Cho hình chóp
có
. Biết
là hình chữ nhật có
. Giả sử
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng đáy.
=>
Mặt khác
Xét tam giác vuông SAC có:
Cho hình chóp
có
. Biết
là hình chữ nhật có
. Giả sử
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng đáy.
=>
Mặt khác
Xét tam giác vuông SAC có:
Tính thể tích hình chóp đều
biết chiều cao bằng
và độ dài cạnh bên bằng
?
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Tam giác SOA vuông tại O nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi
,
. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng
?
Minh họa bằng hình vẽ:
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
,
. Xác định độ lớn khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Hình vẽ minh họa
Gọi
Kẻ
Ta có:
Mà
Từ (*) và (**) suy ra
Từ (1) và (2) suy ra
Xét tam giác vuông tại
ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều và
là trung điểm cạnh
. Gọi
là trung điểm
của tam giác
,
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Gọi mặt phẳng
qua
và vuông góc với
. Thiết diện của
với hình chóp
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
=> Qua I kẻ đường thẳng . Gọi
Ta có: => Qua I kẻ đường thẳng
=> Qua K kẻ đường thẳng
. Gọi
=> thiết diện và hình chóp là tứ giác
có IK là đường trung trực của MN và PQ.
=> là hình thang cân.
Cho hình chóp
có đáy là tam giác
vuông tại
. Đường thẳng vuông góc với đáy
. Đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có
Cho hình chóp
có
, các cạnh còn lại đều bằng a. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Suy ra tam giác ABC vuông tại A.
Gọi H, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AB, SA
Xét tam giác SBC có: SB = SC nên
Lại H là tam đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Mà SA = SB = SC = a nên
Suy ra tam giác SAH vuông cân tại H
Do đó tam giác MHN cạnh . Góc cần tìm bằng
Cho hình chóp O.ABC có OA = OB = OC = 1, các cạnh OB, OC, OA đối một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai vecto
?

Ta có:
Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a, (ACD) ⊥ (BCD) và (ABC) ⊥ (ABD). Tính độ dài cạnh CD.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB, ∆ACD và ∆BCD cân
=> AM ⊥ CD, BM ⊥ CD. Ta có:
=> AM ⊥ BM
Và ta dễ dàng chứng minh được ∆ACD = ∆BCD (c – c - c)
=> AM = BM => ∆ABM vuông cân tại M
=> MN ⊥ AB
Đặt CD = x
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
Xét ∆ABM vuông cân tại M
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
Xét ∆CDN vuông cân tại N
Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông cân tại
. Tam giác
là tam giác đều cạnh
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của . Suy ra
Kẻ
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC
Do đó
Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.

Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a
Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.
Tương tự BH ⊥ AC.
Ta có:
Gọi K là trung điểm của DB.
Ta có: ABD cân tại A nên
Và CBD cân tại C nên
Ta có:
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có nên BDH vuông cân tại H.
Từ đó ta có:
Ta có: mà
Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.
Nên ta có: KH là phân giác của góc suy ra
Ta có:
Vậy
Cho hình chóp
có đáy là tam giác đều cạnh bằng
;
. Xác định thể tích hình chóp
?
Ta có nên SC là đường cao của hình chóp
Tam giác ABC đều cạnh x nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là một điểm nằm trên đoạn thẳng BC. Mặt phẳng (SAB) tạo với (SBC) một góc 600 và mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) một góc ϕ thỏa mãn
. Gọi ϕ là góc tạo bởi SA và mặt phẳng (ABC), tính tan ϕ.
Hình vẽ minh họa:
Dựng hình chữ nhật HNAM, suy ra tam giác HNC vuông cân tại N và tam giác HMB vuông cân tại M, suy ra AC ⊥ (SHN) và AB ⊥ (SHM).
Kẻ HE ⊥ SB và HF ⊥ SC, HP ⊥ SN và HK ⊥ SM, suy ra HP ⊥ (SAC), HK ⊥ (SAB).
Ta có:
=> là góc giữa (SAB) và (SBC) bằng 600
Suy ra:
Suy ra
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và A’C’.

+ Ta có AC // A’C’ nên góc giữa AM và A’C’ là góc giữa AC và AM.
+ Xét tam giác AMC có:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác AMC, ta có:
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng đáy. Biết
.
Hình vẽ minh họa:
Kẻ Mk // SO
Theo bài ra ta có: SO ⊥ (ABCD) => MK ⊥ (ABCD)
=>
Ta có:
Xét tam giác CNK có:
Xét tam giác MNK vuông ta có:
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)
Công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy
và chiều cao
là:
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao
là:
Cho hình chóp
có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi trung điểm các cạnh
và
lần lượt là
. Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Theo giả thiết ta có:
là đường trung bình của tam giác
nên
Vì