Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Câu 1: Nhận biết

Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

Số nghiệm thực của phương trình

Số nghiệm thực của phương trình $2f\left( x ight) - 5 = 0$ là:

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Ta có: $2f\left( x ight) - 5 = 0 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{5}{2}$

Quan sát đồ thị ta thấy $y = \frac{5}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x ight)$ tại ba điểm phân biệt

=> Phương trình $2f\left( x ight) - 5 = 0$ có ba nghiệm thực phân biệt.

Câu 2: Thông hiểu

Cho đồ thị của hàm số $y = ax^{4} + bx^{2} + c;(a eq 0)$ có điểm cực đại $A(0; - 3)$ và điểm cực tiểu $B( - 1; - 5)$ . Tính giá trị biểu thức $T = a + 2b + 3c$ ?

A.
$T = 3$
B.
$T = - 5$
C.
$T = - 9$
D.
$T = - 15$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $A(0; - 3)$ và $B( - 1; - 5)$ nên $\left\{ \begin{matrix} c = - 3 \\ a + b + c = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = - 3 \\ a + b = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ (*)$

$y = ax^{4} + bx^{2} + c \Rightarrow y' = 4ax^{3} + 2bx$

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu $B( - 1; - 5)$ nên $- 4a - 2b = 0(**)$

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} a + b = - 2 \\ - 4a - 2b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = - 4 \\ \end{matrix} ight.$

Với $\left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = - 4 \\ c = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow y = 2x^{4} - 4x^{2} - 3 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y' = 8x^{3} - 8x \\ y'' = 24x^{2} - 8 \\ \end{matrix} ight.$

$y''(0) = - 8 < 0$ suy ra $A(0; - 3)$ là điểm cực đại.

$y''( - 1) = 16 > 0$ suy ra $B( - 1; - 5)$ là điểm cực tiểu

Vậy $T = a + 2b + 3c = - 15$

Câu 3: Thông hiểu

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{x^{2} + x - 2}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A.
$1$
B.
$3$
C.
$2$
D.
$0$

Ta có: $y = \frac{x - 3}{x^{2} + x - 2} = \frac{x - 3}{(x - 1)(x + 2)}$

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}y = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x - 3}{(x - 1)(x + 2)} = - \infty$ suy ra $x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}y = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x - 3}{(x - 1)(x + 2)} = + \infty$ suy ra $x = - 2$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận đứng.

Câu 4: Thông hiểu

Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = f(x) = x^{3} + \frac{1}{2}\left( x^{2} - 1 ight)x^{2} + 1 - m$ có điểm cực đại là $x = - 1$ ?

A.
$2$
B.
$3$
C.
$1$
D.
$6$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f'(x) = 3x^{2} + \left( m^{2} - 1 ight)x \\ f''(x) = 6x + m^{2} - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số có điểm cực đại là $x = - 1$ khi $\left\{ \begin{matrix} f'( - 1) = 0 \\ f''( - 1) < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 - m^{2} = 0 \\ m^{2} - 7 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = \pm 2$

Câu 5: Thông hiểu

Giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = - x^{3} + mx^{2} + \left( m^{2} - 12 ight)x + 2$ đạt cực tiểu tại điểm $x = - 1$ thuộc khoảng nào sau đây?

A.
$(5;9)$
B.
$( - 4;0)$
C.
$(0;3)$
D.
$(3;6)$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} y' = - 3x^{2} + 2mx + m^{2} - 12 \\ y'' = - 6x + 2m \\ \end{matrix} ight.$

Để hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$ thì

$\left\{ \begin{matrix} y'(1) = 0 \\ y''(1) > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 2m - 15 = 0 \\ m > - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m = 5(tm) \\ m = - 3(ktm) \\ \end{matrix} ight.\ \\ m > - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 5$

Vậy $m = 5 \in (3;6)$ .

Câu 6: Thông hiểu

Cho hàm số $y =f(x) = - \frac{1}{3}x^{3} + ax^{2} + (3a + 2)x - 5$ . Tập hợp các giá trị của tham số $a$ để hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là $\lbrack m;nbrack$ . Tính giá trị biểu thức $T=2m-n$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y =f(x) = - \frac{1}{3}x^{3} + ax^{2} + (3a + 2)x - 5$ . Tập hợp các giá trị của tham số $a$ để hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là $\lbrack m;nbrack$ . Tính giá trị biểu thức $T=2m-n$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 7: Thông hiểu

Biết đồ thị hàm số $y = \frac{(2m - n)x^{2} + mx + 1}{x^{2} + mx + n - 6}$ (với $m,n$ là tham số) nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận. Tính tổng $m + n$ ?

A.
$8$
B.
$- 6$
C.
$9$
D.
$6$

Ta có: $\lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{(2m - n)x^{2} + mx + 1}{x^{2} + mx + n - 6} = 2m - n$ suy ra $y = 2m - n$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Suy ra $2m - n = 0$ .

Đồ thị hàm số nhận trục tung $x = 0$ là tiệm cận đứng nên phương trình $x^{2} + mx + n - 6 = 0$ có một nghiệm bằng $0$ hay $n - 6 = 0$

Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{matrix} 2m - n = 0 \\ n - 6 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 3 \\ n = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m + n = 9$

Câu 8: Thông hiểu

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $f\left( x ight) = 2m$ có đúng hai nghiệm phân biệt.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 0} \\ {m < - 3} \end{array}} ight.$
B. $m < - 3$
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 0} \\ {m < \dfrac{{ - 3}}{2}} \end{array}} ight.$
D. $m < \frac{{ - 3}}{2}$

Để phương trình $f\left( x ight) = 2m$ có hai nghiệm phân biệt thì $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2m = 0} \\ {2m < - 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 0} \\ {m < \dfrac{{ - 3}}{2}} \end{array}} ight.$

Câu 9: Nhận biết

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ:

A.
$y = x^{3} - 3x^{2}$
B.
$y = - x^{4} +2x^{2}$
C.
$y = - x^{3} +3x^{2}$
D.
$y = x^{4} -2x^{2}$

Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số $a >0$ và có ba điểm cực trị nên $ab <0$ .

Suy ra hàm số tương ứng với đồ thị đã cho là $y = x^{4} - 2x^{2}$ .

Câu 10: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:

A.
$1$
B.
$3$
C.
$4$
D.
$2$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = + \infty$ nên hàm số có tiệm cận ngang là $y = 2$ và tiệm cận đứng là $x = 0$ .

Câu 11: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới dây?

A.
$( - \infty;0)$
B.
$(1; + \infty)$
C.
$(0;1)$
D.
$( - 1;0)$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên $(0;1)$ .

Câu 12: Thông hiểu

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x - m}{x + 1}$ đồng biến trên từng khoảng xác định?

A.
$m \geq - 1$
B.
$m > 1$
C.
$m \geq 1$
D.
$m > - 1$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$

Ta có: $y' = \frac{m + 1}{(x + 1)^{2}};\forall x eq - 1$

Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $y' > 0$

$\Leftrightarrow \frac{m + 1}{(x + 1)^{2}} > 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$

Vậy đáp án cần tìm là $m > - 1$ .

Câu 13: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Gọi $M;m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f( -2x)$ trên đoạn $\left\lbrack -1;\frac{1}{2} ightbrack$ . Tính giá trị của biểu thức $B = 2m + 3M$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Gọi $M;m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f( -2x)$ trên đoạn $\left\lbrack -1;\frac{1}{2} ightbrack$ . Tính giá trị của biểu thức $B = 2m + 3M$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 14: Vận dụng

Cho hàm số đa thức bậc bốn $f(x)$ . Đồ thị hàm số $y = f'(3 - 2x)$ được biểu thị trong hình vẽ sau:

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trong khoảng nào?

A.
$( - \infty; - 1)$
B.
$(5; + \infty)$
C.
$( - 1;1)$
D.
$(1;5)$

Đặt $t = 3 - 2x$ . Ta có bảng xét dấu của $f'(3 - 2x)$ được mô tả lại như sau:

Từ đó suy ra bảng xét dấu của $f'(t)$

Vậy hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên các khoảng $( - \infty; - 1),(3;5)$ .

Câu 15: Thông hiểu

Hình vẽ nào sau đây là đồ thị của hàm số $y = (x - c)(d - x)^{2}$ với $c > d > 0$ ?

A.
B.
C.
D.

Với $c > d > 0$ thì đồ thị hàm số $y = (x - c)(d - x)^{2}$ theo thứ tự tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ $x = d$ và $x = c$

Mặt khác với $x \leq c$ thì $y \leq 0$ nên khi $x \leq c$ thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành

Vậy đồ thị hàm số cần tìm là .

Câu 16: Vận dụng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm. Biết f(x) có đạo hàm f’(x) và hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ:

Điểm cực đại của hàm số

Hàm số g(x) = f(x - 1) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

A. x = 2
B. x = 4
C. x = 3
D. x = 1

Cách 1: Ta có:

$\begin{matrix} g'\left( x ight) = f'\left( {x - 1} ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1 = 1} \\ {x - 1 = 3} \\ {x - 1 = 5} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2} \\ {x = 4} \\ {x = 6} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} g'\left( x ight) = f'\left( {x - 1} ight) > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 < x - 1 < 3} \\ {x - 1 > 5} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 < x < 4} \\ {x > 6} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy chọn đáp án B

Cách 2: Đồ thị hàm số g’(x) = f’(x – 1) là phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = f’(x) theo phương trục hoành sang bên phải 1 đơn vị. Ta có hình vẽ minh họa:

Điểm cực đại của hàm số

Đồ thị hàm số g’(x) = f’(x – 1) cắt trục hoành tạo các điểm có hoành độ x = 2, x = 4, x = 6 và giá trị hàm số g’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x = 4

Chọn B

Câu 17: Vận dụng

Cho hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d;\left( {a e 0} ight)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Số nghiệm của phương trình

Số nghiệm của phương trình $f\left( {f\left( x ight)} ight) = 0$ là:

A. 7
B. 9
C. 6
D. 5

Ta có: $f\left( {f\left( x ight)} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) = a\left( 1 ight)} \\ {f\left( x ight) = b\left( 2 ight)} \\ {f\left( x ight) = c\left( 3 ight)} \end{array}} ight.;\left( {a < b < c} ight)$

Khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 2} \\ {b \in \left( { - 2;2} ight)} \\ {c > 2} \end{array}} ight.$ suy ra phương trình (1) có 1 nghiệm; phương trình (2) có 3 nghiệm và phương trình (3) có 1 nghiệm.

=> Phương trình $f\left( {f\left( x ight)} ight) = 0$ có 5 nghiệm

Câu 18: Thông hiểu

Hỏi đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1} - x$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A.
$2$
B.
$1$
C.
$0$
D.
$3$

Tập xác định $D = ( - \infty;2)\backslash\left\{ 1 ight\}$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1} - x ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x\left( 1 + \sqrt{\dfrac{2}{x^{2}} - \dfrac{1}{x}}ight)}{x\left( 1 - \dfrac{1}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{1 + \sqrt{\dfrac{2}{x^{2}} - \dfrac{1}{x}}}{1 - \dfrac{1}{x}}= 1$

Suy ra $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1} - x ight) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1}$

$= \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - 2 + x}{(x - 1)\left( x + \sqrt{2 - x} ight)} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x + 2}{x + \sqrt{2 - x}} = \frac{3}{2}$

Suy ra hàm số không có tiệm cận đứng

Vậy hàm số có 1 đường tiệm cận.

Câu 19: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập số thực và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x ight) = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - + } f\left( x ight) = + \infty$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-2020; 2020] để đồ thị hàm số $g\left( x ight) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 3x} + x}}{{\sqrt {2f\left( x ight) - {f^2}\left( x ight)} + m}}$ có tiệm cận ngang nằm bên dưới đường thẳng y = -1.

A. 2
B. 0
C. 1
D. 3

Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant - 3;x \geqslant 0} \\ {0 \leqslant f\left( x ight) \leqslant 2} \\ {\sqrt {2f\left( x ight) - {f^2}\left( x ight)} + m e 0} \end{array}} ight.$

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x ight) = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {2f\left( x ight) - {f^2}\left( x ight)} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {2f\left( x ight) - {f^2}\left( x ight)} ight]} = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 3x} + x} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{ - \left( {\sqrt {1 - \dfrac{3}{x}} + 1} ight)}} = - \frac{3}{2}$

Từ đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x ight) = - \frac{3}{{2m + 2}},\left( {m e - 1} ight)$

Khi đó hàm số g(x) có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = \frac{{ - 3}}{{2m + 2}}$

Để tiệm cận ngang tìm được ở trên nằm dưới đường thẳng y = - thì $\frac{{ - 3}}{{2m + 2}} < - 1 \Rightarrow - 1 < m < \frac{1}{2}$

Vì $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 0$

Câu 20: Thông hiểu

Hàm số y = x⁴ - 2x² + 1 đồng biến trên khoảng nào?

A. $\forall x \in \mathbb{R}$
B. (-1; 0) và (1; +∞)
C. (-1; 0)
D. (1; +∞)

Ta có bảng biến thiên như sau:

Tìm khoảng đồng biến của hàm số

Hàm số y = x⁴ – 2x² + 1 đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; +∞)

Câu 21: Vận dụng cao

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in ( - 2021;2021)$ để hàm số $y = \left| x^{4} - 4x^{2} + m + 2020ight|$ có 7 điểm cực trị?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in ( - 2021;2021)$ để hàm số $y = \left| x^{4} - 4x^{2} + m + 2020ight|$ có 7 điểm cực trị?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 22: Thông hiểu

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = - x^{3} - 6x^{2} + (4m - 9)x + 4$ nghịch biến trên khoảng $( - \infty; - 3)$ là:

A.
$( - \infty;0brack$
B.
$\lbrack 0; + \infty)$
C.
$\left( - \infty; - \frac{3}{4} ightbrack$
D.
$\left\lbrack - \frac{3}{4}; + \infty ight)$

Ta có: $y' = - 3x^{2} - 12x + 4m - 9$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty; - 3)$ khi $y' \leq 0;\forall x \in ( - \infty; - 3)$

$\Leftrightarrow - 3x^{2} - 12x + 4m - 9 \leq 0;\forall x \in ( - \infty; - 3)$

$\Leftrightarrow 4m \leq 3x^{2} + 12x + 9;\forall x \in ( - \infty; - 3)$

Đặt $f(x) = 3x^{2} + 12x + 9$ ta có: $f'(x) = 6x + 12$ . Ta có bảng biến thiên của $f(x)$ như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

$4m \leq 3x^{2} + 12x + 9;\forall x \in ( - \infty; - 3)$

$\Leftrightarrow 4m \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 0$

Vậy $( - \infty;0brack$ là giá trị của tham số m cần tìm.

Câu 23: Nhận biết

Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2}{- x + 3}$ ?

A.
$x = - 2$
B.
$y = - 2$
C.
$y = 0$
D.
$x = 3$

Ta có: $\lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{2}{- x + 3} = 0$

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2}{- x + 3}$ là đường thẳng có phương trình $y = 0$ .

Câu 24: Nhận biết

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} + 2x^{2} - 7x - 3$ trên đoạn $\lbrack - 1;2brack$ bằng:

A.
$\frac{311}{27}$
B.
$- 7$
C.
$- 1$
D.
$5$

Ta có: $y' = 3x^{2} + 4x - 7$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 1 \\x = - \dfrac{7}{3} \\\end{matrix} ight.$

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} y(1) = - 7 \\ y(2) = - 1 \\ y( - 1) = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \max_{\lbrack - 1;2brack}y = y( - 1) = 5$

Câu 25: Vận dụng cao

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Xét hàm số $g\left( x ight) = f\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 3$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số g(x) nghịch biến trong khoảng (-1; 0)
B. Hàm số g(x) nghịch biến trong khoảng (0; 2)
C. Hàm số g(x) nghịch biến trong khoảng (-4; -1)
D. Hàm số g(x) nghịch biến trong khoảng (2; 3)

Ta có:

$g'\left( x ight) = \frac{1}{2}f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \left( {{x^2} - 3x + 2} ight)$

$f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{ - 5}}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = - 1} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = \frac{1}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 4} \\ {x = - 1} \\ {x = 2} \\ {x = 7} \end{array}} ight.$

$f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} < - \dfrac{5}{2}} \\ {\dfrac{1}{2} < \dfrac{{x - 1}}{2} < 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 4} \\ {2 < x < 7} \end{array}} ight.$

Ta có bảng xét dấu cho các biểu thức

Tìm khẳng định sai

Từ bảng xét dấu ta thấy

$x \in \left( {0;1} ight) \subset \left( {0;2} ight) \Rightarrow g'\left( x ight) < 0$

Khi đó hàm số nghịch biến

=> Đáp án B sai

Câu 26: Thông hiểu

Số tiệm cận của hàm số $y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}}{{\sqrt {{x^2} - 9} - 4}}$ là:

A. 2
B. 4
C. 3
D. 1

Tập xác định: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 9 \geqslant 0} \\ {\sqrt {{x^2} - 9} e 4} \end{array}} ight. \Rightarrow x \in \left( { - \infty ; - 3} ight] \cup \left[ {3; + \infty } ight)\backslash \left\{ { \pm 5} ight\}$

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x ight) = 2$

=> Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang

Mặt khác $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm {5^ + }} f\left( x ight) = \mp \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm {5^ - }} f\left( x ight) = \pm \infty$

=> Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.

Câu 27: Nhận biết

Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + 2$ . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;3brack$ lần lượt là $P;Q$ . Khi đó $P - Q$ bằng:

A.
$4$
B.
$1$
C.
$2$
D.
$3$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f( - 1) = - 2;f(0) = 2 \\ f(2) = - 2;f(3) = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} P = 2 \\ Q = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P - Q = 4$

Câu 28: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $2f(x) - m + 2 = 0$ có đúng ba nghiệm phân biệt?

A.
$1$
B.
$3$
C.
$2$
D.
$0$

Ta có:

$2f(x) - m + 2 = 0 \Leftrightarrow 2f(x) = m - 2 \Leftrightarrow f(x) = \frac{m - 2}{2}$

Để phương trình có ba nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = - 1 \\f(x) = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\dfrac{m - 2}{2} = - 1 \\\dfrac{m - 2}{2} = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = 5 \\\end{matrix} ight.$

Vậy có đúng một giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 29: Nhận biết

Các dân tộc ít người phân bố chủ yếu ở khu vực nào của Trung Quốc?

A. Các thành phố lớn.
B. Các đồng bằng châu thổ.
C. Vùng núi và biên giới.
D. Dọc biên giới phía nam.

Câu 30: Vận dụng

Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 2}}{{{f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4}}$ là:

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

Ta có: ${f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) = 4} \\ {f\left( x ight) = 1} \end{array}} ight.$

Phương trình $f\left( x ight) = 4$ có 3 nghiệm phân biệt khác 2.

Phương trình $f\left( x ight) = 1$ có một nghiệm kép là x = 2 (do vậy mẫu số có dạng ${\left( {x - 2} ight)^2}$ nên x = 2 vẫn là TCĐ của đồ thị hàm số

=> Đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 2}}{{{f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4}}$ có 4 đường tiệm cận đứng.

Câu 31: Thông hiểu

Hàm số $y = f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + (2m - 1)x - 1$ nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$ khi và chỉ khi:

A.
$m \leq - 3$
B.
$m \leq - 1$
C.
$m \leq 1$
D.
$m \leq 3$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = - 3x^{2} + 6x + 2m - 1$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$

$y' \leq 0;\forall x \in (0; + \infty)$ khi và chỉ khi

$\Leftrightarrow 2m \leq 3x^{2} - 6x + 1;\forall x \in (0; + \infty)$

Xét hàm số $g(x) = 3x^{2} - 6x + 1$ trên $(0; + \infty)$ ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

$\min_{(0; + \infty)}g(x) = - 2$

Do đó $\Leftrightarrow 2m \leq \min_{(0; + \infty)}g(x) \Leftrightarrow 2m \leq - 2 \Leftrightarrow m \leq - 1$

Vậy $m \leq - 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 32: Nhận biết

Hàm số nào dưới dây nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?

A.
$y = \frac{2x - 3}{x + 3}$
B.
$y = x^{4} - 2x^{2}$
C.
$y = x^{3} + 2x - 2020$
D.
$y = x^{2} + 2x - 1$

Xét hàm số $y = x^{3} + 2x - 2020$ có $y' = 3x^{2} + 2 > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ suy ra hàm số $y = x^{3} + 2x - 2020$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Câu 33: Vận dụng

Một công ty du lịch tổ chức tour du lịch với giá mỗi tour là $5000000$ đồng một khách cho $30$ khách. Từ khách thứ $31$ , cứ thêm một khách, giá của tour lại được giảm $a$ nghìn ( $a$ là số nguyên dương). Số khách thêm của tour không quá $15$ người. Biết rằng nếu nhận thêm từ $1$ đến $8$ khách thì doanh thu tăng dần theo số khách nhận thêm. Tìm giá trị lớn nhất của $a$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một công ty du lịch tổ chức tour du lịch với giá mỗi tour là $5000000$ đồng một khách cho $30$ khách. Từ khách thứ $31$ , cứ thêm một khách, giá của tour lại được giảm $a$ nghìn ( $a$ là số nguyên dương). Số khách thêm của tour không quá $15$ người. Biết rằng nếu nhận thêm từ $1$ đến $8$ khách thì doanh thu tăng dần theo số khách nhận thêm. Tìm giá trị lớn nhất của $a$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 34: Nhận biết

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x + 2$ là:

A.
$(0;2)$
B.
$(1;0)$
C.
$(0;0)$
D.
$( - 1;4)$

Ta có: $y = x^{3} - 3x + 2 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y' = 3x^{2} - 3 \\ y'' = 6x \\ \end{matrix} ight.$

$y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 2$

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $(0;2)$

Câu 35: Nhận biết

Hàm số $y = \frac{{2x + 5}}{{x + 1}}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3
B. 0
C. 2
D. 1

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} ight\}$

Ta có:

$y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} < 0,\forall x \in D$

Do y’ không đổi dấu nên hàm số không có cực trị.

Câu 36: Thông hiểu

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $\lbrack - 3;3brack$ và có đạo hàm $f'(x)$ trên khoảng $( - 3;3)$ . Đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $( -3; - 1)$ và $(1;3)$ .
B.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- 1;1)$ .
C.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $( -2;3)$ .
D.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- 3; - 1)$ và $(1;3)$ .

Dựa vào đồ thị ta thấy $f'(x) \geq0;\forall x \in ( - 2;3)$ và dấu “=” chỉ xảy ra tại $x = 1$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $( - 2;3)$ .

Câu 37: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số $g(x) = f\left( 2 - x^{2} ight)$ trên $\left\lbrack 0;\sqrt{2} ightbrack$ là:

A.
$f(0)$
B.
$f(1)$
C.
$f\left( \sqrt{2} ight)$
D.
$f(2)$

Đặt $t = 2 - x^{2};t' = - 2x \leq 0;\forall x \in \left\lbrack 0;\sqrt{2} ightbrack \Rightarrow t \in \lbrack 0;2brack$

$\Rightarrow \max_{\left\lbrack 0;\sqrt{2} ightbrack}g(x) = \max_{\lbrack 0;2brack}f(t) = f(0)$

Câu 38: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\lbrack - 2;3brack$ bằng bao nhiêu?

A.
$3.$
B.
$- 2.$
C.
$4.$
D.
$- 3.$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\lbrack - 2;3brack$ bằng $- 3$ .

Câu 39: Vận dụng cao

Anh Hùng đang ở trong rừng để đào vàng và tìm thấy vàng ở điểm $X$ cách điểm $A$ một khoảng 3 km. Điểm $A$ nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của anh Hùng nằm ở vị trí $Y$ cách điểm $B$ một khoảng 3 km. Điểm $B$ cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng $AB = 3(km),AM = NB = x(km)$ và $AX = BY = 3(km)$ (minh hoạ như hình vẽ sau).

Khi đang đào vàng, anh Hùng không may bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình $y = 50\log(t +2)$ . Trong đó, $y$ là nồng độ, $t$ là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Anh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Anh ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là $5km/h$ và $13km/h$ . Để về đến trại anh Hùng cần chạy từ trong rừng qua điểm $M,N$ trên bãi biển. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi anh Hùng về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Anh Hùng đang ở trong rừng để đào vàng và tìm thấy vàng ở điểm $X$ cách điểm $A$ một khoảng 3 km. Điểm $A$ nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của anh Hùng nằm ở vị trí $Y$ cách điểm $B$ một khoảng 3 km. Điểm $B$ cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng $AB = 3(km),AM = NB = x(km)$ và $AX = BY = 3(km)$ (minh hoạ như hình vẽ sau).

Khi đang đào vàng, anh Hùng không may bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình $y = 50\log(t +2)$ . Trong đó, $y$ là nồng độ, $t$ là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Anh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Anh ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là $5km/h$ và $13km/h$ . Để về đến trại anh Hùng cần chạy từ trong rừng qua điểm $M,N$ trên bãi biển. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi anh Hùng về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 40: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

A.
$x = 0$
B.
$x = 2$
C.
$x = - 1$
D.
$x = - 2$

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ .

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!