Cho hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi trung điểm các cạnh
và
lần lượt là
. Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Theo giả thiết ta có:
là đường trung bình của tam giác
nên
Vì
Cho hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi trung điểm các cạnh
và
lần lượt là
. Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Theo giả thiết ta có:
là đường trung bình của tam giác
nên
Vì
Cho khối chóp có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Tam giác
vuông tại
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh
tạo với đáy một góc bằng
. Tính thể tích của hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Kẻ ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Lại có , tam giác SAC vuông tại S và
nên
Thể tích hình chóp là
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆. Gọi ϕ là góc giữa (P) và (Q). Có tất cả bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
(1) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với ∆.
(2) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với ∆, lần lượt nằm trên (P) và (Q).
(3) ϕ bằng góc giữa hai đường thẳng a và b đồng quy với ∆, cùng vuông góc với ∆, lần lượt nằm trên (P) và (Q).
Ta có: a và b chỉ cần lần lượt nằm trong (P), (Q) cùng vuông góc với ∆ là đủ, thêm đồng quy với ∆ càng tốt nên có tất cả 2 mệnh đề đúng.
Trong không gian cho tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm M sao cho giá trị của biểu thức P = MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất
Gọi G là trọng tâm giác ABC =>
Ta có:
Dấu bằng xảy ra khi M trùng với G
Vậy với M trùng G là trọng tâm tam giác ABC
Cho hình chóp có đáy là hình vuông
cạnh bằng
và cạnh bên đều bằng
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Lại có
Xét tam giác có
Theo định lí Pythagore đảo suy ra tam giác vuông tại
Suy ra hay
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC.
+) Ta có:
+) Mặt khác
=>
Cho tứ diện có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau;
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Hai mặt phẳng (ABCD) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến BD.
Lại có AO nằm trong (ABCD) và vuông góc với BD tại O
Mà SO nằm trong (SBD) và vuông góc với BD tại O.
=> Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng OA và OS, tức là góc
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BM và AC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là tâm của hình vuông ABCD khi đó
Ta có:
Vì tam giác SBC đều cạnh a và BM là trung tuyến nên
Khi đó:
Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề: “Nếu a ⊥ (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).
Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể cắt P hoặc b nằm trong P.
Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b ⊥ (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = CA = CB. Tính ϕ là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC), biết (SAB) vuông góc với (ABC):
Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB
Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Suy ra
Ta có:
∆SAB = ∆CAB (c.c.c)
=> SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H
Vậy
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. cạn bên SA vuông góc với đáy. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác SAB. Khẳng định nào dưới đây là sai?
Hình vẽ minh họa
Theo bài ra, ta có mà
Tam giác ABC vuông tại B, có =>
Khi đó
Nếu mà
suy ra
(vô lý).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA vuông góc với đáy. Kẻ AH vuông góc với SB (H ∈ SB). Chọn mệnh đề đúng.
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
SA ⊥ BC
AB ⊥ BC
=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH
Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC
Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.
Hình vẽ minh họa:
Gọi P là trung điểm của AB => PN, PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và tam giác ABD.
=>
Ta có:
=>
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng ?
Ta có:
Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có độ dài cạnh AB = a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng IJ và SD.
Hình vẽ minh họa:
Ta có AD // (IJ) ⇒ IJ // (SAD) ⇒ d(IJ, SD) = d(IJ, (SAD)) = d(I, (SAD)) = IA = a/2
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có mặt đáy ABCD là hình thoi tâm O, góc và A’A = A’B = A’D. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có: ABCD là hình thoi =>AB = AD mà nên tam giác ABD là tam giác đều (*)
Ta có: A’A = A’B = A’D nên hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. (**)
Từ (*) và (**) => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Cho một khối chóp có đáy
là tam giác vuông cân tại
,
và
. Tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Do tam giác SAB đều suy ra
Mà
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Khi đó
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Cho hình chóp có đáy
là hình thang vuông tại
;
. Gọi
là trung điểm của
, biết hai mặt phẳng
và
cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng
tạo với đáy một góc
. Tính khoảng cách từ trung điểm của cạnh
đến mặt phẳng
?
Từ I kẻ
Gọi K là trung điểm của SD.
Gọi , kẻ
Ta có:
Xét tam giác ICQ có
Xét tam giác SIP vuông tại I có