Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm
. Khi đó hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Ta có bảng xét dấu như sau:

Dựa vào bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -3) và (-0; 3)
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm
. Khi đó hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Ta có bảng xét dấu như sau:

Dựa vào bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -3) và (-0; 3)
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Tập xác định
Ta có:
Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định
Hay hàm số nghịch biến trên các khoảng .
Biết đồ thị hàm số
nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Giá trị m + n là:
Điều kiện
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
=>
Đặt
Nhận thấy với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x = 0 làm tiệm cận đứng thì g(0) = 0
=> n – 6 = 0 => n = 6
Kết hợp với (*) => m = 3
Vậy m + n = 9
Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
có giá trị lớn nhất trên
bằng
. Số phần tử của tập hợp
:
Ta có:
Đặt
Hàm số đã cho trở thành:
Ta có:
Vậy số phần tử của tập hợp S là 1.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra mệnh đề đúng là: “Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là ”.
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
bằng:
Ta có:
Lại có:
Từ đó
Xét hàm số
=> Hàm số đồng biến trên
=>
=>
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Hãy phương trình
có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng
?
Ta có:
Từ đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt, đường thẳng
cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt do đó phương trình
có hai nghiệm phân biệt và phương trình
có 4 nghiệm phân biệt
Vậy phương trình có tất cả 6 nghiệm thực phân biệt.
Cho hàm số y = f(x). Biết hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số
là:

Ta có:
Do

Vậy hàm số có ba điểm cực trị.
Hình vẽ nào sau đây là đồ thị của hàm số
với
?
Với thì đồ thị hàm số
theo thứ tự tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ
và
Mặt khác với thì
nên khi
thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành
Vậy đồ thị hàm số cần tìm là .
Cho hàm số
(với
là tham số) đạt cực tiểu tại
. Tìm giá trị tham số
?
Tập xác định
Ta có:
Hàm số đạt cực tiểu tại suy ra
Với
. Khi đó
suy ra
là điểm cực tiểu của hàm số.
Vậy là giá trị cần tìm.
Cho hàm số
. Giả sử
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
. Khi đó giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Vậy
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
Số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình
Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình trên có 4 nghiệm tương ứng với 4 đường tiệm cận đứng.
Cho hàm số
. Hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số
sao cho hàm số
đồng biến trên khoảng
. Hỏi tập hợp
có tất cả bao nhiêu phần tử?
Cho hàm số . Hàm số
có đồ thị như hình vẽ:
Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số
sao cho hàm số
đồng biến trên khoảng
. Hỏi tập hợp
có tất cả bao nhiêu phần tử?
Cho hàm số
xác định và liên tục trên
và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tìm giá trị của tham số thực
để phương trình
có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt?
Phương trình có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại ít nhất hai điểm phân biệt
Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?
Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số
nghịch biến trên khoảng
?
Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
?
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên
Vậy đáp án cần tìm là
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?
(i) Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
(ii) Hàm số có cực tiểu tại
.
(iii) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
.
(iv) Hàm số xác định trên
.
Do nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang;
nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng. Do đó đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận nên (i) đúng.
Hàm số có cực tiểu tại đúng nên (ii) đúng.
Hàm số nghịch biến trên nên (iii) sai.
Hàm số không xác định tại nên (iv) sai.
Vậy có 2 khẳng định sai.
Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ:

Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số và có ba điểm cực trị nên
.
Suy ra hàm số tương ứng với đồ thị đã cho là .
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

Đồ thị trong hình vẽ là hàm số có dạng
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là và tiệm cận đứng
nên hàm số cần tìm là
.
Hỏi đồ thị của hàm số
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận (không xét tiệm cận xiên)?
Tập xác định
Ta có: nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Tìm giá trị của tham số
để đồ thị hàm số
đi qua điểm
?
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên ta có:
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số theo thứ tự là

Từ đồ thị của hàm số suy ra tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là : x = 1 ; y = 1
Cho hàm số bậc ba
có đồ thị như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số
có 3 tiệm cận đứng?
Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số có 3 tiệm cận đứng?
Cho hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị -2; -1; 0 và có đạo hàm liên tục trên
. Khi đó hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Ta có hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị -2; -1; 0 và có đạo hàm liên tục trên nên f’(x) = 0 có ba nghiệm x = -2; x = -1, x = 0
Đặt
Vì f’(x) liên tục trên nên g’(x) cũng liên tục trên
. Do đó những điểm g’(x) có thể đổi dấu thuộc tập các điểm thỏa mãn.
Ba nghiệm trên đều là nghiệm đơn hoặc bội lẻ nên hàm số g(x) có ba điểm cực trị.
Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có một cực trị. Xác định số phần tử của tập
?
Để hàm số có một cực trị thì
Vậy có 7 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x). Đồ thị của hàm số y = f’(x) được biểu diễn trong hình vẽ dưới đây.

Biết rằng
. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn [0; 4]?
Ta có bảng xét dấu như sau:

Dựa vào bảng xét dấy ta có M = f(2), GTNN chỉ có thể là f(0) hoặc f(4)
Ta lại có
f(1) và f(3) nhỏ hơn f(2) => f(1) + f(3) < 2f(2)
=> 2f(2) – f(1) – f(3) > 0
Theo bài ra ta có:
f(0) + f(1) + f(3) = f(4) + 2f(2)
=> f(0) – f(4) = 2f(2) – f(1) – f(3) > 0
=> f(0) – f(4) > 0 => f(0) > f(4)
=> GTNN đạt được tại x = 4
Cho hàm số
có đạo hàm
. Hỏi hàm số
có bao nhiêu cực trị?
Cho hàm số có đạo hàm
. Hỏi hàm số
có bao nhiêu cực trị?
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Biết f(-4) > f(8), khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên bằng:
Từ bảng biến thiên ta có:
Mặt khác f(-4) > f(8) => thì
Vậy
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
Từ đồ thị của hàm số ta xác định được hàm số đồng biến trên các khoảng
.
Cho hàm số
có đồ thị
là parabol như hình vẽ:

Khẳng định nào sau đây là đúng?
Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng và
.
Điều kiện của tham số
để hàm số
đồng biến trên
là:
Tập xác định:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên
Vậy giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Cho hàm số
. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
bằng bao nhiêu?
Ta có: Hàm số đã cho xác định và liên túc trên đoạn
Suy ra hàm số đồng biến trên
Vậy .
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên
là
. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
Tập xác định:
Ta có:
Ta có bảng xét dầu’(x) như sau:

Dựa vào bảng xét dấy của f’(x) ta thấy f’(x) đổi dấu qua hai điểm x = 2018, x = 2019 nên hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Cho hàm số
có đồ thị như sau:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
là đồ thị của hàm số
. Đúng||Sai
b)
là đồ thị của hàm số
. Đúng||Sai
c)
là đồ thị của hàm số
. Sai|| Đúng
d) Đồ thị của hàm số
và
là khác nhau. Sai|| Đúng
Cho hàm số có đồ thị như sau:
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) là đồ thị của hàm số
. Đúng||Sai
b) là đồ thị của hàm số
. Đúng||Sai
c) là đồ thị của hàm số
. Sai|| Đúng
d) Đồ thị của hàm số và
là khác nhau. Sai|| Đúng
a) Đồ thị hàm số
- Giữ nguyên phần trên trục Ox.
- Đối xứng với phần bị bỏ của đồ thị qua trục Ox.
b) Ta có:
Do đó đồ thị hàm số gồm hai phần:
Phần 1: Đồ thị hàm số với
.
Phần 2: Đối xứng với phần còn lại của đồ thị với x < −1 qua trục Ox.
c) Đồ thị gồm hai phần:
Phần 1: Giữ nguyên phần trên Ox
Phần 2: Đối xứng với phần bị bỏ của đồ thị qua trục Ox.
d) Đồ thị của hàm số và
là giống nhau.
Cho hàm số
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?
Điều kiện
Từ điều kiện ta có:
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
Mặt khác
=> y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Không tồn tại
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng một tiệm cận ngang
Tìm giá trị của tham số
để giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
bằng
?
Ta có:
Vậy giá trị cần tìm là .
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
có đồ thị như hình vẽ:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
?
Trên đoạn ta có:
và
Vậy .
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên từng khoảng xác định?
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số
đồng biến trên từng khoảng xác định?
Cho hàm số
với
là tham số. Tìm giá trị của
để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua điểm
?
Ta có: suy ra
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Do