Cho hình chóp tứ giác 
có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng song song với và đồng thời cắt các đoạn lần lượt tại . Ta có các khẳng định sau:
: Tứ giác là hình bình hành.
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Xét
Vì
Vì
Vì nên
đều song song với
điều này suy ra
là hình bình hành.
Vậy tất cả các khẳng định đều đúng.
Cho hình chóp . Gọi lần lượt là trung điểm . Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: là đường trung bình của tam giác
nên.
là đường trung bình của tam giác
nên
.
=>
=> đồng phẳng.
Chọn mệnh sai trong các mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề sai: “Cho điểm nằm ngoài mặt phẳng
. Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng
chứa điểm
và song song với mặt phẳng
.”
Sửa lại mệnh đề: “Cho điểm nằm ngoài mặt phẳng
. Khi đó tồn tại vô số đường thẳng
chứa điểm
và song song với mặt phẳng
.
Cho hình chóp , đáy là hình bình hành tâm , gọi lần lượt là trung điểm và . Chọn khẳng định sai.
Hình vẽ minh họa
Ta có là điểm chung của
và
.
Do lần lượt là trung điểm
và
nên ta có
là hình bình hành.
Vì .
Khi đó cắt
theo giao tuyến đi qua
và song song với
là
.
Từ đó ta thấy đáp án
, với
là trung điểm
.
, với
là trung điểm
.
, với
là trung điểm
.
Là các đáp án đúng
Vì là trung điểm
suy ra
.
Cho tứ diện . Lấy sao cho . Giả sử là mặt phẳng qua song song với . Xác định các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng . Hình tạo bởi các giao tuyến đó là hình gì?
Giả sử cắt các mặt của tứ diện
và
theo hai giao tuyến
và
.
Ta có:
Theo định lí Ta – lét ta có:
=> là hình bình hành
Do đó hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng
là hình bình hành
.
Cho tứ diện có . Lấy một điểm bất kì trên cạnh . Gọi mặt phẳng là mặt phẳng qua song song với và . Biết các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm di chuyển đến vị trí hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức .
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là sai?
Mệnh đề sai: "Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy."
Cho tứ diện ABCD, M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD. Những khẳng định nào sau đây là đúng? (Có thể chọn nhiều đáp án)
Gọi E là trung điểm của AB
Vì M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD nên:
Theo định lí Ta - lét ta có: (1)
Mà (2)
Từ (1) và (2) =>
Cho tứ diện . Trung điểm các cạnh lần lượt là các điểm . Giả sử . Chọn khẳng định đúng.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> là đường thẳng song song với
và
.
=> song song với
Cho tứ diện , sao cho . Gọi là trọng tâm tam giác . Kết luận nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của AD.
Ta có:
Mà
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, là trung điểm của . Mặt phẳng là mặt phẳng đi qua song song với và . Giao tuyến của với các mặt của hình chóp là hình:
Hình vẽ minh họa
Gọi trung điểm lần lượt là
.
Gọi
Từ kẻ
song song với
.
Ta có:
(1)
Ta có:
(2)
Từ (1) và (2)
=> Giao tuyến của với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác
.
Cho mặt phẳng và đường thẳng . Khẳng định nào sau đây là sai?
Mệnh đề “Nếu và
thì
“ sai vì
và
có thể chéo nhau.
Cho hình chóp tứ giác , đáy là hình bình hành tâm . Các điểm qua phép chiếu song song phương trên mặt phẳng ta thu được ảnh lần lượt là . Hình chóp cần thêm điều kiện gì để tứ giác là hình vuông?
Hình vẽ minh họa
Theo bài ra ta có: lần lượt là ảnh của
qua phép chiếu song song phương
trên mặt phẳng
.
Ta có:
=> là đường trung bình của các tam giác
=>
=> là hình bình hành
=>
là hình bình hành.
Để là hình vuông thì
suy ra hình chóp
có mặt bên
vuông cân tại
.
Cho hình chóp S.ABCD, các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: (SAB) ∩ (A’B’C’) = A’B’
(SBC) ∩ (A’B’C’) = B’C’
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Trong mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm của A’C’ và SO
Trong mặt phẳng (SBD) gọi D’ là giao điểm của B’I và SD
Khi đó ta có: (SCD) ∩ (A’B’C’) = C’D’
(SAD) ∩ (A’B’C’) = A’D’
=> Thiết diện của mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α) qua BD và song song với SA, mặt phẳng cắt SC tại . Tính tỉ số .
Hình vẽ minh họa
Gọi .
Trong , kẻ
.
Do đó là mặt phẳng
.
Vì ABCD là hình bình hành nên là trung điểm của
.
Do .
Chọn mệnh đề sai.
Qua phép chiếu song song không thể biến một tứ diện thành một đường thẳng vì các cạnh của tứ diện đều là đoạn thẳng.
Nó cũng không thể biến tứ diện thành một đoạn thẳng vì khi đó các cạnh của tứ diện nằm trong một mặt phẳng.
Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của , điểm là trọng tâm tam giác . Khi đó giao điểm của và mặt phẳng là:
Hình vẽ minh họa:
Trong tam giác ta có:
Vậy
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua
Hoàn thiện mệnh đề: "Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó."
Chọn câu đúng:
"Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau" đúng.
Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì có thể cắt nhau, song song, trùng nhau hoặc chéo nhau => "Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau." sai.
Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song hoặc trùng nhau => "Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song" sai.
Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau hoặc cắt nhau => "Hai mặt phẳng không song song thì trùng nhau" sai.
Cho tứ diện có lần lượt là trọng tâm hai tam giác và . Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Gọi là trung điểm của
Khi đó (vì
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
)
Suy ra
Vậy khẳng định sai là .
Mặt phẳng và tứ diện theo một diện diện là tam giác
Dễ thấy đồng quy tại điểm M.
