Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x + 12} liên tục trên khoảng ( - 4; + \infty) Sai||Đúng

    b) Phương trình 3x^{4} + 5x^{3} + 10 = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( - 2; - 1). Đúng||Sai

    c) Giới hạn của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 3x\ \ \ \ \ \ ;\ x \geq 2 \\ x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 2 \\ \end{matrix} ight. khi x ightarrow 2 bằng -1. Sai||Đúng

    d) Dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n} là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x + 12} liên tục trên khoảng ( - 4; + \infty) Sai||Đúng

    b) Phương trình 3x^{4} + 5x^{3} + 10 = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( - 2; - 1). Đúng||Sai

    c) Giới hạn của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 3x\ \ \ \ \ \ ;\ x \geq 2 \\ x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ;\ x < 2 \\ \end{matrix} ight. khi x ightarrow 2 bằng -1. Sai||Đúng

    d) Dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = ( - 1)^{n}\sqrt{n} là dãy số không bị chặn. Đúng||Sai

    a) Ta có:

    f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 7x + 12} có điều kiện xác định

    ( - \infty; - 4) \cup ( - 4; - 3) \cup ( - 3; + \infty)

    Do f(x) là hàm phân thức nên f(x) liên tục trên từng khoảng xác định.

    b) Đặt 3x^{4} + 5x^{3} + 10 = f(x)

    f(x) liên tục trên tập số thực nên f(x) liên tục trên \lbrack - 2; - 1brack\ \ (*)

    Ta có: f( - 2) = - 126;f( - 1) = 2

    \Rightarrow f( - 2).f( - 1) < 0(**)

    Từ (*) và (**) suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc ( - 2; - 1).

    c) Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\left( x^{2} - 3x ight) = - 2

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}(x - 1) = 1

    Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi x ightarrow 2

    d) Ta có: với n chẵn

    \lim u_{n} = \lim\left\lbrack ( - 1)^{n}\sqrt{n} ightbrack = + \infty

    Với n lẻ \lim u_{n} = \lim\left\lbrack ( - 1)^{n}\sqrt{n} ightbrack = - \infty

    Suy ra dãy số không bị chặn.

  • Câu 2: Vận dụng

    Biết \lim\frac{n - \sqrt{2n^{2} + 1}}{4 + 3n} = \frac{a - \sqrt{b}}{c} (biết a,b,c là các số nguyên dương). Tính a^{2} + b^{2} + c^{2}?

    Đáp án: 14

    Đáp án là:

    Biết \lim\frac{n - \sqrt{2n^{2} + 1}}{4 + 3n} = \frac{a - \sqrt{b}}{c} (biết a,b,c là các số nguyên dương). Tính a^{2} + b^{2} + c^{2}?

    Đáp án: 14

    Ta có:

    \lim\frac{n - \sqrt{2n^{2} + 1}}{4 + 3n}= \lim\frac{n.\left( 1 - \sqrt{2 + \frac{1}{n^{2}}} ight)}{n\left( 3 +\frac{4}{n} ight)}

    = \lim\frac{1 - \sqrt{2 + \frac{1}{n^{2}}}}{3 + \frac{4}{n}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{3}

    Do đó a = 1,b = 2,c = 3 \Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} = 14.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tính giới hạn E = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x + 1 - \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)

    Ta có:

    E = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( x + 1 - \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)

    E = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( x + 1 - \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)\left( x + 1 + \sqrt{x^{2} - x - 2} ight)}{x + 1 + \sqrt{x^{2} - x - 2}}

    E = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{(x + 1)^{2} - \left( x^{2} - x - 2 ight)^{2}}{x + 1 +\sqrt{x^{2} - x - 2}}

    E = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x\left( 3 + \dfrac{3}{x} ight)}{x\left( 1 + \dfrac{1}{x} +\sqrt{1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{x^{2}}} ight)}

    E = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3+ \dfrac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x} -\dfrac{2}{x^{2}}}} = \dfrac{3}{2}

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Tính \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \dfrac{{\sqrt[3]{{4x - 1}} - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}}

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = \sqrt[3]{{4x - 1}} - 3 \hfill \\ = \dfrac{{4x - 28}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}} \hfill \\ \end{matrix}

    = \frac{{4\left( {x - 7} ight)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}}

    g\left( x ight) = \sqrt {x + 2} - 3 = \frac{{x + 2 - 9}}{{\sqrt {x + 2} + 3}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt {x + 2} + 3}}

    \begin{matrix} h\left( x ight) = \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2}}{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2} ight)\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    = \frac{{\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2}}{{\sqrt {2x + 2} - 4}} = \frac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}{{\left( {\sqrt {2x + 2} - 4} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}

    \begin{matrix} = \dfrac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}{{2x - 14}} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}{{2\left( {x - 7} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \left\{ {\left[ {f\left( x ight) - g\left( x ight)} ight].h\left( x ight)} ight\}

    = \mathop {\lim }\limits_{x \to 7} \{ \left[ {\frac{4}{{{{\left( {\sqrt[3]{{4x - 1}}} ight)}^2} + 3\sqrt[3]{{4x - 1}} + 9}} - \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 3}}} ight]

    .\frac{{\left( {\sqrt[4]{{2x + 2}} + 2} ight)\left( {\sqrt {2x + 2} + 4} ight)}}{x}\}

    = \left( {\frac{4}{{27}} - \frac{1}{6}} ight).\frac{{32}}{2} = - \frac{8}{{27}}

    Vậy \mathop {\lim Ư}\limits_{x \to 7} \dfrac{{\sqrt[3]{{4x - 1}} - \sqrt {x + 2} }}{{\sqrt[4]{{2x + 2}} - 2}}=\dfrac{-8}{27}

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2} - 1}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Điều kiện xác định của hàm số f(x) = \frac{2x - 3}{x^{2} - 1} là:

    x^{2} - 1 eq 0 \Rightarrow x eq \pm 1

    Suy ra tập xác định của hàm số là: D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 1 ight\}

    Nên hàm số không liên tục tại các điểm x eq \pm 1.

  • Câu 6: Nhận biết

    Tính giới hạn B = \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}\left( \frac{3 + 2x}{x + 2} ight).

    Ta có:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \left( {3 + 2x} ight) = - 1 < 0

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \left( {x + 2} ight) = 0} \\ {x \mapsto {{\left( { - 2} ight)}^ - } \Rightarrow x + 2 < 0} \end{array}} ight.

    \Rightarrow B = \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}\left( \frac{3 + 2x}{x + 2} ight) = + \infty

  • Câu 7: Thông hiểu

    Kết quả đúng của \lim\left( 5 - \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight) là:

    Xét: \frac{n}{n^{2} + 1} \leq \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} \leq \frac{n}{n^{2} + 1}

    Ta có: \lim\left( - \frac{n}{n^{2} + 1}ight) = \lim( - \frac{1}{n}.\frac{1}{1 + 1:n^{2}}) = 0

    Suy ra \lim\left( - \frac{n}{n^{2} + 1} ight) = 0

    \Rightarrow \lim\left( \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight) = 0\ \Rightarrow \lim\left( 5 - \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight) = 5.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = 5 . Đúng||Sai

    b) Phương trình x^{3} - 3x^{2} + 3 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

    c) Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5 thì \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack bằng - 15. Sai||Đúng

    d) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x}\ \ \ khi\ x\ > \ 0 \\1 + 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 0 \\\end{matrix} ight. gián đoạn tại x = 0. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = 5 . Đúng||Sai

    b) Phương trình x^{3} - 3x^{2} + 3 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng||Sai

    c) Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5 thì \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack bằng - 15. Sai||Đúng

    d) Hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x}\ \ \ khi\ x\ > \ 0 \\1 + 3x\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 0 \\\end{matrix} ight. gián đoạn tại x = 0. Sai||Đúng

    Ta có: \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 2}{2 - x} = \frac{3.1 + 2}{3 - 1} = 5

    Xét phương trình x^{2} - 3x^{2} + 3 = 0. Đặt x^{2} - 3x^{2} + 3 = f(x) là hàm số liên tục trên \mathbb{R} suy ra hàm số cũng liên tục trên \lbrack - 1;3brack.

    Ta có: f( - 1) = - 1;f(1) = 1;f(2) = - 1;f(3) = 3

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} f( - 1).f(1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ f(2).f(3) < 0 \\ \end{matrix} ight. nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm

    f(x) = 0 là phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm

    Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm.

    Ta có:

    Nếu \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 5 suy ra

    \lim_{x ightarrow 0}\left\lbrack 3x - 4f(x) ightbrack

    = \lim_{x ightarrow 0}(3x) - 4\lim_{x ightarrow 0}f(x) = 3.0 - 4.5 = - 20

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\left( \sqrt{1 + 2x} - 1 ight)\left( \sqrt{1 + 2x} + 1 ight)}{x\left( \sqrt{1 + 2x} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{2}{\sqrt{1 + 2x} + 1} = 1

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(1 + 3x) = 1

    Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 0.

  • Câu 9: Nhận biết

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1} bằng

    Đặt f(x) = x + 1;g(x) = x - 1.

    Ta có \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow 1^{+}}g(x) = 0;g(x) > 0 khi x ightarrow 1^{+}

    Vậy \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1} = + \infty.

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}}. Tính \lim_{n ightarrow + \infty}u_{n}.

    Ta có:

    \lim_{n ightarrow + \infty}u_{n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left( \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.\frac{4^{- 1}}{5^{- 2}} ight) = 0

  • Câu 11: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x(\sqrt {{x^2} + 5} - x)} ight] bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 5} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {{x^2} + 5 - {x^2}} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 5} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{5x}}{{x\left( {\sqrt {1 + \dfrac{5}{{{x^2}}}} + 1} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{5}{{\sqrt 1 + 1}} = \dfrac{5}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho phương trình 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét hàm số f(x) = 2x^{4} - 5x^{2} + x +1 là đa thực có tập xác định \mathbb{R} nên liên tục trên \mathbb{R}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}f(0) = 1 \\f( - 1) = - 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f( - 1) < 0 => Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc ( - 1;1).

    \left\{ \begin{matrix}f(0) = 1 \\f(1) = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(1) < 0 => Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1).

    \left\{ \begin{matrix}f(1) = - 1 \\f(2) = 15 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1).f(2) < 0 => Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc (1;2).

    Vậy phương trình (*) đã cho có các nghiệm x_{1};x_{2};x_{3} thỏa mãn - 1 < x_{1} < 0 < x_{2} < 1 < x_{3}< 2.

  • Câu 13: Vận dụng

    Biết rằng \lim\frac{n + \sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{n^{2} - n - 2}} = a\sin\frac{\pi}{4} + b. Tính S = a^{3} + b^{3}?

    Ta có:

    \lim\frac{n + \sqrt{n^{2} + 1}}{\sqrt{n^{2} - n - 2}}

    = \lim\dfrac{1 + \sqrt{1 +\dfrac{1}{n^{2}}}}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{n} - \dfrac{2}{n}}}

    = \frac{1 + \sqrt{1}}{1} = 2\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}

    Khi đó \left\{ \begin{matrix} a = 2\sqrt{2} \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = 8

  • Câu 14: Thông hiểu

    Biết giới hạn \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = a. Khi đó:

    a) Giá trị a lớn hơn 0. Sai||Đúng

    b) Ba số - \frac{5}{3};a;\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 2. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 3 nghiệm. Sai||Đúng

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q = 3 và u_{1} = a, thì u_{3} = - 6. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = a. Khi đó:

    a) Giá trị a lớn hơn 0. Sai||Đúng

    b) Ba số - \frac{5}{3};a;\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 2. Sai||Đúng

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 3 nghiệm. Sai||Đúng

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q = 3 và u_{1} = a, thì u_{3} = - 6. Đúng||Sai

    a) Ta có: \lim\frac{2n + 1}{- 3n + 2} = \lim\frac{n\left( 2 + \frac{1}{n} ight)}{n\left( - 3 + \frac{2}{n} ight)} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{- 3 + \frac{2}{n}} = \frac{- 2}{3}

    b) Ba số - \frac{5}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3} tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 1

    c) Trên khoảng ( - \pi;\pi) phương trình lượng giác \sin x = a có 2 nghiệm

    d) Cho cấp số nhân \left( u_{n} ight) với công bội q = 3 và u_{1} = a, thì u_{3} = - 6

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Sai

    c) Sai

    d) Đúng
  • Câu 15: Vận dụng cao

    Kết quả của giới hạn\lim\frac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2} - n + 2} là:

    Ta có:

    \begin{matrix} {2^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \hfill \\ \Rightarrow {2^n} \geqslant C_n^3 = \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)\left( {n - 2} ight)}}{6} \sim \dfrac{{{n^3}}}{6} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{n}{2^{n}} ightarrow 0 \\\dfrac{2^{n}}{n^{2}} ightarrow + \infty \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    \begin{matrix} \lim \dfrac{{{2^{n + 1}} + 3n + 10}}{{3{n^2} - n + 2}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{{2^n}}}{{{n^2}}}.\dfrac{{2 + 3.\dfrac{n}{{{2^n}}} + 10.{{\left( {\dfrac{1}{2}} ight)}^n}}}{{3 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{{{n^2}}}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Vì \left\{ \begin{matrix}\lim\dfrac{2^{n}}{n^{2}} = + \infty \\\lim\dfrac{2 + 3.\dfrac{n}{2^{n}} + 10.\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n}}{3 -\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}} = \dfrac{2}{3} > 0 \\\end{matrix} ight.

    Vậy \lim\dfrac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2}- n + 2} = + \infty

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho các mệnh đề:

    1) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b) và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại x_{0} \in (a;b) sao cho f\left( x_{0} ight) = 0.

    2) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm.

    3) Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên \lbrack a;bbrack và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên (a;b).

    Trong các mệnh đề trên:

    Theo tính chất hàm số liên tục thì

    1) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b) và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại x_{0} \in (a;b) sao cho f\left( x_{0} ight) = 0. Mệnh đề sai.

    2) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm. Mệnh đề đúng.

    3) Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên \lbrack a;bbrack và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên (a;b). Mệnh đề đúng.

  • Câu 17: Vận dụng

    Giả sử a,b là các giá trị để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}}{\text{ , khi }}x < - 2} \\ {x + 1{\text{ , khi }}x \geqslant - 2} \end{array}} ight. có giới hạn hữu hạn khi x dần tới - 2. Tính giá trị biểu thức 3a - b

    Ta có: \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}(x + 1) = - 1

    Suy ra f(x) hữu hạn khi x dần tới - 2 khi và chỉ khi

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x)

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = - 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x^{2} + ax + b}{x^{2} - 4} = - 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + b - 4}{x^{2} - 4} = 0(*)

    Do \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( x^{2} - 4 ight) = 0 nên điều kiện cần để có (*) là

    \lim_{x ightarrow 2^{-}}\left( 2x^{2} + ax + b - 4 ight) = 0

    \Rightarrow 2a - b = 4

    Ngược lại với 2a - b = 4 ta có:

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + b - 4}{x^{2} - 4} = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x^{2} + ax + 2a - 8}{x^{2} - 4} = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{2x + a - 4}{x - 2} = 0

    \Leftrightarrow a = 8

    => f(x) có giới hạn hữu hạn khi x dần tới - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 8 \\ b = 12 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 3a - b = 12

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}\ \ \ \ khi\ \ x eq - 1 \\2a + 4\ \ \ \ khi\ \ x = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

    Đáp án: 2024

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}\ \ \ \ khi\ \ x eq - 1 \\2a + 4\ \ \ \ khi\ \ x = - 1 \\\end{matrix} ight.

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

    Đáp án: 2024

    TXĐ: D\mathbb{= R}

    Ta có:

    f( - 1) = 2a + 4

    \lim_{x ightarrow - 1}f(x) = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x^{2} - 2x - 3}{x + 1}

    = \lim_{x ightarrow - 1}\frac{(x + 1)(x - 3)}{x + 1} = \lim_{x ightarrow - 1}(x - 3) = - 4

    Để hàm số gián đoạn tại x = - 1 thì \lim_{x ightarrow - 1}f(x) eq f(1)

    \Leftrightarrow 2a - 4 eq - 4 \Leftrightarrow a eq - 4

    Vậy có 2024 giá trị nguyên của a \in (0;2025) để hàm số gián đoạn tại x = 1

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x e 2} \\ {m{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} ight. liên tục tại x = 2.

    Tập xác định D\mathbb{= R} chứa x = 2

    Theo giả thiết ta có:

    m = f(2) = \lim_{x ightarrow 2}f(x)

    \Rightarrow m = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 1) = 3

  • Câu 20: Nhận biết

    \lim \frac{{\sqrt[3]{{{n^3} + n}}}}{{6n + 2}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \dfrac{{\sqrt[3]{{{n^3} + n}}}}{{6n + 2}} = \lim \dfrac{{\sqrt[3]{{{n^3}\left( {1 + \dfrac{1}{{{n^3}}}} ight)}}}}{{n\left( {6 + \dfrac{2}{n}} ight)}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n\sqrt[3]{{1 + \dfrac{1}{{{n^3}}}}}}}{{n\left( {6 + \dfrac{2}{n}} ight)}} = \dfrac{1}{6} \hfill \\ \end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 65 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập