Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm | [0; 20) | [20; 40) | [40; 60) | [60; 80) | [80; 100) |
Số học sinh | 5 | 9 | 12 | 10 | 6 |
Mốt của dữ liệu thuộc nhóm nào trong mẫu dữ liệu trên?
Mốt thuộc nhóm
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
Điểm | [0; 20) | [20; 40) | [40; 60) | [60; 80) | [80; 100) |
Số học sinh | 5 | 9 | 12 | 10 | 6 |
Mốt của dữ liệu thuộc nhóm nào trong mẫu dữ liệu trên?
Mốt thuộc nhóm
Cho 6 chữ số 4, 5, 6, 7, 8, 9. Số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau lập thành từ 6 chữ số đó:
Gọi số tự nhiên có 3 chữ số có dạng:
Do số tự nhiên cần tìm là số chẵn => c = {4; 6; 8}
=> Số cách chọn c là 3 cách
Số cách chọn a là 5 cách
Số cách chọn b là 4 cách
=> Số các số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau lập thành từ 6 chữ số đã cho là: 3 . 5 . 4 = 60 số
Trong thùng bóng đèn có 5 bóng đèn loại I và 7 bóng đèn loại II, các bóng đèn khác nhau cả về hình dáng và màu sắc. Lấy ra lần lượt 5 bóng đèn. Giả sử biến cố
là biến cố lấy được bóng đèn loại I lần thứ
. Mô tả biến cố lấy được 4 bóng đèn loại I theo các biến cố
.
Vì lấy được 4 bóng loại I nên trong 5 lượt lấy có một lần lấy được bóng loại II. Từ giả thiết suy ra là biến cố lần thứ
lấy được bóng đèn loại II. Do đó ta có:
Cho các chữ số
. Giả sử tập hợp
là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số đã cho. Lấy ngẫu nhiên một số
. Xác suất để chọn được
?
Gọi số phần tử của tập hợp M là
Số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố chọn được số lớn hơn .
Giả sử số tự nhiên có 4 chữ số là ta có:
nên ta có các trường hợp sau:
TH1: nên c có 5 cách chọn và d có 5 cách chọn.
Do đó trường hợp này có: số.
TH2: thì
có
cách chọn và sắp xếp.
Do đó trường hợp này có số.
TH3: thì
có
cách chọn và sắp xếp.
Do đó trường hợp này có số.
Vậy xác suất cần tính là: .
Dưới đây là sự phân bố một nhóm người theo mức thu nhập khác nhau:
Thu nhập (triệu đồng) | [0; 8) | [8; 16) | [16; 24) | [24; 32) | [32; 40) | [40; 48) |
Số người | 8 | 7 | 16 | 24 | 15 | 7 |
Tính mức thu nhập trung bình của nhóm người.
Mức thu nhập | |||
[0; 8) | 8 | 4 | 32 |
[8; 16) | 7 | 12 | 84 |
[16; 24) | 16 | 20 | 320 |
[24; 32) | 24 | 28 | 672 |
[32; 40) | 15 | 36 | 540 |
[40; 48) | 7 | 44 | 308 |
| N = 77 | 1956 | |
Mức thu nhập trung bình của nhóm người là:
Khảo sát thời gian vui chơi trong ngày của học sinh (đơn vị: giờ) thu được kết quả ghi lại trong bảng sau:
Thời gian | Học sinh |
[0; 2) | 8 |
[2; 4) | 16 |
[4; 6) | 4 |
[6; 8) | 2 |
[8; 10) | 2 |
Xác định số nhóm trong mẫu dữ liệu ghép nhóm trên?
Mẫu dữ liệu ghép nhóm trên có 5 nhóm.
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng | Tần số |
[150; 155) | 5 |
[155; 160) | 18 |
[160; 165) | 40 |
[165; 170) | 26 |
[170; 175) | 8 |
[175; 180) | 3 |
Tổng | N = 100 |
Xác định giá trị đại diện của nhóm thứ tư?
Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là
Đa giác có 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm I. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số phần tử của biến cố ba đỉnh được chọn là ba đỉnh của một tam giác tù?
Gọi là đa giác cần tìm nội tiếp đường tròn tâm I
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kì của đa giác thì luôn tạo thành một tam giác nên số phần tử không gian mẫu là
Gọi P là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác tù.
Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với A nhọn, B tù và C nhọn.
Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 20 cách. Kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là một đỉnh của đa giác.
Đường kính chia đường tròn thành hai nửa đường tròn, với mỗi cách chọn ra hai điểm B và C là hai đỉnh của đa giác cùng thuộc một nửa đường tròn ta được một tam giác tù ABC.
Khi đó, số cách chọn ba điểm A, B và C là cách
Tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần nên suy ra
Độ tuổi của 112 cư dân được ghi như bảng sau:
Tuổi | Số học sinh |
[0; 9] | 20 |
[10; 19] | 21 |
[20; 29] | 23 |
[30; 39] | 16 |
[40; 49] | 11 |
[50; 59] | 10 |
[60; 69] | 7 |
[70; 79] | 3 |
[80; 89] | 1 |
Hoàn thành bảng số liệu dưới đây?
Tuổi | Số đại diện tuổi | Số học sinh |
[0; 10) | 5 | 20 |
[10; 20)||[10;20)||[10,20)||[10, 20) | 15 | 21 |
[20; 30) | 25 | 23 |
[30; 40)||[30;40)||[30,40)||[30, 40) | 35 | 16 |
[40; 50) | 45 | 11 |
[50; 60)||[50;60)||[50,60)||[50, 60) | 55 | 10 |
[60; 70)||[60;70)||[60, 70)||[60,70) | 65 | 7 |
[70; 80) | 75 | 3 |
[80; 90)||[80;90)||[80,90)||[80, 90) | 85 | 1 |
Độ tuổi của 112 cư dân được ghi như bảng sau:
Tuổi | Số học sinh |
[0; 9] | 20 |
[10; 19] | 21 |
[20; 29] | 23 |
[30; 39] | 16 |
[40; 49] | 11 |
[50; 59] | 10 |
[60; 69] | 7 |
[70; 79] | 3 |
[80; 89] | 1 |
Hoàn thành bảng số liệu dưới đây?
Tuổi | Số đại diện tuổi | Số học sinh |
[0; 10) | 5 | 20 |
[10; 20)||[10;20)||[10,20)||[10, 20) | 15 | 21 |
[20; 30) | 25 | 23 |
[30; 40)||[30;40)||[30,40)||[30, 40) | 35 | 16 |
[40; 50) | 45 | 11 |
[50; 60)||[50;60)||[50,60)||[50, 60) | 55 | 10 |
[60; 70)||[60;70)||[60, 70)||[60,70) | 65 | 7 |
[70; 80) | 75 | 3 |
[80; 90)||[80;90)||[80,90)||[80, 90) | 85 | 1 |
Ta có:
Tuổi | Đại diện tuổi | Số học sinh |
[0; 10) | 5 | 20 |
[10; 20) | 15 | 21 |
[20; 30) | 25 | 23 |
[30; 40) | 35 | 16 |
[40; 50) | 45 | 11 |
[50; 60) | 55 | 10 |
[60; 70) | 65 | 7 |
[70; 80) | 75 | 3 |
[80; 90) | 85 | 1 |
Kết quả chạy 50m của học sinh lớp 11A (đơn vị: giây) được liệt kê như sau:
7,8 | 7,7 | 7,5 | 7,8 | 7,7 | 7,6 | 8,7 |
7,6 | 7,5 | 7,5 | 7,3 | 7,1 | 8,1 | 8,4 |
7,0 | 7,1 | 7,2 | 7,3 | 7,4 | 8,5 | 8,3 |
7,2 | 7,1 | 7,0 | 6,7 | 6,6 | 8,6 | 8,2 |
6,9 | 6,8 | 6,5 | 6,2 | 6,3 |
Tính phần trăm số học sinh có thành tích chạy ít nhất 7 giây và cao nhất 8,5 giây?
Từ số liệu thống kê đã cho, ta xác định được tần số của các lớp như sau:
Thời gian (giây) | Tần suất (%) |
[6,0; 6,5) | 6,06 |
[6,5; 7,0) | 15,15 |
[7,0; 7,5) | 30,3 |
[7,5; 8,0) | 27,27 |
[8,0; 8,5) | 12,12 |
[8,5; 9) | 9,1 |
Tổng | 100% |
Suy ra số học sinh có thành tích chạy ít nhất 7 giây và cao nhất 8,5 giây chiếm số phần trăm là:
Gieo đồng thười hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét biến cố sau:
M: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 7”.
N: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 4”.
T: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số nguyên tố”.
Hai biến cố nào xung khắc với nhau?
Cặp biến cố M và N là xung khắc vì M, N không đồng thời xảy ra.
Cặp biến cố M, T không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 thì cả M, T xảy ra.
Cặp biến cố N, T không xung khắc vì nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 3 thì cả N, T đều xảy ra.
Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:
Lấy một số từ dãy số đã cho ta được:
Giả sử A là biến cố "lấy được một số nguyên tố"
Ta có: A = {2} =>
=> Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:
Thời gian chạy trung bình cự li
(giây) của các bạn học sinh là
Thời gian chạy trung bình cự li (giây) của các bạn học sinh là:
(giây)
Chiều cao của 50 học sinh đo chính xác đến centimet được biểu diễn như sau:
161 | 150 | 154 | 165 | 168 | 161 | 154 | 162 | 150 | 151 |
162 | 164 | 171 | 165 | 158 | 154 | 156 | 172 | 160 | 170 |
153 | 159 | 161 | 170 | 162 | 165 | 166 | 168 | 165 | 164 |
154 | 152 | 153 | 156 | 158 | 162 | 160 | 161 | 173 | 166 |
161 | 159 | 162 | 167 | 168 | 159 | 158 | 153 | 154 | 159 |
Biểu diễn dữ liệu trên thành bảng dữ liệu ghép nhóm, lấy các khoảng chiều cao [160; 165); [165; 170); ... Khi đó số học sinh trong nhóm có khoảng chiều cao cao nhất là bao nhiêu học sinh?
Độ dài nhóm:
Khoảng biến thiên:
Ta có: vậy ta chia thành 5 nhóm như sau:
Chiều cao (tính bằng cm) | Tần số |
Tổng |
Vậy số học sinh trong nhóm có khoảng chiều cao cao nhất là 5 học sinh.
Trong kho hàng có
sản phẩm công nghệ, trong đó có một số sản phẩm bị lỗi. Giả sử
là biến cố sản phẩm thứ
bị lỗi với
. Biến cố
cả n sản phẩm đều tốt là:
Ta có:
là biến cố sản phẩm thứ
bị lỗi với
Nên là biến cố sản phẩm thứ
tốt với
Biến cố cả n sản phẩm đều tốt là:
Cho bảng dữ liệu như sau:
Đại diện | Tần số |
[1; 5) | 6 |
[5; 10) | 19 |
[10; 15) | 13 |
[15; 20) | 20 |
[20; 25) | 12 |
[25; 30) | 11 |
[30; 35) | 6 |
[35; 40) | 5 |
Tính tứ phân vị thứ nhất của mẫu dữ liệu đã cho?
Ta có:
Đại diện | Tần số | Tần số tích lũy |
[1; 5) | 6 | 6 |
[5; 10) | 19 | 25 |
[10; 15) | 13 | 38 |
[15; 20) | 20 | 58 |
[20; 25) | 12 | 70 |
[25; 30) | 11 | 81 |
[30; 35) | 6 | 87 |
[35; 40) | 5 | 92 |
| N = 92 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa là
(vì 23 nằm giữa các tần số tích lũy 6 và 25).
Khi đó ta tìm được các giá trị:
Một lớp gồm 40 học sinh trong đó có 12 học sinh giỏi môn Toán và 13 học sinh giỏi môn Vật lí. Biết rằng khi chọn một học sinh giỏi môn Toán hoặc Vật lí có xác suất là
. Số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Vật lí là 5
Một lớp gồm 40 học sinh trong đó có 12 học sinh giỏi môn Toán và 13 học sinh giỏi môn Vật lí. Biết rằng khi chọn một học sinh giỏi môn Toán hoặc Vật lí có xác suất là . Số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Vật lí là 5
Gọi A là biến cố học sinh được chọn giỏi môn Toán, B là biến cố học sinh được chọn giỏi môn Vật lí.
Ta có:
là biến cố học sinh được chọn giỏi môn Toán hoặc Vật lí
là biến cố học sinh được chọn giỏi cả 2 môn Toán và Vật lí
Ta có:
Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau?
Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng:
Số cách chọn a là 4 cách
Số cách chọn b là 3 cách
Số cách chọn c là 2 cách
Số cách chọn d là 1 cách
=> Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được số các số gồm 4 chữ số khác nhau là 4! = 24 số
Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ:
Chọn vị trí cho hai nhóm 3 nam và 3 nữ có 2 cách chọn (1 nhóm ở vị trí chẵn và nhóm còn lại ở vị trí lẻ)
Xếp 3 nam có: 3.2.1 = 6 cách xếp
Xếp 3 nữ có: 3.2.1 = 6 cách xếp
Vậy có 2.(3.2.1)2 = 72 cách xếp
Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô hàng đó. Hãy tìm xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá một phế phẩm?
Số cách chọn ra 6 sản phẩm từ 10 sản phẩm là
Gọi biến cố A: “Lấy 6 sản phẩm từ lô hàng đó có không quá một phế phẩm”.
Trường hợp 1: Không có phế phẩm nào.
Số cách chọn 6 sản phẩm không phải là phế phẩm là cách.
Trường hợp 2: Có 1 phế phẩm và 5 sản phẩm còn lại.
Số cách chọn có 1 phế phẩm và 5 sản phẩm còn lại là cách.
Khi đó: