Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật, cạnh bên
vuông góc với đáy. Kết luận nào đưới dây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật, cạnh bên
vuông góc với đáy. Kết luận nào đưới dây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”
Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD.
Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)
Cho hình chóp tứ giác đều
có tất cả các cạnh bằng
. Gọi
là trung điểm của
. Gọi
là góc tạo bởi đường thẳng
và mặt phẳng
. Tính
?
Minh họa bằng hình vẽ:
Gọi O là tâm của hình vuông. Ta có: và
Gọi là trung điểm của
ta có:
nên
là hình chiếu của
lên mặt phẳng
và
Do đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
là
Khi đó ta có:
Vậy .
Cho tứ diện đều ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính cosin góc giữa hai cạnh AJ và CI?
Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Ta có:
Vậy cosin góc giữa hai cạnh AJ và CI bằng
Cho hình chóp S.ABC có AB = AC,
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng SA và BC.
Ta có:
Vì
=> Góc giữa hai đường thẳng SA, BC là: 900
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có:
Cho hình lập phương
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có:
Mặt khác
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
,
. Xác định độ lớn khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Hình vẽ minh họa
Gọi
Kẻ
Ta có:
Mà
Từ (*) và (**) suy ra
Từ (1) và (2) suy ra
Xét tam giác vuông tại
ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với (ABCD), AH và AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB và SAD. Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc vì
Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc vì BC ⊥ (SAB) do BC ⊥ AB và BC ⊥ SA
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B và
. Tam giác SAC là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với (ABC). Xét điểm M thuộc cạnh SC sao cho mặt phẳng (MAB) tạo với hai mặt phẳng (SAB); (ABC) góc bằng nhau. Tỉ số
có giá trị bằng:
Gọi H là trung điểm của AC, suy ra SH ⊥ (ABC).
Gọi N là trung điểm của AB, suy ra AB ⊥ (SHN).
Lấy K là giao điểm của AM, SH. Do đó
Theo giả thiết, NK là phân giác của góc
Giả sử:
Mặt khác:
(tính chất phân giác).
Gọi E là trung điểm của CM, theo định lí Ta-lét thì:
Vậy
Cho hình lập phương
. Xác định đường thẳng vuông góc với đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác cân tại
. Gọi
là trung điểm của
,
là trung điểm của
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Dễ thấy
Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra
Theo giả thiết . Khi đó
Ta được
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên
và vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)
Hình vẽ minh họa:

Do AB // CD =>
Kẻ tại E (1)
Ta có:
Từ (1) và (2) =>
=>
Xét tam giác vuông SAD ta có:
Vậy
Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy H, K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH = 3HA, AK = 3KD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho
. Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC .
Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có

Ta có:
Trong tam giác vuông SEI có:
=>
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh
vuông góc với đáy và
. Tính thể tích khối chóp
đã cho.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp là
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có mặt đáy ABCD là hình thoi tâm O, góc
và A’A = A’B = A’D. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có: ABCD là hình thoi =>AB = AD mà nên tam giác ABD là tam giác đều (*)
Ta có: A’A = A’B = A’D nên hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. (**)
Từ (*) và (**) => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Cho một khối lăng trụ đứng như hình vẽ:

Biết đáy
là hình thoi cạnh bằng a,
. Tính thể tích
của lăng trụ đứng đã cho?
Kí hiệu hình vẽ như sau:
Gọi giao điểm của AC và BD là I
Ta có:
Xét tam giác vuông BAI vuông tại I ta có:
Diện tích hình bình hành ABCD là:
Vậy
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a. Điểm H thuộc cạnh AC với HC = a. Dựng đoạn SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) với SH = 2a. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.
Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).
Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)
Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)
Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)
Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK
Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}
Do đó
Theo giả thiết ∆ABC đều =>
Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:
Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:
Hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 3 và AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Diện tích của tam giác BCD bằng:
Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là