Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Câu 1: Thông hiểu

Số dân số của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức $f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5}$ ( $f(t)$ được tính bằng nghìn người). Biết rằng đạo hàm của hàm số $f(t)$ biểu thị tốc độ gia tăng dân số của thị trấn ( đơn vị là nghìn người/ năm). Vào năm nào thì tốc độ gia tăng dân số là $\frac{2}{15}$ nghìn người/ năm?

A.
$1990$ .
B.
$2020$ .
C.
$1995$ .
D.
$2024$ .

Ta có $f'(t) = \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} ight)}^2}}},t \geqslant 0$

Lại có

$f'(t) = \frac{2}{{15}} \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} ight)}^2}}} = \frac{2}{{15}}$

$\Leftrightarrow (t + 5)^{2} = 900 \Leftrightarrow t = 25\ do\ t \geq 0)$

Vậy dự báo vào năm 1995 thì tốc độ gia tăng dân số là $\frac{2}{15}$ nghìn người/ năm.

Câu 2: Vận dụng cao

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Xét hàm số $g\left( x ight) = f\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 3$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số g(x) nghịch biến trong khoảng (-1; 0)
B. Hàm số g(x) nghịch biến trong khoảng (0; 2)
C. Hàm số g(x) nghịch biến trong khoảng (-4; -1)
D. Hàm số g(x) nghịch biến trong khoảng (2; 3)

Ta có:

$g'\left( x ight) = \frac{1}{2}f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \left( {{x^2} - 3x + 2} ight)$

$f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{ - 5}}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = - 1} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = \frac{1}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 4} \\ {x = - 1} \\ {x = 2} \\ {x = 7} \end{array}} ight.$

$f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} < - \dfrac{5}{2}} \\ {\dfrac{1}{2} < \dfrac{{x - 1}}{2} < 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 4} \\ {2 < x < 7} \end{array}} ight.$

Ta có bảng xét dấu cho các biểu thức

Tìm khẳng định sai

Từ bảng xét dấu ta thấy

$x \in \left( {0;1} ight) \subset \left( {0;2} ight) \Rightarrow g'\left( x ight) < 0$

Khi đó hàm số nghịch biến

=> Đáp án B sai

Câu 3: Thông hiểu

Cho hàm số bậc ba có bảng biến thiên như sau:

Chọn đáp án đúng

Chọn khẳng định đúng?

A. $b < 0;c < 0$
B. $b > 0;c > 0$
C. $b > 0;c < 0$
D. $b < 0;c > 0$

Quan sát bảng biến thiên ta suy ra a < 0

Ta có: có hai nghiệm dương nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - 2b}}{{3a}} > 0} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{{3a}} > 0} \end{array}} ight. \Rightarrow b > 0;c < 0$

Câu 4: Vận dụng

Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số $y =\frac{- 5}{x + 2}$ theo trục $Oy$ lên hai đơn vị và theo trục $Ox$ sang trái $3$ đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = g(x)$ . Hỏi có bao nhiêu điểm trên đồ thị hàm số $y = g(x)$ có các tọa độ đều là số nguyên?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số $y =\frac{- 5}{x + 2}$ theo trục $Oy$ lên hai đơn vị và theo trục $Ox$ sang trái $3$ đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = g(x)$ . Hỏi có bao nhiêu điểm trên đồ thị hàm số $y = g(x)$ có các tọa độ đều là số nguyên?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 5: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có: $\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = 1;\lim_{xightarrow 3^{+}}f(x) = + \infty;$ $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) =1;\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty$

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 1$ . Đúng||Sai

b) Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 3$ . Đúng||Sai

c) Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ không có tiệm cận ngang. Sai|| Đúng

d) Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ không có tiệm cận đứng. Sai|| Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có: $\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = 1;\lim_{xightarrow 3^{+}}f(x) = + \infty;$ $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) =1;\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty$

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 1$ . Đúng||Sai

b) Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 3$ . Đúng||Sai

c) Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ không có tiệm cận ngang. Sai|| Đúng

d) Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ không có tiệm cận đứng. Sai|| Đúng

a) Do $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = 1$ nên $y = 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. (*)

b) Do $\lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = + \infty$ nên $x = 3$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. (**)

c) Từ (*) suy ra khẳng định này sai.

d) Từ (**) suy ra khẳng định này sai.

Câu 6: Thông hiểu

Hàm số $y = \frac{x - 2}{x - m}$ nghịch biến trên khoảng $( - \infty;3)$ khi:

A.
$m < 2$
B.
$m > 2$
C.
$m \geq 3$
D.
$m < - 3$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ m ight\}$

Ta có: $y' = \frac{- m + 2}{(x - m)^{2}}$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty;3)$ khi $\left\{ \begin{matrix} m otin ( - \infty;3) \\ - m + 2 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \geq 3 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \geq 3$

Vậy đáp án cần tìm là $m \geq 3$ .

Câu 7: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\left\{ - 1;2 ight\}$ liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ bằng:

A.
$6$
B.
$2$
C.
$3$
D.
$4$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f(x) - 1 = 0$ có 4 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ có 4 đường tiệm cận đứng.

Ngoài ra $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{f\left( x ight) - 1}} = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f\left( x ight) - 1}} = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ nên đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ có hai đường tiệm cận ngang.

Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ bằng 6.

Câu 8: Vận dụng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f'\left( x ight) = {x^2} - 2x,\forall x \in \mathbb{R}$ . Hàm số $g\left( x ight) = f\left( {2 - \sqrt {{x^2} + 1} } ight) - \sqrt {{x^2} + 1} - 3$ đồng biến trên các khoảng nào?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f'\left( x ight) = {x^2} - 2x,\forall x \in \mathbb{R}$ . Hàm số $g\left( x ight) = f\left( {2 - \sqrt {{x^2} + 1} } ight) - \sqrt {{x^2} + 1} - 3$ đồng biến trên các khoảng nào?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 9: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như sau:

Hỏi số nghiệm của phương trình $2f(x) - 1 = 0$ bằng bao nhiêu?

A.
$4$
B.
$2$
C.
$0$
D.
$3$

Ta có: $2f(x) - 1 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{1}{2}$

Lại có đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ nằm phía trên gốc tọa độ; song song với trục Ox và cắt đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại 4 điểm nên phương trình $2f(x) - 1 = 0$ có hai nghiệm.

Câu 10: Nhận biết

Cho đồ thị hàm số như sau:

Đồ thị hàm số đã cho có phương trình tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

A.
$x = 1;y = 1$
B.
$x = - 3;y = 3$
C.
$x = - 1;y = 1$
D.
$x = 1;y = - 1$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt là $x = - 1;y = 1$ .

Câu 11: Vận dụng

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 12: Thông hiểu

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A.
0.
B.
1.
C.
2.
D.
3.

Số đường tiệm cận ngang: 1

Số đường tiệm cận đứng: 1

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng: 2.

Câu 13: Vận dụng cao

Cho x, y là các số thực thỏa mãn ${\left( {x - 3} ight)^2} + {\left( {y - 1} ight)^2} = 5$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{{3{y^2} + 4xy + 7x + 4y - 1}}{{x + 2y + 1}}$ bằng:

A. 3
B. $\sqrt 3$
C. $\frac{{114}}{{11}}$
D. $2\sqrt 3$

$\begin{matrix} {\left( {x - 3} ight)^2} + {\left( {y - 1} ight)^2} = 5 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 5 = 0 \hfill \\ P = \dfrac{{\left( {3{y^2} + 4xy + 7x - 4y - 1} ight) + \left( {{x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 5} ight)}}{{x + 2y + 1}} \hfill \\ P = \dfrac{{4{y^2} + 4xy + {x^2} + x + 2y + 4}}{{x + 2y + 1}} \hfill \\ P = \dfrac{{{{\left( {2y + x} ight)}^2} + \left( {x + 2y} ight) + 4}}{{x + 2y + 1}} \hfill \\ \end{matrix}$

Đặt $t = x + 2y$

$\begin{matrix} \left( {{1^2} + {2^2}} ight)\left[ {{{\left( {x - 3} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}} ight] \geqslant {\left[ {\left( {x - 3} ight) + \left( {2y - 2} ight)} ight]^2} \hfill \\ \Rightarrow {\left( {x + 2y - 5} ight)^2} \leqslant 25 \hfill \\ \Leftrightarrow 0 \leqslant x + 2y \leqslant 10 \hfill \\ \end{matrix}$

Ta được $P = f\left( t ight) = \frac{{{t^2} + t + 4}}{{1 + 4}} = t + \frac{4}{{t + 1}};0 \leqslant t \leqslant 10$

Xét $f'\left( t ight) = 1 - \frac{4}{{{{\left( {t + 1} ight)}^2}}} = 0 \Rightarrow {\left( {t + 1} ight)^2} = 4 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1\left( {tm} ight)} \\ {t = - 3\left( L ight)} \end{array}} ight.$

Vì $f\left( 0 ight) = 4;f\left( {10} ight) = \frac{{114}}{{11}};f\left( 1 ight) = 3 \Rightarrow \min P = 3{\text{ khi t = 1}}$

Câu 14: Thông hiểu

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ:

A.
$y = - x^{4} +2x^{2}$
B.
$y = - x^{4} + 2x^{2} -1$
C.
$y = - 2x^{4} + 4x^{2} -1$
D.
$y = x^{4} - 2x^{2} -1$

Dựa vào hình dáng đồ thị ta suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số $a < 0$ nên loại đáp án $y = x^{4} - 2x^{2} - 1$

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $(0; -1)$ nên loại đáp án $y = - x^{4} +2x^{2}$

Lại có đồ thị hàm số có các điểm cực trị $(1;1),( - 1,1)$ nên loại đáp án $y = - x^{4} + 2x^{2} - 1$

Vậy hàm số cần tìm là $y = - 2x^{4} +4x^{2} - 1$ .

Câu 15: Thông hiểu

Gọi A, B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2{x^2} + 4$ . Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:

A. $1 + \sqrt 2$
B. $\sqrt 2$
C. $\sqrt 2 -1$
D. 1

Ta có:

$\begin{matrix} f'\left( x ight) = 4{x^3} - 4x \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = \pm 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

=> Đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2{x^2} + 1$ có ba điểm cực trị là A(0; 4), B(1; 3), C(-1;; 3)

Tính được $AB = AC = \sqrt 2 ;BC = 2;p = \frac{{AB + AC + BC}}{2}$

Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta có:

$r = \frac{{{S_{ABC}}}}{p} = \sqrt {\frac{{\left( {p - AB} ight)\left( {p - BC} ight)\left( {p - AC} ight)}}{P}} = \sqrt 2 - 1$

Câu 16: Thông hiểu

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f'(x) < 0,\forall x \in (0; + \infty)$ biết $f(0) = 3$ . Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra.

A.
$f(2024) = 3,5$
B.
$f(2023) + f(2024) = 6$
C.
$f(2023) < f(2024)$
D.
$f( - 2024) = 3$

Do $f^{'}(x) < 0,\forall x \in (0; + \infty)$ nên hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $(0; + \infty)$ .

Khi đó ta có:

$f(2024) < f(0) = 3 \Rightarrow f(2024) = 3,5$ sai

$f(2023) < f(0) = 3 \Rightarrow f(2023) + f(2024) < 3 + 3 = 6 \Rightarrow f(2023) + f(2024) = 6$ sai

$f(2023) > f(2024) \Rightarrow f(2023) < f(2024)$ sai

Do đó, $f( - 2024) = 3$ đúng.

Câu 17: Thông hiểu

Tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{2} + 4x + m}$ có duy nhất một đường tiệm cận là:

A.
$m > 4$
B.
$m < 4$
C.
$m \geq 4$
D.
$m \leq 4$

Ta có: $\lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}y = 0$ nên đồ thị hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang là $y = 0$ .

Vậy để đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{2} + 4x + m}$ có duy nhất một đường tiệm cận thì đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng, hay phương trình $x^{2} + 4x + m$ vô nghiệm

$\Leftrightarrow \Delta' < 0 \Leftrightarrow 4 - m < 0 \Leftrightarrow m > 4$

Câu 18: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ.

Đặt $g(x) = f\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight)$ . Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = g(x).$

Đáp án: 6

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ.

Đặt $g(x) = f\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight)$ . Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = g(x).$

Đáp án: 6

Đặt $g'(x) = \left( \frac{x^{2} - 1}{x^{2}} ight)f'\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight)$

$g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}} ight) = 0 \hfill \\ f'\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \pm 1 \hfill \\ \frac{{{x^2} + 1}}{x} = a\,\,\left( {a < - 2} ight) \hfill \\ \frac{{{x^2} + 1}}{x} = b\,\,\left( { - 2 < b < 2} ight) \hfill \\ \frac{{{x^2} + 1}}{x} = c\,\,\left( {c > 2} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Xét hàm số $h(x) = \frac{x^{2} + 1}{x},h'(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}},h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Bảng biến thiên của hàm số $h(x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Dựa vào bảng biến thiến trên ta thấy phương trình $h(x) = a,h(x) = c$ .

Mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác $\pm 1$ , mà $a eq c \Rightarrow f'\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight) = 0$ có 4 nghiệm đơn phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ khác $\pm 1$ và phương trình $h(x) = b$ vô nghiệm.

Do đó phương trình $g'(x) = 0$ có 6 nghiệm đơn phân biệt lần lượt theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là $x_{1},- 1,x_{2},x_{3},1,x_{4}$ .

Vậy hàm số $g(x) = f\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight)$ có 6 cực trị.

Câu 19: Vận dụng

Chi phí nhiên liệu của một chiếc thuyền chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng $480$ nghìn đồng trên một giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi $v = 10(km/h)$ thì phần thứ hai bằng $30$ nghìn đồng/giờ.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Khi vận tốc $v = 10(km/h)$ thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên $1 km$ đường sông là $48000$ đồng. Đúng||Sai

b) Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên $1 km$ đường sông với vận tốc $x (km/h)$ là $f(x) = \frac{480}{x} + 0,03x^{3}$ . Sai||Đúng

c) Khi vận tốc $v = 30 (km/h)$ thì tổng chi phí nguyên liệu trên $1 km$ đường sông là $43000$ đồng. Đúng||Sai

d) Vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên $1 km$ đường sông nhỏ nhất là $v=20(km/h)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Chi phí nhiên liệu của một chiếc thuyền chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng $480$ nghìn đồng trên một giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi $v = 10(km/h)$ thì phần thứ hai bằng $30$ nghìn đồng/giờ.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Khi vận tốc $v = 10(km/h)$ thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên $1 km$ đường sông là $48000$ đồng. Đúng||Sai

b) Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên $1 km$ đường sông với vận tốc $x (km/h)$ là $f(x) = \frac{480}{x} + 0,03x^{3}$ . Sai||Đúng

c) Khi vận tốc $v = 30 (km/h)$ thì tổng chi phí nguyên liệu trên $1 km$ đường sông là $43000$ đồng. Đúng||Sai

d) Vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên $1 km$ đường sông nhỏ nhất là $v=20(km/h)$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là: $\frac{1}{10}$ (giờ)

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: $\frac{1}{10}.480000 = 48000$ (đồng).

b) Sai: Gọi x (km/h) là vận tốc của tàu, x > 0

Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là: $\frac{1}{x}$ (giờ)

Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: $\frac{1}{x}.480 = \frac{480}{x}$ (nghìn đồng)

Hàm chi phí cho phần thứ hai là $p = k.x^{3}$ (nghìn đồng/ giờ)

Khi $x = 10 \Rightarrow p = 30 \Rightarrow k = 0,03 \Rightarrow p = 0,03x^{3}$ (nghìn đồng/ giờ)

Do đó chi phí phần 2 để chạy 1 km là: $\frac{1}{x}.0,03x^{3} = 0,03x^{2}$ (nghìn đồng)

Vậy tổng chi phí $f(x) = \frac{480}{x} + 0,03x^{3}$ ,

c) Đúng. Tổng chi phí $f(x) = \frac{480}{x} + 0,03x^{3}$

Thay $x = v = 30$ ta được $f(30) = \frac{480}{30} + 0,03(30)^{3} = 43$ (nghìn đồng).

d) Đúng $f(x) = \frac{480}{x} + 0,03x^{3} = \frac{240}{x} + \frac{240}{x} + 0,03x^{2} \geq 3\sqrt[3]{1728} = 36$

Dấu ’’=’’ xảy ra khi x = 20.

Câu 20: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ . Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ :

Hàm số $g(x) = f\left( x - x^{2} ight)$ nghịch biến trên khoảng:

A.
$\left( - \infty;\frac{3}{2} ight)$
B.
$\left( \frac{3}{2}; + \infty ight)$
C.
$\left( \frac{1}{2}; + \infty ight)$
D.
$\left( - \infty;\frac{1}{2} ight)$

Ta có:

$g'(x) = f'\left( x - x^{2} ight).(1 - 2x)$

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x - x^{2} ight).(1 - 2x) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f'\left( x - x^{2} ight) = 0 \\ 1 - 2x = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - x^{2} = 1 \\ x - x^{2} = 2 \\ 1 - 2x = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Với $x = 0$ ta có: $g'(0) = f'\left( 0 - 0^{2} ight).(1 - 2.0) = 2 > 0$ ta có bảng xét dấu của $g'(x)$ như sau:

Suy ra hàm số $g(x)$ nghịch biến trên khoảng $\left( \frac{1}{2}; + \infty ight)$ .

Câu 21: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình 2. Đường thẳng nào sau đây là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho?

A.
$x = 1$ .
B.
$x = - 2$ .
C.
$y = 1$ .
D.
$y = - 2$ .

Từ đồ thị suy ra đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là $y = 1$ .

Câu 22: Vận dụng cao

Cho hàm số bậc ba $f\left( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Hỏi đồ thị hàm số $g\left( x ight) = \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} ight).f\left( x ight)}}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng?

A. 4
B. 3
C. 2
D. 6

Ta có: $f'\left( x ight) = 3a{x^2} + 2bx + c = 3a\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight) = 3x\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)$

Đồng nhất hai vế ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2b = - 9a} \\ {c = 6a} \end{array}} ight. \Rightarrow f\left( x ight) = a{x^3} - \frac{{9a}}{2}{x^2} + 6ax + d$

Mặt khác $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 1 ight) = 5} \\ {f\left( 2 ight) = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + \dfrac{9}{2}a + 6a + d = 5} \\ {8a - 18a + 12a + d = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{{10}}{{49}}} \\ {d = \dfrac{{ - 20}}{{19}}} \end{array}} ight.$

Giải phương trình $f\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{1}{2}} \\ {x = 2} \end{array}} ight.$

Hàm số có tập xác định là $D = \left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } ight)\backslash \left\{ {\frac{1}{2};1;2} ight\}$

Khi đó

$g\left( x ight) = \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} ight).f\left( x ight)}}$

$= \frac{{\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^2} - 1} ight)\left( {{x^2} - 4} ight).f\left( x ight)}}$

$= \frac{{\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {x + 1} ight)\left( {x + 2} ight)f\left( x ight)}}$

=> Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x = \frac{1}{2};x = 2$

Câu 23: Thông hiểu

Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức $P(x) = - x^{3} + 24x^{2} + 780x - 1000$ trong đó $x$ là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất tối đa 40 tạ sản phẩm trong một tuần. Hỏi để có lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất bao nhiêu tạ sản phẩm trong một tuần?

Đáp án: 26

Đáp án là:

Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức $P(x) = - x^{3} + 24x^{2} + 780x - 1000$ trong đó $x$ là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất tối đa 40 tạ sản phẩm trong một tuần. Hỏi để có lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất bao nhiêu tạ sản phẩm trong một tuần?

Đáp án: 26

Ta có $P'(x) = - 3x^{2} + 48x + 780;\ \ P'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 10 \\ x = 26\ \ \ \\ \end{matrix} ight.$ .

Bảng biến thiên

Vậy để lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất 26 tạ sản phẩm trong một tuần.

Câu 24: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây

A.
$(1;5)$ .
B.
$(0;2)$ .
C.
$( - \infty;0)$ .
D.
$(2; + \infty)$ .

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$ .

Câu 25: Nhận biết

Cho hình vẽ:

Đồ thị trong hình đã cho là đồ thị của hàm số nào?

A.
$y = - x^{3} + 3x +1$
B.
$y = - x^{3} + 3x^{2} +2$
C.
$y = x^{3} - 3x^{2} + 1$
D.
$y = x^{3} - 3x - 1$

Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ với $a > 0$ và đồ thị hàm số đi qua điểm $(2; - 3)$ nên hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ đã cho là $y = x^{3} -3x^{2} + 1$ .

Câu 26: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)^{2}(x - 1)^{3}(2 - x)$ . Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.
$( - 1;1)$
B.
$(2; + \infty)$
C.
$( - \infty;1)$
D.
$(1;2)$

Ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu trên ta có hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(1;2)$ .

Câu 27: Nhận biết

Giả sử $M;m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3x + 2$ trên đoạn $\lbrack 0;2brack$ . Khi đó tổng của $M$ và $m$ bằng bao nhiêu?

A.
$4$
B.
$6$
C.
$7$
D.
$5$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y(0) = 2 \\ y(1) = 0 \\ y(2) = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M = 4 \\ m = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M + m = 4$

Câu 28: Thông hiểu

Một chất điểm chuyển động với quy luật $S(t) = 6t^{2} - t^{3}$ . Thời điểm $t$ (giây) tại vận tốc $v(m/s)$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

A.
$t = 12$
B.
$t = 8$
C.
$t = 2$
D.
$t = 6$

Vận tốc của chuyển động là:

$v(t) = S'(t) = 12t - 3t^{2} = 12 - 3(2 - t)^{2} \leq 12;\forall t$

Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng $12m/s$ khi $t = 2$ .

Câu 29: Thông hiểu

Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + mx + 1$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d:y = 2x + 1$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để đồ thị $(C)$ cắt đường thẳng $d$ tại ba điểm phân biệt?

A.
$4$
B.
$5$
C.
$9$
D.
$3$

Phương trình hoành độ giao điểm

$x^{3} - 3x^{2} + mx + 1 = 2x + 1$

$\Leftrightarrow x^{3} + 3x^{2} + (m - 2)x = 0$

$\Leftrightarrow x\left( x^{2} - 3x + m - 2 ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 3x + m - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Đặt $f(x) = x^{2} - 3x + m - 2$

Để đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại ba điểm phân biệt thì phương trình $x^{3} - 3x^{2} + (m - 2)x = 0$ phải có 3 nghiệm phân biệt, khi đó $f(x) = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt khác $0$ .

Do đó $\left\{ \begin{gathered} f\left( 0 ight) e 0 \hfill \\ \Delta > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m - 2 e 0 \hfill \\ 9 - 4\left( {m - 2} ight) > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m e 2 \hfill \\ - 4m > - 17 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m e 2 \hfill \\ m < \frac{{17}}{4} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Do $m$ nguyên dương nên $m \in \left\{ 1;3;4 ight\}$ .

Vậy số giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng 3.

Câu 30: Nhận biết

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ:

A.
$y = - x^{4} + 3x^{2} - 1$
B.
$y = x^{4} - 2x^{2} - 1$
C.
$y = x^{3} - 4x^{2} + 5$
D.
$y = - x^{3} + 5x^{2} - 2$

Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số $a > 0$ cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn $0$ nên hàm số cần tìm là $y = x^{4} - 2x^{2} - 1$ .

Câu 31: Thông hiểu

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} + 5} - 3}{x - 2}$ là:

A.
$2$
B.
$4$
C.
$3$
D.
$1$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 2 ight\}$

$\lim_{x ightarrow 2}\frac{\sqrt{x^{2} + 5} - 3}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - 4}{(x - 2)\left( \sqrt{x^{2} + 5} + 3 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow 2}\frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + 5} + 3} = \frac{2}{3}$ nên $x = 2$ không phải tiệm cận đứng.

$\lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 5} - 3}{x - 2} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- \sqrt{1 + \dfrac{5}{x^{2}}} - \dfrac{3}{x}}{1 -\dfrac{2}{x}} = - 1$ suy ra $y = - 1$ là một tiệm cận ngang

$\lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 5} - 3}{x - 2} = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{5}{x^{2}}} - \dfrac{3}{x}}{1 - \dfrac{2}{x}}= 1$ suy ra $y = 1$ là một tiệm cận ngang

Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} + 5} - 3}{x - 2}$ là 2.

Câu 32: Thông hiểu

Tìm điều kiện của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = mx^{4} + (2m - 1)x^{2} + m - 2$ chỉ có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu?

A.
$\left\lbrack \begin{matrix}m \leq 0 \\m > \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$
B.
$m \leq 0$
C.
$\left\lbrack \begin{matrix}m \leq 0 \\m \geq \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$
D.
$m \geq \frac{1}{2}$

Xét $m = 0$ khi đó $y = - x^{2} - 2$ là hàm số bậc hai có a = -1 < 0 nên đồ thị của hàm số là parabol có bề lõm hướng xuống nên có 1 cực đại mà không có cực tiểu. Suy ra $m = 0$ thỏa mãn.

Xét $m eq 0$ khi đó $y = mx^{4} + (2m - 1)x^{2} + m - 2$ là hàm số bậc 4 dạng trùng phươn

Để đồ thị hàm số có một cực đại mà không có cực tiểu thì

$\left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ m\left( {2m - 1} ight) \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m \leqslant 0 \hfill \\ m \geqslant \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow m < 0$

Vậy đáp án cần tìm là $m \leq 0$ .

Câu 33: Nhận biết

Cho hàm số $y = f\left( x ight) = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}$ . Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [2; 4].

A. 7
B. 6
C. $\frac{{19}}{3}$
D. $\frac{{13}}{3}$

Xét hàm số $y = f\left( x ight) = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}$ trên [2; 4] ta có:

$\begin{matrix} f'\left( x ight) = \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \in \left[ {2;4} ight]} \\ {{x^2} - 2x - 3 = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow x = 3 \hfill \\ \end{matrix}$

Tính f(2) = 7; f(3) = 6; f(4) = 19/3

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} ight]} f\left( x ight) = f\left( 3 ight) = 6$

Câu 34: Nhận biết

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu $f'(x)$ như sau:

Kết luận nào sau đây đúng?

A.
Hàm số có hai điểm cực đại.
B.
Hàm số có bốn điểm cực trị.
C.
Hàm số có hai điểm cực trị.
D.
Hàm số có hai điểm cực tiểu.

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy: hàm số đạt cực trị tại $x = 1;x = 3;x = 4$ .

Tại $x = 1;x = 4$ ta thấy $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1;x = 4$ .

Tại $x = 3$ ta thấy $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại $x = 3$ .

Câu 35: Nhận biết

Hàm số $y = \frac{{2x + 5}}{{x + 1}}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3
B. 0
C. 2
D. 1

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} ight\}$

Ta có:

$y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} < 0,\forall x \in D$

Do y’ không đổi dấu nên hàm số không có cực trị.

Câu 36: Vận dụng

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = {x^3} - 3\left( {m + 1} ight){x^2} + 3\left( {7m - 3} ight)x$ không có cực trị. Số phần tử của S là:

A. 2
B. 4
C. 0
D. Vô số

Xét hàm số $y = {x^3} - 3\left( {m + 1} ight){x^2} + 3\left( {7m - 3} ight)x$ ta có:

$\begin{matrix} y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 1} ight)x + 3\left( {7m - 3} ight) \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + 7m - 3 = 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Hàm số đã cho không có cực trị

=> Phương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

=> $\Delta ' \leqslant 0 \Rightarrow {\left( {m + 1} ight)^2} - 1\left( {7m - 3} ight) \leqslant 0 \Rightarrow 1 \leqslant m \leqslant 4$

Do m là số nguyên nên $m \in \left\{ {1;2;3;4} ight\}$

Vậy tập S có 4 phần tử.

Câu 37: Thông hiểu

Cho hàm số $y = x^{4} + 2(m - 2)x + 1$ với $m$ là tham số. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m \in \lbrack - 20;20brack$ để hàm số đã cho có duy nhất một cực tiểu. Hỏi tập $S$ có bao nhiêu phần tử?