Cho tứ diện đều ABCD. I là trung điểm của AB. Góc giữa hai đường thẳng IC và AD có cosin bằng:
Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Ta có:
Cho tứ diện đều ABCD. I là trung điểm của AB. Góc giữa hai đường thẳng IC và AD có cosin bằng:
Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Ta có:
Cho khối lăng trụ tam giác đều
có
. Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có:
Trong tam giác vuông A’MA có:
Tam giác ABC đều nên
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của AB =>
Ta có: AH // CD =>
Gọi M là trung điểm của CD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SM
Cho hình chóp
, có đáy
là hình chữ nhật,
. Gọi
lần lượt là đường cao của tam giác
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì
Mà
Tam giác SAB có đường cao
Mà
Tương tự chứng minh ta được:
Cho hình lập phương như hình vẽ:

Biết
. Xác định thể tích của khối lập phương đã cho.
Gọi độ dài cạnh của khối lập phương là a; (x > 0)
Xét tam giác A’B’C’ vuông cân tại B’ ta có:
Xét tam giác A’AC’ vuông tại A’ ta có:
Vậy thể tích khối lập phương là
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông cân tại
. Tam giác
vuông cân tại
có
là trung điểm của
và
. Gọi góc giữa hai đường thẳng
và
là
. Chọn kết luận đúng?
Hình vẽ minh họa
Giả sử
Lại có: suy ra tam giác SBC đều suy ra
Suy ra hay
Khi đó
Áp dụng định lí cosin cho tam giác MNC ta có:
Cho hình chóp
có thể tích bằng
, đáy
là hình vuông cạnh bằng
;
. Biết mặt bên
vuông góc với mặt phẳng
. Xác định khoảng cách
?
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm của AD
Tam giác SAD cân tại S suy ra
Ta có
Suy ra SI là đường cao của hình chóp
Theo giả thiết
Vì
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD
Mặt khác . Ta có:
Xét tam giác SID vuông tại I có:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, A’B’C’D’ là hình chữ nhật tâmH, A’D’ = 2a,
, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’B’C’D’),
. Gọi
là góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’. Tính
.

Bước 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng AD’ và DB’
Kẻ đường thẳng d qua D, song song với AD', cắt A’D’ tại E
Suy ra
Bước 2: Tính
Kẻ đường thẳng qua H, song song với A’D’, cắt A’B’ tại F.
Lấy điểm I sao cho ADIH là hình bình hành.
Suy ra DI // AH , mà
=>
Ta có
Trong tam giác EDB’, có:
Suy ra
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
Hình vẽ minh họa:
Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
, AA’ = 4. Tính góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’BB’).

Ta có tại B. Khi đó A’B là hình chiếu của A’C lên mặt phẳng (AA’B’B)
Vậy góc tạo bởi đường thẳng A’C và mặt phẳng (AA’BB’) là góc
Khi đó
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi α là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Hình vẽ minh họa:
Giả sử H là trung điểm của AB => SH ⊥ AB => SH ⊥ (ABCD)
=> Hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) là cạnh HD.
=>
Tam giác SAB đều cạnh a =>
Ta lại có:
=>
Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a, (ACD) ⊥ (BCD) và (ABC) ⊥ (ABD). Tính độ dài cạnh CD.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB, ∆ACD và ∆BCD cân
=> AM ⊥ CD, BM ⊥ CD. Ta có:
=> AM ⊥ BM
Và ta dễ dàng chứng minh được ∆ACD = ∆BCD (c – c - c)
=> AM = BM => ∆ABM vuông cân tại M
=> MN ⊥ AB
Đặt CD = x
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
Xét ∆ABM vuông cân tại M
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
Xét ∆CDN vuông cân tại N
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
tâm
,
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết
. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên AI là hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng đáy.
Do đó góc giữa đường thẳng SI và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa SI và AI.
Xét tam giác SAI vuông tại A nên
Vậy
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạng AB, BC, C’D’. Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP.
Do AC song song với MN nên góc giữa hai đường thẳng MN và AP là góc giữa hai đường thẳng AC và AP.
Ta tính được:
Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Khi cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c thì mệnh đề : “Nếu a song song với b và c vuông góc với a thì c vuông góc với b” là mệnh đề đúng.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa:
Từ giả thiết ABCD là hình vuông và SB vuông góc với đáy
Ta có:
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = a, CD = 6. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2BM. Mặt phẳng (P) đi qua M song song với AB và CD. Diện tích thiết diện của P với tứ diện là:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Tương tự ta có: MQ // CD, NP // CD, QP // AB
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
Ta có: (AB, CD) = (MN, MQ) = 900
=> ABCD là hình bình hành
Ta lại có:
=>
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Mệnh đề đúng: "Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau."
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với mặt phẳng (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q).”
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có: