Cho tập hợp các chữ số
. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau là:
Mỗi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập hợp B là chỉnh hợp chập 3 của 5 nghĩa.
Suy ra có thể lập được số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho tập hợp các chữ số
. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau là:
Mỗi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập hợp B là chỉnh hợp chập 3 của 5 nghĩa.
Suy ra có thể lập được số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho tập
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5.
Vì lẻ và không chia hết cho 5 nên
có 3 cách chọn
Số các chọn các chữ số còn lại là:
Vậy số thỏa yêu cầu bài toán.
Số các hoán vị của n phần tử là:
Số các hoán vị của n phần tử là: n!.
Có 7 nam 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp, biết rằng 2 vị trí đầu và cuối là nam và không có 2 nữ nào đứng cạnh nhau?
Số cách chọn 2 nam đứng ở đầu và cuối là. . Lúc này còn lại 5 nam và 5 nữ, để đưa 10 người này vào hàng thì trước tiên sẽ cho 5 nam đứng riêng thành hàng ngang, số cách đứng là 5!. Sau đó lần lượt “nhét” 5 nữ vào các khoảng trống ở giữa hoặc đầu, hoặc cuối của hàng 5 nam này, mỗi khoảng trống chỉ “nhét” 1 nữ hoặc không “nhét”, có tất cả 6 khoảng trống nên số cách xếp vào là
. Số cách xếp 10 người này thành hàng ngang mà 2 nữ bất kì không đứng cạnh nhau là.
Đưa 10 người này vào giữa 2 nam đầu và cuối đã chọn, số cách xếp là. .
Từ khai triển biểu thức
thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là:
Xét khai triển .
Gọi là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có
.
Cho
là số thực dương, số hạng không chứa
trong khai triển nhị thức
là:
Ta có
Số hạng tổng quát thứ trong khai triển là
.
Số hạng này không chứa tương ứng với trường hợp
.
Vậy số hạng không chứa trong khai triển là
.
Một người vào một cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn 1 món ăn trong 5 món khác nhau, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng khác nhau, 1 loại đồ uống trong 3 loại đồ uống khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn một thực đơn?
Người đó chọn 1 món ăn trong 5 món khác nhau có 5 cách.
Người đó chọn 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng khác nhau có 5 cách.
Người đó chọn 1 loại đồ uống trong 3 loại đồ uống khác nhau có 3 cách.
Áp dụng quy tắc nhân ta có 5.5.3 = 75cách.
An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con
đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn
đường đi đến nhà Cường cùng Bình (như hình vẽ dưới đây và không có con đường nào khác)?

Chọn đường đi từ nhà An đến nhà Bình có 4 cách chọn.
Chọn đường đi từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân có 4.6 = 24 cách cho An chọn đường đi đến nhà Cường cùng Bình.
Khai triển biểu thức
ta được:
Ta có:
Có bao nhiêu cách xếp 40 học sinh gồm 20 học sinh trường A và 20 học sinh trường B thành 4 hàng dọc, mỗi hàng 10 người (tức 10 hàng ngang, mỗi hàng 4 người) trong đó không có học sinh cùng trường đứng kề nhau mỗi hàng ngang và tất cả các học sinh trong mỗi hàng đều cùng trường?
Giả sử 4 hàng dọc được kí hiệu là
Theo yêu cầu thì:
Các bạn trường A được xếp ở
Các bạn trường B được xếp ở hoặc ngược lại.
Nên số cách xếp là cách.
Tìm số hạng chứa
trong khai triển
.
Ta có khai triển: .
Số hạng tổng quát trong khai triển:
Số hạng chứa ứng với:
Vậy số hạng chứa là:
.
Khai triển biểu thức
ta thu được kết quả:
Ta có:
Cho tập
. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho số đó không bắt đầu bởi 125?
Gọi là số bắt đầu bởi 125 và có 5 chữ số đôi một khác nhau.
Suy ra có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn
có
số.
Số các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập A là số.
Suy ra có tất cả số cần tìm.
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ.
Vì chữ số đứng đầu chẵn nên có
cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên
có 4 cách chọn. Các số còn lại có
cách chọn
Vậy có số thỏa yêu cầu bài toán.
Mỗi bảng số xe gắn máy ở thành phố X có cấu tạo như sau. Phần đầu gồm hai chữ cái trong bảng chữ cái, phần sau gồm 4 chữ số trong các chữ số:
. Ví dụ:
... Hỏi có bao nhiêu cách tạo bảng số xe theo cấu tạo trên? (Giả sử bảng chữ cái có tất cả 26 chữ cái)
Chọn hai chữ cái cho phần đầu có (mỗi chữ số có 26 cách chọn)
Còn 4 chữ số cho phần đuôi có (mỗi chữ số có 10 cách chọn)
Vậy có thể tạo được
Cho đa giác đều có 54 đường chéo. Hãy tính xem đa giác này có bao nhiêu cạnh?
Đa giác n cạnh có n đỉnh.
Mỗi đỉnh nối với đỉnh khác để tạo ra đường chéo
Do đó n đỉnh sẽ có đường
Mà 1 đường chéo được nối bởi 2 đỉnh nên số đường chéo thực là:
Theo đề bài ta có:
Vậy đa giác có 12 cạnh.
Cho tập hợp
có
phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của
là:
Mỗi cách lấy ra phần tử trong
phần tử của
để tạo thành tập con gồm
phần tử là một tổ hợp chập
của
phần tử
Số tập con của
gồm
phần tử là
.
Cho
là số tự nhiên thỏa mãn
. Biết số hạng thứ
trong khai triển Newton của
có giá trị bằng
. Tìm giá trị của
.
Ta có:
.
Ta được nhị thức .
Số hạng thứ ba của khai triển là .
Theo giả thiết ta có:
.
Có 3 người đàn ông, 2 người đàn bà và 1 đứa trẻ được xếp ngồi vào 6 cái ghế xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà?
Ta đánh số thứ tự cho 6 chiếc ghế từ số 1 đến số 6
Ta thực hiện việc xếp 6 người vào 6 chiếc ghế sao cho đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà như sau:
Xếp đứa trẻ ngồi vào 1 trong các ghế có số thứ tự từ 2 đến 5 có 4 cách.
Xếp hai người đàn bà vào 2 ghế bên cạnh đứa trẻ có 2 cách.
Xếp 3 người đàn ông vào 3 ghế còn lại: có 3! cách.
Áp dụng quy tắc nhân, có tất cả: cách.
Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3.
Số các số tự nhiên lớn nhất nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là 96.
Số các số tự nhiên nhỏ nhất nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là 0.
Số các số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 2 và 3 là .