Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5.
Gọi số tự nhiên có 6 chữ số có dạng:
Do số tự nhiên tạo thành có các chữ số đôi một khác nhau =>
Khi đó:
Số cách chọn f là 1 cách
Số cách chọn a là 6 cách
Số cách chọn b là 5 cách
Số cách chọn c là 4 cách
Số cách chọn d là 3 cách
Số cách chọn e là 2 cách
=> Số các số tạo thành thỏa mãn điều kiện đề bài là:
6.5.4.3.2.1 = 720 số
Thực hiện gieo con xúc xắc sau đó gieo một đồng tiền xu. Mô tả không gian mẫu.
Mỗi kết quả của phép thử là cặp kết quả của phép thử gieo xúc xắc viết trước và gieo đồng tiền viết sau nên không gian mẫu là:
Một bảng xếp hạng đã tính điềm chuần hoá cho chỉ số nghiên cứu của một số trường đại học ở Việt Nam và thu được kết quả sau:
|
Điểm |
[10; 20) |
[20; 30) |
[30; 40) |
[40; 50) |
[50; 60) |
[60; 70) |
|
Số trường |
4 |
19 |
6 |
2 |
3 |
1 |
Các mệnh đề sau đúng hay sai
a) Số liệu đã cho cho có 
mẫu số liệu. Đúng||Sai
b) Số trung vị của mẫu số liệu là Sai||Đúng
c) Số trung bình của mẫu số liệu đã cho là . Sai||Đúng
d) Ngưỡng điểm đề đưa ra danh sách trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam là trên 35,42. Đúng||Sai
Một bảng xếp hạng đã tính điềm chuần hoá cho chỉ số nghiên cứu của một số trường đại học ở Việt Nam và thu được kết quả sau:
|
Điểm |
[10; 20) |
[20; 30) |
[30; 40) |
[40; 50) |
[50; 60) |
[60; 70) |
|
Số trường |
4 |
19 |
6 |
2 |
3 |
1 |
Các mệnh đề sau đúng hay sai
a) Số liệu đã cho cho có mẫu số liệu. Đúng||Sai
b) Số trung vị của mẫu số liệu là Sai||Đúng
c) Số trung bình của mẫu số liệu đã cho là . Sai||Đúng
d) Ngưỡng điểm đề đưa ra danh sách trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam là trên 35,42. Đúng||Sai
a) Ta có cỡ mẫu . Vậy đáp án a) đúng.
b) Gọi được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Khi đó, trung vị là . Do
thuộc nhóm
nên nhóm này chứa trung vị.
Suy ra ,
,
,
,
,
.
.
Vậy đáp án b) sai.
c) Số trung bình của mẫu số liệu là
.
Vậy đáp án c) sai.
d) Điểm ngưỡng để đưa ra danh sách trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam là tứ phân vị thứ ba.
Cỡ mẫu
Tứ phân vị thứ ba là
mà
thuộc nhóm [30;40) nên nhóm này chứa
.
Do đó, và ta có:
.
Vậy để đưa ra danh sách trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam ta lấy các trường có điểm chuẩn hóa trên 35.42.
Vậy đáp án d) đúng.
Sản lượng xoài (tính bằng kg) được ghi lại trong bảng sau:
Sản lượng | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) | [70; 80) | [80; 90) | [90; 100) |
Số cây | 10 | 15 | 17 | 14 | 12 | 2 |
Tìm mốt của mẫu dữ liệu trên?
Quan sát bảng thống kê ta thấy tần số cao nhất là 17 nằm trong nhóm [60; 70).
Sản lượng | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) | [70; 80) | [80; 90) | [90; 100) |
Số cây | 10 | 15 | 17 | 14 | 12 | 2 |
|
|
|
|
Khi đó ta tính mốt như sau:
Trong một buổi lễ kỉ niệm nhân ngày 20/10 có 20 đại biểu nữ và 10 đại biểu nam. Ban tổ chức mời 5 đại biểu phát biểu ý kiến. Tính xác suất để trong 5 phát biểu mời có một hoặc hai phát biểu là của đại biểu nam?
Gọi A là biến cố "Trong 5 phát biểu mời có đúng một phát biểu là của đại biểu nam".
Gọi B là biến cố "Trong 5 phát biểu mời có đúng hai phát biểu là của đại biểu nam".
Biến cố là "Trong 5 phát biểu mời có một hoặc hai phát biểu là của đại biểu nam".
Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên
Ta có:
Mẫu số liệu có bao nhiêu nhóm?
Mẫu số liệu đã cho có 5 nhóm.
Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.
Ta có:
Gọi C: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”
Ta có:
Khảo sát thời gian học của học sinh trong một ngày được ghi trong bảng sau:
Khoảng thời gian học (phút) | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) | [70; 80) |
Tần số | 2 | 3 | 14 | 8 | 3 | 8 | 2 |
Số học sinh có thời gian học nhỏ hơn 40 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
Số học sinh tham gia khảo sát là: 40 học sinh.
Số học sinh có thời gian học ít hơn 40 phút là: 19 học sinh chiếm
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg) | Số học sinh |
[45; 50) | 5 |
[50; 55) | 12 |
[55; 60) | 10 |
[60; 65) | 6 |
[65; 70) | 5 |
[70; 75) | 8 |
Tính độ dài nhóm số liệu trong mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Độ dài nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 5.
Đa giác có 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm I. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số phần tử của biến cố ba đỉnh được chọn là ba đỉnh của một tam giác tù?
Gọi là đa giác cần tìm nội tiếp đường tròn tâm I
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kì của đa giác thì luôn tạo thành một tam giác nên số phần tử không gian mẫu là
Gọi P là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác tù.
Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với A nhọn, B tù và C nhọn.
Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 20 cách. Kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là một đỉnh của đa giác.
Đường kính chia đường tròn thành hai nửa đường tròn, với mỗi cách chọn ra hai điểm B và C là hai đỉnh của đa giác cùng thuộc một nửa đường tròn ta được một tam giác tù ABC.
Khi đó, số cách chọn ba điểm A, B và C là cách
Tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần nên suy ra
Từ các số 0, 1, 2, 7, 8, 9 tạo được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?
Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ dãy số có dạng:
Trường hợp 1: e = 0
Số cách chọn a là 5 cách
Số cách chọn b là 4 cách
Số cách chọn c là 3 cách
Số cách chọn d là 2 cách
=> Số các số được tạo thành là: 5 . 4 . 3 . 2 = 120 số
Trường hợp 2: e ≠ 0
=> e = {2; 8}
=> Số cách chọn e là 2 cách
Số cách chọn a là 4 cách
Số cách chọn b là 4 cách
Số cách chọn c là 3 cách
Số cách chọn d là 2 cách
=> Số các số được tạo thành là: 2 .4. 4. 3 . 2 = 192 số
=> Từ dãy số tạo được số các số chẵn có 5 chữ số khác nhau là 120 + 192 = 312 số
Đội học sinh giỏi toán 10 có tất cả 18 học sinh, trong đó có 7 học sinh giỏi môn Toán, 6 học sinh giỏi môn Văn và 5 học sinh giỏi môn Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 8 học sinh đi dự thi chính thức, biết rằng mỗi môn có ít nhất 1 học sinh.
Số cách chọn 8 học sinh gồm hai khối là phần bù của cách chọn 8 học sinh đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn.
Số cách chọn 8 học sinh từ hai khối là:
Số cách chọn 8 học sinh bất kì là:
Số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán:
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg) | Số học sinh |
[45; 50) | 5 |
[50; 55) | 12 |
[55; 60) | 10 |
[60; 65) | 6 |
[65; 70) | 5 |
[70; 75) | 8 |
Cỡ mẫu của mẫu số liệu là:
Cỡ mẫu của mẫu số liệu là:
Viết ngẫu nhiên 2 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp . Gọi là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4. Hỏi biến cố nào sau đây là biến cố xung khắc của biến cố ?
Ta có: là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4 thì biến cố xung khắc của C là hai số được viết không có mặt chữ số 4.
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Nhóm nào chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu?
Ta có:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người | Tần số tích lũy |
[0; 50) | 5 | 5 |
[50; 100) | 12 | 17 |
[100; 150) | 23 | 40 |
[150; 200) | 17 | 57 |
[200; 250) | 3 | 60 |
| N = 60 |
|
Cỡ mẫu là:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [50; 100) (vì 15 nằm giữa hai tần số tích lũy 5 và 17)
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng | Tần số |
[150; 155) | 5 |
[155; 160) | 18 |
[160; 165) | 40 |
[165; 170) | 26 |
[170; 175) | 8 |
[175; 180) | 3 |
Tổng | N = 100 |
Xác định giá trị đại diện của nhóm thứ tư?
Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm sau đây:
Nhóm | Tần số |
(0;10] | 8 |
(10;20] | 14 |
(20;30] | x |
(30;40] | 9 |
(40;50] | 7 |
Biết . Tìm cỡ mẫu?
Ta có:
Đại diện | Tần số | Tích các giá trị |
5 | 8 | 40 |
15 | 14 | 210 |
25 | x | 25x |
35 | 9 | 315 |
45 | 7 | 315 |
Tổng | N = 38 + x | 880 + 25x |
Theo bài ra ta có giá trị trung bình là:
Vậy số phần tử của mẫu dữ liệu là N = 38 + 12 = 50
Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Chọn mô tả đúng dưới đây?
Mô tả không gian mẫu đúng là:
Sắp 3 quyển sách Toán và 3 quyển sách Vật Lí lên một kệ dài. Xác suất để 3 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau là:
Số phần tử của không gian mẫu (Số cách xếp 6 quyển sách lên một kệ dài) là: 6! = 720 cách.
Sắp xếp 3 sách Toán với nhau và 3 sách Vật lí với nhau
Coi 6 quyển sách là hai bộ sách Toán và Vật Lí
Số cách sắp xếp hai bộ sách là 2! = 2 (cách)
Cách sắp xếp bộ sách Toán là 3! = 6
Cách sắp xếp bộ sách Vật Lí là 3! = 6
=> Số cách sắp xếp để 3 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau là: 2 . 6 . 6 = 72 (cách)
=> Xác suất để 3 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau là:
Gieo liên tiếp ba lần con súc sắc. Tìm xác suất để tổng số chấm trên mặt không nhỏ hơn 16?
Không gian mẫu là số cách xuất hiện các mặt của con súc sắc trong ba lần gieo liên tiếp
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi A là biến cố '' Tổng số chấm trên các mặt của ba lần gieo không nhỏ hơn 16”.
Ta có bộ các số tương ứng với số chấm có tổng không nhỏ hơn 16 là (4;6;6); (6;4;6), (6;6;4); (5;5;6), (6;5;5); (5;6;5); (5;6;6), (6;5;6), (6;6;5) và (6;6;6).
Do đó số phần tử của biến cố A là:
Vậy xác suất cần tìm là:
