Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 5 và d = 3. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 5 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{CTTQ}{ightarrow}u_{13} = u_{1} + (13 - 1)d = - 5 + 3(13 - 1) = 31

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu u_{1} = 2 và công sai d = 3. Giá trị u_{2024} bằng

    Áp dụng công thức số hạng tổng quát

    u_{2024} = u_{1} + 2023d = 2 + 2023.3 = 6071.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có công bội âm. Biết u_{3} = 12;u_{7} = 192. Khi đó u_{10} = ?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{3} = 12 \\ u_{7} = 192 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q^{2} = 12 \\ u_{1}.q^{6} = 192 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \frac{q^{2}}{q^{6}} = \frac{12}{192} \Leftrightarrow q^{4} = 16

    \Leftrightarrow q = - 2;(q < 0) \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{10} = u_{1}.q^{9} = 3.( - 2)^{9} = - 1536

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho dãy số (un) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n}^{2} + 1}{4},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight..

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Dự đoán dãy giảm sau đó chứng minh un + 1 − un < 0 bằng quy nạp toán học.

    Từ giả thiết suy ra un > 0, ∀n ∈ ℕ*.

    Ta có u_{2} - u_{1} = \frac{5}{4} - 2 = \frac{- 3}{4} < 0.

    Giả sử: uk + 1 − uk < 0, ∀k ≥ 1

    Xét hiệu u_{k + 2} - u_{k + 1} = \frac{u_{k + 1}^{2} + 1}{4} - \frac{u_{k}^{2} + 1}{4}

    = \frac{1}{4}\left( u_{k + 1} + u_{k} ight)\left( u_{k + 1} - u_{k} ight) < 0

    Theo nguyên lí quy nạp suy ra un + 1 − un < 0, ∀n ∈ ℕ*

    Vậy dãy số (un) là dãy số giảm.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Dãy số \left( u_{n} ight) có công thức số hạng tổng quát nào dưới đây xác định một cấp số nhân?

    Xét dãy số U_{n} = 2020^{n} ta có:

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020^{n + 1}}{2020^{n}} = 2020;\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = 2020^{n} là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

    Xét dãy số U_{n} = 2020^{n^{3}}

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020^{(n + 1)^{3}}}{2020^{n^{3}}} = 2020^{3n^{2} + 3n + 1};\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = 2020^{n^{3}} không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

    Xét dãy số U_{n} = \frac{2020}{n + 2019}

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{\frac{2020}{n + 1 + 2019}}{\frac{2020}{n + 2019}} = \frac{n + 2019}{n + 2020};\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = \frac{2020}{n + 2019} không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân.

    Xét dãy số U_{n} = 2020n + 2019

    \frac{U_{n + 1}}{U_{n}} = \frac{2020(n + 1) + 2019}{2020n + 2019} = \frac{2020n + 4039}{2020n + 2019};\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên U_{n} = 2020n + 2019 không là công thức số hạng tổng quát xác định một cấp số nhân

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{n} = \frac{1}{2 - u_{n - 1}},\ \forall n \geq 2 \\ \end{matrix} ight.. Khi đó u_{3} có giá trị bằng

    Theo công thức truy hồi ta có

    u_{2} = \frac{1}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \Rightarrow u_{3} = \frac{1}{2 - \frac{2}{3}} = \frac{3}{4}.

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_{n}=\frac{n}{3^{n}-1}. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_1} = \dfrac{1}{{{3^1} - 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ {u_2} = \dfrac{2}{{{3^2} - 1}} = \dfrac{1}{4} \hfill \\ {u_3} = \dfrac{3}{{{3^3} - 1}} = \dfrac{3}{{26}} \hfill \\ \end{matrix}

    Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là: \frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{26}

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Từ độ cao 5 5 , 8 m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \frac{1}{10} độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 68,2

    Đáp án là:

    Từ độ cao 5 5 , 8 m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \frac{1}{10} độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 68,2

    Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \frac{1}{10} độ cao mà quả bóng đạt trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến:

    Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là d_{1} = 55,8(m).

    Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là d_{2}= 55,8 + 2.\frac{55,8}{10}( m ).

    Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là d_{3} = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}}(m).

    Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là d_{4} = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + 2.\frac{55,8}{10^{3}}(m).

    Thời điểm chạm đất lần thứ n,\ \ (n > 1) là

    d_{n} = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + ... + 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}}(m).

    Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là:

    d = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + ... + 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}} + ...(m).

    Vì 2.\frac{55,8}{10}, 2.\frac{55,8}{10^{2}}, 2.\frac{55,8}{10^{3}}, …, 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}},…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q = \frac{1}{10}, nên ta có:

    2.\dfrac{55,8}{10} + 2.\dfrac{55,8}{10^{2}}+ ... + 2.\dfrac{55,8}{10^{n - 1}} + ...= \dfrac{2.\dfrac{55,8}{10}}{1 -\dfrac{1}{10}} = 12,4.

    Vậy d = 55,8 + 2.\frac{55,8}{10} + 2.\frac{55,8}{10^{2}} + ... + 2.\frac{55,8}{10^{n - 1}} + ...

    = 55,8 + 12,4 = 68,2\ (m)

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight), biết u_{n} = \frac{n}{2^{n}}. Chọn đáp án đúng.

    Ta có: u_{4} = \frac{4}{2^{4}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có số hạng tổng quát là {u_n} = 3n - 2. Xác định công sai của cấp số cộng.

    Ta có: \begin{matrix} {u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} ight) - 2 - 3n + 2 = 3 \hfill \\ \Rightarrow d = 3 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với \left\{ \begin{matrix} u_{2} + u_{3} - u_{6} = 7 \\ u_{4} + u_{8} = - 14 \\ \end{matrix} ight.. Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng này là:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{2} + u_{3} - u_{6} = 7 \\ u_{4} + u_{8} = - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( u_{1} + d ight) + \left( u_{1} + 2d ight) - \left( u_{1} + 5d ight) = 7 \\ \left( u_{1} + 3d ight) + \left( u_{1} + 7d ight) = - 14 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} - 2d = 7 \\ 2u_{1} + 10d = - 14 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ d = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{n} = 3 + (n - 1)( - 2) = 5 - 2n

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight):u_{n} = sin\frac{\pi}{n}. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây.

    Ta có: u_{n + 1} = sin\frac{\pi}{n + 1} nên u_{n + 1} = sin\frac{\pi}{n + 1} đúng.

    Do - 1 \leq sin\frac{\pi}{n} \leq 1 nên dãy số bị chặn, do đó “Dãy số (un) bị chặn” đúng.

    u_{1} = sin\pi = 0,u_{2} = sin\frac{\pi}{2} = 1,u_{3} = sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

    Do \left\{ \begin{matrix} u_{1} < u_{2} \\ u_{2} > u_{3} \\ \end{matrix} ight. nên dãy số không tăng, không giảm.

    Vậy “Dãy số (un) không tăng, không giảm” đúng.

    Do đó “Dãy số (un) tăng” sai.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu?

    Để các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì:

    \begin{matrix} 5 + m + 17 + m = 2\left( {7 + 2m} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 5 + m + 17 + m = 2\left( {7 + 2m} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 2m = 8 \Rightarrow m = 4 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m = 4

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong các dãy (un) sau đây, dãy nào là dãy số bị chặn?

    Ta có:

    n2 − n + 1 < n2 + 2n + 2 (do n > 0)

    Suy ra u_{n} = \frac{n^{2} - n + 1}{n^{2} + 2n + 2} < 1, với mọi n.

  • Câu 15: Vận dụng

    Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối hộp là 125cm^{3} và diện tích toàn phần là 175cm^{2}. Tính tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó.

    Ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta có thể gọi ba kích thước đó là \frac{a}{q};q;aq.

    Thể tích khối hộp chữ nhật: V = \frac{a}{q}.a.a.q = a^{3} = 125 \Rightarrow a = 5

    Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là

    S_{tp} = 2.\left( \frac{a}{q}.a + a.a.q + a.q + \frac{a}{q} ight)

    = 2a^{2}\left( 1 + q + \frac{1}{q} ight) = 50.\left( 1 + q + \frac{1}{q} ight)

    Theo giả thiết ta có:

    50.\left( 1 + q + \frac{1}{q} ight) =175 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}q = 2 \\q = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Với q = 2 hoặc q = \frac{1}{2} thì kích thước của hình hộp chữ nhật là 2,5cm;5cm;10cm

    => Tổng các kích thước là 17,5cm.

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho cấp số cộng (un) biết u1 = -5 và công sai d = 2. Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?

     Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d \hfill \\ \Leftrightarrow 8 = - 5 + \left( {n - 1} ight).2 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 44 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy 81 là số hạng thứ 44

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n} là cấp số nhân có u_{1} = \frac{15}{2};q =5.

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3;9;27;81. Tìm số hạng tổng quát u_{n} của cấp số nhân đã cho.

    Các số hạng lần lượt là 3;9;27;81 lập thành cấp số nhân

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3 \\q = \dfrac{9}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1}= 3^{n}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;q = - \frac{1}{10}. Số \frac{1}{10^{103}} là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?

    Ta có:

    u_{n} = \frac{1}{10^{103}}

    \Rightarrow u_{1}.q^{n - 1} = \frac{1}{10^{103}}

    \Rightarrow ( - 1)\left( - \frac{1}{10} ight)^{n - 1} = 6561

    Mà n là số chẵn và n - 1 = 103

    \Rightarrow n = 104

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1; 8; 22; 43; … Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng 7; 14; 21; …, 7n. Số 35351 là số hạng thứ mấy của cấp số đã cho?

    Theo đề bài ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} - {u_1} = 7} \\ {{u_3} - {u_2} = 14} \\ {{u_4} - {u_3} = 21} \\ \begin{gathered} ..... \hfill \\ {u_n} - {u_{n - 1}} = 7\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight.

    Cộng các vế của các phương trình của hệ ta được:

    {u_n} - {u_1} = 7 + 14 + 21 + ... + 7\left( {n - 1} ight) = \frac{{7.n\left( {n - 1} ight)}}{2}\left( * ight)

    Đặt {u_n} = 35351

    Từ (*) suy ra:

    \begin{matrix} 35351 - 1 = \dfrac{{7n\left( {n - 1} ight)}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 10100 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 101 \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó 35351 là số hạng thứ 101 của dãy số

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 55 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập