Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa:

    Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}AC\bot BD \\AC\bot SB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow AC\bot(SBD)

  • Câu 2: Nhận biết

    Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó \frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} bằng:

    \frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} = \frac{AM}{BM}

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa:

    Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).

    Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).

    Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD)

    Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó SI \bot \left( {ABCD} ight)

    Ta có \left\{ \begin{gathered} AD \bot AB \hfill \\ AD \bot SI \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} ight) mà AD \subset \left( {SAD} ight) \Rightarrow \left( {SAD} ight) \bot \left( {SAB} ight)

    Dựng BH \bot SA tại H suy ra SH \bot \left( {SAD} ight)

    Trong mặt phẳng (SAD) kẻ Hx // AD. Trong mặt phẳng (BC, Hx) qua C kẻ đường thẳng song song với BH cắt Hx tại K thì CK \bot \left( {SAD} ight)

    Suy ra SK là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là góc \widehat {CSK}

    Ta có BH = CK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}

    Trong tam giác SCI có

    SC = \sqrt {S{I^2} + I{C^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{5{a^2}}}{4}} = a\sqrt 2

    Suy ra \sin \widehat {CSK} = \frac{{CK}}{{SC}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông của A lên SC,SD. Kết luận nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} SA\bot CD \\ AD\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SAD) \Rightarrow CD\bot AK

    Lại có: SD\bot AK

    \Rightarrow AK\bot(SCD)

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = \sqrt{2}. Tính thể tích khối chóp S.ABCD đã cho.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: SA\bot(ABCD) nên SA là đường cao của hình chóp

    Thể tích khối chóp là V = \frac{1}{3}.SA.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\sqrt{2}.1^{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a, \widehat{ABC} = 60^{0}, SA = a\sqrt{3} và SA ⊥ (ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).

    Hình vẽ minh họa:

    Vì tam giác ABC cân và có góc 600 nên nó là tam giác đều

    Gọi O là trung điểm của AC.

    Ta có: Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc nhau theo giao tuyến SO

    => Hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng (SBD) là SO

    => \widehat{\left( SA,(SBD) ight)} =\widehat{(SA,\ SO)} = \widehat{ASO}

    Xét tam giác vuông SOA ta có: \left\{\begin{matrix}OA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{2a}{2} = a \\SA = a\sqrt{3} \\\end{matrix} ight.

    => \tan\widehat{OSA} = \frac{AO}{SA} =\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \widehat{OSA} = 30^{0}

    Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (SBD) bằng 300.

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. (như hình vẽ).

    Tính d\left( A;(A'BC) ight)?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm cạnh BC.

    Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên AM\bot BC; AM = \sqrt{AB^{2} - BH^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác đều nên AA'\bot(ABC) \Rightarrow AA'\bot BC

    Do đó BC\bot(A'AM) và BC \subset (A'BC) \Rightarrow (A'AM)\bot(A'BC) theo giao tuyến A'M

    Kẻ AH\bot AM \Rightarrow AH\bot(A'BC)

    D\left( A;(A'BC) ight) = AH

    Lại có \frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{A'A^{2}} + \frac{1}{AM^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{3a^{2}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{AH^{2}} = \frac{7}{3a^{2}} \Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{21}}{7}

  • Câu 9: Nhận biết

    Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng 3a?

    Ta có: V = (3a)^{3} = 27a^{3}

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho tứ diện O.ABC trong đó ba đường thẳng OB, OC, OA đôi một vuông góc. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Tam giác ABC luôn là tam giác nhọn

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , độ dài cạnh bên bằng a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC . Góc giữa MN và SC bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi P là trung điểm của SB

    Ta có: SC//NP \Rightarrow (MN,SC) = (MN,NP) = \widehat{MNP}

    Mà MP = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2};NP = \frac{1}{2}SC = \frac{a}{2}

    MC^{2} = \frac{2\left( SC^{2} + AC^{2} ight) - SA^{2}}{4}

    = \frac{2\left( a^{2} + 2a^{2} ight) - a^{2}}{4} = \frac{5a^{2}}{4}

    MB = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    MN^{2} = \frac{2\left( MC^{2} + MB^{2} ight) - BC^{2}}{4}

    = \dfrac{2\left( \dfrac{5a}{4}^{2} +\dfrac{3a}{4}^{2} ight) - a^{2}}{4} = \dfrac{3a^{2}}{4}

    \Rightarrow \cos\widehat{MNP} = \frac{NP^{2} + MN^{2} - MP^{2}}{2NP.MN}

    = \dfrac{MN}{2NP} =\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{2.\dfrac{a}{2}} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \widehat{MNP} = 30^{0}

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, SA = a\sqrt{2}, SA ⊥ (ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi M là trung điểm của AD

    => ABCM là hình vuông => CM ⊥ AD

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} CM\bot AC \\ CM\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CM\bot(SAD)

    Suy ra hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) là SM

    \Rightarrow \left( SC;(SAD) ight) = (SC;SM) = \widehat{CSM}

    => \tan\widehat{CSM} = \frac{CM}{SM} = \frac{AB}{\sqrt{SA^{2} + AM^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}

    => \widehat{CSM} = 30^{0}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA\bot(ABCD), SA = AB = a. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Tính (AM,BD)?

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác SAB vuông tại A có: SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{2}

    Gọi E là trung điểm cạnh MC, ta có:

    OE//AM \Rightarrow (AM;BD) = (OE,BD) và OE = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{4}SB = \frac{a\sqrt{2}}{4}

    Lại có: CB\bot AB;SA\bot CB \Rightarrow CB\bot SB

    Suy ra tam giác SBC vuông tại B.

    Xét tam giá MBC vuông tại B ta có:

    MC = \sqrt{MB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}.2a^{2} + a^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}

    BE = \frac{1}{2}MC = \frac{a\sqrt{6}}{4}

    Xét tam giác EBOcó:

    \cos\widehat{EOB} = \frac{EO^{2} + OB^{2} - EB^{2}}{2.EO.OB} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \widehat{EOB} = 60^{0} \Rightarrow OE//AM \Rightarrow (AM;BD) = 60^{0}

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B và \widehat{ACB} = 30^{0}. Tam giác SAC là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với (ABC). Xét điểm M thuộc cạnh SC sao cho mặt phẳng (MAB) tạo với hai mặt phẳng (SAB); (ABC) góc bằng nhau. Tỉ số\frac{MS}{MC} có giá trị bằng:

    Gọi H là trung điểm của AC, suy ra SH ⊥ (ABC).

    Gọi N là trung điểm của AB, suy ra AB ⊥ (SHN).

    Lấy K là giao điểm của AM, SH. Do đó \left\{ \begin{matrix} \left( (ABM),(ABC) ight) = \widehat{HNK} \\ \ \left( (ABM),(SAB) ight) = \widehat{KNS} \\ \end{matrix} ight.

    Theo giả thiết, NK là phân giác của góc \widehat{SNH}

    Giả sử: AB = 1 \Rightarrow BC = \sqrt{3} \Rightarrow AC = 2 \Rightarrow SH = \sqrt{3}

    Mặt khác: SN = \sqrt{HN^{2} + SH^{2}} = \frac{\sqrt{15}}{2}

    \Rightarrow \frac{KH}{KS} = \frac{HN}{SN} = \frac{\sqrt{5}}{5} (tính chất phân giác).

    Gọi E là trung điểm của CM, theo định lí Ta-lét thì:

    \frac{KH}{KS} = \frac{ME}{MS} = \frac{1}{\sqrt{5}}

    \Rightarrow \frac{MC}{MS} = \frac{2ME}{MS} = \frac{2}{\sqrt{5}}

    \Rightarrow \frac{MC}{MS} = \frac{2}{\sqrt{5}}

    Vậy \frac{MS}{MC} = \frac{\sqrt{5}}{2}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =a\sqrt{6}. Gọi α là góc giữa SC và (SAB). Giá trị tan α bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}BC\bot SA \\BC\bot AB \\\end{matrix} ight.=> BC ⊥ (SAB)

    => SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB)

    => \alpha = \widehat{BSC}

    Mà SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} =a\sqrt{7}

    Vậy \tan\alpha = \frac{BC}{SB} =\frac{\sqrt{7}}{7}

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian cho đường thẳng Δ không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng Δ gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu

    Đường thẳng Δ được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu Δ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hình chóp ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) là góc nào dưới đây?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BO\bot SA \\ BO\bot AC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BO\bot(SAC)

    Hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SAC) là SO.

    Vậy \widehat{\left( SC;(SAC) ight)} = \widehat{BSO}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng (A'BC) và mặt phẳng (ABC) bằng 30^{0} và cạnh AA' = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó

    \left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ AA'\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(A'AM)

    \Rightarrow \left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 30^{0}

    Ta có: AM = \frac{AA'}{tan30^{0}} = 2a\sqrt{3}

    \Rightarrow BC = 2AM = 4a\sqrt{3}

    \Rightarrow S_{ABC} = \frac{1}{2}.AM.BC = 12a^{3}

    \Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = 24a^{3}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc 600. Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

    Hình vẽ minh họa

    Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)

    Ta có:

    \begin{matrix} {60^0} = \left( {SB;\left( {ABCD} ight)} ight) = \left( {SB;AB} ight) = \widehat {SBA} \hfill \\ \Rightarrow SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a\sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có: AD // BC => AD // (SBC)

    => d(D,(SBC)) = d(A; (SBC))

    Kẻ AK \bot SB (1)

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot SA} \\ {BC \bot AB} \end{array}} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot AK\left( 2 ight)

    Từ (1) và (2) => AK \bot \left( {SBC} ight)

    \begin{matrix} \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = AK \hfill \\ AK = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    d\left( {D;\left( {SBC} ight)} ight) = AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Đáy của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh bằng 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC.

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó AM ⊥ AA’ tại A, AM ⊥ BC tại M.

    Do đó, AM là đoạn vuông góc chung của AA’ và BC.

    => d(AA’, BC) = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 95 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập