Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh hoạ

Xét mặt phẳng , kẻ đường thẳng qua và song song với , cắt lần lượt tại .

Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng song song với , cắt tại .

Trong mặt phẳng , kẻ đường thẳng song song với , cắt tại .

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là hình thang với .

Mệnh đề “Nếu ba đường thẳng đồng quy thì chúng nằm trên một mặt phẳng” không đúng, vì chúng có thể không đồng phẳng.

Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng”, không đúng khi ba đường thẳng cắt nhau và đồng qui nhưng không đồng phẳng.

Mệnh đề “Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại” không đúng, vì chúng có thể chéo nhau.

Vậy khẳng định đúng là: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì cả ba đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng.”

Hình vẽ minh họa:

Gọi là trung điểm của

Khi đó (vì lần lượt là trọng tâm của hai tam giác và )

Suy ra

Vậy khẳng định sai là .

Mặt phẳng và tứ diện theo một diện diện là tam giác

Dễ thấy đồng quy tại điểm M.

Hình vẽ minh họa

Xét ba mặt phẳng

Ba mặt phẳng này đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là .

Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì đồng quy hoặc đôi một song song.

Mà nên .

Vậy đường thẳng đi qua và song song với .

Hình vẽ minh họa

Gọi trung điểm lần lượt là .

Gọi

Từ kẻ song song với .

Ta có:

(1)

Ta có:

(2)

Từ (1) và (2)

=> Giao tuyến của với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác .

Gọi lần lượt là trung điểm .

Ta có

nên mệnh đề đúng.

Ta lại có:

=> Mệnh đề đúng

Mặt khác nên mệnh đề sai.

Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng. Nếu ba điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng chứa ba điểm.

Hình vẽ minh họa:

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Giao tuyến của với mặt phẳng là đường thẳng qua và song song với , đường thẳng này cắt tại .

=>

Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành .

Do đó

Chứng minh tương tự ta được

Do đó:

Khi trùng với ta có:

Suy ra

Vậy

Hình vẽ minh họa

Theo bài ra ta có:

Mặt khác

=> là mệnh đề sai.

Mệnh đề: “Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau” sai vì có thể cắt nhau.

Mệnh đề: “Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung” đúng.

Mệnh đề: “Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau” sai vì có thể trùng nhau.

Mệnh đề: “Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau” sai vì có thể song song.

Do ba điểm không thẳng hàng nên chỉ có một và chỉ một mặt phẳng đi qua chúng.

Ta có .

Sau khi gấp lại ta được hình chóp như hình vẽ dưới đây:

Từ giả thiết ta có:

Ta có:

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau hoặc đồng quy tại một điểm.

=> Phương án “Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song với nhau” là khẳng định sai.

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song hoặc đồng quy.

Ta có: luôn đúng

=> Hai mặt phẳng không song song với nhau.

Khẳng định đúng là:

Nếu thì tồn tại trong đường thẳng để .

Hình vẽ minh họa

Kéo dài cắt tại .

Khi đó là giao điểm của và .

Hình vẽ minh họa:

Xét hai mặt phẳng và .

Ta có: và .

Mà và .

Do đó