Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tính số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    Đồ thị hàm số g\left( x ight) = \frac{{2020}}{{f\left( x ight) - m}} có nhiều nhất bao nhiêu tiệm cận đứng:

    Điều kiện f\left( x ight) e m

    Để đồ thị hàm số g\left( x ight) = \frac{{2020}}{{f\left( x ight) - m}} có đường tiệm cận đứng f\left( x ight) = m thì phải có nghiệm.

    Từ bảng biến thiên của hàm số y = f’(x) suy ra phương trình f’(x) = 0 có đúng hai nghiệm là \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = a} \\ {x = b} \end{array}} ight. với - 1 < a < 0 < b

    Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau:

    Tính số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    => Phương trình y = f(x) có nhiều nhất ba nghiệm phân biệt

    Vậy đồ thị hàm số g\left( x ight) = \frac{{2020}}{{f\left( x ight) - m}} có nhiều nhất ba đường tiệm cận đứng.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ như sau:

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Dựa vào đồ thị dễ dàng thấy hàm số đồng biến trên (0;1).

  • Câu 3: Nhận biết

    Trên khoảng (0; +∞) thì hàm số y = -x3 + 3x + 1

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = - 3{x^2} + 3 \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Từ bảng biến thiên => Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho hàm số y = \frac{{ax + 2}}{{cx + b}} có đồ thị (C) như hình vẽ bên. Tính tổng T = a + 2b + 3c

    		Tính giá trị biểu thức T

    Từ đồ thị hàm số ta có nhận xét như sau:

    Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị (C)

    => x = \frac{{ - b}}{c} = 2 \Rightarrow b = - 2c

    Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C)

    => y = \frac{a}{c} = 1 \Rightarrow a = c

    Điểm có tọa độ (0; -1) thuộc đồ thị hàm số (C)

    => y(0) = -1 => \frac{2}{b} = - 1 \Rightarrow b = - 2

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = - 2} \\ {b = - 2c} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \\ {c = 1} \end{array}} ight. \Rightarrow T = a + 2b + 3c = 0

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hình vẽ:

    Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ bên?

    Nhận thấy dạng đồ thị của hàm số bậc ba y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d;(a eq 0)

    Mặt khác đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên hàm số tương ứng với đồ thị là y = - x^{3} + 2x - 2.

  • Câu 6: Vận dụng

    Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = \frac{\cot x - 2}{\cot x - m} nghịch biến trên \left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)?

    Đặt t = \cot x \Rightarrow t' = \frac{- 1}{sin^{2}x} < 0;\forall x \in \left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)

    \Rightarrow \cot\frac{\pi}{2} < t < \cot\frac{\pi}{4} hay 0 < t < 1

    Bài toán trở thành tìm m để hàm số y = \frac{t - 2}{t - m} đồng biến trên (0;1)

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ m ight\}

    Ta có: y' = \frac{2 - m}{(t - m)^{2}}. Hàm số y = \frac{t - 2}{t - m} đồng biến trên (0;1)

    \Leftrightarrow y' > 0;\forall t \in (0;1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - m > 0 \\ m otin (0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 2 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 1 \\ m \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là \left\lbrack \begin{matrix} m \leq 0 \\ 1 \leq m < 2 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Đồ thị hàm số trên có tiệm cận ngang là:

    Dựa vào bảng biến thiên ta có: \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = 1;\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = 1

    Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 1.

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị của đạo hàm y = f'(x) như hình vẽ sau:

    Trên đoạn \lbrack - 3;4brack, hàm số g(x) = 2f(x) + (1 - x)^{2} đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị của đạo hàm y = f'(x) như hình vẽ sau:

    Trên đoạn \lbrack - 3;4brack, hàm số g(x) = 2f(x) + (1 - x)^{2} đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Thông hiểu

    Giá trị lớn nhất của hàm số y = \sqrt {3 - 2x - {x^2}}

    Điều kiện xác định 3 - 2x - {x^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow - 3 \leqslant x \leqslant 1

    Xét hàm số f\left( x ight) = \sqrt {3 - 2x - {x^2}} trên \left[ { - 3;1} ight] ta có:

    f'\left( x ight) = \frac{{ - 2 - 2x}}{{2\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }} = - \frac{{x + 1}}{{\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }}

    Phương trình f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3 < x < 1} \\ {x + 1 = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow x = - 1

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 3} ight) = 0} \\ {f\left( { - 1} ight) = 2} \\ {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.

    \Rightarrow \mathop {\max f\left( x ight)}\limits_{\left[ { - 3;1} ight]} = f\left( { - 1} ight) = 2

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Đồ thị hàm số y = f(x) có mấy điểm cực trị?

    Từ đồ thị suy ra đồ thị có điểm một điểm cực tiểu và một điểm cực đại.

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hàm số y = - \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + 6x - 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = - x^{2} + x + 6 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu

    Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( - 2,3).

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có f'(x) = x^{2}(x - 1)(x + 2). Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu:

    Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số có 1 điểm cực tiểu.

  • Câu 13: Nhận biết

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = \frac{x - 3}{x + 2} trên \lbrack 0;4brack là:

    Ta có: f'(x) = \frac{5}{(x + 2)^{2}};\forall x \in \lbrack 0;4brack nên hàm đồng biến trên \lbrack 0;4brack

    Do đó \min_{\lbrack 0;4brack}f(x) = f(0)

  • Câu 14: Thông hiểu

    Hỏi đồ thị hàm số y = \frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1} - x có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

    Tập xác định D = ( - \infty;2)\backslash\left\{ 1 ight\}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1} - x ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x\left( 1 + \sqrt{\dfrac{2}{x^{2}} - \dfrac{1}{x}}ight)}{x\left( 1 - \dfrac{1}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{1 + \sqrt{\dfrac{2}{x^{2}} - \dfrac{1}{x}}}{1 - \dfrac{1}{x}}= 1

    Suy ra y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1} - x ight) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - 2 + x}{(x - 1)\left( x + \sqrt{2 - x} ight)} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x + 2}{x + \sqrt{2 - x}} = \frac{3}{2}

    Suy ra hàm số không có tiệm cận đứng

    Vậy hàm số có 1 đường tiệm cận.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số sau có đường tiệm ngang?

    Ta có:

    y = \frac{x}{1 + \sqrt{x}} không có tiệm cận ngang vì \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{x}{1 + \sqrt{x}} = + \infty

    y = x^{3} - 3x không có tiệm cận ngang vì \lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( x^{3} - 3x ight) = \pm \infty

    y = \log_{2}x không có tiệm cận ngang vì \lim_{x ightarrow + \infty}\left(\log_{2}x ight) = + \infty

    y = x + \sqrt{x^{2} + 4} có tiệm cận ngang vì \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + 4} } ight) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + 4} } ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Từ bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta có: \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - \infty;\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

    Và \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = 4 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x ight) = - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x ight) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.

    Vậy đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận.

  • Câu 17: Nhận biết

    Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x^{3} + 3x^{2} trên \lbrack - 5; - 1brack?

    Ta có: y' = 3x^{2} + 6x

    y' = 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.. Khi đó: y( - 5) = - 50;y( - 2) = 4;y( - 1) = 2

    Vậy \min_{\lbrack - 5; - 1brack}y = f( - 5) = - 50.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tìm điều kiện cần và đủ của tham số thực ủa tham số m để đường thẳng y = 3x + m - 2 cắt đồ thị y = (x - 1)^{3} tại ba điểm phân biệt là:

    Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

    (x - 1)^{3} = 3x + m - 2 \Leftrightarrow m = x^{3} - 3x^{2} + 1(*)

    (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (d):y = m,(C):y = x^{3} - 3x^{2} + 1

    Xét hàm số f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1 có

    f'(x) = 3x^{2} - 6x \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Vậy theo yêu cầu bài toán \Leftrightarrow - 3 < m < 1

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số bậc năm y = f(x) và đồ thị hàm số y = f'(x) trên \mathbb{R} biểu diễn bởi hình vẽ:

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Từ đồ thị hàm số y = f'(x) ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

    Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f(x) có 1 cực đại và 1 cực tiểu.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Xác định giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{x + 5}{x + m} đồng biến trên khoảng ( - \infty; - 8)?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - m ight\}

    Hàm số y = \frac{x + 5}{x + m} đồng biến trên khoảng ( - \infty; - 8)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y' > 0;\forall x \in ( - \infty; - 8) \\ x eq - m \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{m - 5}{(x + m)^{2}} > 0;\forall x \in ( - \infty; - 8) \\- m otin ( - \infty; - 8) \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 5 \\ - m \geq - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 5 \\ m \leq 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 5 < m \leq 8

    Vậy đáp án cần tìm là (5;8brack.

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}. Đồ thị hàm số y f’(x) như hình vẽ bên:

    Số điểm cực trị của hàm số

    Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) + 2x là:

    Xét hàm số g(x) = f(x) + 2x. Từ đồ thị hàm số f’(x) ta thấy:

    g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x ight) = - 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x = \alpha } \end{array}} ight.;\left( {\alpha > 0} ight)

    g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x ight) = - 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x = \alpha } \end{array}} ight.;\left( {\alpha > 0} ight)

    g'\left( x ight) < 0 \Leftrightarrow f'\left( x ight) < - 2 \Leftrightarrow x > \alpha

    Từ đó suy ra hàm số y = f(x) + 2x liên tục và có đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua giá trị x = \alpha

    Từ đó ta có bảng xét dấu như sau:

    Số điểm cực trị của hàm số

    Vậy hàm số đã cho có đúng một cực trị

  • Câu 22: Nhận biết

    Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên \mathbb{R}?

     Hàm số y = x – sinx có tập các định D = \mathbb{R} và y' = 1 - \cos x \geqslant 0, \vee x \in \mathbb{R}

    Nên hàm số luôn đồng biến trên \mathbb{R}

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Tổng tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = \frac{1}{5}{m^2}{x^5} - \frac{1}{3}m{x^3} + 10{x^2} - \left( {{m^2} - m - 20} ight)x + 1 đồng biến trên R bằng:

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{1}{5}{m^2}{x^5} - \dfrac{1}{3}m{x^3} + 10{x^2} - \left( {{m^2} - m - 20} ight)x + 1 \hfill \\ \Rightarrow y' = {m^2}{x^4} - m{x^2} + 20x - {m^2} + m + 20 \hfill \\ \end{matrix}

    Hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi

    \begin{matrix} \Rightarrow y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Rightarrow {m^2}{x^4} - m{x^2} + 20x - {m^2} + m + 20 \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \end{matrix}

    Và dấu bằng xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm.

    Điều kiện cần

    Ta thấy phương trình y ‘ = 0 có một nghiệm x = -1 nên để y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} thì y’ không đổi dấu qua khi x = -1 khi đó phương trình y’ = 0 có nghiệm kép là x = -1 (x = -1 không thể laf nghiệm bội 4 của phương trình y’ = 0 vì y’ không chứa số hạng x3)

    Ta suy ra được y’’(-1) = 0

    => - 4{m^2} + 2m + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 2} \\ {m = \dfrac{5}{2}} \end{array}} ight.

    Điều kiện đủ:

    Với m = - 2 ta có:

    y' = 4{x^4} + 2{x^2} + 20x + 14 = 4{\left( {x + 1} ight)^2}\left[ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + \frac{5}{2}} ight] \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Hàm số đồng biến trên R

    => m = -2 thỏa mãn điều kiện đề bài.

    Với m = \frac{5}{2} ta có:

    y' = \frac{{25}}{4}{x^4} - \frac{5}{2}{x^2} + 20x + \frac{{65}}{4} = \frac{{25}}{4}{\left( {x + 1} ight)^2}\left[ {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + \frac{8}{5}} ight] \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Hàm số đồng biến trên R

    => m = \frac{5}{2} thỏa mãn điều kiện đề bài

    Vậy m = - 2;m = \frac{5}{2} là các giá trị cần tìm.

    => Tổng các giá trị thực của m cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là - 2 + \frac{5}{2} = \frac{1}{2}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d;(a eq 0) có đồ thị như hình vẽ:

    Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình f(x + m) = m có đúng ba nghiệm phân biệt là:

    Đồ thị hàm số f(x + m) = m có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f(x) sang trái hoặc sang phải theo phương song song với trục hoành |m| đơn vị.

    Suy ra phương trình f(x + m) = m có đúng ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m \in ( - 2;2).

  • Câu 25: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên (1; +∞)?

    Ta có hàm số y = ax, y = log­ax đồng biến trên tập xác định nếu a > 0

    Do đó hàm số y = log­3x đồng biến trên (1; +∞)

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Cho x, y là các số thực thỏa mãn {\left( {x - 3} ight)^2} + {\left( {y - 1} ight)^2} = 5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{{3{y^2} + 4xy + 7x + 4y - 1}}{{x + 2y + 1}} bằng:

    \begin{matrix} {\left( {x - 3} ight)^2} + {\left( {y - 1} ight)^2} = 5 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 5 = 0 \hfill \\ P = \dfrac{{\left( {3{y^2} + 4xy + 7x - 4y - 1} ight) + \left( {{x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 5} ight)}}{{x + 2y + 1}} \hfill \\ P = \dfrac{{4{y^2} + 4xy + {x^2} + x + 2y + 4}}{{x + 2y + 1}} \hfill \\ P = \dfrac{{{{\left( {2y + x} ight)}^2} + \left( {x + 2y} ight) + 4}}{{x + 2y + 1}} \hfill \\ \end{matrix}

    Đặt t = x + 2y

    \begin{matrix} \left( {{1^2} + {2^2}} ight)\left[ {{{\left( {x - 3} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}} ight] \geqslant {\left[ {\left( {x - 3} ight) + \left( {2y - 2} ight)} ight]^2} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {x + 2y - 5} ight)^2} \leqslant 25 \hfill \\ \Leftrightarrow 0 \leqslant x + 2y \leqslant 10 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta được P = f\left( t ight) = \frac{{{t^2} + t + 4}}{{1 + 4}} = t + \frac{4}{{t + 1}};0 \leqslant t \leqslant 10

    Xét f'\left( t ight) = 1 - \frac{4}{{{{\left( {t + 1} ight)}^2}}} = 0 \Rightarrow {\left( {t + 1} ight)^2} = 4 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1\left( {tm} ight)} \\ {t = - 3\left( L ight)} \end{array}} ight.

    Vì f\left( 0 ight) = 4;f\left( {10} ight) = \frac{{114}}{{11}};f\left( 1 ight) = 3 \Rightarrow \min P = 3{\text{ khi t = 1}}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 1}.

    Tập xác định của hàm số: D = ( - \infty; - 2brack \cup \lbrack 2; + \infty).

    +) Ta có: \lim_{x ightarrow 1^{+}}y và \lim_{x ightarrow 1^{-}}y không tồn tại nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

    +) Ta có: \lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 1} = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}}}{1 - \frac{1}{x}} = 1

    và \lim_{x ightarrow - \infty}y =\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 1}= \lim_{xightarrow - \infty}\frac{- \sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}}}{1 -\frac{1}{x}} = - 1 \Rightarrow y = 1,y = - 1 là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

  • Câu 28: Nhận biết

    Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

    Đồ thị của hàm số

    Dựa vào hình vẽ ta thấy đây là hàm số bậc ba có dạng y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d;\left( {a > 0} ight)

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)\left( x^{2} - 1ight)(x - 3)^{3};\forall x\mathbb{\in R}. Hỏi hàm số y = f\left( |x| ight) có bao nhiêu cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)\left( x^{2} - 1ight)(x - 3)^{3};\forall x\mathbb{\in R}. Hỏi hàm số y = f\left( |x| ight) có bao nhiêu cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 30: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên trên đoạn \lbrack - 4;4brack như hình vẽ:

    Có bao nhiêu giá trị của tham số m trên đoạn \lbrack - 4;4brack sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = f\left( \left| x^{3} ight| + 3|x| ight) + f(m) trên đoạn \lbrack - 1;1brack bằng 1?

    Ta có: x \in \lbrack - 1;1brack \Rightarrow |x| \in \lbrack 0;1brack \Rightarrow \left| x^{3} ight| \in \lbrack 0;1brack

    Suy ra t = \left| x^{3} ight| + 3|x| \in \lbrack 0;4brack

    Khi đó f\left( \left| x^{3} ight| + 3|x| ight) \in \lbrack - 3;3brack hay f\left( \left| x^{3} ight| + 3|x| ight) + f(m) \in \left\lbrack - 3 + f(m);3 + f(m) ightbrack

    Theo yêu cầu bài toán \Leftrightarrow 3 + f(m) = 1 \Leftrightarrow f(m) = - 2

    Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy f(m) = - 2 có ba nghiệm

    Vậy có 3 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình - x^{3} + 4x + 1 = m có ba nghiệm phân biệt?

    Phương trình đã cho là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) = - x^{3} + 4x + 1 và đường thẳng y = m

    Xét y = f(x) = - x^{3} + 4x + 1 có f'(x) = - 3x^{2} + 4

    Phương trình f'(x) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\x = - \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\\end{matrix} ight.

    Lập bảng biến thiên

    Đường thẳng y = m cắt đồ thị y = f(x) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi

    1 - \frac{16\sqrt{3}}{3} < m < 1 + \frac{16\sqrt{3}}{3}

    Do m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 2; - 1;...;4 ight\}

    Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x). Biết hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số y = {2021^{f\left( x ight)}} + {2020^{f\left( x ight)}} là:

    Tính số điểm cực trị của hàm số

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = f'\left( x ight){.2021^{f\left( x ight)}}.\ln 2021 + f'\left( x ight){.2020^{f\left( x ight)}}.\ln 2020 \hfill \\ = f'\left( x ight)\left[ {{{2021}^{f\left( x ight)}}.\ln 2021 + {{2020}^{f\left( x ight)}}.\ln 2020} ight] \hfill \\ \end{matrix}

    Do {2021^{f\left( x ight)}}.\ln 2021 + {2020^{f\left( x ight)}}.\ln 2020 > 0,\forall x \in \mathbb{R}

     y' = 0 \Leftrightarrow f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = a} \\ {{x_2} = b} \\ {{x_3} = c} \end{array}} ight.

    Tính số điểm cực trị của hàm số

    Vậy hàm số y = {2021^{f\left( x ight)}} + {2020^{f\left( x ight)}} có ba điểm cực trị.

  • Câu 33: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{x - 7}}{x^{2} + 3x - 4} có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

    Tập xác định D = \lbrack 7; + \infty)

    Phương trình x^{2} + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó không tồn tại các giới hạn \lim_{x ightarrow - 4^{-}}y;\lim_{x ightarrow - 4^{+}}y;\lim_{x ightarrow 1^{-}}y;\lim_{x ightarrow 1^{+}}y. Vì vậy đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = x^{3} + \frac{1}{2}\left( x^{2} - 1 ight)x^{2} + 1 - m có điểm cực đại là x = - 1?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} f'(x) = 3x^{2} + \left( m^{2} - 1 ight)x \\ f''(x) = 6x + m^{2} - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số có điểm cực đại là x = - 1 khi \left\{ \begin{matrix} f'( - 1) = 0 \\ f''( - 1) < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 - m^{2} = 0 \\ m^{2} - 7 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = \pm 2

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{2mx + m^{2} + m - 2}{x + m}với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \lbrack 1;4brack bằng 1. Tổng các phần tử của tập hợp S bằng:

    Điều kiện x eq - m

    Ta có: y' = \frac{m^{2} - m + 2}{(x + m)^{2}}. Vì \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ \Delta_{m} = ( - 1)^{2} - 4.1.2 < 0 \\ \end{matrix} ight. nên m^{2} - m + 2 > 0;\forall \in m

    \Rightarrow y' > 0;\forall x \in \lbrack 1;4brack

    Suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn \lbrack 1;4brack bằng y(1) = 1 \Leftrightarrow \frac{m^{2} + 3m - 2}{1 + m} = 1

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq - 1 \\ m^{2} + 2m - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \in \left\{ 1; - 3 ight\}

    Kết hợp điều kiện \left\{ \begin{matrix} x eq - m \\ x \in \lbrack 1;4brack \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m = - 3(ktm)

    Vậy S = \left\{ 1 ight\} nên tổng các phần tử thuộc tập S bằng 1.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên \mathbb{R}. Tập nghiệm của bất phương trình f\left( \frac{1}{x} ight) > f(1) là:

    Vì hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên \mathbb{R} nên ta có:

    f\left( \frac{1}{x} ight) > f(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 0 \\ \frac{1}{x} < 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ \frac{1}{x} < 1 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ \frac{1}{x} < 1 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < 0 \\ x > 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x \in ( - \infty;0) \cup (1; + \infty)

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x \in ( - \infty;0) \cup (1; + \infty)

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho hình vẽ là đồ thị hàm số có dạng y = a{x^4} + b{x^2} + c

    Giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức B = {a^2} + {b^2} + {c^2} có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

    Đồ thị hàm số đi qua điểm \left( {0; - 1} ight) => c = - 1

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{CD}} = y\left( {\sqrt {\dfrac{{ - b}}{{2a}}} } ight) = \dfrac{{ - {b^2}}}{{4a}} + c = 3} \\ {y\left( 1 ight) = a + b + c = 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {b^2} = 16a} \\ {a + b = 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {b^2} = 16\left( {3 - b} ight)} \\ {a = 3 - b} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = 12;a = 9} \\ {b = 4;a = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow B = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 18 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ:

    Hỏi hàm số y = - 3f(x - 2) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Theo đồ thị hàm số ta có hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng ( - \infty;0) và (2; + \infty) khi đó:

    \Leftrightarrow f'(x) \geq 0;\forall x \in ( - \infty;0) \cup (2; + \infty)

    Mặt khác y = - 3f(x - 2) \Leftrightarrow y' = - 3f'(x - 2)

    Do hàm số y = - 3f(x - 2) nghịch biến nên

    \Leftrightarrow y' \leq 0 \Leftrightarrow - 3f'(x - 2) \leq 0

    \Leftrightarrow f'(x - 2) \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 2 \leq 0 \\ x - 2 \geq 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow x \in ( - \infty;2brack \cup \lbrack 4; + \infty)

    Vậy hàm số y = - 3f(x - 2) nghịch biến trên khoảng ( - \infty;1).

  • Câu 39: Nhận biết

    Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ dưới đây?

    Đồ thị của hàm số y = f(x)

    Quan sát đồ thị hàm số ta suy ra hàm số có dạng hàm số phân thức y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}

    => Loại đáp án B và D

    Ta có: y\left( 0 ight) = 2 => Loại đáp án B

  • Câu 40: Thông hiểu

    Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân G(x) = 0,025x^{2}(30 - x) trong đó x là số miligam thuộc được tiêm cho bệnh nhân (0 < x < 30). Để bệnh nhân đó có huyết áp giảm nhiều nhất thì liều lượng thuốc cần tiêm vào là:

    Ta có: G(x) = 0,025x^{2}(30 - x) \Rightarrow G'(x) = 1,5x - 0,075x^{2}

    \Rightarrow G'(x) = 0 \Leftrightarrow 1,5x - 0,075x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 20 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Vậy để bệnh nhân đó có huyết áp giảm nhiều nhất thì lượng thuốc cần tiêm vào là x = 20(mg).

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 10 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập