Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng là: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì có thể vuông góc với nhau
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng là: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì có thể vuông góc với nhau
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên => SO ⊥ (ABCD)
Từ => AC ⊥ (SBD)
Từ => BD ⊥ (SAC)
Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.
Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: (MNPQ) // AB; (MNPQ) ∩ (ABC) = MQ
=> MQ // AB
Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB; QP // CD
Khi đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
Ta có: MN ⊥ MQ (Do AB ⊥ CD)
Hay tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Cho hình hộp chữ nhật
có các kích thước
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Đáp án: 30/19 (Ghi kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b).
Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Đáp án: 30/19 (Ghi kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b).
Hình vẽ minh họa
Trong kẻ
.
Kẻ .
Do
Mà .
Ta có: là hình bình hành nên
.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác cân tại
. Gọi
là trung điểm của
,
là trung điểm của
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Dễ thấy
Ta có tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC suy ra
Theo giả thiết . Khi đó
Ta được
Cho tứ diện ABCD có AB, BC, BD đôi một vuông góc. Trong các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng?
Hình vẽ minh họa:

sai vì
CB ⊥ BD, CB ⊥ BA => CB ⊥ (ABD)
=> B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABD)
=>
đúng vì
AB ⊥ BC, AB ⊥ BD => AB ⊥ (BCD)
=> B là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD)
=>
sai vì
BD⊥ BA, BD ⊥ BC => BD ⊥ (ABC)
=> B là hình chiếu của D trên mặt phẳng (ABC)
=>
sai vì
=> B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABD)
=>
Cho hình chóp S.ABCD có
và
. Đáy ABCD là hình chữ nhật có
. Gọi M là trung điểm của CD, góc giữa SA và mặt phẳng (SBM) bằng \alpha . Giá trị
bằng:

Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BM và SK.
Ta có
Mà
Ta có
Suy ra hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (SBM) là điểm I. Do đó bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SI và bằng góc .
Ta có

Có
Ta có
Xét tam giác vuông SAK có
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
,
. Tính chiều cao hình chóp
?
Ta có:
nên SA là chiều cao của hình chóp.
Do tam giác ABC đều cạnh a nên
Ta lại có:
Cho hình chóp O.ABC có OA = OB = OC = 1, các cạnh OB, OC, OA đối một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai vecto
?

Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB =>
Ta có: AH // CD =>
Gọi M là trung điểm của CD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SM
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”
Cho tứ diện ABCD có:
,
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng:
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Mà
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Tam giác
đều và
. Tính thể tích của hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Do tam giác SAB đều nên
Lại có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Tính được
Thể tích khối chóp là:
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Biết tam giác BCD vuông tại C và
, CD = a. Gọi E là trung điểm của AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CE.

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Gọi H là trung điểm của BD. Khi đó EH // AB, EH ⊥ (BCD)
Góc giữa AB và CE bằng góc giữa EH và EC chính là góc
Ta có:
Ta lại có:
Vậy góc giữa AB và CE là 450
Cho khối lăng trụ tam giác đều
có
. Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có:
Trong tam giác vuông A’MA có:
Tam giác ABC đều nên
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng với D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng:
Hình vẽ minh họa:
Do D đối xứng với E qua trung điểm của SA nên SDAE là hình bình hành
=> AE // SD. Ta có:
Mà
=>
=>
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật ![]()
. Kẻ đường cao
của tam giác
. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c)
Đúng||Sai
d) Diện tích tam giác
bằng
Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật
. Kẻ đường cao
của tam giác
. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) Đúng||Sai
d) Diện tích tam giác bằng
Sai||Đúng
đúng
đúng
đúng
Diện tích tam giác bằng
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Mệnh đề nào sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA ⊥ (ABCD) => SA vuông góc với BD.
Do tứ giác ABCD là hình thoi nên BD vuông góc với AC mà SA⊥BD => BD ⊥ (SAC)
=> BD ⊥ SC, BD ⊥ SO
Dễ thấy AD không vuông góc với SC vì nếu AD vuông góc với SC thì AD ⊥ AC vô lí
Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Độ dài DE bằng:
Ta có:
EB ⊥ (ABCD) vì nó vuông góc với giao tuyến AB của hai mặt phẳng vuông góc đã cho
=> CD ⊥ (EBC) => CD ⊥ CE
=> Tam giác ECD vuông tại C.
=>
Ta có: EB ⊥ BC => Tam giác EBC vuông tại B
=>
=>
=>