Kết quả kiểm tra học kì 1 môn Toán của học sinh lớp 11A được cho bằng biểu đồ tần số ghép nhóm như hình vẽ:

Số học sinh có điểm dưới 7 điểm là:
Quan sát biểu đồ ta thấy số học sinh có điểm dưới 7 điểm là: học sinh.
Kết quả kiểm tra học kì 1 môn Toán của học sinh lớp 11A được cho bằng biểu đồ tần số ghép nhóm như hình vẽ:

Số học sinh có điểm dưới 7 điểm là:
Quan sát biểu đồ ta thấy số học sinh có điểm dưới 7 điểm là: học sinh.
Một đội tham gia tình nguyện của trường gồm 6 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 cùng tham gia. Để tăng tình đoàn kết giữa các học sinh, giáo viên tổ chức một trò chơi gồm 6 người. Hỏi có bao nhiêu cách để giáo viên chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh?
Số cách chọn 6 học sinh bất kì từ 15 học sinh là
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 12 là:
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và khối 10 là:
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 10 và khối 12 là:
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và khối 12 là:
Do đó số cách chọn 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là
cách
Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 3 và 2:
Số chia hết cho 2 và 3 là 6k, với k là số tự nhiên.
Theo đề bài ta có:
0 ≤ 6k < 100
=> 0 ≤ k < 16,7
Vậy có 17 chữ số thỏa mãn.
Xác suất sút bóng phạt đền 11m của hai cầu thủ A và B lần lượt là
và
. Biết rằng mỗi cầu thủ sút một quả phạt đền và hai người sút độc lập. Tìm xác suất để ít nhất 1 người sút bóng thành công?
Xác suất sút không thành công của cầu thủ A là
Xác suất sút không thành công của cầu thủ B là
Xác suất cả hai cầu thủ sút không thành công là
=> Xác suất để ít nhất 1 người sút bóng thành công là:
Tuổi thọ (tính bằng giờ) của 100 bóng đèn được quan sát trong thử nghiệm kiểm tra chất lượng được đưa ra hiển thị trong bảng dưới đây:
Tuổi thọ (giờ) | [600; 650) | [650; 700) | [700; 750) | [750; 800) | [800; 850) |
Số bóng đèn | 6 | 14 | 40 | 34 | 6 |
Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Ta có:
Tuổi thọ (giờ) | [600; 650) | [650; 700) | [700; 750) | [750; 800) | [800; 850) |
Số bóng đèn | 6 | 14 | 40 | 34 | 6 |
Tần số tích lũy | 6 | 20 | 60 | 94 | 100 |
Ta có:
=> Trung vị nằm trong nhóm (vì 50 nằm giữa hai tần số tích lũy là 20 và 60)
(giờ)
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thống kê điểm số (thang điểm
) của
học sinh tham dự kỳ thi giữa kỳ
của lớp
, ta có bảng số liệu sau:
|
Điểm |
[0; 2) |
[2; 4) |
[4; 6) |
[6; 8) |
[8; 10) |
|
Số học sinh |
5 |
7 |
13 |
18 |
7 |
Tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Ta có bảng số liệu:
|
Điểm |
[0; 2) |
[2; 4) |
[4; 6) |
[6; 8) |
[8; 10) |
|
Số học sinh |
5 |
7 |
13 |
18 |
7 |
|
Tần số tích lũy |
5 |
12 |
25 |
43 |
50 |
Vì nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là
.
Khi đó tứ phân vị thứ nhất là
.
Khảo sát thời gian vui chơi trong ngày của học sinh (đơn vị: giờ) thu được kết quả ghi lại trong bảng sau:
Thời gian | Học sinh |
[0; 2) | 8 |
[2; 4) | 16 |
[4; 6) | 4 |
[6; 8) | 2 |
[8; 10) | 2 |
Xác định giá trị đại diện của nhóm dữ liệu thứ ba?
Trong mẫu dữ liệu ghép nhóm, giá trị đại diện là giá trị trung bình cộng của giá trị hai đầu mút.
Nhóm dữ liệu thứ ba là [4; 6)
=> Giá trị đại diện của nhóm dữ liệu thứ ba là:
Cho hai biến cố xung khắc với nhau. Biết xác suất của hai biến cố có giá trị lần lượt là
và
. Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố đã cho?
Gọi hai biến cố là A, B có
Vì hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên
Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại di động trong 1 ngày của một số học sinh khối 10 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
|
Thời gian (phút) |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
Số học sinh |
3 |
5 |
14 |
15 |
5 |
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là:
Mẫu số liệu trên có (học sinh).
Tứ phân vị thứ nhất là .
Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là: .
Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh trong một nhóm học sinh gồm 6 nam và 4 nữ. Gọi X là biến cố “Hai học sinh được chọn đều là nam”. Khẳng định nào sau đây đúng?
Sử dụng định nghĩa biến cố đối ta được:
là biến cố “Hai học sinh được chọn đều là nữ”.
Biết
và
là hai biến cố đối nhau. Chọn khẳng định đúng?
Ta có:
Tuổi (tính theo năm) của 6 nam và 6 nữ được thống kê như sau:
Nữ | 6 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 |
Nam | 7 | 9 | 12 | 14 | 13 | 17 |
a) Khoảng biến thiên giá trị của nữ là: 4
Khoảng biến thiên giá trị của nam là: 10
b) Nếu tuổi của hai nhóm được kết hợp với nhau thì khoảng biến thiên là: 11
Tuổi (tính theo năm) của 6 nam và 6 nữ được thống kê như sau:
Nữ | 6 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 |
Nam | 7 | 9 | 12 | 14 | 13 | 17 |
a) Khoảng biến thiên giá trị của nữ là: 4
Khoảng biến thiên giá trị của nam là: 10
b) Nếu tuổi của hai nhóm được kết hợp với nhau thì khoảng biến thiên là: 11
a) Khoảng biến thiên giá trị của nữ là:
Khoảng biến thiên giá trị của nam là:
b) Nếu tuổi của hai nhóm được kết hợp với nhau thì khoảng biến thiên là:
Cho dãy số liệu:
![]()
![]()
Chuyển mẫu số liệu trên thành dạng ghép nhóm, các nhóm có độ dài bằng nhau, trong đó có nhóm
. Tính số nhóm dữ liệu tối đa được tạo thành.
Trong các nhóm số liệu có nhóm thì độ dài của nhóm là: 10
Khoảng dữ liệu đã cho là:
Ta có
Vậy số nhóm tối đa là 9 nhóm.
Nếu một công việc được chia thành hai trường hợp, trường hợp 1 có a cách thực hiện, trường hợp hai có b cách thực hiện. Biết rằng mỗi cách thực hiện ở trường hợp này không trùng với bất kì cách thực hiện nào ở trường hợp kia. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng và số cách thực hiện công việc nói trên?
Theo quy tắc nhân ta có số cách thực hiện công việc là .
Trong một buổi lễ kỉ niệm nhân ngày 20/10 có 20 đại biểu nữ và 10 đại biểu nam. Ban tổ chức mời 5 đại biểu phát biểu ý kiến. Tính xác suất để trong 5 phát biểu mời có một hoặc hai phát biểu là của đại biểu nam?
Gọi A là biến cố "Trong 5 phát biểu mời có đúng một phát biểu là của đại biểu nam".
Gọi B là biến cố "Trong 5 phát biểu mời có đúng hai phát biểu là của đại biểu nam".
Biến cố là "Trong 5 phát biểu mời có một hoặc hai phát biểu là của đại biểu nam".
Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên
Ta có:
Một lớp có 20 học sinh nữ, 26 học sinh nam. Giáo viên cần chọn ban cán sự lớp gồm 3 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết trong ban cán sự có ít nhất một nữ.
Số học sinh của lớp là: 20 + 26 = 46 (học sinh)
Số cách chọn 3 học sinh làm cán bộ lớp là:
Số cách chọn 3 học sinh làm cán bộ lớp trong đó không có bạn nữ là:
Số cách chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất một bạn nữ là:
cách chọn
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm sau.
Nhóm | Tần số |
(0;10] | 8 |
(10;20] | 14 |
(20;30] | 12 |
(30;40] | 9 |
(40;50] | 7 |
Tính giá trị trung bình của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên.
Ta có:
Đại diện | Tần số | Tích các giá trị |
5 | 8 | 40 |
15 | 14 | 210 |
25 | 12 | 300 |
35 | 9 | 315 |
45 | 7 | 315 |
Tổng | N = 50 | 1180 |
Giá trị trung bình là:
Đa giác có 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm I. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số phần tử của biến cố ba đỉnh được chọn là ba đỉnh của một tam giác tù?
Gọi là đa giác cần tìm nội tiếp đường tròn tâm I
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kì của đa giác thì luôn tạo thành một tam giác nên số phần tử không gian mẫu là
Gọi P là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác tù.
Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với A nhọn, B tù và C nhọn.
Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 20 cách. Kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là một đỉnh của đa giác.
Đường kính chia đường tròn thành hai nửa đường tròn, với mỗi cách chọn ra hai điểm B và C là hai đỉnh của đa giác cùng thuộc một nửa đường tròn ta được một tam giác tù ABC.
Khi đó, số cách chọn ba điểm A, B và C là cách
Tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần nên suy ra
Kết quả khảo sát cân nặng tất cả học sinh trong lớp 11H được ghi trong bảng sau:
Cân nặng (kg) | Số học sinh |
[45; 50) | 5 |
[50; 55) | 12 |
[55; 60) | 10 |
[60; 65) | 6 |
[65; 70) | 5 |
[70; 75) | 8 |
Cỡ mẫu của mẫu số liệu là:
Cỡ mẫu của mẫu số liệu là:
Một con súc sắc cân đối đồng chất được gieo 5 lần. Xác suất để tổng số chấm ở 2 lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba:
Một con súc sắc cân đối đồng chất được gieo 5 lần
=> Số phần tử của không gian mẫu là:
Giả sử H là biến cố "tổng số chấm ở 2 lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba"
=> Các bộ số là: (1; 1; 2), (1; 2; 3), (2; 1; 3), (1; 3; 4), (3; 1; 4), (2; 2; 4), (1; 4; 5), (4; 1; 5), (2; 3; 5), (3; 2; 5), (1; 5; 6), (5; 1; 6), (2; 4; 6), (4; 2; 6), (3; 3; 6)}
=>
=> Xác suất để tổng số chấm ở 2 lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba là: