Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Câu 1: Thông hiểu

Tìm điều kiện của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = mx^{4} + (2m - 1)x^{2} + m - 2$ chỉ có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu?

A.
$\left\lbrack \begin{matrix}m \leq 0 \\m > \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$
B.
$m \leq 0$
C.
$\left\lbrack \begin{matrix}m \leq 0 \\m \geq \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$
D.
$m \geq \frac{1}{2}$

Xét $m = 0$ khi đó $y = - x^{2} - 2$ là hàm số bậc hai có a = -1 < 0 nên đồ thị của hàm số là parabol có bề lõm hướng xuống nên có 1 cực đại mà không có cực tiểu. Suy ra $m = 0$ thỏa mãn.

Xét $m eq 0$ khi đó $y = mx^{4} + (2m - 1)x^{2} + m - 2$ là hàm số bậc 4 dạng trùng phươn

Để đồ thị hàm số có một cực đại mà không có cực tiểu thì

$\left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ m\left( {2m - 1} ight) \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m \leqslant 0 \hfill \\ m \geqslant \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow m < 0$

Vậy đáp án cần tìm là $m \leq 0$ .

Câu 2: Thông hiểu

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau đây:

Khẳng định nào sau đây đúng

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ad < 0} \\ {bc < 0} \end{array}} ight.$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ad < 0} \\ {bc > 0} \end{array}} ight.$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ad > 0} \\ {bc < 0} \end{array}} ight.$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ad > 0} \\ {bc > 0} \end{array}} ight.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm có hoành độ dương => $x = \frac{{ - b}}{a} > 0$

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm => $y = \frac{{ - b}}{d} < 0$

Đồ thị hàm số nhận $x = \frac{{ - b}}{d} < 0$ làm tiệm cận đứng và $y = \frac{a}{c} > 0$ làm tiệm cận ngang

Chọn a > 0 => b < 0; c > 0; d > 0 => $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ad > 0} \\ {bc < 0} \end{array}} ight.$

Câu 3: Thông hiểu

Cho các hàm số sau:

$y = \frac{\sin x}{x};y =\frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{x}$ $;y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x + 1};y = x + 1+ \sqrt{x^{2} - 1}$

Có bao nhiêu hàm số mà đồ thị hàm số tương ứng có đúng một tiệm cận ngang?

A.
$1$
B.
$2$
C.
$3$
D.
$4$

Ta có:

$y = \frac{\sin x}{x}$ có $\lim_{x ightarrow \infty}\frac{\sin x}{x} = 0$ nên có 1 tiệm cận ngang là $y = 0$ .

$y = \frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{x}$ có $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{x} = 1;\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{x} = - 1$ nên có 2 tiệm cận ngang là $y = 1;y = - 1$ .

$y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x + 1}$ có $\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{1 - x}}{x + 1} = 0$ nên có 1 tiệm cận ngang là $y = 0$ .

$y = x + 1 + \sqrt{x^{2} - 1}$ có $\lim_{x ightarrow - \infty}\left( x + 1 + \sqrt{x^{2} - 1} ight) = 1$ nên có 1 tiệm cận ngang là $y = 1$ .

Vậy có 3 hàm số mà đồ thị có đúng 1 tiệm cận đứng.

Câu 4: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{2x - 1}{x - 1}$ .

a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $y' = - \frac{1}{(x - 1)^{2}}$ . Đúng||Sai

b) Đạo hàm của hàm số đã cho nhận giá trị âm với mọi $x eq 1$ . Đúng||Sai

c) Bảng biến thiên của hàm số đã cho như sau:

Sai||Đúng

d) Đồ thị của hàm số đã cho là đường cong trong hình sau:

Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = \frac{2x - 1}{x - 1}$ .

a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $y' = - \frac{1}{(x - 1)^{2}}$ . Đúng||Sai

b) Đạo hàm của hàm số đã cho nhận giá trị âm với mọi $x eq 1$ . Đúng||Sai

c) Bảng biến thiên của hàm số đã cho như sau:

Sai||Đúng

d) Đồ thị của hàm số đã cho là đường cong trong hình sau:

Đúng||Sai

Ta có: $y' = - \frac{1}{(x - 1)^{2}}$ , $\forall x eq 1$ nên đạo hàm của hàm số đã cho nhận giá trị âm với mọi $x eq 1$ .

Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$ .

Đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng $x = 1$ , tiệm cận ngang $y = 2$ , nhận điểm $I(1;2)$ là giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;1)$ và đi qua điểm có tọa độ $(2;3)$ .

Câu 5: Vận dụng

Một máy bay bắt đầu hạ cánh, biết quỹ đạo đường bay của nó được mô hình hóa toán học trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ (với mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 dặm) có dạng đồ thị của hàm bậc ba. Vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ là $( - 4;1)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay này tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đáp án: 0,84 dặm

Đáp án là:

Một máy bay bắt đầu hạ cánh, biết quỹ đạo đường bay của nó được mô hình hóa toán học trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ (với mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 dặm) có dạng đồ thị của hàm bậc ba. Vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ là $( - 4;1)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay này tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Đáp án: 0,84 dặm

Gọi hàm số mô phỏng đường bay của máy bay là $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\ (a eq0)$ .

Đồ thị hàm số đi qua điểm $O(0;0)$ nên ta có $d = 0$ .

Đồ thị hàm số đi qua điểm $( -4;1)$ nên ta có phương trình $- 64a +16b - 4c = 1\ \ (1)$ .

Mặt khác, ta có $( - 4;1)$ và $O(0;0)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nên ta có $y'( - 4) = 0;\y'(0) = 0$ tức là $\left\{\begin{matrix}48a - 8b + c = 0 \\c = 0 \\\end{matrix} ight.$ $(2)$ .

Từ $(1)$ và $(2)$ ta có $a =\frac{1}{32};\ b = \frac{3}{16};\ c = 0$ .

Suy ra $y = \frac{1}{32}x^{3} +\frac{3}{16}x^{2}$ .

Thay $x = - 3$ ta được $y = \frac{27}{32} \approx 0,84$ .

Vậy khi máy bay ha cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất khoảng $0,84$ dặm.

Câu 6: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{(2m + 1)x^{2} + 3}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ với $m$ là tham số. Tìm giá trị của $m$ để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua điểm $A(1; - 3)$ ?

A.
$m = 0$
B.
$m = 1;m = - 1$
C.
$m = 2$
D.
$m = - 2$

Ta có: $\lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}y = 2m + 1$ suy ra $d:y = 2m + 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Do $A(1; - 3) \in d \Leftrightarrow 2m + 1 = - 3 \Leftrightarrow m = - 2$

Câu 7: Thông hiểu

Cho hàm số $f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ:

Hàm số $y = f\left( 1 - x^{2} ight)$ nghịch biến trên khoảng:

A.
$\left( - 2; - \sqrt{3} ight)$
B.
$\left( \sqrt{3};2 ight)$
C.
$(2; + \infty)$
D.
$( - 1;1)$

Ta có: $y' = - 2xf'\left( 1 - x^{2} ight)$

$y' = 0 \Leftrightarrow - 2xf'\left( 1 - x^{2} ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2x = 0 \\ f'\left( 1 - x^{2} ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ 1 - x^{2} = - 3 \\ 1 - x^{2} = - 2 \\ 1 - x^{2} = 0 \\ 1 - x^{2} = 1 \\ 1 - x^{2} = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 2 \\ x = \pm \sqrt{3} \\ x = \pm 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó ta có bảng biến thiên:

Hàm số $y = f\left( 1 - x^{2} ight)$ nghịch biến trên khoảng $\left( \sqrt{3};2 ight)$ .

Câu 8: Nhận biết

Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞)

Ta có:

$\begin{matrix} y' = 3{x^2} - 6x \hfill \\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có bảng xét dấu:

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây

Quan sát bảng xét dấu ta thấy:

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)

+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2)

Câu 9: Thông hiểu

Hàm số $y = - x^{4} + 2mx^{2} + 1$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ khi:

A.
$m > 0$
B.
$- 1 \leq m < 0$
C.
$m \geq 0$
D.
$m < - 1$

Hàm số xác định với mọi $x\mathbb{\in R}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} y' = - 4x^{3} + 4mx \\ y'' = - 12x^{2} + 4m \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ khi

$\left\{ \begin{matrix} y'(0) = 0 \\ y''(0) > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4.0^{3} + 4m.0 = 0(TM) \\ - 12.^{2} + 4m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m > 0$

Vậy $m > 0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 10: Thông hiểu

Một chất điểm chuyển động thẳng với quãng đường biến thiên theo thời gian bởi quy luật $s(t) = t^{3} - 4t^{2} + 12(m)$ , trong đó $t(s)$ là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Vận tốc của chất điểm đó đạt giá trị bé nhất khi $t$ bằng bao nhiêu?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một chất điểm chuyển động thẳng với quãng đường biến thiên theo thời gian bởi quy luật $s(t) = t^{3} - 4t^{2} + 12(m)$ , trong đó $t(s)$ là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Vận tốc của chất điểm đó đạt giá trị bé nhất khi $t$ bằng bao nhiêu?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 11: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x^{2}(x - 9)(x - 4)^{2}$ . Khi đó hàm số $y = f\left( x^{2} ight)$ nghịch biến trên khoảng nào?

A.
$( - 3;0)$
B.
$(3; + \infty)$
C.
$( - \infty; - 3)$
D.
$( - 2;2)$

Ta có:

$y' = \left( f\left( x^{2} ight) ight)' = 2x.f'\left( x^{2} ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{4}\left( x^{2} - 9 ight)\left( x^{2} - 4 ight)^{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 3 \\ x = \pm 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên $( - \infty; - 3)$ và $(0;3)$ .

Câu 12: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{x + m}{x + 1}$ (với $m$ là tham số thực) thỏa mãn $\max_{\lbrack 1;2brack}y + \min_{\lbrack 1;2brack}y = \frac{16}{3}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$m > 4$
B.
$0 < m \leq 2$
C.
$2 < m \leq 4$
D.
$m \leq 0$

Ta có: $y' = \frac{1 - m}{(x + 1)^{2}}$

TH1: $m = 1 \Rightarrow y = 1$ loại

TH2: $m > 1$ khi đó $\max_{\lbrack 1;2brack}y = \frac{1 + m}{2};\min_{\lbrack 1;2brack}y = \frac{2 + m}{3}$

$\max_{\lbrack 1;2brack}y + \min_{\lbrack 1;2brack}y = \frac{1 + m}{2} + \frac{2 + m}{3} = \frac{16}{3} \Leftrightarrow m = 5$

Suy ra đáp án cần tìm là $m > 4$ .

Câu 13: Vận dụng cao

Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 9] và $x \geqslant y,x \geqslant z$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{y}{{10y - x}} + \frac{1}{2}\left( {\frac{y}{{y + z}} + \frac{x}{{z + x}}} ight)$ bằng:

A. $\frac{{11}}{{18}}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1

Ta có:

$\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{a + b}} \geqslant \frac{2}{{1 + \sqrt {ab} }} \Rightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } ight)^2}\left( {\sqrt {ab} - 1} ight) \geqslant 0$ (đúng do $ab \geqslant 1$ )

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

$P = \dfrac{1}{{10 - \dfrac{x}{y}}} + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{1 + \dfrac{z}{y}}} + \dfrac{1}{{1 + \dfrac{x}{z}}}} ight) \geqslant \dfrac{1}{{10 - \dfrac{x}{y}}} + \dfrac{1}{{1 + \sqrt {\frac{x}{y}} }}$

Đặt $\sqrt {\frac{x}{y}} = t \in \left[ {1;3} ight]$ . Xét hàm số $f\left( t ight) = \frac{1}{{10 - {t^2}}} + \frac{1}{{1 + t}}$ trên đoạn [1; 3]

$\begin{matrix} f'\left( t ight) = \dfrac{{2t}}{{{{\left( {10 - {t^2}} ight)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {1 + t} ight)}^2}}} \hfill \\ f'\left( t ight) = 0 \hfill \\ \Rightarrow {t^4} - 2{t^3} - 24{t^2} - 2t + 100 = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left( {t - 2} ight)\left( {{t^3} - 24t - 50} ight) = 0 \Rightarrow t = 2 \hfill \\ \end{matrix}$

Do ${t^3} - 24t - 50 < 0,\forall t \in \left[ {1;3} ight]$

Ta có bảng biến thiên

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Suy ra ${P_{\min }} = \frac{1}{2}$ khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 4y} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{z}{y} = \dfrac{x}{z}} \\ {\dfrac{x}{y} = 1} \end{array}} ight.} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 4y} \\ {z = 2y} \end{array}} ight.$

Câu 14: Nhận biết

Hàm số $y = x^{4} + 2x^{2} - 3$ đồng biến trên khoảng nào dưới dây?

A.
$( - 1;0)$ và $(1; + \infty)$
B.
$(0; + \infty)$
C.
$( - \infty; - 1)$ và $(0;1)$
D.
$( - \infty;0)$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 4x^{3} + 4x = 4x\left( x^{2} + 1 ight);\forall x\mathbb{\in R}$

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Ta có bảng xét dấu

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$

Câu 15: Thông hiểu

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^{3} - 12x + 1 - m$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt?

A.
$30$
B.
$32$
C.
$31$
D.
$33$

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $x^{3} - 12x + 1 - m = 0$

Ta cps: $x^{3} - 12x + 1 - m = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 12x + 1 = m(*)$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} y = x^{3} - 12x + 1 \\ y = m \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 12x + 1$ và đường thẳng $y = m$ .

Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = x^{3} - 12x + 1$ ta có:

$y' = 3x^{2} - 12 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên

Với $- 15 < m < 17$ thì phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt. Mặt khác do m nguyên nên $m \in \left\{ - 14;...;16 ight\}$ .

Vậy có 31 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 16: Nhận biết

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) = x² + 1, $\forall x \in \mathbb{R}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1)
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞)

Ta có:

f’(x) = x²+ 1 > 0, $\forall x \in \mathbb{R}$

=> Hàm số đống biến trên khoảng (-∞; +∞)

Câu 17: Vận dụng

Một sợi dây kim loại dài 120cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn như hình vẽ:

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một sợi dây kim loại dài 120cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn như hình vẽ:

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 18: Vận dụng

Để uốn $4m$ thanh kim loại thành hình như sau:

Gọi $r$ bán kính của nửa đường tròn. Tìm $r(m)$ để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Để uốn $4m$ thanh kim loại thành hình như sau:

Gọi $r$ bán kính của nửa đường tròn. Tìm $r(m)$ để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 19: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, liên tục trên $\lbrack - 1;4brack$ và có đồ thị như hình vẽ

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên $\lbrack - 1;4brack$ là

A.
$- 1$ .
B.
$3$ .
C.
$1$ .
D.
$- 2$ .

Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại x = 1.

Câu 20: Nhận biết

Cho hàm số $y = {x^4} - 2{x^2} + 1$ . Xét các mệnh đề sau, những những mệnh đề nào đúng?

A. Hàm số có 3 điểm cực trị
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1; +∞)
C. Hàm số có 1 điểm cực trị
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1)

Ta có: $y' = 4{x^3} - 4x$

$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0 \Rightarrow y = 1} \\ {x = 1 \Rightarrow y = 0} \\ {x = - 1 \Rightarrow y = 0} \end{array}} ight.$

Ta có bảng xét dấu như sau:

Chọn mệnh đề đúng

Quan sát bảng xét dấu ta thấy:

- Hàm số có 3 điểm cực trị

- Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0), (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞; -1), (0; 1)

Câu 21: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{ax^{2} + bx + c}{ex + f}$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đồng biến trên $(−∞; −1)$ . Sai||Đúng

b) Hàm số đạt cực đại tại x = −2. Sai||Đúng

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(−∞; −1)$ là $\frac{3}{2}$ . Đúng||Sai

d) Điểm cực tiểu của hàm số là $x = −2$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = \frac{ax^{2} + bx + c}{ex + f}$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đồng biến trên $(−∞; −1)$ . Sai||Đúng

b) Hàm số đạt cực đại tại x = −2. Sai||Đúng

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(−∞; −1)$ là $\frac{3}{2}$ . Đúng||Sai

d) Điểm cực tiểu của hàm số là $x = −2$ . Đúng||Sai

a) Sai. Hàm số đồng biến trên $(−2; −1), (−1; 0)$ và nghịch biến trên $(−∞; −2), (0; +∞)$ .

b) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = −2$ .

c) Đúng.

d) Đúng.

Câu 22: Nhận biết

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{2} - 3x + 4}$ bằng:

A.
$3$
B.
$1$
C.
$2$
D.
$0$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{2} - 3x + 4}$ không có tiệm cận đứng.

Ta có: $\lim_{x ightarrow \pm \infty}y =\lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( \dfrac{x + 1}{x^{2} - 3x + 4}ight) = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\left( \dfrac{\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{x^{2}}}{1 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{x^{2}}} ight) = 0$ suy ra $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho bằng 1.

Câu 23: Vận dụng

Cho hàm số $f\left( x ight) = 1 + C_{10}^1x + C_{10}^2{x^2} + ... + C_{10}^{10}{x^{10}}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A. 10
B. 0
C. 9
D. 1

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

$\begin{matrix} f\left( x ight) = 1 + C_{10}^1x + C_{10}^2{x^2} + ... + C_{10}^{10}{x^{10}} = {\left( {1 + x} ight)^{10}} \hfill \\ \Rightarrow f'\left( x ight) = 10{\left( {1 + x} ight)^9} \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Xác định số điểm cực trị của hàm số

Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị x = -1

Câu 24: Vận dụng cao

Cho hàm số $y =f(x)$ có bảng xét dấu $f'(x)$ như sau:

Hàm số $y = f\left( 2 - e^{x} ight) -\frac{1}{3}e^{3x} + 3e^{2x} - 5e^{x} + 1$ đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y =f(x)$ có bảng xét dấu $f'(x)$ như sau:

Hàm số $y = f\left( 2 - e^{x} ight) -\frac{1}{3}e^{3x} + 3e^{2x} - 5e^{x} + 1$ đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 25: Thông hiểu

Tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{2} + 4x + m}$ có duy nhất một đường tiệm cận là:

A.
$m > 4$
B.
$m < 4$
C.
$m \geq 4$
D.
$m \leq 4$

Ta có: $\lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}y = 0$ nên đồ thị hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang là $y = 0$ .

Vậy để đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x^{2} + 4x + m}$ có duy nhất một đường tiệm cận thì đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng, hay phương trình $x^{2} + 4x + m$ vô nghiệm

$\Leftrightarrow \Delta' < 0 \Leftrightarrow 4 - m < 0 \Leftrightarrow m > 4$

Câu 26: Thông hiểu

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} + 2x^{2} + (m + 1)x - m^{2}$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ là:

A.
$( - \infty;3brack$
B.
$( - \infty;3)$
C.
$\left( \frac{1}{3}; + \infty ight)$
D.
$\left\lbrack \frac{1}{3}; + \infty ight)$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y' = 3x^{2} + 4x + m + 1 \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 > 0 \\ \Delta' = 2^{2} - 3(m + 1) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{3}$

Vậy $m \in \left( \frac{1}{3}; + \infty ight)$ là giá trị cần tìm.

Câu 27: Nhận biết

Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$ tạo với hai trục tọa độ diện tích bằng bao nhiêu?

A.
$6$
B.
$2$
C.
$3$
D.
$4$

Ta có: Đồ thị hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$ có đường tiệm cận đứng là $x = 3$ và đường tiệm cận ngang là $y = 2$

Hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là $3;2$ nên diện tích của hình chữ nhật là $S = 2.3 = 6$ .

Câu 28: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ:

Hàm số $y = f(1 - 2x)$ đạt cực tiểu tại:

A.
$x = - \frac{1}{2}$
B.
$x = \frac{1}{2}$
C.
$x = 1$
D.
$x = 0$

Đặt $g(x) = f(1 - 2x) \Rightarrow g'(x) = - 2f'(1 - 2x) = 0$

$\Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow - 2f'(1 - 2x) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}1 - 2x = - 1 \\1 - 2x = 0 \\1 - 2x = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = \dfrac{1}{2} \\x = - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên

Ta xét bằng cách thay số

Với $x = 2 \Rightarrow g'(2) = - 2f'( - 3) < 0$

Với $x = \frac{3}{4} \Rightarrow g'\left( \frac{3}{4} ight) = - 2f'\left( - \frac{1}{2} ight) > 0$

Với $x = \frac{1}{4} \Rightarrow g'\left( \frac{1}{4} ight) = - 2f'\left( \frac{1}{2} ight) < 0$

Với $x = - 1 \Rightarrow g'( - 1) = - 2f'(3) > 0$

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = \frac{1}{2}$

Câu 29: Nhận biết

Cho hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$ . Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là:

A. (-2; 0)
B. (-1; 4)
C. (0; 1)
D. (1; 0)

Ta có:

$\begin{matrix} y' = 3{x^2} - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ y'' = 6x \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y''\left( 1 ight) = 6 > 0} \\ {y''\left( { - 1} ight) = - 6 < 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (1; 0)

Câu 30: Nhận biết

Quan sát hình vẽ sau:

Xác định hàm số tương ứng với đồ thị hàm số trong hình vẽ đã cho?

A.
$y = \frac{2x - 3}{x +1}$
B.
$y = \frac{x + 2}{2x +1}$
C.
$y = \frac{2x}{x -3}$
D.
$y = \frac{x + 1}{2x - 2}$

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y =\frac{1}{2}$ và tiệm cận đứng là $x =1$ nên hàm số tương ứng là $y =\frac{x + 1}{2x - 2}$ .

Câu 31: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số TCĐ và TCN của đồ thị hàm số

Hỏi đồ thị hàm số $y = \frac{{{f^2}\left( x ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {{f^2}\left( x ight) - 2f\left( x ight)} ight]\left( {2{x^5} + {x^4} - 10{x^3} - 5{x^2} + 8x + 4} ight)}}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A. 7
B. 6
C. 5
D. 4

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $f\left( x ight) = a{x^2}\left( {x + 1} ight)\left( {x - 2} ight)$

Ta có:

$\begin{matrix} y = \dfrac{{{f^2}\left( x ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {{f^2}\left( x ight) - 2f\left( x ight)} ight]\left( {2{x^5} + {x^4} - 10{x^3} - 5{x^2} + 8x + 4} ight)}} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{a{x^2}\left( {x + 1} ight)\left( {x - 2} ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {{x^2} - 4} ight)\left( {{x^2} - 1} ight)\left( {2x + 1} ight)}} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{a{x^2}\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight)\left( {2x + 1} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}$

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f(x) = 2 có 2 nghiệm x = a hoặc x = b trong đó a < 0, b > 2

Với điều kiện thì phương trình

$\left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight)\left( {2x + 1} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 2} \\ {x = 1} \\ {x = a} \\ {x = b} \end{array}} ight.$

Do đó đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng

Mặt khác bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 0 => Đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận.

Câu 32: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f’(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ { - 30;30} ight]$ để hàm số $f\left( {{x^3} - 3{m^2}x} ight)$ có đúng 11 điểm cực trị?

Tìm m để hàm số có 11 cực trị

A. 29
B. 23
C. 21
D. 22

Hàm số đạt cực trị tại $x = a < - 1;x = - 1;x = 4$

Xét hàm số $f\left( {\left| {{x^3} - 3mx} ight|} ight) = f\left( u ight)$

Bảng biến thiên của hàm số $u = \left| {{x^3} - 3mx} ight| \geqslant 0$ suy ra chỉ có phương trình $u = \left| {{x^3} - 3mx} ight| = 4$ cho ta nghiệm bội lẻ.

Nếu $m \leqslant 0$

=> Số điểm cực trị u là 1

=> Số nghiệm bội lẻ của phương trình u = 4 tối đa 2 nghiệm bội lẻ (Không thỏa yêu cầu)

Khi m > 0 => Số điểm cực trị u là 5 ta có bảng biến thiên của hàm số $u = \left| {{x^3} - 3mx} ight|$

Tìm m để hàm số có 11 cực trị

Áp dụng công thức:

Số điểm cực trị của hàm số f(u) = số nghiệm bội lẻ của phương trình (u = 4) + số điểm cực trị của u

=> $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ {2m\sqrt m > 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m > \sqrt[3]{4}$ . Kết hợp với điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \in \mathbb{Z}} \\ {m \in \left[ { - 30;30} ight]} \end{array}} ight.$

=> Có 29 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu.

Câu 33: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack - 1;5brack$ và có đồ thị như hình vẽ:

Xác định hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\lbrack - 1;5brack$ ?

A.
$4$
B.
$3$
C.
$5$
D.
$1$

Từ đồ thị hàm số ta có: $\max_{\lbrack - 1;5brack}y = 3;\min_{\lbrack - 1;5brack}y = - 2$

Khi đó $\max_{\lbrack - 1;5brack}y - \min_{\lbrack - 1;5brack}y = 5$ .

Câu 34: Vận dụng

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x^{2} - 3x + m}$ có đúng hai đường tiệm cận?

A.
$m \in \left( - \infty;\frac{9}{4} ightbrack$
B.
$m \in \left\{ 2 ight\}$
C.
$m \in \left( - \infty;\frac{9}{4} ight)$
D.
$m \in \left\{ 2;\frac{9}{4} ight\}$

Ta có: $\lim_{x ightarrow + \infty}\frac{x - 1}{x^{2} - 3x + m} = \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{x - 1}{x^{2} - 3x + m} = 0$

Suy ra đồ thị hàm số đã cho luôn có đúng một tiệm cận ngang $y = 0$ . Nên để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận thì phải có thêm đúng một tiệm cận đứng nữa.

Tam thức $h(x) = x^{2} - 3x + m$ có $\Delta = 9 - 4m$

Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận thì phải có thêm đúng một tiệm cận đứng nữa:

$\left[ \begin{gathered} \Delta = 9 - 4m = 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} \Delta = 9 - 4m > 0 \hfill \\ h\left( 1 ight) = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \frac{9}{4} \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m < \frac{9}{4} \hfill \\ m = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = \frac{9}{4} \hfill \\ m = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Vậy $m \in \left\{ 2;\frac{9}{4} ight\}$ .

Câu 35: Nhận biết

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x + 2$ là:

A.
$(0;2)$
B.
$(1;0)$
C.
$(0;0)$
D.
$( - 1;4)$

Ta có: $y = x^{3} - 3x + 2 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y' = 3x^{2} - 3 \\ y'' = 6x \\ \end{matrix} ight.$

$y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 2$

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $(0;2)$

Câu 36: Thông hiểu

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập xác định của nó?

A. $y = {x^4} + 2{x^2} + 5$
B. $y = - 2{x^3} - 3x + 5$
C. $y = - {x^4} - {x^2}$
D. $y = \frac{{x + 1}}{{ - x + 3}}$

Hàm trùng phương không nghịch biến trên tập xác định của nó

Với $y = \frac{{x + 1}}{{ - x + 3}} \Rightarrow y' = \frac{4}{{{{\left( { - x + 3} ight)}^2}}} > 0,\forall x e 3$

Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định

Với $y = - 2{x^3} - 3x + 5 \Rightarrow y' = - 6{x^2} - 3 < 0,\forall x \in \mathbb{R}$

=> Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Câu 37: Nhận biết

Với giá trị nào của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{2x^{2} + 6mx + 4}{mx + 2}$ đi qua điểm $A( - 1;4)$ ?

A.
$m = 2$
B.
$m = 1$
C.
$m = - 1$
D.
$m = \frac{1}{2}$

Thay tọa độ điểm $A( - 1;4)$ vào $y = \frac{2x^{2} + 6mx + 4}{mx + 2}$ ta được:

$4 = \frac{2.( - 1)^{2} + 6m.( - 1) + 4}{m.( - 1) + 2} \Leftrightarrow 2m = - 2 \Leftrightarrow m = - 1$

Vậy giá trị m cần tìm là $m = - 1$ .

Câu 38: Thông hiểu

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ ?

A.
$y = - x^{3} + x - 1$
B.
$y = \frac{3 - x}{x + 1}$
C.
$y = x^{4} - x^{2} + 3$
D.
$y = \frac{x - 2}{2x - 3}$

Ta có:

$y = - x^{3} + x - 1$ sai vì $2 < 3$ nhưng $f(2) = - 7 > f(3) = - 25$

$y = \frac{3 - x}{x + 1}$ sai vì $2 < 3$ nhưng $f(2) = \frac{1}{3} > f(3) = - 0$

$y = \frac{x - 2}{2x - 3}$ sai vì $1,1 < 2$ nhưng $f(1,1) = \frac{9}{8} > f(2) = 0$

$y = x^{4} - x^{2} + 3$ đúng vì $y' = 4x^{3} - 2x = 2x\left( 2x^{2} - 1 ight) > 0;\forall x > 1$ nên hàm số $y = x^{4} - x^{2} + 3$ đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .

Câu 39: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$ và một số thực $M$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Nếu $f(x) \leq M,\forall x \in D$ thì $\underset{D}{\max f(x)} = M$ . Sai|| Đúng

b) Nếu $f(x) \geq M,\forall x \in D$ thì $\underset{D}{\min f(x)} = M$ . Sai|| Đúng

c) Nếu $f(x) = M,\forall x \in D$ thì $\underset{D}{\max f(x)} = M$ . Đúng||Sai

d) Nếu $f(x) = M,\forall x \in D$ thì $\underset{D}{\min f(x)} = M$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$ và một số thực $M$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Nếu $f(x) \leq M,\forall x \in D$ thì $\underset{D}{\max f(x)} = M$ . Sai|| Đúng

b) Nếu $f(x) \geq M,\forall x \in D$ thì $\underset{D}{\min f(x)} = M$ . Sai|| Đúng

c) Nếu $f(x) = M,\forall x \in D$ thì $\underset{D}{\max f(x)} = M$ . Đúng||Sai

d) Nếu $f(x) = M,\forall x \in D$ thì $\underset{D}{\min f(x)} = M$ . Đúng||Sai

a) Khẳng định này sai, cần bổ sung thêm điều kiện $\exists x_{0} \in D$ để $f\left( x_{0} ight) = M$ .

b) Khẳng định này sai, cần bổ sung thêm điều kiện $\exists x_{0} \in D$ để $f\left( x_{0} ight) = M$ .

c) Nếu $f(x) = M,\forall x \in D$ thì $f(x)$ là hàm hằng trên $D$ (đồ thị là đường thẳng nằm ngang).

Suy ra $\underset{D}{\max f(x)} = M$ .

d) Nếu $f(x) = M,\forall x \in D$ thì $f(x)$ là hàm hằng trên $D$ (đồ thị là đường thẳng nằm ngang).

Suy ra $\underset{D}{\min f(x)} = M$ .

Câu 40: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{{\sin x + 1}}{{{{\sin }^2}x + \sin x + 1}}$ . Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Chọn mệnh đề đúng.

A. $M = \frac{3}{2}m$
B. $M = m + \frac{3}{2}$
C. $M = m + \frac{2}{3}$
D. $M = m + 1$

Đặt $t = \sin x,t \in \left[ { - 1;1} ight]$

Khi đó $y = f\left( t ight) = \frac{{t + 1}}{{{t^2} + t + 1}}$

$\begin{matrix} f'\left( t ight) = \dfrac{{ - {t^2} - 2t}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} ight)}^2}}} \hfill \\ f'\left( t ight) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 0\left( {tm} ight)} \\ {t = - 2\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ f\left( 0 ight) = 1;f\left( { - 1} ight) = 0;f\left( 1 ight) = \frac{2}{3} \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy M = 1; m = 0 => M = m + 1

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!