Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.
Ta có:
gọi B: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”
Ta có:
Biết 
và là hai biến cố đối nhau. Chọn khẳng định đúng?
Ta có:
Tung một đồng tiền xu cân đối và đồng chất 5 lần liên tiếp. Tính số phần tử của biến cố “Mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần”.
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố “Mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần” khi đó là biến cố “Mặt sấp không xuất hiện”
Khi đó
Khi đó
Cho hai biến cố A và B có ta kết luận hai biến cố A và B là:
Ta có: P(A) + P(B) = 1/3 + 1/4 = 7/12 ≠ 1/2 = P(A ∪ B)
Suy ra P(A) + P(B) ≠ P(A ∪ B)
=> Hai biến cố A và B không xung khắc
Áp dụng công thức xác suất tổng hai biến cố ta có:
Mà
=> Hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập.
Có bao nhiêu cách chọn một tổ tưởng tổ dân phố từ một nhóm cư dân gồm 25 nam và 20 nữ?
Số cách chọn một người từ 45 người là: (cách)
Vậy có 45 cách chọn tổ trưởng tổ dân phố.
Bỏ 5 lá thư vào 5 phong bì đã chuẩn bị địa chỉ trước. Tính xác suất để lá thứ nhất đúng với người nhận?
Không gian mẫu là số cách chọn 5 lá thư vào 5 phong bì đã chuẩn bị địa chỉ trước.
Do đó số phần tử của không gian mẫu là: 5! = 120
Gọi B là biến cố “Lá thứ nhất đúng với người nhận”.
Lá thứ nhất có đúng 1 cách chọn.
Lá thứ 2 có 4 cách chọn.
Lá thứ 3 có 3 cách chọn
Lá thứ 4 có 2 cách chọn
Lá thứ 5 có 1 cách chọn
Suy ra
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm | [0; 20) | [20; 40) | [40; 60) | [60; 80) | [80; 100) |
Số học sinh | 5 | 9 | 12 | 10 | 6 |
Mốt của dữ liệu thuộc nhóm nào trong mẫu dữ liệu trên?
Mốt thuộc nhóm
Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478
Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478
Gọi biến cố A là biến cố chọn trong T một số có mặt chữ số 1 đúng 1 lần.
Biến cố B là biến cố chọn trong T một số chia hết cho 5
Biến cố số được chọn vừa có chữ số 1 xuất hiện một lần vừa chia hết cho 5.
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số có dạng:
Có 4 khả năng để số có một chữ số 1 xuất hiện một lần là a = 1; b = 1; c = 1; d = 1.
Do đó số phần tử của A là
Số chia hết cho 5 có hai dạng . Do đó số phần tử của B là
Số vừa có 1 chữ số 1 xuất hiện vừa chia hết cho 5 xảy ra một trong các khả năng sau: . Do đó số phần tử của
là:
Vậy số phần tử biến cố P là:
Điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 11A được ghi trong bảng sau:
Điểm | Số học sinh |
[20; 30) | 4 |
[30; 40) | 6 |
[40; 50) | 15 |
[50; 60) | 12 |
[60; 70) | 10 |
[70; 80) | 6 |
[80; 90) | 4 |
[90; 100] | 3 |
Số học sinh lớp 11A là:
Số học sinh lớp 11A là:
4 + 6 + 15 + 12 + 10 + 6 + 4 + 3 = 60 (học sinh)
Khảo sát thời gian đến trường của 40 học sinh (đơn vị: phút) ta được kết quả như sau:
5 | 3 | 10 | 20 | 25 | 11 | 13 | 7 | 12 | 31 |
19 | 10 | 12 | 17 | 18 | 11 | 32 | 17 | 16 | 2 |
7 | 9 | 7 | 8 | 3 | 5 | 12 | 15 | 18 | 3 |
12 | 14 | 2 | 9 | 6 | 15 | 15 | 7 | 6 | 12 |
Chuyển số liệu sau dưới dạng mẫu số liệu ghép nhóm có độ dài như nhau và chọn khoảng đầu tiên là . Xác định tần suất nhóm trong mẫu dữ liệu ghép nhóm thu được?
Ta chia thành các nhóm có độ dài là 5
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 35.
Ta có bảng ghép nhóm như sau:
Thời gian | Số học sinh |
[0; 5) | 6 |
[5; 10) | 10 |
[10; 15) | 11 |
[15; 20) | 9 |
[20; 25) | 1 |
[25; 30) | 1 |
[3; 35) | 2 |
Ta có tần suất của nhóm là:
Từ tập hợp các chữ số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ?
Gọi
Gọi số có 4 chữ số là khi đó có 3 trường hợp xảy ra:
TH1: Số cần tìm có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ
Có cách chọn 2 chữ số chẵn.
Có cách chọn 2 chữ số lẻ.
Có 2! cách xếp 2 chữ số chẵn (tạo ra 3 khoảng trống kể cả hai đầu)
Có cách sắp xếp 2 chữ số lẻ vào 3 khoảng trống.
Vậy trường hợp này có: cách.
TH2: Số cần tìm có 3 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ
Có cách chọn 3 chữ số chẵn.
Có cách chọn 1 chữ số lẻ.
Có 4! cách xếp các số sau khi chọn
Vậy trường hợp này có: cách.
TH3: Số cần tìm có 4 chữ số chẵn
Có 4! = 24 cách xếp các số sau khi chọn
Suy ra số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 720 + 480 + 24 = 1224 số.
Biểu đồ dưới đây thể hiện điểm kiểm tra của 20 học sinh:
Tính điểm trung bình của 20 học sinh trên?
Ta có bảng sau:
Khoảng điểm | Điểm đại diện | Tần số | Tích các giá trị |
(0; 10] | 5 | 2 | 10 |
(10; 20] | 15 | 5 | 75 |
(20; 30] | 25 | 6 | 150 |
(30; 40] | 35 | 4 | 140 |
(40; 50] | 45 | 3 | 135 |
Tổng |
| N = 20 | 510 |
Số điểm trung bình:
Điểm kiểm tra của một nhóm học sinh được ghi trong bảng sau:
Điểm | Số học sinh |
(20; 30] | 1 |
(30; 40] | 1 |
(40; 50] | 10 |
(50; 60] | 11 |
(60; 70] | 5 |
(70; 80] | 2 |
Số phần tử của mẫu dữ liệu ghép nhóm là:
Ta có:
Điểm | Số học sinh | Tần số tích lũy |
(20; 30] | 1 | 1 |
(30; 40] | 1 | 2 |
(40; 50] | 10 | 12 |
(50; 60] | 11 | 23 |
(60; 70] | 5 | 28 |
(70; 80] | 2 | 30 |
Tổng | N = 30 |
|
Vậy số phần tử mẫu là N = 30
Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp đựng 10 thẻ trắng, 8 thẻ đỏ và 7 thẻ xanh. Tính xác suất để lấy được 3 tấm thẻ cùng màu?
Gọi A là biến cố lấy được 3 thẻ trắng
B là biến cố lấy được 3 thẻ đỏ
C là biến cố lấy được 3 thẻ xanh
Gọi D là biến cố lấy được 3 thẻ cùng màu
Khi đó
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm kết quả đo chiều cao (đơn vị: cm) của một nhóm học sinh lớp 11 như sau:
Số học sinh có chiều cao không vượt quá 168 cm so với tất cả các học sinh chiếm bao nhiêu phần trăm?
Số học sinh tham gia đo chiều cao là 36 học sinh
Số học sinh cao không quá 168cm là: 9 + 15 = 24 học sinh chiếm
Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là:
Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng:
Số cần tìm chia hết cho 10 => e = 0 => Có 1 cách chọn e
Số cách chọn a là 9 cách
Số cách chọn b là 10 cách
Số cách chọn c là 10 cách
Số cách chọn d là 10 cách
=> Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 10 là: 9 . 10 . 10 . 10 = 9000 số
Cho tập hợp dữ liệu như sau:
11 | 23 | 31 | 17 | 24 |
38 | 37 | 7 | 12 | 5 |
8 | 15 | 33 | 19 | 27 |
Điền vào ô trống các giá trị còn thiếu:
Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số |
(0; 10] | 5 | 3 |
(10; 20] | 15 | 5 |
(20; 30] | 25 | 3 |
(30; 40] | 35 | 4 |
Cho tập hợp dữ liệu như sau:
11 | 23 | 31 | 17 | 24 |
38 | 37 | 7 | 12 | 5 |
8 | 15 | 33 | 19 | 27 |
Điền vào ô trống các giá trị còn thiếu:
Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số |
(0; 10] | 5 | 3 |
(10; 20] | 15 | 5 |
(20; 30] | 25 | 3 |
(30; 40] | 35 | 4 |
Ta có:
Nhóm | Giá trị đại diện | Tần số |
(0; 10] | 5 | 3 |
(10; 20] | 15 | 5 |
(20; 30] | 25 | 3 |
(30; 40] | 35 | 4 |
Cho . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?
Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng:
Số cần tìm là số chẵn => e ∈ {2; 4; 6}
=> Có 3 cách chọn e
Số cách chọn a, b, c, d là:
=> Có thể lập được số các số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau là: số
Độ dài nhóm số liệu ghép nhóm là:
Độ dài của nhóm số liệu ghép nhóm là
.
Khảo sát thời gian vui chơi trong ngày của học sinh (đơn vị: giờ) thu được kết quả ghi lại trong bảng sau:
Thời gian | Học sinh |
[0; 2) | 8 |
[2; 4) | 16 |
[4; 6) | 4 |
[6; 8) | 2 |
[8; 10) | 2 |
Số học sinh có thời gian vui chơi ít hơn 6 tiếng là 28||20||24||26
Khảo sát thời gian vui chơi trong ngày của học sinh (đơn vị: giờ) thu được kết quả ghi lại trong bảng sau:
Thời gian | Học sinh |
[0; 2) | 8 |
[2; 4) | 16 |
[4; 6) | 4 |
[6; 8) | 2 |
[8; 10) | 2 |
Số học sinh có thời gian vui chơi ít hơn 6 tiếng là 28||20||24||26
Số học sinh có thời gian vui chơi ít hơn 6 tiếng là:
8 + 16 + 4 = 28 (học sinh)
