Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

Do là đường trung bình của tam giác .

Hình vẽ minh họa

Ta có:

là đáp án sai.

Do ba điểm không thẳng hàng nên chỉ có một và chỉ một mặt phẳng đi qua chúng.

Khẳng định đúng là: "Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song."

Gọi H là trung điểm của tam giác AB.

M, Q lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác ABD.

Khi đó ta có:

Theo định lí Ta - lét ta có:

Vậy hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là trọng tâm của tam giác ABD.

Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

Hình vẽ minh họa

Gọi

Xét mặt phẳng gọi

=>

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến ta được:

(*)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến ta được:

(**)

Từ (*) và (**) suy ra

Mệnh đề đúng là “Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung ”.

Đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi không nằm trong , đồng thời song song với một đường thẳng nằm trong .

Ta có:

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau hoặc đồng quy tại một điểm.

=> Phương án “Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau” là khẳng định sai.

Hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên suy ra đáy là đa giác có 11 đỉnh và đa giác đáy có 11 cạnh.

Vậy hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì có:

(cạnh)

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Suy ra giao tuyến của và là đường thẳng qua song song với ; .

Vì nên hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với hình hộp là hình thang .

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Do đó mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là giao điểm của đường thẳng và .

Hình vẽ minh họa

Áp dụng định lí Ta – lét đảo cho và . Từ tỉ lệ

Ta suy ra cùng song song với một mặt phẳng nào đó.

Ta chọn mặt phẳng chứa và song song với .

Mặt phẳng chính là mặt phẳng và là mặt phẳng cố định.

Hay

Hình vẽ minh họa

=> Giao tuyến của với (ABC) là đường thẳng qua M, song song với AB, cắt BC tại P.

=> Giao tuyến của với (ADC) là đường thẳng qua M, song song với AD, cắt DC tại N.

Vậy thiết diện là tam giác MNP.

Trong tam giác CAD có S và N lần lượt là trung điểm của AC và CD

Suy ra SN là đường trung bình của tam giác CAD

=> SN // AD (1)

Tương tự MR cũng là đường trung bình của tam giác ABD

=> MR // AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SN // MR nên đáp án "MN, SN song song với nhau"

Chứng minh tương tự ta cũng có: SM // NR //BC

Do đó tứ giác MRNS là hình bình hành nên đáp án "MRNS là hình bình hành"

Hai đường chéo SR và MN cắt nhau tại G với G là trung điểm của mỗi đường chéo.

Lại có: NQ // MP (//AC) và MQ // NP //BD

=> Tứ giác MQNP là hình bình hành

=> Hai đường chéo QP và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà G là trung điểm của MN

Do đó G cũng là trung điểm của QP

Vậy ba đường thẳng MN, PQ, SR đồng quy tại G.

Đáp án "MN, PQ, RS đồng quy'

Đáp án "6 điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng" sai vì P và Q cùng thuộc một mặt phẳng với M và N nhưng không cùng thuộc một mặt phẳng với hai điểm S và R.

 Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b.

Vậy khẳng định sai là: "Nếu c cắt a thì c cắt b."

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có là điểm chung của hai mặt phẳng và .

Vì nên là điểm chung của hai mặt phẳng và .

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng và là .