Trong công xưởng có một nhóm công nhân gồm 15 nữ và 5 nam. Chủ quản muốn chọn một nhóm gồm 5 công nhân để lập thành một tổ gồm 1 tổ trưởng nữ, 1 tổ phó nữ và có ít nhất 1 công nhân nam. Hãy xác định số cách lập tổ công nhân theo yêu cầu?
Ta có:
Số cách chọn 2 nữ làm tổ trưởng và tổ phó là cách.
Số cách chọn 3 công nhân còn lại là nữ là: cách.
Số cách chọn 3 công nhân còn lại trong 18 công nhân là cách.
Vậy số cách chọn 1 tổ trưởng nữ, 1 tổ phó và có ít nhất 1 nam là:
.
Biết 
và là hai biến cố đối nhau. Chọn khẳng định đúng?
Ta có:
Giáo viên trong lớp chuẩn bị 3 chiếc hộp:
Hộp 1 chứa 3 quả cầu đỏ và 5 quả cầu trắng.
Hộp 2 chứa 2 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng.
Hộp 3 chứa 2 quả cầu đỏ và 3 quả cầu xanh.
Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một quả cầu trong hộp đó. Gọi là biến cố lấy được hộp 1, là biến cố lấy được hộp 2, là biến cố lấy được hộp 3. Khi đó biến cố lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy được một quả màu đỏ trong hộp đó biểu diễn như thế nào?
Lấy ngẫu nhiên một hộp trong hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu được quả màu đỏ thì hoặc là lấy được quả đỏ từ hộp 1 hoặc là lấy được quả đỏ từ hộp 2 hoặc lấy được quả đỏ từ hộp 3. Do đó ta biểu diễn biến cố cần tìm như sau:
Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Số cách khác nhau để chọn được đồng thời một cây bút chì, một cây bút bi và một cuốn tập.
Để chọn “một cây bút chì - một cây bút bi - một cuốn tập”, ta có:
Có 8 cách chọn bút chì.
Có 6 cách chọn bút bi.
Có 10 cách chọn cuốn tập.
Vậy theo quy tắc nhân ta có 8 . 6 . 10 = 480 cách.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số:
Ta có:
Các số tự nhiên có ba chữ số là 100; 101; ...; 998; 999
=> Có 999 − 100 + 1 = 900 số tự nhiên có ba chữ số.
Viết ngẫu nhiên 2 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau thuộc tập hợp . Gọi là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4. Hỏi biến cố nào sau đây là biến cố xung khắc của biến cố ?
Ta có: là biến cố hai số được viết đều có mặt chữ số 4 thì biến cố xung khắc của C là hai số được viết không có mặt chữ số 4.
Một hộp đựng 4 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng hoàn toàn giống nhau về hình thức. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 5 viên bi:
a) Xác suất để lấy được chỉ màu đỏ Đúng||Sai
b) Có 125 cách để lấy được các viên bi không có màu vàng. Đúng||Sai
c) Xác suất lấy được các viên bi chỉ có màu xanh và màu vàng Sai||Đúng
d) Xác suất lấy các viên bi có đủ ba màu Sai||Đúng
Một hộp đựng 4 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng hoàn toàn giống nhau về hình thức. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 5 viên bi:
a) Xác suất để lấy được chỉ màu đỏ Đúng||Sai
b) Có 125 cách để lấy được các viên bi không có màu vàng. Đúng||Sai
c) Xác suất lấy được các viên bi chỉ có màu xanh và màu vàng Sai||Đúng
d) Xác suất lấy các viên bi có đủ ba màu Sai||Đúng
Số cách chọn 5 viên bi trong 15 viên bi là .
Gọi : “5 viên bi lấy được có đủ 3 màu "
Gọi : " 5 viên bi lấy được có không đủ 3 màu "
Chọn 5 viên bi không đủ 3 màu xảy ra các trường hợp
+ 5 viên màu đỏ có 1 cách
+ 5 viên màu vàng và 1 viên màu xanh hoặc đỏ có cách.
Chỉ có xanh và đỏ có .
Chỉ có xanh và vàng có .
Chỉ có đỏ và vàng có .
Vậy .
Lấy ngẫu nhiên 3 thẻ trong một hộp chứa 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Giả sử là biến cố để tổng số của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8. Tính số phần tử của biến cố ?
Các phần tử của biến cố là:
Vậy
Một đội tham gia tình nguyện của trường gồm 6 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 cùng tham gia. Để tăng tình đoàn kết giữa các học sinh, giáo viên tổ chức một trò chơi gồm 6 người. Hỏi có bao nhiêu cách để giáo viên chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh?
Số cách chọn 6 học sinh bất kì từ 15 học sinh là
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 12 là:
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và khối 10 là:
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 10 và khối 12 là:
Số cách chọn 6 học sinh chỉ có khối 11 và khối 12 là:
Do đó số cách chọn 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là
cách
Cho . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 2 chữ số đôi một khác nhau?
Số tự nhiên có hai chữ số khác nhau có dạng:
Do số cần tìm là số lẻ => b ∈ {1; 3; 5}
=> Có 3 cách chọn b
Số cách chọn a là 4 cách
=> Có thể lập được số các số lẻ có 2 chữ số đôi một khác nhau là: 3 . 4 = 12 số
Một tổ gồm 7 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực sao cho có ít nhất 2 nữ?
Số cách chọn 4 học sinh trong đó có 2 học sinh nữ là: cách
Số cách chọn 4 học sinh trong đó có 3 học sinh nữ là: cách
Số cách chọn 4 học sinh trong đó có 4 học sinh nữ là: cách
=> Số cách chọn 4 em đi trực sao cho có ít nhất 2 nữ là: cách
Cho hai biến cố A và B có ta kết luận hai biến cố A và B là:
Ta có: P(A) + P(B) = 1/3 + 1/4 = 7/12 ≠ 1/2 = P(A ∪ B)
Suy ra P(A) + P(B) ≠ P(A ∪ B)
=> Hai biến cố A và B không xung khắc
Áp dụng công thức xác suất tổng hai biến cố ta có:
Mà
=> Hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập.
Ba bạn A, B, C độc lập với nhau thi ném phi tiêu vào cùng một bia. Biết xác xuất ném trúng của A, B, C lần lượt là và . Tính xác suất để có ít nhất một người ném trúng bia?
Gọi A, B, C tương ứng là biến cố A ném trúng bia, B ném trúng bia và C ném trúng bia
A, B, C là các biến cố độc lập. Do đó A, B, C là các biến cố đôi một độc lập
Xác suất để cả ba người đều không ném trúng là:
Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số từ 4 chữ số khác nhau?
Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ dãy số đã cho có dạng:
Số cách chọn a là: 7 cách
Số cách chọn b là 6 cách
Số cách chọn c là 5 cách
Số cách chọn d là 4 cách
Áp dụng quy tắc nhân ta có số các chữ số được tạo thành thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 7 . 6 . 5 . 4 (số)
Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập các số tự nhiên sau: . Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên ba số tự nhiên từ 11 số tự nhiên sau:
Do đó số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố “Tổng ba số được chọn là 12”.
Ta có các bộ 3 số có tổng bằng 12 gồm: (1,2,9); (1,3,8); (1,4,7); (1,5,6); (2,3,7); (2;4;6); (3,4,5).
Suy ra ta có
Số cách chọn một tập hợp gồm 5 chữ cái từ bảng chữ cái Tiếng Anh là:
Bảng chữ cái Tiếng Anh có 26 chữ cái.
Suy ra số cách chọn 1 tập hợp gồm 5 chữ cái từ 26 chữ cái là: cách chọn.
Thực hiện gieo hai lần một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố xuất hiện ít nhất một lần mặt năm chấm. Tính xác suất của biến cố A?
Ta có: và A là biến cố xuất hiện ít nhất một lần mặt năm chấm
Suy ra là biến cố không lần nào xuất hiện mặt năm chấm.
Ta có:
Cấu trúc đề thi cuối học kì I môn Vật lí gồm 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 đáp án trắc nghiệm và chỉ có duy nhất 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Học sinh A chọn ngẫu nhiên đáp án cho các câu hỏi. Xác suất để học sinh A thi được 6 điểm môn Vật lí là:
Để đạt được điểm 6 học sinh đó cần trả lời đúng 30 câu và trả lời sai 20 câu.
Theo đó xác suất trả lời đúng 1 câu là 0,25, xác suất trả lời sai mỗi câu là 0,75
Vậy xác suất để học sinh đạt 6 điểm là: .
Trong một phép thử có không gian mẫu kí hiệu là và là một biến cố của phép thử đó. Tìm phát biểu sai trong các phát biểu dưới đây?
Khẳng định sai là: “ khi và chỉ khi
chắc chắn”.
Vì B là biến cố chắc chắn thì P(B) = 1.
Cho 3 con xúc xắc trong đó con xúc xắc thứ nhất cân đối. Xúc xắc thứ hai không cân đối, có xác suất mặt 3 chấm là 0,2; các mặt còn lại có xác suất bằng nhau. Xúc xắc thứ ba không cân đối có xác suất mặt 6 chấm là 0,25; các mặt còn lại có xác suất bằng nhau. Gieo đồng thời ba con xúc xắc đã cho. Tính xác suất để hai con xúc xắc xuất hiện mặt 2 chấm và một con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm?
Con xúc xắc thứ nhất cân đối nên xác suất xuất hiện mỗi mặt là
Xúc xắc thứ hai không cân đối, có xác xuất mặt 3 chấm là 0,2 và các mặt còn lại có xác suất bằng nhau nên xác suất các mặt còn lại là
Xúc xắc thứ ba không cân đối có xác suất mặt 6 chấm là 0,25; các mặt còn lại có xác suất bằng nhau nên xác suất các mặt còn lại là
Gọi A là biến cố gieo một lần 3 con xúc xắc hai con xúc xắc xuất hiện mặt 2 chấm và một xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm là:
|
Biến cố |
Xúc xắc 1; 2; 3 |
Xác suất |
|
B |
2 chấm, 2 chấm, 1 chấm |
|
|
C |
2 chấm, 1 chấm, 2 chấm |
|
|
D |
1 chấm, 2 chấm, hai chấm |
Do và các biến cố B, C, D đôi một xung khắc nên ta có:
