Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Câu 1: Vận dụng

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Điểm $M$ được xác định bởi đẳng thức vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$M$ là tâm của mặt đáy $ABCD$ .
B.
$M$ là tâm của mặt đáy $A'B'C'D'$ .
C.
$M$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.
D.
Tập hợp điểm $M$ là đoạn thẳng nối hai tâm của mặt đáy.

Gọi $\left\{ \begin{matrix} O = AC \cap BD \\ O' = A'C' \cap B'D' \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$

$= \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OD} ight)$

$= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + 4\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0} + 4\overrightarrow{MO} = 4\overrightarrow{MO}$

Tương tự ta cũng có: $\overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = 4\overrightarrow{MO'}$

Từ đó suy ra

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MO} + 4\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 4\left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} ight) = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0}$

Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của $OO'$ .

Câu 2: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ . Biết rằng tọa độ các điểm $A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c)$ và hình thang $ABCD$ có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Tính giá trị biểu thức $a+b+c$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ . Biết rằng tọa độ các điểm $A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c)$ và hình thang $ABCD$ có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Tính giá trị biểu thức $a+b+c$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 3: Thông hiểu

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4)$ . Gọi $\overrightarrow{x}$ là vectơ thoả mãn: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\ \end{matrix} ight.$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{x}$ là:

A.
$(2; 3 ; 1)$ .
B.
$(2;3; - 2)$ .
C.
$(3;2; - 2)$ .
D.
$(1;3;2)$ .

Đặt $\overrightarrow{x} = (a;b;c)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - b + 3c = - 5 \\a - 3b + 2c = - 11 \\3a + 2b - 4c = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 3 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Vậy $\overrightarrow{x} = (2;3; - 2)$ .

Câu 4: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = (1;3;m)$ . Xác định giá trị tham số $m$ để $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0}$ ?

A.
$m = - 5$
B.
$m = 5$
C.
$m = 1$
D.
$m = - 2$

Ta có: $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow 5 - m = 0 \Leftrightarrow m = 5$

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.

Câu 5: Thông hiểu

Cho tứ diện $SABC$ có $SA = SB = SC = AB = AC = a$ và $BC = a\sqrt{2}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $SC$ và $AB$ ?

A.
$30^{0}$
B.
$60^{0}$
C.
$45^{0}$
D.
$90^{0}$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left(\overrightarrow{SA};\overrightarrow{AB} ight) = 120^{0}$ ; $AC^{2} + AB^{2} = BC^{2}$ suy ra $AC\bot AB$ . Ta có:

$\cos\left(\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB} ight) =\frac{\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{SC} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|} =\frac{\left( \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC}ight).\overrightarrow{AB}}{\left| \overrightarrow{SC} ight|.\left|\overrightarrow{AB} ight|}$

$=\dfrac{\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}}{a^{2}} = \dfrac{-\dfrac{a^{2}}{2} + 0}{a^{2}} = - \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AB} ight) = 120^{0}$ . Vậy góc giữa hai đường thẳng cần tìm là $180^{0}- 120^{0} = 60^{0}$

Câu 6: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?

A.
$D(2;0;0)$
B.
$D(1;1;1)$
C.
$D(0;0;1)$
D.
$D(0;2;1)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = - 1 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(0;0;1)$ .

Câu 7: Nhận biết

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.
Ba vectơ đồng phẳng thì có giá song song với nhau.
B.
Ba vectơ đồng phẳng thì có giá nằm trong một mặt phẳng.
C.
Nếu ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
D.
Nếu giá của ba vectơ đôi một vuông góc thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Câu 8: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 4;3)$ và $B(2;2;7)$ . Trung điểm $M$ của $AB$ có tọa độ là:

A.
$(4; - 2;10)$
B.
$(1;3;2)$
C.
$(2;6;4)$
D.
$(2; - 1;5)$

Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2; - 1;5)$

Vậy đáp án đúng là: $(2; - 1;5)$ .

Câu 9: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2)$ . Có tất cả bao nhiêu điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $M eq A,M eq B,M eq C$ và $\widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2)$ . Có tất cả bao nhiêu điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $M eq A,M eq B,M eq C$ và $\widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 10: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 4;3)$ và $B(2;2;7)$ . Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là:

A.
$(1;3;2)$
B.
$(2; - 1;5)$
C.
$(2; - 1; - 5)$
D.
$(2;6;4)$

Gọi $M\left( x_{M};y_{M};z_{M} ight)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = \dfrac{2 + 2}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{- 4 + 2}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = \dfrac{3 + 7}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2; - 1;5)$

Vậy tọa độ trung điểm của AB là: $(2; - 1;5)$ .

Câu 11: Nhận biết

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ ?

A.
$45^{0}$
B.
$90^{0}$
C.
$30^{0}$
D.
$60^{0}$

Hình vẽ minh họa

Vì $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}$ ( $AEGC$ là hình chữ nhật) nên $\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{EG} ight) = \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \widehat{BAC} = 45^{0}$ ( $AEGC$ là hình vuông)

Câu 12: Vận dụng cao

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm $M$ thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm $M$ thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 13: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(2;1;2)$ , $N(4; 2; 1)$ , tọa độ điểm $P$ thuộc trục $Oz$ sao cho $M;N; P$ thẳng hàng là

A.
$P(0;0;3)$ .
B.
$P(0;0; - 3)$ .
C.
$P(3;0;0)$ .
D.
$P(0;3;0)$ .

Vì điểm $P$ thuộc trục $Oz$ nên $P$ có tọa độ $P(0;0;z)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN}(2;1; - 1)$ ; $\overrightarrow{NP}( - 4; - 2;z - 1)$

$M;\ N;\ P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{- 4}{2} = \frac{- 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} \Leftrightarrow z - 1 = 2 \Leftrightarrow z = 3$

Vậy điểm $P(0;0;3)$ .

Câu 14: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;3;1)$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - 8$
B.
$2\overrightarrow{a} = (2; - 4;0)$
C.
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;1; - 1)$
D.
$\left| \overrightarrow{b} ight| = \sqrt{11}$

Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;1;1)$ suy ra “ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;1; - 1)$ ” là khẳng định sai.

Câu 15: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1; - 1)$ và $B(2;3;2)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:

A.
$(1;2;3)$
B.
$( - 1; - 2;3)$
C.
$(3;5;1)$
D.
$(3;4;1)$

Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (2 - 1;3 - 1;2 + 1) = (1;2;3)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = (1;2;3)$ .

Câu 16: Thông hiểu

Tìm $m$ để góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u} = \left(1;\log_{3}5;\log_{m}2 ight),\overrightarrow{v} = \left( 3;\log_{5}3;4ight)$ là góc nhọn.

A.
$m > \frac{1}{2},m eq1$ .
B.
$m > 1$ .
C.
$0 < m < \frac{1}{2}$ .
D.
$m > 1$ hoặc $0 < m < \frac{1}{2}$ .

Để $\left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) < {90^0} \Rightarrow \cos \left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) > 0$

$\Rightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} > 0 \Leftrightarrow 3 +\log_{3}5.\log_{5}3 + 4\log_{m}2 > 0$

$\Leftrightarrow 4 + 4log_{m}2 > 0 \Leftrightarrow log_{m}2 > - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 1 \\ m < \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$ .

Kết hợp điều kiện $m > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m > 1} \\ {0 < m < \frac{1}{2}} \end{array}} ight.$

Câu 17: Nhận biết

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k}$ . Khi đó tọa độ $\overrightarrow{u}$ với hệ $Oxyz$ là:

A.
$(1;0;2)$
B.
$(0;2;1)$
C.
$(2;0;1)$
D.
$(2;1;0)$

Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

$\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (x;y;z)$

Lại có $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = (2;0;1)$

Câu 18: Nhận biết

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.
Nếu $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$ thì bốn điểm $A;B;C;D$ đồng phẳng.
B.
Tam giác $ABC$ có $I$ là trung điểm cạnh $BC$ thì ta có: $2\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ .
C.
Vì $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$ nên suy ra $B$ là trung điểm cạnh $AC$ .
D.
Vì $\overrightarrow{AB} = - 2\overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{AD}$ nên bốn điểm $A;B;C;D$ đồng phẳng.

Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$ đúng với mọi điểm $A;B;C;D$ nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng.

Câu 19: Thông hiểu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông $ABCD$ , $B(3;0;8),D( - 5; - 4;0)$ . Biết đỉnh $A$ thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} ight|$ bằng:

A.
$6\sqrt{10}$
B.
$10\sqrt{6}$ .
C.
$10\sqrt{5}$ .
D.
$5\sqrt{10}$ .

Ta có trung điểm BD là $I( - 1; - 2;4),BD = 12$ và điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên $A(a;b;0)$ . Lại có: ABCD là hình vuông $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB^{2} = AD^{2} \\ AI^{2} = \left( \frac{1}{2}BD ight)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 3)^{2} + b^{2} + 8^{2} = (a + 5)^{2} + (b + 4)^{2} \\ (a + 1)^{2} + (b + 2)^{2} + 4^{2} = 36 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 4 - 2a \\ (a + 1)^{2} + (6 - 2a)^{2} = 20 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a = \frac{17}{5} \\b = \dfrac{- 14}{5} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}A(1;2;0)(tm) \\A\left( \dfrac{17}{5};\dfrac{- 14}{5};0 ight)(ktm) \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow A(1;2;0) \Rightarrow C( - 3; - 6;8) \Rightarrow \overrightarrow{CA} = (4;8; - 8);\overrightarrow{CB} = (6;6;0)$

$\Rightarrow \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = (10;14; - 8) \Rightarrow \left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} ight| = 6\sqrt{10}$

Câu 20: Thông hiểu

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Gọi $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của $A'D'$ và $C'D'$ Tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} = na^{2}$ ( $n$ là số thập phân). Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án: -0,5||- 0,5

Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a.$ Gọi $M,\ \ N$ lần lượt là trung điểm của $A'D'$ và $C'D'$ Tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} = na^{2}$ ( $n$ là số thập phân). Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

Đáp án: -0,5||- 0,5

Hình vẽ minh họa

Vì $MN//A'C'$ nên $\left( \overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{C'B} ight) = \left( \overrightarrow{A'C'},\ \overrightarrow{C'B} ight) = 180^{0} - \widehat{A'C'B} = 120^{0}$

Ta có: $MN = \frac{a\sqrt{2}}{2},\ C'B = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} = |\overrightarrow{MN}|.\left| \overrightarrow{C'B} ight|.cos\left( \overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{C'B} ight)$

$= \frac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}.cos120^{0} = - 0,5a^{2}$

Vậy $n = - 0,5.$

Câu 21: Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án: 3,16

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình hộp chữ nhật $ABCD.\A'B'C'D'$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$ Biết rằng $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ với $m$ , $n$ là các số dương và $m + n = 4$ . Tính thể tích lớn nhất của tứ diện $ACB'D'$ ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án: 3,16

Hình vẽ minh họa

Ta có: $A(0;\ 0;\ 0)$ , $B(m;\ 0;\ 0)$ , $D(0;\ m;\ 0)$ , $A'(0;\ 0;\ n)$ nên $\overrightarrow{AB} = (m;0;0)$

⇒ $AB = m$ (do $m;n > 0$ ); $AD = m$ ; $AA' = n$ .

Mà $V_{ACB'D'} =\frac{1}{3}V_{ABCD.A'B'C'D'} =\frac{1}{3}.m.m.n$

⇒ $V_{ACB'D'} = \frac{1}{3}.m.m.n =\frac{1}{3}m^{2}(4 - m)$ .

Xét hàm số $f(m) = \frac{1}{3}m^{2}(4 - m)= - \frac{1}{3}m^{3} + \frac{4}{3}m^{2}$ trên $(0;4)$

$f'(m) = - m^{2} + \frac{8}{3}m =0$ ⇒ $\left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = \frac{8}{3} \\\end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên:

Vậy $MaxV_{ACB'D'} =\frac{256}{81} \simeq 3,16$ .

Câu 22: Vận dụng

Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ và $P$ là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{PI} = k.\left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} ight)$ ?

A.
$k = 2$
B.
$k = \frac{1}{4}$
C.
$k = 4$
D.
$k = \frac{1}{2}$

Hình vẽ minh họa

Vì $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ nên ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM} \\ \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = 2\overrightarrow{IN} \\ \end{matrix} ight.$ .

Mặt khác $\overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0}$ (vì I là trung điểm của MN) suy ra $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$

Theo bài ra ta có:

$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD}$

$= 4\overrightarrow{PI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{PI}$

$\Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4}$

Câu 23: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:

A.
$D(1;8; - 2)$
B.
$D(11;2;2)$
C.
$D(1;8;2)$
D.
$D(11;2; - 2)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6 - x = 3 + 2 \\ 5 - y = 0 - 3 \\ - z = - 1 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 8 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;8;2)$ .

Câu 24: Thông hiểu

Trong không gian cho điểm $O$ và bốn điểm $A;B;C;D$ không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để $A;B;C;D$ tạo thành hình bình hành là:

A.
$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$
B.
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$
C.
$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$
D.
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$

Để $A;B;C;D$ tạo thành hình bình thành thì $\left\lbrack \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \\ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó:

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ , O là trọng tâm tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD. (Loại).

$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{CA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$ (Loại)

$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$ (loại)

Vậy đáp án cần tìm là $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$ .

Câu 25: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ điểm $M$ là:

A.
$M( - 2; - 3;1)$
B.
$M(2; - 3;1)$
C.
$M(2; - 1;3)$
D.
$M(2;3;1)$

Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ $M(2; - 3;1)$ .

Câu 26: Thông hiểu

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}$ ?

A.
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = \frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$
B.
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = a^{2}$
C.
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = a^{2}\sqrt{2}$
D.
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = 2a^{2}$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{B'C'}$ nên $\left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight) = \left( \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} ight) = \widehat{CAD} = 45^{0}$

Suy ra $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}= \left| \overrightarrow{AC} ight|.\left|\overrightarrow{B'C'} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight)$

$=a\sqrt{2}.a.\cos45^{0} =a^{2}$

Câu 27: Thông hiểu

Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.

A.
(0;435;0).
B.
(455;0;0).
C.
(0;455;0).
D.
(435;0;0).

Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:

$S = v.t = 890.\frac{1}{2} = 445\ \ (km).$

Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).

Câu 28: Vận dụng

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

a) Sai

Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $( - 1,5\ ;\ - 1\ ;\ 0,5)$ .

b) Đúng

Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là $(2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7)$ .

Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

$\sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} + (0,7 + 0,5)^{2}}$

$= \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx 4,6(km)$

c) Sai

Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

$\sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} = \frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)$

Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

$\sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} + 0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)$

Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

d) Đúng

Vị trí của chiếc flycam là

$\left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 - 1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\ 0,6)$ .

Khoảng cách bay của flycam là:

$\sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} = \frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)$

Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ là

$\sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)$

Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ .

Câu 29: Nhận biết

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(3; - 2;5)$ . Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là:

A.
$(3;0;5)$ .
B.
$(3; - 2;0)$ .
C.
$(0; - 2;5)$ .
D.
$(0;2;5)$ .

Hình chiếu vuông góc của điểm $A(3; - 2;5)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là điểm có tọa độ $(3;0;5)$ .

Câu 30: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Vì $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ nên $A(3;0; - 1)$ .

b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2)$ .

Vì $4:2:4 eq - 2:4:2$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương suy ra $A,B,C$ không thẳng hàng.

c) Đúng

Vì $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $D( - 5;4;7)$ .

Do đó $a = - 5,b = 4,c = 7$ . Vậy $a + b + c = 6$ .

d) Đúng. Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.$

$MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$=(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$

Do $IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$ không thay đổi nên $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất hay $M$ là hình chiếu của điểm $I$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Do đó $M(1;2;0)$ suy ra $m=1,n=2,p=0$ .

Vậy $2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0$ .

Câu 31: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Giả sử điểm $C'(a;b;c)$ . Tính giá trị biểu thức $T=a+b+2c$ ?

A.
$T=0$
B.
$T=25$
C.
$T=12$
D. $T=-11$

Gọi điểm $C'(x;y;z)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.$

Mà $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C'(13;4;4)$ suy ra $a=13;b=4;c=4$

Vậy $T=25$

Câu 32: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2; - 1;5),B(5; - 5;7),M(x;y;1)$ . Với giá trị nào của $x;y$ thì ba điểm đã cho thẳng hàng?

A.
$x = 4;y = 7$
B.
$x = - 4;y = - 7$
C.
$x = 4;y = - 7$
D.
$x = - 4;y = 7$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3; - 4;2) \\ \overrightarrow{AM} = (x - 2;y + 1; - 4) \\ \end{matrix} ight.$

Vì ba điểm A; B; M thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{- 4}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 7 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là $x = - 4;y = 7$ .

Câu 33: Thông hiểu

Cho tứ diện đều $ABCD$ với $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $CI;AJ$ ?

A.
$\frac{2}{3}$
B.
$- \frac{2}{3}$
C.
$\frac{1}{3}$
D.
$\frac{1}{6}$

Hình vẽ minh họa

Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} = \frac{a^{2}}{2}$

Ta có: $\overrightarrow{AJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{CI} = \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$

Do đó: $\overrightarrow{CI}.\overrightarrow{AJ} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC} ight)\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight) = - \frac{1}{2}a^{2}$

Ta lại có $AJ = CI = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ suy ra $\cos\left( \overrightarrow{CI};\overrightarrow{AJ} ight) = - \frac{2}{3}$

Vậy đáp án cần tìm là $\frac{2}{3}$ .

Câu 34: Nhận biết

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DH}$ ?

A.
$45^{0}$
B.
$90^{0}$
C.
$120^{0}$
D.
$60^{0}$

Hình vẽ minh họa

Vì $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}$ ( $ADHE$ là hình vuông) nên $\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DH} ight) = \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE} ight) = \widehat{BAE} = 90^{0}$

Câu 35: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ hai điểm $A(3;0;0),B(0;0;4)$ . Tính chu vi tam giác $OAB$ ?

A.
$14$
B.
$7$
C.
$6$
D.
$12$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (3;0;0) \Rightarrow OA = 3 \\ \overrightarrow{OB} = (0;0;4) \Rightarrow OB = 4 \\ \overrightarrow{AB} = ( - 3;0;4) \Rightarrow AB = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Chu vi tam giác $OAB$ là:

$C = OA + OB + AB = 3 + 4 + 5 = 12$

Vậy đáp án đúng là: $12$ .

Câu 36: Nhận biết

Trong không gian cho tứ diện đều $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$
B.
$\overrightarrow{AC}\bot\overrightarrow{BC}$
C.
$\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{BC}$
D.
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

Tứ diện $ABCD$ đều nên $\overrightarrow{AD}$ không thể vuông góc với $\overrightarrow{DC}$ .

Vậy khẳng định sai là: “ $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$ ”.

Câu 37: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm $AB$ và $CD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 4\overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ Đúng||Sai

c) $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

d) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN}$ Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M, N$ theo thứ tự là trung điểm $AB$ và $CD$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 4\overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$ Đúng||Sai

c) $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MN}$ Sai||Đúng

d) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN}$ Đúng||Sai

a) Vì $M, N$ là trung điểm của $AB$ và $CD$ nên $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = 2\overrightarrow{NM}$

Nên $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} = \overrightarrow{0}$ .

b) Ta có:

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MD}$

$= \left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} ight) + \left( \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} ight)$

$= \overrightarrow{0} + 2\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{MN}$

c) Ta có:

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC}$

$= \left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight) + \left( \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DC} ight) = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$

d) Do N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN}$

Câu 38: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10)$ . Xác định tọa độ B’?

A.
$B'(8;4;10)$
B.
$B'(6;12;0)$
C.
$B'(10;8;6)$
D.
$B'(13;0;17)$

Hình vẽ minh họa

Giả sử điểm $D(a;b;c),B'(a';b';c')$

Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow O\left( \frac{1}{2};4; - \frac{7}{2} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = 8 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DD'} = (9;0;17) \\ \overrightarrow{BB'} = (a' - 4;b';c') \\ \end{matrix} ight.$ . Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{BB'}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a' = 13 \\ b' = 0 \\ c' = 17 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B'(13;0;17)$

Câu 39: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vecto $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ cùng có độ dài bằng $2$ . Biết rằng góc giữa hai vecto đó bằng $120^{0}$ , giá trị của biểu thức $P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2}$ là

A.
$28$
B.
$- 25$
C.
$18$
D.
$- 12$

Ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) = 2.2.cos120^{0} = 2.2.\left( - \frac{1}{2} ight) = - 2$

Do đó:

$P = \left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} - 4\overrightarrow{.a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2}$