Đề kiểm tra 45 phút Chương 10 Xác suất

Câu 1: Thông hiểu

Một bình chứa 16 viên vi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong bình đó. Tính xác suất lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ.

A.
$\frac{1}{560}$ .
B.
$\frac{1}{16}$ .
C.
$\frac{9}{40}$ .
D.
$\frac{143}{280}$ .

Số cách lấy 3 viên bi bất kì là $C_{16}^{3} = 560$ .

Số cách lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ là $C_{7}^{1}.C_{6}^{1}.C_{3}^{1} = 126$ .

Suy ra xác suất cần tìm là $\frac{9}{40}$ .

Câu 2: Nhận biết

Gieo một đồng tiền hai lần. Xác xuất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần là:

A.
$\frac{1}{3}$
B.
$\frac{1}{2}$
C.
$\frac{1}{4}$
D.
$\frac{3}{4}$

Gieo một đồng xu 2 lần, số kết quả của không gian mẫu là $n(\Omega)=2.2=4$

Các kết quả thỏa mãn là: SN, NS, SS. (3 kết quả).

Vậy $P=\frac34$ .

Câu 3: Nhận biết

Thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên?

A.
Gieo đồng tiền xem nó mặt ngửa hay mặt sấp.
B.
Gieo $3$ đồng tiền và xem có mấy đồng tiền lật ngửa.
C.
Chọn bất kì 1 học sinh trong lớp và xem là nam hay nữ.
D.
Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất cả bao nhiêu viên bi.

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta chưa biết được kết quả là gì.

Đáp án “Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất cả bao nhiêu viên bi.” không phải là phép thử vì ta biết chắc chắn kết quả chỉ có thể là một số cụ thể số bi xanh và số bi đỏ.

Câu 4: Vận dụng

Cho một đa giác $(H)$ có $60$ đỉnh nội tiếp một đường tròn $(O)$ . Người ta lập một tứ giác tùy ý có bốn đỉnh là các đỉnh của $(H)$ . Tính xác suất để lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của $(H)$ , số đó gần với số nào nhất trong các số sau?

A.
$84,40\%$ .
B.
$12,45\%$ .
C.
$40,35\%$ .
D.
$80,70\%$ .

Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{60}^{4}$ .

Gọi $E$ là biến cố “lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của $(H)$ ”.

Để chọn ra một tứ giác thỏa mãn đề bài ta làm như sau:

Bước 1: Chọn đỉnh đầu tiên của tứ giác, có $60$ cách.

Bước 2: Chọn $3$ đỉnh còn lại sao cho hai đỉnh bất kỳ của tứ giác cách nhau ít nhất 1 đỉnh. Điều này tương đương với việc ta phải chia $m = 60$ chiếc kẹo cho $n = 4$ đứa trẻ sao cho mỗi đứa trẻ có ít nhất $k = 2$ cái, có $C_{m - n(k - 1) - 1}^{n - 1} = C_{55}^{3}$ cách, nhưng làm như thế mỗi tứ giác lặp lại 4 lần.

$\Rightarrow$ Số phần tử của biến cố $E$ là: $n(E) = \frac{60.C_{55}^{3}}{4}$ .

Xác suất của biến cố $E$ là: $P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{60.C_{55}^{3}}{4.C_{60}^{4}} \approx 80,7\%$ .

Câu 5: Thông hiểu

Trong hộp có 3 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên trong hộp 3 viên bi. Xác suất của biến cố A: “Lấy ra được 3 viên bi màu đỏ” là:

A.
$P(A)=\frac{13}{28}$
B.
$P(A)=\frac{5}{28}$
C.
$P(A)=\frac{23}{28}$
D.
$P(A)=\frac{3}{28}$

Chọn ba viên bi ngẫu nhiên trong hộp => $n\left( \Omega ight) = C_8^3$

Biến cố A: “Lấy ra được 3 viên bi màu đỏ” => $n\left( A ight) = C_5^3$

=> Xác suất của biến cố A là: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{{C_5^3}}{{C_8^3}} = \frac{5}{{28}}$

Câu 6: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp là bao nhiêu?

A.
$\frac{3}{16}.$
B.
$\frac{2}{16}.$
C.
$\frac{1}{16}.$ .
D.
$\frac{7}{16}.$

Gọi A là biến cố: “cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp.”

Không gian mẫu: $2^{4} = 16.$

$n(A) = 1.1.1.1 = 1.$

=> $P(A) = \frac{n(A)}{|\Omega|} = \frac{1}{16}.$ .

Câu 7: Nhận biết

Một cái hộp chứa $6$ viên bi đỏ và $4$ viên bi xanh. Lấy lần lượt $2$ viên bi từ hộp này. Xác suất để viên bi được lấy lần thứ $2$ là bi xanh là:

A.
$\frac{2}{5}$ .
B.
$\frac{5}{24}$ .
C.
$\frac{11}{12}$ .
D.
$\frac{8}{9}$ .

Ta có: Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega) = C_{10}^{1}.C_{9}^{1}$ .

Gọi $A$ là biến cố: “ Viên bi được lấy lần thứ $2$ là bi xanh”.

- Trường hợp 1: Lần 1 lấy viên đỏ, lần 2 lấy viên xanh: Có $C_{6}^{1}.C_{4}^{1}$ cách chọn.

- Trường hợp 2: Lần 1 lấy viên xanh, lần 2 lấy viên xanh: Có $C_{4}^{1}.C_{3}^{1}$ cách chọn.

$n(A) = C_{6}^{1}.C_{4}^{1} + C_{4}^{1}.C_{3}^{1}$ .

Vậy $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{24 + 12}{10.9} = \frac{2}{5}$ .

Câu 8: Thông hiểu

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất ba lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{91}{216}$
B.
$\frac{125}{216}$
C.
$\frac{81}{216}$
D.
$\frac{25}{216}$

Ta có: $n(\Omega) = 6^{3} =216$

Gọi A là biến cố ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố không có lần nào xuất hiện mặt sáu chấm.

$\Rightarrow n\left( \overline{A} ight)= 5^{3} = 125$

Khi đó xác suất của biến cố A cần tìm là: $P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 -\frac{125}{216} = \frac{91}{216}$

Câu 9: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ một tổ có 9 học sinh. Biết rằng xác suất chọn được 2 học sinh nữ bằng $\frac{5}{18}$ , hỏi tổ có bao nhiêu học sinh nữ?

A.
6
B.
5
C.
3
D.
4

Gọi số học sinh nữ là $n$ $(2 ≤ n ≤ 9, n ∈ \mathbb{N})$

Chọn bất kỳ 2 học sinh ta có $C_9^2 = 36$ cách.

Do đó số phần tử của không gian mẫu là $n(Ω) = 36$

Gọi biến cố A: “2 học sinh được chọn là 2 học sinh nữ”.

Để chọn 2 học sinh được 2 học sinh nữ có:

$C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} ight)!}} = \frac{{n\left( {n - 1} ight)}}{2}$ (cách)

Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:

$n\left( A ight) = \frac{1}{2}n\left( {n-1} ight)$

Xác suất để chọn được 2 học sinh nữ là:

$P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.n.\left( {n - 1} ight)}}{{36}} = \frac{{n\left( {n - 1} ight)}}{{72}}$

Mà $P\left( A ight) = \frac{5}{{18}}$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)}}{{72}} = \dfrac{5}{{18}} \hfill \\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} ight) = 20 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {n = 5\left( {tm} ight)} \\ {n = - 4\left( {ktm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy có 5 học sinh nữ trong tổ.

Câu 10: Thông hiểu

Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Xác suất để 3 quyển được lấy ra có ít nhất 1 quyển là toán là bao nhiêu?

A.
$\frac{2}{7}$ .
B.
$\frac{1}{21}$ .
C.
$\frac{37}{42}$ .
D.
$\frac{5}{42}$ .

Số cách lấy 3 quyển sách bất kì là $C_{9}^{3} = 84$ .

Số cách lấy được 3 quyển lý là $C_{4}^{0}.C_{3}^{3}.C_{2}^{0} = 1$ .

Số cách lấy được 2 quyển lý, 1 quyển hóa là $C_{4}^{0}.C_{3}^{2}.C_{2}^{1} = 6$ .

Số cách lấy được 1 quyển lý, 2 quyển hóa là $C_{4}^{0}.C_{3}^{1}.C_{2}^{2} = 3$ .

Số cách lấy 3 quyển sách mà không có sách toán là $1 + 6 + 3 = 10$ .

Suy ra số cách lấy 3 quyển sách mà có ít nhất 1 quyển sách toán là 74 cách.

Suy ra xác suất cần tìm là $\frac{37}{42}$ .

Câu 11: Thông hiểu

Trong lớp 10 A có 18 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh kiểm tra bài cũ. Xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{69}{77}$
B.
$\frac{65}{71}$
C.
$\frac{443}{506}$
D.
$\frac{68}{75}$

Ta có: $n(\Omega) = C_{35}^{4} = 52360$

Gọi A là biến cố 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố 4 học sinh được chọn chỉ có nam hoặc chỉ có nữ

4 học sinh được chọn đều là nam có $C_{18}^{4}$ cách

4 học sinh được chọn đều là nữ có $C_{17}^{4}$ cách

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố $\overline{A}$ là: $n\left( \overline{A} ight) = C_{18}^{4} + C_{17}^{4} = 2380 + 3060 = 5440$

$n(A) = n(\Omega) - n\left( \overline{A} ight) = 52360 - 5440 = 46920$

Vậy $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{46920}{52360} = \frac{69}{77}$

Câu 12: Vận dụng

Một bộ đề thi Olympic Toán lớp 11 của Trường THPT Z mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu mức dễ, 10 câu mức trung bình và 5 câu mức khó. Một đề thi được gọi là “Tốt” nếu trong đề thi phải có cả mức dễ, mức trung bình và khó, đồng thời số câu mức khó không ít hơn 2. Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi “Tốt”.

A.
$\frac{10}{5481}$ .
B.
$\frac{3125}{23751}$ .
C.
$\frac{17}{150}$ .
D.
$\frac{11}{71253}$ .

Chọn 5 câu trong tổng số 30 câu nên ta có không gian mẫu $n(\Omega) = C_{30}^{5}$ .

Gọi A là biến cố “Lấy ra được một đề thi “Tốt””.

TH1: 5 câu lấy ra có 2 câu khó, 1 câu dễ, 2 câu trung bình $C_{5}^{2}.C_{15}^{1}.C_{10}^{2}$ (cách).

TH2: 5 câu lấy ra có 2 câu khó, 2 câu dễ, 1 câu trung bình $C_{5}^{2}.C_{15}^{2}.C_{10}^{1}$ (cách).

TH3: 5 câu lấy ra có 3 câu khó, 1 câu dễ, 1 câu trung bình $C_{5}^{3}.C_{15}^{1}.C_{10}^{1}$ (cách).

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: $n(A) = C_{5}^{2}.C_{15}^{1}.C_{10}^{2} + C_{5}^{2}.C_{15}^{2}.C_{10}^{1} + C_{5}^{3}.C_{15}^{1}.C_{10}^{1}$ .

Xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{3125}{23751}$ .

Câu 13: Nhận biết

Xét một phép thử T và không gian mẫu là $\Omega$ . Giả sử C là một biến cố liên quan đến phép thử. Xác suất của biến cố C là:

A.
$P(C) = \frac{n(\Omega)}{n(C)}$
B.
$P(C) = 1 - \frac{n(C)}{n(\Omega)}$
C.
$P(C) = \frac{n(C)}{n(\Omega)}$
D.
$P(C) = \frac{1 - n(C)}{n(\Omega)}$

Công thức đúng là: $P(C) = \frac{n(C)}{n(\Omega)}$ .

Câu 14: Nhận biết

Gieo một đồng tiền liên tiếp $2$ lần. Số phần tử của không gian mẫu là bao nhiêu?

A.
$1$ .
B.
$5$ .
C.
$4$ . .
D.
$3$ .

$n(\Omega) = 2.2 = 4$ .

(lần 1 có 2 khả năng xảy ra - lần 2 có 2 khả năng xảy ra).

Câu 15: Nhận biết

Một hộp có 3 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ từ trong hộp. Không gian mẫu của phép thử đó là:

A.
{1;2;3}
B.
{1;2}
C.
{1}
D.
{1;3}

Mô tả không gian mẫu: $\Omega=\{1;2;3\}$ .

Câu 17: Thông hiểu

Một nhóm 18 học sinh gồm 10 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 5 học sinh. Tính xác suất để trong 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ?

A.
$\frac{3}{5}$
B.
$\frac{3}{11}$
C.
$\frac{10}{17}$
D.
$\frac{7}{17}$

Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega) = C_{18}^{5} = 8568$

Các trường hợp thỏa mãn điều kiện bài toán:

TH1: Chọn được 3 nam và 2 nữ: $C_{10}^{3}.C_{8}^{2} = 3360$ cách chọn

TH2: Chọn được 4 nam và 1 nữ: $C_{10}^{4}.C_{8}^{1} = 1680$ cách chọn

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “5 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ” là: $3360 + 1680 = 5040$ cách

Vậy xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{5040}{8568} = \frac{10}{17}$

Câu 18: Vận dụng

Một bảng vuông gồm $100 \times 100$ ô vuông đơn vị. Chọn ngẫu nhiên một ô hình chữ nhật. Xác suất để ô được chọn là hình vuông là bao nhiêu? (trong kết quả lấy 4 chữ số ở phần thập phân).

A.
$0,34.$
B.
$0,0133.$
C.
$0,6.$
D.
$0,0132.$

Để có một ô hình chữ nhật ta cần chọn 2 đường dọc trong tổng số 101 đường dọc, và hai đường ngang trong tổng số 101 đường ngang. Vậy có tất cả: $C_{101}^{2} \times C_{101}^{2} = 25502500$ ô hình chữ nhật.

Ta gọi phần mặt phẳng nằm giữa hai đường dọc hoặc hai đường ngang là một dải.

Một hình vuông bất kì chính là giao của hai dải có cùng độ rộng (một dải dọc, một dải ngang)

Số dải có độ rộng $k(k \in Z,1 \leq k \leq 100)$ là: $101 - k$

Vậy có tất cả: $\sum_{k = 1}^{100}{(101 - k)^{2}} = 100^{2} + 99^{2} + ... + 1^{2} = \frac{100(100 + 1)(2.100 + 1)}{6} = 338350$ hình vuông.

Xác suất cần tìm là: $\frac{338350}{25502500} = 0,013267... \approx 0,0133$

Câu 19: Nhận biết

Xét phép thử gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 6 mặt hai lần. Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”. Biến cố A gồm bao nhiêu kết quả?

A.
$n(A) = 6$ .
B.
$n(A) = 12$ .
C.
$n(A) = 16$ .
D.
$n(A) = 36$ .

Gọi cặp số $(x;y)$ là số chấm xuất hiện ở hai lần gieo.

Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”.

Các kết quả của biến cố A là: $\left\{ (1;1);(2;2);(3;3);(4;4);(5;5);(6;6) ight\}$ .

Suy ra $n(A) = 6$ .

Câu 20: Nhận biết

Trong các thí nghiệm sau thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên:

A.
Gieo đồng xu để xem xuất hiện mặt ngửa hay mặt sấp.
B.
Gieo đồng xu để xem xuất hiện mặt ngửa xuất hiện bao nhiêu lần.
C.
Chọn 1 học sinh bất kì trong lớp và xem kết quả là nam hay nữ.
D.
Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm có tất bao nhiêu viên bi.

"Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm có tất bao nhiêu viên bi". Đây không phải là phép thử ngẫu nhiên.

Câu 21: Nhận biết

Xét một phép thử có không gian mẫu $\Omega$ gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và A là một biến cố bất kì trong phép thử đó. Chọn phát biểu đúng dưới đây?

A.
$\Omega \subset A$
B.
$\Omega = A$
C.
$A = \varnothing$
D.
$A \subset \Omega$

Xét một phép thử có không gian mẫu $\Omega$ gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và A là một biến cố bất kì của phép thử đó. Khi đó $A \subset \Omega$ là phát biểu đúng.

Câu 22: Thông hiểu

Có bốn hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người và 2 toa còn lại không có người?

A.
$\frac{1}{4}$
B.
$\frac{3}{4}$
C.
$\frac{3}{16}$
D.
$\frac{13}{16}$

Vì mỗi hành khách có 4 cách chọn toa tàu nên: $n(\Omega) = 4^{4} = 256$

Để xếp theo yêu cầu của bài toán ta thực hiện các bước liên tiếp như sau:

Chọn 1 toa để xếp 3 người ta có: $C_{4}^{1} = 4$

Chọn 3 người để xếp vào toa đó là: $C_{4}^{3} = 4$

Chọn 1 toa từ 3 toa còn lại để xếp người còn lại vào: $C_{3}^{1} = 3$

Theo quy tắc nhân ta có: $4.4.3 = 48$

Vậy xác suất cần tìm là: $\frac{48}{256} = \frac{3}{16}$

Câu 23: Thông hiểu

Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là môn toán là bao nhiêu?

A.
$\frac{2}{7}$ .
B.
$\frac{1}{21}$ .
C.
$\frac{37}{42}$ .
D.
$\frac{5}{42}$ .

Số cách lấy 3 quyển sách bất kì là $C_{9}^{3} = 84$ .

Số cách lấy được 3 quyển thuộc môn toán là $C_{4}^{3}.C_{3}^{0}.C_{2}^{0} = 4$ .

Suy ra xác suất cần tìm là $\frac{1}{21}$ .

Câu 24: Vận dụng

Cho đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng:

A.
$\frac{11.8}{C_{11}^{4}}$ .
B.
$\frac{C_{36}^{8} - 32.8}{C_{46}^{3}}$ .
C.
$\frac{C_{12}^{3} - 12 - 12.8}{C_{12}^{3}}$ .
D.
$\frac{22 + 22.8}{C_{12}^{4}}$ .

Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{12}^{3}$ .

Gọi A: “Chọn được ba đỉnh tạo thành tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho”

Suy ra $\overline{A}$ : “Chọn được ba đỉnh tạo thành tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác đã cho”.

Do đó $\overline{A}$ : “Chọn được ba đỉnh tạo thành tam giác có một cạnh hoặc hai cạnh là cạnh của đa giác đã cho”.

Trường hợp 1: Chọn ra tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác đã cho, ta chọn ra 3 đỉnh liên tiếp của đa giác 12 cạnh. Có 12 cách.

Trường hợp 2: Chọn ra tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác đã cho, ta chọn ra 1 cạnh và 1 đỉnh không liền với 2 đỉnh của cạnh đó. Suy ra có 12 cách chọn một cạnh và $C_{8}^{1} = 8$ cách chọn đỉnh.

Vậy có 12.8 cách.

Số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là: $n\left( \overline{A} ight) = 12 + 12.8$ .

Số phần tử của biến cố A là: $n(A) = C_{12}^{3} - 12 - 12.8$ .

Xác suất của biến cố A là $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{C_{12}^{3} - 12 - 12.8}{C_{12}^{3}}$ .

Câu 25: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn $\lbrack 40;60brack$ . Tính xác suất của biến cố: “Chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục”.

A.
$\frac{3}{7}$
B.
$\frac{4}{21}$
C.
$\frac{11}{21}$
D.
$\frac{8}{21}$

Từ 40 đến 60 có 21 số nên $n(\Omega) = 21$

Các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $45;45;47;48;49;56;57;58;59$

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố: “Chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục” là 9.

Suy ra xác suất của biến cố cần tìm là $\frac{9}{21} = \frac{3}{7}$

Câu 26: Nhận biết

Gieo 2 con súc sắc và gọi kết quả xảy ra là tích số hai nút ở mặt trên. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

A.
$9$ .
B.
$18$ .
C.
$29$ .
D.
$39$ .

Mô tả không gian mẫu ta có: $\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;6;8;9;10;12;15;16;18;20;24;25;30;36 ight\}$ . (18 phần tử)

Câu 27: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 30 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng:

A.
$\frac{14}{29}$
B.
$\frac{28}{29}$
C.
$\frac{7}{29}$
D.
$\frac{1}{2}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{30}^{2} = 435$

Gọi A là biến cố: “Hai số được chọn có tổng là một số chẵn”

Tổng của hai số là một số chẵn khi và chỉ khi hai số đó đều chẵn hoặc đều lẻ.

Trong 30 số nguyên dương đầu tiên có 15 số lẻ và 15 số chẵn.

Xét trường hợp chọn được hai số lẻ ta có: $C_{15}^{2}$ cách chọn.

Xét trường hợp chọn được hai số chẵn ta có: $C_{15}^{2}$ cách chọn.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $C_{15}^{2} + C_{15}^{2} = 210$

Khi đó xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{210}{435} = \frac{14}{29}$ .

Câu 28: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để sau hai lần gieo được số chấm giống nhau.

A.
$\frac{5}{36}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{1}{2}$
D.
$1$

Gieo 2 con xúc xắc, số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega)=6.6=36$ .

Các kết quả thỏa mãn là: (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6). Có 6 kết quả.

Vậy xác suất là: $P=\frac6{36}=\frac16$ .

Câu 29: Nhận biết

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Xác suất của biến cố $A$ : "có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp" là bao nhiêu?

A.
$P(A) =\frac{1}{3}$ .
B.
$P(A) =\frac{3}{8}$ .
C.
$P(A) =\frac{1}{5}$ .
D.
$P(A) = \frac{1}{4}$ .

Chọn 2 trong 3 lần để xuất hiện mặt sấp có $C_{3}^{2} = 3$ cách.

2 lần xuất hiện mặt sấp có xác suất mỗi lần là $\frac{1}{2}$ . Lần xuất hiện mặt ngửa có xác suất là $\frac{1}{2}$ .

Vậy: $P(A) =3.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{3}{8}$ .

Câu 30: Nhận biết

Trong chiếc túi du lịch của anh X gồm 3 hộp thịt, 2 hộp cam và 3 hộp cơm. Vì một vài lí do mà những chiếc hộp đều bị mất nhãn. Anh X chọn ngẫu nhiên 3 hộp. Tính xác suất để 3 hộp có đủ 3 loại thực phẩm?

A.
$\frac{5}{14}$
B.
$\frac{9}{14}$
C.
$\frac{9}{28}$
D.
$\frac{19}{28}$

Chọn ngẫu nhiên 3 hộp từ 8 hộp ta có $n(\Omega) = C_{8}^{3}$

Để chọn được một hộp thịt; một hộp quả và 1 hộp sữa ta có số cách chọn là:

$C_{3}^{1}.C_{2}^{1}.C_{3}^{1}$

Vậy xác suất cần tìm là: $P = \frac{C_{3}^{1}.C_{2}^{1}.C_{3}^{1}}{n(\Omega)} = \frac{9}{28}$ .

Câu 31: Nhận biết

Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để cả hai lần xuất hiện mặt 6 chấm.

A.
$\frac{1}{36}$ .
B.
$\frac{11}{36}$ .
C.
$\frac{6}{36}$ .
D.
$\frac{8}{36}$ .

* Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{6}^{1}.C_{6}^{1} = 36$ .

* Gọi $A =$ ”Cả hai lần xuất hiện mặt sáu chấm”. Số phần tử của biến cố $A$ là $n(A) = 1$ .

* Xác suất của biến cố $A$ là $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{1}{36}$ .

Câu 32: Nhận biết

Từ một hộp chứa $7$ quả cầu màu đỏ và $5$ quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ quả cầu. Tính xác suất để 3 quả cầu lấy được đều màu xanh.

A.
$\frac{1}{22}$ .
B.
$\frac{2}{7}$ .
C.
$\frac{5}{12}$ .
D.
$\frac{7}{44}$

Gọi $A$ là biến cố: “lấy được $3$ quả cầu màu xanh”.

Ta có $P(A) = \frac{C_{5}^{3}}{C_{12}^{3}} = \frac{1}{22}$ .

Câu 33: Vận dụng

Xếp ngẫu nhiên 5 bạn nam và 3 bạn nữ vào một bàn tròn. Xác suất để không có ba bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.

A.
$\frac{3}{7}$ .
B.
$\frac27$ .
C.
$\frac{2}{85}$ .
D.
$\frac{3}{83}$ .

Theo công thức hoán vị vòng quanh ta có: $|\Omega| = 7!$

Để xếp các bạn nữ không ngồi cạnh nhau, trước hết ta xếp các bạn nam vào bàn tròn: có $4!$ cách, giữa 5 bạn nam đó ta sẽ có được 5 ngăn (do ở đây là bàn tròn). Xếp chỉnh hợp 3 bạn nữ vào 5 ngăn đó có $A_{5}^{3}$ cách.

Vậy xác suất xảy ra là: $P = \frac{4!.A_{5}^{3}}{7!} = \frac{2}{7}$ .

Câu 34: Nhận biết

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Xác suất của biến cố $A$ : "lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp" là bao nhiêu?

A.
$P(A) =\frac{1}{2}$ . .
B.
$P(A) =\frac{5}{8}$ .
C.
$P(A) =\frac{1}{8}$ .
D.
$P(A) = \frac{1}{4}$ .

Xác suất để lần đầu xuất hiện mặt sấp là $\frac{1}{2}$ . Lần 2 và 3 thì tùy ý nên xác suất là 1.

Theo quy tắc nhân xác suất: $P(A) =\frac{1}{2}.1.1 = \frac{1}{2}$ .

Câu 36: Thông hiểu

Gieo ba con xúc xắc một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc bằng 9?

A.
$\frac{5}{24}$
B.
$\frac{25}{216}$
C.
$\frac{35}{216}$
D.
$\frac{25}{108}$

Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trên ba mặt của ba con xúc xắc là 9”

Vì $\left\{ \begin{matrix} 9 = 1 + 2 + 6 \\ 9 = 2 + 3 + 4 \\ 9 = 1 + 3 + 5 \\ 9 = 1 + 4 + 4 \\ 9 = 2 + 2 + 5 \\ 9 = 3 + 3 + 3 \\ \end{matrix} ight.$ nên $n(A) = 3.3! + 3.2 + 1 = 25$

Lại có $|\Omega| = 6^{3} = 216$

Khi đó xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{25}{216}$

Câu 37: Thông hiểu

Trên bàn có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để trong ba quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển là toán?

A.
$\frac{34}{35}$
B.
$\frac{6}{7}$
C.
$\frac{22}{35}$
D.
$\frac{31}{35}$

Xác suất để trong ba quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán là: $1 - \frac{C_{3}^{3}}{C_{7}^{3}} = \frac{34}{35}$

Câu 38: Nhận biết

Một lớp có $40$ học sinh, trong đó có $4$ học sinh tên Anh. Trong một lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên hai học sinh trong lớp lên bảng. Tính xác suất để 2 bạn học sinh tên Anh cùng lên bảng.

A.
$\frac{1}{10}$ .
B.
$\frac{1}{20}$ .
C.
$\frac{1}{130}$ .
D.
$\frac{1}{75}$ .

Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega) = C_{40}^{2} = 780$ .

Gọi $A$ là biến cố gọi hai học sinh tên Anh lên bảng, ta có $n(A) = C_{4}^{2} = 6$ .

Vậy xác suất cần tìm là $P(A) = \frac{6}{780} = \frac{1}{130}$ .

Câu 39: Vận dụng

Cho năm đoạn thẳng có độ dài: $1\ cm$ , $3\ cm$ , $5\ cm$ , $7\ cm$ , $9\ cm$ . Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng đó. Tính xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra là ba cạnh của một tam giác.

A.
$\frac{1}{5}$ .
B.
$\frac{4}{5}$ .
C.
$\frac{3}{10}$ .
D.
$\frac{7}{10}$ .

* Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng đã cho có $C_{5}^{3} = 10$ cách.

Suy ra $n(\Omega) = 10$ .

* Gọi $A$ là biến cố "lấy được ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác".

Các trường hợp ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác là:

$\left\{ 3;5;7 ight\},\ \left\{ 3;7;9 ight\},\ \left\{ 5;7;9 ight\}$ (thỏa mãn: hiệu hai cạnh bé hơn cạnh còn lại, tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại).

Do đó $n(A) = 3.$ Vậy sác xuất cần tìm là $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{3}{10}$ .

Câu 40: Vận dụng

Cho một đa giác đều có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi X là tập các tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác trên. Xác suất để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều bằng: