Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho $x$ là số thực dương, số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{2}{\sqrt{x}} ight)^{30}$ là:
- A.
  $\mathbf{2}^{\mathbf{20}}$ .
- B.
  $\mathbf{2}^{\mathbf{20}}\mathbf{C}_{\mathbf{30}}^{\mathbf{10}}$ .
- C.
  $\mathbf{2}^{\mathbf{10}}\mathbf{C}_{\mathbf{30}}^{\mathbf{20}}$ .
- D.
  $\mathbf{C}_{\mathbf{30}}^{\mathbf{20}}$ .
Ta có $\left( x + \frac{2}{\sqrt{x}} ight)^{30} = \left( x + 2x^{- \frac{1}{2}} ight)^{30} = \sum_{k = 0}^{30}{C_{30}^{k}x^{30 - k}\left( 2x^{\frac{- 1}{2}} ight)^{k} = \sum_{k = 0}^{30}{C_{30}^{k}2^{k}x^{30 - \frac{3}{2}k}}}$

Số hạng tổng quát thứ $k + 1$ trong khai triển là $T_{k + 1} = C_{30}^{k}2^{k}x^{30 - \frac{3}{2}k}$ .

Số hạng này không chứa $x$ tương ứng với trường hợp $30 - \frac{3k}{2} = 0 \Leftrightarrow k = 20$ .

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $T_{21} = C_{30}^{20}2^{20} = 2^{20}C_{30}^{10}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau?
- A.
  $30240$
- B.
  $32212$
- C.
  $23460$
- D.
  $32571$
Gọi số in trên vé có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$

Số cách chọn $a_{1}$ là 10 ( $a_{1}$ có thể là 0).

Số cách chọn $a_{2}$ là 9.

Số cách chọn $a_{3}$ là 8.

Số cách chọn $a_{4}$ là 7.

Số cách chọn $a_{5}$ là 6.

Vậy có 10.9.8.7.6 = 30240 cách
Câu 3: Nhận biết
Chọn đáp án đúng khi khai triển nhị thức $(3x - 2y)^{4}$ ?
- A.
  $81x^{4} - 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} - 96xy^{3} + 16y^{4}$
- B.
  $81x^{4} + 216x^{3}y - 216x^{2}y^{2} + 96xy^{3} - 16y^{4}$
- C.
  $81x^{4} + 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} + 96xy^{3} + 16y^{4}$
- D.
  $3x^{4} - 24x^{3}y - 36x^{2}y^{2} - 24xy^{3} + 2y^{4}$
Ta có:

$(3x - 2y)^{4} = \sum_{k = 0}^{4}{C_{4}^{k}.(3x)^{4 - k}.( - 2y)^{k}}$

$= 81x^{4} - 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} - 96xy^{3} + 16y^{4}$
Câu 4: Thông hiểu
Một tập thể có 14 người gồm 6 nam và 8 nữ, trong đó có An và Bình, chọn một tồ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn sao cho trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ.
- A.
  $10296$
- B.
  $11088$
- C.
  $15048$
- D.
  $14875$
Trường hợp 1: An và Bình không có mặt trong tổ công tác:

Chọn 6 bạn trong 12 bạn (14 người loại An và Bình) có $C_{12}^{6}$ cách.

Trường hợp 2: An có trong tổ công tác, Bình không có trong tổ công tác:

Chọn An có 1 cách, Chọn 5 bạn trong 12 người còn lại có $C_{12}^{5}$ cách

Trường hợp 3: Bình có trong tổ công tác, An không có trong tổ công tác có $C_{12}^{5}$ cách.

Trong 1 tổ 6 người có 6 cách chọn ra 1 tổ trưởng

Như vậy có tất cả số cách là: $\left( C_{12}^{6} + C_{12}^{5} + C_{12}^{5} ight).6 = 15048$ cách
Câu 5: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho số đó không bắt đầu bởi 125?
- A.
  165.
- B.
  362.
- C.
  2402.
- D.
  6705.
Gọi $\overline{125ab}$ là số bắt đầu bởi 125 và có 5 chữ số đôi một khác nhau.

Suy ra $b$ có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn $\Rightarrow$ có $3 \times 5 = 15$ số.

Số các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập A là $4 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 6720$ số.

Suy ra có tất cả $6720 - 15 = 6705$ số cần tìm.
Câu 6: Nhận biết
Cho tập hợp $E$ có 10 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có 8 phần tử của tập hợp $E$ ?
- A.
  120.
- B.
  88.
- C.
  45.
- D.
  89.
Mỗi tập con có 8 phần tử của tập hợp $E$ là một tổ hợp chập 8 của 10. Vậy số tập con có 8 phần tử của tập hợp $E$ là. $C_{10}^{8} = 45$ .
Câu 7: Vận dụng
Cho $n$ là số tự nhiên thỏa mãn phương trình $C_{n - 4}^{n - 6} + nA_{n}^{2} = 454$ . Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $\left( \frac{2}{x} - x^{3} ight)^{n}$ ( với $x eq 0$ ).
- A.
  1973.
- B.
  687.
- C.
  1296.
- D.
  -1792.
Điều kiện $n \geq 6$ và $n\mathbb{\in N}$ .

$C_{n - 4}^{n - 6} + nA_{n}^{2} = 454\Leftrightarrow \frac{(n - 4)!}{(n - 6)!2!} + n \cdot \frac{n!}{(n -2)!} = 454$

$\Leftrightarrow \frac{(n - 5)(n - 4)}{2} + n^{2}(n - 1) = 454\Leftrightarrow 2n^{3} - n^{2} - 9n - 888 = 0 \Leftrightarrow n =8$ (Vì $n\mathbb{\in N}$ ).

Khi đó ta có khai triển: $\left( \frac{2}{x} - x^{3} ight)^{8}$ .

Số hạng tổng quát của khai triển là $C_{8}^{k}\left( \frac{2}{x} ight)^{8 - k}\left( - x^{3} ight)^{k} = C_{8}^{k}( - 1)^{k}2^{8 - k}x^{4k - 8}$ .

Hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ ứng với $k$ thỏa mãn: $4k - 8 = 4 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ là: $C_{8}^{3}( - 1)^{3}2^{5} = - 1792$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tìm số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $P(x) = (x + 2)^{5} - (x - 3)^{4}$ thành đa thức?
- A.
  $52x^{3}$
- B.
  $40x^{3}$
- C.
  $12x^{3}$
- D.
  $28x^{3}$
Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(x + 2)^{5}$ là $C_{5}^{2}.2^{2}.x^{3} = 40x^{3}$

Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(x - 3)^{4}$ là $C_{4}^{1}.( - 3)^{1}.x^{3} = - 12x^{3}$

Do đó số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $P(x) = (x + 2)^{5} - (x - 3)^{4}$ đã cho là: $40x^{3} - ( - 12)x^{3} = 52x^{3}$

Vậy số hạng cần tìm là $52x^{3}$ .
Câu 9: Vận dụng
Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số $0,1,2,4,5,6,8$ .
- A.
  252
- B.
  520
- C.
  480
- D.
  368
Gọi $x = \overline{abcd};\ a,b,c,d \in \left\{ 0,1,2,4,5,6,8 ight\}$ .

Cách 1: Tính trực tiếp

Vì $x$ là số chẵn nên $d \in \left\{ 0,2,4,6,8 ight\}$ .

TH 1: $d = 0 \Rightarrow$ có 1 cách chọn $d$ .

Với mỗi cách chọn $d$ ta có 6 cách chọn $a \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}$

Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có 5 cách chọn $b \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ a ight\}$

Với mỗi cách chọn $a,b,d$ ta có $4$ cách chọn $c \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ a,b ight\}$

Suy ra trong trường hợp này có $1.6.5.4 = 120$ số.

TH 2: $d eq 0 \Rightarrow d \in \left\{ 2,4,6,8 ight\} \Rightarrow$ có 4 cách chọn d

Với mỗi cách chọn $d$ , do $a eq 0$ nên ta có 5 cách chọn

$a \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ d ight\}$ .

Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có 5 cách chọn $b \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ a ight\}$

Với mỗi cách chọn $a,b,d$ ta có $4$ cách chọn $c \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ a,b ight\}$

Suy ra trong trường hợp này có $4.5.5.4 = 400$ số.

Vậy có tất cả $120 + 400 = 520$ số cần lập.
Câu 10: Thông hiểu
Từ các chữ số $1;4;5;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương $n > 800$ và gồm các chữ số đôi một khác nhau.
- A.
  $463$
- B.
  $120$
- C.
  $264$
- D.
  $325$
Trường hợp 1: n gồm ba chữ số.

Gọi $n = \overline{abc}$ .

Để n > 800 và gồm các chữ số đôi một khác nhau thì

a có 2 lựa chọn là $\left\{ 8;9 ight\}$

b có 4 lựa chọn vì phải khác a

c có 3 lựa chọn vì phải khác a; b

Vậy có $2.4.3 = 24$ số.

Trường hợp 2: n gồm bốn chữ số. Thỏa mãn n > 800.

Để n gồm các chữ số đôi một khác nhau thì có $A_{5}^{4} = 120$ thỏa mãn.

Trường hợp 3: n gồm năm chữ số. Thỏa mãn n > 800.

Để n gồm các chữ số đôi một khác nhau thì có $A_{5}^{4} = 120$ thỏa mãn.

Vậy có $120 + 120 + 24 = 264$ số n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 11: Nhận biết
Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra một học sinh đi dự trại hè của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
- A.
  45
- B.
  500
- C.
  25
- D.
  5.
Bước 1: Với bài toán a thì ta thấy cô giáo có thể có hai phương án để chọn học sinh đi thi:

Bước 2: Đếm số cách chọn.

* Phương án 1: chọn 1 học sinh đi dự trại hè của trường thì có 25 cách chọn.

* Phương án 2: chọn học sinh nữ đi dự trại hè của trường thì có 20 cách chọn.

Bước 3: Áp dụng quy tắc cộng.

Vậy có 20 + 25 = 45 cách chọn.
Câu 12: Nhận biết
Từ các chữ số 6; 7; 8; 9. có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có 3 chữ số.
- A.
  64
- B.
  24
- C.
  81
- D.
  50
Gọi số cần lập có dạng $\overline {ABC}$ .
A: có 4 cách chọn.
B: có 4 cách chọn.
C: có 4 cách chọn.
Vậy có 4.4.4 = 64 (số) tự nhiên có 3 chữ số.
Câu 13: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số?
- A.
  $900$ .
- B.
  $901$ .
- C.
  $899$ .
- D.
  $999$ .
Cách 1: Số có $3$ chữ số là từ $100$ đến $999$ nên có $999 - 100 + 1 = 900$ số.

Cách 2:

Gọi số tự nhiên có $3$ chữ số cần tìm là: $\overline{abc},\ a eq 0$ , khi đó:

$a$ có $9$ cách chọn

$b$ có $10$ cách chọn

$c$ có $10$ cách chọn

Vậy có: $9.10.10 = 900$ số.
Câu 14: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{2}$ trong khai triển $(x + 3)^{4}$ ?
- A.
  $9$
- B.
  $6$
- C.
  $54$
- D.
  $18$
Ta có: $(x + 3)^{4} = x^{4} + 4x^{3}.3 + 6.x^{2}.3^{2} + 4.x.3^{3} + 3^{4}$

Hệ số chứa $x^{2}$ trong khai triển là: $6.3^{2} = 54$ .
Câu 15: Nhận biết
Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2023 tại một điểm thi có $5$ sinh viên tình nguyện được phân công trục hướng dẫn thí sinh ở $5$ vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng $1$ sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công vị trí trực cho $5$ người đó?
- A.
  120.
- B.
  125.
- C.
  312.
- D.
  100.
Mỗi cách xếp $5$ sinh viên vào $5$ vị trí thỏa đề là một hoán vị của $5$ phần tử.

Suy ra số cách xếp là $5! = 120$ cách.
Câu 16: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển nhị thức Newton $\left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4} ight)^{5}$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $- \frac{5}{27}$
- C.
  $6$
- D.
  $\frac{5}{27}$
Ta có:

$\left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4} ight)^{5} = \frac{32}{243}x^{5} + \frac{20}{81}x^{4} + \frac{5}{27}x^{3} + \frac{5}{72}x^{2} + \frac{3}{384}x + \frac{1}{1024}$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển nhị thức là: $\frac{5}{27}$ .
Câu 17: Thông hiểu
Phương trình $P_{x + 3} = 825.A_{x}^{2}.P_{x - 5}$ có tất cả bao nhiêu nghiệm?
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $1$
- D.
  $4$
Điều kiện xác định $x\mathbb{\in N};x \geq 6$

Ta có:

$P_{x + 3} = 825.A_{x}^{2}.P_{x - 5}$

$\Leftrightarrow (x + 3)! = 825x.(x - 1).(x - 5)!$

$\Leftrightarrow \frac{(x + 3)!}{(x - 5)!} = 825x.(x - 1)$

$\Leftrightarrow (x + 3)(x + 2)(x + 1)x(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 825x.(x - 1)$

$\Leftrightarrow (x + 3)(x + 2)(x + 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 825$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - x - 2 ight)\left( x^{2} - x - 6 ight)\left( x^{2} - x - 12 ight) = 825\ \ (*)$

Đặt $x^{2} - x - 2 = t$ phương trình (*) trở thành:

$t(t - 4)(t - 10) = 825$

$\Leftrightarrow t^{2} - 14t^{2} - 825 = 0 \Leftrightarrow t = 15$

Khi đó $x^{2} - x - 2 = 15 \Leftrightarrow x^{2} - x - 17 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{1 + \sqrt{69}}{2}(ktm) \\x = \dfrac{1 - \sqrt{69}}{2}(ktm) \\\end{matrix} ight.$

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện.
Câu 18: Nhận biết
Có bao nhiêu cách sắp xếp $3$ nữ sinh, $3$ nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ?
- A.
  $9$ .
- B.
  $36$ .
- C.
  $120$ .
- D.
  $72$ .
Đánh số thứ tự các vị trí theo hàng dọc từ $1$ đến $6$ .

Trường hợp 1. Nam đứng trước, nữ đứng sau.

Xếp nam (vào các vị trí đánh số $1,3,5$ ). Có $3! = 6$ cách.

Xếp nữ (vào các vị trí đánh số $2,4,6$ ). Có $3! = 6$ cách.

Vậy trường hợp này có. $6.6 = 36$ cách.

Trường hợp 2. Nữ đứng trước, nam đứng sau.

Xếp nữ (vào các vị trí đánh số $1,3,5$ ). Có $3! = 6$ cách.

Xếp nam (vào các vị trí đánh số $2,4,6$ ). Có $3! = 6$ cách.

Vậy trường hợp này có. $6.6 = 36$ cách.

Theo quy tắc cộng ta có. $36 + 36 = 72$ cách sắp xếp $3$ nữ sinh, $3$ nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ.
Câu 19: Vận dụng
Cho đa giác đều $A_{1}A_{2}...A_{2n}$ nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong $2n$ của đa giác gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong $2n$ đỉnh của đa giác. Tìm $n$ .
- A.
  $n = 6$
- B.
  $n = 11$
- C.
  $n = 10$
- D.
  $n = 8$
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$ là $C_{2n}^{3}$

Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$ cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$

Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.

Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là $C_{n}^{2}$

Theo giả thiết ta có:

$C_{2n}^{3} = 20C_{n}^{2} \Leftrightarrow \frac{(2n)!}{3!(2n - 3)!} = 20.\frac{n!}{n!(n - 2)!}$

$\Leftrightarrow \frac{2n(2n - 1)(2n - 2)}{6} = 10n(n - 1)$

$\Leftrightarrow 4n^{3} - 36n^{2} + 32n = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0(L) \\ n = 1(L) \\ n = 8(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $n = 8$ .
Câu 20: Nhận biết
Một người vào một cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn 1 món ăn trong 5 món khác nhau, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng khác nhau, 1 loại đồ uống trong 3 loại đồ uống khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn một thực đơn?
- A.
  100.
- B.
  13.
- C.
  75.
- D.
  25.
Người đó chọn 1 món ăn trong 5 món khác nhau có 5 cách.

Người đó chọn 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng khác nhau có 5 cách.

Người đó chọn 1 loại đồ uống trong 3 loại đồ uống khác nhau có 3 cách.

Áp dụng quy tắc nhân ta có 5.5.3 = 75cách.

11 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!