Trong không gian cho các đường thẳng a, b và các mặt phẳng (α), (β). Trong các khẳng định sau đây, đâu là khẳng định đúng?
Mệnh đề “a // (β) và (β) // b thì a // b” là sai vì a và b có thể cắt nhau.
Mệnh đề “a // b và b ⊂ (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).
Mệnh đề “a // b và b // (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).
Khẳng định nào sau đây là sai?
Khẳng định sai là: "Phép chiếu song song có thể biến trọng tâm tam giác thành một điểm không phải là trọng tâm tam giác hình chiếu." vì phép chiếu song song bảo toàn tỉ lệ các đoạn thẳng cùng nằm trên một đoạn thẳng.
Cho hình chóp tứ giác 
, đáy là hình bình hành tâm . Các điểm qua phép chiếu song song phương trên mặt phẳng ta thu được ảnh lần lượt là . Hình chóp cần thêm điều kiện gì để tứ giác là hình vuông?
Hình vẽ minh họa
Theo bài ra ta có: lần lượt là ảnh của
qua phép chiếu song song phương
trên mặt phẳng
.
Ta có:
=> là đường trung bình của các tam giác
=>
=> là hình bình hành
=>
là hình bình hành.
Để là hình vuông thì
suy ra hình chóp
có mặt bên
vuông cân tại
.
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lượt là trọng tâm của hai tam giác và lần lượt là trung điểm của và . Khi đó:
a) . Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) song song với mặt phẳng . Đúng||Sai
d) cắt mặt phẳng . Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
và
lần lượt là trung điểm của
và
. Khi đó:
a) . Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) song song với mặt phẳng
. Đúng||Sai
d) cắt mặt phẳng
. Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Đúng.
Do lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
nên
.
b) Đúng.
Do lần lượt là trọng tâm của tam giác
và
nên
Mà
c) Đúng.
Vì .
Vì là đường trung bình của hình bình hành
nên
d) Sai.
Ta có: mà
.
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
Theo định nghĩa về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian thì đáp án đúng là: " Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung."
Cho hai đường thẳng và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng song song và .
Mệnh đề đúng là: "Nếu và
không song song với nhau, điểm
không nằm trên
và
thì luôn có duy nhất một đường thẳng đi qua
cắt cả
và
."
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho PB = 2PD. Khi đó giao điểm của đường thẳng CD với (MNP) là:
Hình vẽ minh họa
Trong tam giác , gọi
Khi đó .
Vậy giao điểm của đường thẳng với
là giao điểm của
và
.
Cho tứ diện ABCD, M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD. Những khẳng định nào sau đây là đúng? (Có thể chọn nhiều đáp án)
Gọi E là trung điểm của AB
Vì M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD nên:
Theo định lí Ta - lét ta có: (1)
Mà (2)
Từ (1) và (2) =>
Khi điểm M thuộc đường thẳng d, mệnh đề nào sau đây đúng:
Mệnh đề đúng .
Cho hình lăng trụ . Gọi là trung điểm của . Điểm là ảnh của điểm qua phép chiếu song song phương , mặt phẳng chiếu . Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có phép chiếu song song phương , biến
thành
, biến
thành
.
Do là trung điểm của
suy ra
là trung điểm của
vì phép chiếu song song bảo toàn thứ tự của ba điểm thẳng hàng và bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song.
Vậy khẳng định đúng là:
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Lấy điểm , mặt phẳng đi qua và song song với . Giao điểm của mặt phẳng với các cạnh lần lượt tại . Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua
Phương án "Hai đường thẳng " sai vì nếu 2 đường thẳng đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng đó.
Phương án "Một điểm và một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì có vô số mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng đã cho.
Phương án "Ba điểm" sai vì nếu có 2 trong ba điểm đó trùng nhau hoặc cả 3 điểm đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng thỏa mãn.
Vậy hoàn thành mệnh đề như sau: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau."
Cho tứ diện có lần lượt là trọng tâm tam giác và . Chọn kết luận đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và BC
Suy ra MN là đường trung bình tam giác BCD => MN // CD (*)
Do I, J là trọng tâm tam giác ABC và ABD suy ra
Từ (*) và (**) suy ra TH
1
Cho tứ diện có . Lấy một điểm bất kì trên cạnh . Gọi mặt phẳng là mặt phẳng qua song song với và . Biết các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm di chuyển đến vị trí hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức .
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Cho hình chóp O.ABC, A’ là trung điểm của OA; các điểm B’, C’ tương ứng thuộc các cạnh OB, OC và không phải là trung điểm của các cạnh này. Phát biểu nào sau đây là đúng.
Phương án "Giao tuyến của (OBC) và (A’B’C’) là A’B’." sai vì A’ không phải là điểm chung của (OBC) và (A’B’C’).
Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (OC’A’) là CK, với K là giao điểm của C’B’ với CB." sai vì
Xét giao tuyến của 2 mp (ABC ) và (OC'A') có:
A chung
C chung
=> Giao tuyến của mp(ABC) và mp (OC'A') là AC
Phương án "(ABC) và (A’B’C’) không cắt nhau." sai vì:
Trong (OAB), A’B’ không song song với AB nên sẽ cắt AB, do vậy (ABC) và (A’B’C’) có điểm chung
Phương án "Giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’) là MN, với M là giao điểm của AC và A’C’, N là giao điểm của BC và B’C’" đúng vì M là giao điểm của AC và A’C’ nên M là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).
Tương tự N là điểm chung của (ABC) và (A’B’C’).
Vì vậy MN là giao tuyến của (ABC) và (A’B’C’).
Cho hình hộp có là trung điểm của , . Tính tỉ số độ dài hai cạnh và .
Hình vẽ minh họa
Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến
và
.
Theo tính chất hình hộp ta có nên
Lại có M là trung điểm của AB nên MN là đường trung bình trong tam giác ABC.
Vậy hay
.
Cho tứ diện . Gọi lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh . Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> J là điểm chung của hai mặt phẳng và
.
Ta lại có:
=> K là điểm chung của hai mặt phẳng và
.
Vậy giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng
là đường thẳng
.
Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trọng tâm của tam giác và . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Giả sử là trung điểm của
.
Ta có:
Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC cân tại A, tam giác SBC cân tại S. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC, G và F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác SBC. Điền Đ vào mệnh đề đúng, điền S vào mệnh đề sai.
(I) AH, SK và BC đồng quy. Đ || Đ || D || đ
(II) AG, SF cắt nhau tại một điểm trên BC. Đ || Đ || D || đ
(III) HF và GK chéo nhau. S
(IV) SH và AK cắt nhau. Đ || Đ || D || đ
Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC cân tại A, tam giác SBC cân tại S. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC, G và F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác SBC. Điền Đ vào mệnh đề đúng, điền S vào mệnh đề sai.
(I) AH, SK và BC đồng quy. Đ || Đ || D || đ
(II) AG, SF cắt nhau tại một điểm trên BC. Đ || Đ || D || đ
(III) HF và GK chéo nhau. S
(IV) SH và AK cắt nhau. Đ || Đ || D || đ
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có SM ⊥ BC và AM ⊥ BC.
AH, SK và BC đồng qui tại M. Do đó (I) đúng.
AG, SF cắt nhau tại M trên BC. Do đó (II) đúng.
HF và GK cùng nằm trong mặt phẳng (SAM) nên có thể song song hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau. Do đó (III) sai.
SH và AK cắt nhau. Do đó (IV) đúng.
Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Mặt phẳng qua cắt lần lượt tại . Biết cắt tại . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Vậy ba điểm thẳng hàng.
