Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên của đạo hàm như sau:

    Số cực trị của hàm số

    Hàm số g\left( x ight) = f\left( {\left| {\frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} ight) - 2}}{2}} ight|} ight) có bao nhiêu điểm cực trị?

    Xét hàm số t\left( x ight) = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} ight) - 2}}{2}, ta có bảng giá trị |t(x)|

    Số cực trị của hàm số

    Ta có: g\left( x ight) = f\left( {\left| {\frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} ight) - 2}}{2}} ight|} ight) = f\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight)

    Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = \pm \sqrt {{e^2} - 1}

    Tại mọi điểm x = \pm \sqrt {{e^2} - 1} ta có:

    g'\left( x ight) = f'\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight).\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight)'

    = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{f'\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight).x}}{{{x^2} + 1}}{\text{ khi x}} \in \left( { - \infty ; - \sqrt {{e^2} - 1} } ight) \cup \left( {\sqrt {{e^2} - 1} ; + \infty } ight)} \\ { - \dfrac{{f'\left( {\left| {t\left( x ight)} ight|} ight).x}}{{{x^2} + 1}}{\text{ khi x}} \in \left( { - \sqrt {{e^2} - 1} ;\sqrt {{e^2} - 1} } ight)} \end{array}} ight.\left( * ight)

    => g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {\left| {t\left( x ight)} ight| = {t_1};\left( {{t_1} < 1} ight){\text{ }}\left( 1 ight)} \\ {\left| {t\left( x ight)} ight| = {t_2};\left( { - 1 < {t_2} < 0} ight){\text{ }}\left( 2 ight)} \\ {\left| {t\left( x ight)} ight| = {t_3};\left( {0 < {t_3} < 1} ight){\text{ }}\left( 3 ight)} \\ {\left| {t\left( x ight)} ight| = {t_4};\left( {{t_4} > 1} ight){\text{ }}\left( 4 ight)} \end{array}} ight.

    Dựa vào bảng giá trị hàm |t| suy ra:

    + Phương trình (1), (2) vô nghiệm

    + Phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt khác 0

    + Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình (3)

    => g’(x) = 0 có 7 nghiệm và qua các nghiệm này g’(x) đều đổi dấu

    Từ (*) ta thấy g’(x) cũng đổi dấu khi x đi qua 2 điểm x = \pm \sqrt {{e^2} - 1}

    Vậy hàm số g(x) có 9 điểm cực trị.

  • Câu 2: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = f(x) được biểu diễn bởi hình vẽ:

    Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

    Quan sát đồ thị của hàm số ta thấy hàm số có điểm cực tiểu là x = 2.

  • Câu 3: Vận dụng

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = {x^3} - 3\left( {m + 1} ight){x^2} + 3\left( {7m - 3} ight)x không có cực trị. Số phần tử của S là:

    Xét hàm số y = {x^3} - 3\left( {m + 1} ight){x^2} + 3\left( {7m - 3} ight)x ta có:

    \begin{matrix} y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 1} ight)x + 3\left( {7m - 3} ight) \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + 7m - 3 = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Hàm số đã cho không có cực trị

    => Phương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

    => \Delta ' \leqslant 0 \Rightarrow {\left( {m + 1} ight)^2} - 1\left( {7m - 3} ight) \leqslant 0 \Rightarrow 1 \leqslant m \leqslant 4

    Do m là số nguyên nên m \in \left\{ {1;2;3;4} ight\}

    Vậy tập S có 4 phần tử.

  • Câu 4: Nhận biết

    Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như trong hình vẽ?

    Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc ba dạng y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d với a < 0

    Vậy hàm số cần tìm là y = - x^{3} + 3x^{2} - 1.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Tập xác định D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}

    \begin{matrix} y' = \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x = 3} \end{array}} ight. \hfill \\ y'' = \frac{8}{{{{\left( {x - 1} ight)}^3}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y''\left( { - 1} ight) = - 1 < 0} \\ {y''\left( 3 ight) = 1 > 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{CD}} = y\left( { - 1} ight) = - 2} \\ {{y_{CT}} = y\left( 3 ight) = 3} \end{array}} ight. \Rightarrow {y_{CD}} < {y_{CT}} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 6: Vận dụng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = \frac{m\sin x + 1}{\cos x + 2} nhỏ hơn 2?

    Ta có: y = \frac{m\sin x + 1}{\cos x + 2}\Leftrightarrow m\sin x + 1 = y\cos x + 2y

    \Leftrightarrow m\sin x - y\cos x = 2y - 1

    Phương trình có nghiệm khi

    m^{2} + y^{2} \geq (2y - 1)^{2} \Leftrightarrow m^{2} + y^{2} \geq 4y^{2} - 4y + 1

    \Leftrightarrow 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} \leq 0

    Xét phương trình 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} = 0 có \Delta' = ( - 2)^{2} - 3\left( 1 - m^{2} ight) = 3m^{2} + 1 > 0;\forall m

    Suy ra phương trình 3y^{2} - 4y + 1 - m^{2} = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó:

    \Leftrightarrow \frac{2 - \sqrt{3m^{2} + 1}}{3} \leq \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}

    Suy ra \max y = \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3}. Theo yêu cầu bài toán ta có:

    \max y < 2 \Leftrightarrow \frac{2 + \sqrt{3m^{2} + 1}}{3} < 2

    \Leftrightarrow \sqrt{3m^{2} + 1} < 4 \Leftrightarrow 3m^{2} + 1 < 16 \Leftrightarrow - \sqrt{5} < m < \sqrt{5}

    Mà m\mathbb{\in Z} suy ra m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2 ight\}

    Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{2} + 4x + m} có duy nhất một đường tiệm cận là:

    Ta có: \lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}y = 0 nên đồ thị hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang là y = 0.

    Vậy để đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{2} + 4x + m} có duy nhất một đường tiệm cận thì đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng, hay phương trình x^{2} + 4x + m vô nghiệm

    \Leftrightarrow \Delta' < 0 \Leftrightarrow 4 - m < 0 \Leftrightarrow m > 4

  • Câu 8: Thông hiểu

    Vận tốc của một chất điểm được xác định bởi công thức v(t) = t^{3} - 10t^{2} + 29t - 20 (với v được tính bằng giây). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc nhỏ nhất gần bằng:

    Gia tốc của chất điểm a(t) = v'(t) = 3t^{2} - 20t + 29 gia tốc là hàm số bậc hai ẩn t đạt giá trị nhỏ nhất tại t = \frac{10}{3}

    Tại đó, vận tốc của chất điểm bằng v\left( \frac{10}{3} ight) = \frac{70}{27} \approx 2,59.

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ sau:

    Xét hàm g(x) = f\left( x^{2} - 2 ight). Mệnh đề nào dưới đây sai?

    Ta có: g'(x) = 2x.f'\left( x^{2} - 2 ight)

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x.f'\left( x^{2} - 2 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x = 0 \\ f'\left( x^{2} - 2 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} - 2 = - 1 \\ x^{2} - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.

    Dựa vào đồ thị ta thấy f'\left( x^{2} - 2 ight) > 0

    \Leftrightarrow x^{2} - 2 > 2 \Leftrightarrow x^{2} > 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 2 \\ x > 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số g(x) nghịch biến trên ( - 1;0) là sai.

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho hàm số y =f(x) có bảng xét dấu f'(x) như sau:

    Hàm số y = f\left( 2 - e^{x} ight) -\frac{1}{3}e^{3x} + 3e^{2x} - 5e^{x} + 1 đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y =f(x) có bảng xét dấu f'(x) như sau:

    Hàm số y = f\left( 2 - e^{x} ight) -\frac{1}{3}e^{3x} + 3e^{2x} - 5e^{x} + 1 đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} + mx^{2} + m. Điều kiện cần và đủ của tham số m để hàm số nghịch biến trên (0;2) là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 3x^{2} + 2mx

    Để hàm số đã cho nghịch biến trên (0;2) thì y' \leq 0;\forall x \in (0;2)

    \Leftrightarrow 3x^{2} + 2mx \leq 0;\forall x \in (0;2)

    \Leftrightarrow 2mx \leq - 3x^{2} \Leftrightarrow m \leq - \frac{3}{2}x^{2};\forall x \in (0;2)

    \Leftrightarrow m \leq \min_{(0;2)}\left\{ - \frac{3}{2}x ight\} = - 3

    Vậy giá trị cần tìm là m \leq - 3.

  • Câu 12: Nhận biết

    Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

    Đồ thị trong hình vẽ là hàm số có dạng y= \frac{ax + b}{cx + d}

    Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y =1 và tiệm cận đứng x = 2 nên hàm số cần tìm là y = \frac{x + 3}{x -2}.

  • Câu 13: Nhận biết

    Đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{x - 7}}{x^{2} + 3x - 4} có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

    Tập xác định D = \lbrack 7; + \infty)

    Phương trình x^{2} + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 4 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó không tồn tại các giới hạn \lim_{x ightarrow - 4^{-}}y;\lim_{x ightarrow - 4^{+}}y;\lim_{x ightarrow 1^{-}}y;\lim_{x ightarrow 1^{+}}y. Vì vậy đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho hàm số  y = f\left( x ight) có bảng biến thiên như sau:

    Số nghiệm của phương trình

    Số nghiệm của phương trình {f^2}\left( x ight) = 4 là:

     

    Ta có: {f^2}\left( x ight) = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) = 2\left( * ight)} \\ {f\left( x ight) = - 2\left( {**} ight)} \end{array}} ight.

    Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f\left( x ight) với đường thẳng y = 2;y = - 2

    Phương trình (*) có 1 nghiệm

    Phương trình (**) có 2 nghiệm

    => Số nghiệm của phương trình {f^2}\left( x ight) = 4 là 3 nghiệm

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hàm số y = - x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 3(2m - 1)x + 2020. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên ( - \infty; + \infty)?

    Ta có: y' = - 3x^{2} - 6(m + 1)x + 3(2m - 1)

    Để hàm số đã cho nghịch biến trên ( - \infty; + \infty)

    \Leftrightarrow y' \leq 0 \Leftrightarrow \Delta' \leq 0

    \Leftrightarrow 9\left( m^{2} + 2m + 1 ight) + 18m - 9 \leq 0

    \Leftrightarrow 9m^{2} + 36m \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 0

    Do m\mathbb{\in Z} nên có tất cả 5 giá trị của m thỏa mãn điều kiện.

  • Câu 16: Vận dụng cao

    Cho hàm bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Hỏi đồ thị hàm số y = \frac{\left( x^{2}+ 4x + 3 ight).\sqrt{x^{2} + x}}{x\left\lbrack f^{2}(x) - 2f(x)ightbrack} có bao nhiêu đường tiệm cận?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Hỏi đồ thị hàm số y = \frac{\left( x^{2}+ 4x + 3 ight).\sqrt{x^{2} + x}}{x\left\lbrack f^{2}(x) - 2f(x)ightbrack} có bao nhiêu đường tiệm cận?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 17: Thông hiểu

    Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x + \sqrt{4 - x^{2}} lần lượt là M;m. Tính giá trị biểu thức P = M^{2} - m^{2}?

    Tập xác định D = \lbrack - 2;2brack

    Ta có: y' = 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0

    \Leftrightarrow x = \sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} = 4 - x^{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = \sqrt{2}

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} f(2) = 2;f( - 2) = - 2 \\ f\left( \sqrt{2} ight) = 2\sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) = M = 2\sqrt{2} \\ \min_{\lbrack - 2;2brack}f(x) = m = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow P = M^{2} - m^{2} = 4

  • Câu 18: Nhận biết

    Hàm số nào dưới dây nghịch biến trên khoảng ( - \infty; + \infty)?

    Xét hàm số y = - 2x + 1 có y' = - 2 < 0;\forall x\mathbb{\in R} nên hàm số y = - 2x + 1 nghịch biến trên khoảng ( - \infty; + \infty).

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)\left( x^{2} - 1ight)(x - 3)^{3};\forall x\mathbb{\in R}. Hỏi hàm số y = f\left( |x| ight) có bao nhiêu cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)\left( x^{2} - 1ight)(x - 3)^{3};\forall x\mathbb{\in R}. Hỏi hàm số y = f\left( |x| ight) có bao nhiêu cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = - x^{3} + (m + 1)x^{2} - 2m - 1. Định m để hàm số đạt cực đại tại x = 2?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} y' = - 3x^{2} + 2(m + 1)x \\ y'' = - 6x + 2(m + 1) \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2 khi

    \left\{ \begin{matrix} y'(2) = 0 \\ y''(2) < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 12 + 4(m + 1) = 0 \\ - 12 + 2(m + 1) < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ m < 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 2

    Vậy đáp án cần tìm là m = 2.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận?

    Ta có: Đồ thị hàm số y = \frac{1}{{4 - {x^2}}} có 3 đường tiệm cận trong đó

    Tiệm cận đứng là x = 2 và x = -2

    Tiệm cận ngang là y = 0

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hàm số y = - x^{3} + 6(m + 2)x^{2} - m + 1 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên ( - 2; - 1)?

    Ta có: y' = - 3x^{2} + 12(m + 2)x

    Hàm số y = - x^{3} + 6(m + 2)x^{2} - m + 1 đồng biến trên khoảng ( - 2; - 1) khi và chỉ khi:

    y' = - 3x^{2} + 12(m + 2)x \geq 0;\forall x \in ( - 2; - 1)

    \Leftrightarrow - x^{2} + 4mx + 8x \geq 0;\forall x \in ( - 2; - 1)

    \Leftrightarrow 4mx \geq x^{2} - 8x;\forall x \in ( - 2; - 1)

    \Leftrightarrow m \leq \frac{x}{4} - 2 \Leftrightarrow m \leq \frac{- 2}{4} - 2 = - \frac{5}{2}

    Vậy đáp án cần tìm là m \in \left( - \infty; - \frac{5}{2} ightbrack.

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Gọi K là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m \in \left[ {0;2019} ight] để bất phương trình {x^2} - m + \sqrt {{{\left( {1 - {x^2}} ight)}^3}} \leqslant 0 nghiệm đúng với mọi x \in \left[ { - 1;1} ight] . Số các phần tử của tập hợp K là:

    Đặt t = \sqrt {1 - {x^2}} ;x \in \left[ { - 1;1} ight] \Rightarrow t \in \left[ {0;1} ight]

    Bất phương trình đã cho trở thành {t^3} - {t^2} + 1 - m \leqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant {t^3} - {t^2} + 1\left( * ight)

    Yêu cầu bài toán tương đương với bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi t \in \left[ {0;1} ight]

    Xét hàm số f\left( t ight) = {t^3} - {t^2} + 1 \Rightarrow f'\left( t ight) = 3{t^3} - 2t

    f'\left( t ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 0\left( L ight)} \\ {t = \dfrac{2}{3}\left( {tm} ight)} \end{array}} ight.

    Vì \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 ight) = f\left( 1 ight) = 1} \\ {f\left( {\dfrac{2}{3}} ight) = \dfrac{{23}}{{27}}} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} ight]} f\left( t ight) = 1

    Do đó bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi t \in \left[ {0;1} ight] khi và chỉ khi m \geqslant 1

    Mặt khác m là số nguyên thuộc [0; 2019] nên m \in \left\{ {1;2;3;...;2019} ight\}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{x^{2} - 3x - 10}}{x - 2} có bao nhiêu đường tiệm cận?

    Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 3x - 10 \geq 0 \\ x - 2 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x \leq - 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} ight.\ \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \leq - 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy D = ( - \infty; - 2brack \cup \lbrack 5; + \infty)

    Xét \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} - 3x - 10}}{x - 2} = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x\sqrt{1 - \dfrac{3}{x} - \dfrac{10}{x^{2}}}}{x - 2}=\lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{\sqrt{1 - \dfrac{3}{x} -\dfrac{10}{x^{2}}}}{1 - \dfrac{2}{x}} = 1

    Vậy y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    Xét \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{\sqrt{x^{2} - 3x - 10}}{x - 2} = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{- x\sqrt{1 - \dfrac{3}{x} - \dfrac{10}{x^{2}}}}{x - 2}=\lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{- \sqrt{1 - \dfrac{3}{x} -\dfrac{10}{x^{2}}}}{1 - \dfrac{2}{x}} = - 1

    Vậy y = - 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    Vì \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x - 10}}{x - 2};\lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{\sqrt{x^{2} - 3x - 10}}{x - 2} không tồn tại nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.

    Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu của f'(x) như sau:

    Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

    Đạo hàm f'(x) đổi dấu từ âm sang dương hai lần qua các điểm x = - 2 và x = 2 nên hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm y = f'(x) = x^{2}\left( x^{2} - 1 ight);\forall x\mathbb{\in R}. Hàm số y = f( - x) đồng biến trên khoảng:

    Ta có:

    f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu:

    y = f( - x) \Rightarrow y' = - f'( - x)

    Hàm số y = f( - x) đồng biến khi và chỉ khi

    - f'( - x) < 0 \Leftrightarrow f'( - x) > 0

    \Leftrightarrow - 1 < - x < 1 \Leftrightarrow 1 > x > - 1

    Vậy đáp án cần tìm là ( - 1;1).

  • Câu 27: Nhận biết

    Trong các hàm số sau, đồ thị của hàm số nào có tiệm cận đứng?

    Xét hàm số y = \frac{1}{\sqrt{x}} có

    Tập xác định D = (0; + \infty)

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}\frac{1}{\sqrt{x}} = + \infty suy ra x = 0 là tiệm cận đứng của hàm số.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2} + 2x} có bao nhiêu đường tiệm cận?

    Tập xác định D = \lbrack - 1;1brack\backslash\left\{ 0 ight\}

    Vì tập xác định của hàm số không chứa - \infty và + \infty nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.

    Lại có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2} + 2x}} = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2} + 2x}} = + \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.. Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng x = 0.

  • Câu 29: Nhận biết

    Quan sát hình vẽ sau:

    Xác định hàm số tương ứng với đồ thị hàm số trong hình vẽ đã cho?

    Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y =\frac{1}{2} và tiệm cận đứng là x =1 nên hàm số tương ứng là y =\frac{x + 1}{2x - 2}.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} + x^{2} + mx + 1 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R}?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 3x^{2} + 2x + m

    Hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi y' \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Hay \Delta' \leq 0 \Leftrightarrow 1 - 3m \leq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{3}

    Vậy giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m \geq \frac{1}{3}.

  • Câu 31: Vận dụng

    Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f\left( x ight) = 4\sqrt {{x^2} - 2x + 3} + 2x - {x^2}. Tính tích các nghiệm của phương trình f(x) = M.

    Đặt t = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} = \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + 2}

    \begin{matrix} \Rightarrow t \in \left[ {\sqrt 2 ;\infty } ight) \hfill \\ \Rightarrow {x^2} - 2x = {t^2} - 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Xét hàm số f\left( t ight) = 4t - {t^2} + 3,t \in \left[ {\sqrt 2 ;\infty } ight) ta có:

    \begin{matrix} f\left( t ight) = - {\left( {t - 2} ight)^2} + 7 \leqslant 7;t \in \left[ {\sqrt 2 ;\infty } ight) \hfill \\ \Rightarrow f\left( t ight) = M \Rightarrow f\left( t ight) = 7 \Rightarrow t = 2 \hfill \\ \Rightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \Rightarrow {x_1}.{x_2} = - 1 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 32: Nhận biết

    Hàm số nào dưới dây nghịch biến trên tập số thực?

    Ta thấy hàm số y = - x^{2} - 3x có tập xác định \mathbb{R} và đạo hàm y = - 3x^{2} - 3 < 0;\forall x\mathbb{\in R} nên nghịch biến trên \mathbb{R}.

  • Câu 33: Vận dụng

    Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{{\left( {2m - 1} ight)x + 1}}{{x - m}} có đường tiệm cận ngang y = 3 là:

    Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là:

    - m\left( {2m - 1} ight) - 1 e 0 \Rightarrow 2{m^2} - m + 1 e 0 luôn đúng với \forall x \in \mathbb{R}

    Phương trình đường tiệm cận ngang là y = 2m - 1 nên ta có 2x - 1 = 3 \Rightarrow m = 2

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x - 1}{x - m} với m là tham số thực. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ m ight\}. Đúng||Sai

    b) y' = \frac{m - 1}{(x - m)^{2}};\forall x eq m. Sai|| Đúng

    c) Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) khi và chỉ khi m < 1. Sai|| Đúng

    d) Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) khi và chỉ khi 0 ≤ m < 1. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x - 1}{x - m} với m là tham số thực. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ m ight\}. Đúng||Sai

    b) y' = \frac{m - 1}{(x - m)^{2}};\forall x eq m. Sai|| Đúng

    c) Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) khi và chỉ khi m < 1. Sai|| Đúng

    d) Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) khi và chỉ khi 0 ≤ m < 1. Đúng||Sai

    a) Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ m ight\}.

    b) y' = \frac{- m + 1}{(x - m)^{2}};\forall x eq m

    c) Sai.

    Hàm số đã cho đồng biến trên (−∞; 0) khi và chỉ khi

    \left\{ \begin{matrix} m otin ( - \infty;0) \\ - m + 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \geq 0 \\ m < 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 \leq m < 1.

    d) Đúng

  • Câu 35: Nhận biết

    Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 3\sin x - 4{\sin ^3}x trên khoảng \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} ight) bằng:

    Đặt \sin x = t \Rightarrow t \in \left( { - 1;1} ight)

    Khi đó:

    \begin{matrix} f'\left( t ight) = - 12{t^2} + 3 \hfill \\ f'\left( t ight) = 0 \Leftrightarrow t = \pm \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}

    So sánh f\left( {\frac{1}{2}} ight) và f\left( { - \frac{1}{2}} ight) ta thấy GTLN là f\left( {\frac{1}{2}} ight) = 1

  • Câu 36: Thông hiểu

    Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị hàm số y = \frac{x + 2}{x - 1} sao cho khoảng cách từ điểm M đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ điểm M đến trục hoành?

    Gọi M\left( a;\frac{a + 2}{a - 1} ight);(a eq 1) là điểm thuộc đồ thị hàm số y = \frac{x + 2}{x - 1}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}d(M;Oy) = |a| \\d(M;Ox) = \left| \dfrac{a + 2}{a - 1} ight| \\\end{matrix} ight.. Theo bài ra ta có phương trình:

    |a| = 2.\left| \frac{a + 2}{a - 1}ight| \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = 2.\left( \dfrac{a + 2}{a - 1} ight) \\a = - 2.\left( \dfrac{a + 2}{a - 1} ight) \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}a^{2} - 3a - 4 = 0 \\a^{2} + a + 4 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = - 1 \Rightarrow M\left( - 1; - \dfrac{1}{2} ight) \\a = 4 \Rightarrow M(4;2) \\\end{matrix} ight.

    Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack 2;5brack và có đồ thị như hình vẽ:

    Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \lbrack 2;5brack lần lượt là M;m. Kết luận nào sau đây đúng?

    Quan sát đồ thị ta thấy \left\{\begin{matrix}\max_{\lbrack 2;5brack}y = M = 4 \\\min_{\lbrack 2;5brack}y = m = - 6 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M - m = 10

  • Câu 38: Nhận biết

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = \frac{x - 3}{x + 2} trên \lbrack 0;4brack là:

    Ta có: f'(x) = \frac{5}{(x + 2)^{2}};\forall x \in \lbrack 0;4brack nên hàm đồng biến trên \lbrack 0;4brack

    Do đó \min_{\lbrack 0;4brack}f(x) = f(0)

  • Câu 39: Nhận biết

    Hàm số f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1} nghịch biến trên khoảng nào?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}

    f'(x) = \frac{- 5}{(x - 1)^{2}} < 0;\forall x \in D suy ra hàm số nghịch biến trên ( - \infty;1) và (1; + \infty).

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\left\{ - 1 ight\}, liên tục trên các khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

    Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt?

    Số nghiệm của phương trình f(x) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m

    Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì - 4 < m < 2.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 29 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập