Cho hình chóp tam giác
có
và
. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Giả sử M, N, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, AC
Mặt khác ta có:
Ta có:
Xét tam giác NAC có:
Xét tam giác MNQ ta có:
Cho hình chóp tam giác
có
và
. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Giả sử M, N, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, AC
Mặt khác ta có:
Ta có:
Xét tam giác NAC có:
Xét tam giác MNQ ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Cho hình chóp S.ABCD có
, ABCD là hình thang vuông tại A, B và
. Gọi
, M là trung điểm SB. Tính sin của góc giữa OM và (SCD).

Trong (SBD), gọi
Ta có BC // AD, áp dụng định lý Ta – let ta được:
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SBD có cát tuyến OMI ta có:
Tam giác SAD vuông tại A có
=>
Mặt khác:
Lại có ABCD là hình thang vuông tại A, B và nên
=> mà
Kẻ , có
(do
)
Xét tam giác SAC vuông tại A có , AH là đường cao:
Xét tam giác SBD có:
Xét tam giác DIO có:
Do đó:
Mặt khác:
Khẳng định nào sau đây là sai?
Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α).”
Vì thiếu điều kiện “cắt nhau” của hai đường thẳng nằm trong (α).
Ví dụ đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b và c nằm trong (α) nhưng b và c song song với nhau thì khi đó a chưa chắc vuông góc với (α).
Một tấm ván hình chữ nhật
được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu
. Cho biết
,
. Tính góc giữa đường thẳng
và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).
Đáp án : 33![]()
Một tấm ván hình chữ nhật được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu
. Cho biết
,
. Tính góc giữa đường thẳng
và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).
Đáp án : 33
Gọi ,
lần lượt là hình chiếu của
,
lên đáy hố là mặt phẳng
.
Khi đó có hình chiếu lên đáy là
, suy ra
.
Với độ sâu hố là (m), ta có
.
.
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết:
. Hai bên mặt SAB và SAD vuông tại a. Gọi μ là góc giữa hai đường thẳng SB và AC. Tính cosμ?
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Ta lại có:
Cho hình chóp
có đáy là hình thoi tâm
. Biết rằng
. Hãy chọn kết luận sai dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có tam giác SAC cân tại S và SO là đường trung tuyến cũng đồng thời là đường cao
=>
Trong tam giác SOA thì AC và SA không thể vuông tại A
Vậy khẳng định sai là: .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có:
Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó
bằng:

Cho lăng trụ đứng
có đáy ABC là tam giác đều cạnh
. Gọi
là trung điểm cạnh BC. Biết
, khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
là:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
, ta có
là hình bình hành
.
Kẻ .
Ta có: .
Suy ra,
Ta có: .
Xét vuông tại
ta có:
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh
,
. Xác định thể tích
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a √ 2 và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi α là góc giữa mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Nếu
thì góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng
Hình vẽ minh họa:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC.
Ta dễ dàng chứng minh được AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC.
Mà AK ⊥ SC nên SC ⊥ (AHK) => SC ⊥ HK.
Ta có:
(SAC) ∩ (SBC) = SC
AK ⊥ SC
HK ⊥ SC
=> ((SAC), (SBC)) = (AK; HK) = .
Ta cũng có: ((SBD); (ABCD)) = (SO; AO) = = α
=> tan α = SA/AO => SA = a
Do đó: tam giác SAB vuông cân tại A =>
Xét tam giác SAC có:
Xét tam giác AHK vuông tại H, ta có:
Vậy ((SAC); (SBC)) = 300.
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
, SA vuông góc với đáy và
. Tính chiều cao hình chóp
?
Ta có nên SA là đường cao của hình chóp
Tam giác ABC đều cạnh x nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi I là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Điểm I là:
Ta có:
Chứng minh tương tự ta được:
Vậy I là trực tâm của tam giác ABC.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông,
. Kết luận nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
vì
vì
vì
Cho hình hộp chữ nhật
. Mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có: là hình hộp chữ nhật suy ra
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hình vuông ABCD =>
Vì nên
Gọi H là trung điểm của CD =>
Gọi K là hình chiếu của O trên SH =>
Ta có:
Từ (*) và (**)
Ta lại có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt đáy và
. Gọi
là trọng tâm của tam giác SAB. Khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
(vì
cân)
Ta có:
Và tại
.
Do đó .
Ta có: .
Vì là trọng tâm của
nên
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Gọi α là góc giữa SA và (SHK). Chọn mệnh đề đúng?
Hình vẽ minh họa:
Gọi I là giao điểm của HK và AC
Dễ dàng suy ra HK // BD => HK ⊥ AC
Ta lại có: AC ⊥ SH
=> AC ⊥ (SHK)
=>
Tam giác SIA vuông tại I ta có:
Cho một khối chóp
có đáy
là tam giác vuông cân tại
,
và
. Tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Do tam giác SAB đều suy ra
Mà
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Khi đó
Ta có:
Thể tích khối chóp là: