Gieo một con xúc xắc hai lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố “Tổng số chấm trong hai lần gieo bằng 6”.
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trong hai lần gieo bằng 6”.
Tập hợp các kết quả của biến cố A là:
Suy ra
Vậy xác suất của biến cố A là:
Gieo ngẫu nhiên 
đồng tiền thì không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu biến cố:
Mô tả không gian mẫu ta có: . (4 phần tử)
Cho và là hai biến cố đối nhau. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
Mệnh đề đúng là:
Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Biến cố nào là biến cố chắc chắn?
Do xúc xắc có 6 mặt có số chấm từ 1 đến 6 nên biến cố chắc chắn là “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm không vượt quá 6”.
Hai cậu bé cùng bắn bi vào lỗ. Xác suất người thứ nhất bắn trúng vào lỗ là 85%, xác suất người thứ hai bắn trúng vào lỗ là 70%. Hỏi xác suất để cả hai người cùng bắn trúng vào lỗ:
Xác suất người thứ nhất bắn trúng lỗ: 0,85
Xác suất người thứ hai bắn trúng bia: 0,7
Xác suất để cả hai người cùng bắn trúng bia: 0,85.0,7 = 0,595 = 59,5%
Một hộp đèn có 12 bóng, trong đó có 4 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Xác suất luôn lấy được 1 bóng hỏng là:
Trong 3 bóng có 1 bóng hỏng
Ta có .
Gọi biến cố A : “Trong 3 bóng lấy ra có 1 bóng hỏng”.
Tính được .
Vậy .
Một nhóm có 6 nam và 4 nữ. Cần chọn 3 bạn để đi trực nhật. Tính xác suất sao cho trong các bạn được chọn luôn có bạn nữ.
Chọn 3 bạn bất kì từ 10 bạn, suy ra .
Gọi A là biến cố "3 bạn đi trực nhật luôn có mặt bạn nữ".
Trường hợp 1: 3 bạn nữ
Có: (cách)
Trường hợp 2: 2 bạn nữ + 1 bạn nam
Có: (cách)
Trường hợp 3: 1 bạn nữ + 2 bạn nam
Có: (cách)
Vậy .
Xác suất .
Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp. Xác suất để 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu là bao nhiêu?
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp chứa 14 viên bi. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu
. Để tìm số phần tử của biến cố
ta đi tìm số phần tử của biến cố
tức là 6 viên bi lấy ra không có đủ ba màu như sau
TH1: Chọn 6 viên bi chỉ có một màu (chỉ chọn được màu vàng).
Do đó trường hợp này có cách.
TH2: Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và đỏ, có cách.
Chọn 6 viên bi có đúng hai màu đỏ và vàng, có cách.
Chọn 6 viên bi có đúng hai màu xanh và vàng, có cách.
Do đó trường hợp này có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Một bình chứa 16 viên vi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ bình đó. Tính xác suất lấy được cả 3 viên bi đều không có màu đỏ.
Số cách lấy 3 viên bi bất kì là .
Số cách lấy được 3 viên bi trắng là .
Số cách lấy được 2 viên bi trắng, 1 viên bi đen là .
Số cách lấy được 1 viên bi trắng, 2 viên bi đen là .
Số cách lấy được 3 viên bi đen là .
Số cách lấy được cả 2 viên bi không đỏ là .
Suy ra xác suất cần tìm là .
Gieo đồng tiền hai lần. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần là bao nhiêu?
Số phần tử không gian mẫu:.
Biến cố xuất hiện mặt sấp ít nhất một lần: .
Suy ra .
Cho một đa giác đều có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi X là tập các tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác trên. Xác suất để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều bằng:
Số các tam giác bất kỳ là .
Số các tam giác đều là .
Có 18 cách chọn một đỉnh của đa giác, mỗi đỉnh có 8 cách chọn 2 đỉnh còn lại để được một tam giác cân.
Số các tam giác cân là: 18.8 = 144.
Số các tam giác cân không đều là: .
Xác suất cần tìm là .
Hoạt động nào sau đây không phải là phép thử?
Các hoạt động ở các phương án:
" Chọn một trong ba bạn An, Bình, Cường tham gia cuộc thi chạy điền kinh."
"Chơi trò chơi gắp thú nhồi bông."
"Chọn một quyển sách bất kì trên giá sách và đọc tên của quyển sách đó."
Đều là phép thử vì ta không thể đoán trước được kết quả của hoạt động đó mặc dù biết được tất cả các kết quả có thể xảy ra.
Hoạt động ở phương án A không phải là phép thử vì ta có thể đoán trước được kết quả của hoạt động đó là: 2 + 5 + 3 = 10 (chiếc bút bi).
Nguyên lí xác suất bé được phát biểu như sau: “Nếu có một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ …”. Cụm từ cần điền vào chỗ trống là:
Nguyên lí xác suất bé được phát biểu như sau: “Nếu có một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra”.
Cho một phép thử có không gian mẫu . Giả thiết rằng các kết quả có thể của là đồng khả năng. Khi đó nếu là một biến cố liên quan đến phép thử thì xác suất của (kí hiệu là ) được cho bởi công thức nào sau đây? Biết rằng kí hiệu số phần tử của không gian mẫu và tập E lần lượt là.
Nếu E là một biến cố có liên quan đến phép thử T thì xác suất của biến cố E được xác định bởi công thức .
Một bộ đề thi Olympic Toán lớp 11 của Trường THPT Z mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu mức dễ, 10 câu mức trung bình và 5 câu mức khó. Một đề thi được gọi là “Tốt” nếu trong đề thi phải có cả mức dễ, mức trung bình và khó, đồng thời số câu mức khó không ít hơn 2. Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi “Tốt”.
Chọn 5 câu trong tổng số 30 câu nên ta có không gian mẫu .
Gọi A là biến cố “Lấy ra được một đề thi “Tốt””.
TH1: 5 câu lấy ra có 2 câu khó, 1 câu dễ, 2 câu trung bình (cách).
TH2: 5 câu lấy ra có 2 câu khó, 2 câu dễ, 1 câu trung bình (cách).
TH3: 5 câu lấy ra có 3 câu khó, 1 câu dễ, 1 câu trung bình (cách).
Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: .
Xác suất của biến cố A là: .
Gieo đồng tiền hai lần. Biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng lần có bao nhiêu phần tử?
Liệt kê ta có: . (2 phần tử)
Một hộp có:
• 2 viên bi trắng được đánh số từ 1 đến 2;
• 3 viên bi xanh được đánh số từ 3 đến 5;
• 2 viên bi đỏ được đánh số từ 6 đến 7.
Lấy ngẫu nhiên hai viên bi, mô tả không gian mẫu nào dưới đây là đúng?
Mỗi viên bi đánh một số, nên 2 viên bi lấy ra mang số khác nhau.
Vậy Ω ={(m, n)| 1 ≤ m ≤ 7, 1 ≤ n ≤ 7 và m ≠ n}.
Phát biểu nào sau đây đúng?
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử, biến cố đó sẽ không xảy ra.
Một hộp chứ 3 quả cầu xanh và 7 quả cầu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu trong hộp. Tính xác suất để hai quả cầu được chọn ra có cùng màu?
Ta có:
Gọi A là biến cố: “Chọn được hai quả cầu cùng màu”
TH1: 2 quả cầu cùng màu xanh ta có: cách chọn
TH2: 2 quả cầu cùng màu đỏ ta có: cách chọn.
Vậy xác suất của biến cố A là:
Một tổ học sinh gồm 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh. Tính xác suất sao cho 2 người có cả nam và nữ?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố 2 người được chọn có đủ nam và nữ
Số phần tử của biến cố A là:
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Hộp có viên bi trắng, viên bi đỏ và viên bi xanh. Hộp có viên bi trắng, viên bi đỏ và viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu là bao nhiêu?
Số phần tử của không gian mẫu: .
Số cách chọn từ mỗi hộp 1 viên bi sau cho 2 viên bi cùng màu là: .
Vậy xác suất cần tìm là .
Một hộp chứa quả cầu gồm quả màu xanh và quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để quả cầu chọn ra cùng màu.
Số cách lấy ra 2 quả cầu trong 11 quả là , Suy ra
.
Gọi A là biến cố lấy được 2 quả cùng màu. Suy ra .
Xác suất của biến cố A là .
Gieo cùng một lúc hai con xúc xắc khác màu nhưng cân đối và đồng chất một lần. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt xúc xắc lớn hơn 7?
Ta có:
Các kết quả thuận lợi cho biến cố C: “tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt xúc xắc lớn hơn 7” là:
Vậy xác suất của biến cố C là: .
Một người có đôi giày khác nhau và trong lúc đi du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên chiếc.
Xác suất để trong chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi là bao nhiêu?
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên chiếc giày từ
chiếc giày.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi
. Để tìm số phần tử của biến cố
, ta đi tìm số phần tử của biến cố
, với biến cố
là
chiếc giày được chọn không có đôi nào.
● Số cách chọn đôi giày từ
đôi giày là
.
● Mỗi đôi chọn ra chiếc, thế thì mỗi chiếc có
cách chọn. Suy ra
chiếc có
cách chọn.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Giả sử xúc xắc xuất hiện mặt b chấm. Xác suất để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
Mà
=>
Gieo con xúc xắc cân đối và đồng chất =>
Biến cố A xúc xắc xuất hiện mặt b chấm thỏa mãn phương trình =>
=> Xác suất để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Xác suất của biến cố : "kết quả của 3 lần gieo là như nhau" là bao nhiêu?
Lần đầu có thể ra tùy ý nên xác suất là 1. Lần 2 và 3 phải giống lần 1 xác suất là .
Theo quy tắc nhân xác suất: .
Trong các thí nghiệm sau thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên:
"Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm có tất bao nhiêu viên bi". Đây không phải là phép thử ngẫu nhiên.
Một chiếc hộp đựng 5 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số ghi trên hai thẻ đều là số lẻ”. Tính số phần tử của biến cố A?
Số phần tử của biến cố A là:
Cho biết:
Hộp 1: chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh.
Hộp 2: chứa 5 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh.
Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 viên bi. Xác suất để lấy các viên bi có cùng màu bằng:
Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp 1 ta có:
Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp 2 ta có:
Ta có số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố các viên bi lấy ra cùng màu.
Số phần tử của biến cố A là:
Vậy xác suất cần tìm là:
Giáo viên chủ nhiệm mang đến lớp 6 cuốn sách khoa học và 4 cuốn sách tham khảo (các sách khác nhau từng đôi một). Giáo viên cho bạn C mượn ngẫu nhiên 3 quyển sách để đọc. Tính xác suất của biến cố: “X mượn ít nhất một cuốn sách tham khảo”.
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “X mượn ít nhất một cuốn sách tham khảo”.
Khi đó là biến cố X mượn 3 cuốn sách khoa học. Khi đó:
Vậy xác suất của biến cố A là:
Giả sử tập hợp là tập hợp các số có 4 chữ số được tạo thành từ tập hợp . Lấy ngẫu nhiên một số bất kì từ tập . Xác suất để số được chọn có đúng hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ:
Mỗi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ các số của tập C là một chỉnh hợp chập 4 của 9
Số cách lấy một bộ có 4 chữ số gồm 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ được tập từ C là:
Mỗi bộ như vậy sẽ lập được số
Suy ra
Vậy xác suất của biến cố B là:
Tại khoa truyền nhiễm của bệnh viện A có 12 bác sĩ và tỉ lệ bác sĩ nam và bác sĩ nữ bằng nhau. Chọn ngẫu nhiên 6 bác sĩ trong khoa để lập đoàn kiểm tra truyền nhiễm trong khu vực B. Tính xác suất để 6 bác sĩ được chọn có số bác sĩ nam bằng số bác sĩ nữ?
Số phần tử không gian mẫu là:
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “6 bác sĩ được chọn có số bác sĩ nam bằng số bác sĩ nữ” là:
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca. Tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ.
Không gian mẫu là chọn tùy ý người từ
người.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
4 người được ó ít nhất 3 nữ
. Ta có hai trường hợp thuận lợi cho biến cố
như sau:
TH1:: Chọn 3 nữ và 1 nam, có cách.
TH2:: Cả 4 nữ, có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Một nhóm học sinh lớp 10A gồm 10 học sinh trong đó có 4 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên bốn học sinh trong nhóm để tham gia cuộc thi hùng biện. Xác suất để cả bốn bạn được chọn đều là nữ bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Số kết quả thuận lợi cho biến cố: “Cả bốn bạn được chọn đều là nữ” bằng:
Vậy xác suất của biến cố ”Cả bốn bạn được chọn đều là nữ” bằng:
Một tổ có học sinh nam và học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên học sinh. Xác suất để trong học sinh được chọn luôn có học sinh nữ là:
.
Gọi là biến cố:” trong
học sinh được chọn luôn có học sinh nữ”
Vậy xác suất của biến cố là
.
Chọn ngẫu nhiên 3 số tự nhiên từ tập hợp . Xác suất của để trong 3 số tự nhiên được chọn không có 2 số tự nhiên liên tiếp bằng bao nhiêu?
Có tất cả cách chọn 3 số tự nhiên từ tập hợp
.
Suy ra .
Xét biến cố “Chọn 3 số tự nhiên sao cho không có 2 số tự nhiên liên tiếp”.
Ta có “Chọn 3 số tự nhiên sao luôn có 2 số tự nhiên liên tiếp”.
Xét các trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: Trong ba số chọn được chỉ có 2 số liên tiếp:
- Nếu 2 số liên tiếp là hoặc
thì số thứ ba có
cách chọn (do không tính số liên tiếp sau và trước mỗi cặp số đó).
- Nếu 2 số liên tiếp là ,
,.,
thì số thứ ba có
cách chọn (do không tính 2 số liền trước và sau mỗi cặp số đó).
Trường hợp này có cách chọn.
+ Trường hợp 2: Chọn được 3 số liên tiếp.
Tức là chọn các bộ ,
,.,
: có tất cả 2017 cách.
Suy ra .
Vậy .
Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 2 chữ số khác nhau lập từ . Chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập . Xác suất để tích hai số chọn được là một số chẵn là:
Ta có điều kiện chủ chốt “tích hai số được chọn là một số chẵn” 
Tồn tại ít nhất một trong hai số được chọn là chẵn.
Gọi là số tự nhiên có hai chữ số khác nhau được lập từ các số đã cho
Số cách chọn là 6 cách; Số cách chọn
cách 
Số các số có hai chữ số khác nhau tạo được là số. Suy ra
có
phần tử.
Số cách lấy ngẫu nhiên 2 số từ tập :
cách
Gọi biến cố : “Tích hai số được chọn là một số chẵn”
Gọi biến cố : “Tích hai số được chọn là một số lẻ”
Số các số lẻ trong :
(3 cách chọn chữ số hàng đơn vị là lẻ, 5 cách chọn chữ số hàng chục khác 0).
Số cách lấy ngẫu nhiên 2 số lẻ trong 15 số lẻ: cách
Suy ra . Vậy
.
Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ hộp chứa 9 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh. Tính xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh?
Ta có:
Gọi A là biến cố “lấy được 3 quả cầu màu xanh”
Vậy .
Một hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong các quả cầu còn lại. Tính xác suất để kết quả của hai lần lấy được 2 quả cầu cùng màu.
Không gian mẫu là lấy 2 quả cầu trong hộp một cách lần lượt ngẫu nhiên.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi biến cố
2 quả cầu được lấy cùng màu
. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố
như sau:
TH1: Lần thứ nhất lấy quả màu trắng và lần thứ hai cũng màu trắng.
Do đó trường hợp này có cách.
TH2: Lần thứ nhất lấy quả màu đen và lần thứ hai cũng màu đen.
Do đó trường hợp này có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính
