Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Kết nối tri thức.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc (MN; SC) bằng:

    Hình vẽ minh họa:

    Do ABCD là hình vuông cạnh a

    => AC = a\sqrt{2} \Rightarrow AC^{2} = 2a^{2} = SA^{2} + SC^{2}

    => Tam giác SAC vuông tại S

    Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác DSA

    => \overrightarrow{NM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SA}. Khi đó \overrightarrow{NM}.\overrightarrow{SC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} = 0

    => MN\bot SC \Rightarrow (MN;SC) = 90^{0}

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Khi đó khẳng định nào là khẳng định đúng?

    Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q), khi đó a nằm trên (P) hoặc song song với (P).

  • Câu 3: Nhận biết

    Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

    Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với trọng tâm G. Cạnh bên SA tạo với đáy (ABC) một góc 300. Biết hai mặt phẳng (SBG) và (SCG) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SA và BC.

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (SBG) \cap (SCG) = SG \\ (SBG)\bot(ABC) \\ (SCG)\bot(ABC) \\ \end{matrix} \Rightarrow SG\bot(ABC) ight.

    Gọi O, N lần lượt là trung điểm của AC và BC.

    Gọi D là điểm đối xứng của B qua O. Khi đó ABCD là hình vuông.

    Vì BC // AD nên (SA, BC) = (SA, AD).

    Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng SA và AD.

    Đặt AB = BC = x => AD = x

    Ta có:

    \begin{matrix}AN^{2} = AB^{2} + BN^{2} = x^{2} + \dfrac{x^{2}}{4} = \dfrac{5x^{2}}{4}\hfill \\\Rightarrow AN = \dfrac{x\sqrt{5}}{2} \hfill\\AG = \dfrac{2}{3}AN = \dfrac{2}{3}.\dfrac{x\sqrt{5}}{2} =\dfrac{x\sqrt{5}}{3}\hfill \\\end{matrix}

    Góc giữa SA và mặt đáy (ABC) là \widehat{SAG} = 30^{0}

    Ta có:

    cos30^{0} = \frac{AG}{SA} \Rightarrow SA = \frac{AG}{cos30^{0}} = \frac{2x\sqrt{15}}{9}

    Ta có:

    \begin{matrix}\tan30^{0} = \dfrac{SG}{AG}\hfill \\\Rightarrow SG = AG.\tan30^{0} = \dfrac{x\sqrt{15}}{9} \hfill\\GD = \dfrac{2}{3}BD = \dfrac{2}{3}x\sqrt{2} \\SD^{2} = SG^{2} + GD^{2} = \dfrac{15x^{2}}{81} + \dfrac{8x^{2}}{9} =\dfrac{87x^{2}}{81} \hfill\\\end{matrix}

    Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác SAD ta có:

    \cos SAD = \frac{SA^{2} + AD^{2} - SD^{2}}{2SA.AD} = \frac{\sqrt{15}}{10}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho một khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x(cm), biết độ dài cạnh bên và cạnh đáy tỉ lệ 2:1. Tính thể tích V của khối chóp?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là tâm hình vuông ABCD

    OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{x^{2} + x^{2}} = \frac{x\sqrt{2}}{2}

    Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên SO\bot CA

    Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên SO\bot BD

    \Rightarrow SO\bot(ABCD)

    Trong tam giác SOC vuông tại O ta có:

    SO = \sqrt{SC^{2} - OC^{2}} = \sqrt{(2x)^{2} - \left( \frac{x\sqrt{2}}{2} ight)^{2}} = \frac{x\sqrt{14}}{2}

    Vậy thể tích hình chóp là: V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}S_{ABCD}.SO = \frac{1}{3}.\frac{x\sqrt{14}}{2}.x^{2} = \frac{x^{3}\sqrt{14}}{6}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.

    Tính giá trị cos α

    Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a

    Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.

    Tương tự BH ⊥ AC.

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAC} ight) \bot \left( {ABC} ight)} \\ {\left( {DAC} ight) \cap \left( {ABC} ight)} \\ {DH \bot AC} \\ {DH \subset \left( {DAC} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} ight)

    Gọi K là trung điểm của DB.

    Ta có: ABD cân tại A nên AK \bot BD

    Và CBD cân tại C nên CK \bot DB

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {DAB} ight) \cap \left( {DBC} ight) = BD} \\ {AK \bot BD;AK \subset \left( {DAB} ight)} \\ {CK \bot BD;CK \subset \left( {DAB} ight)} \end{array}} ight.

    Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.

    Ta có DH = a\sqrt 3 ;BH = a\sqrt 3 nên BDH vuông cân tại H.

    Từ đó ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {DB = \sqrt {D{H^2} + H{B^2}} = a\sqrt 6 } \\ {HK = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \end{array}} ight.

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {AC \bot DH} \\ {AC \bot BH} \\ {DH \cap BH = H} \\ {DH;BH \subset \left( {DBH} ight)} \end{array}} ight. \Rightarrow AC \bot \left( {DBH} ight) mà HK \subset \left( {DBH} ight) \Rightarrow AC \bot HK

    Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.

    Nên ta có: KH là phân giác của góc \widehat {AKC} suy ra \widehat {AKC} = 2\widehat {CKH}

    Ta có: t = \tan \widehat {CKH} = \frac{{HC}}{{HK}} = \frac{a}{{a\sqrt 6 :3}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}

    Vậy \cos \alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{1 - \frac{6}{9}}}{{1 + \frac{6}{9}}} = \frac{1}{5}

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa

    Hình vẽ minh họa:

    Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

    Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

    a) \widehat{(AC;AD)} = 90^{0} Đúng||Sai

    b) AH\bot(SBC) Đúng||Sai

    c) \widehat{(SC;HK)} = 90^{0} Đúng||Sai

    d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

    a) \widehat{(AC;AD)} = 90^{0} Đúng||Sai

    b) AH\bot(SBC) Đúng||Sai

    c) \widehat{(SC;HK)} = 90^{0} Đúng||Sai

    d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

    \widehat{(AC;AD)} = 90^{0} đúng

    AH\bot(SBC) đúng

    \widehat{(SC;HK)} = 90^{0} đúng

    Tam giác SBC cân tại B. sai

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A và B là:

    Trong không gian, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A và B là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy H, K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH = 3HA, AK = 3KD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho \widehat {SBH} = 30^\circ. Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC .

    Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có

    \begin{matrix} \Delta ABK = \Delta BCH \hfill \\ \Rightarrow \widehat {ABK} = \widehat {BCH} \Rightarrow \widehat {HEB} = 90^\circ \hfill \\ \end{matrix}

    Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

    Ta có:

    \begin{matrix} {\text{cos}}\left( {SE\,;\,BC} ight) = {\text{cos}}\left( {SE\,;\,EI} ight) = \left| {\cos \widehat {SEI}} ight| \hfill \\ SH = BH.\tan 30^\circ = 3a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = a\sqrt 3 \hfill \\ \dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{{HE}}{{HB}} \Rightarrow HE = \dfrac{{H{B^2}}}{{HC}} = \dfrac{{9a}}{5} \hfill \\ SE = \sqrt {S{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {3{a^2} + \dfrac{{81{a^2}}}{{25}}} = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{5} \hfill \\ \dfrac{{HE}}{{HB}} = \dfrac{{HI}}{{HE}} \Rightarrow HI = \dfrac{{H{E^2}}}{{HB}} = \dfrac{{27a}}{{25}} \hfill \\ SI = \sqrt {S{H^2} + H{I^2}} = \sqrt {3{a^2} + {{\left( {\dfrac{{27a}}{{25}}} ight)}^2}} = \dfrac{{2a\sqrt {651} }}{{25}} \hfill \\ \end{matrix}

    Trong tam giác vuông SEI có:

    EI = \sqrt {S{E^2} - S{I^2}} = \frac{{36a}}{{25}}

    => \cos \widehat {SEI} = \frac{{EI}}{{SE}} = \frac{{18}}{{5\sqrt {39} }}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy góc 600. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và SC.

    Ta có AD // BC => AD // (SBC) => d(AD;SC)=d(A;(SBC))

    Kẻ AP⊥SB =>d(A;(SBC))=AP =>d(AD;SC)=AP

    Ta có:

    \begin{matrix} AB = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{2} \hfill \\ \dfrac{1}{{A{P^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Lại có \left( {SB;\left( {ABCD} ight)} ight) = \widehat {SBA} = {60^0}

    \begin{matrix} \Rightarrow \tan {60^0} = \dfrac{{SA}}{{AB}} \Rightarrow SA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \Rightarrow AP = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi I là trung điểm của AD

    => SI ⊥ AD => SI ⊥ (ABCD)

    Kẻ Ax // BD

    Ta có d(BD, SA) = d (BD, (SAx)) = d (D, (SAx)) = 2d (I, (SAx))

    Kẻ IE ⊥ Ax, kẻ IK ⊥ SE

    Khi đó d (I, (SAx)) = IK

    Gọi F là hình chiếu của I trên BD, ta có: IE = IF = \frac{AO}{2} =\frac{a\sqrt{2}}{4}

    Xét tam giác vuông SIE ta có:

    IK = \frac{SI.IE}{\sqrt{SI^{2} +IE^{2}}} = \frac{a\sqrt{21}}{14}

    => d(BD;SA) = 2IK =\frac{a\sqrt{21}}{7}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng AB = a;BC = 3a;SA = a\sqrt{30}. Tính \left( SC;(ABC) ight)?

    Hình vẽ minh họa

    Do AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABC) nên \left( SC;(ABC) ight) = \widehat{SCA}

    Ta có: AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{10}

    Khi đó \tan\widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = \frac{a\sqrt{30}}{a\sqrt{10}} = \sqrt{3}

    \Rightarrow \widehat{SCA} = 60^{0}

    \Rightarrow \left( SC;(ABC) ight) = 60^{0}

  • Câu 14: Nhận biết

    Công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là:

    Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là:

    V = B.h

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a\sqrt{5} và BC = . Tính khoảng cách giữa SD và BC.

    Hình vẽ minh họa:

    Theo giả thiết, suy ra AD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) và CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật), nên theo định lý ba đường vuông góc suy ra CD ⊥ SD. Vì CD cũng vuông góc với BC nên CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.

    CD = \sqrt{AC^{2} - BC^{2}} =\sqrt{5a^{2} - 2a^{2}} = a\sqrt{3}

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng đáy. Biết MN = \frac{a\sqrt{10}}{2}.

    Hình vẽ minh họa:

    Kẻ Mk // SO

    Theo bài ra ta có: SO ⊥ (ABCD) => MK ⊥ (ABCD)

    => \left( MN;(ABCD) ight) = (MN,NK) = \widehat{MNK}

    Ta có: CK = \frac{3}{4}CA = \frac{3a\sqrt{2}}{4}

    Xét tam giác CNK có:

    \begin{matrix}cos45^{0} = \dfrac{CN^{2} + CK^{2} - NK^{2}}{2.CN.CK} \hfill \\\Rightarrow KN = \dfrac{a\sqrt{10}}{4} \hfill \\\end{matrix}

    Xét tam giác MNK vuông ta có:

    \cos\widehat{MNK} = \frac{NK}{MN} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{MNK} = 60^{0}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

    a) \widehat{(AC;AD)} = 90^{0} Đúng||Sai

    b) AH\bot(SBC) Đúng||Sai

    c) \widehat{(SC;HK)} = 90^{0} Đúng||Sai

    d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

    a) \widehat{(AC;AD)} = 90^{0} Đúng||Sai

    b) AH\bot(SBC) Đúng||Sai

    c) \widehat{(SC;HK)} = 90^{0} Đúng||Sai

    d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

    \widehat{(AC;AD)} = 90^{0} đúng

    AH\bot(SBC) đúng

    \widehat{(SC;HK)} = 90^{0} đúng

    Tam giác SBC cân tại B. sai

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD. Gọi trung điểm các cạnh AC và AD lần lượt là các điểm M,N. Giao tuyến của hai mặt phẳng (BMN) và mặt phẳng (BCD) là

    Hình vẽ minh họa

    Hai mặt phẳng (BMN) và mặt phẳng (BCD) có điểm B chung và MN // CD nên theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng thì giao tuyến là đường thẳng d đi qua B và song song với MN (hoặc song song với CD).

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng x; SC\bot(ABC);SC = x. Xác định thể tích hình chóp S.ABC?

    Ta có SC\bot(ABC) nên SC là đường cao của hình chóp

    Tam giác ABC đều cạnh x nên S_{ABC} = \frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}

    Vậy thể tích hình chóp là: V_{S.ABC} = \frac{1}{3}SC.S_{ABC} = \frac{1}{3}.\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}.x = \frac{x^{3}\sqrt{3}}{12}

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có:

    SA ⊥ BC

    AB ⊥ BC

    => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH

    Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 100 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập