Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC; SB = SD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S
=> SO ⊥ AC, SO ⊥ BD
=> SO ⊥ (ABCD)
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC; SB = SD. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S
=> SO ⊥ AC, SO ⊥ BD
=> SO ⊥ (ABCD)
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”
Cho tứ diện OABC với các đường thẳng OA, OB, OC đôi một vuông góc. Bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là
Dễ thấy rằng OA ⊥ (OBC), OB ⊥ (OCA), OC ⊥ (OAB)
Vậy bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là (OAB), (OBC), (OCA).
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề đúng là: Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì có thể vuông góc với nhau
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác vuông tại đỉnh
, cạnh
,
. Tính cosin của góc nhị diện [A, BC, D].
Hình vẽ minh họa
Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, CD.
Do vuông tại
nên
hay
là tâm đường tròn ngoại tiếp
.
Mà nên AH là đường cao kẻ từ
xuống
hay
.
(1)
M, H là trung điểm của BC, CD nên MH là đường trung bình của
Mà nên
. (2)
Từ (1), (2) suy ra: .
Suy ra: .
Lại có: .
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = a, CD = 6. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2BM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với AB và CD. Diện tích thiết diện của P với tứ diện là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Tương tự ta có: MQ // CD, NP // CD, QP // AB
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
Ta có: (AB, CD) = (MN, MQ) = 900
=> ABCD là hình bình hành
Ta lại có:
=>
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có
. Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M của AB. Tính góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’)

Trong (ABC) kẻ ( điểm N thuộc cạnh AC)
Vậy NC’ là hinh chiếu của MC’ trên mp(ACC’A’)
Góc giữa MC’ và mp(ACC’A’) là góc
Ta có
CM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên có
Tam giác CMC’ vuông tại M, nên
Diện tích
Xét tam giác vuông MC’N, có
Vậy góc tạo bởi đường thẳng C’M với mặt phẳng (ACC’A’) là
Cho hình lập phương
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Tính
của góc giữa hai đường thẳng
và
ta được kết quả là:
Hình vẽ minh họa:
Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a, a > 0
Ta có:
Tính được
Trong tam giác B’CI ta có:
Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật. Gọi trung điểm các cạnh
lần lượt là
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: MN là đường trung bình của tam giác SCD =>
Ta có:
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AC. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có:
=> đúng.
ΔABC vuông cân tại B, M là trung điểm AC ⇒ ⇒
đúng.
=> đúng
Cho khối hộp chữ nhật
có đáy là hình vuông, đường chéo
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
. Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng
là
và
Ta có:
Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên
Ta có:
Xét tam giác AOA’ có
Cho khối lăng trụ
có đáy
là tam giác vuông cân tại A. Biết
và góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ đứng
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Suy ra
Ta có:
Vậy
Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a,
, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC?
Hình vẽ minh họa

Lấy M là trung điểm của SD
Góc cần tìm là góc giữa OM và SC
Ta có MC là trung tuyến của tam giác SCD
Xét tam giác MOC ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 600. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và SB.
Hình vẽ minh họa:
Xác định góc 600
Gọi M là trung điểm AB => ADCM là hình vuông => CM = AD = a
Xét tam giác ACB ta có:
=> Tam giác ACB vuông tại C
Lấy điểm E sao cho ACBE là hình chữ nhật
=> AC // BE
=> d(AC, SB) = d(AC, (SBE)) = d(A,(SBE))
Kẻ AK ⊥ SE. Khi đó:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
,
. Xác định độ lớn khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng
?
Hình vẽ minh họa
Gọi
Kẻ
Ta có:
Mà
Từ (*) và (**) suy ra
Từ (1) và (2) suy ra
Xét tam giác vuông tại
ta có:
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau;
. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 4a. Cạnh bên hình chóp SA = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm M của OA. Gọi α là góc giữa SD và mặt phẳng đáy. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SM ⊥ (ABCD)
=> Hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) là cạnh MD.
Ta tính được:
Xét tam giác ADM có:
=>
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc phẳng đỉnh B đều bằng 600.
Cặp đường thẳng nào sau đây không vuông góc với nhau?
Hình ảnh minh họa

Xét tam giác CB'D' có ba cạnh bằng nên tam giác không vuông.
=> B’C và CD’ không vuông góc với nhau.