Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức sách Cánh Diều.
  • Thời gian làm: 15 phút
  • Số câu hỏi: 20 câu
  • Số điểm tối đa: 20 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy H, K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH = 3HA, AK = 3KD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho \widehat {SBH} = 30^\circ. Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC .

    Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có

    \begin{matrix} \Delta ABK = \Delta BCH \hfill \\ \Rightarrow \widehat {ABK} = \widehat {BCH} \Rightarrow \widehat {HEB} = 90^\circ \hfill \\ \end{matrix}

    Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng

    Ta có:

    \begin{matrix} {\text{cos}}\left( {SE\,;\,BC} ight) = {\text{cos}}\left( {SE\,;\,EI} ight) = \left| {\cos \widehat {SEI}} ight| \hfill \\ SH = BH.\tan 30^\circ = 3a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = a\sqrt 3 \hfill \\ \dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{{HE}}{{HB}} \Rightarrow HE = \dfrac{{H{B^2}}}{{HC}} = \dfrac{{9a}}{5} \hfill \\ SE = \sqrt {S{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {3{a^2} + \dfrac{{81{a^2}}}{{25}}} = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{5} \hfill \\ \dfrac{{HE}}{{HB}} = \dfrac{{HI}}{{HE}} \Rightarrow HI = \dfrac{{H{E^2}}}{{HB}} = \dfrac{{27a}}{{25}} \hfill \\ SI = \sqrt {S{H^2} + H{I^2}} = \sqrt {3{a^2} + {{\left( {\dfrac{{27a}}{{25}}} ight)}^2}} = \dfrac{{2a\sqrt {651} }}{{25}} \hfill \\ \end{matrix}

    Trong tam giác vuông SEI có:

    EI = \sqrt {S{E^2} - S{I^2}} = \frac{{36a}}{{25}}

    => \cos \widehat {SEI} = \frac{{EI}}{{SE}} = \frac{{18}}{{5\sqrt {39} }}

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 8a;AC = 5a;AD = 6a. Gọi trung điểm của các cạnh BC,CD,DB lần lượt là J;Q;K. Tính thể tích tứ diện AJQK?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: V_{ABCD} = \frac{1}{2}AB.\frac{1}{2}AD.AC = 60a^{3}

    Nhận thấy S_{JQK} = \frac{1}{2}S_{JQKD} = \frac{1}{4}S_{BCD}

    V_{JQK} = \frac{1}{4}.V_{ABCD} = 15a^{3}

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DD’. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BD.

    Hình vẽ minh họa:

    Gọi O, P, K lần lượt là trung điểm của AC, CD, OC

    Kẻ DI ⊥ MP, DH ⊥ NI

    Ta có: ND = \frac{a}{2}, BD // MP, tứ giác DIKO là hình chữ nhật

    => DI = OK = \frac{OC}{2} =\frac{a\sqrt{2}}{4}

    Khi đó: d(MN, BD) = d(BD, (MNP)) = d(D, (MNP)) = DH

    Xét tam giác vuông NDI ta có:

    \begin{matrix}\dfrac{1}{DH^{2}} = \dfrac{1}{DN^{2}} + \dfrac{1}{DI^{2}} \Rightarrow DH =\dfrac{a\sqrt{3}}{6} \hfill \\\Rightarrow d(MN,BD) = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \hfill\\\end{matrix}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD. Gọi trung điểm của các cạnh AB;BC lần lượt là M;N. Kết luận nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi P là trung điểm của BD.

    Ta có: MN;NP;MP lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC;BCD;ABD.

    Do đó:

    MN//AC;MN = \frac{1}{2}AC

    NP//CD;NP = \frac{1}{2}CD

    Vì ABCD là tứ diện đều \Rightarrow AC = CD = AD

    \Rightarrow MN = NP = MP nên tam giác MNP là tam giác đều.

    \Rightarrow (MN;CD) = (MN;NP) = \widehat{MNP} = 60^{0}

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng 8a^{2}, chiều cao bằng a. Thể tích khối chóp đã cho là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} B = 8a^{2} \\ h = a \\ \end{matrix} ight.

    Thể tích khối chóp là: V = \frac{1}{3}B.h = \frac{8}{3}a^{3}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có BB' = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng (A'BC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60^{0}.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của BC.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} BC\bot AM \\ BC\bot A'M \\ (A'BC) \cap (ABC) = BC \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( (A'BC);(ABC) ight) = \widehat{A'MA} = 60^{0}

    Trong tam giác vuông A’MA có:

    \tan\widehat{A'MA} = \frac{A'A}{AM} \Rightarrow AM = \frac{A'A}{tan60^{0}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}a

    Tam giác ABC đều nên AM = \frac{AB\sqrt{3}}{2} \Rightarrow AB = \frac{4a}{3}

    Vậy thể tích khối lăng trụ là: V = S_{ABC}.AA' = 2a.\frac{4a^{2}\sqrt{3}}{9} = \frac{8\sqrt{3}a^{3}}{9}

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng (BCD'A') vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng dưới đây?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật suy ra \left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot BB' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(ABB'A')

    \Rightarrow (BCD'A')\bot(ABB'A')

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và mặt bên SAB là tam giác vuông tại S. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng SA và CD.

    Hình vẽ minh họa

    Vì ABCD là hình bình hành nên CD//AB

    \Rightarrow (SA;CD) = (SA;AB) = \widehat{SAB} = 45^{0}

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

    a) \widehat{(AC;AD)} = 90^{0} Đúng||Sai

    b) AH\bot(SBC) Đúng||Sai

    c) \widehat{(SC;HK)} = 90^{0} Đúng||Sai

    d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Giả sử HK cắt BC tại D. Khi đó:

    a) \widehat{(AC;AD)} = 90^{0} Đúng||Sai

    b) AH\bot(SBC) Đúng||Sai

    c) \widehat{(SC;HK)} = 90^{0} Đúng||Sai

    d) Tam giác SBC cân tại B. Sai||Đúng

    \widehat{(AC;AD)} = 90^{0} đúng

    AH\bot(SBC) đúng

    \widehat{(SC;HK)} = 90^{0} đúng

    Tam giác SBC cân tại B. sai

  • Câu 10: Nhận biết

    Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại M. Trên ∆ lấy hai điểm A và B. Khi đó \frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} bằng:

    \frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} = \frac{AM}{BM}

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có BD vuông góc với AB và CD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh CD và AB thỏa mãn BD : CD : PQ : AB = 3 : 4 : 5 : 6. Gọi ψ là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Tính giá trị của cosψ

    Hình vẽ minh họa:

    Do AB vuông góc với BD nên AB nằm trong mặt phẳng (α) chứa AB và vuông góc với BD. Dựng hình chữ nhật BDPR thì góc giữa hai đường thẳng AB và CD cũng là góc giữa hai đường thẳng AB và BR. Ta có:

    \cos\psi = \frac{\left| BQ^{2} + BR^{2}- QR^{2} ight|}{2BQ.BR} = \frac{|9 + 4 - 16|}{2.3.2} =\frac{1}{4}

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 4a. Cạnh bên hình chóp SA = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm M của OA. Gọi α là góc giữa SD và mặt phẳng đáy. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

    Hình vẽ minh họa:

    Ta có: SM ⊥ (ABCD)

    => Hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) là cạnh MD.

    \Rightarrow \alpha = \left( SD,(ABCD) ight) = (SD;MD) = \widehat{SDM}

    Ta tính được: SM = \sqrt{SA^{2} - AM^{2}} = a\sqrt{2}

    Xét tam giác ADM có:

    MD = \sqrt{AM^{2} + AD^{2} - 2AM.AD.cos45^{0}} = a\sqrt{10}

    => \tan\alpha = \tan\widehat{SDM} = \frac{SM}{MD} = \frac{\sqrt{5}}{5}

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a, SA = a\sqrt 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC?

    Hình vẽ minh họa

    Góc giữa hai đường thẳng SB và AC trong mặt phẳng

    Lấy M là trung điểm của SD

    Góc cần tìm là góc giữa OM và SC

    Ta có MC là trung tuyến của tam giác SCD

    \begin{matrix} M{C^2} = \dfrac{{S{C^2} + D{C^2}}}{2} - \dfrac{{S{D^2}}}{4} = 2{a^2} \hfill \\ \Rightarrow MC = a\sqrt 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Xét tam giác MOC ta có:

    \begin{matrix} \cos \widehat {MOC} = \dfrac{{M{O^2} + O{C^2} - M{C^2}}}{{2.MO.OC}} = - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} \hfill \\ \Rightarrow \alpha \approx {69^0}17\prime \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu?

    Gọi M là trung điểm của CD

    Vì ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD, OM ⊥ CD

    Ta có:

    \begin{matrix} \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MO} } ight) \hfill \\ = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {MO} = \overrightarrow 0 \hfill \\ \end{matrix}

    => \overrightarrow {CD} \bot \overrightarrow {AO} nên số đo góc giữa AO và CD là 900

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết \left( (SAB);(ABCD) ight) = 90^{0} và tam giác SAB đều. Xác định thể tích hình chóp S.ABCD?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm của AB

    Tam giác SAB đều nên SH\bot AB

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} SH\bot AB \\ (SAB)\bot(ABCD) \\ SH \subset (SAB) \\ AB = (SAB) \cap (ABCD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)

    Vậy SH là đường cao của hình chóp

    Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:

    SH = \sqrt{SA^{2} - AH^{2}} = \sqrt{a^{2} - \left( \frac{a}{2} ight)^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    Thể tích khối chóp là: V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.a^{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC, H là hình chiếu của I trên mặt phẳng đáy. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

    Hình vẽ minh họa:

    Chọn khẳng định đúng

    Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

    Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB

    => Tam giác SBC vuông tại B => I là trung điểm của SC

    Theo bài ra ta có: IH ⊥ (ABC) => IH // SA

    => H là trung điểm của cạnh AC,

    Mà tam giác ABC vuông tại B => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a\sqrt{2}.Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)

    Hình vẽ minh họa

    Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC)

    Ta có: AD // BC => d\left( {D;\left( {SCD} ight)} ight) = d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight)

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB => AK \bot SB (*)

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BC \bot SA} \\ {BC \bot AB} \end{array}} ight. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} ight) \Rightarrow BC \bot AH\left( {**} ight)

    Từ (*) và (**) => AH \bot \left( {SBC} ight)

    \begin{matrix} d\left( {A;\left( {SBC} ight)} ight) = AH \hfill \\ \Rightarrow AH = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa:

    Do ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD nên \left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\SO\bot BD \\\end{matrix} ight. => SO ⊥ (ABCD)

    Từ \left\{ \begin{matrix}SO\bot AC \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.=> AC ⊥ (SBD)

    Từ \left\{ \begin{matrix}SO\bot BD \\AC\bot BD \\\end{matrix} ight.=> BD ⊥ (SAC)

    Như vậy, các khẳng định “SO ⊥ (ABCD)”, “AC ⊥ (SBD)”, “BD ⊥ (SAC)” là các khẳng định đúng.

    Khẳng định “BC ⊥ (SAB)” là khẳng định sai. Vì nếu BC ⊥ (SAB) suy ra BC ⊥ SB, cùng với BC ⊥ SO ta có BC ⊥ (SBD), nên qua điểm B có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng BC (vô lí).

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho tam giác ABC vuông tại A và có hai đỉnh B và C nằm trên mặt phẳng (P). Gọi C’ là hình chiếu vuông góc của đỉnh C lên mặt phẳng (P). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

    Vì C’ trùng với C nên tam giác ABC’ là tam giác vuông tại A.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’CD’D. Tính góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’)

    Góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’)

    Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có AO \bot BD (1).

    Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên BB' \bot \left( {ABCD} ight)

    \Rightarrow BB' \bot AO (2)

    Từ (1) và (2) ta có AO \bot \left( {BDD'B'} ight) tại O

    Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).

    Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là \widehat {AB'O}

    Xét tam giác vuông AB’O có \sin \widehat {AB'O} = \frac{{AO}}{{AB'}} = \frac{1}{2}

    Vậy \widehat {\left( {AB',\left( {BDD'B'} ight)} ight)} = 30^\circ

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 77 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều
Thời gian còn lại 15:00 Số câu đã làm 0/20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập