Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, A’B’C’D’ là hình chữ nhật tâmH, A’D’ = 2a, A'B' = 2\sqrt 3 a, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’D’), AH = 2\sqrt 3 a. Gọi \alpha là góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’. Tính \cos \alpha.

    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Bước 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’

    Kẻ đường thẳng d qua D, song song với AD', cắt A’D’ tại E

    Suy ra \alpha = \widehat {\left( {AD',\,DB'} ight)} = \widehat {\left( {DE,\,DB'} ight)}

    Bước 2: Tính \cos \alpha

    Kẻ đường thẳng qua H, song song với A’D’, cắt A’B’ tại F.

    Lấy điểm I sao cho ADIH là hình bình hành.

    Suy ra DI // AH , mà AH \bot \left( {A'B'C'D'} ight)

    => DI \bot \left( {A'B'C'D'} ight) \Rightarrow DI \bot IB'

    Ta có

    \begin{matrix} DE = AD' = \sqrt {A{H^2} + H{{D'}^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 a} ight)}^2} + {{\left( {2a} ight)}^2}} = 4a \hfill \\ EB' = \sqrt {A'{E^2} + A'{{B'}^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } ight)}^2}} .a = 2\sqrt 7 a \hfill \\ IB' = \sqrt {I{F^2} + F{{B'}^2}} = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 3 } ight)}^2}} .a = 2\sqrt 3 a \hfill \\ DB' = \sqrt {D{I^2} + I{{B'}^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } ight)}^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } ight)}^2}} .a = 2\sqrt 6 a \hfill \\ \end{matrix}

    Trong tam giác EDB’, có:

    \begin{matrix} \cos \widehat {EDB'} = \dfrac{{D{E^2} + D{{B'}^2} - E{{B'}^2}}}{{2.DE.DB'}} \hfill \\ = \dfrac{{{{\left( {4a} ight)}^2} + {{\left( {2\sqrt 6 a} ight)}^2} - {{\left( {2\sqrt 7 a} ight)}^2}}}{{2.4a.2\sqrt 6 a}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt 6 }}{8} > 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Suy ra \cos \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{8}

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng 5a^{2}, chiều cao bằng a. Thể tích khối chóp đã cho là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B = 5a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối chóp là: V = \frac{1}{3}B.h = \frac{5}{3}a^{3}

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A' đến mp (ABCD) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có A'A\bot(ABCD) nên d\left( A',(ABCD) ight) = A'A = a.

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a và SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính tan α. Biết α là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB).

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 450 khi đó:

    \begin{matrix} \left( SC;(ABCD) ight) = (SC;AC) = \widehat{SCA} \\ \Rightarrow SA = AC = 2a\sqrt{2} \\ \end{matrix}

    Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} DO\bot AC \\ DO\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow DO\bot(SAC)=> Hình chiếu của SD trên mặt phẳng (SAC) là SO.

    => \left( SD;(SAC) ight) = (SD;SO) = \widehat{DSO}

    \left\{ \begin{matrix}DO = \dfrac{1}{2}BD = a\sqrt{2} \hfill \\SO = \sqrt{SA^{2} + AO^{2}} = a\sqrt{10} \hfill \\\end{matrix} ight.

    => \tan\widehat{DSO} = \frac{DO}{SO} = \frac{\sqrt{5}}{5}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên SA và mặt phẳng đáy bằng 60^{0}. Thể tích khối chóp S.BCD bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

    Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên SO\bot CA

    Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên SO\bot BD

    \Rightarrow SO\bot(ABCD)

    Suy ra OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy

    \Rightarrow \left( SA;(ABCD) ight) = \widehat{SAO} = 60^{0}

    ABCD là hình vuông nên OA = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}

    Xét tam giác vuông SOA ta có:

    SO = AO.\tan\widehat{SDO} =\frac{a\sqrt{2}}{2}.\tan60^{0} = \frac{a\sqrt{6}}{3}

    \Rightarrow S_{BCD} = \frac{a^{2}}{2}

    \Rightarrow V_{S.BCD} = \frac{1}{3}.SO.S_{BCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên cạnh BC. Tìm khẳng định đúng dưới đây?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: SA\bot(ABC) \Rightarrow SA\botBC

    Mà SH\bot BC

    \Rightarrow BC\bot(SAH) \RightarrowBC\bot AH

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi P là trung điểm của AB => PN, PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và tam giác ABD.

    => \left\{ \begin{matrix}PN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2} \\PM = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{3a}{2} \\\end{matrix} ight.

    Ta có: AC\bot BD \Rightarrow PN\botPM

    => MN = \sqrt{PN^{2} + PM^{2}} =\sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{9a^{2}}{4}} =\frac{a\sqrt{10}}{2}

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

    Mặt khác BC ⊥ AB

    Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB

    Vậy \widehat{\left( SC,(SAB) ight)} =\widehat{(SC,SB)} = \widehat{BSC\ }(vì tam giác SBC vuông tại B)

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có độ dài cạnh AB = a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SD.

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có AD // (IJ) ⇒ IJ // (SAD) ⇒ d(IJ, SD) = d(IJ, (SAD)) = d(I, (SAD)) = IA = a/2

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên SA=a\sqrt{2} và vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)

    Hình vẽ minh họa:

    Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)

    Do AB // CD => d(B;(SCD))=d(A;(SCD))

    Kẻ AE ⊥ SD tại E (1)

    Ta có: \left\{ \begin{gathered}CD \bot AD \hfill \\CD \bot SA \hfill \\\end{gathered} ight. \Rightarrow CD \bot (SAD) \Rightarrow CD \bot AE(**)

    Từ (1) và (2) => AE ⊥ (SCD)

    => d(A;(SCD)) = AE

    Xét tam giác vuông SAD ta có:

    AE = \frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}

    Vậy d(B;(SCD))=AE=\frac{{a\sqrt 6 }}{3}

     

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC, H là hình chiếu của I trên mặt phẳng đáy. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

    Hình vẽ minh họa:

    Chọn khẳng định đúng

    Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

    Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB

    => Tam giác SBC vuông tại B => I là trung điểm của SC

    Theo bài ra ta có: IH ⊥ (ABC) => IH // SA

    => H là trung điểm của cạnh AC,

    Mà tam giác ABC vuông tại B => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có:

    SA ⊥ BC

    AB ⊥ BC

    => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH

    Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = CA = CB. Tính ϕ là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC), biết (SAB) vuông góc với (ABC):

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB

    Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}SH\bot CH \\\widehat{\left( SC,(ABC) ight)} = \widehat{SCH} \\\end{matrix} ight.

    Ta có:

    ∆SAB = ∆CAB (c.c.c)

    => SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H

    Vậy \widehat{\left( SC,(ABC) ight)} =\widehat{SCH} = 45^{0}

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên AA' = a\sqrt{2}. Biết đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a, gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi N là trung điểm của BB’ => MN // B’C

    => B’C // (AMN)

    => d(AM, B’C) = d(B’C, (AMN)) = d(B’, (AMN)) = d(B, (AMN))

    Kẻ BH ⊥ AM, BK ⊥ HN

    => BK ⊥ (AMN)

    => d(AM, B’C) = d(B, (AMN)) = BK

    Ta có:

    \frac{1}{BH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} +\frac{1}{BM^{2}}

    \Rightarrow \frac{1}{BH^{2}} =\frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{a^{2}} = \frac{5}{a^{2}}

    \Rightarrow BH =\frac{a}{\sqrt{5}}

    Ta có: BN =\frac{a\sqrt{2}}{2}

    Do tam giác ABM vuông tại B

    \frac{1}{BK^{2}} = \frac{1}{BH^{2}} +\frac{1}{BN^{2}}

    \Rightarrow \frac{1}{BK^{2}} =\frac{5}{a^{2}} + \frac{2}{a^{2}} = \frac{7}{a^{2}}

    \Rightarrow BK =\frac{a\sqrt{7}}{7}

    \Rightarrow d(AM;B'C) =\frac{a\sqrt{7}}{7}

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông và một cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Có bao nhiêu mặt bên vuông góc với mặt đáy?

    Hình vẽ minh họa:

    Giả sử SA ⊥ (ABCD). Khi đó có đúng 2 mặt bên vuông góc với mặt đáy là (SAB), (SAD).

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC và I là giao điểm của HK với mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ SA\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(SAB) \Rightarrow BC\bot AH

    Lại có AH ⊥ SB. Từ đó suy ra AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC. (1)

    Lại có theo giả thiết SC ⊥ AK. (2)

    Từ (1) và (2) => SC ⊥ (AHK) => (SBC) ⊥ (AHK).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} SC\bot(AHK) \\ AI \subset (AHK) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SC\bot AI

    Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “Tam giác IAC đều” là sai

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Biết AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Tìm giá trị của x theo a để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau.

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có AC = AD = BC = BD = a, suy ra các tam giác ACD, BCD, CAB, DAB là các tam giác cân.

    Gọi M là trung điểm của CD, suy ra AM ⊥ CD và BM ⊥ CD. Suy ra AM ⊥ MB và tam giác ABM vuông cân tại M.

    Ta có MD = MC = x, suy ra AM = AB = \sqrt{a^{2} - x^{2}}

    Gọi I là trung điểm của AB, suy ra IM = \frac{AM}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{\sqrt{2}}

    Mặt khác, (ABC) ⊥ (ABD) nên tam giác ICD vuông tại I.

    Suy ra: ID^{2} = IC^{2} = \frac{x^{2} + a^{2}}{2}

    Ta có: ID^{2} + IC^{2} = CD^{2}

    \Rightarrow a^{2} + x^{2} = 4x^{2} \Rightarrow x = \frac{a\sqrt{3}}{3}

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} thì AB \bot CD;AC \bot BD;AD \bot BC. Điều ngược lại đúng không? Sau đây là lời giải

    Bước 1: Ta có sự tương đương

    Bước 2: Chứng minh tương tự ta có: AB \bot CD;AD \bot BC

    Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và bước 2 là quá trình biến đổi tương đương.

    Bước giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

    Lời giải đã cho là lời giải đúng

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho khối chóp tam giác có chiều cao bằng 5, diện tích đáy bằng 6. Thể tích của hình chóp bằng:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B = 6 \\ h = 5 \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối chóp tam giác là V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.6.5 = 10

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hình chóp O.ABC có OA = OB = OC = 1, các cạnh OB, OC, OA đối một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai vecto \overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {BC}?

    Tính góc giữa hai vecto

    Ta có:

    \begin{matrix} \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BC} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } ight).\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} } ight) \hfill \\ = \dfrac{1}{2}O{B^2} = \dfrac{{ - 1}}{2} \hfill \\ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BC} } ight) = \dfrac{{\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BC} }}{{OM.BC}} = \dfrac{{ - \dfrac{1}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{2}}} = - \dfrac{1}{2} \hfill \\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {BC} } ight) = {120^0} \hfill \\ \end{matrix}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 104 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập