Hai người đi săn cùng bắn vào một con mồi. Gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trúng con mồi. B là biến cố người thứ hai bắn trúng con mồi. Mối quan hệ giữa hai biến cố A và B là:
Hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập vì việc người thứ nhất bắn trúng con mồi không phụ thuộc vào người thứ hai bắn trúng con mồi.
Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ, 4 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 quả trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu?
Số cách chọn 2 quả xanh, 1 quả đỏ, 1 quả vàng là: cách
Số cách chọn 1 quả xanh, 2 quả đỏ, 1 quả vàng là: cách
Số cách chọn 1 quả xanh, 1 quả đỏ, 2 quả vàng là: cách
=> Số cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu là 420 + 280 + 210 = 910 cách
Sơ đồ phân phối điện như hình vẽ:
Điện được tải từ trạm điện P đến nơi tiêu thụ Q qua các trạm tải nhỏ A, B, C, D, V. Xác suất có sự cố kĩ thuật sau một thời gian hoạt động của các trạm tải nhỏ A, B, C là và của các trạm D, V là . Hãy tính xác suất để nơi tiêu thụ Q không bị mất điện (biết rằng các trạm tải nhỏ hoạt động độc lập với nhau).
Gọi Q là biến cố nơi tiêu thụ Q không mất điện
A, B, C, D, V là biến cố các trạm tải nhỏ A, B, C, D, V gặp sự cố kĩ thuật.
Ta có:
Suy ra
Vậy
Lớp 11A chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp để tham gia hoạt động đoàn trường. Xét hai biến cố:
Biến cố A: “Học sinh đó là nam”
Biến cố B: “Học sinh đó là học sinh giỏi”
Khẳng định nào sau đây đúng khi mô tả biến cố ?
Ta có:
: Học sinh đó là học sinh nam hoặc là học sinh giỏi
Rút đồng thời 5 tấm thẻ từ một chiếc hộp có 12 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố “Tổng các số ghi trên 5 tấm thẻ rút được là số lẻ?
Đáp án: 396
Rút đồng thời 5 tấm thẻ từ một chiếc hộp có 12 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố “Tổng các số ghi trên 5 tấm thẻ rút được là số lẻ?
Đáp án: 396
Gọi A là biến cố tổng các số ghi trên 5 tấm thẻ rút được là số lẻ.
Ta có trong 12 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 12 thì có 6 tấm thẻ ghi số chẵn và 6 tấm thẻ ghi số lẻ
Để tổng các số ghi trên 5 tấm thẻ rút được là số lẻ thì số thẻ ghi số lẻ là lẻ.
Ta có các trường hợp như sau:
TH1: 1 thẻ ghi số lẻ và 4 thẻ ghi số chẵn
Có
TH2: 3 thẻ ghi số lẻ và 2 thẻ ghi số chẵn
Có
TH3: 5 thẻ đều ghi số lẻ
Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất 1 học sinh nam?
Số cách chọn ba học sinh trong đó có 1 học sinh nam là: cách
Số cách chọn ba học sinh trong đó không có học sinh nam là: cách
=> Số cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất một học sinh nam là: cách
Gieo liên tiếp ba lần con súc sắc. Tìm xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên tố nhỏ hơn 9?
Không gian mẫu là số cách xuất hiện các mặt của con súc sắc trong ba lần gieo liên tiếp
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi B là biến cố '' Tổng số chấm trên các mặt của ba lần gieo là một số nguyên tố nhỏ hơn 9 ''
Ta có các số nguyên tố nhỏ hơn 9 gồm: 2, 3, 5, 7.
Bộ các số tương ứng với số chấm có tổng bằng 2: không có.
Bộ các số tương ứng với số chấm có tổng bằng 3: (1,1,1): 1 cách
Bộ các số tương ứng với số chấm có tổng bằng 5: (1,1,3): 3 cách; (1,2,2): 3 cách
Bộ các số tương ứng với số chấm có tổng bằng 7: (1,1,5): 3 cách; (1,2,4): 6 cách; (1,3,3): 3 cách; (2,3,2): 3 cách.
Do đó số phần tử của biến cố B là
Vậy xác suất cần tìm là:
Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5
Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5
Giả sử lấy được ba số là: với
do đó
Lại có là ba cạnh của tam giác ABC, với
có góc C tù.
với
Xét c = 4 thì bộ thỏa mãn
Xét c = 6 do
thỏa mãn
Xét c = 8 do
thỏa mãn
Vậy số phần tử của biến cố F là
Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) của 50 học sinh lớp 11D.
Khoảng chiều cao (cm) | [150; 155) | [155; 160) | [160; 165) | [165; 170) |
Số học sinh | 12 | 13 | 9 | 10 |
Mẫu số liệu trên có bao nhiêu nhóm?
Quan sát bảng số liệu ta thấy mẫu số liệu có 4 nhóm.
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg) | Số học sinh |
[45; 50) | 5 |
[50; 55) | 12 |
[55; 60) | 10 |
[60; 65) | 6 |
[65; 70) | 5 |
[70; 75) | 8 |
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất và nhóm chứa tứ phân vị thứ ba lần lượt là:
Ta có:
Cân nặng (kg) | Số học sinh | Tần số tích lũy |
[45; 50) | 5 | 5 |
[50; 55) | 12 | 17 |
[55; 60) | 10 | 27 |
[60; 65) | 6 | 33 |
[65; 70) | 5 | 38 |
[70; 75) | 8 | 46 |
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là: [50; 55)
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: [65; 70)
Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.
Ta có:
Gọi C: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”
Ta có:
Tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm sau đây:
Thời gian (s) | Số vận động viên (người) |
(50,5; 55,5] | 2 |
(55,5; 60,5] | 7 |
(60,5; 65,5] | 8 |
(65,5; 70,5] | 4 |
Ta có:
Thời gian (s) | Số vận động viên (người) | Tần số tích lũy |
(50,5; 55,5] | 2 | 2 |
(55,5; 60,5] | 7 | 9 |
(60,5; 65,5] | 8 | 17 |
(65,5; 70,5] | 4 | 21 |
Tổng | N = 21 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa trung vị là
Khi đó:
Trung vị của mẫu số liệu là:
Giả sử hai biến cố là hai biến cố xung khắc. Công thức nào sau đây đúng?
Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên theo công thức cộng xác suất ta có: .
Khảo sát thời gian vui chơi trong ngày của học sinh (đơn vị: giờ) thu được kết quả ghi lại trong bảng sau:
Thời gian | Học sinh |
[0; 2) | 8 |
[2; 4) | 16 |
[4; 6) | 4 |
[6; 8) | 2 |
[8; 10) | 2 |
Xác định giá trị đại diện của nhóm dữ liệu thứ ba?
Trong mẫu dữ liệu ghép nhóm, giá trị đại diện là giá trị trung bình cộng của giá trị hai đầu mút.
Nhóm dữ liệu thứ ba là [4; 6)
=> Giá trị đại diện của nhóm dữ liệu thứ ba là:
Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển có ít nhất một nữ?
Số cách chọn 2 trong 6 người có cách
Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.
Chọn 2 người trong số 6 người nói trên sao cho có ít nhất một nữ là
Do đó xác suất của biến cố này là .
Chiều cao của một số học sinh nam được ghi trong bảng dữ liệu sau:
Chiều cao (cm) | Số học sinh |
[95; 105) | 9 |
[105; 115) | 13 |
[115; 125) | 26 |
[125; 135) | 30 |
[135; 145) | 12 |
[145; 155) | 10 |
Tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm chiều cao nào?
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là:
Khảo sát thời gian vui chơi trong ngày của học sinh (đơn vị: giờ) thu được kết quả ghi lại trong bảng sau:
Thời gian | Học sinh |
[0; 2) | 8 |
[2; 4) | 16 |
[4; 6) | 4 |
[6; 8) | 2 |
[8; 10) | 2 |
Số học sinh có thời gian vui chơi ít hơn 6 tiếng là 28||20||24||26
Khảo sát thời gian vui chơi trong ngày của học sinh (đơn vị: giờ) thu được kết quả ghi lại trong bảng sau:
Thời gian | Học sinh |
[0; 2) | 8 |
[2; 4) | 16 |
[4; 6) | 4 |
[6; 8) | 2 |
[8; 10) | 2 |
Số học sinh có thời gian vui chơi ít hơn 6 tiếng là 28||20||24||26
Số học sinh có thời gian vui chơi ít hơn 6 tiếng là:
8 + 16 + 4 = 28 (học sinh)
Kết quả đo chiều cao một nhóm các học sinh nam (đơn vị: cm) lớp 11 được thống kê như sau:
160 | 161 | 161 | 162 | 162 | 162 |
163 | 163 | 163 | 164 | 164 | 164 |
164 | 165 | 165 | 165 | 165 | 165 |
166 | 166 | 166 | 166 | 167 | 167 |
168 | 168 | 168 | 168 | 169 | 169 |
170 | 171 | 171 | 172 | 172 | 174 |
Chuyển mẫu dữ liệu trên sang mẫu dữ liệu ghép nhóm gồm 4 nhóm số liệu theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau. Khi đó mốt của dấu hiệu thuộc nhóm số liệu nào?
Ta có:
Khoảng biến thiên là
Để chia số liệu thành 4 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau, ta chia các nhóm có độ dài bằng 4
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 176.
Khi đó ta có các nhóm là:
Vậy bảng dữ liệu ghép nhóm đúng là:
Quan sát bảng dữ liệu ghép nhóm ta thấy mốt của dấu hiệu thuộc nhóm số liệu .
Một công ty xây dựng khảo sát 300 khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát ghi lại ở bảng sau:
|
Mức giá |
[10; 14) |
[14; 18) |
[18; 22) |
[22; 26) |
[26; 30) |
|
Số khách hàng |
55 |
78 |
110 |
45 |
12 |
Mức giá mua nhà trung bình là
Ta có:
|
Mức giá |
[10; 14) |
[14; 18) |
[18; 22) |
[22; 26) |
[26; 30) |
|
Giá trị đại diện |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
|
Số khách hàng |
55 |
78 |
110 |
45 |
12 |
Mức giá mua nhà trung bình là:
.
Vậy mức giá mua nhà trung bình là: (triệu đồng/
).
Khảo sát thời gian đến trường của 40 học sinh (đơn vị: phút) ta được kết quả như sau:
5 | 3 | 10 | 20 | 25 | 11 | 13 | 7 | 12 | 31 |
19 | 10 | 12 | 17 | 18 | 11 | 32 | 17 | 16 | 2 |
7 | 9 | 7 | 8 | 3 | 5 | 12 | 15 | 18 | 3 |
12 | 14 | 2 | 9 | 6 | 15 | 15 | 7 | 6 | 12 |
Chuyển số liệu sau dưới dạng mẫu số liệu ghép nhóm có độ dài như nhau và chọn khoảng đầu tiên là . Xác định tần suất nhóm trong mẫu dữ liệu ghép nhóm thu được?
Ta chia thành các nhóm có độ dài là 5
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 35.
Ta có bảng ghép nhóm như sau:
Thời gian | Số học sinh |
[0; 5) | 6 |
[5; 10) | 10 |
[10; 15) | 11 |
[15; 20) | 9 |
[20; 25) | 1 |
[25; 30) | 1 |
[3; 35) | 2 |
Ta có tần suất của nhóm là:
