Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) ,
. Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Lại có:
=>
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) ,
. Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Lại có:
=>
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
,
. Tính chiều cao hình chóp
?
Ta có:
nên SA là chiều cao của hình chóp.
Do tam giác ABC đều cạnh a nên
Ta lại có:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh bên
. Biết đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a, gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
Hình vẽ minh họa:
Gọi N là trung điểm của BB’ => MN // B’C
=> B’C // (AMN)
=> d(AM, B’C) = d(B’C, (AMN)) = d(B’, (AMN)) = d(B, (AMN))
Kẻ BH ⊥ AM, BK ⊥ HN
=> BK ⊥ (AMN)
=> d(AM, B’C) = d(B, (AMN)) = BK
Ta có:
Ta có:
Do tam giác ABM vuông tại B
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
. Cạnh bên SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa SB và DC bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì DC // AB nên khoảng cách giữa SB và DC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng (SAB) và DC.
Do đó: d(DC, SB) = d(DC, (SAB)) = d(D, (SAB)) = AD =
Cho hình chóp S.ABCD có
, ABCD là hình thang vuông tại A, B và
. Gọi
, M là trung điểm SB. Tính sin của góc giữa OM và (SCD).

Trong (SBD), gọi
Ta có BC // AD, áp dụng định lý Ta – let ta được:
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SBD có cát tuyến OMI ta có:
Tam giác SAD vuông tại A có
=>
Mặt khác:
Lại có ABCD là hình thang vuông tại A, B và nên
=> mà
Kẻ , có
(do
)
Xét tam giác SAC vuông tại A có , AH là đường cao:
Xét tam giác SBD có:
Xét tam giác DIO có:
Do đó:
Mặt khác:
Tính thể tích hình chóp đều
biết chiều cao bằng
và độ dài cạnh bên bằng
?
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Tam giác SOA vuông tại O nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho tứ diện ABCD có (ACD) ⊥ (BCD), AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Giá trị của x để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của CD.
Do tam giác ACD cân tại A và tam giác BCD cân tại B.
Gọi E là trung điểm của AB, do tam giác ABC cân tại C
Ta có ∆ABC = ∆ADC (c.c.c) => CE = DE => ∆CDE vuông cân tại E.
Xét tam giác vuông CBH có
Xét tam giác vuông ACH có
Xét tam giác vuông ABH có:
Xét tam giác vuông ACE có:
Thay CE vào (*) ta được
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng đáy. Biết
.
Hình vẽ minh họa:
Kẻ Mk // SO
Theo bài ra ta có: SO ⊥ (ABCD) => MK ⊥ (ABCD)
=>
Ta có:
Xét tam giác CNK có:
Xét tam giác MNK vuông ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA = SB và (SAB) ⊥ (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
(SAB) ⊥ (ABCD)
BC ⊥ BA
=> BC ⊥ (SAB).
Từ B kẻ BK ⊥ SA => d(BC, SA) = BK.
Ta có:
Tam SAB cân tại S, do vậy d(BC, SA) = BK ≠ AB
Cho hình chóp O.ABC có OA = OB = OC = 1, các cạnh OB, OC, OA đối một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai vecto
?

Ta có:
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”
Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi tâm
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
và
.

Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì IJ là đường trung bình của tam giác SAC nên
Ta có:
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh
vuông góc với đáy và
. Tính thể tích khối chóp
đã cho.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp là
Cho hình chóp tam giác
có
và
. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Giả sử M, N, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, AC
Mặt khác ta có:
Ta có:
Xét tam giác NAC có:
Xét tam giác MNQ ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây sai?
Mệnh đề đúng: Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
, cạnh bên
vuông góc với mặt đáy và
. Gọi
là trung điểm của
. Tính côsin của góc
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
?
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm cạnh
.
Khi đó nên
vuông góc
tại
.
Do đó do
vuông tại
.
Ta có:
.
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC, M là điểm không nằm trên (P) sao cho MA = MB = MC, d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P). Khi đó đường thẳng d đi qua:
Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
=> H là hình chiếu của M trên (P) nên từ MA = MB = MC
=> HA = HB = HC
=> Khi đó đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông cân tại
và cạnh
vuông góc với mặt đáy. Biết rằng
và
. Kết luận nào dưới đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Suy ra hình chiếu của SC trên mặt phẳng (SAB) là SA
Tam giác ABC vuông cân tại A nên
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác SAB ta có:
Tam giác SAC vuông tại A nên
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy bằng α. Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:

Chân đường cao hình chóp đều S.ABCD trùng với tâm O của đáy ABCD. AO là hình chiếu của SA lên (ABCD)
=>
Gọi M là trung điểm của BC => OM là hình chiếu của SM lên (ABCD) và MO ⊥ BC.