Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Tính giới hạn M = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - 4}{x - 2}.

    Ta có:

    M = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - 4}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 2) = 4

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \sqrt{x - 1}. Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề đúng?

    i) Hàm số f(x) có tập xác định D = \lbrack 1; + \infty)

    ii) Hàm số f(x) liên tục trên \lbrack 1; + \infty)

    iii) Hàm số f(x) gián đoạn tại x = 1

    iv) Hàm số f(x) liên tục tại x = 0

    Ta có:

    i) Hàm số f(x) có tập xác định D = \lbrack 1; + \infty) đúng

    ii) Hàm số f(x) liên tục trên \lbrack 1; + \infty) sai. Vì hàm số gián đoạn tại x = 1

    iii) Hàm số f(x) gián đoạn tại x = 1 đúng. Vì hàm số không tồn tại giới hạn trái tại x = 1

    iv) Hàm số f(x) liên tục tại x = 0 sai vì 0 otin \lbrack 1; + \infty)

  • Câu 3: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4} liên tục trên khoảng nào sau đây?

    Ta có:

    Hàm số f(x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 5x + 4} là hàm phân thứ hữu tỉ có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1;4 ight\} nên hàm số f(x) liên tục trên các khoảng ( - \infty;1),(1;4),(4; + \infty).

    Do đó f(x) liên tục trên (2;3).

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tính giới hạn A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight).

    Ta có:

    A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left(\dfrac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight)

    A = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x^{4}\left( 3 - \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}ight)}{x^{4}\left( 5 + \dfrac{3}{x^{3}} + \dfrac{1}{x^{4}}ight)}

    A = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3- \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}}{5 + \dfrac{3}{x^{3}} +\dfrac{1}{x^{4}}} = \dfrac{3}{5}

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight. liên tục trên \mathbb{R}. Khi đó

    a) f( - 5) = 12;f(10) = 27. Đúng||Sai

    b) m > 0,\ \ n > 0. Sai||Đúng

    c) 2m + n là số nguyên tố. Sai||Đúng

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số y = m.\sin x+ n.\cos x là \sqrt{12}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight. liên tục trên \mathbb{R}. Khi đó

    a) f( - 5) = 12;f(10) = 27. Đúng||Sai

    b) m > 0,\ \ n > 0. Sai||Đúng

    c) 2m + n là số nguyên tố. Sai||Đúng

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số y = m.\sin x+ n.\cos x là \sqrt{12}. Sai||Đúng

    a) Đúng.

    Ta có : f( - 5) = - 5 + 17 = 12, f(10) = 10 + 17 = 27 (mệnh đề a) đúng)

    b) Sai.

    Với x < - 5 ta có f(x) = x^{2} + mx + n, là hàm đa thức nên liên tục trên ( - \infty; - 5).

    Với - 5 < x < 10 ta có f(x) = x + 17, là hàm đa thức nên liên tục trên (-5; 10).

    Với x > 10 ta có f(x) = mx + n + 10, là hàm đa thức nên liên tục trên (10 ;+\infty).

    Để hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì hàm số phải liên tục tại x = - 5 và x = 10.

    Ta có:

    f( - 5) = 12;f(10) = 27.

    \lim_{x ightarrow - 5^{-}}f(x) =\lim_{x ightarrow - 5^{-}}\left( x^{2} + mx + n ight) = - 5m + n + 25.

    \lim_{x ightarrow - 5^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow - 5^{+}}(x + 17) = 12.

    \lim_{x ightarrow 10^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{-}}(x + 17) = 27.

    \lim_{x ightarrow 10^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{+}}(mx + n + 10) = 10m + n + 10.

    Hàm số liên tục tại x = - 5 và x = 10 khi

    \left\{ \begin{matrix}- 5m + n + 25 = 12 \\10m + n + 10 = 27 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 5m + n = - 13 \\10m + n = 17 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 2 \ = - 3 \\\end{matrix} ight. (mệnh đề b) sai).

    c) Sai.

    Ta có 2m + n = 1 không phải số nguyên tố (mệnh đề c) sai).

    d) Sai.

    Ta có: y = m.sinx + n.cosx\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y = 2sinx - 3cosx

    Xét phương trình ẩn x:

    2\sin x - 3\cos x = y

    \Leftrightarrow \sin x.\frac{2}{\sqrt{13}} - \cos x.\frac{3}{\sqrt{13}} =\frac{y}{\sqrt{13}}

    \Leftrightarrow \sin x.\cos\alpha - \cos x.\sin\alpha = \frac{y}{\sqrt{13}}, với \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}.

    \Leftrightarrow \sin(x - \alpha) = \frac{y}{\sqrt{13}}

    Ta có

    \left| \sin(x - \alpha) ight| \leq 1

    \begin{matrix} \Rightarrow \left| \frac{y}{\sqrt{13}} ight| \leq 1 \\ \Leftrightarrow - \sqrt{13} \leq y \leq \sqrt{13} \\ \end{matrix}

    Suy ra GTLN của y bằng \sqrt{13} khi \sin(x - \alpha) = 1 hay x = \alpha + \frac{\pi}{2} + k2\pi, với \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}

    Vậy khẳng định d) sai.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323... được biểu diễn bởi phân số tối giản \frac{m}{n}. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} 0,17232323.... \hfill \\ = 0,17 + 23.\left( {\dfrac{1}{{{{10}^4}}} + \dfrac{1}{{{{10}^6}}} + \dfrac{1}{{{{10}^8}}} + ...} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \dfrac{{17}}{{100}} + 23.\dfrac{{\dfrac{1}{{10000}}}}{{1 - \dfrac{1}{{100}}}} = \dfrac{{17}}{{100}} + \dfrac{{23}}{{100.99}} \hfill \\ = \dfrac{{1706}}{{9900}} = \dfrac{{853}}{{4950}} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 853 \\ n = 4950 \\ \end{matrix} \Rightarrow 2^{12} < T = 4097 < 2^{13} ight.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Chọn kết quả đúng của \lim\frac{\sqrt{n^{3} - 2n + 5}}{3 + 5n}:

    Ta có :

    \lim\frac{\sqrt{n^{3} - 2n + 5}}{3 + 5n} = \lim\sqrt{n}.\frac{\sqrt{(1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{5}{n^{3}})}}{\frac{3}{n} + 5} = + \infty

    Vì \lim\sqrt{n} = + \infty nên suy ra:

    \lim\frac{\sqrt{\left( 1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{5}{n^{3}} ight)}}{\frac{3}{n} + 5} = \frac{1}{5}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Biết giới hạn \lim\left( - 2n^{3} - 5n + 9 ight) = a và \lim\frac{4^{n} + 3}{1 + 3 \cdot 4^{n + 1}} = b. Khi đó:

    a) Tích a.b = 3. Sai||Đúng

    b) Hàm số y = \sqrt{1 - x} có tập xác định là D(a;1brack. Đúng||Sai

    c) Giá trị b là số lớn hơn 0. Đúng||Sai

    d) Phương trình lượng giác \cos x = b vô nghiệm. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim\left( - 2n^{3} - 5n + 9 ight) = a và \lim\frac{4^{n} + 3}{1 + 3 \cdot 4^{n + 1}} = b. Khi đó:

    a) Tích a.b = 3. Sai||Đúng

    b) Hàm số y = \sqrt{1 - x} có tập xác định là D(a;1brack. Đúng||Sai

    c) Giá trị b là số lớn hơn 0. Đúng||Sai

    d) Phương trình lượng giác \cos x = b vô nghiệm. Sai||Đúng

    Ta có: \lim\left( - 2n^{3} - 5n + 9 ight) = \lim n^{3}\left( - 2 - \frac{5}{n^{2}} + \frac{9}{n^{3}} ight) = - \infty,

    Do \left\{ \begin{matrix} \lim n^{3} = + \infty \\ \lim\left( - 2 - \frac{5}{n^{2}} + \frac{9}{n^{3}} ight) = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    \lim\frac{4^{n} + 3}{1 + 3 \cdot 4^{n + 1}} = \lim\frac{4^{n} + 3}{1 + 12 \cdot 4^{n}}

    = \lim\frac{4^{n}\left( 1 + \frac{3}{4^{n}} ight)}{4^{n}\left( \frac{1}{4^{n}} + 12 ight)} = \lim\frac{1 + \frac{3}{4^{n}}}{\frac{1}{4^{n}} + 12} = \frac{1}{12}

    a) Tích a.b = - \infty

    b) Hàm số y = \sqrt{1 - x} có tập xác định là D( - \infty;1brack

    c) Giá trị \frac{1}{12} là số lớn hơn 0

    d) Phương trình lượng giác \cos x = \frac{1}{12} có nghiệm

    Kết luận:

    a) Sai

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Sai
  • Câu 9: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x = 1?

    Xét hàm số y = \frac{x}{x^{2} - 1} hàm số này không xác định tại x = 1 nên hàm số gián đoạn tại x = 1.

  • Câu 10: Nhận biết

    \lim(5n-4n^{3}) bằng

    Ta có: 

    \begin{matrix} \lim \left( {5n - 4{n^3}} ight) \hfill \\ = \lim \left[ {{n^3}\left( {\dfrac{5}{{{n^2}}} - 4} ight)} ight] \hfill \\ = - \infty \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Xác định \lim_{x ightarrow 0}\frac{|x|}{x^{2}}.

    Ta có: \lim_{x ightarrow 0}\frac{|x|}{x^{2}} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{1}{|x|} = + \infty.

  • Câu 12: Vận dụng

    Một cái hồ chứa 600 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút. Nồng độ muối trong hồ dần về bao nhiêu gam/lít khi t dần về dương vô cùng?

    Đáp án: 30

    Đáp án là:

    Một cái hồ chứa 600 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút. Nồng độ muối trong hồ dần về bao nhiêu gam/lít khi t dần về dương vô cùng?

    Đáp án: 30

    Sau t phút bơm nước vào hồ thì lượng nước là 600 + 15t (lít) và lượng muối có được là 30.15t (gam).

    Nồng độ muối của nước là

    C(t) = \frac{30.15t}{600 + 15t} = \frac{30t}{40 + t} (gam/lít).

    Khi t dần về dương vô cùng, ta có

    \lim_{t ightarrow + \infty}C(t) = \lim_{t ightarrow + \infty}\frac{30t}{40 + t} = \lim_{t ightarrow + \infty}\frac{30t}{t\left( \frac{40}{t} + 1 ight)}

    = \lim_{t ightarrow + \infty}\frac{30}{\frac{40}{t} + 1} = 30\ (gam/lít).

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hai số thực a,b thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = 5. Tính giá trị biểu thức S = a + 2b.

    Đáp án: -4||- 4

    Đáp án là:

    Cho hai số thực a,b thỏa mãn \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = 5. Tính giá trị biểu thức S = a + 2b.

    Đáp án: -4||- 4

    Vì \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = 5 là 1 số hữu hạn và \lim_{x ightarrow 2}(x - 2) = 0 nên \lim_{x ightarrow 2}\left( ax^{2} + bx - 2 ight) = 0 hay 4a + 2b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = 1 - 2a.

    Khi đó:

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + (1 - 2a)x - 2}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{ax^{2} + x - 2ax - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(ax^{2} - 2ax) + (x - 2)}{x - 2}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(x - 2)(ax + 1)}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(ax + 1)

    = 2a + 1 = 5 \Rightarrow a = 2

    Suy ra b = - 3.

    Vậy S = - 4.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tìm a để hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 4}{x - 2}\ \ khi\ x eq 2 \\m^{2} + 3m\ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = 2. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - 4}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 2) = 4

    Để hàm số liên tục tại x = 1 thì m^{2} + 3m = 4 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 4 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 15: Nhận biết

    Tính giới hạn của hàm số \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{3}{x^{2} - 2x + 6}

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{{x^2} - 2x + 6}} = 0 vì \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^2} - 2x + 6} ight) = + \infty

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x_{0}. Mệnh đề nào dưới đây sai?

    Xét trường hợp y = g(x) liên tục tại x_{0} và g\left( x_{0} ight) = 0 thì hàm số y = \frac{f(x)}{g(x)} không xác định tại x_{0}.

  • Câu 17: Vận dụng

    Kết quả của giới hạn \lim \left( {\dfrac{{\sqrt {3n} + {{\left( { - 1} ight)}^n}.\cos 3n}}{{\sqrt n - 1}}} ight) bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \left( {\dfrac{{\sqrt {3n} + {{\left( { - 1} ight)}^n}.\cos 3n}}{{\sqrt n - 1}}} ight) \hfill \\ = \lim \left( {\dfrac{{\sqrt {3n} }}{{\sqrt n - 1}} + \dfrac{{{{\left( { - 1} ight)}^n}.\cos 3n}}{{\sqrt n - 1}}} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Ta lại có:

    \lim\left( \frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n} - 1} ight) = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}

    0 \leq \left| \frac{( -1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ight| \leq \frac{1}{\sqrt{n} - 1}\Rightarrow \lim\frac{( - 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} = 0

    \Rightarrow \lim\left( \frac{\sqrt{3n} + ( - 1)^{n}cos3n}{rn} - 1 ight) = \sqrt{3}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Giá trị của F = \lim\frac{(n - 2)^{7}(2n + 1)^{3}}{\left( n^{2} + 2 ight)^{5}}bằng:

    Ta có:

     F = \lim\frac{(n - 2)^{7}(2n + 1)^{3}}{\left( n^{2} + 2 ight)^{5}} 

    = \lim\frac{\left( 1 - \frac{2}{n}ight)^{7}\left( 2 + \frac{1}{n} ight)^{3}}{\left( 1 +\frac{5}{n^{2}} ight)^{5}\ } = 8

  • Câu 19: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim\sqrt{\frac{2n + 9}{n + 2}},\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)

    Ta có: \lim\sqrt{\frac{2n + 9}{n + 2}} =\lim\sqrt{\dfrac{2 + \dfrac{9}{n}}{1 + \dfrac{2}{n}}} = \sqrt{\frac{2 +0}{1 + 0}} = \sqrt{2}

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \pi x{\text{ khi }}\left| x ight| \leqslant 1} \\ {x + 1{\text{ khi }}\left| x ight| > 1} \end{array}} ight.. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} ight) = 2} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sin \pi x} ight) = \sin \pi = 0} \end{array}} ight.

    => Hàm số gián đoạn tại x=1

    Ta lại có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x + 1} ight) = 0 \hfill \\ f\left( { - 1} ight) = \sin \left( { - \pi } ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\sin \pi x} ight) = \sin \left( { - \pi } ight) = 0} \end{array}} ight.

    => Hàm số liên tục tại x=-1

    Vậy hàm số liên tục trên các khoảng \left( { - \infty ; 1} ight) và \left( { 1; + \infty } ight).

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 66 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập