Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Một số yếu tố thống kê và xác suất gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.

Thời gian làm: 15 phút
Số câu hỏi: 20 câu
Số điểm tối đa: 20 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Thông hiểu
Một đội tham gia tình nguyện của trường gồm 6 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 cùng tham gia. Để tăng tình đoàn kết giữa các học sinh, giáo viên tổ chức một trò chơi gồm 6 người. Hỏi có bao nhiêu cách để giáo viên chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh?
- A.
  $4249$
- B.
  $4250$
- C.
  $5005$
- D.
  $805$
Số cách chọn 6 học sinh bất kì từ 15 học sinh là $C_{15}^{6} = 5005$

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 12 là: $C_{6}^{6} = 1$

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và khối 10 là: $C_{9}^{6} = 84$

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 10 và khối 12 là: $C_{11}^{6} - C_{6}^{6} = 461$

Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và khối 12 là: $C_{10}^{6} - C_{6}^{6} = 209$

Do đó số cách chọn 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là

$5005 - 1 - 84 - 461 - 209 = 4250$ cách
Câu 2: Nhận biết
Khảo sát thời gian vui chơi trong ngày của học sinh (đơn vị: giờ) thu được kết quả ghi lại trong bảng sau:
Thời gian
Học sinh
[0; 2)
8
[2; 4)
16
[4; 6)
4
[6; 8)
2
[8; 10)
2
Xác định số nhóm trong mẫu dữ liệu ghép nhóm trên?
- A.
  $5$
- B.
  $4$
- C.
  $6$
- D.
  $7$
Mẫu dữ liệu ghép nhóm trên có 5 nhóm.
Câu 3: Vận dụng
Cho tập hợp T gồm các số tự nhiên có 9 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập T. Giả sử H là biến cố lấy được một số lẻ và chia hết cho 9. Tính $P(H)$ ?
- A.
  $\frac{1}{18}$
- B.
  $\frac{1250}{1710}$
- C.
  $\frac{625}{1710}$
- D.
  $\frac{1}{9}$
Gọi số tự nhiên có 9 chữ số có dạng $\overline{a_{1}a_{2}...a_{9}};\left( a_{1} eq 0 ight)$

Ta có: $n(A) = 9.10^{8}$ khi đó số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{n(A)}^{1} = 9.10^{8}$

H là biến cố lấy được từ tập A một số lẻ và chia hết cho 9.

Số $a_{9}$ có 5 cách chọn

Các số từ $a_{2} ightarrow a_{8}$ mỗi số có 10 cách chọn

Xét tổng $a_{2} + a_{3} + ... + a_{9}$ . Vì số dư của $a_{2} + a_{3} + ... + a_{9}$ khi chia cho 9 thuộc tập $\left\{ 0;1;2;...;8 ight\}$ nên luôn tồn tại một cách chọn số $a_{1} eq 0$ để $S = a_{2} + a_{3} + ... + a_{9}$ chia hết cho 9 hay $\overline{a_{1}a_{2}...a_{9}} \vdots 9$

Do đó $n(H) = 5.10^{7}$

Xác suất của biến cố H là $P(H) = \frac{n(H)}{n(\Omega)} = \frac{1}{18}$
Câu 4: Thông hiểu
Tính tứ phân vị thứ ba của mẫu dữ liệu ghép nhóm sau:
Nhóm dữ liệu
Tần số
(10; 20]
15
(20; 30]
25
(30; 40]
20
(40; 50]
12
(50; 60]
8
(60; 70]
5
(70; 80]
3
- A.
  $45$
- B.
  $46$
- C.
  $43$
- D.
  $47$
Ta có:
Nhóm dữ liệu
Tần số
Tần số tích lũy
(10; 20]
15
15
(20; 30]
25
40
(30; 40]
20
60
(40; 50]
12
72
(50; 60]
8
80
(60; 70]
5
85
(70; 80]
3
88
Tổng
N = 88

Ta có: $\frac{3N}{4} = \frac{3.88}{4} =66$
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: (40; 50]
Khi đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 40;\dfrac{3N}{4} = 66;m = 60 \\f = 12;d = 50 - 40 = 10 \\\end{matrix} ight.$
Vậy tứ phân vị thứ ba là:
$Q_{3} = l + \dfrac{\dfrac{3N}{4} -m}{f}.d$
$\Rightarrow Q_{3} = 40 + \frac{66 -60}{12}.10 = 45$
Câu 5: Vận dụng
Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi $M_{k}$ là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ $k,k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ . Biến cố nào sau đây biểu diễn biến cố chỉ bắn trúng mục tiêu 2 lần?
- A.
  $M = M_{i} \cup M_{j} \cap \overline{M_{k}} \cap \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.
- B.
  $M = M_{i} \cup M_{j} \cup \overline{M_{k}} \cup \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.
- C.
  $M = M_{i} \cap M_{j} \cup \overline{M_{k}} \cup \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.
- D.
  $M = M_{i} \cap M_{j} \cap \overline{M_{k}} \cap \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau.
Ta có: $\overline{M_{k}}$ là biến cố lần thứ $k$ bắn không trúng mục tiêu.

Khi đó ta có: $M = M_{i} \cap M_{j} \cap \overline{M_{k}} \cap \overline{M_{m}}$ với $i;j;k \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}$ và đôi một khác nhau có ý nghĩa chỉ có lần thứ i; j bắn trúng bia và lần thứ k, m thì không bắn trúng.
Câu 6: Thông hiểu
Dưới đây là điểm đánh giá tổng kết của các học sinh:
Khoảng điểm
[0; 10)
[10; 20)
[20; 30)
[30; 40)
[40; 50)
[50; 60)
Số học sinh
2
7
15
10
11
5
Tính trung vị.
- A.
  $30$
- B.
  $31$
- C.
  $35$
- D.
  $33$
Ta có:
Khoảng điểm
[0; 10)
[10; 20)
[20; 30)
[30; 40)
[40; 50)
[50; 60)

Số học sinh
2
7
15
10
11
5
N = 50
Tần số tích lũy
2
9
24
34
45
50

Cỡ mẫu: 50
Ta có: $\frac{N}{2} = \frac{50}{2} =25$
=> Nhóm chứa trung vị là $[30; 40)$ (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy là 24 và 34)
Do đó: $l = 30;\frac{N}{2} = 25;m = 24;f =10,c = 40 - 30 = 10$
Khi đó trung vị là:
$M_{e} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{2} - might)}{f}.c = 30 + \dfrac{25 - 24}{10}.10 = 31$
Câu 7: Thông hiểu
Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để một học sinh đạt yêu cầu và một học sinh không đạt yêu cầu?
- A.
  $\frac{9}{145}$
- B.
  $\frac{11}{345}$
- C.
  $\frac{2}{115}$
- D.
  $\frac{3}{345}$
Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là $C_{30}^{2} = 435$ cách

Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.

Gọi B là biến cố: "Có một học sinh đạt yêu cầu và một học sinh không đạt yêu cầu".

Số cách chọn 1 học sinh đạt yêu cầu là 27.

Số cách chọn 1 học sinh không đạt yêu cầu là 3.

Chọn 2 học sinh mà trong đó có một học sinh đạt yêu cầu và một học sinh không đạt yêu cầu là: $27.3 = 81$

Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 81

Vậy xác suất để cần tìm là: $P(B) = \frac{81}{435} = \frac{9}{145}$
Câu 8: Nhận biết
Điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 11A được ghi trong bảng sau:
Điểm
Số học sinh
[20; 30)
4
[30; 40)
6
[40; 50)
15
[50; 60)
12
[60; 70)
10
[70; 80)
6
[80; 90)
4
[90; 100]
3
Số học sinh lớp 11A là:
- A.
  60
- B.
  54
- C.
  56
- D.
  58
Số học sinh lớp 11A là:
4 + 6 + 15 + 12 + 10 + 6 + 4 + 3 = 60 (học sinh)
Câu 9: Nhận biết
Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{3}$ . Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia?
- A.
  $\frac{2}{3}$
- B.
  $\frac{1}{2}$
- C.
  $\frac{1}{3}$
- D.
  $\frac{5}{6}$
Gọi A là biến cố có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia

Khi đó $\overline{A}$ là biến cố cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia.

$P\left( \overline{A} ight) = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \Rightarrow P(A) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
Câu 10: Thông hiểu
Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ.
- A. $\frac{1}{{15}}$
- B. $\frac{7}{{15}}$
- C. $\frac{8}{{15}}$
- D. $\frac{1}{{5}}$
Số học sinh trong tổ là: 7 + 3 = 10 học sinh
Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = C_{10}^2 = 45$
Giả sử A là biến cố "2 người được chọn có đúng một người nữ"
=> $n\left( A ight) = C_3^1 .C_7^1= 21$
=> Xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ là:
$P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{21}}{{45}} = \frac{7}{{15}}$
Câu 11: Vận dụng cao

Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478

Đáp án là:

Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478

Gọi biến cố A là biến cố chọn trong T một số có mặt chữ số 1 đúng 1 lần.

Biến cố B là biến cố chọn trong T một số chia hết cho 5

Biến cố $A \cap B$ số được chọn vừa có chữ số 1 xuất hiện một lần vừa chia hết cho 5.

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số có dạng: $\overline{abcd};(a eq 0)$

Có 4 khả năng để số có một chữ số 1 xuất hiện một lần là a = 1; b = 1; c = 1; d = 1.

Do đó số phần tử của A là $n(A) = 1.9.8.7 + 8.1.8.7 + 8.8.1.7 + 8.8.7.1 = 1848$

Số chia hết cho 5 có hai dạng $\overline{abc0};\overline{abc5}$ . Do đó số phần tử của B là $n(B) = 9.8.7 + 8.8.7 = 952$

Số vừa có 1 chữ số 1 xuất hiện vừa chia hết cho 5 xảy ra một trong các khả năng sau: $\overline{1bc0};\overline{a1c0};\overline{ab10};\overline{1bc5};\overline{a1c5};\overline{ab15}$ . Do đó số phần tử của $A \cap B$ là:

$n(A \cap B) = 3.8.7 + 8.7 + 7.7.2 = 322$

Vậy số phần tử biến cố P là:

$n(P) = n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 2478$

Câu 12: Thông hiểu

Cho bảng số liệu thống kê sau:

Số khách hàng đến mua cà phê mỗi buổi sáng tại quầy trong 2 tuần

69	37	39	65	31	33	63
51	44	62	33	47	55	42

Bảng số liệu ghép nhóm nào sau đây đúng?

Bảng M	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng M	Số ngày	5	3	2	4
Bảng N	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng N	Số ngày	5	3	4	2
Bảng P	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng P	Số ngày	5	2	3	4
Bảng Q	Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Bảng Q	Số ngày	3	5	2	4

A.
Bảng M
B.
Bảng N
C.
Bảng P
D.
Bảng Q

Khoảng biến thiên là 69 – 31 = 38

Ta chia thành các nhóm sau: [30; 40), [40; 50), [50; 60), [60; 70)

Đếm số giá trị mỗi nhóm ta có bảng ghép nhóm

Số khách hàng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Số ngày	5	3	2	4

Câu 13: Nhận biết

Chiều cao của 50 học sinh đo chính xác đến centimet được biểu diễn như sau:
Chiều cao (tính bằng cm)
Tần số
[150; 155)
12
[155; 160)
9
[160; 165)
14
[165; 170)
10
[170; 175)
5
Độ dài nhóm dữ liệu là: 5

Đáp án là:

Chiều cao của 50 học sinh đo chính xác đến centimet được biểu diễn như sau:
Chiều cao (tính bằng cm)
Tần số
[150; 155)
12
[155; 160)
9
[160; 165)
14
[165; 170)
10
[170; 175)
5
Độ dài nhóm dữ liệu là: 5

Đáp án đúng là: 5.
Câu 14: Nhận biết
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số:
- A. 900
- B. 901
- C. 899
- D. 999
Ta có:
Các số tự nhiên có ba chữ số là 100; 101; ...; 998; 999
=> Có 999 − 100 + 1 = 900 số tự nhiên có ba chữ số.
Câu 15: Thông hiểu

Hoàn thành bảng số liệu sau:
Cân nặng
Giá trị đại diện
Số học sinh
[40,5; 45,5)
43
7
[45,5; 50,5)
48
16
[50,5; 55,5)
53
10
[55,5; 60,5)
58
5
[60,5; 65,5)
63
4
[65,5; 70,5)
68
2

Đáp án là:

Hoàn thành bảng số liệu sau:
Cân nặng
Giá trị đại diện
Số học sinh
[40,5; 45,5)
43
7
[45,5; 50,5)
48
16
[50,5; 55,5)
53
10
[55,5; 60,5)
58
5
[60,5; 65,5)
63
4
[65,5; 70,5)
68
2

Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là giá trị trung bình của giá trị hai đầu mút nên ta hoàn thành bảng số liệu như sau:
Cân nặng
Giá trị đại diện
Số học sinh
[40,5; 45,5)
$\frac{40,5 + 45,5}{2} =43$
7
[45,5; 50,5)
$\frac{45,5 + 50,5}{2} =48$
16
[50,5; 55,5)
$\frac{50,5 + 55,5}{2} =53$
10
[55,5; 60,5)
$\frac{55,5 + 60,5}{2} =58$
5
[60,5; 65,5)
$\frac{60,5 + 65,5}{2} =63$
4
[65,5; 70,5)
$\frac{65,5 + 70,5}{2} =68$
2
Câu 16: Nhận biết
Đại diện hai đội bóng rổ X và Y cùng thực hiện ném một bóng 3 điểm một cách độc lập. Biết xác suất ném bóng vào rổ của hai tuyển thủ A và B lần lượt là $\frac{1}{5}$ và $\frac{2}{7}$ . Tính xác suất của biến cố cả hai cùng ném bóng trúng rổ?
- A.
  $\frac{2}{35}$
- B.
  $\frac{1}{35}$
- C.
  $\frac{6}{35}$
- D.
  $\frac{2}{7}$
Do hai tuyển thủ ném bóng rổ một cách độc lập nên xác suất của biến cố cả hai cùng ném bóng trúng rổ là:

$P(A).P(B) = \frac{1}{5}.\frac{2}{7} = \frac{2}{35}$
Câu 17: Thông hiểu
Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên trong tập hợp S gồm các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau, trong đó chữ số 3 đứng liền giữa hai chữ số 2 và 4. Tìm số phần tử không gian mẫu?
- A.
  51756
- B.
  7440
- C.
  25878
- D.
  3486
Ta chia thành các trường hợp như sau:
TH1: Nếu số 234 đứng đầu thì có $A_{7}^{2}$ số
TH2: Nếu cố 432 đứng đầu thì có $A_{7}^{2}$ số
TH3: Nếu cố 234; 432 không đứng đầu
Khi đó có 6 cách chọn số đứng đầu, khi đó còn 4 vị trí có 2 cách sắp xếp 3 số 234 và 432, còn lại 1 vị trí có $C_{6}^{1}$ cách chọn số còn lại. Do đó trường hợp này có $6.2.2.C_{6}^{1} =144$
Suy ra số phần tử của tập hợp S là $2.A_{7}^{2} + 144 = 228$
Vậy số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{228}^{2} = 25878$
Câu 18: Nhận biết
Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong lớp?
- A. 9880
- B. 59280
- C. 2300
- D. 455
Số cách chọn ba học sinh trong lớp là tổ hợp chập 3 của 40 phần tử: $C_{40}^3 = 9880$ cách
Câu 19: Nhận biết
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg)
Số học sinh
[45; 50)
5
[50; 55)
12
[55; 60)
10
[60; 65)
6
[65; 70)
5
[70; 75)
8
Cỡ mẫu của mẫu số liệu là:
- A.
  $75$
- B.
  $62$
- C.
  $46$
- D.
  $58$
Cỡ mẫu của mẫu số liệu là:
$N = 5 + 12 + 10 + 6 + 5 + 8 = 46$

Câu 20: Vận dụng

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng	Tần số
[150; 155)	15
[155; 160)	10
[160; 165)	40
[165; 170)	27
[170; 175)	5
[175; 180)	3

Xác định tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Nhóm chứa trung vị là [160; 165) Đúng||Sai

b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [165; 170) Sai||Đúng

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [155; 160) Sai||Đúng

d) $\Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$ Đúng||Sai

Ta có:

Đối tượng	Tần số	Tần số tích lũy
[150; 155)	15	15
[155; 160)	11	26
[160; 165)	39	65
[165; 170)	27	92
[170; 175)	5	97
[175; 180)	3	100

Cỡ mẫu là: $N = 100$

$\frac{N}{2} = 50$ => trung vị thuộc nhóm [160; 165) (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy 25 và 65)

$\frac{N}{4} = 25$ => tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [155; 160) (vì 25 nằm giữa hai tần số tích lũy 15 và 26)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 155;\dfrac{N}{4} = 25;m = 15;f = 11 \\c = 160 - 155 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_{1} = l + \dfrac{\left( \dfrac{N}{4} - might)}{f}.c = 155 + \frac{25 - 15}{11}.5 \approx 159,55$

$\frac{3N}{4} = 75$ => tứ phân vị thứ ba nhóm [165; 170) (vì 75 nằm giữa hai tần số tích lũy 65 và 92)

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}l = 165;\dfrac{3N}{4} = 75;m = 65;f = 27 \\c = 170 - 165 = 5 \\\end{matrix} ight.$

Khi đó tứ phân vị thứ ba là:

$Q_{3} = l + \dfrac{\left( \dfrac{3N}{4} -m ight)}{f}.c = 165 + \dfrac{75 - 65}{27}.5 \approx 166,85$

$\Rightarrow \Delta Q = Q_{3} - Q_{1} \approx 7$

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Cánh Diều Kết quả

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu đã làm: 0
Điểm tạm tính: 0
Tài khoản làm: Đăng nhập

Làm lại

76 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Thời gian	Học sinh
[0; 2)	8
[2; 4)	16
[4; 6)	4
[6; 8)	2
[8; 10)	2

Nhóm dữ liệu	Tần số
(10; 20]	15
(20; 30]	25
(30; 40]	20
(40; 50]	12
(50; 60]	8
(60; 70]	5
(70; 80]	3

Khoảng điểm	[0; 10)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)
Số học sinh	2	7	15	10	11	5

Điểm	Số học sinh
[20; 30)	4
[30; 40)	6
[40; 50)	15
[50; 60)	12
[60; 70)	10
[70; 80)	6
[80; 90)	4
[90; 100]	3

Chiều cao (tính bằng cm)	Tần số
[150; 155)	12
[155; 160)	9
[160; 165)	14
[165; 170)	10
[170; 175)	5

Cân nặng	Giá trị đại diện	Số học sinh
[40,5; 45,5)	43	7
[45,5; 50,5)	48	16
[50,5; 55,5)	53	10
[55,5; 60,5)	58	5
[60,5; 65,5)	63	4
[65,5; 70,5)	68	2

Cân nặng (kg)	Số học sinh
[45; 50)	5
[50; 55)	12
[55; 60)	10
[60; 65)	6
[65; 70)	5
[70; 75)	8