Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu?
Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là cách
Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.
Gọi A là biến cố cả 2 học sinh đều không đạt yêu cầu
Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:
Vậy xác suất để cần tìm là:
Có 4 nữ sinh tên là Linh, Hoa, Lan, Hiền và 4 nam sinh tên là Tuấn, Bình, Trung, Cường cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẽ nhau?
Giả sử các ghế ngồi đánh số từ 1 đến 8.
Chọn 1 bạn bất kì ngồi vào 1 vị trí ngẫu nhiên trên bàn tròn có 1 cách. (Nếu chọn 8 cách thì tức là nhầm với bàn dài).
Xếp 3 bạn cùng giới tính còn lại vào 3 ghế (có số ghế cùng tính chẵn hoặc lẻ với bạn đầu) có 3! cách.
Xếp 4 bạn còn lại ngồi xen kẽ 4 bạn đã xếp ở trên có 4! cách.
Vậy có 3! · 4! = 144 cách.
Sắp xếp 6 học sinh nam; 5 học sinh nữ cùng một giáo viên chủ nhiệm thành một vòng tròn sao cho giáo viên đứng giữa hai học sinh nam. Tính số cách sắp xếp?
Ta có:
Cố định giáo viên tại một vị trí
Chọn 2 học sinh nam để xếp cạnh giáo viên => Có cách.
Xếp hai học sinh nam vừa chọn cạnh giáo viên => Có cách.
Cuối cùng xếp 9 học sinh còn lại vào các vị trí còn trống => Có cách.
Vậy số cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán là: .
Hai bệnh nhân A và B bị bệnh tiểu đường type 2. Biết rằng biến chứng về suy thận của bệnh nhân A và B lần lượt là 
và . Khả năng bị biến chứng suy thận của hai bệnh nhân là độc lập.
a) Xác suất để bệnh nhân A không bị biến chứng suy thận là Đúng||Sai
b) Xác suất để cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng suy thận Đúng||Sai
c) Xác suất để cả hai bệnh nhân đều không bị biến chứng suy thận là Sai||Đúng
d) Xác suất để bệnh nhân A bị biến chứng suy thận, bệnh nhân B không bị biến chứng suy thận là Sai||Đúng
Hai bệnh nhân A và B bị bệnh tiểu đường type 2. Biết rằng biến chứng về suy thận của bệnh nhân A và B lần lượt là và
. Khả năng bị biến chứng suy thận của hai bệnh nhân là độc lập.
a) Xác suất để bệnh nhân A không bị biến chứng suy thận là Đúng||Sai
b) Xác suất để cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng suy thận Đúng||Sai
c) Xác suất để cả hai bệnh nhân đều không bị biến chứng suy thận là Sai||Đúng
d) Xác suất để bệnh nhân A bị biến chứng suy thận, bệnh nhân B không bị biến chứng suy thận là Sai||Đúng
Gọi A là biến cố “Bệnh nhân A bị suy thận” ta có:
B là biến cố “Bệnh nhân B bị suy thận” ta có:
Khi đó là biến cố “Cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng suy thận”
Khi đó là biến cố “Cả hai bệnh nhân đều không bị biến chứng suy thận.
Khi đó là biến cố “Bệnh nhân A bị biến chứng suy thận, bệnh nhân B không bị biến chứng suy thận”.
b) Hai biến cố A, B độc lập nên ta có:
b) Hai biến cố độc lập nên ta có:
c) Hai biến cố độc lập nên ta có:
Có bao nhiêu cách chọn một tổ tưởng tổ dân phố từ một nhóm cư dân gồm 25 nam và 20 nữ?
Số cách chọn một người từ 45 người là: (cách)
Vậy có 45 cách chọn tổ trưởng tổ dân phố.
Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là môn toán.
Trên giá sách có 4 + 3 + 2 = 9 quyển sách
Số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi B là biến cố "3 quyển được lấy ra đều là môn toán"
=>
=> Xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là môn toán là:
Em hãy mô tả không gian mẫu của phép thử gieo một con xúc xắc là:
Không gian mẫu của phép thử gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất là:
Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.
Ta có:
Gọi C: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 7 mà trong đó có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”
Ta có:
Cho . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 5?
Số tự nhiên có 3 chữ số có dạng:
Do số cần tìm chia hết cho 5 => c ∈ {0; 5}
=> Có 2 cách chọn c
Số cách chọn a là 5 cách
Số cách chọn b là 6 cách
=> Số các số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 5 được tạo thành là: 2 . 5 . 6 = 60 số
Cho 3 con xúc xắc trong đó con xúc xắc thứ nhất cân đối. Xúc xắc thứ hai không cân đối, có xác suất mặt 3 chấm là 0,2; các mặt còn lại có xác suất bằng nhau. Xúc xắc thứ ba không cân đối có xác suất mặt 6 chấm là 0,25; các mặt còn lại có xác suất bằng nhau. Gieo đồng thời ba con xúc xắc đã cho. Tính xác suất để hai con xúc xắc xuất hiện mặt 2 chấm và một con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm?
Con xúc xắc thứ nhất cân đối nên xác suất xuất hiện mỗi mặt là
Xúc xắc thứ hai không cân đối, có xác xuất mặt 3 chấm là 0,2 và các mặt còn lại có xác suất bằng nhau nên xác suất các mặt còn lại là
Xúc xắc thứ ba không cân đối có xác suất mặt 6 chấm là 0,25; các mặt còn lại có xác suất bằng nhau nên xác suất các mặt còn lại là
Gọi A là biến cố gieo một lần 3 con xúc xắc hai con xúc xắc xuất hiện mặt 2 chấm và một xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm là:
|
Biến cố |
Xúc xắc 1; 2; 3 |
Xác suất |
|
B |
2 chấm, 2 chấm, 1 chấm |
|
|
C |
2 chấm, 1 chấm, 2 chấm |
|
|
D |
1 chấm, 2 chấm, hai chấm |
Do và các biến cố B, C, D đôi một xung khắc nên ta có:
Cho . Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?
Số tự nhiên có 5 chữ số có dạng:
Ta có: => Có 6 cách chọn a
Số cách chọn b, c, d, e là: cách
=> Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành là: số
Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 5.
Ta có:
Gọi A: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hay bằng 5”
Ta có:
Một hộp dựng 10 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy 4 viên bi bất
kỳ?
Số viên bi có trong hộp là 10 + 5 = 15 viên bi
Số cách lấy 4 viên bi bất kỳ trong hộp là tổ hợp chập 4 của 15 phần tử:
Một hộp chứa 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau và 5 viên bi xanh khác nhau. Gọi A là biến cố “Sắp xếp các viên bi thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu nằm cạnh nhau”. Các kết quả thuận lợi của biến cố A là:
Ta có:
Số cách sắp xếp 3 viên bi đen thành một dãy bằng
Số cách sắp xếp 3 viên bi đỏ thành một dãy bằng
Số cách sắp xếp 3 viên bi xanh thành một dãy bằng
Số cách sắp xếp 3 viên bi nhóm thành một dãy bằng
Vậy số phần tử của tập hợp A là:
Cho là các biến cố đôi một xung khắc và là biến cố chắc chắn. Biết . Tính xác suất của biến cố ?
Gọi theo giả thiết ta có:
Vì là biến cố chắc chắn nên
Mặt khác là các biến cố đôi một xung khắc nên
Gieo đồng tiền 2 lần. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần là:
Gieo đồng tiền 2 lần nên ta có:
Số phần tử không gian mẫu là:
Giả sử C là biến cố "sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần"
=> biến cố "sau hai lần gieo thì không có mặt sấp xuất hiện"
=>
=>
=> Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần là:
Mộp hộp chứa 4 bông hoa màu đỏ và 6 bông hoa màu xanh, các bông hoa có hình dáng khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 5 bông hoa trong hộp. Tính xác suất để 5 bông hoa lấy được có ít nhất 3 bông màu đỏ?
Lấy ngẫu nhiên 5 bông hoa từ 10 bông hoa ta có:
Gọi A là biến cố lấy được ít nhất 3 bông hoa đỏ.
TH1: Lấy 3 bông hoa đỏ từ 4 bông hoa đỏ và 2 bông hoa xanh từ 6 bông hoa xanh có cách.
TH2: Lấy 4 bông hoa đỏ từ 4 bông hoa đỏ và 1 bông hoa xanh từ 6 bông hoa xanh có cách.
Suy ra
Vậy xác suất để lấy được 5 bông hoa trong đó có ít nhất 3 bông hoa đỏ là:
Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7. Số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số lập thành từ 6 chữ số đó:
Gọi số tự nhiên có 3 chữ số có dạng:
Do số tự nhiên cần tìm là số chẵn => c = {2; 4; 6}
=> Số cách chọn c là 3 cách
Số cách chọn a là 6 cách
Số cách chọn b là 6 cách
=> Số các số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số lập thành từ 6 chữ số đã cho là: 3 . 6 . 6 = 108 số
Có bao nhiêu cách xếp 6 người ngồi xung quanh một bàn tròn có 6 chỗ, hai cách ngồi được coi là như nhau nếu có thể nhận được từ cách kia bằng cách quay bàn đi một góc nào đó?
Vì bàn tròn ghế không có sắp xếp thứ tự.
Ta chọn một người ngồi ở một vị trí trong 6 chỗ làm mốc.
Xếp 5 người còn lại vào 5 vị trí trống còn lại ta được 5! = 120 cách
Vậy ta có: 1 . 120 = 120 cách để sắp xếp 6 người ngồi vào bàn tròn 6 chỗ
Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số còn lại có mặt nhiều nhất 1 lần.
Số tự nhiên có 7 chữ số có dạng:
Xét trường hợp có chữ số 0 đứng đầu
Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là:
Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là:
Số cách chọn 2 chữ số còn lại trong tập hợp các số đã cho để xếp vào hai vị trí cuối là
=> Số các số được tạo thành là:
Xét trường hợp không có chữ số 0 đứng đầu
Ta có:
Vì a = 0 => a có 1 cách chọn
Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là:
Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là:
Số cách chọn chữ số cuối trong tập hợp dãy số đã cho là 7 cách
=> Số các số được tạo thành là:
Vậy số các số được lập thành thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 11760 - 420 = 11340 số
