Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Câu 1: Thông hiểu

Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận đứng?

A. $y = \frac{{3x - 1}}{{{x^2} + 1}}$
B. $y = \frac{{ - 1}}{x}$
C. $y = \frac{{\sqrt {x + 3} }}{{x + 2}}$
D. $y = \frac{1}{{{x^2} - 2x + 1}}$

Phương trình x² + 1 = 0 vô nghiệm nên không tìm được x₀ để $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x ight) = \pm \infty$

=> Hàm số không có tiệm cận đứng.

Các đồ thị hàm số ở B, C, D lần lượt có các tiệm cận đứng là x = 0, x = -2 và x = 1

Câu 2: Vận dụng cao

Cho hàm số bậc ba $f\left( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Hỏi đồ thị hàm số $g\left( x ight) = \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} ight).f\left( x ight)}}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng?

A. 4
B. 3
C. 2
D. 6

Ta có: $f'\left( x ight) = 3a{x^2} + 2bx + c = 3a\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight) = 3x\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)$

Đồng nhất hai vế ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2b = - 9a} \\ {c = 6a} \end{array}} ight. \Rightarrow f\left( x ight) = a{x^3} - \frac{{9a}}{2}{x^2} + 6ax + d$

Mặt khác $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 1 ight) = 5} \\ {f\left( 2 ight) = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + \dfrac{9}{2}a + 6a + d = 5} \\ {8a - 18a + 12a + d = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{{10}}{{49}}} \\ {d = \dfrac{{ - 20}}{{19}}} \end{array}} ight.$

Giải phương trình $f\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{1}{2}} \\ {x = 2} \end{array}} ight.$

Hàm số có tập xác định là $D = \left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } ight)\backslash \left\{ {\frac{1}{2};1;2} ight\}$

Khi đó

$g\left( x ight) = \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} ight).f\left( x ight)}}$

$= \frac{{\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^2} - 1} ight)\left( {{x^2} - 4} ight).f\left( x ight)}}$

$= \frac{{\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {x + 1} ight)\left( {x + 2} ight)f\left( x ight)}}$

=> Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x = \frac{1}{2};x = 2$

Câu 3: Thông hiểu

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - (m - 1)x^{2} - 4mx$ đồng biến trên đoạn $\lbrack 1;4brack$ ?

A.
$\frac{1}{2} < m < 2$
B.
$m\mathbb{\in R}$
C.
$m \leq 2$
D.
$m \leq \frac{1}{2}$

Theo yêu cầu bài toán ta có:

$y' = x^{2} - 2(m - 1)x - 4m \geq 0;\forall x \in \lbrack 1;4brack(*)$

Để hàm số đồng biến trên đoạn $\lbrack 1;4brack$

$\Leftrightarrow y' \geq 0;\forall x \in \lbrack 1;4brack$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2(m - 1)x - 4m \geq 0$

$\Leftrightarrow m \leq \frac{x^{2} + 2x}{4 + 2x}$

Đặt $g(x) = \frac{x^{2} + 2x}{4 + 2x} \Rightarrow g'(x) = \frac{8x}{(4 + 2x)^{2}} > 0;\forall x \in \lbrack 1;4brack$

$\Rightarrow \min_{\lbrack 1;4brack}g(x) = g(1) = \frac{1}{2} \Rightarrow m \leq \frac{1}{2}$

Vậy $m \leq \frac{1}{2}$ là đáp án cần tìm.

Câu 4: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f\left( x ight) = a{x^4} + b{x^2} + c$ có đồ thị như hình dưới đây:

Số nghiệm của phương trình

Số nghiệm của phương trình $2f\left( x ight) = - 1$ là:

A. 2
B. 1
C. 3
D. 0

Ta có: $2f\left( x ight) = - 1 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{{ - 1}}{2}$

Số nghiệm của phương trình $2f\left( x ight) = - 1$ chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x ight)$ với đường thẳng $y = - \frac{1}{2}$

Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng $y = - \frac{1}{2}$ cắt đồ thị tại hai điểm

=> Phương trình $2f\left( x ight) = - 1$ có 2 nghiệm.

Câu 5: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ . Biết đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ biểu diễn như hình vẽ:

Khi đó hàm số $y = f\left( x^{2} - 1 ight)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.
$( - 1;1)$
B.
$( - 2;0)$
C.
$( - 4; - 2)$
D.
$(0;2)$

Ta có: $y' = 2x.f'\left( x^{2} - 1 ight) \leq 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ f'\left( x^{2} - 1 ight) \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ f'\left( x^{2} - 1 ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ x^{2} - 1 \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} - 1 \geq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ - 2 \leq x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x \leq - 2 \\ x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 \leq x \leq 0 \\ x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là $( - 2;0)$ .

Câu 6: Vận dụng

Cho hàm số $y =f(x)$ có đồ thị của hàm số $y =f'(x)$ như hình vẽ:

Xác định khoảng đồng biến của hàm số $y =f\left( |3 - x| ight)$ ?

A.
$(2;3)$
B.
$(4;7)$
C.
$( - \infty; - 1)$
D.
$( - 1;2)$

Ta có: $y = f\left( |3 - x| ight) =\left\{ \begin{matrix}f(3 - x)\ \ khi\ x \leq 3 \\f(x - 3)\ \ khi\ x > 3 \\\end{matrix} ight.$

$y' = \left\{ \begin{matrix}- f'(3 - x)\ \ khi\ x \leq 3 \\f'(x - 3)\ \ khi\ x > 3 \\\end{matrix} ight.$

Với $x < 3 \Rightarrow y' = -f'(3 - x) > 0$

$\Leftrightarrow f'(3 - x) < 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}3 - x < - 1 \\1 < 3 - x < 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x > 4 \\- 1 < x < 2 \\\end{matrix} ight.$

Kết hợp với điều kiện $x < 3$ ta có: $- 1 < x < 2$

Với $x > 3 \Rightarrow y' =f'(x - 3) > 0$

$\Leftrightarrow f'(3 - x) > 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}3 - x > 4 \\- 1 < 3 - x < 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x > 7 \\2 < x < 4 \\\end{matrix} ight.$

Kết hợp với điều kiện $x > 3$ ta có: $\left\lbrack \begin{matrix}x > 7 \\3 < x < 4 \\\end{matrix} ight.$

Vậy hàm số $y = f\left( |3 - x|ight)$ đồng biến trên mỗi khoảng $(- 1;2),(3;4),(7; + \infty)$

Câu 7: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:

A.
$1$
B.
$0$
C.
$- 3$
D.
$- 4$

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$ và $x = 1$ ; giá trị cực tiểu bằng $- 4$ .

Câu 8: Vận dụng

Giá trị của tham số m sao cho hàm số $y = {x^3} - 2m{x^2} - \left( {m + 1} ight)x + 1$ nghịch biến trên khoảng (0; 2)?

A. $m \geqslant - 1$
B. $m \leqslant \frac{{11}}{9}$
C. $m \geqslant \frac{{11}}{9}$
D. $m \leqslant - 1$

Ta có: $y' = 3{x^2} - 4mx - m - 1$

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)

=> $3{x^2} - 4mx - m - 1 \leqslant 0,x \in \left[ {0;2} ight]$

=> $3{x^2} - 1 \leqslant 3\left( {4x + 1} ight) \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 1}}{{4x + 1}} \leqslant m,\left( {\forall x \in \left[ {0;2} ight]} ight)$

Xét hàm số $g\left( x ight) = \frac{{3{x^2} - 1}}{{4x + 1}};\forall x \in \left[ {0;2} ight]$

Ta có: $g'\left( x ight) = \frac{{6x\left( {4x + 1} ight) - 4\left( {3{x^2} - 1} ight)}}{{{{\left( {4x + 1} ight)}^2}}} = \frac{{12{x^2} + 6x + 4}}{{{{\left( {4x + 1} ight)}^2}}};\forall x \in \left[ {0;2} ight]$

=> g(x) đồng biến trên đoạn [0; 2]

Ta có:

$\begin{matrix} g\left( x ight) = \dfrac{{3{x^2} - 1}}{{4x + 1}} \leqslant m;\forall x \in \left[ {0;2} ight] \hfill \\ \Rightarrow m \geqslant g\left( 2 ight) = \dfrac{{11}}{9} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 9: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên và có đồ thị như

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số $y = f(x)$ không có đạo hàm tại x = −2 và x = 2. Đúng||Sai

b) Hàm số $y = f(x)$ có ba điểm cực trị. Sai||Đúng

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ bằng −2 đạt được tại x = 0. Đúng||Sai

d) Hàm số $y = f(x)$ không có giá trị lớn nhất. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên và có đồ thị như

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số $y = f(x)$ không có đạo hàm tại x = −2 và x = 2. Đúng||Sai

b) Hàm số $y = f(x)$ có ba điểm cực trị. Sai||Đúng

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ bằng −2 đạt được tại x = 0. Đúng||Sai

d) Hàm số $y = f(x)$ không có giá trị lớn nhất. Sai||Đúng

a) Đúng: Hàm số $y = f(x)$ không có đạo hàm tại x = −2 và x = 2.

b) Sai: Hàm số $y = f(x)$ chỉ có một điểm cực trị là x = 0.

c) Đúng: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ bằng −2 đạt được tại x = 0.

d) Sai: Ta thấy $f(x) \leq 2;\forall x\mathbb{\in R}$ , và có xảy ra dấu bằng nên hàm số $y = f(x)$ có giá trị lớn nhất.

Câu 10: Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{{{x^2} - {m^2} - 2}}{{x - m}}$ trên đoạn [0; 4] bằng -1?

A. 3
B. 2
C. 1
D. 0

Ta có: $f'\left( x ight) = \frac{{{m^2} - m + 2}}{{{{\left( {x - m} ight)}^2}}} > 0;\forall m e 0$

Với $x = m e \left[ {0;4} ight] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 4} \\ {m < 0} \end{array}} ight.$ ta được hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (0; 4)

=> $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} ight]} f\left( x ight) = f\left( 4 ight) = \frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}}$

Theo bài ra ta có: $\frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}} = - 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 2} \\ {m = - 3} \end{array}} ight.$

Kết hợp với điều kiện $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 4} \\ {m < 0} \end{array}} ight.$ => m = -3 là giá trị cần tìm

Vậy có 1 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu bài toán đề bài.

Câu 11: Vận dụng cao

Anh Hùng đang ở trong rừng để đào vàng và tìm thấy vàng ở điểm $X$ cách điểm $A$ một khoảng 3 km. Điểm $A$ nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của anh Hùng nằm ở vị trí $Y$ cách điểm $B$ một khoảng 3 km. Điểm $B$ cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng $AB = 3(km),AM = NB = x(km)$ và $AX = BY = 3(km)$ (minh hoạ như hình vẽ sau).

Khi đang đào vàng, anh Hùng không may bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình $y = 50\log(t +2)$ . Trong đó, $y$ là nồng độ, $t$ là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Anh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Anh ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là $5km/h$ và $13km/h$ . Để về đến trại anh Hùng cần chạy từ trong rừng qua điểm $M,N$ trên bãi biển. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi anh Hùng về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Anh Hùng đang ở trong rừng để đào vàng và tìm thấy vàng ở điểm $X$ cách điểm $A$ một khoảng 3 km. Điểm $A$ nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của anh Hùng nằm ở vị trí $Y$ cách điểm $B$ một khoảng 3 km. Điểm $B$ cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng $AB = 3(km),AM = NB = x(km)$ và $AX = BY = 3(km)$ (minh hoạ như hình vẽ sau).

Khi đang đào vàng, anh Hùng không may bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình $y = 50\log(t +2)$ . Trong đó, $y$ là nồng độ, $t$ là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Anh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Anh ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là $5km/h$ và $13km/h$ . Để về đến trại anh Hùng cần chạy từ trong rừng qua điểm $M,N$ trên bãi biển. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi anh Hùng về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 12: Vận dụng

Xác định các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y= - x^{4} + 2\left( m^{2} + 3 ight)x^{2} + 2$ có ba điểm cực trị sao cho giá trị cực đại của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Xác định các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y= - x^{4} + 2\left( m^{2} + 3 ight)x^{2} + 2$ có ba điểm cực trị sao cho giá trị cực đại của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 13: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ và có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.

Hàm số $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại điểm

A.
$x = - 2$ .
B.
$x = - 1$ .
C.
$x = 1$ .
D.
$x = 0$ .

Theo hình vẽ thì hàm số $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại điểm $x = 1$ .

Câu 14: Thông hiểu

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt {3 - 2x - {x^2}}$

A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$

Điều kiện xác định $3 - 2x - {x^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow - 3 \leqslant x \leqslant 1$

Xét hàm số $f\left( x ight) = \sqrt {3 - 2x - {x^2}}$ trên $\left[ { - 3;1} ight]$ ta có:

$f'\left( x ight) = \frac{{ - 2 - 2x}}{{2\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }} = - \frac{{x + 1}}{{\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }}$

Phương trình $f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3 < x < 1} \\ {x + 1 = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow x = - 1$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 3} ight) = 0} \\ {f\left( { - 1} ight) = 2} \\ {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.$

$\Rightarrow \mathop {\max f\left( x ight)}\limits_{\left[ { - 3;1} ight]} = f\left( { - 1} ight) = 2$

Câu 15: Thông hiểu

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng (1; 3)?

A. $y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1$
B. $y = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}$
C. $y = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x - 2}}$
D. $y = \sqrt {{x^2} + 1}$

Xét hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1$ có $y' = {x^2} - 4x + 3$

=> y’ = 0 => $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = 3} \end{array}} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Chọn đáp án đúng

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3)

Câu 16: Nhận biết

Đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 3
B. 1
C. 2
D. 4

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 2} ight\}$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = 1} \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = - 1} \end{array}} ight.$ => y = 1 và y = -1 là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

=> Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 2 và x = =-2

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng là x = 2 và x = -2

Câu 17: Vận dụng

Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{{\left( {2m - 1} ight)x + 1}}{{x - m}}$ có đường tiệm cận ngang $y = 3$ là:

A. m = 1
B. m = 0
C. m = 2
D. m = 3

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là:

$- m\left( {2m - 1} ight) - 1 e 0 \Rightarrow 2{m^2} - m + 1 e 0$ luôn đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$

Phương trình đường tiệm cận ngang là $y = 2m - 1$ nên ta có $2x - 1 = 3 \Rightarrow m = 2$

Câu 18: Vận dụng

Một công ty du lịch tổ chức tour du lịch với giá mỗi tour là $5000000$ đồng một khách cho $30$ khách. Từ khách thứ $31$ , cứ thêm một khách, giá của tour lại được giảm $a$ nghìn ( $a$ là số nguyên dương). Số khách thêm của tour không quá $15$ người. Biết rằng nếu nhận thêm từ $1$ đến $8$ khách thì doanh thu tăng dần theo số khách nhận thêm. Tìm giá trị lớn nhất của $a$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một công ty du lịch tổ chức tour du lịch với giá mỗi tour là $5000000$ đồng một khách cho $30$ khách. Từ khách thứ $31$ , cứ thêm một khách, giá của tour lại được giảm $a$ nghìn ( $a$ là số nguyên dương). Số khách thêm của tour không quá $15$ người. Biết rằng nếu nhận thêm từ $1$ đến $8$ khách thì doanh thu tăng dần theo số khách nhận thêm. Tìm giá trị lớn nhất của $a$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 19: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{3x^{2} + 2x}{4x + 4}.$ Khoảng cách từ điểm $M(3; - 2)$ đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này bằng bao nhiêu $?$

Đáp án: 3,2

Đáp án là:

Cho hàm số $y = \frac{3x^{2} + 2x}{4x + 4}.$ Khoảng cách từ điểm $M(3; - 2)$ đến đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này bằng bao nhiêu $?$

Đáp án: 3,2

Ta có: $y = \frac{3x^{2} + 2x}{4x + 4} = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{4x + 4}.$

Xét $\lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( y - \left( \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} ight) ight) = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{1}{4x + 4} = 0.$

Vậy đường tiệm cận xiên có phương trình $y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} \Leftrightarrow 3x - 4y - 1 = 0.$

Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường tiệm cận xiên là:

$d = \frac{\left| 3.3 - 4.( - 2) - 1 ight|}{\sqrt{3^{2} + ( - 4)^{2}}} = \frac{16}{5} = 3,2$

Câu 20: Vận dụng cao

Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Tính số điểm cực trị của hàm số

Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x ight) = {x^2}{\left[ {f\left( {{x^2} - 1} ight)} ight]^3}$ là:

A. 5
B. 7
C. 9
D. 1

Ta có:

$\begin{matrix} g\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow {x^2}{\left[ {f\left( {{x^2} - 1} ight)} ight]^3} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = 0} \\ {f\left( {{x^2} - 1} ight) = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = 0} \\ {{x^2} - 1 = - 1} \\ {{x^2} - 1 \approx - 0,5} \\ \begin{gathered} {x^2} - 1 \approx 0,5 \hfill \\ {x^2} - 1 = 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow x \in \left\{ {0; \pm \sqrt {0,5} ; \pm \sqrt {1,5} ; \pm \sqrt 2 } ight\} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 21: Nhận biết

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{- x + 3}{x - 2}$ trên đoạn $\lbrack - 2;0brack$ bằng

A.
$4$
B.
$- \frac{3}{2}$
C.
$- \frac{5}{4}$
D.
$3$

Ta có: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 2 ight\}$

$y' = \frac{- 1}{(x - 2)^{2}} < 0;\forall x eq 2$

Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn $\lbrack - 2;0brack$ .

Do đó $\max_{\lbrack - 2;0brack}y = y( - 2) = \frac{- ( - 2) + 3}{- 2 - 2} = - \frac{5}{4}$

Câu 22: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

A picture containing tableDescription automatically generated

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.
$(1; + \infty)$ .
B.
$(0;1)$ .
C.
$( - 1;0)$ .
D.
$(0; + \infty)$ .

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $( - \infty; - 1)$ và $(0;1)$ .

Câu 23: Nhận biết

Cho hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A.
$f(x) = x^{4} - 2x^{2} - 4$
B.
$f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$
C.
$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 4$
D.
$f(x) = x^{2} - 4x + 1$

Xét hàm số $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 4$ ta có:

$f'(x) = 3x^{2} - 6x + 3 = 3(x - 1)^{2} \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Rightarrow f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 4$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Câu 24: Nhận biết

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2020}{x - 1}$ là đường thẳng có phương trình?

A.
$y = 2020$
B.
$x = 2020$
C.
$y = 0$
D.
$x = 0$

Ta có: $\lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{2020}{x - 1} = 0$ nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình $y = 0$ .

Câu 25: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{x^{2} + 2mx + 3m^{2} - m - 1}$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận?

A.
$1$
B.
$0$
C.
$2$
D.
$7$

Ta có: $\lim_{x ightarrow \pm \infty}y = 0$ suy ra $y = 0$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có hai tiệm cận đứng.

$\Leftrightarrow x^{2} + 2mx + 3m^{2} - m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 2{m^2} + m + 1 > 0 \hfill \\ 3{m^2} + m e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \frac{1}{2} < m < 1 \hfill \\ m e 0 \hfill \\ m e - \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Mà $m\mathbb{\in Z}$ nên không tồn tại giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 26: Thông hiểu

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 1}$ .

A.
$x = 1;y = 1$ .
B.
$x = 1;y = - 1;y = 1$ .
C.
$y = - 1;y = 1$ .
D.
$x = 1;x=2;y=1$ .

Tập xác định của hàm số: $D = ( - \infty; - 2brack \cup \lbrack 2; + \infty)$ .

+) Ta có: $\lim_{x ightarrow 1^{+}}y$ và $\lim_{x ightarrow 1^{-}}y$ không tồn tại nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

+) Ta có: $\lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 1} = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}}}{1 - \frac{1}{x}} = 1$

và $\lim_{x ightarrow - \infty}y =\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 1}$ $= \lim_{xightarrow - \infty}\frac{- \sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}}}{1 -\frac{1}{x}} = - 1 \Rightarrow y = 1,y = - 1$ là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 27: Thông hiểu

Cho hàm số $y = mx^{4} + (m - 1)x^{2} + 1$ , $m$ là tham số thực. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ $0 < m < 1$ . Đúng||Sai

b) Hàm số có hai điểm cực trị khi $m = 0$ . Sai|| Đúng

c) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ $0 ≤ m ≤ 1$ . Sai|| Đúng

d) Hàm số có một điểm cực trị khi . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = mx^{4} + (m - 1)x^{2} + 1$ , $m$ là tham số thực. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ $0 < m < 1$ . Đúng||Sai

b) Hàm số có hai điểm cực trị khi $m = 0$ . Sai|| Đúng

c) Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ $0 ≤ m ≤ 1$ . Sai|| Đúng

d) Hàm số có một điểm cực trị khi . Đúng||Sai

Nếu m = 0 thì hàm số đã cho trở thành $y = - x^{2} + 1$ .

Đây là hàm số đa thức bậc hai nên có 1 điểm cực trị.

Nếu $m eq 0$ thì hàm số đã cho là hàm số trùng phương có:

$y' = 4mx^{3} + 2(m - 1)x = 2x\left( 2mx^{2} + m - 1 ight)$ .

Ta có $y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ 2mx^{2} + m - 1 = 0(*) \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Điều kiện tương đương là:

$\left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ m(m - 1) < 0 \\ 2m.0^{2} + m - 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ 0 < m < 1 \\ m eq 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m < 1$

Câu 28: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn $\lbrack - 1\ ;\ 3brack$ như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f(2)$ .
B.
$\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f( - 1)$ .
C.
$\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f(3)$ .
D.
$\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f(0)$ .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = 5$ tại $x = 0$ .

Suy ra $\max_{\lbrack - 1;3brack}f(x) = f(0)$ .

Câu 29: Thông hiểu

Xác định tổng $S$ tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{mx + 4m - 3}{x + m}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Xác định tổng $S$ tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{mx + 4m - 3}{x + m}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 30: Thông hiểu

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu đạo hàm f’(x) như sau:

Số điểm cực đại của hàm số

Hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 4
B. 2
C. 3
D. 1

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm f’(x) ta thấy đạo hàm f’(x) đổi dấu từ dương sang âm 2 lần nên f(x) có 2 điểm cực đại.

Câu 31: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ . Đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ:

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng nào sau đây?

A.
$( - \infty;0)$
B.
$(0;3)$
C.
$(3; + \infty)$
D.
$\left( - \infty;\frac{5}{2} ight)$

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến khi $f'(x) \leq 0 \Leftrightarrow x \in (0;3)$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;3)$ .

Câu 32: Nhận biết

Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A.
$y = \frac{x + 3}{x -2}$
B.
$y = x^{3} - 3x$
C.
$y = x^{4} - 4x^{2} +2$
D.
$y = \frac{x - 3}{x +1}$

Đồ thị trong hình vẽ là hàm số có dạng $y= \frac{ax + b}{cx + d}$

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y =1$ và tiệm cận đứng $x = 2$ nên hàm số cần tìm là $y = \frac{x + 3}{x -2}$ .

Câu 33: Nhận biết

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 1}{x + 2}$ là điểm nào trong các điểm cho sau đây?

A.
$( - 2;3)$
B.
$(3; - 2)$
C.
$(2; - 1)$
D.
$( - 1;2)$

Đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 1}{x + 2}$ nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 3$ và tiệm cận đứng là $x = - 2$

Do đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm $( - 2;3)$ .

Câu 34: Nhận biết

Cho hình vẽ:

Đồ thị hàm số tương ứng với hàm số nào

Đồ thị hàm số tương ứng với hàm số nào sau đây?

A. $y = - \frac{1}{2}{x^3} + 3{x^2} + \frac{9}{2}x + 1$
B. $y = \frac{1}{2}{x^3} + 3{x^2} - 1$
C. $y = \frac{1}{2}{x^3} - 3{x^2} + \frac{9}{2}x + 1$
D. $y = - \frac{1}{2}{x^3} + \frac{3}{2}x - 2x + 1$

Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 3) chỉ có hàm số $y = \frac{1}{2}{x^3} - 3{x^2} + \frac{9}{2}x + 1$ thỏa mãn.

Câu 35: Thông hiểu

Xác định giá trị của a để hàm số $f\left( x ight) = \sin x - ax + b$ nghịch biến trên trục số.

A. $a \leqslant 1$
B. $a < 1$
C. $a > 1$
D. $a \geqslant 1$

Ta có: $y' = \cos x - a$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \cos x - a \leqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow a \geqslant \cos x,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow a \geqslant 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 36: Thông hiểu

Một chất điểm chuyển động với quy luật $S(t) = 6t^{2} - t^{3}$ . Thời điểm $t$ (giây) tại vận tốc $v(m/s)$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

A.
$t = 12$
B.
$t = 8$
C.
$t = 2$
D.
$t = 6$

Vận tốc của chuyển động là:

$v(t) = S'(t) = 12t - 3t^{2} = 12 - 3(2 - t)^{2} \leq 12;\forall t$

Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng $12m/s$ khi $t = 2$ .

Câu 37: Thông hiểu

Cho hàm số $y = 2x^{3} - 5x^{2} + 4x - 2021$ . Gọi $x_{1};x_{2}$ lần lượt là hoành độ tại hai điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. Kết luận nào sau đây đúng?

A.
$x_{1} - x_{2} = \frac{1}{3}$
B.
$x_{2} - x_{1} = \frac{2}{3}$
C.
$2x_{2} - x_{1} = \frac{1}{3}$
D.
$2x_{1} - x_{2} = \frac{1}{3}$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 6x^{2} - 10x + 4 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = \dfrac{2}{3} \\\end{matrix} ight.$

$y'' = 12x - 10$

$\Rightarrow y''(1) = 1 > 0$ nên $x_{2} = 1$ là điểm cực tiểu của hàm số.

$y''\left( \frac{2}{3} ight) = - 2 < 0$ nên $x_{1} = \frac{2}{3}$ là điểm cực đại của hàm số.

Vậy kết luận đúng là: $2x_{1} - x_{2} = \frac{1}{3}$ .

Câu 38: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ có đồ thị như hình vẽ:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ ?

A.
$1$
B.
$- 1$
C.
$- 2$
D.
$3$

Trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ ta có: $f(x) \geq - 1$ và $f(x) = - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $\min_{\lbrack - 2;2brack}y = - 1$ .

Câu 39: Thông hiểu

Xác định giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x + 5}{x + m}$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; - 8)$ ?

A.
$(5; + \infty)$
B.
$(5;8brack$
C.
$\lbrack 5;8)$
D.
$(5;8)$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - m ight\}$

Hàm số $y = \frac{x + 5}{x + m}$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; - 8)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y' > 0;\forall x \in ( - \infty; - 8) \\ x eq - m \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{m - 5}{(x + m)^{2}} > 0;\forall x \in ( - \infty; - 8) \\- m otin ( - \infty; - 8) \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 5 \\ - m \geq - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 5 \\ m \leq 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 5 < m \leq 8$

Vậy đáp án cần tìm là $(5;8brack$ .

Câu 40: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ . Biết rằng hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như sau:

Đặt $g(x) = f(x) - x$ . Hỏi hàm số $g(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A.
$1$
B.
$3$
C.
$- 1$
D.
$0$

Hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ nên $g(x) = f(x) - x$ cũng có đạo hàm trên $\mathbb{R}$

Ta có: $g'(x) = f'(x) - 1$

$\Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 1$

Dựa vào đồ thị $f'(x)$ ta có: $f'(x) = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = x_{1} \in ( - 1;0) \\ x = x_{2} \in (1;3) \\ x = x_{3} \in (2;3) \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $x_{1};x_{2};x_{3}$ là ba nghiệm phân biệt và $x_{1} < x_{2} < x_{3}$

Bảng biến thiên của hàm $g(x)$

Vậy hàm số $g(x) = f(x) - x$ có 3 điểm cực trị.

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!