tìm số phần tử của biến cố \overline{A}, với biến cố \overline{A} là 3 cuốn sách lấy ra cùng một loại.

    Suy ra số phần tử của biến cố \overline{A}n\left( \overline{A} ight) = C_{5}^{3} +
C_{7}^{3} + C_{4}^{3} = 49.

    Suy ra số phần tử của biến cố An(A) = n(\Omega) - n\left( \overline{A}
ight) = 511.

    Vậy xác suất cần tính P(A) =
\frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{511}{560} = \frac{73}{80} \approx
0,91.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hai biến cố AB với P(B) =
0,2;P\left( A|B ight) = 0,5;P\left( A|\overline{B} ight) =
0,4. Tính P\left( B|A
ight)?

    Ta có: P(B) = 0,2 \Rightarrow P\left(
\overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,2 = 0,8

    Áp dụng công thức Bayes:

    P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left(
A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B}
ight).P\left( A|\overline{B} ight)}

    \Rightarrow P\left( B|A ight) =
\frac{0,2.0,5}{0,2.0,5 + 0,8.0,4} = \frac{5}{21} \approx 0,238 .

  • Câu 5: Vận dụng

    Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số a, b phân biệt thuộc tập hợp \left\{ 3^{k} \mid k \in N,1 \leq k \leq 10
ight\}. Tính xác suất để \log_{a}b là một số nguyên dương.

    Phép thử: "Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số a, b phân biệt thuộc tập hợp \left\{ 3^{k} \mid k \in N,1
\leq k \leq 10 ight\}

    Biến cố A: "\log_{a}b là một số nguyên dương".

    \Rightarrow n_{\Omega} = 10.9 =
90

    + Giả sử a = 3^{k_{1}},b =
3^{k_{2}}\left( k_{1} eq k_{2} ight) \Rightarrow log_{a}b =
log_{3^{k_{1}}}\left( 3^{k_{2}} ight) = \frac{k_{2}}{k_{1}} là một số nguyên dương

    k_{2}

    10

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    k_{1} 1;2;5 1;3 1;2;4

    1

    1;2;3

    1

    1;2

    1

    1

    \Rightarrow n_{A} = 17 \Rightarrow P(A)
= \frac{n_{A}}{n_{\Omega}} = \frac{17}{90}.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho ba biến cố A;B;C độc lập từng đôi thỏa mãn P(A) = P(B) = P(C) =
pP(ABC) = 0. Xác định P\left( A\overline{B}\overline{C}
ight)?

    Ta có:

    P\left( A\overline{B}\overline{C}
ight) = P\left( A\overline{B} ight) - P\left( A\overline{B}C
ight)

    = p(1 - p) - p^{2} = p -
2p^{2}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Một hộp có 4 viên bi, mỗi viên có thể là màu đen hoặc trắng. Lấy ngẫu nhiên ra hai viên bi. Tính xác suất để lấy được hai bi trắng.

    Số lượng bi trắng và đen trong hộp chỉ có thể xảy ra 1 trong 5 trường hợp sau:

    H4: 4 bi trắng \Rightarrow
P\left( H_{4} ight) = \frac{1}{5} = 0,2

    H3: 3 bi trắng; 1 bi đen \Rightarrow P\left( H_{3} ight) = \frac{1}{5} =
0,2

    H2: 2 bi trắng; 2 bi đen \Rightarrow P\left( H_{2} ight) = \frac{1}{5} =
0,2

    H1: 1 bi trắng; 3 bi đen \Rightarrow P\left( H_{1} ight) = \frac{1}{5} =
0,2

    H0: 0 bi trắng; 4 bi đen \Rightarrow P\left( H_{0} ight) = \frac{1}{5} =
0,2

    Gọi biến cố A là biến cố lấy được 2 bi trắng

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}P\left( A|H_{4} ight) = 1;P\left( A|H_{3} ight) =\dfrac{C_{3}^{2}}{C_{4}^{2}} = \dfrac{1}{2} \\P\left( A|H_{2} ight) = \dfrac{C_{2}^{2}}{C_{4}^{2}} = \dfrac{1}{6} \\P\left( A|H_{1} ight) = 0;P\left( A|H_{0} ight) = 0 \\\end{matrix} ight.

    P(A) = P\left( H_{0} ight).P\left(
A|H_{0} ight) + P\left( H_{1} ight)P\left( A|H_{1} ight) + P\left(
H_{2} ight)P\left( A|H_{2} ight)

    + P\left( H_{3} ight)P\left( A|H_{3}
ight) + P\left( H_{4} ight)P\left( A|H_{4} ight)

    \Rightarrow P(A) = 0,2.0 + 0,2.0 +
0,2.\frac{1}{6} + 0,2.\frac{1}{2} + 0,2.1 = \frac{1}{3}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Điều trị phương pháp I, phương pháp II, phương pháp III tương ứng cho 5000,3000,2000 bệnh nhân. Xác suất khỏi của các phương pháp tương ứng là 0,85;0,9;0,95. Tìm xác suất khỏi của 3 phương pháp khi điều trị cho bệnh nhân

    Tổng số bệnh nhân điều trị là 10000 người

    Gọi A1 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ I.

    A2 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ II.

    A3 là biến cố bệnh nhân điều trị bởi phương pháp thứ III.

    Khi đó: P\left( A_{1} ight) =
0,5;P\left( A_{2} ight) = 0,3;P\left( A_{3} ight) = 0,2

    Gọi B là biến cố điều trị khỏi bệnh.

    Khi đó P\left( B|A_{1} ight) =
0,85;P\left( B|A_{2} ight) = 0,9;P\left( B|A_{3} ight) =
0,95

    Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

    P(B) = P\left( A_{1} ight).P\left(
B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( B|A_{2} ight) +
P\left( A_{3} ight).P\left( B|A_{3} ight)

    \Rightarrow P(A) = 0,5.0,85 + 0,3.0,9 +
0,2.0,95 = 0,885

  • Câu 9: Nhận biết

    Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. Hùng lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa.

    Xét các biến cố:

    A: "Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn"

    B: "Quả bóng lấy ra lần hai có số lẻ".

    Xác định biến cố E = B|A: "biến cố B với điều kiện biết A đã xảy ra".

    Ta có:

    A = \left\{
(2;1),(2;3),(2;4),(4;1),(4;2),(4;3) ight\}

    B = \left\{
(1;1),(1;3),(2;1),(2;3),(3;1),(3;3),(4;1),(4;3) ight\}

    Khi biến cố B xảy ra, thì không gian mẫu mới là B.

    Khi đó, biến cố E = B|A = A \cap B =
\left\{ (2;1),(2;3),(4;1),(4;3) ight\}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hai biến cố A;BP(A) = 0,2;P(B) = 0,6;P\left( A|B ight) =
0,3. Xác định P\left( \overline{A}B
ight)?

    Theo công thức tính xác suất có điều kiện ta có:

    P\left( A|B ight) = \frac{P(AB)}{P(B)}\Rightarrow P(AB) = P\left( A|B ight)P(B) = 0,3.0,6 =0,18

    \overline{A}BAB là hai biến cố xung khắc và \overline{A}B \cup AB = B nên theo tính chất của xác suất ta có:

    P\left( \overline{A}B ight) + P(AB) =
P(B)

    \Rightarrow P\left( \overline{A}B
ight) = P(B) - P(AB) = 0,6 - 0,18 = 0,42

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho một hộp kín có 6 thẻ ngân hàng của BIDV và 4 thẻ ngân hàng của Techcombank. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 thẻ (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được thẻ ngân hàng của Techcombank nếu biết lần thứ nhất đã lấy được thẻ ngân hàng của BIDV

    Gọi A là biến cố “lần thứ hai lấy được thẻ ngân hàng Techcombank“, B là biến cố “lần thứ nhất lấy được thẻ ngân hàng của BIDV “.

    Ta cần tìm P\left( A|B ight) Sau khi lấy lần thứ nhất (biến cố B đã xảy ra) trong hộp còn lại 9 thẻ (trong đó 4 thẻ Techcombank) nên P\left( A|B
ight) = \frac{4}{9}.

  • Câu 12: Nhận biết

    Nếu hai biến cố A;B thỏa mãn P(A) = 0,3;P(B) = 0,6;P\left( A|B ight) =
0,4 thì P\left( B|A
ight) bằng bao nhiêu?

    Theo công thức Bayes ta có:

    P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left(
A|B ight)}{P(A)}

    \Rightarrow P\left( B|A ight) =
\frac{0,6.0,4}{0,3} = \frac{4}{5}

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hai biến cố AB là hai biến cố độc lập, với P(A) = 0,2024;P(B) = 0,2025. Tính P\left( B|\overline{A} ight)?

    Hai biến cố \overline{A}B là hai biến cố độc lập nên P\left( B|\overline{A} ight) = P(B) =
0,2025.

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Trong học kỳ I năm học 2024 - 2025, sinh viên phải thi 4 học phần. Xác suất để sinh viên thi đạt một học phần trong mỗi lần thi đều là 0,8. Nếu thi không đạt học phần nào phải thi lại học phần đó. Tính xác suất để một sinh viên thi đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần.

    Gọi A_{i} là "đạt i học phần ở lần thi đầu".

    Khi đó, A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4} tạo thành hệ đầy đủ và P\left( A_{i} ight) =
C_{4}^{i}.0,8^{i}.0,2^{4 - i}

    Gọi A là "đạt cả 4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần".

    Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

    P(A) = \sum_{i = 0}^{4}P\left( A_{i}
ight)P\left( A \mid A_{i} ight)

    = C_{4}^{0}.0,8^{0}.0,2^{4}.\left(
0,8^{4} ight) + C_{4}^{2}.0,8^{1}.0,2^{3}.\left( 0,8^{3} ight) +
C_{4}^{2}.0,8^{2}.0,2^{2}.\left( 0,8^{2} ight)

    + C_{4}^{3}.0,8^{3}.0,2^{1}.(0,8) +
C_{4}^{4}.0,8^{4}.0,2^{0}.\left( 0,8^{0} ight)

    \approx 0,8493 = 84,93\%

  • Câu 15: Vận dụng

    Theo thống kê ở các gia đình có hai con thì xác suất để con thứ nhất và con thứ hai là đều con trai là 0,27 và hai con đều là gái là 0,23, còn xác suất con thứ nhất và con thứ hai có một trai và một gái là đồng khả năng. Biết khi xét một gia đình được chọn ngẫu nhiên có con thứ nhất là con gái, tìm xác suất để con thứ hai là trai.

    Gọi A là 'con thứ nhất là con trai' và B là 'con thứ hai là con trai' thì theo đề bài ta có:

    P(AB) = 0,27, P(\bar{A}\bar{B}) = 0,23P(A\bar{B}) = P(\bar{A}B) = 0,25

    Ta cần tìm B \mid \bar{A}.

    Ta có

    P\left( B\mid\bar{A} ight) =
\frac{P\left( B\bar{A} ight)}{P\left( \bar{A} ight)} = \frac{P\left(
B\bar{A} ight)}{P\left( \bar{A}B ight) + P\left( \bar{A}\bar{B}
ight)}= \frac{0,25}{0,25 + 0,23} \simeq
0,5208

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hai hộp đựng các viên bi có cùng kích thước và khối lượng như sau:

    Hộp thứ nhất có 3 viên bi xanh và 6 viên vi đỏ.

    Hộp thứ hai có 3 viên vi xanh và 7 viên bi đỏ.

    Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên từ hộp thứ hai, biết rằng hai bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi màu đỏ, tính xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi màu đỏ.

    Gọi A1: “Lấy ra một bi một màu xanh ở hộp thứ nhất”

    Và A2: “Lấy ra một bi một màu đỏ ở hộp thứ nhất”

    Nên A_{1};A_{2} là hệ biến cố đầy đủ

    Gọi B: “Hai bi lấy ra từ hộp thứ hai là màu đỏ”

    Ta có:

    P\left( A_{1} ight) =
\frac{C_{3}^{1}}{C_{9}^{1}} = \frac{1}{3};P\left( A_{2} ight) =
\frac{C_{6}^{1}}{C_{9}^{1}} = \frac{2}{3}

    P\left( B|A_{1} ight) =
\frac{C_{7}^{2}}{C_{11}^{2}} = \frac{21}{55};P\left( B|A_{2} ight) =
\frac{C_{8}^{2}}{C_{11}^{2}} = \frac{28}{55}

    Áp dụng công thức xác suất toàn phần

    P(B) = P\left( B|A_{1} ight).P\left(
A_{1} ight) + P\left( B|A_{2} ight).P\left( A_{2}
ight)

    \Rightarrow P(B) =
\frac{1}{3}.\frac{21}{55} + \frac{2}{3}.\frac{28}{55} =
\frac{7}{15}

    Xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ, biết rằng hai bi lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ, ta áp dụng công thức Bayes:

    P\left( A_{2}|B ight) = \dfrac{P\left(B|A_{2} ight).P\left( A_{2} ight)}{P(B)} =\dfrac{\dfrac{28}{55}.\dfrac{2}{3}}{\dfrac{7}{15}} =\dfrac{8}{11}

  • Câu 17: Vận dụng

    Để gây đột biến cho một tính trạng người ta tìm cách tác động lên hai gen A, B bằng phóng xạ. Xác suất đột biến của tính trạng do gen A0,4; do gen B là 0,5 và do cả hai gen là 0,9. Tính xác suất để có đột biến ở tính trạng đó biết rằng phóng xạ có thể tác động lên gen A với xác suất 0,7 và lên gen B với xác suất 0,6?

    Gọi C là biến cố có đột biến ở tính trạng đang xét

    A là biến cố phóng xạ tác dụng lên gen A

    B là biến cố phóng xạ tác dụng lên gen B

    C1 là biến cố phóng xạ chỉ tác động lên gen A

    C2 là biến cố phóng xạ chỉ tác dụng lên gen B

    C3 là biến cố phóng xạ tác dụng lên cả 2 gen

    C_{4} là biến cố phóng xạ không tác dụng lên gen nào

    Khi đó hệ C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} là một hệ đầy đủ

    C_{1} = A\overline{\text{ }B},C_{2} =\overline{A}\text{ }B,C_{3} = AB,C_{4} = \overline{A}\overline{\text{}B}

    Mặt khác A;B độc lập nên 

    P\left( C_{1} ight) = P(\text{}A)P(\overline{\text{ }B}) = 0,28,P\left( C_{2} ight) =P(\overline{\text{ }A})P(\text{ }B) = 0,18

    P\left( C_{3} ight) = P(\text{}A)P(\text{ }B) = 0,42;P\left( C_{4} ight) = P(\overline{\text{}A})P(\overline{\text{ }B}) = 0,12

    Mặt khác P\left( C|C_{1} ight) =0,4;P\left( C|C_{2} ight) = 0,5;P\left( C|C_{3} ight) = 0,9P\left( C/C_{4} ight) = 0

    Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

    P(C) = 0,28.0,4 + 0,18.0,5 + 0,42.0,9 +0,12.0 = 0,58

  • Câu 18: Thông hiểu

    Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp.

    Xét các biến cố: A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”; B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.

    Hỏi hai biến cố A và B có độc lập không?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp.

    Xét các biến cố: A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”; B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.

    Hỏi hai biến cố A và B có độc lập không?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Thông hiểu

    Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng 0,850,15. do có nhiễu trên đường truyền nên \frac{1}{7} tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn \frac{1}{8} tín hiệu B bị méo cà thu được như A. Xác suất thu được tín hiệu A là:

    Gọi A là biến cố “Phát tín hiệu A ”

    Gọi B là biến cố “Phát tín hiệu A ”

    Gọi TA là biến cố “Phát được tín hiệu A ”

    Gọi TB là biến cố “Phát được tín hiệu B”.

    Ta cần tính P\left( T_{A}
ight) ta có: \left\{\begin{matrix}P(A) = 0,85 \\P\left( T_{B}|A ight) = \dfrac{1}{7} \Rightarrow P\left( T_{A}|Aight) = 1 - \dfrac{1}{7} = \dfrac{6}{7} \\P(B) = 0,15 \\P\left( T_{A}|B ight) = \dfrac{1}{8} \\\end{matrix} ight. khi đó:

    P\left( T_{A} ight) = P(A).P\left(
T_{A}|A ight) + P(B).P\left( T_{A}|B ight)

    \Rightarrow P\left( T_{A} ight) =
0,85.\frac{6}{7} + 0,15.\frac{1}{8} = \frac{837}{1120}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là 53\%. Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ M lần lượt là 21\%17\%. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Tính xác suất học sinh đó có tham gia câu lạc bộ M.

    Gọi A: “Học sinh được chọn là nữ” ⇒\overline{A} : “Học sinh được chọn là nam”

    B: “học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ M”.

    Từ giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
P(A) = 0,53 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,53 = 0,47
\\
P\left( B|A ight) = 0,21 \\
P\left( B|\overline{A} ight) = 0,17 \\
\end{matrix} ight.

    Theo công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ M là:

    P(B) = P(A).P\left( B|A ight) +
P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)

    \Rightarrow P(B) = 0,53.0,21 + 0,47.0,17
= \frac{239}{1250}.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 83 lượt xem
Sắp xếp theo