Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Có 8 vận động viên chạy thi. Người thắng sẽ nhận được huy chương vàng, người về đích thứ hai nhận huy chương bạc, người về đích thứ ba nhận huy chương đồng. Có bao nhiêu cách trao các huy chương này, nếu tất cả các kết cục của cuộc thi đều có thể xảy ra?
- A.
  $168$
- B.
  $336$
- C.
  $112$
- D.
  $302$
Số cách chọn 3 vận động viên về đích đầu tiên trong 8 vận động viên là $C_{8}^{3}$

Số cách trao 3 huy chương vàng, bạc, đồng cho 3 vận động viên về đích đầu là 3!

Vậy số cách trao các huy chương này là $C_{8}^{3}.3! = 336$
Câu 2: Nhận biết
Hệ số $x^{4}$ trong khai triển nhị thức $(3x - 4)^{5}$ bằng:
- A.
  $60$
- B.
  $- 60$
- C.
  $- 1620$
- D.
  $1620$
Hệ số của $x^{4}$ trong khai triển $(3x - 4)^{5}$ là: $C_{5}^{1}.(3x)^{4}.( - 4)^{1} = - 1620$ .
Câu 3: Nhận biết
Cho hai số tự nhiên $k,x$ sao cho $0 \leq k \leq n$ . Chọn khẳng định đúng sau đây?
- A.
  $C_{x}^{k} = \frac{x!}{k!(x - k)!}$
- B.
  $A_{x}^{k} = \frac{x!}{k!(x - k)!}$
- C.
  $C_{x}^{k} = \frac{k!(x - k)!}{x!}$
- D.
  $A_{x}^{k} = \frac{k!(x - k)!}{x!}$
Khẳng định đúng là: $C_{x}^{k} = \frac{x!}{k!(x - k)!}$ .
Câu 4: Thông hiểu
Từ tập hợp các chữ số $A = \left\{ 1,3,4,5,6,8,9 ight\}$ có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt số 1?
- A.
  $45$
- B.
  $56$
- C.
  $210$
- D.
  $90$
Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm có dạng $\overline{abc}$

TH1: $\overline{1bc}$ . Chọn b, c có 5.6 = 30 cách.

TH2: $\overline{a1c}$ . Chọn b, c có 5.6 = 30 cách.

TH3: $\overline{ab1}$ . Chọn b, c có 5.6 = 30 cách.

Vậy có thể lập được $30 + 30 + 30 = 90$ (số) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 5: Vận dụng
Có 8 nhà khoa học Toán (6 nam, 2 nữ) và 5 nhà khoa học Vật Lí (toàn nam). Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 nhà khoa học trong đó có cả nam, nữ, cả Toán, Vật Lí?
- A.
  340.
- B.
  210.
- C.
  375.
- D.
  450.
+TH1. Có đúng 1 nữ nhà khoa học Toán, có 2 cách chọn. Lúc này chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn đề bài, có thể có hoặc không nhà khoa học Toán nam nào khác, số cách chọn 3 nhà khoa học còn lại là $C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3}$ . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. $2.\left( C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3} ight)$

+TH2. Có đúng 2 nữ nhà khoa học Toán, có 1 cách chọn. Cũng với ý tưởng như trên, chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn, số cách chọn 2 nhà khoa học còn lại là $C_{5}^{1}C_{6}^{1} + C_{5}^{2}$ . Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. $C_{5}^{1}.C_{6}^{1} + C_{5}^{2}$ .

Vậy số cách lập cần tìm là. $2.\left( C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3} ight) + C_{5}^{1}.C_{6}^{1} + C_{5}^{2} = 375$ .
Câu 6: Thông hiểu
Từ các chữ số $0$ , $2$ , $3$ , $5$ , $6$ , $8$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $6$ chữ số đôi một khác nhau trong đó hai chữ số $0$ và $5$ không đứng cạnh nhau.
- A.
  $384$ .
- B.
  $240$ .
- C.
  $126$ .
- D.
  $500$ .
Số các số có $6$ chữ số được lập từ các chữ số $0$ , $2$ , $3$ , $5$ , $6$ , $8$ là $6! - 5!$ .
Số các số có chữ số $0$ và $5$ đứng cạnh nhau: $2.5! - 4!$ .
Số các số có chữ số $0$ và $5$ không đúng cạnh nhau là: $6! - 5! - (2.5! - 4!) = 384$ .
Câu 7: Thông hiểu
Hệ số lớn nhất trong khai triển $\left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4}x ight)^{4}$ là:
- A.
  $\frac{27}{128}$ .
- B.
  $\frac{9}{32}$ .
- C.
  $\frac{27}{32}$ .
- D.
  $\frac{27}{64}$ .
Ta có $\left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4}x ight)^{4} = \sum_{k = 0}^{4}{C_{4}^{k}.\left( \frac{1}{4} ight)^{4 - k}.\left( \frac{3}{4} ight)^{k}}$

$= \frac{1}{256} + \frac{3}{64}x + \frac{27}{128}x^{2} + \frac{27}{64}x^{3} + \frac{81}{256}x^{4}$

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển là $\frac{27}{64}$ .
Câu 8: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Từ các phần tử của tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn?
- A.
  $26880$
- B.
  $37800$
- C.
  $34200$
- D.
  $27360$
Vì trong 6 chữ số khác nhau không có hai chữ số nào cùng chẵn nên có ít nhất 3 chữ số lẻ

TH1: Chọn 1 chữ số chẵn và 5 chữ số lẻ có: $4.6! + 5.5! = 3480$

TH2: Chọn 2 chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ có: $A_{5}^{4}.4.4.4 + A_{5}^{4}.6.A_{5}^{3} = 22080$

TH3: Chọn 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ có: $A_{5}^{3}.3.4.A_{4}^{2} + A_{5}^{3}.A_{5}^{3} = 12240$

Vậy số các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn là: $3480 + 22080 + 12240 = 37800$ (số).
Câu 9: Nhận biết
Cho tập A gồm 5 phần tử. Số tập con có 3 phần tử của A là:
- A.
  5
- B.
  10
- C.
  15
- D.
  20
Số tập con có 3 phần tử từ tập 5 phần tử là: $C_5^3 = 10$ .
Câu 10: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần?
- A.
  $5$ .
- B.
  $15$ .
- C.
  $55$ .
- D.
  $10$ .
Với một cách chọn $9$ chữ số từ tập $\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ight\}$ ta có duy nhất một cách xếp chúng theo thứ tự giảm dần.

Ta có $10$ cách chọn $9$ chữ số từ tập $\left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ight\}$ .

Do đó có $10$ số tự nhiên cần tìm.
Câu 11: Thông hiểu
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số, mà tất cả các chữ số đều chẵn?
- A.
  80
- B.
  60
- C.
  243
- D.
  100
Gọi số cần lập có dạng $\overline {ABC}$ .
A: có 4 cách chọn (2,4,6,8)
B: có 5 cách chọn (0,2,4,6,8)
C: có 5 cách chọn (0,2,4,6,8)
Vậy có 4.5.5 = 100 (số) có 3 chữ số và cả 3 chữ số đều chẵn.
Câu 12: Nhận biết
Cho tập $M$ gồm $10$ phần tử. Số tập con gồm $4$ phần tử của M là:
- A.
  $400$ .
- B.
  $A_{10}^{4}$ .
- C.
  $C_{10}^{4}$ .
- D.
  $140$ .
Số tập con gồm $4$ phần tử của $M$ là số cách chọn $4$ phần tử bất kì trong $10$ phần tử của $M$ .

Do đó số tập con gồm $4$ phần tử của $M$ là $C_{10}^{4}$ .
Câu 13: Nhận biết
Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra một học sinh đi dự trại hè của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
- A.
  45
- B.
  500
- C.
  25
- D.
  5.
Bước 1: Với bài toán a thì ta thấy cô giáo có thể có hai phương án để chọn học sinh đi thi:
Bước 2: Đếm số cách chọn.
* Phương án 1: chọn 1 học sinh đi dự trại hè của trường thì có 25 cách chọn.
* Phương án 2: chọn học sinh nữ đi dự trại hè của trường thì có 20 cách chọn.
Bước 3: Áp dụng quy tắc cộng.
Vậy có 20 + 25 = 45 cách chọn.
Câu 14: Vận dụng
Tìm hệ số của $x^{4}$ trong khai triển nhị thức Newton $\left( 2x + \frac{1}{\sqrt[5]{x}} ight)^{n}$ với $x > 0$ , biết $n$ là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn $A_{n}^{5} \leq 18A_{n - 2}^{4}$ .
- A.
  8064.
- B.
  1243.
- C.
  66440.
- D.
  16568.
Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix} n \geq 6 \\ n\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $A_{n}^{5} \leq 18A_{n - 2}^{4} \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 5)!} \leq 18.\frac{(n - 2)!}{(n - 6)!}$

$\Leftrightarrow n(n - 1)(n - 2)(n - 3)(n - 4) \leq 18(n - 2)(n - 3)(n - 4)(n - 5)$

$\Leftrightarrow n(n - 1) \leq 18(n - 5)$ $\Leftrightarrow n^{2} - 19n + 90 \leq 0$ $\Leftrightarrow 9 \leq n \leq 10\overset{n ightarrow \max}{ightarrow}n = 10$ .

Số hạng tổng quát trong khai triển $\left( 2x + \frac{1}{\sqrt[5]{x}} ight)^{10}$ là $T_{k + 1} = C_{10}^{k}.(2x)^{10 - k}.\left( \frac{1}{\sqrt[5]{x}} ight)^{k}$

$= C_{10}^{k}.2^{10 - k}.x^{10 - k}.x^{- \frac{k}{5}}$ $= C_{10}^{k}.2^{10 - k}.x^{\frac{50 - 6k}{5}}$ .

Tìm $k$ sao cho $\frac{50 - 6k}{5} = 4$ $\Leftrightarrow k = 5$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ là $C_{10}^{5}.2^{10 - 5} = 8064.$ .
Câu 15: Nhận biết
Cho khai triển $\left( x + \frac{2}{\sqrt{x}} ight)^{6}$ với $x > 0$ . Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển trên.
- A.
  90.
- B.
  150.
- C.
  250.
- D.
  60.
Ta có: $\left( x + \frac{2}{\sqrt{x}} ight)^{6} = \sum_{k = 0}^{6}{C_{6}^{k}x^{6 - k}\left( \frac{2}{\sqrt{x}} ight)^{k} = \sum_{k = 0}^{6}{2^{k}C_{6}^{k}x^{6 - \frac{3k}{2}}}}$ .

Số hạng chứa $x^{3}$ ứng với $\mathbf{6}\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}\mathbf{k}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{\Rightarrow k =}\mathbf{2}$ . Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{3}$ bằng $2^{2}.C_{6}^{2} = 60$ .
Câu 16: Thông hiểu
Xác định số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton $\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight)^{n},(x > 0)$ . Biết rằng $C_{n}^{0} + 3C_{n}^{1} + 9C_{n}^{2} + ... + 3^{n}.C_{n}^{n} = 256$ .
- A.
  $7$
- B.
  $6$
- C.
  $20$
- D.
  $15$
Ta có:

$C_{n}^{0} + 3C_{n}^{1} + 9C_{n}^{2} + ... + 3^{n}.C_{n}^{n} = 256$

$\Leftrightarrow (1 + 3)^{n} = 256 \Leftrightarrow 4^{n} = 256 \Leftrightarrow n = 4$

Xét khai triển $\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ight)^{n},(x > 0)$

Số hạng tổng quát $C_{4}^{k}.\left( x^{2} ight)^{4 - k}.\left( \frac{1}{x^{2}} ight)^{k} = C_{4}^{k}.x^{8 - 4k}$

Số hạng không chứa x ứng với $8 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 2$

Suy ra số hạng không chứa x là $C_{4}^{2} = 6$ .
Câu 17: Nhận biết

Một lớp học có 33 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách giao 3 chức danh lớp trưởng, lớp phó, bí thư cho 3 sinh viên biết rằng mỗi sinh viên chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 chức danh và sinh viên nào cũng có thể đảm nhận chức danh?

Đáp án: 32736

Đáp án là:

Một lớp học có 33 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách giao 3 chức danh lớp trưởng, lớp phó, bí thư cho 3 sinh viên biết rằng mỗi sinh viên chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 chức danh và sinh viên nào cũng có thể đảm nhận chức danh?

Đáp án: 32736

Chọn 1 sinh viên làm lớp trưởng có 33 cách

Chọn 1 sinh viên làm lớp phó có 32 cách

Chọn 1 sinh viên làm bí thư có 31 cách

Có $33.32.31 = 32736$ cách
Câu 18: Vận dụng
Từ các số $1,2,3$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và mỗi số có các chữ số khác nhau?
- A.
  $15$ .
- B.
  $20$ .
- C.
  $72$ .
- D.
  $36$ .
TH1: số có 1 chữ số thì có 3 cách.

TH2: số có 2 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì có $3.2 = 6$ số.

TH3: số có 3 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì có $3.2.1 = 6$ số

Vậy có $3 + 6 + 6 = 15$ số.
Câu 19: Thông hiểu
Trong phòng thi có hai dãy ghế đối diện nhau qua một cái bàn dài, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 nam sinh và 6 nữ sinh vào hai dãy ghế này. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho nam sinh và nữ sinh ngồi xen kẽ nhau trong từng dãy?
- A.
  $2073600$
- B.
  $1036800$
- C.
  $1578426$
- D.
  $1157805$
Giả sử gọi 2 dãy ghế là dãy A và dãy B.

Chọn 3 bạn nam, 3 bạn nữ để xếp vào dãy A có $C_{6}^{3}.C_{6}^{3}$

Trong dãy đó xếp sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ nhau có: $3!.3!.2$ cách.

Xếp 3 nam, 3 nữ còn lại vào dãy B sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ nhau có $3!.3!.2$ cách.

Vậy số cách xếp là: $C_{6}^{3}.C_{6}^{3}.3!.3!.2.3!.3!.2 = 2073600$ cách.
Câu 20: Nhận biết
Biểu thức $A = 32x^{5} - 80x^{4} + 80x^{3} - 40x^{2} + 10x - 1$ là khai triển của nhị thức nào dưới đây?
- A.
  $A = (x - 1)^{5}$
- B.
  $A = (x - 2)^{5}$
- C.
  $A = (2x + 1)^{5}$
- D.
  $A = (1 - 2x)^{5}$
Ta có:

$A = (2x + 1)^{5} = 32x^{5} - 80x^{4} + 80x^{3} - 40x^{2} + 10x - 1$

47 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!