Gieo một con xúc xắc. Gọi K là biến cố số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số nguyên tố. Hãy xác định biến cố K.
Ta có: K = {2; 3; 5}.
Gieo một con xúc xắc. Gọi K là biến cố số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số nguyên tố. Hãy xác định biến cố K.
Ta có: K = {2; 3; 5}.
Gieo con súc sắc hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt 6 chấm. Mô tả biến cố A.
Liệt kê ta có: .
Kí hiệu nào sau đây là kí hiệu của biến cố chắc chắn?
Kí hiệu biến cố chắc chắn là Ω.
Từ một hộp có 6 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 7 viên bi. Tính xác suất để lấy được ít nhất một viên bi vàng?
Số phần tử không gian mẫu:
Số phần tử biến cố lấy ngẫu nhiên 7 viên bi không có viên bi màu vàng là:
Vậy xác suất để lấy được ít nhất một viên bi vàng là:
Gieo đồng tiền
lần cân đối và đồng chất. Xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là bao nhiêu?
Phép thử: Gieo đồng tiền lần cân đối và đồng chất.
Ta có .
Biến cố : Được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp.
: Tất cả đều là mặt ngửa.
.
.
.
Bác Hoa cài đặt mật khẩu 4 chữ số cho điện thoại. Bác đã quên mật khẩu chính xác và chỉ nhớ các chữ số đó là đôi một khác nhau. Xác suất để bác Hoa bấm đúng mật khẩu cho điện thoại trong một lần là:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố “Bác A bấm đúng mật khẩu điện thoại trong một lần”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Biến cố nào là biến cố không?
Do xúc xắc có 6 mặt có số chấm từ 1 đến 6 nên biến cố không là “Mặt xuất hiện của con xúc xắc có số chấm là 8 chấm.”
Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là bao nhiêu?
Mỗi lần suất hiện mặt sấp có xác suất là .
Theo quy tắc nhân xác suất: .
Một hộp chứa 8 tấm thẻ được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 8 (hai tấm thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau). Rút ngẫu nhiên đồng thời hai tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để rút được hai tấm thẻ đều ghi số chẵn?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “Rút được hai tấm thẻ đều ghi số chẵn”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Gieo một con xúc xắc hai lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố B: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo nhỏ hơn 4”.
Ta có:
Các kết quả thuận lợi cho biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo nhỏ hơn 4” là:
Vậy xác suất của biến cố B là:
Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ một tổ có 9 học sinh. Biết rằng xác suất chọn được 2 học sinh nữ bằng
, hỏi tổ có bao nhiêu học sinh nữ?
Gọi số học sinh nữ là
Chọn bất kỳ 2 học sinh ta có cách.
Do đó số phần tử của không gian mẫu là
Gọi biến cố A: “2 học sinh được chọn là 2 học sinh nữ”.
Để chọn 2 học sinh được 2 học sinh nữ có:
(cách)
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:
Xác suất để chọn được 2 học sinh nữ là:
Mà
Vậy có 5 học sinh nữ trong tổ.
Một hộp đựng 10 thẻ, đánh số từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Gọi A là biến cố để tổng số của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8. Số phần tử của biến cố A là:
Các cặp số thỏa mãn tổng số ba thẻ được chọn không vượt quá 8 là: {1; 2; 3}, {1; 2; 4}, {1; 2; 5}, {1; 3; 4}.
Vậy số phần tử của A là 4 phần tử.
Một hộp chứa: bi xanh, bi đỏ và bi vàng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Gọi A là biến cố: “Lấy được viên bi đỏ”. Biến cố đối của biến cố A là:
Biến cố đối của biến cố A là “Lấy được viên bi xanh hoặc bi vàng”.
Một lớp học có
học sinh trong đó có
cặp anh em sinh đôi. Trong buổi họp đầu năm thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra
học sinh để làm cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó và bí thư. Xác suất để chọn ra
học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào là bao nhiêu?
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên học sinh trong
học sinh.
Suy ra số phần tử không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
học sinh được chọn không có cặp anh em sinh đôi nào
. Để tìm số phần tử của
, ta đi tìm số phần tử của biến cố
, với biến cố
là
học sinh được chọn luôn có
cặp anh em sinh đôi.
+ Chọn cặp em sinh đôi trong
cặp em sinh đôi, có
cách.
+ Chọn thêm học sinh trong 38 học sinh, có
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Một hộp chứa 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên 3 chiếc thẻ từ hộp. Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ.
Số phần tử của không gian mẫu: .
Gọi A là biến cố "tổng các số ghi trên 3 chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ".
Ta có:
.
Xác suất để tổng các số ghi trên 3 chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ là:
.
Cho phép thử có không gian mẫu
. Cặp biến cố không đối nhau là cặp nào trong các cặp dưới đây?
Cặp biến cố không đối nhau là và
do
và
.
Gieo 1 con xúc xắc 1 lần. Biến cố A: “Số chấm xuất hiện nhỏ hơn 4”. Mô tả biến cố A.
Mô tả biến cố A: A = {1;2;3}.
Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con xúc xắc bằng 7?
Ta có:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố “tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con xúc xắc bằng “.
Vậy .
Cho tập hợp
. Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập đó. Tính xác suất để trong ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp.
Số phần tử không gian mẫu là .
Gọi là biến cố “Ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp”.
là biến cố “Ba số được chọn có ít nhất hai số là các số tự nhiên liên tiếp”.
+ Bộ ba số dạng , với
: có
bộ ba số.
+ Bộ ba số có dạng , với
: có
bộ ba số.
+ Tương tự mỗi bộ ba số dạng ,
,
,
,
,
,
đều có
bộ.
.
.
Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là bao nhiêu?
Mô tả không gian mẫu ta có: .
Chọn ngẫu nhiên một gia đình có 4 người con và quan sát giới tính của bốn người con này. Xác suất của biến cố hai con đầu là con trai bằng:
Ta có:
Gọi A là biến cố “Hai con đầu là con trai”
Vậy .
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số được lập từ tập hợp X = {1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Xác suất để số chọn được chia hết cho 6 bằng:
Số phần tử trong không gian mẫu là .
Gọi A là biến cố: “số chọn được chia hết cho 6”.
Giả sử số cần tìm là .
Do số cần tìm chia hết cho 6 nên chia hết cho 2.
Do đó chọn có 4 cách.
Chọn a, b có cách. Để chọn c ta xét tổng
:
Nếu M chia cho 3 dư 0 thì suy ra có 3 cách chọn.
Nếu M chia cho 3 dư 1 thì suy ra có 3 cách chọn.
Nếu M chia cho 3 dư 2 thì suy ra có 3 cách chọn.
Do đó .
Vậy .
Cho tập hợp
. Gọi
là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập
. Chọn ngẫu nhiên hai số từ tập
, tính xác suất để hai số được chọn đều chia hết cho 3?
Gọi B là biến cố chọn được hai số đều chia hết cho 3
Số các số tự nhiên có 3 chữ số được lập thành từ tập M là:
Khi đó số phần tử của không gian mẫu là:
Tập các số gồm 3 chữ số tạo thành các số chia hết cho 3 là:
Mỗi tập trên tạo thành số chia hết cho 3 nên ta có:
số chia hết cho 3
Khi đó
Vậy xác suất để chọn được hai số đều chia hết cho 3 từ tập S là:
Cho ba chiếc hộp như sau:
Hộp 1 chứa 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng.
Hộp 2 chứa 1 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh.
Hộp 3 chứa 1 viên bi vàng, 1 viên bi xanh.
Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một viên bi và các phần tử của không gian mẫu được mô tả bằng sơ đồ sau:

Gọi A là biến cố: “Trong ba viên bi lấy ra có đúng một viên bi màu đỏ”. Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố A?
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 4.
Một lớp có
học sinh, trong đó có
học sinh tên Anh. Trong một lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên hai học sinh trong lớp lên bảng. Tính xác suất để 2 bạn học sinh tên Anh cùng lên bảng.
Số phần tử của không gian mẫu .
Gọi là biến cố gọi hai học sinh tên Anh lên bảng, ta có
.
Vậy xác suất cần tìm là .
Một hộp đựng
thẻ được đánh số từ
đến
. Phải rút ra ít nhất k thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho
lớn hơn
. Tính giá trị của k.
Gọi biến cố : Lấy
tấm thẻ có ít nhất một tấm thẻ chia hết cho
. Với
.
Suy ra : Lấy
tấm thẻ không có tấm thẻ nào chia hết cho
.
Ta có:
.
Theo đề: .
Vậy là giá trị cần tìm.
Gieo xúc xắc hai lần. Tính xác suất để tổng hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số nguyên tố.
Gieo một con xúc xắc 2 lần. Suy ra .
Các kết quả thỏa mãn yêu cầu đề bài là: (1; 1), (1; 2), (2; 1),(1; 4), (4; 1), (2;3), (3;2). 7 kết quả.
Vậy xác suất .
Trong một tổ có
học sinh nam và
học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên
bạn trong tổ tham gia đội tình nguyện của trường. Xác suất để 3 bạn được chọn đều là nam là:
Xét phép thử: Chọn ngẫu nhiên trong
bạn trong tổ, ta có
.
Gọi là biến cố: “
bạn được chọn toàn nam”, ta có
.
Xác suất của biến cố .
Gieo một con xúc xắc 2 lần liên tiếp. Gọi số chấm xuất hiện của hai lần gieo lần lượt là
và
. Tính xác suất để phương trình bậc hai
có nghiệm?
Gieo con xúc xắc hai lần nên ta có:
Để phương trình bậc hai có nghiệm thì
Vì
Lập bảng chọn giá trị của b và c như sau:
|
b |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
c |
1 |
1; 2 |
1; 2; 3; 4 |
1; 2; 3; 4; 5; 6 |
1; 2; 3; 4; 5; 6 |
Gọi A là biến cố “phương trình có nghiệm” ta có:
Vậy
Trong chiếc túi du lịch của anh X gồm 3 hộp thịt, 2 hộp cam và 3 hộp cơm. Vì một vài lí do mà những chiếc hộp đều bị mất nhãn. Anh X chọn ngẫu nhiên 3 hộp. Tính xác suất để 3 hộp có đủ 3 loại thực phẩm?
Chọn ngẫu nhiên 3 hộp từ 8 hộp ta có
Để chọn được một hộp thịt; một hộp quả và 1 hộp sữa ta có số cách chọn là:
Vậy xác suất cần tìm là: .
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Giả sử xúc xắc xuất hiện mặt b chấm. Xác suất để phương trình
có hai nghiệm phân biệt là:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
Mà
=>
Gieo con xúc xắc cân đối và đồng chất =>
Biến cố A xúc xắc xuất hiện mặt b chấm thỏa mãn phương trình =>
=> Xác suất để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Có bốn hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người và 2 toa còn lại không có người?
Vì mỗi hành khách có 4 cách chọn toa tàu nên:
Để xếp theo yêu cầu của bài toán ta thực hiện các bước liên tiếp như sau:
Chọn 1 toa để xếp 3 người ta có:
Chọn 3 người để xếp vào toa đó là:
Chọn 1 toa từ 3 toa còn lại để xếp người còn lại vào:
Theo quy tắc nhân ta có:
Vậy xác suất cần tìm là:
Từ một hộp chứa
quả cầu màu đỏ và
quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tính xác suất để 3 quả cầu lấy được đều màu xanh.
Số phần tử của không gian mẫu .
Gọi là biến cố "
quả cầu lấy được đều là màu xanh". Suy ra
.
Vậy xác suất cần tìm là .
Đề thi kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 1,0 điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương án. Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên.
Với mỗi câu hỏi, thí sinh có 4 phương án lựa chọn nên số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi X là biến cố “thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên”.
Trường hợp 1: Thí sinh đó là được 8 câu (tức là 8,0 điểm): Chọn 8 câu trong số 10 câu hỏi và 2 câu còn lại mỗi câu có 3 cách chọn đáp án sai nên có cách để thí sinh đúng 8 câu.
Trường hợp 2: Thí sinh đó là được 9 câu (tức là 9,0 điểm): Chọn 9 câu trong số 10 câu hỏi và câu còn lại có 3 cách chọn đáp án sai nên có cách để thí sinh đúng 9 câu.
Trường hợp 3: Thí sinh đó là được 10 câu (tức là 10,0 điểm): Chỉ có 1 cách duy nhất.
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là .
Vậy xác suất cần tìm là .
Gieo một đồng xu cân đối liên tiếp bốn lần. Gọi X là biến cố “Kết quả bốn lần gieo là như nhau”. Xác định biến cố X?
Vì X là biến cố “Kết quả bốn lần gieo là như nhau” nên ta xác định được biến cố như sau:
Một hộp có:
• 2 viên bi trắng được đánh số từ 1 đến 2;
• 3 viên bi xanh được đánh số từ 3 đến 5;
• 2 viên bi đỏ được đánh số từ 6 đến 7.
Lấy ngẫu nhiên hai viên bi, mô tả không gian mẫu nào dưới đây là đúng?
Mỗi viên bi đánh một số, nên 2 viên bi lấy ra mang số khác nhau.
Vậy Ω ={(m, n)| 1 ≤ m ≤ 7, 1 ≤ n ≤ 7 và m ≠ n}.