Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu?
Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là cách
Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.
Gọi A là biến cố cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu
Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:
Vậy xác suất để cần tìm là:
Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập các số tự nhiên sau: 
. Tính xác suất để tổng ba số được chọn là số lẻ?
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên ba số tự nhiên từ 11 số tự nhiên sau:
Do đó số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi B là biến cố “Tổng ba số được chọn là số lẻ”
Tổng ba số được chọn tạo thành số lẻ thì ba số được chọn cần thỏa điều kiện: 3 số đều là số lẻ, hai số chẵn và 1 số lẻ.
TH1: 3 số đều là số lẻ:
TH2: số cách chọn hai số chẵn và 1 số lẻ là
Suy ra ta có
Vậy xác suất cần tìm là:
Giả sử hai biến cố là hai biến cố xung khắc. Công thức nào sau đây đúng?
Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên theo công thức cộng xác suất ta có: .
Em hãy mô tả không gian mẫu của phép thử gieo một con xúc xắc là:
Không gian mẫu của phép thử gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất là:
Cho tập hợp E = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ E là số chẵn?
Số các chữ số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số đã cho có dạng:
Do E là số chẵn =>
Trường hợp 1: e = 0
Số cách chọn a là 7 cách
Số cách chọn b là 6 cách
Số cách chọn c là 5 cách
Số cách chọn d là 4 cách
=> Số các chữ số được tạo thành là: 7.6.5.4.1 = 840 (số)
Trường hợp 2:
Số cách chọn e là 3 cách
Số cách chọn a là 6 cách (vì a khác 0)
Số cách chọn e là 6 cách
Số cách chọn e là 5 cách
Số cách chọn e là 4 cách
=> Số các chữ số được tạo thành là: 3.6.6.5.4 = 2160 (số)
Vậy số có 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ E là số chẵn có thể lập được là:
840 + 2160 = 3000 số
Bảng số liệu sau đây thể hiện tuổi thọ của các bóng đèn (đơn vị: giờ):
1144 | 1134 | 1162 | 1130 | 1120 | 1160 | 1116 |
1179 | 1165 | 1150 | 1155 | 1177 | 1109 | 1142 |
1121 | 1103 | 1145 | 1131 | 1133 | 1170 | 1127 |
1164 | 1147 | 1157 | 1136 | 1166 | 1111 | 1168 |
1115 | 1150 | 1101 | 1125 | 1152 | 1132 | 1140 |
Từ mẫu số liệu trên, nếu ghép các số liệu thành 4 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau thì độ dài của mỗi nhóm số liệu bằng bao nhiêu?
Khoảng biến thiên là 1179 – 1101 = 78
Để số liệu thành 4 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau, ta chia thành các nhóm có độ dài là 20.
Ta chia thành các nhóm sau: [1100; 1120), [1120; 1140), [1140; 1160), [1160; 1180).
Cho sơ đồ mạch điện gồm 4 bóng đèn như hình vẽ sau:
Biết xác suất hỏng của mỗi bóng đèn là . Tính xác suất để khi cho dòng diện chạy qua thì mạch điện sáng?
Gọi là biến cố bóng đèn thứ i sáng với
Gọi A là biến cố có ít nhất một bóng đèn sáng
Để không có bóng đèn nào sáng ta có các trường hợp như sau:
TH1: Cả 4 bóng đèn cùng hỏng
B là biến cố bốn bóng đèn bị hỏng
Khi đó xác suất để cả 4 bóng đèn bị hỏng là:
TH2: Cả 3 bóng đèn cùng hỏng
C là biến cố ba bóng đèn bị hỏng
Khi đó xác suất để có 3 bóng đèn bị hỏng là:
TH3: Hai bóng đèn phía trái hoặc phía bên phải bị hỏng
D là biến cố hai bóng đèn phía trái hoặc phía bên phải bị hỏng
Khi đó xác suất để cả 2 bóng đèn cùng phía bị hỏng là:
Vậy xác suất để có ít nhất 1 bóng đèn sáng là
Một công ty xây dựng khảo sát 300 khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát ghi lại ở bảng sau:
|
Mức giá |
[10; 14) |
[14; 18) |
[18; 22) |
[22; 26) |
[26; 30) |
|
Số khách hàng |
55 |
78 |
110 |
45 |
12 |
Mức giá mua nhà trung bình là
Ta có:
|
Mức giá |
[10; 14) |
[14; 18) |
[18; 22) |
[22; 26) |
[26; 30) |
|
Giá trị đại diện |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
|
Số khách hàng |
55 |
78 |
110 |
45 |
12 |
Mức giá mua nhà trung bình là:
.
Vậy mức giá mua nhà trung bình là: (triệu đồng/
).
Chiều cao của 50 học sinh đo chính xác đến centimet được biểu diễn như sau:
Chiều cao (tính bằng cm) | Tần số |
[150; 155) | 12 |
[155; 160) | 9 |
[160; 165) | 14 |
[165; 170) | 10 |
[170; 175) | 5 |
Độ dài nhóm dữ liệu là: 5
Chiều cao của 50 học sinh đo chính xác đến centimet được biểu diễn như sau:
Chiều cao (tính bằng cm) | Tần số |
[150; 155) | 12 |
[155; 160) | 9 |
[160; 165) | 14 |
[165; 170) | 10 |
[170; 175) | 5 |
Độ dài nhóm dữ liệu là: 5
Đáp án đúng là: 5.
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Tính giá trị trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên?
Ta có:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
|
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 | N = 20 |
Tần số tích lũy | 2 | 9 | 16 | 19 | 20 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa trung vị là [9; 11)
(Vì 10 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)
Do đó:
Khi đó trung vị là:
Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số mà chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho ?
Gọi số cần tìm có dạng
Vì số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho 6.
Suy ra
TH1: Với chữ số
có 4 cách chọn,
có 6 cách chọn, ba chữ số còn lại có
cách chọn.
Do đó số.
TH2: Với chữ số
có 4 cách chọn,
có 5 cách chọn, ba chữ số còn lại có
cách chọn.
Do đó số.
Vậy các số tự nhiên tạo thành thỏa mãn yêu cầu bài toán là: .
Đa giác có 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm I. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số phần tử của biến cố ba đỉnh được chọn là ba đỉnh của một tam giác tù?
Gọi là đa giác cần tìm nội tiếp đường tròn tâm I
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kì của đa giác thì luôn tạo thành một tam giác nên số phần tử không gian mẫu là
Gọi P là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác tù.
Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với A nhọn, B tù và C nhọn.
Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 20 cách. Kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là một đỉnh của đa giác.
Đường kính chia đường tròn thành hai nửa đường tròn, với mỗi cách chọn ra hai điểm B và C là hai đỉnh của đa giác cùng thuộc một nửa đường tròn ta được một tam giác tù ABC.
Khi đó, số cách chọn ba điểm A, B và C là cách
Tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần nên suy ra
Thời gian xem tivi trong tuần của 30 học sinh tìm được như sau:
1 | 6 | 2 | 3 | 5 | 12 | 5 | 8 | 4 | 8 |
10 | 3 | 4 | 12 | 2 | 8 | 15 | 1 | 17 | 6 |
3 | 2 | 8 | 5 | 9 | 6 | 8 | 7 | 14 | 12 |
Chuyển dữ liệu về dạng mẫu dữ liệu theo nhóm, độ lớn các nhóm bằng nhau và trong đó có khoảng thời gian là [5; 10). Hãy cho biết có bao nhiêu học sinh xem tivi trong khoảng thời gian lớn nhất?
Độ dài nhóm là
Khoảng biến thiên:
Ta có: => Số nhóm tạo thành là 4 nhóm.
Số giờ | Tần số |
Tổng cộng |
Vậy có 2 học sinh xem tivi trong khoảng thời gian lớn nhất.
Mẫu nhóm số liệu ghép nhóm là tập hợp:
Mẫu số liệu ghép nhóm là tập hợp các giá trị của số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định.
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Nhóm nào chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu?
Ta có:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người | Tần số tích lũy |
[0; 50) | 5 | 5 |
[50; 100) | 12 | 17 |
[100; 150) | 23 | 40 |
[150; 200) | 17 | 57 |
[200; 250) | 3 | 60 |
| N = 60 |
|
Cỡ mẫu là:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [50; 100) (vì 15 nằm giữa hai tần số tích lũy 5 và 17)
Các bước để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm sang mẫu số liệu ghép nhóm là:
Cho bảng dữ liệu như sau:
Đại diện | Tần số |
[1; 5) | 6 |
[5; 10) | 19 |
[10; 15) | 13 |
[15; 20) | 20 |
[20; 25) | 12 |
[25; 30) | 11 |
[30; 35) | 6 |
[35; 40) | 5 |
Tính tứ phân vị thứ ba của mẫu dữ liệu đã cho?
Ta có:
Đại diện | Tần số | Tần số tích lũy |
[1; 5) | 6 | 6 |
[5; 10) | 19 | 25 |
[10; 15) | 13 | 38 |
[15; 20) | 20 | 58 |
[20; 25) | 12 | 70 |
[25; 30) | 11 | 81 |
[30; 35) | 6 | 87 |
[35; 40) | 5 | 92 |
| N = 92 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa là
(vì 69 nằm giữa các tần số tích lũy 58 và 70).
Khi đó ta tìm được các giá trị:
Lấy ngẫu nhiên hai viên bi trong hộp có 10 viên bi gồm 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, 2 viên bi vàng và 1 viên bi trắng. Tính xác suất của biến cố B “hai viên bi lấy ra có cùng màu”.
Ta có:
Gọi các biến cố
D lấy được hai viên bi đỏ
E lấy được hai viên bi xanh
F lấy được 2 viên bi vàng
Ta có D, E, F là các biến cố đôi một xung khắc và
Với 4 chữ số 1; 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt?
Với 4 chữ số 1; 2; 3; 4 có thể lập được số có tối đa 4 chữ số
Trường hợp số có 1 chữ số ta được 4 số
Trường hợp số có 2 chữ số ta được 4 . 3 = 12 số
Trường hợp số có 3 chữ số ta được: 4 . 3 . 2 = 24 số
Trường hợp số có 4 chữ số ta được: 4! = 24 số
=> Có thể lập được số các số có các chữ số phân biệt là: 4 + 12 + 24 + 24 = 64 số
Có bao nhiêu biển đăng kí xe máy nếu mỗi biển chứa một dãy gồm 1 chữ cái tiếp đến một chữ số khác 0 và cuối cùng là 5 chữ số?
Chọn một chữ cái trong 26 chữ cái có 26 cách
Chọn 1 chữ số khác 0 từ 1 đến 9 có 9 cách
Cuối cùng 5 chữ số còn lại mỗi số có 10 cách chọn
Vậy số các biển số xe thỏa mãn là 26.9.105 = 24300000 biển.
