Trong không gian, cho tam giác ABC, lấy điểm I trên cạnh AC kéo dài (xem hình bên). Mệnh đề nào sau đây là sai?

Ta có
=> BI nằm trong (ABC). Do đó, mệnh đề sai là BI không nằm trên mặt phẳng (ABC).
Trong không gian, cho tam giác ABC, lấy điểm I trên cạnh AC kéo dài (xem hình bên). Mệnh đề nào sau đây là sai?

Ta có
=> BI nằm trong (ABC). Do đó, mệnh đề sai là BI không nằm trên mặt phẳng (ABC).
Phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành:
Theo tính chất của phép chiếu song song ta có:
Phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành ba đường thẳng đôi một song song.
Vậy các đáp án đúng là:
Ba đường thẳng đôi một song song với nhau.
Một đường thẳng.
Thành hai đường thẳng song song.
Cho tứ diện
. Gọi
tương ứng là hai điểm bất kì trên các đoạn thẳng
và
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho tam giác
là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là:
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đồng thời là trọng tâm tam giác đó.
Do tam giác ABC là hình biểu diễn của tam giác đều, kết hợp với tính chất bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng ta được hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là trọng tâm của tam giác .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm
các cạnh SA, BC, CD. Thiết diện của S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IJK) là
Hình vẽ minh họa

Ta có thiết diện của S.ABCD cắt bởi
mặt phẳng (IJK) là ngũ giác
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, lấy
. Giả sử
là mặt phẳng đi qua
song song với hai đường thẳng
và
. Xác định giao tuyến của
với các mặt của hình chóp tứ giác S.ABCD. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình
Hình vẽ minh họa
Gọi trung điểm lần lượt là
.
Gọi
Từ kẻ
song song với
.
Ta có:
(1)
Ta có (2)
Từ (1) và (2) => Các giao tuyến của với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác
.
Cho hình hộp
và điểm
nằm giữa
và
. Giả sử
là mặt phẳng đi qua
và song song với mặt phẳng
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
tạo với các mặt của hình hộp. Hình xác định bởi các giao tuyến đó là hình gì?
Hình vẽ minh họa

Nhận thấy
Do (1), ta giả sử (P) cắt BB’ tại N, suy ra , kết hợp với
suy ra
, suy ra N thuộc cạnh BB’.
Tương tự, giả sử suy ra
.
Kết hợp với (1) suy ra
Tương tự, sao cho
;
sao cho
;
sao cho
.
Từ đó suy ra thiết diện là lục giác .
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Gọi
là giao điểm của
và
. Giao điểm của
với
là điểm
. Hãy chọn cách xác định điểm
đúng nhất trong bốn phương án sau.
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng gọi
.
Mà nên
Cho bốn điểm không đồng phẳng trong không gian. Hỏi từ các điểm đã cho có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt?
Vì 4 điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có 4 mặt.
Cho hình chóp
. Gọi
lần lượt là trung điểm
. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
Hình vẽ minh họa

Ta có: là đường trung bình của tam giác
nên.
là đường trung bình của tam giác
nên
.
=>
=> đồng phẳng.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành,
là trung điểm của
. Mặt phẳng
là mặt phẳng đi qua
song song với
và
. Giao tuyến của
với các mặt của hình chóp là hình:
Hình vẽ minh họa
Gọi trung điểm lần lượt là
.
Gọi
Từ kẻ
song song với
.
Ta có:
(1)
Ta có:
(2)
Từ (1) và (2)
=> Giao tuyến của với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác
.
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi,
. Gọi
là mặt phẳng qua
song song với các đường thẳng
. Xác định các giao tuyến của
với các mặt của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
Hình vẽ minh hoạ
Xét mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua
và song song với
, cắt
lần lượt tại
.
Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng song song với
, cắt
tại
.
Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng song song với
, cắt
tại
.
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là hình thang với
.
Cho hình chóp
có
lần lượt là trọng tâm tam giác
và
. Lấy các điểm
lần lượt là trung điểm của
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Gọi là trung điểm của
.
Xét tam giác có:
Theo định lí đảo của định lí Thales, ta có (1).
Mặt khác là đường trung bình của tam giác
=> (2)
Từ (1) và (2) ta có .
Cho hai đường thẳng trong không gian không có điểm chung, khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hai đường thẳng trong không gian không có điểm chung có hai trường hợp xảy ra là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau
Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi theo ba giao tuyến a, b, c, trong đó a song song với b. Khi đó vị trí tương đối của b và c là
Theo nội dung hệ quả của định lý về ba giao tuyến ta suy ra vị trí tương đối của b và c là song song.
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vậy
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho tứ diện
. Các cạnh
có trung điểm lần lượt là
. Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
,
=> MPNQ là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> MRNS là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.
Vậy không thuộc cùng một mặt phẳng.
Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt
,
và
. Xét các mệnh đề sau
1) Nếu mặt phẳng
chứa đường thẳng song song với
thì
song song với
.
2) Nếu mặt phẳng
chứa hai đường thẳng song song với
thì
song song với
.
3) Nếu hai mặt phẳng
và
song song
với thì
song song với
.
4) Nếu hai mặt phẳng
và
cắt
với thì
song song với
.
Số mệnh đề đúng là:
Mệnh đề 1 và 2 là mệnh đề sai vì theo điều kiện để hai mặt phẳng song song mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với
thì
song song với
Mệnh đề 3 là mệnh đề đúng
Mệnh đề 4 là mệnh đề sai
Cho hình chóp
, có đáy
là hình bình hành. Phép chiếu song song theo phương
lên mặt phẳng
biến điểm
thành:
Do suy ra hình chiếu song song của điểm
theo phương
lên mặt phẳng
là điểm
.