Cho tứ diện đều ABCD. I là trung điểm của AB. Góc giữa hai đường thẳng IC và AD có cosin bằng:
Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Ta có:
Cho tứ diện đều ABCD. I là trung điểm của AB. Góc giữa hai đường thẳng IC và AD có cosin bằng:
Hình vẽ minh họa:

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Ta có:
Cho hình chóp
có đáy là hình vuông
;
và
. Gọi trung điểm của
lần lượt là
. Tính số đo góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
là đường trung bình của tam giác
Ta lại có: nên AB là hình chiếu vuông góc của SB lên (SAD)
Mặt khác
Suy ra tam giác SAB vuông cân tại A
Cho tứ diện ABCD có SC = AC = AB =
, SC ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tạo A, các điểm M thuộc SA, N thuộc BCc sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a). Tìm t để MN ngắn nhất.
Hình vẽ minh họa:
Theo giả thiết, ta có: SA = 2a, BC = 2a
Vì 0 < t < 2a
Đặt . Ta có:
Vậy
Từ đó suy ra MN nhỏ nhất khi và chỉ khi
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Mệnh đề đúng là: Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c)
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = CA = CB. Tính ϕ là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC), biết (SAB) vuông góc với (ABC):

Hình vẽ minh họa:
Gọi H là trung điểm của AB, ta có SH ⊥ AB, CH ⊥ AB
Mà (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Suy ra
Ta có:
∆SAB = ∆CAB (c.c.c)
=> SH = CH. Do đó ∆SCH vuông cân tại H
Vậy
Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vecto
và
?
Hình vẽ minh họa

Ta có:
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Tam giác
vuông tại
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh
tạo với đáy một góc bằng
. Tính thể tích của hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Kẻ ta có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Lại có , tam giác SAC vuông tại S và
nên
Thể tích hình chóp là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC.

+) Ta có:
+) Mặt khác
=>
Cho tứ diện
có các cạnh
đôi một vuông góc với nhau. Gọi trung điểm của các cạnh
lần lượt là
. Tính thể tích tứ diện
, biết
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Nhận thấy
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và đường thẳng b với b vuông góc với (P).” sai vì hai góc này phụ nhau.
Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).” sai vì (P) có thể trùng với (Q).
Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì a song song với b.” sai vì a có thể trùng với b.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD). Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
Hình vẽ minh họa:
Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. cạn bên SA vuông góc với đáy. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác SAB. Khẳng định nào dưới đây là sai?
Hình vẽ minh họa

Theo bài ra, ta có mà
Tam giác ABC vuông tại B, có =>
Khi đó
Nếu mà
suy ra
(vô lý).
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa
Hình vẽ minh họa:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC.
Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a, (ACD) ⊥ (BCD) và (ABC) ⊥ (ABD). Tính độ dài cạnh CD.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB, ∆ACD và ∆BCD cân
=> AM ⊥ CD, BM ⊥ CD. Ta có:
=> AM ⊥ BM
Và ta dễ dàng chứng minh được ∆ACD = ∆BCD (c – c - c)
=> AM = BM => ∆ABM vuông cân tại M
=> MN ⊥ AB
Đặt CD = x
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
Xét ∆ABM vuông cân tại M
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
Xét ∆CDN vuông cân tại N
Cho hình chóp
có đáy là hình vuông
cạnh bằng
và cạnh bên đều bằng
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Lại có
Xét tam giác có
Theo định lí Pythagore đảo suy ra tam giác vuông tại
Suy ra hay
Cho hình chóp
có đáy là hình vuông cạnh bằng
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
,
. Tính tan góc giữa
và mặt phẳng
, biết thể tích khối chóp
bằng
?
Hình vẽ minh họa
Kẻ , gọi
Ta có:
Lại có:
Do tam giác SAB cân tại S nên H là trung điểm của AB
Công thức tính thể tích
của khối nón có bán kính
và chiều cao
là:
Công thức tính thể tích là:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt đáy và
. Gọi
là trọng tâm của tam giác SAB. Khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi là trung điểm của
(vì
cân)
Ta có:
Và tại
.
Do đó .
Ta có: .
Vì là trọng tâm của
nên
.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 4a. Cạnh bên hình chóp SA = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm M của OA. Gọi α là góc giữa SD và mặt phẳng đáy. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.
Hình vẽ minh họa:
Ta có: SM ⊥ (ABCD)
=> Hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) là cạnh MD.
Ta tính được:
Xét tam giác ADM có:
=>
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Mệnh đề: “Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn” sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể là góc vuông.
Mệnh đề: ”Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) khi (Q) // (R) (hoặc mặt phẳng (Q) trùng với mặt phẳng (R))” đúng.
Mệnh đề: “Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) thì (Q) song song với (R)” sai vì hai mặt phẳng (R) và (Q) có thể trùng nhau.