Đề kiểm tra 15 phút Hàm số lũy thừa - Trắc nghiệm Toán 12 Hàm số

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Hàm số lũy thừa của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Cho biết $Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}}$ với $a > 0,a e 1$ . Chọn khẳng định đúng?
- A. $Q = {a^{\frac{5}{3}}}$
- B. $Q = {a^{\frac{7}{3}}}$
- C. $Q = {a^{\frac{7}{4}}}$
- D. $Q = {a^{\frac{{11}}{6}}}$
Ta có: $Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}} = {\left( {{a^2}.{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{{10}}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{5}{3}}}$
Vậy $Q = {a^{\frac{5}{3}}}$
Câu 2: Vận dụng cao
Cho số thực dương a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức
$P = \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} - 3{b^{\frac{1}{4}}}} ight).\left( {2{a^{\frac{1}{4}}} + 3{b^{\frac{1}{4}}}} ight).\left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} ight)$
có dạng $P = xa + yb$ . Tính $x + y$ .
- A. $x + y = 97$
- B. $x + y = - 65$
- C. $x - y = 56$
- D. $y - x = - 97$
Ta có:
$\begin{matrix} P = \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} - 3{b^{\frac{1}{4}}}} ight).\left( {2{a^{\frac{1}{4}}} + 3{b^{\frac{1}{4}}}} ight).\left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} ight) \hfill \\ P = \left[ {{{\left( {2{a^{\frac{1}{4}}}} ight)}^2} - {{\left( {3{b^{\frac{1}{4}}}} ight)}^2}} ight].\left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} ight) \hfill \\ P = \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} - 9{b^{\frac{1}{2}}}} ight).\left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} ight) \hfill \\ P = \left[ {{{\left( {4{a^{\frac{1}{2}}}} ight)}^2} - {{\left( {9{b^{\frac{1}{2}}}} ight)}^2}} ight] = 16a - 81b \hfill \\ \Rightarrow x = 16;y = - 81 \hfill \\ \Rightarrow y - x = - 97 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 3: Nhận biết
Tập xác định của hàm số $f\left( x ight) = {\left( {x - 2} ight)^{ - 1}}$ là:
- A. $x e 2$
- B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}$
- C. $\mathbb{R}$
- D. $x e \pm 2$
Điều kiện xác định của hàm số là:
$x - 2 e 0 \Rightarrow x e 2$
=> Tập xác định của hàm số là: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}$
Câu 4: Vận dụng
Cho biết ${\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{3}}} > {\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{6}}}$ , khẳng định nào sau đây đúng?
- A. $2 < x < 3$
- B. $0 < x < 1$
- C. $x > 2$
- D. $x > 1$
Điều kiện: $x - 2 > 0 \to x > 2$
Ta có:
$- \frac{1}{3} > - \frac{1}{6} \Rightarrow {\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{3}}} > {\left( {x - 2} ight)^{ - \frac{1}{6}}}$
$\Rightarrow x - 2 < 1 \Rightarrow x < 3$
Vậy $2 < x < 3$
Câu 5: Vận dụng cao
Cho hàm số $f\left( x ight) = \frac{{{x^2}}}{{ - x + 1}}$ . Tính ${f^{\left( {2018} ight)}}\left( x ight)$
- A. $- \frac{{2018!}}{{{{\left( { - x + 1} ight)}^{2018}}}}$
- B. $\frac{{2018!}}{{{{\left( { - x + 1} ight)}^{2019}}}}$
- C. $- \frac{{2018!}}{{{{\left( { - x + 1} ight)}^{2019}}}}$
- D. $\frac{{2018!}}{{{{\left( { - x + 1} ight)}^{2018}}}}$
Ta có: $f\left( x ight) = \frac{{{x^2}}}{{ - x + 1}} = - x - 1 - \frac{1}{{x - 1}}$
$\begin{matrix} f'\left( x ight) = - 1 + \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ f''\left( x ight) = - \dfrac{{1.2}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^3}}} \hfill \\ f'''\left( x ight) = \dfrac{{1.2.3}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^4}}} \hfill \\ \end{matrix}$
=> ${f^{\left( {2018} ight)\left( x ight)}} = - \frac{{2018!}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^{2019}}}}$
Câu 6: Vận dụng
Cho a và b là các số thực thỏa mãn điều kiện ${\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a}$ và ${b^{\dfrac{5}{4}}} > {b^{\dfrac{4}{3}}}$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A. $a > 0;b > 1$
- B. $a > 0;0 < b < 1$
- C. $a > 0;0 < b < 1$
- D. $a < 0;b > 1$
Ta có:
${\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a} \Rightarrow a < 0$
${b^{\frac{5}{4}}} > {b^{\frac{4}{3}}} \Rightarrow 0 < b < 1$
Câu 7: Vận dụng
Cho hình vẽ sau là đồ thị của ba hàm số $y = {x^\alpha };y = {x^\beta };y = {x^\gamma }$ với $x > 0$ và $\alpha ;\beta ;\gamma$ là các số thực cho trước, mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. $\gamma > \beta > \alpha$
- B. $\beta > \gamma > \alpha$
- C. $\alpha > \beta > \gamma$
- D. $\beta > \alpha > \gamma$
Hàm số ${x^\alpha }$ nghịch biến trên $\alpha < 0$
Các hàm số $y = {x^\beta };y = {x^\gamma }$ đồng biến nên $\beta ;\gamma > 0$
Tại $x = 3$ thì ${3^\beta } > {3^\gamma } \Rightarrow \beta > \gamma$
Câu 8: Vận dụng
Cho $x > 0;y > 0$ . Viết biểu thức ${x^{\frac{4}{5}}}.\sqrt[6]{{{x^5}\sqrt x }} = {x^m}$ và ${y^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y^5}\sqrt y }} = {y^n}$ . Tính $T = m - n$
- A. $T = \frac{{11}}{6}$
- B. $T = - \frac{8}{5}$
- C. $T = - \frac{{11}}{6}$
- D. $T = \frac{8}{5}$
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {{x^m}} ight)}^6} = {x^{\frac{{24}}{5}}}.{x^5}.{x^{\frac{1}{2}}} = {x^{\frac{{103}}{{10}}}} \Rightarrow m = \dfrac{{103}}{{60}}} \\ {{{\left( {{y^n}} ight)}^6} = {y^{\frac{{24}}{5}}}:\left( {{y^5}.{y^{\frac{1}{2}}}} ight) = {y^{ - \frac{7}{{10}}}} \Rightarrow n = - \dfrac{7}{{60}}} \end{array}} ight. \Rightarrow T = m - n = \frac{{11}}{6}$
Câu 9: Thông hiểu
Tìm tập xác định của hàm số $y = {\left( {3x - {x^2}} ight)^{\frac{2}{3}}}$
- A. $D = \left( { - \infty ;0} ight) \cup \left( {3; + \infty } ight)$
- B. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} ight\}$
- C. $D = \left( {2; + \infty } ight)$
- D. $D = \left( { - 2; + \infty } ight)$
Vì $\frac{2}{3} otin \mathbb{Z}$ nên hàm số xác định khi $3x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 3$
Câu 10: Thông hiểu
Cho một số thực $\alpha$ tùy ý. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
- A. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \mathbb{R}$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$
- B. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \left( {0; + \infty } ight)$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$
- C. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \left( {0; + \infty } ight)$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \frac{1}{\alpha }.{x^{\alpha - 1}}$
- D. Hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với $\forall x \in \mathbb{R}$ và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha + 1}}$
Theo tính chất đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số $y = {x^\alpha }$ có đạo hàm với mọi x > 0 và $\left( {{x^\alpha }} ight)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}$
Câu 11: Vận dụng
Hàm số $y = \sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} - 2x - 3} ight)}^2}}} + 2$ có bao nhiêu điểm cực trị?
- A. 1
- B. 3
- C. 2
- D. 0
Tập xác định $D = \mathbb{R}$
Ta có: $y' = \frac{2}{3}.\frac{{2x - 2}}{{\sqrt[3]{{{x^2} - 2x - 3}}}};\left( {x e - 1;x e 3} ight)$
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy hàm số đã cho có ba điểm cực trị
Câu 12: Nhận biết
Cho $0 < a e 1$ . Rút gọn biểu thức $P = \frac{{{{\left( {{a^3}} ight)}^4}}}{{{a^2}.{a^{\frac{3}{2}}}}}$
- A. $P = {a^9}$
- B. $P = {a^{\frac{{17}}{2}}}$
- C. $P = {a^{\frac{{23}}{2}}}$
- D. $P = {a^{\frac{7}{2}}}$
Ta có: $P = \frac{{{{\left( {{a^3}} ight)}^4}}}{{{a^2}.{a^{\frac{3}{2}}}}} = \frac{{{a^{12}}}}{{{a^{\frac{7}{2}}}}} = {a^{12 - \frac{7}{2}}} = {a^{\frac{{17}}{2}}}$
Câu 13: Thông hiểu
Viết biểu thức $P = \frac{{{a^2}.{a^{\frac{5}{2}}}.\sqrt[3]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[6]{{{a^5}}}}};\left( {a > 0} ight)$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
- A. $P = a$
- B. $P = {a^5}$
- C. $P = {a^4}$
- D. $P = {a^2}$
Ta có: $P = \dfrac{{{a^2}.{a^{\frac{5}{2}}}.\sqrt[3]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[6]{{{a^5}}}}} = \dfrac{{{a^2}.{a^{\frac{5}{2}}}.{a^{\frac{4}{3}}}}}{{{a^{\frac{5}{6}}}}} = {a^5}$
Câu 14: Thông hiểu
Cho a là một số dương, biểu thức ${a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a$ viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
- A. ${a^{\frac{5}{6}}}$
- B. ${a^{\frac{7}{6}}}$
- C. ${a^{\frac{4}{3}}}$
- D. ${a^{\frac{6}{7}}}$
Ta có: ${a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}}$
Câu 15: Nhận biết
Tìm các giá trị của x để hàm số $y = {\left( {3x - {x^2}} ight)^{\frac{2}{3}}}$ có nghĩa:
- A. $x \in \mathbb{R}$
- B. $x \in \left( { - \infty ;0} ight) \cup \left( {3; + \infty } ight)$
- C. $x \in \left( {0;3} ight)$
- D. $x \in \left( {0;3} ight]$
Điều kiện xác định
$\begin{matrix} 3x - {x^2} > 0 \hfill \\ \Rightarrow 0 < x < 3 \hfill \\ \Rightarrow x \in \left( {0;3} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 16: Thông hiểu
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
- A. $y = {x^2}$
- B. $y = {x^{ - 4}}$
- C. $y = {x^{\frac{5}{2}}}$
- D. $y = {x^{ - \frac{5}{2}}}$
Ta có: $y = {x^{ - \frac{5}{2}}} \Rightarrow y' = - \frac{5}{2}.{x^{ - \frac{7}{2}}};\forall x > 0$ nên hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
Câu 17: Thông hiểu
Với a là một số thực dương thì biểu thức $P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} ight)}^{\sqrt 2 + 2}}}}$ được rút gọn là:
- A. $P = {a^5}$
- B. $P = {a^4}$
- C. $P = {a^3}$
- D. $P = a$
Ta có: $P = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} ight)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}$
Câu 18: Thông hiểu
Tính đạo hàm của hàm số $y = \left( {{x^2} + 2x - 2} ight){.5^x}$
- A. $y' = \left( {{x^2} + 2} ight){.5^x}$
- B. $y' = \left( {2x + 2} ight){.5^x}$
- C. $y' = \left( {2x + 2} ight){.5^x}.\ln 5$
- D. $y' = \left( {2x + 2} ight){.5^x} + \left( {{x^2} + 2x - 2} ight){.5^x}.\ln 5$
Ta có:
$\begin{matrix} y' = \left( {{x^2} + 2x - 2} ight)'{.5^x} + \left( {{5^x}} ight)'.\left( {{x^2} + 2x - 2} ight) \hfill \\ \Rightarrow y' = \left( {2x + 2} ight){.5^x} + \left( {{x^2} + 2x - 2} ight){.5^x}.\ln 5 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 19: Thông hiểu
Cho hàm số $y = {x^{\frac{{ - 3}}{4}}}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A. Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng
- B. Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang
- C. Đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ
- D. Là hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } ight)$
Hàm số $y = {x^{\frac{{ - 3}}{4}}}$ có các tính chất như sau:
Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng
Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang
Là hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } ight)$
Câu 20: Nhận biết
Cho $0 < a e 1$ và biểu thức $\sqrt {a.\sqrt[3]{a}}$ viết dưới dạng ${a^n}$ . Giá trị của n là:
- A. $n = \frac{5}{3}$
- B. $n = \frac{{11}}{6}$
- C. $n = \frac{2}{3}$
- D. $n = \frac{1}{6}$
Ta có:
$\sqrt {a.\sqrt[3]{a}} = {\left( {a.{a^{\frac{1}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3}}}$
Vậy $n = \frac{2}{3}$