Đề kiểm tra 15 phút Hàm số lũy thừa - Trắc nghiệm Toán 12 Hàm số

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Hàm số lũy thừa của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Cho a và b là các số thực thỏa mãn ${3.2^a} + {2^b} = 7\sqrt 2$ và ${5.2^n} - {2^b} = 9\sqrt 2$ . Giá trị biểu thức $S = a + b$ là:
- A. $S = 3$
- B. $S = 2$
- C. $S = 4$
- D. $S = 1$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^a} = 2\sqrt 2 } \\ {{2^b} = \sqrt 2 } \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{3}{2}} \\ {b = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight. \Rightarrow S = 2$
Câu 2: Thông hiểu
Viết biểu thức $P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}};\left( {x > 0} ight)$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
- A. $P = {x^{\frac{{61}}{{30}}}}$
- B. $P = {x^{\frac{{117}}{{30}}}}$
- C. $P = {x^{\frac{{113}}{{30}}}}$
- D. $P = {x^{\frac{{83}}{{30}}}}$
Ta có: $P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}} = {x^{\frac{1}{5}}}.{x^{\frac{2}{3}}}.{x^{\frac{3}{5}}} = {x^{\frac{{113}}{{30}}}}$
Câu 3: Thông hiểu
Cho đồ thị hàm số $y = {x^{ - \sqrt 2 }}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
- B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.
- C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.
- D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và có một tiệm cận đứng.
Theo định nghĩa của hàm số lũy thừa, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 0
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0$ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 và tiệm cận đứng là x = 0
Câu 4: Vận dụng
Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt {4 - {x^2}} + \sqrt[3]{{\frac{{x + 1}}{{x - 1}}}} + x + 1$
- A. $D = \left[ { - 2;2} ight]$
- B. $D = \left[ { - 2;2} ight]\backslash \left\{ 1 ight\}$
- C. $D = \left( { - \infty ; - 2} ight) \cup \left( {2; + \infty } ight)$
- D. $D = \left( { - 2;2} ight)\backslash \left\{ 1 ight\}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - {x^2} \geqslant 0} \\ {x e 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 \leqslant x \leqslant 2} \\ {x e 1} \end{array}} ight.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left[ { - 2;2} ight]\backslash \left\{ 1 ight\}$
Câu 5: Thông hiểu
Cho a là một số dương, biểu thức ${a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a$ viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
- A. ${a^{\frac{5}{6}}}$
- B. ${a^{\frac{7}{6}}}$
- C. ${a^{\frac{4}{3}}}$
- D. ${a^{\frac{6}{7}}}$
Ta có: ${a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}}$
Câu 6: Vận dụng cao
Cho số thực dương a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức
$P = \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} - 3{b^{\frac{1}{4}}}} ight).\left( {2{a^{\frac{1}{4}}} + 3{b^{\frac{1}{4}}}} ight).\left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} ight)$
có dạng $P = xa + yb$ . Tính $x + y$ .
- A. $x + y = 97$
- B. $x + y = - 65$
- C. $x - y = 56$
- D. $y - x = - 97$
Ta có:
$\begin{matrix} P = \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} - 3{b^{\frac{1}{4}}}} ight).\left( {2{a^{\frac{1}{4}}} + 3{b^{\frac{1}{4}}}} ight).\left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} ight) \hfill \\ P = \left[ {{{\left( {2{a^{\frac{1}{4}}}} ight)}^2} - {{\left( {3{b^{\frac{1}{4}}}} ight)}^2}} ight].\left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} ight) \hfill \\ P = \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} - 9{b^{\frac{1}{2}}}} ight).\left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} ight) \hfill \\ P = \left[ {{{\left( {4{a^{\frac{1}{2}}}} ight)}^2} - {{\left( {9{b^{\frac{1}{2}}}} ight)}^2}} ight] = 16a - 81b \hfill \\ \Rightarrow x = 16;y = - 81 \hfill \\ \Rightarrow y - x = - 97 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 7: Thông hiểu
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
- A. $y = {x^2}$
- B. $y = {x^{ - 4}}$
- C. $y = {x^{\frac{5}{2}}}$
- D. $y = {x^{ - \frac{5}{2}}}$
Ta có: $y = {x^{ - \frac{5}{2}}} \Rightarrow y' = - \frac{5}{2}.{x^{ - \frac{7}{2}}};\forall x > 0$ nên hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
Câu 8: Nhận biết
Tập xác định của hàm số $f\left( x ight) = {\left( {x - 2} ight)^{ - 1}}$ là:
- A. $x e 2$
- B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}$
- C. $\mathbb{R}$
- D. $x e \pm 2$
Điều kiện xác định của hàm số là:
$x - 2 e 0 \Rightarrow x e 2$
=> Tập xác định của hàm số là: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}$
Câu 9: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số $y = \left( {{x^2} + 2x - 2} ight){.5^x}$
- A. $y' = \left( {{x^2} + 2} ight){.5^x}$
- B. $y' = \left( {2x + 2} ight){.5^x}$
- C. $y' = \left( {2x + 2} ight){.5^x}.\ln 5$
- D. $y' = \left( {2x + 2} ight){.5^x} + \left( {{x^2} + 2x - 2} ight){.5^x}.\ln 5$
Ta có:
$\begin{matrix} y' = \left( {{x^2} + 2x - 2} ight)'{.5^x} + \left( {{5^x}} ight)'.\left( {{x^2} + 2x - 2} ight) \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( {2x + 2} ight){.5^x} + \left( {{x^2} + 2x - 2} ight){.5^x}.\ln 5 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 10: Nhận biết
Cho $0 < a e 1$ và biểu thức $\sqrt {a.\sqrt[3]{a}}$ viết dưới dạng ${a^n}$ . Giá trị của n là:
- A. $n = \frac{5}{3}$
- B. $n = \frac{{11}}{6}$
- C. $n = \frac{2}{3}$
- D. $n = \frac{1}{6}$
Ta có:
$\sqrt {a.\sqrt[3]{a}} = {\left( {a.{a^{\frac{1}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3}}}$
Vậy $n = \frac{2}{3}$
Câu 11: Nhận biết
Giá trị của biểu thức $P = {\left( {1 + \sqrt 3 } ight)^{2016}}.{\left( {3 - \sqrt 3 } ight)^{2016}}$ bằng:
- A. ${12^{1008}}$
- B. ${4^{1008}}$
- C. ${\left( {1 + \sqrt 3 } ight)^{1008}}$
- D. ${\left( {3 - \sqrt 3 } ight)^{1008}}$
Ta có:
$P = {\left( {1 + \sqrt 3 } ight)^{2016}}.{\left( {3 - \sqrt 3 } ight)^{2016}}$
$= {\left[ {\left( {1 + \sqrt 3 } ight)\left( {3 - \sqrt 3 } ight)} ight]^{2016}} = {\left( {2\sqrt 3 } ight)^{2016}} = {12^{1008}}$
Câu 12: Vận dụng
Cho $f\left( x ight) = \sqrt {1 + 3x} - \sqrt[3]{{1 + 2x}};g\left( x ight) = \sin x$ . Tính giá trị của biểu thức $\frac{{f'\left( 0 ight)}}{{g'\left( 0 ight)}}$
- A. $\frac{5}{6}$
- B. $- \frac{5}{6}$
- C. $0$
- D. $1$
Ta có:
$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( x ight) = \dfrac{3}{{2\sqrt {1 + 3x} }} - \dfrac{2}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {1 + 2x} ight)}^2}}}}} \Rightarrow f'\left( 0 ight) = \dfrac{5}{6}} \\ {g'\left( x ight) = \cos x \Rightarrow g'\left( 0 ight) = 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \frac{{f'\left( 0 ight)}}{{g'\left( 0 ight)}} = \dfrac{5}{6} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 13: Thông hiểu
Hàm số $y = {\left( {4{x^2} - 1} ight)^{ - 4}}$ có tập xác định là:
- A. $\left( {0; + \infty } ight]$
- B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} ight\}$
- C. $\mathbb{R}$
- D. $\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} ight)$
Hàm số $y = {x^\alpha }$ có số mũ nguyên âm xác định khi
Hàm số $y = {\left( {4{x^2} - 1} ight)^{ - 4}}$ xác định khi $4{x^2} - 1 e 0 \Leftrightarrow x e \pm \frac{1}{2}$
Vậy tập xác định là: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} ight\}$
Câu 14: Thông hiểu
Cho hàm số $f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^{\frac{5}{6}}}$ . Tính $f'\left( 2 ight)$
- A. $\frac{5}{6}$
- B. $\frac{5}{3}$
- C. $\frac{{ - 5}}{6}$
Tập xác định $\left( {\frac{2}{3}; + \infty } ight)$
Ta có: $f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^{\frac{5}{6}}} \Rightarrow f'\left( x ight) = \frac{5}{3}.{\left( {2x - 3} ight)^{\frac{{ - 1}}{6}}} \Rightarrow f'\left( 2 ight) = \frac{5}{3}$
Câu 15: Nhận biết
Tập xác định của hàm số $f\left( x ight) = {\left( {{x^2} - 1} ight)^{ - 2}}$ là:
- A. $x e \pm 1$
- B. $D = \left( { - 1;1} ight)$
- C. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} ight\}$
- D. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\}$
Hàm số $f\left( x ight) = {\left( {{x^2} - 1} ight)^{ - 2}}$ xác định khi ${x^2} - 1 e 0 \Rightarrow x e \pm 1$
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} ight\}$
Câu 16: Vận dụng
Giá trị của biểu thức $M = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2019}}.{\left( {3\sqrt 2 - 4} ight)^{2018}}$ là:
- A. ${2^{1019}}$
- B. $\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight){.2^{1009}}$
- C. $\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight){.2^{1009}}$
- D. $3 + 2\sqrt 2$
Ta có:
$\begin{matrix} 3\sqrt 2 - 4 = \sqrt 2 .\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight) \hfill \\ \Rightarrow M = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2019}}.{\left( {\sqrt 2 } ight)^{2018}}.{\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}} \hfill \\ \left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight) = {3^2} - {\left( {2\sqrt 2 } ight)^2} = 9 - 8 = 1 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {3 + 2\sqrt 2 } ight)^{2018}}{\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}} = 1 \hfill \\ \Rightarrow M = {\left( {3 - 2\sqrt 2 } ight)^{2018}}{.2^{2019}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 17: Vận dụng
Cho biết ${\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{3}}} > {\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{6}}}$ , khẳng định nào sau đây đúng?
- A. $2 < x < 3$
- B. $0 < x < 1$
- C. $x > 2$
- D. $x > 1$
Điều kiện: $x - 2 > 0 \to x > 2$
Ta có:
$- \frac{1}{3} > - \frac{1}{6} \Rightarrow {\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{3}}} > {\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{6}}}$
$\Rightarrow x - 2 < 1 \Rightarrow x < 3$
Vậy $2 < x < 3$
Câu 18: Nhận biết
Biết rằng $\sqrt x .\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt x }} = {x^n}$ với x > 0. Tìm n?
- A. $n = 2$
- B. $n = \frac{2}{3}$
- C. $n = \frac{4}{3}$
- D. $n = 3$
Ta có:
$\begin{matrix} \sqrt x .\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt x }} \hfill \\ = {x^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[3]{{{x^2}.{x^{\frac{1}{2}}}}} = {x^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[3]{{{x^{\frac{5}{2}}}}} \hfill \\ = {x^{\frac{1}{2}}}.{x^{\frac{5}{6}}} = {x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{6}}} = {x^{\frac{4}{3}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $n = \frac{4}{3}$
Câu 19: Vận dụng cao
Bố bạn Nam gửi 15000 USD vào trong ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,73% một tháng để dành cho Nam học đại học. Nếu cuối cùng mỗi tháng kể từ ngày gửi Nam rút tiền đều đặn 300USSD (trừ tháng cuối) thì sai bao nhiêu tháng số tiền để dành cho Nam sẽ được rút hết? (tháng cuối là tháng mà số tiền còn trong ngân hàng không vượt 300USSD và khi đó Nam rút hết toàn bộ số tiền còn lại).
- A. 63 tháng
- B. 62 tháng
- C. 71 tháng
- D. 55 tháng
Gọi A_n là số tiền còn lại sau khi nam rút đến tháng thứ n, A là số tiền gủi vào, r là lãi suất hàng tháng và X là số tiền rút ra hàng tháng
Ta có:
$\begin{matrix} {A_1} = A\left( {1 + r} ight) - X \hfill \\ {A_2} = A{\left( {1 + r} ight)^2} - X\left( {\left( {1 + r} ight) + 1} ight) \hfill \\ {A_3} = A{\left( {1 + r} ight)^3} - X\left( {{{\left( {1 + r} ight)}^2} + \left( {1 + r} ight) + 1} ight) \hfill \\ ..... \hfill \\ {A_n} = A{\left( {1 + r} ight)^n} - X\left( {{{\left( {1 + r} ight)}^{n - 1}} + {{\left( {1 + r} ight)}^{n - 2}} + ... + \left( {1 + r} ight) + 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy ${A_n} = A{\left( {1 + r} ight)^n} - X\frac{{{{\left( {1 + r} ight)}^n} - 1}}{r} \Rightarrow n = {\log _{1 + r}}.\frac{{{A_n}r - X}}{{{A_r} - X}}$
Áp dụng vào bài toán ta có: $n \approx 62,43641729$
Câu 20: Thông hiểu
Với a là một số thực dương thì biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} ight)}^{\sqrt 2 + 2}}}}$ được rút gọn là:
- A. $P = {a^5}$
- B. $P = {a^4}$
- C. $P = {a^3}$
- D. $P = a$
Ta có: $P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} ight)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}$