Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Hàm số f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6} liên tục trên khoảng ( - 2; + \infty). Đúng||Sai

    b) Biết rằng \lim\frac{an + 4}{4n + 3} = - 2 khi đó 2a + 1 = - 15 Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x} = - 1 Sai||Đúng

    d) Phương trình x^{2} - 1000x^{2} + 0,01 = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( - 1;0) và (0;1) Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Hàm số f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6} liên tục trên khoảng ( - 2; + \infty). Đúng||Sai

    b) Biết rằng \lim\frac{an + 4}{4n + 3} = - 2 khi đó 2a + 1 = - 15 Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x} = - 1 Sai||Đúng

    d) Phương trình x^{2} - 1000x^{2} + 0,01 = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( - 1;0) và (0;1) Sai||Đúng

    a) Hàm số f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6} có nghĩa khi x^{2} + 5x + 6 eq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq - 3 \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy theo định lí ta có hàm số f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6} liên tục trên khoảng ( - \infty; - 3),( - 3; - 2),( - 2; + \infty).

    b) Ta có: \lim\frac{an + 4}{4n + 3} = \lim\frac{a + \frac{4}{n}}{4 + \frac{3}{n}} = \frac{a}{4}

    Khi đó: 2a + 1 = - 15.

    Theo bài ra ta có:

    \lim\frac{an + 4}{4n + 3} = - 2 \Leftrightarrow \frac{a}{4} = - 2 \Leftrightarrow a = - 8

    c) Ta có: x ightarrow 1^{+} \Rightarrow x > 1 \Rightarrow x - 1 > 0

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{2}(x - 1)}}{\sqrt{x - 1} - (x - 1)}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}\left( 1 - \sqrt{x - 1} ight)} = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x}{1 - \sqrt{x - 1}} = 1s

    d) Xét hàm số x^{2} - 1000x^{2} + 0,01 = f(x) có tập xác định D\mathbb{= R}

    Suy ra hàm số f(x) cũng liên tục trên các khoảng ( - 1;0) và (0;1).

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f( - 1) = - 1000,99 \\ f(0) = 0,01 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f( - 1).f(0) < 0

    Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( - 1;0).

    Lại có: \left\{ \begin{matrix} f(1) = - 999,99 \\ f(0) = 0,01 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1).f(0) < 0

    Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1).

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6}. Khi đó hàm số đã cho liên tục trên khoảng nào?

    Hàm số có nghĩa khi x^{2} + 5x + 6 eq 0 \Rightarrow x eq - 3;x eq - 2

    Vậy hàm số f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 5x + 6} liên tục trên các khoảng ( - \infty; - 3),( - 3; - 2);( - 2; + \infty)

  • Câu 3: Thông hiểu

    Kết quả đúng của \lim\frac{- n^{2} + 2n + 1}{\sqrt{3n^{4} + 2}} là?

    Ta có:

    \lim\frac{- n^{2} + 2n + 1}{\sqrt{3n^{4} + 2}} = \lim\frac{- 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{2}}\ }{\sqrt{3 + \frac{2}{n^{2}}\ }}

    = \frac{- 1 + 0 + 0}{\sqrt{3 + 0}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}

  • Câu 4: Vận dụng

    Tính  \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    \underset{x ightarrow 0}{= \lim}\frac{\sqrt{1 + 2x} - (x + 1) + (x + 1) - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - (x + 1)}{x^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{1 + 2x} + x + 1 ight)} = - \frac{1}{2}

    Ta cũng có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(x + 1) - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    \underset{x ightarrow 0}{= \lim}\frac{x^{3} + 3x^{2}}{x^{2}\left\lbrack (x + 1)^{2} + (x + 1)\sqrt[3]{1 + 3x} + \left( \sqrt[3]{1 + 3x} ight)^{2} ightbrack} = 1

    Vậy  \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}} = \frac{1}{2}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào không tồn tại?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x}{(x + 1)^{2}} = - \infty

    \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2x +1}{x^{2} + 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{x^{2}}}{1 + \dfrac{1}{x^{2}}} = 0

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{x + 1}} = 0

    \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \cos x ight) không xác định.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính giới hạn của hàm số f(x) = \frac{2x + 3}{\sqrt[3]{2x^{2} - 3}} khi x \mapsto - \infty.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2x +3}{\sqrt[3]{2x^{2} - 3}} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2 +\dfrac{3}{x}}{- \sqrt{2 - \dfrac{3}{x^{3}}}} = - \sqrt{2}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính giới hạn \lim\frac{5^{n + 1} - 4^{n} + 1}{2.5^{n} -6^{n}}.

    Ta có:

    \lim\dfrac{5^{n + 1} - 4^{n} + 1}{2.5^{n}- 6^{n}} = \lim\dfrac{\dfrac{5^{n + 1} - 4^{n} + 1}{6^{n}}}{\dfrac{2.5^{n}- 6^{n}}{6^{n}}}

    = \lim\dfrac{5.\left( \dfrac{5}{6}ight)^{n} - \left( \dfrac{2}{3} ight)^{n} + \left( \dfrac{1}{6}ight)^{n}}{2.\left( \dfrac{5}{6} ight)^{n} - 1} = 0

  • Câu 8: Vận dụng

    Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để \lim \frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2}

    Ta có:

    \frac{{n - 2\sqrt {{n^k}} \cos \frac{1}{n}}}{{2n}} = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}}

    Bài toán trở thành \lim \frac{{\sqrt n \sin 2n}}{{2n}} = 0

    Ta có: \lim \cos \frac{1}{n} = \cos 0 = 1 nên bài toán trở thành tìm k sao cho

    \begin{matrix} \lim \dfrac{{\sqrt {{n^k}} }}{n} = \lim \left( {{n^{\dfrac{k}{2} - 1}}} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{k}{2} - 1 < 0 \Leftrightarrow k < 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Mà k \in {\mathbb{N}^*};k = 3l

    => Không tồn tại giá trị của k (do k nguyên dương và k chẵn).

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}\ ,x > 1 \\ax + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,x \leq 1 \\\end{matrix} ight.. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1

    Đáp án: -3||- 3

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}\ ,x > 1 \\ax + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,x \leq 1 \\\end{matrix} ight.. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1

    Đáp án: -3||- 3

    Xét \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{5x - 1} - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 - x}

    = \lim_{x ightarrow1^{+}}\frac{\sqrt{5x - 1} - 2 + 2 - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 -x}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left(\frac{\sqrt{5x - 1} - 2}{1 - x} + \frac{2 - \sqrt[3]{x^{2} + x + 6}}{1 -x} ight)

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{5x - 5}{(1 -x)\left( \sqrt{5x - 1} + 2 ight)} + \frac{8 - \left( x^{2} + x + 6ight)}{(1 - x)\left( 4 + 2\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} + \left(\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} ight)^{2} ight)} ight)

    = \lim_{xightarrow 1^{+}}\left( \frac{- 5}{\left( \sqrt{5x - 1} + 2 ight)} +\frac{x + 2}{4 + 2\sqrt[3]{x^{2} + x + 6} + \left( \sqrt[3]{x^{2} + x +6} ight)^{2}} ight)

    = - \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = - 1

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}(ax + 2) = a + 2

    f(1) = a + 2

    Hàm số liên tục tại x = 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow a + 2 = - 1 \Leftrightarrow a = - 3.

  • Câu 10: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

    Theo nội dung định lý tìm giới hạn, ta có:

    Nếu \lim u_{n} = 0, thì \lim{|u_{n}|} = 0

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản \frac{m}{n}. Tính P = mn

    Ta có:

    \begin{matrix} 0,353535 = 0,35 + 0,0035 + ... \hfill \\ = \dfrac{{35}}{{{{10}^2}}} + \dfrac{{35}}{{{{10}^4}}} + ... + \dfrac{{35}}{{{{10}^n}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}

    Dãy số \frac{35}{10^{2}};\frac{35}{10^{4}};...;\frac{35}{10^{n}};... là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là u_{1} = \frac{35}{10^{2}}, công sai là q = 10^{- 2}

    => S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{35}{10^{2}}}{1 - 10^{- 2}} = \dfrac{35}{99}

    Vậy 0,353535 = \frac{35}{99}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 35 \\ n = 99 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = 3465

  • Câu 12: Nhận biết

    Giá trị của A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n} bằng:

    Ta có:

    A = \lim\frac{n - 2\sqrt{n}}{2n} = \lim\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{n}}}{2} = \frac{1}{2}

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x};x > 0} \\ {mx + m + \dfrac{1}{4};x \leqslant 0} \end{array}} ight. với m là tham số. Tính giá trị của tham số m để hàm số có giới hạn tại x = 0.

    Hàm số có giới hạn tại x = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( mx + m + \frac{1}{4} ight)

    \Leftrightarrow \frac{1}{4} = m + \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hai dãy số \left( u_{n} ight);\left( v_{n} ight) với u_{n} = 2n + 1 và v_{n} = \frac{1}{1 - n}. Khi đó \lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight) bằng:

    Ta có:

    u_{n}v_{n} = (2n + 1).\frac{1}{1 - n} = \frac{2n + 1}{1 - n}

    \Rightarrow \lim_{n ightarrow + \infty}\left( u_{n}v_{n} ight) = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2n + 1}{1 - n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} - 1} = - 2

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Biết \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \frac{a}{b}, trong đó a, b\in\mathbb{ Z}. Tính - 106a + b.

    Đáp án: -100||- 100

    Đáp án là:

    Biết \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \frac{a}{b}, trong đó a, b\in\mathbb{ Z}. Tính - 106a + b.

    Đáp án: -100||- 100

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{(x - 1)(x - 2)} + \lim_{x ightarrow 1}\frac{2 - \sqrt{x + 3}}{(x - 1)(x - 2)}.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{(x - 1)(x - 2)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x + 7 - 2^{3}}{(x - 1)(x - 2)\left\lbrack \sqrt[3]{(x + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x + 7} + 4 ightbrack}.

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{(x - 2)\left( \sqrt[3]{(x + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x + 7} + 4 ight)} = - \frac{1}{12}.

    Đồng thời:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{2 - \sqrt{x + 3}}{(x - 1)(x - 2)} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{2^{2} - (x + 3)}{(x - 1)(x - 2)(2 + \sqrt{x + 3})}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 1}{(x - 2)(2 + \sqrt{x + 3})} = \frac{1}{4}

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = - \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{6}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 6 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy - 106a + b = - 106 + 6 = - 100.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x eq 1 \\3x + m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = 1.

    Ta có:

    f(1) = m + 3

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{xightarrow 1}\frac{x^{3} - x^{2} + 2x - 2}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow1}\frac{(x - 1)\left( x^{2} + 2 ight)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow1}\left( x^{2} + 2 ight) = 3

    Hàm số f(x) liên tục tại x = 1

    = > m + 3 = 3 = > m = 0

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tìm giá trị của a để hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}\ \ khi\ x eq 2 \\2x + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = 2.

    Ta có:

    f(2) = a + 4

    \lim_{x ightarrow 2}f(x) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x + 2 - 4}{(x - 2)\left( \sqrt{x + 2} + 2 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} = \frac{1}{4}

    Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi

    \lim_{x ightarrow 2}f(x) = f(2)

    \Leftrightarrow \frac{1}{4} = a + 4

    \Leftrightarrow a = - \frac{15}{4}

  • Câu 18: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 2} - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}} bằng

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} + 2} - \sqrt {x + 3} }}{{2x - 3}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {4 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} } ight)}}{{x\left( {2 - \dfrac{3}{x}} ight)}} \hfill \\ = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Nhận biết

    Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại x = 1?

    Xét đồ thị hàm số

    Vì \lim_{x ightarrow 1^{+}}y eq \lim_{x ightarrow 1^{-}}y nên hàm số không liên tục tại x = 1

  • Câu 20: Nhận biết

    Tìm giới hạn \lim_{x ightarrow ( - 3)^{+}}\frac{3 + 2x}{x + 3}.

    Ta có \lim_{x ightarrow ( - 3)^{+}}(3 + 2x) = - 3, \lim_{x ightarrow ( - 3)^{+}}(x + 3) = 0 và x + 3 > 0 nên \lim_{x ightarrow ( - \ 3)^{+}}\frac{3 + 2x}{x + 3} = - \infty.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 62 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập