Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
Học sinh nam có 280 cách chọn
Học sinh nữ có 325 cách chọn
Chọn một học sinh khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố thì có cách.
Một chiếc hộp chứ 5 quả cầu trắng và 6 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên đồng thời ba quả trong hộp, biết rằng các quả cầu có kích thước và khối lượng như nhau. Hỏi có bao nhiêu cách lấy được đồng thời 3 quả cầu sao cho 3 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả cầu trắng?
Trường hợp 1: 1 quả trắng và 2 quả đỏ.
Số cách lấy là
Trường hợp 2: 2 quả trắng và 1 quả đỏ.
Số cách lấy là
Trường hợp 3: 3 quả trắng.
Số cách lấy là
Do vậy số cách lấy ngẫu nhiên 3 quả cầy trong hộp sao cho trong 3 quả cầu lấy ra có ít nhất 1 quả cầu trắng là: 75 + 60 + 10 = 145 (cách)
Trong khai triển nhị thức Newton của 
, số hạng thứ hai theo số mũ tăng dần của biến là:
Ta có:
Hệ số của trong khai triển bằng:
Ta có:
Hệ số của x3 trong khai triển là:
=> Hệ số của trong khai triển
bằng: 3 + 10 = 13
Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Newton ?
Ta có:
Vậy hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức là:
.
Cho đa giác n cạnh. Tìm n để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh.
Đa giác n cạnh có n đỉnh.
Mỗi đỉnh nối với đỉnh khác để tạo ra đường chéo
Do đó n đỉnh sẽ có đường
Mà 1 đường chéo được nối bởi 2 đỉnh nên số đường chéo thực là:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Với số nguyên dương , gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của . Tìm để .
Ta có:
Ta thấy không thoả mãn điều kiện bài toán.
Với ta có:
Do đó hệ số của trong khai triển thành đa thức của
.
.
Vậy là giá trị cần tìm.
Bộ bài tây có 52 lá, trong đó có 4 con át. Rút ra 5 con. Hỏi có bao nhiêu cách để rút được 2 con át?
Số cách lấy 5 con trong đó có 2 con át là: .
Có học sinh và thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Đếm số cách xếp sao cho hai thầy giáo không đứng cạnh nhau?
Xếp 8 người thành hàng ngang có cách.
Xếp 8 người thành hàng ngang sao cho 2 thầy giáo đứng cạnh nhau có cách.
Vậy số cách xếp cần tìm là. cách.
Khối lớp 11 có 300 học sinh nam và 250 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn hai học sinh làm đại diện cho khối 11 trong đó có 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ. Số cách chọn là:
Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ là:
cách chọn.
Cho tập . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho số đó không bắt đầu bởi 125?
Gọi là số bắt đầu bởi 125 và có 5 chữ số đôi một khác nhau.
Suy ra có 3 cách chọn, a có 5 cách chọn
có
số.
Số các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập A là số.
Suy ra có tất cả số cần tìm.
Để giải một bài tập ta cần phải giải hai bài tập nhỏ. Bài tập 1 có 9 cách giải, bài tập 2 có 5 cách giải. Số các cách để giải hoàn thành bài tập trên là:
Sô cách giải bài toán 1 : 9 cách.
Số cách giải bài toán 2 : 5 cách.
Áp dụng quy tắc nhân: 9 × 5 = 45 cách.
Số các hoán vị của n phần tử là:
Số các hoán vị của n phần tử là: n!.
Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 2 và gồm 4 chữ số?
Gọi số thỏa mãn đề bài có dạng .
Trường hợp 1: C bằng 0. Suy ra có 1 cách chọn.
Vị trí A: có 9 cách chọn, khác số 0.
Vị trí B: có 10 cách chọn.
Suy ra có: 1.9.10 = 90 (số).
Trường hợp 2: C khác 0. Suy ra C có 4 cách chọn (2, 4, 6, 8).
Vị trí A: có 9 cách chọn, khác số 0.
Ví trí B: Có 10 cách chọn.
Suy ra có: 4.9.10 = 360 (số).
Vậy, áp dụng quy tắc cộng, có 90 + 360 = 450 (số).
Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho mà mỗi số chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số .
Đặt là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.
{ các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}
Với mỗi số thuộc A có chữ số
thì ta có thể bổ sung thêm
số
vào phía trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng
mà trong
không có chữ số 9}
mà trong
có đúng 1 chữ số 9}
Ta thấy tập A có
phần tử
Tính số phần tử của
Với và
với
. Từ đó ta suy ra
có
phần tử.
Tính số phần tử của
Để lập số của thuộc tập ta thực hiện liên tiếp hai bước sau:
Bước 1: Lập một dãy gồm chữ số thuộc tập
và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số các dãy là
.
Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số 9.
Do đó có
phần tử.
Vậy số các số cần lập là:
.
Một cửa hàng có 3 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền cần xếp vào giá. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho đầu hàng và cuối hàng cùng một loại?
Đối với bài toán ta xét 2 trường hợp.
+) Đầu hàng và cuối hàng đều là gói bim bim. Số cách chọn 2 gói bim bim xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. (ở đây ta xem cách xếp 1 gói bim bim A ở đầu hàng, gói bim bim B ở cuối hàng với cách xếp gói bim bim A ở cuối hàng còn gói bim bim B ở đầu hàng là khác nhau). Lúc này, ta còn lại 1 gói bim bim và 5 cốc mì ăn liền, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là.
+) Đầu hàng và cuối hàng đều là cốc mì ăn liền. Số cách chọn 2 cốc mì ăn liền xếp ở vị trí đầu hàng và cuối hàng là. . Lúc này, còn lại 3 cốc mì ăn liền và 3 gói bim bim, số cách xếp 6 món đồ này vào 1 hàng là. 6!. Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu đề là.
Số cách xếp tất cả là.
.
Tìm số hạng chứa trong khai triển .
Ta có công thức của số hạng tổng quát:
Số hạng chứa khi và chỉ khi
.
Vậy số hạng chứa trong khai triển là
.
Xác định số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton . Biết rằng .
Ta có:
Xét khai triển
Số hạng tổng quát
Số hạng không chứa x ứng với
Suy ra số hạng không chứa x là .
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số lớn hơn và đôi một khác nhau?
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng .
Khi đó: có 5 cách chọn,
có 4 cách chọn,
có 3 cách chọn,
có 2 cách chọn,
có 1 cách chọn.
Nên có tất cảsố.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số, mà tất cả các chữ số đều chẵn?
Gọi số cần lập có dạng .
A: có 4 cách chọn (2,4,6,8)
B: có 5 cách chọn (0,2,4,6,8)
C: có 5 cách chọn (0,2,4,6,8)
Vậy có 4.5.5 = 100 (số) có 3 chữ số và cả 3 chữ số đều chẵn.
