Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho tập hợp $M = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Số tập con gồm 3 phần tử của $M$ sao cho không có số $0$ là:
- A.
  $A_{10}^{2}$ .
- B.
  $A_{10}^{3}$ .
- C.
  $C_{8}^{3}$ .
- D.
  $C_{9}^{3}$ .
Mỗi tập con gồm 3 phần tử của $M$ không có số $0$ là tổ hợp chập 3 của 9 phần tử.

Số tập con gồm 3 phần tử của $M$ không có số $0$ là. $C_{9}^{3}$ .
Câu 2: Nhận biết
Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một học sinh tiên tiến trong lớp 11A hoặc lớp 12B. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, biết rằng lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến và lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến?
- A.
  $53$
- B.
  $120$
- C.
  $682$
- D.
  $245$
Để chọn được một học sinh đi dự ta có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Học sinh ở lớp 11A: có 31 cách

Trường hợp 2: Học sinh ở lớp 12B: có 22 cách

Vậy có $31 + 22 = 53$ cách.
Câu 3: Nhận biết
Có bao nhiêu số hạng trong khai triển $(6x + 4)^{4}$ ?
- A.
  $7$
- B.
  $6$
- C.
  $5$
- D.
  $4$
Trong khai triển nhị thức $(6x + 4)^{4}$ có $n = 4$ nên có 5 số hạng.
Câu 4: Vận dụng
Cho khai triển $(1 + 3x)^{n} = a_{0} + a_{1}x^{1} + ... + a_{n}x^{n}$ trong đó $n\mathbb{\in N}*$ và các hệ số thỏa mãn hệ thức $a_{0} + \frac{a_{1}}{3} + ... + \frac{a_{n}}{3^{n}} = 4096$ . Hệ số lớn nhất là:
- A.
  176224.
- B.
  3899834.
- C.
  4330260
- D.
  4597265.
Xét khai triển $(1 + 3x)^{n} = a_{0} + a_{1}x^{1} + ... + a_{n}x^{n}$ .

Cho $x = \frac{1}{3}$ ta được $\left( 1 + 3.\frac{1}{3} ight)^{n} = a_{0} + \frac{a_{1}}{3^{1}} + ... + \frac{a_{n}}{3^{n}} \Rightarrow 2^{n} = 4096 \Leftrightarrow n = 12.$

Khi đó $(1 + 3x)^{12} = \sum_{k = 0}^{12}{C_{12}^{k}.3^{k}.x^{k}}$ .

Ta có hệ số $a_{k} = 3^{k}C_{12}^{k} = 3^{k}.\frac{12!}{k!.(12 - k)!}$

Hệ số $a_{k}$ lớn nhất nên $\left\{ \begin{matrix} a_{k} \geq a_{k - 1} \\ a_{k} \geq a_{k + 1} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3^{k}.\frac{12!}{k!.(12 - k)!} \geq 3^{k - 1}.\frac{12!}{(k - 1)!.(12 - k + 1)!} \\ 3^{k}.\frac{12!}{k!.(12 - k)!} \geq 3^{k + 1}.\frac{12!}{(k + 1)!.(12 - k - 1)!} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{3}{k} \geq \frac{1}{13 - k} \\ \frac{1}{12 - k} \geq \frac{3}{k + 1} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 39 - 3k \geq k \\ k + 1 \geq 36 - 3k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k \leq \frac{39}{4} \\ k \geq \frac{35}{4} \\ \end{matrix} ight.$

Vì $k\mathbb{\in N}$ nên nhận $k = 9.$

Vậy hệ số lớn nhất $a_{9} = 3^{9}.C_{12}^{9} = 4330260.$ .
Câu 5: Vận dụng
Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số $0,1,2,4,5,6,8$ .
- A.
  252
- B.
  520
- C.
  480
- D.
  368
Gọi $x = \overline{abcd};\ a,b,c,d \in \left\{ 0,1,2,4,5,6,8 ight\}$ .

Cách 1: Tính trực tiếp

Vì $x$ là số chẵn nên $d \in \left\{ 0,2,4,6,8 ight\}$ .

TH 1: $d = 0 \Rightarrow$ có 1 cách chọn $d$ .

Với mỗi cách chọn $d$ ta có 6 cách chọn $a \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}$

Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có 5 cách chọn $b \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ a ight\}$

Với mỗi cách chọn $a,b,d$ ta có $4$ cách chọn $c \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ a,b ight\}$

Suy ra trong trường hợp này có $1.6.5.4 = 120$ số.

TH 2: $d eq 0 \Rightarrow d \in \left\{ 2,4,6,8 ight\} \Rightarrow$ có 4 cách chọn d

Với mỗi cách chọn $d$ , do $a eq 0$ nên ta có 5 cách chọn

$a \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ d ight\}$ .

Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có 5 cách chọn $b \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ a ight\}$

Với mỗi cách chọn $a,b,d$ ta có $4$ cách chọn $c \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ a,b ight\}$

Suy ra trong trường hợp này có $4.5.5.4 = 400$ số.

Vậy có tất cả $120 + 400 = 520$ số cần lập.
Câu 6: Nhận biết
Đếm số tập con gồm $3$ phần tử được lấy ra từ tập $A = \left\{ a;b;c;d;e;f ight\}$ ?
- A.
  $15$ .
- B.
  $65$ .
- C.
  $30$ .
- D.
  $20$ .
Mỗi tập con tập gồm $3$ phần tử được lấy ra từ tập $A$ có $6$ phần tử là một tổ hợp chập $3$ của $6$ phần tử.

Vậy số tập con gồm $3$ phần tử của $A$ là $C_{6}^{3} = 20$ tập con.
Câu 7: Thông hiểu
Một nhóm học sinh có 5 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các học sinh thành hàng dọc sao cho các bạn nam phải đứng liền nhau?
- A.
  $1440$
- B.
  $720$
- C.
  $2880$
- D.
  $560$
Để xếp 8 học sinh đã cho thành hàng dọc sao cho các học sinh nam đứng liền nhau ta coi 5 nam là một đối tượng, đối tượng này cộng với 3 học sinh nữ thành 4 đối tượng xếp thành hàng dọc; ta thực hiện hai bước:

Bước 1: Xếp vị trí cho 4 đối tượng có 4! cách

Bước 2: Xếp chỗ cho 5 nam vào 5 vị trí có 5! cách.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: $4!.5! = 2880$ cách.
Câu 8: Thông hiểu
Biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển nhị thức Newton của $(1 - 3x)^{n};\left( n\mathbb{\in N} ight)$ là $135$ . Xác định giá trị $n$ ?
- A.
  $n = 6$
- B.
  $n = 4$
- C.
  $n = 7$
- D.
  $n = 5$
Số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển $(1 - 3x)^{n}$ là:

$T_{k + 1} = C_{n}^{k}.( - 3)^{k}.x^{k}$ với $1 \leq k \leq n$ và $n,k \in \mathbb{N}^{*}$

Số hạng chứa $x^{2}$ ứng với $k = 2$

Ta có:

$C_{n}^{2}.( - 3)^{2} = 135 \Leftrightarrow C_{n}^{2} = 15$

$\Leftrightarrow \frac{n!}{2!(n - 2)!} = 15 \Leftrightarrow n(n - 1) = 30$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 6(TM) \\ n = - 5(L) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $n = 6$ .
Câu 9: Thông hiểu
Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ , có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n trong đó n gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng 56 hoặc 65.
- A.
  $75$
- B.
  $84$
- C.
  $64$
- D.
  $79$
Gọi $n = \overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}$ là số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn $\overline{a_{1}a_{2}} \in \left\{ 56;65 ight\}$ có: 2 cách.

Chọn $a_{3} \in X\backslash\left\{ a_{1};a_{2} ight\}$ có: 7 cách.

Chọn $a_{4} \in X\backslash\left\{ a_{1};a_{2};a_{3} ight\}$ có: 6 cách.

Theo quy tắc nhân có: $2.7.6 = 84$ số.
Câu 10: Vận dụng
Có 8 nhà khoa học Toán (6 nam, 2 nữ) và 5 nhà khoa học Vật Lí (toàn nam). Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 nhà khoa học trong đó có cả nam, nữ, cả Toán, Vật Lí?
- A.
  340.
- B.
  210.
- C.
  375.
- D.
  450.
+TH1. Có đúng 1 nữ nhà khoa học Toán, có 2 cách chọn. Lúc này chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn đề bài, có thể có hoặc không nhà khoa học Toán nam nào khác, số cách chọn 3 nhà khoa học còn lại là $C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3}$ . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. $2.\left( C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3} ight)$

+TH2. Có đúng 2 nữ nhà khoa học Toán, có 1 cách chọn. Cũng với ý tưởng như trên, chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn, số cách chọn 2 nhà khoa học còn lại là $C_{5}^{1}C_{6}^{1} + C_{5}^{2}$ . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. $C_{5}^{1}.C_{6}^{1} + C_{5}^{2}$ .

Vậy số cách lập cần tìm là. $2.\left( C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3} ight) + C_{5}^{1}.C_{6}^{1} + C_{5}^{2} = 375$ .
Câu 11: Vận dụng
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ.
- A.
  11523
- B.
  11520
- C.
  11346
- D.
  22311
Vì chữ số đứng đầu chẵn nên $a_{1}$ có $4$ cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên $a_{8}$ có 4 cách chọn. Các số còn lại có $6.5.4.3.2.1$ cách chọn

Vậy có $4^{2}.6.5.4.3.2.1 = 11520$ số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 12: Nhận biết
Số hạng tử trong khai triển ${(x - 2y)^4}$ bằng
- A.
  8
- B.
  6
- C.
  5
- D.
  7
Số hạng tử trong khai triển ${(x - 2y)^4}$ là: 4 + 1 = 5 hạng tử.
Câu 13: Thông hiểu
Giả sử rằng:

$(1 + x)\left( 1 + x + x^{2} ight)$

$= (1 + 1)\left( 1 + 1 + 1^{2} ight)...\left( 1 + 1 + 1^{2} + ... + 1^{n} ight)$

$= m_{0} + m_{1}x + m_{2}x^{2} + ... + m_{a}x^{a}$

Hãy tính $\sum_{i = 0}^{a}m_{i}$ ?
- A.
  $n$
- B.
  $n!$
- C.
  $1$
- D.
  $(n + 1)!$
Ta có:

$\sum_{i = 0}^{a}m_{i} = (1 + 1)\left( 1 + 1 + 1^{2} ight)...\left( 1 + 1 + 1^{2} + ... + 1^{n} ight)$

$= 2.3.4.....(n + 1) = (n + 1)!$
Câu 14: Nhận biết
Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
- A.
  $605$
- B.
  $91000$
- C.
  $505$
- D.
  $458$
Học sinh nam có 280 cách chọn

Học sinh nữ có 325 cách chọn

Chọn một học sinh khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố thì có $280 + 325 = 605$ cách.
Câu 15: Nhận biết
Số hạng thứ $13$ trong khai triển $(2 - x)^{15}$ bằng?
- A.
  $5630x^{13}$ .
- B.
  $3640x^{12}$ .
- C.
  $- 240x^{12}$ .
- D.
  $7640$ .
Ta có $(2 - x)^{15} = \sum_{k = 0}^{15}{C_{15}^{k}.2^{15 - k}.( - x)^{k}}$

Số hạng thứ $13$ trong khai triển tương ứng với $k = 12$ . $\Rightarrow C_{15}^{12}.2^{15 - 12}.( - x)^{12} = 3640x^{12}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Từ tập hợp các chữ số $A = \left\{ 1,2,3,4,5,6 ight\}$ có thể lập được bao nhiêu số lẻ có bốn chữ số khác nhau?
- A.
  $155$
- B.
  $216$
- C.
  $145$
- D.
  $180$
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số cần tìm có dạng $\overline{abcd};(a eq 0)$

Ta có: $\overline{abcd}$ là số lẻ nên $d$ là số lẻ. => Số cách chọn d có 3 cách.

Tiếp theo chọn a có 5 cách chọn

Sau đó chọn b có 4 cách chọn

Cuối cùng chọn c có 3 cách chọn

Vậy có thể lập được $3.5.4.3 = 180$ (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 17: Nhận biết
Ban chấp hành chi đoàn của một lớp có bạn An, Bình, Công. Hỏi có bao nhiêu cách phân công các bạn này vào các chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủy viên mà không bạn nào kiêm nhiệm?
- A.
  $5$ .
- B.
  $4$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $12$ .
Mỗi cách phân công $\mathbf{3}$ bạn An, Bình, Công vào $3$ chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủy viên mà không bạn nào kiêm nhiệm là một hoán vị của $3$ phần tử. Vậy có $3!\ \ = \ \ 6$ cách.
Câu 18: Nhận biết
An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường?
- A.
  16
- B.
  10
- C.
  24
- D.
  36
Từ nhà An đến nhà Bình có 4 cách chọn đường.
Từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách chọn đường.
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn đường đi từ nhà An đến nhà Cường là: 4.6 = 24 (cách).
Câu 19: Vận dụng
Tổng số nguyên dương n thỏa mãn $A_{n}^{2} - 3C_{n}^{2} = 15 - 5n$ là:
- A.
  $9$ .
- B.
  $11$ .
- C.
  $7$ .
- D.
  $14$ .
Điều kiện. $\left\{ \begin{matrix} n \geq 2 \\ n \in N* \\ \end{matrix} ight.$ .

$A_{n}^{2} - 3C_{n}^{2} = 15 - 5n \Leftrightarrow n(n - 1) - 3\frac{n(n - 1)}{2} = 15 - 5n \Leftrightarrow - n^{2} + 11n - 30 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 6 \\ n = 5 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow n = 6$ hoặc $n = 5$ .

Vậy tổng số nguyên dương n bằng 11.
Câu 20: Thông hiểu
Có bao nhiêu giá trị của n thỏa mãn phương trình $\frac{10P_{n - 1}}{P_{n + 1}} - 4 = \frac{2}{n + 1}$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $0$
- D.
  $3$
Điều kiện $n\mathbb{\in N};n \geq 1$

Ta có:

$\frac{10P_{n - 1}}{P_{n + 1}} - 4 = \frac{2}{n + 1}$

$\Leftrightarrow \frac{10(n - 1)(n - 2)...2.1}{(n + 1)n(n - 1)(n - 2)...2.1} - 4 = \frac{2}{n + 1}$

$\Leftrightarrow \frac{10}{(n + 1).n} - 4 = \frac{2}{n + 1}$

$\Leftrightarrow 10 - 4(n + 1).n - 2n = 0$

$\Leftrightarrow - 4n^{2} - 6n + 10 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}n = 1(tm) \ = - \dfrac{5}{2}(ktm) \\\end{matrix} ight.$

Vậy phương trình chỉ có một giá trị của n thỏa mãn điều kiện bài toán.

45 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!