Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC;
. Hãy xác định góc giữa cặp vecto
?
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Mà SA = SB = SC và
=>
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC;
. Hãy xác định góc giữa cặp vecto
?
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Mà SA = SB = SC và
=>
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
và cạnh
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
,
. Gọi
trung điểm các cạnh
,
là trung điểm của
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm của AD, H là trung điểm của SI.
Ta có: GH // FI; BD // FI nên GH // BD =>
Ta có:
Khi đó:
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông cân tại
. Tam giác
là tam giác đều cạnh
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của . Suy ra
Kẻ
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC
Do đó
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Mệnh đề: “Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn” sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể là góc vuông.
Mệnh đề: ”Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) khi (Q) // (R) (hoặc mặt phẳng (Q) trùng với mặt phẳng (R))” đúng.
Mệnh đề: “Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) thì (Q) song song với (R)” sai vì hai mặt phẳng (R) và (Q) có thể trùng nhau.
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA ⊥ (ABCD), AD = CD = a, AB = 2a. Gọi E là trung điểm của AB. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây.
Từ giả thiết suy ra ADCE là hình vuông
=> CE ⊥ AB, CE = AD = a
Ta có: CE ⊥ AB, CE ⊥ SA => CE ⊥ (SAB)
Vì CE = AD = a =>
=> Tam giác ABC vuông tại C => CB ⊥ AB
Kết hợp với CB ⊥ SA => CB ⊥ (SAC)
Ta có:
CD ⊥ AD, CD ⊥ SA => CD ⊥ (SAD)
=> Tam giác SDC vuông tại D
Dùng phương pháp loại trừ nên ta có: CE ⊥ (SDC) là khẳng định sai.
Tính thể tích hình chóp đều
biết chiều cao bằng
và độ dài cạnh bên bằng
?
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Tam giác SOA vuông tại O nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Cho hình chóp
có
. Gọi hình chiếu vuông góc của điểm
lên cạnh
là điểm
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vì
Vậy
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc phẳng đỉnh B đều bằng 600.
Cặp đường thẳng nào sau đây không vuông góc với nhau?
Hình ảnh minh họa

Xét tam giác CB'D' có ba cạnh bằng nên tam giác không vuông.
=> B’C và CD’ không vuông góc với nhau.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”
Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD.
Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a có G là trọng tâm và độ dài các cạnhSA = SB = SC = m. Tính độ dài đoạn thẳng GS?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA = SB = SC, G là trọng tâm tam giác ABC
=> G là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)
Gọi H là trung điểm của BC =>
Xét tam giác ABC đều cạnh a ta có:
Xét tam giác SBH vuông tại H ta có:
Xét tam giác SGH vuông tại G ta có:
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có
. Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB. Tính góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’)

Trong (ABC) kẻ ( điểm N thuộc cạnh AC)
Vậy NC’ là hinh chiếu của MC’ trên mp(ACC’A’)
Góc giữa MC’ và mp(ACC’A’) là góc
Ta có
CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên có
Tam giác CMC’ vuông tại M, nên
Diện tích
Xét tam giác vuông MC’N, có
Vậy góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’) là
Cho tứ diện ABCD với các đường thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc, H là trực tâm tam giác BCD. Góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc nào trong các góc sau đây?
Dễ thấy rằng BA⊥(ACD), AH⊥(BCD), suy ra góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng BA và AH, tức là bằng góc
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a. Điểm H thuộc cạnh AC với HC = a. Dựng đoạn SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) với SH = 2a. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa:
Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.
Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).
Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)
Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)
Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)
Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK
Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}
Do đó
Theo giả thiết ∆ABC đều =>
Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:
Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng với D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng:
Hình vẽ minh họa:
Do D đối xứng với E qua trung điểm của SA nên SDAE là hình bình hành
=> AE // SD. Ta có:
Mà
=>
=>
Trong không gian, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A và B là:
Trong không gian, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A và B là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây sai?
Mệnh đề đúng: Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b