Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC; SB = SD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S

    => SO ⊥ AC, SO ⊥ BD

    => SO ⊥ (ABCD)

    Dễ thấy:

    SO ⊥ (ABCD)

    AC ⊥ BD

    BD ⊥ (SAC)

    Là những khẳng định đúng.

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK, A’D.

    Hình vẽ minh họa:

    Trong mặt phẳng (CDD’C), gọi P là giao điểm của CK và C’D’

    => KD’ là đường trung bình của ∆PCC’

    => D’ là trung điểm của PC’

    Trong mặt phẳng (A’B’C’D’), gọi M là giao điểm của PB’ và A’D’

    Ta có: A’D // B’C => A’D // (AKB’)

    => d(CK, A’D) = d (A’,(CKB’)) = \frac{1}{2}d(C’,(CPB’))

    Xét tứ diện PCC’B’ ta có:

    C’P, C’B và C’B đôi một vuông góc với nhau

    Đặt d(C’, (CPB’)) = x, thì:

    \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{CC'^{2}}+ \frac{1}{C'B'^{2}} + \frac{1}{C'P^{2}}

    \Rightarrow \frac{1}{x^{2}} =\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{4a^{2}} =\frac{9}{4a^{2}}

    \Rightarrow d\left( C';(CPB')ight) = x = \frac{2a}{3}

    \Rightarrow d(CK;A'D) =\frac{1}{2}d\left( C';(CPB') ight) = \frac{1}{2}.\frac{2a}{3}= \frac{a}{3}

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA\bot(ABC);V_{S.ABC} = \frac{a^{3}}{4}. Tính chiều cao hình chóp S.ABC?

    Ta có:

    SA\bot(ABC) nên SA là chiều cao của hình chóp.

    Do tam giác ABC đều cạnh a nên S_{ABC} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}

    Ta lại có:

    V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}SA.S_{ABC}\Rightarrow SA = \dfrac{3V_{S.ABC}}{S_{ABC}} =\dfrac{3.\dfrac{a^{3}}{4}}{\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}} =a\sqrt{3}

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 600, tam giác SBC là tam giác đều có cạnh bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy (ABC).

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi H là trung điểm của BC => SH ⊥ (ABC)

    Vì SH ⊥ (ABC) => HA là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SAB)

    => \left( SA,(ABC) ight) = (SA,AH) = \widehat{SAH}

    Xét tam giác SBC đều cạnh 2a => SH = a\sqrt{3}

    Tam giác ABC vuông tại A => AH = \frac{BC}{2} = a

    Tam giác SAH vuông nên

    \begin{matrix}\tan\widehat{SAH} = \dfrac{SH}{AH} = \sqrt{3} \hfill\\\Rightarrow \widehat{SAH} = 60^{0} \hfill \\\end{matrix}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu?

    Gọi M là trung điểm của CD

    Vì ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD, OM ⊥ CD

    Ta có:

    \begin{matrix} \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MO} } ight) \hfill \\ = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {MO} = \overrightarrow 0 \hfill \\ \end{matrix}

    => \overrightarrow {CD} \bot \overrightarrow {AO} nên số đo góc giữa AO và CD là 900

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA\bot(ABCD) và đáy là hình vuông. Chọn kết luận đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot BC

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} SA\bot BC \\ AB\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB)

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng 2a, đường cao bằng a\sqrt{2}. Giả sử \left( (SCD);(ABCD) ight) = \alpha. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O = AC \cap BC, M là trung điểm của CD.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} (SCD) \cap (ABCD) = CD \\ OM\bot CD \\ SM\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \alpha = (OM;SM) = \widehat{SMO}

    Trong tam giác SMO có \tan\widehat{SMO} = \frac{SO}{OM} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}

    \Rightarrow \tan\alpha = \sqrt{2}

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

    Mặt khác BC ⊥ AB

    Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB

    Vậy \widehat{\left( SC,(SAB) ight)} =\widehat{(SC,SB)} = \widehat{BSC\ }(vì tam giác SBC vuông tại B)

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?

    Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.

    Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là

    1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD

    2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)

    3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)

    4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)

    5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”

    Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB

    Mặt khác AB ⊥ AD.

    Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)

  • Câu 11: Nhận biết

    Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng 3a?

    Ta có: V = (3a)^{3} = 27a^{3}

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có SA \bot \left( {ABCD} ight) và SA = a\sqrt 3. Đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a,\,AD = a\sqrt 3. Gọi M là trung điểm của CD, góc giữa SA và mặt phẳng (SBM) bằng \alpha . Giá trị \tan \alpha bằng:

    Tính tan của góc giữa SA và mặt phẳng (SBM)

    Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BM và SK.

    Ta có \left\{ \begin{gathered} BM \bot AK \hfill \\ BM \bot SA\left( {V\`i \,SA \bot \left( {ABCD} ight)} ight) \hfill \\ AK,SA \subset \left( {SAK} ight) \hfill \\ AK \cap SA = \left\{ A ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow BM \bot \left( {SAK} ight)

    Mà AI \subset \left( {SAK} ight) \Rightarrow BM \bot AI

    Ta có \left\{ \begin{gathered} AI \bot BM \hfill \\ AI \bot SK \hfill \\ BM,SK \subset \left( {SBM} ight) \hfill \\ BM \cap SK = \left\{ K ight\} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AI \bot \left( {SBM} ight)

    Suy ra hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (SBM) là điểm I. Do đó bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SI và bằng góc \widehat {ASK}.

    Ta có \left\{ \begin{gathered} SA \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ AK \subset \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SA \bot AK

    Tính tan của góc giữa SA và mặt phẳng (SBM)

    Có

    \begin{matrix} {S_{\Delta ABM}} = {S_{ABCD}} - {S_{\Delta AMD}} - {S_{\Delta BMC}} \hfill \\ = {a^2}\sqrt 3 - {a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} - {a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ BM = \sqrt {B{C^2} + M{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có

    \begin{matrix} {S_{\Delta ABM}} = \dfrac{1}{2}AK.BM \hfill \\ \Rightarrow AK = \dfrac{{2{S_{\Delta ABM}}}}{{BM}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{a\dfrac{{\sqrt {13} }}{2}}} = a\dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét tam giác vuông SAK có \tan \widehat {ASK} = \frac{{AK}}{{SA}} = \frac{{a\frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0};\widehat {CAD} = {90^0}. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vecto \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {IJ}?

    Hình vẽ minh họa:

    Hãy xác định góc giữa cặp vecto

    Xét tam giác ICD có J là trung điểm của CD => \overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {ID} } ight)

    Tam giác ABC có AB = AC và \widehat {BAC} = {60^0} => Tam giác ABC đều => CI ⊥ AB

    Tương tự ta chứng minh được tam giác aBD đều => DI ⊥ AB

    Ta có:

    \begin{matrix} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} ) \hfill \\ = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {ID} = 0 \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {IJ} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {IJ} } ight) = {90^0} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều. góc giữa BC và SA là:

    Hình vẽ minh họa

    Vì BC//AD \Rightarrow (BC,SA) = (AD,SA) = 60^{0}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tính thể tích khối lăng trụ trong hình vẽ sau, biết AB = a;AA' = 2a.

    Quan sát hình vẽ ta thấy

    Tam giác ABC đều có cạnh bằng a nên S_{ABC} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}

    Do khối lăng trụ ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên đường cao của lăng trụ là AA' = 2a

    Thể tích khối lăng trụ là V = AA'.S_{ABCD} = 2a.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

    a) \widehat{(AC;AD)} = 90^{0} Đúng||Sai

    b) AH\bot(SBC) Đúng||Sai

    c) \widehat{(SC;HK)} = 90^{0} Đúng||Sai

    d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

    a) \widehat{(AC;AD)} = 90^{0} Đúng||Sai

    b) AH\bot(SBC) Đúng||Sai

    c) \widehat{(SC;HK)} = 90^{0} Đúng||Sai

    d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

    \widehat{(AC;AD)} = 90^{0} đúng

    AH\bot(SBC) đúng

    \widehat{(SC;HK)} = 90^{0} đúng

    Tam giác SBC cân tại B. sai

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc 600. Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

    Hình vẽ minh họa

    Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

    Ta có:

    \begin{matrix} {60^0} = \left( {SB;\left( {ABCD} ight)} ight) = \left( {SB;AB} ight) = \widehat {SBA} \hfill \\ \Rightarrow SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a\sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có: AD // BC => AD // (SBC)

    => d(D,(SBC)) = d(A; (SBC))

    Kẻ AK \bot SB (1)

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot SA} \\ {BC \bot AB} \end{array}} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot AK\left( 2 ight)

    Từ (1) và (2) => AK \bot \left( {SBC} ight)

    \begin{matrix} \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = AK \hfill \\ AK = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    d\left( {D;\left( {SBC} ight)} ight) = AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng 1. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABB') và (CC'D').

    Hình vẽ minh họa

    Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên (ABB')//(CC'D') và BC\bot(ABB'A').

    Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABB') và (CC'D')

    d\left( (ABB'),(CC'D') ight) = d\left( C,(ABB'A') ight) = CB = 1

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA\bot(ABC). Kết luận nào dưới đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} SA\bot(ABC) \\ AC \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot SA

    Mà AC\bot AB \Rightarrow AC\bot(SAB)

    Đồng thời AC \subset (SAC) \Rightarrow (SAC)\bot(SAB)

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc BAD bằng 600, SA = SB = SD = \frac{a\sqrt{3}}{2}. Gọi α là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC). Giá trị sin α bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Theo giả thiết, ABD là tam giác đều.

    Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

    Do SA = SB = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD suy ra SH ⊥ (ABD) hay SH ⊥ (ABCD).

    Do (SBC) ⊥ (SBH) nên từ H kẻ HK ⊥ SB tại K thì HK = d(H, (SBC)) và \frac{1}{HK^{2}} = \frac{1}{HB^{2}} + \frac{1}{HS^{2}}

    => HK = \frac{a\sqrt{15}}{9}

    Mặt khác d(H, (SBC)) = 2/3d(A, (SBC)) = 2/3d(D, (SBC)) => d(D, (SBC)) = \frac{a\sqrt{15}}{6}

    Gọi O là hình chiếu vuông góc của điểm D trên (SBC).

    Khi đó:

    \begin{matrix}\alpha = (SD,SO) = \widehat{DSO} \hfill\\DO = d\left( D;(SBC) ight) = \dfrac{a\sqrt{15}}{6} \hfill\\\end{matrix}

    Xét tam giác SDO vuông tại O có:

    \sin\alpha = \dfrac{DO}{SD} =\dfrac{\dfrac{a\sqrt{15}}{6}}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}} =\dfrac{\sqrt{5}}{3}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 83 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập