Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Giới hạn. Hàm số liên tục gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Hàm số nào không liên tục tại x = 2?

    Ta có hàm số y = \frac{x^{2}}{x - 2} không xác định tại x = 2 nên hàm số không liên tục tại x = 2

    NB

  • Câu 2: Vận dụng

    Tính giới hạn \lim\sqrt{2.3^{n} - n + 2}.

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2} \hfill \\ = \lim \sqrt {{3^n}} \sqrt {2 - \dfrac{n}{{{3^n}}} + 2.{{\left( {\dfrac{1}{3}} ight)}^n}} \hfill \\ \end{matrix}

    Vì \left\{ \begin{matrix}\lim\sqrt{3^{n}} = + \infty \\0 \leq \dfrac{n}{3^{n}} \leq \dfrac{n}{C_{2}^{n}} = \dfrac{2}{n - 1}ightarrow 0 \Rightarrow \lim\dfrac{n}{3^{n}} = 0 \\\lim\left( \dfrac{1}{3} ight)^{n} = 0 \\\end{matrix} ight. nên \left\{\begin{matrix}\lim\sqrt{3^{n}} = + \infty \\\lim\sqrt{2 - \dfrac{n}{3^{n}} + 2\left( \dfrac{1}{3} ight)^{n}} =\sqrt{2} > 0 \\\end{matrix} ight.

    Do đó \lim\sqrt{2.3^{n} - n + 2} = + \infty

  • Câu 3: Nhận biết

    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

    Theo nội dung định lý tìm giới hạn, ta có:

    Nếu \lim u_{n} = 0, thì \lim{|u_{n}|} = 0

  • Câu 4: Nhận biết

    Kết quả của giới hạn \lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} bằng

    Có \lim q^{n} = 0 nếu |q| < 1.

    Vì \left| \frac{1}{2} ight| < 1 nên \lim\left( \frac{1}{2} ight)^{n} = 0.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng -1?

    Ta có:

    \lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} - 4}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} - \frac{3}{{{n^3}}}}}{{ - 2 - \frac{4}{{{n^3}}}}} = 0

    \lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^2} - 1}} = \lim \frac{{2 - \frac{3}{{{n^2}}}}}{{ - 2 - \frac{1}{{{n^2}}}}} = - 1

    \lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} + 2{n^2}}} = \lim \frac{{\frac{2}{n} - \frac{3}{{{n^3}}}}}{{ - 2 - \frac{2}{n}}} = 0

    \lim \frac{{2{n^3} - 3}}{{ - 2{n^2} - 1}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {2 - \frac{3}{{{n^3}}}} ight)}}{{ - {n^2}\left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} ight)}} = - \infty

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính giới hạn E = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} - 9}}

    Ta có:

    E = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} - 9}} = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{\sqrt{(x - 3)^{2}}}{\sqrt{(x - 3)(x + 3)}} = \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{\sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 3}} = 0

  • Câu 7: Thông hiểu

    Giá trị của giới hạn \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight) là:

    Ta có:

    \begin{matrix} \lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight) \hfill \\ = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} ight)\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} = \lim \dfrac{{{n^2} - n + 1 - {n^2}}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} ight)}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{ - n + 1}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1} + n}} \hfill \\ = \lim \dfrac{{n\left( { - 1 + \dfrac{1}{n}} ight)}}{{n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + 1} ight)}} = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x)=\begin{cases}\sqrt{6-2x}+1 & \text{ với } x\leq 3 \\ ax & \text{ với } x> 3 \end{cases}. Với giá trị nào của a thì hàm số f(x) liên tục tại x = 3?

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = 3a} \\ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x ight) = 1 \hfill \\ f\left( 3 ight) = 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight.

    Hàm số liên tục tại x=3 khi và chỉ khi 

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x ight) = f\left( 3 ight) = 1

    \Leftrightarrow 3a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}

  • Câu 9: Vận dụng

    Biết f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \in \lbrack 0;4brack \\ 1 + m\ \ \ khi\ x \in (4;6brack \\ \end{matrix} ight. liên tục trên \lbrack 0;6brack. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Dễ thấy f(x) liên tục trên mỗi khoảng (0;4) và (4;6). Khi đó hàm số liên tục trên đoạn \lbrack 0;6brack khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 4;x = 0;x = 6

    Tức là ta cần có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x ight) = f\left( 6 ight) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.\left( * ight)

    Ta có:

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0 \hfill \\ f\left( 0 ight) = \sqrt 0 = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} \left( {1 + m} ight) = 1 + m \hfill \\ f\left( 6 ight) = 1 + m \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \sqrt x = 2 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {1 + m} ight) = 1 + m \hfill \\ f\left( 4 ight) = 1 + m \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Khi đó (*) trở thành 1 + m = 2 \Leftrightarrow m = 1 < 2

  • Câu 10: Thông hiểu

    Tìm a để hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 4}{x - 2}\ \ khi\ x eq 2 \\m^{2} + 3m\ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = 2. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - 4}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 2) = 4

    Để hàm số liên tục tại x = 1 thì m^{2} + 3m = 4 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 4 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 11: Nhận biết

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x(\sqrt {{x^2} + 1} - x) bằng

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} ight) \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} ight)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} ight)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1}} = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Giá trị của A = \lim\frac{2n^{2} + 3n + 1}{3n^{2} - n + 2} bằng:

    Ta có:

    A = \lim\frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} = \frac{2}{3}

  • Câu 13: Vận dụng

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{100} - 2x + 1}{x^{50} - 2x + 1} bằng:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{100} - 2x + 1}{x^{50} - 2x + 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left( x^{100} - 1 ight) - 2(x - 1)}{\left( x^{50} - 1 ight) - 2(x - 1)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left( x^{99} + x^{98} + .... + x + 1 - 2 ight)}{(x - 1)\left( x^{49} + x^{48} + .... + x + 1 - 2 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{99} + x^{98} + .... + x + 1 - 2}{x^{49} + x^{48} + .... + x + 1 - 2} = \frac{98}{48} = \frac{49}{24}

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Cho a, b là các số thực thuộc (-1; 1) và các biểu thức:

    \begin{matrix} P = 1 + a + {a^2} + {a^3} + ... \hfill \\ Q = 1 + b + {b^2} + {b^3} + ... \hfill \\ H = 1 + ab + {a^2}{b^2} + {a^3}{b^3} + ... \hfill \\ \end{matrix}

    Chọn khẳng định đúng.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}P = \dfrac{1}{1 - a} \\Q = \dfrac{1}{1 - b} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 - \dfrac{1}{P} \\b = 1 - \dfrac{1}{Q} \\\end{matrix} ight. khi đó:

    \begin{matrix} H = \dfrac{1}{{1 - ab}} \hfill \\ = \dfrac{1}{{1 - \left( {1 - \dfrac{1}{P}} ight).\left( {1 - \dfrac{1}{Q}} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{PQ}}{{P + Q - 1}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \sqrt{3 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 4}} liên tục trên:

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix} 3 - x \geq 0 \\ x + 4 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq - 3 \\ x > - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Tập xác định D = ( - 4;3brack

    => Hàm số liên tục trên ( - 4;3brack

  • Câu 16: Thông hiểu

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Hàm số f(x) = \frac{2x + 3}{x - 2} liên tục tại x = 2. Sai||Đúng

    b) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack 1;5brack và f(1) = 2;f(5) = 10. Khi đó phương trình f(x) = 7 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;5). Đúng||Sai

    c) Biết \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) + 1}{x - 1} = - 1 khi đó I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = 0 Sai||Đúng

    d) Trong các hàm số y = x^{2};y = \tan x;y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}, có 3 hàm số liên tục trên tập số thực. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Nhận định sự đúng sai của các kết luận sau?

    a) Hàm số f(x) = \frac{2x + 3}{x - 2} liên tục tại x = 2. Sai||Đúng

    b) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack 1;5brack và f(1) = 2;f(5) = 10. Khi đó phương trình f(x) = 7 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;5). Đúng||Sai

    c) Biết \lim_{x ightarrow 1}\frac{f(x) + 1}{x - 1} = - 1 khi đó I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = 0 Sai||Đúng

    d) Trong các hàm số y = x^{2};y = \tan x;y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}, có 3 hàm số liên tục trên tập số thực. Đúng||Sai

    a) Vì không tồn tại f(2) nên hàm số đã cho gián đoạn tại x = 2.

    b) Xét phương trình f(x) = 7 \Rightarrow f(x) - 7 = 0

    Đặt g(x) = f(x) - 7 ta có:

    \left\{ \begin{matrix} g(1) = f(1) - 7 = - 5 \\ g(5) = f(5) - 7 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow g(1).g(5) < 0

    Vậy phương trình đã cho cót ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;5).

    c) Ta có:

    I = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + 1}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{xf(x) + x - x + 1}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x\left\lbrack f(x) + 1 ightbrack - (x - 1)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\left\{ \frac{x\left\lbrack f(x) + 1 ightbrack}{x - 1} ight\} - 1

    = 1.( - 1) - 1 = - 2

    d) Các hàm số liên tục trên tập số thực là y = x^{2};y = \sin x;y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R} với f(x)=\frac{x^{3}-3x+2}{x-1} với mọi xeq 1. Tính f(1)

     Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^3} - 3x + 2}}{{x - 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x + 2} ight){{\left( {x - 1} ight)}^2}}}{{x - 1}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight) = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Do hàm số đã cho xác định và liên tục trên \mathbb{R}

    => Hàm số liên tục tại x = 1

    => \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x ight) = f\left( 1 ight) = 0

  • Câu 18: Nhận biết

    Nếu hàm số f(x) thỏa mãn \lim_{x ightarrow 1}f(x) = 3 thì \lim_{x ightarrow 1}3f(x) bằng

    Ta  có:

    \lim_{x ightarrow 1}3f(x) = 3\lim_{x ightarrow 1}f(x) = 9.

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Biết \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \frac{a}{b}, trong đó a, b\in\mathbb{ Z}. Tính - 106a + b.

    Đáp án: -100||- 100

    Đáp án là:

    Biết \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \frac{a}{b}, trong đó a, b\in\mathbb{ Z}. Tính - 106a + b.

    Đáp án: -100||- 100

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{(x - 1)(x - 2)} + \lim_{x ightarrow 1}\frac{2 - \sqrt{x + 3}}{(x - 1)(x - 2)}.

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{(x - 1)(x - 2)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x + 7 - 2^{3}}{(x - 1)(x - 2)\left\lbrack \sqrt[3]{(x + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x + 7} + 4 ightbrack}.

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{1}{(x - 2)\left( \sqrt[3]{(x + 7)^{2}} + 2\sqrt[3]{x + 7} + 4 ight)} = - \frac{1}{12}.

    Đồng thời:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{2 - \sqrt{x + 3}}{(x - 1)(x - 2)} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{2^{2} - (x + 3)}{(x - 1)(x - 2)(2 + \sqrt{x + 3})}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{- 1}{(x - 2)(2 + \sqrt{x + 3})} = \frac{1}{4}

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 3x + 2} = - \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{6}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 6 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy - 106a + b = - 106 + 6 = - 100.

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hai số thực a,b thỏa mãn \lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 1} = 3. Tính giá trị biểu thức S = a + \frac{b}{4}. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).

    Đáp án: 1,25

    Đáp án là:

    Cho hai số thực a,b thỏa mãn \lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 1} = 3. Tính giá trị biểu thức S = a + \frac{b}{4}. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân).

    Đáp án: 1,25

    Vì \lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 1} = 3 là 1 số hữu hạn và \lim_{x ightarrow 1}(x - 1) = 0 nên \lim_{x ightarrow 1}\left( ax^{2} + bx - 2 ight) = 0 hay a + b - 2 = 0 \Leftrightarrow b = 2 - a.

    Khi đó:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + bx - 2}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{ax^{2} + (2 - a)x - 2}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(ax + 2)}{x - 1} = \lim_{x ightarrow 1}(ax + 2)

    = a + 2 = 3

    \Rightarrow a = 1 suy ra b = 1.

    Vậy S = 1 + \frac{1}{4} = 1,25.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 47 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập