Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

Gọi F, G, H, I lần lượt là trung điểm của AB; BC; CD và DA

Vì M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác

=>

Khi đó:

Xét tam giác ABD có FI là đường trung bình (vì F và I lần lượt là trung điểm của AB và AD)

=> 

Chứng minh tương tự ta có: GH // BD

=> 

Tương tự

=> và

Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Trong tam giác , gọi

Khi đó .

Vậy giao điểm của đường thẳng với là giao điểm của và .

Hình vẽ minh họa

Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.

Hình vẽ minh họa

Ta có (1)

Gọi .

Khi đó:

Từ (1) và (2) suy ra

Trong mặt phẳng . Gọi .

Khi đó:

Dễ thấy

Theo tính chất của phép chiếu song song ta thấy:

Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình thang có hai đáy không bằng nhau.

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của . Khi đó là đường trung bình của tam giác

.

Do đó hình chiếu của điểm qua phép chiếu song song theo phương lên mặt phẳng là điểm .

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song hoặc đồng quy.

Mệnh đề “Nếu ba đường thẳng đồng quy thì chúng nằm trên một mặt phẳng” không đúng, vì chúng có thể không đồng phẳng.

Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng”, không đúng khi ba đường thẳng cắt nhau và đồng qui nhưng không đồng phẳng.

Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại” không đúng, vì chúng có thể chéo nhau.

Vậy khẳng định đúng là: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng.”

Hình vẽ minh họa

Ta có: và không đồng phẳng nên khẳng định và cắt nhau là sai.

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.

Hình vẽ minh họa

Với 4 điểm không đồng phẳng có thể xác định được 4 mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó là .

Hình vẽ minh họa

Hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chứa b và song song với a thì (P) và (Q) song song với nhau.

Giả sử cắt các mặt của tứ diện và theo hai giao tuyến và .

Ta có:

Theo định lí Ta – lét ta có:

=> là hình bình hành

Do đó hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng là hình bình hành .

Có duy nhất một mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tam giác .

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Ta có: BC // AD; BE // AF (ABCD và ABEF là hình bình hành)

=> BC // (ADF); BE // (ADF)

Mà BC ∩∩ BE = B

=. (ADF) // (BEC).

O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O và O’ là trung điểm của BF và BD

Xét tam giác ABF có MO’ là đường trung bình nên MO’ // AF

MO’ // (ADF) (1)

Tương tự MO là đường trung bình của tam giác ABD nên MO // AD

MO // (ADF) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (MOO’) // (ADF)

Chứng minh tương tự ta cũng có (MOO’) // (BCE).

Hai mặt phẳng (AEC) và (BDF) có:

AC ∩ DB = O ; AE ∩ BF = O’

Suy ra (AEC) ∩ (BDF) = OO’.

Vậy khẳng định (I); (II); (III) đúng.

Phương án "AC và BD cắt nhau" sai vì nếu AC cắt BD thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mẫu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

Phương án "AC và BD không có điểm chung" đúng vì nếu chúng có điểm chung thì A, B, C, D không thể là 4 đỉnh của một tứ diện

Phương án "Tồn tại một mặt phẳng chứa AD và BC" sai vì nếu có một mặt phẳng chứa AD và BC thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, điều này mâu thuẫn với A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

Phương án "AB và CD song song với nhau" sai.

 Số cạnh của hình chóp tam giác là: 6 cạnh.