Hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 3 và AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Diện tích của tam giác BCD bằng:
Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là
Hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 3 và AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Diện tích của tam giác BCD bằng:
Do ∆BCD là tam giác đều cạnh nên có diện tích là
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng . Điểm M và N lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BB’. Côsin góc giữa đường thẳng MN và (BA’C’) bằng

Gọi là số đo góc giữa MN và (BA’C’), K là hình chiếu vuông góc của N lên (B’A’C’).
Khi đó
Gọi E là trung điểm của A’C’, khi đó BMEB’ là hình chữ nhật. Gọi , ta có
Ta có
. Kẻ
Từ
Cho tứ diện ABCD trong đó AB = 6; CD = 3, góc giữa AB và CD là 600 và điểm M trên BC sao cho BM = 2MC. Mặt phẳng (P) qua M song song với AB và CD cắt BD, AD, AC lần lượt tại M, N, Q. Diện tích MNPQ bằng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Tương tự ta có: MN // CD, NP // AB, QP // CD
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
Ta có: (AB, CD) = (QM, MP) = 600
Suy ra:
Ta có:
=>
Cho tứ diện S.ABC có SBC và ABC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác SBC đều, tam giác ABC vuông tại A. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của BC và AB. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:

Ta có: SBC là tam giác đều có H là trung điểm BC nên
Mà (SBC)⊥(ABC) theo giao tuyến BC
=> đúng.
Ta có HI là đường trung bình của ΔABC nên
=> đúng.
Ta có
=> đúng
Cho hình lập phương như hình vẽ:

Biết
. Xác định thể tích của khối lập phương đã cho.
Gọi độ dài cạnh của khối lập phương là a; (x > 0)
Xét tam giác A’B’C’ vuông cân tại B’ ta có:
Xét tam giác A’AC’ vuông tại A’ ta có:
Vậy thể tích khối lập phương là
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông cân tại
và
. Biết
và
. Góc nhị diện
có số đo bằng:
Hình vẽ minh họa
Kẻ tại
là trung điểm của
và
.
Ta có
.
Suy ra góc giữa và
bằng góc
.
Ta có:
Suy ra góc nhị diện có số đo bằng
.
Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng
?
Hình vẽ minh họa
Giả sử khối chóp tứ giác đều đã cho là
Khi đó ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 cm và
Gọi H là tâm hình vuông ABCD thì nên SH là chiều cao của khối chóp
.
Tính SH
Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:
Nhận thấy nên tam giác SAC vuông tại S
Diện tích đáy của khối chóp là
Thể tích khối chóp là
Cho ba vecto
bất kì đều khác với vecto
. Nếu vecto
vuông góc với cả hai vecto
và
thì
,
và
:
Nếu vecto vuông góc với cả hai vecto
và
thì
,
và
thì có thể đồng phẳng.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh là hình vuông thì nó là hình lập phương.
Cho tứ diện
có
, các cạnh còn lại bằng nhau và bằng
. Mặt phẳng
chứa cạnh
và vuông góc với cạnh
tại
. Diện tích tam giác
lớn nhất bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Theo giả thiết ta có các tam giác ACD và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 4
Gọi H là trung điểm của AB ta có: và
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABCD) ,
. Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Lại có:
=>
Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Khi cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c thì mệnh đề : “Nếu a song song với b và c vuông góc với a thì c vuông góc với b” là mệnh đề đúng.
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’ bằng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có BC // B’C’ => BC // (AB’C’)
=> d(BC, AB’) = d(BC, (AB’C’)) = d(B, (AB’C’)) = d(A’ ,(AB’C’))
Gọi I và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ trên B’C’ và AI
Ta có: B’C’⊥ A’I và B’C’⊥ A’A nên B’C’⊥ (A’AI) => B’C’⊥ A’H
Mà AI ⊥ A’H
=> (AB’C’) ⊥ A’H.
Khi đó:
Vậy khoảng cách cần tìm là
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Biết khối chóp có diện tích đáy và chiều cao lần lượt bằng
. Thể tích khối chóp bằng:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA =
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
BC ⊥ AB
BC ⊥ SA
=> BC ⊥ (SAB).
Vì SB ⊂ (SAB) và CD // (SAB) => d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = BC = a
Cho hình chóp OABC có OA = OB = OC = 1, các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính tích vô hướng của hai vecto
.

Ta có:
Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng
. Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra
Gọi M là trung điểm của BC
Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2
Hay
Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:
Vậy
Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC) là:
Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)
M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên các cạnh AB, AC, BC.
Khi đó ta có:
Tương tự ta có:
Khi đó
Tương tự suy ra
=>
=> I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc tại đỉnh B đều bằng 600.
Đường thẳng B’C vuông góc với đường thẳng:
Hình vẽ minh họa:

Ta có: