Cho hình hộp
. Tính tổng
?
Hình vẽ minh họa
Cho hình hộp
. Tính tổng
?
Hình vẽ minh họa
Trong không gian
, cho hình hộp chữ nhật
có
trùng với gốc tọa độ
Biết rằng
,
,
với
,
là các số dương và
. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện
? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16
Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật
có
trùng với gốc tọa độ
Biết rằng
,
,
với
,
là các số dương và
. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện
? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: 3,16
Hình vẽ minh họa
Ta có: ,
,
,
nên
⇒ (do
);
;
.
Mà
⇒.
Xét hàm số trên
⇒
Bảng biến thiên:
Vậy .
Trong không gian, cho hình lập phương
. Góc giữa hai vectơ
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Ta có: . Do đó,
Vì nên tam giác
là tam giác đều.
Suy ra
Vậy
Tích tất cả giá trị của
để góc tạo bởi đường thẳng
và đường thẳng
bằng
là:
Đáp án: -4||- 4
Tích tất cả giá trị của để góc tạo bởi đường thẳng
và đường thẳng
bằng
là:
Đáp án: -4||- 4
Gọi là góc giữa hai đường thẳng đã cho.
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là
.
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là
.
Ta có:
Vậy tích tất cả các giá trị của tham số a bằng -4.
Cho tứ diện
và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Cho tứ diện và các điểm
xác định bởi
. Tìm
để các đường thẳng
cùng song song với một mặt phẳng?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ
và
là một vecto tùy ý khác
.
Tính ![]()
Đáp án: 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ
và
là một vecto tùy ý khác
.
Tính
Đáp án: 1
Giả sử .
Ta có
Vậy
Cho hình lăng trụ tam giác
. Đặt
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Ta có:
Do đó
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho vectơ
. Khi đó tọa độ của
là.
Do .
Trong không gian
, mặt phẳng
đi qua điểm nào sau đây?
Xét điểm ta có:
đúng nên
.
Trong không gian tọa độ
, hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt phẳng
là:
Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng
là điểm có tọa độ
.
Trong không gian
, cho các điểm
. Xác định tọa độ điểm
thỏa mãn
?
Ta có:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Xác định tích vô hướng
?
Ta có: nên
Cho ba vectơ
không đồng phẳng. Xét các vectơ ![]()
![]()
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Giả sử ba vectơ đồng phẳng, khi đó
Ta có:
Khi đó:
Vậy ba vectơ đồng phẳng.
Vậy khẳng định đúng là: “Ba vectơ đồng phẳng”.
Trong không gian
, góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng:
Ta có: góc giữa hai mặt phẳng và
bằng:
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Lại có do đó
hay
Suy ra
Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Cho tứ diện có
đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm
thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
?
Tìm tọa độ trung điểm
của đoạn thẳng
. Biết tọa độ hai điểm
và
.
Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:
Vậy đáp án đúng là: .
Cho hình lập phương
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Vì (
là hình chữ nhật) nên
(
là hình vuông)
Trong không gian
, cho tọa độ ba điểm
. Góc giữa hai đường thẳng
và
là
Ta có: .
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Điểm
là điểm thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm hình bình hành suy ra
Ta có:
suy ra ba điểm
thẳng hàng.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho vectơ
có độ dài
, gọi
lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị
trên ba trục
và vectơ
. Khi đó tọa độ điểm
là:
Gọi và
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vectơ
. Tọa độ vectơ
là:
Ta có:
Vậy
Trong không gian
, điểm đối xứng của điểm
qua trục
có tọa độ là
Gọi là điểm đối xứng của
qua trục
.
Hình chiếu vuông góc của lên trục
là
Khi đó là trung điểm của
. Do đó tọa độ của
là
Cho lăng trụ tam giác
. Đặt
. Biểu diễn vectơ
qua các vectơ
. Chọn đáp án đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Giả sử điểm
. Tính giá trị biểu thức
?
Gọi điểm
Ta có:
Mà
Suy ra suy ra
Vậy
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
để
?
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là .
Cho hình hộp
có tâm
. Đặt
. Điểm
xác định bởi đẳng thức
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi lần lượt là tâm các mặt đáy
suy ra
là trung điểm của
Do là hình hộp nên
Theo giả thiết ta có:
Vì là hình hộp nên từ đẳng thức
suy ra M là trung điểm của
.
Trong không gian
, cho hai vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: do đó
Vậy đáp án cần tìm là .
Trong không gian cho tứ diện đều
. Khẳng định nào sau đây sai?
Tứ diện đều nên
không thể vuông góc với
.
Vậy khẳng định sai là: “”.
Trong không gian
, cho vectơ
. Tọa độ điểm
là:
Ta có:
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ
(đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm
là tâm của nguồn phát âm với bán kính
. Để kiểm tra một điểm ở vị trí
có nhận được cường độ âm phát ra tại
hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí
và
. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí
và
là bao nhiêu mét?
Đáp án: 14 (m)
Ta có
(m).
Đáp số 14(m).
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các vectơ
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
không cùng phương vì
Vậy mệnh đề đúng là
Cho hai đường thẳng
và
lần lượt có vectơ chỉ phương là
và
. Nếu
là góc giữa hai đường thẳng
và
thì:
Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Lại có
mà
Suy ra
Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho ba điểm
. Tìm tất cả các điểm
sao cho
là hình thang có đáy
và tam giác
bằng
diện tích tứ giác
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ cho ba điểm
. Tìm tất cả các điểm
sao cho
là hình thang có đáy
và tam giác
bằng
diện tích tứ giác
?
Cho tứ diện
có
và
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Xét tam giác ICD có I là trung điểm đoạn CD
Tam giác ABC có và
suy ra tam giác
đều suy ra
Tương tự ta cũng có tam giác ABD đều nên
Ta có:
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c)
. Sai||Đúng
d) Tứ giác
là hình bình hành khi
. Đúng||Sai
Trong không gian , cho hai điểm
và
. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) . Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) . Sai||Đúng
d) Tứ giác là hình bình hành khi
. Đúng||Sai
a) Đúng
.
b) Sai
.
c) Sai
.
d) Đúng
Ta có: ,
là hình bình hành
Trong không gian tọa độ
, cho hai điểm
. Tìm tọa độ điểm
có hoành độ dương thuộc trục
sao cho tam giác
vuông tại
?
Ta có: có hoành độ dương thuộc trục
Theo bài ra ta có: và tam giác
vuông tại
nên
Vậy