Gieo con súc sắc hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt 6 chấm. Mô tả biến cố A.
Liệt kê ta có: .
Gieo con súc sắc hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt 6 chấm. Mô tả biến cố A.
Liệt kê ta có: .
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ tập hợp số
. Tính xác suất để trong hai số lấy ra có ít nhất một số lẻ?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi B là biến cố: “Cả hai số lấy ra đều là số chẵn”
Suy ra xác suất của biến cố B là:
Ta có biến cố là biến cố: “Trong hai số lấy ra có ít nhất một số lẻ”
Khi đó
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố “Số chấm xuất hiện trong lần gieo không bé hơn 3”.
Số phần tử của không gian mẫu là:
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Số chấm xuất hiện trong lần gieo không bé hơn 3” là:
Xác suất của biến cố A là: .
Gieo đồng tiền hai lần. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần là bao nhiêu?
Số phần tử không gian mẫu:.
Biến cố xuất hiện mặt sấp ít nhất một lần: .
Suy ra .
Một hộp đựng
thẻ được đánh số từ
đến
. Phải rút ra ít nhất k thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho
lớn hơn
. Tính giá trị của k.
Gọi biến cố : Lấy
tấm thẻ có ít nhất một tấm thẻ chia hết cho
. Với
.
Suy ra : Lấy
tấm thẻ không có tấm thẻ nào chia hết cho
.
Ta có:
.
Theo đề: .
Vậy là giá trị cần tìm.
Một hộp có 3 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ từ trong hộp. Không gian mẫu của phép thử đó là:
Mô tả không gian mẫu: .
Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp. Tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp chứa 18 viên bi. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
5 viên bi được ó đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng
. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố
là:
TH1: Chọn 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 3 bi xanh nên có cách.
TH2: Chọn 2 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh nên có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Xét phép thử gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 6 mặt hai lần. Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”. Biến cố A gồm bao nhiêu kết quả?
Gọi cặp số là số chấm xuất hiện ở hai lần gieo.
Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”.
Các kết quả của biến cố A là: .
Suy ra .
Trong một hộp đựng
bi màu đỏ,
bi màu xanh và
bi vàng, lấy ngẫu nhiên
viên bi. Xác suất để 3 viên bi lấy được đều có màu đỏ là:
Tổng số có viên bi.
Lấy ngẫu nhiên viên bi từ
viên có
(cách lấy).
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi :
viên bi lấy được đều có màu đỏ<img class="data-latex" data-type="2" src="https://tex.vdoc.vn?tex=%22" data-latex="" "="" alt=""">.
Lấy viên bi màu đỏ từ
viên bi màu đỏ có
.
Vậy xác suất để viên bi lấy được đều có màu đỏ là
.
Một hộp có 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp (sau khi chọn mỗi viên lại thả lại vào hộp). Không gian mẫu là:
Mô tả không gian mẫu: .
(Xanh là X, đỏ là D, vàng là V).
Giả sử E là một biến cố liên quan phép thử
với không gian mẫu
. Phát biểu nào dưới đây sai?
khi và chỉ khi
là biến cố không thể.
Một lô sản phẩm gồm 35 sản phẩm đạt chuẩn và 15 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ trong hộp. Tính xác suất để 3 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm đạt chuẩn?
Ta có:
Gọi B là biến cố cả ba sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm đạt chuẩn.
Chọn 3 trong 35 sản phẩm đạt chuẩn ta có:
Vậy xác suất của biến cố B là: .
Một đội văn nghệ có 5 nam và 8 nữ, đội trưởng cần lập một nhóm 4 người để tham gia biểu diễn một tiết mục chính. Xác suất để trong bốn người được chọn có ít nhất 3 nam bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “chọn được ít nhất 3 nam”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Hộp
có
viên bi trắng,
viên bi đỏ và
viên bi xanh. Hộp
có
viên bi trắng,
viên bi đỏ và
viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu là bao nhiêu?
Số phần tử của không gian mẫu: .
Số cách chọn từ mỗi hộp 1 viên bi sau cho 2 viên bi cùng màu là: .
Vậy xác suất cần tìm là .
Một hộp chứa 5 viên bi trắng, 10 viên bi xanh và 15 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 7 viên bi. Xác suất để trong số 7 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu đỏ?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố để trong 7 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu đỏ
là biến cố để trong 7 viên bi được lấy ra có số viên bi nhỏ hơn 2.
TH1: 7 viên bi trong đó có 1 viên bi đỏ ta có:
TH2: 7 viên bi trong đó có không có viên bi đỏ ta có:
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Gieo hai đồng tiền một lần. Kí hiệu S, N lần lượt để chỉ đồng tiền lật sấp, lật ngửa. Mô tả không gian mẫu nào dưới đây là đúng?
Gieo hai đồng tiền một lần ta được không gian mẫu là:
Xếp ngẫu nhiên 5 bạn nam và 3 bạn nữ vào một bàn tròn. Xác suất để không có ba bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.
Theo công thức hoán vị vòng quanh ta có:
Để xếp các bạn nữ không ngồi cạnh nhau, trước hết ta xếp các bạn nam vào bàn tròn: có cách, giữa 5 bạn nam đó ta sẽ có được 5 ngăn (do ở đây là bàn tròn). Xếp chỉnh hợp 3 bạn nữ vào 5 ngăn đó có
cách.
Vậy xác suất xảy ra là:.
Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Biến cố nào là biến cố không?
Do xúc xắc có 6 mặt có số chấm từ 1 đến 6 nên biến cố không là “Mặt xuất hiện của con xúc xắc có số chấm là 8 chấm.”
Lớp 12 có 9 học sinh giỏi, lớp 11 có 10 học sinh giỏi, lớp 10 có 3 học sinh giỏi. Chọn ngẫu nhiên hai trong số học sinh đó. Tính xác suất để cả hai học sinh đó cùng một lớp.
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố cả hai học sinh được chọn từ cùng một lớp.
Chọn 2 học sinh của lớp 12, có (cách).
Chọn 2 học sinh của lớp 11, có (cách).
Chọn 2 học sinh của lớp 10, có (cách).
Suy ra .
Xác suất cần tìm là .
Một hộp có 5 quả cầu được đánh số từ 1 đến 5 (hai quả cầu khác nhau thì đánh số khác nhau). Lấy ngẫu nhiên liên tiếp 2 quả cầu. Tính xác suất của biến cố B: “Tích các số trên hai quả cầu là số chẵn”?
Ta có không gian mẫu:
Biểu diễn biến cố B là:
Vậy xác suất của biến cố B cần tìm là:
Có
học sinh của một trường THPT đạt danh hiệu học sinh xuất sắc trong đó khối
có
học sinh nam và
học sinh nữ, khối
có
học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên
học sinh bất kỳ để trao thưởng, xác suất để
học sinh được có cả nam và nữ đồng thời có cả khối
và khối
là bao nhiêu?
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 13 học sinh.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
học sinh được ó cả nam và nữ đồng thời có cả khối
và khối
. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố
là:
TH1: Chọn 1 học sinh khối 11; 1 học sinh nam khối 12 và 1 học sinh nữ khối 12 nên có cách.
TH2: Chọn 1 học sinh khối 11; 2 học sinh nữ khối 12 có cách.
TH3: Chọn 2 học sinh khối 11; 1 học sinh nữ khối 12 có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính
Tung một đồng xu hai lần liên tiếp. Không gian mẫu trong trò chơi trên là:
Ta có: Ω = {SS; SN; NS; NN}
Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Xác suất của biến cố
: "ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp" là bao nhiêu?
Ta có: : "không có lần nào xuất hiện mặt sấp" hay cả 3 lần đều mặt ngửa.
Theo quy tắc nhân xác suất: .
Vậy: .
Một nhóm học sinh lớp 10A gồm 10 học sinh trong đó có 4 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên bốn học sinh trong nhóm để tham gia cuộc thi hùng biện. Xác suất để cả bốn bạn được chọn đều là nữ bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Số kết quả thuận lợi cho biến cố: “Cả bốn bạn được chọn đều là nữ” bằng:
Vậy xác suất của biến cố ”Cả bốn bạn được chọn đều là nữ” bằng:
Cho đa giác đều có
đỉnh. Chọn ngẫu nhiên bốn đỉnh. Tính xác suất chọn ra được hình chữ nhật có các đỉnh là
trong
đỉnh của đa giác đó?
Số phần tử của không gian mẫu là:
Ta vẽ đường tròn ngoại tiếp đa giác đều 24 đỉnh. Vẽ một đường kính của đường tròn này. Khi đó 2 nửa đường tròn đều chứa 12 đình.
Với mỗi đỉnh thuộc nửa đường tròn thứ nhất ta đều có 1 đỉnh đối xứng với nó qua đường kính và thuộc nửa đường tròn còn lại.
Như vậy cứ 2 đỉnh thuộc đường tròn thứ nhất ta xác định được hai đỉnh đối xứng với nó qua đường kính và thuộc nửa đường tròn còn lại, bốn đỉnh này tạo thành hình chữ nhật.
Vậy số hình chữ nhật tạo thành từ 4 đa giác đã cho là
Xác suất cần tìm là: .
Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp gồm 6 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Tính xác suất để lấy được ba quả cùng màu?
Số phần tử của không gian mẫu
Gọi A là biến cố lấy được 3 quả cùng màu
TH1: Lấy được 3 quả màu trắng có: cách
TH2: Lấy được 3 quả màu đen có: cách
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Gieo 2 con súc sắc và gọi kết quả xảy ra là tích số hai nút ở mặt trên. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?
Mô tả không gian mẫu ta có: . (18 phần tử)
Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp. Xác suất để 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu là bao nhiêu?
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp chứa 14 viên bi. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu
. Để tìm số phần tử của biến cố
ta đi tìm số phần tử của biến cố
tức là 6 viên bi lấy ra không có đủ ba màu như sau
TH1: Chọn 6 viên bi chỉ có một màu (chỉ chọn được màu vàng).
Do đó trường hợp này có cách.
TH2: Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và đỏ, có cách.
Chọn 6 viên bi có đúng hai màu đỏ và vàng, có cách.
Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và vàng, có cách.
Do đó trường hợp này có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Một bình chứa 16 viên vi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong bình đó. Tính xác suất lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ.
Số cách lấy 3 viên bi bất kì là .
Số cách lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ là .
Suy ra xác suất cần tìm là.
Cho ba chiếc hộp như sau:
Hộp 1 chứa 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng.
Hộp 2 chứa 1 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh.
Hộp 3 chứa 1 viên bi vàng, 1 viên bi xanh.
Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một viên bi và các phần tử của không gian mẫu được mô tả bằng sơ đồ sau:

Gọi A là biến cố: “Trong ba viên bi lấy ra có đúng một viên bi màu đỏ”. Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố A?
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 4.
Một cái túi chứa 3 viên bi đỏ và 5 bi xanh, 6 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Xác suất để 3 viên bi có cả ba màu đỏ, xanh, vàng là:
Chọn ngẫu nhiên ba viên bi =>
Gọi A là biến cố lấy được ba viên bi có cả ba màu. Khi đó:
=> Xác suất để 3 viên bi có cả ba màu là:
Một xạ thủ bán từ khoảng cách 100m có xác suất bắn trúng đích là:
- Tâm 10 điểm: 0,5.
- Vòng 9 điểm: 0,25.
- Vòng 8 điểm: 0,1.
- Vòng 7 điểm: 0,1.
- Ngoài vòng 7 điểm: 0,05.
Tính xác suất để sau 3 lần bắn xạ thủ đó được 27 điểm.
Ta có
Với bộ có 3 cách xáo trộn điểm các lần bắn
Với bộ có 6 cách xáo trộn điểm các lần bắn
Với bộ có 1 cách xáo trộn điểm các lần bắn.
Do đó xác suất để sau 3 lần bắn xạ thủ được đúng 27 điểm là:
.
Cho tập hợp
. Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập đó. Tính xác suất để trong ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp.
Số phần tử không gian mẫu là .
Gọi là biến cố “Ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp”.
là biến cố “Ba số được chọn có ít nhất hai số là các số tự nhiên liên tiếp”.
+ Bộ ba số dạng , với
: có
bộ ba số.
+ Bộ ba số có dạng , với
: có
bộ ba số.
+ Tương tự mỗi bộ ba số dạng ,
,
,
,
,
,
đều có
bộ.
.
.
Một hộp có 3 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để lấy được 2 viên màu vàng.
Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ 12 viên bi, suy ra .
Gọi A là biến cố "lấy được 2 viên bi vàng", suy ra .
Vậy xác suất: .
Biến cố chắc chắn kí hiệu là gì?
Biến cố chắc chắn kí hiệu là
Một tổ học sinh có
nam và
nữ. Chọn ngẫu nhiên
người. Xác suất chọn được 2 nữ là:
Chọn ngẫu nhiên người trong
người có
cách chọn.
Hai người được chọn đều là nữ có cách.
Xác suất để hai người được chọn đều là nữ là: .
Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số là bao nhiêu?
Không gian mẫu là số sách lấy tùy ý 2 viên từ hộp chứa 12 viên bi.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số
.
● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi xanh và 1 bi đỏ là cách (do số bi đỏ ít hơn nên ta lấy trước, có 4 cách lấy bi đỏ. Tiếp tục lấy bi xanh nhưng không lấy viên trùng với số của bi đỏ nên có 4 cách lấy bi xanh).
● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi xanh và 1 bi vàng là cách.
● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi đỏ và 1 bi vàng là cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .