Cho hình chóp
, đáy
là hình bình hành
tâm
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là
Ta có .
Cho hình chóp
, đáy
là hình bình hành
tâm
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là
Ta có .
Cho hai mặt phẳng
và
song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
Đáp án “Đường thẳng và đường thẳng
thì
” sai vì nếu
và đường thẳng
thì
và
có thể chéo nhau.
Cho hai đường thẳng song song a và b. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b?
Tất cả những mặt phẳng chứa a và không chứa b đều là những mặt phẳng song song với b.
Trong không gian cho các đường thẳng a, b và các mặt phẳng (α), (β). Trong các khẳng định sau đây, đâu là khẳng định đúng?
Mệnh đề “a // (β) và (β) // b thì a // b” là sai vì a và b có thể cắt nhau.
Mệnh đề “a // b và b ⊂ (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).
Mệnh đề “a // b và b // (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Lấy
sao cho
,
là trọng tâm tam giác
. Đường thẳng
song song với mặt phẳng:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
, lấy
sao cho
Ta có:
Mặt khác
Cho tứ diện
. Các cạnh
có trung điểm lần lượt là
. Bốn điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
,
=> MPNQ là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> MRNS là hình bình hành
=> thuộc một mặt phẳng.
,
=> PSQR là hình bình hành nên P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.
Vậy không thuộc cùng một mặt phẳng.
Mệnh đề nào sau đây sai?
Mệnh đề: “Hình biểu diễn của ba điểm thẳng hàng là một tam giác” sai vì hình biểu diễn phải giữ nguyên tính chất thẳng hàng của 3 điểm.
Cho hai đường thẳng
. Phép chiếu song song theo phương
, mặt phẳng chiếu
biến hai đường thẳng
thành
. Quan hệ nào giữa hai đường thẳng
không được bảo toàn trong phép chiếu song song?
Do hai đường thẳng cùng thuộc mặt phẳng
nên tính chất chéo nhau không được bảo toàn trong phép chiếu song song.
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng có tâm lần lượt là I và J. Chọn
khẳng định sai.
Hình vẽ minh họa
Do và
là trung điểm của
và
, nên
mà
, suy ra IJ / /(ADF) và IJ / / DF đúng.
Do và
là trung điểm của
và
, nên
mà
, suy ra IJ / /(CEB) đúng.
Vậy IJ / / ADsai
Cho hình lập phương
cạnh
. Mặt phẳng
đi qua tâm của hình lập phương và song song với
. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng
và tứ diện
. Hình tạo bởi các giao tuyến đó có diện tích bằng bao nhiêu?

Hình vẽ minh họa:
Gọi I là tâm của hình lập phương
=> I là trung điểm của AC’.
Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).
Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.
Khi đó
=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện
là hình thoi MNPQ cạnh bằng
Mặt khác
Diện tích hình thoi MNPQ là
Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng
cắt các cạnh
,
,
,
lần lượt tại
,
,
,
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)
. Sai||Đúng
b)
. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Mặt phẳng
cắt các cạnh
,
,
,
lần lượt tại
,
,
,
. Gọi
là giao điểm của
và
. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) . Sai||Đúng
b) . Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Do
.
Kết luận:
|
a) Sai |
b) Sai |
c) Đúng |
d) Sai |
Cho hình chóp tứ giác
, đáy
là tứ giác lồi. Gọi ![]()
. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Nhận thấy S và M lần lượt là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SM.
Cho hình chóp
có đáy
là một tứ giác lồi có
và
. Giao tuyến của mặt phẳng
và mặt phẳng
là đường thẳng:
Hình vẽ minh họa
Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng
là đường thẳng
.
Cho hình chóp S.ABC có diện tích đáy bằng 9. Mặt phẳng
song song với
cắt đoạn SA tại
sao cho
. Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC tạo bởi
bằng
Hình vẽ minh họa:
Gọi N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng và các cạnh SB, SC.
Vì nên theo định lí Talet, ta có
.
Khi đó cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP ðồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số
.
Vậy .
Hình ảnh dưới đây là kệ sách gỗ có 4 mặt kệ với thanh gỗ đứng và thanh gỗ xiên. Giá đỡ các mặt kệ xuất hiện ở các vị trí
và
. Biết
và
cách đều nhau và các mặt kệ song song với mặt đất. Tính độ dài đoạn
.

Đáp án: 105
Hình ảnh dưới đây là kệ sách gỗ có 4 mặt kệ với thanh gỗ đứng và thanh gỗ xiên. Giá đỡ các mặt kệ xuất hiện ở các vị trí và
. Biết
và
cách đều nhau và các mặt kệ song song với mặt đất. Tính độ dài đoạn
.
Đáp án: 105
Áp dụng định lý Thales trong không gian, do cách đều nhau nên
cũng cách đều nhau.
Ta có nên
.
Cho hai đường thẳng phân biệt
và
trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa
và
?
Hai đường thẳng trong không gian có 4 VTTĐ: trùng nhau, cắt nhau, song song, chéo nhau.
Vì hai đường thẳng phân biệt nên hai đường thẳng có 3 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, chéo nhau.
Trong không gian, cho 3 đường thẳng
, biết
, a và c chéo nhau. Khi đó hai đường thẳng b và c:
Giả sử
(mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy hai đường thẳng b và c cắt nhau hoặc chéo nhau.
Cho hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng, có tâm lần lượt là O và O’. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Hình vẽ minh họa

Xét ΔBFD có OO’ là đường trung bình => OO’ // DF
Mà DF ⊂ (ADF)
=> OO' // (ADF)
Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành,
là trọng tâm tam giác
,
là trọng tâm tam giác
.
lần lượt là trung điểm của
.
là giao điểm của đường thẳng
và mặt phẳng
. Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?
a)
Đúng||Sai
b) Tứ giác
là hình thang có đáy
Sai||Đúng
c)
Đúng||Sai
d)
Đúng||Sai
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành,
là trọng tâm tam giác
,
là trọng tâm tam giác
.
lần lượt là trung điểm của
.
là giao điểm của đường thẳng
và mặt phẳng
. Các khẳng định dưới đây là đúng hay sai?
a) Đúng||Sai
b) Tứ giác là hình thang có đáy
Sai||Đúng
c) Đúng||Sai
d) Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
a) Đúng
Ta có là đường trung bình của tam giác
mà
nên
b) Sai
Ta có
Gọi
Ta có
Vậy là hình bình hành
c) Đúng
Gọi là giao điểm của
và
trong
, ta có
là trung điểm
Vậy là đường trung bình của tam giác
Ta có
d) Đúng
Gọi là trung điểm
ta có
Ta có
Cho tứ diện
, biết tam giác
có diện tích bằng 16. Mặt phẳng
đi qua trung điểm của
và song song với mặt phẳng
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng
Đáp án: 4
Cho tứ diện , biết tam giác
có diện tích bằng 16. Mặt phẳng
đi qua trung điểm của
và song song với mặt phẳng
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích bằng
Đáp án: 4
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
.
Gọi (
), do
là trung điểm của
.
Gọi (
), do
là trung điểm của
.
Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng
là
.
Gọi lần lượt là trung điểm của
và
.
Ta chứng minh được (c – c – c).
Ta có
Vậy