Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

    Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, biết \Delta SAD đều. Tính \cos(BC;SA)?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: BC//AD \Rightarrow (BC;SA) = (AD;SA) = 60^{0}

    \Rightarrow \cos(BC;SA) = \frac{1}{2}.

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa:

    Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).

    Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = 2\sqrt{3} và AA’ = 2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh A’B’, A’C’ và BC. Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AB’C’) và (MNP) bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC và B’C’; I = BM ∩ AB’, J = CN ∩ AC’, E = MN ∩ A’Q.

    Suy ra (MNP) ∩ (AB’C’) = (MNCB) ∩ (AB’C’) = IJ và gọi K = IJ ∩ PE

    => K ∈ AQ, với E là trung điểm của MN.

    (AA’QP) ⊥ IJ => AQ ⊥ IJ, PE ⊥ IJ

    => ((MNP), (AB’C’)) = (AQ, PE) = α.

    Ta có: AP = 3, PQ = 2

    \Rightarrow AQ = \sqrt{13} \Rightarrow QK = \frac{\sqrt{13}}{3}

    PE = \frac{5}{2} \Rightarrow PK = \frac{5}{3}

    \cos\alpha = \left| \cos\widehat{QKP} ight| = \frac{\left| KQ^{2} + KP^{2} - PQ^{2} ight|}{2KQ.KP} = \frac{\sqrt{13}}{65}

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho một khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h lần lượt là 3x^{2};2x. Khi đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B = 3x^{2} \\ h = 2x \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: V = B.h = 3x^{2}.2x = 6x^{3}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).

    Hình vẽ minh họa

    Tính khoảng cách d từ A đến (SCD)

    Gọi H là trung điểm của AB => SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} ight)

    Ta có: AH // CD => d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight) = d\left( {H;\left( {SCD} ight)} ight)

    Gọi M là trung điểm của CD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SM

    \begin{matrix} \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} ight)} ight) = HK \hfill \\ \Rightarrow HK = \dfrac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7} \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = CA = CB. Tính ϕ là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC), biết (SAB) vuông góc với (ABC):

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB

    Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}SH\bot CH \\\widehat{\left( SC,(ABC) ight)} = \widehat{SCH} \\\end{matrix} ight.

    Ta có:

    ∆SAB = ∆CAB (c.c.c)

    => SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H

    Vậy \widehat{\left( SC,(ABC) ight)} =\widehat{SCH} = 45^{0}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho một khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = 2a và AB = 2a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm của AB

    Do tam giác SAB đều suy ra SH\bot AB

    Mà \left\{ \begin{matrix} (SAB)\bot(ABC) \\ SH \subset (SAB) \\ AB \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABC)

    Vậy SH là đường cao của hình chóp

    Khi đó SH = a\sqrt{3}

    Ta có: AB = 2a \Rightarrow BC = 2a

    S_{ABC} = \frac{1}{2}(2a)^{2} = 2a^{2}

    Thể tích khối chóp là: V = \frac{1}{3}S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.2a^{2}.a\sqrt{3} = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho khối chóp tam giác có chiều cao bằng 5, diện tích đáy bằng 6. Thể tích của hình chóp bằng:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B = 6 \\ h = 5 \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối chóp tam giác là V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.6.5 = 10

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)

    Hình vẽ minh họa

    Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)

    Gọi O là tâm hình vuông ABCD => SO \bot \left( {ABCD} ight)

    Vì OA \cap \left( {SCD} ight) = C nên 

    \begin{matrix} \dfrac{{d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} ight)} ight)}} = \dfrac{{AC}}{{OC}} = 2 \hfill \\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight) = 2d\left( {O;\left( {SCD} ight)} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Gọi H là trung điểm của CD => OH \bot CD

    Gọi K là hình chiếu của O trên SH => OK \bot SH (*) 

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {CD \bot OH} \\ {CD \bot SO} \end{array}} ight. \Rightarrow CD \bot \left( {SOH} ight) \Rightarrow CD \bot OK\left( ** ight)

    Từ (*) và (**) 

    \begin{matrix} OK \bot \left( {SCD} ight) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SCD} ight)} ight) = OK \hfill \\ OK = \dfrac{{SO.OH}}{{\sqrt {S{O^2} + O{H^2}} }} \hfill \\ \end{matrix}

    Ta lại có:

    \begin{matrix} SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} \hfill \\ = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} ight)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    \Rightarrow OK = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt {14} }}{2}} ight)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} ight)}^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}

    d\left( {A;\left( {SCD} ight)} ight) = 2.OK = \frac{{2a\sqrt 7 }}{{\sqrt {30} }}

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”

    Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB

    Mặt khác AB ⊥ AD.

    Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có AB = AC, BD = CD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi M là trung điểm của BC.

    Do tam giác ABC và tam giác BCD lần lượt là tam giác cân tại A và tại D

    => BC ⊥ MA, BC ⊥ MD

    => BC ⊥ (ADM)

    => BC ⊥ AD

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2, BC = 1, AA’ = 1. Tính góc giữa AB’ và (BCC’B’).

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}AB\bot BC \\AB\bot BB’ \\\end{matrix} ight.

    => BA ⊥ (BCC’B’)

    Khi đó BB’ là hình chiếu vuông góc của AB’ lên (BCC’B’)

    Hay góc giữa AB’ và (BCC’B’) là \widehat{AB'B}

    Ta có: AB = \sqrt{AC^{2} - BC^{2}} =\sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}

    \tan\widehat{AB'B} =\frac{AB}{BB'} = \sqrt{3}

    Vậy góc giữa AB’ và (BCC’B’) là 600

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA' = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}';AC = a\sqrt 2 ;BC = a;\widehat {ACB} = {135^0}$. Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB. Tính góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’)

    Góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’)

    Trong (ABC) kẻ MN \bot AC \Rightarrow AC \bot \left( {MNC'} ight) ( điểm N thuộc cạnh AC)

    Vậy NC’ là hinh chiếu của MC’ trên mp(ACC’A’)

    Góc giữa MC’ và mp(ACC’A’) là góc \widehat {MC'N}

    Ta có

    \begin{matrix} A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2.AC.BC.\cos \widehat {ACB} = 5{a^2} \hfill \\ \Rightarrow AB = a\sqrt 5 \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên có

    C{M^2} = \frac{{C{A^2} + C{B^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{4} \Rightarrow CM = \frac{a}{2}

    Tam giác CMC’ vuông tại M, nên C'M = \sqrt {C{{C'}^2} - C{M^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}

    Diện tích {S_{\Delta AMC}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{1}{2}MN \cdot AC \Rightarrow MN = \frac{a}{{2\sqrt 2 }}

    Xét tam giác vuông MC’N, có

    \tan \widehat {MC'N} = \frac{{MN}}{{MC'}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {MC'N} = {30^o}

    Vậy góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’) là \widehat {MC'N} = {30^o}

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a có G là trọng tâm và độ dài các cạnhSA = SB = SC = m. Tính độ dài đoạn thẳng GS?

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: SA = SB = SC, G là trọng tâm tam giác ABC

    => G là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)

    Gọi H là trung điểm của BC => BH = CH = \frac{a}{2}

    Xét tam giác ABC đều cạnh a ta có:

    GH = \frac{AH}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6}

    Xét tam giác SBH vuông tại H ta có:

    SH = \sqrt{SB^{2} - HB^{2}} = \sqrt{m^{2} - \frac{a^{2}}{4}}

    Xét tam giác SGH vuông tại G ta có:

    \begin{matrix}SG = \sqrt{SH^{2} - GH^{2}} \hfill \\= \sqrt{m^{2} - \dfrac{a^{2}}{4} - \dfrac{a^{2}}{12}} = \dfrac{\sqrt{9m^{2}- 3a^{2}}}{3} \hfill \\\end{matrix}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB.

    Hình vẽ minh họa:

    Số đo góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

    \begin{matrix} \overrightarrow {SC} \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {CS} .(\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} ) \hfill \\ = \overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CS} .\overrightarrow {CB} \hfill \\ = CS.CA.\cos \widehat {SCA} - CS.CB.\cos \widehat {SCB} \hfill \\ = CS.CA.\dfrac{{S{C^2} + C{A^2} - S{A^2}}}{{2SC.CA}} \hfill \\ - CS.CB.\dfrac{{S{C^2} + C{B^2} - S{B^2}}}{{2SC.CB}} \hfill \\ = \frac{{S{C^2} + C{A^2} - S{A^2}}}{2} - \dfrac{{S{C^2} + C{B^2} - S{B^2}}}{2} = 0 \hfill \\ ({\text{Do }}SA = SB{\text{ v\`a }}CA = CB) \Rightarrow SC \bot AB \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C. Tam giác SAB vuông cân tại S có M là trung điểm của BC và \widehat{BSC} = 60^{0}. Gọi góc giữa hai đường thẳng AB và CM là \alpha. Chọn kết luận đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử SA = a \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} SB = CA = CB = a \\ AB = a\sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.

    Lại có: \widehat{BSC} = 60^{0} suy ra tam giác SBC đều suy ra SC = a

    Suy ra CM = CN = \frac{a\sqrt{3}}{2} hay MN//AB

    Khi đó (AB;CM) = (MN,CM)

    Áp dụng định lí cosin cho tam giác MNC ta có:

    \cos\widehat{CMN} = \frac{MC^{2} + MN^{2} - NC^{2}}{2.MC.MN} = \frac{\sqrt{6}}{6}

    \Rightarrow \cos(AB;CM) = \left| \cos\widehat{CMN} ight| = \frac{\sqrt{6}}{6}

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, SA\bot(ABC). Gọi I là trung điểm của AC, H là hình chiếu của I trên SC. Chọn khẳng định đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BI\bot AC \\ BI\bot SA;\left( SA\bot(ABC) ight) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BI\bot(SAC) \Rightarrow BI\bot SC(1)

    Theo giả thiết ta có: SC\bot IH(2)

    Từ (1) và (2) suy ra SC\bot(BHI)

    Mà SC \subset (SBC) nên (BHI)\bot(SBC)

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a\sqrt{5} và BC = . Tính khoảng cách giữa SD và BC.

    Hình vẽ minh họa:

    Theo giả thiết, suy ra AD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) và CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật), nên theo định lý ba đường vuông góc suy ra CD ⊥ SD. Vì CD cũng vuông góc với BC nên CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.

    CD = \sqrt{AC^{2} - BC^{2}} =\sqrt{5a^{2} - 2a^{2}} = a\sqrt{3}

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có SA\bot(ABC), đáy ABC là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC, J là trung điểm của BM. Chọn khẳng định đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Do tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC nên BC\bot AM

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BC\bot SA \\ BC\bot AM \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAM)

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 98 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập