Cho hình chóp
. Trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Chọn khẳng định đúng.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
mà
cắt
nên khẳng định
sai.
cắt
tại
nên khẳng định
sai.
cắt
tại trung điểm của
nên khẳng định
sai.
Cho hình chóp
. Trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Chọn khẳng định đúng.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
mà
cắt
nên khẳng định
sai.
cắt
tại
nên khẳng định
sai.
cắt
tại trung điểm của
nên khẳng định
sai.
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Do đó mệnh đề "Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung" đúng.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho PB = 2PD. Khi đó giao điểm của đường thẳng CD với (MNP) là:
Hình vẽ minh họa
Trong tam giác , gọi
Khi đó .
Vậy giao điểm của đường thẳng với
là giao điểm của
và
.
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
, d đi qua S và
.
Cho hình chóp
, đáy
là hình bình hành
tâm
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là
Ta có .
Cho hình chóp S.ABCD đấy ABCD là hình bình hành tâm O. gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MNC) và (ABD) là đường nào trong các đường thẳng sau đây?
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác SAB có:
M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB
=> MN là đường trung bình của tam giác SAB
Mà (ABCD là hình bình hành)
=>
Mặt phẳng (MNC) và (ABD) (hay (ABCD)) lần lượt chứa hai đường thẳng MN và CD song song với nhau và điểm C chung
=> Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua điểm chung C và song song với AB là đường thẳng CD
Hay
Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
và
là điểm trên cạnh
sao cho
. Đường thẳng
song song với
Hình vẽ minh họa
Gọi E là trung điểm của AD. Do G là trọng tâm của tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho nên trong mặt phẳng (BCE) ta có:
Cho 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào là sai?
Phương án "Trong 4 điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng." đúng vì nếu có ba điểm thẳng hàng ( giả sử là A; B; C) thì bốn điểm đã cho luôn thuộc mặt phẳng chứa điểm D còn lại và đường thẳng AB. (mâu thuẫn giả thiết)
Phương án "Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điều đã cho là 4." đúng. Số mặt phẳng đi qua 3 trong 4 điểm đã cho là:
Phương án "Số đoạn thẳng nối hai điểm trong 4 điểm đã cho là 6." đúng. Số đoạn thẳng nối 2 điểm trong 4 điểm đã cho là:
Vậy phát biểu sai là: "Trong 4 điểm đã cho luôn luôn tồn tại 3 điểm thẳng hàng."
Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho?
Vì điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có
mặt.
Trong không gian cho hai đường thẳng song song a và b. Chọn mệnh đề đúng.
Cho hai đường thẳng a và b song song, nếu đường thẳng c song song với a thì c song song hoặc trùng với b.
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại hoặc nằm trong mặt phẳng còn lại.
Vậy câu sai là: “Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại”.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
là điểm trên cạnh
sao cho
Một mặt phẳng
đi qua
, song song với
và
cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi
là diện tích tứ giác thiết diện và
, với
là phân số tối giản,
. Tính giá trị của biểu thức
?
Đáp án: 110
Cho hình chóp có đáy
là hình vuông cạnh bằng
là điểm trên cạnh
sao cho
Một mặt phẳng
đi qua
, song song với
và
cắt hình chóp theo một tứ giác. Gọi
là diện tích tứ giác thiết diện và
, với
là phân số tối giản,
. Tính giá trị của biểu thức
?
Đáp án: 110
Hình vẽ minh họa
Ta kẻ ,
,
.
Vì mặt phẳng đi qua
, song song với
và
nên
đều thuộc
và thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
là tứ giác
.
Khi đó //
Tương tự, ta có được .
Suy ra và
là hình vuông.
Suy ra
Khi đó
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Hình chiếu song song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) là điểm nào sau đây?
Do mặt phẳng (MAB) chứa AB // CD nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB.
Giả sử đường thẳng này cắt SD tại điểm I.
Khi đó MI là đường trung bình của tam giác SCD
=> I là trung điểm của SD.
Vậy hình chiếu song song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) là trung điểm của SD.
Cho hình chóp tam giác
. Gọi điểm
là trung điểm của
, lấy điểm
di động trên đoạn
. Mặt phẳng
qua
song song với
. Xác định hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của tứ diện.
Hình vẽ minh họa
Trong mặt phẳng (SAB), qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P.
Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại N.
Thiết diện là tam giác MNP.
Ta có:
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện là tam giác MNP cân tại M.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, lấy
. Giả sử
là mặt phẳng đi qua
song song với hai đường thẳng
và
. Xác định giao tuyến của
với các mặt của hình chóp tứ giác S.ABCD. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình
Hình vẽ minh họa
Gọi trung điểm lần lượt là
.
Gọi
Từ kẻ
song song với
.
Ta có:
(1)
Ta có (2)
Từ (1) và (2) => Các giao tuyến của với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác
.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I. J. K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC’, A’B’C’. Mặt phẳng nào sau đây song song với (IJK)
Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.
=> (tính chất trọng tâm tam giác)
=>
Xét mặt phẳng ta có:
=>
Mà
=>
Từ (1) và (2) => và
là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có:
Cho đường thẳng
nằm trong mặt phẳng
và đường thẳng
nằm trong mặt phẳng
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Nếu thì ngoài trường hợp
thì
có thể chéo nhau.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Đường thẳng
song song với đường thẳng nào?
Hình vẽ minh họa:
Dễ dàng thấy được: là đường trung bình của tam giác
.
Cho hình chóp
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng
. Đường thẳng
song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là