Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)

Từ => AC ⊥ (SBD)

Từ => BD ⊥ (SAC)

Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

Hình vẽ minh họa:

Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)

=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là

Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’

=>

Hình vẽ minh họa:

Do AB // CD =>

Kẻ tại E (1)

Ta có:

Từ (1) và (2) =>

=>

Xét tam giác vuông SAD ta có:

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB

Tam giác SAB đều nên

Ta có:

Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC

Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).

Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.

Ta có:

Hình vẽ minh họa

Ta có: IF là đường trung bình của tam giác ACD =>

JE là đường trung bình của tam giác BCD =>

=> => Tứ giác IJEF là hình bình hành

Mặt khác . MÀ AB = CD => IJ = JE

Do đó IJEF là hình thoi => (IE; JF) = 90⁰

Hình vẽ minh họa

Ta có: đúng

Ta có: đúng

Ta có:

Mà đúng

Vậy hay tam giác HOA vuông tại H sai

Từ giả thiết suy ra ABDC là hình thoi nên BC ⊥ AD.

Ta có:

BC ⊥ AD và BC ⊥ SD

=> BC ⊥ (SAD)

=> BC ⊥ SA.

Lại có theo giả thiết IH ⊥ SA => SA ⊥ (HCB) => SA ⊥ BH

Tính được:

Ta có:

=> Tam giác HBC có trung tuyến IH bằng nửa cạnh đáy BC nên hay BH ⊥ HC.

Từ đó suy ra (SAB) ⊥ (SAC). Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SDB) ⊥ (SDC)” là sai.

Do nên

Ta có:

Nên

Vậy khoảng cách

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông)

BD ⊥ CC’

⇒ BD ⊥ AC’

Do đó góc giữa AC' và BD bằng 90⁰

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là giao điểm của HK và AC

Dễ dàng suy ra HK // BD => HK ⊥ AC

Ta lại có: AC ⊥ SH

=> AC ⊥ (SHK)

=>

Tam giác SIA vuông tại I ta có:

Mệnh đề đúng: “Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.”

NB

0

Hình vẽ minh họa:

Phần 1: Xác định góc

Bước 1: Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng:

Trong mặt phẳng (ADD’A’) gọi E là giao điểm của AD’ và A’D.

Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) gọi F là giao điểm của B’D’ và A’C’.

Khi đó EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (AB’D’) và (A’C’D).

Bước 2: Trong mỗi mặt phẳng, ta cần tìm đường thẳng vuông góc với giao tuyến:

Trong mặt phẳng (DA’C’) kẻ A’H ⊥ EF tại H, A’H cắt DC’ tại K.

Ta chứng minh D’H ⊥ EF.

Ta có:

Mặt khác:

Bước 3: Xác định góc giữa hai mặt phẳng:

Ta có:

=> α = ((AB’D’), (DA’C’)) = (D’H, A’H)

Phần 2: Tính góc α:

Ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác A’HD’

Bước 1: Chứng minh tam giác A’HD’ cân:

Trong tam giác A’DC’ ta có EF là đường trung bình, nên suy ra H là trung điểm A’K.

Vì A’D’ ⊥ (DD’C’C) nên A’D’ ⊥ D’K.

Do đó tam giác A’D’K vuông tại D’.

Xét tam giác A’D’K vuông tại D’ có D’K là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên D’H = A’H = A’K/2

Bước 2: Tính độ dài cạnh A’K:

Ta tính đường cao A’K của tam giác ADC’ thông qua diện tích.

Áp dụng định lý Pi – ta - go ta tính được độ dài các cạnh tam giác A’DC’ là:

Sử dụng công thức Hê-rông ta tính được

Mặt khác

Từ đó suy ra D’H = A’H = A’K/2 =

Bước 3: Tính góc α bằng định lý cosin:

Trong tam giác A’HD’ ta có:

Do đó góc giữa hai đường thẳng A’H và D’H bằng 61,6⁰

Vậy α = 61,6⁰

Hình vẽ minh họa

Các tam giác ABC và ABD là tam giác đều

=> Tam giác ACD cân

=> BN ⊥ CD và AN ⊥ CD

=> là góc của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)

Gọi N là trung điểm AD. Như vậy MN là đường trung bình của tam giác SAD nên MB // SA.

Vậy

Ta có:

Suy ra

Xét tam giác MNK vuông tại N (do ) ta có:

Lại có

Xét tam giác SAQ vuông tại A nên

Ta có

Khi đó

Vậy

Nếu là hình hộp thì tất cả các mặt là bình bình hành nên mặt bên cũng là hình bình hành.