Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Quan hệ song song trong không gian gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?
- A.
  Nếu $(∝) // (β)$ và $d_1 ⊂ (∝)$ ; $d_2 ⊂ (β)$ thì $d_1 // d_2$
- B.
  Nếu $d_1 // (∝)$ và $d_2 // (β)$ thì $d_1 // d_2$
- C.
  Nếu $(∝) // (β)$ và $d_1 // (∝)$ , thì $d_1 // (β)$
- D.
  Nếu $d_1 // d_2$ và $d_1⊂(∝)$ , $d_2⊂(β)$ thì $(∝) //(β)$
Đáp án: "Nếu $(∝) // (β)$ và $d_1 ⊂ (∝)$ ; $d_2 ⊂ (β)$ thì $d_1 // d_2$ " và "Nếu $d_1 // (∝)$ và $d_2 // (β)$ thì $d_1 // d_2$ " sai vì hai đường thẳng $d_1,d_2$ có thể chéo nhau.
Đáp án: "Nếu $d_1 // d_2$ và $d_1⊂(∝)$ , $d_2⊂(β)$ thì $(∝) //(β)$ " sai vì hai mặt phẳng $(∝), (β)$ có thể cắt nhau.
Câu 2: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ , lấy $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$ . Giả sử $d = (MNA) \cap (ABD)$ . Khẳng định nào đúng về đặc điểm của đường thẳng $d$ ?
- A.
  $d$ đi qua $A$ và song song với $BD$
- B.
  $d$ đi qua $A$ và song song với $DM$
- C.
  $d$ đi qua $A$ và song song với $BN$
- D.
  $d$ đi qua $A$ và song song với $BC$
Hình vẽ minh họa

Xét ba mặt phẳng $(AMN),(ABD),(BCD)$

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $d,BD,MN$ .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì $d,BD,MN$ đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà $BD//MN$ nên $d//BD$ .

Vậy đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BD$ .
Câu 3: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ tương ứng là hai điểm bất kì trên các đoạn thẳng $AC$ và $BD$ . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(MBD)$ và $(NAC)$ .
- A.
  $MN$
- B.
  $MA$
- C.
  $NB$
- D.
  $NC$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} M \in (MBD) \cap (NAC) \\ N \in (MBD) \cap (NAC) \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow (MBD) \cap (NAC) = MN$
Câu 4: Thông hiểu
Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là tứ giác ( $AB$ không song song với $CD$ ), $O = AC \cap BD$ . Lấy $M$ là trung điểm của $SD$ , lấy $N \in SB$ sao cho $SN = 2SB$ . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
- A.
  $SO;AD$
- B.
  $MN;SC$
- C.
  $SA,BC$
- D.
  $MN,SO$
Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 5: Nhận biết
Cho tứ diện $ABCD$ , $M \in BC$ sao cho $\frac{BM}{MC} = 2$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ . Kết luận nào dưới đây đúng?
- A.
  $GM//(ACD)$
- B.
  $GM//(ABC)$
- C.
  $GM//(ABD)$
- D.
  $GM//(BCD)$
Hình vẽ minh họa

Gọi P là trung điểm của AD.

Ta có: $\frac{BM}{CB} = \frac{BG}{BP} = \frac{2}{3} \Rightarrow MG//CP$

Mà $CP \subset (ACD) \Rightarrow MG//(ACD)$
Câu 6: Nhận biết
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau không?
- A.
  Có
- B.
  Không
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
Câu 7: Vận dụng cao
Cho tứ diện $ABCD$ có $AC =6;BD = 3;BC = 9$ . Lấy một điểm $M$ bất kì trên cạnh $BC$ . Gọi mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ song song với $AC$ và $BD$ . Biết các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm $M$ di chuyển đến vị trí $M'$ hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức $M'B.M'C$ .
- A.
  $16$
- B.
  $\frac{37}{5}$
- C.
  $\frac{85}{2}$
- D.
  $18$
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $AB$ tại $Q$ .
=> $MQ//AC$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ABD)$ là đường thẳng qua $Q$ và song song với $BD$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $P$ .
=> $QP//BD$
Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt phẳng $(ACD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$ , đường thẳng này cắt $CD$ tại $N$ .
=> $NP//AC$
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành $MNPQ$ .
Do đó $\Delta CMN\sim\Delta CBD\Rightarrow \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB}$
Chứng minh tương tự ta được $\frac{MQ}{AC}= \frac{BM}{BC}$
Do đó: $\frac{MN}{BD} + \frac{MQ}{AC} =\frac{CM}{CB} + \frac{BM}{BC} = 1$
Khi $M$ trùng với $M'$ ta có: $M'N = M'Q$
Suy ra $\frac{M'N}{BD} +\frac{M'N}{AC} = 1 \Rightarrow M'N = M'Q = 2$
$\Rightarrow \frac{M'N}{BD} =\frac{M'C}{CB} \Rightarrow M'C = 6; = M'B = 3$
Vậy $M'B.M'C = 18$
Câu 8: Vận dụng
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Giả sử mặt phẳng (P) đi qua G và song song với mặt phẳng (BCD). Xác định các giao tuyến của (P) với các mặt của tứ diện đều. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
- B.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{18}$
- C.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{16}$
- D.
  $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{9}$
Hình vẽ minh họa:

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ đường thẳng qua G và song song với BC cắt AC, AB lần lượt tại H, K.

Trong mặt phẳng (ACD) kẻ đường thẳng qua H và song song với CD cắt AD tại I.

Hình tạo bởi các giao tuyến cần tìm là KHI.

$\Rightarrow \Delta KHI\ \sim\Delta BCD$ theo tỉ số đồng dạng bằng $\frac{2}{3}$

$\Rightarrow S_{KHI}\ = \frac{4}{9}S_{BCD} = \frac{4}{9}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{9}$
Câu 9: Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $E$ là điểm thuộc cạnh $SA$ thỏa mãn $SE = \frac{m}{n}.SA$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $GE$ song song với mặt phẳng $(SCD)$ . Giá trị của $m.n$ bằng

Đáp án: 6

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $E$ là điểm thuộc cạnh $SA$ thỏa mãn $SE = \frac{m}{n}.SA$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Biết rằng $GE$ song song với mặt phẳng $(SCD)$ . Giá trị của $m.n$ bằng

Đáp án: 6

Hình vẽ minh họa

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ , $F$ là giao điểm của $AM$ và $CD$ trong mặt phẳng $(ABCD)$ .

Theo định lý Talet, ta có: $\frac{MA}{MF} = \frac{MB}{MC} = 1 \Rightarrow MA = MF \Rightarrow M$ là trung điểm của $AF$

$\Rightarrow \frac{AG}{AF} = \frac{AG}{2AM} = \frac{1}{3}$

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} GE \subset (SAF) \\ GE//(SCD) \\ (SAF) \cap (SCD) = SF \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow GE//SF$

$\Rightarrow \frac{AE}{AS} = \frac{AG}{AF} = \frac{1}{3} \Rightarrow AE = \frac{1}{3}AS$

$\Rightarrow SE = \frac{2}{3}SA \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{2}{3} \Rightarrow m.n = 6$ .
Câu 10: Nhận biết
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC và SD. Khi đó $(MNP) \cap (SAC)$ là đường thẳng nào?
- A.
  MN
- B.
  QM
- C.
  SO
- D.
  MP
Hình vẽ minh họa:

M ∈ (MNPQ); M ∈ SA; M ∈ (SAC)

Vậy M là điểm chung thứ nhất. P ∈ (MNPQ); P ∈ SC; P ∈ (SAC).

Vậy P là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của (MNPQ) và (SAC) là: MP
Câu 11: Nhận biết
Hình tứ diện có bao nhiêu cạnh?
- A.
  $6$
- B.
  $8$
- C.
  $3$
- D.
  $4$
Hình tứ diện có 6 cạnh.
Câu 12: Thông hiểu
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ . Trọng tâm các tam giác $ABC,ACC',A'B'C'$ lần lượt là $I,J,K$ . Tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng $(IJK)$ .
- A.
  $(BC'A)$
- B.
  $(AA'B)$
- C.
  $(BB'C')$
- D.
  $(CC'A)$
Theo bài ra ta có:

Các điểm $I,J,K$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC,ACC',A'B'C'$ .

$\Rightarrow \frac{AI}{AM} = \frac{AJ}{AN} = \frac{2}{3} \Rightarrow IJ//MN$ .

$\Rightarrow IJ//(BCC'B')$

Chứng minh tương tự $IK//(BCC'B') \Rightarrow (IJK)//(BCC'B')$

$\Rightarrow (IJK)//(BC'B')$
Câu 13: Nhận biết
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm O. Lấy hai điểm $I;J$ lần lượt thuộc $SA;SC$ sao cho $SI = IA;JS = JC$ . Đường thẳng $IJ$ song song với:
- A.
  Đường thẳng $BC$
- B.
  Đường thẳng $AC$
- C.
  Đường thẳng $SO$
- D.
  Đường thẳng $BD$
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác $SAC$ có:

$SI = IA$

$JS = JC$

=> $IJ$ là đường trung bình => $IJ//AC$ .
Câu 14: Nhận biết
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chứa b và song song với a. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A.
  (P) và (Q) cắt nhau
- B.
  (P) và (Q) song song với nhau
- C.
  (P) và (Q) trùng nhau
- D.
  (P) và (Q) cắt nhau hoặc song song với nhau.
Hình vẽ minh họa
Hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chứa b và song song với a thì (P) và (Q) song song với nhau.
Câu 15: Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $SC$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $AI$ và song song với $BD$ cắt các cạnh $SB,SD$ lần lượt tại $M,N$ . Tìm khẳng định đúng dưới dây?
- A.
  $\frac{SM}{SB} = \frac{3}{4}$
- B.
  $\frac{SN}{SD} = \frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{SM}{SB} = \frac{SN}{SD} = \frac{1}{3}$
- D.
  $\frac{MB}{SB} = \frac{1}{3}$
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $E$ là giao điểm của AI và SO, kẻ đường thẳng qua E song song với BD và cắt SB, SD lần lượt tại M và N. Khi đó: $(\alpha) \equiv (AMIN)$

Dễ thấy E là trọng tâm tam giác SAC nên $\frac{OS}{OE} = \frac{1}{3}$

$MN//BD \Rightarrow \frac{MB}{SB} = \frac{OE}{SO} = \frac{1}{3}$
Câu 16: Nhận biết
Cho hai đường thẳng phân biệt $a$ và $b$ trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa $a$ và $b$ ?
- A.
  $4$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $1$ .
Hai đường thẳng trong không gian có 4 VTTĐ: trùng nhau, cắt nhau, song song, chéo nhau.

Vì hai đường thẳng phân biệt nên hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, chéo nhau.
Câu 17: Nhận biết
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết điều nào sau đây?
- A.
  Ba điểm mà nó đi qua
- B.
  Một điểm và một đường thẳng thuộc nó
- C.
  Ba điểm không thẳng hàng
- D.
  Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng
Phương án "Ba điểm mà nó đi qua" sai vì nếu ba điểm đó thẳng hàng thì chưa thể xác định được mặt phẳng.
Phương án "Một điểm và một đường thẳng thuộc nó" sai vì nếu điểm đó nằm trên đường thẳng thì ta chưa thể xác định được.
Phương án "Ba điểm không thẳng hàng" đúng (theo tính chất thừa nhận 2)
Phương án "Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng" sai vì hai đường thẳng có thể trùng nhau.
Câu 18: Vận dụng
Cho tứ diện $ABCD$ cạnh bằng 1. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ , $E$ đối xứng với $B$ qua $C$ , $F$ đối xứng với $B$ qua $D$ . Xác định các giao điểm của mặt phẳng $(MEF)$ với các mặt của hình tứ diện. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến đó.
- A.
  $\frac{1}{4}$
- B.
  $\frac{1}{6}$
- C.
  $\frac{\sqrt{3}}{9}$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{12}$
Hình vẽ minh họa

Gọi $I = MF \cap AD,H = ME \cap AC$

Ta thấy tam giác MIH là thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.

Ta có M, C lần lượt là trung điểm của AB, BE nên H là trọng tâm ∆ABE.

Suy ra $\frac{HA}{HC} = \frac{1}{2}$ . Chứng minh tương tự ta có: $\frac{IA}{ID} = \frac{1}{2}$ . Do đó ta có:

$\frac{HI}{CD} = \frac{2}{3} \Rightarrow HI = \frac{2}{3}$

Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 nên $\left\{ \begin{matrix} \widehat{MAI} = 60^{0} \\ AM = \frac{1}{2};AI = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} ight.$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:

$MI^{2} = MA^{2} + IA^{2} - 2MA.IA.cos60^{0}$

$\Rightarrow MI^{2} = \frac{13}{36}$

$\Rightarrow MI = \sqrt{\frac{13}{36}} = \frac{\sqrt{13}}{6} = MH$

Áp dụng công thức Hê- rông tính diện tích tam giác ta được: $S_{MHI} = \frac{1}{6}$
Câu 19: Vận dụng
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNO) và (ABCD) là đường nào trong các đường thẳng sau đây?
- A.
  OA
- B.
  OM
- C.
  ON
- D.
  đường thẳng d qua O và d // AB
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác SAB có:
M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB
=> MN là đường trung bình của tam giác SAB
=> $MN // AB$
Ta lại có $\left( {MNO} ight) \cap \left( {ABCD} ight) = O$
=> Giao tuyến của hai măt phẳng (MNO) và (ABCD) là đường thẳng đi qua O và song song với AB.
Câu 20: Thông hiểu
Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt $a, b, c$ trong đó $a//b$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A. Nếu $a//c$ thì $b//c$
- B. Nếu c cắt a thì c cắt b.
- C. Nếu $A \in a$ và $B \in b$ thì ba đường thẳng $a, b, AB$ cùng ở trên một mặt phẳng.
- D. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua a và b.
Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b.
Vậy khẳng định sai là: "Nếu c cắt a thì c cắt b."

119 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!