Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và BD.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
OC ⊥ BD
OC ⊥ CC’
=> OC là đoạn vuông góc chung của CC’ và BD.
Vậy d(CC’, BD) = OC = AC/2 = 2a/2 = a
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và BD.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
OC ⊥ BD
OC ⊥ CC’
=> OC là đoạn vuông góc chung của CC’ và BD.
Vậy d(CC’, BD) = OC = AC/2 = 2a/2 = a
Cho hình chóp
có đáy là tam giác
vuông tại
. Đường thẳng vuông góc với đáy
. Đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có
Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết
và góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ đứng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Suy ra
Ta có:
Vậy
Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của cạnh CD, gọi
là góc giữa hai đường thẳng AM và BC. Giá trị
bằng:

Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a
Vì M là trung điểm của CD. Nên AM là đường cao trong tam giác ACD đều.
=>
Ta có:
=>
=>
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.
Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.“ sai vì hai mặt phẳng đó có thể tạo với nhau những góc khác 900.
Dễ thấy mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cùng song song với một đường thẳng.” đúng.
Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cùng vuông góc với một đường thẳng.“ sai vì trong trường hợp mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R), (P) ⊥ (Q) thì không thể có đường thẳng nào cùng vuông góc với (P) và (Q).
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình lăng trụ tam giác đều
có tất cả các cạnh bằng
. (như hình vẽ).

Tính
?
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm cạnh BC.
Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên ;
là hình lăng trụ tam giác đều nên
Do đó và
theo giao tuyến
Kẻ
Lại có
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = OC = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.
Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)
=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.
Ta có:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa:

Ta có: AA’D’A là hình vuông => AD’ ⊥ A’D
ABCD.A’B’C’D là hình lập phương => AB ⊥ A’D
=> A’D ⊥ (ABC’D’) => A’D ⊥ AC’
Ta lại có: ABCD là hình vuông => AC ⊥ BD
Mà A’A ⊥ BD => BD ⊥ (AA’C’C) => BD ⊥ AC’
Kết hợp với A’D ⊥ AC’ => A’C ⊥ (A’BD)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 600, tam giác SBC là tam giác đều có cạnh bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy (ABC).
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của BC => SH ⊥ (ABC)
Vì SH ⊥ (ABC) => HA là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SAB)
=>
Xét tam giác SBC đều cạnh 2a =>
Tam giác ABC vuông tại A =>
Tam giác SAH vuông nên
Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm SC. Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
Hình vẽ minh họa:
Gọi M’ là trung điểm OC.
Khi đó MM’ // SO => MM’ ⊥ (ABCD).
Theo công thức diện tích hình chiếu, ta có:
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)
Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của BC. Khi đó cos(AB; DM) là:
Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh của tứ diện là a
Tam giác BCD đều =>
Tam giác ABC đều =>
Ta có:
Mặt khác
Cho hình chóp tam giác
có
và
. Kết quả nào dưới đây đúng?
Ta có:
suy ra tam giác ABC vuông tại A
=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì nên
là đường cao của hình chóp
.
Hình vẽ minh họa
Gọi N, I lần lượt là trung điểm cạnh AC và SB.
Ta có: MN // AB và IM // SC nên
Mà
Xét tam giác IMN có
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Ta có:
“Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau” sai do hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
“Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau” sai do hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng có thể trùng nhau.
“Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau” sai do trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung có thể chéo nhau.
Vậy khẳng định đúng là: “Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.”
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 27. Một mặt phẳng (α) tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 600 và cắt các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’ lần lượt tại M, N, P, Q. Tính diện tích của tứ giác MNPQ.
Hình vẽ minh họa:
Đặt AB = a
Ta có:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
, AA’ = 4. Tính góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’).

Ta có tại B. Khi đó A’B là hình chiếu của A’C lên mặt phẳng (AA’B’B)
Vậy góc tạo bởi đường thẳng A’C và mặt phẳng (AA’BB’) là góc
Khi đó
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên
và vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)
Hình vẽ minh họa:

Do AB // CD =>
Kẻ tại E (1)
Ta có:
Từ (1) và (2) =>
=>
Xét tam giác vuông SAD ta có:
Vậy
Công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy
và chiều cao
là:
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao
là: