Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có các kích thước AB = 4,AD = 3,AA' = 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'C bằng:

    Đáp án: 30/19 (Ghi kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có các kích thước AB = 4,AD = 3,AA' = 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'C bằng:

    Đáp án: 30/19 (Ghi kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b).

    Hình vẽ minh họa

    Trong (BB'C'C) kẻ C'M//B'C;(M \in BC).

    \Rightarrow B^{'}C//\left( AC^{'}M ight) \Rightarrow d\left( A^{'}C;B^{'}C ight) = d\left( B^{'}C;\left( AC^{'}M ight) ight) = d\left( C;\left( AC^{'}M ight) ight)

    Kẻ CH\bot AM;CK\bot C^{'}H.

    Do \left\{ \begin{matrix} CH\bot AM \\ CC^{'}\bot AM \\ \end{matrix} \Rightarrow AM\bot\left( CC^{'}H ight) \Rightarrow AM\bot CK ight.

    Mà CK\bot C^{'}H \Rightarrow CK\bot\left( AC^{'}M ight) \Rightarrow d\left( C;\left( AC^{'}M ight) ight) = CK.

    Ta có: B^{'}C^{'}MC là hình bình hành nên CM = B'C' =3.

    \frac{1}{d^{2}(B;AM)} = \frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{BM^{2}} \Rightarrow d(B;AM) = \frac{12}{\sqrt{13}}

    \Rightarrow CH = \frac{1}{2}d(B;AM) = \frac{6}{\sqrt{13}}.

    Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông C^{'}CH ta có:

    \frac{1}{CK^{2}} = \frac{1}{CH^{2}} + \frac{1}{CC^{'2}} \Rightarrow CK = \frac{30}{19}.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh x; SA\bot(ABCD). Góc tạo bởi cạnhSC và mặt phẳng (SAB) bằng 30^{0}. Xác định thể tích khối chóp S.ABCD.

    Hình vẽ minh họa

    Do ABCD là hình vuông cạnh bằng x nên S_{ABCD} = x^{2}

    Dễ dàng chứng minh được BC\bot(SAB)

    \Rightarrow \left( SC;(SAB) ight) = \widehat{CSB} = 30^{0}

    Đặt SA = m \Rightarrow SB = \sqrt{m^{2} + x^{2}}

    Tam giác SBC vuông tại B nên \tan\widehat{CSA} = \tan30^{0} = \frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{BC}{SB}

    Ta được:

    BC = SB\sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{m^{2} + x^{2}} = x\sqrt{3} \Rightarrow m = x\sqrt{2}

    Vậy diện tích hình chóp là:

    V = \frac{1}{3}SA.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.x\sqrt{2}.x^{2} = \frac{x^{3}\sqrt{2}}{3}

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng 8a^{2}, chiều cao bằng a. Thể tích khối chóp đã cho là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B = 8a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối chóp là: V = \frac{1}{3}B.h = \frac{8}{3}a^{3}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Một tấm ván hình chữ nhật ABCD được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu 2\ m. Cho biết AB = 1\ m, AD = 3,5\ m. Tính góc giữa đường thẳng BD và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).

    Đáp án : 33\ ^{0}

    Đáp án là:

    Một tấm ván hình chữ nhật ABCD được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu 2\ m. Cho biết AB = 1\ m, AD = 3,5\ m. Tính góc giữa đường thẳng BD và đáy hố. (Kết quả làm tròn đến độ).

    Đáp án : 33\ ^{0}

    Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của C, D lên đáy hố là mặt phẳng (AKHB).

    Khi đó BD có hình chiếu lên đáy là KB, suy ra

    \left( BD,(AKHB) ight) = (BD,BK) = \widehat{DBK}.

    Với độ sâu hố là DK = CH = 2(m), ta có

    AK = \sqrt{AD^{2} - DK^{2}} = \frac{\sqrt{33}}{2}.

    KB = \sqrt{AK^{2} + AB^{2}} = \frac{\sqrt{37}}{2}.

    \tan DBK = \frac{DK}{KB} = \frac{4\sqrt{37}}{37}

    \Rightarrow \widehat{DBK} \approx 33{^\circ}.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho tam giác ABC vuông tại A và có hai đỉnh B và C nằm trên mặt phẳng (P). Gọi C’ là hình chiếu vuông góc của đỉnh C lên mặt phẳng (P). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

    Vì C’ trùng với C nên tam giác ABC’ là tam giác vuông tại A.

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có độ dài tất cả các cạnh bằng x và \widehat{BAD} = \widehat{DAA'} = \widehat{A'AB} = 60^{0}. Gọi M,N lần lượt là trung điểm câc các cạnh AA';CD. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng MN và B'C?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi P là trung điểm của DC’. Ta có: \left\{ \begin{matrix} A'D//B'C \\ MN//A'P \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra (MN,B'C) = (A'P,A'D) = \widehat{DA'P}

    Xét tam giác ADA’ có \left\{ \begin{matrix} AD = AA' \\ \widehat{DAA'} = 60^{0} \\ \end{matrix} ight. suy ra tam giác ADA’ là tam giác đều \Rightarrow A'D = x

    Xét tam giác A’AB có \left\{ \begin{matrix} AB = AA' \\ \widehat{A'AB} = 60^{0} \\ \end{matrix} ight. suy ra tam giác A’AB đều

    Do đó tam giác DD’C đều

    Vậy DC' = 2DP = 2.\frac{x\sqrt{3}}{2}= x\sqrt{3}

    Xét tam giác BAD có AD = AB và \widehat{BAD} = 60^{0} nên tam giác BAD là tam giác đều.

    Vì tam giác BAD đều nên tam giác B’A’D’ cùng là tam giác đều.

    Gọi A’I là đường cao của tam giác B’A’D’

    Khi đó: A'C' = 2A'I =2.\frac{x\sqrt{2}}{2} = x\sqrt{3}

    Dễ thấy A’P là đường trung tuyến của tam giác DA’C’ nên A'P = \sqrt{\frac{A'D'^{2} +A'C'^{2}}{2} - \frac{DC'^{2}}{4}} =\frac{x\sqrt{5}}{2}

    Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP có:

    \Rightarrow \cos\widehat{DA'P} =\frac{A'D^{2} + A'P^{2} - DP^{2}}{2.A'D.A'P} =\frac{x\sqrt{5}}{10}

    \Rightarrow \cos(MN,B'C) = \left| \cos\widehat{DA'P} ight| = \frac{3\sqrt{5}}{10}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác nhọn, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy. Khi đó:

    Hình vẽ minh họa:

    Hoàn thành mệnh đề

    Ta có I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)

    Tam giác SAI vuông tại I

    => SA2 = AI2 + SI2

    Tam giác SBI vuông tại I

    => SB2 = BI2 + SI2

    Tam giác SCI vuông tại I

    => SC2 = CI2 + SI2

    Kết hợp với điều kiện: SA = SB = SC

    => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc phẳng đỉnh B đều bằng 600.

    Cặp đường thẳng nào sau đây không vuông góc với nhau?

    Hình ảnh minh họa

    Cặp đường thẳng nào sau đây không vuông góc với nhau

    Xét tam giác CB'D' có ba cạnh bằng a\sqrt 3 nên tam giác không vuông.

    => B’C và CD’ không vuông góc với nhau.

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng a. Số đo góc giữa hai đường thẳng SA và CD bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: AB//CD \Rightarrow (SA;CD) = (SA;AB) = \widehat{SAB}

    Tam giác SAB đều nên \widehat{SAB} = 60^{0}

    \Rightarrow (SA;CD) = \widehat{SAB} = 60^{0}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AB và α là góc tạo bởi đường MC’ và mặt phẳng (ABC). Khi đó tan α bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: CM là hình chiếu của C’M lên (ABC)

    => Góc giữa MC’ và (ABC) là góc giữa MC’ và MC.

    Xét tam giác MCC’ vuông tại C ta có:

    \tan\alpha = \dfrac{CC'}{MC} =\dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng (A'BC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60^{0} và cạnh AA' = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó

    \left\{ \begin{matrix} AM\bot BC \\ AA'\bot BC \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(A'AM)

    \Rightarrow \left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 60^{0}

    Ta có: AM = \frac{AA'}{tan60^{0}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}

    \Rightarrow BC = 2AM = \frac{4a\sqrt{3}}{3}

    \Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = 2a.\frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\frac{4a\sqrt{3}}{3} = \frac{8}{3}a^{3}

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng:

    Do BD và A’C’ lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau nên d(A’C’, BD) = d((ABCD),(A’B’C’D’)).

    Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có d((ABCD), (A’B’C’D’)) = AA’ = a. Vậy d(A’C’, BD) = a.

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?

     Mệnh đề đúng: "Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương"

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy, I là trung điểm của AC, H là hình chiếu của I trên SC. Kí hiệu d(a, b) là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} SA\bot BC \\ AB\bot SA \\ AB\bot BC \\ \end{matrix} ight. => d(SA, BC) = AB

  • Câu 15: Vận dụng

    Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a. Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra SH\bot(ABC)

    Gọi M là trung điểm của BC

    \Rightarrow AM\bot BC;AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2

    Hay AM = \frac{1}{2}SA

    \Rightarrow SA = a\sqrt{3}

    Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

    \Rightarrow SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}}

    = \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - \left( \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2}} = \frac{2a\sqrt{6}}{2}

    Vậy V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.S_{ABC}.SH = \frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.\frac{2a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, \widehat{BAD} = 60^{0}. Hình chiếu vuông góc của B’ xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy và cạnh bên BB’ = a. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi O là giao điểm của AC và BD

    Theo giả thiết ta có: B’O ⊥ (ABCD)

    Dó đó \left( BB';(ABCD) ight) = (BB';BO) = \widehat{B'BO}

    Vì tam giác ABD đều cạnh a => BO = \frac{BD}{2} = \frac{a}{2}

    Tam giác B’BO vuông ta có:

    \begin{matrix}\cos\widehat{B'BO} = \dfrac{BO}{BB'} = \dfrac{1}{2} \hfill \\\Rightarrow \widehat{B'BO} = 60^{0} \hfill \\\end{matrix}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh bằng \sqrt{3} và cạnh bên bằng 1. Tính góc giữa hai đường thẳng BB' và AC'?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    BB'//CC' \Rightarrow (BB';AC') = (CC';AC') = \widehat{AC'C}

    Khi đó tam giác ACC' vuông cân tại C nên \tan\widehat{AC'C} = \frac{AC}{CC'} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}

    \Rightarrow \widehat{AC'C} = 60^{0}

    \Rightarrow (BB';AC') = \widehat{AC'C} = 60^{0}

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”

    Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB

    Mặt khác AB ⊥ AD.

    Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC. Gọi \alpha là góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM). Tính \alpha

    + Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2

    + Gọi N là trung điểm AB suy ra SN \bot AB \Rightarrow SN \bot \left( {ABCD} ight)

    + Gọi h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) \Rightarrow \sin \alpha = \frac{h}{{SA}}

    Gọi I = DM \cap CN,\,J = AB \cap DM

    + Ta có \frac{{d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight)}}{{d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight)}} = \frac{{{\text{AJ}}}}{{NJ}} = \frac{4}{3}

    \Rightarrow h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight)

    + Ta có 

    \Delta CNB = \Delta DMC \Rightarrow \widehat {NCB} = \widehat {MDC}

    \Rightarrow \widehat {NCB} + \widehat {DMC} = \widehat {MDC} + \widehat {DMC} = 180^\circ - \widehat {MCD} = 90^\circ

    \Rightarrow DM \bot CN \Rightarrow DM \bot \left( {SNC} ight)

    + Gọi NH là đường cao \Delta SNI \Rightarrow NH \bot \left( {SDM} ight)

    \Rightarrow d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight) = NH

    + Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ

    \begin{matrix} \Rightarrow \dfrac{{NI}}{{MB}} = \dfrac{{NJ}}{{MJ}} \hfill \\ \Rightarrow NI = \dfrac{{NJ}}{{MJ}}.MB = \dfrac{{NJ}}{{\sqrt {M{B^2} + B{J^2}} }} \hfill \\ MB = \dfrac{3}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}.1 = \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ \end{matrix}

    + Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2 \Rightarrow SN = \sqrt 3

    \frac{1}{{N{H^2}}} = \frac{1}{{N{S^2}}} + \frac{1}{{N{I^2}}} \Rightarrow NH = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}

    h = d\left( {A,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}d\left( {N,\left( {SDM} ight)} ight) = \frac{4}{3}.\frac{{3\sqrt 2 }}{4} = \sqrt 2

    \Rightarrow \sin \alpha = \frac{h}{{SA}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = 45^\circ

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = a, CD = 6. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2BM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với AB và CD. Diện tích thiết diện của P với tứ diện là:

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (MNPQ)//AB \\ (MNPQ) \cap (ABC) = MN \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN//AB

    Tương tự ta có: MQ // CD, NP // CD, QP // AB

    Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

    Ta có: (AB, CD) = (MN, MQ) = 900

    => ABCD là hình bình hành

    Ta lại có:

    \begin{matrix}\Delta CMN\sim\Delta CBA \hfill \\\Rightarrow \dfrac{CM}{CB} = \dfrac{MN}{AB} = \dfrac{1}{3} \hfill \\\Rightarrow MN = \dfrac{4}{3} \hfill\\\Delta ANP\sim\Delta ACD \hfill \\\Rightarrow \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{NP}{CD} = \dfrac{2}{3} \hfill \\\Rightarrow MP = 4 \\\end{matrix}

    => S_{MNPQ} = MN.NP = \frac{16}{3}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 81 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập