Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \sqrt{2} + \left( \sqrt{2} ight)^{2} + ... + \left( \sqrt{2} ight)^{n}. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây?

    Ta có:

    \sqrt{2};\left( \sqrt{2} ight)^{2};...;\left( \sqrt{2} ight)^{n}lập thành một cấp số nhân có nên

    u_{n} = \sqrt{2}.\frac{1 - \left( \sqrt{2} ight)^{n}}{1 - \sqrt{2}}

    = \left( 2 - \sqrt{2} ight).\left\lbrack \left( \sqrt{2} ight)^{n} - 1 ightbrack

    \Rightarrow \lim u_{n} = + \infty vì \left\{ \begin{matrix} a = 2 - \sqrt{2} > 0 \\ q = \sqrt{2} > 1 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 2x + 3\ \ \ khi\ x > 3 \\1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 3 \\3 - 2x^{2}\ \ \ \ \ khi\ x < 3 \\\end{matrix} ight. . Khẳng định nào dưới đây sai?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{+}}\left( x^{2} - 2x + 3 ight) = 6

    \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{-}}\left( 3 - 2x^{2} ight) = - 15

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow3^{+}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x)

    => Không tồn tại giới hạn khi x dần đến 3.

    Vậy chỉ có khẳng định \lim_{x ightarrow3^{-}}f(x) = 6 sai.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 3}}{3x + 2}. Tính \lim_{x ightarrow - \infty}f(x).

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}f(x)

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 3}}{3x + 2}

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{4 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x} +\dfrac{3}{x^{2}}}}{3 + \dfrac{2}{x}}

    = \frac{- 2 + 1}{3} = - \frac{1}{3}

  • Câu 4: Nhận biết

    Tính giới hạn B = \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}\left( \frac{3 + 2x}{x + 2} ight).

    Ta có:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \left( {3 + 2x} ight) = - 1 < 0

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \left( {x + 2} ight) = 0} \\ {x \mapsto {{\left( { - 2} ight)}^ - } \Rightarrow x + 2 < 0} \end{array}} ight.

    \Rightarrow B = \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}\left( \frac{3 + 2x}{x + 2} ight) = + \infty

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho  f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}-1} với xeq 0. Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu thì hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R}?

    Ta có: 

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( 0 ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} - 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight)}}{{x + 1 - 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) = 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Để hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì 

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( 0 ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 2 = f\left( 0 ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Nhận biết

    Giá trị của C = \lim\frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1} bằng:

    Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \frac{1}{a} - 1

    Ta có:

    \left| \frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1} - 1 ight| < \left| \frac{n + 2}{n - 1} - 1 ight| < \frac{1}{n_{a} + 1} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}

    Vậy C=1.

  • Câu 7: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây không liên tục tại x = 2?

    Hàm số y = \frac{x^{2}}{x - 2} có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 2 ight\} nên không liên tục tại x = 2.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Hàm số f(x) = \frac{2x + 3}{x - 2} liên tục tại x = 2. Sai||Đúng

    b) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack 1;5brack và f(1) = 2;f(5) = 10. Khi đó phương trình f(x) = 7 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;5). Đúng||Sai

    c) Biết \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) + 1}{x - 1} = - 1 khi đó I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = 0 Sai||Đúng

    d) Trong các hàm số y = x^{2};y = \tan x;y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}, có 3 hàm số liên tục trên tập số thực. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Hàm số f(x) = \frac{2x + 3}{x - 2} liên tục tại x = 2. Sai||Đúng

    b) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack 1;5brack và f(1) = 2;f(5) = 10. Khi đó phương trình f(x) = 7 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;5). Đúng||Sai

    c) Biết \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) + 1}{x - 1} = - 1 khi đó I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = 0 Sai||Đúng

    d) Trong các hàm số y = x^{2};y = \tan x;y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}, có 3 hàm số liên tục trên tập số thực. Đúng||Sai

    a) Vì không tồn tại f(2) nên hàm số đã cho gián đoạn tại x = 2.

    b) Xét phương trình f(x) = 7 \Rightarrow f(x) - 7 = 0

    Đặt g(x) = f(x) - 7 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} g(1) = f(1) - 7 = - 5 \\ g(5) = f(5) - 7 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow g(1).g(5) < 0

    Vậy phương trình đã cho cót ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;5).

    c) Ta có:

    I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + x - x + 1}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x\left\lbrack f(x) + 1 ightbrack - (x - 1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\left\{ \frac{x\left\lbrack f(x) + 1 ightbrack}{x - 1} ight\} - 1

    = 1.( - 1) - 1 = - 2

    d) Các hàm số liên tục trên tập số thực là y = x^{2};y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}.

  • Câu 9: Vận dụng

    Biết \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} + 4}{ax - 2} = \frac{1}{2}. Hỏi giá trị a thuộc tập hợp nào dưới đây?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} + 4}{ax - 2} =\dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- x\left( \sqrt{4 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} +\dfrac{4}{x} ight)}{x\left( a - \dfrac{2}{x} ight)} =\dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{- 2}{a} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow a = - 4 \Rightarrow a \in \lbrack - 6; - 3brack

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-1;4] sao cho f(-1) = 2, f(4) = 7. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình f(x) = 5 trên đoạn [-1;4] :

    Ta có: f(x)=5 =>f(x)−5=0

    Đặt g(x)=f(x)−5

    Khi đó:

    \begin{matrix}\left\{ \begin{gathered}g( - 1) = f( - 1) - 5 = 2 - 5 = - 3 \hfill \\g(4) = f(4) - 5 = 7 - 5 = 2 \hfill \\\end{gathered} ight. \hfill \\\Rightarrow g( - 1).g(4) < 0 \hfill \\\end{matrix}

    Vậy phương trình g(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;4) hay phương trình f(x)=5 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;4).

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

    Hỏi hàm số f(x) không liên tục tại điểm nào sau đây?

    Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = 3 \\ \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) nên không tồn tại \lim_{x ightarrow 1}f(x). Do đó hàm số gián đoạn tại x_{0} = 1.

  • Câu 12: Nhận biết

    Giá trị của A = \lim\frac{2n + 1}{n - 2} bằng:

    Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \frac{5}{a} + 2 > 2

    Ta có:

    \left| \frac{2n + 1}{n - 2} - 2 ight| = \frac{5}{|n - 2|} < \frac{5}{n_{a} - 2} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}

    Vậy A=2.

  • Câu 13: Thông hiểu

    \lim\sqrt{4-\frac{\cos2n}{n}} bằng số nào sau đây?

    Ta có: 0 \leqslant \left| {\frac{{\cos 2n}}{n}} ight| \leqslant \frac{1}{n} \to 0

    \Rightarrow \lim \sqrt {4 - \frac{{\cos 2n}}{n}} = 2

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Tính giới hạn \lim\left\lbrack \frac{1}{1.4} + \frac{1}{2.5} + ... + \frac{1}{n(n + 3)} ightbrack

    Ta có:

    \begin{matrix} \dfrac{1}{{1.4}} + \dfrac{1}{{2.5}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 3} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + ... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 3}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    = \frac{1}{3}\left\lbrack \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n} ight) - \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{n + 3} ight) ightbrack

    = \frac{1}{3}\left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} ight)

    = \frac{1}{3}\left( \frac{11}{6} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3} ight)

    Do đó \lim\left\lbrack \frac{1}{1.4} + \frac{1}{2.5} + ... + \frac{1}{n(n + 3)} ightbrack = \frac{11}{8}

  • Câu 15: Nhận biết

    Tính giới hạn L = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 3}{x + 3}?

    Ta có:

    L = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 3}{x + 3} = \frac{3 - 3}{3 + 3} = 0

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight. liên tục trên \mathbb{R}. Khi đó

    a) f( - 5) = 12;f(10) = 27. Đúng||Sai

    b) m > 0,\ \ n > 0. Sai||Đúng

    c) 2m + n là số nguyên tố. Sai||Đúng

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số y = m.\sin x+ n.\cos x là \sqrt{12}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight. liên tục trên \mathbb{R}. Khi đó

    a) f( - 5) = 12;f(10) = 27. Đúng||Sai

    b) m > 0,\ \ n > 0. Sai||Đúng

    c) 2m + n là số nguyên tố. Sai||Đúng

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số y = m.\sin x+ n.\cos x là \sqrt{12}. Sai||Đúng

    a) Đúng.

    Ta có : f( - 5) = - 5 + 17 = 12, f(10) = 10 + 17 = 27 (mệnh đề a) đúng)

    b) Sai.

    Với x < - 5 ta có f(x) = x^{2} + mx + n, là hàm đa thức nên liên tục trên ( - \infty; - 5).

    Với - 5 < x < 10 ta có f(x) = x + 17, là hàm đa thức nên liên tục trên (-5; 10).

    Với x > 10 ta có f(x) = mx + n + 10, là hàm đa thức nên liên tục trên (10 ;+\infty).

    Để hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì hàm số phải liên tục tại x = - 5 và x = 10.

    Ta có:

    f( - 5) = 12;f(10) = 27.

    \lim_{x ightarrow - 5^{-}}f(x) =\lim_{x ightarrow - 5^{-}}\left( x^{2} + mx + n ight) = - 5m + n + 25.

    \lim_{x ightarrow - 5^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow - 5^{+}}(x + 17) = 12.

    \lim_{x ightarrow 10^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{-}}(x + 17) = 27.

    \lim_{x ightarrow 10^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{+}}(mx + n + 10) = 10m + n + 10.

    Hàm số liên tục tại x = - 5 và x = 10 khi

    \left\{ \begin{matrix}- 5m + n + 25 = 12 \\10m + n + 10 = 27 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 5m + n = - 13 \\10m + n = 17 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 2 \ = - 3 \\\end{matrix} ight. (mệnh đề b) sai).

    c) Sai.

    Ta có 2m + n = 1 không phải số nguyên tố (mệnh đề c) sai).

    d) Sai.

    Ta có: y = m.sinx + n.cosx\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y = 2sinx - 3cosx

    Xét phương trình ẩn x:

    2\sin x - 3\cos x = y

    \Leftrightarrow \sin x.\frac{2}{\sqrt{13}} - \cos x.\frac{3}{\sqrt{13}} =\frac{y}{\sqrt{13}}

    \Leftrightarrow \sin x.\cos\alpha - \cos x.\sin\alpha = \frac{y}{\sqrt{13}}, với \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}.

    \Leftrightarrow \sin(x - \alpha) = \frac{y}{\sqrt{13}}

    Ta có

    \left| \sin(x - \alpha) ight| \leq 1

    \begin{matrix} \Rightarrow \left| \frac{y}{\sqrt{13}} ight| \leq 1 \\ \Leftrightarrow - \sqrt{13} \leq y \leq \sqrt{13} \\ \end{matrix}

    Suy ra GTLN của y bằng \sqrt{13} khi \sin(x - \alpha) = 1 hay x = \alpha + \frac{\pi}{2} + k2\pi, với \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}

    Vậy khẳng định d) sai.

  • Câu 17: Vận dụng

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x - 1} + x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 3}{\sqrt{2x} - 2}

    Ta có:

    \frac{\sqrt{x - 1} + x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 3}{\sqrt{2x} - 2}

    = \frac{\sqrt{x - 1} - 1}{\sqrt{2x} - 2} + \frac{x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 4}{\sqrt{2x} - 2}

    = \frac{(x - 2)\left( \sqrt{2x} + 2 ight)}{(2x - 4)\left( \sqrt{x - 1} + 1 ight)} + \frac{(x - 2)\left( x^{3} - x^{2} - x - 2 ight)\left( \sqrt{2x} + 2 ight)}{2x - 4}

    = \frac{\sqrt{2x} + 2}{2\left( \sqrt{x - 1} + 2 ight)} + \frac{\left( x^{3} - x^{2} - x - 2 ight)\left( \sqrt{2x} + 2 ight)}{2}

    Do đó \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x - 1} + x^{4} - 3x^{3} + x^{2} + 3}{\sqrt{2x} - 2} = 1

  • Câu 18: Thông hiểu

    Kết quả đúng của \lim\left( 5 - \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight) là:

    Xét: \frac{n}{n^{2} + 1} \leq \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} \leq \frac{n}{n^{2} + 1}

    Ta có: \lim\left( - \frac{n}{n^{2} + 1}ight) = \lim( - \frac{1}{n}.\frac{1}{1 + 1:n^{2}}) = 0

    Suy ra \lim\left( - \frac{n}{n^{2} + 1} ight) = 0

    \Rightarrow \lim\left( \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight) = 0\ \Rightarrow \lim\left( 5 - \frac{n.\cos{2n}}{n^{2} + 1} ight) = 5.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x e 2} \\ {m{\text{ khi }}x = 2} \end{array}} ight. liên tục tại x = 2.

    Tập xác định D\mathbb{= R} chứa x = 2

    Theo giả thiết ta có:

    m = f(2) = \lim_{x ightarrow 2}f(x)

    \Rightarrow m = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 1) = 3

  • Câu 20: Thông hiểu

    Giá trị của giới hạn \lim(\sqrt{n^{2}-1}-\sqrt{3n^{2}+2}) là:

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {3{n^2} + 2} } ight) \hfill \\ = \lim \left[ {n\left( {\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {3 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} } ight)} ight] \hfill \\ = - \infty \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \left\{ \begin{gathered} \lim n = + \infty \hfill \\ \lim \left( {\sqrt {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {3 + \frac{2}{{{n^2}}}} } ight) = 1 - \sqrt 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \Rightarrow \lim f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 47 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập