Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị m1, m2, m3 của tham số m để phương trình{x^3} - 9{x^2} + 23x + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0  có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính giá trị của biểu thức D = {m_1}^3 + {m_2}^3 + {m_3}^3

     Ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là - \frac{b}{{3a}} = - \frac{{ - 9}}{3} = 3 là nghiệm của phương trình

    \begin{matrix} \Leftrightarrow {3^3} - {9.3^2} + 23.3 + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 1} \\ {m = 2} \\ {m = 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Với m = - 1;m = 2;m = 3 thì {m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0 \Leftrightarrow {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = - 15

    \begin{matrix} \Rightarrow {x^3} - 9{x^2} + 23x - 15 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} ight)\left( {{x^2} - 6x + 5} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 3} \\ {x = 5} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy ba số 1, 3, 5 lập thành cấp số cộng

    Vậy giá trị cần tìm là 34

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) thỏa mãn u_{n} = - 1;u_{n + 1} = 8. Tính công sai d của cấp số cộng đó:

    Ta có:

    d = u_{n + 1} - u_{n} = 8 - ( - 1) = 9

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân với các số hạng lần lượt là a; 12; b; 192. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

     Ta có: Cấp số nhân với các số hạng lần lượt là a; 12; b; 192

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{12}}{a} = \dfrac{b}{{12}}} \\ {\dfrac{b}{{12}} = \dfrac{{192}}{b}} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{{144}}{y}} \\ {{b^2} = 2034} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \pm 3} \\ {b = \pm 48} \end{array}} ight.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 3}}. Tìm số hạng u_{5}

    Ta có:

    {u_5} = \frac{{{{2.5}^2} - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{{49}}{{28}} = \frac{7}{4}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho dãy số vô hạn \left( u_{n} ight) là một cấp số cộng có số hạng đầu u_{1}, công sai d. Gọi S_{n} là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

    a) u_{5} = \frac{u_{1} + u_{9}}{2} Đúng||Sai

    b) u_{n} = u_{n - 1} + d;(n \geq 2)Đúng||Sai

    c) S_{12} = \frac{n}{2}.\left( 2u_{1} + 11d ight)Sai||Đúng

    d) u_{n} = u_{1} + (n - 1).d;\left( \forall n\mathbb{\in N} ight)Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho dãy số vô hạn \left( u_{n} ight) là một cấp số cộng có số hạng đầu u_{1}, công sai d. Gọi S_{n} là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

    a) u_{5} = \frac{u_{1} + u_{9}}{2} Đúng||Sai

    b) u_{n} = u_{n - 1} + d;(n \geq 2)Đúng||Sai

    c) S_{12} = \frac{n}{2}.\left( 2u_{1} + 11d ight)Sai||Đúng

    d) u_{n} = u_{1} + (n - 1).d;\left( \forall n\mathbb{\in N} ight)Sai||Đúng

    Ta có: u_{n} = u_{n - 1} + d;(n \geq 2) đúng

    \frac{u_{1} + u_{9}}{2} = \frac{u_{1} + u_{1} + 8d}{2} = u_{1} + 4d = u_{5}

    Ta có:

    S_{n} = nu_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Rightarrow S_{12} = 6\left( 2u_{1} + 11d ight) eq \frac{n}{2}.\left( 2u_{1} + 11d ight)

    Lại có: u_{n} = u_{1} + (n - 1).d;\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)

  • Câu 6: Vận dụng

    Biết tổng ba số hạng đầu của một cấp số nhân là 16, đồng thời theo thứ tự chúng là số hạng thứ nhất, số hạng thứ tư và số hạng thứ tám của một cấp số cộng. Công bội và số hạng đầu tiên của cấp số nhân là:

    Gọi u_{1};u_{2};u_{3};u_{4} là bốn số hạng đầu của cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q.

    Gọi \left( v_{n} ight) là cấp số cộng tương ứng với công sai d.

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} = 16 \\ u_{1} = v_{1} \\ u_{2} = v_{4} = v_{1} + 3d \\ u_{3} = v_{8} = v_{1} + 7d \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + u_{1}.q + u_{1}.q^{2} = 16 \\ u_{1}.q = v_{1} + 3d \\ u_{1}.q^{2} = v_{1} + 7d \\ \end{matrix} ight.

    \left( u_{1} eq 0 ight) \Rightarrow\left\lbrack \begin{matrix}q = 1(ktm) \\q = \dfrac{10}{3}(tm) \\\end{matrix} ight.

    q = \frac{10}{3} \Rightarrow u_{1} = \frac{144}{139}

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hai dãy số (un), (vn) được xác định như sau u1 = 3, v1 = 2 và \left\{ \begin{matrix} u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 2v_{n}^{2} \\ v_{n = 1} = 2u_{n} \cdot v_{n} \\ \end{matrix} ight. với n ≥ 2. Công thức tổng quát của hai dãy (un) và (vn) là?

    Chứng minh u_{n} - \sqrt{2}v_{n} = (\sqrt{2} - 1)^{2n}

    Ta có u_{n} = \sqrt{2}v_{n} = u_{n - 1}^{2} + 2v_{n - 1}^{2} - 2\sqrt{2}u_{n - 1}v_{n - 1} = \left( u_{n - 1} - \sqrt{2}v_{n - 1} ight)^{2}

    Mặt khác u_{1} - \sqrt{2}v_{1} = 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^{2} nên (1) đúng với n = 1 Giả sử u_{k} - \sqrt{2}v_{k} = (\sqrt{2} - 1)^{2k}, ta có u_{k - 1} - \sqrt{2}v_{k + 1} = \left( u - \sqrt{2}v_{k} ight)^{2} = (\sqrt{2} - 1)^{2k + 1}

    Vậy (1) đúng với ∀n ≥ 1

    Ta có u_{n} + \sqrt{2}v_{n} = (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}}

    Do đó ta suy ra:

    \left\{ \begin{matrix} 2u_{n} = (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}} + (\sqrt{2} - 1)^{2^{n}} \\ 2\sqrt{2}v_{n} = (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}} - (\sqrt{2} - 1)^{2^{n}} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{n} = \frac{1}{2}\left\lbrack (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}} + (\sqrt{2} - 1)^{2^{n}} ightbrack \\ v_{n} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left\lbrack (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}} - (\sqrt{2} - 1)^{2^{n}} ightbrack \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}) với u_{n}=\frac{3}{2}.5^{n}. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Ta có: \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{3}{2}{{.5}^{n + 1}}}}{{\dfrac{3}{2}{{.5}^n}}} = 5 > 1

    => (u_{n}) là một cấp số nhân với công bội là q = 5

    Số hạng đầu tiên của dãy là: {u_1} = \frac{3}{2}{.5^1} = \frac{{15}}{2}

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có số hạng đầu là u_{1} = 1, công bội là q = 2019. Tính u_{2019}?

    Theo công thức cấp số nhân ta có: u_{2019} = u_{1}.q^{n - 1} = 1.2019^{2019 - 1} = 2019^{2018}

  • Câu 10: Vận dụng

    Khi ký hợp đồng dài hạn 10 năm với các công nhân tuyển dụng, công ty X, đề xuất phương án trả lương như sau: Người lao động sẽ nhận 7 triệu ở quý đầu tiên (một quý là ba tháng), và kể từ quí làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng 500.000 đồng mỗi quý. Như vậy sau 10 năm làm việc, hết hạn hợp đồng, tổng số tiền lương người lao động đã nhận được là bao nhiêu?

    Ta có:

    Số tiền nhận được hàng quý là một cấp số cộng hữu hạn với số hạng đầu tiên là: u_{1} = 7 (triệu), công sai là 0,5 (triệu).

    Trong 10 năm sẽ có 40 quý nên cấp số cộng trên có 40 phần tử.

    Từ đó ta có

    S_{40} = \frac{40}{2}.\left( 2u_{1} + 39d ight) = 670 (triệu đồng)

  • Câu 11: Thông hiểu

    Với n \in \mathbb{N}^{*}, cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi hệ thức truy hồi u_{1} = 2, u_{n + 1} = 2u_{n} + 3. Giá trị của số hạng thứ 4 bằng

    Ta có:

    u_{2} = 2u_{1} + 3 = 2.2 + 3 = 7,

    u_{3} = 2u_{2} + 3 = 2.7 + 3 = 17,

    u_{4} = 2u_{3} + 3 = 2.17 + 3 = 37.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho \left( u_{n} ight) là cấp số cộng biết u_{3} + u_{13} = 80. Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng

    Ta có:

    u_{3} + u_{13} = 80

    \Leftrightarrow (u_{1} + 2d) + (u_{1} + 12d) = 80

    \Leftrightarrow 2u_{1} + 14d = 80

    Vậy S_{15} = \frac{15}{2}\left( 2u_{1} + 14d ight) = \frac{15}{2}.80 = 600

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 2;u_{2} = - 8. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{2} = - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1}.q = - 8 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\\begin{matrix}q = - 4 \\S_{5} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{5}}{1 + 4} = 410 \\S_{6} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{6}}{1 + 4} = - 1638 \\u_{5} = u_{1}.q^{4} = 512 \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80\% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với 100\ m^{3} ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?

    Đáp án: 500

    Đáp án là:

    Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80\% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với 100\ m^{3} ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?

    Đáp án: 500

    Ta có:

    100 + 100.0,8 + 100.0,8)^{2} + 100.(0,8)^{3} + \ldots

    = 100.\frac{1}{1 - 0,8} = 500\left( \ m^{3} ight).

  • Câu 15: Vận dụng

    Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số tăng?

    Đáp án u_n = \sin (n)  và In = (−1)n ⋅ n là các dãy không tăng, không giảm.

    Xét đáp án v_{n} = \frac{n - 1}{n + 1}, ta có:

    v_{n} = 1 - \frac{2}{n + 1} \Rightarrow v_{n + 1} - v_{n} = \frac{2}{n + 1} - \frac{2}{n + 2} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Suy ra (vn) là dãy số tăng.

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong các dãy được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

    Xét dãy số u_{n}=7-3n

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_{n + 1}} = 7 - 3\left( {n + 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 7 - 3\left( {n + 1} ight) - \left( {7 - 3n} ight) = - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy dãy số u_{n}=7-3n là một cấp số cộng với u_1=4;d=-3

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) thỏa mãn u_{1} = \sqrt{2} và u_{n + 1} = \sqrt{2 + u_{n}} với mọi n ≥ 1. Số hạng u2018 là

    Ta có u_{1} = \sqrt{2} = 2\cos\frac{\pi}{4} = 2\cos\frac{\pi}{2^{2}};

    u_{2} = \sqrt{2 + \sqrt{2}} = 2cos\frac{\pi}{8} = 2cos\frac{\pi}{2^{3}}

    Dự đoán u_{n} = 2cos\frac{\pi}{2^{n + 1}}

    Áp dụng theo quy nạp ta có: u_{1} = 2cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}, công thức (1) đúng với n = 1.

    Giả sử công thức (1) đúng với n = k, k ≥ 1 ta có u_{k} = 2cos\frac{\pi}{2^{k + 1}}

    Ta có u_{k + 1} = \sqrt{2 + u_{k}} = \sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{2^{k + 1}}}

    = \sqrt{2\left( 1 + \cos\frac{\pi}{2^{k + 2}} ight)}

    = \sqrt{4\cos^{2}\left( \frac{\pi}{2^{k + 2}} ight)}

    = 2cos\frac{\pi}{2^{k + 2}}

    (vì 0 < \frac{\pi}{2^{k + 2}} < \frac{\pi}{2} với mọi k ≥ 1 ).

    Suy ra công thức (1) đúng với n = k + 1

    Vậy u_{n} = 2cos\frac{\pi}{2^{n + 1}},\forall n \in \mathbb{N}^{*}. Suy ra u_{2018} = 2cos\frac{\pi}{2^{2019}}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{12} = 23 \\S_{12} = 144 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} + 11d = 23 \\\dfrac{12}{2}.\left( u_{1} + u_{12} ight) = 144 \\\end{matrix} ight.

    => d = 2

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có tổng n số hạng đầu tiên là S_{n} = 5^{n} - 1. Tìm số hạng thứ 4 của cấp số nhân đã cho.

    Ta có:

    S_{n} = 5^{n - 1}

    \Rightarrow u_{1}.\frac{1 - q^{n}}{1 -q} = 5^{n - 1}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = q - 1 \\q = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 4 \\q = 5 \\\end{matrix} ight.

    Khi đó u_{4} = u_{1}.q^{3} = 4.5^{3} =500

  • Câu 20: Nhận biết

    Dãy số có các số hạng cho bởi - 1;1; - 1;1;... có số hạng tổng quát là công thức nào dưới đây?

    Vì dãy số đã cho không phải là dãy hằng nên loại các đáp án u_{n} = 1 và u_{n} = - 1

    Ta có: u_{1} = - 1 ở các đáp án u_{n} = ( - 1)^{n} và u_{n} = ( - 1)^{n + 1}

    Xét đáp án u_{n} = ( - 1)^{n} \Rightarrowu_{1} = - 1

    Xét đáp án u_{n} = ( - 1)^{n + 1}\Rightarrow u_{1} = ( - 1)^{2} = 1 eq - 1

    Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là u_{n} = ( - 1)^{n}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 65 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập