Cho hai biến cố
và
với
. Biết ![]()
. Tính
?
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Cho hai biến cố
và
với
. Biết ![]()
. Tính
?
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Cho hai biến cố
và
là hai biến cố độc lập, với
. Tính
?
Hai biến cố và
là hai biến cố độc lập nên
.
Nếu hai biến cố
thỏa mãn
thì
bằng bao nhiêu?
Theo công thức Bayes ta có:
Cho ba biến cố
độc lập từng đôi thỏa mãn
và
. Xác định
?
Ta có:
Vì A, B, C có vai trò như nhau nên
Người ta khảo sát khả năng chơi nhạc cụ của một nhóm học sinh nam nữ tại một trường phổ thông T. Xét phép thử chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong nhóm đó. Gọi
là biến cố “học sinh được chọn biết chơi ít nhất một nhạc cụ”, và
là biến cố “học sinh được chọn là nam”. Biết xác xuất học sinh được chọn là nam bằng
; xác suất học sinh được chọn là nam và biết chơi ít nhất một nhạc cụ là
; xác suất học sinh được chọn là nữ và biết chơi ít nhất một nhạc cụ là
. Tính
?
Theo bài ra ta có:
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
.
Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng
và
. do có nhiễu trên đường truyền nên
tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn
tín hiệu B bị méo cà thu được như A. Xác suất thu được tín hiệu A là:
Gọi A là biến cố “Phát tín hiệu A ”
Gọi B là biến cố “Phát tín hiệu A ”
Gọi TA là biến cố “Phát được tín hiệu A ”
Gọi TB là biến cố “Phát được tín hiệu B”.
Ta cần tính ta có:
khi đó:
Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm tất cả mọi người của nhóm người (trong đó
người không nhiễm bệnh). Biết rằng đối với người nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là
, nhưng đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có phản ứng dương tính là
. Tính xác suất để người được chọn ra không nhiễm bệnh và không có phản ứng dương tính.
Gọi A: “Người được chọn ra không nhiễm bệnh”.
Và B: “Người được chọn ra có phản ứng dương tính”
Theo bài ta có:
Ta có sơ đồ hình cây như sau:
Vậy
Trong hộp có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ. Lấy lần lượt mỗi lần một viên theo cách lấy không trả lại. Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ là:
Gọi A là biến cố “viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ”.
Gọi B là biến cố “viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ”.
Không gian mẫu cách chọn
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi trong 9 viên còn lại có cách 9 chọn, do đó:
Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi màu đỏ trong 6 viên bi còn lại có 6 cách chọn, do đó:
Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ: .
Cho hai biến cố
và
với
. Tính
?
Ta có:
Áp dụng công thức Bayes:
.
Ba khẩu pháo cùng bắn vào một mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi khẩu là
. Biết rằng xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt khi trúng một phát đạn là
, khi trúng 2 phát đạn là
, còn trúng 3 phát đạn thì chắc chắn mục tiêu bị tiêu diệt. Giả sử mỗi khẩu pháo bắn 1 phát. Tính xác suất để khẩu thứ 3 có đóng góp vào thành công đó?
Gọi : "Khẫu pháo thứ
bắn trúng"
)
: "Mục tiêu trúng
phát đạn"
: "Mục tiêu bị tiêu diệt".
Ta có: là một hệ đầy đủ các biến cố và
Ta có các giả thiết sau:
Từ đó, ta tính được:
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
Khi đó ta có:
Do đó
Một tập gồm 10 chứng từ, trong đó có 2 chứng từ không hợp lệ. Một cán bộ kế toán rút ngẫu nhiên 1 chứng từ và tiếp đó rút ngẫu nhiên 1 chứng từ khác để kiểm tra. Tính xác suất để cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ?
Gọi A là biến cố cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ
B là biến cố trong 3 chứng từ rút ra, chỉ có chứng từ thứ 3 không hợp lệ.
Theo yêu cầu của đầu bài ta phải tính xác xác suất
Nếu gọi Ai là biến cố chứng từ rút ra lần thứ i là hợp lệ} (i = 1,3).
Khi đó ta có: và
Vì vậy các xác suất cần tìm là:
Cho hai biến cố
với
. Tính
?
Ta có:
Một hộp chứa 8 bi trắng, 2 bi đỏ. Lần lượt lấy từng bi. Giả sử lần đầu tiên lấy được bi trắng. Xác định xác suất lần thứ hai lấy được bi đỏ.
Gọi A là biến cố lần một lấy được bi trắng.
Gọi B là biến cố lần hai lấy được bi đỏ.
Xác suất lần 2 lấy được bi đỏ khi lần 1 đã lấy được bi trắng là.
Ta có: khi đó:
.
Tỷ lệ người nghiện thuốc là ở một vùng là
. Biết rằng tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người nghiện thuốc là
, còn tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người không nghiện là
. Lấy ngẫu nhiên một người thấy người ấy bị viêm họng. Nếu người đó không bị viêm họng, tính xác suất người đó nghiện thuốc lá.
Gọi A là "người nghiện thuốc" và B là "người viêm họng" thì từ đề bài ta có:
Cần tính xác suất là C = A|B.
Sử dụng công thức Baye ta có:
Gọi ta có:
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Cách 1:
Mà
Do đó:
Cách 2: Ta có:
.
Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là
. Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia lớp học bổ trợ kiến thức lần lượt là
và
. Gặp ngẫu nhiên một học sinh của trường. Biết rằng học sinh có tham gia lớp học bổ trợ kiến thức. Tính xác suất học sinh đó là nam?
Gọi lần lượt là các biến cố gặp được một học sinh nữ, một học sinh nam
Nên 1 2 A A, là hệ biến cố đầy đủ.
Gọi B “Học sinh đó tham gia lớp học bổ trợ kiến thức”
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Xác suất để học sinh đó là nam, biết rằng học sinh đó tham gia câu lạc bộ nghệ thuật, ta áp dụng công thức Bayes:
Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là
và dự án 2 là
. Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2?
Gọi A là biến cố ”Thắng thầu dự án 1″
Gọi B là biến cố “Thắng thầu dự án 2″
Theo đề bài ta có: với 2 biến cố
độc lập.
Gọi D là biến cố “thắng thầu dự án thứ 2 biết thắng thầu dự án 1” do là hai biến cố độc lập nên:
Giả sử tỉ lệ người dân của tỉnh T nghiện thuốc lá là
; tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là
, trong số người không nghiện thuốc lá là
. Tính xác suất mà người đó là nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi?
Gọi A là biến cố “người nghiện thuốc lá”, suy ra A là biến cố “người không nghiện thuốc lá”
Gọi B là biến cố “người bị bệnh phổi”
Để người mà ta gặp bị bệnh phổi thì người đó nghiện thuốc lá hoặc không nghiện thuốc lá.
Ta cần tính
Ta có:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Xác suất mà người đó là nghiện thuốc lá khi biết bị bệnh phổi là
Theo công thức Bayes, ta có:
.
Như vậy trong số người bị bệnh phổi của tỉnh T có khoảng số người nghiện thuốc lá.
Cho hai biến cố
và
. Xác suất của biến cố
với điều kiện biến cố
đã xảy ra được gọi là xác suất của
với điều kiện
, ký hiệu là
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Công thức tính xác suất của biến cố khi biết biến cố
đã xảy ra
là:
.
Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là
. Người ta áp dụng phương pháp chẩn đoán mới thì thấy nếu khẳng định có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp; còn nếu khẳng định không bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. Tính xác suất để chẩn đoán đúng?
Gọi A là "người đến khám có bệnh" thì A, tạo thành hệ đầy đủ
Gọi B là "Chẩn đoán có bệnh".
Ta có P(A | B) = 0.9, P(A|B) = 0.5.
Tìm P(B) từ:
Gọi C là "chẩn đoán đúng", thì C xảy ra khi người bị bệnh được chẩn đoán có bệnh hoặc người không bị bệnh được chẩn đoán không bị bệnh. Như vậy
Hiển nhiên 2 biến cố xung khắc, nên ta có: