Trong 100 vé số, có 5 vé trúng thưởng. Nam mua 3 tờ vé số. Tính xác suất để Nam trúng số.
Số phần tử không gian mẫu là:
Số vé không trúng thưởng là: 100 - 5 = 95 vé
Gọi A là biến cố: "Ba tờ vé số có vé trúng thưởng"
Trường hợp 1: Có 1 vé trúng, 2 vé không trúng
Kết quả là:
Trường hợp 2: Có 2 vé trúng, 1 vé không trúng
Kết quả là:
Trường hợp 3: Có 3 vé đều trúng
Kết quả là:
=> Số phần tử của biến cố A là:
=> Xác suất để Nam trúng số là:
Vậy kết quả là:
Một hộp đựng 4 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng hoàn toàn giống nhau về hình thức. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 5 viên bi:
a) Xác suất để lấy được chỉ màu đỏ 
Đúng||Sai
b) Có 125 cách để lấy được các viên bi không có màu vàng. Đúng||Sai
c) Xác suất lấy được các viên bi chỉ có màu xanh và màu vàng Sai||Đúng
d) Xác suất lấy các viên bi có đủ ba màu Sai||Đúng
Một hộp đựng 4 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng hoàn toàn giống nhau về hình thức. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 5 viên bi:
a) Xác suất để lấy được chỉ màu đỏ Đúng||Sai
b) Có 125 cách để lấy được các viên bi không có màu vàng. Đúng||Sai
c) Xác suất lấy được các viên bi chỉ có màu xanh và màu vàng Sai||Đúng
d) Xác suất lấy các viên bi có đủ ba màu Sai||Đúng
Số cách chọn 5 viên bi trong 15 viên bi là .
Gọi : “5 viên bi lấy được có đủ 3 màu "
Gọi : " 5 viên bi lấy được có không đủ 3 màu "
Chọn 5 viên bi không đủ 3 màu xảy ra các trường hợp
+ 5 viên màu đỏ có 1 cách
+ 5 viên màu vàng và 1 viên màu xanh hoặc đỏ có cách.
Chỉ có xanh và đỏ có .
Chỉ có xanh và vàng có .
Chỉ có đỏ và vàng có .
Vậy .
Khảo sát thời gian vui chơi trong ngày của học sinh (đơn vị: giờ) thu được kết quả ghi lại trong bảng sau:
Thời gian | Học sinh |
[0; 2) | 8 |
[2; 4) | 16 |
[4; 6) | 4 |
[6; 8) | 2 |
[8; 10) | 2 |
Số học sinh tham gia khảo sát là:
Số học sinh tham gia khảo sát là:
(học sinh)
Đa giác có 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm I. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Tính số phần tử của biến cố ba đỉnh được chọn là ba đỉnh của một tam giác tù?
Gọi là đa giác cần tìm nội tiếp đường tròn tâm I
Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kì của đa giác thì luôn tạo thành một tam giác nên số phần tử không gian mẫu là
Gọi P là biến cố 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác tù.
Giả sử chọn được một tam giác tù ABC với A nhọn, B tù và C nhọn.
Chọn một đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 20 cách. Kẻ đường kính AA’ thì A’ cũng là một đỉnh của đa giác.
Đường kính chia đường tròn thành hai nửa đường tròn, với mỗi cách chọn ra hai điểm B và C là hai đỉnh của đa giác cùng thuộc một nửa đường tròn ta được một tam giác tù ABC.
Khi đó, số cách chọn ba điểm A, B và C là cách
Tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A và C như nhau nên số tam giác được tính lặp 2 lần nên suy ra
Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nam?
Số cách chọn 2 trong 6 người có cách
Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.
Vì chỉ có một trường hợp cả 2 nam trúng tuyển nên xác suất của biến cố này là:
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Tính mức doanh thu trung bình của cửa hàng?
Đáp án: 9,4 (triệu đồng)
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Tính mức doanh thu trung bình của cửa hàng?
Đáp án: 9,4 (triệu đồng)
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Ta có:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
|
Giá trị đại diện | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
|
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 | N = 20 |
Do đó doanh thu trung bình của cửa hàng là:
(triệu đồng)
Vậy doanh thu trung bình của cửa hàng là 9,4 triệu đồng.
Cho các chữ số . Giả sử tập hợp là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số đã cho. Lấy ngẫu nhiên một số . Xác suất để chọn được ?
Gọi số phần tử của tập hợp M là
Số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố chọn được số lớn hơn .
Giả sử số tự nhiên có 4 chữ số là ta có:
nên ta có các trường hợp sau:
TH1: nên c có 5 cách chọn và d có 5 cách chọn.
Do đó trường hợp này có: số.
TH2: thì
có
cách chọn và sắp xếp.
Do đó trường hợp này có số.
TH3: thì
có
cách chọn và sắp xếp.
Do đó trường hợp này có số.
Vậy xác suất cần tính là: .
Cho dãy số liệu:
Chuyển mẫu số liệu trên thành dạng ghép nhóm, các nhóm có độ dài bằng nhau, trong đó có nhóm . Tính số nhóm dữ liệu tối đa được tạo thành.
Trong các nhóm số liệu có nhóm thì độ dài của nhóm là: 10
Khoảng dữ liệu đã cho là:
Ta có
Vậy số nhóm tối đa là 9 nhóm.
Biết hai biến cố độc lập với nhau và . Tính giá trị ?
Do A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên
“Mẫu số liệu … là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu.”. Cụm từ thích hợp để điền vào “…” là: Ghép nhóm||Không ghép nhóm|| Ghép nhóm và không ghép nhóm
“Mẫu số liệu … là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu.”. Cụm từ thích hợp để điền vào “…” là: Ghép nhóm||Không ghép nhóm|| Ghép nhóm và không ghép nhóm
Hoàn thành câu: Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu.
Có hai hòm, mỗi hòm chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm một tấm thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên hai tấm thẻ rút ra không nhỏ hơn 3.
Không gian mẫu
Vì có 5 cách chọn x và có 5 cách chọn y nên
Gọi A là biến cố “Tổng hai số ghi trên hai tấm thẻ không nhỏ hơn 3”.
Khi đó là biến cố “Tổng hai số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn 3”.
Ta có:
Xác suất cần tìm là
Tung một đồng xu hai lần liên tiếp. Tập hợp không gian mẫu là:
Không gian mẫu là: .
Khảo sát thời gian đến trường của 40 học sinh (đơn vị: phút) ta được kết quả như sau:
5 | 3 | 10 | 20 | 25 | 11 | 13 | 7 | 12 | 31 |
19 | 10 | 12 | 17 | 18 | 11 | 32 | 17 | 16 | 2 |
7 | 9 | 7 | 8 | 3 | 5 | 12 | 15 | 18 | 3 |
12 | 14 | 2 | 9 | 6 | 15 | 15 | 7 | 6 | 12 |
Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
Chuyển mẫu dữ liệu sang dạng ghép nhóm:
Ta chia thành các nhóm có độ dài là 5
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 35.
Ta có bảng ghép nhóm như sau:
Thời gian | Số học sinh |
[0; 5) | 6 |
[5; 10) | 10 |
[10; 15) | 11 |
[15; 20) | 9 |
[20; 25) | 1 |
[25; 30) | 1 |
[3; 35) | 2 |
Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm số phần trăm là:
Rút ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tính số phần tử của biến cố M “tích hai tấm thẻ rút được là số chẵn”?
Tích hai số trên tấm thẻ được rút ra là số chẵn khi có ít nhất một số chẵn.
Trường hợp 1: Cả hai số lấy được đều là số chẵn
=> Số cách sắp xếp là: cách
Trường hợp 2: Hai tấm thẻ lấy được gồm một số chẵn và một số lẻ ta có: 10 . 10 = 100 cách
Suy ra phần tử.
Ban chấp hành liên chi đoàn khối 11 có 3 nam, 2 nữ. Cần thành lập một ban kiểm tra gồm 3 người trong đó có ít nhất 1 nữ. Số cách thành lập ban kiểm tra là:
Số cách lập ban kiểm tra có 3 người là: cách
Sô cách lập ban kiểm tra có 3 người trong đó không có nữ là: cách
=> Số cách thành lập ban kiểm tra có ít nhất một nữ là: cách
Số cách chọn một tập hợp gồm 5 chữ cái từ bảng chữ cái Tiếng Anh là:
Bảng chữ cái Tiếng Anh có 26 chữ cái.
Suy ra số cách chọn 1 tập hợp gồm 5 chữ cái từ 26 chữ cái là: cách chọn.
Quan sát bảng sau và tìm khoảng chứa tứ phân vị thứ ba:
Khoảng dữ liệu | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) |
Tần số | 8 | 12 | 22 | 17 |
Ta có:
Khoảng dữ liệu | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | Tổng |
Tần số | 8 | 12 | 22 | 17 | N = 59 |
Tần số tích lũy | 8 | 20 | 42 | 59 |
|
Ta có:
Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là:
Khảo sát thời gian tập thể dục của một nhóm học sinh lớp 11 thu được kết quả ghi trong bảng thống kê sau:
|
Thời gian (phút) |
[0; 20) |
[20; 40) |
[40; 60) |
[60; 80) |
[80; 100) |
|
Số học sinh |
8 |
9 |
15 |
12 |
6 |
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu đã cho là:
Nhóm chứa mốt là nhóm có giá trị tần số lớn nhất
Nên nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là: .
Tính tứ phân vị thứ ba của mẫu dữ liệu ghép nhóm sau:
Nhóm dữ liệu | Tần số |
(10; 20] | 15 |
(20; 30] | 25 |
(30; 40] | 20 |
(40; 50] | 12 |
(50; 60] | 8 |
(60; 70] | 5 |
(70; 80] | 3 |
Ta có:
Nhóm dữ liệu | Tần số | Tần số tích lũy |
(10; 20] | 15 | 15 |
(20; 30] | 25 | 40 |
(30; 40] | 20 | 60 |
(40; 50] | 12 | 72 |
(50; 60] | 8 | 80 |
(60; 70] | 5 | 85 |
(70; 80] | 3 | 88 |
Tổng | N = 88 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: (40; 50]
Khi đó:
Vậy tứ phân vị thứ ba là:
Người ta kiểm tra chiều cao của các cây thân gỗ trong rừng (đơn vị: mét), kết quả được ghi trong bảng sau:
7,3 | 7,8 | 7,5 | 6,6 | 8,5 | 8,3 | 8,3 |
7,5 | 8,4 | 8,6 | 7,4 | 8,2 | 8,0 | 8,1 |
8,7 | 8,2 | 8,8 | 8,1 | 7,7 | 7,8 | 8,5 |
7,0 | 7,9 | 6,9 | 9,4 | 9,0 | 8,0 | 8,7 |
8,9 | 7,6 | 8,0 | 8,2 | 7,9 | 7,7 | 7,2 |
Chuyển mẫu số liệu trên thành mẫu số liệu ghép nhóm. Biết mẫu số liệu được chia thành 6 nhóm theo các nửa khoảng có độ dài như nhau. Khi đó nhóm chiếm tỉ lên cao nhất là:
Khoảng biến thiên:
Ta chia thành các nhóm sau:
Đếm số giá trị của mỗi nhóm ta có bảng ghép nhóm như sau:
Chiều cao (m) | Số cây |
[6,5; 7) | 2 |
[7; 7,5) | 4 |
[7,5; 8) | 9 |
[8; 8,5) | 11 |
[8,5; 9) | 7 |
[9; 9,5) | 2 |
Từ bảng số liệu ta thấy nhóm chiếm tỉ lệ cao nhất là: [8,0; 8,5).
