Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ \overrightarrow{u} = ( - 3;0;1) và \overrightarrow{v} = (0;2; - 2). Tọa độ của véc tơ \overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} tương ứng là:

    Ta có: 2\overrightarrow{u} = ( - 6;0;2).

    \overrightarrow{v} = (0;2; - 2).

    Suy ra \overrightarrow{w} = ( - 6 - 0;0 - 2;2 + 2) = ( - 6; - 2;4).

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (1; - 2;3) và \overrightarrow{b} = ( - 2;1;2). Xác định tích vô hướng \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b}?

    Ta có: \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1; - 1;5) nên \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b} = - 1.( - 2) + ( - 1).1 + 5.2 = 11

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = BC = 2 và CC' = 4. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AA'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D' và MN bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 2,43

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = BC = 2 và CC' = 4. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AA'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D' và MN bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 2,43

    Cách 1. Gọi P là trung điểm CD, I = MP \cap AD, J = IN \cap DD', K = AC \cap MP.

    Ta có MP//BD \Rightarrow MP//B'D' \Rightarrow d(B'D';MN) = d\left\lbrack B'D';(MNP) ightbrack = d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack.

    Lại có d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack = \frac{D'J}{DJ}d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack = 5.d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack.

    Mặt khác d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack = \frac{DI}{AI}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{1}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack.

    Dễ thấy \left\{ \begin{matrix} (NAK)\bot(MNP) \\ (NAK) \cap (MNP) = AK \\ AH\bot NK\ (H \in NK)\ trong\ (NAK) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow AH\bot(MNP) \Rightarrow d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = AH.

    Suy ra d(MN;B'D') = \frac{5}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{5}{3}AH với AN = \frac{AA'}{2} = 2 ; AK = \frac{3}{4}\sqrt{2}AB = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

    Vậy d(MN;B'D') = \frac{5}{3}AH = \frac{5}{3}.\frac{AN.AK}{\sqrt{AN^{2} + AK^{2}}} = \frac{5}{3}.\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}.2}{\sqrt{\left( \frac{3\sqrt{2}}{2} ight)^{2} + 2^{2}}} = \frac{10.\sqrt{17}}{17} \simeq 2,43.

    Cách 2. Đặt các trục Ox, Oy và Oz vào hình như sau

    Ta có M(1;2;0), N(0;0;2), B'(0;2;4) và D'(2;0;4).

    Ta có \overrightarrow{MN} = ( - 1; - 2;2), \overrightarrow{B'D'} = (2; - 2;0) và \overrightarrow{MB'} = ( - 1;0;4) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{B'D'} ightbrack = (4;4;6).

    Khi đó :

    d\left( MN;B^{'}D^{'} ight) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack.\overrightarrow{MB^{'}} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack ight|}

    = \frac{\left| ( - 1).4 + 0.4 + 4.6 ight|}{\sqrt{4^{2} + 4^{2} + 6^{2}}} = \frac{10\sqrt{17}}{17} \simeq 2,43.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào dưới đây là sai?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC}

    Vậy đáp án sai là: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho \left| \overrightarrow{a} ight| = 3;\left| \overrightarrow{b} ight| = 5, góc giữa \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} bằng 120^{0}. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

    Ta có: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 3.5.cos120^{0} = - \frac{15}{2}

    Khi đó:

    \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} + 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + {\overrightarrow{b}}^{2} = 9 - 15 + 25 = 19

    \left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + {\overrightarrow{b}}^{2} = 9 + 15 + 25 = 49

    \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2} = 9 + 30 + 100 = 139

    \left( \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} + 4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2} = 9 - 30 + 100 = 79

    Vậy khẳng định sai là \left| \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} ight| = 9.

  • Câu 6: Nhận biết

    Tính chất nào sau đây sai?

    Tính chất sai là: \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính độ dài đoạn thẳng OG?

    Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên tọa độ điểm G\left( \frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3} ight) hay \overrightarrow{OG} = \left( \frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3} ight)

    Vậy OG = \frac{1}{3}\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;0;1). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Vì tọa độ điểm A(3;0;1) có x = 3;y = 0;z = 1 nên A \in (Oxz).

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tìm m để góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u} = \left(1;\log_{3}5;\log_{m}2 ight),\overrightarrow{v} = \left( 3;\log_{5}3;4ight) là góc nhọn.

    Để \left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) < {90^0} \Rightarrow \cos \left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) > 0

    \Rightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} > 0 \Leftrightarrow 3 +\log_{3}5.\log_{5}3 + 4\log_{m}2 > 0

    \Leftrightarrow 4 + 4log_{m}2 > 0 \Leftrightarrow log_{m}2 > - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 1 \\ m < \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight..

    Kết hợp điều kiện m > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m > 1} \\ {0 < m < \frac{1}{2}} \end{array}} ight.

  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{d}. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Ta có: \overrightarrow{d} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}

    Do đó \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi E;F lần lượt là trung điểm của AD;BC, các điểm M;N lần lượt nằm trên AB;DC sao cho AM = MB;DN = 2NC. Biết biểu diễn \overrightarrow{EF} = m.\overrightarrow{EM} + n.\overrightarrow{EN}. Tính tổng giá trị m;n?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{EF} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}}{2}

    = \frac{\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EN} + \overrightarrow{NC}}{2}

    = \frac{\overrightarrow{EM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{EN} + \overrightarrow{NC}}{2}

    = \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{EN} +\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}}{2}

    = \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{EN} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DN}}{2}

    = \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EM} ight) +\overrightarrow{EN} + \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{DE} +\overrightarrow{EN} ight)}{2}

    = \dfrac{\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EM} +\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EN}}{2} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{EM} +\frac{3}{4}\overrightarrow{EN}

    Suy ra m = n = \frac{3}{4} \Rightarrow m + n = \frac{3}{2}

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0; - 1;1),B( - 2;1; - 1),C( - 1;3;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 2 \\ y - 3 = - 2 \\ z - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(1;1;4)

  • Câu 13: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( - 3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Tìm tọa độ điểm C'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} + 0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{AC'} = 10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} + 4.\overrightarrow{k} mà A( - 3;0;0)

    \Rightarrow C'(7;4;4)

    Suy ra C'(7;4;4)

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = ( - 3;4;0) và \overrightarrow{b} = (5;0;12). Tính \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)?

    Ta có: \cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 15}{\sqrt{( - 3)^{2} + 4^{2} + 0^{2}}.\sqrt{5^{2} + 0^{2} + 12^{2}}} = - \frac{3}{13}

  • Câu 15: Vận dụng

    Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

    Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900(km/h) lên 920(km/h), trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900(km/h) và 920(km/h) lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ \overrightarrow{F_{1}} và \overrightarrow{F_{2}} với \overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight). Tính giá trị của k (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

    Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900(km/h) lên 920(km/h), trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900(km/h) và 920(km/h) lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ \overrightarrow{F_{1}} và \overrightarrow{F_{2}} với \overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight). Tính giá trị của k (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ ba điểm A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2). Tính cosin góc \widehat{BAC}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;5; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (5;4; - 1) \\ \end{matrix} ight..

    \cos\widehat{BAC} = \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|} = \frac{5 + 20 + 2}{\sqrt{30}.\sqrt{42}} = \frac{9}{2\sqrt{35}}

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j}. Tìm tọa độ của \overrightarrow{u} là.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \overrightarrow{k} = (0;0;1) \\ \overrightarrow{j} = (0;1;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j} = (1;1; - 2)

  • Câu 18: Nhận biết

    Gọi O là tâm của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Theo quy tắc hình hộp ta có: \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}

    Vì O là trung điểm của AC' suy ra \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC'} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} ight)

  • Câu 19: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng a và a' lần lượt có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} và \overrightarrow{u'}. Nếu \varphi là góc giữa hai đường thẳng a và a' thì:

    Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là \cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|.

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( - 1;3;0) và B(2;0; - 3). Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3). Sai||Đúng

    d) Tứ giác OABC là hình bình hành khi \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( - 1;3;0) và B(2;0; - 3). Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3). Sai||Đúng

    d) Tứ giác OABC là hình bình hành khi \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}. Đúng||Sai

    a) Đúng

    \overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0).

    b) Sai

    \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{k}.

    c) Sai

    \overrightarrow{AB} = \left( x_{B} - x_{A}^{};y_{B} - y_{A};z_{B} - z_{A} ight) = (3; - 3; - 3).

    d) Đúng

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (3; - 3; - 3),

    OABC là hình bình hành

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} = 3 \\ y_{C} = - 3 \\ z_{C} = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow C(3; - 3; - 3)

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{B'C'} nên \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight) = \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} ight) = \widehat{CAD} = 45^{0}

    Suy ra \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}= \left| \overrightarrow{AC} ight|.\left|\overrightarrow{B'C'} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight)

    =a\sqrt{2}.a.\cos45^{0} =a^{2}

  • Câu 22: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1; - 2;3);\overrightarrow{v} = ( - 1;2;0). Vectơ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} có tọa độ là:

    Ta có: \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \left( 1 + ( - 1); - 2 + 2;3 + 0 ight) = (0;0;3)

    Vậy đáp án cần tìm là (0;0;3)

  • Câu 23: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}. Tìm giá trị x để \overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}. Tìm giá trị x để \overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 24: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2). Góc giữa hai đường thẳng AB và AC là

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1;2) \\ \overrightarrow{AC} = (1;2; - 1) \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|} = \frac{1}{2}

    \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = (AB;AC) = 60^{0}

  • Câu 25: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trung điểm của AB là \left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};4 ight). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10). Đúng||Sai

    c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 30^{\circ}. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxz) thỏa mãn T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a - 2b + 2c = 15. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trung điểm của AB là \left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};4 ight). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10). Đúng||Sai

    c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 30^{\circ}. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxz) thỏa mãn T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a - 2b + 2c = 15. Sai||Đúng

    a) Đúng: Gọi I là trung điểm AB.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} {x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 2}}{2} = \dfrac{3}{2} \hfill \\ {y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{3}{2} \hfill \\ {z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \dfrac{{3 + 5}}{2} = 4 \hfill \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow I\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};4} ight)

    b) Đúng: Ta có \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10).

    c) Đúng: Ta có \overrightarrow{AB} = (1; - 1;2),\overrightarrow{AC} = (1;2; - 1).

    \cos(AB,AC) =\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{|\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot|\overrightarrow{AC}|}

    = \frac{|1 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1)|}{\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra (AB,AC) = 60^{\circ}.

    d) Sai: Gọi K(x;y;z) thỏa mãn 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - (2 - x) = 0 \\3(1 - y) - (4 - y) = 0 \\3(5 - z) - (2 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = - \dfrac{1}{2} \\z = \dfrac{13}{2} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Suy ra K\left( 2; - \frac{1}{2};\frac{13}{2} ight).

    Khi đó T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| = |3\overrightarrow{IK} + 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{IK} - \overrightarrow{KC}| = |2\overrightarrow{IK}| = 2IK.

    T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi I là hình chiếu của K trên (Oxz) suy ra I(2;0;\frac{13}{2} )..

    Suy ra a = 2,b = 0,c = \frac{13}{2}.

    Vậy a - 2b + 2c = 15.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Điểm G là điểm thỏa mãn \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}

    Ta có:

    \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{GS} + 4\overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{GS} + 4\overrightarrow{GO} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GS} = 4\overrightarrow{OG} suy ra ba điểm G;S;O thẳng hàng.

  • Câu 27: Nhận biết

    Biết rằng \overrightarrow{a} = (0;1;3) và \overrightarrow{b} = ( - 2;3;1). Tính \overrightarrow{x} =3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} 3\overrightarrow{a} = (0;3;9) \\ 2\overrightarrow{b} = ( - 4;6;2) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{x} = 3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = ( - 4;9;11)

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 3;5;1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành?

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - 1 = - 3 - x \\ - 1 - 2 = 5 - y \\ 3 - ( - 1) = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 8 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D( - 4;8; - 3).

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2;2;1),N\left( - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight). Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN là:

    Ta có bài toán sau

    Trong tam giác ABC, gọi I là tâm đường nội tiếp tam giác ABC ta có: a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0} với BC = a;AC = b;AB = c

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A’ là chân đường phân giác kẻ từ A

    \Rightarrow \overrightarrow{BA} = \frac{c}{b}\overrightarrow{A'C} \Leftrightarrow b\overrightarrow{BA'} + c\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{0}\ \ \ (1)

    \overrightarrow{IA} =\dfrac{c}{A'B}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{c}{\dfrac{ac}{b +c}}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{b +c}{a}\overrightarrow{A'I}

    \Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + (b + c)\overrightarrow{IA'} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} + b\overrightarrow{BA'} + c\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}

    Áp dụng công thức trong tam giác OMN ta có:

    OM.\overrightarrow{IN} + ON.\overrightarrow{IM} + MN.\overrightarrow{IO} = \overrightarrow{0}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{OM.x_{n} + ON.x_{M} + MN.x_{O}}{OM + ON + MN} = 0 \\y_{I} = \dfrac{OM.y_{n} + ON.y_{M} + MN.y_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\z_{I} = \dfrac{OM.z_{n} + ON.z_{M} + MN.z_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0;1;1)

    Vậy đáp án cần tìm là (0;1;1)

  • Câu 30: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm đối xứng của điểm M(1;2;3) qua trục Ox có tọa độ là

    Gọi M' là điểm đối xứng của M(1;2;3) qua trục Ox.

    Hình chiếu vuông góc của M(1;2;3) lên trục Oxlà H(1;0;0)

    Khi đó H(1;0;0) là trung điểm của M'M. Do đó tọa độ của M' là (1; - 2; - 3)

  • Câu 31: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k}. Tọa độ điểm A là:

    Ta có: \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} \Leftrightarrow A(0;1; - 2)

  • Câu 32: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (2;1; - 1) và \overrightarrow{b} = (1;3;m). Xác định giá trị tham số m để \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0}?

    Ta có: \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow 5 - m = 0 \Leftrightarrow m = 5

    Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4). Gọi \overrightarrow{x} là vectơ thoả mãn: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\ \end{matrix} ight.. Tọa độ của vectơ \overrightarrow{x} là:

    Đặt \overrightarrow{x} = (a;b;c).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - b + 3c = - 5 \\a - 3b + 2c = - 11 \\3a + 2b - 4c = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 3 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.\ ight.

    Vậy \overrightarrow{x} = (2;3; - 2).

  • Câu 34: Nhận biết

    Trong không gian cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khi đó \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC'} bằng:

    Theo quy tắc hình hộp ta có \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{CA'}.

  • Câu 35: Vận dụng

    Gọi M;N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC;BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức vectơ \overrightarrow{PI} = k.\left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} ight)?

    Hình vẽ minh họa

    Vì M;N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC;BD nên ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM} \\ \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = 2\overrightarrow{IN} \\ \end{matrix} ight..

    Mặt khác \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0} (vì I là trung điểm của MN) suy ra \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}

    Theo bài ra ta có:

    \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD}

    = 4\overrightarrow{PI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{PI}

    \Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ các điểm A(1;2;0),B(2;1;1),C(0;3; - 1). Cho các khẳng định sau:

    (I) BC = 2AB.

    (II) B \in AC.

    (III) Ba điểm A;B;C tạo thành một tam giác.

    (IV) Ba điểm A;B;C thẳng hàng.

    Trong các khẳng định trên, khẳng định nào sai?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1; - 1;1) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 1;1; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AB} nên A là trung điểm của BC và ba điểm A;B;C thẳng hàng

    Vậy các khẳng định sai là: (II);(III).

  • Câu 37: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1). Đúng||Sai

    a) Sai

    Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là ( - 1,5\ ;\ - 1\ ;\ 0,5).

    b) Đúng

    Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là (2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7).

    Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

    \sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} + (0,7 + 0,5)^{2}}

    = \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx 4,6(km)

    c) Sai

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

    \sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} = \frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

    \sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} + 0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)

    Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

    d) Đúng

    Vị trí của chiếc flycam là

    \left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 - 1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\ 0,6).

    Khoảng cách bay của flycam là:

    \sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} = \frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)

    Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1) là

    \sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)

    Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1).

  • Câu 38: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( - 2;3;1),B(5;6;2). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm M. Tính tỉ số \frac{AM}{BM}?

    Ta có: M \in (Oxz) \Rightarrow M(x;0;z)

    Lại có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (7;3;1) \Rightarrow AB = \sqrt{59} \\ \overrightarrow{AM} = (x + 2; - 3;z - 1) \\ \end{matrix} ight. và ba điểm A;B;M thẳng hàng

    \overrightarrow{AM} = k.\overrightarrow{AB};\left( k\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2 = 7k \\ - 3 = 3k \\ z - 1 = k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 9 \\ k = - 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow M( - 9;0;0) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BM} = ( - 14; - 6; - 2) \\ \overrightarrow{AM} = ( - 7; - 3; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BM = 2AB

    Vậy đáp án đúng là \frac{AM}{BM} = \frac{1}{2}.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' CÓ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'} = k.\overrightarrow{AC'}. Giá trị của k bằng:

    Ta có: \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'}

    Vậy k = 1.

  • Câu 40: Vận dụng cao

    Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC đôi một vuông góc. M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}?

    Đặt \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}. Khi đó \overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c} với x;y;z là ba số có tổng bằng 1.

    Ta có:

    \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (x - 1)\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}

    \Rightarrow {\overrightarrow{AM}}^{2} = (x - 1)^{2}{\overrightarrow{a}}^{2} + y^{2}{\overrightarrow{b}}^{2} + z^{2}{\overrightarrow{c}}^{2}

    \Rightarrow \frac{MA^{2}}{OA^{2}} = (x - 1)^{2} + y^{2}.\frac{b^{2}}{a^{2}} + z^{2}.\frac{c^{2}}{a^{2}}

    Tương tự ta được

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{MB^{2}}{OB^{2}} = (y - 1)^{2} + z^{2}.\dfrac{c^{2}}{b^{2}} +x^{2}.\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \\\dfrac{MC^{2}}{OC^{2}} = (z - 1)^{2} + x^{2}.\dfrac{a^{2}}{c^{2}} +y^{2}.\dfrac{b^{2}}{c^{2}} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight)

    - \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} ight) + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight) - 2(x + y + z) + 3

    Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}}\\x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = OM^{2} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}} = \frac{OM^{2}}{OH^{2}} + 1 \geq 1 + 1 = 2

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.

    Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 98 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập