Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

Do (MAB) chứa AB // CD, nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB. Đường thẳng này cắt SD tại điểm N.

Vậy thiết diện của (MAB) với hình chóp là tứ giác ABMN, với N là giao điểm của SD với đường thẳng đi qua M và song song với AB.

Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là trung điểm của AB và CD

Do lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và tam giác SCD nên

Mà

Ta có:

Mà

Vậy có 3 khẳng định đúng.

Hình vẽ minh họa:

Xét hai mặt phẳng và .

Ta có: và .

Mà và .

Do đó

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Hình vẽ minh họa

Do và .

Do .

Hình vẽ minh họa

Vì I và J là trung điểm của BC và BD nên IJ//CD (1)

nên giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng d qua E và song song với CD.

Gọi ta có tứ giác IJEF là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng .

Vì EF//IJ nên IJEF là hình thang.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Trong mặt phẳng giả sử

Do đó là giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp.

Vì nên là hình thang.

Hình vẽ minh họa

Áp dụng định lí Ta – lét đảo cho và . Từ tỉ lệ

Ta suy ra cùng song song với một mặt phẳng nào đó.

Ta chọn mặt phẳng chứa và song song với .

Mặt phẳng chính là mặt phẳng và là mặt phẳng cố định.

Hay

Hình vẽ minh họa

Xét (SMN) và (SPQ) có:

S là điểm chung

Mà

=> với d là đường thẳng đi qua S và song song với

Hình vẽ minh họa

Khẳng định sai là "CE song song với FH"

Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

Giả sử đường thẳng và không chéo nhau, tức là cùng thuộc một mặt phẳng.

Khi đó và cùng thuộc một mặt phẳng hay là một tứ giác (trái giả thiết).

Vậy đường thẳng và chéo nhau.

Theo lý thuyết ta có: mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Khi đó a // b.

Vậy a và b không có điểm chung nào.

Hình vẽ minh họa

Ta có là điểm chung của và .

Do lần lượt là trung điểm và nên ta có

là hình bình hành.

Vì .

Khi đó cắt theo giao tuyến đi qua và song song với là .

Từ đó ta thấy đáp án

, với là trung điểm .

, với là trung điểm .

, với là trung điểm .

Là các đáp án đúng

Vì là trung điểm suy ra .

Hình vẽ minh họa

Gọi

Xét mặt phẳng gọi

=>

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến ta được:

(*)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến ta được:

(**)

Từ (*) và (**) suy ra

Phương án "Ba điểm mà nó đi qua" sai vì nếu ba điểm đó thẳng hàng thì chưa thể xác định được mặt phẳng.

Phương án "Một điểm và một đường thẳng thuộc nó" sai vì nếu điểm đó nằm trên đường thẳng thì ta chưa thể xác định được.

Phương án "Ba điểm không thẳng hàng" đúng (theo tính chất thừa nhận 2)

Phương án "Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng" sai vì hai đường thẳng có thể trùng nhau.

Gọi H là trung điểm của tam giác AB.

M, Q lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác ABD.

Khi đó ta có:

Theo định lí Ta - lét ta có:

Vậy hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là trọng tâm của tam giác ABD.