Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy H, K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH = 3HA, AK = 3KD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho
. Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC .
Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có

Ta có:
Trong tam giác vuông SEI có:
=>
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AB và α là góc tạo bởi đường MC’ và mặt phẳng (ABC). Khi đó tan α bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: CM là hình chiếu của C’M lên (ABC)
=> Góc giữa MC’ và (ABC) là góc giữa MC’ và MC.
Xét tam giác MCC’ vuông tại C ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác cân tại
,
. Gọi
là trung điểm của
,
là hình chiếu của
trên
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Theo giả thiết ta có:
Từ (1) và (2) suy ra
Mà nên
Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua M, cắt a và vuông góc với a?
Có 1 nếu M không thuộc a, có vô số nếu M thuộc a
Cho tứ diện ABCD có SC = AC = AB =
, SC ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tạo A, các điểm M thuộc SA, N thuộc BCc sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a). Tìm t để MN ngắn nhất.
Hình vẽ minh họa:
Theo giả thiết, ta có: SA = 2a, BC = 2a
Vì 0 < t < 2a
Đặt . Ta có:
Vậy
Từ đó suy ra MN nhỏ nhất khi và chỉ khi
Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là
và
. Khi đó tỉ số
1/3
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Cho khối chóp và lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng với nhau và thể tích lần lượt là và
. Khi đó tỉ số
1/3
(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Thể tích hình lăng trụ là:
Khi đó:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
, AA’ = 4. Tính góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’).

Ta có tại B. Khi đó A’B là hình chiếu của A’C lên mặt phẳng (AA’B’B)
Vậy góc tạo bởi đường thẳng A’C và mặt phẳng (AA’BB’) là góc
Khi đó
Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng
. Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra
Gọi M là trung điểm của BC
Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2
Hay
Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:
Vậy
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>
Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a, (ACD) ⊥ (BCD) và (ABC) ⊥ (ABD). Tính độ dài cạnh CD.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB, ∆ACD và ∆BCD cân
=> AM ⊥ CD, BM ⊥ CD. Ta có:
=> AM ⊥ BM
Và ta dễ dàng chứng minh được ∆ACD = ∆BCD (c – c - c)
=> AM = BM => ∆ABM vuông cân tại M
=> MN ⊥ AB
Đặt CD = x
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
Xét ∆ABM vuông cân tại M
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
Xét ∆CDN vuông cân tại N
Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Suy ra OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy
ABCD là hình vuông nên
Xét tam giác vuông SOA ta có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy, I là trung điểm của AC, H là hình chiếu của I trên SC. Kí hiệu d(a, b) là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> d(SA, BC) = AB
Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A. Tứ giác MNPQ là hình gì?
Hình vẽ minh họa:
Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A
=>
=> MNPQ là hình bình hành
Gọi H là trung điểm của AB
Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên
=>
Ta có:
Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
Cho hình chóp
có đáy là tam giác
vuông tại
. Đường thẳng vuông góc với đáy
. Đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có
Cho hình hộp
có độ dài tất cả các cạnh bằng
và
. Gọi
lần lượt là trung điểm câc các cạnh
. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của DC’. Ta có:
Suy ra
Xét tam giác ADA’ có suy ra tam giác ADA’ là tam giác đều
Xét tam giác A’AB có suy ra tam giác A’AB đều
Do đó tam giác DD’C đều
Vậy
Xét tam giác BAD có AD = AB và nên tam giác BAD là tam giác đều.
Vì tam giác BAD đều nên tam giác B’A’D’ cùng là tam giác đều.
Gọi A’I là đường cao của tam giác B’A’D’
Khi đó:
Dễ thấy A’P là đường trung tuyến của tam giác DA’C’ nên
Áp dụng định lí cosin cho tam giác A’DP có:
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau sai vì chúng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại sai vì nó và đường thẳng còn lại có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau sai vì chúng có thể song song với nhau
Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp là:
Hình vẽ minh họa
Gọi H là tâm của tam giác đều ABC
Khi đó
Theo bài ra ta có:
Tam giác SBH vuông tại H có:
Cho tứ diện ABCD có AB, BC, BD đôi một vuông góc. Trong các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng?
Hình vẽ minh họa:

sai vì
CB ⊥ BD, CB ⊥ BA => CB ⊥ (ABD)
=> B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABD)
=>
đúng vì
AB ⊥ BC, AB ⊥ BD => AB ⊥ (BCD)
=> B là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD)
=>
sai vì
BD⊥ BA, BD ⊥ BC => BD ⊥ (ABC)
=> B là hình chiếu của D trên mặt phẳng (ABC)
=>
sai vì
=> B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABD)
=>
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB = a, BC = b, CD = c.
Điểm cách đều 4 điểm A, B, C, D là:
Hình vẽ minh họa

Gọi O là trung điểm của AD.
Từ giả thiết ta có:
Vậy vuông tại C
Do đó (1)
Mặt khác
=> vuông tại B.
Do đó (2)
Từ (1) và (2) ta có
Vậy điểm cách đều 4 điểm A, B, C, D là trung điểm của AD.