Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa:

Ta có: OA ⊥ OB, OA ⊥ OC => OA ⊥ (OBC) => OA ⊥ BC (*)

Gọi M là giao điểm của AH và BC

Theo giả thiết ta có: OH ⊥ (ABC) => OH ⊥ BC (**)

Từ (*) và (**) suy ra: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ OM

Xét tam giác BOC vuông ta có:

Xét tam giác AOI vuông ta có:

Từ chứng minh trên ta có: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ AM (1)

Gọi N là giao điểm của BH và AC. Chứng minh tương tự ta có: AC ⊥ BN (2)

Từ (1) và (2) => H là trực tâm tam giác ABC

Vậy là kết quả sai.

Hình vẽ minh họa

Ta có: là hình lập phương nên các tứ giác đều là hình vuông

Do đó

Suy ra

Hình vẽ minh họa:

Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.

Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).

Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)

Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)

Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)

Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK

Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}

Do đó

Theo giả thiết ∆ABC đều =>

Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:

Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có

Ta có:

Trong tam giác vuông SEI có:

=>

Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra

Vì nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó

Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.

Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD

Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD

Ta có:

Ta lại có:

Tam giác MHC vuông tại M

Vậy

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên góc giữa và mặt phẳng đáy bằng góc .

Ta có:

Vậy

Từ A kẻ (∆’) // (∆)

Từ O kẻ (d) ⊥ (∆) cắt (∆) và (∆’) lần lượt tại H, K

Ta có:

Ta được

Ta có:

=>

Ta có:

Thể tích khối chóp là:

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Gọi giao điểm của AC và BD là I

Ta có:

Xét tam giác vuông BAI vuông tại I ta có:

Diện tích hình bình hành ABCD là:

Vậy

Do nên

Ta có:

Nên

Vậy khoảng cách

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nhận thấy

Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của B’C’, khi đó góc giữa mặt phẳng (AB’C’) và (ABCD) là góc

Ta có:

Vậy

Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α).”

Vì thiếu điều kiện “cắt nhau” của hai đường thẳng nằm trong (α).

Ví dụ đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b và c nằm trong (α) nhưng b và c song song với nhau thì khi đó a chưa chắc vuông góc với (α).

Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”

Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB

Mặt khác AB ⊥ AD.

Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)

Hình vẽ minh họa

Ta thấy hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là nên

Do tam giác ABC vuông cân tại B nên

Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Ta có I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)

Tam giác SAI vuông tại I

=> SA² = AI² + SI²

Tam giác SBI vuông tại I

=> SB² = BI² + SI²

Tam giác SCI vuông tại I

=> SC² = CI² + SI²

Kết hợp với điều kiện: SA = SB = SC

=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tam giác ABC luôn là tam giác nhọn

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của AD, H là trung điểm của SI.

Ta có: GH // FI; BD // FI nên GH // BD =>

Ta có:

Khi đó:

Ta có:

Ta có:

Lại có

Xét tam giác có

Theo định lí Pythagore đảo suy ra tam giác vuông tại

Suy ra hay