Cho tứ diện
có
, trung điểm các cạnh
lần lượt là
. Xác định độ dài đoạn thẳng
để góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của AC
Ta có:
Cho tứ diện
có
, trung điểm các cạnh
lần lượt là
. Xác định độ dài đoạn thẳng
để góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của AC
Ta có:
Cho hình chóp tam giác
có
và
. Kết quả nào dưới đây đúng?
Ta có:
suy ra tam giác ABC vuông tại A
=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì nên
là đường cao của hình chóp
.
Hình vẽ minh họa
Gọi N, I lần lượt là trung điểm cạnh AC và SB.
Ta có: MN // AB và IM // SC nên
Mà
Xét tam giác IMN có
Cho tứ diện ABCD trong đó AB = 6; CD = 3, góc giữa AB và CD là 600 và điểm M trên BC sao cho BM = 2MC. Mặt phẳng (P) qua M song song với AB và CD cắt BD, AD, AC lần lượt tại M, N, Q. Diện tích MNPQ bằng:
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
Tương tự ta có: MN // CD, NP // AB, QP // CD
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
Ta có: (AB, CD) = (QM, MP) = 600
Suy ra:
Ta có:
=>
Cho hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại
;
. Gọi
là trung điểm của
, biết hai mặt phẳng
và
cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng
tạo với đáy một góc
. Tính khoảng cách từ trung điểm của cạnh
đến mặt phẳng
?
Từ I kẻ
Gọi K là trung điểm của SD.
Gọi , kẻ
Ta có:
Xét tam giác ICQ có
Xét tam giác SIP vuông tại I có
Cho hình lập phương
. Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên
cách đều các điểm
nên
cách đều các điểm
Do đó A; C’ cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC, A’D là góc nào sau đây?

Do ACC’A’ là hình bình hành nên AC song song với A’C’. Do đó:
Như vậy
Cho hình chóp OABC có OA = OB = OC = 1, các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính tích vô hướng của hai vecto
.

Ta có:
Cho hình chóp tứ giác
có đáy
là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh
vuông góc với đáy và
. Tính thể tích khối chóp
đã cho.
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên SA là đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp là
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Chọn khẳng định sai?
Hình vẽ minh họa:
Dễ thấy
Góc giữa B1D1 và AC bằng 900
Góc giữa AD và C1B bằng 450
Góc giữa BD và CA1 bằng 900
Đều là các đáp án đúng
Góc giữa B1D1 và AA1 bằng 600 sai vì
Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông cân tại
. Tam giác
là tam giác đều cạnh
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của . Suy ra
Kẻ
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC
Do đó
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AB = BC = a, AD = 2a. Biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD).

Tam giác ABC vuông cân tại B, suy ra
Vì nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó
Gọi M là trung điểm của AD => CM ⊥ AD.
Mà CM ⊥ SA nên CM ⊥ (SAD) => CM ⊥ SD
Hạ CH ⊥ SD . Khi đó SD ⊥ (CMH) => MH ⊥ SD
Ta có:
Ta lại có:
Tam giác MHC vuông tại M
Vậy
Cho (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau và giao tuyến của chúng là đường thẳng m. Gọi a, b, c, d là các đường thẳng. Xét các mệnh đề sau:
(1) Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q).
(2) Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q).
(3) Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q).
(4) Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (P).
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề đã cho?
(1) Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q). ---> đúng
(2) Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q). ---> sai
(3) Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q). ---> đúng
(4) Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (P). ---> sai
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Khẳng định đúng là “AB vuông góc với mặt phẳng (SAD)”
Thật vậy, do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD.
Từ đó suy ra AB ⊥ (SDA)
Cho hình hộp chữ nhật
có
. Gọi mặt phẳng
qua
và vuông góc với
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
và hình hộp chữ nhật đã cho?
Hình vẽ minh họa
Hình chữ nhật có
. Lấy
là trung điểm của
. Ta dễ dàng chứng minh
Ta lại có suy ra mặt phẳng
chính là mặt phẳng
.
Qua điểm M kẻ MN // AD. Thiết diện khi đó là hình chữ nhật ADMN.
Ta tính được
Suy ra diện tích hình chữ nhật ADMN là: .
Cho hình chóp
có thể tích bằng
, đáy
là hình vuông cạnh bằng
;
. Biết mặt bên
vuông góc với mặt phẳng
. Xác định khoảng cách
?
Hình vẽ minh họa
Gọi I là trung điểm của AD
Tam giác SAD cân tại S suy ra
Ta có
Suy ra SI là đường cao của hình chóp
Theo giả thiết
Vì
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD
Mặt khác . Ta có:
Xét tam giác SID vuông tại I có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SC vuông góc với đáy và
. Tính tan góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC).
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> AB ⊥ (SBC)
Suy ra hình chiếu của SA lên (SBC) là SB
=>
Trong tam giác SCB vuông tại C, ta có:
Trong tam giác SBA vuông tại B, ta có:
Vậy tan góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC) là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC.

+) Ta có:
+) Mặt khác
=>
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = OC = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.
Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)
=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.
Ta có:
Cho khối chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
. Tam giác
đều và
. Tính thể tích của hình chóp
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trung điểm của AB
Do tam giác SAB đều nên
Lại có:
Vậy SH là đường cao của hình chóp
Tính được
Thể tích khối chóp là:
Cho hình chóp tứ giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp
bằng bao nhiêu?
Kết quả: 6 cm3
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp
bằng bao nhiêu?
Kết quả: 6 cm3
Hình vẽ minh họa
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Ta có: tam giác SAC cân, O là trung điểm của AC nên
Tương tự tam giác SBD cân, O là trung điểm của BD nên
Diện tích đáy
Góc giữa SB và mặt phẳng đáy là
ABCD là hình vuông nên
Xét tam giác vuông SOB ta có:
Khi đó thể tích khối chóp là: