Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị x + y là bao nhiêu? Biết:

    B = {\log _2}\left( {{a^2} + ab + } ight){b^2} + bc + {c^2} = x{\log _2}\left( {{a^2} + ac + {c^2}} ight) + y;\left( {x,y \in \mathbb{N}} ight)

    Ta có: a, b, c lập thành cấp số cộng nên

    a + c = 2b => (a + c)2 = 4b2

    \begin{matrix} \Rightarrow b\left( {a + c} ight) + 2{b^2} = {\left( {a + c} ight)^2} \hfill \\ \Rightarrow 2{a^2} + ab + 2{b^2} + bc + {c^2} = 2\left( {{a^2} + ac + {c^2}} ight) \hfill \\ \Rightarrow B = {\log _2}\left( {{a^2} + ab + } ight){b^2} + bc + {c^2} = {\log _2}\left( {{a^2} + ac + {c^2}} ight) + 1 \hfill \\ = > x + y = 1 + 1 = 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có tổng n số hạng đầu tiên là S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{3^{n - 1}}. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho.

    S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{3^{n - 1}} = 3.\left\lbrack 1 - \left( \frac{1}{3} ight)^{n} ightbrack

    Mặt khác

    \Rightarrow S_{n} = u_{1}.\dfrac{1 -q^{n}}{1 - q} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 3(1 - q) \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\q = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{5} = u_{1}.q^{4} = \frac{2}{3^{4}}

  • Câu 3: Vận dụng

    Xét tính bị chặn của dãy số u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{2.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 2)}, ta thu được kết quả?

    Ta có 0 < u_{n} < \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{n \cdot (n + 1)} = 1 - \frac{1}{n + 1} < 1

    Dãy (un) bị chặn.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho dãy số -7; h; 11; k. Với giá trị nào của h, k thì dãy số đã cho lập thành một cấp số cộng?

     Bốn số hạng 7; h; 11; k theo thứ tự là u1; u2; u3; u4 lập thành một cấp số cộng nên

    \begin{matrix} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_4} - {u_3} = {u_3} - {u_2}} \\ {{u_4} - {u_3} = {u_2} - {u_1}} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k - 11 = 11 - h} \\ {k - 11 = h + 7} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {h + k = 22} \\ {h - k = - 18} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {h = 2} \\ {k = 20} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân có số hạng đầu u_{1} và công bội q. Đẳng thức nào sau đây đúng?

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân có số hạng đầu u_{1} và công bội q.

    Theo công thức số hạng tổng quát ta có u_{n} = u_{1}q^{n - 1}, (n \geq 2).

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có công bội âm. Biết u_{3} = 12;u_{7} = 192. Khi đó u_{10} = ?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{3} = 12 \\ u_{7} = 192 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q^{2} = 12 \\ u_{1}.q^{6} = 192 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \frac{q^{2}}{q^{6}} = \frac{12}{192} \Leftrightarrow q^{4} = 16

    \Leftrightarrow q = - 2;(q < 0) \Rightarrow u_{1} = 3

    \Rightarrow u_{10} = u_{1}.q^{9} = 3.( - 2)^{9} = - 1536

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong các dãy (un) sau đây, dãy nào là dãy số bị chặn?

    Ta có:

    n2 − n + 1 < n2 + 2n + 2 (do n > 0)

    Suy ra u_{n} = \frac{n^{2} - n + 1}{n^{2} + 2n + 2} < 1, với mọi n.

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho cấp số cộng có số hạng đầu {u_1} = - \frac{1}{2} công sai d = \frac{1}{2}. Năm số hạng liên tiếp đầu tiên của cấp số này là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d,\left( {{u_1} = - \dfrac{1}{2};d = \dfrac{1}{2}} ight) \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = - \dfrac{1}{2} + \left( {n - 1} ight).\dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} = {u_1} + d = 0} \\ {{u_3} = {u_2} + d = \dfrac{1}{2}} \\ {{u_4} = {u_3} + d = 1} \\ {{u_5} = {u_4} + d = \dfrac{3}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho cấp số nhân (un) có {S_2} = 4;{S_3} = 13. Biết {u_2} < 0. Tính {S_5}?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_2} = 4} \\ {{S_3} = 13} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^2}} ight)}}{{1 - q}} = 4} \\ {\dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^3}} ight)}}{{1 - q}} = 13} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}\left( {1 + q} ight) = 4} \\ {{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} ight) = 13} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 + q}}{{1 + q + {q^2}}} = \dfrac{4}{{13}}\left( * ight)} \\ {{u_1} = \dfrac{4}{{1 + q}}\left( {**} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Xét (*)

    \begin{matrix} \dfrac{{1 + q}}{{1 + q + {q^2}}} = \dfrac{4}{{13}}a \hfill \\ \Leftrightarrow 4{q^2} - 9q - 9 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 3 \Rightarrow {u_1} = 1 \Rightarrow {u_2} = {u_1}.q = 3 > 0\left( L ight)} \\ {q = - \dfrac{3}{4} \Rightarrow {u_1} = 16 \Rightarrow {u_2} = {u_1}.q = - 12 < 0\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow {S_5} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} ight)}}{{1 - q}} = \dfrac{{16.\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{{ - 3}}{4}} ight)}^5}} ight]}}{{1 + \dfrac{3}{4}}} = \dfrac{{181}}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong dãy số \left( u_{n} ight) cho bởi số hạng tổng quát u_{n} sau, dãy số nào là dãy số tăng?

    Vì 2^{n};n là các dãy dương và tăng nên \frac{1}{2^{n}};\frac{1}{n} là các dãy giảm

    => Loại các đáp án u_{n} =\frac{1}{2^{n}};u_{n} = \frac{1}{n}

    Xét đáp án u_{n} = \frac{n + 5}{3n +1} ta có: \Rightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1} = \dfrac{3}{2} \\u_{2} = \dfrac{7}{6} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{1} > u_{2}(L)

    => Dãy số u_{n} = \frac{n + 5}{3n +1} không phải dãy tăng.

    Xét đáp án u_{n} = \frac{2n - 1}{n + 1} =2 - \frac{3}{n + 1}

    \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = 3\left(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} ight) > 0

    => Dãy số u_{n} = \frac{2n - 1}{n +1} là dãy tăng.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tìm x và y để dãy số 9;x; - 1;y là một cấp số cộng?

    Để dãy số 9;x; - 1;y là một cấp số cộng thì \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{9 - 1}{2} \\- 1 = \dfrac{x + y}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 4 \\y = - 6 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hai dãy số (un), (vn) được xác định như sau u1 = 3, v1 = 2 và \left\{ \begin{matrix} u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 2v_{n}^{2} \\ v_{n = 1} = 2u_{n} \cdot v_{n} \\ \end{matrix} ight. với n ≥ 2. Công thức tổng quát của hai dãy (un) và (vn) là?

    Chứng minh u_{n} - \sqrt{2}v_{n} = (\sqrt{2} - 1)^{2n}

    Ta có u_{n} = \sqrt{2}v_{n} = u_{n - 1}^{2} + 2v_{n - 1}^{2} - 2\sqrt{2}u_{n - 1}v_{n - 1} = \left( u_{n - 1} - \sqrt{2}v_{n - 1} ight)^{2}

    Mặt khác u_{1} - \sqrt{2}v_{1} = 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^{2} nên (1) đúng với n = 1 Giả sử u_{k} - \sqrt{2}v_{k} = (\sqrt{2} - 1)^{2k}, ta có u_{k - 1} - \sqrt{2}v_{k + 1} = \left( u - \sqrt{2}v_{k} ight)^{2} = (\sqrt{2} - 1)^{2k + 1}

    Vậy (1) đúng với ∀n ≥ 1

    Ta có u_{n} + \sqrt{2}v_{n} = (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}}

    Do đó ta suy ra:

    \left\{ \begin{matrix} 2u_{n} = (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}} + (\sqrt{2} - 1)^{2^{n}} \\ 2\sqrt{2}v_{n} = (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}} - (\sqrt{2} - 1)^{2^{n}} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{n} = \frac{1}{2}\left\lbrack (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}} + (\sqrt{2} - 1)^{2^{n}} ightbrack \\ v_{n} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left\lbrack (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}} - (\sqrt{2} - 1)^{2^{n}} ightbrack \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

    Dãy số ở đáp án A thỏa mãn điều kiện {u_{n + 1}} - {u_1} = 2 với n \geqslant 1 là cấp số cộng.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

    b) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1} có số hạng thứ 3 là: u_{3} = \frac{17}{58}. Đúng||Sai

    c) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

    d) Tổng S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3} . Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

    b) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1} có số hạng thứ 3 là: u_{3} = \frac{17}{58}. Đúng||Sai

    c) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

    d) Tổng S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3} . Đúng||Sai

    Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 1.

    Số hạng thứ ba của dãy số \left( u_{n} ight) là: u_{3} = \frac{5.3 + 2}{19.3 + 1} = \frac{17}{58}.

    Xét u_{n} = 9 - 2n ta có: u_{n + 1} - u_{n} = - 2 < 0,\forall n\mathbb{\in N} suy ra \left( u_{n} ight) là dãy số giảm

    Lại có n\mathbb{\in N \Rightarrow}n \geq 0 \Rightarrow u_{n} = 9 - 2n \leq 9 suy ra \left( u_{n} ight) là dãy số bị chặn trên.

    Suy ra phát biểu “Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới.” là phát biểu sai.

    Ta có: S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... là tổng cấp số nhân lùi vô hạn \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{1}{3^{n}} có số hạng đầu và công bội lần lượt là: u_{1} = \frac{1}{3};q = \frac{1}{3}

    \Rightarrow S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{2}

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có các số hạng đều dương và \left\{ \begin{matrix}u_{1} + u_{2} + u_{3} + \ldots + u_{n} = 2020 \\\dfrac{1}{u_{1}} + \dfrac{1}{u_{2}} + \dfrac{1}{u_{3}} + \ldots +\dfrac{1}{u_{n}} = 2021 \\\end{matrix} ight. Giá trị của P = u_{1} \cdot u_{2} \cdot u_{3}\ldots\ldots u_{n} là:

    Ta có P = u_{1} \cdot \left( u_{1} \cdot q ight)\ldots..\left( u_{1} \cdot q^{n - 1} ight)

    = u_{1}^{n} \cdot q^{1 + 2 + 3 + \ldots + (n - 1)}

    = u_{1}^{n} \cdot q^{\frac{n(n -1)}{2}} = \left( u_{1} \cdot q^{\frac{n - 1}{2}}ight)^{n}

    Theo giả thiết, ta có:

    A = u_{1} + u_{2} + u_{3} + \ldots + u_{n} = u_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}
    Và B = \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{3}} + \ldots + \frac{1}{u_{n}}

    = \frac{1}{u_{1}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q^{2}} + \ldots + \frac{1}{q^{n - 1}} ight)

    = \dfrac{1}{u_{1}} \cdot \dfrac{1 -\dfrac{1}{q^{n}}}{1 - \dfrac{1}{q}} = \dfrac{1}{u_{1}} \cdot \dfrac{q^{n} -1}{q - 1} \cdot \dfrac{1}{q^{n - 1}}.
    Suy ra \frac{A}{B} = u_{1}^{2} \cdot q^{n - 1} = \left( u_{1} \cdot q^{\frac{n - 1}{2}} ight)^{2}. Vậy P = \sqrt{\left( \frac{A}{B} ight)^{n}} = \sqrt{\left( \frac{2020}{2021} ight)^{n}}.

  • Câu 16: Vận dụng

    Số hạng tổng quát của cấp số cộng là {u_n} = 3n + 4,n \in {\mathbb{N}^*}. Gọi {S_n} là tổng số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Cấp số cộng {u_n} = an + b \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = a + b} \\ {d = a} \end{array}} ight.

    \begin{matrix} {u_n} = 3n + 4 \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 7} \\ {d = 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow {S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)d}}{2} = 7n + \dfrac{{3\left( {{n^2} - n} ight)}}{2} = \dfrac{{3{n^2} + 11n}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_{n}=\frac{n^{2}}{3^{n}} với \forall n\geq 1. Khi đó số hạng u_{2n} của dãy (u_{n}) là 

     Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = \dfrac{{{n^2}}}{{{3^n}}} \hfill \\ \Rightarrow {u_{2n}} = \dfrac{{{{\left( {2n} ight)}^2}}}{{{3^{2n}}}} = \dfrac{{4{n^2}}}{{{9^n}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng (Un) có {u_1} = \frac{1}{3};{u_8} = 26. Công sai d của cấp số cộng là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} ight)d \hfill \\ \Rightarrow {u_8} = {u_1} + 7d \hfill \\ \Rightarrow 26 = \dfrac{1}{3} + 7.d \hfill \\ \Rightarrow d = \dfrac{{11}}{3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + ( - 1)^{2n} \\ \end{matrix} ight.. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có un + 1 = un + (−1)2n = un + 1 ⇒ u2 = 2; u3 = 3; u4 = 4; …

    Dễ dàng dự đoán được un = n.

    Thật vậy, ta chứng minh được un = n (*) bằng phương pháp quy nạp như sau:

    Với n = 1 ⇒ u1 = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.

    Giả sử (*) đúng với n = k (k∈ℕ*), ta có uk = k

    Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là uk + 1 = k + 1

    Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có uk + 1 = uk + (−1)2k = k + 1

    Vậy (*) đúng với mọi n ∈ ℕ*. Số hạng tổng quát của dãy số là un = n.

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: u_{n} = \frac{3}{2}.5^{n} là cấp số nhân có u_{1} = \frac{15}{2};q =5.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 65 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập