Thực hiện tung ngẫu nhiên một con xúc xắc một lần. Biết H là biến cố mặt xuất hiện có số chấm chẵn, K là biến cố mặt xuất hiện có số chấm lẻ. Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì nên hai biến cố H và K là hai biến cố đối nhau.
Thực hiện tung ngẫu nhiên một con xúc xắc một lần. Biết H là biến cố mặt xuất hiện có số chấm chẵn, K là biến cố mặt xuất hiện có số chấm lẻ. Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì nên hai biến cố H và K là hai biến cố đối nhau.
Có ba chiếc hộp đựng những tấm thẻ màu xanh và màu đỏ. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ. Giả sử
là biến cố lấy được tấm thẻ màu xanh từ hộp thứ
. Em hãy chọn đáp án đúng biểu diễn biến cố lấy được ít nhất một tấm thẻ màu đỏ dưới đây?
Biểu diễn đúng là:
Khảo sát thời gian đến trường của 40 học sinh (đơn vị: phút) ta được kết quả như sau:
5 | 3 | 10 | 20 | 25 | 11 | 13 | 7 | 12 | 31 |
19 | 10 | 12 | 17 | 18 | 11 | 32 | 17 | 16 | 2 |
7 | 9 | 7 | 8 | 3 | 5 | 12 | 15 | 18 | 3 |
12 | 14 | 2 | 9 | 6 | 15 | 15 | 7 | 6 | 12 |
Chuyển số liệu sau dưới dạng mẫu số liệu ghép nhóm có độ dài như nhau và chọn khoảng đầu tiên là
. Xác định tần suất nhóm
trong mẫu dữ liệu ghép nhóm thu được?
Ta chia thành các nhóm có độ dài là 5
Ta sẽ chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 35.
Ta có bảng ghép nhóm như sau:
Thời gian | Số học sinh |
[0; 5) | 6 |
[5; 10) | 10 |
[10; 15) | 11 |
[15; 20) | 9 |
[20; 25) | 1 |
[25; 30) | 1 |
[3; 35) | 2 |
Ta có tần suất của nhóm là:
Cho mẫu dữ liệu ghép nhóm kết quả đo chiều cao (đơn vị: cm) của một nhóm học sinh lớp 11 như sau:

Số học sinh có chiều cao không vượt quá 168 cm so với tất cả các học sinh chiếm bao nhiêu phần trăm?
Số học sinh tham gia đo chiều cao là 36 học sinh
Số học sinh cao không quá 168cm là: 9 + 15 = 24 học sinh chiếm
Gọi
là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các phần tử của tập
. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập
. Tính số phần tử của biến cố H “chọn được số tự nhiên chia hết cho 15”.
Ta có H là biến cố số tự nhiên được chọn chia hết cho 15.
Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 15 được tạo thành từ tập A có dạng
Ta có: do đó
suy ra
khi và chỉ khi
TH1: khi đó
khi và chỉ khi
Vậy trong trường hợp này có 5.4! = 120 số tự nhiên
TH2: khi đó
dư 1 khi và chỉ khi
Vậy trong trường hợp này có 3.3.3.2.1 + 2.4! = 102 số tự nhiên
Do đó
Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ?
Số cách chọn 1 học sinh nam là: cách
Số cách chọn 2 học sinh nữ là: cách
Áp dụng quy tắc nhân ta có:
Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ là:
cách
Giá trị đại diện của nhóm
là
Ta có giá trị đại diện là .
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp. Giả sử N là biến cố “Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện” Mô tả nào sau đây đúng khi mô tả biến cố N?
Mô tả đúng biến cố N là:
Quản lí xưởng kiểm tra 4 sản phẩm trong kho gồm hai loại là đạt và không đạt. Gọi
là biến cố sản phẩm được kiểm tra lần thứ
thuộc loại không đạt,
. Mô tả nào sau đây mô tả đúng biến cố chỉ có một sản phẩm thuộc loại đạt qua các
?
Mô tả đúng là:
Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 cầu trắng, 7 quả cầu đỏ và 15 quả cầu xanh. Hộp thứ hai chứa 10 cầu trắng, 6 quả cầu đỏ và 9 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để hai quả lấy ra có màu giống nhau.
Gọi A là biến cố “Quả cầu được lấy ra từ hộp thứ nhất là màu trắng”, B là biến cố “Quả cầu được lấy ra từ hộp thứ hai là màu trắng”
Ta có:
Vì A và B là hai biến cố độc lập.
Nên xác suất để hai quả cầu lấy ra đều màu trắng là
Tương tự xác suất để hai quả cầu lấy ra đều:
Màu xanh:
Mảu đỏ:
Theo quy tắc cộng, xác suất để hai quả lấy ra có màu giống nhau:
Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu?
Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là cách
Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.
Gọi A là biến cố cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu
Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:
Vậy xác suất để cần tìm là:
Biết rằng xác suất để thắng một trận game là
. Hỏi người chơi phải chơi ít nhất bao nhiêu trận để xác suất thắng ít nhất một trận trong loạt chơi lớn hơn
?
Gọi n là số trận người đó chơi.
A là biến cố người đó thắng ít nhất 1 trận
Suy ra là biến cố người đó không thắng trận nào.
trong đó
là biến cố người đó thắng trận thứ i và
Ta có bất phương trình
Vậy giá trị nhỏ nhất của n bằng 9.
Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được cả 3 viên bi đỏ.
Số phần tử không gian mẫu là:
B là biến cố "3 viên bi lấy được đầu màu đỏ"
=>
=> Xác suất lấy được cả 3 viên bi đỏ là:
Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập
. Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5
Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập . Xác định số phần tử của biến cố F lấy được ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù? 4||8||10||5
Giả sử lấy được ba số là: với
do đó
Lại có là ba cạnh của tam giác ABC, với
có góc C tù.
với
Xét c = 4 thì bộ thỏa mãn
Xét c = 6 do
thỏa mãn
Xét c = 8 do
thỏa mãn
Vậy số phần tử của biến cố F là
Thực hiện khảo sát chi phí thanh toán cước điện thoại trong 1 tháng của cư dân trong một chung cư thu được kết quả ghi trong bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng) | Số người |
[0; 50) | 5 |
[50; 100) | 12 |
[100; 150) | 23 |
[150; 200) | 17 |
[200; 250) | 3 |
Nhóm nào chứa mốt của mẫu số liệu?
Nhóm chứa mốt của dấu hiệu là: [100; 150)
Biểu đồ dưới đây thể hiện điểm kiểm tra của 20 học sinh:

Tính điểm trung bình của 20 học sinh trên?
Ta có bảng sau:
Khoảng điểm | Điểm đại diện | Tần số | Tích các giá trị |
(0; 10] | 5 | 2 | 10 |
(10; 20] | 15 | 5 | 75 |
(20; 30] | 25 | 6 | 150 |
(30; 40] | 35 | 4 | 140 |
(40; 50] | 45 | 3 | 135 |
Tổng |
| N = 20 | 510 |
Số điểm trung bình:
Biết rằng kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của 4 lớp 11 được ghi trong bảng sau:
Lớp 11A | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 8 | 12 | 10 | 6 | |
Lớp 11B | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 5 | 12 | 10 | 8 | 4 | |
Lớp 11C | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 10 | 15 | 9 | 3 | |
Lớp 11D | Điểm | (0; 5] | (5; 6] | (6; 7] | (7; 8] | (8; 10] |
Số học sinh | 4 | 9 | 16 | 11 | 3 |
Lớp nào có số học sinh đạt điểm (6; 8] nhiều nhất?
Số học sinh lớp 11A đạt điểm từ (6; 8] là:
12 + 10 = 22 (học sinh)
Số học sinh lớp 11B đạt điểm từ (6; 8] là:
10 + 8 = 18 (học sinh)
Số học sinh lớp 11C đạt điểm từ (6; 8] là:
15 + 9 = 24 (học sinh)
Số học sinh lớp 11D đạt điểm từ (6; 8] là:
16 + 11 = 27 (học sinh)
Vậy lớp 11D có nhiều học sinh đạt điểm từ (6; 8] nhất.
Sản lượng xoài (tính bằng kg) được ghi lại trong bảng sau:
Sản lượng | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) | [70; 80) | [80; 90) | [90; 100) |
Số cây | 10 | 15 | 17 | 14 | 12 | 2 |
Tính trung vị của mẫu dữ liệu ghép nhóm.
Ta có:
Sản lượng | [40; 50) | [50; 60) | [60; 70) | [70; 80) | [80; 90) | [90; 100) |
|
Số cây | 10 | 15 | 17 | 14 | 12 | 2 | N = 70 |
Tần số tích lũy | 10 | 25 | 42 | 56 | 68 | 70 |
|
Ta có:
=> Nhóm chứa trung vị là: [60; 70) (vì 35 nằm giữa hai tần số tích lũy là 25 và 56)
Các bước để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm sang mẫu số liệu ghép nhóm là:
Thời gian chạy 50m của 20 học sinh được ghi lại trong bảng dưới đây:
|
Thời gian (giây) |
8,3 |
8,4 |
8,5 |
8,7 |
8,8 |
|
Tần số |
2 |
3 |
9 |
5 |
1 |
Số trung bình cộng thời gian chạy của học sinh là:
Số trung bình cộng thời gian chạy của học sinh là: