Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của cạnh CD, gọi
là góc giữa hai đường thẳng AM và BC. Giá trị
bằng:

Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a
Vì M là trung điểm của CD. Nên AM là đường cao trong tam giác ACD đều.
=>
Ta có:
=>
=>
Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của cạnh CD, gọi
là góc giữa hai đường thẳng AM và BC. Giá trị
bằng:

Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a
Vì M là trung điểm của CD. Nên AM là đường cao trong tam giác ACD đều.
=>
Ta có:
=>
=>
Cho lăng trụ đứng
có đáy ABC là tam giác đều cạnh
. Gọi
là trung điểm cạnh BC. Biết
, khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
, ta có
là hình bình hành
.
Kẻ .
Ta có: .
Suy ra,
Ta có: .
Xét vuông tại
ta có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α.

Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH
=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là
Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a
Vậy tan α = 1
Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a,
. Hình chiếu vuông góc của B’ xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy và cạnh bên BB’ = a. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
Hình vẽ minh họa:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Theo giả thiết ta có: B’O ⊥ (ABCD)
Dó đó
Vì tam giác ABD đều cạnh a =>
Tam giác B’BO vuông ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Đúng||Sai
d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng
đúng
đúng
đúng
Tam giác SBC cân tại B. sai
Công thức tính thể tích
của khối nón có bán kính
và chiều cao
là:
Công thức tính thể tích là:
Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC) là:
Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)
M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên các cạnh AB, AC, BC.
Khi đó ta có:
Tương tự ta có:
Khi đó
Tương tự suy ra
=>
=> I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
. Gọi O là tâm của đáy ABC, d1 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d2 là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Tính d = d1 + d2.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm BC.
Ta có:
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và A lên SM =>
Ta có:
Ta có:
Xét tam giác SOM có:
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng:

Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).
Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết:
. Hai bên mặt SAB và SAD vuông tại a. Gọi μ là góc giữa hai đường thẳng SB và AC. Tính cosμ?
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Ta lại có:
Cho hình lăng trụ tam giác
có đáy
là tam giác đều,
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có tam giác ABC đều và M là trung điểm của BC nên
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh
. Biết
và tam giác
đều. Xác định thể tích hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB đều nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp
có
, tứ giác
là hình vuông. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có:
Ta có:
Cho tứ diện S.ABC có SBC và ABC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác SBC đều, tam giác ABC vuông tại A. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của BC và AB. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:

Ta có: SBC là tam giác đều có H là trung điểm BC nên
Mà (SBC)⊥(ABC) theo giao tuyến BC
=> đúng.
Ta có HI là đường trung bình của ΔABC nên
=> đúng.
Ta có
=> đúng
Cho hình chóp
có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi trung điểm các cạnh
và
lần lượt là
. Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Theo giả thiết ta có:
là đường trung bình của tam giác
nên
Vì
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = 2, AD = 3, AA’ = 4. Góc giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (A’C’D) là α. Tính giá trị gần đúng của α.
Hình vẽ minh họa:
Phần 1: Xác định góc
Bước 1: Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng:
Trong mặt phẳng (ADD’A’) gọi E là giao điểm của AD’ và A’D.
Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) gọi F là giao điểm của B’D’ và A’C’.
Khi đó EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’D’) và (A’C’D).
Bước 2: Trong mỗi mặt phẳng, ta cần tìm đường thẳng vuông góc với giao tuyến:
Trong mặt phẳng (DA’C’) kẻ A’H ⊥ EF tại H, A’H cắt DC’ tại K.
Ta chứng minh D’H ⊥ EF.
Ta có:
Mặt khác:
Bước 3: Xác định góc giữa hai mặt phẳng:
Ta có:
=> α = ((AB’D’), (DA’C’)) = (D’H, A’H)
Phần 2: Tính góc α:
Ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác A’HD’
Bước 1: Chứng minh tam giác A’HD’ cân:
Trong tam giác A’DC’ ta có EF là đường trung bình, nên suy ra H là trung điểm A’K.
Vì A’D’ ⊥ (DD’C’C) nên A’D’ ⊥ D’K.
Do đó tam giác A’D’K vuông tại D’.
Xét tam giác A’D’K vuông tại D’ có D’K là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên D’H = A’H = A’K/2
Bước 2: Tính độ dài cạnh A’K:
Ta tính đường cao A’K của tam giác ADC’ thông qua diện tích.
Áp dụng định lý Pi – ta - go ta tính được độ dài các cạnh tam giác A’DC’ là:
Sử dụng công thức Hê-rông ta tính được
Mặt khác
Từ đó suy ra D’H = A’H = A’K/2 =
Bước 3: Tính góc α bằng định lý cosin:
Trong tam giác A’HD’ ta có:
Do đó góc giữa hai đường thẳng A’H và D’H bằng 61,60
Vậy α = 61,60
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và BD.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
OC ⊥ BD
OC ⊥ CC’
=> OC là đoạn vuông góc chung của CC’ và BD.
Vậy d(CC’, BD) = OC = AC/2 = 2a/2 = a