Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 10 Đại số tổ hợp gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Chân trời sáng tạo.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tìm hệ số của x^{6} trong khai triển \left( \frac{1}{x} + x^{3} ight)^{3n +
1}với x eq 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3C_{n + 1}^{2} + nP_{2} = 4A_{n}^{2}.

    Đk:n \geq 2,\ \ n \in
\mathbb{N.}

    \ \ \ \ \ \ \ 3C_{n + 1}^{2} + nP_{2} =
4A_{n}^{2}

    \Leftrightarrow 3\frac{(n + 1)!}{(n -
1)!2!} + 2!n = 4\frac{n!}{(n - 2)!}

    \Leftrightarrow \frac{3}{2}n(n + 1) + 2n
= 4n(n - 1)

    \Leftrightarrow \frac{5}{2}n^{2} -
\frac{15}{2}n = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
n = 0\ \ \ \ (L) \\
n = 3 \\
\end{matrix} ight.

    Với n = 3, nhị thức trở thành \left( \frac{1}{x} + x^{3}
ight)^{10}.

    Số hạng tổng quát là C_{10}^{k}.\left(
\frac{1}{x} ight)^{10 - k}.\left( x^{3} ight)^{k} = C_{10}^{k}.x^{4k
- 10}

    Từ yêu cầu bài toán ta cần có: 4k - 10 =
6 \Leftrightarrow k = 4.

    Vậy hệ số của số hạng chứa x^{6}C_{10}^{4} = 210..

  • Câu 2: Nhận biết

    Tại khu vực giá sách tham khảo lớp 11 có 20 sách tham khảo môn Toán khác nhau, 40 sách tham khảo môn Vật lý khác nhau và 50 quyển sách tham khảo môn Hóa học khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một quyển sách trên giá sách?

    Số cách chọn sách Toán là 20 cách.

    Số cách chọn sách Vật lí là 40 cách.

    Số cách chọn sách Hóa học là 50 cách.

    Vậy để chọn một cuốn sách trên giá sách ta có 20 + 40 + 50 = 110 cách chọn.

  • Câu 3: Nhận biết

    Xếp 3 quyển sách Toán, 4 sách Lý, 2 sách Hóa và 5 sách Sinh vào một kệ sách. Tất cả các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp một cách tùy ý?

    Trên kệ có tất cả 14 quyển sách khác nhau, số cách sắp xếp 14 quyển sách đó là 14!.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tìm hệ số của x^{5} trong khai triển (1 + 3x)^{2n} biết A_{n}^{3} + 2A_{n}^{2} = 100.

    Ta có: A_{n}^{3} + 2A_{n}^{2} = 100
\Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 3)!} + 2\frac{n!}{(n - 2)!} = 100
\Leftrightarrow n(n - 1)(n - 2) + 2n(n - 1) = 100

    \Leftrightarrow n^{3} - n^{2} - 100 = 0
\Leftrightarrow n = 5.

    Ta có: (1 + 3x)^{2n} = (1 + 3x)^{10} =
\sum_{k = 0}^{10}{C_{10}^{k}(3x)^{k}}.

    Hệ số x^{5} sẽ là C_{10}^{5}3^{5} = 61236.

  • Câu 5: Vận dụng

    Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số 2011 chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số 9.

    Đặt X là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.

    A ={ các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}

    Với mỗi số thuộc A có m chữ số (m \leq 2008) thì ta có thể bổ sung thêm 2011 - m số 0 vào phía trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng \overline{a_{1}a_{2}...a_{2011}};\ a_{i} \in
\left\{ 0,1,2,3,...,9 ight\}

    A_{0} = \left\{ a \in A| ight.mà trong a không có chữ số 9}

    A_{1} = \left\{ a \in A| ight. mà trong a có đúng 1 chữ số 9}

    \bullet Ta thấy tập A có 1 + \frac{9^{2011} - 1}{9} phần tử

    \bullet Tính số phần tử của A_{0}

    Với x \in A_{0} \Rightarrow x =
\overline{a_{1}...a_{2011}};a_{i} \in \left\{ 0,1,2,...,8 ight\}\ i =
\overline{1,2010}a_{2011} = 9 -
r với r \in \lbrack 1;9brack,r
\equiv \sum_{i = 1}^{2010}a_{i}. Từ đó ta suy ra A_{0}9^{2010} phần tử.

    \bullet Tính số phần tử của A_{1}

    Để lập số của thuộc tập A_{1} ta thực hiện liên tiếp hai bước sau:

    Bước 1: Lập một dãy gồm 2010 chữ số thuộc tập \left\{ 0,1,2...,8
ight\} và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số các dãy là 9^{2009}.

    Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số 9.

    Do đó A_{1}2010.9^{2009} phần tử.

    Vậy số các số cần lập là:

    1 + \frac{9^{2011} - 1}{9} - 9^{2010} -
2010.9^{2009} = \frac{9^{2011} - 2019.9^{2010} + 8}{9}.

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hai dãy ghế được xếp như sau.

    Xếp 4 bạn nam và 4 bạn nữ vào hai dãy ghế trên. Hai người được gọi là ngồi đối diện nhau nếu ngồi ở hai dãy và có cùng vị trí ghế (số ở ghế). Số cách xếp để mỗi bạn nam ngồi đối diện với một bạn nữ bằng bao nhiêu?

    Xếp 4 bạn nam vào một dãy có 4! (cách xếp).

    Xếp 4 bạn nữ vào một dãy có 4! (cách xếp).

    Với mỗi một số ghế có 2 cách đổi vị trí cho bạn nam và bạn nữ ngồi đối diện nhau.

    Số cách xếp theo yêu cầu là. 4!.4!.2^{4} (cách xếp).

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho khai triển (1
+ 3x)^{n} = a_{0} + a_{1}x^{1} + ... + a_{n}x^{n} trong đó n\mathbb{\in N}* và các hệ số thỏa mãn hệ thức a_{0} + \frac{a_{1}}{3} + ... +
\frac{a_{n}}{3^{n}} = 4096. Hệ số lớn nhất là:

    Xét khai triển (1 + 3x)^{n} = a_{0} +
a_{1}x^{1} + ... + a_{n}x^{n}.

    Cho x = \frac{1}{3} ta được \left( 1 + 3.\frac{1}{3} ight)^{n} = a_{0}
+ \frac{a_{1}}{3^{1}} + ... + \frac{a_{n}}{3^{n}} \Rightarrow 2^{n} =
4096 \Leftrightarrow n = 12.

    Khi đó (1 + 3x)^{12} = \sum_{k =
0}^{12}{C_{12}^{k}.3^{k}.x^{k}}.

    Ta có hệ số a_{k} = 3^{k}C_{12}^{k} =
3^{k}.\frac{12!}{k!.(12 - k)!}

    Hệ số a_{k} lớn nhất nên \left\{ \begin{matrix}
a_{k} \geq a_{k - 1} \\
a_{k} \geq a_{k + 1} \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
3^{k}.\frac{12!}{k!.(12 - k)!} \geq 3^{k - 1}.\frac{12!}{(k - 1)!.(12 -
k + 1)!} \\
3^{k}.\frac{12!}{k!.(12 - k)!} \geq 3^{k + 1}.\frac{12!}{(k + 1)!.(12 -
k - 1)!} \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\frac{3}{k} \geq \frac{1}{13 - k} \\
\frac{1}{12 - k} \geq \frac{3}{k + 1} \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
39 - 3k \geq k \\
k + 1 \geq 36 - 3k \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
k \leq \frac{39}{4} \\
k \geq \frac{35}{4} \\
\end{matrix} ight.

    k\mathbb{\in N} nên nhận k = 9.

    Vậy hệ số lớn nhất a_{9} =
3^{9}.C_{12}^{9} = 4330260..

  • Câu 8: Thông hiểu

    Từ tập hợp các chữ số 1,2,8,6,7,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau?

    Gọi số tự nhiên có hai chữ số \overline{ab};(a eq 0)

    Số cách chọn a là 6 cách

    Số cách chọn b là 5 cách

    Vậy số các số tự nhiên có thể tạo thành từ tập hợp các chữ số đã cho là 6.5 = 30 số.

  • Câu 9: Nhận biết

    Có 1 con mèo vàng, 1 con mèo đen, 1 con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím. Xếp 6 con mèo thành hàng ngang vào 6 cái ghế sao cho mỗi ghế chỉ có một con mèo. Đếm số cách xếp chỗ sao cho mèo vàng và mèo đen ở cạnh nhau.

    Số cách xếp con mèo vàng và con mèo đen ở cạnh nhau là 2.

    Xem nhóm con mèo vàng và đen này là một phần tử, cùng với 1 con mèo nâu, 1 con mèo trắng, 1 con mèo xanh, 1 con mèo tím, ta được 5 phần tử. Xếp 5 phần tử này là. 5!

    Vậy có 2.5! = 240.

  • Câu 10: Vận dụng

    Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số lập từ các số 0,2,4,6,8 với điều các chữ số đó không lặp lại?

    Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là: \overline{abc},\ a eq 0, khi đó:

    a4 cách chọn

    b4 cách chọn

    c3 cách chọn

    Vậy có: 4.4.3 = 48 số.

  • Câu 11: Nhận biết

    Tính số cách sắp xếp 8 học sinh thành 1 hàng dọc?

    Số cách sắp xếp 8 học sinh thành 1 hàng dọc là 8! = 40320 cách.

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho tập A =
\left\{ 0;1;2;3;4;5 ight\}. Hỏi lập được tất cả bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2 từ tập A.

    Gọi số cần tìm có dạng \overline{abcde}. Vì \overline{abcde} chia hết cho 2 suy ra e = \left\{ 0;2;4 ight\}.

    TH1. Với e = 0, khi đó 5 \times 4 \times 3 \times 2 =
120 số.

    TH2. Với e = \left\{ 2;4
ight\}, khi đó có 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c, 2 cách chọn

    d.

    Suy ra có 4 \times 4 \times 3 \times 2
\times 2 = 192 số. Vậy có tất cả 120 + 192 = 312 số cần tìm.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Biết rằng n\mathbb{\in N} thỏa mãn biểu thức A_{n}^{2} - C_{n}^{2} = 19900. Tính giá trị biểu thức B =\frac{n.C_{2n}^{n}}{C_{2n}^{n + 1}}?

    Ta có:

    A_{n}^{2} - C_{n}^{2} =19900

    \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 2)!} -\frac{n!}{2!(n - 2)!} = 19900

    \Leftrightarrow (n - 1).n = 39800\Leftrightarrow n = 200

    Lại có:

    B = \frac{n.C_{2n}^{n}}{C_{2n}^{n + 1}}= \frac{n(2n)!}{n!.n!} = \frac{(n + 1)!.(n - 1)!}{(2n)!} = n +1

    \Rightarrow B = 201

  • Câu 14: Vận dụng

    Có 8 nhà khoa học Toán (6 nam, 2 nữ) và 5 nhà khoa học Vật Lí (toàn nam). Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 nhà khoa học trong đó có cả nam, nữ, cả Toán, Vật Lí?

    +TH1. Có đúng 1 nữ nhà khoa học Toán, có 2 cách chọn. Lúc này chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn đề bài, có thể có hoặc không nhà khoa học Toán nam nào khác, số cách chọn 3 nhà khoa học còn lại là C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} +
C_{5}^{3}. Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. 2.\left( C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1}
+ C_{5}^{3} ight)

    +TH2. Có đúng 2 nữ nhà khoa học Toán, có 1 cách chọn. Cũng với ý tưởng như trên, chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn, số cách chọn 2 nhà khoa học còn lại là C_{5}^{1}C_{6}^{1}
+ C_{5}^{2}. Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là. C_{5}^{1}.C_{6}^{1} +
C_{5}^{2}.

    Vậy số cách lập cần tìm là. 2.\left(
C_{5}^{1}.C_{6}^{2} + C_{5}^{2}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3} ight) +
C_{5}^{1}.C_{6}^{1} + C_{5}^{2} = 375.

  • Câu 15: Nhận biết

    Số hạng chứa x^{4} trong khai triển biểu thức (2x + 3)^{5} là:

     Ta có: (2x+3)^5=32{x^5} + 240{x^4} + 720{x^3} + 1080{x^2} + 810x + 243.

    Số hạng cần tìm là: 240x^{4}.

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong menu của một nhà hàng gồm 5 món mặn, 5 món tráng miệng và 3 loại nước uống. Thực khách đến ăn sẽ được lên thực đơn gồm 1 món mặn, 1 món tráng miệng và 1 loại nước uống. Số thực đơn có thể có là:

    Chọn món mặn có 5 cách chọn.

    Số cách chọn món tráng miệng là 5 cách.

    Số cách chọn một loại nước uống là 3 cách.

    Theo quy tắc nhân ta có: 5.5.3 = 75 (cách).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong phòng thi có hai dãy ghế đối diện nhau qua một cái bàn dài, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 nam sinh và 6 nữ sinh vào hai dãy ghế này. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho bất cứ 2 người nào ngồi cạnh nhau cũng đều khác giới và bất cứ 2 người nào ngồi đối diện nhau cũng đều khác giới?

    Giả sử gọi 2 dãy ghế là dãy A và dãy B.

    Dãy A các ghế đánh số từ 1 đến 6, dãy B các ghế đánh số từ 7 đến 12

    Chọn một bạn để xếp vào vị trí ghế số 1 có 12 cách.

    Chọn một bạn để xếp vào vị trí ghế số 7 để khác giới với bạn vị trí ghế số 1 có 6 cách.

    Chọn một bạn để xếp vào vị trí ghế số 2 có 10 cách.

    Chọn một bạn để xếp vào vị trí ghế số 8 để khác giới với bạn vị trí ghế số 1 có 5 cách.

    Cứ tuân theo cách xếp như vậy, ta có số cách xếp là: 12.10.8.6.4.2.6.5.4.3.2 = 33177600

  • Câu 18: Nhận biết

    Hệ số của số hạng chứa x^{6}trong khai triển Newton \left( x - \frac{2}{x^{2}}
ight)^{15}là:

    \left( x - \frac{2}{x^{2}} ight)^{15}
= \sum_{k = 0}^{15}{C_{15}^{k}x^{15 - k}\left( - \frac{2}{x^{2}}
ight)^{k}} = \sum_{k = 0}^{15}{C_{15}^{k}x^{15 - k}( - 2)^{k}\left(
x^{- 2} ight)^{k} =}\sum_{k = 0}^{15}{C_{15}^{k}( - 2)^{k}x^{15 -
3k}}

    Số hạng tổng quát của khái triển T_{k +
1} = C_{15}^{k}( - 2)^{k}x^{15 - 3k}

    Số của số hạng chứa x^{6}: 15 - 3k = 6 \Leftrightarrow k = 3. Hệ số của số hạng chứa x^{6}C_{15}^{k}( - 2)^{k} =
C_{15}^{3}( - 2)^{3} = - 3640.

  • Câu 19: Nhận biết

    Tìm hệ số của x^{7} trong khai triển (1 + x)^{10}.

    Số hạng tổng quát là: T_{k + 1} =
C_{10}^{k}.x^{k}.

    Số hạng chứa x^{7} trong khai triển (1 + x)^{10} là: T_{8} = C_{10}^{8}.x^{7} nên hệ số là 45.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Từ 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?

    Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là \overline{abcd};(a eq b eq c eq
d)

    Bộ bốn chữ số có tổng chia hết cho 3 là: A = \left\{
(0;1;2;3),(0;2;3;4),(0;3;4;5),(1;2;4;5) ight\}

    Trường hợp 1: \overline{abcd} \in \left\{
(0;1;2;3),(0;2;3;4),(0;3;4;5) ight\}

    Chọn a: 3 cách (vì a ≠ 0).

    Chọn b, c, d: 3! = 6 cách chọn.

    Khi đó: 3.6=18 (cách).

    Trường hợp 2: \overline{abcd} \in \left\{
1;2;4;5 ight\}

    Chọn a,b,c,d: 4! = 24

    Vậy 6 + 24 = 30 (số)

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Chương 8 Đại số tổ hợp Chân trời sáng tạo Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 5 lượt xem
Sắp xếp theo