Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Khối đa diện

Áp dụng khái niệm đa diện lồi, ta thấy hình hộp, tứ diện, lập phương đều là các đa diện lồi. Xét đáp án còn lại, ta có: 

- Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

- Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.

Để xét xem các lăng trụ có nội tiếp mặt cầu được hay không, ta sẽ xét các mặt đáy của lăng trụ đó xem có phải là hình nội tiếp được đường tròn không.

Nếu lăng trụ có đáy là tứ giác nội tiếp được đường tròn thì lăng trụ đó sẽ nội tiếp được mặt cầu.

Từ đây, ta sẽ xét 1 số tứ giác nội tiếp được đường tròn là: hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân,…

 Các hình đa diện là:

; ;

Xét khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng .

Quan sát hình vẽ và đếm các mặt xung quanh, chú ý cả những mặt được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.

 Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình bát diện:

Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra số cạnh của khối đa diện là 3Đ.

Mặt khác, mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có hệ thức .

 Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác!

 Có 9 mặt đối xứng (như hình vẽ sau):

Khối đa diện đều loại là khối hai mươi mặt đều:

Gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng:

 Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ sau:

- Khối lập phương có 6 mặt.

"Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4" Sai.

- Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. Đúng

- Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng.

"Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng": Sai.

- Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh.

"Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh": Sai

Ta có nên .

Tam giác vuông , ta có .

Tam giác vuông , ta có .

Diện tích hình chữ nhật là .

Vậy .

Hình bát diện đều là hình có tám mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều. Gọi là diện tích tam giác đều cạnh

Vậy diện tích S cần tính là: .

Hình vẽ minh họa

Gọi là tâm của đáy, gọi là trung điểm của .

Ta có nên

Suy ra .

Có , .

Thể tích khối chóp là

.

 Có thể lấy tứ diện làm đại diện để xét với số đỉnh là 4, số cạnh là 6 và số mặt là 4.

Theo giả thiết, ta có .

Diện tích tứ giác:

Vậy  .

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh .

Gọi H là tâm tam giác ABD. Vì A' cách đều các điểm A,B, D nên .

Do đó .

Ta có .

Tam giác vuông , có .

Diện tích hình thoi .

Vậy .

Gọi là trung điểm của . Tam giác cân tại và có là trung điểm nên . Do theo giao tuyến nên .

Tam giác vuông , có:

Khối tứ diện đều có 4 mặt là 4 tam giác đều.

Khối chóp tứ giác có 5 mặt: 4 mặt xung quanh là các tam giác cân, mặt đáy là hình vuông.

Khối lập phương có 6 mặt tất cả, mỗi mặt đều là các hình vuông

Khối 12 mặt đều có 12 mặt tất cả, mỗi mặt là 1 hình ngũ giác đều.

Áp dụng định nghĩa hình đa diện, ta có:

“Hình đa diện (còn gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác, gọi là các mặt của hình đa diện, thỏa mãn các tính chất sau:

TC1: Hai mặt phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.

TC2: Mỗi cạnh thuộc một mặt là cạnh cung của đúng hai mặt.

TC3: Cho hai mặt S và S’, luôn tồn tại một dãy các mặt sao cho trùng với trùng với S’ và bất kì hai mặt nào cũng đều có một cạnh chung.

Các đỉnh, cạnh của mặt theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.”

Tứ diện đều có tất cả cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là 

Đường chéo hình vuông

Xét tam giác SAC, ta có .

Chiều cao khối chóp là .

Diện tích hình vuông ABCD là

Vậy thể tích khối chóp .

 Áp dụng dấu hiệu nhận biết của khối đa diện lồi : Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của luôn thuộc . Ta thấy có hình sau vi phạm tính chất đó:

 Mọi hình chóp đều không có tâm đối xứng (tứ diện đều, hình chóp tứ giác đều,….)

Hình lăng trụ tam giác cũng không có tâm đối xứng.

Mọi hình hộp chữ nhật, hình lập phương đều có tâm đối xứng

Bát diện đều cũng có tâm đối xứng.

Ta có

Tam giác vuông , có .

Tam giác vuông , có .

Tam giác vuông , có .

Diện tích hình chữ nhật .

Vậy

Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

- Hai mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy.

- Một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên.

Ta có thể tích khối chóp:

Suy ra:

 Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành các đỉnh của một hình bát diện đều:

Quan sát hình vẽ và đếm các cạnh xung quanh, chú ý cả những cạnh được vẽ bằng nét đứt, không nhìn thấy được. 

Khối đa diện đều loại là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng: 

 Xét các đáp án, ta có: 

- A Đúng: Ta chứng minh như sau:

Gọi M₁ là môt mặt khối đa diện, M₁ là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c₁; c₂; c₃.

M₂ chung cạnh c₁ với M₁(M₂≠M₁) , M3 chung cạnh c₂ với M₁(M₃≠M₁)

Vì c₁∈M₃⇒M₂≠M₃. Gọi M₄ là mặt có chung cạnh c₃ với M₁(M₄≠M₁)

Vì M₄ không chứa c₁, c₂ nên M₄ khác M₂ và M_3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.

- B Sai.

- C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.

- D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh