Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Câu 1: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số TCĐ và TCN của đồ thị hàm số

Hỏi đồ thị hàm số $y = \frac{{{f^2}\left( x ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {{f^2}\left( x ight) - 2f\left( x ight)} ight]\left( {2{x^5} + {x^4} - 10{x^3} - 5{x^2} + 8x + 4} ight)}}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A. 7
B. 6
C. 5
D. 4

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $f\left( x ight) = a{x^2}\left( {x + 1} ight)\left( {x - 2} ight)$

Ta có:

$\begin{matrix} y = \dfrac{{{f^2}\left( x ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {{f^2}\left( x ight) - 2f\left( x ight)} ight]\left( {2{x^5} + {x^4} - 10{x^3} - 5{x^2} + 8x + 4} ight)}} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{a{x^2}\left( {x + 1} ight)\left( {x - 2} ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {{x^2} - 4} ight)\left( {{x^2} - 1} ight)\left( {2x + 1} ight)}} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{a{x^2}\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight)\left( {2x + 1} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f(x) = 2 có 2 nghiệm x = a hoặc x = b trong đó a < 0, b > 2

Với điều kiện thì phương trình

$\left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight)\left( {2x + 1} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 2} \\ {x = 1} \\ {x = a} \\ {x = b} \end{array}} ight.$

Do đó đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng

Mặt khác bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 0 => Đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận.

Câu 2: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{\sqrt{x^{2} - x + 2}}{x - 1}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash\left\{ 1 ight\}$ . Đúng||Sai

b) Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là $y = 1,\ y = - 1$ . Đúng||Sai

c) Đồ thị hàm số đã cho có tất cả 2 đường tiệm cận. Sai||Đúng

d) Các đường tiệm cận của đồ thị cùng với trục Oy tạo thành 1 đa giác có diện tích bằng 1. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{\sqrt{x^{2} - x + 2}}{x - 1}$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash\left\{ 1 ight\}$ . Đúng||Sai

b) Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là $y = 1,\ y = - 1$ . Đúng||Sai

c) Đồ thị hàm số đã cho có tất cả 2 đường tiệm cận. Sai||Đúng

d) Các đường tiệm cận của đồ thị cùng với trục Oy tạo thành 1 đa giác có diện tích bằng 1. Sai||Đúng

a) Điều kiện xác định của hàm số $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - x + 2 > 0;\forall x \\ x - 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x eq 1$ .

Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\backslash\left\{ 1 ight\}$ .

b) Ta có: $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - 1$ nên y = −1 là đường tiệm cận ngang.

$\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = 1$ nên y = 1 là đường tiệm cận ngang.

c) Do $\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = + \infty$ nên x = 1 là đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận (2 TCN và 1 TCĐ).

d) Minh họa miền giới hạn của các đường tiệm cận và trục Oy như sau:

Miền giới hạn là hình chữ nhật có diện tích là $S = 2.1 = 2$

Câu 3: Thông hiểu

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x - m^{2}}{x + 2}$ trên đoạn $\lbrack 1;5brack$ bằng $- 4$ . Tính tổng các phần tử của tập $S$ ?

A.
$0$
B.
$5$
C.
$- 5$
D.
$10$

Ta có: $y' = \frac{2 + m^{2}}{(x + 2)^{2}} > 0;\forall x eq - 2$ . Suy ra hàm số $y = \frac{x - m^{2}}{x + 2}$ đồng biến trên đoạn $\lbrack 1;5brack$ do đó $\max_{\lbrack 1;5brack}y = y(5) = \frac{5 - m^{2}}{7}$

Theo giả thiết $\frac{5 - m^{2}}{7} = - 4 \Leftrightarrow m^{2} = 33 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{33}$

Vậy $S = \left\{ \sqrt{33}; - \sqrt{33} ight\}$ nên tổng các phần tử của tập hợp $S$ bằng $0$ .

Câu 4: Nhận biết

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình sau:

A.
$y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$ .
B.
$y = - x^{3} + 3x + 1$ .
C.
$y = x^{3} - 3x^{2} + 1$ .
D.
$y = x^{4} - 2x^{2} + 1$ .

Đồ thị của hàm số $y = - x^{3} + 3x + 1$ thỏa mãn bài toán.

Câu 5: Nhận biết

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - \sqrt{x + 2}}{(x - 2)^{2}(x - 1)}$ có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng?

A.
$3$
B.
$1$
C.
$2$
D.
$0$

Tập xác định $D = \lbrack - 2; + \infty)\backslash\left\{ 1;2 ight\}$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {\frac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}\left( {x - 1} ight)}}} ight] = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left[ {\frac{{x - \sqrt {x + 2} }}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}\left( {x - 1} ight)}}} ight] = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Suy ra đường thẳng $x = 1;x = 2$ là hai đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 6: Nhận biết

Biết rằng hàm số $f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 28$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $\lbrack 0;4brack$ tại điểm $x_{0}$ . Khi đó giá trị biểu thức $P = x_{0} + 2021$ bằng:

A.
$3$
B.
$2021$
C.
$2018$
D.
$2024$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 6x - 9$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Mà $\left\{ \begin{matrix} f(0) = 28 \\ f(3) = 1 \\ f(4) = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack 0;4brack}f(x) = 1$ khi $x = 3$

Suy ra $x_{0} = 3 \Rightarrow P = x_{0} + 2021 = 2024$ .

Câu 7: Nhận biết

Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \frac{1 - x}{x + 1}$ ?

A.
Không tồn tại.
B.
$( - \infty; - 1) \cup ( - 1; + \infty)$
C.
$( - \infty;1),(1; + \infty)$
D.
$( - \infty; + \infty)$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$

Ta có: $y = \frac{1 - x}{x + 1} \Rightarrow y' = \frac{- 2}{(x + 1)^{2}} < 0;\forall x \in D$

Do đó hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Câu 8: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ sau:

Xét hàm $g(x) = f\left( x^{2} - 2 ight)$ . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A.
Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $( - \infty; - 2)$ .
B.
Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $(0;2)$ .
C.
Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $( - 1;0)$ .
D.
Hàm số $g(x)$ đồng biến trên $(2; + \infty)$ .

Ta có: $g'(x) = 2x.f'\left( x^{2} - 2 ight)$

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x.f'\left( x^{2} - 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x = 0 \\ f'\left( x^{2} - 2 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 2 = - 1 \\ x^{2} - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.$

Dựa vào đồ thị ta thấy $f'\left( x^{2} - 2 ight) > 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 > 2 \Leftrightarrow x^{2} > 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 2 \\ x > 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $( - 1;0)$ là sai.

Câu 9: Nhận biết

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ bằng số nghiệm phân biệt của phương trình nào sau đây?

A.
$\frac{f(x)}{g(x)} = 0$
B.
$f(x) + g(x) = 0$
C.
$f(x) - g(x) = 0$
D.
$f(x)g(x) = 0$

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình $f(x) = g(x)$ hay $f(x) - g(x) = 0$ .

Câu 10: Vận dụng

Cho hàm số $y = \frac{mx^{2} + \left( m^{2} + m + 2 ight)x + m^{2} + 3}{x + 1}$ . Tìm $m \in \mathbb{R}$ để khoảng cách từ gốc $O$ đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = \frac{mx^{2} + \left( m^{2} + m + 2 ight)x + m^{2} + 3}{x + 1}$ . Tìm $m \in \mathbb{R}$ để khoảng cách từ gốc $O$ đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 11: Nhận biết

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x^{2} - 1}$ ?

A.
$y = 1$
B.
$x = 1$
C.
$x = - 1$
D.
$y = 0$

Ta có: $\lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{x}{x^{2} - 1} = 0$

Do đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x^{2} - 1}$ là $y = 0$ .

Câu 12: Nhận biết

Cho hàm số $y = f\left( x ight) = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}$ . Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [2; 4].

A. 7
B. 6
C. $\frac{{19}}{3}$
D. $\frac{{13}}{3}$

Xét hàm số $y = f\left( x ight) = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}$ trên [2; 4] ta có:

$\begin{matrix} f'\left( x ight) = \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \in \left[ {2;4} ight]} \\ {{x^2} - 2x - 3 = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow x = 3 \hfill \\ \end{matrix}$

Tính f(2) = 7; f(3) = 6; f(4) = 19/3

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} ight]} f\left( x ight) = f\left( 3 ight) = 6$

Câu 13: Thông hiểu

Cho đồ thị hàm số có đồ thị hàm số là đường cong trong hình vẽ:

Khẳng định nào dưới đây sai

Khẳng định nào dưới đây sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} ight)$ và $\left( {4; + \infty } ight)$
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và x = -2
C. Với $c \in \left[ { - 1;2} ight]$ thì $f\left( { - 1} ight) < f\left( c ight) < f\left( 2 ight)$
D. $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;2} ight]} + \mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;2} ight]} = 0$

Quan sát đồ thị hàm số ta có:

Đáp án A sai vì hàm số không nghịch biến trên $\left( {4; + \infty } ight)$

Đáp án B sai vì hàm số chỉ đạt cực tiểu tại x = 2

Đáp án C sai vì trên đoạn [0; 2] hàm số vừa có khoảng đồng biến, vừa có khoảng nghịch biến.

Đáp án D đúng vì $\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;2} ight]} + \mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;2} ight]} = - 2 + 2 = 0$

Câu 14: Nhận biết

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ dưới đây?

Đồ thị của hàm số y = f(x)

A. $y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}$
B. $y = - {x^4} + 5{x^2} - 4$
C. $y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}$
D. $y = {x^3} - 3x + 1$

Quan sát đồ thị hàm số ta suy ra hàm số có dạng hàm số phân thức $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$

=> Loại đáp án B và D

Ta có: $y\left( 0 ight) = 2$ => Loại đáp án B

Câu 15: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) Hàm số đồng biến trên $(−∞; 2)$ . Sai|| Đúng

b) Hàm số nghịch biến trên $(1; +∞)$ . Đúng||Sai

c) Hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng

d) Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) Hàm số đồng biến trên $(−∞; 2)$ . Sai|| Đúng

b) Hàm số nghịch biến trên $(1; +∞)$ . Đúng||Sai

c) Hàm số có hai điểm cực trị. Sai|| Đúng

d) Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ . Đúng||Sai

Quan sát bảng biến thiên, ta có các kết quả sau:

a) Hàm số đồng biến trên $(−∞; 1)$ nên khẳng định hàm số đồng biến trên $(−∞; 2)$ là sai.

b) Hàm số nghịch biến trên $(1; +∞)$ .

c) Hàm số có đúng 1 điểm cực trị là $x = 1$ .

d) Hàm số có đạt cực đại tại $x = 1$ .

Câu 16: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ và có bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y = f(x)$ là hàm số nào dưới đây?

A.
$y = x^{4} - 2x^{2} + 3$
B.
$y = x^{4} + 2x^{2} - 3$
C.
$y = - x^{4} + 2x^{2} - 3$
D.
$y = x^{4} - 2x^{2} - 3$

Nhận diện đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương $y = ax^{4} + bx^{2} + c;(a > 0)$ nên loại hàm số $y = - x^{4} + 2x^{2} - 3$

Hàm số có 3 cực trị nên $ab < 0$ nên loại hàm số $y = x^{4} + 2x^{2} - 3$ .

Vì $x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} = 3$ nên hàm số cần tìm là $y = x^{4} - 2x^{2} - 3$ .

Câu 17: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn $\left\lbrack 0;\frac{7}{2} ightbrack$ của phương trình $f\left( \cos x ight) = 1$ bằng:

A.
$6$
B.
$4$
C.
$7$
D.
$5$

Dựa vào bảng biến thiến ta suy ra $f\left( \cos x ight) = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = a < - 1\ \ \ \ (1) \\ \cos x = b \in ( - 1;0)\ \ \ (2) \\ \cos x = c \in (0;1)\ \ (3) \\ \cos x = d > 1\ \ (4) \\ \end{matrix} ight.$

Các phương trình (1) và (4) vô nghiệm

Ta có bảng sau:

Phương trình $\cos x = b \in ( - 1;0)$ có 4 nghiệm thuộc $\left\lbrack 0;\frac{7}{2} ightbrack$

Phương trình $\cos x = c \in (0;1)$ có 3 nghiệm thuộc $\left\lbrack 0;\frac{7}{2} ightbrack$

Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thuộc đoạn $\left\lbrack 0;\frac{7}{2} ightbrack$ .

Câu 18: Vận dụng

Gọi $m_{1};m_{2}$ là giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = 2x^{3} - 3x^{2} + m - 1$ có hai điểm cực trị là $P;Q$ sao cho diện tích tam giác $OPQ$ bằng $2$ ( $O$ là gốc tọa độ). Khi đó giá trị biểu thức $m_{1}.m_{2}$ bằng:

A.
$6$
B.
$- 15$
C.
$12$
D.
$- 20$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$ .

Ta có: $y' = 6x^{2} - 6x$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = m - 1 \\ x = 1 \Rightarrow y = m - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Suy ra $P(0;m - 1),Q(1;m - 2)$

$\Rightarrow \overrightarrow{PQ} = (1; - 1) \Rightarrow \left| \overrightarrow{PQ} ight| = \sqrt{2}$

Đường thẳng (PQ) đi qua điểm $P(0;m - 1)$ và nhận $\overrightarrow{n} = (1;1)$ làm một vecto pháp tuyến nên có phương trình

$1(x - 0) + 1(y - m + 1) = 0 \Leftrightarrow x + y - m + 1 = 0$

$d(O;PQ) = \frac{|1 - m|}{\sqrt{2}}$

Theo bài ra ta có diện tích tam giác OPQ bằng 2 nên ta có phương trình:

$S_{OAB} = \frac{1}{2}.d(O;PQ).PQ = 2$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{|1 - m|}{\sqrt{2}}.\sqrt{2} = 2 \Leftrightarrow |1 - m| = 4$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - m = 4 \\ 1 - m = - 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 3 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $m_{1}.m_{2} = - 15$ .

Câu 19: Thông hiểu

Hàm số $y = - x^{4} + 2mx^{2} + 1$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ khi:

A.
$m > 0$
B.
$- 1 \leq m < 0$
C.
$m \geq 0$
D.
$m < - 1$

Hàm số xác định với mọi $x\mathbb{\in R}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} y' = - 4x^{3} + 4mx \\ y'' = - 12x^{2} + 4m \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ khi

$\left\{ \begin{matrix} y'(0) = 0 \\ y''(0) > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4.0^{3} + 4m.0 = 0(TM) \\ - 12.^{2} + 4m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m > 0$

Vậy $m > 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 20: Thông hiểu

Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = 2x^{3} - 5x^{2} - 4x + 2 - m$ có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu nhau là:

A.
$13$
B.
$11$
C.
$9$
D.
$12$

Ta có: $y' = 6x^{2} - 10x - 4$

$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x = 2 \Rightarrow y' = - 10 - m \\x = - \dfrac{1}{3} \Rightarrow y' = \dfrac{73}{27} - m \\\end{matrix} ight.$

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu

$\Leftrightarrow ( - 10 - m)\left( \frac{73}{27} - m ight) < 0$

$\Leftrightarrow - 10 < m < \frac{73}{27}$

Vì $m\mathbb{\in Z}$ nên có 12 giá trị thỏa mãn.

Vậy có tất cả 12 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 21: Thông hiểu

Xác định số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x + 1}$ ?

A.
$2$
B.
$3$
C.
$1$
D.
$0$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$

Vì $\lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = + \infty$ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = - 1$ làm đường tiệm cận đứng.

Vì $\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) =\lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x + 1} = \lim_{xightarrow - \infty}\dfrac{- \sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 +\dfrac{1}{x}} = - 1$ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y = - 1$ làm đường tiệm cận ngang.

Vì $\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) =\lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x + 1} = \lim_{xightarrow + \infty}\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 + \dfrac{1}{x}}= 1$ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y = 1$ làm đường tiệm cận ngang.

vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận bằng 3.

Câu 22: Thông hiểu

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $S = - t^{3} + 9t^{2} + 21t + 9$ trong đó $t$ tính bằng giây $(s)$ và $S$ tính bằng mét $(m)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $v(t) = - 3t^{2} + 18t + 2$ . Sai||Đúng

b) Vận tốc của chất điểm tại giây thứ 2 là $45\ m/s.$ Đúng||Sai

c) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là $45\ m/s.$ Sai||Đúng

d) Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t = 3\ \ (s).$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $S = - t^{3} + 9t^{2} + 21t + 9$ trong đó $t$ tính bằng giây $(s)$ và $S$ tính bằng mét $(m)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $v(t) = - 3t^{2} + 18t + 2$ . Sai||Đúng

b) Vận tốc của chất điểm tại giây thứ 2 là $45\ m/s.$ Đúng||Sai

c) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là $45\ m/s.$ Sai||Đúng

d) Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t = 3\ \ (s).$ Đúng||Sai

a) $v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 21$ nên a sai.

b) Ta có: $v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 2\overset{}{ightarrow}v(2) = 45\ m/s.$ nên b) đúng

c) Ta có: $a(t) = v'(t) = - 6t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 3\overset{}{ightarrow}v(3) = 48\ m/s.$ nên c) sai

Vận tốc $v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 21 = - 3(t - 3)^{2} + 48 \leq 48$ .

Vậy $\max v(t) = 48$ khi $t = 3$ .

Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi $t = 3\ \ (s).$ nên d) đúng.

Câu 23: Thông hiểu

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $f\left( x ight) = 2m$ có đúng hai nghiệm phân biệt.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 0} \\ {m < - 3} \end{array}} ight.$
B. $m < - 3$
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 0} \\ {m < \dfrac{{ - 3}}{2}} \end{array}} ight.$
D. $m < \frac{{ - 3}}{2}$

Để phương trình $f\left( x ight) = 2m$ có hai nghiệm phân biệt thì $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2m = 0} \\ {2m < - 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 0} \\ {m < \dfrac{{ - 3}}{2}} \end{array}} ight.$

Câu 24: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 2x + 1$ . Giả sử hàm số đạt cứ đại tại x = a và đạt cực tiểu tại x = b thì giá trị biểu thức 2a – 5b là

A. 1
B. -12
C. -1
D. -8

Tập xác định $D = \mathbb{R}$

Ta có:

$\begin{matrix} y' = {x^2} - 3x + 2 \hfill \\ y' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có bảng xét dấu như sau:

Tính giá trị biểu thức

Do y’ thay đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm x = 1

=> x = 1 là điểm cực đại của hàm số

y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 2

=> x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số

=> 2a – 5b = -8

Câu 25: Thông hiểu

Số các giá trị nguyên của tham số $m \in \lbrack - 20;20brack$ để hàm số $y = \frac{mx - 16}{x - m}$ nghịch biến trên khoảng $( - \infty;8)$ là:

A.
$14$
B.
$11$
C.
$13$
D.
$12$

Ta có: $y' = \frac{- m^{2} + 16}{(x - m)^{2}}$ . Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty;8)$ khi

$\left\{ \begin{matrix} y' < 0;\forall x < 8 \\ x eq m \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - m^{2} + 16 < 0 \\ m otin ( - \infty;8) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m < - 4 \\ m > 4 \\ \end{matrix} ight.\ \\ m \geq 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \geq 8$

Vì $\left\{ \begin{matrix} m\mathbb{\in Z} \\ m \in \lbrack - 20;20brack \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \in \left\{ 8;9;10;...;20 ight\}$

Vậy có tất cả 13 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 26: Vận dụng cao

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x)$ .

Vị trí điểm cực đại là $(2;5)$ với đơn vị của hệ trục là $100m$ và vị trí điểm cực tiểu là $(0;1)$ . Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y = 36 - 9x$ . Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 88,3 m

Đáp án là:

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x)$ .

Vị trí điểm cực đại là $(2;5)$ với đơn vị của hệ trục là $100m$ và vị trí điểm cực tiểu là $(0;1)$ . Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y = 36 - 9x$ . Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 88,3 m

Gọi hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$

$\Rightarrow f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c$ .

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm $(0;1) \Rightarrow d = 1$ .

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm $A(2;5) \Rightarrow 8a + 4b + 2c + 1 = 5$ .

Vì hàm số có hai điểm cực trị $x = 0;x = 2$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(0) = 0 \\ f'(2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ 12a + 4b = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 1$ và $f'(x) = - 3x^{2} + 6x$ .

Gọi $M\left( x_{0};y_{0} ight),\ x_{0} > 0,$ là điểm nằm trên hòn đảo và nối với mặt đường và $d$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với mặt đường.

Suy ra $M$ là tiếp điểm của $d$ với $y = f(x)$ .

Đường thẳng $y = 36 - 9x$ có hệ số góc $k = - 9$

$\Rightarrow f'\left( x_{0} ight) = - 9 \Leftrightarrow - 3x_{0}^{2} + 6x_{0} = - 9$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 3 \\ x_{0} = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(3;1)$ .

Độ dài cây cầu ngắn nhất bằng khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $9x + y - 36 = 0$ .

$h = \frac{|9.3 + 1 - 36|}{\sqrt{9^{2} + 1^{2}}} \approx 0,883$ .

Vì đơn vị của hệ trục là $100m$ nên độ dài ngắn nhất của cây cầu là $88,3m$ .

Câu 27: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{mx + 7m - 6}{x + m}$ với $m$ là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định?

A.
$6$
B.
$5$
C.
$4$
D.
$3$

Ta có: $y' = \frac{m^{2} - 7m + 6}{(x + m)^{2}};\forall x eq - m$

Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định thì $y' < 0;\forall x eq - m$

$\Leftrightarrow m^{2} - 7m + 6 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 6$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 2;3;4;5 ight\}$

Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 28: Vận dụng

Cho hàm số $f\left( x ight) = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 8}}$ (với m là tham số thực). Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -2 trên đoạn [0; 3].

A. m = -2
B. m = 4
C. m = 0
D. m = -1

Xét hàm số $f\left( x ight) = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 8}}$ trên đoạn [0; 3] ta có:

$f'\left( x ight) = \frac{{8 + {m^2}}}{{{{\left( {x + 8} ight)}^2}}} > 0;\forall x \in \left[ {0;3} ight]$

=> Hàm số f(x) đồng biến trên (0; 3)

=> $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} ight]} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) = \frac{{ - {m^2}}}{8}$

Theo bài ra ta có:

$\begin{matrix} \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} ight]} f\left( x ight) = - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{{m^2}}}{8} = - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 16 \Leftrightarrow m = \pm 4 \hfill \\ \Rightarrow {m_{\max }} = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 29: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x) = x^{4} - 2x^{2} - 3$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 0$ . Đúng||Sai

b) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = −3$ . Sai|| Đúng

c) Hàm số đã cho có giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là $−4, −3$ . Sai|| Đúng

d) Đồ thị hàm số $g(x) = f(x) + 3$ có điểm cực đại là $(0; 0)$ . Sai|| Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = x^{4} - 2x^{2} - 3$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 0$ . Đúng||Sai

b) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = −3$ . Sai|| Đúng

c) Hàm số đã cho có giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là $−4, −3$ . Sai|| Đúng

d) Đồ thị hàm số $g(x) = f(x) + 3$ có điểm cực đại là $(0; 0)$ . Sai|| Đúng

Ta có:

$f'(x) = 4x^{3} - 4x \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên

a) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = 0$

b) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x = −3$

c) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số giá trị cực đại và cực tiểu lần lượt là $−4, −3$

d) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số $g(x) = f(x) + 3$ có được bằng cách tịnh tiến đồ thị $y = f(x)$ lên trên 3 đơn vị. Suy ra đồ thị hàm số $g(x) = f(x) + 3$ có điểm cực đại là $(0; 0)$ .

Câu 30: Thông hiểu

Điều kiện của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x + m}{x + 2}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định là:

A.
$m > 2$
B.
$m \leq 2$
C.
$m \geq 2$
D.
$m < 2$

Xét hàm số $y = \frac{x + m}{x + 2}$ ta có:

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 2 ight\}$

Ta có: $y' = \frac{2 - m}{(x + 2)^{2}}$

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $\Leftrightarrow y' < 0;\forall x \in D$

$\Leftrightarrow 2 - m < 0 \Leftrightarrow m > 2$

Vậy đáp án cần tìm là $m > 2$ .

Câu 31: Nhận biết

Hàm số $y = 2{x^4} - 4$ đồng biến trên khoảng

A. $\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} ight)$
B. $\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } ight)$
C. $\left( {0; + \infty } ight)$
D. $\left( { - \infty ;0} ight)$

Ta có y’ = 8x => y’ = 0 => x = 0

=> y’ > 0 => x > 0

=> y’ < 0 => x < 0

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } ight)$

Câu 32: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^{3};\forall x\mathbb{\in R}$ . Số điểm cực đại của hàm số là:

A.
$2$
B.
$1$
C.
$3$
D.
$0$

Ta có: $f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Lập bảng biến thiên của hàm số

Suy ra số điểm cực đại của hàm số là 1 điểm.

Câu 33: Thông hiểu

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{{{x^2} - 3x - 4}} + x$

A. 4
B. 3
C. 2
D. 5

Quy đồng biến đổi hàm số đã cho trở thành $y = \frac{{{x^3} - 3{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 3x - 4}}$

Tìm được tiệm cận đứng là x = -1 và x = 4 và không có tiệm cận ngang

=> Số tiệm cận là 2 đường

Câu 34: Thông hiểu

Cho hàm số $y = - x^{3} + 6(m + 2)x^{2} - m + 1$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số đã cho đồng biến trên $( - 2; - 1)$ ?

A.
$m \in \left( - \infty; - \frac{5}{2} ight)$
B.
$m \in \left( - \infty; - \frac{5}{2} ightbrack$
C.
$m \in \left\lbrack \frac{5}{2}; + \infty ight)$
D.
$m \in \left( \frac{5}{2}; + \infty ight)$

Ta có: $y' = - 3x^{2} + 12(m + 2)x$

Hàm số $y = - x^{3} + 6(m + 2)x^{2} - m + 1$ đồng biến trên khoảng $( - 2; - 1)$ khi và chỉ khi:

$y' = - 3x^{2} + 12(m + 2)x \geq 0;\forall x \in ( - 2; - 1)$

$\Leftrightarrow - x^{2} + 4mx + 8x \geq 0;\forall x \in ( - 2; - 1)$

$\Leftrightarrow 4mx \geq x^{2} - 8x;\forall x \in ( - 2; - 1)$

$\Leftrightarrow m \leq \frac{x}{4} - 2 \Leftrightarrow m \leq \frac{- 2}{4} - 2 = - \frac{5}{2}$

Vậy đáp án cần tìm là $m \in \left( - \infty; - \frac{5}{2} ightbrack$ .

Câu 35: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(−2; 5)$ . Sai|| Đúng

b) Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = −2$ . Đúng||Sai

c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −2. Sai|| Đúng

d) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(−2; 5)$ . Sai|| Đúng

b) Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = −2$ . Đúng||Sai

c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −2. Sai|| Đúng

d) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5. Đúng||Sai

Hàm số $y = f(x)$ không có giá trị nhỏ nhất nên phát biểu “Hàm số $y = f(x)$ có giá trị nhỏ nhất bằng −2” là phát biểu sai.

Câu 36: Vận dụng cao

Cho tập hợp $A = \left\{ n\mathbb{\in Z}|0 \leq n \leq 20 ight\}$ và $F$ là tập hợp các hàm số $f(x) = x^{3} + \left( 2m^{2} - 5 ight)x^{2} + 6x - 8m^{2}$ có $m \in A$ . Chọn ngẫu nhiên một hàm số $f(x) \in F$ . Tính xác suất để đồ thị hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục $Ox$ ?

A.
$\frac{18}{21}$
B.
$\frac{19}{20}$
C.
$\frac{9}{10}$
D.
$\frac{19}{21}$

Không gian mẫu $|\Omega| = 21$

Ta có: $f(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x^{2} + \left( 2m^{2} - 3 ight)x + 4m^{2} = 0(*) \\ \end{matrix} ight.$

Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục $Ox$ suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác $2$ .

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \in A \hfill \\ {\left( {2{m^2} - 3} ight)^2} - 16{m^2} > 0 \hfill \\ {2^2} + \left( {2{m^2} - 3} ight).2 + 4{m^2} e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \in A \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m > \sqrt {\dfrac{{7 + 2\sqrt {10} }}{2}} \approx 2,58 \hfill \\ 0 \leqslant m < \sqrt {\dfrac{{7 - 2\sqrt {10} }}{2}} \approx 0,58 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 0;3;4;...;20 ight\}$

Vậy xác suất cần tìm là $P = \frac{19}{21}$ .

Câu 37: Vận dụng

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x ight) = 4\sqrt {{x^2} - 2x + 3} + 2x - {x^2}$ . Tính tích các nghiệm của phương trình f(x) = M.

A. 2
B. 0
C. -1
D. 1

Đặt $t = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} = \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + 2}$

$\begin{matrix} \Rightarrow t \in \left[ {\sqrt 2 ;\infty } ight) \hfill \\ \Rightarrow {x^2} - 2x = {t^2} - 3 \hfill \\ \end{matrix}$

Xét hàm số $f\left( t ight) = 4t - {t^2} + 3,t \in \left[ {\sqrt 2 ;\infty } ight)$ ta có:

$\begin{matrix} f\left( t ight) = - {\left( {t - 2} ight)^2} + 7 \leqslant 7;t \in \left[ {\sqrt 2 ;\infty } ight) \hfill \\ \Rightarrow f\left( t ight) = M \Rightarrow f\left( t ight) = 7 \Rightarrow t = 2 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Rightarrow {x_1}.{x_2} = - 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 38: Thông hiểu

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{3x^{2} - 4x + 1}{x^{2} - 1}$ là:

A.
$4$
B.
$2$
C.
$1$
D.
$3$

Điều kiện xác định của hàm số $x^{2} - 1 eq 0 \Leftrightarrow x eq \pm 1$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 1 ight\}$

$\lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{3x^{2} - 4x + 1}{x^{2} - 1} = 3$ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 3$ .

$\lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}y = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}\frac{3x^{2} - 4x + 1}{x^{2} - 1} = \mp \infty$ suy ra $x = - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$\lim_{x ightarrow 1}y = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)(3x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{3x + 1}{x + 1} = 1$ suy ra $x = 1$ không là tiệm cận đứng.

Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hám số là $2$ .

Câu 39: Nhận biết

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x + 4$ thuộc đường thẳng nào sau đây?

A.
$y = x + 7$
B.
$y = x + 1$
C.
$y = x - 7$
D.
$y = x - 1$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 3$ . Do đó $y' = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $x = 1$ là điểm cực tiểu của hàm số nên điểm $A(1;2)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Nhận thấy $A(1;2)$ thuộc đường thẳng $y = x + 1$ .

Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x + 4$ thuộc đường thẳng $y = x + 1$ .

Câu 40: Vận dụng cao

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 8x} - 4}{\sqrt{x^{2} - 8x} + m}$ nghịch biến trên $( - 1;0)$ là:

A.
$( - \infty;4)$
B.
$( - 4; - 3brack \cup \lbrack 0; + \infty)$
C.
$( - 4; - 3) \cup (0; + \infty)$
D.
$( - 4; + \infty)$

Đặt $t = \sqrt{x^{2} - 8x}$

Điều kiện xác định $x^{2} - 8x \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \leq 0 \\ x \geq 8 \\ \end{matrix} ight.$

Xét hàm $t = \sqrt{x^{2} - 8x};x \in ( - 1;0)$ ta có:

$t' = \frac{2x - 8}{2\sqrt{x^{2} - 8x}} = \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8x}} < 0;\forall x \in ( - 1;0)$

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $t = \sqrt{x^{2} - 8x}$ nghịch biến trên khoảng $( - 1;0)$ và $t \in (0;3)$

Khi đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y = \frac{t - 4}{t + m}$ đồng biến trên $(0;3)$

Điều kiện xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - m ight\}$

Ta có: $y' = \frac{m + 4}{(t + m)^{2}};\forall x \in D$

Để hàm số đồng biến trên $(0;3)$ thì

$\left\{ \begin{matrix} y' > 0 \\ - m otin (0;3) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 4 > 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} - m \leq 0 \\ - m \geq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > - 4 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 0 \\ m \leq - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 4 < m \leq - 3 \\ m \geq 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là $m \in ( - 4; - 3brack \cup \lbrack 0; + \infty)$

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!