Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \sqrt{3 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 4}} liên tục trên:

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix} 3 - x \geq 0 \\ x + 4 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq - 3 \\ x > - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Tập xác định D = ( - 4;3brack

    => Hàm số liên tục trên ( - 4;3brack

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 3}}{3x + 2}. Tính \lim_{x ightarrow - \infty}f(x).

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}f(x)

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 3}}{3x + 2}

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{4 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x} +\dfrac{3}{x^{2}}}}{3 + \dfrac{2}{x}}

    = \frac{- 2 + 1}{3} = - \frac{1}{3}

  • Câu 3: Nhận biết

    Tính \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1}.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} + x - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}(x + 2) = 3

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

    \frac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x + 2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \leq 0

    Đúng với mọi x thuộc tập xác định của bất phương trình đó. Số phần tử S bằng:

    Giả sử m là số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán:

    Với m = 2 bất phương trình trở thành \frac{- 3x^{3} + x^{2} - x + 2}{2x - 3} \leq 0, bất phương trình không đúng với \frac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x + 2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \leq 0

    => Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Với m = 3 bất phương trình trở thành \frac{x^{2} - 2x + 2}{- x^{2} + 2x - 3} \leq 0, tập nghiệm của bất phương trình là \mathbb{R}

    => Thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Với m = \frac{1}{2} bất phương trình trở thành \dfrac{x^{2} + \dfrac{1}{2}x +2}{\dfrac{3}{2}x^{2} + 2x - 3} \leq 0, bất phương trình không đúng với x = 1

    => Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Với m eq 2;m eq 3;m eq \frac{1}{2} đặt \left\{\begin{matrix}f(x) = \dfrac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x +2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \\A = 2m^{2} - 7m + 3 \\\end{matrix} ight. thì A eq 0

    Theo giả thiết ta có:

    f(x) \leq 0 với mọi giá trị x thuộc tập xác định (*)

    Nếu A < 0 thì \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = + \infty mâu thuẫn với (*)

    Nếu A > 0 thì \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty mâu thuẫn với (*)

    Vậy S = \left\{ 3 ight\} nên số phần tử của S là 1.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho  f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}-1} với xeq 0. Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu thì hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R}?

    Ta có: 

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( 0 ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} - 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight)}}{{x + 1 - 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) = 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Để hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì 

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( 0 ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 2 = f\left( 0 ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho số thực m thỏa mãn \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} + 3} + 2017}{2x + 2018} = \frac{1}{2}. Khi đó giá trị của m là bao nhiêu?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{m\sqrt{2x^{2} + 3} + 2017}{2x + 2018} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{mx\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 2017}{x\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{m\sqrt{2 + \dfrac{3}{x^{2}}} + \dfrac{2017}{x}}{\left( 2 +\dfrac{2018}{x} ight)} = \dfrac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{m\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{\sqrt{2}}{2}

  • Câu 7: Vận dụng

    Tính  \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    \underset{x ightarrow 0}{= \lim}\frac{\sqrt{1 + 2x} - (x + 1) + (x + 1) - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - (x + 1)}{x^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{1 + 2x} + x + 1 ight)} = - \frac{1}{2}

    Ta cũng có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(x + 1) - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    \underset{x ightarrow 0}{= \lim}\frac{x^{3} + 3x^{2}}{x^{2}\left\lbrack (x + 1)^{2} + (x + 1)\sqrt[3]{1 + 3x} + \left( \sqrt[3]{1 + 3x} ight)^{2} ightbrack} = 1

    Vậy  \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}} = \frac{1}{2}

  • Câu 8: Nhận biết

    Giá trị của B = \lim\frac{n.\sin n - 3n^{2}}{n^{2}} bằng:

    Ta có:

    B = \lim\frac{n.\sin n - 3n^{2}}{n^{2}} = \lim\frac{\frac{\sin n}{n} - 3}{1} = - 3

  • Câu 9: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (-10; 10) để

    A = \lim\left\lbrack 5n - 3\left( a^{2} - 2 ight)n^{3} ightbrack = - \infty.

    Ta có:

    A = \lim\left\lbrack 5n - 3\left( a^{2} - 2 ight)n^{3} ightbrack

    = \lim\left\{ n^{3}\left\lbrack \frac{5}{n^{2}} - 3\left( a^{2} - 2 ight) ightbrack ight\} = - \infty

    \Rightarrow \lim\left\lbrack \frac{5}{n^{2}} - 3\left( a^{2} - 2 ight) ightbrack = a^{2} - 2 < 0

    \Leftrightarrow - \sqrt{2} < a < \sqrt{2}

    Vì a\mathbb{\in Z},a \in ( - 10;10) \Rightarrow a = \left\{ - 1;0;1 ight\}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}}. Tính \lim_{n ightarrow + \infty}u_{n}.

    Ta có:

    \lim_{n ightarrow + \infty}u_{n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left( \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.\frac{4^{- 1}}{5^{- 2}} ight) = 0

  • Câu 11: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x(\sqrt {{x^2} + 1} - x) bằng

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Tính giới hạn sau: \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}.

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Tính giới hạn sau: \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}.

    Đáp án: 1

    Ta có:

    \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}

    = \lim\left\lbrack \frac{2n^{2} - n^{3} + n^{3}}{n^{2} + n - n^{2}} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + n} + n}{\sqrt[3]{\left( 2n^{2} - n^{3} ight)^{2}} + n^{2} - n\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}}} ightbrack

    = \lim\dfrac{\sqrt{\left( n\sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + n ight)}}{\sqrt[3]{n^{6} \cdot \left( \dfrac{2}{n} - 1ight)^{2}} + n^{2} - n \cdot \sqrt[3]{n^{3}\left( \dfrac{2}{n} - 1ight)}}

    = \lim\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} +1}{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}}

    Khi n ightarrow \infty thì \ lim\frac{1}{n} = 0.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\lim\left( \left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1} ight) = - 1 + 1 + 1 = 1 \\\lim\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} + 1 ight) = 1 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\dfrac{\left( \sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + 1 ight.\ }{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}}+ 1 - \sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}} = 1

    \Rightarrow \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n} = 1

  • Câu 13: Thông hiểu

    Tìm m để hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{2\sqrt[3]{x} - x - 1}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\mx + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight. liên tục trên \mathbb{R}.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{2\sqrt[3]{x} - x - 1}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{2\left( \sqrt[3]{x} - 1 ight) - (x - 1)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} + 1} - 1 ight) = - \frac{1}{3}

    Dễ thấy hàm số liên tục khi x eq 1. Hàm số liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow - \frac{1}{3} = m + 1

    \Leftrightarrow m = - \frac{4}{3}

  • Câu 14: Thông hiểu

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {\frac{{1 - {x^3}}}{{3{x^2} + x}}} bằng:

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {\frac{{1 - {x^3}}}{{3{x^2} + x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sqrt {\frac{{1 - {1^3}}}{{{{3.1}^2} + 1}}} = 0

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}}{\text{ khi }}x < 1} \\ {{\text{1 khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight. . Hãy chọn kết luận đúng.

    Ta có: f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 + x + x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 1 \\ \end{matrix} ight.

    Lại có:

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( 1 + x + x^{2} ight) = 3

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 1 eq 3

    => Hàm số liên tục phải tại x = 1

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 5x + 6}{\sqrt{4x - 3} - x}\ \ \ khi\ x > 3 \\1 - a^{2}x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 3 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = 3.

    Điều kiện bài toán trở thành \lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = f(3)\ \ (*)

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{x^{2} - 5x + 6}{\sqrt{4x - 3} - x} = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{(x - 2)\left( \sqrt{4x - 3} + x ight)}{1 - x} = - 3

    \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\left( 1 - a^{2}x ight) = 1 - 3a^{3}

    f(3) = 1 - 3a^{2}

    Khi đó (*) \Leftrightarrow a = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow a_{\min} = - \frac{2}{\sqrt{3}}

  • Câu 17: Vận dụng

    Biết f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \in \lbrack 0;4brack \\ 1 + m\ \ \ khi\ x \in (4;6brack \\ \end{matrix} ight. liên tục trên \lbrack 0;6brack. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Dễ thấy f(x) liên tục trên mỗi khoảng (0;4) và (4;6). Khi đó hàm số liên tục trên đoạn \lbrack 0;6brack khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 4;x = 0;x = 6

    Tức là ta cần có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x ight) = f\left( 6 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( * ight)

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = \sqrt 0 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} \left( {1 + m} ight) = 1 + m \hfill \\ f\left( 6 ight) = 1 + m \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \sqrt x = 2 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {1 + m} ight) = 1 + m \hfill \\ f\left( 4 ight) = 1 + m \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Khi đó (*) trở thành 1 + m = 2 \Leftrightarrow m = 1 < 2

  • Câu 18: Thông hiểu

    Giới hạn cần tìm của E = \lim\frac{\sqrt{n^{3} + 2n} + 1}{n + 2} bằng:

    E = \lim\frac{\sqrt{n^{3} + 2n} + 1}{n + 2} = + \infty

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tính \lim\frac{2n + 1}{1 + n} được kết quả là:

    Ta có

    \lim\frac{2n + 1}{1 + n} = \lim\frac{n\left( 2 + \frac{1}{n} ight)}{n\left( \frac{1}{n} + 1 ight)} = \lim\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{1}{n} + 1} = \frac{2 + 0}{0 + 1} = 2.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Giá trị của D = \lim\frac{n^{3} - 3n^{2} + 2}{n^{4} + 4n^{3} + 1} bằng:

    D = \lim\frac{n^{3} - 3n^{2} + 2}{n^{4} + 4n^{3} + 1}

    = \dfrac{\dfrac{1}{n} - \dfrac{3}{n^{2}} +\dfrac{2}{n^{4}}}{1 + \dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{n^{4}}} = \dfrac{0}{1} =0

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 62 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập