Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Khối đa diện

Diện tích tam giác vuông

Chiều cao khối chóp là .

Vậy thể tích khối chóp

Xét khối  tứ diện và các điểm được kí hiệu như hình vẽ trên, ta có:

Tương tự .

Do đó

.

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.

Lần lượt dùng mặt phẳng (BDD'B') ta chia khối lập phương thành hai khối lăng trụ ABD.A'B'D' và BCD,B'C'D'.

+) Với khối ABD.A'B'D' ta lần lượt dùng các mặt phẳng (AB'D') và (AB'D) chia thành ba khối tứ diện bằng nhau.

+) Tương tự với khối BCD.B'C'D'

Vậy có tất cả 6 khối tứ diện bằng nhau.

 Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác A.BCC'B'.

 Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có: 

- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

Hình 20 đều là hình có 20 mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều. 

Gọi là diện tích tam giác đều cạnh 2

Vậy diện tích S cần tính là: .

Gọi là trung điểm AC; E và F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ACD.

Trong tam giác MBD có .

Tương tự ta có các cạnh còn lại của tứ diện mới sinh ra bằng cạnh của tứ diện ban đầu.

Do đó .

 Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!

Xét khối lăng trụ có đáy là tam giác đều và .

Diện tích xung quanh lăng trụ là

Diện tích tam giác là .

Vậy thể tích khối lăng trụ là .

 Khối đa diện đều loại là khối bát diện đều.

Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt.

Vậy tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa diện đó bằng .

Gọi là hình chiếu của trên

Ta có

Suy ra

Tam giác vuông tại , có

Vậy .

 Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi : Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của luôn thuộc . Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:

Xét khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng .

Gọi là trung điểm của . Tam giác cân tại và có là trung điểm nên . Do theo giao tuyến nên .

Tam giác vuông , có:

Theo giả thiết, ta có .

Diện tích tứ giác:

Vậy  .

Hình vẽ minh họa

Gọi là tâm của đáy, gọi là trung điểm của .

Ta có nên

Suy ra .

Có , .

Thể tích khối chóp là

.

Khối đa diện đều loại là khối hai mươi mặt đều:

Gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng:

Quan sát hình vẽ, ta thấy:

Khối chóp tứ giác S.ABCD được phân chia thành 2 khối tứ diện C.SAB và C.SAD.

Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện).

Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác).

Khối lập phương có 9 trục đối xứng

(Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện ;

Loại 2: đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện).

Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

Hình thoi có , suy ra . Do đó tam giác và là các tam giác đều. Gọi N là trung điểm A'B' nên  

Suy ra .

Tam giác vuông , có

Tam giác vuông , có .

Diện tích hình thoi .

Vậy .

Xét hình hộp chữ nhật có độ dài kích thước ba cạnh lần lượt là và có đường chéo .

Theo bài ra, ta có lập thành cấp số nhân có công bội . Suy ra:

Mặt khác, độ dài đường chéo

Ta có hệ:

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là:

Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là các tam giác cân.

Khối lăng trụ ngũ giác có số cạnh của một mặt đáy là 5 cạnh, số cạnh bên là 5 cạnh

Số cạnh của khối lăng trụ ngũ giác là: 2.5 + 5 =15 cạnh.

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Vì là khối chóp đều nên suy ra .

Gọi là trung điểm của

Tam giác vuông tại , có:

Diện tích tam giác là: 

Vậy thể tích khối chóp: 

 Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.

Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.

Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.

Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông

Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.

 Có 9 mặt đối xứng (như hình vẽ sau):

 Áp dụng định nghĩa khối đa diện, ta có:

“Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi 1 hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.”

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là 

Đa diện đều loại là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh .

Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là 

Ta có nên .

Tam giác vuông , ta có .

Tam giác vuông , ta có .

Diện tích hình chữ nhật là .

Vậy .