Đề kiểm tra 15 phút Hàm số lũy thừa - Trắc nghiệm Toán 12 Hàm số

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Hàm số lũy thừa của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Hàm số $y = {\left( {4{x^2} - 1} ight)^{ - 4}}$ có tập xác định là:
- A. $\left( {0; + \infty } ight]$
- B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} ight\}$
- C. $\mathbb{R}$
- D. $\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} ight)$
Hàm số $y = {x^\alpha }$ có số mũ nguyên âm xác định khi
Hàm số $y = {\left( {4{x^2} - 1} ight)^{ - 4}}$ xác định khi $4{x^2} - 1 e 0 \Leftrightarrow x e \pm \frac{1}{2}$
Vậy tập xác định là: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} ight\}$
Câu 2: Nhận biết
Tìm các giá trị của x để hàm số $y = {\left( {3x - {x^2}} ight)^{\frac{2}{3}}}$ có nghĩa:
- A. $x \in \mathbb{R}$
- B. $x \in \left( { - \infty ;0} ight) \cup \left( {3; + \infty } ight)$
- C. $x \in \left( {0;3} ight)$
- D. $x \in \left( {0;3} ight]$
Điều kiện xác định
$\begin{matrix} 3x - {x^2} > 0 \hfill \\ \Rightarrow 0 < x < 3 \hfill \\ \Rightarrow x \in \left( {0;3} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 3: Thông hiểu
Với a > 0 hãy rút gọn biểu thức $P = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } :{x^{\frac{9}{{16}}}}$
- A. $P = {x^{\frac{5}{{32}}}}$
- B. $P = {x^{\frac{9}{{48}}}}$
- C. $P = {x^{\frac{{13}}{{32}}}}$
- D. $P = {x^{\frac{1}{{32}}}}$
Ta có:
$\begin{matrix} \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{3}{2}}}} } } } = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{7}{4}}}} } } \hfill \\ = \sqrt {x\sqrt {x.{x^{\frac{7}{8}}}} } = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{15}}{8}}}} } = \sqrt {x.{x^{\frac{{15}}{{16}}}}} = \sqrt {{x^{\frac{{31}}{{16}}}}} = {x^{\frac{{31}}{{32}}}} \hfill \\ \Rightarrow P = {x^{\frac{{31}}{{32}}}}:{x^{\frac{9}{{16}}}} = {x^{\frac{{13}}{{32}}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 4: Vận dụng
Cho a và b là các số thực thỏa mãn điều kiện ${\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a}$ và ${b^{\dfrac{5}{4}}} > {b^{\dfrac{4}{3}}}$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A. $a > 0;b > 1$
- B. $a > 0;0 < b < 1$
- C. $a > 0;0 < b < 1$
- D. $a < 0;b > 1$
Ta có:
${\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a} \Rightarrow a < 0$
${b^{\frac{5}{4}}} > {b^{\frac{4}{3}}} \Rightarrow 0 < b < 1$
Câu 5: Nhận biết
Cho $0 < a e 1$ và biểu thức $\sqrt {a.\sqrt[3]{a}}$ viết dưới dạng ${a^n}$ . Giá trị của n là:
- A. $n = \frac{5}{3}$
- B. $n = \frac{{11}}{6}$
- C. $n = \frac{2}{3}$
- D. $n = \frac{1}{6}$
Ta có:
$\sqrt {a.\sqrt[3]{a}} = {\left( {a.{a^{\frac{1}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3}}}$
Vậy $n = \frac{2}{3}$
Câu 6: Vận dụng cao
Cho $P = \sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {{y^2} + \sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}}}$ và $Q = 2\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} ight)}^3}}$ với x và y là các số thực khác 0. So sánh P và Q?
- A. $P < Q$
- B. $P = Q$
- C. $P = - Q$
- D. $P > Q$
Ta có: ${x^2};{y^2};\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}};\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}}$ là những số thực dương
Ta lại có:
$\begin{matrix} Q = 2\sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} ight)}^3}} \hfill \\ = 2\sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} \hfill \\ = \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} + \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}} + 3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} \hfill \\ > \sqrt {{x^2} + 3\sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {3\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} \hfill \\ > \sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {\sqrt[3]{{{x^2}{y^4}}} + {y^2}} = P \hfill \\ \Rightarrow P < Q \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 7: Nhận biết
Cho biểu thức $P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}}$ với x > 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A. $P = {x^{\frac{{13}}{{12}}}}$
- B. $P = {x^{\frac{{13}}{{24}}}}$
- C. $P = {x^{\frac{{13}}{6}}}$
- D. $P = {x^{\frac{{13}}{8}}}$
Ta có:
$\begin{matrix} P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt {{x^3}} }}} \hfill \\ P = \sqrt {x.\sqrt[3]{{{x^{\frac{7}{2}}}}}} \hfill \\ P = \sqrt {x.{x^{\frac{7}{6}}}} \hfill \\ P = \sqrt {{x^{\frac{{13}}{6}}}} = {x^{\frac{{13}}{{12}}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 8: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số $y = {\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 }}$
- A. $y' = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 - 1}}$
- B. $y' = \sqrt 3 .\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 + 1}}$
- C. $y' = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}$
- D. $y' = \sqrt 3 .\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 - 1}}$
Ta có:
$\begin{matrix} y' = \sqrt 3 .{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 - 1}}.\left( {{x^2} - 3x + 1} ight)\prime \hfill \\ \Rightarrow y' = \sqrt 3 .\left( {2x - 3} ight).{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)^{\sqrt 3 - 1}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 9: Thông hiểu
Cho một số thực $\alpha$ tùy ý. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
- A. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \mathbb{R}$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$
- B. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \left( {0; + \infty } ight)$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$
- C. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \left( {0; + \infty } ight)$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \frac{1}{\alpha }.{x^{\alpha - 1}}$
- D. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \mathbb{R}$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha + 1}}$
Theo tính chất đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với mọi x > 0 và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$
Câu 10: Thông hiểu
Cho hàm số $y = {x^\pi }$ . Tính $y''\left( 1 ight)$
- A. $y''\left( 1 ight) = 0$
- B. $y''\left( 1 ight) = {\ln ^2}\pi$
- C. $y''\left( 1 ight) = \pi \ln \pi$
- D. $y''\left( 1 ight) = \pi \left( {\pi - 1} ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} y' = \pi .{x^{\pi - 1}} \Rightarrow y'' = \pi \left( {\pi - 1} ight).{x^{\pi - 2}} \hfill \\ y''\left( 1 ight) = \pi \left( {\pi - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 11: Thông hiểu
Với a là một số thực dương thì biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} ight)}^{\sqrt 2 + 2}}}}$ được rút gọn là:
- A. $P = {a^5}$
- B. $P = {a^4}$
- C. $P = {a^3}$
- D. $P = a$
Ta có: $P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} ight)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}$
Câu 12: Thông hiểu
Cho a là một số dương, biểu thức ${a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a$ viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
- A. ${a^{\frac{5}{6}}}$
- B. ${a^{\frac{7}{6}}}$
- C. ${a^{\frac{4}{3}}}$
- D. ${a^{\frac{6}{7}}}$
Ta có: ${a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}}$
Câu 13: Vận dụng cao
Hàm số $y = \left( {x - 1} ight)\sqrt[3]{{{x^2}}}$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 0
Tập xác định $\mathbb{R}$
Ta có: $y' = 0$ tại $x = \frac{2}{5}$ và y' không xác định tại
Ta có bảng biến thiên đạo hàm như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y có 2 điểm cực trị
Câu 14: Vận dụng
Cho biểu thức $P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.{{\left( {{a^2}{b^2}} ight)}^{\frac{2}{3}}}} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6}$ với a và b là các số thực dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A. $P = \frac{{{b^3}\sqrt a }}{a}$
- B. $P = \frac{{\sqrt a }}{{{b^3}}}$
- C. $P = {b^3}\sqrt 3$
- D. $P = \frac{{\sqrt a }}{{a{b^3}}}$
Thực hiện thu gọn biểu thức như sau:
$\begin{matrix} P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.{{\left( {{a^2}{b^2}} ight)}^{\frac{2}{3}}}} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{3}}}.\left( {{a^{\frac{4}{3}}}{b^{\frac{4}{3}}}} ight)} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{{\left[ {{a^{\frac{5}{6}}}.b} ight]}^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{1}{3}}}.{a^{\frac{{ - 5}}{{12}}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {\left\{ {{a^{\frac{{ - 1}}{{12}}}}.{b^{\frac{{ - 1}}{2}}}} ight\}^6} \hfill \\ P = {a^{\frac{{ - 1}}{2}}}.{b^{ - 3}} = \dfrac{1}{{{b^3}\sqrt a }} = \dfrac{{\sqrt a }}{{a{b^3}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 15: Vận dụng
Cho biết ${\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{3}}} > {\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{6}}}$ , khẳng định nào sau đây đúng?
- A. $2 < x < 3$
- B. $0 < x < 1$
- C. $x > 2$
- D. $x > 1$
Điều kiện: $x - 2 > 0 \to x > 2$
Ta có:
$- \frac{1}{3} > - \frac{1}{6} \Rightarrow {\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{3}}} > {\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{6}}}$
$\Rightarrow x - 2 < 1 \Rightarrow x < 3$
Vậy $2 < x < 3$
Câu 16: Nhận biết
Tìm tập xác định D của hàm số $y = {\left( {{x^2} + x - 2} ight)^{ - 3}}$
- A. $D = \left( {0; + \infty } ight)$
- B. $D = \mathbb{R}$
- C. $D = \left( { - \infty ; - 2} ight) \cup \left( {1; + \infty } ight)$
- D. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;1} ight\}$
Điều kiện xác định ${x^2} + x - 2 e 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x e - 2} \\ {x e 1} \end{array}} ight.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;1} ight\}$
Câu 17: Vận dụng
Tìm đạo hàm của hàm số $y = \sqrt[3]{{{{\left( {1 - 3x} ight)}^5}}}$ trên khoảng $\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} ight)$
- A. $y' = - 5{\left( {1 - 3x} ight)^{\frac{2}{3}}}$
- B. $y' = \frac{5}{3}{\left( {1 - 3x} ight)^{\frac{4}{3}}}$
- C. $y' = - 5{\left( {1 - 3x} ight)^{\frac{4}{3}}}$
- D. $y' = \frac{5}{3}{\left( {1 - 3x} ight)^{\frac{2}{3}}}$
Với điều kiện $x < \frac{1}{3}$ ta có: $y = \sqrt[3]{{{{\left( {1 - 3x} ight)}^5}}} = {\left( {1 - 3x} ight)^{\frac{5}{3}}}$ . Khi đó:
=> $y' = - 5{\left( {1 - 3x} ight)^{\frac{2}{3}}}$
Câu 18: Nhận biết
Cho biết $Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}}$ với $a > 0,a e 1$ . Chọn khẳng định đúng?
- A. $Q = {a^{\frac{5}{3}}}$
- B. $Q = {a^{\frac{7}{3}}}$
- C. $Q = {a^{\frac{7}{4}}}$
- D. $Q = {a^{\frac{{11}}{6}}}$
Ta có: $Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}} = {\left( {{a^2}.{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{{10}}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{5}{3}}}$
Vậy $Q = {a^{\frac{5}{3}}}$
Câu 19: Vận dụng
Cho hàm số $f\left( x ight) = \frac{{{2^x}}}{{{x^x} + 2}}$ . Tính tổng $f\left( 0 ight) + f\left( {\frac{1}{{10}}} ight) + ... + f\left( {\frac{{18}}{{10}}} ight) + f\left( {\frac{{19}}{{10}}} ight)$ là:
- A. $\frac{{59}}{6}$
- B. $10$
- C. $\frac{{19}}{2}$
- D. $\frac{{28}}{3}$
Với $a + b = 2$ ta có:
$f\left( a ight) + f\left( b ight) = \frac{{{2^a}}}{{{2^a} + 2}} + \frac{{{2^b}}}{{{2^b} + 2}} = \frac{{{{2.2}^{a + b}} + {{2.2}^a} + {{2.2}^b}}}{{{2^{a + b}} + {{2.2}^a} + {{2.2}^b} + 4}} = 1$
Nhận thấy $\frac{1}{{10}} + \frac{{19}}{{10}} = 2... \Rightarrow P = f\left( 0 ight) + f\left( 1 ight) + 9.1 = \frac{{59}}{6}$
Câu 20: Thông hiểu
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
- A. $y = {x^2}$
- B. $y = {x^{ - 4}}$
- C. $y = {x^{\frac{5}{2}}}$
- D. $y = {x^{ - \frac{5}{2}}}$
Ta có: $y = {x^{ - \frac{5}{2}}} \Rightarrow y' = - \frac{5}{2}.{x^{ - \frac{7}{2}}};\forall x > 0$ nên hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.