Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tìm x để ba số 1 + x;9 + x;33 + x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

    Ta có:

    Ba số 1 + x;9 + x;33 + x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân

    \Rightarrow (9 + x)^{2} = (1 + x).(33 + x)

    \Rightarrow 81 + 18x + x^{2} = x^{2} + 34x + 33

    \Rightarrow 16x = 48

    \Rightarrow x = 3

  • Câu 2: Vận dụng

    Xét tính bị chặn của dãy số u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{2.4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 2)}, ta thu được kết quả?

    Ta có 0 < u_{n} < \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \ldots + \frac{1}{n \cdot (n + 1)} = 1 - \frac{1}{n + 1} < 1

    Dãy (un) bị chặn.

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị m1, m2, m3 của tham số m để phương trình{x^3} - 9{x^2} + 23x + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0  có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính giá trị của biểu thức D = {m_1}^3 + {m_2}^3 + {m_3}^3

     Ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là - \frac{b}{{3a}} = - \frac{{ - 9}}{3} = 3 là nghiệm của phương trình

    \begin{matrix} \Leftrightarrow {3^3} - {9.3^2} + 23.3 + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 1} \\ {m = 2} \\ {m = 3} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Với m = - 1;m = 2;m = 3 thì {m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0 \Leftrightarrow {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = - 15

    \begin{matrix} \Rightarrow {x^3} - 9{x^2} + 23x - 15 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} ight)\left( {{x^2} - 6x + 5} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 3} \\ {x = 5} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy ba số 1, 3, 5 lập thành cấp số cộng

    Vậy giá trị cần tìm là 34

  • Câu 4: Nhận biết

    Biết ba số m;2;m + 3 lập thành một cấp số nhân. Tính tổng các giá trị của m thỏa mãn?

    Để ba số m;2;m + 3 lập thành một cấp số nhân thì m.(m + 3) = 2^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tổng các giá trị của m là S = - 3

  • Câu 5: Thông hiểu

    Số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_{n}) thỏa mãn hệ \left\{\begin{matrix}u_{4}-u_{2}=72\\ u_{5}-u_{3}=144\end{matrix}ight. là:

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_4} - {u_2} = 72} \\ {{u_5} - {u_3} = 144} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 72} \\ {{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144} \end{array}} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}q.\left( {{q^2} - 1} ight) = 72} \\ {{u_1}.{q^2}\left( {{q^2} - 1} ight) = 144} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = 2} \\ {{u_1} = 12} \end{array}} ight.

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight), biết u_{n} = \frac{n}{2^{n}}. Chọn đáp án đúng.

    Ta có: u_{4} = \frac{4}{2^{4}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}

  • Câu 7: Nhận biết

    Xác định tham số m > 0 để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân.

    Để 2m – 3; m; 2m + 3 lập thành một cấp số nhân thì

    \begin{matrix} {m^2} = \left( {2m - 3} ight)\left( {2m + 3} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 4{m^2} - 9 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Do m > 0 => m = \sqrt 3

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tìm x và y để dãy số 9;x; - 1;y là một cấp số cộng?

    Để dãy số 9;x; - 1;y là một cấp số cộng thì \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{9 - 1}{2} \\- 1 = \dfrac{x + y}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 4 \\y = - 6 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) biết u_{n} = \frac{3n - 1}{3n + 1}. Dãy số \left( u_{n} ight) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?

    Ta có: u_{n} = \frac{3n - 1}{3n + 1} = 1 - \frac{2}{3n + 1} < 1

    Mặt khác u_{2} = \frac{5}{7} > \frac{1}{2} > 0

    => Dãy số \left( u_{n} ight) bị chặn trên bởi số 1.

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho dãy số có các số hạng đầu là - 2;0;2;4;6;.... Số hạng tổng quát của dãu số này là đẳng thức nào dưới đây?

    Ta có: u_{1} = - 2 loại các đáp án u_{n} = n - 2 và u_{n} = - 2(n + 1). Ta kiểm tra u_{2} = 0

    Xét đáp án u_{n} = - 2n có u_{2} = - 4 eq 0

    Xét đáp án u_{n} = 2n - 4 có u_{2} = 2.2 - 4 = 0 là đáp án đúng.

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để phương trình x^{3} + x^{2} + 2ax + a = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} x_{1}x_{3} = {x_{2}}^{2} \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 1 \\ x_{1}.x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1} = 2a \\ x_{1}.x_{2}.x_{3} = - a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} - a^{2} = {x_{2}}^{2} \\ {x_{2}}^{2} + \left( 1 + x_{2} ight)x_{2} = 2a \\ x_{1}.x_{2}.x_{3} = - a \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} - a^{2} = {x_{2}}^{2} \\ x_{2} - 2 = - 2a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow - 8a^{3} = - a

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = 0 \\a = - \dfrac{1}{2\sqrt{2}} \\\end{matrix} ight. kiểm tra lại kết quả ta được a = - \frac{1}{2\sqrt{2}}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có u_{1} = 4. Giá trị nhỏ nhất của u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1} bằng:

    Ta gọi d là công sai của cấp số cộng.

    Khi đó:

    u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1}

    = 4(4 + d) + (4 + d)(4 + 2d) + 4(4 + 2d)

    = 2d^{2} + 24d + 48 = 2(d + 6)^{2} - 24\geq - 24

    Vậy giá trị nhỏ nhất của u_{1}u_{2} + u_{2}u_{3} + u_{3}u_{1} là -24 đạt được khi khi d = - 6.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho cấp số cộng (Un) có {u_1} = 4;{u_2} = 1. Giá trị của {u_{10}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} {u_1} = 4;{u_2} = 1 \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = 1 - 4 = - 3 \hfill \\ \Rightarrow {u_{10}} = {u_1} + 9d = 4 + 9.\left( { - 3} ight) = - 23 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hai dãy số (un), (vn) được xác định như sau u1 = 3, v1 = 2 và \left\{ \begin{matrix} u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 2v_{n}^{2} \\ v_{n = 1} = 2u_{n} \cdot v_{n} \\ \end{matrix} ight. với n ≥ 2. Công thức tổng quát của hai dãy (un) và (vn) là?

    Chứng minh u_{n} - \sqrt{2}v_{n} = (\sqrt{2} - 1)^{2n}

    Ta có u_{n} = \sqrt{2}v_{n} = u_{n - 1}^{2} + 2v_{n - 1}^{2} - 2\sqrt{2}u_{n - 1}v_{n - 1} = \left( u_{n - 1} - \sqrt{2}v_{n - 1} ight)^{2}

    Mặt khác u_{1} - \sqrt{2}v_{1} = 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^{2} nên (1) đúng với n = 1 Giả sử u_{k} - \sqrt{2}v_{k} = (\sqrt{2} - 1)^{2k}, ta có u_{k - 1} - \sqrt{2}v_{k + 1} = \left( u - \sqrt{2}v_{k} ight)^{2} = (\sqrt{2} - 1)^{2k + 1}

    Vậy (1) đúng với ∀n ≥ 1

    Ta có u_{n} + \sqrt{2}v_{n} = (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}}

    Do đó ta suy ra:

    \left\{ \begin{matrix} 2u_{n} = (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}} + (\sqrt{2} - 1)^{2^{n}} \\ 2\sqrt{2}v_{n} = (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}} - (\sqrt{2} - 1)^{2^{n}} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{n} = \frac{1}{2}\left\lbrack (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}} + (\sqrt{2} - 1)^{2^{n}} ightbrack \\ v_{n} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left\lbrack (\sqrt{2} + 1)^{2^{n}} - (\sqrt{2} - 1)^{2^{n}} ightbrack \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) có số hạng đầu và công sai lần lượt là - 2;3. Số hạng thứ 10 bằng:

    Ta có: u_{1} = - 2;d = 3

    \Rightarrow u_{10} = u_{1} + 9d = 25

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho dãy số vô hạn (un) là cấp số cộng có công sai d, số hạng đầu u1. Hãy chọn khẳng định sai?

     Ta có:

    Công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

    \begin{matrix} {S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)d}}{2} \hfill \\ \Rightarrow {S_{12}} = 12{u_1} + \dfrac{{12.11.d}}{2} = 6\left( {2{u_1} + 11d} ight) e \dfrac{n}{2}.\left( {2{u_1} + 11d} ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) có tổng n số hạng đầu tiên là S_{n} = 5^{n} - 1 với n = 1,2,.... Tìm số hạng đầu u_{1} và công bội q của cấp số nhân đó?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} u_{1} = S_{1} = 5 - 1 = 4 \\ u_{1} + u_{2} = S_{2} = 5^{2} - 1 = 24 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 4 \\ u_{2} = 24 - u_{1} = 20 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow u_{1} = 4, q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = 5.

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho tam giác ABC vuông tại C có độ dài ba cạnh lập thành một cấp số nhân có công bội lớn hơn 1. Xác định công bội của cấp số nhân đó.

    Giả sử a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC, a < b.

    Do độ lớn ba cạnh tam giác lập thành cấp số nhân, công bội q > 1 nên b = aq;c = aq^{2}

    c^{2} = a^{2} + b^{2}

    \Leftrightarrow a^{2}q^{4} = a^{2} + a^{2}q^{2}

    \Leftrightarrow q^{4} = 1 + q^{2}

    \Leftrightarrow q^{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

    \Leftrightarrow q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}

  • Câu 19: Nhận biết

    Tính tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng xác định bởi u_{1} = - 5;d = 3.

    Theo bài ra ta có:

    S_{100} = \frac{\left( 2u_{1} + 99d ight).100}{2} = 14350

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho dãy số (u_{n}), biết {u_n} = \frac{{n + 1}}{{2n + 1}}. Số \frac{8}{15} là số hạng thứ mấy của dãy số?

    Ta có: 

    \begin{matrix} {u_k} = \dfrac{8}{{15}} \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{{k + 1}}{{2k + 1}} = \dfrac{8}{{15}};\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 15\left( {k + 1} ight) = 8\left( {2k + 1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 15k + 15 = 16k + 8 \hfill \\ \Leftrightarrow k = 7 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy số \frac{8}{15} là số hạng thứ 7 của dãy số.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 83 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 2 Cánh Diều
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập