Thực hiện tung ngẫu nhiên một con xúc xắc một lần. Biết H là biến cố mặt xuất hiện có số chấm chẵn, K là biến cố mặt xuất hiện có số chấm lẻ. Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì nên hai biến cố H và K là hai biến cố đối nhau.
Thực hiện tung ngẫu nhiên một con xúc xắc một lần. Biết H là biến cố mặt xuất hiện có số chấm chẵn, K là biến cố mặt xuất hiện có số chấm lẻ. Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì nên hai biến cố H và K là hai biến cố đối nhau.
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Nhóm nào chứa mốt của mẫu số liệu?
Nhóm chứa mốt của dấu hiệu là: [100; 150)
Tung một đồng xu hai lần liên tiếp. Tập hợp không gian mẫu là:
Không gian mẫu là: .
Trong một phép thử có không gian mẫu kí hiệu là
và
là một biến cố của phép thử đó. Tìm phát biểu sai trong các phát biểu dưới đây?
Khẳng định sai là: “ khi và chỉ khi
chắc chắn”.
Vì B là biến cố chắc chắn thì P(B) = 1.
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Tính giá trị trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên?
Ta có:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
|
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 | N = 20 |
Tần số tích lũy | 2 | 9 | 16 | 19 | 20 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa trung vị là [9; 11)
(Vì 10 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)
Do đó:
Khi đó trung vị là:
Truớc cổng trưòng đại học có 3 quán cơm bình dân chất lượng như nhau. Ba sinh viên A, B, C độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một quán để ăn trưa. Tính xác suất của các biến cố ba sinh viên vào cùng một quán?
Ta đánh số 3 quán cơm là
Gọi lần lượt là quán cơm sinh viên A; B; C chọn.
Như vậy không gian mẫu là
Vì có 3 cách chon a và có 3 cách chọn b và có 3 cách chọn c nên
Gọi B là biến cố "2 sinh viên vào cùng một quán, còn người kia thì vào quán khác".
Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là
và 2 hoán vị của nó,
và 2 hoán vị của nó,
và 2 hoán vị của nó,
và hai hoán vị của nó,
và 2 hoán vị của nó,
và 2 hoán vị của nó.
Khi đó các kết quả thuận lợi cho biến cố B là:
Vậy xác suất của biến cố này là
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
|
Đối tượng |
Tần số |
|
[150; 155) |
15 |
|
[155; 160) |
10 |
|
[160; 165) |
40 |
|
[165; 170) |
27 |
|
[170; 175) |
5 |
|
[175; 180) |
3 |
Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:
a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai
b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng
d)
Đúng||Sai
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
|
Đối tượng |
Tần số |
|
[150; 155) |
15 |
|
[155; 160) |
10 |
|
[160; 165) |
40 |
|
[165; 170) |
27 |
|
[170; 175) |
5 |
|
[175; 180) |
3 |
Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:
a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai
b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng
d) Đúng||Sai
Ta có:
|
Đối tượng |
Tần số |
Tần số tích lũy |
|
[150; 155) |
15 |
15 |
|
[155; 160) |
11 |
26 |
|
[160; 165) |
39 |
65 |
|
[165; 170) |
27 |
92 |
|
[170; 175) |
5 |
97 |
|
[175; 180) |
3 |
100 |
Cỡ mẫu là:
=> trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)
=> tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)
Do đó:
Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:
=> tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)
Do đó:
Khi đó tứ phân vị thứ ba là:
Khu vực chờ nhận phần thưởng có 6 chiếc ghế được kê thành 1 hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh gồm 3 học sinh lớp 10, 2 học sinh lớp 11 và 1 học sinh lớp 12 ngồi vào chiếc ghế kê thành một hàng ngang sao cho mỗi ghế có đúng 1 học sinh ngồi. Hãy xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố W: “Xếp học sinh lớp 12 chỉ ngồi cạnh học sinh lớp 11”?
Xét các trường hợp:
TH1: Học sinh lớp 12 ngồi đầu dãy:
Chọn vị trí cho học sinh lớp 12 có 2 cách
Chọn 1 vị trí cho học sinh lớp 11 ngồi cạnh học sinh lớp 12 có 2 cách
Hoán vị các học sinh còn lại cho nhau có 4! Cách.
Trường hợp này được: 2.2.4! = 96 cách.
TH2: Học sinh lớp 12 ngồi giữa hai học sinh lớp 11, ta gộp thành một nhóm, khi đó:
Hoán vị 4 phần tử gồm 3 học sinh lớp 10 và nhóm gồm học sinh lớp 11 và lớp 12 có 4! Cách.
Hoán vị hai học sinh lớp 11 cho nhau có 2! Cách
Trường hợp này được 4!.2! = 48 cách
Như vậy số cách sắp xếp là 48 + 96 = 144
Cho hai hộp đựng các viên bi nhiều màu:
Hộp 1 có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh.
Hộp 2 chứa 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh.
Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 viên bi. Gọi A là biến cố “Hai viên bi lấy ra cùng màu”. Tính
?
Giả sử là biến cố hai viên bi lấy được cùng màu trắng
Khi đó
là biến cố hai viên bi lấy được cùng màu đỏ
Khi đó
là biến cố hai viên bi lấy được cùng màu xanh
Khi đó
Điểm kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của 4 lớp 11 được ghi trong bảng sau:
Lớp 11A | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 8 | 12 | 10 | 6 | |
Lớp 11B | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 5 | 12 | 10 | 8 | 4 | |
Lớp 11C | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 10 | 15 | 9 | 3 | |
Lớp 11D | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 9 | 16 | 11 | 3 |
Lớp nào có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất?
Số học sinh lớp 11A là:
4 + 8 + 12 + 10 + 6 = 40 (học sinh)
Số học sinh giỏi lớp 11A là 6 học sinh
=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11A là:
Số học sinh lớp 11B là:
5 + 12 + 10 + 8 + 4 = 39 (học sinh)
Số học sinh giỏi lớp 11B là 4 học sinh
=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11B là:
Số học sinh lớp 11C là:
4 + 10 + 15 + 9 + 3 = 41 (học sinh)
Số học sinh giỏi lớp 11C là 3 học sinh
=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11C là:
Số học sinh lớp 11D là:
4 + 9 + 16 + 11 + 3 = 43 (học sinh)
Số học sinh giỏi lớp 11D là 3 học sinh
=> Tỉ lệ học sinh giỏi lớp 11D là:
Vậy lớp 11D có tỉ lệ học sinh giỏi thấp nhất.
Dưới đây là tốc độ của 20 phương tiện giao thông di chuyển trên đường.
Tốc độ | Tần số |
40 ≤ x < 50 | 4 |
50 ≤ x < 60 | 5 |
60 ≤ x < 70 | 7 |
70 ≤ x < 80 | 4 |
Xác định giá trị của
?
Ta có:
Tốc độ | Tần số | Tần số tích lũy |
40 ≤ x < 50 | 4 | 4 |
50 ≤ x < 60 | 5 | 9 |
60 ≤ x < 70 | 7 | 16 |
70 ≤ x < 80 | 4 | 20 |
Tổng | N = 20 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 60)
Khi đó:
Tứ phân vị thứ nhất là:
Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số từ 4 chữ số khác nhau?
Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ dãy số đã cho có dạng:
Số cách chọn a là: 7 cách
Số cách chọn b là 6 cách
Số cách chọn c là 5 cách
Số cách chọn d là 4 cách
Áp dụng quy tắc nhân ta có số các chữ số được tạo thành thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 7 . 6 . 5 . 4 (số)
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu.
Ta có:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
|
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 | N = 20 |
Tần số tích lũy | 2 | 9 | 16 | 19 | 20 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [9; 11)
(Vì 15 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)
Cho dãy số liệu thống kê:
,
,
,
,
,
. Số trung bình cộng của dãy số liệu thống kê đã cho là
Số trung bình là:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số còn lại có mặt nhiều nhất 1 lần.
Số tự nhiên có 7 chữ số có dạng:
Xét trường hợp có chữ số 0 đứng đầu
Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là:
Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là:
Số cách chọn 2 chữ số còn lại trong tập hợp các số đã cho để xếp vào hai vị trí cuối là
=> Số các số được tạo thành là:
Xét trường hợp không có chữ số 0 đứng đầu
Ta có:
Vì a = 0 => a có 1 cách chọn
Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là:
Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là:
Số cách chọn chữ số cuối trong tập hợp dãy số đã cho là 7 cách
=> Số các số được tạo thành là:
Vậy số các số được lập thành thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 11760 - 420 = 11340 số
Đa giác có 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm I. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số phần tử của biến cố ba đỉnh được chọn là ba đỉnh của một tam giác tù?
Gọi là đa giác cần tìm nội tiếp đường tròn tâm I
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kì của đa giác thì luôn tạo thành một tam giác nên số phần tử không gian mẫu là
Gọi P là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác tù.
Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với A nhọn, B tù và C nhọn.
Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 20 cách. Kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là một đỉnh của đa giác.
Đường kính chia đường tròn thành hai nửa đường tròn, với mỗi cách chọn ra hai điểm B và C là hai đỉnh của đa giác cùng thuộc một nửa đường tròn ta được một tam giác tù ABC.
Khi đó, số cách chọn ba điểm A, B và C là cách
Tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần nên suy ra
Khảo sát thời gian đến trường của 40 học sinh (đơn vị: phút) ta được kết quả như sau:
5 | 3 | 10 | 20 | 25 | 11 | 13 | 7 | 12 | 31 |
19 | 10 | 12 | 17 | 18 | 11 | 32 | 17 | 16 | 2 |
7 | 9 | 7 | 8 | 3 | 5 | 12 | 15 | 18 | 3 |
12 | 14 | 2 | 9 | 6 | 15 | 15 | 7 | 6 | 12 |
Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
Chuyển mẫu dữ liệu sang dạng ghép nhóm:
Ta chia thành các nhóm có độ dài là 5
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 35.
Ta có bảng ghép nhóm như sau:
Thời gian | Số học sinh |
[0; 5) | 6 |
[5; 10) | 10 |
[10; 15) | 11 |
[15; 20) | 9 |
[20; 25) | 1 |
[25; 30) | 1 |
[3; 35) | 2 |
Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm số phần trăm là:
Có ba chiếc hộp:
Hộp 1 gồm 4 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh.
Hộp 2 gồm 3 viên bi đỏ và 2 viên bi đen.
Hộp 3 gồm 5 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng.
Lấy ngẫu nhiên ra một hộp rồi lấy một viên bi từ hộp đó. Xác suất để viên bi lấy được có màu đỏ bằng:
Lấy ngẫu nhiên một hộp:
Gọi B là biến cố lấy được hộp 1
C là biến cố lấy được hộp 2
D là biến cố lấy được hộp 3
Suy ra
Gọi A là biến cố lấy ngẫu nhiên một hộp, trong hộp đó lấy ngẫu nhiên một viên bi và được bi màu đỏ.
Ta có:
=>
Cho
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 5?
Số tự nhiên có 3 chữ số có dạng:
Do số cần tìm chia hết cho 5 => c ∈ {0; 5}
=> Có 2 cách chọn c
Số cách chọn a là 5 cách
Số cách chọn b là 6 cách
=> Số các số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 được tạo thành là: 2 . 5 . 6 = 60 số
Một nhà thực vật học khảo sát chiều cao của một số cây trong khu rừng, kết quả đo được cho bằng biểu đồ tần số ghép nhóm như hình vẽ:

Trong biểu đồ, trục hoành biểu thị chiều cao của cây (đơn vị: mét), trục tung biểu thị số lượng cây tương ứng. Số cây có chiều cao không nhỏ hơn 9,1m là:
Quan sát biểu đồ dữ liệu ta thấy:
Số lượng cây có chiều cao không nhỏ hơn 9,1m là: (cây)