Cho khối chóp tam giác có chiều cao bằng
, diện tích đáy bằng
. Thể tích của hình chóp bằng:
Ta có:
Thể tích khối chóp tam giác là
Cho khối chóp tam giác có chiều cao bằng
, diện tích đáy bằng
. Thể tích của hình chóp bằng:
Ta có:
Thể tích khối chóp tam giác là
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
Hình vẽ minh họa:
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.
Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.
Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.
Gọi . Do
nên suy ra
(vì
)
Kẻ ta có:
Từ (1) và (2) , khi đó
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có mặt đáy ABCD là hình thoi tâm O, góc
và A’A = A’B = A’D. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có: ABCD là hình thoi =>AB = AD mà nên tam giác ABD là tam giác đều (*)
Ta có: A’A = A’B = A’D nên hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. (**)
Từ (*) và (**) => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng là: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì có thể vuông góc với nhau
Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.

Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a
Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.
Tương tự BH ⊥ AC.
Ta có:
Gọi K là trung điểm của DB.
Ta có: ABD cân tại A nên
Và CBD cân tại C nên
Ta có:
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có nên BDH vuông cân tại H.
Từ đó ta có:
Ta có: mà
Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.
Nên ta có: KH là phân giác của góc suy ra
Ta có:
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) ,
. Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Lại có:
=>
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc BAD bằng 600, SA = SB = SD =
. Gọi α là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC). Giá trị sin α bằng:
Hình vẽ minh họa:
Theo giả thiết, ABD là tam giác đều.
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Do SA = SB = SD nên S nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD suy ra SH ⊥ (ABD) hay SH ⊥ (ABCD).
Do (SBC) ⊥ (SBH) nên từ H kẻ HK ⊥ SB tại K thì HK = d(H, (SBC)) và
=>
Mặt khác d(H, (SBC)) = 2/3d(A, (SBC)) = 2/3d(D, (SBC)) => d(D, (SBC)) =
Gọi O là hình chiếu vuông góc của điểm D trên (SBC).
Khi đó:
Xét tam giác SDO vuông tại O có:
Cho hình chóp
, có đáy
là hình chữ nhật,
. Gọi
lần lượt là đường cao của tam giác
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì
Mà
Tam giác SAB có đường cao
Mà
Tương tự chứng minh ta được:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA =
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
BC ⊥ AB
BC ⊥ SA
=> BC ⊥ (SAB).
Vì SB ⊂ (SAB) và CD // (SAB) => d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = BC = a
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600. Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)
Hình ảnh minh họa

Gọi O là tâm ABCD =>
Ta có:
Gọi M là trung điểm của BC, kẻ OK vuông góc với SM (1)
Ta có:
Xét tam giác vuông SOM ta có:
Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp
bằng bao nhiêu?
Kết quả: 6 cm3
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp
bằng bao nhiêu?
Kết quả: 6 cm3
Hình vẽ minh họa
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Diện tích đáy
Góc giữa SB và mặt phẳng đáy là
ABCD là hình vuông nên
Xét tam giác vuông SOB ta có:
Khi đó thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp
đáy là tam giác
vuông tại
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có:
Vậy đáp án sai là: .
Cho hình chóp S.ABCD có
và
. Đáy ABCD là hình chữ nhật có
. Gọi M là trung điểm của CD, góc giữa SA và mặt phẳng (SBM) bằng \alpha . Giá trị
bằng:

Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BM và SK.
Ta có
Mà
Ta có
Suy ra hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (SBM) là điểm I. Do đó bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SI và bằng góc .
Ta có

Có
Ta có
Xét tam giác vuông SAK có
Cho hình chóp tam giác
có
và
. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Giả sử M, N, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, AC
Mặt khác ta có:
Ta có:
Xét tam giác NAC có:
Xét tam giác MNQ ta có:
Cho tứ diện OABC với các đường thẳng OA, OB, OC đôi một vuông góc. Bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là
Dễ thấy rằng OA ⊥ (OBC), OB ⊥ (OCA), OC ⊥ (OAB)
Vậy bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là (OAB), (OBC), (OCA).
Cho hình chóp
, đáy
là hình chữ nhật, biết
. Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
d)
Sai||Đúng
Cho hình chóp , đáy
là hình chữ nhật, biết
. Xác định tính đúng sai của các kết luận sau?
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
d) Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Ta có:
b) Ta có:
mà
c) Ta có:
Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc .
d) Ta có:
Suy ra SD là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD)
Nên góc giữa SC và (SAD) là góc giữa SC và SD đó là góc trong tam giác vuông SCD.
Xét tam giác SCD vuông tại D ta có:
Cho hình chóp tam giác
có đáy
là tam giác vuông tại
,
,
. Tính góc tạo bởi
và mặt phẳng đáy?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên AB là hình chiếu của SA trên mặt phẳng đáy.
Mặt khác tam giác ABC vuông tại C nên
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là: