Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Câu 1: Thông hiểu

Đồ thị hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{2 - x}.\sqrt{3 - x}}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A.
$1$
B.
$2$
C.
$3$
D.
$4$

Hàm số xác định $\left\{ \begin{matrix} 2 - x > 0 \\ 3 - x > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x < 2 \\ x < 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x < 2$

Tập xác định $D = ( - \infty;2)$

Ta có: $\lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = + \infty$ suy ra $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x + 1}{\sqrt{2 - x}.\sqrt{3 - x}} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} - 5x + 6}}$

$= \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x\left( 1 + \dfrac{1}{x} ight)}{- x\sqrt{1 - \dfrac{5}{x} +\dfrac{6}{x^{2}}}} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{1 +\dfrac{1}{x}}{- \sqrt{1 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{6}{x^{2}}}} = -1$

Suy ra $y = - 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Câu 2: Nhận biết

Cho hàm số $y = \frac{2x + 3}{x - 2}$ . Giả sử $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack 0;1brack$ . Khi đó giá trị của biểu thức $S = M + m$ là:

A.
$S = - 2$
B.
$S = \frac{7}{2}$
C.
$S = - \frac{13}{2}$
D.
$S = - \frac{17}{3}$

Ta có: $y' = \frac{- 7}{(x - 2)^{2}} < 0;\forall x \in \lbrack 0;1brack$

Vậy $\left\{ \begin{matrix}M = y(0) = - \dfrac{3}{2} \\m = y(1) = - 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = M + m = -\dfrac{13}{2}$

Câu 3: Vận dụng

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f(x) = -x³ – 3x² + m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 1] bằng 0.

A. m = 2
B. m = 6
C. m = 0
D. m = 4

Xét hàm số f(x) = -x³ – 3x² + m trên đoạn [-1; 1] ta có:

f’(x) = -3x² – 6x

f’(x) = 0 => $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \leqslant x \leqslant 1} \\ { - 3{x^2} - 6x = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow x = 0$

Ta tính được

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 1} ight) = 2 + m} \\ \begin{gathered} f\left( 0 ight) = m \hfill \\ f\left( 1 ight) = - 4 + m \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} ight]} f\left( x ight) = f\left( 1 ight) = - 4 + m \hfill \\ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} ight]} f\left( x ight) = 0 \Rightarrow m = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 4: Thông hiểu

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x + 6}{x + 5m}$ nghịch biến trên khoảng $(15; + \infty)$ ?

A.
$3$
B.
$4$
C.
$5$
D.
$6$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 5m ight\}$

Ta có: $y' = \frac{5m - 6}{(x + 5m)^{2}}$

Hàm số $y = \frac{x + 6}{x + 5m}$ nghịch biến trên khoảng $(15; + \infty)$ khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} 5m - 6 < 0 \\ - 5m \leq 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < \frac{6}{5} \\ m \geq - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 3 \leq m < \frac{6}{5}$

Vì $m\mathbb{\in Z}$ nên có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5: Vận dụng

Cho hàm số $f\left( x ight) = 1 + C_{10}^1x + C_{10}^2{x^2} + ... + C_{10}^{10}{x^{10}}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A. 10
B. 0
C. 9
D. 1

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

$\begin{matrix} f\left( x ight) = 1 + C_{10}^1x + C_{10}^2{x^2} + ... + C_{10}^{10}{x^{10}} = {\left( {1 + x} ight)^{10}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 10{\left( {1 + x} ight)^9} \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Xác định số điểm cực trị của hàm số

Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị x = -1

Câu 6: Thông hiểu

Sự ảnh hưởng khi sử dụng một loại thuốc với cá thể $X$ được một nhà sinh học mô tả bởi hàm số $P(t) = \frac{t + 1}{t^{2} + t + 4}$ , trong đó $P(t)$ là số lượng cá thể sau $t$ giờ sử dụng thuốc. Vào thời điểm nào thì số lượng cá thể $X$ bắt đầu giảm?

A.
Sau $1$ giờ.
B.
Sau $2$ giờ.
C.
Sau $3$ giờ.
D.
Sau $1,5$ giờ.

Xét $P(t) = \frac{t + 1}{t^{2} + t + 4}$ ta có: $P'(t) = \frac{- t^{2} - 2t + 3}{\left( t^{2} + t + 4 ight)^{2}} = \frac{(t - 1)( - t - 3)}{\left( t^{2} + t + 4 ight)^{2}}$

$P'(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{(t - 1)( - t - 3)}{\left( t^{2} + t + 4 ight)^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 3 \\ t = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Ta thấy hàm số đạt cực đại tại $t = 1$ và $P'(t) < 0;\forall t \in (1; + \infty)$ nên sau $1$ giờ thì cá thể bắt đầu giảm.

Câu 7: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ có đồ thị như hình vẽ:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ ?

A.
$1$
B.
$- 1$
C.
$- 2$
D.
$3$

Trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ ta có: $f(x) \geq - 1$ và $f(x) = - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $\min_{\lbrack - 2;2brack}y = - 1$ .

Câu 8: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là:

A.
$y=2$
B.
$( - 1;2)$
C.
$(0;0)$
D.
$x = 0$

Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là $( - 1;2)$ .

Câu 9: Nhận biết

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?

A. $y = - \frac{1}{{{x^2} + 1}}$
B. $y = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} ight)^x$
C. $y = - {x^3} + 2{x^2} - 7x$
D. $y = - 4x + \cos x$

Với $y = - \frac{1}{{{x^2} + 1}} \Rightarrow y' = \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} ight)}^2}}}$

y’ > 0 khi x > 0 và y’ < 0 khi x < 0 nên hàm số không nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Câu 10: Nhận biết

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} + 2x^{2} - 7x - 3$ trên đoạn $\lbrack - 1;2brack$ bằng:

A.
$\frac{311}{27}$
B.
$- 7$
C.
$- 1$
D.
$5$

Ta có: $y' = 3x^{2} + 4x - 7$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 1 \\x = - \dfrac{7}{3} \\\end{matrix} ight.$

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} y(1) = - 7 \\ y(2) = - 1 \\ y( - 1) = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \max_{\lbrack - 1;2brack}y = y( - 1) = 5$

Câu 11: Vận dụng

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x^{2} - 3x + m}$ có đúng hai đường tiệm cận?

A.
$m \in \left( - \infty;\frac{9}{4} ightbrack$
B.
$m \in \left\{ 2 ight\}$
C.
$m \in \left( - \infty;\frac{9}{4} ight)$
D.
$m \in \left\{ 2;\frac{9}{4} ight\}$

Ta có: $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{x - 1}{x^{2} - 3x + m} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x - 1}{x^{2} - 3x + m} = 0$

Suy ra đồ thị hàm số đã cho luôn có đúng một tiệm cận ngang $y = 0$ . Nên để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận thì phải có thêm đúng một tiệm cận đứng nữa.

Tam thức $h(x) = x^{2} - 3x + m$ có $\Delta = 9 - 4m$

Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận thì phải có thêm đúng một tiệm cận đứng nữa:

$\left[ \begin{gathered} \Delta = 9 - 4m = 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \Delta = 9 - 4m > 0 \hfill \\ h\left( 1 ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \frac{9}{4} \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < \frac{9}{4} \hfill \\ m = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \frac{9}{4} \hfill \\ m = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy $m \in \left\{ 2;\frac{9}{4} ight\}$ .

Câu 12: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{mx + 2m + 3}{x + m}$ với $m$ là tham số. Gọi $T$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$ . Hỏi tập hợp $T$ có tất cả bao nhiêu phần tử?

A.
$4$
B.
$2$
C.
$5$
D.
$3$

Ta có: $y' = \frac{m^{2} - (2m + 3)}{(x + m)^{2}} = \frac{m^{2} - 2m - 3}{(x + m)^{2}}$

Theo yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y' < 0;\forall x \in (2; + \infty)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 2m - 3 < 0 \\ - m \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < m < 3 \\ m \geq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 1 < m < 3$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 0;1;2 ight\}$

$\Rightarrow T = \left\{ 0;1;2 ight\}$

Vậy tập hợp T có tất cả 3 phần tử.

Câu 13: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tìm giá trị của tham số thực $m$ để phương trình $f(x) = m$ có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt?

A.
$( - 1;3)$
B.
$( - 1;3brack$
C.
$\lbrack - 1;3brack$
D.
$\lbrack - 1;3)$

Phương trình $f(x) = m$ có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại ít nhất hai điểm phân biệt

$\Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 3$

Câu 14: Vận dụng cao

Tìm giá trị tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + 2m + 3$ có ba điểm cực trị $A;B;C$ sao cho trục $Ox$ chia tam giác $ABC$ thành một tam giác và một hình thang biết rằng tỉ lệ diện tích tam giác nhỏ được chia ra và diện tích hình thang bằng $\frac{4}{5}$ ?

A.
$m = \frac{5 + \sqrt{3}}{2}$
B.
$m = \frac{- 1 + \sqrt{15}}{2}$
C.
$m = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}$
D.
$m = \frac{1 + \sqrt{15}}{2}$

Ta có: $y' = 4x^{2} - 4(m + 1)x$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m > - 1$

Khi $m > - 1$ đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là $A(0;2m + 3)$ , $B\left( - \sqrt{m + 1}; - m^{2} + 2 ight)$ , $C\left( \sqrt{m + 1}; - m^{2} + 2 ight)$

Ta có: $A \in Oy$ , B và C đối xứng với nhau qua $Oy$ suy ra tam giác $ABC$ cân tại $A$

Hình vẽ minh họa

Trục hoành chia tam giác $ABC$ thành một tam giác và một hình thang $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m + 3 > 0 \\ - m^{2} + 2 < 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - \dfrac{3}{2} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m > \sqrt 2 \hfill \\ m < - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} m > \sqrt 2 \hfill \\ - \dfrac{3}{2} < m < - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Kết hợp với điều kiện $m > - 1$ ta được $m > \sqrt{2}$

Khi đó gọi D; E lần lượt là giao điểm của Ox và các cạnh AB; AC. Gọi K là giao điểm của BC và Oy

Ta có:

$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \left( \frac{OA}{AK} ight)^{2} = \left( \frac{y_{A}}{y_{A} - y_{B}} ight)^{2} = \left( \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} ight)^{2}$

Mà $\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{4}{9} \Leftrightarrow \left( \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} ight)^{2} = \frac{4}{9}$

Vì $m > \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} = \frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow 2m^{2} - 2m - 7 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = \dfrac{1 + \sqrt{15}}{2} \\m = \dfrac{1 - \sqrt{15}}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow m = \dfrac{1 +\sqrt{15}}{2}$ .

Câu 15: Thông hiểu

Định tất cả các giá trị thực của $m$ để hàm số $y = x^{4} + (2m - 6)x^{2} - 2020$ có ba điểm cực trị?

A.
$m > 3$
B.
$m \leq 3$
C.
$m \geq 3$
D.
$m < 3$

Ta có: $y' = 4x^{3} + 2(2m - 6)x = 4x\left( x^{2} + m - 3 ight)$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 4x = 0 \\ x^{2} + m - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = 3 - m \\ \end{matrix} ight.$

Để hàm số có ba điểm cực trị thì $y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt suy ra phương trình $x^{2} + m - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$

$\Leftrightarrow 3 - m > 0 \Leftrightarrow m < 3$

Vậy đáp án cần tìm là $m < 3$ .

Câu 16: Thông hiểu

Cho hàm số $y = - x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 3(2m - 1)x + 2020$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên $( - \infty; + \infty)$ ?

A.
$4$
B.
$6$
C.
$2$
D.
$5$

Ta có: $y' = - 3x^{2} - 6(m + 1)x + 3(2m - 1)$

Để hàm số đã cho nghịch biến trên $( - \infty; + \infty)$

$\Leftrightarrow y' \leq 0 \Leftrightarrow \Delta' \leq 0$

$\Leftrightarrow 9\left( m^{2} + 2m + 1 ight) + 18m - 9 \leq 0$

$\Leftrightarrow 9m^{2} + 36m \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 0$

Do $m\mathbb{\in Z}$ nên có tất cả 5 giá trị của m thỏa mãn điều kiện.

Câu 17: Thông hiểu

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $x^{3} - 3x^{2} - m^{2} + 5m = 0$ có ba nghiệm thực phân biệt?

A.
$2$
B.
$0$
C.
$5$
D.
$4$

Đặt $f(x) = x^{3} - 3x^{2} - m^{2} + 5m$

Để $x^{3} - 3x^{2} - m^{2} + 5m = 0$ có ba nghiệm thực phân biệt thì $f'(x) = 0$ có ba nghiệm thực phân biệt $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $f\left( x_{1} ight).f\left( x_{2} ight) < 0$

Ta có: $f'(x) = 3x^{2} - 6x \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f(0) = - m^{2} + 5m \\ f(2) = - m^{2} + 5m - 4 \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó $f(0).f(2) = \left( - m^{2} + 5m ight)\left( - m^{2} + 5m - 4 ight) < 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < m < 1 \\ 4 < m < 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy không có giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

Câu 18: Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; +∞)

A. $- 2 \leqslant m \leqslant 0$
B. $m \leqslant 0$
C. $m \leqslant - 2$
D. $m \geqslant - 2$

Ta có: $y' = 2mx - \left( {m + 6} ight)$ . Theo yêu cầu bài toán ta có:

$y' \leqslant 0;\forall x \in \left( { - 1; + \infty } ight)$

=> $2mx - \left( {m + 6} ight) \leqslant 0 \Leftrightarrow m \leqslant \frac{6}{{2x - 1}}$

Xét hàm số $g\left( x ight) = \frac{6}{{2x - 1}},x \in \left( { - 1; + \infty } ight)$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

Vậy $- 2 \leqslant m \leqslant 0$

Câu 19: Vận dụng cao

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 100 km. Vận tốc dòng nước là $5(km/h)$ . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v(km/h),(v > 5)$ thì năng lượng tiêu hao của cá trong $t$ giờ được cho bởi công thức $E(v) = c.v^{3}.t$ , trong đó $c$ là hằng số dương, $E$ được tính bằng Jun. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng $(a;b)$ thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của $b - a$ (kết quả làm tròn tới hàng phần mười).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 100 km. Vận tốc dòng nước là $5(km/h)$ . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v(km/h),(v > 5)$ thì năng lượng tiêu hao của cá trong $t$ giờ được cho bởi công thức $E(v) = c.v^{3}.t$ , trong đó $c$ là hằng số dương, $E$ được tính bằng Jun. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng $(a;b)$ thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của $b - a$ (kết quả làm tròn tới hàng phần mười).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 20: Nhận biết

Cho hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$ . Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là:

A. (-2; 0)
B. (-1; 4)
C. (0; 1)
D. (1; 0)

Ta có:

$\begin{matrix} y' = 3{x^2} - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ y'' = 6x \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y''\left( 1 ight) = 6 > 0} \\ {y''\left( { - 1} ight) = - 6 < 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (1; 0)

Câu 21: Nhận biết

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như hình vẽ?

A.
$y = - x^{4} - 4x^{2}$
B.
$y = - x^{4} + 4x^{2}$
C.
$y = - x^{3} + 2x$
D.
$y = x^{3} - 2x$

Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số $a < 0$ và có ba điểm cực trị nên $ab < 0$ nên chọn $y = - x^{4} + 4x^{2}$ .

Câu 22: Thông hiểu

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân $G(x) = 0,025x^{2}(30 - x)$ trong đó $x$ là số miligam thuộc được tiêm cho bệnh nhân $(0 < x < 30)$ . Để bệnh nhân đó có huyết áp giảm nhiều nhất thì liều lượng thuốc cần tiêm vào là:

A.
$x = 15(mg)$
B.
$x = 20(mg)$
C.
$x = 10(mg)$
D.
$x = 25(mg)$

Ta có: $G(x) = 0,025x^{2}(30 - x) \Rightarrow G'(x) = 1,5x - 0,075x^{2}$

$\Rightarrow G'(x) = 0 \Leftrightarrow 1,5x - 0,075x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 20 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy để bệnh nhân đó có huyết áp giảm nhiều nhất thì lượng thuốc cần tiêm vào là $x = 20(mg)$ .

Câu 23: Nhận biết

Cho hàm số $y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x - 1}}$ . Đồ thị hàm số có mấy đường tiệm cận?

A. 1
B. 0
C. 2
D. 3

Tập xác định: $D = \left( { - \infty ;2} ight] \cup \left[ {2; + \infty } ight)$

Ta thấy rằng x = 1 không thuộc D => Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{\left| x ight|\sqrt {1 - \dfrac{4}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 - \dfrac{1}{x}} ight)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{\left| x ight|}}{x} \hfill \\ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

=> y = 1 và y = -1 là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 24: Thông hiểu

Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận đứng?

A. $y = \frac{{3x - 1}}{{{x^2} + 1}}$
B. $y = \frac{{ - 1}}{x}$
C. $y = \frac{{\sqrt {x + 3} }}{{x + 2}}$
D. $y = \frac{1}{{{x^2} - 2x + 1}}$

Phương trình x² + 1 = 0 vô nghiệm nên không tìm được x₀ để $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x ight) = \pm \infty$

=> Hàm số không có tiệm cận đứng.

Các đồ thị hàm số ở B, C, D lần lượt có các tiệm cận đứng là x = 0, x = -2 và x = 1

Câu 25: Thông hiểu

Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}$ sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ điểm M đến trục hoành:

A. M(0; -1), M(3; 2)
B. M(2; 1), M(4; 3)
C. M(2; 1), M(3; 2)
D. M(0; -1), M(4; 3)

Do M thuộc đồ thị hàm số nên tọa độ điểm $M\left( {{x_0};\frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}} ight);{x_0} e 1$

Phương trình tiệm cận đứng là x – 1 = 0 (d’)

Giải phương trình d(M,d’) = d(M, Ox)

=> $\left| {{x_0} - 1} ight| = \left| {\frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}} ight| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_0} = 0} \\ {{x_0} = 4} \end{array}} ight.$

Câu 26: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ . Biết đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ biểu diễn như hình vẽ:

Khi đó hàm số $y = f\left( x^{2} - 1 ight)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.
$( - 1;1)$
B.
$( - 2;0)$
C.
$( - 4; - 2)$
D.
$(0;2)$

Ta có: $y' = 2x.f'\left( x^{2} - 1 ight) \leq 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ f'\left( x^{2} - 1 ight) \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ f'\left( x^{2} - 1 ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ x^{2} - 1 \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} - 1 \geq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ - 2 \leq x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x \leq - 2 \\ x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 \leq x \leq 0 \\ x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là $( - 2;0)$ .

Câu 27: Vận dụng

Một máy bay bắt đầu hạ cánh, biết quỹ đạo đường bay của nó được mô hình hóa toán học trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ (với mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 dặm) có dạng đồ thị của hàm bậc ba. Vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ là $( - 4;1)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay này tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đáp án: 0,84 dặm

Đáp án là:

Một máy bay bắt đầu hạ cánh, biết quỹ đạo đường bay của nó được mô hình hóa toán học trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ (với mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 dặm) có dạng đồ thị của hàm bậc ba. Vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ là $( - 4;1)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay này tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đáp án: 0,84 dặm

Gọi hàm số mô phỏng đường bay của máy bay là $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\ (a eq0)$ .

Đồ thị hàm số đi qua điểm $O(0;0)$ nên ta có $d = 0$ .

Đồ thị hàm số đi qua điểm $( -4;1)$ nên ta có phương trình $- 64a +16b - 4c = 1\ \ (1)$ .

Mặt khác, ta có $( - 4;1)$ và $O(0;0)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nên ta có $y'( - 4) = 0;\y'(0) = 0$ tức là $\left\{\begin{matrix}48a - 8b + c = 0 \\c = 0 \\\end{matrix} ight.$ $(2)$ .

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $a =\frac{1}{32};\ b = \frac{3}{16};\ c = 0$ .

Suy ra $y = \frac{1}{32}x^{3} +\frac{3}{16}x^{2}$ .

Thay $x = - 3$ ta được $y = \frac{27}{32} \approx 0,84$ .

Vậy khi máy bay ha cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất khoảng $0,84$ dặm.

Câu 28: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên các khoảng $( - \infty;0)$ và $(0; + \infty)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
B.
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
C.
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
D.
Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận.

Vì $\lim_{x ightarrow - \infty}y = 2$ nên $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì ${\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x ight) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x ight) = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.}$ nên $x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 29: Nhận biết

Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A.
$y = \frac{x + 3}{x -2}$
B.
$y = x^{3} - 3x$
C.
$y = x^{4} - 4x^{2} +2$
D.
$y = \frac{x - 3}{x +1}$

Đồ thị trong hình vẽ là hàm số có dạng $y= \frac{ax + b}{cx + d}$

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y =1$ và tiệm cận đứng $x = 2$ nên hàm số cần tìm là $y = \frac{x + 3}{x -2}$ .

Câu 30: Nhận biết

Cho hình vẽ:

Đường trong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào?

A.
$y = x^{3} - 3x + 1$
B.
$y = x^{4} - x^{2} + 1$
C.
$y = - x^{3} + 5x + 2$
D.
$y = - x^{4} + 3x^{2} + 1$

Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc ba dạng $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ với $a > 0$

Vậy hàm số cần tìm là $y = x^{3} - 3x + 1$ .

Câu 31: Thông hiểu

Cho hàm số $y = {x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 1$ . Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $\left( { - 25;\frac{{11}}{{10}}} ight)$ . Tìm M.

A. $M = 1$
B. $M = \frac{{129}}{{250}}$
C. $M = 0$
D. $M = \frac{1}{2}$

Ta có:

$\begin{matrix} y' = 3{x^2} - 3x \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có bảng biến thiên

Tìm GTLN của hàm số

Từ bảng biến thiên ta có M = 1

Câu 32: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tổng các giá trị nguyên của tham số $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt bằng bao nhiêu?

A.
$0$
B.
$- 3$
C.
$- 5$
D.
$- 1$

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt $\Leftrightarrow - 4 < m < 2$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 3; - 2; - 1;0;1 ight\}$

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bằng -5.

Câu 33: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2}$ . Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A.
$3$
B.
$2$
C.
$1$
D.
$0$

Tập xác định $D = \lbrack 1;2) \cup (2; + \infty)$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}y = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2} = 1$

$\lim_{x ightarrow 2^{-}}y = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x - 2}{(x - 2)\left( \sqrt{x - 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{1}{\sqrt{x - 1} + 1} = \frac{1}{2}$

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}y = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x - 2}{(x - 2)\left( \sqrt{x - 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{1}{\sqrt{x - 1} + 1} = \frac{1}{2}$

$\lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2} = 0$

Vậy đồ thị có một tiệm cận ngang $y = 0$ .

Câu 34: Nhận biết

Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞)

Ta có:

$\begin{matrix} y' = 3{x^2} - 6x \hfill \\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có bảng xét dấu:

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây

Quan sát bảng xét dấu ta thấy:

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)

+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2)

Câu 35: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số TCĐ và TCN của đồ thị hàm số

Hỏi đồ thị hàm số $y = \frac{{{f^2}\left( x ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {{f^2}\left( x ight) - 2f\left( x ight)} ight]\left( {2{x^5} + {x^4} - 10{x^3} - 5{x^2} + 8x + 4} ight)}}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A. 7
B. 6
C. 5
D. 4

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $f\left( x ight) = a{x^2}\left( {x + 1} ight)\left( {x - 2} ight)$

Ta có:

$\begin{matrix} y = \dfrac{{{f^2}\left( x ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {{f^2}\left( x ight) - 2f\left( x ight)} ight]\left( {2{x^5} + {x^4} - 10{x^3} - 5{x^2} + 8x + 4} ight)}} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{a{x^2}\left( {x + 1} ight)\left( {x - 2} ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {{x^2} - 4} ight)\left( {{x^2} - 1} ight)\left( {2x + 1} ight)}} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{a{x^2}\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight)\left( {2x + 1} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f(x) = 2 có 2 nghiệm x = a hoặc x = b trong đó a < 0, b > 2

Với điều kiện thì phương trình

$\left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight)\left( {2x + 1} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 2} \\ {x = 1} \\ {x = a} \\ {x = b} \end{array}} ight.$

Do đó đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng

Mặt khác bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 0 => Đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận.

Câu 36: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f'(x) = x^{2}(x - 1)$ . Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.
$( - \infty; + \infty)$
B.
$(1; + \infty)$
C.
$( - \infty;1)$
D.
$(0;1)$

Ta có: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^{2}(x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Lập bảng xét dấu như sau:

Suy ra hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$

Câu 37: Vận dụng

Cho hàm số $f\left( x ight) = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 8}}$ (với m là tham số thực). Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -2 trên đoạn [0; 3].

A. m = -2
B. m = 4
C. m = 0
D. m = -1

Xét hàm số $f\left( x ight) = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 8}}$ trên đoạn [0; 3] ta có:

$f'\left( x ight) = \frac{{8 + {m^2}}}{{{{\left( {x + 8} ight)}^2}}} > 0;\forall x \in \left[ {0;3} ight]$

=> Hàm số f(x) đồng biến trên (0; 3)

=> $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} ight]} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) = \frac{{ - {m^2}}}{8}$

Theo bài ra ta có:

$\begin{matrix} \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} ight]} f\left( x ight) = - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{{m^2}}}{8} = - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 16 \Leftrightarrow m = \pm 4 \hfill \\ \Rightarrow {m_{\max }} = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 38: Thông hiểu

Giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = - x^{3} + mx^{2} + \left( m^{2} - 12 ight)x + 2$ đạt cực tiểu tại điểm $x = - 1$ thuộc khoảng nào sau đây?

A.
$(5;9)$
B.
$( - 4;0)$
C.
$(0;3)$
D.
$(3;6)$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} y' = - 3x^{2} + 2mx + m^{2} - 12 \\ y'' = - 6x + 2m \\ \end{matrix} ight.$

Để hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$ thì

$\left\{ \begin{matrix} y'(1) = 0 \\ y''(1) > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 2m - 15 = 0 \\ m > - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m = 5(tm) \\ m = - 3(ktm) \\ \end{matrix} ight.\ \\ m > - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 5$

Vậy $m = 5 \in (3;6)$ .

Câu 39: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(3 - 2x)$ có bảng xét dấu như sau:

Hỏi hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên các khoảng nào dưới đây?

A.
$(3;5)$
B.
$( - 1;2)$
C.
$(1;3)$
D.
$(5; + \infty)$

Ta có:

$y' = f'(3 - 2x) = - 2f'(3 - 2x)$

$f'( - 1) = f'(3) = f'(5) = 0$

$f'(x) = k(x - 5)(x - 3)(x - 1)$

Xét $x = 3 \Rightarrow y' = - 2f'( - 3) > 0$

$\Rightarrow f'( - 3) < 0$

Bảng xét dấu $y = f'(x)$ là:

Căn cứ vào bảng xét dấu ta thấy

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(3;5)$ .

Câu 40: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} - x + m + 1$ với $m$ là tham số. Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $A;B$ thỏa mãn ${x_{A}}^{2} + {x_{B}}^{2} = 2$ ?