Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, 
là trung điểm của . Mặt phẳng là mặt phẳng đi qua song song với và . Giao tuyến của với các mặt của hình chóp là hình:
Hình vẽ minh họa
Gọi trung điểm lần lượt là
.
Gọi
Từ kẻ
song song với
.
Ta có:
(1)
Ta có:
(2)
Từ (1) và (2)
=> Giao tuyến của với các cạnh của hình chóp là hình ngũ giác
.
Cho hình chóp tứ giác , đáy là tứ giác ( không song song với ), . Lấy là trung điểm của , lấy sao cho . Khi đó các cặp cạnh nào dưới đây cắt nhau?
Hình vẽ minh hoạ
Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Lấy sao cho , là trọng tâm tam giác . Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
, lấy
sao cho
Ta có:
Mặt khác
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau hay không?
Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau thì không thể song song với nhau.
Cho tứ diện có . Lấy một điểm bất kì trên cạnh . Gọi mặt phẳng là mặt phẳng qua song song với và . Biết các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác. Khi điểm di chuyển đến vị trí hình tứ giác trên trở thành hình thoi. Tính giá trị biểu thức .
Hình vẽ minh họa:
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Giao tuyến của với mặt phẳng
là đường thẳng qua
và song song với
, đường thẳng này cắt
tại
.
=>
Vậy các giao tuyến của mặt phẳng với tứ diện tạo thành một tứ giác là hình bình hành
.
Do đó
Chứng minh tương tự ta được
Do đó:
Khi trùng với
ta có:
Suy ra
Vậy
Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt trong đó . Khẳng định nào sau đây sai?
Nếu c cắt a thì c cắt b hoặc c chéo b.
Vậy khẳng định sai là: "Nếu c cắt a thì c cắt b."
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau không?
Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Tìm thiết diện của (MAB) với hình chóp.
Do (MAB) chứa AB // CD, nên giao tuyến của (MAB) với (SCD) là đường thẳng đi qua M và song song với AB. Đường thẳng này cắt SD tại điểm N.
Vậy thiết diện của (MAB) với hình chóp là tứ giác ABMN, với N là giao điểm của SD với đường thẳng đi qua M và song song với AB.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AD ∈ BC. Gọi I là giao điểm của AB và DC, M là trung điểm SC. DM cắt mặt phẳng SAB) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy ba điểm S, I, J thẳng hàng.
Khẳng định sai là: ""
Cho hình chóp S.ABCD, các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: (SAB) ∩ (A’B’C’) = A’B’
(SBC) ∩ (A’B’C’) = B’C’
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Trong mặt phẳng (SAC) gọi I là giao điểm của A’C’ và SO
Trong mặt phẳng (SBD) gọi D’ là giao điểm của B’I và SD
Khi đó ta có: (SCD) ∩ (A’B’C’) = C’D’
(SAD) ∩ (A’B’C’) = A’D’
=> Thiết diện của mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp S.ABCD là tứ giác A’B’C’D’.
Cho là hai đường thẳng phân biệt và mặt phẳng . Chọn mệnh đề đúng?
Ta có:
sai vì đường vuông góc với mặt điều kiện cần và đủ là vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.
sai trong trường hợp
đúng vì là hai đường thẳng phân biệt.
sai vì đường thẳng hoặc
Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt và , điều kiện nào sau đây không đủ để kết luận rằng mặt phẳng song song với mặt phẳng ?
Mệnh đề: " chứa vô số đường thẳng song song với
." không đủ để chỉ ra hai mặt phẳng song song (khi các đường thẳng đó song song với nhau).
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây:
Theo định nghĩa về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian thì đáp án đúng là: " Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung."
Cho hình chóp đáy là hình bình hành tâm . Chọn khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên đường thẳng
cắt mặt phẳng
tại điểm
.
Vậy khẳng định sai là “”
Cho hình chóp có đáy là tam giác ABC thỏa mãn . Mặt phẳng song song với cắt đoạn tại sao cho . Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình chóp ?
Cho hình chóp có đáy là tam giác ABC thỏa mãn
. Mặt phẳng
song song với
cắt đoạn
tại
sao cho
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và hình chóp
?
Cho hình chóp có đáy là tứ giác . Giả sử là một mặt phẳng tùy ý. Giao tuyến của với các mặt của hình chóp không thể tạo thành hình nào dưới đây?
Hình chóp tứ giác đã cho có 5 mặt
Do đó có tối đa 5 giao tuyến được tạo thành bởi mặt phẳng tùy ý với các mặt của hình chóp
.
Vậy đáp án là hình lục giác.
Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trọng tâm của tam giác và . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Giả sử là trung điểm của
.
Ta có:
Cho mặt phẳng và điểm không thuộc mặt phẳng . Số đường thẳng đi qua và song song với là
Có vô số đường thẳng đi qua và song song với
với điểm
không thuộc mặt phẳng
.
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
Hai đường thẳng cắt nhau xác định mộ mặt phẳng duy nhất.
Cho hình chóp . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Hình vẽ minh họa
Khẳng định đúng là “ và
là hai đường thẳng chéo nhau.”
