Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Phát biểu nào sau đây đúng?
- A.
  $(a + b)^{5} = a^{5} + 5a^{4}b – 10a^{3}b^{2} + 10a^{2}b^{3} – 5ab^{4} + b^{5}$
- B.
  $(a - b)^{5} = a^{5} - 5a^{4}b + 10a^{3}b^{2} - 10a^{2}b^{3} + 5ab^{4} + b^{5}$
- C.
  $(a + b)^{5} = a^{5} + 5a^{4}b + 10a^{3}b^{2} + 10a^{2}b^{3} + 5ab^{4} + b^{5}$
- D.
  $(a - b)^{5} = a^{5} + 5a^{4}b – 10a^{3}b^{2} + 10a^{2}b^{3} – 5ab^{4} + b^{5}$
Phát biểu đúng là: $(a + b)^{5} = a^{5} + 5a^{4}b + 10a^{3}b^{2} + 10a^{2}b^{3} + 5ab^{4} + b^{5}$
Câu 2: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Từ các phần tử của tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn?
- A.
  $26880$
- B.
  $37800$
- C.
  $34200$
- D.
  $27360$
Vì trong 6 chữ số khác nhau không có hai chữ số nào cùng chẵn nên có ít nhất 3 chữ số lẻ

TH1: Chọn 1 chữ số chẵn và 5 chữ số lẻ có: $4.6! + 5.5! = 3480$

TH2: Chọn 2 chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ có: $A_{5}^{4}.4.4.4 + A_{5}^{4}.6.A_{5}^{3} = 22080$

TH3: Chọn 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ có: $A_{5}^{3}.3.4.A_{4}^{2} + A_{5}^{3}.A_{5}^{3} = 12240$

Vậy số các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn là: $3480 + 22080 + 12240 = 37800$ (số).
Câu 3: Nhận biết
Kết quả của phép tính $C_{6}^{2}-C_{6}^{3}$ là:
- A.
  5
- B.
  -5
- C.
  6
- D.
  -6
Ta có: $C_{6}^{2}-C_{6}^{3} =-5$ .
Câu 4: Thông hiểu
Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng (2000; 3000) có thể tạo nên bằng các chữ số $1,2,3,4,5,6$ nếu các chữ số khác nhau?
- A.
  $36$
- B.
  $48$
- C.
  $57$
- D.
  $40$
Gọi số tự nhiên trong khoảng $(2000;3000)$ có dạng $\overline{2abc}$

Vì là số tự nhiên lẻ nên c có 3 lựa chọn là $\left\{ 1;3;5 ight\}$

a có 4 lựa chọn vì khác 2 và c

b có 3 lựa chọn vì khác 2 và c, a.

Vậy có $3.4.3 = 36$ số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5: Thông hiểu
Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau từ tập hợp $F = \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7;8;9 ight\}$ và không vượt quá $2023$ ?
- A.
  $511$
- B.
  $425$
- C.
  $402$
- D.
  $494$
TH1: Số cần tìm có dạng $\overline{201d}$

Chữ số d có 7 cách chọn là một trong các chữ số $\left\{ 3,4,5,6,7;8;9 ight\}$ .

Suy ra có 7 số thỏa mãn.

TH2: Số cần tìm có dạng $\overline{abcd};(a = 1)$

3 vị trí còn lại có $A_{5}^{3} = 504$ cách chọn

Suy ra có 504 số thỏa mãn

Kết hợp cả hai trường hợp ta có: 504 + 7 = 511 số được tạo thành thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 6: Thông hiểu
Có 3 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bạn gồm cả nam và nữ đi trực nhật.
- A.
  10
- B.
  84
- C.
  18
- D. 21
Trường hợp 1: 2 nam + 1 nữ
Có $C_3^2.C_7^1 = 21$ cách.
Trường hợp 2: 1 nam + 2 nữ
Có $C_3^1.C_7^2 = 63$ cách.
Vậy có $21+63=84$ cách.
Câu 7: Vận dụng
Cho các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 7; 9. Từ các chữ số này, ta lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 10 và nhỏ hơn 5430?
- A.
  114.
- B.
  235.
- C.
  209.
- D.
  125.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd}$ . Vì $\overline{abcd}$ chia hết cho 10 suy ra $d = 0$ .

TH1. Với $a = 5$ , ta có

+ Nếu $b = 4$ suy ra $c = \left\{ 0;1 ight\}$ , do đó có 2 số cần tìm.

+ Nếu $b < 4$ suy ra $b = \left\{ 0;1 ight\}$ và $c = \left\{ 0;1;4;5;6;7;9 ight\}$ , do đó có 14 số cần tìm.

TH2. Với $a < 5 \Rightarrow a = \left\{ 1;4 ight\}$ suy ra có 2 cách chọn a, 7 cách chọn b, 7 cách chọn

C.

Suy ra có $2 \times 7 \times 7 = 98$ số cần tìm. Vậy có tất cả 114 số cần tìm.
Câu 8: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 0,1,2,3,4,5,6 ight\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5.
- A.
  660
- B.
  432
- C.
  679
- D.
  523
Gọi $x = \overline{abcde}$ là số cần lập, $e \in \left\{ 0,5 ight\},a eq 0$

$\bullet e = 0 \Rightarrow e$ có 1 cách chọn, cách chọn $a,b,c,d:6.5.4.3$

Trường hợp này có 360 số

$e = 5 \Rightarrow e$ có một cách chọn, số cách chọn $a,b,c,d:5.5.4.3 = 300$

Trường hợp này có 300 số.

Vậy có $660$ số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 9: Vận dụng
Cho $6$ chữ số $2,3,4,5,6,7$ số các số tự nhiên chẵn có $3$ chữ số lập thành từ $6$ chữ số đó:
- A.
  $36$ .
- B.
  $18$ .
- C.
  $256$ .
- D.
  $108$ .
Gọi số tự nhiên có $3$ chữ số cần tìm là: $\overline{abc},\ a eq 0$ , khi đó:

$c$ có $3$ cách chọn

$a$ có $6$ cách chọn

$b$ có $6$ cách chọn

Vậy có: $3.6.6 = 108$ số.
Câu 10: Thông hiểu
Giả sử rằng:

$(1 + x)\left( 1 + x + x^{2} ight)$

$= (1 + 1)\left( 1 + 1 + 1^{2} ight)...\left( 1 + 1 + 1^{2} + ... + 1^{n} ight)$

$= m_{0} + m_{1}x + m_{2}x^{2} + ... + m_{a}x^{a}$

Hãy tính $\sum_{i = 0}^{a}m_{i}$ ?
- A.
  $n$
- B.
  $n!$
- C.
  $1$
- D.
  $(n + 1)!$
Ta có:

$\sum_{i = 0}^{a}m_{i} = (1 + 1)\left( 1 + 1 + 1^{2} ight)...\left( 1 + 1 + 1^{2} + ... + 1^{n} ight)$

$= 2.3.4.....(n + 1) = (n + 1)!$
Câu 11: Thông hiểu
Cho đa giác đều có tất cả 12 cạnh. Hỏi đa giác có bao nhiêu đường chéo?
- A.
  $45$
- B.
  $54$
- C.
  $66$
- D.
  $78$
Từ 12 đỉnh của đa giác đều, ta xác định được $C_{12}^{2} = 66$ đoạn thẳng.

Vậy đa giác đều có tất cả $66 - 12 = 54$ đường chéo.
Câu 12: Nhận biết
Từ các chữ số 1; 2; 3; 5; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau.
- A.
  36
- B.
  60
- C.
  120
- D.
  144
Gọi số cần lập có dạng $\overline {ABC}$ .
A: có 5 cách chọn.
B: có 4 cách chọn.
C: có 3 cách chọn.
Vậy có 5.4.3 = 60 (số) có 3 chữ số đôi một khác nhau.
Câu 13: Nhận biết
Có bao nhiêu cách sắp xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc?
- A.
  $5$ .
- B.
  $5!$ .
- C.
  $10$ .
- D.
  $5^{2}$ .
Số cách sắp xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc là $5!$ .
Câu 14: Nhận biết
Tìm số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển $\left( x - \frac{1}{x} ight)^{13}$ .
- A.
  $- C_{13}^{2}$ .
- B.
  $- C_{13}^{3}x^{7}$ .
- C.
  $- C_{13}^{4}x^{4}$ .
- D.
  $- C_{13}^{5}$ .
Ta có công thức của số hạng tổng quát:

$T_{k + 1} = C_{13}^{k}x^{13 - k}.\left( - \frac{1}{x} ight)^{k} = C_{13}^{k}x^{13 - k}( - 1)^{k}x^{- k} = C_{13}^{k}.( - 1)^{k}x^{13 - 2k}$

Số hạng chứa $x^{7}$ khi và chỉ khi $13 - 2k = 7 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển là $- C_{13}^{3}x^{7}$ .
Câu 15: Nhận biết
Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số từ tập hợp các chữ số $M = \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\}$ ?
- A.
  $6^{4}$
- B.
  $360$
- C.
  $4^{6}$
- D.
  $4^{4}$
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là: $\overline{abcd};(a eq 0)$ .

Mỗi chữ số có 6 cách chọn.

Mà số cần lập gồm 4 chữ số nên theo quy tắc nhân có thể lập được $6^{4}$ số.
Câu 16: Nhận biết
Cho hai số tự nhiên $k,x$ sao cho $0 \leq k \leq n$ . Chọn khẳng định đúng sau đây?
- A.
  $C_{x}^{k} = \frac{x!}{k!(x - k)!}$
- B.
  $A_{x}^{k} = \frac{x!}{k!(x - k)!}$
- C.
  $C_{x}^{k} = \frac{k!(x - k)!}{x!}$
- D.
  $A_{x}^{k} = \frac{k!(x - k)!}{x!}$
Khẳng định đúng là: $C_{x}^{k} = \frac{x!}{k!(x - k)!}$ .
Câu 17: Thông hiểu
Cho biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển $(1 + 2x)^{n}$ bằng $180$ .Tìm $n$ .
- A.
  $n = 8$ .
- B.
  $n = 12$ .
- C.
  $n = 14$ .
- D.
  $n = 10$ .
Ta có: $T_{k + 1} = C_{n}^{k}.2^{k}x^{k}.$ .

Hệ số của $x^{2}$ trong khai triển bằng $180$

$C_{n}^{2}.2^{2} = 180 \Leftrightarrow\frac{n!}{(n - 2).2}.2^{2} = 180 \Leftrightarrow n(n - 1) = 90$

$\Leftrightarrow n^{2} - n - 90 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}n = 10 \ = - 9(l) \\\end{matrix} ight.$
Câu 18: Nhận biết
Tìm hệ số $h$ của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $\left( x^{2} + \frac{2}{x} ight)^{7}$ .
- A.
  $h = 184$ .
- B.
  $h = 762$ .
- C.
  $h = 650$ .
- D.
  $h = 280$ .
Ta có: $\left( x^{2} + \frac{2}{x} ight)^{7} = {\sum_{k = 0}^{7}{C_{7}^{k}\left( x^{2} ight)^{k}\left( \frac{2}{x} ight)}}^{7 - k} = \sum_{k = 0}^{7}{C_{7}^{k}.2^{7 - k}.x^{3k - 7}}$

Ta có: $3k - 7 = 5$ , suy ra $k = 4.$

Vậy hệ số $h$ của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $\left( x^{2} + \frac{2}{x} ight)^{7}$ là $h = C_{7}^{4}.2^{3} = 280.$
Câu 19: Vận dụng
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{6}$ trong khai triển $\left( 2x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{n}(x eq 0)$ , biết rằng $\frac{2}{C_{n}^{2}} + \frac{14}{3C_{n}^{3}} = \frac{1}{n}$ $\left( C_{n}^{k} ight.$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử).
- A.
  326592.
- B.
  344657.
- C.
  123676.
- D.
  987123.
Xét phương trình $\frac{2}{C_{n}^{2}} + \frac{14}{3C_{n}^{3}} = \frac{1}{n}$ $(1)$

Điều kiện: $n \geq 3,\ n\mathbb{\in N}$

$(1) \Leftrightarrow \frac{2.(n - 2)!.2!}{n!} + \frac{14(n - 3)!.3!}{3.n!} = \frac{1}{n} \Leftrightarrow \frac{4}{n(n - 1)} + \frac{28}{n(n - 1)(n - 2)} = \frac{1}{n}$

$\Leftrightarrow \frac{4}{n - 1} +\frac{28}{(n - 1)(n - 2)} = 1 \Leftrightarrow 4(n - 2) + 28 = (n - 1)(n- 2)$

$\Leftrightarrow n^{2} - 7n - 18 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}n = 9 \ = - 2\ (l) \\\end{matrix} ight.$

Với $n = 9$ ta có: $\left( 2x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{9} = \sum_{k = 0}^{9}{C_{9}^{k}.}\left( 2x^{2} ight)^{9 - k}.\left( - \frac{3}{x} ight)^{k} = \sum_{k = 0}^{9}{C_{9}^{k}.}2^{9 - k}.( - 3)^{k}.x^{18 - 3k}$

Số hạng tổng quát của khai triển là $C_{9}^{k}.2^{9 - k}.( - 3)^{k}.x^{18 - 3k}$

Cho $18 - 3k = 6 \Rightarrow k = 4 \Rightarrow$ hệ số của số hạng chứa $x^{6}$ trong khai triển là $C_{9}^{4}.2^{5}.( - 3)^{4} = 326592$ .
Câu 20: Nhận biết
Từ các chữ số $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $5$ chữ số đôi một khác nhau?
- A.
  $120$ .
- B.
  $520$ .
- C.
  $20$ .
- D.
  $32$ .
Mỗi số tự nhiên gồm $5$ chữ số khác nhau được lập từ các số $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ là một hoán vị của $5$ phần tử đó. Nên số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là $P_{5} = 5!$ $= 120$ (số).

50 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20

Chưa làm Đã làm