Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Người ta trồng 3003 cây theo hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây. hàng thứ hai có hai cây, hàng thứ ba có ba cây,.... Vậy có tất cả bao nhiêu hàng?

    Gọi số hàng cây được trồng là x (hàng)

    Số cây các hàng là: 1; 2; 3; 4; ...; x - 1; x

    Số cây của mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng 

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = 1} \\ {d = 1} \end{array}} ight.

    Khi đó ta có:

    \begin{matrix} {S_x} = \dfrac{{x\left[ {2.{u_1} + \left( {x - 1} ight).d} ight]}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow 3003 = \dfrac{{x\left[ {2.{u_1} + \left( {x - 1} ight).d} ight]}}{2} \hfill \\ \Leftrightarrow 6006 = 2x + {x^2} - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 77\left( {tm} ight)} \\ {x = - 78\left( {ktm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy có tất cả 77 hàng cây được trồng.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho một cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{1} = 1;q = 2019. Tính u_{2019}?

    Ta có:

    u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} \Leftrightarrow u_{2019} = 1.2019^{2018} = 2019^{2018}

  • Câu 3: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng?

    Chỉ cần tồn tại hai cặp số hạng liên tiếp của dãy số có hiệu khác nhau: u_{m + 1} - u_{m}=u_{k + 1} -u_{k} thì kết luận ngay dãy số đó không phải là cấp số cộng.

    Xét đáp án: 2;5;8;11;14...\overset{ightarrow}{}3 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}loại

    Xét đáp án: 2;4;8;10;14...\overset{ightarrow}{}2 = u_{2} -u_{1}=u_{3} - u_{2} = 4\overset{ightarrow}{} Chọn

    Xét đáp án: 1;2;3;4;5;6...\overset{ightarrow}{}1 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}Loại

    Xét đáp án: 15;10;5;0; - 5;...\overset{ightarrow}{} - 5 = u_{2} - u_{1} = u_{3} - u_{2} = u_{4} - u_{3} = \cdots\overset{ightarrow}{}loại

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết \left\{\begin{matrix}u_{1} = 3 \\u_{n + 1} = \dfrac{u_{n}}{2} + 2 \\\end{matrix} ight.. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Ta có:

    u_{2} = \frac{u_{1}}{2} + 2 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}

    u_{3} = \frac{u_{3}}{2} + 2 = \frac{7}{4} + 2 = \frac{15}{4}

    u_{4} = \frac{u_{3}}{2} + 2 = \frac{15}{8} + 2 = \frac{31}{8}

    u_{5} = \frac{u_{4}}{2} + 2 = \frac{31}{16} + 2 = \frac{63}{16}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu?

    Theo bài ra ta có: \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ 40 = u_{8} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ 40 = u_{1} + 7d \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 5 \\ d = 5 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho phương trình: x^{3} +3x^{2}-(24+m)x-26-n=0. Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt x_{1},x_{2},x_{3} lập thành một cấp số cộng.

    Vì ba nghiệm {x_1};{x_2};{x_3} phân biệt lập thành một cấp số cộng nên ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = x_0 - d} \\ {{x_2} = x_0} \\ {{x_3} = x_0 + d} \end{array}} ight.;\left( {d e 0} ight)

    Theo giả thiết ta có: 

    \begin{matrix} {x^3} + 3{x^2} - (24 + m)x - 26 - n \hfill \\ = \left( {x - {x_1}} ight).\left( {x - {x_2}} ight).\left( {x - {x_3}} ight) \hfill \\ = \left( {x - {x_0} + d} ight)\left( {x - {x_0}} ight)\left( {x - {x_0} - d} ight) \hfill \\ = {x^3} - 3{x_0}{x^2} + \left( {3{x_0}^2 - {d^2}} ight)x - {x_0}^3 + {x_0}.{d^2};\left( {\forall x} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} - 3{x_0} = 3 \hfill \\ 24 + m = 3{x_0}^2 - {d^2} \hfill \\ \end{gathered} \\ { - 26 - n = - {x_0}^3 + {x_0}.{d^2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_0} = - 1} \\ {m - n} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight), biết u_{n} = \frac{n}{2^{n}}. Chọn đáp án đúng.

    Ta có: u_{4} = \frac{4}{2^{4}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}

  • Câu 8: Nhận biết

    Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho

    (I) k ∈ A

    (II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k

    Lúc đó, ta có: 

    (I) k ∈ A : số nguyên dương k thuộc tập A.

    (II) n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, ∀n ≥ k : nếu số nguyên dương n(n≥k) thuộc tập A thì số nguyên dương đứng ngay sau nó (n+1) cũng thuộc A. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu u_{1} = 2 và công sai d = 3. Giá trị u_{2024} bằng

    Áp dụng công thức số hạng tổng quát

    u_{2024} = u_{1} + 2023d = 2 + 2023.3 = 6071.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong các dãy số \left( u_{n} ight) cho bởi số hạng tổng quát u_{n} sau, dã số nào là dãy số tăng?

    Xét đáp án u_{n} = 2^{n} ta có:

    u_{n + 1} - u_{n} = 2^{n + 1} - 2^{n} = 2^{n} > 0

    => Dãy số u_{n} = 2^{n} là dãy tăng.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

    b) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1} có số hạng thứ 3 là: u_{3} = \frac{17}{58}. Đúng||Sai

    c) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

    d) Tổng S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3} . Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

    a) Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân. Đúng||Sai

    b) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = \frac{5n + 2}{19n + 1} có số hạng thứ 3 là: u_{3} = \frac{17}{58}. Đúng||Sai

    c) Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới. Sai||Đúng

    d) Tổng S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... = \frac{1}{3} . Đúng||Sai

    Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 1.

    Số hạng thứ ba của dãy số \left( u_{n} ight) là: u_{3} = \frac{5.3 + 2}{19.3 + 1} = \frac{17}{58}.

    Xét u_{n} = 9 - 2n ta có: u_{n + 1} - u_{n} = - 2 < 0,\forall n\mathbb{\in N} suy ra \left( u_{n} ight) là dãy số giảm

    Lại có n\mathbb{\in N \Rightarrow}n \geq 0 \Rightarrow u_{n} = 9 - 2n \leq 9 suy ra \left( u_{n} ight) là dãy số bị chặn trên.

    Suy ra phát biểu “Cho dãy số \left( u_{n} ight) được xác định bởi công thức u_{n} = 9 - 2n là dãy số giảm và bị chặn dưới.” là phát biểu sai.

    Ta có: S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ... là tổng cấp số nhân lùi vô hạn \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{1}{3^{n}} có số hạng đầu và công bội lần lượt là: u_{1} = \frac{1}{3};q = \frac{1}{3}

    \Rightarrow S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{2}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có u1 = -2 và công sai d = 3. Tìm số hạng u10

    Ta có: {u_{10}} = {u_1} + \left( {10 - 1} ight)d = {u_{10}} = - 2 + 9.3 = 25

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho tam giác ABC cân tại A, AH ⊥ BC. Các cạnh AB, AH, BC lập thành một cấp số nhân. Tính công bội q của cấp số nhân đó.

    Ta có: AB = AC (tam giác ABC cân)

    Các cạnh BC, AB, AH lập thành cấp số nhân nên ta có hệ phương trình:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{q} = \dfrac{{BC}}{{AH}} = \dfrac{{2HC}}{{AH}} = 2\cot \widehat C} \\ {\dfrac{1}{q} = \dfrac{{AH}}{{AB}} = 2\sin \widehat B} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \cot \widehat C = \sin \widehat C \Rightarrow 2\cos \widehat C = {\sin ^2}\widehat C = 1 - {\cos ^2}\widehat C \hfill \\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\widehat C - 2\cos \widehat C - 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \cos \widehat C = \sqrt 2 - 1;\left( {0 < \widehat C < {{90}^0}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \sin \widehat C = \sqrt {2\left( {\sqrt 2 - 1} ight)} \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy công bội của cấp số nhân là q = \frac{1}{{\sin \widehat C}} = \frac{1}{{\sqrt {2\left( {\sqrt 2 - 1} ight)} }} = \frac{1}{2}.\sqrt {2\left( {\sqrt 2 + 1} ight)}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân (un) có u1 = -1; u6 = -0,00001. Khi đó công bội q và số hạng tổng quát là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_6} = {u_1}.{q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow 0,00001 = - {q^5} \hfill \\ \Leftrightarrow q = \dfrac{{ - 1}}{{10}} \hfill \\ \Rightarrow {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = - 1.{\left( {\dfrac{{ - 1}}{{10}}} ight)^{n - 1}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}}}{{{{10}^{n - 1}}}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho dãy số (un) biết \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = au_{n} + 1,\forall n \in \mathbb{N}^{*} \\ \end{matrix} ight..

    Tất cả các giá trị của a để (un) là dãy số tăng là?

    Xét hiệu un + 1 − un = (aun+1) − (aun − 1+1) = a(un−un − 1)

    Áp dụng, ta có u2 = au1 + 1 = a + 1 ⇒ u2 − 1 = a ⇒ u2 − u1 = a

     ⇒ u3 − u2 = a(u2−u1) = a2

     ⇒ u4 − u3 = a(u3−u2) = a3

     ⇒ un + 1 − un = an > 0

    Để dãy số (un) tăng thì un > un − 1 > … > u2 > u1 ⇒ a > 0

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có u_{2} = - 6,u_{5} = 48. Tính S_{5}.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q = - 6 \\ u_{1}.q^{4} = 48 \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1}.q = - 6 \\ q^{3} = - 8 \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ q = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ ight.

    Vậy S_{5} = \frac{3\left( 1 - ( - 2)^{5} ight)}{1 - ( - 2)} = 33.

  • Câu 17: Vận dụng

    Dân số của thành phố A hiện nay là 4 triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của thành phố A là 1%. Hỏi dân số của thành phố A sau 5 năm nữa sẽ là bao nhiêu?

    Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu u_{n} là số dân của thành phố A sau n năm.

    Khi đó, theo giả thiết của bài toán ta có:

    u_{n} = u_{n - 1} + u_{n - 1}.0,01 = u_{n - 1}.1,01;(n \geq 2)

    Ta có: \left( u_{n} ight) là một cấp số nhân với số hạng đầu là u_{1} = 4 + 4.0,01 = 4.1,01 và công bội q = 1,01

    \Rightarrow u_{n} = 4.1,01.(1,01)^{n - 1} = 4.(1,01)^{n};(n \geq 1)

    => Số dân của thành phố A sau 5 năm là: \Rightarrow u_{5} = 4.(1,01)^{5} = 4,2 (triệu người).

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho một cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{4} = - 12;u_{14} = 18. Giá trị S_{16} bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{4} = - 12 \\ u_{14} = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} + 3d = - 12 \\ u_{1} + 13d = 18 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = - 21 \\ d = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

    S_{16} = \frac{\left( 2u_{1} + 15d ight).16}{2} = 24

  • Câu 19: Nhận biết

    Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

    Dãy số 1; 2; 3; 4; 5 là một cấp số cộng với công sai là d = 1

    Dãy số 1; 2; 4; 8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = 2

    Dãy số 1; -1; 1; -1; 1 là một cấp số nhân với công bội q = -1

    Dãy số 1; -2; 4; -8; 16 là một cấp số nhân với công bội q = -2

  • Câu 20: Thông hiểu

    Với n \in \mathbb{N}^{*}, cho dãy số \left( u_{n} ight) gồm tất cả các số nguyên dương chia 3 dư 2 theo thứ tự tăng dần. Số hạng tổng quát của dãy số này là

    Các số nguyên dương chia 3 dư 2 theo thứ tự tăng dần là 5, 8, 11, 14,…

    Ta có 5 = 3.1 + 2, 8 = 3.2 + 2, 11 = 3.3 + 2, 14 = 3.4 + 2, …

    Vậy u_{n} = 3n + 2

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 85 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập