Cho hình chóp
có
. Kết luận nào sau đây sai về góc giữa
và ![]()
Vì nên AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy .
Cho hình chóp
có
. Kết luận nào sau đây sai về góc giữa
và ![]()
Vì nên AB là hình chiếu của SB trên (ABC)
Vậy .
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và
. Hãy xác định góc giữa cặp vecto
?
Hình vẽ minh họa:

Ta có:
Cho khối lăng trụ tam giác đều
có cạnh bên bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có:
Trong tam giác vuông A’MA có:
Tam giác ABC đều nên
Vậy thể tích khối lăng trụ là:
Tính thể tích khối lăng trụ trong hình vẽ sau, biết
.

Quan sát hình vẽ ta thấy
Tam giác đều có cạnh bằng a nên
Do khối lăng trụ là lăng trụ đứng nên đường cao của lăng trụ là
Thể tích khối lăng trụ là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?
Hình vẽ minh họa:
Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến SO và cùng vuông góc với đáy nên SO ⊥ (ABCD).
Vậy góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SB và BD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, SB. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác SBC ta có:
=> KJ // SC (*)
Xét tam giác SAB ta có:
=> KI // SA (**)
Từ (*) và (**) => (IJK) // (SAC) (1)
Vì ABCD là hình vuông => BD ⊥ AC
Mà SA ⊥ BD => BD ⊥ (SAC)
Kết hợp với (1) => BD ⊥ (IJK)
=>
Cho tứ diện
có
, trung điểm các cạnh
lần lượt là
. Xác định độ dài đoạn thẳng
để góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi P là trung điểm của AC
Ta có:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.
Hình vẽ minh họa:
Gọi I là trung điểm của AD
=> SI ⊥ AD => SI ⊥ (ABCD)
Kẻ Ax // BD
Ta có d(BD, SA) = d (BD, (SAx)) = d (D, (SAx)) = 2d (I, (SAx))
Kẻ IE ⊥ Ax, kẻ IK ⊥ SE
Khi đó d (I, (SAx)) = IK
Gọi F là hình chiếu của I trên BD, ta có:
Xét tam giác vuông SIE ta có:
=>
Cho hình chóp tứ giác
có tất cả các cạnh bằng
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
và
?
Hình vẽ minh họa
Từ giả thiết ta có: (do IJ là đường trung bình tam giác SAB)
Mặt khác ta lại có tam giác SAB đều nên
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm BC. Gọi
là góc hợp bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SDM). Tính ![]()
+ Không mất tính tổng quát, đặt AB = 2
+ Gọi N là trung điểm AB suy ra
+ Gọi
Gọi
+ Ta có
+ Ta có
+ Gọi NH là đường cao
+ Tam giác NJI đồng dạng tam giác MBJ
+ Tam giác SAB là tam giác đều cạnh bằng 2
Cho hình lăng trụ tam giác
có đáy
là tam giác đều,
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có tam giác ABC đều và M là trung điểm của BC nên
Ta có:
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = CD = 6. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sau đó MC = x.BC (0 < x < 1). Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu?
Xét tứ giác MNPQ có:
=> MNPQ là hình bình hành
Mặt khác
=> MNPQ là hình chữ nhật
Vì MQ // AB nên
Theo giả thiết MC = x.BC => MB = (1 – x).BC
Vì MN // CD nên
=>
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:
Khi x = 1 – x => x = 1/2
Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 9 khi M là trung điểm của BC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a ; AD = 2a,
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAB).

Gọi M là trung điểm của AD.
Xét tứ giác ABCM có: AM // BC, AM = AB = BC = a,
Suy ra ABCM là hình vuông => MC = AB = a
Xét tam giác ACD có AM là trung tuyến và
Suy ra ACD vuông tại C => AC ⊥ CD
Trong (SAC), dựng AH ⊥ SC
Ta có: mà AH ⊂ (SAC) suy ra CD ⊥ AH.
Ta có:
Ta có:
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng AH và AD.
Xét tam giác ABC vuông tại B có:
Xét tam giác SAC vuông tại A có:
Xét tam giác SAC vuông tại A và nên SAC vuông cân tại A.
Suy ra H là trung điểm SC và
Xét tam giác AHD vuông tại H (vì AH ⊥ (SCD)).
Ta có: suy ra
Vậy
Cho hình chóp tứ giác đều
. Tính khoảng cách từ đường thẳng
và mặt phẳng
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm của đáy
Lấy M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.
Kẻ
Có
Ta có:
Khi đó
Trong tam giác SON vuông tại O, có:
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥(ABC). Biết α là góc giữa SB và mặt phẳng (ABC). Xác định góc α.
Hình vẽ minh họa:
Ta có SA ⊥(ABC) => Hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AB.
=> Góc giữa đường thẳng SB và (ABC) là góc giữa hai đường thẳng SB và AB
Tức là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Dựng mặt phẳng (P) cách đều năm điểm A, B, C, D và S. Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng (P) như vậy?
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.
Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là
1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD
2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)
3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)
4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)
5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)
Cho hình hộp chữ nhật
có
(như hình vẽ)

Tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng đáy
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Lại có:
Xét tam giác vuông tại A ta có:
Tính thể tích khối lập phương có cạnh bằng
?
Ta có:
Tính thể tích khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằng
. Biết độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ
?
Hình vẽ minh họa
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC suy ra
Gọi M là trung điểm của BC
Vì độ dài chiều cao của tam giác đáy và cạnh bên của hình chóp tỉ lệ 1 : 2
Hay
Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:
Vậy
Trong không gian cho đường thẳng
và điểm
. Qua điểm
có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với
?
Trong không gian có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.