Cho hình lăng trụ tam giác đều
có
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên góc giữa hai đường thẳng
và
là góc giữa
và
và bằng góc
Với ta có:
Cho hình lăng trụ tam giác đều
có
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên góc giữa hai đường thẳng
và
là góc giữa
và
và bằng góc
Với ta có:
Cho khối chóp
có
biết độ dài các cạnh
. Thể tích khối chóp
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nên tam giác ABC vuông tại A
Suy ra
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)
Từ => AC ⊥ (SBD)
Từ => BD ⊥ (SAC)
Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.
Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng là: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì có thể vuông góc với nhau
Hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 3 và AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Diện tích của tam giác BCD bằng:
Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, A’B’C’D’ là hình chữ nhật tâmH, A’D’ = 2a,
, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’D’),
. Gọi
là góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’. Tính
.

Bước 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’
Kẻ đường thẳng d qua D, song song với AD', cắt A’D’ tại E
Suy ra
Bước 2: Tính
Kẻ đường thẳng qua H, song song với A’D’, cắt A’B’ tại F.
Lấy điểm I sao cho ADIH là hình bình hành.
Suy ra DI // AH , mà
=>
Ta có
Trong tam giác EDB’, có:
Suy ra
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp tam giác
, đáy là tam giác
vuông cân tại C và
. Biết tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
. Thể tích hình chóp tam giác
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB đều nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC
Tam giác SAB đều nên
Tam giác ABC vuông cân tại C nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác vuông tại
và
. Tính cosin góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)
Do nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay H là trung điểm của BC
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.
Hình vẽ minh họa:
Gọi I là trung điểm của AD
=> SI ⊥ AD => SI ⊥ (ABCD)
Kẻ Ax // BD
Ta có d(BD, SA) = d (BD, (SAx)) = d (D, (SAx)) = 2d (I, (SAx))
Kẻ IE ⊥ Ax, kẻ IK ⊥ SE
Khi đó d (I, (SAx)) = IK
Gọi F là hình chiếu của I trên BD, ta có:
Xét tam giác vuông SIE ta có:
=>
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α.

Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH
=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là
Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a
Vậy tan α = 1
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC; SB = SD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S
=> SO ⊥ AC, SO ⊥ BD
=> SO ⊥ (ABCD)
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Gọi ϕ là góc giữa (P) và (Q). Có tất cả bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
(1) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với ∆.
(2) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với ∆, lần lượt nằm trên (P) và (Q).
(3) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b đồng quy với ∆, cùng vuông góc với ∆, lần lượt nằm trên (P) và (Q).
Ta có: a và b chỉ cần lần lượt nằm trong (P), (Q) cùng vuông góc với ∆ là đủ, thêm đồng quy với ∆ càng tốt nên có tất cả 2 mệnh đề đúng.
Cho hình chóp tứ giác đều
. Tính khoảng cách từ đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm của đáy
Lấy M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.
Kẻ
Có
Ta có:
Khi đó
Trong tam giác SON vuông tại O, có:
Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có độ dài cạnh AB = a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SD.
Hình vẽ minh họa:
Ta có AD // (IJ) ⇒ IJ // (SAD) ⇒ d(IJ, SD) = d(IJ, (SAD)) = d(I, (SAD)) = IA = a/2
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Đúng||Sai
d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng
đúng
đúng
đúng
Tam giác SBC cân tại B. sai
Cho tứ diện
có
, các cạnh còn lại bằng nhau và bằng
. Mặt phẳng
chứa cạnh
và vuông góc với cạnh
tại
. Diện tích tam giác
lớn nhất bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Theo giả thiết ta có các tam giác ACD và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 4
Gọi H là trung điểm của AB ta có: và
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có
và AA’ = 2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh A’B’, A’C’ và BC. Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AB’C’) và (MNP) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC và B’C’; I = BM ∩ AB’, J = CN ∩ AC’, E = MN ∩ A’Q.
Suy ra (MNP) ∩ (AB’C’) = (MNCB) ∩ (AB’C’) = IJ và gọi K = IJ ∩ PE
=> K ∈ AQ, với E là trung điểm của MN.
(AA’QP) ⊥ IJ => AQ ⊥ IJ, PE ⊥ IJ
=> ((MNP), (AB’C’)) = (AQ, PE) = α.
Ta có: AP = 3, PQ = 2