Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{mx + n}{ax^{2} + bx + c} (với m,n,a,b,c\mathbb{\in R}). Hỏi đồ thị hàm số có tối đa bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

    Ta có:

    Phương trình ax^{2} + bx + c = 0 có tối đa 2 nghiệm

    Nên đồ thị hàm số có nhiều nhất hai đường tiệm cận đứng.

    \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{mx + n}}{{a{x^2} + bx + c}} = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{mx + n}}{{a{x^2} + bx + c}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. nên y = 0 là đường tiệm cận ngang.

    Vậy đồ thị hàm số có nhiều nhất 3 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ:

    Hàm số y = f\left( 1 - x^{2} ight) nghịch biến trên khoảng:

    Ta có: y' = - 2xf'\left( 1 - x^{2} ight)

    y' = 0 \Leftrightarrow - 2xf'\left( 1 - x^{2} ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2x = 0 \\ f'\left( 1 - x^{2} ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ 1 - x^{2} = - 3 \\ 1 - x^{2} = - 2 \\ 1 - x^{2} = 0 \\ 1 - x^{2} = 1 \\ 1 - x^{2} = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 2 \\ x = \pm \sqrt{3} \\ x = \pm 1 \\ \end{matrix} ight.. Khi đó ta có bảng biến thiên:

    Hàm số y = f\left( 1 - x^{2} ight) nghịch biến trên khoảng \left( \sqrt{3};2 ight).

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tìm hàm số tương ứng với đồ thị được cho trong hình vẽ sau?

    Dựa vào đồ thị đã cho trong hình vẽ ta thấy đường tiệm cận ngang của đồ thị là y = - 1 và đường tiệm cận đứng của đồ thị là x = - 1.

    Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;1) nên hàm số cần tìm là y = \frac{- x + 1}{x + 1}.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = x\left( x^{2} - x ight)(x - 2). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

    Ta có: f'(x) = x\left( x^{2} - x ight)(x - 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vì x = 1;x = 2 là nghiệm bội lẻ và x = 0 là nghiệm bội chẵn nên hàm số có hai điểm cực trị.

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x^{2}(x - 9)(x - 4)^{2}. Khi đó hàm số y = f\left( x^{2} ight) nghịch biến trên khoảng nào?

    Ta có:

    y' = \left( f\left( x^{2} ight) ight)' = 2x.f'\left( x^{2} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{4}\left( x^{2} - 9 ight)\left( x^{2} - 4 ight)^{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 3 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên:

    Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên ( - \infty; - 3) và (0;3).

  • Câu 6: Vận dụng

    Hình vẽ nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = - \left( {a - x} ight){\left( {b - x} ight)^2} biết a > b > 0

    Xét hàm số y = f\left( x ight) = - \left( {a - x} ight){\left( {b - x} ight)^2} = \left( {x - a} ight){\left( {x - b} ight)^2} ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = + \infty } \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x ight) = - \infty } \end{array}} ight. => Đồ thị hàm số có dạng chữ N xuôi

    Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ y\left( 0 ight) = - a{b^2} mà a > 0 => y\left( 0 ight) < 0

    Mặt khác f'\left( x ight) = {\left( {x - b} ight)^2} + 2\left( {x - a} ight)\left( {a - b} ight) = \left( {x - b} ight)\left( {3x - 2a - b} ight)

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( b ight) = 0} \\ {f'\left( b ight) = 0} \end{array}} ight.

    => Đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với Ox tại điểm M\left( {b;0} ight)

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{x + m}{x + 1} (với m là tham số thực) thỏa mãn \max_{\lbrack 1;2brack}y + \min_{\lbrack 1;2brack}y = \frac{16}{3}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: y' = \frac{1 - m}{(x + 1)^{2}}

    TH1: m = 1 \Rightarrow y = 1 loại

    TH2: m > 1 khi đó \max_{\lbrack 1;2brack}y = \frac{1 + m}{2};\min_{\lbrack 1;2brack}y = \frac{2 + m}{3}

    \max_{\lbrack 1;2brack}y + \min_{\lbrack 1;2brack}y = \frac{1 + m}{2} + \frac{2 + m}{3} = \frac{16}{3} \Leftrightarrow m = 5

    Suy ra đáp án cần tìm là m > 4.

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) = \left| x^{3} -3x^{2} + m ight| biết m \in\lbrack - 4;4brack. Có thể có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng ba điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \left| x^{3} -3x^{2} + m ight| biết m \in\lbrack - 4;4brack. Có thể có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng ba điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Nhận biết

    Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ cho sau đây?

    Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số a < 0 và có ba điểm cực trị nên ab < 0 nên chọn y = - x^{4} + 2x^{2} + 1.

  • Câu 10: Nhận biết

    Hàm số y = f(x) = x^{3} - 7x^{2} + 11x - 2 trên đoạn \lbrack 0;2brack có giá trị nhỏ nhất bằng:

    Ta có: y' = 3x^{2} - 14x + 11

    \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = \frac{11}{3} \\ \end{matrix} ight.. Khi đó f(0) = - 2;f(1) = 3;f(2) = 0 suy ra \min_{\lbrack 0;2brack}f(x) = - 2.

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} là f'(x) = (x - 1)(x + 3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \lbrack -10;2021brack để hàm số y =f\left( x^{2} + 3x - m ight) đồng biến trên khoảng (0;2)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} là f'(x) = (x - 1)(x + 3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \lbrack -10;2021brack để hàm số y =f\left( x^{2} + 3x - m ight) đồng biến trên khoảng (0;2)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 12: Vận dụng

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

    Tìm số đường tiệm cận của hàm số

    Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} là:

    Phương trình f\left( x ight) = 2018 có 2 nghiệm phân biệt

    => Đồ thị hàm số y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} có 2 đường tiệm cận đứng.

    Khi x \to - \infty thì y \to 5 \Rightarrow y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} \to \frac{2}{{ - 2013}}

    Khi x \to + \infty thì y \to 5 \Rightarrow y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} \to \frac{2}{{ - 2013}}

    Vậy đồ thị hàm số y = \frac{2}{{f\left( x ight) - 2018}} có 1 tiệm cận ngang.

     

  • Câu 13: Nhận biết

    Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}?

    Xét phương trình x + 1 = 0 => x = -1

    Và \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x ight) = + \infty => x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Từ đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( - 1;0) và (1; + \infty).

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hàm số y = {x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 1. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \left( { - 25;\frac{{11}}{{10}}} ight). Tìm M.

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = 3{x^2} - 3x \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên

    Tìm GTLN của hàm số

    Từ bảng biến thiên ta có M = 1

  • Câu 16: Thông hiểu

    Hàm số y = x^{3} - 2mx^{2} + m^{2}x - 2 đạt cực tiểu tại x = 1 khi:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} y' = 3x^{2} - 4mx + m^{2} \\ y'' = 6x - 4m \\ \end{matrix} ight..

    Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 suy ra y'(1) = 3 - 4m + m^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight.

    y''(1) = 6 - 4m

    Với m = 1 \Rightarrow y''(1) = 2 > 0(tm)

    Với m = 3 \Rightarrow y''(1) = - 6 < 0(ktm)

    Vậy với m = 1 thì hàm số y = x^{3} - 2mx^{2} + m^{2}x - 2 đạt cực tiểu tại x = 1.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{x - 3}{\sqrt{9 - x^{2}}} là:

    Tập xác định D = ( - 3;3) suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

    \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x - 3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x - 3}{\sqrt{(3 - x)(3 + x)}} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{- \sqrt{3 - x}}{\sqrt{3 + x}} = 0

    Suy ra x = 3 không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow - 3^{+}}\frac{x - 3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = \lim_{x ightarrow - 3^{+}}\frac{x - 3}{\sqrt{(3 - x)(3 + x)}} = \lim_{x ightarrow - 3^{+}}\frac{- \sqrt{3 - x}}{\sqrt{3 + x}} = - \infty

    Suy ra x = - 3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = \frac{x - m^{2}}{x + 2} trên đoạn \lbrack 1;5brack bằng - 4. Tính tổng các phần tử của tập S?

    Ta có: y' = \frac{2 + m^{2}}{(x + 2)^{2}} > 0;\forall x eq - 2. Suy ra hàm số y = \frac{x - m^{2}}{x + 2} đồng biến trên đoạn \lbrack 1;5brack do đó \max_{\lbrack 1;5brack}y = y(5) = \frac{5 - m^{2}}{7}

    Theo giả thiết \frac{5 - m^{2}}{7} = - 4 \Leftrightarrow m^{2} = 33 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{33}

    Vậy S = \left\{ \sqrt{33}; - \sqrt{33} ight\} nên tổng các phần tử của tập hợp S bằng 0.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Hỏi đồ thị hàm số y = \frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1} - x có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

    Tập xác định D = ( - \infty;2)\backslash\left\{ 1 ight\}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\left( \frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1} - x ight) = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x\left( 1 + \sqrt{\dfrac{2}{x^{2}} - \dfrac{1}{x}}ight)}{x\left( 1 - \dfrac{1}{x} ight)} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{1 + \sqrt{\dfrac{2}{x^{2}} - \dfrac{1}{x}}}{1 - \dfrac{1}{x}}= 1

    Suy ra y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow 1}\left( \frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1} - x ight) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - \sqrt{2 - x}}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{2} - 2 + x}{(x - 1)\left( x + \sqrt{2 - x} ight)} = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x + 2}{x + \sqrt{2 - x}} = \frac{3}{2}

    Suy ra hàm số không có tiệm cận đứng

    Vậy hàm số có 1 đường tiệm cận.

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh là 30\ cm. Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là x\ cm, sau đó gập tấm nhôm lại để tạo thành một chiếc hộp không nắp. Tìm x để thể tích chiếc hộp là lớn nhất.

    Đáp án: 5

    Đáp án là:

    Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh là 30\ cm. Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là x\ cm, sau đó gập tấm nhôm lại để tạo thành một chiếc hộp không nắp. Tìm x để thể tích chiếc hộp là lớn nhất.

    Đáp án: 5

    Chiều cao của chiếc hộp khi gập tấm nhôm là x\ cm.

    Kích thước đáy hai đáy của chiếc hộp là (30 - 2x)\ cm.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ 30 - 2x > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ x < 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < x < 15.

    Thể tích chiếc hộp là V(x) = x(30 - 2x)^{2} = 4x^{3} - 120x^{2} + 900x.

    V'(x) = 12x^{2} - 240x + 900.

    V'(x) = 0 \Leftrightarrow 12x^{2} - 240x + 900 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 5 \\ x = 15 \\ \end{matrix} ight.

    Bài toán trở thành, tìm x (0 < x < 15) sao cho V(x) là lớn nhất.

    Vậy cần cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là 5\ cmđể chiếc hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hàm số bậc ba có bảng biến thiên như sau:

    Chọn đáp án đúng

    Chọn khẳng định đúng?

    Quan sát bảng biến thiên ta suy ra a < 0

    Ta có: có hai nghiệm dương nên \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - 2b}}{{3a}} > 0} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{{3a}} > 0} \end{array}} ight. \Rightarrow b > 0;c < 0

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau đây:

    Tính số nghiệm của phương trình

    Số nghiệm của phương trình 2f\left( x ight) - 5 = 0 là:

    Ta có: 2f\left( x ight) - 5 = 0 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{5}{2} có hai nghiệm

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{4} - (3m + 2)x^{2} + 3m có đồ thị \left( C_{m} ight). Xác định tất cả các giá trị thực của tham số m để \left( C_{m} ight) cắt đường thẳng y = - 1 tại bốn điểm phân biệt?

    Phương trình hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

    x^{4} - (3m + 2)x^{2} + 3m = - 1

    \Leftrightarrow x^{4} - (3m + 2)x^{2} + 3m + 1 = 0

    \Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)^{2} - 3m\left( x^{2} - 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} - 3m - 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} - 3m - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ x^{2} = 3m + 1 \\ \end{matrix} ight.

    Đồ thị \left( C_{m} ight) cắt y = - 1 tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi x^{2} = 3m + 1 có hai nghiệm phân biệt khác \pm 1

    Khi đó ta có: \left\{ \begin{matrix}3m + 1 > 0 \\3m + 1 eq 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m > - \dfrac{1}{3} \\m eq 0 \\\end{matrix} ight..

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = f\left( x ight) = \frac{{2x + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} có hai đường tiệm cận đứng và hai đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2.

    Tập xác định D = \left( { - \infty ; - 1} ight) \cup \left( {0; + \infty } ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{m - \sqrt {{1^2} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \dfrac{1}{x}}}{{ - \sqrt {{1^2} + \dfrac{1}{x}} }} = 1 - m \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{m + \sqrt {{1^2} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \frac{1}{x}}}{{\sqrt {{1^2} + \dfrac{1}{x}} }} = m + 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => Để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang thì m + 1 e 1 - m \Leftrightarrow m e 0

    \begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{mx + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{mx + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + \infty {\text{ khi m < 1}}} \\ { - \infty {\text{ khi m > 1}}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy khi m e 0;m e 1 thì đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = m + 1; y = - m và 2 đường tiệm cận đứng là x = 0 và x = -1

    Để hai đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2 thì 1.2\left| m ight| = 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 1\left( L ight)} \\ {m = - 1\left( {tm} ight)} \end{array}} ight.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Xác định số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x + 1}?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}

    Vì \lim_{x ightarrow - 1^{+}}f(x) = + \infty nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = - 1 làm đường tiệm cận đứng.

    Vì \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) =\lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x + 1} = \lim_{xightarrow - \infty}\dfrac{- \sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 +\dfrac{1}{x}} = - 1 nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = - 1 làm đường tiệm cận ngang.

    Vì \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) =\lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x + 1} = \lim_{xightarrow + \infty}\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 + \dfrac{1}{x}}= 1 nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 1 làm đường tiệm cận ngang.

    vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận bằng 3.

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu f'(x) như sau:

    Kết luận nào sau đây đúng?

    Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy: hàm số đạt cực trị tại x = 1;x = 3;x = 4.

    Tại x = 1;x = 4 ta thấy f'(x) đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1;x = 4.

    Tại x = 3 ta thấy f'(x) đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại x = 3.

  • Câu 27: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = x^{4} - 2mx^{2} +2. Giả sử S là tổng bình phương các giá trị của tham số m để hàm số có ba cực trị và đường tròn đi qua ba cực trị đó có bán kính bằng 4. Tính giá trị S? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = x^{4} - 2mx^{2} +2. Giả sử S là tổng bình phương các giá trị của tham số m để hàm số có ba cực trị và đường tròn đi qua ba cực trị đó có bán kính bằng 4. Tính giá trị S? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 28: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = \frac{mx + 4}{x + m} nghịch biến trên khoảng ( - \infty;1)?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - m ight\}

    Ta có: y' = \frac{m^{2} - 4}{(x + m)^{2}}

    Theo yêu cầu bài toán: \Leftrightarrow y' < 0;\forall x \in ( - \infty;1)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - m otin ( - \infty;1) \\ m^{2} - 4 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \leq - 1 \\ - 2 < m < 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 2 < m \leq - 1

    Vậy đáp án cần tìm là m \in ( - 2; - 1brack.

  • Câu 29: Nhận biết

    Số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) bằng số nghiệm phân biệt của phương trình nào sau đây?

    Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) hay f(x) - g(x) = 0.

  • Câu 30: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên \lbrack - 1;4brack và có đồ thị như hình vẽ

    Giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên \lbrack - 1;4brack là

    Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại x = 1.

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Cho hai số thực x, y thỏa mãn x \geqslant 0;y \geqslant 0 và x + y = 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} lần lượt là:

    Ta có: 

    P = \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} = \frac{{x\left( {x + 1} ight) + y\left( {y + 1} ight)}}{{\left( {x + 1} ight)\left( {y + 1} ight)}} = \frac{{{{\left( {x + y} ight)}^2} - 2xy + 1}}{{xy + x + y + 1}} = \frac{{2 - 2xy}}{{2 + xy}}

    Đặt t = xy ta được P = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}}

    Vì x \geqslant 0;y \geqslant 0 \Rightarrow t \geqslant 0

    Mặt khác 1 = x + y \geqslant 2\sqrt {xy} \Leftrightarrow xy \leqslant \frac{1}{4} \Rightarrow t \leqslant \frac{1}{4}

    Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số g\left( t ight) = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}} trên \left[ {0;\frac{1}{4}} ight]

    Xét hàm số g\left( t ight) = \frac{{2 - 2t}}{{2 + t}} xác định và liên tục trên \left[ {0;\frac{1}{4}} ight]

    Ta có: g'\left( t ight) = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {2 + t} ight)}^2}}} < 0,\forall t \in \left( {0;\frac{1}{4}} ight)

    => Hàm số g(t) nghịch biến trên đoạn \left[ {0;\frac{1}{4}} ight]

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\frac{1}{4}} ight]} g\left( t ight) = g\left( {\dfrac{1}{4}} ight) = \dfrac{2}{3}} \\ {\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{1}{4}} ight]} g\left( t ight) = g\left( 0 ight) = 1} \end{array}} ight.

  • Câu 32: Nhận biết

    Hàm số y = 2{x^4} - 4 đồng biến trên khoảng

    Ta có y’ = 8x => y’ = 0 => x = 0

    => y’ > 0 => x > 0

    => y’ < 0 => x < 0

    Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \left( {0; + \infty } ight)

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - (m + 2)x^{2} + \left( m^{2} + 4m + 3 ight)x + 6m + 9 với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (C) có cực đại tại x_{1} và cực tiểu tại x_{2} sao cho {x_{1}}^{2} - 2x_{2} = 0?

    Ta có: y' = x^{2} - 2(m + 2)x + m^{2} + 4m + 3

    Hàm số có cực đại tại x_{1} và cực tiểu tại x_{2} khi và chỉ khi

    \Delta' > 0 \Leftrightarrow (m + 2)^{2} - \left( m^{2} + 4m + 3 ight) > 0 \Leftrightarrow 1 > 0\forall m\mathbb{\in R}

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = m + 3 \\ x = m + 1 \\ \end{matrix} ight.

    Theo bài ra ta có:

    {x_{1}}^{2} - 2x_{2} = 0 \Leftrightarrow (m + 1)^{2} - 2(m + 3) = 0

    \Leftrightarrow m^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - \sqrt{5} \\ m = \sqrt{5} \\ \end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là \left\lbrack \begin{matrix} m = \sqrt{5} \\ m = - \sqrt{5} \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 34: Thông hiểu

    Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y= \frac{x - 1}{x + m - 2} nghịch biến trên khoảng (6; + \infty)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y= \frac{x - 1}{x + m - 2} nghịch biến trên khoảng (6; + \infty)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 35: Nhận biết

    Hàm số nào dưới dây nghịch biến trên khoảng ( - \infty; + \infty)?

    Xét hàm số y = - 2x + 1 có y' = - 2 < 0;\forall x\mathbb{\in R} nên hàm số y = - 2x + 1 nghịch biến trên khoảng ( - \infty; + \infty).

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Số TCĐ và TCN của đồ thị hàm số là

    Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:

    Dựa vào bảng biến thiên ta có:

    \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0 => y = 0 là một tiệm cận ngang

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 5 => y = 5 là một tiệm cận ngang

    \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty => x = 1 là một tiệm cận đứng

    Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là 3 đường

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên của hàm số y = f^{'}(x) như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in ( - 10;10) để hàm số y = f(3x - 1) + x^{3} - 3mx đồng biến trên khoảng ( - 2;1)?

    Đáp án: 6

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên của hàm số y = f^{'}(x) như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in ( - 10;10) để hàm số y = f(3x - 1) + x^{3} - 3mx đồng biến trên khoảng ( - 2;1)?

    Đáp án: 6

    Để hàm số y = f(3x - 1) + x^{3} - 3mx đồng biến trên khoảng ( - 2;1)

    \Leftrightarrow y' \geq 0,\forall x \in ( - 2;1)

    \Leftrightarrow 3f'(3x - 1) + 3x^{2} - 3m \geq 0,\forall x \in ( - 2;1)

    \Leftrightarrow m \leq f^{'}(3x - 1) + x^{2},\forall x \in ( - 2;1)(*)

    Đặt k(x) = f^{'}(3x - 1),h(x) = x^{2} và g(x) = f^{'}(3x - 1) + x^{2} = k(x) + h(x).

    Ta có: \min_{( - 2;1)}k(x) = k(0) = - 4.

    Do đó, ta có: \min_{( - 2;1)}f^{'}(3x - 1) = f^{'}( - 1) = - 4 khi 3x - 1 = - 1 \Leftrightarrow x = 0.

    \Rightarrow \min_{( - 2;1)}k(x) = k(0) = - 4.

    Do đó, \min_{( - 2;1)}g(x) = g(0) = k(0) + h(0) = 0 - 4 = - 4.

    Từ (*) ta có m \leq f^{'}(3x - 1) + x^{2},\forall x \in ( - 2;1)

    \Leftrightarrow m \leq \min_{( - 2;1)}g(x) \Leftrightarrow m \leq - 4.

    Mà m \in ( - 10;10) \Rightarrow m \in \{- 9;\ldots; - 4\}.

    Vậy có tất cả 6 số nguyên thỏa mãn.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x^{3} - 3mx + 2 có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng bằng 2?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 3x^{2} - 3m. Để đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị thì y' = 0 có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow m > 0

    Khi đó y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \sqrt{m} \Rightarrow y = - 2m\sqrt{m} + 2 \\ m = - \sqrt{m} \Rightarrow y = 2m\sqrt{m} + 2 \\ \end{matrix} ight.

    Giả sử hai điểm cực trị là A\left( \sqrt{m}; - 2m\sqrt{m} + 2 ight),B\left( - \sqrt{m};2m\sqrt{m} + 2 ight)

    Ta có: AB = 2 \Leftrightarrow AB^{2} = 4

    \Leftrightarrow \left( - 2\sqrt{m} ight)^{2} + \left( 4m\sqrt{m} ight)^{2} = 4

    \Leftrightarrow 4m + 16m^{3} = 4 \Leftrightarrow 4m^{3} + m - 1 = 0

    \Leftrightarrow (2m - 1)\left( 2m^{2} + m + 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2m - 1 = 0 \\ 2m^{2} + m + 1 = 0(VN) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}(tm)

    Vậy giá trị cần tìm là m = \frac{1}{2}.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y = \frac{ax + b}{cx + d};\left( a;b;c;d\mathbb{\in R} ight). Chọn mệnh đề đúng?

    Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có tập xác định là D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\} hàm số luôn nghịch biến trên khoảng ( - \infty;1),(1; + \infty) nên y' < 0;\forall x eq 1.

  • Câu 40: Nhận biết

    Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x^{3} - 3x + 3 trên đoạn \left\lbrack - 3;\frac{3}{2} ightbrack. Chọn kết luận đúng?

    Ta có: f'(x) = 3x^{2} - 3 \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Mà f( - 3) = - 15;f( - 1) = 5;f(1) = 1;f\left( \frac{3}{2} ight) = \frac{15}{8}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M = y( - 1) = 5 \\ m = y( - 3) = - 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M.m = - 75.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 10 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập