Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \sqrt{3 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 4}} liên tục trên:

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix} 3 - x \geq 0 \\ x + 4 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq - 3 \\ x > - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Tập xác định D = ( - 4;3brack

    => Hàm số liên tục trên ( - 4;3brack

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \pi x{\text{ khi }}\left| x ight| \leqslant 1} \\ {x + 1{\text{ khi }}\left| x ight| > 1} \end{array}} ight.. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} ight) = 2} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sin \pi x} ight) = \sin \pi = 0} \end{array}} ight.

    => Hàm số gián đoạn tại x=1

    Ta lại có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x + 1} ight) = 0 \hfill \\ f\left( { - 1} ight) = \sin \left( { - \pi } ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\sin \pi x} ight) = \sin \left( { - \pi } ight) = 0} \end{array}} ight.

    => Hàm số liên tục tại x=-1

    Vậy hàm số liên tục trên các khoảng \left( { - \infty ; 1} ight) và \left( { 1; + \infty } ight).

  • Câu 3: Nhận biết

    \lim \frac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}} bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \dfrac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{3 - \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{3}{{{n^4}}}}}{{4 + \dfrac{2}{{{n^3}}} + \dfrac{1}{{{n^4}}}}} = \dfrac{3}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{3x^{2} - 2x}{x^{2} + 1}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{3x^{2} - 2x}{x^{2} + 1} = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{3 - \dfrac{2}{x}}{1 + \dfrac{1}{x^{2}}} = \dfrac{3 - 0}{1 + 0}= 3

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm giá trị của a để hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}\ \ khi\ x eq 2 \\2x + a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = 2.

    Ta có:

    f(2) = a + 4

    \lim_{x ightarrow 2}f(x) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x + 2 - 4}{(x - 2)\left( \sqrt{x + 2} + 2 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} = \frac{1}{4}

    Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi

    \lim_{x ightarrow 2}f(x) = f(2)

    \Leftrightarrow \frac{1}{4} = a + 4

    \Leftrightarrow a = - \frac{15}{4}

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x};x > 0} \\ {mx + m + \dfrac{1}{4};x \leqslant 0} \end{array}} ight. với m là tham số. Tính giá trị của tham số m để hàm số có giới hạn tại x = 0.

    Hàm số có giới hạn tại x = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( mx + m + \frac{1}{4} ight)

    \Leftrightarrow \frac{1}{4} = m + \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0

  • Câu 7: Nhận biết

    Kết quả của giới hạn \lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} bằng

    Có \lim q^{n} = 0 nếu |q| < 1.

    Vì \left| \frac{1}{2} ight| < 1 nên \lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} = 0.

  • Câu 8: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4} liên tục trên khoảng nào sau đây?

    Ta có:

    Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4} là hàm phân thứ hữu tỉ có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1;4 ight\} nên hàm số f(x) liên tục trên các khoảng ( - \infty;1),(1;4),(4; + \infty).

    Do đó f(x) liên tục trên (2;3).

  • Câu 9: Vận dụng

    Tìm các giá trị nguyên của a thuộc (0;20)sao cho \lim\sqrt{3 + \frac{a.n^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} là một số nguyên?

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\lim\left( \dfrac{a.n^{2} - 1}{3 + n^{2}} ight) = \lim\dfrac{a -\dfrac{1}{n^{2}}}{\dfrac{3}{n^{2}} + 1} = a \\\lim\left( \dfrac{1}{2^{n}} ight) = \lim\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n}= 0 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\sqrt{3 + \frac{a.n^{2} - 1}{3 + n^{2}} - \frac{1}{2^{n}}} = \sqrt{3 + a}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} a \in (0;20),a\mathbb{\in Z} \\ \sqrt{a + 3}\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a \in \left\{ 1;6;13 ight\}

    Vậy có ba giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = x - 1 và g(x) = x^{3}. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Giới hạn \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 3. Sai||Đúng

    b) Giới hạn \lim_{x ightarrow 1}g(x) = 1. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack 3f(x) - g(x) ightbrack = - 1. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}}{g(x)} = 1. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = x - 1 và g(x) = x^{3}. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây?

    a) Giới hạn \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 3. Sai||Đúng

    b) Giới hạn \lim_{x ightarrow 1}g(x) = 1. Đúng||Sai

    c) \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack 3f(x) - g(x) ightbrack = - 1. Đúng||Sai

    d) \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}}{g(x)} = 1. Sai||Đúng

    a) \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x ightarrow 1}(x - 1) = 1 - 1 = 0.

    b) \lim_{x ightarrow 1}g(x) = \lim_{x ightarrow 1}x^{3} = 1^{3} = 1.

    c) \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack 3f(x) - g(x) ightbrack = 3.0 - 1 = - 1.

    d) \lim_{x ightarrow1}\frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}}{g(x)} = \frac{0}{1} =0.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho  f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}-1} với xeq 0. Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu thì hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R}?

    Ta có: 

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( 0 ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} - 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight)}}{{x + 1 - 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\sqrt {x + 1} + 1} ight) = 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Để hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì 

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( 0 ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \Leftrightarrow 2 = f\left( 0 ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Tính tổng S = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ight) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} ight) + ... + \left( \frac{1}{2^{n}} - \frac{1}{3^{n}} ight) + ...:

    Ta có:

    S = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ight) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} ight) + ... + \left( \frac{1}{2^{n}} - \frac{1}{3^{n}} ight) + ...

    = \left( {\underbrace {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{{{2^n}}} + ...}_{CSN:{u_1} = q = \dfrac{1}{2}}} ight) - \left( {\underbrace {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} + .... + \dfrac{1}{{{3^n}}}}_{CSN:{u_1} = q = \dfrac{1}{3}}} ight)

    = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1 - \dfrac{1}{2}} -\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1 - \dfrac{1}{3}} = 1 - \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{2}

  • Câu 13: Nhận biết

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1} bằng

    Đặt f(x) = x + 1;g(x) = x - 1.

    Ta có \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow 1^{+}}g(x) = 0;g(x) > 0 khi x ightarrow 1^{+}

    Vậy \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1} = + \infty.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Giá trị của F = \lim\frac{(n - 2)^{7}(2n + 1)^{3}}{\left( n^{2} + 2 ight)^{5}}bằng:

    Ta có:

     F = \lim\frac{(n - 2)^{7}(2n + 1)^{3}}{\left( n^{2} + 2 ight)^{5}} 

    = \lim\frac{\left( 1 - \frac{2}{n}ight)^{7}\left( 2 + \frac{1}{n} ight)^{3}}{\left( 1 +\frac{5}{n^{2}} ight)^{5}\ } = 8

  • Câu 15: Thông hiểu

    Xét tính liên tục của hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {2 - x} - 1}}{\text{ khi }}x < 1} \\ { - 2x{\text{ khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight.. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Hàm số liên tục trên các khoảng ( - \infty;1),(1; + \infty)

    Ta có:

    f(1) = - 2

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}( - 2x) = - 2

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x - 1}{\sqrt{2 - x} - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left\lbrack - \left( \sqrt{2 - x} + 1 ight) ightbrack = - 2

    => Hàm số liên tục tại x = 1

    Vậy hàm số liên tục trên tập số thực.

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho f(x) là một đa thức thỏa mãn \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{x - 1} = 24. Tính giá trị

    F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{(x - 1)\left( \sqrt{2f(x) + 4} + 6 ight)}

    Ta có: \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{x - 1} = 24 \Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) - 16 ightbrack = 0

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 16

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{\sqrt{2f(x) + 4} + 6} = \frac{1}{12}

    Khi đó

    F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{(x - 1)\left\lbrack \sqrt{2f(x) + 4} + 6 ightbrack}

    F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{x - 1}.\lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{\sqrt{2f(x) + 4} + 6} = 24.\frac{1}{12} = 2

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 3}}{3x + 2}. Tính \lim_{x ightarrow - \infty}f(x).

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}f(x)

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{4x^{2} + x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 3}}{3x + 2}

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{4 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \dfrac{1}{x} +\dfrac{3}{x^{2}}}}{3 + \dfrac{2}{x}}

    = \frac{- 2 + 1}{3} = - \frac{1}{3}

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight. liên tục trên \mathbb{R}. Khi đó

    a) f( - 5) = 12;f(10) = 27. Đúng||Sai

    b) m > 0,\ \ n > 0. Sai||Đúng

    c) 2m + n là số nguyên tố. Sai||Đúng

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số y = m.\sin x+ n.\cos x là \sqrt{12}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight. liên tục trên \mathbb{R}. Khi đó

    a) f( - 5) = 12;f(10) = 27. Đúng||Sai

    b) m > 0,\ \ n > 0. Sai||Đúng

    c) 2m + n là số nguyên tố. Sai||Đúng

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số y = m.\sin x+ n.\cos x là \sqrt{12}. Sai||Đúng

    a) Đúng.

    Ta có : f( - 5) = - 5 + 17 = 12, f(10) = 10 + 17 = 27 (mệnh đề a) đúng)

    b) Sai.

    Với x < - 5 ta có f(x) = x^{2} + mx + n, là hàm đa thức nên liên tục trên ( - \infty; - 5).

    Với - 5 < x < 10 ta có f(x) = x + 17, là hàm đa thức nên liên tục trên (-5; 10).

    Với x > 10 ta có f(x) = mx + n + 10, là hàm đa thức nên liên tục trên (10 ;+\infty).

    Để hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì hàm số phải liên tục tại x = - 5 và x = 10.

    Ta có:

    f( - 5) = 12;f(10) = 27.

    \lim_{x ightarrow - 5^{-}}f(x) =\lim_{x ightarrow - 5^{-}}\left( x^{2} + mx + n ight) = - 5m + n + 25.

    \lim_{x ightarrow - 5^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow - 5^{+}}(x + 17) = 12.

    \lim_{x ightarrow 10^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{-}}(x + 17) = 27.

    \lim_{x ightarrow 10^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{+}}(mx + n + 10) = 10m + n + 10.

    Hàm số liên tục tại x = - 5 và x = 10 khi

    \left\{ \begin{matrix}- 5m + n + 25 = 12 \\10m + n + 10 = 27 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 5m + n = - 13 \\10m + n = 17 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 2 \ = - 3 \\\end{matrix} ight. (mệnh đề b) sai).

    c) Sai.

    Ta có 2m + n = 1 không phải số nguyên tố (mệnh đề c) sai).

    d) Sai.

    Ta có: y = m.sinx + n.cosx\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y = 2sinx - 3cosx

    Xét phương trình ẩn x:

    2\sin x - 3\cos x = y

    \Leftrightarrow \sin x.\frac{2}{\sqrt{13}} - \cos x.\frac{3}{\sqrt{13}} =\frac{y}{\sqrt{13}}

    \Leftrightarrow \sin x.\cos\alpha - \cos x.\sin\alpha = \frac{y}{\sqrt{13}}, với \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}.

    \Leftrightarrow \sin(x - \alpha) = \frac{y}{\sqrt{13}}

    Ta có

    \left| \sin(x - \alpha) ight| \leq 1

    \begin{matrix} \Rightarrow \left| \frac{y}{\sqrt{13}} ight| \leq 1 \\ \Leftrightarrow - \sqrt{13} \leq y \leq \sqrt{13} \\ \end{matrix}

    Suy ra GTLN của y bằng \sqrt{13} khi \sin(x - \alpha) = 1 hay x = \alpha + \frac{\pi}{2} + k2\pi, với \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}

    Vậy khẳng định d) sai.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho {u_{n} = \dfrac{7^{n} + 2^{2n - 1}+ 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}}. Biết \lim u_{n} = \frac{a}{b} (với a, b\in \mathbb{ Z };\frac{ a}{ b } tối giản). Khi đó:

    a) a + b = 8 Đúng||Sai

    b) a - b = - 7 Sai||Đúng

    c) Bộ ba số a;b;13 tạo thành một cấp số cộng có công sai d = 7 Đúng||Sai

    d) Bộ ba số a;b;49 tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 7 Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho {u_{n} = \dfrac{7^{n} + 2^{2n - 1}+ 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}}. Biết \lim u_{n} = \frac{a}{b} (với a, b\in \mathbb{ Z };\frac{ a}{ b } tối giản). Khi đó:

    a) a + b = 8 Đúng||Sai

    b) a - b = - 7 Sai||Đúng

    c) Bộ ba số a;b;13 tạo thành một cấp số cộng có công sai d = 7 Đúng||Sai

    d) Bộ ba số a;b;49 tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 7 Đúng||Sai

    Ta có

    \lim u_{n} = \lim\dfrac{7^{n} + 2^{2n -1} + 3^{n + 1}}{7^{n + 1} + 5^{n - 1}}

    = \lim\dfrac{1 + \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{7} ight)^{n} + 3\left( \dfrac{3}{7} ight)^{n}}{7 +\dfrac{1}{5}\left( \dfrac{5}{7} ight)^{n}} = \dfrac{1}{7}.

    Do đó suy ra a = 1,b = 7 \Rightarrow a + b = 8.

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Sai

    c) Đ

    d) Đúng
  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính giới hạn \lim\dfrac{4.3^{n} + 7^{n + 1}}{2.5^{n} +7^{n}}.

    Ta có:

    \lim\dfrac{4.3^{n} + 7^{n + 1}}{2.5^{n} +7^{n}} = \lim\dfrac{\dfrac{4.3^{n} + 7^{n + 1}}{7^{n}}}{\dfrac{2.5^{n} +7^{n}}{7^{n}}}

    = \lim\dfrac{4.\left( \dfrac{3}{7}ight)^{n} + 7}{2.\left( \dfrac{5}{7} ight)^{n} + 1} = 7

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 61 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập