Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Câu 1: Vận dụng

Một tạp chí bán được 25 000 đồng một cuốn. Chi phía xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, …) được cho bởi công thức $C\left( x ight) = 0,0001{x^2} - 0,2x + 11000$ , C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 6 000 đồng. Các khoản thu khi bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí và 100 triệu đồng nhận được từ quảng cá. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. Tính số tiền lãi lớn nhất có thể có khi bán tạp chí.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một tạp chí bán được 25 000 đồng một cuốn. Chi phía xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, …) được cho bởi công thức $C\left( x ight) = 0,0001{x^2} - 0,2x + 11000$ , C(x) được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 6 000 đồng. Các khoản thu khi bán tạp chí bao gồm tiền bán tạp chí và 100 triệu đồng nhận được từ quảng cá. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. Tính số tiền lãi lớn nhất có thể có khi bán tạp chí.

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 2: Thông hiểu

Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x + m}{x + 2}$ đồng biến trên từng khoảng xác định?

A.
$m \geq 2$
B.
$m < 2$
C.
$m \leq 2$
D.
$m > 2$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 2 ight\}$

Ta có: $y' = \frac{2 - m}{(x + 2)^{2}}$ .

Để hàm số $y = \frac{x + m}{x + 2}$ đồng biến trên từng khoảng xác định

$\Leftrightarrow y' > 0;\forall x \in D \Leftrightarrow \frac{2 - m}{(x + 2)^{2}} > 0$

$\Leftrightarrow 2 - m > 0 \Leftrightarrow m < 2$

Vậy giá trị cần tìm là $m < 2$ .

Câu 3: Nhận biết

Trên đoạn $\lbrack 0;1brack$ hàm số $y = \sqrt{4 - 3x}$ có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

A.
$2$
B.
$1$
C.
$0$
D.
$4$

Tập xác định $D = \left( - \infty;\frac{4}{3} ightbrack$

Ta có: $y' = \frac{- 3}{2\sqrt{4 - 3x}} < 0;\forall x < \frac{4}{3}$

Trên đoạn $\lbrack 0;1brack$ hàm số đã cho nghịch biến

$\Rightarrow \min_{\lbrack 0;1brack}y = y(1) = 1$

Câu 4: Vận dụng cao

Cho hàm số bậc ba $f\left( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Hỏi đồ thị hàm số $g\left( x ight) = \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} ight).f\left( x ight)}}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng?

A. 4
B. 3
C. 2
D. 6

Ta có: $f'\left( x ight) = 3a{x^2} + 2bx + c = 3a\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight) = 3x\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)$

Đồng nhất hai vế ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2b = - 9a} \\ {c = 6a} \end{array}} ight. \Rightarrow f\left( x ight) = a{x^3} - \frac{{9a}}{2}{x^2} + 6ax + d$

Mặt khác $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 1 ight) = 5} \\ {f\left( 2 ight) = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + \dfrac{9}{2}a + 6a + d = 5} \\ {8a - 18a + 12a + d = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{{10}}{{49}}} \\ {d = \dfrac{{ - 20}}{{19}}} \end{array}} ight.$

Giải phương trình $f\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{1}{2}} \\ {x = 2} \end{array}} ight.$

Hàm số có tập xác định là $D = \left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } ight)\backslash \left\{ {\frac{1}{2};1;2} ight\}$

Khi đó

$g\left( x ight) = \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} ight).f\left( x ight)}}$

$= \frac{{\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^2} - 1} ight)\left( {{x^2} - 4} ight).f\left( x ight)}}$

$= \frac{{\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {x + 1} ight)\left( {x + 2} ight)f\left( x ight)}}$

=> Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x = \frac{1}{2};x = 2$

Câu 5: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ:

Hàm số $y = f(1 - 2x)$ đạt cực tiểu tại:

A.
$x = - \frac{1}{2}$
B.
$x = \frac{1}{2}$
C.
$x = 1$
D.
$x = 0$

Đặt $g(x) = f(1 - 2x) \Rightarrow g'(x) = - 2f'(1 - 2x) = 0$

$\Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow - 2f'(1 - 2x) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}1 - 2x = - 1 \\1 - 2x = 0 \\1 - 2x = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = \dfrac{1}{2} \\x = - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên

Ta xét bằng cách thay số

Với $x = 2 \Rightarrow g'(2) = - 2f'( - 3) < 0$

Với $x = \frac{3}{4} \Rightarrow g'\left( \frac{3}{4} ight) = - 2f'\left( - \frac{1}{2} ight) > 0$

Với $x = \frac{1}{4} \Rightarrow g'\left( \frac{1}{4} ight) = - 2f'\left( \frac{1}{2} ight) < 0$

Với $x = - 1 \Rightarrow g'( - 1) = - 2f'(3) > 0$

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = \frac{1}{2}$

Câu 6: Thông hiểu

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A. $y = {x^4} - 2{x^2} - 1$
B. $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + 3x + 1$
C. $y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}$
D. $y = {x^3} + 4{x^2} + 3x - 1$

Hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + 3x + 1$ có

$y' = {x^2} - x + 3 = {\left( {x - \frac{1}{2}} ight)^2} + \frac{{11}}{4} > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

Câu 7: Thông hiểu

Một chất điểm chuyển động với quy luật $S(t) = 6t^{2} - t^{3}$ . Thời điểm $t$ (giây) tại vận tốc $v(m/s)$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

A.
$t = 12$
B.
$t = 8$
C.
$t = 2$
D.
$t = 6$

Vận tốc của chuyển động là:

$v(t) = S'(t) = 12t - 3t^{2} = 12 - 3(2 - t)^{2} \leq 12;\forall t$

Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng $12m/s$ khi $t = 2$ .

Câu 8: Thông hiểu

Cho hàm số $y = x^{4} - (3m + 2)x^{2} + 3m$ có đồ thị $\left( C_{m} ight)$ . Xác định tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để $\left( C_{m} ight)$ cắt đường thẳng $y = - 1$ tại bốn điểm phân biệt?

A.
$m < - \frac{1}{3}$
B.
$\left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ m > - \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.$
C.
$m eq 0$
D.
$m > - \frac{1}{3}$

Phương trình hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

$x^{4} - (3m + 2)x^{2} + 3m = - 1$

$\Leftrightarrow x^{4} - (3m + 2)x^{2} + 3m + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)^{2} - 3m\left( x^{2} - 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 ight)\left( x^{2} - 3m - 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} - 3m - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ x^{2} = 3m + 1 \\ \end{matrix} ight.$

Đồ thị $\left( C_{m} ight)$ cắt $y = - 1$ tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi $x^{2} = 3m + 1$ có hai nghiệm phân biệt khác $\pm 1$

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix}3m + 1 > 0 \\3m + 1 eq 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m > - \dfrac{1}{3} \\m eq 0 \\\end{matrix} ight.$ .

Câu 9: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
Điểm cực đại của hàm số $B\left( 1;\frac{4}{3} ight)$ .
B.
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $B(0;1)$ .
C.
Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $B(0;1)$ .
D.
Điểm cực tiểu của hàm số là $B\left( 1;\frac{4}{3} ight)$ .

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra mệnh đề đúng là: “Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $B(0;1)$ ”.

Câu 10: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ . Khi đó tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

A.
$2$
B.
$4$
C.
$3$
D.
$1$

Tập xác định $D = ( - \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là $y = \pm 1$

Lại có $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ - }} y = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} ight)}^ + }} y = + \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.$ suy ra đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là $x = \pm 2$

Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang bằng 4.

Câu 11: Nhận biết

Hàm số nào dưới đây có dạng đồ thị như đường cong trong hình vẽ?

A.
$y = - x^{3} + x^{2} - 1$
B.
$y = x^{4} - x^{2} - 1$
C.
$y = x^{3} - x^{2} - 1$
D.
$y = - x^{4} + x^{2} - 1$

Dựa vào hình dáng đồ thị ta suy ra đồ thị của hàm số bậc 4 có hệ số $a > 0$ .

Vậy hàm số cần tìm là $y = x^{4} - x^{2} - 1$ .

Câu 12: Thông hiểu

Cho hàm số bậc ba có bảng biến thiên như sau:

Chọn đáp án đúng

Chọn khẳng định đúng?

A. $b < 0;c < 0$
B. $b > 0;c > 0$
C. $b > 0;c < 0$
D. $b < 0;c > 0$

Quan sát bảng biến thiên ta suy ra a < 0

Ta có: có hai nghiệm dương nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - 2b}}{{3a}} > 0} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{{3a}} > 0} \end{array}} ight. \Rightarrow b > 0;c < 0$

Câu 13: Nhận biết

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{- x + 1}$ . Hãy chọn khẳng định đúng?

A.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$ .
B.
Hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$ .
C.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;1) \cup (1; + \infty)$ .
D.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $( - \infty;1) \cup (1; + \infty)$ .

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}$

Ta có: $y' = \frac{2}{( - x + 1)^{2}} > 0;\forall x\mathbb{\in R}$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty;1)$ và $(1; + \infty)$ .

Câu 14: Thông hiểu

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x^{2} - 8x + m}$ có ba đường tiệm cận?

A.
$14$
B.
$16$
C.
$15$
D.
$8$

Ta có: $\lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{x - 1}{x^{2} - 8x + m} = 0$ nên suy ra hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là $y = 0$

Để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận thì phải có 2 tiệm cận đứng hay phương trình $x^{2} - 8x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$

$\left\{ \begin{matrix} 16 - m > 0 \\ 1^{2} - 8.1 + m eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 16 \\ m eq 7 \\ \end{matrix} ight.$

Do m nguyên dương nên có 14 giá trị m thỏa mãn.

Câu 15: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.
$( - 1;1)$
B.
$( - 2;1)$
C.
$( - 2; - 1)$
D.
$( - 1;2)$

Từ đồ thị của hàm số $y = f(x)$ ta xác định được hàm số đồng biến trên các khoảng $( - 2; - 1)$ .

Câu 16: Vận dụng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ . Đồ thị hàm số y f’(x) như hình vẽ bên:

Số điểm cực trị của hàm số

Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) + 2x là:

A. 4
B. 1
C. 3
D. 2

Xét hàm số g(x) = f(x) + 2x. Từ đồ thị hàm số f’(x) ta thấy:

$g'\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x ight) = - 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1} \\ {x = \alpha } \end{array}} ight.;\left( {\alpha > 0} ight)$

$g'\left( x ight) < 0 \Leftrightarrow f'\left( x ight) < - 2 \Leftrightarrow x > \alpha$

Từ đó suy ra hàm số y = f(x) + 2x liên tục và có đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua giá trị $x = \alpha$

Từ đó ta có bảng xét dấu như sau:

Số điểm cực trị của hàm số

Vậy hàm số đã cho có đúng một cực trị

Câu 17: Nhận biết

Đường cong trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?

Xác định hàm số tương ứng với đồ thị hàm số

A. $y = \frac{{2x - 4}}{{x - 1}}$
B. $y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}$
C. $y = \frac{{x + 1}}{{2x - 2}}$
D. $y = \frac{x}{{x + 2}}$

Đường tiệm cận ngang: $y = \frac{1}{2}$

Đường tiệm cận đứng: $x = 1$

Câu 18: Nhận biết

Cho hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d;\left( a;b;c;d\mathbb{\in R} ight)$ có đồ thị hàm số như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A.
Giá trị cực đại của hàm số là $- 1$ .
B.
Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ .
C.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ .
D.
Giá trị cực tiểu của hàm số là $0$ .

Giá trị cực đại của hàm số là $4$ suy ra mệnh đề sai là: “Giá trị cực đại của hàm số là $- 1$ .”

Câu 19: Thông hiểu

Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số $y = \frac{{3x - 1}}{{x - 2}}$ là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)
B. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}$
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)
D. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 ight\}$

Ta có: $y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} ight)}^2}}} < 0,\forall x e 2$

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞)

Câu 20: Thông hiểu

Cho hàm số $y = \frac{mx + n}{ax^{2} + bx + c}$ (với $m,n,a,b,c\mathbb{\in R}$ ). Hỏi đồ thị hàm số có tối đa bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A.
$2$
B.
$4$
C.
$3$
D.
$1$

Ta có:

Phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ có tối đa 2 nghiệm

Nên đồ thị hàm số có nhiều nhất hai đường tiệm cận đứng.

$\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{mx + n}}{{a{x^2} + bx + c}} = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{mx + n}}{{a{x^2} + bx + c}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ nên $y = 0$ là đường tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số có nhiều nhất 3 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.

Câu 21: Thông hiểu

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $x^{3} - 3x^{2} - m^{2} + 5m = 0$ có ba nghiệm thực phân biệt?

A.
$2$
B.
$0$
C.
$5$
D.
$4$

Đặt $f(x) = x^{3} - 3x^{2} - m^{2} + 5m$

Để $x^{3} - 3x^{2} - m^{2} + 5m = 0$ có ba nghiệm thực phân biệt thì $f'(x) = 0$ có ba nghiệm thực phân biệt $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $f\left( x_{1} ight).f\left( x_{2} ight) < 0$

Ta có: $f'(x) = 3x^{2} - 6x \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f(0) = - m^{2} + 5m \\ f(2) = - m^{2} + 5m - 4 \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó $f(0).f(2) = \left( - m^{2} + 5m ight)\left( - m^{2} + 5m - 4 ight) < 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < m < 1 \\ 4 < m < 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy không có giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

Câu 22: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(−2; 5)$ . Sai|| Đúng

b) Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = −2$ . Đúng||Sai

c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −2. Sai|| Đúng

d) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(−2; 5)$ . Sai|| Đúng

b) Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = −2$ . Đúng||Sai

c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −2. Sai|| Đúng

d) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5. Đúng||Sai

Hàm số $y = f(x)$ không có giá trị nhỏ nhất nên phát biểu “Hàm số $y = f(x)$ có giá trị nhỏ nhất bằng −2” là phát biểu sai.

Câu 23: Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x^{2} + 4x + m}$ có đúng ba đường tiệm cận?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x^{2} + 4x + m}$ có đúng ba đường tiệm cận?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 24: Vận dụng

Số giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ { - 20;20} ight]$ để hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {m + 3} ight)x + 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ là:

A. 20
B. 19
C. 21
D. 23

Ta có: $y' = {x^2} + 4x + m + 3$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi

$\begin{matrix} y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1 > 0} \\ {\left( {{\Delta _{y'}}} ight)' = 4 - \left( {m + 3} ight) < 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow m \geqslant 1 \hfill \\ \end{matrix}$

Kết hợp với điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \in \left[ { - 20;20} ight]} \\ {m \in \mathbb{Z}} \end{array}} ight.$

=> Có 20 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 25: Thông hiểu

Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại $y_{CÐ}$ và giá trị cực tiểu $y_{CT}$ của hàm số $y = x^{3} - 3x$ là:

A.
$2y_{CT} = 3y_{CÐ}$
B.
$y_{CT} + y_{CÐ} = 0$
C.
$y_{CT} = 2y_{CÐ}$
D.
$y_{CT} = y_{CÐ}$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Ta có: $y' = 3x^{2} - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Lại có $y'' = 6x \Rightarrow y''(1) = 6 > 0$ nên $x = 1$ là điểm cực tiểu của hàm số.

$y''( - 1) = - 6 < 0$ nên $x = - 1$ là điểm cực đại của hàm số.

Do đó $\left\{ \begin{matrix} y_{CÐ} = y( - 1) = 2 \\ y_{CT} = y(1) = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow y_{CT} + y_{CÐ} = 0$ .

Câu 26: Nhận biết

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng?

A.
$2$
B.
$1$
C.
$0$
D.
$3$

Tập xác định $D\mathbb{= R}$

Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}}} = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}}} = 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.$ suy ra $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 27: Vận dụng cao

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x)$ .

Vị trí điểm cực đại là $(2;5)$ với đơn vị của hệ trục là $100m$ và vị trí điểm cực tiểu là $(0;1)$ . Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y = 36 - 9x$ . Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 88,3 m

Đáp án là:

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $f(x)$ .

Vị trí điểm cực đại là $(2;5)$ với đơn vị của hệ trục là $100m$ và vị trí điểm cực tiểu là $(0;1)$ . Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y = 36 - 9x$ . Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp án: 88,3 m

Gọi hàm số bậc ba $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$

$\Rightarrow f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c$ .

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm $(0;1) \Rightarrow d = 1$ .

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm $A(2;5) \Rightarrow 8a + 4b + 2c + 1 = 5$ .

Vì hàm số có hai điểm cực trị $x = 0;x = 2$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(0) = 0 \\ f'(2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ 12a + 4b = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 1$ và $f'(x) = - 3x^{2} + 6x$ .

Gọi $M\left( x_{0};y_{0} ight),\ x_{0} > 0,$ là điểm nằm trên hòn đảo và nối với mặt đường và $d$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với mặt đường.

Suy ra $M$ là tiếp điểm của $d$ với $y = f(x)$ .

Đường thẳng $y = 36 - 9x$ có hệ số góc $k = - 9$

$\Rightarrow f'\left( x_{0} ight) = - 9 \Leftrightarrow - 3x_{0}^{2} + 6x_{0} = - 9$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 3 \\ x_{0} = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(3;1)$ .

Độ dài cây cầu ngắn nhất bằng khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $9x + y - 36 = 0$ .

$h = \frac{|9.3 + 1 - 36|}{\sqrt{9^{2} + 1^{2}}} \approx 0,883$ .

Vì đơn vị của hệ trục là $100m$ nên độ dài ngắn nhất của cây cầu là $88,3m$ .

Câu 28: Nhận biết

Gọi giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ trên đoạn $\lbrack 0;3brack$ là $m$ . Chọn khẳng định đúng?

A.
$m = \frac{1}{2}$
B.
$m = - 3$
C.
$m = 1$
D.
$m = - 1$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$

Ta có: $y' = \frac{2}{(x + 1)^{2}} > 0;\forall x \in D$

Suy ra hàm số đồng biến trên $\lbrack 0;3brack$ suy ra $\min_{\lbrack 0;3brack}y = f(0) = - 1 = m$

Câu 29: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{x + m}{x + 1}$ thỏa mãn $\max_{\lbrack 1;2brack}y + \min_{\lbrack 1;2brack}y = \frac{9}{2}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$0 < m \leq 2$
B.
$m \leq 0$
C.
$m > 4$
D.
$2 < m \leq 4$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}$

Hàm số đơn điệu trên đoạn $\lbrack 1;2brack$ nên $\max_{\lbrack 1;2brack}y + \min_{\lbrack 1;2brack}y = f(1) + f(2)$

$\Leftrightarrow \frac{1 + m}{2} + \frac{2 + m}{3} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow m = 4$

Vậy đáp án cần tìm là $2 < m \leq 4$ .

Câu 30: Nhận biết

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A.
$y = - x^{4} - 2x^{2} - 3$
B.
$y = x^{4} + 2x^{2} - 3$
C.
$y = - x^{4} + x^{2} - 3$
D.
$y = x^{4} - 2x^{2} - 3$

Từ hình vẽ suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số $a > 0$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(1; - 4)$ nên hàm số cần tìm là $y = x^{4} - 2x^{2} - 3$ .

Câu 31: Thông hiểu

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên:

Số giá trị nguyên của $m \in \lbrack - 4;4brack$ để đồ thị hàm số có $4$ tiệm cận là:

A.
$7$
B.
$6$
C.
$5$
D.
$8$

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị có hai tiệm cận đứng $x = - 2;x = 1$ và các tiệm cận ngang $y = 4;y = m^{2}$ . Suy ra đồ thị có bốn tiệm cận khi $m^{2} eq 4 \Leftrightarrow m eq \pm 2$

Do $\left\{ \begin{matrix} m \in \lbrack - 4;4brack \\ m\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.$ nên $m \in \left\{ \pm 4; \pm 3; \pm 1;0 ight\}$

Vậy có 7 giá trị của tham số $m$ thỏa mãn.

Câu 32: Vận dụng

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 33: Vận dụng cao

Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Tính số điểm cực trị của hàm số

Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x ight) = {x^2}{\left[ {f\left( {{x^2} - 1} ight)} ight]^3}$ là:

A. 5
B. 7
C. 9
D. 1

Ta có:

$\begin{matrix} g\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow {x^2}{\left[ {f\left( {{x^2} - 1} ight)} ight]^3} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = 0} \\ {f\left( {{x^2} - 1} ight) = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = 0} \\ {{x^2} - 1 = - 1} \\ {{x^2} - 1 \approx - 0,5} \\ \begin{gathered} {x^2} - 1 \approx 0,5 \hfill \\ {x^2} - 1 = 1 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow x \in \left\{ {0; \pm \sqrt {0,5} ; \pm \sqrt {1,5} ; \pm \sqrt 2 } ight\} \hfill \\ \end{matrix}$

Câu 34: Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập số thực và có đạo hàm $f'\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 2} ight)\left( {{x^2} - 6x + m} ight)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2019; 2019] để hàm số $g\left( x ight) = f\left( {1 - x} ight)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} ight)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập số thực và có đạo hàm $f'\left( x ight) = {x^2}\left( {x - 2} ight)\left( {{x^2} - 6x + m} ight)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2019; 2019] để hàm số $g\left( x ight) = f\left( {1 - x} ight)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} ight)$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 35: Thông hiểu

Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + \left( m^{2} - 4 ight)x + 3$ với $m$ là tham số. Xác định điều kiện của tham số $m$ để hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 3$ ?

A.
$m = - 1$
B.
$m = 1$
C.
$m = 5$
D.
$m = - 5$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} y' = x^{2} - 2mx + \left( x^{2} - 4 ight) \\ y'' = 2x - 2m \\ \end{matrix} ight.$

Hàm số đạt cực đại tại $x = 3$ suy ra $y'(3) = 0 \Leftrightarrow m^{2} - 6m + 5 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Với $m = 5$ ta có: $y''(3) = 6 - 10 = - 4 < 0$ suy ra hàm số đạt cực đại tại $x = 3$ .

Với $m = 1$ ta có: $y''(3) = 6 - 2 = 4 > 0$ suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x = 3$ .

Vậy giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu là $m = 5$

Câu 36: Nhận biết

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số theo thứ tự là

A.
$x = - 1$ ; $y = - 1$ .
B.
$x = 1$ ; $y = 1$ .
C.
$x = 1$ ; $y = - 1$ .
D.
$x = - 1$ ; $y = 1$ .

Từ đồ thị của hàm số suy ra tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là : x = 1 ; y = 1

Câu 37: Thông hiểu

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x + 6}{x + 5m}$ nghịch biến trên khoảng $(15; + \infty)$ ?

A.
$3$
B.
$4$
C.
$5$
D.
$6$

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 5m ight\}$

Ta có: $y' = \frac{5m - 6}{(x + 5m)^{2}}$

Hàm số $y = \frac{x + 6}{x + 5m}$ nghịch biến trên khoảng $(15; + \infty)$ khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} 5m - 6 < 0 \\ - 5m \leq 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < \frac{6}{5} \\ m \geq - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 3 \leq m < \frac{6}{5}$

Vì $m\mathbb{\in Z}$ nên có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 38: Nhận biết

Cho hàm số $f\left( x ight) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + \frac{3}{4}$

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 3)
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -2)
C. Hàm số đồng biến trên (-2; +∞)
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-2; 3)

Ta có: $f'\left( x ight) = {x^2} - x - 6$ có hai nghiệm phân biệt là -2 và 3

=> f’(x) < 0 => $x \in \left( { - 2;3} ight)$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 3)

Câu 39: Thông hiểu

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $S = - t^{3} + 9t^{2} + 21t + 9$ trong đó $t$ tính bằng giây $(s)$ và $S$ tính bằng mét $(m)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $v(t) = - 3t^{2} + 18t + 2$ . Sai||Đúng

b) Vận tốc của chất điểm tại giây thứ 2 là $45\ m/s.$ Đúng||Sai

c) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là $45\ m/s.$ Sai||Đúng

d) Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t = 3\ \ (s).$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $S = - t^{3} + 9t^{2} + 21t + 9$ trong đó $t$ tính bằng giây $(s)$ và $S$ tính bằng mét $(m)$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $v(t) = - 3t^{2} + 18t + 2$ . Sai||Đúng

b) Vận tốc của chất điểm tại giây thứ 2 là $45\ m/s.$ Đúng||Sai

c) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là $45\ m/s.$ Sai||Đúng

d) Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t = 3\ \ (s).$ Đúng||Sai

a) $v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 21$ nên a sai.

b) Ta có: $v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 2\overset{}{ightarrow}v(2) = 45\ m/s.$ nên b) đúng

c) Ta có: $a(t) = v'(t) = - 6t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 3\overset{}{ightarrow}v(3) = 48\ m/s.$ nên c) sai

Vận tốc $v(t) = S'(t) = - 3t^{2} + 18t + 21 = - 3(t - 3)^{2} + 48 \leq 48$ .

Vậy $\max v(t) = 48$ khi $t = 3$ .

Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi $t = 3\ \ (s).$ nên d) đúng.

Câu 40: Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của $a$ để đồ thị hàm số $y = x^{3} + (x + 10)x^{2} - x + 1$ cắt trục hoành tại đúng một điểm?

A.
$10$
B.
$8$
C.
$11$
D.
$9$

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:

$x^{3} + (a + 10)x^{2} - x + 1 = 0(*)$

$\Leftrightarrow x^{3} + 10x^{2} - x + 1 = - ax^{2}$

Ta thấy $x = 0$ không là nghiệm của phương trình nên $(*) \Leftrightarrow - \frac{x^{3} + 10x^{2} - x + 1}{x^{2}} = a$

Xét hàm số $f(x) = - \frac{x^{3} + 10x^{2} - x + 1}{x^{2}};\left( \forall x\mathbb{\in R}\backslash\left\{ 0 ight\} ight)$

Ta có: $f'(x) = - \frac{x^{3} + x - 2}{x^{3}} = - \frac{(x - 1)\left( x^{2} + x + 2 ight)}{x^{3}}$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng một điểm khi (*) có đúng 1 nghiệm $\Leftrightarrow a > - 11$

Vì $a$ nguyên âm nên $a \in \left\{ - 10; - 9; - 8;...; - 1 ight\}$

Vậy có 10 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!