Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Câu 1: Thông hiểu

Tính tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x - 3}(x + 4)}{\left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)\sqrt{x^{2} - 16}}$ ?

A.
$2$
B.
$3$
C.
$5$
D.
$4$

Tập xác định $D = (4; + \infty)$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow +\infty}\frac{\sqrt{x - 3}(x + 4)}{\left( 2x^{2} - 5x + 2ight)\sqrt{x^{2} - 16}}$ $= \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{\sqrt{x -3}(x + 4)}{\left( 2x^{2} - 5x + 2 ight).x\sqrt{1 - \dfrac{16}{x^{2}}}}= 0$

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 0$

Mặt khác $\lim_{x ightarrow 4^{+}}\frac{\sqrt{x - 3}(x + 4)}{\left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)\sqrt{x^{2} - 16}} = + \infty$ suy ra $x = 4$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận.

Câu 2: Thông hiểu

Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + \left( m^{2} - 4 ight)x + 3$ đạt cực tiểu tại $x = 3$ ?

A.
$m = - 7$
B.
$m = - 1$
C.
$m = 5$
D.
$m = 1$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} y' = x^{2} - 2mx + m^{2} - 4 \\ y'' = 2x - 2m \\ \end{matrix} ight.$

Để hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$ thì

$\left\{ \begin{matrix} y'(3) = 0 \\ y''(3) > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 6m + 5 = 0 \\ 6 - 2m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \\ m < 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 1$

Vậy giá trị tham số m cần tìm là $m = 1$ .

Câu 3: Vận dụng

Biết đồ thị hàm số $y = \frac{{\left( {2m - n} ight){x^2} + mx + 1}}{{{x^2} + mx + n - 6}}$ nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Giá trị m + n là:

A. 8
B. 9
C. 6
D. -6

Điều kiện ${x^2} + mx + n - 6 e 0$

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = 2m - n$

=> $2m - n = 0\left( * ight)$

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) = \left( {2m - n} ight){x^2} + mx + 1} \\ {g\left( x ight) = {x^2} + mx + n - 6} \end{array}} ight.$

Nhận thấy $f\left( x ight) e 0$ với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x = 0 làm tiệm cận đứng thì g(0) = 0

=> n – 6 = 0 => n = 6

Kết hợp với (*) => m = 3

Vậy m + n = 9

Câu 4: Thông hiểu

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $x^{4} - 3x^{2} + m = 0$ có 4 nghiệm thực phân biệt?

A.
$1$
B.
$4$
C.
$2$
D.
$0$

Đặt $t = x^{2};(t \geq 0)$ . Ta được phương trình $3t^{2} - 3t + m = 0(*)$

Phương trình đã cho có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 9 - 4m > 0 \\ 3 > 0 \\ m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}$

Do $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 1;2 ight\}$

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x). Biết hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số $y = {2021^{f\left( x ight)}} + {2020^{f\left( x ight)}}$ là:

Tính số điểm cực trị của hàm số

A. 2
B. 5
C. 3
D. 4

Ta có:

$\begin{matrix} y' = f'\left( x ight){.2021^{f\left( x ight)}}.\ln 2021 + f'\left( x ight){.2020^{f\left( x ight)}}.\ln 2020 \hfill \\ = f'\left( x ight)\left[ {{{2021}^{f\left( x ight)}}.\ln 2021 + {{2020}^{f\left( x ight)}}.\ln 2020} ight] \hfill \\ \end{matrix}$

Do ${2021^{f\left( x ight)}}.\ln 2021 + {2020^{f\left( x ight)}}.\ln 2020 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

$y' = 0 \Leftrightarrow f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = a} \\ {{x_2} = b} \\ {{x_3} = c} \end{array}} ight.$

Tính số điểm cực trị của hàm số

Vậy hàm số $y = {2021^{f\left( x ight)}} + {2020^{f\left( x ight)}}$ có ba điểm cực trị.

Câu 6: Vận dụng cao

Anh Hùng đang ở trong rừng để đào vàng và tìm thấy vàng ở điểm $X$ cách điểm $A$ một khoảng 3 km. Điểm $A$ nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của anh Hùng nằm ở vị trí $Y$ cách điểm $B$ một khoảng 3 km. Điểm $B$ cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng $AB = 3(km),AM = NB = x(km)$ và $AX = BY = 3(km)$ (minh hoạ như hình vẽ sau).

Khi đang đào vàng, anh Hùng không may bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình $y = 50\log(t +2)$ . Trong đó, $y$ là nồng độ, $t$ là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Anh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Anh ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là $5km/h$ và $13km/h$ . Để về đến trại anh Hùng cần chạy từ trong rừng qua điểm $M,N$ trên bãi biển. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi anh Hùng về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Anh Hùng đang ở trong rừng để đào vàng và tìm thấy vàng ở điểm $X$ cách điểm $A$ một khoảng 3 km. Điểm $A$ nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của anh Hùng nằm ở vị trí $Y$ cách điểm $B$ một khoảng 3 km. Điểm $B$ cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng $AB = 3(km),AM = NB = x(km)$ và $AX = BY = 3(km)$ (minh hoạ như hình vẽ sau).

Khi đang đào vàng, anh Hùng không may bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình $y = 50\log(t +2)$ . Trong đó, $y$ là nồng độ, $t$ là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Anh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Anh ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là $5km/h$ và $13km/h$ . Để về đến trại anh Hùng cần chạy từ trong rừng qua điểm $M,N$ trên bãi biển. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi anh Hùng về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 7: Vận dụng

Cho hàm số $f\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 1} ight).{e^{3x}}$ có một nguyên hàm là hàm số F(x). Số điểm cực trị của hàm số F(x) là

A. 1
B. 2
C. 3
D. 0

TXĐ: $D = \mathbb{R}$ có một nguyên hàm là hàm số F(x)

=> F’(x) = f(x), $\forall x \in \mathbb{R}$

=> $F'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow f\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} ight){e^{3x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \end{array}} ight.$

Ta có bảng xét dấu F’(x) như sau:

Tìm số cực trị của hàm số

Dựa vào bảng trên ta thấy hàm số F(x) có một điểm cực trị.

Câu 8: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên các khoảng $( - \infty;0)$ và $(0; + \infty)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A.
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
B.
Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang.
C.
Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng.
D.
Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

Vì $\lim_{x ightarrow 0^{+}}y = - \infty$ nên đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng.

Vậy khẳng định đúng là “Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng.”

Câu 9: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị như hình vẽ bên dưới:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $( - 1;1)$ . Đúng||Sai

b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_{0} = - 1$ . Đúng||Sai

c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Đúng||Sai

d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;0brack$ bằng $1$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị như hình vẽ bên dưới:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $( - 1;1)$ . Đúng||Sai

b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x_{0} = - 1$ . Đúng||Sai

c) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Đúng||Sai

d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;0brack$ bằng $1$ . Sai||Đúng

Theo hình vẽ, hàm số đồng biến trên khoảng $( - 1;\ 1)$ và đạt cực tiểu tại điểm $x_{o} = - 1$ . giá trị không âm trên khoảng đó.

Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1\ ;\ 0brack$ bằng $- 1$ .

Câu 10: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{mx + n}{ax^{2} + bx + c}$ (với $m,n,a,b,c\mathbb{\in R}$ ). Hỏi đồ thị hàm số có tối đa bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A.
$2$
B.
$4$
C.
$3$
D.
$1$

Ta có:

Phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ có tối đa 2 nghiệm

Nên đồ thị hàm số có nhiều nhất hai đường tiệm cận đứng.

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{mx + n}}{{a{x^2} + bx + c}} = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{mx + n}}{{a{x^2} + bx + c}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ nên $y = 0$ là đường tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số có nhiều nhất 3 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.

Câu 11: Thông hiểu

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau:

Chọn mệnh đề đúng

Chọn mệnh đề đúng?

A. $a < 0,b < 0,c < 0;d > 0$
B. $a < 0,b < 0,d < 0;c > 0$
C. $a < 0,c < 0,d < 0;b < 0$
D. $a > 0,d > 0;b < 0,c < 0$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty } \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty } \end{array}} ight. \Rightarrow a < 0$

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương => d > 0

Ta có: $y' = 3a{x^2} + 2bx + c$ , nhận thấy hoành độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} > 0 \Rightarrow b > 0} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} < 0 \Rightarrow c > 0} \end{array}} ight.$

Câu 12: Nhận biết

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = 3\sin x - 4{\sin ^3}x$ trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight)$ bằng:

A. 1
B. 3
C. -1
D. 7

Đặt $\sin x = t \Rightarrow t \in \left( { - 1;1} ight)$

Khi đó:

$\begin{matrix} f'\left( t ight) = - 12{t^2} + 3 \hfill \\ f'\left( t ight) = 0 \Leftrightarrow t = \pm \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

So sánh $f\left( {\frac{1}{2}} ight)$ và $f\left( { - \frac{1}{2}} ight)$ ta thấy GTLN là $f\left( {\frac{1}{2}} ight) = 1$

Câu 13: Nhận biết

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?

A. $y = - \frac{1}{{{x^2} + 1}}$
B. $y = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} ight)^x$
C. $y = - {x^3} + 2{x^2} - 7x$
D. $y = - 4x + \cos x$

Với $y = - \frac{1}{{{x^2} + 1}} \Rightarrow y' = \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} ight)}^2}}}$

y’ > 0 khi x > 0 và y’ < 0 khi x < 0 nên hàm số không nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Câu 14: Vận dụng

Cho hàm số $y = f\left( x ight)$ có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình

Số nghiệm của phương trình ${f^2}\left( x ight) = 4$ là:

A. 4
B. 3
C. 5
D. 2

Ta có: ${f^2}\left( x ight) = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) = 2\left( * ight)} \\ {f\left( x ight) = - 2\left( {**} ight)} \end{array}} ight.$

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x ight)$ với đường thẳng $y = 2;y = - 2$

Phương trình (*) có 1 nghiệm

Phương trình (**) có 2 nghiệm

=> Số nghiệm của phương trình ${f^2}\left( x ight) = 4$ là 3 nghiệm

Câu 15: Thông hiểu

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = - x^{3} - 6x^{2} + (4m - 9)x + 4$ nghịch biến trên khoảng $( - \infty; - 3)$ là:

A.
$( - \infty;0brack$
B.
$\lbrack 0; + \infty)$
C.
$\left( - \infty; - \frac{3}{4} ightbrack$
D.
$\left\lbrack - \frac{3}{4}; + \infty ight)$

Ta có: $y' = - 3x^{2} - 12x + 4m - 9$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty; - 3)$ khi $y' \leq 0;\forall x \in ( - \infty; - 3)$

$\Leftrightarrow - 3x^{2} - 12x + 4m - 9 \leq 0;\forall x \in ( - \infty; - 3)$

$\Leftrightarrow 4m \leq 3x^{2} + 12x + 9;\forall x \in ( - \infty; - 3)$

Đặt $f(x) = 3x^{2} + 12x + 9$ ta có: $f'(x) = 6x + 12$ . Ta có bảng biến thiên của $f(x)$ như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

$4m \leq 3x^{2} + 12x + 9;\forall x \in ( - \infty; - 3)$

$\Leftrightarrow 4m \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 0$

Vậy $( - \infty;0brack$ là giá trị của tham số m cần tìm.

Câu 16: Vận dụng

Cho hàm số đa thức bậc bốn $f(x)$ . Đồ thị hàm số $y = f'(3 - 2x)$ được biểu thị trong hình vẽ sau:

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trong khoảng nào?

A.
$( - \infty; - 1)$
B.
$(5; + \infty)$
C.
$( - 1;1)$
D.
$(1;5)$

Đặt $t = 3 - 2x$ . Ta có bảng xét dấu của $f'(3 - 2x)$ được mô tả lại như sau:

Từ đó suy ra bảng xét dấu của $f'(t)$

Vậy hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên các khoảng $( - \infty; - 1),(3;5)$ .

Câu 17: Thông hiểu

Số các giá trị nguyên của tham số $m \in \lbrack - 20;20brack$ để hàm số $y = \frac{mx - 16}{x - m}$ nghịch biến trên khoảng $( - \infty;8)$ là:

A.
$14$
B.
$11$
C.
$13$
D.
$12$

Ta có: $y' = \frac{- m^{2} + 16}{(x - m)^{2}}$ . Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty;8)$ khi

$\left\{ \begin{matrix} y' < 0;\forall x < 8 \\ x eq m \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - m^{2} + 16 < 0 \\ m otin ( - \infty;8) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m < - 4 \\ m > 4 \\ \end{matrix} ight.\ \\ m \geq 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \geq 8$

Vì $\left\{ \begin{matrix} m\mathbb{\in Z} \\ m \in \lbrack - 20;20brack \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \in \left\{ 8;9;10;...;20 ight\}$

Vậy có tất cả 13 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 18: Nhận biết

Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = {x^4} - 2{x^2} - 1$
B. $y = - {x^4} + 2{x^2} - 1$
C. $y = {x^3} - {x^2} - 1$
D. $y = - {x^3} + {x^2} - 1$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = + \infty$ => Hệ số a > 0

=> Loại đáp án B và đáp án D

Mặt khác hàm số có ba điểm cực trị

=> Loại đáp án C

Câu 19: Thông hiểu

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f'\left( x ight) = {x^2} - 2x,\forall x \in \mathbb{R}$ . Hàm số y = -2f(x) đồng biến trên khoảng

A. (-2; 0)
B. (0; 2)
C. (2; +∞)
D. (-∞; -2)

Ta có:

$\begin{matrix} y' = - 2f'\left( x ight) = - 2{x^2} + 4x \hfill \\ y' > 0 \Rightarrow x \in \left( {0;2} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

=> Hàm số y = -2f(x) đồng biến trên khoảng (0; 2)

Câu 20: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f'\left( x ight) = x\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight),\forall x \in \mathbb{R}$ . Hàm số $g\left( x ight) = f\left( {\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} ight)$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (-∞; -2)
B. (-2; 1)
C. (0; 2)
D. (2; 4)

Ta có: $f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x - 1} ight)^2}\left( {x - 2} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = 2} \end{array}} ight.$

Ta có: $g'\left( x ight) = \frac{{ - 5{x^2} + 20}}{{{{\left( {{x^2} + 4} ight)}^2}}}.f'\left( {\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} ight)$

Cho g’(x) = 0 => $\frac{{ - 5{x^2} + 20}}{{{{\left( {{x^2} + 4} ight)}^2}}}.f'\left( {\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} ight) = 0$

Dựa vào f’(x) ta có:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 5{x^2} + 20 = 0} \\ {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 0} \\ {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 1} \\ {\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 2} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm 2} \\ {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = 4} \end{array}} ight.$

Lập bảng xét dấu như sau:

Xét khoảng đồng biến của hàm số

Quan sát bảng xét dấy ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (2; 4)

Câu 21: Thông hiểu

Biết đồ thị hàm số $y = \frac{(2m - n)x^{2} + mx + 1}{x^{2} + mx + n - 6}$ (với $m,n$ là tham số) nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận. Tính tổng $m + n$ ?

A.
$8$
B.
$- 6$
C.
$9$
D.
$6$

Ta có: $\lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{(2m - n)x^{2} + mx + 1}{x^{2} + mx + n - 6} = 2m - n$ suy ra $y = 2m - n$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Suy ra $2m - n = 0$ .

Đồ thị hàm số nhận trục tung $x = 0$ là tiệm cận đứng nên phương trình $x^{2} + mx + n - 6 = 0$ có một nghiệm bằng $0$ hay $n - 6 = 0$

Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{matrix} 2m - n = 0 \\ n - 6 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 3 \\ n = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m + n = 9$

Câu 22: Vận dụng

Cho hàm số $y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}$ với m là tham số thực thỏa mãn $3.\left( {\mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;2} ight]} + \mathop {\max y}\limits_{\left[ {1;2} ight]} } ight) = 16$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $0 < m \leqslant 2$
B. $2 < m \leqslant 4$
C. $m \leqslant 0$
D. $m > 4$

Xét hàm số $y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}$ trên [1; 2] ta có:

$f'\left( x ight) = \frac{{1 - m}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}};\forall x \in \left[ {1;2} ight]$

Khi đó:

$\begin{matrix} \mathop {\min y}\limits_{\left[ {1;2} ight]} + \mathop {\max y}\limits_{\left[ {1;2} ight]} = \dfrac{{16}}{3} \hfill \\ \Rightarrow f\left( 1 ight) + f\left( 3 ight) = \dfrac{{16}}{3} \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{1 + m}}{2} + \dfrac{{2 + m}}{3} = \dfrac{{16}}{3} \hfill \\ \Rightarrow m = 5 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 23: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ:

Xét hàm số $g(x) = f\left( 2x^{3} + x - 1ight) + m$ . Tìm $m$ để $\max_{\lbrack 0;1brack}g(x) = -10$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ:

Xét hàm số $g(x) = f\left( 2x^{3} + x - 1ight) + m$ . Tìm $m$ để $\max_{\lbrack 0;1brack}g(x) = -10$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 24: Thông hiểu

Số dân số của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức $f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5}$ ( $f(t)$ được tính bằng nghìn người). Biết rằng đạo hàm của hàm số $f(t)$ biểu thị tốc độ gia tăng dân số của thị trấn ( đơn vị là nghìn người/ năm). Vào năm nào thì tốc độ gia tăng dân số là $\frac{2}{15}$ nghìn người/ năm?

A.
$1990$ .
B.
$2020$ .
C.
$1995$ .
D.
$2024$ .

Ta có $f'(t) = \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} ight)}^2}}},t \geqslant 0$

Lại có

$f'(t) = \frac{2}{{15}} \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} ight)}^2}}} = \frac{2}{{15}}$

$\Leftrightarrow (t + 5)^{2} = 900 \Leftrightarrow t = 25\ do\ t \geq 0)$

Vậy dự báo vào năm 1995 thì tốc độ gia tăng dân số là $\frac{2}{15}$ nghìn người/ năm.

Câu 25: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số $y = f\left( |x + 2| ight)$ là:

A.
$3$
B.
$2$
C.
$4$
D.
$1$

Tịnh tiến hàm số $y = f(x)$ sang trái hai đơn vị ta được hàm số $y = f(x + 2)$

Đồ thị hàm số $y = f\left( |x + 2| ight)$ có được gồm hai phần.

Phần 1 là phần đồ thị $y = f(x + 2)$ nằm phía bên phải $Oy$ .

Phần 2 là phần đồ thị đối xứng qua $Oy$ .

Khi đó đồ thị hàm số sẽ có một điểm cực trị.

Câu 26: Nhận biết

Hàm số $y = \frac{x - 2}{x - 1}$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.
$( - 1;2)$
B.
$( - 2; - 1)$
C.
$( - \infty;2)$
D.
$( - 1; + \infty)$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}$ . Ta có: $y' = \frac{1}{(x - 1)^{2}} > 0;\forall x\mathbb{\in R}\backslash\left\{ 1 ight\}$

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$ .

Câu 27: Nhận biết

Cho hàm số có đạo hàm $f'(x) = (x + 2)^{3}(x - 2)^{3}(3 - x)$ . Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.
$(2;3)$
B.
$( - 2;2)$
C.
$(3; + \infty)$
D.
$( - \infty; - 2)$

Ta có: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$ ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(2;3)$ .

Câu 28: Thông hiểu

Một chất điểm chuyển động với quy luật $S(t) = 6t^{2} - t^{3}$ . Thời điểm $t$ (giây) tại vận tốc $v(m/s)$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

A.
$t = 12$
B.
$t = 8$
C.
$t = 2$
D.
$t = 6$

Vận tốc của chuyển động là:

$v(t) = S'(t) = 12t - 3t^{2} = 12 - 3(2 - t)^{2} \leq 12;\forall t$

Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng $12m/s$ khi $t = 2$ .

Câu 29: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau dây đúng?

A.
Hàm số không có GTLN và GTNN.
B.
Hàm số có GTLN bằng 2 và GTNN bằng -3.
C.
Hàm số có GTLN bằng 2 và GTNN bằng -2.
D.
Hàm số có GTLN bằng 2 và không có GTNN.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có GTLN bằng 2 và không có GTNN.

Câu 30: Nhận biết

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x) = x^{3} - x^{2} - 8x$ trên đoạn $\lbrack 1;3brack$ ?

A.
$\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \frac{176}{27}$
B.
$\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = - 8$
C.
$\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = - 6$
D.
$\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = - 4$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 2x - 8$

$\Leftrightarrow y' = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 2 \\x = - \dfrac{4}{3} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f(1) = - 8 \\ f(2) = - 12 \\ f(33) = - 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = - 6$ .

Câu 31: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(3 - 2x)$ có bảng xét dấu như sau:

Hỏi hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên các khoảng nào dưới đây?

A.
$(3;5)$
B.
$( - 1;2)$
C.
$(1;3)$
D.
$(5; + \infty)$

Ta có:

$y' = f'(3 - 2x) = - 2f'(3 - 2x)$

$f'( - 1) = f'(3) = f'(5) = 0$

$f'(x) = k(x - 5)(x - 3)(x - 1)$

Xét $x = 3 \Rightarrow y' = - 2f'( - 3) > 0$

$\Rightarrow f'( - 3) < 0$

Bảng xét dấu $y = f'(x)$ là:

Căn cứ vào bảng xét dấu ta thấy

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(3;5)$ .

Câu 32: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - 2x^{2} + mx + 3$ (với $m$ là tham số) đạt cực tiểu tại $x = 1$ . Tìm giá trị tham số $m$ ?

A.
$2$
B.
$4$
C.
$1$
D.
$3$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 4x + m$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ suy ra $y'(1) = 0 \Rightarrow - 1 + m = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Với $m = 1 \Rightarrow y = x^{3} - 2x^{2} + x + 3$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y' = 3x^{2} - 4x + 1 \\ y'' = 6x - 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó $\left\{ \begin{matrix} y'(1) = 0 \\ y''(1) > 0 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $x = 1$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy $m = 1$ là giá trị cần tìm.

Câu 33: Nhận biết

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x + 4$ thuộc đường thẳng nào sau đây?

A.
$y = x + 7$
B.
$y = x + 1$
C.
$y = x - 7$
D.
$y = x - 1$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 3$ . Do đó $y' = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $x = 1$ là điểm cực tiểu của hàm số nên điểm $A(1;2)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Nhận thấy $A(1;2)$ thuộc đường thẳng $y = x + 1$ .

Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x + 4$ thuộc đường thẳng $y = x + 1$ .

Câu 34: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:

A.
$1$
B.
$0$
C.
$- 3$
D.
$- 4$

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$ và $x = 1$ ; giá trị cực tiểu bằng $- 4$ .

Câu 35: Nhận biết

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ cho sau đây?

A.
$y = x^{3} - 3x^{2} + 1$
B.
$y = - x^{3} + 3x^{2} + 1$
C.
$y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$
D.
$y = x^{4} - 2x^{2} + 1$

Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số $a < 0$ và có ba điểm cực trị nên $ab < 0$ nên chọn $y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$ .

Câu 36: Vận dụng cao

Cho hàm số bậc ba $f\left( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ:

Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận đứng

Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số $g\left( x ight) = \frac{{\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + m + 1} ight)\sqrt {{x^2} - 3x} }}{{\left( {x - 4} ight)\left[ {{f^2}\left( x ight) - 4f\left( x ight)} ight]}}$ có 3 tiệm cận đứng?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số bậc ba $f\left( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ:

Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận đứng

Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số $g\left( x ight) = \frac{{\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + m + 1} ight)\sqrt {{x^2} - 3x} }}{{\left( {x - 4} ight)\left[ {{f^2}\left( x ight) - 4f\left( x ight)} ight]}}$ có 3 tiệm cận đứng?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 37: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên:

Số giá trị nguyên của $m \in \lbrack - 4;4brack$ để đồ thị hàm số có $4$ tiệm cận là:

A.
$7$
B.
$6$
C.
$5$
D.
$8$

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị có hai tiệm cận đứng $x = - 2;x = 1$ và các tiệm cận ngang $y = 4;y = m^{2}$ . Suy ra đồ thị có bốn tiệm cận khi $m^{2} eq 4 \Leftrightarrow m eq \pm 2$

Do $\left\{ \begin{matrix} m \in \lbrack - 4;4brack \\ m\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.$ nên $m \in \left\{ \pm 4; \pm 3; \pm 1;0 ight\}$

Vậy có 7 giá trị của tham số $m$ thỏa mãn.

Câu 38: Nhận biết

Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận ngang?

A.
$y = \frac{2x^{2} - 1}{x - 3}$
B.
$y = x^{4} - 10x^{2} + 97$
C.
$y = x^{3} + 20x^{2} + 6$
D.
$y = \frac{- 4x + 1}{x^{2} - 2}$

Ta có: $\lim_{x ightarrow \pm\infty}\dfrac{- 4x + 1}{x^{2} - 2} = \lim_{x ightarrow \pm\infty}\left( \dfrac{1}{x} ight).\lim_{x ightarrow \pm \infty}\left(\dfrac{- 4 + \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{2}{x^{2}}} ight) = 0$ nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{- 4x + 1}{x^{2} - 2}$ là đường thẳng có phương trình $y = 0$ .