Một hộp có 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp (sau khi chọn mỗi viên lại thả lại vào hộp). Không gian mẫu là:
Mô tả không gian mẫu: .
(Xanh là X, đỏ là D, vàng là V).
Một hộp có 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp (sau khi chọn mỗi viên lại thả lại vào hộp). Không gian mẫu là:
Mô tả không gian mẫu: .
(Xanh là X, đỏ là D, vàng là V).
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố “Số chấm xuất hiện trong lần gieo không bé hơn 3”.
Số phần tử của không gian mẫu là:
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Số chấm xuất hiện trong lần gieo không bé hơn 3” là:
Xác suất của biến cố A là: .
Gieo ba con xúc xắc một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc bằng 9?
Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trên ba mặt của ba con xúc xắc là 9”
Vì nên
Lại có
Khi đó xác suất của biến cố A là:
Viết tập hợp Ω là không gian mẫu trong trò chơi tung đồng xu hai lần liên tiếp.
Ta có: Ω = {SS; SN; NS; NN}.
Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên
bước. Xác suất sau
bước quân vua trở về ô xuất phát là bao nhiêu?

Tại mọi ô đang đứng, ông vua có khả năng lựa chọn để bước sang ô bên cạnh.
Do đó không gian mẫu .
Gọi là biến cố “sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát”. Sau ba bước quân vua muốn quay lại ô ban đầu khi ông vua đi theo đường khép kín tam giá
Chia hai trường hợp:
+ Từ ô ban đầu đi đến ô đen, đến đây có cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu.
+ Từ ô ban đầu đi đến ô trắng, đến đây có cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu.
Do số phần tử của biến cố A là .
Vậy xác suất .
Xác suất của biến cố A, kí hiệu là:
Xác suất của biến cố A, kí hiệu là: P(A).
Gọi
là xác suất của biến cố A trong phép thử
. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Vì là xác suất của biến cố A trong phép thử T ta luôn có
.
Cho phép thử có không gian mẫu
. Cặp biến cố không đối nhau là cặp nào trong các cặp dưới đây?
Cặp biến cố không đối nhau là và
do
và
.
Một nhóm 18 học sinh gồm 10 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 5 học sinh. Tính xác suất để trong 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ?
Số phần tử không gian mẫu
Các trường hợp thỏa mãn điều kiện bài toán:
TH1: Chọn được 3 nam và 2 nữ: cách chọn
TH2: Chọn được 4 nam và 1 nữ: cách chọn
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “5 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ” là: cách
Vậy xác suất của biến cố A là:
Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Xác suất của biến cố
: "ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp" là bao nhiêu?
Ta có: : "không có lần nào xuất hiện mặt sấp" hay cả 3 lần đều mặt ngửa.
Theo quy tắc nhân xác suất: .
Vậy: .
Cho năm đoạn thẳng có độ dài:
,
,
,
,
. Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng đó. Tính xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra là ba cạnh của một tam giác.
* Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng đã cho có cách.
Suy ra .
* Gọi là biến cố "lấy được ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác".
Các trường hợp ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác là:
(thỏa mãn: hiệu hai cạnh bé hơn cạnh còn lại, tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại).
Do đó Vậy sác xuất cần tìm là
.
Một người chọn ngẫu nhiên đồng thời 4 quân bài từ bộ tú lơ khơ 52 quân bài. Tính xác suất của biến cố: “Cả 4 quân bài đều là Át”?
Số phần tử không gian mẫu:
Chỉ có đúng 1 cách để lấy được cả 4 quân bài đều là Át nên xác suất cần tìm là:
Gieo đồng tiền hai lần. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần là bao nhiêu?
Số phần tử không gian mẫu:.
Biến cố xuất hiện mặt sấp ít nhất một lần: .
Suy ra .
Gieo ngẫu nhiên một đồng tiên cân đối, đồng chất 3 lần liên tiếp. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:
Ta có:
Gọi A là biến cố “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”
Vậy
Một lớp học có
học sinh trong đó có
cặp anh em sinh đôi. Trong buổi họp đầu năm thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra
học sinh để làm cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó và bí thư. Xác suất để chọn ra
học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào là bao nhiêu?
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên học sinh trong
học sinh.
Suy ra số phần tử không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
học sinh được chọn không có cặp anh em sinh đôi nào
. Để tìm số phần tử của
, ta đi tìm số phần tử của biến cố
, với biến cố
là
học sinh được chọn luôn có
cặp anh em sinh đôi.
+ Chọn cặp em sinh đôi trong
cặp em sinh đôi, có
cách.
+ Chọn thêm học sinh trong 38 học sinh, có
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Ba xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia, xác suất trúng đích lần lượt là 0,5; 0,6 và 0,7. Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng bia là:
Gọi A là biến có người thứ nhất bắn trúng thì là biến cố người thứ nhất bắn trượt.
Vậy ;
.
Gọi B là biến cố người thứ hai bắn trúng và C là biến cố người thứ ba bắn trúng.
Tương tự ta có ;
;
;
.
Để hai người bắn trúng bia có các khả năng sau xảy ra:
Trường hợp 1: Người thứ nhất và thứ hai bắn trúng, người thứ ba bắn trượt.
Xác suất xảy ra là: .
Trường hợp 2: Người thứ nhất và thứ ba bắn trúng, người thứ hai bắn trượt.
Xác suất xảy ra là: .
Trường hợp 3: Người thứ hai và thứ ba bắn trúng, người thứ nhất bắn trượt.
Xác suất xảy ra là: .
Vậy xác suất để hai người bắn trúng bia là: .
Gieo ngẫu nhiên một xon xúc xắc cân đối, đồng chất 1 lần. Gọi A là biến cố “số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bé hơn 3”. Biến cố đối của biến cố A là:
Biến cố đối của biến cố A là “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc không bé hơn 3.”
Thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên?
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta chưa biết được kết quả là gì.
Đáp án “Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất cả bao nhiêu viên bi.” không phải là phép thử vì ta biết chắc chắn kết quả chỉ có thể là một số cụ thể số bi xanh và số bi đỏ.
Một hộp chứa: bi xanh, bi đỏ và bi vàng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Gọi A là biến cố: “Lấy được viên bi đỏ”. Biến cố đối của biến cố A là:
Biến cố đối của biến cố A là “Lấy được viên bi xanh hoặc bi vàng”.
Một bình chứa 16 viên vi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong bình đó. Tính xác suất lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ.
Số cách lấy 3 viên bi bất kì là .
Số cách lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ là .
Suy ra xác suất cần tìm là.
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn
. Tính xác suất của biến cố: “Chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục”.
Từ 40 đến 60 có 21 số nên
Các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là:
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố: “Chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục” là 9.
Suy ra xác suất của biến cố cần tìm là
Biến cố chắc chắn kí hiệu là gì?
Biến cố chắc chắn kí hiệu là
Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không lớn hơn 3 là:
Số phàn tử không gian mẫu là:
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không lớn hơn 3” là:
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Một lớp có
học sinh, trong đó có
học sinh tên Anh. Trong một lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên hai học sinh trong lớp lên bảng. Tính xác suất để 2 bạn học sinh tên Anh cùng lên bảng.
Số phần tử của không gian mẫu .
Gọi là biến cố gọi hai học sinh tên Anh lên bảng, ta có
.
Vậy xác suất cần tìm là .
Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố: “Hiệu số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 1”.
Ta có:
Gọi A là biến cố “Hiệu số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 1”
Vậy
Một hộp chứa các viên bi kích thước khác nhau, trong đó có 5 viên bi màu đỏ và 6 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 viên bi từ hộp. Tính xác suất để trong 4 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi màu vàng.
Số phần tử của không gian mẫu là:
Số cách để lấy 4 viên bi trong đó có đúng một viên bi màu vàng là:
Xác suất của biến cố A là:
Một hộp chứa 8 tấm thẻ được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 8 (hai tấm thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau). Rút ngẫu nhiên đồng thời hai tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để rút được hai tấm thẻ đều ghi số chẵn?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “Rút được hai tấm thẻ đều ghi số chẵn”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số được lập từ tập hợp X = {1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Xác suất để số chọn được chia hết cho 6 bằng:
Số phần tử trong không gian mẫu là .
Gọi A là biến cố: “số chọn được chia hết cho 6”.
Giả sử số cần tìm là .
Do số cần tìm chia hết cho 6 nên chia hết cho 2.
Do đó chọn có 4 cách.
Chọn a, b có cách. Để chọn c ta xét tổng
:
Nếu M chia cho 3 dư 0 thì suy ra có 3 cách chọn.
Nếu M chia cho 3 dư 1 thì suy ra có 3 cách chọn.
Nếu M chia cho 3 dư 2 thì suy ra có 3 cách chọn.
Do đó .
Vậy .
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 30 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “Hai số được chọn có tổng là một số chẵn”
Tổng của hai số là một số chẵn khi và chỉ khi hai số đó đều chẵn hoặc đều lẻ.
Trong 30 số nguyên dương đầu tiên có 15 số lẻ và 15 số chẵn.
Xét trường hợp chọn được hai số lẻ ta có: cách chọn.
Xét trường hợp chọn được hai số chẵn ta có: cách chọn.
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:
Khi đó xác suất của biến cố A là: .
Trên bàn có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để trong ba quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển là toán?
Xác suất để trong ba quyển lấy ra có ít nhất một quyển sách Toán là:
Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 30. Xác suất để số được chọn là một số nguyên tố bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “học sinh được chọn là học sinh nam?”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Gieo con súc sắc hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt 6 chấm. Mô tả biến cố A.
Liệt kê ta có: .
Trong chiếc túi du lịch của anh X gồm 3 hộp thịt, 2 hộp cam và 3 hộp cơm. Vì một vài lí do mà những chiếc hộp đều bị mất nhãn. Anh X chọn ngẫu nhiên 3 hộp. Tính xác suất để 3 hộp có đủ 3 loại thực phẩm?
Chọn ngẫu nhiên 3 hộp từ 8 hộp ta có
Để chọn được một hộp thịt; một hộp quả và 1 hộp sữa ta có số cách chọn là:
Vậy xác suất cần tìm là: .
Năm đoạn thẳng có độ dài 1cm; 3cm; 5cm; 7cm; 9cm. Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng trên. Xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra có thể tạo thành 1 tam giác là:
Phân tích: Cần nhớ lại kiến thức cơ bản về bất đẳng thức tam giác.
Ba đoạn thẳng với chiều dài có thể là 3 cạch của một tam giác khi và chỉ khi
Số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi là biến cố “lấy ba đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác”
Các khả năng chọn được ba đoạn thẳng lập thành một tam giác là
Số trường hợp thuận lợi của biến cố là 3. Suy ra xác suất của biến cố
là
.
Một thùng có
sản phẩm, trong đó có
sản phẩm loại
và
sản phẩm loại
. Lấy ngẫu nhiên
sản phẩm từ thùng đó. Xác suất để lấy được
sản phẩm cùng loại là bao nhiêu?
Lấy ngẫu nhiên sản phẩm trong
sản phẩm thì có
(cách).
sản phẩm được lấy ra đều là sản phẩm loại
có
(cách).
sản phẩm được lấy ra đều là sản phẩm loại
có
(cách).
Xác suất để lấy được sản phẩm cùng loại là
.
Một hộp đựng
thẻ được đánh số từ
đến
. Phải rút ra ít nhất k thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho
lớn hơn
. Tính giá trị của k.
Gọi biến cố : Lấy
tấm thẻ có ít nhất một tấm thẻ chia hết cho
. Với
.
Suy ra : Lấy
tấm thẻ không có tấm thẻ nào chia hết cho
.
Ta có:
.
Theo đề: .
Vậy là giá trị cần tìm.