Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Newton của $\left( 2x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{n}$ $(x eq 0)$ . Cho biết $1.C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + nC_{n}^{n} = 256n$ ( $C_{n}^{k}$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử).
- A.
  489888.
- B.
  498888.
- C.
  48788.
- D.
  48877.
Xét khai triển $(1 + x)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1}x + C_{n}^{2}x^{2} + C_{n}^{3}x^{3} + ... + C_{n}^{n}x^{n}$ $(1)$

Đạo hàm hai vế của $(1)$ ta được: $n(1 + x)^{n - 1} = C_{n}^{1} + 2C_{n}^{2}x + 3C_{n}^{3}x^{2} + ... + nC_{n}^{n}x^{n - 1}$ $(2)$

Trong công thức $(2)$ ta cho $x = 1$ ta được:

$n2^{n - 1} = C_{n}^{1} + 2.C_{n}^{2} + 3.C_{n}^{3} + ... + nC_{n}^{n}$ $\Leftrightarrow n.2^{n - 1} = 256n$ $\Leftrightarrow 2^{n - 1} = 256$ $\Leftrightarrow n = 9$ .

Khi đó, $\left( 2x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{n} = \left( 2x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{9} = \sum_{n = 0}^{9}{C_{9}^{k}( - 3)^{k}2^{9 - k}.x^{18 - 3k}}$ .

Do đó số hạng không chứa $x$ trong khai triển $\left( 2x^{2} - \frac{3}{x} ight)^{9}$ nếu $18 - 3k = 0$ hay $k = 6$ .

Suy ra số hạng cần tìm là $C_{9}^{6}( - 3)^{6}2^{3} = 489888$ .
Câu 2: Thông hiểu
Giả sử rằng:

$(1 + x)\left( 1 + x + x^{2} ight)$

$= (1 + 1)\left( 1 + 1 + 1^{2} ight)...\left( 1 + 1 + 1^{2} + ... + 1^{n} ight)$

$= m_{0} + m_{1}x + m_{2}x^{2} + ... + m_{a}x^{a}$

Hãy tính $\sum_{i = 0}^{a}m_{i}$ ?
- A.
  $n$
- B.
  $n!$
- C.
  $1$
- D.
  $(n + 1)!$
Ta có:

$\sum_{i = 0}^{a}m_{i} = (1 + 1)\left( 1 + 1 + 1^{2} ight)...\left( 1 + 1 + 1^{2} + ... + 1^{n} ight)$

$= 2.3.4.....(n + 1) = (n + 1)!$
Câu 3: Thông hiểu
Cho tập hợp các chữ số $B = \left\{ 1,2,3,4,5 ight\}$ . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau là:
- A.
  $A_{5}^{3}$
- B.
  $C_{5}^{3}$
- C.
  $3^{5}$
- D.
  $3!$
Mỗi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập hợp B là chỉnh hợp chập 3 của 5 nghĩa.

Suy ra có thể lập được $A_{5}^{3}$ số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 4: Nhận biết
Cho tập A có n phần tử (n ∈ ℕ, n ≥ 2), k là số nguyên thỏa mãn 1 ≤ k ≤ n. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử trên là:
- A.
  $n.k$
- B.
  $n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1)$
- C.
  $\frac{n}{k}$
- D.
  $\frac{k}{n}$
Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $A_n^k=n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1)$ .
Câu 5: Nhận biết
Khai triển biểu thức $(x + 1)^{4}$ ta thu được kết quả:
- A.
  $x^{4} + 4x^{3} + 6x^{2} + 4x + 1$
- B.
  $x^{4} + x^{3} + 6x^{2} + x + 1$
- C.
  $4x^{4} + 6x^{3} + 6x^{2} + 6x + 4$
- D.
  $6x^{4} + 4x^{3} + 2x^{3} + 4x + 1$
Ta có: $(x + 1)^{4} = x^{4} + 4x^{3} + 6x^{2} + 4x + 1$
Câu 6: Thông hiểu
Từ 6 chữ số $0;1;2;3;4;5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau sao cho chữ số 2 vs 3 đứng cạnh nhau.
- A.
  $192$
- B.
  $185$
- C.
  $96$
- D.
  $146$
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcdef};(a eq 0)$ với $a,b,c \in \left\{ 2;4;6;8 ight\}$ .

Vì 2 và 3 đứng cạnh nhau ta gộp 2 và 3 thành 1 số $\overline{23}$ hoặc $\overline{32}$ thành 1 vị trí

Do đó ta còn lại 5 vị trí $\overline{abcde}$

Từ 5 chữ số trên ta lập được 5! số khác nhau có dạng $\overline{abcde}$

Cho $a = 0$ ta lập được 4! các số dạng $\overline{0bcde}$

Nên sẽ có 5! – 4! = 96 số có 5 chữ số khác nhau.

Mặt khác ta gộp 2 và 3 thành 1 số $\overline{23}$ hoặc $\overline{32}$ thành 1 vị trí nên ta sẽ có số các số cần tìm là: 96.2 = 192 số thỏa mãn đề bài.
Câu 7: Nhận biết
Từ các chữ số $1;4;5;8;9$ có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
- A.
  $120$
- B.
  $425$
- C.
  $625$
- D.
  $358$
Có thể lập được $A_{5}^{4} = 120$ số nguyên dương n gồm bốn chữ số đôi một khác nhau.
Câu 8: Vận dụng
Từ các số $1,2,3$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và mỗi số có các chữ số khác nhau?
- A.
  $15$ .
- B.
  $20$ .
- C.
  $72$ .
- D.
  $36$ .
TH1: số có 1 chữ số thì có 3 cách.

TH2: số có 2 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì có $3.2 = 6$ số.

TH3: số có 3 chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau thì có $3.2.1 = 6$ số

Vậy có $3 + 6 + 6 = 15$ số.
Câu 9: Thông hiểu
Tìm hệ số của $x^{3}$ trong khai triển $f(x) = (1 + x)^{3} + (1 + x)^{4} + (1 + x)^{5}$ thành đa thức?
- A.
  $16$
- B.
  $10$
- C.
  $14$
- D.
  $15$
Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(1 + x)^{3}$ là $x^{3}$

Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(1 + x)^{4}$ là $C_{4}^{3}x^{3} = 4x^{3}$

Số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển $(1 + x)^{5}$ là $C_{5}^{3}x^{3} = 10x^{3}$

Do đó tổng các số hạng chứa $x^{3}$ trong khai triển đã cho là: $x^{3} + 4x^{3} + 10x^{3} = 15x^{3}$

Vậy hệ số cần tìm là $15$ .
Câu 10: Nhận biết
Quân đến nhà Hoàng để cùng Hoàng đến nhà An. Từ nhà Quân đến nhà Hoàng có 4 con đường đi, từ nhà Hoàng đến nhà An có 6 con đường đi. Hỏi Quân có bao nhiêu cách chọn con đường đi từ nhà đến nhà An?
- A.
  $24$
- B.
  $10$
- C.
  $12$
- D.
  $16$
Giai đoạn 1: Quân đi từ nhà đến nhà Hoàng có 4 cách.

Giai đoạn 2: Quân đi từ nhà Bình đến nhà An có 6 cách.

Vậy số cách Quân lựa chọn con đường đi từ nhà đến nhà An là: $6.4 = 24$ cách
Câu 11: Vận dụng
Cho tập $A = \left\{ 0,1,2,3,4,5,6 ight\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5.
- A.
  660
- B.
  432
- C.
  679
- D.
  523
Gọi $x = \overline{abcde}$ là số cần lập, $e \in \left\{ 0,5 ight\},a eq 0$

$\bullet e = 0 \Rightarrow e$ có 1 cách chọn, cách chọn $a,b,c,d:6.5.4.3$

Trường hợp này có 360 số

$e = 5 \Rightarrow e$ có một cách chọn, số cách chọn $a,b,c,d:5.5.4.3 = 300$

Trường hợp này có 300 số.

Vậy có $660$ số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 12: Nhận biết
Số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $(x - 2)^{5}$ là:
- A.
  $- 32x^{5}$
- B.
  $x^{5}$
- C.
  $5x^{5}$
- D.
  $1$
Công thức số hạng tổng quát: $C_{5}^{k}.x^{k}.( - 2)^{5 - k} \Rightarrow k = 5$ ta được số hạng chứa $x^{5}$ là: $x^{5}$
Câu 13: Nhận biết
Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một học sinh tiên tiến trong lớp 11A hoặc lớp 12B. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, biết rằng lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến và lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến?
- A.
  $53$
- B.
  $120$
- C.
  $682$
- D.
  $245$
Để chọn được một học sinh đi dự ta có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Học sinh ở lớp 11A: có 31 cách

Trường hợp 2: Học sinh ở lớp 12B: có 22 cách

Vậy có $31 + 22 = 53$ cách.
Câu 14: Thông hiểu
Có bao nhiêu số chẵn gồm bốn chữ số được lập từ các số 0; 1; 2; 4; 5; 6; 8.
- A.
  2058
- B.
  1470
- C.
  520
- D.
  368
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số có dạng: $\overline {abcd} ;\left( {a e 0} ight)$
Do số tự nhiên được tạo thành là chữ số chẵn nên $d \in \left\{ {0;2;4;6;8} ight\}$
Trường hợp 1: d = 0 ta có: d có 1 cách chọn
a có 6 cách chọn
b có 7 cách chọn
c có 7 cách chọn
=> Số các số được tạo thành là: 6.7.7.1 = 294 số
Trướng hợp 2: $d \in \left\{ {2;4;6;8} ight\}$ => d có 4 cách chọn
a có 6 cách chọn
b có 7 cách chọn
c có 7 cách chọn
=> Số các số tạo thành là: 4.6.7.7=1176 số
=> Có tất cả 294 + 1176 = 1470 số tự nhiên chẵn có 4 chữ số được tạo thành.
Câu 15: Vận dụng
Cho các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 7; 9. Từ các chữ số này, ta lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 10 và nhỏ hơn 5430?
- A.
  114.
- B.
  235.
- C.
  209.
- D.
  125.
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd}$ . Vì $\overline{abcd}$ chia hết cho 10 suy ra $d = 0$ .

TH1. Với $a = 5$ , ta có

+ Nếu $b = 4$ suy ra $c = \left\{ 0;1 ight\}$ , do đó có 2 số cần tìm.

+ Nếu $b < 4$ suy ra $b = \left\{ 0;1 ight\}$ và $c = \left\{ 0;1;4;5;6;7;9 ight\}$ , do đó có 14 số cần tìm.

TH2. Với $a < 5 \Rightarrow a = \left\{ 1;4 ight\}$ suy ra có 2 cách chọn a, 7 cách chọn b, 7 cách chọn

C.

Suy ra có $2 \times 7 \times 7 = 98$ số cần tìm. Vậy có tất cả 114 số cần tìm.
Câu 16: Vận dụng
Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để 2 học sinh nam xen giữa 3 học sinh nữ? (Biết rằng cứ đổi 2 học sinh bất kì được cách mới)
- A.
  2880.
- B.
  7860.
- C.
  2540.
- D.
  8760.
Xếp cố định 3 học sinh nữ vào hàng trước, có 3! cách xếp. Chọn 2 học sinh nam bất kì cho vào 2 khoảng trống nằm giữa 2 học sinh nữ, số cách chọn là $A_{5}^{2}$ . Xem nhóm 5 học sinh này là 1 học sinh, lúc này còn 3 học sinh nam vậy là ta đang có 4 học sinh. Số cách xếp 4 học sinh này thành hàng dọc là 4!. Vậy số cách xếp cần tìm là. $3!.A_{5}^{2}.4! = 2880$ .
Câu 17: Nhận biết
Số hạng chứa $x^{34}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{40}$ là:
- A.
  $- C_{40}^{38}x^{37}$ .
- B.
  $C_{40}^{3}x^{34}$ .
- C.
  $C_{40}^{2}x^{31}$ .
- D.
  $C_{40}^{2}x^{34}$ .
Số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{40}$ là:

$a_{k + 1} = C_{40}^{k}x^{40 - k}.\left( \frac{1}{x} ight)^{k} = C_{40}^{k}x^{40 - k}x^{- k} = C_{40}^{k}x^{40 - 2k}$ .

Số hạng chứa $x^{34}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{40}$ tương ứng với: $40 - 2k = 34 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy số hạng chứa $x^{34}$ trong khai triển $\left( x + \frac{1}{x} ight)^{40}$ là: $C_{40}^{3}x^{34}$ .
Câu 18: Nhận biết
Có bao nhiêu cách sắp xếp $3$ nữ sinh, $3$ nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ?
- A.
  $9$ .
- B.
  $36$ .
- C.
  $120$ .
- D.
  $72$ .
Đánh số thứ tự các vị trí theo hàng dọc từ $1$ đến $6$ .

Trường hợp 1. Nam đứng trước, nữ đứng sau.

Xếp nam (vào các vị trí đánh số $1,3,5$ ). Có $3! = 6$ cách.

Xếp nữ (vào các vị trí đánh số $2,4,6$ ). Có $3! = 6$ cách.

Vậy trường hợp này có. $6.6 = 36$ cách.

Trường hợp 2. Nữ đứng trước, nam đứng sau.

Xếp nữ (vào các vị trí đánh số $1,3,5$ ). Có $3! = 6$ cách.

Xếp nam (vào các vị trí đánh số $2,4,6$ ). Có $3! = 6$ cách.

Vậy trường hợp này có. $6.6 = 36$ cách.

Theo quy tắc cộng ta có. $36 + 36 = 72$ cách sắp xếp $3$ nữ sinh, $3$ nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ.
Câu 19: Thông hiểu
Cho hai đường thẳng song song d và d’. Trên đường thẳng d lấy 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d’ lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 điểm vừa nói trên.
- A.
  $1725$
- B.
  $1824$
- C.
  $1687$
- D.
  $1520$
Trường hợp 1: Lấy 2 điểm trên d và 1 điểm trên d’

Trường hợp 2: Lấy 1 điểm trên d và 2 điểm trên d’.

Số tam giác thỏa bài toán là: $C_{10}^{2}.C_{15}^{1} + C_{10}^{1}.C_{15}^{2} = 1725$ tam giác.
Câu 20: Nhận biết
Một lớp có 34 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh để làm lớp trưởng, lớp phó, bí thư?
- A.
  43 200
- B.
  $C_{34}^3$
- C.
  $A_{34}^3$
- D.
  480
Chọn 3 học sinh từ 34 học sinh rồi xếp vào 3 vai trò lớp trưởng, lớp phó, bí thư có $A_{34}^3$ cách.

50 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20

Chưa làm Đã làm