Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình chóp A.BCDM;N theo thứ tự là trung điểm của BC;AD. Biết rằng AB = 10;CD = 6;MN = 7. Tính góc giữa hai đường thẳng AB;CD?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: 2\overrightarrow{MN} =
\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MN}

    = \left( \overrightarrow{MB} +
\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN} ight) + \left(
\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DN}
ight)

    = \left( \overrightarrow{MB} +
\overrightarrow{MC} ight) + \left( \overrightarrow{AN} +
\overrightarrow{DN} ight) + \left( \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{CD} ight)

    \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{CD}

    Do đó

    4MN^{2} = \left( \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{CD} ight)^{2}

    \Rightarrow 196 = BA^{2} + CD^{2} +
2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CD}

    \Rightarrow 196 = 100^{2} + 36^{2} +
2.10.6.cos\left( \overrightarrow{BA};\overrightarrow{CD}
ight)

    \Rightarrow \cos\left(
\overrightarrow{BA};\overrightarrow{CD} ight) =
\frac{1}{2}

    Vậy góc giữa hai đường thẳng cần tìm là 60^{0}.

  • Câu 2: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Giả sử điểm C'(a;b;c). Tính giá trị biểu thức T=a+b+2c?

    Gọi điểm C'(x;y;z)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.

    \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'} \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow C'(13;4;4) suy ra a=13;b=4;c=4

    Vậy  T=25

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ \overrightarrow{a} = ( - 1;1;0),\overrightarrow{b}
= (1;1;0)\overrightarrow{c} =
(1;1;0). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \cos\left(
\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) =
\frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}

    \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} =
0

    \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} không cùng phương vì \frac{- 1}{1} eq
\frac{1}{1}

    \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
+ \overrightarrow{c} = (1;2;1)

    Vậy mệnh đề đúng là \cos\left(
\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) =
\frac{2}{\sqrt{6}}

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(1; - 3; -
5) trên mặt phẳng (Oyz) là:

    Hình chiếu vuông góc của điểm M(1; - 3; -
5) trên mặt phẳng (Oyz) là điểm có tọa độ (0; - 3; - 5).

  • Câu 5: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    a) Đúng: Vì \overrightarrow{OA} =
3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k} nên A(3;0; - 1).

    b) Sai: Ta có \overrightarrow{AB} =
(4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2).

    4:2:4 eq - 2:4:2 nên \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} không cùng phương suy ra A,B,C không thẳng hàng.

    c) Đúng

    D là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AD.

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\
y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\
z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\
\end{matrix} ight. suy ra D( -
5;4;7).

    Do đó a = - 5,b = 4,c = 7. Vậy a + b + c = 6.

    d) Đúng. Gọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} =
\overrightarrow{0}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\
0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\
- 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\
\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 2 \\
z = 1 \\
\end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.

    MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}

    =(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}

    Do IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} không thay đổi nên MA^{2} + MB^{2} +
MC^{2} nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (Oxy).

    Do đó M(1;2;0) suy ra m=1,n=2,p=0.

    Vậy 2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 =
0.

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

    Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0} đúng với mọi điểm A;B;C;D nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng.

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt E(0;0;6), giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight),A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 240\ N, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}} như hình.

    Tính tích vô hướng của \overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}} (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

    Đáp án: 6311

    Đáp án là:

    Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt E(0;0;6), giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight),A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 240\ N, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}} như hình.

    Tính tích vô hướng của \overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}} (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

    Đáp án: 6311

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{EA_{1}} = (0;1; - 6) \\\overrightarrow{EA_{2}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; - 6ight) \\\overrightarrow{EA_{3}} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; -6 ight) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow EA_{1} = EA_{2} = EA_{3} =\sqrt{37}.

    Suy ra, \left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = \left|\overrightarrow{F_{3}} ight| (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).

    Do đó: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = k\overrightarrow{EA_{1}} = (0;k; - 6k) \\\overrightarrow{F_{2}} = k\overrightarrow{EA_{2}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = k\overrightarrow{EA_{3}} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = (0;0; -18k).

    \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{P} =(0;0; - 240).

    Suy ra - 18k = - 240 \Leftrightarrow k =\frac{40}{3}.

    Từ đó \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = \left( 0;\frac{40}{3}; - 80 ight) \\\overrightarrow{F_{2}} = \left( \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3}; -80 ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = \left( - \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3};- 80 ight) \\\end{matrix} ight..

    Vậy \overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{F_{3}} =0.\left( \frac{- 20\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{40}{3}\left( -\frac{20}{3} ight) + ( - 80).( - 80) \approx 6311.

  • Câu 8: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} -
2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j}. Tìm tọa độ của \overrightarrow{u} là.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{i} = (1;0;0) \\
\overrightarrow{k} = (0;0;1) \\
\overrightarrow{j} = (0;1;0) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \overrightarrow{u} =
\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j} = (1;1; -
2)

  • Câu 9: Vận dụng

    Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

    Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900(km/h) lên 920(km/h), trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900(km/h)920(km/h) lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ \overrightarrow{F_{1}}\overrightarrow{F_{2}} với \overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight). Tính giá trị của k (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

    Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900(km/h) lên 920(km/h), trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900(km/h)920(km/h) lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ \overrightarrow{F_{1}}\overrightarrow{F_{2}} với \overrightarrow{F_{1}} =k.\overrightarrow{F_{2}};\left( k\mathbb{\in R};k > 0ight). Tính giá trị của k (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 10: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB}\overrightarrow{DH}?

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{DH} =
\overrightarrow{AE} (ADHE là hình vuông) nên \left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DH} ight) = \left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE} ight) = \widehat{BAE} =
90^{0}

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho A(1;\ \ 1;\  - 2)B(2;\ \  - 1;\ \ 0). Hãy xác định tọa độ của \overrightarrow{AB}?

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (1;\  - \ 2;\ \
2)

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là điểm trên đoạn CD sao cho ED = 2CE. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Có 6 vectơ (khác vectơ \overrightarrow{0}) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{AB}\overrightarrow{BC} bằng 60^{\circ}. Sai||Đúng

    c) Nếu \overrightarrow{BE} =
m\overrightarrow{BA} + n\overrightarrow{BC} +
p\overrightarrow{BD} thì m + n + p
= \frac{2}{3}. Sai||Đúng

    d) Tích vô hướng \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} =
\frac{a^{2}}{6}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là điểm trên đoạn CD sao cho ED = 2CE. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Có 6 vectơ (khác vectơ \overrightarrow{0}) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{AB}\overrightarrow{BC} bằng 60^{\circ}. Sai||Đúng

    c) Nếu \overrightarrow{BE} =
m\overrightarrow{BA} + n\overrightarrow{BC} +
p\overrightarrow{BD} thì m + n + p
= \frac{2}{3}. Sai||Đúng

    d) Tích vô hướng \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} =
\frac{a^{2}}{6}. Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    a) Sai: Các vectơ (khác vectơ \overrightarrow{0}) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện là: \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}.

    Do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu.

    b) Sai:  (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})
= 180^{\circ} - (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}) = 180^{\circ}
- ABC = 120^{\circ} 

    c) Sai: \overrightarrow{BE} =\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}(\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC}) =\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}.

    Do đó m = 0,n = \frac{2}{3},p =
\frac{1}{3} suy ra m + n + p =
1.

    d) Đúng: Ta có:

    \overrightarrow{BE} =
\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{CE}) - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} +
\frac{1}{3}\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AB}

    = \overrightarrow{AC} +
\frac{1}{3}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) -
\overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} +
\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}

    Suy ra

    \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} =\overrightarrow{AD}.\left( \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)=\frac{2}{3}.\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC} +\frac{1}{3}.{\overrightarrow{AD}}^{2} -\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}

    = \frac{2}{3}.a.a.\cos 60^{\circ} +\frac{1}{3}a^{2} - a.a.\cos60^{\circ} = \frac{a^{2}}{6}.

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Hãy phân tích vectơ \overrightarrow{AC_{1}} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA_{1}}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AC_{1}} =
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}} (Theo quy tắc hình bình hành).

  • Câu 14: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A';B';C' lần lượt thuộc các tia SA;SB;SC sao cho \frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} =
b;\frac{SC}{SC'} = c trong đó a;b;c là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}

    Khi đó 3\overrightarrow{GS} +
\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} =
\overrightarrow{0}\overrightarrow{SA} =
a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} =
b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} =
c\overrightarrow{SC'}

    Suy ra 3\overrightarrow{SG} =
a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} +
c\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} =
\frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} +
\frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} +
\frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}

    Vì mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'} đồng phẳng.

    Do đó tồn tại ba số l;m;n sao cho l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0) và l\overrightarrow{GA'} +
m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow l\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) =
\overrightarrow{0}s

    \Leftrightarrow (l + m +
n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} +
m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} =
\frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m +
n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m +
n}\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow
\frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} +
\frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} +
\frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m +
n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'}
+ \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}

    Suy ra \frac{a}{3} + \frac{b}{3} +
\frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m
+ n} = 1

    \Rightarrow a + b + c = 3

  • Câu 15: Vận dụng

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500;200;8)đến điểm N(800;300;10) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( a;b;\frac{c}{d}
ight), trong đó a,b,c,d \in
\mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d} là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính a + b + c + d?

    Đáp án: 1223

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500;200;8)đến điểm N(800;300;10) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( a;b;\frac{c}{d}
ight), trong đó a,b,c,d \in
\mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d} là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính a + b + c + d?

    Đáp án: 1223

    Gọi Q(x;y;z) là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.

    \overrightarrow{MN} =
(300;100;2)

    \overrightarrow{NQ} = (x - 800;y - 300;z
- 10)

    Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ M ightarrow N gấp 4 lần thời gian bay từ N ightarrow Q nên MN = 4NQ

    Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên \overrightarrow{MN}\overrightarrow{NQ} cùng hướng.

    Suy ra \overrightarrow{MN} =
4\overrightarrow{NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
300 = 4(x - 800) \\
100 = 4(y - 300) \\
2 = 4(z - 10) \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 875 \\
y = 325 \\
z = 10,5 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow Q\left( 875;325;\frac{21}{2}
ight)

    Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( 875;325;\frac{21}{2} ight) \Rightarrow a
= 875,\ \ b = 325,\ \ c = 21,\ \ d = 2.

    Do đó, a + b + c + d = 1223.

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (3;0;1)\overrightarrow{v} = (2;1;0). Tính tích vô hướng \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}?

    Ta có: \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3.2 + 0.1
+ 1.0 = 6

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;3),B(2;3; - 4),C( - 3;1;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- 3 - x = 1 \\
1 - y = 3 \\
2 - z = - 7 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 4 \\
y = - 2 \\
z = 9 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D( - 4; - 2;9).

  • Câu 18: Thông hiểu

    ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm I(3;4;5)là tâm của nguồn phát âm với bán kính 10\ m. Để kiểm tra một điểm ở vị trí\ M(7;10;17) có nhận được cường độ âm phát ra tại I hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí IM. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí IMlà bao nhiêu mét?

    Đáp án: 14 (m)

    Đáp án là:

    ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm I(3;4;5)là tâm của nguồn phát âm với bán kính 10\ m. Để kiểm tra một điểm ở vị trí\ M(7;10;17) có nhận được cường độ âm phát ra tại I hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí IM. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí IMlà bao nhiêu mét?

    Đáp án: 14 (m)

    Ta có

    IM = \sqrt{(7 - 3)^{2} + (10 - 4)^{2} +
(17 - 5)^{2}}

    = \sqrt{4^{2} + 6^{2} + 12^{2}} =
\sqrt{196} = 14 (m).

    Đáp số 14(m).

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; - 4;3)B(2;2;7). Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là:

    Gọi M\left( x_{M};y_{M};z_{M}
ight) là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:

    \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = \dfrac{2 + 2}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{- 4 + 2}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = \dfrac{3 + 7}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M(2; - 1;5)

    Vậy tọa độ trung điểm của AB là: (2; -
1;5).

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Đặt \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Gọi M là trung điểm của BC. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Vì M là trung điểm của BC nên suy ra \overrightarrow{BM} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}

    Ta có: \overrightarrow{DM} =
\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} =
\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}

    = \overrightarrow{AB} -
\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{AC} ight) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}

    = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}
ight)

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tích tất cả giá trị của a để góc tạo bởi đường thẳng \left\{ \begin{matrix}
x = 4 + at \\
y = 7 - 2t \\
\end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight. và đường thẳng 3x + 4y - 2 = 0 bằng 45^{0} là:

    Đáp án: -4||- 4

    Đáp án là:

    Tích tất cả giá trị của a để góc tạo bởi đường thẳng \left\{ \begin{matrix}
x = 4 + at \\
y = 7 - 2t \\
\end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight. và đường thẳng 3x + 4y - 2 = 0 bằng 45^{0} là:

    Đáp án: -4||- 4

    Gọi \varphi là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

    Đường thẳng \left\{ \begin{matrix}
x = 4 + at \\
y = 7 - 2t \\
\end{matrix}\ \ \ \ (t\mathbb{\in R}) ight. có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (a; -
2).

    Đường thẳng 3x + 4y - 2 = 0 có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{v} = (4;
- 3).

    Ta có:

    \cos\varphi =
|cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|

    \Leftrightarrow cos45^{0} =
\frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}

    \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} =
\frac{|4a + 6|}{5\sqrt{a^{2} + 4}}

    \Leftrightarrow 5\sqrt{a^{2} + 4} =
\sqrt{2}|4a + 6|

    \Leftrightarrow 25a^{2} + 100 = 32a^{2}
+ 96a + 72

    \Leftrightarrow 7a^{2} + 96a - 28 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{2}{7} \\a = - 14 \\\end{matrix}. ight.

    Vậy tích tất cả các giá trị của tham số a bằng -4.

  • Câu 22: Nhận biết

    Trong không gian cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khi đó \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} +
\overrightarrow{CC'} bằng:

    Theo quy tắc hình hộp ta có \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{CA'}.

  • Câu 23: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz\overrightarrow{u} là một vecto tùy ý khác \overrightarrow{0}.

    Tính T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz\overrightarrow{u} là một vecto tùy ý khác \overrightarrow{0}.

    Tính T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    Đáp án: 1

    Giả sử \overrightarrow{u} =
(x,y,z).

    Ta có \overrightarrow{i}(1,0,0);\overrightarrow{j}(0,1,0);\overrightarrow{k}(0,0,1)

    cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}) +
cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +
cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    = \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} +
z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}
ight)^{2} + \left( \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}
ight)^{2}

    = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} +
y^{2} + z^{2}} = 1

    Vậy T = 1

  • Câu 24: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;2;1). Tính độ dài đoạn thẳng OA?

    Ta có: \overrightarrow{OA} = (2;2;1)
\Rightarrow OA = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = 3

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M,\ \ N lần lượt là trung điểm của A'D'C'D' Tích vô hướng \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} =
na^{2} (n là số thập phân). Giá trị của n bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

    Đáp án: -0,5||- 0,5

    Đáp án là:

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M,\ \ N lần lượt là trung điểm của A'D'C'D' Tích vô hướng \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} =
na^{2} (n là số thập phân). Giá trị của n bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

    Đáp án: -0,5||- 0,5

    Hình vẽ minh họa

    MN//A'C' nên \left( \overrightarrow{MN},\
\overrightarrow{C'B} ight) = \left(
\overrightarrow{A'C'},\ \overrightarrow{C'B} ight) =
180^{0} - \widehat{A'C'B} = 120^{0}

    Ta có: MN = \frac{a\sqrt{2}}{2},\ C'B
= a\sqrt{2}

    \Rightarrow
\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} =
|\overrightarrow{MN}|.\left| \overrightarrow{C'B} ight|.cos\left(
\overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{C'B} ight)

    =
\frac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}.cos120^{0} = - 0,5a^{2}

    Vậy n = - 0,5.

  • Câu 26: Nhận biết

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc trục Oy?

    Điểm A(x;y;z) \in Oy \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
x = 0 \\
z = 0 \\
\end{matrix} ight.. Suy ra trong bốn điểm đã cho điểm T(0; - 3;0) \in Oy.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho các vectơ \overrightarrow{a}(2;m - 1;3)\overrightarrow{b}(1;3; - 2n). Xác định giá trị của m;n để hai vectơ đã cho có cùng hướng?

    Ta có: Hai vectơ \overrightarrow{a}(2;m -
1;3)\overrightarrow{b}(1;3; -
2n) cùng hướng nên

    \overrightarrow{a} =k.\overrightarrow{b};(k > 0) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = k \\m - 1 = 3k \\3 = k( - 2n) \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2 = k \\m = 7 \ = - \dfrac{3}{4} \\\end{matrix} ight.

    Vậy m = 7;n = - \frac{3}{4} là đáp án cần tìm.

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCDAB = AC = AD\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0}. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB}\overrightarrow{CD}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} =
\overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}
ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} -
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}

    = \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)

    = \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos60^{0} - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC}ight|.\cos60^{0}

    AC = AD \Rightarrow
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0 \Rightarrow \left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ight) = 90^{0}

  • Câu 29: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho vectơ \overrightarrow{OM} có độ dài \left| \overrightarrow{OM} ight| = 1, gọi \alpha;\beta;\gamma lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị \overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k} trên ba trục Ox;Oy;Oz và vectơ \overrightarrow{OM}. Khi đó tọa độ điểm M là:

    Gọi M(x;y;z) \Rightarrow
\overrightarrow{OM} = (x;y;z)\overrightarrow{i} = (1;0;0),\overrightarrow{j} =
(0;1;0),\overrightarrow{k} = (0;0;1)

    \left\{ \begin{matrix}\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{i}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{i} ight|} = x \\\cos\beta = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{j}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = y \\\cos\gamma = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{k}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{k} ight|} = z \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)

  • Câu 30: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -
3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Tìm tọa độ điểm C'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +
0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =
10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} +
4.\overrightarrow{k}A( -
3;0;0)

    \Rightarrow C'(7;4;4)

    Suy ra C'(7;4;4)

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.EFFH. Phân tích nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Biến đổi biểu thức

    \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC}
ight)

    \Leftrightarrow 2\overrightarrow{AE} =
\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{CH}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AE} +
\left( \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AF} ight) =
\overrightarrow{CH}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CH}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{BE} =
\overrightarrow{CH} (đúng)

    Vậy phân tích đúng là \overrightarrow{AE}
= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AH} -
\overrightarrow{AC} ight).

  • Câu 32: Nhận biết

    Trong không gian cho tứ diện đều ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?

    Tứ diện ABCD đều nên \overrightarrow{AD} không thể vuông góc với \overrightarrow{DC}.

    Vậy khẳng định sai là: “\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}”.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} +
4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k}. Tọa độ điểm A là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
3\overrightarrow{i} = (3;0;0) \\
4\overrightarrow{j} = (0;4;0) \\
5\overrightarrow{k} = (0;0;5) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \overrightarrow{OA} =
3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k}
\Rightarrow A(3;4; - 5)

  • Câu 34: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm B(1;2; - 3),C(7;4 - 2). Tìm tọa độ điểm E thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{CE} =
2\overrightarrow{EB}?

    Gọi E(x;y;z)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{CE} = (x - 7;y - 4;z + 2) \\
2\overrightarrow{EB} = (2 - 2x;4 - 2y; - 6 - 2z) \\
\end{matrix} ight.

    Theo bài ra ta có:

    \overrightarrow{CE} =2\overrightarrow{EB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x - 7 = 2 - 2x \\y - 4 = 4 - 2y \\z + 2 = - 6 - 2z \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y = \dfrac{8}{3} \\z = - \dfrac{8}{3} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow E\left( 3;\frac{8}{3}; - \dfrac{8}{3}ight)

    Vậy điểm E có tọa độ là E\left(
3;\frac{8}{3}; - \frac{8}{3} ight).

  • Câu 35: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
6 - x = 3 + 2 \\
5 - y = 0 - 3 \\
- z = - 1 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 8 \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(1;8;2).

  • Câu 36: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1; - 1)B(2;3;2). Vectơ \overrightarrow{AB} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (2 - 1;3 - 1;2 +
1) = (1;2;3)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} =
(1;2;3).

  • Câu 37: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;2a;0),A'(0;0;2a) với a eq 0. Độ dài đoạn thẳng AC' là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (a;0;0) \\
\overrightarrow{AD} = (0;2a;0) \\
\overrightarrow{AA'} = (0;0;2a) \\
\end{matrix} ight.

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC'} \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =
(a;2a;2a)

    Suy ra AC' = \left|
\overrightarrow{AC'} ight| = \sqrt{a^{2} + (2a)^{2} + (2a)^{2}} =
3|a|

    Vậy độ dài AC’ bằng 3|a|.

  • Câu 38: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2). Tìm x để các đường thẳng AD;BC;MN cùng song song với một mặt phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2). Tìm x để các đường thẳng AD;BC;MN cùng song song với một mặt phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 39: Thông hiểu

    Biết \overrightarrow{c} =
(x;y;z) khác \overrightarrow{0} và vuông góc với cả hai vectơ \overrightarrow{a} =
(1;3;4);\overrightarrow{b} = ( - 1;2;3). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Theo đề bài ta có: \overrightarrow{c} =
(x;y;z) khác \overrightarrow{0} và vuông góc với cả hai vectơ \overrightarrow{a} =
(1;3;4);\overrightarrow{b} = ( - 1;2;3) nên

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0 \\
\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x + 3y + 4z = 0 \\
- x + 2y + 3z = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + 3y + 4z = 0 \\5y + 7z = 0 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + 3y + 4.\dfrac{- 5}{7}y = 0 \\z = - \dfrac{5}{7}y \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
7x + y = 0 \\
5y + 7z = 0 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy khẳng định đúng là 7x + y =
0

  • Câu 40: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;1). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành?

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{BC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 1 = - 1 \\
y = 0 \\
z = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \\
y = 0 \\
z = 1 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(0;0;1).

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 89 lượt xem
Sắp xếp theo