Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ngồi ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ngồi ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế.

    Đáp án: 20

    Đáp án là:

    Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ngồi ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ngồi ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế.

    Đáp án: 20

    Số ghế ở các hàng tạo thành một cấp số cộng có u_{1} = 15 và công sai d = 3.

    Giả sử hội trường có n hàng ghế n\mathbb{\in N}*.

    Tổng số ghế có trong hội trường là:

    S_{n} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d ightbrack.n}{2} = \frac{\lbrack 2.15 + (n - 1).3brack n}{2} = \frac{3n^{2} + 27n}{2}.

    Để hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì S_{n} \geq 870

    \Leftrightarrow \frac{3n^{2} + 27n}{2} \geq 870 \Leftrightarrow n^{2} + 9n - 580 \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n \geq 20 \\ n \leq - 29 \\ \end{matrix}. ight.

    Vậy kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân (un) có u1 = -1; u6 = -0,00001. Khi đó công bội q và số hạng tổng quát là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_6} = {u_1}.{q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow 0,00001 = - {q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow q = \dfrac{{ - 1}}{{10}} \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = - 1.{\left( {\dfrac{{ - 1}}{{10}}} ight)^{n - 1}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}}}{{{{10}^{n - 1}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight)với u_{n} = 3n - 7. Tìm số hạng đầu u_{1} và công sai d của cấp số cộng trên.

    Ta có:

    u_{n} = 3n - 7 \Rightarrow u_{1} = 3.1 - 7 = - 4

    u_{n} - u_{n - 1} = (3n - 7) - (3n - 3 - 7) = 3 \Rightarrow d = 3

  • Câu 4: Thông hiểu

    Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là 12288 m^{ 2 }. Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:

    Đáp án: 6 m2

    Đáp án là:

    Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là 12288 m^{ 2 }. Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là:

    Đáp án: 6 m2

    Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là S_{11} = \frac{12288}{2^{11}} = 6\ m^{2}.

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết \tan \frac{A}{2}.\tan \frac{C}{2} = \frac{x}{y};\left( {x,y \in \mathbb{N}} ight). Tính giá trị x + y.

    Ta có:

    \begin{matrix} a + c = 2b \hfill \\ \Rightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B \hfill \\ \Rightarrow 2\sin \dfrac{{A + C}}{2}.\cos \dfrac{{A - C}}{2} = 4\sin \dfrac{B}{2}.\cos \dfrac{B}{2} = 4\sin \dfrac{{A + C}}{2}.\cos \dfrac{{A + C}}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \dfrac{{A - C}}{2} = 2\cos \dfrac{{A + C}}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \dfrac{A}{2}.\cos \dfrac{C}{2} + \sin \dfrac{A}{2}.\sin \dfrac{C}{2} = 2\cos \dfrac{A}{2}.\cos \dfrac{C}{2} - 2\sin \dfrac{A}{2}.\sin \dfrac{C}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \dfrac{A}{2}.\cos \dfrac{C}{2} = 3\sin \dfrac{A}{2}.\sin \dfrac{C}{2} \hfill \\ \Rightarrow 3\tan \dfrac{A}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = 1 \hfill \\ \Rightarrow \tan \dfrac{A}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = \dfrac{1}{3} \hfill \\ \end{matrix}

    => x + y = 4

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có u_1=11 và công sai d = 4. Tính {u_{99}}?

    Ta có: {u_{99}} = {u_1} + 99d = 11 + 98.4 = 403

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 3}}. Tìm số hạng u_{5}

    Ta có:

    {u_5} = \frac{{{{2.5}^2} - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{{49}}{{28}} = \frac{7}{4}

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho cấp số nhân (un) có {u_1} = 2 và công bội q = 3. Số hạng u2 là:

    Ta có: u2 = u1 . q = -2 . 3 = -6

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong dãy số \left( u_{n} ight) cho bởi số hạng tổng quát u_{n} sau, dãy số nào là dãy số tăng?

    Vì 2^{n};n là các dãy dương và tăng nên \frac{1}{2^{n}};\frac{1}{n} là các dãy giảm

    => Loại các đáp án u_{n} =\frac{1}{2^{n}};u_{n} = \frac{1}{n}

    Xét đáp án u_{n} = \frac{n + 5}{3n +1} ta có: \Rightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1} = \dfrac{3}{2} \\u_{2} = \dfrac{7}{6} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow u_{1} > u_{2}(L)

    => Dãy số u_{n} = \frac{n + 5}{3n +1} không phải dãy tăng.

    Xét đáp án u_{n} = \frac{2n - 1}{n + 1} =2 - \frac{3}{n + 1}

    \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = 3\left(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} ight) > 0

    => Dãy số u_{n} = \frac{2n - 1}{n +1} là dãy tăng.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 2;u_{2} = - 8. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{2} = - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1}.q = - 8 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}u_{1} = 2 \\\begin{matrix}q = - 4 \\S_{5} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{5}}{1 + 4} = 410 \\S_{6} = 2.\dfrac{1 - ( - 4)^{6}}{1 + 4} = - 1638 \\u_{5} = u_{1}.q^{4} = 512 \\\end{matrix} \\\end{matrix} ight.

  • Câu 11: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

    Xét đáp án \frac{1}{\pi};\frac{1}{\pi^{2}};\frac{1}{\pi^{4}};\frac{1}{\pi^{6}};... có \Leftrightarrow \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{1}{\pi} eq \frac{1}{\pi^{2}} = \frac{u_{3}}{u_{2}}

    => Dãy số \frac{1}{\pi};\frac{1}{\pi^{2}};\frac{1}{\pi^{4}};\frac{1}{\pi^{6}};... không phải là cấp số nhân.

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho cấp số nhân (un) có {S_2} = 4;{S_3} = 13. Biết {u_2} < 0. Tính {S_5}?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_2} = 4} \\ {{S_3} = 13} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^2}} ight)}}{{1 - q}} = 4} \\ {\dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^3}} ight)}}{{1 - q}} = 13} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}\left( {1 + q} ight) = 4} \\ {{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} ight) = 13} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 + q}}{{1 + q + {q^2}}} = \dfrac{4}{{13}}\left( * ight)} \\ {{u_1} = \dfrac{4}{{1 + q}}\left( {**} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Xét (*)

    \begin{matrix} \dfrac{{1 + q}}{{1 + q + {q^2}}} = \dfrac{4}{{13}}a \hfill \\ \Leftrightarrow 4{q^2} - 9q - 9 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 3 \Rightarrow {u_1} = 1 \Rightarrow {u_2} = {u_1}.q = 3 > 0\left( L ight)} \\ {q = - \dfrac{3}{4} \Rightarrow {u_1} = 16 \Rightarrow {u_2} = {u_1}.q = - 12 < 0\left( {tm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow {S_5} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} ight)}}{{1 - q}} = \dfrac{{16.\left[ {1 - {{\left( {\dfrac{{ - 3}}{4}} ight)}^5}} ight]}}{{1 + \dfrac{3}{4}}} = \dfrac{{181}}{{16}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho dãy xác định bởi công thức \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2}u_{n},\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight.. Số hạng tổng quát của dãy un là?

    Ta có u_{1} = 3;u_{2} = \frac{1}{2}u_{1} = \frac{3}{2};u_{3} = \frac{1}{2}u_{2} = \frac{3}{2^{2}};\ldots

    Ta đi chứng minh cho dãy số có số hạng tổng quát là u_{n} = \frac{3}{2^{n - 1}}

    Thật vậy, n = 1 thì u1 = 3 (đúng).

    Giả sử với n = k(k≥1) thì u_{k} = \frac{3}{2^{k - 1}}. Ta đi chứng minh u_{k + 1} = \frac{3}{2^{k}}

    Ta có u_{k + 1} = \frac{1}{2}u_{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2^{k - 1}} = \frac{3}{2^{k}} (điều phải chứng minh).

    Vậy số hạng tổng quát của dãy số là u_{n} = \frac{3}{2^{n - 1}}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho dãy số (un) với \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n \\ \end{matrix} ight.. Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

    Ta có u_{n} = 5 + 1 + 2 + 3 + \ldots + n - 1 = 5 + \frac{n(n - 1)}{2}

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho dãy số (un) với u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Dãy số u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n} là dãy số không bị chặn vì

    \lim\left| u_{n} ight| = lim\sqrt{n} = + \infty

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Cho dãy số (un) thỏa mãn {u_1} = 1;{u_n} = 10{u_{n - 1}} - 1,\left( {\forall n \geqslant 2} ight). Tìm giá trị nhỏ nhất của n thỏa mãn \log {a_n} > 100

    Ta có:

    {u_n} = 10{u_{n - 1}} - 1 \Leftrightarrow {u_n} - \frac{1}{9} = 10\left( {{u_{n - 1}} - \frac{1}{9}} ight)\left( * ight)

    Đặt {v_n} = {u_n} - \frac{1}{9} \Rightarrow {v_1} = {u_1} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

    \left( * ight) \Rightarrow {v_n} = 10.{v_{n + 1}},\left( {n \geqslant 2} ight)

    Dãy (vn) là cấp số nhân với công bội q = 10

    => {u_n} = {v_n} + \frac{1}{9} = \frac{8}{9}{.10^{n - 1}} + \frac{1}{9} > {10^{100}}

    Vậy giá trị nhỏ nhất của n để \log {a_n} > 100 là n = 102

  • Câu 17: Nhận biết

    Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng u_{1} = 5;u_{2} = 9.

    Theo bài ra ta có:

    d = u_{2} - u_{1} = 4

    \Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}.\left( u_{1} + u_{10} ight) = 5\left( 2u_{1} + 9d ight) = 230

  • Câu 18: Vận dụng

    Khi ký hợp đồng dài hạn 10 năm với các công nhân tuyển dụng, công ty X, đề xuất phương án trả lương như sau: Người lao động sẽ nhận 7 triệu ở quý đầu tiên (một quý là ba tháng), và kể từ quí làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng 500.000 đồng mỗi quý. Như vậy sau 10 năm làm việc, hết hạn hợp đồng, tổng số tiền lương người lao động đã nhận được là bao nhiêu?

    Ta có:

    Số tiền nhận được hàng quý là một cấp số cộng hữu hạn với số hạng đầu tiên là: u_{1} = 7 (triệu), công sai là 0,5 (triệu).

    Trong 10 năm sẽ có 40 quý nên cấp số cộng trên có 40 phần tử.

    Từ đó ta có

    S_{40} = \frac{40}{2}.\left( 2u_{1} + 39d ight) = 670 (triệu đồng)

  • Câu 19: Thông hiểu

    Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?

    Dãy số ở đáp án A thỏa mãn điều kiện {u_{n + 1}} - {u_1} = 2 với n \geqslant 1 là cấp số cộng.

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) xác định bởi u_{n} = \frac{n^{2} + 3n + 7}{n + 1}. Ba số hạng đầu tiên của dãy là:

    Ba số hạng đầu tiên của dãy là \frac{11}{2};\frac{17}{3};\frac{25}{4}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 47 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập