Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp là bao nhiêu?
Gọi A là biến cố: “cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp.”
Không gian mẫu:
=>.
Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp là bao nhiêu?
Gọi A là biến cố: “cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp.”
Không gian mẫu:
=>.
Một hộp có:
• 2 viên bi trắng được đánh số từ 1 đến 2;
• 3 viên bi xanh được đánh số từ 3 đến 5;
• 2 viên bi đỏ được đánh số từ 6 đến 7.
Lấy ngẫu nhiên hai viên bi, mô tả không gian mẫu nào dưới đây là đúng?
Mỗi viên bi đánh một số, nên 2 viên bi lấy ra mang số khác nhau.
Vậy Ω ={(m, n)| 1 ≤ m ≤ 7, 1 ≤ n ≤ 7 và m ≠ n}.
Cho biến cố A có không gian mẫu là Ω và
là biến cố đối của biến cố A. Khẳng định nào sau đây sai?
Khẳng định sai là: "P(Ω) > 1." vì P(Ω) = 1
Một túi đựng 10 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi đó. Xác suất để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 bằng:
Số cách rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi có 10 thẻ là: cách.
Trong các số từ 1 đến 10 có ba số chia hết cho 3, bốn số chia cho 3 dư 1, ba số chia cho 3 dư 2.
Để tổng các số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 thì ba thẻ đó phải có số được ghi thỏa mãn một trong các trường hợp sau:
- Ba số đều chia hết cho 3.
- Ba số đều chia cho 3 dư 1.
- Ba số đều chia cho 3 dư 2.
- Một số chia hết cho 3, một số chia cho 3 dư 1, một số chia cho 3 dư 2.
Do đó số cách rút để tổng số ghi trên 3 thẻ rút được là một số chia hết cho 3 là (cách).
Vậy xác suất cần tìm là: .
Một hộp chứa 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên 3 chiếc thẻ từ hộp. Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ.
Số phần tử của không gian mẫu: .
Gọi A là biến cố "tổng các số ghi trên 3 chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ".
Ta có:
.
Xác suất để tổng các số ghi trên 3 chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ là:
.
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 30 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “Hai số được chọn có tổng là một số chẵn”
Tổng của hai số là một số chẵn khi và chỉ khi hai số đó đều chẵn hoặc đều lẻ.
Trong 30 số nguyên dương đầu tiên có 15 số lẻ và 15 số chẵn.
Xét trường hợp chọn được hai số lẻ ta có: cách chọn.
Xét trường hợp chọn được hai số chẵn ta có: cách chọn.
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:
Khi đó xác suất của biến cố A là: .
Gọi
là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp
. Xác suất để hai số được ó chữ số hàng đơn vị giống nhau là bao nhiêu?
Số phần tử của tập là
.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập
.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
Số được ó chữ số hàng đơn vị giống nhau
. Ta mô tả không gian của biến cố
nhưu sau
● Có cách hữ số hàng đơn vị (chọn từ các chữ số
).
● Có cách chọn hai chữ số hàng chục (chọn từ các chữ số
).
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên
bước. Xác suất sau
bước quân vua trở về ô xuất phát là bao nhiêu?

Tại mọi ô đang đứng, ông vua có khả năng lựa chọn để bước sang ô bên cạnh.
Do đó không gian mẫu .
Gọi là biến cố “sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát”. Sau ba bước quân vua muốn quay lại ô ban đầu khi ông vua đi theo đường khép kín tam giá
Chia hai trường hợp:
+ Từ ô ban đầu đi đến ô đen, đến đây có cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu.
+ Từ ô ban đầu đi đến ô trắng, đến đây có cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu.
Do số phần tử của biến cố A là .
Vậy xác suất .
Gieo một đồng tiền hai lần. Xác xuất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần là:
Gieo một đồng xu 2 lần, số kết quả của không gian mẫu là
Các kết quả thỏa mãn là: SN, NS, SS. (3 kết quả).
Vậy .
Xác suất của biến cố A, kí hiệu là:
Xác suất của biến cố A, kí hiệu là: P(A).
Một lô sản phẩm gồm 35 sản phẩm đạt chuẩn và 15 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ trong hộp. Tính xác suất để 3 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm đạt chuẩn?
Ta có:
Gọi B là biến cố cả ba sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm đạt chuẩn.
Chọn 3 trong 35 sản phẩm đạt chuẩn ta có:
Vậy xác suất của biến cố B là: .
Từ một hộp gồm 12 quả bóng gồm 5 quả đỏ và 7 quả xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu xanh bằng bao nhiêu?
Lấy 3 quả bóng từ 12 quả ta có:
Lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng đều màu xanh có: cách
Vậy xác suất để lấy được 3 quả bóng màu xanh là: .
Một nhóm học sinh lớp 10A gồm 10 học sinh trong đó có 4 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên bốn học sinh trong nhóm để tham gia cuộc thi hùng biện. Xác suất để cả bốn bạn được chọn đều là nữ bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Số kết quả thuận lợi cho biến cố: “Cả bốn bạn được chọn đều là nữ” bằng:
Vậy xác suất của biến cố ”Cả bốn bạn được chọn đều là nữ” bằng:
Đội tuyển của một lớp có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Trong buổi dự lễ trao thưởng, các học sinh được xếp thành 1 hàng ngang. Xác suất để xếp cho 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau là:
12 vị trí là hoán vị của 12 học sinh đó.
Do đó số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 12!.
Gọi A là biến cố “Xếp 2 bạn nữ không đứng cạnh nhau”.
Chia việc xếp thành 2 công đoạn:
Công đoạn 1: Xếp 8 bạn nam vào 8 chỗ có 8! cách.
Công đoạn 2: Khi đó 8 bạn nam tạo ra 9 khe trống, xếp 4 bạn nữ vào 9 khe trống đó có cách.
Theo quy tắc nhân, xếp 12 bạn mà 2 bạn nữ không đứng cạnh nhau có: 8!. cách.
=>
Xác suất biến cố A là:
Rút ngẫu nhiên một thẻ từ hộp chứa 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Tính xác suất của biến cố “Rút được tấm thẻ ghi số chia hết cho 3”.
Số phần tử của không gian mẫu là:
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Số trên tấm thẻ được rút ra chia hết cho 3” là:
Xác suất của biến cố A là:
Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là môn toán là bao nhiêu?
Số cách lấy 3 quyển sách bất kì là .
Số cách lấy được 3 quyển thuộc môn toán là .
Suy ra xác suất cần tìm là .
Một lớp có
học sinh, trong đó có
học sinh tên Anh. Trong một lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên hai học sinh trong lớp lên bảng. Tính xác suất để 2 bạn học sinh tên Anh cùng lên bảng.
Số phần tử của không gian mẫu .
Gọi là biến cố gọi hai học sinh tên Anh lên bảng, ta có
.
Vậy xác suất cần tìm là .
Cho A là biến cố liên quan phép thử T. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Mệnh đề đúng là:
Một lớp học có 30 học sinh gồm có nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là
. Tính số học sinh nữ của lớp.
Gọi số học sinh nữ là . Suy ra số học sinh nam là
.
Chọn 3 học sinh từ 30 học sinh, không gian mẫu là: .
Gọi A là biến cố "Chọn được 2 nam và 1 nữ". Suy ra .
Theo đề bài: .
Vậy có 14 học sinh nữ.
Một lớp có 43 học sinh trong đó có 23 học sinh nữ và 20 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh. Xác suất để 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ gần nhất với kết quả nào dưới đây?
Số phần tử của không gian mẫu là:
Số cách chọn 5 học sinh chỉ có nam hoặc chỉ có nữ là:
Số cách chọn 5 học sinh có cả nam và nữ là:
Xác suất của biến cố 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ là:
Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số là bao nhiêu?
Không gian mẫu là số sách lấy tùy ý 2 viên từ hộp chứa 12 viên bi.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số
.
● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi xanh và 1 bi đỏ là cách (do số bi đỏ ít hơn nên ta lấy trước, có 4 cách lấy bi đỏ. Tiếp tục lấy bi xanh nhưng không lấy viên trùng với số của bi đỏ nên có 4 cách lấy bi xanh).
● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi xanh và 1 bi vàng là cách.
● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi đỏ và 1 bi vàng là cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Gieo một con xúc xắc hai lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố “Tổng số chấm trong hai lần gieo bằng 6”.
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trong hai lần gieo bằng 6”.
Tập hợp các kết quả của biến cố A là:
Suy ra
Vậy xác suất của biến cố A là:
Gieo một con xúc xắc hai lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố B: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo nhỏ hơn 4”.
Ta có:
Các kết quả thuận lợi cho biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo nhỏ hơn 4” là:
Vậy xác suất của biến cố B là:
Một tổ trong lớp 10A có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ đó để tham gia câu lạc bộ phát thanh. Tính xác suất để học sinh được chọn là học sinh nam?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “học sinh được chọn là học sinh nam?”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Xác suất của biến cố
: "lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp" là bao nhiêu?
Xác suất để lần đầu xuất hiện mặt sấp là . Lần 2 và 3 thì tùy ý nên xác suất là 1.
Theo quy tắc nhân xác suất: .
Cho phép thử với không gian mẫu Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Đâu không phải là cặp biến cố đối nhau.
Cặp E = {1; 4; 6} và F = {2; 3} không phải là biến cố đối.
Một hộp chứ 3 quả cầu xanh và 7 quả cầu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu trong hộp. Tính xác suất để hai quả cầu được chọn ra có cùng màu?
Ta có:
Gọi A là biến cố: “Chọn được hai quả cầu cùng màu”
TH1: 2 quả cầu cùng màu xanh ta có: cách chọn
TH2: 2 quả cầu cùng màu đỏ ta có: cách chọn.
Vậy xác suất của biến cố A là:
Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là bao nhiêu?
Mô tả không gian mẫu ta có: .
Một bộ đề thi Olympic Toán lớp 11 của Trường THPT Z mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu mức dễ, 10 câu mức trung bình và 5 câu mức khó. Một đề thi được gọi là “Tốt” nếu trong đề thi phải có cả mức dễ, mức trung bình và khó, đồng thời số câu mức khó không ít hơn 2. Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi “Tốt”.
Chọn 5 câu trong tổng số 30 câu nên ta có không gian mẫu .
Gọi A là biến cố “Lấy ra được một đề thi “Tốt””.
TH1: 5 câu lấy ra có 2 câu khó, 1 câu dễ, 2 câu trung bình (cách).
TH2: 5 câu lấy ra có 2 câu khó, 2 câu dễ, 1 câu trung bình (cách).
TH3: 5 câu lấy ra có 3 câu khó, 1 câu dễ, 1 câu trung bình (cách).
Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: .
Xác suất của biến cố A là: .
Một hộp chứa 10 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên hai tấm thẻ. Tính xác suất để chọn được hai tấm thẻ đều ghi số chẵn?
Từ 1 đến 10 có 5 số chẵn.
Số cách chọn ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong hộp là:
Số cách chọn được hai tấm thẻ đều ghi số chẵn là:
Vậy xác suất của biến cố A là:
Một bình chứa 16 viên vi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong bình đó. Tính xác suất lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ.
Số cách lấy 3 viên bi bất kì là .
Số cách lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ là .
Suy ra xác suất cần tìm là.
Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp gồm 6 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Tính xác suất để lấy được ba quả cùng màu?
Số phần tử của không gian mẫu
Gọi A là biến cố lấy được 3 quả cùng màu
TH1: Lấy được 3 quả màu trắng có: cách
TH2: Lấy được 3 quả màu đen có: cách
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để sau hai lần gieo được số chấm giống nhau.
Gieo 2 con xúc xắc, số phần tử của không gian mẫu: .
Các kết quả thỏa mãn là: (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6). Có 6 kết quả.
Vậy xác suất là: .
Viết tập hợp Ω là không gian mẫu trong trò chơi tung đồng xu hai lần liên tiếp.
Ta có: Ω = {SS; SN; NS; NN}.
Xếp ngẫu nhiên 5 bạn nam và 3 bạn nữ vào một bàn tròn. Xác suất để không có ba bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.
Theo công thức hoán vị vòng quanh ta có:
Để xếp các bạn nữ không ngồi cạnh nhau, trước hết ta xếp các bạn nam vào bàn tròn: có cách, giữa 5 bạn nam đó ta sẽ có được 5 ngăn (do ở đây là bàn tròn). Xếp chỉnh hợp 3 bạn nữ vào 5 ngăn đó có
cách.
Vậy xác suất xảy ra là:.
Cho
và
là hai biến cố đối nhau. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
Mệnh đề đúng là:
Lớp
B có
đoàn viên, trong đó có
nam và
nữ. Chọn ngẫu nhiên
đoàn viên trong lớp để tham dự hội trại ngày
tháng
. Xác suất để chọn được 2 nam 1 nữ là:
Số phần tử của không gian mẫu .
Gọi là biến cố “
đoàn viên được chọn có
nam và
nữ”.
Số phần tử của là
.
Vậy xác xuất của biến cố là:
.