Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}} bằng

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x} + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1} - x + 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3x}}{{\left| x ight|\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - x + 2}} \hfill \\ \end{matrix}

    = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{x}} + 3}}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{x}} - 1 + \dfrac{2}{x}}} = \frac{{ - 2}}{3}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Phương trình \cos^{2}x - \sqrt{x} =0 vô nghiệm. Sai||Đúng

    b) Hàm số y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2} có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0 Đúng||Sai

    d) Để hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight. liên tục trên khoảng ( - \infty; + \infty) thì f(0) nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Phương trình \cos^{2}x - \sqrt{x} =0 vô nghiệm. Sai||Đúng

    b) Hàm số y = \frac{1}{x^{4} - 3x^{2} + 2} có 4 điểm gián đoạn. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = 0 Đúng||Sai

    d) Để hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight. liên tục trên khoảng ( - \infty; + \infty) thì f(0) nhận giá trị bằng 2. Đúng||Sai

     

    a) Xét hàm số \cos^{2}x - \sqrt{x} =f(x) có tập xác định D = \lbrack 0; + \infty)

     

    Hàm số liên tục trên \left\lbrack 0;\frac{\pi}{2} ightbrack ta có: f(0) = 1;f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - \sqrt{\frac{\pi}{2}}

    Vì f(0).f\left( \frac{\pi}{2} ight) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên \left( 0;\frac{\pi}{2} ight).

    b) Ta có:

    x^{4} - 3x^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} - 2 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} = 1 \\ x^{2} = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số đã cho có 4 điểm gián đoạn.

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\dfrac{1 -\cos2x}{2\sin\dfrac{3x}{2}} = \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack x.\left(\dfrac{\sin x}{x} ight)^{2}.\dfrac{3}{2}.\left(\dfrac{\sin\dfrac{3x}{2}}{\dfrac{3x}{2}} ight) ightbrack =0

    d) Ta có: D = \mathbb{R}

    với x eq 0 thì f(x) = \frac{x^{2} + 4x}{2x} là hàm phân thức hữu tỉ xác định với mọi x eq 0. Do đó hàm số liên tục trên các khoảng ( - \infty;0),(0; + \infty)

    Tại x = 0 ta có: \lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x^{2} + 4x}{2x} ight) = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{x + 4}{2} ight) = 2

    Để hàm số liên tục trên khoảng ( - \infty; + \infty) thì hàm số phải liên tục tại x = 0 khi đó:

    \lim_{x ightarrow 0}f(x) = f(0) = 2.

    Vậy để hàm số f(x) = \left\{\begin{matrix}\dfrac{x^{2} + 4x}{2x}\ \ \ khi\ x eq 0 \\f(0)\ \ \ \ \ \ \ khi\ x = \ 0 \\\end{matrix} ight. liên tục trên khoảng ( - \infty; + \infty) thì f(0) nhận giá trị là 2.

  • Câu 3: Nhận biết

    Giá trị của C = lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7} bằng:

    Ta có theo tính chất giới hạn, ta có:

    lim\ \frac{1}{n^{2} + 2\sqrt{n} + 7} = 0

  • Câu 4: Thông hiểu

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Có hai trong ba hàm số y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1 Đúng||Sai

    c) Phương trình 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0;2).Đúng||Sai

    d) Biết hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.. Khi đó \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Có hai trong ba hàm số y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1 Đúng||Sai

    c) Phương trình 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0;2).Đúng||Sai

    d) Biết hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.. Khi đó \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty. Sai||Đúng

    a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

    Hàm số y = \sin xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên \mathbb{R}

    Hàm số y = \cos\sqrt{x} xác định trên D = \lbrack 0; + \infty)

    Hàm sốy = \tan x xác định trên D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

    Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.

    b) Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x ight) - \lim_{x ightarrow - \infty}1

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} ight) - 1 = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{\frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1} ight) - 1 = - 1

    c) Xét hàm số 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = f(x) liên tục trên \mathbb{R}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 11;f( - 1) = - 3 \\ f(0) = 1;f(1) = - 1;f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.

    Vì \left\{ \begin{matrix} f(0).f( - 1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ \end{matrix} ight. nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0;2).

    d) Ta có: \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + 1 ight) = 2 > 0 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}(1 - x) = 0 \\ \end{matrix} ight.. Khi x ightarrow 1^{-} \Leftrightarrow x < 1 \Leftrightarrow 1 - x > 0

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} + 1}{1 - x} = + \infty.

  • Câu 5: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} bằng

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = + \infty

    Do \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} ight) = 2 > 0 \hfill \\ x \to {1^ + } \Rightarrow x - 1 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12. Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{f(x) - 16}{x - 2} = 12. Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{5f(x) - 16} - 4}{x^{2} + 2x - 8}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hai số thực a,b thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = 5. Tính giá trị biểu thức S = a + 2b.

    Đáp án: -4||- 4

    Đáp án là:

    Cho hai số thực a,b thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = 5. Tính giá trị biểu thức S = a + 2b.

    Đáp án: -4||- 4

    Vì \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = 5 là 1 số hữu hạn và \lim_{x ightarrow 2}(x - 2) = 0 nên \lim_{x ightarrow 2}\left( ax^{2} + bx - 2 ight) = 0 hay 4a + 2b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = 1 - 2a.

    Khi đó:

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + (1 - 2a)x - 2}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + x - 2ax - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(ax^{2} - 2ax) + (x - 2)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(x - 2)(ax + 1)}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(ax + 1)

    = 2a + 1 = 5 \Rightarrow a = 2

    Suy ra b = - 3.

    Vậy S = - 4.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức B = \lim\left\lbrack \sqrt{n}\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1} ight) ightbrack

    B = \lim\left\lbrack \sqrt{n}\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1} ight) ightbrack

    B = \lim\frac{\sqrt{n}\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1} ight)\left( \sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1} ight)}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1}}

    B = \lim\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1}}

    B =\lim\dfrac{\dfrac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n}}}{\dfrac{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n -1}}{\sqrt{n}}}

    B = \lim\dfrac{2}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}}+ \sqrt{1 - \dfrac{1}{n}}}

    B = \frac{2}{1 + 1} = 1

  • Câu 9: Thông hiểu

    Giá trị của A = \lim\frac{2n^{2} + 3n + 1}{3n^{2} - n + 2} bằng:

    Ta có:

    A = \lim\frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} = \frac{2}{3}

  • Câu 10: Nhận biết

    Tính giới hạn L = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 3}{x + 3}?

    Ta có:

    L = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 3}{x + 3} = \frac{3 - 3}{3 + 3} = 0

  • Câu 11: Vận dụng

    Hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - x\cos x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 0} \\ {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}{\text{ }}khi{\text{ }}0 \leqslant x < 1} \\ {{x^3}{\text{ }}khi{\text{ x}} \geqslant {\text{1}}} \end{array}} ight.

    Ta có: f(x) liên tục tại x e 0; x e 1

    Tại x=0 ta có: 

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\cos x} ight) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)

    Vậy hàm số liên tục tại x=0

    Tại x=1 ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3}} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) e \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy hàm số bị gián đoạn tại x=1

    Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Tính giới hạn A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight).

    Ta có:

    A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left(\dfrac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight)

    A = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x^{4}\left( 3 - \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}ight)}{x^{4}\left( 5 + \dfrac{3}{x^{3}} + \dfrac{1}{x^{4}}ight)}

    A = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3- \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}}{5 + \dfrac{3}{x^{3}} +\dfrac{1}{x^{4}}} = \dfrac{3}{5}

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho a, b là các số thực thuộc (-1; 1) và các biểu thức:

    \begin{matrix} P = 1 + a + {a^2} + {a^3} + ... \hfill \\ Q = 1 + b + {b^2} + {b^3} + ... \hfill \\ H = 1 + ab + {a^2}{b^2} + {a^3}{b^3} + ... \hfill \\ \end{matrix}

    Chọn khẳng định đúng.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}P = \dfrac{1}{1 - a} \\Q = \dfrac{1}{1 - b} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 - \dfrac{1}{P} \\b = 1 - \dfrac{1}{Q} \\\end{matrix} ight. khi đó:

    \begin{matrix} H = \dfrac{1}{{1 - ab}} \hfill \\ = \dfrac{1}{{1 - \left( {1 - \dfrac{1}{P}} ight).\left( {1 - \dfrac{1}{Q}} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{PQ}}{{P + Q - 1}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho các mệnh đề:

    1) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b) và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại x_{0} \in (a;b) sao cho f\left( x_{0} ight) = 0.

    2) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm.

    3) Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên \lbrack a;bbrack và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên (a;b).

    Trong các mệnh đề trên:

    Theo tính chất hàm số liên tục thì

    1) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b) và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại x_{0} \in (a;b) sao cho f\left( x_{0} ight) = 0. Mệnh đề sai.

    2) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm. Mệnh đề đúng.

    3) Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên \lbrack a;bbrack và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên (a;b). Mệnh đề đúng.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho {u_{n} = \dfrac{7^{n} + 2^{2n - 1}+ 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}}. Biết \lim u_{n} = \frac{a}{b} (với a, b\in \mathbb{ Z };\frac{ a}{ b } tối giản). Khi đó:

    a) a + b = 8 Đúng||Sai

    b) a - b = - 7 Sai||Đúng

    c) Bộ ba số a;b;13 tạo thành một cấp số cộng có công sai d = 7 Đúng||Sai

    d) Bộ ba số a;b;49 tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 7 Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho {u_{n} = \dfrac{7^{n} + 2^{2n - 1}+ 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}}. Biết \lim u_{n} = \frac{a}{b} (với a, b\in \mathbb{ Z };\frac{ a}{ b } tối giản). Khi đó:

    a) a + b = 8 Đúng||Sai

    b) a - b = - 7 Sai||Đúng

    c) Bộ ba số a;b;13 tạo thành một cấp số cộng có công sai d = 7 Đúng||Sai

    d) Bộ ba số a;b;49 tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 7 Đúng||Sai

    Ta có

    \lim u_{n} = \lim\dfrac{7^{n} + 2^{2n -1} + 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}

    = \lim\dfrac{1 + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{7} ight)^{n} + 3\left( \dfrac{3}{7} ight)^{n}}{7 +\dfrac{1}{5}\left( \dfrac{5}{7} ight)^{n}} = \dfrac{1}{7}.

    Do đó suy ra a = 1,b = 7 \Rightarrow a + b = 8.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đ

    d) Đúng
  • Câu 16: Vận dụng

    Cho dãy số \left( u_{n} ight)xác định bởi \left\{\begin{matrix}u_{n} = \dfrac{1}{2} \\u_{n + 1} = \dfrac{1}{2 - u_{n}},n \geq 1 \\\end{matrix} ight.. Tính \lim u_{n}.

    Giả sử \lim u_{n} = a khi đó ta có:

    \begin{matrix} a = \lim {u_{n + 1}} = \lim \left( {\dfrac{1}{{2 - {u_n}}}} ight) = \dfrac{1}{{2 - a}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a e 2} \\ {a\left( {2 - a} ight) = 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a e 2} \\ {{a^2} - 2a + 1 = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow a = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Cho giới hạn I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}. Tính giá trị của 100I?

    Đáp án: -600||- 600

    Đáp án là:

    Cho giới hạn I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}. Tính giá trị của 100I?

    Đáp án: -600||- 600

    Ta có:

    I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x}.\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}} ight)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left\{ \left( \frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x} + \frac{1 - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x} ight).\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}} ight\}

    Ta có:

    +) \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2x}{\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight).x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2}{\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight)} = 1

    +) \lim_{x ightarrow 0}\frac{1 - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x^{2}}{\left\lbrack 1 + \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{\left( x^{2} + 1 ight)^{2}} ightbrack.x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x}{\left\lbrack 1 + \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{\left( x^{2} + 1 ight)^{2}} ightbrack} = 0.

    +) \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{\left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{3} - \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{3}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{- 2x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{- 2} = - 6.

    Vậy I = (1 + 0).( - 6) = - 6 \Rightarrow 100I = - 600.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Hàm số nào trong các hàm số sau liên tục tại x = 1?

    Xét hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} x + 1\ khi\ x \geq 1 \\ 3x - 1\ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight. có:

    \left\{ \begin{matrix} f(1) = 2 \\ \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}(x + 1) = 2 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}(3x - 1) = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số liên tục tại x = 1.

  • Câu 19: Nhận biết

    Giá trị của C = \lim\frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1} bằng:

    Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \frac{1}{a} - 1

    Ta có:

    \left| \frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1} - 1 ight| < \left| \frac{n + 2}{n - 1} - 1 ight| < \frac{1}{n_{a} + 1} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}

    Vậy C=1.

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}}{\text{ khi }}x < 1} \\ {{\text{1 khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight. . Hãy chọn kết luận đúng.

    Ta có: f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 + x + x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ \end{matrix} ight.

    Lại có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( 1 + x + x^{2} ight) = 3

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 1 eq 3

    => Hàm số liên tục phải tại x = 1

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 65 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập