Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên của đạo hàm như sau:

    Số cực trị của hàm số

    Hàm số g\left( x ight) = f\left( {\left| {\frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} ight) - 2}}{2}} ight|} ight) có bao nhiêu điểm cực trị?

    Xét hàm số t\left( x ight) = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} ight) - 2}}{2}, ta có bảng giá trị |t(x)|

    Số cực trị của hàm số

    Ta có: g\left( x ight) = f\left( {\left| {\frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} ight) - 2}}{2}} ight|} ight) = f\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight)

    Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = \pm \sqrt {{e^2} - 1}

    Tại mọi điểm x = \pm \sqrt {{e^2} - 1} ta có:

    g'\left( x ight) = f'\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight).\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight)'

    = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{f'\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight).x}}{{{x^2} + 1}}{\text{ khi x}} \in \left( { - \infty ; - \sqrt {{e^2} - 1} } ight) \cup \left( {\sqrt {{e^2} - 1} ; + \infty } ight)} \\ { - \dfrac{{f'\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight).x}}{{{x^2} + 1}}{\text{ khi x}} \in \left( { - \sqrt {{e^2} - 1} ;\sqrt {{e^2} - 1} } ight)} \end{array}} ight.\left( * ight)

    => g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {\left| {t\left( x ight)} ight| = {t_1};\left( {{t_1} < 1} ight){\text{ }}\left( 1 ight)} \\ {\left| {t\left( x ight)} ight| = {t_2};\left( { - 1 < {t_2} < 0} ight){\text{ }}\left( 2 ight)} \\ {\left| {t\left( x ight)} ight| = {t_3};\left( {0 < {t_3} < 1} ight){\text{ }}\left( 3 ight)} \\ {\left| {t\left( x ight)} ight| = {t_4};\left( {{t_4} > 1} ight){\text{ }}\left( 4 ight)} \end{array}} ight.

    Dựa vào bảng giá trị hàm |t| suy ra:

    + Phương trình (1), (2) vô nghiệm

    + Phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt khác 0

    + Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình (3)

    => g’(x) = 0 có 7 nghiệm và qua các nghiệm này g’(x) đều đổi dấu

    Từ (*) ta thấy g’(x) cũng đổi dấu khi x đi qua 2 điểm x = \pm \sqrt {{e^2} - 1}

    Vậy hàm số g(x) có 9 điểm cực trị.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Sự ảnh hưởng khi sử dụng một loại thuốc với cá thể X được một nhà sinh học mô tả bởi hàm số P(t) = \frac{t + 1}{t^{2} + t + 4}, trong đó P(t) là số lượng cá thể sau t giờ sử dụng thuốc. Vào thời điểm nào thì số lượng cá thể X bắt đầu giảm?

    Xét P(t) = \frac{t + 1}{t^{2} + t + 4} ta có: P'(t) = \frac{- t^{2} - 2t + 3}{\left( t^{2} + t + 4 ight)^{2}} = \frac{(t - 1)( - t - 3)}{\left( t^{2} + t + 4 ight)^{2}}

    P'(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{(t - 1)( - t - 3)}{\left( t^{2} + t + 4 ight)^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 3 \\ t = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta thấy hàm số đạt cực đại tại t = 1 và P'(t) < 0;\forall t \in (1; + \infty) nên sau 1 giờ thì cá thể bắt đầu giảm.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có f'(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để f(22x) > f\left( x^{2} ight)?

    Ta có: f'(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} suy ra hàm số f(x) đồng biến trên \mathbb{R}

    Suy ra f(22x) > f\left( x^{2} ight) \Leftrightarrow 22x > x^{2} \Leftrightarrow 0 < x < 22

    Vậy có tất cả 21 giá trị nguyên của x.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số y = f(x) như sau:

    Hỏi phương trình 2f(x) = m có tối đa bao nhiêu nghiệm thực?

    Phương trình 2f(x) = m \Leftrightarrow f(x) = \frac{m}{2} là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = \frac{m}{2}

    Số giao điểm của hai đường bằng số nghiệm của phương trình f(x) = \frac{m}{2}.

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y = \frac{m}{2} cắt đồ thị tại nhiều nhất 5 điểm.

    Vậy phương trình có tối đa 5 nghiệm.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ - 1 ight\} liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Hàm số không có giá trị lớn nhất vì \lim_{x ightarrow - 1^{-}}y = + \infty nên khẳng định “Giá trị lớn nhất của hàm số là 2” sai.

    Phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi 1 < m < 2 nên khẳng định “Phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi m \in (1;2)” đúng.

    Hàm số đồng biến trên các khoảng ( - \infty;1) và ( - 1;1) nên khẳng định “Hàm số đồng biến trên một khoảng duy nhất là ( - \infty;1)” sai.

    Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là x = - 1;y = 1 vì \lim_{x ightarrow \pm \infty}y = 1;\lim_{x ightarrow - 1^{- 1}}y = + \infty nên khẳng định “Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận” sai.

    Vậy khẳng định đúng cần tìm là “Phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi m \in (1;2).”

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x^{2}(x - 9)(x - 4)^{2}. Khi đó hàm số y = f\left( x^{2} ight) nghịch biến trên khoảng nào?

    Ta có:

    y' = \left( f\left( x^{2} ight) ight)' = 2x.f'\left( x^{2} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{4}\left( x^{2} - 9 ight)\left( x^{2} - 4 ight)^{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 3 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên:

    Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên ( - \infty; - 3) và (0;3).

  • Câu 7: Nhận biết

    Gọi giá trị nhỏ nhất của hàm số y = \frac{x - 1}{x + 1} trên đoạn \lbrack 0;3brack là m. Chọn khẳng định đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}

    Ta có: y' = \frac{2}{(x + 1)^{2}} > 0;\forall x \in D

    Suy ra hàm số đồng biến trên \lbrack 0;3brack suy ra \min_{\lbrack 0;3brack}y = f(0) = - 1 = m

  • Câu 8: Nhận biết

    Hàm số y = x^{4} + 2x^{2} - 3 đồng biến trên khoảng nào dưới dây?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 4x^{3} + 4x = 4x\left( x^{2} + 1 ight);\forall x\mathbb{\in R}

    y' = 0 \Leftrightarrow x = 0

    Ta có bảng xét dấu

    Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; + \infty)

  • Câu 9: Nhận biết

    Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 2 và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x = - 1.

    Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A(0;1)

    Vậy hàm số cần tìm là y = \frac{2x + 1}{x + 1}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Hỏi hàm số y = 2021 - f(x) đồng biến trên khoảng nào?

    Hàm số y = 2021 - f(x) có y' = - f'(x)

    y' = 0 \Leftrightarrow - f'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Từ bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta có bảng biến thiên của hàm số y = 2021 - f(x)

    Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y = 2021 - f(x) đồng biến trong khoảng ( - 1;0).

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + 2. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;3brack lần lượt là P;Q. Khi đó P - Q bằng:

    Ta có: y' = 3x^{2} - 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f( - 1) = - 2;f(0) = 2 \\ f(2) = - 2;f(3) = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} P = 2 \\ Q = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P - Q = 4

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Hỏi đồ thị hàm số g(x) = \frac{2020}{2f(x) + 1} có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

    Số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình f(x) = - \frac{1}{2}

    Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình trên có 4 nghiệm tương ứng với 4 đường tiệm cận đứng.

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị -2; -1; 0 và có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}. Khi đó hàm số y = f\left( {{x^2} - 2x} ight) có bao nhiêu điểm cực trị?

    Ta có hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị -2; -1; 0 và có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} nên f’(x) = 0 có ba nghiệm x = -2; x = -1, x = 0

    Đặt  g\left( x ight) = f\left( {{x^2} - 2x} ight) \Rightarrow g'\left( x ight) = \left( {2x - 2} ight)f\left( {{x^2} - 2x} ight)

    Vì f’(x) liên tục trên \mathbb{R} nên g’(x) cũng liên tục trên \mathbb{R}. Do đó những điểm g’(x) có thể đổi dấu thuộc tập các điểm thỏa mãn.

    \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x - 2 = 0} \\ {{x^2} - 2x = - 2} \\ {{x^2} - 2x = - 1} \\ {{x^2} - 2x = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 0} \\ {x = 2} \end{array}} ight.

    Ba nghiệm trên đều là nghiệm đơn hoặc bội lẻ nên hàm số g(x) có ba điểm cực trị.

     

  • Câu 14: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây đồng biến trên \mathbb{R}?

    Hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + 3x + 1 có

    y' = {x^2} - x + 3 = {\left( {x - \frac{1}{2}} ight)^2} + \frac{{11}}{4} > 0,\forall x \in \mathbb{R}

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho hai số thực x, y thỏa mãn x \geqslant 0;y \geqslant 0 và x + y = 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} lần lượt là:

    Ta có: 

    P = \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} = \frac{{x\left( {x + 1} ight) + y\left( {y + 1} ight)}}{{\left( {x + 1} ight)\left( {y + 1} ight)}} = \frac{{{{\left( {x + y} ight)}^2} - 2xy + 1}}{{xy + x + y + 1}} = \frac{{2 - 2xy}}{{2 + xy}}

    Đặt t = xy ta được P = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}}

    Vì x \geqslant 0;y \geqslant 0 \Rightarrow t \geqslant 0

    Mặt khác 1 = x + y \geqslant 2\sqrt {xy} \Leftrightarrow xy \leqslant \frac{1}{4} \Rightarrow t \leqslant \frac{1}{4}

    Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số g\left( t ight) = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}} trên \left[ {0;\frac{1}{4}} ight]

    Xét hàm số g\left( t ight) = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}} xác định và liên tục trên \left[ {0;\frac{1}{4}} ight]

    Ta có: g'\left( t ight) = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {2 + t} ight)}^2}}} < 0,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{4}} ight)

    => Hàm số g(t) nghịch biến trên đoạn \left[ {0;\frac{1}{4}} ight]

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\frac{1}{4}} ight]} g\left( t ight) = g\left( {\dfrac{1}{4}} ight) = \dfrac{2}{3}} \\ {\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{1}{4}} ight]} g\left( t ight) = g\left( 0 ight) = 1} \end{array}} ight.

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Từ đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( - 1;0) và (1; + \infty).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 2)^{2}(x - 1)^{3}\left( x^{2} - 4 ight)\left( x^{2} - 1 ight) với mọi x\mathbb{\in R}. Xác định số điểm cực đại của hàm số đã cho?

    Ta có: f'(x) = (x + 2)^{2}(x - 1)^{3}\left( x^{2} - 4 ight)\left( x^{2} - 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 2 \\ x = \pm 1 \\ \end{matrix} ight. . Ta có bảng xét dấu:

    Quan sát bảng xét dấu ta có: f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x = - 1.

    Vậy hàm số có một điểm cực đại tại x = - 1.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x^{4} + 2\left( m^{2} - m - 6 ight)x^{2} + m - 1 có ba điểm cực trị?

    Ta có: y' = 4x^{3} + 4\left( m^{2} - m - 6 ight)x

    y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} + 4\left( m^{2} - m - 6 ight)x = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 4x = 0 \\ x^{2} = - m^{2} + m + 6 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi - m^{2} + m + 6 > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 3

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 1;0;1;2 ight\}. Vậy có 4 giá trị của tham số m thỏa mãn.

  • Câu 19: Nhận biết

    Hàm số y = x^{3} - 12x + 3 đạt cực đại tại điểm

    Ta có: y' = 3x^{2} - 12

    y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = - 2.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y = x^{4} + (m - 1)x^{2} + \left( m^{2} - 1 ight)x đạt cực tiểu tại điểm x = 0?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} y' = 4x^{3} + 2(m - 1)x + \left( m^{2} - 1 ight) \\ y'' = 12x^{2} + 2(m - 1) \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 \Rightarrow y'(0) = 0 \Leftrightarrow m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1

    Với m = 1 ta được y = x^{4} \Rightarrow y' = 4x^{3}

    y' = 0 \Leftrightarrow x = 0. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (thỏa mãn yêu cầu)

    Với m = - 1 ta được y = x^{4} - 2x^{2} \Rightarrow y' = 4x^{3} - 4x

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = \pm 1 (không thỏa mãn)

    Vậy có duy nhất một giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Số nghiệm thuộc đoạn \left\lbrack 0;\frac{7}{2} ightbrack của phương trình f\left( \cos x ight) = 1 bằng:

    Dựa vào bảng biến thiến ta suy ra f\left( \cos x ight) = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = a < - 1\ \ \ \ (1) \\ \cos x = b \in ( - 1;0)\ \ \ (2) \\ \cos x = c \in (0;1)\ \ (3) \\ \cos x = d > 1\ \ (4) \\ \end{matrix} ight.

    Các phương trình (1) và (4) vô nghiệm

    Ta có bảng sau:

    Phương trình \cos x = b \in ( - 1;0) có 4 nghiệm thuộc \left\lbrack 0;\frac{7}{2} ightbrack

    Phương trình \cos x = c \in (0;1) có 3 nghiệm thuộc \left\lbrack 0;\frac{7}{2} ightbrack

    Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thuộc đoạn \left\lbrack 0;\frac{7}{2} ightbrack.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Hàm số y = f(1 - 2x) + 1 đồng biến trên khoảng:

    Ta có: y' = - 2f'(1 - 2x)

    y' = 0 \Leftrightarrow - 2f'(1 - 2x) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}1 - 2x = - 1 \\1 - 2x = 0 \\1 - 2x = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = \dfrac{1}{2} \\x = 0 \\\end{matrix} ight.

    Lại có: y'(3) < 0 nên ta có bảng xét dấu như sau:

    Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \left( \frac{1}{2};1 ight) và ( - \infty;0).

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có f'(x) = x^{2}(x - 1)(x + 2). Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu:

    Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số có 1 điểm cực tiểu.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số sau có đường tiệm ngang?

    Ta có:

    y = \frac{x}{1 + \sqrt{x}} không có tiệm cận ngang vì \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{x}{1 + \sqrt{x}} = + \infty

    y = x^{3} - 3x không có tiệm cận ngang vì \lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( x^{3} - 3x ight) = \pm \infty

    y = \log_{2}x không có tiệm cận ngang vì \lim_{x ightarrow + \infty}\left(\log_{2}x ight) = + \infty

    y = x + \sqrt{x^{2} + 4} có tiệm cận ngang vì \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + 4} } ight) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + 4} } ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = f\left( x ight) = \frac{{2x + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} có hai đường tiệm cận đứng và hai đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2.

    Tập xác định D = \left( { - \infty ; - 1} ight) \cup \left( {0; + \infty } ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{m - \sqrt {{1^2} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \dfrac{1}{x}}}{{ - \sqrt {{1^2} + \dfrac{1}{x}} }} = 1 - m \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{m + \sqrt {{1^2} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \frac{1}{x}}}{{\sqrt {{1^2} + \dfrac{1}{x}} }} = m + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => Để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang thì m + 1 e 1 - m \Leftrightarrow m e 0

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{mx + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{mx + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + \infty {\text{ khi m < 1}}} \\ { - \infty {\text{ khi m > 1}}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy khi m e 0;m e 1 thì đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = m + 1; y = - m và 2 đường tiệm cận đứng là x = 0 và x = -1

    Để hai đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2 thì 1.2\left| m ight| = 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 1\left( L ight)} \\ {m = - 1\left( {tm} ight)} \end{array}} ight.

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên các khoảng ( - \infty;0) và (0; + \infty) có bảng biến thiên như hình vẽ:

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

    Vì \lim_{x ightarrow 0^{+}}y = - \infty nên đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng.

    Vậy khẳng định đúng là “Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng.”

  • Câu 27: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \lbrack - 1;3brack và có đồ thị như hình vẽ:

    Giá trị lớn nhất của hàm số y = g(x) =f\left( 3\left| \cos x ight| - 1 ight) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \lbrack - 1;3brack và có đồ thị như hình vẽ:

    Giá trị lớn nhất của hàm số y = g(x) =f\left( 3\left| \cos x ight| - 1 ight) bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{x + 1}{x^{2} - 2x - 3}. Khi đó tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 3^{+}}y = \lim_{xightarrow 3^{+}}\dfrac{x + 1}{x^{2} - 2x - 3} = \lim_{x ightarrow3^{+}}\dfrac{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}}{1 - \dfrac{2}{x} -\dfrac{3}{x^{2}}} = + \infty suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 3

    \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}y = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}\frac{x + 1}{x^{2} - 2x - 3} = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}\frac{x + 1}{(x + 1)(x - 3)} = - \frac{1}{4}

    \lim_{x ightarrow \pm \infty}y =\lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( \dfrac{x + 1}{x^{2} - 2x - 3}ight) = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( \dfrac{\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{x^{2}}}{1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}} ight) = 0 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0

    Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đườn tiệm cận ngang bằng 2.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Biết rằng \min_{\lbrack - 3;0brack}\left( - \frac{1}{3}x^{3} + x^{2} - x + m ight) = 2. Định giá trị tham số m?

    Xét hàm số y = - \frac{1}{3}x^{3} + x^{2} - x + m trên \lbrack - 3;0brack

    Hàm số liên tục trên \lbrack - 3;0brack

    Ta có: f'(x) = - x^{2} + 2x - 1 = - (x - 1)^{2} < 0\forall x \in \lbrack - 3;0brack

    Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( - 3;0)

    \Rightarrow \min_{\lbrack - 3;0brack}f(x) = f(0) = m \Rightarrow m = 2

    Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

  • Câu 30: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x - 1}}. Đồ thị hàm số có mấy đường tiệm cận?

    Tập xác định: D = \left( { - \infty ;2} ight] \cup \left[ {2; + \infty } ight)

    Ta thấy rằng x = 1 không thuộc D => Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{\left| x ight|\sqrt {1 - \dfrac{4}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 - \dfrac{1}{x}} ight)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{\left| x ight|}}{x} \hfill \\ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => y = 1 và y = -1 là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{2}(x + 2)(3 - x). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight. ta có bảng xét dấu f'(x) như sau:

    Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng ( - \infty; - 2);(3; + \infty), hàm số đồng biến trên khoảng ( - 2;3).

  • Câu 32: Vận dụng

    Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{{\left( {2m - 1} ight)x + 1}}{{x - m}} có đường tiệm cận ngang y = 3 là:

    Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là:

    - m\left( {2m - 1} ight) - 1 e 0 \Rightarrow 2{m^2} - m + 1 e 0 luôn đúng với \forall x \in \mathbb{R}

    Phương trình đường tiệm cận ngang là y = 2m - 1 nên ta có 2x - 1 = 3 \Rightarrow m = 2

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) = \frac{x}{|x| - 1} là:

    Khi x \geq 0;x eq 1 \Rightarrow f(x) = \frac{x}{x - 1}

    Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang y = 1 và 1 tiệm cận đứng x = 1

    Khi x < 0;x eq - 1 \Rightarrow f(x) = \frac{x}{- x - 1}

    Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang y = - 1 và 1 tiệm cận đứng x = - 1

    Vậy đồ thị hàm số y = f(x) = \frac{x}{|x| - 1} có tất cả 4 đường tiệm cận.

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như sau:

    Hỏi số nghiệm của phương trình 2f(x) - 1 = 0 bằng bao nhiêu?

    Ta có: 2f(x) - 1 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{1}{2}

    Lại có đường thẳng y = \frac{1}{2} nằm phía trên gốc tọa độ; song song với trục Ox và cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 4 điểm nên phương trình 2f(x) - 1 = 0 có hai nghiệm.

  • Câu 35: Vận dụng cao

    Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = \frac{\sqrt{x^{2} - 8x} - 4}{\sqrt{x^{2} - 8x} + m} nghịch biến trên ( - 1;0) là:

    Đặt t = \sqrt{x^{2} - 8x}

    Điều kiện xác định x^{2} - 8x \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \leq 0 \\ x \geq 8 \\ \end{matrix} ight.

    Xét hàm t = \sqrt{x^{2} - 8x};x \in ( - 1;0) ta có:

    t' = \frac{2x - 8}{2\sqrt{x^{2} - 8x}} = \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8x}} < 0;\forall x \in ( - 1;0)

    Ta có bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số t = \sqrt{x^{2} - 8x} nghịch biến trên khoảng ( - 1;0) và t \in (0;3)

    Khi đó yêu cầu bài toán \Leftrightarrow y = \frac{t - 4}{t + m} đồng biến trên (0;3)

    Điều kiện xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - m ight\}

    Ta có: y' = \frac{m + 4}{(t + m)^{2}};\forall x \in D

    Để hàm số đồng biến trên (0;3) thì

    \left\{ \begin{matrix} y' > 0 \\ - m otin (0;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 4 > 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} - m \leq 0 \\ - m \geq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > - 4 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 0 \\ m \leq - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 4 < m \leq - 3 \\ m \geq 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là m \in ( - 4; - 3brack \cup \lbrack 0; + \infty)

  • Câu 36: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình x^{4} - 2x^{2} + 3 - 2m = 0 có nghiệm thuộc ( - 2;2)?

    Ta có: x^{4} - 2x^{2} + 3 = 2m

    Xét hàm số f(x) = x^{4} - 2x^{2} + 3 có f'(x) = 4x^{3} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Theo yêu cầu bài toán ta có: 2 \leq 2m \leq 11 \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 5,5

    Vì m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 1;2;3;4;5 ight\}

  • Câu 37: Nhận biết

    Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào sau đây?

    Từ hình vẽ suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số a > 0

    Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; - 4) nên hàm số cần tìm là y = x^{4} - 2x^{2} - 3.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R}. Đồ thị của hàm số y = f'(x) trên đoạn \lbrack - 2;2brack là đường cong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Dựa vào thị của hàm số y = f^{'}(x) trên đoạn \lbrack - 2;2brack ta thấy f'(x) = 0\Leftrightarrow x = 1.

    Ta có bảng BBT:

    Do đó \max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) =f(1).

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 5. Khẳng định nào sau đây đúng:

    Tập xác định D = \mathbb{R}

    \begin{matrix} y' = 4{x^3} - 4x \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên

    Chọn đáp án đúng

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên [-2; 2], có đồ thị của hàm số y f’(x) như hình vẽ sau:

    Tìm điều kiện để hàm số đạt giá trị lớn nhất trên khoảng

    Tìm giá trị của x0 để hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất trên [-2; 2]

     Từ đồ thị ta có: f’(x) = 0 => \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x = 1} \end{array}} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Tìm điều kiện để hàm số đạt giá trị lớn nhất trên khoảng

    Từ bảng biến thiên ta có x0 = 1 thỏa mãn điều kiện

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 31 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập