Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Tam giác
đều và
. Tính thể tích của hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Do tam giác SAB đều nên
Lại có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Tính được
Thể tích khối chóp là:
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Tam giác
đều và
. Tính thể tích của hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Do tam giác SAB đều nên
Lại có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Tính được
Thể tích khối chóp là:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau” sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.
Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.“ sai vì hai mặt phẳng đó có thể tạo với nhau những góc khác 900.
Dễ thấy mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cùng song song với một đường thẳng.” đúng.
Mệnh đề: “Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cùng vuông góc với một đường thẳng.“ sai vì trong trường hợp mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R), (P) ⊥ (Q) thì không thể có đường thẳng nào cùng vuông góc với (P) và (Q).
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)
Trong không gian cho tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm M sao cho giá trị của biểu thức P = MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất
Gọi G là trọng tâm giác ABC =>
Ta có:
Dấu bằng xảy ra khi M trùng với G
Vậy với M trùng G là trọng tâm tam giác ABC
Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và DM.
Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của AC
I là trung điểm của MN
Ta có:
=>
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Gọi AM, AN lần lượt là đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BC
Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB)
=> BC ⊥ AE
Mà AM nằm trong mặt phẳng (SAB)
Xét tam giác SAB có:
AM ⊥ SB
Mà BC ⊥ AM => AM ⊥ (SBC) => AM ⊥ SC
Chứng minh tương tự ta được: AN ⊥ SC
=> SC ⊥ (AMN)
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Đúng||Sai
d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Đúng||Sai
d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng
đúng
đúng
đúng
Tam giác SBC cân tại B. sai
Giả sử
là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Giả sử là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Hình vẽ minh họa
Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a
Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện
Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng
Do đó thể tích phần cắt bỏ là
(Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm
Vậy
Cho hình chóp
có đáy là tam giác đều cạnh bằng
;
. Xác định thể tích hình chóp
?
Ta có nên SC là đường cao của hình chóp
Tam giác ABC đều cạnh x nên
Vậy thể tích hình chóp là:
Trong không gian cho đường thẳng Δ không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng Δ gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu
Đường thẳng Δ được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu Δ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Suy ra OA là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy
ABCD là hình vuông nên
Xét tam giác vuông SOA ta có:
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật tâm O,
,
. Gọi
lần lượt là hình chiếu của
lên
. Xét tính đúng sai của các kết luận sau?
a)
Đúng||Sai
b)
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
d)
Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật tâm O,
,
. Gọi
lần lượt là hình chiếu của
lên
. Xét tính đúng sai của các kết luận sau?
a) Đúng||Sai
b) Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
d) Sai||Đúng
Hình vẽ minh họa
a) Ta có:
Lại có
b) Chứng minh tương tự câu a ta có:
mà
Từ (*) và (**) suy ra: .
c) Ta có:
Suy ra góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa AD và SD đó là góc .
d) Ta có:
Lại có ABCD là hình chữ nhật nên
Tam giác SAC vuông tại A nên
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
Hình vẽ minh họa:
Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA = SB và (SAB) ⊥ (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
(SAB) ⊥ (ABCD)
BC ⊥ BA
=> BC ⊥ (SAB).
Từ B kẻ BK ⊥ SA => d(BC, SA) = BK.
Ta có:
Tam SAB cân tại S, do vậy d(BC, SA) = BK ≠ AB
Cho hình chóp S.ABC có AB = AC,
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng SA và BC.
Ta có:
Vì
=> Góc giữa hai đường thẳng SA, BC là: 900
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC. Gọi
là góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM). Tính ![]()
+ Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2
+ Gọi N là trung điểm AB suy ra
+ Gọi
Gọi
+ Ta có
+ Ta có
+ Gọi NH là đường cao
+ Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ
+ Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh
, cạnh
,
. Tính cosin của góc nhị diện [A, BC, D].
Hình vẽ minh họa
Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, CD.
Do vuông tại
nên
hay
là tâm đường tròn ngoại tiếp
.
Mà nên AH là đường cao kẻ từ
xuống
hay
.
(1)
M, H là trung điểm của BC, CD nên MH là đường trung bình của
Mà nên
. (2)
Từ (1), (2) suy ra: .
Suy ra: .
Lại có: .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Gọi α là góc giữa SA và (SHK). Chọn mệnh đề đúng?
Hình vẽ minh họa:
Gọi I là giao điểm của HK và AC
Dễ dàng suy ra HK // BD => HK ⊥ AC
Ta lại có: AC ⊥ SH
=> AC ⊥ (SHK)
=>
Tam giác SIA vuông tại I ta có:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DD’. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BD.
Hình vẽ minh họa:
Gọi O, P, K lần lượt là trung điểm của AC, CD, OC
Kẻ DI ⊥ MP, DH ⊥ NI
Ta có: , BD // MP, tứ giác DIKO là hình chữ nhật
=>
Khi đó: d(MN, BD) = d(BD, (MNP)) = d(D, (MNP)) = DH
Xét tam giác vuông NDI ta có:
Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Đường thẳng DE vuông góc với
Đường thẳng DE vuông góc với chỉ với AC và BF