Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng
Hình vẽ minh họa:
Ta có: suy ra giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng đi qua điểm S và song song với AB và DC.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng
Hình vẽ minh họa:
Ta có: suy ra giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng đi qua điểm S và song song với AB và DC.
Cho bốn điểm không đồng phẳng trong không gian. Hỏi từ các điểm đã cho có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng phân biệt?
Vì 4 điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có 4 mặt.
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
Hai đường thẳng cắt nhau thì cùng nằm trong một mặt phẳng.
Khi mặt phẳng đó song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng trùng nhau hoặc là một điểm nằm trên một đường thẳng.
Khi mặt phẳng đó không song song với phương chiếu thì hình chiếu của chúng là hai đường thẳng cắt nhau.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Ta có:
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau hoặc đồng quy tại một điểm.
=> Phương án “Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau” là khẳng định sai.
Trong không gian, các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
Trong không gian, yếu tố xác định một mặt phẳng duy nhất là hai đường thẳng cắt nhau.
Cho hình lập phương
cạnh bằng
. Lấy các điểm
sao cho
. Khi giá trị
thay đổi, đường thẳng
luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Áp dụng định lí Ta – lét đảo cho và
. Từ tỉ lệ
Ta suy ra cùng song song với một mặt phẳng
nào đó.
Ta chọn mặt phẳng chứa
và song song với
.
Mặt phẳng chính là mặt phẳng
và là mặt phẳng cố định.
Hay
Cho hình lăng trụ
có đáy
và
là hình bình hành. Lấy trung điểm của các cạnh
lần lượt là các điểm
. Xét các khẳng định sau:
a)
cắt
.
b)
cắt
tại trung điểm của
.
c)
.
Số khẳng định đúng là:
Hình vẽ minh họa
Mặt phẳng cắt
tại trung điểm của
.
Từ đó thấy rằng ba khẳng định trong đề bài đều đúng.
Cho tứ diện
có
. Lấy một điểm
bất kì trên cạnh
. Gọi mặt phẳng
là mặt phẳng qua
song song với
và
. Biết các giao tuyến của mặt phẳng
với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm
di chuyển đến vị trí
hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức
.
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang cân đáy nhỏ
. Lấy
lần lượt là trung điểm của
. Giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp
là hình:
Hình vẽ minh họa
Xét mặt phẳng (MNP) và (SBC) có
(1)
(2)
Từ (1) và (2) .
Xét tứ giác có
=> là hình thang.
Vậy giao điểm của mặt phẳng với các mặt của hình chóp
là hình thang.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
là trọng tâm của tam giác
và
là điểm thuộc cạnh
thỏa mãn
với
là phân số tối giản. Biết rằng
song song với mặt phẳng
. Giá trị của
bằng
Đáp án: 6
Cho hình chóp có đáy
là hình bình hành. Gọi
là trọng tâm của tam giác
và
là điểm thuộc cạnh
thỏa mãn
với
là phân số tối giản. Biết rằng
song song với mặt phẳng
. Giá trị của
bằng
Đáp án: 6
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
,
là giao điểm của
và
trong mặt phẳng
.
Theo định lý Talet, ta có: là trung điểm của
Ta có:
.
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
Theo định nghĩa về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian thì đáp án đúng là: " Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung."
Điền chữ “Đ” vào mệnh đề đúng và “S” vào mệnh đề sai.
a) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. S
b) Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó. S
c) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P). S
d) Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α). S
Điền chữ “Đ” vào mệnh đề đúng và “S” vào mệnh đề sai.
a) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. S
b) Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó. S
c) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P). S
d) Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α). S
Xét từng mệnh đề ta có
a) “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau” là mệnh đề sai, vì hai đường thẳng có thể chéo nhau.
b) “Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó” là mệnh đề sai, vì hai mặt phẳng đó có thể song song nhau.
c) “Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song song với (P)” là mệnh đề sai, vì đường thẳng a vẫn có thể nằm trong mặt phẳng (P).
d) “Qua điểm A không thuộc mặt phẳng (α), kẻ được đúng một đường thẳng song song với (α)” là mệnh đề sai, vì có vô số đường thẳng đi qua điểm A và song song với (α).
Vậy không có mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề nêu trên
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang
. Lấy một điểm
thuộc cạnh
. Mặt phẳng
qua M song song với SA và BC. Giả sử
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Trong mặt phẳng (ABCD) kéo dài AD cắt MN tại E.
Ta lại có: suy ra
Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
và
là điểm trên cạnh
sao cho
. Đường thẳng
song song với
Hình vẽ minh họa
Gọi E là trung điểm của AD. Do G là trọng tâm của tam giác ABD và M là điểm trên cạnh BC sao cho nên trong mặt phẳng (BCE) ta có:
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi. Gọi ![]()
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Đường thẳng nào dưới đây song song với giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
,
đi qua
và
.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng và
song song với đường thẳng
.
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau?
Theo tính chất của phép chiếu song song ta được
Hình chiếu của hình vuông không thể là hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau.
Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là
Hình vẽ minh họa

Ta có và
=> Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là giao điểm của đường thẳng EG và AF.
Cho hình chóp
, đáy là hình bình hành. Gọi
là giao điểm của
và
,
là trung điểm
. Khằng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có là đường trung bình tam giác
nên
, mà
và
suy ra
.
Cho hình chóp tứ giác
. Gọi
là trung điểm của
,
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt của hình chóp. Khi đó hình tạo bởi các giao tuyến trên là:
Trường hợp 1:
Hình vẽ minh hoạ
Nếu . Gọi
Nếu
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với hình chóp là tứ giác
Nếu . Gọi
Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng với hình chóp là tứ giác
Trường hợp 2:
Hình vẽ minh hoạ
Nếu . Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng
với hình chóp là tam giác
.
Vậy hình tạo bởi các giao tuyến trên có thể là tứ giác hoặc tam giác.