Trong không gian
, cho hai vectơ
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là
Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.

Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:
Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).
Cho tứ diện đều
cạnh
.
là điểm trên đoạn
sao cho
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Có 6 vectơ (khác vectơ
) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ
và
bằng
. Sai||Đúng
c) Nếu
thì
. Sai||Đúng
d) Tích vô hướng
. Đúng||Sai
Cho tứ diện đều cạnh
.
là điểm trên đoạn
sao cho
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Có 6 vectơ (khác vectơ ) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ và
bằng
. Sai||Đúng
c) Nếu thì
. Sai||Đúng
d) Tích vô hướng . Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
a) Sai: Các vectơ (khác vectơ ) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện là:
.
Do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu.
b) Sai:
c) Sai: .
Do đó suy ra
.
d) Đúng: Ta có:
Suy ra
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho lăng trụ tam giác
có tọa độ các điểm
. Xác định tọa độ điểm
?
Hình vẽ minh họa
Gọi tọa độ điểm
Vì là hình lăng trụ nên
Vậy tọa độ .
Cho hình lập phương
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Vì (
là hình vuông) nên
Cho hình hộp
. Tính tổng
?
Hình vẽ minh họa
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
, với
là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ
, hai điểm
.
a)
. Đúng||Sai
b) Ba điểm
thẳng hàng. Sai||Đúng
c) Điểm
là điểm đối xứng của với
qua
. Khi đó
. Đúng||Sai
d) Điểm
trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Đúng||Sai
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho
, với
là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ
, hai điểm
.
a) . Đúng||Sai
b) Ba điểm thẳng hàng. Sai||Đúng
c) Điểm là điểm đối xứng của với
qua
. Khi đó
. Đúng||Sai
d) Điểm trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Đúng||Sai
a) Đúng: Vì nên
.
b) Sai: Ta có .
Vì nên
không cùng phương suy ra
không thẳng hàng.
c) Đúng
Vì là điểm đối xứng với
qua
nên
là trung điểm của
.
Ta có suy ra
.
Do đó . Vậy
.
d) Đúng. Gọi là điểm thỏa mãn
.
Ta có:
Do không thay đổi nên
nhỏ nhất khi
nhỏ nhất hay
là hình chiếu của điểm
trên mặt phẳng
.
Do đó suy ra
.
Vậy .
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ
và
là một vecto tùy ý khác
.
Tính ![]()
Đáp án: 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ
và
là một vecto tùy ý khác
.
Tính
Đáp án: 1
Giả sử .
Ta có
Vậy
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Lại có
mà
Suy ra
Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc
và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc
và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 124 N
Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc
và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 124 N
Gọi hai lực tạo với nhau một góc là
và
, ta có
N.
Lực còn lại là , ta có
N.
Gọi là hợp lực của ba lực trên ta có
.
N
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.

Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ
lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của 4 lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học.
Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ lên
, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc
và
lần lượt biểu diễn bởi hai vectơ
và
với
. Tính giá trị của
(Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho ba điểm
. Tìm tất cả các điểm
sao cho
là hình thang có đáy
và tam giác
bằng
diện tích tứ giác
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ cho ba điểm
. Tìm tất cả các điểm
sao cho
là hình thang có đáy
và tam giác
bằng
diện tích tứ giác
?
Cho tứ diện
có
và
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mà
Trong không gian
, cho
. Biết
trong đó
là số nguyên dương. Tìm
?
Đáp án: 135
Trong không gian , cho
. Biết
trong đó
là số nguyên dương. Tìm
?
Đáp án: 135
Ta có .
Suy ra .
.
Vậy
Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
.Phân tích nào sau đây là đúng?
Ta có: là trọng tâm tam giác
khi
Trong không gian
, cho hình hộp chữ nhật
có
trùng với gốc tọa độ
Biết rằng
,
,
với
,
là các số dương và
. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện
? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16
Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật
có
trùng với gốc tọa độ
Biết rằng
,
,
với
,
là các số dương và
. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện
? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16
Hình vẽ minh họa
Ta có: ,
,
,
nên
⇒ (do
);
;
.
Mà
⇒.
Xét hàm số trên
⇒
Bảng biến thiên:
Vậy .
Tích vô hướng của 2 vectơ
trong không gian được tính bằng:
Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vecto, ta có: .
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
, khi đó tọa độ điểm
là:
Gọi ta có:
khi đó
nên tọa độ điểm cần tìm là
.
Trong không gian
, cho hai vecto
,
cùng có độ dài bằng
. Biết rằng góc giữa hai vecto đó bằng
, giá trị của biểu thức
là
Ta có:
Do đó:
.
Trong không gian
, cho hình bình hành hình bình hành. Biết các điểm
. Xác định tọa độ điểm
?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Cho tứ diện
và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Cho tứ diện và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ
. Gọi
là vectơ thoả mãn:
. Tọa độ của vectơ
là:
Đặt .
Ta có:
Vậy .
Biết rằng
và
. Tính
?
Ta có:
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.
Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí
cách điểm xuất phát
km về phía bắc và
km về phía tây, đồng thời cách mặt đất
km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí
cách điểm xuất phát
km về phía nam và
km về phía đông, đồng thời cách mặt đất
km.
Chọn hệ trục toạ độ
với gốc
đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng
trùng với mặt đất, trục
hướng về phía bắc, trục
hướng về phía tây và trục
hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là
. Sai||Đúng
b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá
km. Đúng||Sai
c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng
d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ
. Đúng||Sai
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.
Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí cách điểm xuất phát
km về phía bắc và
km về phía tây, đồng thời cách mặt đất
km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí
cách điểm xuất phát
km về phía nam và
km về phía đông, đồng thời cách mặt đất
km.
Chọn hệ trục toạ độ với gốc
đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng
trùng với mặt đất, trục
hướng về phía bắc, trục
hướng về phía tây và trục
hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là . Sai||Đúng
b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá km. Đúng||Sai
c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng
d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ . Đúng||Sai
a) Sai
Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là .
b) Đúng
Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là .
Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là
c) Sai
Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:
Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:
Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.
d) Đúng
Vị trí của chiếc flycam là
.
Khoảng cách bay của flycam là:
Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ là
Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ .
Trong không gian hệ trục tọa độ
cho
. Khi đó tọa độ
với hệ
là:
Ta có:
Lại có
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
. Tích vô hướng của hai vectơ
và
có giá trị bằng:
Ta có:
Trong không gian tọa độ
cho điểm
. Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Tìm tọa độ điểm
để tứ giác
là hình bình hành?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian
có điểm
. Tìm tọa độ điểm
thỏa mãn đẳng thức
?
Ta có: . Khi đó
Vậy giá trị cần tìm là .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho
và
là điểm đối xứng cới điểm
qua
. Khi đó
bằng:
Gọi là hình chiếu của M trên
ta có
. Do
đối xứng với
qua
, khi đó
là trung điểm của
Suy ra từ đó
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Xác định tọa độ điểm
sao cho
?
Ta có:
Mà
Vậy đáp án cần tìm là: hoặc
Xác định tọa độ trọng tâm
của tam giác
, biết rằng
?
Tọa độ trọng tâm G của tam giác được xác định như sau:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Gọi
là điểm sao cho
là trọng tâm tam giác
. Tính tổng các tọa độ của điểm
?
Đặt . Vì
là trọng tâm tam giác
nên
Cho hình chóp
có đáy là hình vuông
cạnh bằng
và các cạnh bên đều bằng
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Số đo của góc
bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Do ABCD là hình vuông cạnh a suy ra
suy ra tam giác SAC vuông tại S.
Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác
Khi đó suy ra
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
,
là trọng tâm của tứ diện
và
là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị của
thỏa mãn đẳng thức
?
Vì G là trọng tâm tứ diện nên
.
Cho hình hộp
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ ![]()
Hình vẽ minh họa
Ta có:
.
Vậy .
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm
đến điểm
trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng
. Xác định tọa độ vị trí điểm
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm
trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng
. Xác định tọa độ vị trí điểm
. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)
Đáp án: N(1300; 750; 15,5)
Gọi là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.
.
.
Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên và
cùng hướng.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ đến
gấp 4 lần thời gian bay từ
đến
nên
.
Suy ra: