Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

    Hỏi hàm số f(x) không liên tục tại điểm nào sau đây?

    Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = 3 \\ \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) nên không tồn tại \lim_{x ightarrow 1}f(x). Do đó hàm số gián đoạn tại x_{0} = 1.

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Tính giới hạn sau: \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}.

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Tính giới hạn sau: \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}.

    Đáp án: 1

    Ta có:

    \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n}

    = \lim\left\lbrack \frac{2n^{2} - n^{3} + n^{3}}{n^{2} + n - n^{2}} \cdot \frac{\sqrt{n^{2} + n} + n}{\sqrt[3]{\left( 2n^{2} - n^{3} ight)^{2}} + n^{2} - n\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}}} ightbrack

    = \lim\dfrac{\sqrt{\left( n\sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + n ight)}}{\sqrt[3]{n^{6} \cdot \left( \dfrac{2}{n} - 1ight)^{2}} + n^{2} - n \cdot \sqrt[3]{n^{3}\left( \dfrac{2}{n} - 1ight)}}

    = \lim\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} +1}{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}}

    Khi n ightarrow \infty thì \ lim\frac{1}{n} = 0.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\lim\left( \left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}} + 1 -\sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1} ight) = - 1 + 1 + 1 = 1 \\\lim\left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} + 1 ight) = 1 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \lim\dfrac{\left( \sqrt{1 +\dfrac{1}{n}} + 1 ight.\ }{\left( \dfrac{2}{n} - 1 ight)^{\dfrac{2}{3}}+ 1 - \sqrt[3]{\dfrac{2}{n} - 1}} = 1

    \Rightarrow \lim\frac{\sqrt[3]{2n^{2} - n^{3}} + n}{\sqrt{n^{2} + n} - n} = 1

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho dãy số \left( u_{n} ight) với u_{n} = \frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}}. Tính \lim_{n ightarrow + \infty}u_{n}.

    Ta có:

    \lim_{n ightarrow + \infty}u_{n} = \lim_{n ightarrow + \infty}\frac{4^{n - 1}}{5^{n - 2}} = \lim_{n ightarrow + \infty}\left( \left( \frac{4}{5} ight)^{n}.\frac{4^{- 1}}{5^{- 2}} ight) = 0

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 2x + 3\ \ \ khi\ x > 3 \\1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 3 \\3 - 2x^{2}\ \ \ \ \ khi\ x < 3 \\\end{matrix} ight. . Khẳng định nào dưới đây sai?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{+}}\left( x^{2} - 2x + 3 ight) = 6

    \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{-}}\left( 3 - 2x^{2} ight) = - 15

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow3^{+}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x)

    => Không tồn tại giới hạn khi x dần đến 3.

    Vậy chỉ có khẳng định \lim_{x ightarrow3^{-}}f(x) = 6 sai.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Có hai trong ba hàm số y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1 Đúng||Sai

    c) Phương trình 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0;2).Đúng||Sai

    d) Biết hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.. Khi đó \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Kiểm tra sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Có hai trong ba hàm số y = \sin;y =\cos\sqrt{x};y = \tan x liên tục trên tập số thực. Sai||Đúng

    b) \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = - 1 Đúng||Sai

    c) Phương trình 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0;2).Đúng||Sai

    d) Biết hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}}{\text{ khi x < 1}} \hfill \\ \sqrt {2x - 2} {\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} ight.. Khi đó \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty. Sai||Đúng

    a) Ta có hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

    Hàm số y = \sin xác định trên tập số thực suy ra hàm số liên tục trên \mathbb{R}

    Hàm số y = \cos\sqrt{x} xác định trên D = \lbrack 0; + \infty)

    Hàm sốy = \tan x xác định trên D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

    Vậy chỉ có suy nhất một hàm số liên tục trên tập số thực.

    b) Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x - 1 ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x ight) - \lim_{x ightarrow - \infty}1

    = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} ight) - 1 = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{\frac{1}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1} ight) - 1 = - 1

    c) Xét hàm số 2x^{4} - 5x^{2} + x + 1 = f(x) liên tục trên \mathbb{R}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 11;f( - 1) = - 3 \\ f(0) = 1;f(1) = - 1;f(2) = 15 \\ \end{matrix} ight.

    Vì \left\{ \begin{matrix} f(0).f( - 1) < 0 \\ f(1).f(2) < 0 \\ \end{matrix} ight. nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0;2).

    d) Ta có: \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + 1 ight) = 2 > 0 \\ \lim_{x ightarrow 1^{-}}(1 - x) = 0 \\ \end{matrix} ight.. Khi x ightarrow 1^{-} \Leftrightarrow x < 1 \Leftrightarrow 1 - x > 0

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2} + 1}{1 - x} = + \infty.

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho dãy số \left( u_{n} ight)xác định bởi \left\{\begin{matrix}u_{n} = \dfrac{1}{2} \\u_{n + 1} = \dfrac{1}{2 - u_{n}},n \geq 1 \\\end{matrix} ight.. Tính \lim u_{n}.

    Giả sử \lim u_{n} = a khi đó ta có:

    \begin{matrix} a = \lim {u_{n + 1}} = \lim \left( {\dfrac{1}{{2 - {u_n}}}} ight) = \dfrac{1}{{2 - a}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a e 2} \\ {a\left( {2 - a} ight) = 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a e 2} \\ {{a^2} - 2a + 1 = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow a = 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{3} - 4x^{2} + 3}{x - 1}\ \ \ \ khi\ x eq 1 \\ax + \dfrac{5}{2}\ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Xác định a để hàm số liên tục trên \mathbb{R}?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left( x^{2} - 3x - 3 ight)}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\left( x^{2} - 3x - 3 ight) = - 4

    f(1) = a + \frac{5}{2}

    Hàm số liên tục trên \mathbb{R} khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 1

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 1}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow - 5 = a + \frac{5}{2} \Rightarrow a = - \frac{15}{2}

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{x};x > 0} \\ {mx + m + \dfrac{1}{4};x \leqslant 0} \end{array}} ight. với m là tham số. Tính giá trị của tham số m để hàm số có giới hạn tại x = 0.

    Hàm số có giới hạn tại x = 0

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x)

    \Leftrightarrow \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\left( mx + m + \frac{1}{4} ight)

    \Leftrightarrow \frac{1}{4} = m + \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho c là hằng số, k là một số nguyên dương. Quy tắc nào sau đây sai?

    Ta có \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0 với k là một số nguyên dương.

  • Câu 10: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \lim_{x ightarrow 3}\left( x^{2} - x + 3 ight) = 9. Đúng||Sai

    b) Biết rằng \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 2, \lim_{x ightarrow 1}g(x) = 4. Khi đó \lim_{x ightarrow 1}\left( 3f(x) - 5g(x) ight) = - 13. Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{4x +1} - 3}{x^{2} - 4} = 1. Sai||Đúng

    d) Biết \lim_{x ightarrow 2}\frac{2x^{2} - ax + 4}{x^{2} - 3x + 2} = b(với a;b\mathbb{\in R}). Khi đó a^{2} + b^{2} = 40. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \lim_{x ightarrow 3}\left( x^{2} - x + 3 ight) = 9. Đúng||Sai

    b) Biết rằng \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 2, \lim_{x ightarrow 1}g(x) = 4. Khi đó \lim_{x ightarrow 1}\left( 3f(x) - 5g(x) ight) = - 13. Sai||Đúng

    c) \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{4x +1} - 3}{x^{2} - 4} = 1. Sai||Đúng

    d) Biết \lim_{x ightarrow 2}\frac{2x^{2} - ax + 4}{x^{2} - 3x + 2} = b(với a;b\mathbb{\in R}). Khi đó a^{2} + b^{2} = 40. Đúng||Sai

    a) Đúng.

    Vì \lim_{x ightarrow 3}\left( x^{2} - x + 3 ight) = 3^{2} - 3 + 3 = 9

    b) Sai.

    Vì \lim_{x ightarrow 1}\left( 3f(x) - 5g(x) ight) = 3.2 - 5.4 = - 14

    c) Sai.

    Vì \lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{4x + 1} - 3}{x^{2} - 4} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{4x + 1 - 9}{(x - 2)(x + 2)(\sqrt{4x + 1} + 3)}

    = \lim_{x ightarrow 2}\frac{4}{(x + 2)(\sqrt{4x + 1} + 3)} = \frac{1}{6}

    d) Đúng.

    Xét thấy x = 2 là nghiệm của phương trình x^{2} - 3x + 2 = 0 (mẫu số) nên x = 2 cũng là một nghiệm của phương trình 2x^{2} - ax + 4 = 0 (tử số) \Rightarrow a = 6.

    Khi đó:

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{2x^{2} - ax +4}{x^{2} - 3x + 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{2x^{2} - 6x + 4}{x^{2}- 3x + 2} = 2.

    Vậy a = 6;b = 2 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 36 + 4 = 40.

  • Câu 11: Nhận biết

    Tính giới hạn \lim\sqrt{\frac{2n + 9}{n + 2}},\left( n \in \mathbb{N}^{*} ight)

    Ta có: \lim\sqrt{\frac{2n + 9}{n + 2}} =\lim\sqrt{\dfrac{2 + \dfrac{9}{n}}{1 + \dfrac{2}{n}}} = \sqrt{\frac{2 +0}{1 + 0}} = \sqrt{2}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Giá trị của D = \lim\frac{n^{3} - 3n^{2} + 2}{n^{4} + 4n^{3} + 1} bằng:

    D = \lim\frac{n^{3} - 3n^{2} + 2}{n^{4} + 4n^{3} + 1}

    = \dfrac{\dfrac{1}{n} - \dfrac{3}{n^{2}} +\dfrac{2}{n^{4}}}{1 + \dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{n^{4}}} = \dfrac{0}{1} =0

  • Câu 13: Thông hiểu

    Số điểm gián đoạn của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \begin{matrix} x^{2} + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ 0 \leq x \leq 2 \\ 3x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > 2 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight. là:

    Hàm số xác định trên \mathbb{R}

    Dễ thấy hàm số liên tục trên mỗi khoảng ( - \infty;0),(0;2),(2; + \infty)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {2x} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix} ight.

    => Hàm số gián đoạn tại x = 0

    Ta lại có: \left\{ \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} + 1} ight) = 5 \hfill \\ f\left( 2 ight) = 5 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {3x - 1} ight) = 5 \hfill \\ \end{matrix} ight.

    => Hàm số liên tục tại x = 2

    Vậy có 1 điểm gián đoạn.

  • Câu 14: Nhận biết

    Hàm số y = \frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4 ight)} liên tục tại điểm nào dưới đây?

    Hàm số y = \frac{- 5}{x\left( x^{2} - 4 ight)} có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 2;0;2 ight\}

    Theo lí thuyết ta có hàm phân thức luôn liên tục trên tập xác định D.

    Khi đó x = 1 \in D suy ra hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 1.

  • Câu 15: Vận dụng

    Tìm giá trị thực của m để hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x e 2} \\ {{\text{m khi }}x = 2} \end{array}} ight. liên tục tại x=2.

    Tập xác định của hàm số: D = \mathbb{R} chứa x=2

    Theo giả thiết thì ta phải có:

    \begin{matrix} f\left( 2 ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} ight) = 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy m=3

  • Câu 16: Nhận biết

    Tính \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{- x^{2} + 5}{x - 3}.

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( { - {x^2} + 5} ight) = - 4 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 3} ight) = 0 \hfill \\ x - 3 > 0,\forall x > 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Do đó \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{- x^{2} + 5}{x - 3} = - \infty

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tính giới hạn \lim\frac{5^{n + 1} - 4^{n} + 1}{2.5^{n} -6^{n}}.

    Ta có:

    \lim\dfrac{5^{n + 1} - 4^{n} + 1}{2.5^{n}- 6^{n}} = \lim\dfrac{\dfrac{5^{n + 1} - 4^{n} + 1}{6^{n}}}{\dfrac{2.5^{n}- 6^{n}}{6^{n}}}

    = \lim\dfrac{5.\left( \dfrac{5}{6}ight)^{n} - \left( \dfrac{2}{3} ight)^{n} + \left( \dfrac{1}{6}ight)^{n}}{2.\left( \dfrac{5}{6} ight)^{n} - 1} = 0

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,353535 . . . được biểu diễn bởi phân số tối giản \frac{m}{n}. Tính P = mn

    Ta có:

    \begin{matrix} 0,353535 = 0,35 + 0,0035 + ... \hfill \\ = \dfrac{{35}}{{{{10}^2}}} + \dfrac{{35}}{{{{10}^4}}} + ... + \dfrac{{35}}{{{{10}^n}}} + ... \hfill \\ \end{matrix}

    Dãy số \frac{35}{10^{2}};\frac{35}{10^{4}};...;\frac{35}{10^{n}};... là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là u_{1} = \frac{35}{10^{2}}, công sai là q = 10^{- 2}

    => S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} =\dfrac{\dfrac{35}{10^{2}}}{1 - 10^{- 2}} = \dfrac{35}{99}

    Vậy 0,353535 = \frac{35}{99}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 35 \\ n = 99 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = 3465

  • Câu 19: Thông hiểu

    Giá trị của B = \lim\frac{4n^{2} + 3n + 1}{(3n - 1)^{2}\ } bằng:

    B = \lim\frac{4n^{2} + 3n + 1}{(3n - 1)^{2}\ }

    = \lim\frac{4n^{2} + 3n + 1}{{9n}^{2} -6n + 1 }

    = \lim\frac{4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{9 -\frac{6}{n} + \frac{1}{n^{2}}} = - \frac{4}{9}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tính giới hạn A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left( \frac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight).

    Ta có:

    A = \lim_{x ightarrow + \infty}\left(\dfrac{3x^{4} - 2x + 3}{5x^{4} + 3x + 1} ight)

    A = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x^{4}\left( 3 - \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}ight)}{x^{4}\left( 5 + \dfrac{3}{x^{3}} + \dfrac{1}{x^{4}}ight)}

    A = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3- \dfrac{2}{x^{3}} + \dfrac{3}{x^{4}}}{5 + \dfrac{3}{x^{3}} +\dfrac{1}{x^{4}}} = \dfrac{3}{5}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 64 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập