Điều kiện để đường thẳng
song song với mặt phẳng
:
Đường thẳng song song với mặt phẳng
khi và chỉ khi
không nằm trong
, đồng thời
song song với một đường thẳng
nằm trong
.
Điều kiện để đường thẳng
song song với mặt phẳng
:
Đường thẳng song song với mặt phẳng
khi và chỉ khi
không nằm trong
, đồng thời
song song với một đường thẳng
nằm trong
.
Cho tứ diện
có độ dài tất cả các cạnh bằng
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và tứ diện
?
Hình vẽ minh họa:
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh
Ta có:
Suy ra tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng và tứ diện
Tam giác ABD đều cạnh bằng có
là trung điểm của
Tam giác ABC đều cạnh bằng có
là trung điểm của
Gọi H là trung điểm của CD
Ta có:
Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Đường thẳng c song song với a. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau. Đường thẳng c song song với a khi đó b và c chéo nhau hoặc cắt nhau.
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
là trọng tâm của tam giác
. Giao điểm của đường thẳng
và mặt phẳng
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
là giao điểm của đường thẳng
và
.
Có bao nhiêu vị trí tương đối của hai mặt phẳng tùy ý?
Có 3 vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong không gian, đó là “cắt nhau”, “trùng nhau ”và “song song nhau”.
Cho tứ diện
. Gọi
và
lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Giả sử là trung điểm của
.
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là hình bình hành tâm
,
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
là đáp án sai.
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho hình lăng trụ
. Gọi
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
. Mặt phẳng nào sau đây song song với
?
Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.
=> (tính chất trọng tâm tam giác)
=>
Xét mặt phẳng ta có:
=>
Mà
=>
Từ (1) và (2) => và
là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:
Cho tam giác
là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là:
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đồng thời là trọng tâm tam giác đó.
Do tam giác ABC là hình biểu diễn của tam giác đều, kết hợp với tính chất bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng ta được hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác .
Cho hình chóp
có đáy là hình thang có cạnh đáy là
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
, điểm
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
với
.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua P và song song với AB.
Cho hai đường thẳng a; b cắt nhau và không đi qua điểm A. Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi a, b và A?
Có 3 mặt phẳng gồm
Cho 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào là sai?
Phương án "Trong 4 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng." đúng vì nếu có ba điểm thẳng hàng ( giả sử là A; B; C) thì bốn điểm đã cho luôn thuộc mặt phẳng chứa điểm D còn lại và đường thẳng AB. (mâu thuẫn giả thiết)
Phương án "Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điều đã cho là 4." đúng. Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điểm đã cho là:
Phương án "Số đoạn thẳng nối hai điểm trong 4 điểm đã cho là 6." đúng. Số đoạn thẳng nối 2 điểm trong 4 điểm đã cho là:
Vậy phát biểu sai là: "Trong 4 điểm đã cho luôn luôn tồn tại 3 điểm thẳng hàng."
Cho hình chóp
có đáy
là một tứ giác lồi có
và
. Giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng:
Hình vẽ minh họa
Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng
là đường thẳng
.
Chọn mệnh đề sai.
Qua phép chiếu song song không thể biến một tứ diện thành một đường thẳng vì các cạnh của tứ diện đều là đoạn thẳng.
Nó cũng không thể biến tứ diện thành một đoạn thẳng vì khi đó các cạnh của tứ diện nằm trong một mặt phẳng.
Cho hình lập phương
. Số đường thẳng chứa cạnh của hình lập phương chéo nhau với đường thẳng
là:

Các đường thẳng chéo nhau với cạnh AB là .
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với
thì
có thể cắt nhau cùng nằm trong
.
Biết hai đường thẳng
là hai đường thẳng chéo nhau. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng chứa
và song song với
.
Dựa vào lý thuyết đường thẳng song song với mặt phẳng.
=> Có duy nhất 1 mặt phẳng chứa và song song với
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.
a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai
b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai
c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC và K là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của EF và CD.
a) Giao tuyến của (SEF) và (SCD) là đường thẳng SI.Đúng||Sai
b) Giao tuyến của (EFK) và (SAC) là đường thẳng qua K và song song với EF và AC.Đúng||Sai
c) Giao tuyến của (SBC) và (SAD) là đường thẳng qua S và song song với AD và BC. Đúng||Sai
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD). Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Ta có:
Trong có
Từ (1) và (2) suy ra
b) Ta có:
do EF là đường trung bình trong tam giác ABC
c) Chọn chứa
Ta có:
d) Đường thẳng AB song song với măt phẳng (SFD) sai.
Cho hình lập phương
cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm hình vuông
. Xác định các giao tuyến của hình lập phương
tạo với mặt phẳng
. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến.
Hình vẽ minh họa

Hình tạo bởi các giao tuyến được biểu diễn như hình vẽ.
Tứ giác là hình thang có
Ta có:
với
Thay giá trị các cạnh ta có