Cho hình lăng trụ tam giác đều
có
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên góc giữa hai đường thẳng
và
là góc giữa
và
và bằng góc
Với ta có:
Cho hình lăng trụ tam giác đều
có
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên góc giữa hai đường thẳng
và
là góc giữa
và
và bằng góc
Với ta có:
Cho hai tam giác đều DAC và BAC lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC). Tính giá trị cos α.

Giả sử cạnh của tam giác đều bằng 2a. Khi đó AB = AD = CB = CD = 2a
Gọi H là trung điểm của AC. Tam giác DAC đều suy ra DH ⊥ AC.
Tương tự BH ⊥ AC.
Ta có:
Gọi K là trung điểm của DB.
Ta có: ABD cân tại A nên
Và CBD cân tại C nên
Ta có:
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (DAB) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có nên BDH vuông cân tại H.
Từ đó ta có:
Ta có: mà
Xét tam giác ACK có KH vừa là trung tuyến, vừa là đường cao nên tam giác ACK cân tại K.
Nên ta có: KH là phân giác của góc suy ra
Ta có:
Vậy
Cho hình chóp
có đáy là tam giác
vuông tại
. Đường thẳng vuông góc với đáy
. Đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có
Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a,
. Hình chiếu vuông góc của B’ xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy và cạnh bên BB’ = a. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
Hình vẽ minh họa:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Theo giả thiết ta có: B’O ⊥ (ABCD)
Dó đó
Vì tam giác ABD đều cạnh a =>
Tam giác B’BO vuông ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”
Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD.
Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
. Tính khoảng cách d từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)
Hình vẽ minh họa

Giả sử O là tâm của tam giác đều ABC
Do S.ABC đều nên =>
Gọi E là trung điểm của BC ta có:
Xét (SAE) kẻ
Ta có:
Ta có:
Xét tam giác vuông SOE ta có:
Cho hình lập phương
. Xác định đường thẳng vuông góc với đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Cho tứ diện ABCD có
;
. Gọi M và N là trung điểm của AB và CD. Góc giữa
và
bằng:
Hình vẽ minh họa

Ta có:
Mà
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt đáy và
. Gọi
là trọng tâm của tam giác SAB. Khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
(vì
cân)
Ta có:
Và tại
.
Do đó .
Ta có: .
Vì là trọng tâm của
nên
.
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng
?
Hình vẽ minh họa
Giả sử khối chóp tứ giác đều đã cho là
Khi đó ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 cm và
Gọi H là tâm hình vuông ABCD thì nên SH là chiều cao của khối chóp
.
Tính SH
Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:
Nhận thấy nên tam giác SAC vuông tại S
Diện tích đáy của khối chóp là
Thể tích khối chóp là
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với đáy, kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Hãy xác định góc α giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Hình vẽ minh họa:
Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)
Ta có: SA ⊥ (ABC) mà đường thẳng BC nằm trong (ABC)
=> SA ⊥ BC.
Ta có BC ⊥ AH tại H.
=>
Ta lại có:
Từ (1), (2), (3) =>
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, O là trung điểm của AC và SO = b. Gọi (∆) là đường thẳng đi qua C, (∆) chứa trong mặt phẳng (ABCD) và khoảng cách từ O đên (∆) là
. Giá trị lượng giác
bằng bao nhiêu?
Từ A kẻ (∆’) // (∆)
Từ O kẻ (d) ⊥ (∆) cắt (∆) và (∆’) lần lượt tại H, K
Ta có:
Ta được
Ta có:
=>
Cho hình chóp S.ABCD có
, ABCD là hình thang vuông tại A, B và
. Gọi
, M là trung điểm SB. Tính sin của góc giữa OM và (SCD).

Trong (SBD), gọi
Ta có BC // AD, áp dụng định lý Ta – let ta được:
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SBD có cát tuyến OMI ta có:
Tam giác SAD vuông tại A có
=>
Mặt khác:
Lại có ABCD là hình thang vuông tại A, B và nên
=> mà
Kẻ , có
(do
)
Xét tam giác SAC vuông tại A có , AH là đường cao:
Xét tam giác SBD có:
Xét tam giác DIO có:
Do đó:
Mặt khác:
Cho hình lập phương
. Giả sử mặt phẳng
đi qua điểm
vuông góc với
. Thiết diện tạo bởi
và hình lập phương là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy chính là mặt phẳng
. Thiết diện là một hình chữ nhật.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây sai?
Mệnh đề “ Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.”
Là sai vì hai đường thẳng đó chưa chắc đồng phẳng.
Cho hình chóp
có đáy là hình vuông cạnh
,
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên góc giữa
và mặt phẳng đáy bằng góc
.
Ta có:
Vậy
Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
và cạnh
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó
Ta có:
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy