Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
cùng phương. Tìm cặp số thực
?
Ta có hai vectơ cùng phương
Vậy .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
cùng phương. Tìm cặp số thực
?
Ta có hai vectơ cùng phương
Vậy .
Cho hình lập phương
. Hãy phân tích vectơ
theo các vectơ
?
Hình vẽ minh họa
Theo quy tắc hình bình hành ta có:
Trong không gian
, cho điểm
. Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục
.
Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là
Trong không gian
, cho vectơ
. Tọa độ điểm
là:
Ta có:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ
. Gọi
là vectơ thoả mãn:
. Tọa độ của vectơ
là:
Đặt .
Ta có:
Vậy .
Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
và
là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Hình vẽ minh họa
Vì lần lượt là trung điểm của các cạnh
nên ta có:
.
Mặt khác (vì I là trung điểm của MN) suy ra
Theo bài ra ta có:
Trong không gian
, cho điểm
. Tọa độ trung điểm của
là.
Tọa độ trung điểm I của AB là:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai điểm
. Biết
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:
. Do đó
Ta có:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Tìm tọa độ điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian
, cho tọa độ các vectơ
;
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có: suy ra “
” là mệnh đề sai.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Gọi
là điểm sao cho
là trọng tâm tam giác
. Tính tổng các tọa độ của điểm
?
Đặt . Vì
là trọng tâm tam giác
nên
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ
(đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
Ta có
(m).
Đáp số 14(m).
Cho hình lăng trụ tam giác
. Đặt
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Ta có:
Do đó
Biết rằng
và
. Tính
?
Ta có:
Cho lăng trụ tam giác
. Đặt
. Biểu diễn vectơ
qua các vectơ
. Chọn đáp án đúng?
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian
, cho
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Suy ra
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của
là
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của là
. Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Đúng: Gọi là trung điểm
.
Ta có
b) Đúng: Ta có .
c) Đúng: Ta có .
Suy ra .
d) Sai: Gọi thỏa mãn
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
suy ra
.
Suy ra .
Vậy .
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là
và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 294,92 km.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 294,92 km.
Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.
Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.
Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)
Ta có
OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0
⟺13906t - 76483 = 0 ⟺
Suy ra
Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:
Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Trong không gian
, cho điểm
. Hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
là điểm
. Khi đó giá trị
bằng:
Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng
là
Suy ra .
Biết rằng vectơ
và
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có:
Cho hình lập phương
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Vì (
là hình chữ nhật) nên
(
là hình vuông)
Cho điểm
chia đoạn thẳng
theo tỉ số
thì ta có:
. Khi đó với một điểm
tùy ý ta có:
Ta có:
Chọn mệnh đề sai. Trong không gian, cho hình hộp
.
Hình vẽ minh họa
Đáp án đúng theo quy tắc hình hộp
Đáp án sai
Đáp án đúng theo quy tắc hình hộp
Đáp án đúng theo quy tắc hình bình hành
Trong không gian
, cho ba điểm
. Tọa độ chân đường phân giác của góc
trong tam giác
là:
Ta có:
Gọi là chân đường phân giác kẻ từ
lên
của tam giác
.
Suy ra
Ta có:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình hộp
với các điểm
,
,
và
. Tìm tọa độ đỉnh
.
Hình vẽ minh họa
.
Theo quy tắc hình hộp ta có: .
Cho lăng trụ tam giác
. Đặt
. Gọi điểm
sao cho
,
là trọng tâm tứ diện
. Biểu diễn vectơ
qua các vectơ
. Đáp án nào dưới đây đúng?
Ta có G là trọng tâm của tứ diện nên
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.
Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí
cách điểm xuất phát
km về phía bắc và
km về phía tây, đồng thời cách mặt đất
km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí
cách điểm xuất phát
km về phía nam và
km về phía đông, đồng thời cách mặt đất
km.
Chọn hệ trục toạ độ
với gốc
đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng
trùng với mặt đất, trục
hướng về phía bắc, trục
hướng về phía tây và trục
hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là
. Sai||Đúng
b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá
km. Đúng||Sai
c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng
d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ
. Đúng||Sai
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.
Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí cách điểm xuất phát
km về phía bắc và
km về phía tây, đồng thời cách mặt đất
km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí
cách điểm xuất phát
km về phía nam và
km về phía đông, đồng thời cách mặt đất
km.
Chọn hệ trục toạ độ với gốc
đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng
trùng với mặt đất, trục
hướng về phía bắc, trục
hướng về phía tây và trục
hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là . Sai||Đúng
b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá km. Đúng||Sai
c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng
d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ . Đúng||Sai
a) Sai
Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là .
b) Đúng
Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là .
Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là
c) Sai
Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:
Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:
Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.
d) Đúng
Vị trí của chiếc flycam là
.
Khoảng cách bay của flycam là:
Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ là
Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ .
Cho tứ diện
có
. Gọi
là góc giữa
và
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mặt khác
Do đó:
Vậy
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Ta có: thỏa mãn biểu thức
(với
duy nhất) của định lí về các vectơ đồng phẳng.
Vậy đáp án đúng là: “Nếu thì bốn điểm
đồng phẳng.”
Trong không gian tọa độ
, cho hai mặt phẳng
và ![]()
a) Vectơ có tọa độ
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Sai||Đúng
b) Vectơ có toạ độ
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Đúng||Sai
c) Côsin của góc giữa hai vectơ
và
bằng
. Đúng||Sai
d) Góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
. Sai||Đúng
Trong không gian tọa độ , cho hai mặt phẳng
và
a) Vectơ có tọa độ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Sai||Đúng
b) Vectơ có toạ độ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
. Đúng||Sai
c) Côsin của góc giữa hai vectơ và
bằng
. Đúng||Sai
d) Góc giữa hai mặt phẳng và
bằng
. Sai||Đúng
a) nên mệnh đề sai
b) nên mệnh đề đúng
c) mệnh đề đúng
d) Góc hai mặt phẳng không thể tù nên mệnh đề sai
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Trung điểm
của
có tọa độ là:
Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian, cho hình chóp
với
là trọng tâm của tam giác
Khi đó
bằng.
Do là trọng tâm của tam giác
nên
.
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:
.
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c)
. Sai||Đúng
d) Tứ giác
là hình bình hành khi
. Đúng||Sai
Trong không gian , cho hai điểm
và
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) . Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) . Sai||Đúng
d) Tứ giác là hình bình hành khi
. Đúng||Sai
a) Đúng
.
b) Sai
.
c) Sai
.
d) Đúng
Ta có: ,
là hình bình hành
Điều kiện cần và đủ để ba vectơ
không đồng phẳng là:
Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa các điểm
. Tính số đo góc
?
Ta có:
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc.
là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Đặt . Khi đó
với
là ba số có tổng bằng 1.
Ta có:
Tương tự ta được
Do đó
Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa
Do đó
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.
Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Lại có
mà
Suy ra
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho tam giác
có tọa độ các đỉnh
. Gọi
là chân đường phân giác trong của góc
trong tam giác
. Tính giá trị biểu thức
?
Cho tứ diện
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Vì lần lượt là trung điểm của
đồng phẳng sai vì
suy ra
không đồng phẳng.