Tìm số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác:
Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.
Vậy hình chóp có 16 cạnh.
Tìm số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác:
Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.
Vậy hình chóp có 16 cạnh.
Cho hình lập phương
cạnh bằng
. Lấy các điểm
sao cho
. Khi giá trị
thay đổi, đường thẳng
luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Áp dụng định lí Ta – lét đảo cho và
. Từ tỉ lệ
Ta suy ra cùng song song với một mặt phẳng
nào đó.
Ta chọn mặt phẳng chứa
và song song với
.
Mặt phẳng chính là mặt phẳng
và là mặt phẳng cố định.
Hay
Cho hình chóp
, đáy là hình bình hành. Gọi
là giao điểm của
và
,
là trung điểm
. Khằng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có là đường trung bình tam giác
nên
, mà
và
suy ra
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Tìm thiết diện của (MAB) với hình chóp.
Do (MAB) chứa AB // CD, nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB. Đường thẳng này cắt SD tại điểm N.
Vậy thiết diện của (MAB) với hình chóp là tứ giác ABMN, với N là giao điểm của SD với đường thẳng đi qua M và song song với AB.
Cho hình chóp
có
lần lượt là trọng tâm các tam giác
và
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Mặt phẳng
cắt
tại
. Tỉ số
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: là trọng tâm tam giác
và
là trung điểm của
.
=> thẳng hàng hay
Ta lại có là trọng tâm tam giác
nên
kéo dài cắt
tại trung điểm của
.
Vậy là trung điểm của
suy ra
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho hình chóp
có đáy là hình thang đáy lớn là
. Gọi
là trung điểm của cạnh
,
là giao điểm của cạnh
và mặt phẳng
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
và
cắt nhau.Sai||Đúng
b)
.Đúng||Sai
c)
và
cắt nhau.Sai||Đúng
d)
và
chéo nhau. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy là hình thang đáy lớn là
. Gọi
là trung điểm của cạnh
,
là giao điểm của cạnh
và mặt phẳng
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) và
cắt nhau.Sai||Đúng
b) .Đúng||Sai
c) và
cắt nhau.Sai||Đúng
d) và
chéo nhau. Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Ta có:
.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Đúng |
c) Sai |
d) Sai |
Giả sử tứ giác ABCD là hình biểu diễn của một hình vuông. Nếu ABCD là một hình bình hành, thì đường tròn ngoại tiếp hình vuông cho trước được biểu diễn là hình gì, có tính chất như thế nào với hình bình hành ABCD:
Hình biểu diễn của hình vuông thành hình bình hành nên sẽ hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó là đường elip đồng thời giữ nguyên mối quan hệ liên thuộc của đỉnh hình vuông với đường tròn ngoại tiếp nên hình biểu diễn của đường tròn ngoại tiếp hình vuông là đường elip đi qua các đỉnh của hình bình hành ABCD.
Hình ảnh dưới đây là kệ sách gỗ có 4 mặt kệ với thanh gỗ đứng và thanh gỗ xiên. Giá đỡ các mặt kệ xuất hiện ở các vị trí
và
. Biết
và
cách đều nhau và các mặt kệ song song với mặt đất. Tính độ dài đoạn
.

Đáp án: 105
Hình ảnh dưới đây là kệ sách gỗ có 4 mặt kệ với thanh gỗ đứng và thanh gỗ xiên. Giá đỡ các mặt kệ xuất hiện ở các vị trí và
. Biết
và
cách đều nhau và các mặt kệ song song với mặt đất. Tính độ dài đoạn
.
Đáp án: 105
Áp dụng định lý Thales trong không gian, do cách đều nhau nên
cũng cách đều nhau.
Ta có nên
.
Cho tứ diện ABCD. Giả sử M thuộc đoạn BC. Một mặt
qua M song song với AB và CD. Thiết diện của
và hình tứ diện ABCD là hình gì?
Hình vẽ minh họa

=> Giao tuyến của
với (ABC) là đường thẳng đi qua M, song song với AB và cắt AC tại Q.
=> Giao tuyến của
với (BCD) là đường thẳng đi qua M, song song với CD và cắt BD tại N.
=> Giao tuyến của
với (ABD) là đường thẳng đi qua N, song song với AB và cắt AD tại P.
=> Thiết diện của hình chóp cắt bởi là tứ giác MNPQ.
Ta lại có:
Vậy thiết diện là hình bình hành MNPQ.
Cho hình lăng trụ
. Trọng tâm các tam giác
lần lượt là
. Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng
.
Theo bài ra ta có:
Các điểm lần lượt là trọng tâm các tam giác
.
.
Chứng minh tương tự
Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án: “Qua hai điểm phân biệt xác định duy nhất một mặt phẳng” sai vì có vô số mặt phẳng đi qua hai điểm đã cho.
Đáp án: “Qua ba điểm phân biệt bất kì xác định duy nhất một mặt phẳng” sai vì có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt thẳng hàng.
Đáp án: “Qua bốn điểm phân biệt bất kì chỉ xác định được duy nhất một mặt phẳng” sai vì trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm không đồng phẳng thì không có mặt phẳng nào đi qua 4 điểm đó.
Vậy khẳng định đúng là: “Qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặ
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Theo tính chất của phép chiếu song song ta có:
Phép chiếu song song có thể biến hình thoi thành hình bình hành.
Cho tứ diện
. Trung điểm của các đường thẳng
lần lượt là
. Tìm giao điểm của đường thẳng
với mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
.
Ta có: (do
là đường trung bình của tam giác
)
Vậy
Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là sai?
Mệnh đề sai: "Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy."
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua
Phương án "Hai đường thẳng " sai vì nếu 2 đường thẳng đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng đó.
Phương án "Một điểm và một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì có vô số mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng đã cho.
Phương án "Ba điểm" sai vì nếu có 2 trong ba điểm đó trùng nhau hoặc cả 3 điểm đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng thỏa mãn.
Vậy hoàn thành mệnh đề như sau: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau."
Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?
Có ba vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là:
+ Đường thẳng song song với mặt phẳng.
+ Đường thẳng cắt mặt phẳng.
+ Đường thẳng nầm trên mặt phẳng.
Chọn khẳng định đúng.
Khẳng định đúng là: “Nếu hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng đó song song hoặc chéo nhau.”
Cho hình chóp
, gọi
là trung điểm của
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có: là điểm chung của mặt phẳng
và
(*)
Ta có:
=> là điểm chung của mặt phẳng
và
(**)
Từ (*) và (**) suy ra
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng (α). Khi đó tồn tại vô số đường thẳng a chứa M và song song với (α).