Trên bàn có 5 quyển sách Toán khác nhau và 7 quyển sách Hóa khác nhau. Số cách chọn 2 quyển sách gồm đủ 2 loại Toán và Hóa bằng:
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn một quyển Toán và một quyển Hóa là: 5 . 7 = 35 cách chọn.
Trên bàn có 5 quyển sách Toán khác nhau và 7 quyển sách Hóa khác nhau. Số cách chọn 2 quyển sách gồm đủ 2 loại Toán và Hóa bằng:
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn một quyển Toán và một quyển Hóa là: 5 . 7 = 35 cách chọn.
Trong một tuần, bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong
người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (Có thể thăm một bạn nhiều lần).
Thứ 2: có cách chọn bạn đi thăm
Thứ 3: có cách chọn bạn đi thăm
Thứ 4: có cách chọn bạn đi thăm
Thứ 5: có cách chọn bạn đi thăm
Thứ 6: có cách chọn bạn đi thăm
Thứ 7: có cách chọn bạn đi thăm
Chủ nhật: có cách chọn bạn đi thăm
Vậy theo quy tắc nhân, có (kế hoạch).
Giả sử có một công việc có thể tiến hành theo hai công đoạn M và N. Công đoạn M có a cách, công đoạn N có b cách mà không trùng với cách nào của công đoạn M. Khi đó công việc có thể thực hiện bằng:
Khi đó công việc có thể được thực hiện bằng (cách) (theo quy tắc nhân)
Cho các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 7; 9. Từ các chữ số này, ta lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 10 và nhỏ hơn 5430?
Gọi số cần tìm có dạng . Vì
chia hết cho 10 suy ra
.
TH1. Với , ta có
+ Nếu suy ra
, do đó có 2 số cần tìm.
+ Nếu suy ra
và
, do đó có 14 số cần tìm.
TH2. Với suy ra có 2 cách chọn a, 7 cách chọn b, 7 cách chọn
C.
Suy ra có số cần tìm. Vậy có tất cả 114 số cần tìm.
Tổng hệ số của
và
trong khai triển
là:
Ta có: .
Tổng hệ số của và
bằng
.
Số các số tự nhiên gồm
chữ số chia hết cho
là:
Gọi số cần tìm có dạng: .
Chọn : có 1 cách
Chọn : có 9 cách
Chọn : có
cách
Theo quy tắc nhân, có (số).
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ các chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chứa chữ số 2 và chia hết cho 5?
Giả sử số đó là
Trường hợp 1. xếp 2 vào có 2 vị trí, chọn số xếp vào vị trí còn lại có 6 cách nên có 2.6 = 12 số thỏa mãn.
Trường hợp 2. . Với
chọn
có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn. Với
chọn
có 5 cách chọn, và tất nhiên
nên có 5 số thỏa mãn. Do đó có
số thỏa mãn.
Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó.
Số cách chọn hai học sinh từ 10 học sinh là chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử
=> Số cách chọn là: (cách)
Khai triển nhị thức newton của
thành đa thức thì có tất cả bao nhiêu số hạng có hệ số nguyên dương?
Để hệ số nguyên dương thì ,do
nên ta có
vậy t=0,1,2….672 nên có 673 giá trị.
Một chiếc hộp chứ 5 quả cầu trắng và 6 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên đồng thời ba quả trong hộp, biết rằng các quả cầu có kích thước và khối lượng như nhau. Hỏi có bao nhiêu cách lấy được đồng thời 3 quả cầu?
Tổng số quả cầu trong hộp là 5 + 6 = 11
Mỗi cách lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu trong 11 quả cầu trong hộp là tổ hợp chập 3 của 11 phần tử
Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán là (cách).
Cho đa giác n cạnh. Tìm n để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh.
Đa giác n cạnh có n đỉnh.
Mỗi đỉnh nối với đỉnh khác để tạo ra đường chéo
Do đó n đỉnh sẽ có đường
Mà 1 đường chéo được nối bởi 2 đỉnh nên số đường chéo thực là:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Hệ số của số hạng chứa
trong khai triển nhị thức
(với
) là:
Số hạng tổng quát của khai triển (với
) là:
.
Số hạng trên chứa suy ra
.
Vậy hệ số của số hạng chứa trong khai triển trên là
.
Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
Học sinh nam có 280 cách chọn
Học sinh nữ có 325 cách chọn
Chọn hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè là:
Cho tập hợp M = {a; b; c}. Số hoán vị của ba phần tử của M là:
Số hoán vị của ba phần tử của M là: 3! = 6.
Cho
là số thực dương, số hạng không chứa
trong khai triển nhị thức
là:
Ta có
Số hạng tổng quát thứ trong khai triển là
.
Số hạng này không chứa tương ứng với trường hợp
.
Vậy số hạng không chứa trong khai triển là
.
Trong khai triển
số hạng chứa
là:
Ta có: .
Vậy số hạng cần tìm là: .
Từ 5 chữ số 1, 2, 5, 7, 8 có thể lập bao nhiêu số gồm 3 chữ số phân biệt và nhỏ hơn hoặc bằng 278?
Gọi số cần tìm có dạng
Trường hợp 1: . Có 1 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2:
a có 1 cách chọn.
b có 2 cách chọn.
c có 3 cách chọn.
⇒ Theo quy tắc nhân ta có: (số).
Trường hợp 3:
a có 1 cách chọn.
b có 1 cách chọn.
c có 2 cách chọn.
⇒ Theo quy tắc nhân ta có: (số).
Trường hợp 4: a < 2.
a có 1 cách chọn.
b có 4 cách chọn.
c có 3 cách chọn.
⇒ Theo quy tắc nhân ta có: (số).
⇒ Vậy có (số).
Cho hai đường thẳng song song d và d’. Trên đường thẳng d lấy 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d’ lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 điểm vừa nói trên.
Trường hợp 1: Lấy 2 điểm trên d và 1 điểm trên d’
Trường hợp 2: Lấy 1 điểm trên d và 2 điểm trên d’.
Số tam giác thỏa bài toán là: tam giác.
Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 2 và gồm 4 chữ số?
Gọi số thỏa mãn đề bài có dạng .
Trường hợp 1: C bằng 0. Suy ra có 1 cách chọn.
Vị trí A: có 9 cách chọn, khác số 0.
Vị trí B: có 10 cách chọn.
Suy ra có: 1.9.10 = 90 (số).
Trường hợp 2: C khác 0. Suy ra C có 4 cách chọn (2, 4, 6, 8).
Vị trí A: có 9 cách chọn, khác số 0.
Ví trí B: Có 10 cách chọn.
Suy ra có: 4.9.10 = 360 (số).
Vậy, áp dụng quy tắc cộng, có 90 + 360 = 450 (số).
Cho biểu thức
, khi khai triển nhị thức đã cho ta được bao nhiêu số hạng?
Trong khai triển nhị thức Newton có
số hạng.