Cho tứ diện đều ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính cosin góc giữa hai cạnh AJ và CI?
Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Ta có:
Vậy cosin góc giữa hai cạnh AJ và CI bằng
Cho tứ diện đều ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính cosin góc giữa hai cạnh AJ và CI?
Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Ta có:
Vậy cosin góc giữa hai cạnh AJ và CI bằng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 2BC = 2AB = 2a, SA = 2a và SA vuông góc với ABCD. Gọi M là trung điểm SB và
là góc tạo bởi đường thẳng MD và mặt phẳng (SCD). Khi đó
bằng:

Ta có tam giác SAB vuông tại A nên
Ta có:
Xét tam giác MDA vuông tại A theo định lí Pytago ta có:
Ta có
Gọi N là giao của AB và CD. Gọi P là trung điểm AD nên ABCP là hình vuông
=>
Ta có (hai đường chéo hình vuông)
Mặt khác BP // CD.
Do đó tam giác ACD vuông tại nên tam giác ACN vuông tại C, mặt khác nên B là trung điểm AN.
Ta có AB giao (SCB) tại N nên
Ta có
Trong (SAC) kẻ
Xét tam giác SAC vuông tại A nên
Do đó
Giả sử
là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Giả sử là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Hình vẽ minh họa
Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a
Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện
Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng
Do đó thể tích phần cắt bỏ là
(Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm
Vậy
Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và DM.
Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của AC
I là trung điểm của MN
Ta có:
=>
Ta có:
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Ta có:
Vậy mệnh đề đúng là: “Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.”
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB) ⊥ (ABCD), (SAC) ⊥ (ABCD), SA = 2a. Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> Hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (SAD) là SA
=>
Xét tam giác SAB vuông ta có:
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Góc giữa SB và mặt phẳng (SCA) bằng 600. Gọi M là trung điểm của SB. Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB).

Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên
ABCD là hình vuông cạnh a nên
Ta có:
Khi đó: với
là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).
Do suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc
.
Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:
Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)
Ta có: (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên
Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:
Trong tam giác AMC, có:
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD.
Gọi . Do
nên suy ra
(vì
)
Kẻ ta có:
Từ (1) và (2) , khi đó
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng:

Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).
Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
. Gọi O là tâm của đáy ABC, d1 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) và d2 là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Tính d = d1 + d2.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm BC.
Ta có:
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và A lên SM =>
Ta có:
Ta có:
Xét tam giác SOM có:
Vậy
Cho hình chóp tam giác
, đáy là tam giác
vuông cân tại C và
. Biết tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
. Thể tích hình chóp tam giác
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB đều nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp tam giác S.ABC
Tam giác SAB đều nên
Tam giác ABC vuông cân tại C nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp
có
, tam giác
vuông tại
và
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Vì tam giác vuông cân tại
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Qua một điểm cho trước có thể kẻ được vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = a, CD = 6. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2BM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với AB và CD. Diện tích thiết diện của P với tứ diện là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Tương tự ta có: MQ // CD, NP // CD, QP // AB
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
Ta có: (AB, CD) = (MN, MQ) = 900
=> ABCD là hình bình hành
Ta lại có:
=>
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Xác định khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
Hình vẽ minh họa:
Vì HA = HB, tam giác ABC cân => CH ⊥ AB
Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ CH
Mà CH ⊥ AB => CH ⊥ (SAB)
Mặt khác AK thuộc mặt phẳng (SAB
=> CH ⊥ SA, CH ⊥ SB, CH ⊥ AK
Và AK ⊥ SB chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.
Cho khối lăng trụ tam giác đều
có
. Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có:
Trong tam giác vuông A’MA có:
Tam giác ABC đều nên
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của AB. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng CM và DM. Tính giá trị của cos α?
Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều. Khi đó:
Ta có hình vẽ minh họa:

Áp dụng định lí cosin vào tam giác CMD ta được:
Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi tâm
, cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
là góc giữa đường thẳng
với mặt phẳng đáy. Khi đó:
Hình vẽ minh họa
Ta có: suy ra OD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD)
Suy ra
Vậy
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>