Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M là trung điểm của CD. Giao điểm của BM với mặt phẳng (SAD) là điểm:
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi K = BM ∩ AD
Ta có: mà
nên K là giao điểm của BM với mặt phẳng (SAD).
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M là trung điểm của CD. Giao điểm của BM với mặt phẳng (SAD) là điểm:
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi K = BM ∩ AD
Ta có: mà
nên K là giao điểm của BM với mặt phẳng (SAD).
Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một thì ba giao tuyến của chúng sẽ có bao nhiêu vị trí tương đối?
Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một thì ba giao tuyến song song hoặc đồng quy.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.
Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều là hình lăng trụ đều.
Tìm số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác:
Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.
Vậy hình chóp có 16 cạnh.
Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA, B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Trong mặt phẳng (OAC) ta có: Điểm C’ không là trung điểm của OC nên A’C’ không song song với AC.
=> AC và A’C’ cắt nhau.
Phương án "Hai đường thẳng CB và C’B’ cắt nhau tại một điểm thuộc (OAB)." sai vì CB, C’B’ cắt nhau tại 1 điểm thuộc mặt phẳng (OBC).
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng có tâm lần lượt là I và J. Chọn
khẳng định sai.
Hình vẽ minh họa
Do và
là trung điểm của
và
, nên
mà
, suy ra IJ / /(ADF) và IJ / / DF đúng.
Do và
là trung điểm của
và
, nên
mà
, suy ra IJ / /(CEB) đúng.
Vậy IJ / / ADsai
Cho hình hộp
. Xác định hình chiếu của hình hộp qua phép chiếu song song phương
lên mặt phẳng chiếu
.
Hình vẽ minh họa:
Qua phép chiếu song song phương lên mặt phẳng chiếu
. Ta có:
biến thành B
biến thành
biến thành
biến thành
Do đó hình hộp biến thành hình bình hành
.
Hình nào sau đây là hình biểu diễn của hình chóp
với
là hình bình hành?
Hình biểu diễn của hình chóp đáy là hình bình hành là hình
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Giả sử
. Đường thẳng nào song song với
trong các đường thẳng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> hay
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và
là đường thẳng
song song với đường thẳng
.
Cho hai đường thẳng song song
và
. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa
và song song với
?
Có vô số mặt phẳng chứa và song song với
(đó là tất cả các mặt phẳng chứa
nhưng không chứa
).
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau?
Theo tính chất của phép chiếu song song ta được
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Giao tuyến của mặt phẳng
và
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
nên Q là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng
và
Mặt khác
Vậy giao tuyến của mặt phẳng và
là đường thẳng qua Q và song song với AB.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang
. Gọi O là giao điểm của AC và BD, các điểm
lần lượt là trung điểm các cạnh
. Lấy điểm
thuộc
sao cho
. Hãy xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
d)
Đúng||Sai
Cho hình chóp có đáy
là hình thang
. Gọi O là giao điểm của AC và BD, các điểm
lần lượt là trung điểm các cạnh
. Lấy điểm
thuộc
sao cho
. Hãy xác định tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
d) Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
Ta có EF là đường trung bình tam giác SAD nên EF // SD
Ta có:
Xét tứ giác BFDC có: suy ra tứ giác BFDC là hình bình hành
=> BF // DC
Ta có:
Ta có:
Do AD // BC nên theo định lí Ta- let ta có:
Mặt khác
Xét tam giác SAC có
Ta có:
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
Mệnh đề đúng: "Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với (β). "
Cho hình thang
và
. Lấy điểm
bất kì,
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
,
là trọng tâm tam giác
. Khi đó giao tuyến được tạo bởi mặt phẳng
với các mặt của
là hình gì?

Hình vẽ minh họa
Gọi
Xét ba mặt phẳng .
Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song. Mà
Giả sử: cắt
lần lượt tại
.
Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi
là hình thang
.
Ta có:
Ta có: là trọng tâm tam giác
=> Hình thang là hình bình hành.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Lấy điểm
sao cho
. Hình chiếu của điểm
qua phép chiếu song song phương
mặt phẳng chiếu
là điểm
. Khi đó tỉ số độ dài
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Phép chiếu song song phương phương mặt phẳng chiếu
biến điểm
thành điểm
.
Do đó:
Xét tam giác ta có:
=> là trung điểm của
Từ đó suy ra
Cho hình hộp
. Mặt phẳng
song song với mặt phẳng
Hình vẽ minh họa
Vì là hình bình hành, ta có
Vì là hình bình hành, ta có
Mặt khác:
Từ (1); (2); (3) , suy ra phương án cần tìm là:
.
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
. Mặt phẳng qua
cắt
lần lượt tại
. Biết
cắt
tại
. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Vậy ba điểm thẳng hàng.
Cho hình chóp
. Lấy
là trung điểm của các đoạn thẳng
,
là trung điểm của
,
sao cho
. Chọn khẳng định sai.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy các giao tuyến tạo bởi và hình chóp
tạo thành là tam giác
.