Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Câu 1: Nhận biết

Đồ thị của hàm số nào tương ứng với đồ thị trong hình vẽ sau:

Đồ thị hàm số ứng với hàm số nào

A. $y = {x^3} - 4x - 1$
B. $y = {x^3} + 3{x^2} + 1$
C. $y = {x^3} - 4x + 1$
D. $y = - {x^3} + 4x + 2$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0;d} ight)$

=> $d > 0$ => Loại đáp án $y = {x^3} - 4x - 1$

Mặt khác $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = + \infty$ => Hệ số a > 0 => Loại đáp án $y = - {x^3} + 4x + 2$

Hàm số đạt cực trị tại hai điểm ${x_1};{x_2}$ , dựa vào hình vẽ ta thấy ${x_1};{x_2}$ trái dấu

=> Loại đáp án $y = {x^3} + 3{x^2} + 1$

Vậy đáp án là $y = {x^3} - 4x + 1$

Câu 2: Nhận biết

Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A.
$y = \frac{x + 3}{x -2}$
B.
$y = x^{3} - 3x$
C.
$y = x^{4} - 4x^{2} +2$
D.
$y = \frac{x - 3}{x +1}$

Đồ thị trong hình vẽ là hàm số có dạng $y= \frac{ax + b}{cx + d}$

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y =1$ và tiệm cận đứng $x = 2$ nên hàm số cần tìm là $y = \frac{x + 3}{x -2}$ .

Câu 3: Thông hiểu

Xác định số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x + 1}$ ?

A.
$2$
B.
$3$
C.
$1$
D.
$0$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$

Vì $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = + \infty$ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = - 1$ làm đường tiệm cận đứng.

Vì $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) =\lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x + 1} = \lim_{xightarrow - \infty}\dfrac{- \sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 +\dfrac{1}{x}} = - 1$ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y = - 1$ làm đường tiệm cận ngang.

Vì $\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) =\lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x + 1} = \lim_{xightarrow + \infty}\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 + \dfrac{1}{x}}= 1$ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y = 1$ làm đường tiệm cận ngang.

vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận bằng 3.

Câu 4: Vận dụng cao

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f'(x) = (x - 1)(x + 3)$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \lbrack -10;2021brack$ để hàm số $y =f\left( x^{2} + 3x - m ight)$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f'(x) = (x - 1)(x + 3)$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \lbrack -10;2021brack$ để hàm số $y =f\left( x^{2} + 3x - m ight)$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 5: Thông hiểu

Hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A.
$y = \frac{x - 2}{x - 1}$ .
B.
$y = \frac{- 2 + x}{x + 1}.$
C.
$y = \frac{x - 1}{x - 1}.$
D.
$y = \frac{1 - 2x}{x + 1}.$

Từ đồ thị, ta thấy hàm số có tiệm cận đứng x = 1.

Khi đó loại các hàm số $y = \frac{- 2 + x}{x + 1}$ và $y = \frac{1 - 2x}{x + 1}$

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 nên đáp án cần tìm là: $y = \frac{x - 2}{x - 1}$ .

Câu 6: Vận dụng cao

Cho hai số thực x, y thỏa mãn $x \geqslant 0;y \geqslant 0$ và x + y = 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}}$ lần lượt là:

A. $\frac{1}{2}$ và 1
B. 0 và 1
C. $\frac{2}{3}$ và 1
D. 1 và 2

Ta có:

$P = \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} = \frac{{x\left( {x + 1} ight) + y\left( {y + 1} ight)}}{{\left( {x + 1} ight)\left( {y + 1} ight)}} = \frac{{{{\left( {x + y} ight)}^2} - 2xy + 1}}{{xy + x + y + 1}} = \frac{{2 - 2xy}}{{2 + xy}}$

Đặt t = xy ta được $P = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}}$

Vì $x \geqslant 0;y \geqslant 0 \Rightarrow t \geqslant 0$

Mặt khác $1 = x + y \geqslant 2\sqrt {xy} \Leftrightarrow xy \leqslant \frac{1}{4} \Rightarrow t \leqslant \frac{1}{4}$

Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( t ight) = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}}$ trên $\left[ {0;\frac{1}{4}} ight]$

Xét hàm số $g\left( t ight) = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}}$ xác định và liên tục trên $\left[ {0;\frac{1}{4}} ight]$

Ta có: $g'\left( t ight) = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {2 + t} ight)}^2}}} < 0,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{4}} ight)$

=> Hàm số g(t) nghịch biến trên đoạn $\left[ {0;\frac{1}{4}} ight]$

=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\frac{1}{4}} ight]} g\left( t ight) = g\left( {\dfrac{1}{4}} ight) = \dfrac{2}{3}} \\ {\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{1}{4}} ight]} g\left( t ight) = g\left( 0 ight) = 1} \end{array}} ight.$

Câu 7: Nhận biết

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{2} + \frac{8}{x}$ trên đoạn $\left\lbrack \frac{1}{2};2 ightbrack$ ?

A.
$8$
B.
$\frac{15}{2}$
C.
$\frac{65}{4}$
D.
$6\sqrt[3]{2}$

Ta có: $y' = 2x - \frac{8}{x^{2}} = \frac{2x^{3} - 8}{x^{2}}$

$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{2x^{3} - 8}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x^{3} = 4 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}$

Ta có: $\left| \begin{matrix}f\left( \dfrac{1}{2} ight) = \dfrac{65}{4} \\f(2) = 8 \\f\left( \sqrt[3]{4} ight) = 6\sqrt[3]{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\left\lbrack\frac{1}{2};\frac{1}{2} ightbrack}y = 6\sqrt[3]{2}$ .

Câu 8: Thông hiểu

Cho hàm số $y = x^{3} + mx^{2} + m$ với $m$ là tham số. Điều kiện cần và đủ của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ là:

A.
$m \leq - 3$
B.
$m \geq 0$
C.
$m \leq 0$
D.
$m \geq - 3$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 3x^{2} + 2mx$

Hàm số nghịch biến trên $(0;2)$ khi và chỉ khi $y' \leq 0;\forall x \in (0;2)$

Xét hàm số $y = - \frac{3}{2}x$ trên khoảng $(0;2)$ ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy để hàm số nghịch biến trên $(0;2)$ thì $m \leq - 3$ .

Câu 9: Thông hiểu

Số tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1}$ là:

A.
$1$
B.
$3$
C.
$2$
D.
$4$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{xightarrow + \infty}\dfrac{\left( 2x^{2} - x ight)\sqrt{1 +\dfrac{1}{x^{2}}}}{x^{2} - 1}$ $= \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{\left(2 - \dfrac{1}{x} ight)\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 - \dfrac{1}{x^{2}}}= 2$

$\lim_{x ightarrow - \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\left( - 2x^{2} + x ight)\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\left( - 2 + \frac{1}{x} ight)\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}} = - 2$

Suy ra $y = \pm 2$ là tiệm cận ngang.

$\lim_{x ightarrow 1^{\pm}}y = \lim_{x ightarrow 1^{\pm}}\frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} = \pm \infty$ suy ra $x = 1$ là tiệm cận đứng.

$\lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}y = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}\frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} = \pm \infty$ suy ra $x = - 1$ là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.

Câu 10: Vận dụng

Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{{\left( {2m - 1} ight)x + 1}}{{x - m}}$ có đường tiệm cận ngang $y = 3$ là:

A. m = 1
B. m = 0
C. m = 2
D. m = 3

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là:

$- m\left( {2m - 1} ight) - 1 e 0 \Rightarrow 2{m^2} - m + 1 e 0$ luôn đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$

Phương trình đường tiệm cận ngang là $y = 2m - 1$ nên ta có $2x - 1 = 3 \Rightarrow m = 2$

Câu 11: Vận dụng cao

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = g(x) = \frac{(x + 1)\left( x^{2} - 1 ight)}{f^{2}(x) - 2f(x)}$ là bao nhiêu?

Đáp án: 6

Đáp án là:

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = g(x) = \frac{(x + 1)\left( x^{2} - 1 ight)}{f^{2}(x) - 2f(x)}$ là bao nhiêu?

Đáp án: 6

Ta có: $f^{2}(x) - 2f(x) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}f(x) = 0\ \ \ (1) \\f(x) = 2\ \ \ (2) \\\end{matrix} ight.$

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

(1) có nghiệm $x_{1} = a < - 1$ (nghiệm đơn) và $x_{2} = 1$ (nghiệm kép)

$\Rightarrow f(x) = k(x - a)(x - 1)^{2}(k > 0)$

(2) có nghiệm ba nghiệm đơn $x_{1},x_{2},x_{3}$ với $x_{1} = b < - 1 < x_{2} = 0 < 1 < x_{3} = c\ \ \ (b > a)$

$\Rightarrow f(x) - 2 = k(x - b)x(x - c)(k > 0).$

$\Rightarrow$ Hàm số $y = g(x)$ có tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ a;b;0;1;c ight\}$

+) Tìm tiệm cận ngang:

Vì $g(x) = \frac{(x + 1)\left( x^{2} - 1 ight)}{f^{2}(x) - 2f(x)} = \frac{(x + 1)\left( x^{2} - 1 ight)}{f(x)\left\lbrack f(x) - 2 ightbrack}$ $= \frac{(x + 1)^{2}}{k^{2}(x - 1)(x - b)x(x - c)(x - a)}$

Nên $\lim_{x ightarrow + \infty}g(x) = 0,\lim_{x ightarrow - \infty}g(x) = 0 \Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y = g(x)$ nhận đường thẳng $y = 0$ làm TCN.

+) Tìm tiệm cận đứng:

Tại các điểm $x = a,x = b,x = 0,x = 1,x = c$ mẫu của $g(x)$ nhận giá trị bằng 0 còn tử nhận các giá trị khác 0.

Và do hàm số xác định trên $D\mathbb{=R}\backslash\left\{ a; b ; 0; 1; c ight\}$ nên giới hạn một bên của hàm số $y = g(x)$ tại các điểm $x = a,x = b,x = 0,x = 1,x = c$ là các giới hạn vô cực.

Do đó, đồ thị hàm số $y = g(x)$ có 5 TCĐ: $x = a,x = b,x = 0,x = 1$ và $x = c$ .

Vậy ĐTHS $y = g(x)$ có 6 đường tiệm cận: 1 $TCN: y = 0$ và $5$ TCĐ $x = a,x = b,x = 0,x = 1,x = c$ .

Câu 12: Vận dụng

Cho hàm số $y =f(x)$ liên tục, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ . Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như sau:

Hàm số $y = f(3 - x)$ nghịch biến trên khoảng $(2;b)$ . Giá trị lớn nhất của $b$ bằng bao nhiêu?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y =f(x)$ liên tục, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ . Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như sau:

Hàm số $y = f(3 - x)$ nghịch biến trên khoảng $(2;b)$ . Giá trị lớn nhất của $b$ bằng bao nhiêu?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 13: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) Hàm số đồng biến trên $(−∞; 2)$ . Sai|| Đúng

b) Hàm số nghịch biến trên $(1; +∞)$ . Đúng||Sai

c) Hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng

d) Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) Hàm số đồng biến trên $(−∞; 2)$ . Sai|| Đúng

b) Hàm số nghịch biến trên $(1; +∞)$ . Đúng||Sai

c) Hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng

d) Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ . Đúng||Sai

Quan sát bảng biến thiên, ta có các kết quả sau:

a) Hàm số đồng biến trên $(−∞; 1)$ nên khẳng định hàm số đồng biến trên $(−∞; 2)$ là sai.

b) Hàm số nghịch biến trên $(1; +∞)$ .

c) Hàm số có đúng 1 điểm cực trị là $x = 1$ .

d) Hàm số có đạt cực đại tại $x = 1$ .

Câu 14: Nhận biết

Cho hàm số $f(x) = x^{3} + 3x^{2} + x - 1$ . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;2brack$ lần lượt là:

A.
$21; - \frac{136}{125}$
B.
$21; - \frac{\sqrt{6}}{9}$
C.
$19; - \frac{\sqrt{6}}{9}$
D.
$21; - \frac{4\sqrt{6}}{9}$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 3x^{2} + 6x + 1\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{- 3 - \sqrt{6}}{3} \\x = \dfrac{- 3 + \sqrt{6}}{3} \\\end{matrix} ight.$

Khi đó: $y( - 1) = 0;y\left( \frac{- 3 + \sqrt{6}}{3} ight) = - \frac{4\sqrt{6}}{9};y(2) = 21$

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} ight]} y = y\left( 2 ight) = 21 \hfill \\ \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} ight]} y = y\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{3}} ight) = - \frac{{4\sqrt 6 }}{9} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Câu 15: Vận dụng

Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào thành 2 chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng nuôi gà và một chuồng nuôi vịt. Biết rằng đã có sẵn 240 m hàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh chuồng là bao nhiêu?

Đáp án: 2400 m²

Đáp án là:

Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào thành 2 chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng nuôi gà và một chuồng nuôi vịt. Biết rằng đã có sẵn 240 m hàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh chuồng là bao nhiêu?

Đáp án: 2400 m²

Xét hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, và đặtv AB = x (x > 0)

Khi đó BC = 240 – 3x > 0 ⇒ x < 80.

Diện tích của hình chữ nhật ABCD là S = x.(240 – 3x ) = 240x – 3x²

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) với 0 < x < 80.

Xét f(x) = 240x – 3x² ⇒ f’(x) = 240 – 6x , f’(x) = 0 ⟺ x = 40.

Do f’’(x) = - 6 < 0, ∀ x∈ (0; 80)

Do đó $maxS = \max_{x \in (0;80)}f(x) = f(40) = 4800 \Leftrightarrow x = 40$

Vậy diện tích lớn nhất có thể bao quanh là 4800m² .

Câu 16: Vận dụng

Cho hàm số $y = x^{3} - 2x^{2} -1$ có đồ thị $(C)$ , đường thẳng $(d):y = mx - 1$ và điểm $K(4;11)$ . Biết rằng $(C);(d)$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt $A;B;C$ trong đó $A(0; - 1)$ còn trọng tâm tam giác $KBC$ nằm trên đường thẳng $y = 2x + 1$ . Tìm giá trị của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = x^{3} - 2x^{2} -1$ có đồ thị $(C)$ , đường thẳng $(d):y = mx - 1$ và điểm $K(4;11)$ . Biết rằng $(C);(d)$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt $A;B;C$ trong đó $A(0; - 1)$ còn trọng tâm tam giác $KBC$ nằm trên đường thẳng $y = 2x + 1$ . Tìm giá trị của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 17: Vận dụng

Cho hàm số $f\left( x ight) = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 8}}$ (với m là tham số thực). Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -2 trên đoạn [0; 3].

A. m = -2
B. m = 4
C. m = 0
D. m = -1

Xét hàm số $f\left( x ight) = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 8}}$ trên đoạn [0; 3] ta có:

$f'\left( x ight) = \frac{{8 + {m^2}}}{{{{\left( {x + 8} ight)}^2}}} > 0;\forall x \in \left[ {0;3} ight]$

=> Hàm số f(x) đồng biến trên (0; 3)

=> $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} ight]} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) = \frac{{ - {m^2}}}{8}$

Theo bài ra ta có:

$\begin{matrix} \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} ight]} f\left( x ight) = - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{{m^2}}}{8} = - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 16 \Leftrightarrow m = \pm 4 \hfill \\ \Rightarrow {m_{\max }} = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 18: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3$ có đồ thị $(C)$ . Gọi $A;B \in (C)$ và đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$ . Độ dài $AB$ bằng:

A.
$2\sqrt{2}$
B.
$4$
C.
$2\sqrt{3}$
D.
$4\sqrt{2}$

Gọi $A(x;y),B( - x; - y)$ là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ ( $x > 0$ )

Vì A và B thuộc (C) nên $x^{3} - 3x^{2} + 3 = - \left\lbrack ( - x)^{3} - 3( - x)^{2} + 3 ightbrack$

$\Leftrightarrow x^{2} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow y = 1 \\ x = - 1(L) \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó $A(1;1),B( - 1; - 1)$

Độ dài đoạn AB là: $AB = \sqrt{(1 + 1)^{2} + (1 + 1)^{2}} = 2\sqrt{2}$ .

Câu 19: Vận dụng cao

Gọi S là tập hợp chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = f\left( x ight) = \left| {{x^2} - 3mx + 1} ight| + 4x$ có điểm cực đại với giá trị cực đại tương ứng nằm trong khoảng (3; 4) và đồng thời thỏa mãn 10m là số nguyên. Số phần tử của tập hợp S là:

A. 5
B. 4
C. 2
D. 3

Xét phương trình ${m^3} - 3mx + 1 = 0;\left( * ight) \Rightarrow \Delta ' = {m^2} - 1$

Nếu $\Delta ' = {m^2} - 1 \leqslant 0$ thì hàm số $y = f\left( x ight) = {x^2} - 2mx + 1 + 4x = {x^2} - 2\left( {m - 2} ight)x + 1$ không có điểm cực đại.

Nếu $\Delta ' = {m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < - 1} \\ {m > 1} \end{array}} ight.$ thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = m - \sqrt {{m^2} - 1} } \\ {{x_2} = m + \sqrt {{m^2} - 1} } \end{array}} ight.$

Với $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant {x_1}} \\ {x \geqslant {x_2}} \end{array}} ight.$ thì $y = f\left( x ight) = {x^2} - 2mx + 1 + 4x = {x^2} - 2\left( {m - 2} ight)x + 1$ không có điểm cực đại.

Với ${x_1} < x < {x_2}$ thì $y = - {x^2} + 2mx - 1 + 4x = - {x^2} + 2\left( {m + 2} ight)x - 1$

Hàm số này đạt cực đại tại x = m + 2 và giá trị cực đại là ${y_{cd}} = {m^2} + 4m + 3$

Vậy điều kiện để hàm số có cực đại là:

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} < x = m + 2 < {x_2}} \\ {3 < {m^2} + 4m + 3 < 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - \sqrt {{m^2} - 1} < m + 2 < m + \sqrt {{m^2} - 1} } \\ {0 < {m^2} + 4m < 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {{m^2} - 1} > 2} \\ \begin{gathered} {m^2} + 4m - 1 < 0 \hfill \\ {m^2} + 4m > 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 2 - \sqrt 5 < m < - 2 + \sqrt 5 \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < - \sqrt 5 } \\ {m > \sqrt 5 } \end{array}} ight.} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < - 4} \\ {m > 0} \end{array}} ight.} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow - 2 - \sqrt 5 < m < - 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Do 10m là số nguyên nên có hai giá trị thỏa mãn là $m = - \frac{{42}}{{10}};m = - \frac{{41}}{{10}}$

Câu 20: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ:

Hàm số $y = f(1 - 2x)$ đạt cực tiểu tại:

A.
$x = - \frac{1}{2}$
B.
$x = \frac{1}{2}$
C.
$x = 1$
D.
$x = 0$

Đặt $g(x) = f(1 - 2x) \Rightarrow g'(x) = - 2f'(1 - 2x) = 0$

$\Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow - 2f'(1 - 2x) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}1 - 2x = - 1 \\1 - 2x = 0 \\1 - 2x = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = \dfrac{1}{2} \\x = - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên

Ta xét bằng cách thay số

Với $x = 2 \Rightarrow g'(2) = - 2f'( - 3) < 0$

Với $x = \frac{3}{4} \Rightarrow g'\left( \frac{3}{4} ight) = - 2f'\left( - \frac{1}{2} ight) > 0$

Với $x = \frac{1}{4} \Rightarrow g'\left( \frac{1}{4} ight) = - 2f'\left( \frac{1}{2} ight) < 0$

Với $x = - 1 \Rightarrow g'( - 1) = - 2f'(3) > 0$

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = \frac{1}{2}$

Câu 21: Thông hiểu

Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức $P(x) = - x^{3} + 24x^{2} + 780x - 1000$ trong đó $x$ là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất tối đa 40 tạ sản phẩm trong một tuần. Hỏi để có lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất bao nhiêu tạ sản phẩm trong một tuần?

Đáp án: 26

Đáp án là:

Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức $P(x) = - x^{3} + 24x^{2} + 780x - 1000$ trong đó $x$ là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất tối đa 40 tạ sản phẩm trong một tuần. Hỏi để có lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất bao nhiêu tạ sản phẩm trong một tuần?

Đáp án: 26

Ta có $P'(x) = - 3x^{2} + 48x + 780;\ \ P'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 10 \\ x = 26\ \ \ \\ \end{matrix} ight.$ .

Bảng biến thiên

Vậy để lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất 26 tạ sản phẩm trong một tuần.

Câu 22: Nhận biết

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3x$ trên $\lbrack 1;2brack$ bằng:

A.
$0$
B.
$2$
C.
$\frac{14}{27}$
D.
$- 7$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\left\{ \begin{matrix} y(1) = - 2 \\ y(2) = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack 1;2brack}y = 2 \\ \min_{\lbrack 1;2brack}y = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack 1;2brack$ bằng $0$ .

Câu 23: Thông hiểu

Hình vẽ nào sau đây là đồ thị của hàm số $y = (x - c)(d - x)^{2}$ với $c > d > 0$ ?

A.
B.
C.
D.

Với $c > d > 0$ thì đồ thị hàm số $y = (x - c)(d - x)^{2}$ theo thứ tự tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ $x = d$ và $x = c$

Mặt khác với $x \leq c$ thì $y \leq 0$ nên khi $x \leq c$ thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành

Vậy đồ thị hàm số cần tìm là .

Câu 24: Thông hiểu

Số các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - 3x + 2m + 7$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\lbrack 2;4brack$ thuộc khoảng $( - 5;8)$ là:

A.
$12$
B.
$3$
C.
$7$
D.
$6$

Xét hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - 3x + 2m + 7$ trên $\lbrack 2;4brack$ ta có:

$y' = x^{2} - 2x - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}y(2) = - \dfrac{1}{3} + 2m \\y(4) = \dfrac{1}{3} + 2m \\y(3) = - 2 + 2m \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack 2;4brack}y = - 2 + 2m\in ( - 5;8)$

$\Leftrightarrow - 5 < - 2 + 2m < 8 \Leftrightarrow - 3 < 2m < 10 \Leftrightarrow - \frac{3}{2} < m < 5$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 1;0;1;2;3;4 ight\}$

Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu.

Câu 25: Thông hiểu

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Khi đó số điểm cực trị của hàm số $y = \left| f(x) ight|$ là:

A.
$1$
B.
$2$
C.
$3$
D.
$0$

Từ giả thiết ta có đồ thị của hàm số $y = \left| f(x) ight|$ như sau:

Vậy hàm số $y = \left| f(x) ight|$ có ba điểm cực trị.

Câu 26: Thông hiểu

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} + 2x^{2} + (m + 1)x - m^{2}$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ là:

A.
$( - \infty;3brack$
B.
$( - \infty;3)$
C.
$\left( \frac{1}{3}; + \infty ight)$
D.
$\left\lbrack \frac{1}{3}; + \infty ight)$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y' = 3x^{2} + 4x + m + 1 \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 > 0 \\ \Delta' = 2^{2} - 3(m + 1) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{3}$

Vậy $m \in \left( \frac{1}{3}; + \infty ight)$ là giá trị cần tìm.

Câu 27: Nhận biết

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Hàm số y = f(x) là hàm số nào

Hàm số y = f(x) là hàm số nào trong các hàm số sau:

A. $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$
B. $y = - {x^3} + 3{x^2} + 2$
C. $y = - {x^3} - 3{x^2} + 2$
D. $y = {x^3} + 3{x^2} + 2$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = + \infty$ => Hệ số a > 0

=> Loại đáp án B và C

Mặt khác hàm số đạt cực trị tại x = 0 và x = 2

=> Loại đáp án D

Câu 28: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$ có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $y = - 1$ và tiệm cận ngang $x = - 2$ .
B.
Đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận.
C.
Đồ thị hàm số có ba tiệm cận.
D.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = - 1$ và tiệm cận ngang $y = - 2$ .

Từ bảng biến thiên ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}y = - 2$ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = - 2$

$\lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}y = + \infty$ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = - 1$

Vậy khẳng định đúng: " Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = - 1$ và tiệm cận ngang $y = - 2$ ”.

Câu 29: Thông hiểu

Tìm số các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = x^{4} + 2\left( m^{2} - m - 6 ight)x^{2} + m - 1$ có ba điểm cực trị?

A.
$3$
B.
$4$
C.
$6$
D.
$5$

Ta có: $y' = 4x^{3} + 4\left( m^{2} - m - 6 ight)x$

$y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} + 4\left( m^{2} - m - 6 ight)x = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 4x = 0 \\ x^{2} = - m^{2} + m + 6 \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi $- m^{2} + m + 6 > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 3$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 1;0;1;2 ight\}$ . Vậy có 4 giá trị của tham số $m$ thỏa mãn.

Câu 30: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{{\sqrt {{x^2} - x + 3} - \sqrt {2x + 1} }}{{{x^3} - 2{x^2} - x + 2}}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang
B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng một tiệm cận ngang
C. Đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.

Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - x + 3 \geqslant 0} \\ {2x + 1 \geqslant 0} \\ {{x^3} - 2{x^2} - x + 2 e 0} \end{array} \Rightarrow } ight.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant \frac{{ - 1}}{2}} \\ {x e 2} \\ {x e \pm 1} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant \frac{{ - 1}}{2}} \\ {x e 2} \\ {x e 1} \end{array}} ight.$

Từ điều kiện ta có:

$\begin{matrix} y = \dfrac{{\left( {{x^2} - x + 3} ight) - \left( {2x + 1} ight)}}{{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)\left( {x + 1} ight)\left( {\sqrt {{x^2} - x - 3} + \sqrt {2x + 1} } ight)}} \hfill \\ y = \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)\left( {x + 1} ight)\left( {\sqrt {{x^2} - x + 3} + \sqrt {2x + 1} } ight)}} \hfill \\ y = \dfrac{1}{{\left( {x + 1} ight)\left( {\sqrt {{x^2} - x + 3} + \sqrt {2x + 1} } ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

Mặt khác

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{{x^2}.\left( {1 + \dfrac{1}{x}} ight)\left( {\sqrt {1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} + \sqrt {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} } ight)}} = 0$

=> y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x ight)$

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng một tiệm cận ngang

Câu 31: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
Điểm cực tiểu của hàm số là $x = 2$
B.
Điểm cực đại của hàm số là $x = - 1$
C.
Điểm cực tiểu của hàm số là $x = - 5$
D.
Điểm cực tiểu của hàm số là $x = 0$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ .

Câu 32: Nhận biết

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên từng khoảng xác định?

A.
$y = \frac{2x + 1}{x - 3}$
B.
$y = \frac{x - 1}{x + 1}$
C.
$y = \frac{x + 5}{- x - 1}$
D.
$y = \frac{x - 2}{2x - 1}$

Xét hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$ ta có:

Điều kiện xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 3 ight\}$

Lại có: $y' = \frac{- 7}{(x - 3)^{2}} < 0;\forall x \in D$ nên hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

Câu 33: Nhận biết

Cho hàm số $f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.
$( - \infty; - 1).$
B.
$( - 1; + \infty).$
C.
$( - 1;2).$
D.
$(2; + \infty).$

Hàm số đã cho đồng biến trên $( - 1;2).$

Câu 34: Nhận biết

Đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận đứng đi qua điểm $M( - 4;5)$ ?

A.
$y = \frac{- 4x + 7}{x + 5}$
B.
$y = \frac{5x + 1}{x + 4}$
C.
$y = \frac{- 4x + 1}{x - 5}$
D.
$y = \frac{5x + 3}{x - 4}$

Xét hàm số $y = \frac{5x + 1}{x + 4}$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} ight)}^ + }} \frac{{5x + 1}}{{x + 4}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} ight)}^ - }} \frac{{5x + 1}}{{x + 4}} = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.$ suy ra $x = - 4$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tiệm cận đứng đi qua điểm $M( - 4;5)$ .

Câu 35: Thông hiểu

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - 2mx^{2} + 4x - 5$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?

A.
$m \in \lbrack - 4; + \infty)$
B.
$m \in ( - 4; + \infty)$
C.
$m \in ( - \infty; - 4brack$
D.
$m \in ( - \infty; - 4)$

Ta có: $y' = - x^{2} - 4x + m$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y' \leq 0;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow - x^{2} - 4x + m \leq 0;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < 0 \\ \Delta \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 16 + 4m \leq 0 \Leftrightarrow m \in ( - \infty; - 4brack$

Vậy đáp án cần tìm là $m \in ( - \infty; - 4brack$ .

Câu 36: Thông hiểu

Một chất điểm chuyển động với quy luật $s(t) = - t^{3} + 6t^{2}$ . Thời điểm $t$ (giây) tại vận tốc $v(m/s)$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

A.
$12$
B.
$24$
C.
$2$
D.
$6$

Ta có: $s(t) = - t^{3} + 6t^{2} \Rightarrow v(t) = s'(t) = - 3t^{2} + 12t$

$\Rightarrow v'(t) = 12 - 6t = 0 \Leftrightarrow t = 2$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất bằng $12$ khi $t = 2$ .

Câu 37: Thông hiểu

Số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 3x + 2}{4 - x^{2}}$ là:

A.
$2$
B.
$4$
C.
$3$
D.
$1$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 2 ight\}$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{4 - {x^2}}}} ight) = - 1 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{4 - {x^2}}}} ight) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ nên $y = - 1$ là tiện cận ngang của đồ thị hàm số.

$\lim_{x ightarrow 2}y = \lim_{x ightarrow 2}\frac{(x - 1)(x - 2)}{(2 - x)(2 + x)} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{1 - x}{x + 2} = - \frac{1}{4}$

$\lim_{x ightarrow ( - 2)^{+}}y = \lim_{x ightarrow ( - 2)^{+}}\frac{(x - 1)(x - 2)}{(2 - x)(2 + x)} = - \infty$ suy ra $x = - 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $2$ .

Câu 38: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số $y = f( - x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.
$( - 2;0)$
B.
$(0;2)$
C.
$( - 2;2)$
D.
$(2; + \infty)$

Từ đồ thị hàm số $y = f(x)$ ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$

$\Leftrightarrow f'(x) > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$

Xét hàm số $y = f( - x)$ ta có: $y' = - f'( - x)$

$y' < 0 \Leftrightarrow - f'( - x) < 0 \Leftrightarrow f'( - x) > 0$

$\Leftrightarrow 0 < - x < 2 \Leftrightarrow - 2 < x < 0$

Suy ra hàm số $y = f( - x)$ nghịch biến trên khoảng $( - 2;0)$ .

Câu 39: Vận dụng

Gọi $m_{1};m_{2}$ là giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = 2x^{3} - 3x^{2} + m - 1$ có hai điểm cực trị là $P;Q$ sao cho diện tích tam giác $OPQ$ bằng $2$ ( $O$ là gốc tọa độ). Khi đó giá trị biểu thức $m_{1}.m_{2}$ bằng:

A.
$6$
B.
$- 15$
C.
$12$
D.
$- 20$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$ .

Ta có: $y' = 6x^{2} - 6x$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = m - 1 \\ x = 1 \Rightarrow y = m - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Suy ra $P(0;m - 1),Q(1;m - 2)$

$\Rightarrow \overrightarrow{PQ} = (1; - 1) \Rightarrow \left| \overrightarrow{PQ} ight| = \sqrt{2}$

Đường thẳng (PQ) đi qua điểm $P(0;m - 1)$ và nhận $\overrightarrow{n} = (1;1)$ làm một vecto pháp tuyến nên có phương trình

$1(x - 0) + 1(y - m + 1) = 0 \Leftrightarrow x + y - m + 1 = 0$

$d(O;PQ) = \frac{|1 - m|}{\sqrt{2}}$

Theo bài ra ta có diện tích tam giác OPQ bằng 2 nên ta có phương trình:

$S_{OAB} = \frac{1}{2}.d(O;PQ).PQ = 2$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{|1 - m|}{\sqrt{2}}.\sqrt{2} = 2 \Leftrightarrow |1 - m| = 4$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - m = 4 \\ 1 - m = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 3 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight.$