Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10, nếu biết rằng có ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm?
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10, nếu biết rằng có ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm?
Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là
. Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ M lần lượt là
và
. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Tính xác suất học sinh đó có tham gia câu lạc bộ M.
Gọi A: “Học sinh được chọn là nữ” ⇒ : “Học sinh được chọn là nam”
B: “học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ M”.
Từ giả thiết ta có:
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất học sinh được chọn có tham gia câu lạc bộ M là:
.
Có hai hộp bên ngoài giống nhau:
Hộp thứ nhất đựng 1 sản phẩm lỗi và 9 sản phẩm tốt.
Hộp thứ hai đựng 2 sản phẩm lỗi và 8 sản phẩm tốt.
Lấy ngẫu nhiên một hộp, sau đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Xác suất để được sản phẩm tốt là:
Gọi A1 là biến cố lấy sản phẩm từ hộp thứ nhất.
A2 là biến cố lấy sản phẩm từ hộp thứ hai.
Vì chọn ngẫu nhiên nên
Gọi B là biến cố lấy được sản phẩm tốt ta có:
Do đó:
Lớp 10A có 35 học sinh, mỗi học sinh đều giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn. Biết rằng có 23 học sinh giỏi môn Toán và 20 học sinh giỏi môn Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 10A.
a) Xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Văn bằng
.Đúng||Sai
b) Xác suất để học sinh được chọn "giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Toán" bằng
. Đúng||Sai
c) Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn" bằng
. Sai||Đúng
d) Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó giỏi môn Toán" bằng
.Sai||Đúng
Lớp 10A có 35 học sinh, mỗi học sinh đều giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn. Biết rằng có 23 học sinh giỏi môn Toán và 20 học sinh giỏi môn Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 10A.
a) Xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Văn bằng .Đúng||Sai
b) Xác suất để học sinh được chọn "giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Toán" bằng . Đúng||Sai
c) Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn" bằng . Sai||Đúng
d) Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó giỏi môn Toán" bằng .Sai||Đúng
Gọi A : “Học sinh được chọn giỏi môn Toán”
B: “Học sinh được chọn giỏi môn Văn”
Gọi C : “Học sinh được chọn không giỏi môn Toán”
D: “Học sinh được chọn không giỏi môn Văn”
Số học sinh giỏi cả 2 môn là:
a) Trong số 23 học sinh giỏi Toán, chỉ có đúng 8 học sinh giỏi Văn nên xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Văn là:
b) Trong số 20 học sinh giỏi Văn, chỉ có đúng 8 học sinh giỏi Toán nên xác suất để học sinh được chọn giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó cũng giỏi môn Toán là:
c) Trong số 20 học sinh giỏi Văn, có đúng 8 học sinh giỏi cả Văn và Toán, nên số học sinh giỏi Văn mà không giỏi Toán là 12.
Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Toán biết rằng học sinh đó giỏi môn Văn" là:
d) Trong số 23 học sinh giỏi Toán, có đúng 8 học sinh giỏi cả Toán và Văn nên số học sinh không giỏi Văn mà giỏi Toán là
Xác suất để học sinh được chọn "không giỏi môn Văn biết rằng học sinh đó giỏi môn Toán" là:
Ba máy tự động sản xuất cùng một loại chi tiết, trong đó máy I sản xuất
, máy II sản xuất
và máy III sản xuất
tổng sản lượng. Tỷ lệ phế phẩm của các máy lần lượt là
. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm từ kho thì chi tiết phế phẩm đó do máy II sản xuất?
Gọi Ai: “Sản phẩm do máy i sản xuất”
A: “Sản phẩm là phế phẩm”
Ta có: A1, A2, A3 là một hệ đầy đủ các biến cố và
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
Theo công thức Bayes ta có:
Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai?
Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai?
Cho hai biến cố
và
là hai biến cố độc lập, với
.
a)
Sai|| Đúng
b)
Đúng||Sai
c)
Sai|| Đúng
d)
Đúng||Sai
Cho hai biến cố và
là hai biến cố độc lập, với
.
a) Sai|| Đúng
b) Đúng||Sai
c) Sai|| Đúng
d) Đúng||Sai
Ta có:
Do hai biến cố và
là hai biến cố độc lập nên
và
;
và
;
và
độc lập với nhau.
a) và
là hai biến cố độc lập nên:
b) và
là hai biến cố độc lập nên:
c) và
là hai biến cố độc lập nên:
d) và
là hai biến cố độc lập nên:
Tỷ lệ người nghiện thuốc là ở một vùng là
. Biết rằng tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người nghiện thuốc là
, còn tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người không nghiện là
. Lấy ngẫu nhiên một người thấy người ấy bị viêm họng. Nếu người đó không bị viêm họng, tính xác suất người đó nghiện thuốc lá.
Gọi A là "người nghiện thuốc" và B là "người viêm họng" thì từ đề bài ta có:
Cần tính xác suất là C = A|B.
Sử dụng công thức Baye ta có:
Gọi ta có:
Có hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai có 9 phiếu. Học sinh A đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Giáo viên rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một phiếu thi, sau đó cho học sinh A rút ngẫu nhiên ra 1 phiếu từ 2 phiếu mà giáo viên đã rút. Tính xác suất để học sinh A trả lời được câu hỏi trong phiếu.
Gọi E1 là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 1
E2 là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 2
E1, E2 tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ
Gọi B là biến cố rút ra 1 câu thuộc
Ta có:
Thay vào công thức ta tính được .
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức Bayes:
.
Trong một túi có một số viên kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 viên kẹo màu trắng, còn lại là kẹo màu xanh. Bạn T lấy ngẫu nhiên 1 viên kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó T lại lấy ngẫu nhiên thêm 1 viên kẹo khác từ trong túi. Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu viên kẹo? Biết rằng xác suất T lấy được cả hai viên kẹo màu trắng là
.
Gọi A là biến cố “T lấy được viên kẹo màu trắng ở lần thứ nhất”
Gọi B là biến cố “T lấy được viên kẹo màu trắng ở lần thứ hai”.
Ta có xác suất để T lấy được cả hai viên kẹo màu trắng là:
Gọi số kẹo ban đầu trong túi là: (viên)
Điều kiện
Ta có:
Theo công thức nhân xác suất, ta có:
Mà
Vậy ban đầu trong túi có 10 viên kẹo.
Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 34 người tả lời “sẽ mua”, 97 người trả lời “có thể sẽ mua” và 69 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên tương ứng là 70%, 30% và 1%. Tính xác suất người được phỏng vấn sẽ mua sản phẩm?
Gọi H1, H2, H3 lần lượt là 3 biến cố tương ứng với 3 cách trả lời của khách hàng được phỏng vấn:
H1 – người đó trả lời “sẽ mua”
H2 – người đó trả lời “có thể mua”
H3 – người đó trả lời “không mua”
H1, H2, H3 là một hệ đầy đủ các biến cố với xác suất tương ứng
Ta xác định được:
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
.
Tung một con xúc sắc hai lần độc lập nhau. Biết rằng lần tung thứ nhất được số chấm chẵn. Tính xác suất tổng số chấm hai lần tung bằng
?
Gọi Ti: "Tổng số nốt hai lần tung bằng i"
Nj,k: "Số nốt trên lần tung thứ j bằng k"
Ta tìm
Trong hộp có 20 nắp chai Cocacola trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng”. Bạn A được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp chai, xác suất để cả hai nắp đều trúng thưởng là:
Gọi A là biến cố “nắp đầu trúng thưởng”
Gọi B là biến cố “nắp thứ hai trúng thưởng”
Ta đi tìm giá trị
Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng do đó:
Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng, do đó:
Ta có:
.
Cho
và
là các biến cố của phép thử T. Biết rằng
. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
Theo công thức Bayes ta có:
Cho
và
là hai biến cố độc lập thoả mãn
và
. Khi đó,
bằng:
A và B là hai biến cố độc lập nên
Có 3 hộp đựng bi: hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ ba không có viên nào. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp thứ ba màu đỏ, tính xác suất để lúc đầu ta lấy được viên bi đỏ từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ ba?
Gọi A1, A2 lần lượt là "lấy bi đỏ từ hợp thứ 1 (thứ 2) bỏ vào hộp thứ ba" thì tạo thành một hệ đầy đủ.
Ta có:
Gọi A "lấy ra từ hộp 3 một viên bi màu đỏ". Ta có:
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:
Gọi B là sự kiện cần tính xác suất.
Dễ thấy . Theo công thức Bayes ta có:
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Cho hai biến cố
với
. Tính
?
Ta có: