Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Đội văn nghệ của nhà trường gồm $4$ học sinh lớp 12A, $3$ học sinh lớp 12B và $2$ học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?
- A.
  $206.$
- B.
  $202.$
- C.
  $98.$
- D.
  $230.$
Tổng số học sinh trong đội văn nghệ của nhà trường là $9$ học sinh.

Số cách chọn $5$ học sinh bất kì trong $9$ học sinh là. $C_{9}^{5}$ cách.

Số cách chọn $5$ học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12A là. $C_{5}^{5}$ cách.

Số cách chọn $5$ học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12B là. $C_{6}^{5}$ cách.

Số cách chọn $5$ học sinh mà trong đó không có học sinh lớp 12C là. $C_{7}^{5}$ cách.

Vậy có $C_{9}^{5} - \left( C_{5}^{5} + C_{6}^{5} + C_{7}^{5} ight) = 98$ cách thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 2: Thông hiểu
Xếp $6$ chữ số $1$ , $1$ , $2$ , $2$ , $3$ , $4$ thành hàng ngang sao cho hai chữ số giống nhau thì không xếp cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy?
- A.
  $140$ cách.
- B.
  $100$ cách.
- C.
  $160$ cách.
- D.
  $84$ cách.
Số cách xếp sáu chữ số thành hàng một cách tùy ý là $\frac{6!}{2!.2!} = 180$ .
*) Tìm số cách xếp sáu chữ số sao cho có hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau
+) TH1: Số cách xếp sao cho có hai chữ số $1$ đứng cạnh nhau $5.\frac{4!}{2!} = 60$ .
+) TH2: Số cách xếp sao cho có hai chữ số $2$ đứng cạnh nhau $5.\frac{4!}{2!} = 60$ .
+) TH3: Số cách xếp sao cho có hai chữ số $1$ đứng cạnh nhau và hai chữ số $2$ đứng cạnh nhau
-) Nếu hai chữ số $1$ ở vị trí $(1;2)$ và $(5;6)$ ta có số cách xếp là $2.3.2 = 12$ .
-) Nếu hai chữ số $1$ ở ba vị trí còn lại thì số các xếp là $3.2.2 =12$ .
Vậy số cách xếp hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau là $60 + 60 - 12 - 12 = 96$ .
$\Rightarrow$ Số cách xếp không có hai chữ số giống nhau nào đứng cạnh nhau là $180 - 96 = 84$ .
Câu 3: Nhận biết
Chọn đáp án đúng khi khai triển nhị thức $(3x - 2y)^{4}$ ?
- A.
  $81x^{4} - 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} - 96xy^{3} + 16y^{4}$
- B.
  $81x^{4} + 216x^{3}y - 216x^{2}y^{2} + 96xy^{3} - 16y^{4}$
- C.
  $81x^{4} + 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} + 96xy^{3} + 16y^{4}$
- D.
  $3x^{4} - 24x^{3}y - 36x^{2}y^{2} - 24xy^{3} + 2y^{4}$
Ta có:

$(3x - 2y)^{4} = \sum_{k = 0}^{4}{C_{4}^{k}.(3x)^{4 - k}.( - 2y)^{k}}$

$= 81x^{4} - 216x^{3}y + 216x^{2}y^{2} - 96xy^{3} + 16y^{4}$
Câu 4: Nhận biết
Khai triển biểu thức $\left( x^{2} - 5y ight)^{5}$ ta được:
- A.
  $- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} + 1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$
- B.
  $x^{10} - 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} -1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} - 3125y^{5}$
- C.
  $x^{10} + 25x^{8}y+ 250x^{6}y^{2} +1250x^{4}y^{3} + 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$
- D.
  $x^{10} - 25x^{8}y + 250x^{6}y^{2} -1250x^{4}y^{3} + 3125x^{2}y^{4} - 3125y^{5}$
Ta có:

$\left( x^{2} - 5y ight)^{5}$

$= C_{5}^{0}.\left( x^{2} ight)^{5} + C_{5}^{1}\left( x^{2} ight)^{4}.( - 5y) + C_{5}^{2}.\left( x^{2} ight)^{3}.( - 5y)^{2}$

$+ C_{5}^{3}.\left( x^{2} ight)^{2}.( - 5y)^{3} + C_{5}^{4}.\left( x^{2} ight)^{1}.( - 5y)^{4} + C_{5}^{5}.\left( x^{2} ight)^{0}.( - 5y)^{5}$

$=x^{10} - 25x^{8}y + 250x^{6}y^{2} -1250x^{4}y^{3} + 3125x^{2}y^{4} - 3125y^{5}$
Câu 5: Nhận biết
Có sáu quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, năm quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và bảy quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 7. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra ba quả cầu vừa khác màu vừa khác số?
- A.
  64.
- B.
  210.
- C.
  120.
- D.
  125.
+) Chọn 1 quả màu đỏ có 5 cách.

+) Chọn 1 quả màu xanh khác số với quả màu đỏ có 5 cách.

+) Chọn 1 quả màu vàng khác số với quả màu đỏ và quả màu xanh có 5 cách.

Vậy số cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu, vừa khác số là: 5.5.5 = 125.
Câu 6: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ , (biết $x eq 0$ ).
- A.
  $176.$
- B.
  $88.$
- C.
  $- 276.$
- D.
  $286.$
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ .

$T_{k + 1} = C_{13}^{k}x^{13 - k}\left( \frac{1}{x} ight)^{k} = C_{13}^{k}x^{13 - 2k}$ .

$T_{k + 1}$ chứa $x^{7} \Leftrightarrow 13 - 2k = 7 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ bằng: $C_{13}^{3} = 286$ .
Câu 7: Vận dụng
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ các chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chứa chữ số 2 và chia hết cho 5?
- A.
  19.
- B.
  32.
- C.
  42.
- D.
  23.
Giả sử số đó là $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}}$

Trường hợp 1. $a_{3} = 0$ xếp 2 vào có 2 vị trí, chọn số xếp vào vị trí còn lại có 6 cách nên có 2.6 = 12 số thỏa mãn.

Trường hợp 2. $a_{3} = 5$ . Với $a_{1} = 2$ chọn $a_{2}$ có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn. Với $a_{1} eq 2$ chọn $a_{1}$ có 5 cách chọn, và tất nhiên $a_{2} = 2$ nên có 5 số thỏa mãn. Do đó có $12 + 6 + 5 = 23$ số thỏa mãn.
Câu 8: Thông hiểu
Từ các chữ số $1;4;5;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương $n > 800$ và gồm các chữ số đôi một khác nhau.
- A.
  $463$
- B.
  $120$
- C.
  $264$
- D.
  $325$
Trường hợp 1: n gồm ba chữ số.

Gọi $n = \overline{abc}$ .

Để n > 800 và gồm các chữ số đôi một khác nhau thì

a có 2 lựa chọn là $\left\{ 8;9 ight\}$

b có 4 lựa chọn vì phải khác a

c có 3 lựa chọn vì phải khác a; b

Vậy có $2.4.3 = 24$ số.

Trường hợp 2: n gồm bốn chữ số. Thỏa mãn n > 800.

Để n gồm các chữ số đôi một khác nhau thì có $A_{5}^{4} = 120$ thỏa mãn.

Trường hợp 3: n gồm năm chữ số. Thỏa mãn n > 800.

Để n gồm các chữ số đôi một khác nhau thì có $A_{5}^{4} = 120$ thỏa mãn.

Vậy có $120 + 120 + 24 = 264$ số n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 9: Vận dụng
Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $A_{n}^{2} = C_{n}^{2} + C_{n}^{1} + 4n + 6$ . Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ của khai triển biểu thức $P(x) = \left( x^{2} + \frac{3}{x} ight)^{n}$ .
- A.
  18698.
- B.
  24162.
- C.
  192456.
- D.
  287654.
$A_{n}^{2} = C_{n}^{2} + C_{n}^{1} + 4n + 6 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} = \frac{n!}{(n - 2)!.2!} + \frac{n!}{(n - 1)!.1!} + 4n + 6$

$\Leftrightarrow n(n - 1) = \frac{n(n - 1)}{2} + n + 4n + 6 \Leftrightarrow n^{2} - 11n - 12 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = - 1\ (l) \\ n = 12\ (n) \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó $P(x) = \left( x^{2} + \frac{3}{x} ight)^{12}$ .

Công thức số hạng tổng quát: $T_{k + 1} = C_{12}^{k}.\left( x^{2} ight)^{12 - k}.\left( \frac{3}{x} ight)^{k} = C_{12}^{k}.3^{k}.x^{24 - 3k}$ .

Số hạng chứa $x^{9} \Rightarrow 24 - 3k = 9 \Leftrightarrow k = 5$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ trong khai triển là $C_{12}^{5}.3^{5} = 192456$ .
Câu 10: Thông hiểu
Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau từ tập hợp $F = \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7 ight\}$ và nhỏ hơn $2021$ ?
- A.
  $215$
- B.
  $216$
- C.
  $214$
- D.
  $217$
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số $\overline{abcd};(a eq 0)$

Do $\overline{abcd} < 2021$ và $a eq 0$ nên $a \in \left\{ 1;2 ight\}$

TH1: $a = 1$

Chọn ba số trong dãy $0,2,3,4,5,6,7$ xếp vào ba vị trí $a,b,c$ ta có: $A_{7}^{3}$ cách.

=> Trong trường hợp này có $1.A_{7}^{3} = 210$ số được tạo thành.

TH2: $a = 2 \Rightarrow b = 0,c = 1;d \in \left\{ 3;4;5;6;7 ight\}$

=> Trong trường hợp này có $1.1.1.5 = 5$ số được tạo thành.

Vậy có tất cả 210 + 5 = 215 số được tạo thành thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 11: Vận dụng
Dãy $\left( x_{1};x_{2};...;x_{10} ight)$ trong đó mỗi kí tự $x_{i}$ chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 được gọi là dãy nhị phân 10 bit. Hỏi có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit trong đó có ít nhất ba kí tự 0 và ít nhất ba kí tự 1?
- A.
  $912$
- B.
  $854$
- C.
  $957$
- D.
  $890$
Trường hợp 1: dãy nhị phân có ba kí tự 0 và bảy kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{3!.7!} = 120$ dãy nhị phân 10 bit.

Trường hợp 2: dãy nhị phân có bốn kí tự 0 và sáu kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{4!.6!} = 210$ dãy nhị phân 10 bit.

Trường hợp 3: dãy nhị phân có năm kí tự 0 và năm kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{5!.5!} = 252$ dãy nhị phân 10 bit.

Trường hợp 4: dãy nhị phân có sáu kí tự 0 và bốn kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{4!.6!} = 210$ dãy nhị phân 10 bit.

Trường hợp 5: dãy nhị phân có bảy kí tự 0 và ba kí tự 1.

Khi đó có $\frac{10!}{3!.7!} = 120$ dãy nhị phân 10 bit.

Vậy có $120 + 210 + 252 + 210 + 120 = 912$ dãy nhị phân 10 bit thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 12: Nhận biết

Một lớp học có 33 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách giao 3 chức danh lớp trưởng, lớp phó, bí thư cho 3 sinh viên biết rằng mỗi sinh viên chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 chức danh và sinh viên nào cũng có thể đảm nhận chức danh?

Đáp án: 32736

Đáp án là:

Một lớp học có 33 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách giao 3 chức danh lớp trưởng, lớp phó, bí thư cho 3 sinh viên biết rằng mỗi sinh viên chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 chức danh và sinh viên nào cũng có thể đảm nhận chức danh?

Đáp án: 32736

Chọn 1 sinh viên làm lớp trưởng có 33 cách

Chọn 1 sinh viên làm lớp phó có 32 cách

Chọn 1 sinh viên làm bí thư có 31 cách

Có $33.32.31 = 32736$ cách
Câu 13: Nhận biết
Bộ bài tây có 52 lá, trong đó có 4 con át. Rút ra 5 con. Hỏi có bao nhiêu cách để rút được 2 con át?
- A.
  $103776$
- B.
  $194580$
- C.
  $248576$
- D.
  $203684$
Số cách lấy 5 con trong đó có 2 con át là: $C_{4}^{2}.C_{48}^{3} = 103776$ .
Câu 14: Nhận biết
Có 3 bạn nam và 4 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 7 bạn vào 1 dãy ghế hàng ngang liền nhau gồm 7 chỗ ngồi?
- A.
  3!.4!
- B.
  7!
- C.
  7
- D.
  240
Xếp 7 bạn vào dãy 7 ghế: có 7! (cách).
Câu 15: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?
- A.
  $40$ .
- B.
  $45$ .
- C.
  $50$ .
- D.
  $55$ .
Nếu chữ số hàng chục là $n$ thì số có chữ số hàng đơn vị là $n - 1$ thì số các chữ số nhỏ hơn $n$ năm ở hàng đơn vị cũng bằng $n$ . Do chữ số hang chục lớn hơn bằng $1$ còn chữ số hang đơn vị thi $\geq$ .

Vậy số các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$ .
Câu 16: Thông hiểu
Biết hệ số của số hạng chứa $x^{2}$ trong khai triển $(1 + 4x)^{n}$ là $3040$ . Số tự nhiên $n$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $28$ .
- B.
  $26$ .
- C.
  $24$ .
- D.
  $20$ .
Ta có: $(1 + 4x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}{C_{n}^{k}(4x)^{k}} = \sum_{k = 0}^{n}{C_{n}^{k}4^{k}x^{k}}$ .

Hệ số của số hạng chứa $x^{2}$ là: $C_{n}^{2}4^{2}$ .

Giả thiết suy ra $C_{n}^{2}4^{2} = 3040\Leftrightarrow C_{n}^{2} = 190 \Leftrightarrow \frac{n(n - 1)}{2} = 190\Leftrightarrow n^{2} - n - 380 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}n = 20\ \ (t/m) \ = - 19\ (loai) \\\end{matrix} ight.$
Câu 17: Thông hiểu
Tìm số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(3x + 2)^{4}$ ?
- A.
  $24x^{3}$
- B.
  $96x^{3}$
- C.
  $216x^{3}$
- D.
  $8x^{3}$
Số hạng tổng quát theo thứ tự giảm dần số mũ x là:

$C_{4}^{k}(3x)^{4 - k}.2^{k} = C_{4}^{k}.3^{4 - k}.2^{k}.x^{4 - k}$

Số hạng chứa $x^{3}$ ứng với $4 - k = 3 \Rightarrow k = 1$

Số hạng cần tìm là $C_{4}^{1}.3^{4 - 1}.2.x^{4 - 1} = 216x^{3}$ .
Câu 18: Nhận biết
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi là
- A.
  600.
- B.
  120.
- C.
  3125.
- D.
  720.
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế là: 5! =120 (cách).
Câu 19: Thông hiểu
Trong phòng thi có hai dãy ghế đối diện nhau qua một cái bàn dài, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 nam sinh và 6 nữ sinh vào hai dãy ghế này. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho bất cứ 2 người nào ngồi cạnh nhau cũng đều khác giới và bất cứ 2 người nào ngồi đối diện nhau cũng đều khác giới?
- A.
  $1178420$
- B.
  $1036800$
- C.
  $1458620$
- D.
  $1254802$
Giả sử gọi 2 dãy ghế là dãy A và dãy B.

Dãy A các ghế đánh số từ 1 đến 6, dãy B các ghế đánh số từ 7 đến 12

Trường hợp 1: Các bạn nam gồi ghế ghi số chẵn ở dãy A và số lẻ ở dãy B.

Các bạn nữ ngồi ở ghế ghi số lẻ của dãy A và số chẵn ở dãy B có: $6!.6!$ cách.

Trường hợp 2: Ngược lại có $6!.6!$ cách.

Vậy số cách xếp là: $2.6!.6! = 1036800$ cách.
Câu 20: Nhận biết
Một tổ có $5$ học sinh nữ và $6$ học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên hai học sinh của tổ đó đi trực nhật biết cần có cả nam và nữ.
- A.
  11
- B.
  30
- C.
  15
- D.
  6
Chọn một học sinh nữ có 5 cách.

Chọn một học sinh nam có 6 cách.

Áp dụng quy tắc nhân, có 5.6 = 30 cách chọn hai học sinh có cả nam và nữ.

47 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!