Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Cánh Diều

Hình vẽ minh họa:

Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là BC. (1)

Ta có: SA ⊥ (ABC), mà đường thẳng BC nằm trong (ABC) => SA ⊥ BC.

Do tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm BC => BC ⊥ AM tại M.

Như vậy:

Lại có:

Từ (1), (2), (3) =>

Hình vẽ minh họa:

Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)

Vậy

Mà ∆SBA vuông cân tại A nên

Xét vuông cân tại A, ta có:

Góc giữa 2 đường thẳng BA và BD bằng , suy ra

Xét vuông cân tại A, ta có:

Vì là trung điểm của SB nên:

Ta có:

(Do , nên )

Do đó: 

Vậy góc giữa AM bằng BD bằng 

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Nhận thấy

Hình vẽ minh họa:

Gọi D là trung điểm của AB, do giả thiết suy ra CD ⊥ AB.

Trong (ABC) kẻ HM // CD suy ra HM ⊥ AB (1).

Do giả thiết SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ AB (2)

Từ (1), (2) suy ra AB ⊥ (SHM)

Trong mặt phẳng (SHM) kẻ HK ⊥ SM (3), theo chứng minh trên => HK ⊥ AB (4)

Từ (3), (4) => HK ⊥ (SAB) => d (H; (SAB)) = HK

Dễ thấy CH ∩ (SAB) = {A}

Do đó

Theo giả thiết ∆ABC đều =>

Xét ∆ABC do HM // CD theo định lý Ta - lét ta có:

Áp dụng hệ thức lượng trong ∆SHM vuông tại H, ta có:

Từ A kẻ (∆’) // (∆)

Từ O kẻ (d) ⊥ (∆) cắt (∆) và (∆’) lần lượt tại H, K

Ta có:

Ta được

Ta có:

=>

Hình vẽ minh họa:

Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó các tam giác SOA, SOB, SOC, SOD bằng nhau nên bốn đoạn thẳng OA, OB, OC, OD bằng nhau.

Suy ra O trùng với tâm của hình vuông ABCD, hay O là giao điểm của AC và BD. Vậy chiều cao của hình chóp là:

Hình vẽ minh họa:

Đặt SA = a

Xét tam giác SAB vuông cân tại S ta có:

Xét tam giác SAC cân tại S ta có:

=> SA = SC = AC = a

Áp dụng định lí cosin cho tam giác SBC ra có:

Vậy tam giác ABC vuông tại A mà H là hình chiếu của S trên (ABC) nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hay H là trung điểm của BC.

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BC

Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB)

=> BC ⊥ AE

Mà AM nằm trong mặt phẳng (SAB)

Xét tam giác SAB có:

AM ⊥ SB

Mà BC ⊥ AM => AM ⊥ (SBC) => AM ⊥ SC

Chứng minh tương tự ta được: AN ⊥ SC

=> SC ⊥ (AMN)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có (1).

Mặt khác ta lại có ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên

(2)

Từ (1) và (2) ta có tại O

Khi đó B’O là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (BDD’B’).

Suy ra góc tạo bởi đường thẳng AB’ và mặt phẳng (BDD’B’) là

Xét tam giác vuông AB’O có

Vậy

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC vuông tại C ta có:

H là trung điểm của BC nên

Xét tam giác SBH vuông tại H có

Diện tích đáy ABC là

Thể tích khối chóp là

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Vì ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD, OM ⊥ CD

Ta có:

=> nên số đo góc giữa AO và CD là 90⁰

Hình vẽ minh họa

Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp

Thể tích khối chóp là

Nếu là hình hộp thì tất cả các mặt là bình bình hành nên mặt bên cũng là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa

Ta có: Hình chiếu của SD lên mặt phẳng (ABCD) là AD nên góc giữa SD và mặt phẳng đáy là góc

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

OC ⊥ BD

OC ⊥ CC’

=> OC là đoạn vuông góc chung của CC’ và BD.

Vậy d(CC’, BD) = OC = AC/2 = 2a/2 = a

Hình vẽ minh họa

Gọi E là trung điểm của CD, H là trọng tâm giác giác BCD

Tam giác BCD đều cạnh bằng 5

Tam giác ABH vuông tại H nên

Vậy thể tích khối chóp tam giác là: