Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho một khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = 2a và AB = 2a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm của AB

    Do tam giác SAB đều suy ra SH\bot AB

    Mà \left\{ \begin{matrix} (SAB)\bot(ABC) \\ SH \subset (SAB) \\ AB \subset (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABC)

    Vậy SH là đường cao của hình chóp

    Khi đó SH = a\sqrt{3}

    Ta có: AB = 2a \Rightarrow BC = 2a

    S_{ABC} = \frac{1}{2}(2a)^{2} = 2a^{2}

    Thể tích khối chóp là: V = \frac{1}{3}S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.2a^{2}.a\sqrt{3} = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng:

    Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).

    Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa:

    Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).

    Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA\bot(ABC). Xác định khẳng định đúng dưới đây?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: SA\bot(ABC) \Rightarrow SA\bot BC;SA \subset (SAB)

    Mà BC\bot AB (vì đáy là tam giác vuông tại B); AB \subset (SAB)

    \Rightarrow BC\bot(SAB)

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 4a. Cạnh bên hình chóp SA = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm M của OA. Gọi α là góc giữa SD và mặt phẳng đáy. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: SM ⊥ (ABCD)

    => Hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) là cạnh MD.

    \Rightarrow \alpha = \left( SD,(ABCD) ight) = (SD;MD) = \widehat{SDM}

    Ta tính được: SM = \sqrt{SA^{2} - AM^{2}} = a\sqrt{2}

    Xét tam giác ADM có:

    MD = \sqrt{AM^{2} + AD^{2} - 2AM.AD.cos45^{0}} = a\sqrt{10}

    => \tan\alpha = \tan\widehat{SDM} = \frac{SM}{MD} = \frac{\sqrt{5}}{5}

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA' = a\sqrt{2}. Biết đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a, gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi N là trung điểm của BB’ => MN // B’C

    => B’C // (AMN)

    => d(AM, B’C) = d(B’C, (AMN)) = d(B’, (AMN)) = d(B, (AMN))

    Kẻ BH ⊥ AM, BK ⊥ HN

    => BK ⊥ (AMN)

    => d(AM, B’C) = d(B, (AMN)) = BK

    Ta có:

    \frac{1}{BH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} +\frac{1}{BM^{2}}

    \Rightarrow \frac{1}{BH^{2}} =\frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} = \frac{5}{a^{2}}

    \Rightarrow BH =\frac{a}{\sqrt{5}}

    Ta có: BN =\frac{a\sqrt{2}}{2}

    Do tam giác ABM vuông tại B

    \frac{1}{BK^{2}} = \frac{1}{BH^{2}} +\frac{1}{BN^{2}}

    \Rightarrow \frac{1}{BK^{2}} =\frac{5}{a^{2}} + \frac{2}{a^{2}} = \frac{7}{a^{2}}

    \Rightarrow BK =\frac{a\sqrt{7}}{7}

    \Rightarrow d(AM;B'C) =\frac{a\sqrt{7}}{7}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA = a\sqrt{3} và vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi M là trung điểm của BC => AM ⊥ BC.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ BC\bot SA \\ \end{matrix} \Rightarrow ight.\ BC\bot(SAM) \Rightarrow BC\bot SM

    Do đó ((SBC),(ABC)) = (SM, AM) = \widehat{SMA}

    Tam giác ABC đều cạnh a, suy ra trung tuyến AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}.

    Tam giác vuông SAM ta có: \sin\widehat{SMA} = \frac{SA}{SM} = \frac{SA}{\sqrt{SA^{2} + AM^{2}}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với trọng tâm G. Cạnh bên SA tạo với đáy (ABC) một góc 300. Biết hai mặt phẳng (SBG) và (SCG) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SA và BC.

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (SBG) \cap (SCG) = SG \\ (SBG)\bot(ABC) \\ (SCG)\bot(ABC) \\ \end{matrix} \Rightarrow SG\bot(ABC) ight.

    Gọi O, N lần lượt là trung điểm của AC và BC.

    Gọi D là điểm đối xứng của B qua O. Khi đó ABCD là hình vuông.

    Vì BC // AD nên (SA, BC) = (SA, AD).

    Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng SA và AD.

    Đặt AB = BC = x => AD = x

    Ta có:

    \begin{matrix}AN^{2} = AB^{2} + BN^{2} = x^{2} + \dfrac{x^{2}}{4} = \dfrac{5x^{2}}{4}\hfill \\\Rightarrow AN = \dfrac{x\sqrt{5}}{2} \hfill\\AG = \dfrac{2}{3}AN = \dfrac{2}{3}.\dfrac{x\sqrt{5}}{2} =\dfrac{x\sqrt{5}}{3}\hfill \\\end{matrix}

    Góc giữa SA và mặt đáy (ABC) là \widehat{SAG} = 30^{0}

    Ta có:

    cos30^{0} = \frac{AG}{SA} \Rightarrow SA = \frac{AG}{cos30^{0}} = \frac{2x\sqrt{15}}{9}

    Ta có:

    \begin{matrix}\tan30^{0} = \dfrac{SG}{AG}\hfill \\\Rightarrow SG = AG.\tan30^{0} = \dfrac{x\sqrt{15}}{9} \hfill\\GD = \dfrac{2}{3}BD = \dfrac{2}{3}x\sqrt{2} \\SD^{2} = SG^{2} + GD^{2} = \dfrac{15x^{2}}{81} + \dfrac{8x^{2}}{9} =\dfrac{87x^{2}}{81} \hfill\\\end{matrix}

    Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác SAD ta có:

    \cos SAD = \frac{SA^{2} + AD^{2} - SD^{2}}{2SA.AD} = \frac{\sqrt{15}}{10}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hình chóp tam giác S.ABC có ABC vuông tại B và SA\bot(ABC). Kẻ đường cao AH của tam giác SAB. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: SA\bot(ABC) \Rightarrow SA\bot BC

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BC\bot AB(gt) \\ BC\bot SA;\left( do\ SA\bot(ABC) ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot AH

    Mà AH\bot SB \Rightarrow AH\bot(SBC)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AH\bot SC \\ AH\bot BC \\ \end{matrix} ight.

    Vậy khẳng định sai là: “AH\bot AC”.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA=a\sqrt{3} và vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC). 

    Hình vẽ minh họa:

    Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC)

    Gọi M là trung điểm BC 

    =>AM ⊥ BC và AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}

    Gọi K là hình chiếu của A trên SM => AK ⊥ SM (1)

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} AM \bot BC \hfill \\ BC \bot SA \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow BC \bot (SAM) \Rightarrow BC \bot AK{\text{ }}\left( 2 ight)

    Từ (1) và (2) => AK⊥(SBC) => d(A;(SBC)) = AK

    Xét tam giác SAM ta có:

    AK = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}

    Vậy d(A;(SBC)) = AK = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa:

    Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}AC\bot BD \\AC\bot SB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SBD)

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh bằng \sqrt{3} và cạnh bên bằng 1. Tính góc giữa hai đường thẳng BB' và AC'?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    BB'//CC' \Rightarrow (BB';AC') = (CC';AC') = \widehat{AC'C}

    Khi đó tam giác ACC' vuông cân tại C nên \tan\widehat{AC'C} = \frac{AC}{CC'} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}

    \Rightarrow \widehat{AC'C} = 60^{0}

    \Rightarrow (BB';AC') = \widehat{AC'C} = 60^{0}

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA\bot(ABC);V_{S.ABC} = \frac{a^{3}}{4}. Tính chiều cao hình chóp S.ABC?

    Ta có:

    SA\bot(ABC) nên SA là chiều cao của hình chóp.

    Do tam giác ABC đều cạnh a nên S_{ABC} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}

    Ta lại có:

    V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}SA.S_{ABC}\Rightarrow SA = \dfrac{3V_{S.ABC}}{S_{ABC}} =\dfrac{3.\dfrac{a^{3}}{4}}{\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}} =a\sqrt{3}

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của cạnh CD, gọi \varphi là góc giữa hai đường thẳng AM và BC. Giá trị \cos \varphi bằng:

    Tính cosin góc giữa hai đường thẳng

    Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a

    Vì M là trung điểm của CD. Nên AM là đường cao trong tam giác ACD đều.

    => AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}

    Ta có:

    \begin{matrix} \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {CB} .\left( {\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CA} } ight) = \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CM} - \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA} \hfill \\ = CB.CM.\cos \widehat {BCM} - CB.CA.\cos \widehat {ACB} \hfill \\ = a.\dfrac{a}{2}.\cos {60^o} - a.a.\cos {60^o} = - \dfrac{{{a^2}}}{4} \hfill \\ \end{matrix}

    => \cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AM} } ight) = \dfrac{{\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AM} }}{{\left| {\overrightarrow {BC} } ight|.\left| {\overrightarrow {AM} } ight|}} = \dfrac{{\dfrac{{ - {a^2}}}{4}}}{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{ - \sqrt 3 }}{6}

     

    => \cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AM} } ight)} ight| = \frac{{\sqrt 3 }}{6}

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều. góc giữa BC và SA là:

    Hình vẽ minh họa

    Vì BC//AD \Rightarrow (BC,SA) = (AD,SA) = 60^{0}

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng 8a^{2}, chiều cao bằng a. Thể tích khối chóp đã cho là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B = 8a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối chóp là: V = \frac{1}{3}B.h = \frac{8}{3}a^{3}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =a\sqrt{6}. Gọi α là góc giữa SC và (SAB). Giá trị tan α bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}BC\bot SA \\BC\bot AB \\\end{matrix} ight.=> BC ⊥ (SAB)

    => SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB)

    => \alpha = \widehat{BSC}

    Mà SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} =a\sqrt{7}

    Vậy \tan\alpha = \frac{BC}{SB} =\frac{\sqrt{7}}{7}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có 3CD = 4AB. Gọi trung điểm của các cạnh BC,AC,DB lần lượt là G,E,F. Biết rằng 6EF = 5AB. Tính (CD;AB)?

    Hình vẽ minh họa

    Đặt AB = a

    Vì trung điểm của các cạnh BC,AC,DB lần lượt là G,E,F

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}GE = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2} \\GF = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{2a}{3} \\EF = \dfrac{5}{6}AB = \dfrac{5a}{6} \\\end{matrix} ight.

    Từ đó GE^{2} + GF^{2} = \frac{a^{2}}{4} + \frac{4a^{2}}{9} = \frac{25a^{2}}{36} = EF^{2}

    Suy ra tam giác GEF vuông tại G.

    Vì GE//AB;GF//CD nên (AB,CD) = (GE,GF) = \widehat{EGF} = 90^{}

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của AB suy ra

    \left\{ \begin{matrix} MO\bot AB \\ SM\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left( (SAB);(ABCD) ight) = \widehat{SMO} = \varphi

    Tam giác SMO vuông tại O nên \varphi eq 90^{0}

    Do đó mặt phẳng (SAB) không vuông góc với (ABCD).

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, đường chéo AC = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD.

    Hình vẽ minh họa:

    Vì AB // CD ⇒ CD // (SAB)

    => d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB))

    Mà AD ⊥ (SAB) => d(D, (SAB)) = AD.

    Xét tam giác ABD vuông tại A ta có:

    AB2 + AD2 = BD2 = 4a2 => AD = a\sqrt{2}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 79 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập