Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

Ta có:

mà cắt nên khẳng định sai.

cắt tại nên khẳng định sai.

cắt tại trung điểm của nên khẳng định sai.

Qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại E và kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại D.

Khi đó thiết diện của mặt phẳng (α)) với tứ diện S.ABC là tam giác MED

Lại có: MD // SI => (1)

ME // IC => (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Vì S.ABC là tứ diện đều nên SI = CI (vì hai tam giác SAB và CAB là hai tam giác bằng nhau nên hai đường trung tuyến tương ứng bằng nhau)

Suy ra MD = ME

Vậy tam giác MED cân tại M.

Hình vẽ minh họa

Ta có là hình bình hành nên

Tương tự ta có . Từ đó suy ra và .

Vậy

Theo tính chất của phép chiếu song song ta có:

Phép chiếu song song có thể biến hình thoi thành hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm .

Vậy khẳng định sai là “”

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

Phương án "Ba điểm mà nó đi qua" sai vì nếu ba điểm đó thẳng hàng thì chưa thể xác định được mặt phẳng.

Phương án "Một điểm và một đường thẳng thuộc nó" sai vì nếu điểm đó nằm trên đường thẳng thì ta chưa thể xác định được.

Phương án "Ba điểm không thẳng hàng" đúng (theo tính chất thừa nhận 2)

Phương án "Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng" sai vì hai đường thẳng có thể trùng nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có: lần lượt là trung điểm của các cạnh

lần lượt là đường trung bình của tam giác .

Và là hình bình hành

=>

Vậy không song song với .

Theo lý thuyết ta có: mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Khi đó a // b.

Vậy a và b không có điểm chung nào.

Mệnh đề "Tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì không tồn tại đường thẳng nào đi qua điểm đó và song song với đường thẳng cho trước

Phương án "Giao tuyến của (OBC) và (A’B’C’) là A’B’." sai vì A’ không phải là điểm chung của (OBC) và (A’B’C’).

Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (OC’A’) là CK, với K là giao điểm của C’B’ với CB." sai vì

Xét giao tuyến của 2 mp (ABC ) và (OC'A') có:

A chung

C chung

=> Giao tuyến của mp(ABC) và mp (OC'A') là AC

Phương án "(ABC) và (A’B’C’) không cắt nhau." sai vì:

Trong (OAB), A’B’ không song song với AB nên sẽ cắt AB, do vậy (ABC) và (A’B’C’) có điểm chung

Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’) là MN, với M là giao điểm của AC và A’C’, N là giao điểm của BC và B’C’" đúng vì M là giao điểm của AC và A’C’ nên M là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).

Tương tự N là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).

Vì vậy MN là giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’).

Khẳng định đúng là

Có vô số mặt phẳng chứa và song song với (đó là tất cả các mặt phẳng chứa nhưng không chứa ).

Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

Vậy hình chóp có 16 cạnh.

Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song với nhau.

Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: lần lượt là trọng tâm hai tam giác và

Suy ra BE, AF cắt nhau tại điểm Q.

Vậy đồng quy.

Lại có:

Từ đó suy ra và .