Cho hình chóp
,
vuông góc với mặt
. Khi đó, góc hợp giữa đường thẳng
và mặt phẳng
là:
Ta có:
nên hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC) là AB.
Do đó
Cho hình chóp
,
vuông góc với mặt
. Khi đó, góc hợp giữa đường thẳng
và mặt phẳng
là:
Ta có:
nên hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC) là AB.
Do đó
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC =
và BC = . Tính khoảng cách giữa SD và BC.
Hình vẽ minh họa:
Theo giả thiết, suy ra AD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) và CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật), nên theo định lý ba đường vuông góc suy ra CD ⊥ SD. Vì CD cũng vuông góc với BC nên CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.
Cho hình chóp S.ABCD có
và
. Đáy ABCD là hình chữ nhật có
. Gọi M là trung điểm của CD, góc giữa SA và mặt phẳng (SBM) bằng \alpha . Giá trị
bằng:

Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BM và SK.
Ta có
Mà
Ta có
Suy ra hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (SBM) là điểm I. Do đó bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SI và bằng góc .
Ta có

Có
Ta có
Xét tam giác vuông SAK có
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Mệnh đề đúng: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia”.
Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.

Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a
Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.
Tương tự BH ⊥ AC.
Ta có:
Gọi K là trung điểm của DB.
Ta có: ABD cân tại A nên
Và CBD cân tại C nên
Ta có:
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có nên BDH vuông cân tại H.
Từ đó ta có:
Ta có: mà
Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.
Nên ta có: KH là phân giác của góc suy ra
Ta có:
Vậy
Cho tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau. Điểm nào cách đều bốn đỉnh của A, B, C, D của tứ diện ABCD?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> Tam giác ABD vuông tại B.
=> IA = IB = ID = AD/2 (với I là trung điểm của AD)
Ta có:
=> Tam giác BCD vuông tại C.
=> EA = EC = ED = AD/2 (E là trung điểm của AD)
Vậy I trùng với E
Vậy điểm cách đều bốn đỉnh của A, B, C, D của tứ diện ABCD là trung điểm của đoạn thẳng AD.
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh
vuông góc với đáy và
. Tính thể tích khối chóp
đã cho.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp là
Cho tứ diện đều
cạnh bằng
,
là trung điểm của cạnh
. Xác định góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Gọi N là trung điểm của AC thì MN // AB
Suy ra
Ta có:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng:

Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).
Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc
. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SO.
Hình vẽ minh họa:

Ta có suy ra
Mà => ΔSBD đều cạnh
Xét tam giác vuông SAB có:
Gọi E là trung điểm AD, suy ra và
Do đó
Kẻ
Ta có:
Từ (1) và (2)
=>
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.
Gọi . Do
nên suy ra
(vì
)
Kẻ ta có:
Từ (1) và (2) , khi đó
Khối chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
,
. Mặt phẳng
tạo với mặt phẳng đáy một góc
. Xác định thể tích khối chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB cân tại S nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho tứ diện đều
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của BD.
Ta có: lần lượt là đường trung bình của tam giác
.
Do đó:
Vì là tứ diện đều
nên tam giác
là tam giác đều.
Cho hình chóp
có tam giác
đều cạnh
và
. Lấy điểm
bất kì trong không gian. Gọi
là tổng khoảng cách từ điểm
đến tất cả các đường thẳng
. Tính giá trị nhỏ nhất của
?
Cho hình chóp có tam giác
đều cạnh
và
. Lấy điểm
bất kì trong không gian. Gọi
là tổng khoảng cách từ điểm
đến tất cả các đường thẳng
. Tính giá trị nhỏ nhất của
?
Cho hình chóp
. Biết rằng
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi D là trung điểm của AB, vì tam giác SAB cân tại S và tam giác ABC cân tại C nên .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) ,
. Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Lại có:
=>
Cho hình lập phương
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Tính
của góc giữa hai đường thẳng
và
ta được kết quả là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a, a > 0
Ta có:
Tính được
Trong tam giác B’CI ta có:
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AB và α là góc tạo bởi đường MC’ và mặt phẳng (ABC). Khi đó tan α bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: CM là hình chiếu của C’M lên (ABC)
=> Góc giữa MC’ và (ABC) là góc giữa MC’ và MC.
Xét tam giác MCC’ vuông tại C ta có:
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)