Đề kiểm tra 15 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Xác suất có điều kiện của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Một gia đình có 2 đứa trẻ. Biết rằng có ít nhất 1 đứa trẻ là con gái. Xác suất để một đứa trẻ là trai hoặc gái là bằng nhau. Hỏi xác suất hai đứa trẻ đều là con gái là bao nhiêu?
- A.
  $\frac{3}{5}$
- B.
  $\frac{2}{3}$
- C.
  $\frac{8}{17}$
- D.
  $\frac{21}{80}$
Giới tính cả 2 đứa trẻ là ngẫu nhiên và không liên quan đến nhau.

Do gia đình có 2 đứa trẻ nên sẽ có thể xảy ra 4 khả năng: (trai, trai), (gái, gái), (gái, trai), (trai, gái).

Gọi A là biến cố “Cả hai đứa trẻ đều là con gái” Gọi B là biến cố “Có ít nhất một đứa trẻ là con gái”

Ta có: $P(A) = \frac{1}{4};P(B) = \frac{3}{4}$

Do nếu xảy ra A thì đương nhiên sẽ xảy ra B nên ta có:

$P(A \cap B) = P(A) = \frac{1}{4}$

Suy ra, xác suất để cả hai đứa trẻ đều là con gái khi biết ít nhất có một đứa trẻ là gái là: $P\left( A|B ight) =\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{3}{4}} =\dfrac{1}{3}$ .
Câu 2: Thông hiểu

Ông Bình hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là $0,4$ . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là $0,7$ . Xét một tuần mà thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt.

Gọi A là biến cố: “Thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy” và B là biến cố: “Thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy”.

a) Xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{7}{10}$ . Sai||Đúng

b) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy là $\frac{3}{10}$ . Đúng||Sai

c) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{4}{10}$ . Đúng||Sai

d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{9}{25}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Ông Bình hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là $0,4$ . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là $0,7$ . Xét một tuần mà thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt.

Gọi A là biến cố: “Thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy” và B là biến cố: “Thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy”.

a) Xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{7}{10}$ . Sai||Đúng

b) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy là $\frac{3}{10}$ . Đúng||Sai

c) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{4}{10}$ . Đúng||Sai

d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{9}{25}$ . Đúng||Sai

Từ giả thiết của bài toán ta có sơ đồ hình cây như sau:

a) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là $0,6$ (nhánh $O\overline{A}$ ).

b) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy là $0,3 = \frac{3}{10}$ (nhánh $\overline{A}B$ ).

c) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt $0,4 = \frac{4}{10}$ (nhánh $AB$ )

d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là:

$P(B) = 0,4.0,3 + 0,6.0,4 = 0,36$ (nhánh $OAB$ và nhánh $O\overline{A}B$ ).
Câu 3: Thông hiểu
Một căn bệnh có $1\%$ dân số mắc phải. Một phương pháp chuẩn đoán được phát triển có tỷ lệ chính xác là $99\%$ . Với những người bị bệnh, phương pháp này sẽ đưa ra kết quả dương tính $99\%$ số trường hợp. Với người không mắc bệnh, phương pháp này cũng chuẩn đoán đúng $99$ trong $100$ trường hợp. Nếu một người kiểm tra và kết quả là dương tính (bị bệnh), xác suất để người đó thực sự bị bệnh là bao nhiêu?
- A.
  $0,4$
- B.
  $0,35$
- C.
  $0,5$
- D.
  $0,65$
Gọi A là biến cố “người đó mắc bệnh”

Gọi B là biến cố “kết quả kiểm tra người đó là dương tính (bị bệnh)”

Ta cần tính $P\left( A|B ight)$ với $P\left( A|B ight) = \frac{P(A).P\left( B|A ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)}$ .

Ta có:

Xác suất để người đó mắc bệnh khi chưa kiểm tra: $P(A) = 1\% = 0,01$

Do đó xác suất để người đó không mắc bệnh khi chưa kiểm tra: $P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,01 = 0,99$

Xác suất kết quả dương tính nếu người đó mắc bệnh là: $P\left( B|A ight) = 99\% = 0,99$

Xác suất kết quả dương tính nếu người đó không mắc bệnh là: $P\left( B|\overline{A} ight) = 1 - 0,99 = 0,01$

Khi đó:

$P\left( A|B ight) = \frac{P(A).P\left( B|A ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)}$

$\Rightarrow P\left( A|B ight) = \frac{0,01.0,99}{0,01.0,99 + 0,99.0,01} = 0,5$

Xác suất kết để người đó mắc bệnh nếu kết quả kiểm tra người đó là dương tính là $0,5$ .
Câu 4: Vận dụng
Tan giờ học buổi chiều một sinh viên có $60\%$ về nhà ngay, nhưng do giờ cao điểm nên có 30% ngày bị tắc đường nên bị về nhà muộn (từ 30 phút trở lên) còn $20\%$ số ngày sinh viên đó vào quán Internet cạnh trường để chơi Games, những ngày này xác suất về nhà muộn là $80\%$ . Còn lại những ngày khác sinh viên đó đi chơi với bạn bè có xác suất về muộn là $90\%$ . Hôm nay sinh viên đó về muộn. Tính xác suất để để sinh viên đó đi chơi với bạn bè.
- A.
  $45,7\%$
- B.
  $37,5\%$
- C.
  $55,3\%$
- D.
  $58\%$
Gọi B là biến cố sinh viên đó đi học về muộn

E₁ là biến cố tan học về nhà ngay $= > P\left( E_{1} ight) = 0,6,P\left( B|E_{1} ight) = 0,3$

E₂ là biến cố tan học đi chơi game $= > P\left( E_{2} ight) = 0,2,P\left( B|E_{2} ight) = 0,8$

E₃ là biến cố tan học về đi chơi với bạn $= > P\left( E_{3} ight) = 0,2,P\left( B|E_{3} ight) = 0,9$

B có thể xảy ra một trong 3 biến cố

$P(B) = P\left( E_{1} ight).P\left( B|E_{1} ight) + P\left( E_{2} ight).P\left( B|E_{2} ight) + P\left( E_{3} ight).P\left( B|E_{3} ight)$

$= > P(B) = 0,52$

Xác suất để sinh viên đó đi chơi với bạn là:

$P\left( E_{3}|B ight) = \frac{P\left( E_{3} ight).P\left( B|E_{3} ight)}{P(B)} = 0,375 = 37,5\%$
Câu 5: Vận dụng
Tung một con xúc sắc hai lần độc lập nhau. Biết rằng lần tung thứ nhất được số chấm chẵn. Tính xác suất tổng số chấm hai lần tung bằng $4$ ?
- A.
  $\frac{5}{9}$
- B.
  $\frac{1}{18}$
- C.
  $\frac{1}{9}$
- D.
  $\frac{1}{6}$
Gọi T_i: "Tổng số nốt hai lần tung bằng i" $(i = 1, 6)$

N_j,k: "Số nốt trên lần tung thứ j bằng k" $(j = 1, 2; k = 1, 6)$

Ta tìm

$P\left( T_{i}|N_{1,2} \cup N_{1,4} \cup N_{1,6} ight) = \frac{P\left( N_{1,2} \cup N_{2;2} ight)}{P\left(N_{1,2} \cup N_{1,4} \cup N_{1,6} ight)}$ $= \dfrac{\left( \dfrac{1}{6}ight)^{2}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{18}$
Câu 6: Thông hiểu

Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Anh, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng, khi đó:

a) Xác suất để có tên Anh là $\frac{1}{10}$ .Đúng||Sai

b) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là $\frac{3}{17}$ .Sai||Đúng

c) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là $\frac{2}{13}$ .Đúng||Sai

d) Nếu giáo viên chủ nhiệm gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là $\frac{3}{17}$ .Sai||Đúng

Đáp án là:

Lớp 12A có 30 học sinh, trong đó có 17 bạn nữ còn lại là nam. Có 3 bạn tên Anh, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên bảng, khi đó:

a) Xác suất để có tên Anh là $\frac{1}{10}$ .Đúng||Sai

b) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là $\frac{3}{17}$ .Sai||Đúng

c) Xác suất để có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là $\frac{2}{13}$ .Đúng||Sai

d) Nếu giáo viên chủ nhiệm gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là $\frac{3}{17}$ .Sai||Đúng

Gọi A là biến cố “tên là Anh”

Gọi B là biến cố “nữ”.

a) Xác suất để học sinh được gọi có tên là Anh là: $P(A) = \frac{3}{10} = \frac{1}{10}$ .

b) Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nữ là $P\left( A|B ight)$

Ta có: $P(B) = \frac{17}{30};P(A \cap B) = \frac{1}{30}$

$\Rightarrow P\left( A|B ight) =\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{1}{30}}{\dfrac{17}{30}} =\dfrac{1}{17}$

c) Gọi C là biến cố “nam”.

Xác suất để thầy giáo gọi bạn đó lên bảng có tên Anh, nhưng với điều kiện bạn đó nam là $P\left( A|C ight)$

Ta có: $P(C) = \frac{13}{30};P(A \cap C) = \frac{2}{30}$

$\Rightarrow P\left( A|C ight) =\dfrac{P(A \cap C)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{2}{30}}{\dfrac{13}{30}} =\dfrac{2}{13}$ .

d) Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Anh lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ là $P\left( B|A ight)$ ,

$\Rightarrow P\left( B|A ight) =\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{1}{30}}{\dfrac{3}{30}} =\frac{1}{3}$ .
Câu 7: Thông hiểu
Một phân xưởng có 3 máy tự động: máy I sản xuất 25%, máy II sản xuất 30%, máy III sản xuất 45% số sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các máy lần lượt là 0,1%, 0,2% và 0,3%. Chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm của phân xưởng. 1. Tìm xác suất nó là phế phẩm.
- A.
  $0,22\%$
- B.
  $0,27\%$
- C.
  $0,15\%$
- D.
  $0,32\%$
Gọi A_i là "lấy ra sản phẩm từ lô i" thì A₁, A₂, A₃ tạo thành hệ đầy đủ.

Gọi A là "lấy ra sản phẩm là phế phẩm".

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có

$P(A) = P\left( A_{1} ight)P\left( A|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( A|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( A|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,25.0,1\% + 0,3.0,2\% + 0,45.0,3\% = 0,22\%$
Câu 8: Thông hiểu
Cho ba biến cố $A;B;C$ độc lập từng đôi thỏa mãn $P(A) = P(B) = P(C) = p$ và $P(ABC) = 0$ . Xác định $P\left( AB\overline{C} ight)$ ?
- A.
  $P\left( AB\overline{C} ight) = 2p^{2}$
- B.
  $P\left( AB\overline{C} ight) = p^{2}$
- C.
  $P\left( AB\overline{C} ight) = p^{2} - p$
- D.
  $P\left( AB\overline{C} ight) = 2p^{2} - 1$
Ta có:

$P\left( AB\overline{C} ight) = P(AB) - P(ABC) = p^{2}$ .
Câu 9: Nhận biết
Một hộp chứa 5 quả bóng gồm 2 quả màu đỏ (đánh số 1 và 2), 2 quả màu xanh (đánh số 3 và 4) và 1 quả màu vàng (đánh số 5). Lấy ngẫu nhiên hai quả bóng liên tiếp không hoàn lại.

Xét các biến cố $A$ : "Quả bóng lấy ra đầu tiên có màu đỏ"

$B$ : "Tổng số của hai quả bóng lấy ra là số lẻ"

Xác định $B|A$ là biến cố $B$ khi biết $A$ đã xảy ra?
- A.
  $B|A = \left\{ (1;2),(1;4),(2;1),(2;3),(2;5) ight\}$
- B.
  $B|A = \left\{ (1;2),(1;4),(2;1),(2;3) ight\}$
- C.
  $B|A = \left\{ (1;3),(1;5),(2;3),(2;5) ight\}$
- D.
  $B|A = \left\{ (1;3),(1;5),(2;1),(2;3),(2;5) ight\}$
Khi A đã xảy ra, nghĩa là quả bóng đầu tiên lấy ra có màu đỏ (số 1 hoặc 2).

Do đó, không gian mẫu mới là

$\Omega' = A = \left\{ (1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(2;1),(2;3),(2;4),(2;5) ight\}$

Biến cố $B$ khi biết $A$ đã xảy ra là:

$B|A = A \cap B = \left\{ (1;2),(1;4),(2;1),(2;3),(2;5) ight\}$
Câu 10: Nhận biết
Cho hai biến cố $A;B$ với $P(B) = 0,6;P\left( A|B ight) = 0,7;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,4$ . Giá trị $P(A)$ bằng:
- A.
  $0,7$
- B.
  $0,4$
- C.
  $0,58$
- D.
  $0,52$
Ta có: $P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4$

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P(A) = P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)$

$\Rightarrow P(A) = 0,6.0,7 + 0,4.0,4 = 0,58$
Câu 11: Vận dụng
Có 3 hộp bi:

Hộp 1: Có 3 xanh, 4 đỏ, 5 vàng.

Hộp 2: Có 4 xanh, 5 đỏ, 6 vàng.

Hộp 3: Có 5 xanh, 6 đỏ, 7 vàng

Chọn ngẫu nhiên 1 hộp và từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 bi. Tính xác suất để bi lấy ra là bi xanh. Nếu bi lấy ra không là bi xanh, tính xác suất để bi đó được lấy từ hộp 2?
- A.
  $33,25\%$
- B.
  $45,12\%$
- C.
  $50,47\%$
- D.
  $39,31\%$
Gọi $A_{1};A_{2};A_{3}$ lần lượt là các biến cố “Chọn được hộp thứ 1, 2, 3” ta có hệ $A_{1};A_{2};A_{3}$ là hệ biến cố xung khắc và đầy đủ:

$P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{3} ight) = \frac{1}{3}$

Gọi B là biến cố “Lấy được bi xanh”

Ta có:

$P(B) = P\left( A_{1} ight).P\left( B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( B|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight).P\left( B|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(B) = \frac{1}{3}.\frac{3}{12} + \frac{1}{3}.\frac{4}{15} + \frac{1}{3}.\frac{5}{18} \approx 26,48\%$

$\overline{B}$ là biến cố bi lấy ra không phải là bi xanh, ta cần tính:

$P\left( A_{2}|B ight) = \frac{P\left( A_{2} ight).P\left( \overline{B}|A_{2} ight)}{P\left( \overline{B} ight)} = \frac{\frac{1}{3}.\frac{11}{15}}{1 - 0,2648} = 33,25\%$
Câu 12: Nhận biết
Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) = 0,2;P\left( A|B ight) = 0,5;P\left( A|\overline{B} ight) = 0,4$ . Tính $P\left( B|A ight)$ ?
- A.
  $0,238$
- B.
  $0,335$
- C.
  $0,412$
- D.
  $0,187$
Ta có: $P(B) = 0,2 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - 0,2 = 0,8$

Áp dụng công thức Bayes:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$

$\Rightarrow P\left( B|A ight) = \frac{0,2.0,5}{0,2.0,5 + 0,8.0,4} = \frac{5}{21} \approx 0,238$ .
Câu 13: Vận dụng
Bạn T quên mất số cuối cùng trong số điện thoại cần gọi (số điện thoại gồm 6 chữ số) và T chọn số cuối cùng này một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để T gọi đúng số điện thoại này mà không phải thử quá 3 lần. Nếu biết số cuối cùng là số lẻ thì xác suất này là bao nhiêu?
- A.
  $0,5$
- B.
  $0,6$
- C.
  $0,8$
- D.
  $0,7$
Gọi A_i: “gọi đúng ở lần thứ i” (i = 1, 2, 3)

Khi đó, biến cố “gọi đúng khi không phải thử quá ba lần” là:

$A = A_{1} + \overline{A_{1}}A_{2} + \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}$

Ta có:

$P(A) = P\left( A_{1} ight) + P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight) + P\left( \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3} ight)$

$= P\left( A_{1} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( A_{2}|\overline{A_{1}} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( \overline{A_{2}}|\overline{A_{1}} ight)P\left( A_{3}|\overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight)$

Khi đã biết số cuối cùng là số lẻ thì khi đó các số để chọn quay chỉ còn giới hạn lại trong 5 trường hợp (số lẻ) nên:

$P(A) = \frac{1}{5} + \frac{4}{5}.\frac{1}{4} + \frac{4}{5}.\frac{3}{4}.\frac{1}{3} = 0,6$
Câu 14: Thông hiểu
Tỷ lệ người nghiện thuốc là ở một vùng là $30\%$ . Biết rằng tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người nghiện thuốc là $60\%$ , còn tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người không nghiện là $40\%$ . Lấy ngẫu nhiên một người thấy người ấy bị viêm họng. Tính xác suất người đó nghiện thuốc lá.
- A.
  $\frac{9}{23}$
- B.
  $\frac{11}{23}$
- C.
  $\frac{6}{23}$
- D.
  $\frac{15}{23}$
Gọi A là "người nghiện thuốc" và B là "người viêm họng" thì từ đề bài ta có:

$P(A) = 0,3;P\left( B|A ight) = 0,6;P\left( B|\overline{A} ight) = 0,4$

Cần tính xác suất là C = A|B.

Sử dụng công thức Baye ta có:

$P\left( A|B ight) = \frac{P(A).P\left( B|A ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight)P\left( B|\overline{A} ight)}$

$\Rightarrow P\left( A|B ight) = \frac{0,3.0,6}{0,3.0,6 + 0,7.0,4} = \frac{9}{23}$
Câu 15: Thông hiểu
Cho hai biến cố $A$ và $B$ . Xác suất của biến cố $A$ với điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra được gọi là xác suất của $A$ với điều kiện $B$ , ký hiệu là $P\left( \left. \ A ight|B ight)$ . Phát biểu nào sau đây đúng?
- A.
  Nếu $P(A) > 0$ thì $P\left( \left. \ A ight|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .
- B.
  Nếu $P(B) > 0$ thì $P\left( \left. \ A ight|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .
- C.
  Nếu $P(A \cap B) > 0$ thì $P\left( \left. \ A ight|B ight) = \frac{P(A)}{P(A \cap B)}$ .
- D.
  Nếu $P(A \cap B) > 0$ thì $P\left( \left. \ A ight|B ight) = \frac{P(B)}{P(A \cap B)}$ .
Công thức tính xác suất của biến cố $A$ khi biết biến cố $B$ đã xảy ra $\left( P(B) > 0 ight)$ là: $P\left( A|B ight) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .
Câu 16: Nhận biết
Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.
- A.
  $\frac{2}{6}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{1}{6}$
- D.
  $\frac{2}{3}$
Gọi A là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.

Gọi B là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.

Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì $P\left( B|A ight) = \frac{1}{6}$ .
Câu 17: Nhận biết
Cho $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thoả mãn $P(A) = 0,5$ và $P(B) = 0,4$ . Khi đó, $P(A \cap B)$ bằng:
- A.
  0,8.
- B.
  0,4.
- C.
  0,6.
- D.
  0,2.
A và B là hai biến cố độc lập nên

$P(A \cap B) = P(A).P(B) = 0,4.0,5 = 0,2$
Câu 18: Thông hiểu
Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 34 người tả lời “sẽ mua”, 97 người trả lời “có thể sẽ mua” và 69 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên tương ứng là 70%, 30% và 1%. Tính xác suất người được phỏng vấn sẽ mua sản phẩm?
- A.
  $0,268$
- B.
  $0,325$
- C.
  $0,287$
- D.
  $0,183$
Gọi H₁, H₂, H₃ lần lượt là 3 biến cố tương ứng với 3 cách trả lời của khách hàng được phỏng vấn:

H₁ – người đó trả lời “sẽ mua”

H₂ – người đó trả lời “có thể mua”

H₃ – người đó trả lời “không mua”

H₁, H₂, H₃ là một hệ đầy đủ các biến cố với xác suất tương ứng $\frac{34}{200};\frac{97}{200};\frac{69}{200}$

Ta xác định được: $P\left( A|H_{1} ight) = 0,7;P\left( A|H_{2} ight) = 0,3;P\left( A|H_{3} ight) = 0,01$

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

$P(A) = \frac{34}{200}.0,7 + \frac{97}{200}.0,3 + \frac{69}{200}.0,01 = 0,268$ .
Câu 19: Nhận biết
Cho $A$ và $B$ là các biến cố của phép thử T. Biết rằng $P(A) > 0;0 < P(B) < 1$ . Xác suất của biến cố $B$ với điều kiện biến cố $A$ đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
- A.
  $P\left( B|A ight) = \frac{P(A).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$
- B.
  $P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)}$
- C.
  $P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$
- D.
  $P\left( B|A ight) = \frac{P(A).P\left( A|B ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{B}|A ight)}$
Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$
Câu 20: Vận dụng cao
Có 3 hộp đựng bi: hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 2 bi trắng; hộp thứ ba không có viên nào. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp thứ ba màu đỏ, tính xác suất để lúc đầu ta lấy được viên bi đỏ từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ ba?
- A.
  $\frac{3}{8}$
- B.
  $\frac{9}{11}$
- C.
  $\frac{7}{11}$
- D.
  $\frac{5}{8}$
Gọi A₁, A₂ lần lượt là "lấy bi đỏ từ hợp thứ 1 (thứ 2) bỏ vào hộp thứ ba" thì $A_{1}A_{2};\overline{A_{1}}A_{2};A_{1}\overline{A_{2}};\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}$ tạo thành một hệ đầy đủ.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( A_{1}A_{2} ight) = 0,3;P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight) = 0,2 \\ P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight) = 0,3;P\left( \overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) = 0,2 \\ \end{matrix} ight.$

Gọi A "lấy ra từ hộp 3 một viên bi màu đỏ". Ta có:

$P\left( A|A_{1}A_{2} ight) = 1;P\left( A|\overline{A_{1}}A_{2} ight) = 0,5$

$P\left( A|A_{1}\overline{A_{2}} ight) = 0,5;P\left( A|\overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) = 0$

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

$P(A) = P\left( A_{1}A_{2} ight)P\left( A|A_{1}A_{2} ight) + P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight)P\left( A|\overline{A_{1}}A_{2} ight)$

$+ P\left( \overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight)P\left( A|\overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) + P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight)P\left( A_{1}\overline{A_{2}} ight)$

$= 0,3.1 + 0,3.0,5 + 0,2.0,5 + 0,2.0 = 0,55$

Gọi B là sự kiện cần tính xác suất.

Dễ thấy $B = \left( A_{1}A_{2} + \overline{A_{1}}A_{2} ight)|A$ . Theo công thức Bayes ta có:

$P(B) = \frac{P\left\lbrack \left( A_{1}A_{2} + \overline{A_{1}}A_{2} ight)A ightbrack}{P(A)}$

$= \frac{P\left\lbrack \left( A_{1}A_{2} ight)A ightbrack + P\left\lbrack \left( \overline{A_{1}}A_{2} ight)A ightbrack}{P(A)}$

$= \frac{P\left( A_{1}A_{2} ight).P\left( A|A_{1}A_{2} ight) + P\left( \overline{A_{1}}A_{2} ight).P\left( A|\overline{A_{1}}A_{2} ight)}{P(A)}$

$= \frac{0,3.1 + 0,2.0,5}{0,55} = \frac{9}{11}$

45 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 6 Xác suất có điều kiện

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!