Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho biểu thức $(m + n)^{5}$ , khi khai triển nhị thức đã cho ta được bao nhiêu số hạng?
- A.
  $6$
- B.
  $5$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Trong khai triển nhị thức Newton $(m + n)^{5}$ có $5 + 1 = 6$ số hạng.
Câu 2: Vận dụng
Cho khai triển $(1 - 2x)^{n} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ... + a_{n}x^{n}$ . Tìm hệ số $a_{5}$ biết rằng $a_{0} + a_{1} + a_{2} = 71.$
- A.
  -672.
- B.
  673.
- C.
  622.
- D.
  -688.
Ta có $(1 - 2x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}{C_{n}^{k}( - 2x)^{k}}$ . Vậy $a_{0} = 1$ ; $a_{1} = - 2C_{n}^{1}$ ; $a_{2} = 4C_{n}^{2}$ .

Theo bài ra $a_{0} + a_{1} + a_{2} = 71$ nên ta có:

$1 - 2C_{n}^{1} + 4C_{n}^{2} = 71 \Leftrightarrow 1 - 2\frac{n!}{1!(n - 1)!} + 4\frac{n!}{2!(n - 2)!} = 71 \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n(n - 1) = 71 \Leftrightarrow 2n^{2} - 4n - 70 = 0 \Leftrightarrow n^{2} - 2n - 35 = 0 \Leftrightarrow n = 7$ (thỏa mãn) hoặc $n = - 5$ (loại).

Từ đó ta có $a_{5} = C_{7}^{5}( - 2)^{5} = - 672$ .
Câu 3: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 0,1,2,3,4,5,6 ight\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5.
- A.
  660
- B.
  432
- C.
  679
- D.
  523
Gọi $x = \overline{abcde}$ là số cần lập, $e \in \left\{ 0,5 ight\},a eq 0$

$\bullet e = 0 \Rightarrow e$ có 1 cách chọn, cách chọn $a,b,c,d:6.5.4.3$

Trường hợp này có 360 số

$e = 5 \Rightarrow e$ có một cách chọn, số cách chọn $a,b,c,d:5.5.4.3 = 300$

Trường hợp này có 300 số.

Vậy có $660$ số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 4: Nhận biết
Cho khai triển $\left( x + \frac{2}{\sqrt{x}} ight)^{6}$ với $x > 0$ . Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển trên.
- A.
  90.
- B.
  150.
- C.
  250.
- D.
  60.
Ta có: $\left( x + \frac{2}{\sqrt{x}} ight)^{6} = \sum_{k = 0}^{6}{C_{6}^{k}x^{6 - k}\left( \frac{2}{\sqrt{x}} ight)^{k} = \sum_{k = 0}^{6}{2^{k}C_{6}^{k}x^{6 - \frac{3k}{2}}}}$ .

Số hạng chứa $x^{3}$ ứng với $\mathbf{6}\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}\mathbf{k}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{\Rightarrow k =}\mathbf{2}$ . Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ bằng $2^{2}.C_{6}^{2} = 60$ .
Câu 5: Nhận biết
Có 10 cái bút khác nhau và 8 quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn 1 cái bút và 1 quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn?
- A.
  80
- B.
  60
- C.
  90
- D.
  70
Số cách chọn một quyển sách là 8 cách.
Số cách chọn một cái bút là 10 cách.
=> Bạn học sinh có số cách chọn 1 quyển sách và 1 chiếc bút là 8 . 10 = 80 cách.
Câu 6: Thông hiểu
Có 5 cuốn sách Toán, 2 cuốn sách Lý và 1 cuốn sách Hóa đôi một khác nhau. Xếp ngẫu nhiên tám cuốn sách nằm ngang trên một cái kệ. Số cách sắp xếp sao cho cuốn sách Hóa không nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý là:
- A.
  $39600$
- B.
  $720$
- C.
  $30888$
- D.
  $38880$
Xếp ngẫu nhiên 8 cuốn sách khác nhau nằm ngang vào 8 vị trí có 8! Cách.

Ta xem 2 cuốn sách Lý và 1 cuốn sách Hóa là một đối tượng, 5 cuốn sách Toán là năm đối tượng.

Vì vậy số hoán vị 6 đối tượng là 6!.

Số cách xếp 2 cuốn sách Lý và 1 cuốn sách Hóa sao cho cuốn sách Hóa nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý là 2!.

Số cách sắp xếp 8 cuốn sách sao cho cuốn sách Hóa nằm giữa liền kề hai cuốn sách Lý là 6!.2!

Số cách sắp xếp 8 cuốn sách thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 8! – 6!.2! = 38880 cách.
Câu 7: Thông hiểu
Từ 9 chữ số $1;2;3;4;5;6;7;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số gồm 9 chữ số nếu như không có chữ số nào được lặp lại? Trong các số đó có bao nhiêu số mà các chữ số 1 và 7 không đứng cạnh nhau.
- A.
  $322560$ số
- B.
  $295482$ số
- C.
  $282240$ số
- D.
  $241920$ số
Từ 9 chữ số $1;2;3;4;5;6;7;8;9$ có thể lập được các số nếu như không có chữ số nào được lặp lại ta hiểu đó là số có 9 chữ số khác nhau.

Do đó sẽ có 9! số thỏa mãn.

Để tìm số mà các chữ số 1 và 7 không đứng cạnh nhau ta đi tìm các số mà 1 và 7 đứng cạnh nhau.

Coi 1 và 7 là 1 số thì ta sẽ có $\overline{17}$ và $\overline{71}$ .

Đưa được về bài toán tìm số có 8 chữ số khác nhau.

Do đó số các số tìm được là 8! số.

Do 1 và 7 có 2 vị trí nên ta có 2.8! số.

Vậy số có 9 chữ số khác nhau không có 1 và 7 đứng cạnh là: $9! - 2.8! = 282240$ số.
Câu 8: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?
- A.
  $40$ .
- B.
  $45$ .
- C.
  $50$ .
- D.
  $55$ .
Nếu chữ số hàng chục là $n$ thì số có chữ số hàng đơn vị là $n - 1$ thì số các chữ số nhỏ hơn $n$ năm ở hàng đơn vị cũng bằng $n$ . Do chữ số hang chục lớn hơn bằng $1$ còn chữ số hang đơn vị thi $\geq$ .

Vậy số các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$ .
Câu 9: Vận dụng
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8. Hỏi lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau, chia hết cho 2 và 3?
- A.
  30 số.
- B.
  31 số.
- C.
  35 số.
- D.
  29 số.
Chữ số cuối cùng bằng 0; các cặp số có thể xảy ra là $(1;2),(1;5),(1;8),(2;4),(4;5),(4;8)$ .

Trường hợp này có 2!.6 số.

Chữ số cuối bằng 2 ta có các bộ $(1;0),(4;0),(1;3),(3;4),(5;8)$ , hoán vị được $2!.3 + 2$ số.

Chữ số cuối bằng 4 ta có các bộ $(2;0),(2;3),(3;5),(3;8)$ , hoán vị được $2!.3 + 1$ số.

Chữ số cuối bằng 8 ta có các bộ $(0;1),(0;4),(1;3),(2;5),(3;4)$ , hoán vị được $2!.3 + 2$ số.

Kết hợp lại ta có 35 số.
Câu 10: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển của biểu thức $\left( 3x^{3} - \frac{2}{x^{2}} ight)^{5}$ .
- A.
  $- 810$ .
- B.
  $628$ .
- C.
  $180$ .
- D.
  $124$ .
Ta có $\left( 3x^{3} - \frac{2}{x^{2}} ight)^{5} = \sum_{k = 0}^{5}{( - 1)^{k}.C_{5}^{k}.\left( 3x^{3} ight)^{5 - k}.\left( \frac{2}{x^{2}} ight)^{k}} = \sum_{k = 0}^{5}{( - 1)^{k}.C_{5}^{k}.3^{5 - k}.2^{k}}x^{15 - 5k}$ .

Số hạng chứa $x^{10}$ ứng với $15 - 5k = 10 \Leftrightarrow k = 1$ .

Hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ là $( - 1)^{1}C_{5}^{1}.3^{4}.2^{1} = - 810$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển $(1 + 3x)^{2n}$ biết $A_{n}^{3} + 2A_{n}^{2} = 100$ .
- A.
  $61236$ .
- B.
  $63216$ .
- C.
  $61326$ .
- D.
  $66321$ .
Ta có: $A_{n}^{3} + 2A_{n}^{2} = 100 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 3)!} + 2\frac{n!}{(n - 2)!} = 100 \Leftrightarrow n(n - 1)(n - 2) + 2n(n - 1) = 100$

$\Leftrightarrow n^{3} - n^{2} - 100 = 0 \Leftrightarrow n = 5$ .

Ta có: $(1 + 3x)^{2n} = (1 + 3x)^{10} = \sum_{k = 0}^{10}{C_{10}^{k}(3x)^{k}}$ .

Hệ số $x^{5}$ sẽ là $C_{10}^{5}3^{5} = 61236$ .
Câu 12: Thông hiểu
Tổng hệ số của $x^{3}$ và $x^{2}$ trong khai triển $(1 + 2x)^{4}$ là:
- A.
  24
- B.
  56
- C.
  20
- D.
  54
Ta có: $(1+2x)^4=16{x^4} + 32{x^3} + 24{x^2} + 8x + 1$ .
Tổng hệ số của $x^3$ và $x^2$ bằng $32+24=56$ .
Câu 13: Nhận biết
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 5?
- A.
  13260
- B.
  20000
- C.
  18000
- D.
  12070
Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: $\overline {abcde} ;\left( {a e 0} ight)$
Do số cần tìm chia hết cho 5 => $e \in \left\{ {0;5} ight\}$ => e có 2 cách chọn.
a có 9 cách chọn
b, c, d có 10 cách chọn
=> Số các số tạo thành là: 2.9.10.10.10 = 18 000 số.
Câu 14: Thông hiểu
Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ , có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n trong đó n gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và tận cùng bằng một chữ số khác 3.
- A.
  $16128$
- B.
  $11760$
- C.
  $13440$
- D.
  $18816$
Gọi $n = \overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$ là số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn $a_{5} \in X\backslash\left\{ 3 ight\}$ có: 8 cách.

Chọn $a_{1} \in X\backslash\left\{ a_{5} ight\}$ có: 8 cách.

Chọn $a_{2} \in X\backslash\left\{ a_{1};a_{5} ight\}$ có: 7 cách.

Chọn $a_{3} \in X\backslash\left\{ a_{1};a_{5};a_{2} ight\}$ có: 6 cách.

Chọn $a_{4} \in X\backslash\left\{ a_{1};a_{5};a_{2};a_{3} ight\}$ có: 5 cách.

Theo quy tắc nhân có: $8.8.7.6.5 = 13440$ số.
Câu 15: Nhận biết
Cho tập hợp $X$ gồm $10$ phần tử. Số các hoán vị của $10$ phần tử của tập hợp $X$ là bao nhiêu?
- A.
  $10!$ .
- B.
  $10^{3}$ .
- C.
  $2^{10}$ .
- D.
  $10^{5}$ .
Số các hoán vị của $10$ phần tử: $10!$ .
Câu 16: Thông hiểu
Cho tập hợp các chữ số tự nhiên $A = \left\{ 0,1,2,3,4,5,6 ight\}$ . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?
- A.
  $120$
- B.
  $100$
- C.
  $220$
- D.
  $200$
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là: $\overline{abcd};(a eq 0)$ .

Tổng quát:

Số cách chọn $d$ là 2 cách chọn.

Số cách chọn a là 6 cách chọn.

Số cách chọn b là 5 cách chọn.

Số cách chọn c là 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: $2.6.5.4 = 240$ số

Vi phạm:

a = 0 có 1 cách chọn.

d = 5 có 1 cách chọn.

b có 5 cách chọn.

c có 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân: $1.1.5.4 = 20$ số

Số các số cần tìm là: $240 - 20 = 220$ số.
Câu 17: Nhận biết
Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Người ta muốn chọn một ban điều hành gồm 3 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ban điều hành có 1 nam và 2 nữ?
- A.
  $2460$ cách
- B.
  $2625$ cách
- C.
  $1058$ cách
- D.
  $1850$ cách
Chọn ban điều hành gồm 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ có $C_{25}^{1}.C_{15}^{2} = 2625$ cách.
Câu 18: Nhận biết
Có 8 vận động viên chạy thi. Người thắng sẽ nhận được huy chương vàng, người về đích thứ hai nhận huy chương bạc, người về đích thứ ba nhận huy chương đồng. Có bao nhiêu cách trao các huy chương này, nếu tất cả các kết cục của cuộc thi đều có thể xảy ra?
- A.
  $168$
- B.
  $336$
- C.
  $112$
- D.
  $302$
Số cách chọn 3 vận động viên về đích đầu tiên trong 8 vận động viên là $C_{8}^{3}$

Số cách trao 3 huy chương vàng, bạc, đồng cho 3 vận động viên về đích đầu là 3!

Vậy số cách trao các huy chương này là $C_{8}^{3}.3! = 336$
Câu 19: Vận dụng
Cho đa giác đều $A_{1}A_{2}...A_{2n}$ nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong $2n$ của đa giác gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong $2n$ đỉnh của đa giác. Tìm $n$ .
- A.
  $n = 6$
- B.
  $n = 11$
- C.
  $n = 10$
- D.
  $n = 8$
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$ là $C_{2n}^{3}$

Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$ cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm $A_{1};A_{2};...;A_{2n}$

Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.

Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là $C_{n}^{2}$

Theo giả thiết ta có:

$C_{2n}^{3} = 20C_{n}^{2} \Leftrightarrow \frac{(2n)!}{3!(2n - 3)!} = 20.\frac{n!}{n!(n - 2)!}$

$\Leftrightarrow \frac{2n(2n - 1)(2n - 2)}{6} = 10n(n - 1)$

$\Leftrightarrow 4n^{3} - 36n^{2} + 32n = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0(L) \\ n = 1(L) \\ n = 8(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $n = 8$ .
Câu 20: Nhận biết
An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường?
- A.
  16
- B.
  10
- C.
  24
- D.
  36
Từ nhà An đến nhà Bình có 4 cách chọn đường.
Từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách chọn đường.
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn đường đi từ nhà An đến nhà Cường là: 4.6 = 24 (cách).

34 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!