Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{2mx + m}{x - 1}. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.

    Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là - 2m - m eq 0 \Leftrightarrow m eq 0

    Khi đó đồ thị hàm số có:

    Tiệm cận đúng: x = 1, song song với Oy và cắt Ox tại điểm A(1;0)

    Tiệm cận ngang: y = 2m song song với Ox và cắt Oy tại điểm B(2m;0)

    Diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận cùng với hai trục tọa độ là S = OA.OB = 1.|2m| = 8 \Leftrightarrow m = \pm 4

  • Câu 2: Nhận biết

    Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y = \frac{1 - x}{x + 1}?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}

    Ta có: y = \frac{1 - x}{x + 1} \Rightarrow y' = \frac{- 2}{(x + 1)^{2}} < 0;\forall x \in D

    Do đó hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y= \dfrac{2\cot x + 1}{\cot x + m} đồng biến trên khoảng \left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)?

    Điều kiện xác định \cot x eq - m

    Ta có: y' = \dfrac{-\dfrac{2}{\sin^{2}x}\left( \cot x + m ight) + \dfrac{1}{\sin^{2}}(2\cot x +1)}{\left( \cot x + m ight)^{2}}

    = \dfrac{1 - 2m}{\sin^{2}x.\left( \cot x +m ight)^{2}}

    Hàm số đồng biến trên khoảng \left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight) khi và chỉ khi

    \left\{ \begin{matrix} y' > 0 \\ - m otin (0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - 2m > 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - 1 \\ m \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - 1 \\ m \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \in ( - \infty; - 1brack \cup \left\lbrack 0;\frac{1}{2} ight)

    Vậy đáp án cần tìm là m \in ( - \infty; - 1brack \cup \left\lbrack 0;\frac{1}{2} ight).

  • Câu 4: Thông hiểu

    Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích 18m^{3}, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao h bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất (biết nguyên vật liệu xây dựng các mặt là như nhau)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích 18m^{3}, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao h bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất (biết nguyên vật liệu xây dựng các mặt là như nhau)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 5: Vận dụng

    Một công ty A có 120 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 3 000 000 đồng thì mỗi tháng mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100 nghìn đồng một tháng thì sẽ có 3 căn hộ bị bỏ trống. Gọi x (trăm nghìn) là số tiền tăng thêm.

    a) Số căn hộ còn lại sau khi tăng giá là 120 - 3x. Đúng||Sai

    b) Giá một căn hộ sau khi tăng là 30 - x (trăm nghìn). Sai||Đúng

    c) Tổng số tiền công ty thu được là S(x) = - 3x^{2} + 30x + 3600 (trăm nghìn). Đúng||Sai

    d) Công ty thu được nhiều tiền nhất khi giá thuê mỗi căn hộ là 4 (triệu đồng).Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một công ty A có 120 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 3 000 000 đồng thì mỗi tháng mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100 nghìn đồng một tháng thì sẽ có 3 căn hộ bị bỏ trống. Gọi x (trăm nghìn) là số tiền tăng thêm.

    a) Số căn hộ còn lại sau khi tăng giá là 120 - 3x. Đúng||Sai

    b) Giá một căn hộ sau khi tăng là 30 - x (trăm nghìn). Sai||Đúng

    c) Tổng số tiền công ty thu được là S(x) = - 3x^{2} + 30x + 3600 (trăm nghìn). Đúng||Sai

    d) Công ty thu được nhiều tiền nhất khi giá thuê mỗi căn hộ là 4 (triệu đồng).Sai||Đúng

    a) Đúng. Số căn hộ bị bỏ trống là 3x. Suy ra Số căn hộ còn lại sau khi tăng giá là 120 - 3x.

    b) Sai. Giá một căn hộ sau khi tăng là 30 + x (trăm ngìn).

    c) Đúng. Tổng số tiền công ty thu được là

    S(x) = (120 - 3x)(30 + x) = - 3x^{2} + 30x + 3600.

    d) Sai. Ta có S'(x) = - 6x + 30.

    Phương trình S'(x) = 0 \Leftrightarrow - 6x + 30 = 0 \Leftrightarrow x = 5.

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên suy ra, công ty sẽ thu được nhiều tiền nhất khi giá căn hộ là 3,5 (triệu đồng).

  • Câu 6: Nhận biết

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = \frac{x^{2} + x + 4}{x} trên đoạn \lbrack - 3; - 1brack bằng:

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 0 ight\} nên hàm số xác định và liên tục trên \lbrack - 3; - 1brack

    Ta có: y' = \frac{x^{2} - 4}{x^{2}};\forall x eq 0

    y' = 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2} - 4}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Mà y( - 3) = - \frac{10}{3};y( - 1) = - 4;y( - 2) = - 3

    \Rightarrow \min_{\lbrack - 3; - 1brack}y = y( - 1) = - 4

  • Câu 7: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu f'(x) như sau:

    Hỏi hàm số y = f\left( x^{2} - 2x ight) có bao nhiêu điểm cực tiểu?

    Đặt g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) \Rightarrow g'(x) = (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x ight)

    Từ bảng xét dấu của hàm số f'(x) có

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 2 = 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x = - 2\ \\ x^{2} - 2x = 1\ \\ x^{2} - 2x = 3\ \ \\ 2x - 2 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \pm \sqrt{2} \\ x = 3 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    g'(x) \geq 0 \Leftrightarrow (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x ight) \geq 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 2x - 2 \geq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} 2x - 2 \leq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ - 2 \leq x^{2} - 2x \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x \geq 3 \\ x^{2} - 2x \leq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ x^{2} - 2x + 2 \geq 0 \\ x^{2} - 2x - 3 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x - 3 \geq 0 \\ x^{2} - 2x + 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ - 1 \leq x \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x \geq 3 \\ x \leq - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \leq x \leq 3 \\ x \leq - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số y = f\left( x^{2} - 2x ight) có 1 điểm cực tiểu.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số y = f'\left( x ight) như hình bên. Đặt g\left( x ight) = f\left( x ight) - x. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét hàm số g\left( x ight) = f\left( x ight) - x

    \begin{matrix}g'\left( x ight) = f'\left( x ight) - 1 \hfill \\ g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x = 1} \\ {x = 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Chọn mệnh đề đúng

     

    Vậy g\left( 2 ight) < g\left( 1 ight) < g\left( { - 1} ight)

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) trên khoảng ( - \infty; + \infty). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ:

    Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

    Quan sát hình vẽ ta thấy:

    y = f'(x) \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight. và f'(x) \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 3

    Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (0;3).

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} +cx + d;(a eq 0) có đồ thị như sau:

    Hàm số y = \left| f(x) ight| có bao nhiêu điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} +cx + d;(a eq 0) có đồ thị như sau:

    Hàm số y = \left| f(x) ight| có bao nhiêu điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f'(x) = x^{2}(x - 1);\forall x\mathbb{\in R}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Từ biểu thức của f'(x) ta có bảng xét dấu như sau:

    Dễ thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 nên mệnh đề “y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 1” đúng và mệnh đề “y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0” sai.

    Hàm số có đúng một điểm cực trị nên mệnh đề “y = f(x) không có cực trị” sai và “y = f(x) có hai điểm cực trị” sai.

  • Câu 12: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{x - 7}}{x^{2} + 3x - 4} có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

    Tập xác định D = \lbrack 7; + \infty)

    Phương trình x^{2} + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó không tồn tại các giới hạn \lim_{x ightarrow - 4^{-}}y;\lim_{x ightarrow - 4^{+}}y;\lim_{x ightarrow 1^{-}}y;\lim_{x ightarrow 1^{+}}y. Vì vậy đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{(2m + 1)x^{2} + 3}{\sqrt{x^{4} + 1}} với m là tham số. Tìm giá trị của m để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; - 3)?

    Ta có: \lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}y = 2m + 1 suy ra d:y = 2m + 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

    Do A(1; - 3) \in d \Leftrightarrow 2m + 1 = - 3 \Leftrightarrow m = - 2

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho hàm số xác định trên và có bảng biến thiên như hình vẽ:

    Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{{x - 2}}{{{f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4}} là:

    Ta có: {f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) = 4} \\ {f\left( x ight) = 1} \end{array}} ight.

    Phương trình f\left( x ight) = 4 có 3 nghiệm phân biệt khác 2.

    Phương trình f\left( x ight) = 1 có một nghiệm kép là x = 2 (do vậy mẫu số có dạng {\left( {x - 2} ight)^2} nên x = 2 vẫn là TCĐ của đồ thị hàm số

    => Đồ thị hàm số y = \frac{{x - 2}}{{{f^2}\left( x ight) - 5f\left( x ight) + 4}} có 4 đường tiệm cận đứng.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{x + 6}{x + 5m} nghịch biến trên khoảng (15; + \infty)?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 5m ight\}

    Ta có: y' = \frac{5m - 6}{(x + 5m)^{2}}

    Hàm số y = \frac{x + 6}{x + 5m} nghịch biến trên khoảng (15; + \infty) khi và chỉ khi

    \left\{ \begin{matrix} 5m - 6 < 0 \\ - 5m \leq 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < \frac{6}{5} \\ m \geq - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 3 \leq m < \frac{6}{5}

    Vì m\mathbb{\in Z} nên có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số sau có đường tiệm ngang?

    Ta có:

    y = \frac{x}{1 + \sqrt{x}} không có tiệm cận ngang vì \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{x}{1 + \sqrt{x}} = + \infty

    y = x^{3} - 3x không có tiệm cận ngang vì \lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( x^{3} - 3x ight) = \pm \infty

    y = \log_{2}x không có tiệm cận ngang vì \lim_{x ightarrow + \infty}\left(\log_{2}x ight) = + \infty

    y = x + \sqrt{x^{2} + 4} có tiệm cận ngang vì \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + 4} } ight) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + 4} } ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên \mathbb{R}. Tập nghiệm của bất phương trình f\left( \frac{1}{x} ight) > f(1) là:

    Vì hàm số y = f(x) luôn nghịch biến trên \mathbb{R} nên ta có:

    f\left( \frac{1}{x} ight) > f(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 0 \\ \frac{1}{x} < 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ \frac{1}{x} < 1 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ \frac{1}{x} < 1 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < 0 \\ x > 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow x \in ( - \infty;0) \cup (1; + \infty)

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x \in ( - \infty;0) \cup (1; + \infty)

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \left| 3x^{4} - 4x^{3} -12x^{2} + m^{2} ight| với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \left| 3x^{4} - 4x^{3} -12x^{2} + m^{2} ight| với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên như hình vẽ:

    Tìm giá trị của tham số thực m để phương trình f(x) = m có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt?

    Phương trình f(x) = m có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại ít nhất hai điểm phân biệt

    \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 3

  • Câu 20: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = \frac{{1 - 3x}}{{x + 2}} có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ + }} \frac{{1 - 3x}}{{x + 2}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} \frac{{1 - 3x}}{{x + 2}} = - \infty => Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -2

    Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{1 - 3x}}{{x + 2}} = - 3 => y = -3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y= \frac{x - 1}{x + m - 2} nghịch biến trên khoảng (6; + \infty)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y= \frac{x - 1}{x + m - 2} nghịch biến trên khoảng (6; + \infty)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 22: Nhận biết

    Cho hình vẽ:

    Đồ thị trong hình đã cho là đồ thị của hàm số nào?

    Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d với a > 0 và đồ thị hàm số đi qua điểm (2; - 3) nên hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ đã cho là y = x^{3} -3x^{2} + 1.

  • Câu 23: Vận dụng

    Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa, và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8h sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức h(t) = 24t +5t^{2} - \frac{t^{3}}{3}. Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 tiếng. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước lúc mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.

    Đáp án: 15

    Đáp án là:

    Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa, và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8h sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức h(t) = 24t +5t^{2} - \frac{t^{3}}{3}. Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 tiếng. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước lúc mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.

    Đáp án: 15

    Ta có:

    h'(t) = 24 + 10t -t^{2}

    h'(t) = 0

    \Leftrightarrow 24 + 10t - t^{2} = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = - 2(ktm) \\t = 12(tm) \\\end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên:

    Mực nước lên cao nhất thì phải mất 12 giờ.

    Hay mực nước lên cao nhất là lúc 20 giờ.

    Vậy phải thông báo cho dân di dời vào 15giờ chiều cùng ngày.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 ight)x với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f(x) đạt cực đại tại x_{0} = 1?

    Hàm số đạt cực đại tại x_{0} = 1

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(1) = 0 \\ f''(1) < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3 - 6m + 3m^{2} - 3 = 0 \\ 6 - 6m < 0 \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m = 0 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ m > 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 2

    Vậy đáp án cần tìm là m = 2.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{ax^{2} + bx + c}{mx + n} với a eq 0;\ m eq 0, có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.

    Với m = 1 thì giá trị S = a + b + c là bao nhiêu?

    Đáp án: 7

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{ax^{2} + bx + c}{mx + n} với a eq 0;\ m eq 0, có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.

    Với m = 1 thì giá trị S = a + b + c là bao nhiêu?

    Đáp án: 7

    Với m = 1, ta có y = f(x) = \frac{ax^{2} + bx + c}{x + n}.

    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = - 2 nên n = 2.

    Khi đó f(x) = \frac{ax^{2} + bx + c}{x + 2}.

    Thực hiện phép chia đa thức lấy tử chia mẫu ta được thương là ax + b - 2a, nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là y = ax + b - 2a, mặt khác nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là y = x + 1.

    Nên ta có phương trình:

    ax + b - 2a = x + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b - 2a = 1 \\ \end{matrix} ight. hay \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight..

    Khi đó f(x) = \frac{x^{2} + 3x + c}{x + 2}.

    Vì đồ thị hàm số đi qua điểm ( - 3; - 3) nên ta được c = 3.

    Suy ra f(x) = \frac{x^{2} + 3x + 3}{x + 2}.

    Vậy S = 1 + 3 + 3 = 7.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

    Từ đồ thị, ta thấy hàm số có tiệm cận đứng x = 1.

    Khi đó loại các hàm số y = \frac{- 2 + x}{x + 1} và y = \frac{1 - 2x}{x + 1}

    Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 nên đáp án cần tìm là: y = \frac{x - 2}{x - 1}.

  • Câu 27: Nhận biết

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + 2. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;3brack lần lượt là P;Q. Khi đó P - Q bằng:

    Ta có: y' = 3x^{2} - 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f( - 1) = - 2;f(0) = 2 \\ f(2) = - 2;f(3) = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} P = 2 \\ Q = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P - Q = 4

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Gọi K là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m \in \left[ {0;2019} ight] để bất phương trình {x^2} - m + \sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} ight)}^3}} \leqslant 0 nghiệm đúng với mọi x \in \left[ { - 1;1} ight] . Số các phần tử của tập hợp K là:

    Đặt t = \sqrt {1 - {x^2}} ;x \in \left[ { - 1;1} ight] \Rightarrow t \in \left[ {0;1} ight]

    Bất phương trình đã cho trở thành {t^3} - {t^2} + 1 - m \leqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant {t^3} - {t^2} + 1\left( * ight)

    Yêu cầu bài toán tương đương với bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi t \in \left[ {0;1} ight]

    Xét hàm số f\left( t ight) = {t^3} - {t^2} + 1 \Rightarrow f'\left( t ight) = 3{t^3} - 2t

    f'\left( t ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 0\left( L ight)} \\ {t = \dfrac{2}{3}\left( {tm} ight)} \end{array}} ight.

    Vì \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 ight) = f\left( 1 ight) = 1} \\ {f\left( {\dfrac{2}{3}} ight) = \dfrac{{23}}{{27}}} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} ight]} f\left( t ight) = 1

    Do đó bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi t \in \left[ {0;1} ight] khi và chỉ khi m \geqslant 1

    Mặt khác m là số nguyên thuộc [0; 2019] nên m \in \left\{ {1;2;3;...;2019} ight\}

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hình vẽ sau:

    Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số có dạng y = \frac{ax + b}{cx + d};\left( a;b;c;d\mathbb{\in R} ight). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( - \infty; - 1) và ( - 1; + \infty) suy ra y' > 0;\forall x eq 1.

  • Câu 30: Nhận biết

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x^{3} - 3x + 4 trên đoạn \lbrack 0;2brack là:

    Ta có: y' = 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1

    Lại có: \left\{ \begin{matrix} f(0) = 4 \\ f(1) = 2 \\ f(2) = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack 0;2brack}y = 2

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho hàm số y = - {x^3} + 3{x^2} + 3mx - 1. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng (0; +∞)

    Ta có: y' = - 3{x^2} + 6x + 3m

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; +∞)

    =>  y' \leqslant 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } ight)

    => m \leqslant {x^2} - 2x = g\left( x ight),\forall x \in \left( {0; + \infty } ight)

    => m \leqslant \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } ight)} g\left( x ight)

    Xét  g\left( x ight) = {x^2} - 2x;\forall x \in \left( {0; + \infty } ight) ta có:

    \begin{matrix} g'\left( x ight) = 2x - 2 \hfill \\ g'\left( x ight) = 0 \Rightarrow x = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta lại có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x ight) = 0} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } g\left( x ight) = + \infty } \\ {g\left( 1 ight) = - 1} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } ight)} g\left( x ight) = - 1 \Rightarrow m \leqslant - 1

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{x - 3}{\sqrt{9 - x^{2}}} là:

    Tập xác định D = ( - 3;3) suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

    \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x - 3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x - 3}{\sqrt{(3 - x)(3 + x)}} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{- \sqrt{3 - x}}{\sqrt{3 + x}} = 0

    Suy ra x = 3 không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow - 3^{+}}\frac{x - 3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = \lim_{x ightarrow - 3^{+}}\frac{x - 3}{\sqrt{(3 - x)(3 + x)}} = \lim_{x ightarrow - 3^{+}}\frac{- \sqrt{3 - x}}{\sqrt{3 + x}} = - \infty

    Suy ra x = - 3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận.

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2f(x) + 3m = 0 có ba nghiệm phân biệt?

    Ta có: 2f(x) + 3m = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{- 3m}{2}

    Để phương trình 2f(x) + 3m = 0 có ba nghiệm phân biệt thì - \frac{3m}{2} = - 3 \Leftrightarrow m = 2

    Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên như hình bên dưới

    Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên (3; + \infty).

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{x^{2} - 4x}{2x + 1}. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \lbrack 0;3brack?

    Hàm số y = \frac{x^{2} - 4x}{2x + 1} liên tục trên đoạn \lbrack 0;3brack

    Ta có: y' = \frac{2x^{2} + 2x - 4}{(2x + 1)^{2}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix} f(0) = 0 \\ f(1) = - 1 \\ f(3) = - \frac{3}{7} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(1) < f(3) < f(0) nên \min_{\lbrack 0;3brack}y = y(1) = - 1.

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Số TCĐ và TCN của đồ thị hàm số

    Hỏi đồ thị hàm số y = \frac{{{f^2}\left( x ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {{f^2}\left( x ight) - 2f\left( x ight)} ight]\left( {2{x^5} + {x^4} - 10{x^3} - 5{x^2} + 8x + 4} ight)}} có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

    Dựa vào bảng biến thiên ta có: f\left( x ight) = a{x^2}\left( {x + 1} ight)\left( {x - 2} ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{{{f^2}\left( x ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {{f^2}\left( x ight) - 2f\left( x ight)} ight]\left( {2{x^5} + {x^4} - 10{x^3} - 5{x^2} + 8x + 4} ight)}} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{a{x^2}\left( {x + 1} ight)\left( {x - 2} ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {{x^2} - 4} ight)\left( {{x^2} - 1} ight)\left( {2x + 1} ight)}} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{a{x^2}\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight)\left( {2x + 1} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f(x) = 2 có 2 nghiệm x = a hoặc x = b trong đó a < 0, b > 2

    Với điều kiện thì phương trình

    \left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight)\left( {2x + 1} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 2} \\ {x = 1} \\ {x = a} \\ {x = b} \end{array}} ight.

    Do đó đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng

    Mặt khác bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 0 => Đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận.

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho hàm số y = x^{4} - x^{3} + 3. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: y' = 4x^{3} - 3x^{2} = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = \dfrac{3}{4} \\\end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu như sau:

    Vậy hàm số có đúng một cực trị.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ.

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số

    Biết f(-4) > f(8), khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên bằng:

    Từ bảng biến thiên ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) \geqslant f\left( { - 4} ight),\forall x \in \left( { - \infty ;0} ight] \hfill \\ f\left( x ight) \geqslant f\left( 8 ight),\forall x \in \left( { - \infty ;0} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác f(-4) > f(8) => \forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } ight) thì f\left( x ight) \geqslant f\left( 8 ight)

    Vậy \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x ight) = f\left( 8 ight)

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra mệnh đề đúng là: “Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là B(0;1)”.

  • Câu 40: Vận dụng

    Hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} + \frac{m}{2}x^{2} + x + 6 đồng biến trên nửa khoảng \lbrack 1; + \infty) khi:

    Ta có: y' = x^{2} + mx + 1

    Để hàm số đã cho đồng biến trên nửa khoảng \lbrack 1; + \infty) khi đó:

    \Leftrightarrow y' \geq 0;\forall x \in \lbrack 1; + \infty)

    \Leftrightarrow x^{2} + mx + 1 \geq 0;\forall x \in \lbrack 1; + \infty)

    \Leftrightarrow m \geq - x - \frac{1}{x};\forall x \in \lbrack 1; + \infty)

    Xét hàm số g(x) = - x - \frac{1}{x} trên nửa khoảng \lbrack 1; + \infty) ta có:

    g'(x) = - 1 + \frac{1}{x^{2}} = \frac{1 - x^{2}}{x^{2}}

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên của hàm số g(x) = - x - \frac{1}{x} trên nửa khoảng \lbrack 1; + \infty) là:

    Từ bảng biến thiên suy ra \max_{\lbrack 1; + \infty)}g(x) = g(1) = - 2

    Vậy m \geq g(x);\forall x \in \lbrack 1; + \infty) khi và chỉ khi m \geq - 2.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 10 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập