Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho c là hằng số, k là số nguyên dương khác không. Tìm khẳng định sai.

    Mệnh đề \lim_{x ightarrow - \infty}x^{k} = - \infty sai khi k là số chẵn.

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = x^{3} - 3x - 1. Số nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên tập số thực là:

    Hàm số f(x) = x^{3} - 3x - 1 là hàm đa thức có tập xác định \mathbb{R}

    => Hàm số liên tục trên \mathbb{R}

    => Hàm số liên tục trên các khoảng ( - 2; - 1),( - 1;0),(0;2)

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} f( - 2) = - 3 < 0 \\ f( - 1) = 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f( - 2).f( - 1) < 0 vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên ( - 2; - 1)

    \left\{ \begin{matrix} f( - 1) = 1 > 0 \\ f(0) = - 1 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f( - 1).f(0) < 0 vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên ( - 1;0)

    \left\{ \begin{matrix} f(0) = - 1 < 0 \\ f(2) = 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(0).f(2) < 0 vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên (0;2)

    Vậy phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng ( - 2;2). Tuy nhiên phương trình f(x) = 0 là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm

    Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng ba nghiệm.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x_{0}. Mệnh đề nào dưới đây sai?

    Xét trường hợp y = g(x) liên tục tại x_{0} và g\left( x_{0} ight) = 0 thì hàm số y = \frac{f(x)}{g(x)} không xác định tại x_{0}.

  • Câu 4: Nhận biết

    \lim \frac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \dfrac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{3 - \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{3}{{{n^4}}}}}{{4 + \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}}} = \dfrac{3}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 5: Vận dụng

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{100} - 2x + 1}{x^{50} - 2x + 1} bằng:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{100} - 2x + 1}{x^{50} - 2x + 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left( x^{100} - 1 ight) - 2(x - 1)}{\left( x^{50} - 1 ight) - 2(x - 1)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left( x^{99} + x^{98} + .... + x + 1 - 2 ight)}{(x - 1)\left( x^{49} + x^{48} + .... + x + 1 - 2 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{99} + x^{98} + .... + x + 1 - 2}{x^{49} + x^{48} + .... + x + 1 - 2} = \frac{98}{48} = \frac{49}{24}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Biết giới hạn \lim\left( - 2n^{3} - 5n + 9 ight) = a và \lim\frac{4^{n} + 3}{1 + 3 \cdot 4^{n + 1}} = b. Khi đó:

    a) Tích a.b = 3. Sai||Đúng

    b) Hàm số y = \sqrt{1 - x} có tập xác định là D(a;1brack. Đúng||Sai

    c) Giá trị b là số lớn hơn 0. Đúng||Sai

    d) Phương trình lượng giác \cos x = b vô nghiệm. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim\left( - 2n^{3} - 5n + 9 ight) = a và \lim\frac{4^{n} + 3}{1 + 3 \cdot 4^{n + 1}} = b. Khi đó:

    a) Tích a.b = 3. Sai||Đúng

    b) Hàm số y = \sqrt{1 - x} có tập xác định là D(a;1brack. Đúng||Sai

    c) Giá trị b là số lớn hơn 0. Đúng||Sai

    d) Phương trình lượng giác \cos x = b vô nghiệm. Sai||Đúng

    Ta có: \lim\left( - 2n^{3} - 5n + 9 ight) = \lim n^{3}\left( - 2 - \frac{5}{n^{2}} + \frac{9}{n^{3}} ight) = - \infty,

    Do \left\{ \begin{matrix} \lim n^{3} = + \infty \\ \lim\left( - 2 - \frac{5}{n^{2}} + \frac{9}{n^{3}} ight) = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    \lim\frac{4^{n} + 3}{1 + 3 \cdot 4^{n + 1}} = \lim\frac{4^{n} + 3}{1 + 12 \cdot 4^{n}}

    = \lim\frac{4^{n}\left( 1 + \frac{3}{4^{n}} ight)}{4^{n}\left( \frac{1}{4^{n}} + 12 ight)} = \lim\frac{1 + \frac{3}{4^{n}}}{\frac{1}{4^{n}} + 12} = \frac{1}{12}

    a) Tích a.b = - \infty

    b) Hàm số y = \sqrt{1 - x} có tập xác định là D( - \infty;1brack

    c) Giá trị \frac{1}{12} là số lớn hơn 0

    d) Phương trình lượng giác \cos x = \frac{1}{12} có nghiệm

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Sai
  • Câu 7: Thông hiểu

    Biết rằng hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2}\ khi\ x eq 3 \\a\ \ \ \ \ \ khi\ x = 3 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = 3 (a là tham số. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Tập xác định D = ( - 1; + \infty)

    Theo giả thiết ta có:

    a = f(3) = \lim_{x ightarrow 3}f(x)

    \Rightarrow a = \lim_{x ightarrow 3}\left( \frac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2} ight)

    \Leftrightarrow a = \lim_{x ightarrow 3}\frac{(3 - x)\left( \sqrt{x + 1} + 2 ight)}{x - 3}

    \Leftrightarrow a = \lim_{x ightarrow 3}\left( \sqrt{x + 1} + 2 ight)

    \Leftrightarrow a = - 4 \Rightarrow a \leq - 3

  • Câu 8: Nhận biết

    Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không liên tục trên \mathbb{R}?

    Hàm số y = \frac{x}{x + 1} có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\} nên hàm số không liên tục trên \mathbb{R}.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Giá trị của C =\lim\frac{\sqrt[4]{3n^{3} + 1} - n}{\sqrt{2n^{4} + 3n + 1} + n} bằng:

    Chia cả tử và mẫu cho n^{2} ta có được.

    C = \lim\frac{\sqrt[4]{\dfrac{3}{n^{5}} +\dfrac{1}{n^{8}}} - \dfrac{1}{n}}{\sqrt{2 + \dfrac{3}{n^{3}} +\dfrac{1}{n^{4}}} + \dfrac{1}{n}} = 0

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tính giá trị của giới hạn sau \lim\frac{10}{\sqrt{n^{4} + n^{2} + 1}} là?

    Ta có:

    \lim\frac{10}{\sqrt{n^{4} + n^{2} + 1}} = \lim\frac{10}{n^{2}\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}}}

    Nhưng{\ \lim}\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}} = 1 và \lim\frac{10}{n^{2}\ } = 0

    Nên \lim\frac{10}{\sqrt{n^{4} + n^{2} + 1}} = 0

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) = \frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}. Tính \lim_{x ightarrow 0}f(x).

    Ta có:

    f(x) = \frac{2\sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8- x}}{x} = 2.\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} + \frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x}= 2A + B

    Khi đó:

    \lim_{x ightarrow 0}A = \lim_{xightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}= \lim_{x ightarrow0}\frac{\left( \sqrt{1 + x} - 1 ight)\left( \sqrt{1 + x} + 1ight)}{x\left( \sqrt{1 + x} + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{x\left( \sqrt{1 + x} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{2}

    Đồng thời

    \lim_{x ightarrow 0}B = \lim_{xightarrow 0}\frac{2 - \sqrt[3]{8 - x}}{x} = \lim_{x ightarrow0}\frac{x}{x\left\lbrack \left( 4 + 2\sqrt[3]{8 - x} ight) + \left(\sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} ightbrack}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{\left( 4 + 2\sqrt[3]{8 - x} ight) + \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2}} = \frac{1}{12}

    Vậy \lim_{x ightarrow 0}f(x) = 2\lim_{x ightarrow 0}A + \lim_{x ightarrow 0}B = 2.\frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{13}{12}

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là:

    Ta có:

    Hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b)

    Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \lbrack a;bbrack là: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x ight) = f\left( a ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x ight) = f\left( b ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0; 2019) để\lim\sqrt{\frac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n} + 9^{n + a}}} \leq \frac{1}{2187}.

    Ta có: \dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n} +9^{n + a}} > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}nên

    \lim\sqrt{\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n}+ 9^{n + a}}} = \sqrt{\lim\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n} + 9^{n +a}}}

    = \sqrt{\lim\dfrac{1 + 3.\left(\dfrac{1}{3} ight)^{n}}{\left( \dfrac{5}{9} ight)^{n} + 9^{a}}} =\sqrt{\dfrac{1}{9^{a}}} = \dfrac{1}{3^{a}}

    Theo đề bài ta có

    \lim\sqrt{\dfrac{9^{n} + 3^{n + 1}}{5^{n}+ 9^{n + a}}} \leq \dfrac{1}{2187}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{3^a}}} \leqslant \dfrac{1}{{2187}} \Leftrightarrow {3^a} \geqslant 2187 \hfill \\ \Leftrightarrow a \geqslant 7 \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix} a\mathbb{\in Z} \\ a \in (0;2019) \\ \end{matrix} \Rightarrow a \in \left\{ 7;8;9;...;2018 ight\} ight.

    Vậy có tất cả 2012 giá trị nguyên thỏa mãn.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Biết rằng \lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} - 5x + 6}{x^{2} - 9} = \frac{a}{b}, với \frac{a}{b} là phân số tối giản và a,b\mathbb{\in N}. Tính a + b.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 3}\frac{x^{2} - 5x + 6}{x^{2} - 9} = \lim_{x ightarrow 3}\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)}

    = \lim_{x ightarrow 3}\frac{x - 2}{x +3} = \frac{1}{6} = \frac{a}{b} \Rightarrow a = 1,b = 6.

    Vậy: a + b = 7.

  • Câu 15: Nhận biết

    Giá trị của \lim\frac{1 - n^{2}}{n} bằng:

    Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n_{M} thỏa mãn \frac{n_{M}^{2} - 1}{n_{M}} > M

    \Rightarrow n_{M} > \frac{M + \sqrt{M^{2} + 4}}{2}.

    Ta có:

    \frac{n^{2} - 1}{n} > M\ ,\ \ \forall n > n_{M} = > \lim\frac{n^{2} - 1}{n} = + \infty

    Vậy \lim\frac{1 - n^{2}}{n} = - \infty.

  • Câu 16: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{2x + 1}{x + 1}.

    Ta có: \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{2x + 1}{x + 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{2 +\dfrac{1}{x}}{1 + \dfrac{1}{x}} = 2.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.. Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

    a)\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2. Sai||Đúng

    b)\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty. Sai||Đúng

    c)\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1. Đúng||Sai

    d) Hàm số f(x) liên tục tại x_{0} = 1. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}- \dfrac{x}{2}\ \ khi\ \ x \leq 1 \\\dfrac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1}\ \ khi\ \ x > 1 \\\end{matrix} ight.. Các kết luận dưới đây đúng hay sai?

    a)\ \lim_{x ightarrow 0}f(x) = - \ 2. Sai||Đúng

    b)\ \lim_{x ightarrow 3}f(x) = + \ \infty. Sai||Đúng

    c)\lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = 1. Đúng||Sai

    d) Hàm số f(x) liên tục tại x_{0} = 1. Đúng||Sai

    a) Sai

    \lim_{x ightarrow 0}f(x) = \lim_{x ightarrow 0}\left( - \frac{x}{2} ight) = 0.

    b) Sai

    \lim_{x ightarrow 3}f(x) = \lim_{xightarrow 3}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) =\frac{1}{4}.

    c) Đúng

    \lim_{x ightarrow + \ \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight)

    = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = \lim_{x ightarrow + \ \infty}\left( 1 - \frac{3}{x + 1} ight) = 1.

    d) Đúng

    Ta có:

    f(1) = - \frac{1}{2} và \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( - \frac{x}{2} ight) = - \frac{1}{2}.

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{2} - 1} ight) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\left( \frac{x - 2}{x + 1} ight) = - \frac{1}{2}.

    Vậy f(1) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) nên hàm số f(x) liên tục tại x_{0} = 1.

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho dãy số \left( u_{n} ight)xác định bởi \left\{\begin{matrix}u_{n} = \dfrac{1}{2} \\u_{n + 1} = \dfrac{1}{2 - u_{n}},n \geq 1 \\\end{matrix} ight.. Tính \lim u_{n}.

    Giả sử \lim u_{n} = a khi đó ta có:

    \begin{matrix} a = \lim {u_{n + 1}} = \lim \left( {\dfrac{1}{{2 - {u_n}}}} ight) = \dfrac{1}{{2 - a}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a e 2} \\ {a\left( {2 - a} ight) = 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a e 2} \\ {{a^2} - 2a + 1 = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow a = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho giới hạn I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}. Tính giá trị của 100I?

    Đáp án: -600||- 600

    Đáp án là:

    Cho giới hạn I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}. Tính giá trị của 100I?

    Đáp án: -600||- 600

    Ta có:

    I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x}.\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}} ight)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left\{ \left( \frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x} + \frac{1 - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x} ight).\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}} ight\}

    Ta có:

    +) \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2x}{\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight).x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2}{\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight)} = 1

    +) \lim_{x ightarrow 0}\frac{1 - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x^{2}}{\left\lbrack 1 + \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{\left( x^{2} + 1 ight)^{2}} ightbrack.x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x}{\left\lbrack 1 + \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{\left( x^{2} + 1 ight)^{2}} ightbrack} = 0.

    +) \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{\left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{3} - \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{3}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{- 2x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{- 2} = - 6.

    Vậy I = (1 + 0).( - 6) = - 6 \Rightarrow 100I = - 600.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính giới hạn của hàm số \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{4} + 9x^{3} + 11x^{2} - 4}{(x + 2)^{2}}.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{4} + 9x^{3} + 11x^{2} - 4}{(x + 2)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow - 2}\frac{(x + 2)^{2}\left( 2x^{2} + x - 1 ight)}{(x + 2)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow - 2}\left\lbrack 2x^{2} + x - 1 ightbrack = 5

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 64 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập