Cho hình chóp tứ giác 
, đáy là tứ giác lồi. Gọi . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và ?
Hình vẽ minh họa
Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
Khẳng định sai là: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm.”
Sửa lại: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.”
Cho tứ diện có . Lấy một điểm bất kì trên cạnh . Gọi mặt phẳng là mặt phẳng qua song song với và . Biết các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm di chuyển đến vị trí hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức .
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trung điểm . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với ?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
là đường trung bình tam giác SAB nên
là hình bình hành nên
=>
là đường trung bình tam giác
=> =>
Vậy không song song với
.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song”.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD, các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm của MC và BD.
Trong mặt phẳng (SMC) gọi H là giao điểm của SI và MN.
Khi đó H ∈ SI ⊂ (SBD); H ∈ MN.
=> H là giao điểm của MN và mặt phẳng (SBD).
Cho tứ diện , lấy điểm . Mặt phẳng đi qua và song song với và . Xác định các giao tuyến của và các mặt của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
Hình vẽ minh họa:
Mặt phẳng qua
và song song với
=> Mặt phẳng cắt mặt phẳng
theo giao tuyến
song song với
.
Mặt khác, song song với
nên
cắt
và
theo các giao tuyến
và
với
=> Hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác .
Mặt khác
=> Tứ giác là hình bình hành.
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của và các mặt của hình chóp là hình bình hành.
Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm lưu động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (∝) // (SIC). Khi đó thiết diện của mặt phẳng (∝) và tứ diện S.ABC là:
Qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại E và kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại D.
Khi đó thiết diện của mặt phẳng (α)) với tứ diện S.ABC là tam giác MED
Lại có: MD // SI => (1)
ME // IC => (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Vì S.ABC là tứ diện đều nên SI = CI (vì hai tam giác SAB và CAB là hai tam giác bằng nhau nên hai đường trung tuyến tương ứng bằng nhau)
Suy ra MD = ME
Vậy tam giác MED cân tại M.
Chọn khẳng định đúng?
Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt lần lượt chứa trong hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể song song với nhau do đó đáp án sai.
Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong cùng một mặt phẳng thì không chéo nhau” hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không thể chéo nhau do đó đáp án đúng.
Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể cắt nhau do đó đáp án sai.
Xét đáp án “Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau” hai đường thẳng đó có thể song song với nhau do đó đáp án sai.
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chứa b và song song với a. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa
Hai đường thẳng chéo nhau a và b. (P) chứa a và song song với b, Q chứa b và song song với a thì (P) và (Q) song song với nhau.
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau hay không?
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì không thể song song với nhau.
Cho tứ diện . Trung điểm các cạnh lần lượt là các điểm . Giả sử . Chọn khẳng định đúng.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> là đường thẳng song song với
và
.
=> song song với
Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt trong đó . Khẳng định nào sau đây sai?
Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b.
Vậy khẳng định sai là: "Nếu c cắt a thì c cắt b."
Gọi là giao tuyến của mặt phẳng và . Nếu đường thẳng song song với cả hai mặt phẳng thì:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Cho hình chóp . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Hình vẽ minh họa
Khẳng định đúng là “ và
là hai đường thẳng chéo nhau.”
Cho tứ diện có lần lượt là trung điểm của . Lấy sao cho . Biết , chọn khẳng định đúng dưới đây.
Hình vẽ minh họa
Gọi
Xét mặt phẳng gọi
=>
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến
ta được:
(*)
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến
ta được:
(**)
Từ (*) và (**) suy ra
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Trung điểm của các cạnh lần lượt là . Chọn đáp án đúng.
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành. Cặp đường thẳng nào dưới đây song song với nhau?
Ta có song song với
theo tính chất hình bình hành.
Cho hình chóp . Lấy là trung điểm của các đoạn thẳng , là trung điểm của , sao cho . Chọn khẳng định sai.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy các giao tuyến tạo bởi và hình chóp
tạo thành là tam giác
.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trên cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng (hai đường thẳng không có điểm chung thì hai đường thẳng có thể song song hoặc chéo nhau).
Hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng có điểm chung duy nhất.
