Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình lập phương
có các cạnh bằng
. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Vì là hình lập phương nên
và
.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Mệnh đề: “Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn” sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể là góc vuông.
Mệnh đề: ”Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) khi (Q) // (R) (hoặc mặt phẳng (Q) trùng với mặt phẳng (R))” đúng.
Mệnh đề: “Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) thì (Q) song song với (R)” sai vì hai mặt phẳng (R) và (Q) có thể trùng nhau.
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc (MN; SC) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD là hình vuông cạnh a
=>
=> Tam giác SAC vuông tại S
Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác DSA
=> . Khi đó
=>
Cho tứ diện
có
, các cạnh còn lại bằng nhau và bằng
. Mặt phẳng
chứa cạnh
và vuông góc với cạnh
tại
. Diện tích tam giác
lớn nhất bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Theo giả thiết ta có các tam giác ACD và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 4
Gọi H là trung điểm của AB ta có: và
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC.

+) Ta có:
+) Mặt khác
=>
Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
.

Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì IJ là đường trung bình của tam giác SAC nên
Ta có:
Cho một khối chóp
có đáy
là tam giác vuông cân tại
,
và
. Tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Do tam giác SAB đều suy ra
Mà
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Khi đó
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Trực tâm của tam giác SBC và ABC lần lượt là H và K. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Ta có: BC ⊥ SA, BC ⊥ SH => BC ⊥ (SAH)
CK ⊥ AB, CK ⊥ SA => CK ⊥ (SAB) => CK ⊥ SB
Mặt khác CH ⊥ SB => SB ⊥ (CHK)
Ta có: BC ⊥ (SAH) => BC ⊥ HK
SB ⊥ (CHK) => SB ⊥ HK
=> HK ⊥ (SBC)
Dùng phương pháp loại trừ ta suy ra: BC ⊥ (SAB) là đáp án sai.
Cho hình chóp
có tam giác
đều cạnh
và
. Lấy điểm
bất kì trong không gian. Gọi
là tổng khoảng cách từ điểm
đến tất cả các đường thẳng
. Tính giá trị nhỏ nhất của
?
Cho hình chóp có tam giác
đều cạnh
và
. Lấy điểm
bất kì trong không gian. Gọi
là tổng khoảng cách từ điểm
đến tất cả các đường thẳng
. Tính giá trị nhỏ nhất của
?
Nếu ba vecto
cùng vuông góc với vecto
khác
thì chúng:
"Nếu ba vecto cùng vuông góc với vecto
khác
thì chúng đồng phẳng"
Giải thích:
Giả sử không đồng phẳng, khi đó tồn tại duy nhất bộ số thực
sao cho:
Nhân cả hai vế với ta có:
(Mâu thuẫn với giả thiết)
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC. Tính khoảng các d giữa hai đường thẳng BB' và A'H
Do nên
Ta có:
Nên
Vậy khoảng cách
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
. Tính khoảng cách d từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)
Hình vẽ minh họa

Giả sử O là tâm của tam giác đều ABC
Do S.ABC đều nên =>
Gọi E là trung điểm của BC ta có:
Xét (SAE) kẻ
Ta có:
Ta có:
Xét tam giác vuông SOE ta có:
Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc nào trong các góc dưới đây?
Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu là (m, n) là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
Hình vẽ minh họa:
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.
Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.
Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a ; AD = 2a,
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).

Gọi M là trung điểm của AD.
Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a,
Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a
Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và
Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD
Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC
Ta có: mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.
Ta có:
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.
Xét tam giác ABC vuông tại B có:
Xét tam giác SAC vuông tại A có:
Xét tam giác SAC vuông tại A và nên SAC vuông cân tại A.
Suy ra H là trung điểm SC và
Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).
Ta có: suy ra
Vậy
Cho lăng trụ đứng ABC.A’C’B’ có đáy ABC cân đỉnh A,
, BC’ tạo đáy góc
. Gọi I là trung điểm của AA’, biết
. Tính ![]()
Ta có: vuông tại H (H là trung điểm của BC)
Mà tam giác AIH vuông tại A nên
Tam giác BIC vuông tại I
Thay vào (*) ta được: