Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có bạn An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực trong đó phải có An:
Số cách chọn bạn An là 1 cách.
=> Số cách chọn 3 bạn đi trực (không có An) là: cách
Vậy có 165 cách chọn 4 em đi trực trong đó phải có An.
Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có bạn An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực trong đó phải có An:
Số cách chọn bạn An là 1 cách.
=> Số cách chọn 3 bạn đi trực (không có An) là: cách
Vậy có 165 cách chọn 4 em đi trực trong đó phải có An.
Cho bảng số liệu:
Đại diện X | 16 – 20 | 21 – 25 | 26 – 30 | 31 – 35 | 36 – 40 | 41 – 45 | 46 – 50 | 51 – 55 |
Tần số | 5 | 6 | 12 | 14 | 26 | 12 | 16 | 9 |
Cho biết bảng số liệu trên có phải bảng phân phối tần số liên tục không?
Dữ liệu đã cho không phải là phân phối tần số liên tục.
Bây giờ, chúng ta phải chuyển đổi dữ liệu đã cho thành phân phối tần số liên tục bằng cách trừ 0,5 từ giới hạn dưới và thêm 0,5 vào giới hạn trên của mỗi khoảng thời gian của nhóm.
Đại diện X | [15,5; 20,5) | [20,5; 25,5) | [25,5; 30,5) | [30,5; 35,5) | [35,5; 40,5) | [40,5; 45,5) | [45,5; 50,5) | [50,5; 55,5) |
Tần số | 5 | 6 | 12 | 14 | 26 | 12 | 16 | 9 |
Ở đây
Giới hạn trên của khoảng cao nhất là
Giới hạn dưới của khoảng thấp nhất là
=> Khoảng biến thiên là
Một liên đoàn bóng đá có 10 đội, mỗi đội phải đá 4 trận với mỗi đội khác, 2 trận ở sân nhà và 2 trận ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:
Mỗi đội sẽ gặp 9 đội khác trong hai lượt trận sân nhà và sân khách
=> Có 10 . 9 = 90 trận
Mỗi đội đá 2 trận sân nhà, 2 trận sân khách
=> Số trận đấu là 2.90 =180 trận
Cho
. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 2 chữ số đôi một khác nhau?
Số tự nhiên có hai chữ số khác nhau có dạng:
Do số cần tìm là số lẻ => b ∈ {1; 3; 5}
=> Có 3 cách chọn b
Số cách chọn a là 4 cách
=> Có thể lập được số các số lẻ có 2 chữ số đôi một khác nhau là: 3 . 4 = 12 số
Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu?
Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là cách
Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.
Gọi A là biến cố cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu
Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:
Vậy xác suất để cần tìm là:
Khảo sát thời gian tập thể dục của một nhóm học sinh lớp 11 thu được kết quả ghi trong bảng thống kê sau:
|
Thời gian (phút) |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
Số học sinh |
8 |
9 |
15 |
12 |
6 |
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu đã cho là:
Nhóm chứa mốt là nhóm có giá trị tần số lớn nhất
Nên nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là: .
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu.
Ta có:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
|
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 | N = 20 |
Tần số tích lũy | 2 | 9 | 16 | 19 | 20 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [7; 9)
(Vì 5 nằm giữa hai tần số tích lũy 2 và 9)
Sắp xếm 4 bạn nam và 4 bạn nữ vào một bàn tròn. Biết mỗi bạn chỉ ngồi 1 chỗ và bàn có đủ 8 chỗ ngồi. Tính xác suất sao cho hai bạn cùng giới không ngồi cạnh nhau?
Gọi A là biến cố 2 người không cùng giới ngồi cạnh nhau
n là số cách sắp xếp người xung quanh bàn tròn
Mỗi cách sắp xếm là hoán vị của 8 vị trí, khi đó số hoán vị cần tìm là 8!
Mỗi hoán vị không đổi nếu ta thực hiện vòng quanh nên mỗi hoán vị đã được tính 8 lần.
Vậy
Xếp 4 nữ vào 4 vị trí ta có: cách
Xếp 4 nam vào 4 vị trí qua 4 khoảng, số cách sắp xếp
Vậy
Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478
Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478
Gọi biến cố A là biến cố chọn trong T một số có mặt chữ số 1 đúng 1 lần.
Biến cố B là biến cố chọn trong T một số chia hết cho 5
Biến cố số được chọn vừa có chữ số 1 xuất hiện một lần vừa chia hết cho 5.
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số có dạng:
Có 4 khả năng để số có một chữ số 1 xuất hiện một lần là a = 1; b = 1; c = 1; d = 1.
Do đó số phần tử của A là
Số chia hết cho 5 có hai dạng . Do đó số phần tử của B là
Số vừa có 1 chữ số 1 xuất hiện vừa chia hết cho 5 xảy ra một trong các khả năng sau: . Do đó số phần tử của
là:
Vậy số phần tử biến cố P là:
Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
Gọi số cạnh của đa giác là n (cạnh)
Điều kiện
=> Số đỉnh tương ứng của đa giác là n đỉnh
Cứ 2 đỉnh của đa giác tạo thành một đoạn thẳng (là cạnh hoặc đường chéo)
=> Số đoạn thẳng tạo thành là đoạn
Mà số đường chéo gắp đôi số cạnh => Số đường chéo là 2n
Ta có phương trình:
Vậy đa giác đó có 7 cạnh.
Biết rằng xác suất để thắng một trận game là
. Hỏi người chơi phải chơi ít nhất bao nhiêu trận để xác suất thắng ít nhất một trận trong loạt chơi lớn hơn
?
Gọi n là số trận người đó chơi.
A là biến cố người đó thắng ít nhất 1 trận
Suy ra là biến cố người đó không thắng trận nào.
trong đó
là biến cố người đó thắng trận thứ i và
Ta có bất phương trình
Vậy giá trị nhỏ nhất của n bằng 9.
Tính số tuổi trung bình của những người trong khu vực thể hiện dưới bảng số liệu sau đây:
Nhóm tuổi | Số lượng người |
[0; 10) | 6 |
[10; 20) | 12 |
[20; 30) | 10 |
[30; 40) | 32 |
[40; 50) | 22 |
[50; 60) | 18 |
[60; 70) | 15 |
[70; 80) | 5 |
[80; 90) | 4 |
[90; 100) | 3 |
Trong mỗi nhóm tuổi, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:
Nhóm tuổi | Số lượng người |
5 | 6 |
15 | 12 |
25 | 10 |
35 | 32 |
45 | 22 |
55 | 18 |
65 | 15 |
75 | 5 |
85 | 4 |
95 | 3 |
| N = 127 |
Tuổi trung bình là:
Cho bảng dữ liệu như sau:
Đại diện | Tần số |
[1; 5) | 6 |
[5; 10) | 19 |
[10; 15) | 13 |
[15; 20) | 20 |
[20; 25) | 12 |
[25; 30) | 11 |
[30; 35) | 6 |
[35; 40) | 5 |
Tính tứ phân vị thứ ba của mẫu dữ liệu đã cho?
Ta có:
Đại diện | Tần số | Tần số tích lũy |
[1; 5) | 6 | 6 |
[5; 10) | 19 | 25 |
[10; 15) | 13 | 38 |
[15; 20) | 20 | 58 |
[20; 25) | 12 | 70 |
[25; 30) | 11 | 81 |
[30; 35) | 6 | 87 |
[35; 40) | 5 | 92 |
| N = 92 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa là
(vì 69 nằm giữa các tần số tích lũy 58 và 70).
Khi đó ta tìm được các giá trị:
Khảo sát thời gian đến trường của 40 học sinh (đơn vị: phút) ta được kết quả như sau:
5 | 3 | 10 | 20 | 25 | 11 | 13 | 7 | 12 | 31 |
19 | 10 | 12 | 17 | 18 | 11 | 32 | 17 | 16 | 2 |
7 | 9 | 7 | 8 | 3 | 5 | 12 | 15 | 18 | 3 |
12 | 14 | 2 | 9 | 6 | 15 | 15 | 7 | 6 | 12 |
Chuyển số liệu sau dưới dạng mẫu số liệu ghép nhóm có độ dài như nhau và chọn khoảng đầu tiên là
. Xác định tần suất nhóm
trong mẫu dữ liệu ghép nhóm thu được?
Ta chia thành các nhóm có độ dài là 5
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 35.
Ta có bảng ghép nhóm như sau:
Thời gian | Số học sinh |
[0; 5) | 6 |
[5; 10) | 10 |
[10; 15) | 11 |
[15; 20) | 9 |
[20; 25) | 1 |
[25; 30) | 1 |
[3; 35) | 2 |
Ta có tần suất của nhóm là:
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm như sau:
Đối tượng | Tần số |
[150; 155) | 5 |
[155; 160) | 18 |
[160; 165) | 40 |
[165; 170) | 26 |
[170; 175) | 8 |
[175; 180) | 3 |
Tổng | N = 100 |
Xác định giá trị đại diện của nhóm thứ tư?
Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là
Độ dài nhóm số liệu ghép nhóm
là:
Độ dài của nhóm số liệu ghép nhóm là
.
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc. Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện:
Số phần tử không gian mẫu là:
Biến cố A là biến cố "mặt 6 chấm xuất hiện"
=>
=> Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện:
Một nhóm học sinh có 4 nam và 3 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 3 bạn trong đó có đúng một bạn là nữ?
Ta có:
Ba bạn được chọn có 1 nữ và 2 nam
=> Số cách chọn là: cách
Gieo liên tiếp ba lần con súc sắc. Tìm xác suất để tổng số chấm trên mặt không nhỏ hơn 16?
Không gian mẫu là số cách xuất hiện các mặt của con súc sắc trong ba lần gieo liên tiếp
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi A là biến cố '' Tổng số chấm trên các mặt của ba lần gieo không nhỏ hơn 16”.
Ta có bộ các số tương ứng với số chấm có tổng không nhỏ hơn 16 là (4;6;6); (6;4;6), (6;6;4); (5;5;6), (6;5;5); (5;6;5); (5;6;6), (6;5;6), (6;6;5) và (6;6;6).
Do đó số phần tử của biến cố A là:
Vậy xác suất cần tìm là:
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
|
Điểm |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
Số học sinh |
5 |
9 |
12 |
10 |
6 |
a) Điểm kiểm tra trung bình của học sinh lớp 11A khoảng 51 điểm. Đúng||Sai
b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là
. Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:
. Đúng||Sai
d) Giá trị tứ phân vị thứ ba và mốt của mẫu dữ liệu lần lượt là
. Sai||Đúng
Điểm kiểm tra khảo sát môn Tiếng Anh của lớp 11A được ghi trong bảng số liệu ghép nhóm như sau:
|
Điểm |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
Số học sinh |
5 |
9 |
12 |
10 |
6 |
a) Điểm kiểm tra trung bình của học sinh lớp 11A khoảng 51 điểm. Đúng||Sai
b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là . Sai||Đúng
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: . Đúng||Sai
d) Giá trị tứ phân vị thứ ba và mốt của mẫu dữ liệu lần lượt là . Sai||Đúng
a) Điểm trung bình của lớp 11A là:
b) Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu là
c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:
Ta có:
|
Điểm |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
|
Số học sinh |
5 |
9 |
12 |
10 |
6 |
N = 42 |
|
Tần số tích lũy |
5 |
14 |
26 |
36 |
42 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa là [60; 80)
(Vì 31,5 nằm giữa hai tần số tích lũy 26 và 36)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
Mốt thuộc nhóm
Ta có:
|
Điểm |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
Số học sinh |
5 |
9 |
12 |
10 |
6 |
|
|
|
|
Khi đó mốt của dữ liệu được tính như sau: