Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho một khối chóp có diện tích đáy bằng
, chiều cao bằng
. Thể tích khối chóp đã cho là:
Ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy H, K lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH = 3HA, AK = 3KD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S sao cho
. Gọi E là giao điểm của CH và BK . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC .
Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có

Ta có:
Trong tam giác vuông SEI có:
=>
Cho tứ diện O.ABC trong đó ba đường thẳng OB, OC, OA đôi một vuông góc. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Tam giác ABC luôn là tam giác nhọn
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a có G là trọng tâm và độ dài các cạnhSA = SB = SC = m. Tính độ dài đoạn thẳng GS?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SA = SB = SC, G là trọng tâm tam giác ABC
=> G là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)
Gọi H là trung điểm của BC =>
Xét tam giác ABC đều cạnh a ta có:
Xét tam giác SBH vuông tại H ta có:
Xét tam giác SGH vuông tại G ta có:
Cho vecto
≠
và hai vecto
và
không cùng phương. Nếu vecto
vuông góc với cả hai vecto
và
thì
,
và
:
Trường hợp "Đồng phẳng" và " Có thể đồng phẳng" sai vì có thể xảy ra trường hợp như hình vẽ sau:

Giả sử trường hợp "Không đồng phẳng" sai tức là ba vecto ,
và
đồng phẳng.
Khi đó vì điều này mẫu thuẫn với giả thiết hai vecto
và
không cùng phương.
Vậy đáp án đúng là "Không đồng phẳng"
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia.
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
. Hình chiếu của
lên mặt phẳng đáy là trung điểm
của
. Tính thể tích khối chóp
biết
.
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác ABC vuông tại C ta có:
H là trung điểm của BC nên
Xét tam giác SBH vuông tại H có
Diện tích đáy ABC là
Thể tích khối chóp là
Cho hình chóp
, có đáy
là hình thang vuông tại
và
. Biết
. Xác định kết luận sai?
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của AB. Ta có:
Suy ra tam giác ACB vuông tại C.
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = a, CD = 6. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2BM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với AB và CD. Diện tích thiết diện của P với tứ diện là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Tương tự ta có: MQ // CD, NP // CD, QP // AB
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
Ta có: (AB, CD) = (MN, MQ) = 900
=> ABCD là hình bình hành
Ta lại có:
=>
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
,
. Tam giác
vuông tại
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích hình chóp
theo
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AC
Ta có:
Suy ra tam giác SAO đều
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp
có đáy là tam giác
vuông tại
. Đường thẳng vuông góc với đáy
. Đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa
Ta có
Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB (tham khảo hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây sai?

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) nên hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB) là SB
Vậy (vì tam giác SBC vuông tại B)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DD’. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BD.
Hình vẽ minh họa:
Gọi O, P, K lần lượt là trung điểm của AC, CD, OC
Kẻ DI ⊥ MP, DH ⊥ NI
Ta có: , BD // MP, tứ giác DIKO là hình chữ nhật
=>
Khi đó: d(MN, BD) = d(BD, (MNP)) = d(D, (MNP)) = DH
Xét tam giác vuông NDI ta có:
Cho tứ diện
có
. Gọi trung điểm của
lần lượt là
. Khi đó cosin góc giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của AC khi đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI và MJ.
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA ⊥ (ABCD). I là trung điểm của SC. Khẳng định nào dưới đây sai?
Hình vẽ minh họa:
Ta có: O và I lần lượt là trung điểm của AC và SC
=> OI là đường trung bình của tam giác SAC
=> OI // SA
Mà SA ⊥ (ABCD) => OI ⊥ (ABCD)
Ta có: ABCD là hình chữ nhật => BC ⊥ AB
Mà SA ⊥ BC => BC ⊥ SB
Tương tự ta có: CD ⊥ AD, CD ⊥ SA => CD ⊥ SD
Nếu (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD => BD ⊥ AC điều này không thể xảy ra vì ABCD là hình chữ nhật.
Vậy khẳng định sai là: “Mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.”
Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông cân tại
. Tam giác
là tam giác đều cạnh
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của . Suy ra
Kẻ
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC
Do đó
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD).
Ta có:
Do
Tam giác SOC vuông tại O, trung tuyến OM, suy ra
=> Tam giác MOC cân tại M.
=>
Khi đó
Vậy
Cho tứ diện đều ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính cosin góc giữa hai cạnh AJ và CI?
Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Ta có:
Vậy cosin góc giữa hai cạnh AJ và CI bằng