Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy $M \in BC$ sao cho $BM = 2MC$ , $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ . Xác định mặt phẳng song song với đường thẳng $MG$ ?
- A.
  $(BCD)$
- B.
  $(ABD)$
- C.
  $(ABC)$
- D.
  $(ACD)$
Hình vẽ minh họa

Gọi $N$ là trung điểm của $AD$ .

Xét tam giác $BCN$ ta có:

$\frac{BG}{BN} = \frac{BM}{BC} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow MG//NC \Rightarrow MG//(ACD)$
Câu 2: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $6\ cm$ . Lấy điểm $M$ trên cạnh $SA$ sao cho $SM = 2MA$ , lấy điểm $N$ trên cạnh $SB$ sao cho $SN = 2NB$ . Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

a) $MN//(ABC)$ . Đúng||Sai

b) $(MNP)//(ABC)$ với $P$ là điểm thuộc $SC$ sao cho $SP = 2PC$ . Đúng||Sai

c) Hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua $M$ và song song với mp $(ABC)$ là tứ giác. Sai||Đúng

d) Diện tích của hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua $M$ và song song với mp $(ABC)$ là $4\sqrt{3}\ cm^{2}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $6\ cm$ . Lấy điểm $M$ trên cạnh $SA$ sao cho $SM = 2MA$ , lấy điểm $N$ trên cạnh $SB$ sao cho $SN = 2NB$ . Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

a) $MN//(ABC)$ . Đúng||Sai

b) $(MNP)//(ABC)$ với $P$ là điểm thuộc $SC$ sao cho $SP = 2PC$ . Đúng||Sai

c) Hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua $M$ và song song với mp $(ABC)$ là tứ giác. Sai||Đúng

d) Diện tích của hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua $M$ và song song với mp $(ABC)$ là $4\sqrt{3}\ cm^{2}$ . Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng

Ta có $\frac{SM}{MA} = \frac{SN}{NB} = 2$ nên $MN//AB$

Mà $AB \subset (ABC)$

$\Rightarrow MN//(ABC)$

b) Đúng

Ta có: $\frac{SM}{MA} = \frac{SN}{NB} = \frac{SP}{PC} = 2$

$\Rightarrow MN//AB,\ NP//BC$

Mà $\left\{ \begin{matrix} MN \subset (MNP);NP \subset (MNP) \\ AB \subset (ABC);BC \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (MNP)//(ABC)$

c) Sai

Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $(ABC)$

Vì $MN//(ABC)$ nên $N \in (\alpha)$

Ta có: $\left. \ \begin{matrix} (\alpha)//(ABC) \\ (SAC) \cap (ABC) = AC \\ M \in (SAC) \cap (\alpha) \\ \end{matrix} ight\}$

$\Rightarrow (SAC) \cap (\alpha) = MP$ với $MP//AC,\ P \in SC$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} (\alpha) \cap (SAB) = MN \\ (\alpha) \cap (SBC) = NP \\ (\alpha) \cap (SAC) = MP \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hình thu được khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng qua $M$ và song song với mp $(ABC)$ là tam giác $MNP$ .

d) Đúng

Thiết diện của mặt phẳng qua $M$ và song song với $(ABC)$ là tam giác $MNP$ .

Áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác $SAB$ ta có:

$\frac{MN}{AB} = \frac{SM}{SA} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow MN = \frac{2}{3}AB =\frac{2}{3}.6 = 4 cm$

Tương tự ta có $NP = MP = 4\ cm$

Diện tích tam giác đều $MNP$ có cạnh bằng $4\ cm$ là: $S = 4^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\ \ cm^{2}$ .
Câu 3: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I,\ \ J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$ . Trên cạnh $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD$ . Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(IJK)$ . Tính tỉ số $\frac{FA}{FD}$

Đáp án: 2

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $I,\ \ J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$ . Trên cạnh $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD$ . Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(IJK)$ . Tính tỉ số $\frac{FA}{FD}$

Đáp án: 2

Hình vẽ minh họa

+ Cho $AD \subset (ACD)$

Trong mặt phẳng $(BCD)$ hai đường thẳng $IK,\ \ CD$ không song song nên gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $IK$ và $CD$ . Khi đó $E \in (ACD)$ .

+ Ta thấy $(ACD) \cap (IJK) = EJ$

+ Trong $(ACD):\ \ EJ \cap AD = F$ . Khi đó $(IJK) \cap AD = F$ .

Xét tam giác $BCD$ , áp dụng định lí Menelaus có:

$\frac{IB}{IC}.\frac{EC}{ED}.\frac{KD}{KB} = 1 \Rightarrow 1.\frac{EC}{ED}.\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{EC}{ED} = 2$

Xét tam giác $ACD$ , áp dụng định lí Menelaus có:

$\frac{EC}{ED}.\frac{FD}{FA}.\frac{JA}{JC} = 1 \Rightarrow 2.\frac{FD}{FA}.1 = 1 \Rightarrow \frac{FD}{FA} = \frac{1}{2}$

Vậy $\frac{FA}{FD} = 2$ .
Câu 4: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy là hình bình hành. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ , $M$ là trung điểm $SC$ . Khằng định nào sau đây là đúng?
- A.
  $OM//(ABCD)$ .
- B.
  $OM//(SBD)$ .
- C.
  $OM//(SAC)$ .
- D.
  $OM//(SAD)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $OM$ là đường trung bình tam giác $SAC$ nên $OM//SA$ , mà $SA \subset (SAD)$ và $OM ⊄ (SAD)$ suy ra $OM//(SAD)$ .
Câu 5: Nhận biết
Chọn mệnh đề sai.
- A.
  Tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng.
- B.
  Tồn tại duy nhât một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng.
- C.
  Hai đường thẳng song song thì đồng phẳng.
- D.
  Hai đường thẳng không đồng phẳng thì không có điểm chung.
Mệnh đề "Tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì không tồn tại đường thẳng nào đi qua điểm đó và song song với đường thẳng cho trước
Câu 6: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Trên các cạnh $AB,BC$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ làm trung điểm, lấy $P \in BC$ sao cho $\frac{CP}{PD} = 2$ và $Q \in AD$ sao cho bốn điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
- A.
  $QA = QC$
- B.
  $\frac{QD}{AQ} = 2$
- C.
  $\frac{QA}{DQ} =2$
- D.
  $\frac{QA}{QD} = 3$
Hình vẽ minh họa
Xét mặt phẳng $(BCD)$ ta có: $\frac{CP}{PD} = 2$
=> $E = NP \cap BD$
Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ do đó $MN//AC$
$\Rightarrow PQ//AC$
Mà $CP = 2PQ \Rightarrow AQ = 2QD$ hay $\frac{QA}{DQ} = 2$ .
Câu 7: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $E$ là điểm thuộc cạnh $SA$ thỏa mãn $SE = \frac{m}{n}.SA$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $GE$ song song với mặt phẳng $(SCD)$ . Giá trị của $m.n$ bằng

Đáp án: 6

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $E$ là điểm thuộc cạnh $SA$ thỏa mãn $SE = \frac{m}{n}.SA$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $GE$ song song với mặt phẳng $(SCD)$ . Giá trị của $m.n$ bằng

Đáp án: 6

Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $F$ là giao điểm của $AM$ và $CD$ trong mặt phẳng $(ABCD)$ .

Theo định lý Talet, ta có: $\frac{MA}{MF} = \frac{MB}{MC} = 1 \Rightarrow MA = MF \Rightarrow M$ là trung điểm của $AF$

$\Rightarrow \frac{AG}{AF} = \frac{AG}{2AM} = \frac{1}{3}$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} GE \subset (SAF) \\ GE//(SCD) \\ (SAF) \cap (SCD) = SF \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow GE//SF$

$\Rightarrow \frac{AE}{AS} = \frac{AG}{AF} = \frac{1}{3} \Rightarrow AE = \frac{1}{3}AS$

$\Rightarrow SE = \frac{2}{3}SA \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{2}{3} \Rightarrow m.n = 6$ .
Câu 8: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABC$ , gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAM)$ và $(SBC)$ .
- A.
  Đường thẳng $SC$
- B.
  Đường thẳng $SM$
- C.
  Đường thẳng $BC$
- D.
  Đường thẳng $SB$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $S$ là điểm chung của mặt phẳng $(SAM)$ và $(SBC)$ (*)

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} M \in BC \\ BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M \in (SBC)$

=> $M$ là điểm chung của mặt phẳng $(SAM)$ và $(SBC)$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $(SAM) \cap (SBC) = SM$
Câu 9: Nhận biết
Phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành:
- A.
  Ba đường thẳng đôi một song song với nhau.
- B.
  Một đường thẳng.
- C.
  Thành hai đường thẳng song song.
- D.
  Ba đường thẳng đôi một vuông góc với nhau.
Theo tính chất của phép chiếu song song ta có:

Phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành ba đường thẳng đôi một song song.

Vậy các đáp án đúng là:

Ba đường thẳng đôi một song song với nhau.

Một đường thẳng.

Thành hai đường thẳng song song.
Câu 10: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
- A.
  Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.
- B.
  Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
- C.
  Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
- D.
  Hai mặt phẳng cùng đi qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.
Khẳng định sai: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất”.

Sửa lại: “Hai mặt phẳng trùng nhau thì có vô số đường thẳng chung.”
Câu 11: Thông hiểu
Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
- A.
  Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
- B.
  Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó.
- C.
  Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.
- D.
  Một tam giác bất kỳ đều có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.
Nếu hình chiếu song song của hai đường thẳng là một đường thẳng thì hai đường thẳng đó phải nằm trong một mặt phẳng song song hoặc chứa phương chiếu.

Mặt khác hai đường thẳng chéo nhau không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào.

Do đó mệnh đề sai là: “Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.”.
Câu 12: Nhận biết
Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt $(\alpha)$ và $(\beta)$ , điều kiện nào sau đây không đủ để kết luận rằng mặt phẳng $(\alpha)$ song song với mặt phẳng $(\beta)$ ?
- A.
  $(\alpha)$ và $(\beta)$ cùng song song với mặt phẳng $(\gamma)$ .
- B.
  $(\alpha)$ chứa vô số đường thẳng song song với $(\beta)$ .
- C.
  $(\alpha)$ và $(\beta)$ không có điểm chung.
- D.
  $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và chúng cùng song song với $(\beta)$ .
Mệnh đề: " $(\alpha)$ chứa vô số đường thẳng song song với $(\beta)$ ." không đủ để chỉ ra hai mặt phẳng song song (khi các đường thẳng đó song song với nhau).
Câu 13: Thông hiểu
Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng.
- B.
  Nếu ba đường thẳng đồng quy thì chúng nằm trên một mặt phẳng.
- C.
  Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng.
- D.
  Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại.
Mệnh đề “Nếu ba đường thẳng đồng quy thì chúng nằm trên một mặt phẳng” không đúng, vì chúng có thể không đồng phẳng.

Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng”, không đúng khi ba đường thẳng cắt nhau và đồng qui nhưng không đồng phẳng.

Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại” không đúng, vì chúng có thể chéo nhau.

Vậy khẳng định đúng là: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng.”
Câu 14: Nhận biết
Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là sai?
- A. Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song.
- B. Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì ba điểm đó thẳng hàng.
- C. Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
- D. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
Mệnh đề sai: "Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy."
Câu 15: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác lồi. Gọi $O = AC \cap BD;$ $M = AB \cap CD;$ $N = AD \cap BC$ . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ ?
- A.
  $SA$
- B.
  $SN$
- C.
  $SM$
- D.
  $SO$
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Câu 16: Nhận biết
Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:
- A.
  $12$
- B.
  $24$
- C.
  $16$
- D.
  $8$
Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.

Vậy hình chóp có 16 cạnh.
Câu 17: Vận dụng
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Các điểm $A,D$ qua phép chiếu song song phương $SO$ trên mặt phẳng $(SBC)$ ta thu được ảnh lần lượt là $M,N$ . Hình chóp $S.ABCD$ cần thêm điều kiện gì để tứ giác $BCMN$ là hình vuông?
- A.
  Tam giác $SBC$ vuông cân tại $S$
- B.
  Tam giác $SBC$ vuông
- C.
  Tam giác $SBC$ cân
- D.
  Tam giác $SBC$ đều
Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có: $M,N$ lần lượt là ảnh của $A,D$ qua phép chiếu song song phương $SO$ trên mặt phẳng $(SBC)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} SO//AM \\ SO//DN \\ OA = OC \\ \end{matrix} ight.$

=> $SO$ là đường trung bình của các tam giác $CAM,BDN$

=> $\left\{ \begin{matrix} AM//DN \\ AM = DN \\ \end{matrix} ight.$

=> $ADMN$ là hình bình hành

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} MN//BC \\ MN = BC \\ \end{matrix} ight.$ => $BCMN$ là hình bình hành.

Để $BCMN$ là hình vuông thì $\left\{ \begin{matrix} BN = CM \\ BN\bot CM \\ \end{matrix} ight.$ suy ra hình chóp $S.ABCD$ có mặt bên $SBC$ vuông cân tại $S$ .
Câu 18: Thông hiểu
Cho ba đường thẳng $a,b,c$ đôi một chéo nhau. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
- A.
  Không có đường thẳng nào cắt cả ba đường thẳng đã cho.
- B.
  Có đúng hai đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.
- C.
  Có vô số đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.
- D.
  Có duy nhất một đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.
Gọi M là điểm bất kì nằm trên a.

Giả sử d là đường thẳng qua M cắt cả b và c.

Khi đó, d là giao tuyến của mặt phẳng tạo bởi M và b với mặt phẳng tạo bởi M và c.

Với mỗi điểm M ta được một đường thẳng d.

Vậy có vô số đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng a, b, c.
Câu 19: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 20: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $MN//(ABCD)$ .
- B.
  $MN//(SAB)$ .
- C.
  $MN//(SCD)$ .
- D.
  $MN//(SBC)$ .
Hình vẽ minh họa

$MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $MN//AC$ mà $AC \in (ABCD) \Rightarrow MN//(ABCD)$ .

120 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!