Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, SA = a\sqrt{2}, SA ⊥ (ABCD). Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi M là trung điểm của AD

    => ABCM là hình vuông => CM ⊥ AD

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} CM\bot AC \\ CM\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CM\bot(SAD)

    Suy ra hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) là SM

    \Rightarrow \left( SC;(SAD) ight) = (SC;SM) = \widehat{CSM}

    => \tan\widehat{CSM} = \frac{CM}{SM} = \frac{AB}{\sqrt{SA^{2} + AM^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}

    => \widehat{CSM} = 30^{0}

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Tính tích vô hướng của \overrightarrow {{B_1}M} .\overrightarrow {B{D_1}}

    Hình vẽ minh họa:

    Tính tích vô hướng của hai vecto

    Ta có:

    \begin{matrix} \overrightarrow {B{D_1}} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {A{D_1}} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {B{D_1}} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {AD} \hfill \\ \overrightarrow {{B_1}M} = \overrightarrow {{B_1}A} + \overrightarrow {AM} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {{B_1}M} = - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {A{A_1}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {B{D_1}} .\overrightarrow {{B_1}M} = A{B^2} - A{A_1}^2 + \dfrac{1}{2}A{D^2} \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {B{D_1}} .\overrightarrow {{B_1}M} = \dfrac{{{a^2}}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Chọn khẳng định sai?

    Hình vẽ minh họa:

    Dễ thấy

    Góc giữa B1D1 và AC bằng 900

    Góc giữa AD và C1B bằng 450

    Góc giữa BD và CA1 bằng 900

    Đều là các đáp án đúng

    Góc giữa B1D1 và AA1 bằng 600 sai vì \widehat{\left( B_{1}D_{1};AA_{1} ight)} = 90^{0}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Một hình chóp S.ABC có đáy ABC là cân AB = AC = a;\widehat{CAB} = 120^{0}. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm của AB

    Tam giác SAB đều nên SH\bot AB

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABC) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABC)

    Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC

    Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

    SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \sqrt{a^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow V_{S.ABC} =\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}a^{2}.\sin120^{0} =\frac{a^{3}}{8}

  • Câu 5: Vận dụng

    Giả sử V là thể tích khối tứ diện đều ABCD . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích V' . Tỉ số \frac{V'}{V} = 1/2

    (Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

    Đáp án là:

    Giả sử V là thể tích khối tứ diện đều ABCD . Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích V' . Tỉ số \frac{V'}{V} = 1/2

    (Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a

    Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện

    Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng \frac{a}{2}

    Do đó thể tích phần cắt bỏ là V'' = 4.\frac{V}{8} = \frac{V}{2}

    (Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm \left( \frac{1}{2} ight)^{3} = \frac{1}{8}

    Vậy V' = \frac{V}{2} \Rightarrow \frac{V'}{V} = \frac{1}{2}

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng 8a^{2}, chiều cao bằng a. Thể tích khối chóp đã cho là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B = 8a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối chóp là: V = \frac{1}{3}B.h = \frac{8}{3}a^{3}

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc tại đỉnh B đều bằng 600.

    Đường thẳng B’C vuông góc với đường thẳng:

    Hình vẽ minh họa:

    Đường thẳng B’C vuông góc với đường thẳng nào

    Ta có: 

    \begin{matrix} \overrightarrow {CB'} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'B'} } ight).\overrightarrow {CD} \hfill \\ = \overrightarrow {CC'} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {C'B'} .\overrightarrow {CD} \hfill \\ = CC'.CD.\cos \widehat {C'CD} + C'B'.CD.\cos \widehat {B'C'D'} \hfill \\ = a.a.\cos {60^0} + a.a.\cos \left( {{{180}^0} - \widehat {ABC}} ight) \hfill \\ = \dfrac{{{a^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{2} = 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Một tấm ván hình chữ nhật ABCD được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu 2\ m. Cho biết AB = 1\ m, AD = 3,5\ m. Tính góc giữa đường thẳng BD và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).

    Đáp án : 33\ ^{0}

    Đáp án là:

    Một tấm ván hình chữ nhật ABCD được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu 2\ m. Cho biết AB = 1\ m, AD = 3,5\ m. Tính góc giữa đường thẳng BD và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).

    Đáp án : 33\ ^{0}

    Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của C, D lên đáy hố là mặt phẳng (AKHB).

    Khi đó BD có hình chiếu lên đáy là KB, suy ra

    \left( BD,(AKHB) ight) = (BD,BK) = \widehat{DBK}.

    Với độ sâu hố là DK = CH = 2(m), ta có

    AK = \sqrt{AD^{2} - DK^{2}} = \frac{\sqrt{33}}{2}.

    KB = \sqrt{AK^{2} + AB^{2}} = \frac{\sqrt{37}}{2}.

    \tan DBK = \frac{DK}{KB} = \frac{4\sqrt{37}}{37}

    \Rightarrow \widehat{DBK} \approx 33{^\circ}.

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác A’BC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), M là trung điểm cạnh CC’. Tính cosin của góc α giữa hai đường thẳng AA’ và BM.

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có H là trung điểm của BC => AH⊥ (ABC)

    Ta có: A’H = AH = \frac{a\sqrt{3}}{2} nên AA' = \frac{a\sqrt{6}}{2}

    Do AA’ // CC’ nên (AA’; BM) = (CC’; BM)

    Ta tính góc \widehat{BMC}

    Vì M là trung điểm của CC’ nên CM =\frac{1}{2}CC' = \frac{1}{2}AA' =\frac{a\sqrt{6}}{4}

    Gọi n là giao điểm của A’M và AC. Do CM // AA’, CM = \frac{1}{2}AA'

    => CM là đường trung bình của tam giác AA’N => C là trung điểm của AN

    Ta có:

    A’C = AC = CN => Tam giác AA’N vuông tại A, AN = 2a; AA' = \frac{a\sqrt{6}}{2} \Rightarrow A'N= \frac{a\sqrt{10}}{2}

    Tương tự xét tam giác ABN vuông tại B, AB = a, AN = 2a => BN = a\sqrt{3}

    Xét tam giác A’BN có A’B = a, BN =a\sqrt{3};A'N = \frac{a\sqrt{10}}{2}

    BM là trung tuyến nên

    \begin{matrix}BM^{2} = \dfrac{BN^{2} + A'B^{2}}{2} - \dfrac{A'N^{2}}{4} \hfill\\BM^{2} = \dfrac{3a^{2} + a^{2}}{2} - \dfrac{5a^{2}}{8} = \dfrac{11a^{2}}{8}\hfill\\\Rightarrow BM = \dfrac{a\sqrt{22}}{4} \hfill\\\end{matrix}

    Xét tam giác BMC có \cos\widehat{BMC} =\frac{BM^{2} + CM^{2} - BC^{2}}{2.BM.CM} =\frac{\sqrt{33}}{11}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD;AB = SA = a. Tính khoảng cách từ đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là tâm của đáy \Rightarrow SO\bot(ABCD)

    Lấy M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.

    Kẻ OH\bot SN

    Có \left\{ \begin{matrix} ON\bot CD \\ CD\bot SO \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SON)

    \Rightarrow CD\bot OH \Rightarrow OH\bot(SCD)

    Ta có: AB//CD \subset (SCD) \Rightarrow AB//(SCD)

    Khi đó d\left( AB;(SCD) ight) = d\left( M;(SCD) ight) = 2d\left( O;(SCD) ight) = 2OH

    Trong tam giác SON vuông tại O, OH\bot SN có:

    \frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{SO^{2}} + \frac{1}{ON^{2}} \Rightarrow OH = \frac{a\sqrt{6}}{6}

    \Rightarrow d\left( AB;(SCD) ight) = \frac{a\sqrt{6}}{3}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc (IE; JF) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: IF là đường trung bình của tam giác ACD => \left\{ \begin{matrix}IF//CD \\IF = \dfrac{1}{2}CD \\\end{matrix} ight.

    JE là đường trung bình của tam giác BCD => \left\{ \begin{matrix}JE//CD \\JE = \dfrac{1}{2}CD \\\end{matrix} ight.

    => \left\{ \begin{matrix} IF = JE \\ IF//JE \\ \end{matrix} ight.=> Tứ giác IJEF là hình bình hành

    Mặt khác \left\{ \begin{matrix}IJ = \dfrac{1}{2}AB \\JE = \dfrac{1}{2}CD \\\end{matrix} ight.. MÀ AB = CD => IJ = JE

    Do đó IJEF là hình thoi => (IE; JF) = 900

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 10. Cạnh bện SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC =10\sqrt{5}. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Tính khoảng cách d giữa BD và MN.

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi P là trung điểm BC và E = NP ∩ AC

    => PN // BD => BD // (MNP)

    => d(BD, MN) = d(BD, (MNP)) = d(O, (MNP)) = \frac{1}{3}d(A, (MNP))

    Kẻ AK ⊥ ME

    Khi đó d(A, (MNP)) = AK.

    Ta tính được:

    \begin{matrix}SA = \sqrt{SC^{2} - AC^{2}} = 10\sqrt{3} \\\Rightarrow MA = 5\sqrt{3};AE = \dfrac{3}{4}AC = \dfrac{15\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix}

    Xét tam giác vuông MAE ta có:

    AK = \frac{MA.AE}{\sqrt{MA^{2} +AE^{2}}} = 3\sqrt{5}

    \Rightarrow d(BD;MN) = \frac{1}{3}AK =\sqrt{5}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA\bot(ABCD), SA = AB = a. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Tính (AM,BD)?

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác SAB vuông tại A có: SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{2}

    Gọi E là trung điểm cạnh MC, ta có:

    OE//AM \Rightarrow (AM;BD) = (OE,BD) và OE = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{4}SB = \frac{a\sqrt{2}}{4}

    Lại có: CB\bot AB;SA\bot CB \Rightarrow CB\bot SB

    Suy ra tam giác SBC vuông tại B.

    Xét tam giá MBC vuông tại B ta có:

    MC = \sqrt{MB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}.2a^{2} + a^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}

    BE = \frac{1}{2}MC = \frac{a\sqrt{6}}{4}

    Xét tam giác EBOcó:

    \cos\widehat{EOB} = \frac{EO^{2} + OB^{2} - EB^{2}}{2.EO.OB} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \widehat{EOB} = 60^{0} \Rightarrow OE//AM \Rightarrow (AM;BD) = 60^{0}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Gọi \mu là góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABC). Xác định \cos\mu?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm của AC => HM // SA và HM = \frac{1}{2}.SA = a

    Mà SA\bot(ABCD) \Rightarrow HM\bot(ABC)

    \Rightarrow \left( BM;(ABC) ight) = (BM,BH) = \widehat{MBH}

    Ta có: BH = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow BM = \sqrt{BH^{2} + MH^{2}}= \sqrt{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2} + a^{2}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}

    Trong tam giác BMH có:

    \cos\mu = \cos\widehat{MBH} =\dfrac{BH}{BM} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{7}}{2}} =\dfrac{\sqrt{21}}{7}

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của AB suy ra

    \left\{ \begin{matrix} MO\bot AB \\ SM\bot AB \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left( (SAB);(ABCD) ight) = \widehat{SMO} = \varphi

    Tam giác SMO vuông tại O nên \varphi eq 90^{0}

    Do đó mặt phẳng (SAB) không vuông góc với (ABCD).

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) bằng 90^{0}, SA = SB. Tính tan góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD), biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng \frac{4a^{3}}{3}?

    Hình vẽ minh họa

    Kẻ SH\bot AB , gọi \alpha = \left( SC;(ABCD) ight)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (SAB)\bot(ABCD) \\ (SAB) \cap (ABCD) = AB \\ SH \subset (SAB) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)

    \Rightarrow \alpha = \widehat{SCH}

    Lại có: V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}SH.S_{ABCD} = \frac{4a^{3}}{3} \Rightarrow SH = a

    Do tam giác SAB cân tại S nên H là trung điểm của AB

    \Rightarrow HC = \sqrt{BH^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{5}

    \Rightarrow \tan\alpha = \tan\widehat{SCH} = \frac{SH}{HC} = \frac{a}{a\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC.

    Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC

    +) Ta có:

    \begin{matrix} \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {SH} + \overrightarrow {HB} } ight)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } ight) \hfill \\ = \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SH} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \hfill \\ = \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \hfill \\ = \dfrac{1}{2}A{B^2} = 2{a^2} \hfill \\ \end{matrix}

    +) Mặt khác

    \begin{matrix} AC = a\sqrt 5 ;CH = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \hfill \\ SH = CH.\tan \widehat {SCH} = a\sqrt 6 \hfill \\ SB = \sqrt {S{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 6 } ight)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 7 \hfill \\ \end{matrix}

    => \cos \left( {SB,AC} ight) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} } ight|}}{{SB.AC}} = \frac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 7 .a\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt {35} }}

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A' đến mp (ABCD) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có A'A\bot(ABCD) nên d\left( A',(ABCD) ight) = A'A = a.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông của A lên SC,SD. Kết luận nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} SA\bot CD \\ AD\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SAD) \Rightarrow CD\bot AK

    Lại có: SD\bot AK

    \Rightarrow AK\bot(SCD)

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa

    Hình vẽ minh họa:

    Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

    Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 77 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập