Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị của x để ba số 2x - 1;x;2x + 1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Ba số 2x - 1;x;2x + 1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow x^{2} = (2x - 1).(2x + 1)

    \Rightarrow x^{2} = 4x^{2} - 1

    \Rightarrow 3x^{2} = 1

    \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Hai số hạng đầu của một cấp số nhân là 2x + 1 và 4x2 - 1. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là: 

    Ta có: \frac{{4{x^2} - 1}}{{2x + 1}} = 2x - 1

    Vậy công sai của cấp số nhân là 2x - 1

    Vậy số hạng tiếp theo sẽ là: \left( {4{x^2} - 1} ight)\left( {2x - 1} ight) = 8{x^3} - 4{x^2} - 2x + 1

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) biết u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có u_{n} = \frac{5^{n}}{n^{2}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow u_{n + 1} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}}

    Xét tỉ số:

    \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{5^{n + 1}}{(n + 1)^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{5^{n}}

    = \frac{5n^{2}}{n^{2} + 2n + 1} = \frac{n^{2} + 2n + 1 + 4n^{2} - 2n - 1}{n^{2} + 2n + 1}

    = 1 + \frac{2n(n - 1) + 2n^{2} - 1}{n^{2} + 2n + 1} > 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*}

    Vậy (un) là dãy số tăng.

  • Câu 4: Vận dụng

    Tính tổng A = 1000^{2} - 999^{2} + 998^{2} - 997^{2} + ... + 2^{2} - 1^{2}

    Ta có:

    A = 1000^{2} - 999^{2} + 998^{2} - 997^{2} + ... + 2^{2} - 1^{2}

    A = 1.(1000 + 999) + 1.(998 + 997) + ... + 1.(2 + 1)

    A = 1999 + 1995 + ... + 3

    Ta thấy các số hạng của tổng T tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu u_{1} = 1999 và công sai d = −4. Giả sử tổng trên có n số hạng thì

    u_{n} = 3

    \Leftrightarrow u_{1} + (n - 1) = 3

    \Leftrightarrow 1999 + (n - 1)( - 4) = 3

    \Leftrightarrow n = 500

    \Rightarrow T = S_{500} = \frac{\left( u_{1} + u_{500} ight).500}{2} = \frac{(1999 + 3).500}{2} = 500500

  • Câu 5: Nhận biết

    Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một
    số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng:

    Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng n=p

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Một quả bóng rơi từ độ cao 6m với phương vuông góc với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng nảy lên với độ cao bằng \dfrac{3}{4} độ cao của lần rơi trước. Tính quãng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa.

    Ta có: Quãng đường bóng bay bằng tổng quãng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi xuống

    Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng \dfrac{3}{4} lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên là:

    {S_1} = 6.\frac{3}{4} + 6.{\left( {\frac{3}{4}} ight)^2} + ... + 6.{\left( {\frac{3}{4}} ight)^n} + ...

    Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có {u_1} = 6.\frac{3}{4} = \frac{9}{1},q = \frac{3}{4}

    => {S_1} = \dfrac{{\dfrac{9}{2}}}{{1 - \dfrac{3}{4}}} = 18

    Tổng quãng đường bóng rơi xuống bằng khoảng cách độ cao ban đầu và tổng quãng đường bóng nảy lên là:

    {S_2} = 6 + 6.\frac{3}{4} + 6.{\left( {\frac{3}{4}} ight)^2} + ... + 6.{\left( {\frac{3}{4}} ight)^n} + ...

    Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với {u_1} = 6;q = \frac{3}{4}

    => {S_2} = \dfrac{6}{{1 - \dfrac{3}{4}}} = 24

    Vậy tổng quãng đường bóng bay là 42m

  • Câu 7: Nhận biết

    Tìm số hạng thứ 11 của cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai d = −2?

    Ta có: u_{11} = u_{1} + 10d = - 17

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho một cấp số cộng (un) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu tiên là 24850. Tính giá trị của biểu thức S = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{48}}.{u_{49}}}} + \frac{1}{{{u_{49}}.{u_{50}}}}

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_{100}} + {u_1} = 497 \hfill \\ \Rightarrow {u_{100}} = 1 + 99d \hfill \\ \Rightarrow d = 5 \hfill \\ \Rightarrow {u_{50}} = 246 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta lại có

    \begin{matrix} 5S = \dfrac{{{u_2} - {u_1}}}{{{u_1}{u_2}}} + \dfrac{{{u_3} - {u_2}}}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \dfrac{{{u_{49}} - {u_{48}}}}{{{u_{48}}.{u_{49}}}} + \dfrac{{{u_{50}} - {u_{49}}}}{{{u_{50}}.{u_{49}}}} = \dfrac{1}{{{u_1}}} - \dfrac{1}{{{u_{50}}}} = 1 - \dfrac{1}{{246}} \hfill \\ \Rightarrow S = \dfrac{{49}}{{246}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

    b) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1} có số hạng thứ 3 là: u_{3} = \frac{17}{58}. Đúng||Sai

    c) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

    d) Tổng S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3} . Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

    b) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1} có số hạng thứ 3 là: u_{3} = \frac{17}{58}. Đúng||Sai

    c) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

    d) Tổng S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3} . Đúng||Sai

    Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 1.

    Số hạng thứ ba của dãy số \left( u_{n} ight) là: u_{3} = \frac{5.3 + 2}{19.3 + 1} = \frac{17}{58}.

    Xét u_{n} = 9 - 2n ta có: u_{n + 1} - u_{n} = - 2 < 0,\forall n\mathbb{\in N} suy ra \left( u_{n} ight) là dãy số giảm

    Lại có n\mathbb{\in N \Rightarrow}n \geq 0 \Rightarrow u_{n} = 9 - 2n \leq 9 suy ra \left( u_{n} ight) là dãy số bị chặn trên.

    Suy ra phát biểu “Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới.” là phát biểu sai.

    Ta có: S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... là tổng cấp số nhân lùi vô hạn \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{1}{3^{n}} có số hạng đầu và công bội lần lượt là: u_{1} = \frac{1}{3};q = \frac{1}{3}

    \Rightarrow S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{2}

  • Câu 10: Vận dụng

    Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây dai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy dược kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75\% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa dược kéo lên. Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?

    Đáp án: 666

    Đáp án là:

    Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây dai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy dược kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75\% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa dược kéo lên. Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?

    Đáp án: 666

    Gọi u_{n} là quãng dường người đó dược kéo lên ở lần thứ n (đơn vị tính: mét).

    Ta có u_{1} = 0,75 \cdot 100 = 100 \cdot 1,5 = 75\ m và u_{n} = 0,75 \cdot u_{n - 1}.

    Vậy \left( u_{n} ight) là cấp số nhân với số hạng đầu u_{1} = 75 và công bội q = 0,75.

    Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là

    S = 100 + 2u_{1} + 2u_{2} + \cdots + 2u_{10}

    = 100 + 2S_{10} = 100 + 2 \cdot \frac{75\left( 1 - 0,75^{10} ight)}{1 - 0,75} \approx 666\ \ (m)

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 3;q = - 2. Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?

    Ta có:

    u_{n} = 192

    \Rightarrow u_{1}.q^{n - 1} = 192

    \Rightarrow 3.2^{n - 1} = 192

    \Rightarrow ( - 1)^{n - 1}.2^{n - 1} = 64

    \Rightarrow n = 7

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{3},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight..

    Số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho \sqrt{u_{n} - 1} \geq 2039190 là?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{2} = u_{1} + 1^{3} \\ \end{matrix} \\ u_{3} = u_{2} + 2^{3} \\ \end{matrix} \\ \ldots \\ \end{matrix} \\ u_{n + 1} = u_{n} + n^{3} \\ \end{matrix} ight.

     =  > un = 1 + 13 + 23 + … + (n−1)3

    Ta lại có 13 + 23 + … + (n−1)3

    = (1 + 2 + 3 + \ldots + n - 1)^{2} = \left( \frac{n(n - 1)}{2} ight)^{2}

    Suy ra u_{n} = 1 + \left( \frac{n(n - 1)}{2} ight)^{2}

    Theo giả thiết ta có \sqrt{u_{n} - 1} \geq2039190 \Leftrightarrow \frac{n(n - 1)}{2} \geq 2039190

    \Leftrightarrow n(n - 1) \geq 4078380 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}n \geq 2020 \ \leq - 2019 \\\end{matrix} ight.

    Mà n là số nguyên dương nhỏ nhất nên n = 2020.

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho cấp số nhân có số hạng thứ bảy là \frac{1}{2} và công bội \frac{1}{4}. Hỏi số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng bao nhiêu?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}u_{7} = \dfrac{1}{2} = u_{1}.q^{6} \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2048 \\q = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng:

    Ta có:

    Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng 3n;\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight) nên chúng lập thành cấp số cộng u_{n} = n

    ightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{50} = 150 \\ \end{matrix} ight.

    S_{n} = \frac{n}{2}.\left( u_{1} + u_{n} ight) = n.u_{1} + \frac{n(n - 1)d}{2}

    \Rightarrow S_{50} = \frac{50}{2}.\left( u_{1} + u_{50} ight) = 3825

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng?

    Ta có:

    u_{n + 1} - u_{n}

    = \left\lbrack 4 + 3(n + 1) ightbrack - (4 + 3n)

    = 3

    => Dãy số \left( u_{n} ight):u_{n} = 4 + 3n là cấp số cộng.

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 3 và công bội q = 3. Số hạng tổng quát của cấp số nhân \left( u_{n} ight) là

    Số hạng tổng quát của cấp số nhân \left( u_{n} ight) là

    u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} = 3.3^{n - 1} = 3^{n}.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho \left( u_{n} ight) là cấp số cộng biết u_{3} + u_{13} = 80. Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng

    Ta có:

    u_{3} + u_{13} = 80

    \Leftrightarrow (u_{1} + 2d) + (u_{1} + 12d) = 80

    \Leftrightarrow 2u_{1} + 14d = 80

    Vậy S_{15} = \frac{15}{2}\left( 2u_{1} + 14d ight) = \frac{15}{2}.80 = 600

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 6 \\ u_{n + 1} = \sqrt{6 + u_{n}};\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 6 \\ u_{n + 1} = \sqrt{6 + u_{n}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 6 \\ u_{n + 1} \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{n} \geq 0

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 6 \\ u_{n + 1} = \sqrt{6 + u_{n}} \geq \sqrt{6} \\ \end{matrix} ight.

    Ta chứng minh quy nạp u_{n} \leq 2\sqrt{3};u_{1} \leq 2\sqrt{3};u_{k} \leq 2\sqrt{3}

    u_{k + 1} = \sqrt{6 + u_{k + 1}} \leq \sqrt{6 + 2\sqrt{3}} \leq \sqrt{6 + 6} = 2\sqrt{3}

    Cách khác:

    Ta có: u_{2} = \sqrt{12} > 3 > \frac{5}{2} > 2 nên loại các đáp án \sqrt{6} \leq u_{n} < \frac{5}{2}; \sqrt{6} \leq u_{n} < 3; \sqrt{6} \leq u_{n} < 2

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho dãy số có các số hạng đầu là 8, 15, 22, 29, 36, … Số hạng tổng quát của dãy số này là

    Ta có 8 = 7.1 + 1; 15 = 7.2 + 1; 22 = 7.3 + 1; 29 = 7.4 + 1; 36 = 7.5 + 1

    Suy ra số hạng tổng quát un = 7n + 1

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho S_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)} với n ∈ ℕ*. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có S_{1} = \frac{1}{2},S_{2} = \frac{2}{3},S_{3} = \frac{3}{4} \Rightarrow dự đoán S_{n} = \frac{n}{n + 1}

    Với n = 1, ta được S_{1} = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{1 + 1} (đúng)

    Giả sử mệnh đề đúng khi n = k (k≥1), tức là \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}

    Ta có \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} = \frac{k}{k + 1}

    \begin{matrix} & \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} \\ & \\ & \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k^{2} + 2k + 1}{(k + 1)(k + 2)}

    \Leftrightarrow \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{k(k + 1)} + \frac{1}{(k + 1)(k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2}

    Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 83 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập