Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ?
Do số bi xanh và số bi đỏ lấy ra bằng nhau
=> Có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: Trong 4 viên có 1 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ
=> Số cách chọn là: cách
Trường hợp 2: Trong 4 viên bi có 2 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ
=> Số cách chọn là: cách
=> Số cách chọn 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ là 120 + 280 = 400 cách
Tung một đồng xu hai lần liên tiếp. Tập hợp không gian mẫu là:
Không gian mẫu là: .
Từ tập hợp các chữ số 
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ?
Gọi
Gọi số có 4 chữ số là khi đó có 3 trường hợp xảy ra:
TH1: Số cần tìm có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ
Có cách chọn 2 chữ số chẵn.
Có cách chọn 2 chữ số lẻ.
Có 2! cách xếp 2 chữ số chẵn (tạo ra 3 khoảng trống kể cả hai đầu)
Có cách sắp xếp 2 chữ số lẻ vào 3 khoảng trống.
Vậy trường hợp này có: cách.
TH2: Số cần tìm có 3 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ
Có cách chọn 3 chữ số chẵn.
Có cách chọn 1 chữ số lẻ.
Có 4! cách xếp các số sau khi chọn
Vậy trường hợp này có: cách.
TH3: Số cần tìm có 4 chữ số chẵn
Có 4! = 24 cách xếp các số sau khi chọn
Suy ra số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 720 + 480 + 24 = 1224 số.
Rút ngẫu nhiên 2 tấm thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tính số phần tử của biến cố M “tích hai tấm thẻ rút được là số chẵn”?
Tích hai số trên tấm thẻ được rút ra là số chẵn khi có ít nhất một số chẵn.
Trường hợp 1: Cả hai số lấy được đều là số chẵn
=> Số cách sắp xếp là: cách
Trường hợp 2: Hai tấm thẻ lấy được gồm một số chẵn và một số lẻ ta có: 10 . 10 = 100 cách
Suy ra phần tử.
Hai người đi săn cùng bắn vào một con mồi. Gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trúng con mồi. B là biến cố người thứ hai bắn trúng con mồi. Mối quan hệ giữa hai biến cố A và B là:
Hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập vì việc người thứ nhất bắn trúng con mồi không phụ thuộc vào người thứ hai bắn trúng con mồi.
Cho tập hợp . Lập từ số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ . Tính xác suất để chọn được số chia hết cho ?
Cho tập hợp . Lập từ
số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ
. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho
?
Số cách chia 10 học sinh thành 3 nhóm lần lượt gồm 2, 3, 5 học sinh là:
Chọn nhóm có 2 thành viên:
Chọn nhóm có 3 thành viên từ 8 thành viên còn lại:
Chọn nhóm có 5 thành viên từ 5 thành viên còn lại:
=> Số cách chia 10 học sinh thành 3 nhóm lần lượt gồm 2, 3, 5 học sinh là:
Trong một thùng có chứa 7 bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho 4 viên bi được chọn có đủ ba màu?
TH1: Lấy 1 bi xanh, 1 bi đỏ và 2 bi vàng ta có: cách.
TH2: Lấy 2 bi xanh, 1 bi đỏ và 1 bi vàng ta có: cách.
TH3: Lấy 1 bi xanh, 2 bi đỏ và 1 bi vàng ta có: cách.
Vậy có tất cả 910 cách chọn số viên bi theo yêu cầu.
Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp”. Hỏi P(A) có giá trị bằng bao nhiêu?
Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần
=> Số phần tử không gian mẫu là:
Ta có:
Rút ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong chiếc hộp có 9 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Xét các biến cố sau:
A: “Cả hai tấm thẻ đều mang số chẵn”.
B “Chỉ có một tấm thẻ mang số chẵn”.
C: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”
Khẳng định nào sau đây đúng?
Biến cố C xảy ra khi và chỉ khi trong hai tấm thẻ có ít nhất 1 tấm thẻ mang số chẵn.
Nếu cả hai tấm thẻ ghi số chẵn thì biến cố A xảy ra.
Nếu chỉ có một tấm thử ghi số chẵn thì biến cố B xảy ra.
Vậy biến cố C là biến cố hợp của A và B.
Đại diện hai đội bóng rổ X và Y cùng thực hiện ném một bóng 3 điểm một cách độc lập. Biết xác suất ném bóng vào rổ của hai tuyển thủ A và B lần lượt là và . Tính xác suất của biến cố cả hai cùng ném bóng trúng rổ?
Do hai tuyển thủ ném bóng rổ một cách độc lập nên xác suất của biến cố cả hai cùng ném bóng trúng rổ là:
Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ có bao nhiêu cách chọn ra 5 bạn trong đó có cả nam và nữ?
Số học sinh có trong nhóm là: học sinh
Số cách chọn 5 học sinh trong nhóm là: cách
Số cách chọn số học sinh chỉ có nam là cách
Số cách chọn số học sinh chỉ có nữ là: cách
=> Số cách chọn ra 5 bạn trong đó có cả nam và nữ là: cách
Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để một trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 5 chấm?
Gọi hai súc sắc là M; N
Gọi C là biến cố "Có đúng một trong hai con súc sắc xuất hiện mặt 5 chấm".
Ta có C là hợp của hai biến cố xung khắc tức là
Ta có
Vì A, B là hai biến cố độc lập với nhau
Nên và B độc lập với nhau;
và A độc lập với nhau
Trong công xưởng có một nhóm công nhân gồm 15 nữ và 5 nam. Chủ quản muốn chọn một nhóm gồm 5 công nhân để lập thành một tổ gồm 1 tổ trưởng nữ, 1 tổ phó nữ và có ít nhất 1 công nhân nam. Hãy xác định số cách lập tổ công nhân theo yêu cầu?
Ta có:
Số cách chọn 2 nữ làm tổ trưởng và tổ phó là cách.
Số cách chọn 3 công nhân còn lại là nữ là: cách.
Số cách chọn 3 công nhân còn lại trong 18 công nhân là cách.
Vậy số cách chọn 1 tổ trưởng nữ, 1 tổ phó và có ít nhất 1 nam là:
.
Hai cung thủ thực hiện bắn mỗi người một mũi tên vào bia điểm. Biết xác suất bắn trúng 10 điểm của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là và . Tính xác suất để có ít nhất một cung thủ bắn trúng 10 điểm?
Gọi A là biến cố có ít nhất một cung thủ bắn trúng 10 điểm
Suy ra là biến cố không có cung thủ nào trúng 10 điểm
Cho một tập hợp A gồm 12 phần tử. Hỏi số tập hợp con gồm 3 phần tử của tập hợp A bằng bao nhiêu?
Ta có:
Mỗi tập con gồm 3 phân tử của tập A là một tổ hợp chập 3 của 12.
Vậy số tập con cần tìm là .
Cho các số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau:
Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có dạng:
Số cách chọn a là 4 cách
Số cách chọn b là 3 cách
Số cách chọn c là 2 cách
Số cách chọn d là 1 cách
=> Có thể lập được số các số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau là 4! = 24 số
Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập các số tự nhiên sau: . Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên ba số tự nhiên từ 11 số tự nhiên sau:
Do đó số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố “Tổng ba số được chọn là 12”.
Ta có các bộ 3 số có tổng bằng 12 gồm: (1,2,9); (1,3,8); (1,4,7); (1,5,6); (2,3,7); (2;4;6); (3,4,5).
Suy ra ta có
Trong thùng bóng đèn có 5 bóng đèn loại I và 7 bóng đèn loại II, các bóng đèn khác nhau cả về hình dáng và màu sắc. Lấy ra lần lượt 5 bóng đèn. Giả sử biến cố là biến cố lấy được bóng đèn loại I lần thứ . Mô tả biến cố lấy được 4 bóng đèn loại I theo các biến cố .
Vì lấy được 4 bóng loại I nên trong 5 lượt lấy có một lần lấy được bóng loại II. Từ giả thiết suy ra là biến cố lần thứ
lấy được bóng đèn loại II. Do đó ta có:
Một con súc sắc cân đối đồng chất được gieo 5 lần. Xác suất để tổng số chấm ở 2 lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba:
Một con súc sắc cân đối đồng chất được gieo 5 lần
=> Số phần tử của không gian mẫu là:
Giả sử H là biến cố "tổng số chấm ở 2 lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba"
=> Các bộ số là: (1; 1; 2), (1; 2; 3), (2; 1; 3), (1; 3; 4), (3; 1; 4), (2; 2; 4), (1; 4; 5), (4; 1; 5), (2; 3; 5), (3; 2; 5), (1; 5; 6), (5; 1; 6), (2; 4; 6), (4; 2; 6), (3; 3; 6)}
=>
=> Xác suất để tổng số chấm ở 2 lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba là:
