Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Nếu phương chiếu song song hoặc trùng với đường thẳng thì hình chiếu là điểm .

Nếu phương chiếu không song song hoặc không trùng với đường thẳng thì hình chiếu là đường thẳng đi qua điểm .

Phương án "Hai đường thẳng " sai vì nếu 2 đường thẳng đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng đi qua 2 đường thẳng đó.

Phương án "Một điểm và một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì có vô số mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng đã cho.

Phương án "Ba điểm" sai vì nếu có 2 trong ba điểm đó trùng nhau hoặc cả 3 điểm đó trùng nhau thì có vô số mặt phẳng thỏa mãn.

Vậy hoàn thành mệnh đề như sau: "Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau."

Hình vẽ minh họa

Phát biểu đúng là: "MP và NQ chéo nhau"

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của .

Xét tam giác ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có: (∝) //AB nên giao tuyến (∝) và (ABC) là đường thẳng song song với AB.

Xét (ABC) ta có:

Qua M kẻ EF // AB (1)

Ta có: Giao tuyến của (ABC) và (∝) là EF

Tương tự xét (BCD) qua E kẻ EH // CD (2) suy ra giao tuyến của (∝) và (BCD) là HE

Xét mặt phẳng (ABD) kẻ HG // AB (3)

=> Giao tuyến của (∝) và (ABD) là HG

Thiết diện tạo bởi (∝) và hình chóp ABCD là tứ giác EFGH

Ta có:

Từ (1), (2), (3), (4) =>

=> EFGH là hình bình hành

Qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại E và kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại D.

Khi đó thiết diện của mặt phẳng (α)) với tứ diện S.ABC là tam giác MED

Lại có: MD // SI => (1)

ME // IC => (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Vì S.ABC là tứ diện đều nên SI = CI (vì hai tam giác SAB và CAB là hai tam giác bằng nhau nên hai đường trung tuyến tương ứng bằng nhau)

Suy ra MD = ME

Vậy tam giác MED cân tại M.

Mệnh đề: “Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau” sai vì có thể cắt nhau.

Mệnh đề: “Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung” đúng.

Mệnh đề: “Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau” sai vì có thể trùng nhau.

Mệnh đề: “Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau” sai vì có thể song song.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

,

=> MPNQ là hình bình hành

=> thuộc một mặt phẳng.

,

=> MRNS là hình bình hành

=> thuộc một mặt phẳng.

,

=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.

Vậy  không thuộc cùng một mặt phẳng.

Hình vẽ minh họa

Vì nên .

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Hình vẽ minh họa

Mặt phẳng cắt tại trung điểm của .

Từ đó thấy rằng ba khẳng định trong đề bài đều đúng.

Ta có: S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).

Ta có là tâm của hình hình hành

=> (do M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC).

Trong mặt phẳng (ABCD), ta có:

=> O là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SAC).

Vậy

Ta có:

Theo bài ra ta có:

Các điểm lần lượt là trọng tâm các tam giác .

.

Chứng minh tương tự

Hình vẽ minh họa

Trong mặt phẳng (SAB), qua M kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại P.

Trong mặt phẳng (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại N.

Thiết diện là tam giác MNP.

Ta có:

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện là tam giác MNP cân tại M.

Hình vẽ minh họa

Gọi lần lượt là trung điểm của

Vì theo thứ tự là trọng tâm của tam giác , và nên ta có:

. Mà (do là đường trung bình của tam giác ).

Vì số mặt của hình chóp là 5 nên thiết diện tối đa chỉ có 5 cạnh.

=> Không thể là lục giác.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

với .

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua P và song song với AB.

Hình vẽ minh họa:

Trong tam giác ta có:

Vậy