Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Khai triển $(\sqrt{5} - \sqrt[4]{7})^{124}$ . Hỏi có tất cả bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
- A.
  35.
- B.
  39.
- C.
  32.
- D.
  30.
Ta có $(\sqrt{5} - \sqrt[4]{7})^{124} = \sum_{k = 0}^{124}{C_{124}^{k}.( - 1)^{k}.5^{\frac{124 - k}{2}}.7^{\frac{k}{4}}}$

Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với $\left\{ \begin{matrix} \frac{124 - k}{2}\mathbb{\in Z} \\ \frac{k}{4}\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow k \in \left\{ 0;4;8;12;...;124 ight\}$ .

Vậy số các giá trị $k$ là: $\frac{124 - 0}{4} + 1 = 32$ .
Câu 2: Vận dụng
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $5$ chữ số lớn hơn $4$ và đôi một khác nhau?
- A.
  $240$ .
- B.
  $120$ .
- C.
  $360$ .
- D.
  $24$ .
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ .

Khi đó: $a$ có 5 cách chọn, $b$ có 4 cách chọn, $c$ có 3 cách chọn, $d$ có 2 cách chọn, $e$ có 1 cách chọn.

Nên có tất cả $5.4.3.2.1 = 120$ số.
Câu 3: Nhận biết
Có 8 vận động viên chạy thi. Người thắng sẽ nhận được huy chương vàng, người về đích thứ hai nhận huy chương bạc, người về đích thứ ba nhận huy chương đồng. Có bao nhiêu cách trao các huy chương này, nếu tất cả các kết cục của cuộc thi đều có thể xảy ra?
- A.
  $168$
- B.
  $336$
- C.
  $112$
- D.
  $302$
Số cách chọn 3 vận động viên về đích đầu tiên trong 8 vận động viên là $C_{8}^{3}$

Số cách trao 3 huy chương vàng, bạc, đồng cho 3 vận động viên về đích đầu là 3!

Vậy số cách trao các huy chương này là $C_{8}^{3}.3! = 336$
Câu 4: Vận dụng
Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả 3 khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
- A.
  $40$ .
- B.
  $500$ .
- C.
  $1000$ .
- D.
  $250$ .
TH1. Có đúng 1 học sinh khối 10: $5.1.C_{5}^{4} + 5.C_{5}^{4}.1 = 50$ (cách). (1 lớp 10 + 5 lớp 11 + 4 lớp 12 hoặc 1 lớp 10 + 5 lớp 12 + 4 lớp 11)

TH2. Có đúng 2 học sinh khối 10: $C_{5}^{2}.C_{5}^{3}.C_{5}^{5} + C_{5}^{2}.C_{5}^{4}.C_{5}^{4} + C_{5}^{2}.C_{5}^{5}.C_{5}^{3} = 450$ (cách).

$\Rightarrow$ Có $50 + 450 = 500$ cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.
Câu 5: Nhận biết
Tính số cách sắp xếp 8 học sinh thành 1 hàng dọc?
- A.
  $64$
- B.
  $512$
- C.
  $1024$
- D.
  $40320$
Số cách sắp xếp 8 học sinh thành 1 hàng dọc là 8! = 40320 cách.
Câu 6: Vận dụng
Từ các chữ số 0, 1, 2, 5, 7, 9 lập được bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau chia hết cho 6?
- A.
  34.
- B.
  52.
- C.
  56.
- D.
  66.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$ . Vì $\overline{abcd}$ chia hết cho 6 suy ra $\left\{ \begin{matrix} e = \left\{ 0;2 ight\} \\ (a + b + c + d + e) \vdots 3 \\ \end{matrix} ight.$

TH1. Với $e = 0$ suy ra $a + b + c + d \vdots 3$ , do đó gồm các bộ $(1;2;5;7)$ suy ra có 24 số.

TH2. Với $e = 2$ suy ra $a + b + c + d + 2 \vdots 3$ , do đó gồm các bộ $(0;1;5;7)$ , $(1;5;7;9)$ suy ra có 42 số.

Vậy có tất cả $24 + 42 = 66$ số cần tìm.
Câu 7: Nhận biết
Trên giá sách có 8 quyển tiểu thuyết khác nhau và 6 quyển truyện tranh khác nhau. Số cách chọn một trong các quyển sách đó là:
- A.
  $6$
- B.
  $8$
- C.
  $14$
- D.
  $32$
Số cách chọn một trong các quyển sách đó là: 8 + 6 = 14 cách.
Câu 8: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ , (biết $x eq 0$ ).
- A.
  $176.$
- B.
  $88.$
- C.
  $- 276.$
- D.
  $286.$
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ .

$T_{k + 1} = C_{13}^{k}x^{13 - k}\left( \frac{1}{x} ight)^{k} = C_{13}^{k}x^{13 - 2k}$ .

$T_{k + 1}$ chứa $x^{7} \Leftrightarrow 13 - 2k = 7 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{7}$ trong khai triển nhị thức $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{13}$ bằng: $C_{13}^{3} = 286$ .
Câu 9: Nhận biết
Có 1 con mèo vàng, $1$ con mèo đen, $1$ con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím. Xếp 6 con mèo thành hàng ngang vào $6$ cái ghế sao cho mỗi ghế chỉ có một con mèo. Đếm số cách xếp chỗ sao cho mèo vàng và mèo đen ở cạnh nhau.
- A.
  $120$ .
- B.
  $520$ .
- C.
  $244$ .
- D.
  $240$ .
Số cách xếp con mèo vàng và con mèo đen ở cạnh nhau là $2$ .

Xem nhóm con mèo vàng và đen này là một phần tử, cùng với $1$ con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím, ta được $5$ phần tử. Xếp $5$ phần tử này là. $5!$

Vậy có $2.5! = 240$ .
Câu 10: Nhận biết
Cho tập $A$ gồm $12$ phần tử. Số tập con có $4$ phần tử của tập A là:
- A.
  $A_{12}^{2}$ .
- B.
  $C_{12}^{4}$ .
- C.
  $8!$ .
- D.
  $A_{12}^{4}$ .
Theo định nghĩa tổ hợp. “ Giả sử tập $A$ có $n$ phần tử $(n \geq 1)$ . Mỗi tập con gồm $k$ phần tử của $A$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho”.

Do đó theo yêu cầu bài toán số tập con có $4$ phần tử của tập A là $C_{12}^{4}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ , có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n trong đó n gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và tận cùng bằng một chữ số khác 3.
- A.
  $16128$
- B.
  $11760$
- C.
  $13440$
- D.
  $18816$
Gọi $n = \overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}}$ là số thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn $a_{5} \in X\backslash\left\{ 3 ight\}$ có: 8 cách.

Chọn $a_{1} \in X\backslash\left\{ a_{5} ight\}$ có: 8 cách.

Chọn $a_{2} \in X\backslash\left\{ a_{1};a_{5} ight\}$ có: 7 cách.

Chọn $a_{3} \in X\backslash\left\{ a_{1};a_{5};a_{2} ight\}$ có: 6 cách.

Chọn $a_{4} \in X\backslash\left\{ a_{1};a_{5};a_{2};a_{3} ight\}$ có: 5 cách.

Theo quy tắc nhân có: $8.8.7.6.5 = 13440$ số.
Câu 12: Nhận biết
Khai triển nhị thức Niu-tơn của $(3 - 2x)^{2019}$ có bao nhiêu số hạng?
- A.
  $2029$ .
- B.
  $2098$ .
- C.
  $2020$ .
- D.
  $2022$ .
Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn $(a + b)^{n}$ có $n + 1$ số hạng.

Vậy trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(3 - 2x)^{2019}$ có $2020$ số hạng.
Câu 13: Thông hiểu
Có bao nhiêu cách xếp 40 học sinh gồm 20 học sinh trường A và 20 học sinh trường B thành 4 hàng dọc, mỗi hàng 10 người (tức 10 hàng ngang, mỗi hàng 4 người) trong đó không có học sinh cùng trường đứng kề nhau trong mỗi hàng dọc và tất cả các học sinh trong mỗi hàng ngang đều cùng trường?
- A.
  $3.17!.20!$
- B.
  $2.19!.18!$
- C.
  $2.20!.20!$
- D.
  $17!.18!$
Giả sử 4 hàng dọc được kí hiệu là $D_{1};D_{2};D_{3};D_{4}$

Mỗi hàng các vị trí lại được kí hiệu từ 1 đến 10

Theo yêu cầu bài toán thì:

Các bạn trường A được xếp ở D1 ghi số chẵn, D2 ghi số chẵn, D3 ghi số chẵn, D4 ghi số chẵn.

Các bạn trường B ở các vị trí còn lại hoặc ngược lại.

Nên số cách xếp là $2.20!.20!$ cách
Câu 14: Nhận biết
Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa và 3 chuyến máy bay. Hỏi một ngày có bao nhiêu cách lựa chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B?
- A.
  $150$
- B.
  $18$
- C.
  $12$
- D.
  $25$
Trường hợp 1: Số cách chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B bằng ô tô: có 10 cách.

Trường hợp 2: Số cách chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B bằng tàu hỏa: có 5 cách.

Trường hợp 3: Số cách chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B bằng máy bay: có 3 cách.

Vậy số cách lựa chọn đi từ tỉnh A đến tỉnh B là: $10 + 5 + 3 = 18$ cách
Câu 15: Thông hiểu
Từ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 6?
- A.
  $30$
- B.
  $18$
- C.
  $25$
- D.
  $34$
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là $\overline{abcd};(a eq b eq c eq d)$

Số chia hết cho 6 là số chẵn và chia hết cho 3. Khi đó, xét bộ bốn chữ số có tổng chia hết cho 3 là: $A = \left\{ (0;1;2;3),(0;2;3;4),(0;3;4;5);(1;2;4;5) ight\}$

Trường hợp 1: $\overline{abc0} \in \left\{ (0;1;2;3),(0;2;3;4),(0;3;4;5) ight\}$

Chọn a, b, c: $3! = 6$ cách chọn.

Trường hợp 2: $\overline{abcd} \in \left\{ 1;2;4;5 ight\}$

Chọn d có 2 cách chọn (vì $d \in \left\{ 2;4 ight\}$

Chọn a, b, c: $3! = 6$ cách chọn

Khi đó có 6.2 = 12 số

Vậy 6 + 12 = 18 (số)
Câu 16: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40}$ .
- A.
  $C_{40}^{37}$ .
- B.
  $C_{40}^{21}$ .
- C.
  $C_{40}^{5}$ .
- D.
  $C_{40}^{7}$ .
Ta có: $\left( x + \frac{1}{x^{2}} ight)^{40} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}.x^{40 - k}}.\left( \frac{1}{x^{2}} ight)^{k} = \sum_{k = 0}^{40}{C_{40}^{k}.x^{40 - 3k}}$ .

Số hạng tổng quát của khai triển là: $T_{k + 1} = C_{40}^{k}.x^{40 - 3k}$ .

Số hạng chứa $x^{31}$ trong khai triển tương ứng với $40 - 3k = 31 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số cần tìm là: $C_{40}^{3} = C_{40}^{37}$ (theo tính chất của tổ hợp: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ ).
Câu 17: Thông hiểu
Tìm số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $P(x) = (x + 2)^{5} - (x - 3)^{4}$ thành đa thức?
- A.
  $52x^{3}$
- B.
  $40x^{3}$
- C.
  $12x^{3}$
- D.
  $28x^{3}$
Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(x + 2)^{5}$ là $C_{5}^{2}.2^{2}.x^{3} = 40x^{3}$

Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(x - 3)^{4}$ là $C_{4}^{1}.( - 3)^{1}.x^{3} = - 12x^{3}$

Do đó số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $P(x) = (x + 2)^{5} - (x - 3)^{4}$ đã cho là: $40x^{3} - ( - 12)x^{3} = 52x^{3}$

Vậy số hạng cần tìm là $52x^{3}$ .
Câu 18: Thông hiểu
Biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển của $(1 - 3x)^{n}$ là $90$ . Tìm $n$ .
- A.
  $n = 7$ .
- B.
  $n = 6$ .
- C.
  $n = 8$ .
- D.
  $n = 5$ .
Số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển của $(1 - 3x)^{n}$ là: $T_{k + 1} = C_{n}^{k}( - 3)^{k}x^{k}$ .

Số hạng chứa $x^{2}$ ứng với $k = 2$ .

Ta có: $C_{n}^{2}( - 3)^{2} = 90 \Leftrightarrow C_{n}^{2} = 10$ (với $n \geq 2$ ; $n \in \mathbb{N}$ )

$\Leftrightarrow \frac{n!}{2!(n - 2)!} = 10 \Leftrightarrow n(n - 1) = 20 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 5 \\ n = - 4(L) \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy $n = 5$ .
Câu 19: Vận dụng
Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5?
- A.
  3999960
- B.
  33778933
- C.
  4859473
- D.
  3847294
Có 120 số có 5 chữ số được lập từ 5 chữ số đã cho.

Bây giờ ta xét vị trí của một chữ số trong 5 số 1, 2, 3, 4, 5 chẳng hạn ta xét số 1. Số 1 có thể xếp ở 5 vị trí khác nhau, mỗi vị trí có 4!=24 số nên khi ta nhóm các các vị trí này lại có tổng là : $24\left( 10^{4} + 10^{3} + 10^{2} + 10 + 1 ight) = 24.11111$ .

Vậy tổng các số có 5 chữ số là : $24.11111(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3999960$ .
Câu 20: Thông hiểu
Hai tổ sản xuất của một phân xưởng có 9 công nhân nam và 13 công nhân nữ trong đó có 2 cặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 7 người trong số 22 người nhưng không có cặp vợ chồng?
- A.
  $140350$
- B.
  $140352$
- C.
  $25704$
- D.
  $24054$
TH1: Chọn 7 người 18 người không là cặp vợ chồng: $C_{18}^{7}$

TH2: Chọn 1 trong 2 cặp vợ chồng và 6 người trong 18 người không là cặp vợ chồng: $C_{4}^{1}.C_{18}^{6}$

TH3: Chọn 2 trong 2 cặp vợ chồng nhưng không phải 1 cặp và 5 người trong 1 người không là cặp vợ chồng: $\left( C_{4}^{2} - 2 ight).C_{18}^{5}$

Vậy số cách chọn thỏa mãn là: $C_{18}^{7} + C_{4}^{1}.C_{18}^{6} + \left( C_{4}^{2} - 2 ight).C_{18}^{5} = 140352$ cách

47 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20

Chưa làm Đã làm