Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Góc giữa cặp vecto
là:
Hình vẽ minh họa:

Ta có tam giác ACF là tam giác đều
=> Góc giữa cặp vecto là:
Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Góc giữa cặp vecto
là:
Hình vẽ minh họa:

Ta có tam giác ACF là tam giác đều
=> Góc giữa cặp vecto là:
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥(ABC). Biết α là góc giữa SB và mặt phẳng (ABC). Xác định góc α.
Hình vẽ minh họa:
Ta có SA ⊥(ABC) => Hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AB.
=> Góc giữa đường thẳng SB và (ABC) là góc giữa hai đường thẳng SB và AB
Tức là
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
,
. Tính chiều cao hình chóp
?
Ta có:
nên SA là chiều cao của hình chóp.
Do tam giác ABC đều cạnh a nên
Ta lại có:
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA = x và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau một góc 600.
Hình vẽ minh họa:
Từ A kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB).
Ta có:
Mà AH ⊥ SB suy ra AH ⊥ (SBC).
Từ A kẻ AK vuông góc với SD (K ∈ SD), tương tự, chứng minh được AK ⊥ (SCD).
Khi đó SC ⊥ (AHK) suy ra ((SBC); (SCD)) = (AH; AK) = = 600.
Lại có ∆SAB = ∆SAD => AH = AK mà = 600 suy ra tam giác AHK đều.
Tam giác SAB vuông tại S ta có:
Vì HK // BD suy ra
=> x = a
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>
Cho hình hộp chữ nhật
có
(như hình vẽ)

Gọi
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng đáy
. Khi đó:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Lại có:
Xét tam giác ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)
Từ => AC ⊥ (SBD)
Từ => BD ⊥ (SAC)
Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.
Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên
và vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)
Hình vẽ minh họa:

Do AB // CD =>
Kẻ tại E (1)
Ta có:
Từ (1) và (2) =>
=>
Xét tam giác vuông SAD ta có:
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC. Gọi
là góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM). Tính ![]()
+ Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2
+ Gọi N là trung điểm AB suy ra
+ Gọi
Gọi
+ Ta có
+ Ta có
+ Gọi NH là đường cao
+ Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ
+ Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
Hình vẽ minh họa:
Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO
Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp
bằng bao nhiêu?
Kết quả: 6 cm3
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp
bằng bao nhiêu?
Kết quả: 6 cm3
Hình vẽ minh họa
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Diện tích đáy
Góc giữa SB và mặt phẳng đáy là
ABCD là hình vuông nên
Xét tam giác vuông SOB ta có:
Khi đó thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết:
. Hai bên mặt SAB và SAD vuông tại a. Gọi μ là góc giữa hai đường thẳng SB và AC. Tính cosμ?
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Ta lại có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên
và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)
Ta có:
Từ A kẻ =>
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có mặt đáy ABCD là hình thoi tâm O, góc
và A’A = A’B = A’D. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có: ABCD là hình thoi =>AB = AD mà nên tam giác ABD là tam giác đều (*)
Ta có: A’A = A’B = A’D nên hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. (**)
Từ (*) và (**) => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DD’. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BD.
Hình vẽ minh họa:
Gọi O, P, K lần lượt là trung điểm của AC, CD, OC
Kẻ DI ⊥ MP, DH ⊥ NI
Ta có: , BD // MP, tứ giác DIKO là hình chữ nhật
=>
Khi đó: d(MN, BD) = d(BD, (MNP)) = d(D, (MNP)) = DH
Xét tam giác vuông NDI ta có:
Cho hình lập phương như hình vẽ:

Hỏi đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng
?
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a ; AD = 2a,
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).

Gọi M là trung điểm của AD.
Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a,
Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a
Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và
Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD
Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC
Ta có: mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.
Ta có:
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.
Xét tam giác ABC vuông tại B có:
Xét tam giác SAC vuông tại A có:
Xét tam giác SAC vuông tại A và nên SAC vuông cân tại A.
Suy ra H là trung điểm SC và
Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).
Ta có: suy ra
Vậy
Cho hình chóp
có đáy là hình vuông
cạnh bằng
và cạnh bên đều bằng
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Lại có
Xét tam giác có
Theo định lí Pythagore đảo suy ra tam giác vuông tại
Suy ra hay
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.
Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.“ sai vì hai mặt phẳng đó có thể tạo với nhau những góc khác 900.
Dễ thấy mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cùng song song với một đường thẳng.” đúng.
Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cùng vuông góc với một đường thẳng.“ sai vì trong trường hợp mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R), (P) ⊥ (Q) thì không thể có đường thẳng nào cùng vuông góc với (P) và (Q).