Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình chóp tứ giác đã cho có 5 mặt

Do đó có tối đa 5 giao tuyến được tạo thành bởi mặt phẳng tùy ý với các mặt của hình chóp .

Vậy đáp án là hình lục giác.

Hình vẽ minh họa:

Qua M, kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC tại E.

Qua N, kẻ đường thẳng song song với CD cắt BD tại F.

Khi đó ME // NF // CD và

Ta có:

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến của tứ diện và mặt phẳng là hình thang với đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ.

Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau hoặc song song với nhau.

Có duy nhất một mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tam giác .

Khẳng định đúng là “Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì trong (P) tồn tại đường thẳng a song song với d”.

Hình vẽ minh họa

Mặt phẳng cắt tại trung điểm của .

Từ đó thấy rằng ba khẳng định trong đề bài đều đúng.

Hình vẽ minh hoạ

Các cặp đường thẳng SO và AD, MN và SC, SA và BC là các cặp đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng MN và SO nằm trên cùng mặt phẳng và là hai đường thẳng cắt nhau.

Có 3 vị trí tương đối có thể có giữa a và b là:

a cắt b

a song song với b

a chéo nhau với b

Mệnh đề "Tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì không tồn tại đường thẳng nào đi qua điểm đó và song song với đường thẳng cho trước

Hình vẽ minh họa:

Gọi là trung điểm của .

Trong tam giác ta có:

(theo tính chất trọng tâm tam giác)

Hình vẽ minh họa

Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN.

Ta có: G là trọng tâm giác ABD 

=>

Dựa vào lý thuyết đường thẳng song song với mặt phẳng.

=> Có duy nhất 1 mặt phẳng chứa và song song với .

Hình vẽ minh họa

Ta có là hình bình hành nên

Tương tự ta có . Từ đó suy ra và .

Vậy

Có vô số đường thẳng đi qua    và song song với    với điểm    không thuộc mặt phẳng  .

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Hình vẽ minh họa

Gọi

Xét mặt phẳng gọi

=>

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến ta được:

(*)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác với cát tuyến ta được:

(**)

Từ (*) và (**) suy ra

Ta có: BC // AD; BE // AF (ABCD và ABEF là hình bình hành)

=> BC // (ADF); BE // (ADF)

Mà BC ∩∩ BE = B

=. (ADF) // (BEC).

O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O và O’ là trung điểm của BF và BD

Xét tam giác ABF có MO’ là đường trung bình nên MO’ // AF

MO’ // (ADF) (1)

Tương tự MO là đường trung bình của tam giác ABD nên MO // AD

MO // (ADF) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (MOO’) // (ADF)

Chứng minh tương tự ta cũng có (MOO’) // (BCE).

Hai mặt phẳng (AEC) và (BDF) có:

AC ∩ DB = O ; AE ∩ BF = O’

Suy ra (AEC) ∩ (BDF) = OO’.

Vậy khẳng định (I); (II); (III) đúng.

Mệnh đề sai: “Cho điểm nằm ngoài mặt phẳng . Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng chứa điểm và song song với mặt phẳng .”

Sửa lại mệnh đề: “Cho điểm nằm ngoài mặt phẳng . Khi đó tồn tại vô số đường thẳng chứa điểm và song song với mặt phẳng .