Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Tìm giới hạn \lim_{x ightarrow ( - 3)^{+}}\frac{3 + 2x}{x + 3}.

    Ta có \lim_{x ightarrow ( - 3)^{+}}(3 + 2x) = - 3, \lim_{x ightarrow ( - 3)^{+}}(x + 3) = 0 và x + 3 > 0 nên \lim_{x ightarrow ( - \ 3)^{+}}\frac{3 + 2x}{x + 3} = - \infty.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}}. Tính \lim_{n ightarrow + \infty}u_{n}.

    Ta có:

    \lim_{n ightarrow + \infty}u_{n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left( \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.\frac{4^{- 1}}{5^{- 2}} ight) = 0

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho dãy số \left( u_{n} ight)thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = {u_{n}}^{2} - 3u_{n} + 4 \\ \end{matrix};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight) ight.. Biết dãy số \left( u_{n} ight) là dãy tăng và không bị chặn trên. Đặt v_{n} = \frac{1}{u_{1} - 1} + \frac{1}{u_{2} - 1} + \frac{1}{u_{3} - 1} + ... + \frac{1}{u_{n} - 1};\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight). Tính \lim_{n ightarrow \infty}\left( v_{n} ight)

    Ta có: u_{n + 1} = u_{n}^{2} - 3u_{n} + 4

    \Rightarrow u_{n + 1} - 2 = u_{n}^{2} - 3u_{n} + 2 = \left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2 ight)

    \Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2} = \frac{1}{\left( u_{n} - 1 ight).\left( u_{n} - 2 ight)}

    \Leftrightarrow \frac{1}{u_{n + 1} - 2} = \frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n} - 1}

    \Leftrightarrow \frac{1}{u_{n} - 1} = \frac{1}{n_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}

    \Rightarrow v_{n} = \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{2} - 2} + \frac{1}{u_{2} - 2} - \frac{1}{u_{3} - 2}

    + \cdots + \frac{1}{u_{n} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}

    = \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2}

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow + \infty}v_{n} = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{1}{u_{1} - 2} - \frac{1}{u_{n + 1} - 2} ight) = \frac{1}{u_{1} - 2} = 1

  • Câu 4: Thông hiểu

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3} Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3 khi a = - 2 Đúng||Sai

    c) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = \sqrt{3} Đúng||Sai

    c) \lim\frac{\cos n}{n} = + \infty Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow \infty}\frac{2n + 5}{3n + 7} = \frac{5}{3} Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} - 2ax + 3 + a^{2} ight) = 3 khi a = - 2 Đúng||Sai

    c) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 3}{x - \sqrt{3}}\ \ \ khi\ x\ eq \sqrt{3} \\2\sqrt{3}\ \ \ khi\ x\ = \ \sqrt{3} \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = \sqrt{3} Đúng||Sai

    c) \lim\frac{\cos n}{n} = + \infty Sai||Đúng

    Ta có: \lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{2n + 5}{3n + 7} = \lim_{x ightarrow\infty}\dfrac{\dfrac{2n}{n} + \dfrac{5}{n}}{\dfrac{3n}{n} + \dfrac{7}{n}} =\dfrac{2}{3}

    Ta có: Khi a = - 2 thì \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 3 + 4 ight) = \lim_{x ightarrow - 2}\left( x^{2} + 4x + 7 ight) = 3

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} f\left( {\sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {x + \sqrt 3 } ight) = 2\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}{\text{ khi x }} e \sqrt 3 \hfill \\ 2\sqrt 3 {\text{ khi x = }}\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. liên túc tại x = \sqrt{3}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \left| {\frac{{\cos n}}{n}} ight| \leqslant \frac{1}{n} \hfill \\ \lim \frac{1}{n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \lim \frac{{\cos n}}{n} = 0

  • Câu 5: Thông hiểu

    Giá trị của A = \lim\frac{2n^{2} + 3n + 1}{3n^{2} - n + 2} bằng:

    Ta có:

    A = \lim\frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} = \frac{2}{3}

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho các giới hạn \lim_{x ightarrow x_{0}}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow x_{0}}g(x) = 3. Tính giá trị biểu thức T = \lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack 3f(x) - 4g(x) ightbrack

    Ta có:

    T = \lim_{x ightarrow x_{0}}\left\lbrack 3f(x) - 4g(x) ightbrack

    \Rightarrow T = 3\lim_{x ightarrow x_{0}}f(x) - 4\lim_{x ightarrow x_{0}}g(x) = 6 - 12 = - 6

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính giới hạn của hàm số f(x) = \frac{2x + 3}{\sqrt[3]{2x^{2} - 3}} khi x \mapsto - \infty.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2x +3}{\sqrt[3]{2x^{2} - 3}} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2 +\dfrac{3}{x}}{- \sqrt{2 - \dfrac{3}{x^{3}}}} = - \sqrt{2}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 1}{x - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x eq 1 \\a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x_{0} = 1.

    Ta có:

    f(1) = a

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{x^{2} - 1}{x - 1}= \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x -1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}(x + 1) = 1

    Hàm số f(x) liên tục tại x = 1

    = > a = 2

  • Câu 9: Vận dụng

    Giá trị của \lim\frac{a^{n}}{n!} bằng:

    Gọi m là số tự nhiên thỏa: m+1>|a|.

    Khi đó với mọi n > m+1.

    Ta có: 0 < \left| \frac{a^{n}}{n!}ight| = \left| \frac{a}{1}.\frac{a}{2}\ldots\frac{a}{m} ight|.\left|\frac{a}{m + 1}\ldots\frac{a}{n} ight| < \frac{|a|^{m}}{m!}.\left(\frac{|a|}{m + 1} ight)^{n - m}

    Mà \lim\left( \frac{|a|}{m + 1}ight)^{n - m} = 0 .

    Từ đó suy ra: \lim\frac{a^{n}}{n!} =0 .

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}. Tính \lim_{x ightarrow 0}f(x).

    Ta có:

    f(x) = \frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8- x}}{x} = 2.\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} + \frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x}= 2A + B

    Khi đó:

    \lim_{x ightarrow 0}A = \lim_{xightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}= \lim_{x ightarrow0}\frac{\left( \sqrt{1 + x} - 1 ight)\left( \sqrt{1 + x} + 1ight)}{x\left( \sqrt{1 + x} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{x\left( \sqrt{1 + x} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{2}

    Đồng thời

    \lim_{x ightarrow 0}B = \lim_{xightarrow 0}\frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x} = \lim_{x ightarrow0}\frac{x}{x\left\lbrack \left( 4 + 2\sqrt[3]{8 - x} ight) + \left(\sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\left( 4 + 2\sqrt[3]{8 - x} ight) + \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2}} = \frac{1}{12}

    Vậy \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 2\lim_{x ightarrow 0}A + \lim_{x ightarrow 0}B = 2.\frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{13}{12}

  • Câu 11: Nhận biết

    Giá trị của C = lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7} bằng:

    Ta có theo tính chất giới hạn, ta có:

    lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7} = 0

  • Câu 12: Thông hiểu

    Tính giới hạn M = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{cx^{2} + a}{x^{2} + b} ight).

    Ta có:

    M = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{cx^{2} + a}{x^{2} + b} ight)

    M = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{cx^{2} + a}{x^{2} + b} ight)

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}}{\text{ khi }}x < 1} \\ {{\text{1 khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight. . Hãy chọn kết luận đúng.

    Ta có: f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 + x + x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ \end{matrix} ight.

    Lại có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( 1 + x + x^{2} ight) = 3

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 1 eq 3

    => Hàm số liên tục phải tại x = 1

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên [-3;3] với f(x)=\frac{ \sqrt{x+3}-\sqrt{3-x}}{x} với xeq 0. Tính f(0)

    Ta có: Hàm số f(x) xác định và liên tục trên [-3;3]

    => Hàm số liên tục tại x=0

    => \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {x + 3} - \sqrt {3 - x} }}{x} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {x + 3} - \sqrt {3 - x} } ight)\left( {\sqrt {x + 3} + \sqrt {3 - x} } ight)}}{{x\left( {\sqrt {x + 3} + \sqrt {3 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {x + 3} + \sqrt {3 - x} } ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{\sqrt {x + 3} + \sqrt {3 - x} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \hfill \\ \end{matrix}

    => \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Tính giới hạn sau: \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}.

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Tính giới hạn sau: \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}.

    Đáp án: 1

    Ta có:

    \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}

    = \lim\left\lbrack \frac{2n^{2} - n^{3} + n^{3}}{n^{2} + n - n^{2}} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + n} + n}{\sqrt[3]{\left( 2n^{2} - n^{3} ight)^{2}} + n^{2} - n\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}}} ightbrack

    = \lim\dfrac{\sqrt{\left( n\sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + n ight)}}{\sqrt[3]{n^{6} \cdot \left( \dfrac{2}{n} - 1ight)^{2}} + n^{2} - n \cdot \sqrt[3]{n^{3}\left( \dfrac{2}{n} - 1ight)}}

    = \lim\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} +1}{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}}

    Khi n ightarrow \infty thì \ lim\frac{1}{n} = 0.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\lim\left( \left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1} ight) = - 1 + 1 + 1 = 1 \\\lim\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} + 1 ight) = 1 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\dfrac{\left( \sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + 1 ight.\ }{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}}+ 1 - \sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}} = 1

    \Rightarrow \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n} = 1

  • Câu 16: Thông hiểu

    Giới hạn \lim_{}\frac{2^{n} - 3^{n}}{2^{n} + 1} bằng

    Ta có:

    \lim\dfrac{2^{n} - 3^{n}}{2^{n} + 1} =\lim\dfrac{1 - \left( \dfrac{3}{2} ight)^{n}}{1 + \left( \dfrac{1}{2}ight)^{n}}

    = \dfrac{\lim\left( 1 - \left(\dfrac{3}{2} ight)^{n} ight)}{\lim\left( 1 + \left( \dfrac{1}{2}ight)^{n} ight)} = \lim\left( 1 - \left( \dfrac{3}{2} ight)^{n}ight) = - \infty

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình dưới đây. Chọn khẳng định đúng.

    Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số liên tục trên (1;4)

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tính giới hạn của \lim\frac{1 + 3 + 5 + \ldots + (2n + 1)}{3n^{2} + 4}

    Ta có:

    \lim\frac{1 + 3 + 5 + \ldots + (2n +1)}{3n^{2} + 4}

    = \lim\dfrac{n^{2}}{3n^{2} + 4}

    = \lim\dfrac{1}{3 +\dfrac{4}{n^{2}}} = \frac{1}{3}

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-1;4] sao cho f(-1) = 2, f(4) = 7. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình f(x) = 5 trên đoạn [-1;4] :

    Ta có: f(x)=5 =>f(x)−5=0

    Đặt g(x)=f(x)−5

    Khi đó:

    \begin{matrix}\left\{ \begin{gathered}g( - 1) = f( - 1) - 5 = 2 - 5 = - 3 \hfill \\g(4) = f(4) - 5 = 7 - 5 = 2 \hfill \\\end{gathered} ight. \hfill \\\Rightarrow g( - 1).g(4) < 0 \hfill \\\end{matrix}

    Vậy phương trình g(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;4) hay phương trình f(x)=5 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;4).

  • Câu 20: Vận dụng

    Kết quả giới hạn K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) = \frac{a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản (a;b > 0). Tổng a + b bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Kết quả giới hạn K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) = \frac{a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản (a;b > 0). Tổng a + b bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 3

    Ta có

    K = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left( \sqrt{x^{2} + 2x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight)

    = \lim_{x ightarrow + \infty}x\left\lbrack \left( \sqrt{x^{2} + 2x} - x - 1 ight) + \left( x + 1 - \sqrt[3]{x^{3} + 3x^{2}} ight) ightbrack

    = \lim_{x ightarrow + \infty}\lbrack\frac{- x}{\sqrt{x^{2} + 2x} + (x + 1)} + \frac{3x^{2} + x}{(x + 1)^{2} + (x + 1)\sqrt[3]{x^{3} + 3x} + \sqrt[3]{\left( x^{3} + 3x ight)^{2}}}brack

    = \lim_{x ightarrow + \infty}\lbrack\frac{- 1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \left( 1 + \frac{1}{x} ight)} + \frac{3 + \frac{1}{x}}{\left( 1 + \frac{1}{x} ight)^{2} + \left( 1 + \frac{1}{x} ight)\sqrt[3]{1 + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt[3]{\left( 1 + \frac{3}{x^{2}} ight)^{2}}}brack

    = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.

    Suy ra a + b = 3.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 40 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập