Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Câu 1: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ ?

A.
$(2;2;0)$
B.
$(3; - 1;3)$
C.
$(3; - 1;2)$
D.
$(0;0;2)$

Do điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên điểm đó có tọa độ dạng $(x;y;0)$

Suy ra điểm $(2;2;0)$ là đáp án cần tìm.

Câu 2: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{a}(2;m - 1;3)$ và $\overrightarrow{b}(1;3; - 2n)$ . Xác định giá trị của $m;n$ để hai vectơ đã cho có cùng hướng?

A.
$m = 7;n = - \frac{3}{4}$
B.
$m = 4;n = - 3$
C.
$m = 1;n = 0$
D.
$m = 7;n = - \frac{4}{3}$

Ta có: Hai vectơ $\overrightarrow{a}(2;m - 1;3)$ và $\overrightarrow{b}(1;3; - 2n)$ cùng hướng nên

$\overrightarrow{a} =k.\overrightarrow{b};(k > 0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = k \\m - 1 = 3k \\3 = k( - 2n) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = k \\m = 7 \ = - \dfrac{3}{4} \\\end{matrix} ight.$

Vậy $m = 7;n = - \frac{3}{4}$ là đáp án cần tìm.

Câu 3: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2;2;1)$ . Tính độ dài đoạn thẳng $OA$ ?

A.
$OA = \sqrt{5}$
B.
$OA = 5$
C.
$OA = 3$
D.
$OA = 9$

Ta có: $\overrightarrow{OA} = (2;2;1) \Rightarrow OA = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = 3$

Câu 4: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; - 5;7)$ . Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tọa độ của điểm $A$ là $(2; - 1;5)$ . Đúng||Sai

b) Gọi $C(a;b;c)$ thỏa mãn $∆ABC$ nhận $G(1;1;1)$ làm trọng tâm. Khi đó $a + b + c = - 4$ . Đúng||Sai

c) Nếu $A;B;M(x;y;1)$ thẳng hàng thì tổng $x + y = 3$ . Đúng||Sai

d) Cho $N \in (Oxy)$ để $∆ABN$ vuông cân tại $A$ . Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; - 5;7)$ . Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tọa độ của điểm $A$ là $(2; - 1;5)$ . Đúng||Sai

b) Gọi $C(a;b;c)$ thỏa mãn $∆ABC$ nhận $G(1;1;1)$ làm trọng tâm. Khi đó $a + b + c = - 4$ . Đúng||Sai

c) Nếu $A;B;M(x;y;1)$ thẳng hàng thì tổng $x + y = 3$ . Đúng||Sai

d) Cho $N \in (Oxy)$ để $∆ABN$ vuông cân tại $A$ . Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

a) Ta có:

Tọa độ của điểm $A$ là $(2; - 1;5)$ .

b) G là trọng tâm tam giác ABC

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{2 + 5 + x_{C}}{3} \\1 = \dfrac{- 1 - 5 + y_{C}}{3} \\1 = \dfrac{5 + 7 + x_{C}}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{C} = - 4 \\y_{C} = 9 \\x_{C} = - 9 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C( - 4;9; - 9)$

$\Rightarrow a + b + c = - 4$

c) Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3; - 4;2);\overrightarrow{AC} = (x - 2;y + 1; - 4)$

Ba điểm A, B, M thằng hàng khi và chỉ khi

$\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2 = 3k \\ y + 1 = k.( - 4) \\ - 4 = k.2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 7 \\ k = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $x + y = 3$

d) Ta có: $N \in (Oxy) \Rightarrow N = (x;y;0)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AN} = (x - 2;y + 1; - 5),\overrightarrow{AB} = (3; - 4;2)$

Ta có ∆ABN vuông cân tại A $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} AN\bot AB(*) \\ AN = AB(**) \\ \end{matrix} ight.$

Từ (*) $\Leftrightarrow \overrightarrow{AN}\bot\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow 3(x - 2) - 4(y + 1) - 10 = 0$

$\Leftrightarrow 3x - 4y = 20 \Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x - 5$

Từ (**) $AN^{2} = AB^{2} \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + 25 = 9 + 16 + 4$

$\Leftrightarrow (x - 2)^{2} + \left( \frac{3x}{4} - 4 ight)^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \frac{16}{5}$

$\Rightarrow y = - \frac{13}{5} \Rightarrow N\left( \frac{16}{5}; - \frac{13}{5};0 ight)$

Vậy $x_{N} + y_{N} = \frac{3}{5}$

Câu 5: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;3;0)$ và $B(2;0; - 3)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3)$ . Sai||Đúng

d) Tứ giác $OABC$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;3;0)$ và $B(2;0; - 3)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3)$ . Sai||Đúng

d) Tứ giác $OABC$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Đúng||Sai

a) Đúng

$\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ .

b) Sai

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{k}$ .

c) Sai

$\overrightarrow{AB} = \left( x_{B} - x_{A}^{};y_{B} - y_{A};z_{B} - z_{A} ight) = (3; - 3; - 3)$ .

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3; - 3; - 3)$ ,

$OABC$ là hình bình hành

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} = 3 \\ y_{C} = - 3 \\ z_{C} = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow C(3; - 3; - 3)$

Câu 6: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}$ là:

A.
$(2; - 1; - 3)$
B.
$( - 3;2; - 1)$
C.
$( - 1;2; - 3)$
D.
$(2; - 3; - 1)$

Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 1;2; - 3)$ .

Câu 7: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)$ . Tìm tọa độ điểm $A'$ ?

A.
$A'(4;6; - 5)$
B.
$A'(2;0;2)$
C.
$A'(3;5; - 6)$
D.
$A'(3;4; - 6)$

Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;1;1) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (0; - 1;0) = 0.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6) = 3.\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$ do đó $\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = 2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k}$ hay $\overrightarrow{AA'} = (3;5; - 6)$

Suy ra $A'(3;5; - 6)$

Câu 8: Thông hiểu

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Gọi $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của $A'D'$ và $C'D'$ Tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} = na^{2}$ ( $n$ là số thập phân). Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án: -0,5||- 0,5

Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Gọi $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của $A'D'$ và $C'D'$ Tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} = na^{2}$ ( $n$ là số thập phân). Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án: -0,5||- 0,5

Hình vẽ minh họa

Vì $MN//A'C'$ nên $\left( \overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{C'B} ight) = \left( \overrightarrow{A'C'},\ \overrightarrow{C'B} ight) = 180^{0} - \widehat{A'C'B} = 120^{0}$

Ta có: $MN = \frac{a\sqrt{2}}{2},\ C'B = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} = |\overrightarrow{MN}|.\left| \overrightarrow{C'B} ight|.cos\left( \overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{C'B} ight)$

$= \frac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}.cos120^{0} = - 0,5a^{2}$

Vậy $n = - 0,5.$

Câu 9: Vận dụng cao

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Đáp án là:

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Gọi hai lực tạo với nhau một góc $80^{\circ}$ là $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = 50$ N.

Lực còn lại là $\overrightarrow{F_{3}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{3}} ight| = 60$ N.

Gọi $\overrightarrow{F}$ là hợp lực của ba lực trên ta có

$\left| \overrightarrow{F} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} ight)^{2}$

$= \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{2}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|^{2} + 2\lbrack\left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}} ight)$

$+ \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{3}} ight) + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{3}},\overrightarrow{F_{2}} ight)brack$

$= 50^{2} + 50^{2} + 60^{2} + 2\lbrack 50.50.cos80^{0}$ $+ 50.60.cos60^{0} + 60.50.cos60^{0}brack \approx 15468$ .

$\Rightarrow |F| \approx 124$ N

Câu 10: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M;N$ xác định bởi $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2)$ . Tìm $x$ để các đường thẳng $AD;BC;MN$ cùng song song với một mặt phẳng?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M;N$ xác định bởi $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2)$ . Tìm $x$ để các đường thẳng $AD;BC;MN$ cùng song song với một mặt phẳng?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 11: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10)$ . Xác định tọa độ B’?

A.
$B'(8;4;10)$
B.
$B'(6;12;0)$
C.
$B'(10;8;6)$
D.
$B'(13;0;17)$

Hình vẽ minh họa

Giả sử điểm $D(a;b;c),B'(a';b';c')$

Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow O\left( \frac{1}{2};4; - \frac{7}{2} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = 8 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DD'} = (9;0;17) \\ \overrightarrow{BB'} = (a' - 4;b';c') \\ \end{matrix} ight.$ . Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{BB'}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a' = 13 \\ b' = 0 \\ c' = 17 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B'(13;0;17)$

Câu 12: Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\Delta ABC$ có $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ . Tính $(a + b + c).19$ .

Đáp án: -17||- 17

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\Delta ABC$ có $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ . Tính $(a + b + c).19$ .

Đáp án: -17||- 17

Ta có $\overrightarrow{AH} = (a;b;c - 1),\overrightarrow{BC} = (3;3; - 1),\overrightarrow{BH} = (a + 1;b + 2;c)$ .

Vì $H$ là chân đường cao nên ta có

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{BC} \\\overrightarrow{BH} = k\overrightarrow{BC} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3a + 3b - (c - 1) = 0 \\\dfrac{a + 1}{3} = \dfrac{b + 2}{3} = \dfrac{c}{- 1} = k \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3k - 1 \\ b = 3k - 2 \\ c = - k \\ \end{matrix} ight.$ và $3(3k - 1) + 3(3k - 2) - ( - k - 1) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{8}{19}$ .

Do đó $H\left( \frac{5}{19}; - \frac{14}{19}; - \frac{8}{19} ight)$

Vậy $\left( \frac{5}{19} - \frac{14}{19} - \frac{8}{19} ight).19 = - 17$ .

Câu 13: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;3)$ . Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục $Ox$ .

A.
$(2;0;0)$ .
B.
$(1;0;0)$ .
C.
$(3;0;0)$ .
D.
$(0;2;3)$ .

Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là $(1;0;0)$

Câu 14: Nhận biết

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , điểm nào dưới đây thuộc trục $Oy$ ?

A.
$H(2;0;0)$
B.
$K(0;3;2)$
C.
$U(2;0;3)$
D.
$T(0; - 3;0)$

Điểm $A(x;y;z) \in Oy \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Suy ra trong bốn điểm đã cho điểm $T(0; - 3;0) \in Oy$ .

Câu 15: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?

A.
$D(2;0;0)$
B.
$D(1;1;1)$
C.
$D(0;0;1)$
D.
$D(0;2;1)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = - 1 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(0;0;1)$ .

Câu 16: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành hình bình hành. Biết các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$ . Xác định tọa độ điểm $C$ ?

A.
$(2;0;2)$
B.
$(2;2;2)$
C.
$(2; - 2;2)$
D.
$(0; - 2;0)$

Giả sử điểm $C(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 1 \\ y + 1 = 1 \\ z - 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $C(2;0;2)$ .

Câu 17: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(0;1; - 2),B(3; - 1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB}$ ?

A.
$M(9; - 5;7)$
B.
$M(9;5;7)$
C.
$M( - 9;5; - 7)$
D.
$M(9; - 5; - 5)$

Gọi tọa độ độ điểm $M(x;y;z)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM} = (x;y - 1;z + 2) \\ \overrightarrow{AB} = (3; - 2;3) \\ \end{matrix} ight.$

Lại có: $\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 9 \\ y - 1 = - 6 \\ z + 2 = 9 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 9 \\ y = - 5 \\ z = 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(9; - 5;7)$

Vậy đáp án cần tìm là: $M(9; - 5;7)$ .

Câu 18: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Giả sử điểm $C'(a;b;c)$ . Tính giá trị biểu thức $T=a+b+2c$ ?

A.
$T=0$
B.
$T=25$
C.
$T=12$
D. $T=-11$

Gọi điểm $C'(x;y;z)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.$

Mà $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C'(13;4;4)$ suy ra $a=13;b=4;c=4$

Vậy $T=25$

Câu 19: Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1)$ . Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là $( - 4; - 1;3)$ . Đúng||Sai

c) Cho $P(1;m - 1;3)$ , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

d) Điểm $I(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn $T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1)$ . Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là $( - 4; - 1;3)$ . Đúng||Sai

c) Cho $P(1;m - 1;3)$ , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

d) Điểm $I(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn $T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

a) Sai: Hình chiếu của điểm $M$ trên trục $Oy$ có tọa độ là $(0;3;0)$

b) Đúng: Vì $N$ là trung điểm của $ME$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1 = \dfrac{2 + x_{E}}{2} \\1 = \dfrac{3 + y_{E}}{2} \\1 = \dfrac{- 1 + z_{E}}{2} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{E} = - 4 \\y_{E} = - 1 \\z_{E} = 3 \\\end{matrix} \Rightarrow E( - 4; - 1;3) ight.\ ight.$ .

c) Đúng: Ta có $\overrightarrow{NM} = (3;2; - 2);\overrightarrow{NP} = (2;m - 2;2)$ .

$\bigtriangleup MNP$ vuông tại $N$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{NP} = 0$

$\Leftrightarrow 3.2 + 2.(m - 2) + ( - 2).2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ .

d) Sai.

Gọi $J(x;y;z)$ thỏa $3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{JN} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - ( - 1 - x) = 0 \\3(3 - y) - (1 - y) = 0 \\3( - 1 - z) - (1 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{2} \\y = 4 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.$

Suy ra $J\left( \frac{7}{2};4; - 2 ight)$ .

Khi đó $T = |3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN}| = |3\overrightarrow{IJ} + 3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{IJ} - \overrightarrow{JN}| = |2\overrightarrow{IJ}| = 2IJ$ .

$T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $I$ là hình chiếu của $J$ trên $(Oxy)$

$\Leftrightarrow I\left( \frac{7}{2};4;0 ight)$ .

Vậy $a = \frac{7}{2};b = 4;c = 0$ .

Suy ra $2a+b+c=11$

Câu 20: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1;2;1);\overrightarrow{b} = ( - 1;3;0)$ . Vectơ $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ có tọa độ là:

A.
$\overrightarrow{c} = (1;7;2)$
B.
$\overrightarrow{c} = (1;5;2)$
C.
$\overrightarrow{c} = (3;7;2)$
D.
$\overrightarrow{c} = (1;7;3)$

Ta có: $2\overrightarrow{a} = (2;4;2)$ . Khi đó $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left( 2 + ( - 1);4 + 3;2 + 0 ight) = (1;7;2)$

Vậy $\overrightarrow{c} = (1;7;2)$

Câu 21: Nhận biết

Cho hình hộp $ABCD.EFFH$ . Tính tổng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ ?

A.
$\overrightarrow{AG}$
B.
$\overrightarrow{AH}$
C.
$\overrightarrow{AF}$
D.
$\overrightarrow{AC}$

Hình vẽ minh họa

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AG}$

Câu 22: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ đều cạnh bằng $a$ . Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ . Góc giữa $AO$ và $CD$ bằng:

A.
$45^{0}$
B.
$90^{0}$
C.
$0^{0}$
D.
$60^{0}$

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Vì ABCD là tứ diện đều nên $AM\bot CD;OM\bot CD$

Ta có: $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MO} ight)$

$= \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{CD}\bot\overrightarrow{AO}$ nên số đo góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{0}$ .

Câu 23: Thông hiểu

Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành biết tọa độ các điểm $M(1;2;3),N(2; - 3;1),P(3;1;2)$ . Tìm tọa độ điểm $Q$ ?

A.
$Q(2; - 6;4)$
B.
$Q(4; - 4;0)$
C.
$Q(2;6;4)$
D.
$Q( - 4; - 4;0)$

Giả sử điểm $Q(x;y;z)$ khi đó $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{QP} = (x - 3;y - 1;z - 2) \\ \overrightarrow{MN} = ( - 1;5;2) \\ \end{matrix} ight.$

ta có $MNPQ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{MN}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 3 = - 1 \\ y - 1 = 5 \\ z - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 6 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $Q(2;6;4)$ .

Câu 24: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:

A.
$D(1;8; - 2)$
B.
$D(11;2;2)$
C.
$D(1;8;2)$
D.
$D(11;2; - 2)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6 - x = 3 + 2 \\ 5 - y = 0 - 3 \\ - z = - 1 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 8 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;8;2)$ .

Câu 25: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm $AB$ và $CD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 4\overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ Đúng||Sai

c) $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

d) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN}$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm $AB$ và $CD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 4\overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ Đúng||Sai

c) $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

d) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN}$ Đúng||Sai

a) Vì $M, N$ là trung điểm của $AB$ và $CD$ nên $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 2\overrightarrow{NM}$

Nên $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{0}$ .

b) Ta có:

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MD}$

$= \left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} ight) + \left( \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight)$

$= \overrightarrow{0} + 2\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{MN}$

c) Ta có:

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC}$

$= \left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight) + \left( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} ight) = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$

d) Do N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN}$

Câu 26: Thông hiểu

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ . Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A'C'}$ có giá trị bằng:

A.
$a^{2}$
B.
$a\sqrt{2}$
C.
$a^{2}\sqrt{2}$
D.
$\frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$

Ta có:

$\left( \overrightarrow{A'C'};\overrightarrow{AB} ight) = \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{BAC} = 45^{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{A'C'}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{A'C'} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{A'C'};\overrightarrow{AB} ight) = a.a.1 = a^{2}$

Câu 27: Vận dụng

Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ . Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{IA} + (2k - 1)\overrightarrow{IB}+ k\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ . Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{IA} + (2k - 1)\overrightarrow{IB}+ k\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 28: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $B(1;2; - 3),C(7;4 - 2)$ . Tìm tọa độ điểm $E$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{CE} = 2\overrightarrow{EB}$ ?

A.
$E\left( 3;\frac{8}{3}; - \frac{8}{3} ight)$
B.
$E\left( \frac{8}{3};3; - \frac{8}{3} ight)$
C.
$E\left( 3;3; - \frac{8}{3} ight)$
D.
$E\left( 1;2;\frac{1}{3} ight)$

Gọi $E(x;y;z)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{CE} = (x - 7;y - 4;z + 2) \\ 2\overrightarrow{EB} = (2 - 2x;4 - 2y; - 6 - 2z) \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra ta có:

$\overrightarrow{CE} =2\overrightarrow{EB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x - 7 = 2 - 2x \\y - 4 = 4 - 2y \\z + 2 = - 6 - 2z \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y = \dfrac{8}{3} \\z = - \dfrac{8}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow E\left( 3;\frac{8}{3}; - \dfrac{8}{3}ight)$

Vậy điểm E có tọa độ là $E\left( 3;\frac{8}{3}; - \frac{8}{3} ight)$ .

Câu 29: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(2;1;2)$ , $N(4; 2; 1)$ , tọa độ điểm $P$ thuộc trục $Oz$ sao cho $M;N; P$ thẳng hàng là

A.
$P(0;0;3)$ .
B.
$P(0;0; - 3)$ .
C.
$P(3;0;0)$ .
D.
$P(0;3;0)$ .

Vì điểm $P$ thuộc trục $Oz$ nên $P$ có tọa độ $P(0;0;z)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN}(2;1; - 1)$ ; $\overrightarrow{NP}( - 4; - 2;z - 1)$

$M;\ N;\ P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{- 4}{2} = \frac{- 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} \Leftrightarrow z - 1 = 2 \Leftrightarrow z = 3$

Vậy điểm $P(0;0;3)$ .

Câu 30: Nhận biết

Cho tứ diện $ABCD$ . Điểm $N$ xác định bởi công thức $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$N$ là trung điểm của $BD$
B.
$N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $BCDN$
C.
$N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $CDBN$
D.
$N \equiv A$

Ta có:

$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AD}$

Vậy $N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $CDBN$ .

Câu 31: Thông hiểu

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có cùng độ dài bằng $6$ . Biết độ dài của vectơ $\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$ bằng $6\sqrt{3}$ . Biết số đo góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $x$ độ. Giá trị của $x$ là bao nhiêu?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có cùng độ dài bằng $6$ . Biết độ dài của vectơ $\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$ bằng $6\sqrt{3}$ . Biết số đo góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $x$ độ. Giá trị của $x$ là bao nhiêu?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 32: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ . cho điểm $M(3; - 1;2)$ . Tìm tọa độ điểm $N$ đối xứng với điểm $M$ qua mặt phẳng $(Oyz)$ ?

A.
$N(0; - 1;2)$
B.
$N(3;1; - 2)$
C.
$N( - 3; - 1;2)$
D.
$N(0;1;1)$

Lấy đối xứng qua mặt phẳng $(Oyz)$ thì $x$ đổi dấu còn $y;z$ giữ nguyên nên điểm $N$ có tọa độ là $N( - 3; - 1;2)$ .

Câu 33: Thông hiểu

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0$ và $\left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0$

a) Vectơ có tọa độ $(1\ ;\ 2\ ;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ . Sai||Đúng

b) Vectơ có toạ độ $( - 2;\ 1\ ;\ 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{2} ight)$ . Đúng||Sai

c) Côsin của góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1)$ và ${\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ bằng $- \frac{1}{6}$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ và $\left( P_{2} ight)$ bằng $100{^\circ}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0$ và $\left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0$

a) Vectơ có tọa độ $(1\ ;\ 2\ ;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ . Sai||Đúng

b) Vectơ có toạ độ $( - 2;\ 1\ ;\ 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{2} ight)$ . Đúng||Sai

c) Côsin của góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1)$ và ${\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ bằng $- \frac{1}{6}$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ và $\left( P_{2} ight)$ bằng $100{^\circ}$ . Sai||Đúng

a) $\overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = (1;2; - 1)$ nên mệnh đề sai

b) $\overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = ( - 2;1;1)$ nên mệnh đề đúng

c) $\cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) = \frac{1.( - 2) + 2.1 + ( - 1)1}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = - \frac{1}{6}$ mệnh đề đúng

d) Góc hai mặt phẳng không thể tù nên mệnh đề sai

Câu 34: Nhận biết

Cho hai đường thẳng $a$ và $a'$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{u'}$ . Nếu $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $a'$ thì:

A.
$\varphi = \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
B.
$\varphi = \pi - \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
C.
$\cos\varphi = \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
D.
$\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$

Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là $\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$ .

Câu 35: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1; - 2;3),B( - 1;2;5),C(0;0;1)$ . Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:

A.
$G(0;0;3)$
B.
$G(0;0;9)$
C.
$G( - 1;0;3)$
D.
$G(0;0;1)$

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 - 1 + 0}{3} = 0 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 + 2 + 0}{3} = 0 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{3 + 5 + 1}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(0;0;3)$

Vậy trọng tâm G tìm được là $G(0;0;3)$ .

Câu 36: Nhận biết

Cho bốn điểm $A;B;C;D$ trong không gian. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là $4$ điểm?

A.
$3$
B.
$6$
C.
$9$
D.
$12$

Lấy $A$ làm gốc ta được 3 vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}$ . Tương tự đối với $B;C;D$ ta được $4.3 = 12$ vectơ.

Câu 37: Nhận biết

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$
B.
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0}$
C.
$\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$
D.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}$

Vì tứ diện $ABCD$ là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc

Suy ra $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}$

Vậy mệnh đề chưa chính xác là: $\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}$ .

Câu 38: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 39: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( - 3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Tìm tọa độ điểm $C'$ ?

A.
$C'(10;4;4)$
B.
$C'( - 13;4;4)$
C.
$C'(13;4;4)$
D.
$C'(7;4;4)$

Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} + 0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC'} = 10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} + 4.\overrightarrow{k}$ mà $A( - 3;0;0)$

$\Rightarrow C'(7;4;4)$

Suy ra $C'(7;4;4)$

Câu 40: Nhận biết

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;1;2)$ . Xác định tích vô hướng $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b}$ ?

A.
$12$
B.
$2$
C.
$11$
D.
$10$

Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1; - 1;5)$ nên $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b} = - 1.( - 2) + ( - 1).1 + 5.2 = 11$

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!