Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC; SB = SD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S

    => SO ⊥ AC, SO ⊥ BD

    => SO ⊥ (ABCD)

  • Câu 2: Nhận biết

    Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

    Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho tứ diện OABC với các đường thẳng OA, OB, OC đôi một vuông góc. Bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là

    Dễ thấy rằng OA ⊥ (OBC), OB ⊥ (OCA), OC ⊥ (OAB)

    Vậy bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là (OAB), (OBC), (OCA).

  • Câu 4: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Mệnh đề đúng là: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì có thể vuông góc với nhau

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh CD = a,BD = \frac{a\sqrt{6}}{3}, AB = AC = AD = \frac{a\sqrt{3}}{2}. Tính cosin của góc nhị diện [A, BC, D].

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, CD.

    Do \Delta BCD vuông tại B nên BH = CH = DH hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp \Delta BCD.

    Mà AB = AC = AD nên AH là đường cao kẻ từ A xuống (BCD) hay AH\bot(BCD).

    \Rightarrow AH\bot BC. (1)

    M, H là trung điểm của BC, CD nên MH là đường trung bình của \Delta BCD

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}MH = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a\sqrt{6}}{6}. \\MH//BD \\\end{matrix} ight.

    Mà MD\bot BC nên MH\bot BC. (2)

    Từ (1), (2) suy ra: BC\bot(AMH).

    Suy ra: \left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot MH \\ \end{matrix} \Rightarrow \lbrack A,BC,Dbrack = \widehat{AMH} ight..

    Lại có: AH = \sqrt{AC^{2} - CH^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}.

    \Rightarrow \tan\widehat{AMH} = \frac{AH}{MH} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{AMH} = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \cos\widehat{AMH} = \frac{1}{2}.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = a, CD = 6. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2BM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với AB và CD. Diện tích thiết diện của P với tứ diện là:

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} (MNPQ)//AB \\ (MNPQ) \cap (ABC) = MN \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN//AB

    Tương tự ta có: MQ // CD, NP // CD, QP // AB

    Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành

    Ta có: (AB, CD) = (MN, MQ) = 900

    => ABCD là hình bình hành

    Ta lại có:

    \begin{matrix}\Delta CMN\sim\Delta CBA \hfill \\\Rightarrow \dfrac{CM}{CB} = \dfrac{MN}{AB} = \dfrac{1}{3} \hfill \\\Rightarrow MN = \dfrac{4}{3} \hfill\\\Delta ANP\sim\Delta ACD \hfill \\\Rightarrow \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{NP}{CD} = \dfrac{2}{3} \hfill \\\Rightarrow MP = 4 \\\end{matrix}

    => S_{MNPQ} = MN.NP = \frac{16}{3}

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA' = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}';AC = a\sqrt 2 ;BC = a;\widehat {ACB} = {135^0}$. Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB. Tính góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’)

    Góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’)

    Trong (ABC) kẻ MN \bot AC \Rightarrow AC \bot \left( {MNC'} ight) ( điểm N thuộc cạnh AC)

    Vậy NC’ là hinh chiếu của MC’ trên mp(ACC’A’)

    Góc giữa MC’ và mp(ACC’A’) là góc \widehat {MC'N}

    Ta có

    \begin{matrix} A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2.AC.BC.\cos \widehat {ACB} = 5{a^2} \hfill \\ \Rightarrow AB = a\sqrt 5 \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên có

    C{M^2} = \frac{{C{A^2} + C{B^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{4} \Rightarrow CM = \frac{a}{2}

    Tam giác CMC’ vuông tại M, nên C'M = \sqrt {C{{C'}^2} - C{M^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}

    Diện tích {S_{\Delta AMC}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{1}{2}MN \cdot AC \Rightarrow MN = \frac{a}{{2\sqrt 2 }}

    Xét tam giác vuông MC’N, có

    \tan \widehat {MC'N} = \frac{{MN}}{{MC'}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {MC'N} = {30^o}

    Vậy góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’) là \widehat {MC'N} = {30^o}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng A'D và B'I ta được kết quả là:

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a, a > 0

    Ta có:

    B'C//A'D \Rightarrow (A'D;B'I) = (B'I,B'C)

    Tính được \left\{ \begin{matrix}B'I = \sqrt{a^{2} + \left( \dfrac{a}{2} ight)^{2}} =\dfrac{a\sqrt{5}}{2} = CI \\B'C = a\sqrt{2} \\\end{matrix} ight.

    Trong tam giác B’CI ta có:

    \cos\widehat{IB'C} = \dfrac{\left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2} ight)^{2} + \left( a\sqrt{2} ight)^{2} - \left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2}ight)^{2}}{2.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.a\sqrt{2}}

    = \frac{2a^{2}}{a^{2}\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi trung điểm các cạnh SC;SD lần lượt là M,N. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: MN là đường trung bình của tam giác SCD => MN//CD

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} MN//CD \\ BC\bot CD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow MN\bot BC

  • Câu 10: Nhận biết

    Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng 2a?

    Ta có: V = (2a)^{3} = 8a^{3}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AC. Khẳng định nào sau đây sai?

     Ta có:

    BC⊥AB,BC⊥SA⇒BC⊥(SAB)⇒(SBC)⊥(SAB)

    => (SAB) \perp (SAC) đúng.

    ΔABC vuông cân tại B, M là trung điểm AC ⇒ BM⊥AC⇒ BM \perp AC đúng.

    BM⊥AC,BM⊥SA⇒BM⊥(SAC)⇒(SBM)⊥(SAC)

    => (SBM) \perp (SAC) đúng

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, đường chéo BD = 2a. Biết góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 30^{0}. Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi góc giữa mặt phẳng (A'BD) và mặt phẳng (ABCD)là \alphavà O = AC \cap BD

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} AO\bot BD \\ AA'\bot BD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'O\bot BD

    \Rightarrow \alpha = (AO;A'O) = \widehat{AOA'} = 30^{0}

    Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên AB = AD = a\sqrt{2}

    Ta có: AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = a

    Xét tam giác AOA’ có AA' = AO.tan30^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{3}

    \Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA'.S_{ABCD} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.2a^{2} = \frac{2a^{3}\sqrt{3}}{3}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Biết AB = a và góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng (ACC'A') bằng 30^{0}. Tính thể tích khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C'.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} AB\bot AC \\ AB\bot AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AB\bot(ACC'A')

    Suy ra \left( BC';(ACC'A') ight) = (BC';AC') = \widehat{AC'B} = 30^{0}

    Ta có: AC' = \frac{AB}{tan30^{0}} = \sqrt{3}a

    \Rightarrow AA' = \sqrt{\left( a\sqrt{3} ight)^{2} - a^{2}} = a\sqrt{2}

    Vậy V_{ABC.A'B'C'} = AA'.S_{ABC} = \sqrt{2}a.\frac{1}{2}.a.a = \frac{\sqrt{2}}{2}a^{3}

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a, SA = a\sqrt 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC?

    Hình vẽ minh họa

    Góc giữa hai đường thẳng SB và AC trong mặt phẳng

    Lấy M là trung điểm của SD

    Góc cần tìm là góc giữa OM và SC

    Ta có MC là trung tuyến của tam giác SCD

    \begin{matrix} M{C^2} = \dfrac{{S{C^2} + D{C^2}}}{2} - \dfrac{{S{D^2}}}{4} = 2{a^2} \hfill \\ \Rightarrow MC = a\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Xét tam giác MOC ta có:

    \begin{matrix} \cos \widehat {MOC} = \dfrac{{M{O^2} + O{C^2} - M{C^2}}}{{2.MO.OC}} = - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} \hfill \\ \Rightarrow \alpha \approx {69^0}17\prime \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 600. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và SB.

    Hình vẽ minh họa:

    Xác định góc 600

    \widehat{\left( SC;(ABCD) ight)} =\widehat{(SC;AC)} = 60^{0} = \widehat{SCA}

    SA = AC.tan\widehat{SCA} =a\sqrt{6}

    Gọi M là trung điểm AB => ADCM là hình vuông => CM = AD = a

    Xét tam giác ACB ta có:

    CM = a = \frac{1}{2}AB

    => Tam giác ACB vuông tại C

    Lấy điểm E sao cho ACBE là hình chữ nhật

    => AC // BE

    => d(AC, SB) = d(AC, (SBE)) = d(A,(SBE))

    Kẻ AK ⊥ SE. Khi đó:

    d\left( A;(SBE) ight) = AK =\frac{SA.AE}{\sqrt{SA^{2} + AE^{2}}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?

    Hình vẽ minh họa:

    Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).

    Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = 2a;SA\bot(ABCD). Xác định độ lớn khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O = AC \cap BD

    Kẻ AK\bot SO;(K \in SO)(1)

    Ta có:

    SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot BD(*)

    Mà AC\bot DB(**)

    Từ (*) và (**) suy ra DB\bot(SAC) \Rightarrow BC\bot AK(2)

    Từ (1) và (2) suy ra AK\bot(SBD) \Rightarrow d\left( A;(SBD) ight) = AK

    Xét tam giác SAO vuông tại A ta có: \frac{1}{AK^{2}} = \frac{1}{AO^{2}} + \frac{1}{SA^{2}} = \frac{9}{4a^{2}} \Rightarrow AK = \frac{2a}{3}

    \Rightarrow d\left( A;(SBD) ight) = \frac{2a}{3}

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 8a;AC = 5a;AD = 6a. Gọi trung điểm của các cạnh BC,CD,DB lần lượt là J;Q;K. Tính thể tích tứ diện AJQK?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: V_{ABCD} = \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = 60a^{3}

    Nhận thấy S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} = \frac{1}{4}S_{BCD}

    V_{JQK} = \frac{1}{4}.V_{ABCD} = 15a^{3}

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 4a. Cạnh bên hình chóp SA = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm M của OA. Gọi α là góc giữa SD và mặt phẳng đáy. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: SM ⊥ (ABCD)

    => Hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) là cạnh MD.

    \Rightarrow \alpha = \left( SD,(ABCD) ight) = (SD;MD) = \widehat{SDM}

    Ta tính được: SM = \sqrt{SA^{2} - AM^{2}} = a\sqrt{2}

    Xét tam giác ADM có:

    MD = \sqrt{AM^{2} + AD^{2} - 2AM.AD.cos45^{0}} = a\sqrt{10}

    => \tan\alpha = \tan\widehat{SDM} = \frac{SM}{MD} = \frac{\sqrt{5}}{5}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc phẳng đỉnh B đều bằng 600.

    Cặp đường thẳng nào sau đây không vuông góc với nhau?

    Hình ảnh minh họa

    Cặp đường thẳng nào sau đây không vuông góc với nhau

    Xét tam giác CB'D' có ba cạnh bằng a\sqrt 3 nên tam giác không vuông.

    => B’C và CD’ không vuông góc với nhau.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 82 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập