Cho các số tự nhiên m, n thỏa mãn đồng thời các điều kiện
và
. Khi đó m + n bằng
Điều kiện:
Ta có:
Mặt khác ta có:
=>
vậy tổng m và n là: 18 + 8 = 26.
Cho các số tự nhiên m, n thỏa mãn đồng thời các điều kiện
và
. Khi đó m + n bằng
Điều kiện:
Ta có:
Mặt khác ta có:
=>
vậy tổng m và n là: 18 + 8 = 26.
Hệ số lớn nhất trong khai triển
là:
Ta có
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là .
Khai triển nhị thức Newton
ta được kết quả là:
Ta có:
Từ 6 chữ số
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau sao cho chữ số 2 vs 3 đứng cạnh nhau.
Gọi số cần tìm có dạng với
.
Vì 2 và 3 đứng cạnh nhau ta gộp 2 và 3 thành 1 số hoặc
thành 1 vị trí
Do đó ta còn lại 5 vị trí
Từ 5 chữ số trên ta lập được 5! số khác nhau có dạng
Cho ta lập được 4! các số dạng
Nên sẽ có 5! – 4! = 96 số có 5 chữ số khác nhau.
Mặt khác ta gộp 2 và 3 thành 1 số hoặc
thành 1 vị trí nên ta sẽ có số các số cần tìm là: 96.2 = 192 số thỏa mãn đề bài.
Có bao nhiêu cách sắp xếp
nữ sinh,
nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ?
Đánh số thứ tự các vị trí theo hàng dọc từ đến
.
Trường hợp 1. Nam đứng trước, nữ đứng sau.
Xếp nam (vào các vị trí đánh số ). Có
cách.
Xếp nữ (vào các vị trí đánh số ). Có
cách.
Vậy trường hợp này có. cách.
Trường hợp 2. Nữ đứng trước, nam đứng sau.
Xếp nữ (vào các vị trí đánh số ). Có
cách.
Xếp nam (vào các vị trí đánh số ). Có
cách.
Vậy trường hợp này có. cách.
Theo quy tắc cộng ta có. cách sắp xếp
nữ sinh,
nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ.
Giả sử một công việc phải hoàn thành qua 2 giai đoạn:
Giai đoạn 1 có a cách thực hiện.
Với mỗi cách thực hiện của giai đoạn 1 ta có b cách thực hiện cho giai đoạn 2.
Khi đó số cách thực hiện công việc là:
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách thực hiện công việc là cách.
Cho tập hợp
gồm
phần tử. Số các hoán vị của
phần tử của tập hợp
là bao nhiêu?
Số các hoán vị của phần tử:
.
Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số
.
Gọi .
Cách 1: Tính trực tiếp
Vì là số chẵn nên
.
TH 1: có 1 cách chọn
.
Với mỗi cách chọn ta có 6 cách chọn
Với mỗi cách chọn ta có 5 cách chọn
Với mỗi cách chọn ta có
cách chọn
Suy ra trong trường hợp này có số.
TH 2: có 4 cách chọn d
Với mỗi cách chọn , do
nên ta có 5 cách chọn
.
Với mỗi cách chọn ta có 5 cách chọn
Với mỗi cách chọn ta có
cách chọn
Suy ra trong trường hợp này có số.
Vậy có tất cả số cần lập.
Một lớp học có 33 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách giao 3 chức danh lớp trưởng, lớp phó, bí thư cho 3 sinh viên biết rằng mỗi sinh viên chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 chức danh và sinh viên nào cũng có thể đảm nhận chức danh?
Đáp án: 32736
Một lớp học có 33 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách giao 3 chức danh lớp trưởng, lớp phó, bí thư cho 3 sinh viên biết rằng mỗi sinh viên chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 chức danh và sinh viên nào cũng có thể đảm nhận chức danh?
Đáp án: 32736
Chọn 1 sinh viên làm lớp trưởng có 33 cách
Chọn 1 sinh viên làm lớp phó có 32 cách
Chọn 1 sinh viên làm bí thư có 31 cách
Có cách
Cho các số
. Số các số tự nhiên gồm
chữ số lấy từ
chữ số trên sao cho chữ số đầu tiên bằng
là:
Gọi số cần tìm có dạng: .
Chọn : có 1 cách
Chọn : có
cách
Theo quy tắc nhân, có (số).
Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2023 tại một điểm thi có
sinh viên tình nguyện được phân công trục hướng dẫn thí sinh ở
vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng
sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công vị trí trực cho
người đó?
Mỗi cách xếp sinh viên vào
vị trí thỏa đề là một hoán vị của
phần tử.
Suy ra số cách xếp là cách.
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong hai phương án. Phương án thứ nhất có 10 cách thực hiện, phương án thứ hai có 5 cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của phương án thứ nhất. Khi đó, công việc có thể được thực hiện theo bao nhiêu cách?
Công việc có hai phương án thực hiện:
Phương án thứ nhất có 10 cách thực hiện
Phương án thứ hai có 5 cách thực hiện
Mặt khác, mỗi cách thực hiện của phương án này không trùng với bất kì cách nào của phương án kia.
=> Công việc có thể được thực hiện là: 10 + 5 = 15 cách
Có bao nhiêu số nguyên dương n gồm 3 chữ số có nghĩa (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong đó chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của n giống hệt nhau và hai chữ số này khác chữ số hàng trăm của n?
Chọn có: 9 cách.
Chọn có: 9 cách.
Chọn có: 1 cách.
Theo quy tắc nhân có: số.
Biết hệ số của số hạng chứa
trong khai triển
là
. Số tự nhiên
bằng bao nhiêu?
Ta có: .
Hệ số của số hạng chứa là:
.
Giả thiết suy ra
Có 10 quyển sách Toán, 8 quyển sách Lí, 5 quyển sách Văn. Cần chọn ra 8 quyển có ở cả ba môn sao cho số quyển Toán ít nhất là bốn và số quyển Văn nhiều nhất là hai. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Chọn 4 Toán, 2 Văn, 2 Lí có cách.
Chọn 4 Toán, 1 Văn, 3 Lí có cách.
Chọn 5 Toán, 2 Văn, 1 Lí có cách.
Chọn 5 Toán, 1 Văn, 2 Lí có cách.
Chọn 6 Toán, 1 Văn, 1 Lí có cách.
Tổng lại ta được 181440 cách thỏa mãn.
Với số nguyên dương
, gọi
là hệ số của
trong khai triển thành đa thức của
. Tìm
để
.
Ta có:
Ta thấy không thoả mãn điều kiện bài toán.
Với ta có:
Do đó hệ số của trong khai triển thành đa thức của
.
.
Vậy là giá trị cần tìm.
Khai triển biểu thức
ta thu được kết quả:
Ta có:
Quan sát mạch điện như sau:

Mạch điện có 6 công tắc khác nhau, trong đó mỗi công tắc có 2 trạng thái đóng và mở. Hỏi có bao nhiêu cách đóng mở 6 công tắc để mạch điện thông mạch từ E đến F?
Cả 3 công tắc của nhánh trên đóng còn 1 trong 3 công tắc của nhánh dưới mở có:
Cả 3 công tắc của nhánh trên đóng còn 2 trong 3 công tắc của nhánh dưới mở có:
Cả 3 công tắc của nhánh trên đóng còn 3 công tắc của nhánh dưới mở có:
Cả 3 công tắc của nhánh dưới đóng còn 1 trong 3 công tắc của nhánh trên mở có: Cả 3 công tắc của nhánh trên đóng còn 2 trong 3 công tắc của nhánh dưới mở có:
Cả 3 công tắc của nhánh dưới đóng còn 3 công tắc nhánh trên mở có:
Cả 3 công tắc của nhánh trên đóng và cả 3 công tắc nhánh dưới đóng có:
Vậy có tất cả 15 cách.
Khai triển biểu thức
ta thu được kết quả là:
Ta có: .
Một người có 7 áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cà vạt trong đó có 2 cà vạt vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn bộ áo và cà vạt nếu chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
Số cách chọn 1 một bộ áo và cà vạt là: