Cho một cấp số cộng có
. Hỏi
bằng bao nhiêu?
Ta có:
Cho một cấp số cộng có
. Hỏi
bằng bao nhiêu?
Ta có:
Tính tổng 
Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân ta có:
Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên n ≥ p, với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước
Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n = 1
Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n = k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n = k + 1
Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.
Bước 1 sai, vì theo bài toán n ≥ p nên ta phải chứng minh rằng A(n) đúng khi n = p.
Bước 2 sai, không thể "Với số nguyên dương tùy ý k " mà phải là "Với số nguyên dương k, (k ≥ p) ".
Từ độ cao
của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng
độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Đáp án: 68,2
Từ độ cao của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng
độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Đáp án: 68,2
Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng độ cao mà quả bóng đạt trước đó và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến:
Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là .
Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là .
Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là .
Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là .
Thời điểm chạm đất lần thứ là
.
Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là:
.
Vì ,
,
, …,
,…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội
, nên ta có:
.
Vậy
Cho dãy số (un) thỏa mãn
và
với mọi n ≥ 1. Số hạng u2018 là
Ta có
Dự đoán
Áp dụng theo quy nạp ta có: , công thức (1) đúng với n = 1.
Giả sử công thức (1) đúng với n = k, k ≥ 1 ta có
Ta có
(vì với mọi k ≥ 1 ).
Suy ra công thức (1) đúng với n = k + 1
Vậy . Suy ra
Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?
Ta có: là cấp số nhân
Dãy số lập thành cấp số nhân là
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; … Tìm số hạng tổng quát un của cấp số nhân đã cho.
Cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81; …
Cho
với n ∈ ℕ*. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có dự đoán
Với n = 1, ta được (đúng)
Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k≥1), tức là
Ta có
Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1.
Cho tập hợp
. Số tập hợp con của tập hợp
gồm ba phần tử có thể sắp xếp thành một cấp số nhân tăng là:
Gọi ba phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán là với
lập thành một cấp số nhân
Suy ra lập thành một cấp số cộng
Thấy rằng a và c phải cùng tính chẵn lẻ.
Khi đó số tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho.
Ta có:
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Tính
.
Ta có:
Khi đó:
=>
Cho dãy số (un) với
, biết
. Hỏi uk là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?
Ta có:
(do k∈ℕ*)
Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành
hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới
khúc gỗ và hàng trên cùng có
khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?
Đáp án: 55
Một người xếp chồng những khúc gỗ có kích thước như nhau thành hàng. Sau khi xếp xong người đó nhận thấy mỗi hàng nằm liền phía trên thì ít hơn hàng dưới
khúc gỗ và hàng trên cùng có
khúc gỗ. Hỏi người đó có tổng cộng bao nhiêu khúc gỗ?
Đáp án: 55
Mỗi hàng liền phía trên ít hơn hàng dưới khúc gỗ và hàng trên cùng có 1 khúc gỗ nên ta có đây là tổng của một cấp số cộng có:
.
Khi đó, tổng số khúc gỗ là:
(khúc gỗ).
Phát biểu nào dưới đây về dãy số (an) được cho bởi an = 2n + n là đúng?
Ta có an + 1 − an = 2n + 1 + n + 1 − 2n − n
= 2.2n − 2n + 1 = 2n + 1 > 0, ∀n ∈ ℕ*
Vậy (an) là dãy số tăng.
Cho cấp số cộng (un) có
;
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có:
Cho dãy số (un) là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q. Đẳng thức nào sau đây sai?
Từ định nghĩa cấp số nhân ta có các kết quả sau:
Đáp án C sai
Cho cấp số nhân
có
. Số
là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
Ta có:
Cho dãy số (un) có un = − n2 + n + 1. Số − 19 là số hạng thứ mấy của dãy?
Giả sử un = − 19(n∈ℕ*) Suy ra (do n∈ℕ*).
Vậy số − 19 là số hạng thứ 5 của dãy.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
Ta có:
Khi đó theo định nghĩa cấp số cộng dãy số là một cấp số cộng với
Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:
Ta có: