Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mệnh đề: “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.” Sai vì nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Mệnh đề: “Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.” sai vì còn trường hợp hai mặt phẳng cắt nhau.

Mệnh đề: “Với mỗi điểm A ∊ (α) và mỗi điểm B ∊ (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với giao tuyến d của (α) và (β).” Sai vì ít nhất nếu cả A và B đều thuộc giao tuyến của (α) và (β) thì AB trùng với (α) ⋂ (β).

Hình vẽ minh họa:

Vì AB // CD ⇒ CD // (SAB)

=> d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB))

Mà AD ⊥ (SAB) => d(D, (SAB)) = AD.

Xét tam giác ABD vuông tại A ta có:

AB² + AD² = BD² = 4a² => AD =

Hình vẽ minh họa

Do nên góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy bằng góc .

Ta có:

Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .

Hình vẽ minh họa

Giả sử

Lại có: suy ra tam giác SBC đều suy ra

Suy ra hay

Khi đó

Áp dụng định lí cosin cho tam giác MNC ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: MN // SB

=>

Do SH ⊥ (ABCD)

Ta có:

=>

Hình vẽ minh họa

Vì là hình lập phương nên và .

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và

Thể tích cần tìm là:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: => BC ⊥ (SAB)

=> SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB)

=>

Mà

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABC) mà BC thuộc (ABC)

=> SA ⊥ BC

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

AB ⊥ BC

=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH

Khi đó: AH ⊥ SB, AH ⊥ BC => AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC

Nếu có: AH ⊥ AC trong khi SA ⊥ AC thì AC ⊥ (SAB)

=> AC ⊥ AB (vô lí)

Từ giả thiết suy ra ABDC là hình thoi nên BC ⊥ AD.

Ta có:

BC ⊥ AD và BC ⊥ SD

=> BC ⊥ (SAD)

=> BC ⊥ SA.

Lại có theo giả thiết IH ⊥ SA => SA ⊥ (HCB) => SA ⊥ BH

Tính được:

Ta có:

=> Tam giác HBC có trung tuyến IH bằng nửa cạnh đáy BC nên hay BH ⊥ HC.

Từ đó suy ra (SAB) ⊥ (SAC). Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SDB) ⊥ (SDC)” là sai.

Ta có:

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.

Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là

1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD

2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)

3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)

4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)

5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)

Từ => AC ⊥ (SBD)

Từ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”

Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB

Mặt khác AB ⊥ AD.

Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)

Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BM và SK.

Ta có

Mà

Ta có

Suy ra hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (SBM) là điểm I. Do đó bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SI và bằng góc .

Ta có

Có

Ta có

Xét tam giác vuông SAK có

Hình ảnh minh họa

Xét tam giác CB'D' có ba cạnh bằng nên tam giác không vuông.

=> B’C và CD’ không vuông góc với nhau.

Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết ta có:

là đường trung bình của tam giác nên

Vì

Hình vẽ minh họa

Do ABCD là hình vuông cạnh bằng x nên

Dễ dàng chứng minh được

Đặt

Tam giác SBC vuông tại B nên

Ta được:

Vậy diện tích hình chóp là:

Gọi H là trung điểm của AC, suy ra SH ⊥ (ABC).

Gọi N là trung điểm của AB, suy ra AB ⊥ (SHN).

Lấy K là giao điểm của AM, SH. Do đó

Theo giả thiết, NK là phân giác của góc

Giả sử:

Mặt khác:

(tính chất phân giác).

Gọi E là trung điểm của CM, theo định lí Ta-lét thì:

Vậy