Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Thông hiểu

Học sinh A làm bài kiểm tra 15 phút môn Toán gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi gồm 4 phương án trả lời và chỉ có một phương án đúng. Nếu trả lời đúng 1 câu hỏi được 1 điểm, trả lời sai không có điểm. Biết A đã làm đúng 5 câu hỏi, vì thời gian hạn chế nên A đã khoanh trả lời ngẫu nhiên các câu hỏi còn lại. Tính xác suất để A đạt được ít nhất 8 điểm?

A.
$10,35\%$
B.
$19,14\%$
C.
$19,53\%$
D.
$17,58\%$

Bạn A trả lời đúng 5 câu hỏi nên A đã đạt được 5 điểm

Để được ít nhất 8 điểm thì A phải trả lời đúng ít nhất 3 câu trong 5 câu còn lại.

TH1: 3 câu đúng, 2 câu sai $P_{1} = C_{5}^{3}.\left( \frac{1}{4} ight)^{3}.\left( \frac{3}{4} ight)^{2}$

TH2: 4 câu đúng, 1 câu sai $P_{2} = C_{5}^{4}.\left( \frac{1}{4} ight)^{4}.\left( \frac{3}{4} ight)^{1}$

TH3: 5 câu đúng $P_{3} = C_{5}^{5}.\left( \frac{1}{4} ight)^{5}$

Vậy xác suất cần tìm là: $P = P_{1} + P_{2} + P_{3} \approx 0,1035$

Câu 2: Nhận biết

Thực hiện tung ngẫu nhiên một con xúc xắc một lần. Biết H là biến cố mặt xuất hiện có số chấm chẵn, K là biến cố mặt xuất hiện có số chấm lẻ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
H và K là hai biến cố đối nhau.
B.
H và K là hai biến cố tương đương.
C.
H và K là hai biến cố không xung khắc.
D.
H và K là hai biến cố không đối nhau cũng không xung khắc.

Vì $\left\{ \begin{matrix}H \cap K = \varnothing \\H \cup K = \Omega \\\end{matrix} ight.$ nên hai biến cố H và K là hai biến cố đối nhau.

Câu 3: Thông hiểu

Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai:

A. 10!
B. 725760
C. 9!
D. 9! – 2!

Coi quyển sách thứ nhất và quyển sách thứ hai thành một quyển sách

=> Khi đó ta có 9 quyển sách

Hoán vị hai quyển sách ban đầu ta có 2! = 2 cách

Sắp xếp 9 quyển sách vào 9 vị trí => Có 9! cách

=> Có 2.9! = 725760 cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai:

Câu 4: Vận dụng

Trong công xưởng có một nhóm công nhân gồm 15 nữ và 5 nam. Chủ quản muốn chọn một nhóm gồm 5 công nhân để lập thành một tổ gồm 1 tổ trưởng nữ, 1 tổ phó nữ và có ít nhất 1 công nhân nam. Hãy xác định số cách lập tổ công nhân theo yêu cầu?

A.
$131444$
B.
$141666$
C.
$241561$
D.
$111300$

Ta có:

Số cách chọn 2 nữ làm tổ trưởng và tổ phó là $A_{15}^{2}$ cách.

Số cách chọn 3 công nhân còn lại là nữ là: $C_{13}^{3}$ cách.

Số cách chọn 3 công nhân còn lại trong 18 công nhân là $C_{18}^{3}$ cách.

Vậy số cách chọn 1 tổ trưởng nữ, 1 tổ phó và có ít nhất 1 nam là:

$A_{15}^{2}.\left( C_{18}^{3} - C_{13}^{3} ight) = 111300$ .

Câu 5: Thông hiểu

Truớc cổng trưòng đại học có 3 quán cơm bình dân chất lượng như nhau. Ba sinh viên A, B, C độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một quán để ăn trưa. Tính xác suất của các biến cố ba sinh viên vào cùng một quán?

A.
$\frac{1}{3}$
B.
$\frac{5}{27}$
C.
$\frac{1}{9}$
D.
$\frac{11}{27}$

Ta đánh số 3 quán cơm là $1;2;3$

Gọi $a;b;c$ lần lượt là quán cơm sinh viên A; B; C chọn.

Như vậy không gian mẫu là $\Omega = \left\{ (a,b,c)|a,b,c\mathbb{\in Z},1 \leq a \leq 3,1 \leq b \leq 3,1 \leq c \leq 3 ight\}$

Vì có 3 cách chon a và có 3 cách chọn b và có 3 cách chọn c nên $n_{\Omega} = 3.3.3 = 27$

Kết quả thuận lợi cho biến cố "3 sinh viên vào cù môt quán" là $(1;1;1),(2;2;2),(3;3;3)$

Vậy xác suất của biến cố này là $\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$

Câu 6: Thông hiểu

Có 15 đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?

A. 100
B. 105
C. 210
D. 200

Lấy hai đội bất kỳ trong 15 đội bóng tham gia thi đấu ta được một trận đấu. Vậy số trận đấu chính là một tổ hợp chập 2 của 15 phần tử (đội bóng đá).

Như vậy, ta có $C_{15}^2 = \frac{{15!}}{{13!.2!}} = 105$ trận đấu.

Câu 7: Nhận biết

Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ?

A. 665280
B. 924
C. 7
D. 942

Trong hộp có số viên bi là: 5 + 7 = 12 viên bi

Số cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ là tổ hợp chập 6 của 12 phần tử: $C_{12}^6 = 924$

Câu 8: Vận dụng cao

Một đề thi trắc nghiệm môn Toán lớp 11 gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 đáp án và chỉ có đúng 1 đáp án đúng. Nếu trả lời đúng được 0,2 điểm và trả lời sai sẽ không có điểm. Bạn H làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiêu đáp án cho tất cả 50 câu hỏi. Biết rằng xác suất làm đúng $x$ câu hỏi của H đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của $x$ ?

Đáp án: 12

Đáp án là:

Một đề thi trắc nghiệm môn Toán lớp 11 gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi có 4 đáp án và chỉ có đúng 1 đáp án đúng. Nếu trả lời đúng được 0,2 điểm và trả lời sai sẽ không có điểm. Bạn H làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiêu đáp án cho tất cả 50 câu hỏi. Biết rằng xác suất làm đúng $x$ câu hỏi của H đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của $x$ ?

Đáp án: 12

Gọi A là biến cố làm đúng x câu hỏi của bạn H

Ta có xác suất để làm đúng 1 câu là $\frac{1}{4}$ , xác suất làm sai 1 câu là $\frac{3}{4}$

Theo quy tắc nhân xác suất ta có:

Xác suất của biến cố A là $P(A) =C_{50}^{x}.\left( \frac{1}{4} ight)^{x}.\left( \frac{3}{4} ight)^{50- x} = \frac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \frac{3}{4}ight)^{50}$

Xét hệ bất phương trình sau:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \geq\dfrac{C_{50}^{x + 1}}{3^{x + 1}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \\\dfrac{C_{50}^{x}}{3^{x}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \geq\dfrac{C_{50}^{x - 1}}{3^{x - 1}}.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{50} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3C_{50}^{x} \geq C_{50}^{x + 1} \\C_{50}^{x} \geq 3C_{50}^{x - 1} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3.\dfrac{50!}{x!(50 - x)!} \geq \dfrac{50!}{(x + 1)!(49 - x)!} \\\dfrac{50!}{x!(50 - x)!} \geq \dfrac{50!}{(x - 1)!(51 - x)!} \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{50 - x} \geq \dfrac{1}{x + 1} \\\dfrac{1}{x} \geq \dfrac{3}{51 - x} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq \dfrac{47}{4} \\x \leq \dfrac{51}{4} \\\end{matrix} ight.\ ;\left( x\mathbb{\in Z} ight) \Rightarrow x =12$

Câu 9: Thông hiểu

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau

A. 201
B. 215
C. 115
D. 120

Gọi số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abc} ,\left( {a e b e c} ight)$

Số cách chọn a là 6 cách

Số cách chọn b là 5 cách

Số cách chọn c là 4 cách

=> Số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo thành là: 6 . 5 . 4 = 120 số

Câu 10: Nhận biết

Một hộp dựng 10 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 5 viên bi trong đó có 3 viên bi màu xanh?

A. 3003
B. 252
C. 1200
D. 14400

Số cách chọn 5 viên bi trong đó có 3 viên bi màu xanh là: $C_{10}^3.C_5^2 = 1200$ cách

Câu 11: Thông hiểu

Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi trong đó có 2 viên bi màu xanh, 4 viên bi màu vàng?

A. 350
B. 16800
C. 924
D. 665280

Số cách lấy 2 viên bi màu xanh là: $C_5^2 = 10$ cách

Số cách lấy 4 viên bi màu vàng là: $C_7^4 = 35$ cách

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách lấy ra 6 viên bi thỏa mãn đề bài là:

$C_5^2.C_7^4 = 10.35 = 350$ cách

Câu 12: Thông hiểu

Một hộp có 1 viên bi, trong đó có 7 quả cầu màu đỏ được đánh số từ 1 đến 7, 6 quả cầu màu xanh được đánh số từ 1 đến 6 và 5 quả cầu màu vàng được đánh số từ 1 đến 5. Lấy ngẫu nhiên trong hộp ra 3 quả cầu.

a) Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu đỏ là $\frac{35}{816}$ Đúng||Sai

b) Xác suất để lấy được 3 quả cùng màu là $\frac{67}{816}$ Sai||Đúng

c) Xác suất để lấy được 3 quả cầu có đủ ba màu là $\frac{35}{136}$ Đúng||Sai

d) Xác suất để lấy được 3 quả cầu khác màu và khác số là $\frac{121}{816}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Một hộp có 1 viên bi, trong đó có 7 quả cầu màu đỏ được đánh số từ 1 đến 7, 6 quả cầu màu xanh được đánh số từ 1 đến 6 và 5 quả cầu màu vàng được đánh số từ 1 đến 5. Lấy ngẫu nhiên trong hộp ra 3 quả cầu.

a) Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu đỏ là $\frac{35}{816}$ Đúng||Sai

b) Xác suất để lấy được 3 quả cùng màu là $\frac{67}{816}$ Sai||Đúng

c) Xác suất để lấy được 3 quả cầu có đủ ba màu là $\frac{35}{136}$ Đúng||Sai

d) Xác suất để lấy được 3 quả cầu khác màu và khác số là $\frac{121}{816}$ . Đúng||Sai

Có $C_{18}^{3} = 816$ cách lấy 3 quả cầu từ hộp.

a) Số cách lấy được 3 quả cầu màu đỏ là: $C_{7}^{3}$

Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu đỏ là $P = \frac{C_{7}^{3}}{C_{18}^{3}} = \frac{35}{816}$

b) Số cách lấy được 3 quả cầu cùng màu là: $C_{7}^{3} + C_{6}^{3} + C_{5}^{3}$

Xác suất để lấy được 3 quả cùng màu là $P = \frac{C_{7}^{3} + C_{6}^{3} + C_{5}^{3}}{C_{18}^{3}} = \frac{65}{816} eq \frac{67}{816}$

c) Số cách lấy được 3 quả cầu có đủ 3 màu là: $C_{7}^{1}.C_{6}^{1}.C_{5}^{1}$

Xác suất để lấy được 3 quả cầu có đủ ba màu là: $P = \frac{C_{7}^{3}.C_{6}^{3}.C_{5}^{3}}{C_{18}^{3}} = \frac{210}{816} = \frac{35}{136}$

d) Bước 1: Lấy 1 quả cầu màu vàng có 5 cách.

Bước 2: Lấy 1 quả cầu màu xanh có 5 cách. (vì khác số với quả vàng).

Bước 3: Lấy một quả màu đỏ có 5 cách (vì khác số với quả xanh và quả vàng).

Suy ra có 5.5.5 = 125 cách lấy 3 quả cầu khác màu và khác số,

Suy ra xác suất của biến cố là: $P = \frac{125}{C_{18}^{3}} = \frac{125}{816}$

Câu 13: Nhận biết

Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{6}$

Lấy một số từ dãy số đã cho ta được: $n\left( \Omega ight) =6$

Giả sử A là biến cố "lấy được một số nguyên tố"

Ta có: A = {2} => $n\left( A ight) = 1$

=> Xác suất để lấy được một số nguyên tố là: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{1}{6}$

Câu 14: Nhận biết

Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Số cách khác nhau để chọn được đồng thời một cây bút chì, một cây bút bi và một cuốn tập.

A. 24
B. 48
C. 480
D. 60

Để chọn “một cây bút chì - một cây bút bi - một cuốn tập”, ta có:

Có 8 cách chọn bút chì.

Có 6 cách chọn bút bi.

Có 10 cách chọn cuốn tập.

Vậy theo quy tắc nhân ta có 8 . 6 . 10 = 480 cách.

Câu 15: Thông hiểu

Cho $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 5?

A. 60
B. 10
C. 12
D. 20

Số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau có dạng: $\overline {abc} ;\left( {a e b e c} ight)$

Do số cần tìm chia hết cho 5 => c = 5

Số cách chọn a là 4 cách

Số cách chọn b là 3 cách

=> Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 5 là: $1 . 4 . 3 = 12$ số

Câu 16: Nhận biết

Người ta gieo 8000 lần một đồng xu cân đối thì tần số xuất hiện của mặt ngửa là 4013. Xác suất thực nghiệm mặt ngửa là:

A. $\frac{{3987}}{{8000}}$
B. $\frac{{8000}}{{4013}}$
C. $\frac{{4013}}{{8000}}$
D. $\frac{{62}}{{8000}}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega ight) = 8000$

Theo bài ra ta có: Tần số xuất hiện của mặt ngửa là 4 013 lần

=> Xác suất thực nghiệm mặt ngửa là: $P = \frac{{4013}}{{8000}}$

Câu 17: Thông hiểu

Hai người cùng đi câu cá. Xác suất để X câu được (ít nhất một con) cá là 0,1; xác suất để Y câu được cá là 0,15. Sau buổi đi câu hai người cùng góp cá lại. Xác suất để hai bạn X và Y không trở về tay không bằng:

A. 0,085
B. 0,235
C. 0,015
D. 0,143

Xác suất để X không câu được cá là 1 - 0,1 = 0,9

Xác suất để Y không câu được cá là 1 - 0,15 = 0,85

Xác xuất X và Y trở về tay không (không có con cá nào) là

$P = P(A.B) = P(A).P(B) = 0,9 . 0,85 = 0,765$

=> Xác suất X và Y ko trở về tay ko là: $1 - 0,765 = 0,235$

Câu 18: Nhận biết

Một thí sinh phải chọn 10 trong số 20 câu hỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 câu hỏi này nếu 3 câu đầu phải được chọn:

A. 184756
B. 240
C. 14400
D. 19448

Ta có:

Ba câu đầu phải được chọn => Có 1 cách chọn

Chọn 7 câu còn lại trong số 17 câu còn lại => Có $C_{17}^7 = 19448$

Vậy có 19448 cách chọn 10 câu hỏi này nếu 3 câu đầu phải được chọn.

Câu 19: Vận dụng

Tuấn làm một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu gồm 4 phương án và chỉ có 1 phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ 2 điểm. Tuấn chọn ngẫu nghiên đáp án cho 10 câu hỏi. Xác suất để Tú thi được không quá 1 điểm?

A.
$0,7759$
B.
$0,7336$
C.
$0,7124$
D.
$0,783$

Xác suất trả lời đúng trong một câu là: $\frac{1}{4}$

Xác suất trả lời sai trong một câu là: $\frac{3}{4}$

Gọi x là số câu Tuấn trả lời đúng.

Theo đều bài ra ta có Tuấn thi được không quá 1 điểm suy ra

$5x - 2(10 - x) \leq 1 \Leftrightarrow 7x \leq 21 \Leftrightarrow x \leq 3$

Do đó Tuấn cần trả lời đúng không quá 3 câu

TH1: Học sinh trả lời đúng 3 câu: $P_{1} = C_{10}^{3}.\left( \frac{1}{4} ight)^{3}.\left( \frac{3}{4} ight)^{7}$

TH2: Học sinh trả lời đúng 2 câu: $P_{2} = C_{10}^{2}.\left( \frac{1}{4} ight)^{2}.\left( \frac{3}{4} ight)^{8}$

TH3: Học sinh trả lời đúng 1 câu: $P_{3} = C_{10}^{1}.\left( \frac{1}{4} ight)^{1}.\left( \frac{3}{4} ight)^{9}$

TH4: Học sinh trả lời không đúng câu nào: $P_{4} = \left( \frac{3}{4} ight)^{10}$

Vậy xác suất cần tìm là $P(A) = P_{1} + P_{2} + P_{3} + P_{4} \approx 0,7759$

Câu 20: Vận dụng

Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.

A. 36080
B. 16080
C. 13080
D. 136080

Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{10!}}{{4!}}$

Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346

Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là: $\frac{{9!}}{{4!}}$

=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là: $\frac{{10!}}{{4!}} -\frac{{9!}}{{4!}} = 136080$

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!