Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\left\{ - 1 ight\}, liên tục trên các khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

    Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt?

    Số nghiệm của phương trình f(x) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m

    Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì - 4 < m < 2.

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho hàm số y =f(x) có đồ thị của hàm số y =f'(x) như hình vẽ:

    Xác định khoảng đồng biến của hàm số y =f\left( |3 - x| ight)?

    Ta có: y = f\left( |3 - x| ight) =\left\{ \begin{matrix}f(3 - x)\ \ khi\ x \leq 3 \\f(x - 3)\ \ khi\ x > 3 \\\end{matrix} ight.

    y' = \left\{ \begin{matrix}- f'(3 - x)\ \ khi\ x \leq 3 \\f'(x - 3)\ \ khi\ x > 3 \\\end{matrix} ight.

    Với x < 3 \Rightarrow y' = -f'(3 - x) > 0

    \Leftrightarrow f'(3 - x) < 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}3 - x < - 1 \\1 < 3 - x < 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x > 4 \\- 1 < x < 2 \\\end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện x < 3 ta có: - 1 < x < 2

    Với x > 3 \Rightarrow y' =f'(x - 3) > 0

    \Leftrightarrow f'(3 - x) > 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}3 - x > 4 \\- 1 < 3 - x < 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x > 7 \\2 < x < 4 \\\end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện x > 3 ta có: \left\lbrack \begin{matrix}x > 7 \\3 < x < 4 \\\end{matrix} ight.

    Vậy hàm số y = f\left( |3 - x|ight) đồng biến trên mỗi khoảng (- 1;2),(3;4),(7; + \infty)

  • Câu 3: Nhận biết

    Chọn hàm số đồng biến trên \mathbb{R}?

    Xét hàm số y = 2x^{3} + 3x + 1 ta có:

    y' = 6x^{2} + 3 > 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Vậy hàm số y = 2x^{3} + 3x + 1 đồng biến trên \mathbb{R}.

  • Câu 4: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Số TCĐ và TCN của đồ thị hàm số

    Hỏi đồ thị hàm số y = \frac{{{f^2}\left( x ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {{f^2}\left( x ight) - 2f\left( x ight)} ight]\left( {2{x^5} + {x^4} - 10{x^3} - 5{x^2} + 8x + 4} ight)}} có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

    Dựa vào bảng biến thiên ta có: f\left( x ight) = a{x^2}\left( {x + 1} ight)\left( {x - 2} ight)

    Ta có:

    \begin{matrix} y = \dfrac{{{f^2}\left( x ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {{f^2}\left( x ight) - 2f\left( x ight)} ight]\left( {2{x^5} + {x^4} - 10{x^3} - 5{x^2} + 8x + 4} ight)}} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{a{x^2}\left( {x + 1} ight)\left( {x - 2} ight)\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {{x^2} - 4} ight)\left( {{x^2} - 1} ight)\left( {2x + 1} ight)}} \hfill \\ \Rightarrow y = \dfrac{{a{x^2}\sqrt {{x^2} + x} }}{{\left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight)\left( {2x + 1} ight)}} \hfill \\ \end{matrix}

    Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f(x) = 2 có 2 nghiệm x = a hoặc x = b trong đó a < 0, b > 2

    Với điều kiện thì phương trình

    \left[ {f\left( x ight) - 2} ight]\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight)\left( {2x + 1} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 2} \\ {x = 1} \\ {x = a} \\ {x = b} \end{array}} ight.

    Do đó đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng

    Mặt khác bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 0 => Đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Hàm số y = \sqrt{2x - x^{2}} nghịch biến trên khoảng:

    Tập xác định \lbrack 0;2brack

    Ta có: y' = \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^{2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^{2}}} = 0\Leftrightarrow x = 1

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y' < 0 \Leftrightarrow x \in (1;2) \\ y' > 0 \Leftrightarrow x \in (0;1) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2)

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack 2;5brack và có đồ thị như hình vẽ:

    Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \lbrack 2;5brack lần lượt là M;m. Kết luận nào sau đây đúng?

    Quan sát đồ thị ta thấy \left\{\begin{matrix}\max_{\lbrack 2;5brack}y = M = 4 \\\min_{\lbrack 2;5brack}y = m = - 6 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M - m = 10

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} và có đạo hàm f'(x) = x(x - 1)^{3}(x + 2)^{2}. Tìm số điểm cực trị của hàm số đó?

    Ta có: f'(x) = x(x - 1)^{3}(x + 2)^{2} nên f'(x) = 0 có các nghiệm là x = 0;x = 1;x = - 2 và f'(x) chỉ đổi dấu khi x qua các nghiệm x = 0;x = 1

    Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f\left( x ight) = \frac{2}{{{x^2}}} - \frac{1}{{2x - 2}} trên khoảng (0; 1)

    Hàm số xác định và liên tục trên (0; 1) ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) = \dfrac{{ - 4}}{{{x^3}}} + \dfrac{1}{{2{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \hfill \\ f'\left( x ight) = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^3} - 8{x^2} + 16x - 8 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} ight)\left( {{x^2} - 6x + 4} ight) = 0 \hfill \\ \Rightarrow x = 3 - \sqrt 5 \hfill \\ \end{matrix}

    Lập bảng biến thiên:

    Tìm Min của f(x) trên khoảng

    Từ bảng biến thiên ta có: \mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} ight)} f\left( x ight) = \frac{{11 + 5\sqrt 5 }}{4}

  • Câu 9: Vận dụng

    Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{1 + \sqrt{x + 1}}{x^{2} - 2x - m} có đúng hai tiệm cận đứng?

    Điều kiện xác định x \geq - 1

    Vì 1 + \sqrt{x + 1} > 0;\forall x \geq - 1 nên để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng thì phương trình x^{2} - 2x = m\ \ (*) phải có hai nghiệm phân biệt lớn hơn - 1.

    Xét hàm số f(x) = x^{2} - 2x trên \lbrack - 1; + \infty) có:

    f'(x) = 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1

    Bảng biến thiên

    Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn - 1 khi - 1 < m \leq 3.

    Vậy đáp án cần tìm là m \in ( - 1;3brack.

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hình vẽ là đồ thị hàm số y = f'(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Từ đồ thị y = f'(x) ta có bảng xét dấu y = f'(x) như sau:

    Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - xy + 3 = 0} \\ {2x + 3y - 14 \leqslant 0} \end{array}} ight.. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = 3{x^2}y - x{y^2} - 2{x^3} + 2x bằng:

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x > 0,y > 0} \\ {{x^2} - xy + 3 = 0} \end{array}} ight. \Rightarrow y = \frac{{{x^2} + 3}}{x} = x + \frac{3}{x}

    Lại có: 2x + 3y - 14 \leqslant 0

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 2x + 3\left( {x + \dfrac{3}{x} - 14} ight) \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 5{x^2} - 14x + 9 \leqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {1;\dfrac{9}{5}} ight] \hfill \\ \end{matrix}

    Từ đó P = 3{x^2}\left( {x + \frac{3}{x}} ight) - x\left( {x + \frac{3}{x}} ight) - 2{x^3} + 2x = 5x - \frac{9}{x}

    Xét hàm số f\left( x ight) = 5x - \frac{9}{x};\forall x \in \left[ {1;\frac{9}{5}} ight]

    f'\left( x ight) = 5 + \frac{9}{{{x^2}}} > 0;\forall x \in \left[ {1;\frac{9}{5}} ight]

    => Hàm số đồng biến trên \left[ {1;\frac{9}{5}} ight]

    => f\left( 1 ight) \leqslant f\left( x ight) \leqslant f\left( {\frac{9}{5}} ight) \Rightarrow - 4 \leqslant f\left( x ight) \leqslant 4

    => \max P + \min P = 4 + \left( { - 4} ight) = 0

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không nghịch biến trên \mathbb{R}?

    Với y = - \frac{1}{{{x^2} + 1}} \Rightarrow y' = \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} ight)}^2}}}

    y’ > 0 khi x > 0 và y’ < 0 khi x < 0 nên hàm số không nghịch biến trên \mathbb{R}

  • Câu 13: Vận dụng

    Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}mx^{2} + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Khi đó tổng tất cả các giá trị của các phần tử trong tập hợp S bằng:

    Ta có: y' = x^{2} - mx + 2m

    \Leftrightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} - mx + 2m = 0(*)

    Gọi x_{1};x_{2} là nghiệm của phương trình (*) ta có bảng biến thiên:

    Hàm số y nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x_{1};x_{2} thỏa mãn \left| x_{1} - x_{2} ight| = 3

    (*) có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta = m^{2} - 8m > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ m > 8 \\ \end{matrix} ight.\ (**)

    \left| x_{1} - x_{2} ight| = 3 \Leftrightarrow \left( x_{1} - x_{2} ight)^{2} = 9 \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 4x_{1}.x_{2} = 9

    \Leftrightarrow m^{2} - 8m - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 9 \\ m = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \left( tm(**) ight)

    Suy ra S = \left\{ 9; - 1 ight\}

    Vậy tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 8.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = - x^{3} - 3x^{2} + m trên \lbrack - 1;1brack bằng 0?

    Ta có: f'(x) = - 3x^{2} - 6x

    Xét f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 3x^{2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Mà \left\{ \begin{matrix} f( - 1) = m - 2 \\ f(0) = m \\ f(1) = m - 4 \\ \end{matrix} ight. và m - 4 < m - 2 < m

    Khi đó \min_{\lbrack - 1;1brack}f(x) = f(1) = m - 4

    Theo đề bài ra ta có:

    \min_{\lbrack - 1;1brack}f(x) = 0 \Leftrightarrow m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4

    Vậy đáp án cần tìm là m = 4.

  • Câu 15: Nhận biết

    Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x^{2} + \frac{8}{x} trên đoạn \left\lbrack \frac{1}{2};2 ightbrack?

    Ta có: y' = 2x - \frac{8}{x^{2}} = \frac{2x^{3} - 8}{x^{2}}

    \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \frac{2x^{3} - 8}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x^{3} = 4 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}

    Ta có: \left| \begin{matrix}f\left( \dfrac{1}{2} ight) = \dfrac{65}{4} \\f(2) = 8 \\f\left( \sqrt[3]{4} ight) = 6\sqrt[3]{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \min_{\left\lbrack\frac{1}{2};\frac{1}{2} ightbrack}y = 6\sqrt[3]{2}.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y= \dfrac{2\cot x + 1}{\cot x + m} đồng biến trên khoảng \left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight)?

    Điều kiện xác định \cot x eq - m

    Ta có: y' = \dfrac{-\dfrac{2}{\sin^{2}x}\left( \cot x + m ight) + \dfrac{1}{\sin^{2}}(2\cot x +1)}{\left( \cot x + m ight)^{2}}

    = \dfrac{1 - 2m}{\sin^{2}x.\left( \cot x +m ight)^{2}}

    Hàm số đồng biến trên khoảng \left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} ight) khi và chỉ khi

    \left\{ \begin{matrix} y' > 0 \\ - m otin (0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - 2m > 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - 1 \\ m \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - 1 \\ m \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \in ( - \infty; - 1brack \cup \left\lbrack 0;\frac{1}{2} ight)

    Vậy đáp án cần tìm là m \in ( - \infty; - 1brack \cup \left\lbrack 0;\frac{1}{2} ight).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Có bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y = 2x^{3} + 9mx^{2} + 12m^{2}x + m - 2 đồng biến trên khoảng ( - \infty; + \infty)?

    Ta có:

    y' = 6x^{2} + 18mx + 12m^{2}. Hàm số đồng biến trên khoảng ( - \infty; + \infty) \Leftrightarrow y' \leq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow x^{2} + 3mx + 2m^{2} \leq 0

    \Leftrightarrow \Delta \leq 0 \Leftrightarrow m^{2} \leq 0 \Leftrightarrow m = 0

    Vậy có duy nhất một số nguyên m thỏa mãn điều kiện hàm số y = 2x^{3} + 9mx^{2} + 12m^{2}x + m - 2 đồng biến trên khoảng ( - \infty; + \infty).

  • Câu 18: Thông hiểu

    Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = \frac{x - 3}{\sqrt{9 - x^{2}}} là:

    Tập xác định D = ( - 3;3) suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

    \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x - 3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{x - 3}{\sqrt{(3 - x)(3 + x)}} = \lim_{x ightarrow 3^{-}}\frac{- \sqrt{3 - x}}{\sqrt{3 + x}} = 0

    Suy ra x = 3 không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    \lim_{x ightarrow - 3^{+}}\frac{x - 3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = \lim_{x ightarrow - 3^{+}}\frac{x - 3}{\sqrt{(3 - x)(3 + x)}} = \lim_{x ightarrow - 3^{+}}\frac{- \sqrt{3 - x}}{\sqrt{3 + x}} = - \infty

    Suy ra x = - 3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

    Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = - \frac{1}{3}x^{3} - 2x^{2} + mx - 1 nghịch biến trên \mathbb{R}?

    Ta có:

    y' = - x^{2} - 4x + m

    Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R} \Leftrightarrow - x^{2} - 4x + m \leq 0;\forall x

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < 0 \\ \Delta \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 16 + 4m \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - 4

    Vậy đáp án cần tìm là m \leq - 4

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho y = f\left( x ight) hàm số có f'\left( x ight) = \left( {x - 2} ight)\left( {x + 5} ight)\left( {x + 1} ight). Hàm số y = f\left( {{x^2}} ight) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Xét dấu f’(x) như sau:

    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = \left( {f\left( {{x^2}} ight)} ight)' = 2xf'\left( {{x^2}} ight) \hfill \\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {f'\left( {{x^2}} ight) = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = \sqrt 2 } \\ {x = - \sqrt 2 } \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Chọn x = 1 \in \left( {0;\sqrt 2 } ight) ta có: y'\left( 1 ight) = 2.1.f'\left( {{1^2}} ight) = 2.f'\left( {{1^2}} ight) < 0

    => \left( {0;\sqrt 2 } ight) là khoảng âm

    Khi đó bảng xét dấu của y’ = (f(x2))’ như sau:

    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Từ trục xét dấu ta thấy. Hàm số y = f(x2) đồng biến trên (-1; 0)

  • Câu 21: Vận dụng

    Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh là 30\ cm. Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là x\ cm, sau đó gập tấm nhôm lại để tạo thành một chiếc hộp không nắp. Tìm x để thể tích chiếc hộp là lớn nhất.

    Đáp án: 5

    Đáp án là:

    Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh là 30\ cm. Người ta cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là x\ cm, sau đó gập tấm nhôm lại để tạo thành một chiếc hộp không nắp. Tìm x để thể tích chiếc hộp là lớn nhất.

    Đáp án: 5

    Chiều cao của chiếc hộp khi gập tấm nhôm là x\ cm.

    Kích thước đáy hai đáy của chiếc hộp là (30 - 2x)\ cm.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ 30 - 2x > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ x < 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < x < 15.

    Thể tích chiếc hộp là V(x) = x(30 - 2x)^{2} = 4x^{3} - 120x^{2} + 900x.

    V'(x) = 12x^{2} - 240x + 900.

    V'(x) = 0 \Leftrightarrow 12x^{2} - 240x + 900 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 5 \\ x = 15 \\ \end{matrix} ight.

    Bài toán trở thành, tìm x (0 < x < 15) sao cho V(x) là lớn nhất.

    Vậy cần cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó các hình vuông bằng nhau có cạnh là 5\ cmđể chiếc hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên \mathbb{R}. Biết f(0) > 0. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ:

    Hàm số y = \left| f(x) - \frac{x^{2}}{2} ight| có bao nhiêu điểm cực trị?

    Xét g(x) = f(x) - \frac{x^{2}}{2} \Rightarrow g'(x) = f'(x) - x.

    Từ đồ thị ta thấy: g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vì hệ số cao nhất của f(x) nhỏ hơn 0 nên hệ số cao nhất của g(x) cùng nhỏ hơn 0. Ta có bảng biến thiên:

    \Rightarrow g( x )=0 luôn có đúng 2 nghiệm bội lé.

    Số điểm cực trị của hàm số y = \left| f(x) - \frac{x^{2}}{2} ight| là 5.

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

    Số nghiệm thực của phương trình

    Số nghiệm thực của phương trình 2f\left( x ight) - 5 = 0 là:

    Ta có: 2f\left( x ight) - 5 = 0 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{5}{2}

    Quan sát đồ thị ta thấy y = \frac{5}{2} cắt đồ thị hàm số y = f\left( x ight) tại ba điểm phân biệt

    => Phương trình 2f\left( x ight) - 5 = 0 có ba nghiệm thực phân biệt.

  • Câu 24: Nhận biết

    Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ dưới đây?

    Đồ thị của hàm số y = f(x)

    Quan sát đồ thị hàm số ta suy ra hàm số có dạng hàm số phân thức y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}

    => Loại đáp án B và D

    Ta có: y\left( 0 ight) = 2 => Loại đáp án B

  • Câu 25: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu f'(x) như sau:

    Hỏi hàm số y = f\left( x^{2} - 2x ight) có bao nhiêu điểm cực tiểu?

    Đặt g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) \Rightarrow g'(x) = (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x ight)

    Từ bảng xét dấu của hàm số f'(x) có

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = f\left( x^{2} - 2x ight) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 2 = 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x = - 2\ \\ x^{2} - 2x = 1\ \\ x^{2} - 2x = 3\ \ \\ 2x - 2 = 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \pm \sqrt{2} \\ x = 3 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    g'(x) \geq 0 \Leftrightarrow (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x ight) \geq 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 2x - 2 \geq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} 2x - 2 \leq 0 \\ f'\left( x^{2} - 2x ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ - 2 \leq x^{2} - 2x \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x \geq 3 \\ x^{2} - 2x \leq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ x^{2} - 2x + 2 \geq 0 \\ x^{2} - 2x - 3 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x - 3 \geq 0 \\ x^{2} - 2x + 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ - 1 \leq x \leq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x \geq 3 \\ x \leq - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \leq x \leq 3 \\ x \leq - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên

    Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số y = f\left( x^{2} - 2x ight) có 1 điểm cực tiểu.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + \frac{4}{x} trên khoảng \left( {0; + \infty } ight). Tính giá trị của m.

    Ta có:

    \begin{matrix} y' = 1 - \dfrac{4}{{{x^2}}} \hfill \\ y' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2\left( {tm} ight)} \\ {x = - 2\left( L ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Tính GTNN của hàm số trên khoảng

    => Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 4

    => y(2) = 4

    => m = 4

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho đồ thị:

    Xác định hàm số tương ứng với đồ thị hàm số đã cho?

    Nhận diện đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có a < 0

    Đồ thị hàm số đi qua điểm (0; - 1) nên loại hàm số y = - x^{4} + 2x^{2} - 3.

    Đồ thị hàm số có các cực trị là (1;0),( - 1;0) nên hàm số cần tìm là y = - x^{4} + 2x^{2} - 1.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{ax + b}{cx - 1} có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Trong các hệ số a, b, c có bao nhiêu số dương?

    Tiệm cận đứng: x = \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow c = 1

    Tiệm cận ngang: y = \frac{a}{c} = - 1\Leftrightarrow a = - c \Rightarrow a = - 1

    Đồ thị cắt trục hoành tại x = 2 nên 2a + b = 0 hay b = - 2a = 2.

    Vậy trong các hệ số a, b, c có có hai số dương là b,c.

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hàm số y = x^{4} - mx^{2} + m có đồ thị (C). Tìm tham số m để (C) đi qua điểm M(2;16)?

    Ta có: M(2;16) \in (C) \Leftrightarrow 16 = 2^{4} - m.2^{2} + m \Leftrightarrow 3m = 0 \Leftrightarrow m = 0

    Vậy m = 0.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có: \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = 1;\lim_{xightarrow 3^{+}}f(x) = + \infty;\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) =1;\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Đồ thị của hàm số y = f(x) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1. Đúng||Sai

    b) Đồ thị của hàm số y = f(x) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3. Đúng||Sai

    c) Đồ thị của hàm số y = f(x) không có tiệm cận ngang. Sai|| Đúng

    d) Đồ thị của hàm số y = f(x) không có tiệm cận đứng. Sai|| Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có: \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = 1;\lim_{xightarrow 3^{+}}f(x) = + \infty;\lim_{x ightarrow - \infty}f(x) =1;\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Đồ thị của hàm số y = f(x) có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1. Đúng||Sai

    b) Đồ thị của hàm số y = f(x) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3. Đúng||Sai

    c) Đồ thị của hàm số y = f(x) không có tiệm cận ngang. Sai|| Đúng

    d) Đồ thị của hàm số y = f(x) không có tiệm cận đứng. Sai|| Đúng

    a) Do \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = 1 nên y = 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. (*)

    b) Do \lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = + \infty nên x = 3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. (**)

    c) Từ (*) suy ra khẳng định này sai.

    d) Từ (**) suy ra khẳng định này sai.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hàm số y = \frac{x - 1}{x^{2} + 2mx + 3m^{2} - m - 1} với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận?

    Ta có: \lim_{x ightarrow \pm \infty}y = 0 suy ra y = 0 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

    Do đó để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có hai tiệm cận đứng.

    \Leftrightarrow x^{2} + 2mx + 3m^{2} - m - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 2{m^2} + m + 1 > 0 \hfill \\ 3{m^2} + m e 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - \frac{1}{2} < m < 1 \hfill \\ m e 0 \hfill \\ m e - \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Mà m\mathbb{\in Z} nên không tồn tại giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + (5m - 4)x - 1 không có điểm cực trị?

    Ta có: y' = x^{2} - 2mx + 5m - 4

    Hàm số đã cho không có cực trị khi và chỉ khi y' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

    \Leftrightarrow \Delta' \leq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 5m + 4 \leq 0 \Leftrightarrow m \in \lbrack 1;4brack

    Vì m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 1;2;3;4 ight\}

    Vậy có bốn giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 33: Nhận biết

    Hàm số y = - x^{4} + 8x^{2} + 5 có bao nhiêu điểm cực trị?

    Hàm số y = - x^{4} + 8x^{2} + 5 là hàm trùng phương có a.b = - 8 < 0 nên hàm số có ba điểm cực trị.

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Có bao nhiêu khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?

    (i) Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

    (ii) Hàm số có cực tiểu tại x = 2.

    (iii) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( - \infty; - 1);(1; + \infty).

    (iv) Hàm số xác định trên \mathbb{R}.

    Do \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - 1;\lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = 2 nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang; \lim_{x ightarrow 1^{\pm}}f(x) = \pm \infty nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng. Do đó đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận nên (i) đúng.

    Hàm số có cực tiểu tại x = 2 đúng nên (ii) đúng.

    Hàm số nghịch biến trên ( - \infty; - 1);(1;2) nên (iii) sai.

    Hàm số không xác định tại x = 1 nên (iv) sai.

    Vậy có 2 khẳng định sai.

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hàm số f\left( x ight) = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 8}} (với m là tham số thực). Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -2 trên đoạn [0; 3].

    Xét hàm số f\left( x ight) = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 8}} trên đoạn [0; 3] ta có:

    f'\left( x ight) = \frac{{8 + {m^2}}}{{{{\left( {x + 8} ight)}^2}}} > 0;\forall x \in \left[ {0;3} ight]

    => Hàm số f(x) đồng biến trên (0; 3)

    => \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} ight]} f\left( x ight) = f\left( 0 ight) = \frac{{ - {m^2}}}{8}

    Theo bài ra ta có:

    \begin{matrix} \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} ight]} f\left( x ight) = - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow - \dfrac{{{m^2}}}{8} = - 2 \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} = 16 \Leftrightarrow m = \pm 4 \hfill \\ \Rightarrow {m_{\max }} = 4 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y = mx^{4} + (2m - 1)x^{2} + m - 2 chỉ có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu?

    Xét m = 0 khi đó y = - x^{2} - 2 là hàm số bậc hai có a = -1 < 0 nên đồ thị của hàm số là parabol có bề lõm hướng xuống nên có 1 cực đại mà không có cực tiểu. Suy ra m = 0 thỏa mãn.

    Xét m eq 0 khi đó y = mx^{4} + (2m - 1)x^{2} + m - 2 là hàm số bậc 4 dạng trùng phươn

    Để đồ thị hàm số có một cực đại mà không có cực tiểu thì

    \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ m\left( {2m - 1} ight) \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m \leqslant 0 \hfill \\ m \geqslant \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow m < 0

    Vậy đáp án cần tìm là m \leq 0.

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên:

    Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) là:

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 5 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 3 \hfill \\ \end{gathered} ight. nên đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang y = - 3;y = 5.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 2)^{2019}\left( x^{2} - x -2 ight)^{2020}(x + 3)^{3}. Hỏi hàm số y = f\left( |x| ight) có bao nhiêu cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 2)^{2019}\left( x^{2} - x -2 ight)^{2020}(x + 3)^{3}. Hỏi hàm số y = f\left( |x| ight) có bao nhiêu cực trị?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 39: Nhận biết

    Cho hàm số y = x^{3} + 5x + 7. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn\lbrack - 5;0brack bằng bao nhiêu?

    Ta có: Hàm số đã cho xác định và liên túc trên đoạn \lbrack - 5;0brack

    y' = 3x^{2} + 5 > 0;\forall x \in \lbrack - 5;0brack

    Suy ra hàm số đồng biến trên \lbrack - 5;0brack

    Vậy \max_{\lbrack - 5;0brack}y = y(0) = 7.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{2} + 4x + m} có duy nhất một đường tiệm cận là:

    Ta có: \lim_{x ightarrow + \infty}y = \lim_{x ightarrow - \infty}y = 0 nên đồ thị hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang là y = 0.

    Vậy để đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x^{2} + 4x + m} có duy nhất một đường tiệm cận thì đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng, hay phương trình x^{2} + 4x + m vô nghiệm

    \Leftrightarrow \Delta' < 0 \Leftrightarrow 4 - m < 0 \Leftrightarrow m > 4

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 15 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập