Cho hình lập phương
có cạnh bằng
Khoảng cách từ
đến mp
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có nên
.
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
Khoảng cách từ
đến mp
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có nên
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a,
, SA ⊥ (ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm của AD
=> ABCM là hình vuông => CM ⊥ AD
Ta có:
Suy ra hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) là SM
=>
=>
Cho hình chóp tứ giác đều
, đáy
cạnh bằng
, cạnh bên
. Tính thể tích hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Ta có:
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).

Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó
Ta có mà
Dựng tại H suy ra
Trong mặt phẳng (SAD) kẻ Hx // AD. Trong mặt phẳng (BC, Hx) qua C kẻ đường thẳng song song với BH cắt Hx tại K thì
Suy ra SK là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là góc
Ta có
Trong tam giác SCI có
Suy ra
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600. Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC)
Hình ảnh minh họa

Gọi O là tâm ABCD =>
Ta có:
Gọi M là trung điểm của BC, kẻ OK vuông góc với SM (1)
Ta có:
Xét tam giác vuông SOM ta có:
Cho hình hộp
có độ dài tất cả các cạnh bằng
và các góc
đều bằng
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Gọi
là góc tạo bởi hai đường thẳng
và
. Xác định
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: với P là trung điểm của D’C
Suy ra
Vì và các cạnh của hình hộp bằng a
Do đó
Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP ta có:
Cho tứ diện ABCD có
;
. Gọi M và N là trung điểm của AB và CD. Kết luận nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABD có AB = AD và
=> Tam giác ABD là tam giác đều
=> (Vì DM là trung tuyến)
Xét tam giác ABC có AB = AC và
=> Tam giác ABC là tam giác đều
=> (Vì CM là trung tuyến)
=> DM = CM nên tam giác MCD cân tại M có MN là trung tuyến (do N là trung điểm của CD)
Suy ra MN là đường cao của tam giác MCD
=> MN ⊥ CD
Chứng minh tương tự:
Vì hai tam giác ACD và BCD bằng nhau (c.c.c) nên hai đường trung tuyến tương ứng AN; BN bằng nhau: AN = BN
=> Tam giác ABN cân tại N có NM là đường trung tuyến nên MN ⊥ AB
Vậy kết luận "MN không vuông góc với AB và CD" là kết luận sai.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng với D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng:
Hình vẽ minh họa:
Do D đối xứng với E qua trung điểm của SA nên SDAE là hình bình hành
=> AE // SD. Ta có:
Mà
=>
=>
Cho tứ diện ABCD. Gọi H là trực tâm của tam giác BCD và AH vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Hình vẽ minh họa

Vì AH vuông góc với (BCD) suy ra (1)
Mà H là trực tâm của tam giác BCD (2)
Từ (1), (2) suy ra:
Cho tứ diện ABCD có:
,
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng:
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Mà
Mệnh đề nào sau đây sai?
Mệnh đề sai: "Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau."
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có:
Cho tứ diện
. Gọi trung điểm các cạnh
và
lần lượt là các điểm
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và mặt phẳng
là
Hình vẽ minh họa
Hai mặt phẳng và mặt phẳng
có điểm B chung và MN // CD nên theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng thì giao tuyến là đường thẳng d đi qua B và song song với MN (hoặc song song với CD).
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa AC’ và BD?

Hình vẽ minh họa:
Ta có:
BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông)
BD ⊥ CC’
⇒ BD ⊥ AC’
Do đó góc giữa AC' và BD bằng 900
Cho hình hộp
có đáy là hình thoi. Gọi mặt phẳng
chứa cạnh
và cắt
lần lượt tại
. Chọn kết luận đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
mà
Mặt khác
.
Công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy
và chiều cao
là:
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao
là:
Cho hình lập phương
có các cạnh bằng
. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và
.
Hình vẽ minh họa
Vì là hình lập phương nên
và
.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác cân tại
. Gọi
là trung điểm của
,
là trung điểm của
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Dễ thấy
Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra
Theo giả thiết . Khi đó
Ta được
Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp
bằng bao nhiêu?
Kết quả: 6 cm3
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp
bằng bao nhiêu?
Kết quả: 6 cm3
Hình vẽ minh họa
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Diện tích đáy
Góc giữa SB và mặt phẳng đáy là
ABCD là hình vuông nên
Xét tam giác vuông SOB ta có:
Khi đó thể tích khối chóp là: