Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Xác định số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton $\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight)^{n},(x > 0)$ . Biết rằng $C_{n}^{0} + 3C_{n}^{1} + 9C_{n}^{2} + ... + 3^{n}.C_{n}^{n} = 256$ .
- A.
  $7$
- B.
  $6$
- C.
  $20$
- D.
  $15$
Ta có:

$C_{n}^{0} + 3C_{n}^{1} + 9C_{n}^{2} + ... + 3^{n}.C_{n}^{n} = 256$

$\Leftrightarrow (1 + 3)^{n} = 256 \Leftrightarrow 4^{n} = 256 \Leftrightarrow n = 4$

Xét khai triển $\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight)^{n},(x > 0)$

Số hạng tổng quát $C_{4}^{k}.\left( x^{2} ight)^{4 - k}.\left( \frac{1}{x^{2}} ight)^{k} = C_{4}^{k}.x^{8 - 4k}$

Số hạng không chứa x ứng với $8 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 2$

Suy ra số hạng không chứa x là $C_{4}^{2} = 6$ .
Câu 2: Vận dụng
Trong một tuần, bạn A dự định mỗi ngày đi thăm một người bạn trong $12$ người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình (Có thể thăm một bạn nhiều lần).
- A.
  $7!$ .
- B.
  $35831808$ .
- C.
  $12!$ .
- D.
  $3991680$ .
Thứ 2: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Thứ 3: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Thứ 4: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Thứ 5: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Thứ 6: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Thứ 7: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Chủ nhật: có $12$ cách chọn bạn đi thăm

Vậy theo quy tắc nhân, có $12^{7} = 35831808$ (kế hoạch).
Câu 3: Nhận biết
An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con

đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn

đường đi đến nhà Cường cùng Bình (như hình vẽ dưới đây và không có con đường nào khác)?
- A.
  24.
- B.
  10.
- C.
  16.
- D.
  36.
Chọn đường đi từ nhà An đến nhà Bình có 4 cách chọn.

Chọn đường đi từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có 4.6 = 24 cách cho An chọn đường đi đến nhà Cường cùng Bình.
Câu 4: Nhận biết
Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn văn nghệ, mỗi đội chỉ được trình diễn một vở kịch, một điệu múa và một bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách hương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau?
- A.
  11.
- B.
  36.
- C.
  25.
- D.
  18.
Đội văn nghệ trên có 2 cách chọn trình diễn một vở kịch, có 3 cách chọn trình diễn một điệu múa, có 6 cách chọn trình diễn một bài hát. Theo quy tắc nhân, đội văn nghệ trên có 2.3.6 = 36cách hương trình diễn.
Câu 5: Vận dụng
Cho các chữ số 0; 1; 2; 4; 5; 6; 8. Hỏi từ các chữ số trên lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà trong mỗi số chữ số 1 luôn xuất hiện?
- A.
  444.
- B.
  840.
- C.
  230.
- D.
  120.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ . Vì $\overline{abcde}$ chia hết cho 5 suy ra $e = \left\{ 0;5 ight\}$ .

TH1. Với $e = 0$ suy ra có $4 \times 5 \times 4 \times 3 = 240$ số cần tìm.

TH2. Với $e = 5$ , suy ra có $5 \times 4 \times 3 + 3 \times 4 \times 4 \times 3 = 204$ số cần tìm.

Vậy có tất cả 444 số cần tìm.
Câu 6: Nhận biết
Tìm số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40}$ .
- A.
  $C_{40}^{31}x^{31}$ .
- B.
  $- C_{40}^{33}x^{32}$ .
- C.
  $C_{40}^{37}x^{31}$ .
- D.
  $C_{40}^{3}x^{31}$ .
Ta có khai triển: $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}x^{40 - k}\left( x^{- 2} ight)^{k}} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}x^{40 - 3k}}$ .

Số hạng tổng quát trong khai triển: $C_{40}^{k}x^{40 - 3k}$

Số hạng chứa $x^{31}$ ứng với: $40 - 3k = 31 \Leftrightarrow k = 3$

Vậy số hạng chứa $x^{31}$ là: $C_{40}^{3}x^{31}$ .
Câu 7: Nhận biết
Số cách xếp 5 học sinh $A;B;C;D;E$ vào một ghế dài sao cho bạn $A;C$ ngồi ở hai đầu ghế là:
- A.
  $20$ cách
- B.
  $24$ cách
- C.
  $12$ cách
- D.
  $18$ cách
Vì A; E ngồi ở hai đầu ghế nên ta có 3!.2! = 12 cách sắp xếp $A;B;C;D;E$
Câu 8: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số lập từ các số $0,2,4,6,8$ với điều các chữ số đó không lặp lại?
- A.
  $60$ .
- B.
  $40$ .
- C.
  $48$ .
- D.
  $10$ .
Gọi số tự nhiên có $3$ chữ số cần tìm là: $\overline{abc},\ a eq 0$ , khi đó:

$a$ có $4$ cách chọn

$b$ có $4$ cách chọn

$c$ có $3$ cách chọn

Vậy có: $4.4.3 = 48$ số.
Câu 9: Nhận biết
Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn $(x - y)^{5}$ .
- A.
  $x^{5} - 5x^{4}y + 10x^{3}y^{2} - 10x^{2}y^{3} + 5xy^{4} - y^{5}$ .
- B.
  $2x^{5} - 3x^{4}y - 10x^{3}y^{2} - 5x^{2}y^{3} - 5xy^{4} + y^{5}$ .
- C.
  $x^{5} + 2x^{4}y - 3x^{3}y^{2} - 3x^{2}y^{3} + 5xy^{4} + y^{5}$ .
- D.
  $x^{5} - 5x^{4}y - 10x^{3}y^{2} + 10x^{2}y^{3} + 5xy^{4} + y^{5}$ .
Ta có:

$(x - y)^{5} = \left\lbrack x + ( - y) ightbrack^{5}$

$= C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4}{\left( { - y} ight)^1} + C_5^2{x^3}{\left( { - y} ight)^2} + C_5^3{x^2}{\left( { - y} ight)^3} + C_5^4{x^1}{\left( { - y} ight)^4} + C_5^5{\left( { - y} ight)^5}$

Hay $(x - y)^{5} = x^{5} - 5x^{4}y + 10x^{3}y^{2} - 10x^{2}y^{3} + 5xy^{4} - y^{5}$ .
Câu 10: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6 ight\}$ . Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.
- A.
  $8233$ .
- B.
  $1260$ .
- C.
  $3870$ .
- D.
  $1560$ .
Gọi $\overline{abcde}$ là số số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.

+ TH1. $e = 0$ . Chọn $a,b,c,d \in A\backslash\left\{ 0 ight\}:$ $A_{6}^{4} = 360 \Rightarrow$ có 360 số.

+ TH2. $e eq 0:$ Chọn $e \in \left\{ 2;4;6 ight\}:$ 3 (cách).

Chọn $a \in A\backslash\left\{ 0;e ight\}:$ 5 (cách).

Chọn $b,c,d \in A\backslash\left\{ a;e ight\}:$ $A_{5}^{3} = 60$ (cách).

$\Rightarrow$ có $3.5.60 = 900$ số.

Vậy có. $900 + 360 = 1260$ số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2.
Câu 11: Thông hiểu
Từ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
- A.
  $30$
- B.
  $18$
- C.
  $25$
- D.
  $34$
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là $\overline{abcd};(a eq b eq c eq d)$

Bộ bốn chữ số có tổng chia hết cho 3 là: $A = \left\{ (0;1;2;3),(0;2;3;4),(0;3;4;5),(1;2;4;5) ight\}$

Trường hợp 1: $\overline{abcd} \in \left\{ (0;1;2;3),(0;2;3;4),(0;3;4;5) ight\}$

Chọn a: 3 cách (vì a ≠ 0).

Chọn b, c, d: $3! = 6$ cách chọn.

Khi đó: 3.6=18 (cách).

Trường hợp 2: $\overline{abcd} \in \left\{ 1;2;4;5 ight\}$

Chọn $a,b,c,d$ : $4! = 24$

Vậy 6 + 24 = 30 (số)
Câu 12: Nhận biết
Một hộp có 5 bi đỏ và 4 bi vàng. Số cách lấy ra hai viên bi từ hộp là:
- A.
  18
- B.
  72
- C.
  54
- D.
  36
Số cách lấy 2 viên bi từ 9 viên bi là: $C_9^2=36$ (cách).
Câu 13: Nhận biết
Để giải một bài tập ta cần phải giải hai bài tập nhỏ. Bài tập 1 có 9 cách giải, bài tập 2 có 5 cách giải. Số các cách để giải hoàn thành bài tập trên là:
- A.
  3.
- B.
  45.
- C.
  5.
- D.
  12.
Sô cách giải bài toán 1 : 9 cách.

Số cách giải bài toán 2 : 5 cách.

Áp dụng quy tắc nhân: 9 × 5 = 45 cách.
Câu 14: Thông hiểu
Xếp $6$ chữ số $1$ , $1$ , $2$ , $2$ , $3$ , $4$ thành hàng ngang sao cho hai chữ số giống nhau thì không xếp cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy?
- A.
  $140$ cách.
- B.
  $100$ cách.
- C.
  $160$ cách.
- D.
  $84$ cách.
Số cách xếp sáu chữ số thành hàng một cách tùy ý là $\frac{6!}{2!.2!} = 180$ .
*) Tìm số cách xếp sáu chữ số sao cho có hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau
+) TH1: Số cách xếp sao cho có hai chữ số $1$ đứng cạnh nhau $5.\frac{4!}{2!} = 60$ .
+) TH2: Số cách xếp sao cho có hai chữ số $2$ đứng cạnh nhau $5.\frac{4!}{2!} = 60$ .
+) TH3: Số cách xếp sao cho có hai chữ số $1$ đứng cạnh nhau và hai chữ số $2$ đứng cạnh nhau
-) Nếu hai chữ số $1$ ở vị trí $(1;2)$ và $(5;6)$ ta có số cách xếp là $2.3.2 = 12$ .
-) Nếu hai chữ số $1$ ở ba vị trí còn lại thì số các xếp là $3.2.2 =12$ .
Vậy số cách xếp hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau là $60 + 60 - 12 - 12 = 96$ .
$\Rightarrow$ Số cách xếp không có hai chữ số giống nhau nào đứng cạnh nhau là $180 - 96 = 84$ .
Câu 15: Vận dụng
Tìm số hạng chứa $x^{26}$ trong khai triển $\left( \frac{1}{x^{4}} + x^{7} ight)^{n}$ . Cho biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức $C_{2n + 1}^{1} + C_{2n + 1}^{2} + ... + C_{2n + 1}^{n} = 2^{20} - 1$ .
- A.
  333.
- B.
  210.
- C.
  100.
- D.
  114.
Từ giả thiết ta suy ra $C_{2n + 1}^{0} + C_{2n + 1}^{1} + C_{2n + 1}^{2} + ... + C_{2n + 1}^{n} = 2^{20}$ .

Mặt khác: $C_{2n + 1}^{k} = C_{2n + 1}^{2n + 1 - k}\ \ ,\ \forall k\mathbb{\in N},\ 0 \leq k \leq 2n + 1$ nên ta có:

$C_{2n + 1}^{0} + C_{2n + 1}^{1} + C_{2n +1}^{2} + ... + C_{2n + 1}^{n}$

$= \frac{1}{2}\left( C_{2n + 1}^{0} + C_{2n+ 1}^{1} + C_{2n + 1}^{2} + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} ight) =\frac{1}{2}(1 + 1)^{2n + 1} = 2^{2n}$

Suy ra: $2^{2n} = 2^{20} \Leftrightarrow n = 10$ .

Số hạng tổng quát trong khai triển $\left( \frac{1}{x^{4}} + x^{7} ight)^{10}$ là: $T_{k + 1} = C_{10}^{k}\left( \frac{1}{x^{4}} ight)^{10 - k}\left( x^{7} ight)^{k} = C_{10}^{k}x^{11k - 40}$ .

Hệ số của $x^{26}$ là $C_{10}^{k}$ với $k$ thỏa mãn: $11k - 40 = 26 \Leftrightarrow k = 6$ .

Vậy hệ số của $x^{26}$ là $C_{10}^{6} = 210$ .
Câu 16: Nhận biết
Có bao nhiêu cách sắp xếp $3$ nữ sinh, $3$ nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ?
- A.
  $9$ .
- B.
  $36$ .
- C.
  $120$ .
- D.
  $72$ .
Đánh số thứ tự các vị trí theo hàng dọc từ $1$ đến $6$ .

Trường hợp 1. Nam đứng trước, nữ đứng sau.

Xếp nam (vào các vị trí đánh số $1,3,5$ ). Có $3! = 6$ cách.

Xếp nữ (vào các vị trí đánh số $2,4,6$ ). Có $3! = 6$ cách.

Vậy trường hợp này có. $6.6 = 36$ cách.

Trường hợp 2. Nữ đứng trước, nam đứng sau.

Xếp nữ (vào các vị trí đánh số $1,3,5$ ). Có $3! = 6$ cách.

Xếp nam (vào các vị trí đánh số $2,4,6$ ). Có $3! = 6$ cách.

Vậy trường hợp này có. $6.6 = 36$ cách.

Theo quy tắc cộng ta có. $36 + 36 = 72$ cách sắp xếp $3$ nữ sinh, $3$ nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ.
Câu 17: Nhận biết
Cho biểu thức $(m + n)^{5}$ , khi khai triển nhị thức đã cho ta được bao nhiêu số hạng?
- A.
  $6$
- B.
  $5$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Trong khai triển nhị thức Newton $(m + n)^{5}$ có $5 + 1 = 6$ số hạng.
Câu 18: Thông hiểu
Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh và 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam đứng cạnh nhau và nữ đứng cạnh nhau:
- A.
  6
- B.
  72
- C.
  720
- D.
  144
Trường hợp 1: Nữ đứng trước
Có 6 vị trí để xếp, vì nam đứng cạnh nhau và nữ đứng cạnh nhau nên nữ sẽ đứng vị trí số 1, 2, 3 còn nam đứng vị trí số 4, 5, 6
Sắp xếp học sinh nữ vào vị trí 1, 2, 3
Vị trí số 1 có 3 cách chọn (vì có thể chọn một bạn bất kỳ trong 3 bạn nữ)
Vị trí số 2 có 2 cách chọn (vì chỉ có thể chọn một trong hai bạn nữ còn lại)
Vị trí số 3 có 1 cách chọn (vì chỉ còn 1 bạn nữ để chọn)
Có 6 vị trí để xếp, vì nam nữ đứng xen kẽ nên nữ sẽ đứng vị trí số 1, 3, 5 còn nam đứng vị trí số 2, 4, 6.
Sắp xếp học sinh nam vào vị trí 4, 5, 6
Vị trí số 4 có 3 cách chọn (vì có thể chọn một bạn bất kỳ trong 3 bạn nam)
Vị trí số 5 có 2 cách chọn (vì chỉ có thể chọn một trong hai bạn nam còn lại)
Vị trí số 6 có 1 cách chọn (vì chỉ còn 1 bạn nam để chọn)
Trường hợp 1 có 3.2.1.3.2.1 = 36 (cách xếp)
Trường hợp 2: Nam đứng trước
Tương tự như trường hợp 1, trường hợp 2 có 36 (cách xếp)
Vậy áp dụng quy tắc cộng ta có cả hai trường hợp có 36 + 36 = 72 (cách xếp).
Câu 19: Thông hiểu
Biết rằng $n\mathbb{\in N}$ thỏa mãn biểu thức $A_{n}^{2} - C_{n}^{2} = 19900$ . Tính giá trị biểu thức $B =\frac{n.C_{2n}^{n}}{C_{2n}^{n + 1}}$ ?
- A.
  $B = 201$
- B.
  $B = 175$
- C.
  $B = 249$
- D.
  $B = 190$
Ta có:
$A_{n}^{2} - C_{n}^{2} =19900$
$\Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} -\frac{n!}{2!(n - 2)!} = 19900$
$\Leftrightarrow (n - 1).n = 39800\Leftrightarrow n = 200$
Lại có:
$B = \frac{n.C_{2n}^{n}}{C_{2n}^{n + 1}}= \frac{n(2n)!}{n!.n!} = \frac{(n + 1)!.(n - 1)!}{(2n)!} = n +1$
$\Rightarrow B = 201$
Câu 20: Thông hiểu
Cho biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển $(1 + 2x)^{n}$ bằng $180$ . Tìm $n$ .
- A.
  $n = 12$ .
- B.
  $n = 14$ .
- C.
  $n = 8$ .
- D.
  $n = 10$ .
Ta có $(1 + 2x)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1}.2x + C_{n}^{2}.(2x)^{2} + ... + C_{n}^{n}(2x)^{n}$ .

Hệ số của $x^{2}$ bằng $180 \Leftrightarrow 4.C_{n}^{2} = 180 \Leftrightarrow 4\frac{n!}{2!(n - 2)!} = 180 \Leftrightarrow n(n - 1) = 90$

$\Leftrightarrow n^{2} - n - 90 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = - 9(l) \\ n = 10 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $n = 10$ .

37 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!