Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Gọi O là tâm của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Theo quy tắc hình hộp ta có: \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}

    O là trung điểm của AC' suy ra \overrightarrow{AO} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{AC'} = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}
ight)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz , cho vectơ \overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; -
5;7). Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ của điểm A(2; - 1;5). Đúng||Sai

    b) Gọi C(a;b;c) thỏa mãn ∆ABC nhận G(1;1;1) làm trọng tâm. Khi đó a + b +
c = - 4 . Đúng||Sai

    c) Nếu A;B;M(x;y;1) thẳng hàng thì tổng x + y = 3 . Đúng||Sai

    d) Cho N \in (Oxy) để ∆ABN vuông cân tại A. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz , cho vectơ \overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; -
5;7). Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ của điểm A(2; - 1;5). Đúng||Sai

    b) Gọi C(a;b;c) thỏa mãn ∆ABC nhận G(1;1;1) làm trọng tâm. Khi đó a + b +
c = - 4 . Đúng||Sai

    c) Nếu A;B;M(x;y;1) thẳng hàng thì tổng x + y = 3 . Đúng||Sai

    d) Cho N \in (Oxy) để ∆ABN vuông cân tại A. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

    a) Ta có:

    Tọa độ của điểm A(2; - 1;5).

    b) G là trọng tâm tam giác ABC

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{2 + 5 + x_{C}}{3} \\1 = \dfrac{- 1 - 5 + y_{C}}{3} \\1 = \dfrac{5 + 7 + x_{C}}{3} \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{C} = - 4 \\y_{C} = 9 \\x_{C} = - 9 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow C( - 4;9; - 9)

    \Rightarrow a + b + c = - 4

    c) Ta có: \overrightarrow{AB} = (3; -
4;2);\overrightarrow{AC} = (x - 2;y + 1; - 4)

    Ba điểm A, B, M thằng hàng khi và chỉ khi

    \overrightarrow{AM} =
k\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 2 = 3k \\
y + 1 = k.( - 4) \\
- 4 = k.2 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 4 \\
y = 7 \\
k = - 2 \\
\end{matrix} ight.

    Suy ra x + y = 3

    d) Ta có: N \in (Oxy) \Rightarrow N =
(x;y;0)

    \Rightarrow \overrightarrow{AN} = (x -
2;y + 1; - 5),\overrightarrow{AB} = (3; - 4;2)

    Ta có ∆ABN vuông cân tại A \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
AN\bot AB(*) \\
AN = AB(**) \\
\end{matrix} ight.

    Từ (*) \Leftrightarrow
\overrightarrow{AN}\bot\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow 3(x - 2) -
4(y + 1) - 10 = 0

    \Leftrightarrow 3x - 4y = 20
\Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x - 5

    Từ (**) AN^{2} = AB^{2} \Leftrightarrow
(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + 25 = 9 + 16 + 4

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + \left(
\frac{3x}{4} - 4 ight)^{2} = 4 \Leftrightarrow x =
\frac{16}{5}

    \Rightarrow y = - \frac{13}{5}
\Rightarrow N\left( \frac{16}{5}; - \frac{13}{5};0 ight)

    Vậy x_{N} + y_{N} =
\frac{3}{5}

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc 80^{0} và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc 60^{0} và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 124 N

    Đáp án là:

    Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc 80^{0} và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc 60^{0} và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 124 N

    Gọi hai lực tạo với nhau một góc 80^{\circ}\overrightarrow{F_{1}}\overrightarrow{F_{2}}, ta có \left| \overrightarrow{F_{1}} ight| = \left|
\overrightarrow{F_{2}} ight| = 50N.

    Lực còn lại là \overrightarrow{F_{3}}, ta có \left| \overrightarrow{F_{3}} ight| =
60N.

    Gọi \overrightarrow{F} là hợp lực của ba lực trên ta có

    \left| \overrightarrow{F} ight|^{2} =
\left( \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} +
\overrightarrow{F_{3}} ight)^{2}

    = \left| \overrightarrow{F_{1}}
ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{2}} ight|^{2} + \left|
\overrightarrow{F_{3}} ight|^{2} + 2\lbrack\left|
\overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}}
ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}}
ight)

    + \left| \overrightarrow{F_{1}}
ight|.\left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.cos\left(
\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{3}} ight) + \left|
\overrightarrow{F_{3}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}}
ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{3}},\overrightarrow{F_{2}}
ight)brack

    = 50^{2} + 50^{2} + 60^{2} + 2\lbrack
50.50.cos80^{0}+ 50.60.cos60^{0} +
60.50.cos60^{0}brack \approx 15468.

    \Rightarrow |F| \approx 124 N

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} -
2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j}. Tìm tọa độ của \overrightarrow{u} là.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{i} = (1;0;0) \\
\overrightarrow{k} = (0;0;1) \\
\overrightarrow{j} = (0;1;0) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \overrightarrow{u} =
\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j} = (1;1; -
2)

  • Câu 5: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD vuông tại AB. Biết rằng tọa độ các điểm A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c) và hình thang ABCD có diện tích bằng 6\sqrt{2}. Tính giá trị biểu thức a+b+c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang ABCD vuông tại AB. Biết rằng tọa độ các điểm A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c) và hình thang ABCD có diện tích bằng 6\sqrt{2}. Tính giá trị biểu thức a+b+c?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (Oyz)?

    Ta có: A(x;y;z) \in (Oyz) \Rightarrow x =
0 nên điểm cần tìm là Q(0;4; -
1).

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tọa độ các điểm B( - 1;2;1),B'( -
2;1;0),C'(5;3;2). Xác định tọa độ điểm C?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi tọa độ điểm C(x;y;z)

    ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên

    \overrightarrow{CC'} =
\overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
5 - x = - 2 - ( - 1) \\
3 - y = 1 - 2 \\
2 - z = 0 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 6 \\
y = 4 \\
z = 3 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ C(6;4;3).

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian cho tứ diện ABCD, gọi M;N lần lượt là trung điểm của AD;BC. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    M;N lần lượt là trung điểm của AD;BC suy ra \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{DC} ight) \\
\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BD} +
\overrightarrow{AC} ight) \\
\end{matrix} ight.

    Xét các phương án như sau:

    \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng đúng vì \overrightarrow{MN} =
\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}
ight)

    \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN} không đồng phẳng đúng vì MN không nằm trong (ABC)

    \overrightarrow{AN};\overrightarrow{CM};\overrightarrow{MN} đồng phẳng sai vì AN không nằm trong (MNC)

    \overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng đúng vì \overrightarrow{MN} =
\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC}
ight).

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (2;1;0)\overrightarrow{b} = ( - 1;0; -
2). Tính \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)?

    Ta có: \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) =
\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a}
ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{-
2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ \overrightarrow{a} = (2;3;1),\overrightarrow{b} =
( - 1;5;2),\overrightarrow{c} = (4; - 1;3),\overrightarrow{x} = ( -
3;22;5). Đẳng thức nào dưới đây đúng?

    Đặt \overrightarrow{x} =
m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c};\left(
m;n;p\mathbb{\in R} ight)

    \Rightarrow ( - 3;22;5) = m(2;3;1) + n(
- 1;5;2) + p(4; - 1;3)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
2m - m + 4p = - 3 \\
3m + 5m - p = 22 \\
m + 2m + 3p = 5 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = 2 \\
n = 3 \\
p = - 1 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy \overrightarrow{x} =
2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} là đẳng thức đúng.

  • Câu 11: Thông hiểu

    ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm I(3;4;5)là tâm của nguồn phát âm với bán kính 10\ m. Để kiểm tra một điểm ở vị trí\ M(7;10;17) có nhận được cường độ âm phát ra tại I hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí IM. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí IMlà bao nhiêu mét?

    Đáp án: 14 (m)

    Đáp án là:

    ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm I(3;4;5)là tâm của nguồn phát âm với bán kính 10\ m. Để kiểm tra một điểm ở vị trí\ M(7;10;17) có nhận được cường độ âm phát ra tại I hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí IM. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí IMlà bao nhiêu mét?

    Đáp án: 14 (m)

    Ta có

    IM = \sqrt{(7 - 3)^{2} + (10 - 4)^{2} +
(17 - 5)^{2}}

    = \sqrt{4^{2} + 6^{2} + 12^{2}} =
\sqrt{196} = 14 (m).

    Đáp số 14(m).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5). Biết \widehat{ABC} = a^{0} trong đó a là số nguyên dương. Tìm a?

    Đáp án: 135

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5). Biết \widehat{ABC} = a^{0} trong đó a là số nguyên dương. Tìm a?

    Đáp án: 135

    Ta có \overrightarrow{BA} =
(0;1;0),\overrightarrow{BC} = (1; - 1;0).

    Suy ra \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = -
1,\left| \overrightarrow{BA} ight| = 1,\left| \overrightarrow{BC}
ight| = \sqrt{2}.

    \cos\widehat{ABC} =
\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{\left|
\overrightarrow{BA} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|} = -
\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \widehat{ABC} = 135^{0}.

    Vậy a = 135

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxy)(Oyz) bằng:

    Ta có: góc giữa hai mặt phẳng (Oxy)(Oyz) bằng: 90^{0}.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0; - 1;1),B( - 2;1; - 1),C( - 1;3;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BA} =
\overrightarrow{CD}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x + 1 = 2 \\
y - 3 = - 2 \\
z - 2 = 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 1 \\
z = 4 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(1;1;4)

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 1; - 1;3), B(0;2;0) C(5; - 2;1). Điểm D(a;b;c) sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Tính S = a + b + c?

    Đáp án: 3

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 1; - 1;3), B(0;2;0) C(5; - 2;1). Điểm D(a;b;c) sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Tính S = a + b + c?

    Đáp án: 3

    Gọi D = (x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{DC} = (5 - x; - 2 -
y;1 - z)

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (1;3; -
3)

    ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
5 - x = 1 \\
- 2 - y = 3 \\
1 - z = - 3 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 4 \\
y = - 5 \\
z = 4 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow D(4; - 5;4).

    Vậy S = a + b + c = 3.

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (1; - 2;3)\overrightarrow{b} = ( - 2;1;2). Xác định tích vô hướng \left( \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b}?

    Ta có: \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} = ( - 1; - 1;5) nên \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
ight).\overrightarrow{b} = - 1.( - 2) + ( - 1).1 + 5.2 =
11

  • Câu 17: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -
3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Tìm tọa độ điểm C'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +
0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =
10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} +
4.\overrightarrow{k}A( -
3;0;0)

    \Rightarrow C'(7;4;4)

    Suy ra C'(7;4;4)

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M;N lần lượt là trung điểm các cạnh AC;BD, G là trọng tâm của tứ diện ABCDO là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị của k thỏa mãn đẳng thức k.\left( \overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} ight)
= \overrightarrow{OG}?

    Vì G là trọng tâm tứ diện nên

    \overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left(
\overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left(
\overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left(
\overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left(
\overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OD} ight) =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{GO} +
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +
\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} =
4\overrightarrow{OG}

    \Leftrightarrow k = \dfrac{1}{4}.

  • Câu 19: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCDAB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức T = \left|
\frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} +
\frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight|?

    Vì các vectơ \frac{\overrightarrow{AB}}{AB};\frac{\overrightarrow{AC}}{AC};\frac{\overrightarrow{AD}}{AD} có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên

    \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} +
\frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD}
ight)^{2} = 3 \Leftrightarrow T = \left|
\frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} +
\frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight| = \sqrt{3}

  • Câu 20: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; -
1;1),C'(4;5; - 5). Tìm tọa độ điểm A'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC'}

    \Rightarrow \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} -
\overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (1;1;1) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}
+ \overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AD} = (0; - 1;0) = 0.\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6) = 3.\overrightarrow{i} +
5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \\
\end{matrix} ight. do đó \Rightarrow \overrightarrow{AA'} =
2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} hay \overrightarrow{AA'} = (3;5; -
6)

    Suy ra A'(3;5; - 6)

  • Câu 21: Nhận biết

    Điều kiện cần và đủ để ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} không đồng phẳng là:

    Ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho  A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1), khi đó tọa độ điểm B là:

    Gọi B(x;y;z) ta có:

    A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1) khi đó \left\{\begin{matrix}x - 1 = 1 \\y - 2 = 3 \\z + 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = 5 \\z = 0 \\\end{matrix} ight. nên tọa độ điểm cần tìm là B(2;5;0).

  • Câu 23: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} =
(1;2;1);\overrightarrow{b} = ( - 1;3;0). Vectơ \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} có tọa độ là:

    Ta có: 2\overrightarrow{a} =
(2;4;2). Khi đó \overrightarrow{c}
= 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left( 2 + ( - 1);4 + 3;2 +
0 ight) = (1;7;2)

    Vậy \overrightarrow{c} =
(1;7;2)

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2;2;1),N\left( -
\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight). Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMN là:

    Ta có bài toán sau

    Trong tam giác ABC, gọi I là tâm đường nội tiếp tam giác ABC ta có: a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB}
+ c\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0} với BC = a;AC = b;AB = c

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A’ là chân đường phân giác kẻ từ A

    \Rightarrow \overrightarrow{BA} =
\frac{c}{b}\overrightarrow{A'C} \Leftrightarrow
b\overrightarrow{BA'} + c\overrightarrow{CA'} =
\overrightarrow{0}\ \ \ (1)

    \overrightarrow{IA} =\dfrac{c}{A'B}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{c}{\dfrac{ac}{b +c}}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{b +c}{a}\overrightarrow{A'I}

    \Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} +
(b + c)\overrightarrow{IA'} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} +
b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} + b\overrightarrow{BA'}
+ c\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} +
b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} =
\overrightarrow{0}

    Áp dụng công thức trong tam giác OMN ta có:

    OM.\overrightarrow{IN} +
ON.\overrightarrow{IM} + MN.\overrightarrow{IO} =
\overrightarrow{0}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{OM.x_{n} + ON.x_{M} + MN.x_{O}}{OM + ON + MN} = 0 \\y_{I} = \dfrac{OM.y_{n} + ON.y_{M} + MN.y_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\z_{I} = \dfrac{OM.z_{n} + ON.z_{M} + MN.z_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow I(0;1;1)

    Vậy đáp án cần tìm là (0;1;1)

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCDAC = \frac{3}{2}AD;\widehat{CAB} = \widehat{DAB} =
60^{0};CD = AD. Gọi \varphi là góc giữa ABCD. Chọn khẳng định đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \cos(AB;CD) = \frac{\left|
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} ight|}{\left|
\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{CD} ight|} =
\frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}
ight|}{AB.CD}

    Mặt khác \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} =
\overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}
ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} -
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}

    = \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)

    = AB.AD.\frac{1}{2} -
AB.\frac{3}{2}.AD.\frac{1}{2} = - \frac{1}{4}AB.AD = -
\frac{1}{4}AB.CD

    Do đó: \cos(AB;CD) = \frac{\left| -\dfrac{1}{4}AB.CD ight|}{AB.CD} = \dfrac{1}{4}

    Vậy \cos\varphi =
\frac{1}{4}

  • Câu 26: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;1;4),B( - 2;2;6),C(6;0; -
1). Tích \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} bằng:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = ( - 4;1; - 10) \\
\overrightarrow{AC} = (4; - 1; - 5) \\
\end{matrix} ight.. Khi đó \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =
33.

  • Câu 27: Vận dụng

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(1000;600;14) đến điểm N trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng Q(1400;800;16). Xác định tọa độ vị trí điểm N. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

    Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(1000;600;14) đến điểm N trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng Q(1400;800;16). Xác định tọa độ vị trí điểm N. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

    Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

    Gọi N(x;y;z) là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.

    \overrightarrow{MQ} =
(400;200;2).

    \overrightarrow{NQ} = (1400 - x;800 -
y;16 - z).

    Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên \overrightarrow{MQ}\overrightarrow{NQ} cùng hướng.

    Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ M đến Q gấp 4 lần thời gian bay từ N đến Q nên MQ =
4NQ.

    Suy ra: \overrightarrow{MQ} =
4\overrightarrow{NQ}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
400 = 4(1400 - x) \\
200 = 4(800 - y) \\
2 = 4(16 - z) \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1300 \\
y = 750 \\
z = 15,5 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow N(1300;750;15,5)

  • Câu 28: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    a) Đúng: Vì \overrightarrow{OA} =
3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k} nên A(3;0; - 1).

    b) Sai: Ta có \overrightarrow{AB} =
(4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2).

    4:2:4 eq - 2:4:2 nên \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} không cùng phương suy ra A,B,C không thẳng hàng.

    c) Đúng

    D là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AD.

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\
y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\
z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\
\end{matrix} ight. suy ra D( -
5;4;7).

    Do đó a = - 5,b = 4,c = 7. Vậy a + b + c = 6.

    d) Đúng. Gọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} =
\overrightarrow{0}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\
0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\
- 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\
\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 2 \\
z = 1 \\
\end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.

    MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}

    =(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}

    Do IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} không thay đổi nên MA^{2} + MB^{2} +
MC^{2} nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (Oxy).

    Do đó M(1;2;0) suy ra m=1,n=2,p=0.

    Vậy 2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 =
0.

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hai điểm phân biệt A;B và một điểm O bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Mệnh đề đúng: “Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi \overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 -
k).\overrightarrow{OB}”.

  • Câu 30: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} -
\overrightarrow{AN}\frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} -
\overrightarrow{AN}\frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

     

    a) Sai

     

    Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD

    Suy ra hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

    b) Sai

    Ta có ABCD là hình chữ nhật nên AC =
\sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}

    Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

    Suy ra \tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC}
= \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx
41^{0}48'

    Ta có: \left(
\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left(
\overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx
41^{0}48'

    c) Đúng

    Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

    Suy ra SB = \sqrt{SA^{2} +
AB^{2}} = a\sqrt{5}

    Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

    AM = \frac{1}{2}SB =
\frac{a\sqrt{5}}{2}

    Lại có M là trung điểm của SB nên MB =
\frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Ta tính được \cos MAB = \frac{MA^{2} +
AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}

    \left(
\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) =
\widehat{MAB}

    \Rightarrow
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM}
ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left(
\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) =
\frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}

    d) Sai

    Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

    Do đó MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} +
AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Suy ra \left| \overrightarrow{AM} -
\overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| =
\frac{a\sqrt{5}}{2}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho \left| \overrightarrow{a} ight| =
3;\left| \overrightarrow{b} ight| = 5, góc giữa \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} bằng 120^{0}. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

    Ta có: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left|
\overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|\cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 3.5.cos120^{0} = -
\frac{15}{2}

    Khi đó:

    \left( \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} +
2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + {\overrightarrow{b}}^{2} = 9 -
15 + 25 = 19

    \left( \overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} -
2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + {\overrightarrow{b}}^{2} = 9 +
15 + 25 = 49

    \left( \overrightarrow{a} -
2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} -
4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2} = 9 +
30 + 100 = 139

    \left( \overrightarrow{a} +
2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} +
4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2} = 9 -
30 + 100 = 79

    Vậy khẳng định sai là \left| \overrightarrow{a} +
2\overrightarrow{b} ight| = 9.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u}\overrightarrow{v} tạo với nhau một góc 120^{0}. Biết rằng \left| \overrightarrow{u} ight| = 2;\left|
\overrightarrow{v} ight| = 5, tính \left| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}
ight|?

    Ta có: \left( \left| \overrightarrow{u} +
\overrightarrow{v} ight| ight)^{2} = \left( \overrightarrow{u} +
\overrightarrow{v} ight)^{2} = {\overrightarrow{u}}^{2} +
2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} +
{\overrightarrow{v}}^{2}

    = \left| \overrightarrow{u} ight|^{2}
+ 2\left| \overrightarrow{u} ight|.\left| \overrightarrow{v}
ight|\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) + \left|
\overrightarrow{v} ight|^{2} = 2^{2} + 2.2.5.\left( - \frac{1}{2}
ight) + 5^{2} = 19

    \Rightarrow \left| \overrightarrow{u} +
\overrightarrow{v} ight| = \sqrt{19}

    Vậy đáp án đúng là: \left|
\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight| =
\sqrt{19}.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M,\ \ N lần lượt là trung điểm của A'D'C'D' Tích vô hướng \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} =
na^{2} (n là số thập phân). Giá trị của n bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

    Đáp án: -0,5||- 0,5

    Đáp án là:

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M,\ \ N lần lượt là trung điểm của A'D'C'D' Tích vô hướng \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} =
na^{2} (n là số thập phân). Giá trị của n bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

    Đáp án: -0,5||- 0,5

    Hình vẽ minh họa

    MN//A'C' nên \left( \overrightarrow{MN},\
\overrightarrow{C'B} ight) = \left(
\overrightarrow{A'C'},\ \overrightarrow{C'B} ight) =
180^{0} - \widehat{A'C'B} = 120^{0}

    Ta có: MN = \frac{a\sqrt{2}}{2},\ C'B
= a\sqrt{2}

    \Rightarrow
\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} =
|\overrightarrow{MN}|.\left| \overrightarrow{C'B} ight|.cos\left(
\overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{C'B} ight)

    =
\frac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}.cos120^{0} = - 0,5a^{2}

    Vậy n = - 0,5.

  • Câu 34: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(2;4;0),B(4;0;0),C( -
1;4;7),D'(6;8;10). Xác định tọa độ B’?

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử điểm D(a;b;c),B'(a';b';c')

    Gọi O = AC \cap BD \Rightarrow O\left(
\frac{1}{2};4; - \frac{7}{2} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - 3 \\
b = 8 \\
c = - 7 \\
\end{matrix} ight.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{DD'} = (9;0;17) \\
\overrightarrow{BB'} = (a' - 4;b';c') \\
\end{matrix} ight.. Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên \overrightarrow{DD'} =
\overrightarrow{BB'}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a' = 13 \\
b' = 0 \\
c' = 17 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow B'(13;0;17)

  • Câu 35: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \left( P_{1} ight):x +
2y - z - 5 = 0\left( P_{2}
ight): - 2x + y + z - 4 = 0

    a) Vectơ có tọa độ (1\ ;\ 2\ ;1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \left(
P_{1} ight). Sai||Đúng

    b) Vectơ có toạ độ ( - 2;\ 1\ ;\
1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \left( P_{2} ight). Đúng||Sai

    c) Côsin của góc giữa hai vectơ {\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\  -
1){\overrightarrow{n}}_{2} = (
- 2\ ;\ 1\ ;\ 1) bằng -
\frac{1}{6}. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai mặt phẳng \left( P_{1}
ight)\left( P_{2}
ight) bằng 100{^\circ}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \left( P_{1} ight):x +
2y - z - 5 = 0\left( P_{2}
ight): - 2x + y + z - 4 = 0

    a) Vectơ có tọa độ (1\ ;\ 2\ ;1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \left(
P_{1} ight). Sai||Đúng

    b) Vectơ có toạ độ ( - 2;\ 1\ ;\
1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \left( P_{2} ight). Đúng||Sai

    c) Côsin của góc giữa hai vectơ {\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\  -
1){\overrightarrow{n}}_{2} = (
- 2\ ;\ 1\ ;\ 1) bằng -
\frac{1}{6}. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai mặt phẳng \left( P_{1}
ight)\left( P_{2}
ight) bằng 100{^\circ}. Sai||Đúng

    a) \overrightarrow{n_{\left( P_{1}
ight)}} = (1;2; - 1) nên mệnh đề sai

    b) \overrightarrow{n_{\left( P_{1}
ight)}} = ( - 2;1;1) nên mệnh đề đúng

    c) \cos\left(
\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) = \frac{1.( - 2) +
2.1 + ( - 1)1}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = - \frac{1}{6} mệnh đề đúng

    d) Góc hai mặt phẳng không thể tù nên mệnh đề sai

  • Câu 36: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} +
4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k}. Tọa độ điểm A là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
3\overrightarrow{i} = (3;0;0) \\
4\overrightarrow{j} = (0;4;0) \\
5\overrightarrow{k} = (0;0;5) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \overrightarrow{OA} =
3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k}
\Rightarrow A(3;4; - 5)

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Phân tích vectơ \overrightarrow{AC'} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}?

    Ta có phép cộng vectơ đối với hình vuông ABCD: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{AC}

    Khi đó ta có: \overrightarrow{AC'} =
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm cạnh BC. Khi đó \cos(AB;DM) bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử cạnh tứ diện bằng a

    Tam giác BCD đều suy ra DM =
\frac{a\sqrt{3}}{2}

    Tam giác ABC đều suy ra AM =
\frac{a\sqrt{3}}{2}

    Ta có: \cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{\left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{DM} ight|} =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}

    Mặt khác \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM} =
\overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AD}
ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM} -
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}

    = \left| \overrightarrow{AB}
ight|.\left| \overrightarrow{AM} ight|.cos\left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} ight) - \left|
\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.cos\left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight)

    =
a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2} - a.a.\frac{1}{2} =
\frac{a^{2}}{4}

    \Rightarrow \cos\left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = \frac{\sqrt{3}}{6}
> 0

    \Rightarrow \left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = (AB;DM)

    \Rightarrow \cos(AB;DM) =
\frac{\sqrt{3}}{6}

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho tứ diện đều ABCD. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc

    Suy ra \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} =
\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} =
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} =
\overrightarrow{0}

    Vậy mệnh đề chưa chính xác là: \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} =
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} =
\overrightarrow{0}.

  • Câu 40: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1; - 1)B(2;3;2). Vectơ \overrightarrow{AB} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (2 - 1;3 - 1;2 +
1) = (1;2;3)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} =
(1;2;3).

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 91 lượt xem
Sắp xếp theo