Đề kiểm tra 15 phút Hàm số lũy thừa - Trắc nghiệm Toán 12 Hàm số

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Hàm số lũy thừa của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Cho biết năm 2018, tỉnh A có 2 triệu người và tỉ lệ dân số là 1,4%/năm. Hỏi đến năm 2025 tỉnh A có bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi?
- A. 2,2059 triệu người
- B. 2,5032 triệu người
- C. 2,4155 triệu người
- D. 2,2509 triệu người
Ta có: A = 2, n = 7; I = 0,014
Số dân tỉnh A đến năm 2025 là $S = 2.{e^{7.0,014}} \approx 2,2059$ triệu người.
Câu 2: Vận dụng
Cho $x > 0;y > 0$ . Viết biểu thức ${x^{\frac{4}{5}}}.\sqrt[6]{{{x^5}\sqrt x }} = {x^m}$ và ${y^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y^5}\sqrt y }} = {y^n}$ . Tính $T = m - n$
- A. $T = \frac{{11}}{6}$
- B. $T = - \frac{8}{5}$
- C. $T = - \frac{{11}}{6}$
- D. $T = \frac{8}{5}$
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {{x^m}} ight)}^6} = {x^{\frac{{24}}{5}}}.{x^5}.{x^{\frac{1}{2}}} = {x^{\frac{{103}}{{10}}}} \Rightarrow m = \dfrac{{103}}{{60}}} \\ {{{\left( {{y^n}} ight)}^6} = {y^{\frac{{24}}{5}}}:\left( {{y^5}.{y^{\frac{1}{2}}}} ight) = {y^{ - \frac{7}{{10}}}} \Rightarrow n = - \dfrac{7}{{60}}} \end{array}} ight. \Rightarrow T = m - n = \frac{{11}}{6}$
Câu 3: Thông hiểu
Cho số thực a dương. Rút gọn biểu thức $P = \sqrt[5]{{a.\sqrt[4]{{a.\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}}}$
- A. $P = {a^{\frac{1}{{14}}}}$
- B. $P = {a^{\frac{1}{{120}}}}$
- C. $P = {a^{\frac{{11}}{{40}}}}$
- D. $P = {a^{\frac{{13}}{{60}}}}$
Ta có:
$P = \sqrt[5]{{a.\sqrt[4]{{a.\sqrt[3]{{{a^{\frac{3}{2}}}}}}}}} = {\left( {a\sqrt[4]{{a.{a^{\frac{1}{2}}}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {a\sqrt[4]{{{a^{\frac{3}{2}}}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {a.{a^{\frac{3}{8}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{a^{\frac{{11}}{8}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {a^{\frac{{11}}{{40}}}}$
Câu 4: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số $y = {\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 }}$
- A. $y' = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 - 1}}$
- B. $y' = \sqrt 3 .\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 + 1}}$
- C. $y' = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}$
- D. $y' = \sqrt 3 .\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 - 1}}$
Ta có:
$\begin{matrix} y' = \sqrt 3 .{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 - 1}}.\left( {{x^2} - 3x + 1} ight)\prime \hfill \\ \Rightarrow y' = \sqrt 3 .\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 - 1}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 5: Vận dụng cao
Cho đồ thị ba hàm số trên khoảng như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. $\gamma < \beta < \alpha < 0$
- B. $0 < \gamma < \beta < \alpha < 1$
- C. $0 < \alpha < \beta < \gamma < 1$
- D. $1 < \gamma < \beta < \alpha$
Từ đồ thị ta thấy
Với $0 < x < 1$ thì ${x^\gamma } < {x^\beta } < {x^\alpha } < {x^1} \Rightarrow \alpha > \beta > \gamma > 1$
Với $x > 1$ thì ${x^1} < {x^\gamma } < {x^\beta } < {x^\alpha } \Rightarrow 1 < \gamma < \beta < \alpha$
Câu 6: Nhận biết
Cho hàm số $y = {\left( {{x^2} - 2x + 1} ight)^{\frac{1}{3}}}$ . Tập xác định của hàm số đã cho là:
- A. $D = \left( {0; + \infty } ight)$
- B. $D = \mathbb{R}$
- C. $D = \left( {1; + \infty } ight)$
- D. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}$
Điều kiện xác đinh: ${x^2} - 2x + 1 > 0 \Rightarrow x e 1$
=> Tập xác định của hàm số là: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}$
Câu 7: Thông hiểu
Với a là một số thực dương thì biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} ight)}^{\sqrt 2 + 2}}}}$ được rút gọn là:
- A. $P = {a^5}$
- B. $P = {a^4}$
- C. $P = {a^3}$
- D. $P = a$
Ta có: $P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} ight)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}$
Câu 8: Vận dụng
Cho hàm số $f\left( x ight) = \frac{{{2^x}}}{{{x^x} + 2}}$ . Tính tổng $f\left( 0 ight) + f\left( {\frac{1}{{10}}} ight) + ... + f\left( {\frac{{18}}{{10}}} ight) + f\left( {\frac{{19}}{{10}}} ight)$ là:
- A. $\frac{{59}}{6}$
- B. $10$
- C. $\frac{{19}}{2}$
- D. $\frac{{28}}{3}$
Với $a + b = 2$ ta có:
$f\left( a ight) + f\left( b ight) = \frac{{{2^a}}}{{{2^a} + 2}} + \frac{{{2^b}}}{{{2^b} + 2}} = \frac{{{{2.2}^{a + b}} + {{2.2}^a} + {{2.2}^b}}}{{{2^{a + b}} + {{2.2}^a} + {{2.2}^b} + 4}} = 1$
Nhận thấy $\frac{1}{{10}} + \frac{{19}}{{10}} = 2... \Rightarrow P = f\left( 0 ight) + f\left( 1 ight) + 9.1 = \frac{{59}}{6}$
Câu 9: Nhận biết
Rút gọn biểu thức $P = \frac{{{x^{\frac{1}{6}}}.\sqrt[3]{{{x^4}}}.\sqrt[4]{{{x^5}}}}}{{\sqrt {{x^3}} }}$ với x > 0
- A. $P = {x^{\frac{5}{4}}}$
- B. $P = {x^{\frac{{112}}{{60}}}}$
- C. $P = {x^{\frac{{13}}{{18}}}}$
- D. $P = {x^{\frac{{211}}{{60}}}}$
Ta có: $P = \frac{{{x^{\frac{1}{6}}}.\sqrt[3]{{{x^4}}}.\sqrt[4]{{{x^5}}}}}{{\sqrt {{x^3}} }} = \frac{{{x^{\frac{1}{6}}}.{x^{\frac{4}{3}}}.{x^{\frac{5}{4}}}}}{{{x^{\frac{3}{2}}}}} = \frac{{{x^{\frac{{11}}{4}}}}}{{{x^{\frac{3}{2}}}}} = {x^{\frac{5}{4}}}$
Câu 10: Vận dụng cao
Cho hàm số $f\left( x ight) = \frac{{{{2018}^x}}}{{{{2018}^x} + \sqrt {2018} }}$ . Tính tổng
$S = f\left( {\frac{1}{{2019}}} ight) + f\left( {\frac{2}{{2019}}} ight) + ... + f\left( {\frac{{2018}}{{2019}}} ight)$
- A. $S = 2018$
- B. $S = 2019$
- C. $S = 1009$
- D. $S = \sqrt {2018}$
Với hàm số
$f\left( {1 - x} ight) = \frac{{\sqrt {2018} }}{{{{2018}^x} + \sqrt {2018} }} \Rightarrow f\left( x ight) + f\left( {1 - x} ight) = 1$
Khi đó:
$\begin{matrix} S = f\left( {\dfrac{1}{{2019}}} ight) + f\left( {\dfrac{2}{{2019}}} ight) + ... + f\left( {\dfrac{{2018}}{{2019}}} ight) \hfill \\ \Rightarrow S = f\left( {\dfrac{1}{{2019}}} ight) + f\left( {\dfrac{{2018}}{{2019}}} ight) + f\left( {\dfrac{2}{{2019}}} ight) + f\left( {\dfrac{{2017}}{{2019}}} ight) \hfill \\+ ... + f\left( {\dfrac{{1009}}{{2019}}} ight) + f\left( {\dfrac{{1010}}{{2019}}} ight) = 1009 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 11: Thông hiểu
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
- A. $y = {x^2}$
- B. $y = {x^{ - 4}}$
- C. $y = {x^{\frac{5}{2}}}$
- D. $y = {x^{ - \frac{5}{2}}}$
Ta có: $y = {x^{ - \frac{5}{2}}} \Rightarrow y' = - \frac{5}{2}.{x^{ - \frac{7}{2}}};\forall x > 0$ nên hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
Câu 12: Nhận biết
Biết rằng $\sqrt x .\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt x }} = {x^n}$ với x > 0. Tìm n?
- A. $n = 2$
- B. $n = \frac{2}{3}$
- C. $n = \frac{4}{3}$
- D. $n = 3$
Ta có:
$\begin{matrix} \sqrt x .\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt x }} \hfill \\ = {x^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[3]{{{x^2}.{x^{\frac{1}{2}}}}} = {x^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[3]{{{x^{\frac{5}{2}}}}} \hfill \\ = {x^{\frac{1}{2}}}.{x^{\frac{5}{6}}} = {x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{6}}} = {x^{\frac{4}{3}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $n = \frac{4}{3}$
Câu 13: Thông hiểu
Cho hàm số $y = {x^\pi }$ . Tính $y''\left( 1 ight)$
- A. $y''\left( 1 ight) = 0$
- B. $y''\left( 1 ight) = {\ln ^2}\pi$
- C. $y''\left( 1 ight) = \pi \ln \pi$
- D. $y''\left( 1 ight) = \pi \left( {\pi - 1} ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} y' = \pi .{x^{\pi - 1}} \Rightarrow y'' = \pi \left( {\pi - 1} ight).{x^{\pi - 2}} \hfill \\ y''\left( 1 ight) = \pi \left( {\pi - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 14: Nhận biết
Biết $\frac{{{x^{{a^2}}}}}{{{x^{{b^2}}}}} = {x^{16}}$ với x > 1 và a + b = 2. Tính giá trị của biểu thức $M = a – b$ .
- A. $M = 18$
- B. $M = 14$
- C. $M = 8$
- D. $M = 6$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{{{x^{{a^2}}}}}{{{x^{{b^2}}}}} = {x^{16}} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^{{a^2} - {b^2}}} = {x^{16}} \hfill \\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 16 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {a + b} ight)\left( {a - b} ight) = 16 \hfill \\ \Rightarrow a - b = 8 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 15: Vận dụng
Cho a và b là các số thực thỏa mãn điều kiện ${\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a}$ và ${b^{\dfrac{5}{4}}} > {b^{\dfrac{4}{3}}}$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A. $a > 0;b > 1$
- B. $a > 0;0 < b < 1$
- C. $a > 0;0 < b < 1$
- D. $a < 0;b > 1$
Ta có:
${\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a} \Rightarrow a < 0$
${b^{\frac{5}{4}}} > {b^{\frac{4}{3}}} \Rightarrow 0 < b < 1$
Câu 16: Thông hiểu
Cho một số thực $\alpha$ tùy ý. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
- A. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \mathbb{R}$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$
- B. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \left( {0; + \infty } ight)$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$
- C. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \left( {0; + \infty } ight)$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \frac{1}{\alpha }.{x^{\alpha - 1}}$
- D. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \mathbb{R}$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha + 1}}$
Theo tính chất đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với mọi x > 0 và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$
Câu 17: Vận dụng
Tìm đạo hàm của hàm số $y = \sqrt[3]{{{{\left( {1 - 3x} ight)}^5}}}$ trên khoảng $\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} ight)$
- A. $y' = - 5{\left( {1 - 3x} ight)^{\frac{2}{3}}}$
- B. $y' = \frac{5}{3}{\left( {1 - 3x} ight)^{\frac{4}{3}}}$
- C. $y' = - 5{\left( {1 - 3x} ight)^{\frac{4}{3}}}$
- D. $y' = \frac{5}{3}{\left( {1 - 3x} ight)^{\frac{2}{3}}}$
Với điều kiện $x < \frac{1}{3}$ ta có: $y = \sqrt[3]{{{{\left( {1 - 3x} ight)}^5}}} = {\left( {1 - 3x} ight)^{\frac{5}{3}}}$ . Khi đó:
=> $y' = - 5{\left( {1 - 3x} ight)^{\frac{2}{3}}}$
Câu 18: Nhận biết
Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có nghĩa?
- A. ${\left( { - 1} ight)^{\sqrt 2 }}$
- B. ${\left( { - 3} ight)^{ - 6}}$
- C. ${\left( { - 5} ight)^{\frac{{ - 3}}{4}}}$
- D. ${0^{ - 3}}$
Tập xác định của hàm số $y = {x^\alpha }$ tùy thuộc vào $\alpha$
Với $\alpha$ nguyên dương, tập xác định $\mathbb{R}$
Với $\alpha$ nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\}$
Với $\alpha$ không nguyên, tập xác định là $\left( {0; + \infty } ight)$
Ta có: ${\left( { - 3} ight)^{ - 6}}$ có $\alpha = - 6$ là số nguyên âm nên cơ số $x e 0$
=> ${\left( { - 3} ight)^{ - 6}}$ có nghĩa
Câu 19: Thông hiểu
Với a > 0 hãy rút gọn biểu thức $P = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } :{x^{\frac{9}{{16}}}}$
- A. $P = {x^{\frac{5}{{32}}}}$
- B. $P = {x^{\frac{9}{{48}}}}$
- C. $P = {x^{\frac{{13}}{{32}}}}$
- D. $P = {x^{\frac{1}{{32}}}}$
Ta có:
$\begin{matrix} \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{3}{2}}}} } } } = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{7}{4}}}} } } \hfill \\ = \sqrt {x\sqrt {x.{x^{\frac{7}{8}}}} } = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{15}}{8}}}} } = \sqrt {x.{x^{\frac{{15}}{{16}}}}} = \sqrt {{x^{\frac{{31}}{{16}}}}} = {x^{\frac{{31}}{{32}}}} \hfill \\ \Rightarrow P = {x^{\frac{{31}}{{32}}}}:{x^{\frac{9}{{16}}}} = {x^{\frac{{13}}{{32}}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 20: Thông hiểu
Tìm tập xác định của hàm số $y = {\left( {3x - {x^2}} ight)^{\frac{2}{3}}}$
- A. $D = \left( { - \infty ;0} ight) \cup \left( {3; + \infty } ight)$
- B. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} ight\}$
- C. $D = \left( {2; + \infty } ight)$
- D. $D = \left( { - 2; + \infty } ight)$
Vì $\frac{2}{3} otin \mathbb{Z}$ nên hàm số xác định khi $3x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 3$