Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{2x + 1}{x + 2}. Giả sử M(a;b) \in (C) có khoảng cách đến đường thẳng d:y = 3x + 6 nhỏ nhất. Chọn khẳng định đúng?

    Ta có: M\left( a;\frac{2a + 1}{a + 2} ight);(a eq - 2)

    Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d) bằng:

    d(M;d) = \dfrac{\left| 3a - \dfrac{2a +1}{a + 2} + 6 ight|}{\sqrt{3^{2} + 1}}= \frac{1}{\sqrt{10}}.\left| 3a+ 6 - \frac{2a + 1}{a + 2} ight|= \frac{1}{\sqrt{10}}.\left|\frac{3a^{2} + 10a + 11}{a + 2} ight|

    Xét hàm số f(a) = \frac{3a^{2} + 10a + 11}{a + 2};(a eq - 2)

    f'(a) = \frac{3\left( a^{2} + 4a + 3 ight)}{(a + 2)^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = - 1 \\ a = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \left| f(a) ight| = 4 tại a = - 1

    Vậy \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = - 2

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn 3x.f\left( x ight) - {x^2}.f'\left( x ight) = 2{f^2}\left( x ight), với f(x) ≠ 0 với ∀x ∈ (0; +∞) và f\left( 1 ight) = \frac{1}{3}. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [1;2]. Tính tổng M + m.

    Ta có:

    \begin{matrix} 3x.f\left( x ight) - {x^2}.f'\left( x ight) = 2{f^2}\left( x ight) \hfill \\ \Rightarrow 3{x^2}f\left( x ight) - {x^3}f'\left( x ight) = 2x{f^2}\left( x ight) \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{3{x^2}f\left( x ight) - {x^3}f'\left( x ight)}}{{{f^2}\left( x ight)}} = 2x \hfill \\ \Rightarrow \left( {\dfrac{{{x^3}}}{{f\left( x ight)}}} ight)' = 2x \Rightarrow \dfrac{{{x^3}}}{{f\left( x ight)}} = {x^2} + C \hfill \\ \end{matrix}

    Thay x = 1 vào ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{{f\left( 1 ight)}} = 1 + C} \\ {f\left( 1 ight) = \dfrac{1}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow C = 2

    \begin{matrix} \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2}} \hfill \\ f'\left( x ight) = \dfrac{{{x^4} + 6{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 2} ight)}^2}}} \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \Rightarrow x = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên

    Tính tổng GTLN và GTNN của hàm số

    Khi đó f(x) đồng biến trên [1; 2]

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = f\left( 1 ight) = \dfrac{1}{3}} \\ {M = f\left( 2 ight) = \dfrac{4}{3}} \end{array}} ight. \Rightarrow m + M = \dfrac{5}{3}

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'\left( x ight) = \left( {3 - x} ight)\left( {{x^2} - 1} ight) + 2x,\forall x \in \mathbb{R}. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

    Ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = \left( {3 - x} ight)\left( {{x^2} - 1} ight) + 2x \hfill \\ \Rightarrow y' = f''\left( x ight) - 2x = - 3{x^2} + 4x + 3 \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{2 \pm \sqrt {13} }}{3} \hfill \\ y'' = - 6x + 4 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y''\left( {\dfrac{{2 + \sqrt {13} }}{3}} ight) = - 2\sqrt {13} < 0} \\ {y''\left( {\dfrac{{2 - \sqrt {13} }}{3}} ight) = 2\sqrt {13} > 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Hàm số có 1 cực trị

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

    Số đường tiệm cận ngang: 1

    Số đường tiệm cận đứng: 1

    Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng: 2.

  • Câu 5: Nhận biết

    Hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ dưới đây là:

    Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d với a < 0 nên hàm số tương ứng là y = - x^{3} + 3x.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính tổng S tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - (m - 1)x^{2} + x - m đồng biến trên tập xác định?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = x^{2} - 2(m - 1)x + 1

    Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì y' \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \Delta' \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 2m \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 2

    Vì m\mathbb{\in Z} nên m \in \left\{ 0;1;2 ight\}

    Vậy S = 0 + 1 + 2 = 3.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số y = \frac{{3x - 1}}{{x - 2}} là đúng?

    Ta có: y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} < 0,\forall x e 2

    Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)

  • Câu 8: Thông hiểu

    Biết rằng đồ thị hàm số y =\frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}mx^{2} + x - 2 có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền bằng \sqrt{7}. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Biết rằng đồ thị hàm số y =\frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}mx^{2} + x - 2 có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền bằng \sqrt{7}. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình - x^{3} + 4x + 1 = m có ba nghiệm phân biệt?

    Phương trình đã cho là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) = - x^{3} + 4x + 1 và đường thẳng y = m

    Xét y = f(x) = - x^{3} + 4x + 1 có f'(x) = - 3x^{2} + 4

    Phương trình f'(x) = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\x = - \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\\end{matrix} ight.

    Lập bảng biến thiên

    Đường thẳng y = m cắt đồ thị y = f(x) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi

    1 - \frac{16\sqrt{3}}{3} < m < 1 + \frac{16\sqrt{3}}{3}

    Do m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 2; - 1;...;4 ight\}

    Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hàm số y =f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số y = f(x - m) đồng biến trên khoảng (2020; + \infty). Hỏi tập hợp S có tất cả bao nhiêu phần tử?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y =f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số y = f(x - m) đồng biến trên khoảng (2020; + \infty). Hỏi tập hợp S có tất cả bao nhiêu phần tử?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 11: Nhận biết

    Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

    Đồ thị hàm số là hàm số bậc 4 với \left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ ab < 0 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 12: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = x^{3} - 12x + 1 - m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt?

    Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số x^{3} - 12x + 1 - m = 0

    Ta cps: x^{3} - 12x + 1 - m = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 12x + 1 = m(*)

    Đặt \left\{ \begin{matrix} y = x^{3} - 12x + 1 \\ y = m \\ \end{matrix} ight.. Khi đó số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x^{3} - 12x + 1 và đường thẳng y = m.

    Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = x^{3} - 12x + 1 ta có:

    y' = 3x^{2} - 12 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Với - 15 < m < 17 thì phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt. Mặt khác do m nguyên nên m \in \left\{ - 14;...;16 ight\}.

    Vậy có 31 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là:

    Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = - 1.

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) = x^{3} + 3x^{2} + x - 1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;2brack lần lượt là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 3x^{2} + 6x + 1\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{- 3 - \sqrt{6}}{3} \\x = \dfrac{- 3 + \sqrt{6}}{3} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó: y( - 1) = 0;y\left( \frac{- 3 + \sqrt{6}}{3} ight) = - \frac{4\sqrt{6}}{9};y(2) = 21

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} ight]} y = y\left( 2 ight) = 21 \hfill \\ \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} ight]} y = y\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{3}} ight) = - \frac{{4\sqrt 6 }}{9} \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y = \frac{ax + b}{cx + d};\left( a;b;c;d\mathbb{\in R} ight). Chọn mệnh đề đúng?

    Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có tập xác định là D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\} hàm số luôn nghịch biến trên khoảng ( - \infty;1),(1; + \infty) nên y' < 0;\forall x eq 1.

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho hàm số y = - \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + 6x - 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = - x^{2} + x + 6 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu

    Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( - 2,3).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = x^{2} - 4\ln(1 -x) . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tập xác định của hàm số là D = (1; + \infty) . Sai||Đúng

    b) Đạo hàm của hàm số là y' = \frac{- 2x^{2} + 2x + 4}{1 - x} . Đúng||Sai

    c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên \lbrack - 2;0brack là 2. Sai||Đúng

    d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \lbrack - 2;0brack là 1 - 4\ln2 . Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = x^{2} - 4\ln(1 -x) . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tập xác định của hàm số là D = (1; + \infty) . Sai||Đúng

    b) Đạo hàm của hàm số là y' = \frac{- 2x^{2} + 2x + 4}{1 - x} . Đúng||Sai

    c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên \lbrack - 2;0brack là 2. Sai||Đúng

    d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \lbrack - 2;0brack là 1 - 4\ln2 . Đúng||Sai

    Tập xác định của hàm số là D = (1; + \infty).

    Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

    Ta có: y' = 2x + \frac{4}{1 - x} = \frac{- 2x^{2} + 2x + 4}{1 - x}

    Khi đó y' = 0 \Leftrightarrow \frac{- 2x^{2} + 2x + 4}{1 - x} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1(TM) \\ x = 2(L) \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}f( - 2) = 4 - 4\ln3 \\f( - 1) = 1 - 4\ln2 \\f(0) = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}M = 0 \\m = 1 - 4\ln2 \\\end{matrix} ight.

  • Câu 18: Vận dụng cao

    Gọi M, N lần lượt là số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} } ight)}}{{{x^2} - 4}}. Khi đó m + n bằng:

    Điều kiện  x e 2;x \geqslant \sqrt 3

    Tiệm cận ngang:

    \begin{matrix} \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} } ight)}}{{{x^2} - 4}} = \dfrac{{x.\left| x ight|\left( {\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} } ight)}}{{{x^2}\left( {1 - \dfrac{4}{x}} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{{x^2}\left( {\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {\frac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} } ight)}}{{{x^2}\left( {1 - \dfrac{4}{x}} ight)}},\left( {do{\text{ }}x \geqslant \sqrt 3 } ight) = \dfrac{{\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{4}{x}}} \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \dfrac{4}{x}}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là y = 1

    Tiệm cận đứng:

    Điều kiện cần: Xét phương trình x2 – 4 = 0 => x = 2 hoặc x = -2

    Điều kiện đủ

    Đặt f\left( x ight) = x\left( {\sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} } ight)

    Xét x = 2 ta có f(2) = 0 nên ta sẽ đi tìm bậc của x – 2 của f(x)

    \begin{matrix} \sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} = \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} } ight).\left( {\sqrt {{x^2} - 3} + \sqrt {x - 1} } ight)}}{{\sqrt {{x^2} - 3} + \sqrt {x - 1} }} = \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{g\left( x ight)}} = \left( {x - 2} ight).h\left( x ight) \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{\left( {x - 2} ight).h\left( x ight)}}{{\left( {x - 2} ight)\left( {x + 2} ight)}} = \dfrac{{h\left( x ight)}}{{x + 2}} \hfill \\ \end{matrix}

    => x = 2 không phải là tiệm cận đứng

    Xét x = -2 ta có f(-2) không tồn tại hay x = -2 không phải là tiệm cận đứng.

    Vậy M = 1, N = 0 => M + N = 1

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên \mathbb{R}?

     Hàm số y = x – sinx có tập các định D = \mathbb{R} và y' = 1 - \cos x \geqslant 0, \vee x \in \mathbb{R}

    Nên hàm số luôn đồng biến trên \mathbb{R}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R}. Đồ thị của hàm số y = f'(x) trên đoạn \lbrack - 2;2brack là đường cong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Dựa vào thị của hàm số y = f^{'}(x) trên đoạn \lbrack - 2;2brack ta thấy f'(x) = 0\Leftrightarrow x = 1.

    Ta có bảng BBT:

    Do đó \max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) =f(1).

  • Câu 21: Thông hiểu

    Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = mx^{4} - (m - 3)x^{2} + m^{2} không có điểm cực đại là:

    Hàm số y = mx^{4} - (m - 3)x^{2} + m^{2} không có điểm cực đại

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \geq 0 \\ a.b \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \geq 0 \\ - (m - 3) \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \geq 0 \\ m \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 3

    Vì m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 0;1;2;3 ight\}

    Vậy có bốn giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số y = \frac{x^{2} - 2x}{1 - x}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Tập xác định D = ( - \infty;1) \cup (1; + \infty)

    Ta có: y' = - 1 - \frac{1}{(1 - x)^{2}} < 0;\forall x \in D

    Do đó hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

    Vậy khẳng định đúng là: “Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( - \infty;1) và (1; + \infty)”.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận?

    Ta có: Đồ thị hàm số y = \frac{1}{{4 - {x^2}}} có 3 đường tiệm cận trong đó

    Tiệm cận đứng là x = 2 và x = -2

    Tiệm cận ngang là y = 0

  • Câu 24: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x). Đồ thị của hàm số y = f’(x) được biểu diễn trong hình vẽ dưới đây.

    Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

    Biết rằng f\left( 0 ight) + f\left( 1 ight) + f\left( 3 ight) = f\left( 4 ight) + 2f\left( 2 ight). Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn [0; 4]?

    Ta có bảng xét dấu như sau:

    Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

    Dựa vào bảng xét dấy ta có M = f(2), GTNN chỉ có thể là f(0) hoặc f(4)

    Ta lại có

    f(1) và f(3) nhỏ hơn f(2) => f(1) + f(3) < 2f(2)

    => 2f(2) – f(1) – f(3) > 0

    Theo bài ra ta có:

    f(0) + f(1) + f(3) = f(4) + 2f(2)

    => f(0) – f(4) = 2f(2) – f(1) – f(3) > 0

    => f(0) – f(4) > 0 => f(0) > f(4)

    => GTNN đạt được tại x = 4

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + 2m + 3 có ba điểm cực trị A;B;C sao cho trục Ox chia tam giác ABC thành một tam giác và một hình thang biết rằng tỉ lệ diện tích tam giác nhỏ được chia ra và diện tích hình thang bằng \frac{4}{5}?

    Ta có: y' = 4x^{2} - 4(m + 1)x

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có ba nghiệm phân biệt \Leftrightarrow m > - 1

    Khi m > - 1 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A(0;2m + 3), B\left( - \sqrt{m + 1}; - m^{2} + 2 ight), C\left( \sqrt{m + 1}; - m^{2} + 2 ight)

    Ta có: A \in Oy, B và C đối xứng với nhau qua Oy suy ra tam giác ABC cân tại A

    Hình vẽ minh họa

    Trục hoành chia tam giác ABC thành một tam giác và một hình thang \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m + 3 > 0 \\ - m^{2} + 2 < 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - \dfrac{3}{2} \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m > \sqrt 2 \hfill \\ m < - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} m > \sqrt 2 \hfill \\ - \dfrac{3}{2} < m < - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Kết hợp với điều kiện m > - 1 ta được m > \sqrt{2}

    Khi đó gọi D; E lần lượt là giao điểm của Ox và các cạnh AB; AC. Gọi K là giao điểm của BC và Oy

    Ta có:

    \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \left( \frac{OA}{AK} ight)^{2} = \left( \frac{y_{A}}{y_{A} - y_{B}} ight)^{2} = \left( \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} ight)^{2}

    Mà \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{4}{9} \Leftrightarrow \left( \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} ight)^{2} = \frac{4}{9}

    Vì m > \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{2m + 3}{m^{2} + 2m + 1} = \frac{2}{3}

    \Leftrightarrow 2m^{2} - 2m - 7 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = \dfrac{1 + \sqrt{15}}{2} \\m = \dfrac{1 - \sqrt{15}}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow m = \dfrac{1 +\sqrt{15}}{2}.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{2 - x}.\sqrt{3 - x}} có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

    Hàm số xác định \left\{ \begin{matrix} 2 - x > 0 \\ 3 - x > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x < 2 \\ x < 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x < 2

    Tập xác định D = ( - \infty;2)

    Ta có: \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = + \infty suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x + 1}{\sqrt{2 - x}.\sqrt{3 - x}} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} - 5x + 6}}

    = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x\left( 1 + \dfrac{1}{x} ight)}{- x\sqrt{1 - \dfrac{5}{x} +\dfrac{6}{x^{2}}}} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{1 +\dfrac{1}{x}}{- \sqrt{1 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{6}{x^{2}}}} = -1

    Suy ra y = - 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

    Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số f\left( x ight) = \left( {x + 1} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x + 3} ight)\left( {x + 4} ight) + 2019 là:

    Tập xác định D = \mathbb{R}

    Biến đổi f(x) như sau:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = \left( {x + 1} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x + 3} ight)\left( {x + 4} ight) + 2019 \hfill \\ f\left( x ight) = \left( {{x^2} + 5x + 4} ight)\left( {{x^2} + 5x + 6} ight) + 2019 \hfill \\ \end{matrix}

    Đặt t = {x^2} + 5x + 4 \Rightarrow t = {\left( {x + \frac{5}{2}} ight)^2} - \frac{9}{4} \geqslant - \frac{9}{4};\forall x \in \mathbb{R}

    Hàm số đã cho trở thành

    f\left( y ight) = {t^2} + 2t + 2019 = {\left( {t + 1} ight)^2} + 2018 \geqslant 2018,\forall t \geqslant - \frac{9}{4}

    Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2018 tại t = - 1

  • Câu 28: Vận dụng

    Cho hàm số y = \frac{x + 1}{\sqrt{ax^{2}+ 1}} có đồ thị (C). Tìm giá trị a để đồ thị hàm số có đường tiệm cận và đường tiệm cận đó cách đường tiếp tuyến của (C) một khoảng bằng \sqrt{2} - 1?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{x + 1}{\sqrt{ax^{2}+ 1}} có đồ thị (C). Tìm giá trị a để đồ thị hàm số có đường tiệm cận và đường tiệm cận đó cách đường tiếp tuyến của (C) một khoảng bằng \sqrt{2} - 1?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} +cx + d;(a eq 0) có đồ thị như sau:

    Hàm số y = \left| f(x) ight| có bao nhiêu điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} +cx + d;(a eq 0) có đồ thị như sau:

    Hàm số y = \left| f(x) ight| có bao nhiêu điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 30: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) = x^{3} - 3x. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \lbrack - 2;1brack?

    Xét hàm số f(x) = x^{3} - 3x xác định trên tập số thực có:

    f'(x) = 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f( - 2) = - 2 \\ f(1) = - 2 \\ f( - 1) = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack - 2;1brack}f(x) = - 2

    Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2 khi x = 1 hoặc x = -2.

  • Câu 31: Vận dụng

    Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 32: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{2x - 1}{x + 3}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 3 ight\}

    Ta có: y' = \frac{7}{(x + 3)^{2}} > 0;\forall x \in D

    Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( - \infty;3) và (3; + \infty).

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như sau:

    Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số lần lượt là:

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị đã cho có đường tiệm cận đứng là x = 1 và đường tiệm cận ngang là y = 1.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hàm trùng phương y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

    Tìm các giá trị của tham số m để phương trình f(x) - m = 0 có 4 nghiệm phân biệt?

    Hình vẽ minh họa

    Để phương trình f(x) - m = 0 có 4 nghiệm phân biệt thì - 3 < m < 1.

  • Câu 35: Nhận biết

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 2)\left( x^{2} - 3 ight)\left( x^{4} - 9 ight), với \forall x\mathbb{\in R}. Hỏi hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x - 2)\left( x^{2} - 3 ight)\left( x^{4} - 9 ight) = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)\left( x + \sqrt{3} ight)^{2}\left( x - \sqrt{3} ight)^{2}\left( x^{2} + 3 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = - \sqrt{3} \\ x = \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta thấy hàm số y = f(x) có đúng một cực trị.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Hỏi đồ thị hàm số g(x) = \frac{2020}{2f(x) + 1} có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

    Số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình f(x) = - \frac{1}{2}

    Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình trên có 4 nghiệm tương ứng với 4 đường tiệm cận đứng.

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của f'(x) như sau:

    Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

    Dựa vào bảng xét dấu đã cho ta thấy f'(x) đổi dấu 4 lần nên hàm số f(x) có bốn điểm cực trị.

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Cho f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ.

    Hàm số y = f\left( {x - 1} ight) + {x^2} - 2x đồng biến trên khoảng nào trong các đáp án dưới đây?

    Ta có: y = f\left( {x - 1} ight) + {x^2} - 2x

    => y' = f'\left( {x - 1} ight) + 2x - 2

    Hàm số đồng biến khi y' \geqslant 0 \Leftrightarrow f'\left( {x - 1} ight) + 2\left( {x - 1} ight) \geqslant 0\left( * ight)

    Đặt t = x – 1 thì (*) trở thành

    f'\left( t ight) + 2t \geqslant 0 \Leftrightarrow f'\left( t ight) \geqslant - 2t

    Quan sát đồ thị hàm số y = f’(t) và y = -2t trên cùng một hệ tọa độ như hình vẽ

    Xác định khoảng đồng biến của hàm số

    Khi đó ta thấy với t \in \left( {0;1} ight) thì độ thì hàm số y = f’(t) luôn nằm trên đường thẳng y = -2t

    => f'\left( t ight) + 2t > 0,\forall t \in \left( {1;2} ight)

    Do đó với \forall x \in \left( {1;2} ight) thì hàm số y = f\left( {x - 1} ight) + {x^2} - 2x đồng biến.

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack 2;5brack và có đồ thị như hình vẽ:

    Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \lbrack 2;5brack lần lượt là M;m. Kết luận nào sau đây đúng?

    Quan sát đồ thị ta thấy \left\{\begin{matrix}\max_{\lbrack 2;5brack}y = M = 4 \\\min_{\lbrack 2;5brack}y = m = - 6 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M - m = 10

  • Câu 40: Nhận biết

    Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ:

    Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số a > 0 cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 0 nên hàm số cần tìm là y = x^{4} - 2x^{2} - 1.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 10 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập