Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Có 10 quyển sách Toán, 8 quyển sách Lí, 5 quyển sách Văn. Cần chọn ra 8 quyển có ở cả ba môn sao cho số quyển Toán ít nhất là bốn và số quyển Văn nhiều nhất là hai. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
- A.
  181440.
- B.
  267580.
- C.
  164980.
- D.
  152250.
Chọn 4 Toán, 2 Văn, 2 Lí có $C_{10}^{4}C_{5}^{2}C_{8}^{2}$ cách.

Chọn 4 Toán, 1 Văn, 3 Lí có $C_{10}^{4}C_{5}^{1}C_{8}^{3}$ cách.

Chọn 5 Toán, 2 Văn, 1 Lí có $C_{10}^{5}C_{5}^{2}C_{8}^{1}$ cách.

Chọn 5 Toán, 1 Văn, 2 Lí có $C_{10}^{5}C_{5}^{1}C_{8}^{2}$ cách.

Chọn 6 Toán, 1 Văn, 1 Lí có $C_{10}^{6}C_{5}^{1}C_{8}^{1}$ cách.

Tổng lại ta được 181440 cách thỏa mãn.
Câu 2: Nhận biết
Sắp xếp 5 bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Đếm số cách sắp xếp thỏa mãn bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau?
- A.
  $36$ .
- B.
  $72$ ..
- C.
  $24$ .
- D.
  $38$ .
+) Xếp $5$ bạn vào $5$ chỗ ngồi có $5!$ cách.

+) Xếp An và Dũng ngồi cạnh nhau có $2$ cách. Xem An và Dũng là $1$ phần tử cùng với $3$ bạn còn lại là $4$ phần tử xếp vào $4$ chỗ. Suy ra số cách xếp $5$ bạn sao cho An và Dũng luôn ngồi cạnh nhau là. $2.4!$ cách.

Vậy số cách xếp $5$ bạn vào $5$ ghế sao cho An và Dũng không ngồi cạnh nhau là.

$5!–2.4! = 72$ .
Câu 3: Vận dụng
Dãy $\left( x_{1};x_{2};...;x_{10} ight)$ trong đó mỗi kí tự $x_{i}$ chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 được gọi là dãy nhị phân 10 bit. Hỏi có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit trong đó có ít nhất ba kí tự 0 và ít nhất ba kí tự 1?
- A.
  $912$
- B.
  $854$
- C.
  $957$
- D.
  $890$
Trường hợp 1: dãy nhị phân có ba kí tự 0 và bảy kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{3!.7!} = 120$ dãy nhị phân 10 bit.

Trường hợp 2: dãy nhị phân có bốn kí tự 0 và sáu kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{4!.6!} = 210$ dãy nhị phân 10 bit.

Trường hợp 3: dãy nhị phân có năm kí tự 0 và năm kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{5!.5!} = 252$ dãy nhị phân 10 bit.

Trường hợp 4: dãy nhị phân có sáu kí tự 0 và bốn kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{4!.6!} = 210$ dãy nhị phân 10 bit.

Trường hợp 5: dãy nhị phân có bảy kí tự 0 và ba kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{3!.7!} = 120$ dãy nhị phân 10 bit.

Vậy có $120 + 210 + 252 + 210 + 120 = 912$ dãy nhị phân 10 bit thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4: Nhận biết
Biểu thức $A = 32x^{5} - 80x^{4} + 80x^{3} - 40x^{2} + 10x - 1$ là khai triển của nhị thức nào dưới đây?
- A.
  $A = (x - 1)^{5}$
- B.
  $A = (x - 2)^{5}$
- C.
  $A = (2x + 1)^{5}$
- D.
  $A = (1 - 2x)^{5}$
Ta có:

$A = (2x + 1)^{5} = 32x^{5} - 80x^{4} + 80x^{3} - 40x^{2} + 10x - 1$
Câu 5: Thông hiểu
Biến đổi biểu thức $\left( 2 + \sqrt{3} ight)^{5} - \left( 2 - \sqrt{3} ight)^{4}$ dưới dạng $a + b\sqrt{3};\left( a,b\mathbb{\in Z} ight)$ . Tính giá trị biểu thức $M = a - 2b + 500$ ?
- A.
  $225$
- B.
  $255$
- C.
  $245$
- D.
  $235$
Ta có:

$\left( 2 + \sqrt{3} ight)^{5} - \left( 2 - \sqrt{3} ight)^{4} = 265 - 265\sqrt{3}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 265 \\ b = 265 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M = 235$
Câu 6: Nhận biết
Một hộp chứa 5 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp. Số khả năng xảy ra là:
- A.
  $20$
- B.
  $36$
- C.
  $9$
- D.
  $16$
Áp dụng quy tắc cộng ta có số khả năng xảy ra là: 5 + 4 = 9 khả năng.
Câu 7: Thông hiểu
Cho hai đường thẳng $(d)$ gồm $5$ điểm phân biệt và $(d')$ gồm $7$ điểm phân biệt. Biết rằng $(d)//(d')$ . Số tam giác có ba đỉnh được tạo thành từ các điểm trên hai đường thẳng đã cho?
- A.
  $20$ tam giác
- B.
  $45$ tam giác
- C.
  $115$ tam giác
- D.
  $175$ tam giác
Một tam giác được hình thành bởi ba điểm không thẳng hàng.

TH1: 1 đỉnh thuộc đường thẳng (d) và 2 đỉnh thuộc đường thẳng (d’)

Số tam giác được tạo thành là: $C_{5}^{1}.C_{7}^{2}$ (tam giác)

TH2: 2 đỉnh thuộc đường thẳng (d) và 1 đỉnh thuộc đường thẳng (d’)

Số tam giác được tạo thành là: $C_{5}^{2}.C_{7}^{1}$ (tam giác)

Vậy số tam giác được tạo thành là $C_{5}^{1}.C_{7}^{2} + C_{5}^{2}.C_{7}^{1} = 175$ .
Câu 8: Thông hiểu
Trong một bản đồ được lập theo kỹ thuật số của thành phố X, mọi căn nhà trong thành phố đều được lập địa chỉ và “địa chỉ số” của mỗi căn nhà là một dãy gồm 16 chữ số lấy từ hai chữ số 0 và 1. Ví dụ: 0000110000111100 (4 chữ số 0, 2 chữ số 1, 4 chữ số 0, 4 chữ số 1, 2 chữ số 0). Hỏi thành phố X có tối đa bao nhiêu căn nhà?
- A.
  $2^{14}$
- B.
  $2^{10}$
- C.
  $2^{16}$
- D.
  $2^{12}$
Ta có: “địa chỉ số” của mỗi căn nhà là một dãy gồm 16 chữ số

Mà mỗi chữ số có 2 cách chọn. (0 hoặc 1)

Nên theo quy tắc nhân, thành phố X có tối đa: $2^{16}$ căn nhà.
Câu 9: Nhận biết
Có 3 bạn nam và 4 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 7 bạn vào 1 dãy ghế hàng ngang liền nhau gồm 7 chỗ ngồi?
- A.
  3!.4!
- B.
  7!
- C.
  7
- D.
  240
Xếp 7 bạn vào dãy 7 ghế: có 7! (cách).
Câu 10: Vận dụng
Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $A_{n}^{2} = C_{n}^{2} + C_{n}^{1} + 4n + 6$ . Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ của khai triển biểu thức $P(x) = \left( x^{2} + \frac{3}{x} ight)^{n}$ .
- A.
  18698.
- B.
  24162.
- C.
  192456.
- D.
  287654.
$A_{n}^{2} = C_{n}^{2} + C_{n}^{1} + 4n + 6 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} = \frac{n!}{(n - 2)!.2!} + \frac{n!}{(n - 1)!.1!} + 4n + 6$

$\Leftrightarrow n(n - 1) = \frac{n(n - 1)}{2} + n + 4n + 6 \Leftrightarrow n^{2} - 11n - 12 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = - 1\ (l) \\ n = 12\ (n) \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó $P(x) = \left( x^{2} + \frac{3}{x} ight)^{12}$ .

Công thức số hạng tổng quát: $T_{k + 1} = C_{12}^{k}.\left( x^{2} ight)^{12 - k}.\left( \frac{3}{x} ight)^{k} = C_{12}^{k}.3^{k}.x^{24 - 3k}$ .

Số hạng chứa $x^{9} \Rightarrow 24 - 3k = 9 \Leftrightarrow k = 5$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ trong khai triển là $C_{12}^{5}.3^{5} = 192456$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton của $(2x - 3)^{5}$ bằng:
- A.
  $243$
- B.
  $- 1$
- C.
  $1054$
- D.
  $1$
Ta có:

$(2x - 3)^{5} = C_{5}^{0}(2x)^{5}.( - 3)^{0} + C_{5}^{1}.(2x)^{4}.( - 3)^{1}$

$+ ... + C_{5}^{4}.(2x)^{1}.( - 3)^{4} + C_{5}^{5}.(2x)^{0}.( - 3)^{5}$

$= C_{5}^{0}2^{5}.( - 3)^{0}.x^{5} + C_{5}^{1}.2^{4}.( - 3)^{1}.x^{4}$

$+ ... + C_{5}^{4}.2.( - 3)^{4}.x + C_{5}^{5}.( - 3)^{5}$

Cho $x = 1$ ta được:

$(2.1 - 3)^{5} = C_{5}^{0}2^{5}.( - 3)^{0}.1^{5} + C_{5}^{1}.2^{4}.( - 3)^{1}.1^{4} + ... + C_{5}^{4}.2.( - 3)^{4}.1 + C_{5}^{5}.( - 3)^{5} = - 1$

Vậy tổng hệ số trong khai triển đã cho bằng -1.
Câu 12: Vận dụng
Cho các số $1,2,3,4,5,6,7$ . Số các số tự nhiên gồm $5$ chữ số lấy từ $7$ chữ số trên sao cho chữ số đầu tiên bằng $3$ là:
- A.
  $7^{5}$ .
- B.
  $7!$ .
- C.
  $240$ .
- D.
  $2401$ .
Gọi số cần tìm có dạng: $\overline{abcde}$ .

Chọn $a$ : có 1 cách $(a = 3)$

Chọn $\overline{bcde}$ : có $7^{4}$ cách

Theo quy tắc nhân, có $1.7^{4} = 2401$ (số).
Câu 13: Nhận biết
Lớp 10A có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo có bao nhiêu cách chọn ra hai học sinh một nam, một nữ để thi đấu cầu lông đôi nam nữ.
- A.
  20
- B.
  35
- C.
  300
- D.
  45
Chọn 1 nam có: 20 cách
Chọn 1 nữ có: 15 cách
Vậy số cách chọn 1 nam và 1 nữ là: 20.15 = 300 (cách).
Câu 14: Nhận biết
Có $6$ học sinh và $2$ thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Đếm số cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?
- A.
  30240 cách. .
- B.
  620 cách.
- C.
  362550 cách.
- D.
  1660 cách.
Xếp 8 người thành hàng ngang có $P_{8}$ cách.

Xếp 8 người thành hàng ngang sao cho 2 thầy giáo đứng cạnh nhau có $7.2!.6!$ cách.

Vậy số cách xếp cần tìm là. $P_{8} - 7.2!.6! = 30240$ cách.
Câu 15: Vận dụng
Có 7 nam 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp, biết rằng 2 vị trí đầu và cuối là nam và không có 2 nữ nào đứng cạnh nhau?
- A.
  876540800.
- B.
  111409600.
- C.
  21500800.
- D.
  3628800.
Số cách chọn 2 nam đứng ở đầu và cuối là. $A_{7}^{2}$ . Lúc này còn lại 5 nam và 5 nữ, để đưa 10 người này vào hàng thì trước tiên sẽ cho 5 nam đứng riêng thành hàng ngang, số cách đứng là 5!. Sau đó lần lượt “nhét” 5 nữ vào các khoảng trống ở giữa hoặc đầu, hoặc cuối của hàng 5 nam này, mỗi khoảng trống chỉ “nhét” 1 nữ hoặc không “nhét”, có tất cả 6 khoảng trống nên số cách xếp vào là $A_{6}^{5}$ . Số cách xếp 10 người này thành hàng ngang mà 2 nữ bất kì không đứng cạnh nhau là. $5!.A_{6}^{5}$

Đưa 10 người này vào giữa 2 nam đầu và cuối đã chọn, số cách xếp là. $A_{7}^{2}.5!.A_{6}^{5} = 3628800$ .
Câu 16: Nhận biết
Hệ số của $x^{2}$ trong khai triển $(x + 1)^{5}$ là:
- A.
  10
- B.
  15
- C.
  30
- D.
  45
Ta có: ${(x + 1)^5} =$ ${x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1$ .
Hệ số của $x^2$ là 10.
Câu 17: Nhận biết
Khai triển nhị thức Newton $\left( x^{2} - y ight)^{5}$ ta được kết quả là:
- A.
  $x^{10} + 5x^{8}y - 10x^{6}y^{2} + 10x^{4}y^{3} - 5x^{2}y^{4} + y^{5}$
- B.
  $x^{10} - 5x^{8}y + 10x^{6}y^{2} - 10x^{4}y^{3} + 5x^{2}y^{4} - y^{5}$
- C.
  $x^{10} - 5x^{8}y - 10x^{6}y^{2} - 10x^{4}y^{3} - 5x^{2}y^{4} + y^{5}$
- D.
  $x^{10} + 5x^{8}y + 10x^{6}y^{2} + 10x^{4}y^{3} + 5x^{2}y^{4} + y^{5}$
Ta có:

$\left( x^{2} - y ight)^{5} = \sum_{k = 0}^{5}{C_{5}^{k}.\left( x^{2} ight)^{5 - k}.( - y)^{k}}$

$= C_{5}^{0}.\left( x^{2} ight)^{5} + C_{5}^{1}.\left( x^{2} ight)^{4}( - y) + C_{5}^{2}.\left( x^{2} ight)^{3}( - y)^{2}$

$+ C_{5}^{3}.\left( x^{2} ight)^{2}( - y)^{3} + C_{5}^{4}.\left( x^{2} ight)^{1}( - y)^{4} + C_{5}^{5}.\left( x^{2} ight)^{0}( - y)^{5}$

$= x^{10} - 5x^{8}y + 10x^{6}y^{2} - 10x^{4}y^{3} + 5x^{2}y^{4} - y^{5}$
Câu 18: Nhận biết
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đó đều lẻ?
- A.
  20.
- B.
  50.
- C.
  25.
- D.
  45.
- Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần lập thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\overline{ab}$ (a, b ∈ {1;3;5;7;9})

+ a: có 5 cách chọn

+ b: có 5 cách chọn.

Dó đó có: 5 x 5 = 25 cách lập số có 2 chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ.
Câu 19: Thông hiểu
Cho đa giác n cạnh. Tìm n để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh.
- A.
  $n = 8$
- B.
  $n = 7$
- C.
  $n = 10$
- D.
  $n = 9$
Đa giác n cạnh có n đỉnh.

Mỗi đỉnh nối với $n - 3$ đỉnh khác để tạo ra đường chéo

Do đó n đỉnh sẽ có $n(n - 3)$ đường

Mà 1 đường chéo được nối bởi 2 đỉnh nên số đường chéo thực là: $\frac{n(n - 3)}{2}$

Theo bài ra ta có: $\frac{n(n - 3)}{2} = 2n \Leftrightarrow n^{2} - 7n = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0(ktm) \\ n = 7(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $n = 7$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước?
- A.
  $126$
- B.
  $202$
- C.
  $157$
- D.
  $169$
Gọi số có 5 chữ cố có dạng là $\overline{abcde}$ . Điều kiện $a eq 0;a < b < c < d < e$

Ta chuyển bài toán về tìm số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số $1;2;3;4;5;6;7;8;9$ để lập số thoả yêu cầu của bài toán.

Do đó sẽ có số các số có 5 chữ số khác nhau lập từ $1;2;3;4;5;6;7;8;9$ là $C_{9}^{5} = 126$ số

48 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!