Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Câu 1: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ và đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ sau:

Hàm số $g(x) = f\left( |x| ight) +2021$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ và đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ sau:

Hàm số $g(x) = f\left( |x| ight) +2021$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 2: Thông hiểu

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm số $f'(x)$ là đường cong như hình vẽ sau:

Chọn khẳng định đúng?

A.
Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $( - 2;0)$ .
B.
Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $( - 3; - 2)$ .
C.
Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .
D.
Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; - 3)$ .

Từ đồ thị hàm số $f'(x)$ ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra khẳng định đúng là: “Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$ ”.

Câu 3: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Xác định hàm số $y = f(x)$ ?

A.
$y = x^{4} - 2x^{2} + 1$
B.
$y = - x^{3} + 3x^{2} + 1$
C.
$y = x^{3} - 3x^{2} + 1$
D.
$y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số cần tìm là hàm số bậc ba

Vì $\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty$ nên đáp án là $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$ .

Câu 4: Thông hiểu

Đồ thị hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ có hai điểm cực trị $A(1; - 7),B(2; - 8)$ . Khi đó $y( - 1)$ có giá trị là:

A.
$y( - 1) = - 35$
B.
$y( - 1) = 11$
C.
$y( - 1) = - 11$
D.
$y( - 1) = 7$

Gọi đồ thị hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ là $(C)$

Ta có: $y' = 3ax^{2} + 2bx + c$ .

Vì $A(1; - 7),B(2; - 8)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix} A \in (C) \\ y'\left( x_{A} ight) = 0 \\ B \in (C) \\ y'\left( x_{B} ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 7 = a.1^{3} + b.1^{2} + c.1 + d \\ 0 = 3a.1^{3} + 2b.1^{2} + c \\ - 8 = a.2^{3} + b.2^{2} + c.2 + d \\ 0 = 3a.2^{3} + 2.b.2^{2} + c \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = - 9 \\ c = 12 \\ d = - 12 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $y = 2x^{3} - 9x^{2} + 12x - 12$ do đó $y( - 1) = - 35$ .

Câu 5: Nhận biết

Hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2x - 5}{4 - x}$ cắt nhau tại điểm $M$ . Xác định tọa độ điểm $M$ ?

A.
$M( - 4;2)$
B.
$M(4;2)$
C.
$M( - 4; - 2)$
D.
$M(4; - 2)$

Đồ thị hàm số $y = \frac{2x - 5}{4 - x}$ có đường tiệm cận đứng $x = 4$ và đường tiệm cận ngang $y = - 2$ . Do đó giao điểm của hai đường tiệm cận là $M(4; - 2)$ .

Câu 6: Thông hiểu

Đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số sau có đường tiệm ngang?

A.
$y = \frac{x}{1 + \sqrt{x}}$
B.
$y = x^{3} - 3x$
C.
$y = \log_{2}x$
D.
$y = x + \sqrt{x^{2} + 4}$

Ta có:

$y = \frac{x}{1 + \sqrt{x}}$ không có tiệm cận ngang vì $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{x}{1 + \sqrt{x}} = + \infty$

$y = x^{3} - 3x$ không có tiệm cận ngang vì $\lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( x^{3} - 3x ight) = \pm \infty$

$y = \log_{2}x$ không có tiệm cận ngang vì $\lim_{x ightarrow + \infty}\left(\log_{2}x ight) = + \infty$

$y = x + \sqrt{x^{2} + 4}$ có tiệm cận ngang vì $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + 4} } ight) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + 4} } ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Câu 7: Thông hiểu

Đồ thị hàm số $y = \frac{2x - 1}{3x + 4}$ có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên?

A.
$1$
B.
$2$
C.
$0$
D.
$3$

Ta có: $y\mathbb{\in Z\Rightarrow}3y\in\mathbb{ Z }\Rightarrow\frac{6x - 3}{3x + 4} = 2 -\frac{11}{3x + 4}\mathbb{\in Z}$

$\Rightarrow \frac{11}{3x + 4}\mathbb{\in Z \Rightarrow}3x + 4 \in U(11)$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}3x + 4 = 1 \\3x + 4 = - 1 \\3x + 4 = 11 \\3x + 4 = - 11 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \Rightarrow y = \dfrac{1}{7}(L) \\x = - \dfrac{5}{3}(L) \\x = \dfrac{7}{3}(L) \\x = - 5 \Rightarrow y = 1(TM) \\\end{matrix} ight.$

Với đồ thị hàm số đã cho có đúng 1 điểm có tọa độ nguyên.

Câu 8: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới dây?

A.
$( - \infty;0)$
B.
$(1; + \infty)$
C.
$(0;1)$
D.
$( - 1;0)$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên $(0;1)$ .

Câu 9: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có mấy điểm cực trị?

A.
$2.$
B.
$1.$
C.
$0.$
D.
$3.$

Từ đồ thị suy ra đồ thị có điểm một điểm cực tiểu và một điểm cực đại.

Câu 10: Vận dụng cao

Cho hàm số bậc ba $f\left( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Hỏi đồ thị hàm số $g\left( x ight) = \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} ight).f\left( x ight)}}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng?

A. 4
B. 3
C. 2
D. 6

Ta có: $f'\left( x ight) = 3a{x^2} + 2bx + c = 3a\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight) = 3x\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)$

Đồng nhất hai vế ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2b = - 9a} \\ {c = 6a} \end{array}} ight. \Rightarrow f\left( x ight) = a{x^3} - \frac{{9a}}{2}{x^2} + 6ax + d$

Mặt khác $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 1 ight) = 5} \\ {f\left( 2 ight) = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + \dfrac{9}{2}a + 6a + d = 5} \\ {8a - 18a + 12a + d = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{{10}}{{49}}} \\ {d = \dfrac{{ - 20}}{{19}}} \end{array}} ight.$

Giải phương trình $f\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{1}{2}} \\ {x = 2} \end{array}} ight.$

Hàm số có tập xác định là $D = \left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } ight)\backslash \left\{ {\frac{1}{2};1;2} ight\}$

Khi đó

$g\left( x ight) = \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} ight).f\left( x ight)}}$

$= \frac{{\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^2} - 1} ight)\left( {{x^2} - 4} ight).f\left( x ight)}}$

$= \frac{{\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {x + 1} ight)\left( {x + 2} ight)f\left( x ight)}}$

=> Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x = \frac{1}{2};x = 2$

Câu 11: Thông hiểu

Tìm giá trị của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{2x + m}{x + 1}$ trên đoạn $\lbrack 0;4brack$ bằng $5$ ?

A.
$m = 7$
B.
$m = 21$
C.
$m = 17$
D.
$m = 5$

Ta có: $y' = \frac{2 - m}{(x + 1)^{2}};y(0) = m;y(4) = \frac{8 + m}{5}$

$\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} ight]} f\left( x ight) = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} y' < 0 \hfill \\ y\left( 4 ight) = 5 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} y' > 0 \hfill \\ y\left( 0 ight) = 5 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 2 - m < 0 \hfill \\ \frac{{8 + m}}{5} = 5 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 2 - m > 0 \hfill \\ m = 5 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m > 2 \hfill \\ m = 17 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < 2 \hfill \\ m = 5 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow m = 17$

Vậy giá trị cần tìm là $m = 17$ .

Câu 12: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{2mx + m^{2} + m - 2}{x + m}$ với $m$ là tham số. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\lbrack 1;4brack$ bằng $1$ . Tổng các phần tử của tập hợp $S$ bằng:

A.
$- 2$
B.
$1$
C.
$0$
D.
$- 3$

Điều kiện $x eq - m$

Ta có: $y' = \frac{m^{2} - m + 2}{(x + m)^{2}}$ . Vì $\left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ \Delta_{m} = ( - 1)^{2} - 4.1.2 < 0 \\ \end{matrix} ight.$ nên $m^{2} - m + 2 > 0;\forall \in m$

$\Rightarrow y' > 0;\forall x \in \lbrack 1;4brack$

Suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\lbrack 1;4brack$ bằng $y(1) = 1 \Leftrightarrow \frac{m^{2} + 3m - 2}{1 + m} = 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq - 1 \\ m^{2} + 2m - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \in \left\{ 1; - 3 ight\}$

Kết hợp điều kiện $\left\{ \begin{matrix} x eq - m \\ x \in \lbrack 1;4brack \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m = - 3(ktm)$

Vậy $S = \left\{ 1 ight\}$ nên tổng các phần tử thuộc tập S bằng 1.

Câu 13: Nhận biết

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?

A. $y = - \frac{1}{{{x^2} + 1}}$
B. $y = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} ight)^x$
C. $y = - {x^3} + 2{x^2} - 7x$
D. $y = - 4x + \cos x$

Với $y = - \frac{1}{{{x^2} + 1}} \Rightarrow y' = \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} ight)}^2}}}$

y’ > 0 khi x > 0 và y’ < 0 khi x < 0 nên hàm số không nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Câu 14: Thông hiểu

Cho hàm số y = f(x) có $f'\left( x ight) = x\left( {x - 1} ight){\left( {x + 2} ight)^2}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 2
B. 3
C. 4
D. 1

Ta có: $f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \\ {x = - 2} \end{array}} ight.$

Nhận thấy ${\left( {x + 2} ight)^2} > 0,\forall x e - 2$

=> f’(x) không đổi dấu khi qua nghiệm x = -2 nên x = -2 không là điểm cực trị của hàm số

Ngoài ra f’(x) cùng dấu với tam thức bậc hai x²(x - 1) = x² – x nên suy ra x = 0, x = 1 là hai điểm cực trị của hàm số.

Câu 15: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $y = f(x)$ và có đạo hàm $f'(x) = (2 - x)(x + 3)g(x) + 2021$ trong đó $g(x) < 0;\forall x\mathbb{\in R}$ . Hàm số $y = f(1 - x) + 2021x + 2022$ đồng biến trên khoảng nào?

A.
$( - \infty; - 1)$
B.
$( - 1;4)$
C.
$( - 3;2)$
D.
$(4; + \infty)$

Ta có:

$y' = - f'(1 - x) + 2021$

$y' = - \left\lbrack (1 + x)(4 - x)g(1 - x) + 2021 ightbrack + 2021$

$y' = (x + 1)(x - 4).g(1 - x) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $g(x) < 0;\forall x\mathbb{\in R}$ nên $y' > 0;\forall x \in ( - 1;4)$

Suy ra hàm số đồng biến trên $( - 1;4)$ .

Câu 16: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{mx + 2m + 3}{x + m}$ với $m$ là tham số. Gọi $T$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$ . Hỏi tập hợp $T$ có tất cả bao nhiêu phần tử?

A.
$4$
B.
$2$
C.
$5$
D.
$3$

Ta có: $y' = \frac{m^{2} - (2m + 3)}{(x + m)^{2}} = \frac{m^{2} - 2m - 3}{(x + m)^{2}}$

Theo yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y' < 0;\forall x \in (2; + \infty)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 2m - 3 < 0 \\ - m \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < m < 3 \\ m \geq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 1 < m < 3$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 0;1;2 ight\}$

$\Rightarrow T = \left\{ 0;1;2 ight\}$

Vậy tập hợp T có tất cả 3 phần tử.

Câu 17: Thông hiểu

Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - (m + 1)x^{2} + \left( m^{2} + 2m ight)x - 3$ nghịch biến trên khoảng $( - 1;1)$

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - (m + 1)x^{2} + \left( m^{2} + 2m ight)x - 3$ nghịch biến trên khoảng $( - 1;1)$

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 18: Thông hiểu

Xác định số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{mx - 2}{- 2x +m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{1}{2}; + \infty ight)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Xác định số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{mx - 2}{- 2x +m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{1}{2}; + \infty ight)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 19: Vận dụng

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 20: Nhận biết

Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞)

Ta có:

$\begin{matrix} y' = 3{x^2} - 6x \hfill \\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có bảng xét dấu:

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây

Quan sát bảng xét dấu ta thấy:

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)

+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2)

Câu 21: Vận dụng

Cho hàm số $y = \frac{{ax + 2}}{{cx + b}}$ có đồ thị (C) như hình vẽ bên. Tính tổng $T = a + 2b + 3c$

A. T = 0
B. T = -1
C. T = 3
D. T = 2

Từ đồ thị hàm số ta có nhận xét như sau:

Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị (C)

=> $x = \frac{{ - b}}{c} = 2 \Rightarrow b = - 2c$

Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C)

=> $y = \frac{a}{c} = 1 \Rightarrow a = c$

Điểm có tọa độ (0; -1) thuộc đồ thị hàm số (C)

=> y(0) = -1 => $\frac{2}{b} = - 1 \Rightarrow b = - 2$

=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = - 2} \\ {b = - 2c} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ b = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \\ {c = 1} \end{array}} ight. \Rightarrow T = a + 2b + 3c = 0$

Câu 22: Thông hiểu

ho hàm số $y = \frac{{x - 9{x^4}}}{{{{\left( {3{x^2} - 3} ight)}^2}}}$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng, có 1 tiệm cận ngang là y = -3
C. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng, có 1 tiệm cận ngang y = -1
D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có tiệm cận ngang

Đồ thị hàm số $y = \frac{{x - 9{x^4}}}{{{{\left( {3{x^2} - 3} ight)}^2}}}$ có hai đường tiệm cận đứng là x = 1 và x = -1 và một tiệm cận ngang là y = -1

Câu 23: Vận dụng

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ $t$ là $f(t) = 4t^{3} - \frac{t^{4}}{2}$ (người). Nếu xem $f'(t)$ là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm $t$ . Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

Đáp án: Ngày thứ 4||tư

Đáp án là:

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ $t$ là $f(t) = 4t^{3} - \frac{t^{4}}{2}$ (người). Nếu xem $f'(t)$ là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm $t$ . Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

Đáp án: Ngày thứ 4||tư

Điều kiện $t \geq 0$ .

Ta có $g(t) = f'(t) = 12t^{2} - 2t^{3}$ , $g'(t) = 24t - 6t^{2}$ , $g'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = 4 \\ \end{matrix} ight.$ .

Bảng biến thiên:

Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ $4$ .

Đáp số: $4$ .

Câu 24: Thông hiểu

Một chất điểm chuyển động với quy luật $S(t) = 6t^{2} - t^{3}$ . Thời điểm $t$ (giây) tại vận tốc $v(m/s)$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

A.
$t = 12$
B.
$t = 8$
C.
$t = 2$
D.
$t = 6$

Vận tốc của chuyển động là:

$v(t) = S'(t) = 12t - 3t^{2} = 12 - 3(2 - t)^{2} \leq 12;\forall t$

Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng $12m/s$ khi $t = 2$ .

Câu 25: Vận dụng cao

Cho f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ.

Hàm số $y = f\left( {x - 1} ight) + {x^2} - 2x$ đồng biến trên khoảng nào trong các đáp án dưới đây?

A. (1; 2)
B. (-1; 0)
C. (0; 1)
D. (-2; -1)

Ta có: $y = f\left( {x - 1} ight) + {x^2} - 2x$

=> $y' = f'\left( {x - 1} ight) + 2x - 2$

Hàm số đồng biến khi $y' \geqslant 0 \Leftrightarrow f'\left( {x - 1} ight) + 2\left( {x - 1} ight) \geqslant 0\left( * ight)$

Đặt t = x – 1 thì (*) trở thành

$f'\left( t ight) + 2t \geqslant 0 \Leftrightarrow f'\left( t ight) \geqslant - 2t$

Quan sát đồ thị hàm số y = f’(t) và y = -2t trên cùng một hệ tọa độ như hình vẽ

Xác định khoảng đồng biến của hàm số

Khi đó ta thấy với $t \in \left( {0;1} ight)$ thì độ thì hàm số y = f’(t) luôn nằm trên đường thẳng y = -2t

=> $f'\left( t ight) + 2t > 0,\forall t \in \left( {1;2} ight)$

Do đó với $\forall x \in \left( {1;2} ight)$ thì hàm số $y = f\left( {x - 1} ight) + {x^2} - 2x$ đồng biến.

Câu 26: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ:

Tìm số nghiệm của phương trình $2f(x) - 3 = 0$ ?

A.
$2$
B.
$1$
C.
$3$
D.
$4$

Ta có: $2f(x) - 3 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{3}{2}$

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = \frac{3}{2}$

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm nên phương trình có ba nghiệm.

Câu 27: Vận dụng

Anh H dự định sử dụng hết 5,5m² kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép nối không đáng kể).

Gọi a và h lần lượt là kích thước chiều rộng và chiều cao (theo đơn vị mét).

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tổng diện tích 5 mặt của bể là $S = 2a^{2} + 6ah$ . Đúng||Sai

b) Ta có $h = \frac{5,5 + 2a^{2}}{6a}$ . Sai|| Đúng

c) Thể tích của bể là $V = \frac{5,5a}{3} + \frac{2a^{3}}{3}$ . Sai|| Đúng

d) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng $\frac{11\sqrt{33}}{54}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Anh H dự định sử dụng hết 5,5m² kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép nối không đáng kể).

Gọi a và h lần lượt là kích thước chiều rộng và chiều cao (theo đơn vị mét).

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tổng diện tích 5 mặt của bể là $S = 2a^{2} + 6ah$ . Đúng||Sai

b) Ta có $h = \frac{5,5 + 2a^{2}}{6a}$ . Sai|| Đúng

c) Thể tích của bể là $V = \frac{5,5a}{3} + \frac{2a^{3}}{3}$ . Sai|| Đúng

d) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng $\frac{11\sqrt{33}}{54}$ . Đúng||Sai

a) Đúng. Kích thước đáy của bể lần lượt là 2a, a; chiều cao bể là h (a, h > 0). Tổng diện tích 5 mặt của bể là:

$S = 2a^{2} + 2ah + 4ah = 2a^{2} + 6ah$

b) Sai. Theo đề bài ta có: $2a^{2} + 6ah = 5,5 \Rightarrow h = \frac{5,5 - 2a^{2}}{6a};\left( 0 < a < \frac{5\sqrt{5}}{2} ight)$ .

c) Sai. Gọi V là thể tích của bể cá, ta có:

$V = 2a^{2}h = \frac{2a^{2}\left( 5,5 - 2a^{2} ight)}{6a} = \frac{5,5a}{3} - \frac{2a^{3}}{3}$

d) Đúng. Ta có: $V' = \frac{5,5}{3} - \frac{6a^{2}}{3}$

$V' = 0 \Leftrightarrow \dfrac{5,5}{3}- \dfrac{6a^{2}}{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{\sqrt{33}}{6}(tm) \\a = - \dfrac{\sqrt{33}}{6}(ktm) \\\end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên:

Vậy dung tích lớn nhất của bể cá bằng $\frac{11\sqrt{33}}{54}$ .

Câu 28: Thông hiểu

Số tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1}$ là:

A.
$1$
B.
$3$
C.
$2$
D.
$4$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{xightarrow + \infty}\dfrac{\left( 2x^{2} - x ight)\sqrt{1 +\dfrac{1}{x^{2}}}}{x^{2} - 1}$ $= \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{\left(2 - \dfrac{1}{x} ight)\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 - \dfrac{1}{x^{2}}}= 2$

$\lim_{x ightarrow - \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\left( - 2x^{2} + x ight)\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\left( - 2 + \frac{1}{x} ight)\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}} = - 2$

Suy ra $y = \pm 2$ là tiệm cận ngang.

$\lim_{x ightarrow 1^{\pm}}y = \lim_{x ightarrow 1^{\pm}}\frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} = \pm \infty$ suy ra $x = 1$ là tiệm cận đứng.

$\lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}y = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}\frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} = \pm \infty$ suy ra $x = - 1$ là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.

Câu 29: Vận dụng cao

Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100m.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100m.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 30: Vận dụng cao

Cho hàm số $f(x) = x^{3} - (2m - 1)x^{2} + (2 - m)x + 2$ với $m$ là tham số. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $y = f\left( |x| ight)$ có $5$ cực trị?

A.
$\frac{5}{4} \leq m \leq 2$
B.
$- \frac{5}{4} < m < 2$
C.
$- 2 < m < \frac{5}{4}$
D.
$\frac{5}{4} < m < 2$

Nhận thấy rằng nếu $x_{0}$ là điểm cực trị dương của hàm số $y = f(x)$ thì $x_{0}; - x_{0}$ là điểm cực trị của hàm số $y = f\left( |x| ight)$

Lại thấy vì đồ thị hàm số $y = f\left( |x| ight)$ nhận trục tung làm trục đối xứng mà $f(x)$ là hàm đa thức bậc ba nên $x = 0$ luôn là một điểm cực trị của hàm số $y = f\left( |x| ight)$ .

Khi đó để hàm số $y = f\left( |x| ight)$ có 5 điểm cực trị thì hàm số $f(x) = x^{3} - (2m - 1)x^{2} + (2 - m)x + 2$ có hai cực trị dương phân biệt.

Suy ra phương trình $f'(x) = 3x^{2} - 2(2m - 1)x + 2 - m = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt:

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( {2m - 1} ight)^2} - 3\left( {2 - m} ight) > 0 \hfill \\ \frac{{2m - 1}}{3} > 0 \hfill \\ 2 - m > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4{m^2} - m - 5 > 0 \hfill \\ m > \frac{1}{2} \hfill \\ m < 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \frac{5}{4} < m < 2$

Vậy đáp án cần tìm là $\frac{5}{4} < m < 2$ .

Câu 31: Thông hiểu

Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}$ sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ điểm M đến trục hoành:

A. M(0; -1), M(3; 2)
B. M(2; 1), M(4; 3)
C. M(2; 1), M(3; 2)
D. M(0; -1), M(4; 3)

Do M thuộc đồ thị hàm số nên tọa độ điểm $M\left( {{x_0};\frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}} ight);{x_0} e 1$

Phương trình tiệm cận đứng là x – 1 = 0 (d’)

Giải phương trình d(M,d’) = d(M, Ox)

=> $\left| {{x_0} - 1} ight| = \left| {\frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}} ight| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_0} = 0} \\ {{x_0} = 4} \end{array}} ight.$

Câu 32: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như sau:

Hỏi số nghiệm của phương trình $2f(x) - 1 = 0$ bằng bao nhiêu?

A.
$4$
B.
$2$
C.
$0$
D.
$3$

Ta có: $2f(x) - 1 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{1}{2}$

Lại có đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ nằm phía trên gốc tọa độ; song song với trục Ox và cắt đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại 4 điểm nên phương trình $2f(x) - 1 = 0$ có hai nghiệm.

Câu 33: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - 2mx^{2} + m^{2}x + 1$ với $m$ là tham số. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x = 1$ ?

A.
$\left\{ 1 ight\}$
B.
$\left\{ - 1; - 3 ight\}$
C.
$\left\{ 3 ight\}$
D.
$\left\{ 1;3 ight\}$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} y' = 3x^{2} - 4mx + m^{2} \\ y'' = 6x - 4m \\ \end{matrix} ight.$ . Để hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ thì

$\left\{ \begin{gathered} y'\left( 1 ight) = 0 \hfill \\ y''\left( 1 ight) > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - 4m + 3 = 0 \hfill \\ 6 - 4m > 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} m = 1 \hfill \\ m = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ m < \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow m = 1$

vậy tập hợp tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\left\{ 1 ight\}$ .

Câu 34: Nhận biết

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3x + 4$ trên đoạn $\lbrack 0;2brack$ là:

A.
$3$
B.
$4$
C.
$2$
D.
$6$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} f(0) = 4 \\ f(1) = 2 \\ f(2) = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack 0;2brack}y = 2$

Câu 35: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ 1 ight\}$ và có bảng biến thiên như sau:

Số giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $m - f(x) = 0$ có ba nghiệm phân biệt là:

A.
$3$
B.
$1$
C.
$4$
D.
$2$

Phương trình $m - f(x) = 0$ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $(C):y = f(x)$ và đường thẳng $(d):y = m$

Để phương trình $m - f(x) = 0$ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $(C);(d)$ có ba giao điểm $\Leftrightarrow 1 < m < 4$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 2;3 ight\}$

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 36: Nhận biết

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} + 3x^{2}$ trên $\lbrack - 5; - 1brack$ ?

A.
$0$
B.
$4$
C.
$2$
D.
$- 50$

Ta có: $y' = 3x^{2} + 6x$

$y' = 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó: $y( - 5) = - 50;y( - 2) = 4;y( - 1) = 2$

Vậy $\min_{\lbrack - 5; - 1brack}y = f( - 5) = - 50$ .

Câu 37: Nhận biết

Đường thẳng $y = - 2$ là đường tiệm cận của đồ thị hàm số nào sau đây?

A.
$y = \frac{2}{3x + 2}$
B.
$y = \frac{2x^{3} - 3}{x + 2}$
C.
$y = \frac{2x^{2} + x - 1}{(x + 1)(3 - x)}$
D.
$y = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{2x - 1}$

$y = \frac{2}{3x + 2}$ có $\lim_{x ightarrow \infty}y = 0$ suy ra $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. (Loại)

$y = \frac{2x^{3} - 3}{x + 2}$ có $\lim_{x ightarrow \infty}y = \infty$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang (loại)

$y = \frac{2x^{2} + x - 1}{(x + 1)(3 - x)} = \frac{2x^{2} + x - 1}{- x^{2} + 2x + 3}$ có $\lim_{x ightarrow \infty}y = - 2$ suy ra $y = - 2$ là tiệm cận ngang (Thỏa mãn).

Vậy đường thẳng $y = - 2$ là đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2x^{2} + x - 1}{(x + 1)(3 - x)}$ .

Câu 38: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, liên tục trên $\lbrack - 1;4brack$ và có đồ thị như hình vẽ

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên $\lbrack - 1;4brack$ là

A.
$- 1$ .
B.
$3$ .
C.
$1$ .
D.
$- 2$ .

Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại x = 1.

Câu 39: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)^{2020}(x - 2)^{2021}(x - 3)^{2022};\forall x\mathbb{\in R}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A.
$3$
B.
$2$
C.
$4$
D.
$1$

Ta có: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng xét dấu:

Vậy hàm số đã cho có một điểm cực trị.

Câu 40: Thông hiểu

Đồ thị hàm số $y = f(x)$ được biểu diễn trong hình vẽ như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\left| f(x) ight| = m$ có đúng hai nghiệm phân biệt?

A.
$\left\lbrack \begin{matrix} m > 5 \\ 0 < m < 1 \\ \end{matrix} ight.$
B.
$m < 1$
C.
$\left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight.$
D.
$1 < m < 5$

Số nghiệm của phương trình $\left| f(x) ight| = m$ chính là giao điểm của hai đồ thị $\left\{ \begin{matrix} y = \left| f(x) ight| \\ y = m \\ \end{matrix} ight.$

Minh họa trực quan:

Vậy để hàm số $\left| f(x) ight| = m$ có đúng hai nghiệm thì $\left\lbrack \begin{matrix} m > 5 \\ 0 < m < 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!