Cho hai đường thẳng phân biệt 
và trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa và ?
Hai đường thẳng trong không gian có 4 VTTĐ: trùng nhau, cắt nhau, song song, chéo nhau.
Vì hai đường thẳng phân biệt nên hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, chéo nhau.
Cho hình hộp . Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Từ hình vẽ ta thấy => "
chéo nhau" sai.
Cho ba mặt phẳng đôi một song song. Hai đường thẳng lần lượt cắt ba mặt phẳng tại và , ( nằm giữa và , nằm giữa và ). Biết rằng . Tính .
Ta có:
Trong không gian, các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
Trong không gian, yếu tố xác định một mặt phẳng duy nhất là hai đường thẳng cắt nhau.
Cho tứ diện ABCD, M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD. Những khẳng định nào sau đây là đúng? (Có thể chọn nhiều đáp án)
Gọi E là trung điểm của AB
Vì M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD nên:
Theo định lí Ta - lét ta có: (1)
Mà (2)
Từ (1) và (2) =>
Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng . Lấy điểm trên cạnh sao cho , lấy điểm trên cạnh sao cho . Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
a) . Đúng||Sai
b) với là điểm thuộc sao cho . Đúng||Sai
c) Hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua và song song với mp là tứ giác. Sai||Đúng
d) Diện tích của hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua và song song với mp là . Đúng||Sai
Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng
. Lấy điểm
trên cạnh
sao cho
, lấy điểm
trên cạnh
sao cho
. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?
a) . Đúng||Sai
b) với
là điểm thuộc
sao cho
. Đúng||Sai
c) Hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua và song song với mp
là tứ giác. Sai||Đúng
d) Diện tích của hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua và song song với mp
là
. Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
a) Đúng
Ta có nên
Mà
b) Đúng
Ta có:
Mà
c) Sai
Gọi là mặt phẳng qua
và song song với
Vì nên
Ta có:
với
Ta có:
Vậy hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua và song song với mp
là tam giác
.
d) Đúng
Thiết diện của mặt phẳng qua và song song với
là tam giác
.
Áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác ta có:
Tương tự ta có
Diện tích tam giác đều có cạnh bằng
là:
.
Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của và , là trọng tâm tam giác . Khi đó, giao điểm của và là:
Hình vẽ minh họa
Kéo dài cắt
tại
.
Khi đó là giao điểm của
và
.
Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm lưu động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (∝) // (SIC). Khi đó thiết diện của mặt phẳng (∝) và tứ diện S.ABC là:
Qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại E và kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại D.
Khi đó thiết diện của mặt phẳng (α)) với tứ diện S.ABC là tam giác MED
Lại có: MD // SI => (1)
ME // IC => (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Vì S.ABC là tứ diện đều nên SI = CI (vì hai tam giác SAB và CAB là hai tam giác bằng nhau nên hai đường trung tuyến tương ứng bằng nhau)
Suy ra MD = ME
Vậy tam giác MED cân tại M.
Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:
Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.
Vậy hình chóp có 16 cạnh.
Cho tứ diện có . Lấy một điểm bất kì trên cạnh . Gọi mặt phẳng là mặt phẳng qua song song với và . Biết các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm di chuyển đến vị trí hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức .
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Biết hai đường thẳng là hai đường thẳng chéo nhau. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng chứa và song song với .
Dựa vào lý thuyết đường thẳng song song với mặt phẳng.
=> Có duy nhất 1 mặt phẳng chứa và song song với
.
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song hoặc đồng quy.
Cho tứ giác có là giao điểm của . Lấy một điểm bất kì không thuộc , một điểm bất kì thuộc cạnh . Gọi là giao điểm của và . Khi đó giao điểm của và mặt phẳng là:
Hình vẽ minh họa
Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và ( ABM ).
Ta có B là điểm chung thứ nhất của (SBD) và ( ABM ).
Trong mặt phẳng ( ABCD) có
Trong mặt phẳng (SAC) có
Suy ra
Trong mặt phẳng (SBD) gọi và do
Cho hai mặt phẳng cắt nhau và cùng song song với đường thẳng . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Khảng định đúng là: "Giao tuyến của song song với
".
Cho hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ:
Cho hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ Song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Gọi M là điểm bất kì nằm trên a.
Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c.
Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với mặt phẳng tạo bởi M và c.
Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d.
Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng a, b, c.
Cho mặt phẳng và đường thẳng . Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có khẳng định sai là: “Nếu và
thì
."
Chọn mệnh đề sai.
Mệnh đề "Tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì không tồn tại đường thẳng nào đi qua điểm đó và song song với đường thẳng cho trước
Một hình chóp có tổng số đỉnh và số cạnh bằng . Tìm số cạnh của đa giác đáy?
Một hình chóp có đáy là đa giác cạnh thì có
đỉnh và
cạnh
Tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14
=> Số cạnh đáy của hình chóp là: 4.
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.
=> Mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.
