Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 5). Sai|| Đúng

    b) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = −2. Đúng||Sai

    c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −2. Sai|| Đúng

    d) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 5). Sai|| Đúng

    b) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = −2. Đúng||Sai

    c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −2. Sai|| Đúng

    d) Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5. Đúng||Sai

    Hàm số y = f(x) không có giá trị nhỏ nhất nên phát biểu “Hàm số y = f(x) có giá trị nhỏ nhất bằng −2” là phát biểu sai.

  • Câu 2: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có f'(x) = x^{2}(x - 1)(x + 2). Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

    Ta có: f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng xét dấu:

    Dựa vào bảng xét dấu suy ra hàm số có 1 điểm cực tiểu.

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = x^{4} - 2mx^{2} +2. Giả sử S là tổng bình phương các giá trị của tham số m để hàm số có ba cực trị và đường tròn đi qua ba cực trị đó có bán kính bằng 4. Tính giá trị S? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = x^{4} - 2mx^{2} +2. Giả sử S là tổng bình phương các giá trị của tham số m để hàm số có ba cực trị và đường tròn đi qua ba cực trị đó có bán kính bằng 4. Tính giá trị S? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 4: Nhận biết

    Trên khoảng (0; +∞) thì hàm số y = -x3 + 3x + 1

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = - 3{x^2} + 3 \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 1} \\ {x = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Từ bảng biến thiên => Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ:

    Tìm số nghiệm của phương trình 2f(x) - 3 = 0?

    Ta có: 2f(x) - 3 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{3}{2}

    Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hàm số y = f(x) và đường thẳng y = \frac{3}{2}

    Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm nên phương trình có ba nghiệm.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ.

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số

    Biết f(-4) > f(8), khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên bằng:

    Từ bảng biến thiên ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) \geqslant f\left( { - 4} ight),\forall x \in \left( { - \infty ;0} ight] \hfill \\ f\left( x ight) \geqslant f\left( 8 ight),\forall x \in \left( { - \infty ;0} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác f(-4) > f(8) => \forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } ight) thì f\left( x ight) \geqslant f\left( 8 ight)

    Vậy \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x ight) = f\left( 8 ight)

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) = x^{3} - 3x^{2} + m^{2} - 2m với m là tham số. Gọi S tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn 3\max_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) + 2\min_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) \leq 112. Số phần tử của tập hợp S bằng:

    Ta có: f\left( |x| ight) = f\left( | - x| ight);\forall x\mathbb{\in R}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) = \max_{0;3}f(x) \\ \min_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) = \min_{\lbrack 0;3brack}f(x) \\ \end{matrix} ight.

    Đạo hàm f'(x) = 3x^{2} - 6x = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow f(0) = m^{2} - 2m \\ x = 2 \Rightarrow f(2) = m^{2} - 2m - 4 \\ \end{matrix} ight. và f(3) = m^{2} - 2m

    Suy ra 3\max_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) + 2\min_{\lbrack - 3;1brack}f\left( |x| ight) \leq 112

    \Leftrightarrow 3\left( m^{2} - 2m ight) + 2\left( m^{2} - 2m - 4 ight) \leq 112

    \Leftrightarrow m^{2} - 2m - 24 \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 6

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 4; - 3;...;5;6 ight\}

    Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của tham số m.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} -\frac{m}{2}x^{2} - \left( 3m^{2} - 1 ight)x + m với m là tham số. Giả sử S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để ham số đã cho đạt cực trị tại hai điểm x_{1};x_{2} thỏa mãn x_{1}.x_{2} + 2\left( x_{1} + x_{2}ight) + 4 = 0. Tìm số phần tử của tập hợp S?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} -\frac{m}{2}x^{2} - \left( 3m^{2} - 1 ight)x + m với m là tham số. Giả sử S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để ham số đã cho đạt cực trị tại hai điểm x_{1};x_{2} thỏa mãn x_{1}.x_{2} + 2\left( x_{1} + x_{2}ight) + 4 = 0. Tìm số phần tử của tập hợp S?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Thông hiểu

    Số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - 3x + 2m + 7 có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \lbrack 2;4brack thuộc khoảng ( - 5;8) là:

    Xét hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - 3x + 2m + 7 trên \lbrack 2;4brack ta có:

    y' = x^{2} - 2x - 3 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}y(2) = - \dfrac{1}{3} + 2m \\y(4) = \dfrac{1}{3} + 2m \\y(3) = - 2 + 2m \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\lbrack 2;4brack}y = - 2 + 2m\in ( - 5;8)

    \Leftrightarrow - 5 < - 2 + 2m < 8 \Leftrightarrow - 3 < 2m < 10 \Leftrightarrow - \frac{3}{2} < m < 5

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 1;0;1;2;3;4 ight\}

    Vậy có tất cả 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Đồ thị hàm số y = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2} + 2x} có bao nhiêu đường tiệm cận?

    Tập xác định D = \lbrack - 1;1brack\backslash\left\{ 0 ight\}

    Vì tập xác định của hàm số không chứa - \infty và + \infty nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.

    Lại có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2} + 2x}} = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2} + 2x}} = + \infty \hfill \\ \end{gathered} ight.. Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng x = 0.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của m...

    Hàm số y = f(3 - 2x) + 2020 nghịch biến trên khoảng nào?

    Ta có: y' = - 2f'(3 - 2x)

    y' < 0 \Leftrightarrow - 2f'(3 - 2x) < 0 \Leftrightarrow f'(3 - 2x) > 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < 3 - 2x < 1 \\ 3 - 2x > 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 < x < 2 \\ x < - \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số y = f(3 - 2x) + 2020 nghịch biến trên khoảng (1;2).

  • Câu 12: Vận dụng

    Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa, và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8h sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức h(t) = 24t +5t^{2} - \frac{t^{3}}{3}. Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 tiếng. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước lúc mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.

    Đáp án: 15

    Đáp án là:

    Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa, và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8h sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức h(t) = 24t +5t^{2} - \frac{t^{3}}{3}. Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 tiếng. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước lúc mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.

    Đáp án: 15

    Ta có:

    h'(t) = 24 + 10t -t^{2}

    h'(t) = 0

    \Leftrightarrow 24 + 10t - t^{2} = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = - 2(ktm) \\t = 12(tm) \\\end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên:

    Mực nước lên cao nhất thì phải mất 12 giờ.

    Hay mực nước lên cao nhất là lúc 20 giờ.

    Vậy phải thông báo cho dân di dời vào 15giờ chiều cùng ngày.

  • Câu 13: Nhận biết

    Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = \frac{2x - 1}{x + 2} trên đoạn \lbrack 0;2brack. Giá trị biểu thức T = 2m + 4M là:

    Ta có: y' = \frac{5}{(x + 2)^{2}} > 0;\forall x eq - 2 nên hàm số đồng biến trên \lbrack 0;2brack

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\max_{\lbrack 0;2brack}y = f(2) = \dfrac{3}{4} \\\min_{\lbrack 0;2brack}y = f(0) = - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 2m + 4M = 2.

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{x - 3}{x + 1}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}

    Ta có: y' = \frac{4}{(x + 1)^{2}} > 0;\forall x \in D

    Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng ( - \infty; - 1) và ( - 1; + \infty).

  • Câu 15: Thông hiểu

    Hàm số nào sau đây đồng biến trên \mathbb{R}?

    Hàm số y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} + 3x + 1 có

    y' = {x^2} - x + 3 = {\left( {x - \frac{1}{2}} ight)^2} + \frac{{11}}{4} > 0,\forall x \in \mathbb{R}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số y = x^{3} + mx^{2} + m với m là tham số. Điều kiện cần và đủ của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) là:

    Tập xác định D\mathbb{= R}

    Ta có: y' = 3x^{2} + 2mx

    Hàm số nghịch biến trên (0;2) khi và chỉ khi y' \leq 0;\forall x \in (0;2)

    Xét hàm số y = - \frac{3}{2}x trên khoảng (0;2) ta có bảng biến thiên như sau:

    Vậy để hàm số nghịch biến trên (0;2) thì m \leq - 3.

  • Câu 17: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là:

    Dựa vào bảng biến thiên ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}f(x) = 2 nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = - 2.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{x - m}{x + 1} đồng biến trên từng khoảng xác định?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}

    Ta có: y' = \frac{m + 1}{(x + 1)^{2}};\forall x eq - 1

    Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi y' > 0

    \Leftrightarrow \frac{m + 1}{(x + 1)^{2}} > 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1

    Vậy đáp án cần tìm là m > - 1.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - 3x^{2} + 5x - 1

    Ta có: y' = x^{2} - 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 5 \\ \end{matrix} ight.

    y'' = 2x - 6 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y''(1) = - 4 < 0 \\ y''(5) = 4 > 0 \\ \end{matrix} ight. nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 5;y_{CT} = - \frac{28}{3}
    Mà y'(5) = 0 suy ra tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = - \frac{28}{3}

    Vậy tiếp tuyến song song với trục hoành.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 2)^{2}(x - 1)^{3}\left( x^{2} - 4 ight)\left( x^{2} - 1 ight) với mọi x\mathbb{\in R}. Xác định số điểm cực đại của hàm số đã cho?

    Ta có: f'(x) = (x + 2)^{2}(x - 1)^{3}\left( x^{2} - 4 ight)\left( x^{2} - 1 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 2 \\ x = \pm 1 \\ \end{matrix} ight. . Ta có bảng xét dấu:

    Quan sát bảng xét dấu ta có: f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x = - 1.

    Vậy hàm số có một điểm cực đại tại x = - 1.

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{{\sqrt {{x^2} - x + 3} - \sqrt {2x + 1} }}{{{x^3} - 2{x^2} - x + 2}}. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?

     

    Điều kiện \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - x + 3 \geqslant 0} \\ {2x + 1 \geqslant 0} \\ {{x^3} - 2{x^2} - x + 2 e 0} \end{array} \Rightarrow } ight.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant \frac{{ - 1}}{2}} \\ {x e 2} \\ {x e \pm 1} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant \frac{{ - 1}}{2}} \\ {x e 2} \\ {x e 1} \end{array}} ight.

    Từ điều kiện ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{{\left( {{x^2} - x + 3} ight) - \left( {2x + 1} ight)}}{{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)\left( {x + 1} ight)\left( {\sqrt {{x^2} - x - 3} + \sqrt {2x + 1} } ight)}} \hfill \\ y = \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)\left( {x + 1} ight)\left( {\sqrt {{x^2} - x + 3} + \sqrt {2x + 1} } ight)}} \hfill \\ y = \dfrac{1}{{\left( {x + 1} ight)\left( {\sqrt {{x^2} - x + 3} + \sqrt {2x + 1} } ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

    Mặt khác

    \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{{x^2}.\left( {1 + \dfrac{1}{x}} ight)\left( {\sqrt {1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} + \sqrt {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} } ight)}} = 0

    => y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

    Không tồn tại \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x ight)

    Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng một tiệm cận ngang

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu f'(x) như sau:

    Hỏi hàm số y = f\left( x^{2} - 2x ight) có bao nhiêu điểm cực tiểu?

    Đặt g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) \Rightarrow g'(x) = (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x ight)

    Từ bảng xét dấu của hàm số f'(x) có

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 2 = 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x = - 2\ \\ x^{2} - 2x = 1\ \\ x^{2} - 2x = 3\ \ \\ 2x - 2 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \pm \sqrt{2} \\ x = 3 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    g'(x) \geq 0 \Leftrightarrow (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x ight) \geq 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 2x - 2 \geq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} 2x - 2 \leq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ - 2 \leq x^{2} - 2x \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x \geq 3 \\ x^{2} - 2x \leq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ x^{2} - 2x + 2 \geq 0 \\ x^{2} - 2x - 3 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x - 3 \geq 0 \\ x^{2} - 2x + 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ - 1 \leq x \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x \geq 3 \\ x \leq - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \leq x \leq 3 \\ x \leq - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số y = f\left( x^{2} - 2x ight) có 1 điểm cực tiểu.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{x + m}{x + 1} thỏa mãn \max_{\lbrack 1;2brack}y + \min_{\lbrack 1;2brack}y = \frac{9}{2}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 ight\}

    Hàm số đơn điệu trên đoạn \lbrack 1;2brack nên \max_{\lbrack 1;2brack}y + \min_{\lbrack 1;2brack}y = f(1) + f(2)

    \Leftrightarrow \frac{1 + m}{2} + \frac{2 + m}{3} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow m = 4

    Vậy đáp án cần tìm là 2 < m \leq 4.

  • Câu 24: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng:

    Quan sát bảng biến thiên dễ thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 3.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) = ax^{4} + bx^{2} + c có hai điểm cực trị là A(0;2) và B(2; - 14). Khi đó giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3 bằng:

    Ta có: y = f(x) = ax^{4} + bx^{2} + c \Rightarrow y' = 4ax^{3} + 2bx

    Đồ thị hàm số y = f(x) = ax^{4} + bx^{2} + c có hai điểm cực trị là A(0;2) và B(2; - 14) nên ta có

    \left\{ \begin{matrix} y(0) = 2 \\ y(2) = - 14 \\ y'(2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 2 \\ 16a + 4b + c = - 14 \\ 32a + 4b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 2 \\ b = - 8 \\ a = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra y = f(x) = x^{4} - 8x^{2} + 2 \Rightarrow f(3) = 11.

  • Câu 26: Nhận biết

    Số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) bằng số nghiệm phân biệt của phương trình nào sau đây?

    Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) hay f(x) - g(x) = 0.

  • Câu 27: Vận dụng

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 4t^{3} - \frac{t^{4}}{2}(người). Nếu xem f'(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

    Đáp án: Ngày thứ 4||tư

    Đáp án là:

    Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 4t^{3} - \frac{t^{4}}{2}(người). Nếu xem f'(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?

    Đáp án: Ngày thứ 4||tư

    Điều kiện t \geq 0.

    Ta có g(t) = f'(t) = 12t^{2} - 2t^{3}, g'(t) = 24t - 6t^{2}, g'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = 4 \\ \end{matrix} ight..

    Bảng biến thiên:

    Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ 4.

    Đáp số: 4.

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hàm số y = \frac{x + 1}{- x + 1}. Hãy chọn khẳng định đúng?

    Tập xác định D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 ight\}

    Ta có: y' = \frac{2}{( - x + 1)^{2}} > 0;\forall x\mathbb{\in R} nên hàm số đồng biến trên các khoảng ( - \infty;1) và (1; + \infty).

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho các hàm số sau:

    y = \frac{\sin x}{x};y =\frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{x};y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x + 1};y = x + 1+ \sqrt{x^{2} - 1}

    Có bao nhiêu hàm số mà đồ thị hàm số tương ứng có đúng một tiệm cận ngang?

    Ta có:

    y = \frac{\sin x}{x} có \lim_{x ightarrow \infty}\frac{\sin x}{x} = 0 nên có 1 tiệm cận ngang là y = 0.

    y = \frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{x} có \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{x} = 1;\lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{x^{2} + x + 1}}{x} = - 1 nên có 2 tiệm cận ngang là y = 1;y = - 1.

    y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x + 1} có \lim_{x ightarrow - \infty}\frac{\sqrt{1 - x}}{x + 1} = 0 nên có 1 tiệm cận ngang là y = 0.

    y = x + 1 + \sqrt{x^{2} - 1} có \lim_{x ightarrow - \infty}\left( x + 1 + \sqrt{x^{2} - 1} ight) = 1 nên có 1 tiệm cận ngang là y = 1.

    Vậy có 3 hàm số mà đồ thị có đúng 1 tiệm cận đứng.

  • Câu 30: Nhận biết

    Cho hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

     Ta có:

    \begin{matrix} y' = 3{x^2} - 6x \hfill \\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng xét dấu:

    Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây

    Quan sát bảng xét dấu ta thấy:

    + Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)

    + Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2)

  • Câu 31: Nhận biết

    Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{5}{x - 1} là đường thẳng có phương trình là:

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}y = \lim_{x ightarrow \pm \infty}\frac{5}{x - 1} = 0

    Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{5}{x - 1} là đường thẳng có phương trình y = 0.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{2x + 1}{x - 2} có đồ thị là (C). Số điểm thuộc (C) có hoành độ và tung độ đều là các số nguyên là

    Ta có:

    y = \frac{2x + 1}{x - 2} = 2 + \frac{5}{x - 2}(C)

    Gọi M\left( x_{0};y_{0} ight) \in (C);\left( x_{0};y_{0}\mathbb{\in Z} ight)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{0}\in\mathbb{ Z} \\y_{0} = 2 + \dfrac{5}{x_{0} - 2}\in\mathbb{ Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x_{0} - 2 \in \left\{ \pm 1; \pm 5ight\}

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} - 2 = 1 \\ x_{0} - 2 = - 1 \\ x_{0} - 2 = 5 \\ x_{0} - 2 = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 3 \Rightarrow y_{0} = 7(tm) \\ x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = - 3(tm) \\ x_{0} = 7 \Rightarrow y_{0} = 3(tm) \\ x_{0} = - 3 \Rightarrow y_{0} = 1(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có 4 điểm thỏa mãn yêu cầu.

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Cho hàm số bậc ba f\left( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d có bảng biến thiên như hình dưới đây.

    Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    Hỏi đồ thị hàm số g\left( x ight) = \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} ight).f\left( x ight)}} có bao nhiêu tiệm cận đứng?

    Ta có: f'\left( x ight) = 3a{x^2} + 2bx + c = 3a\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight) = 3x\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)

    Đồng nhất hai vế ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2b = - 9a} \\ {c = 6a} \end{array}} ight. \Rightarrow f\left( x ight) = a{x^3} - \frac{{9a}}{2}{x^2} + 6ax + d

    Mặt khác \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 1 ight) = 5} \\ {f\left( 2 ight) = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a + \dfrac{9}{2}a + 6a + d = 5} \\ {8a - 18a + 12a + d = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = \dfrac{{10}}{{49}}} \\ {d = \dfrac{{ - 20}}{{19}}} \end{array}} ight.

    Giải phương trình f\left( x ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{1}{2}} \\ {x = 2} \end{array}} ight.

    Hàm số có tập xác định là D = \left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } ight)\backslash \left\{ {\frac{1}{2};1;2} ight\}

    Khi đó

    g\left( x ight) = \frac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} ight).f\left( x ight)}}

    = \frac{{\left( {x - 1} ight)\left( {x - 2} ight)\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {{x^2} - 1} ight)\left( {{x^2} - 4} ight).f\left( x ight)}}

    = \frac{{\sqrt {2x + 1} }}{{\left( {x + 1} ight)\left( {x + 2} ight)f\left( x ight)}}

    => Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x = \frac{1}{2};x = 2

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ - 1 ight\} liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:

    Khẳng định nào dưới đây đúng?

    Hàm số không có giá trị lớn nhất vì \lim_{x ightarrow - 1^{-}}y = + \infty nên khẳng định “Giá trị lớn nhất của hàm số là 2” sai.

    Phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi 1 < m < 2 nên khẳng định “Phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi m \in (1;2)” đúng.

    Hàm số đồng biến trên các khoảng ( - \infty;1) và ( - 1;1) nên khẳng định “Hàm số đồng biến trên một khoảng duy nhất là ( - \infty;1)” sai.

    Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là x = - 1;y = 1 vì \lim_{x ightarrow \pm \infty}y = 1;\lim_{x ightarrow - 1^{- 1}}y = + \infty nên khẳng định “Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận” sai.

    Vậy khẳng định đúng cần tìm là “Phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi m \in (1;2).”

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Hỏi đồ thị hàm số g(x) = \frac{2020}{2f(x) + 1} có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

    Số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình f(x) = - \frac{1}{2}

    Nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình trên có 4 nghiệm tương ứng với 4 đường tiệm cận đứng.

  • Câu 36: Nhận biết

    Hàm số tương ứng với đồ thị trong hình vẽ dưới đây là:

    Từ đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc ba có dạng y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d với a < 0 nên hàm số tương ứng là y = - x^{3} + 3x.

  • Câu 37: Vận dụng

    Giá trị của tham số m sao cho hàm số y = {x^3} - 2m{x^2} - \left( {m + 1} ight)x + 1 nghịch biến trên khoảng (0; 2)?

    Ta có: y' = 3{x^2} - 4mx - m - 1

    Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)

    => 3{x^2} - 4mx - m - 1 \leqslant 0,x \in \left[ {0;2} ight]

    => 3{x^2} - 1 \leqslant 3\left( {4x + 1} ight) \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} - 1}}{{4x + 1}} \leqslant m,\left( {\forall x \in \left[ {0;2} ight]} ight)

    Xét hàm số g\left( x ight) = \frac{{3{x^2} - 1}}{{4x + 1}};\forall x \in \left[ {0;2} ight]

    Ta có: g'\left( x ight) = \frac{{6x\left( {4x + 1} ight) - 4\left( {3{x^2} - 1} ight)}}{{{{\left( {4x + 1} ight)}^2}}} = \frac{{12{x^2} + 6x + 4}}{{{{\left( {4x + 1} ight)}^2}}};\forall x \in \left[ {0;2} ight]

    => g(x) đồng biến trên đoạn [0; 2]

    Ta có:

    \begin{matrix} g\left( x ight) = \dfrac{{3{x^2} - 1}}{{4x + 1}} \leqslant m;\forall x \in \left[ {0;2} ight] \hfill \\ \Rightarrow m \geqslant g\left( 2 ight) = \dfrac{{11}}{9} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Vận dụng

    Cho hàm số y =f(x) có đồ thị của hàm số y =f'(x) như hình vẽ:

    Xác định khoảng đồng biến của hàm số y =f\left( |3 - x| ight)?

    Ta có: y = f\left( |3 - x| ight) =\left\{ \begin{matrix}f(3 - x)\ \ khi\ x \leq 3 \\f(x - 3)\ \ khi\ x > 3 \\\end{matrix} ight.

    y' = \left\{ \begin{matrix}- f'(3 - x)\ \ khi\ x \leq 3 \\f'(x - 3)\ \ khi\ x > 3 \\\end{matrix} ight.

    Với x < 3 \Rightarrow y' = -f'(3 - x) > 0

    \Leftrightarrow f'(3 - x) < 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}3 - x < - 1 \\1 < 3 - x < 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x > 4 \\- 1 < x < 2 \\\end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện x < 3 ta có: - 1 < x < 2

    Với x > 3 \Rightarrow y' =f'(x - 3) > 0

    \Leftrightarrow f'(3 - x) > 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}3 - x > 4 \\- 1 < 3 - x < 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x > 7 \\2 < x < 4 \\\end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện x > 3 ta có: \left\lbrack \begin{matrix}x > 7 \\3 < x < 4 \\\end{matrix} ight.

    Vậy hàm số y = f\left( |3 - x|ight) đồng biến trên mỗi khoảng (- 1;2),(3;4),(7; + \infty)

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho hàm số bậc ba f\left( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d;\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} ight) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

    Xác định số TCĐ và TCN của đồ thị hàm số

    Đồ thị hàm số g\left( x ight) = \frac{1}{{f\left( {4 - {x^2}} ight) - 3}} có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

    Đặt t = 4 - {x^2} khi đó x \to \pm \infty thì t \to \infty

    Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g\left( x ight) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{f\left( t ight) - 3}} = 0

    => y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g(x)

    Mặt khác

    \begin{matrix} f\left( {4 - {x^2}} ight) - 3 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow f\left( {4 - {x^2}} ight) = 3 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - {x^2} = - 2} \\ {4 - {x^2} = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm \sqrt 6 } \\ {x = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    => Đồ thị hàm số g(x) có ba đường tiệm cận đứng.

    Vậy đồ thị hàm số g(x) có bốn đường tiệm cận.

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

    Xét hàm số g\left( x ight) = f\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 3. Khẳng định nào sau đây sai?

    Ta có:

    g'\left( x ight) = \frac{1}{2}f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) - \left( {{x^2} - 3x + 2} ight)

    f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{ - 5}}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = - 1} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = \frac{1}{2}} \\ {\dfrac{{x - 1}}{2} = 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 4} \\ {x = - 1} \\ {x = 2} \\ {x = 7} \end{array}} ight.

    f'\left( {\frac{{x - 1}}{2}} ight) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{x - 1}}{2} < - \dfrac{5}{2}} \\ {\dfrac{1}{2} < \dfrac{{x - 1}}{2} < 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x < - 4} \\ {2 < x < 7} \end{array}} ight.

    Ta có bảng xét dấu cho các biểu thức

    Tìm khẳng định sai

    Từ bảng xét dấu ta thấy

    x \in \left( {0;1} ight) \subset \left( {0;2} ight) \Rightarrow g'\left( x ight) < 0

    Khi đó hàm số nghịch biến

    => Đáp án B sai

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 10 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập