Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{\left( 6\sqrt{x + 8} - x - 17 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x^{2} + 2x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 2)(x - 1)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- (x - 1)^{2}}

    = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{(x - 2)\left( 6\sqrt{x + 8} + x + 17 ight)}{- x + 1}

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 2} ight)\left( {6\sqrt {x + 8} + x + 17} ight) = - 36 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - x + 1} ight) = 0 \hfill \\ - x + 1 < 0,\forall x > 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    =>  \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x^{2} - 3x + 2}{6\sqrt{x + 8} - x - 17} = + \infty

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tìm giá trị của tham số m để hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} & \ khi\ x eq 2 \\ m & \ khi\ x = 2 \\ \end{matrix} ight. liên tục trên \mathbb{R}.

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Tìm giá trị của tham số m để hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} & \ khi\ x eq 2 \\ m & \ khi\ x = 2 \\ \end{matrix} ight. liên tục trên \mathbb{R}.

    Đáp án: 3

    Phần giải chi tiết

    Tập xác định \mathcal{D} = \mathbb{R}.

    Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng ( - \infty;2),(2; + \infty).

    Ta có \left\{ \begin{matrix} f(2) = m \\ \lim_{x ightarrow 2}f(x) = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 1) = 3. \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} khi và chỉ khi f(2) = \lim_{x ightarrow 2}f(x) \Leftrightarrow m = 3.

  • Câu 3: Nhận biết

    \lim\left( - n^{4} - 50n + 11 ight) bằng

    Ta có:

    \lim\left( - n^{4} - 50n + 11 ight)

    = \lim\left\lbrack n^{4}\left( - 1 - \frac{50}{n^{3}} + \frac{11}{n^{4}} ight) ightbrack = - \infty

  • Câu 4: Nhận biết

    Giới hạn L = \lim\frac{3n - 1}{n + 2} bằng:

    Sử dụng máy tính cầm tay ta được:

    L = \lim\frac{3n - 1}{n + 2} = 3

  • Câu 5: Thông hiểu

    Giá trị của A = \lim\frac{2n^{2} + 3n + 1}{3n^{2} - n + 2} bằng:

    Ta có:

    A = \lim\frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} = \frac{2}{3}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3x +2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{3 + \dfrac{2}{x}}{1 -\dfrac{1}{x}} = \dfrac{3 + 0}{1 - 0} = 3

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hàm số f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2}}}{x}{\text{ khi }}x < 1,x e 0} \\ \begin{gathered} {\text{0 khi }}x = 0 \hfill \\ \sqrt x {\text{ khi }}x \geqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight.. Hàm số f(x) liên tục tại:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Dễ thấy hàm số y = f(x) liên tục trên mỗi khoảng ( - \infty;0),(0;1);(1; + \infty)

    Ta có:

    f(0) = 0

    \lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}\frac{x^{2}}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{-}}(x) = 0

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{x^{2}}{x} = \lim_{x ightarrow 0^{+}}(x) = 0

    Vậy hàm số liên tục tại x = 0

    Tương tự ta có:

    f(1) = 1

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{x^{2}}{x} = \lim_{x ightarrow 1^{-}}(x) = 1

    \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\sqrt{x} = 1

    Vậy hàm số liên tục tại x = 1

    Vậy hàm số đã cho liên tục trên tập số thực.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tính giới hạn B = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( 2x^{2} - x^{2} + x - 3 ight).

    Ta có:

    B = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( 2x^{2} - x^{2} + x - 3 ight)

    B = \lim_{x ightarrow - \infty}\left\lbrack x^{3}\left( 2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} ight) ightbrack

    Ta lại có:

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - \dfrac{3}{{{x^3}}}} ight) = 2 > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow B = \lim_{x ightarrow - \infty}\left( 2x^{2} - x^{2} + x - 3 ight) = - \infty

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Rút gọn S = 1 - {\sin ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^6}x + ... + {( - 1)^n}.{\sin ^{2n}}x + ... với \sin x e \pm 1

    Ta có: 

     S = 1 - {\sin ^2}x + {\sin ^4}x - {\sin ^6}x + ... + {( - 1)^n}.{\sin ^{2n}}x + ... là một dãy cấp số nhân với {u_1} = 1,q = - {\sin ^2}x nên

    S = \frac{1}{{1 + {{\sin }^2}x}}

  • Câu 10: Thông hiểu

    \lim\sqrt{4-\frac{\cos2n}{n}} bằng số nào sau đây?

    Ta có: 0 \leqslant \left| {\frac{{\cos 2n}}{n}} ight| \leqslant \frac{1}{n} \to 0

    \Rightarrow \lim \sqrt {4 - \frac{{\cos 2n}}{n}} = 2

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho f(x) là một đa thức thỏa mãn \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{x - 1} = 24. Tính giá trị

    F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{(x - 1)\left( \sqrt{2f(x) + 4} + 6 ight)}

    Ta có: \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{x - 1} = 24 \Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}\left\lbrack f(x) - 16 ightbrack = 0

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 16

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{\sqrt{2f(x) + 4} + 6} = \frac{1}{12}

    Khi đó

    F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{(x - 1)\left\lbrack \sqrt{2f(x) + 4} + 6 ightbrack}

    F = \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) - 16}{x - 1}.\lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{\sqrt{2f(x) + 4} + 6} = 24.\frac{1}{12} = 2

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=x^{3}-3x-1. Số nghiệm của phương trình f(x)  =0 trên \mathbb{R} là:

    Hàm số f(x)=x^{3}-3x-1 là hàm đa thức có tập xác định là \mathbb{R} nên liên tục trên \mathbb{R}

    => Hàm số liên tục trên mỗi khoảng \left( { - 2; - 1} ight),\left( { - 1;0} ight),\left( {0;2} ight)

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 2} ight) = - 3} \\ {f\left( { - 1} ight) = 1} \end{array} \Rightarrow } ight.f\left( { - 2} ight).f\left( { - 1} ight) < 0 => Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \left( { - 2; - 1} ight)

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 1} ight) = 1} \\ {f\left( 0 ight) = - 1} \end{array} \Rightarrow } ight.f\left( { - 1} ight).f\left( 0 ight) < 0=> Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \left( { - 1; 0} ight)

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 2 ight) = 1} \\ {f\left( 0 ight) = - 1} \end{array} \Rightarrow } ight.f\left( 2 ight).f\left( 0 ight) < 0=> Hàm số có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \left( { 0; 2} ight)

    Vậy phương trình f(x) =0 có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng \left( { -2; 2} ight)

    Mặt khác phương trình f(x) =0 là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm

    => Phương trình f(x) =0 có đúng ba nghiệm trên \mathbb{R}

  • Câu 13: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \sqrt{3 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 4}} liên tục trên:

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix} 3 - x \geq 0 \\ x + 4 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq - 3 \\ x > - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Tập xác định D = ( - 4;3brack

    => Hàm số liên tục trên ( - 4;3brack

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

    Hỏi hàm số f(x) không liên tục tại điểm nào sau đây?

    Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: \left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) = 3 \\ \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy \lim_{x ightarrow 1^{-}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) nên không tồn tại \lim_{x ightarrow 1}f(x). Do đó hàm số gián đoạn tại x_{0} = 1.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tính giới hạn \lim\dfrac{4.3^{n} + 7^{n + 1}}{2.5^{n} +7^{n}}.

    Ta có:

    \lim\dfrac{4.3^{n} + 7^{n + 1}}{2.5^{n} +7^{n}} = \lim\dfrac{\dfrac{4.3^{n} + 7^{n + 1}}{7^{n}}}{\dfrac{2.5^{n} +7^{n}}{7^{n}}}

    = \lim\dfrac{4.\left( \dfrac{3}{7}ight)^{n} + 7}{2.\left( \dfrac{5}{7} ight)^{n} + 1} = 7

  • Câu 16: Nhận biết

    Nếu hàm số f(x) thỏa mãn \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 3 thì \lim_{x ightarrow 1}3f(x) bằng

    Ta  có:

    \lim_{x ightarrow 1}3f(x) = 3\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 9.

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight. liên tục trên \mathbb{R}. Khi đó

    a) f( - 5) = 12;f(10) = 27. Đúng||Sai

    b) m > 0,\ \ n > 0. Sai||Đúng

    c) 2m + n là số nguyên tố. Sai||Đúng

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số y = m.\sin x+ n.\cos x là \sqrt{12}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + mx + n\ \ \ khi\ \ \ \ x < - 5\ \ \\ x + 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ \ \ - 5 \leq x \leq 10 \\ mx + n + 10\ \ \ \ khi\ \ \ \ x > 10 \\ \end{matrix} ight. liên tục trên \mathbb{R}. Khi đó

    a) f( - 5) = 12;f(10) = 27. Đúng||Sai

    b) m > 0,\ \ n > 0. Sai||Đúng

    c) 2m + n là số nguyên tố. Sai||Đúng

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số y = m.\sin x+ n.\cos x là \sqrt{12}. Sai||Đúng

    a) Đúng.

    Ta có : f( - 5) = - 5 + 17 = 12, f(10) = 10 + 17 = 27 (mệnh đề a) đúng)

    b) Sai.

    Với x < - 5 ta có f(x) = x^{2} + mx + n, là hàm đa thức nên liên tục trên ( - \infty; - 5).

    Với - 5 < x < 10 ta có f(x) = x + 17, là hàm đa thức nên liên tục trên (-5; 10).

    Với x > 10 ta có f(x) = mx + n + 10, là hàm đa thức nên liên tục trên (10 ;+\infty).

    Để hàm số liên tục trên \mathbb{R} thì hàm số phải liên tục tại x = - 5 và x = 10.

    Ta có:

    f( - 5) = 12;f(10) = 27.

    \lim_{x ightarrow - 5^{-}}f(x) =\lim_{x ightarrow - 5^{-}}\left( x^{2} + mx + n ight) = - 5m + n + 25.

    \lim_{x ightarrow - 5^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow - 5^{+}}(x + 17) = 12.

    \lim_{x ightarrow 10^{-}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{-}}(x + 17) = 27.

    \lim_{x ightarrow 10^{+}}f(x) = \lim_{x ightarrow 10^{+}}(mx + n + 10) = 10m + n + 10.

    Hàm số liên tục tại x = - 5 và x = 10 khi

    \left\{ \begin{matrix}- 5m + n + 25 = 12 \\10m + n + 10 = 27 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 5m + n = - 13 \\10m + n = 17 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = 2 \ = - 3 \\\end{matrix} ight. (mệnh đề b) sai).

    c) Sai.

    Ta có 2m + n = 1 không phải số nguyên tố (mệnh đề c) sai).

    d) Sai.

    Ta có: y = m.sinx + n.cosx\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y = 2sinx - 3cosx

    Xét phương trình ẩn x:

    2\sin x - 3\cos x = y

    \Leftrightarrow \sin x.\frac{2}{\sqrt{13}} - \cos x.\frac{3}{\sqrt{13}} =\frac{y}{\sqrt{13}}

    \Leftrightarrow \sin x.\cos\alpha - \cos x.\sin\alpha = \frac{y}{\sqrt{13}}, với \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}.

    \Leftrightarrow \sin(x - \alpha) = \frac{y}{\sqrt{13}}

    Ta có

    \left| \sin(x - \alpha) ight| \leq 1

    \begin{matrix} \Rightarrow \left| \frac{y}{\sqrt{13}} ight| \leq 1 \\ \Leftrightarrow - \sqrt{13} \leq y \leq \sqrt{13} \\ \end{matrix}

    Suy ra GTLN của y bằng \sqrt{13} khi \sin(x - \alpha) = 1 hay x = \alpha + \frac{\pi}{2} + k2\pi, với \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}},\ \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}

    Vậy khẳng định d) sai.

  • Câu 18: Vận dụng

    Kết quả của giới hạn \lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + ( - 1)^{n}.cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack bằng:

    Ta có

    \lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + ( -1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack

    = \lim\left\lbrack\frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n} - 1} ightbrack + \lim\left\lbrack \frac{(- 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack

    Khi đó ta có:

    \lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n}}{\sqrt{n} - 1} ightbrack = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}

    0 \leq \left| \frac{( -1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ight| \leq \frac{1}{\sqrt{n} - 1}ightarrow 0 \Rightarrow \lim\frac{( - 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} =0

    Vậy \lim\left\lbrack \frac{\sqrt{3n} + (- 1)^{n}.\cos3n}{\sqrt{n} - 1} ightbrack = \sqrt{3}

  • Câu 19: Nhận biết

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{2x + 1}{x - 1} ight) bằng

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left(\dfrac{2x + 1}{x - 1} ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\left(\dfrac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{1}{x}} ight) = 2

  • Câu 20: Vận dụng

    Hàm số f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - x\cos x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 0} \\ {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}{\text{ }}khi{\text{ }}0 \leqslant x < 1} \\ {{x^3}{\text{ }}khi{\text{ x}} \geqslant {\text{1}}} \end{array}} ight.

    Ta có: f(x) liên tục tại x e 0; x e 1

    Tại x=0 ta có: 

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\cos x} ight) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight)

    Vậy hàm số liên tục tại x=0

    Tại x=1 ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}}} ight) = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3}} ight) = 1 \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x ight) e \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy hàm số bị gián đoạn tại x=1

    Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 41 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập