Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [−1; 4] sao cho f(−1) = 2, f(4) = 7. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình f(x) = 5 trên đoạn [−1; 4]:

    Ta có:

    Ta có f(x) = 5 ⇔ f(x) − 5 = 0. Đặt g(x) = f(x) − 5.

    Khi đó

    \left\{ \begin{matrix}g( - 1) = f( - 1) - 5 = 2 - 5 = - 3 \\g(4) = f(4) - 5 = 7 - 5 = 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow g( - 1).g(4) <
0

    Vậy phương trình g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 4) hay phương trình f(x) = 5 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 4)

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hàm số f(x)
= x^{3} - 3x - 1. Số nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên tập số thực là:

    Hàm số f(x) = x^{3} - 3x - 1 là hàm đa thức có tập xác định \mathbb{R}

    => Hàm số liên tục trên \mathbb{R}

    => Hàm số liên tục trên các khoảng ( -
2; - 1),( - 1;0),(0;2)

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
f( - 2) = - 3 < 0 \\
f( - 1) = 1 > 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow f( - 2).f( - 1) < 0 vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên ( -
2; - 1)

    \left\{ \begin{matrix}
f( - 1) = 1 > 0 \\
f(0) = - 1 < 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow f( - 1).f(0) < 0 vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên ( -
1;0)

    \left\{ \begin{matrix}
f(0) = - 1 < 0 \\
f(2) = 1 > 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow f(0).f(2) < 0 vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên (0;2)

    Vậy phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng ( - 2;2). Tuy nhiên phương trình f(x) = 0 là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm

    Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng ba nghiệm.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Giá trị của A =
\lim\frac{2n^{2} + 3n + 1}{3n^{2} - n + 2} bằng:

    Ta có:

    A = \lim\frac{2 + \frac{3}{n} +
\frac{1}{n^{2}}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} =
\frac{2}{3}

  • Câu 4: Nhận biết

    Hàm số f(x) =
\frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4} liên tục trên khoảng nào sau đây?

    Ta có:

    Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x +
4} là hàm phân thứ hữu tỉ có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1;4
ight\} nên hàm số f(x) liên tục trên các khoảng ( -
\infty;1),(1;4),(4; + \infty).

    Do đó f(x) liên tục trên (2;3).

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Tính \lim_{x
ightarrow 1}\frac{x^{2018} + x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} +
1}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{x^{2018} +x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{(x -1)\left( x^{2017} + 2x^{2016} + 3.x^{2015} + .... + 2017x + 2018ight)}{(x - 1)\left( x^{2017} + x^{2016} + x^{2015} + .... + x + 1ight)}

    = \dfrac{\dfrac{2018.2019}{2}}{2018} =\dfrac{2019}{2}

    Vậy \lim_{x ightarrow 1}\dfrac{x^{2018}+ x^{2017} + .... + x - 2018}{x^{2018} + 1} =\frac{2019}{2}

  • Câu 6: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{\cos n + \sin n}{n^{2} + 1} bằng:

    Ta có \frac{|\cos n + \sin n|}{n^{2}}
< \frac{2}{n^{2}}\lim\frac{1}{n^{2}} = 0

    Suy ra \lim\frac{\cos n + \sin n}{n^{2} +
1} = 0.

  • Câu 7: Nhận biết

    Tính giới hạn M
= \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - 4}{x - 2}.

    Ta có:

    M = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} -
4}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x
ightarrow 2}(x + 2) = 4

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hai dãy số \left( u_{n}
ight);\left( v_{n} ight) với u_{n} = 2n + 1v_{n} = \frac{1}{1 - n}. Khi đó \lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n}
ight) bằng:

    Ta có:

    u_{n}v_{n} = (2n + 1).\frac{1}{1 - n} =
\frac{2n + 1}{1 - n}

    \Rightarrow \lim_{n ightarrow +
\infty}\left( u_{n}v_{n} ight) = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2n
+ 1}{1 - n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2 +
\frac{1}{n}}{\frac{1}{n} - 1} = - 2

  • Câu 9: Thông hiểu

    Giới hạn \lim_{}\left( n^{3} - 2023n +
2024 ight) bằng

    Ta có:

    \lim\left\lbrack n^{3} - 2023n + 2024
ightbrack

    = \lim\left\{ n^{3}\left( 1 -
\frac{2023}{n^{2}} + \frac{2024}{n^{3}} ight) ight\} = +
\infty.

    \left\{ \begin{matrix}
\underset{}{\lim\left( n^{3} ight) = + \infty} \\
\lim\left( 1 - \frac{2023}{n^{2}} + \frac{2024}{n^{3}} ight) = 1 >
0 \\
\end{matrix} ight..

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính giới hạn của hàm số \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{5} + x^{4} -
4x^{2} + 1}{x^{3} - 1}.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{5} +
x^{4} - 4x^{2} + 1}{x^{3} - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x -
1)\left( 2x^{4} + 3x^{3} + 3x^{2} - x - 1 ight)}{(x - 1)\left( x^{2} +
x + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{4} +
3x^{3} + 3x^{2} - x - 1}{x^{2} + x + 1} = 2

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho số thực m thỏa mãn \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} +
3} + 2017}{2x + 2018} = \frac{1}{2}. Khi đó giá trị của m là bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow +
\infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} + 3} + 2017}{2x + 2018} =
\frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{mx\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 2017}{x\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{m\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + \dfrac{2017}{x}}{\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{m\sqrt{2}}{2} =
\frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{\sqrt{2}}{2}

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R} với f(x) = \frac{x^{2} - 3x + 2}{x - 1} với mọi x eq 1. Tính f(1).

    Ta có: f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R} nên suy ra

    f(1) = \lim_{x ightarrow
1}f(x)

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - 3x
+ 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}(x - 2) = 1

    Vậy f(1) = 1

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho dãy số \left( u_{n}
ight)thỏa mãn \left\{
\begin{matrix}
u_{1} = 3 \\
u_{n + 1} = {u_{n}}^{2} - 3u_{n} + 4 \\
\end{matrix};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight) ight.. Biết dãy số \left( u_{n} ight) là dãy tăng và không bị chặn trên. Đặt v_{n} =
\frac{1}{u_{1} - 1} + \frac{1}{u_{2} - 1} + \frac{1}{u_{3} - 1} + ... +
\frac{1}{u_{n} - 1};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight). Tính \lim_{n ightarrow \infty}\left( v_{n}
ight)

    Ta có: u_{n + 1} = u_{n}^{2} - 3u_{n} +
4

    \Rightarrow u_{n + 1} - 2 = u_{n}^{2} -
3u_{n} + 2 = \left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2
ight)

    \Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2}
= \frac{1}{\left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2
ight)}

    \Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2}
= \frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n} - 1}

    \Leftrightarrow \frac{1}{u_{n} - 1} =
\frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}

    \Rightarrow v_{n} = \frac{1}{u_{1} - 2}
- \frac{1}{u_{2} - 2} + \frac{1}{u_{2} - 2} - \frac{1}{u_{3} -
2}

    + \cdots + \frac{1}{u_{n} - 2} -
\frac{1}{u_{n + 1} - 2}

    = \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{n +
1} - 2}

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow +
\infty}v_{n} = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{1}{u_{1} - 2} -
\frac{1}{u_{n + 1} - 2} ight) = \frac{1}{u_{1} - 2} = 1

  • Câu 14: Thông hiểu

    Biết rằng f(x) =\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x eq 1 \\a\ \ \ khi\ x eq 1 \\\end{matrix} ight. liên tục trên \lbrack 0;1brack với a là tham số. Khẳng định nào sau đây về giá trị a là đúng?

    Ta có:

    Hàm số xác định và liên tục trên \lbrack
0;1brack

    Khi đó f(x) liên tục trên \lbrack 0;1brack khi và chỉ khi \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ \
(*)

    Ta có:

    f(1) = a

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x
ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left\lbrack (x +
1)\left( \sqrt{x} + 1 ight) ightbrack = 4

    (*) \Leftrightarrow a = 4

  • Câu 15: Nhận biết

    Giới hạn \lim\frac{2}{n - 3} bằng

    Ta có:

    \lim\frac{2}{n - 3} =\lim\dfrac{\dfrac{2}{n}}{1 - \dfrac{3}{n}} = \dfrac{0}{0 - 0} =0

  • Câu 16: Nhận biết

    Tìm giới hạn C =
\lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{2x + 1}{x - 1}
ight)

    Ta có: C = \lim_{x ightarrow +\infty}\left( \dfrac{2x + 1}{x - 1} ight) = \lim_{x ightarrow +\infty}\left( \dfrac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{1}{x}} ight) =2

  • Câu 17: Vận dụng

    Kết quả của giới hạn \lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + ( -
1)^{n}.cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack bằng:

    Ta có

    \lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + ( -1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack

    = \lim\left\lbrack\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n} - 1} ightbrack + \lim\left\lbrack \frac{(- 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack

    Khi đó ta có:

    \lim\left\lbrack
\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n} - 1} ightbrack = \frac{\sqrt{3}}{1} =
\sqrt{3}

    0 \leq \left| \frac{( -1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ight| \leq \frac{1}{\sqrt{n} - 1}ightarrow 0 \Rightarrow \lim\frac{( - 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} =0

    Vậy \lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + (- 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack = \sqrt{3}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Phương trình \cos^{2}x - \sqrt{x} =0 vô nghiệm. Sai||Đúng

    b) Hàm số y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} +
2} có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0 Đúng||Sai

    d) Để hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight. liên tục trên khoảng ( - \infty; + \infty) thì f(0) nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Phương trình \cos^{2}x - \sqrt{x} =0 vô nghiệm. Sai||Đúng

    b) Hàm số y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} +
2} có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0 Đúng||Sai

    d) Để hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight. liên tục trên khoảng ( - \infty; + \infty) thì f(0) nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

     

    a) Xét hàm số \cos^{2}x - \sqrt{x} =f(x) có tập xác định D = \lbrack 0;
+ \infty)

     

    Hàm số liên tục trên \left\lbrack
0;\frac{\pi}{2} ightbrack ta có: f(0) = 1;f\left( \frac{\pi}{2} ight) = -
\sqrt{\frac{\pi}{2}}

    f(0).f\left( \frac{\pi}{2} ight)
< 0 nên phương trình f(x) =
0 có ít nhất một nghiệm trên \left(
0;\frac{\pi}{2} ight).

    b) Ta có:

    x^{4} - 3x^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow
\left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} - 2 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x^{2} - 1 = 0 \\
x^{2} - 2 = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x^{2} = 1 \\
x^{2} = 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = \pm 1 \\
x = \pm 2 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy hàm số đã cho có 4 điểm gián đoạn.

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack x.\left(\dfrac{\sin x}{x} ight)^{2}.\dfrac{3}{2}.\left(\dfrac{\sin\dfrac{3x}{2}}{\dfrac{3x}{2}} ight) ightbrack =0

    d) Ta có: D = \mathbb{R}

    với x eq 0 thì f(x) = \frac{x^{2} + 4x}{2x} là hàm phân thức hữu tỉ xác định với mọi x eq
0. Do đó hàm số liên tục trên các khoảng ( - \infty;0),(0; + \infty)

    Tại x = 0 ta có: \lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow
0}\left( \frac{x^{2} + 4x}{2x} ight) = \lim_{x ightarrow 0}\left(
\frac{x + 4}{2} ight) = 2

    Để hàm số liên tục trên khoảng ( -
\infty; + \infty) thì hàm số phải liên tục tại x = 0 khi đó:

    \lim_{x ightarrow 0}f(x) = f(0) =
2.

    Vậy để hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight. liên tục trên khoảng ( - \infty; + \infty) thì f(0) nhận giá trị là 2.

  • Câu 19: Vận dụng

    Một cái hồ chứa 600 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút. Nồng độ muối trong hồ dần về bao nhiêu gam/lít khi t dần về dương vô cùng?

    Đáp án: 30

    Đáp án là:

    Một cái hồ chứa 600 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút. Nồng độ muối trong hồ dần về bao nhiêu gam/lít khi t dần về dương vô cùng?

    Đáp án: 30

    Sau t phút bơm nước vào hồ thì lượng nước là 600 + 15t (lít) và lượng muối có được là 30.15t (gam).

    Nồng độ muối của nước là

    C(t) = \frac{30.15t}{600 + 15t} =
\frac{30t}{40 + t} (gam/lít).

    Khi t dần về dương vô cùng, ta có

    \lim_{t ightarrow + \infty}C(t) =
\lim_{t ightarrow + \infty}\frac{30t}{40 + t} = \lim_{t ightarrow +
\infty}\frac{30t}{t\left( \frac{40}{t} + 1 ight)}

    = \lim_{t ightarrow +
\infty}\frac{30}{\frac{40}{t} + 1} = 30\ (gam/lít).

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=x^{3}-3x-1. Số nghiệm của phương trình f(x)  =0 trên \mathbb{R} là:

    Hàm số f(x)=x^{3}-3x-1 là hàm đa thức có tập xác định là \mathbb{R} nên liên tục trên \mathbb{R}

    => Hàm số liên tục trên mỗi khoảng \left( { - 2; - 1} ight),\left( { - 1;0} ight),\left( {0;2} ight)

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {f\left( { - 2} ight) =  - 3} \\   {f\left( { - 1} ight) = 1} \end{array} \Rightarrow } ight.f\left( { - 2} ight).f\left( { - 1} ight) < 0 => Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \left( { - 2; - 1} ight)

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {f\left( { - 1} ight) = 1} \\   {f\left( 0 ight) =  - 1} \end{array} \Rightarrow } ight.f\left( { - 1} ight).f\left( 0 ight) < 0=> Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \left( { - 1; 0} ight)

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {f\left( 2 ight) = 1} \\   {f\left( 0 ight) =  - 1} \end{array} \Rightarrow } ight.f\left( 2 ight).f\left( 0 ight) < 0=> Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \left( { 0; 2} ight)

    Vậy phương trình f(x)  =0 có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng \left( { -2; 2} ight)

    Mặt khác phương trình f(x)  =0 là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm

    => Phương trình f(x)  =0 có đúng ba nghiệm trên \mathbb{R}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 43 lượt xem
Sắp xếp theo