Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Tính  \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    \underset{x ightarrow 0}{= \lim}\frac{\sqrt{1 + 2x} - (x + 1) + (x + 1) - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - (x + 1)}{x^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x^{2}}{x^{2}\left( \sqrt{1 + 2x} + x + 1 ight)} = - \frac{1}{2}

    Ta cũng có:

    \lim_{x ightarrow 0}\frac{(x + 1) - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}}

    \underset{x ightarrow 0}{= \lim}\frac{x^{3} + 3x^{2}}{x^{2}\left\lbrack (x + 1)^{2} + (x + 1)\sqrt[3]{1 + 3x} + \left( \sqrt[3]{1 + 3x} ight)^{2} ightbrack} = 1

    Vậy  \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + 2x} - \sqrt[3]{1 + 3x}}{x^{2}} = \frac{1}{2}

  • Câu 2: Nhận biết

    Giá trị của C = \lim\frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1} bằng:

    Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_{a} > \frac{1}{a} - 1

    Ta có:

    \left| \frac{\sqrt{n^{2} + 1}}{n + 1} - 1 ight| < \left| \frac{n + 2}{n - 1} - 1 ight| < \frac{1}{n_{a} + 1} < a\ với\ mọi\ n > n_{a}

    Vậy C=1.

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho các số thực a,b,c thỏa mãn c^{2} + a = 18 và \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \sqrt{ax^{2} + bx} - cx ight) = - 2. Tính giá trị biểu thức P = a + b + 5c.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}\left(\sqrt{ax^{2} + bx} - cx ight)= \lim_{x ightarrow +\infty}\frac{\left( a - c^{2} ight).x^{2} + bx}{\sqrt{ax^{2} + bx} +cx}= \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\left( a - c^{2} ight).x +b}{\sqrt{a + \frac{b}{x}} + c} = - 2

    Khi và chỉ khi: \left\{ \begin{matrix}a - c^{2} = 0 \\\dfrac{b}{\sqrt{a} + c} = - 2 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = c^{2} \\b = - 2\sqrt{a} - 2c \\\end{matrix} ight.\ ight..

    Kết hợp với c^{2} + a = 18

    Khi đó 2c^{2} = 18 \Leftrightarrow c^{2} = 9 ightarrow a = 9 và c= 3 (vì c eq - \sqrt{a})

    Vậy b = - 2\sqrt{a} - 2c = - 2\sqrt{9} - 2.3 = - 12 nên a + b + 5c = 9 - 12 + 5.3 = 12.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Biết giới hạn \lim\frac{- 3n^{3} + 1}{2n + 5} = a và \lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 5^{2n}} = b. Khi đó:

    a) \lim\left( - 3n^{2} + \frac{1}{n} ight) = a Đúng||Sai

    b) x = b là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 2x với trục hoành Đúng||Sai

    c) \lim\left( \frac{1}{2024} ight)^{n} = b Đúng||Sai

    d) Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với công sai d = \frac{1}{2} và u_{1} = b, thì u_{3} = 2 Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Biết giới hạn \lim\frac{- 3n^{3} + 1}{2n + 5} = a và \lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 5^{2n}} = b. Khi đó:

    a) \lim\left( - 3n^{2} + \frac{1}{n} ight) = a Đúng||Sai

    b) x = b là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 2x với trục hoành Đúng||Sai

    c) \lim\left( \frac{1}{2024} ight)^{n} = b Đúng||Sai

    d) Cho cấp số cộng \left( u_{n} ight) với công sai d = \frac{1}{2} và u_{1} = b, thì u_{3} = 2 Sai||Đúng

    Ta có:

    \lim\dfrac{- 3n^{3} + 1}{2n + 5} =\lim\dfrac{n\left( - 3n^{2} + \dfrac{1}{n} ight)}{n\left( 2 +\dfrac{5}{n} ight)}

    = \lim\dfrac{- 3n^{2} + \dfrac{1}{n}}{2 +\dfrac{5}{n}} = - \infty

    Do \left\{ \begin{matrix}\lim\left( - 3n^{2} + \dfrac{1}{n} ight) = - \infty \\\lim\left( 2 + \dfrac{5}{n} ight) = 2 \\\end{matrix} ight.

    \lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 5^{2n}} = \lim\frac{( - 1)^{n} \cdot 5^{n}}{2^{n} + 25^{n}}

    = \lim \dfrac{{{{25}^n} \cdot {{\left( {\dfrac{{ - 1}}{5}} ight)}^n}}}{{{{25}^n}\left[ {{{\left( {\dfrac{2}{{25}}} ight)}^n} + 1} ight]}}= \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{ - 1}}{5}} ight)}^n}}}{{{{\left( {\dfrac{2}{{25}}} ight)}^n} + 1}} = 0

    Kết luận:

    a) Đúng

    b) Đúng

    c) Đúng

    d) Sai
  • Câu 5: Thông hiểu

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{2} - 3x + 1}{1 - x^{2}}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{2} - 3x + 1}{1 - x^{2}} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{1 - 2x}{x - 1} = - \frac{1}{2}

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Giá trị của giới hạn \lim\frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}};\left( |a| < 1,|b| < 1 ight) bằng:

    Ta có:

    1 + a + a^{2} + ... + a^{n} là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là a

    => 1 + a + a^{2} + ... + a^{n} = \frac{1.\left( 1 - a^{n + 1} ight)}{1 - a} = \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}

    Tương tự:

    1 + b + b^{2} + ... + b^{n} là tổng n + 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là b

    => 1 + b + b^{2} + ... + b^{n} = \frac{1.\left( 1 - b^{n + 1} ight)}{1 - b} = \frac{1 - b^{n + 1}}{1 - b}

    \Rightarrow \lim\frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}}

    \begin{matrix} = \lim \dfrac{{\dfrac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\dfrac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{1 - b}}{{1 - a}}.\dfrac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - {b^{n + 1}}}} = \dfrac{{1 - b}}{{1 - a}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tính giới hạn của hàm số \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{4} + 9x^{3} + 11x^{2} - 4}{(x + 2)^{2}}.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - 2}\frac{2x^{4} + 9x^{3} + 11x^{2} - 4}{(x + 2)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow - 2}\frac{(x + 2)^{2}\left( 2x^{2} + x - 1 ight)}{(x + 2)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow - 2}\left\lbrack 2x^{2} + x - 1 ightbrack = 5

  • Câu 8: Thông hiểu

    Hàm số nào trong các hàm số sau liên tục tại x = 1?

    Xét hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} x + 1\ khi\ x \geq 1 \\ 3x - 1\ khi\ x < 1 \\ \end{matrix} ight. có:

    \left\{ \begin{matrix} f(1) = 2 \\ \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}(x + 1) = 2 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}(3x - 1) = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số liên tục tại x = 1.

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{x^2}}}{x}}&{{\text{ khi }}x < 1,x e 0} \\ 0&{{\text{ khi }}x = 0} \\ {\sqrt x }&{{\text{ khi }}x \geqslant 1} \end{array}} ight. hàm số f(x) liên tục tại:

    Tập xác định: D = \mathbb{R}

    \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x = 0 = f\left( 0 ight)

    Vậy hàm số liên tục tại x = 0

    Hàm số liên tục khi x<1

    hàm số liên tục khi x>1

    Tại x = 1 ta có: f(1)=1

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x = 1 = f\left( 1 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt x = 1 = f\left( 1 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = f\left( 1 ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy hàm số liên tục tại x=1

    Hàm số liên tục trên \mathbb{R}

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R} với f(x) = \frac{x^{2} - 3x + 2}{x - 1} với mọi x eq 1. Tính f(1).

    Ta có: f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R} nên suy ra

    f(1) = \lim_{x ightarrow 1}f(x)

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - 3x + 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}(x - 2) = 1

    Vậy f(1) = 1

  • Câu 11: Thông hiểu

    Chọn kết quả đúng của \lim\frac{\sqrt{n^{3} - 2n + 5}}{3 + 5n}:

    Ta có :

    \lim\frac{\sqrt{n^{3} - 2n + 5}}{3 + 5n} = \lim\sqrt{n}.\frac{\sqrt{(1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{5}{n^{3}})}}{\frac{3}{n} + 5} = + \infty

    Vì \lim\sqrt{n} = + \infty nên suy ra:

    \lim\frac{\sqrt{\left( 1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{5}{n^{3}} ight)}}{\frac{3}{n} + 5} = \frac{1}{5}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Biết rằng f(x) =\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x eq 1 \\a\ \ \ khi\ x eq 1 \\\end{matrix} ight. liên tục trên \lbrack 0;1brack với a là tham số. Khẳng định nào sau đây về giá trị a là đúng?

    Ta có:

    Hàm số xác định và liên tục trên \lbrack 0;1brack

    Khi đó f(x) liên tục trên \lbrack 0;1brack khi và chỉ khi \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ \ (*)

    Ta có:

    f(1) = a

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} - 1}{\sqrt{x} - 1} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left\lbrack (x + 1)\left( \sqrt{x} + 1 ight) ightbrack = 4

    (*) \Leftrightarrow a = 4

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \sqrt{n^{2} + an + 5} -\sqrt{n^{2} + 1}, trong đó a là tham số thực.

    a) Khi a = 2 thì \lim u_{n} = 1. Đúng||Sai

    b) Khi a = 3 thì \lim u_{n} = \frac{1}{2}. Sai||Đúng

    c) Khi a = - 3 thì \lim u_{n} = - \frac{3}{2}. Đúng||Sai

    d) Khi a = - 2 thì \lim u_{n} = - 1. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \sqrt{n^{2} + an + 5} -\sqrt{n^{2} + 1}, trong đó a là tham số thực.

    a) Khi a = 2 thì \lim u_{n} = 1. Đúng||Sai

    b) Khi a = 3 thì \lim u_{n} = \frac{1}{2}. Sai||Đúng

    c) Khi a = - 3 thì \lim u_{n} = - \frac{3}{2}. Đúng||Sai

    d) Khi a = - 2 thì \lim u_{n} = - 1. Đúng||Sai

    Ta có

    \sqrt{n^{2} + an + 5} - \sqrt{n^{2} + 1}ightarrow 0\overset{ightarrow}{}Nhận lượng liên hợp :

    \lim u_{n} = \lim\left( \sqrt{n^{2} + an+ 5} - \sqrt{n^{2} + 1} ight)

    = \lim\frac{an + 4}{\sqrt{n^{2} + an +5} + \sqrt{n^{2} + 1}}

    = \lim\frac{a + \dfrac{4}{n}}{\sqrt{1 +\dfrac{a}{n} + \dfrac{5}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{n^{2}}}} =\dfrac{a}{2}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 5x + 6}{\sqrt{4x - 3} - x}\ \ \ khi\ x > 3 \\1 - a^{2}x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 3 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = 3.

    Điều kiện bài toán trở thành \lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = f(3)\ \ (*)

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{x^{2} - 5x + 6}{\sqrt{4x - 3} - x} = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{(x - 2)\left( \sqrt{4x - 3} + x ight)}{1 - x} = - 3

    \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\left( 1 - a^{2}x ight) = 1 - 3a^{3}

    f(3) = 1 - 3a^{2}

    Khi đó (*) \Leftrightarrow a = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow a_{\min} = - \frac{2}{\sqrt{3}}

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}}. Tính \lim_{n ightarrow + \infty}u_{n}.

    Ta có:

    \lim_{n ightarrow + \infty}u_{n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left( \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.\frac{4^{- 1}}{5^{- 2}} ight) = 0

  • Câu 16: Nhận biết

    Chọn khẳng định đúng?

    \lim_{x ightarrow - \infty}x^{4} = + \infty

    \lim_{x ightarrow - \infty}x^{3} = - \infty

    \lim_{x ightarrow x_{0}}x = x_{0}

    \lim_{x ightarrow + \infty}q^{x} = 0;\left( |q| < 1 ight)

  • Câu 17: Vận dụng

    Kết quả của giới hạn \lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + ( - 1)^{n}.cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack bằng:

    Ta có

    \lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + ( -1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack

    = \lim\left\lbrack\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n} - 1} ightbrack + \lim\left\lbrack \frac{(- 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack

    Khi đó ta có:

    \lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n} - 1} ightbrack = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}

    0 \leq \left| \frac{( -1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ight| \leq \frac{1}{\sqrt{n} - 1}ightarrow 0 \Rightarrow \lim\frac{( - 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} =0

    Vậy \lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + (- 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack = \sqrt{3}

  • Câu 18: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x = 1?

    Xét hàm số y = \frac{x}{x^{2} - 1} hàm số này không xác định tại x = 1 nên hàm số gián đoạn tại x = 1.

  • Câu 19: Nhận biết

    Nếu hàm số f(x) thỏa mãn \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 3 thì \lim_{x ightarrow 1}3f(x) bằng

    Ta  có:

    \lim_{x ightarrow 1}3f(x) = 3\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 9.

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho giới hạn I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}. Tính giá trị của 100I?

    Đáp án: -600||- 600

    Đáp án là:

    Cho giới hạn I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}. Tính giá trị của 100I?

    Đáp án: -600||- 600

    Ta có:

    I = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\left( \frac{\sqrt{2x + 1} - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x}.\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}} ight)

    = \lim_{x ightarrow 0}\left\{ \left( \frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x} + \frac{1 - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x} ight).\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}} ight\}

    Ta có:

    +) \lim_{x ightarrow 0}\frac{\sqrt{2x + 1} - 1}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2x}{\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight).x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{2}{\left( \sqrt{2x + 1} + 1 ight)} = 1

    +) \lim_{x ightarrow 0}\frac{1 - \sqrt[3]{x^{2} + 1}}{x} = \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x^{2}}{\left\lbrack 1 + \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{\left( x^{2} + 1 ight)^{2}} ightbrack.x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{- x}{\left\lbrack 1 + \sqrt[3]{x^{2} + 1} + \sqrt[3]{\left( x^{2} + 1 ight)^{2}} ightbrack} = 0.

    +) \lim_{x ightarrow 0}\frac{x}{\sqrt[3]{8 - x} - \sqrt[3]{8 + x}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{\left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{3} - \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{3}}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{x\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{- 2x}

    = \lim_{x ightarrow 0}\frac{\left\lbrack \left( \sqrt[3]{8 - x} ight)^{2} + \sqrt[3]{8 - x}.\sqrt[3]{8 + x} + \left( \sqrt[3]{8 + x} ight)^{2} ightbrack}{- 2} = - 6.

    Vậy I = (1 + 0).( - 6) = - 6 \Rightarrow 100I = - 600.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 43 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập