Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{3} - 4x^{2} + 3}{x - 1}\ \ \ \ khi\ x eq 1 \\ax + \dfrac{5}{2}\ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Xác định a để hàm số liên tục trên \mathbb{R}?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left( x^{2} - 3x - 3 ight)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\left( x^{2} - 3x - 3 ight) = - 4

    f(1) = a + \frac{5}{2}

    Hàm số liên tục trên \mathbb{R} khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow - 5 = a + \frac{5}{2} \Rightarrow a = - \frac{15}{2}

  • Câu 2: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} bằng:

    Với mọi số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} = \left\lbrack \frac{1}{a^{2}} - 1 ightbrack + 1

    Ta có:

    \frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} < \frac{1}{\sqrt{n + 1}} < a  với mọi n > n_{a}

    Suy ra \lim\frac{\sqrt{n + 1}}{n + 2} = 0

  • Câu 3: Nhận biết

    Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại x = 1?

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{x - 1}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{x - 1}} = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight. nên hàm số y = \frac{x^{2} + 2}{x - 1} gián đoạn tại điểm x = 1

  • Câu 4: Nhận biết

    Với k là số nguyên dương, c là hằng số, giới hạn \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{c}{x^{k}} bằng

    Ta có \lim_{x ightarrow + \infty}c = c và \lim_{x ightarrow + \infty}x^{k} = + \infty nên \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{c}{x^{k}} = 0

  • Câu 5: Thông hiểu

    Giá trị của C =\lim\ \frac{n^{3} + 1}{n(2n + 1)^{2}} bằng:

    C = \lim\ \frac{n^{3} + 1}{n(2n +1)^{2}}

    = \lim\frac{n^{3} + 1}{n(4n^{2} + 4n +1)} = \lim\frac{n^{3} + 1}{4n^{3} + 4n^{2} + n}

    = \lim\frac{1 + \dfrac{1}{n^{3}}}{4 +\dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}} = \frac{1}{4}

  • Câu 6: Nhận biết

    Xác định giới hạn D = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + 2x)^{2} - 1}{x}

    Ta có:

    D = \lim_{x ightarrow 0}\frac{(1 + 2x)^{2} - 1}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2} + 4x}{x} = \lim_{x ightarrow 0}(4 + 4x) = 4

  • Câu 7: Vận dụng

    Biết \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5. Hỏi giá trị giới hạn \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left\lbrack \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ightbrack} bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{x - 1} = 5

    \Rightarrow f(1) = 10

    Khi đó: \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 10}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left\lbrack \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left( f(x) - 10 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{\left( \sqrt{x} - 1 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)\left\lbrack \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left( f(x) - 10 ight)\left( \sqrt{x} + 1 ight)}{(x - 1)\left\lbrack \sqrt{4f(x) + 9} + 3 ightbrack}

    = \frac{5.\left( \sqrt{1} + 1 ight)}{\left\lbrack \sqrt{4f(1) + 9} + 3 ightbrack} = 1

  • Câu 8: Nhận biết

    Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x = 1?

    Xét đồ thị hàm số

    Vì \lim_{x ightarrow 1^{+}}y eq \lim_{x ightarrow 1^{-}}y nên hàm số không liên tục tại x = 1

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho giới hạn L = \lim\sqrt{3 +\frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}. Khi đó :

    a) L = 2 khi a = 1 Đúng||Sai

    b) L = 3 khi a = 3 Sai||Đúng

    c) L > 3 khi a > 6 Đúng||Sai

    d) Có 3 giá trị nguyên của a thuộc (0;20) sao cho \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} -\frac{1}{2^{n}}} là một số nguyên. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho giới hạn L = \lim\sqrt{3 +\frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}}. Khi đó :

    a) L = 2 khi a = 1 Đúng||Sai

    b) L = 3 khi a = 3 Sai||Đúng

    c) L > 3 khi a > 6 Đúng||Sai

    d) Có 3 giá trị nguyên của a thuộc (0;20) sao cho \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} -\frac{1}{2^{n}}} là một số nguyên. Đúng||Sai

    Ta có \left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{an^{2} - 1}{3 + n^{2}} = \lim\dfrac{a -\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1} = a \\\lim\dfrac{1}{2^{n}} = \lim\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n} = 0 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{an^{2} -1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + a}

    Ta có \left\{ \begin{matrix}a \in (0;20),\ \ a\mathbb{\in Z} \\\sqrt{a + 3}\mathbb{\in Z} \\\end{matrix} ight.\ \overset{ightarrow}{}a \in \left\{ 1;6;13ight\}.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đúng

    d) Đúng

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính \lim\frac{2n + 1}{1 + n} được kết quả là:

    Ta có

    \lim\frac{2n + 1}{1 + n} = \lim\frac{n\left( 2 + \frac{1}{n} ight)}{n\left( \frac{1}{n} + 1 ight)} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} + 1} = \frac{2 + 0}{0 + 1} = 2.

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Tính giới hạn sau: \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}.

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Tính giới hạn sau: \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}.

    Đáp án: 1

    Ta có:

    \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}

    = \lim\left\lbrack \frac{2n^{2} - n^{3} + n^{3}}{n^{2} + n - n^{2}} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + n} + n}{\sqrt[3]{\left( 2n^{2} - n^{3} ight)^{2}} + n^{2} - n\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}}} ightbrack

    = \lim\dfrac{\sqrt{\left( n\sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + n ight)}}{\sqrt[3]{n^{6} \cdot \left( \dfrac{2}{n} - 1ight)^{2}} + n^{2} - n \cdot \sqrt[3]{n^{3}\left( \dfrac{2}{n} - 1ight)}}

    = \lim\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} +1}{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}}

    Khi n ightarrow \infty thì \ lim\frac{1}{n} = 0.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\lim\left( \left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1} ight) = - 1 + 1 + 1 = 1 \\\lim\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} + 1 ight) = 1 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\dfrac{\left( \sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + 1 ight.\ }{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}}+ 1 - \sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}} = 1

    \Rightarrow \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n} = 1

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2}}}{x}{\text{ khi }}x < 1,x e 0} \\ \begin{gathered} {\text{0 khi }}x = 0 \hfill \\ \sqrt x {\text{ khi }}x \geqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight.. Hàm số f(x) liên tục tại:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Dễ thấy hàm số y = f(x) liên tục trên mỗi khoảng ( - \infty;0),(0;1);(1; + \infty)

    Ta có:

    f(0) = 0

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{x^{2}}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(x) = 0

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{x^{2}}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}(x) = 0

    Vậy hàm số liên tục tại x = 0

    Tương tự ta có:

    f(1) = 1

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2}}{x} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}(x) = 1

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\sqrt{x} = 1

    Vậy hàm số liên tục tại x = 1

    Vậy hàm số đã cho liên tục trên tập số thực.

  • Câu 13: Vận dụng

    Tìm giá trị thực của m để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x e 2} \\ {{\text{m khi }}x = 2} \end{array}} ight. liên tục tại x=2.

    Tập xác định của hàm số: D = \mathbb{R} chứa x=2

    Theo giả thiết thì ta phải có:

    \begin{matrix} f\left( 2 ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} ight) = 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy m=3

  • Câu 14: Vận dụng

    Một cái hồ chứa 600 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút. Nồng độ muối trong hồ dần về bao nhiêu gam/lít khi t dần về dương vô cùng?

    Đáp án: 30

    Đáp án là:

    Một cái hồ chứa 600 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút. Nồng độ muối trong hồ dần về bao nhiêu gam/lít khi t dần về dương vô cùng?

    Đáp án: 30

    Sau t phút bơm nước vào hồ thì lượng nước là 600 + 15t (lít) và lượng muối có được là 30.15t (gam).

    Nồng độ muối của nước là

    C(t) = \frac{30.15t}{600 + 15t} = \frac{30t}{40 + t} (gam/lít).

    Khi t dần về dương vô cùng, ta có

    \lim_{t ightarrow + \infty}C(t) = \lim_{t ightarrow + \infty}\frac{30t}{40 + t} = \lim_{t ightarrow + \infty}\frac{30t}{t\left( \frac{40}{t} + 1 ight)}

    = \lim_{t ightarrow + \infty}\frac{30}{\frac{40}{t} + 1} = 30\ (gam/lít).

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323... được biểu diễn bởi phân số tối giản \frac{m}{n}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} 0,17232323.... \hfill \\ = 0,17 + 23.\left( {\dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + \dfrac{1}{{{{10}^8}}} + ...} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \dfrac{{17}}{{100}} + 23.\dfrac{{\dfrac{1}{{10000}}}}{{1 - \dfrac{1}{{100}}}} = \dfrac{{17}}{{100}} + \dfrac{{23}}{{100.99}} \hfill \\ = \dfrac{{1706}}{{9900}} = \dfrac{{853}}{{4950}} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 853 \\ n = 4950 \\ \end{matrix} \Rightarrow 2^{12} < T = 4097 < 2^{13} ight.

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho các giới hạn \lim_{x ightarrow x_{0}}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow x_{0}}g(x) = 3. Tính giá trị biểu thức T = \lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack 3f(x) - 4g(x) ightbrack

    Ta có:

    T = \lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack 3f(x) - 4g(x) ightbrack

    \Rightarrow T = 3\lim_{x ightarrow x_{0}}f(x) - 4\lim_{x ightarrow x_{0}}g(x) = 6 - 12 = - 6

  • Câu 17: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc (0;20) sao cho \lim\sqrt{3 + \frac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} là:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} = \lim\dfrac{m -\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1} = m \\\lim\dfrac{1}{2^{n}} = \lim\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n} = 0 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{mn^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + m}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} m \in (0;20);m\mathbb{\in Z} \\ \sqrt{m + 3}\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \in \left\{ 1;6;13 ight\}

  • Câu 18: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}}=?

    Ta có: 

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{2x - 5}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - x\sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {2 - \dfrac{5}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} - \sqrt {1 + \dfrac{5}{x}} }}{{2 - \dfrac{5}{x}}} = \dfrac{2}{2} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tính K = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{4x^{2} + 3x + 1} - 2x ight)

    Ta có:

    K = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{4x^{2} + 3x + 1} - 2x ight)

    K = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{4x^{2} + 3x + 1 - 4x^{2}}{\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} +2x}

    K = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{3x + 1}{\sqrt{4x^{2} + 3x + 1} + 2x}

    K = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3+ \dfrac{1}{x}}{\sqrt{4 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} + 2} =\dfrac{3}{4}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = 5 . Đúng||Sai

    b) Phương trình x^{3} - 3x^{2} + 3 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

    c) Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5 thì \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack bằng - 15. Sai||Đúng

    d) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x}\ \ \ khi\ x\ > \ 0 \\1 + 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 0 \\\end{matrix} ight. gián đoạn tại x = 0. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = 5 . Đúng||Sai

    b) Phương trình x^{3} - 3x^{2} + 3 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

    c) Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5 thì \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack bằng - 15. Sai||Đúng

    d) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x}\ \ \ khi\ x\ > \ 0 \\1 + 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 0 \\\end{matrix} ight. gián đoạn tại x = 0. Sai||Đúng

    Ta có: \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = \frac{3.1 + 2}{3 - 1} = 5

    Xét phương trình x^{2} - 3x^{2} + 3 = 0. Đặt x^{2} - 3x^{2} + 3 = f(x) là hàm số liên tục trên \mathbb{R} suy ra hàm số cũng liên tục trên \lbrack - 1;3brack.

    Ta có: f( - 1) = - 1;f(1) = 1;f(2) = - 1;f(3) = 3

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} f( - 1).f(1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ f(2).f(3) < 0 \\ \end{matrix} ight. nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm

    f(x) = 0 là phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm

    Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm.

    Ta có:

    Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5 suy ra

    \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 0}(3x) - 4\lim_{x ightarrow 0}f(x) = 3.0 - 4.5 = - 20

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\left( \sqrt{1 + 2x} - 1 ight)\left( \sqrt{1 + 2x} + 1 ight)}{x\left( \sqrt{1 + 2x} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{2}{\sqrt{1 + 2x} + 1} = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(1 + 3x) = 1

    Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 0.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 50 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập