Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng 2a. Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (SAC) bằng
Gọi . Ta có S.ABCD là hình chóp tứ giác đều suy ra
.
Vì
Có
Suy ra hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB lên mặt phẳng (SAC) là đường thẳng SO.
Do đó góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SO và bằng góc .
Có
Vì
Xét tam giác SOB có
Ta có
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc
. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SO.
Hình vẽ minh họa:

Ta có suy ra
Mà => ΔSBD đều cạnh
Xét tam giác vuông SAB có:
Gọi E là trung điểm AD, suy ra và
Do đó
Kẻ
Ta có:
Từ (1) và (2)
=>
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào có thể sai?
Dễ thấy các đáp án A’C’ ⊥ BD, A’B ⊥ DC’, BC’ ⊥ A’D đúng
Đáp án BB’ ⊥ BD sẽ bị sai trong trường hợp hình hộp có cạnh bên không vuông góc với mặt đáy
Cho tứ diện ABCD có BD vuông góc với AB và CD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh CD và AB thỏa mãn BD : CD : PQ : AB = 3 : 4 : 5 : 6. Gọi ψ là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Tính giá trị của cosψ
Hình vẽ minh họa:
Do AB vuông góc với BD nên AB nằm trong mặt phẳng (α) chứa AB và vuông góc với BD. Dựng hình chữ nhật BDPR thì góc giữa hai đường thẳng AB và CD cũng là góc giữa hai đường thẳng AB và BR. Ta có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC), H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác SAB. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA ⊥ (ABC) mà BC thuộc (ABC)
=> SA ⊥ BC
Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Khi đó: AH ⊥ SB, AH ⊥ BC => AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Nếu có: AH ⊥ AC trong khi SA ⊥ AC thì AC ⊥ (SAB)
=> AC ⊥ AB (vô lí)
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Khi đó khẳng định nào là khẳng định đúng?
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q), khi đó a nằm trên (P) hoặc song song với (P).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
Hình vẽ minh họa:
Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO
Cho khối hộp chữ nhật
có đáy là hình vuông, đường chéo
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
. Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng
là
và
Ta có:
Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên
Ta có:
Xét tam giác AOA’ có
Một hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
,
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa
và mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích khối chóp
đã cho.
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC thì
Từ đây dễ thấy góc cần tìm là
Do đó tam giác SAM vuông cân tại A và
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh
,
. Tính chiều cao hình chóp
?
Ta có:
nên SA là chiều cao của hình chóp.
Do tam giác ABC đều cạnh a nên
Ta lại có:
Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác vuông tại
và
. Tính cosin góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)
Do nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay H là trung điểm của BC
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết:
. Hai bên mặt SAB và SAD vuông tại a. Gọi μ là góc giữa hai đường thẳng SB và AC. Tính cosμ?
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Ta lại có:
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Góc giữa SB và mặt phẳng (SCA) bằng 600. Gọi M là trung điểm của SB. Tính của góc giữa mặt phẳng (AMO) và mặt phẳng (SAB).

Hình chóp S.ABCD đều, O là tâm của đáy nên
ABCD là hình vuông cạnh a nên
Ta có:
Khi đó: với
là góc giữa hai mặt phẳng (AMO) và (SAB).
Do suy ra góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng góc
.
Tam giác SBO vuông tại O nên ta có:
Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ OH ⊥ SI (1)
Ta có: (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Vì OI là đường trung bình của tam giác ABD nên
Tam giác SOI vuông tại O, đường cao OH, có
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong các tam giác SAB và SBC, ta có:
Trong tam giác AMC, có:
Cho hình chóp
có
vuông góc với mặt phẳng đáy
. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy mệnh đề sai là:
Cho tứ diện ABCD có AB, BC, BD đôi một vuông góc. Trong các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng?
Hình vẽ minh họa:

sai vì
CB ⊥ BD, CB ⊥ BA => CB ⊥ (ABD)
=> B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABD)
=>
đúng vì
AB ⊥ BC, AB ⊥ BD => AB ⊥ (BCD)
=> B là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD)
=>
sai vì
BD⊥ BA, BD ⊥ BC => BD ⊥ (ABC)
=> B là hình chiếu của D trên mặt phẳng (ABC)
=>
sai vì
=> B là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABD)
=>
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật ![]()
. Kẻ đường cao
của tam giác
. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b)
Sai||Đúng
c)
Đúng||Sai
d) Diện tích tam giác
bằng
Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật
. Kẻ đường cao
của tam giác
. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Sai||Đúng
c) Đúng||Sai
d) Diện tích tam giác bằng
Sai||Đúng
đúng
đúng
đúng
Diện tích tam giác bằng
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BM và AC.
Hình vẽ minh họa:

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD khi đó
Ta có:
Vì tam giác SBC đều cạnh a và BM là trung tuyến nên
Khi đó:
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc 600. Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
Hình vẽ minh họa

Ta có:
Ta có:
=>
Kẻ (1)
Ta có:
Từ (1) và (2) =>
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau;
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy