Cho hàm số
có đạo hàm
. Hàm số
đồng biến trên khoảng:
Ta có:
Ta có bảng xét dấu:
Hàm số đồng biến khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
có đạo hàm
. Hàm số
đồng biến trên khoảng:
Ta có:
Ta có bảng xét dấu:
Hàm số đồng biến khi và chỉ khi
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
với m là tham số, khi đó có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng
?
Tập xác định
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi
Mà
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Hàm số là hàm trùng phương có
nên hàm số có ba điểm cực trị.
Cho hàm số
có đồ thị
. Tìm tham số
để
đi qua điểm
?
Ta có:
Vậy .
Cho hàm số
có đạo hàm
trên
. Tìm số điểm cực trị của hàm số
?
Ta có:
có hai nghiệm đơn nên hàm số
có hai điểm cực trị.
Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ
là một phần của đồ thị hàm số bậc ba
.

Vị trí điểm cực đại là
với đơn vị của hệ trục là
và vị trí điểm cực tiểu là
. Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình
. Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Đáp án: 88,3 m
Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba
.
Vị trí điểm cực đại là với đơn vị của hệ trục là
và vị trí điểm cực tiểu là
. Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình
. Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Đáp án: 88,3 m
Gọi hàm số bậc ba
.
Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm .
Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm .
Vì hàm số có hai điểm cực trị
.
và
.
Gọi là điểm nằm trên hòn đảo và nối với mặt đường và
là tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với mặt đường.
Suy ra là tiếp điểm của
với
.
Đường thẳng có hệ số góc
.
Độ dài cây cầu ngắn nhất bằng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
.
.
Vì đơn vị của hệ trục là nên độ dài ngắn nhất của cây cầu là
.
Xác định tổng
tất cả các giá trị nguyên của tham số
để hàm số
nghịch biến trên từng khoảng xác định?
Xác định tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
để hàm số
nghịch biến trên từng khoảng xác định?
Một tạp chí bán được 25 000 đồng một cuốn. Chi phía xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, …) được cho bởi công thức
, C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 6 000 đồng. Các khoản thu khi bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí và 100 triệu đồng nhận được từ quảng cá. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. Tính số tiền lãi lớn nhất có thể có khi bán tạp chí.
Một tạp chí bán được 25 000 đồng một cuốn. Chi phía xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, …) được cho bởi công thức , C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 6 000 đồng. Các khoản thu khi bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí và 100 triệu đồng nhận được từ quảng cá. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. Tính số tiền lãi lớn nhất có thể có khi bán tạp chí.
Xác định giá trị lớn nhất của hàm số ![]()
Điều kiện xác định:
Đặt ta có:
Ta có:
Khi đó:
Do đó:
Xét hàm số
Ta xác được
Cho hàm số
xác định, liên tục trên tập số thực và đồ thị của hàm số
là đường cong như hình vẽ bên dưới.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Từ đồ thị của hàm số ta có:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Tìm giá trị của tham số
để đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng bằng
?
Tập xác định
Ta có: . Để đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị thì
có hai nghiệm phân biệt
Khi đó
Giả sử hai điểm cực trị là
Ta có:
Vậy giá trị cần tìm là .
Cho đồ thị hàm số sau:

Xác định hàm số tương ứng với đồ thị đã cho?
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy đồ thị này là đồ thị hàm số bậc có hệ số
nên hàm số tương ứng là
.
Số giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên
là:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Kết hợp với điều kiện
=> Có 20 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cho hàm số
với
là tham số. Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
để hàm số nghịch biến trên khoảng
. Hỏi tập hợp
có tất cả bao nhiêu phần tử?
Ta có:
Theo yêu cầu bài toán
Mà
Vậy tập hợp T có tất cả 3 phần tử.
Gọi
lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
. Tổng
bằng bao nhiêu?
Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
. Tổng
bằng bao nhiêu?
Cho hàm số
có đạo hàm trên
và thỏa mãn
. Bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi
Ta có:
.
Xét hàm số có
Bảng biến thiên
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi
.
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số
:

Hàm số
là hàm số:
Đồ thị hàm số bậc ba có dạng có hệ số
nên hàm số cần tìm là
.
Cho hàm số
với
là tham số. Định điều kiện của tham số
để hàm số
có ba điểm cực trị?
Ta có:
Để hàm số có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số
có đúng một cực trị nằm bên phải trục tung => phương trình (*) có 1 nghiệm dương => phương trình (*) có hai nghiệm dương
thỏa mãn
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
bằng
Ta có:
;
.
.
Đồ thị của hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận?
Tập xác định
suy ra
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
suy ra đường thẳng
không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
suy ra đường thẳng
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
Cho hàm số
. Xác định tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có đúng 4 đường tiệm cận.
Ta có: => Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = 1 và
Đồ thị có đúng 4 đường tiệm cận thì phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 1
Ta có:
Theo yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
Xét hàm số
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên phương trình có hai nghiệm thì
Cho đồ thị của hàm số
có điểm cực đại
và điểm cực tiểu
. Tính giá trị biểu thức
?
Đồ thị hàm số đi qua điểm và
nên
Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu nên
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình
Với
suy ra
là điểm cực đại.
suy ra
là điểm cực tiểu
Vậy
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Từ đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng và
.
Cho hàm số
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng.
Ta có:
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Hàm số nào dưới dây nghịch biến trên
?
Xét hàm số có
suy ra hàm số
đồng biến trên
.
Gọi
lần lượt là số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Tập xác định
Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
ta có
là tiệm cận đứng.
ta có:
là tiệm cận đứng.
Vậy .
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
là:
Tập xác định
nên
không phải tiệm cận đứng.
suy ra
là một tiệm cận ngang
suy ra
là một tiệm cận ngang
Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 2.
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận?
Tập xác định:
Ta có: => y = 1 và y = -1 là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
=> Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 2 và x = =-2
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng là x = 2 và x = -2
Cho hàm số
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng
.
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là
Khi đó đồ thị hàm số có:
Tiệm cận đúng: , song song với
và cắt
tại điểm
Tiệm cận ngang: song song với
và cắt
tại điểm
Diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận cùng với hai trục tọa độ là
Cho đồ thị:

Xác định hàm số tương ứng với đồ thị hàm số đã cho?
Nhận diện đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên loại hàm số
.
Đồ thị hàm số có các cực trị là nên hàm số cần tìm là
.
Tìm giá trị của
để bất phương trình
có nghiệm trên khoảng
?
Bất phương trình có nghiệm trên khoảng
Với
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra .
Cho hàm số
. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
lần lượt là
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
đạt cực tiểu tại
là:
Ta có:
Trường hợp 1: . Khi đó ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy là điểm cực đại nên trường hợp này không thỏa mãn.
Trường hợp 2: ta có bảng xét dấu như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy là điểm cực tiểu. Vậy
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Biết rằng hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất trên
tại điểm
. Khi đó giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Mà khi
Suy ra .
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có 7 điểm cực trị?
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số
có 7 điểm cực trị?
Cho hàm số
xác định trên
và có bảng biến thiên như sau:

Số giá trị nguyên của tham số
để phương trình
có ba nghiệm phân biệt là:
Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
và đường thẳng
Để phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
có ba giao điểm
Mà
Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cho hàm số
,
là tham số thực. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ
. Đúng||Sai
b) Hàm số có hai điểm cực trị khi
. Sai|| Đúng
c) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ
. Sai|| Đúng
d) Hàm số có một điểm cực trị khi . Đúng||Sai
Cho hàm số ,
là tham số thực. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ . Đúng||Sai
b) Hàm số có hai điểm cực trị khi . Sai|| Đúng
c) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ . Sai|| Đúng
d) Hàm số có một điểm cực trị khi . Đúng||Sai
Nếu m = 0 thì hàm số đã cho trở thành.
Đây là hàm số đa thức bậc hai nên có 1 điểm cực trị.
Nếu thì hàm số đã cho là hàm số trùng phương có:
.
Ta có
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt khác 0.
Điều kiện tương đương là:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
Ta có:
Ta có:
Cho g’(x) = 0 =>
Dựa vào f’(x) ta có:
Lập bảng xét dấu như sau:

Quan sát bảng xét dấy ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (2; 4)
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là:
Từ bảng biến thiên ta có:
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có bốn nghiệm thuộc đoạn
là:

Đặt
Ta có:
Ta có đồ thị hình vẽ như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình đã cho có 4 nghiệm thuộc đoạn khi phương trình (*) có hai nghiệm