Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Câu 1: Nhận biết

Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Hỏi bốn vectơ nào có giá cùng thuộc một mặt phẳng?

A.
$\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC'}$
B.
$\overrightarrow{A'D};\overrightarrow{AA'};\overrightarrow{A'D'};\overrightarrow{DD'}$
C.
$\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}$
D.
$\overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}$

Hình vẽ minh họa

Từ hình vẽ ta thấy các vectơ $\overrightarrow{A'D};\overrightarrow{AA'};\overrightarrow{A'D'};\overrightarrow{DD'}$ có giá cùng thuộc một mặt phẳng $(AA'D'D)$ .

Câu 2: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh $AB = a, AD = 2a$ , cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{0}$ . Sai||Đúng

c) Tích vô hướng của $\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB}$ bằng $\frac{a^{2}}{2}$ . Đúng||Sai

d) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN}$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh $AB = a, AD = 2a$ , cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{0}$ . Sai||Đúng

c) Tích vô hướng của $\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB}$ bằng $\frac{a^{2}}{2}$ . Đúng||Sai

d) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN}$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Sai||Đúng

a) Sai

Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên $AB//CD$

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

b) Sai

Ta có ABCD là hình chữ nhật nên $AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}$

Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

Suy ra $\tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'$

Ta có: $\left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left( \overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'$

c) Đúng

Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

Suy ra $SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{5}$

Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

$AM = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Lại có M là trung điểm của SB nên $MB = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Ta tính được $\cos MAB = \frac{MA^{2} + AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Mà $\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{MAB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}$

d) Sai

Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

Do đó $MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Suy ra $\left| \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Câu 3: Thông hiểu

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ có $AB = AE = 2,AD = 3$ và đặt $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}$ . Lấy điểm $M$ thỏa $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD}$ và điểm $N$ thỏa $\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC}$ . (Quan sát hình vẽ).

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b}$ Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$ Sai||Đúng

c) $\left( m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} = m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} + p^{2}\overrightarrow{c^{2}}$ , với $m;n;p$ là các số thực. Đúng||Sai

d) $MN = \frac{\sqrt{61}}{5}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ có $AB = AE = 2,AD = 3$ và đặt $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}$ . Lấy điểm $M$ thỏa $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD}$ và điểm $N$ thỏa $\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC}$ . (Quan sát hình vẽ).

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b}$ Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$ Sai||Đúng

c) $\left( m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} = m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} + p^{2}\overrightarrow{c^{2}}$ , với $m;n;p$ là các số thực. Đúng||Sai

d) $MN = \frac{\sqrt{61}}{5}$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Ta có

$\overrightarrow{MA} = - \overrightarrow{AM} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b}$

b) Sai:

$\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC} = \frac{2}{5}(\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EH} + \overrightarrow{EA}) = \frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c})$

c) Đúng:

$(m.\overrightarrow{a} +n.\overrightarrow{b} + p.\overrightarrow{c})^{2} =m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} + n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2}$ $+p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2} +2mn.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ $+2np\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} +2mp.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$ $= m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} + n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2} + p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2}$

(vì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đôi một vuông góc nên $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0)$ .

Ta có

$\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EN}$

$= -\frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} +\frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -\overrightarrow{c})$

$= \frac{2}{5}\overrightarrow{a} +\frac{1}{5}\overrightarrow{b} +\frac{3}{5}\overrightarrow{c}$ .

d) Đúng:

$MN^{2} = {\overrightarrow{MN}}^{2} = \left( \frac{2}{5}\overrightarrow{a} + \frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \frac{3}{5}\overrightarrow{c} ight)^{2}$

$= \frac{4}{25}{\overrightarrow{a}}^{2} +\frac{1}{25}{\overrightarrow{b}}^{2} +\frac{9}{25}{\overrightarrow{c}}^{2}$ $= \frac{4}{25}.4 + \frac{1}{25}.9 +\frac{9}{25}.4 = \frac{61}{25}$

Suy ra $MN = \frac{\sqrt{61}}{5}$ .

Câu 4: Thông hiểu

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tâm $O$ . Gọi $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ . Đặt $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{u};\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{v};\overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{x};\overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{y}$ . Chọn khẳng định đúng?

A.
$2\overrightarrow{OI} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} ight)$
B.
$2\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} ight)$
C.
$2\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} ight)$
D.
$2\overrightarrow{OI} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} ight)$

Vì $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên

$4\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{OI} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C'A} + \overrightarrow{D'B} + \overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{B'D} ight)$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{BD'} + \overrightarrow{CA'} + \overrightarrow{DB'} ight)$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} ight)$

Câu 5: Thông hiểu

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Số đo giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng:

A.
$45^{0}$
B.
$90^{0}$
C.
$30^{0}$
D.
$60^{0}$

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} ight) = \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$

Suu ra $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD}$ nên số đo góc giữa hai đường thẳng $AB;CD$ bằng $90^{0}$ .

Câu 6: Nhận biết

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k}$ . Khi đó tọa độ $\overrightarrow{u}$ với hệ $Oxyz$ là:

A.
$(1;0;2)$
B.
$(0;2;1)$
C.
$(2;0;1)$
D.
$(2;1;0)$

Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

$\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (x;y;z)$

Lại có $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (2;0;1)$

Câu 7: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)$ . Tìm tọa độ điểm $A'$ ?

A.
$A'(4;6; - 5)$
B.
$A'(2;0;2)$
C.
$A'(3;5; - 6)$
D.
$A'(3;4; - 6)$

Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;1;1) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (0; - 1;0) = 0.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6) = 3.\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$ do đó $\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = 2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k}$ hay $\overrightarrow{AA'} = (3;5; - 6)$

Suy ra $A'(3;5; - 6)$

Câu 8: Nhận biết

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , hình chiếu vuông góc của điểm $M(1; - 3; - 5)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là:

A.
$(0; - 3;0)$ .
B.
$(0; - 3; - 5)$ .
C.
$(0; - 3;5)$ .
D.
$(1; - 3;0)$ .

Hình chiếu vuông góc của điểm $M(1; - 3; - 5)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là điểm có tọa độ $(0; - 3; - 5)$ .

Câu 9: Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Tọa độ chân đường phân giác của góc $B$ trong tam giác $ABC$ là:

A.
$\left( - \frac{2}{3};\frac{11}{3};1 ight)$
B.
$\left( \frac{11}{3}; - 2;1 ight)$
C.
$\left( \frac{2}{3};\frac{11}{3};\frac{1}{3} ight)$
D.
$( - 2;11;1)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác kẻ từ $B$ lên $AC$ của tam giác $ABC$ .

Suy ra $\frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\ \overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)$

Câu 10: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1)$ , khi đó tọa độ điểm $B$ là:

A.
$B(2;5;0)$
B.
$B(0; - 1; - 2)$
C.
$B(0;1;2)$
D.
$B( - 2; - 5;0)$

Gọi $B(x;y;z)$ ta có:

$A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1)$ khi đó $\left\{\begin{matrix}x - 1 = 1 \\y - 2 = 3 \\z + 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = 5 \\z = 0 \\\end{matrix} ight.$ nên tọa độ điểm cần tìm là $B(2;5;0)$ .

Câu 11: Thông hiểu

Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.

A.
(0;435;0).
B.
(455;0;0).
C.
(0;455;0).
D.
(435;0;0).

Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:

$S = v.t = 890.\frac{1}{2} = 445\ \ (km).$

Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).

Câu 12: Nhận biết

Cho tứ diện $OABC$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ .Phân tích nào sau đây là đúng?

A.
$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
B.
$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
C.
$\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$
D.
$\overrightarrow{OG} = \frac{3}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$

Ta có: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ khi $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$

Câu 13: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{a} = (1;3;4)$ . Hãy chọn vectơ cùng phương với $\overrightarrow{a}$ ?

A.
$\overrightarrow{b} = (2; - 6; - 8)$
B.
$\overrightarrow{b} = ( - 2; - 6; - 8)$
C.
$\overrightarrow{b} = ( - 2; - 6;8)$
D.
$\overrightarrow{b} = ( - 2;6;8)$

Ta có: $\overrightarrow{b}$ cùng phương với $\overrightarrow{a}$ khi $\overrightarrow{b} = k.\overrightarrow{a};\left( k\mathbb{\in R} ight)$ . Khi đó đáp án cần tìm là $\overrightarrow{b} = ( - 2; - 6; - 8)$ (vì $\overrightarrow{b} = -2(1;3;4) = - 2\overrightarrow{a}$ ).

Câu 14: Thông hiểu

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Đáp án là:

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}\ \ \ \ (t\mathbb{\in R}) ight.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (a; - 2)$ .

Đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = (4; - 3)$ .

Ta có:

$\cos\varphi = |cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|$

$\Leftrightarrow cos45^{0} = \frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|4a + 6|}{5\sqrt{a^{2} + 4}}$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{a^{2} + 4} = \sqrt{2}|4a + 6|$

$\Leftrightarrow 25a^{2} + 100 = 32a^{2} + 96a + 72$

$\Leftrightarrow 7a^{2} + 96a - 28 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{2}{7} \\a = - 14 \\\end{matrix}. ight.$

Vậy tích tất cả các giá trị của tham số a bằng -4.

Câu 15: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng: $\left. \ \begin{matrix}\overrightarrow{MR} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\overrightarrow{SN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{MR} =\overrightarrow{SN}$ .

b) Đúng: Vi $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM}$

Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN}$

Vì $G$ là trung điểm của $MN$ nên $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$

Do đó: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}) = 2.\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$

c) Sai: $\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} =\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AD}$

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{IG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) = 4\overrightarrow{IG}$ .

$\Rightarrow |\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}| = |4\overrightarrow{IG}| = 4IG$ .

Do đó: $|\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}|$ nhỏ nhất khi $IG = 0 \Leftrightarrow I \equiv G$

Câu 16: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(1;0;0),B(0;0;1),C(2;1;1)$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ ?

A.
$\frac{\sqrt{11}}{2}$
B.
$\frac{\sqrt{7}}{2}$
C.
$\frac{\sqrt{6}}{2}$
D.
$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1;0;1) \\ \overrightarrow{AC} = (1;1;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = ( - 1).1 + 0.1 + 1.1 = 0$

Suy ra $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AC}$ . Lại có: $\left\{ \begin{matrix} \left| \overrightarrow{AB} ight| = \sqrt{2} \\ \left| \overrightarrow{AC} ight| = \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra diện tích tam giác $ABC$ là: $S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Câu 17: Nhận biết

Cho hai điểm phân biệt $A;B$ và một điểm $O$ bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.
Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OB} = k.\overrightarrow{BA}$ .
B.
Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k.\left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} ight)$ .
C.
Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k).\overrightarrow{OB}$ .
D.
Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ .

Mệnh đề đúng: “Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k).\overrightarrow{OB}$ ”.

Câu 18: Thông hiểu

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a.$ Tính $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight|$ theo $a?$

A.
$a \sqrt{6}.$
B.
$a\sqrt{3}.$
C.
$\frac{a\sqrt{6}}{2}.$
D.
$\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Hình vẽ minh họa

Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta BCD.$

Do đó $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = \left| 3\overrightarrow{AG} ight| = 3AG.$

Ta có $BG = \frac{2}{3}BI = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.$

Mà $ABCD$ là tứ diện đều nên $AG\bot(BCD) \Rightarrow AG\bot BG.$

Suy ra $AG = \sqrt{AB^{2} - BG^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Vậy $\left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = 3.\frac{a\sqrt{6}}{3} = a\sqrt{6}.$

Câu 19: Nhận biết

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{a} = (1;0; - 2)$ . Trong các vectơ dưới đây, vectơ nào không cùng phương với $\overrightarrow{a}$ ?

A.
$\overrightarrow{c} = (2;0; - 4)$ .
B.
$\overrightarrow{b} = (1;0;2)$ .
C.
$\overrightarrow{d} = \left( - \frac{1}{2};0;1 ight)$ .
D.
$\overrightarrow{0} = (0;0;0)$ .

Ta có: $\overrightarrow{0} = (0;0;0)$ cùng phương với mọi vectơ

Lại có $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{c} = (2;0; - 4) = 2\overrightarrow{a} \\\overrightarrow{d} = \left( - \dfrac{1}{2};0;1 ight) = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} \\\end{matrix} ight.$

Vậy vectơ không cùng phương với $\overrightarrow{a}$ là $\overrightarrow{b} = (1;0;2)$ .

Câu 20: Nhận biết

Cho ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ . Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?

A.
Một trong ba vectơ đó bằng $\overrightarrow{0}$ .
B.
Có hai trong ba vectơ đó cùng phương.
C.
Có một vectơ không cùng hướng với hai vectơ còn lại.
D.
Có hai trong ba vectơ đó cùng hướng.

Hai vectơ còn lại có thể không cùng phương nên ba vectơ có thể không đồng phẳng.

Câu 21: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 2; - 4)$ và $\overrightarrow{b} = (1; - 1;1)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (3; - 3; - 3)$ .
B.
Hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ cùng phương.
C.
$\left| \overrightarrow{b} ight| = \sqrt{3}$
D.
$\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}$

Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (3; - 3; - 3)$ đúng

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a} = 2(1; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{b} = (1; - 1;1) \\ \end{matrix} ight.$ suy ra Hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ không cùng phương.

Vậy mệnh đề sai là: “Hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ cùng phương”.

Câu 22: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( - 3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Tìm tọa độ điểm $C'$ ?

A.
$C'(10;4;4)$
B.
$C'( - 13;4;4)$
C.
$C'(13;4;4)$
D.
$C'(7;4;4)$

Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} + 0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC'} = 10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} + 4.\overrightarrow{k}$ mà $A( - 3;0;0)$

$\Rightarrow C'(7;4;4)$

Suy ra $C'(7;4;4)$

Câu 23: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?

A.
$D(2;0;0)$
B.
$D(1;1;1)$
C.
$D(0;0;1)$
D.
$D(0;2;1)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = - 1 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(0;0;1)$ .

Câu 24: Thông hiểu

Cho tứ diện đều $ABCD$ , $M$ là trung điểm cạnh $BC$ . Khi đó $\cos(AB;DM)$ bằng:

A.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.
$\frac{\sqrt{3}}{6}$
C.
$\frac{1}{2}$
D.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Hình vẽ minh họa

Giả sử cạnh tứ diện bằng a

Tam giác BCD đều suy ra $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ABC đều suy ra $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{\left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{DM} ight|} =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$

Mặt khác $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AD} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$

$= \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AM} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} ight) - \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight)$

$= a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{a^{2}}{4}$

$\Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = \frac{\sqrt{3}}{6} > 0$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = (AB;DM)$

$\Rightarrow \cos(AB;DM) = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Câu 25: Vận dụng cao

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 2),B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Biết $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ . Tính giá trị biểu thức $U = a - b + c$ ?

A.
$U = 1$
B.
$U = 3$
C.
$U = 2$
D.
$U = 0$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.$

Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

$\overrightarrow{DA} = - \frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = - \frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} = \frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}$ . Do đó $D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0 ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \left( \frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD = \frac{15}{7}$

$\overrightarrow{ID} = - \frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO} \Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD} \Rightarrow D(1;1;0)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow U = 0$

Câu 26: Nhận biết

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (1;2;3);\overrightarrow{b} = (2;2; - 1);\overrightarrow{c} = (4;0; - 4)$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}$ là:

A.
$\overrightarrow{d}( - 7;0; - 4)$
B.
$\overrightarrow{d}( - 7;0;4)$
C.
$\overrightarrow{d}(7;0; - 4)$
D.
$\overrightarrow{d}(7;0;4)$

Ta có:

$\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} = \left( 1 - 2 + 2.4;2 - 2 + 2.0;3 + 1 + 2.( - 4) ight) = (7;0; - 4)$

Vậy $\overrightarrow{d}(7;0; - 4)$

Câu 27: Thông hiểu

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ (tham khảo hình vẽ).

Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}$ . Đúng||Sai

c) $\left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'C'} ight) = 45^{\circ}$ . Đúng||Sai

d) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = \frac{\sqrt{2}a^{2}}{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ (tham khảo hình vẽ).

Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}$ . Đúng||Sai

c) $\left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'C'} ight) = 45^{\circ}$ . Đúng||Sai

d) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = \frac{\sqrt{2}a^{2}}{2}$ . Sai||Đúng

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ .

b) Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ .

c) Vì $\overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{AD}$ nên $\left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'C'} ight) = \left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ight) = \widehat{CAD} = 45^{0}$ .

d) Tam giác $ADC$ vuông tại $D$ nên $AC = \sqrt{AD^{2} + DC^{2}} = \sqrt{2}a$ .

Ta có

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = \left| \overrightarrow{AC} ight|.\left| \overrightarrow{B'C'} ight|.cos\left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'C'} ight)$

$= \sqrt{2}a.a.cos45^{0} = a^{2}$ .

Câu 28: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ ?

A.
$(2;2;0)$
B.
$(3; - 1;3)$
C.
$(3; - 1;2)$
D.
$(0;0;2)$

Do điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên điểm đó có tọa độ dạng $(x;y;0)$

Suy ra điểm $(2;2;0)$ là đáp án cần tìm.

Câu 29: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(0;3; - 2)$ và $N(2; - 1;0)$ . Vectơ $\overrightarrow{MN}$ có tọa độ là:

A.
$\overrightarrow{MN} = (2; - 4;2)$
B.
$\overrightarrow{MN} = (1;1; - 1)$
C.
$\overrightarrow{MN} = ( - 2;4; - 2)$
D.
$\overrightarrow{MN} = (2;2; - 2)$

Ta có:

$\overrightarrow{MN} = (2 - 0; - 1 - 3;0 + 2) = (2; - 4;2)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{MN} = (2; - 4;2)$ .

Câu 30: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 31: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành hình bình hành. Biết các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$ . Xác định tọa độ điểm $C$ ?

A.
$(2;0;2)$
B.
$(2;2;2)$
C.
$(2; - 2;2)$
D.
$(0; - 2;0)$

Giả sử điểm $C(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 1 \\ y + 1 = 1 \\ z - 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $C(2;0;2)$ .

Câu 32: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ có điểm $A(1; - 3;1),B(3;0; - 2)$ . Tính độ dài $AB$ ?

A.
$AB = 26$
B.
$AB = 22$
C.
$AB = \sqrt{26}$
D.
$AB = \sqrt{22}$

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3 - 1;0 + 3; - 2 - 1) = (2;3; - 3)$

Suy ra $AB = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + ( - 3)^{2}} = \sqrt{22}$

Vậy đáp án cần tìm là $AB = \sqrt{22}$ .

Câu 33: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2;3),B(0; - 2;1),C(1;0;1)$ . Gọi $D$ là điểm sao cho $C$ là trọng tâm tam giác $ABD$ . Tính tổng các tọa độ của điểm $D$ ?

A.
$1$
B.
$0$
C.
$\frac{7}{3}$
D.
$7$

Đặt $D(x;y;z)$ . Vì $C$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{1 + 0 + x}{3} \\0 = \dfrac{2 - 2 + y}{3} \\1 = \dfrac{3 + 1 + z}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = 0 \\z = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x + y + z = 1$

Câu 34: Nhận biết

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Điểm $M$ xác định bởi công thức $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$M \equiv G$
B.
$M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$
C.
$G$ là trung điểm của $AM$
D.
$M$ là trung điểm của $AG$

Do G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AG}$

Vậy mệnh đề đúng là “ $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$ ”.

Câu 35: Thông hiểu

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ CÓ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'} = k.\overrightarrow{AC'}$ . Giá trị của $k$ bằng:

A.
$3$
B.
$0$
C.
$2$
D.
$1$

Ta có: $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'}$

Vậy $k = 1$ .

Câu 36: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho vectơ $\overrightarrow{OM}$ có độ dài $\left| \overrightarrow{OM} ight| = 1$ , gọi $\alpha;\beta;\gamma$ lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ trên ba trục $Ox;Oy;Oz$ và vectơ $\overrightarrow{OM}$ . Khi đó tọa độ điểm $M$ là:

A.
$M\left(\sin\beta\cos\alpha;\sin\alpha\cos\beta;cos\gammaight)$
B.
$M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$
C.
$M\left( \sin\alpha;\sin\beta;\sin\gammaight)$
D.
$M\left(\sin\alpha\cos\alpha;\sin\beta\cos\beta;\sin\gamma\cos\gammaight)$

Gọi $M(x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{OM} = (x;y;z)$ và $\overrightarrow{i} = (1;0;0),\overrightarrow{j} = (0;1;0),\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

$\left\{ \begin{matrix}\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{i}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{i} ight|} = x \\\cos\beta = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{j}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = y \\\cos\gamma = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{k}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{k} ight|} = z \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$

Câu 37: Vận dụng cao

Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy các điểm $A';B';C'$ lần lượt thuộc các tia $SA;SB;SC$ sao cho $\frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} = b;\frac{SC}{SC'} = c$ trong đó $a;b;c$ là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?

A.
$a + b + c = 3$
B.
$a + b + c = 4$
C.
$a + b + c = 2$
D.
$a + b + c = 1$

Hình vẽ minh họa

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

Khi đó $3\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{0}$ mà $\overrightarrow{SA} = a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} = b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} = c\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $3\overrightarrow{SG} = a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} + c\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}$

Vì mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ suy ra $\overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'}$ đồng phẳng.

Do đó tồn tại ba số $l;m;n$ sao cho $l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0$ ) và $l\overrightarrow{GA'} + m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow l\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) = \overrightarrow{0}$ s

$\Leftrightarrow (l + m + n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} + m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $\frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m + n} = 1$

$\Rightarrow a + b + c = 3$

Câu 38: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Vì $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ nên $A(3;0; - 1)$ .

b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2)$ .

Vì $4:2:4 eq - 2:4:2$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương suy ra $A,B,C$ không thẳng hàng.

c) Đúng

Vì $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $D( - 5;4;7)$ .

Do đó $a = - 5,b = 4,c = 7$ . Vậy $a + b + c = 6$ .

d) Đúng. Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.$

$MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$=(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$

Do $IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$ không thay đổi nên $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất hay $M$ là hình chiếu của điểm $I$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Do đó $M(1;2;0)$ suy ra $m=1,n=2,p=0$ .

Vậy $2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0$ .

Câu 39: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (1;1;0)$ , $\overrightarrow{b} = (2; - 1; - 2)$ và $\overrightarrow{c} = ( - 3;0;2)$ . Chọn mệnh đề đúng?

A.
$\overrightarrow{a}.\left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight) = 0$
B.
$2\left| \overrightarrow{a} ight| + \left| \overrightarrow{b} ight| = \left| \overrightarrow{c} ight|$
C.
$2\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
D.
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$