Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa AC’ và BD?

Hình vẽ minh họa:
Ta có:
BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông)
BD ⊥ CC’
⇒ BD ⊥ AC’
Do đó góc giữa AC' và BD bằng 900
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa AC’ và BD?

Hình vẽ minh họa:
Ta có:
BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông)
BD ⊥ CC’
⇒ BD ⊥ AC’
Do đó góc giữa AC' và BD bằng 900
Cho hình chóp S.ABCD có
và
. Đáy ABCD là hình chữ nhật có
. Gọi M là trung điểm của CD, góc giữa SA và mặt phẳng (SBM) bằng \alpha . Giá trị
bằng:

Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BM và SK.
Ta có
Mà
Ta có
Suy ra hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (SBM) là điểm I. Do đó bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SI và bằng góc .
Ta có

Có
Ta có
Xét tam giác vuông SAK có
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC và
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SC. Gọi α là góc giữa đường thẳng MN với mặt phẳng (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: MN // SB
=>
Do SH ⊥ (ABCD)
Ta có:
=>
Cho hình lập phương
(như hình vẽ)

Tính sin của góc tạo bởi
và mặt phẳng đáy
?
Ta có:
Giả sử hình lập phương có cạnh bằng .
Trong tam giác ta có:
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên
. Biết đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a, gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
Hình vẽ minh họa:
Gọi N là trung điểm của BB’ => MN // B’C
=> B’C // (AMN)
=> d(AM, B’C) = d(B’C, (AMN)) = d(B’, (AMN)) = d(B, (AMN))
Kẻ BH ⊥ AM, BK ⊥ HN
=> BK ⊥ (AMN)
=> d(AM, B’C) = d(B, (AMN)) = BK
Ta có:
Ta có:
Do tam giác ABM vuông tại B
Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề: “Nếu a ⊥ (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).
Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể cắt P hoặc b nằm trong P.
Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b ⊥ (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = OC = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.
Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)
=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.
Ta có:
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Tam giác
vuông tại
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh
tạo với đáy một góc bằng
. Tính thể tích của hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Kẻ ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Lại có , tam giác SAC vuông tại S và
nên
Thể tích hình chóp là
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình lăng trụ
có đáy
là tam giác cân tại
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Chọn kết luận đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC
=>
Ta có:
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho tứ diện ABCD có (ACD) ⊥ (BCD), AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Giá trị của x để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của CD.
Do tam giác ACD cân tại A và tam giác BCD cân tại B.
Gọi E là trung điểm của AB, do tam giác ABC cân tại C
Ta có ∆ABC = ∆ADC (c.c.c) => CE = DE => ∆CDE vuông cân tại E.
Xét tam giác vuông CBH có
Xét tam giác vuông ACH có
Xét tam giác vuông ABH có:
Xét tam giác vuông ACE có:
Thay CE vào (*) ta được
Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.

Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a
Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.
Tương tự BH ⊥ AC.
Ta có:
Gọi K là trung điểm của DB.
Ta có: ABD cân tại A nên
Và CBD cân tại C nên
Ta có:
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có nên BDH vuông cân tại H.
Từ đó ta có:
Ta có: mà
Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.
Nên ta có: KH là phân giác của góc suy ra
Ta có:
Vậy
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Mệnh đề: “Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn” sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể là góc vuông.
Mệnh đề: ”Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) khi (Q) // (R) (hoặc mặt phẳng (Q) trùng với mặt phẳng (R))” đúng.
Mệnh đề: “Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) thì (Q) song song với (R)” sai vì hai mặt phẳng (R) và (Q) có thể trùng nhau.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông,
,
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác SAB vuông tại A có:
Gọi E là trung điểm cạnh MC, ta có:
và
Lại có:
Suy ra tam giác SBC vuông tại B.
Xét tam giá MBC vuông tại B ta có:
Xét tam giác có:
Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi I là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Điểm I là:
Ta có:
Chứng minh tương tự ta được:
Vậy I là trực tâm của tam giác ABC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, đường chéo AC = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD.
Hình vẽ minh họa:
Vì AB // CD ⇒ CD // (SAB)
=> d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB))
Mà AD ⊥ (SAB) => d(D, (SAB)) = AD.
Xét tam giác ABD vuông tại A ta có:
AB2 + AD2 = BD2 = 4a2 => AD =
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC =
và BC = . Tính khoảng cách giữa SD và BC.
Hình vẽ minh họa:
Theo giả thiết, suy ra AD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) và CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật), nên theo định lý ba đường vuông góc suy ra CD ⊥ SD. Vì CD cũng vuông góc với BC nên CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.