Cho sơ đồ mạch điện gồm 4 bóng đèn như hình vẽ sau:

Biết xác suất hỏng của mỗi bóng đèn là
. Tính xác suất để khi cho dòng diện chạy qua thì mạch điện chỉ có 1 bóng đèn sáng?
Xác suất để có 3 bóng đèn hỏng và 1 bóng đèn sáng là:
Cho sơ đồ mạch điện gồm 4 bóng đèn như hình vẽ sau:

Biết xác suất hỏng của mỗi bóng đèn là
. Tính xác suất để khi cho dòng diện chạy qua thì mạch điện chỉ có 1 bóng đèn sáng?
Xác suất để có 3 bóng đèn hỏng và 1 bóng đèn sáng là:
Cho dãy số liệu thống kê:
,
,
,
,
,
. Số trung bình cộng của dãy số liệu thống kê đã cho là
Số trung bình là:
Sau bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Có tất cả 66 người lần lượt bắt tay. Hỏi trong phòng có bao nhiêu người:
Ta có:
Cứ 2 người sẽ bắt tay nhau 1 lần => Số lần bắt tay là:
Mà có tất cả 66 người lần lượt bắt tay nên ta có phương trình:
Cho dãy số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có chẵn, mỗi số có 5 chữ số trong đó có đúng hai số lẻ, 2 số lẻ đó đứng cạnh nhau.
Gọi số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 là m
Số cách chọn được m là:
Số chẵn có 5 chữ số mà hai số lẻ đứng kề nhau phải chứa M và ba trong bốn chữ số 0; 2; 4; 6
Gọi là số thỏa mãn yêu cầu bài toán
Trường hợp 1: Nếu a = m ta có:
Số cách chọn a là 1 cách
Số cách chọn b, c, d là cách
Trướng hợp 2: Nếu a khác m thì ta có:
Số cách chọn a là 3 cách
Nếu b = m thì có 1 cách chọn b và cách chọn c, d
Nếu c = m thì có 1 cách chọn c và cach chọn b, d
=> Số các số được tạo thành là:
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Số cư dân phải thanh toán cước phí không quá 150 nghìn đồng trong tháng là: 40 cư dân
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Số cư dân phải thanh toán cước phí không quá 150 nghìn đồng trong tháng là: 40 cư dân
Số cư dân phải thanh toán cước phí không quá 150 nghìn đồng mỗi tháng là:
5 + 12 + 23 = 40 (cư dân)
Kết quả đo chiều cao một nhóm các học sinh nam (đơn vị: cm) lớp 11 được thống kê như sau:
160 | 161 | 161 | 162 | 162 | 162 |
163 | 163 | 163 | 164 | 164 | 164 |
164 | 165 | 165 | 165 | 165 | 165 |
166 | 166 | 166 | 166 | 167 | 167 |
168 | 168 | 168 | 168 | 169 | 169 |
170 | 171 | 171 | 172 | 172 | 174 |
Bảng số liệu ghép nhóm nào sau đây đúng?
Ta có:
Khoảng biến thiên là
Để chia số liệu thành 4 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau, ta chia các nhóm có độ dài bằng 4
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 176.
Khi đó ta có các nhóm là:
Vậy bảng dữ liệu ghép nhóm đúng là:
Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn không có nữ nào cả.
Số học sinh trong tổ là: 7 + 3 = 10 học sinh
Số phần tử không gian mẫu là:
Giả sử A là biến cố "2 người được chọn không có nữ"
=>
=> Xác suất sao cho 2 người được chọn không có nữ là:
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg) | Số học sinh |
[45; 50) | 5 |
[50; 55) | 12 |
[55; 60) | 10 |
[60; 65) | 6 |
[65; 70) | 5 |
[70; 75) | 8 |
Tính cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H?
Ta có:
Cân nặng (kg) | Giá trị đại diện | Số học sinh |
[45; 50) | 47,5 | 5 |
[50; 55) | 52,5 | 12 |
[55; 60) | 57,5 | 10 |
[60; 65) | 62,5 | 6 |
[65; 70) | 67,5 | 5 |
[70; 75) | 72,5 | 8 |
Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11H là:
Dưới đây là bảng biểu diễn điểm của 140 sinh viên của trường đại học. Tìm trung vị.
Khoảng điểm | Số sinh viên |
(9,5; 19,5) | 7 |
[19,5; 29,5) | 15 |
[29,5; 39,5) | 18 |
[39,5; 49,5) | 25 |
[49,5; 59,5) | 30 |
[59,5; 69,5) | 20 |
[69,5; 79,5) | 16 |
[79,5; 39,5) | 7 |
[89,5; 39,5) | 2 |
Ta có:
Khoảng điểm | Số sinh viên | Tần số tích lũy |
(9,5; 19,5) | 7 | 7 |
[19,5; 29,5) | 15 | 22 |
[29,5; 39,5) | 18 | 40 |
[39,5; 49,5) | 25 | 65 |
[49,5; 59,5) | 30 | 95 |
[59,5; 69,5) | 20 | 115 |
[69,5; 79,5) | 16 | 131 |
[79,5; 39,5) | 7 | 138 |
[89,5; 39,5) | 2 | 140 |
| N = 140 |
|
Ta có:
=> Trung vị nằm trong nhóm (vì 70 nằm giữa hai tần số tích lũy là 65 và 95)
Đa giác có 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm I. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số phần tử của biến cố ba đỉnh được chọn là ba đỉnh của một tam giác tù?
Gọi là đa giác cần tìm nội tiếp đường tròn tâm I
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kì của đa giác thì luôn tạo thành một tam giác nên số phần tử không gian mẫu là
Gọi P là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác tù.
Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với A nhọn, B tù và C nhọn.
Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 20 cách. Kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là một đỉnh của đa giác.
Đường kính chia đường tròn thành hai nửa đường tròn, với mỗi cách chọn ra hai điểm B và C là hai đỉnh của đa giác cùng thuộc một nửa đường tròn ta được một tam giác tù ABC.
Khi đó, số cách chọn ba điểm A, B và C là cách
Tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần nên suy ra
Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối và đồng chất 5 lần. Không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu phần tử?
Mỗi lần gieo đồng xu có hai khả năng xảy ra nên khi tung đồng xu đó 5 lần thì theo quy tắc nhân ta có:
Vậy số phần tử của không gian mẫu là
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg) | Số học sinh |
[45; 50) | 5 |
[50; 55) | 12 |
[55; 60) | 10 |
[60; 65) | 6 |
[65; 70) | 5 |
[70; 75) | 8 |
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chứa tứ phân vị thứ ba lần lượt là:
Ta có:
Cân nặng (kg) | Số học sinh | Tần số tích lũy |
[45; 50) | 5 | 5 |
[50; 55) | 12 | 17 |
[55; 60) | 10 | 27 |
[60; 65) | 6 | 33 |
[65; 70) | 5 | 38 |
[70; 75) | 8 | 46 |
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)
Khu vực chờ nhận phần thưởng có 6 chiếc ghế được kê thành 1 hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh gồm 3 học sinh lớp 10, 2 học sinh lớp 11 và 1 học sinh lớp 12 ngồi vào chiếc ghế kê thành một hàng ngang sao cho mỗi ghế có đúng 1 học sinh ngồi. Hãy xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố W: “Xếp học sinh lớp 12 chỉ ngồi cạnh học sinh lớp 11”?
Xét các trường hợp:
TH1: Học sinh lớp 12 ngồi đầu dãy:
Chọn vị trí cho học sinh lớp 12 có 2 cách
Chọn 1 vị trí cho học sinh lớp 11 ngồi cạnh học sinh lớp 12 có 2 cách
Hoán vị các học sinh còn lại cho nhau có 4! Cách.
Trường hợp này được: 2.2.4! = 96 cách.
TH2: Học sinh lớp 12 ngồi giữa hai học sinh lớp 11, ta gộp thành một nhóm, khi đó:
Hoán vị 4 phần tử gồm 3 học sinh lớp 10 và nhóm gồm học sinh lớp 11 và lớp 12 có 4! Cách.
Hoán vị hai học sinh lớp 11 cho nhau có 2! Cách
Trường hợp này được 4!.2! = 48 cách
Như vậy số cách sắp xếp là 48 + 96 = 144
Một bảng xếp hạng đã tính điềm chuần hoá cho chỉ số nghiên cứu của một số trường đại học ở Việt Nam và thu được kết quả sau:
|
Điểm |
[10; 20) |
[20; 30) |
[30; 40) |
[40; 50) |
[50; 60) |
[60; 70) |
|
Số trường |
4 |
19 |
6 |
2 |
3 |
1 |
Các mệnh đề sau đúng hay sai
a) Số liệu đã cho cho có
mẫu số liệu. Đúng||Sai
b) Số trung vị của mẫu số liệu là
Sai||Đúng
c) Số trung bình của mẫu số liệu đã cho là
. Sai||Đúng
d) Ngưỡng điểm đề đưa ra danh sách
trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam là trên 35,42. Đúng||Sai
Một bảng xếp hạng đã tính điềm chuần hoá cho chỉ số nghiên cứu của một số trường đại học ở Việt Nam và thu được kết quả sau:
|
Điểm |
[10; 20) |
[20; 30) |
[30; 40) |
[40; 50) |
[50; 60) |
[60; 70) |
|
Số trường |
4 |
19 |
6 |
2 |
3 |
1 |
Các mệnh đề sau đúng hay sai
a) Số liệu đã cho cho có mẫu số liệu. Đúng||Sai
b) Số trung vị của mẫu số liệu là Sai||Đúng
c) Số trung bình của mẫu số liệu đã cho là . Sai||Đúng
d) Ngưỡng điểm đề đưa ra danh sách trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam là trên 35,42. Đúng||Sai
a) Ta có cỡ mẫu . Vậy đáp án a) đúng.
b) Gọi được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Khi đó, trung vị là . Do
thuộc nhóm
nên nhóm này chứa trung vị.
Suy ra ,
,
,
,
,
.
.
Vậy đáp án b) sai.
c) Số trung bình của mẫu số liệu là
.
Vậy đáp án c) sai.
d) Điểm ngưỡng để đưa ra danh sách trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam là tứ phân vị thứ ba.
Cỡ mẫu
Tứ phân vị thứ ba là
mà
thuộc nhóm [30;40) nên nhóm này chứa
.
Do đó, và ta có:
.
Vậy để đưa ra danh sách trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam ta lấy các trường có điểm chuẩn hóa trên 35.42.
Vậy đáp án d) đúng.
Một hộp đựng 4 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng hoàn toàn giống nhau về hình thức. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 5 viên bi:
a) Xác suất để lấy được chỉ màu đỏ
Đúng||Sai
b) Có 125 cách để lấy được các viên bi không có màu vàng. Đúng||Sai
c) Xác suất lấy được các viên bi chỉ có màu xanh và màu vàng
Sai||Đúng
d) Xác suất lấy các viên bi có đủ ba màu
Sai||Đúng
Một hộp đựng 4 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng hoàn toàn giống nhau về hình thức. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 5 viên bi:
a) Xác suất để lấy được chỉ màu đỏ Đúng||Sai
b) Có 125 cách để lấy được các viên bi không có màu vàng. Đúng||Sai
c) Xác suất lấy được các viên bi chỉ có màu xanh và màu vàng Sai||Đúng
d) Xác suất lấy các viên bi có đủ ba màu Sai||Đúng
Số cách chọn 5 viên bi trong 15 viên bi là .
Gọi : “5 viên bi lấy được có đủ 3 màu "
Gọi : " 5 viên bi lấy được có không đủ 3 màu "
Chọn 5 viên bi không đủ 3 màu xảy ra các trường hợp
+ 5 viên màu đỏ có 1 cách
+ 5 viên màu vàng và 1 viên màu xanh hoặc đỏ có cách.
Chỉ có xanh và đỏ có .
Chỉ có xanh và vàng có .
Chỉ có đỏ và vàng có .
Vậy .
Trong bài kiểm tra 15 phút, Minh tô ngẫu nhiên 5 câu trắc nghiệm. Tính xác suất để Minh tô sai cả 5 câu?
Xác suất tô sai 1 câu là
Vậy xác suất để Minh tô sai cả 5 câu là
Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không vượt quá 20. Giả sử biến cố M là biến cố số được chọn là số nguyên tố. Mô tả nào sau đây đúng?
Các số nguyên dương không lớn hơn 20 là:
Các số nguyên tố không vượt quá 20 là:
Vậy
Mỗi ngày, bạn Chi đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau:

Quãng đường trung bình mà bạn Chi chạy được là?
Ta có bảng tần số ghép nhóm chứa giá trị đại diện như sau:
Cỡ mẫu là: n = 3 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20.
Số trung bình của mẫu số liệu là:
Kết quả đo chiều cao một nhóm các học sinh nam lớp 11 được thống kê như sau:
160 | 161 | 161 | 162 | 162 | 162 |
163 | 163 | 163 | 164 | 164 | 164 |
164 | 165 | 165 | 165 | 165 | 165 |
166 | 166 | 166 | 166 | 167 | 167 |
168 | 168 | 168 | 168 | 169 | 169 |
170 | 171 | 171 | 172 | 172 | 174 |
Khi chuyển mẫu dữ liệu trên sang mẫu dữ liệu ghép nhóm gồm 5 nhóm số liệu theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau ta được các nhóm là:
Ta có:
Khoảng biến thiên là
Để chia số liệu thành 5 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau, ta chia các nhóm có độ dài bằng 3
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 175.
Khi đó ta có các nhóm là:
Rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong chiếc hộp có 9 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Xét các biến cố sau:
A: “Cả hai tấm thẻ đều mang số chẵn”.
B “Chỉ có một tấm thẻ mang số chẵn”.
C: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”
Khẳng định nào sau đây đúng?
Biến cố C xảy ra khi và chỉ khi trong hai tấm thẻ có ít nhất 1 tấm thẻ mang số chẵn.
Nếu cả hai tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố A xảy ra.
Nếu chỉ có một tấm thử ghi số chẵn thì biến cố B xảy ra.
Vậy biến cố C là biến cố hợp của A và B.