Khai triển biểu thức
ta thu được kết quả:
Ta có:
Khai triển biểu thức
ta thu được kết quả:
Ta có:
Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Người ta muốn chọn một ban điều hành gồm 3 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ban điều hành có 1 nam và 2 nữ?
Chọn ban điều hành gồm 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ có cách.
Giả sử có một công việc có thể tiến hành theo hai công đoạn M và N. Công đoạn M có a cách, công đoạn N có b cách mà không trùng với cách nào của công đoạn M. Khi đó công việc có thể thực hiện bằng:
Khi đó công việc có thể được thực hiện bằng (cách) (theo quy tắc nhân)
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
bằng:
Điều kiện xác định:
Ta có:
Vật tổng các nghiệm phương trình là:
Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số các vé gồm 5 chữ số khác nhau là bao nhiêu?
Gọi số in trên vé có dạng
Số cách chọn là 10 (
có thể là 0).
Số cách chọn là 9.
Số cách chọn là 8.
Số cách chọn là 7.
Số cách chọn là 6.
Do đó có 10.9.8.7.6 = 23460 (số).
Cho các chữ số 0; 1; 2; 4; 5; 6; 8. Hỏi từ các chữ số trên lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà trong mỗi số chữ số 1 luôn xuất hiện?
Gọi số cần tìm có dạng . Vì
chia hết cho 5 suy ra
.
TH1. Với suy ra có
số cần tìm.
TH2. Với , suy ra có
số cần tìm.
Vậy có tất cả 444 số cần tìm.
Xét những số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và bốn chữ số còn lại 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số nếu 5 chữ số được xếp tùy ý?
Lập một số có 9 chữ số thỏa mãn yêu cầu, thực chất là việc xếp các số 2, 3, 4, 5 vào 4 vị trí tùy ý trong 9 vị trí (5 vị trí còn lại là dành cho chữ số 1 lặp lại 5 lần)
⇒ Vậy có tất cả: (số)
Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn. Trong đó gồm
món ăn trong
món ăn,
loại quả tráng miệng trong
loại quả tráng miệng và
loại nước uống trong
loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn?
Chọn một món ăn có 5 cách.
Chọn một loại quả tráng miệng có 4 cách.
Chọn một loại nước uống có 3 cách.
Áp dụng quy tắc nhân, có 5.4.3 = 60 cách chọn thực đơn.
Bộ bài tây có 52 lá, trong đó có 4 con át. Rút ra 5 con. Hỏi có bao nhiêu cách để rút được các lá bài trong đó có 1 con át và một con vua?
Số cách lấy 5 con trong đó có 1 con át và 1 con vua là .
Một người có 5 chiếc áo trong đó có
chiếc áo trắng. Người đó cũng có 3 chiếc cà vạt trong đó có 2 chiếc cà vạt màu vàng. Tìm số cách chọn một chiếc áo và một chiếc cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng.
5 chiếc áo gồm: 3 trắng và 2 màu khác.
3 chiếc cà vạt gồm: 2 vàng và 1 màu khác.
Trường hợp 1: Áo trắng, cà vạt màu khác vàng.
Áo trắng: có 3 cách chọn.
Cà vạt màu khác vàng: 1 cách chọn.
Suy ra có: 3.1 = 3 (cách).
Trường hợp 2: Áo màu khác trắng, cà vạt màu bất kì.
Áo màu khác trắng: 2 cách chọn.
Cà vạt màu bất kì: 3 cách chọn.
Suy ra có: 2.3 = 6 (cách).
Vậy có: 3+6 = 9 (cách) chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Tính tổng các hệ số các đơn thức trong khai triển nhị thức Newton
?
Để có tổng các hệ số ta thay ta được:
Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức
?
Ta có .
Để trong khai triển có số hạng là số nguyên thì
.
Ta có mà
. Suy ra có
số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức.
Hệ số lớn nhất trong khai triển
là:
Ta có
Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là .
Số cách xếp 5 học sinh
vào một ghế dài sao cho bạn
ngồi chính giữa là:
Vì C ngồi chính giữa nên ta có 4! = 24 cách sắp xếp
Biểu thức
là khai triển của nhị thức nào dưới đây?
Ta có:
Có 10 quyển sách Toán, 8 quyển sách Lí, 5 quyển sách Văn. Cần chọn ra 8 quyển có ở cả ba môn sao cho số quyển Toán ít nhất là bốn và số quyển Văn nhiều nhất là hai. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Chọn 4 Toán, 2 Văn, 2 Lí có cách.
Chọn 4 Toán, 1 Văn, 3 Lí có cách.
Chọn 5 Toán, 2 Văn, 1 Lí có cách.
Chọn 5 Toán, 1 Văn, 2 Lí có cách.
Chọn 6 Toán, 1 Văn, 1 Lí có cách.
Tổng lại ta được 181440 cách thỏa mãn.
Biết rằng
thỏa mãn biểu thức
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Lại có:
Số số hạng trong khai triển
là:
Số số hạng trong khai triển là: .
Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn văn nghệ, mỗi đội chỉ được trình diễn một vở kịch, một điệu múa và một bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách hương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau?
Đội văn nghệ trên có 2 cách chọn trình diễn một vở kịch, có 3 cách chọn trình diễn một điệu múa, có 6 cách chọn trình diễn một bài hát. Theo quy tắc nhân, đội văn nghệ trên có 2.3.6 = 36cách hương trình diễn.
Cho tập
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5.
Gọi là số cần lập,
có 1 cách chọn, cách chọn
Trường hợp này có 360 số
có một cách chọn, số cách chọn
Trường hợp này có 300 số.
Vậy có số thỏa yêu cầu bài toán.