Đề kiểm tra 45 phút Chương 10 Xác suất

Câu 1: Thông hiểu

Một tổ học sinh gồm 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh. Tính xác suất sao cho 2 người có cả nam và nữ?

A.
$\frac{8}{15}$
B.
$\frac{1}{5}$
C.
$\frac{7}{15}$
D.
$\frac{1}{15}$

Số phần tử không gian mẫu là:

$n(\Omega) = C_{10}^{2} = 45$

Gọi A là biến cố 2 người được chọn có đủ nam và nữ

Số phần tử của biến cố A là: $n(A) = 7.3 = 21$

Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là: $P(B) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$

Câu 2: Nhận biết

Một nhóm học sinh lớp 10A gồm 10 học sinh trong đó có 4 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên bốn học sinh trong nhóm để tham gia cuộc thi hùng biện. Xác suất để bốn bạn được chọn có ba nam và một nữ bằng:

A.
$\frac{8}{21}$
B.
$\frac{4}{35}$
C.
$\frac{2}{21}$
D.
$\frac{1}{63}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{10}^{4} = 210$

Số kết quả thuận lợi cho biến cố: “Bốn bạn được chọn có ba nam và một nữ” bằng: $C_{6}^{3}.C_{4}^{1} = 80$

Vậy xác suất của biến cố “Bốn bạn được chọn có ba nam và một nữ” bằng: $\frac{80}{210} = \frac{8}{21}$

Câu 3: Nhận biết

Kí hiệu nào sau đây là kí hiệu của biến cố chắc chắn?

A.
Ω
B.
∅
C.
M
D.
c

Kí hiệu biến cố chắc chắn là Ω.

Câu 4: Nhận biết

Gieo 1 con xúc xắc 1 lần. Biến cố A: “Số chấm xuất hiện nhỏ hơn 4”. Mô tả biến cố A.

A.
{1;2;3}
B.
{1;2;3;4;5}
C.
{5;6}
D.
{1;2;3}

Mô tả biến cố A: A = {1;2;3}.

Câu 5: Nhận biết

Gieo 2 con súc sắc và gọi kết quả xảy ra là tích số hai nút ở mặt trên. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

A.
$9$ .
B.
$18$ .
C.
$29$ .
D.
$39$ .

Mô tả không gian mẫu ta có: $\Omega = \left\{ 1;2;3;4;5;6;8;9;10;12;15;16;18;20;24;25;30;36 ight\}$ . (18 phần tử)

Câu 6: Vận dụng

Ba xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia, xác suất trúng đích lần lượt là 0,5; 0,6 và 0,7. Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng bia là:

A.
0,35.
B.
0,44.
C.
0,42.
D.
0,88.

Gọi A là biến có người thứ nhất bắn trúng thì $\overline{A}$ là biến cố người thứ nhất bắn trượt.

Vậy $P(A) = 0,5$ ; $P\left( \overline{A} ight) = 0,5$ .

Gọi B là biến cố người thứ hai bắn trúng và C là biến cố người thứ ba bắn trúng.

Tương tự ta có $P(B) = 0,6$ ; $P\left( \overline{B} ight) = 0,4$ ; $P(C) = 0,7$ ; $P\left( \overline{C} ight) = 0,3$ .

Để hai người bắn trúng bia có các khả năng sau xảy ra:

Trường hợp 1: Người thứ nhất và thứ hai bắn trúng, người thứ ba bắn trượt.

Xác suất xảy ra là: $P(A).P(B).P\left( \overline{C} ight) = 0,5.0,6.0,3 = 0,09$ .

Trường hợp 2: Người thứ nhất và thứ ba bắn trúng, người thứ hai bắn trượt.

Xác suất xảy ra là: $P(A).P\left( \overline{B} ight).P(C) = 0,5.0,4.0,7 = 0,14$ .

Trường hợp 3: Người thứ hai và thứ ba bắn trúng, người thứ nhất bắn trượt.

Xác suất xảy ra là: $P\left( \overline{A} ight).P(B).P(C) = 0,5.0,6.0,7 = 0,21$ .

Vậy xác suất để hai người bắn trúng bia là: $0,09 + 0,14 + 0,21 = 0,44$ .

Câu 7: Thông hiểu

Lớp 12 có 9 học sinh giỏi, lớp 11 có 10 học sinh giỏi, lớp 10 có 3 học sinh giỏi. Chọn ngẫu nhiên hai trong số học sinh đó. Tính xác suất để cả hai học sinh đó cùng một lớp.

A.
$\frac{2}{11}.$
B.
$\frac{4}{11}.$
C.
$\frac{3}{11}.$
D.
$\frac{5}{11}.$

Số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega| = C_{22}^{2} = 231$ .

Gọi $A$ là biến cố cả hai học sinh được chọn từ cùng một lớp.

Chọn 2 học sinh của lớp 12, có $C_{9}^{2} = 36$ (cách).

Chọn 2 học sinh của lớp 11, có $C_{10}^{2} = 45$ (cách).

Chọn 2 học sinh của lớp 10, có $C_{3}^{2} = 3$ (cách).

Suy ra $\left| \Omega_{A} ight| = 36 + 45 + 3 = 84$ .

Xác suất cần tìm là $P(A) = \frac{84}{231} = \frac{4}{11}$ .

Câu 8: Thông hiểu

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất ba lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{91}{216}$
B.
$\frac{125}{216}$
C.
$\frac{81}{216}$
D.
$\frac{25}{216}$

Ta có: $n(\Omega) = 6^{3} =216$

Gọi A là biến cố ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố không có lần nào xuất hiện mặt sáu chấm.

$\Rightarrow n\left( \overline{A} ight)= 5^{3} = 125$

Khi đó xác suất của biến cố A cần tìm là: $P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 -\frac{125}{216} = \frac{91}{216}$

Câu 9: Nhận biết

Gieo một con xúc xắc. Gọi K là biến cố số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số nguyên tố. Hãy xác định biến cố K.

A.
K = {1; 2; 3; 5}
B.
K = {2; 3; 5}
C.
K = {3; 5}
D.
K = {2; 3; 5; 7}

Ta có: K = {2; 3; 5}.

Câu 10: Thông hiểu

Tại khoa truyền nhiễm của bệnh viện A có 12 bác sĩ và tỉ lệ bác sĩ nam và bác sĩ nữ bằng nhau. Chọn ngẫu nhiên 6 bác sĩ trong khoa để lập đoàn kiểm tra truyền nhiễm trong khu vực B. Tính xác suất để 6 bác sĩ được chọn có số bác sĩ nam bằng số bác sĩ nữ?

A.
$\frac{100}{231}$
B.
$\frac{1}{924}$
C.
$\frac{5}{8316}$
D.
$\frac{5}{231}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{12}^{6} = 924$

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “6 bác sĩ được chọn có số bác sĩ nam bằng số bác sĩ nữ” là: $n(A) = C_{6}^{3}.C_{6}^{3} = 400$

Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{400}{924} = \frac{100}{231}$

Câu 11: Thông hiểu

Trong một hộp chứa một số bi, mỗi bi mang một số từ 1 đến 21 và không có hai bi nào mang số giống nhau. Chọn ngẫu nhiên từ hộp đó ra 2 bi. Xác suất hai bi được chọn đều mang số lẻ là:

A.
$\frac{3}{14}$
B.
$\frac{5}{14}$
C.
$\frac{23}{42}$
D.
$\frac{11}{42}$

Số cách chọn 2 bi từ 21 bi là: $C_{21}^{2}$

Từ số 1 đến 21 có 11 số lẻ nên số cách chọn được 2 viên bi đều mang số lẻ là: $C_{11}^{2}$

Vậy xác suất để hai viên bi đều ghi số lẻ là: $\frac{C_{11}^{2}}{C_{21}^{2}} = \frac{11}{42}$

Câu 12: Vận dụng

Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ . Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. Xác suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{5}{216}$ .
B.
$\frac{1}{969}$ .
C.
$\frac{3}{323}$ .
D.
$\frac{2}{9}$ .

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ ” $\Rightarrow n(\Omega) = C_{20}^{4} = 4845$ .

Gọi A là biến cố:” 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật”

Đa giác có 20 đỉnh sẽ có 10 đường chéo đi qua tâm mà cứ 2 đường chéo qua tâm sẽ có 1 hình chữ nhật nên số HCN là: $n(A) = C_{10}^{2} = 45.$

$P(A) = \frac{45}{4845} = \frac{3}{323}$ .

Câu 13: Thông hiểu

Một hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong các quả cầu còn lại. Tính xác suất để kết quả của hai lần lấy được 2 quả cầu cùng màu.

A.
$\frac{4}{95}.$
B.
$\frac{48}{85}.$
C.
$\frac{47}{95}.$
D.
$\frac{81}{85}.$

Không gian mẫu là lấy 2 quả cầu trong hộp một cách lần lượt ngẫu nhiên.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega| = C_{20}^{1}.C_{19}^{1}$ .

Gọi $A$ biến cố $''$ 2 quả cầu được lấy cùng màu $''$ . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố $A$ như sau:

TH1: Lần thứ nhất lấy quả màu trắng và lần thứ hai cũng màu trắng.

Do đó trường hợp này có $C_{8}^{1}.C_{7}^{1}$ cách.

TH2: Lần thứ nhất lấy quả màu đen và lần thứ hai cũng màu đen.

Do đó trường hợp này có $C_{12}^{1}.C_{11}^{1}$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $\left| \Omega_{A} ight| = C_{8}^{1}.C_{7}^{1} + C_{12}^{1}.C_{11}^{1}$ .

Vậy xác suất cần tính $P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{C_{8}^{1}.C_{7}^{1} + C_{12}^{1}.C_{11}^{1}}{C_{20}^{1}.C_{19}^{1}} = \frac{47}{95}.$

Câu 14: Nhận biết

Trong một hộp đựng $7$ bi màu đỏ, $5$ bi màu xanh và $3$ bi vàng, lấy ngẫu nhiên $3$ viên bi. Xác suất để 3 viên bi lấy được đều có màu đỏ là:

A.
$\frac{1}{13}$ .
B.
$\frac{3}{7}$ .
C.
$\frac{1}{5}$ .
D.
$\frac{7}{15}$ .

Tổng số có $7 + 5 + 3 = 15$ viên bi.

Lấy ngẫu nhiên $3$ viên bi từ $15$ viên có $C_{15}^{3} = 455$ (cách lấy).

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = 455$ .

Gọi $A$ : $3$ viên bi lấy được đều có màu đỏ<img class="data-latex" data-type="2" src="https://tex.vdoc.vn?tex=%22" data-latex="" "="" alt=""">.

Lấy $3$ viên bi màu đỏ từ $7$ viên bi màu đỏ có $C_{7}^{3} = 35 \Rightarrow n(A) = 35$ .

Vậy xác suất để $3$ viên bi lấy được đều có màu đỏ là $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{45}{455} = \frac{1}{13}$ .

Câu 15: Nhận biết

Xét một phép thử có không gian mẫu $\Omega$ gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và A là một biến cố bất kì trong phép thử đó. Chọn phát biểu đúng dưới đây?

A.
$\Omega \subset A$
B.
$\Omega = A$
C.
$A = \varnothing$
D.
$A \subset \Omega$

Xét một phép thử có không gian mẫu $\Omega$ gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và A là một biến cố bất kì của phép thử đó. Khi đó $A \subset \Omega$ là phát biểu đúng.

Câu 16: Thông hiểu

Một lớp có 43 học sinh trong đó có 23 học sinh nữ và 20 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh. Xác suất để 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ gần nhất với kết quả nào dưới đây?

A.
$0,85$
B.
$0,97$
C.
$0,96$
D.
$0,95$

Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{43}^{5} = 962598$

Số cách chọn 5 học sinh chỉ có nam hoặc chỉ có nữ là:

$C_{20}^{5} + C_{23}^{5} = 49153$

Số cách chọn 5 học sinh có cả nam và nữ là: $C_{20}^{5}$

$962598 - 49153 = 913445$

Xác suất của biến cố 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ là: $P = \frac{913445}{962598} \approx 0,95$

Câu 17: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên một gia đình có 4 người con và quan sát giới tính của bốn người con này. Xác suất của biến cố hai con đầu là con trai bằng:

A.
$\frac{1}{3}$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{1}{4}$
D.
$\frac{1}{5}$

Ta có: $n(\Omega) = 2^{4} =16$

Gọi A là biến cố “Hai con đầu là con trai”

$\Rightarrow A = \left\{TTGG;TTGT;TTTG;TTTT ight\}$

$\Rightarrow n(A) = 4$

Vậy $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} =\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ .

Câu 18: Vận dụng

Cho đa giác đều có $14$ đỉnh. Chọn ngẫu nhiên $3$ đỉnh trong số $14$ đỉnh của đa giác. Xác suất để $3$ đỉnh được chọn là $3$ đỉnh của một tam giác vuông là bao nhiêu?

A.
$\frac{3}{13}$ .
B.
$\frac{2}{13}$ .
C.
$\frac{1}{13}$ .
D.
$\frac{5}{13}$ .

Số phần tử không gian mẫu là $|\Omega| = C_{14}^{3}$ .

Giả sử tam giác cần lập là $ABC$ vuông tại $A$ .

Chọn đỉnh $A$ của tam giác có $14$ cách.

Để tam giác vuông tại $A$ thì cung $BC$ có số đo là $\pi$ , hay $BC$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác, do đó có $6$ cách chọn $BC$ .

Gọi $E$ là biến cố " $3$ đỉnh được chọn là $3$ đỉnh của một tam giác vuông"

Số phần tử của $E$ là $14.6 = 84$ .

Xác suất cần tìm là $P(E) = \frac{84}{C_{14}^{3}} = \frac{3}{13}$ .

Câu 19: Thông hiểu

Có bốn hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người và 2 toa còn lại không có người?

A.
$\frac{1}{4}$
B.
$\frac{3}{4}$
C.
$\frac{3}{16}$
D.
$\frac{13}{16}$

Vì mỗi hành khách có 4 cách chọn toa tàu nên: $n(\Omega) = 4^{4} = 256$

Để xếp theo yêu cầu của bài toán ta thực hiện các bước liên tiếp như sau:

Chọn 1 toa để xếp 3 người ta có: $C_{4}^{1} = 4$

Chọn 3 người để xếp vào toa đó là: $C_{4}^{3} = 4$

Chọn 1 toa từ 3 toa còn lại để xếp người còn lại vào: $C_{3}^{1} = 3$

Theo quy tắc nhân ta có: $4.4.3 = 48$

Vậy xác suất cần tìm là: $\frac{48}{256} = \frac{3}{16}$

Câu 20: Nhận biết

Rút ngẫu nhiên một thẻ từ hộp chứa 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Tính xác suất của biến cố “Rút được tấm thẻ ghi số chia hết cho 3”.

A.
$0,5$
B.
$0,7$
C.
$0,3$
D.
$0,4$

Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = 10$

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Số trên tấm thẻ được rút ra chia hết cho 3” là:

$A = \left\{ 3;6;9 ight\}$

$\Rightarrow n(A) = 3$

Xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{3}{10} = 0,3$

Câu 21: Nhận biết

Cho A là biến cố liên quan đến phép thử có không gian mẫu $\Omega$ . Tìm mệnh đề đúng.

A.
$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$
B.
$0 \leq P(A) < 1$
C.
$0 < P(A) \leq 1$
D.
$P(A) = \frac{n(\Omega)}{n(A)}$

Theo định nghĩa xác suất cổ điển, cho phép thử T có không gian mẫu $\Omega$ . Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khả năng, khi đó cho A là biến cố có liên quan đến phép thử có không gian mẫu $\Omega$ . Thì xác suất của biến cố A được tính bởi công thức $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$ , trong đó $n(A);n(\Omega)$ tương ứng là số phần tử của biến cố A và của không gian mẫu.

Câu 22: Nhận biết

Gieo đồng tiền hai lần. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần là bao nhiêu?

A.
$\frac{1}{4}$ .
B.
$\frac{1}{5}$ .
C.
$\frac{3}{4}$ . .
D.
$\frac{2}{3}$ .

Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = 2.2 = 4$ .

Biến cố xuất hiện mặt sấp ít nhất một lần: $A = \left\{ SN;NS;SS ight\}$ .

Suy ra $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{3}{4}$ .

Câu 23: Vận dụng

Cho một đa giác đều có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi X là tập các tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác trên. Xác suất để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều bằng:

A.
$\frac{21}{136}$ .
B.
$\frac{3}{37}$ .
C.
$\frac{15}{136}$ .
D.
$\frac{17}{816}$ .

Số các tam giác bất kỳ là $n(\Omega) = C_{18}^{3}$ .

Số các tam giác đều là $\frac{18}{3} = 6$ .

Có 18 cách chọn một đỉnh của đa giác, mỗi đỉnh có 8 cách chọn 2 đỉnh còn lại để được một tam giác cân.

Số các tam giác cân là: 18.8 = 144.

Số các tam giác cân không đều là: $144 - 6.3 = 126 \Rightarrow n(A) = 126$ .

Xác suất cần tìm là $P(A) = \frac{126}{C_{18}^{3}} = \frac{21}{136}$ .

Câu 24: Thông hiểu

Một bình chứa $6$ viên bi màu, trong đó có $2$ bi xanh, $2$ bi đỏ, $2$ bi trắng. Lấy ngẫu nhiên $2$ viên bi từ bình đó. Tính xác suất để lấy được $2$ viên bi khác màu.

A.
$\frac{1}{15}$ .
B.
$\frac{2}{15}$ .
C.
$\frac{4}{5}$ .
D.
$\frac{4}{15}$ .

Lấy $2$ viên bi bất kì trong $6$ viên bi trong bình thì có $C_{6}^{2} = 15$ (cách).

Lấy $2$ viên bi cùng màu thì có $C_{2}^{2} + C_{2}^{2} + C_{2}^{2} = 3$ (cách) nên có $15 - 3 = 12$ (cách) lấy được $2$ viên bi khác màu.

Xác suất để lấy được $2$ viên bi khác màu trong tổng số $6$ viên bi là $P = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ .

Câu 25: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ một tổ có 9 học sinh. Biết rằng xác suất chọn được 2 học sinh nữ bằng $\frac{5}{18}$ , hỏi tổ có bao nhiêu học sinh nữ?

A.
6
B.
5
C.
3
D.
4

Gọi số học sinh nữ là $n$ $(2 ≤ n ≤ 9, n ∈ \mathbb{N})$

Chọn bất kỳ 2 học sinh ta có $C_9^2 = 36$ cách.

Do đó số phần tử của không gian mẫu là $n(Ω) = 36$

Gọi biến cố A: “2 học sinh được chọn là 2 học sinh nữ”.

Để chọn 2 học sinh được 2 học sinh nữ có:

$C_n^2 = \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} ight)!}} = \frac{{n\left( {n - 1} ight)}}{2}$ (cách)

Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:

$n\left( A ight) = \frac{1}{2}n\left( {n-1} ight)$

Xác suất để chọn được 2 học sinh nữ là:

$P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.n.\left( {n - 1} ight)}}{{36}} = \frac{{n\left( {n - 1} ight)}}{{72}}$

Mà $P\left( A ight) = \frac{5}{{18}}$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} ight)}}{{72}} = \dfrac{5}{{18}} \hfill \\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} ight) = 20 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {n = 5\left( {tm} ight)} \\ {n = - 4\left( {ktm} ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy có 5 học sinh nữ trong tổ.

Câu 26: Vận dụng

Cho tập hợp $A = \left\{ 1,2,\ 3,\ ...,\ 10 ight\}$ . Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập đó. Tính xác suất để trong ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp.

A.
$P = \frac{13}{90}$ .
B.
$P = \frac{1}{25}$ .
C.
$P = \frac{7}{10}$ .
D.
$P = \frac{7}{15}$ .

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{10}^{3} = 120$ .

Gọi $B$ là biến cố “Ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp”.

$\Rightarrow$ $\overline{B}$ là biến cố “Ba số được chọn có ít nhất hai số là các số tự nhiên liên tiếp”.

+ Bộ ba số dạng $\left( 1\ ,\ 2\ ,\ a_{1} ight)$ , với $a_{1} \in A\backslash\left\{ 1\ ,\ 2 ight\}$ : có $8$ bộ ba số.

+ Bộ ba số có dạng $\left( 2\ ,\ 3\ ,\ a_{2} ight)$ , với $a_{2} \in A\backslash\left\{ 1\ ,\ 2\ ,\ 3 ight\}$ : có $7$ bộ ba số.

+ Tương tự mỗi bộ ba số dạng $\left( 3\ ,\ 4\ ,\ a_{3} ight)$ , $\left( 4\ ,\ 5\ ,\ a_{4} ight)$ , $\left( 5\ ,\ 6\ ,\ a_{5} ight)$ , $\left( 6\ ,\ 7\ ,\ a_{6} ight)$ , $\left( 7\ ,\ 8\ ,\ a_{7} ight)$ , $\left( 8\ ,\ 9\ ,\ a_{8} ight)$ , $\left( 9\ ,\ 10\ ,\ a_{9} ight)$ đều có $7$ bộ.

$\Rightarrow n\left( \overline{B} ight) = 8 + 8.7 = 64$ .

$\Rightarrow P(B) = 1 - P\left( \overline{B} ight) = 1 - \frac{64}{120} = \frac{7}{15}$ .

Câu 27: Nhận biết

Giả sử E là một biến cố liên quan phép thử $T$ với không gian mẫu $\Omega$ . Phát biểu nào dưới đây sai?

A.
$P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)}$
B.
$0 \leq P(E) \leq 1$
C.
$P(E) = 1 - P\left( \overline{E} ight)$
D.
$P(E) = 0$ khi và chỉ khi $E$ là biến cố chắc chắn.

$P(E) = 0$ khi và chỉ khi $E$ là biến cố không thể.

Câu 28: Thông hiểu

Gieo ba con xúc xắc một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc bằng 9?

A.
$\frac{5}{24}$
B.
$\frac{25}{216}$
C.
$\frac{35}{216}$
D.
$\frac{25}{108}$

Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trên ba mặt của ba con xúc xắc là 9”

Vì $\left\{ \begin{matrix} 9 = 1 + 2 + 6 \\ 9 = 2 + 3 + 4 \\ 9 = 1 + 3 + 5 \\ 9 = 1 + 4 + 4 \\ 9 = 2 + 2 + 5 \\ 9 = 3 + 3 + 3 \\ \end{matrix} ight.$ nên $n(A) = 3.3! + 3.2 + 1 = 25$

Lại có $|\Omega| = 6^{3} = 216$

Khi đó xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{25}{216}$

Câu 29: Thông hiểu

Một bình chứa 16 viên vi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ bình đó. Tính xác suất lấy được cả 3 viên bi đều không có màu đỏ.

A.
$\frac{1}{560}$ .
B.
$\frac{1}{16}$ .
C.
$\frac{1}{28}$ .
D.
$\frac{143}{280}$ .

Số cách lấy 3 viên bi bất kì là $C_{16}^{3} = 560$ .

Số cách lấy được 3 viên bi trắng là $C_{7}^{3}.C_{6}^{0}.C_{3}^{0} = 35$ .

Số cách lấy được 2 viên bi trắng, 1 viên bi đen là $C_{7}^{2}.C_{6}^{1}.C_{3}^{0} = 126$ .

Số cách lấy được 1 viên bi trắng, 2 viên bi đen là $C_{7}^{1}.C_{6}^{2}.C_{3}^{0} = 105$ .

Số cách lấy được 3 viên bi đen là $C_{7}^{0}.C_{6}^{3}.C_{3}^{0} = 20$ .

Số cách lấy được cả 2 viên bi không đỏ là $35 + 126 + 105 + 20 = 286$ .

Suy ra xác suất cần tìm là $\frac{143}{280}$ .

Câu 31: Nhận biết

Từ một hộp chứa $7$ quả cầu màu đỏ và $5$ quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ quả cầu. Tính xác suất để 3 quả cầu lấy được đều màu xanh.

A.
$\frac{1}{22}$ .
B.
$\frac{2}{7}$ .
C.
$\frac{5}{12}$ .
D.
$\frac{7}{44}$

Gọi $A$ là biến cố: “lấy được $3$ quả cầu màu xanh”.

Ta có $P(A) = \frac{C_{5}^{3}}{C_{12}^{3}} = \frac{1}{22}$ .

Câu 32: Nhận biết

Gieo đồng tiền hai lần. Biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng $1$ lần có bao nhiêu phần tử?

A.
$2$ . .
B.
$4$ .
C.
$5$ .
D.
$6$ .

Liệt kê ta có: $A = \left\{ NS.SN ight\}$ . (2 phần tử)

Câu 33: Nhận biết

Một hộp chứa 10 tấm thẻ được đánh số lần lượt từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố: “Tấm thẻ được rút ra ghi số chẵn”?

A.
$\frac{1}{2}$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{2}{5}$
D.
$\frac{5}{6}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{10}^{1} = 10$

Gọi A là biến cố: “Tấm thẻ được rút ra ghi số chẵn” $\Rightarrow n(A) = 5$

Vậy xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Câu 35: Nhận biết

Thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên?

A.
Gieo đồng tiền xem nó mặt ngửa hay mặt sấp.
B.
Gieo $3$ đồng tiền và xem có mấy đồng tiền lật ngửa.
C.
Chọn bất kì 1 học sinh trong lớp và xem là nam hay nữ.
D.
Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất cả bao nhiêu viên bi.

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta chưa biết được kết quả là gì.

Đáp án “Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất cả bao nhiêu viên bi.” không phải là phép thử vì ta biết chắc chắn kết quả chỉ có thể là một số cụ thể số bi xanh và số bi đỏ.

Câu 36: Vận dụng

Một đề thi trắc nghiệm gồm $50$ câu, mỗi câu có bốn phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được $0,2$ điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên $1$ trong $4$ phương án ở mỗi câu. Xác suất để thí sinh đó được $6$ điểm là bao nhiêu?

A.
$0,5^{30}.0,75^{20}$ .
B.
$0,25^{20}.0,5^{30}$ .
C.
$0,25^{30}.0,75^{20}.C_{50}^{20}$ .
D.
$1 - 0,25^{20}.0,75^{30}$ .

Không gian mẫu của phép thử trên có số phần tử là $|\Omega| = 4^{50}$ .

Gọi $A$ là biến cố: “ Thí sinh đó được 6 điểm”

Tìm $\left| \Omega_{A} ight|$ : Để được 6 điểm, thí sinh đó phải làm đúng 30 câu và làm sai 20 câu.

Công đoạn 1: Chọn 30 câu từ 50 câu để làm câu đúng. Có $C_{50}^{30}$ cách.

Công đoạn 2: Chọn phương án đúng của mỗi câu từ 30 câu đã chọn. Có $1^{30}$ cách.

Công đoạn 3: Chọn một phương án sai trong ba phương án sai của mỗi câu từ 20 còn lại. Có $3^{20}$ cách.

Theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là $\left| \Omega_{A} ight| = C_{50}^{30}.1^{30}.3^{20}$ .

Vậy xác suất để học sinh đó được 6 điểm là: $P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{C_{50}^{30}.1^{30}.3^{20}}{4^{50}} = C_{50}^{30}.0,25^{30}.0,75^{20} = C_{50}^{20}.0,25^{30}.0,75^{20}$ .

Câu 37: Nhận biết

Một hộp chứa 8 tấm thẻ được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 8 (hai tấm thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau). Rút ngẫu nhiên đồng thời hai tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để rút được hai tấm thẻ đều ghi số chẵn?

A.
$\frac{1}{7}$
B.
$\frac{3}{14}$
C.
$\frac{1}{2}$
D.
$\frac{1}{14}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{8}^{2} = 28$

Gọi A là biến cố: “Rút được hai tấm thẻ đều ghi số chẵn”

$\Rightarrow n(A) = 4$

Vậy xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$

Câu 38: Nhận biết

Một tổ học sinh có $6$ nam và $4$ nữ. Chọn ngẫu nhiên $2$ người. Xác suất chọn được 2 nữ là:

A.
$\frac{2}{15}$ .
B.
$\frac{7}{15}$ .
C.
$\frac{8}{15}$ .
D.
$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$ .

Chọn ngẫu nhiên $2$ người trong $10$ người có $C_{10}^{2}$ cách chọn.

Hai người được chọn đều là nữ có $C_{4}^{2}$ cách.

Xác suất để hai người được chọn đều là nữ là: $\frac{C_{4}^{2}}{C_{10}^{2}} = \frac{2}{15}$ .

Câu 39: Nhận biết

Trong chiếc túi du lịch của anh X gồm 3 hộp thịt, 2 hộp cam và 3 hộp cơm. Vì một vài lí do mà những chiếc hộp đều bị mất nhãn. Anh X chọn ngẫu nhiên 3 hộp. Tính xác suất để 3 hộp có đủ 3 loại thực phẩm?

A.
$\frac{5}{14}$
B.
$\frac{9}{14}$
C.
$\frac{9}{28}$
D.
$\frac{19}{28}$

Chọn ngẫu nhiên 3 hộp từ 8 hộp ta có $n(\Omega) = C_{8}^{3}$

Để chọn được một hộp thịt; một hộp quả và 1 hộp sữa ta có số cách chọn là:

$C_{3}^{1}.C_{2}^{1}.C_{3}^{1}$

Vậy xác suất cần tìm là: $P = \frac{C_{3}^{1}.C_{2}^{1}.C_{3}^{1}}{n(\Omega)} = \frac{9}{28}$ .

Câu 40: Vận dụng

Một túi đựng 10 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi đó. Xác suất để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 bằng:

A.
$\frac{1}{5}$ .
B.
$\frac{2C_{3}^{3} + C_{4}^{3} + C_{3}^{1}C_{3}^{1}C_{4}^{1}}{C_{10}^{3}}$ .
C.
$\frac{3C_{5}^{3} + C_{6}^{3}}{C_{10}^{4}}$ .
D.
$\frac{3C_{4}^{1}C_{5}^{1}C_{6}^{1}}{C_{12}^{3}}$ .

Số cách rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi có 10 thẻ là: $C_{10}^{3}$ cách.

Trong các số từ 1 đến 10 có ba số chia hết cho 3, bốn số chia cho 3 dư 1, ba số chia cho 3 dư 2.

Để tổng các số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 thì ba thẻ đó phải có số được ghi thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

- Ba số đều chia hết cho 3.

- Ba số đều chia cho 3 dư 1.

- Ba số đều chia cho 3 dư 2.

- Một số chia hết cho 3, một số chia cho 3 dư 1, một số chia cho 3 dư 2.

Do đó số cách rút để tổng số ghi trên 3 thẻ rút được là một số chia hết cho 3 là $C_{3}^{3} + C_{4}^{3} + C_{3}^{3} + C_{3}^{1}C_{4}^{1}C_{3}^{1}$ (cách).

Vậy xác suất cần tìm là: $\frac{2C_{3}^{3} + C_{4}^{3} + C_{3}^{1}C_{3}^{1}C_{4}^{1}}{C_{10}^{3}}$ .

Đề kiểm tra 45 phút Chương 10 Xác suất

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!