Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy H, K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH = 3HA, AK = 3KD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho \widehat {SBH} = 30^\circ. Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC .

    Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có

    \begin{matrix} \Delta ABK = \Delta BCH \hfill \\ \Rightarrow \widehat {ABK} = \widehat {BCH} \Rightarrow \widehat {HEB} = 90^\circ \hfill \\ \end{matrix}

    Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

    Ta có:

    \begin{matrix} {\text{cos}}\left( {SE\,;\,BC} ight) = {\text{cos}}\left( {SE\,;\,EI} ight) = \left| {\cos \widehat {SEI}} ight| \hfill \\ SH = BH.\tan 30^\circ = 3a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = a\sqrt 3 \hfill \\ \dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{{HE}}{{HB}} \Rightarrow HE = \dfrac{{H{B^2}}}{{HC}} = \dfrac{{9a}}{5} \hfill \\ SE = \sqrt {S{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {3{a^2} + \dfrac{{81{a^2}}}{{25}}} = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{5} \hfill \\ \dfrac{{HE}}{{HB}} = \dfrac{{HI}}{{HE}} \Rightarrow HI = \dfrac{{H{E^2}}}{{HB}} = \dfrac{{27a}}{{25}} \hfill \\ SI = \sqrt {S{H^2} + H{I^2}} = \sqrt {3{a^2} + {{\left( {\dfrac{{27a}}{{25}}} ight)}^2}} = \dfrac{{2a\sqrt {651} }}{{25}} \hfill \\ \end{matrix}

    Trong tam giác vuông SEI có:

    EI = \sqrt {S{E^2} - S{I^2}} = \frac{{36a}}{{25}}

    => \cos \widehat {SEI} = \frac{{EI}}{{SE}} = \frac{{18}}{{5\sqrt {39} }}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên SA và mặt phẳng đáy bằng 45^{0}. Thể tích khối chóp là:

    Hình vẽ minh họa

    \left( SA;(ABC) ight) = \widehat{SAO} = 45^{0}

    SO = AO.tan45^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}

    V = \frac{1}{3}.SO.S_{ABC} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{12}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. BC = a. SA = SB = SC = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}. Góc giữa đường thẳng SA và (ABC) bằng

    Góc giữa đường thẳng SA và (ABC) là

    +) Gọi H là trung điểm BC.

    Vì ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

    Ta có: SA = SB = SC\,\left( {gt} ight) \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} ight)

    => Hình chiếu của SA lên (ABC) là HA

    \Rightarrow \,\widehat {\left( {SA,\left( {ABC} ight)} ight)} = \widehat {\left( {SA,HA} ight)} = \widehat {SAH} (vì tam giác SAH vuông tại H)

    +) Ta có: AH = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}

    Xét tam giác SHA vuông tại H:

    \cos \widehat {SAH} = \dfrac{{AH}}{{SA}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {SAH} = 30^\circ

    Vậy \,\widehat {\left( {SA,\left( {ABC} ight)} ight)} = \widehat {SAH} = 30^\circ

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hình chóp ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bên SO vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \alpha là góc giữa đường thẳng SD với mặt phẳng đáy. Khi đó:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: SO\bot(ABCD) suy ra OD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD)

    Suy ra \widehat{\left( SD;(ABCD) ight)} = \widehat{(SD;SO)} = \widehat{SDO}

    Vậy \alpha = \widehat{SDO}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và \widehat {SAC} = \widehat {SAB}. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng chéo chau SA và BC.

    Hình vẽ minh họa:

    Tính số đo góc giữa hai đường thẳng chéo chau

    Xét

    \begin{matrix} \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .(\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} ) \hfill \\ = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} \hfill \\ = |\overrightarrow {SA} |.|\overrightarrow {SC} |.\cos (\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} ) - |\overrightarrow {SA} |.|\overrightarrow {SB} |.\cos \widehat {SAB} \hfill \\ = SA.SC.\cos \widehat {ASC} - SASB\cos \widehat {ASB}{\text{ }}\left( 1 ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có:

    \begin{matrix} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {SA{\text{ chung }}} \\ {AB = AC} \\ {\widehat {SAB} = \widehat {SAC}} \end{array} \Rightarrow \Delta SAB = \Delta SAC(c - g - c)} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {SC = SB} \\ {\widehat {ASC} = \widehat {ASB}} \end{array}} ight.(2) \hfill \\ \end{matrix}

    Từ (1) và (2) \Rightarrow \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0 \Rightarrow SA \bot BC

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = \sqrt{2}. Tính thể tích khối chóp S.ABCD đã cho.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: SA\bot(ABCD) nên SA là đường cao của hình chóp

    Thể tích khối chóp là V = \frac{1}{3}.SA.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\sqrt{2}.1^{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây là sai?

    Hình vẽ minh họa

    Chọn khẳng định sai

    Vì H là trung điểm của AB, tam giác ABC cân => CH⊥AB

    Ta có: SA⊥(ABC) => SA⊥CH mà CH⊥AB => CH⊥(SAB)

    Mặt khác AK⊂(SAB) => CH vuông góc với các đường thẳng SA,SB,AK

    Và AK⊥SB chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa AC’ và BD?

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có:

    BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông)

    BD ⊥ CC’

    ⇒ BD ⊥ AC’

    Do đó góc giữa AC' và BD bằng 900

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA' = a\sqrt{2}. Biết đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a, gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi N là trung điểm của BB’ => MN // B’C

    => B’C // (AMN)

    => d(AM, B’C) = d(B’C, (AMN)) = d(B’, (AMN)) = d(B, (AMN))

    Kẻ BH ⊥ AM, BK ⊥ HN

    => BK ⊥ (AMN)

    => d(AM, B’C) = d(B, (AMN)) = BK

    Ta có:

    \frac{1}{BH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} +\frac{1}{BM^{2}}

    \Rightarrow \frac{1}{BH^{2}} =\frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} = \frac{5}{a^{2}}

    \Rightarrow BH =\frac{a}{\sqrt{5}}

    Ta có: BN =\frac{a\sqrt{2}}{2}

    Do tam giác ABM vuông tại B

    \frac{1}{BK^{2}} = \frac{1}{BH^{2}} +\frac{1}{BN^{2}}

    \Rightarrow \frac{1}{BK^{2}} =\frac{5}{a^{2}} + \frac{2}{a^{2}} = \frac{7}{a^{2}}

    \Rightarrow BK =\frac{a\sqrt{7}}{7}

    \Rightarrow d(AM;B'C) =\frac{a\sqrt{7}}{7}

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Khi cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c thì mệnh đề : “Nếu a song song với b và c vuông góc với a thì c vuông góc với b” là mệnh đề đúng.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnha, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính côsin của góc \alpha là góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABC)?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm cạnh AC.

    Khi đó HM//SA nên HM vuông góc (ABC) tại H.

    Do đó \left( \widehat{BM,(ABC)} ight) = \left( \widehat{BM,BH} ight) = \widehat{MBH} do \Delta MBH vuông tại H.

    Ta có:

    \cos\widehat{MBH} = \frac{BH}{BM} = \frac{BH}{\sqrt{HM^{2} + BH^{2}}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{a^{2} + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}}} = \dfrac{\sqrt{21}}{7}.

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho một khối trụ có diện tích đáy bằng 4a^{2}, chiều cao bằng a. Thể tích khối chóp đã cho là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B = 4a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối trụ là: V = B.h = 4a^{2}.a = 4a^{3}

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a;AB = x. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB;CD. Biết (ACD)\bot(BCD) và (ABC)\bot(ABD). Tính giá trị của x.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a;AB = x. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB;CD. Biết (ACD)\bot(BCD) và (ABC)\bot(ABD). Tính giá trị của x.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 14: Vận dụng cao

    Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB = 3, AD = 4, góc BAD = 1200. Cạnh bên SA = 2\sqrt{3} vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, AD và BC và α là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MNP). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} MN//SD \\ NP//CD \\ \end{matrix} \Rightarrow (MNP)//(SCD) ight.

    => ((SAC), (MNP)) = ((SAC), (SCD)) = α.

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống (SCD), K là hình chiếu vuông góc của H xuống SC, suy ra \alpha = \widehat{AKH}

    Ta có V_{S.ACD} = \frac{1}{2}V_{S.ABCD} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.3.4.\frac{\sqrt{3}}{2}.2\sqrt{3} = 6

    Trong tam giác ABC có

    AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2AB.BC.cos\widehat{ABC}

    = 4^{2} + 3^{2} - 2.3.4.\frac{1}{2} = 13

    \Rightarrow SC^{2} = AC^{2} + SA^{2} = 13 + 12 = 25

    SD = \sqrt{SA^{2} + AD^{2}} = \sqrt{12 + 16} = \sqrt{28}

    \Rightarrow \sin\widehat{CSD} = \sqrt{1 - cos^{2}\widehat{CSD}} = \frac{3\sqrt{42}}{35}

    Do đó diện tích tam giác SCD là

    S_{SCD} = \frac{1}{2}SC.SD.sin\widehat{CSD}

    = \frac{1}{2}.5.\sqrt{28}.\frac{3\sqrt{42}}{35} = 3\sqrt{6}

    S_{SAC} = \frac{1}{2}AC.SA = \frac{1}{2}AK.SC

    \Rightarrow AK = \frac{SA.AC}{SC} = \frac{2\sqrt{3}.\sqrt{13}}{5} = \frac{2\sqrt{39}}{5}

    Theo công thức tính thể tích khối chóp A.SCD thì AH = \frac{3V_{A.SCD}}{S_{SCD}} = \frac{3.6}{3\sqrt{6}} = \sqrt{6}

    => \sin\alpha = \dfrac{AH}{AK} =\dfrac{\sqrt{6}}{\dfrac{2\sqrt{39}}{5}} =\dfrac{5\sqrt{26}}{26}

    => α ∈ (600; 900)

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:

    Hình vẽ minh họa:

    Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

    Vậy \widehat{\left( SB,(ABC) ight)} =\widehat{(SB,\ AB)} = \widehat{SBA}

    Mà ∆SBA vuông cân tại A nên \widehat{SBA}= 45^{0}

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC đôi một vuông góc. Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} OA\bot OB \\ OA\bot OC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow OA\bot(OBC)

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có:

    SA ⊥ BC

    AB ⊥ BC

    => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH

    Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC

  • Câu 18: Nhận biết

    Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó \frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} bằng:

    \frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} = \frac{AM}{BM}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a\sqrt{2}. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và BD.

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có:

    OC ⊥ BD

    OC ⊥ CC’

    => OC là đoạn vuông góc chung của CC’ và BD.

    Vậy d(CC’, BD) = OC = AC/2 = 2a/2 = a

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a\sqrt{3}. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là:

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có:

    BC ⊥ AB

    BC ⊥ SA

    => BC ⊥ (SAB).

    Vì SB ⊂ (SAB) và CD // (SAB) => d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = BC = a

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 97 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập