Cho hình lập phương
. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên góc giữa hai đường thẳng
và
bằng góc giữa hai đường thẳng
và
và bằng góc
Mà tam giác ACD’ là tam giác đều nên
Cho hình lập phương
. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên góc giữa hai đường thẳng
và
bằng góc giữa hai đường thẳng
và
và bằng góc
Mà tam giác ACD’ là tam giác đều nên
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa:

Ta có: OA ⊥ OB, OA ⊥ OC => OA ⊥ (OBC) => OA ⊥ BC (*)
Gọi M là giao điểm của AH và BC
Theo giả thiết ta có: OH ⊥ (ABC) => OH ⊥ BC (**)
Từ (*) và (**) suy ra: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ OM
Xét tam giác BOC vuông ta có:
Xét tam giác AOI vuông ta có:
Từ chứng minh trên ta có: BC ⊥ (AOM) => BC ⊥ AM (1)
Gọi N là giao điểm của BH và AC. Chứng minh tương tự ta có: AC ⊥ BN (2)
Từ (1) và (2) => H là trực tâm tam giác ABC
Vậy là kết quả sai.
Cho một khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h lần lượt là
. Khi đó thể tích khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?
Ta có:
Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Cho hình lập phương
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Tính
của góc giữa hai đường thẳng
và
ta được kết quả là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a, a > 0
Ta có:
Tính được
Trong tam giác B’CI ta có:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa AC’ và BD?

Hình vẽ minh họa:
Ta có:
BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông)
BD ⊥ CC’
⇒ BD ⊥ AC’
Do đó góc giữa AC' và BD bằng 900
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA =
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
BC ⊥ AB
BC ⊥ SA
=> BC ⊥ (SAB).
Vì SB ⊂ (SAB) và CD // (SAB) => d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = BC = a
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau;
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho khối hộp chữ nhật
có đáy là hình vuông, đường chéo
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
. Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng
là
và
Ta có:
Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên
Ta có:
Xét tam giác AOA’ có
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC. Gọi
là góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM). Tính ![]()
+ Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2
+ Gọi N là trung điểm AB suy ra
+ Gọi
Gọi
+ Ta có
+ Ta có
+ Gọi NH là đường cao
+ Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ
+ Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = OC = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.
Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)
=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.
Ta có:
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Khi đó khẳng định nào là khẳng định đúng?
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q), khi đó a nằm trên (P) hoặc song song với (P).
Đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì:
"a vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể có trường hợp
"a không vuông góc với mặt phẳng (P)" sai vì có thể xảy ra trường hợp
=> "a không thể vuông góc với mặt phẳng (P)" là sai.
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a. Điểm H thuộc cạnh AC với HC = a. Dựng đoạn SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) với SH = 2a. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.
Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).
Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)
Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)
Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)
Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK
Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}
Do đó
Theo giả thiết ∆ABC đều =>
Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:
Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với đáy, kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Hãy xác định góc α giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Hình vẽ minh họa:
Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)
Ta có: SA ⊥ (ABC) mà đường thẳng BC nằm trong (ABC)
=> SA ⊥ BC.
Ta có BC ⊥ AH tại H.
=>
Ta lại có:
Từ (1), (2), (3) =>
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Gọi AM, AN lần lượt là đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BC
Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB)
=> BC ⊥ AE
Mà AM nằm trong mặt phẳng (SAB)
Xét tam giác SAB có:
AM ⊥ SB
Mà BC ⊥ AM => AM ⊥ (SBC) => AM ⊥ SC
Chứng minh tương tự ta được: AN ⊥ SC
=> SC ⊥ (AMN)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α.

Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH
=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là
Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a
Vậy tan α = 1
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = 2a; AD = 4a. Gọi M là trung điểm của cạnh AD. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng A’B’ và C’M.
Ta có: AA’ = AM = MD = 2a nên tam giác AMA’ và tam giác MDD’ lần lượt là tam giác vuông tại A và D
=> (1)
Ta lại có: (2)
Từ (1) và (2) =>
Ta lại có A’B’ // C’D’ => A’B’ // (MC’D’)
=> Khoảng cách d = d(A’B’, (MC’D’)) = d(A’; (MC’D’))
=>
Cho một khối lăng trụ đứng như hình vẽ:

Biết đáy
là hình thoi cạnh bằng a,
. Tính thể tích
của lăng trụ đứng đã cho?
Kí hiệu hình vẽ như sau:
Gọi giao điểm của AC và BD là I
Ta có:
Xét tam giác vuông BAI vuông tại I ta có:
Diện tích hình bình hành ABCD là:
Vậy
Cho tứ diện ABCD có
;
. Gọi M và N là trung điểm của AB và CD. Kết luận nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABD có AB = AD và
=> Tam giác ABD là tam giác đều
=> (Vì DM là trung tuyến)
Xét tam giác ABC có AB = AC và
=> Tam giác ABC là tam giác đều
=> (Vì CM là trung tuyến)
=> DM = CM nên tam giác MCD cân tại M có MN là trung tuyến (do N là trung điểm của CD)
Suy ra MN là đường cao của tam giác MCD
=> MN ⊥ CD
Chứng minh tương tự:
Vì hai tam giác ACD và BCD bằng nhau (c.c.c) nên hai đường trung tuyến tương ứng AN; BN bằng nhau: AN = BN
=> Tam giác ABN cân tại N có NM là đường trung tuyến nên MN ⊥ AB
Vậy kết luận "MN không vuông góc với AB và CD" là kết luận sai.