Trong một hộp giấy chứa 15 viên bi gồm 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để lấy được 4 viên bi có đủ màu?
Chọn 4 viên bi từ 15 viên bi ta có:
Gọi A là biến cố lấy được 4 viên bi có đủ ba màu.
Chọn 1 xanh, 1 đỏ và 2 vàng:
Chọn 1 xanh, 2 đỏ và 1 vàng:
Chọn 2 xanh, 1 đỏ và 1 vàng:
Cho các chữ số 
. Giả sử tập hợp là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số đã cho. Lấy ngẫu nhiên một số . Xác suất để chọn được ?
Gọi số phần tử của tập hợp M là
Số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố chọn được số lớn hơn .
Giả sử số tự nhiên có 4 chữ số là ta có:
nên ta có các trường hợp sau:
TH1: nên c có 5 cách chọn và d có 5 cách chọn.
Do đó trường hợp này có: số.
TH2: thì
có
cách chọn và sắp xếp.
Do đó trường hợp này có số.
TH3: thì
có
cách chọn và sắp xếp.
Do đó trường hợp này có số.
Vậy xác suất cần tính là: .
Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số mà chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho ?
Gọi số cần tìm có dạng
Vì số được chọn là một số lẻ và chữ số đứng ở vị trí thứ ba luôn chia hết cho 6.
Suy ra
TH1: Với chữ số
có 4 cách chọn,
có 6 cách chọn, ba chữ số còn lại có
cách chọn.
Do đó số.
TH2: Với chữ số
có 4 cách chọn,
có 5 cách chọn, ba chữ số còn lại có
cách chọn.
Do đó số.
Vậy các số tự nhiên tạo thành thỏa mãn yêu cầu bài toán là: .
Thực hiện tung ngẫu nhiên một con xúc xắc một lần. Biết H là biến cố mặt xuất hiện có số chấm chẵn, K là biến cố mặt xuất hiện có số chấm lẻ. Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì nên hai biến cố H và K là hai biến cố đối nhau.
Lấy ngẫu nhiên 3 thẻ trong một hộp chứa 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Giả sử là biến cố để tổng số của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8. Tính số phần tử của biến cố ?
Các phần tử của biến cố là:
Vậy
Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5:
Số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau có dạng:
Số cách chọn a là: 5 cách (vì a khác 0)
Số cách chọn b là: 5 cách
Số cách chọn c là: 4 cách
Số cách chọn d là 3 cách
Số cách chọn e là: 2 cách
=> Có thể lập được số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ dãy số là: 5 . 5 . 4 . 3 . 2 = 600 số
Số cách chọn một tập hợp gồm 5 chữ cái từ bảng chữ cái Tiếng Anh là:
Bảng chữ cái Tiếng Anh có 26 chữ cái.
Suy ra số cách chọn 1 tập hợp gồm 5 chữ cái từ 26 chữ cái là: cách chọn.
Một nhóm học sinh gồm 2 nam và 2 nữ được được sắp xếp ngẫu nhiên vào một ghế dài. Hỏi biến cố A “xếp nam và nữ ngồi xen kẽ nhau” có bao nhiêu phần tử?
Trường hợp 1: bạn nam ngồi đầu, khi đó 2 bạn nam xếp vào 2 chỗ, nữ xếp nốt vào hai chỗ còn lại
Số cách sắp xếp là 2!.2! = 4
Trường hợp 2: Bạn nữ ngồi đầu, tương tự ta có 4 cách sắp xếp.
Vậy theo quy tắc cộng số phần tử của biến cố A là 4 + 4 = 8 cách
Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thu vào vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ đúng phong bì của nó.
Xét các bộ trong đó
là một hoán vị của tập
Ở đây tức là lá thư thứ i đã bỏ đúng địa chỉ.
Gọi là tập họp tất cả các khả năng bỏ ba lá thư vào 3 phong bì, khi đó
Gọi A là biên cố "Có ít nhất một lá thư bő đúng phong bì".
Các khả năng thuận lợi cho biến cố A là
Vậy xác suất cần tính là
Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.
Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là:
Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346
Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là:
=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là:
Khu vực chờ nhận phần thưởng có 6 chiếc ghế được kê thành 1 hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh gồm 3 học sinh lớp 10, 2 học sinh lớp 11 và 1 học sinh lớp 12 ngồi vào chiếc ghế kê thành một hàng ngang sao cho mỗi ghế có đúng 1 học sinh ngồi. Hãy xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố W: “Xếp học sinh lớp 12 chỉ ngồi cạnh học sinh lớp 11”?
Xét các trường hợp:
TH1: Học sinh lớp 12 ngồi đầu dãy:
Chọn vị trí cho học sinh lớp 12 có 2 cách
Chọn 1 vị trí cho học sinh lớp 11 ngồi cạnh học sinh lớp 12 có 2 cách
Hoán vị các học sinh còn lại cho nhau có 4! Cách.
Trường hợp này được: 2.2.4! = 96 cách.
TH2: Học sinh lớp 12 ngồi giữa hai học sinh lớp 11, ta gộp thành một nhóm, khi đó:
Hoán vị 4 phần tử gồm 3 học sinh lớp 10 và nhóm gồm học sinh lớp 11 và lớp 12 có 4! Cách.
Hoán vị hai học sinh lớp 11 cho nhau có 2! Cách
Trường hợp này được 4!.2! = 48 cách
Như vậy số cách sắp xếp là 48 + 96 = 144
Mộp hộp chứa 4 bông hoa màu đỏ và 6 bông hoa màu xanh, các bông hoa có hình dáng khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 5 bông hoa trong hộp. Tính xác suất để 5 bông hoa lấy được có ít nhất 3 bông màu đỏ?
Lấy ngẫu nhiên 5 bông hoa từ 10 bông hoa ta có:
Gọi A là biến cố lấy được ít nhất 3 bông hoa đỏ.
TH1: Lấy 3 bông hoa đỏ từ 4 bông hoa đỏ và 2 bông hoa xanh từ 6 bông hoa xanh có cách.
TH2: Lấy 4 bông hoa đỏ từ 4 bông hoa đỏ và 1 bông hoa xanh từ 6 bông hoa xanh có cách.
Suy ra
Vậy xác suất để lấy được 5 bông hoa trong đó có ít nhất 3 bông hoa đỏ là:
Một người bỏ ngẫy nhiên ba lá thư vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì:
Số phần tử không gian mẫu là 3! = 6
Gọi A là biến cố có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì.
Ta xét các trường hợp sau:
Nếu lá thư thứ nhất bỏ đúng phong vì, hai lá thư còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách.
Nếu lá thư thứ hai bỏ đúng phong bì, hai lá thư còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách
Nếu lá thư thứ ba bỏ đúng phong big, hai lá thư còn lại để sai thì chỉ có duy nhất 1 cách.
Không thể có trường hợp 2 lá thứ bỏ đúng và 1 lá thư bỏ sai.
Cả ba lá thư đều bỏ đúng có duy nhất 1 cách
=> n(A) = 4
Vậy xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì là:
Gieo hai lần liên tiếp một đồng xu. Gọi M là biến cố có ít nhất một lần mặt sấp xuất hiện, N là biến cố kết quả hai lần gieo giống nhau. Chọn khẳng định đúng?
Ta có:
Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ?
Số cách chọn 1 học sinh nam là: cách
Số cách chọn 2 học sinh nữ là: cách
Áp dụng quy tắc nhân ta có:
Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ là:
cách
Bạn muốn mua một cây bút mực và một cây bút chì. Các cây bút mực có 8 màu khác nhau, các cây bút chì cũng có 8 màu khác nhau. Như vậy bạn có bao nhiêu cách chọn
Số cách chọn một cây bút mực là tổ hợp chập 1 của 8: cách
Số cách chọn một cây bút chì là tổ hợp chập 1 của 8: cách
=> Số cách chọn một cây bút mực và một cây bút chì là: 8 . 8 = 64 cách
Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là và . Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia?
Gọi A là biến cố có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia
Khi đó là biến cố cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia.
Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập các số tự nhiên sau: . Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên ba số tự nhiên từ 11 số tự nhiên sau:
Do đó số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố “Tổng ba số được chọn là 12”.
Ta có các bộ 3 số có tổng bằng 12 gồm: (1,2,9); (1,3,8); (1,4,7); (1,5,6); (2,3,7); (2;4;6); (3,4,5).
Suy ra ta có
Cho tập hợp . Lập từ số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ . Tính xác suất để chọn được số chia hết cho ?
Cho tập hợp . Lập từ
số tự nhiên có chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ
. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho
?
Một người học bắn cung tên bắn liên tục 4 mũi tên vào mục tiêu. Gọi là biến cố cung thủ bắn trúng lần thứ . Hãy mô tả biến cố lần thứ tư mới bắn trúng mục tiêu qua các biến cố .
Gọi M là biến cố lần thứ tư mới bắn trúng mục tiêu
Khi đó là biến cố lần thứ
bắn không trúng mục tiêu.
Khi đó ta có:
