Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số các vé gồm 5 chữ số khác nhau là bao nhiêu?
- A.
  30240
- B.
  32212
- C.
  23460
- D.
  32571
Gọi số in trên vé có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$

Số cách chọn $a_{1}$ là 10 ( $a_{1}$ có thể là 0).

Số cách chọn $a_{2}$ là 9.

Số cách chọn $a_{3}$ là 8.

Số cách chọn $a_{4}$ là 7.

Số cách chọn $a_{5}$ là 6.

Do đó có 10.9.8.7.6 = 23460 (số).
Câu 2: Vận dụng
Tìm $n$ thuộc tập hợp số tự nhiên, biết rằng $1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = 256n$ ( $C_{n}^{k}$ là số tổ hợp chập k của n phần tử).
- A.
  $489888$ .
- B.
  $49888$ .
- C.
  $48988$ .
- D.
  $4889888$ .
Trước hết ta chứng minh công thức $\frac{k}{n}C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1}$ với $1 \leq k \leq n$ và $n \geq 2.$

Thật vậy, $\frac{k}{n}C_{n}^{k} = \frac{k}{n}.\frac{n!}{k!(n - k)!} = \frac{(n - 1)!}{(k - 1)!(n - k)!} = C_{n - 1}^{k - 1}.$ (đpcm)

Áp dụng công thức trên ta có

$1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = n\left( \frac{1}{n}.C_{n}^{1} + \frac{2}{n}.C_{n}^{2} + \frac{3}{n}.C_{n}^{3} + ... + \frac{n}{n}.C_{n}^{n} ight)$

$= n\left( C_{n - 1}^{0} + C_{n - 1}^{1} + C_{n - 1}^{2} + ... + C_{n - 1}^{n - 1} ight) = n2^{n - 1}$

Theo đề $1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + n.C_{n}^{n} = 256n \Leftrightarrow n2^{n - 1} = 256n \Leftrightarrow 2^{n - 1} = 256 \Leftrightarrow n = 9.$ .
Câu 3: Vận dụng
Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5?
- A.
  3999960
- B.
  33778933
- C.
  4859473
- D.
  3847294
Có 120 số có 5 chữ số được lập từ 5 chữ số đã cho.

Bây giờ ta xét vị trí của một chữ số trong 5 số 1, 2, 3, 4, 5 chẳng hạn ta xét số 1. Số 1 có thể xếp ở 5 vị trí khác nhau, mỗi vị trí có 4!=24 số nên khi ta nhóm các các vị trí này lại có tổng là : $24\left( 10^{4} + 10^{3} + 10^{2} + 10 + 1 ight) = 24.11111$ .

Vậy tổng các số có 5 chữ số là : $24.11111(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3999960$ .
Câu 4: Thông hiểu
Số các số có $6$ chữ số khác nhau không bắt đầu bởi $12$ được lập từ $1;\ \ 2;\ \ 3;\ \ 4;\ \ 5;\ \ 6$ là:
- A.
  $820$ .
- B.
  $926$ .
- C.
  $696$ .
- D.
  $699$ .
Lập số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau, ta tìm được: $6!$ số.
Lập số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau nhưng bắt đầu bằng $12$ , ta tìm được: $4!$ số.
Vậy số các số có $6$ chữ số khác nhau không bắt đầu bởi $12$ là $6! - 4! = 696$ số.
Câu 5: Nhận biết
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi là
- A.
  600.
- B.
  120.
- C.
  3125.
- D.
  720.
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế là: 5! =120 (cách).
Câu 6: Thông hiểu
Từ khai triển biểu thức $(x + 1)^{10}$ thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là:
- A.
  2013.
- B.
  512.
- C.
  1024.
- D.
  2028.
Xét khai triển $f(x) = (x + 1)^{10} = \sum_{k = 0}^{10}C_{10}^{k}.x^{k}$ .

Gọi $S$ là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có $S = f(1) = (1 + 1)^{10} = 2^{10} = 1024$ .
Câu 7: Nhận biết
Biết rằng khai triển nhị thức Newton $(m + 2)^{n - 3}$ với $n\mathbb{\in N},n > 3;m eq - 2$ có tất cả 6 số hạng. Hãy xác định $n$ ?
- A.
  $n = 10$
- B.
  $n = 9$
- C.
  $n = 8$
- D.
  $n = 11$
Vì trong khai triển nhị thức Newton $(m + 2)^{n - 3}$ đã cho có tất cả 6 số hạng nên $n - 3 = 5 \Rightarrow n = 8$

Vậy n = 8 là giá trị cần tìm.
Câu 8: Vận dụng
Có 7 nam 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp, biết rằng 2 vị trí đầu và cuối là nam và không có 2 nữ nào đứng cạnh nhau?
- A.
  876540800.
- B.
  111409600.
- C.
  21500800.
- D.
  3628800.
Số cách chọn 2 nam đứng ở đầu và cuối là. $A_{7}^{2}$ . Lúc này còn lại 5 nam và 5 nữ, để đưa 10 người này vào hàng thì trước tiên sẽ cho 5 nam đứng riêng thành hàng ngang, số cách đứng là 5!. Sau đó lần lượt “nhét” 5 nữ vào các khoảng trống ở giữa hoặc đầu, hoặc cuối của hàng 5 nam này, mỗi khoảng trống chỉ “nhét” 1 nữ hoặc không “nhét”, có tất cả 6 khoảng trống nên số cách xếp vào là $A_{6}^{5}$ . Số cách xếp 10 người này thành hàng ngang mà 2 nữ bất kì không đứng cạnh nhau là. $5!.A_{6}^{5}$

Đưa 10 người này vào giữa 2 nam đầu và cuối đã chọn, số cách xếp là. $A_{7}^{2}.5!.A_{6}^{5} = 3628800$ .
Câu 9: Thông hiểu
Cho tập hợp $B = \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7 ight\}$ . Có bao nhiêu số tự nhiên không chia hết cho 2 gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ tập hợp $B$ ?
- A.
  $2880$ số
- B.
  $1134$ số
- C.
  $2045$ số
- D.
  $1258$ số
Gọi số tự nhiên có năm chữ số cần tìm có dạng $\overline{abcde};(a eq 0)$

Số cách chọn e là: 4 cách

Số cách chọn a là: 4 cách

Số cách chọn b là: 6 cách

Số cách chọn c là: 5 cách

Số cách chọn d là: 4 cách

Vậy số các số được tạo thành là: $4.6.6.5.4 = 2880$ số.
Câu 10: Nhận biết
Hệ số của $x^{31}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40}(x eq 0)$ là:
- A.
  $C_{40}^{5}$ .
- B.
  $C_{20}^{3}$ .
- C.
  $C_{40}^{3}$ .
- D.
  $C_{40}^{6}$ .
$\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}x^{40 - k}.x^{- 2k}} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}x^{40 - 3k}}$

Theo giả thiết: $40 - 3k = 31 \Rightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số của $x^{31}$ là $C_{40}^{3} = 9880$ .
Câu 11: Nhận biết
Cho tập $A$ gồm $12$ phần tử. Số tập con có $4$ phần tử của tập A là:
- A.
  $A_{12}^{2}$ .
- B.
  $C_{12}^{4}$ .
- C.
  $8!$ .
- D.
  $A_{12}^{4}$ .
Theo định nghĩa tổ hợp. “ Giả sử tập $A$ có $n$ phần tử $(n \geq 1)$ . Mỗi tập con gồm $k$ phần tử của $A$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho”.

Do đó theo yêu cầu bài toán số tập con có $4$ phần tử của tập A là $C_{12}^{4}$ .
Câu 12: Thông hiểu
Cho tập hợp $M = \left\{ 0;1;3;4;5;6;8 ight\}$ . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau từ các chữ số thuộc tập hợp $M$ ?
- A.
  $30$
- B.
  $152$
- C.
  $105$
- D.
  $70$
Gọi số tự nhiên có ba chữ số là: $\overline{abc};(a eq 0)$

TH1: c = 0

Chữ số a có 6 cách chọn.

Với mỗi cách chọn a có 5 cách chọn chữ số b

=> Số các số tạo thành là: 1 . 5 . 6 = 30 (số)

TH2: $c \in \left\{ 4;6;8 ight\}$ => Chữ số c có 3 cách chọn.

Chữ số a có 5 cách chọn, với mỗi cách chọn a ta có 5 cách chọn b.

=> Số các số tạo thành là: 3 . 5 . 5 = 75 (số)

Vậy có tất cả 30 + 75 = 105 (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 13: Nhận biết
Có $3$ viên bi đen khác nhau, $4$ viên bi đỏ khác nhau, $5$ viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các viên bi trên thành dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
- A.
  $365400$ .
- B.
  $666400$ .
- C.
  $725420$ .
- D.
  $103680$ .
Số cách xếp $3$ viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng. $3!$ .

Số cách xếp $4$ viên bi đỏ khác nhau thành một dãy bằng. $4!$ .

Số cách xếp $5$ viên bi đen khác nhau thành một dãy bằng. $5!$ .

Số cách xếp $3$ nhóm bi thành một dãy bằng. $3!$ .

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề bài bằng $3!.4!.5!.3! = 103680$ cách.
Câu 14: Nhận biết
Tính số cách sắp xếp 8 học sinh thành 1 hàng dọc?
- A.
  $64$
- B.
  $512$
- C.
  $1024$
- D.
  $40320$
Số cách sắp xếp 8 học sinh thành 1 hàng dọc là 8! = 40320 cách.
Câu 15: Nhận biết
Một người vào một cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn 1 món ăn trong 5 món khác nhau, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng khác nhau, 1 loại đồ uống trong 3 loại đồ uống khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn một thực đơn?
- A.
  100.
- B.
  13.
- C.
  75.
- D.
  25.
Người đó chọn 1 món ăn trong 5 món khác nhau có 5 cách.

Người đó chọn 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng khác nhau có 5 cách.

Người đó chọn 1 loại đồ uống trong 3 loại đồ uống khác nhau có 3 cách.

Áp dụng quy tắc nhân ta có 5.5.3 = 75cách.
Câu 16: Thông hiểu
Tìm hệ số của $x^{5}$ trong khai triển $(1 + 3x)^{2n}$ biết $A_{n}^{3} + 2A_{n}^{2} = 100$ .
- A.
  $61236$ .
- B.
  $63216$ .
- C.
  $61326$ .
- D.
  $66321$ .
Ta có: $A_{n}^{3} + 2A_{n}^{2} = 100 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 3)!} + 2\frac{n!}{(n - 2)!} = 100 \Leftrightarrow n(n - 1)(n - 2) + 2n(n - 1) = 100$

$\Leftrightarrow n^{3} - n^{2} - 100 = 0 \Leftrightarrow n = 5$ .

Ta có: $(1 + 3x)^{2n} = (1 + 3x)^{10} = \sum_{k = 0}^{10}{C_{10}^{k}(3x)^{k}}$ .

Hệ số $x^{5}$ sẽ là $C_{10}^{5}3^{5} = 61236$ .
Câu 17: Vận dụng
Một rổ có 10 loại quả khác nhau trong đó có 1 mít và 1 bưởi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thành một hàng sao cho mít và bưởi cách nhau đúng 2 quả khác?
- A.
  6523920.
- B.
  786120.
- C.
  564480.
- D.
  120240.
Xếp cố định 8 quả khác mít và bưởi vào hàng, có 8! cách xếp. Lúc này trên hàng có 9 khoảng trống, gồm khoảng trống giữa 2 quả khác bất kì và vị trí đầu, cuối hàng. Trong đó ta có 7 cặp khoảng trống mà khoảng cách giữa khoảng có đúng 2 quả khá

C. Mỗi cặp khoảng trống đó ta sẽ cho vào đó quả mít và quả bưởi, có cách xếp mít và bưởi tương ứng là. $7.2!$ .

Vậy số cách xếp cần tìm. 8!.7.2! = 564480.
Câu 18: Nhận biết
Số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức $\left( x^{3} - \frac{1}{x^{2}} ight)^{5};(x eq 0)$ là:
- A.
  $3$
- B.
  $4$
- C.
  $- 10$
- D.
  $5$
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức $\left( x^{3} - \frac{1}{x^{2}} ight)^{5};(x eq 0)$ là:

$C_{5}^{k}.\left( x^{3} ight)^{5 - k}.\left( - \frac{1}{x^{2}} ight)^{k} = C_{5}^{k}.( - 1)^{k}.x^{15 - 5k}$

Số hạng không chứa x khi và chỉ khi $15 - 5k = 0 \Rightarrow k = 3$

Vậy số hạng không chứa x là: $C_{5}^{3}.( - 1)^{3} = - 10$ .
Câu 19: Thông hiểu
Một tổ gồm 7 học sinh trong đó có 4 nam, 3 nữ cùng với 2 cô giáo xếp thành một hàng dọc để tham gia trò chơi đồng đội. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng cho nhóm 3 học sinh nữ luôn đứng cạnh nhau và nhóm hai cô giáo cũng đứng cạnh nhau?
- A.
  $728$ cách
- B.
  $1474$ cách
- C.
  $8640$ cách
- D.
  $2458$ cách
Xếp nhóm A gồm 3 học sinh nữ đứng cạnh nhau có: $3! = 6$ cách.

Xếp nhóm B gồm 2 cô giáo đứng cạnh nhau có: $2! = 2$ cách.

Xếp nhóm A và nhóm B với 4 học sinh nam còn lại có $6! = 720$ cách.

Theo quy tắc nhân ta có: $6.2.720 = 8640$ cách.
Câu 20: Nhận biết
Một tổ có $5$ học sinh nữ và $6$ học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên hai học sinh của tổ đó đi trực nhật biết cần có cả nam và nữ.
- A.
  11
- B.
  30
- C.
  15
- D.
  6
Chọn một học sinh nữ có 5 cách.

Chọn một học sinh nam có 6 cách.

Áp dụng quy tắc nhân, có 5.6 = 30 cách chọn hai học sinh có cả nam và nữ.

14 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!