Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

Mặt phẳng cắt tại trung điểm của .

Từ đó thấy rằng ba khẳng định trong đề bài đều đúng.

Xét phương án “Nếu và thì ” ta có:

Nếu thì hoặc chéo , vậy phương án sai.

Xét phương án “Nếu và thì .” ta có:

Nếu thì hoặc , vậy phương án sai.

Xét phương án “Nếu và thì .” ta có:

Nếu , vậy phương án đúng.

Xét phương án “Nếu và  thì ” ta có:

Nếu thì hoặc chéo hoặc cắt , vậy phương án sai.

Do (MAB) chứa AB // CD, nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB. Đường thẳng này cắt SD tại điểm N.

Vậy thiết diện của (MAB) với hình chóp là tứ giác ABMN, với N là giao điểm của SD với đường thẳng đi qua M và song song với AB.

Hình vẽ minh họa:

Gọi N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng và các cạnh SB, SC.

Vì nên theo định lí Talet, ta có .

Khi đó cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP ðồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số .

Vậy .

Giả sử song song với . Một đường thẳng song song với có thể nằm trên .

Nếu song song với và đường thẳng thì và hoặc song song với nhau hoặc chéo nhau.

Hình vẽ minh họa:

Trong tam giác ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa

Kéo dài cắt tại .

Khi đó là giao điểm của và .

Hình vẽ minh họa:

Phép chiếu song song phương phương mặt phẳng chiếu biến điểm thành điểm .

Do đó:

Xét tam giác ta có:

=> là trung điểm của

Từ đó suy ra

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Ta có: là đường trung bình trong tam giác SAC

Ta có: là đường trung bình trong tam giác

=>

=>

Dễ thấy cắt tại trung điểm của .

Do đó mệnh đề là mệnh đề sai.

Trong không gian có 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Khẳng định sai là:

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm của MC và BD.

Trong mặt phẳng (SMC) gọi H là giao điểm của SI và MN.

Khi đó H ∈ SI ⊂ (SBD); H ∈ MN.

=> H là giao điểm của MN và mặt phẳng (SBD).

Hình vẽ minh họa

Gọi

Khi đó đi qua .

Xét ba mặt phẳng .

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà

Hình vẽ minh họa

Ta có:

mà cắt nên khẳng định sai.

cắt tại nên khẳng định sai.

cắt tại trung điểm của nên khẳng định sai.

Hình vẽ minh họa

Gọi F, G, H, I lần lượt là trung điểm của AB; BC; CD và DA

Vì M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác

=>

Khi đó:

Xét tam giác ABD có FI là đường trung bình (vì F và I lần lượt là trung điểm của AB và AD)

=> 

Chứng minh tương tự ta có: GH // BD

=> 

Tương tự

=> và

Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Hình vẽ minh họa

Xét hai mặt phẳng và ta có:

là điểm chung

Mà với là đường thẳng đi qua và song song với .