Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Tìm số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $\left( x - \frac{2}{x} ight)^{n},$ biết $n$ là số tự nhiên thỏa mãn $C_{n}^{3} = \frac{4}{3}n + 2C_{n}^{2}$ .
- A.
  $134$ .
- B.
  $144$ .
- C.
  $115$ .
- D.
  $141$ .
Điều kiện : $n \geq 3,\ n \in \mathbb{Z}$ .

Ta có $C_{n}^{3} = \frac{4}{3}n +2C_{n}^{2} \Leftrightarrow \frac{n!}{3!(n - 3)!} = \frac{4}{3}n +\frac{n!}{(n - 2)!}$

$\Leftrightarrow n(n - 1)(n - 2) = 8n + 6n(n -1)$

$\Leftrightarrow n^{2} - 3n + 2 = 8 + 6n - 6 \Leftrightarrow n^{2} - 9n = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 0 \\ n = 9 \\ \end{matrix} ight.$ . Đối chiếu điều kiện ta được $n = 9$ .

Số hạng tổng quát của khai triển $\left( x - \frac{2}{x} ight)^{9},$ là : $C_{9}^{k}x^{9 - k}.\frac{( - 2)^{k}}{x^{k}} = ( - 2)^{k}C_{9}^{k}x^{9 - 2k}$

Số hạng này chứa $x^{5}$ ứng với $9 - 2k = 5 \Leftrightarrow k = 2$ .

Vậy hệ số của số hạng đó là $4.C_{9}^{2} = 144$ .
Câu 2: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Từ các phần tử của tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn?
- A.
  $26880$
- B.
  $37800$
- C.
  $34200$
- D.
  $27360$
Vì trong 6 chữ số khác nhau không có hai chữ số nào cùng chẵn nên có ít nhất 3 chữ số lẻ

TH1: Chọn 1 chữ số chẵn và 5 chữ số lẻ có: $4.6! + 5.5! = 3480$

TH2: Chọn 2 chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ có: $A_{5}^{4}.4.4.4 + A_{5}^{4}.6.A_{5}^{3} = 22080$

TH3: Chọn 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ có: $A_{5}^{3}.3.4.A_{4}^{2} + A_{5}^{3}.A_{5}^{3} = 12240$

Vậy số các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn là: $3480 + 22080 + 12240 = 37800$ (số).
Câu 3: Nhận biết
An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con

đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn

đường đi đến nhà Cường cùng Bình (như hình vẽ dưới đây và không có con đường nào khác)?
- A.
  24.
- B.
  10.
- C.
  16.
- D.
  36.
Chọn đường đi từ nhà An đến nhà Bình có 4 cách chọn.

Chọn đường đi từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có 4.6 = 24 cách cho An chọn đường đi đến nhà Cường cùng Bình.
Câu 4: Nhận biết
Để giải một bài tập ta cần phải giải hai bài tập nhỏ. Bài tập 1 có 9 cách giải, bài tập 2 có 5 cách giải. Số các cách để giải hoàn thành bài tập trên là:
- A.
  3.
- B.
  45.
- C.
  5.
- D.
  12.
Sô cách giải bài toán 1 : 9 cách.

Số cách giải bài toán 2 : 5 cách.

Áp dụng quy tắc nhân: 9 × 5 = 45 cách.
Câu 5: Nhận biết
Tìm hệ số của $x^{7}$ trong khai triển $(1 + x)^{10}$ .
- A.
  $190$ .
- B.
  $270$ .
- C.
  $230$ .
- D.
  $45$ .
Số hạng tổng quát là: $T_{k + 1} = C_{10}^{k}.x^{k}$ .

Số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển $(1 + x)^{10}$ là: $T_{8} = C_{10}^{8}.x^{7}$ nên hệ số là 45.
Câu 6: Vận dụng
Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số $0,1,2,4,5,6,8$ .
- A.
  252
- B.
  520
- C.
  480
- D.
  368
Gọi $x = \overline{abcd};\ a,b,c,d \in \left\{ 0,1,2,4,5,6,8 ight\}$ .

Cách 1: Tính trực tiếp

Vì $x$ là số chẵn nên $d \in \left\{ 0,2,4,6,8 ight\}$ .

TH 1: $d = 0 \Rightarrow$ có 1 cách chọn $d$ .

Với mỗi cách chọn $d$ ta có 6 cách chọn $a \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}$

Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có 5 cách chọn $b \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ a ight\}$

Với mỗi cách chọn $a,b,d$ ta có $4$ cách chọn $c \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ a,b ight\}$

Suy ra trong trường hợp này có $1.6.5.4 = 120$ số.

TH 2: $d eq 0 \Rightarrow d \in \left\{ 2,4,6,8 ight\} \Rightarrow$ có 4 cách chọn d

Với mỗi cách chọn $d$ , do $a eq 0$ nên ta có 5 cách chọn

$a \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ d ight\}$ .

Với mỗi cách chọn $a,d$ ta có 5 cách chọn $b \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ a ight\}$

Với mỗi cách chọn $a,b,d$ ta có $4$ cách chọn $c \in \left\{ 1,2,4,5,6,8 ight\}\backslash\left\{ a,b ight\}$

Suy ra trong trường hợp này có $4.5.5.4 = 400$ số.

Vậy có tất cả $120 + 400 = 520$ số cần lập.
Câu 7: Thông hiểu
Từ các chữ số $0$ , $2$ , $3$ , $5$ , $6$ , $8$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $6$ chữ số đôi một khác nhau trong đó hai chữ số $0$ và $5$ không đứng cạnh nhau.
- A.
  $384$ .
- B.
  $240$ .
- C.
  $126$ .
- D.
  $500$ .
Số các số có $6$ chữ số được lập từ các chữ số $0$ , $2$ , $3$ , $5$ , $6$ , $8$ là $6! - 5!$ .
Số các số có chữ số $0$ và $5$ đứng cạnh nhau: $2.5! - 4!$ .
Số các số có chữ số $0$ và $5$ không đúng cạnh nhau là: $6! - 5! - (2.5! - 4!) = 384$ .
Câu 8: Nhận biết
Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số dạng $\overline{abc}$ với $a$ , $b$ , $c \in\left\{ 0;1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\}$ sao cho $a < b < c$ .
- A.
  $220$ .
- B.
  $60$ .
- C.
  $80$ .
- D.
  $20$ .
Vì số tự nhiên có ba chữ số dạng $\overline{abc}$ với $a$ , $b$ , $c \in\left\{ 0;1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\}$ sao cho $a < b < c$ nên $a$ , $b$ , $c \in\left\{ 1;\ 2;\ 3;\ 4;5;6 ight\}$ . Suy ra số các số có dạng $\overline{abc}$ là $C_{6}^{3} = 20$ .
Câu 9: Vận dụng
Cho $n$ là số tự nhiên thỏa mãn phương trình $C_{n - 4}^{n - 6} + nA_{n}^{2} = 454$ . Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $\left( \frac{2}{x} - x^{3} ight)^{n}$ ( với $x eq 0$ ).
- A.
  1973.
- B.
  687.
- C.
  1296.
- D.
  -1792.
Điều kiện $n \geq 6$ và $n\mathbb{\in N}$ .

$C_{n - 4}^{n - 6} + nA_{n}^{2} = 454\Leftrightarrow \frac{(n - 4)!}{(n - 6)!2!} + n \cdot \frac{n!}{(n -2)!} = 454$

$\Leftrightarrow \frac{(n - 5)(n - 4)}{2} + n^{2}(n - 1) = 454\Leftrightarrow 2n^{3} - n^{2} - 9n - 888 = 0 \Leftrightarrow n =8$ (Vì $n\mathbb{\in N}$ ).

Khi đó ta có khai triển: $\left( \frac{2}{x} - x^{3} ight)^{8}$ .

Số hạng tổng quát của khai triển là $C_{8}^{k}\left( \frac{2}{x} ight)^{8 - k}\left( - x^{3} ight)^{k} = C_{8}^{k}( - 1)^{k}2^{8 - k}x^{4k - 8}$ .

Hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ ứng với $k$ thỏa mãn: $4k - 8 = 4 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ là: $C_{8}^{3}( - 1)^{3}2^{5} = - 1792$ .
Câu 10: Nhận biết
Cho tập $A$ gồm $12$ phần tử. Số tập con có $4$ phần tử của tập A là:
- A.
  $A_{12}^{2}$ .
- B.
  $C_{12}^{4}$ .
- C.
  $8!$ .
- D.
  $A_{12}^{4}$ .
Theo định nghĩa tổ hợp. “ Giả sử tập $A$ có $n$ phần tử $(n \geq 1)$ . Mỗi tập con gồm $k$ phần tử của $A$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho”.

Do đó theo yêu cầu bài toán số tập con có $4$ phần tử của tập A là $C_{12}^{4}$ .
Câu 11: Vận dụng
Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để 2 học sinh nam xen giữa 3 học sinh nữ? (Biết rằng cứ đổi 2 học sinh bất kì được cách mới)
- A.
  2880.
- B.
  7860.
- C.
  2540.
- D.
  8760.
Xếp cố định 3 học sinh nữ vào hàng trước, có 3! cách xếp. Chọn 2 học sinh nam bất kì cho vào 2 khoảng trống nằm giữa 2 học sinh nữ, số cách chọn là $A_{5}^{2}$ . Xem nhóm 5 học sinh này là 1 học sinh, lúc này còn 3 học sinh nam vậy là ta đang có 4 học sinh. Số cách xếp 4 học sinh này thành hàng dọc là 4!. Vậy số cách xếp cần tìm là. $3!.A_{5}^{2}.4! = 2880$ .
Câu 12: Thông hiểu
Cho tập hợp $C = \left\{ 1;3;5;7 ight\}$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số?
- A.
  $256$
- B.
  $375$
- C.
  $214$
- D.
  $333$
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm là $\overline{abcd},(a eq 0)$ .

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 4 cách

Số cách chọn d là 4 cách

Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số có thể lập được là $4^{4} = 256$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton của $(2x - 3)^{5}$ bằng:
- A.
  $243$
- B.
  $- 1$
- C.
  $1054$
- D.
  $1$
Ta có:

$(2x - 3)^{5} = C_{5}^{0}(2x)^{5}.( - 3)^{0} + C_{5}^{1}.(2x)^{4}.( - 3)^{1}$

$+ ... + C_{5}^{4}.(2x)^{1}.( - 3)^{4} + C_{5}^{5}.(2x)^{0}.( - 3)^{5}$

$= C_{5}^{0}2^{5}.( - 3)^{0}.x^{5} + C_{5}^{1}.2^{4}.( - 3)^{1}.x^{4}$

$+ ... + C_{5}^{4}.2.( - 3)^{4}.x + C_{5}^{5}.( - 3)^{5}$

Cho $x = 1$ ta được:

$(2.1 - 3)^{5} = C_{5}^{0}2^{5}.( - 3)^{0}.1^{5} + C_{5}^{1}.2^{4}.( - 3)^{1}.1^{4} + ... + C_{5}^{4}.2.( - 3)^{4}.1 + C_{5}^{5}.( - 3)^{5} = - 1$

Vậy tổng hệ số trong khai triển đã cho bằng -1.
Câu 14: Nhận biết
Giả sử bạn muốn màu áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo)?
- A.
  $9$
- B.
  $20$
- C.
  $18$
- D.
  $40$
Áo cỡ 39 có 5 cách chọn

Áo cỡ 40 có 4 cách chọn

Vậy có tất cả $5 + 4 = 9$ cách chọn về màu và cỡ áo.
Câu 15: Thông hiểu
Một nhóm học sinh gồm 7 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn nam và 1 bạn nữ để trực nhật lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
- A.
  $32$
- B.
  $11$
- C.
  $28$
- D.
  $2$
Số cách chọn một bạn nam là: $7$ cách
Số cách chọn một bạn nữ là: $4$ cách
Vậy số cách chọn 1 nam, 1 nữ đi trực nhật lớp là: $7.4 = 28$ cách chọn.
Câu 16: Nhận biết
Khai triển biểu thức $\left( x^{2} - 5y ight)^{5}$ ta được:
- A.
  $- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} + 1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$
- B.
  $x^{10} - 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} -1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} - 3125y^{5}$
- C.
  $x^{10} + 25x^{8}y+ 250x^{6}y^{2} +1250x^{4}y^{3} + 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}$
- D.
  $x^{10} - 25x^{8}y + 250x^{6}y^{2} -1250x^{4}y^{3} + 3125x^{2}y^{4} - 3125y^{5}$
Ta có:

$\left( x^{2} - 5y ight)^{5}$

$= C_{5}^{0}.\left( x^{2} ight)^{5} + C_{5}^{1}\left( x^{2} ight)^{4}.( - 5y) + C_{5}^{2}.\left( x^{2} ight)^{3}.( - 5y)^{2}$

$+ C_{5}^{3}.\left( x^{2} ight)^{2}.( - 5y)^{3} + C_{5}^{4}.\left( x^{2} ight)^{1}.( - 5y)^{4} + C_{5}^{5}.\left( x^{2} ight)^{0}.( - 5y)^{5}$

$=x^{10} - 25x^{8}y + 250x^{6}y^{2} -1250x^{4}y^{3} + 3125x^{2}y^{4} - 3125y^{5}$
Câu 17: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số lập từ các số $0,2,4,6,8$ với điều các chữ số đó không lặp lại?
- A.
  $60$ .
- B.
  $40$ .
- C.
  $48$ .
- D.
  $10$ .
Gọi số tự nhiên có $3$ chữ số cần tìm là: $\overline{abc},\ a eq 0$ , khi đó:

$a$ có $4$ cách chọn

$b$ có $4$ cách chọn

$c$ có $3$ cách chọn

Vậy có: $4.4.3 = 48$ số.
Câu 18: Thông hiểu
Từ 6 điểm phân biệt thuộc đường thẳng ∆ và một điểm không thuộc đường thẳng ∆ ta có thể tạo được tất cả bao nhiêu tam giác?
- A.
  210
- B.
  30
- C.
  15
- D.
  35;
Một tam giác được lập thành từ 3 điểm.
Cứ 2 điểm thuộc $\Delta$ + 1 điểm nằm ngoài có sẵn, ta được một tam giác.
Số cách lấy 2 điểm từ 6 điểm thuộc $\Delta$ là: $C_6^2=15$ (cách).
Câu 19: Nhận biết
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một bàn dài là:
- A.
  $120$ .
- B.
  $36$ .
- C.
  $24$ .
- D.
  $1$ .
Ta có số cách xếp 5 học sinh vào một bàn dài là số các hoán vị của $5$ học sinh đó. Vậy kết quả là: $P_{5} = 5! = 120$ .
Câu 20: Nhận biết
Biết rằng khai triển nhị thức Newton $(x + 2)^{n};\left( n\mathbb{\in N} ight)$ có tất cả 6 số hạng. Hãy xác định $n$ ?
- A.
  $n = 4$
- B.
  $n = 3$
- C.
  $n = 5$
- D.
  $n = 6$
Vì trong khai triển nhị thức Newton $(x + 2)^{n};\left( n\mathbb{\in N} ight)$ đã cho có tất cả 6 số hạng nên $n + 1 = 6 \Rightarrow n = 5$

Vậy n = 5 là giá trị cần tìm.

34 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20

Chưa làm Đã làm