Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển nhị thức Newton của $(1 - 3x)^{n};\left( n\mathbb{\in N} ight)$ là $135$ . Xác định giá trị $n$ ?
- A.
  $n = 6$
- B.
  $n = 4$
- C.
  $n = 7$
- D.
  $n = 5$
Số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển $(1 - 3x)^{n}$ là:

$T_{k + 1} = C_{n}^{k}.( - 3)^{k}.x^{k}$ với $1 \leq k \leq n$ và $n,k \in \mathbb{N}^{*}$

Số hạng chứa $x^{2}$ ứng với $k = 2$

Ta có:

$C_{n}^{2}.( - 3)^{2} = 135 \Leftrightarrow C_{n}^{2} = 15$

$\Leftrightarrow \frac{n!}{2!(n - 2)!} = 15 \Leftrightarrow n(n - 1) = 30$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 6(TM) \\ n = - 5(L) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $n = 6$ .
Câu 2: Thông hiểu
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số, mà tất cả các chữ số đều chẵn?
- A.
  80
- B.
  60
- C.
  243
- D.
  100
Gọi số cần lập có dạng $\overline {ABC}$ .
A: có 4 cách chọn (2,4,6,8)
B: có 5 cách chọn (0,2,4,6,8)
C: có 5 cách chọn (0,2,4,6,8)
Vậy có 4.5.5 = 100 (số) có 3 chữ số và cả 3 chữ số đều chẵn.
Câu 3: Nhận biết
Cho tập hợp $X$ gồm $10$ phần tử. Số các hoán vị của $10$ phần tử của tập hợp $X$ là bao nhiêu?
- A.
  $10!$ .
- B.
  $10^{3}$ .
- C.
  $2^{10}$ .
- D.
  $10^{5}$ .
Số các hoán vị của $10$ phần tử: $10!$ .
Câu 4: Thông hiểu
Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào một băng ghế dài sao cho C luôn ở chính giữa.
- A.
  24
- B.
  25
- C.
  10
- D.
  5
Giả sử 5 bạn ngồi vào 5 vị trí được đánh số 1, 2, 3, 4, 5.

Xếp bạn C vào vị trí số 3: có 1 cách.

Xếp 1 bạn trong 4 bạn còn lại vào vị trí 1: có 4 cách.

Xếp 1 bạn trong 3 bạn còn lại vào vị trí 2: có 3 cách.

Xếp 1 bạn trong 2 bạn còn lại vào vị trí 3: có 2 cách.

Xếp bạn còn lại vào vị trí 5: có 1 cách.

Áp dụng quy tắc nhân, có 1.4.3.2 = 24 cách xếp 5 bạn vào ghế băng dài sao cho C luôn ở chính giữa.
Câu 5: Nhận biết
Trong menu của một nhà hàng gồm 5 món mặn, 5 món tráng miệng và 3 loại nước uống. Thực khách đến ăn sẽ được lên thực đơn gồm 1 món mặn, 1 món tráng miệng và 1 loại nước uống. Số thực đơn có thể có là:
- A.
  $25$
- B.
  $75$
- C.
  $100$
- D.
  $82$
Chọn món mặn có 5 cách chọn.

Số cách chọn món tráng miệng là 5 cách.

Số cách chọn một loại nước uống là 3 cách.

Theo quy tắc nhân ta có: $5.5.3 = 75$ (cách).
Câu 6: Nhận biết
Từ các chữ số $1;4;5;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
- A.
  $120$
- B.
  $425$
- C.
  $625$
- D.
  $358$
Có thể lập được $A_{5}^{4} = 120$ số nguyên dương n gồm bốn chữ số đôi một khác nhau.
Câu 7: Nhận biết
Có bao nhiêu cách xếp 6 người thành một hàng dọc
- A.
  720
- B.
  6
- C.
  120
- D.
  480
Xếp 6 người thành một hàng dọc có: 6! = 720 cách.
Câu 8: Nhận biết
Cho biểu thức $(m + n)^{5}$ , khi khai triển nhị thức đã cho ta được bao nhiêu số hạng?
- A.
  $6$
- B.
  $5$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Trong khai triển nhị thức Newton $(m + n)^{5}$ có $5 + 1 = 6$ số hạng.
Câu 9: Thông hiểu
Cho biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển $(1 + 2x)^{n}$ bằng $180$ .Tìm $n$ .
- A.
  $n = 8$ .
- B.
  $n = 12$ .
- C.
  $n = 14$ .
- D.
  $n = 10$ .
Ta có: $T_{k + 1} = C_{n}^{k}.2^{k}x^{k}.$ .

Hệ số của $x^{2}$ trong khai triển bằng $180$

$C_{n}^{2}.2^{2} = 180 \Leftrightarrow\frac{n!}{(n - 2).2}.2^{2} = 180 \Leftrightarrow n(n - 1) = 90$

$\Leftrightarrow n^{2} - n - 90 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}n = 10 \ = - 9(l) \\\end{matrix} ight.$
Câu 10: Nhận biết
Giả sử bạn muốn màu áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo)?
- A.
  $9$
- B.
  $20$
- C.
  $18$
- D.
  $40$
Áo cỡ 39 có 5 cách chọn

Áo cỡ 40 có 4 cách chọn

Vậy có tất cả $5 + 4 = 9$ cách chọn về màu và cỡ áo.
Câu 11: Nhận biết
Cho tập $A$ gồm $12$ phần tử. Số tập con có $4$ phần tử của tập A là:
- A.
  $A_{12}^{2}$ .
- B.
  $C_{12}^{4}$ .
- C.
  $8!$ .
- D.
  $A_{12}^{4}$ .
Theo định nghĩa tổ hợp. “ Giả sử tập $A$ có $n$ phần tử $(n \geq 1)$ . Mỗi tập con gồm $k$ phần tử của $A$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho”.

Do đó theo yêu cầu bài toán số tập con có $4$ phần tử của tập A là $C_{12}^{4}$ .
Câu 12: Nhận biết
Số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển biểu thức $(2x + 3)^{5}$ là:
- A.
  $32x^{4}$
- B.
  $240x^{4}$
- C.
  $720$
- D.
  $240$
Ta có: $(2x+3)^5=$ $32{x^5} + 240{x^4} + 720{x^3} + 1080{x^2} + 810x + 243$ .
Số hạng cần tìm là: $240x^{4}$ .
Câu 13: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho số đó không bắt đầu bởi 125?
- A.
  165.
- B.
  362.
- C.
  2402.
- D.
  6705.
Gọi $\overline{125ab}$ là số bắt đầu bởi 125 và có 5 chữ số đôi một khác nhau.

Suy ra $b$ có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn $\Rightarrow$ có $3 \times 5 = 15$ số.

Số các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập A là $4 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 6720$ số.

Suy ra có tất cả $6720 - 15 = 6705$ số cần tìm.
Câu 14: Vận dụng
Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để 2 học sinh nam xen giữa 3 học sinh nữ? (Biết rằng cứ đổi 2 học sinh bất kì được cách mới)
- A.
  2880.
- B.
  7860.
- C.
  2540.
- D.
  8760.
Xếp cố định 3 học sinh nữ vào hàng trước, có 3! cách xếp. Chọn 2 học sinh nam bất kì cho vào 2 khoảng trống nằm giữa 2 học sinh nữ, số cách chọn là $A_{5}^{2}$ . Xem nhóm 5 học sinh này là 1 học sinh, lúc này còn 3 học sinh nam vậy là ta đang có 4 học sinh. Số cách xếp 4 học sinh này thành hàng dọc là 4!. Vậy số cách xếp cần tìm là. $3!.A_{5}^{2}.4! = 2880$ .
Câu 15: Thông hiểu
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $P_{x}A_{x}^{2} + 72 = 6\left( 2P_{x} + A_{x}^{2} ight)$ bằng:
- A.
  $7$
- B.
  $10$
- C.
  $1$
- D.
  $6$
Điều kiện xác định: $x\mathbb{\in N};x \geq 2$

Ta có:

$P_{x}A_{x}^{2} + 72 = 6\left( 2P_{x} + A_{x}^{2} ight)$

$\Leftrightarrow x!.\frac{x!}{(x - 2)!} + 72 = 6\left\lbrack 2x! + \frac{x!}{(x - 2)!} ightbrack$

$\Leftrightarrow x!.x(x - 1) + 72 = 6\left\lbrack 2.x! + 2(x - 1) ightbrack$

$\Leftrightarrow x(x - 1)(x! - 6) + 12(6 - x!) = 0$

$\Leftrightarrow (x! - 6)\left\lbrack x(x - 1) - 12 ightbrack = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x! - 6 = 0 \\ x^{2} - x - 12 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3(tm) \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3(ktm) \\ x = 4(tm) \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

Vật tổng các nghiệm phương trình là: $T = 3 + 4 = 7$
Câu 16: Vận dụng
Tìm $n$ thuộc tập hợp số tự nhiên, biết rằng $1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = 256n$ ( $C_{n}^{k}$ là số tổ hợp chập k của n phần tử).
- A.
  $489888$ .
- B.
  $49888$ .
- C.
  $48988$ .
- D.
  $4889888$ .
Trước hết ta chứng minh công thức $\frac{k}{n}C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1}$ với $1 \leq k \leq n$ và $n \geq 2.$

Thật vậy, $\frac{k}{n}C_{n}^{k} = \frac{k}{n}.\frac{n!}{k!(n - k)!} = \frac{(n - 1)!}{(k - 1)!(n - k)!} = C_{n - 1}^{k - 1}.$ (đpcm)

Áp dụng công thức trên ta có

$1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = n\left( \frac{1}{n}.C_{n}^{1} + \frac{2}{n}.C_{n}^{2} + \frac{3}{n}.C_{n}^{3} + ... + \frac{n}{n}.C_{n}^{n} ight)$

$= n\left( C_{n - 1}^{0} + C_{n - 1}^{1} + C_{n - 1}^{2} + ... + C_{n - 1}^{n - 1} ight) = n2^{n - 1}$

Theo đề $1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = 256n \Leftrightarrow n2^{n - 1} = 256n \Leftrightarrow 2^{n - 1} = 256 \Leftrightarrow n = 9.$ .
Câu 17: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40}$ .
- A.
  $C_{40}^{37}$ .
- B.
  $C_{40}^{21}$ .
- C.
  $C_{40}^{5}$ .
- D.
  $C_{40}^{7}$ .
Ta có: $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}.x^{40 - k}}.\left( \frac{1}{x^{2}} ight)^{k} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}.x^{40 - 3k}}$ .

Số hạng tổng quát của khai triển là: $T_{k + 1} = C_{40}^{k}.x^{40 - 3k}$ .

Số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển tương ứng với $40 - 3k = 31 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số cần tìm là: $C_{40}^{3} = C_{40}^{37}$ (theo tính chất của tổ hợp: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ ).
Câu 18: Vận dụng
Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $9$ mà mỗi số $2011$ chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số $9$ .
- A.
  $\frac{9^{2011} - 2019.9^{2010} + 8}{9}$
- B.
  $\frac{9^{2011} - 2.9^{2010} + 8}{9}$
- C.
  $\frac{9^{2011} - 9^{2010} + 8}{9}$
- D.
  $\frac{9^{2011} - 19.9^{2010} + 8}{9}$
Đặt $X$ là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.

$A =$ { các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}

Với mỗi số thuộc A có $m$ chữ số $(m \leq 2008)$ thì ta có thể bổ sung thêm $2011 - m$ số $0$ vào phía trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng $\overline{a_{1}a_{2}...a_{2011}};\ a_{i} \in \left\{ 0,1,2,3,...,9 ight\}$

$A_{0} = \left\{ a \in A| ight.$ mà trong $a$ không có chữ số 9}

$A_{1} = \left\{ a \in A| ight.$ mà trong $a$ có đúng 1 chữ số 9}

$\bullet$ Ta thấy tập A có $1 + \frac{9^{2011} - 1}{9}$ phần tử

$\bullet$ Tính số phần tử của $A_{0}$

Với $x \in A_{0} \Rightarrow x = \overline{a_{1}...a_{2011}};a_{i} \in \left\{ 0,1,2,...,8 ight\}\ i = \overline{1,2010}$ và $a_{2011} = 9 - r$ với $r \in \lbrack 1;9brack,r \equiv \sum_{i = 1}^{2010}a_{i}$ . Từ đó ta suy ra $A_{0}$ có $9^{2010}$ phần tử.

$\bullet$ Tính số phần tử của $A_{1}$

Để lập số của thuộc tập $A_{1}$ ta thực hiện liên tiếp hai bước sau:

Bước 1: Lập một dãy gồm $2010$ chữ số thuộc tập $\left\{ 0,1,2...,8 ight\}$ và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số các dãy là $9^{2009}$ .

Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số 9.

Do đó $A_{1}$ có $2010.9^{2009}$ phần tử.

Vậy số các số cần lập là:

$1 + \frac{9^{2011} - 1}{9} - 9^{2010} - 2010.9^{2009} = \frac{9^{2011} - 2019.9^{2010} + 8}{9}$ .
Câu 19: Thông hiểu
Có bao nhiêu vectơ khác vectơ được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau?
- A.
  45
- B.
  90
- C.
  35
- D.
  55
Ta có vecto tạo thành từ hai điểm A, B ta được vecto $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BA}$ .
Chọn hai điểm bất kì trong 10 điểm phân biệt là tổ hợp chập 2 của 10 phần tử.
=> Số vectơ khác vectơ được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau là: $2C_{10}^2 = 90$ vecto.
Câu 20: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ .
- A.
  $12$ .
- B.
  $16$ .
- C.
  $17$ .
- D.
  $20$ .
Số các số tự nhiên lớn nhất nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ là $96$ .

Số các số tự nhiên nhỏ nhất nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ là $0$ .

Số các số tự nhiên nhỏ hơn $100$ chia hết cho $2$ và $3$ là $\frac{96 - 0}{6} + 1 = 17$ .

34 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20

Chưa làm Đã làm