Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Giá trị trị lớn nhất của hàm số f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 10 trên đoạn \lbrack 0;4brack bằng

    Ta có f'(x) = 3x^{2} - 6x - 9.

    f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1(ktm) \\ x = 3(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Do đó f(0) = 10, f(3) = - 17, f(4) = - 10.

    Vậy \max_{\lbrack 0;4brack}f(x) = f(0) = 10

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số có đồ thị như hình vẽ:

    Chọn khẳng định đúng

    Chọn khẳng định đúng?

    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là: x = \frac{{ - d}}{c} và tiệm cận ngang là y = \frac{a}{c} ta có:

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{ - d}}{c} > 0} \\ {\dfrac{a}{c} > 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {cd < 0} \\ {ac > 0} \end{array}} ight.

    Đồ thị hàm số cắt Ox tại \left( {\frac{{ - b}}{a};0} ight), cắt Oy tại \left( {0;\frac{b}{d}} ight)

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{ - b}}{a} > 0} \\ {\dfrac{b}{d} > 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ab < 0} \\ {bd > 0} \end{array}} ight.

    Với a > 0 \Rightarrow b < 0;c > 0;d < 0

    Với a < 0 \Rightarrow b > 0;c < 0;d > 0

  • Câu 3: Vận dụng

    Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số là f\left( x ight) = \left| {\frac{1}{4}{x^4} - 14{x^2} + 48x + m - 30} ight| trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số là f\left( x ight) = \left| {\frac{1}{4}{x^4} - 14{x^2} + 48x + m - 30} ight| trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây:

    Xác định hàm số tương ứng

    Đồ thị hàm số tương ứng với hàm số nào sau đây?

    Từ đồ thị hàm số ta có tiệm cận đứng là x = 1, tiệm cận ngang là y = 1

    => Loại A và B

    Xét thấy giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; -2) => Chọn đáp án C

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight)\left( {{3^x} - 1} ight),\forall x \in \mathbb{R}. Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng

     Ta có:

    f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight)\left( {{3^x} - 1} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 0} \\ {x = 2} \end{array}} ight.

    => Hàm số có 3 điểm cực trị

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

    Xét hàm số g\left( x ight) = f\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 3. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có:

    g'\left( x ight) = \frac{1}{2}f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \left( {{x^2} - 3x + 2} ight)

    f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{ - 5}}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = - 1} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = \frac{1}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 4} \\ {x = - 1} \\ {x = 2} \\ {x = 7} \end{array}} ight.

    f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} < - \dfrac{5}{2}} \\ {\dfrac{1}{2} < \dfrac{{x - 1}}{2} < 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 4} \\ {2 < x < 7} \end{array}} ight.

    Ta có bảng xét dấu cho các biểu thức

    Tìm khẳng định sai

    Từ bảng xét dấu ta thấy

    x \in \left( {0;1} ight) \subset \left( {0;2} ight) \Rightarrow g'\left( x ight) < 0

    Khi đó hàm số nghịch biến

    => Đáp án B sai

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} y = + \infty => x = -2 là tiệm cận đúng của đồ thị hàm số

    Ta cũng có \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = 5 = > y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

    Do đó đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên trên đoạn \lbrack - 4;4brack như hình vẽ:

    Có bao nhiêu giá trị của tham số m trên đoạn \lbrack - 4;4brack sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = f\left( \left| x^{3} ight| + 3|x| ight) + f(m) trên đoạn \lbrack - 1;1brack bằng 1?

    Ta có: x \in \lbrack - 1;1brack \Rightarrow |x| \in \lbrack 0;1brack \Rightarrow \left| x^{3} ight| \in \lbrack 0;1brack

    Suy ra t = \left| x^{3} ight| + 3|x| \in \lbrack 0;4brack

    Khi đó f\left( \left| x^{3} ight| + 3|x| ight) \in \lbrack - 3;3brack hay f\left( \left| x^{3} ight| + 3|x| ight) + f(m) \in \left\lbrack - 3 + f(m);3 + f(m) ightbrack

    Theo yêu cầu bài toán \Leftrightarrow 3 + f(m) = 1 \Leftrightarrow f(m) = - 2

    Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy f(m) = - 2 có ba nghiệm

    Vậy có 3 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 9: Nhận biết

    Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 3\sin x - 4{\sin ^3}x trên khoảng \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight) bằng:

    Đặt \sin x = t \Rightarrow t \in \left( { - 1;1} ight)

    Khi đó:

    \begin{matrix} f'\left( t ight) = - 12{t^2} + 3 \hfill \\ f'\left( t ight) = 0 \Leftrightarrow t = \pm \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    So sánh f\left( {\frac{1}{2}} ight) và f\left( { - \frac{1}{2}} ight) ta thấy GTLN là f\left( {\frac{1}{2}} ight) = 1

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + m^{2} - 8 (với mlà tham số) có đồ thị (C). Giả sử các điểm A;B;C là các điểm cực trị của (C). Để tam giác ABC đều thì giá trị của tham số m nằm trong khoảng nào sau đây?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 4x^{3} - 4(m + 1)x

    y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} - 4(m + 1)x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có ba nghiệm phân biệt hay x^{2} = m + 1 có hai nghiệm khác 0

    \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1

    Khi đó y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \sqrt{m + 1} \\ x = - \sqrt{m + 1} \\ \end{matrix} ight.

    Đồ thị (C) có ba điểm cực trị là A\left( 0;m^{2} + 8 ight);B\left( \sqrt{m + 1}; - (m + 1)^{2} + m^{2} + 8 ight);C\left( - \sqrt{m + 1}; - (m + 1)^{2} + m^{2} + 8 ight).

    Ta có: AB = AC = \sqrt{m + 1 + (m + 1)^{4}}

    Do đó tam giác ABC đều \Leftrightarrow AB = BC

    \Leftrightarrow \sqrt{m + 1 + (m + 1)^{4}} = \sqrt{4(m + 1)}

    \Leftrightarrow m + 1 + (m + 1)^{4} = 4(m + 1)

    \Leftrightarrow (m + 1)^{4} - 3(m + 1) = 0

    \Leftrightarrow (m + 1)\left\lbrack (m + 1)^{3} - 3 ightbrack = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m + 1 = 0 \\ (m + 1)^{3} - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 1 + \sqrt[3]{3} \\ \end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện m > - 1 \Rightarrow m = - 1 + \sqrt[3]{3}.

    Vậy đáp án cần tìm là m \in \left( \frac{1}{4};\frac{1}{2} ight).

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{2x^{2} + 2x + 5}{2x + 1}. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Đạo hàm của hàm số đã cho là f'(x) = \frac{4\left( x^{2} + x + 2 ight)}{(2x + 1)^{2}}. Đúng||Sai

    b) Các điểm cực trị của đồ thị hàm số có toạ độ là (−2; −3) và (1; 3. Đúng||Sai

    c) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là: x = - \frac{1}{2}. Đúng||Sai

    d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình là y = x + \frac{1}{2}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{2x^{2} + 2x + 5}{2x + 1}. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Đạo hàm của hàm số đã cho là f'(x) = \frac{4\left( x^{2} + x + 2 ight)}{(2x + 1)^{2}}. Đúng||Sai

    b) Các điểm cực trị của đồ thị hàm số có toạ độ là (−2; −3) và (1; 3. Đúng||Sai

    c) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là: x = - \frac{1}{2}. Đúng||Sai

    d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình là y = x + \frac{1}{2}. Đúng||Sai

    a) Ta có:

    f'(x) = \frac{\left( 2x^{2} + 2x + 5 ight)'.(2x + 1) - (2x + 1)'\left( 2x^{2} + 2x + 5 ight)}{(2x + 1)^{2}}

    = \frac{4\left( x^{2} + x - 2 ight)}{(2x + 1)^{2}}

    b) f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{4\left( x^{2} + x - 2 ight)}{(2x + 1)^{2}} = 0

    \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Thay vào hàm số, ta tính được toạ độ các điểm cực trị là (−2; −3) và (1; 3)

    c) Điều kiện xác định: x eq - \frac{1}{2}

    \lim_{x ightarrow \left( - \frac{1}{2} ight)^{+}}f(x) = + \inftynên x = - \frac{1}{2} là tiệm cận đứng.

    d) y = f(x) = \frac{2x^{2} + 2x + 5}{2x + 1} = x + \frac{1}{2} + \frac{9}{2(2x + 1)}

    Suy ra đồ thị có đường tiệm cận xiên là y = x + \frac{1}{2}.

  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có đồ thị như hình vẽ:

    Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt

    Hỏi phương trình \left| {f\left( {x - 2} ight) - 2} ight| = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc khoảng \left( {0; + \infty } ight)?

    Đặt t= x - 2;\left( {t > - 2} ight)

    Phương trình \left| {f\left( {x - 2} ight) - 2} ight| = 1 tương đương

    \left| {f\left( t ight) - 2} ight| = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( t ight) = 3} \\ {f\left( t ight) = 1} \end{array}} ight.

    Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có 6 nghiệm phân biệt t \in \left( { - 2; + \infty } ight)

    => Phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \left( {0; + \infty } ight)

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên trên đoạn \lbrack - 5;7brack như sau:

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Từ bảng biến thiên ta suy ra \min_{\lbrack - 5;7brack}y = 2

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 2;2brack và có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.

    Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm

    Theo hình vẽ thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm x = 1.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = \frac{x + 3}{x - m} nghịch biến trên khoảng (1; + \infty)?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ m ight\}

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1; + \infty) \Leftrightarrow y' < 0;\forall x \in (1; + \infty)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - m - 3 < 0 \\ m \leq 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 3 < m \leq 1

    Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Xác định tổng S tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{mx + 4m - 3}{x + m} nghịch biến trên từng khoảng xác định?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Xác định tổng S tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{mx + 4m - 3}{x + m} nghịch biến trên từng khoảng xác định?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R}. Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như sau:

    Đặt g(x) = f(x) - x. Hỏi hàm số g(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} nên g(x) = f(x) - x cũng có đạo hàm trên \mathbb{R}

    Ta có: g'(x) = f'(x) - 1

    \Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 1

    Dựa vào đồ thị f'(x) ta có: f'(x) = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = x_{1} \in ( - 1;0) \\ x = x_{2} \in (1;3) \\ x = x_{3} \in (2;3) \\ \end{matrix} ight. suy ra x_{1};x_{2};x_{3} là ba nghiệm phân biệt và x_{1} < x_{2} < x_{3}

    Bảng biến thiên của hàm g(x)

    Vậy hàm số g(x) = f(x) - x có 3 điểm cực trị.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Mệnh đề nào dưới đây đúng

     Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty } \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty } \end{array}} ight. \Rightarrow a > 0

    Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương => d > 0

    Ta có: y' = 3a{x^2} + 2bx + c, nhận thấy hoành độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} > 0 \Rightarrow b < 0} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = 0 \Rightarrow c = 0} \end{array}} ight.

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + 2m + 3 có ba điểm cực trị A;B;C sao cho trục Ox chia tam giác ABC thành một tam giác và một hình thang biết rằng tỉ lệ diện tích tam giác nhỏ được chia ra và diện tích hình thang bằng \frac{4}{5}?

    Ta có: y' = 4x^{2} - 4(m + 1)x

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có ba nghiệm phân biệt \Leftrightarrow m > - 1

    Khi m > - 1 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A(0;2m + 3), B\left( - \sqrt{m + 1}; - m^{2} + 2 ight), C\left( \sqrt{m + 1}; - m^{2} + 2 ight)

    Ta có: A \in Oy, B và C đối xứng với nhau qua Oy suy ra tam giác ABC cân tại A

    Hình vẽ minh họa

    Trục hoành chia tam giác ABC thành một tam giác và một hình thang \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m + 3 > 0 \\ - m^{2} + 2 < 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - \dfrac{3}{2} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m > \sqrt 2 \hfill \\ m < - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} m > \sqrt 2 \hfill \\ - \dfrac{3}{2} < m < - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Kết hợp với điều kiện m > - 1 ta được m > \sqrt{2}

    Khi đó gọi D; E lần lượt là giao điểm của Ox và các cạnh AB; AC. Gọi K là giao điểm của BC và Oy

    Ta có:

    \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \left( \frac{OA}{AK} ight)^{2} = \left( \frac{y_{A}}{y_{A} - y_{B}} ight)^{2} = \left( \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} ight)^{2}

    Mà \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{4}{9} \Leftrightarrow \left( \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} ight)^{2} = \frac{4}{9}

    Vì m > \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} = \frac{2}{3}

    \Leftrightarrow 2m^{2} - 2m - 7 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = \dfrac{1 + \sqrt{15}}{2} \\m = \dfrac{1 - \sqrt{15}}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow m = \dfrac{1 +\sqrt{15}}{2}.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu f'(x) như sau:

    Hàm số y = f(2x + 1) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Ta có:

    y' = \left\lbrack f(2x + 1) ightbrack' = 2f'(2x + 1) < 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x + 1 < - 3 \\ - 1 < 2x + 1 < 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 2 \\ - 1 < x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy khoảng nghịch biến của hàm số y = f(2x + 1) là: ( - 1;0)

  • Câu 21: Nhận biết

    Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}?

    Xét phương trình x + 1 = 0 => x = -1

    Và \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x ight) = + \infty => x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{2}(x + 2)(3 - x). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight. ta có bảng xét dấu f'(x) như sau:

    Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng ( - \infty; - 2);(3; + \infty), hàm số đồng biến trên khoảng ( - 2;3).

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{ax^{2} + bx + c}{mx + n} với a eq 0;\ m eq 0, có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.

    Với m = 1 thì giá trị S = a + b + c là bao nhiêu?

    Đáp án: 7

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{ax^{2} + bx + c}{mx + n} với a eq 0;\ m eq 0, có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.

    Với m = 1 thì giá trị S = a + b + c là bao nhiêu?

    Đáp án: 7

    Với m = 1, ta có y = f(x) = \frac{ax^{2} + bx + c}{x + n}.

    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = - 2 nên n = 2.

    Khi đó f(x) = \frac{ax^{2} + bx + c}{x + 2}.

    Thực hiện phép chia đa thức lấy tử chia mẫu ta được thương là ax + b - 2a, nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là y = ax + b - 2a, mặt khác nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là y = x + 1.

    Nên ta có phương trình:

    ax + b - 2a = x + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b - 2a = 1 \\ \end{matrix} ight. hay \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight..

    Khi đó f(x) = \frac{x^{2} + 3x + c}{x + 2}.

    Vì đồ thị hàm số đi qua điểm ( - 3; - 3) nên ta được c = 3.

    Suy ra f(x) = \frac{x^{2} + 3x + 3}{x + 2}.

    Vậy S = 1 + 3 + 3 = 7.

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

    Hàm số y = f(x) là hàm số nào

    Hàm số y = f(x) là hàm số nào trong các hàm số sau:

     Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = + \infty => Hệ số a > 0

    => Loại đáp án B và C

    Mặt khác hàm số đạt cực trị tại x = 0 và x = 2

    => Loại đáp án D

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{2x + 1}{x - 1}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}

    Ta có: y = \frac{2x + 1}{x - 1} \Rightarrow y' = \frac{- 3}{(x - 1)^{2}} < 0;\forall x \in D

    Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định

    Hay hàm số nghịch biến trên các khoảng ( - \infty;1),(1; + \infty).

  • Câu 26: Nhận biết

    Các dân tộc ít người phân bố chủ yếu ở khu vực nào của Trung Quốc?

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{x + 1}{x^{2} - 2x - 3}. Khi đó tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 3^{+}}y = \lim_{xightarrow 3^{+}}\dfrac{x + 1}{x^{2} - 2x - 3} = \lim_{x ightarrow3^{+}}\dfrac{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}}{1 - \dfrac{2}{x} -\dfrac{3}{x^{2}}} = + \infty suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 3

    \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}y = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}\frac{x + 1}{x^{2} - 2x - 3} = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}\frac{x + 1}{(x + 1)(x - 3)} = - \frac{1}{4}

    \lim_{x ightarrow \pm \infty}y =\lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( \dfrac{x + 1}{x^{2} - 2x - 3}ight) = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( \dfrac{\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{x^{2}}}{1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}} ight) = 0 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0

    Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đườn tiệm cận ngang bằng 2.

  • Câu 28: Nhận biết

    Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ cho sau đây?

    Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số a < 0 và có ba điểm cực trị nên ab < 0 nên chọn y = - x^{4} + 2x^{2} + 1.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Hàm số y = f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + (2m - 1)x - 1 nghịch biến trên khoảng (0; + \infty) khi và chỉ khi:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có:y' = - 3x^{2} + 6x + 2m - 1

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; + \infty)

    y' \leq 0;\forall x \in (0; + \infty) khi và chỉ khi

    \Leftrightarrow 2m \leq 3x^{2} - 6x + 1;\forall x \in (0; + \infty)

    Xét hàm số g(x) = 3x^{2} - 6x + 1 trên (0; + \infty) ta có bảng biến thiên như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta có:

    \min_{(0; + \infty)}g(x) = - 2

    Do đó \Leftrightarrow 2m \leq \min_{(0; + \infty)}g(x) \Leftrightarrow 2m \leq - 2 \Leftrightarrow m \leq - 1

    Vậy m \leq - 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 2x + 1. Giả sử hàm số đạt cứ đại tại x = a và đạt cực tiểu tại x = b thì giá trị biểu thức 2a – 5b là

    Tập xác định D = \mathbb{R}

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = {x^2} - 3x + 2 \hfill \\ y' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng xét dấu như sau:

    Tính giá trị biểu thức

    Do y’ thay đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x = 1

    => x = 1 là điểm cực đại của hàm số

    y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 2

    => x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số

    => 2a – 5b = -8

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

    Số đường tiệm cận ngang: 1

    Số đường tiệm cận đứng: 1

    Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng: 2.

  • Câu 32: Vận dụng

    Gọi S là tập hợp các giá trị m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = \frac{mx^{2} + x - 3}{x - 1} tạo với hai trục hệ tọa độ Oxy một tam giác có diện tích bằng 2. Khi đó tổng các giá trị của S bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Gọi S là tập hợp các giá trị m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = \frac{mx^{2} + x - 3}{x - 1} tạo với hai trục hệ tọa độ Oxy một tam giác có diện tích bằng 2. Khi đó tổng các giá trị của S bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 33: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị của hàm số y = x^{3} - (2m - 1)x^{2} + \left( 2m^{2} + 2m - 4 ight)x - 2m^{2} + 4 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

    Xét phương trình hoành độ giao điểm

    x^{3} - (2m - 1)x^{2} + \left( 2m^{2} + 2m - 4 ight)x - 2m^{2} + 4 = 0(*)

    \Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} - 2mx + 2m^{2} - 4 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 = 0 \\ x^{2} - 2mx + 2m^{2} - 4 = 0(**) \\ \end{matrix} ight.

    Đồ thị của hàm số y = x^{3} - (2m - 1)x^{2} + \left( 2m^{2} + 2m - 4 ight)x - 2m^{2} + 4 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành khi và chỉ khi phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt hay phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ f\left( 1 ight) e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - \left( {2{m^2} - 4} ight) > 0 \hfill \\ 2{m^2} - 2m - 3 e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 2 < m < 2 \hfill \\ m e \frac{{1 \pm \sqrt 7 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vì m\mathbb{\in Z} suy ra m \in \left\{ - 1;0;1 ight\}

    Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích 18m^{3}, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao h bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất (biết nguyên vật liệu xây dựng các mặt là như nhau)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích 18m^{3}, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao h bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất (biết nguyên vật liệu xây dựng các mặt là như nhau)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 35: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây đồng biến trên \mathbb{R}?

    Ta có hàm số y = \left( \frac{5}{4} ight)^{x} có cơ số a = \frac{5}{4} > 1 nên đồng biến trên \mathbb{R}.

    Ngoài ra các hàm số y = \frac{x + 4}{x + 3}; y = x^{4} - 2x^{2} + 1; y = \tan x không thể đồng biến hoặc nghịch biến trên \mathbb{R}.

  • Câu 36: Vận dụng

    Số giá trị nguyên của tham số m \in \left[ { - 20;20} ight] để hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {m + 3} ight)x + 2 đồng biến trên \mathbb{R} là:

    Ta có: y' = {x^2} + 4x + m + 3

    Hàm số đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi

    \begin{matrix} y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1 > 0} \\ {\left( {{\Delta _{y'}}} ight)' = 4 - \left( {m + 3} ight) < 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m \geqslant 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Kết hợp với điều kiện \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \in \left[ { - 20;20} ight]} \\ {m \in \mathbb{Z}} \end{array}} ight.

    => Có 20 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hàm số y = {x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 1. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \left( { - 25;\frac{{11}}{{10}}} ight). Tìm M.

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = 3{x^2} - 3x \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên

    Tìm GTLN của hàm số

    Từ bảng biến thiên ta có M = 1

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Số TCĐ và TCN của đồ thị hàm số

    Hỏi đồ thị hàm số y = \frac{{{f^2}\left( x ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {{f^2}\left( x ight) - 2f\left( x ight)} ight]\left( {2{x^5} + {x^4} - 10{x^3} - 5{x^2} + 8x + 4} ight)}} có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

    Dựa vào bảng biến thiên ta có: f\left( x ight) = a{x^2}\left( {x + 1} ight)\left( {x - 2} ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{{{f^2}\left( x ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {{f^2}\left( x ight) - 2f\left( x ight)} ight]\left( {2{x^5} + {x^4} - 10{x^3} - 5{x^2} + 8x + 4} ight)}} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{a{x^2}\left( {x + 1} ight)\left( {x - 2} ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {{x^2} - 4} ight)\left( {{x^2} - 1} ight)\left( {2x + 1} ight)}} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{a{x^2}\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight)\left( {2x + 1} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f(x) = 2 có 2 nghiệm x = a hoặc x = b trong đó a < 0, b > 2

    Với điều kiện thì phương trình

    \left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight)\left( {2x + 1} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 2} \\ {x = 1} \\ {x = a} \\ {x = b} \end{array}} ight.

    Do đó đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng

    Mặt khác bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 0 => Đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận.

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ Oxy là một phần của đồ thị hàm số bậc ba f(x).

    Vị trí điểm cực đại là (2;5) với đơn vị của hệ trục là 100m và vị trí điểm cực tiểu là (0;1). Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình y = 36 - 9x. Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 88,3 m

    Đáp án là:

    Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ Oxy là một phần của đồ thị hàm số bậc ba f(x).

    Vị trí điểm cực đại là (2;5) với đơn vị của hệ trục là 100m và vị trí điểm cực tiểu là (0;1). Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình y = 36 - 9x. Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

    Đáp án: 88,3 m

    Gọi hàm số bậc ba y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d

    \Rightarrow f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c.

    Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0;1) \Rightarrow d = 1.

    Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(2;5) \Rightarrow 8a + 4b + 2c + 1 = 5.

    Vì hàm số có hai điểm cực trị x = 0;x = 2

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(0) = 0 \\ f'(2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ 12a + 4b = 0 \\ \end{matrix} ight. .

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 1 và f'(x) = - 3x^{2} + 6x.

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight),\ x_{0} > 0, là điểm nằm trên hòn đảo và nối với mặt đường và d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với mặt đường.

    Suy ra M là tiếp điểm của d với y = f(x).

    Đường thẳng y = 36 - 9x có hệ số góc k = - 9

    \Rightarrow f'\left( x_{0} ight) = - 9 \Leftrightarrow - 3x_{0}^{2} + 6x_{0} = - 9

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 3 \\ x_{0} = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(3;1).

    Độ dài cây cầu ngắn nhất bằng khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 9x + y - 36 = 0.

    h = \frac{|9.3 + 1 - 36|}{\sqrt{9^{2} + 1^{2}}} \approx 0,883.

    Vì đơn vị của hệ trục là 100m nên độ dài ngắn nhất của cây cầu là 88,3m.

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau đây:

    Tính số nghiệm của phương trình

    Số nghiệm của phương trình 2f\left( x ight) - 5 = 0 là:

    Ta có: 2f\left( x ight) - 5 = 0 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{5}{2} có hai nghiệm

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 10 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập