Đề kiểm tra 45 phút Chương 10 Xác suất

Câu 1: Nhận biết

Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Xác suất của biến cố $A$ : "có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp" là bao nhiêu?

A.
$P(A) =\frac{1}{3}$ .
B.
$P(A) =\frac{3}{8}$ .
C.
$P(A) =\frac{1}{5}$ .
D.
$P(A) = \frac{1}{4}$ .

Chọn 2 trong 3 lần để xuất hiện mặt sấp có $C_{3}^{2} = 3$ cách.

2 lần xuất hiện mặt sấp có xác suất mỗi lần là $\frac{1}{2}$ . Lần xuất hiện mặt ngửa có xác suất là $\frac{1}{2}$ .

Vậy: $P(A) =3.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{3}{8}$ .

Câu 3: Vận dụng

Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào là bao nhiêu?

A.
$\frac{94}{95}.$
B.
$\frac{1}{95}.$
C.
$\frac{6}{95}.$
D.
$\frac{89}{95}.$

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên $3$ người trong $20$ người.

Suy ra số phần tử không gian mẫu là $|\Omega| = C_{20}^{3} = 1140$ .

Gọi $A$ là biến cố $''3$ người được chọn không có cặp vợ chồng nào $''$ . Để tìm số phần tử của $A$ , ta đi tìm số phần tử của biến cố $\overline{A}$ , với biến cố $\overline{A}$ là $3$ người được chọn luôn có $1$ cặp vợ chồng.

+ Chọn $1$ cặp vợ chồng trong $4$ cặp vợ chồng, có $C_{4}^{1}$ cách.

+ Chọn thêm $1$ người trong 18 người, có $C_{18}^{1}$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là $\left| \Omega_{\overline{A}} ight| = C_{4}^{1}.C_{18}^{1} = 72$ .

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $\left| \Omega_{A} ight| = 1140 - 72 = 1068$ .

Vậy xác suất cần tính $P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{1068}{1140} = \frac{89}{95}$ .

Câu 4: Vận dụng

Ba xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia, xác suất trúng đích lần lượt là 0,5; 0,6 và 0,7. Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng bia là:

A.
0,35.
B.
0,44.
C.
0,42.
D.
0,88.

Gọi A là biến có người thứ nhất bắn trúng thì $\overline{A}$ là biến cố người thứ nhất bắn trượt.

Vậy $P(A) = 0,5$ ; $P\left( \overline{A} ight) = 0,5$ .

Gọi B là biến cố người thứ hai bắn trúng và C là biến cố người thứ ba bắn trúng.

Tương tự ta có $P(B) = 0,6$ ; $P\left( \overline{B} ight) = 0,4$ ; $P(C) = 0,7$ ; $P\left( \overline{C} ight) = 0,3$ .

Để hai người bắn trúng bia có các khả năng sau xảy ra:

Trường hợp 1: Người thứ nhất và thứ hai bắn trúng, người thứ ba bắn trượt.

Xác suất xảy ra là: $P(A).P(B).P\left( \overline{C} ight) = 0,5.0,6.0,3 = 0,09$ .

Trường hợp 2: Người thứ nhất và thứ ba bắn trúng, người thứ hai bắn trượt.

Xác suất xảy ra là: $P(A).P\left( \overline{B} ight).P(C) = 0,5.0,4.0,7 = 0,14$ .

Trường hợp 3: Người thứ hai và thứ ba bắn trúng, người thứ nhất bắn trượt.

Xác suất xảy ra là: $P\left( \overline{A} ight).P(B).P(C) = 0,5.0,6.0,7 = 0,21$ .

Vậy xác suất để hai người bắn trúng bia là: $0,09 + 0,14 + 0,21 = 0,44$ .

Câu 5: Nhận biết

Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc cân đối đồng chất $2$ lần. Xác suất mà số chấm của hai lần gieo là như nhau là bao nhiêu?

A.
$\frac{1}{8}$ .
B.
$\frac{1}{6}$ .
C.
$\frac{1}{7}$ .
D.
$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}$ .

Gọi $A$ là biến cố “Số chấm trong hai lần gieo là bằng nhau”.

$n(\Omega) = 36$ .

$A = \left\{ (1,1);\ (2,2);...;(6,6) ight\}$ , $n(A) = 6$ .

Vậy $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .

Câu 6: Nhận biết

Một homestay có 6 phòng đơn. Trên trang web của homestay có 6 nam và 4 nữ đặt phòng. Người chủ homestay chọn ngẫu nhiên 6 người cho nhận phòng. Tính xác suất để cả 6 người được chọn là nam?

A.
$\frac{1}{210}$
B.
$\frac{11}{210}$
C.
$\frac{1}{105}$
D.
$\frac{7}{210}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{10}^{6} = 210$

Chọn ngẫu nhiên 6 người đều là nam ta có: $C_{6}^{6} = 1$ cách chọn

Vậy xác suất để chọn 6 người đều là nam là: $P = \frac{1}{210}$ .

Câu 7: Nhận biết

Kí hiệu nào sau đây là kí hiệu của biến cố chắc chắn?

A.
Ω
B.
∅
C.
M
D.
c

Kí hiệu biến cố chắc chắn là Ω.

Câu 8: Nhận biết

Cho $B$ và $\overline{B}$ là hai biến cố đối nhau. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?

A.
$P(A) = P\left( \overline{A} ight)$
B.
$P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight)$
C.
$P(A) + P\left( \overline{A} ight) = 0$
D.
$P(A) = 1 + P\left( \overline{A} ight)$

Mệnh đề đúng là: $P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight)$

Câu 9: Nhận biết

Gọi $P(A)$ là xác suất của biến cố A trong phép thử $T$ . Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A.
$0 < P(A) < 1$
B.
$P(A) > 1$
C.
$0 \leq P(A) \leq 1$
D.
$P(A) < 0$

Vì $P(A)$ là xác suất của biến cố A trong phép thử T ta luôn có $0 \leq P(A) \leq 1$ .

Câu 10: Thông hiểu

Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối và đồng chất liên tiếp hai lần. Tính xác suất để lần gieo đầu con xúc xắc xuất hiện mặt lẻ chấm.

A.
$\frac{1}{2}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{2}{3}$
D.
$\frac{2}{5}$

Không gian mẫu $\Omega = \left\{ (i;j)|i;j = 1,2,3,4,5,6 ight\}$

Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega) = 36$

Gọi A là biến cố: “Lần gieo đầu con xúc xắc xuất hiện mặt lẻ chấm”.

$\Rightarrow n(A) = 3.6 = 18$

Xác suất để lần gieo đầu con xúc xắc xuất hiện mặt lẻ chấm là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{1}{2}$ .

Câu 11: Thông hiểu

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Giả sử xúc xắc xuất hiện mặt b chấm. Xác suất để phương trình $x^{2} + bx + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt là:

A.
$\frac{3}{5}$
B.
$\frac{5}{6}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{2}{3}$

Phương trình $x^{2} + bx + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

$\begin{matrix} \Delta > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {b^2} - 4.2 > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {b^2} - 8 > 0 \hfill \\ \Leftrightarrow b \in \left( { - \infty ; - 2\sqrt 2 } ight) \cup \left( {2\sqrt 2 ; + \infty } ight) \hfill \\ \end{matrix}$

Mà $b \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} ight\}$

=> $b \in \left\{ {3;4;5;6} ight\}$

Gieo con xúc xắc cân đối và đồng chất => $n\left( \Omega ight) = 6$

Biến cố A xúc xắc xuất hiện mặt b chấm thỏa mãn phương trình => $n\left( A ight) = 4$

=> Xác suất để phương trình $x^{2} + bx + 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt là: $P\left( A ight) = \frac{{n\left( A ight)}}{{n\left( \Omega ight)}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Câu 12: Nhận biết

Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 30. Xác suất để số được chọn là một số nguyên tố bằng:

A.
$\frac{11}{30}$
B.
$\frac{2}{3}$
C.
$\frac{13}{30}$
D.
$\frac{1}{3}$

Số phần tử không gian mẫu là:

$n(\Omega) = C_{30}^{1} = 30$

Gọi A là biến cố: “học sinh được chọn là học sinh nam?”

$\Rightarrow A = \left\{ 2;3;5;7;11;13;17;19;23;29 ight\}$

$\Rightarrow n(A) = 10$

Vậy xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

Câu 13: Nhận biết

Một hộp có 3 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ từ trong hộp. Không gian mẫu của phép thử đó là:

A.
{1;2;3}
B.
{1;2}
C.
{1}
D.
{1;3}

Mô tả không gian mẫu: $\Omega=\{1;2;3\}$ .

Câu 14: Thông hiểu

Một đội văn nghệ có 5 nam và 8 nữ, đội trưởng cần lập một nhóm 4 người để tham gia biểu diễn một tiết mục chính. Xác suất để trong bốn người được chọn có ít nhất 3 nam bằng:

A.
$\frac{70}{143}$
B.
$\frac{73}{143}$
C.
$\frac{17}{143}$
D.
$\frac{16}{143}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{13}^{4}$

Gọi A là biến cố: “chọn được ít nhất 3 nam”

$n(A) = C_{5}^{3}.C_{8}^{1} + C_{5}^{4}$

Vậy xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{17}{143}$

Câu 15: Thông hiểu

Một lô sản phẩm gồm 35 sản phẩm đạt chuẩn và 15 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ trong hộp. Tính xác suất để 3 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm đạt chuẩn?

A.
$\frac{187}{560}$
B.
$\frac{135}{481}$
C.
$\frac{373}{560}$
D.
$\frac{346}{481}$

Ta có: $n(\Omega) = C_{50}^{3}$

Gọi B là biến cố cả ba sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm đạt chuẩn.

Chọn 3 trong 35 sản phẩm đạt chuẩn ta có: $\Rightarrow n(B) = C_{35}^{3}$

Vậy xác suất của biến cố B là: $P(B) = \frac{C_{35}^{3}}{C_{50}^{3}} = \frac{187}{560}$ .

Câu 16: Thông hiểu

Có bốn hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người và 2 toa còn lại không có người?

A.
$\frac{1}{4}$
B.
$\frac{3}{4}$
C.
$\frac{3}{16}$
D.
$\frac{13}{16}$

Vì mỗi hành khách có 4 cách chọn toa tàu nên: $n(\Omega) = 4^{4} = 256$

Để xếp theo yêu cầu của bài toán ta thực hiện các bước liên tiếp như sau:

Chọn 1 toa để xếp 3 người ta có: $C_{4}^{1} = 4$

Chọn 3 người để xếp vào toa đó là: $C_{4}^{3} = 4$

Chọn 1 toa từ 3 toa còn lại để xếp người còn lại vào: $C_{3}^{1} = 3$

Theo quy tắc nhân ta có: $4.4.3 = 48$

Vậy xác suất cần tìm là: $\frac{48}{256} = \frac{3}{16}$

Câu 17: Nhận biết

Cho $A$ là một biến cố trong phép thử $T$ . Xác suất của biến cố đối $\overline{A}$ liên hệ với xác suất của biến cố $A$ được xác định theo công thức nào sau đây?

A.
$P\left( \overline{A} ight) = P(A) - 1$
B.
$P\left( \overline{A} ight) = P(A)$
C.
$P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A)$
D.
$P\left( \overline{A} ight) = P(A) + 1$

Xác suất của biến cố đối $\overline{A}$ liên hệ với xác suất của biến cố $A$ theo công thức:

$P\left( \overline{A} ight) = 1 - P(A)$

Câu 18: Thông hiểu

Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp. Tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng.

A.
$\frac{123}{408}.$
B.
$\frac{95}{408}.$
C.
$\frac{95}{102}.$
D.
$\frac{25}{136}.$

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp chứa 18 viên bi. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega| = C_{18}^{5} = 8568$ .

Gọi $A$ là biến cố $''$ 5 viên bi được ó đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng $''$ . Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố $A$ là:

TH1: Chọn 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 3 bi xanh nên có $C_{6}^{1}.C_{7}^{1}.C_{5}^{3}$ cách.

TH2: Chọn 2 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh nên có $C_{6}^{2}.C_{7}^{2}.C_{5}^{1}$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $\left| \Omega_{A} ight| = C_{6}^{1}.C_{7}^{1}.C_{5}^{3} + C_{6}^{2}.C_{7}^{2}.C_{5}^{1} = 1995$ .

Vậy xác suất cần tính $P(A) = \frac{\left| \Omega_{A} ight|}{|\Omega|} = \frac{1995}{8568} = \frac{95}{408}$ .

Câu 19: Thông hiểu

Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra có cả 3 môn.

A.
$\frac{2}{7}$ .
B.
$\frac{1}{21}$ .
C.
$\frac{37}{42}$ .
D.
$\frac{5}{42}$ .

Số cách lấy 3 quyển sách bất kì là $C_{9}^{3} = 84$ .

Số cách lấy được 3 quyển thuộc 3 môn khác nhau là $C_{4}^{1}.C_{3}^{1}.C_{2}^{1} = 24$ .

Suy ra xác suất cần tìm là $\frac{2}{7}$ .

Câu 20: Nhận biết

Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Biến cố nào là biến cố chắc chắn?

A.
Mặt xuất hiện của con xúc xắc có số chấm không vượt quá 6.
B.
Mặt xuất hiện của con xúc xắc có số chấm là số chia hết cho 5.
C.
Mặt xuất hiện của con xúc xắc có số chấm là số lẻ.
D.
Mặt xuất hiện của con xúc xắc có số chấm là số chẵn.

Do xúc xắc có 6 mặt có số chấm từ 1 đến 6 nên biến cố chắc chắn là “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm không vượt quá 6”.

Câu 21: Vận dụng

Đề thi kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 1,0 điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương án. Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên.

A.
$\frac{436}{4^{10}}$ .
B.
$\frac{643}{3^{10}}$ .
C.
$\frac{235}{9^{4}}$ .
D.
$\frac{113}{10^{4}}$ .

Với mỗi câu hỏi, thí sinh có 4 phương án lựa chọn nên số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = 4^{10}$ .

Gọi X là biến cố “thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên”.

Trường hợp 1: Thí sinh đó là được 8 câu (tức là 8,0 điểm): Chọn 8 câu trong số 10 câu hỏi và 2 câu còn lại mỗi câu có 3 cách chọn đáp án sai nên có $C_{10}^{8}.3^{2}$ cách để thí sinh đúng 8 câu.

Trường hợp 2: Thí sinh đó là được 9 câu (tức là 9,0 điểm): Chọn 9 câu trong số 10 câu hỏi và câu còn lại có 3 cách chọn đáp án sai nên có $C_{10}^{9}.3^{1}$ cách để thí sinh đúng 9 câu.

Trường hợp 3: Thí sinh đó là được 10 câu (tức là 10,0 điểm): Chỉ có 1 cách duy nhất.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là $n(X) = C_{10}^{8}.3^{2} + C_{10}^{9}.3^{1} + 1 = 436$ .

Vậy xác suất cần tìm là $P(X) = \frac{n(X)}{n(\Omega)} = \frac{436}{4^{10}}$ .

Câu 22: Vận dụng

Một lớp học có 30 học sinh gồm có nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là $\frac{12}{29}$ . Tính số học sinh nữ của lớp.

A.
16
B.
14
C.
13
D.
17

Gọi số học sinh nữ là $x$ . Suy ra số học sinh nam là $30-x$ .

Chọn 3 học sinh từ 30 học sinh, không gian mẫu là: $n(\Omega)=C_{30}^3=4060$ .

Gọi A là biến cố "Chọn được 2 nam và 1 nữ". Suy ra $n(A) = C_{30 - x}^2.C_x^1 = xC_{30 - x}^2$ .

Theo đề bài: $P(A) = \frac{{12}}{{29}} \Leftrightarrow \frac{{xC_{30 - x}^2}}{{4060}} = \frac{{12}}{{29}} \Leftrightarrow x = 14$ .

Vậy có 14 học sinh nữ.

Câu 23: Thông hiểu

Gieo cùng một lúc hai con xúc xắc khác màu nhưng cân đối và đồng chất một lần. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt xúc xắc lớn hơn 7?

A.
$\frac{1}{12}$
B.
$\frac{5}{12}$
C.
$\frac{1}{2}$
D.
$\frac{3}{5}$

Ta có:

$n(\Omega) = 6^{2} = 36$

Các kết quả thuận lợi cho biến cố C: “tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt xúc xắc lớn hơn 7” là:

$C = \begin{Bmatrix} (2;6),(3;5),(3;6),(4;4),(4;5) \\ (4;6),(5;3),(5;4),(5;5),(5;6) \\ (6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6) \\ \end{Bmatrix}$

$\Rightarrow n(C) = 15$

Vậy xác suất của biến cố C là: $P(C) = \frac{n(C)}{n(\Omega)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ .

Câu 24: Thông hiểu

Cho 40 tấm thẻ được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 40. Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ. Tính xác suất để ba tấm thẻ được chọn có tổng các số ghi trên ba tấm thẻ đó là một số chẵn?

A.
$\frac{1}{2}$
B.
$\frac{1}{3}$
C.
$\frac{1}{4}$
D.
$\frac{1}{5}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{40}^{3} = 9880$

Gọi A là biến cố chọn được 3 tấm thẻ có các số ghi trên ba tấm thẻ đó là một số chẵn.

TH1: 2 số ghi số lẻ, 1 số ghi số chẵn ta có: $C_{20}^{2}.C_{20}^{1} = 3800$

TH2: 3 số ghi số chẵn ta có: $C_{20}^{3} = 1140$

Vậy xác suất để chọn được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên các thẻ là một số chẵn là: $\frac{3800 + 1140}{9880} = \frac{1}{2}$

Câu 25: Nhận biết

Gieo một đồng tiền liên tiếp $2$ lần. Số phần tử của không gian mẫu là bao nhiêu?

A.
$1$ .
B.
$5$ .
C.
$4$ . .
D.
$3$ .

$n(\Omega) = 2.2 = 4$ .

(lần 1 có 2 khả năng xảy ra - lần 2 có 2 khả năng xảy ra).

Câu 26: Thông hiểu

Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để biến cố có tích 2 lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn.

A.
$0,55.$
B.
$0,4.$
C.
$0,75.$
D.
$0,65.$

Số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega| = 6.6 = 36.$

Gọi $A$ là biến cố $''$ Tích hai lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn $''$ . Ta xét các trường hợp:

TH1:. Gieo lần một, số chấm xuất hiện trên mặt là số lẻ thì khi gieo lần hai, số chấm xuất hiện phải là số chẵn. Khi đó có $3.3 = 9$ cách gieo.

TH2:. Gieo lần một, số chấm xuất hiện trên mặt là số chẵn thì có hai trường hợp xảy ra là số chấm xuất hiện trên mặt khi gieo lần hai là số lẻ hoặc số chẵn. Khi đó có $3.3 + 3.3 = 18$ cách gieo.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố là $\left| \Omega_{A} ight| = 9 + 18 = 27.$

Vậy xác suất cần tìm tính $P(A) = \frac{27}{36} = 0,75.$

Câu 27: Vận dụng

Cho năm đoạn thẳng có độ dài: $1\ cm$ , $3\ cm$ , $5\ cm$ , $7\ cm$ , $9\ cm$ . Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng đó. Tính xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra là ba cạnh của một tam giác.

A.
$\frac{1}{5}$ .
B.
$\frac{4}{5}$ .
C.
$\frac{3}{10}$ .
D.
$\frac{7}{10}$ .

* Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng đã cho có $C_{5}^{3} = 10$ cách.

Suy ra $n(\Omega) = 10$ .

* Gọi $A$ là biến cố "lấy được ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác".

Các trường hợp ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác là:

$\left\{ 3;5;7 ight\},\ \left\{ 3;7;9 ight\},\ \left\{ 5;7;9 ight\}$ (thỏa mãn: hiệu hai cạnh bé hơn cạnh còn lại, tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại).

Do đó $n(A) = 3.$ Vậy sác xuất cần tìm là $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{3}{10}$ .

Câu 28: Thông hiểu

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ tập hợp số $A = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9 ight\}$ . Tính xác suất để trong hai số lấy ra có ít nhất một số lẻ?

A.
$\frac{5}{9}$
B.
$\frac{5}{18}$
C.
$\frac{8}{9}$
D.
$\frac{5}{6}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{9}^{2} = 36$

Gọi B là biến cố: “Cả hai số lấy ra đều là số chẵn” $\Rightarrow n(B) = C_{6}^{4} = 6$

Suy ra xác suất của biến cố B là: $P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Ta có biến cố $\overline{B}$ là biến cố: “Trong hai số lấy ra có ít nhất một số lẻ”

Khi đó $P\left( \overline{B} ight) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Câu 29: Nhận biết

Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ trong hộp chứa 10 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh. Xác suất để ba quả cầu được chọn đều là màu xanh bằng:

A.
$\frac{2}{91}$
B.
$\frac{1}{12}$
C.
$\frac{24}{91}$
D.
$\frac{12}{91}$

Số phần tử không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{15}^{3} = 455$

Gọi A là biến cố lấy được 3 quả màu xanh

Số phần tử của biến cố A là: $n(A) = C_{5}^{3} = 10$

Vậy xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{10}{455} = \frac{2}{91}$

Câu 30: Vận dụng

Cho đa giác đều có $14$ đỉnh. Chọn ngẫu nhiên $3$ đỉnh trong số $14$ đỉnh của đa giác. Xác suất để $3$ đỉnh được chọn là $3$ đỉnh của một tam giác vuông là bao nhiêu?

A.
$\frac{3}{13}$ .
B.
$\frac{2}{13}$ .
C.
$\frac{1}{13}$ .
D.
$\frac{5}{13}$ .

Số phần tử không gian mẫu là $|\Omega| = C_{14}^{3}$ .

Giả sử tam giác cần lập là $ABC$ vuông tại $A$ .

Chọn đỉnh $A$ của tam giác có $14$ cách.

Để tam giác vuông tại $A$ thì cung $BC$ có số đo là $\pi$ , hay $BC$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác, do đó có $6$ cách chọn $BC$ .

Gọi $E$ là biến cố " $3$ đỉnh được chọn là $3$ đỉnh của một tam giác vuông"

Số phần tử của $E$ là $14.6 = 84$ .

Xác suất cần tìm là $P(E) = \frac{84}{C_{14}^{3}} = \frac{3}{13}$ .

Câu 31: Nhận biết

Cho A là biến cố liên quan đến phép thử có không gian mẫu $\Omega$ . Tìm mệnh đề đúng.

A.
$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$
B.
$0 \leq P(A) < 1$
C.
$0 < P(A) \leq 1$
D.
$P(A) = \frac{n(\Omega)}{n(A)}$

Theo định nghĩa xác suất cổ điển, cho phép thử T có không gian mẫu $\Omega$ . Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khả năng, khi đó cho A là biến cố có liên quan đến phép thử có không gian mẫu $\Omega$ . Thì xác suất của biến cố A được tính bởi công thức $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$ , trong đó $n(A);n(\Omega)$ tương ứng là số phần tử của biến cố A và của không gian mẫu.

Câu 32: Nhận biết

Gieo đồng tiền $5$ lần cân đối và đồng chất. Xác suất để được ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp là bao nhiêu?

A.
$\frac{\mathbf{31}}{\mathbf{32}}$ . .
B.
$\frac{23}{32}$ .
C.
$\frac{13}{32}$ .
D.
$\frac{1}{32}$ .

$n(\Omega) = 2^{5} = 32$ .

$A$ : “được ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp”.

Xét biến cố đối $\overline{A}$ : “không có đồng tiền nào xuất hiện mặt sấp”.

$\overline{A} = \left\{ (N,N,N,N,N) ight\}$ , có $n\left( \overline{A} ight) = 1$ .

Suy ra $n(A) = 32 - 1 = 31$ .

KL: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{31}{32}$ .

Câu 33: Thông hiểu

Hai cậu bé cùng bắn bi vào lỗ. Xác suất người thứ nhất bắn trúng vào lỗ là 85%, xác suất người thứ hai bắn trúng vào lỗ là 70%. Hỏi xác suất để cả hai người cùng bắn trúng vào lỗ:

A.
59,5%
B.
15%
C.
30%
D.
4,5%

Xác suất người thứ nhất bắn trúng lỗ: 0,85

Xác suất người thứ hai bắn trúng bia: 0,7

Xác suất để cả hai người cùng bắn trúng bia: 0,85.0,7 = 0,595 = 59,5%

Câu 34: Nhận biết

Một cái hộp chứa $6$ viên bi đỏ và $4$ viên bi xanh. Lấy lần lượt $2$ viên bi từ hộp này. Xác suất để viên bi được lấy lần thứ $2$ là bi xanh là:

A.
$\frac{2}{5}$ .
B.
$\frac{5}{24}$ .
C.
$\frac{11}{12}$ .
D.
$\frac{8}{9}$ .

Ta có: Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega) = C_{10}^{1}.C_{9}^{1}$ .

Gọi $A$ là biến cố: “ Viên bi được lấy lần thứ $2$ là bi xanh”.

- Trường hợp 1: Lần 1 lấy viên đỏ, lần 2 lấy viên xanh: Có $C_{6}^{1}.C_{4}^{1}$ cách chọn.

- Trường hợp 2: Lần 1 lấy viên xanh, lần 2 lấy viên xanh: Có $C_{4}^{1}.C_{3}^{1}$ cách chọn.

$n(A) = C_{6}^{1}.C_{4}^{1} + C_{4}^{1}.C_{3}^{1}$ .

Vậy $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{24 + 12}{10.9} = \frac{2}{5}$ .

Câu 35: Thông hiểu

Trong lớp 10 A có 18 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh kiểm tra bài cũ. Xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng bao nhiêu?

A.
$\frac{69}{77}$
B.
$\frac{65}{71}$
C.
$\frac{443}{506}$
D.
$\frac{68}{75}$

Ta có: $n(\Omega) = C_{35}^{4} = 52360$

Gọi A là biến cố 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ

Suy ra $\overline{A}$ là biến cố 4 học sinh được chọn chỉ có nam hoặc chỉ có nữ

4 học sinh được chọn đều là nam có $C_{18}^{4}$ cách

4 học sinh được chọn đều là nữ có $C_{17}^{4}$ cách

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố $\overline{A}$ là: $n\left( \overline{A} ight) = C_{18}^{4} + C_{17}^{4} = 2380 + 3060 = 5440$

$n(A) = n(\Omega) - n\left( \overline{A} ight) = 52360 - 5440 = 46920$

Vậy $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{46920}{52360} = \frac{69}{77}$

Câu 36: Nhận biết

Bốn quyển sách được đánh dấu bằng những chữ cái U, V, X, Y được xếp tuỳ ý trên 1 kệ sách dài. Xác suất để chúng được sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái là:

A.
$\frac{1}{4}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{1}{24}$
D.
$\frac{1}{256}$

Số cách sắp xếp 4 phần tử vào dãy nằm ngang gồm 4 vị trí có $4!=24$ (cách). Suy ra $n(\Omega)=24$ .

Chỉ có duy nhất 1 cách sắp xếp 4 chữ U, V, X, Y theo thứ tự bảng chữ cái.

Vậy xác suất $P=\frac1{24}$ .

Câu 37: Nhận biết

Một lớp có $40$ học sinh, trong đó có $4$ học sinh tên Anh. Trong một lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên hai học sinh trong lớp lên bảng. Tính xác suất để 2 bạn học sinh tên Anh cùng lên bảng.

A.
$\frac{1}{10}$ .
B.
$\frac{1}{20}$ .
C.
$\frac{1}{130}$ .
D.
$\frac{1}{75}$ .

Số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega) = C_{40}^{2} = 780$ .

Gọi $A$ là biến cố gọi hai học sinh tên Anh lên bảng, ta có $n(A) = C_{4}^{2} = 6$ .

Vậy xác suất cần tìm là $P(A) = \frac{6}{780} = \frac{1}{130}$ .

Câu 38: Vận dụng

Một bộ đề thi Olympic Toán lớp 11 của Trường THPT Z mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu mức dễ, 10 câu mức trung bình và 5 câu mức khó. Một đề thi được gọi là “Tốt” nếu trong đề thi phải có cả mức dễ, mức trung bình và khó, đồng thời số câu mức khó không ít hơn 2. Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi “Tốt”.

A.
$\frac{10}{5481}$ .
B.
$\frac{3125}{23751}$ .
C.
$\frac{17}{150}$ .
D.
$\frac{11}{71253}$ .

Chọn 5 câu trong tổng số 30 câu nên ta có không gian mẫu $n(\Omega) = C_{30}^{5}$ .

Gọi A là biến cố “Lấy ra được một đề thi “Tốt””.

TH1: 5 câu lấy ra có 2 câu khó, 1 câu dễ, 2 câu trung bình $C_{5}^{2}.C_{15}^{1}.C_{10}^{2}$ (cách).

TH2: 5 câu lấy ra có 2 câu khó, 2 câu dễ, 1 câu trung bình $C_{5}^{2}.C_{15}^{2}.C_{10}^{1}$ (cách).

TH3: 5 câu lấy ra có 3 câu khó, 1 câu dễ, 1 câu trung bình $C_{5}^{3}.C_{15}^{1}.C_{10}^{1}$ (cách).

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: $n(A) = C_{5}^{2}.C_{15}^{1}.C_{10}^{2} + C_{5}^{2}.C_{15}^{2}.C_{10}^{1} + C_{5}^{3}.C_{15}^{1}.C_{10}^{1}$ .

Xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{3125}{23751}$ .

Câu 39: Nhận biết

Một tổ học sinh có $6$ nam và $4$ nữ. Chọn ngẫu nhiên $2$ người. Xác suất chọn được 2 nữ là:

A.
$\frac{2}{15}$ .
B.
$\frac{7}{15}$ .
C.
$\frac{8}{15}$ .
D.
$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$ .

Chọn ngẫu nhiên $2$ người trong $10$ người có $C_{10}^{2}$ cách chọn.

Hai người được chọn đều là nữ có $C_{4}^{2}$ cách.

Xác suất để hai người được chọn đều là nữ là: $\frac{C_{4}^{2}}{C_{10}^{2}} = \frac{2}{15}$ .

Đề kiểm tra 45 phút Chương 10 Xác suất

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!