Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a; SA = a;SA\bot(ABCD). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC;BD bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Dựng Cx//BD;(\alpha) = (SC;Cx)

    \Rightarrow d(BD;SC) = d\left( BD;(\alpha) ight)

    d\left( BD;(\alpha) ight) = d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{1}{2}d\left( A;(\alpha) ight)

    Dựng AK\bot SC. Dễ thấy AK\bot(\alpha) \Rightarrow d\left( A;(\alpha) ight) = AK

    \frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{AC^{2}} \Rightarrow AK = \frac{a\sqrt{6}}{3}

    \Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{a\sqrt{6}}{3}

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa

    Hình vẽ minh họa:

    Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

    Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, tam giác SAD là tam giác đều. Tìm sin của góc tạo bởi hai đường thẳng SA và BC.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: BC//AD \Rightarrow (BC;SA) = (BD;SA) = \widehat{SAD} = 60^{0}

    \Rightarrow \sin(BC;SA) = \frac{\sqrt{3}}{2}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2\sqrt 2, AA’ = 4. Tính góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’).

     Số đo góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’)

    Ta có CB \bot \left( {AA'B'B} ight) tại B. Khi đó A’B là hình chiếu của A’C lên mặt phẳng (AA’B’B)

    Vậy góc tạo bởi đường thẳng A’C và mặt phẳng (AA’BB’) là góc \widehat {CA'B}

    Khi đó \tan \widehat {CA'B} = \frac{{BC}}{{A'B}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( {2\sqrt 2 } ight)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {CA'B} = 30^\circ

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của AB suy ra

    \left\{ \begin{matrix} MO\bot AB \\ SM\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left( (SAB);(ABCD) ight) = \widehat{SMO} = \varphi

    Tam giác SMO vuông tại O nên \varphi eq 90^{0}

    Do đó mặt phẳng (SAB) không vuông góc với (ABCD).

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A và B là:

    Trong không gian, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A và B là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a\sqrt{3};BC = a\sqrt{2}. Cạnh bên SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa SB và DC bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Vì DC // AB nên khoảng cách giữa SB và DC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng (SAB) và DC.

    Do đó: d(DC, SB) = d(DC, (SAB)) = d(D, (SAB)) = AD = a\sqrt{2}

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng 5a^{2}, chiều cao bằng a. Thể tích khối chóp đã cho là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B = 5a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối chóp là: V = \frac{1}{3}B.h = \frac{5}{3}a^{3}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hình tứ diện ABCD có AB, CD, BC đôi một vuông góc. Khi đó ta có:

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có:

    \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}CD\bot AB \subset (ABC) \hfill \\CD\bot CB \subset (ABC) \\AB \cap CB = B \hfill \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(ABC) \hfill \\\Rightarrow CD\bot(ABC) \hfill \\\end{matrix}

    Ta có:

    Nếu AB\bot(ACD) \Rightarrow AB\botAC (Vô lí)

    Nếu BC\bot(ACD) \Rightarrow BC\botAC (Vô lí)

    Nếu AD\bot(BCD) \Rightarrow B \equivD (Vô lí)

     

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng:

    Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).

    Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy H, K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH = 3HA, AK = 3KD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho \widehat {SBH} = 30^\circ. Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC .

    Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có

    \begin{matrix} \Delta ABK = \Delta BCH \hfill \\ \Rightarrow \widehat {ABK} = \widehat {BCH} \Rightarrow \widehat {HEB} = 90^\circ \hfill \\ \end{matrix}

    Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

    Ta có:

    \begin{matrix} {\text{cos}}\left( {SE\,;\,BC} ight) = {\text{cos}}\left( {SE\,;\,EI} ight) = \left| {\cos \widehat {SEI}} ight| \hfill \\ SH = BH.\tan 30^\circ = 3a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = a\sqrt 3 \hfill \\ \dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{{HE}}{{HB}} \Rightarrow HE = \dfrac{{H{B^2}}}{{HC}} = \dfrac{{9a}}{5} \hfill \\ SE = \sqrt {S{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {3{a^2} + \dfrac{{81{a^2}}}{{25}}} = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{5} \hfill \\ \dfrac{{HE}}{{HB}} = \dfrac{{HI}}{{HE}} \Rightarrow HI = \dfrac{{H{E^2}}}{{HB}} = \dfrac{{27a}}{{25}} \hfill \\ SI = \sqrt {S{H^2} + H{I^2}} = \sqrt {3{a^2} + {{\left( {\dfrac{{27a}}{{25}}} ight)}^2}} = \dfrac{{2a\sqrt {651} }}{{25}} \hfill \\ \end{matrix}

    Trong tam giác vuông SEI có:

    EI = \sqrt {S{E^2} - S{I^2}} = \frac{{36a}}{{25}}

    => \cos \widehat {SEI} = \frac{{EI}}{{SE}} = \frac{{18}}{{5\sqrt {39} }}

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với trọng tâm G. Cạnh bên SA tạo với đáy (ABC) một góc 300. Biết hai mặt phẳng (SBG) và (SCG) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SA và BC.

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (SBG) \cap (SCG) = SG \\ (SBG)\bot(ABC) \\ (SCG)\bot(ABC) \\ \end{matrix} \Rightarrow SG\bot(ABC) ight.

    Gọi O, N lần lượt là trung điểm của AC và BC.

    Gọi D là điểm đối xứng của B qua O. Khi đó ABCD là hình vuông.

    Vì BC // AD nên (SA, BC) = (SA, AD).

    Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng SA và AD.

    Đặt AB = BC = x => AD = x

    Ta có:

    \begin{matrix}AN^{2} = AB^{2} + BN^{2} = x^{2} + \dfrac{x^{2}}{4} = \dfrac{5x^{2}}{4}\hfill \\\Rightarrow AN = \dfrac{x\sqrt{5}}{2} \hfill\\AG = \dfrac{2}{3}AN = \dfrac{2}{3}.\dfrac{x\sqrt{5}}{2} =\dfrac{x\sqrt{5}}{3}\hfill \\\end{matrix}

    Góc giữa SA và mặt đáy (ABC) là \widehat{SAG} = 30^{0}

    Ta có:

    cos30^{0} = \frac{AG}{SA} \Rightarrow SA = \frac{AG}{cos30^{0}} = \frac{2x\sqrt{15}}{9}

    Ta có:

    \begin{matrix}\tan30^{0} = \dfrac{SG}{AG}\hfill \\\Rightarrow SG = AG.\tan30^{0} = \dfrac{x\sqrt{15}}{9} \hfill\\GD = \dfrac{2}{3}BD = \dfrac{2}{3}x\sqrt{2} \\SD^{2} = SG^{2} + GD^{2} = \dfrac{15x^{2}}{81} + \dfrac{8x^{2}}{9} =\dfrac{87x^{2}}{81} \hfill\\\end{matrix}

    Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác SAD ta có:

    \cos SAD = \frac{SA^{2} + AD^{2} - SD^{2}}{2SA.AD} = \frac{\sqrt{15}}{10}

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 600. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và SB.

    Hình vẽ minh họa:

    Xác định góc 600

    \widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} =\widehat{(SC;AC)} = 60^{0} = \widehat{SCA}

    SA = AC.tan\widehat{SCA} =a\sqrt{6}

    Gọi M là trung điểm AB => ADCM là hình vuông => CM = AD = a

    Xét tam giác ACB ta có:

    CM = a = \frac{1}{2}AB

    => Tam giác ACB vuông tại C

    Lấy điểm E sao cho ACBE là hình chữ nhật

    => AC // BE

    => d(AC, SB) = d(AC, (SBE)) = d(A,(SBE))

    Kẻ AK ⊥ SE. Khi đó:

    d\left( A;(SBE) ight) = AK =\frac{SA.AE}{\sqrt{SA^{2} + AE^{2}}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC; \widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}. Hãy xác định góc giữa cặp vecto \overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB}?

    Hình vẽ minh họa:

    Xác định góc giữa cặp vecto

    Ta có:

    \begin{matrix} \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {SC} .(\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SA} ) \hfill \\ = \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SA} \hfill \\ = |\overrightarrow {SC} |.|\overrightarrow {SB} |.\cos (\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SB} ) \hfill \\ - |\overrightarrow {SC} |.|\overrightarrow {SA} |.\cos (\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ) \hfill \\ = SC.SB.\cos \widehat {BSC} - SC.SA.\cos \widehat {ASC} \hfill \\ \end{matrix}

    Mà SA = SB = SC và \widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}

    => \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} = 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } ight) = {90^0}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng A'D và B'I ta được kết quả là:

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a, a > 0

    Ta có:

    B'C//A'D \Rightarrow (A'D;B'I) = (B'I,B'C)

    Tính được \left\{ \begin{matrix}B'I = \sqrt{a^{2} + \left( \dfrac{a}{2} ight)^{2}} =\dfrac{a\sqrt{5}}{2} = CI \\B'C = a\sqrt{2} \\\end{matrix} ight.

    Trong tam giác B’CI ta có:

    \cos\widehat{IB'C} = \dfrac{\left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{2} ight)^{2} - \left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2}ight)^{2}}{2.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.a\sqrt{2}}

    = \frac{2a^{2}}{a^{2}\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hình chóp đều, các cạnh bên có độ dài bằng a và tạo với đáy một góc 60^{0}. Tính chu vi đáy P của hình chóp đó.

    Hình vẽ minh họa

    Kẻ SH\bot(ABC)

    H là tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời là trọng tâm tam giác ABC

    Ta có: \left( SA;(ABC) ight) = \widehat{SAH} = 60^{0}

    \Rightarrow AH = SA.cos\widehat{SAH} = SA.cos60^{0} = a.\frac{1}{2} = \frac{a}{2}

    Gọi M là trung điểm của BC

    \Rightarrow AM = \frac{3}{2}AH = \frac{3}{2}.\frac{a}{2} = \frac{3a}{4}

    Gọi AB = BC = AC = x \Rightarrow BM = \frac{x}{2}

    Vì M là trung điểm của BC nên AM\bot BC

    \Rightarrow AB^{2} = BM^{2} + AM^{2}

    \Leftrightarrow x^{2} = \frac{1}{4}x^{2} + \left( \frac{3a}{4} ight)^{2}

    \Leftrightarrow x = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    Chu vi đáy ABC bằng AB + BC + AC = 3.x = 3.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a\sqrt{3}}{2}

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh x, SA vuông góc với đáy và SA = x\sqrt{3}. Tính chiều cao hình chóp S.ABC?

    Ta có SA\bot(ABC) nên SA là đường cao của hình chóp

    Tam giác ABC đều cạnh x nên S_{ABC} = \frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}

    Vậy thể tích hình chóp là: V_{S.ABC} = \frac{1}{3}SA.S_{ABC} = \frac{1}{3}.\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}.x\sqrt{3} = \frac{x^{3}}{4}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hình chóp  S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết AB = a;AC = a\sqrt{3};SB = a\sqrt{2}.

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác ABC vuông tại C ta có: BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{a^{2} + \left( a\sqrt{3} ight)^{2}} = 2a

    H là trung điểm của BC nên BH = a

    Xét tam giác SBH vuông tại H có SH = \sqrt{SB^{2} - HB^{2}} = \sqrt{\left( a\sqrt{2} ight)^{2} - a^{2}} = a

    Diện tích đáy ABC là S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a^{2}\sqrt{3}

    Thể tích khối chóp là V = \frac{1}{3}SH.S_{ABC} = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}a^{2}\sqrt{3} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = a;BC = a\sqrt{2}, SA\bot(ABC);SA = a. Tính góc tạo bởi SB và mặt phẳng đáy?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: SA\bot(ABC) nên AB là hình chiếu của SA trên mặt phẳng đáy.

    \Rightarrow \left( SB;(ABC) ight) = (SB;AB) = \widehat{SBA}

    Mặt khác tam giác ABC vuông tại C nên AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{3}

    \Rightarrow \tan\widehat{SBA} = \frac{SA}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}}

    \Rightarrow \left( SB;(ABC) ight) = \widehat{SBA} = 30^{0}

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

    Mặt khác BC ⊥ AB

    Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB

    Vậy \widehat{\left( SC,(SAB) ight)} =\widehat{(SC,SB)} = \widehat{BSC\ }(vì tam giác SBC vuông tại B)

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 98 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập