Xác suất của biến cố 
kí hiệu là . Biến cố là biến cố đối của A, có xác suất là
Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
Phát biểu sai là: "Xác suất của mỗi biến cố đo lường xảy ra của biến cố đó. Biến cố có khả năng xảy ra càng cao thì xác suất của nó càng xa 1."
Cho một đa giác đều có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi X là tập các tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác trên. Xác suất để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều bằng:
Số các tam giác bất kỳ là .
Số các tam giác đều là .
Có 18 cách chọn một đỉnh của đa giác, mỗi đỉnh có 8 cách chọn 2 đỉnh còn lại để được một tam giác cân.
Số các tam giác cân là: 18.8 = 144.
Số các tam giác cân không đều là: .
Xác suất cần tìm là .
Xét phép thử tung con súc sắc 6 mặt hai lần. Xác định số phần tử của không gian mẫu.
Không gian mẫu gồm các bộ , trong đó
.
nhận 6 giá trị,
cũng nhận 6 giá trị nên có
bộ
.
Vậy và
.
Bác Hoa cài đặt mật khẩu 4 chữ số cho điện thoại. Bác đã quên mật khẩu chính xác và chỉ nhớ các chữ số đó là đôi một khác nhau. Xác suất để bác Hoa bấm đúng mật khẩu cho điện thoại trong một lần là:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố “Bác A bấm đúng mật khẩu điện thoại trong một lần”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên?
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta chưa biết được kết quả là gì.
Đáp án “Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất cả bao nhiêu viên bi.” không phải là phép thử vì ta biết chắc chắn kết quả chỉ có thể là một số cụ thể số bi xanh và số bi đỏ.
Chọn ngẫu nhiên một gia đình có 4 người con và quan sát giới tính của bốn người con này. Xác suất của biến cố hai con đầu là con trai bằng:
Ta có:
Gọi A là biến cố “Hai con đầu là con trai”
Vậy .
Một hộp chứa 10 tấm thẻ được đánh số lần lượt từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố: “Tấm thẻ được rút ra ghi số chẵn”?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “Tấm thẻ được rút ra ghi số chẵn”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Cho tập hợp . Gọi là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập . Chọn ngẫu nhiên hai số từ tập , tính xác suất để hai số được chọn đều chia hết cho 3?
Gọi B là biến cố chọn được hai số đều chia hết cho 3
Số các số tự nhiên có 3 chữ số được lập thành từ tập M là:
Khi đó số phần tử của không gian mẫu là:
Tập các số gồm 3 chữ số tạo thành các số chia hết cho 3 là:
Mỗi tập trên tạo thành số chia hết cho 3 nên ta có:
số chia hết cho 3
Khi đó
Vậy xác suất để chọn được hai số đều chia hết cho 3 từ tập S là:
Một người chọn ngẫu nhiên đồng thời 4 quân bài từ bộ tú lơ khơ 52 quân bài. Tính xác suất của biến cố: “Cả 4 quân bài đều là Át”?
Số phần tử không gian mẫu:
Chỉ có đúng 1 cách để lấy được cả 4 quân bài đều là Át nên xác suất cần tìm là:
Trong các thí nghiệm sau thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên:
"Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm có tất bao nhiêu viên bi". Đây không phải là phép thử ngẫu nhiên.
Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Xác suất để 3 quyển được lấy ra có ít nhất 1 quyển là toán là bao nhiêu?
Số cách lấy 3 quyển sách bất kì là .
Số cách lấy được 3 quyển lý là .
Số cách lấy được 2 quyển lý, 1 quyển hóa là .
Số cách lấy được 1 quyển lý, 2 quyển hóa là .
Số cách lấy 3 quyển sách mà không có sách toán là .
Suy ra số cách lấy 3 quyển sách mà có ít nhất 1 quyển sách toán là 74 cách.
Suy ra xác suất cần tìm là .
Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thư vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì.
Số phần tử không gian mẫu là: .
Gọi là biến cố “Có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì”.
Ta xét các trường hợp sau:
Nếu lá thứ nhất bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất cách.
Nếu lá thứ hai bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất cách.
Nếu lá thứ ba bỏ đúng phong bì, hai lá còn lại để sai thì có duy nhất cách.
Không thể có trường hợp hai lá thư bỏ đúng và một lá thư bỏ sai.
Cả ba lá thư đều được bỏ đúng có duy nhất cách.
.
Vậy xác suất để có ít nhất một lá thư được bỏ đúng phong bì là: .
Cách 2:
Gọi là biến cố “Không có lá thư nào được bỏ đúng phong bì”.
.
Một lớp học có 30 học sinh gồm có nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là . Tính số học sinh nữ của lớp.
Gọi số học sinh nữ là . Suy ra số học sinh nam là
.
Chọn 3 học sinh từ 30 học sinh, không gian mẫu là: .
Gọi A là biến cố "Chọn được 2 nam và 1 nữ". Suy ra .
Theo đề bài: .
Vậy có 14 học sinh nữ.
Một cái hộp chứa viên bi đỏ và viên bi xanh. Lấy lần lượt viên bi từ hộp này. Xác suất để viên bi được lấy lần thứ là bi xanh là:
Ta có: Số phần tử của không gian mẫu .
Gọi là biến cố: “ Viên bi được lấy lần thứ
là bi xanh”.
- Trường hợp 1: Lần 1 lấy viên đỏ, lần 2 lấy viên xanh: Có cách chọn.
- Trường hợp 2: Lần 1 lấy viên xanh, lần 2 lấy viên xanh: Có cách chọn.
.
Vậy .
Một bảng vuông gồm ô vuông đơn vị. Chọn ngẫu nhiên một ô hình chữ nhật. Xác suất để ô được chọn là hình vuông là bao nhiêu? (trong kết quả lấy 4 chữ số ở phần thập phân).
Để có một ô hình chữ nhật ta cần chọn 2 đường dọc trong tổng số 101 đường dọc, và hai đường ngang trong tổng số 101 đường ngang. Vậy có tất cả: ô hình chữ nhật.
Ta gọi phần mặt phẳng nằm giữa hai đường dọc hoặc hai đường ngang là một dải.
Một hình vuông bất kì chính là giao của hai dải có cùng độ rộng (một dải dọc, một dải ngang)
Số dải có độ rộng là:
Vậy có tất cả: hình vuông.
Xác suất cần tìm là:
Một hộp chứa 5 viên bi trắng, 10 viên bi xanh và 15 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 7 viên bi. Xác suất để trong số 7 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu đỏ?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố để trong 7 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu đỏ
là biến cố để trong 7 viên bi được lấy ra có số viên bi nhỏ hơn 2.
TH1: 7 viên bi trong đó có 1 viên bi đỏ ta có:
TH2: 7 viên bi trong đó có không có viên bi đỏ ta có:
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Từ một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 7 viên bi. Tính xác suất để lấy được ít nhất một viên bi vàng?
Số phần tử không gian mẫu:
Số phần tử biến cố lấy ngẫu nhiên 7 viên bi không có viên bi màu vàng là:
Vậy xác suất để lấy được ít nhất một viên bi vàng là:
Trong các thí nghiệm sau thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên?
Thí nghiệm không phải là phép thử ngẫu nhiên là: “Quan sát vận động viên chạy bộ xem được bao nhiêu ”.
Cho và là hai biến cố đối nhau. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
Mệnh đề đúng là:
Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để sau hai lần gieo được số chấm giống nhau.
Gieo 2 con xúc xắc, số phần tử của không gian mẫu: .
Các kết quả thỏa mãn là: (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6). Có 6 kết quả.
Vậy xác suất là: .
Một chiếc hộp đựng 7 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đen, 5 viên bi màu đỏ, 4 viên bi màu trắng. Chọn ngẫu nhiên ra 4 viên bi, tính xác suất để lấy được ít nhất 2 viên bi cùng màu.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 22 viên bi đã cho.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
Lấy được 4 viên bi trong đó có ít nhất hai viên bi cùng màu
. Để tìm số phần tử của
, ta đi tìm số phần tử của biến cố
, với biến cố
là lấy được 4 viên bi trong đó không có hai viên bi nào cùng màu.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Gieo ngẫu nhiên một đồng tiên cân đối, đồng chất 3 lần liên tiếp. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:
Ta có:
Gọi A là biến cố “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”
Vậy
Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Xác suất của biến cố : "ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp" là bao nhiêu?
Ta có: : "không có lần nào xuất hiện mặt sấp" hay cả 3 lần đều mặt ngửa.
Theo quy tắc nhân xác suất: .
Vậy: .
Gieo đồng tiền hai lần. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần là bao nhiêu?
Số phần tử không gian mẫu:.
Biến cố xuất hiện mặt sấp ít nhất một lần: .
Suy ra .
Trong một hộp chứa một số bi, mỗi bi mang một số từ 1 đến 21 và không có hai bi nào mang số giống nhau. Chọn ngẫu nhiên từ hộp đó ra 2 bi. Xác suất hai bi được chọn đều mang số lẻ là:
Số cách chọn 2 bi từ 21 bi là:
Từ số 1 đến 21 có 11 số lẻ nên số cách chọn được 2 viên bi đều mang số lẻ là:
Vậy xác suất để hai viên bi đều ghi số lẻ là:
Có bốn hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người và 2 toa còn lại không có người?
Vì mỗi hành khách có 4 cách chọn toa tàu nên:
Để xếp theo yêu cầu của bài toán ta thực hiện các bước liên tiếp như sau:
Chọn 1 toa để xếp 3 người ta có:
Chọn 3 người để xếp vào toa đó là:
Chọn 1 toa từ 3 toa còn lại để xếp người còn lại vào:
Theo quy tắc nhân ta có:
Vậy xác suất cần tìm là:
Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Xác suất của biến cố : "kết quả của 3 lần gieo là như nhau" là bao nhiêu?
Lần đầu có thể ra tùy ý nên xác suất là 1. Lần 2 và 3 phải giống lần 1 xác suất là .
Theo quy tắc nhân xác suất: .
Xác suất của biến cố A, kí hiệu là:
Xác suất của biến cố A, kí hiệu là: P(A).
Giả sử tập hợp là tập hợp các số có 4 chữ số được tạo thành từ tập hợp . Lấy ngẫu nhiên một số bất kì từ tập . Xác suất để số được chọn có đúng hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ:
Mỗi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ các số của tập C là một chỉnh hợp chập 4 của 9
Số cách lấy một bộ có 4 chữ số gồm 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ được tập từ C là:
Mỗi bộ như vậy sẽ lập được số
Suy ra
Vậy xác suất của biến cố B là:
Kí hiệu nào sau đây là kí hiệu của biến cố chắc chắn?
Kí hiệu biến cố chắc chắn là Ω.
Một hộp chứa: bi xanh, bi đỏ và bi vàng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Gọi A là biến cố: “Lấy được viên bi đỏ”. Biến cố đối của biến cố A là:
Biến cố đối của biến cố A là “Lấy được viên bi xanh hoặc bi vàng”.
Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên bước. Xác suất sau bước quân vua trở về ô xuất phát là bao nhiêu?
Tại mọi ô đang đứng, ông vua có khả năng lựa chọn để bước sang ô bên cạnh.
Do đó không gian mẫu .
Gọi là biến cố “sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát”. Sau ba bước quân vua muốn quay lại ô ban đầu khi ông vua đi theo đường khép kín tam giá
Chia hai trường hợp:
+ Từ ô ban đầu đi đến ô đen, đến đây có cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu.
+ Từ ô ban đầu đi đến ô trắng, đến đây có cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu.
Do số phần tử của biến cố A là .
Vậy xác suất .
Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Xác suất của biến cố : "lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp" là bao nhiêu?
Xác suất để lần đầu xuất hiện mặt sấp là . Lần 2 và 3 thì tùy ý nên xác suất là 1.
Theo quy tắc nhân xác suất: .
Tung một đồng xu hai lần liên tiếp. Không gian mẫu trong trò chơi trên là:
Ta có: Ω = {SS; SN; NS; NN}
Có 5 tấm bìa được đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên ba tấm. Xác suất để tổng các số ghi trên ba tấm bìa chia hết cho 3 bằng bao nhiều?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố tổng các số ghi trên ba tấm bìa chia hết cho 3.
Các số ghi trên tấm bia chia thành 3 nhóm:
Nhóm 1: Các số chia hết cho 3 ta có 3 số
Nhóm 2: Các số chia hết cho 3 dư 1 ta có: 4 số
Nhóm 3: Các số chia hết cho 3 dư 2 ta có: 5 số
Vì chỉ có 5 số như trên nên muốn tổng ba số là số chia hết cho 3 thì 3 số lấy ra sẽ có 1 số ở nhóm 1, 1 số ở nhóm 2, một số ở nhóm 3.
Khi đó:
Suy ra xác suất của biến cố cần tìm là
Một hộp có 5 quả cầu được đánh số từ 1 đến 5 (hai quả cầu khác nhau thì đánh số khác nhau). Lấy ngẫu nhiên liên tiếp 2 quả cầu. Tính xác suất của biến cố B: “Tích các số trên hai quả cầu là số chẵn”?
Ta có không gian mẫu:
Biểu diễn biến cố B là:
Vậy xác suất của biến cố B cần tìm là:
Một tổ có học sinh nam và học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên học sinh. Xác suất để trong học sinh được chọn luôn có học sinh nữ là:
.
Gọi là biến cố:” trong
học sinh được chọn luôn có học sinh nữ”
Vậy xác suất của biến cố là
.
Một lớp học có học sinh trong đó có cặp anh em sinh đôi. Trong buổi họp đầu năm thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra học sinh để làm cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó và bí thư. Xác suất để chọn ra học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào là bao nhiêu?
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên học sinh trong
học sinh.
Suy ra số phần tử không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
học sinh được chọn không có cặp anh em sinh đôi nào
. Để tìm số phần tử của
, ta đi tìm số phần tử của biến cố
, với biến cố
là
học sinh được chọn luôn có
cặp anh em sinh đôi.
+ Chọn cặp em sinh đôi trong
cặp em sinh đôi, có
cách.
+ Chọn thêm học sinh trong 38 học sinh, có
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Một hộp đựng 10 thẻ, đánh số từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Gọi A là biến cố để tổng số của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8. Số phần tử của biến cố A là:
Các cặp số thỏa mãn tổng số ba thẻ được chọn không vượt quá 8 là: {1; 2; 3}, {1; 2; 4}, {1; 2; 5}, {1; 3; 4}.
Vậy số phần tử của A là 4 phần tử.
