Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Tìm số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển $\left( x - \frac{1}{x} ight)^{13}$ .
- A.
  $- C_{13}^{2}$ .
- B.
  $- C_{13}^{3}x^{7}$ .
- C.
  $- C_{13}^{4}x^{4}$ .
- D.
  $- C_{13}^{5}$ .
Ta có công thức của số hạng tổng quát:

$T_{k + 1} = C_{13}^{k}x^{13 - k}.\left( - \frac{1}{x} ight)^{k} = C_{13}^{k}x^{13 - k}( - 1)^{k}x^{- k} = C_{13}^{k}.( - 1)^{k}x^{13 - 2k}$

Số hạng chứa $x^{7}$ khi và chỉ khi $13 - 2k = 7 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển là $- C_{13}^{3}x^{7}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Lớp 11A có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một nhóm học sinh đại diện gồm 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm học sinh đại diện?
- A.
  $125861$
- B.
  $119700$
- C.
  $115843$
- D.
  $128499$
Số cách chọn 3 học sinh nam là $C_{20}^{3}$ cách.

Số cách chọn 2 học sinh nữ là: $C_{15}^{2}$ cách.

Vậy số cách chọn nhóm học sinh đại diện là: $C_{20}^{3}.C_{15}^{2} = 119700$ cách.
Câu 3: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho số đó không bắt đầu bởi 125?
- A.
  165.
- B.
  362.
- C.
  2402.
- D.
  6705.
Gọi $\overline{125ab}$ là số bắt đầu bởi 125 và có 5 chữ số đôi một khác nhau.

Suy ra $b$ có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn $\Rightarrow$ có $3 \times 5 = 15$ số.

Số các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập A là $4 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 6720$ số.

Suy ra có tất cả $6720 - 15 = 6705$ số cần tìm.
Câu 4: Thông hiểu
Biến đổi biểu thức $\left( 2 + \sqrt{3} ight)^{5} - \left( 2 - \sqrt{3} ight)^{4}$ dưới dạng $a + b\sqrt{3};\left( a,b\mathbb{\in Z} ight)$ . Tính giá trị biểu thức $M = a - 2b + 500$ ?
- A.
  $225$
- B.
  $255$
- C.
  $245$
- D.
  $235$
Ta có:

$\left( 2 + \sqrt{3} ight)^{5} - \left( 2 - \sqrt{3} ight)^{4} = 265 - 265\sqrt{3}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 265 \\ b = 265 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M = 235$
Câu 5: Thông hiểu
Có 5 cuốn sách Toán, 2 cuốn sách Lý và 1 cuốn sách Hóa đôi một khác nhau. Xếp ngẫu nhiên tám cuốn sách nằm ngang trên một cái kệ. Số cách sắp xếp sao cho cuốn sách Hóa không nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý là:
- A.
  $39600$
- B.
  $720$
- C.
  $30888$
- D.
  $38880$
Xếp ngẫu nhiên 8 cuốn sách khác nhau nằm ngang vào 8 vị trí có 8! Cách.

Ta xem 2 cuốn sách Lý và 1 cuốn sách Hóa là một đối tượng, 5 cuốn sách Toán là năm đối tượng.

Vì vậy số hoán vị 6 đối tượng là 6!.

Số cách xếp 2 cuốn sách Lý và 1 cuốn sách Hóa sao cho cuốn sách Hóa nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý là 2!.

Số cách sắp xếp 8 cuốn sách sao cho cuốn sách Hóa nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý là 6!.2!

Số cách sắp xếp 8 cuốn sách thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 8! – 6!.2! = 38880 cách.
Câu 6: Nhận biết
Số các số tự nhiên có 2 chữ số mà hai chữ số đó là số chẵn là
- A.
  18.
- B.
  16.
- C.
  15.
- D.
  20.
Giả sử số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $\overline{ab}$ .

- Chọn a có 4 cách: a ∈ {2;4;6;8}.

- Chọn b có 5 cách: b ∈ {0;2;4;6;8}.

Vậy có tất cả: 4.5 = 20 số tự nhiên có 2 chữ số mà hai chữ số đó là số chẵn.
Câu 7: Nhận biết
Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào 1 chiếc ghế dài sao cho bạn A ngồi chính giữa?
- A.
  120.
- B.
  256.
- C.
  24.
- D.
  32.
Xếp bạn A ngồi chính giữa: có 1 cách.

Khi đó xếp 4 bạn B, C, D, E vào 4 vị trí còn lại, có 4! = 24 cách.

Vậy có tất cả 24 cách xếp.
Câu 8: Vận dụng
Cho tập hợp số: $A = \left\{ 0,1,2,3,4,5,6 ight\}$ .Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
- A.
  114
- B.
  144
- C.
  146
- D.
  148
Ta có một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3. Trong tập A có các tập con các chữ số chia hết cho 3 là $\{ 0,1,2,3\},$ $\{ 0,1,2,6\}$ , $\{ 0,2,3,4\}$ , $\{ 0,3,4,5\}$ , $\{ 1,2,4,5\}$ , $\{ 1,2,3,6\}$ , $\left\{ 1,3,5,6 ight\}$ .

Vậy số các số cần lập là: $4(4! - 3!) + 3.4! = 144$ số.
Câu 9: Vận dụng
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ.
- A.
  11523
- B.
  11520
- C.
  11346
- D.
  22311
Vì chữ số đứng đầu chẵn nên $a_{1}$ có $4$ cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên $a_{8}$ có 4 cách chọn. Các số còn lại có $6.5.4.3.2.1$ cách chọn

Vậy có $4^{2}.6.5.4.3.2.1 = 11520$ số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 10: Thông hiểu
Một nhóm học sinh gồm 7 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn nam và 1 bạn nữ để trực nhật lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
- A.
  $32$
- B.
  $11$
- C.
  $28$
- D.
  $2$
Số cách chọn một bạn nam là: $7$ cách
Số cách chọn một bạn nữ là: $4$ cách
Vậy số cách chọn 1 nam, 1 nữ đi trực nhật lớp là: $7.4 = 28$ cách chọn.
Câu 11: Thông hiểu
Cho hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ song song với nhau. Trên đường thẳng $d_{1}$ lấy 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng $d_{2}$ lấy 4 điểm phân biệt. Số tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm có được từ các điểm trên là bao nhiêu?
- A.
  $70$
- B.
  $45$
- C.
  $62$
- D.
  $58$
Th1: Chọn 2 điểm trên đường thẳng $d_{1}$ và 1 điểm trên đường thẳng $d_{1}$ suy ra ta có: $C_{5}^{2}.C_{4}^{1} = 40$

Th2: Chọn 1 điểm trên đường thẳng $d_{1}$ và 2 điểm trên đường thẳng $d_{1}$ suy ra ta có: $C_{5}^{1}.C_{4}^{2} = 30$

Vậy số tam giác được tạo thành là: 30 + 40 = 70 tam giác.
Câu 12: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40}$ .
- A.
  $C_{40}^{37}$ .
- B.
  $C_{40}^{21}$ .
- C.
  $C_{40}^{5}$ .
- D.
  $C_{40}^{7}$ .
Ta có: $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}.x^{40 - k}}.\left( \frac{1}{x^{2}} ight)^{k} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}.x^{40 - 3k}}$ .

Số hạng tổng quát của khai triển là: $T_{k + 1} = C_{40}^{k}.x^{40 - 3k}$ .

Số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển tương ứng với $40 - 3k = 31 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số cần tìm là: $C_{40}^{3} = C_{40}^{37}$ (theo tính chất của tổ hợp: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ ).
Câu 13: Vận dụng
Một tập hợp M gồm 20 phần tử. Hỏi M có bao nhiêu tập con khác rỗng mà có số phần tử chẵn?
- A.
  $2^{19}$
- B.
  $2^{19} - 1$
- C.
  $2^{20} + 1$
- D.
  $2^{20}$
Tổng số các tập con của tập M là: $2^{20}$

Trong đó số tập con khác rỗng và có số phần tử chẵn là:

$C_{20}^{2} + C_{20}^{4} + ... + C_{20}^{20}$

Lại có: $C_{20}^{0} + C_{20}^{1} + C_{20}^{2} + ... + C_{20}^{19} + C_{20}^{20} = (1 + 1)^{20} = 2^{20}$

Và $C_{20}^{0} - C_{20}^{1} + C_{20}^{2} + ... - C_{20}^{19} + C_{20}^{20} = (1 - 1)^{20} = 0$

Do đó:

$C_{20}^{0} + C_{20}^{2} + C_{20}^{4} + ... + C_{20}^{20} = C_{20}^{1} + C_{20}^{3} + C_{20}^{5} + ... + C_{20}^{17} + C_{20}^{19} = 2^{19}$

$\Rightarrow C_{20}^{2} + C_{20}^{4} + ... + C_{20}^{20} = 2^{19} - C_{20}^{0} = 2^{19} - 1$
Câu 14: Nhận biết
Số hạng chứa $x^{34}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{40}$ là:
- A.
  $- C_{40}^{38}x^{37}$ .
- B.
  $C_{40}^{3}x^{34}$ .
- C.
  $C_{40}^{2}x^{31}$ .
- D.
  $C_{40}^{2}x^{34}$ .
Số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{40}$ là:

$a_{k + 1} = C_{40}^{k}x^{40 - k}.\left( \frac{1}{x} ight)^{k} = C_{40}^{k}x^{40 - k}x^{- k} = C_{40}^{k}x^{40 - 2k}$ .

Số hạng chứa $x^{34}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{40}$ tương ứng với: $40 - 2k = 34 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy số hạng chứa $x^{34}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{40}$ là: $C_{40}^{3}x^{34}$ .
Câu 15: Vận dụng
Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để 2 học sinh nam xen giữa 3 học sinh nữ? (Biết rằng cứ đổi 2 học sinh bất kì được cách mới)
- A.
  2880.
- B.
  7860.
- C.
  2540.
- D.
  8760.
Xếp cố định 3 học sinh nữ vào hàng trước, có 3! cách xếp. Chọn 2 học sinh nam bất kì cho vào 2 khoảng trống nằm giữa 2 học sinh nữ, số cách chọn là $A_{5}^{2}$ . Xem nhóm 5 học sinh này là 1 học sinh, lúc này còn 3 học sinh nam vậy là ta đang có 4 học sinh. Số cách xếp 4 học sinh này thành hàng dọc là 4!. Vậy số cách xếp cần tìm là. $3!.A_{5}^{2}.4! = 2880$ .
Câu 16: Nhận biết
Có $3$ viên bi đen khác nhau, $4$ viên bi đỏ khác nhau, $5$ viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các viên bi trên thành dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
- A.
  $365400$ .
- B.
  $666400$ .
- C.
  $725420$ .
- D.
  $103680$ .
Số cách xếp $3$ viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng. $3!$ .

Số cách xếp $4$ viên bi đỏ khác nhau thành một dãy bằng. $4!$ .

Số cách xếp $5$ viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng. $5!$ .

Số cách xếp $3$ nhóm bi thành một dãy bằng. $3!$ .

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề bài bằng $3!.4!.5!.3! = 103680$ cách.
Câu 17: Nhận biết
Một nhóm học sinh gồm $4$ học sinh nam và $5$ học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp $9$ học sinh trên thành $1$ hàng dọc sao cho nam nữ đứng xen kẽ?
- A.
  $7770$ .
- B.
  $2880$ .
- C.
  $240$ .
- D.
  $362660$ .
Xếp $4$ học sinh nam thành hàng dọc có $4!$ cách xếp.

Giữa $4$ học sinh nam có $5$ khoảng trống ta xếp các bạn nữ vào vị trí đó nên có $5!$ cách xếp.

Theo quy tắc nhân có $4!5! = 2880$ cách xếp thoả mãn.
Câu 18: Nhận biết
Quân đến nhà Hoàng để cùng Hoàng đến nhà An. Từ nhà Quân đến nhà Hoàng có 4 con đường đi, từ nhà Hoàng đến nhà An có 6 con đường đi. Hỏi Quân có bao nhiêu cách chọn con đường đi từ nhà đến nhà An?
- A.
  $24$
- B.
  $10$
- C.
  $12$
- D.
  $16$
Giai đoạn 1: Quân đi từ nhà đến nhà Hoàng có 4 cách.

Giai đoạn 2: Quân đi từ nhà Bình đến nhà An có 6 cách.

Vậy số cách Quân lựa chọn con đường đi từ nhà đến nhà An là: $6.4 = 24$ cách
Câu 19: Thông hiểu
Tính tổng $S = C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} + C_{5}^{3} + C_{5}^{4} + C_{5}^{5}$ ?
- A.
  $S = 2^{5} - 1$
- B.
  $S = 2^{5}$
- C.
  $S = 2^{4}$
- D.
  $S = 2^{5} + 1$
Xét khai triển $(1 + x)^{5} = C_{5}^{0}.x^{5} + C_{5}^{1}.x^{4} + C_{5}^{2}.x^{3} + C_{5}^{3}.x^{2} + C_{5}^{4}.x + C_{5}^{5}$

Chọn $x = 1$ ta được:

$(1 + 1)^{5} = C_{5}^{0}.1^{5} + C_{5}^{1}.1^{4} + C_{5}^{2}.1^{3} + C_{5}^{3}.1^{2} + C_{5}^{4}.1 + C_{5}^{5}$

$= C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} + C_{5}^{3} + C_{5}^{4} + C_{5}^{5} = S$

$\Rightarrow S = 2^{5}$
Câu 20: Nhận biết
Có 3 bạn nam và 4 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 7 bạn vào 1 dãy ghế hàng ngang liền nhau gồm 7 chỗ ngồi?
- A.
  3!.4!
- B.
  7!
- C.
  7
- D.
  240
Xếp 7 bạn vào dãy 7 ghế: có 7! (cách).

16 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!