Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(2; - 1;0) trên mặt phẳng (Oxz) là:

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(2; - 1;0) trên mặt phẳng (Oxz) là điểm có tọa độ (2;0;0).

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ \overrightarrow{a} = ( - 1;1;0),\overrightarrow{b} = (1;1;0) và \overrightarrow{c} = (1;1;0). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}

    \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0

    \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} không cùng phương vì \frac{- 1}{1} eq \frac{1}{1}

    \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (1;2;1)

    Vậy mệnh đề đúng là \cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{6}}

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho \Delta ABC có A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1). Gọi H(a;b;c) là chân đường cao hạ từ đỉnh A. Tính (a + b + c).19.

    Đáp án: -17||- 17

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho \Delta ABC có A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1). Gọi H(a;b;c) là chân đường cao hạ từ đỉnh A. Tính (a + b + c).19.

    Đáp án: -17||- 17

    Ta có \overrightarrow{AH} = (a;b;c - 1),\overrightarrow{BC} = (3;3; - 1),\overrightarrow{BH} = (a + 1;b + 2;c).

    Vì H là chân đường cao nên ta có

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{BC} \\\overrightarrow{BH} = k\overrightarrow{BC} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3a + 3b - (c - 1) = 0 \\\dfrac{a + 1}{3} = \dfrac{b + 2}{3} = \dfrac{c}{- 1} = k \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3k - 1 \\ b = 3k - 2 \\ c = - k \\ \end{matrix} ight. và 3(3k - 1) + 3(3k - 2) - ( - k - 1) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{8}{19}.

    Do đó H\left( \frac{5}{19}; - \frac{14}{19}; - \frac{8}{19} ight)

    Vậy \left( \frac{5}{19} - \frac{14}{19} - \frac{8}{19} ight).19 = - 17.

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho hai điểm phân biệt A;B và một điểm O bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Mệnh đề đúng: “Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi \overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k).\overrightarrow{OB}”.

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{SB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{SD} = \overrightarrow{d}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Khi đó:

    \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO}

    Vậy \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d} + \overrightarrow{b}.

  • Câu 6: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5). Tìm tọa độ điểm A'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}

    \Rightarrow \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;1;1) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (0; - 1;0) = 0.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6) = 3.\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight. do đó \Rightarrow \overrightarrow{AA'} = 2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} hay \overrightarrow{AA'} = (3;5; - 6)

    Suy ra A'(3;5; - 6)

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm của hình bình hành BCGF. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Vì I; K lần lượt là trung điểm của AF và CF suy ra IK là đường trung bình tam giác AFC suy ra IK // AC => IK // (ABCD)

    Mà GF // (ABCD); BD \subset (ABCD) suy ra \overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{GF} đồng phẳng.

  • Câu 8: Nhận biết

    Cho tứ diện OABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.Phân tích nào sau đây là đúng?

    Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC khi \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCCD.A'B'C'D'. Biết A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10). Tọa độ điểm B' là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = ( - 5;4;7) \Rightarrow D( - 3;8; - 7)

    \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B'D'} = ( - 7;8; - 7) \Rightarrow B'(13;0;17)

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Hãy phân tích vectơ \overrightarrow{B'C} theo các vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{B'C} =\overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{a} +\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight)

    = - \overrightarrow{a} +\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = - \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{u};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{v};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{w}. Biểu diễn vectơ \overrightarrow{BC'} qua các vectơ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}. Chọn đáp án đúng?

    Ta có:

    \overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'}

    = - \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} + \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}.

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1; - 2;3),B( - 1;2;5),C(0;0;1). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

    Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:

    \left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 - 1 + 0}{3} = 0 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 + 2 + 0}{3} = 0 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{3 + 5 + 1}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(0;0;3)

    Vậy trọng tâm G tìm được là G(0;0;3).

  • Câu 13: Vận dụng

    Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

    Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900(km/h) lên 920(km/h), trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900(km/h) và 920(km/h) lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ \overrightarrow{F_{1}} và \overrightarrow{F_{2}} với \overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight). Tính giá trị của k (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

    Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900(km/h) lên 920(km/h), trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900(km/h) và 920(km/h) lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ \overrightarrow{F_{1}} và \overrightarrow{F_{2}} với \overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight). Tính giá trị của k (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là điểm trên đoạn CD sao cho ED = 2CE. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Có 6 vectơ (khác vectơ \overrightarrow{0}) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{BC} bằng 60^{\circ}. Sai||Đúng

    c) Nếu \overrightarrow{BE} = m\overrightarrow{BA} + n\overrightarrow{BC} + p\overrightarrow{BD} thì m + n + p = \frac{2}{3}. Sai||Đúng

    d) Tích vô hướng \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} = \frac{a^{2}}{6}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là điểm trên đoạn CD sao cho ED = 2CE. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Có 6 vectơ (khác vectơ \overrightarrow{0}) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{BC} bằng 60^{\circ}. Sai||Đúng

    c) Nếu \overrightarrow{BE} = m\overrightarrow{BA} + n\overrightarrow{BC} + p\overrightarrow{BD} thì m + n + p = \frac{2}{3}. Sai||Đúng

    d) Tích vô hướng \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} = \frac{a^{2}}{6}. Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    a) Sai: Các vectơ (khác vectơ \overrightarrow{0}) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện là: \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}.

    Do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu.

    b) Sai:  (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) = 180^{\circ} - (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}) = 180^{\circ} - ABC = 120^{\circ} 

    c) Sai: \overrightarrow{BE} =\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}(\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC}) =\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}.

    Do đó m = 0,n = \frac{2}{3},p = \frac{1}{3} suy ra m + n + p = 1.

    d) Đúng: Ta có:

    \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE}) - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AB}

    = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) - \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}

    Suy ra

    \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} =\overrightarrow{AD}.\left( \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)=\frac{2}{3}.\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC} +\frac{1}{3}.{\overrightarrow{AD}}^{2} -\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}

    = \frac{2}{3}.a.a.\cos 60^{\circ} +\frac{1}{3}a^{2} - a.a.\cos60^{\circ} = \frac{a^{2}}{6}.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( - 1;3;0) và B(2;0; - 3). Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3). Sai||Đúng

    d) Tứ giác OABC là hình bình hành khi \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( - 1;3;0) và B(2;0; - 3). Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3). Sai||Đúng

    d) Tứ giác OABC là hình bình hành khi \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}. Đúng||Sai

    a) Đúng

    \overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0).

    b) Sai

    \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{k}.

    c) Sai

    \overrightarrow{AB} = \left( x_{B} - x_{A}^{};y_{B} - y_{A};z_{B} - z_{A} ight) = (3; - 3; - 3).

    d) Đúng

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (3; - 3; - 3),

    OABC là hình bình hành

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} = 3 \\ y_{C} = - 3 \\ z_{C} = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow C(3; - 3; - 3)

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;0;2). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Vì tọa độ điểm M(1;0;2) có x = 1;y = 0;z = 2 nên M \in (Oxz).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hai điểm A(5;1;3) và H(3; - 3; - 1). Tọa độ điểm A' đối xứng với A qua H là:

    Vì điểm A' đối xứng với A qua H nên H là trung điểm của AA'

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{A'} = 2x_{H} - x_{A} = 1 \\ y_{A'} = 2y_{H} - y_{A} = - 7 \\ z_{A'} = 2z_{H} - z_{A} = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'(1; - 7; - 5)

  • Câu 18: Vận dụng

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500;200;8)đến điểm N(800;300;10) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( a;b;\frac{c}{d} ight), trong đó a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d} là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính a + b + c + d?

    Đáp án: 1223

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500;200;8)đến điểm N(800;300;10) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( a;b;\frac{c}{d} ight), trong đó a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d} là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính a + b + c + d?

    Đáp án: 1223

    Gọi Q(x;y;z) là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.

    \overrightarrow{MN} = (300;100;2)

    \overrightarrow{NQ} = (x - 800;y - 300;z - 10)

    Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ M ightarrow N gấp 4 lần thời gian bay từ N ightarrow Q nên MN = 4NQ

    Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên \overrightarrow{MN} và \overrightarrow{NQ} cùng hướng.

    Suy ra \overrightarrow{MN} = 4\overrightarrow{NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 300 = 4(x - 800) \\ 100 = 4(y - 300) \\ 2 = 4(z - 10) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 875 \\ y = 325 \\ z = 10,5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow Q\left( 875;325;\frac{21}{2} ight)

    Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( 875;325;\frac{21}{2} ight) \Rightarrow a = 875,\ \ b = 325,\ \ c = 21,\ \ d = 2.

    Do đó, a + b + c + d = 1223.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 3;5;1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành?

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - 1 = - 3 - x \\ - 1 - 2 = 5 - y \\ 3 - ( - 1) = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 8 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D( - 4;8; - 3).

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1; - 4;0);\overrightarrow{v} = ( - 1; - 2;1). Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}?

    Ta có: 3\overrightarrow{v} = ( - 3; - 6;3) do đó \overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v} = ( - 2; - 10;3)

    Vậy đáp án cần tìm là ( - 2; - 10;3).

  • Câu 21: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trung điểm của AB là \left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};4 ight). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10). Đúng||Sai

    c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 30^{\circ}. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxz) thỏa mãn T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a - 2b + 2c = 15. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trung điểm của AB là \left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};4 ight). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10). Đúng||Sai

    c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 30^{\circ}. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxz) thỏa mãn T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a - 2b + 2c = 15. Sai||Đúng

    a) Đúng: Gọi I là trung điểm AB.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} {x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 2}}{2} = \dfrac{3}{2} \hfill \\ {y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{3}{2} \hfill \\ {z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \dfrac{{3 + 5}}{2} = 4 \hfill \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow I\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};4} ight)

    b) Đúng: Ta có \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10).

    c) Đúng: Ta có \overrightarrow{AB} = (1; - 1;2),\overrightarrow{AC} = (1;2; - 1).

    \cos(AB,AC) =\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{|\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot|\overrightarrow{AC}|}

    = \frac{|1 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1)|}{\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra (AB,AC) = 60^{\circ}.

    d) Sai: Gọi K(x;y;z) thỏa mãn 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - (2 - x) = 0 \\3(1 - y) - (4 - y) = 0 \\3(5 - z) - (2 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = - \dfrac{1}{2} \\z = \dfrac{13}{2} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Suy ra K\left( 2; - \frac{1}{2};\frac{13}{2} ight).

    Khi đó T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| = |3\overrightarrow{IK} + 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{IK} - \overrightarrow{KC}| = |2\overrightarrow{IK}| = 2IK.

    T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi I là hình chiếu của K trên (Oxz) suy ra I(2;0;\frac{13}{2} )..

    Suy ra a = 2,b = 0,c = \frac{13}{2}.

    Vậy a - 2b + 2c = 15.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(0;0;0),B(3;0;0),C(0;3;0),D'(0;3; -3). Tọa độ trọng tâm tam giác A'B'C là

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I là trung điểm của đoạn BD’ suy ra I\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2}; - \frac{3}{2}ight)

    Gọi G(a;b;c) là trọng tâm tam giác A'B'C

    Ta có: \overrightarrow{DI} =3\overrightarrow{IG} với \left\{\begin{matrix}\overrightarrow{DI} = \left( \frac{3}{2}; - \frac{3}{2}; - \frac{3}{2}ight) \\\overrightarrow{IG} = \left( a - \frac{3}{2};b - \frac{3}{2};c +\frac{3}{2} ight) \\\end{matrix} ight.

    Do đó:

    \left\{ \begin{matrix}\frac{3}{2} = 3\left( a - \frac{3}{2} ight) \\- \frac{3}{2} = 3\left( b - \frac{3}{2} ight) \\- \frac{3}{2} = 3\left( c + \frac{3}{2} ight) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 1 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(2;1; - 2)

    Vậy tọa độ trọng tâm tam giác cần tìm là (2;1; - 2)

  • Câu 23: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz có điểm A(4;2;1),B( - 2; - 1;4). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}?

    Ta có: M(x;y;z). Khi đó \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}

    \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 4 = 2( - 2 - x) \\ y - 2 = 2( - 1 - y) \\ z - 1 = 2(4 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(0;0;3)

    Vậy giá trị cần tìm là M(0;0;3).

  • Câu 24: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(3; - 2;5). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oxz) là:

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(3; - 2;5) trên mặt phẳng (Oxz) là điểm có tọa độ (3;0;5).

  • Câu 25: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Ta có: \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD} thỏa mãn biểu thức \overrightarrow{c} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} (với m;n duy nhất) của định lí về các vectơ đồng phẳng.

    Vậy đáp án đúng là: “Nếu \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD} thì bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng.”

  • Câu 26: Nhận biết

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (1; - 2;3) và \overrightarrow{b} = ( - 2;1;2). Xác định tích vô hướng \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b}?

    Ta có: \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1; - 1;5) nên \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b} = - 1.( - 2) + ( - 1).1 + 5.2 = 11

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Tính \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD}.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = \left( \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AC} ight)\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)

    = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = 0

    \Rightarrow \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = 0

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD;BC lần lượt lấy các điểm M;N sao cho AM = 3MD;BN = 3NC. Gọi P;Q lần lượt là trung điểm của AD;BC. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Vì M;N lần lượt là trung điểm của PD;QC

    \overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng sai vì \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} \\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BN} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} \\ 3\overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{MD} + 3\overrightarrow{DB} + 3\overrightarrow{BN} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow 4\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{DB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} suy ra \overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN} không đồng phẳng.

  • Câu 29: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Giả sử điểm C'(a;b;c). Tính giá trị biểu thức T=a+b+2c?

    Gọi điểm C'(x;y;z)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.

    Mà \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'} \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C'(13;4;4) suy ra a=13;b=4;c=4

    Vậy  T=25

  • Câu 30: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0; - 1;1),B( - 2;1; - 1),C( - 1;3;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 2 \\ y - 3 = - 2 \\ z - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(1;1;4)

  • Câu 31: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;0),B(2; - 1;1). Tìm tọa độ điểm C có hoành độ dương thuộc trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C?

    Ta có: C có hoành độ dương thuộc trục Ox \Rightarrow C(x;0;0);x > 0

    Theo bài ra ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AC} = (x - 1; - 2;0) \\ \overrightarrow{BC} = (x - 2;1; - 1) \\ \end{matrix} ight. và tam giác ABC vuông tại C nên

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) - 2 = 0

    \Leftrightarrow x^{2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0(L) \\ x = 3(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy C(3;0;0)

  • Câu 32: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tọa độ các điểm A(0;1;3),B( - 1;2;1),B'( - 2;1;0). Xác định tọa độ điểm A'?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi tọa độ điểm A'(x;y;z)

    Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên

    \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 0 = - 2 - ( - 1) \\ y - 1 = 1 - 2 \\ z - 3 = 0 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ A'( - 1;0;2)

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho hình lập phương B^{'}C có đường chéo A^{'}C = \frac{3}{16}. Gọi O là tâm hình vuông ABCD và điểm S thỏa mãn: \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{OA^{'}} + \overrightarrow{OB^{'}} + \overrightarrow{OC^{'}} + \overrightarrow{OD^{'}}. Khi đó độ dài của đoạn OS bằng \frac{a\sqrt{3}}{b} với a,b \in \mathbb{N} và \frac{a}{b} là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P = a^{2} + b^{2}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình lập phương B^{'}C có đường chéo A^{'}C = \frac{3}{16}. Gọi O là tâm hình vuông ABCD và điểm S thỏa mãn: \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{OA^{'}} + \overrightarrow{OB^{'}} + \overrightarrow{OC^{'}} + \overrightarrow{OD^{'}}. Khi đó độ dài của đoạn OS bằng \frac{a\sqrt{3}}{b} với a,b \in \mathbb{N} và \frac{a}{b} là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P = a^{2} + b^{2}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 34: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \overrightarrow{a} = ( - 2;2;0);\overrightarrow{b} = (2;2;0);\overrightarrow{c} = (2;2;2). Khi đó giá trị của \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight| bằng bao nhiêu?

    Ta có: \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = ( - 2 + 2 + 2;2 + 2 + 2;0 + 0 + 2) = (2;6;2).

    Khi đó \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight| = \sqrt{2^{2} + 6^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{11}

    Vậy đáp án cần tìm là: 2\sqrt{11}

  • Câu 35: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết rằng tọa độ các điểm A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c) và hình thang ABCD có diện tích bằng 6\sqrt{2}. Tính giá trị biểu thức a+b+c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết rằng tọa độ các điểm A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c) và hình thang ABCD có diện tích bằng 6\sqrt{2}. Tính giá trị biểu thức a+b+c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 36: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10). Xác định tọa độ B’?

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử điểm D(a;b;c),B'(a';b';c')

    Gọi O = AC \cap BD \Rightarrow O\left( \frac{1}{2};4; - \frac{7}{2} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = 8 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DD'} = (9;0;17) \\ \overrightarrow{BB'} = (a' - 4;b';c') \\ \end{matrix} ight.. Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{BB'}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a' = 13 \\ b' = 0 \\ c' = 17 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B'(13;0;17)

  • Câu 37: Nhận biết

    Cho ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}. Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?

    Hai vectơ còn lại có thể không cùng phương nên ba vectơ có thể không đồng phẳng.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2;1;2), N(4; 2; 1), tọa độ điểm P thuộc trục Oz sao cho M;N; Pthẳng hàng là

    Vì điểm Pthuộc trục Oz nên P có tọa độ P(0;0;z).

    Ta có \overrightarrow{MN}(2;1; - 1); \overrightarrow{NP}( - 4; - 2;z - 1)

    M;\ N;\ P thẳng hàng\Leftrightarrow\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP} cùng phương

    \Leftrightarrow \frac{- 4}{2} = \frac{- 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} \Leftrightarrow z - 1 = 2 \Leftrightarrow z = 3

    Vậy điểm P(0;0;3).

  • Câu 39: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A';B';C' lần lượt thuộc các tia SA;SB;SC sao cho \frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} = b;\frac{SC}{SC'} = c trong đó a;b;c là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}

    Khi đó 3\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{0} mà \overrightarrow{SA} = a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} = b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} = c\overrightarrow{SC'}

    Suy ra 3\overrightarrow{SG} = a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} + c\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}

    Vì mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'} đồng phẳng.

    Do đó tồn tại ba số l;m;n sao cho l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0) và l\overrightarrow{GA'} + m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow l\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) = \overrightarrow{0}s

    \Leftrightarrow (l + m + n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} + m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}

    Suy ra \frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m + n} = 1

    \Rightarrow a + b + c = 3

  • Câu 40: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(1; - 3; - 5) trên mặt phẳng (Oyz) là:

    Hình chiếu vuông góc của điểm M(1; - 3; - 5) trên mặt phẳng (Oyz) là điểm có tọa độ (0; - 3; - 5).

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 47 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập