Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho đồ thị hàm số \left( C_{m} ight):y = x^{3} - 2x^{2} + (1 - m)x + m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để \left( C_{m} ight) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt cách hoành độ x_{1};x_{2};x_{3} thỏa mãn {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {x_{3}}^{2} = 4?

    Để hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có ba nghiệm phân biệt:

    x^{3} - 2x^{2} + (1 - m)x + m = 0

    \Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} - x - m ight) = 0

    Ta đặt x_{1} = 1. Khi đó để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình sau phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

    x^{2} - x + m = 0

    Do có nghiệm khác 1 nên 1 - 1 - m eq 0 hay m eq 0

    Ta có: \Delta = 1 + 4m

    Để có hai nghiệm phân biệt thì \Delta > 0 hay m > - \frac{1}{4}

    Theo bài ra ta có:

    {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {x_{3}}^{2} = 4

    \Leftrightarrow 1 + \left( x_{2} + x_{3} ight)^{2} - 2x_{2}x_{3} = 4 \Leftrightarrow \left( x_{2} + x_{3} ight)^{2} - 2x_{2}x_{3} = 3 với x_{2};x_{3} là nghiệm của phương trình bậc hai trên.

    Áp dụng hệ thức Vi – et ra có:

    1^{2} - 2.( - m) = 3 \Leftrightarrow m = 1

    Kết hợp các điều kiện ta có: m = 1.

    Vậy đáp án đúng là m = 1.

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập số thực và có đạo hàm f'\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 2} ight)\left( {{x^2} - 6x + m} ight) với mọi x \in \mathbb{R}. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2019; 2019] để hàm số g\left( x ight) = f\left( {1 - x} ight) nghịch biến trên khoảng \left( { - \infty ; - 1} ight)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập số thực và có đạo hàm f'\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 2} ight)\left( {{x^2} - 6x + m} ight) với mọi x \in \mathbb{R}. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2019; 2019] để hàm số g\left( x ight) = f\left( {1 - x} ight) nghịch biến trên khoảng \left( { - \infty ; - 1} ight)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 3: Nhận biết

    Giả sử M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x^{3} - 3x + 2 trên đoạn \lbrack 0;2brack. Khi đó tổng của M và m bằng bao nhiêu?

    Ta có: y' = 3x^{2} - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y(0) = 2 \\ y(1) = 0 \\ y(2) = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M = 4 \\ m = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M + m = 4

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là:

    Từ bảng biến thiên ta có:

    \lim_{x ightarrow - 1^{-}}f(x) = + \infty;\lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = - \infty

    Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = - 1

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{\sqrt{4 - x}}{\sqrt{x + 1}}. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

    Tập xác định D = ( - 1;4brack suy ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận xiên

    \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}y = + \infty suy ra đồ thị nhận đường thẳng x = - 1 làm tiệm cận đứng.

    Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động theo phương trình S = - t^{3} + 9t^{2} + 21t + 9 trong đó t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

    a) v(t) = - 3t^{2} + 18t + 2. Sai||Đúng

    b) Vận tốc của chất điểm tại giây thứ 2 là 45\ m/s. Đúng||Sai

    c) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là 45\ m/s. Sai||Đúng

    d) Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t = 3\ \ (s). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Một chất điểm chuyển động theo phương trình S = - t^{3} + 9t^{2} + 21t + 9 trong đó t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

    a) v(t) = - 3t^{2} + 18t + 2. Sai||Đúng

    b) Vận tốc của chất điểm tại giây thứ 2 là 45\ m/s. Đúng||Sai

    c) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là 45\ m/s. Sai||Đúng

    d) Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm t = 3\ \ (s). Đúng||Sai

    a) v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 21 nên a sai.

    b) Ta có: v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 2\overset{}{ightarrow}v(2) = 45\ m/s. nên b) đúng

    c) Ta có: a(t) = v'(t) = - 6t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 3\overset{}{ightarrow}v(3) = 48\ m/s. nên c) sai

    Vận tốc v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 21 = - 3(t - 3)^{2} + 48 \leq 48.

    Vậy \max v(t) = 48 khi t = 3.

    Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi t = 3\ \ (s). nên d) đúng.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau, hàm số nào vừa có khoảng đồng biến vừa có khoảng nghịch biến trên tập xác định của nó. (I) y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}; (II) y = - {x^4} + {x^2} - 2; (III)

     (I) Tập xác định D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} ight\}

    y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} ight\}

    => (I) không thỏa mãn 

    (II) Tập xác định D = \mathbb{R}

    y' = - 4{x^3} + 2x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \\ {x = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \end{array}} ight.

    Bảng xét dấu

    Chọn các khẳng định đúng

    => (II) thỏa mãn

    (III) Tập xác định D = \mathbb{R}

    y' = 3{x^2} + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}

    => Hàm số nghịch biến trên tập số thực

    => (III) không thỏa mãn

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 5km và thành phố B cách con sông một khoảng là 7km (hình vẽ), biết HE + KF = 24km và độ dài EF không đổi. Hỏi cần xây cây cầu cách thành phố B là bao nhiêu km để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường AEFB) ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 16 km

    Đáp án là:

    Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 5km và thành phố B cách con sông một khoảng là 7km (hình vẽ), biết HE + KF = 24km và độ dài EF không đổi. Hỏi cần xây cây cầu cách thành phố B là bao nhiêu km để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường AEFB) ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 16 km

    Đặt HE = x_{}và_{}FK = y, với x,\ y > 0

    Ta có: HE + KF = 24 \Rightarrow x + y =24 \Rightarrow y = 24 - x

    \left\{ \begin{matrix}AE = \sqrt{25 + x^{2}} \\BF = \sqrt{49 + y^{2}} = \sqrt{49 + (24 - x)^{2}} \\\end{matrix} ight.

    Nhận định AB ngắn nhất khi AE + BF nhỏ nhất ( vì EF không đổi).

    Xét hàm số f(x) = \sqrt{x^{2} + 25} +\sqrt{(24 - x)^{2} + 49}

    f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}} +\frac{x - 24}{\sqrt{x^{2} - 48x + 625}},\ \forall x \in(0;24).

    Cho f'(x) = 0 \Rightarrow x =10

    Bảng biến thiên

    Vậy\underset{(0;24)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \}{\min f(x)} = f(10) = 12\sqrt{5}

    Khi đó BF = \sqrt{49 + (24 - 10)^{2}} =7\sqrt{5} \approx 16\ km

  • Câu 9: Nhận biết

    Đồ thị của hàm số nào có dạng như hình vẽ sau đây?

    Ta thấy hình vẽ là đồ thị của hàm bậc ba có hệ số a > 0 nên hàm số cần tìm là y = x^{3} - 3x - 1.

  • Câu 10: Vận dụng

    Một khối gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng r = 2m, chiều cao h = 6m. Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ:

    Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Xác định giá trị của V

    Gọi r_{t};h_{t} lần lượt là bán kính và chiều cao của khối trụ.

    Ta có: \frac{r_{t}}{2} = \frac{6 - h_{t}}{6} \Rightarrow 2\left( 6 - h_{t} ight) = 6r_{t} \Leftrightarrow h_{t} = 6 - 3r_{t}

    Ta lại có: V = \pi{r_{t}}^{2}.h_{t} = \pi{r_{t}}^{2}.\left( 6 - 3r_{t} ight) = \pi.\left( 6{r_{t}}^{2} - 3{r_{t}}^{3} ight)

    Xét hàm số f\left( r_{t} ight) = 6{r_{t}}^{2} - 3{r_{t}}^{3} với r_{t} \in (0;2)có:

    f'\left( r_{t} ight) = 12r_{t} - 9{r_{t}}^{2}

    f'\left( r_{t} ight) = 0 \Leftrightarrow 12r_{t} - 9{r_{t}}^{2} = 0 \Leftrightarrow r_{t} = \frac{4}{3}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta có \max f\left( r_{t} ight) = \frac{32}{9} đạt tại r_{t} = \frac{4}{3}

    Vậy V = \frac{32\pi}{9}\left( m^{3} ight) là giá trị cần tìm.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây đồng biến trên \mathbb{R}?

    Ta có hàm số y = \left( \frac{5}{4} ight)^{x} có cơ số a = \frac{5}{4} > 1 nên đồng biến trên \mathbb{R}.

    Ngoài ra các hàm số y = \frac{x + 4}{x + 3}; y = x^{4} - 2x^{2} + 1; y = \tan x không thể đồng biến hoặc nghịch biến trên \mathbb{R}.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình - x^{3} + 4x + 1 = m có ba nghiệm phân biệt?

    Phương trình đã cho là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) = - x^{3} + 4x + 1 và đường thẳng y = m

    Xét y = f(x) = - x^{3} + 4x + 1 có f'(x) = - 3x^{2} + 4

    Phương trình f'(x) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\x = - \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\\end{matrix} ight.

    Lập bảng biến thiên

    Đường thẳng y = m cắt đồ thị y = f(x) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi

    1 - \frac{16\sqrt{3}}{3} < m < 1 + \frac{16\sqrt{3}}{3}

    Do m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 2; - 1;...;4 ight\}

    Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

  • Câu 13: Vận dụng

    Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f\left( x ight) = 4\sqrt {{x^2} - 2x + 3} + 2x - {x^2}. Tính tích các nghiệm của phương trình f(x) = M.

    Đặt t = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} = \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + 2}

    \begin{matrix} \Rightarrow t \in \left[ {\sqrt 2 ;\infty } ight) \hfill \\ \Rightarrow {x^2} - 2x = {t^2} - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Xét hàm số f\left( t ight) = 4t - {t^2} + 3,t \in \left[ {\sqrt 2 ;\infty } ight) ta có:

    \begin{matrix} f\left( t ight) = - {\left( {t - 2} ight)^2} + 7 \leqslant 7;t \in \left[ {\sqrt 2 ;\infty } ight) \hfill \\ \Rightarrow f\left( t ight) = M \Rightarrow f\left( t ight) = 7 \Rightarrow t = 2 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Rightarrow {x_1}.{x_2} = - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình 1. Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

    Điểm cực tiểu của hàm số là 2.

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

    Tính số điểm cực trị của hàm số

    Số điểm cực trị của hàm số g\left( x ight) = {x^2}{\left[ {f\left( {{x^2} - 1} ight)} ight]^3} là:

    Ta có:

    \begin{matrix} g\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow {x^2}{\left[ {f\left( {{x^2} - 1} ight)} ight]^3} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = 0} \\ {f\left( {{x^2} - 1} ight) = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = 0} \\ {{x^2} - 1 = - 1} \\ {{x^2} - 1 \approx - 0,5} \\ \begin{gathered} {x^2} - 1 \approx 0,5 \hfill \\ {x^2} - 1 = 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow x \in \left\{ {0; \pm \sqrt {0,5} ; \pm \sqrt {1,5} ; \pm \sqrt 2 } ight\} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho bảng biến thiên như hình vẽ:

    Tìm hàm số

    Bảng biến thiên trên là của hàm số nào?

    Đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm x = 0 và x = 2

    => Loại đáp án C và D

    Quan sát bảng biến thiên

    => Loại đáp án B

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - (m - 1)x^{2} - 4mx đồng biến trên đoạn \lbrack 1;4brack?

    Theo yêu cầu bài toán ta có:

    y' = x^{2} - 2(m - 1)x - 4m \geq 0;\forall x \in \lbrack 1;4brack(*)

    Để hàm số đồng biến trên đoạn \lbrack 1;4brack

    \Leftrightarrow y' \geq 0;\forall x \in \lbrack 1;4brack

    \Leftrightarrow x^{2} - 2(m - 1)x - 4m \geq 0

    \Leftrightarrow m \leq \frac{x^{2} + 2x}{4 + 2x}

    Đặt g(x) = \frac{x^{2} + 2x}{4 + 2x} \Rightarrow g'(x) = \frac{8x}{(4 + 2x)^{2}} > 0;\forall x \in \lbrack 1;4brack

    \Rightarrow \min_{\lbrack 1;4brack}g(x) = g(1) = \frac{1}{2} \Rightarrow m \leq \frac{1}{2}

    Vậy m \leq \frac{1}{2} là đáp án cần tìm.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{mx - 18}{x -2m}. Giả sử S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2; + \infty). Xác định tổng tất cả các phần tử của tập hợp S?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{mx - 18}{x -2m}. Giả sử S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2; + \infty). Xác định tổng tất cả các phần tử của tập hợp S?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Nhận biết

    Hàm số y = f(x) = x^{3} - 7x^{2} + 11x - 2 trên đoạn \lbrack 0;2brack có giá trị nhỏ nhất bằng:

    Ta có: y' = 3x^{2} - 14x + 11

    \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = \frac{11}{3} \\ \end{matrix} ight.. Khi đó f(0) = - 2;f(1) = 3;f(2) = 0 suy ra \min_{\lbrack 0;2brack}f(x) = - 2.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{2} + 4x + m} có duy nhất một đường tiệm cận là:

    Ta có: \lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}y = 0 nên đồ thị hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang là y = 0.

    Vậy để đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{2} + 4x + m} có duy nhất một đường tiệm cận thì đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng, hay phương trình x^{2} + 4x + m vô nghiệm

    \Leftrightarrow \Delta' < 0 \Leftrightarrow 4 - m < 0 \Leftrightarrow m > 4

  • Câu 21: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = \frac{x - 2}{x^{2} - 4} có đường tiệm cận ngang là

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}y =\lim_{x ightarrow \pm \infty}\dfrac{x - 2}{x^{2} - 4} = \lim_{xightarrow \pm \infty}\dfrac{\dfrac{x}{x^{2}} -\dfrac{2}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{2}} - \dfrac{4}{x^{2}}} = 0

    Suy ra tiệm cận ngang là y = 0.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{3}(2 - x)(x - 3)^{3}. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Ta có:

    f'(x) = (x - 1)^{3}(2 - x)(x - 3)^{3}

    \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{3}(2 - x)(x - 3)^{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu:

    Từ bảng xét dấu của f'(x) suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (1;2).

  • Câu 23: Thông hiểu

    Giá trị thực của tham số m để hàm số y = - x^{3} + mx^{2} + \left( m^{2} - 12 ight)x + 2 đạt cực tiểu tại điểm x = - 1 thuộc khoảng nào sau đây?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} y' = - 3x^{2} + 2mx + m^{2} - 12 \\ y'' = - 6x + 2m \\ \end{matrix} ight.

    Để hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1 thì

    \left\{ \begin{matrix} y'(1) = 0 \\ y''(1) > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 2m - 15 = 0 \\ m > - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m = 5(tm) \\ m = - 3(ktm) \\ \end{matrix} ight.\ \\ m > - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 5

    Vậy m = 5 \in (3;6).

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hàm số y = {x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 1. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \left( { - 25;\frac{{11}}{{10}}} ight). Tìm M.

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = 3{x^2} - 3x \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên

    Tìm GTLN của hàm số

    Từ bảng biến thiên ta có M = 1

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

     Ta có:

    \begin{matrix} y' = 3{x^2} - 6x \hfill \\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng xét dấu:

    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây

    Quan sát bảng xét dấu ta thấy:

    + Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)

    + Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2)

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = f\left( x ight) = \frac{{2x + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} có hai đường tiệm cận đứng và hai đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2.

    Tập xác định D = \left( { - \infty ; - 1} ight) \cup \left( {0; + \infty } ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{m - \sqrt {{1^2} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \dfrac{1}{x}}}{{ - \sqrt {{1^2} + \dfrac{1}{x}} }} = 1 - m \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{m + \sqrt {{1^2} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \frac{1}{x}}}{{\sqrt {{1^2} + \dfrac{1}{x}} }} = m + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => Để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang thì m + 1 e 1 - m \Leftrightarrow m e 0

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{mx + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{mx + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + \infty {\text{ khi m < 1}}} \\ { - \infty {\text{ khi m > 1}}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy khi m e 0;m e 1 thì đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = m + 1; y = - m và 2 đường tiệm cận đứng là x = 0 và x = -1

    Để hai đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2 thì 1.2\left| m ight| = 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 1\left( L ight)} \\ {m = - 1\left( {tm} ight)} \end{array}} ight.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số nào dưới đây có đúng một đường tiệm cận ngang?

    Xét hàm số y = \frac{4x - 2}{x^{2} - 3x + 2} có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1;2 ight\}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{4x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}} ight) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{4x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.suy ra y = 0 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    Vậy hàm số có duy nhất một tiệm cận ngang là y = \frac{4x - 2}{x^{2} - 3x + 2}.

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{{2x + 1}}{{ - x + 1}}. Mệnh đề nào dưới dây là đúng?

    Tập xác định của hàm số D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}

    Ta có: y' = \frac{3}{{{{\left( { - x + 1} ight)}^2}}} > 0,\forall x e 1

    Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞)

  • Câu 29: Vận dụng

    Số điểm cực trị của hàm số y = \left| {\sin x - \frac{\pi }{4}} ight|,x \in \left( { - \pi ;\pi } ight) là?

    Xét hàm số y = f\left( x ight) = \sin x - \frac{x}{4};x \in \left( { - \pi ;\pi } ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = \cos x - \dfrac{1}{4} \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {x_1} \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};0} ight)} \\ {x = {x_1} \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} f\left( {{x_1}} ight) = \sin {x_1} - \dfrac{{{x_1}}}{4} = - \dfrac{{\sqrt {15} }}{4} - \dfrac{{{x_1}}}{4} < - \dfrac{{\sqrt {15} }}{4} + \dfrac{\pi }{8} < 0 \hfill \\ f\left( {{x_2}} ight) = \sin {x_2} - \dfrac{{{x_2}}}{4} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{4} - \dfrac{{{x_1}}}{4} < \dfrac{{\sqrt {15} }}{4} - \dfrac{\pi }{8} < 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên:

    Tìm số điểm cực trị của hàm số

    Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khác x1; x2

    => Hàm số y = \left| {\sin x - \frac{x}{4}} ight|,x \in \left( { - \pi ,\pi } ight) có 5 điểm cực trị

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây:

    Xác định hàm số tương ứng

    Đồ thị hàm số tương ứng với hàm số nào sau đây?

    Từ đồ thị hàm số ta có tiệm cận đứng là x = 1, tiệm cận ngang là y = 1

    => Loại A và B

    Xét thấy giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; -2) => Chọn đáp án C

  • Câu 31: Nhận biết

    Hàm số nào dưới dây nghịch biến trên tập số thực?

    Ta thấy hàm số y = - x^{2} - 3x có tập xác định \mathbb{R} và đạo hàm y = - 3x^{2} - 3 < 0;\forall x\mathbb{\in R} nên nghịch biến trên \mathbb{R}.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = x^{3} - 12x + 1 - m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt?

    Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số x^{3} - 12x + 1 - m = 0

    Ta cps: x^{3} - 12x + 1 - m = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 12x + 1 = m(*)

    Đặt \left\{ \begin{matrix} y = x^{3} - 12x + 1 \\ y = m \\ \end{matrix} ight.. Khi đó số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x^{3} - 12x + 1 và đường thẳng y = m.

    Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = x^{3} - 12x + 1 ta có:

    y' = 3x^{2} - 12 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Với - 15 < m < 17 thì phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt. Mặt khác do m nguyên nên m \in \left\{ - 14;...;16 ight\}.

    Vậy có 31 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số y = \frac{x + 2}{x - 1} sao cho khoảng cách từ điểm M đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ điểm M đến trục hoành?

    Gọi M\left( a;\frac{a + 2}{a - 1} ight);(a eq 1) là điểm thuộc đồ thị hàm số y = \frac{x + 2}{x - 1}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}d(M;Oy) = |a| \\d(M;Ox) = \left| \dfrac{a + 2}{a - 1} ight| \\\end{matrix} ight.. Theo bài ra ta có phương trình:

    |a| = 2.\left| \frac{a + 2}{a - 1}ight| \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = 2.\left( \dfrac{a + 2}{a - 1} ight) \\a = - 2.\left( \dfrac{a + 2}{a - 1} ight) \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}a^{2} - 3a - 4 = 0 \\a^{2} + a + 4 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = - 1 \Rightarrow M\left( - 1; - \dfrac{1}{2} ight) \\a = 4 \Rightarrow M(4;2) \\\end{matrix} ight.

    Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R} có bảng biến thiên như sau:

    Giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên \lbrack 1;5brack là:

    Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack 1;5brack là 3.

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} và có đạo hàm f'(x) = x(x - 1)^{3}(x + 2)^{2}. Tìm số điểm cực trị của hàm số đó?

    Ta có: f'(x) = x(x - 1)^{3}(x + 2)^{2} nên f'(x) = 0 có các nghiệm là x = 0;x = 1;x = - 2 và f'(x) chỉ đổi dấu khi x qua các nghiệm x = 0;x = 1

    Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

    Tìm số đường tiệm cận của hàm số

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} là:

    Phương trình f\left( x ight) = 2018 có 2 nghiệm phân biệt

    => Đồ thị hàm số y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} có 2 đường tiệm cận đứng.

    Khi x \to - \infty thì y \to 5 \Rightarrow y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} \to \frac{2}{{ - 2013}}

    Khi x \to + \infty thì y \to 5 \Rightarrow y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} \to \frac{2}{{ - 2013}}

    Vậy đồ thị hàm số y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} có 1 tiệm cận ngang.

     

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{4} - 2(m + 2)x^{2} + 3m - 1. Tìm m để hàm số đã cho có cực tiểu nhưng không có cực đại?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 4x^{3} - 4(m + 2)x

    y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} - 4(m + 2)x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m + 2 \\ \end{matrix} ight.

    Để hàm số đã cho chỉ có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại thì m + 2 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - 2.

    Vậy đáp án cần tìm là ( - \infty; - 2brack.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại y_{CÐ} và giá trị cực tiểu y_{CT} của hàm số y = x^{3} - 3x là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 3x^{2} - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Lại có y'' = 6x \Rightarrow y''(1) = 6 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

    y''( - 1) = - 6 < 0 nên x = - 1 là điểm cực đại của hàm số.

    Do đó \left\{ \begin{matrix} y_{CÐ} = y( - 1) = 2 \\ y_{CT} = y(1) = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow y_{CT} + y_{CÐ} = 0.

  • Câu 39: Vận dụng

    Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}mx^{2} + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Khi đó tổng tất cả các giá trị của các phần tử trong tập hợp S bằng:

    Ta có: y' = x^{2} - mx + 2m

    \Leftrightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} - mx + 2m = 0(*)

    Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình (*) ta có bảng biến thiên:

    Hàm số y nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x_{1};x_{2} thỏa mãn \left| x_{1} - x_{2} ight| = 3

    (*) có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta = m^{2} - 8m > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ m > 8 \\ \end{matrix} ight.\ (**)

    \left| x_{1} - x_{2} ight| = 3 \Leftrightarrow \left( x_{1} - x_{2} ight)^{2} = 9 \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 4x_{1}.x_{2} = 9

    \Leftrightarrow m^{2} - 8m - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \left( tm(**) ight)

    Suy ra S = \left\{ 9; - 1 ight\}

    Vậy tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 8.

  • Câu 40: Nhận biết

    Hàm số nào dưới đây có dạng đồ thị như đường cong trong hình vẽ?

    Dựa vào hình dáng đồ thị ta suy ra đồ thị của hàm số bậc 4 có hệ số a > 0.

    Vậy hàm số cần tìm là y = x^{4} - x^{2} - 1.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 22 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập