Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng?
Có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng?
Có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
Theo định nghĩa về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian thì đáp án đúng là: " Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung."
Cho các đoạn thẳng không song song với phương chiếu. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Khẳng định đúng là: "Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song."
Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm lưu động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (∝) // (SIC). Khi đó thiết diện của mặt phẳng (∝) và tứ diện S.ABC là:
Qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại E và kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại D.
Khi đó thiết diện của mặt phẳng (α)) với tứ diện S.ABC là tam giác MED
Lại có: MD // SI => (1)
ME // IC => (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Vì S.ABC là tứ diện đều nên SI = CI (vì hai tam giác SAB và CAB là hai tam giác bằng nhau nên hai đường trung tuyến tương ứng bằng nhau)
Suy ra MD = ME
Vậy tam giác MED cân tại M.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M là trung điểm của CD. Giao điểm của BM với mặt phẳng (SAD) là điểm:
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi K = BM ∩ AD
Ta có: mà
nên K là giao điểm của BM với mặt phẳng (SAD).
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất." sai vì nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì chúng có vô số đường thẳng chung.
Phương án "Hai mặt phẳng có thể có đúng hai điểm chung." sai vì nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng.
Phương án "Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng duy nhất hoặc mọi điểm thuộc mặt phẳng này đều thuộc mặt phẳng kia." đúng vì hai mặt phẳng có điểm chung thì chúng có thể cắt nhau hoặc trùng nhau.
Phương án "Hai mặt phẳng luôn có điểm chung." sai vì hai mặt phẳng đáy của hình hộp thì không có điểm chung.
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
, điểm
là trọng tâm tam giác
. Khi đó giao điểm của
và mặt phẳng
là:
Hình vẽ minh họa:
Trong tam giác ta có:
Vậy
Cho tứ diện
có tất cả các cạnh đều bằng
. Gọi
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
. Khi đó độ dài đoạn thẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi là trung điểm của
.
Trong tam giác ta có:
(theo tính chất trọng tâm tam giác)
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Lấy
; (
). Khi đó, giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Trong mặt phẳng giả sử
Do đó là giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp.
Vì nên
là hình thang.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Chọn đáp án đúng.
Ta có:
Giả sử tứ giác ABCD là hình biểu diễn của một hình vuông. Nếu ABCD là một hình bình hành, thì đường tròn ngoại tiếp hình vuông cho trước được biểu diễn là hình gì, có tính chất như thế nào với hình bình hành ABCD:
Hình biểu diễn của hình vuông thành hình bình hành nên sẽ hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó là đường elip đồng thời giữ nguyên mối quan hệ liên thuộc của đỉnh hình vuông với đường tròn ngoại tiếp nên hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là đường elip đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.
Thiết diện của hình chóp
khi cắt bởi mặt phẳng
tùy ý thể là:
Vì số mặt của hình chóp là 5 nên thiết diện tối đa chỉ có 5 cạnh.
=> Không thể là lục giác.
Cho tứ diện ABCD, điểm M thuộc AC. Mặt phẳng
đi qua M, song song với AB và AD. Thiết diện
với tứ diện ABCD là hình gì?
Hình vẽ minh họa

=> Giao tuyến của
với (ABC) là đường thẳng qua M, song song với AB, cắt BC tại P.
=> Giao tuyến của
với (ADC) là đường thẳng qua M, song song với AD, cắt DC tại N.
Vậy thiết diện là tam giác MNP.
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là giao điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK) là hình gì?
Hình vẽ minh họa

Vì I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC
=>
2 mp( IJK) và mp ( ABD) chứa 2 đường thẳng song song là IJ; AB và có điểm K chung
=> Giao tuyến của (IJK) với (ABD) là đường thẳng đi qua K và song song với AB cắt AD tại H.
Vậy
Ta có
Mặt khác
Vậy thiết diện là hình thang cân IJKH.
Hình chiếu của hình lập phương
qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng chiếu
là:
Phép chiếu song song phương lên mặt phẳng
sẽ biến
thành
, biến
thành
, biến
thành
, biến
thành
.
Nên hình chiếu song song của hình lập phương là hình vuông.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a)
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c)
song song với mặt phẳng
. Đúng||Sai
d)
cắt mặt phẳng
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a) . Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) song song với mặt phẳng
. Đúng||Sai
d) cắt mặt phẳng
. Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Đúng.
Do lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
nên
.
b) Đúng.
Do lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
nên
Mà
c) Đúng.
Vì .
Vì là đường trung bình của hình bình hành
nên
d) Sai.
Ta có: mà
.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với
thì
có thể cắt nhau cùng nằm trong
.
Cho hình chóp
, đáy là hình bình hành. Gọi
là giao điểm của
và
,
là trung điểm
. Khằng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có là đường trung bình tam giác
nên
, mà
và
suy ra
.
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Ta có: là đường trung bình trong tam giác SAC
Ta có: là đường trung bình trong tam giác
=>
=>
Dễ thấy cắt
tại trung điểm
của
.
Do đó mệnh đề là mệnh đề sai.
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy