Trong không gian cho hình hộp
. Hỏi bốn vectơ nào có giá cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Từ hình vẽ ta thấy các vectơ có giá cùng thuộc một mặt phẳng
.
Trong không gian cho hình hộp
. Hỏi bốn vectơ nào có giá cùng thuộc một mặt phẳng?
Hình vẽ minh họa
Từ hình vẽ ta thấy các vectơ có giá cùng thuộc một mặt phẳng
.
Trong không gian tọa độ
, hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho hình thang
vuông tại
và
. Biết rằng tọa độ các điểm
và hình thang
có diện tích bằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hình thang
vuông tại
và
. Biết rằng tọa độ các điểm
và hình thang
có diện tích bằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Tứ giác
là hình bình hành biết tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Giả sử điểm khi đó
ta có là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Biết rằng
và
. Tính
?
Ta có:
Trong không gian
, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
?
Ta có: nên điểm cần tìm là
.
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: do đó
Vậy đáp án cần tìm là .
Trong không gian
, cho ba điểm
và điểm
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có: nên tam giác ABC vuông tại B
Suy ra tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC.
Vậy đáp án cần tìm là
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Tính độ dài đoạn thẳng
?
Vì là trọng tâm tam giác
nên tọa độ điểm
hay
Vậy .
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Cho ba vectơ
không đồng phẳng. Xét các vectơ ![]()
![]()
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Giả sử ba vectơ đồng phẳng, khi đó
Ta có:
Khi đó:
Vậy ba vectơ đồng phẳng.
Vậy khẳng định đúng là: “Ba vectơ đồng phẳng”.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Điểm
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
. Khi đó giá trị biểu thức
có giá trị bằng bao nhiêu?
Gọi tọa độ điểm
Ta có: là hình bình hành
suy ra điểm
Khi đó .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: . Khi đó
Vậy
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Lại có do đó
hay
Suy ra
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
và điểm
. Tìm tọa độ điểm
để ba điểm
thẳng hàng?
Ta có:
Lại có:
Vì ba điểm A; B; M thẳng hàng nên cùng phương
Vậy đáp án cần tìm là .
Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.

Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:
Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).
Cho hình hộp
. Phân tích nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Biến đổi biểu thức
(đúng)
Vậy phân tích đúng là .
Cho
, góc giữa
bằng
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Ta có:
Khi đó:
Vậy khẳng định sai là .
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm
đến điểm
trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng
. Xác định tọa độ vị trí điểm
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm
trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng
. Xác định tọa độ vị trí điểm
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)
Đáp án: N(1300; 750; 15,5)
Gọi là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.
.
.
Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên và
cùng hướng.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ đến
gấp 4 lần thời gian bay từ
đến
nên
.
Suy ra:
Cho hình hộp
có tâm
. Gọi
là tâm hình bình hành
. Đặt
. Chọn khẳng định đúng?
Vì là tâm hình bình hành
nên
Trong không gian tọa độ
, cho vectơ
. Trong các vectơ dưới đây, vectơ nào không cùng phương với
?
Ta có: cùng phương với mọi vectơ
Lại có
Vậy vectơ không cùng phương với là
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian
, cho hai điểm
,
, tọa độ điểm
thuộc trục
sao cho
thẳng hàng là
Vì điểm thuộc trục
nên
có tọa độ
.
Ta có ;
thẳng hàng
cùng phương
Vậy điểm .
Cho lăng trụ tam giác
. Đặt
. Gọi điểm
sao cho
,
là trọng tâm tứ diện
. Biểu diễn vectơ
qua các vectơ
. Đáp án nào dưới đây đúng?
Ta có G là trọng tâm của tứ diện nên
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Cho hai đường thẳng
và
lần lượt có vectơ chỉ phương là
và
. Nếu
là góc giữa hai đường thẳng
và
thì:
Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là .
Trong không gian
, cho hình bình hành hình bình hành. Biết các điểm
. Xác định tọa độ điểm
?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Cho lăng trụ đứng
, điểm
trên
sao cho
Đặt
Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
Hình vẽ minh họa
Ta có
Trong không gian
, cho hình hộp chữ nhật
có
trùng với gốc tọa độ
Biết rằng
,
,
với
,
là các số dương và
. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện
? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16
Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật
có
trùng với gốc tọa độ
Biết rằng
,
,
với
,
là các số dương và
. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện
? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16
Hình vẽ minh họa
Ta có: ,
,
,
nên
⇒ (do
);
;
.
Mà
⇒.
Xét hàm số trên
⇒
Bảng biến thiên:
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của
là
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của là
. Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Đúng: Gọi là trung điểm
.
Ta có
b) Đúng: Ta có .
c) Đúng: Ta có .
Suy ra .
d) Sai: Gọi thỏa mãn
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
suy ra
.
Suy ra .
Vậy .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
biết
. Xác định tọa độ B’?
Hình vẽ minh họa
Giả sử điểm
Gọi
Suy ra . Vì
là hình hộp nên
Cho hình hộp
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ ![]()
Hình vẽ minh họa
Ta có:
.
Vậy .
Trong không gian cho tứ diện đều
. Khẳng định nào sau đây sai?
Tứ diện đều nên
không thể vuông góc với
.
Vậy khẳng định sai là: “”.
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức
?
Vì các vectơ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên
Cho hình chóp
. Lấy các điểm
lần lượt thuộc các tia
sao cho
trong đó
là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng
đi qua trọng tâm của tam giác
thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra
Khi đó mà
Suy ra
Vì mặt phẳng đi qua trọng tâm của tam giác
suy ra
đồng phẳng.
Do đó tồn tại ba số sao cho
) và
s
Suy ra
Mệnh đề nào sau đây sai?
Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.
Trong không gian
, cho tọa độ các điểm
. Cho các khẳng định sau:
(I)
.
(II)
.
(III) Ba điểm
tạo thành một tam giác.
(IV) Ba điểm
thẳng hàng.
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng.
Ta có: nên
là trung điểm của
và ba điểm
thẳng hàng.
Vậy có 2 khẳng định sai và 2 khẳng định đúng.
Cho hình hộp
. Tính tổng
?
Hình vẽ minh họa
Cho hình chóp
có đáy là hình vuông
cạnh bằng
và các cạnh bên đều bằng
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Số đo của góc
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Do ABCD là hình vuông cạnh a suy ra
suy ra tam giác SAC vuông tại S.
Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác
Khi đó suy ra
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Giả sử điểm
. Tính giá trị biểu thức
?
Gọi điểm
Ta có:
Mà
Suy ra suy ra
Vậy