Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Nếu mặt phẳng chứa và cắt theo giao tuyến thì song song với .

Do ba điểm không thẳng hàng nên chỉ có một và chỉ một mặt phẳng đi qua chúng.

Hình vẽ minh họa

Gọi

Xét mặt phẳng gọi

=>

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến ta được:

(*)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến ta được:

(**)

Từ (*) và (**) suy ra

Hình vẽ minh họa

Ta có:

,

=> MPNQ là hình bình hành

=> thuộc một mặt phẳng.

,

=> MRNS là hình bình hành

=> thuộc một mặt phẳng.

,

=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.

Vậy  không thuộc cùng một mặt phẳng.

Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.

=> (tính chất trọng tâm tam giác)

=>

Xét mặt phẳng ta có:

=>

Mà

=>

Từ (1) và (2) => và là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:

Hình vẽ minh họa

Từ hình vẽ ta thấy => " chéo nhau" sai.

Hình vẽ minh họa

Do và là trung điểm của và , nên mà , suy ra IJ / /(ADF) và IJ / / DF đúng.

Do và là trung điểm của và , nên mà , suy ra IJ / /(CEB) đúng.

Vậy IJ / / ADsai

Giả sử cắt các mặt của tứ diện và theo hai giao tuyến và .

Ta có:

Theo định lí Ta – lét ta có:

=> là hình bình hành

Do đó hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng là hình bình hành .

Hình vẽ minh họa:

Ta có:  suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

Do đó AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của MN, hay ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Ta có:

Mặt khác

Từ và

Hình vẽ minh họa

Ta có là đường trung bình tam giác nên , mà và suy ra .

Do hai đường thẳng qua phép chiếu song song ảnh của chúng sẽ cùng thuộc một mặt phẳng.

Suy ra tính chất chéo nhau không được bảo toàn.

Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng (α). Khi đó tồn tại vô số đường thẳng a chứa M và song song với (α).

Mệnh đề “a // (β) và (β) // b thì a // b” là sai vì a và b có thể cắt nhau.

Mệnh đề “a // b và b ⊂ (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).

Mệnh đề “a // b và b // (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).

Hình vẽ minh họa:

Ta có: lần lượt là trọng tâm hai tam giác và

Suy ra BE, AF cắt nhau tại điểm Q.

Vậy đồng quy.

Lại có:

Từ đó suy ra và .

Hình vẽ minh họa

Giả sử là trung điểm của .

Ta có:

Ta có

=> BI nằm trong (ABC). Do đó, mệnh đề sai là BI không nằm trên mặt phẳng (ABC).