Biết rằng vectơ
và
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có:
Biết rằng vectơ
và
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có:
Cho lập phương
có cạnh bằng
. Gọi
là trọng tâm tam giác
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Do G là trọng tâm tam giác suy ra
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
, với
là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ
, hai điểm
.
a)
. Đúng||Sai
b) Ba điểm
thẳng hàng. Sai||Đúng
c) Điểm
là điểm đối xứng của với
qua
. Khi đó
. Đúng||Sai
d) Điểm
trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Đúng||Sai
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho
, với
là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ
, hai điểm
.
a) . Đúng||Sai
b) Ba điểm thẳng hàng. Sai||Đúng
c) Điểm là điểm đối xứng của với
qua
. Khi đó
. Đúng||Sai
d) Điểm trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Đúng||Sai
a) Đúng: Vì nên
.
b) Sai: Ta có .
Vì nên
không cùng phương suy ra
không thẳng hàng.
c) Đúng
Vì là điểm đối xứng với
qua
nên
là trung điểm của
.
Ta có suy ra
.
Do đó . Vậy
.
d) Đúng. Gọi là điểm thỏa mãn
.
Ta có:
Do không thay đổi nên
nhỏ nhất khi
nhỏ nhất hay
là hình chiếu của điểm
trên mặt phẳng
.
Do đó suy ra
.
Vậy .
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Vì lần lượt là trung điểm của
suy ra
Mà là trung điểm của
Khi đó
Vậy khẳng định sai là: .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Giả sử điểm
. Tính giá trị biểu thức
?
Gọi điểm
Ta có:
Mà
Suy ra suy ra
Vậy
Trong không gian
, cho tọa độ các điểm
. Cho các khẳng định sau:
(I)
.
(II)
.
(III) Ba điểm
tạo thành một tam giác.
(IV) Ba điểm
thẳng hàng.
Trong các khẳng định trên, khẳng định nào sai?
Ta có: nên
là trung điểm của
và ba điểm
thẳng hàng
Vậy các khẳng định sai là: .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có: đúng
suy ra Hai vectơ
không cùng phương.
Vậy mệnh đề sai là: “Hai vectơ cùng phương”.
Điều kiện cần và đủ để ba vectơ
không đồng phẳng là:
Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho vectơ
có độ dài
, gọi
lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị
trên ba trục
và vectơ
. Khi đó tọa độ điểm
là:
Gọi và
Cho hình hộp
. Gọi
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho vectơ
. Khi đó tọa độ của
là.
Do .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Có tất cả bao nhiêu điểm
trong không gian thỏa mãn
và
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các điểm
. Có tất cả bao nhiêu điểm
trong không gian thỏa mãn
và
?
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian cho tứ diện đều
. Khẳng định nào sau đây sai?
Tứ diện đều nên
không thể vuông góc với
.
Vậy khẳng định sai là: “”.
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng
.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a)
. Sai||Đúng
b)
. Đúng||Sai
c)
. Sai||Đúng
d)
nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai
Cho tứ diện . Gọi
lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng
.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) . Sai||Đúng
b) . Đúng||Sai
c) . Sai||Đúng
d) nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
a) Đúng: .
b) Đúng: Vi là trung điểm của
nên
Vì là trung điểm của
nên
Vì là trung điểm của
nên
Do đó:
c) Sai:
d) Đúng
Ta có: .
.
Do đó: nhỏ nhất khi
Cho bốn điểm
trong không gian. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác
có điểm đầu và điểm cuối là
điểm?
Lấy làm gốc ta được 3 vectơ
. Tương tự đối với
ta được
vectơ.
Trong không gian
, mặt phẳng
đi qua điểm nào sau đây?
Xét điểm ta có:
đúng nên
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
. Biết
. Tọa độ điểm
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Tính độ dài vectơ
?
Ta có:
Khi đó
Trong không gian hệ trục tọa độ
cho điểm
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu đối xứng với
qua mặt phẳng
thì
.
Nếu đối xứng với
qua trục
thì
.
Nếu đối xứng với
qua gốc tọa độ thì
.
Vậy mệnh đề đúng là: “Nếu đối xứng với
qua mặt phẳng
thì
”.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai véc tơ
và
. Tọa độ của véc tơ
tương ứng là:
Ta có: .
.
Suy ra .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
Cho hình lập phương
có cạnh
. Gọi
là trung điểm của
. Tính tích vô hướng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có: hay
Do đó
Cho hình hộp
. Gọi
là tâm hình bình hành
và
là tâm của hình bình hành
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Vì I; K lần lượt là trung điểm của AF và CF suy ra IK là đường trung bình tam giác AFC suy ra IK // AC => IK // (ABCD)
Mà GF // (ABCD); suy ra
đồng phẳng.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Đường thẳng
cắt mặt phẳng
tại điểm
. Tính tỉ số
?
Ta có:
Lại có và ba điểm
thẳng hàng
Vậy đáp án đúng là .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tọa độ ba điểm
. Tính tích vô hướng của
?
Ta có:
Tìm tọa độ trung điểm
của đoạn thẳng
. Biết tọa độ hai điểm
và
.
Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Biết
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:
. Do đó
Ta có:
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Cho tứ diện có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Trong không gian
, cho điểm
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì tọa độ điểm có
nên
.
Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
.Phân tích nào sau đây là đúng?
Ta có: là trọng tâm tam giác
khi
Cho hình hộp
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ ![]()
Hình vẽ minh họa
Ta có:
.
Vậy .
Trong không gian cho ba vectơ
có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì ba vectơ có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng nên
Giá các vectơ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Giá các vectơ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Giá các vectơ không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Giá của các vectơ cùng nằm trên một mặt phẳng
Vậy mệnh đề đúng là: “Giá các vectơ không cùng nằm trên một mặt phẳng.”
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có: . Khi đó
Vậy
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
cùng phương. Tìm cặp số thực
?
Ta có hai vectơ cùng phương
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tọa độ hai điểm
. Tính chu vi tam giác
?
Ta có:
Chu vi tam giác là:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của
là
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của là
. Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Đúng: Gọi là trung điểm
.
Ta có
b) Đúng: Ta có .
c) Đúng: Ta có .
Suy ra .
d) Sai: Gọi thỏa mãn
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
suy ra
.
Suy ra .
Vậy .
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức
?
Vì các vectơ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên