Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Câu 1: Nhận biết

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là:

A. $y = 2$
B. $x = 2$
C. $y = - 1$
D. $x = - 1$

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x ight) = 2$

=> Đồ thị hàm số đường tiệm cận ngang là y = 2

Câu 2: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{ax^{2} + bx + c}{ex + f}$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đồng biến trên $(−∞; −1)$ . Sai||Đúng

b) Hàm số đạt cực đại tại x = −2. Sai||Đúng

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(−∞; −1)$ là $\frac{3}{2}$ . Đúng||Sai

d) Điểm cực tiểu của hàm số là $x = −2$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = \frac{ax^{2} + bx + c}{ex + f}$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đồng biến trên $(−∞; −1)$ . Sai||Đúng

b) Hàm số đạt cực đại tại x = −2. Sai||Đúng

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(−∞; −1)$ là $\frac{3}{2}$ . Đúng||Sai

d) Điểm cực tiểu của hàm số là $x = −2$ . Đúng||Sai

a) Sai. Hàm số đồng biến trên $(−2; −1), (−1; 0)$ và nghịch biến trên $(−∞; −2), (0; +∞)$ .

b) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = −2$ .

c) Đúng.

d) Đúng.

Câu 3: Thông hiểu

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ ?

A.
$y = - x^{3} + x - 1$
B.
$y = \frac{3 - x}{x + 1}$
C.
$y = x^{4} - x^{2} + 3$
D.
$y = \frac{x - 2}{2x - 3}$

Ta có:

$y = - x^{3} + x - 1$ sai vì $2 < 3$ nhưng $f(2) = - 7 > f(3) = - 25$

$y = \frac{3 - x}{x + 1}$ sai vì $2 < 3$ nhưng $f(2) = \frac{1}{3} > f(3) = - 0$

$y = \frac{x - 2}{2x - 3}$ sai vì $1,1 < 2$ nhưng $f(1,1) = \frac{9}{8} > f(2) = 0$

$y = x^{4} - x^{2} + 3$ đúng vì $y' = 4x^{3} - 2x = 2x\left( 2x^{2} - 1 ight) > 0;\forall x > 1$ nên hàm số $y = x^{4} - x^{2} + 3$ đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .

Câu 4: Nhận biết

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Hàm số y = f(x) là hàm số nào

Hàm số y = f(x) là hàm số nào trong các hàm số sau:

A. $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$
B. $y = - {x^3} + 3{x^2} + 2$
C. $y = - {x^3} - 3{x^2} + 2$
D. $y = {x^3} + 3{x^2} + 2$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = + \infty$ => Hệ số a > 0

=> Loại đáp án B và C

Mặt khác hàm số đạt cực trị tại x = 0 và x = 2

=> Loại đáp án D

Câu 5: Nhận biết

Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + 2$ . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack - 1;3brack$ lần lượt là $P;Q$ . Khi đó $P - Q$ bằng:

A.
$4$
B.
$1$
C.
$2$
D.
$3$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f( - 1) = - 2;f(0) = 2 \\ f(2) = - 2;f(3) = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} P = 2 \\ Q = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P - Q = 4$

Câu 6: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 1)^{2}(x + 2)(3 - x)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - 2;1)$ và $(3; + \infty)$ .
B.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $( - 2;1)$ và $(3; + \infty)$ .
C.
Hàm số đồng biến trên khoảng $( - 2;3)$ .
D.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - 2;3)$ .

Xét $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$ ta có bảng xét dấu $f'(x)$ như sau:

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty; - 2);(3; + \infty)$ , hàm số đồng biến trên khoảng $( - 2;3)$ .

Câu 7: Thông hiểu

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{mx - 16}{x - m}$ đồng biến trên khoảng $( - 5;2)$ ?

A.
$4$
B.
$2$
C.
$1$
D.
$6$

Điều kiện xác định $x eq m$

Ta có: $y' = \frac{- m^{2} + 16}{(x - m)^{2}}$ . Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $( - 5;2)$ ta có;

$\left\{ \begin{matrix} y' > 0 \\ m otin ( - 5;2) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4 < m < 4 \\ m otin ( - 5;2) \\ \end{matrix} ight.$

Mặt khác $m\mathbb{\in Z}$ nên $m \in \left\{ 2;3 ight\}$

Vậy có hai giá trị của tham số m cần tìm.

Câu 8: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x + 1)(x - 2)^{3};\forall x\mathbb{\in R}$ . Số điểm cực tiểu của hàm số là:

A.
$2$
B.
$1$
C.
$3$
D.
$0$

Ta có: $f'(x) = x(x + 1)(x - 2)^{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng xét dấu:

Suy ra số điểm cực tiểu của hàm số là 2 điểm.

Câu 9: Thông hiểu

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x - m}{x + 1}$ đồng biến trên từng khoảng xác định?

A.
$m \geq - 1$
B.
$m > 1$
C.
$m \geq 1$
D.
$m > - 1$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$

Ta có: $y' = \frac{m + 1}{(x + 1)^{2}};\forall x eq - 1$

Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $y' > 0$

$\Leftrightarrow \frac{m + 1}{(x + 1)^{2}} > 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$

Vậy đáp án cần tìm là $m > - 1$ .

Câu 10: Thông hiểu

Sự ảnh hưởng khi sử dụng một loại thuốc với cá thể $X$ được một nhà sinh học mô tả bởi hàm số $P(t) = \frac{t + 1}{t^{2} + t + 4}$ , trong đó $P(t)$ là số lượng cá thể sau $t$ giờ sử dụng thuốc. Vào thời điểm nào thì số lượng cá thể $X$ bắt đầu giảm?

A.
Sau $1$ giờ.
B.
Sau $2$ giờ.
C.
Sau $3$ giờ.
D.
Sau $1,5$ giờ.

Xét $P(t) = \frac{t + 1}{t^{2} + t + 4}$ ta có: $P'(t) = \frac{- t^{2} - 2t + 3}{\left( t^{2} + t + 4 ight)^{2}} = \frac{(t - 1)( - t - 3)}{\left( t^{2} + t + 4 ight)^{2}}$

$P'(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{(t - 1)( - t - 3)}{\left( t^{2} + t + 4 ight)^{2}} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 3 \\ t = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Ta thấy hàm số đạt cực đại tại $t = 1$ và $P'(t) < 0;\forall t \in (1; + \infty)$ nên sau $1$ giờ thì cá thể bắt đầu giảm.

Câu 11: Nhận biết

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2020}{x - 1}$ là đường thẳng có phương trình?

A.
$y = 2020$
B.
$x = 2020$
C.
$y = 0$
D.
$x = 0$

Ta có: $\lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{2020}{x - 1} = 0$ nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình $y = 0$ .

Câu 12: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(3 - 2x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.
$(3;5)$
B.
$( - 1;2)$
C.
$(1;3)$
D.
$(5; + \infty)$

Xét hàm số $y = f(3 - 2x)$ ta có: $y' = - 2f'(3 - 2x)$

$y' = 0 \Leftrightarrow - 2f'(3 - 2x) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3 - 2x = 5 \\ 3 - 2x = 3 \\ 3 - 2x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow - 2.f'(3 - 2x) > 0$

$\Leftrightarrow f'(3 - 2x) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < x < 0 \\ x > 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3 < 3 - 2x < 5 \\ 3 - 2x < 1 \\ \end{matrix} ight.$

Đặt $3 - 2x = t \Rightarrow f'(t) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3 < t < 5 \\ t < 1 \\ \end{matrix} ight.$

Xét hàm số $y = f(x)$ có $y' = f'(x)$ . Hàm số nghịch biến khi $y' < 0 \Leftrightarrow f'(x) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3 < x < 5 \\ x < 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(3;5)$ .

Câu 13: Nhận biết

Với giá trị nào của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{2x^{2} + 6mx + 4}{mx + 2}$ đi qua điểm $A( - 1;4)$ ?

A.
$m = 2$
B.
$m = 1$
C.
$m = - 1$
D.
$m = \frac{1}{2}$

Thay tọa độ điểm $A( - 1;4)$ vào $y = \frac{2x^{2} + 6mx + 4}{mx + 2}$ ta được:

$4 = \frac{2.( - 1)^{2} + 6m.( - 1) + 4}{m.( - 1) + 2} \Leftrightarrow 2m = - 2 \Leftrightarrow m = - 1$

Vậy giá trị m cần tìm là $m = - 1$ .

Câu 14: Nhận biết

Biết rằng hàm số $f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 28$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $\lbrack 0;4brack$ tại điểm $x_{0}$ . Khi đó giá trị biểu thức $P = x_{0} + 2021$ bằng:

A.
$3$
B.
$2021$
C.
$2018$
D.
$2024$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 6x - 9$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Mà $\left\{ \begin{matrix} f(0) = 28 \\ f(3) = 1 \\ f(4) = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack 0;4brack}f(x) = 1$ khi $x = 3$

Suy ra $x_{0} = 3 \Rightarrow P = x_{0} + 2021 = 2024$ .

Câu 15: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi đồ thị hàm số $g(x) = \frac{2020}{2f(x) + 1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A.
$2$
B.
$3$
C.
$4$
D.
$5$

Số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình $f(x) = - \frac{1}{2}$

Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình trên có 4 nghiệm tương ứng với 4 đường tiệm cận đứng.

Câu 16: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Tính số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số $g\left( x ight) = \frac{{2020}}{{f\left( x ight) - m}}$ có nhiều nhất bao nhiêu tiệm cận đứng:

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Điều kiện $f\left( x ight) e m$

Để đồ thị hàm số $g\left( x ight) = \frac{{2020}}{{f\left( x ight) - m}}$ có đường tiệm cận đứng $f\left( x ight) = m$ thì phải có nghiệm.

Từ bảng biến thiên của hàm số y = f’(x) suy ra phương trình f’(x) = 0 có đúng hai nghiệm là $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = a} \\ {x = b} \end{array}} ight.$ với $- 1 < a < 0 < b$

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau:

Tính số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

=> Phương trình y = f(x) có nhiều nhất ba nghiệm phân biệt

Vậy đồ thị hàm số $g\left( x ight) = \frac{{2020}}{{f\left( x ight) - m}}$ có nhiều nhất ba đường tiệm cận đứng.

Câu 17: Thông hiểu

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{\cos x + m^{2}}{2 - \cos x}$ có giá trị lớn nhất trên $\left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3} ightbrack$ bằng $1$ . Số phần tử của tập hợp $S$ :

A.
$2$
B.
$3$
C.
$1$
D.
$0$

Ta có: $y = \frac{\cos x + m^{2}}{2 - \cos x};\forall x \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3} ightbrack$

Đặt $t = \cos x;(0 \leq t \leq 1)$

Hàm số đã cho trở thành: $f(t) = \frac{t + m^{2}}{2 - t};\forall t \in \lbrack 0;1brack$

Ta có: $f'(t) = \frac{2 + m^{2}}{(2 - t)^{2}} > 0;\forall t \in \lbrack 0;1brack$

$\Rightarrow \underset{\left\lbrack - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{3} ightbrack}{\max y} = f(1) = m^{2} + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0$

Vậy số phần tử của tập hợp S là 1.

Câu 18: Nhận biết

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{- x + 1}$ . Hãy chọn khẳng định đúng?

A.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$ .
B.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$ .
C.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;1) \cup (1; + \infty)$ .
D.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;1) \cup (1; + \infty)$ .

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}$

Ta có: $y' = \frac{2}{( - x + 1)^{2}} > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$ .

Câu 19: Vận dụng

Cho hàm số bậc ba $f\left( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d;\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} ight)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Xác định số TCĐ và TCN của đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số $g\left( x ight) = \frac{1}{{f\left( {4 - {x^2}} ight) - 3}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

Đặt $t = 4 - {x^2}$ khi đó $x \to \pm \infty$ thì $t \to \infty$

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{f\left( t ight) - 3}} = 0$

=> y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g(x)

Mặt khác

$\begin{matrix} f\left( {4 - {x^2}} ight) - 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( {4 - {x^2}} ight) = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - {x^2} = - 2} \\ {4 - {x^2} = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm \sqrt 6 } \\ {x = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

=> Đồ thị hàm số g(x) có ba đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số g(x) có bốn đường tiệm cận.

Câu 20: Thông hiểu

Biết rằng đồ thị hàm số $y =\frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}mx^{2} + x - 2$ có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền bằng $\sqrt{7}$ . Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Biết rằng đồ thị hàm số $y =\frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}mx^{2} + x - 2$ có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền bằng $\sqrt{7}$ . Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 21: Vận dụng cao

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 100 km. Vận tốc dòng nước là $5(km/h)$ . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v(km/h),(v > 5)$ thì năng lượng tiêu hao của cá trong $t$ giờ được cho bởi công thức $E(v) = c.v^{3}.t$ , trong đó $c$ là hằng số dương, $E$ được tính bằng Jun. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng $(a;b)$ thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của $b - a$ (kết quả làm tròn tới hàng phần mười).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 100 km. Vận tốc dòng nước là $5(km/h)$ . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v(km/h),(v > 5)$ thì năng lượng tiêu hao của cá trong $t$ giờ được cho bởi công thức $E(v) = c.v^{3}.t$ , trong đó $c$ là hằng số dương, $E$ được tính bằng Jun. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng $(a;b)$ thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của $b - a$ (kết quả làm tròn tới hàng phần mười).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 22: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x). Biết hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số $y = {2021^{f\left( x ight)}} + {2020^{f\left( x ight)}}$ là:

Tính số điểm cực trị của hàm số

A. 2
B. 5
C. 3
D. 4

Ta có:

$\begin{matrix} y' = f'\left( x ight){.2021^{f\left( x ight)}}.\ln 2021 + f'\left( x ight){.2020^{f\left( x ight)}}.\ln 2020 \hfill \\ = f'\left( x ight)\left[ {{{2021}^{f\left( x ight)}}.\ln 2021 + {{2020}^{f\left( x ight)}}.\ln 2020} ight] \hfill \\ \end{matrix}$

Do ${2021^{f\left( x ight)}}.\ln 2021 + {2020^{f\left( x ight)}}.\ln 2020 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

$y' = 0 \Leftrightarrow f'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = a} \\ {{x_2} = b} \\ {{x_3} = c} \end{array}} ight.$

Tính số điểm cực trị của hàm số

Vậy hàm số $y = {2021^{f\left( x ight)}} + {2020^{f\left( x ight)}}$ có ba điểm cực trị.

Câu 23: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tổng các giá trị nguyên của tham số $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt bằng bao nhiêu?

A.
$0$
B.
$- 3$
C.
$- 5$
D.
$- 1$

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt $\Leftrightarrow - 4 < m < 2$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 3; - 2; - 1;0;1 ight\}$

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bằng -5.

Câu 24: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

a) Phương trình $f(x) = 0$ có 3 nghiệm. Đúng||Sai

b) Phương trình $f(x) = 2$ có 1 nghiệm. Đúng||Sai

c) Phương trình $f(x) − 4 = 0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

d) Phương trình $f(x) + 3 = 0$ có 2 nghiệm. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

a) Phương trình $f(x) = 0$ có 3 nghiệm. Đúng||Sai

b) Phương trình $f(x) = 2$ có 1 nghiệm. Đúng||Sai

c) Phương trình $f(x) − 4 = 0$ vô nghiệm. Sai||Đúng

d) Phương trình $f(x) + 3 = 0$ có 2 nghiệm. Đúng||Sai

a) Ta có $f(x) = 0$ .

Dựa vào bảng biến thiên, ta có phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm.

b) Ta có $f(x) = 2$

Dựa vào bảng biến thiên, ta có phương trình f(x) = 2 có 1 nghiệm.

c) Ta có $f(x) + 4 = 0 ⇔ f(x) = −4$ .

Dựa vào bảng biến thiên, ta có phương trình f(x) = −4 có 1 nghiệm.

d) Ta có $f(x) + 3 = 0 ⇔ f(x) = −3$ .

Dựa vào bảng biến thiên, ta có phương trình f(x) = −3 có 2 nghiệm.

Câu 25: Vận dụng

Cho biết $\left( P ight):y = {x^2}$ và điểm $A\left( { - 2;\frac{1}{2}} ight)$ . Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc $(P)$ . Khoảng cách $MA$ nhỏ nhất là:

A. $\frac{5}{4}$
B. $\frac{{2\sqrt 3 }}{3}$
C. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$
D. $\frac{{\sqrt 5 }}{2}$

Vì $M$ thuộc $(P)$

=> $\begin{matrix} M\left( {a;{a^2}} ight) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {a + 2;{a^2} - \dfrac{1}{2}} ight) \hfill \\ \hfill \\ \end{matrix}$

$\Rightarrow M{A^2} = {\left( {a + 2} ight)^2} + {\left( {{a^2} - \frac{1}{2}} ight)^2} = {a^4} - 4a + \frac{{17}}{4}$

Xét hàm số $f\left( a ight) = {a^4} + 4a + \frac{{17}}{4}$ ta có:

$\begin{matrix} f'\left( a ight) = 4{a^3} + a \hfill \\ f'\left( a ight) = 0 \Rightarrow a = - 1 \hfill \\ \Rightarrow \min f\left( a ight) = f\left( { - 1} ight) = 1 - 4 + \dfrac{{17}}{4} = \dfrac{5}{4} \hfill \\ \Rightarrow M{A_{\min }} = \sqrt {\dfrac{5}{4}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 26: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'(x) = x^{2}(x - 2)\left( x^{2} - 6x + might)$ với mọi $x\mathbb{\inR}$ . Có bao nhiêu số nguyên $m \in\lbrack - 2019;2019brack$ để hàm số $g(x) = f(1 - x)$ nghịch biến trên khoảng $( - \infty; - 1)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'(x) = x^{2}(x - 2)\left( x^{2} - 6x + might)$ với mọi $x\mathbb{\inR}$ . Có bao nhiêu số nguyên $m \in\lbrack - 2019;2019brack$ để hàm số $g(x) = f(1 - x)$ nghịch biến trên khoảng $( - \infty; - 1)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 27: Thông hiểu

Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ như hình vẽ:

Hàm số $g(x) = 2f(x) + 2021$ đồng biến trên khoảng:

A.
$( - \infty; - 3)$
B.
$( - 4;7)$
C.
$(4; + \infty)$
D.
$(8; + \infty)$

Ta có: $g'(x) = 2f'(x) > 0 \Leftrightarrow f'(x) > 0$

$\Leftrightarrow x \in ( - \infty; - 4) \cup (7; + \infty)$

Nên suy ra hàm số cũng đồng biến trên $(8; + \infty)$ .

Câu 28: Nhận biết

Hàm số nào sau đây đồng biến trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)?

A. $y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}$
B. $y = \frac{1}{{x - 2}}$
C. $y = \frac{{2x - 5}}{{x - 2}}$
D. $y = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}$

Ta có:

$y' = \frac{{2\left( {x - 2} ight) - \left( {2x - 5} ight)}}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}$

Vậy hàm số $y = \frac{{2x - 5}}{{x - 2}}$ đồng biến trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)

Câu 29: Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x) = \left| x^{3} -3x^{2} + m ight|$ biết $m \in\lbrack - 4;4brack$ . Có thể có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng ba điểm cực trị?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = \left| x^{3} -3x^{2} + m ight|$ biết $m \in\lbrack - 4;4brack$ . Có thể có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có đúng ba điểm cực trị?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 30: Thông hiểu

Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}$ sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ điểm M đến trục hoành:

A. M(0; -1), M(3; 2)
B. M(2; 1), M(4; 3)
C. M(2; 1), M(3; 2)
D. M(0; -1), M(4; 3)

Do M thuộc đồ thị hàm số nên tọa độ điểm $M\left( {{x_0};\frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}} ight);{x_0} e 1$

Phương trình tiệm cận đứng là x – 1 = 0 (d’)

Giải phương trình d(M,d’) = d(M, Ox)

=> $\left| {{x_0} - 1} ight| = \left| {\frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 1}}} ight| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_0} = 0} \\ {{x_0} = 4} \end{array}} ight.$

Câu 31: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho.

A.
$y_{CÐ} = 1;y_{CT} = 0$
B.
$y_{CÐ} = 1;y_{CT} = - 1$
C.
$y_{CÐ} = 0;y_{CT} = - 1$
D.
$y_{CÐ} = 0;y_{CT} = - 3$

Từ bảng biến thiên ta có: $y_{CÐ} = 0;y_{CT} = - 3$ .

Câu 32: Thông hiểu

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + (m + 1)x + 2$ có hai cực trị?

A.
$m > 2$
B.
$m < 2$
C.
$m < - 4$
D.
$m \leq 2$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 6x + m + 1$

Để hàm số đã cho có hai cực trị thì $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Rightarrow \Delta' > 0 \Leftrightarrow 9 - 3(m + 1) > 0 \Leftrightarrow m < 2$

Vậy với $m < 2$ thì hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + (m + 1)x + 2$ có hai cực trị.

Câu 33: Nhận biết

Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ:

A.
$y = - x^{4} + 3x^{2} - 1$
B.
$y = x^{4} - 2x^{2} - 1$
C.
$y = x^{3} - 4x^{2} + 5$
D.
$y = - x^{3} + 5x^{2} - 2$

Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số $a > 0$ cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn $0$ nên hàm số cần tìm là $y = x^{4} - 2x^{2} - 1$ .

Câu 34: Vận dụng cao

Tìm tập hợp T tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} ight){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} ight)x - 3$ nghịch biến trên khoảng (-1; 1)

A. $T = \left[ { - 1;0} ight]$
B. $T = \emptyset$
C. $T = \left\{ { - 1} ight\}$
D. $T = \left\{ 1 ight\}$

Ta có: $y' = {x^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + \left( {{m^2} + 2m} ight)$

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) thì

$\begin{matrix} y' \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 1;1} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} ight)x + \left( {{m^2} + 2m} ight) \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 1;1} ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có y’ = 0 => x = m hoặc x = m + 2

Bảng xét dấu

Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến trên khoảng

Từ bảng xét dấu ta thấy để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) thì

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant - 1} \\ {m + 2 \geqslant 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant - 1} \\ {m \geqslant - 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m = - 1$

Câu 35: Vận dụng

Một công ty A có 120 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 3 000 000 đồng thì mỗi tháng mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100 nghìn đồng một tháng thì sẽ có 3 căn hộ bị bỏ trống. Gọi $x$ (trăm nghìn) là số tiền tăng thêm.

a) Số căn hộ còn lại sau khi tăng giá là $120 - 3x$ . Đúng||Sai

b) Giá một căn hộ sau khi tăng là $30 - x$ (trăm nghìn). Sai||Đúng

c) Tổng số tiền công ty thu được là $S(x) = - 3x^{2} + 30x + 3600$ (trăm nghìn). Đúng||Sai

d) Công ty thu được nhiều tiền nhất khi giá thuê mỗi căn hộ là 4 (triệu đồng).Sai||Đúng

Đáp án là:

Một công ty A có 120 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 3 000 000 đồng thì mỗi tháng mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100 nghìn đồng một tháng thì sẽ có 3 căn hộ bị bỏ trống. Gọi $x$ (trăm nghìn) là số tiền tăng thêm.

a) Số căn hộ còn lại sau khi tăng giá là $120 - 3x$ . Đúng||Sai

b) Giá một căn hộ sau khi tăng là $30 - x$ (trăm nghìn). Sai||Đúng

c) Tổng số tiền công ty thu được là $S(x) = - 3x^{2} + 30x + 3600$ (trăm nghìn). Đúng||Sai

d) Công ty thu được nhiều tiền nhất khi giá thuê mỗi căn hộ là 4 (triệu đồng).Sai||Đúng

a) Đúng. Số căn hộ bị bỏ trống là $3x$ . Suy ra Số căn hộ còn lại sau khi tăng giá là $120 - 3x$ .

b) Sai. Giá một căn hộ sau khi tăng là $30 + x$ (trăm ngìn).

c) Đúng. Tổng số tiền công ty thu được là

$S(x) = (120 - 3x)(30 + x) = - 3x^{2} + 30x + 3600$ .

d) Sai. Ta có $S'(x) = - 6x + 30$ .

Phương trình $S'(x) = 0 \Leftrightarrow - 6x + 30 = 0 \Leftrightarrow x = 5$ .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra, công ty sẽ thu được nhiều tiền nhất khi giá căn hộ là 3,5 (triệu đồng).

Câu 36: Thông hiểu

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ là:

A.
$3$
B.
$2$
C.
$1$
D.
$4$

Tập xác định $D = ( - 3;3)$ suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

$\lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x - 3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x - 3}{\sqrt{(3 - x)(3 + x)}} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{- \sqrt{3 - x}}{\sqrt{3 + x}} = 0$

Suy ra $x = 3$ không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x ightarrow - 3^{+}}\frac{x - 3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = \lim_{x ightarrow - 3^{+}}\frac{x - 3}{\sqrt{(3 - x)(3 + x)}} = \lim_{x ightarrow - 3^{+}}\frac{- \sqrt{3 - x}}{\sqrt{3 + x}} = - \infty$

Suy ra $x = - 3$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận.

Câu 37: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} - x + m + 1$ với $m$ là tham số. Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $A;B$ thỏa mãn ${x_{A}}^{2} + {x_{B}}^{2} = 2$ ?

A.
$m = 0$
B.
$m = 2$
C.
$m = \pm 1$
D.
$m = \pm 3$

Ta có: $y' = x^{2} - 2mx - 1(*)$

Hàm số đã cho có hai điểm cực trị $A;B$ $\Leftrightarrow \Delta' > 0 \Leftrightarrow m^{2} + 1 > 0;\forall m\mathbb{\in R}$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}x_{A} + x_{B} = - \dfrac{b}{a} = 2m \\x_{A}.x_{B} = \dfrac{c}{a} = - 1 \\\end{matrix} ight.$ . Theo bài ra ta có:

${x_{A}}^{2} + {x_{B}}^{2} = 2 \Leftrightarrow \left( x_{A} + x_{B} ight)^{2} - 2x_{A}.x_{B} = 2$

$\Leftrightarrow 4m^{2} - 2.( - 1) = 2 \Leftrightarrow m = 0$

Vậy $m = 0$ là giá trị cần tìm.

Câu 38: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên R và có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ là đường cong như hình vẽ:

Hãy cho biết tính đúng sai của mỗi mệnh đề dưới đây.

a) Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(−1; 1)$ . Sai||Đúng

b) Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$ . Đúng||Sai

c) Hàm số $y = f(x)$ đạt cực đại tại $x = 0$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 1$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên R và có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ là đường cong như hình vẽ:

Hãy cho biết tính đúng sai của mỗi mệnh đề dưới đây.

a) Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(−1; 1)$ . Sai||Đúng

b) Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$ . Đúng||Sai

c) Hàm số $y = f(x)$ đạt cực đại tại $x = 0$ . Đúng||Sai

d) Hàm số $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 1$ . Sai||Đúng

Từ đồ thị hàm số $y = f'(x)$ , ta có bảng biến thiên

a) Từ bảng biến thiên hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; 1).

b) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f(x) nghịch biến trên (0; 2).

c) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số f(x) đạt cực đại tại x = 0.

d) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = −2 và x = 2.

Câu 39: Thông hiểu

Một chất điểm chuyển động với quy luật $S(t) = 6t^{2} - t^{3}$ . Thời điểm $t$ (giây) tại vận tốc $v(m/s)$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

A.
$t = 12$
B.
$t = 8$
C.
$t = 2$
D.
$t = 6$

Vận tốc của chuyển động là:

$v(t) = S'(t) = 12t - 3t^{2} = 12 - 3(2 - t)^{2} \leq 12;\forall t$

Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng $12m/s$ khi $t = 2$ .

Câu 40: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\lbrack - 2;3brack$ bằng bao nhiêu?

A.
$3.$
B.
$- 2.$
C.
$4.$
D.
$- 3.$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\lbrack - 2;3brack$ bằng $- 3$ .

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!