Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây sai?
Mệnh đề đúng: Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây sai?
Mệnh đề đúng: Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = 2, AD = 3, AA’ = 4. Góc giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (A’C’D) là α. Tính giá trị gần đúng của α.
Hình vẽ minh họa:
Phần 1: Xác định góc
Bước 1: Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng:
Trong mặt phẳng (ADD’A’) gọi E là giao điểm của AD’ và A’D.
Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) gọi F là giao điểm của B’D’ và A’C’.
Khi đó EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’D’) và (A’C’D).
Bước 2: Trong mỗi mặt phẳng, ta cần tìm đường thẳng vuông góc với giao tuyến:
Trong mặt phẳng (DA’C’) kẻ A’H ⊥ EF tại H, A’H cắt DC’ tại K.
Ta chứng minh D’H ⊥ EF.
Ta có:
Mặt khác:
Bước 3: Xác định góc giữa hai mặt phẳng:
Ta có:
=> α = ((AB’D’), (DA’C’)) = (D’H, A’H)
Phần 2: Tính góc α:
Ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác A’HD’
Bước 1: Chứng minh tam giác A’HD’ cân:
Trong tam giác A’DC’ ta có EF là đường trung bình, nên suy ra H là trung điểm A’K.
Vì A’D’ ⊥ (DD’C’C) nên A’D’ ⊥ D’K.
Do đó tam giác A’D’K vuông tại D’.
Xét tam giác A’D’K vuông tại D’ có D’K là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên D’H = A’H = A’K/2
Bước 2: Tính độ dài cạnh A’K:
Ta tính đường cao A’K của tam giác ADC’ thông qua diện tích.
Áp dụng định lý Pi – ta - go ta tính được độ dài các cạnh tam giác A’DC’ là:
Sử dụng công thức Hê-rông ta tính được
Mặt khác
Từ đó suy ra D’H = A’H = A’K/2 =
Bước 3: Tính góc α bằng định lý cosin:
Trong tam giác A’HD’ ta có:
Do đó góc giữa hai đường thẳng A’H và D’H bằng 61,60
Vậy α = 61,60
Cho hình chóp tam giác
có
. Biết rằng tam giác
vuông cân tại
và
. Tính góc giữa
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> Hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABC) là AB.
=> Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là
Do tam giác ABC vuông cân tại B và nên
Suy ra tam giác SAB vuông cân tại A.
Do đó
Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 450.
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC, H là hình chiếu của I trên mặt phẳng đáy. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB
=> Tam giác SBC vuông tại B => I là trung điểm của SC
Theo bài ra ta có: IH ⊥ (ABC) => IH // SA
=> H là trung điểm của cạnh AC,
Mà tam giác ABC vuông tại B => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Qua một điểm cho trước có thể kẻ được vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.
Cho một khối trụ có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối trụ là:
Cho tứ diện
. Gọi trung điểm của
lần lượt là
. Biết
. Độ dài đoạn thẳng
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của CD. Khi đó
Lại có hay tam giác MNP vuông tại P
Theo định lí Pythagore ta có:
Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a, (ACD) ⊥ (BCD) và (ABC) ⊥ (ABD). Tính độ dài cạnh CD.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB, ∆ACD và ∆BCD cân
=> AM ⊥ CD, BM ⊥ CD. Ta có:
=> AM ⊥ BM
Và ta dễ dàng chứng minh được ∆ACD = ∆BCD (c – c - c)
=> AM = BM => ∆ABM vuông cân tại M
=> MN ⊥ AB
Đặt CD = x
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
Xét ∆ABM vuông cân tại M
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
Xét ∆CDN vuông cân tại N
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA =
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
BC ⊥ AB
BC ⊥ SA
=> BC ⊥ (SAB).
Vì SB ⊂ (SAB) và CD // (SAB) => d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = BC = a
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Đúng||Sai
d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng
đúng
đúng
đúng
Tam giác SBC cân tại B. sai
Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của AB. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng CM và DM. Tính giá trị của cos α?
Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều. Khi đó:
Ta có hình vẽ minh họa:

Áp dụng định lí cosin vào tam giác CMD ta được:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có
. Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB. Tính góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’)

Trong (ABC) kẻ ( điểm N thuộc cạnh AC)
Vậy NC’ là hinh chiếu của MC’ trên mp(ACC’A’)
Góc giữa MC’ và mp(ACC’A’) là góc
Ta có
CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên có
Tam giác CMC’ vuông tại M, nên
Diện tích
Xét tam giác vuông MC’N, có
Vậy góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’) là
Cho hình chóp
có
. Gọi hình chiếu vuông góc của điểm
lên cạnh
là điểm
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vì
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB) ⊥ (ABCD), (SAC) ⊥ (ABCD), SA = 2a. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> Hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (SAD) là SA
=>
Xét tam giác SAB vuông ta có:
Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp là:
Hình vẽ minh họa
Gọi H là tâm của tam giác đều ABC
Khi đó
Theo bài ra ta có:
Tam giác SBH vuông tại H có:
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
,
. Kết luận nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Đồng thời
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
, SA vuông góc với đáy và
. Tính chiều cao hình chóp
?
Ta có nên SA là đường cao của hình chóp
Tam giác ABC đều cạnh x nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>