Gieo 1 con xúc xắc 1 lần. Biến cố A: “Số chấm xuất hiện nhỏ hơn 4”. Mô tả biến cố A.
Mô tả biến cố A: A = {1;2;3}.
Gieo 1 con xúc xắc 1 lần. Biến cố A: “Số chấm xuất hiện nhỏ hơn 4”. Mô tả biến cố A.
Mô tả biến cố A: A = {1;2;3}.
Gieo ngẫu nhiên
đồng tiền thì không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu biến cố:
Mô tả không gian mẫu ta có: . (4 phần tử)
Cho
và
là hai biến cố đối nhau. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
Mệnh đề đúng là:
Một nhóm học sinh lớp 10A gồm 10 học sinh trong đó có 4 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên bốn học sinh trong nhóm để tham gia cuộc thi hùng biện. Xác suất để cả bốn bạn được chọn đều là nữ bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Số kết quả thuận lợi cho biến cố: “Cả bốn bạn được chọn đều là nữ” bằng:
Vậy xác suất của biến cố ”Cả bốn bạn được chọn đều là nữ” bằng:
Xét phép thử gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 6 mặt hai lần. Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”. Biến cố A gồm bao nhiêu kết quả?
Gọi cặp số là số chấm xuất hiện ở hai lần gieo.
Xét biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo giống nhau”.
Các kết quả của biến cố A là: .
Suy ra .
Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Biến cố nào là biến cố không?
Do xúc xắc có 6 mặt có số chấm từ 1 đến 6 nên biến cố không là “Mặt xuất hiện của con xúc xắc có số chấm là 8 chấm.”
Một nhóm 18 học sinh gồm 10 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 5 học sinh. Tính xác suất để trong 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ?
Số phần tử không gian mẫu
Các trường hợp thỏa mãn điều kiện bài toán:
TH1: Chọn được 3 nam và 2 nữ: cách chọn
TH2: Chọn được 4 nam và 1 nữ: cách chọn
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “5 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ” là: cách
Vậy xác suất của biến cố A là:
Một thùng có
sản phẩm, trong đó có
sản phẩm loại
và
sản phẩm loại
. Lấy ngẫu nhiên
sản phẩm từ thùng đó. Xác suất để lấy được
sản phẩm cùng loại là bao nhiêu?
Lấy ngẫu nhiên sản phẩm trong
sản phẩm thì có
(cách).
sản phẩm được lấy ra đều là sản phẩm loại
có
(cách).
sản phẩm được lấy ra đều là sản phẩm loại
có
(cách).
Xác suất để lấy được sản phẩm cùng loại là
.
Bốn quyển sách được đánh dấu bằng những chữ cái U, V, X, Y được xếp tuỳ ý trên 1 kệ sách dài. Xác suất để chúng được sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái là:
Số cách sắp xếp 4 phần tử vào dãy nằm ngang gồm 4 vị trí có (cách). Suy ra
.
Chỉ có duy nhất 1 cách sắp xếp 4 chữ U, V, X, Y theo thứ tự bảng chữ cái.
Vậy xác suất .
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất mà mặt có số chấm chẵn xuất hiện là bao nhiêu?
Ta có: Không gian mẫu suy ra
.
Gọi biến cố : “Con súc sắc có số chấm chẵn xuất hiện” hay
suy ra
.
Từ đó suy ra .
Vậy xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất hiện là .
Một tổ học sinh lớp 10A có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong tổ đó để tham gia đội tình nguyện. Tính xác suất để bốn học sinh được chọn đều là nữ?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “Bốn học sinh được chọn đều là nữ”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Gieo một con xúc xắc hai lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố B: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo nhỏ hơn 4”.
Ta có:
Các kết quả thuận lợi cho biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo nhỏ hơn 4” là:
Vậy xác suất của biến cố B là:
Cho năm đoạn thẳng có độ dài:
,
,
,
,
. Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng đó. Tính xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra là ba cạnh của một tam giác.
* Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng đã cho có cách.
Suy ra .
* Gọi là biến cố "lấy được ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác".
Các trường hợp ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác là:
(thỏa mãn: hiệu hai cạnh bé hơn cạnh còn lại, tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại).
Do đó Vậy sác xuất cần tìm là
.
Gieo ba con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau.
Số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố
Số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc như nhau
. Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố
là
Suy ra
Vậy xác suất cần tính .
Cho 40 tấm thẻ được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 40. Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ. Tính xác suất để ba tấm thẻ được chọn có tổng các số ghi trên ba tấm thẻ đó là một số chẵn?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố chọn được 3 tấm thẻ có các số ghi trên ba tấm thẻ đó là một số chẵn.
TH1: 2 số ghi số lẻ, 1 số ghi số chẵn ta có:
TH2: 3 số ghi số chẵn ta có:
Vậy xác suất để chọn được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên các thẻ là một số chẵn là:
Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp gồm 6 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Tính xác suất để lấy được ba quả cùng màu?
Số phần tử của không gian mẫu
Gọi A là biến cố lấy được 3 quả cùng màu
TH1: Lấy được 3 quả màu trắng có: cách
TH2: Lấy được 3 quả màu đen có: cách
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Gieo ngẫu nhiên một đồng tiên cân đối, đồng chất 3 lần liên tiếp. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là:
Ta có:
Gọi A là biến cố “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”
Vậy
Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Số kết quả thuận lợi cho biến cố B: “4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh” là:
Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 4 viên bi trong 6 + 8 + 10 = 24 viên bi có số cách là:
Số phần tử của không gian mẫu là 10 626.
Lấy 4 viên bi trong 16 viên bi đỏ, trắng có cách. Như vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố “Lấy 4 viên bi không có màu xanh” là
=> Số kết quả thuận lợi cho biến cố B: “4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh” là:
Vậy có 8 806 kết quả thuận lợi cho biến cố B.
Một hộp chứa 10 tấm thẻ được đánh số lần lượt từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố: “Tấm thẻ được rút ra ghi số chẵn”?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “Tấm thẻ được rút ra ghi số chẵn”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Cho 8 quả cân có trọng lượng lần lượt là 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 (kg). Chọn ngẫu nhiên 3 quả trong số đó. Xác suất để trọng lượng 3 quả không nhỏ hơn 10 (kg) là:
Chọn ba quả cân có cách.
Chọn ba quả cân có tổng trọng lượng nhỏ hơn hoặc bằng 9 có các trường hợp sau:
TH1: Trong các quả được lấy ra không có quả cân trọng lượng 1 kg.
Ta có là tổng trọng lượng nhỏ nhất có thể. Do đó trong trường hợp này có đúng 1 cách chọn.
TH2: Trong các quả được lấy ra có quả cân trọng lượng 1 kg. Khi đó ta có:
.
Trường hợp này ta có 6 cách chọn.
Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Xác suất cần tính là: .
Một hộp chứa 3 bi xanh, 2 bi đỏ, 4 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Xác suất để được đúng một bi đỏ là bao nhiêu?
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố lấy được đúng 1 bi đỏ.
Chọn 1 bi đỏ, 1 bi xanh, 1 bi vàng, có (cách).
Chọn 1 bi đỏ, 2 bi xanh, có (cách).
Chọn 1 bi đỏ,2 bi vàng, có (cách).
Suy ra .
Xác suất cần tìm là .
Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba lần. Gọi
là biến cố “Có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp” và
là biến cố “Kết quả ba lần gieo là như nhau”. Hãy liệt kê các kết quả của biến cố ![]()
,
. Suy ra
.
Gieo một đồng xu cân đối liên tiếp bốn lần. Gọi X là biến cố “Kết quả bốn lần gieo là như nhau”. Xác định biến cố X?
Vì X là biến cố “Kết quả bốn lần gieo là như nhau” nên ta xác định được biến cố như sau:
Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp là bao nhiêu?
Gọi A là biến cố: “cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp.”
Không gian mẫu:
=>.
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số được lập từ tập hợp X = {1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Xác suất để số chọn được chia hết cho 6 bằng:
Số phần tử trong không gian mẫu là .
Gọi A là biến cố: “số chọn được chia hết cho 6”.
Giả sử số cần tìm là .
Do số cần tìm chia hết cho 6 nên chia hết cho 2.
Do đó chọn có 4 cách.
Chọn a, b có cách. Để chọn c ta xét tổng
:
Nếu M chia cho 3 dư 0 thì suy ra có 3 cách chọn.
Nếu M chia cho 3 dư 1 thì suy ra có 3 cách chọn.
Nếu M chia cho 3 dư 2 thì suy ra có 3 cách chọn.
Do đó .
Vậy .
Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt
chấm xuất hiện là:
Gieo một con súc sắc có không gian mẫu .
Xét biến cố : “mặt
chấm xuất hiện”.
.
Do đó .
Cho một đa giác đều có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Gọi X là tập các tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác trên. Xác suất để chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều bằng:
Số các tam giác bất kỳ là .
Số các tam giác đều là .
Có 18 cách chọn một đỉnh của đa giác, mỗi đỉnh có 8 cách chọn 2 đỉnh còn lại để được một tam giác cân.
Số các tam giác cân là: 18.8 = 144.
Số các tam giác cân không đều là: .
Xác suất cần tìm là .
Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ trong hộp chứa 10 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh. Xác suất để ba quả cầu được chọn đều là màu xanh bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố lấy được 3 quả màu xanh
Số phần tử của biến cố A là:
Vậy xác suất của biến cố A là:
Cho một đa giác
có
đỉnh nội tiếp một đường tròn
. Người ta lập một tứ giác tùy ý có bốn đỉnh là các đỉnh của
. Tính xác suất để lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của
, số đó gần với số nào nhất trong các số sau?
Số phần tử của không gian mẫu là: .
Gọi là biến cố “lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của
”.
Để chọn ra một tứ giác thỏa mãn đề bài ta làm như sau:
Bước 1: Chọn đỉnh đầu tiên của tứ giác, có cách.
Bước 2: Chọn đỉnh còn lại sao cho hai đỉnh bất kỳ của tứ giác cách nhau ít nhất 1 đỉnh. Điều này tương đương với việc ta phải chia
chiếc kẹo cho
đứa trẻ sao cho mỗi đứa trẻ có ít nhất
cái, có
cách, nhưng làm như thế mỗi tứ giác lặp lại 4 lần.
Số phần tử của biến cố
là:
.
Xác suất của biến cố là:
.
Một tổ học sinh có
nam và
nữ. Chọn ngẫu nhiên
người. Xác suất chọn được 2 nữ là:
Chọn ngẫu nhiên người trong
người có
cách chọn.
Hai người được chọn đều là nữ có cách.
Xác suất để hai người được chọn đều là nữ là: .
Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra có cả 3 môn.
Số cách lấy 3 quyển sách bất kì là .
Số cách lấy được 3 quyển thuộc 3 môn khác nhau là .
Suy ra xác suất cần tìm là .
Một hộp chứa 5 viên bi trắng, 10 viên bi xanh và 15 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 7 viên bi. Xác suất để trong số 7 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu đỏ?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố để trong 7 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu đỏ
là biến cố để trong 7 viên bi được lấy ra có số viên bi nhỏ hơn 2.
TH1: 7 viên bi trong đó có 1 viên bi đỏ ta có:
TH2: 7 viên bi trong đó có không có viên bi đỏ ta có:
Vậy xác suất của biến cố A cần tìm là:
Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ hộp chứa 9 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh. Tính xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh?
Ta có:
Gọi A là biến cố “lấy được 3 quả cầu màu xanh”
Vậy .
Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất 6 mặt và quan sát số chấm xuấ hiện trên con xúc xắc. Xác suất của biến cố: “Số chấm xuất hiện trên mặt xúc xắc là 5” bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên mặt xúc xắc là 5”
Vậy xác suất của biến cố A là:
Gọi
là tập hợp các số tự nhiên gồm
chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ
. Hãy tính xác suất để chọn được một số gồm
chữ số lẻ và chữ số
luôn đứng giữa hai chữ số lẻ (hai số hai bên chữ số
là số lẻ).
Số phần tử của tập là
.
Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập
.
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố
Số được chọn gồm
chữ số lẻ và chữ số
luôn đứng giữa hai chữ số lẻ
. Do số
luôn đứng giữa
số lẻ nên số
không đứng ở vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng. Ta có các khả năng
+ Chọn trong
vị trí để xếp số
, có
cách.
+ Chọn trong
số lẻ và xếp vào
vị trí cạnh số
vừa xếp, có
cách.
+ Chọn số lẻ trong
số lẻ còn lại và chọn
số chẵn từ
sau đó xếp
số này vào
vị trí trống còn lại có
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính
Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên
bước. Xác suất sau
bước quân vua trở về ô xuất phát là bao nhiêu?

Tại mọi ô đang đứng, ông vua có khả năng lựa chọn để bước sang ô bên cạnh.
Do đó không gian mẫu .
Gọi là biến cố “sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát”. Sau ba bước quân vua muốn quay lại ô ban đầu khi ông vua đi theo đường khép kín tam giá
Chia hai trường hợp:
+ Từ ô ban đầu đi đến ô đen, đến đây có cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu.
+ Từ ô ban đầu đi đến ô trắng, đến đây có cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu.
Do số phần tử của biến cố A là .
Vậy xác suất .