Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.
Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là:
Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346
Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là:
=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là:
Cho mẫu số liệu sau và cho biết cân nặng của học sinh lớp 11 trong 1 lớp:
|
Cân nặng |
Dưới 55 |
Từ 55 đến 65 |
Trên 65 |
|
Số học sinh |
20 |
15 |
2 |
Số học sinh của hợp đó là bao nhiêu?
Số học sinh của lớp đó là: .
Một công ty xây dựng khảo sát 300 khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát ghi lại ở bảng sau:
|
Mức giá |
[10; 14) |
[14; 18) |
[18; 22) |
[22; 26) |
[26; 30) |
|
Số khách hàng |
55 |
78 |
110 |
45 |
12 |
Mức giá mua nhà trung bình là
Ta có:
|
Mức giá |
[10; 14) |
[14; 18) |
[18; 22) |
[22; 26) |
[26; 30) |
|
Giá trị đại diện |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
|
Số khách hàng |
55 |
78 |
110 |
45 |
12 |
Mức giá mua nhà trung bình là:
.
Vậy mức giá mua nhà trung bình là: (triệu đồng/
).
Thời gian xem tivi trong tuần của 30 học sinh tìm được như sau:
1 | 6 | 2 | 3 | 5 | 12 | 5 | 8 | 4 | 8 |
10 | 3 | 4 | 12 | 2 | 8 | 15 | 1 | 17 | 6 |
3 | 2 | 8 | 5 | 9 | 6 | 8 | 7 | 14 | 12 |
Chuyển dữ liệu về dạng mẫu dữ liệu theo nhóm, độ lớn các nhóm bằng nhau và trong đó có khoảng thời gian là [5; 10). Hãy cho biết có bao nhiêu học sinh xem tivi trong khoảng thời gian lớn nhất?
Độ dài nhóm là
Khoảng biến thiên:
Ta có: => Số nhóm tạo thành là 4 nhóm.
Số giờ | Tần số |
Tổng cộng |
Vậy có 2 học sinh xem tivi trong khoảng thời gian lớn nhất.
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Tính giá trị 
của mẫu dữ liệu ghép nhóm trên?
Ta có:
Doanh thu | [5; 7) | [7; 9) | [9; 11) | [11; 13) | [13; 15) |
|
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 | N = 20 |
Tần số tích lũy | 2 | 9 | 16 | 19 | 20 |
|
Cỡ mẫu
=> Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [9; 11)
(Vì 15 nằm giữa hai tần số tích lũy 9 và 16)
Do đó:
Khi đó tứ phân vị thứ ba là:
Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ
Số phần tử không gian mẫu là:
B là biến cố "lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ"
=>
=> Xác suất lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ là:
Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn trong đó có 3 bạn nam và 2 bạn nữ?
Số cách chọn 3 bạn nam là: cách
Số cách chọn 2 bạn nữ là: cách
Áp dụng quy tắc nhân ta có:
cách
Điểm kiểm tra môn Toán của học sinh lớp 11A được ghi trong bảng sau:
Điểm | Số học sinh |
[20; 30) | 4 |
[30; 40) | 6 |
[40; 50) | 15 |
[50; 60) | 12 |
[60; 70) | 10 |
[70; 80) | 6 |
[80; 90) | 4 |
[90; 100] | 3 |
Giá trị đại diện cho nhóm số liệu thứ năm là:
Nhóm thứ năm trong mẫu số liệu ghép nhóm là [60; 70) có giá trị đại diện là:
Gieo liên tiếp ba lần con súc sắc. Tìm xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên tố nhỏ hơn 9?
Không gian mẫu là số cách xuất hiện các mặt của con súc sắc trong ba lần gieo liên tiếp
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là
Gọi B là biến cố '' Tổng số chấm trên các mặt của ba lần gieo là một số nguyên tố nhỏ hơn 9 ''
Ta có các số nguyên tố nhỏ hơn 9 gồm: 2, 3, 5, 7.
Bộ các số tương ứng với số chấm có tổng bằng 2: không có.
Bộ các số tương ứng với số chấm có tổng bằng 3: (1,1,1): 1 cách
Bộ các số tương ứng với số chấm có tổng bằng 5: (1,1,3): 3 cách; (1,2,2): 3 cách
Bộ các số tương ứng với số chấm có tổng bằng 7: (1,1,5): 3 cách; (1,2,4): 6 cách; (1,3,3): 3 cách; (2,3,2): 3 cách.
Do đó số phần tử của biến cố B là
Vậy xác suất cần tìm là:
Cho ba chiếc hộp đựng các viên bi được mô tả như sau:
Hộp A chứa 4 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng.
Hộp B chứa 3 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.
Hộp C chứa 2 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.
Lấy ngẫu nhiên một hộp từ 3 hộp này, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó.
a) Xác suất để lấy được một viên bi trắng từ hộp A là: Đúng||Sai
b) Xác suất để lấy được viên bi màu vàng trong hộp B là Đúng||Sai
c) Xác suất để lấy được viên bi đỏ trong hộp C là Sai||Đúng
d) Xác suất để lấy được một viên bi đỏ là Sai||Đúng
Cho ba chiếc hộp đựng các viên bi được mô tả như sau:
Hộp A chứa 4 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng.
Hộp B chứa 3 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.
Hộp C chứa 2 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.
Lấy ngẫu nhiên một hộp từ 3 hộp này, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó.
a) Xác suất để lấy được một viên bi trắng từ hộp A là: Đúng||Sai
b) Xác suất để lấy được viên bi màu vàng trong hộp B là Đúng||Sai
c) Xác suất để lấy được viên bi đỏ trong hộp C là Sai||Đúng
d) Xác suất để lấy được một viên bi đỏ là Sai||Đúng
Gọi A là biến cố: “Chọn được hộp A”
B là biến cố: “Chọn được hộp B”
C là biến cố: “Chọn được hộp C”
Ta có:
a) Xác suất để lấy được một viên bi trắng từ hộp A là:
b) Xác suất để lấy được viên bi màu vàng trong hộp B là
c) Xác suất để lấy được viên bi đỏ trong hộp C là
d) E là biến cố: “Bi chọn ra có màu đỏ”.
Xác suất để lấy được một viên bi đỏ là
Áp dụng công thức ta có:
Cho . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau?
Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng:
Ta có: Số tự nhiên lẻ => e ∈ {1; 3; 5}
=> Có 3 cách chọn e
Ta có: => Có 5 cách chọn a
Số cách chọn b là 5 cách
Số cách chọn c là 4 cách
Số cách chọn d là 3 cách
=> Số các số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành là: số
Bảng số liệu dưới đây cho biết lương của 113 nhân viên trong một nhà máy trong một tháng (đơn vị: triệu đồng):
Lương | [0; 10) | [10; 20) | [20; 30) | [30; 40) | [40; 50) | [50; 60) |
Số nhân viên | 18 | 23 | 30 | 20 | 12 | 10 |
Tính mức lương trung bình của các nhân viên trên đây. (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Ta có:
Lương | |||
[0; 10) | 18 | 5 | 90 |
[10; 20) | 23 | 15 | 345 |
[20; 30) | 30 | 25 | 750 |
[30; 40) | 20 | 35 | 700 |
[40; 50) | 12 | 45 | 540 |
[50; 60) | 10 | 55 | 550 |
| N = 113 |
| T = 2975 |
Mức lương trung bình của nhân viên là:
(triệu đồng)
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Nhóm nào chứa mốt của mẫu số liệu?
Nhóm chứa mốt của dấu hiệu là: [100; 150)
Dưới đây là tốc độ của 20 phương tiện giao thông di chuyển trên đường.
45 | 65 | 72 | 48 | 74 | 67 | 68 | 46 | 56 | 53 |
58 | 68 | 72 | 64 | 62 | 49 | 72 | 55 | 67 | 51 |
Điền số thích hợp vào bảng sau:
Tốc độ | Đại diện tốc độ | Tần số |
| 45 | 4 |
50 | 55 | 5 |
60 | 65 | 7 |
| 75 | 4 |
Dưới đây là tốc độ của 20 phương tiện giao thông di chuyển trên đường.
45 | 65 | 72 | 48 | 74 | 67 | 68 | 46 | 56 | 53 |
58 | 68 | 72 | 64 | 62 | 49 | 72 | 55 | 67 | 51 |
Điền số thích hợp vào bảng sau:
Tốc độ | Đại diện tốc độ | Tần số |
| 45 | 4 |
50 | 55 | 5 |
60 | 65 | 7 |
75 | 4 |
Ta có:
Tốc độ | Đại diện tốc độ | Tần số |
40 ≤ x < 50 | 45 | 4 |
50 ≤ x < 60 | 55 | 5 |
60 ≤ x < 70 | 65 | 7 |
70 ≤ x < 80 | 75 | 4 |
Một công ti cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để 2 người trúng tuyển đều là nữ?
Số cách chọn 2 trong 6 người có cách
Vậy số phần tử không gian mẫu là 15.
Số cách chọn 2 nữ trong 4 nữ là do đó xác suất của biến cố này là
.
Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số:
Số tự nhiên có 4 chữ số có dạng:
Số cách chọn a là 4 cách
Số cách chọn b là 4 cách
Số cách chọn c là 4 cách
Số cách chọn d là 4 cách
=> Từ các chữ số 2, 3, 4, 5 có thể lập được số các số gồm 4 chữ số là 44 = 256 số
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc. Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện:
Số phần tử không gian mẫu là:
Biến cố A là biến cố "mặt 6 chấm xuất hiện"
=>
=> Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện:
Khảo sát thời gian đến trường của 40 học sinh (đơn vị: phút) ta được kết quả như sau:
5 | 3 | 10 | 20 | 25 | 11 | 13 | 7 | 12 | 31 |
19 | 10 | 12 | 17 | 18 | 11 | 32 | 17 | 16 | 2 |
7 | 9 | 7 | 8 | 3 | 5 | 12 | 15 | 18 | 3 |
12 | 14 | 2 | 9 | 6 | 15 | 15 | 7 | 6 | 12 |
Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
Chuyển mẫu dữ liệu sang dạng ghép nhóm:
Ta chia thành các nhóm có độ dài là 5
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 35.
Ta có bảng ghép nhóm như sau:
Thời gian | Số học sinh |
[0; 5) | 6 |
[5; 10) | 10 |
[10; 15) | 11 |
[15; 20) | 9 |
[20; 25) | 1 |
[25; 30) | 1 |
[3; 35) | 2 |
Số học sinh đến trường ít nhất 10 phút và không quá 25 phút chiếm số phần trăm là:
Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5
Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5
Giả sử lấy được ba số là: với
do đó
Lại có là ba cạnh của tam giác ABC, với
có góc C tù.
với
Xét c = 4 thì bộ thỏa mãn
Xét c = 6 do
thỏa mãn
Xét c = 8 do
thỏa mãn
Vậy số phần tử của biến cố F là
Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ . Hãy mô tả biến cố bắn trúng mục tiêu ít nhất một lần qua các biến cố .
Gọi M là biến cố bắn trúng mục tiêu ít nhất 1 lần
Khi đó là biến cố lần thứ
bắn không trúng mục tiêu.
Khi đó ta có:
