Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Câu 1: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{mx + 2m + 3}{x + m}$ với $m$ là tham số. Gọi $T$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$ . Hỏi tập hợp $T$ có tất cả bao nhiêu phần tử?

A.
$4$
B.
$2$
C.
$5$
D.
$3$

Ta có: $y' = \frac{m^{2} - (2m + 3)}{(x + m)^{2}} = \frac{m^{2} - 2m - 3}{(x + m)^{2}}$

Theo yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y' < 0;\forall x \in (2; + \infty)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 2m - 3 < 0 \\ - m \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < m < 3 \\ m \geq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 1 < m < 3$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 0;1;2 ight\}$

$\Rightarrow T = \left\{ 0;1;2 ight\}$

Vậy tập hợp T có tất cả 3 phần tử.

Câu 2: Vận dụng

Cho hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{x + 1}}$ . Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm $A\left( {0; - 1} ight)$ và có đường tiệm cận ngang là $y = 1$ . Giá trị $a + b$ bằng:

A. 1
B. 0
C. 3
D. 2

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là $a - b e 0$

=> Đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {0; - 1} ight)$ nên $b = - 1$

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y = a \Rightarrow a = 1$ (thỏa mãn)

Vậy $a + b = 0$

Câu 3: Thông hiểu

Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức $P(x) = - x^{3} + 24x^{2} + 780x - 1000$ trong đó $x$ là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất tối đa 40 tạ sản phẩm trong một tuần. Hỏi để có lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất bao nhiêu tạ sản phẩm trong một tuần?

Đáp án: 26

Đáp án là:

Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức $P(x) = - x^{3} + 24x^{2} + 780x - 1000$ trong đó $x$ là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất tối đa 40 tạ sản phẩm trong một tuần. Hỏi để có lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất bao nhiêu tạ sản phẩm trong một tuần?

Đáp án: 26

Ta có $P'(x) = - 3x^{2} + 48x + 780;\ \ P'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 10 \\ x = 26\ \ \ \\ \end{matrix} ight.$ .

Bảng biến thiên

Vậy để lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất 26 tạ sản phẩm trong một tuần.

Câu 4: Thông hiểu

Đồ thị của hàm số $y = \frac{x - 1}{x^{2} + 2x - 3}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A.
$0$
B.
$2$
C.
$3$
D.
$1$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 3;1 ight\}$

$\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow + \infty}y = 0 \\ \lim_{x ightarrow - \infty}y = 0 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x + 3}} = \frac{1}{4} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{1}{{x + 3}} = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ suy ra đường thẳng $x = 1$ không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} ight)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} ight)}^ + }} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} ight)\left( {x + 3} ight)}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} ight)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} ight)}^ - }} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} ight)\left( {x + 3} ight)}} = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.$ suy ra đường thẳng $x = - 3$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.

Câu 5: Vận dụng cao

Anh Hùng đang ở trong rừng để đào vàng và tìm thấy vàng ở điểm $X$ cách điểm $A$ một khoảng 3 km. Điểm $A$ nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của anh Hùng nằm ở vị trí $Y$ cách điểm $B$ một khoảng 3 km. Điểm $B$ cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng $AB = 3(km),AM = NB = x(km)$ và $AX = BY = 3(km)$ (minh hoạ như hình vẽ sau).

Khi đang đào vàng, anh Hùng không may bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình $y = 50\log(t +2)$ . Trong đó, $y$ là nồng độ, $t$ là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Anh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Anh ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là $5km/h$ và $13km/h$ . Để về đến trại anh Hùng cần chạy từ trong rừng qua điểm $M,N$ trên bãi biển. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi anh Hùng về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Anh Hùng đang ở trong rừng để đào vàng và tìm thấy vàng ở điểm $X$ cách điểm $A$ một khoảng 3 km. Điểm $A$ nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của anh Hùng nằm ở vị trí $Y$ cách điểm $B$ một khoảng 3 km. Điểm $B$ cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng $AB = 3(km),AM = NB = x(km)$ và $AX = BY = 3(km)$ (minh hoạ như hình vẽ sau).

Khi đang đào vàng, anh Hùng không may bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình $y = 50\log(t +2)$ . Trong đó, $y$ là nồng độ, $t$ là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Anh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Anh ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là $5km/h$ và $13km/h$ . Để về đến trại anh Hùng cần chạy từ trong rừng qua điểm $M,N$ trên bãi biển. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi anh Hùng về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 6: Nhận biết

Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang?

A. $y = \frac{1}{{x + 1}}$
B. $y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}$
C. $y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}$
D. $y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}$

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{x + \dfrac{1}{x}}}{{1 - \dfrac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } x = \infty$

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}$ không có tiệm cận ngang.

Câu 7: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ . Khi đó tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

A.
$2$
B.
$4$
C.
$3$
D.
$1$

Tập xác định $D = ( - \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y = \pm 1$

Lại có $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} y = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ + }} y = + \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.$ suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là $x = \pm 2$

Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang bằng 4.

Câu 8: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\left\{ \pm 2 ight\}$ và có bảng biến thiên như sau:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) Hàm số không có điểm cực trị. Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}f(x) = + \infty$ . Sai||Đúng

c) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận ngang. Đúng||Sai

d) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\left\{ \pm 2 ight\}$ và có bảng biến thiên như sau:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) Hàm số không có điểm cực trị. Đúng||Sai

b) $\lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}f(x) = + \infty$ . Sai||Đúng

c) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận ngang. Đúng||Sai

d) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng. Sai||Đúng

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

a) Hàm số không có điểm cực trị.

b) lim $\lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}f(x) = - 10$ .

c) $\lim_{x ightarrow \pm \infty}f(x) = 0$ . Suy ra đồ thị có đúng 1 đường tiệm cận ngang là $y = 0$ .

d) $\lim_{x ightarrow ( - 2)^{+}}f(x) = + \infty$ và $\lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = + \infty$ nên đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận đứng $x = \pm 2$ .

Câu 9: Nhận biết

Chọn hàm số tương ứng với bảng biến thiên sau?

A.
$y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$
B.
$y = x^{3} - 3x^{2} + 1$
C.
$y = - x^{3} + 3x^{2} + 1$
D.
$y = x^{4} - 2x^{2} + 1$

Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số $a < 0$ nên hàm số cần tìm là $y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$ .

Câu 10: Nhận biết

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f'\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 1} ight){\left( {x + 2} ight)^5},\forall x \in \mathbb{R}$ . Số cực trị của hàm số đã cho là

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Xét phương trình $f\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = - 2} \end{array}} ight.$

Ta có bảng xét dấu:

Xác định số điểm cực trị của hàm số

Quan sát bảng xét dấu ta dễ thấy f’(x) đổi dấu khi qua c = -2 và f’(x) đổi dấu khi qua x = 1

=> Hàm số có hai điểm cực trị

Câu 11: Nhận biết

Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{5}{2}{x^2} + 6x$ nghịch biến trên khoảng nào?

A. $\left( {2;3} ight)$
B. $\left( {1;6} ight)$
C. $\left( { - 6; - 1} ight)$
D. $\left( { - 3; - 2} ight)$

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y' = {x^2} - 2x + 6} \\ {y' < 0} \end{array} \Rightarrow } ight.{x^2} - 2x + 6 < 0 \Rightarrow 2 < x < 3$

=> Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 3)

Câu 12: Thông hiểu

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y= \frac{x - 1}{x + m - 2}$ nghịch biến trên khoảng $(6; + \infty)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y= \frac{x - 1}{x + m - 2}$ nghịch biến trên khoảng $(6; + \infty)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 13: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{2x^{2} + 2x + 5}{2x + 1}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = \frac{4\left( x^{2} + x + 2 ight)}{(2x + 1)^{2}}$ . Đúng||Sai

b) Các điểm cực trị của đồ thị hàm số có toạ độ là (−2; −3) và (1; 3. Đúng||Sai

c) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là: $x = - \frac{1}{2}$ . Đúng||Sai

d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình là $y = x + \frac{1}{2}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{2x^{2} + 2x + 5}{2x + 1}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = \frac{4\left( x^{2} + x + 2 ight)}{(2x + 1)^{2}}$ . Đúng||Sai

b) Các điểm cực trị của đồ thị hàm số có toạ độ là (−2; −3) và (1; 3. Đúng||Sai

c) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là: $x = - \frac{1}{2}$ . Đúng||Sai

d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình là $y = x + \frac{1}{2}$ . Đúng||Sai

a) Ta có:

$f'(x) = \frac{\left( 2x^{2} + 2x + 5 ight)'.(2x + 1) - (2x + 1)'\left( 2x^{2} + 2x + 5 ight)}{(2x + 1)^{2}}$

$= \frac{4\left( x^{2} + x - 2 ight)}{(2x + 1)^{2}}$

b) $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{4\left( x^{2} + x - 2 ight)}{(2x + 1)^{2}} = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Thay vào hàm số, ta tính được toạ độ các điểm cực trị là (−2; −3) và (1; 3)

c) Điều kiện xác định: $x eq - \frac{1}{2}$

$\lim_{x ightarrow \left( - \frac{1}{2} ight)^{+}}f(x) = + \infty$ nên $x = - \frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng.

d) $y = f(x) = \frac{2x^{2} + 2x + 5}{2x + 1} = x + \frac{1}{2} + \frac{9}{2(2x + 1)}$

Suy ra đồ thị có đường tiệm cận xiên là $y = x + \frac{1}{2}$ .

Câu 14: Thông hiểu

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ . Đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ là đường cong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.
$\max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) = f(2)$
B.
$\min_{\lbrack - 2;2brack}f(x) = f(1)$
C.
$\max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) =f(1)$
D.
$\max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) = f( - 2)$

Dựa vào thị của hàm số $y = f^{'}(x)$ trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ ta thấy $f'(x) = 0\Leftrightarrow x = 1$ .

Ta có bảng BBT:

Do đó $\max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) =f(1)$ .

Câu 15: Thông hiểu

Cho hàm số f(x) có đạo hàm . Gọi P là giá trị cực đại của hàm số đã cho. Chọn khẳng định đúng.

A. P = f(0)
B. P = f(9)
C. P = f(-3)
D. P = f(3)

Ta có: $f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm 3} \\ {x = 0} \end{array}} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Chọn đáp án đúng

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là P = f(-3)

Câu 16: Vận dụng

Ông A dự định sử dụng hết $8\ \ m^{2}$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu $m^{3}$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 2,1

Đáp án là:

Ông A dự định sử dụng hết $8\ \ m^{2}$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu $m^{3}$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 2,1

Gọi $x,h$ $(m)$ lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bể cá.

Ta có thể tích bể cá $V = 2x^{2}h$ .

Theo đề bài ta có:

$2xh + 2.2xh + 2x^{2} = 8$

$\Leftrightarrow 6xh + 2x^{2} = 8$

$\Leftrightarrow h = \frac{8 - 2x^{2}}{6x}$

$V = 2x^{2}\frac{8 - 2x^{2}}{6x} = \frac{8x - 2x^{3}}{3}$

$\Rightarrow V' = \frac{8 - 6x^{2}}{3}$

$\Rightarrow V' = 0$

$\Leftrightarrow 8 - 6x^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ta có bảng biển thiên

$\Rightarrow V_{\max} = \frac{32\sqrt{3}}{27} \approx 2,1\ \ m^{3}$

Câu 17: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - (m + 2)x^{2} + \left( m^{2} + 4m + 3 ight)x + 6m + 9$ với $m$ là tham số. Tìm giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $(C)$ có cực đại tại $x_{1}$ và cực tiểu tại $x_{2}$ sao cho ${x_{1}}^{2} - 2x_{2} = 0$ ?

A.
$m = 4$
B.
$m = - 2$
C.
$\left\lbrack \begin{matrix} m = 4 \\ m = - 2 \\ \end{matrix} ight.$
D.
$\left\lbrack \begin{matrix} m = \sqrt{5} \\ m = - \sqrt{5} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $y' = x^{2} - 2(m + 2)x + m^{2} + 4m + 3$

Hàm số có cực đại tại $x_{1}$ và cực tiểu tại $x_{2}$ khi và chỉ khi

$\Delta' > 0 \Leftrightarrow (m + 2)^{2} - \left( m^{2} + 4m + 3 ight) > 0 \Leftrightarrow 1 > 0\forall m\mathbb{\in R}$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = m + 3 \\ x = m + 1 \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra ta có:

${x_{1}}^{2} - 2x_{2} = 0 \Leftrightarrow (m + 1)^{2} - 2(m + 3) = 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - \sqrt{5} \\ m = \sqrt{5} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là $\left\lbrack \begin{matrix} m = \sqrt{5} \\ m = - \sqrt{5} \\ \end{matrix} ight.$ .

Câu 18: Thông hiểu

Cho hàm số $y = x^{4} - 4x^{2} - 2$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d:y = m$ . Tất cả các giá trị của tham số $m$ để $d$ cắt $(C)$ tại bốn điểm phân biệt?

A.
$m \in \lbrack 2;6brack$
B.
$m \in ( - 6; - 2)$
C.
$m \in \lbrack - 6; - 2brack$
D.
$m \in (2;6)$

Ta có: $y' = 4x^{3} - 8x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \sqrt{2} \\ x = - \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số $y = x^{4} - 4x^{2} - 2$ cắt đường thẳng $d:y = m$ tại $4$ điểm phân biệt $\Leftrightarrow - 6 < m < - 2$ .

Câu 19: Nhận biết

Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số $y = f(x)$ :

Hàm số $y = f(x)$ là hàm số:

A.
$y = x^{4} + x^{2} + 1$
B.
$y = x^{4} - x^{2} + 1$
C.
$y = - x^{3} + 3x^{2} + 2$
D.
$y = x^{3} - 3x + 2$

Đồ thị hàm số bậc ba có dạng $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ có hệ số $a > 0$ nên hàm số cần tìm là $y = x^{3} - 3x + 2$ .

Câu 20: Nhận biết

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập số thực?

A.
$y = x^{3} + x$
B.
$y = x^{3} - x$
C.
$y = x^{2} + 1$
D.
$y = x^{2} - 1$

Xét hàm số $y = x^{3} + x$ có: $y' = 3x^{2} + 1 > 0;\forall x\mathbb{\in R}$

Suy ra hàm số $y = x^{3} + x$ đồng biến trên tập số thực.

Câu 21: Thông hiểu

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f'(x) < 0,\forall x \in (0; + \infty)$ biết $f(0) = 3$ . Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra.

A.
$f(2024) = 3,5$
B.
$f(2023) + f(2024) = 6$
C.
$f(2023) < f(2024)$
D.
$f( - 2024) = 3$

Do $f^{'}(x) < 0,\forall x \in (0; + \infty)$ nên hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $(0; + \infty)$ .

Khi đó ta có:

$f(2024) < f(0) = 3 \Rightarrow f(2024) = 3,5$ sai

$f(2023) < f(0) = 3 \Rightarrow f(2023) + f(2024) < 3 + 3 = 6 \Rightarrow f(2023) + f(2024) = 6$ sai

$f(2023) > f(2024) \Rightarrow f(2023) < f(2024)$ sai

Do đó, $f( - 2024) = 3$ đúng.

Câu 22: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (3x - 1)(x + 3)$ trên $\mathbb{R}$ . Tìm số điểm cực trị của hàm số $y = f(x)$ ?

A.
$3$
B.
$1$
C.
$2$
D.
$4$

Ta có: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x = - 3 \\x = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$

$f'(x)$ có hai nghiệm đơn nên hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị.

Câu 23: Nhận biết

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \frac{x - 3}{x + 2}$ trên $\lbrack 0;4brack$ là:

A.
$f(0)$
B.
$f(4)$
C.
$f(2)$
D.
$f(3)$

Ta có: $f'(x) = \frac{5}{(x + 2)^{2}};\forall x \in \lbrack 0;4brack$ nên hàm đồng biến trên $\lbrack 0;4brack$

Do đó $\min_{\lbrack 0;4brack}f(x) = f(0)$

Câu 24: Nhận biết

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = - x^{3} + 48x$ trên $\lbrack - 7;5brack$ ?

A.
$127$
B.
$128$
C.
$115$
D.
$7$

Ta có: $f'(x) = - 3x^{2} + 48$

$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow - x^{3} + 48x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 4 \\ x = - 4 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f(0) = 0;f( - 7) = 7 \\ f( - 4) = - 128 \\ f(4) = 128;f(5) = 115 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \max_{\lbrack - 7;5brack}f(x) = 128$

Câu 25: Vận dụng

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $P(x) = \frac{1}{40}x^{2}(30 - x)$ trong đó $x$ là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( $x$ được tính bằng miligam, $0 < x < 30$ ).

a) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân là $P(x) = \frac{3}{4}x^{2} - \frac{1}{40}x^{3}$ . Đúng||Sai

b) Đạo hàm của $P(x)$ là $P'(x) = \frac{3}{2}x + \frac{3}{40}x^{2}$ . Sai||Đúng

c) Phương trình $P'(x) = 0$ có nghiệm duy nhất. Sai||Đúng

d) Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là $20mg$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $P(x) = \frac{1}{40}x^{2}(30 - x)$ trong đó $x$ là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( $x$ được tính bằng miligam, $0 < x < 30$ ).

a) Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân là $P(x) = \frac{3}{4}x^{2} - \frac{1}{40}x^{3}$ . Đúng||Sai

b) Đạo hàm của $P(x)$ là $P'(x) = \frac{3}{2}x + \frac{3}{40}x^{2}$ . Sai||Đúng

c) Phương trình $P'(x) = 0$ có nghiệm duy nhất. Sai||Đúng

d) Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là $20mg$ . Đúng||Sai

a) Đúng. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được viết lại là $P(x) = \frac{3}{4}x^{2} - \frac{1}{40}x^{3}$ .

b) Sai. Đạo hàm của $P(x)$ là $P'(x) = \frac{3}{2}x - \frac{3}{40}x^{2}$ .

c) Sai. Xét phương trình $P'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2}x - \frac{3}{40}x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 20 \\ \end{matrix} ight.$

d) Đúng. Ta có bảng biến thiên:

Vậy liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là 20 mg.

Câu 26: Nhận biết

Cho hàm số y = f(x) và có bảng biến thiên trên [-2; 3) như sau:

GTLN của hàm số trên khoảng là bao nhiêu?

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2; 3] bằng:

A. 3
B. 4
C. 5
D. 2

Từ đồ thị của hàm số y = f(x) ta thấy hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [-2; 3]

Ta có: f(x) ∈ [-2; 3] với $\forall x \in \mathbb{R}$ => $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;3} ight]} f\left( x ight) = f\left( 3 ight) = 4$

Câu 27: Vận dụng

Hàm số $f\left( x ight) = C_{2019}^0 + C_{2019}^1x + C_{2019}^2{x^2} + C_{2019}^3{x^3} + ... + C_{2019}^{2019}{x^{2019}}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0
B. 2018
C. 1
D. 2019

Ta có:

$\begin{matrix} f\left( x ight) = C_{2019}^0 + C_{2019}^1x + C_{2019}^2{x^2} + C_{2019}^3{x^3} + ... + C_{2019}^{2019}{x^{2019}} = {\left( {1 + x} ight)^{2019}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 2019.{\left( {1 + x} ight)^{2018}} \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Vì x = -1 là nghiệm bội chẵn nên x = -1 không phải là điểm cực trị của hàm số.

Câu 28: Thông hiểu

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y = m$ và $y = - x^{3} + 6x^{2}$ tại ba điểm phân biệt?

A.
$0 < m < 32$
B.
$\left\lbrack \begin{matrix} m \geq 16 \\ m \leq 0 \\ \end{matrix} ight.$
C.
$0 < m < 16$
D.
$- 32 < m < 0$

Ta có: $y = - x^{3} + 6x^{2} \Rightarrow y' = - 3x^{2} + 12x$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên

Để đường thẳng $y = - x^{3} + 6x^{2}$ và $y = m$ tại ba điểm phân biệt thì $0 < m < 32$ .

Câu 29: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có: $\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = 1;\lim_{xightarrow 3^{+}}f(x) = + \infty;$ $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) =1;\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty$

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 1$ . Đúng||Sai

b) Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 3$ . Đúng||Sai

c) Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ không có tiệm cận ngang. Sai|| Đúng

d) Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ không có tiệm cận đứng. Sai|| Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có: $\lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = 1;\lim_{xightarrow 3^{+}}f(x) = + \infty;$ $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) =1;\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty$

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 1$ . Đúng||Sai

b) Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 3$ . Đúng||Sai

c) Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ không có tiệm cận ngang. Sai|| Đúng

d) Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ không có tiệm cận đứng. Sai|| Đúng

a) Do $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = 1$ nên $y = 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. (*)

b) Do $\lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = + \infty$ nên $x = 3$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. (**)

c) Từ (*) suy ra khẳng định này sai.

d) Từ (**) suy ra khẳng định này sai.

Câu 30: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ . Biết đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ biểu diễn như hình vẽ:

Khi đó hàm số $y = f\left( x^{2} - 1 ight)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.
$( - 1;1)$
B.
$( - 2;0)$
C.
$( - 4; - 2)$
D.
$(0;2)$

Ta có: $y' = 2x.f'\left( x^{2} - 1 ight) \leq 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ f'\left( x^{2} - 1 ight) \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ f'\left( x^{2} - 1 ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ x^{2} - 1 \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} - 1 \geq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ - 2 \leq x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x \leq - 2 \\ x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 \leq x \leq 0 \\ x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là $( - 2;0)$ .

Câu 31: Thông hiểu

Cho hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} - 1$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số có 2 cực trị. Đúng||Sai

b) Điểm cực đại của hàm số là x = 2. Đúng||Sai

c) Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 3).Sai||Đúng

d) Giá trị lớn nhất của hàm số là 3. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} - 1$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số có 2 cực trị. Đúng||Sai

b) Điểm cực đại của hàm số là x = 2. Đúng||Sai

c) Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 3).Sai||Đúng

d) Giá trị lớn nhất của hàm số là 3. Sai||Đúng

Hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} - 1$ có đồ thị như sau:

a) Đúng. Từ đồ thị, ta khẳng định hàm số có 2 cực trị.

b) Đúng. Từ đồ thị, ta khẳng định hàm số có điểm cực đại là x = 2.

c) Sai. Trên khoảng (−1; 3) hàm số có đồng biến và nghịch biến.

d) Sai. Trên R không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

Câu 32: Vận dụng cao

Gọi M, N lần lượt là số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} } ight)}}{{{x^2} - 4}}$ . Khi đó m + n bằng:

A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

Điều kiện $x e 2;x \geqslant \sqrt 3$

Tiệm cận ngang:

$\begin{matrix} \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} } ight)}}{{{x^2} - 4}} = \dfrac{{x.\left| x ight|\left( {\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} } ight)}}{{{x^2}\left( {1 - \dfrac{4}{x}} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{{x^2}\left( {\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {\frac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} } ight)}}{{{x^2}\left( {1 - \dfrac{4}{x}} ight)}},\left( {do{\text{ }}x \geqslant \sqrt 3 } ight) = \dfrac{{\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{4}{x}}} \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \dfrac{4}{x}}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}$

=> Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là y = 1

Tiệm cận đứng:

Điều kiện cần: Xét phương trình x² – 4 = 0 => x = 2 hoặc x = -2

Điều kiện đủ

Đặt $f\left( x ight) = x\left( {\sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} } ight)$

Xét x = 2 ta có f(2) = 0 nên ta sẽ đi tìm bậc của x – 2 của f(x)

$\begin{matrix} \sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} = \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} } ight).\left( {\sqrt {{x^2} - 3} + \sqrt {x - 1} } ight)}}{{\sqrt {{x^2} - 3} + \sqrt {x - 1} }} = \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{g\left( x ight)}} = \left( {x - 2} ight).h\left( x ight) \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{\left( {x - 2} ight).h\left( x ight)}}{{\left( {x - 2} ight)\left( {x + 2} ight)}} = \dfrac{{h\left( x ight)}}{{x + 2}} \hfill \\ \end{matrix}$

=> x = 2 không phải là tiệm cận đứng

Xét x = -2 ta có f(-2) không tồn tại hay x = -2 không phải là tiệm cận đứng.

Vậy M = 1, N = 0 => M + N = 1

Câu 33: Thông hiểu

Cho hàm số $y = {x^4} - 2{x^2} + 1$ có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác ABC. Diện tích tam giác ABC bằng:

A. $S = 2$
B. $S = 1$
C. $S = \dfrac{1}{2}$
D. $S = 4$

Ta có: $y' = 4{x^3} - 4x$

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A\left( {0;1} ight),B\left( { - 1;0} ight),C\left( {1;0} ight)$

$\begin{matrix} \overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1} ight),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0} \\ {AB = AC = \sqrt 2 } \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

=> Tam giác ABC vuông cân tại A => $S = \frac{1}{2}AB.AC = 1$

Câu 34: Thông hiểu

Một hãng điện thoại đưa ra quy luật bán buôn cho từng đại lí, đó là đại lí càng nhập nhiều chiếc điện thoại của hãng thì giá bán buôn một chiếc điện thoại càng giảm. Cụ thể, nếu đại lí mua $x$ điện thoại thì giá tiền của mỗi điện thoại là $4000-2x$ (nghìn đồng), $x \in N^{*},x < 2000$ . Đại lí nhập cùng một lúc bao nhiêu chiếc điện thoại thì hãng có thể thu về nhiều tiền nhất từ đại lí đó?

Đáp án: 1000||1 000

Đáp án là:

Một hãng điện thoại đưa ra quy luật bán buôn cho từng đại lí, đó là đại lí càng nhập nhiều chiếc điện thoại của hãng thì giá bán buôn một chiếc điện thoại càng giảm. Cụ thể, nếu đại lí mua $x$ điện thoại thì giá tiền của mỗi điện thoại là $4000-2x$ (nghìn đồng), $x \in N^{*},x < 2000$ . Đại lí nhập cùng một lúc bao nhiêu chiếc điện thoại thì hãng có thể thu về nhiều tiền nhất từ đại lí đó?

Đáp án: 1000||1 000

Số tiền hãng thu được khi đại lí nhập $x$ chiếc điện thoại là $f(x) = x(4000 - 2x)$ .

Ta có: $f'(x) = - \ 4x + 4000$ .

Khi đó, $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\ 000 \Rightarrow f(x) = 2000000$

Học sinh tự vẽ bảng biến thiên

Ta suy ra:

Đại lí nhập cùng lúc $1\ 000$ chiếc điện thoại thì hãng có thể thu nhiều tiền nhất từ đại lí đó với $2 000 000 000$ (đồng).

Đáp số: $1000$ .

Câu 35: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = \left| x^{3} - (2m +1)x^{2} + mx + m ight|$ với $m$ là tham số. Giả sử $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m \in \lbrack -2021;2021brack$ sao cho đồ thị của hàm số có $5$ điểm cực trị. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp $S$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = \left| x^{3} - (2m +1)x^{2} + mx + m ight|$ với $m$ là tham số. Giả sử $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m \in \lbrack -2021;2021brack$ sao cho đồ thị của hàm số có $5$ điểm cực trị. Tính tổng tất cả các phần tử của tập hợp $S$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 36: Nhận biết

Chọn hàm số tương ứng với đồ thị hàm số trong hình vẽ dưới đây:

Chọn hàm số tương ứng với đồ thị hàm số

A. $y = - {x^4} + 2{x^2}$
B. $y = {x^3} - 2{x^2}$
C. $y = {x^4} - 2{x^2} - 3$
D. $y = {x^4} - 2{x^2}$

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:

Hàm số có dạng hàm số bậc bốn trùng phương: $y = a{x^4} + b{x^2} + c$

=> Loại đáp án B

Đồ thị có nhánh cuối của đồ thị đi lên

=> Hệ số a > 0

=> Loại đáp án A

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm O

=> c = 0

=> Loại đáp án C

Câu 37: Vận dụng

Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào thành 2 chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng nuôi gà và một chuồng nuôi vịt. Biết rằng đã có sẵn 240 m hàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh chuồng là bao nhiêu?

Đáp án: 2400 m²

Đáp án là:

Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào thành 2 chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng nuôi gà và một chuồng nuôi vịt. Biết rằng đã có sẵn 240 m hàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh chuồng là bao nhiêu?

Đáp án: 2400 m²

Xét hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, và đặtv AB = x (x > 0)

Khi đó BC = 240 – 3x > 0 ⇒ x < 80.

Diện tích của hình chữ nhật ABCD là S = x.(240 – 3x ) = 240x – 3x²

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) với 0 < x < 80.

Xét f(x) = 240x – 3x² ⇒ f’(x) = 240 – 6x , f’(x) = 0 ⟺ x = 40.

Do f’’(x) = - 6 < 0, ∀ x∈ (0; 80)

Do đó $maxS = \max_{x \in (0;80)}f(x) = f(40) = 4800 \Leftrightarrow x = 40$

Vậy diện tích lớn nhất có thể bao quanh là 4800m² .

Câu 38: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ sau:

Xét hàm $g(x) = f\left( x^{2} - 2 ight)$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A.
Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $( - \infty; - 2)$ .
B.
Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $(0;2)$ .
C.
Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $( - 1;0)$ .
D.
Hàm số $g(x)$ đồng biến trên $(2; + \infty)$ .

Ta có: $g'(x) = 2x.f'\left( x^{2} - 2 ight)$

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x.f'\left( x^{2} - 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x = 0 \\ f'\left( x^{2} - 2 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 2 = - 1 \\ x^{2} - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.$