Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong hai phương án. Phương án thứ nhất có 10 cách thực hiện, phương án thứ hai có 5 cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của phương án thứ nhất. Khi đó, công việc có thể được thực hiện theo bao nhiêu cách?
- A.
  50 cách
- B.
  15 cách
- C.
  1 cách
- D.
  125 cách
Công việc có hai phương án thực hiện:
Phương án thứ nhất có 10 cách thực hiện
Phương án thứ hai có 5 cách thực hiện
Mặt khác, mỗi cách thực hiện của phương án này không trùng với bất kì cách nào của phương án kia.
=> Công việc có thể được thực hiện là: 10 + 5 = 15 cách
Câu 2: Thông hiểu
Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển $\left( x^{3} - \frac{1}{x} ight)^{12}$ .
- A.
  $- \ 220$ .
- B.
  $220$ .
- C.
  $924$ .
- D.
  $- \ 924$ .
Công thức số hạng thứ $(k + 1)$ của khai triển $\left( x^{3} - \frac{1}{x} ight)^{12}$ là:

$T_{k} = C_{12}^{k}( - 1)^{k}\left( x^{3} ight)^{12 - k}.\frac{1}{x^{k}} = C_{12}^{k}( - 1)^{k}{x^{3}}^{6 - 4k},0 \leq k \leq 12,k \in \mathbb{N}$ .

Số hạng không chứa $x$ ứng với $36 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 9$ (thỏa mãn).

Suy ra $T_{7} = C_{12}^{9}( - 1)^{9} = - 220$ .
Câu 3: Thông hiểu
Cho đa giác đều có tất cả 12 cạnh. Hỏi đa giác có bao nhiêu đường chéo?
- A.
  $45$
- B.
  $54$
- C.
  $66$
- D.
  $78$
Từ 12 đỉnh của đa giác đều, ta xác định được $C_{12}^{2} = 66$ đoạn thẳng.

Vậy đa giác đều có tất cả $66 - 12 = 54$ đường chéo.
Câu 4: Nhận biết
Có 3 cây bút đỏ, 4 cây bút xanh trong một hộp bút. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một cây bút từ hộp bút?
- A.
  7.
- B.
  12.
- C.
  3.
- D.
  4.
Số cách lấy ra 1 cây bút là màu đỏ có 3 cách.
Số cách lấy ra 1 cây bút là màu xanh có 4 cách.
Theo quy tắc cộng, số cách lấy ra 1 cây bút từ hộp bút là: 3 + 4 = 7 cách.
Vậy có 7 cách lấy 1 cây bút từ hộp bút.
Câu 5: Nhận biết
Khai triển biểu thức $(x + 1)^{4}$ ta thu được kết quả:
- A.
  $x^{4} + 4x^{3} + 6x^{2} + 4x + 1$
- B.
  $x^{4} + x^{3} + 6x^{2} + x + 1$
- C.
  $4x^{4} + 6x^{3} + 6x^{2} + 6x + 4$
- D.
  $6x^{4} + 4x^{3} + 2x^{3} + 4x + 1$
Ta có: $(x + 1)^{4} = x^{4} + 4x^{3} + 6x^{2} + 4x + 1$
Câu 6: Nhận biết
Cho tập hợp $S = \left\{ 1,2,3,4,7,8 ight\}$ , lấy ngẫu nhiên 1 chữ số. Các kết quả thuận lợi cho C “biến cố lấy được chữ số lẻ” là:
- A.
  $C = \left\{ 1;5;9 ight\}$
- B.
  $C = \left\{ 1;3;7 ight\}$
- C.
  $C = \left\{ 2;4;8 ight\}$
- D.
  $C = \left\{ 1,2,3,4,7,8 ight\}$
Các kết quả thuận lợi cho biến cố lấy được chữ số lẻ là: $C = \left\{ 1;3;7 ight\}$
Câu 7: Vận dụng
Cho tập hợp số: $A = \left\{ 0,1,2,3,4,5,6 ight\}$ .Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
- A.
  114
- B.
  144
- C.
  146
- D.
  148
Ta có một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3. Trong tập A có các tập con các chữ số chia hết cho 3 là $\{ 0,1,2,3\},$ $\{ 0,1,2,6\}$ , $\{ 0,2,3,4\}$ , $\{ 0,3,4,5\}$ , $\{ 1,2,4,5\}$ , $\{ 1,2,3,6\}$ , $\left\{ 1,3,5,6 ight\}$ .

Vậy số các số cần lập là: $4(4! - 3!) + 3.4! = 144$ số.
Câu 8: Thông hiểu
Cho biết hệ số của $x^{2}$ trong khai triển $(1 + 2x)^{n}$ bằng $180$ .Tìm $n$ .
- A.
  $n = 8$ .
- B.
  $n = 12$ .
- C.
  $n = 14$ .
- D.
  $n = 10$ .
Ta có: $T_{k + 1} = C_{n}^{k}.2^{k}x^{k}.$ .

Hệ số của $x^{2}$ trong khai triển bằng $180$

$C_{n}^{2}.2^{2} = 180 \Leftrightarrow\frac{n!}{(n - 2).2}.2^{2} = 180 \Leftrightarrow n(n - 1) = 90$

$\Leftrightarrow n^{2} - n - 90 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}n = 10 \ = - 9(l) \\\end{matrix} ight.$
Câu 9: Nhận biết
Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2023 tại một điểm thi có $5$ sinh viên tình nguyện được phân công trục hướng dẫn thí sinh ở $5$ vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng $1$ sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công vị trí trực cho $5$ người đó?
- A.
  120.
- B.
  125.
- C.
  312.
- D.
  100.
Mỗi cách xếp $5$ sinh viên vào $5$ vị trí thỏa đề là một hoán vị của $5$ phần tử.

Suy ra số cách xếp là $5! = 120$ cách.
Câu 10: Vận dụng
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8. Hỏi lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau, chia hết cho 2 và 3?
- A.
  30 số.
- B.
  31 số.
- C.
  35 số.
- D.
  29 số.
Chữ số cuối cùng bằng 0; các cặp số có thể xảy ra là $(1;2),(1;5),(1;8),(2;4),(4;5),(4;8)$ .

Trường hợp này có 2!.6 số.

Chữ số cuối bằng 2 ta có các bộ $(1;0),(4;0),(1;3),(3;4),(5;8)$ , hoán vị được $2!.3 + 2$ số.

Chữ số cuối bằng 4 ta có các bộ $(2;0),(2;3),(3;5),(3;8)$ , hoán vị được $2!.3 + 1$ số.

Chữ số cuối bằng 8 ta có các bộ $(0;1),(0;4),(1;3),(2;5),(3;4)$ , hoán vị được $2!.3 + 2$ số.

Kết hợp lại ta có 35 số.
Câu 11: Vận dụng
Cho $n$ là số tự nhiên thỏa mãn phương trình $C_{n - 4}^{n - 6} + nA_{n}^{2} = 454$ . Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $\left( \frac{2}{x} - x^{3} ight)^{n}$ ( với $x eq 0$ ).
- A.
  1973.
- B.
  687.
- C.
  1296.
- D.
  -1792.
Điều kiện $n \geq 6$ và $n\mathbb{\in N}$ .

$C_{n - 4}^{n - 6} + nA_{n}^{2} = 454\Leftrightarrow \frac{(n - 4)!}{(n - 6)!2!} + n \cdot \frac{n!}{(n -2)!} = 454$

$\Leftrightarrow \frac{(n - 5)(n - 4)}{2} + n^{2}(n - 1) = 454\Leftrightarrow 2n^{3} - n^{2} - 9n - 888 = 0 \Leftrightarrow n =8$ (Vì $n\mathbb{\in N}$ ).

Khi đó ta có khai triển: $\left( \frac{2}{x} - x^{3} ight)^{8}$ .

Số hạng tổng quát của khai triển là $C_{8}^{k}\left( \frac{2}{x} ight)^{8 - k}\left( - x^{3} ight)^{k} = C_{8}^{k}( - 1)^{k}2^{8 - k}x^{4k - 8}$ .

Hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ ứng với $k$ thỏa mãn: $4k - 8 = 4 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{4}$ là: $C_{8}^{3}( - 1)^{3}2^{5} = - 1792$ .
Câu 12: Vận dụng
Cho $6$ chữ số $2,3,4,5,6,7$ số các số tự nhiên chẵn có $3$ chữ số lập thành từ $6$ chữ số đó:
- A.
  $36$ .
- B.
  $18$ .
- C.
  $256$ .
- D.
  $108$ .
Gọi số tự nhiên có $3$ chữ số cần tìm là: $\overline{abc},\ a eq 0$ , khi đó:

$c$ có $3$ cách chọn

$a$ có $6$ cách chọn

$b$ có $6$ cách chọn

Vậy có: $3.6.6 = 108$ số.
Câu 13: Nhận biết
Một tổ gồm n học sinh, biết rằng có 210 cách chọn 3 học sinh trong tổ để làm ba việc khác nhau. Số n thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?
- A.
  n(n−1)(n−2) = 420.
- B.
  n(n+1)(n+2) = 420.
- C.
  n(n+1)(n+2) = 210.
- D.
  n(n−1)(n−2) = 210.
Chọn một học sinh để làm việc thứ nhất, có n cách chọn.

Chọn một học sinh để làm việc thứ hai có n − 1 cách chọn.

Chọn một học sinh để làm việc thứ ba có n − 2 cách chọn.

Do đó có n(n−1)(n−2) = 210 cách chọn.
Câu 14: Nhận biết
Cho tập hợp $M$ có $30$ phần tử. Số tập con gồm $5$ phần tử của $M$ là:
- A.
  $A_{30}^{5}$ .
- B.
  $30^{4}$ .
- C.
  $30^{6}$ .
- D.
  $C_{30}^{5}$ .
Số tập con gồm $5$ phần tử của $M$ chính là số tổ hợp chập $5$ của $30$ phần tử, nghĩa là bằng $C_{30}^{5}$ .
Câu 15: Nhận biết
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ trong khai triển của biểu thức $\left( 3x^{3} - \frac{2}{x^{2}} ight)^{5}$ .
- A.
  $- 810$ .
- B.
  $628$ .
- C.
  $180$ .
- D.
  $124$ .
Ta có $\left( 3x^{3} - \frac{2}{x^{2}} ight)^{5} = \sum_{k = 0}^{5}{( - 1)^{k}.C_{5}^{k}.\left( 3x^{3} ight)^{5 - k}.\left( \frac{2}{x^{2}} ight)^{k}} = \sum_{k = 0}^{5}{( - 1)^{k}.C_{5}^{k}.3^{5 - k}.2^{k}}x^{15 - 5k}$ .

Số hạng chứa $x^{10}$ ứng với $15 - 5k = 10 \Leftrightarrow k = 1$ .

Hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ là $( - 1)^{1}C_{5}^{1}.3^{4}.2^{1} = - 810$ .
Câu 16: Thông hiểu
Một nhóm gồm 15 học sinh nam trong đó có 5 bạn giỏi Toán và 20 học sinh nữ trong đó có 6 bạn giỏi Văn. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh sao cho có đúng 1 học sinh nam giỏi môn Toán và 1 học sinh nữ giỏi môn Văn?
- A.
  $30.C_{26}^{2}$ cách
- B.
  $25.C_{26}^{2}$ cách
- C.
  $2C_{35}^{4}$ cách
- D.
  $C_{26}^{2} + C_{9}^{2}$ cách
Số cách chọn một học sinh nam giỏi Toán và 1 học sinh nữ giỏi Văn là: $C_{5}^{1}.C_{6}^{1} = 30$ (cách)

Chọn 2 học sinh còn lại là: $C_{26}^{2}$ (cách)

Số cách chọn 4 học sinh thỏa mãn là: $30.C_{26}^{2}$ cách.
Câu 17: Nhận biết
Có bao nhiêu cách sắp xếp $3$ nữ sinh, $3$ nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ?
- A.
  $9$ .
- B.
  $36$ .
- C.
  $120$ .
- D.
  $72$ .
Đánh số thứ tự các vị trí theo hàng dọc từ $1$ đến $6$ .

Trường hợp 1. Nam đứng trước, nữ đứng sau.

Xếp nam (vào các vị trí đánh số $1,3,5$ ). Có $3! = 6$ cách.

Xếp nữ (vào các vị trí đánh số $2,4,6$ ). Có $3! = 6$ cách.

Vậy trường hợp này có. $6.6 = 36$ cách.

Trường hợp 2. Nữ đứng trước, nam đứng sau.

Xếp nữ (vào các vị trí đánh số $1,3,5$ ). Có $3! = 6$ cách.

Xếp nam (vào các vị trí đánh số $2,4,6$ ). Có $3! = 6$ cách.

Vậy trường hợp này có. $6.6 = 36$ cách.

Theo quy tắc cộng ta có. $36 + 36 = 72$ cách sắp xếp $3$ nữ sinh, $3$ nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ.
Câu 18: Nhận biết
Tìm hệ số $h$ của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $\left( x^{2} + \frac{2}{x} ight)^{7}$ .
- A.
  $h = 184$ .
- B.
  $h = 762$ .
- C.
  $h = 650$ .
- D.
  $h = 280$ .
Ta có: $\left( x^{2} + \frac{2}{x} ight)^{7} = {\sum_{k = 0}^{7}{C_{7}^{k}\left( x^{2} ight)^{k}\left( \frac{2}{x} ight)}}^{7 - k} = \sum_{k = 0}^{7}{C_{7}^{k}.2^{7 - k}.x^{3k - 7}}$

Ta có: $3k - 7 = 5$ , suy ra $k = 4.$

Vậy hệ số $h$ của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển $\left( x^{2} + \frac{2}{x} ight)^{7}$ là $h = C_{7}^{4}.2^{3} = 280.$
Câu 19: Vận dụng
Cho tập $B = \left\{ 0;1;2;4;5;7 ight\}$ . Hỏi từ B lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
- A.
  804.
- B.
  291.
- C.
  630.
- D.
  288.
Gọi số cần tìm là số dạng $\overline{abcde}$ . Vì $\overline{abcde}$ chia hết cho 3 suy ra $a + b + c + d + e \vdots 3$ .

Khi đó bộ $(a,b,c,d,e) = \left\{ (0;1;2;4;5),(0;2;4;5;7),(0;1;2;5;7) ight\}$ .

Với bộ $(a,b,c,d,e) = (0;1;2;4;5)$ suy ra có $4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 96$ số cần tìm.

Tương tự với các bộ số còn lại.
Câu 20: Thông hiểu
Giá trị của n bằng bao nhiêu, biết $\frac{5}{C_{5}^{n}}-\frac{2}{C_{6}^{n}}=\frac{14}{C_{7}^{n}}$
- A.
  n = 2 hoặc n = 4
- B.
  n = 5
- C.
  n = 4
- D.
  n = 3
Điều kiện: $n \le 5$ .
Thay $n=3$ vào phương trình, ta được $\frac{5}{C_{5}^{3}}-\frac{2}{C_{6}^{3}}=\frac{14}{C_{7}^{3}}$ $\Leftrightarrow \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$ (đúng). Do đó $n=3$ là nghiệm của phương trình.

49 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!