Khảo sát thời gian học của học sinh trong một ngày được ghi trong bảng sau:
Khoảng thời gian học (phút) | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) | [70; 80) |
Tần số | 2 | 3 | 14 | 8 | 3 | 8 | 2 |
Số học sinh có thời gian học nhỏ hơn 40 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
Số học sinh tham gia khảo sát là: 40 học sinh.
Số học sinh có thời gian học ít hơn 40 phút là: 19 học sinh chiếm
Một bó hoa có 5 hoa hồng trắng, 6 hoa hồng đỏ và 7 hoa hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy ba bông hoa có đủ cả ba màu?
Để chọn ba bông hoa có đủ cả ba màu (nghĩa là chọn một bông hoa hồng trắng - một bông hoa hồng đỏ - một bông hoa hồng vàng), ta có:
Có 5 cách chọn hoa hồng trắng.
Có 6 cách chọn hoa hồng đỏ.
Có 7 cách chọn hoa hồng vàng.
Vậy theo quy tắc nhân ta có 5 . 6 . 7 = 210 cách
Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.
Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là:
Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346
Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là:
=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là:
Rút đồng thời ngẫu nhiên 2 thẻ từ hộp có 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Tính xác suất để tích các số ghi trên thẻ rút được là số chẵn?
Ta có: 4 thẻ ghi số chẵn là {2; 4; 6; 8} và 5 thẻ ghi số lẻ là {1; 3; 5; 7; 9}
Rút ngẫu nhiên 2 thẻ từ 9 thẻ thì ta có số cách là
Số phần tử của không gian mẫu là
Gọi A là biến cố tích các số trên thẻ rút được là số chẵn
Số phần tử của biến cố A là:
Chọn ngẫu nhiên ba người, biết rằng không có ai sinh vào năm nhuận. Hãy tính xác suất để có ít nhất hai người có sinh nhật trùng nhau (cùng ngày, cùng tháng).
Gọi A là biến cố “Trong 3 người được chọn, có ít nhất 2 người cùng sinh nhật”.
Khi đó biến cố là “Ba người được chọn có ngày sinh đôi một khác nhau”.
Số trường hợp có thể là
Số trường hợp thuận lợi là cho biến cố là 365 364 363
Vậy
Khảo sát thời gian đến trường của 40 học sinh (đơn vị: phút) ta được kết quả như sau:
5 | 3 | 10 | 20 | 25 | 11 | 13 | 7 | 12 | 31 |
19 | 10 | 12 | 17 | 18 | 11 | 32 | 17 | 16 | 2 |
7 | 9 | 7 | 8 | 3 | 5 | 12 | 15 | 18 | 3 |
12 | 14 | 2 | 9 | 6 | 15 | 15 | 7 | 6 | 12 |
Chuyển số liệu sau dưới dạng mẫu số liệu ghép nhóm có độ dài như nhau và chọn khoảng đầu tiên là 
. Xác định tần suất nhóm trong mẫu dữ liệu ghép nhóm thu được?
Ta chia thành các nhóm có độ dài là 5
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 35.
Ta có bảng ghép nhóm như sau:
Thời gian | Số học sinh |
[0; 5) | 6 |
[5; 10) | 10 |
[10; 15) | 11 |
[15; 20) | 9 |
[20; 25) | 1 |
[25; 30) | 1 |
[3; 35) | 2 |
Ta có tần suất của nhóm là:
Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:
Khả năng các mặt chấm xuất hiện là: {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Số phần tử không gian mẫu là:
Biến cố để mặt chấm chẵn xuất hiện là: D = {2; 4; 6}
=>
Có bao nhiêu biển đăng kí xe máy nếu mỗi biển chứa một dãy gồm 1 chữ cái tiếp đến một chữ số khác 0 và cuối cùng là 5 chữ số?
Chọn một chữ cái trong 26 chữ cái có 26 cách
Chọn 1 chữ số khác 0 từ 1 đến 9 có 9 cách
Cuối cùng 5 chữ số còn lại mỗi số có 10 cách chọn
Vậy số các biển số xe thỏa mãn là 26.9.105 = 24300000 biển.
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng | Tần số |
[150; 155) | 5 |
[155; 160) | 18 |
[160; 165) | 40 |
[165; 170) | 26 |
[170; 175) | 8 |
[175; 180) | 3 |
Tổng | N = 100 |
Xác định giá trị đại diện của nhóm thứ tư?
Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là
Cho . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau?
Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng:
Ta có: Số tự nhiên lẻ => e ∈ {1; 3; 5}
=> Có 3 cách chọn e
Ta có: => Có 5 cách chọn a
Số cách chọn b là 5 cách
Số cách chọn c là 4 cách
Số cách chọn d là 3 cách
=> Số các số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành là: số
Trong một mẫu dữ liệu ghép nhóm có nhóm (0; 10]; (10; 20]; … độ dài một nhóm là 10. Khi đó giới hạn dưới của mẫu thuộc vào nhóm thứ tư là:
Theo cách chia nhóm như đề bài đã cho ta có được các nhóm như sau:
(0; 10]; (10; 20]; (20; 30]; (30; 40]; …
Mẫu nhóm thứ tư là (30; 40]
=> Giới hạn dưới của nhóm thứ tư là 30.
Bảng số liệu dưới đây cho biết khoảng chi tiêu hàng tháng của 200 hộ gia đình.
Khoảng chi tiêu (USD) | [0; 1000) | [1000; 2000) | [2000; 3000) | [3000; 4000) | [4000; 5000) |
Số hộ gia đình | 28 | 46 | 54 | 42 | 30 |
Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
Ta có:
Khoảng chi tiêu (USD) | [0; 1000) | [1000; 2000) | [2000; 3000) | [3000; 4000) | [4000; 5000) |
|
Số hộ gia đình | 28 | 46 | 54 | 42 | 30 | N = 200 |
Tần số tích lũy | 28 | 74 | 128 | 170 | 200 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa trung vị là [2000; 3000) (vì 100 nằm giữa hai tần số tích lũy là 74 và 128)
Do đó:
Khi đó trung vị là:
Đa giác có 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm I. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số phần tử của biến cố ba đỉnh được chọn là ba đỉnh của một tam giác tù?
Gọi là đa giác cần tìm nội tiếp đường tròn tâm I
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kì của đa giác thì luôn tạo thành một tam giác nên số phần tử không gian mẫu là
Gọi P là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác tù.
Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với A nhọn, B tù và C nhọn.
Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 20 cách. Kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là một đỉnh của đa giác.
Đường kính chia đường tròn thành hai nửa đường tròn, với mỗi cách chọn ra hai điểm B và C là hai đỉnh của đa giác cùng thuộc một nửa đường tròn ta được một tam giác tù ABC.
Khi đó, số cách chọn ba điểm A, B và C là cách
Tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần nên suy ra
Giá trị đại diện của nhóm
Giá trị đại diện của mẫu là: .
Mỗi ngày, bạn Chi đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau:
Quãng đường trung bình mà bạn Chi chạy được là?
Ta có bảng tần số ghép nhóm chứa giá trị đại diện như sau:
Cỡ mẫu là: n = 3 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20.
Số trung bình của mẫu số liệu là:
Giá trị đại diện của nhóm là
Ta có giá trị đại diện là .
Trong một phép thử có không gian mẫu kí hiệu là và là một biến cố của phép thử đó. Tìm phát biểu sai trong các phát biểu dưới đây?
Khẳng định sai là: “ khi và chỉ khi
chắc chắn”.
Vì B là biến cố chắc chắn thì P(B) = 1.
Lấy 3 quả cầu từ một hộp có 4 quả cầu trắng, 5 quả cầu vàng, 6 quả cầu xanh. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 quả cầu cùng màu.
Hộp có 4 + 5 + 6 = 15 quả cầu
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi B là biến cố: "Ít nhất 2 quả cầu cùng màu"
=> là biến cố: "Không có 2 quả cầu nào cùng màu"
=> Số phần tử của biến cố là:
=>
=>
Vậy xác suất để lấy được ít nhất 2 quả cầu cùng màu là
Xác định cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm sau?
Đối tượng | Tần số |
[150; 155) | 5 |
[155; 160) | 18 |
[160; 165) | 40 |
[165; 170) | 26 |
[170; 175) | 8 |
[175; 180) | 3 |
Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Một đội tham gia tình nguyện của trường gồm 6 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 cùng tham gia. Để tăng tình đoàn kết giữa các học sinh, giáo viên tổ chức một trò chơi gồm 6 người. Hỏi có bao nhiêu cách để giáo viên chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh?
Số cách chọn 6 học sinh bất kì từ 15 học sinh là
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 12 là:
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và khối 10 là:
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 10 và khối 12 là:
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và khối 12 là:
Do đó số cách chọn 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là
cách
