Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 4 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa

Xét có lần lượt là trung điểm

=> là đường trung bình của

=> mà

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm của hình lập phương

=> I là trung điểm của AC’.

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và song song với (ABC).

Khi đó (P) cắt các đường thẳng AB’, B’C, CD’, AD’ lần lượt tại các trung điểm M, N, P, Q.

Khi đó

=> Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và tứ diện là hình thoi MNPQ cạnh bằng

Mặt khác

Diện tích hình thoi MNPQ là

Hình vẽ minh họa

Gọi F, G, H, I lần lượt là trung điểm của AB; BC; CD và DA

Vì M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác

=>

Khi đó:

Xét tam giác ABD có FI là đường trung bình (vì F và I lần lượt là trung điểm của AB và AD)

=> 

Chứng minh tương tự ta có: GH // BD

=> 

Tương tự

=> và

Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Qua M kẻ đường thẳng song song với IC cắt AC tại E và kẻ đường thẳng song song với SI cắt SA tại D.

Khi đó thiết diện của mặt phẳng (α)) với tứ diện S.ABC là tam giác MED

Lại có: MD // SI => (1)

ME // IC => (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Vì S.ABC là tứ diện đều nên SI = CI (vì hai tam giác SAB và CAB là hai tam giác bằng nhau nên hai đường trung tuyến tương ứng bằng nhau)

Suy ra MD = ME

Vậy tam giác MED cân tại M.

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của   . Ta có:

Vậy hình chiếu song song của điểm    lên theo phương chiếu là điểm .

Mệnh đề “a // (β) và (β) // b thì a // b” là sai vì a và b có thể cắt nhau.

Mệnh đề “a // b và b ⊂ (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).

Mệnh đề “a // b và b // (α) thì a // (α)” là sai vì có thể a ⊂ (α).

Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Vậy a song song d

Hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên suy ra đáy là đa giác có 11 đỉnh và đa giác đáy có 11 cạnh.

Vậy hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì có:

(cạnh)

Hình vẽ minh họa

Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BD và BC nên ta có MN // CD (1)

Vì I; J lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và ABD nên ta có:

Từ (1) và (2) suy ra .

Đáp án: “ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp ba điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa ba điểm thẳng hàng đã cho.

Đáp án: “một điểm và một đường thẳng: sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

Đáp án: “bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong bốn tường hợp

Mệnh đề "Tồn tại duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng" sai vì nếu điểm đó thuộc đường thẳng đã cho thì không tồn tại đường thẳng nào đi qua điểm đó và song song với đường thẳng cho trước

Đáp án: "Nếu và ; thì " và "Nếu và thì " sai vì hai đường thẳng có thể chéo nhau.

Đáp án: "Nếu và , thì " sai vì hai mặt phẳng  có thể cắt nhau.

Khẳng định sai là: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm.”

Sửa lại: “Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.”

Phương án "Ba điểm mà nó đi qua" sai vì nếu ba điểm đó thẳng hàng thì chưa thể xác định được mặt phẳng.

Phương án "Một điểm và một đường thẳng thuộc nó" sai vì nếu điểm đó nằm trên đường thẳng thì ta chưa thể xác định được.

Phương án "Ba điểm không thẳng hàng" đúng (theo tính chất thừa nhận 2)

Phương án "Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng" sai vì hai đường thẳng có thể trùng nhau.

Câu đúng là: “Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song”.

Hình vẽ minh họa

Ta có: lần lượt là trung điểm của các cạnh

lần lượt là đường trung bình của tam giác .

Và là hình bình hành

=>

Vậy không song song với .

Hình vẽ minh họa

Gọi là giao điểm của và . Khi đó: .

Nếu song song với và đường thẳng thì và hoặc song song với nhau hoặc chéo nhau.