Trong khai triển nhị thức Newton của
, số hạng thứ hai theo số mũ tăng dần của biến
là:
Ta có:
Trong khai triển nhị thức Newton của
, số hạng thứ hai theo số mũ tăng dần của biến
là:
Ta có:
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đó đều lẻ?
- Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần lập thỏa mãn yêu cầu bài toán là (a, b ∈ {1;3;5;7;9})
+ a: có 5 cách chọn
+ b: có 5 cách chọn.
Dó đó có: 5 x 5 = 25 cách lập số có 2 chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ.
Khai triển nhị thức Niu-tơn của
có bao nhiêu số hạng?
Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn có
số hạng.
Vậy trong khai triển nhị thức Niu-tơn của có
số hạng.
Từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và số đó không lớn hơn 456?
Ta có: là số cần tìm.
Trường hợp 1:
Chọn a ∈ {1; 2; 3}: 3 cách.
Chọn : 5 cách.
Chọn : 4 cách.
⇒ Có số.
Trường hợp 2:
Chọn a = 4: 1 cách.
Chọn b ∈ {1; 2; 3}: 3 cách.
Chọn : 4 cách.
⇒ Có: 1.3.4 = 12 số.
Trường hợp 3:
Chọn a = 4: 1 cách.
Chọn b = 5: 1 cách.
Chọn : 4 cách.
⇒ Có: 1.1.4 = 4 số.
Từ (1); (2); (3) có số thoả yêu cầu bài toán.
Tìm hệ số của
trong khai triển
với
biết
là số nguyên dương thỏa mãn ![]()
Đk:
Với , nhị thức trở thành
Số hạng tổng quát là
Từ yêu cầu bài toán ta cần có:
Vậy hệ số của số hạng chứa là
.
Khối lớp 11 có 300 học sinh nam và 250 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn hai học sinh làm đại diện cho khối 11 trong đó có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ. Số cách chọn là:
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ là:
cách chọn.
Từ một hộp chứa 5 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vành, chọn ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số cách chọn để 4 viên bi lấy ra có số bi đỏ bằng số bi vàng?
Th1: Chọn 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh có: cách
Th2: Chọn 2 bi đỏ và 2 bi vàng có: cách
Vậy số cách chọn 4 viên bi sao cho số bi đỏ bằng số bi vàng là 63 cách.
Từ các số
,
,
,
,
. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
chữ số khác nhau đôi một?
Mỗi cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một hoán vị của 5 phần tử.
Vậy có số cần tìm.
Cho khai triển
. Tìm hệ số
biết rằng ![]()
Ta có . Vậy
;
;
.
Theo bài ra nên ta có:
(thỏa mãn) hoặc
(loại).
Từ đó ta có .
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8. Hỏi lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau, chia hết cho 2 và 3?
Chữ số cuối cùng bằng 0; các cặp số có thể xảy ra là .
Trường hợp này có 2!.6 số.
Chữ số cuối bằng 2 ta có các bộ , hoán vị được
số.
Chữ số cuối bằng 4 ta có các bộ , hoán vị được
số.
Chữ số cuối bằng 8 ta có các bộ , hoán vị được
số.
Kết hợp lại ta có 35 số.
Một hộp có 5 bi đỏ và 4 bi vàng. Số cách lấy ra hai viên bi từ hộp là:
Số cách lấy 2 viên bi từ 9 viên bi là: (cách).
Cho tập hợp các chữ số
. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau là:
Mỗi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập hợp B là chỉnh hợp chập 3 của 5 nghĩa.
Suy ra có thể lập được số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho đa giác đều
nội tiếp đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong
của đa giác gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong
đỉnh của đa giác. Tìm
.
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm là
Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm
Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.
Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là
Theo giả thiết ta có:
Vậy .
Dãy
trong đó mỗi kí tự
chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 được gọi là dãy nhị phân 10 bit. Hỏi có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit trong đó có ít nhất ba kí tự 0 và ít nhất ba kí tự 1?
Trường hợp 1: dãy nhị phân có ba kí tự 0 và bảy kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Trường hợp 2: dãy nhị phân có bốn kí tự 0 và sáu kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Trường hợp 3: dãy nhị phân có năm kí tự 0 và năm kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Trường hợp 4: dãy nhị phân có sáu kí tự 0 và bốn kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Trường hợp 5: dãy nhị phân có bảy kí tự 0 và ba kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Vậy có dãy nhị phân 10 bit thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Một đội cổ động viên gồm có 3 người mặc áo vàng, 4 người mặc áo đỏ, 5 người mặc áo xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 người sao cho luôn có 2 màu áo khác nhau.
Trường hợp 1: 1 áo vàng + 1 áo đỏ
Có: (cách).
Trường hợp 2: 1 áo đỏ + 1 áo xanh
Có: (cách).
Trường hợp 3: 1 áo xanh + 1 áo vàng
Có: (cách)
Vậy có (cách).
Cho tập hợp
, lấy ngẫu nhiên 1 chữ số. Các kết quả thuận lợi cho C “biến cố lấy được chữ số lẻ” là:
Các kết quả thuận lợi cho biến cố lấy được chữ số lẻ là:
Cho tập hợp
gồm
phần tử. Số các hoán vị của
phần tử của tập hợp
là bao nhiêu?
Số các hoán vị của phần tử:
.
Tính tổng các hệ số trong khai triển
.
Xét khai triển
Tổng các hệ số trong khai triển là:
Cho ta có:
Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5?
Có 120 số có 5 chữ số được lập từ 5 chữ số đã cho.
Bây giờ ta xét vị trí của một chữ số trong 5 số 1, 2, 3, 4, 5 chẳng hạn ta xét số 1. Số 1 có thể xếp ở 5 vị trí khác nhau, mỗi vị trí có 4!=24 số nên khi ta nhóm các các vị trí này lại có tổng là : .
Vậy tổng các số có 5 chữ số là : .
Hệ số của số hạng chứa
trong khai triển nhị thức
(với
) là:
Số hạng tổng quát của khai triển (với
) là:
.
Số hạng trên chứa suy ra
.
Vậy hệ số của số hạng chứa trong khai triển trên là
.