Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{4} = - 12;u_{14} = 18. Giá trị S_{16} bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{4} = - 12 \\ u_{14} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 3d = - 12 \\ u_{1} + 13d = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 21 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

    S_{16} = \frac{\left( 2u_{1} + 15d ight).16}{2} = 24

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{2} = 2001;u_{5} = 1995. Khi đó u_{1001} bằng:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{2} = 2001 \\ u_{5} = 1995 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + d = 2001 \\ u_{1} + 4d = 1995 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2003 \\ d = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{1001} = u_{1} + 1000d = 3

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)với u_{n} = 3n - 7. Tìm số hạng đầu u_{1} và công sai d của cấp số cộng trên.

    Ta có:

    u_{n} = 3n - 7 \Rightarrow u_{1} = 3.1 - 7 = - 4

    u_{n} - u_{n - 1} = (3n - 7) - (3n - 3 - 7) = 3 \Rightarrow d = 3

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số giảm?

    Xét phương án u_{n} = n^{2}, ta có:

    u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2} = 2n + 1 > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên dãy này là dãy số tăng.

    Xét phương án u_{n} = \frac{1}{n^{2}}, ta có:

    u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{(n + 1)^{2}} - \frac{1}{n^{2}} = \frac{- 2n - 1}{n^{2}(n + 1)^{2}} < 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên dãy này là dãy số giảm.

    Xét phương án u_{n} = 2n - 1, ta có:

    u_{n + 1} - u_{n} = 2n + 1 - (2n - 1) = 2 > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} nên dãy này là dãy số tăng.

    Xét phương án u_{n} = n^{3} - 3, ta có:

    u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{3} - 3 -\left( n^{3} - 3 ight)

    = 3n^{2} + 3n + 1 > 0,\forall n \in\mathbb{N}^{*} nên dãy này là dãy số tăng.

    Vậy dãy số u_{n} = \frac{1}{n^{2}} là dãy số giảm.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có công bội âm. Biết u_{3} = 12;u_{7} = 192. Khi đó u_{10} = ?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{3} = 12 \\ u_{7} = 192 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q^{2} = 12 \\ u_{1}.q^{6} = 192 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \frac{q^{2}}{q^{6}} = \frac{12}{192} \Leftrightarrow q^{4} = 16

    \Leftrightarrow q = - 2;(q < 0) \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{10} = u_{1}.q^{9} = 3.( - 2)^{9} = - 1536

  • Câu 6: Vận dụng

    Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy. Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt. Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra?

    Mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là Mạnh tạo thêm 6 mảnh giấy. Do đó công thức tính số mảnh giấy theo n bước được thực hiện là S_n = 6n + 1.

    Ta chứng minh tính đúng đắn của công thức trên bằng phương pháp quy nạp theo n.

    Với n=1 ta có: {S_1} = 6.1 + 1 = 7 (đúng) 

    Giả sử sau k bước, Mạnh thu được số mảnh giấy là: {S_k} = 6.k + 1

    Tiếp tục đến bước n=k+1. Mạnh lấy một trong số những mảnh giấy nhận được trong k bước cắt trước và cắt thành 7 mảnh. Tức là Mạnh đã lấy đi 1 trong S_k mảnh và thay vào đó 7 mảnh được cắt ra.

    Vậy tổng số mảnh giấy ở bước k+1 là:

    \begin{matrix} {S_{k + 1}} = {S_k} - 1 + 7 \hfill \\ = {S_k} + 6 \hfill \\ = 6k + 1 + 6 \hfill \\ = 6\left( {k + 1} ight) + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy công thức {S_n} = 6n + 1 đúng với mọi số nguyên dương n. Theo công thức trên chỉ có phương án 121 = 6.20 + 1 thỏa mãn.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?

    Xét đáp án 1;1;1;1;1;1... dãy là dãy hằng nên không tăng không giảm.

    Xét đáp án 1;\frac{-1}{2};\frac{1}{4};\frac{-1}{8};\frac{1}{16};... \Rightarrow {u_1} > {u_2} < {u_3} (Loại)

    Xét đáp án 1;3;5;7;9;.... \Rightarrow {u_n} < {u_{n + 1}};n \in {\mathbb{N}^*} (Chọn)

    Xét đáp án 1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};... Rightarrow {u_1} > {u_2} > {u_3}.... > {u_n} > ... (Loại)

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có công bội q. Đẳng thức nào sau đây đúng?

    Mệnh đề đúng u_{k} = u_{1}q^{k - 1}.

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Một người muốn có 100 triệu sau 18 tháng phải gửi mỗi tháng vào ngân hàng bao nhiêu tiền, biết lãi suất 0,6%/ tháng (lãi kép)?

    Gọi a là số tiền gửi mỗi tháng.

    Cuối tháng thứ 1 số tiền là a + a.0,006 =a.1,006

    Cuối tháng thứ 2 số tiền là \left\lbracka.(1,006 + 1) ightbrack.1,006 = a(1,006)^{2} + a.1006

    Cuối tháng thứ n số tiền là

    a(1,006)^{n} + a(1,006)^{n - 1} + ... +a.1,006

    = a.1,006\left\lbrack (1,006)^{n - 1} +(1,006)^{n - 12} + ... + 1 ightbrack

    = \frac{a}{1006}.(1,006).\left\lbrack(1,006)^{n} - 1 ightbrack

    Áp dụng công thức trên, ta tính được

    a =\frac{100.10^{6}.0,006}{1,006.\left\lbrack (1,006)^{18} - 1ightbrack} \approx 5246111,01

    Vậy số tiền phải gửi mỗi tháng là 5246112 (đồng).

  • Câu 10: Vận dụng

    Vào mùa thu hoạch dưa hấu, bác T bán cho những người vào vườn mua dưa như sau:

    Người thứ nhất mua bác bán nửa số dưa thu hoạch được và tặng thêm 1 quả.

    Người thứ hai mua bác bán nửa số dưa còn lại và tặng thêm 1 quả.

    …

    Bác cứ tiếp tục bán như trên, đến người mua thứ 15 thì bác bán hết.

    Tính số dưa mà bác T thu hoạch được.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Vào mùa thu hoạch dưa hấu, bác T bán cho những người vào vườn mua dưa như sau:

    Người thứ nhất mua bác bán nửa số dưa thu hoạch được và tặng thêm 1 quả.

    Người thứ hai mua bác bán nửa số dưa còn lại và tặng thêm 1 quả.

    …

    Bác cứ tiếp tục bán như trên, đến người mua thứ 15 thì bác bán hết.

    Tính số dưa mà bác T thu hoạch được.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 11: Vận dụng

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{1};u_{2};u_{3};...;u_{n} có công sai d, các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác 0. Với giá trị nào của d thì dãy số \frac{1}{u_{1}};\frac{1}{u_{2}};\frac{1}{u_{3}};...;\frac{1}{u_{n}} là một cấp số cộng?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}u_{2} - u_{1} = d \\u_{3} - u_{2} = d \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{u_{2}} - \dfrac{1}{u_{1}} = \dfrac{- d}{u_{1}.u_{2}} \\\dfrac{1}{u_{3}} - \dfrac{1}{u_{2}} = \dfrac{- d}{u_{2}.u_{3}} \\\end{matrix} ight.

    Theo yêu cầu bài toán thì ta phải có:

    \frac{1}{u_{2}} - \frac{1}{u_{1}} =\frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{u_{2}}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}d = 0 \\\dfrac{1}{u_{1}} = \dfrac{1}{u_{3}} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}d = 0 \\u_{1} = u_{3} = u_{1} + 2d \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow d = 0

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho cấp số cộng (un) có u_1 = -4; d = \frac{1}{2}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 4} \\ {d = \dfrac{1}{2}} \end{array}\mathop \to \limits^{CTTQ} } ight.{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - 4 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

    Dãy số 1; 2; 3; 4; 5 là một cấp số cộng với công sai là d = 1

    Dãy số 1; 2; 4; 8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = 2

    Dãy số 1; -1; 1; -1; 1 là một cấp số nhân với công bội q = -1

    Dãy số 1; -2; 4; -8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = -2

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết u_{n}=2^{n}. Tìm số hạng u_{n+1}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {2^n} \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = {2^{n + 1}} = {2.2^n} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho dãy số (un) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = cos\alpha(0 < \alpha < \pi) \\ u_{n + 1} = \sqrt{\frac{1 + u_{n}}{2}},\forall n \geq 1 \\ \end{matrix} ight..

    Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là?

    Do 0 < α < π nên
    u_{2} = \sqrt{\frac{1 + cos\alpha}{2}} =\sqrt{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}} = cos\frac{\alpha}{2};

    u_{3} =\sqrt{\frac{1 + cos\frac{\alpha}{2}}{2}} =\sqrt{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}} = cos\frac{\alpha}{4}

    Vậy u = cos\left( \frac{\alpha}{2^{n - 1}} ight) với mọi n ∈ ℕ*. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.

    Với n = 1 thì u1 = cosα (đúng).

    Giả sử với n = k ∈ ℕ* ta có u_{k} = cos\left( \frac{\alpha}{2^{k - 1}} ight).

    Ta chứng minh u_{k + 1} = cos\left( \frac{\alpha}{2^{k - 1}} ight)

    Thật vậy,

    u_{k + 1} = \sqrt{\frac{1 +u_{k}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + cos\left( \frac{\alpha}{2^{k - 1}}ight)}{2}}

    = \sqrt{\cos^{2}\left( \frac{\alpha}{2^{k}} ight)} =cos\left( \frac{\alpha}{2^{k}} ight)

    Từ đó ta có u_{2020} = cos\left( \frac{\alpha}{2^{2019}} ight)

  • Câu 16: Thông hiểu

    Một cấp số nhân có số hạng đầu {u_1} = 3, công bội q = 2. Biết {S_n} = 765. Tìm n?

    Ta có:

    \begin{matrix} {S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} ight)}}{{1 - q}} = \dfrac{{3\left( {1 - {2^n}} ight)}}{{1 - 2}} = 765 \hfill \\ \Rightarrow n = 8 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế?

    Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30 số hạng có công sai d= 3;u_{1} = 25

    Tổng số ghế là

    S_{30} = u_{1} + u_{2} + ... +u_{30}

    = 30u_{1} + \frac{30.29}{2}.d =2055

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho một dãy số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,... Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành 1 cấp số cộng: 7,14,21,..., 7n. Số 35351 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số đã cho?

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} - {u_1} = 7} \\ {{u_3} - {u_2} = 14} \\ \begin{gathered} {u_4} - {u_3} = 21 \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered} \\ {{u_n} - {u_{n - 1}} = 7\left( {n - 1} ight)} \end{array}} ight.

    Cộng vế với vế của phương trình ta được:

    \begin{matrix} {u_n} - {u_1} = 7 + 14 + 21 + ... + 7\left( {n - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} - {u_1} = \dfrac{{7n.\left( {n - 1} ight)}}{2} \hfill \\ \Rightarrow 35331 - 1 = \dfrac{{7n.\left( {n - 1} ight)}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 10100 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow n = 101 \hfill \\ \end{matrix}

     Vậy số 35351 là số hạng thứ 101 của dãy số đã cho.

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho dãy số (un) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5,n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.. Giá trị u10 là?

    Từ \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = u_{n} + 5,n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight. ta có un + 1 − un = 5

    ⇒ dãy (un) là một cấp số cộng với công sai d = 5 nên

    u10 = u1 + 9d = 2 + 45 = 47

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = - 1;q = - \frac{1}{10}. Số \frac{1}{10^{103}} là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?

    Ta có:

    u_{n} = \frac{1}{10^{103}}

    \Rightarrow u_{1}.q^{n - 1} = \frac{1}{10^{103}}

    \Rightarrow ( - 1)\left( - \frac{1}{10} ight)^{n - 1} = 6561

    Mà n là số chẵn và n - 1 = 103

    \Rightarrow n = 104

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 88 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập