Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
- A.
  $AC$
- B.
  $DC$
- C.
  $AD$
- D.
  $BD$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAD) \cap (SBC) \\ AD//BC \\ AD \subset (SAD) \\ BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (SAD) \cap (SBC) = d$ , d đi qua S và $d // AD // BC$ .
Câu 2: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $SC$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $AI$ và song song với $BD$ cắt các cạnh $SB,SD$ lần lượt tại $M,N$ . Tìm khẳng định đúng dưới dây?
- A.
  $\frac{SM}{SB} = \frac{3}{4}$
- B.
  $\frac{SN}{SD} = \frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{SM}{SB} = \frac{SN}{SD} = \frac{1}{3}$
- D.
  $\frac{MB}{SB} = \frac{1}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $E$ là giao điểm của AI và SO, kẻ đường thẳng qua E song song với BD và cắt SB, SD lần lượt tại M và N. Khi đó: $(\alpha) \equiv (AMIN)$

Dễ thấy E là trọng tâm tam giác SAC nên $\frac{OS}{OE} = \frac{1}{3}$

$MN//BD \Rightarrow \frac{MB}{SB} = \frac{OE}{SO} = \frac{1}{3}$
Câu 3: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ , biết tam giác $BCD$ có diện tích bằng 16. Mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm của $AB$ và song song với mặt phẳng $(BCD)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng

Đáp án: 4

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ , biết tam giác $BCD$ có diện tích bằng 16. Mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm của $AB$ và song song với mặt phẳng $(BCD)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng

Đáp án: 4

Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ .

Gọi $MN = (P) \cap (ABD)$ ( $N \in AD$ ), do $(P)//(BCD) \Rightarrow MN//\ BD \Rightarrow N$ là trung điểm của $AD$ .

Gọi $MP = (P) \cap (ABC)$ ( $P \in AC$ ), do $(P)//(BCD) \Rightarrow MP//BC \Rightarrow P$ là trung điểm của $AC$ .

Thiết diện của tứ diện $ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(P)$ là $\Delta MNP$ .

Gọi $I,\ J$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $BD$ .

Ta chứng minh được $\Delta MNP = \Delta JDI$ (c – c – c).

Ta có

$S_{\Delta MNP} = S_{\Delta DIJ} = \frac{1}{2}DI.DJ.sin\widehat{JDI}$

$= \frac{1}{4}.\frac{1}{2}DB.DC.sin\widehat{BDC} = \frac{1}{4}.S_{\Delta DBC} = \frac{1}{4}.16 = 4$

Vậy $S_{\Delta MNP} = 4.$
Câu 4: Nhận biết
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua
- A.
  Hai đường thẳng
- B.
  Một điểm và một đường thẳng
- C.
  Ba điểm
- D.
  Hai đường thẳng cắt nhau
Phương án "Hai đường thẳng " sai vì nếu 2 đường thẳng đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng đó.
Phương án "Một điểm và một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì có vô số mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng đã cho.
Phương án "Ba điểm" sai vì nếu có 2 trong ba điểm đó trùng nhau hoặc cả 3 điểm đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng thỏa mãn.
Vậy hoàn thành mệnh đề như sau: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau."
Câu 5: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ cạnh bằng 1. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , $E$ đối xứng với $B$ qua $C$ , $F$ đối xứng với $B$ qua $D$ . Xác định các giao điểm của mặt phẳng $(MEF)$ với các mặt của hình tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $\frac{1}{4}$
- B.
  $\frac{1}{6}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{9}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{12}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $I = MF \cap AD,H = ME \cap AC$

Ta thấy tam giác MIH là thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.

Ta có M, C lần lượt là trung điểm của AB, BE nên H là trọng tâm ∆ABE.

Suy ra $\frac{HA}{HC} = \frac{1}{2}$ . Chứng minh tương tự ta có: $\frac{IA}{ID} = \frac{1}{2}$ . Do đó ta có:

$\frac{HI}{CD} = \frac{2}{3} \Rightarrow HI = \frac{2}{3}$

Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 nên $\left\{ \begin{matrix} \widehat{MAI} = 60^{0} \\ AM = \frac{1}{2};AI = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} ight.$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:

$MI^{2} = MA^{2} + IA^{2} - 2MA.IA.cos60^{0}$

$\Rightarrow MI^{2} = \frac{13}{36}$

$\Rightarrow MI = \sqrt{\frac{13}{36}} = \frac{\sqrt{13}}{6} = MH$

Áp dụng công thức Hê- rông tính diện tích tam giác ta được: $S_{MHI} = \frac{1}{6}$
Câu 6: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABC$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC$ , $P$ là điểm trên cạnh $AB$ sao cho $\frac{AP}{AB} = \frac{1}{3}$ . Gọi $Q$ là giao điểm của $SC$ với mặt phẳng $(MNP)$ . Tính $\frac{SQ}{SC}$ ( làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,33

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABC$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC$ , $P$ là điểm trên cạnh $AB$ sao cho $\frac{AP}{AB} = \frac{1}{3}$ . Gọi $Q$ là giao điểm của $SC$ với mặt phẳng $(MNP)$ . Tính $\frac{SQ}{SC}$ ( làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,33

Hình vẽ minh họa

Tìm giao điểm $Q$ của $SC$ với mặt phẳng $(MNP)$

Chọn mặt phẳng phụ $(SAC)$ chứa $SC$

Trong $(ABC)$ gọi $H = AC \cap NP$

Suy ra $(MNP) \cap (SAC) = HM$ . Khi đó $Q$ là giao điểm của $HM$ và $SC$ .

Gọi $L$ là trung điểm $AC$

Ta có $\frac{HA}{HL} = \frac{AP}{LN} = \frac{\frac{1}{3}AB}{\frac{1}{2}AB} = \frac{2}{3}$ (vì $M,\ N$ là trung điểm của $AC$ và $BC$ nên $LN = \frac{1}{2}AB$ )

$\Rightarrow HA = \frac{2}{3}HL$

Mà $LC = AL = HL - HA = HL - \frac{2}{3}HL = \frac{1}{3}HL$ nên $HL = \frac{3}{4}HC$

Mặt khác ta có $\frac{HC}{HL} = \frac{QC}{ML} = \frac{4}{3}$ (vì $ML//SC$ )

Mà $2ML = SC$ nên $\frac{QC}{SC} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{SQ}{SC} = \frac{1}{3}$ .
Câu 7: Thông hiểu

Điền chữ “Đ” vào mệnh đề đúng và “S” vào mệnh đề sai.

a) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. S

b) Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó. S

c) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P). S

d) Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α). S

Đáp án là:

Điền chữ “Đ” vào mệnh đề đúng và “S” vào mệnh đề sai.

a) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. S

b) Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó. S

c) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P). S

d) Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α). S

Xét từng mệnh đề ta có

a) “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau” là mệnh đề sai, vì hai đường thẳng có thể chéo nhau.

b) “Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó” là mệnh đề sai, vì hai mặt phẳng đó có thể song song nhau.

c) “Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P)” là mệnh đề sai, vì đường thẳng a vẫn có thể nằm trong mặt phẳng (P).

d) “Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α)” là mệnh đề sai, vì có vô số đường thẳng đi qua điểm A và song song với (α).

Vậy không có mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề nêu trên
Câu 8: Nhận biết
Cho mặt phẳng $(\alpha)$ có các điểm $A \in (\alpha);B otin (\alpha)$ . Đường thẳng $t$ đi qua hai điểm $A;B$ . Khi đó giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $t$ có:
- A.
  Vô số điểm chung
- B.
  Đúng một điểm chung
- C.
  Ít nhất hai điểm chung
- D.
  Nhiều hơn một điểm chung
Giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $t$ có đúng một điểm chung.
Câu 9: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $SA,SC$ . Tìm đặc điểm của giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng $(BPQ)$ và $(ABCD)$ .
- A.
  $d$ đi qua $B$ và song song với $AC$
- B.
  $d$ đi qua $S$ và song song với $AD$
- C.
  $d$ đi qua $B$ và song song với $CD$
- D.
  $d$ đi qua hai điểm $P,Q$
Hình vẽ minh họa

Ta thấy $B$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $(BMN)$ và $(ABCD)$ .

Do đó $d$ đi qua $B$ .

Xét ba mặt phẳng $(BMN),(ABCD),(SAC)$ .

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $d,AC,MN$ .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì $d,AC,MN$ đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà $MN//AC$ (do $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ ) nên $d//AC$ .

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(BPQ)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $B$ và song song với $CD$ .
Câu 10: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai:
- A. Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng.
- B. Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
- C. Dùng nét đứt để biểu diễn cho đường bị che khuất.
- D. Hình biểu diễn của hai đường cắt nhau có thể là hai đường song song nhau.
Mệnh đề sai: "Hình biểu diễn của hai đường cắt nhau có thể là hai đường song song nhau".
Câu 11: Thông hiểu
Cho hình chóp S.ABC có diện tích đáy bằng 9. Mặt phẳng $(P)$ song song với $(ABC)$ cắt đoạn SA tại $M$ sao cho $SM = 2MA$ . Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC tạo bởi $(P)$ bằng
- A.
  1.
- B.
  $\frac{16}{9}$ .
- C.
  $\frac{4}{81}$ .
- D.
  4.
Hình vẽ minh họa:

Gọi N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ và các cạnh SB, SC.

Vì $(P)//(ABC)$ nên theo định lí Talet, ta có $\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{SP}{SC} = \frac{2}{3}$ .

Khi đó $(P)$ cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP ðồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số $k = \frac{2}{3}$ .

Vậy $S_{\Delta MNP} = k^{2}.S_{\Delta ABC} = \left( \frac{2}{3} ight)^{2}.9 = 4$ .
Câu 12: Nhận biết
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
- A.
  Phép chiếu song song có thể biến đường thẳng thành đường thẳng.
- B.
  Phép chiếu song song có thể biến đường thẳng thành đoạn thẳng.
- C.
  Phép chiếu song song có thể biến đường thẳng thành một điểm.
- D.
  Phép chiếu song song có thể biến một đường thẳng thành chính nó.
Phép chiếu song song chỉ có thể biến đường thẳng thành đường thẳng hoặc thành một điểm.
Câu 13: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác ( $AB$ không song song với $CD$ ), $O = AC \cap BD$ . Lấy $M$ là trung điểm của $SD$ , lấy $N \in SB$ sao cho $SN = 2SB$ . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
- A.
  $SO;AD$
- B.
  $MN;SC$
- C.
  $SA,BC$
- D.
  $MN,SO$
Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 14: Nhận biết
Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi theo ba giao tuyến a, b, c, trong đó a song song với b. Khi đó vị trí tương đối của b và c là
- A.
  chéo nhau.
- B.
  cắt nhau.
- C.
  song song.
- D.
  trùng nhau.
Theo nội dung hệ quả của định lý về ba giao tuyến ta suy ra vị trí tương đối của b và c là song song.
Câu 15: Nhận biết
Hình chiếu của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ qua phép chiếu song song phương $AA'$ lên mặt phẳng chiếu $(ABCD)$ là:
- A.
  Hình bình hành
- B.
  Hình vuông
- C.
  Hình thoi
- D.
  Hình tam giác
Phép chiếu song song phương $AA'$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ sẽ biến $A'$ thành $A$ , biến $B'$ thành $B$ , biến $C'$ thành $C$ , biến $D'$ thành $D$ .

Nên hình chiếu song song của hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ là hình vuông.
Câu 16: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ , lấy $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$ . Giả sử $d = (MNA) \cap (ABD)$ . Khẳng định nào đúng về đặc điểm của đường thẳng $d$ ?
- A.
  $d$ đi qua $A$ và song song với $BD$
- B.
  $d$ đi qua $A$ và song song với $DM$
- C.
  $d$ đi qua $A$ và song song với $BN$
- D.
  $d$ đi qua $A$ và song song với $BC$
Hình vẽ minh họa

Xét ba mặt phẳng $(AMN),(ABD),(BCD)$

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $d,BD,MN$ .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì $d,BD,MN$ đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà $BD//MN$ nên $d//BD$ .

Vậy đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BD$ .
Câu 17: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 18: Nhận biết
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ (như hình vẽ). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
- A.
  $HK//(SBC)$
- B.
  $HK//(SAB)$
- C.
  $HK//(SCD)$
- D.
  $HK//(ABCD)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} HK//BC \\ HK ⊄ (SBC) \\ BC \subset (SBC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow HK//(SBC)$
Câu 19: Nhận biết
Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD,SB,SD$ . Chọn khẳng định đúng?
- A.
  $MN//(SAD)$ .
- B.
  $MN//SA$ .
- C.
  $MN//PQ$ .
- D.
  $MN//(SAB)$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có $MN$ là đường trung bình tam giác $BDC \Rightarrow MN//BD$ (1)

Ta có $PQ$ là đường trung bình của tam giác $SBD \Rightarrow PQ//BD(2)$ .

$\Rightarrow MN//PQ$ .
Câu 20: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $AC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ . Khi đó giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ và mặt phẳng $(BCD)$ là đường thẳng đi qua điểm
- A.
  G và song song với CD
- B.
  J và song song với BD
- C.
  I và song song với AB
- D.
  G và song song với BC
Hình vẽ minh họa

Nhận lấy IJ là đường trung bình tam giác ACD suy ra IJ//CD.

Gọi $d = (GIJ) \cap (BCD)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} G \in (GIJ);G \in (BCD) \\ IJ \subset (GIJ);CD \subset (BCD) \\ IJ//CD \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra d đi qua G và song song với CD,.

114 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!