Cho một phép thử 
có không gian mẫu . Giả thiết rằng các kết quả có thể của là đồng khả năng. Khi đó nếu là một biến cố liên quan đến phép thử thì xác suất của (kí hiệu là ) được cho bởi công thức nào sau đây? Biết rằng kí hiệu số phần tử của không gian mẫu và tập E lần lượt là.
Nếu E là một biến cố có liên quan đến phép thử T thì xác suất của biến cố E được xác định bởi công thức .
Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ trong hộp chứa 10 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh. Xác suất để ba quả cầu được chọn đều là màu xanh bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố lấy được 3 quả màu xanh
Số phần tử của biến cố A là:
Vậy xác suất của biến cố A là:
Trong một hộp chứa một số bi, mỗi bi mang một số từ 1 đến 21 và không có hai bi nào mang số giống nhau. Chọn ngẫu nhiên từ hộp đó ra 2 bi. Xác suất hai bi được chọn đều mang số lẻ là:
Số cách chọn 2 bi từ 21 bi là:
Từ số 1 đến 21 có 11 số lẻ nên số cách chọn được 2 viên bi đều mang số lẻ là:
Vậy xác suất để hai viên bi đều ghi số lẻ là:
Gieo đồng tiền hai lần. Biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng lần có bao nhiêu phần tử?
Liệt kê ta có: . (2 phần tử)
Gieo một đồng tiền hai lần. Xác xuất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần là:
Gieo một đồng xu 2 lần, số kết quả của không gian mẫu là
Các kết quả thỏa mãn là: SN, NS, SS. (3 kết quả).
Vậy .
Cho A là biến cố liên quan đến phép thử có không gian mẫu . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
Theo định nghĩa xác suất cổ điển, cho phép thử T có không gian mẫu . Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khả năng, khi đó cho A là biến cố có liên quan đến phép thử có không gian mẫu
. Thì xác suất của biến cố A được tính bởi công thức
,
,
, trong đó
tương ứng là số phần tử của biến cố A và của không gian mẫu.
Vậy khẳng định sai là: .
Một hộp đựng 10 thẻ, đánh số từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Gọi A là biến cố để tổng số của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8. Số phần tử của biến cố A là:
Các cặp số thỏa mãn tổng số ba thẻ được chọn không vượt quá 8 là: {1; 2; 3}, {1; 2; 4}, {1; 2; 5}, {1; 3; 4}.
Vậy số phần tử của A là 4 phần tử.
Hai hộp chứa các thẻ được đánh số. Hộp thứ nhất chứa 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10; hộp thứ hai chứa 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một thẻ và nhân các số trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích thu được là một số chẵn?
Hộp thứ nhất chứa 10 thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 10 gồm 5 thẻ mang số lẻ và 5 thẻ mang số chẵn.
Hộp thứ hai chứa 9 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 9 gồm 5 thẻ số lẻ và 4 thẻ số chẵn.
Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp 1 thẻ thì số cách chọn là:
Gọi biến cố A: “Tích thu được là số chẵn” khi đó ta xét 3 trường hợp sau:
TH1: Hộp thứ nhất chọn được thẻ chẵn và hộp thứ hai chọn được thẻ chẵn có: 5.4 = 20 cách.
TH2: Hộp thứ nhất chọn được thẻ chẵn và hộp thứ hai chọn được thẻ lẻ có: 5.5 = 25 cách.
TH3: Hộp thứ nhất chọn được thẻ lẻ và hộp thứ hai chọn được thẻ chẵn có: 5.4 = 20 cách.
Theo quy tắc cộng ta có:
Vậy xác suất cần tìm là:
Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Số kết quả thuận lợi cho biến cố B: “4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh” là:
Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 4 viên bi trong 6 + 8 + 10 = 24 viên bi có số cách là:
Số phần tử của không gian mẫu là 10 626.
Lấy 4 viên bi trong 16 viên bi đỏ, trắng có cách. Như vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố “Lấy 4 viên bi không có màu xanh” là
=> Số kết quả thuận lợi cho biến cố B: “4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh” là:
Vậy có 8 806 kết quả thuận lợi cho biến cố B.
Đội tuyển của một lớp có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Trong buổi dự lễ trao thưởng, các học sinh được xếp thành 1 hàng ngang. Xác suất để xếp cho 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau là:
12 vị trí là hoán vị của 12 học sinh đó.
Do đó số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 12!.
Gọi A là biến cố “Xếp 2 bạn nữ không đứng cạnh nhau”.
Chia việc xếp thành 2 công đoạn:
Công đoạn 1: Xếp 8 bạn nam vào 8 chỗ có 8! cách.
Công đoạn 2: Khi đó 8 bạn nam tạo ra 9 khe trống, xếp 4 bạn nữ vào 9 khe trống đó có cách.
Theo quy tắc nhân, xếp 12 bạn mà 2 bạn nữ không đứng cạnh nhau có: 8!. cách.
=>
Xác suất biến cố A là:
Trong lớp 10 A có 18 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh kiểm tra bài cũ. Xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng bao nhiêu?
Ta có:
Gọi A là biến cố 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ
Suy ra là biến cố 4 học sinh được chọn chỉ có nam hoặc chỉ có nữ
4 học sinh được chọn đều là nam có cách
4 học sinh được chọn đều là nữ có cách
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố là:
Vậy
Một hộp chứa 2 bi xanh, 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất để có ít nhất một bi xanh trong 3 viên.
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố lấy ít nhất 1 bi xanh.
Chọn 1 bi xanh, 2 bi đỏ, có (cách).
Chọn 2 bi xanh, 1 bi đỏ, có (cách).
Suy ra .
Xác suất cần tìm là .
Gieo ngẫu nhiên đồng tiền thì không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu biến cố:
Mô tả không gian mẫu ta có: . (4 phần tử)
Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Xác suất của biến cố : "có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp" là bao nhiêu?
Chọn 2 trong 3 lần để xuất hiện mặt sấp có cách.
2 lần xuất hiện mặt sấp có xác suất mỗi lần là . Lần xuất hiện mặt ngửa có xác suất là
.
Vậy: .
Gieo đồng tiền hai lần. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần là bao nhiêu?
Số phần tử không gian mẫu:.
Biến cố xuất hiện mặt sấp ít nhất một lần: .
Suy ra .
Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con xúc xắc bằng 7?
Ta có:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố “tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con xúc xắc bằng “.
Vậy .
Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp gồm 6 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Tính xác suất để lấy được ba quả cùng màu?
Số phần tử của không gian mẫu
Gọi A là biến cố lấy được 3 quả cùng màu
TH1: Lấy được 3 quả màu trắng có: cách
TH2: Lấy được 3 quả màu đen có: cách
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Cho phép thử có không gian mẫu . Cặp biến cố không đối nhau là cặp nào trong các cặp dưới đây?
Cặp biến cố không đối nhau là và
do
và
.
Một hộp đèn có 12 bóng, trong đó có 4 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Xác suất luôn lấy được 1 bóng hỏng là:
Trong 3 bóng có 1 bóng hỏng
Ta có .
Gọi biến cố A : “Trong 3 bóng lấy ra có 1 bóng hỏng”.
Tính được .
Vậy .
Gieo hai đồng tiền một lần. Kí hiệu S, N lần lượt để chỉ đồng tiền lật sấp, lật ngửa. Mô tả không gian mẫu nào dưới đây là đúng?
Gieo hai đồng tiền một lần ta được không gian mẫu là:
Trong một chiếc hộp đựng 5 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ và 3 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Tính xác suất của biến cố “3 quả cầu có đủ ba màu”?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố chọn được 3 quả có đủ ba màu.
Số phần tử của biến cố A là:
Khi đó xác suất của biến cố A là:
Một homestay có 6 phòng đơn. Trên trang web của homestay có 6 nam và 4 nữ đặt phòng. Người chủ homestay chọn ngẫu nhiên 6 người cho nhận phòng. Tính xác suất để cả 6 người được chọn là nam?
Số phần tử không gian mẫu là:
Chọn ngẫu nhiên 6 người đều là nam ta có: cách chọn
Vậy xác suất để chọn 6 người đều là nam là: .
Tung một đồng xu hai lần liên tiếp. Không gian mẫu trong trò chơi trên là:
Ta có: Ω = {SS; SN; NS; NN}
Một hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong các quả cầu còn lại. Tính xác suất để kết quả của hai lần lấy được 2 quả cầu cùng màu.
Không gian mẫu là lấy 2 quả cầu trong hộp một cách lần lượt ngẫu nhiên.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi biến cố
2 quả cầu được lấy cùng màu
. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố
như sau:
TH1: Lần thứ nhất lấy quả màu trắng và lần thứ hai cũng màu trắng.
Do đó trường hợp này có cách.
TH2: Lần thứ nhất lấy quả màu đen và lần thứ hai cũng màu đen.
Do đó trường hợp này có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính
Từ một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 7 viên bi. Tính xác suất để lấy được ít nhất một viên bi vàng?
Số phần tử không gian mẫu:
Số phần tử biến cố lấy ngẫu nhiên 7 viên bi không có viên bi màu vàng là:
Vậy xác suất để lấy được ít nhất một viên bi vàng là:
Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm . Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. Xác suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật bằng bao nhiêu?
Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm ”
.
Gọi A là biến cố:” 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật”
Đa giác có 20 đỉnh sẽ có 10 đường chéo đi qua tâm mà cứ 2 đường chéo qua tâm sẽ có 1 hình chữ nhật nên số HCN là:
.
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố “Số chấm xuất hiện trong lần gieo không bé hơn 3”.
Số phần tử của không gian mẫu là:
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Số chấm xuất hiện trong lần gieo không bé hơn 3” là:
Xác suất của biến cố A là: .
Cho một đa giác đều có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi X là tập các tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác trên. Xác suất để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều bằng:
Số các tam giác bất kỳ là .
Số các tam giác đều là .
Có 18 cách chọn một đỉnh của đa giác, mỗi đỉnh có 8 cách chọn 2 đỉnh còn lại để được một tam giác cân.
Số các tam giác cân là: 18.8 = 144.
Số các tam giác cân không đều là: .
Xác suất cần tìm là .
Một lớp có 43 học sinh trong đó có 23 học sinh nữ và 20 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh. Xác suất để 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ gần nhất với kết quả nào dưới đây?
Số phần tử của không gian mẫu là:
Số cách chọn 5 học sinh chỉ có nam hoặc chỉ có nữ là:
Số cách chọn 5 học sinh có cả nam và nữ là:
Xác suất của biến cố 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ là:
Trong các thí nghiệm sau thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên?
Thí nghiệm không phải là phép thử ngẫu nhiên là: “Quan sát vận động viên chạy bộ xem được bao nhiêu ”.
Một hộp có bi đen, bi trắng. Chọn ngẫu nhiên bi. Tính xác suất bi được chọn có đủ hai màu.
Số phần tử không gian mẫu: .
(bốc 2 bi bất kì từ 9 bi trong hộp ).
Gọi : “hai bi được chọn có đủ hai màu”. Ta có:
.
( chọn 1 bi đen từ 5 bi đen – chọn 1 bi trắng từ 4 bi trắng ).
Khi đó: .
Một xạ thủ bắn bia. Biết rằng xác suất bắn trúng trong vòng 10 là 0,2; vòng 9 là 0,25 và vòng 8 là 0,15. Nếu trúng vòng k thì được k điểm. Giả sử xạ thủ đó bắn ba phát súng một cách độc lập. Xạ thủ đạt loại giỏi nếu anh ta đạt ít nhất 28 điểm. Xác suất để xạ thủ này đạt loại giỏi bằng là:
Gọi H là biến cố: “Xạ thủ bắn đạt loại giỏi”. A; B; C; D là các biến cố sau:
A: “Ba viên trúng vòng 10”;
B: “Hai viên trúng vòng 10 và một viên trúng vòng 9”;
C: “Một viên trúng vòng 10 và hai viên trúng vòng 9”;
D: “Hai viên trúng vòng 10 và hai viên trúng vòng 8”.
Các biến cố A; B; C; D là các biến cố xung khắc từng đôi một nên
.
Áp dụng quy tắc cộng mở rộng ta có:
.
Mà ;
;
.
Do đó .
Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp. Tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp chứa 18 viên bi. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
5 viên bi được ó đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng
. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố
là:
TH1: Chọn 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 3 bi xanh nên có cách.
TH2: Chọn 2 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh nên có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập . Chọn ngẫu nhiên hai số từ tập , tính xác suất để hai số được chọn đều chia hết cho 3?
Gọi B là biến cố chọn được hai số đều chia hết cho 3
Số các số tự nhiên có 3 chữ số được lập thành từ tập M là:
Khi đó số phần tử của không gian mẫu là:
Tập các số gồm 3 chữ số tạo thành các số chia hết cho 3 là:
Mỗi tập trên tạo thành số chia hết cho 3 nên ta có:
số chia hết cho 3
Khi đó
Vậy xác suất để chọn được hai số đều chia hết cho 3 từ tập S là:
Viết tập hợp Ω là không gian mẫu trong trò chơi tung đồng xu hai lần liên tiếp.
Ta có: Ω = {SS; SN; NS; NN}.
Tại khoa truyền nhiễm của bệnh viện A có 12 bác sĩ và tỉ lệ bác sĩ nam và bác sĩ nữ bằng nhau. Chọn ngẫu nhiên 6 bác sĩ trong khoa để lập đoàn kiểm tra truyền nhiễm trong khu vực B. Tính xác suất để 6 bác sĩ được chọn có số bác sĩ nam bằng số bác sĩ nữ?
Số phần tử không gian mẫu là:
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “6 bác sĩ được chọn có số bác sĩ nam bằng số bác sĩ nữ” là:
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Một hộp có 3 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ từ trong hộp. Không gian mẫu của phép thử đó là:
Mô tả không gian mẫu: .
Gieo đồng tiền lần cân đối và đồng chất. Xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là bao nhiêu?
Phép thử: Gieo đồng tiền lần cân đối và đồng chất.
Ta có .
Biến cố : Được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp.
: Tất cả đều là mặt ngửa.
.
.
.
Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số là bao nhiêu?
Không gian mẫu là số sách lấy tùy ý 2 viên từ hộp chứa 12 viên bi.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số
.
● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi xanh và 1 bi đỏ là cách (do số bi đỏ ít hơn nên ta lấy trước, có 4 cách lấy bi đỏ. Tiếp tục lấy bi xanh nhưng không lấy viên trùng với số của bi đỏ nên có 4 cách lấy bi xanh).
● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi xanh và 1 bi vàng là cách.
● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi đỏ và 1 bi vàng là cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Gọi là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp . Xác suất để hai số được ó chữ số hàng đơn vị giống nhau là bao nhiêu?
Số phần tử của tập là
.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập
.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
Số được ó chữ số hàng đơn vị giống nhau
. Ta mô tả không gian của biến cố
nhưu sau
● Có cách hữ số hàng đơn vị (chọn từ các chữ số
).
● Có cách chọn hai chữ số hàng chục (chọn từ các chữ số
).
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
