Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ( p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Mệnh đề A(n) đúng với n = k với k ≥ p.
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ( p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Mệnh đề A(n) đúng với n = k với k ≥ p.
Cho dãy (un) xác định bởi
và un = un − 1 + 2n với mọi n ≥ 2. Số hạng u50 bằng?
Ta có
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
.
Cho cấp số cộng (Un) có số hạng tổng quát là
. Xác định công sai của cấp số cộng.
Ta có:
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là
. Tìm số hạng tổng quát
của cấp số nhân đã cho.
Các số hạng lần lượt là lập thành cấp số nhân
Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị m1, m2, m3 của tham số m để phương trình
có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là là nghiệm của phương trình
Với thì
Vậy ba số 1, 3, 5 lập thành cấp số cộng
Vậy giá trị cần tìm là 34
Cho dãy số
với
. Dãy số
là dãy số
Ta có:
Vậy dãy số là dãy số tăng.
Cho dãy số
xác định bởi
. Tính số hạng thứ
của dãy số đó?
Ta có ,
,
Do đó là cấp số nhân với
,
,
;
.
Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào tăng?
Ta xét đáp án Loại
Ta xét đáp án Loại
Ta xét đáp án Thỏa mãn!
Ta xét đáp án : Loại
Cho cấp số cộng
có số hạng đầu là
. Hỏi số hạng thứ tư là số nào dưới đây?
Ta có:
Vậy
Với mọi số nguyên dương
, tổng
chia hết cho:
Với ta có:
không chia hết cho 9.
Với ta có:
không chia hết cho 4 và 12
Ta sẽ chứng minh chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương
Giả sử khẳng định đúng với nghĩa là
chia hết cho 6.
Ta cần chứng minh khẳng định đúng với tức là:
cũng chia hết cho 6
Ta có:
Ta lại có: ta cần chứng minh
Thật vậy là tích hai số nguyên dương liên tiếp nên
Mặt khác và 2, 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên
Vậy chia hết cho 6 hay
chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương
.
Từ hình vuông có cạnh bằng
, người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành ba phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông mới (hình vẽ).Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. Gọi
là diện tích của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n
. Tính tổng
?

Đáp án: 5/4 (kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Từ hình vuông có cạnh bằng , người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành ba phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông mới (hình vẽ).Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. Gọi
là diện tích của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n
. Tính tổng
?
Đáp án: 5/4 (kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Giả sử cạnh hình vuông bằng a.
Ta có cạnh của hình vuông được tạo ở bước 1 là
Tương tự như trên, ta có:
,
,…,
Nên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với
.
Khi đó .
Với a = 1 suy ra .
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng?
Xét dãy số ta có:
d không cố định => Dãy số không phải là một cấp số cộng.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số
xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra
. Sai||Đúng
c) Dãy số
cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng
và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?
a) Dãy số xác định bởi công thức
là một dãy số tăng. Đúng||Sai
b) Một cấp số cộng có công sai bằng 7 suy ra . Sai||Đúng
c) Dãy số cấp số cộng khi
. Sai||Đúng
d) Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội và tổng số các số hạng lần lượt bằng và
. Khi đó số hạng cuối cùng của cấp số nhân đó là
. Đúng||Sai
a) Ta có:
Suy ra:
b) Do công sai dương nên cấp số cộng là một dãy tăng nên
c) Ta có: là một cấp số cộng
Suy ra
d) Ta có:
Dãy số
là cấp số nhân với
Cấp số nhân
Cho dãy số
thỏa mãn
. Đặt
. Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn
?
Cho dãy số thỏa mãn
. Đặt
. Tìm số nguyên dương lớn nhất của n thỏa mãn
?
Cho dãy số
. Giá trị u11 là
Ta có
Cho cấp số cộng
thỏa mãn
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Khi đó:
Thêm hai số thực dương x và y vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số
theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có:
Các số hạng lập thành cấp số nhân
Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho.
Ta có:
Cho cấp số cộng
có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17;... Tìm số hạng tổng quát
của cấp số cộng.
Theo bài ra ta có:
Dãy số đã cho là cấp số cộng
=>
=>
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: