Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
lần lượt là
. Tính giá trị biểu thức
?
Tập xác định
Ta có:
Khi đó:
Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
lần lượt là
. Tính giá trị biểu thức
?
Tập xác định
Ta có:
Khi đó:
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Xác định khoảng đồng biến của hàm số
?
Từ đồ thị hàm số ta có:
và
Ta có:
Khi đó:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
.
Cho hàm số
xác định và liên tục trên
và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tìm giá trị của tham số thực
để phương trình
có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt?
Phương trình có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại ít nhất hai điểm phân biệt
Cho hàm số
xác định trên
, liên tục trên các khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Tìm tập hợp các giá trị của tham số
để phương trình
có ba nghiệm phân biệt?
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
và đường thẳng
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì .
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:
Dựa vào đồ thị của hàm số ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số bằng -2.
Gọi
là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
có giá trị lớn nhất trên
bằng
. Số phần tử của tập hợp
:
Ta có:
Đặt
Hàm số đã cho trở thành:
Ta có:
Vậy số phần tử của tập hợp S là 1.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để đồ thị hàm số
có đúng một tiệm cận đứng?
Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình
có đúng một nghiệm
Ta có:
Xét hàm số ta có:
Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra
Mà nên
Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số
có đồ thị của hàm số
như sau:

Trên khoảng
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng một cực trị?
Cho hàm số có đồ thị của hàm số
như sau:
Trên khoảng có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng một cực trị?
Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số
?
Thay vào
ta được:
Vậy thuộc đồ thị hàm số
.
Cho hàm số y = f(x) có
và
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Ta có: => Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x = 0
=> Đồ thị hàm số đã cho có TCĐ là x = 2
Tất cả các giá trị của tham số
để hàm số
có hai điểm cực trị?
Ta có:
Để hàm số có hai điểm cực trị thì có hai nghiệm phân biệt khi đó
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để giá trị lớn nhất của hàm số
nhỏ hơn
?
Ta có:
Phương trình có nghiệm khi
Xét phương trình có
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó:
Suy ra . Theo yêu cầu bài toán ta có:
Mà suy ra
Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận đứng?
Phương trình x2 + 1 = 0 vô nghiệm nên không tìm được x0 để
=> Hàm số không có tiệm cận đứng.
Các đồ thị hàm số ở B, C, D lần lượt có các tiệm cận đứng là x = 0, x = -2 và x = 1
Hàm số y = x4 - 2x2 + 1 đồng biến trên khoảng nào?
Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = x4 – 2x2 + 1 đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và (1; +∞)
Tìm giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
?
Đặt
hay
Bài toán trở thành tìm m để hàm số đồng biến trên
Tập xác định
Ta có: . Hàm số
đồng biến trên
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
có đồ thị kí hiệu là
. Tìm điểm thuộc
?
Ta thấy
Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ:

Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
lần lượt là
. Kết luận nào sau đây đúng?
Quan sát đồ thị ta thấy
Cho hàm số
với
là tham số. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số
để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
?
Tập xác định .
Ta có: . Để hàm số đạt cực tiểu tại
thì
vậy tập hợp tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Đồ thị của hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận?
Tập xác định
suy ra
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
suy ra đường thẳng
không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
suy ra đường thẳng
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
Cho hàm số
có bảng biến thiên:

Số giá trị nguyên của
để đồ thị hàm số có
tiệm cận là:
Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị có hai tiệm cận đứng và các tiệm cận ngang
. Suy ra đồ thị có bốn tiệm cận khi
Do nên
Vậy có 7 giá trị của tham số thỏa mãn.
Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
lần lượt là
và
. Tính giá trị của biểu thức
?
Ta có:
Tìm điều kiện của tham số
để đồ thị hàm số
chỉ có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu?
Xét khi đó
là hàm số bậc hai có a = -1 < 0 nên đồ thị của hàm số là parabol có bề lõm hướng xuống nên có 1 cực đại mà không có cực tiểu. Suy ra
thỏa mãn.
Xét khi đó
là hàm số bậc 4 dạng trùng phươn
Để đồ thị hàm số có một cực đại mà không có cực tiểu thì
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hàm số
có đạo hàm
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xét ta có bảng xét dấu
như sau:
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng , hàm số đồng biến trên khoảng
.
Cho hàm số
. Giả sử
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
. Khi đó giá trị của biểu thức
là:
Ta có:
Vậy
Cho hàm số
với
là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số
để hàm số đã cho có đúng
điểm cực trị?
Cho hàm số với
là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số
để hàm số đã cho có đúng
điểm cực trị?
Tổng tất cả các giá trị thực của m để hàm số
đồng biến trên R bằng:
Ta có:
Hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi
Và dấu bằng xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm.
Điều kiện cần
Ta thấy phương trình y ‘ = 0 có một nghiệm x = -1 nên để thì y’ không đổi dấu qua khi x = -1 khi đó phương trình y’ = 0 có nghiệm kép là x = -1 (x = -1 không thể laf nghiệm bội 4 của phương trình y’ = 0 vì y’ không chứa số hạng x3)
Ta suy ra được y’’(-1) = 0
=>
Điều kiện đủ:
Với m = - 2 ta có:
=> Hàm số đồng biến trên R
=> m = -2 thỏa mãn điều kiện đề bài.
Với ta có:
=> Hàm số đồng biến trên R
=> thỏa mãn điều kiện đề bài
Vậy là các giá trị cần tìm.
=> Tổng các giá trị thực của m cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Hàm số nào dưới dây nghịch biến trên
?
Xét hàm số có
suy ra hàm số
đồng biến trên
.
Cho hàm số
có đạo hàm
xác định và liên tục trên
. Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số
:

Hàm số
nghịch biến trên khoảng:
Ta có:
Với ta có:
ta có bảng xét dấu của
như sau:
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
.
Cho hàm số
. Tập hợp các giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
là
. Tính giá trị biểu thức
?
Cho hàm số . Tập hợp các giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
là
. Tính giá trị biểu thức
?
Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
có hai đường tiệm cận đứng và hai đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2.
Tập xác định
Ta có:
=> Để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang thì
Vậy khi thì đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = m + 1; y = - m và 2 đường tiệm cận đứng là x = 0 và x = -1
Để hai đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng 2 thì
Cho hai số thực x, y thỏa mãn
và x + y = 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
lần lượt là:
Ta có:
Đặt t = xy ta được
Vì
Mặt khác
Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên
Xét hàm số xác định và liên tục trên
Ta có:
=> Hàm số g(t) nghịch biến trên đoạn
=>
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng và
.
Cho hàm số
có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác ABC. Diện tích tam giác ABC bằng:
Ta có:
Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là
=> Tam giác ABC vuông cân tại A =>
Cho hàm số
xác định và liên tục trên
có đồ thị như hình vẽ

Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Hàm số nghịch biến trên khoảng
. Đúng||Sai
b) Hàm số có
. Đúng||Sai
c) Hàm số
nghịch biến trên khoảng
. Sai||Đúng
d) Hàm số
đồng biến trên
và
. Đúng||Sai
Cho hàm số xác định và liên tục trên
có đồ thị như hình vẽ
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Hàm số nghịch biến trên khoảng . Đúng||Sai
b) Hàm số có
. Đúng||Sai
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng
. Sai||Đúng
d) Hàm số đồng biến trên
và
. Đúng||Sai
a) Từ đồ thị ta có hàm số nghịch biến trên khoảng suy ra mệnh đề đúng.
b) Từ đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên và
suy ra hàm số có
. Vậy mệnh đề đúng.
c) Ta có
Hàm số nghịch biến khi
suy ra mệnh đề sai.
d) Từ đồ thị hàm số ta có đồ thị của hàm số
như hình vẽ.
Từ đồ thị ta có hàm số đồng biến trên
và
suy ra mệnh đề đúng.
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là:

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua 2 điểm và
nên đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình
.
Cho hàm số
. Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [2; 4].
Xét hàm số trên [2; 4] ta có:
Tính f(2) = 7; f(3) = 6; f(4) = 19/3
Vậy
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

Đồ thị trong hình vẽ là hàm số có dạng
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là và tiệm cận đứng
nên hàm số cần tìm là
.
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
là:
Tập xác định
nên
không phải tiệm cận đứng.
suy ra
là một tiệm cận ngang
suy ra
là một tiệm cận ngang
Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 2.
Cho hàm số
thỏa mãn
. Chọn mệnh đề đúng?
Tập xác định
Ta có: . Vì hàm số đơn điệu trên
nên
Nếu Hàm số không có giá trị lớn nhất
Vậy
Cho đồ thị hàm số
. Giả sử
có khoảng cách đến đường thẳng
nhỏ nhất. Chọn khẳng định đúng?
Ta có:
Khoảng cách từ M đến đường thẳng (d) bằng:
Xét hàm số
Ta có bảng biến thiên
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số tại
Vậy