Cho hàm số
. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là:
Ta có:
=> Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
=> y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
=> đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Cho hàm số
. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là:
Ta có:
=> Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
=> y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
=> đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Cho hàm số
trên đoạn
. Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tính giá trị biểu thức
.
Xét hàm số trên đoạn
ta có:
=> là hàm số nghịch biến trên
=>
Cho hàm số
có đồ thị kí hiệu là
. Tìm điểm thuộc
?
Ta thấy
Cho hàm số
. Tập hợp các giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
là
. Tính giá trị biểu thức
?
Cho hàm số . Tập hợp các giá trị của tham số
để hàm số
nghịch biến trên
là
. Tính giá trị biểu thức
?
Cho hàm số
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên
?
Ta có:
Để hàm số đã cho nghịch biến trên
Do nên có tất cả 5 giá trị của m thỏa mãn điều kiện.
Cho hàm số
với
là tham số. Tìm giá trị của
để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua điểm
?
Ta có: suy ra
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Do
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Từ đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng và
.
Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận?
Tập xác định
Vì tập xác định của hàm số không chứa và
nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.
Lại có: . Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng
.
Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có:
=> y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Ta cũng có: => x = 1; x = 32 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số
được biểu diễn trong hình vẽ như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình
có đúng hai nghiệm phân biệt?
Số nghiệm của phương trình chính là giao điểm của hai đồ thị
Minh họa trực quan:
Vậy để hàm số có đúng hai nghiệm thì
.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại .
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
. Giá trị của biểu thức
là:
Điều kiện xác định:
Xét hàm số trên
ta có:
Phương trình
Ta lại có:
=>
Cho hàm số
. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
?
Xét hàm số xác định trên tập số thực có:
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2 khi x = 1 hoặc x = -2.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm
. Khi đó hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Ta có:
Ta có bảng xét dấu như sau:

Dựa vào bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -3) và (-0; 3)
Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
lần lượt là
và
. Tính giá trị của biểu thức
?
Ta có:
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hàm số
đồng biến trên khoảng:
Ta có:
Lại có: nên ta có bảng xét dấu như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng và
.
Cho biết
và điểm
. Gọi
là điểm bất kì thuộc
. Khoảng cách
nhỏ nhất là:
Vì thuộc
=>
Xét hàm số ta có:
Đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị là A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?
Cách 1: Xét hàm số
Ta có:
Đồ thị hàm số f(x) có hai điểm cực trị A và B nên f’(A) = f’(B) = 0
Suy ra
Do đó phương trình đường thẳng AB là y = -8x – 2
Khi đó ta có điểm có tọa độ (1; -10) thuộc đường thẳng AB.
Cách 2: Xét hàm số
=> Tọa độ hai điểm cực trị của hàm số là A(3; -26) và B(-1; 6)
Ta có:
Phương trình đường thẳng AB đ qua B(-1; 6) nhận vecto làm vecto chỉ phương là
Khi đó ta có điểm có tọa độ (1; -10) thuộc đường thẳng AB.
Xác định hàm số nghịch biến trên
?
Xét hàm số ta có:
Nên hàm số nghịch biến trên
.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
?
Ta có:
Điều kiện cần
Điều kiện đủ:
Khi suy ra
là điểm cực đại của hàm số.
Khi suy ra
là điểm cực tiểu của hàm số.
Vậy giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có bốn nghiệm thuộc đoạn
là:

Đặt
Ta có:
Ta có đồ thị hình vẽ như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình đã cho có 4 nghiệm thuộc đoạn khi phương trình (*) có hai nghiệm
Cho hàm số
xác định và liên tục trên mỗi khoảng
và
và có bảng biến thiên như sau:

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình
có hai nghiệm phân biệt?
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng
và đồ thị hàm số
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, dựa vào bảng biến thiên ta thấy
Vậy tập hợp các giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Cho hàm số y = f’(x) như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
có đúng 11 điểm cực trị?

Hàm số đạt cực trị tại
Xét hàm số
Bảng biến thiên của hàm số suy ra chỉ có phương trình
cho ta nghiệm bội lẻ.
Nếu
=> Số điểm cực trị u là 1
=> Số nghiệm bội lẻ của phương trình u = 4 tối đa 2 nghiệm bội lẻ (Không thỏa yêu cầu)
Khi m > 0 => Số điểm cực trị u là 5 ta có bảng biến thiên của hàm số

Áp dụng công thức:
Số điểm cực trị của hàm số f(u) = số nghiệm bội lẻ của phương trình (u = 4) + số điểm cực trị của u
=> . Kết hợp với điều kiện
=> Có 29 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
bằng
Ta có:
;
.
.
Cho hàm số | ![]() |
Từ đồ thị hàm số ta có nhận xét như sau:
Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị (C)
=>
Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C)
=>
Điểm có tọa độ (0; -1) thuộc đồ thị hàm số (C)
=> y(0) = -1 =>
=>
Cho hàm số
xác định và liên tục trên các khoảng
và
có bảng biến thiên như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì nên
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì nên
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 9] và
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
bằng:
Ta có:
(đúng do
)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
Đặt . Xét hàm số
trên đoạn [1; 3]
Do
Ta có bảng biến thiên

Suy ra khi và chỉ khi
Cho hàm số
có đồ thị hàm số như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây sai?
Giá trị cực đại của hàm số là suy ra mệnh đề sai là: “Giá trị cực đại của hàm số là
.”
Với giá trị nào của tham số
để đồ thị hàm số
đi qua điểm
?
Thay tọa độ điểm vào
ta được:
Vậy giá trị m cần tìm là .
Cho hàm số đa thức bậc bốn
. Đồ thị hàm số
được biểu thị trong hình vẽ sau:

Hàm số
nghịch biến trong khoảng nào?
Đặt . Ta có bảng xét dấu của
được mô tả lại như sau:
Từ đó suy ra bảng xét dấu của
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng
.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số
có nhiều nhất bao nhiêu tiệm cận đứng:
Điều kiện
Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng
thì phải có nghiệm.
Từ bảng biến thiên của hàm số y = f’(x) suy ra phương trình f’(x) = 0 có đúng hai nghiệm là với
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau:

=> Phương trình y = f(x) có nhiều nhất ba nghiệm phân biệt
Vậy đồ thị hàm số có nhiều nhất ba đường tiệm cận đứng.
Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?
Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?
Cho hàm số
. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
lần lượt là
. Khi đó
bằng:
Ta có:
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào đồng biến trên
?
Hàm số y = x – sinx có tập các định và
Nên hàm số luôn đồng biến trên
Cho hàm số
với
là tham số. Định điều kiện của tham số
để hàm số
có ba điểm cực trị?
Ta có:
Để hàm số có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số
có đúng một cực trị nằm bên phải trục tung => phương trình (*) có 1 nghiệm dương => phương trình (*) có hai nghiệm dương
thỏa mãn
Hàm số
có đạo hàm
, với
. Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Ta có:
Suy ra có
nghiệm bội lẻ và hệ số
nên có
cực tiểu.
Số tiệm cận của hàm số
là:
Tập xác định:
Khi đó
=> Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang
Mặt khác
=> Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.
Cho đồ thị hàm số sau:

Xác định hàm số tương ứng với đồ thị đã cho?
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy đồ thị này là đồ thị hàm số bậc có hệ số
nên hàm số tương ứng là
.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau:

Hỏi hàm số
đồng biến trên khoảng nào?
Hàm số có
Từ bảng biến thiên của hàm số ta có bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trong khoảng
.
Cho đồ thị hàm số có đồ thị như hình vẽ:

Chọn khẳng định đúng?
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là: và tiệm cận ngang là
ta có:
=>
Đồ thị hàm số cắt Ox tại , cắt Oy tại
=>
Với
Với