Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng theo phương chiếu .

Ta có: là ảnh của hay chính là giao điểm của và ảnh qua phép chiếu này.

Do đó ta xác định như sau:

Trên kéo dài lấy điểm sao cho suy ra là ảnh của trên qua phép chiếu song song.

Gọi . Đường thẳng qua và song song với cắt tại . Ta có: là các điểm cần xác định.

Theo định lí Thales ta có:

Khẳng định đúng: "Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau."

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. 

Một hình chóp có đáy là đa giác cạnh thì có đỉnh và cạnh

Tổng số đỉnh và số cạnh bằng 14

=> Số cạnh đáy của hình chóp là: 4.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Trong mặt phẳng giả sử

Do đó là giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp.

Vì nên là hình thang.

Mệnh đề đúng là: "Nếu và không song song với nhau, điểm không nằm trên và  thì luôn có duy nhất một đường thẳng đi qua cắt cả và ."

Phương án "Hai đường thẳng " sai vì nếu 2 đường thẳng đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng đó.

Phương án "Một điểm và một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì có vô số mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng đã cho.

Phương án "Ba điểm" sai vì nếu có 2 trong ba điểm đó trùng nhau hoặc cả 3 điểm đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng thỏa mãn.

Vậy hoàn thành mệnh đề như sau: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau."

Vì hình chóp tứ giác có tối đa 5 mặt nên thiết diện không thể là lục giác.

Hai mặt phẳng và có hai điểm chung là và nên có giao tuyến là đường thẳng .

Khẳng định đúng là: "Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song."

Các đường thẳng chéo nhau với cạnh AB là .

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

Ta có tính chất:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có là đường trung bình tam giác nên , mà và suy ra .

 Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.

=> (tính chất trọng tâm tam giác)

=>

Xét mặt phẳng ta có:

=>

Mà

=>

Từ (1) và (2) => và là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:

Ta có:

Cho hai đường thẳng trong không gian không có điểm chung có hai trường hợp xảy ra là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau