Cho khối chóp tam giác đều 
có cạnh đáy bằng 1cm và các cạnh bên bằng 2cm. Khi đó thể tích khối chóp bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm của BC khi đó AI là đường cao của tam giác đáy.
Theo định lí Pythagore ta có:
Trong tam giác SOA vuông tại O ta có:
Vậy thể tích khối chóp tam giác là:
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy xác định góc giữa cặp vecto ?
Hình vẽ minh họa:
Xét tam giác ICD có J là trung điểm của CD =>
Tam giác ABC có AB = AC và => Tam giác ABC đều => CI ⊥ AB
Tương tự ta chứng minh được tam giác aBD đều => DI ⊥ AB
Ta có:
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥(ABC). Biết α là góc giữa SB và mặt phẳng (ABC). Xác định góc α.
Hình vẽ minh họa:
Ta có SA ⊥(ABC) => Hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AB.
=> Góc giữa đường thẳng SB và (ABC) là góc giữa hai đường thẳng SB và AB
Tức là
Cho hình hộp chữ nhật có . Gọi mặt phẳng qua và vuông góc với . Tính diện tích thiết diện tạo bởi và hình hộp chữ nhật đã cho?
Hình vẽ minh họa
Hình chữ nhật có
. Lấy
là trung điểm của
. Ta dễ dàng chứng minh
Ta lại có suy ra mặt phẳng
chính là mặt phẳng
.
Qua điểm M kẻ MN // AD. Thiết diện khi đó là hình chữ nhật ADMN.
Ta tính được
Suy ra diện tích hình chữ nhật ADMN là: .
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng và cạnh bên bằng 2a. Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (SAC) bằng
Gọi . Ta có S.ABCD là hình chóp tứ giác đều suy ra
.
Vì
Có
Suy ra hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB lên mặt phẳng (SAC) là đường thẳng SO.
Do đó góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SO và bằng góc .
Có
Vì
Xét tam giác SOB có
Ta có
Cho tứ diện . Gọi trung điểm của lần lượt là . Biết . Độ dài đoạn thẳng là:
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của CD. Khi đó
Lại có hay tam giác MNP vuông tại P
Theo định lí Pythagore ta có:
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = OC = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.
Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)
=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.
Ta có:
Cho hình lập phương . Xác định đường thẳng vuông góc với đường thẳng ?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”
Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD.
Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có và AA’ = 2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh A’B’, A’C’ và BC. Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AB’C’) và (MNP) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC và B’C’; I = BM ∩ AB’, J = CN ∩ AC’, E = MN ∩ A’Q.
Suy ra (MNP) ∩ (AB’C’) = (MNCB) ∩ (AB’C’) = IJ và gọi K = IJ ∩ PE
=> K ∈ AQ, với E là trung điểm của MN.
(AA’QP) ⊥ IJ => AQ ⊥ IJ, PE ⊥ IJ
=> ((MNP), (AB’C’)) = (AQ, PE) = α.
Ta có: AP = 3, PQ = 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 600. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và SB.
Hình vẽ minh họa:
Xác định góc 600
Gọi M là trung điểm AB => ADCM là hình vuông => CM = AD = a
Xét tam giác ACB ta có:
=> Tam giác ACB vuông tại C
Lấy điểm E sao cho ACBE là hình chữ nhật
=> AC // BE
=> d(AC, SB) = d(AC, (SBE)) = d(A,(SBE))
Kẻ AK ⊥ SE. Khi đó:
Trong không gian cho đường thẳng và điểm . Qua điểm có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với ?
Trong không gian có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).
Ta có:
Do
Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra
=> Tam giác MOC cân tại M.
=>
Khi đó
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA = SB và (SAB) ⊥ (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
(SAB) ⊥ (ABCD)
BC ⊥ BA
=> BC ⊥ (SAB).
Từ B kẻ BK ⊥ SA => d(BC, SA) = BK.
Ta có:
Tam SAB cân tại S, do vậy d(BC, SA) = BK ≠ AB
Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , ; và . Góc giữa đường thằng và mặt phẳng đáy bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có góc giữa SC và mặt phẳng đáy là góc
Xét tam giác SCA vuông tại A có:
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng ; . Xác định thể tích hình chóp ?
Ta có nên SC là đường cao của hình chóp
Tam giác ABC đều cạnh x nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng , chiều cao bằng . Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng đáy . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy mệnh đề sai là:
