Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} +
\overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}. Tọa độ điểm M là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =
(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =
(0;0;1)

    Theo bài ra ta có: \overrightarrow{OM} =
2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j} suy ra tọa độ M(2; - 3;1).

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tọa độ các điểm A(0;1;3),B( - 1;2;1),B'( -
2;1;0). Xác định tọa độ điểm A'?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi tọa độ điểm A'(x;y;z)

    ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên

    \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 0 = - 2 - ( - 1) \\
y - 1 = 1 - 2 \\
z - 3 = 0 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 1 \\
y = 0 \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ A'( - 1;0;2)

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hình hộp ABCD.EFFH. Tính tổng \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}?

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AG}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho \left| \overrightarrow{a} ight| =
3;\left| \overrightarrow{b} ight| = 5, góc giữa \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} bằng 120^{0}. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

    Ta có: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left|
\overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|\cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 3.5.cos120^{0} = -
\frac{15}{2}

    Khi đó:

    \left( \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} +
2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + {\overrightarrow{b}}^{2} = 9 -
15 + 25 = 19

    \left( \overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} -
2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + {\overrightarrow{b}}^{2} = 9 +
15 + 25 = 49

    \left( \overrightarrow{a} -
2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} -
4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2} = 9 +
30 + 100 = 139

    \left( \overrightarrow{a} +
2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} +
4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2} = 9 -
30 + 100 = 79

    Vậy khẳng định sai là \left| \overrightarrow{a} +
2\overrightarrow{b} ight| = 9.

  • Câu 5: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; -
1;1),C'(4;5; - 5). Tìm tọa độ điểm A'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC'}

    \Rightarrow \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} -
\overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (1;1;1) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}
+ \overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AD} = (0; - 1;0) = 0.\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6) = 3.\overrightarrow{i} +
5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \\
\end{matrix} ight. do đó \Rightarrow \overrightarrow{AA'} =
2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} hay \overrightarrow{AA'} = (3;5; -
6)

    Suy ra A'(3;5; - 6)

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Điểm M xác định bởi công thức \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Do G là trọng tâm tam giác BCD nên \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}

    \Rightarrow \overrightarrow{AM} =
3\overrightarrow{AG}

    Vậy mệnh đề đúng là “M thuộc tia AGAM = 3AG”.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AC} =
\overrightarrow{B'C'} nên \left(
\overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight) = \left(
\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} ight) = \widehat{CAD} =
45^{0}

    Suy ra \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}= \left| \overrightarrow{AC} ight|.\left|\overrightarrow{B'C'} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight)

    =a\sqrt{2}.a.\cos45^{0} =a^{2}

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (1; - 2;3)\overrightarrow{b} = ( - 2;1;2). Xác định tích vô hướng \left( \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b}?

    Ta có: \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} = ( - 1; - 1;5) nên \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
ight).\overrightarrow{b} = - 1.( - 2) + ( - 1).1 + 5.2 =
11

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'AB = BC = 2CC' = 4. Gọi MN lần lượt là trung điểm của cạnh BCAA'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D'MN bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 2,43

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'AB = BC = 2CC' = 4. Gọi MN lần lượt là trung điểm của cạnh BCAA'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D'MN bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 2,43

    Cách 1. Gọi P là trung điểm CD, I = MP \cap AD, J = IN \cap DD', K = AC \cap MP.

    Ta có MP//BD \Rightarrow MP//B'D'
\Rightarrow d(B'D';MN) = d\left\lbrack B'D';(MNP)
ightbrack = d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack.

    Lại có d\left\lbrack D';(MNP)
ightbrack = \frac{D'J}{DJ}d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack =
5.d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack.

    Mặt khác d\left\lbrack D;(MNP)
ightbrack = \frac{DI}{AI}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack =
\frac{1}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack.

    Dễ thấy \left\{ \begin{matrix}
(NAK)\bot(MNP) \\
(NAK) \cap (MNP) = AK \\
AH\bot NK\ (H \in NK)\ trong\ (NAK) \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow AH\bot(MNP) \Rightarrow
d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = AH.

    Suy ra d(MN;B'D') =
\frac{5}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{5}{3}AH với AN = \frac{AA'}{2} = 2 ; AK = \frac{3}{4}\sqrt{2}AB =
\frac{3\sqrt{2}}{2}.

    Vậy d(MN;B'D') = \frac{5}{3}AH =
\frac{5}{3}.\frac{AN.AK}{\sqrt{AN^{2} + AK^{2}}} =
\frac{5}{3}.\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}.2}{\sqrt{\left(
\frac{3\sqrt{2}}{2} ight)^{2} + 2^{2}}} = \frac{10.\sqrt{17}}{17}
\simeq 2,43.

    Cách 2. Đặt các trục Ox, OyOz vào hình như sau

    Ta có M(1;2;0), N(0;0;2), B'(0;2;4)D'(2;0;4).

    Ta có \overrightarrow{MN} = ( - 1; -
2;2), \overrightarrow{B'D'}
= (2; - 2;0)\overrightarrow{MB'} = ( - 1;0;4) \Rightarrow
\left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{B'D'}
ightbrack = (4;4;6).

    Khi đó :

    d\left( MN;B^{'}D^{'} ight) =
\frac{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}}
ightbrack.\overrightarrow{MB^{'}} ight|}{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack
ight|}

    = \frac{\left| ( - 1).4 + 0.4 + 4.6
ight|}{\sqrt{4^{2} + 4^{2} + 6^{2}}} = \frac{10\sqrt{17}}{17} \simeq
2,43.

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho tứ diện OABCOA;OB;OC đôi một vuông góc. M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} +
\frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}?

    Đặt \overrightarrow{OA} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{OB} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}. Khi đó \overrightarrow{OM} =
x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c} với x;y;z là ba số có tổng bằng 1.

    Ta có:

    \overrightarrow{AM} =
\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (x - 1)\overrightarrow{a} +
y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}

    \Rightarrow {\overrightarrow{AM}}^{2} =
(x - 1)^{2}{\overrightarrow{a}}^{2} + y^{2}{\overrightarrow{b}}^{2} +
z^{2}{\overrightarrow{c}}^{2}

    \Rightarrow \frac{MA^{2}}{OA^{2}} = (x -
1)^{2} + y^{2}.\frac{b^{2}}{a^{2}} +
z^{2}.\frac{c^{2}}{a^{2}}

    Tương tự ta được

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{MB^{2}}{OB^{2}} = (y - 1)^{2} + z^{2}.\dfrac{c^{2}}{b^{2}} +x^{2}.\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \\\dfrac{MC^{2}}{OC^{2}} = (z - 1)^{2} + x^{2}.\dfrac{a^{2}}{c^{2}} +y^{2}.\dfrac{b^{2}}{c^{2}} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} +
\frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left(
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left(
\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left(
\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left(
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left(
\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left(
\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z -
1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} +
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2}
+ z^{2}c^{2} ight)

    - \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} ight) +
(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} +
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2}
+ z^{2}c^{2} ight) - 2(x + y + z) + 3

    Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}}\\x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = OM^{2} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} +
\frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}} = \frac{OM^{2}}{OH^{2}} +
1 \geq 1 + 1 = 2

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.

    Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.

  • Câu 11: Nhận biết

    Gọi O là tâm của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Theo quy tắc hình hộp ta có: \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}

    O là trung điểm của AC' suy ra \overrightarrow{AO} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{AC'} = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}
ight)

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 1; - 1;3), B(0;2;0) C(5; - 2;1). Điểm D(a;b;c) sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Tính S = a + b + c?

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 1; - 1;3), B(0;2;0) C(5; - 2;1). Điểm D(a;b;c) sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Tính S = a + b + c?

    Đáp án: 3

    Gọi D = (x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{DC} = (5 - x; - 2 -
y;1 - z)

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (1;3; -
3)

    ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
5 - x = 1 \\
- 2 - y = 3 \\
1 - z = - 3 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 4 \\
y = - 5 \\
z = 4 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow D(4; - 5;4).

    Vậy S = a + b + c = 3.

  • Câu 13: Nhận biết

    Điều kiện cần và đủ để ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} không đồng phẳng là:

    Ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz cho hai điểm M(2;3; - 1),N( - 1;1;1). Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

    a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

    b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là ( - 4; - 1;3). Đúng||Sai

    c) Cho P(1;m - 1;3), tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn T = \left|
3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2a + b + c = 9. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz cho hai điểm M(2;3; - 1),N( - 1;1;1). Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

    a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

    b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là ( - 4; - 1;3). Đúng||Sai

    c) Cho P(1;m - 1;3), tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn T = \left|
3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2a + b + c = 9. Sai||Đúng

    a) Sai: Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (0;3;0)

    b) Đúng: Vì N là trung điểm của ME

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1 = \dfrac{2 + x_{E}}{2} \\1 = \dfrac{3 + y_{E}}{2} \\1 = \dfrac{- 1 + z_{E}}{2} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{E} = - 4 \\y_{E} = - 1 \\z_{E} = 3 \\\end{matrix} \Rightarrow E( - 4; - 1;3) ight.\  ight..

    c) Đúng: Ta có \overrightarrow{NM} =
(3;2; - 2);\overrightarrow{NP} = (2;m - 2;2).

    \bigtriangleup MNP vuông tại N \Leftrightarrow\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{NP} = 0

    \Leftrightarrow 3.2 + 2.(m - 2) + ( -
2).2 = 0 \Leftrightarrow m = 1.

    d) Sai.

    Gọi J(x;y;z) thỏa 3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{JN} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - ( - 1 - x) = 0 \\3(3 - y) - (1 - y) = 0 \\3( - 1 - z) - (1 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{2} \\y = 4 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.\  ight.

    Suy ra J\left( \frac{7}{2};4; - 2
ight).

    Khi đó T = |3\overrightarrow{IM} -
\overrightarrow{IN}| = |3\overrightarrow{IJ} + 3\overrightarrow{JM} -
\overrightarrow{IJ} - \overrightarrow{JN}| = |2\overrightarrow{IJ}| =
2IJ.

    T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi I là hình chiếu của J trên (Oxy)

    \Leftrightarrow I\left( \frac{7}{2};4;0 ight).

    Vậy a = \frac{7}{2};b = 4;c =
0.

    Suy ra 2a+b+c=11

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M;N;P;Q;R;S;G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN.

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

    a) \overrightarrow{MR} =
\overrightarrow{SN}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
\overrightarrow{0}. Đúng||Sai

    c) 2\overrightarrow{PQ} =
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AD}. Sai||Đúng

    d) \left| \overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}
ight| nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M;N;P;Q;R;S;G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN.

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

    a) \overrightarrow{MR} =
\overrightarrow{SN}. Sai||Đúng

    b) \overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
\overrightarrow{0}. Đúng||Sai

    c) 2\overrightarrow{PQ} =
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AD}. Sai||Đúng

    d) \left| \overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}
ight| nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    a) Đúng: \left. \ \begin{matrix}\overrightarrow{MR} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\overrightarrow{SN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{MR} =\overrightarrow{SN}.

    b) Đúng: Vi M là trung điểm của AB nên \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} =
2\overrightarrow{GM}

    N là trung điểm của CD nên \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
2\overrightarrow{GN}

    G là trung điểm của MN nên \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} =
\overrightarrow{0}

    Do đó: \overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}) = 2.\overrightarrow{0} =
\overrightarrow{0}

    c) Sai: \overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} =\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow 2\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AD}

    d) Đúng

    Ta có: \overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} =
4\overrightarrow{IG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) =
4\overrightarrow{IG}.

    \Rightarrow |\overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}| =
|4\overrightarrow{IG}| = 4IG.

    Do đó: |\overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} +
\overrightarrow{ID}| nhỏ nhất khi IG = 0 \Leftrightarrow I \equiv G 

  • Câu 16: Thông hiểu

    ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm I(3;4;5)là tâm của nguồn phát âm với bán kính 10\ m. Để kiểm tra một điểm ở vị trí\ M(7;10;17) có nhận được cường độ âm phát ra tại I hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí IM. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí IMlà bao nhiêu mét?

    Đáp án: 14 (m)

    Đáp án là:

    ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm I(3;4;5)là tâm của nguồn phát âm với bán kính 10\ m. Để kiểm tra một điểm ở vị trí\ M(7;10;17) có nhận được cường độ âm phát ra tại I hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí IM. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí IMlà bao nhiêu mét?

    Đáp án: 14 (m)

    Ta có

    IM = \sqrt{(7 - 3)^{2} + (10 - 4)^{2} +
(17 - 5)^{2}}

    = \sqrt{4^{2} + 6^{2} + 12^{2}} =
\sqrt{196} = 14 (m).

    Đáp số 14(m).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'M là trung điểm của BB'. Đặt \overrightarrow{CA} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{CB} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{c}. Đẳng thức nào sau đây đúng?

    Ta có: M là trung điểm của BB’ khi đó \overrightarrow{AM} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}

    Khi đó:

    \overrightarrow{AM} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}

    = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}

    = \overrightarrow{AB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}

    = - \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}

    Vậy đẳng thức đúng là \overrightarrow{AM}
= \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{c}.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCCD.A'B'C'D'. Biết A(2;4;0),B(4;0;0),C( -
1;4;7),D'(6;8;10). Tọa độ điểm B' là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{BC} = ( - 5;4;7) \Rightarrow D( - 3;8; - 7)

    \overrightarrow{BD} =
\overrightarrow{B'D'} = ( - 7;8; - 7) \Rightarrow
B'(13;0;17)

  • Câu 19: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    a) Đúng: Vì \overrightarrow{OA} =
3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k} nên A(3;0; - 1).

    b) Sai: Ta có \overrightarrow{AB} =
(4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2).

    4:2:4 eq - 2:4:2 nên \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} không cùng phương suy ra A,B,C không thẳng hàng.

    c) Đúng

    D là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AD.

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\
y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\
z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\
\end{matrix} ight. suy ra D( -
5;4;7).

    Do đó a = - 5,b = 4,c = 7. Vậy a + b + c = 6.

    d) Đúng. Gọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} =
\overrightarrow{0}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\
0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\
- 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\
\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 2 \\
z = 1 \\
\end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.

    MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}

    =(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}

    Do IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} không thay đổi nên MA^{2} + MB^{2} +
MC^{2} nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (Oxy).

    Do đó M(1;2;0) suy ra m=1,n=2,p=0.

    Vậy 2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 =
0.

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho tam giác ABC vuông tại A và có hai đỉnh B;C nằm trên mặt phẳng (P). Gọi A' là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên (P). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Nếu A nằm trên (P) tức A’ trùng với A thì tam giác A’BC có góc A vuông, nếu A không nằm trên (P) thì

    \overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{A'C}
= \overrightarrow{A'A}.\overrightarrow{A'C} +
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C}

    =
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C} =
\overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{A'A} +
\overrightarrow{AC} ight)

    =
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'A} = -
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AA'} < 0 suy ra góc \widehat{BA'C} là góc tù.

  • Câu 21: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0)B(0;1;2). Vectơ \overrightarrow{AB} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (0 - 1;1 - 1;2 -
0) = ( - 1;0; - 2)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} =
(1;2;3).

  • Câu 22: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b}
= (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4). Gọi \overrightarrow{x} là vectơ thoả mãn: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\
\end{matrix} ight.. Tọa độ của vectơ \overrightarrow{x} là:

    Đặt \overrightarrow{x} =
(a;b;c).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - b + 3c = - 5 \\a - 3b + 2c = - 11 \\3a + 2b - 4c = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 3 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\  ight.\  ight.

    Vậy \overrightarrow{x} = (2;3; -
2).

  • Câu 23: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Giả sử điểm C'(a;b;c). Tính giá trị biểu thức T=a+b+2c?

    Gọi điểm C'(x;y;z)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.

    \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'} \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow C'(13;4;4) suy ra a=13;b=4;c=4

    Vậy  T=25

  • Câu 24: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; - 4;3)B(2;2;7). Xác định tọa độ trung điểm I của AB?

    Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:

    \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 1 \\y_{I} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 0 \\z_{I} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow I(1;0;4)

    Vậy đáp án đúng là: I(1;0;4).

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AD} ight| theo a?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi G là trọng tâm của \Delta BCD.

    Do đó \left| \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = \left|
3\overrightarrow{AG} ight| = 3AG.

    Ta có BG = \frac{2}{3}BI =
\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.

    ABCD là tứ diện đều nên AG\bot(BCD) \Rightarrow AG\bot BG.

    Suy ra AG = \sqrt{AB^{2} - BG^{2}} =
\frac{a\sqrt{6}}{3}.

    Vậy \left| \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| =
3.\frac{a\sqrt{6}}{3} = a\sqrt{6}.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho các vectơ \overrightarrow{u} =2\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}\overrightarrow{v} = (m;2;m + 1) (với m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để \left| \overrightarrow{u} ight| = \left|\overrightarrow{v} ight|?

    Ta có: \overrightarrow{u} = (2; -2;1)

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}\left| \overrightarrow{u} ight| = \sqrt{2^{2} + ( - 2)^{2} + 1^{2}} =3 \\\left| \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{m^{2} + 2^{2} + (m + 1)^{2}} =\sqrt{2m^{2} + 2m + 5} \\\end{matrix} ight.

    Do đó \left| \overrightarrow{u} ight| =\left| \overrightarrow{v} ight| \Leftrightarrow 9 = 2m^{2} + 2m +5

    \Leftrightarrow m^{2} + m - 2 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 1 \\m = - 2 \\\end{matrix} ight.

    Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 27: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (Oxy)?

    Do điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) nên điểm đó có tọa độ dạng (x;y;0)

    Suy ra điểm (2;2;0) là đáp án cần tìm.

  • Câu 28: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm B( -
2;3;1) trên trục Ox có tọa độ là:

    Hình chiếu vuông góc của điểm B( -
2;3;1) trên trục Ox là điểm có tọa độ ( - 2;0;0).

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho các mệnh đề sau:

    (I) Vectơ \overrightarrow{x} =\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} luôn đồng phẳng với hai vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b}.

    (II) Nếu có m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0} và ít nhất một trong ba số m;n;p khác không thì ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} đồng phẳng.

    (III) Nếu ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} không đồng phẳng và m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0} thì m = n = p = 0.

    Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?

    Do \overrightarrow{x} được biểu thị qua hai vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} nên (I) đúng.

    Xét mệnh đề (II): Giả sử m eq
0, khi đó:

    m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{a} = - \frac{n}{m}\overrightarrow{b} -\frac{p}{m}\overrightarrow{c}

    Suy ra ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} đồng phẳng. Vậy mệnh đề (II) đúng.

    Do mệnh đề (III) tương đương với mệnh đề (II) nên mệnh đề (III) đúng.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (5;3; -
2);\overrightarrow{b} = (m; - 1;m + 3). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} là góc tù?

    Ta có: \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) =
\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a}
ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{3m -
9}{\sqrt{38}.\sqrt{2m^{2} + 6m + 10}}

    Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} là góc tù khi và chỉ khi

    \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) < 0 \Leftrightarrow
\frac{3m - 9}{\sqrt{38}.\sqrt{2m^{2} + 6m + 10}} < 0

    \Leftrightarrow 3m - 9 < 0
\Leftrightarrow m < 3

    m \in \mathbb{Z}^{+} \Rightarrow m =
\left\{ 1;2 ight\}

    Suy ra có 2 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Vậy đáp án cần tìm là 2.

  • Câu 31: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5). Gọi D(a;b;c) là chân đường phân giác trong của góc B trong tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức W = a + b + 2c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5). Gọi D(a;b;c) là chân đường phân giác trong của góc B trong tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức W = a + b + 2c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Phân tích vectơ \overrightarrow{AC'} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}?

    Ta có phép cộng vectơ đối với hình vuông ABCD: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{AC}

    Khi đó ta có: \overrightarrow{AC'} =
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD}

  • Câu 33: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1;1; -
2);\overrightarrow{v} = (1;0;m). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}
ight) = 45^{0}?

    Ta có: \left(
\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) = 45^{0} \Leftrightarrow
\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) =
\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow
\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u}
ight|.\left| \overrightarrow{v} ight|} =
\frac{\sqrt{2}}{2}

    \Leftrightarrow \frac{1 -
2m}{\sqrt{6}.\sqrt{1 + m^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow
\sqrt{3\left( m^{2} + 1 ight)} = 1 - 2m

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - 2m \geq 0 \\3m^{2} + 3 = 1 - 4m + 4m^{2} \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \leq \dfrac{1}{2} \\m^{2} - 4m - 2 = 0 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow m = 2 - \sqrt{6}

    Vậy đáp án cần tìm là m = 2 -
\sqrt{6}.

  • Câu 34: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây sai?

    Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho hình chóp OABCOA = OB = OC = 1, các cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow{OC};\overrightarrow{MA}.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{BA} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\left( \overrightarrow{OA} -
\overrightarrow{OB} ight)

    =
\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA} -
\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OB} = 0 - 0 =
0

    Vậy \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MA} =
0

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho A(1;\ \ 1;\  - 2)B(2;\ \  - 1;\ \ 0). Hãy xác định tọa độ của \overrightarrow{AB}?

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (1;\  - \ 2;\ \
2)

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt E(0;0;6), giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight),A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 240\ N, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}} như hình.

    Tính tích vô hướng của \overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}} (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

    Đáp án: 6311

    Đáp án là:

    Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt E(0;0;6), giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight),A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 240\ N, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}} như hình.

    Tính tích vô hướng của \overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}} (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

    Đáp án: 6311

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{EA_{1}} = (0;1; - 6) \\\overrightarrow{EA_{2}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; - 6ight) \\\overrightarrow{EA_{3}} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; -6 ight) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow EA_{1} = EA_{2} = EA_{3} =\sqrt{37}.

    Suy ra, \left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = \left|\overrightarrow{F_{3}} ight| (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).

    Do đó: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = k\overrightarrow{EA_{1}} = (0;k; - 6k) \\\overrightarrow{F_{2}} = k\overrightarrow{EA_{2}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = k\overrightarrow{EA_{3}} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = (0;0; -18k).

    \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{P} =(0;0; - 240).

    Suy ra - 18k = - 240 \Leftrightarrow k =\frac{40}{3}.

    Từ đó \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = \left( 0;\frac{40}{3}; - 80 ight) \\\overrightarrow{F_{2}} = \left( \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3}; -80 ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = \left( - \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3};- 80 ight) \\\end{matrix} ight..

    Vậy \overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{F_{3}} =0.\left( \frac{- 20\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{40}{3}\left( -\frac{20}{3} ight) + ( - 80).( - 80) \approx 6311.

  • Câu 38: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} =
(1;2;1);\overrightarrow{b} = ( - 1;3;0). Vectơ \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} có tọa độ là:

    Ta có: 2\overrightarrow{a} =
(2;4;2). Khi đó \overrightarrow{c}
= 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left( 2 + ( - 1);4 + 3;2 +
0 ight) = (1;7;2)

    Vậy \overrightarrow{c} =
(1;7;2)

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyzcho \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} +
\overrightarrow{k}. Khi đó tọa độ \overrightarrow{u} với hệ Oxyz là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =
(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =
(0;0;1)

    \overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i}
+ y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow
\overrightarrow{u} = (x;y;z)

    Lại có \overrightarrow{u} =
2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \Leftrightarrow
\overrightarrow{u} = (2;0;1)

  • Câu 40: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1; - 2),B(2; - 3;5). Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA
= 2MB, tọa độ điểm M là:

    Gọi tọa độ độ điểm M(x;y;z). Vì điểm M \in AB nên

    \overrightarrow{MA} =2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3 - x = - 2(2 - x) \\1 - y = - 2( - 3 - y) \\- 2 - z = - 2(5 - z) \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{3} \\y = - \dfrac{5}{3} \\z = \dfrac{8}{3} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M\left( \dfrac{7}{3}; -\dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3} ight)

    Vậy đáp án cần tìm là: \left(
\frac{7}{3}; - \frac{5}{3};\frac{8}{3} ight).

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 88 lượt xem
Sắp xếp theo