Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Câu 1: Vận dụng

Cho hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d;\left( {a e 0} ight)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Số nghiệm của phương trình

Số nghiệm của phương trình $f\left( {f\left( x ight)} ight) = 0$ là:

A. 7
B. 9
C. 6
D. 5

Ta có: $f\left( {f\left( x ight)} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) = a\left( 1 ight)} \\ {f\left( x ight) = b\left( 2 ight)} \\ {f\left( x ight) = c\left( 3 ight)} \end{array}} ight.;\left( {a < b < c} ight)$

Khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 2} \\ {b \in \left( { - 2;2} ight)} \\ {c > 2} \end{array}} ight.$ suy ra phương trình (1) có 1 nghiệm; phương trình (2) có 3 nghiệm và phương trình (3) có 1 nghiệm.

=> Phương trình $f\left( {f\left( x ight)} ight) = 0$ có 5 nghiệm

Câu 2: Vận dụng

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1 ight)}{x^{2} - 2x - 3}$ là:

A.
$0$
B.
$4$
C.
$2$
D.
$3$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1;3 ight\}$

$\lim_{x ightarrow +\infty}\left\lbrack \dfrac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1ight)}{x^{2} - 2x - 3} ightbrack$ $= \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{x^{2}\left( \sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}ight)}{x^{2}\left( 1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}ight)}$

$= \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{\sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}}{1 -\dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}} = 2$ suy ra $y = 2$ là tiệm cận ngang.

$\lim_{x ightarrow -\infty}\left\lbrack \dfrac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1ight)}{x^{2} - 2x - 3} ightbrack$ $= \lim_{x ightarrow -\infty}\dfrac{x^{2}\left( - \sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}ight)}{x^{2}\left( 1 - \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}ight)}$

$= \lim_{x ightarrow - \infty}\dfrac{-\sqrt{1 + \dfrac{3}{x^{2}}} + 1 - \dfrac{1}{x}}{1 - \dfrac{2}{x} -\dfrac{3}{x^{2}}} = 0$ suy ra $y = 0$ là tiệm cận ngang.

$\lim_{x ightarrow - 1}\left\lbrack\frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} + x - 1 ight)}{x^{2} - 2x - 3}ightbrack$ $= \lim_{x ightarrow - 1}\frac{x\left( \sqrt{x^{2} + 3} +x - 1 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}{\left( x^{2} - 2x- 3 ight)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow - 1}\frac{2x(x + 1)}{(x - 3)(x + 1)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)}$

$= \lim_{x ightarrow - 1}\frac{2x}{(x - 3)\left( \sqrt{x^{2} + 3} - x + 1 ight)} = \frac{- 2}{16} = \frac{1}{8}$

Vậy $x = - 1$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + x - 1} ight)}}{{{x^2} - 2x - 3}}} ight] = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left[ {\frac{{x\left( {\sqrt {{x^2} + 3} + x - 1} ight)}}{{{x^2} - 2x - 3}}} ight] = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.$ suy ra $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng.

Câu 3: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{2} + x^{2} + (m - 2)x + 2$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm bên trái trục $Oy$ ?

A.
$m \in ( - \infty;1)$
B.
$m \in (1;2)$
C.
$m \in ( - \infty;2)$
D.
$m \in (1; + \infty)$

Ta có: $y' = x^{2} + 2x + m - 1$

Đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm âm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ S < 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - m + 1 > 0 \\ - 2 < 0 \\ m - 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 1 < m < 2$

Vậy đáp án cần tìm là $m \in (1;2)$ .

Câu 4: Vận dụng cao

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in ( - 2021;2021)$ để hàm số $y = \left| x^{4} - 4x^{2} + m + 2020ight|$ có 7 điểm cực trị?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in ( - 2021;2021)$ để hàm số $y = \left| x^{4} - 4x^{2} + m + 2020ight|$ có 7 điểm cực trị?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 5: Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}(3m + 2)x^{2} + \left( 2m^{2} + 3m + 1 ight)x - 2$ có điểm cực đại $x_{CÐ}$ và điểm cực tiểu $x_{CT}$ thỏa mãn biểu thức $3{x_{CÐ}}^{2} - 4x_{CT} = 0$ ?

A.
$4$
B.
$3$
C.
$2$
D.
$5$

Ta có: $y' = x^{2} - (3m + 2)x + \left( 2m^{2} + 3m + 1 ight)$ có $\Delta = m^{2} \geq 0;\forall m\mathbb{\in R}$ nên $y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2m + 1 \\ x = m + 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi $m eq 0$ .

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{matrix} x_{CÐ} = 2m + 1 \\ x_{CT} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.$

Do $a = \frac{1}{3} > 0 \Rightarrow x_{CÐ} < x_{CT} \Leftrightarrow 2m + 1 < m + 1 \Leftrightarrow m < 0$

Lại có $3{x_{CÐ}}^{2} - 4x_{CT} = 0 \Leftrightarrow 3(2m + 1)^{2} - 4(m + 1) = 0$

$\Leftrightarrow 12m^{2} + 8m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{6}$

Với điều kiện $m < 0 \Rightarrow m = \frac{- 2 - \sqrt{7}}{6}$ thỏa mãn.

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{matrix} x_{CT} = 2m + 1 \\ x_{CÐ} = m + 1 \\ \end{matrix} ight.$

Do $a = \frac{1}{3} > 0 \Rightarrow x_{CÐ} < x_{CT} \Leftrightarrow m + 1 < 2m + 1 \Leftrightarrow m > 0$

Lại có $3{x_{CÐ}}^{2} - 4x_{CT} = 0 \Leftrightarrow 3(m + 1)^{2} - 4(2m + 1) = 0$

$\Leftrightarrow 3m^{2} - 2m - 1 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 1 \\m = - \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$

Với điều kiện $m > 0 \Rightarrow m = 1$ thỏa mãn.

Vậy có 2 giá trị thực của tham số m thỏa mãn.

Câu 6: Thông hiểu

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A.
0.
B.
1.
C.
2.
D.
3.

Số đường tiệm cận ngang: 1

Số đường tiệm cận đứng: 1

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng: 2.

Câu 7: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2}$ . Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A.
$3$
B.
$2$
C.
$1$
D.
$0$

Tập xác định $D = \lbrack 1;2) \cup (2; + \infty)$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}y = \lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2} = 1$

$\lim_{x ightarrow 2^{-}}y = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{x - 2}{(x - 2)\left( \sqrt{x - 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{1}{\sqrt{x - 1} + 1} = \frac{1}{2}$

$\lim_{x ightarrow 2^{+}}y = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{x - 2}{(x - 2)\left( \sqrt{x - 1} + 1 ight)} = \lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{1}{\sqrt{x - 1} + 1} = \frac{1}{2}$

$\lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\sqrt{x - 1} - 1}{x - 2} = 0$

Vậy đồ thị có một tiệm cận ngang $y = 0$ .

Câu 8: Thông hiểu

Hàm số $y = \frac{x - m^{2}}{x - 4}$ đồng biến trên các khoảng $( - \infty;4)$ và $(4; + \infty)$ khi nào?

A.
$m \in \lbrack - 2;2brack$
B.
$\left\lbrack \begin{matrix} m < - 2 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.$
C.
$\left\lbrack \begin{matrix} m < - 2 \\ m \geq 2 \\ \end{matrix} ight.$
D.
$m \in ( - 2;2)$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$

Ta có: $y' = \frac{- 4 + m^{2}}{(x - 4)^{2}}$ . Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì $y' > 0;\forall x \in D$

$\Leftrightarrow - 4 + m^{2} > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2$

Vậy hàm số $y = \frac{x - m^{2}}{x - 4}$ đồng biến trên các khoảng $( - \infty;4)$ và $(4; + \infty)$ khi $m \in ( - 2;2)$ .

Câu 9: Thông hiểu

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $S(t) = - t^{3} + 12t^{2} - 30t + 10$ trong đó $t$ được tính bằng giây và $S$ được tính bằng mét. Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là:

A.
$t = 2s$
B.
$t = 4s$
C.
$t = 6s$
D.
$t = 5s$

Ta có: $v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 24t - 30 = - 3(t - 4)^{2} + 18 \leq 18$

Khi đó $\max v(t) = 18 \Leftrightarrow t = 4(s)$

Câu 10: Thông hiểu

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A. $y = {x^4} - 3{x^2} + 3x - 2$
B. $y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$
C. $y = {x^4} + 2{x^2} + 1$
D. $y = - \frac{{{x^3}}}{3} + 3x + 2$

Ta có: $y = {x^3} + {x^2} + 2x + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x + 3 \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}$

Ta có: y’ = 0 chỉ tại x = 1

Vậy $y = {x^3} + {x^2} + 2x + 1$ đồng biến trên

Câu 11: Nhận biết

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

Chọn câu đúng

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 1
B. Hàm số có đúng một cực trị
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3
D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3

Từ bảng biến thiên, ta dễ dàng thấy được A, B, D sai, C đúng

Câu 12: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng:

A.
$0$
B.
$3$
C.
$1$
D.
$2$

Quan sát bảng biến thiên dễ thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 3.

Câu 13: Thông hiểu

Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ sao cho khoảng cách từ điểm $M$ đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ điểm $M$ đến trục hoành?

A.
$3$
B.
$2$
C.
$0$
D.
$1$

Gọi $M\left( a;\frac{a + 2}{a - 1} ight);(a eq 1)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}d(M;Oy) = |a| \\d(M;Ox) = \left| \dfrac{a + 2}{a - 1} ight| \\\end{matrix} ight.$ . Theo bài ra ta có phương trình:

$|a| = 2.\left| \frac{a + 2}{a - 1}ight| \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = 2.\left( \dfrac{a + 2}{a - 1} ight) \\a = - 2.\left( \dfrac{a + 2}{a - 1} ight) \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}a^{2} - 3a - 4 = 0 \\a^{2} + a + 4 = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = - 1 \Rightarrow M\left( - 1; - \dfrac{1}{2} ight) \\a = 4 \Rightarrow M(4;2) \\\end{matrix} ight.$

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 14: Vận dụng cao

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x)$ .

Vị trí điểm cực đại là $(2;5)$ với đơn vị của hệ trục là $100m$ và vị trí điểm cực tiểu là $(0;1)$ . Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y = 36 - 9x$ . Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 88,3 m

Đáp án là:

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x)$ .

Vị trí điểm cực đại là $(2;5)$ với đơn vị của hệ trục là $100m$ và vị trí điểm cực tiểu là $(0;1)$ . Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y = 36 - 9x$ . Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 88,3 m

Gọi hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$

$\Rightarrow f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c$ .

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm $(0;1) \Rightarrow d = 1$ .

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm $A(2;5) \Rightarrow 8a + 4b + 2c + 1 = 5$ .

Vì hàm số có hai điểm cực trị $x = 0;x = 2$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(0) = 0 \\ f'(2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ 12a + 4b = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 1$ và $f'(x) = - 3x^{2} + 6x$ .

Gọi $M\left( x_{0};y_{0} ight),\ x_{0} > 0,$ là điểm nằm trên hòn đảo và nối với mặt đường và $d$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với mặt đường.

Suy ra $M$ là tiếp điểm của $d$ với $y = f(x)$ .

Đường thẳng $y = 36 - 9x$ có hệ số góc $k = - 9$

$\Rightarrow f'\left( x_{0} ight) = - 9 \Leftrightarrow - 3x_{0}^{2} + 6x_{0} = - 9$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 3 \\ x_{0} = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(3;1)$ .

Độ dài cây cầu ngắn nhất bằng khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $9x + y - 36 = 0$ .

$h = \frac{|9.3 + 1 - 36|}{\sqrt{9^{2} + 1^{2}}} \approx 0,883$ .

Vì đơn vị của hệ trục là $100m$ nên độ dài ngắn nhất của cây cầu là $88,3m$ .

Câu 15: Nhận biết

Hàm số $y = - x^{4} + 8x^{2} + 5$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A.
$3$
B.
$0$
C.
$2$
D.
$1$

Hàm số $y = - x^{4} + 8x^{2} + 5$ là hàm trùng phương có $a.b = - 8 < 0$ nên hàm số có ba điểm cực trị.

Câu 16: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ:

Tìm số nghiệm của phương trình $2f(x) - 3 = 0$ ?

A.
$2$
B.
$1$
C.
$3$
D.
$4$

Ta có: $2f(x) - 3 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{3}{2}$

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = \frac{3}{2}$

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm nên phương trình có ba nghiệm.

Câu 17: Thông hiểu

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

Khi đó số điểm cực trị của hàm số $y = \left| f(x) ight|$ là:

A.
$1$
B.
$2$
C.
$3$
D.
$0$

Từ giả thiết ta có đồ thị của hàm số $y = \left| f(x) ight|$ như sau:

Vậy hàm số $y = \left| f(x) ight|$ có ba điểm cực trị.

Câu 18: Nhận biết

Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{1 - x}}$ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞)
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞)
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 1) ∪ (1; +∞)
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1) ∪ (1; +∞)

Hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{1 - x}}$ có tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\}$ và có đạo hàm

$y' = \frac{2}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} > 0,\forall x \in D$

=> A là khẳng định đúng

Câu 19: Thông hiểu

Đồ thị hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận?

A. $y = \frac{{1 - 2x}}{{x + 1}}$
B. $y = \frac{1}{{4 - {x^2}}}$
C. $y = \frac{{x + 3}}{{5x - 1}}$
D. $y = \frac{x}{{{x^2} - x + 9}}$

Ta có: Đồ thị hàm số $y = \frac{1}{{4 - {x^2}}}$ có 3 đường tiệm cận trong đó

Tiệm cận đứng là x = 2 và x = -2

Tiệm cận ngang là y = 0

Câu 20: Vận dụng

Cho hàm số đa thức bậc bốn $f(x)$ . Đồ thị hàm số $y = f'(3 - 2x)$ được biểu thị trong hình vẽ sau:

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trong khoảng nào?

A.
$( - \infty; - 1)$
B.
$(5; + \infty)$
C.
$( - 1;1)$
D.
$(1;5)$

Đặt $t = 3 - 2x$ . Ta có bảng xét dấu của $f'(3 - 2x)$ được mô tả lại như sau:

Từ đó suy ra bảng xét dấu của $f'(t)$

Vậy hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên các khoảng $( - \infty; - 1),(3;5)$ .

Câu 21: Thông hiểu

Cho hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} + 5$ có hai điểm cực trị $M;N$ . Tính độ dài đoạn thẳng $AB$ ?

A.
$MN = 10\sqrt{2}$
B.
$MN = 2\sqrt{5}$
C.
$MN = 3\sqrt{2}$
D.
$MN = 2\sqrt{3}$

Ta có: $y' = - 3x^{2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 5 \\ x = 2 \Rightarrow y = 9 \\ \end{matrix} ight.$

Nhận thấy phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $M(0;5),N(2;9)$

$\Rightarrow MN = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}$

Câu 22: Vận dụng

Để uốn $4m$ thanh kim loại thành hình như sau:

Gọi $r$ bán kính của nửa đường tròn. Tìm $r(m)$ để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Để uốn $4m$ thanh kim loại thành hình như sau:

Gọi $r$ bán kính của nửa đường tròn. Tìm $r(m)$ để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 23: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.
$( - 1;1)$
B.
$( - 2;1)$
C.
$( - 2; - 1)$
D.
$( - 1;2)$

Từ đồ thị của hàm số $y = f(x)$ ta xác định được hàm số đồng biến trên các khoảng $( - 2; - 1)$ .

Câu 24: Vận dụng

Bác H cần xây dựng một bể nước mưa có thể tích $V = 8\left( m^{3} ight)$ dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp $\frac{4}{3}$ lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng chi phí trung bình là $980000$ đồng trên một mét vuông và ở nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng $\frac{2}{9}$ diện tích nắp bể. Tính chi phí thấp nhất mà bác H phải chi trả (làm tròn đến hàng triệu đồng).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Bác H cần xây dựng một bể nước mưa có thể tích $V = 8\left( m^{3} ight)$ dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp $\frac{4}{3}$ lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng chi phí trung bình là $980000$ đồng trên một mét vuông và ở nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng $\frac{2}{9}$ diện tích nắp bể. Tính chi phí thấp nhất mà bác H phải chi trả (làm tròn đến hàng triệu đồng).

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 25: Thông hiểu

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau đây:

Khẳng định nào sau đây đúng

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ad < 0} \\ {bc < 0} \end{array}} ight.$
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ad < 0} \\ {bc > 0} \end{array}} ight.$
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ad > 0} \\ {bc < 0} \end{array}} ight.$
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ad > 0} \\ {bc > 0} \end{array}} ight.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm có hoành độ dương => $x = \frac{{ - b}}{a} > 0$

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm => $y = \frac{{ - b}}{d} < 0$

Đồ thị hàm số nhận $x = \frac{{ - b}}{d} < 0$ làm tiệm cận đứng và $y = \frac{a}{c} > 0$ làm tiệm cận ngang

Chọn a > 0 => b < 0; c > 0; d > 0 => $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {ad > 0} \\ {bc < 0} \end{array}} ight.$

Câu 26: Thông hiểu

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + (4 - m)x$ đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ là:

A.
$( - \infty;1brack$
B.
$( - \infty;4brack$
C.
$( - \infty;1)$
D.
$( - \infty;4)$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 6x + 4 - m$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; + \infty) \Leftrightarrow y' \geq 0;\forall x \in (2; + \infty)$

$\Leftrightarrow m \leq 3x^{2} - 6x + 4;\forall x \in (2; + \infty)$

Xét hàm số $g(x) = 3x^{2} - 6x + 4$ trên khoảng $(2; + \infty)$ .

Ta có: $g'(x) = 6x - 6;g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $m \leq g(x);;\forall x \in (2; + \infty) \Leftrightarrow m \leq 4$

Vậy $m \leq 4$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 27: Thông hiểu

Trong các hàm số sau, hàm số nào vừa có khoảng đồng biến vừa có khoảng nghịch biến trên tập xác định của nó. (I) $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ ; (II) $y = - {x^4} + {x^2} - 2$ ; (III)

A. (I); (III)
B. (I); (II)
C. (II); (III)
D. (II)

(I) Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} ight\}$

$y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} ight\}$

=> (I) không thỏa mãn

(II) Tập xác định $D = \mathbb{R}$

$y' = - 4{x^3} + 2x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \\ {x = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \end{array}} ight.$

Bảng xét dấu

Chọn các khẳng định đúng

=> (II) thỏa mãn

(III) Tập xác định $D = \mathbb{R}$

$y' = 3{x^2} + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

=> Hàm số nghịch biến trên tập số thực

=> (III) không thỏa mãn

Câu 28: Thông hiểu

Xác định giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x + 5}{x + m}$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; - 8)$ ?

A.
$(5; + \infty)$
B.
$(5;8brack$
C.
$\lbrack 5;8)$
D.
$(5;8)$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - m ight\}$

Hàm số $y = \frac{x + 5}{x + m}$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; - 8)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y' > 0;\forall x \in ( - \infty; - 8) \\ x eq - m \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{m - 5}{(x + m)^{2}} > 0;\forall x \in ( - \infty; - 8) \\- m otin ( - \infty; - 8) \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 5 \\ - m \geq - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 5 \\ m \leq 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 5 < m \leq 8$

Vậy đáp án cần tìm là $(5;8brack$ .

Câu 29: Thông hiểu

Vận tốc của một chất điểm được xác định bởi công thức $v(t) = t^{3} - 10t^{2} + 29t - 20$ (với $v$ được tính bằng giây). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc nhỏ nhất gần bằng:

A.
$- 0,88$
B.
$2,59$
C.
$6,06$
D.
$2,61$

Gia tốc của chất điểm $a(t) = v'(t) = 3t^{2} - 20t + 29$ gia tốc là hàm số bậc hai ẩn $t$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t = \frac{10}{3}$

Tại đó, vận tốc của chất điểm bằng $v\left( \frac{10}{3} ight) = \frac{70}{27} \approx 2,59$ .

Câu 30: Nhận biết

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ bằng số nghiệm phân biệt của phương trình nào sau đây?

A.
$\frac{f(x)}{g(x)} = 0$
B.
$f(x) + g(x) = 0$
C.
$f(x) - g(x) = 0$
D.
$f(x)g(x) = 0$

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình $f(x) = g(x)$ hay $f(x) - g(x) = 0$ .

Câu 31: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Hỏi đồ thị hàm số $g(x) = \frac{2020}{2f(x) + 1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A.
$2$
B.
$3$
C.
$4$
D.
$5$

Số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình $f(x) = - \frac{1}{2}$

Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình trên có 4 nghiệm tương ứng với 4 đường tiệm cận đứng.

Câu 32: Nhận biết

Chọn hàm số tương ứng với bảng biến thiên sau?

A.
$y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$
B.
$y = x^{3} - 3x^{2} + 1$
C.
$y = - x^{3} + 3x^{2} + 1$
D.
$y = x^{4} - 2x^{2} + 1$

Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số $a < 0$ nên hàm số cần tìm là $y = - x^{4} + 2x^{2} + 1$ .

Câu 33: Nhận biết

Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2}{- x + 3}$ ?

A.
$x = - 2$
B.
$y = - 2$
C.
$y = 0$
D.
$x = 3$

Ta có: $\lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{2}{- x + 3} = 0$

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2}{- x + 3}$ là đường thẳng có phương trình $y = 0$ .

Câu 34: Vận dụng cao

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ . Biết đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ biểu diễn như hình vẽ:

Khi đó hàm số $y = f\left( x^{2} - 1 ight)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.
$( - 1;1)$
B.
$( - 2;0)$
C.
$( - 4; - 2)$
D.
$(0;2)$

Ta có: $y' = 2x.f'\left( x^{2} - 1 ight) \leq 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ f'\left( x^{2} - 1 ight) \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ f'\left( x^{2} - 1 ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ x^{2} - 1 \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} - 1 \geq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \leq 0 \\ - 2 \leq x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x \leq - 2 \\ x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 \leq x \leq 0 \\ x \geq 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là $( - 2;0)$ .

Câu 35: Vận dụng cao

Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = f\left( x ight) = \frac{{2x + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }}$ có hai đường tiệm cận đứng và hai đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2.

A. m = -1
B. m = 0
C. m = 2
D. m = 1

Tập xác định $D = \left( { - \infty ; - 1} ight) \cup \left( {0; + \infty } ight)$

Ta có:

$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{m - \sqrt {{1^2} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \dfrac{1}{x}}}{{ - \sqrt {{1^2} + \dfrac{1}{x}} }} = 1 - m \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{m + \sqrt {{1^2} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \frac{1}{x}}}{{\sqrt {{1^2} + \dfrac{1}{x}} }} = m + 1 \hfill \\ \end{matrix}$

=> Để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang thì $m + 1 e 1 - m \Leftrightarrow m e 0$

$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{mx + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{mx + \sqrt {{x^2} + 3} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + \infty {\text{ khi m < 1}}} \\ { - \infty {\text{ khi m > 1}}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy khi $m e 0;m e 1$ thì đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = m + 1; y = - m và 2 đường tiệm cận đứng là x = 0 và x = -1

Để hai đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2 thì $1.2\left| m ight| = 2 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 1\left( L ight)} \\ {m = - 1\left( {tm} ight)} \end{array}} ight.$

Câu 36: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tìm giá trị của tham số thực $m$ để phương trình $f(x) = m$ có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt?

A.
$( - 1;3)$
B.
$( - 1;3brack$
C.
$\lbrack - 1;3brack$
D.
$\lbrack - 1;3)$

Phương trình $f(x) = m$ có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại ít nhất hai điểm phân biệt

$\Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 3$

Câu 37: Nhận biết

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x) = x^{3} - x^{2} - 8x$ trên đoạn $\lbrack 1;3brack$ ?

A.
$\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \frac{176}{27}$
B.
$\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = - 8$
C.
$\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = - 6$
D.
$\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = - 4$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 2x - 8$

$\Leftrightarrow y' = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 2 \\x = - \dfrac{4}{3} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f(1) = - 8 \\ f(2) = - 12 \\ f(33) = - 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = - 6$ .

Câu 38: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:

A.
$1$
B.
$3$
C.
$4$
D.
$2$

Ta có:

$\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = + \infty$ nên hàm số có tiệm cận ngang là $y = 2$ và tiệm cận đứng là $x = 0$ .

Câu 39: Nhận biết

Biết rằng hàm số $f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 28$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $\lbrack 0;4brack$ tại điểm $x_{0}$ . Khi đó giá trị biểu thức $P = x_{0} + 2021$ bằng: