Trong không gian, cho hai vectơ
và
. Vectơ
bằng
Theo quy tắc ba điểm: .
Trong không gian, cho hai vectơ
và
. Vectơ
bằng
Theo quy tắc ba điểm: .
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
(tham khảo hình vẽ).

Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c)
. Đúng||Sai
d)
. Sai||Đúng
Cho hình lập phương có cạnh bằng
(tham khảo hình vẽ).
Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) . Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) . Đúng||Sai
d) . Sai||Đúng
a) Vì là hình bình hành nên
.
b) Vì là hình hộp nên
.
c) Vì nên
.
d) Tam giác vuông tại
nên
.
Ta có
.
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ
(đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
Ta có
(m).
Đáp số 14(m).
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh
, cạnh bên
và vuông góc với mặt đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hai vectơ
là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ
bằng
. Sai||Đúng
c) Tích vô hướng của
bằng
. Đúng||Sai
d) Độ dài vectơ
là
. Sai||Đúng
Cho hình chóp có đáy
là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh
, cạnh bên
và vuông góc với mặt đáy. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hai vectơ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng
b) Góc giữa hai vectơ bằng
. Sai||Đúng
c) Tích vô hướng của bằng
. Đúng||Sai
d) Độ dài vectơ là
. Sai||Đúng
a) Sai
Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên
Suy ra hai vectơ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.
b) Sai
Ta có ABCD là hình chữ nhật nên
Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.
Suy ra
Ta có:
c) Đúng
Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.
Suy ra
Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:
Lại có M là trung điểm của SB nên
Ta tính được
Mà
d) Sai
Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD
Do đó
Suy ra
Hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Cho ba vectơ
. Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?
Hai vectơ còn lại có thể không cùng phương nên ba vectơ có thể không đồng phẳng.
Cho hình lập phương
có cạnh
. Gọi
là trung điểm của
. Tính tích vô hướng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Ta có: hay
Do đó
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho ba điểm
. Tìm tất cả các điểm
sao cho
là hình thang có đáy
và tam giác
bằng
diện tích tứ giác
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ cho ba điểm
. Tìm tất cả các điểm
sao cho
là hình thang có đáy
và tam giác
bằng
diện tích tứ giác
?
Trong không gian
, cho
có
. Gọi
là chân đường cao hạ từ đỉnh
. Tính
.
Đáp án: -17||- 17
Trong không gian , cho
có
. Gọi
là chân đường cao hạ từ đỉnh
. Tính
.
Đáp án: -17||- 17
Ta có .
Vì là chân đường cao nên ta có
và
.
Do đó
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho vectơ
có độ dài
, gọi
lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị
trên ba trục
và vectơ
. Khi đó tọa độ điểm
là:
Gọi và
Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
Nếu thì
Suy ra tứ giác là hình bình hành
Mệnh đề sai vì:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Gọi
là điểm sao cho
là trọng tâm tam giác
. Tính tổng các tọa độ của điểm
?
Đặt . Vì
là trọng tâm tam giác
nên
Trong không gian
, cho
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có: suy ra tọa độ vectơ
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
. Với giá trị nào của
thì ba điểm đã cho thẳng hàng?
Ta có:
Vì ba điểm A; B; M thẳng hàng nên cùng phương
Vậy đáp án cần tìm là .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Lại có do đó
hay
Suy ra
Trong không gian
, cho hai điểm
,
, tọa độ điểm
thuộc trục
sao cho
thẳng hàng là
Vì điểm thuộc trục
nên
có tọa độ
.
Ta có ;
thẳng hàng
cùng phương
Vậy điểm .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Ta có: đúng
suy ra Hai vectơ
không cùng phương.
Vậy mệnh đề sai là: “Hai vectơ cùng phương”.
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c)
. Sai||Đúng
d) Tứ giác
là hình bình hành khi
. Đúng||Sai
Trong không gian , cho hai điểm
và
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) . Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) . Sai||Đúng
d) Tứ giác là hình bình hành khi
. Đúng||Sai
a) Đúng
.
b) Sai
.
c) Sai
.
d) Đúng
Ta có: ,
là hình bình hành
Tích vô hướng của 2 vectơ
trong không gian được tính bằng:
Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vecto, ta có: .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vectơ
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Vậy
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Trung điểm của đoạn thẳng
có tọa độ là:
Gọi là trung điểm của đoạn thẳng
, ta có:
Vậy tọa độ trung điểm của AB là: .
Một chiếc cần cẩu, cẩu tấm kim loại có trọng lực
, được thiết kế với tấm kim loại được giữ bởi ba đoạn cáp
sao cho
và
là tam giác đều, đồng thời các cạnh
tạo với mặt phẳng
một góc có
(như hình vẽ).

Tìm độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 1333(N)
Một chiếc cần cẩu, cẩu tấm kim loại có trọng lực , được thiết kế với tấm kim loại được giữ bởi ba đoạn cáp
sao cho
và
là tam giác đều, đồng thời các cạnh
tạo với mặt phẳng
một góc có
(như hình vẽ).
Tìm độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 1333(N)
Đặt thì
.
Chú ý thêm là:
Ta có:
với
là trọng tâm
.
Vì hình chóp đều nên
Do đó , suy ra
.
Khi gắn các lực vào ta có:
Từ đó: .
Vậy lực căng mỗi sợi dây là .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Giả sử điểm
. Tính giá trị biểu thức
?
Gọi điểm
Ta có:
Mà
Suy ra suy ra
Vậy
Cho hình chóp
có
và
. Góc giữa hai đường thẳng
và
là:
Ta có:
(vì
và
).
Suy ra góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng .
Cho hình hộp
và tâm
. Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau?
Hình vẽ minh họa
Theo quy tắc hình bình hành suy ra đúng.
Do đối nhau và
đối nhau nên
đúng.
Do suy ra
nên
sai.
Do và
nên
đúng.
Cho hình hộp chữ nhật
có
và
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của cạnh
và
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 2,43
Cho hình hộp chữ nhật có
và
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của cạnh
và
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 2,43
Cách 1. Gọi là trung điểm
,
,
,
.
Ta có .
Lại có .
Mặt khác .
Dễ thấy
.
Suy ra với
;
.
Vậy .
Cách 2. Đặt các trục ,
và
vào hình như sau
Ta có ,
,
và
.
Ta có ,
và
.
Khi đó :
.
Trong không gian
, cho
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có: suy ra tọa độ vectơ
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
,
và
. Điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành. Tính
?
Đáp án: 3
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm
,
và
. Điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành. Tính
?
Đáp án: 3
Gọi
Ta có:
là hình bình hành nên
.
Vậy .
Trong không gian
, cho tọa độ ba điểm
. Tọa độ trọng tâm
của tam giác
là:
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:
Vậy trọng tâm G tìm được là .
Cho tứ diện đều
. Số đo giữa hai đường thẳng
và
bằng:
Hình vẽ minh họa
Gọi M là trung điểm của CD
Ta có:
Suu ra nên số đo góc giữa hai đường thẳng
bằng
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của
là
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của là
. Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Đúng: Gọi là trung điểm
.
Ta có
b) Đúng: Ta có .
c) Đúng: Ta có .
Suy ra .
d) Sai: Gọi thỏa mãn
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
suy ra
.
Suy ra .
Vậy .
Trong không gian
, cho các điểm
. Tích
bằng:
Ta có: . Khi đó
.
Trong không gian cho tứ diện đều
. Khẳng định nào sau đây sai?
Tứ diện đều nên
không thể vuông góc với
.
Vậy khẳng định sai là: “”.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Tìm tọa độ điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian
, góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng:
Ta có: góc giữa hai mặt phẳng và
bằng:
.
Trong không gian
, cho các điểm
. Xác định tọa độ điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
có hoành độ dương thuộc trục
sao cho tam giác
vuông tại
?
Ta có: có hoành độ dương thuộc trục
Theo bài ra ta có: và tam giác
vuông tại
nên
Vậy
Trong không gian
, cho
. Biết
trong đó
là số nguyên dương. Tìm
?
Đáp án: 135
Trong không gian , cho
. Biết
trong đó
là số nguyên dương. Tìm
?
Đáp án: 135
Ta có .
Suy ra .
.
Vậy
Cho hai đường thẳng
và
lần lượt có vectơ chỉ phương là
và
. Nếu
là góc giữa hai đường thẳng
và
thì:
Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là .
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng
.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a)
. Sai||Đúng
b)
. Đúng||Sai
c)
. Sai||Đúng
d)
nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai
Cho tứ diện . Gọi
lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng
.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
a) . Sai||Đúng
b) . Đúng||Sai
c) . Sai||Đúng
d) nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai
Hình vẽ minh họa
a) Đúng: .
b) Đúng: Vi là trung điểm của
nên
Vì là trung điểm của
nên
Vì là trung điểm của
nên
Do đó:
c) Sai:
d) Đúng
Ta có: .
.
Do đó: nhỏ nhất khi