Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Câu 1: Nhận biết

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;2;3),B( - 1;2;1),C(3; - 1; - 2)$ . Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ ?

A.
$- 6$
B.
$- 14$
C.
$14$
D.
$6$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2;0; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (2; - 3; - 5) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 6$

Câu 2: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( - 3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Tìm tọa độ điểm $C'$ ?

A.
$C'(10;4;4)$
B.
$C'( - 13;4;4)$
C.
$C'(13;4;4)$
D.
$C'(7;4;4)$

Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} + 0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC'} = 10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} + 4.\overrightarrow{k}$ mà $A( - 3;0;0)$

$\Rightarrow C'(7;4;4)$

Suy ra $C'(7;4;4)$

Câu 3: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2)$ . Tính cosin góc $\widehat{BAC}$ ?

A.
$\frac{9}{\sqrt{35}}$
B.
$- \frac{9}{\sqrt{35}}$
C.
$- \frac{9}{2\sqrt{35}}$
D.
$\frac{9}{2\sqrt{35}}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;5; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (5;4; - 1) \\ \end{matrix} ight.$ .

$\cos\widehat{BAC} = \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|} = \frac{5 + 20 + 2}{\sqrt{30}.\sqrt{42}} = \frac{9}{2\sqrt{35}}$

Câu 4: Nhận biết

Trong không gian cho tứ diện $ABCD$ , gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của $AD;BC$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng.
B.
$\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN}$ không đồng phẳng.
C.
$\overrightarrow{AN};\overrightarrow{CM};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng.
D.
$\overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng.

Hình vẽ minh họa

Vì $M;N$ lần lượt là trung điểm của $AD;BC$ suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight) \\ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} ight) \\ \end{matrix} ight.$

Xét các phương án như sau:

$\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng đúng vì $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight)$

$\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN}$ không đồng phẳng đúng vì MN không nằm trong (ABC)

$\overrightarrow{AN};\overrightarrow{CM};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng sai vì AN không nằm trong (MNC)

$\overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng đúng vì $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} ight)$ .

Câu 5: Thông hiểu

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4)$ . Gọi $\overrightarrow{x}$ là vectơ thoả mãn: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\ \end{matrix} ight.$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{x}$ là:

A.
$(2; 3 ; 1)$ .
B.
$(2;3; - 2)$ .
C.
$(3;2; - 2)$ .
D.
$(1;3;2)$ .

Đặt $\overrightarrow{x} = (a;b;c)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - b + 3c = - 5 \\a - 3b + 2c = - 11 \\3a + 2b - 4c = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 3 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Vậy $\overrightarrow{x} = (2;3; - 2)$ .

Câu 6: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(\alpha):x - y + 2z - 3 = 0$ đi qua điểm nào sau đây?

A.
$\left( 1;1;\frac{3}{2} ight)$
B.
$\left( 1; - 1; - \frac{3}{2} ight)$
C.
$(1;6;1)$
D.
$(0;3;0)$

Xét điểm $\left( 1;1;\frac{3}{2} ight)$ ta có: $1 - 1 + 2.\frac{3}{2} - 3 = 0$ đúng nên $\left( 1;1;\frac{3}{2} ight) \in (\alpha)$ .

Câu 7: Thông hiểu

Cho hình hộp $ABCD.EFFH$ . Phân tích nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} ight)$
B.
$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} ight)$
C.
$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC}$
D.
$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} ight)$

Hình vẽ minh họa

Biến đổi biểu thức

$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} ight)$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{CH}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AE} + \left( \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AF} ight) = \overrightarrow{CH}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CH}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CH}$ (đúng)

Vậy phân tích đúng là $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC} ight)$ .

Câu 8: Vận dụng

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có hai đỉnh $B;C$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ . Gọi $A'$ là hình chiếu vuông góc của đỉnh $A$ lên $(P)$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.
Tam giác $A'BC$ là tam giác vuông.
B.
Tam giác $A'BC$ là tam giác nhọn.
C.
Tam giác $A'BC$ là tam giác tù.
D.
Tam giác $A'BC$ có góc $A'$ không bé hơn góc vuông.

Nếu A nằm trên (P) tức A’ trùng với A thì tam giác A’BC có góc A vuông, nếu A không nằm trên (P) thì

$\overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{A'A}.\overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C}$

$= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC} ight)$

$= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'A} = - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AA'} < 0$ suy ra góc $\widehat{BA'C}$ là góc tù.

Câu 9: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1)$ . Tìm tất cả các điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{3}$ diện tích tứ giác $ABCD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 10: Nhận biết

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2; - 4;3)$ và $B(2;2;7)$ . Xác định tọa độ trung điểm $I$ của $AB$ ?

A.
$I(1;0;4)$
B.
$I(2;0;8)$
C.
$I(2; - 2; - 1)$
D.
$I( - 2;2;1)$

Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:

$\left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 1 \\y_{I} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 0 \\z_{I} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(1;0;4)$

Vậy đáp án đúng là: $I(1;0;4)$ .

Câu 11: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 2;3;1),B(5;6;2)$ . Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(Oxz)$ tại điểm $M$ . Tính tỉ số $\frac{AM}{BM}$ ?

A.
$\frac{AM}{BM} = \frac{1}{2}$
B.
$\frac{AM}{BM} = 2$
C.
$\frac{AM}{BM} = \frac{1}{3}$
D.
$\frac{AM}{BM} = 3$

Ta có: $M \in (Oxz) \Rightarrow M(x;0;z)$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (7;3;1) \Rightarrow AB = \sqrt{59} \\ \overrightarrow{AM} = (x + 2; - 3;z - 1) \\ \end{matrix} ight.$ và ba điểm $A;B;M$ thẳng hàng

$\overrightarrow{AM} = k.\overrightarrow{AB};\left( k\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2 = 7k \\ - 3 = 3k \\ z - 1 = k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 9 \\ k = - 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow M( - 9;0;0) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BM} = ( - 14; - 6; - 2) \\ \overrightarrow{AM} = ( - 7; - 3; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BM = 2AB$

Vậy đáp án đúng là $\frac{AM}{BM} = \frac{1}{2}$ .

Câu 12: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)$ . Tìm tọa độ điểm $A'$ ?

A.
$A'(4;6; - 5)$
B.
$A'(2;0;2)$
C.
$A'(3;5; - 6)$
D.
$A'(3;4; - 6)$

Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;1;1) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (0; - 1;0) = 0.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6) = 3.\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$ do đó $\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = 2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k}$ hay $\overrightarrow{AA'} = (3;5; - 6)$

Suy ra $A'(3;5; - 6)$

Câu 13: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho vectơ $\overrightarrow{OM}$ có độ dài $\left| \overrightarrow{OM} ight| = 1$ , gọi $\alpha;\beta;\gamma$ lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ trên ba trục $Ox;Oy;Oz$ và vectơ $\overrightarrow{OM}$ . Khi đó tọa độ điểm $M$ là:

A.
$M\left(\sin\beta\cos\alpha;\sin\alpha\cos\beta;cos\gammaight)$
B.
$M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$
C.
$M\left( \sin\alpha;\sin\beta;\sin\gammaight)$
D.
$M\left(\sin\alpha\cos\alpha;\sin\beta\cos\beta;\sin\gamma\cos\gammaight)$

Gọi $M(x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{OM} = (x;y;z)$ và $\overrightarrow{i} = (1;0;0),\overrightarrow{j} = (0;1;0),\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

$\left\{ \begin{matrix}\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{i}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{i} ight|} = x \\\cos\beta = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{j}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = y \\\cos\gamma = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{k}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{k} ight|} = z \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$

Câu 14: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;P$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ . Đặt $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{d} ight)$
B.
$\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{d} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} ight)$
C.
$\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} ight)$
D.
$\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} ight)$

Ta có:

$\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{MC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

$= - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} ight)$

Vậy khẳng định đúng $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} ight)$ .

Câu 15: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $M( - 2;6;1),M'(a;b;c)$ đối xứng nhau qua mặt phẳng $(Oyz)$ . Tính giá trị biểu thức $S = 7a - 2b + 2017c - 1$ ?

A.
$S = 2017$
B.
$S = 2042$
C.
$S = 0$
D.
$S = 2018$

Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng $(Oyz)$ suy ra H(0; 6; 1)

Do M’ đối xứng với M qua $(Oyz)$ nên MM’ nhận H làm trung điểm suy ra M’(2; 6; 1) suy ra a = 2; b = 6; c = 1

Vậy $S = 7a - 2b + 2017c - 1 = 2018$ .

Câu 16: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(Oyz)$ bằng:

A.
$45^{0}$
B.
$30^{0}$
C.
$90^{0}$
D.
$60^{0}$

Ta có: góc giữa hai mặt phẳng $(Oxy)$ và $(Oyz)$ bằng: $90^{0}$ .

Câu 17: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ . cho điểm $M(3; - 1;2)$ . Tìm tọa độ điểm $N$ đối xứng với điểm $M$ qua mặt phẳng $(Oyz)$ ?

A.
$N(0; - 1;2)$
B.
$N(3;1; - 2)$
C.
$N( - 3; - 1;2)$
D.
$N(0;1;1)$

Lấy đối xứng qua mặt phẳng $(Oyz)$ thì $x$ đổi dấu còn $y;z$ giữ nguyên nên điểm $N$ có tọa độ là $N( - 3; - 1;2)$ .

Câu 18: Vận dụng cao

Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy các điểm $A';B';C'$ lần lượt thuộc các tia $SA;SB;SC$ sao cho $\frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} = b;\frac{SC}{SC'} = c$ trong đó $a;b;c$ là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?

A.
$a + b + c = 3$
B.
$a + b + c = 4$
C.
$a + b + c = 2$
D.
$a + b + c = 1$

Hình vẽ minh họa

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

Khi đó $3\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{0}$ mà $\overrightarrow{SA} = a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} = b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} = c\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $3\overrightarrow{SG} = a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} + c\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}$

Vì mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ suy ra $\overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'}$ đồng phẳng.

Do đó tồn tại ba số $l;m;n$ sao cho $l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0$ ) và $l\overrightarrow{GA'} + m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow l\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) = \overrightarrow{0}$ s

$\Leftrightarrow (l + m + n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} + m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $\frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m + n} = 1$

$\Rightarrow a + b + c = 3$

Câu 19: Thông hiểu

Trong không gian cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Khi đó $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}$ bằng.

A.
$4\overrightarrow{OS}$ .
B.
$4\overrightarrow{SO}$ .
C.
$2\overrightarrow{SO}$ .
D.
$3\overrightarrow{SO}$ .

Do $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$ nên $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ .

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có

$\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}$

$= \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{SO} + \overrightarrow{OD} ight)$

$= 4\overrightarrow{SO}$

Câu 20: Nhận biết

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.
Nếu $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thì bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng.
B.
$\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{BC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$ .
C.
Nếu $\overrightarrow{AB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ thì $B$ là trung điểm của $AC$ .
D.
Cho $d \subset (\alpha);d \subset (\beta)$ . Nếu mặt phẳng $(\alpha)\bot(\beta)$ thì $d\bot d'$ .

Ta có: $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thỏa mãn biểu thức $\overrightarrow{c} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b}$ (với $m;n$ duy nhất) của định lí về các vectơ đồng phẳng.

Vậy đáp án đúng là: “Nếu $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thì bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng.”

Câu 21: Nhận biết

Hình chiếu vuông góc của điểm $A(2; - 1;0)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là:

A.
$(0;0;0)$ .
B.
$(2; - 1;0)$ .
C.
$(2;0;0)$ .
D.
$(0; - 1;0)$ .

Hình chiếu vuông góc của điểm $A(2; - 1;0)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là điểm có tọa độ $(2;0;0)$ .

Câu 22: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5)$ . Biết $\widehat{ABC} = a^{0}$ trong đó $a$ là số nguyên dương. Tìm $a$ ?

Đáp án: 135

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $A(0;3;5),B(0;2;5),C(1;1;5)$ . Biết $\widehat{ABC} = a^{0}$ trong đó $a$ là số nguyên dương. Tìm $a$ ?

Đáp án: 135

Ta có $\overrightarrow{BA} = (0;1;0),\overrightarrow{BC} = (1; - 1;0)$ .

Suy ra $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC} = - 1,\left| \overrightarrow{BA} ight| = 1,\left| \overrightarrow{BC} ight| = \sqrt{2}$ .

$\cos\widehat{ABC} = \frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{BA} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \widehat{ABC} = 135^{0}$ .

Vậy $a = 135$

Câu 23: Vận dụng cao

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.

Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

Đáp án: 6311

Đáp án là:

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt $E(0;0;6)$ , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là $A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight)$ , $A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight)$ . Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là $240\ N$ , tác dụng lên các giá đỡ theo các lực $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}}$ như hình.

Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}}$ (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

Đáp án: 6311

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{EA_{1}} = (0;1; - 6) \\\overrightarrow{EA_{2}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; - 6ight) \\\overrightarrow{EA_{3}} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; -6 ight) \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow EA_{1} = EA_{2} = EA_{3} =\sqrt{37}$ .

Suy ra, $\left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = \left|\overrightarrow{F_{3}} ight|$ (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).

Do đó: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = k\overrightarrow{EA_{1}} = (0;k; - 6k) \\\overrightarrow{F_{2}} = k\overrightarrow{EA_{2}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = k\overrightarrow{EA_{3}} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = (0;0; -18k)$ .

Mà $\overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{P} =(0;0; - 240)$ .

Suy ra $- 18k = - 240 \Leftrightarrow k =\frac{40}{3}$ .

Từ đó $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = \left( 0;\frac{40}{3}; - 80 ight) \\\overrightarrow{F_{2}} = \left( \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3}; -80 ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = \left( - \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3};- 80 ight) \\\end{matrix} ight.$ .

Vậy $\overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{F_{3}} =0.\left( \frac{- 20\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{40}{3}\left( -\frac{20}{3} ight) + ( - 80).( - 80) \approx 6311$ .

Câu 24: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Vì $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ nên $A(3;0; - 1)$ .

b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2)$ .

Vì $4:2:4 eq - 2:4:2$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương suy ra $A,B,C$ không thẳng hàng.

c) Đúng

Vì $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $D( - 5;4;7)$ .

Do đó $a = - 5,b = 4,c = 7$ . Vậy $a + b + c = 6$ .

d) Đúng. Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.$

$MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$=(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$

Do $IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$ không thay đổi nên $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất hay $M$ là hình chiếu của điểm $I$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Do đó $M(1;2;0)$ suy ra $m=1,n=2,p=0$ .

Vậy $2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0$ .

Câu 25: Nhận biết

Cho ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ . Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?

A.
Một trong ba vectơ đó bằng $\overrightarrow{0}$ .
B.
Có hai trong ba vectơ đó cùng phương.
C.
Có một vectơ không cùng hướng với hai vectơ còn lại.
D.
Có hai trong ba vectơ đó cùng hướng.

Hai vectơ còn lại có thể không cùng phương nên ba vectơ có thể không đồng phẳng.

Câu 26: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k}$ . Tọa độ điểm $A$ là:

A.
$(0;1; - 2)$
B.
$(1; - 2;0)$
C.
$(1;0; - 2)$
D.
$(0; - 1;2)$

Ta có: $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} \Leftrightarrow A(0;1; - 2)$

Câu 27: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $M(3; - 2;1),N(1;0; - 3)$ . Gọi $M';N'$ lần lượt là hình chiếu của $M;N$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ . Khi đó độ dài đoạn thẳng $M'N'$ bằng:

A.
$M'N' = 8$
B.
$M'N' = 4$
C.
$M'N' = 2\sqrt{6}$
D.
$M'N' = 2\sqrt{2}$

Vì $M';N'$ lần lượt là hình chiếu của $M;N$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ nên $M'(3; - 2;0),N'(1;0;0)$ suy ra $\overrightarrow{M'N'} = ( - 2;2;0)$

$\Rightarrow M'N' = 2\sqrt{2}$ .

Câu 28: Nhận biết

Cho hai đường thẳng $a$ và $a'$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{u'}$ . Nếu $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $a'$ thì:

A.
$\varphi = \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
B.
$\varphi = \pi - \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
C.
$\cos\varphi = \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
D.
$\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$

Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là $\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$ .

Câu 29: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2; - 3),\ \ B(3; - 2;1)$ . Tọa độ trung điểm của $AB$ là.

A.
$(2;0; - 1)$ .
B.
$(4;0; - 2)$ .
C.
$(1; - 2;2)$ .
D.
$(2; - 4;4)$ .

Tọa độ trung điểm I của AB là:

$I = \left( \frac{1 + 3}{2};\frac{2 - 2}{2};\frac{- 3 + 1}{2} ight) = (2;0; - 1)$

Câu 30: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ và điểm $G$ thỏa mãn $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ ( $G$ là trọng tâm của tứ diện). Gọi $G_{0}$ là giao điểm của $GA$ và mặt phẳng $(BCD)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{GA} = - 2\overrightarrow{G_{0}G}$
B.
$\overrightarrow{GA} = 4\overrightarrow{G_{0}G}$
C.
$\overrightarrow{GA} = 3\overrightarrow{G_{0}G}$
D.
$\overrightarrow{GA} = 2\overrightarrow{G_{0}G}$

Hình vẽ minh họa

Vì $G_{0}$ là giao điểm của $GA$ và mặt phẳng $(BCD)$ suy ra $G_{0}$ là trọng tâm tam giác $BCD$ suy ra $\overrightarrow{G_{0}B} + \overrightarrow{G_{0}C} + \overrightarrow{G_{0}D} = \overrightarrow{0}$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GG_{0}} + \overrightarrow{G_{0}B} + \overrightarrow{G_{0}C} + \overrightarrow{G_{0}D} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GG_{0}} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} = 3\overrightarrow{G_{0}G}$

Câu 31: Nhận biết

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 2;2;0);\overrightarrow{b} = (2;2;0);\overrightarrow{c} = (2;2;2)$ . Khi đó giá trị của $\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight|$ bằng bao nhiêu?

A.
$9$
B.
$15$
C.
$2\sqrt{11}$
D.
$2\sqrt{6}$

Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = ( - 2 + 2 + 2;2 + 2 + 2;0 + 0 + 2) = (2;6;2)$ .

Khi đó $\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight| = \sqrt{2^{2} + 6^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{11}$

Vậy đáp án cần tìm là: $2\sqrt{11}$

Câu 32: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{u} =2\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$ và $\overrightarrow{v} = (m;2;m + 1)$ (với $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để $\left| \overrightarrow{u} ight| = \left|\overrightarrow{v} ight|$ ?

A.
$0$
B.
$1$
C.
$2$
D.
$3$

Ta có: $\overrightarrow{u} = (2; -2;1)$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}\left| \overrightarrow{u} ight| = \sqrt{2^{2} + ( - 2)^{2} + 1^{2}} =3 \\\left| \overrightarrow{v} ight| = \sqrt{m^{2} + 2^{2} + (m + 1)^{2}} =\sqrt{2m^{2} + 2m + 5} \\\end{matrix} ight.$

Do đó $\left| \overrightarrow{u} ight| =\left| \overrightarrow{v} ight| \Leftrightarrow 9 = 2m^{2} + 2m +5$

$\Leftrightarrow m^{2} + m - 2 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 1 \\m = - 2 \\\end{matrix} ight.$

Vậy có 2 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 33: Nhận biết

Trong không gian cho tứ diện đều $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$
B.
$\overrightarrow{AC}\bot\overrightarrow{BC}$
C.
$\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{BC}$
D.
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

Tứ diện $ABCD$ đều nên $\overrightarrow{AD}$ không thể vuông góc với $\overrightarrow{DC}$ .

Vậy khẳng định sai là: “ $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$ ”.

Câu 34: Nhận biết

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (1;2;3);\overrightarrow{b} = (2;2; - 1);\overrightarrow{c} = (4;0; - 4)$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}$ là:

A.
$\overrightarrow{d}( - 7;0; - 4)$
B.
$\overrightarrow{d}( - 7;0;4)$
C.
$\overrightarrow{d}(7;0; - 4)$
D.
$\overrightarrow{d}(7;0;4)$

Ta có:

$\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} = \left( 1 - 2 + 2.4;2 - 2 + 2.0;3 + 1 + 2.( - 4) ight) = (7;0; - 4)$

Vậy $\overrightarrow{d}(7;0; - 4)$

Câu 35: Thông hiểu

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tâm $O$ . Gọi $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ . Đặt $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{u};\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{v};\overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{x};\overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{y}$ . Chọn khẳng định đúng?

A.
$2\overrightarrow{OI} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} ight)$
B.
$2\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} ight)$
C.
$2\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} ight)$
D.
$2\overrightarrow{OI} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} ight)$

Vì $I$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên

$4\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{OI} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C'A} + \overrightarrow{D'B} + \overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{B'D} ight)$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{BD'} + \overrightarrow{CA'} + \overrightarrow{DB'} ight)$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} ight)$

Câu 36: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ điểm $M$ là:

A.
$M( - 2; - 3;1)$
B.
$M(2; - 3;1)$
C.
$M(2; - 1;3)$
D.
$M(2;3;1)$

Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ $M(2; - 3;1)$ .

Câu 37: Vận dụng

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M;N;P;Q;R;S;G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB;CD;AC;BD;AD;BC;MN$ .

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

a) $\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}$ . Sai||Đúng

b) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ . Đúng||Sai

c) $2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Sai||Đúng

d) $\left| \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm I trùng với điểm G. Đúng||Sai

Hình vẽ minh họa

a) Đúng: $\left. \ \begin{matrix}\overrightarrow{MR} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\overrightarrow{SN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \\\end{matrix} ight\} \Rightarrow \overrightarrow{MR} =\overrightarrow{SN}$ .

b) Đúng: Vi $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM}$

Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN}$

Vì $G$ là trung điểm của $MN$ nên $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$

Do đó: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}) = 2.\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$

c) Sai: $\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} =\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow{PQ} =\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AD}$

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{IG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) = 4\overrightarrow{IG}$ .

$\Rightarrow |\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}| = |4\overrightarrow{IG}| = 4IG$ .

Do đó: $|\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}|$ nhỏ nhất khi $IG = 0 \Leftrightarrow I \equiv G$

Câu 38: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?

A.
$D(2;0;0)$
B.
$D(1;1;1)$
C.
$D(0;0;1)$
D.
$D(0;2;1)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = - 1 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(0;0;1)$ .

Câu 39: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho điểm $M(x;y;z)$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.
Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(Oxz)$ thì $M'(x;y; - z)$ .
B.
Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua trục $Oy$ thì $M'(x;y; - z)$ .
C.
Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(Oxy)$ thì $M'(x;y; - z)$ .
D.
Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ thì $M'(2x;2y;0)$ .

Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(Oxz)$ thì $M'(x; - y;z)$ .

Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua trục $Oy$ thì $M'( - x;y; - z)$ .

Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ thì $M'( - x; - y; - z)$ .

Vậy mệnh đề đúng là: “Nếu $M'$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(Oxy)$ thì $M'(x;y; - z)$ ”.

Câu 40: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Đặt $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A.
$\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} ight)$
B.
$\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left( - 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
C.
$\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
D.
$\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} ight)$

Hình vẽ minh họa

Vì M là trung điểm của BC nên suy ra $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

Ta có: $\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

$= \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} ight) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} ight)$

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!