Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Giá trị của \lim\sqrt[n]{a} với a> 0 bằng:

    Nếu a=1 thì ta có luôn giới hạn bằng 1.

    • Với  a > 1 thì khi đó: a = \left\lbrack 1 +\left( \sqrt[n]{a} - 1 ight) ightbrack^{n} > n(\sqrt[n]{a} -1)

    Suy ra: 0 < \sqrt[n]{a - 1} <\frac{a}{n} ightarrow 0 nên \lim\sqrt[n]{a} = 1

    • Với 0 < a < 1 thì khi đó:  \frac{1}{a} >1 .

    Suy ra: \lim \sqrt[n]{\frac{1}{a} }=1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1.\frac{1}{a}>1 \Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1

    Tóm lại ta luôn có: \lim\sqrt[n]{a} =1 với a > 0 .

  • Câu 2: Vận dụng

    Tìm giá trị thực của m để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x e 2} \\   {{\text{m               khi }}x = 2} \end{array}} ight. liên tục tại x=2.

    Tập xác định của hàm số: D = \mathbb{R} chứa x=2

    Theo giả thiết thì ta phải có:

    \begin{matrix}  f\left( 2 ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x ight) \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} ight) = 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy m=3

  • Câu 3: Vận dụng

    Tìm tất cả các giá trị của tham số a để A
= \lim\frac{5n^{2} - 3an^{4}}{(1 - a)n^{4} + 2n + 1} > 0

    Ta có:

    A = \lim\frac{5n^{2} - 3an^{4}}{(1 -
a)n^{4} + 2n + 1}

    = \lim\dfrac{\dfrac{5}{n^{2}} - 3a}{(1 -a) + \dfrac{2}{n^{3}} + \dfrac{1}{n^{4}}}

    = \frac{- 3a}{1 - a} > 0

    Giải bất phương trình ta được kết quả \left\lbrack \begin{matrix}
a < 0 \\
a > 1 \\
\end{matrix} ight.

  • Câu 4: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{3{x^4} - 2{x^5}}}{{5{x^4} + 3{x^6} + 1}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\dfrac{3}{{{x^2}}} - \dfrac{2}{x}}}{{\dfrac{5}{{{x^2}}} + 3 + \dfrac{1}{{{x^6}}}}} = 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Biết rằng f(x) =\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x eq 1 \\a\ \ \ khi\ x eq 1 \\\end{matrix} ight. liên tục trên \lbrack 0;1brack với a là tham số. Khẳng định nào sau đây về giá trị a là đúng?

    Ta có:

    Hàm số xác định và liên tục trên \lbrack
0;1brack

    Khi đó f(x) liên tục trên \lbrack 0;1brack khi và chỉ khi \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ \
(*)

    Ta có:

    f(1) = a

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left\lbrack (x +
1)\left( \sqrt{x} + 1 ight) ightbrack = 4

    (*) \Leftrightarrow a = 4

  • Câu 6: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \lim_{x ightarrow 3}\left( x^{2} - x
+ 3 ight) = 9. Đúng||Sai

    b) Biết rằng \lim_{x ightarrow 1}f(x) =
2, \lim_{x ightarrow 1}g(x) =
4. Khi đó \lim_{x ightarrow
1}\left( 3f(x) - 5g(x) ight) = - 13. Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{4x +1} - 3}{x^{2} - 4} = 1. Sai||Đúng

    d) Biết \lim_{x ightarrow
2}\frac{2x^{2} - ax + 4}{x^{2} - 3x + 2} = b(với a;b\mathbb{\in R}). Khi đó a^{2} + b^{2} = 40. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \lim_{x ightarrow 3}\left( x^{2} - x
+ 3 ight) = 9. Đúng||Sai

    b) Biết rằng \lim_{x ightarrow 1}f(x) =
2, \lim_{x ightarrow 1}g(x) =
4. Khi đó \lim_{x ightarrow
1}\left( 3f(x) - 5g(x) ight) = - 13. Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{4x +1} - 3}{x^{2} - 4} = 1. Sai||Đúng

    d) Biết \lim_{x ightarrow
2}\frac{2x^{2} - ax + 4}{x^{2} - 3x + 2} = b(với a;b\mathbb{\in R}). Khi đó a^{2} + b^{2} = 40. Đúng||Sai

    a) Đúng.

    \lim_{x ightarrow 3}\left( x^{2} - x
+ 3 ight) = 3^{2} - 3 + 3 = 9

    b) Sai.

    \lim_{x ightarrow 1}\left( 3f(x) -
5g(x) ight) = 3.2 - 5.4 = - 14

    c) Sai.

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{4x +
1} - 3}{x^{2} - 4} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{4x + 1 - 9}{(x - 2)(x +
2)(\sqrt{4x + 1} + 3)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{4}{(x +
2)(\sqrt{4x + 1} + 3)} = \frac{1}{6}

    d) Đúng.

    Xét thấy x = 2 là nghiệm của phương trình x^{2} - 3x + 2 = 0 (mẫu số) nên x = 2 cũng là một nghiệm của phương trình 2x^{2} - ax + 4 =
0 (tử số) \Rightarrow a = 6.

    Khi đó:

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{2x^{2} - ax +4}{x^{2} - 3x + 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2x^{2} - 6x + 4}{x^{2}- 3x + 2} = 2.

    Vậy a = 6;b = 2 \Rightarrow a^{2} + b^{2}
= 36 + 4 = 40.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng -1?

    Ta có:

    \lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} - 4}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} - \frac{3}{{{n^3}}}}}{{ - 2 - \frac{4}{{{n^3}}}}} = 0

    \lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^2} - 1}} = \lim \frac{{2 - \frac{3}{{{n^2}}}}}{{ - 2 - \frac{1}{{{n^2}}}}} =  - 1

    \lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} + 2{n^2}}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} - \frac{3}{{{n^3}}}}}{{ - 2 - \frac{2}{n}}} = 0

    \lim \frac{{2{n^3} - 3}}{{ - 2{n^2} - 1}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {2 - \frac{3}{{{n^3}}}} ight)}}{{ - {n^2}\left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} ight)}} =  - \infty

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Kết quả của giới hạn\lim\frac{2^{n + 1} +
3n + 10}{3n^{2} - n + 2} là:

    Ta có:

    \begin{matrix}
  {2^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k}  \hfill \\
   \Rightarrow {2^n} \geqslant C_n^3 = \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)\left( {n - 2} ight)}}{6} \sim \dfrac{{{n^3}}}{6} \hfill \\ 
\end{matrix}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{n}{2^{n}} ightarrow 0 \\\dfrac{2^{n}}{n^{2}} ightarrow + \infty \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    \begin{matrix}
  \lim \dfrac{{{2^{n + 1}} + 3n + 10}}{{3{n^2} - n + 2}} \hfill \\
   = \lim \dfrac{{{2^n}}}{{{n^2}}}.\dfrac{{2 + 3.\dfrac{n}{{{2^n}}} + 10.{{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^n}}}{{3 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{{{n^2}}}}} \hfill \\ 
\end{matrix}

    \left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{2^{n}}{n^{2}} = + \infty \\\lim\dfrac{2 + 3.\dfrac{n}{2^{n}} + 10.\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n}}{3 -\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}} = \dfrac{2}{3} > 0 \\\end{matrix} ight.

    Vậy \lim\dfrac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2}- n + 2} = + \infty

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \dfrac{{\sqrt[3]{{4x - 1}} - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}}

    Ta có:

    \begin{matrix}  f\left( x ight) = \sqrt[3]{{4x - 1}} - 3 \hfill \\   = \dfrac{{4x - 28}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}} \hfill \\ \end{matrix}

    = \frac{{4\left( {x - 7} ight)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}}

    g\left( x ight) = \sqrt {x + 2}  - 3 = \frac{{x + 2 - 9}}{{\sqrt {x + 2}  + 3}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt {x + 2}  + 3}}

    \begin{matrix}  h\left( x ight) = \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}} \hfill \\   = \dfrac{{\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2}}{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2} ight)\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    = \frac{{\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2}}{{\sqrt {2x + 2}  - 4}} = \frac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2}  + 4} ight)}}{{\left( {\sqrt {2x + 2}  - 4} ight)\left( {\sqrt {2x + 2}  + 4} ight)}}

    \begin{matrix}   = \dfrac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2}  + 4} ight)}}{{2x - 14}} \hfill \\   = \dfrac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2}  + 4} ight)}}{{2\left( {x - 7} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \left\{ {\left[ {f\left( x ight) - g\left( x ight)} ight].h\left( x ight)} ight\}

    = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \{ \left[ {\frac{4}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}} - \frac{1}{{\sqrt {x + 2}  + 3}}} ight]

    .\frac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2}  + 4} ight)}}{x}\}

    = \left( {\frac{4}{{27}} - \frac{1}{6}} ight).\frac{{32}}{2} =  - \frac{8}{{27}}

    Vậy \mathop {\lim Ư}\limits_{x \to 7} \dfrac{{\sqrt[3]{{4x - 1}} - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}}=\dfrac{-8}{27}

  • Câu 10: Nhận biết

    Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên \mathbb{R}?

    Hàm số y = \frac{x}{x + 1} có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{
- 1 ight\} nên hàm số không liên tục trên \mathbb{R}.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho a,b là các số thực khác 0. Tìm điều kiện của a,b để giới hạn \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} -
3x} + ax}{bx - 1} = 3

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow -
\infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x} + ax}{bx - 1} = 3

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- \sqrt{1 - \dfrac{3}{x}} + a}{b - \dfrac{1}{x}} =3

    \Leftrightarrow \frac{- 1 + a}{b} =
3

    \Leftrightarrow \frac{a - 1}{b} =
3

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x}\ khi\ x eq 0 \\m^{2} - 2m + 2\ khi\ x eq 0 \\\end{matrix} ight.. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại x = 0?

    Ta có: f(0) = m^{2} - 2m + 2

    \lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x
ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow
0}\frac{2x}{x\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow
0}\frac{2}{\sqrt{2x + 1} + 1} = 1

    Hàm số liên tục tại x = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow
0}f(x) = f(0)

    \Leftrightarrow m^{2} - 2m + 1 = 0
\Rightarrow m = 1

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hàm số y =
f(x) liên tục trên (a;b). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là:

    Ta có:

    Hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b)

    Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là: \left\{ \begin{gathered}
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\
  \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ 
\end{gathered}  ight.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3x +2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3 + \dfrac{2}{x}}{1 -\dfrac{1}{x}} = \dfrac{3 + 0}{1 - 0} = 3

  • Câu 15: Vận dụng

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t^{2} - t^{3} (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t_{1}, t_{2}V_{tb} = \frac{g\left( t_{2} ight) - g\left(
t_{1} ight)}{t_{2} - t_{1}}. Tính \lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t) - g(10)}{t -
10} và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

    Đáp án: 600

    Đáp án là:

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên biến đổi theo một hàm số thời gian (tính theo ngày) là g(t) = 45t^{2} - t^{3} (người). Tốc độ trung bình gia tăng người bệnh giữa hai thời điểm t_{1}, t_{2}V_{tb} = \frac{g\left( t_{2} ight) - g\left(
t_{1} ight)}{t_{2} - t_{1}}. Tính \lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t) - g(10)}{t -
10} và cho biết ý nghĩa của kết quả tìm được.

    Đáp án: 600

    Ta có: \lim_{t ightarrow 10}\frac{g(t)
- g(10)}{t - 10} = \lim_{t ightarrow 10}\frac{45t^{2} - t^{3} - 45
\cdot 10^{2} + 10^{3}}{t - 10}

    \begin{matrix}= \lim_{t ightarrow 10}\dfrac{45(t - 10)(t + 10) - (t - 10)\left( t^{2}+ 10t + 100 ight)}{t - 10}  \\\end{matrix}

    = \lim_{t ightarrow 10}\left( - t^{2} + 35t + 350 ight) = 600

    Từ kết quả trên, ta thấy tốc độ gia tăng người bệnh ngay tại thời điểm t = 10 (ngày) là 600 người/ngày.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức \lim\left\lbrack n\left( \sqrt{n^{2} + 1} -
\sqrt{n^{2} - 3} ight) ightbrack

    \lim\left\lbrack n\left( \sqrt{n^{2} +
1} - \sqrt{n^{2} - 3} ight) ightbrack

    = \lim\frac{n\left( \sqrt{n^{2} + 1} -
\sqrt{n^{2} - 3} ight)\left( \sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} - 3}
ight)}{\sqrt{n^{2} + 1} + \sqrt{n^{2} - 3}}

    = \lim\frac{4n}{\sqrt{n^{2} + 1} +
\sqrt{n^{2} - 3}}

    = \lim\dfrac{4}{\sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 - \dfrac{3}{n^{2}}}}

    = \frac{4}{1 + 1} = 2

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên [-3;3] với f(x)=\frac{ \sqrt{x+3}-\sqrt{3-x}}{x} với xeq 0. Tính f(0)

    Ta có: Hàm số f(x) xác định và liên tục trên [-3;3]

    => Hàm số liên tục tại x=0

    => \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix}  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {x + 3}  - \sqrt {3 - x} }}{x} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {x + 3}  - \sqrt {3 - x} } ight)\left( {\sqrt {x + 3}  + \sqrt {3 - x} } ight)}}{{x\left( {\sqrt {x + 3}  + \sqrt {3 - x} } ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {x + 3}  + \sqrt {3 - x} } ight)}} \hfill \\   = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{\sqrt {x + 3}  + \sqrt {3 - x} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \hfill \\ \end{matrix}

    => \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}

  • Câu 18: Nhận biết

    Tính \lim_{x
ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x -
2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 2)}{x -
1}

    = \lim_{x ightarrow 1}(x + 2) =
3

  • Câu 19: Thông hiểu

    Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

    Ta có:

    \lim \frac{{{n^2} - 2n}}{{5n + 5{n^2}}} = \lim \frac{{n\left( {1 - \frac{2}{n}} ight)}}{{n\left( {\frac{5}{n} + 5} ight)}} = \frac{1}{5}

    \lim \frac{{1 - 2n}}{{5n + 5}} = \lim \frac{{n\left( {\frac{1}{n} - 2} ight)}}{{n\left( {5 + \frac{5}{n}} ight)}} = \frac{{ - 2}}{5}

    \lim \frac{{1 - 2{n^2}}}{{5n + 5}} = \lim \frac{{{n^2}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} - 2} ight)}}{{n\left( {5 + \frac{5}{n}} ight)}} =  + \infty

    \lim \frac{{1 - 2n}}{{5n + 5{n^2}}} = \lim \frac{{{n^2}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{2}{n}} ight)}}{{{n^2}\left( {\frac{5}{n} + 5} ight)}} = 0

     

  • Câu 20: Nhận biết

    Giới hạn \lim\frac{2}{n - 3} bằng

    Ta có:

    \lim\frac{2}{n - 3} =\lim\dfrac{\dfrac{2}{n}}{1 - \dfrac{3}{n}} = \dfrac{0}{0 - 0} =0

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 56 lượt xem
Sắp xếp theo