Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Xét phương án “Nếu và thì ” ta có:

Nếu thì hoặc chéo , vậy phương án sai.

Xét phương án “Nếu và thì .” ta có:

Nếu thì hoặc , vậy phương án sai.

Xét phương án “Nếu và thì .” ta có:

Nếu , vậy phương án đúng.

Xét phương án “Nếu và  thì ” ta có:

Nếu thì hoặc chéo hoặc cắt , vậy phương án sai.

Hình vẽ minh họa

Do các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều nên tam giác đều.

Gọi là trọng tâm tam giác .

Ta có

Nên là hình chiếu song song theo phương của trên .

Lại do tam giác đều nên vừa là trọng tâm, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp, vừa là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác .

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Phương án "AC và BD cắt nhau" sai vì nếu AC cắt BD thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mẫu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

Phương án "AC và BD không có điểm chung" đúng vì nếu chúng có điểm chung thì A, B, C, D không thể là 4 đỉnh của một tứ diện

Phương án "Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC" sai vì nếu có một mặt phẳng chứa AD và BC thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mâu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

Phương án "AB và CD song song với nhau" sai.

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song hoặc đồng quy.

Phép chiếu song song chỉ có thể biến đường thẳng thành đường thẳng hoặc thành một điểm.

Hình vẽ minh họa

Xét mặt phẳng (MNP) và (SBC) có

(1)

(2)

Từ (1) và (2) .

Xét tứ giác có

=> là hình thang.

Vậy giao điểm của mặt phẳng với các mặt của hình chóp là hình thang.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> là đường thẳng song song với và .

=> song song với

Phép chiếu song song phương lên mặt phẳng sẽ biến thành , biến thành , biến thành , biến thành .

Nên hình chiếu song song của hình lập phương là hình vuông.

Do suy ra hình chiếu song song của điểm theo phương lên mặt phẳng là điểm .

Nếu song song với và đường thẳng thì và hoặc song song với nhau hoặc chéo nhau.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mặt khác

Từ (*) và (**) ta suy ra

Mệnh đề đúng .

Hình vẽ minh họa

Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN.

Hình vẽ minh họa

Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng .

Hình vẽ minh họa:

Ta có: là điểm chung của hai mặt phẳng và

Ta lại có: nên là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và là

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của .

Ta có: (do là đường trung bình của tam giác )

Vậy

Hình vẽ minh họa

Vì là hình bình hành, ta có

Vì là hình bình hành, ta có

Mặt khác:

Từ (1); (2); (3) , suy ra phương án cần tìm là: .

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác có:

=> là đường trung bình => .