Cho tập hợp 
. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số thuộc tập hợp ?
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là:
TH1: d = 0 => d có 1 cách.
Số cách chọn a, b, c lần lượt là 5, 4, 3
=> Số các số tạo thành là: 1.5.4.3 = 60 (số)
TH2: => Chữ số d có 2 cách chọn.
=> Chữ số a có 4 cách.
=> Số cách chọn b, c lần lượt là 4, 3 cách.
=> Số các số tạo thành là: 2.4.4.3 = 96 (số)
Vậy có tất cả 60 + 96 = 156 (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho biết hệ số của trong khai triển bằng .Tìm .
Ta có: .
Hệ số của trong khai triển bằng
Số hạng chứa trong khai triển là:
Số hạng thứ trong khai triển
là:
.
Số hạng chứa trong khai triển
tương ứng với:
.
Vậy số hạng chứa trong khai triển
là:
.
Khai triển biểu thức ta thu được kết quả:
Ta có:
Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả 3 khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
TH1. Có đúng 1 học sinh khối 10: (cách). (1 lớp 10 + 5 lớp 11 + 4 lớp 12 hoặc 1 lớp 10 + 5 lớp 12 + 4 lớp 11)
TH2. Có đúng 2 học sinh khối 10: (cách).
Có
cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số Tính tổng tất cả các số thuộc tập
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ là
số.
Vì vai trò các chữ số như nhau nên mỗi chữ số xuất hiện ở hàng đơn vị là
lần.
Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là .
Tương tự thì mỗi lần xuất hiện ở các hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn của mỗi chữ số là 24 lần.
Vậy tổng các số thuộc tập là
.
Thầy giáo chủ nhiệm có 10 quyển sách khác nhau và 8 quyển vở khác nhau. Thầy chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau?
Chọn một quyển sách có 10 cách chọn.
Chọn một quyển vở có 8 cách chọn.
Áp dụng quy tắc cộng có 18 cách chọn ra một quyển sách hoặc một quyển vở để tặng cho học sinh giỏi.
Tìm số hạng chứa trong khai triển .
Ta có công thức của số hạng tổng quát:
Số hạng chứa khi và chỉ khi
.
Vậy số hạng chứa trong khai triển là
.
Có 3 cây bút đỏ, 4 cây bút xanh trong một hộp bút. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một cây bút từ hộp bút?
Số cách lấy ra 1 cây bút là màu đỏ có 3 cách.
Số cách lấy ra 1 cây bút là màu xanh có 4 cách.
Theo quy tắc cộng, số cách lấy ra 1 cây bút từ hộp bút là: 3 + 4 = 7 cách.
Vậy có 7 cách lấy 1 cây bút từ hộp bút.
Có 3 cây bút đỏ, 4 cây bút xanh trong một hộp bút. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một cây bút từ hộp bút?
Số cách lấy ra 1 cây bút là màu đỏ có 3 cách.
Số cách lấy ra 1 cây bút là màu xanh có 4 cách.
Theo quy tắc cộng, số cách lấy ra 1 cây bút từ hộp bút là: 3 + 4 = 7 cách.
Vậy có 7 cách lấy 1 cây bút từ hộp bút.
Tổng hệ số của và trong khai triển là:
Ta có: .
Tổng hệ số của và
bằng
.
Sắp xếp 5 bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Đếm số cách sắp xếp thỏa mãn bạn An và bạn Dũng không ngồi cạnh nhau?
+) Xếp bạn vào
chỗ ngồi có
cách.
+) Xếp An và Dũng ngồi cạnh nhau có cách. Xem An và Dũng là
phần tử cùng với
bạn còn lại là
phần tử xếp vào
chỗ. Suy ra số cách xếp
bạn sao cho An và Dũng luôn ngồi cạnh nhau là.
cách.
Vậy số cách xếp bạn vào
ghế sao cho An và Dũng không ngồi cạnh nhau là.
.
Cho là số tự nhiên thỏa mãn phương trình . Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ( với ).
Điều kiện và
.
(Vì
).
Khi đó ta có khai triển: .
Số hạng tổng quát của khai triển là .
Hệ số của số hạng chứa ứng với
thỏa mãn:
.
Vậy hệ số của số hạng chứa là:
.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số?
Gọi số thỏa mãn đề bài có dạng .
Vị trí A: có 9 cách chọn từ 1 đến 9 (bỏ số 0).
Vị trí B: có 10 cách chọn từ 0 đến 9.
Vị trí C: có 10 cách chọn từ 0 đến 9.
Áp dụng quy tắc nhân, có 9.10.10 = 900 (số).
Tìm số tự nhiên thỏa
Điều kiện: .
Ta có:
Vậy .
Dãy trong đó mỗi kí tự chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 được gọi là dãy nhị phân 10 bit. Hỏi có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit trong đó có ít nhất ba kí tự 0 và ít nhất ba kí tự 1?
Trường hợp 1: dãy nhị phân có ba kí tự 0 và bảy kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Trường hợp 2: dãy nhị phân có bốn kí tự 0 và sáu kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Trường hợp 3: dãy nhị phân có năm kí tự 0 và năm kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Trường hợp 4: dãy nhị phân có sáu kí tự 0 và bốn kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Trường hợp 5: dãy nhị phân có bảy kí tự 0 và ba kí tự 1.
Khi đó có dãy nhị phân 10 bit.
Vậy có dãy nhị phân 10 bit thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đếm số tập con gồm phần tử được lấy ra từ tập ?
Mỗi tập con tập gồm phần tử được lấy ra từ tập
có
phần tử là một tổ hợp chập
của
phần tử.
Vậy số tập con gồm phần tử của
là
tập con.
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ.
Vì chữ số đứng đầu chẵn nên có
cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên
có 4 cách chọn. Các số còn lại có
cách chọn
Vậy có số thỏa yêu cầu bài toán.
Trong phòng thi có hai dãy ghế đối diện nhau qua một cái bàn dài, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 nam sinh và 6 nữ sinh vào hai dãy ghế này. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho bất cứ 2 người nào ngồi cạnh nhau cũng đều khác giới và bất cứ 2 người nào ngồi đối diện nhau cũng đều khác giới?
Giả sử gọi 2 dãy ghế là dãy A và dãy B.
Dãy A các ghế đánh số từ 1 đến 6, dãy B các ghế đánh số từ 7 đến 12
Chọn một bạn để xếp vào vị trí ghế số 1 có 12 cách.
Chọn một bạn để xếp vào vị trí ghế số 7 để khác giới với bạn vị trí ghế số 1 có 6 cách.
Chọn một bạn để xếp vào vị trí ghế số 2 có 10 cách.
Chọn một bạn để xếp vào vị trí ghế số 8 để khác giới với bạn vị trí ghế số 1 có 5 cách.
Cứ tuân theo cách xếp như vậy, ta có số cách xếp là:
Tổng số nguyên dương n thỏa mãn là:
Điều kiện. .
hoặc
.
Vậy tổng số nguyên dương n bằng 11.
