Cho một khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h lần lượt là
. Khi đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?
Ta có:
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Cho một khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h lần lượt là
. Khi đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?
Ta có:
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Cho hình chóp
có tam giác
đều cạnh
và
. Lấy điểm
bất kì trong không gian. Gọi
là tổng khoảng cách từ điểm
đến tất cả các đường thẳng
. Tính giá trị nhỏ nhất của
?
Cho hình chóp có tam giác
đều cạnh
và
. Lấy điểm
bất kì trong không gian. Gọi
là tổng khoảng cách từ điểm
đến tất cả các đường thẳng
. Tính giá trị nhỏ nhất của
?
Cho hình lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông tại
,
và
. Chọn kết luận đúng về số đo góc giữa
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có hình chiếu của A”C lên mặt phẳng (ABC) là AC
Suy ra
Ta có:
Trong các khẳng định sai về lăng trụ đều, khẳng định nào là sai?
Vì lăng trụ đều nên các cạnh bằng nhau. Do đó đáy là đa giác đều.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các mặt bên vuông góc với đáy.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên vuông góc với đáy.
Vì lăng trụ đều là lăng trụ đứng nên các cạnh bên bằng nhau và cùng vuông góc với đáy. Do đó các mặt bên là những hình vuông.
Cho hình chóp tam giác
có
và
. Kết quả nào dưới đây đúng?
Ta có:
suy ra tam giác ABC vuông tại A
=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì nên
là đường cao của hình chóp
.
Hình vẽ minh họa
Gọi N, I lần lượt là trung điểm cạnh AC và SB.
Ta có: MN // AB và IM // SC nên
Mà
Xét tam giác IMN có
Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của cạnh CD, gọi
là góc giữa hai đường thẳng AM và BC. Giá trị
bằng:

Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a
Vì M là trung điểm của CD. Nên AM là đường cao trong tam giác ACD đều.
=>
Ta có:
=>
=>
Cho hình lăng trụ tam giác
có tất cả các cạnh bằng nhau. Hãy tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: Tam giác là tam giác đều suy ra
Lại có
.
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC =
và BC = . Tính khoảng cách giữa SD và BC.
Hình vẽ minh họa:
Theo giả thiết, suy ra AD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) và CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật), nên theo định lý ba đường vuông góc suy ra CD ⊥ SD. Vì CD cũng vuông góc với BC nên CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.
Một hình chóp
có đáy
là cân
. Tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
. Tính thể tích khối chóp
theo
.
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB đều nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC
Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK, A’D.
Hình vẽ minh họa:
Trong mặt phẳng (CDD’C), gọi P là giao điểm của CK và C’D’
=> KD’ là đường trung bình của ∆PCC’
=> D’ là trung điểm của PC’
Trong mặt phẳng (A’B’C’D’), gọi M là giao điểm của PB’ và A’D’
Ta có: A’D // B’C => A’D // (AKB’)
=> d(CK, A’D) = d (A’,(CKB’)) = d(C’,(CPB’))
Xét tứ diện PCC’B’ ta có:
C’P, C’B và C’B đôi một vuông góc với nhau
Đặt d(C’, (CPB’)) = x, thì:
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh
vuông góc với đáy và
. Tính thể tích khối chóp
đã cho.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp là
Cho hình chóp tứ giác đều
. Tính khoảng cách từ đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm của đáy
Lấy M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.
Kẻ
Có
Ta có:
Khi đó
Trong tam giác SON vuông tại O, có:
Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi I là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Điểm I là:
Ta có:
Chứng minh tương tự ta được:
Vậy I là trực tâm của tam giác ABC.
Cho hai đường thẳng phân biệt
và mặt phẳng
. Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Nếu thì
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là
1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD
2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)
3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)
4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)
5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi α là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Hình vẽ minh họa:
Giả sử H là trung điểm của AB => SH ⊥ AB => SH ⊥ (ABCD)
=> Hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) là cạnh HD.
=>
Tam giác SAB đều cạnh a =>
Ta lại có:
=>
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông,
,
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác SAB vuông tại A có:
Gọi E là trung điểm cạnh MC, ta có:
và
Lại có:
Suy ra tam giác SBC vuông tại B.
Xét tam giá MBC vuông tại B ta có:
Xét tam giác có:
Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.

Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a
Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.
Tương tự BH ⊥ AC.
Ta có:
Gọi K là trung điểm của DB.
Ta có: ABD cân tại A nên
Và CBD cân tại C nên
Ta có:
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có nên BDH vuông cân tại H.
Từ đó ta có:
Ta có: mà
Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.
Nên ta có: KH là phân giác của góc suy ra
Ta có:
Vậy