Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = 2x^{3} - 5x^{2} - 4x + 2 - m có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu nhau là:

    Ta có: y' = 6x^{2} - 10x - 4

    \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x = 2 \Rightarrow y' = - 10 - m \\x = - \dfrac{1}{3} \Rightarrow y' = \dfrac{73}{27} - m \\\end{matrix} ight.

    Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu

    \Leftrightarrow ( - 10 - m)\left( \frac{73}{27} - m ight) < 0

    \Leftrightarrow - 10 < m < \frac{73}{27}

    Vì m\mathbb{\in Z} nên có 12 giá trị thỏa mãn.

    Vậy có tất cả 12 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 2: Nhận biết

    Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = \frac{2x - 1}{x + 2} trên đoạn \lbrack 0;2brack. Giá trị biểu thức T = 2m + 4M là:

    Ta có: y' = \frac{5}{(x + 2)^{2}} > 0;\forall x eq - 2 nên hàm số đồng biến trên \lbrack 0;2brack

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\max_{\lbrack 0;2brack}y = f(2) = \dfrac{3}{4} \\\min_{\lbrack 0;2brack}y = f(0) = - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 2m + 4M = 2.

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.

    Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang bằng:

    Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}f(x) = - 1.

    Do đó, đồ thị hàm số y = f(x) có đường tiệm cận ngang là y = - 1.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} + mx^{2} + m với m là tham số. Điều kiện cần và đủ của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 3x^{2} + 2mx

    Hàm số nghịch biến trên (0;2) khi và chỉ khi y' \leq 0;\forall x \in (0;2)

    Xét hàm số y = - \frac{3}{2}x trên khoảng (0;2) ta có bảng biến thiên như sau:

    Vậy để hàm số nghịch biến trên (0;2) thì m \leq - 3.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} + \left( m^{2} - m + 2 ight)x^{2} + \left( 3m^{2} + 1 ight)x đạt cực tiểu tại x = - 2?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = x^{2} + 2\left( m^{2} - m + 2 ight)x + \left( 3m^{2} + 1 ight)

    Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 \Rightarrow y'( - 2) = 0

    \Leftrightarrow m^{2} - 4m + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Lại có: y'' = 2x + 2\left( m^{2} - m + 2 ight)

    y''( - 2) = 2m^{2} - 2m

    y''( - 2) > 0 \Leftrightarrow 2m^{2} - 2m > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 1 \\ m < 0 \\ \end{matrix} ight.

    Để hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 thì m = 3 thỏa mãn.

    vậy giá trị m cần tìm là m = 3.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số nào dưới đây có đúng một đường tiệm cận ngang?

    Xét hàm số y = \frac{4x - 2}{x^{2} - 3x + 2} có tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1;2 ight\}

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{4x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}} ight) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{4x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.suy ra y = 0 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    Vậy hàm số có duy nhất một tiệm cận ngang là y = \frac{4x - 2}{x^{2} - 3x + 2}.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f’(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \left[ { - 30;30} ight] để hàm số f\left( {{x^3} - 3{m^2}x} ight) có đúng 11 điểm cực trị?

    Tìm m để hàm số có 11 cực trị

    Hàm số đạt cực trị tại x = a < - 1;x = - 1;x = 4

    Xét hàm số f\left( {\left| {{x^3} - 3mx} ight|} ight) = f\left( u ight)

    Bảng biến thiên của hàm số u = \left| {{x^3} - 3mx} ight| \geqslant 0 suy ra chỉ có phương trình u = \left| {{x^3} - 3mx} ight| = 4 cho ta nghiệm bội lẻ.

    Nếu m \leqslant 0

    => Số điểm cực trị u là 1

    => Số nghiệm bội lẻ của phương trình u = 4 tối đa 2 nghiệm bội lẻ (Không thỏa yêu cầu)

    Khi m > 0 => Số điểm cực trị u là 5 ta có bảng biến thiên của hàm số u = \left| {{x^3} - 3mx} ight|

    Tìm m để hàm số có 11 cực trị

    Áp dụng công thức:

    Số điểm cực trị của hàm số f(u) = số nghiệm bội lẻ của phương trình (u = 4) + số điểm cực trị của u

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ {2m\sqrt m > 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m > \sqrt[3]{4}. Kết hợp với điều kiện \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \in \mathbb{Z}} \\ {m \in \left[ { - 30;30} ight]} \end{array}} ight.

    => Có 29 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu.

  • Câu 8: Vận dụng cao

    Gọi M, N lần lượt là số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} } ight)}}{{{x^2} - 4}}. Khi đó m + n bằng:

    Điều kiện  x e 2;x \geqslant \sqrt 3

    Tiệm cận ngang:

    \begin{matrix} \dfrac{{x\left( {\sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} } ight)}}{{{x^2} - 4}} = \dfrac{{x.\left| x ight|\left( {\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} } ight)}}{{{x^2}\left( {1 - \dfrac{4}{x}} ight)}} \hfill \\ = \dfrac{{{x^2}\left( {\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {\frac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} } ight)}}{{{x^2}\left( {1 - \dfrac{4}{x}} ight)}},\left( {do{\text{ }}x \geqslant \sqrt 3 } ight) = \dfrac{{\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{4}{x}}} \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {1 - \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \dfrac{4}{x}}} = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    => Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là y = 1

    Tiệm cận đứng:

    Điều kiện cần: Xét phương trình x2 – 4 = 0 => x = 2 hoặc x = -2

    Điều kiện đủ

    Đặt f\left( x ight) = x\left( {\sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} } ight)

    Xét x = 2 ta có f(2) = 0 nên ta sẽ đi tìm bậc của x – 2 của f(x)

    \begin{matrix} \sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} = \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} - 3} - \sqrt {x - 1} } ight).\left( {\sqrt {{x^2} - 3} + \sqrt {x - 1} } ight)}}{{\sqrt {{x^2} - 3} + \sqrt {x - 1} }} = \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{g\left( x ight)}} = \left( {x - 2} ight).h\left( x ight) \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{\left( {x - 2} ight).h\left( x ight)}}{{\left( {x - 2} ight)\left( {x + 2} ight)}} = \dfrac{{h\left( x ight)}}{{x + 2}} \hfill \\ \end{matrix}

    => x = 2 không phải là tiệm cận đứng

    Xét x = -2 ta có f(-2) không tồn tại hay x = -2 không phải là tiệm cận đứng.

    Vậy M = 1, N = 0 => M + N = 1

  • Câu 9: Thông hiểu

    Số dân số của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5} (f(t) được tính bằng nghìn người). Biết rằng đạo hàm của hàm số f(t) biểu thị tốc độ gia tăng dân số của thị trấn ( đơn vị là nghìn người/ năm). Vào năm nào thì tốc độ gia tăng dân số là \frac{2}{15} nghìn người/ năm?

    Ta có f'(t) = \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} ight)}^2}}},t \geqslant 0

    Lại có

    f'(t) = \frac{2}{{15}} \Leftrightarrow \frac{{120}}{{{{\left( {t + 5} ight)}^2}}} = \frac{2}{{15}}

    \Leftrightarrow (t + 5)^{2} = 900 \Leftrightarrow t = 25\ do\ t \geq 0)

    Vậy dự báo vào năm 1995 thì tốc độ gia tăng dân số là \frac{2}{15} nghìn người/ năm.

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hàm số y = \sqrt[3]{x^{2}}. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}};(x eq 0)

    Xét dấu y' ta có: \left\{ \begin{matrix} y' > 0;\forall x \in (0; + \infty) \\ y' < 0;\forall x \in ( - \infty;0) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số có 1 cực trị.

  • Câu 11: Nhận biết

    Hàm số nào dưới dây nghịch biến trên khoảng ( - \infty; + \infty)?

    Xét hàm số y = - 2x + 1 có y' = - 2 < 0;\forall x\mathbb{\in R} nên hàm số y = - 2x + 1 nghịch biến trên khoảng ( - \infty; + \infty).

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100m.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100m.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 13: Thông hiểu

    Điều kiện của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + 3mx + 1 đồng biến trên \mathbb{R} là:

    Tập xác định: D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = x^{2} - 2mx + 3m

    Hàm số đồng biến trên \mathbb{R}

    \Leftrightarrow y' \geq 0;\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}x^{2} - 2mx + 3m \geq 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta' \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m^{2} - 3m \leq 0 \Leftrightarrow m \in \lbrack 0;3brack

    Vậy giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m \in \lbrack 0;3brack.

  • Câu 14: Vận dụng

    Bác T làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Biết rằng bác T sử dụng hết 8m^{2} kính. Hỏi dung tích lớn nhất của bế cá bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Bác T làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Biết rằng bác T sử dụng hết 8m^{2} kính. Hỏi dung tích lớn nhất của bế cá bằng bao nhiêu?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 15: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) = x^{3} + 3x^{2} + x - 1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;2brack lần lượt là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 3x^{2} + 6x + 1\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{- 3 - \sqrt{6}}{3} \\x = \dfrac{- 3 + \sqrt{6}}{3} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó: y( - 1) = 0;y\left( \frac{- 3 + \sqrt{6}}{3} ight) = - \frac{4\sqrt{6}}{9};y(2) = 21

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} ight]} y = y\left( 2 ight) = 21 \hfill \\ \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} ight]} y = y\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{3}} ight) = - \frac{{4\sqrt 6 }}{9} \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập số thực và có bảng biến thiên như sau:

    Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2f(x) - m + 2 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt?

    Ta có:

    2f(x) - m + 2 = 0 \Leftrightarrow 2f(x) = m - 2 \Leftrightarrow f(x) = \frac{m - 2}{2}

    Để phương trình có ba nghiệm phân biệt

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = - 1 \\f(x) = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\dfrac{m - 2}{2} = - 1 \\\dfrac{m - 2}{2} = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = 5 \\\end{matrix} ight.

    Vậy có đúng một giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) xác định trên tập số thực và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

    Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

    Ta có:

    Hàm số xác định trên \mathbb{R} và bảng xét dấu đã cho ta suy ra bảng biến thiên:

    Từ đó suy ra hàm số có bốn điểm cực trị.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và đồ thị như hình vẽ.

    a) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2). Đúng||Sai

    b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_{0} = 2. Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng ( - 1;0). Đúng||Sai

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;0brack bằng 0. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và đồ thị như hình vẽ.

    a) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2). Đúng||Sai

    b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_{0} = 2. Đúng||Sai

    c) Đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng ( - 1;0). Đúng||Sai

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1;0brack bằng 0. Sai||Đúng

    Theo hình vẽ, hàm số nghịch biến trên khoảng (0\ ;\ 2) và đạt cực tiểu tại điểm x_{o} = 2.

    Vì hàm số đồng biến trên khoảng ( - 1\ \ ;\ 0) nên đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng đó.

    Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \lbrack - 1\ ;\ 0brack bằng 2.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Hàm số y = x4 - 2x2 + 1 đồng biến trên khoảng nào?

     Ta có bảng biến thiên như sau:

    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Hàm số y = x4 – 2x2 + 1 đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; +∞)

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 2)^{2}(x - 1).x^{3};\forall x\mathbb{\in R}. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số có một điểm cực tiểu.

  • Câu 21: Vận dụng

    Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}mx^{2} + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Khi đó tổng tất cả các giá trị của các phần tử trong tập hợp S bằng:

    Ta có: y' = x^{2} - mx + 2m

    \Leftrightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} - mx + 2m = 0(*)

    Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình (*) ta có bảng biến thiên:

    Hàm số y nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x_{1};x_{2} thỏa mãn \left| x_{1} - x_{2} ight| = 3

    (*) có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta = m^{2} - 8m > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ m > 8 \\ \end{matrix} ight.\ (**)

    \left| x_{1} - x_{2} ight| = 3 \Leftrightarrow \left( x_{1} - x_{2} ight)^{2} = 9 \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 4x_{1}.x_{2} = 9

    \Leftrightarrow m^{2} - 8m - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \left( tm(**) ight)

    Suy ra S = \left\{ 9; - 1 ight\}

    Vậy tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 8.

  • Câu 22: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x^{2} + 4x + m} có đúng ba đường tiệm cận?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x^{2} + 4x + m} có đúng ba đường tiệm cận?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{mx - m^{2} - 2}{- x + 1}với m là tham số thực lớn hơn - 3 thỏa mãn \max_{\lbrack - 4; - 2brack}y = - \frac{1}{3}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: y' = \frac{- m^{2} + m - 2}{( - x + 1)^{2}} < 0;x \in \lbrack - 4; - 2brack

    Do đó y = \frac{mx - m^{2} - 2}{- x + 1} nghịch biến trên \lbrack - 4; - 2brack.

    Từ đó suy ra

    \max_{\lbrack - 4; - 2brack}y = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{- m^{2} - 4m - 2}{5} = - \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow 3m^{2} + 12m + 1 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = \dfrac{- 6 + \sqrt{33}}{3}(TM) \\m = \dfrac{- 6 - \sqrt{33}}{3}(L) \\\end{matrix} ight.

    Vậy đáp án đúng là - \frac{1}{2} < m < 0.

  • Câu 24: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + m^{2} - 8 (với mlà tham số) có đồ thị (C). Giả sử các điểm A;B;C là các điểm cực trị của (C). Để tam giác ABC đều thì giá trị của tham số m nằm trong khoảng nào sau đây?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 4x^{3} - 4(m + 1)x

    y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} - 4(m + 1)x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có ba nghiệm phân biệt hay x^{2} = m + 1 có hai nghiệm khác 0

    \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1

    Khi đó y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \sqrt{m + 1} \\ x = - \sqrt{m + 1} \\ \end{matrix} ight.

    Đồ thị (C) có ba điểm cực trị là A\left( 0;m^{2} + 8 ight);B\left( \sqrt{m + 1}; - (m + 1)^{2} + m^{2} + 8 ight);C\left( - \sqrt{m + 1}; - (m + 1)^{2} + m^{2} + 8 ight).

    Ta có: AB = AC = \sqrt{m + 1 + (m + 1)^{4}}

    Do đó tam giác ABC đều \Leftrightarrow AB = BC

    \Leftrightarrow \sqrt{m + 1 + (m + 1)^{4}} = \sqrt{4(m + 1)}

    \Leftrightarrow m + 1 + (m + 1)^{4} = 4(m + 1)

    \Leftrightarrow (m + 1)^{4} - 3(m + 1) = 0

    \Leftrightarrow (m + 1)\left\lbrack (m + 1)^{3} - 3 ightbrack = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m + 1 = 0 \\ (m + 1)^{3} - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 1 + \sqrt[3]{3} \\ \end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện m > - 1 \Rightarrow m = - 1 + \sqrt[3]{3}.

    Vậy đáp án cần tìm là m \in \left( \frac{1}{4};\frac{1}{2} ight).

  • Câu 25: Nhận biết

    Hàm số y = 2{x^4} - 4 đồng biến trên khoảng

    Ta có y’ = 8x => y’ = 0 => x = 0

    => y’ > 0 => x > 0

    => y’ < 0 => x < 0

    Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \left( {0; + \infty } ight)

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hàm số y = - x^{3} + 3x^{2} - 1. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số có 2 cực trị. Đúng||Sai

    b) Điểm cực đại của hàm số là x = 2. Đúng||Sai

    c) Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 3).Sai||Đúng

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số là 3. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = - x^{3} + 3x^{2} - 1. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số có 2 cực trị. Đúng||Sai

    b) Điểm cực đại của hàm số là x = 2. Đúng||Sai

    c) Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 3).Sai||Đúng

    d) Giá trị lớn nhất của hàm số là 3. Sai||Đúng

    Hàm số y = - x^{3} + 3x^{2} - 1 có đồ thị như sau:

    a) Đúng. Từ đồ thị, ta khẳng định hàm số có 2 cực trị.

    b) Đúng. Từ đồ thị, ta khẳng định hàm số có điểm cực đại là x = 2.

    c) Sai. Trên khoảng (−1; 3) hàm số có đồng biến và nghịch biến.

    d) Sai. Trên R không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

  • Câu 27: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 5). Sai|| Đúng

    b) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = −2. Đúng||Sai

    c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −2. Sai|| Đúng

    d) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 5). Sai|| Đúng

    b) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = −2. Đúng||Sai

    c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −2. Sai|| Đúng

    d) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5. Đúng||Sai

    Hàm số y = f(x) không có giá trị nhỏ nhất nên phát biểu “Hàm số y = f(x) có giá trị nhỏ nhất bằng −2” là phát biểu sai.

  • Câu 28: Vận dụng

    Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 200m^{2}. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 300 nghìn đồng/m2. Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây bể.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 200m^{2}. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 300 nghìn đồng/m2. Hãy xác định chi phí thấp nhất để xây bể.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 29: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3x - 10}}{x - 2} có bao nhiêu đường tiệm cận?

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 3x - 10 \geq 0 \\ x - 2 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x \leq - 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} ight.\ \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \leq - 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy D = ( - \infty; - 2brack \cup \lbrack 5; + \infty)

    Xét \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} - 3x - 10}}{x - 2} = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x\sqrt{1 - \dfrac{3}{x} - \dfrac{10}{x^{2}}}}{x - 2}=\lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{\sqrt{1 - \dfrac{3}{x} -\dfrac{10}{x^{2}}}}{1 - \dfrac{2}{x}} = 1

    Vậy y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    Xét \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} - 3x - 10}}{x - 2} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- x\sqrt{1 - \dfrac{3}{x} - \dfrac{10}{x^{2}}}}{x - 2}=\lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{- \sqrt{1 - \dfrac{3}{x} -\dfrac{10}{x^{2}}}}{1 - \dfrac{2}{x}} = - 1

    Vậy y = - 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    Vì \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x - 10}}{x - 2};\lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x - 10}}{x - 2} không tồn tại nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.

    Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{2} + 4x + m} có duy nhất một đường tiệm cận là:

    Ta có: \lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}y = 0 nên đồ thị hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang là y = 0.

    Vậy để đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{2} + 4x + m} có duy nhất một đường tiệm cận thì đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng, hay phương trình x^{2} + 4x + m vô nghiệm

    \Leftrightarrow \Delta' < 0 \Leftrightarrow 4 - m < 0 \Leftrightarrow m > 4

  • Câu 31: Nhận biết

    Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = x^{3} - 3x + 2 là:

    Ta có: y = x^{3} - 3x + 2 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y' = 3x^{2} - 3 \\ y'' = 6x \\ \end{matrix} ight.

    y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 2

    Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là (0;2)

  • Câu 32: Nhận biết

    Đồ thị được cho dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

    Đồ thị được cho dưới đây là đồ thị của hàm số nào

     Đồ thị hàm số hình chữ N ngược => Đây là hàm số bậc 3 dạng

    y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d;\left( {a < 0} ight)

  • Câu 33: Thông hiểu

    Biết đồ thị hàm số y = \frac{(2m - n)x^{2} + mx + 1}{x^{2} + mx + n - 6} (với m,n là tham số) nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận. Tính tổng m + n?

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{(2m - n)x^{2} + mx + 1}{x^{2} + mx + n - 6} = 2m - n suy ra y = 2m - n là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    Suy ra 2m - n = 0.

    Đồ thị hàm số nhận trục tung x = 0 là tiệm cận đứng nên phương trình x^{2} + mx + n - 6 = 0 có một nghiệm bằng 0 hay n - 6 = 0

    Theo giả thiết ta có: \left\{ \begin{matrix} 2m - n = 0 \\ n - 6 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 3 \\ n = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m + n = 9

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = {x^3} - 3x + 1. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f\left( {f\left( x ight)} ight) = f\left( 2 ight) là:

    Ta có: f\left( {f\left( x ight)} ight) = f\left( 2 ight) = 3

    Đồ thị của hàm số f\left( x ight) = {x^3} - 3x + 1 được minh họa bằng hình vẽ sau:

    Số nghiệm thực phân biệt của phương trình

    Từ đồ thị ta suy ra

    f\left( {f\left( x ight)} ight) = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) = 2} \\ {f\left( x ight) = - 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} - 3x + 1 = 2} \\ {{x^3} - 3x + 1 = - 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^3} - 3x + 1 = 0\left( * ight)} \\ {{x^3} - 3x + 2 = 0\left( {**} ight)} \end{array}} ight.

    Phương trình (*) có 3 nghiệm thực

    Phương trình (**) có 2 nghiệm thực

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là:

    Dựa vào bảng biến thiên ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}f(x) = 2 nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = 2.

  • Câu 36: Nhận biết

    Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ:

    Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số a >0 và có ba điểm cực trị nên ab <0.

    Suy ra hàm số tương ứng với đồ thị đã cho là y = x^{4} - 2x^{2}.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ:

    Dựa vào hình dáng đồ thị ta suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số a < 0 nên loại đáp án y = x^{4} - 2x^{2} - 1

    Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (0; -1) nên loại đáp án y = - x^{4} +2x^{2}

    Lại có đồ thị hàm số có các điểm cực trị (1;1),( - 1,1) nên loại đáp án y = - x^{4} + 2x^{2} - 1

    Vậy hàm số cần tìm là y = - 2x^{4} +4x^{2} - 1.

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đạo hàm y' = - x^{2} - 1;\forall x\mathbb{\in R}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: y' = - x^{2} - 1;\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow}f'(x) < 0;\forall x\mathbb{\in R} do đó hàm số y = f(x) nghịch biến trên \mathbb{R}

    Do 0 < 2020 \Rightarrow f(0) > f(2020)

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Cho f(x) mà đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ.

    Hàm số y = f\left( {x - 1} ight) + {x^2} - 2x đồng biến trên khoảng nào trong các đáp án dưới đây?

    Ta có: y = f\left( {x - 1} ight) + {x^2} - 2x

    => y' = f'\left( {x - 1} ight) + 2x - 2

    Hàm số đồng biến khi y' \geqslant 0 \Leftrightarrow f'\left( {x - 1} ight) + 2\left( {x - 1} ight) \geqslant 0\left( * ight)

    Đặt t = x – 1 thì (*) trở thành

    f'\left( t ight) + 2t \geqslant 0 \Leftrightarrow f'\left( t ight) \geqslant - 2t

    Quan sát đồ thị hàm số y = f’(t) và y = -2t trên cùng một hệ tọa độ như hình vẽ

    Xác định khoảng đồng biến của hàm số

    Khi đó ta thấy với t \in \left( {0;1} ight) thì độ thì hàm số y = f’(t) luôn nằm trên đường thẳng y = -2t

    => f'\left( t ight) + 2t > 0,\forall t \in \left( {1;2} ight)

    Do đó với \forall x \in \left( {1;2} ight) thì hàm số y = f\left( {x - 1} ight) + {x^2} - 2x đồng biến.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Biết giá trị lớn nhất của hàm số y = - 2x^{3} + 3x^{2} + m trên đoạn \lbrack 0;2brack bằng 5. Tìm giá trị của tham số m?

    Ta có: y' = - 6x^{2} + 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên ta có:

    \max_{\lbrack 0;2brack}f(x) = 5 \Leftrightarrow f(1) = 5 \Leftrightarrow m + 1 = 5 \Leftrightarrow m = 4

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 10 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập