Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Tính tổng S = 1 + 11 + 111 + ... + \underbrace {1111...11}_n?

    Xét dãy số \left( U_{n} ight) là cấp số nhân với u_{1} = 1;q = 10

    \Rightarrow S_{n} = \frac{1}{9}.\left( 10^{n} - 1 ight)

    \Rightarrow S = S_{1} + S_{2} + ... + S_{n}

    = \sum_{k = 1}^{n}{\frac{1}{9}\left( 10^{n} - 1 ight)} = \frac{1}{9}\left( \sum_{k = 1}^{n}{10^{n} - n} ight)

    = \frac{1}{9}\left( 10.\frac{10^{n} - 1}{9} - n ight) = \frac{1}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 1}{9} - n ight)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \ \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + ( - 1)^{2n + 1}\text{.~} \\ \end{matrix} ight.

    Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có un + 1 = un + (−1)2n + 1 = un − 1

    u1 = 1; u2 = u1 − 1; u3 = u2 − 1; …; un = un − 1 − 1

    Cộng vế với vế của các đẳng thức trên, ta được:

    un = 1 − (n−1) = 2 − n.

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với u_{1} = 2;d = - 3. Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

    Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là:

    S_{10} = \frac{10}{2}\left( 2u_{1} + 9d ight) = 5(4 - 27) = - 115

  • Câu 4: Thông hiểu

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6;x và y. Tìm y biết rằng công bội của cấp số nhân là 6?

    Ta có:

    Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là x - 6;x và y có công bội q = 6

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = x - 6;q = 6 \\x = u_{2} = u_{1}q = 6(x - 6) \\y = u_{3} = u_{2}q^{2} = 36x \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{36}{5} \\y = 36.\dfrac{36}{5} = \dfrac{1296}{5} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho dãy số \frac{1}{2};0; - \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2};... là cấp số cộng với:

    Ta có: \frac{1}{2};0; - \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2};... là một cấp số cộng

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = \dfrac{1}{2}} \\ {{u_2} - {u_1} = - \dfrac{1}{2} = d} \end{array}} ight.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)có số hạng đầu u_{1} = - 5và công sai d = 3. Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

    Ta có:

    u_{n} = u_{1} + (n - 1)d

    \Leftrightarrow 100 = - 5 + (n - 1)3 \Leftrightarrow n = 36

  • Câu 7: Thông hiểu

    Giá tiền công khoan giếng ở cơ sở A được tính như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó. Vậy muốn khoan 20 mét thì mất bao nhiêu đồng?

     Theo bài ra ta có:

    Giá các mét khoan lập thành một cấp số cộng với công sai d = 500, số hạng đầu là 8000.

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 8000} \\ {d = 500} \end{array}} ight.

    => Số tiền phải trả khi khoan giếng sâu 20m là:

    \begin{matrix} {S_{20}} = \dfrac{{20.\left( {2{u_1} + 19.d} ight)}}{2} \hfill \\ \Rightarrow {S_{20}} = 10.\left( {2.8000 + 19.500} ight) = 255000 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy muốn khoan 20 mét thì mất 255000 đồng.

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong các dãy số (u_{n}) cho bởi số hạng tổng quát u_{n} sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

    Xét dãy số u_n=\frac{1}{3^{n-2}} ta có:

    \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{{{3^{n + 1 - 2}}}}}}{{\dfrac{1}{{{3^{n - 2}}}}}} = \dfrac{{{3^{n - 2}}}}{{{3^{n - 1}}}} = {3^{ - 1}} = \frac{1}{3}

    Vậy dãy số u_n=\frac{1}{3^{n-2}} là cấp số nhân với q = 1/3

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho dãy số (un) có u1 = 1 và u_{n + 1} = u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2}},\forall n \in \mathbb{N}^{*}.

    Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

    (1) (un) là dãy số tăng.

    (2) (un) là dãy số bị chặn dưới.

    (3) (un) là dãy số bị chặn trên.

    Ta có \forall n \in \mathbb{N}^{*},u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{(1 + n)^{2} > 0} nên dãy số tăng.

    Vậy phát biểu (1) đúng.

    Vì dãy số tăng nên dãy số bị chặn dưới bởi u1.

    Vậy phát biểu (2) đúng.

    Ta lại có u_{1} = 1;u_{2} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}};u_{3} = u_{2} + \frac{1}{3^{2}};u_{n} = u_{n - 1} + \frac{1}{n^{2}}

    Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được:

    u_{n} = u_{1} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{n^{2}}

    Mặt khác \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n(n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} \Rightarrow (*)

    \Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}

    \Leftrightarrow u_{n} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{n} < 2,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy dãy số bị chặn trên bởi 2 nên phát biểu (3) đúng.

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hai số -3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2. Tìm n

    Xen kẽ giữa hai số -3 và 23 n số hạng để tạo thành một cấp số cộng thì:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = - 3} \\ {{u_{n + 2}} = 23} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow {u_1} + \left( {n + 1} ight).d = 23 \hfill \\ \Rightarrow - 3 + \left( {n + 1} ight).2 = 23 \hfill \\ \Rightarrow n = 12 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng?

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n}{2^{n}} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{2} = \frac{2}{4} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} = u_{2} \Rightarrow ight. Loại

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n}{2n^{2} + 1} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{1}{3} \\ u_{2} = \frac{2}{9} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} > u_{2} \Rightarrow ight. Loại

    Ta xét đáp án :u_{n} = \frac{n^{2} + 1}{3n + 2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = \frac{2}{5} = \frac{16}{40} \\ u_{2} = \frac{5}{8} = \frac{25}{40} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} < u_{2} \Rightarrow ight. Thỏa mãn!

    Ta xét đáp án : u_{n} = ( - 2)^{n}\sqrt{n^{2} - 1} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 0 \\ u_{2} = 4\sqrt{3} \\ u_{3} = - 8\sqrt{8} \\ \end{matrix} \Rightarrow u_{1} < u_{2} > u_{3} \Rightarrow ight. Loại

  • Câu 12: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

    Dãy số 1; 2; 3; 4; 5 là một cấp số cộng với công sai là d = 1

    Dãy số 1; 2; 4; 8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = 2

    Dãy số 1; -1; 1; -1; 1 là một cấp số nhân với công bội q = -1

    Dãy số 1; -2; 4; -8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = -2

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho phương trình bậc ba: {x^3} + \left( {5 - m} ight){x^2} + \left( {6 - 5m} ight)x - 6m = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.

    Ta có:

    \begin{matrix} {x^3} + \left( {5 - m} ight){x^2} + \left( {6 - 5m} ight)x - 6m = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - m} ight)\left( {{x^2} + 5x + 6} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = m} \\ {x = - 2} \\ {x = - 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Để ba nghiệm của phương trình lập thành một cấp số nhân

    \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( { - 2} ight).\left( { - 3} ight) = {m^2}} \\ { - 3m = {{\left( { - 2} ight)}^2}} \\ { - 2m = {{\left( { - 3} ight)}^2}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = \pm \sqrt 6 } \\ {m = - \dfrac{4}{3}} \\ {m = - \dfrac{9}{2}} \end{array}} ight.

     

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{4} = - 12;u_{14} = 18. Giá trị S_{16} bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{4} = - 12 \\ u_{14} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 3d = - 12 \\ u_{1} + 13d = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 21 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

    S_{16} = \frac{\left( 2u_{1} + 15d ight).16}{2} = 24

  • Câu 15: Nhận biết

    Hãy liệt kê năm số hạng đầu của dãy số \left( u_{n} ight) có số hạng tổng quát u_{n} = 3^{n} + n - 2;\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)?

    Ta có:

    u_{1} = 3^{1} + 1 - 2 = 2

    u_{2} = 3^{2} + 2 - 2 = 9

    u_{3} = 3^{3} + 3 - 2 = 28

    u_{4} = 3^{4} + 4 - 2 = 83

    u_{5} = 3^{5} + 5 - 2 = 246

    Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là 2;9;28;83;246

  • Câu 16: Thông hiểu

    Số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_{n}) thỏa mãn hệ \left\{\begin{matrix}u_{4}-u_{2}=72\\ u_{5}-u_{3}=144\end{matrix}ight. là:

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_4} - {u_2} = 72} \\ {{u_5} - {u_3} = 144} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 72} \\ {{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}q.\left( {{q^2} - 1} ight) = 72} \\ {{u_1}.{q^2}\left( {{q^2} - 1} ight) = 144} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 2} \\ {{u_1} = 12} \end{array}} ight.

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_{n}=\frac{n^{2}}{3^{n}} với \forall n\geq 1. Khi đó số hạng u_{2n} của dãy (u_{n}) là 

     Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = \dfrac{{{n^2}}}{{{3^n}}} \hfill \\ \Rightarrow {u_{2n}} = \dfrac{{{{\left( {2n} ight)}^2}}}{{{3^{2n}}}} = \dfrac{{4{n^2}}}{{{9^n}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 18: Nhận biết

    Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho

    (I) k ∈ A

    (II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k

    Lúc đó, ta có: 

    (I) k ∈ A : số nguyên dương k thuộc tập A.

    (II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k : nếu số nguyên dương n(n≥k) thuộc tập A thì số nguyên dương đứng ngay sau nó (n+1) cũng thuộc A. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} + 5 = 2\left( u_{n} + 5 ight) \\ \end{matrix} ight.. Tính số hạng thứ 2024 của dãy số đó?

    Ta có v_{n} = u_{n} + 5, \forall n \in Ν^{*} \Rightarrow v_{n + 1} = 2v_{n}, \forall n \in Ν^{*}

    Do đó \left( v_{n} ight) là cấp số nhân với v_{1} = 6, q = 2, v_{n} = 6.q^{n - 1};

    v_{2024} = 6.2^{2023} \Rightarrow u_{2024} = 6.2^{2023} - 5.

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Với giá trị nào của m ta có thể tìm được các giá trị của x để các số {5^{x + 1}} + {5^{1 - x}};\frac{m}{2};{25^x} + {25^{ - x}} lập thành một cấp số cộng?

     Để ba số hạng lập thành một cấp số cộng ta có:

    \begin{matrix} \left( {{5^{x + 1}} + {5^{1 - x}}} ight) + \left( {{{25}^x} + {{25}^{ - x}}} ight) = 2.\left( {\dfrac{m}{2}} ight) \hfill \\ \Rightarrow m = 5\left( {{5^x} + \dfrac{1}{{{5^x}}}} ight) + \left( {{5^{2x}} + \dfrac{1}{{{5^{2x}}}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

    \begin{matrix} {5^x} + \dfrac{1}{{{5^x}}} \geqslant 2\sqrt 1 = 2 \hfill \\ {5^{2x}} + \dfrac{1}{{{5^{2x}}}} \geqslant 2 \hfill \\ \Rightarrow m \geqslant 5.2 + 2 = 12 \hfill \\ \end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 48 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập