Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp là:
Hình vẽ minh họa
Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng
. Góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng
. Thể tích khối chóp là:
Hình vẽ minh họa
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia.
Cho hình hộp
có đáy là hình thoi. Gọi
lần lượt là tâm các hình bình hành
và
(như hình vẽ).

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: lần lượt là tâm các hình bình hành
và
=> lần lượt là trung điểm của các cạnh
là đường trung bình tam giác
Vì đáy ABCD là hình thoi
Ta có:
Trong không gian cho tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm M sao cho giá trị của biểu thức P = MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất
Gọi G là trọng tâm giác ABC =>
Ta có:
Dấu bằng xảy ra khi M trùng với G
Vậy với M trùng G là trọng tâm tam giác ABC
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông tâm
cạnh bằng
và
vuông góc với đáy. Tính
góc giữa
.
Hình vẽ minh hoạ
Gọi I là trung điểm của SD
=> OI là đường trung bình tam giác SBD
Suy ra
Ta có:
nên tam giác AOI cân tại I
Gọi H là tung điểm của OA
Xét tam giác OHI có:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2, BC = 1, AA’ = 1. Tính góc giữa AB’ và (BCC’B’).
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
=> BA ⊥ (BCC’B’)
Khi đó BB’ là hình chiếu vuông góc của AB’ lên (BCC’B’)
Hay góc giữa AB’ và (BCC’B’) là
Ta có:
Vậy góc giữa AB’ và (BCC’B’) là 600
Cho hình lập phương
. Góc giữa hai đường thẳng
và
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vì là hình vuông nên
Cho hình lăng trụABC.A’B’Ccó đáy ABC là tam giác vuông tại B,
, M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 600. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Gọi
là góc tạo bởi A’H với (A’ACC’). Tính
?

Ta có nên A’H là đường cao của lăng trụ.
Kẻ (K thuộc đoạn AC)
Kẻ
Suy ra
Khi đó

+) Do tam giác MCB cân tại B nên
+) Mặt khác, góc giữa cạnh bên A’A và mặt đáy bằng (theo giả thiết)
Và BM = AM = AB = a
=> Tam giác AMB là tam giác đều cạnh a
Vì vậy,
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
, tam giác
cân. Giả sử
lần lượt là trung điểm các cạnh
. Khẳng định nào dưới đây sai?
Hình vẽ minh họa
Vì tam giác SAB là tam giác cân tại S nên
Ta có:
Cho hình hộp chữ nhật
có
. Gọi mặt phẳng
qua
và vuông góc với
. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
và hình hộp chữ nhật đã cho?
Hình vẽ minh họa
Hình chữ nhật có
. Lấy
là trung điểm của
. Ta dễ dàng chứng minh
Ta lại có suy ra mặt phẳng
chính là mặt phẳng
.
Qua điểm M kẻ MN // AD. Thiết diện khi đó là hình chữ nhật ADMN.
Ta tính được
Suy ra diện tích hình chữ nhật ADMN là: .
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Giả sử
là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Giả sử là thể tích khối tứ diện đều
. Trung điểm tất cả các cạnh của tứ diện tạo thành một đa diện có thể tích
. Tỉ số
1/2
(Kết quả được ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)
Hình vẽ minh họa
Giả sử tứ diện đều cạnh bằng a
Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc tứ diện
Mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng
Do đó thể tích phần cắt bỏ là
(Vì tứ diện cạnh giảm một nưả thì thể tích giảm
Vậy
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BM và AC.
Hình vẽ minh họa:

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD khi đó
Ta có:
Vì tam giác SBC đều cạnh a và BM là trung tuyến nên
Khi đó:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng 2a. Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (SAC) bằng
Gọi . Ta có S.ABCD là hình chóp tứ giác đều suy ra
.
Vì
Có
Suy ra hình chiếu vuông góc của đường thẳng SB lên mặt phẳng (SAC) là đường thẳng SO.
Do đó góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SO và bằng góc .
Có
Vì
Xét tam giác SOB có
Ta có
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của BC. Tính khoảng các d giữa hai đường thẳng BB' và A'H
Do nên
Ta có:
Nên
Vậy khoảng cách
Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác trong hình vẽ sau:

Quan sát hình vẽ ta thấy:
Tam giác ABC vuông cân tại B
Khi đó
Cho hình hộp chữ nhật
có các kích thước
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Đáp án: 30/19 (Ghi kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b).
Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Đáp án: 30/19 (Ghi kết quả dưới dạng phân số tối giản a/b).
Hình vẽ minh họa
Trong kẻ
.
Kẻ .
Do
Mà .
Ta có: là hình bình hành nên
.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là:
Hình vẽ minh họa:
Theo bài ta có AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy
Mà ∆SBA vuông cân tại A nên
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB = OC = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC.
Hình vẽ minh họa:
Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.
Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)
=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.
Ta có:
Cho hình lập phương
. Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: là hình lập phương nên các tứ giác
đều là hình vuông
Do đó
Suy ra