Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
bằng:
Ta có:
Lại có:
Từ đó
Xét hàm số
=> Hàm số đồng biến trên
=>
=>
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
bằng:
Ta có:
Lại có:
Từ đó
Xét hàm số
=> Hàm số đồng biến trên
=>
=>
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để đồ thị hàm số
có đúng hai tiệm cận đứng?
Điều kiện xác định
Vì nên để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng thì phương trình
phải có hai nghiệm phân biệt lớn hơn
.
Xét hàm số trên
có:
Bảng biến thiên
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn khi
.
Vậy đáp án cần tìm là .
Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích
, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao
bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất (biết nguyên vật liệu xây dựng các mặt là như nhau)?
Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích , biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và bể không có nắp. Hỏi cần xây bể có chiều cao
bằng bao nhiêu mét để nguyên vật liệu xây dựng là ít nhất (biết nguyên vật liệu xây dựng các mặt là như nhau)?
Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số
là:
Ta có:
Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là
Cho hàm số
. Biết
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Tập xác định
Ta có:
Từ
Từ (**) suy ra .
Vậy là đáp án cần tìm.
Cho hàm số
có đạo hàm
. Số điểm cực đại của hàm số là:
Ta có:
Lập bảng biến thiên của hàm số
Suy ra số điểm cực đại của hàm số là 1 điểm.
Số điểm cực trị của hàm số
là?
Xét hàm số
Ta có:
Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khác x1; x2
=> Hàm số có 5 điểm cực trị
Đồ thị hàm số
có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng?
Tập xác định
Ta có:
Suy ra đường thẳng là hai đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Cho hàm số
có đồ thị như sau:

Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Cho hàm số có đồ thị như sau:
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Cho hàm số
có đạo hàm
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xét ta có bảng xét dấu
như sau:
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng , hàm số đồng biến trên khoảng
.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để phương trình
có nghiệm thuộc
?
Ta có:
Xét hàm số có
Ta có bảng biến thiên
Theo yêu cầu bài toán ta có:
Vì
Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào sau đây?

Từ hình vẽ suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số
Đồ thị hàm số đi qua điểm nên hàm số cần tìm là
.
Xác định số điểm cực trị của hàm số
?
Xác định số điểm cực trị của hàm số ?
Cho hàm số bậc ba
có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Hỏi đồ thị hàm số
có bao nhiêu tiệm cận đứng?
Ta có:
Đồng nhất hai vế ta có:
Mặt khác
Giải phương trình
Hàm số có tập xác định là
Khi đó
=> Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là
Một chất điểm chuyển động theo phương trình
trong đó
được tính bằng giây và
được tính bằng mét. Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là:
Ta có:
Khi đó
Biết đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi có
thuộc khoảng nào sau đây?
Phương trình hoành độ giao điểm là
Xét hàm số
Đồ thị có điểm uốn là
Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại
Cho hàm số
. Điều kiện cần và đủ của tham số
để hàm số nghịch biến trên
là:
Tập xác định
Ta có:
Để hàm số đã cho nghịch biến trên thì
Vậy giá trị cần tìm là .
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

Đồ thị trong hình vẽ là hàm số có dạng
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là và tiệm cận đứng
nên hàm số cần tìm là
.
Cho hàm số
. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
Tập xác định
Ta có:
Vậy đồ thị có một tiệm cận ngang .
Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số
?
Tập xác định
Ta có:
Do đó hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm
. Hàm số y = -2f(x) đồng biến trên khoảng
Ta có:
=> Hàm số y = -2f(x) đồng biến trên khoảng (0; 2)
Ông A dự định sử dụng hết
kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu
? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Đáp án: 2,1
Ông A dự định sử dụng hết kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu
? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Đáp án: 2,1
Gọi
lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bể cá.
Ta có thể tích bể cá .
Theo đề bài ta có:
Ta có bảng biển thiên
Gọi
là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số
để đồ thị hàm số
có đúng ba đường tiệm cận. Tìm số phần tử của tập hợp
?
có một đường tiệm cận ngang là
Để có ba đường tiệm cận thì phải có hai nghiệm phân biệt khác
.
Tức là
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
bằng bao nhiêu?
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn bằng
.
Số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là:
Tập xác định
Ta có: nên
là tiện cận ngang của đồ thị hàm số.
suy ra
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là .
Cho hàm số
liên tục trên
và có đạo hàm
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có: do đó hàm số
nghịch biến trên
Do
Cho hàm số
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tập xác định của hàm số là
. Đúng||Sai
b) Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là
. Đúng||Sai
c) Đồ thị hàm số đã cho có tất cả 2 đường tiệm cận. Sai||Đúng
d) Các đường tiệm cận của đồ thị cùng với trục Oy tạo thành 1 đa giác có diện tích bằng 1. Sai||Đúng
Cho hàm số . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tập xác định của hàm số là . Đúng||Sai
b) Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận ngang là . Đúng||Sai
c) Đồ thị hàm số đã cho có tất cả 2 đường tiệm cận. Sai||Đúng
d) Các đường tiệm cận của đồ thị cùng với trục Oy tạo thành 1 đa giác có diện tích bằng 1. Sai||Đúng
a) Điều kiện xác định của hàm số .
Vậy tập xác định của hàm số là .
b) Ta có: nên y = −1 là đường tiệm cận ngang.
nên y = 1 là đường tiệm cận ngang.
c) Do nên x = 1 là đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận (2 TCN và 1 TCĐ).
d) Minh họa miền giới hạn của các đường tiệm cận và trục Oy như sau:
Miền giới hạn là hình chữ nhật có diện tích là
Anh H dự định sử dụng hết 5,5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép nối không đáng kể).

Gọi a và h lần lượt là kích thước chiều rộng và chiều cao (theo đơn vị mét).
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tổng diện tích 5 mặt của bể là
. Đúng||Sai
b) Ta có
. Sai|| Đúng
c) Thể tích của bể là
. Sai|| Đúng
d) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng
. Đúng||Sai
Anh H dự định sử dụng hết 5,5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép nối không đáng kể).
Gọi a và h lần lượt là kích thước chiều rộng và chiều cao (theo đơn vị mét).
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tổng diện tích 5 mặt của bể là . Đúng||Sai
b) Ta có . Sai|| Đúng
c) Thể tích của bể là . Sai|| Đúng
d) Bể cá có dung tích lớn nhất bằng . Đúng||Sai
a) Đúng. Kích thước đáy của bể lần lượt là 2a, a; chiều cao bể là h (a, h > 0). Tổng diện tích 5 mặt của bể là:
b) Sai. Theo đề bài ta có: .
c) Sai. Gọi V là thể tích của bể cá, ta có:
d) Đúng. Ta có:
Bảng biến thiên:
Vậy dung tích lớn nhất của bể cá bằng .
Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số
. Tính tích các nghiệm của phương trình f(x) = M.
Đặt
Xét hàm số ta có:
Cho hàm số
có đạo hàm trên
là
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Cho hàm số có đạo hàm trên
là
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên
là
. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
Tập xác định:
Ta có:
Ta có bảng xét dầu’(x) như sau:

Dựa vào bảng xét dấy của f’(x) ta thấy f’(x) đổi dấu qua hai điểm x = 2018, x = 2019 nên hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Tìm điều kiện cần và đủ của tham số thực ủa tham số
để đường thẳng
cắt đồ thị
tại ba điểm phân biệt là:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
(*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
Xét hàm số có
Bảng biến thiên
Vậy theo yêu cầu bài toán
Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Khẳng định nào sau đây là đúng?
Từ bảng biến thiên ta nhận thấy đạo hàm của hàm số đổi dấu từ dương sang âm qua nghiệm 0 nên hàm số đạt cực đại tại 0 và giá trị cực đại của hàm số bằng 0.
Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Số điểm cực trị của hàm số
là:
Ta có:
Tìm các giá trị của tham số
để hàm số
có ba điểm cực trị
;
thỏa mãn
?
Tập xác định
Ta có:
Để hàm số có ba cực trị thì
Suy ra ;
Vậy đáp án đúng là
Gọi P là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
đồng biến trên tập xác định của nó. Tổng các phần tử của tập hợp P là:
Ta có:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Kết hợp với điều kiện
=>
=> Tổng P bằng 10
Hàm số
nghịch biến trên khoảng:
Tập xác định
Ta có:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng
Có bao nhiêu số nguyên
thỏa mãn điều kiện hàm số
đồng biến trên khoảng
?
Ta có:
. Hàm số đồng biến trên khoảng
Vậy có duy nhất một số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số đồng biến trên khoảng
.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là đường thẳng có phương trình là:
Ta có:
Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình
.
Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
. Giá trị biểu thức
là:
Ta có: nên hàm số đồng biến trên
.