Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh
vuông góc với đáy và
. Tính thể tích khối chóp
đã cho.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp là
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh
vuông góc với đáy và
. Tính thể tích khối chóp
đã cho.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có
.Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)
Hình vẽ minh họa

Ta có: AD // BC =>
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB =>
Ta có:
Từ (*) và (**) =>
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình thoi tâm
và
vuông góc với mặt đáy. Chọn kết luận đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
là hình thoi
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chiều cao của hình chóp bằng:
Hình vẽ minh họa:
Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.
Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.
Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Một khối chóp tứ giác đều có các cạnh bằng
(cm). Khi đó thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2t là S.ABCD với I là tâm của đáy ta có:
lần lượt vuông tại S; B; D
I là trung điểm của AC suy ra
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
. Biết diện tích tam giác SBD bằng
. Khi đó SA bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm của đáy.
Khi đó
Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo góc (IJ; CD) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD
=> OJ là đường trung bình của tam giác BCD =>
Vì CD // OJ => (IJ; CD) = (IJ; OJ)
Xét tam giác IOJ có: => Tam giác IOJ đều
Vậy (IJ; CD) = (IJ; OJ) =
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông cân tại
,
. Tính số đo góc giữa
và
?
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm AC. Tam giác ABC vuông cân tại B nên
Có do
suy ra
Do vậy SI là hình chiếu vuông góc của SB lên (SAC). Khi đó
Xét tam giác SBI vuông tại I (do )
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
, biết
đều. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên
Cho tứ diện
có
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Biết
và
. Tính giá trị của
.
Cho tứ diện có
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Biết
và
. Tính giá trị của
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Mệnh đề “Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi điểm A thuộc (P) và mỗi điểm B thuộc (Q) thì ta có AB vuông góc với d” là sai. Trong trường hợp a ∈ d, b ∈ d, khi đó AB trùng với d.
Mệnh đề “Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau” là sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba).
Mệnh đề “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia” là sai. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, đường thẳng thuộc mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Vậy mệnh đề đúng là: ”Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến của (P) và (Q) nếu có cũng sẽ vuông góc với (R).”
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
. Tính khoảng cách d từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)
Hình vẽ minh họa

Giả sử O là tâm của tam giác đều ABC
Do S.ABC đều nên =>
Gọi E là trung điểm của BC ta có:
Xét (SAE) kẻ
Ta có:
Ta có:
Xét tam giác vuông SOE ta có:
Cho một khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h lần lượt là
. Khi đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?
Ta có:
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
, các cạnh
, các góc
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên
và
. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng
và
.
Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , các cạnh
, các góc
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên
và
. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng
và
.
Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).
Hình vẽ minh họa
Gọi là mặt phẳng qua
và vuông góc với
.
Gọi là mặt phẳng qua
và vuông góc với
Khi đó, với
là đỉnh thứ tư của hình vuông ABHC.
Khi đó: là hai tam giác vuông bằng nhau có
.
Gọi là chân đường cao hạ từ đỉnh
của tam giác SAB, ta có
.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng và
là
.
Xét cân tại
có
.
Ta có: .
Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng và
bằng
.
Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của CD, N là điểm nằm trên AD sao cho BN vuông góc với AM. Tính tỉ số ![]()
Hình vẽ minh họa:

Đặt . Ta có:
Giả sử AN = k.AD. Khi đó:
Vì M là trung điểm của CD nên
Khi đó: BN ⊥ AM =>
Cho S.ABCD là hình chóp có đáy là hình chữ nhật.
. Gọi K nằm trên cạnh BC sao cho KC = 2KB, Q nằm trên cạnh CD sao cho QD = 3QC và M là trung điểm của cạnh SD. Biết
và
. Tính cosin góc giữa KM và SQ.
Gọi N là trung điểm AD. Như vậy MN là đường trung bình của tam giác SAD nên MB // SA.
Vậy
Ta có:
Suy ra
Xét tam giác MNK vuông tại N (do ) ta có:
Lại có
Xét tam giác SAQ vuông tại A nên
Ta có
Khi đó
Vậy
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB = 3, AD = 4,
. Cạnh bên
vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, AD và BC, α là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MNP). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=>
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống (SCD), K là hình chiếu của H xuống SC
=>
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC; SB = SD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S
=> SO ⊥ AC, SO ⊥ BD
=> SO ⊥ (ABCD)