Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con xúc xắc bằng 7?
Ta có:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố “tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con xúc xắc bằng “.
Vậy .
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 30 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng:
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố: “Hai số được chọn có tổng là một số chẵn”
Tổng của hai số là một số chẵn khi và chỉ khi hai số đó đều chẵn hoặc đều lẻ.
Trong 30 số nguyên dương đầu tiên có 15 số lẻ và 15 số chẵn.
Xét trường hợp chọn được hai số lẻ ta có: cách chọn.
Xét trường hợp chọn được hai số chẵn ta có: cách chọn.
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:
Khi đó xác suất của biến cố A là: .
Một bình chứa 16 viên vi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong bình đó. Tính xác suất lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ.
Số cách lấy 3 viên bi bất kì là .
Số cách lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ là .
Suy ra xác suất cần tìm là.
Trong các thí nghiệm sau thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên:
"Bỏ hai viên bi xanh và ba viên bi đỏ trong một chiếc hộp, sau đó lấy từng viên một để đếm có tất bao nhiêu viên bi". Đây không phải là phép thử ngẫu nhiên.
Trong chiếc túi du lịch của anh X gồm 3 hộp thịt, 2 hộp cam và 3 hộp cơm. Vì một vài lí do mà những chiếc hộp đều bị mất nhãn. Anh X chọn ngẫu nhiên 3 hộp. Tính xác suất để 3 hộp có đủ 3 loại thực phẩm?
Chọn ngẫu nhiên 3 hộp từ 8 hộp ta có
Để chọn được một hộp thịt; một hộp quả và 1 hộp sữa ta có số cách chọn là:
Vậy xác suất cần tìm là: .
Phát biểu nào sau đây đúng?
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử, biến cố đó sẽ không xảy ra.
Gieo đồng tiền 
lần cân đối và đồng chất. Xác suất để được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là bao nhiêu?
Phép thử: Gieo đồng tiền lần cân đối và đồng chất.
Ta có .
Biến cố : Được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp.
: Tất cả đều là mặt ngửa.
.
.
.
Một đề thi trắc nghiệm gồm câu, mỗi câu có bốn phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên trong phương án ở mỗi câu. Xác suất để thí sinh đó được điểm là bao nhiêu?
Không gian mẫu của phép thử trên có số phần tử là .
Gọi là biến cố: “ Thí sinh đó được 6 điểm”
Tìm : Để được 6 điểm, thí sinh đó phải làm đúng 30 câu và làm sai 20 câu.
Công đoạn 1: Chọn 30 câu từ 50 câu để làm câu đúng. Có cách.
Công đoạn 2: Chọn phương án đúng của mỗi câu từ 30 câu đã chọn. Có cách.
Công đoạn 3: Chọn một phương án sai trong ba phương án sai của mỗi câu từ 20 còn lại. Có cách.
Theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho biến cố là
.
Vậy xác suất để học sinh đó được 6 điểm là:.
Chọn ngẫu nhiên hai số phân biệt từ 15 số nguyên dương đầu tiên. Tính xác suất để tích hai số được chọn là một số chẵn?
Trong 15 số nguyên dương đầu tiên có 7 số chẵn và 8 só lẻ.
Ta có:
Gọi A là biến cố “Tích hai số được chọn là một số chẵn”
TH1: 1 số lẻ và 1 số chẵn ta có: cách chọn
TH2: 2 số chẵn ta có: cách chọn
Vậy
Nguyên lí xác suất bé được phát biểu như sau: “Nếu có một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ …”. Cụm từ cần điền vào chỗ trống là:
Nguyên lí xác suất bé được phát biểu như sau: “Nếu có một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra”.
Có tấm thẻ được đánh số từ đến . Chọn ngẫu nhiên ra tấm thẻ. Hãy tính xác suất để có tấm thẻ mang số lẻ, tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng tấm thẻ mang số chia hết cho .
Không gian mẫu là cách chọn tấm thể trong
tấm thẻ.
Suy ra số phần tử của không mẫu là .
Gọi là biến cố
tấm thẻ mang số lẻ,
tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng
tấm thẻ mang số chia hết cho
. Để tìm số phần tử của
ta làm như sau
● Đầu tiên chọn tấm thẻ trong
tấm thẻ mang số lẻ, có
cách.
● Tiếp theo chọn tấm thẻ trong
tấm thẻ mang số chẵn (không chia hết cho
), có
cách.
● Sau cùng ta chọn trong
tấm thẻ mang số chia hết cho
, có
cách.
Suy ra số phần tử của biến cố là
.
Vậy xác suất cần tính .
Một hộp chứa quả cầu gồm quả màu xanh và quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để quả cầu chọn ra cùng màu.
Số cách lấy ra 2 quả cầu trong 11 quả là , Suy ra
.
Gọi A là biến cố lấy được 2 quả cùng màu. Suy ra .
Xác suất của biến cố A là .
Hộp có viên bi trắng, viên bi đỏ và viên bi xanh. Hộp có viên bi trắng, viên bi đỏ và viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu là bao nhiêu?
Số phần tử của không gian mẫu: .
Số cách chọn từ mỗi hộp 1 viên bi sau cho 2 viên bi cùng màu là: .
Vậy xác suất cần tìm là .
Cho đa giác đều có đỉnh. Chọn ngẫu nhiên đỉnh trong số đỉnh của đa giác. Xác suất để đỉnh được chọn là đỉnh của một tam giác vuông là bao nhiêu?
Số phần tử không gian mẫu là .
Giả sử tam giác cần lập là vuông tại
.
Chọn đỉnh của tam giác có
cách.
Để tam giác vuông tại thì cung
có số đo là
, hay
là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác, do đó có
cách chọn
.
Gọi là biến cố "
đỉnh được chọn là
đỉnh của một tam giác vuông"
Số phần tử của là
.
Xác suất cần tìm là .
Một nhóm 18 học sinh gồm 10 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 5 học sinh. Tính xác suất để trong 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ?
Số phần tử không gian mẫu
Các trường hợp thỏa mãn điều kiện bài toán:
TH1: Chọn được 3 nam và 2 nữ: cách chọn
TH2: Chọn được 4 nam và 1 nữ: cách chọn
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “5 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ” là: cách
Vậy xác suất của biến cố A là:
Một hộp chứa 2 bi xanh, 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất để có ít nhất một bi xanh trong 3 viên.
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố lấy ít nhất 1 bi xanh.
Chọn 1 bi xanh, 2 bi đỏ, có (cách).
Chọn 2 bi xanh, 1 bi đỏ, có (cách).
Suy ra .
Xác suất cần tìm là .
Một tổ học sinh có nam và nữ. Chọn ngẫu nhiên người. Xác suất chọn được 2 nữ là:
Chọn ngẫu nhiên người trong
người có
cách chọn.
Hai người được chọn đều là nữ có cách.
Xác suất để hai người được chọn đều là nữ là: .
Gieo ba con xúc xắc một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện trên ba con xúc xắc bằng 9?
Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trên ba mặt của ba con xúc xắc là 9”
Vì nên
Lại có
Khi đó xác suất của biến cố A là:
Đội tuyển của một lớp có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Trong buổi dự lễ trao thưởng, các học sinh được xếp thành 1 hàng ngang. Xác suất để xếp cho 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau là:
12 vị trí là hoán vị của 12 học sinh đó.
Do đó số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 12!.
Gọi A là biến cố “Xếp 2 bạn nữ không đứng cạnh nhau”.
Chia việc xếp thành 2 công đoạn:
Công đoạn 1: Xếp 8 bạn nam vào 8 chỗ có 8! cách.
Công đoạn 2: Khi đó 8 bạn nam tạo ra 9 khe trống, xếp 4 bạn nữ vào 9 khe trống đó có cách.
Theo quy tắc nhân, xếp 12 bạn mà 2 bạn nữ không đứng cạnh nhau có: 8!. cách.
=>
Xác suất biến cố A là:
Gieo một con xúc xắc. Gọi K là biến cố số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số nguyên tố. Hãy xác định biến cố K.
Ta có: K = {2; 3; 5}.
Có bốn hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người và 2 toa còn lại không có người?
Vì mỗi hành khách có 4 cách chọn toa tàu nên:
Để xếp theo yêu cầu của bài toán ta thực hiện các bước liên tiếp như sau:
Chọn 1 toa để xếp 3 người ta có:
Chọn 3 người để xếp vào toa đó là:
Chọn 1 toa từ 3 toa còn lại để xếp người còn lại vào:
Theo quy tắc nhân ta có:
Vậy xác suất cần tìm là:
Trên bàn có 3 quả táo và 4 quả cam. Xác định số phần tử không gian mẫu của phép thử lấy 2 quả ở trên bàn sau đó bỏ ra ngoài rồi lấy tiếp 1 quả nữa.
Lấy 2 quả trong 7 quả ở trên bàn và không tính thứ tự nên số cách là: (cách).
Sau khi bỏ 2 quả ra ngoài còn lại 5 quả. Lấy 1 quả trong 5 quả trên bàn có 5 cách.
Vậy số phần tử không gian mẫu là:
Cho A là một biến cố liên quan đến phép thử T. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Mệnh đề đúng là: .
Gieo đồng tiền hai lần. Biến cố để mặt ngửa xuất hiện đúng lần có bao nhiêu phần tử?
Liệt kê ta có: . (2 phần tử)
Một hộp đựng thẻ, đánh số từ đến . Chọn ngẫu nhiên thẻ. Gọi là biến cố để tổng số của thẻ được chọn không vượt quá . Tìm số phần tử của biến cố .
Liệt kê ta có: . (4 phần tử)
Xếp ngẫu nhiên 5 bạn nam và 3 bạn nữ vào một bàn tròn. Xác suất để không có ba bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.
Theo công thức hoán vị vòng quanh ta có:
Để xếp các bạn nữ không ngồi cạnh nhau, trước hết ta xếp các bạn nam vào bàn tròn: có cách, giữa 5 bạn nam đó ta sẽ có được 5 ngăn (do ở đây là bàn tròn). Xếp chỉnh hợp 3 bạn nữ vào 5 ngăn đó có
cách.
Vậy xác suất xảy ra là:.
Một bảng vuông gồm ô vuông đơn vị. Chọn ngẫu nhiên một ô hình chữ nhật. Xác suất để ô được chọn là hình vuông là bao nhiêu? (trong kết quả lấy 4 chữ số ở phần thập phân).
Để có một ô hình chữ nhật ta cần chọn 2 đường dọc trong tổng số 101 đường dọc, và hai đường ngang trong tổng số 101 đường ngang. Vậy có tất cả: ô hình chữ nhật.
Ta gọi phần mặt phẳng nằm giữa hai đường dọc hoặc hai đường ngang là một dải.
Một hình vuông bất kì chính là giao của hai dải có cùng độ rộng (một dải dọc, một dải ngang)
Số dải có độ rộng là:
Vậy có tất cả: hình vuông.
Xác suất cần tìm là:
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố “Số chấm xuất hiện trong lần gieo không bé hơn 3”.
Số phần tử của không gian mẫu là:
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Số chấm xuất hiện trong lần gieo không bé hơn 3” là:
Xác suất của biến cố A là: .
Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để biến cố có tích 2 lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn.
Số phần tử của không gian mẫu là
Gọi là biến cố
Tích hai lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn
. Ta xét các trường hợp:
TH1:. Gieo lần một, số chấm xuất hiện trên mặt là số lẻ thì khi gieo lần hai, số chấm xuất hiện phải là số chẵn. Khi đó có cách gieo.
TH2:. Gieo lần một, số chấm xuất hiện trên mặt là số chẵn thì có hai trường hợp xảy ra là số chấm xuất hiện trên mặt khi gieo lần hai là số lẻ hoặc số chẵn. Khi đó có cách gieo.
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố là
Vậy xác suất cần tìm tính
Ba xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia, xác suất trúng đích lần lượt là 0,5; 0,6 và 0,7. Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng bia là:
Gọi A là biến có người thứ nhất bắn trúng thì là biến cố người thứ nhất bắn trượt.
Vậy ;
.
Gọi B là biến cố người thứ hai bắn trúng và C là biến cố người thứ ba bắn trúng.
Tương tự ta có ;
;
;
.
Để hai người bắn trúng bia có các khả năng sau xảy ra:
Trường hợp 1: Người thứ nhất và thứ hai bắn trúng, người thứ ba bắn trượt.
Xác suất xảy ra là: .
Trường hợp 2: Người thứ nhất và thứ ba bắn trúng, người thứ hai bắn trượt.
Xác suất xảy ra là: .
Trường hợp 3: Người thứ hai và thứ ba bắn trúng, người thứ nhất bắn trượt.
Xác suất xảy ra là: .
Vậy xác suất để hai người bắn trúng bia là: .
Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ hộp chứa 9 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh. Tính xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh?
Ta có:
Gọi A là biến cố “lấy được 3 quả cầu màu xanh”
Vậy .
Gieo con súc sắc hai lần. Biến cố A là biến cố để sau hai lần gieo có ít nhất một mặt 6 chấm. Mô tả biến cố A.
Liệt kê ta có: .
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Cả 3 phương án trên đều đúng.
Giả sử tập hợp là tập hợp các số có 4 chữ số được tạo thành từ tập hợp . Lấy ngẫu nhiên một số bất kì từ tập . Xác suất để số được chọn có đúng hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ:
Mỗi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ các số của tập C là một chỉnh hợp chập 4 của 9
Số cách lấy một bộ có 4 chữ số gồm 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ được tập từ C là:
Mỗi bộ như vậy sẽ lập được số
Suy ra
Vậy xác suất của biến cố B là:
Một hộp có 3 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ từ trong hộp. Không gian mẫu của phép thử đó là:
Mô tả không gian mẫu: .
Năm đoạn thẳng có độ dài 1cm; 3cm; 5cm; 7cm; 9cm. Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng trên. Xác suất để ba đoạn thẳng lấy ra có thể tạo thành 1 tam giác là:
Phân tích: Cần nhớ lại kiến thức cơ bản về bất đẳng thức tam giác.
Ba đoạn thẳng với chiều dài có thể là 3 cạch của một tam giác khi và chỉ khi
Số phần tử của không gian mẫu là:
Gọi là biến cố “lấy ba đoạn thẳng lấy ra lập thành một tam giác”
Các khả năng chọn được ba đoạn thẳng lập thành một tam giác là
Số trường hợp thuận lợi của biến cố là 3. Suy ra xác suất của biến cố
là
.
Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất lần. Số phần tử không gian mẫu là bao nhiêu?
Mỗi lần gieo có hai khả năng nên gieo 5 lần theo quy tắc nhân ta có .
Số phần tử không gian mẫu là .
Trong một chiếc hộp đựng 5 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ và 3 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Tính xác suất của biến cố “3 quả cầu có đủ ba màu”?
Số phần tử không gian mẫu là:
Gọi A là biến cố chọn được 3 quả có đủ ba màu.
Số phần tử của biến cố A là:
Khi đó xác suất của biến cố A là:
