Cho tứ diện
có hai mặt
và
là tam giác đều. Khi đó
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: I là trung điểm của AB.
Vì và
là tam giác đều nên
Cho tứ diện
có hai mặt
và
là tam giác đều. Khi đó
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: I là trung điểm của AB.
Vì và
là tam giác đều nên
Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề: “Nếu a ⊥ (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).
Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể cắt P hoặc b nằm trong P.
Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b ⊥ (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 2a. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SCD)
Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hình vuông ABCD =>
Vì nên
Gọi H là trung điểm của CD =>
Gọi K là hình chiếu của O trên SH =>
Ta có:
Từ (*) và (**)
Ta lại có:
Cho hình lăng trụ đứng tam giác
có đáy
vuông tại
. Giả sử
là góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
. Biết rằng
. Kết luận nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Hạ ta có:
Trong tam giác có:
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Khi đó khẳng định nào là khẳng định đúng?
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q), khi đó a nằm trên (P) hoặc song song với (P).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a. Cạnh bên SA vuông góc với (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 30◦ . Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Ta có:
Gọi H là chân đường cao lên cạnh SB. Khi đó, ta có
d(A, (SBC)) = AH. sin 30◦ => AH = AB . sin 30◦ =
Khối lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết
và góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ đứng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Suy ra
Ta có:
Vậy
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Trực tâm của tam giác SBC và ABC lần lượt là H và K. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Ta có: BC ⊥ SA, BC ⊥ SH => BC ⊥ (SAH)
CK ⊥ AB, CK ⊥ SA => CK ⊥ (SAB) => CK ⊥ SB
Mặt khác CH ⊥ SB => SB ⊥ (CHK)
Ta có: BC ⊥ (SAH) => BC ⊥ HK
SB ⊥ (CHK) => SB ⊥ HK
=> HK ⊥ (SBC)
Dùng phương pháp loại trừ ta suy ra: BC ⊥ (SAB) là đáp án sai.
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
. Hình chiếu của
lên mặt phẳng đáy là trung điểm
của
. Tính thể tích khối chóp
biết
.
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác ABC vuông tại C ta có:
H là trung điểm của BC nên
Xét tam giác SBH vuông tại H có
Diện tích đáy ABC là
Thể tích khối chóp là
Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc nào trong các góc dưới đây?
Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu là (m, n) là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
,
. Tính chiều cao hình chóp
?
Ta có:
nên SA là chiều cao của hình chóp.
Do tam giác ABC đều cạnh a nên
Ta lại có:
Cho hình hộp thoi
có tất cả các cạnh bằng
và
. Tứ giác
là hình gì?
Hình vẽ minh họa
Ta có tứ giác A’B’CD là hình bình hành
Do nên tam giác BB’C đều
Do đó nên tứ giác A’B’CD là hình thoi
Ta có
Suy ra
Vậy tứ giác là hình vuông.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có
. Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB. Tính góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’)

Trong (ABC) kẻ ( điểm N thuộc cạnh AC)
Vậy NC’ là hinh chiếu của MC’ trên mp(ACC’A’)
Góc giữa MC’ và mp(ACC’A’) là góc
Ta có
CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên có
Tam giác CMC’ vuông tại M, nên
Diện tích
Xét tam giác vuông MC’N, có
Vậy góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’) là
Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a,
, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC?
Hình vẽ minh họa

Lấy M là trung điểm của SD
Góc cần tìm là góc giữa OM và SC
Ta có MC là trung tuyến của tam giác SCD
Xét tam giác MOC ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, SB. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác SBC ta có:
=> KJ // SC (*)
Xét tam giác SAB ta có:
=> KI // SA (**)
Từ (*) và (**) => (IJK) // (SAC) (1)
Vì ABCD là hình vuông => BD ⊥ AC
Mà SA ⊥ BD => BD ⊥ (SAC)
Kết hợp với (1) => BD ⊥ (IJK)
=>
Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng
. Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra
Gọi M là trung điểm của BC
Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2
Hay
Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:
Vậy
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi α là số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC). Tính tan α.

Hình chiếu của SA lên mặt phẳng (ABC) là AH
=> Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là
Tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cùng cạnh a
Vậy tan α = 1
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = a, CD = 6. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2BM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với AB và CD. Diện tích thiết diện của P với tứ diện là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Tương tự ta có: MQ // CD, NP // CD, QP // AB
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
Ta có: (AB, CD) = (MN, MQ) = 900
=> ABCD là hình bình hành
Ta lại có:
=>
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC