Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tìm x để ba số 1 + x;9 + x;33 + x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Ba số 1 + x;9 + x;33 + x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow (9 + x)^{2} = (1 + x).(33 + x)

    \Rightarrow 81 + 18x + x^{2} = x^{2} + 34x + 33

    \Rightarrow 16x = 48

    \Rightarrow x = 3

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho ba số x, y, z theo thứ tự đó vừa lập thành cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi:

    Gọi m và n lần lượt là công sai và công bội của cấp số cộng và cấp số nhân.

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = x + m = xn} \\ {z = x + 2m = x{n^2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow m = x{n^2} - xn \hfill \\ \Rightarrow x + x{n^2} - xn = xn \hfill \\ \Rightarrow {n^2} - 2n + 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 1 \Rightarrow m = 0 \Rightarrow x = y = z \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

    Ta có: u_{n} = - 2^{n} + 15 không có dạng an + b nên không phải là cấp số cộng.

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,... Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành 1 cấp số cộng: 7,14,21,..., 7n. Số 35351 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} - {u_1} = 7} \\ {{u_3} - {u_2} = 14} \\ \begin{gathered} {u_4} - {u_3} = 21 \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered} \\ {{u_n} - {u_{n - 1}} = 7\left( {n - 1} ight)} \end{array}} ight.

    Cộng vế với vế của phương trình ta được:

    \begin{matrix} {u_n} - {u_1} = 7 + 14 + 21 + ... + 7\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} - {u_1} = \dfrac{{7n.\left( {n - 1} ight)}}{2} \hfill \\ \Rightarrow 35331 - 1 = \dfrac{{7n.\left( {n - 1} ight)}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 10100 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 101 \hfill \\ \end{matrix}

     Vậy số 35351 là số hạng thứ 101 của dãy số đã cho.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 3}}. Tìm số hạng u_{5}

    Ta có:

    {u_5} = \frac{{{{2.5}^2} - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{{49}}{{28}} = \frac{7}{4}

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho dãy số (un) có u1 = 1 và u_{n + 1} = u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2}},\forall n \in \mathbb{N}^{*}.

    Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

    (1) (un) là dãy số tăng.

    (2) (un) là dãy số bị chặn dưới.

    (3) (un) là dãy số bị chặn trên.

    Ta có \forall n \in \mathbb{N}^{*},u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2} > 0} nên dãy số tăng.

    Vậy phát biểu (1) đúng.

    Vì dãy số tăng nên dãy số bị chặn dưới bởi u1.

    Vậy phát biểu (2) đúng.

    Ta lại có u_{1} = 1;u_{2} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}};u_{3} = u_{2} + \frac{1}{3^{2}};u_{n} = u_{n - 1} + \frac{1}{n^{2}}

    Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được:

    u_{n} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{n^{2}}

    Mặt khác \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n(n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} \Rightarrow (*)

    \Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}

    \Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{n} < 2,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2 nên phát biểu (3) đúng.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) có số hạng tổng quát u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{1 + n}. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có:

    u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight.

    Vậy dãy số đã cho không tăng không giảm.

    Khẳng định sai là: “Dãy số \left( u_{n} ight) là dãy giảm”

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với số hạng đầu u_{1} và công bội q. Với n \geq 1, khẳng định nào sau đây đúng?

    Do \left( u_{n} ight) là cấp số nhân nên u_{n + 1} = u_{n}.q\ \ ,\ \ (n \geq 1).

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = 2n + 5. Số 19 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đó?

    Ta có

    u_{n} = 19 \Leftrightarrow 2n + 5 = 19

    \Leftrightarrow 2n = 14 \Leftrightarrow n = 7.

    Vậy 19 là số hạng thứ 7 của dãy số đã cho.

  • Câu 10: Nhận biết

    Khẳng định nào dưới đây sai?

    Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) là {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d với công sai d và số hạng đầu u1

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho dãy số (un) có u1 = 7; un + 1 = 2un + 3. Khi đó u3 bằng?

    Ta có u3 = 2u2 + 3 = 2 ⋅ (2u1+3) + 3 = 4u1 + 9 − 4 ⋅ 7 + 9 = 37.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = 2;u_{8} = 16. Tìm d;S_{10}?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{8} = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1} + 7d = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ d = 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow S_{10} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + 9d ightbrack.n}{2} = 110

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;S_{23} = 483. Tìm công sai d của cấp số cộng?

    Gọi d là công sai của cấp số cộng khi đó ta có:

    S_{23} = 483 \Leftrightarrow \frac{23\left( 2u_{1} + 22d ight)}{2} = 483

    \Leftrightarrow \frac{23.( - 2 + 22d)}{2} = 483

    \Leftrightarrow d = 2

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi công thức u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n + 1} là một dãy số giảm. Sai||Đúng

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}". Đúng||Sai

    c) Cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5 \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n\mathbb{\in N};n \geq 1 ight) có số hạng tổng quát là u_{n} = 5 - 2020n. Sai||Đúng

    d) Biết rằng khi viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân. Khi đó tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng 215. Sai||Đúng

    a) Xét dãy số đã cho ta có:

    u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight. nên dãy số \left( u_{n} ight) không tăng không giảm.

    b) T(n):"1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = \frac{(n + 1)(n - 2)(n + 3)}{4};\forall n \in \mathbb{N}^{*}" đúng bằng chứng minh quy nạp.

    c) Công sai d = 5 và số hạng đầu tiên bằng u_{1} = - 2020

    Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là

    u_{n} = u_{1} + 5(n - 1)

    \Rightarrow u_{n} = - 2025 + 5n

    d) Từ giả thiết ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 160 \\ u_{6} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \sqrt[5]{\frac{u_{6}}{u_{1}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: S = \dfrac{u_{1}\left( 1 - q^{6} ight)}{1 - q} =\dfrac{160.\left\lbrack 1 - \left( \dfrac{1}{2} ight)^{6}ightbrack}{\dfrac{1}{2}} = 315.

  • Câu 15: Vận dụng

    Xác định số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) có u9 = 5u2 và u13­ = 2u6 + 5.

     Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + 8d = 5\left( {{u_1} + d} ight)} \\ {{u_1} + 12d = 2\left( {{u_1} + 5d} ight) + 5} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4{u_1} - 3d = 0} \\ {{u_1} - 2d = - 5} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 3} \\ {d = 4} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = \frac{1}{4};d = - \frac{1}{4}. Gọi S_{5} là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{4} \\d = - \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.

    Và S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Leftrightarrow S_{5} = 5u_{1} + \frac{5.4.d}{2}

    \Leftrightarrow S_{5} = 5.\frac{1}{4} + 10.\left( - \frac{1}{4} ight) = - \frac{5}{4}

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

    Xét dãy số  u_{n}=-2^{n}+15 ta có:

     \begin{matrix} {u_{n + 1}} = - {2^{n + 1}} + 15 \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - {2^{n + 1}} + 15 + {2^n} - 15 \hfill \\ = - {2^{n + 1}} + {2^n}=d \hfill \\ \end{matrix}

    d không cố định => Dãy số u_{n}=-2^{n}+15 không phải là một cấp số cộng.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Hai số hạng đầu của một cấp số nhân là 2x + 1 và 4x^{2} - 1. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là:

    Công bội của cấp số nhân là: a = \frac{4x^{2} - 1}{2x + 1} = 2x - 1

    Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là:

    \left( 4x^{2} - 1 ight)(2x - 1) = 8x^{3} - 4x^{2} - 2x + 1

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho tam giác ABC cân tại A, AH ⊥ BC. Các cạnh AB, AH, BC lập thành một cấp số nhân. Tính công bội q của cấp số nhân đó.

    Ta có: AB = AC (tam giác ABC cân)

    Các cạnh BC, AB, AH lập thành cấp số nhân nên ta có hệ phương trình:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{q} = \dfrac{{BC}}{{AH}} = \dfrac{{2HC}}{{AH}} = 2\cot \widehat C} \\ {\dfrac{1}{q} = \dfrac{{AH}}{{AB}} = 2\sin \widehat B} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \cot \widehat C = \sin \widehat C \Rightarrow 2\cos \widehat C = {\sin ^2}\widehat C = 1 - {\cos ^2}\widehat C \hfill \\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\widehat C - 2\cos \widehat C - 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \cos \widehat C = \sqrt 2 - 1;\left( {0 < \widehat C < {{90}^0}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \sin \widehat C = \sqrt {2\left( {\sqrt 2 - 1} ight)} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy công bội của cấp số nhân là q = \frac{1}{{\sin \widehat C}} = \frac{1}{{\sqrt {2\left( {\sqrt 2 - 1} ight)} }} = \frac{1}{2}.\sqrt {2\left( {\sqrt 2 + 1} ight)}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

    Ta có cấp số nhân (un) nên khi đó:

    \begin{matrix}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_m} = 16} \\ {{u_{m + 1}} = 36} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \dfrac{{{u_{m + 1}}}}{{{u_m}}} = \dfrac{{36}}{{16}} = \dfrac{9}{4} \Rightarrow q = \dfrac{9}{4} \hfill \\ \Rightarrow {u_{m + 2}} = {u_{m + 1}}.q = 36.\dfrac{9}{4} = 81 \hfill \\ \end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 82 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập