Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Giải phương trình 4{\sin ^2}x = 3.

    Ta có 4{\sin ^2}x = 3 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sin x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}.

    Với \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{3}

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Với \sin x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} ight)

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} ight)

    Nhận thấy chưa có đáp án nào phù hợp. Ta biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác (hình vẽ).

    Nếu tính luôn hai điểm A, B thì có tất cả 6 điểm cách đều nhau nên ta gộp được 6 điểm này thành một họ nghiệm, đó là x = k\frac{\pi }{3}.

    Suy ra nghiệm của phương trình \left\{ \begin{gathered} x = k\frac{\pi }{3} \hfill \\ k\frac{\pi }{3} e l\pi \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{k\pi }}{3} \hfill \\ k e 3\ell \hfill \\ \end{gathered} ight.{\text{ }}\left( {k,\ell \in \mathbb{Z}} ight)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số y = -2\sin\left( x + \frac{\pi}{3} ight) + 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    - 1 \leq \sin\left( x + \frac{\pi}{3}ight) \leq 1

    \Rightarrow 2 \geq - 2\sin\left( x +\frac{\pi}{3} ight) \geq - 2

    \Rightarrow 4 \geq - 2\sin\left( x +\frac{\pi}{3} ight) + 2 \geq 0

    \Rightarrow 4 \geq y \geq 0

    Vậy y \geq 0;\forall x\mathbb{\inR} là mệnh đề đúng.

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho bất đẳng thức \cos2A + \frac{1}{64\cos^{4}A} - (2\cos2B + 4\sin B) +\frac{13}{4} \leq 0, với A;B;C là ba góc của tam giác ABC. Khẳng định đúng là

    Ta có:

    \begin{matrix} \cos 2A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - (2\cos 2B + 4\sin B) + \dfrac{{13}}{4} \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {\cos ^2}A + {\cos ^2}A + \dfrac{1}{{64{{\cos }^4}A}} + 4{\sin ^2}B - 4\sin B + 1 \leqslant \dfrac{3}{4}\left( * ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

    {\cos ^2}A + {\cos ^2}A + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} \geqslant \frac{3}{4}\left( 1 ight)

    Mà 4{\sin ^2}B - 4\sin B + 1 \geqslant 0 \text{ }(2)

    Từ (*), (1) và (2) suy ra bất đẳng thức thỏa mãn khi và chỉ khi (1) và (2) xảy ra:

    \left\{ \begin{gathered} {\cos ^2}A = \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} \hfill \\ \sin B = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \cos A = \frac{1}{2} \hfill \\ \sin B = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} A = {60^0} \hfill \\ B = {30^0} \hfill \\ C = {90^0} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy \widehat{B} + \widehat{C} =120^{0}

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

    Nhắc lại kiến thức cơ bản:

    Hàm số y = \sin x là hàm số lẻ.

    Hàm số y = \cos x là hàm số chẵn.

    Hàm số y = \tan x là hàm số lẻ.

    Hàm số y = \cot x là hàm số lẻ.

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho phương trình 3\cos x + \cos2x - \cos3x + 1 = 2\sin x.\sin2x. Gọi \alpha là nghiệm nhỏ nhất thuộc khoảng (0;2\pi) của phương trình. Tính \sin\left( \alpha - \frac{\pi}{4} ight).

    Phương trình tương đương:

    3\cos x + \cos2x - \cos3x + 1 =2\sin x.\sin2x

    \Leftrightarrow 2\cos x + \cos2x + 1 =0

    \Leftrightarrow \cos^{2}x + \cos x =0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\cos x = 0 \\\cos x = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x = \pi + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vì (0;2\pi) nên x \in \left\{ \frac{\pi}{2};\pi;\frac{3\pi}{2} ight\}. Nghiệm lớn nhất của phương trình là \alpha = \frac{\pi}{2}

    Vậy \sin\left( \alpha - \frac{\pi}{4} ight) = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} ight) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình (m-2).\sin{2x} = m + 1 nhận x= \frac{\pi }{12} làm nghiệm

     Phương trình nhận x= \frac{\pi }{12} làm nghiệm

    \begin{matrix} \Rightarrow(m - 2).\sin \left( {2.\dfrac{\pi }{{12}}} ight) = m + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow (m - 2).\sin \dfrac{\pi }{6} = m + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow (m - 2).\dfrac{1}{2} = m + 1 \hfill \\ \Leftrightarrow m - 2 = 2m + 2 \hfill \\ \Leftrightarrow m = - 4 \hfill \\ \end{matrix}

    vậy m = -4

  • Câu 7: Nhận biết

    Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ mấy nếu \sin\alpha;cos\alpha cùng dấu?

    Điểm cuối của góc lượng giác a ở góc phần tư thứ I hoặc thứ III thì \sin\alpha;cos\alpha cùng dấu

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tính giá trị đúng của biểu thức D = \dfrac{\tan225^{0} -\cot81^{0}.\cot69^{0}}{\cot261^{0} + \tan201^{0}}

    Ta có:

    D = \dfrac{\tan225^{0} -\cot81^{0}.\cot69^{0}}{\cot261^{0} + \tan201^{0}}

    D = \dfrac{\tan\left( 180^{0} + 45^{0}ight) - \tan 9^{0}.\cot69^{0}}{\cot\left( 180^{0} + 81^{0} ight) +\tan\left( 180^{0} + 21^{0} ight)}

    D = \dfrac{1 - \tan 9^{0}.\tan21^{0}}{\tan9^{0} + \tan21^{0}}

    D = \dfrac{1}{\tan\left( 9^{0} + 21^{0}ight)} = \frac{1}{\tan30^{0}} = \sqrt{3}

  • Câu 9: Nhận biết

    Chọn công thức đúng trong các công thức cho sau đây? (Biết các biểu thức đều xác định).

    Công thức đúng là:

    \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2{\cos ^2}x = 1?

    Ta có 2{\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{2} . Mà {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \to {\sin ^2}x = \frac{1}{2}.

    Do đó {\tan ^2}x = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 1. Vậy 2{\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 1.

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho tam giác ABC có các góc \widehat{A};\widehat{B};\widehat{C} thỏa mãn biểu thức 2\cos\widehat{A} +\cos\widehat{B} + \cos\widehat{C} = \frac{9}{4}. Biết rằng \sin\frac{\widehat{A}}{2} = \frac{x}{y} với x,y\in\mathbb{ N};yeq 0;(x;y) = 1. Tính giá trị biểu thức Q = x + y?

    Ta có:

    2cos\widehat{A} + \cos\widehat{B} + \cos\widehat{C}

    = 2 - 4\sin^{2}\frac{\widehat{A}}{2} +2\sin\frac{\widehat{A}}{2}.\cos\left( \frac{\widehat{B} - \widehat{C}}{2}ight)

    = - 4.\left\lbrack \sin^{2}\frac{\widehat{A}}{2} -\frac{1}{2}\sin\frac{\widehat{A}}{2}.\cos\left( \frac{\widehat{B} -\widehat{C}}{2} ight) + \frac{1}{16}\cos^{2}\left( \frac{\widehat{B} -\widehat{C}}{2} ight) ightbrack

    + \frac{1}{4}\cos^{2}\left(\frac{\widehat{B} - \widehat{C}}{2} ight) + 2

    = - 4.\left\lbrack\sin\frac{\widehat{A}}{2} - \frac{1}{4}\cos\left( \frac{\widehat{B} -\widehat{C}}{2} ight) ightbrack^{2} + \frac{1}{4}\cos^{2}\left(\frac{\widehat{B} - \widehat{C}}{2} ight) + 2

    \leq \frac{1}{4}cos^{2}\left( \frac{\widehat{B} - \widehat{C}}{2} ight) + 2 \leq \frac{9}{4}\forall\Delta ABC

    Dấy “=” xảy ra khi \left\{ \begin{matrix}\widehat{B} = \widehat{C} \\\sin\dfrac{\widehat{A}}{2} = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x = 1;y = 4 \Rightarrow Q =5

  • Câu 12: Nhận biết

    Hàm số y = \cos x đồng biến trên khoảng nào sau đây?

    Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng (-π + k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π) với k ∈ Z.

  • Câu 13: Nhận biết

    Với x thuộc (0;1), hỏi phương trình {\cos ^2}\left( {6\pi x} ight) = \frac{3}{4} có bao nhiêu nghiệm?

     Phương trình {\cos ^2}\left( {6\pi x} ight) = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \cos \left( {6\pi x} ight) = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}

    - Với \cos 6\pi x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 6\pi x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow 6\pi x = \pm \,\frac{\pi }{6} + k2\pi.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ x = - \frac{1}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - \frac{1}{{12}} < k < \frac{{35}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {0;1;2} ight\} \hfill \\ \frac{1}{{12}} < k < \frac{{37}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {1;2;3} ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \to có 6 nghiệm.

    - Với \cos 6\pi x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 6\pi x = \cos \frac{{5\pi }}{6} \Leftrightarrow 6\pi x = \pm \,\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{5}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ x = - \frac{5}{{36}} + \frac{k}{3} \in \left( {0;1} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - \frac{5}{{12}} < k < \frac{{31}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {0;1;2} ight\} \hfill \\ \frac{5}{{12}} < k < \frac{{41}}{{12}}\xrightarrow{{k \in \mathbb{Z}}}k = \left\{ {1;2;3} ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \tocó 6 nghiệm.

    Vậy phương trình đã cho có 12 nghiệm.

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho đồ thị hàm số như hình vẽ:

    Hỏi hàm số tương ứng là hàm số nào trong các hàm số dưới đây

    Ta thấy hàm số có GTLN bằng 1 và GTNN bằng -1 => Loại đáp án

    y = \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} ight)

    Tại x = 0 thì y = - \frac{\sqrt{2}}{2} => Loại đáp án y = \cos\left( x - \frac{\pi}{4} ight)

    Tại x = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow y = 1 ta thấy chỉ có y = \sin\left( x - \frac{\pi}{4} ight) thỏa mãn

  • Câu 15: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight) được suy từ đồ thị (C) của hàm số bằng cách:

    Nhắc lại lý thuyết:

    Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f\left( x ight) và p > 0, ta có:

    + Tịnh tiến (C) lên p trên đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f\left( x ight) + p.

    + Tịnh tiến (C) xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f\left( x ight) - p

    + Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f\left( {x + p} ight)

    + Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f\left( {x - p} ight)

    Vậy đồ thị hàm số y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} ight) được suy từ đồ thị hàm số y = \cos x bằng cách tịnh tiến sang phải \frac{\pi }{2} đơn vị.

  • Câu 16: Nhận biết

    Tập nghiệm của phương trình \sin x=0 là?

     Ta có: \sin x =0 \Leftrightarrow x = k\pi \, , \, k \in \mathbb{Z}.

  • Câu 17: Nhận biết

    Chu kì của hàm số y = 3\sin2x là số nào sau đây?

    Chu kì của hàm số là T = \frac{2\pi}{2} =\pi

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

    Hàm số y = x + \sin x là hàm số không tuần hoàn

    Tập xác định D=\mathbb{ R}

    Giả sử

    \begin{matrix}f(x + T) = f(x),\forall x \in D \hfill \\\Rightarrow (x + T) + \sin(x + T) = x + \sin x;\forall x \in D \hfill \\\Rightarrow T + \sin(x + T) = \sin x,\forall x \in D \hfill \\\end{matrix}

    Cho x = 0 và x = π ta được

    \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}T + \sin x = sin0 = 0 \\T + \sin(T + \pi) = \sin\pi = 0 \hfill\\\end{matrix} ight.\ \hfill \\\Rightarrow 2T + \sin T + \sin(T + \pi) = 0 \Rightarrow T = 0 \hfill\\\end{matrix}

    Điều này trái với định nghĩa T > 0

    Vậy hàm số y = x + sinx không phải là hàm số tuần hoàn

    Tương tự chứng minh cho các hàm số y = x\cos xvà y = \frac{\sin x}{x} không tuần hoàn.

    Vậy hàm số y = \sin x là hàm số tuần hoàn

  • Câu 19: Thông hiểu

    Phương trình \cos^{2}2x+ \cos 2x-\frac{3}{4}=0 có nghiệm là:

     \begin{matrix} {\cos ^2}2x + \cos 2x - \dfrac{3}{4} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\cos 2x - \dfrac{1}{2}} ight).\left( {\cos 2x + \dfrac{3}{2}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos 2x - \dfrac{1}{2} = 0} \\ {\cos 2x + \dfrac{3}{2} = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos 2x = \dfrac{1}{2}\left( {tm} ight)} \\ {\cos 2x = - \dfrac{3}{2}\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \cos 2x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \\ {2x = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi } \\ {x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi } \end{array}} ight.;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \Rightarrow x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính giá trị \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) ightbrack

    Ta có:

    \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi(2k + 1) ightbrack

    = \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi + k2\pi ightbrack

    = \cos\left\lbrack \frac{\pi}{4} + \pi ightbrack

    = - \cos\left( \frac{\pi}{4} ight) = - \frac{\sqrt{2}}{2}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 354 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 1 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập