Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Tìm giá trị lớn nhất M của biểu thức P = 4\sin^{2}x + \sqrt{2}\sin\left( 2x +\frac{\pi}{4} ight) xác định

    Ta có:

    P = 4\sin^{2}x + \sqrt{2}\sin\left( 2x +\frac{\pi}{4} ight)

    \Rightarrow P = 4\left( \frac{1 -\cos2x}{2} ight) + \sin2x + \cos2x

    \Rightarrow P = \sin2x - \cos2x +2

    \Rightarrow P = \sqrt{2}\sin\left( 2x -\frac{\pi}{4} ight) + 2

    Mặt khác - 1 \leq \sin\left( 2x +\frac{\pi}{4} ight) \leq 1

    \Rightarrow - \sqrt{2} + 2 \leq\sqrt{2}\sin\left( 2x + \frac{\pi}{4} ight) + 2 \leq \sqrt{2} +2

    Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là P =\sqrt{2} + 2.

  • Câu 2: Vận dụng

    Xác định chu kì T của hàm số y = 3\cos(2x+ 1) - 2\sin\left( \dfrac{x}{2} - 3 ight)

    Hàm số y = 3\cos(2x + 1) tuần hoàn với chu kì T_{1} = \pi

    Hàm số y = - 2\sin\left( \frac{x}{2} - 3ight) tuần hoàn với chu kì T_{2} = 4\pi

    Suy ra hàm số y = 3\cos(2x + 1) -2\sin\left( \frac{x}{2} - 3 ight) tuần hoàn với chu kì T = 4\pi

  • Câu 3: Nhận biết

    Tìm tập xác định của hàm số y = \frac{{ \sin 2x}}{{\cos x - 1}}

    Hàm số xác định khi và chỉ khi

    \cos x - 1 e 0 \Leftrightarrow \cos x e 1 \Leftrightarrow x e k2\pi ,{\text{ }}k \in \mathbb{Z}

    Vậy tập xác định {\text{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} ight\}

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức A = \sin^{6}x +\cos^{6}x.

    Ta có:

    A = \sin^{6}x + \cos^{6}x

    A = \left( \sin^{2}x ight)^{3} + \left(\cos^{2}x ight)^{3}

    A = \left( \sin^{2}x + \cos^{2}x ight)\left( \sin^{4}x - \sin^{2}x.\cos^{2}x + \cos^{4}x ight)

    A = \sin^{4}x - \dfrac{1}{4}\sin^{2}2x +\cos^{4}x

    A = 1 - \dfrac{1}{4}\sin^{2}2x -\dfrac{1}{2}\sin^{2}2x

    A = 1 -\frac{3}{4}\sin^{2}2x

    \Rightarrow \sin^{2}2x = \frac{4 -4A}{3}

    Ta lại có: \sin^{2}2x \in \lbrack0;1brack

    \Rightarrow 0 \leq \frac{4 - 4A}{3} \leq1

    \Rightarrow \frac{1}{4} \leq A \leq1

    \Rightarrow M = 1;m =\frac{1}{4}

  • Câu 5: Nhận biết

    Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau?

    Hai hàm số \left\{ \begin{matrix}y = \cos x \\y = \cot\dfrac{x}{2} \\\end{matrix} ight. có cùng chu kì 2π

    Hai hàm số \left\{ \begin{matrix}y = \sin\dfrac{x}{2} \\y = \cos\dfrac{x}{2} \\\end{matrix} ight. có cùng chu kì 4π

    Hai hàm số \left\{ \begin{matrix}y = tan2x \\y = cot2x \\\end{matrix} ight. có cùng chu kì \frac{\pi}{2}

    Hàm số y = sinx có chu kì 2π, hàm số y = tanx có chu kì \frac{\pi}{2}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho \sin x +cosx = \frac{1}{2}. Tính giá trị biểu thức A = \frac{1 + sin2x}{1 - sin2x}

    Do \sin x + cosx = \frac{1}{2} nên bình phương hai vế ta được:

    1 + 2sinx\cos x = \frac{1}{4} \Rightarrowsin2x = - \frac{3}{4}

    Vậy A = \frac{1 + sin2x}{1 - sin2x} =\frac{1 - 3/4}{1 + 3/4} = \frac{1}{7}

  • Câu 7: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về "góc lượng giác"?

    Trên đường tròn định hướng, góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A và điểm cuối B là góc lượng giác.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Phương trình 1 + 2\cos 2x = 0 có nghiệm là:

     Giải phương trình:

    \begin{matrix} 1 + 2\cos 2x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \cos 2x = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \\ {2x = - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \cos x và g(x) = \sin x. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

    a) Hàm số g(x) là hàm số chẵn. Sai||Đúng

    b) Trong khoảng (0 ; 2\pi) đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại hai điểm. Đúng||Sai

    c) Giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) + g(x) bằng 2. Sai||Đúng

    d) Hàm số y = f(x) + g(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi x = - \frac{3\pi}{4} + k2\pi\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \cos x và g(x) = \sin x. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

    a) Hàm số g(x) là hàm số chẵn. Sai||Đúng

    b) Trong khoảng (0 ; 2\pi) đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại hai điểm. Đúng||Sai

    c) Giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) + g(x) bằng 2. Sai||Đúng

    d) Hàm số y = f(x) + g(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi x = - \frac{3\pi}{4} + k2\pi\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight). Đúng||Sai

    a) Sai

    TXĐ: D\mathbb{= R}. Do đó \forall x \in D \Rightarrow - x \in D.

    Ta có \forall x \in D:g( - x) = \sin( - x) = - \sin(x) = - g(x) \Rightarrow g(x) là hàm số lẻ.

    b) Đúng

    Phương trình \sin x = \cos x trong khoảng (0 ; 2\pi) có hai nghiệm x = \frac{\pi}{4} và x = \frac{5\pi}{4}

    c) Sai

    Ta có: y = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) , mà \forall x: - 1 \leq \sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) \leq 1

    \Leftrightarrow - \sqrt{2} \leq \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) \leq \sqrt{2}.

    Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y = \sin x + \cos x bằng \sqrt{2}, khi \sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = 1.

    d) Đúng

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = \sin x + \cos x bằng - \sqrt{2}, khi \sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight) = - 1

    \Leftrightarrow x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + k2\pi\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    \Leftrightarrow x = - \frac{3\pi}{4} + k2\pi\ \ \left( k\mathbb{\in Z} ight).

  • Câu 10: Nhận biết

    Phương trình lượng giác \cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}} có nghiệm là ?

     Ta có: \cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}} \Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi

    \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

     + Phương trình \sin x +3=0 \Leftrightarrow \sin x = -3

    Vậy phương trình \sin x +3=0 vô nghiệm.

    + Phương trình 2{\cos ^2}x - \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \cos x = 1 \hfill \\ \cos x = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy phương trình 2{\cos ^2}x - \cos x - 1 = 0 có nghiệm.

    + Phương trình \tan x +3=0 \Leftrightarrow \tan x =-3

    \Leftrightarrow x = \arctan \left( { - 3} ight) + k\pi

    Vậy phương trình \tan x +3=0 có nghiệm.

    + Phương trình 3 \sin x -2=0 \Leftrightarrow \sin x = \frac {2}{3} mà -1 < \frac 2 3 < 1 nên phương trình 3 \sin x -2=0 có nghiệm.

  • Câu 12: Nhận biết

    Tìm tập các định D của hàm số y = \frac{2020}{\sin x}

    Hàm số xác định khi và chỉ khi \sin x eq 0 \Rightarrow x eq k\pi,k\mathbb{\in Z}

    Vậy tập xác định của hàm số là D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k\pi,k\mathbb{\in Z} ight\}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Hàm số y = \sin \frac{x}{5} có chu kì bằng bao nhiêu?

     Chu kì của hàm số y = \sin \frac{x}{5} là: T = \dfrac{{2\pi }}{{\left| {\dfrac{1}{5}} ight|}} = 10\pi

  • Câu 14: Nhận biết

    Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \sqrt 3 \cos x + m - 1 = 0 có nghiệm?

     Ta có \sqrt 3 \cos x + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{1 - m}}{{\sqrt 3 }}.

    Phương trình có nghiệm \Leftrightarrow - 1 \leqslant \frac{{1 - m}}{{\sqrt 3 }} \leqslant 1

    \Leftrightarrow 1 - \sqrt 3 \leqslant m \leqslant 1 + \sqrt 3 \xrightarrow{{m \in \mathbb{Z}}}m \in \left\{ {0;1;2} ight\}

    Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m.

  • Câu 15: Nhận biết

    Hỏi trên đoạn [0; 2023 \pi], phương trình \sqrt 3 \cot x - 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm? 

     Ta có \cot x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{\pi }{6}

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi {\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Theo giả thiết, ta có

    0 \leqslant \frac{\pi }{6} + k\pi \leqslant 2023\pi \xrightarrow{{{\text{xap xi}}}} - \frac{1}{6} \leqslant k \leqslant 2022,833

    \xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k \in \left\{ {0;1;...;2022} ight\}.

    Vậy có tất cả 2023 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2023 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

    \sin a + \cos a = \sqrt{2}\sin\left( a + \frac{\pi}{4} ight)

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho công thức y = 3sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) + 13 biểu thị số giờ có ánh sáng mặt trời tại thành phố A, với 1 \leq x \leq 365 là số ngày trong năm. Ngày nào sau đây của năm thì số giờ có ánh sáng mặt trời của thành phố A đạt giá trị lớn nhất.

    Để số giờ có ánh sáng mặt trời lớn nhất thì hàm số y = 3sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) + 13 đạt giá trị lớn nhất.

    Khi đó sin\left( \frac{\pi}{180}(x + 60) ight) = 1 \Leftrightarrow x = 30 + k360,k \in Z.

    Vì 1 \leq x \leq 365 nên ta có 1 \leq 30 + k360 \leq 365 \Leftrightarrow - 0,08 \leq k \leq 0,93 \Rightarrow k = 0.

    Do đó x = 30 (tháng đầu tiên của năm)

  • Câu 18: Nhận biết

    Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về ''đường tròn lượng giác''?

    Mỗi đường tròn định hướng có bán kính R = 1, tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng giác.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

    Hàm số y = x + \sin x là hàm số không tuần hoàn

    Tập xác định D=\mathbb{ R}

    Giả sử

    \begin{matrix}f(x + T) = f(x),\forall x \in D \hfill \\\Rightarrow (x + T) + \sin(x + T) = x + \sin x;\forall x \in D \hfill \\\Rightarrow T + \sin(x + T) = \sin x,\forall x \in D \hfill \\\end{matrix}

    Cho x = 0 và x = π ta được

    \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}T + \sin x = sin0 = 0 \\T + \sin(T + \pi) = \sin\pi = 0 \hfill\\\end{matrix} ight.\ \hfill \\\Rightarrow 2T + \sin T + \sin(T + \pi) = 0 \Rightarrow T = 0 \hfill\\\end{matrix}

    Điều này trái với định nghĩa T > 0

    Vậy hàm số y = x + sinx không phải là hàm số tuần hoàn

    Tương tự chứng minh cho các hàm số y = x\cos xvà y = \frac{\sin x}{x} không tuần hoàn.

    Vậy hàm số y = \sin x là hàm số tuần hoàn

  • Câu 20: Thông hiểu

    Rút gọn biểu thức: B = \cos(a + b)\cos(a - b) + \sin(a + b)\sin(a -b)

    Ta có:

    B = \cos(a + b)\cos(a - b) + \sin(a + b)\sin(a - b)

    B = \cos\left\lbrack a + b - (a - b) ightbrack

    B = \cos2b = 1 - 2\sin^{2}b

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 406 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập