Một tổ có
học sinh nam và
học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên
học sinh. Xác suất để trong
học sinh được chọn luôn có học sinh nữ là:
.
Gọi là biến cố:” trong
học sinh được chọn luôn có học sinh nữ”
Vậy xác suất của biến cố là
.
Một tổ có
học sinh nam và
học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên
học sinh. Xác suất để trong
học sinh được chọn luôn có học sinh nữ là:
.
Gọi là biến cố:” trong
học sinh được chọn luôn có học sinh nữ”
Vậy xác suất của biến cố là
.
Một xạ thủ bán từ khoảng cách 100m có xác suất bắn trúng đích là:
- Tâm 10 điểm: 0,5.
- Vòng 9 điểm: 0,25.
- Vòng 8 điểm: 0,1.
- Vòng 7 điểm: 0,1.
- Ngoài vòng 7 điểm: 0,05.
Tính xác suất để sau 3 lần bắn xạ thủ đó được 27 điểm.
Ta có
Với bộ có 3 cách xáo trộn điểm các lần bắn
Với bộ có 6 cách xáo trộn điểm các lần bắn
Với bộ có 1 cách xáo trộn điểm các lần bắn.
Do đó xác suất để sau 3 lần bắn xạ thủ được đúng 27 điểm là:
.
Gọi
là tập hợp các số tự nhiên gồm
chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ
. Hãy tính xác suất để chọn được một số gồm
chữ số lẻ và chữ số
luôn đứng giữa hai chữ số lẻ (hai số hai bên chữ số
là số lẻ).
Số phần tử của tập là
.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập
.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
Số được chọn gồm
chữ số lẻ và chữ số
luôn đứng giữa hai chữ số lẻ
. Do số
luôn đứng giữa
số lẻ nên số
không đứng ở vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng. Ta có các khả năng
+ Chọn trong
vị trí để xếp số
, có
cách.
+ Chọn trong
số lẻ và xếp vào
vị trí cạnh số
vừa xếp, có
cách.
+ Chọn số lẻ trong
số lẻ còn lại và chọn
số chẵn từ
sau đó xếp
số này vào
vị trí trống còn lại có
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính
Cho X = {0; 1; 2; 3; …; 15}. Chọn ngẫu nhiên 3 số trong tập hợp X. Xác suất để trong ba số được chọn không có hai số liên tiếp bằng:
Không gian mẫu có số phần tử là: (phần tử).
Ta tìm số cách lấy ra ba số trong đó có đúng hai số liên tiếp nhau hoặc lấy ra được cả ba số liên tiếp nhau.
Khi đó ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Lấy ra ba số trong đó có đúng hai số liên tiếp nhau.
Trong ba số lấy ra có hai số 0,1 hoặc 14, 15 khi đó số thứ ba có 13 cách lấy.
Do đó trường hợp này có: 2.13 = 26 cách lấy.
Trong ba số lấy ra không có hai số 0,1 hoặc 14, 15 khi đó ta có 13 cặp số liên tiếp nhau khác 0,1 và 14, 15, số thứ ba có 12 cách lấy. Do đó trường hợp này có: 13.12 = 156 cách lấy.
Trường hợp 2: Lấy ra được cả ba số liên tiếp nhau có 14 cách lấy.
Vậy ta có 26 + 156 + 14 = 196 cách lấy ra ba số liên tiếp nhau hoặc lấy ra ba số trong đó có hai số liên tiếp nhau.
Xác suất để trong ba số được chọn không có hai số liên tiếp là: .
Một hộp đèn có 12 bóng, trong đó có 4 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Xác suất luôn lấy được 1 bóng hỏng là:
Trong 3 bóng có 1 bóng hỏng
Ta có .
Gọi biến cố A : “Trong 3 bóng lấy ra có 1 bóng hỏng”.
Tính được .
Vậy .
Gieo một đồng tiền liên tiếp
lần. Số phần tử của không gian mẫu là bao nhiêu?
.
(lần 1 có 2 khả năng xảy ra - lần 2 có 2 khả năng xảy ra).
Một hộp đựng
thẻ, đánh số từ
đến
. Chọn ngẫu nhiên
thẻ. Gọi
là biến cố để tổng số của
thẻ được chọn không vượt quá
. Tìm số phần tử của biến cố
.
Liệt kê ta có: . (4 phần tử)
Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp gồm 6 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Tính xác suất để lấy được ba quả cùng màu?
Số phần tử của không gian mẫu
Gọi A là biến cố lấy được 3 quả cùng màu
TH1: Lấy được 3 quả màu trắng có: cách
TH2: Lấy được 3 quả màu đen có: cách
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca. Tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất 3 nữ.
Không gian mẫu là chọn tùy ý người từ
người.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
4 người được ó ít nhất 3 nữ
. Ta có hai trường hợp thuận lợi cho biến cố
như sau:
TH1:: Chọn 3 nữ và 1 nam, có cách.
TH2:: Cả 4 nữ, có cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số là bao nhiêu?
Không gian mẫu là số sách lấy tùy ý 2 viên từ hộp chứa 12 viên bi.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số
.
● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi xanh và 1 bi đỏ là cách (do số bi đỏ ít hơn nên ta lấy trước, có 4 cách lấy bi đỏ. Tiếp tục lấy bi xanh nhưng không lấy viên trùng với số của bi đỏ nên có 4 cách lấy bi xanh).
● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi xanh và 1 bi vàng là cách.
● Số cách lấy 2 viên bi gồm 1 bi đỏ và 1 bi vàng là cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ tập hợp số
. Tính xác suất để trong hai số lấy ra có ít nhất một số lẻ?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi B là biến cố: “Cả hai số lấy ra đều là số chẵn”
Suy ra xác suất của biến cố B là:
Ta có biến cố là biến cố: “Trong hai số lấy ra có ít nhất một số lẻ”
Khi đó
Một chiếc hộp đựng 7 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đen, 5 viên bi màu đỏ, 4 viên bi màu trắng. Chọn ngẫu nhiên ra 4 viên bi, tính xác suất để lấy được ít nhất 2 viên bi cùng màu.
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 22 viên bi đã cho.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
Lấy được 4 viên bi trong đó có ít nhất hai viên bi cùng màu
. Để tìm số phần tử của
, ta đi tìm số phần tử của biến cố
, với biến cố
là lấy được 4 viên bi trong đó không có hai viên bi nào cùng màu.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Cho phép thử với không gian mẫu Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Đâu không phải là cặp biến cố đối nhau.
Cặp E = {1; 4; 6} và F = {2; 3} không phải là biến cố đối.
Gieo ngẫu nhiên một đồng tiên cân đối, đồng chất 3 lần liên tiếp. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:
Ta có:
Gọi A là biến cố “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”
Vậy
Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 30. Xác suất để số được chọn là một số nguyên tố bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “học sinh được chọn là học sinh nam?”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Cho một đa giác
có
đỉnh nội tiếp một đường tròn
. Người ta lập một tứ giác tùy ý có bốn đỉnh là các đỉnh của
. Tính xác suất để lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của
, số đó gần với số nào nhất trong các số sau?
Số phần tử của không gian mẫu là: .
Gọi là biến cố “lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của
”.
Để chọn ra một tứ giác thỏa mãn đề bài ta làm như sau:
Bước 1: Chọn đỉnh đầu tiên của tứ giác, có cách.
Bước 2: Chọn đỉnh còn lại sao cho hai đỉnh bất kỳ của tứ giác cách nhau ít nhất 1 đỉnh. Điều này tương đương với việc ta phải chia
chiếc kẹo cho
đứa trẻ sao cho mỗi đứa trẻ có ít nhất
cái, có
cách, nhưng làm như thế mỗi tứ giác lặp lại 4 lần.
Số phần tử của biến cố
là:
.
Xác suất của biến cố là:
.
Một hộp có:
• 2 viên bi trắng được đánh số từ 1 đến 2;
• 3 viên bi xanh được đánh số từ 3 đến 5;
• 2 viên bi đỏ được đánh số từ 6 đến 7.
Lấy ngẫu nhiên hai viên bi, mô tả không gian mẫu nào dưới đây là đúng?
Mỗi viên bi đánh một số, nên 2 viên bi lấy ra mang số khác nhau.
Vậy Ω ={(m, n)| 1 ≤ m ≤ 7, 1 ≤ n ≤ 7 và m ≠ n}.
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố “Số chấm xuất hiện trong lần gieo không bé hơn 3”.
Số phần tử của không gian mẫu là:
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Số chấm xuất hiện trong lần gieo không bé hơn 3” là:
Xác suất của biến cố A là: .
Cho ba chiếc hộp như sau:
Hộp 1 chứa 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng.
Hộp 2 chứa 1 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh.
Hộp 3 chứa 1 viên bi vàng, 1 viên bi xanh.
Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một viên bi và các phần tử của không gian mẫu được mô tả bằng sơ đồ sau:

Gọi A là biến cố: “Trong ba viên bi lấy ra có đúng một viên bi màu đỏ”. Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố A?
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 4.
Một hộp gồm có 4 bi xanh và 5 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi trong hộp. Biến cố đối của biến cố D: “Hai viên bi cùng màu” là:
Biến cố đối của biến cố D: “Hai viên bi cùng màu” là: : “Hai viên bi khác màu”.
Một lô sản phẩm gồm 35 sản phẩm đạt chuẩn và 15 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ trong hộp. Tính xác suất để 3 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm đạt chuẩn?
Ta có:
Gọi B là biến cố cả ba sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm đạt chuẩn.
Chọn 3 trong 35 sản phẩm đạt chuẩn ta có:
Vậy xác suất của biến cố B là: .
Cho đa giác đều có
đỉnh. Chọn ngẫu nhiên
đỉnh trong số
đỉnh của đa giác. Xác suất để
đỉnh được chọn là
đỉnh của một tam giác vuông là bao nhiêu?
Số phần tử không gian mẫu là .
Giả sử tam giác cần lập là vuông tại
.
Chọn đỉnh của tam giác có
cách.
Để tam giác vuông tại thì cung
có số đo là
, hay
là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác, do đó có
cách chọn
.
Gọi là biến cố "
đỉnh được chọn là
đỉnh của một tam giác vuông"
Số phần tử của là
.
Xác suất cần tìm là .
Một tổ học sinh có
nam và
nữ. Chọn ngẫu nhiên
người. Xác suất chọn được 2 nữ là:
Chọn ngẫu nhiên người trong
người có
cách chọn.
Hai người được chọn đều là nữ có cách.
Xác suất để hai người được chọn đều là nữ là: .
Kí hiệu nào sau đây là kí hiệu của biến cố chắc chắn?
Kí hiệu biến cố chắc chắn là Ω.
Thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên?
Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta chưa biết được kết quả là gì.
Đáp án “Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm xem có tất cả bao nhiêu viên bi.” không phải là phép thử vì ta biết chắc chắn kết quả chỉ có thể là một số cụ thể số bi xanh và số bi đỏ.
Gieo ngẫu nhiên
đồng tiền thì không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu biến cố:
Mô tả không gian mẫu ta có: . (4 phần tử)
Bạn Xuân là một trong nhóm 15 người. chọn 3 người để lập một ban đại diện. Xác suất đúng đến phần mười nghìn để Xuân là một trong 3 người được chọn là bao nhiêu?
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Xuân là một trong ba người được chọn.
Có cách chọn Xuân trong nhóm 15 người.
Có cách chọn 2 người trong 14 người còn lại.
Suy ra .
Xác suất cần tìm là .
Một homestay có 6 phòng đơn. Trên trang web của homestay có 6 nam và 4 nữ đặt phòng. Người chủ homestay chọn ngẫu nhiên 6 người cho nhận phòng. Tính xác suất để cả 6 người được chọn là nam?
Số phần tử không gian mẫu là:
Chọn ngẫu nhiên 6 người đều là nam ta có: cách chọn
Vậy xác suất để chọn 6 người đều là nam là: .
Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Xác suất của biến cố
: "lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp" là bao nhiêu?
Xác suất để lần đầu xuất hiện mặt sấp là . Lần 2 và 3 thì tùy ý nên xác suất là 1.
Theo quy tắc nhân xác suất: .
Một hộp có 3 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ từ trong hộp. Không gian mẫu của phép thử đó là:
Mô tả không gian mẫu: .
Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất 6 mặt và quan sát số chấm xuấ hiện trên con xúc xắc. Xác suất của biến cố: “Số chấm xuất hiện trên mặt xúc xắc là 5” bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên mặt xúc xắc là 5”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Một lớp có 43 học sinh trong đó có 23 học sinh nữ và 20 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh. Xác suất để 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ gần nhất với kết quả nào dưới đây?
Số phần tử của không gian mẫu là:
Số cách chọn 5 học sinh chỉ có nam hoặc chỉ có nữ là:
Số cách chọn 5 học sinh có cả nam và nữ là:
Xác suất của biến cố 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ là:
Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt
chấm xuất hiện là:
Gieo một con súc sắc có không gian mẫu .
Xét biến cố : “mặt
chấm xuất hiện”.
.
Do đó .
Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con xúc xắc bằng 7?
Ta có:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố “tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con xúc xắc bằng “.
Vậy .
Cho đa giác đều có
đỉnh. Chọn ngẫu nhiên bốn đỉnh. Tính xác suất chọn ra được hình chữ nhật có các đỉnh là
trong
đỉnh của đa giác đó?
Số phần tử của không gian mẫu là:
Ta vẽ đường tròn ngoại tiếp đa giác đều 24 đỉnh. Vẽ một đường kính của đường tròn này. Khi đó 2 nửa đường tròn đều chứa 12 đình.
Với mỗi đỉnh thuộc nửa đường tròn thứ nhất ta đều có 1 đỉnh đối xứng với nó qua đường kính và thuộc nửa đường tròn còn lại.
Như vậy cứ 2 đỉnh thuộc đường tròn thứ nhất ta xác định được hai đỉnh đối xứng với nó qua đường kính và thuộc nửa đường tròn còn lại, bốn đỉnh này tạo thành hình chữ nhật.
Vậy số hình chữ nhật tạo thành từ 4 đa giác đã cho là
Xác suất cần tìm là: .