Cho tứ diện
,
sao cho
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Kết luận nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của AD.
Ta có:
Mà
Cho tứ diện
,
sao cho
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Kết luận nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của AD.
Ta có:
Mà
Cho hình chóp S.ABCD đấy ABCD là hình bình hành tâm O. gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNC) và (ABD) là đường nào trong các đường thẳng sau đây?
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác SAB có:
M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB
=> MN là đường trung bình của tam giác SAB
Mà (ABCD là hình bình hành)
=>
Mặt phẳng (MNC) và (ABD) (hay (ABCD)) lần lượt chứa hai đường thẳng MN và CD song song với nhau và điểm C chung
=> Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua điểm chung C và song song với AB là đường thẳng CD
Hay
Cho hai mặt phẳng
và
song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
Đáp án “Đường thẳng và đường thẳng
thì
” sai vì nếu
và đường thẳng
thì
và
có thể chéo nhau.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi. Gọi ![]()
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Gọi
là giao tuyến của mặt phẳng
và
. Nếu đường thẳng
song song với cả hai mặt phẳng thì:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Cho hình chóp S.ABCD, M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Gọi F, G, H, I lần lượt là trung điểm của AB; BC; CD và DA
Vì M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác
=>
Khi đó:
Xét tam giác ABD có FI là đường trung bình (vì F và I lần lượt là trung điểm của AB và AD)
=>
Chứng minh tương tự ta có: GH // BD
=>
Tương tự
=> và
Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Cho hình chóp tứ giác
,
. Giả sử mặt phẳng
bất kì cắt các cạnh
lần lượt tại
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Hình vẽ minh hoạ
Ta thấy:
=> Các đường thẳng đồng quy.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trên cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng (hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng có thể song song hoặc chéo nhau).
Hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng có điểm chung duy nhất.
Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD, đáy lớn BC gấp đôi đáy nhỏ AD. Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE, I là một điểm thuộc đoạn OC (I khác O và C). Mặt phẳng (α) qua I song song với (SBE). Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> => Ix cắt BC tại M, AD tại Q.
Ta có:
=>
=> Mx cắt SC tại N.
Ta có:
=>
=> Qx cắt SD tại P
Tứ giác BCDE là hình bình hành
=> CD // BE // MQ
=> CD // (α).
Ta có:
=>
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD là hình thang MNPQ.
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Giao tuyến của mặt phẳng
và
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
nên Q là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng
và
Mặt khác
Vậy giao tuyến của mặt phẳng và
là đường thẳng qua Q và song song với AB.
Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA, B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Trong mặt phẳng (OAC) ta có: Điểm C’ không là trung điểm của OC nên A’C’ không song song với AC.
=> AC và A’C’ cắt nhau.
Phương án "Hai đường thẳng CB và C’B’ cắt nhau tại một điểm thuộc (OAB)." sai vì CB, C’B’ cắt nhau tại 1 điểm thuộc mặt phẳng (OBC).
Số cạnh của một hình chóp có đáy là một bát giác là:
Do đáy hình chóp là bát giác nên số cạnh đáy và số cạnh bên của hình chóp đều bằng 8.
Vậy hình chóp có 16 cạnh.
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.
=> Mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.
Cho tứ diện
. Các cạnh
có trung điểm lần lượt là
. Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
,
=> MPNQ là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> MRNS là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.
Vậy không thuộc cùng một mặt phẳng.
Tìm phát biểu sai trong các phát biểu sau?
Phát biểu: "Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi nó đi qua 3 điểm." đúng
Phát biểu: "Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một đường thẳng." đúng
Phát biểu: "Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau." đúng.
Cho tứ giác
và một điểm
không thuộc mặt phẳng
. Trên đoạn
lấy một điểm
không trùng với
và
.Gọi
là giao điểm của đường thẳng
với mặt phẳng
. Khi đó
là giao tuyến của hai mặt phẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có (1)
Gọi .
Khi đó:
Từ (1) và (2) suy ra
Trong mặt phẳng . Gọi
.
Khi đó:
Dễ thấy
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song”.
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Tìm khẳng định đúng.
Qua phép chiếu song song chỉ có thể biến hình chóp cụt thành một đa giác.
Loại phương án – có thể là một đoạn thẳng, có thể là một điểm.
ảnh của một hình qua phép chiếu song song không thể là một hình đa diện – loại phương án có thể là một hình chóp cụt.
=> Chọn phương án – có thể là một hình tam giác.
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Qua
kẻ
lần lượt song song với
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
b) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của
và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Qua
kẻ
lần lượt song song với
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
b) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
c) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Đúng||Sai
d) Giao tuyến của và
là đường thẳng
. Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Ta có:
với
.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Sai |