Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Khẳng định sai là:

Trong tam giác CAD có S và N lần lượt là trung điểm của AC và CD

Suy ra SN là đường trung bình của tam giác CAD

=> SN // AD (1)

Tương tự MR cũng là đường trung bình của tam giác ABD

=> MR // AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SN // MR nên đáp án "MN, SN song song với nhau"

Chứng minh tương tự ta cũng có: SM // NR //BC

Do đó tứ giác MRNS là hình bình hành nên đáp án "MRNS là hình bình hành"

Hai đường chéo SR và MN cắt nhau tại G với G là trung điểm của mỗi đường chéo.

Lại có: NQ // MP (//AC) và MQ // NP //BD

=> Tứ giác MQNP là hình bình hành

=> Hai đường chéo QP và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà G là trung điểm của MN

Do đó G cũng là trung điểm của QP

Vậy ba đường thẳng MN, PQ, SR đồng quy tại G.

Đáp án "MN, PQ, RS đồng quy'

Đáp án "6 điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng" sai vì P và Q cùng thuộc một mặt phẳng với M và N nhưng không cùng thuộc một mặt phẳng với hai điểm S và R.

Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.” đúng vì:

TH1: Hai mặt phẳng phân biệt nếu có một điểm chung thì hai mặt phẳng đó có một đường thẳng chung (giao tuyến của hai mặt phẳng) do đó có hai mặt phẳng có vô số điểm chung.

TH2: Hai mặt phẳng không phân biệt thì chúng có vô số điểm chung (vì hai mặt phẳng trùng nhau)”

Đáp án: “Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất” đúng vì tập hợp các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt là một đường thẳng.

Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.” sai vì chưa xét đến trường hợp hai mặt phẳng không phân biệt.

Đáp án: “Nếu ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.” đúng vì khi đó ba điểm A, B, C cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Hình vẽ minh họa

Ta có:

và d đi qua S

Hình vẽ minh họa:

Phép chiếu song song phương phương mặt phẳng chiếu biến điểm thành điểm .

Do đó:

Xét tam giác ta có:

=> là trung điểm của

Từ đó suy ra

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Hình vẽ minh họa

Gọi F, G, H, I lần lượt là trung điểm của AB; BC; CD và DA

Vì M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác

=>

Khi đó:

Xét tam giác ABD có FI là đường trung bình (vì F và I lần lượt là trung điểm của AB và AD)

=> 

Chứng minh tương tự ta có: GH // BD

=> 

Tương tự

=> và

Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Mệnh đề "Tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì không tồn tại đường thẳng nào đi qua điểm đó và song song với đường thẳng cho trước

Khi mặt phẳng chiếu song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó song song với hình chiếu của nó.

Giả sử song song với . Một đường thẳng song song với có thể nằm trên .

Phép chiếu song song chỉ có thể biến đường thẳng thành đường thẳng hoặc thành một điểm.

Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy.

Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có:

Xét tam giác ta có:

mà

Hình vẽ minh họa

Kéo dài cắt tại .

Khi đó là giao điểm của và .

Mệnh đề đúng là “Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung ”.

Hình vẽ minh họa

Chọn mặt phẳng phụ (SBD) chứa SD.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và ( ABM ).

Ta có B là điểm chung thứ nhất của (SBD) và ( ABM ).

Trong mặt phẳng ( ABCD) có

Trong mặt phẳng (SAC) có

Suy ra

Trong mặt phẳng (SBD) gọi và do

Hình chóp tứ giác đã cho có 5 mặt

Do đó có tối đa 5 giao tuyến được tạo thành bởi mặt phẳng tùy ý với các mặt của hình chóp .

Vậy đáp án là hình lục giác.