Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh
vuông góc với đáy và
. Tính thể tích khối chóp
đã cho.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC và
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SC. Gọi α là góc giữa đường thẳng MN với mặt phẳng (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: MN // SB
=>
Do SH ⊥ (ABCD)
Ta có:
=>
Cho hình chóp
,
vuông góc với mặt
. Khi đó, góc hợp giữa đường thẳng
và mặt phẳng
là:
Ta có:
nên hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABC) là AB.
Do đó
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác cân tại
. Gọi
là trung điểm của
,
là trung điểm của
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Do tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC nên
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
;
. Góc tạo bởi cạnh
và mặt phẳng
bằng
. Xác định thể tích khối chóp
.
Hình vẽ minh họa
Do ABCD là hình vuông cạnh bằng x nên
Dễ dàng chứng minh được
Đặt
Tam giác SBC vuông tại B nên
Ta được:
Vậy diện tích hình chóp là:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK, A’D.
Hình vẽ minh họa:
Trong mặt phẳng (CDD’C), gọi P là giao điểm của CK và C’D’
=> KD’ là đường trung bình của ∆PCC’
=> D’ là trung điểm của PC’
Trong mặt phẳng (A’B’C’D’), gọi M là giao điểm của PB’ và A’D’
Ta có: A’D // B’C => A’D // (AKB’)
=> d(CK, A’D) = d (A’,(CKB’)) = d(C’,(CPB’))
Xét tứ diện PCC’B’ ta có:
C’P, C’B và C’B đôi một vuông góc với nhau
Đặt d(C’, (CPB’)) = x, thì:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
. Gọi α là góc giữa SC và (SAB). Giá trị tan α bằng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có: => BC ⊥ (SAB)
=> SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB)
=>
Mà
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.
Gọi . Do
nên suy ra
(vì
)
Kẻ ta có:
Từ (1) và (2) , khi đó
Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó
bằng:

Cho hình lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông tại
,
và
. Chọn kết luận đúng về số đo góc giữa
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có hình chiếu của A”C lên mặt phẳng (ABC) là AC
Suy ra
Ta có:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CC’ và BD.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
OC ⊥ BD
OC ⊥ CC’
=> OC là đoạn vuông góc chung của CC’ và BD.
Vậy d(CC’, BD) = OC = AC/2 = 2a/2 = a
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật tâm O,
,
. Gọi
lần lượt là hình chiếu của
lên
. Xét tính đúng sai của các kết luận sau?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
d)
Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật tâm O,
,
. Gọi
lần lượt là hình chiếu của
lên
. Xét tính đúng sai của các kết luận sau?
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
d) Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Ta có:
Lại có
b) Chứng minh tương tự câu a ta có:
mà
Từ (*) và (**) suy ra: .
c) Ta có:
Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc .
d) Ta có:
Lại có ABCD là hình chữ nhật nên
Tam giác SAC vuông tại A nên
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a. Gọi M là trung điểm của SB. Góc giữa AM bằng BD bằng?

Xét vuông cân tại A, ta có:
Góc giữa 2 đường thẳng BA và BD bằng , suy ra
Xét vuông cân tại A, ta có:
Vì là trung điểm của SB nên:
Ta có:
(Do , nên
)
Do đó:
Vậy góc giữa AM bằng BD bằng
Cho hình lập phương
. Ghép nối các đáp án với nhau.
Cho hình lập phương . Ghép nối các đáp án với nhau.
Hình vẽ minh họa
Ta có: mà
Vì tứ giác là hình vuông nên
Ta có: nên
Ta có: và tam giác
là tam giác đều vì có các cạnh đều bằng đường chéo của các hình vuông bằng nhau. Do đó
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Cho tứ diện
. Gọi trung điểm các cạnh
và
lần lượt là các điểm
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và mặt phẳng
là
Hình vẽ minh họa
Hai mặt phẳng và mặt phẳng
có điểm B chung và MN // CD nên theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng thì giao tuyến là đường thẳng d đi qua B và song song với MN (hoặc song song với CD).
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B và
. Tam giác SAC là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với (ABC). Xét điểm M thuộc cạnh SC sao cho mặt phẳng (MAB) tạo với hai mặt phẳng (SAB); (ABC) góc bằng nhau. Tỉ số
có giá trị bằng:
Gọi H là trung điểm của AC, suy ra SH ⊥ (ABC).
Gọi N là trung điểm của AB, suy ra AB ⊥ (SHN).
Lấy K là giao điểm của AM, SH. Do đó
Theo giả thiết, NK là phân giác của góc
Giả sử:
Mặt khác:
(tính chất phân giác).
Gọi E là trung điểm của CM, theo định lí Ta-lét thì:
Vậy
Cho tứ diện đều
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của BD.
Ta có: lần lượt là đường trung bình của tam giác
.
Do đó:
Vì là tứ diện đều
nên tam giác
là tam giác đều.