Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = 1 + C_{10}^1x + C_{10}^2{x^2} + ... + C_{10}^{10}{x^{10}}. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

    Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = 1 + C_{10}^1x + C_{10}^2{x^2} + ... + C_{10}^{10}{x^{10}} = {\left( {1 + x} ight)^{10}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 10{\left( {1 + x} ight)^9} \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Xác định số điểm cực trị của hàm số

    Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị x = -1

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x + m}{x + 1} thỏa mãn \max_{\lbrack 1;2brack}y + \min_{\lbrack 1;2brack}y = \frac{9}{2}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}

    Hàm số đơn điệu trên đoạn \lbrack 1;2brack nên \max_{\lbrack 1;2brack}y + \min_{\lbrack 1;2brack}y = f(1) + f(2)

    \Leftrightarrow \frac{1 + m}{2} + \frac{2 + m}{3} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow m = 4

    Vậy đáp án cần tìm là 2 < m \leq 4.

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hàm số y = x^{3} + x^{2} - 4 có đồ thị (C). Hỏi có bao nhiêu cặp điểm A;B \in (C) sao cho ba điểm O;A;B thẳng hàng và OA - 2OB = 0 với O là gốc tọa độ?

    Gọi d là đường thẳng đi qua ba điểm O, A, B khi đó d có phương trình y = k.x

    Khi đó hoành độ của O, A, B là nghiệm của phương trình x^{3} + x^{2} - 4 = kx

    Giả sử A\left( x_{1};kx_{1} ight),B\left( x_{2};kx_{2} ight) khi đó ta có: \left\{ \begin{matrix} {x_{1}}^{3} + {x_{1}}^{2} - 4 = kx_{1} \\ {x_{2}}^{3} + {x_{2}}^{2} - 4 = kx_{2} \\ \end{matrix} ight.

    Do OA - 2OB = 0 nên \overrightarrow{OA} = \pm 2\overrightarrow{OB} \Rightarrow x_{1} = \pm 2kx_{2}

    TH1: x_{1} = 2kx_{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 8{x_{2}}^{3} + 4{x_{2}}^{2} - 4 = 2kx_{2} \\ {x_{2}}^{3} + {x_{2}}^{2} - 4 = kx_{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow 6{x_{2}}^{3} + 2{x_{2}}^{2} + 4 = 0 \Rightarrow x_{2} = - 1

    Khi đó A( - 2; - 8),B( - 1; - 4).

    TH2: x_{1} = - 2kx_{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} - 8{x_{2}}^{3} + 4{x_{2}}^{2} - 4 = - 2kx_{2} \\ {x_{2}}^{3} + {x_{2}}^{2} - 4 = kx_{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow - 6{x_{2}}^{3} + 6{x_{2}}^{2} - 12 = 0 \Rightarrow x_{2} = - 1

    Khi đó A(2;8),B( - 1; - 4).

    Vậy có 2 cặp A; B thỏa mãn.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Xác định giá trị lớn nhất của hàm số y = \sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - x} - 2\sqrt { - {x^2} + 4x - 3}

    Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1 \geqslant 0} \\ {3 - x \geqslant 0} \end{array} \Rightarrow x \in \left[ {1;3} ight]} ight.

    Đặt \sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - x} = t ta có:

    \begin{matrix} t' = \dfrac{1}{{2\sqrt {x - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {3 - x} }} \hfill \\ t' = 0 \Rightarrow x = 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có: t\left( 1 ight) = t\left( 3 ight) = \sqrt 2 \to \sqrt 2 \leqslant t \leqslant 2

    Khi đó:

    \begin{matrix} {t^2} = 2 + 2\sqrt {\left( {x - 1} ight)\left( {3 - x} ight)} \hfill \\ = 2 + 2\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} \hfill \\ \Leftrightarrow 2\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} = {t^2} - 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Do đó: y = f\left( t ight) = t - \left( {{t^2} - 2} ight) = - {t^2} + t + 2

    Xét hàm số f\left( t ight) = t - \left( {{t^2} - 2} ight);\forall t \in \left[ {\sqrt 2 ;2} ight]

    Ta xác được \mathop {\max f\left( t ight) = \sqrt 2 }\limits_{\left[ {\sqrt 2 ;2} ight]} \Rightarrow \mathop {\max y = \sqrt 2 }\limits_{\left[ {\sqrt 2 ;2} ight]}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Một loại thuốc được dùng cho bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được cho bởi công thức c(t) = \frac{t}{t^{2} + 1}(mg/L). Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

    Ta có: c'(t) = \frac{- t^{2} + 1}{\left( t^{2} + 1 ight)^{2}};\forall t \in (0; + \infty). Cho c'(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{- t^{2} + 1}{\left( t^{2} + 1 ight)^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên:

    Vậy sau khi tiêm 1 giờ, nồng độ thuốc trong máu bệnh nhân cao nhất.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{x - 3}(x + 4)}{\left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)\sqrt{x^{2} - 16}}?

    Tập xác định D = (4; + \infty)

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow +\infty}\frac{\sqrt{x - 3}(x + 4)}{\left( 2x^{2} - 5x + 2ight)\sqrt{x^{2} - 16}}= \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{\sqrt{x -3}(x + 4)}{\left( 2x^{2} - 5x + 2 ight).x\sqrt{1 - \dfrac{16}{x^{2}}}}= 0

    Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 0

    Mặt khác \lim_{x ightarrow 4^{+}}\frac{\sqrt{x - 3}(x + 4)}{\left( 2x^{2} - 5x + 2 ight)\sqrt{x^{2} - 16}} = + \infty suy ra x = 4 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = x^{3} - 3x + 2 là hình nào trong 4 hình dưới đây?

    Ta có: y = x^{3} - 3x + 2 \Rightarrow y' = 3x^{2} - 3

    Khi đó \mathbf{y' =}\mathbf{0}\mathbf{\Leftrightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} \mathbf{x = -}\mathbf{1} \\ \mathbf{x =}\mathbf{1} \\ \end{matrix} ight.\ \mathbf{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} \mathbf{y}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1)}\mathbf{=}\mathbf{4} \\ \mathbf{y}\mathbf{(1)}\mathbf{=}\mathbf{0} \\ \end{matrix} ight..

    Do đó, chọn đáp án là: Hình 2

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 1;4brack và có đồ thị như hình vẽ:

    Giả sử M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;4brack. Khi đó giá trị của biểu thức S = M + m bằng bao nhiêu?

    Từ đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack - 1;4brack

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M = 3 \\ m = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow S = M + m = 2

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ:

    Hỏi hàm số y = - 3f(x - 2) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Theo đồ thị hàm số ta có hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng ( - \infty;0) và (2; + \infty) khi đó:

    \Leftrightarrow f'(x) \geq 0;\forall x \in ( - \infty;0) \cup (2; + \infty)

    Mặt khác y = - 3f(x - 2) \Leftrightarrow y' = - 3f'(x - 2)

    Do hàm số y = - 3f(x - 2) nghịch biến nên

    \Leftrightarrow y' \leq 0 \Leftrightarrow - 3f'(x - 2) \leq 0

    \Leftrightarrow f'(x - 2) \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 2 \leq 0 \\ x - 2 \geq 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow x \in ( - \infty;2brack \cup \lbrack 4; + \infty)

    Vậy hàm số y = - 3f(x - 2) nghịch biến trên khoảng ( - \infty;1).

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập số thực và \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x ight) = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - + } f\left( x ight) = + \infty. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-2020; 2020] để đồ thị hàm số g\left( x ight) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 3x} + x}}{{\sqrt {2f\left( x ight) - {f^2}\left( x ight)} + m}} có tiệm cận ngang nằm bên dưới đường thẳng y = -1.

    Điều kiện \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant - 3;x \geqslant 0} \\ {0 \leqslant f\left( x ight) \leqslant 2} \\ {\sqrt {2f\left( x ight) - {f^2}\left( x ight)} + m e 0} \end{array}} ight.

    Do \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x ight) = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {2f\left( x ight) - {f^2}\left( x ight)} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {2f\left( x ight) - {f^2}\left( x ight)} ight]} = 1

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 3x} + x} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{ - \left( {\sqrt {1 - \dfrac{3}{x}} + 1} ight)}} = - \frac{3}{2}

    Từ đó \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x ight) = - \frac{3}{{2m + 2}},\left( {m e - 1} ight)

    Khi đó hàm số g(x) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = \frac{{ - 3}}{{2m + 2}}

    Để tiệm cận ngang tìm được ở trên nằm dưới đường thẳng y = - thì \frac{{ - 3}}{{2m + 2}} < - 1 \Rightarrow - 1 < m < \frac{1}{2}

    Vì m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 0

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong hình bên.

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Từ đồ thị đã cho ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2).

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

    Tiệm cận ngang là y = 3

    Tiệm cận đứng là x = -1 và x = 1

    Vậy tổng các đường tiệm cận cần tìm bằng 3.

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho hàm số y =f(x) có bảng xét dấu f'(x) như sau:

    Hàm số y = f\left( 2 - e^{x} ight) -\frac{1}{3}e^{3x} + 3e^{2x} - 5e^{x} + 1 đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y =f(x) có bảng xét dấu f'(x) như sau:

    Hàm số y = f\left( 2 - e^{x} ight) -\frac{1}{3}e^{3x} + 3e^{2x} - 5e^{x} + 1 đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 14: Vận dụng

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 4t^{3} - \frac{t^{4}}{2}(người). Nếu xem f'(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

    Đáp án: Ngày thứ 4||tư

    Đáp án là:

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 4t^{3} - \frac{t^{4}}{2}(người). Nếu xem f'(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

    Đáp án: Ngày thứ 4||tư

    Điều kiện t \geq 0.

    Ta có g(t) = f'(t) = 12t^{2} - 2t^{3}, g'(t) = 24t - 6t^{2}, g'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = 4 \\ \end{matrix} ight..

    Bảng biến thiên:

    Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ 4.

    Đáp số: 4.

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \left| 3x^{4} - 4x^{3} -12x^{2} + m^{2} ight| với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \left| 3x^{4} - 4x^{3} -12x^{2} + m^{2} ight| với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x). Đồ thị của hàm số y = f’(x) được biểu diễn trong hình vẽ dưới đây.

    Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

    Biết rằng f\left( 0 ight) + f\left( 1 ight) + f\left( 3 ight) = f\left( 4 ight) + 2f\left( 2 ight). Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) trên đoạn [0; 4]?

    Ta có bảng xét dấu như sau:

    Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

    Dựa vào bảng xét dấy ta có M = f(2), GTNN chỉ có thể là f(0) hoặc f(4)

    Ta lại có

    f(1) và f(3) nhỏ hơn f(2) => f(1) + f(3) < 2f(2)

    => 2f(2) – f(1) – f(3) > 0

    Theo bài ra ta có:

    f(0) + f(1) + f(3) = f(4) + 2f(2)

    => f(0) – f(4) = 2f(2) – f(1) – f(3) > 0

    => f(0) – f(4) > 0 => f(0) > f(4)

    => GTNN đạt được tại x = 4

  • Câu 17: Nhận biết

    Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y = f(x):

    Hàm số y = f(x) là hàm số:

    Đồ thị hàm số bậc ba có dạng y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d có hệ số a > 0 nên hàm số cần tìm là y = x^{3} - 3x + 2.

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hàm số đa thức bậc bốn f(x). Đồ thị hàm số y = f'(3 - 2x) được biểu thị trong hình vẽ sau:

    Hàm số y = f(x) nghịch biến trong khoảng nào?

    Đặt t = 3 - 2x. Ta có bảng xét dấu của f'(3 - 2x) được mô tả lại như sau:

    Từ đó suy ra bảng xét dấu của f'(t)

    Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng ( - \infty; - 1),(3;5).

  • Câu 19: Nhận biết

    Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x^{3} - 3x + 3 trên đoạn \left\lbrack - 3;\frac{3}{2} ightbrack. Chọn kết luận đúng?

    Ta có: f'(x) = 3x^{2} - 3 \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Mà f( - 3) = - 15;f( - 1) = 5;f(1) = 1;f\left( \frac{3}{2} ight) = \frac{15}{8}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M = y( - 1) = 5 \\ m = y( - 3) = - 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M.m = - 75.

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Gọi K là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m \in \left[ {0;2019} ight] để bất phương trình {x^2} - m + \sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} ight)}^3}} \leqslant 0 nghiệm đúng với mọi x \in \left[ { - 1;1} ight] . Số các phần tử của tập hợp K là:

    Đặt t = \sqrt {1 - {x^2}} ;x \in \left[ { - 1;1} ight] \Rightarrow t \in \left[ {0;1} ight]

    Bất phương trình đã cho trở thành {t^3} - {t^2} + 1 - m \leqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant {t^3} - {t^2} + 1\left( * ight)

    Yêu cầu bài toán tương đương với bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi t \in \left[ {0;1} ight]

    Xét hàm số f\left( t ight) = {t^3} - {t^2} + 1 \Rightarrow f'\left( t ight) = 3{t^3} - 2t

    f'\left( t ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 0\left( L ight)} \\ {t = \dfrac{2}{3}\left( {tm} ight)} \end{array}} ight.

    Vì \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 ight) = f\left( 1 ight) = 1} \\ {f\left( {\dfrac{2}{3}} ight) = \dfrac{{23}}{{27}}} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} ight]} f\left( t ight) = 1

    Do đó bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi t \in \left[ {0;1} ight] khi và chỉ khi m \geqslant 1

    Mặt khác m là số nguyên thuộc [0; 2019] nên m \in \left\{ {1;2;3;...;2019} ight\}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f\left( x ight) = 2m có đúng hai nghiệm phân biệt.

    Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

    Để phương trình f\left( x ight) = 2m có hai nghiệm phân biệt thì \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2m = 0} \\ {2m < - 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 0} \\ {m < \dfrac{{ - 3}}{2}} \end{array}} ight.

  • Câu 22: Nhận biết

    Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ:

    Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số a >0 và có ba điểm cực trị nên ab <0.

    Suy ra hàm số tương ứng với đồ thị đã cho là y = x^{4} - 2x^{2}.

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = \frac{1}{2f(x) - 1} là:

    Điều kiện xác định của hàm số y = \frac{1}{2f(x) - 1}là 2f(x) - 1 eq 0 \Leftrightarrow f(x) eq \frac{1}{2}

    Từ bảng biến thiên ta có: f(x) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = x_{1} \in ( - \infty; - 0,5) \\ x = x_{2} \in ( - 0,5; - \infty) \\ \end{matrix} ight.

    Tập xác định \mathbb{R}\backslash\left\{ x_{1};x_{2} ight\}

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{1}{2f(x) - 1} = \frac{1}{2.1 - 1} = 1 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1.

    \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{1}{2f(x) - 1} = \frac{1}{2.1 - 1} = 1 suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1.

    \lim_{x ightarrow {x_{1}}^{\pm}}\frac{1}{2f(x) - 1} = \mp \infty suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x_{1}.

    \lim_{x ightarrow {x_{2}}^{\pm}}\frac{1}{2f(x) - 1} = \pm \infty suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x_{2}.

    Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{1}{2f(x) - 1} là 3.

  • Câu 24: Nhận biết

    Hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 2)\left( x^{2} - 3 ight)\left( x^{4} - 9 ight), với \forall x\mathbb{\in R}. Hỏi hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x - 2)\left( x^{2} - 3 ight)\left( x^{4} - 9 ight) = 0

    \Leftrightarrow (x - 2)\left( x + \sqrt{3} ight)^{2}\left( x - \sqrt{3} ight)^{2}\left( x^{2} + 3 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = - \sqrt{3} \\ x = \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta thấy hàm số y = f(x) có đúng một cực trị.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Xác định khoảng đồng biến của hàm số g(x) = - 3f(x) + 2?

    Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta có:

    f'(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 5 \\ x > 0 \\ \end{matrix} ight. và f'(x) < 0 \Leftrightarrow - 5 < x < 0

    Ta có: g'(x) = - 3f'(x)

    Khi đó: g'(x) > 0 \Leftrightarrow - 3f'(x) > 0 \Leftrightarrow f'(x) < 0 \Leftrightarrow - 5 < x < 0

    g'(x) < 0 \Leftrightarrow - 3f'(x) < 0 \Leftrightarrow f'(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 5 \\ x > 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số g(x) = - 3f(x) + 2 đồng biến trên khoảng ( - 5;0).

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức có đạo hàm f'(x) = (x - 1)(x - 2)^{2}(x + 1)^{3}. Số điểm cực trị của hàm số là:

    Ta có:

    f'(x) = (x - 1)(x - 2)^{2}(x + 1)^{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Vậy hàm số có hai điểm cực trị.

  • Câu 27: Nhận biết

    Chọn hàm số đồng biến trên \mathbb{R}?

    Xét hàm số y = 2x^{3} + 3x + 1 ta có:

    y' = 6x^{2} + 3 > 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Vậy hàm số y = 2x^{3} + 3x + 1 đồng biến trên \mathbb{R}.

  • Câu 28: Nhận biết

    Giả sử M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x^{3} - 3x + 2 trên đoạn \lbrack 0;2brack. Khi đó tổng của M và m bằng bao nhiêu?

    Ta có: y' = 3x^{2} - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y(0) = 2 \\ y(1) = 0 \\ y(2) = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} M = 4 \\ m = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M + m = 4

  • Câu 29: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{10000 - x^{2}}}{x - 2} có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} 10000 - x^{2} \geq 0 \\ x - 2 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 100 \leq x \leq 100 \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.

    Tập xác định \lbrack - 100;100brack\backslash\left\{ 2 ight\}

    Vì hàm số không tồn tại khi x ightarrow - \infty và x ightarrow + \infty nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{2mx + m}{x - 1}. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.

    Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là - 2m - m eq 0 \Leftrightarrow m eq 0

    Khi đó đồ thị hàm số có:

    Tiệm cận đúng: x = 1, song song với Oy và cắt Ox tại điểm A(1;0)

    Tiệm cận ngang: y = 2m song song với Ox và cắt Oy tại điểm B(2m;0)

    Diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận cùng với hai trục tọa độ là S = OA.OB = 1.|2m| = 8 \Leftrightarrow m = \pm 4

  • Câu 31: Thông hiểu

    Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - (m + 1)x^{2} + \left( m^{2} + 2m ight)x - 3 nghịch biến trên khoảng ( - 1;1)

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - (m + 1)x^{2} + \left( m^{2} + 2m ight)x - 3 nghịch biến trên khoảng ( - 1;1)

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 32: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = x^{3} + \frac{1}{2}\left( x^{2} - 1 ight)x^{2} + 1 - m có điểm cực đại là x = - 1?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} f'(x) = 3x^{2} + \left( m^{2} - 1 ight)x \\ f''(x) = 6x + m^{2} - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số có điểm cực đại là x = - 1 khi \left\{ \begin{matrix} f'( - 1) = 0 \\ f''( - 1) < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 - m^{2} = 0 \\ m^{2} - 7 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = \pm 2

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tìm m để hàm số y = \frac{2x - 1}{x + m} đồng biến trên khoảng ( - \infty; - 5)?

    Điều kiện xác định: x eq - m

    Ta có: y' = \frac{2m + 1}{(x + m)^{2}}

    Hàm số y = \frac{2x - 1}{x + m} đồng biến trên ( - \infty; - 5) khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} y' > 0;\forall x \in ( - \infty; - 5) \\ x eq - m \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2m + 1 > 0 \\m otin ( - \infty; - 5) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m > - \dfrac{1}{2} \\- m \geq - 5 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m > - \dfrac{1}{2} \\m \leq 5 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow m \in \left( - \frac{1}{2};5 ightbrack

    Vậy đáp án cần tìm là m \in \left( - \frac{1}{2};5 ightbrack

  • Câu 34: Thông hiểu

    Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại y_{CÐ} và giá trị cực tiểu y_{CT} của hàm số y = x^{3} - 3x là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 3x^{2} - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Lại có y'' = 6x \Rightarrow y''(1) = 6 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

    y''( - 1) = - 6 < 0 nên x = - 1 là điểm cực đại của hàm số.

    Do đó \left\{ \begin{matrix} y_{CÐ} = y( - 1) = 2 \\ y_{CT} = y(1) = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow y_{CT} + y_{CÐ} = 0.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{2x^{2} + 2x + 5}{2x + 1}. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Đạo hàm của hàm số đã cho là f'(x) = \frac{4\left( x^{2} + x + 2 ight)}{(2x + 1)^{2}}. Đúng||Sai

    b) Các điểm cực trị của đồ thị hàm số có toạ độ là (−2; −3) và (1; 3. Đúng||Sai

    c) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là: x = - \frac{1}{2}. Đúng||Sai

    d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình là y = x + \frac{1}{2}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{2x^{2} + 2x + 5}{2x + 1}. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Đạo hàm của hàm số đã cho là f'(x) = \frac{4\left( x^{2} + x + 2 ight)}{(2x + 1)^{2}}. Đúng||Sai

    b) Các điểm cực trị của đồ thị hàm số có toạ độ là (−2; −3) và (1; 3. Đúng||Sai

    c) Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là: x = - \frac{1}{2}. Đúng||Sai

    d) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình là y = x + \frac{1}{2}. Đúng||Sai

    a) Ta có:

    f'(x) = \frac{\left( 2x^{2} + 2x + 5 ight)'.(2x + 1) - (2x + 1)'\left( 2x^{2} + 2x + 5 ight)}{(2x + 1)^{2}}

    = \frac{4\left( x^{2} + x - 2 ight)}{(2x + 1)^{2}}

    b) f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{4\left( x^{2} + x - 2 ight)}{(2x + 1)^{2}} = 0

    \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Thay vào hàm số, ta tính được toạ độ các điểm cực trị là (−2; −3) và (1; 3)

    c) Điều kiện xác định: x eq - \frac{1}{2}

    \lim_{x ightarrow \left( - \frac{1}{2} ight)^{+}}f(x) = + \inftynên x = - \frac{1}{2} là tiệm cận đứng.

    d) y = f(x) = \frac{2x^{2} + 2x + 5}{2x + 1} = x + \frac{1}{2} + \frac{9}{2(2x + 1)}

    Suy ra đồ thị có đường tiệm cận xiên là y = x + \frac{1}{2}.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d có đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt. Hỏi số cực trị của hàm số y = \left| f(x) ight| bằng bao nhiêu?

    Vì đồ thị hàm số y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt nên hàm số có 2 điểm cực trị giả sử đồ thị của hàm số đó như sau:

    Số điểm cực trị của hàm số là 2

    Số nghiệm bội lẻ của phương trình là 3

    Khi đó số điểm cực trị của hàm số y = \left| f(x) ight| là 2 + 3 = 5

  • Câu 37: Thông hiểu

    Số tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} là:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{xightarrow + \infty}\dfrac{\left( 2x^{2} - x ight)\sqrt{1 +\dfrac{1}{x^{2}}}}{x^{2} - 1}= \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{\left(2 - \dfrac{1}{x} ight)\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 - \dfrac{1}{x^{2}}}= 2

    \lim_{x ightarrow - \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\left( - 2x^{2} + x ight)\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\left( - 2 + \frac{1}{x} ight)\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}} = - 2

    Suy ra y = \pm 2 là tiệm cận ngang.

    \lim_{x ightarrow 1^{\pm}}y = \lim_{x ightarrow 1^{\pm}}\frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} = \pm \infty suy ra x = 1 là tiệm cận đứng.

    \lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}y = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}\frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} = \pm \infty suy ra x = - 1 là tiệm cận đứng.

    Vậy đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số y = - {x^4} + b{x^2} + c có bảng biến thiên như hình vẽ.

    Tính giá trị của biểu thức

    Tính giá trị của biểu thức H = 2c + b

    Ta có:

    \begin{matrix} y\left( 0 ight) = 2 \Rightarrow c = - 3 \hfill \\ \Rightarrow y = - {x^4} + b{x^2} - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác

    \begin{matrix} f\left( 1 ight) = - 2 \hfill \\ \Rightarrow - 1 + b + c = - 2 \hfill \\ \Rightarrow b + c = - 1 \Rightarrow b = 2 \hfill \\ \Rightarrow 2c + b = - 4 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 39: Nhận biết

    Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số y = \frac{1 - x}{x + 1}?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}

    Ta có: y = \frac{1 - x}{x + 1} \Rightarrow y' = \frac{- 2}{(x + 1)^{2}} < 0;\forall x \in D

    Do đó hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

  • Câu 40: Nhận biết

    Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

    Đồ thị hàm số là hàm số bậc 4 với \left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ ab < 0 \\ \end{matrix} ight..

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 31 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập