Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.. Để hàm số liên tục tại x = 1 thì a nhận giá trị là bao nhiêu?

    Đáp án: -14||- 14

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 3}\ khi\ \ x > 1 \\ \frac{ax + 15}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \leq 1 \\ \end{matrix} ight.. Để hàm số liên tục tại x = 1 thì a nhận giá trị là bao nhiêu?

    Đáp án: -14||- 14

    Tập xác định của hàm số f(x)là \mathbb{R}.

    Ta có f(1) = \frac{a + 15}{4}

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{1}{\left( \sqrt{x + 3} + 2 ight)} = \frac{1}{4}

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( \frac{ax + 15}{4} ight) = \frac{a + 15}{4}

    Hàm số đã cho liên tục tại x = 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow \frac{1}{4} = \frac{a + 15}{4} \Leftrightarrow a = - 14.

  • Câu 2: Vận dụng

    Biết \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} + 4}{ax - 2} = \frac{1}{2}. Hỏi giá trị a thuộc tập hợp nào dưới đây?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} + 4}{ax - 2} =\dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- x\left( \sqrt{4 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} +\dfrac{4}{x} ight)}{x\left( a - \dfrac{2}{x} ight)} =\dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{- 2}{a} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow a = - 4 \Rightarrow a \in \lbrack - 6; - 3brack

  • Câu 3: Vận dụng

    Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để \lim \frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2}

    Ta có:

    \frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}}

    Bài toán trở thành \lim \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}} = 0

    Ta có: \lim \cos \frac{1}{n} = \cos 0 = 1 nên bài toán trở thành tìm k sao cho

    \begin{matrix} \lim \dfrac{{\sqrt {{n^k}} }}{n} = \lim \left( {{n^{\dfrac{k}{2} - 1}}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{k}{2} - 1 < 0 \Leftrightarrow k < 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Mà k \in {\mathbb{N}^*};k = 3l

    => Không tồn tại giá trị của k (do k nguyên dương và k chẵn).

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho phương trình 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} f(0) = 1 \\ f(1) = - 1 \\ f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.

    => Phương trình có ít nhất hai nghiệm trên khoảng (0;2).

  • Câu 5: Nhận biết

    \lim(5n-4n^{3}) bằng

    Ta có: 

    \begin{matrix} \lim \left( {5n - 4{n^3}} ight) \hfill \\ = \lim \left[ {{n^3}\left( {\dfrac{5}{{{n^2}}} - 4} ight)} ight] \hfill \\ = - \infty \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4} liên tục trên khoảng nào sau đây?

    Ta có:

    Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4} là hàm phân thứ hữu tỉ có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1;4 ight\} nên hàm số f(x) liên tục trên các khoảng ( - \infty;1),(1;4),(4; + \infty).

    Do đó f(x) liên tục trên (2;3).

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hàm số y =f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}\ khi\ x eq 1 \\k + 1\ \ \ \ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight.liên tục tại x = 1. Xác định giá trị thực của tham số k.

    Tập xác định D = \lbrack 0; + \infty)

    Theo giả thiết ta có:

    k + 1 = f(1) = \lim_{x ightarrow 1}f(x)

    \Rightarrow k + 1 = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} ight)

    \Leftrightarrow k + 1 = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} ight)

    \Leftrightarrow k + 1 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k = - \frac{1}{2}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Biết rằng f(x) =\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x eq 1 \\a\ \ \ khi\ x eq 1 \\\end{matrix} ight. liên tục trên \lbrack 0;1brack với a là tham số. Khẳng định nào sau đây về giá trị a là đúng?

    Ta có:

    Hàm số xác định và liên tục trên \lbrack 0;1brack

    Khi đó f(x) liên tục trên \lbrack 0;1brack khi và chỉ khi \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ \ (*)

    Ta có:

    f(1) = a

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left\lbrack (x + 1)\left( \sqrt{x} + 1 ight) ightbrack = 4

    (*) \Leftrightarrow a = 4

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Số thập phân vô hạn tuần hoàn 5,231231… được biểu diễn bởi phân số tối giản \frac{a}{b}. Tính tổng Q = a - b.

    Ta có:

    \begin{matrix} 5,231231... = 5 + 0,231 + 0,000231 + ... \hfill \\ = 5 + \dfrac{{231}}{{{{10}^3}}} + \dfrac{{231}}{{{{10}^6}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}

    Dãy số \frac{231}{10^{3}};\frac{231}{10^{6}};... là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là u_{1} = \frac{231}{10^{3}}, công sai là q = 10^{- 3}

    \begin{matrix} \Rightarrow Q = 5 + \dfrac{{\dfrac{{231}}{{{{10}^3}}}}}{{1 - \dfrac{1}{{{{10}^{ - 3}}}}}} = 5 + \dfrac{{231}}{{999}} = \dfrac{{1742}}{{333}} \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1742} \\ {b = 333} \end{array}} ight. \Rightarrow Q = 1409 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x}}{x}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x}}{x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} - \sqrt{1 - 2x} ight)\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2}}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x^{2}}{x\left( \sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x} ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{4x}{\sqrt{4x^{2} - 2x + 1} + \sqrt{1 - 2x}} = \frac{0}{1 + 1} = 0

  • Câu 11: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{3} + 3x - 1}{x^{2} + 1}ta được kết quả bằng

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{3} + 3x - 1}{x^{2} + 1}

    = \frac{2.1^{3} + 3.1 - 1}{1^{2} + 1} = \frac{4}{2} = 2.

  • Câu 12: Nhận biết

    Giá trị của B = \lim\frac{n.\sin n - 3n^{2}}{n^{2}} bằng:

    Ta có:

    B = \lim\frac{n.\sin n - 3n^{2}}{n^{2}} = \lim\frac{\frac{\sin n}{n} - 3}{1} = - 3

  • Câu 13: Thông hiểu

    Giá trị của C =\lim\ \frac{n^{3} + 1}{n(2n + 1)^{2}} bằng:

    C = \lim\ \frac{n^{3} + 1}{n(2n +1)^{2}}

    = \lim\frac{n^{3} + 1}{n(4n^{2} + 4n +1)} = \lim\frac{n^{3} + 1}{4n^{3} + 4n^{2} + n}

    = \lim\frac{1 + \dfrac{1}{n^{3}}}{4 +\dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{n^{2}}} = \frac{1}{4}

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Tính giới hạn sau: \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}.

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Tính giới hạn sau: \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}.

    Đáp án: 1

    Ta có:

    \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}

    = \lim\left\lbrack \frac{2n^{2} - n^{3} + n^{3}}{n^{2} + n - n^{2}} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + n} + n}{\sqrt[3]{\left( 2n^{2} - n^{3} ight)^{2}} + n^{2} - n\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}}} ightbrack

    = \lim\dfrac{\sqrt{\left( n\sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + n ight)}}{\sqrt[3]{n^{6} \cdot \left( \dfrac{2}{n} - 1ight)^{2}} + n^{2} - n \cdot \sqrt[3]{n^{3}\left( \dfrac{2}{n} - 1ight)}}

    = \lim\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} +1}{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}}

    Khi n ightarrow \infty thì \ lim\frac{1}{n} = 0.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\lim\left( \left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1} ight) = - 1 + 1 + 1 = 1 \\\lim\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} + 1 ight) = 1 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\dfrac{\left( \sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + 1 ight.\ }{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}}+ 1 - \sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}} = 1

    \Rightarrow \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n} = 1

  • Câu 15: Vận dụng

    Biết giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{3x + 3} + a}{x - 2} = \frac{b}{c}, a là số thực, b, c là các số nguyên dương và \frac{b}{c} tối giản.

    Tính tổng: a + b + c.

    Đáp án: 0

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{3x + 3} + a}{x - 2} = \frac{b}{c}, a là số thực, b, c là các số nguyên dương và \frac{b}{c} tối giản.

    Tính tổng: a + b + c.

    Đáp án: 0

    Vì \lim_{x ightarrow 2}(x - 2) = 0 nên \lim_{x ightarrow 2}\left( \sqrt{3x + 3} + a ight) = 0.

    Suy ra a = - 3.

    Với a = - 3 ta được

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{3x + 3} - 3}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{\left( \sqrt{3x + 3} - 3 ight)\left( \sqrt{3x + 3} + 3 ight)}{(x - 2)\left( \sqrt{3x + 3} + 3 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{3x - 6}{(x - 2)\left( \sqrt{3x + 3} + 3 ight)} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{3}{\sqrt{3x + 3} + 3} = \frac{1}{2}.

    Vậy b = 1;c = 2.

    Suy ra a + b + c = 0.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho L = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + ax + 5} + x ight) . Khi đó:

    a) Khi L = 3 thì a = - 6. Đúng||Sai

    b) Khi L > 0 thì a > 0. Sai||Đúng

    c) Khi L = 2 thì a = 4. Sai||Đúng

    d) L = - 6 thì giá trị của a là một nghiệm của phương trình x^{2} + 11x - 12 = 0. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho L = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + ax + 5} + x ight) . Khi đó:

    a) Khi L = 3 thì a = - 6. Đúng||Sai

    b) Khi L > 0 thì a > 0. Sai||Đúng

    c) Khi L = 2 thì a = 4. Sai||Đúng

    d) L = - 6 thì giá trị của a là một nghiệm của phương trình x^{2} + 11x - 12 = 0. Đúng||Sai

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + ax + 5} + x ight) = - 6

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{x^{2} + ax + 5 - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + ax + 5} - x} ight) = - 6

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{ax + 5}{\sqrt{x^{2} + ax + 5} - x} ight) = - 6

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\left( \dfrac{a + \dfrac{5}{x}}{- \sqrt{1 + \dfrac{a}{x} +\dfrac{5}{x^{2}}} - 1} ight) = - 6

    \Leftrightarrow \frac{a}{- 2} = - 6 \Leftrightarrow a = 12.

    Vì vậy giá trị của a là một nghiệm của phương trình x^{2} + 11x - 12 = 0.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng
  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{n}{4^{n}} và \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} < \frac{1}{2}. Chọn giá trị đúng của \lim u_{n} trong các số sau:

    Áp dụng phương pháp quy nạp toán học ta có n \leq 2^{n},\ \forall n \in N

    Nên ta có :

    n \leq 2^{n} \Leftrightarrow \frac{n}{2^{n}} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{n}{2^{n}.2^{n}} \leq \frac{1}{2^{n}} \Leftrightarrow \frac{n}{4^{n}} \leq \left( \frac{1}{2} ight)^{n}

    Suy ra : 0 < u_{n} \leq \left( \frac{1}{2} ight)^{n}, mà \lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} = 0

    Vậy \lim u_{n} = 0.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức B = \lim\left\lbrack \sqrt{n}\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1} ight) ightbrack

    B = \lim\left\lbrack \sqrt{n}\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1} ight) ightbrack

    B = \lim\frac{\sqrt{n}\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1} ight)\left( \sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1} ight)}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1}}

    B = \lim\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1}}

    B =\lim\dfrac{\dfrac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n}}}{\dfrac{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n -1}}{\sqrt{n}}}

    B = \lim\dfrac{2}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}}+ \sqrt{1 - \dfrac{1}{n}}}

    B = \frac{2}{1 + 1} = 1

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\begin{cases}\sqrt{6-2x}+1 & \text{ với } x\leq 3 \\ ax & \text{ với } x> 3 \end{cases}. Với giá trị nào của a thì hàm số f(x) liên tục tại x = 3?

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = 3a} \\ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x ight) = 1 \hfill \\ f\left( 3 ight) = 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight.

    Hàm số liên tục tại x=3 khi và chỉ khi 

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x ight) = f\left( 3 ight) = 1

    \Leftrightarrow 3a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}

  • Câu 20: Nhận biết

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{2x + 1}{x - 1} ight) bằng

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left(\dfrac{2x + 1}{x - 1} ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left(\dfrac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{1}{x}} ight) = 2

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 64 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập