Cho
là một biến cố trong phép thử
. Xác suất của biến cố đối
liên hệ với xác suất của biến cố
được xác định theo công thức nào sau đây?
Xác suất của biến cố đối liên hệ với xác suất của biến cố
theo công thức:
Cho
là một biến cố trong phép thử
. Xác suất của biến cố đối
liên hệ với xác suất của biến cố
được xác định theo công thức nào sau đây?
Xác suất của biến cố đối liên hệ với xác suất của biến cố
theo công thức:
Giả sử E là một biến cố liên quan phép thử
với không gian mẫu
. Phát biểu nào dưới đây sai?
khi và chỉ khi
là biến cố không thể.
Bạn Xuân là một trong nhóm 15 người. chọn 3 người để lập một ban đại diện. Xác suất đúng đến phần mười nghìn để Xuân là một trong 3 người được chọn là bao nhiêu?
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố Xuân là một trong ba người được chọn.
Có cách chọn Xuân trong nhóm 15 người.
Có cách chọn 2 người trong 14 người còn lại.
Suy ra .
Xác suất cần tìm là .
Một hộp chứa 10 tấm thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên hai tấm thẻ. Tính xác suất để chọn được hai tấm thẻ đều ghi số chẵn?
Từ 1 đến 10 có 5 số chẵn.
Số cách chọn ngẫu nhiên hai tấm thẻ trong hộp là:
Số cách chọn được hai tấm thẻ đều ghi số chẵn là:
Vậy xác suất của biến cố A là:
Cho A là biến cố liên quan phép thử T. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Mệnh đề đúng là:
Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba lần. Gọi
là biến cố “Có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp” và
là biến cố “Kết quả ba lần gieo là như nhau”. Hãy liệt kê các kết quả của biến cố ![]()
,
. Suy ra
.
Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra có cả 3 môn.
Số cách lấy 3 quyển sách bất kì là .
Số cách lấy được 3 quyển thuộc 3 môn khác nhau là .
Suy ra xác suất cần tìm là .
Từ một hộp gồm 12 quả bóng gồm 5 quả đỏ và 7 quả xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả màu xanh bằng bao nhiêu?
Lấy 3 quả bóng từ 12 quả ta có:
Lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng đều màu xanh có: cách
Vậy xác suất để lấy được 3 quả bóng màu xanh là: .
Một bình chứa
viên bi màu, trong đó có
bi xanh,
bi đỏ,
bi trắng. Lấy ngẫu nhiên
viên bi từ bình đó. Tính xác suất để lấy được
viên bi khác màu.
Lấy viên bi bất kì trong
viên bi trong bình thì có
(cách).
Lấy viên bi cùng màu thì có
(cách) nên có
(cách) lấy được
viên bi khác màu.
Xác suất để lấy được viên bi khác màu trong tổng số
viên bi là
.
Cho đa giác đều có
đỉnh. Chọn ngẫu nhiên
đỉnh trong số
đỉnh của đa giác. Xác suất để
đỉnh được chọn là
đỉnh của một tam giác vuông là bao nhiêu?
Số phần tử không gian mẫu là .
Giả sử tam giác cần lập là vuông tại
.
Chọn đỉnh của tam giác có
cách.
Để tam giác vuông tại thì cung
có số đo là
, hay
là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác, do đó có
cách chọn
.
Gọi là biến cố "
đỉnh được chọn là
đỉnh của một tam giác vuông"
Số phần tử của là
.
Xác suất cần tìm là .
Một đề thi trắc nghiệm gồm
câu, mỗi câu có bốn phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được
điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên
trong
phương án ở mỗi câu. Xác suất để thí sinh đó được
điểm là bao nhiêu?
Không gian mẫu của phép thử trên có số phần tử là .
Gọi là biến cố: “ Thí sinh đó được 6 điểm”
Tìm : Để được 6 điểm, thí sinh đó phải làm đúng 30 câu và làm sai 20 câu.
Công đoạn 1: Chọn 30 câu từ 50 câu để làm câu đúng. Có cách.
Công đoạn 2: Chọn phương án đúng của mỗi câu từ 30 câu đã chọn. Có cách.
Công đoạn 3: Chọn một phương án sai trong ba phương án sai của mỗi câu từ 20 còn lại. Có cách.
Theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho biến cố là
.
Vậy xác suất để học sinh đó được 6 điểm là:.
Trong chiếc hộp chứa 37 tấm thẻ được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 37 (hai tấm thẻ khác nhau được đánh số khác nhau). Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 thẻ trong hộp. Xác suất để các số ghi trên ba tấm thẻ có tổng là một số chia hết cho 3 bằng bao nhiêu?
Từ 1 đến 37 có 12 số chia hết cho 3; 13 số chia cho 3 dư 1 và 12 số chia cho 3 dư 2
Số phần tử không gian mẫu là:
Để lấy được 3 tấm thẻ mà tổng các số ghi trên ba tấm thẻ chia hết cho 3 ta có các trường hợp sau:
TH1: 3 số đều chia hết cho 3 ta có: cách chọn.
TH2: 3 số chia 3 dư 1 ta có: cách chọn.
TH3: 3 số chia 3 dư 2 ta có: cách chọn.
TH4: 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia cho 3 dư 2 ta có: cách chọn.
Suy ra có tất cả cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vậy xác suất của biến cố: “Các số ghi trên ba tấm thẻ có tổng là một số chia hết cho 3” là:
Một chiếc hộp đựng 5 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số ghi trên hai thẻ đều là số lẻ”. Tính số phần tử của biến cố A?
Số phần tử của biến cố A là:
Một hộp đựng
thẻ, đánh số từ
đến
. Chọn ngẫu nhiên
thẻ. Gọi
là biến cố để tổng số của
thẻ được chọn không vượt quá
. Tìm số phần tử của biến cố
.
Liệt kê ta có: . (4 phần tử)
Một đội văn nghệ có 5 nam và 8 nữ, đội trưởng cần lập một nhóm 4 người để tham gia biểu diễn một tiết mục chính. Xác suất để trong bốn người được chọn có ít nhất 3 nam bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “chọn được ít nhất 3 nam”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Cho một đa giác đều có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi X là tập các tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác trên. Xác suất để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều bằng:
Số các tam giác bất kỳ là .
Số các tam giác đều là .
Có 18 cách chọn một đỉnh của đa giác, mỗi đỉnh có 8 cách chọn 2 đỉnh còn lại để được một tam giác cân.
Số các tam giác cân là: 18.8 = 144.
Số các tam giác cân không đều là: .
Xác suất cần tìm là .
Chọn ngẫu nhiên 3 số tự nhiên từ tập hợp
. Xác suất của
để trong 3 số tự nhiên được chọn không có 2 số tự nhiên liên tiếp bằng bao nhiêu?
Có tất cả cách chọn 3 số tự nhiên từ tập hợp
.
Suy ra .
Xét biến cố “Chọn 3 số tự nhiên sao cho không có 2 số tự nhiên liên tiếp”.
Ta có “Chọn 3 số tự nhiên sao luôn có 2 số tự nhiên liên tiếp”.
Xét các trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: Trong ba số chọn được chỉ có 2 số liên tiếp:
- Nếu 2 số liên tiếp là hoặc
thì số thứ ba có
cách chọn (do không tính số liên tiếp sau và trước mỗi cặp số đó).
- Nếu 2 số liên tiếp là ,
,.,
thì số thứ ba có
cách chọn (do không tính 2 số liền trước và sau mỗi cặp số đó).
Trường hợp này có cách chọn.
+ Trường hợp 2: Chọn được 3 số liên tiếp.
Tức là chọn các bộ ,
,.,
: có tất cả 2017 cách.
Suy ra .
Vậy .
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Giả sử xúc xắc xuất hiện mặt b chấm. Xác suất để phương trình
có hai nghiệm phân biệt là:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
Mà
=>
Gieo con xúc xắc cân đối và đồng chất =>
Biến cố A xúc xắc xuất hiện mặt b chấm thỏa mãn phương trình =>
=> Xác suất để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Gieo 1 con xúc xắc 1 lần. Biến cố A: “Số chấm xuất hiện nhỏ hơn 4”. Mô tả biến cố A.
Mô tả biến cố A: A = {1;2;3}.
Một hộp chứa 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên 3 chiếc thẻ từ hộp. Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ.
Số phần tử của không gian mẫu: .
Gọi A là biến cố "tổng các số ghi trên 3 chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ".
Ta có:
.
Xác suất để tổng các số ghi trên 3 chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ là:
.
Đạt và Phong tham gia chơi trò một trò chơi đối kháng, thỏa thuận rằng ai thắng 5 ván trước là thắng chung cuộc và được hưởng toàn bộ số tiền thưởng của chương trình (không có ván nào hòa). Tuy nhiên khi Đạt thắng được 4 ván và Phong thắng được 2 ván rồi thì xảy ra sự cố kĩ thuật và chương trình buộc phải dừng lại. Biết rằng giới chuyên môn đánh giá Phong và Đạt ngang tài ngang sức. Hỏi phải chia số tiền thưởng như thế nào cho hợp lý (dựa trên quan điểm tiền thưởng tỉ lệ thuận với xác suất thắng cuộc của mỗi người).
Phân tích: Đề bài cho các điều kiện khá dài dòng, ta cần đưa chúng về dạng ngắn gọn dễ hiểu hơn.
+) “Biết rằng giới chuyên môn đánh giá Phong và Đạt ngang tài ngang sức”: xác suất để Phong và Đạt thắng trong một ván là như nhau và bằng .
+) “Khi Đạt thắng được 4 ván và Phong thắng được 2 ván rồi”: nghĩa là Đạt chỉ cần thắng một ván nữa là được 5 ván, còn Phong phải thắng 3 ván nữa mới đạt được.
Để xác định xác suất thắng chung cuộc của Đạt và Phong ta tiếp tục chơi thêm các ván “giả tưởng”. Để Phong có thể thắng chung cuộc thì anh phải thắng Đạt 3 ván liên tiếp (vì Đạt chỉ còn một ván nữa là thắng).
Như vậy xác suất thắng cuộc của Phong là: .
Xác suất thắng cuộc của Đạt là .
Vậy Tỉ lệ chia tiền phù hợp là .
Rút ngẫu nhiên một thẻ từ hộp chứa 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Tính xác suất của biến cố “Rút được tấm thẻ ghi số chia hết cho 3”.
Số phần tử của không gian mẫu là:
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Số trên tấm thẻ được rút ra chia hết cho 3” là:
Xác suất của biến cố A là:
Một tổ có
học sinh nam và
học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên
học sinh. Xác suất để trong
học sinh được chọn luôn có học sinh nữ là:
.
Gọi là biến cố:” trong
học sinh được chọn luôn có học sinh nữ”
Vậy xác suất của biến cố là
.
Một tổ trong lớp 10A có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ đó để tham gia câu lạc bộ phát thanh. Tính xác suất để học sinh được chọn là học sinh nam?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “học sinh được chọn là học sinh nam?”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào là bao nhiêu?
Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên người trong
người.
Suy ra số phần tử không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
người được chọn không có cặp vợ chồng nào
. Để tìm số phần tử của
, ta đi tìm số phần tử của biến cố
, với biến cố
là
người được chọn luôn có
cặp vợ chồng.
+ Chọn cặp vợ chồng trong
cặp vợ chồng, có
cách.
+ Chọn thêm người trong 18 người, có
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Trong một hộp đựng
bi màu đỏ,
bi màu xanh và
bi vàng, lấy ngẫu nhiên
viên bi. Xác suất để 3 viên bi lấy được đều có màu đỏ là:
Tổng số có viên bi.
Lấy ngẫu nhiên viên bi từ
viên có
(cách lấy).
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi :
viên bi lấy được đều có màu đỏ<img class="data-latex" data-type="2" src="https://tex.vdoc.vn?tex=%22" data-latex="" "="" alt=""">.
Lấy viên bi màu đỏ từ
viên bi màu đỏ có
.
Vậy xác suất để viên bi lấy được đều có màu đỏ là
.
Gieo một đồng tiền liên tiếp
lần. Số phần tử của không gian mẫu là bao nhiêu?
.
(lần 1 có 2 khả năng xảy ra - lần 2 có 2 khả năng xảy ra).
Một hộp chứa các viên bi kích thước khác nhau, trong đó có 5 viên bi màu đỏ và 6 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 viên bi từ hộp. Tính xác suất để trong 4 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi màu vàng.
Số phần tử của không gian mẫu là:
Số cách để lấy 4 viên bi trong đó có đúng một viên bi màu vàng là:
Xác suất của biến cố A là:
Một lớp có 43 học sinh trong đó có 23 học sinh nữ và 20 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh. Xác suất để 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ gần nhất với kết quả nào dưới đây?
Số phần tử của không gian mẫu là:
Số cách chọn 5 học sinh chỉ có nam hoặc chỉ có nữ là:
Số cách chọn 5 học sinh có cả nam và nữ là:
Xác suất của biến cố 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ là:
Một hộp chứa 3 bi xanh, 2 bi đỏ, 4 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Xác suất để được đúng một bi đỏ là bao nhiêu?
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố lấy được đúng 1 bi đỏ.
Chọn 1 bi đỏ, 1 bi xanh, 1 bi vàng, có (cách).
Chọn 1 bi đỏ, 2 bi xanh, có (cách).
Chọn 1 bi đỏ,2 bi vàng, có (cách).
Suy ra .
Xác suất cần tìm là .
Một hộp có:
• 2 viên bi trắng được đánh số từ 1 đến 2;
• 3 viên bi xanh được đánh số từ 3 đến 5;
• 2 viên bi đỏ được đánh số từ 6 đến 7.
Lấy ngẫu nhiên hai viên bi, mô tả không gian mẫu nào dưới đây là đúng?
Mỗi viên bi đánh một số, nên 2 viên bi lấy ra mang số khác nhau.
Vậy Ω ={(m, n)| 1 ≤ m ≤ 7, 1 ≤ n ≤ 7 và m ≠ n}.
Phát biểu nào sau đây đúng?
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử, biến cố đó sẽ không xảy ra.
Một hộp chứa 2 bi xanh, 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất để có ít nhất một bi xanh trong 3 viên.
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố lấy ít nhất 1 bi xanh.
Chọn 1 bi xanh, 2 bi đỏ, có (cách).
Chọn 2 bi xanh, 1 bi đỏ, có (cách).
Suy ra .
Xác suất cần tìm là .
Một tổ học sinh gồm 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh. Tính xác suất sao cho 2 người có cả nam và nữ?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố 2 người được chọn có đủ nam và nữ
Số phần tử của biến cố A là:
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Một hộp chứa 5 viên bi trắng, 10 viên bi xanh và 15 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 7 viên bi. Xác suất để trong số 7 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu đỏ?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố để trong 7 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu đỏ
là biến cố để trong 7 viên bi được lấy ra có số viên bi nhỏ hơn 2.
TH1: 7 viên bi trong đó có 1 viên bi đỏ ta có:
TH2: 7 viên bi trong đó có không có viên bi đỏ ta có:
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Gieo một con xúc xắc. Gọi K là biến cố số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số nguyên tố. Hãy xác định biến cố K.
Ta có: K = {2; 3; 5}.
Hộp
có
viên bi trắng,
viên bi đỏ và
viên bi xanh. Hộp
có
viên bi trắng,
viên bi đỏ và
viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu là bao nhiêu?
Số phần tử của không gian mẫu: .
Số cách chọn từ mỗi hộp 1 viên bi sau cho 2 viên bi cùng màu là: .
Vậy xác suất cần tìm là .
Một lớp có
học sinh, trong đó có
học sinh tên Anh. Trong một lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên hai học sinh trong lớp lên bảng. Tính xác suất để 2 bạn học sinh tên Anh cùng lên bảng.
Số phần tử của không gian mẫu .
Gọi là biến cố gọi hai học sinh tên Anh lên bảng, ta có
.
Vậy xác suất cần tìm là .