Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Khối đa diện

 Xét các đáp án, ta có: 

- A Đúng: Ta chứng minh như sau:

Gọi M₁ là môt mặt khối đa diện, M₁ là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c₁; c₂; c₃.

M₂ chung cạnh c₁ với M₁(M₂≠M₁) , M3 chung cạnh c₂ với M₁(M₃≠M₁)

Vì c₁∈M₃⇒M₂≠M₃. Gọi M₄ là mặt có chung cạnh c₃ với M₁(M₄≠M₁)

Vì M₄ không chứa c₁, c₂ nên M₄ khác M₂ và M_3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.

- B Sai.

- C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.

- D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh

 Các hình đa diện là:

; ;

 Khối đa diện đều loại là khối bát diện đều.

Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt.

Vậy tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa diện đó bằng .

Do là lăng trụ đứng nên .

Xét tam giác vuông , ta có .

Diện tích hình vuông là .

Vậy

Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện).

Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác).

Khối lập phương có 9 trục đối xứng

(Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện ;

Loại 2: đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện).

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Vì là khối chóp đều nên suy ra .

Gọi là trung điểm của

Tam giác vuông tại , có:

Diện tích tam giác là: 

Vậy thể tích khối chóp: 

Hình 20 đều là hình có 20 mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều. 

Gọi là diện tích tam giác đều cạnh 2

Vậy diện tích S cần tính là: .

Hình vẽ minh họa

Gọi là tâm của đáy, gọi là trung điểm của .

Ta có nên

Suy ra .

Có , .

Thể tích khối chóp là

.

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra . Do đó chiều cao khối chóp là .

Diện tích hình chữ nhật ABCD là

Vậy thể tích khối chóp

 Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M.  Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức 3M = 2C.

Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho S₀ trùng với S, S_n trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

Theo giả thiết, ta có .

Diện tích tứ giác:

Vậy  .

Diện tích tam giác là .

Vậy thể tích khối lăng trụ

 Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi : Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của luôn thuộc . Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:

Ta có

Tam giác vuông , có .

Tam giác vuông , có .

Tam giác vuông , có .

Diện tích hình chữ nhật .

Vậy

Đặt .

Ta có .

Ta có .

Dấu bằng xảy ra khi .

Vậy giá trị nhỏ nhất cử tỉ số thể tích cần tìm là .

Đa diện đều loại là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh .

Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là 

Khối đa diện đều loại là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng: 

Xét hình đa diện là một hình bất kì, ví dụ lấy đa diện là hình tứ diện thì ta có số đỉnh, mặt và cạnh lần lượt là:

Đ=4; M=4; C=6

Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra số cạnh của khối đa diện là 3Đ.

Mặt khác, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức .

Xét khối  tứ diện và các điểm được kí hiệu như hình vẽ trên, ta có:

Tương tự .

Do đó

.

 Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

- Khối lập phương có 6 mặt.

"Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4" Sai.

- Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. Đúng

- Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.

"Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.

- Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.

"Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.

 Hình {3;4} là khối bát diện đều, có 12 cạnh.

Hình {5;3} là khối mười hai mặt đều, có 30 cạnh.

Vậy tổng số cạnh của hai hình trên là cạnh.

 Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

+) 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường trung bình của đáy.

+) 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường chéo của đáy.

Vì là lăng trụ đứng nên , suy ra hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy là .

Do đó .

Tam giác vuông , ta có

Diện tích tam giác là

Vậy .

 Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là 

Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB'C') chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành khối chóp tam giác A.A'B'C' và khối chóp tứ giác A.BCC'B'.

Ta có thể tích khối chóp:

Suy ra:

 Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

Gọi số cạnh đáy là với  Đáy của chóp là – giác.

Ứng với mỗi đỉnh của đáy của 1 cạnh nối đỉnh của hình chóp với đỉnh của chóp.

Suy ra hình chóp có tổng số cạnh là .

Theo đề bài, hình chóp có 22 cạnh nên ta được (TMĐK)

Do đó, hình chóp có đáy là 11 – giác.

Do đó chóp có 11 mặt bên cộng 1 đáy.

Vậy hình chóp có tổng 12 mặt.

Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được.