Khai triển nhị thức
ta được kết quả là:
Ta có: .
Khai triển nhị thức
ta được kết quả là:
Ta có: .
Tính tổng các hệ số trong khai triển
.
Xét khai triển
Tổng các hệ số trong khai triển là:
Cho ta có:
Biết
là số nguyên dương thỏa mãn
, số hạng chứa
trong khai triển
là:
Ta có:
(vì
là số nguyên dương).
Số hạng tổng quát trong khai triển là:
.
Cho .
Vậy số hạng chứa trong khai triển
là
.
Cho tập
. Hỏi từ B lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
Gọi số cần tìm là số dạng . Vì
chia hết cho 3 suy ra
.
Khi đó bộ .
Với bộ suy ra có
số cần tìm.
Tương tự với các bộ số còn lại.
Một nhóm học sinh gồm
học sinh nam và
học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp
học sinh trên thành
hàng dọc sao cho nam nữ đứng xen kẽ?
Xếp học sinh nam thành hàng dọc có
cách xếp.
Giữa học sinh nam có
khoảng trống ta xếp các bạn nữ vào vị trí đó nên có
cách xếp.
Theo quy tắc nhân có cách xếp thoả mãn.
Cho tập
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5.
Vì lẻ và không chia hết cho 5 nên
có 3 cách chọn
Số các chọn các chữ số còn lại là:
Vậy số thỏa yêu cầu bài toán.
Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số
.
Gọi .
Cách 1: Tính trực tiếp
Vì là số chẵn nên
.
TH 1: có 1 cách chọn
.
Với mỗi cách chọn ta có 6 cách chọn
Với mỗi cách chọn ta có 5 cách chọn
Với mỗi cách chọn ta có
cách chọn
Suy ra trong trường hợp này có số.
TH 2: có 4 cách chọn d
Với mỗi cách chọn , do
nên ta có 5 cách chọn
.
Với mỗi cách chọn ta có 5 cách chọn
Với mỗi cách chọn ta có
cách chọn
Suy ra trong trường hợp này có số.
Vậy có tất cả số cần lập.
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho năm người gồm 3 nam và 2 nữ vào năm cái ghế xếp thành một dãy nếu hai nữ ngồi ở đầu và cuối dãy ghế?
2 nữ ngồi ở đầu và cuối dãy ghế có 2! cách.
3 nam ngồi ở 3 ghế giữa có 3! cách.
Vậy có cách xếp.
Thực hiện khai triển nhị thức Newton
ta được kết quả là:
Ta có:
Cho các chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số lập thành từ các chữ số đã cho là
Số tự nhiên có ba chữ số có dạng
Do số tự nhiên được tạo thành là số chẵn =>
=> c có 4 cách chọn
a có 8 cách chọn
b có 8 cách chọn
=> Số các số được tạo thành là 4.8.8 = 256 số
Tại khu vực giá sách tham khảo lớp 11 có 20 sách tham khảo môn Toán khác nhau, 40 sách tham khảo môn Vật lý khác nhau và 50 quyển sách tham khảo môn Hóa học khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một quyển sách trên giá sách?
Số cách chọn sách Toán là 20 cách.
Số cách chọn sách Vật lí là 40 cách.
Số cách chọn sách Hóa học là 50 cách.
Vậy để chọn một cuốn sách trên giá sách ta có 20 + 40 + 50 = 110 cách chọn.
Từ các chữ số
có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương
và gồm các chữ số đôi một khác nhau.
Trường hợp 1: n gồm ba chữ số.
Gọi .
Để n > 800 và gồm các chữ số đôi một khác nhau thì
a có 2 lựa chọn là
b có 4 lựa chọn vì phải khác a
c có 3 lựa chọn vì phải khác a; b
Vậy có số.
Trường hợp 2: n gồm bốn chữ số. Thỏa mãn n > 800.
Để n gồm các chữ số đôi một khác nhau thì có thỏa mãn.
Trường hợp 3: n gồm năm chữ số. Thỏa mãn n > 800.
Để n gồm các chữ số đôi một khác nhau thì có thỏa mãn.
Vậy có số n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho đa giác đều
nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong
của đa giác gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong
đỉnh của đa giác. Tìm
.
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm là
Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm
Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.
Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là
Theo giả thiết ta có:
Vậy .
Có 3 cây bút đỏ, 4 cây bút xanh trong một hộp bút. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một cây bút từ hộp bút?
Số cách lấy ra 1 cây bút là màu đỏ có 3 cách.
Số cách lấy ra 1 cây bút là màu xanh có 4 cách.
Theo quy tắc cộng, số cách lấy ra 1 cây bút từ hộp bút là: 3 + 4 = 7 cách.
Vậy có 7 cách lấy 1 cây bút từ hộp bút.
Xếp
chữ số
,
,
,
,
,
thành hàng ngang sao cho hai chữ số giống nhau thì không xếp cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy?
Số cách xếp sáu chữ số thành hàng một cách tùy ý là .
*) Tìm số cách xếp sáu chữ số sao cho có hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau
+) TH1: Số cách xếp sao cho có hai chữ số đứng cạnh nhau
.
+) TH2: Số cách xếp sao cho có hai chữ số đứng cạnh nhau
.
+) TH3: Số cách xếp sao cho có hai chữ số đứng cạnh nhau và hai chữ số
đứng cạnh nhau
-) Nếu hai chữ số ở vị trí
và
ta có số cách xếp là
.
-) Nếu hai chữ số ở ba vị trí còn lại thì số các xếp là
.
Vậy số cách xếp hai chữ số giống nhau đứng cạnh nhau là .
Số cách xếp không có hai chữ số giống nhau nào đứng cạnh nhau là
.
Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2023 tại một điểm thi có
sinh viên tình nguyện được phân công trục hướng dẫn thí sinh ở
vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng
sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công vị trí trực cho
người đó?
Mỗi cách xếp sinh viên vào
vị trí thỏa đề là một hoán vị của
phần tử.
Suy ra số cách xếp là cách.
Giá trị của
thoả mãn phương trình
là:
Điều kiện: .
Thay vào phương trình, ta được:
(2 vế bằng nhau). Do đó
là nghiệm của phương trình.
Cho
là số nguyên dương thỏa mãn
. Tìm hệ số của số hạng chứa
của khai triển biểu thức
.
.
Khi đó .
Công thức số hạng tổng quát: .
Số hạng chứa .
Vậy hệ số của số hạng chứa trong khai triển là
.
Tính số chỉnh hợp chập 2 của 5 là:
Số chỉnh hợp chập 2 của 5 là: .
Tìm hệ số của số hạng chứa
trong khai triển nhị thức
, (biết
).
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức .
.
chứa
.
Vậy hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức
bằng:
.