Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Vận dụng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Giả sử điểm $C'(a;b;c)$ . Tính giá trị biểu thức $T=a+b+2c$ ?
- A.
  $T=0$
- B.
  $T=25$
- C.
  $T=12$
- D. $T=-11$
Gọi điểm $C'(x;y;z)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.$
Mà $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}$
Suy ra $\left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C'(13;4;4)$ suy ra $a=13;b=4;c=4$
Vậy $T=25$
Câu 2: Vận dụng cao
Cho tứ diện $OABC$ có $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc. $M$ là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác $ABC$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}$ ?
- A.
  $\min T = 3$
- B.
  $\min T = 2$
- C.
  $\min T = 4$
- D.
  $\min T = 6$
Đặt $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$ . Khi đó $\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}$ với $x;y;z$ là ba số có tổng bằng 1.

Ta có:

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (x - 1)\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}$

$\Rightarrow {\overrightarrow{AM}}^{2} = (x - 1)^{2}{\overrightarrow{a}}^{2} + y^{2}{\overrightarrow{b}}^{2} + z^{2}{\overrightarrow{c}}^{2}$

$\Rightarrow \frac{MA^{2}}{OA^{2}} = (x - 1)^{2} + y^{2}.\frac{b^{2}}{a^{2}} + z^{2}.\frac{c^{2}}{a^{2}}$

Tương tự ta được

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{MB^{2}}{OB^{2}} = (y - 1)^{2} + z^{2}.\dfrac{c^{2}}{b^{2}} +x^{2}.\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \\\dfrac{MC^{2}}{OC^{2}} = (z - 1)^{2} + x^{2}.\dfrac{a^{2}}{c^{2}} +y^{2}.\dfrac{b^{2}}{c^{2}} \\\end{matrix} ight.$

Do đó $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}$

$\Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)$

$\Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)$

$+ (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}$

$\Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight)$

$- \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} ight) + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}$

$\Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight) - 2(x + y + z) + 3$

Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}}\\x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = OM^{2} \\\end{matrix} ight.$

Do đó $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}} = \frac{OM^{2}}{OH^{2}} + 1 \geq 1 + 1 = 2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.

Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.
Câu 3: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1)$ , khi đó tọa độ điểm $B$ là:
- A.
  $B(2;5;0)$
- B.
  $B(0; - 1; - 2)$
- C.
  $B(0;1;2)$
- D.
  $B( - 2; - 5;0)$
Gọi $B(x;y;z)$ ta có:
$A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1)$ khi đó $\left\{\begin{matrix}x - 1 = 1 \\y - 2 = 3 \\z + 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = 5 \\z = 0 \\\end{matrix} ight.$ nên tọa độ điểm cần tìm là $B(2;5;0)$ .
Câu 4: Nhận biết
Điều kiện cần và đủ để ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng là:
- A.
  Giá của chúng không cùng thuộc một mặt phẳng.
- B.
  Giá của chúng cùng thuộc một mặt phẳng.
- C.
  Giá của chúng không cùng song song với một mặt phẳng.
- D.
  Giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Câu 5: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?
- A.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{25}$
- B.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{5}$
- C.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{25}$
- D.
  $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{5}$
Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}$
Câu 6: Nhận biết
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $30^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Vì $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}$ ( $AEGC$ là hình chữ nhật) nên $\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{EG} ight) = \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \widehat{BAC} = 45^{0}$ ( $AEGC$ là hình vuông)
Câu 7: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1;2;1);\overrightarrow{b} = ( - 1;3;0)$ . Vectơ $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ có tọa độ là:
- A.
  $\overrightarrow{c} = (1;7;2)$
- B.
  $\overrightarrow{c} = (1;5;2)$
- C.
  $\overrightarrow{c} = (3;7;2)$
- D.
  $\overrightarrow{c} = (1;7;3)$
Ta có: $2\overrightarrow{a} = (2;4;2)$ . Khi đó $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left( 2 + ( - 1);4 + 3;2 + 0 ight) = (1;7;2)$

Vậy $\overrightarrow{c} = (1;7;2)$
Câu 8: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;3; - 1)$ và $B( - 4;1;9)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ ?
- A.
  $\overrightarrow{AB} = ( - 6; - 2;10)$
- B.
  $\overrightarrow{AB} = ( - 1;2;4)$
- C.
  $\overrightarrow{AB} = (6;2; - 10)$
- D.
  $\overrightarrow{AB} = (1; - 2; - 4)$
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = ( - 4 - 2;1 - 3;9 + 1) = ( - 6; - 2;10)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = ( - 6; - 2;10)$ .
Câu 9: Thông hiểu
Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Tính $\overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD}$ .
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $- 1$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = \left( \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AC} ight)\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)$

$= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = 0$
Câu 10: Thông hiểu

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Đáp án là:

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}\ \ \ \ (t\mathbb{\in R}) ight.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (a; - 2)$ .

Đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = (4; - 3)$ .

Ta có:

$\cos\varphi = |cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|$

$\Leftrightarrow cos45^{0} = \frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|4a + 6|}{5\sqrt{a^{2} + 4}}$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{a^{2} + 4} = \sqrt{2}|4a + 6|$

$\Leftrightarrow 25a^{2} + 100 = 32a^{2} + 96a + 72$

$\Leftrightarrow 7a^{2} + 96a - 28 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{2}{7} \\a = - 14 \\\end{matrix}. ight.$

Vậy tích tất cả các giá trị của tham số a bằng -4.
Câu 11: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(3;1; - 4),B(2;1; - 2),C(1;1; - 3)$ . Tìm điểm $M \in Ox$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất?
- A.
  $M(2;0;0)$
- B.
  $M( - 2;0;0)$
- C.
  $M(6;0;0)$
- D.
  $M(0;2;0)$
Vì $M \in Ox$ suy ra $M(m;0;0)$ . Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MA} = (3 - m;1; - 4) \\ \overrightarrow{MB} = (2 - m;1; - 2) \\ \overrightarrow{MC} = (1 - m;1; - 3) \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra:

$\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight| = \sqrt{(6 - 3m)^{2} + 3^{2} + ( - 9)^{2}}$

$= \sqrt{9m^{2} - 36m + 126} = \sqrt{9(m - 2)^{2} + 90} \geq 3\sqrt{10};\forall m\mathbb{\in R}$

Vậy $\left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} ight|$ nhỏ nhất bằng $3\sqrt{10}$ khi $m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2$ . Hay $M(2;0;0)$
Câu 12: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Nếu $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thì bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng.
- B.
  $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{BC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$ .
- C.
  Nếu $\overrightarrow{AB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ thì $B$ là trung điểm của $AC$ .
- D.
  Cho $d \subset (\alpha);d \subset (\beta)$ . Nếu mặt phẳng $(\alpha)\bot(\beta)$ thì $d\bot d'$ .
Ta có: $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thỏa mãn biểu thức $\overrightarrow{c} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b}$ (với $m;n$ duy nhất) của định lí về các vectơ đồng phẳng.

Vậy đáp án đúng là: “Nếu $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thì bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng.”
Câu 13: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(3; - 4;0),B( - 1;1;3),C(3;1;0)$ . Xác định tọa độ điểm $D \in Ox$ sao cho $AD = BC$ ?
- A.
  $D(6;0;0)$ hoặc $D(12;0;0)$
- B.
  $D( - 2;1;0)$ hoặc $D( - 4;0;0)$
- C.
  $D(0;0;0)$ hoặc $D(6;0;0)$
- D.
  $D(0;0;0)$ hoặc $D( - 6;0;0)$
Ta có: $D(x;0;0) \in Ox$

Mà $AD = BC \Leftrightarrow \sqrt{(x - 3)^{2} + 16} = 5$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow D(0;0;0) \\ x = 6 \Rightarrow D(6;0;0) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là: $D(0;0;0)$ hoặc $D(6;0;0)$
Câu 14: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0;0;3),B(0;0; - 1),C(1;0; - 1),D(0;1; - 1)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?
- A.
  $AB\bot BD$
- B.
  $AB\bot BC$
- C.
  $AB\bot AC$
- D.
  $AB\bot CD$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0;0; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1;0; - 4) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 16 eq 0$ suy ra $AB$ và $AC$ không vuông góc với nhau.

Vậy mệnh đề sai là: “ $AB\bot AC$ ”.
Câu 15: Thông hiểu
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'.$ Khẳng định nào dưới đây là sai?
- A.
  $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B'C'}.$
- B.
  $\overrightarrow{D'A'} + \overrightarrow{D'C'} - \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{D'B}.$
- C.
  $\overrightarrow{A'D'} +\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AC}.$
- D.
  $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC}$

Vậy đáp án sai là: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.$
Câu 16: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A( - 3; - 1; - 1)$ . Hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là điểm $A'(x;y;z)$ . Khi đó giá trị $2x + y + z$ bằng:
- A.
  $- 5$
- B.
  $- 4$
- C.
  $- 2$
- D.
  $- 3$
Hình chiếu vuông góc của $A( - 3; - 1; - 1)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là $A'(0; - 1; - 1)$

Suy ra $2x + y + z = - 2$ .
Câu 17: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;P$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ . Đặt $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{d} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{d} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} ight)$
Ta có:

$\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{MC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

$= - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} ight)$

Vậy khẳng định đúng $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} ight)$ .
Câu 18: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{a} = (2;3;2);\overrightarrow{b} = (1;1; - 1)$ . Khi đó tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ là:
- A.
  $(3;4;1)$
- B.
  $( - 1; - 2;3)$
- C.
  $(3;5;1)$
- D.
  $(1;2;3)$
Ta có:

$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2 - 1;3 - 1;2 + 1) = (1;2;3)$
Câu 19: Vận dụng
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Tọa độ chân đường phân giác của góc $B$ trong tam giác $ABC$ là:
- A.
  $\left( - \frac{2}{3};\frac{11}{3};1 ight)$
- B.
  $\left( \frac{11}{3}; - 2;1 ight)$
- C.
  $\left( \frac{2}{3};\frac{11}{3};\frac{1}{3} ight)$
- D.
  $( - 2;11;1)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác kẻ từ $B$ lên $AC$ của tam giác $ABC$ .

Suy ra $\frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\ \overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)$
Câu 20: Vận dụng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)$ . Tìm tọa độ điểm $A'$ ?
- A.
  $A'(4;6; - 5)$
- B.
  $A'(2;0;2)$
- C.
  $A'(3;5; - 6)$
- D.
  $A'(3;4; - 6)$
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;1;1) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (0; - 1;0) = 0.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6) = 3.\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$ do đó $\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = 2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k}$ hay $\overrightarrow{AA'} = (3;5; - 6)$

Suy ra $A'(3;5; - 6)$
Câu 21: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc trục tung $Oy$ ?
- A.
  $M(0; - 10;0)$
- B.
  $N(10;0;0)$
- C.
  $P(0;0; - 10)$
- D.
  $Q( - 10;0;10)$
Điểm thuộc trục tung Oy là $M(0; - 10;0)$ .
Câu 22: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ?
- A.
  $60^{0}$
- B.
  $45^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $90^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$= \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)$

$= \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos60^{0} - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC}ight|.\cos60^{0}$

Mà $AC = AD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0 \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ight) = 90^{0}$
Câu 23: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k}$ . Tọa độ điểm $A$ là:
- A.
  $A(3;4; - 5)$
- B.
  $A(3;4;5)$
- C.
  $A( - 3; - 4;5)$
- D.
  $A( - 3;4;5)$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 3\overrightarrow{i} = (3;0;0) \\ 4\overrightarrow{j} = (0;4;0) \\ 5\overrightarrow{k} = (0;0;5) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k} \Rightarrow A(3;4; - 5)$
Câu 24: Nhận biết
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DH}$ ?
- A.
  $45^{0}$
- B.
  $90^{0}$
- C.
  $120^{0}$
- D.
  $60^{0}$
Hình vẽ minh họa

Vì $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE}$ ( $ADHE$ là hình vuông) nên $\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DH} ight) = \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE} ight) = \widehat{BAE} = 90^{0}$
Câu 25: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình bình hành hình bình hành. Biết các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$ . Xác định tọa độ điểm $C$ ?
- A.
  $(2;0;2)$
- B.
  $(2;2;2)$
- C.
  $(2; - 2;2)$
- D.
  $(0; - 2;0)$
Giả sử điểm $C(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 1 \\ y + 1 = 1 \\ z - 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $C(2;0;2)$ .
Câu 26: Vận dụng
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( - 3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Tìm tọa độ điểm $C'$ ?
- A.
  $C'(10;4;4)$
- B.
  $C'( - 13;4;4)$
- C.
  $C'(13;4;4)$
- D.
  $C'(7;4;4)$
Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} + 0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC'} = 10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} + 4.\overrightarrow{k}$ mà $A( - 3;0;0)$

$\Rightarrow C'(7;4;4)$

Suy ra $C'(7;4;4)$
Câu 27: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 28: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M;N$ xác định bởi $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2)$ . Tìm $x$ để các đường thẳng $AD;BC;MN$ cùng song song với một mặt phẳng?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M;N$ xác định bởi $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC}(1),\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}(2)$ . Tìm $x$ để các đường thẳng $AD;BC;MN$ cùng song song với một mặt phẳng?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 29: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j}$ . Tìm tọa độ của $\overrightarrow{u}$ là.
- A.
  $(1; - 1;2)$ .
- B.
  $(1;1; - 2)$ .
- C.
  $(1;1;2)$ .
- D.
  $(1; - 2;1)$ .
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \overrightarrow{k} = (0;0;1) \\ \overrightarrow{j} = (0;1;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j} = (1;1; - 2)$
Câu 30: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 31: Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;0;2)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $M \in Oy$
- B.
  $M \in (Oxz)$
- C.
  $M \in (Oxy)$
- D.
  $M \in (Oyz)$
Vì tọa độ điểm $M(1;0;2)$ có $x = 1;y = 0;z = 2$ nên $M \in (Oxz)$ .
Câu 32: Thông hiểu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1),P(1;m - 1;2)$ . Tìm giá trị của tham số $m$ để tam giác $MNP$ vuông tại $N$ ?
- A.
  $m = 2$
- B.
  $m = - 6$
- C.
  $m = 0$
- D.
  $m = - 4$
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = ( - 3; - 2;2) \\ \overrightarrow{NP} = (2;m - 2;1) \\ \end{matrix} ight.$ .

Tam giác MNP vuông tại N $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NP} = 0 \Leftrightarrow - 6 - 2(m - 2) + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 0$

Vậy đáp án cần tìm là $m = 0$ .
Câu 33: Nhận biết
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;1;2)$ . Xác định tích vô hướng $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b}$ ?
- A.
  $12$
- B.
  $2$
- C.
  $11$
- D.
  $10$
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1; - 1;5)$ nên $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b} = - 1.( - 2) + ( - 1).1 + 5.2 = 11$
Câu 34: Vận dụng cao
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 2),B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Biết $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ . Tính giá trị biểu thức $U = a - b + c$ ?
- A.
  $U = 1$
- B.
  $U = 3$
- C.
  $U = 2$
- D.
  $U = 0$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.$

Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

$\overrightarrow{DA} = - \frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = - \frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} = \frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}$ . Do đó $D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0 ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \left( \frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD = \frac{15}{7}$

$\overrightarrow{ID} = - \frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO} \Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD} \Rightarrow D(1;1;0)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow U = 0$
Câu 35: Thông hiểu
Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:
- A.
  $D(1;8; - 2)$
- B.
  $D(11;2;2)$
- C.
  $D(1;8;2)$
- D.
  $D(11;2; - 2)$
Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6 - x = 3 + 2 \\ 5 - y = 0 - 3 \\ - z = - 1 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 8 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;8;2)$ .
Câu 36: Thông hiểu
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N$ lần lượt là tung điểm của $AB;CD$ . Chọn mệnh đề đúng?
- A.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{MN} = 2\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{MN} = 2\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} ight)$
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} \\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} \\ \end{matrix} ight.$

Cộng hai vế của hai đẳng thức trên ta có:

$2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = \left( \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} ight) + \left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight) + \left( \overrightarrow{DN} + \overrightarrow{CN} ight)$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} ight)$
Câu 37: Thông hiểu
Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ điểm $M$ là:
- A.
  $M( - 2; - 3;1)$
- B.
  $M(2; - 3;1)$
- C.
  $M(2; - 1;3)$
- D.
  $M(2;3;1)$
Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ $M(2; - 3;1)$ .
Câu 38: Vận dụng
Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ . Đặt $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Gọi điểm $I \in CC'$ sao cho $\overrightarrow{C'I} = \frac{1}{3}\overrightarrow{C'C}$ , $G$ là trọng tâm tứ diện $BAB'C'$ . Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{IG}$ qua các vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ . Đáp án nào dưới đây đúng?
- A.
  $\overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} ight)$
- B.
  $\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} ight)$
- C.
  $\overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left( - 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c} ight)$
- D.
  $\overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{b} ight)$
Ta có G là trọng tâm của tứ diện $BA'B'C'$ nên

$4\overrightarrow{IG} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA'} + \overrightarrow{IB'} + \overrightarrow{IC'}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{CB} ight) + \left( \overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'A'} ight) + \left( \overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'B'} ight) + \overrightarrow{IC'}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \overrightarrow{IC'} + \left( 2\overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{IC} ight) + \left( \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{C'B'} ight) + \overrightarrow{C'A'}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{0} + 2\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AA'} + 2\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + 2\left( \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} ight) - \overrightarrow{c}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} ight)$
Câu 39: Thông hiểu
Cho hình chóp $OABC$ có $OA = OB = OC = 1$ , các cạnh $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ . Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OC};\overrightarrow{MA}$ .
- A.
  $0^{0}$
- B.
  $60^{0}$
- C.
  $90^{0}$
- D.
  $120^{0}$
Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} ight)\left( \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} ight)$

$= \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC} = - \frac{BC^{2}}{2} = - \frac{1}{2}$

Như vậy:

$\cos\left( \overrightarrow{OM};\overrightarrow{BC} ight) = \frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|} = \frac{1}{2}:\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2} = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{OM};\overrightarrow{BC} ight) = 120^{0}$
Câu 40: Nhận biết
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- A.
  Ba vectơ đồng phẳng thì có giá song song với nhau.
- B.
  Ba vectơ đồng phẳng thì có giá nằm trong một mặt phẳng.
- C.
  Nếu ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
- D.
  Nếu giá của ba vectơ đôi một vuông góc thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

42 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!