Cho hình chóp
,
có đáy
là tam giác vuông tại
. Biết rằng
. Gọi
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
. Khi đó:
Hình vẽ minh họa
Ta thấy hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng
là
nên
Mà
Cho hình chóp
,
có đáy
là tam giác vuông tại
. Biết rằng
. Gọi
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
. Khi đó:
Hình vẽ minh họa
Ta thấy hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng
là
nên
Mà
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 600, tam giác SBC là tam giác đều có cạnh bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy (ABC).
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của BC => SH ⊥ (ABC)
Vì SH ⊥ (ABC) => HA là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SAB)
=>
Xét tam giác SBC đều cạnh 2a =>
Tam giác ABC vuông tại A =>
Tam giác SAH vuông nên
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
;
. Tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Kẻ đường thẳng d qua B và song song AC
Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên d
Gọi H là hình chiếu của A lên SM.
Ta có:
Xét tam giác SAM có đường cao AH nên
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hình vuông ABCD =>
Vì nên
Gọi H là trung điểm của CD =>
Gọi K là hình chiếu của O trên SH =>
Ta có:
Từ (*) và (**)
Ta lại có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là
1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD
2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)
3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)
4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)
5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
. Gọi α là góc giữa SC và (SAB). Giá trị tan α bằng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có: => BC ⊥ (SAB)
=> SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB)
=>
Mà
Vậy
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có
. Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB. Tính góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’)

Trong (ABC) kẻ ( điểm N thuộc cạnh AC)
Vậy NC’ là hinh chiếu của MC’ trên mp(ACC’A’)
Góc giữa MC’ và mp(ACC’A’) là góc
Ta có
CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên có
Tam giác CMC’ vuông tại M, nên
Diện tích
Xét tam giác vuông MC’N, có
Vậy góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’) là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên
và vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)
Hình vẽ minh họa:

Do AB // CD =>
Kẻ tại E (1)
Ta có:
Từ (1) và (2) =>
=>
Xét tam giác vuông SAD ta có:
Vậy
Cho hình chóp tam giác
có đáy
vuông tại
,
. Khi đó:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình lập phương
. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên góc giữa hai đường thẳng
và
bằng góc giữa hai đường thẳng
và
và bằng góc
Mà tam giác ACD’ là tam giác đều nên
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = 2, AD = 3, AA’ = 4. Góc giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (A’C’D) là α. Tính giá trị gần đúng của α.
Hình vẽ minh họa:
Phần 1: Xác định góc
Bước 1: Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng:
Trong mặt phẳng (ADD’A’) gọi E là giao điểm của AD’ và A’D.
Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) gọi F là giao điểm của B’D’ và A’C’.
Khi đó EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’D’) và (A’C’D).
Bước 2: Trong mỗi mặt phẳng, ta cần tìm đường thẳng vuông góc với giao tuyến:
Trong mặt phẳng (DA’C’) kẻ A’H ⊥ EF tại H, A’H cắt DC’ tại K.
Ta chứng minh D’H ⊥ EF.
Ta có:
Mặt khác:
Bước 3: Xác định góc giữa hai mặt phẳng:
Ta có:
=> α = ((AB’D’), (DA’C’)) = (D’H, A’H)
Phần 2: Tính góc α:
Ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác A’HD’
Bước 1: Chứng minh tam giác A’HD’ cân:
Trong tam giác A’DC’ ta có EF là đường trung bình, nên suy ra H là trung điểm A’K.
Vì A’D’ ⊥ (DD’C’C) nên A’D’ ⊥ D’K.
Do đó tam giác A’D’K vuông tại D’.
Xét tam giác A’D’K vuông tại D’ có D’K là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên D’H = A’H = A’K/2
Bước 2: Tính độ dài cạnh A’K:
Ta tính đường cao A’K của tam giác ADC’ thông qua diện tích.
Áp dụng định lý Pi – ta - go ta tính được độ dài các cạnh tam giác A’DC’ là:
Sử dụng công thức Hê-rông ta tính được
Mặt khác
Từ đó suy ra D’H = A’H = A’K/2 =
Bước 3: Tính góc α bằng định lý cosin:
Trong tam giác A’HD’ ta có:
Do đó góc giữa hai đường thẳng A’H và D’H bằng 61,60
Vậy α = 61,60
Công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy
và chiều cao
là:
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao
là:
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
,
. Kết luận nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Đồng thời
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Tam giác
đều và
. Tính thể tích của hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Do tam giác SAB đều nên
Lại có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Tính được
Thể tích khối chóp là:
Cho hình lập phương
. Ghép nối các đáp án với nhau.
Cho hình lập phương . Ghép nối các đáp án với nhau.
Hình vẽ minh họa
Ta có: mà
Vì tứ giác là hình vuông nên
Ta có: nên
Ta có: và tam giác
là tam giác đều vì có các cạnh đều bằng đường chéo của các hình vuông bằng nhau. Do đó
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) ,
. Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Lại có:
=>
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình chữ nhật, cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
lần lượt là hình chiếu vuông của
lên
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Lại có:
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông cân tại
. Tam giác
vuông cân tại
có
là trung điểm của
và
. Gọi góc giữa hai đường thẳng
và
là
. Chọn kết luận đúng?
Hình vẽ minh họa
Giả sử
Lại có: suy ra tam giác SBC đều suy ra
Suy ra hay
Khi đó
Áp dụng định lí cosin cho tam giác MNC ta có: