Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} -3x.

    a) Tập xác định của hàm số là \mathbb{R}. Đúng||Sai

    b) f'(x) = 3x^{2} + 3. Sai||Đúng

    c) f'(x) < 0 khi x \in ( - \infty; - 1) \cup (1; +\infty), f'(x) > 0 khi x \in ( - 1;1). Sai||Đúng

    d) Hàm số đã cho có đồ thị như hình vẽ.

    Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} -3x.

    a) Tập xác định của hàm số là \mathbb{R}. Đúng||Sai

    b) f'(x) = 3x^{2} + 3. Sai||Đúng

    c) f'(x) < 0 khi x \in ( - \infty; - 1) \cup (1; +\infty), f'(x) > 0 khi x \in ( - 1;1). Sai||Đúng

    d) Hàm số đã cho có đồ thị như hình vẽ.

    Đúng||Sai

    Tập xác định: \mathbb{R}.

    Sự biến thiên

    Giới hạn tại vô cực: lim_{x ightarrow +\infty}y = + \infty,lim_{x ightarrow - \infty}y = -\infty.

    y' = 3x^{2} - 3 và y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1 hoặc x = 1

    Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( -\infty; - 1) và (1; +\infty), nghịch biến trên khoảng (- 1;1).

    Hàm số đạt cực đại tại x = - 1,y_{CD} =2; hàm số đạt cực tiểu tại x =1,y_{CT} = - 2.

    Đồ thị:

    Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0;0).

    Giao điểm của đồ thị với trục hoành tại x= 0 hoặc x = \pm \sqrt{3}. Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại ba điểm (0;0),\left( - \sqrt{3};0 ight) và \left( \sqrt{3};0 ight).

    Vậy đồ thị hàm số y = f(x) = x^{3} -3x được cho ở hình vẽ.

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và thỏa mãn f(x) > f'(x) + 1;\forall x\mathbb{\in R}. Bất phương trình f(x) < me^{x} + 1 nghiệm đúng với mọi x \in (0; + \infty) khi và chỉ khi

    Ta có:

    f(x) < me^{x} + 1 \Leftrightarrow f(x) - 1 < me^{x}

    \Leftrightarrow \frac{f(x) - 1}{e^{x}} < m.

    Xét hàm số g(x) = \frac{f(x) - 1}{e^{x}} có

    g'(x) = \frac{f'(x) - \left\lbrack f(x) - 1 ightbrack}{e^{x}} < 0;\forall x \in (0; + \infty)

    Bảng biến thiên

    Vậy bất phương trình f(x) < me^{x} + 1 nghiệm đúng với mọi x \in (0; + \infty) khi và chỉ khi m \geq f(0) - 1.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} - 3mx^{2} + 4m^{2} - 2(*). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số (*) có hai điểm cực trị?

    Ta có: y' = 3x^{2} - 6mx

    y' = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 6mx = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2m \\ \end{matrix} ight.

    Để hàm số có hai cực trị thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow 2m eq 0 \Leftrightarrow m eq 0.

    Vậy đáp án cần tìm là m eq 0.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{2x + 1}{x - 2} có đồ thị là (C). Số điểm thuộc (C) có hoành độ và tung độ đều là các số nguyên là

    Ta có:

    y = \frac{2x + 1}{x - 2} = 2 + \frac{5}{x - 2}(C)

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) \in (C);\left( x_{0};y_{0}\mathbb{\in Z} ight)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{0}\in\mathbb{ Z} \\y_{0} = 2 + \dfrac{5}{x_{0} - 2}\in\mathbb{ Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x_{0} - 2 \in \left\{ \pm 1; \pm 5ight\}

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} - 2 = 1 \\ x_{0} - 2 = - 1 \\ x_{0} - 2 = 5 \\ x_{0} - 2 = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 3 \Rightarrow y_{0} = 7(tm) \\ x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = - 3(tm) \\ x_{0} = 7 \Rightarrow y_{0} = 3(tm) \\ x_{0} = - 3 \Rightarrow y_{0} = 1(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có 4 điểm thỏa mãn yêu cầu.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ:

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Trên khoảng (0;1) đồ thị hàm số đi xuống nên hàm số đã cho nghịch biến trên (0;1).

  • Câu 6: Nhận biết

    Hàm số nào dưới dây nghịch biến trên \mathbb{R}?

    Xét hàm số y = x^{3} + 2x - 2020 có y' = 3x^{2} + 2 > 0;\forall x\mathbb{\in R} suy ra hàm số y = x^{3} + 2x - 2020 đồng biến trên \mathbb{R}.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Gọi M, N lần lượt là số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} } ight)}}{{{x^2} - 4}}. Khi đó m + n bằng:

    Điều kiện  x e 2;x \geqslant \sqrt 3

    Tiệm cận ngang:

    \begin{matrix} \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} } ight)}}{{{x^2} - 4}} = \dfrac{{x.\left| x ight|\left( {\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} } ight)}}{{{x^2}\left( {1 - \dfrac{4}{x}} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{{x^2}\left( {\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {\frac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} } ight)}}{{{x^2}\left( {1 - \dfrac{4}{x}} ight)}},\left( {do{\text{ }}x \geqslant \sqrt 3 } ight) = \dfrac{{\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{4}{x}}} \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \dfrac{4}{x}}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là y = 1

    Tiệm cận đứng:

    Điều kiện cần: Xét phương trình x2 – 4 = 0 => x = 2 hoặc x = -2

    Điều kiện đủ

    Đặt f\left( x ight) = x\left( {\sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} } ight)

    Xét x = 2 ta có f(2) = 0 nên ta sẽ đi tìm bậc của x – 2 của f(x)

    \begin{matrix} \sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} = \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} } ight).\left( {\sqrt {{x^2} - 3} + \sqrt {x - 1} } ight)}}{{\sqrt {{x^2} - 3} + \sqrt {x - 1} }} = \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{g\left( x ight)}} = \left( {x - 2} ight).h\left( x ight) \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{\left( {x - 2} ight).h\left( x ight)}}{{\left( {x - 2} ight)\left( {x + 2} ight)}} = \dfrac{{h\left( x ight)}}{{x + 2}} \hfill \\ \end{matrix}

    => x = 2 không phải là tiệm cận đứng

    Xét x = -2 ta có f(-2) không tồn tại hay x = -2 không phải là tiệm cận đứng.

    Vậy M = 1, N = 0 => M + N = 1

  • Câu 8: Vận dụng

    Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = 2x + \sqrt {m{x^2} - x + 1} + 1 có tiệm cận ngang.

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \left( {2x + 1} ight) + \sqrt {m{x^2} - x + 1} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{4{x^2} + 4x + 1 - \left( {m{x^2} - x + 1} ight)}}{{2x + 1 - \sqrt {m{x^2} - x + 1} }} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{\left( {4 - m} ight){x^2} + 5x}}{{2x + 1 - \sqrt {m{x^2} - x + 1} }} \hfill \\ \end{matrix}

    Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử số bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu số

    Đồng thời \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = {y_0} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ {4 - m = 0} \end{array} \Rightarrow m = 4} ight.

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\left\{ \pm 2 ight\} và có bảng biến thiên như sau:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

    a) Hàm số không có điểm cực trị. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}f(x) = + \infty. Sai||Đúng

    c) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận ngang. Đúng||Sai

    d) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\left\{ \pm 2 ight\} và có bảng biến thiên như sau:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

    a) Hàm số không có điểm cực trị. Đúng||Sai

    b) \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}f(x) = + \infty. Sai||Đúng

    c) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận ngang. Đúng||Sai

    d) Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng. Sai||Đúng

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

    a) Hàm số không có điểm cực trị.

    b) lim \lim_{x ightarrow ( - 2)^{-}}f(x) = - 10.

    c) \lim_{x ightarrow \pm \infty}f(x) = 0. Suy ra đồ thị có đúng 1 đường tiệm cận ngang là y = 0.

    d) \lim_{x ightarrow ( - 2)^{+}}f(x) = + \infty và \lim_{x ightarrow 2^{+}}f(x) = + \infty nên đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận đứng x = \pm 2.

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

    Số nghiệm thực của phương trình

    Số nghiệm thực của phương trình 2f\left( x ight) - 5 = 0 là:

    Ta có: 2f\left( x ight) - 5 = 0 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{5}{2}

    Quan sát đồ thị ta thấy y = \frac{5}{2} cắt đồ thị hàm số y = f\left( x ight) tại ba điểm phân biệt

    => Phương trình 2f\left( x ight) - 5 = 0 có ba nghiệm thực phân biệt.

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 5km và thành phố B cách con sông một khoảng là 7km (hình vẽ), biết HE + KF = 24km và độ dài EF không đổi. Hỏi cần xây cây cầu cách thành phố B là bao nhiêu km để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường AEFB) ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 16 km

    Đáp án là:

    Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắc qua sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 5km và thành phố B cách con sông một khoảng là 7km (hình vẽ), biết HE + KF = 24km và độ dài EF không đổi. Hỏi cần xây cây cầu cách thành phố B là bao nhiêu km để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất (đi theo đường AEFB) ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 16 km

    Đặt HE = x_{}và_{}FK = y, với x,\ y > 0

    Ta có: HE + KF = 24 \Rightarrow x + y =24 \Rightarrow y = 24 - x

    \left\{ \begin{matrix}AE = \sqrt{25 + x^{2}} \\BF = \sqrt{49 + y^{2}} = \sqrt{49 + (24 - x)^{2}} \\\end{matrix} ight.

    Nhận định AB ngắn nhất khi AE + BF nhỏ nhất ( vì EF không đổi).

    Xét hàm số f(x) = \sqrt{x^{2} + 25} +\sqrt{(24 - x)^{2} + 49}

    f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}} +\frac{x - 24}{\sqrt{x^{2} - 48x + 625}},\ \forall x \in(0;24).

    Cho f'(x) = 0 \Rightarrow x =10

    Bảng biến thiên

    Vậy\underset{(0;24)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \}{\min f(x)} = f(10) = 12\sqrt{5}

    Khi đó BF = \sqrt{49 + (24 - 10)^{2}} =7\sqrt{5} \approx 16\ km

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho các hàm số sau: y = x^{2} + 1;y = \left( 2x^{2} - 1 ight)^{2};y = (2x - 1)\sqrt[3]{x^{2}};y = \frac{x}{x^{2} + 1}. Có bao nhiêu hàm số có đúng một điểm cực trị?

    Ta có:

    y = x^{2} + 1 có y' = 2x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 và y' đổi dấu khi x qua nghiệm đó nên hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

    y = \left( 2x^{2} - 1 ight)^{2} có y' = 2\left( 2x^{2} - 1 ight).4x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix} ight. và y' đổi dấu khi x qua các nghiệm đó nên hàm số có 3 điểm cực trị.

    y = (2x - 1)\sqrt[3]{x^{2}} \Rightarrow y' = 2\sqrt[3]{x^{2}} + \frac{2(2x - 1)}{3\sqrt[3]{x}} = \frac{10x - 2}{3\sqrt[3]{x}}

    \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{5}; y’ không xác định khi x = 0 và y’ đổi dấu khi x qua 0;\frac{1}{5} nên hàm số có hai điểm cực trị.

    y = \frac{x}{x^{2} + 1} \Rightarrow y' = \frac{1 - x^{2}}{\left( x^{2} + 1 ight)^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó nên hàm số có hai điểm cực trị.

    Vậy chỉ có một hàm số có đúng một cực trị.

  • Câu 13: Vận dụng

    Một công ty du lịch tổ chức tour du lịch với giá mỗi tour là 5000000 đồng một khách cho 30 khách. Từ khách thứ 31, cứ thêm một khách, giá của tour lại được giảm a nghìn (a là số nguyên dương). Số khách thêm của tour không quá 15 người. Biết rằng nếu nhận thêm từ 1 đến 8 khách thì doanh thu tăng dần theo số khách nhận thêm. Tìm giá trị lớn nhất của a.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một công ty du lịch tổ chức tour du lịch với giá mỗi tour là 5000000 đồng một khách cho 30 khách. Từ khách thứ 31, cứ thêm một khách, giá của tour lại được giảm a nghìn (a là số nguyên dương). Số khách thêm của tour không quá 15 người. Biết rằng nếu nhận thêm từ 1 đến 8 khách thì doanh thu tăng dần theo số khách nhận thêm. Tìm giá trị lớn nhất của a.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{3x^{2} + 2x}{4x + 4}. Khoảng cách từ điểm M(3; - 2) đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 3,2

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{3x^{2} + 2x}{4x + 4}. Khoảng cách từ điểm M(3; - 2) đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này bằng bao nhiêu?

    Đáp án: 3,2

    Ta có: y = \frac{3x^{2} + 2x}{4x + 4} = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{4x + 4}.

    Xét \lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( y - \left( \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} ight) ight) = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{1}{4x + 4} = 0.

    Vậy đường tiệm cận xiên có phương trình y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} \Leftrightarrow 3x - 4y - 1 = 0.

    Khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận xiên là:

    d = \frac{\left| 3.3 - 4.( - 2) - 1 ight|}{\sqrt{3^{2} + ( - 4)^{2}}} = \frac{16}{5} = 3,2

  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây.

    Chọn khẳng định đúng

    Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Từ bảng biến thiên ta nhận thấy đạo hàm của hàm số đổi dấu từ dương sang âm qua nghiệm 0 nên hàm số đạt cực đại tại 0 và giá trị cực đại của hàm số bằng 0.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho các hàm số sau:

    y = \frac{\sin x}{x};y =\frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{x};y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x + 1};y = x + 1+ \sqrt{x^{2} - 1}

    Có bao nhiêu hàm số mà đồ thị hàm số tương ứng có đúng một tiệm cận ngang?

    Ta có:

    y = \frac{\sin x}{x} có \lim_{x ightarrow \infty}\frac{\sin x}{x} = 0 nên có 1 tiệm cận ngang là y = 0.

    y = \frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{x} có \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{x} = 1;\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{x} = - 1 nên có 2 tiệm cận ngang là y = 1;y = - 1.

    y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x + 1} có \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{1 - x}}{x + 1} = 0 nên có 1 tiệm cận ngang là y = 0.

    y = x + 1 + \sqrt{x^{2} - 1} có \lim_{x ightarrow - \infty}\left( x + 1 + \sqrt{x^{2} - 1} ight) = 1 nên có 1 tiệm cận ngang là y = 1.

    Vậy có 3 hàm số mà đồ thị có đúng 1 tiệm cận đứng.

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hàm số đa thức bậc bốn f(x). Đồ thị hàm số y = f'(3 - 2x) được biểu thị trong hình vẽ sau:

    Hàm số y = f(x) nghịch biến trong khoảng nào?

    Đặt t = 3 - 2x. Ta có bảng xét dấu của f'(3 - 2x) được mô tả lại như sau:

    Từ đó suy ra bảng xét dấu của f'(t)

    Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng ( - \infty; - 1),(3;5).

  • Câu 18: Thông hiểu

    Xác định giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{x + 5}{x + m} đồng biến trên khoảng ( - \infty; - 8)?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - m ight\}

    Hàm số y = \frac{x + 5}{x + m} đồng biến trên khoảng ( - \infty; - 8)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y' > 0;\forall x \in ( - \infty; - 8) \\ x eq - m \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{m - 5}{(x + m)^{2}} > 0;\forall x \in ( - \infty; - 8) \\- m otin ( - \infty; - 8) \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 5 \\ - m \geq - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 5 \\ m \leq 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 5 < m \leq 8

    Vậy đáp án cần tìm là (5;8brack.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động thẳng với quãng đường biến thiên theo thời gian bởi quy luật s(t) = t^{3} - 4t^{2} + 12(m), trong đó t(s) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Vận tốc của chất điểm đó đạt giá trị bé nhất khi t bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một chất điểm chuyển động thẳng với quãng đường biến thiên theo thời gian bởi quy luật s(t) = t^{3} - 4t^{2} + 12(m), trong đó t(s) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Vận tốc của chất điểm đó đạt giá trị bé nhất khi t bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Vận dụng cao

    Tìm tập hợp T tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} ight){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} ight)x - 3 nghịch biến trên khoảng (-1; 1)

     Ta có: y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + \left( {{m^2} + 2m} ight)

    Để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) thì

    \begin{matrix} y' \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 1;1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + \left( {{m^2} + 2m} ight) \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 1;1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có y’ = 0 => x = m hoặc x = m + 2

    Bảng xét dấu

    Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến trên khoảng

    Từ bảng xét dấu ta thấy để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) thì

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant - 1} \\ {m + 2 \geqslant 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant - 1} \\ {m \geqslant - 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m = - 1

  • Câu 21: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây đồng biến trên \mathbb{R}?

    Ta có hàm số y = \left( \frac{5}{4} ight)^{x} có cơ số a = \frac{5}{4} > 1 nên đồng biến trên \mathbb{R}.

    Ngoài ra các hàm số y = \frac{x + 4}{x + 3}; y = x^{4} - 2x^{2} + 1; y = \tan x không thể đồng biến hoặc nghịch biến trên \mathbb{R}.

  • Câu 22: Nhận biết

    Đồ thị được cho dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

    Đồ thị được cho dưới đây là đồ thị của hàm số nào

     Đồ thị hàm số hình chữ N ngược => Đây là hàm số bậc 3 dạng

    y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d;\left( {a < 0} ight)

  • Câu 23: Nhận biết

    Hàm số y = - x^{4} + 8x^{2} + 5 có bao nhiêu điểm cực trị?

    Hàm số y = - x^{4} + 8x^{2} + 5 là hàm trùng phương có a.b = - 8 < 0 nên hàm số có ba điểm cực trị.

  • Câu 24: Nhận biết

    Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x^{2} + \frac{8}{x} trên đoạn \left\lbrack \frac{1}{2};2 ightbrack?

    Ta có: y' = 2x - \frac{8}{x^{2}} = \frac{2x^{3} - 8}{x^{2}}

    \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{2x^{3} - 8}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x^{3} = 4 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}

    Ta có: \left| \begin{matrix}f\left( \dfrac{1}{2} ight) = \dfrac{65}{4} \\f(2) = 8 \\f\left( \sqrt[3]{4} ight) = 6\sqrt[3]{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\left\lbrack\frac{1}{2};\frac{1}{2} ightbrack}y = 6\sqrt[3]{2}.

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho bảng biến thiên như hình vẽ:

    Tìm hàm số

    Bảng biến thiên trên là của hàm số nào?

    Đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm x = 0 và x = 2

    => Loại đáp án C và D

    Quan sát bảng biến thiên

    => Loại đáp án B

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng ( - \infty; + \infty), có bảng biến thiên như hình sau:

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

    Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - 1;1)

    Hàm số đồng biến trên khoảng ( - \infty; - 1) \cup (1; + \infty)

    Vậy đáp án cần tìm là: “Hàm số đồng biến trên khoảng ( - \infty; - 2)”.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động theo phương trình S(t) = - t^{3} + 12t^{2} - 30t + 10 trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là:

    Ta có: v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 24t - 30 = - 3(t - 4)^{2} + 18 \leq 18

    Khi đó \max v(t) = 18 \Leftrightarrow t = 4(s)

  • Câu 28: Nhận biết

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = \frac{x - 3}{x + 2} trên \lbrack 0;4brack là:

    Ta có: f'(x) = \frac{5}{(x + 2)^{2}};\forall x \in \lbrack 0;4brack nên hàm đồng biến trên \lbrack 0;4brack

    Do đó \min_{\lbrack 0;4brack}f(x) = f(0)

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R}, đạo hàm y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ sau:

    Tìm số điểm cực tiểu của hàm số y = f(x)?

    Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có f'(x) đổi dấu từ âm sang dương. Dựa vào đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu.

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = x^{3} - (2m - 1)x^{2} + (2 - m)x + 2 với m là tham số. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f\left( |x| ight) có 5 cực trị?

    Nhận thấy rằng nếu x_{0} là điểm cực trị dương của hàm số y = f(x) thì x_{0}; - x_{0} là điểm cực trị của hàm số y = f\left( |x| ight)

    Lại thấy vì đồ thị hàm số y = f\left( |x| ight) nhận trục tung làm trục đối xứng mà f(x) là hàm đa thức bậc ba nên x = 0 luôn là một điểm cực trị của hàm số y = f\left( |x| ight).

    Khi đó để hàm số y = f\left( |x| ight) có 5 điểm cực trị thì hàm số f(x) = x^{3} - (2m - 1)x^{2} + (2 - m)x + 2 có hai cực trị dương phân biệt.

    Suy ra phương trình f'(x) = 3x^{2} - 2(2m - 1)x + 2 - m = 0 có hai nghiệm dương phân biệt:

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( {2m - 1} ight)^2} - 3\left( {2 - m} ight) > 0 \hfill \\ \frac{{2m - 1}}{3} > 0 \hfill \\ 2 - m > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4{m^2} - m - 5 > 0 \hfill \\ m > \frac{1}{2} \hfill \\ m < 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \frac{5}{4} < m < 2

    Vậy đáp án cần tìm là \frac{5}{4} < m < 2.

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho đồ thị hàm số như sau:

    Đồ thị hàm số đã cho có phương trình tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt là x = - 1;y = 1.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 1}.

    Tập xác định của hàm số: D = ( - \infty; - 2brack \cup \lbrack 2; + \infty).

    +) Ta có: \lim_{x ightarrow 1^{+}}y và \lim_{x ightarrow 1^{-}}y không tồn tại nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

    +) Ta có: \lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 1} = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}}}{1 - \frac{1}{x}} = 1

    và \lim_{x ightarrow - \infty}y =\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 1}= \lim_{xightarrow - \infty}\frac{- \sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}}}{1 -\frac{1}{x}} = - 1 \Rightarrow y = 1,y = - 1 là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hàm số y = {x^4} - 2{x^2} + 1 có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác ABC. Diện tích tam giác ABC bằng:

    Ta có: y' = 4{x^3} - 4x

    Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A\left( {0;1} ight),B\left( { - 1;0} ight),C\left( {1;0} ight)

    \begin{matrix} \overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 1} ight),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1} ight) \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0} \\ {AB = AC = \sqrt 2 } \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Tam giác ABC vuông cân tại A => S = \frac{1}{2}AB.AC = 1

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 1} ight).{e^{3x}} có một nguyên hàm là hàm số F(x). Số điểm cực trị của hàm số F(x) là

    TXĐ: D = \mathbb{R} có một nguyên hàm là hàm số F(x)

    => F’(x) = f(x), \forall x \in \mathbb{R}

    => F'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow f\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} ight){e^{3x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \end{array}} ight.

    Ta có bảng xét dấu F’(x) như sau:

    Tìm số cực trị của hàm số

    Dựa vào bảng trên ta thấy hàm số F(x) có một điểm cực trị.

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có đồ thị như hình vẽ:

    Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt

    Hỏi phương trình \left| {f\left( {x - 2} ight) - 2} ight| = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc khoảng \left( {0; + \infty } ight)?

    Đặt t= x - 2;\left( {t > - 2} ight)

    Phương trình \left| {f\left( {x - 2} ight) - 2} ight| = 1 tương đương

    \left| {f\left( t ight) - 2} ight| = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( t ight) = 3} \\ {f\left( t ight) = 1} \end{array}} ight.

    Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có 6 nghiệm phân biệt t \in \left( { - 2; + \infty } ight)

    => Phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \left( {0; + \infty } ight)

  • Câu 36: Thông hiểu

    Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y = \frac{ax + b}{cx + d};\left( a;b;c;d\mathbb{\in R} ight). Chọn mệnh đề đúng?

    Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có tập xác định là D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\} hàm số luôn nghịch biến trên khoảng ( - \infty;1),(1; + \infty) nên y' < 0;\forall x eq 1.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - 2mx^{2} + 4x - 5 đồng biến trên tập số thực?

    Ta có: y' = x^{2} - 4m + 4

    Hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - 2mx^{2} + 4x - 5 đồng biến trên \mathbb{R}

    y' \geq 0;\forall x \Leftrightarrow x^{2} - 4m + 4 \geq 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 > 0 \\ \Delta' = 4m^{2} - 4 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 1

    Vì m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 1;0;1 ight\}

    Vậy số giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Gia đình bác T muốn xây một bình chứa hình trụ có thể tích 75m^{3}. Đáy làm bằng bê tông giá 100 nghìn đồng/m2, thành làm bằng tôn giá 90 nghìn đồng/m2, nắp bằng nhôm giá 140 nghìn đồng/m2. Vậy đáy của hình trụ có bán kính bằng bao nhiêu để chi phí xây dựng là thấp nhất?

    Gọi x(m);(x > 0) là bán kính đáy của bình chứa hình trụ

    Khi đó tổng số tiền phải trả là 14.10^{4}.\pi x^{2} + 10^{5}.\pi x^{2} +\frac{144.9.10^{4}}{x}

    Đặt f(x) = 14.10^{4}.\pi x^{2} +10^{5}.\pi x^{2} + \frac{144.9.10^{4}}{x}

    \Rightarrow f'(x) = 48.10^{4}\pi x -\frac{1296.10^{4}}{x}

    \Rightarrow f'(x) = 0\Leftrightarrow 48.10^{4}\pi x - \frac{1296.10^{4}}{x} = 0\Leftrightarrow x = \frac{3}{\sqrt[3]{\pi}}

    Vậy để chi phí xây dựng là thấp nhất thì bán kính đáy bằng \frac{3}{\sqrt[3]{\pi}}m.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Quan sát đồ thị hàm số y = f(x):

    Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) + m - 2020 = 0 có hai nghiệm phân là:

    Ta có:

    f(x) + m - 2020 = 0 \Leftrightarrow f(x) = 2020 - m

    Để phương trình có hai nghiệm \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2020 - m = - 4 \\ 2020 - m > - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2020 \\ m < 2023 \\ \end{matrix} ight.

    Mà m\mathbb{\in Z} nên có tất cả 2023 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu để bài.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{2 - x} - x}{\sqrt{x^{2} + 3} - 2} là:

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} 2 - x \geq 0 \\ \sqrt{x^{2} + 3} - 2 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ \sqrt{x^{2} + 3} eq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x eq \pm 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \lim_{x ightarrow -\infty}\left( \dfrac{\sqrt{2 - x} - x}{\sqrt{x^{2} + 3} - 2} ight) =\lim_{x ightarrow - \infty}\left( \dfrac{- \sqrt{\dfrac{2}{x^{2} -\dfrac{1}{x}}} - 1}{- \sqrt{1 + \dfrac{3}{x}} - \dfrac{2}{x}} ight) =1 nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{\sqrt{2 - x} - x}{\sqrt{x^{2} + 3} - 2} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left( 2 - x - x^{2} ight)\left( \sqrt{x^{2} + 3} + 2 ight)}{\left( x^{2} - 2 ight)\left( \sqrt{2 - x} + x ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(2 - x)\left( \sqrt{x^{2} + 3} + 2 ight)}{(x + 2)\left( \sqrt{2 - x} + x ight)} = - 3 suy ra x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow 1^{-}}\frac{\sqrt{2 -x} - x}{\sqrt{x^{2} + 3} - 2} = + \infty;\lim_{x ightarrow1^{+}}\frac{\sqrt{2 - x} - x}{\sqrt{x^{2} + 3} - 2} = - \infty suy ra x = - 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 31 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập