Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con xúc xắc bằng 7?
Ta có:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố “tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con xúc xắc bằng “.
Vậy .
Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để cả hai lần xuất hiện mặt 6 chấm.
* Số phần tử của không gian mẫu là: .
* Gọi ”Cả hai lần xuất hiện mặt sáu chấm”. Số phần tử của biến cố
là
.
* Xác suất của biến cố là
.
Gieo một đồng tiền liên tiếp 
lần. Số phần tử của không gian mẫu là bao nhiêu?
.
(lần 1 có 2 khả năng xảy ra - lần 2 có 2 khả năng xảy ra).
Một nhóm 18 học sinh gồm 10 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 5 học sinh. Tính xác suất để trong 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ?
Số phần tử không gian mẫu
Các trường hợp thỏa mãn điều kiện bài toán:
TH1: Chọn được 3 nam và 2 nữ: cách chọn
TH2: Chọn được 4 nam và 1 nữ: cách chọn
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “5 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ” là: cách
Vậy xác suất của biến cố A là:
Một lớp học có 30 học sinh gồm có nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là . Tính số học sinh nữ của lớp.
Gọi số học sinh nữ là . Suy ra số học sinh nam là
.
Chọn 3 học sinh từ 30 học sinh, không gian mẫu là: .
Gọi A là biến cố "Chọn được 2 nam và 1 nữ". Suy ra .
Theo đề bài: .
Vậy có 14 học sinh nữ.
Xét một phép thử T và không gian mẫu là . Giả sử C là một biến cố liên quan đến phép thử. Xác suất của biến cố C là:
Công thức đúng là: .
Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc cân đối đồng chất lần. Xác suất mà số chấm của hai lần gieo là như nhau là bao nhiêu?
Gọi là biến cố “Số chấm trong hai lần gieo là bằng nhau”.
.
,
.
Vậy .
Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ trong hộp chứa 10 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh. Xác suất để ba quả cầu được chọn đều là màu xanh bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố lấy được 3 quả màu xanh
Số phần tử của biến cố A là:
Vậy xác suất của biến cố A là:
Trong các thí nghiệm sau thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên:
Theo định nghĩa ta có phép thử ngẫu nhiên là những phép thử mà ta không thể đoán trước kết quả của nó, mặc dù đã biết được tập hợp tất cả các kết quả của phép thử đó
Đáp án "Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất cả bao nhiêu viên bi." không phải phép thử vì ta có thể biết chắc chắn kết quả chỉ có thể là 1 số cụ thể là tổng số bi đỏ và xanh.
Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố: “Hiệu số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 1”.
Ta có:
Gọi A là biến cố “Hiệu số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 1”
Vậy
Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất 6 mặt và quan sát số chấm xuấ hiện trên con xúc xắc. Xác suất của biến cố: “Số chấm xuất hiện trên mặt xúc xắc là 5” bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên mặt xúc xắc là 5”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Kí hiệu nào sau đây là kí hiệu của biến cố chắc chắn?
Kí hiệu biến cố chắc chắn là Ω.
Xét phép thử tung con súc sắc 6 mặt hai lần. Xác định số phần tử của không gian mẫu.
Không gian mẫu gồm các bộ , trong đó
.
nhận 6 giá trị,
cũng nhận 6 giá trị nên có
bộ
.
Vậy và
.
Một chiếc hộp đựng 5 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số ghi trên hai thẻ đều là số lẻ”. Tính số phần tử của biến cố A?
Số phần tử của biến cố A là:
Trong chiếc túi du lịch của anh X gồm 3 hộp thịt, 2 hộp cam và 3 hộp cơm. Vì một vài lí do mà những chiếc hộp đều bị mất nhãn. Anh X chọn ngẫu nhiên 3 hộp. Tính xác suất để 3 hộp có đủ 3 loại thực phẩm?
Chọn ngẫu nhiên 3 hộp từ 8 hộp ta có
Để chọn được một hộp thịt; một hộp quả và 1 hộp sữa ta có số cách chọn là:
Vậy xác suất cần tìm là: .
Đạt và Phong tham gia chơi trò một trò chơi đối kháng, thỏa thuận rằng ai thắng 5 ván trước là thắng chung cuộc và được hưởng toàn bộ số tiền thưởng của chương trình (không có ván nào hòa). Tuy nhiên khi Đạt thắng được 4 ván và Phong thắng được 2 ván rồi thì xảy ra sự cố kĩ thuật và chương trình buộc phải dừng lại. Biết rằng giới chuyên môn đánh giá Phong và Đạt ngang tài ngang sức. Hỏi phải chia số tiền thưởng như thế nào cho hợp lý (dựa trên quan điểm tiền thưởng tỉ lệ thuận với xác suất thắng cuộc của mỗi người).
Phân tích: Đề bài cho các điều kiện khá dài dòng, ta cần đưa chúng về dạng ngắn gọn dễ hiểu hơn.
+) “Biết rằng giới chuyên môn đánh giá Phong và Đạt ngang tài ngang sức”: xác suất để Phong và Đạt thắng trong một ván là như nhau và bằng .
+) “Khi Đạt thắng được 4 ván và Phong thắng được 2 ván rồi”: nghĩa là Đạt chỉ cần thắng một ván nữa là được 5 ván, còn Phong phải thắng 3 ván nữa mới đạt được.
Để xác định xác suất thắng chung cuộc của Đạt và Phong ta tiếp tục chơi thêm các ván “giả tưởng”. Để Phong có thể thắng chung cuộc thì anh phải thắng Đạt 3 ván liên tiếp (vì Đạt chỉ còn một ván nữa là thắng).
Như vậy xác suất thắng cuộc của Phong là: .
Xác suất thắng cuộc của Đạt là .
Vậy Tỉ lệ chia tiền phù hợp là .
Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thư vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì.
Số phần tử không gian mẫu là: .
Gọi là biến cố “Có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì”.
Ta xét các trường hợp sau:
Nếu lá thứ nhất bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất cách.
Nếu lá thứ hai bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất cách.
Nếu lá thứ ba bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất cách.
Không thể có trường hợp hai lá thư bỏ đúng và một lá thư bỏ sai.
Cả ba lá thư đều được bỏ đúng có duy nhất cách.
.
Vậy xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì là: .
Cách 2:
Gọi là biến cố “Không có lá thư nào được bỏ đúng phong bì”.
.
Có 5 tấm bìa được đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên ba tấm. Xác suất để tổng các số ghi trên ba tấm bìa chia hết cho 3 bằng bao nhiều?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố tổng các số ghi trên ba tấm bìa chia hết cho 3.
Các số ghi trên tấm bia chia thành 3 nhóm:
Nhóm 1: Các số chia hết cho 3 ta có 3 số
Nhóm 2: Các số chia hết cho 3 dư 1 ta có: 4 số
Nhóm 3: Các số chia hết cho 3 dư 2 ta có: 5 số
Vì chỉ có 5 số như trên nên muốn tổng ba số là số chia hết cho 3 thì 3 số lấy ra sẽ có 1 số ở nhóm 1, 1 số ở nhóm 2, một số ở nhóm 3.
Khi đó:
Suy ra xác suất của biến cố cần tìm là
Gọi là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp . Xác suất để hai số được ó chữ số hàng đơn vị giống nhau là bao nhiêu?
Số phần tử của tập là
.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập
.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
Số được ó chữ số hàng đơn vị giống nhau
. Ta mô tả không gian của biến cố
nhưu sau
● Có cách hữ số hàng đơn vị (chọn từ các chữ số
).
● Có cách chọn hai chữ số hàng chục (chọn từ các chữ số
).
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Chọn ngẫu nhiên một số trong 20 số nguyên dương đầu tiên. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 3 là:
Chọn ngẫu nhiên một số trong 20 số nguyên dương đầu tiên có 20 cách chọn
Gọi A là biến cố “chọn được số chia hết cho 3”
Vậy .
Một tổ học sinh lớp 10A có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong tổ đó để tham gia đội tình nguyện. Tính xác suất để bốn học sinh được chọn đều là nữ?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “Bốn học sinh được chọn đều là nữ”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố: “Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt sấp”?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt sấp”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Gieo một con xúc xắc hai lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố “Tổng số chấm trong hai lần gieo bằng 6”.
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trong hai lần gieo bằng 6”.
Tập hợp các kết quả của biến cố A là:
Suy ra
Vậy xác suất của biến cố A là:
Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Biến cố nào là biến cố chắc chắn?
Do xúc xắc có 6 mặt có số chấm từ 1 đến 6 nên biến cố chắc chắn là “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm không vượt quá 6”.
Một homestay có 6 phòng đơn. Trên trang web của homestay có 6 nam và 4 nữ đặt phòng. Người chủ homestay chọn ngẫu nhiên 6 người cho nhận phòng. Tính xác suất để cả 6 người được chọn là nam?
Số phần tử không gian mẫu là:
Chọn ngẫu nhiên 6 người đều là nam ta có: cách chọn
Vậy xác suất để chọn 6 người đều là nam là: .
Xét phép thử gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 6 mặt hai lần. Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”. Biến cố A gồm bao nhiêu kết quả?
Gọi cặp số là số chấm xuất hiện ở hai lần gieo.
Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”.
Các kết quả của biến cố A là: .
Suy ra .
Có tấm thẻ được đánh số từ đến . Chọn ngẫu nhiên ra tấm thẻ. Hãy tính xác suất để có tấm thẻ mang số lẻ, tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng tấm thẻ mang số chia hết cho .
Không gian mẫu là cách chọn tấm thể trong
tấm thẻ.
Suy ra số phần tử của không mẫu là .
Gọi là biến cố
tấm thẻ mang số lẻ,
tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng
tấm thẻ mang số chia hết cho
. Để tìm số phần tử của
ta làm như sau
● Đầu tiên chọn tấm thẻ trong
tấm thẻ mang số lẻ, có
cách.
● Tiếp theo chọn tấm thẻ trong
tấm thẻ mang số chẵn (không chia hết cho
), có
cách.
● Sau cùng ta chọn trong
tấm thẻ mang số chia hết cho
, có
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Một hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong các quả cầu còn lại. Tính xác suất để kết quả của hai lần lấy được 2 quả cầu cùng màu.
Không gian mẫu là lấy 2 quả cầu trong hộp một cách lần lượt ngẫu nhiên.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi biến cố
2 quả cầu được lấy cùng màu
. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố
như sau:
TH1: Lần thứ nhất lấy quả màu trắng và lần thứ hai cũng màu trắng.
Do đó trường hợp này có cách.
TH2: Lần thứ nhất lấy quả màu đen và lần thứ hai cũng màu đen.
Do đó trường hợp này có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính
Cho đa giác đều có đỉnh. Chọn ngẫu nhiên bốn đỉnh. Tính xác suất chọn ra được hình chữ nhật có các đỉnh là trong đỉnh của đa giác đó?
Số phần tử của không gian mẫu là:
Ta vẽ đường tròn ngoại tiếp đa giác đều 24 đỉnh. Vẽ một đường kính của đường tròn này. Khi đó 2 nửa đường tròn đều chứa 12 đình.
Với mỗi đỉnh thuộc nửa đường tròn thứ nhất ta đều có 1 đỉnh đối xứng với nó qua đường kính và thuộc nửa đường tròn còn lại.
Như vậy cứ 2 đỉnh thuộc đường tròn thứ nhất ta xác định được hai đỉnh đối xứng với nó qua đường kính và thuộc nửa đường tròn còn lại, bốn đỉnh này tạo thành hình chữ nhật.
Vậy số hình chữ nhật tạo thành từ 4 đa giác đã cho là
Xác suất cần tìm là: .
Một hộp chứa 5 viên bi trắng, 10 viên bi xanh và 15 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 7 viên bi. Xác suất để trong số 7 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu đỏ?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố để trong 7 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu đỏ
là biến cố để trong 7 viên bi được lấy ra có số viên bi nhỏ hơn 2.
TH1: 7 viên bi trong đó có 1 viên bi đỏ ta có:
TH2: 7 viên bi trong đó có không có viên bi đỏ ta có:
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Một hộp chứa 2 bi xanh, 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất để có ít nhất một bi xanh trong 3 viên.
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố lấy ít nhất 1 bi xanh.
Chọn 1 bi xanh, 2 bi đỏ, có (cách).
Chọn 2 bi xanh, 1 bi đỏ, có (cách).
Suy ra .
Xác suất cần tìm là .
Cho năm đoạn thẳng có độ dài: , , ,, . Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng đó. Tính xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra là ba cạnh của một tam giác.
* Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng đã cho có cách.
Suy ra .
* Gọi là biến cố "lấy được ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác".
Các trường hợp ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác là:
(thỏa mãn: hiệu hai cạnh bé hơn cạnh còn lại, tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại).
Do đó Vậy sác xuất cần tìm là
.
Một hộp có 3 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để lấy được 2 viên màu vàng.
Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ 12 viên bi, suy ra .
Gọi A là biến cố "lấy được 2 viên bi vàng", suy ra .
Vậy xác suất: .
Cho là một biến cố trong phép thử . Xác suất của biến cố đối liên hệ với xác suất của biến cố được xác định theo công thức nào sau đây?
Xác suất của biến cố đối liên hệ với xác suất của biến cố
theo công thức:
Hai cậu bé cùng bắn bi vào lỗ. Xác suất người thứ nhất bắn trúng vào lỗ là 85%, xác suất người thứ hai bắn trúng vào lỗ là 70%. Hỏi xác suất để cả hai người cùng bắn trúng vào lỗ:
Xác suất người thứ nhất bắn trúng lỗ: 0,85
Xác suất người thứ hai bắn trúng bia: 0,7
Xác suất để cả hai người cùng bắn trúng bia: 0,85.0,7 = 0,595 = 59,5%
Gieo ngẫu nhiên đồng tiền thì không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu biến cố:
Mô tả không gian mẫu ta có: . (4 phần tử)
Bạn Xuân là một trong nhóm 15 người. chọn 3 người để lập một ban đại diện. Xác suất đúng đến phần mười nghìn để Xuân là một trong 3 người được chọn là bao nhiêu?
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Xuân là một trong ba người được chọn.
Có cách chọn Xuân trong nhóm 15 người.
Có cách chọn 2 người trong 14 người còn lại.
Suy ra .
Xác suất cần tìm là .
