Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
Tính chất của phép chiếu song song: Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
Tính chất của phép chiếu song song: Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Mệnh đề sai: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng mà hai đường thẳng này lần lượt nằm trên hai mặt phẳng cắt nhau."
Chọn khẳng định đúng.
Khẳng định đúng là: “Nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng đó song song hoặc chéo nhau.”
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α) qua BD và song song với SA, mặt phẳng
cắt SC tại
. Tính tỉ số
.
Hình vẽ minh họa
Gọi .
Trong , kẻ
.
Do đó là mặt phẳng
.
Vì ABCD là hình bình hành nên là trung điểm của
.
Do .
Cho
là hai đường thẳng phân biệt và mặt phẳng
. Chọn mệnh đề đúng?
Ta có:
sai vì đường vuông góc với mặt điều kiện cần và đủ là vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.
sai trong trường hợp
đúng vì là hai đường thẳng phân biệt.
sai vì đường thẳng hoặc
Cho lăng trụ tam giác
có
lần lượt là trọng tâm tam giác
và
,
sao cho
. Mệnh đề nào sai?
Hình vẽ minh họa
sai vì
Cho tứ diện
. Trên
,
lần lượt lấy hai điểm
sao cho
cắt
tại
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa:
Ta có: là điểm chung của hai mặt phẳng
và
Ta lại có: nên
là điểm chung thứ hai.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và
là
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
a) Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng. Đúng||Sai
b) Qua một điểm và một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng. Sai||Đúng
c) Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau. Đúng||Sai
d) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì sẽ có duy nhất một đường thẳng chung gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Sai||Đúng
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
a) Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng. Đúng||Sai
b) Qua một điểm và một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng. Sai||Đúng
c) Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau. Đúng||Sai
d) Hai mặt phẳng có một điểm chung thì sẽ có duy nhất một đường thẳng chung gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Sai||Đúng
a) Đúng
Đúng vì theo tính chất thừa nhận: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không
thẳng hàng.
b) Sai
Sai vì điểm cần thêm điều kiện điểm không thuộc đường thẳng.
c) Đúng
Đúng vì theo các cách xác định một mặt phẳng thì có duy nhất một mặt phẳng chứa hai
đường thẳng cắt nhau.
d) Sai
Sai vì cần thêm điều kiện hai mặt phẳng phân biệt.
Cho mặt phẳng
và đường thẳng
. Khẳng định nào sau đây là sai?
Mệnh đề “Nếu và
thì
“ sai vì
và
có thể chéo nhau.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
và d đi qua S
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Hình chiếu song song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) là điểm nào sau đây?
Do mặt phẳng (MAB) chứa AB // CD nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB.
Giả sử đường thẳng này cắt SD tại điểm I.
Khi đó MI là đường trung bình của tam giác SCD
=> I là trung điểm của SD.
Vậy hình chiếu song song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) là trung điểm của SD.
Cho tứ diện
có
lần lượt là trọng tâm hai tam giác
và
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Gọi là trung điểm của
Khi đó (vì
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
)
Suy ra
Vậy khẳng định sai là .
Mặt phẳng và tứ diện theo một diện diện là tam giác
Dễ thấy đồng quy tại điểm M.
Cho hình chóp
. Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
và
,
là điểm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
với mặt phẳng
. Tính
( làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 0,33
Cho hình chóp . Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
và
,
là điểm trên cạnh
sao cho
. Gọi
là giao điểm của
với mặt phẳng
. Tính
( làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 0,33
Hình vẽ minh họa
Tìm giao điểm của
với mặt phẳng
Chọn mặt phẳng phụ chứa
Trong gọi
Suy ra . Khi đó
là giao điểm của
và
.
Gọi là trung điểm
Ta có (vì
là trung điểm của
và
nên
)
Mà nên
Mặt khác ta có (vì
)
Mà nên
.
Giả sử tứ giác ABCD là hình biểu diễn của một hình vuông. Nếu ABCD là một hình bình hành, thì đường tròn ngoại tiếp hình vuông cho trước được biểu diễn là hình gì, có tính chất như thế nào với hình bình hành ABCD:
Hình biểu diễn của hình vuông thành hình bình hành nên sẽ hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó là đường elip đồng thời giữ nguyên mối quan hệ liên thuộc của đỉnh hình vuông với đường tròn ngoại tiếp nên hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là đường elip đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.
Cho hình chóp
có
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
tam giác. Chọn mệnh đề đúng.
Gọi là trung điểm
.
Xét tam giác có:
(do
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và tam giác
)
Cho hai đường thẳng
và
chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa
và song song với
?
Ta có định lí: “Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia”.
Cho mặt phẳng
và điểm
không thuộc mặt phẳng
. Số đường thẳng đi qua
và song song với
là:
Có vô số đường thẳng đi qua và song song với
với điểm
không thuộc mặt phẳng
.
Cho hình hộp
và điểm
nằm giữa
và
. Giả sử
là mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
tạo với các mặt của hình hộp. Hình xác định bởi các giao tuyến đó là hình gì?
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy
Do (1), ta giả sử (P) cắt BB’ tại N, suy ra , kết hợp với
suy ra
, suy ra N thuộc cạnh BB’.
Tương tự, giả sử suy ra
.
Kết hợp với (1) suy ra
Tương tự, sao cho
;
sao cho
;
sao cho
.
Từ đó suy ra thiết diện là lục giác .
Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
Hình vẽ minh họa
Với 4 điểm không đồng phẳng có thể xác định được 4 mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó là
.