Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi 
là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ . Hãy mô tả biến cố bắn trúng mục tiêu ít nhất một lần qua các biến cố .
Gọi M là biến cố bắn trúng mục tiêu ít nhất 1 lần
Khi đó là biến cố lần thứ
bắn không trúng mục tiêu.
Khi đó ta có:
Có 15 đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?
Lấy hai đội bất kỳ trong 15 đội bóng tham gia thi đấu ta được một trận đấu. Vậy số trận đấu chính là một tổ hợp chập 2 của 15 phần tử (đội bóng đá).
Như vậy, ta có trận đấu.
Sản lượng xoài (tính bằng kg) được ghi lại trong bảng sau:
Sản lượng | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) | [70; 80) | [80; 90) | [90; 100) |
Số cây | 10 | 15 | 17 | 14 | 12 | 2 |
Tìm mốt của mẫu dữ liệu trên?
Quan sát bảng thống kê ta thấy tần số cao nhất là 17 nằm trong nhóm [60; 70).
Sản lượng | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) | [70; 80) | [80; 90) | [90; 100) |
Số cây | 10 | 15 | 17 | 14 | 12 | 2 |
|
|
|
|
Khi đó ta tính mốt như sau:
Thời gian xem tivi trong tuần của 30 học sinh tìm được như sau:
1 | 6 | 2 | 3 | 5 | 12 | 5 | 8 | 4 | 8 |
10 | 3 | 4 | 12 | 2 | 8 | 15 | 1 | 17 | 6 |
3 | 2 | 8 | 5 | 9 | 6 | 8 | 7 | 14 | 12 |
Chuyển dữ liệu về dạng mẫu dữ liệu theo nhóm, độ lớn các nhóm bằng nhau và trong đó có khoảng thời gian là [5; 10). Hãy cho biết có bao nhiêu học sinh xem tivi trong khoảng thời gian lớn nhất?
Độ dài nhóm là
Khoảng biến thiên:
Ta có: => Số nhóm tạo thành là 4 nhóm.
Số giờ | Tần số |
Tổng cộng |
Vậy có 2 học sinh xem tivi trong khoảng thời gian lớn nhất.
Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ và nhân 2 số ghi trên 2 thẻ với nhau. Xác suất để tích 2 số ghi trên 2 thẻ là số lẻ là:
Số phần tử không gian mẫu là:
Giả sử biến cố T: " Tích hai số ghi trên hai thẻ được rút là số lẻ"
Nghĩa là cả hai thẻ rút được đều mang số lẻ
=> Số phần tử của biến cố T là
=> Xác suất để tích 2 số ghi trên 2 thẻ là số lẻ là:
Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào
được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là:
Số các cách để chọn những màu cần dùng là:
Gieo 3 lần đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu. Ta có P là biến cố trong ba lượt gieo có ít nhất một lần kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp. Tính số phần tử của biến cố đối của biến cố P?
Xét phép thử gieo ba lần một con xúc xắc và một đồng xu với không gian mẫu có số phần tử là
Xét biến cố P trong ba lượt gieo có ít nhất một lần kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp.
TH1: trong cả ba lần gieo đều được kết quả: con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp. Có 1 khả năng xảy ra.
TH2: trong ba lần gieo có đúng 2 lần gieo con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp. Có khả năng.
TH3: trong ba lần gieo có đúng 1 lần gieo con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp. Có khả năng.
Một hộp chứa 7 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu trong hộp. Số phần tử không gian mẫu là:
Số phần tử không gian mẫu là:
Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) của 50 học sinh lớp 11D.
Khoảng chiều cao (cm) | [145; 150) | [150; 155) | [155; 160) | [160; 165) | [165; 170) |
Số học sinh | 6 | 12 | 13 | 9 | 10 |
Mẫu số liệu trên có bao nhiêu nhóm?
Quan sát bảng số liệu ta thấy mẫu số liệu có 5 nhóm.
Giả sử hai biến cố là hai biến cố xung khắc. Công thức nào sau đây đúng?
Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên theo công thức cộng xác suất ta có: .
Tìm nhóm chứa mốt của mẫu dữ liệu dưới đây:
Nhóm dữ liệu | Tần số |
(0; 15] | 4 |
(15; 30] | 12 |
(30; 45] | 17 |
(45; 60] | 7 |
Nhóm chứa mốt là: (30; 45] vì có tần số cao nhất.
Ước tính cân nặng trung bình của 20 người được cho trong bảng dữ liệu dưới đây:
Cân nặng (x, kg) | Số người |
0 < x ≤ 20 | 2 |
20 < x ≤ 40 | 6 |
40 < x ≤ 60 | 7 |
60 < x ≤ 80 | 4 |
80 < x ≤ 100 | 1 |
Ta có:
Cân nặng đại diện (x, kg) | Số người | Tích các giá trị |
10 | 2 | 20 |
30 | 6 | 180 |
50 | 7 | 350 |
70 | 4 | 280 |
90 | 1 | 90 |
Tổng | N = 20 | 920 |
Cân nặng trung bình của 20 người đó là:
Kết quả đo chiều cao một nhóm các học sinh nam (đơn vị: cm) lớp 11 được thống kê như sau:
160 | 161 | 161 | 162 | 162 | 162 |
163 | 163 | 163 | 164 | 164 | 164 |
164 | 165 | 165 | 165 | 165 | 165 |
166 | 166 | 166 | 166 | 167 | 167 |
168 | 168 | 168 | 168 | 169 | 169 |
170 | 171 | 171 | 172 | 172 | 174 |
Bảng số liệu ghép nhóm nào sau đây đúng?
Ta có:
Khoảng biến thiên là
Để chia số liệu thành 4 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau, ta chia các nhóm có độ dài bằng 4
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 176.
Khi đó ta có các nhóm là:
Vậy bảng dữ liệu ghép nhóm đúng là:
Khi nào mẫu số liệu ghép nhóm thường được dùng để thuận lợi cho việc tổ chức, đọc và phân tích số liệu?
Mẫu số liệu ghép nhóm được dùng khi ta không thể thu thập được số liệu chính xác hoặc do yêu cầu bài toán mà ta phải biểu diễn mẫu số liệu dưới dạng ghép nhóm để thuận lợi cho việc tổ chức, đọc và phân tích số liệu.
Cho hai hộp đựng các viên bi nhiều màu:
Hộp 1 có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh.
Hộp 2 chứa 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh.
Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 viên bi. Gọi A là biến cố “Hai viên bi lấy ra cùng màu”. Tính ?
Giả sử là biến cố hai viên bi lấy được cùng màu trắng
Khi đó
là biến cố hai viên bi lấy được cùng màu đỏ
Khi đó
là biến cố hai viên bi lấy được cùng màu xanh
Khi đó
Tìm khoảng biến thiên của dãy dữ liệu sau: 25; 8; 16; 12; 10; 9; 4; 13?
Ta có:
Giá trị lớn nhất: 25
Giá trị nhỏ nhất: 4
Khoảng biến thiên là: 25 – 4 = 21
Có hai hòm, mỗi hòm chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm một tấm thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên hai tấm thẻ rút ra không nhỏ hơn 3.
Không gian mẫu
Vì có 5 cách chọn x và có 5 cách chọn y nên
Gọi A là biến cố “Tổng hai số ghi trên hai tấm thẻ không nhỏ hơn 3”.
Khi đó là biến cố “Tổng hai số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn 3”.
Ta có:
Xác suất cần tìm là
Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478
Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478
Gọi biến cố A là biến cố chọn trong T một số có mặt chữ số 1 đúng 1 lần.
Biến cố B là biến cố chọn trong T một số chia hết cho 5
Biến cố số được chọn vừa có chữ số 1 xuất hiện một lần vừa chia hết cho 5.
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số có dạng:
Có 4 khả năng để số có một chữ số 1 xuất hiện một lần là a = 1; b = 1; c = 1; d = 1.
Do đó số phần tử của A là
Số chia hết cho 5 có hai dạng . Do đó số phần tử của B là
Số vừa có 1 chữ số 1 xuất hiện vừa chia hết cho 5 xảy ra một trong các khả năng sau: . Do đó số phần tử của
là:
Vậy số phần tử biến cố P là:
Khảo sát thời gian tập thể dục của một nhóm học sinh lớp 11 thu được kết quả ghi trong bảng thống kê sau:
|
Thời gian (phút) |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
Số học sinh |
8 |
9 |
15 |
12 |
6 |
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu đã cho là:
Nhóm chứa mốt là nhóm có giá trị tần số lớn nhất
Nên nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là: .
Một người bỏ ngẫy nhiên ba lá thư vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì:
Số phần tử không gian mẫu là 3! = 6
Gọi A là biến cố có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì.
Ta xét các trường hợp sau:
Nếu lá thư thứ nhất bỏ đúng phong vì, hai lá thư còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách.
Nếu lá thư thứ hai bỏ đúng phong bì, hai lá thư còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách
Nếu lá thư thứ ba bỏ đúng phong big, hai lá thư còn lại để sai thì chỉ có duy nhất 1 cách.
Không thể có trường hợp 2 lá thứ bỏ đúng và 1 lá thư bỏ sai.
Cả ba lá thư đều bỏ đúng có duy nhất 1 cách
=> n(A) = 4
Vậy xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì là:
