Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 7 Kết nối tri thức

Hình vẽ minh họa:

Ta có: OA ⊥ OB, OA ⊥ OC => OA ⊥ (OBC) => OA ⊥ BC (*)

Gọi M là giao điểm của AH và BC

Theo giả thiết ta có: OH ⊥ (ABC) => OH ⊥ BC (**)

Từ (*) và (**) suy ra: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ OM

Xét tam giác BOC vuông ta có:

Xét tam giác AOI vuông ta có:

Từ chứng minh trên ta có: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ AM (1)

Gọi N là giao điểm của BH và AC. Chứng minh tương tự ta có: AC ⊥ BN (2)

Từ (1) và (2) => H là trực tâm tam giác ABC

Vậy là kết quả sai.

Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:

Ta có:

Vậy cosin góc giữa hai cạnh AJ và CI bằng

Thể tích cần tìm là:

Hình vẽ minh họa

Gọi I là tâm đáy.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SI là đường cao của hình chóp.

Ta có:

Vì AI là trung tuyến của tam giác ABD vuông tại A

Chiều cao của khối chóp là

Thể tích khối chóp là:

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

SA ⊥ BC

AB ⊥ BC

=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH

Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC

Hình vẽ minh họa:

Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO

Hình vẽ minh họa:

Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB

Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Suy ra

Ta có:

∆SAB = ∆CAB (c.c.c)

=> SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H

Vậy

Hình vẽ minh họa

Gọi là trung điểm của , ta có là hình bình hành

.

Kẻ .

Ta có: .

Suy ra,

Ta có: .

Xét vuông tại ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.

Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).

Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)

Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)

Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)

Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK

Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}

Do đó

Theo giả thiết ∆ABC đều =>

Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống SA.

Xét tam giác CAK vuông tại K ta có:

Kẻ SH ⊥ AC, H ∈ AC. Vì (SAC) ⊥ (ABCD) và (SAC) ∩ (ABCD) = AC nên SA ⊥ (ABCD).

Kẻ SH ⊥ AC, H ∈ AC và KP // SH, P ∈ AC thì KP ⊥ (ABCD).

Xét tam giác BAC vuông tại B và tam giác KAC vuông tại K ta thấy các cạnh tương ứng bằng nhau và KP là đường cao của tam giác KAC nên BP là đường cao của tam giác BAC.

Kẻ PM ⊥ KA, M ∈ KA.

Vì KA ⊥ P B và KA ⊥ PM nên KA ⊥ (PMB).

Suy ra KA ⊥ MB.

Như vậy, góc giữa mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng góc

Xét tam giác KAC vuông tại K ta có:

Suy ra:

Xét tam giác KPA vuông tại P ta có:

Lại có:

Xét tam giác PMB vuông tại P ta có:

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.

Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BM và SK.

Ta có

Mà

Ta có

Suy ra hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (SBM) là điểm I. Do đó bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SI và bằng góc .

Ta có

Có

Ta có

Xét tam giác vuông SAK có

Hình vẽ minh họa:

Vì SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BD

Mà ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD

=> BD ⊥ (SAC)

Mặt khác SO và SC thuộc mặt phẳng (SAC)

=> BD ⊥ SO, BD ⊥ SC

Và AD, SC là hai đường thẳng chéo nhau

=> AD ⊥ SC là khẳng định sai.

Ta có =>

Kẻ

Ta có:

Lại có

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC => AM ⊥ BC.

Ta có:

Do đó ((SBC),(ABC)) = (SM, AM) =

Tam giác ABC đều cạnh a, suy ra trung tuyến .

Tam giác vuông SAM ta có:

Mệnh đề: “Nếu a ⊥ (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).

Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể cắt P hoặc b nằm trong P.

Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b ⊥ (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).

Hình vẽ minh họa

Do nên góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy bằng góc .

Ta có:

Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .

Gọi a là độ dài cạnh tứ diện. Khi đó

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông)

BD ⊥ CC’

⇒ BD ⊥ AC’

Do đó góc giữa AC' và BD bằng 90⁰