Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Câu 1: Nhận biết

Một hộp dựng 10 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 5 viên bi trong đó có 3 viên bi màu xanh?

A. 3003
B. 252
C. 1200
D. 14400

Số cách chọn 5 viên bi trong đó có 3 viên bi màu xanh là: $C_{10}^3.C_5^2 = 1200$ cách

Câu 2: Thông hiểu

Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia hết cho 3 và 2:

A. 12
B. 16
C. 17
D. 20

Số chia hết cho 2 và 3 là 6k, với k là số tự nhiên.

Theo đề bài ta có:

0 ≤ 6k < 100

=> 0 ≤ k < 16,7

Vậy có 17 chữ số thỏa mãn.

Câu 3: Thông hiểu

Hai cung thủ thực hiện bắn mỗi người một mũi tên vào bia điểm. Biết xác suất bắn trúng 10 điểm của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là $0,75$ và $0,85$ . Tính xác suất để có ít nhất một cung thủ bắn trúng 10 điểm?

A.
$0,9625$
B.
$0,325$
C.
$0,0375$
D.
$0,6375$

Gọi A là biến cố có ít nhất một cung thủ bắn trúng 10 điểm

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố không có cung thủ nào trúng 10 điểm

$\Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = (1 - 0,75).(1 - 0,85) = 0,0375$

$\Rightarrow P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 - 0,0375 = 0,9625$

Câu 4: Thông hiểu

Khi gửi tiền vào ngân hàng, chị X được tham gia chương trình “Bốc thăm trúng thưởng”. Chị được bốc lần lượt 2 lá thăm trong hộp gồm 20 lá thăm. Biết trong hộp chỉ có 2 lá thăm ghi “Trúng thưởng”. Tính xác suất để cả hai lá thăm đều trúng thưởng?

A.
$\frac{1}{190}$
B.
$\frac{1}{10}$
C.
$\frac{1}{19}$
D.
$\frac{1}{100}$

Gọi A là biến cố lá thăm rút được lần đầu có thưởng

=> $P(A) = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

Gọi B là biến cố lá thăm rút được lần sau có thưởng.

=> $P(B) = \frac{1}{19}$

$\Rightarrow P(AB) = P(A).P(B) = \frac{1}{10}.\frac{1}{19} = \frac{1}{190}$

Câu 5: Thông hiểu

Hai hộp gỗ được đặt trên bàn. Hộp A chứa 3 bi đỏ và 4 bi xanh. Hộp B chứ 2 bi đỏ và 5 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp A sang hộp B rồi lấy ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp B ra. Tính xác suất để viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có màu đỏ?

A.
$\frac{3}{7}$
B.
$\frac{17}{56}$
C.
$\frac{2}{7}$
D.
$\frac{9}{56}$

Xảy ra hai trường hợp:

TH1: Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ và đưa vào hộp thứ hai, khi đó hộp thứ hai có 3 viên bi đỏ và 5 viên bi canh. Xác suất để lấy ra viên bi đỏ từ hộp thứ hai là:

$P_{1} = \frac{3}{7}.\frac{3}{8} = \frac{9}{56}$

TH1: Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu xanh và đưa vào hộp thứ hai, khi đó hộp thứ hai có 2 viên bi đỏ và 6 viên bi canh. Xác suất để lấy ra viên bi đỏ từ hộp thứ hai là:

$P_{2} = \frac{4}{7}.\frac{2}{8} = \frac{8}{56}$

Vậy xác suất cần tìm là: $P = P_{1} + P_{2} = \frac{9}{56} + \frac{8}{56} = \frac{17}{56}$

Câu 6: Nhận biết

Giả sử $M,N$ là hai biến cố xung khắc. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$P(M \cup N) = P(M) +P(N)$
B.
$P(M \cup N) =P(M).P(N)$
C.
$P(M \cup N) = P(M) -P(N)$
D.
$P(M \cap N) = P(M) +P(N)$

Ta có:

$P(M \cup N) = P(M) + P(N) - P(M \capN)$

Vì M và N là hai biến cố xung khắc nên $M\cap N = \varnothing$

$\Rightarrow P(M \cup N) = P(M) +P(N)$

Câu 7: Nhận biết

Có bao nhiêu cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con?

A. 104
B. 450
C. 1326
D. 2652

Mỗi cách lấy 2 con bài từ 52 con là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử.

Vậy số cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con là $C_{52}^2 = 1326$ cách.

Câu 8: Thông hiểu

Có 15 đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?

A. 100
B. 105
C. 210
D. 200

Lấy hai đội bất kỳ trong 15 đội bóng tham gia thi đấu ta được một trận đấu. Vậy số trận đấu chính là một tổ hợp chập 2 của 15 phần tử (đội bóng đá).

Như vậy, ta có $C_{15}^2 = \frac{{15!}}{{13!.2!}} = 105$ trận đấu.

Câu 9: Vận dụng

Lấy 3 quả cầu từ một hộp có 4 quả cầu trắng, 5 quả cầu vàng, 6 quả cầu xanh. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 quả cầu cùng màu.

A. $\frac{5}{{13}}$
B. $\frac{{21}}{{61}}$
C. $\frac{{67}}{{91}}$
D. $\frac{{11}}{{73}}$

Hộp có 4 + 5 + 6 = 15 quả cầu

Số phần tử không gian mẫu là: $C_{15}^3 = 455$

Gọi B là biến cố: "Ít nhất 2 quả cầu cùng màu"

=> $\overline B$ là biến cố: "Không có 2 quả cầu nào cùng màu"

=> Số phần tử của biến cố $\overline B$ là: $n\left( {\overline B } ight) = C_4^1.C_5^1.C_6^1 = 120$

=> $P\left( {\overline B } ight) = \frac{{n\left( {\overline B } ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{120}}{{455}} = \frac{{24}}{{91}}$

=> $P\left( B ight) = 1 - P\left( {\overline B } ight) = 1 - \frac{{24}}{{91}} = \frac{{67}}{{91}}$

Vậy xác suất để lấy được ít nhất 2 quả cầu cùng màu là $\frac{{67}}{{91}}$

Câu 10: Thông hiểu

Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số lập từ các số 0, 2, 4, 6, 8 với điều kiện các chữ số đó không lặp lại:

A. 60
B. 40
C. 48
D. 10

Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng: $\overline {abc} ,\left( {a e b e c} ight)$

Số cách chọn a là 4 cách (Do a khác 0)

Số cách chọn b là 4 cách

Số cách chọn c là 3 cách

=> Số các số tự nhiên có 3 chữ số lập từ các số 0, 2, 4, 6, 8 với điều kiện các chữ số đó không lặp lại là 4 . 4 . 3 = 48 số

Câu 11: Thông hiểu

Cho $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?

A. 2160
B. 2520
C. 21
D. 5040

Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: $\overline {abcde}$

Ta có: ${a e 0}$ => Có 6 cách chọn a

Số cách chọn b, c, d, e là: $A_6^4 = 360$ cách

=> Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành là: $360 . 6 = 2160$ số

Câu 12: Nhận biết

Từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9 lấy ngẫu nhiên một số. Xác suất để lấy được một số nguyên tố là:

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{6}$

Lấy một số từ dãy số đã cho ta được: $n\left( \Omega ight) =6$

Giả sử A là biến cố "lấy được một số nguyên tố"

Ta có: A = {2} => $n\left( A ight) = 1$

=> Xác suất để lấy được một số nguyên tố là: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{1}{6}$

Câu 13: Nhận biết

Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Chọn mô tả đúng dưới đây?

A.
$\Omega = \left\{ (a;b)|a,b \in \left\{ 1;2;3;4;5 ight\} ight\}$
B.
$\Omega = \left\{ (a;b)|a,b \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\} ight\}$
C.
$\Omega = \left\{ (a;b)|a,b \in \left\{ 1;2;3;4;5 ight\};a eq b ight\}$
D.
$\Omega = \left\{ (a;b)|a,b \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\};a eq b ight\}$

Mô tả không gian mẫu đúng là: $\Omega = \left\{ (a;b)|a,b \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 ight\} ight\}$

Câu 14: Nhận biết

Nếu một công việc được chia thành hai trường hợp, trường hợp 1 có a cách thực hiện, trường hợp hai có b cách thực hiện. Biết rằng mỗi cách thực hiện ở trường hợp này không trùng với bất kì cách thực hiện nào ở trường hợp kia. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng và số cách thực hiện công việc nói trên?

A.
$a.b$
B.
$a + b$
C.
$a! + b!$
D.
$a!.b!$

Theo quy tắc nhân ta có số cách thực hiện công việc là $a + b$ .

Câu 15: Vận dụng cao

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?

Kết quả: 310/429

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án là:

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp có 4 quả xanh, 5 quả đỏ và 6 quả vàng. Xác suất để lấy được 5 quả cầu có đủ 3 màu?

Kết quả: 310/429

(Kết quả ghi dưới dạng phân số tối giản a/b)

Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega) =C_{15}^{5} = 3003$

Gọi A là biến cố lấy được 5 quả cầu đủ 3 màu

=> $\overline{A}$ là biến cố 5 quả cầu lấy được không đủ 3 màu. Khi đó ta có các trường hợp như sau:

TH1: lấy được 5 quả cầu đỏ có 1 cách

TH2: lấy được 5 quả màu vàng có $C_{6}^{5}= 6$ cách

TH3: lấy được chỉ có xanh và đỏ $C_{4}^{4}.C_{5}^{1} + C_{4}^{3}.C_{5}^{2} +C_{4}^{2}.C_{5}^{3} + C_{4}^{1}.C_{5}^{4} = 125$ cách

TH4: lấy được chỉ có xanh và vàng $C_{4}^{4}.C_{6}^{1} + C_{4}^{3}.C_{6}^{2} +C_{4}^{2}.C_{6}^{3} + C_{4}^{1}.C_{6}^{4} = 246$ cách

TH5: lấy được chỉ có đỏ và vàng $C_{5}^{4}.C_{6}^{1} + C_{5}^{3}.C_{6}^{2} +C_{5}^{2}.C_{6}^{3} + C_{5}^{1}.C_{6}^{4} = 455$ cách

Vậy $n\left( \overline{A} ight) = 833\Rightarrow n(A) = n(\Omega) - n\left( \overline{A} ight) =2170$

$\Rightarrow P(A) =\frac{310}{429}$

Câu 16: Nhận biết

Một người bỏ ngẫy nhiên ba lá thư vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì:

A.
$\frac{1}{2}$
B.
$\frac{2}{3}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{5}{6}$

Số phần tử không gian mẫu là 3! = 6

Gọi A là biến cố có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì.

Ta xét các trường hợp sau:

Nếu lá thư thứ nhất bỏ đúng phong vì, hai lá thư còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách.

Nếu lá thư thứ hai bỏ đúng phong bì, hai lá thư còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách

Nếu lá thư thứ ba bỏ đúng phong big, hai lá thư còn lại để sai thì chỉ có duy nhất 1 cách.

Không thể có trường hợp 2 lá thứ bỏ đúng và 1 lá thư bỏ sai.

Cả ba lá thư đều bỏ đúng có duy nhất 1 cách

=> n(A) = 4

Vậy xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Câu 17: Vận dụng

Gieo 3 lần đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu. Ta có P là biến cố trong ba lượt gieo có ít nhất một lần kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp. Tính số phần tử của biến cố đối của biến cố P?

A.
$1331$
B.
$1313$
C.
$1350$
D.
$1530$

Xét phép thử gieo ba lần một con xúc xắc và một đồng xu với không gian mẫu $\Omega$ có số phần tử là $n(\Omega) = (6.2)^{3} = 1728$

Xét biến cố P trong ba lượt gieo có ít nhất một lần kết quả con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp.

TH1: trong cả ba lần gieo đều được kết quả: con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng xu xuất hiện mặt sấp. Có 1 khả năng xảy ra.

TH2: trong ba lần gieo có đúng 2 lần gieo con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp. Có $C_{3}^{2}.1.1.(12 - 1) = 33$ khả năng.

TH3: trong ba lần gieo có đúng 1 lần gieo con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm và đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp. Có $C_{3}^{1}.1.(12 - 1)(12 - 1) = 3.11.11 = 363$ khả năng.

$\Rightarrow n(P) = 1 + 33 + 363 = 397$

$\Rightarrow n\left( \overline{P} ight) = 1728 - 397 = 1331$

Câu 18: Vận dụng

Giáo viên chọn 16 học sinh gồm 4 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 7 học sinh trung bình để lập thành 4 nhóm thảo luận, mỗi nhóm có 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố N “Nhóm nào cũng có học sinh giỏi, học sinh khá”?

$n(N) =$ 21772800

Đáp án là:

Giáo viên chọn 16 học sinh gồm 4 học sinh giỏi, 5 học sinh khá và 7 học sinh trung bình để lập thành 4 nhóm thảo luận, mỗi nhóm có 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố N “Nhóm nào cũng có học sinh giỏi, học sinh khá”?

$n(N) =$ 21772800

Đánh số thứ tự các nhóm là A, B, C, D

Bước 1: xếp vào mỗi nhóm một học sinh giỏi có 4! Cách.

Bước 2: xếp 5 học sinh khá vào 4 nhóm thì 1 nhóm có 2 học sinh khá và 3 nhóm có 1 học sinh khá.

Chọn nhóm có 2 học sinh khá có 4 cách, chọn 2 học sinh khá có $C_{5}^{2}$ cách, xếp 3 học sinh khá còn lại có 3! cách.

Bước 3: xếp 7 học sinh trung bình

+ Nhóm có 2 học sinh khá cần xếp vào đó 1 học sinh trung bình, có 7 cách chọn học sinh.

+ Nhóm có 1 học sinh khá cần xếp vào đó 2 học sinh trung bình.

Chọn nhóm 2 học sinh trung bình trong 6 học sinh và xếp vào 3 nhóm có $C_{6}^{2}.3$ cách.

Chọn nhóm 2 học sinh trung bình trong nhóm học sinh và xếp vào 2 nhóm có $C_{4}^{2}.2$ cách.

Xếp 2 học sinh trung bình còn lại có 1 cách.

Do đó số cách sắp xếp là: $4!.4.C_{5}^{2}.3!.7.C_{6}^{2}.3.C_{4}^{2}..1 =21772800$

Vậy $n(N) = 21772800$

Câu 19: Thông hiểu

Cho $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Từ tập B có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập B?

A. 720
B. 46656
C. 2160
D. 360

Số tự nhiên có 6 chữ số có dạng: $\overline {abcdef}$

Số tự nhiên chẵn => f ∈ {2; 4; 6}

=> Có 3 cách chọn f

Số cách chọn a, b, c, d, e là: $A_5^5 = 120$

=> Số các số chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau là: $3.120 = 360$ số

Câu 20: Thông hiểu

Đề thi Toán thi THPT Quốc Gia gồm 50 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 đáp án trắc nghiệm và chỉ có duy nhất 1 đáp án đúng. Một học sinh làm chắc chắn đúng 40 câu, vì thời gian còn lại hạn chế nên học sinh đã tô ngẫu nhiên 10 câu hỏi còn lại. Tính xác suất để học sinh đó được 9,2 điểm trong bài thi đó?

A.
$A_{10}^{6}.(0,25)^{4}.(0,75)^{6}$
B.
$C_{10}^{4}.(0,25)^{6}.(0,75)^{4}$
C.
$C_{10}^{6}.(0,25)^{4}.(0,75)^{6}$
D.
$A_{10}^{4}.(0,25)^{6}.(0,75)^{4}$

Khi khoanh ngẫu nhiên 1 câu thì xác suất đúng là 0,25 và xác suất sai là 0,75

Học sinh đó được 9,2 điểm nếu bạn khoanh đúng được 6 câu trong 10 câu còn lại

Do đó xác suất để bạn học sinh đó được 9,2 điểm là: $C_{10}^{4}.(0,25)^{6}.(0,75)^{4}$ .

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!