Đề kiểm tra 45 phút Chương 10 Xác suất

Câu 1: Thông hiểu

Một đội văn nghệ có 5 nam và 8 nữ, đội trưởng cần lập một nhóm 4 người để tham gia biểu diễn một tiết mục chính. Xác suất để trong bốn người được chọn có ít nhất 3 nam bằng:

A.
$\frac{70}{143}$
B.
$\frac{73}{143}$
C.
$\frac{17}{143}$
D.
$\frac{16}{143}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{13}^{4}$

Gọi A là biến cố: “chọn được ít nhất 3 nam”

$n(A) = C_{5}^{3}.C_{8}^{1} + C_{5}^{4}$

Vậy xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{17}{143}$

Câu 2: Thông hiểu

Một hộp có:

• 2 viên bi trắng được đánh số từ 1 đến 2;

• 3 viên bi xanh được đánh số từ 3 đến 5;

• 2 viên bi đỏ được đánh số từ 6 đến 7.

Lấy ngẫu nhiên hai viên bi, mô tả không gian mẫu nào dưới đây là đúng?

A.
Ω = {(m, n)| 1 ≤ m ≤ 7, 1 ≤ n ≤ 7}
B.
Ω = {(m, n)| 1 ≤ m ≤ 5, 6 ≤ n ≤ 7}
C.
Ω = {(m, n)| 1 ≤ m ≤ 7, 1 ≤ n ≤ 7, m ≠ n}
D.
Ω = {(m, n)| 1 ≤ m ≤ 3, 4 ≤ n ≤ 7}

Mỗi viên bi đánh một số, nên 2 viên bi lấy ra mang số khác nhau.

Vậy Ω ={(m, n)| 1 ≤ m ≤ 7, 1 ≤ n ≤ 7 và m ≠ n}.

Câu 3: Nhận biết

Gọi $P(A)$ là xác suất của biến cố A trong phép thử $T$ . Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A.
$0 < P(A) < 1$
B.
$P(A) > 1$
C.
$0 \leq P(A) \leq 1$
D.
$P(A) < 0$

Vì $P(A)$ là xác suất của biến cố A trong phép thử T ta luôn có $0 \leq P(A) \leq 1$ .

Câu 4: Vận dụng

Hai hộp chứa các thẻ được đánh số. Hộp thứ nhất chứa 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10; hộp thứ hai chứa 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một thẻ và nhân các số trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích thu được là một số chẵn?

A.
$\frac{13}{18}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{7}{18}$
D.
$\frac{41}{90}$

Hộp thứ nhất chứa 10 thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 10 gồm 5 thẻ mang số lẻ và 5 thẻ mang số chẵn.

Hộp thứ hai chứa 9 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 9 gồm 5 thẻ số lẻ và 4 thẻ số chẵn.

Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp 1 thẻ thì số cách chọn là:

$n(\Omega) = 10.9 = 90$

Gọi biến cố A: “Tích thu được là số chẵn” khi đó ta xét 3 trường hợp sau:

TH1: Hộp thứ nhất chọn được thẻ chẵn và hộp thứ hai chọn được thẻ chẵn có: 5.4 = 20 cách.

TH2: Hộp thứ nhất chọn được thẻ chẵn và hộp thứ hai chọn được thẻ lẻ có: 5.5 = 25 cách.

TH3: Hộp thứ nhất chọn được thẻ lẻ và hộp thứ hai chọn được thẻ chẵn có: 5.4 = 20 cách.

Theo quy tắc cộng ta có:

$n(A) = 20 + 25 + 20 = 65$

Vậy xác suất cần tìm là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{65}{90} = \frac{13}{18}$

Câu 5: Nhận biết

Gieo một đồng tiền liên tiếp $2$ lần. Số phần tử của không gian mẫu là bao nhiêu?

A.
$1$ .
B.
$5$ .
C.
$4$ . .
D.
$3$ .

$n(\Omega) = 2.2 = 4$ .

(lần 1 có 2 khả năng xảy ra - lần 2 có 2 khả năng xảy ra).

Câu 6: Nhận biết

Cho một phép thử $T$ có không gian mẫu $\Omega$ . Giả thiết rằng các kết quả có thể của $T$ là đồng khả năng. Khi đó nếu $E$ là một biến cố liên quan đến phép thử $T$ thì xác suất của $E$ (kí hiệu là $P(E)$ ) được cho bởi công thức nào sau đây? Biết rằng kí hiệu số phần tử của không gian mẫu và tập E lần lượt là $n(\Omega),n(E)$ .

A.
$P(E) = \frac{n(\Omega)}{n(E)}$
B.
$P(E) = \frac{\Omega}{E}$
C.
$P(E) = \frac{E}{\Omega}$
D.
$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)}$

Nếu E là một biến cố có liên quan đến phép thử T thì xác suất của biến cố E được xác định bởi công thức $P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)}$ .

Câu 7: Nhận biết

Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là bao nhiêu?

A.
$24$ .
B.
$12$ . .
C.
$6$ .
D.
$8$ .

Mô tả không gian mẫu ta có: $\Omega = \left\{ S1;\ S2;\ S3;\ S4;\ S5;S6;N1;N2;N3;N4;N5;N6 ight\}$ .

Câu 9: Nhận biết

Cho phép thử có không gian mẫu $\Omega = \left\{ 1,2,3,4,5,6 ight\}$ . Cặp biến cố không đối nhau là cặp nào trong các cặp dưới đây?

A.
$A = \left\{ 1 ight\}$ và $B = \left\{ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 ight\}$ .
B.
$C\left\{ 1,\ 4,\ 5 ight\}$ và $D = \left\{ 2,\ 3,\ 6 ight\}$ .
C.
$E = \left\{ 1,\ 4,\ 6 ight\}$ và $F = \left\{ 2,\ 3 ight\}$ . .
D.
$\Omega$ và $\varnothing$ .

Cặp biến cố không đối nhau là $E = \left\{ 1,\ 4,\ 6 ight\}$ và $F = \left\{ 2,\ 3 ight\}$ do $E \cap F = \varnothing$ và $E \cup F eq \Omega$ .

Câu 10: Nhận biết

Gieo một xúc xắc 2 lần . Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất 1 mặt 6 chấm.

A.
A = {(1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6)}
B.
A = {(1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6)}
C.
A = {(1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5)}
D.
A = {(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5)}

Các kết quả phù hợp là: A = {(1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5)}

Câu 11: Vận dụng

Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp. Xác suất để 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu là bao nhiêu?

A.
$\frac{810}{1001}.$
B.
$\frac{192}{1001}.$
C.
$\frac{5}{21}.$
D.
$\frac{17}{21}.$

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp chứa 14 viên bi. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega| = C_{14}^{6} = 3003$ .

Gọi $A$ là biến cố $''$ 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu $''$ . Để tìm số phần tử của biến cố $A$ ta đi tìm số phần tử của biến cố $\overline{A}$ tức là 6 viên bi lấy ra không có đủ ba màu như sau

TH1: Chọn 6 viên bi chỉ có một màu (chỉ chọn được màu vàng).

Do đó trường hợp này có $C_{6}^{6} = 1$ cách.

TH2: Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và đỏ, có $C_{8}^{6}$ cách.

Chọn 6 viên bi có đúng hai màu đỏ và vàng, có $C_{11}^{6} - C_{6}^{6}$ cách.

Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và vàng, có $C_{9}^{6} - C_{6}^{6}$ cách.

Do đó trường hợp này có $C_{8}^{6} + \left( C_{11}^{6} - C_{6}^{6} ight) + \left( C_{9}^{6} - C_{6}^{6} ight) = 572$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là $\left| \Omega_{\overline{A}} ight| = 1 + 572 = 573$ .

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $\left| \Omega_{A} ight| = |\Omega| - \left| \Omega_{\overline{A}} ight| = 3003 - 573 = 2430$ .

Vậy xác suất cần tính $P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{2430}{3003} = \frac{810}{1001}.$ .

Câu 12: Thông hiểu

Giáo viên chủ nhiệm mang đến lớp 6 cuốn sách khoa học và 4 cuốn sách tham khảo (các sách khác nhau từng đôi một). Giáo viên cho bạn C mượn ngẫu nhiên 3 quyển sách để đọc. Tính xác suất của biến cố: “X mượn ít nhất một cuốn sách tham khảo”.

A.
$\frac{1}{6}$
B.
$\frac{5}{6}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{3}{10}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{10}^{3} = 120$

Gọi A là biến cố: “X mượn ít nhất một cuốn sách tham khảo”.

Khi đó $\overline{A}$ là biến cố X mượn 3 cuốn sách khoa học. Khi đó: $n\left( \overline{A} ight) = C_{6}^{3} = 20$

Vậy xác suất của biến cố A là: $P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 - \frac{20}{120} = \frac{5}{6}$

Câu 13: Thông hiểu

Gieo cùng một lúc hai con xúc xắc khác màu nhưng cân đối và đồng chất một lần. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt xúc xắc lớn hơn 7?

A.
$\frac{1}{12}$
B.
$\frac{5}{12}$
C.
$\frac{1}{2}$
D.
$\frac{3}{5}$

Ta có:

$n(\Omega) = 6^{2} = 36$

Các kết quả thuận lợi cho biến cố C: “tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt xúc xắc lớn hơn 7” là:

$C = \begin{Bmatrix} (2;6),(3;5),(3;6),(4;4),(4;5) \\ (4;6),(5;3),(5;4),(5;5),(5;6) \\ (6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6) \\ \end{Bmatrix}$

$\Rightarrow n(C) = 15$

Vậy xác suất của biến cố C là: $P(C) = \frac{n(C)}{n(\Omega)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ .

Câu 14: Nhận biết

Cho A là biến cố liên quan phép thử T. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A.
$P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight)$
B.
$P(A) = 0 \Leftrightarrow A = \Omega$
C.
$P(A) < 1$
D.
$P(A) > 0$

Mệnh đề đúng là: $P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight)$

Câu 15: Thông hiểu

Một hộp chứa các viên bi kích thước khác nhau, trong đó có 5 viên bi màu đỏ và 6 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 viên bi từ hộp. Tính xác suất để trong 4 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi màu vàng.

A.
$\frac{37}{65}$
B.
$\frac{59}{65}$
C.
$\frac{24}{65}$
D.
$\frac{6}{65}$

Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{15}^{4}$

Số cách để lấy 4 viên bi trong đó có đúng một viên bi màu vàng là: $n(A) = C_{6}^{1}.C_{9}^{3}$

Xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{C_{6}^{1}.C_{9}^{3}}{C_{15}^{4}} = \frac{24}{65}$

Câu 16: Thông hiểu

Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Số kết quả thuận lợi cho biến cố B: “4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh” là:

A.
10 626
B.
1 820
C.
7 566
D.
8 806

Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 4 viên bi trong 6 + 8 + 10 = 24 viên bi có số cách là:

$C_{24}^4 = 10{\text{ }}626$

Số phần tử của không gian mẫu là 10 626.

Lấy 4 viên bi trong 16 viên bi đỏ, trắng có $C_{16}^4$ cách. Như vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố “Lấy 4 viên bi không có màu xanh” là

$C_{16}^4 = 1820$

=> Số kết quả thuận lợi cho biến cố B: “4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh” là:

$10{\text{ }}626-1{\text{ }}820 = 8{\text{ }}806$

Vậy có 8 806 kết quả thuận lợi cho biến cố B.

Câu 17: Thông hiểu

Gieo một con xúc xắc hai lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố “Tổng số chấm trong hai lần gieo bằng 6”.

A.
$\frac{1}{6}$
B.
$\frac{5}{36}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{7}{12}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n(\Omega) = 6^{2} = 36$

Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trong hai lần gieo bằng 6”.

Tập hợp các kết quả của biến cố A là: $A = \left\{ (2;4),(5;1),(1;5),(4;2),(3;3) ight\}$

Suy ra $n(A) = 5$

Vậy xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{5}{36}$

Câu 18: Thông hiểu

Trên bàn có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để trong ba quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển là toán?

A.
$\frac{34}{35}$
B.
$\frac{6}{7}$
C.
$\frac{22}{35}$
D.
$\frac{31}{35}$

Xác suất để trong ba quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán là: $1 - \frac{C_{3}^{3}}{C_{7}^{3}} = \frac{34}{35}$

Câu 19: Nhận biết

Cho phép thử với không gian mẫu Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Đâu không phải là cặp biến cố đối nhau.

A.
A = {1} và B = {2; 3; 4; 5; 6}
B.
C = {1; 4; 5} và D = {2; 3; 6
C.
E = {1; 4; 6} và F = {2; 3}
D.
Ω và ∅

Cặp E = {1; 4; 6} và F = {2; 3} không phải là biến cố đối.

Câu 20: Vận dụng

Cho đa giác đều có $24$ đỉnh. Chọn ngẫu nhiên bốn đỉnh. Tính xác suất chọn ra được hình chữ nhật có các đỉnh là $4$ trong $24$ đỉnh của đa giác đó?

A.
$\frac{35}{46}$
B.
$\frac{11}{46}$
C.
$\frac{1}{161}$
D.
$\frac{15}{322}$

Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{24}^{4}$

Ta vẽ đường tròn ngoại tiếp đa giác đều 24 đỉnh. Vẽ một đường kính của đường tròn này. Khi đó 2 nửa đường tròn đều chứa 12 đình.

Với mỗi đỉnh thuộc nửa đường tròn thứ nhất ta đều có 1 đỉnh đối xứng với nó qua đường kính và thuộc nửa đường tròn còn lại.

Như vậy cứ 2 đỉnh thuộc đường tròn thứ nhất ta xác định được hai đỉnh đối xứng với nó qua đường kính và thuộc nửa đường tròn còn lại, bốn đỉnh này tạo thành hình chữ nhật.

Vậy số hình chữ nhật tạo thành từ 4 đa giác đã cho là $C_{12}^{2}$

Xác suất cần tìm là: $P = \frac{C_{12}^{2}}{C_{24}^{4}} = \frac{1}{161}$ .

Câu 21: Vận dụng

Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số là bao nhiêu?

A.
$\frac{7}{33}.$
B.
$\frac{15}{33}.$
C.
$\frac{29}{66}.$
D.
$\frac{37}{66}.$

Không gian mẫu là số sách lấy tùy ý 2 viên từ hộp chứa 12 viên bi.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega| = C_{12}^{2} = 66$ .

Gọi $A$ là biến cố $''$ 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số $''$ .

● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi xanh và 1 bi đỏ là $4.4 = 16$ cách (do số bi đỏ ít hơn nên ta lấy trước, có 4 cách lấy bi đỏ. Tiếp tục lấy bi xanh nhưng không lấy viên trùng với số của bi đỏ nên có 4 cách lấy bi xanh).

● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi xanh và 1 bi vàng là $3.4 = 12$ cách.

● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi đỏ và 1 bi vàng là $3.3 = 9$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $\left| \Omega_{A} ight| = 16 + 12 + 9 = 37$ .

Vậy xác suất cần tính $P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{37}{66}$ .

Câu 22: Nhận biết

Trong một hộp đựng $7$ bi màu đỏ, $5$ bi màu xanh và $3$ bi vàng, lấy ngẫu nhiên $3$ viên bi. Xác suất để 3 viên bi lấy được đều có màu đỏ là:

A.
$\frac{1}{13}$ .
B.
$\frac{3}{7}$ .
C.
$\frac{1}{5}$ .
D.
$\frac{7}{15}$ .

Tổng số có $7 + 5 + 3 = 15$ viên bi.

Lấy ngẫu nhiên $3$ viên bi từ $15$ viên có $C_{15}^{3} = 455$ (cách lấy).

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = 455$ .

Gọi $A$ : $3$ viên bi lấy được đều có màu đỏ<img class="data-latex" data-type="2" src="https://tex.vdoc.vn?tex=%22" data-latex="" "="" alt=""">.

Lấy $3$ viên bi màu đỏ từ $7$ viên bi màu đỏ có $C_{7}^{3} = 35 \Rightarrow n(A) = 35$ .

Vậy xác suất để $3$ viên bi lấy được đều có màu đỏ là $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{45}{455} = \frac{1}{13}$ .

Câu 23: Nhận biết

Một cái hộp chứa $6$ viên bi đỏ và $4$ viên bi xanh. Lấy lần lượt $2$ viên bi từ hộp này. Xác suất để viên bi được lấy lần thứ $2$ là bi xanh là:

A.
$\frac{2}{5}$ .
B.
$\frac{5}{24}$ .
C.
$\frac{11}{12}$ .
D.
$\frac{8}{9}$ .

Ta có: Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega) = C_{10}^{1}.C_{9}^{1}$ .

Gọi $A$ là biến cố: “ Viên bi được lấy lần thứ $2$ là bi xanh”.

- Trường hợp 1: Lần 1 lấy viên đỏ, lần 2 lấy viên xanh: Có $C_{6}^{1}.C_{4}^{1}$ cách chọn.

- Trường hợp 2: Lần 1 lấy viên xanh, lần 2 lấy viên xanh: Có $C_{4}^{1}.C_{3}^{1}$ cách chọn.

$n(A) = C_{6}^{1}.C_{4}^{1} + C_{4}^{1}.C_{3}^{1}$ .

Vậy $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{24 + 12}{10.9} = \frac{2}{5}$ .

Câu 24: Nhận biết

Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba lần. Gọi $A$ là biến cố “Có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp” và $B$ là biến cố “Kết quả ba lần gieo là như nhau”. Hãy liệt kê các kết quả của biến cố $A \cup B.$

A.
$A \cup B = \left\{ SSS,\ SSN,\ NSS,\ SNS,\ NNN ight\}$ .
B.
$A \cup B = \left\{ SSS,\ NNN ight\}$ .
C.
$A \cup B = \left\{ SSS,\ SSN,\ NSS,\ NNN ight\}$ .
D.
$A \cup B = \Omega$ .

$A = \left\{ SSS,\ SSN,\ NSS ight\}$ , $B = \left\{ SSS,\ NNN ight\}$ . Suy ra $A \cup B = \left\{ SSS,\ SSN,\ NSS,\ NNN ight\}$ .

Câu 25: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất $5$ lần. Số phần tử không gian mẫu là bao nhiêu?

A.
$64$ .
B.
$10$ .
C.
$32$ .
D.
$16$ .

Mỗi lần gieo có hai khả năng nên gieo 5 lần theo quy tắc nhân ta có $2^{5} = 32$ .

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = 32$ .

Câu 26: Thông hiểu

Một lớp có 43 học sinh trong đó có 23 học sinh nữ và 20 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh. Xác suất để 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A.
$0,85$
B.
$0,97$
C.
$0,96$
D.
$0,95$

Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{43}^{5} = 962598$

Số cách chọn 5 học sinh chỉ có nam hoặc chỉ có nữ là:

$C_{20}^{5} + C_{23}^{5} = 49153$

Số cách chọn 5 học sinh có cả nam và nữ là: $C_{20}^{5}$

$962598 - 49153 = 913445$

Xác suất của biến cố 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ là: $P = \frac{913445}{962598} \approx 0,95$

Câu 27: Thông hiểu

Có 3 bó hoa. Bó thứ nhất có 8 hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông hoa ly, bó thứ ba có 6 bông hoa huệ. Chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa trên để cắm vào lọ hoa, tính xác suất để trong 7 hoa được có số hoa hồng bằng số hoa ly.

A.
$\frac{1851}{4845}.$
B.
$\frac{1}{72}.$
C.
$\frac{31}{71}.$
D.
$\frac{994}{4845}.$

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa gồm 21 hoa.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega| = C_{21}^{7} = 116280$ .

Gọi $A$ là biến cố $''$ 7 hoa được ó số hoa hồng bằng số hoa ly $''$ . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố $A$ là:

TH1: Chọn 1 hoa hồng, 1 hoa ly và 5 hoa huệ nên có $C_{8}^{1}.C_{7}^{1}.C_{6}^{5}$ cách.

TH2: Chọn 2 hoa hồng, 2 hoa ly và 3 hoa huệ nên có $C_{8}^{2}.C_{7}^{2}.C_{6}^{3}$ cách.

TH3: Chọn 3 hoa hồng, 3 hoa ly và 1 hoa huệ nên có $C_{8}^{3}.C_{7}^{3}.C_{6}^{1}$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $\left| \Omega_{A} ight| = C_{8}^{1}.C_{7}^{1}.C_{6}^{5} + C_{8}^{2}.C_{7}^{2}.C_{6}^{3} + C_{8}^{3}.C_{7}^{3}.C_{6}^{1} = 23856$ .

Vậy xác suất cần tính $P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{23856}{116280} = \frac{994}{4845}.$

Câu 28: Nhận biết

Gieo 2 con súc sắc và gọi kết quả xảy ra là tích số hai nút ở mặt trên. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

A.
$9$ .
B.
$18$ .
C.
$29$ .
D.
$39$ .

Mô tả không gian mẫu ta có: $\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;6;8;9;10;12;15;16;18;20;24;25;30;36 ight\}$ . (18 phần tử)

Câu 29: Nhận biết

Một hộp đèn có 12 bóng, trong đó có 4 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Xác suất luôn lấy được 1 bóng hỏng là:

A.
$\frac{11}{50}$ .
B.
$\frac{13}{112}$ .
C.
$\frac{28}{55}$ .
D.
$\frac{5}{6}$ .

Trong 3 bóng có 1 bóng hỏng

Ta có $n(\Omega) = C_{12}^{3} = 220$ .

Gọi biến cố A : “Trong 3 bóng lấy ra có 1 bóng hỏng”.

Tính được $n\left( \Omega_{A} ight) = C_{4}^{1}.C_{8}^{2} = 112$ .

Vậy $P(A) = \frac{112}{220} = \frac{28}{55}$ .

Câu 30: Nhận biết

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố “Số chấm xuất hiện trong lần gieo không bé hơn 3”.

A.
$\frac{1}{2}$
B.
$\frac{5}{6}$
C.
$\frac{2}{3}$
D.
$\frac{1}{3}$

Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = 6$

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Số chấm xuất hiện trong lần gieo không bé hơn 3” là: $A = \left\{ 3;4;5;6ight\}$

$\Rightarrow n(A) = 4$

Xác suất của biến cố A là: $P(A) =\frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .

Câu 31: Nhận biết

Từ một hộp gồm 12 quả bóng gồm 5 quả đỏ và 7 quả xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu xanh bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{7}{44}$
B.
$\frac{5}{12}$
C.
$\frac{2}{7}$
D.
$\frac{1}{22}$

Lấy 3 quả bóng từ 12 quả ta có: $n(\Omega) = C_{12}^{3} = 220$

Lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng đều màu xanh có: $C_{7}^{3} = 35$ cách

Vậy xác suất để lấy được 3 quả bóng màu xanh là: $P = \frac{35}{220} = \frac{7}{44}$ .

Câu 32: Vận dụng

Đề thi kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 1,0 điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương án. Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên.

A.
$\frac{436}{4^{10}}$ .
B.
$\frac{643}{3^{10}}$ .
C.
$\frac{235}{9^{4}}$ .
D.
$\frac{113}{10^{4}}$ .

Với mỗi câu hỏi, thí sinh có 4 phương án lựa chọn nên số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = 4^{10}$ .

Gọi X là biến cố “thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên”.

Trường hợp 1: Thí sinh đó là được 8 câu (tức là 8,0 điểm): Chọn 8 câu trong số 10 câu hỏi và 2 câu còn lại mỗi câu có 3 cách chọn đáp án sai nên có $C_{10}^{8}.3^{2}$ cách để thí sinh đúng 8 câu.

Trường hợp 2: Thí sinh đó là được 9 câu (tức là 9,0 điểm): Chọn 9 câu trong số 10 câu hỏi và câu còn lại có 3 cách chọn đáp án sai nên có $C_{10}^{9}.3^{1}$ cách để thí sinh đúng 9 câu.

Trường hợp 3: Thí sinh đó là được 10 câu (tức là 10,0 điểm): Chỉ có 1 cách duy nhất.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là $n(X) = C_{10}^{8}.3^{2} + C_{10}^{9}.3^{1} + 1 = 436$ .

Vậy xác suất cần tìm là $P(X) = \frac{n(X)}{n(\Omega)} = \frac{436}{4^{10}}$ .

Câu 33: Nhận biết

Gieo đồng tiền hai lần. Biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng $1$ lần có bao nhiêu phần tử?

A.
$2$ . .
B.
$4$ .
C.
$5$ .
D.
$6$ .

Liệt kê ta có: $A = \left\{ NS.SN ight\}$ . (2 phần tử)

Câu 34: Vận dụng

Xếp ngẫu nhiên 5 bạn nam và 3 bạn nữ vào một bàn tròn. Xác suất để không có ba bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.

A.
$\frac{3}{7}$ .
B.
$\frac27$ .
C.
$\frac{2}{85}$ .
D.
$\frac{3}{83}$ .

Theo công thức hoán vị vòng quanh ta có: $|\Omega| = 7!$

Để xếp các bạn nữ không ngồi cạnh nhau, trước hết ta xếp các bạn nam vào bàn tròn: có $4!$ cách, giữa 5 bạn nam đó ta sẽ có được 5 ngăn (do ở đây là bàn tròn). Xếp chỉnh hợp 3 bạn nữ vào 5 ngăn đó có $A_{5}^{3}$ cách.

Vậy xác suất xảy ra là: $P = \frac{4!.A_{5}^{3}}{7!} = \frac{2}{7}$ .

Câu 35: Thông hiểu

Một hộp có 3 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để lấy được 2 viên màu vàng.

A.
$\frac1{11}$
B.
$\frac2{11}$
C.
$\frac1{2}$
D.
$\frac3{11}$

Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ 12 viên bi, suy ra $n(\Omega)=C_{12}^2=66$ .

Gọi A là biến cố "lấy được 2 viên bi vàng", suy ra $n(A)=C_4^2=6$ .

Vậy xác suất: $P(A)=\frac6{66}=\frac1{11}$ .

Câu 36: Thông hiểu

Một bình chứa $6$ viên bi màu, trong đó có $2$ bi xanh, $2$ bi đỏ, $2$ bi trắng. Lấy ngẫu nhiên $2$ viên bi từ bình đó. Tính xác suất để lấy được $2$ viên bi khác màu.

A.
$\frac{1}{15}$ .
B.
$\frac{2}{15}$ .
C.
$\frac{4}{5}$ .
D.
$\frac{4}{15}$ .

Lấy $2$ viên bi bất kì trong $6$ viên bi trong bình thì có $C_{6}^{2} = 15$ (cách).

Lấy $2$ viên bi cùng màu thì có $C_{2}^{2} + C_{2}^{2} + C_{2}^{2} = 3$ (cách) nên có $15 - 3 = 12$ (cách) lấy được $2$ viên bi khác màu.

Xác suất để lấy được $2$ viên bi khác màu trong tổng số $6$ viên bi là $P = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ .

Câu 37: Thông hiểu

Trong hộp có 3 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên trong hộp 3 viên bi. Xác suất của biến cố A: “Lấy ra được 3 viên bi màu đỏ” là:

A.
$P(A)=\frac{13}{28}$
B.
$P(A)=\frac{5}{28}$
C.
$P(A)=\frac{23}{28}$
D.
$P(A)=\frac{3}{28}$

Chọn ba viên bi ngẫu nhiên trong hộp => $n\left( \Omega ight) = C_8^3$

Biến cố A: “Lấy ra được 3 viên bi màu đỏ” => $n\left( A ight) = C_5^3$

=> Xác suất của biến cố A là: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{C_5^3}}{{C_8^3}} = \frac{5}{{28}}$

Câu 39: Nhận biết

Gieo đồng tiền hai lần. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần là bao nhiêu?

A.
$\frac{1}{4}$ .
B.
$\frac{1}{5}$ .
C.
$\frac{3}{4}$ . .
D.
$\frac{2}{3}$ .

Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = 2.2 = 4$ .

Biến cố xuất hiện mặt sấp ít nhất một lần: $A = \left\{ SN;NS;SS ight\}$ .

Suy ra $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{3}{4}$ .

Câu 40: Vận dụng

Cho tập hợp $A = \left\{ 1,2,\ 3,\ ...,\ 10 ight\}$ . Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập đó. Tính xác suất để trong ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp.

A.
$P = \frac{13}{90}$ .
B.
$P = \frac{1}{25}$ .
C.
$P = \frac{7}{10}$ .
D.
$P = \frac{7}{15}$ .

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{10}^{3} = 120$ .

Gọi $B$ là biến cố “Ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp”.

$\Rightarrow$ $\overline{B}$ là biến cố “Ba số được chọn có ít nhất hai số là các số tự nhiên liên tiếp”.

+ Bộ ba số dạng $\left( 1\ ,\ 2\ ,\ a_{1} ight)$ , với $a_{1} \in A\backslash\left\{ 1\ ,\ 2 ight\}$ : có $8$ bộ ba số.

+ Bộ ba số có dạng $\left( 2\ ,\ 3\ ,\ a_{2} ight)$ , với $a_{2} \in A\backslash\left\{ 1\ ,\ 2\ ,\ 3 ight\}$ : có $7$ bộ ba số.

+ Tương tự mỗi bộ ba số dạng $\left( 3\ ,\ 4\ ,\ a_{3} ight)$ , $\left( 4\ ,\ 5\ ,\ a_{4} ight)$ , $\left( 5\ ,\ 6\ ,\ a_{5} ight)$ , $\left( 6\ ,\ 7\ ,\ a_{6} ight)$ , $\left( 7\ ,\ 8\ ,\ a_{7} ight)$ , $\left( 8\ ,\ 9\ ,\ a_{8} ight)$ , $\left( 9\ ,\ 10\ ,\ a_{9} ight)$ đều có $7$ bộ.