Cho hai biến cố
với
. Tính
?
Ta có:
Cho hai biến cố
với
. Tính
?
Ta có:
Hộp thứ nhất chứa 3 viên bi đen và 2 viên bi trắng. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đen và 5 viên bi trắng. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Mai lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai.
Gọi A: "Viên bi lấy ra lần thứ nhất là bi đen"
Và B: "Viên bi lấy ra lần thứ hai là bi trắng".
Biết rằng biến cố A xảy ra, tính xác suất của biến cố B?
Nếu biến cố A xảy ra thì bạn Mai lấy viên bi đen từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai.
Khi đó hộp thứ hai có 5 viên bi đen và 5 viên bi trắng.
Do đó, xác suất của biến cố B là: .
Giả sử
email của bạn nhận được là email rác. Bạn sử dụng một hệ thống lọc email rác mà khả năng lọc đúng email rác của hệ thống này là
và có
những email không phải là email rác nhưng vẫn bị lọc. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Gọi A: “Email nhận được là email rác”.
Và B: “Email bị lọc đúng email rác của hệ thống lọc email rác”.
Vì 5% email nhận được là rác nên xác suất nhận được một email rác là
b) Xác suất email bị lọc của email rác là .
c) Xác suất email nhận được không phải rác là
Xác suất email bị lọc của email không phải rác là
Vậy xác suất chọn một email bị lọc bất kể là rác hay không là
d) Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc thực sự là email rác là
.
Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là
. Thống kê cho thấy
cặp sinh đôi là trai;
cặp sinh đôi là gái và
cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Tỉ lệ cặp sinh đôi thật trong số các cặp sinh đôi có cùng giới tính.
Gọi A: “Nhận được cặp sinh đôi thật”
B: “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”
Do các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính nên
Với các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập nhau và có xác suất là 0,5 nên
Do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Thay số ta xác định được .
Do công thức Bayes:
Có hai hộp đựng bóng giống nhau (khác màu sắc):
Hộp thứ chứa 10 quả bóng trong đó có 9 quả màu đen.
Hộp thứ hai chứa 20 quả bóng trng đó có 18 quả màu đen,
Từ hộp thứ nhất lấy ngẫu nhiên một quả bóng bỏ sang hộp thứ hai. Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp thứ hai được quả màu đen?
Gọi A là biến cố lấy được quả bóng màu đen từ hộp thứ hai.
Biến cố A có thể xảy ra đòng thời với một trong hai biến cố sau đây tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố:
H1 là biến cố quả bóng bỏ từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai là màu đen.
H2 là biến cố quả bóng bỏ từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai không phải màu đen.
Xác suất để từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai là quả bóng màu đen bằng:
Xác suất để từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai không phải quả bóng màu đen bằng:
Xác suất có điều kiện để từ hộp thứ hai lấy được quả bóng màu đen khi các giả thuyết xảy ra là:
Do đó:
Một đoàn tàu gồm
toa đỗ ở sân ga. Có
hành khách bước lên tàu, mỗi hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên
toa. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất
hành khách bước lên tàu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 0,62
Một đoàn tàu gồm toa đỗ ở sân ga. Có
hành khách bước lên tàu, mỗi hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên
toa. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất
hành khách bước lên tàu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 0,62
Không gian mẫu là số cách sắp xếp hành khách lên
toa tàu. Vì mỗi hành khách có
cách chọn toa nên có
cách xếp.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
hành khách bước lên tàu mà mỗi toa có ít nhất
hành khách
. Để tìm số phần tử của biến cố
ta đi tìm số phần tử của biến cố
, tức có toa không có hành khách nào bước lên tàu, có
khả năng sau:
Trường hợp thứ nhất: Có toa không có hành khách bước lên.
+) Chọn trong
toa để không có khách bước lên, có
cách.
+) Sau đó cả hành khách lên toa còn lại, có
cách.
Do đó trường hợp này có cách.
Trường hợp thứ hai: Có toa không có hành khách bước lên.
+) Chọn trong
toa để không có khách bước lên, có
cách.
+) Hai toa còn lại ta cần xếp hành khách lên và mỗi toa có ít nhất
hành khách, có
.
Do đó trường hợp này có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Một loại linh kiện do 3 nhà máy số I, số II, số III cùng sản xuất. Tỷ lệ phế phẩm của các nhà máy lần lượt là: I; 0,04; II: 0,03 và III: 0,05. Trong 1 lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I, 120 của nhà máy số II và 100 của nhà máy số III. Khách hàng lấy phải một linh kiện loại phế phẩm từ lô hàng đó. Khả năng linh kiện đó do nhà máy nào sản xuất là cao nhất?
Gọi E1 là biến cố phế phẩm máy số I
E2 là biến cố phế phẩm máy số II
E3 là biến cố phế phẩm máy số III
Gọi B là biến cố khách hàng lấy được 1 linh kiện tốt
Xác suất để khách hàng lấy được linh kiện tốt là:
Gọi là biến cố khách hàng lấy 1 linh kiện loại không tốt
Ta xác định được:
Vậy linh kiện đó do máy III là cao nhất.
Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng
và
. do có nhiễu trên đường truyền nên
tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn
tín hiệu B bị méo và thu được như A. Tìm xác suất thu được tín hiệu A?
Gọi A, B lần lượt là "phát ra tín hiệu A, B".
Khi đó A, B tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi C là "thu được tín hiệu A". Khi đó:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
.
Ta cần tính P(A|C). Áp dụng công thức Bayes ta có:
Một gia đình có 2 đứa trẻ. Biết rằng có ít nhất 1 đứa trẻ là con gái. Xác suất để một đứa trẻ là trai hoặc gái là bằng nhau. Hỏi xác suất hai đứa trẻ đều là con gái là bao nhiêu?
Giới tính cả 2 đứa trẻ là ngẫu nhiên và không liên quan đến nhau.
Do gia đình có 2 đứa trẻ nên sẽ có thể xảy ra 4 khả năng: (trai, trai), (gái, gái), (gái, trai), (trai, gái).
Gọi A là biến cố “Cả hai đứa trẻ đều là con gái” Gọi B là biến cố “Có ít nhất một đứa trẻ là con gái”
Ta có:
Do nếu xảy ra A thì đương nhiên sẽ xảy ra B nên ta có:
Suy ra, xác suất để cả hai đứa trẻ đều là con gái khi biết ít nhất có một đứa trẻ là gái là: .
Theo thống kê ở các gia đình có hai con thì xác suất để con thứ nhất và con thứ hai là đều con trai là
và hai con đều là gái là
, còn xác suất con thứ nhất và con thứ hai có một trai và một gái là đồng khả năng. Biết khi xét một gia đình được chọn ngẫu nhiên có con thứ nhất là con gái, tìm xác suất để con thứ hai là trai.
Gọi là 'con thứ nhất là con trai' và
là 'con thứ hai là con trai' thì theo đề bài ta có:
,
và
Ta cần tìm .
Ta có
Theo thống kê xác suất để hai ngày liên tiếp có mưa ở một thành phố vào mùa hè là
; còn không mưa là
. Biết các sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng. Tính xác suất để ngày thứ hai có mưa, biết ngày đầu không mưa?
Gọi A là "ngày đầu mưa" và B là "ngày thứ hai mưa" thì ta có:
Vì các sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng nên
Xác suất cần tính là có:
Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng
và
. do có nhiễu trên đường truyền nên
tín hiệu A bị méo và thu được như tín hiệu B còn
tín hiệu B bị méo và thu được như A. Tìm xác suất thu được tín hiệu A?
Gọi A, B lần lượt là "phát ra tín hiệu A, B".
Khi đó A, B tạo thành hệ đầy đủ.
Gọi C là "thu được tín hiệu A".
Khi đó:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
.
Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là
. Thống kê cho thấy
cặp sinh đôi là trai;
cặp sinh đôi là gái và
cặp sinh đôi có giới tính khác nhau. Tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật.
Gọi A: “Nhận được cặp sinh đôi thật”
B: “Nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”
Do các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính nên
Với các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập nhau và có xác suất là 0,5 nên
Do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì:
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
Thay số ta xác định được .
Cho hai biến cố
và
với
. Khi đó công thức xác suất toàn phần tính
là:
Ta có công thức xác suất toàn phần tính là:
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10, nếu biết rằng có ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm?
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10, nếu biết rằng có ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm?
Cho hai biến cố
và
, với
. Tính
?
Ta có:
.
Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây, người ta trồng hạt giống của loại cây đó trên hai lô đất thí nghiệm
khác nhau. Xác suất phát triển bình thường của cây đó trên các lô đất
và
lần lượt là 0,56 và 0,62. Lặp lại thí nghiệm trên với đầy đủ các điều kiện tương đồng. Xét các biến cố:
: "Cây phát triển bình thường trên lô đất
";
: "Cây phát triển bình thường trên lô đất
".
a) Các cặp biến cố
và
và
là độc lập. Đúng||Sai
b) Hai biến cố
và
không là hai biến cố xung khắc.Sai||Đúng
c)
. Sai||Đúng
d) Xác suất để cây chỉ phát triển bình thường trên một lô đất là 0,4856. Đúng||Sai
Để nghiên cứu sự phát triển của một loại cây, người ta trồng hạt giống của loại cây đó trên hai lô đất thí nghiệm khác nhau. Xác suất phát triển bình thường của cây đó trên các lô đất
và
lần lượt là 0,56 và 0,62. Lặp lại thí nghiệm trên với đầy đủ các điều kiện tương đồng. Xét các biến cố:
: "Cây phát triển bình thường trên lô đất
";
: "Cây phát triển bình thường trên lô đất
".
a) Các cặp biến cố và
và
là độc lập. Đúng||Sai
b) Hai biến cố và
không là hai biến cố xung khắc.Sai||Đúng
c) . Sai||Đúng
d) Xác suất để cây chỉ phát triển bình thường trên một lô đất là 0,4856. Đúng||Sai
Các cặp biến cố và
và
là độc lập vì hai lô đất khác nhau.
Hai biến cố và
là hai biến cố xung khắc.
Ta có: .
Xác suất để cây chi phát triển bình thường trên một lô đất là:
Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 0,5 và dự án 2 là 0,6. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi
lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.
a)
và
là hai biến độc lập. Đúng||Sai
b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là
. Đúng||Sai
c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là
. Sai||Đúng
d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án
. Sai||Đúng
Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 0,5 và dự án 2 là 0,6. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.
a) và
là hai biến độc lập. Đúng||Sai
b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là . Đúng||Sai
c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là . Sai||Đúng
d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án . Sai||Đúng
Đề bài:
a) độc lập
mà nên
không độc lập
b) Gọi là biến cố thắng thầu đúng 1 dự án
c) Gọi là biến cố thắng dự 2 biết thắng dự án 1
d) Gọi là biến cố “thắng dự án 2 biết không thắng dự án 1”
Nếu hai biến cố
thỏa mãn
thì
bằng bao nhiêu?
Theo công thức Bayes ta có:
Cho hai biến cố
với
. Giá trị
bằng:
Ta có:
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: