Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{k} = 16 \\ u_{k + 1} = 36 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow q = \frac{u_{k + 1}}{u_{k}} = \frac{9}{4}

    u_{k + 2} = u_{k + 1}.q = 81

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) có số hạng tổng quát u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{1 + n}. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có:

    u_{1} = - \frac{1}{2};u_{2} = \frac{1}{3};u_{3} = - \frac{1}{4}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight.

    Vậy dãy số đã cho không tăng không giảm.

    Khẳng định sai là: “Dãy số \left( u_{n} ight) là dãy giảm”

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = \frac{1}{4};d = - \frac{1}{4}. Gọi S_{5} là tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{1} = \dfrac{1}{4} \\d = - \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.

    Và S_{n} = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Leftrightarrow S_{5} = 5u_{1} + \frac{5.4.d}{2}

    \Leftrightarrow S_{5} = 5.\frac{1}{4} + 10.\left( - \frac{1}{4} ight) = - \frac{5}{4}

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

    Ta có:

    Dãy \left( u_{n} ight) là một cấp số cộng

    \Leftrightarrow u_{n} = u_{n - 1} + d với d là hằng số.

    Hay u_{n} - u_{n - 1} = d

    => Cấp số cộng cần tìm là: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n} = u_{n - 1} - 1 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho dãy số (un) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = cos\alpha(0 < \alpha < \pi) \\ u_{n + 1} = \sqrt{\frac{1 + u_{n}}{2}},\forall n \geq 1 \\ \end{matrix} ight..

    Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là?

    Do 0 < α < π nên
    u_{2} = \sqrt{\frac{1 + cos\alpha}{2}} =\sqrt{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}} = cos\frac{\alpha}{2};

    u_{3} =\sqrt{\frac{1 + cos\frac{\alpha}{2}}{2}} =\sqrt{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}} = cos\frac{\alpha}{4}

    Vậy u = cos\left( \frac{\alpha}{2^{n - 1}} ight) với mọi n ∈ ℕ*. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.

    Với n = 1 thì u1 = cosα (đúng).

    Giả sử với n = k ∈ ℕ* ta có u_{k} = cos\left( \frac{\alpha}{2^{k - 1}} ight).

    Ta chứng minh u_{k + 1} = cos\left( \frac{\alpha}{2^{k - 1}} ight)

    Thật vậy,

    u_{k + 1} = \sqrt{\frac{1 +u_{k}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + cos\left( \frac{\alpha}{2^{k - 1}}ight)}{2}}

    = \sqrt{\cos^{2}\left( \frac{\alpha}{2^{k}} ight)} =cos\left( \frac{\alpha}{2^{k}} ight)

    Từ đó ta có u_{2020} = cos\left( \frac{\alpha}{2^{2019}} ight)

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị m1, m2, m3 của tham số m để phương trình{x^3} - 9{x^2} + 23x + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0  có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính giá trị của biểu thức D = {m_1}^3 + {m_2}^3 + {m_3}^3

     Ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là - \frac{b}{{3a}} = - \frac{{ - 9}}{3} = 3 là nghiệm của phương trình

    \begin{matrix} \Leftrightarrow {3^3} - {9.3^2} + 23.3 + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 1} \\ {m = 2} \\ {m = 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Với m = - 1;m = 2;m = 3 thì {m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0 \Leftrightarrow {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = - 15

    \begin{matrix} \Rightarrow {x^3} - 9{x^2} + 23x - 15 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} ight)\left( {{x^2} - 6x + 5} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 3} \\ {x = 5} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy ba số 1, 3, 5 lập thành cấp số cộng

    Vậy giá trị cần tìm là 34

  • Câu 7: Nhận biết

    Số 7922 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số un = n2 + 1?

    Ta có 7922 = 7921 + 1 = 892 + 1 ⇒ n = 89

  • Câu 8: Thông hiểu

    Với giá trị nào của x và y thì các số -7; x; 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng?

    Ta có:

    Các số -7; x; 11 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng

    => - 7 + 11 = 2.x \Rightarrow x = 2

    Tương tự các số 2; 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng

    => 2 + y = 2.11 \Rightarrow y = 20

    Vậy x = 2; y = 20

  • Câu 9: Thông hiểu

    Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

    Ta có cấp số nhân (un) nên khi đó:

    \begin{matrix}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_m} = 16} \\ {{u_{m + 1}} = 36} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \dfrac{{{u_{m + 1}}}}{{{u_m}}} = \dfrac{{36}}{{16}} = \dfrac{9}{4} \Rightarrow q = \dfrac{9}{4} \hfill \\ \Rightarrow {u_{m + 2}} = {u_{m + 1}}.q = 36.\dfrac{9}{4} = 81 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Nhận biết

    Dãy số u_{n} = 2^{2n} là cấp số nhân với

    Cấp số nhân 4;16;64;....

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 4 \\q = \dfrac{u_{2}}{u_{1}} = 4 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Một cấp số cộng gồm 5 số hạng. Hiệu số hạng đầu và số hạng cuối bằng 20. Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho?

    Gọi năm số hạng của cấp số cộng đã cho là: u_{1}^{};u_{2}^{};u_{3}^{};u_{4}^{};u_{5}^{}.

    Theo đề bài ta có:

    u_{1} - u_{5} = 20

    \Leftrightarrow u_{1} - (u_{1} + 4d) = 20

    \Leftrightarrow d = - 5

    Vậy công sai của cấp số cộng đã cho là d = - 5

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho tập hợp M = \left\{ 2^{1};2^{2};2^{3};...;2^{2020} ight\}. Số tập hợp con của tập hợp M gồm ba phần tử có thể sắp xếp thành một cấp số nhân tăng là:

    Gọi ba phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2^{a} < 2^{b} < 2^{c} với a,b,c \in \left\{ 1;2;...;2020 ight\}

    2^{a};2^{b};2^{c} lập thành một cấp số nhân

    Suy ra a,b,c lập thành một cấp số cộng

    \Rightarrow a + b = 2c

    Thấy rằng a và c phải cùng tính chẵn lẻ.

    Khi đó số tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán là C_{1010}^{2} + C_{1010}^{2} = 1019090

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho S_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)} với n ∈ ℕ*. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có S_{1} = \frac{1}{2},S_{2} = \frac{2}{3},S_{3} = \frac{3}{4} \Rightarrow dự đoán S_{n} = \frac{n}{n + 1}

    Với n = 1, ta được S_{1} = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{1 + 1} (đúng)

    Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k≥1), tức là \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}

    Ta có \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}

    \begin{matrix} & \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} \\ & \\ & \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k^{2} + 2k + 1}{(k + 1)(k + 2)}

    \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2}

    Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Với giá trị nào của x;y thì các số hạng - 2;x; - 18;y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?

    Ta có: các số hạng - 2;x; - 18;ylập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x}{- 2} = \dfrac{- 18}{x} \\\dfrac{- 18}{x} = \dfrac{y}{- 18} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \pm 6 \\y = \dfrac{324}{x} = \pm 54 \\\end{matrix} ight.

    Vậy \left\lbrack \begin{matrix} (x;y) = (6;54) \\ (x;y) = ( - 6;54) \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Số hạng âm trong dãy số x1; x2; x3; …; xn với x_{n} = C_{n + 5}^{4} - \frac{143P_{n + 5}}{96P_{n + 3}} là?

    Ta có c_{n + 5}^{4} = \frac{(n + 5)(n +4)(n + 3)(n + 2)}{24},

    \frac{143P_{n + 5}}{96P_{n + 3}} = \frac{143(n +5)(n + 4)}{96}

    x_{n} = C_{n + 5}^{4} - \frac{143P_{n + 5}}{96P_{n + 3}}

    = \frac{(n + 5)(n + 4)(2n + 17)(2n - 7)}{96} > 0,\forall n \geq 4,n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy các số hạng âm là x1; x2; x3.

  • Câu 16: Vận dụng

    Xét tính tăng, giảm của dãy số \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = \sqrt[3]{u_{n}^{3} + 1},n \geq 1 \\ \end{matrix} ight., ta thu được kết quả?

    Ta có u_{n + 1} = \sqrt[3]{u_{n}^{3} + 1} \Rightarrow u_{n + 1} > \sqrt[3]{u_{n}^{3}} = u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow \left( u_{n} ight) là dãy số tăng.

  • Câu 17: Nhận biết

    Dãy số nào là cấp số nhân?

    Theo bài ra ta có:

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{7 - 3^{n + 1}}{7 - 3^{n}} = \frac{3\left( 7 - 3^{n} ight) - 14}{7 - 3^{n}} = 3 - \frac{14}{7 - 3^{n}} (loại)

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} =\dfrac{\dfrac{7}{3n + 3}}{\dfrac{7}{3n}} = 1 - \frac{1}{n +1}(loại)

    \dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7.2^{n +2}}{7.2^{n + 1}} = 2(thỏa mãn)

    \dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \dfrac{7 - 3(n +1)}{7 - 3n} = 1 - \frac{3}{7 - 3n} (loại)

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

    Ta có dãy số 1; - 3; - 7; - 11; - 15 là một cấp số cộng có công sai d = - 4.

  • Câu 19: Vận dụng

    Nếu \frac{1}{b +c};\frac{1}{c + a};\frac{1}{a + b} theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì dãy số nào sau đây lập thành một cấp số cộng.

    Theo giả thiết ta có:

    \frac{2}{c + a} = \frac{1}{b + c} +\frac{1}{a + b}

    \Rightarrow \frac{c + a}{2} = \frac{(b +c)(b + a)}{2b + a + c}

    \Leftrightarrow (c + a)^{2} + 2b.(a + c)= 2\left( b^{2} + ab + bc + ac ight)

    \Leftrightarrow a^{2} + c^{2} + 2ac +2bc + 2bc = 2\left( b^{2} + ab + bc + ac ight)

    \Leftrightarrow a^{2} + c^{2} =2b^{2}

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để phương trình x^{3} + x^{2} + 2ax + a = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} x_{1}x_{3} = {x_{2}}^{2} \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 1 \\ x_{1}.x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1} = 2a \\ x_{1}.x_{2}.x_{3} = - a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} - a^{2} = {x_{2}}^{2} \\ {x_{2}}^{2} + \left( 1 + x_{2} ight)x_{2} = 2a \\ x_{1}.x_{2}.x_{3} = - a \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} - a^{2} = {x_{2}}^{2} \\ x_{2} - 2 = - 2a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow - 8a^{3} = - a

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = 0 \\a = - \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \\\end{matrix} ight. kiểm tra lại kết quả ta được a = - \frac{1}{2\sqrt{2}}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 57 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập