Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

=> H là hình chiếu của M trên (P) nên từ MA = MB = MC

=> HA = HB = HC

=> Khi đó đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa:

Ta có BC // B’C’ => BC // (AB’C’)

=> d(BC, AB’) = d(BC, (AB’C’)) = d(B, (AB’C’)) = d(A’ ,(AB’C’))

Gọi I và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ trên B’C’ và AI

Ta có: B’C’⊥ A’I và B’C’⊥ A’A nên B’C’⊥ (A’AI) => B’C’⊥ A’H

Mà AI ⊥ A’H

=> (AB’C’) ⊥ A’H.

Khi đó:

Vậy khoảng cách cần tìm là

Lời giải đã cho là lời giải đúng

Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm của đáy

Lấy M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.

Kẻ

Có

Ta có:

Khi đó

Trong tam giác SON vuông tại O, có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> Hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (SAD) là SA

=>

Xét tam giác SAB vuông ta có:

Hình vẽ minh họa:

Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy

Mà ∆SBA vuông cân tại A nên

(1) Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q). ---> đúng

(2) Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q). ---> sai

(3) Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q). ---> đúng

(4) Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (P). ---> sai

Ta có:

Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

Mệnh đề đúng: “Cho đường thẳng , mọi mặt phẳng thì ”.

Minh họa bằng hình vẽ:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> AB ⊥ (SBC)

Suy ra hình chiếu của SA lên (SBC) là SB

=>

Trong tam giác SCB vuông tại C, ta có:

Trong tam giác SBA vuông tại B, ta có:

Vậy tan góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC) là

Hình vẽ minh họa:

Phần 1: Xác định góc

Bước 1: Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng:

Trong mặt phẳng (ADD’A’) gọi E là giao điểm của AD’ và A’D.

Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) gọi F là giao điểm của B’D’ và A’C’.

Khi đó EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’D’) và (A’C’D).

Bước 2: Trong mỗi mặt phẳng, ta cần tìm đường thẳng vuông góc với giao tuyến:

Trong mặt phẳng (DA’C’) kẻ A’H ⊥ EF tại H, A’H cắt DC’ tại K.

Ta chứng minh D’H ⊥ EF.

Ta có:

Mặt khác:

Bước 3: Xác định góc giữa hai mặt phẳng:

Ta có:

=> α = ((AB’D’), (DA’C’)) = (D’H, A’H)

Phần 2: Tính góc α:

Ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác A’HD’

Bước 1: Chứng minh tam giác A’HD’ cân:

Trong tam giác A’DC’ ta có EF là đường trung bình, nên suy ra H là trung điểm A’K.

Vì A’D’ ⊥ (DD’C’C) nên A’D’ ⊥ D’K.

Do đó tam giác A’D’K vuông tại D’.

Xét tam giác A’D’K vuông tại D’ có D’K là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên D’H = A’H = A’K/2

Bước 2: Tính độ dài cạnh A’K:

Ta tính đường cao A’K của tam giác ADC’ thông qua diện tích.

Áp dụng định lý Pi – ta - go ta tính được độ dài các cạnh tam giác A’DC’ là:

Sử dụng công thức Hê-rông ta tính được

Mặt khác

Từ đó suy ra D’H = A’H = A’K/2 =

Bước 3: Tính góc α bằng định lý cosin:

Trong tam giác A’HD’ ta có:

Do đó góc giữa hai đường thẳng A’H và D’H bằng 61,6⁰

Vậy α = 61,6⁰

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của . Suy ra

Kẻ

Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC

Do đó

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

Mặt khác BC ⊥ AB

Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB

Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)

Ta có nên A’H là đường cao của lăng trụ.

Kẻ (K thuộc đoạn AC)

Kẻ

Suy ra

Khi đó

+) Do tam giác MCB cân tại B nên

+) Mặt khác, góc giữa cạnh bên A’A và mặt đáy bằng (theo giả thiết)

Và BM = AM = AB = a

=> Tam giác AMB là tam giác đều cạnh a

Vì vậy,

+ Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2

+ Gọi N là trung điểm AB suy ra

+ Gọi

Gọi

+ Ta có

+ Ta có 

+ Gọi NH là đường cao

+ Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ

+ Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó

Ta có: