Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa

Ta có: MN // PQ (vì cùng song song với BC)

Ta có: (vì lần lượt là các đường trung bình của .

Từ hai kết quả trên ta suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành nên MQ, PN không thể chéo nhau.

Khẳng định sai là:

Hình vẽ minh họa

Ta có S là điểm chung thứ nhất.

Gọi I là giao điểm của AB và CD suy ra I là điểm chung thứ hai.

Vậy (SAB) ∩ (SCD) = SI

Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng SI với I là giao điểm của AB và CD.

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua và song song với , cắt , lần lượt tại

=>

=> là trung điểm của

Trong mặt phẳng , gọi

=> là trung điểm của .

Trong mặt phẳng , gọi .

=> là giao điểm của và .

Xét tam giác có vì là đường trung bình của tam giác .

Theo định lí Ta-lét (vì là trung điểm của và là trung điểm )

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với thì có thể cắt nhau cùng nằm trong .

 Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.

=> (tính chất trọng tâm tam giác)

=>

Xét mặt phẳng ta có:

=>

Mà

=>

Từ (1) và (2) => và là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:

Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là tâm của các hình bình hành

Vì là hình bình hành nên

Từ đó ta có:

(*)

(**)

Từ (*) và (**) suy ra hay

Hình vẽ minh họa

Xét mặt phẳng ta có:

Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.” đúng vì:

TH1: Hai mặt phẳng phân biệt nếu có một điểm chung thì hai mặt phẳng đó có một đường thẳng chung (giao tuyến của hai mặt phẳng) do đó có hai mặt phẳng có vô số điểm chung.

TH2: Hai mặt phẳng không phân biệt thì chúng có vô số điểm chung (vì hai mặt phẳng trùng nhau)”

Đáp án: “Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất” đúng vì tập hợp các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt là một đường thẳng.

Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.” sai vì chưa xét đến trường hợp hai mặt phẳng không phân biệt.

Đáp án: “Nếu ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.” đúng vì khi đó ba điểm A, B, C cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Qua phép chiếu song song không thể biến một tứ diện thành một đường thẳng vì các cạnh của tứ diện đều là đoạn thẳng.

Nó cũng không thể biến tứ diện thành một đoạn thẳng vì khi đó các cạnh của tứ diện nằm trong một mặt phẳng.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: suy ra giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng đi qua điểm S và song song với AB và DC.

Có ba vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là:

+ Đường thẳng song song với mặt phẳng.

+ Đường thẳng cắt mặt phẳng.

+ Đường thẳng nầm trên mặt phẳng.

Hình vẽ minh họa

Ta có: (SAB) ∩ (A’B’C’) = A’B’

(SBC) ∩ (A’B’C’) = B’C’

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Trong mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm của A’C’ và SO

Trong mặt phẳng (SBD) gọi D’ là giao điểm của B’I và SD

Khi đó ta có: (SCD) ∩ (A’B’C’) = C’D’

(SAD) ∩ (A’B’C’) = A’D’

=> Thiết diện của mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’.

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

Với 4 điểm không đồng phẳng có thể xác định được 4 mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó là .

Hình vẽ minh họa:

Qua phép chiếu song song phương lên mặt phẳng chiếu . Ta có:

biến thành B

biến thành

biến thành

biến thành

Do đó hình hộp biến thành hình bình hành .

Hình vẽ minh họa

Gọi

Theo giả thiết ta có:

Ta có

Vậy khẳng định sai là: “ cắt ”

Hình vẽ minh họa

Ta có:

và

Tương tự ta cũng có

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của (α) với hình chóp là tam giác MNP.

Hình vẽ minh hoạ

Xét mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua và song song với , cắt lần lượt tại .

Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng song song với , cắt tại .

Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng song song với , cắt tại .

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là hình thang với .

Hình vẽ minh họa

Ta có: lần lượt là trung điểm của các cạnh

lần lượt là đường trung bình của tam giác .

Và là hình bình hành

=>

Vậy không song song với .