Đề kiểm tra 15 phút Hàm số lũy thừa - Trắc nghiệm Toán 12 Hàm số

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Hàm số lũy thừa của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho một số thực $\alpha$ tùy ý. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
- A. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \mathbb{R}$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$
- B. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \left( {0; + \infty } ight)$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$
- C. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \left( {0; + \infty } ight)$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \frac{1}{\alpha }.{x^{\alpha - 1}}$
- D. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \mathbb{R}$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha + 1}}$
Theo tính chất đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với mọi x > 0 và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$
Câu 2: Vận dụng
Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt {4 - {x^2}} + \sqrt[3]{{\frac{{x + 1}}{{x - 1}}}} + x + 1$
- A. $D = \left[ { - 2;2} ight]$
- B. $D = \left[ { - 2;2} ight]\backslash \left\{ 1 ight\}$
- C. $D = \left( { - \infty ; - 2} ight) \cup \left( {2; + \infty } ight)$
- D. $D = \left( { - 2;2} ight)\backslash \left\{ 1 ight\}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - {x^2} \geqslant 0} \\ {x e 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 \leqslant x \leqslant 2} \\ {x e 1} \end{array}} ight.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left[ { - 2;2} ight]\backslash \left\{ 1 ight\}$
Câu 3: Thông hiểu
Cho ${5^x} = 2$ . Tính $A = {25^x} + {5^{2 - x}}$
- A. $A = \frac{{13}}{2}$
- B. $A = \frac{{75}}{2}$
- C. $A = \frac{{33}}{2}$
- D. $A = 29$
Ta có: $A = {25^x} + {5^{2 - x}} = {\left( {{5^x}} ight)^2} + \frac{{25}}{{{5^x}}} = \frac{{33}}{2}$
Câu 4: Thông hiểu
Cho đồ thị hàm số $y = {x^{ - \sqrt 2 }}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
- B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.
- C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.
- D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và có một tiệm cận đứng.
Theo định nghĩa của hàm số lũy thừa, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 0
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0$ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0 và tiệm cận đứng là x = 0
Câu 5: Thông hiểu
Cho hàm số $f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^{\frac{5}{6}}}$ . Tính $f'\left( 2 ight)$
- A. $\frac{5}{6}$
- B. $\frac{5}{3}$
- C. $\frac{{ - 5}}{6}$
Tập xác định $\left( {\frac{2}{3}; + \infty } ight)$
Ta có: $f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^{\frac{5}{6}}} \Rightarrow f'\left( x ight) = \frac{5}{3}.{\left( {2x - 3} ight)^{\frac{{ - 1}}{6}}} \Rightarrow f'\left( 2 ight) = \frac{5}{3}$
Câu 6: Thông hiểu
Cho a là một số dương, biểu thức ${a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a$ viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
- A. ${a^{\frac{5}{6}}}$
- B. ${a^{\frac{7}{6}}}$
- C. ${a^{\frac{4}{3}}}$
- D. ${a^{\frac{6}{7}}}$
Ta có: ${a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}}$
Câu 7: Vận dụng
Cho a và b là các số thực thỏa mãn điều kiện ${\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a}$ và ${b^{\dfrac{5}{4}}} > {b^{\dfrac{4}{3}}}$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A. $a > 0;b > 1$
- B. $a > 0;0 < b < 1$
- C. $a > 0;0 < b < 1$
- D. $a < 0;b > 1$
Ta có:
${\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a} \Rightarrow a < 0$
${b^{\frac{5}{4}}} > {b^{\frac{4}{3}}} \Rightarrow 0 < b < 1$
Câu 8: Vận dụng
Đạo hàm của hàm số $y = {\left( {{x^2} + x + x} ight)^{\frac{1}{3}}}$
- A. $y' = \frac{{2x + 1}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + x + 1} ight)}^2}}}}}$
- B. $y' = \frac{{2x + 1}}{{3\sqrt[3]{{{x^2} + x + 1}}}}$
- C. $y' = \frac{1}{3}{\left( {{x^2} + x + 1} ight)^{\frac{{ - 2}}{3}}}$
- D. $y' = \frac{1}{3}{\left( {{x^2} + x + 1} ight)^{\frac{2}{3}}}$
Ta có:
$\begin{matrix} y' = \dfrac{1}{3}.{\left( {{x^2} + x + 1} ight)^{\frac{1}{3} - 1}}.\left( {{x^2} + x + 1} ight)\prime \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{1}{3}.{\left( {{x^2} + x + 1} ight)^{ - \frac{2}{3}}}.\left( {2x + 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow y' = \dfrac{{2x + 1}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + x + 1} ight)}^2}}}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 9: Nhận biết
Tập xác định của hàm số $y = {\left( {x + 3} ight)^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[4]{{5 - x}}$ là:
- A. $D = \left( { - 3;5} ight]$
- B. $D = \left( { - 3; + \infty } ight)\backslash \left\{ 5 ight\}$
- C. $D = \left( { - 3;5} ight)$
- D. $D = \left( { - 3; + \infty } ight)$
Điều kiện xác định: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 3 > 0} \\ {5 - x \geqslant 0} \end{array}} ight. \Rightarrow - 3 < x \leqslant 5$
=> Tập xác định của hàm số là $D = \left( { - 3;5} ight]$
Câu 10: Thông hiểu
Cho hàm số $y = {x^\pi }$ . Tính $y''\left( 1 ight)$
- A. $y''\left( 1 ight) = 0$
- B. $y''\left( 1 ight) = {\ln ^2}\pi$
- C. $y''\left( 1 ight) = \pi \ln \pi$
- D. $y''\left( 1 ight) = \pi \left( {\pi - 1} ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} y' = \pi .{x^{\pi - 1}} \Rightarrow y'' = \pi \left( {\pi - 1} ight).{x^{\pi - 2}} \hfill \\ y''\left( 1 ight) = \pi \left( {\pi - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 11: Thông hiểu
Cho hàm số $y = {x^{\frac{{ - 3}}{4}}}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A. Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng
- B. Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang
- C. Đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ
- D. Là hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } ight)$
Hàm số $y = {x^{\frac{{ - 3}}{4}}}$ có các tính chất như sau:
Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng
Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang
Là hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } ight)$
Câu 12: Nhận biết
Cho biết $Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}}$ với $a > 0,a e 1$ . Chọn khẳng định đúng?
- A. $Q = {a^{\frac{5}{3}}}$
- B. $Q = {a^{\frac{7}{3}}}$
- C. $Q = {a^{\frac{7}{4}}}$
- D. $Q = {a^{\frac{{11}}{6}}}$
Ta có: $Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}} = {\left( {{a^2}.{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{{10}}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{5}{3}}}$
Vậy $Q = {a^{\frac{5}{3}}}$
Câu 13: Nhận biết
Giá trị của biểu thức $P = {\left( {1 + \sqrt 3 } ight)^{2016}}.{\left( {3 - \sqrt 3 } ight)^{2016}}$ bằng:
- A. ${12^{1008}}$
- B. ${4^{1008}}$
- C. ${\left( {1 + \sqrt 3 } ight)^{1008}}$
- D. ${\left( {3 - \sqrt 3 } ight)^{1008}}$
Ta có:
$P = {\left( {1 + \sqrt 3 } ight)^{2016}}.{\left( {3 - \sqrt 3 } ight)^{2016}}$
$= {\left[ {\left( {1 + \sqrt 3 } ight)\left( {3 - \sqrt 3 } ight)} ight]^{2016}} = {\left( {2\sqrt 3 } ight)^{2016}} = {12^{1008}}$
Câu 14: Vận dụng
Cho a và b là các số thực thỏa mãn ${3.2^a} + {2^b} = 7\sqrt 2$ và ${5.2^n} - {2^b} = 9\sqrt 2$ . Giá trị biểu thức $S = a + b$ là:
- A. $S = 3$
- B. $S = 2$
- C. $S = 4$
- D. $S = 1$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^a} = 2\sqrt 2 } \\ {{2^b} = \sqrt 2 } \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{3}{2}} \\ {b = \dfrac{1}{2}} \end{array}} ight. \Rightarrow S = 2$
Câu 15: Thông hiểu
Viết biểu thức $P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}};\left( {x > 0} ight)$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
- A. $P = {x^{\frac{{61}}{{30}}}}$
- B. $P = {x^{\frac{{117}}{{30}}}}$
- C. $P = {x^{\frac{{113}}{{30}}}}$
- D. $P = {x^{\frac{{83}}{{30}}}}$
Ta có: $P = \sqrt {{x^5}} .\sqrt[3]{{{x^2}}}.\sqrt[5]{{{x^3}}} = {x^{\frac{1}{5}}}.{x^{\frac{2}{3}}}.{x^{\frac{3}{5}}} = {x^{\frac{{113}}{{30}}}}$
Câu 16: Vận dụng cao
Hàm số $y = \left( {x - 1} ight)\sqrt[3]{{{x^2}}}$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 0
Tập xác định $\mathbb{R}$
Ta có: $y' = 0$ tại $x = \frac{2}{5}$ và y' không xác định tại
Ta có bảng biến thiên đạo hàm như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y có 2 điểm cực trị
Câu 17: Nhận biết
Rút gọn biểu thức $P = \frac{{{x^{\frac{1}{6}}}.\sqrt[3]{{{x^4}}}.\sqrt[4]{{{x^5}}}}}{{\sqrt {{x^3}} }}$ với x > 0
- A. $P = {x^{\frac{5}{4}}}$
- B. $P = {x^{\frac{{112}}{{60}}}}$
- C. $P = {x^{\frac{{13}}{{18}}}}$
- D. $P = {x^{\frac{{211}}{{60}}}}$
Ta có: $P = \frac{{{x^{\frac{1}{6}}}.\sqrt[3]{{{x^4}}}.\sqrt[4]{{{x^5}}}}}{{\sqrt {{x^3}} }} = \frac{{{x^{\frac{1}{6}}}.{x^{\frac{4}{3}}}.{x^{\frac{5}{4}}}}}{{{x^{\frac{3}{2}}}}} = \frac{{{x^{\frac{{11}}{4}}}}}{{{x^{\frac{3}{2}}}}} = {x^{\frac{5}{4}}}$
Câu 18: Vận dụng
Cho hàm số $f\left( x ight) = \frac{{{2^x}}}{{{x^x} + 2}}$ . Tính tổng $f\left( 0 ight) + f\left( {\frac{1}{{10}}} ight) + ... + f\left( {\frac{{18}}{{10}}} ight) + f\left( {\frac{{19}}{{10}}} ight)$ là:
- A. $\frac{{59}}{6}$
- B. $10$
- C. $\frac{{19}}{2}$
- D. $\frac{{28}}{3}$
Với $a + b = 2$ ta có:
$f\left( a ight) + f\left( b ight) = \frac{{{2^a}}}{{{2^a} + 2}} + \frac{{{2^b}}}{{{2^b} + 2}} = \frac{{{{2.2}^{a + b}} + {{2.2}^a} + {{2.2}^b}}}{{{2^{a + b}} + {{2.2}^a} + {{2.2}^b} + 4}} = 1$
Nhận thấy $\frac{1}{{10}} + \frac{{19}}{{10}} = 2... \Rightarrow P = f\left( 0 ight) + f\left( 1 ight) + 9.1 = \frac{{59}}{6}$
Câu 19: Vận dụng cao
Cho $f\left( x ight) = {5^{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} }}$ biết rằng $f\left( 1 ight).f\left( 2 ight).....f\left( {2020} ight) = {5^{\dfrac{m}{n}}}$ với m và n là các số nguyên dương và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản. Tính giá trị biểu thức $m - {n^2}$ .
- A. 2021
- B. -1
- C. 1
- D. 2020
Ta có:
$f\left( x ight) = {5^{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} }}$
$= {5^{\sqrt {\dfrac{{{x^2}.{{\left( {x + 1} ight)}^2} + {x^2} + {{\left( {x + 1} ight)}^2}}}{{{x^2}.{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} }}$
$= {5^{\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x\left( {x + 1} ight)}}}} = {5^{1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}}}$
$\begin{matrix} f\left( 1 ight).f\left( 2 ight).....f\left( {2020} ight) = {5^{\dfrac{m}{n}}} \hfill \\ \Leftrightarrow {5^{\sum\limits_{x = 1}^{2020} {\left( {1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)} }} = {5^{\dfrac{m}{n}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \sum\limits_{x = 1}^{2020} {\left( {1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} ight)} = \dfrac{m}{n} \hfill \\ \Leftrightarrow 2021 - \dfrac{1}{{2021}} = \dfrac{m}{n} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{4084440}}{{2021}} = \dfrac{m}{n} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 4084440} \\ {n = 2021} \end{array}} ight. \Rightarrow m - {n^2} = - 1 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 20: Nhận biết
Cho hàm số $y = {\left( {x - 1} ight)^{ - \frac{1}{4}}}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A. Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng
- B. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = -1
- C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 0
- D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1