Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Câu 1: Vận dụng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\lbrack - 1;3brack$ và có đồ thị như hình vẽ:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = g(x) =f\left( 3\left| \cos x ight| - 1 ight)$ bằng bao nhiêu?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\lbrack - 1;3brack$ và có đồ thị như hình vẽ:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = g(x) =f\left( 3\left| \cos x ight| - 1 ight)$ bằng bao nhiêu?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 2: Vận dụng

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f(x) = -x³ – 3x² + m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1; 1] bằng 0.

A. m = 2
B. m = 6
C. m = 0
D. m = 4

Xét hàm số f(x) = -x³ – 3x² + m trên đoạn [-1; 1] ta có:

f’(x) = -3x² – 6x

f’(x) = 0 => $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 \leqslant x \leqslant 1} \\ { - 3{x^2} - 6x = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow x = 0$

Ta tính được

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( { - 1} ight) = 2 + m} \\ \begin{gathered} f\left( 0 ight) = m \hfill \\ f\left( 1 ight) = - 4 + m \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} ight]} f\left( x ight) = f\left( 1 ight) = - 4 + m \hfill \\ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} ight]} f\left( x ight) = 0 \Rightarrow m = 4 \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 3: Nhận biết

Đồ thị của hàm số nào tương ứng với đồ thị trong hình vẽ sau:

Đồ thị hàm số ứng với hàm số nào

A. $y = {x^3} - 4x - 1$
B. $y = {x^3} + 3{x^2} + 1$
C. $y = {x^3} - 4x + 1$
D. $y = - {x^3} + 4x + 2$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0;d} ight)$

=> $d > 0$ => Loại đáp án $y = {x^3} - 4x - 1$

Mặt khác $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = + \infty$ => Hệ số a > 0 => Loại đáp án $y = - {x^3} + 4x + 2$

Hàm số đạt cực trị tại hai điểm ${x_1};{x_2}$ , dựa vào hình vẽ ta thấy ${x_1};{x_2}$ trái dấu

=> Loại đáp án $y = {x^3} + 3{x^2} + 1$

Vậy đáp án là $y = {x^3} - 4x + 1$

Câu 4: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tìm giá trị của tham số thực $m$ để phương trình $f(x) = m$ có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt?

A.
$( - 1;3)$
B.
$( - 1;3brack$
C.
$\lbrack - 1;3brack$
D.
$\lbrack - 1;3)$

Phương trình $f(x) = m$ có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại ít nhất hai điểm phân biệt

$\Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 3$

Câu 5: Nhận biết

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3x + 4$ trên đoạn $\lbrack 0;2brack$ là:

A.
$3$
B.
$4$
C.
$2$
D.
$6$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Lại có: $\left\{ \begin{matrix} f(0) = 4 \\ f(1) = 2 \\ f(2) = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack 0;2brack}y = 2$

Câu 6: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hỏi hàm số $y = 2021 - f(x)$ đồng biến trên khoảng nào?

A.
$( - 1; + \infty)$
B.
$( - 1;0)$
C.
$( - \infty; - 2)$
D.
$(0;2)$

Hàm số $y = 2021 - f(x)$ có $y' = - f'(x)$

$y' = 0 \Leftrightarrow - f'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Từ bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$ ta có bảng biến thiên của hàm số $y = 2021 - f(x)$

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số $y = 2021 - f(x)$ đồng biến trong khoảng $( - 1;0)$ .

Câu 7: Nhận biết

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 1}{- x - 1}$ ?

A.
$x = 3$
B.
$y = - 3$
C.
$x = 1$
D.
$y = 1$

Ta có: $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{3x - 1}{- x - 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{3x - 1}{- x - 1} = - 3$

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 1}{- x - 1}$ là đường thẳng $y = - 3$ .

Câu 8: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{\sqrt{4 - x}}{\sqrt{x + 1}}$ . Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A.
$3$
B.
$2$
C.
$1$
D.
$0$

Tập xác định $D = ( - 1;4brack$ suy ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận xiên

$\lim_{x ightarrow ( - 1)^{+}}y = + \infty$ suy ra đồ thị nhận đường thẳng $x = - 1$ làm tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận.

Câu 9: Nhận biết

Hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ dưới đây là:

A.
$y = - x^{4} +3x^{2}$
B.
$y = x^{3} - 3x$
C.
$y = 3x^{4} - 2x^{2}$
D.
$y = - x^{3} +3x$

Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ với $a < 0$ nên hàm số tương ứng là $y = - x^{3} + 3x$ .

Câu 10: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{2mx + m^{2} + m - 2}{x + m}$ với $m$ là tham số. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\lbrack 1;4brack$ bằng $1$ . Tổng các phần tử của tập hợp $S$ bằng:

A.
$- 2$
B.
$1$
C.
$0$
D.
$- 3$

Điều kiện $x eq - m$

Ta có: $y' = \frac{m^{2} - m + 2}{(x + m)^{2}}$ . Vì $\left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ \Delta_{m} = ( - 1)^{2} - 4.1.2 < 0 \\ \end{matrix} ight.$ nên $m^{2} - m + 2 > 0;\forall \in m$

$\Rightarrow y' > 0;\forall x \in \lbrack 1;4brack$

Suy ra giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\lbrack 1;4brack$ bằng $y(1) = 1 \Leftrightarrow \frac{m^{2} + 3m - 2}{1 + m} = 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq - 1 \\ m^{2} + 2m - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \in \left\{ 1; - 3 ight\}$

Kết hợp điều kiện $\left\{ \begin{matrix} x eq - m \\ x \in \lbrack 1;4brack \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m = - 3(ktm)$

Vậy $S = \left\{ 1 ight\}$ nên tổng các phần tử thuộc tập S bằng 1.

Câu 11: Thông hiểu

Hàm số $y = \frac{x - 2}{x - m}$ nghịch biến trên khoảng $( - \infty;3)$ khi:

A.
$m < 2$
B.
$m > 2$
C.
$m \geq 3$
D.
$m < - 3$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ m ight\}$

Ta có: $y' = \frac{- m + 2}{(x - m)^{2}}$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty;3)$ khi $\left\{ \begin{matrix} m otin ( - \infty;3) \\ - m + 2 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \geq 3 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \geq 3$

Vậy đáp án cần tìm là $m \geq 3$ .

Câu 12: Nhận biết

Với giá trị nào của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{2x^{2} + 6mx + 4}{mx + 2}$ đi qua điểm $A( - 1;4)$ ?

A.
$m = 2$
B.
$m = 1$
C.
$m = - 1$
D.
$m = \frac{1}{2}$

Thay tọa độ điểm $A( - 1;4)$ vào $y = \frac{2x^{2} + 6mx + 4}{mx + 2}$ ta được:

$4 = \frac{2.( - 1)^{2} + 6m.( - 1) + 4}{m.( - 1) + 2} \Leftrightarrow 2m = - 2 \Leftrightarrow m = - 1$

Vậy giá trị m cần tìm là $m = - 1$ .

Câu 13: Vận dụng cao

Anh Hùng đang ở trong rừng để đào vàng và tìm thấy vàng ở điểm $X$ cách điểm $A$ một khoảng 3 km. Điểm $A$ nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của anh Hùng nằm ở vị trí $Y$ cách điểm $B$ một khoảng 3 km. Điểm $B$ cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng $AB = 3(km),AM = NB = x(km)$ và $AX = BY = 3(km)$ (minh hoạ như hình vẽ sau).

Khi đang đào vàng, anh Hùng không may bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình $y = 50\log(t +2)$ . Trong đó, $y$ là nồng độ, $t$ là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Anh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Anh ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là $5km/h$ và $13km/h$ . Để về đến trại anh Hùng cần chạy từ trong rừng qua điểm $M,N$ trên bãi biển. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi anh Hùng về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Anh Hùng đang ở trong rừng để đào vàng và tìm thấy vàng ở điểm $X$ cách điểm $A$ một khoảng 3 km. Điểm $A$ nằm trên đường bờ biển (đường bờ biển là đường thẳng). Trại của anh Hùng nằm ở vị trí $Y$ cách điểm $B$ một khoảng 3 km. Điểm $B$ cũng thuộc đường bờ biển. Biết rằng $AB = 3(km),AM = NB = x(km)$ và $AX = BY = 3(km)$ (minh hoạ như hình vẽ sau).

Khi đang đào vàng, anh Hùng không may bị rắn cắn, chất độc lan vào máu. Sau khi bị cắn, nồng độ chất độc trong máu tăng theo thời gian được tính theo phương trình $y = 50\log(t +2)$ . Trong đó, $y$ là nồng độ, $t$ là thời gian tính bằng giờ sau khi bị rắn cắn. Anh cần quay trở lại trại để lấy thuốc giải độc. Anh ấy chạy trong rừng và trên bãi biển với vận tốc lần lượt là $5km/h$ và $13km/h$ . Để về đến trại anh Hùng cần chạy từ trong rừng qua điểm $M,N$ trên bãi biển. Tính nồng độ chất độc trong máu thấp nhất khi anh Hùng về đến trại (làm tròn đáp án đến hàng phần chục).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 14: Thông hiểu

Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ như sau:

Hỏi phương trình $2f(x) = m$ có tối đa bao nhiêu nghiệm thực?

A.
$3$
B.
$6$
C.
$5$
D.
$4$

Phương trình $2f(x) = m \Leftrightarrow f(x) = \frac{m}{2}$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = \frac{m}{2}$

Số giao điểm của hai đường bằng số nghiệm của phương trình $f(x) = \frac{m}{2}$ .

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng $y = \frac{m}{2}$ cắt đồ thị tại nhiều nhất 5 điểm.

Vậy phương trình có tối đa 5 nghiệm.

Câu 15: Nhận biết

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} + 3x^{2}$ trên $\lbrack - 5; - 1brack$ ?

A.
$0$
B.
$4$
C.
$2$
D.
$- 50$

Ta có: $y' = 3x^{2} + 6x$

$y' = 0 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó: $y( - 5) = - 50;y( - 2) = 4;y( - 1) = 2$

Vậy $\min_{\lbrack - 5; - 1brack}y = f( - 5) = - 50$ .

Câu 16: Thông hiểu

Đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2} + 2x}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A.
$4$
B.
$3$
C.
$1$
D.
$2$

Tập xác định $D = \lbrack - 1;1brack\backslash\left\{ 0 ight\}$

Vì tập xác định của hàm số không chứa $- \infty$ và $+ \infty$ nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.

Lại có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2} + 2x}} = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2} + 2x}} = + \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.$ . Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng $x = 0$ .

Câu 17: Vận dụng

Đồ thị (C) của hàm số $y = \frac{{ax + 2}}{{cx + b}}$ có bảng biến thiên như hình vẽ.

Giá trị của biểu thức K

Biết tiếp tuyến (C) tại giao điểm của (C) với trục tung song song với đường thẳng $y = 2x + 2018$ . Giá trị của biểu thức $K = a + 2b + 3c$ là:

A. $K = - 1$
B. $K = 1$
C. $K = 3$
D. $K = 2$

Do đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -1 và tiệm cận ngang y = -3

=> Hàm số có dạng $y = \frac{{ - 3x + b}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{3 - b}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 ight) = 3 - b$

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng

=> 3 – b = 2 => b = 1

Vậy a = -3; b = 1; c = 1 => K = 2

Câu 18: Thông hiểu

Hàm số $y = x^{3} - 2mx^{2} + m^{2}x - 2$ đạt cực tiểu tại $x = 1$ khi:

A.
$m = - 1$
B.
$m = 3$
C.
$m = 1$
D.
$m = - 3$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} y' = 3x^{2} - 4mx + m^{2} \\ y'' = 6x - 4m \\ \end{matrix} ight.$ .

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ suy ra $y'(1) = 3 - 4m + m^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$y''(1) = 6 - 4m$

Với $m = 1 \Rightarrow y''(1) = 2 > 0(tm)$

Với $m = 3 \Rightarrow y''(1) = - 6 < 0(ktm)$

Vậy với $m = 1$ thì hàm số $y = x^{3} - 2mx^{2} + m^{2}x - 2$ đạt cực tiểu tại $x = 1$ .

Câu 19: Nhận biết

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{- x + 1}$ . Hãy chọn khẳng định đúng?

A.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$ .
B.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$ .
C.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;1) \cup (1; + \infty)$ .
D.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;1) \cup (1; + \infty)$ .

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}$

Ta có: $y' = \frac{2}{( - x + 1)^{2}} > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$ .

Câu 20: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{x^{2} + 2mx + 3m^{2} - m - 1}$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận?

A.
$1$
B.
$0$
C.
$2$
D.
$7$

Ta có: $\lim_{x ightarrow \pm \infty}y = 0$ suy ra $y = 0$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có hai tiệm cận đứng.

$\Leftrightarrow x^{2} + 2mx + 3m^{2} - m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 2{m^2} + m + 1 > 0 \hfill \\ 3{m^2} + m e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \frac{1}{2} < m < 1 \hfill \\ m e 0 \hfill \\ m e - \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Mà $m\mathbb{\in Z}$ nên không tồn tại giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 21: Thông hiểu

Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(x) + 2m - 1 = 0$ có ba nghiệm phân biệt?

A.
$2$
B.
$3$
C.
$4$
D.
$1$

Ta có: $f(x) + 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow f(x) = 1 - 2m$

Để phương trình có ba nghiệm ta phải có $- 2 < 1 - 2m < 2 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < m < \frac{3}{2}$

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 22: Thông hiểu

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - {x^3} + 3x + 1$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } ight)$

A. 3
B. 1
C. -1
D. 5

Ta có:

$\begin{matrix} y' = - 3{x^2} + 3 \hfill \\ y' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1\left( {tm} ight)} \\ {x = - 1\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

=> Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng đã cho bằng 3 khi x = 1

Câu 23: Thông hiểu

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A. $y = {x^4} - 2{x^2} - 1$
B. $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + 3x + 1$
C. $y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}$
D. $y = {x^3} + 4{x^2} + 3x - 1$

Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + 3x + 1$ có

$y' = {x^2} - x + 3 = {\left( {x - \frac{1}{2}} ight)^2} + \frac{{11}}{4} > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

Câu 24: Thông hiểu

Tìm các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^{4} - 2mx^{2} + 1$ có ba điểm cực trị $A(0;1)$ ; $B;C$ thỏa mãn $BC = 4$ ?

A.
$m = \sqrt{2}$ .
B.
$m = \pm 4$ .
C.
$m = \pm 2$ .
D.
$m = 4$ .

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 4x^{3} - 4mx = 4x\left( x^{2} - m ight)$

Để hàm số có ba cực trị thì $m > 0$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y(0) = 1 \\ x = \pm \sqrt{m} \Rightarrow y\left( \pm \sqrt{m} ight) = 1 - m^{2} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $A(0;1)$ ; $B\left( \sqrt{m};1 - m^{2} ight);C\left( - \sqrt{m};1 - m^{2} ight)$

$BC = 4 \Rightarrow \sqrt{4m} = 4 \Leftrightarrow m = 4$

Vậy đáp án đúng là $m = 4$

Câu 25: Nhận biết

Hàm số $y = - x^{4} + 8x^{2} + 5$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A.
$3$
B.
$0$
C.
$2$
D.
$1$

Hàm số $y = - x^{4} + 8x^{2} + 5$ là hàm trùng phương có $a.b = - 8 < 0$ nên hàm số có ba điểm cực trị.

Câu 26: Thông hiểu

Một chất điểm chuyển động với quy luật $s(t) = - t^{3} + 6t^{2}$ . Thời điểm $t$ (giây) tại vận tốc $v(m/s)$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

A.
$12$
B.
$24$
C.
$2$
D.
$6$

Ta có: $s(t) = - t^{3} + 6t^{2} \Rightarrow v(t) = s'(t) = - 3t^{2} + 12t$

$\Rightarrow v'(t) = 12 - 6t = 0 \Leftrightarrow t = 2$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất bằng $12$ khi $t = 2$ .

Câu 27: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = f(x)$ là một hàm đa thức có bảng xét dấu $f^{'}(x)$ như sau:

Số điểm cực trị của hàm số $g(x) = f\left( - 2x^{2} + |x| ight)$ .

A.
5.
B.
3.
C.
1.
D.
7.

Ta có $g(x) = f\left( - 2x^{2} + |x| ight) = f\left( - 2|x|^{2} + |x| ight)$ .

Số điểm cực trị của hàm số $h(|x|)$ bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm số $h(x)$ cộng thêm 1.

Xét hàm số $h(x) = f\left( - 2x^{2} + x ight)$

$\Rightarrow h'(x) = ( - 4x +1)f^{'}\left( - 2x^{2} + x ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{1}{4} \\- 2x^{2} + x = - 1 \\- 2x^{2} + x = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{1}{4} \\x = 1 \\x = \dfrac{- 1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Bảng xét dấu hàm số $h(x) = f\left( - 2x^{2} + x ight)$ :

Hàm số $h(x) = f\left( - 2x^{2} + x ight)$ có 2 điểm cực trị dương.

Vậy hàm số $g(x) = f\left( - 2x^{2} + |x| ight) = f\left( - 2|x|^{2} + |x| ight)$ có 5 điểm cực trị.

Câu 28: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên trên đoạn $\lbrack - 5;7brack$ như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$\min_{\lbrack - 5;7brack}y = 1$
B.
$\min_{\lbrack - 5;7brack}y = 6$
C.
$\min_{\lbrack - 5;7brack}y = 2$
D.
$\min_{\lbrack - 5;7brack}y = 9$

Từ bảng biến thiên ta suy ra $\min_{\lbrack - 5;7brack}y = 2$

Câu 29: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu tiệm cận?

A.
$0.$
B.
$3.$
C.
$1.$
D.
$2.$

Đồ thị của hàm số đã cho có $2$ đường tiệm cận.

Câu 30: Vận dụng

Hàm số $f\left( x ight) = C_{2019}^0 + C_{2019}^1x + C_{2019}^2{x^2} + C_{2019}^3{x^3} + ... + C_{2019}^{2019}{x^{2019}}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0
B. 2018
C. 1
D. 2019

Ta có:

$\begin{matrix} f\left( x ight) = C_{2019}^0 + C_{2019}^1x + C_{2019}^2{x^2} + C_{2019}^3{x^3} + ... + C_{2019}^{2019}{x^{2019}} = {\left( {1 + x} ight)^{2019}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 2019.{\left( {1 + x} ight)^{2018}} \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Vì x = -1 là nghiệm bội chẵn nên x = -1 không phải là điểm cực trị của hàm số.

Câu 31: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập số thực và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x ight) = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - + } f\left( x ight) = + \infty$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-2020; 2020] để đồ thị hàm số $g\left( x ight) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 3x} + x}}{{\sqrt {2f\left( x ight) - {f^2}\left( x ight)} + m}}$ có tiệm cận ngang nằm bên dưới đường thẳng y = -1.

A. 2
B. 0
C. 1
D. 3

Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant - 3;x \geqslant 0} \\ {0 \leqslant f\left( x ight) \leqslant 2} \\ {\sqrt {2f\left( x ight) - {f^2}\left( x ight)} + m e 0} \end{array}} ight.$

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x ight) = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {2f\left( x ight) - {f^2}\left( x ight)} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {2f\left( x ight) - {f^2}\left( x ight)} ight]} = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 3x} + x} ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{ - \left( {\sqrt {1 - \dfrac{3}{x}} + 1} ight)}} = - \frac{3}{2}$

Từ đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x ight) = - \frac{3}{{2m + 2}},\left( {m e - 1} ight)$

Khi đó hàm số g(x) có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = \frac{{ - 3}}{{2m + 2}}$

Để tiệm cận ngang tìm được ở trên nằm dưới đường thẳng y = - thì $\frac{{ - 3}}{{2m + 2}} < - 1 \Rightarrow - 1 < m < \frac{1}{2}$

Vì $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 0$

Câu 32: Vận dụng

Cho hàm số $y =f(x)$ . Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số $m$ sao cho hàm số $y = f(x - m)$ đồng biến trên khoảng $(2020; + \infty)$ . Hỏi tập hợp $S$ có tất cả bao nhiêu phần tử?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y =f(x)$ . Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số $m$ sao cho hàm số $y = f(x - m)$ đồng biến trên khoảng $(2020; + \infty)$ . Hỏi tập hợp $S$ có tất cả bao nhiêu phần tử?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 33: Thông hiểu

Đồ thị hàm số $y = \frac{\left( m^{2} - 3m ight)x - 1}{x - 2}$ có đường tiệm cận ngang qua điểm $A(1; - 2)$ khi:

A.
$\left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 2 \\ \end{matrix} ight.$
B.
$\left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.$
C.
$\left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 2 \\ \end{matrix} ight.$
D.
$\left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Để đồ thị hàm số $y = \frac{\left( m^{2} - 3m ight)x - 1}{x - 2}$ có đường tiệm cận ngang là $y = m^{2} - 3m$

Đường tiệm cận ngang đi qua $A(1; - 2)$ nên ta có:

$m^{2} - 3m = - 2 \Leftrightarrow m^{2} - 3m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án đúng là $\left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Câu 34: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

A picture containing tableDescription automatically generated

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.
$(1; + \infty)$ .
B.
$(0;1)$ .
C.
$( - 1;0)$ .
D.
$(0; + \infty)$ .

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $( - \infty; - 1)$ và $(0;1)$ .

Câu 35: Vận dụng cao

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f'(x) = (x - 1)(x + 3)$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \lbrack -10;2021brack$ để hàm số $y =f\left( x^{2} + 3x - m ight)$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f'(x) = (x - 1)(x + 3)$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \lbrack -10;2021brack$ để hàm số $y =f\left( x^{2} + 3x - m ight)$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 36: Thông hiểu

Cho hàm số $y = - x^{4} + (m - 5)x^{2} + 3m - 1$ với $m$ là tham số. Tìm các giá trị nguyên dương tham số $m$ không vượt quá $2020$ để hàm số đã cho có ba điểm cực trị?

A.
$2017$
B.
$2019$
C.
$2016$
D.
$2015$

Hàm số $y = ax^{4} + bx^{2} + c$ có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $a.b < 0$ .

Để hàm số đa cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $m - 5 > 0 \Leftrightarrow m > 5$

Mà $m \in \mathbb{Z}^{+}$ không vượt quá $2020$ nên $m \in \left\{ 6;7;...;2019;2020 ight\}$ suy ra có $2015$ giá trị thỏa mãn yêu cầu.

Câu 37: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ .
B.
Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ .
C.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ .
D.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ .

Hàm số $y = f(x)$ có $f'(x)$ đổi dấu từ + sang – khi $f'(x)$ đi qua điểm $x = 1$

Vậy hàm số $y = f(x)$ đạt cực đại tại $x = 1$ .

Câu 38: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\left\{ - 1;2 ight\}$ liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ bằng:

A.
$6$
B.
$2$
C.
$3$
D.
$4$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f(x) - 1 = 0$ có 4 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ có 4 đường tiệm cận đứng.

Ngoài ra $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{f\left( x ight) - 1}} = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f\left( x ight) - 1}} = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.$ nên đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f(x) - 1}$ có hai đường tiệm cận ngang.