Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
Công thức sai là: .
Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
Công thức sai là: .
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ các chữ số này có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chứa chữ số 2 và chia hết cho 5?
Giả sử số đó là
Trường hợp 1. xếp 2 vào có 2 vị trí, chọn số xếp vào vị trí còn lại có 6 cách nên có 2.6 = 12 số thỏa mãn.
Trường hợp 2. . Với
chọn
có 6 cách nên có 6 số thỏa mãn. Với
chọn
có 5 cách chọn, và tất nhiên
nên có 5 số thỏa mãn. Do đó có
số thỏa mãn.
Từ khai triển biểu thức
thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là:
Xét khai triển .
Gọi là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có
.
Từ các chữ số
có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương
và gồm các chữ số đôi một khác nhau.
Trường hợp 1: n gồm ba chữ số.
Gọi .
Để n > 800 và gồm các chữ số đôi một khác nhau thì
a có 2 lựa chọn là
b có 4 lựa chọn vì phải khác a
c có 3 lựa chọn vì phải khác a; b
Vậy có số.
Trường hợp 2: n gồm bốn chữ số. Thỏa mãn n > 800.
Để n gồm các chữ số đôi một khác nhau thì có thỏa mãn.
Trường hợp 3: n gồm năm chữ số. Thỏa mãn n > 800.
Để n gồm các chữ số đôi một khác nhau thì có thỏa mãn.
Vậy có số n thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Có 10 quyển sách Toán, 8 quyển sách Lí, 5 quyển sách Văn. Cần chọn ra 8 quyển có ở cả ba môn sao cho số quyển Toán ít nhất là bốn và số quyển Văn nhiều nhất là hai. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Chọn 4 Toán, 2 Văn, 2 Lí có cách.
Chọn 4 Toán, 1 Văn, 3 Lí có cách.
Chọn 5 Toán, 2 Văn, 1 Lí có cách.
Chọn 5 Toán, 1 Văn, 2 Lí có cách.
Chọn 6 Toán, 1 Văn, 1 Lí có cách.
Tổng lại ta được 181440 cách thỏa mãn.
Cho tập hợp số:
.Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
Ta có một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3. Trong tập A có các tập con các chữ số chia hết cho 3 là
,
,
,
,
,
.
Vậy số các số cần lập là: số.
Cho tập hợp
có 10 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có 8 phần tử của tập hợp
?
Mỗi tập con có 8 phần tử của tập hợp là một tổ hợp chập 8 của 10. Vậy số tập con có 8 phần tử của tập hợp
là.
.
Tìm hệ số của số hạng chứa
trong khai triển
.
Ta có: .
Số hạng tổng quát của khai triển là: .
Số hạng chứa trong khai triển tương ứng với
.
Vậy hệ số cần tìm là: (theo tính chất của tổ hợp:
).
Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5?
Có 120 số có 5 chữ số được lập từ 5 chữ số đã cho.
Bây giờ ta xét vị trí của một chữ số trong 5 số 1, 2, 3, 4, 5 chẳng hạn ta xét số 1. Số 1 có thể xếp ở 5 vị trí khác nhau, mỗi vị trí có 4!=24 số nên khi ta nhóm các các vị trí này lại có tổng là : .
Vậy tổng các số có 5 chữ số là : .
Tìm hệ số của
trong khai triển nhị thức Newton
với
, biết
là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn
.
Điều kiện:
Khi đó
.
Số hạng tổng quát trong khai triển là
.
Tìm sao cho
.
Vậy hệ số của số hạng chứa là
.
Một hộp chứa 5 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp. Số khả năng xảy ra là:
Áp dụng quy tắc cộng ta có số khả năng xảy ra là: 5 + 4 = 9 khả năng.
Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức
?
Trong khai triển nhị thức thì số các số hạng là
nên trong khai triển
có
số hạng.
Từ khai triển biểu thức
thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là:
Xét khai triển .
Gọi là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có
.
Cho
. Từ tập hợp này lập được bao nhiêu số tự nhiên có
chữ số đôi một khác nhau?
Mỗi số tự nhiên tự nhiên có chữ số khác nhau được lập từ tập
là hoán vị của
phần tử.
Vậy có số cần tìm.
Hệ số của
trong khai triển
là:
Theo giả thiết: .
Vậy hệ số của là
.
Mỗi bảng số xe gắn máy ở thành phố X có cấu tạo như sau. Phần đầu gồm hai chữ cái trong bảng chữ cái, phần sau gồm 4 chữ số trong các chữ số:
. Ví dụ:
... Hỏi có bao nhiêu cách tạo bảng số xe theo cấu tạo trên? (Giả sử bảng chữ cái có tất cả 26 chữ cái)
Chọn hai chữ cái cho phần đầu có (mỗi chữ số có 26 cách chọn)
Còn 4 chữ số cho phần đuôi có (mỗi chữ số có 10 cách chọn)
Vậy có thể tạo được
Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra một học sinh đi dự trại hè của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bước 1: Với bài toán a thì ta thấy cô giáo có thể có hai phương án để chọn học sinh đi thi:
Bước 2: Đếm số cách chọn.
* Phương án 1: chọn 1 học sinh đi dự trại hè của trường thì có 25 cách chọn.
* Phương án 2: chọn học sinh nữ đi dự trại hè của trường thì có 20 cách chọn.
Bước 3: Áp dụng quy tắc cộng.
Vậy có 20 + 25 = 45 cách chọn.
Một người có 7 áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cà vạt trong đó có 2 cà vạt vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn bộ áo và cà vạt nếu chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
Số cách chọn 1 một bộ áo và cà vạt là:
Từ 6 chữ số
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 1 và 2?
Gọi số cần tìm có dạng
Số cách sắp xếp số 1; 2 vào 5 vị trí ta có: cách
3 vị trí còn lại có cách
Vậy số cần thành lập là: số.
Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ giỏi khiêu vũ. Người ta chọn 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhêu cách chọn?
Chọn 3 nam trong 10 nam có cách.
Chọn 3 nữ trong 6 nữ có cách.
Ghép 3 nam và 3 nữ để thành 3 cặp có 3! cách.
Theo quy tắc nhân có: cách chọn.