Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng cao

    Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G\left( x ight) = 0,035{x^2}.\left( {15 - x} ight), trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

    Xét G\left( x ight) = 0,035{x^2}.\left( {15 - x} ight) ta có:

    \begin{matrix} G'\left( x ight) = 0,035\left( {30x - 3{x^2}} ight) \hfill \\ G'\left( x ight) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 10} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {G\left( 0 ight) = G\left( {15} ight) = 0} \\ {G\left( {10} ight) = 17,5} \end{array}} ight. \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;15} ight]} = 17,5 \Rightarrow x = 10

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R}. Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số y = f'(x):

    Hàm số g(x) = f\left( x - x^{2} ight) nghịch biến trên khoảng:

    Ta có:

    g'(x) = f'\left( x - x^{2} ight).(1 - 2x)

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x - x^{2} ight).(1 - 2x) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f'\left( x - x^{2} ight) = 0 \\ 1 - 2x = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - x^{2} = 1 \\ x - x^{2} = 2 \\ 1 - 2x = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}

    Với x = 0 ta có: g'(0) = f'\left( 0 - 0^{2} ight).(1 - 2.0) = 2 > 0 ta có bảng xét dấu của g'(x) như sau:

    Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng \left( \frac{1}{2}; + \infty ight).

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{2}(x + 2)(3 - x). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Xét f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight. ta có bảng xét dấu f'(x) như sau:

    Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng ( - \infty; - 2);(3; + \infty), hàm số đồng biến trên khoảng ( - 2;3).

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đạo hàm y' = - x^{2} - 1;\forall x\mathbb{\in R}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: y' = - x^{2} - 1;\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow}f'(x) < 0;\forall x\mathbb{\in R} do đó hàm số y = f(x) nghịch biến trên \mathbb{R}

    Do 0 < 2020 \Rightarrow f(0) > f(2020)

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y = f\left( x ight) = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}. Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [2; 4].

    Xét hàm số y = f\left( x ight) = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}} trên [2; 4] ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \in \left[ {2;4} ight]} \\ {{x^2} - 2x - 3 = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow x = 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Tính f(2) = 7; f(3) = 6; f(4) = 19/3

    Vậy \mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} ight]} f\left( x ight) = f\left( 3 ight) = 6

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hàm số đã cho đồng biến trên ( - 1;2).

  • Câu 7: Thông hiểu

    ho hàm số y = \frac{{x - 9{x^4}}}{{{{\left( {3{x^2} - 3} ight)}^2}}}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Đồ thị hàm số y = \frac{{x - 9{x^4}}}{{{{\left( {3{x^2} - 3} ight)}^2}}} có hai đường tiệm cận đứng là x = 1 và x = -1 và một tiệm cận ngang là y = -1

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hàm số bậc ba f\left( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d;\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} ight) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

    Xác định số TCĐ và TCN của đồ thị hàm số

    Đồ thị hàm số g\left( x ight) = \frac{1}{{f\left( {4 - {x^2}} ight) - 3}} có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

    Đặt t = 4 - {x^2} khi đó x \to \pm \infty thì t \to \infty

    Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{f\left( t ight) - 3}} = 0

    => y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g(x)

    Mặt khác

    \begin{matrix} f\left( {4 - {x^2}} ight) - 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( {4 - {x^2}} ight) = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - {x^2} = - 2} \\ {4 - {x^2} = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm \sqrt 6 } \\ {x = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Đồ thị hàm số g(x) có ba đường tiệm cận đứng.

    Vậy đồ thị hàm số g(x) có bốn đường tiệm cận.

  • Câu 9: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{2 - x}.\sqrt{3 - x}} có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

    Hàm số xác định \left\{ \begin{matrix} 2 - x > 0 \\ 3 - x > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x < 2 \\ x < 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow x < 2

    Tập xác định D = ( - \infty;2)

    Ta có: \lim_{x ightarrow 2^{-}}f(x) = + \infty suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x + 1}{\sqrt{2 - x}.\sqrt{3 - x}} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} - 5x + 6}}

    = \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x\left( 1 + \dfrac{1}{x} ight)}{- x\sqrt{1 - \dfrac{5}{x} +\dfrac{6}{x^{2}}}} = \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{1 +\dfrac{1}{x}}{- \sqrt{1 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{6}{x^{2}}}} = -1

    Suy ra y = - 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

    Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2} + 2x} có bao nhiêu đường tiệm cận?

    Tập xác định D = \lbrack - 1;1brack\backslash\left\{ 0 ight\}

    Vì tập xác định của hàm số không chứa - \infty và + \infty nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.

    Lại có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2} + 2x}} = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2} + 2x}} = + \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.. Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng x = 0.

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(3 - 2x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

    Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Xét hàm số y = f(3 - 2x) ta có: y' = - 2f'(3 - 2x)

    y' = 0 \Leftrightarrow - 2f'(3 - 2x) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3 - 2x = 5 \\ 3 - 2x = 3 \\ 3 - 2x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow - 2.f'(3 - 2x) > 0

    \Leftrightarrow f'(3 - 2x) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < x < 0 \\ x > 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3 < 3 - 2x < 5 \\ 3 - 2x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    Đặt 3 - 2x = t \Rightarrow f'(t) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3 < t < 5 \\ t < 1 \\ \end{matrix} ight.

    Xét hàm số y = f(x) có y' = f'(x). Hàm số nghịch biến khi y' < 0 \Leftrightarrow f'(x) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3 < x < 5 \\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (3;5).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên (1; +∞)?

    Ta có hàm số y = ax, y = log­ax đồng biến trên tập xác định nếu a > 0

    Do đó hàm số y = log­3x đồng biến trên (1; +∞)

  • Câu 13: Thông hiểu

    Giá trị lớn nhất của hàm số y = \sqrt { - {x^2} + 4x} trên khoảng (0; 3)

    Tập xác định D = \left[ {0;4} ight]

    Xét hàm số y = \sqrt { - {x^2} + 4x} trên khoảng (0;3)

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \frac{{ - x + 2}}{{\sqrt { - {x^2} + 4x} }} \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow x = 2 \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên:

    Tìm GTLN của hàm số

    Trên khoảng (0; 3) giá trị lớn nhất của hàm số y = 2

  • Câu 14: Nhận biết

    Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{2} - 4} có phương trình là:

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{x + 1}{x^{2} - 4} = 0

    Vậy đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

    Xét hàm số g\left( x ight) = f\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 3. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có:

    g'\left( x ight) = \frac{1}{2}f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \left( {{x^2} - 3x + 2} ight)

    f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{ - 5}}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = - 1} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = \frac{1}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 4} \\ {x = - 1} \\ {x = 2} \\ {x = 7} \end{array}} ight.

    f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} < - \dfrac{5}{2}} \\ {\dfrac{1}{2} < \dfrac{{x - 1}}{2} < 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 4} \\ {2 < x < 7} \end{array}} ight.

    Ta có bảng xét dấu cho các biểu thức

    Tìm khẳng định sai

    Từ bảng xét dấu ta thấy

    x \in \left( {0;1} ight) \subset \left( {0;2} ight) \Rightarrow g'\left( x ight) < 0

    Khi đó hàm số nghịch biến

    => Đáp án B sai

  • Câu 16: Nhận biết

    Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = \frac{2x - 1}{x + 2} trên đoạn \lbrack 0;2brack. Giá trị biểu thức T = 2m + 4M là:

    Ta có: y' = \frac{5}{(x + 2)^{2}} > 0;\forall x eq - 2 nên hàm số đồng biến trên \lbrack 0;2brack

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\max_{\lbrack 0;2brack}y = f(2) = \dfrac{3}{4} \\\min_{\lbrack 0;2brack}y = f(0) = - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 2m + 4M = 2.

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Khẳng định nào sau đây đúng?

    Điểm cực tiểu của hàm số là x = - 1;x = 1

    Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là ( - 1;0),(1;0)

    Điểm cực đại của hàm số là x = 0.

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đạo hàm f'(x) = x^{2}(x - 2)\left( x^{2} - 6x + might) với mọi x\mathbb{\inR}. Có bao nhiêu số nguyên m \in\lbrack - 2019;2019brack để hàm số g(x) = f(1 - x) nghịch biến trên khoảng ( - \infty; - 1)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đạo hàm f'(x) = x^{2}(x - 2)\left( x^{2} - 6x + might) với mọi x\mathbb{\inR}. Có bao nhiêu số nguyên m \in\lbrack - 2019;2019brack để hàm số g(x) = f(1 - x) nghịch biến trên khoảng ( - \infty; - 1)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 19: Nhận biết

    Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như trong hình vẽ?

    Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc ba dạng y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d với a < 0

    Vậy hàm số cần tìm là y = - x^{3} + 3x^{2} - 1.

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) là hàm số bậc 2. Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ dưới đây và f(-1) < 20

    Tìm m để hàm số có 4 tiệm cận

    Đồ thị hàm số g\left( x ight) = \frac{{f\left( x ight) - 20}}{{f\left( x ight) - m}} (m là tham số thực) có bốn tiệm cận khi và chỉ khi:

     Điều kiện f\left( x ight) e m

    Từ đồ thị hàm số f’(x) ta có bảng biến thiên hàm số f(x) là:

    Tìm m để hàm số có 4 tiệm cận

    Nếu m = 20 thì đồ thị hàm số không có đủ bốn tiệm cận

    Nếu m e 20 thì \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f\left( x ight) - 20}}{{f\left( x ight) - m}} = 1 => y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

    Ta có phương trình f(x) = 20 có một nghiệm x = a > 3 vì f(-1) < 20

    => Đồ thị hàm số g(x) có bốn tiệm cận khi phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt khác a

    => f(3) < m < f(-1)

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\left\{ - 1 ight\}, liên tục trên các khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

    Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt?

    Số nghiệm của phương trình f(x) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m

    Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì - 4 < m < 2.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = - x^{3} - 3(m + 1)x + 3(2m - 1) + 2020 đồng biến trên ( - \infty; + \infty)?

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = - 3x^{2} - 6(m + 1)x + 3(2m - 1)

    Hàm số nghịch biến trên ( - \infty; + \infty) khi và chỉ khi y' \leq 0;\forall x \in ( - \infty; + \infty)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 < 0 \\ \Delta' = 9(m + 1)^{2} + 9(2m - 1) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 9m^{2} + 36m \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 0

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 4; - 3; - 2; - 1;0 ight\}

    Vậy có tất cả 5 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài đưa ra.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x^{4} + 2\left( m^{2} - m - 6 ight)x^{2} + m - 1 có ba điểm cực trị?

    Ta có: y' = 4x^{3} + 4\left( m^{2} - m - 6 ight)x

    y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} + 4\left( m^{2} - m - 6 ight)x = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 4x = 0 \\ x^{2} = - m^{2} + m + 6 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi - m^{2} + m + 6 > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 3

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 1;0;1;2 ight\}. Vậy có 4 giá trị của tham số m thỏa mãn.

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^{3};\forall x\mathbb{\in R}. Số điểm cực đại của hàm số là:

    Ta có: f'(x) = x(x + 1)(x - 4)^{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Lập bảng biến thiên của hàm số

    Suy ra số điểm cực đại của hàm số là 1 điểm.

  • Câu 25: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên của hàm số y = f^{'}(x) như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in ( - 10;10) để hàm số y = f(3x - 1) + x^{3} - 3mx đồng biến trên khoảng ( - 2;1)?

    Đáp án: 6

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên của hàm số y = f^{'}(x) như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in ( - 10;10) để hàm số y = f(3x - 1) + x^{3} - 3mx đồng biến trên khoảng ( - 2;1)?

    Đáp án: 6

    Để hàm số y = f(3x - 1) + x^{3} - 3mx đồng biến trên khoảng ( - 2;1)

    \Leftrightarrow y' \geq 0,\forall x \in ( - 2;1)

    \Leftrightarrow 3f'(3x - 1) + 3x^{2} - 3m \geq 0,\forall x \in ( - 2;1)

    \Leftrightarrow m \leq f^{'}(3x - 1) + x^{2},\forall x \in ( - 2;1)(*)

    Đặt k(x) = f^{'}(3x - 1),h(x) = x^{2} và g(x) = f^{'}(3x - 1) + x^{2} = k(x) + h(x).

    Ta có: \min_{( - 2;1)}k(x) = k(0) = - 4.

    Do đó, ta có: \min_{( - 2;1)}f^{'}(3x - 1) = f^{'}( - 1) = - 4 khi 3x - 1 = - 1 \Leftrightarrow x = 0.

    \Rightarrow \min_{( - 2;1)}k(x) = k(0) = - 4.

    Do đó, \min_{( - 2;1)}g(x) = g(0) = k(0) + h(0) = 0 - 4 = - 4.

    Từ (*) ta có m \leq f^{'}(3x - 1) + x^{2},\forall x \in ( - 2;1)

    \Leftrightarrow m \leq \min_{( - 2;1)}g(x) \Leftrightarrow m \leq - 4.

    Mà m \in ( - 10;10) \Rightarrow m \in \{- 9;\ldots; - 4\}.

    Vậy có tất cả 6 số nguyên thỏa mãn.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số y = f(x):

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) + 2m - 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt?

    Ta có: f(x) + 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow f(x) = 1 - 2m

    Để phương trình có ba nghiệm ta phải có - 2 < 1 - 2m < 2 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < m < \frac{3}{2}

    Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \lbrack - 10;10brack để hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + 3mx + 2020 nghịch biến trên khoảng (1;2)?

    Ta có: y' = 3x^{2} - 6x + 3m \leq 0;\forall x \in (1;2)

    \Leftrightarrow m \leq - x^{2} + 2x;\forall x \in (1;2)

    Xét f(x) = - x^{2} + 2x trên khoảng (1;2) ta có bảng biến thiên:

    Suy ra m \leq 0 mà m \in \lbrack - 10;10brack nên m \in \left\{ - 10; - 9;...; - 1;0 ight\}

    Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ.

    Đặt g(x) = f\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight). Tìm số điểm cực trị của hàm số y = g(x).

    Đáp án: 6

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên của đạo hàm như hình vẽ.

    Đặt g(x) = f\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight). Tìm số điểm cực trị của hàm số y = g(x).

    Đáp án: 6

    Đặt g'(x) = \left( \frac{x^{2} - 1}{x^{2}} ight)f'\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight)

    g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}} ight) = 0 \hfill \\ f'\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \pm 1 \hfill \\ \frac{{{x^2} + 1}}{x} = a\,\,\left( {a < - 2} ight) \hfill \\ \frac{{{x^2} + 1}}{x} = b\,\,\left( { - 2 < b < 2} ight) \hfill \\ \frac{{{x^2} + 1}}{x} = c\,\,\left( {c > 2} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Xét hàm số h(x) = \frac{x^{2} + 1}{x},h'(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}},h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1

    Bảng biến thiên của hàm số h(x) = \frac{x^{2} + 1}{x}

    Dựa vào bảng biến thiến trên ta thấy phương trình h(x) = a,h(x) = c.

    Mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác \pm 1, mà a eq c \Rightarrow f'\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight) = 0 có 4 nghiệm đơn phân biệt x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} khác \pm 1 và phương trình h(x) = b vô nghiệm.

    Do đó phương trình g'(x) = 0 có 6 nghiệm đơn phân biệt lần lượt theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là x_{1},- 1,x_{2},x_{3},1,x_{4}.

    Vậy hàm số g(x) = f\left( \frac{x^{2} + 1}{x} ight)có 6 cực trị.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hàm số y = - x^{3} + 3x^{2} + 5 có hai điểm cực trị M;N. Tính độ dài đoạn thẳng AB?

    Ta có: y' = - 3x^{2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 5 \\ x = 2 \Rightarrow y = 9 \\ \end{matrix} ight.

    Nhận thấy phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là M(0;5),N(2;9)

    \Rightarrow MN = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}

  • Câu 30: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình 2. Đường thẳng nào sau đây là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho?

    Từ đồ thị suy ra đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là y = 1.

  • Câu 31: Nhận biết

    Tìm hàm số tương ứng với đồ thị hàm số trong hình vẽ dưới đây?

    Dựa vào đồ thị hàm số suy ra đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương và nhánh cuối của đồ thị hàm số đi lên nên hệ số a > 0.

    Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại gốc tọa độ nên c = 0

    Vậy hàm số tương ứng đồ thị đã cho là y =x^{4} - 2x^{2}.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Số tiệm cận của đồ thị hàm số y = \frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} là:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{xightarrow + \infty}\dfrac{\left( 2x^{2} - x ight)\sqrt{1 +\dfrac{1}{x^{2}}}}{x^{2} - 1}= \lim_{x ightarrow + \infty}\dfrac{\left(2 - \dfrac{1}{x} ight)\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{1 - \dfrac{1}{x^{2}}}= 2

    \lim_{x ightarrow - \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\left( - 2x^{2} + x ight)\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{x^{2} - 1} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\left( - 2 + \frac{1}{x} ight)\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}} = - 2

    Suy ra y = \pm 2 là tiệm cận ngang.

    \lim_{x ightarrow 1^{\pm}}y = \lim_{x ightarrow 1^{\pm}}\frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} = \pm \infty suy ra x = 1 là tiệm cận đứng.

    \lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}y = \lim_{x ightarrow ( - 1)^{\pm}}\frac{(2x - 1)\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 1} = \pm \infty suy ra x = - 1 là tiệm cận đứng.

    Vậy đồ thị hàm số có tất cả 4 đường tiệm cận.

  • Câu 33: Nhận biết

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 – 3x + 5 trên đoạn [0; 2] là:

    Xét hàm số f(x) = x3 – 3x + 5 trên [0; 2] có:

    f’(x) = 3x3 – 3

    f’(x) = 0 =>\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant x \leqslant 2} \\ {3{x^2} - 3 = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow x = 1

    Tính được f(0) = 5; f(1) = 3; f(2) = 7

    Vậy \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} ight]} f\left( x ight) = f\left( 1 ight) = 3

  • Câu 34: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động với quy luật S(t) = 6t^{2} - t^{3}. Thời điểm t (giây) tại vận tốc v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

    Vận tốc của chuyển động là:

    v(t) = S'(t) = 12t - 3t^{2} = 12 - 3(2 - t)^{2} \leq 12;\forall t

    Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng 12m/s khi t = 2.

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{2}\left( x^{2} - 3x + 2 ight) với mọi x\mathbb{\in R}.

    a) Phương trình f'(x) = 0 có duy nhất một nghiệm x = 2. Sai||Đúng

    b) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng ( - 3;0). Đúng||Sai

    c) Hàm số f(x) có hai điểm cực trị. Đúng||Sai

    d) Hàm số y = f\left( x^{2} - 6x + 1 ight) có ba điểm cực đại. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{2}\left( x^{2} - 3x + 2 ight) với mọi x\mathbb{\in R}.

    a) Phương trình f'(x) = 0 có duy nhất một nghiệm x = 2. Sai||Đúng

    b) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng ( - 3;0). Đúng||Sai

    c) Hàm số f(x) có hai điểm cực trị. Đúng||Sai

    d) Hàm số y = f\left( x^{2} - 6x + 1 ight) có ba điểm cực đại. Sai||Đúng

    a) Sai

    Ta có f'(x) = (x - 1)^{2}\left( x^{2} - 3x + 2 ight) = (x - 1)^{3}(x - 2).

    f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight..

    Vậy phương trình f'(x) = 0 có hai nghiệm.

    b) Đúng

    Bảng biến thiên y = f(x)

    Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( - \infty;1),(2; + \infty).

    Ta có ( - 3;0) \subset ( - \infty;1) nên hàm số f(x) đồng biến trên khoảng ( - 3;0).

    c) Đúng

    Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta thấy hàm số có hai điểm cực trị.

    d) Sai

    Ta có:

    y = f\left( x^{2} - 6x + 1 ight)

    \Rightarrow y^{'} = \left( x^{2} - 6x + 1 ight)^{'}f^{'\left( x^{2} - 6x + 1 ight)} = (2x - 6)f'\left( x^{2} - 6x + 1 ight).

    y' = 0 \Leftrightarrow (2x - 6)f'\left( x^{2} - 6x + 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 6 = 0 \\ x^{2} - 6x + 1 = 1 \\ x^{2} - 6x + 1 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 \\ x = 0 \\ x = 6 \\ x = - 3 + \sqrt{10} \\ x = - 3 - \sqrt{10} \\ \end{matrix} ight..

    Bảng biến thiên y = f\left( x^{2} - 6x + 1 ight)

    Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f\left( x^{2} - 6x + 1 ight) ta thấy hàm số có hai điểm cực đại.

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} -3x.

    a) Tập xác định của hàm số là \mathbb{R}. Đúng||Sai

    b) f'(x) = 3x^{2} + 3. Sai||Đúng

    c) f'(x) < 0 khi x \in ( - \infty; - 1) \cup (1; +\infty), f'(x) > 0 khi x \in ( - 1;1). Sai||Đúng

    d) Hàm số đã cho có đồ thị như hình vẽ.

    Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} -3x.

    a) Tập xác định của hàm số là \mathbb{R}. Đúng||Sai

    b) f'(x) = 3x^{2} + 3. Sai||Đúng

    c) f'(x) < 0 khi x \in ( - \infty; - 1) \cup (1; +\infty), f'(x) > 0 khi x \in ( - 1;1). Sai||Đúng

    d) Hàm số đã cho có đồ thị như hình vẽ.

    Đúng||Sai

    Tập xác định: \mathbb{R}.

    Sự biến thiên

    Giới hạn tại vô cực: lim_{x ightarrow +\infty}y = + \infty,lim_{x ightarrow - \infty}y = -\infty.

    y' = 3x^{2} - 3 và y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1 hoặc x = 1

    Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( -\infty; - 1) và (1; +\infty), nghịch biến trên khoảng (- 1;1).

    Hàm số đạt cực đại tại x = - 1,y_{CD} =2; hàm số đạt cực tiểu tại x =1,y_{CT} = - 2.

    Đồ thị:

    Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0;0).

    Giao điểm của đồ thị với trục hoành tại x= 0 hoặc x = \pm \sqrt{3}. Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại ba điểm (0;0),\left( - \sqrt{3};0 ight) và \left( \sqrt{3};0 ight).

    Vậy đồ thị hàm số y = f(x) = x^{3} -3x được cho ở hình vẽ.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Hàm số y = \frac{2x + 2021}{x - 2} có bao nhiêu điểm cực trị?

    Tập xác định D = ( - \infty;2) \cup (2; + \infty)

    Ta có: y' = \frac{- 2025}{(x - 2)^{2}} < 0;\forall x eq 2 suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( - \infty;2) và (2; + \infty)

    Do đó hàm số không có điểm cực trị.

  • Câu 38: Nhận biết

    Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

    Đồ thị hàm số là hàm số bậc 4 với \left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ ab < 0 \\ \end{matrix} ight..

  • Câu 39: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + (2m - 1)x - m + 2 nghịch biến trên khoảng ( - 3;0)?

    Ta có: y' = x^{2} - 2mx + 2m - 1

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2m - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( - 3;0) khi ( - 3;0) nằm trong khoảng hai nghiệm

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \leq - 3 < 0 \leq 2m - 1 \\ 2m - 1 \leq - 3 < 0 \leq 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 2m - 1 \leq - 3 \Leftrightarrow m \leq - 1

    Vậy đáp án cần tìm là m \leq - 1.

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho đồ thị hàm số \left( C_{m} ight):y = x^{3} - 2x^{2} + (1 - m)x + m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để \left( C_{m} ight) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt cách hoành độ x_{1};x_{2};x_{3} thỏa mãn {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {x_{3}}^{2} = 4?

    Để hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có ba nghiệm phân biệt:

    x^{3} - 2x^{2} + (1 - m)x + m = 0

    \Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} - x - m ight) = 0

    Ta đặt x_{1} = 1. Khi đó để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình sau phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

    x^{2} - x + m = 0

    Do có nghiệm khác 1 nên 1 - 1 - m eq 0 hay m eq 0

    Ta có: \Delta = 1 + 4m

    Để có hai nghiệm phân biệt thì \Delta > 0 hay m > - \frac{1}{4}

    Theo bài ra ta có:

    {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {x_{3}}^{2} = 4

    \Leftrightarrow 1 + \left( x_{2} + x_{3} ight)^{2} - 2x_{2}x_{3} = 4 \Leftrightarrow \left( x_{2} + x_{3} ight)^{2} - 2x_{2}x_{3} = 3 với x_{2};x_{3} là nghiệm của phương trình bậc hai trên.

    Áp dụng hệ thức Vi – et ra có:

    1^{2} - 2.( - m) = 3 \Leftrightarrow m = 1

    Kết hợp các điều kiện ta có: m = 1.

    Vậy đáp án đúng là m = 1.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 29 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập