Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức $\left( \sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5} ight)^{2019}$ ?
- A.
  133.
- B.
  333.
- C.
  135.
- D.
  234.
Ta có $\left( \sqrt[3]{3} + \sqrt[5]{5} ight)^{2019} = \sum_{k = 0}^{2019}{C_{2019}^{k}.\left( \sqrt[3]{3} ight)^{2019 - k}.\left( \sqrt[5]{5} ight)^{k}} = \sum_{k = 0}^{2019}{C_{2019}^{k}.3^{\frac{2019 - k}{3}}.5^{\frac{k}{5}}}$ .

Để trong khai triển có số hạng là số nguyên thì $\left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in N} \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ \frac{2019 - k}{3}\mathbb{\in N} \\ \frac{k}{5}\mathbb{\in N} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in N} \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ 673 - \frac{k}{3}\mathbb{\in N} \\ \frac{k}{5}\mathbb{\in N} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k\mathbb{\in N} \\ 0 \leq k \leq 2019 \\ k \vdots 15 \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có $k \vdots 15 \Rightarrow k = 15m$ mà $0 \leq k \leq 2019 \Leftrightarrow 0 \leq 15m \leq 2019 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 134,6$ . Suy ra có $135$ số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức.
Câu 2: Vận dụng
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ các chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chứa chữ số 2 và chia hết cho 5?
- A.
  19.
- B.
  32.
- C.
  42.
- D.
  23.
Giả sử số đó là $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}}$

Trường hợp 1. $a_{3} = 0$ xếp 2 vào có 2 vị trí, chọn số xếp vào vị trí còn lại có 6 cách nên có 2.6 = 12 số thỏa mãn.

Trường hợp 2. $a_{3} = 5$ . Với $a_{1} = 2$ chọn $a_{2}$ có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn. Với $a_{1} eq 2$ chọn $a_{1}$ có 5 cách chọn, và tất nhiên $a_{2} = 2$ nên có 5 số thỏa mãn. Do đó có $12 + 6 + 5 = 23$ số thỏa mãn.
Câu 3: Nhận biết
Biết rằng khai triển nhị thức Newton $(m + 2)^{n - 3}$ với $n\mathbb{\in N},n > 3;m eq - 2$ có tất cả 6 số hạng. Hãy xác định $n$ ?
- A.
  $n = 10$
- B.
  $n = 9$
- C.
  $n = 8$
- D.
  $n = 11$
Vì trong khai triển nhị thức Newton $(m + 2)^{n - 3}$ đã cho có tất cả 6 số hạng nên $n - 3 = 5 \Rightarrow n = 8$

Vậy n = 8 là giá trị cần tìm.
Câu 4: Thông hiểu
Tìm số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $\left( x - \frac{2}{x} ight)^{n},$ biết $n$ là số tự nhiên thỏa mãn $C_{n}^{3} = \frac{4}{3}n + 2C_{n}^{2}$ .
- A.
  $134$ .
- B.
  $144$ .
- C.
  $115$ .
- D.
  $141$ .
Điều kiện : $n \geq 3,\ n \in \mathbb{Z}$ .

Ta có $C_{n}^{3} = \frac{4}{3}n +2C_{n}^{2} \Leftrightarrow \frac{n!}{3!(n - 3)!} = \frac{4}{3}n +\frac{n!}{(n - 2)!}$

$\Leftrightarrow n(n - 1)(n - 2) = 8n + 6n(n -1)$

$\Leftrightarrow n^{2} - 3n + 2 = 8 + 6n - 6 \Leftrightarrow n^{2} - 9n = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0 \\ n = 9 \\ \end{matrix} ight.$ . Đối chiếu điều kiện ta được $n = 9$ .

Số hạng tổng quát của khai triển $\left( x - \frac{2}{x} ight)^{9},$ là : $C_{9}^{k}x^{9 - k}.\frac{( - 2)^{k}}{x^{k}} = ( - 2)^{k}C_{9}^{k}x^{9 - 2k}$

Số hạng này chứa $x^{5}$ ứng với $9 - 2k = 5 \Leftrightarrow k = 2$ .

Vậy hệ số của số hạng đó là $4.C_{9}^{2} = 144$ .
Câu 5: Nhận biết
Có bao nhiêu cách chọn một học sinh từ nhóm gồm 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ?
- A.
  $35$
- B.
  $300$
- C.
  $150$
- D.
  $70$
Số cách chọn một học sinh trong nhóm học sinh là: 15 + 20 = 35 cách.
Câu 6: Thông hiểu
: Xếp 3 quyển sách Toán, 4 sách Lý, 2 sách Hóa và 5 sách Sinh vào một kệ sách. Tất cả các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp theo từng môn?
- A.
  $829440$ cách
- B.
  $103680$ cách
- C.
  $17280$ cách
- D.
  $207360$ cách
Có 4 bộ sách được sắp 4 vị trí có 4! cách

Sắp xếp 3 quyển sách Toán có 3! cách

Sắp xếp 2 sách Hóa có 2! cách

Sắp xếp 4 quyển sách Lý có 4! cách

Sắp xếp 5 quyển sách Sinh có 5! cách

Vậy số cách sắp xếp số sách trên kệ theo từng môn là: $4!.2!.3!.4!.5! = 829440$ cách.
Câu 7: Nhận biết
Phát biểu nào sau đây đúng?
- A.
  $(a + b)^{5} = a^{5} + 5a^{4}b – 10a^{3}b^{2} + 10a^{2}b^{3} – 5ab^{4} + b^{5}$
- B.
  $(a - b)^{5} = a^{5} - 5a^{4}b + 10a^{3}b^{2} - 10a^{2}b^{3} + 5ab^{4} + b^{5}$
- C.
  $(a + b)^{5} = a^{5} + 5a^{4}b + 10a^{3}b^{2} + 10a^{2}b^{3} + 5ab^{4} + b^{5}$
- D.
  $(a - b)^{5} = a^{5} + 5a^{4}b – 10a^{3}b^{2} + 10a^{2}b^{3} – 5ab^{4} + b^{5}$
Phát biểu đúng là: $(a + b)^{5} = a^{5} + 5a^{4}b + 10a^{3}b^{2} + 10a^{2}b^{3} + 5ab^{4} + b^{5}$
Câu 8: Nhận biết
Cho tập hợp $D$ gồm $x$ phần tử. Số các tổ hợp chập $k$ của $x$ phần tử từ tập hợp $D$ (với $k,x\mathbb{\in N},0 \leq k \leq x$ ) được xác định bởi công thức là:
- A.
  $C_{x}^{k} = \frac{k!(x - k)!}{x!}$
- B.
  $C_{x}^{k} = \frac{x!}{(x - k)!}$
- C.
  $C_{x}^{k} = \frac{x!}{k!(x - k)!}$
- D.
  $C_{x}^{k} = \frac{x!}{k!}$
Số các tổ hợp chập $k$ của $x$ phần tử từ tập hợp $D$ (với $k,x\mathbb{\in N},0 \leq k \leq x$ ) được xác định bởi công thức là: $C_{x}^{k} = \frac{x!}{k!(x - k)!}$ .
Câu 9: Thông hiểu
Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển $\left( x^{2} - \frac{1}{x} ight)^{n}$ biết $A_{n}^{2} - C_{n}^{2} = 105$ .
- A.
  $- 3003$ .
- B.
  $- 5005$ .
- C.
  $5005$ .
- D.
  $3003$ .
Ta có: $A_{n}^{2} - C_{n}^{2} = 105 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} - \frac{n!}{2!(n - 2)!} = 105$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}n(n - 1) = 105$ $\Leftrightarrow n^{2} - n - 210 = 0$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 15 \\ n = - 14\ \ \ (L) \\ \end{matrix} ight.$ .

Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển: $T_{k + 1} = C_{15}^{k}.\left( x^{2} ight)^{15 - k}.\left( - \frac{1}{x} ight)^{k} = C_{15}^{k}.( - 1)^{k}.x^{30 - 3k}$ .

Tìm $30 - 3k = 0 \Leftrightarrow k = 10$ .

Vậy hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $C_{15}^{10}.( - 1)^{10} = 3003$ .
Câu 10: Nhận biết
Cho $A = \left\{ 1,\ 2,\ 3,\ 4 ight\}$ . Từ tập hợp này lập được bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau?
- A.
  $50$ .
- B.
  $24$ .
- C.
  $64$ .
- D.
  $1$ .
Mỗi số tự nhiên tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau được lập từ tập $A$ là hoán vị của $4$ phần tử.

Vậy có $4! = 24$ số cần tìm.
Câu 11: Thông hiểu
Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ , có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n trong đó n gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và tận cùng bằng một chữ số khác 3.
- A.
  $16128$
- B.
  $11760$
- C.
  $13440$
- D.
  $18816$
Gọi $n = \overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$ là số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn $a_{5} \in X\backslash\left\{ 3 ight\}$ có: 8 cách.

Chọn $a_{1} \in X\backslash\left\{ a_{5} ight\}$ có: 8 cách.

Chọn $a_{2} \in X\backslash\left\{ a_{1};a_{5} ight\}$ có: 7 cách.

Chọn $a_{3} \in X\backslash\left\{ a_{1};a_{5};a_{2} ight\}$ có: 6 cách.

Chọn $a_{4} \in X\backslash\left\{ a_{1};a_{5};a_{2};a_{3} ight\}$ có: 5 cách.

Theo quy tắc nhân có: $8.8.7.6.5 = 13440$ số.
Câu 12: Vận dụng
Cho các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 7; 9. Từ các chữ số này, ta lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 10 và nhỏ hơn 5430?
- A.
  114.
- B.
  235.
- C.
  209.
- D.
  125.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd}$ . Vì $\overline{abcd}$ chia hết cho 10 suy ra $d = 0$ .

TH1. Với $a = 5$ , ta có

+ Nếu $b = 4$ suy ra $c = \left\{ 0;1 ight\}$ , do đó có 2 số cần tìm.

+ Nếu $b < 4$ suy ra $b = \left\{ 0;1 ight\}$ và $c = \left\{ 0;1;4;5;6;7;9 ight\}$ , do đó có 14 số cần tìm.

TH2. Với $a < 5 \Rightarrow a = \left\{ 1;4 ight\}$ suy ra có 2 cách chọn a, 7 cách chọn b, 7 cách chọn

C.

Suy ra có $2 \times 7 \times 7 = 98$ số cần tìm. Vậy có tất cả 114 số cần tìm.
Câu 13: Thông hiểu
Một nhóm gồm 15 học sinh nam trong đó có 5 bạn giỏi Toán và 20 học sinh nữ trong đó có 6 bạn giỏi Văn. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh sao cho có đúng 1 học sinh nam giỏi môn Toán và 1 học sinh nữ giỏi môn Văn?
- A.
  $30.C_{26}^{2}$ cách
- B.
  $25.C_{26}^{2}$ cách
- C.
  $2C_{35}^{4}$ cách
- D.
  $C_{26}^{2} + C_{9}^{2}$ cách
Số cách chọn một học sinh nam giỏi Toán và 1 học sinh nữ giỏi Văn là: $C_{5}^{1}.C_{6}^{1} = 30$ (cách)

Chọn 2 học sinh còn lại là: $C_{26}^{2}$ (cách)

Số cách chọn 4 học sinh thỏa mãn là: $30.C_{26}^{2}$ cách.
Câu 14: Nhận biết
Có tất cả bao nhiêu cách xếp $6$ quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách?
- A.
  $7!$ .
- B.
  $6^{6}$ .
- C.
  $6!$ .
- D.
  $6^{5}$ .
Mỗi cách sắp xếp $6$ quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách là một hoán vị của $6$ phần tử. Vậy số cách sáp xếp là $6!$ .
Câu 15: Vận dụng
Cho các số $1,2,3,4,5,6,7$ . Số các số tự nhiên gồm $5$ chữ số lấy từ $7$ chữ số trên sao cho chữ số đầu tiên bằng $3$ là:
- A.
  $7^{5}$ .
- B.
  $7!$ .
- C.
  $240$ .
- D.
  $2401$ .
Gọi số cần tìm có dạng: $\overline{abcde}$ .

Chọn $a$ : có 1 cách $(a = 3)$

Chọn $\overline{bcde}$ : có $7^{4}$ cách

Theo quy tắc nhân, có $1.7^{4} = 2401$ (số).
Câu 16: Nhận biết
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một bàn dài là:
- A.
  $120$ .
- B.
  $36$ .
- C.
  $24$ .
- D.
  $1$ .
Ta có số cách xếp 5 học sinh vào một bàn dài là số các hoán vị của $5$ học sinh đó. Vậy kết quả là: $P_{5} = 5! = 120$ .
Câu 17: Nhận biết

Một lớp học có 33 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách giao 3 chức danh lớp trưởng, lớp phó, bí thư cho 3 sinh viên biết rằng mỗi sinh viên chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 chức danh và sinh viên nào cũng có thể đảm nhận chức danh?

Đáp án: 32736

Đáp án là:

Một lớp học có 33 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách giao 3 chức danh lớp trưởng, lớp phó, bí thư cho 3 sinh viên biết rằng mỗi sinh viên chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 chức danh và sinh viên nào cũng có thể đảm nhận chức danh?

Đáp án: 32736

Chọn 1 sinh viên làm lớp trưởng có 33 cách

Chọn 1 sinh viên làm lớp phó có 32 cách

Chọn 1 sinh viên làm bí thư có 31 cách

Có $33.32.31 = 32736$ cách
Câu 18: Thông hiểu
Giải phương trình $C_{n}^{2} + 2C_{n}^{1} + C_{n}^{0} = 78$ . Kết luận nào sau đây đúng?
- A.
  n là số chính phương.
- B.
  n là số nguyên tố.
- C.
  n là số chẵn.
- D.
  n là số chia hết cho 3.
Điều kiện: $n \geq 2,n\mathbb{\in N}$

Ta có:

$C_{n}^{2} + 2C_{n}^{1} + C_{n}^{0} = 78$

$\Leftrightarrow \frac{n!}{2!(n - 2)!} + 2.\frac{n!}{1!(n - 1)!} + \frac{n!}{0!(n - 0)!} = 78$

$\Leftrightarrow \frac{n(n - 1)(n - 2)!}{2!(n - 2)!} + 2.\frac{n(n - 1)!}{1!(n - 1)!} + \frac{n!}{n!} = 78$

$\Leftrightarrow \frac{n(n - 1)}{1} + 2n + 1 = 78$

$\Leftrightarrow n^{2} - n + 4n + 2 = 156$

$\Leftrightarrow n^{2} + 3n - 154 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 11(TM) \\ n = - 14(L) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy kết luận đúng là: n là số nguyên tố.
Câu 19: Vận dụng
Từ các số $1,2,3$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và mỗi số có các chữ số khác nhau?
- A.
  $15$ .
- B.
  $20$ .
- C.
  $72$ .
- D.
  $36$ .
TH1: số có 1 chữ số thì có 3 cách.

TH2: số có 2 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì có $3.2 = 6$ số.

TH3: số có 3 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì có $3.2.1 = 6$ số

Vậy có $3 + 6 + 6 = 15$ số.
Câu 20: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển nhị thức Newton $\left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4} ight)^{5}$ ?
- A.
  $3$
- B.
  $- \frac{5}{27}$
- C.
  $6$
- D.
  $\frac{5}{27}$
Ta có:

$\left( \frac{2}{3}x + \frac{1}{4} ight)^{5} = \frac{32}{243}x^{5} + \frac{20}{81}x^{4} + \frac{5}{27}x^{3} + \frac{5}{72}x^{2} + \frac{3}{384}x + \frac{1}{1024}$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển nhị thức là: $\frac{5}{27}$ .

32 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!