Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.
Số các số có bằng hoán vị của 10 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là:
Ta phải bỏ đi các số có chữ số 0 đứng đầu ví dụ: 0555512346
Số các số có bằng hoán vị của 9 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 4 lần là:
=> Số các số cần phải tìm thỏa mãn điều kiện là:
Một người bỏ ngẫy nhiên ba lá thư vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì:
Số phần tử không gian mẫu là 3! = 6
Gọi A là biến cố có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì.
Ta xét các trường hợp sau:
Nếu lá thư thứ nhất bỏ đúng phong vì, hai lá thư còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách.
Nếu lá thư thứ hai bỏ đúng phong bì, hai lá thư còn lại để sai thì có duy nhất 1 cách
Nếu lá thư thứ ba bỏ đúng phong big, hai lá thư còn lại để sai thì chỉ có duy nhất 1 cách.
Không thể có trường hợp 2 lá thứ bỏ đúng và 1 lá thư bỏ sai.
Cả ba lá thư đều bỏ đúng có duy nhất 1 cách
=> n(A) = 4
Vậy xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì là:
Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá bích là:
Số phần tử không gian mẫu là: 52
Một bộ bài 52 lá có 13 bộ 4 lá bài trong đó có mỗi bộ có 1 lá bích
=> Số lá bích trong bộ bài là 13 lá
=> Xác suất để được lá bích là:
Biết hai biến cố 
độc lập với nhau và . Tính giá trị ?
Do A và B là hai biến cố độc lập với nhau nên
Thực hiện tung ngẫu nhiên một con xúc xắc một lần. Biết H là biến cố mặt xuất hiện có số chấm chẵn, K là biến cố mặt xuất hiện có số chấm lẻ. Khẳng định nào sau đây đúng?
Vì nên hai biến cố H và K là hai biến cố đối nhau.
Với các chữ số . Có thể lập được bao nhiêu số có mười chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần và các chữ số khác có mặt đúng 1 lần?
Trường hợp 1: Số 5 ở vị trí đầu tiên và 3 số 5 còn lại có cách xếp
Sáu chữ số còn lại có cách xếp.
=> Có số.
Trường hợp 2: Số 5 không ở vị trí đầu tiên có cách sắp xếp 4 số 5.
Vị trí đầu tiên có 5 cách xếp (trừ số 0).
5 vị trí còn lại có cách xếp.
=> Có số.
Vậy có thể lập được 60480 + 75600 = 136080 số thỏa mãn bài toán.
Có 4 nữ sinh tên là Linh, Hoa, Lan, Hiền và 4 nam sinh tên là Tuấn, Bình, Trung, Cường cùng ngồi quanh một bàn tròn có 8 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp biết nam và nữ ngồi xen kẽ nhau?
Giả sử các ghế ngồi đánh số từ 1 đến 8.
Chọn 1 bạn bất kì ngồi vào 1 vị trí ngẫu nhiên trên bàn tròn có 1 cách. (Nếu chọn 8 cách thì tức là nhầm với bàn dài).
Xếp 3 bạn cùng giới tính còn lại vào 3 ghế (có số ghế cùng tính chẵn hoặc lẻ với bạn đầu) có 3! cách.
Xếp 4 bạn còn lại ngồi xen kẽ 4 bạn đã xếp ở trên có 4! cách.
Vậy có 3! · 4! = 144 cách.
Rút đồng thời ngẫu nhiên 2 thẻ từ hộp có 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Tính xác suất để tích các số ghi trên thẻ rút được là số chẵn?
Ta có: 4 thẻ ghi số chẵn là {2; 4; 6; 8} và 5 thẻ ghi số lẻ là {1; 3; 5; 7; 9}
Rút ngẫu nhiên 2 thẻ từ 9 thẻ thì ta có số cách là
Số phần tử của không gian mẫu là
Gọi A là biến cố tích các số trên thẻ rút được là số chẵn
Số phần tử của biến cố A là:
Có ba chiếc hộp đựng những tấm thẻ màu xanh và màu đỏ. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ. Giả sử là biến cố lấy được tấm thẻ màu xanh từ hộp thứ . Em hãy chọn đáp án đúng biểu diễn biến cố lấy được ít nhất một tấm thẻ màu đỏ dưới đây?
Biểu diễn đúng là:
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?
Số tự nhiên có hai chữ số có dạng:
Nếu a = 9 => Số cách chọn b là 9 cách => Số các số tạo thành là 9 số
Nếu a = 8 => Số cách chọn b là 8 cách => Số các số tạo thành là 8 số
Nếu a = 7 => Số cách chọn b là 7 cách => Số các số tạo thành là 7 số
Nếu a = 6 => Số cách chọn b là 6 cách => Số các số tạo thành là 6 số
Nếu a = 5 => Số cách chọn b là 5 cách => Số các số tạo thành là 5 số
Nếu a = 4 => Số cách chọn b là 4 cách => Số các số tạo thành là 4 số
Nếu a = 3 => Số cách chọn b là 3 cách => Số các số tạo thành là 3 số
Nếu a = 2 => Số cách chọn b là 2 cách => Số các số tạo thành là 2 số
Nếu a = 1 => Số cách chọn b là 1 cách => Số các số tạo thành là 1 số
=> Số các số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là: 9 + 8 + ... + 2 + 1 = 45 số
Một lớp gồm 30 học sinh trong đó có 27 học sinh đạt yêu cầu và 3 học sinh không đạt yêu cầu trong kì thi. Chọn ngẫu nhiên 2 hoc sinh. Tính xác suất để một học sinh đạt yêu cầu và một học sinh không đạt yêu cầu?
Số cách chọn 2 học sinh từ 30 học sinh là cách
Vậy số phần tử không gian mẫu là 345 cách.
Gọi B là biến cố: "Có một học sinh đạt yêu cầu và một học sinh không đạt yêu cầu".
Số cách chọn 1 học sinh đạt yêu cầu là 27.
Số cách chọn 1 học sinh không đạt yêu cầu là 3.
Chọn 2 học sinh mà trong đó có một học sinh đạt yêu cầu và một học sinh không đạt yêu cầu là:
Khi đó số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 81
Vậy xác suất để cần tìm là:
Trong kho hàng có sản phẩm công nghệ, trong đó có một số sản phẩm bị lỗi. Giả sử là biến cố sản phẩm thứ bị lỗi với . Biến cố cả n sản phẩm đều tốt là:
Ta có:
là biến cố sản phẩm thứ
bị lỗi với
Nên là biến cố sản phẩm thứ
tốt với
Biến cố cả n sản phẩm đều tốt là:
Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478
Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau. Trong tập T chọn ngẫu nhiên một số. Khi đó số phần tử của biến cố P “số được chọn hoặc là số chia hết cho 5 hoặc có một chữ số 1 xuất hiện đúng một lần” bằng 2478
Gọi biến cố A là biến cố chọn trong T một số có mặt chữ số 1 đúng 1 lần.
Biến cố B là biến cố chọn trong T một số chia hết cho 5
Biến cố số được chọn vừa có chữ số 1 xuất hiện một lần vừa chia hết cho 5.
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số có dạng:
Có 4 khả năng để số có một chữ số 1 xuất hiện một lần là a = 1; b = 1; c = 1; d = 1.
Do đó số phần tử của A là
Số chia hết cho 5 có hai dạng . Do đó số phần tử của B là
Số vừa có 1 chữ số 1 xuất hiện vừa chia hết cho 5 xảy ra một trong các khả năng sau: . Do đó số phần tử của
là:
Vậy số phần tử biến cố P là:
Một kệ sách có 15 quyển sách (4 quyển sách Toán khác nhau, 5 quyển sách Lý khác nhau và 6 quyển sách Văn khác nhau). Người ta lấy ngẫu nhiên 4 quyển sách từ kệ. Tính xác suất để số sách lấy ra không đủ ba môn.
Số phần tử của không gian mẫu là
Gọi A là biến cố “Lấy ra 4 quyển sách có đủ 3 môn”.
Trường hợp 1: 2 sách Toán, 1 sách Lý, 1 sách Văn có cách lấy.
Trường hợp 2: 1 sách Toán, 2 sách Lý, 1 sách Văn có cách lấy.
Trường hợp 3: 1 sách Toán, 1 sách Lý, 2 sách Văn có cách lấy.
Vậy kết quả thuận lợi cho biến cố A là
Xác suất của biến cố A là:
Xác suất cần tìm là:
Biết rằng xác suất để thắng một trận game là . Hỏi người chơi phải chơi ít nhất bao nhiêu trận để xác suất thắng ít nhất một trận trong loạt chơi lớn hơn ?
Gọi n là số trận người đó chơi.
A là biến cố người đó thắng ít nhất 1 trận
Suy ra là biến cố người đó không thắng trận nào.
trong đó
là biến cố người đó thắng trận thứ i và
Ta có bất phương trình
Vậy giá trị nhỏ nhất của n bằng 9.
Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ?
Số cách chọn 1 học sinh nam là: cách
Số cách chọn 2 học sinh nữ là: cách
Áp dụng quy tắc nhân ta có:
Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ là:
cách
Hai tuyển thủ A và B đấu với nhau trong một trận bóng bàn với quy tắc người thắng trước 3 hiệp sẽ chiến thắng chung cuộc. Tính xác suất tuyển thủ B thắng chung cuộc, biết xác suất tuyển thủ B chiến thắng mỗi hiệp là 0,4?
Gọi số hiệp hai tuyển thủ thi đấu là
Để tuyển thủ B chiến thắng chung cuộc thì tuyển thủ B phải thắng 3 trận trước, do đó
Gọi H là biến cố tuyển thủ B thắng chung cuộc. Ta có các trường hợp:
TH1: tuyển thủ B thắng sau khi thi đấu 3 hiệp đầu, khi đó xác suất của trường hợp này là:
TH2: tuyển thủ B thắng sau khi thi đấu 4 hiệp, khi đó xác suất của trường hợp này là:
TH3: tuyển thủ B thắng sau khi thi đấu 5 hiệp, khi đó xác suất của trường hợp này là:
Vậy xác suất để tuyển thủ B thắng chung cuộc là
Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. không có con đường nào nối từ thành phố C đến thành phố B. Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đến thành phố D:
Số cách đi từ A đến D bằng cách đi từ A đến B rồi đến D là 3.2 = 6
Số cách đi từ A đến D bằng cách đi từ A đến C rồi đến D là 2.3 = 6
=> Số con đường đi từ thành phố A đến thành phố D là: 6 + 6 = 12 đường
Tung một đồng tiền xu cân đối và đồng chất 5 lần liên tiếp. Tính số phần tử của biến cố “Mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần”.
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố “Mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần” khi đó là biến cố “Mặt sấp không xuất hiện”
Khi đó
Khi đó
Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập các số tự nhiên sau: . Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên ba số tự nhiên từ 11 số tự nhiên sau:
Do đó số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố “Tổng ba số được chọn là 12”.
Ta có các bộ 3 số có tổng bằng 12 gồm: (1,2,9); (1,3,8); (1,4,7); (1,5,6); (2,3,7); (2;4;6); (3,4,5).
Suy ra ta có
