Cho 8 quả cân có khối lượng lần lượt là 1kg, 2kg, 3kg, 4kg, 5kg, 6kg, 7kg, 8kg. Chọn ngẫu nhiên ba quả cân trong số đó. Tính xác suất để trọng lượng ba quả cân được chọn không vượt quá 9kg.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên ba quả cân trong số 8 quả cân có khối lượng đã cho tương ứng. ω Do đó số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi C là biến cố “trọng lượng ba quả cân được chọn không vượt quá 9kg”
Ta có các bộ 3 số có tổng khối lượng không vượt quá 9kg gồm:
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 2 lần liên tiếp. Giả sử N là biến cố “Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện” Mô tả nào sau đây đúng khi mô tả biến cố N?
Mô tả đúng biến cố N là:
Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.
Ta có:
Gọi C: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”
Ta có:
Chọn ngẫu nhiên một số có 2 chữ số từ các số 00 đến 99. Xác suất để có một con số lẻ và chia hết cho 9:
Chọn một số có hai chữ số bất kì ta có:
Chọn các số lẻ và chia hết cho 9 là các số: 09; 27; 45; 63; 81; 99
=> Xác suất để có một con số lẻ và chia hết cho 9 là:
Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đen được đánh số 7, 8, 9. Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?
Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kì là một lần chọn.
Nếu chọn một quả trắng có 6 cách.
Nếu chọn một quả đen có 3 cách.
Theo quy tắc cộng, ta có 6 + 3 = 9 cách chọn.
Số cách sắp xếp 
vào một dãy ghế dài sao cho hai đầu dãy ghế là vị trí của và ?
Ta xếp A và G vào hai vị trí đầu dãy và có thể hoán đổi cho nhau nên ta có 2! cách xếp.
Xếp 5 người còn lại vào 5 vị trí giữa ta có 5! cách xếp.
Vậy ta có: 2!.5! = 240 cách xếp.
Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.
Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là:
Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346
Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là:
=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là:
Cho 4 chữ số có thể lập được bao nhiêu chữ số biết rằng các số tạo thành thuộc khoảng ?
Gọi số cần tìm có dạng với
.
Theo giả thiết ta có hai cách chọn a
Với mỗi cách chọn a ta có 4 cách chọn b và 4 cách chọn x.
Vậy có số thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để một học sinh đạt yêu cầu và một học sinh không đạt yêu cầu?
Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là cách
Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.
Gọi B là biến cố: "Có một học sinh đạt yêu cầu và một học sinh không đạt yêu cầu".
Số cách chọn 1 học sinh đạt yêu cầu là 27.
Số cách chọn 1 học sinh không đạt yêu cầu là 3.
Chọn 2 học sinh mà trong đó có một học sinh đạt yêu cầu và một học sinh không đạt yêu cầu là:
Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 81
Vậy xác suất để cần tìm là:
Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:
Lấy một số từ dãy số đã cho ta được:
Giả sử A là biến cố "lấy được một số nguyên tố"
Ta có: A = {2} =>
=> Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:
Tung một đồng tiền xu cân đối và đồng chất 5 lần liên tiếp. Tính số phần tử của biến cố “Mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần”.
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố “Mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần” khi đó là biến cố “Mặt sấp không xuất hiện”
Khi đó
Khi đó
Trong kho hàng có sản phẩm công nghệ, trong đó có một số sản phẩm bị lỗi. Giả sử là biến cố sản phẩm thứ bị lỗi với . Biến cố cả n sản phẩm đều tốt là:
Ta có:
là biến cố sản phẩm thứ
bị lỗi với
Nên là biến cố sản phẩm thứ
tốt với
Biến cố cả n sản phẩm đều tốt là:
Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập các số tự nhiên sau: . Tính xác suất để tổng ba số được chọn là số lẻ?
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên ba số tự nhiên từ 11 số tự nhiên sau:
Do đó số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi B là biến cố “Tổng ba số được chọn là số lẻ”
Tổng ba số được chọn tạo thành số lẻ thì ba số được chọn cần thỏa điều kiện: 3 số đều là số lẻ, hai số chẵn và 1 số lẻ.
TH1: 3 số đều là số lẻ:
TH2: số cách chọn hai số chẵn và 1 số lẻ là
Suy ra ta có
Vậy xác suất cần tìm là:
Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.
Ta có:
gọi B: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc lớn hơn hay bằng 9 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”
Ta có:
Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người vào 4 ghế ngồi được bố trí quanh một bàn tròn?
Chọn 1 người ngồi vào 1 vị trí bất kì.
Xếp 3 người còn lại vào 3 ghế trống của bàn là một hoán vị của 3 phần tử nên có: cách.
Vậy số cách sắp xếp là 6 cách.
Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên trong tập hợp S gồm các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau, trong đó chữ số 3 đứng liền giữa hai chữ số 2 và 4. Tìm số phần tử không gian mẫu?
Ta chia thành các trường hợp như sau:
TH1: Nếu số 234 đứng đầu thì có số
TH2: Nếu cố 432 đứng đầu thì có số
TH3: Nếu cố 234; 432 không đứng đầu
Khi đó có 6 cách chọn số đứng đầu, khi đó còn 4 vị trí có 2 cách sắp xếp 3 số 234 và 432, còn lại 1 vị trí có cách chọn số còn lại. Do đó trường hợp này có
Suy ra số phần tử của tập hợp S là
Vậy số phần tử không gian mẫu là
Cho ba chiếc hộp đựng các viên bi được mô tả như sau:
Hộp A chứa 4 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng.
Hộp B chứa 3 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.
Hộp C chứa 2 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.
Lấy ngẫu nhiên một hộp từ 3 hộp này, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó.
a) Xác suất để lấy được một viên bi trắng từ hộp A là: Đúng||Sai
b) Xác suất để lấy được viên bi màu vàng trong hộp B là Đúng||Sai
c) Xác suất để lấy được viên bi đỏ trong hộp C là Sai||Đúng
d) Xác suất để lấy được một viên bi đỏ là Sai||Đúng
Cho ba chiếc hộp đựng các viên bi được mô tả như sau:
Hộp A chứa 4 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng.
Hộp B chứa 3 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.
Hộp C chứa 2 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng.
Lấy ngẫu nhiên một hộp từ 3 hộp này, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó.
a) Xác suất để lấy được một viên bi trắng từ hộp A là: Đúng||Sai
b) Xác suất để lấy được viên bi màu vàng trong hộp B là Đúng||Sai
c) Xác suất để lấy được viên bi đỏ trong hộp C là Sai||Đúng
d) Xác suất để lấy được một viên bi đỏ là Sai||Đúng
Gọi A là biến cố: “Chọn được hộp A”
B là biến cố: “Chọn được hộp B”
C là biến cố: “Chọn được hộp C”
Ta có:
a) Xác suất để lấy được một viên bi trắng từ hộp A là:
b) Xác suất để lấy được viên bi màu vàng trong hộp B là
c) Xác suất để lấy được viên bi đỏ trong hộp C là
d) E là biến cố: “Bi chọn ra có màu đỏ”.
Xác suất để lấy được một viên bi đỏ là
Áp dụng công thức ta có:
Cho tập hợp . Lập từ số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ . Tính xác suất để chọn được số chia hết cho ?
Cho tập hợp . Lập từ
số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ
. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho
?
Một lớp có 20 học sinh nữ, 26 học sinh nam. Giáo viên cần chọn ban cán sự lớp gồm 3 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết trong ban cán sự có ít nhất một nữ.
Số học sinh của lớp là: 20 + 26 = 46 (học sinh)
Số cách chọn 3 học sinh làm cán bộ lớp là:
Số cách chọn 3 học sinh làm cán bộ lớp trong đó không có bạn nữ là:
Số cách chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất một bạn nữ là:
cách chọn
Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5:
Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau có dạng:
Số cách chọn a là: 5 cách (vì a khác 0)
Số cách chọn b là: 5 cách
Số cách chọn c là: 4 cách
Số cách chọn d là 3 cách
Số cách chọn e là: 2 cách
=> Có thể lập được số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ dãy số là: 5 . 5 . 4 . 3 . 2 = 600 số
