Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = BC = 2 và CC' = 4. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AA'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D' và MN bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 2,43

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = BC = 2 và CC' = 4. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AA'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D' và MN bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 2,43

    Cách 1. Gọi P là trung điểm CD, I = MP \cap AD, J = IN \cap DD', K = AC \cap MP.

    Ta có MP//BD \Rightarrow MP//B'D' \Rightarrow d(B'D';MN) = d\left\lbrack B'D';(MNP) ightbrack = d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack.

    Lại có d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack = \frac{D'J}{DJ}d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack = 5.d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack.

    Mặt khác d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack = \frac{DI}{AI}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{1}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack.

    Dễ thấy \left\{ \begin{matrix} (NAK)\bot(MNP) \\ (NAK) \cap (MNP) = AK \\ AH\bot NK\ (H \in NK)\ trong\ (NAK) \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow AH\bot(MNP) \Rightarrow d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = AH.

    Suy ra d(MN;B'D') = \frac{5}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{5}{3}AH với AN = \frac{AA'}{2} = 2 ; AK = \frac{3}{4}\sqrt{2}AB = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

    Vậy d(MN;B'D') = \frac{5}{3}AH = \frac{5}{3}.\frac{AN.AK}{\sqrt{AN^{2} + AK^{2}}} = \frac{5}{3}.\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}.2}{\sqrt{\left( \frac{3\sqrt{2}}{2} ight)^{2} + 2^{2}}} = \frac{10.\sqrt{17}}{17} \simeq 2,43.

    Cách 2. Đặt các trục Ox, Oy và Oz vào hình như sau

    Ta có M(1;2;0), N(0;0;2), B'(0;2;4) và D'(2;0;4).

    Ta có \overrightarrow{MN} = ( - 1; - 2;2), \overrightarrow{B'D'} = (2; - 2;0) và \overrightarrow{MB'} = ( - 1;0;4) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{B'D'} ightbrack = (4;4;6).

    Khi đó :

    d\left( MN;B^{'}D^{'} ight) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack.\overrightarrow{MB^{'}} ight|}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack ight|}

    = \frac{\left| ( - 1).4 + 0.4 + 4.6 ight|}{\sqrt{4^{2} + 4^{2} + 6^{2}}} = \frac{10\sqrt{17}}{17} \simeq 2,43.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào dưới đây là sai?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC}

    Vậy đáp án sai là: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.

  • Câu 3: Nhận biết

    Tích vô hướng của 2 vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}trong không gian được tính bằng:

    Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vecto, ta có: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight).

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc trục tung Oy?

    Điểm thuộc trục tung Oy là M(0; - 10;0).

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}. Tọa độ điểm M là:

    Ta có: \overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)

    Theo bài ra ta có: \overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j} suy ra tọa độ M(2; - 3;1).

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0; - 1;1),B( - 2;1; - 1),C( - 1;3;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 2 \\ y - 3 = - 2 \\ z - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(1;1;4)

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và \widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA}. Góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{SA} và \overrightarrow{BC} là:

    Ta có: \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{SA}.\left( \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB} ight)

    = \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}

    = \left| \overrightarrow{SA}ight|.\left| \overrightarrow{SC} ight|.\cos\widehat{ASC} - \left|\overrightarrow{SA} ight|.\left| \overrightarrow{SB}ight|.\cos\widehat{ASB} = 0

    Vậy góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{SA} và \overrightarrow{BC} là 90^{0}.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ \overrightarrow{a} = (2;3;1),\overrightarrow{b} = ( - 1;5;2),\overrightarrow{c} = (4; - 1;3),\overrightarrow{x} = ( - 3;22;5). Đẳng thức nào dưới đây đúng?

    Đặt \overrightarrow{x} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c};\left( m;n;p\mathbb{\in R} ight)

    \Rightarrow ( - 3;22;5) = m(2;3;1) + n( - 1;5;2) + p(4; - 1;3)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m - m + 4p = - 3 \\ 3m + 5m - p = 22 \\ m + 2m + 3p = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ n = 3 \\ p = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy \overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} là đẳng thức đúng.

  • Câu 9: Vận dụng

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500;200;8)đến điểm N(800;300;10) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( a;b;\frac{c}{d} ight), trong đó a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d} là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính a + b + c + d?

    Đáp án: 1223

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500;200;8)đến điểm N(800;300;10) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( a;b;\frac{c}{d} ight), trong đó a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d} là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính a + b + c + d?

    Đáp án: 1223

    Gọi Q(x;y;z) là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.

    \overrightarrow{MN} = (300;100;2)

    \overrightarrow{NQ} = (x - 800;y - 300;z - 10)

    Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ M ightarrow N gấp 4 lần thời gian bay từ N ightarrow Q nên MN = 4NQ

    Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên \overrightarrow{MN} và \overrightarrow{NQ} cùng hướng.

    Suy ra \overrightarrow{MN} = 4\overrightarrow{NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 300 = 4(x - 800) \\ 100 = 4(y - 300) \\ 2 = 4(z - 10) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 875 \\ y = 325 \\ z = 10,5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow Q\left( 875;325;\frac{21}{2} ight)

    Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( 875;325;\frac{21}{2} ight) \Rightarrow a = 875,\ \ b = 325,\ \ c = 21,\ \ d = 2.

    Do đó, a + b + c + d = 1223.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4). Gọi \overrightarrow{x} là vectơ thoả mãn: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\ \end{matrix} ight.. Tọa độ của vectơ \overrightarrow{x} là:

    Đặt \overrightarrow{x} = (a;b;c).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - b + 3c = - 5 \\a - 3b + 2c = - 11 \\3a + 2b - 4c = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 3 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.\ ight.

    Vậy \overrightarrow{x} = (2;3; - 2).

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho tứ diện đều ABCD. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc

    Suy ra \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}

    Vậy mệnh đề chưa chính xác là: \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;1),B(2;1; - 2),C( - 1;3;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 1 \\ y - 3 = - 1 \\ z - 2 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 2 \\ z = 5 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D( - 2;2;5)

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tọa độ các điểm A(0;1;3),B( - 1;2;1),B'( - 2;1;0). Xác định tọa độ điểm A'?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi tọa độ điểm A'(x;y;z)

    Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên

    \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 0 = - 2 - ( - 1) \\ y - 1 = 1 - 2 \\ z - 3 = 0 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ A'( - 1;0;2)

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;0),B(2; - 1;1). Tìm tọa độ điểm C có hoành độ dương thuộc trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C?

    Ta có: C có hoành độ dương thuộc trục Ox \Rightarrow C(x;0;0);x > 0

    Theo bài ra ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AC} = (x - 1; - 2;0) \\ \overrightarrow{BC} = (x - 2;1; - 1) \\ \end{matrix} ight. và tam giác ABC vuông tại C nên

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) - 2 = 0

    \Leftrightarrow x^{2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0(L) \\ x = 3(tm) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy C(3;0;0)

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1; - 2;3),B( - 1;2;5),C(0;0;1). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

    Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:

    \left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 - 1 + 0}{3} = 0 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 + 2 + 0}{3} = 0 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{3 + 5 + 1}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(0;0;3)

    Vậy trọng tâm G tìm được là G(0;0;3).

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} (G là trọng tâm của tứ diện). Gọi G_{0} là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Vì G_{0} là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD) suy ra G_{0} là trọng tâm tam giác BCD suy ra \overrightarrow{G_{0}B} + \overrightarrow{G_{0}C} + \overrightarrow{G_{0}D} = \overrightarrow{0}

    Theo bài ra ta có: \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GG_{0}} + \overrightarrow{G_{0}B} + \overrightarrow{G_{0}C} + \overrightarrow{G_{0}D} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GG_{0}} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} = 3\overrightarrow{G_{0}G}

  • Câu 17: Nhận biết

    Điều kiện cần và đủ để ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} không đồng phẳng là:

    Ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{x} = (2;1; - 3);\overrightarrow{y} = (1;0; - 1). Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y}?

    Ta có: 2\overrightarrow{y} = (2;0; - 2). Khi đó \overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} = (2 + 2;1 + 0; - 3 - 2) = (4;1; - 5).

    Vậy \overrightarrow{a} = (4;1; - 5)

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tọa độ các điểm B( - 1;2;1),B'( - 2;1;0),C'(5;3;2). Xác định tọa độ điểm C?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi tọa độ điểm C(x;y;z)

    Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên

    \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - x = - 2 - ( - 1) \\ 3 - y = 1 - 2 \\ 2 - z = 0 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 6 \\ y = 4 \\ z = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ C(6;4;3).

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCD có AB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD có AB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 21: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1; - 3) và B( - 2;2;1). Vectơ \overrightarrow{AB} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = ( - 2 - 1;2 + 1;1 + 3) = ( - 3;3;4)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} = ( - 3;3;4).

  • Câu 22: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính độ dài đoạn thẳng OG?

    Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên tọa độ điểm G\left( \frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3} ight) hay \overrightarrow{OG} = \left( \frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3} ight)

    Vậy OG = \frac{1}{3}\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.

  • Câu 23: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;2;1). Tính độ dài đoạn thẳng OA?

    Ta có: \overrightarrow{OA} = (2;2;1) \Rightarrow OA = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = 3

  • Câu 24: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1). Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và tam giác ABC bằng \frac{1}{3} diện tích tứ giác ABCD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1). Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và tam giác ABC bằng \frac{1}{3} diện tích tứ giác ABCD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 25: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \overrightarrow{a} = (2; - 3;3);\overrightarrow{b} = (0;2; - 1);\overrightarrow{c} = (3; - 1;5). Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} 2\overrightarrow{a} = (4; - 6;6) \\ 3\overrightarrow{b} = (0;6; - 3) \\ - 2\overrightarrow{c} = ( - 6;2; - 10) \\ \end{matrix} ight.. Khi đó \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} = ( - 2;2; - 7)

    Vậy \overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 7)

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; - 2),B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight). Biết I(a;b;c) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Tính giá trị biểu thức U = a - b + c?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.

    Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

    \overrightarrow{DA} = - \frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = - \frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}

    \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} = \frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}. Do đó D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0 ight)

    Ta có: \overrightarrow{AD} = \left( \frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD = \frac{15}{7}

    \overrightarrow{ID} = - \frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO} \Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD} \Rightarrow D(1;1;0)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow U = 0

  • Câu 27: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a + b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a + b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    a) Đúng: Vì \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k} nên A(3;0; - 1).

    b) Sai: Ta có \overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2).

    Vì 4:2:4 eq - 2:4:2 nên \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} không cùng phương suy ra A,B,C không thẳng hàng.

    c) Đúng

    Vì D là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AD.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight. suy ra D( - 5;4;7).

    Do đó a = - 5,b = 4,c = 7. Vậy a + b + c = 6.

    d) Đúng. Gọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.

    MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}

    =(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}

    Do IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} không thay đổi nên MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (Oxy).

    Do đó M(1;2;0) suy ra m=1,n=2,p=0.

    Vậy 2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm cạnh BC. Khi đó \cos(AB;DM) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử cạnh tứ diện bằng a

    Tam giác BCD đều suy ra DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    Tam giác ABC đều suy ra AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    Ta có: \cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{\left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{DM} ight|} =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}

    Mặt khác \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AD} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}

    = \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AM} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} ight) - \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight)

    = a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{a^{2}}{4}

    \Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = \frac{\sqrt{3}}{6} > 0

    \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = (AB;DM)

    \Rightarrow \cos(AB;DM) = \frac{\sqrt{3}}{6}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và \widehat{SAB} = \widehat{SAC}. Góc giữa hai đường thẳng SA và BC là:

    Ta có:

    \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AS} = \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} ight).\overrightarrow{AS}

    = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AS} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AS}

    = AC.AS.\cos\widehat{SAC} -AB.AS.\cos\widehat{SAB} = 0 (vì AB = AC và \widehat{SAB} = \widehat{SAC}).

    Suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 90^{0}.

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho hình lập phương B^{'}C có đường chéo A^{'}C = \frac{3}{16}. Gọi O là tâm hình vuông ABCD và điểm S thỏa mãn: \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{OA^{'}} + \overrightarrow{OB^{'}} + \overrightarrow{OC^{'}} + \overrightarrow{OD^{'}}. Khi đó độ dài của đoạn OS bằng \frac{a\sqrt{3}}{b} với a,b \in \mathbb{N} và \frac{a}{b} là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P = a^{2} + b^{2}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình lập phương B^{'}C có đường chéo A^{'}C = \frac{3}{16}. Gọi O là tâm hình vuông ABCD và điểm S thỏa mãn: \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}+ \overrightarrow{OA^{'}} + \overrightarrow{OB^{'}} + \overrightarrow{OC^{'}} + \overrightarrow{OD^{'}}. Khi đó độ dài của đoạn OS bằng \frac{a\sqrt{3}}{b} với a,b \in \mathbb{N} và \frac{a}{b} là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức P = a^{2} + b^{2}.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 31: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trung điểm của AB là \left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};4 ight). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10). Đúng||Sai

    c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 30^{\circ}. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxz) thỏa mãn T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a - 2b + 2c = 15. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trung điểm của AB là \left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};4 ight). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10). Đúng||Sai

    c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 30^{\circ}. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxz) thỏa mãn T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a - 2b + 2c = 15. Sai||Đúng

    a) Đúng: Gọi I là trung điểm AB.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} {x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 2}}{2} = \dfrac{3}{2} \hfill \\ {y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{3}{2} \hfill \\ {z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \dfrac{{3 + 5}}{2} = 4 \hfill \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow I\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};4} ight)

    b) Đúng: Ta có \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10).

    c) Đúng: Ta có \overrightarrow{AB} = (1; - 1;2),\overrightarrow{AC} = (1;2; - 1).

    \cos(AB,AC) =\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{|\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot|\overrightarrow{AC}|}

    = \frac{|1 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1)|}{\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra (AB,AC) = 60^{\circ}.

    d) Sai: Gọi K(x;y;z) thỏa mãn 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - (2 - x) = 0 \\3(1 - y) - (4 - y) = 0 \\3(5 - z) - (2 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = - \dfrac{1}{2} \\z = \dfrac{13}{2} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Suy ra K\left( 2; - \frac{1}{2};\frac{13}{2} ight).

    Khi đó T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| = |3\overrightarrow{IK} + 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{IK} - \overrightarrow{KC}| = |2\overrightarrow{IK}| = 2IK.

    T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi I là hình chiếu của K trên (Oxz) suy ra I(2;0;\frac{13}{2} )..

    Suy ra a = 2,b = 0,c = \frac{13}{2}.

    Vậy a - 2b + 2c = 15.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0 và \left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0

    a) Vectơ có tọa độ (1\ ;\ 2\ ;1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \left( P_{1} ight). Sai||Đúng

    b) Vectơ có toạ độ ( - 2;\ 1\ ;\ 1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \left( P_{2} ight). Đúng||Sai

    c) Côsin của góc giữa hai vectơ {\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1) và {\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1) bằng - \frac{1}{6}. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai mặt phẳng \left( P_{1} ight) và \left( P_{2} ight) bằng 100{^\circ}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0 và \left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0

    a) Vectơ có tọa độ (1\ ;\ 2\ ;1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \left( P_{1} ight). Sai||Đúng

    b) Vectơ có toạ độ ( - 2;\ 1\ ;\ 1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \left( P_{2} ight). Đúng||Sai

    c) Côsin của góc giữa hai vectơ {\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1) và {\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1) bằng - \frac{1}{6}. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai mặt phẳng \left( P_{1} ight) và \left( P_{2} ight) bằng 100{^\circ}. Sai||Đúng

    a) \overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = (1;2; - 1) nên mệnh đề sai

    b) \overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = ( - 2;1;1) nên mệnh đề đúng

    c) \cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) = \frac{1.( - 2) + 2.1 + ( - 1)1}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = - \frac{1}{6} mệnh đề đúng

    d) Góc hai mặt phẳng không thể tù nên mệnh đề sai

  • Câu 33: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Giả sử điểm C'(a;b;c). Tính giá trị biểu thức T=a+b+2c?

    Gọi điểm C'(x;y;z)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.

    Mà \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'} \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C'(13;4;4) suy ra a=13;b=4;c=4

    Vậy  T=25

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} là \frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} là \frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

     

    a) Sai

     

    Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD

    Suy ra hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

    b) Sai

    Ta có ABCD là hình chữ nhật nên AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}

    Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

    Suy ra \tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'

    Ta có: \left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left( \overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'

    c) Đúng

    Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

    Suy ra SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{5}

    Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

    AM = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Lại có M là trung điểm của SB nên MB = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Ta tính được \cos MAB = \frac{MA^{2} + AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}

    Mà \left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{MAB}

    \Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}

    d) Sai

    Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

    Do đó MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Suy ra \left| \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| = \frac{a\sqrt{5}}{2}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Trong không gian cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}. Gọi I là trung điểm của B'C', K là giao điểm của A'I và B'D'. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Vì I là trung điểm của B’C’ suy ra \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{A'C'} = 2\overrightarrow{A'I}

    Và K là giao điểm của A'I';B'D' nên theo định lí Talet \Rightarrow \overrightarrow{A'K} = \frac{2}{3}\overrightarrow{A'I}

    Ta có: \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{A'K} = \overrightarrow{AA'} + \frac{2}{3}\overrightarrow{A'I}

    = \overrightarrow{AA'} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{A'C'} ight) = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}

    Khi đó

    \overrightarrow{DK} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AK} = \left( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} ight) + \overrightarrow{AK}

    = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \frac{4}{3}\overrightarrow{a} - \frac{2}{3}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}

    Vậy \overrightarrow{DK} = \frac{1}{3}\left( 4\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c} ight).

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho hình hộp ABCD.EFFH. Tính tổng \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}?

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AG}

  • Câu 37: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1; - 1) và B(2;3;2). Vectơ \overrightarrow{AB} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (2 - 1;3 - 1;2 + 1) = (1;2;3)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} = (1;2;3).

  • Câu 38: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho M(2;1;4) và M'(a;b;c) là điểm đối xứng cới điểm M qua Oy. Khi đó a + b + c bằng:

    Gọi H là hình chiếu của M trên Oy ta có H(0;1;0). Do M' đối xứng với M qua Oy, khi đó H là trung điểm của M'M

    Suy ra M'( - 2;1; - 4) từ đó a + b + c = - 5.

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(3; - 2;5). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oxz) là:

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(3; - 2;5) trên mặt phẳng (Oxz) là điểm có tọa độ (3;0;5).

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Điểm M xác định bởi công thức \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Do G là trọng tâm tam giác BCD nên \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}

    \Rightarrow \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AG}

    Vậy mệnh đề đúng là “M thuộc tia AG và AM = 3AG”.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 89 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập