Cho hình lăng trụ đứng tam giác
có đáy
là tam giác cân,
và cạnh bên
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Xét tam giác ta có:
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
Vậy tam giác đều
Cho hình lăng trụ đứng tam giác
có đáy
là tam giác cân,
và cạnh bên
. Tính góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Xét tam giác ta có:
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
Vậy tam giác đều
Trong không gian cho đường thẳng
và điểm
. Qua điểm
có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với
?
Trong không gian có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = 2a; AD = 4a. Gọi M là trung điểm của cạnh AD. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng A’B’ và C’M.
Ta có: AA’ = AM = MD = 2a nên tam giác AMA’ và tam giác MDD’ lần lượt là tam giác vuông tại A và D
=> (1)
Ta lại có: (2)
Từ (1) và (2) =>
Ta lại có A’B’ // C’D’ => A’B’ // (MC’D’)
=> Khoảng cách d = d(A’B’, (MC’D’)) = d(A’; (MC’D’))
=>
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC =
và BC = . Tính khoảng cách giữa SD và BC.
Hình vẽ minh họa:
Theo giả thiết, suy ra AD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) và CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật), nên theo định lý ba đường vuông góc suy ra CD ⊥ SD. Vì CD cũng vuông góc với BC nên CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.
Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
Khẳng định đúng: “Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng (P) bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).”
Cho khối hộp chữ nhật
có đáy là hình vuông, đường chéo
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
. Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng
là
và
Ta có:
Ta có ABCD là hình vuông, BD = 4a nên
Ta có:
Xét tam giác AOA’ có
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB’ bằng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có BC // B’C’ => BC // (AB’C’)
=> d(BC, AB’) = d(BC, (AB’C’)) = d(B, (AB’C’)) = d(A’ ,(AB’C’))
Gọi I và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ trên B’C’ và AI
Ta có: B’C’⊥ A’I và B’C’⊥ A’A nên B’C’⊥ (A’AI) => B’C’⊥ A’H
Mà AI ⊥ A’H
=> (AB’C’) ⊥ A’H.
Khi đó:
Vậy khoảng cách cần tìm là
Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của CD, N là điểm nằm trên AD sao cho BN vuông góc với AM. Tính tỉ số ![]()
Hình vẽ minh họa:

Đặt . Ta có:
Giả sử AN = k.AD. Khi đó:
Vì M là trung điểm của CD nên
Khi đó: BN ⊥ AM =>
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạng AB, BC, C’D’. Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP.
Do AC song song với MN nên góc giữa hai đường thẳng MN và AP là góc giữa hai đường thẳng AC và AP.
Ta tính được:
Khẳng định nào sau đây là sai?
Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α).”
Vì thiếu điều kiện “cắt nhau” của hai đường thẳng nằm trong (α).
Ví dụ đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b và c nằm trong (α) nhưng b và c song song với nhau thì khi đó a chưa chắc vuông góc với (α).
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh
. Biết
và tam giác
đều. Xác định thể tích hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Tam giác SAB đều nên
Ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Xét tam giác AHS vuông tại H ta có:
Thể tích khối chóp là:
Cho hình lập phương
. Giả sử mặt phẳng
đi qua điểm
vuông góc với
. Thiết diện tạo bởi
và hình lập phương là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy chính là mặt phẳng
. Thiết diện là một hình chữ nhật.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
, các cạnh
, các góc
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên
và
. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng
và
.
Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , các cạnh
, các góc
. Gọi
là hình chiếu vuông góc của
trên
và
. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng
và
.
Đáp án: 1/3 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).
Hình vẽ minh họa
Gọi là mặt phẳng qua
và vuông góc với
.
Gọi là mặt phẳng qua
và vuông góc với
Khi đó, với
là đỉnh thứ tư của hình vuông ABHC.
Khi đó: là hai tam giác vuông bằng nhau có
.
Gọi là chân đường cao hạ từ đỉnh
của tam giác SAB, ta có
.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng và
là
.
Xét cân tại
có
.
Ta có: .
Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng và
bằng
.
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh
vuông góc với đáy và
. Tính thể tích khối chóp
đã cho.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp là
Giả sử
là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Giả sử là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Hình vẽ minh họa
Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a
Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện
Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng
Do đó thể tích phần cắt bỏ là
(Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm
Vậy
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của
. Diện tích thiết diện tạo thành bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
. Ta có:
nên
thuộc mặt phẳng trung trực của
.
Gọi lần lượt là trung điểm của
Chứng minh tương tự ta có các điểm trên đều thuộc mặt phẳng trung trực của
Vậy thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng trung trực của là hình lục giác đều
có cạnh bằng
.
Vậy diện tích thiết diện là:
Cho hình chóp tứ giác đều
có tất cả các cạnh bằng
. Gọi
là trung điểm của
. Gọi
là góc tạo bởi đường thẳng
và mặt phẳng
. Tính
?
Minh họa bằng hình vẽ:
Gọi O là tâm của hình vuông. Ta có: và
Gọi là trung điểm của
ta có:
nên
là hình chiếu của
lên mặt phẳng
và
Do đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
là
Khi đó ta có:
Vậy .
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng . Điểm M và N lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BB’. Côsin góc giữa đường thẳng MN và (BA’C’) bằng

Gọi là số đo góc giữa MN và (BA’C’), K là hình chiếu vuông góc của N lên (B’A’C’).
Khi đó
Gọi E là trung điểm của A’C’, khi đó BMEB’ là hình chữ nhật. Gọi , ta có
Ta có
. Kẻ
Từ
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q). Khi đó khẳng định nào là khẳng định đúng?
Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q), khi đó a nằm trên (P) hoặc song song với (P).
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) bằng:
Hình vẽ minh họa:
Vì BB’ ⊥ (A’B’C’) nên A’B’ là hình chiếu vuông góc của A’B lên (A’B’C’)
=> Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A’B’C’) là
Ta có: A’B’ = BB’ = a nên tam giác B’A’B vuông cân tại B’
=>