Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

Gọi

Ta thấy tam giác MIH là thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.

Ta có M, C lần lượt là trung điểm của AB, BE nên H là trọng tâm ∆ABE.

Suy ra . Chứng minh tương tự ta có: . Do đó ta có:

Tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 nên

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ta có:

Áp dụng công thức Hê- rông tính diện tích tam giác ta được:

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác SAB có:

M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB

=> MN là đường trung bình của tam giác SAB

Mà (ABCD là hình bình hành)

=>

Mặt phẳng (MNC) và (ABD) (hay (ABCD)) lần lượt chứa hai đường thẳng MN và CD song song với nhau và điểm C chung

=> Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua điểm chung C và song song với AB là đường thẳng CD

Hay

Giả sử song song với . Một đường thẳng song song với có thể nằm trên .

Hình vẽ minh họa

Ta có: suy ra là hình bình hành.

Suy ra phép chiếu song song phương , mặt phẳng chiếu biến điểm thành .

Phép chiếu song song không thể biến một tam giác thành một điểm vì khi đó các đoạn thẳng đó phải thẳng hàng và song song với phương chiếu.

Hình vẽ minh họa:

Dễ dàng thấy được: là đường trung bình của tam giác .

Hình vẽ minh họa

Ta có: . Gọi lần lượt là các giao điểm của với thì .

Do đó là hình vuông và

Vậy diện tích tứ giác là .

Do (MAB) chứa AB // CD, nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB. Đường thẳng này cắt SD tại điểm N.

Vậy thiết diện của (MAB) với hình chóp là tứ giác ABMN, với N là giao điểm của SD với đường thẳng đi qua M và song song với AB.

Hình vẽ minh họa

Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng .

Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Mà

Mệnh đề "Tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì không tồn tại đường thẳng nào đi qua điểm đó và song song với đường thẳng cho trước

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Theo tính chất của phép chiếu song song ta được

Hình chiếu của hình vuông không thể là hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau.

Vì số mặt của hình chóp là 5 nên thiết diện tối đa chỉ có 5 cạnh.

=> Không thể là lục giác.

Hình vẽ minh họa

Ta có: MN // PQ (vì cùng song song với BC)

Ta có: (vì lần lượt là các đường trung bình của .

Từ hai kết quả trên ta suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành nên MQ, PN không thể chéo nhau.

Trường hợp hai đường thẳng chéo nhau thì không xác định được mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó. Hoặc 2 đường thẳng trùng nhau thì xác định được vô số mặt phẳng.

Hình vẽ minh họa

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC' và B'C'.

=> (tính chất trọng tâm tam giác)

=>

Xét mặt phẳng ta có:

=>

Mà

=>

Từ (1) và (2) => và là hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó ta có: