Đề kiểm tra 15 phút Hàm số lũy thừa - Trắc nghiệm Toán 12 Hàm số

Mô tả thêm: Bài kiểm tra 15 phút Hàm số lũy thừa của chúng tôi gồm 4 mức độ được thay đổi ngẫu nhiên, giúp bạn đọc rèn luyện củng cố kiến thức tốt hơn.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng cao
Cho biết $f\left( n ight) = \frac{{{2^n}}}{{{2^n} + 1}};\left( {n \in \mathbb{Z}} ight)$ . Tính
$S = f\left( { - 100} ight) + f\left( { - 99} ight) + ... + f\left( { - 1} ight) + f\left( 0 ight) + f\left( 1 ight) + ... + f\left( {1000} ight)$
- A. $S = \frac{{2001}}{2}$
- B. $S = 2000$
- C. $S = 1000$
- D. $S = \frac{{1001}}{2}$
Ta có:
$\begin{matrix} f\left( n ight) + f\left( { - n} ight) = \dfrac{{{2^n}}}{{{2^n} + 1}} + \dfrac{{{2^{ - n}}}}{{{2^{ - n}} + 1}} = 1 \hfill \\ \Rightarrow S = \left[ {f\left( {1000} ight) + f\left( { - 1000} ight)} ight] + ... + \left[ {f\left( 1 ight) + f\left( { - 1} ight)} ight] + \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2001}}{2} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 2: Thông hiểu
Cho số thực a dương. Rút gọn biểu thức $P = \sqrt[5]{{a.\sqrt[4]{{a.\sqrt[3]{{a\sqrt a }}}}}}$
- A. $P = {a^{\frac{1}{{14}}}}$
- B. $P = {a^{\frac{1}{{120}}}}$
- C. $P = {a^{\frac{{11}}{{40}}}}$
- D. $P = {a^{\frac{{13}}{{60}}}}$
Ta có:
$P = \sqrt[5]{{a.\sqrt[4]{{a.\sqrt[3]{{{a^{\frac{3}{2}}}}}}}}} = {\left( {a\sqrt[4]{{a.{a^{\frac{1}{2}}}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {a\sqrt[4]{{{a^{\frac{3}{2}}}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {a.{a^{\frac{3}{8}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{a^{\frac{{11}}{8}}}} ight)^{\frac{1}{5}}} = {a^{\frac{{11}}{{40}}}}$
Câu 3: Nhận biết
Tập xác định của hàm số $f\left( x ight) = {\left( {x - 2} ight)^{ - 1}}$ là:
- A. $x e 2$
- B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}$
- C. $\mathbb{R}$
- D. $x e \pm 2$
Điều kiện xác định của hàm số là:
$x - 2 e 0 \Rightarrow x e 2$
=> Tập xác định của hàm số là: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}$
Câu 4: Thông hiểu
Cho hàm số $f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^{\frac{5}{6}}}$ . Tính $f'\left( 2 ight)$
- A. $\frac{5}{6}$
- B. $\frac{5}{3}$
- C. $\frac{{ - 5}}{6}$
Tập xác định $\left( {\frac{2}{3}; + \infty } ight)$
Ta có: $f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^{\frac{5}{6}}} \Rightarrow f'\left( x ight) = \frac{5}{3}.{\left( {2x - 3} ight)^{\frac{{ - 1}}{6}}} \Rightarrow f'\left( 2 ight) = \frac{5}{3}$
Câu 5: Vận dụng
Cho ${4^x} + {4^{ - x}} = 34$ . Tính giá trị của biểu thức $T = \frac{{{2^x} + {2^{ - x}} - 3}}{{1 + {2^{x + 1}} - {2^{1 - x}}}}$
- A. $T = \frac{3}{4}$
- B. $T = \frac{3}{{11}}$
- C. $T = - \frac{3}{{11}}$
- D. $T = \frac{3}{{13}}$
Ta có:
$\begin{matrix} {4^x} + {4^{ - x}} = 34 \hfill \\ \Rightarrow {2^{2x}} + 2 + {2^{ - 2x}} = 36 \hfill \\ \Rightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} ight)^2} = 36 \hfill \\ \Rightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 6;\left( {{2^x} + {2^{ - x}} > 0} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Khi đó ta được:
$T = \frac{{{2^x} + {2^{ - x}} - 3}}{{1 + {2^{x + 1}} - {2^{1 - x}}}} = \frac{{6 - 3}}{{1 - 2\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} ight)}} = \frac{3}{{1 - 2.6}} = \frac{{ - 3}}{{11}}$
Câu 6: Nhận biết
Cho $0 < a e 1$ và biểu thức $\sqrt {a.\sqrt[3]{a}}$ viết dưới dạng ${a^n}$ . Giá trị của n là:
- A. $n = \frac{5}{3}$
- B. $n = \frac{{11}}{6}$
- C. $n = \frac{2}{3}$
- D. $n = \frac{1}{6}$
Ta có:
$\sqrt {a.\sqrt[3]{a}} = {\left( {a.{a^{\frac{1}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{a^{\frac{4}{3}}}} ight)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3}}}$
Vậy $n = \frac{2}{3}$
Câu 7: Thông hiểu
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
- A. $y = {x^2}$
- B. $y = {x^{ - 4}}$
- C. $y = {x^{\frac{5}{2}}}$
- D. $y = {x^{ - \frac{5}{2}}}$
Ta có: $y = {x^{ - \frac{5}{2}}} \Rightarrow y' = - \frac{5}{2}.{x^{ - \frac{7}{2}}};\forall x > 0$ nên hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
Câu 8: Nhận biết
Đạo hàm của hàm số $y = \frac{{{e^{4x}}}}{5}$
- A. $y' = \frac{{ - 4{e^{4x}}}}{5}$
- B. $y' = \frac{{{e^{4x}}}}{{20}}$
- C. $y' = \frac{{4{e^{4x}}}}{5}$
- D. $y' = \frac{{ - {e^{4x}}}}{{20}}$
Ta có: $y' = \frac{1}{5}\left( {{e^{4x}}} ight)' = \frac{1}{5}\left( {4x} ight)'.{e^{4x}} = \frac{4}{5}.{e^{4x}}$
Câu 9: Thông hiểu
Cho hàm số $y = {x^\pi }$ . Tính $y''\left( 1 ight)$
- A. $y''\left( 1 ight) = 0$
- B. $y''\left( 1 ight) = {\ln ^2}\pi$
- C. $y''\left( 1 ight) = \pi \ln \pi$
- D. $y''\left( 1 ight) = \pi \left( {\pi - 1} ight)$
Ta có:
$\begin{matrix} y' = \pi .{x^{\pi - 1}} \Rightarrow y'' = \pi \left( {\pi - 1} ight).{x^{\pi - 2}} \hfill \\ y''\left( 1 ight) = \pi \left( {\pi - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 10: Vận dụng
Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt {4 - {x^2}} + \sqrt[3]{{\frac{{x + 1}}{{x - 1}}}} + x + 1$
- A. $D = \left[ { - 2;2} ight]$
- B. $D = \left[ { - 2;2} ight]\backslash \left\{ 1 ight\}$
- C. $D = \left( { - \infty ; - 2} ight) \cup \left( {2; + \infty } ight)$
- D. $D = \left( { - 2;2} ight)\backslash \left\{ 1 ight\}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - {x^2} \geqslant 0} \\ {x e 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2 \leqslant x \leqslant 2} \\ {x e 1} \end{array}} ight.$
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left[ { - 2;2} ight]\backslash \left\{ 1 ight\}$
Câu 11: Vận dụng
Cho $x > 0;y > 0$ . Viết biểu thức ${x^{\frac{4}{5}}}.\sqrt[6]{{{x^5}\sqrt x }} = {x^m}$ và ${y^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y^5}\sqrt y }} = {y^n}$ . Tính $T = m - n$
- A. $T = \frac{{11}}{6}$
- B. $T = - \frac{8}{5}$
- C. $T = - \frac{{11}}{6}$
- D. $T = \frac{8}{5}$
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {{x^m}} ight)}^6} = {x^{\frac{{24}}{5}}}.{x^5}.{x^{\frac{1}{2}}} = {x^{\frac{{103}}{{10}}}} \Rightarrow m = \dfrac{{103}}{{60}}} \\ {{{\left( {{y^n}} ight)}^6} = {y^{\frac{{24}}{5}}}:\left( {{y^5}.{y^{\frac{1}{2}}}} ight) = {y^{ - \frac{7}{{10}}}} \Rightarrow n = - \dfrac{7}{{60}}} \end{array}} ight. \Rightarrow T = m - n = \frac{{11}}{6}$
Câu 12: Vận dụng cao
Cho hàm số $f\left( x ight) = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}}$ . Tính tổng
$S = f\left( {\frac{1}{{2005}}} ight) + f\left( {\frac{2}{{2005}}} ight) + ... + f\left( {\frac{{2004}}{{2005}}} ight) + f\left( {\frac{{2005}}{{2005}}} ight)$
- A. $S = 1002$
- B. $S = \frac{{3008}}{3}$
- C. $S = 1003$
- D. $S = \frac{{2005}}{2}$
Với hàm số $f\left( x ight) = \frac{{{a^x}}}{{{a^x} + \sqrt a }}$ ta có: $f\left( x ight) + f\left( {1 - x} ight) = 1$
Khi đó:
$\begin{matrix} S = \left[ {f\left( {\dfrac{1}{{2005}}} ight) + f\left( {\dfrac{{2004}}{{2005}}} ight)} ight] + \left[ {f\left( {\dfrac{2}{{2005}}} ight) + f\left( {\dfrac{{2003}}{{2005}}} ight)} ight] \hfill\\+ ... + \left[ {f\left( {\dfrac{{1002}}{{2005}}} ight) + f\left( {\dfrac{{1003}}{{2005}}} ight)} ight] + f\left( 1 ight) \hfill \\ = 1 + 1 + ... + 1 + f\left( 1 ight) = 1002 + \dfrac{4}{6} = \dfrac{{3008}}{3} \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 13: Nhận biết
Biết $\frac{{{x^{{a^2}}}}}{{{x^{{b^2}}}}} = {x^{16}}$ với x > 1 và a + b = 2. Tính giá trị của biểu thức $M = a – b$ .
- A. $M = 18$
- B. $M = 14$
- C. $M = 8$
- D. $M = 6$
Ta có:
$\begin{matrix} \dfrac{{{x^{{a^2}}}}}{{{x^{{b^2}}}}} = {x^{16}} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^{{a^2} - {b^2}}} = {x^{16}} \hfill \\ \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 16 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {a + b} ight)\left( {a - b} ight) = 16 \hfill \\ \Rightarrow a - b = 8 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 14: Thông hiểu
Cho $a,b > 0$ , viết ${a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a$ về dạng ${a^x}$ và $\sqrt[3]{{b\sqrt {b\sqrt b } }}$ về dạng ${b^y}$ . Tình giá trị biểu thức $T = 6a + 12y$
- A. $T = \frac{7}{{12}}$
- B. $T = 17$
- C. $T = 14$
- D. $T = \frac{7}{6}$
Ta có:
$\begin{matrix} {a^{\frac{2}{3}}}.\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}} \hfill \\ \Rightarrow {a^x} = {a^{\frac{7}{6}}} \hfill \\ \Rightarrow x = \dfrac{7}{6} \hfill \\ \sqrt[3]{{b\sqrt {b\sqrt b } }} = {\left( {b\sqrt {{b^{\frac{3}{2}}}} } ight)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {b.{b^{\frac{3}{4}}}} ight)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {{b^{\frac{7}{4}}}} ight)^{\frac{1}{3}}} = {b^{\frac{7}{{12}}}} \hfill \\ \Rightarrow {b^y} = {b^{\frac{7}{{12}}}} \Rightarrow y = \dfrac{7}{{12}} \hfill \\ \Rightarrow T = 14 \hfill \\ \end{matrix}$
Câu 15: Vận dụng
Cho a và b là các số thực thỏa mãn điều kiện ${\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a}$ và ${b^{\dfrac{5}{4}}} > {b^{\dfrac{4}{3}}}$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A. $a > 0;b > 1$
- B. $a > 0;0 < b < 1$
- C. $a > 0;0 < b < 1$
- D. $a < 0;b > 1$
Ta có:
${\left( {\frac{3}{4}} ight)^a} > {\left( {\frac{4}{5}} ight)^a} \Rightarrow a < 0$
${b^{\frac{5}{4}}} > {b^{\frac{4}{3}}} \Rightarrow 0 < b < 1$
Câu 16: Thông hiểu
Cho ${5^x} = 2$ . Tính $A = {25^x} + {5^{2 - x}}$
- A. $A = \frac{{13}}{2}$
- B. $A = \frac{{75}}{2}$
- C. $A = \frac{{33}}{2}$
- D. $A = 29$
Ta có: $A = {25^x} + {5^{2 - x}} = {\left( {{5^x}} ight)^2} + \frac{{25}}{{{5^x}}} = \frac{{33}}{2}$
Câu 17: Nhận biết
Biết rằng $\sqrt x .\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt x }} = {x^n}$ với x > 0. Tìm n?
- A. $n = 2$
- B. $n = \frac{2}{3}$
- C. $n = \frac{4}{3}$
- D. $n = 3$
Ta có:
$\begin{matrix} \sqrt x .\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt x }} \hfill \\ = {x^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[3]{{{x^2}.{x^{\frac{1}{2}}}}} = {x^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[3]{{{x^{\frac{5}{2}}}}} \hfill \\ = {x^{\frac{1}{2}}}.{x^{\frac{5}{6}}} = {x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{6}}} = {x^{\frac{4}{3}}} \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $n = \frac{4}{3}$
Câu 18: Vận dụng
Tìm tập xác định của hàm số $y = {\left( {x - 2} ight)^{\sqrt 5 }} + {\left( {{x^2} - 9} ight)^{\frac{3}{5}}} + {x^2} - 5x - 2$
- A. $D = \left( { - \infty ; - 3} ight) \cup \left( {3; + \infty } ight)$
- B. $D = \left( {2; + \infty } ight)$
- C. $D = \left( {3; + \infty } ight)$
- D. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3;3;2} ight\}$
Hàm số xác định khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 2 > 0} \\ {{x^2} - 9 > 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 2} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 3} \\ {x > 3} \end{array}} ight.} \end{array} \Rightarrow x > 3} ight.$
Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \left( {3; + \infty } ight)$
Câu 19: Thông hiểu
Hàm số $y = {\left( {4{x^2} - 1} ight)^{ - 4}}$ có tập xác định là:
- A. $\left( {0; + \infty } ight]$
- B. $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} ight\}$
- C. $\mathbb{R}$
- D. $\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} ight)$
Hàm số $y = {x^\alpha }$ có số mũ nguyên âm xác định khi
Hàm số $y = {\left( {4{x^2} - 1} ight)^{ - 4}}$ xác định khi $4{x^2} - 1 e 0 \Leftrightarrow x e \pm \frac{1}{2}$
Vậy tập xác định là: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} ight\}$
Câu 20: Thông hiểu
Cho hàm số $y = {x^{\frac{{ - 3}}{4}}}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A. Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng
- B. Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang
- C. Đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ
- D. Là hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } ight)$
Hàm số $y = {x^{\frac{{ - 3}}{4}}}$ có các tính chất như sau:
Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng
Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang
Là hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } ight)$