Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề sai: “Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.”
Vì qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề sai: “Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.”
Vì qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Cho ba vecto
bất kì đều khác với vecto
. Nếu vecto
vuông góc với cả hai vecto
và
thì
,
và
:
Nếu vecto vuông góc với cả hai vecto
và
thì
,
và
thì có thể đồng phẳng.
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>
Cho tứ diện ABCD có:
,
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng:
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Mà
Cho khối chóp
có
; đáy
là hình chữ nhật
. Tính thể tích khối chóp
, biết mặt phẳng
tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vì
Vậy
Xét tam giác vuông SAB có
Vậy
Cho tứ diện ABCD có (ACD) ⊥ (BCD), AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Giá trị của x để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của CD.
Do tam giác ACD cân tại A và tam giác BCD cân tại B.
Gọi E là trung điểm của AB, do tam giác ABC cân tại C
Ta có ∆ABC = ∆ADC (c.c.c) => CE = DE => ∆CDE vuông cân tại E.
Xét tam giác vuông CBH có
Xét tam giác vuông ACH có
Xét tam giác vuông ABH có:
Xét tam giác vuông ACE có:
Thay CE vào (*) ta được
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng . Điểm M và N lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BB’. Côsin góc giữa đường thẳng MN và (BA’C’) bằng

Gọi là số đo góc giữa MN và (BA’C’), K là hình chiếu vuông góc của N lên (B’A’C’).
Khi đó
Gọi E là trung điểm của A’C’, khi đó BMEB’ là hình chữ nhật. Gọi , ta có
Ta có
. Kẻ
Từ
Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm SC. Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
Hình vẽ minh họa:
Gọi M’ là trung điểm OC.
Khi đó MM’ // SO => MM’ ⊥ (ABCD).
Theo công thức diện tích hình chiếu, ta có:
Cho tứ diện ABCD có AB, BC, BD đôi một vuông góc. Trong các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng?
Hình vẽ minh họa:

sai vì
CB ⊥ BD, CB ⊥ BA => CB ⊥ (ABD)
=> B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABD)
=>
đúng vì
AB ⊥ BC, AB ⊥ BD => AB ⊥ (BCD)
=> B là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD)
=>
sai vì
BD⊥ BA, BD ⊥ BC => BD ⊥ (ABC)
=> B là hình chiếu của D trên mặt phẳng (ABC)
=>
sai vì
=> B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABD)
=>
Cho hình chóp
có đáy là hình vuông
cạnh bằng
và cạnh bên đều bằng
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Lại có
Xét tam giác có
Theo định lí Pythagore đảo suy ra tam giác vuông tại
Suy ra hay
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600. Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)
Hình ảnh minh họa

Gọi O là tâm ABCD =>
Ta có:
Gọi M là trung điểm của BC, kẻ OK vuông góc với SM (1)
Ta có:
Xét tam giác vuông SOM ta có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,
. Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC).
Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC
=>
Gọi N là trung điểm của AC
=>
Kẻ
Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh
và
. Tính góc giữa hai đường thẳng AD và BC.
Hình vẽ minh họa
Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh DC, DB, AB.
Khi đó: .
Xét .
Ta có .
Xét . (1)
Xét , ta có:
. (2)
Từ là tam giác đều
.
Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là
và
. Khi đó tỉ số
1/3
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là và
. Khi đó tỉ số
1/3
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Thể tích hình lăng trụ là:
Khi đó:
Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC) là:
Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)
M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên các cạnh AB, AC, BC.
Khi đó ta có:
Tương tự ta có:
Khi đó
Tương tự suy ra
=>
=> I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có độ dài cạnh AB = a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SD.
Hình vẽ minh họa:
Ta có AD // (IJ) ⇒ IJ // (SAD) ⇒ d(IJ, SD) = d(IJ, (SAD)) = d(I, (SAD)) = IA = a/2
Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước là
bằng:
Thể tích cần tìm là:
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào có thể sai?
Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng
Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên