Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (P) ⊃ a, (P) // b và (Q) ⊃ b, (Q) // a thì (P) // (Q).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Trong trường hợp a và b vuông góc nhau và chéo nhau, nếu (P) ⊃ a, (P) // b và (Q) ⊃ b, (Q) // a thì (P) // (Q).
Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh
và
. Tính góc giữa hai đường thẳng AD và BC.
Hình vẽ minh họa
Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh DC, DB, AB.
Khi đó: .
Xét .
Ta có .
Xét . (1)
Xét , ta có:
. (2)
Từ là tam giác đều
.
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
Khoảng cách từ
đến mp
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có nên
.
Trong không gian cho đường thẳng
và điểm
. Qua điểm
có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với
?
Trong không gian có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo góc (IJ; CD) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD
=> OJ là đường trung bình của tam giác BCD =>
Vì CD // OJ => (IJ; CD) = (IJ; OJ)
Xét tam giác IOJ có: => Tam giác IOJ đều
Vậy (IJ; CD) = (IJ; OJ) =
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 600, tam giác SBC là tam giác đều có cạnh bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy (ABC).
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của BC => SH ⊥ (ABC)
Vì SH ⊥ (ABC) => HA là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SAB)
=>
Xét tam giác SBC đều cạnh 2a =>
Tam giác ABC vuông tại A =>
Tam giác SAH vuông nên
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và BD.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
OC ⊥ BD
OC ⊥ CC’
=> OC là đoạn vuông góc chung của CC’ và BD.
Vậy d(CC’, BD) = OC = AC/2 = 2a/2 = a
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh
vuông góc với đáy và
. Tính thể tích khối chóp
đã cho.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp là
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình hộp chữ nhật
có
(như hình vẽ)

Gọi
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng đáy
. Khi đó:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Lại có:
Xét tam giác ta có:
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình chữ nhật, cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
lần lượt là hình chiếu vuông của
lên
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Lại có:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB = 3, AD = 4,
. Cạnh bên
vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, AD và BC, α là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MNP). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=>
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống (SCD), K là hình chiếu của H xuống SC
=>
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600. Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)
Hình ảnh minh họa

Gọi O là tâm ABCD =>
Ta có:
Gọi M là trung điểm của BC, kẻ OK vuông góc với SM (1)
Ta có:
Xét tam giác vuông SOM ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 2BC = 2AB = 2a, SA = 2a và SA vuông góc với ABCD. Gọi M là trung điểm SB và
là góc tạo bởi đường thẳng MD và mặt phẳng (SCD). Khi đó
bằng:

Ta có tam giác SAB vuông tại A nên
Ta có:
Xét tam giác MDA vuông tại A theo định lí Pytago ta có:
Ta có
Gọi N là giao của AB và CD. Gọi P là trung điểm AD nên ABCP là hình vuông
=>
Ta có (hai đường chéo hình vuông)
Mặt khác BP // CD.
Do đó tam giác ACD vuông tại nên tam giác ACN vuông tại C, mặt khác nên B là trung điểm AN.
Ta có AB giao (SCB) tại N nên
Ta có
Trong (SAC) kẻ
Xét tam giác SAC vuông tại A nên
Do đó
Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề sai: “Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.”
Vì qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Cho một khối lăng trụ đứng như hình vẽ:

Biết đáy
là hình thoi cạnh bằng a,
. Tính thể tích
của lăng trụ đứng đã cho?
Kí hiệu hình vẽ như sau:
Gọi giao điểm của AC và BD là I
Ta có:
Xét tam giác vuông BAI vuông tại I ta có:
Diện tích hình bình hành ABCD là:
Vậy
Cho hình chóp tứ giác đều
có đáy là hình vuông
cạnh
. Gọi
là giao điểm hai đường chéo
. Biết rằng
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Suy ra tam giác SCD đều.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy, I là trung điểm của AC, H là hình chiếu của I trên SC. Kí hiệu d(a, b) là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> d(SA, BC) = AB
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có: