Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD. Số đo giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của CD

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} ight) = \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}

    Suu ra \overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD} nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB;CD bằng 90^{0}.

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian cho hai đường thẳng a;b lần lượt có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}. Gọi \alpha là góc giữa hai đường thẳng a;b. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Khẳng định đúng: “Nếu a\bot b thì \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}”.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Đặt \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của CD suy ra \overrightarrow{BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BM}

    Ta có: \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BM}

    = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} ight) = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} ight)

    = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)

    = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight) = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)

  • Câu 4: Vận dụng

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(1000;600;14) đến điểm N trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng Q(1400;800;16). Xác định tọa độ vị trí điểm N. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

    Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(1000;600;14) đến điểm N trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng Q(1400;800;16). Xác định tọa độ vị trí điểm N. (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

    Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

    Gọi N(x;y;z) là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.

    \overrightarrow{MQ} = (400;200;2).

    \overrightarrow{NQ} = (1400 - x;800 - y;16 - z).

    Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên \overrightarrow{MQ} và \overrightarrow{NQ} cùng hướng.

    Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ M đến Q gấp 4 lần thời gian bay từ N đến Q nên MQ = 4NQ.

    Suy ra: \overrightarrow{MQ} = 4\overrightarrow{NQ}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 400 = 4(1400 - x) \\ 200 = 4(800 - y) \\ 2 = 4(16 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1300 \\ y = 750 \\ z = 15,5 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow N(1300;750;15,5)

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(0;3; - 2) và N(2; - 1;0). Vectơ \overrightarrow{MN} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{MN} = (2 - 0; - 1 - 3;0 + 2) = (2; - 4;2)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{MN} = (2; - 4;2).

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm của hai đường chéo AC và BD trùng với gốc tọa độ O. Các véc tơ \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OS} lần lượt cùng hướng với các véc tơ \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} và OA = 3, OS = 2. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Tọa độ của véc tơ \overrightarrow{OM} là

    Hình vẽ minh họa

    Ta có OB = \sqrt{AB^{2} - OA^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4.

    Khi đó \overrightarrow{OB} = (4;0;0),\ \ \ \overrightarrow{OS} = (0;0;2).

    Vì M là trung điểm của SB nên ta có

    \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OB} ight) = (2;0;1).

  • Câu 7: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; - 3;5). Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua trục Oy?

    Gọi H là hình chiếu vuông góc của A(2; - 3;5) lên Oy suy ra H(0; - 3;0)

    Khi đó H là trung điểm của AA' nên

    \left\{ \begin{matrix} x_{A'} = 2x_{H} - x_{A} \\ y_{A'} = 2y_{H} - y_{A} \\ z_{A'} = 2z_{H} - z_{A} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{A'} = 2 \\ y_{A'} = - 3 \\ z_{A'} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow A'( - 2; - 3; - 5)

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình chóp OABC có OA = OB = OC = 1, các cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow{OC};\overrightarrow{MA}.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} ight)\left( \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} ight)

    = \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC} = - \frac{BC^{2}}{2} = - \frac{1}{2}

    Như vậy:

    \cos\left( \overrightarrow{OM};\overrightarrow{BC} ight) = \frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|} = \frac{1}{2}:\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2} = - \frac{1}{2}

    \Rightarrow \left( \overrightarrow{OM};\overrightarrow{BC} ight) = 120^{0}

  • Câu 9: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho vectơ \overrightarrow{OM} có độ dài \left| \overrightarrow{OM} ight| = 1, gọi \alpha;\beta;\gamma lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị \overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k} trên ba trục Ox;Oy;Oz và vectơ \overrightarrow{OM}. Khi đó tọa độ điểm M là:

    Gọi M(x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{OM} = (x;y;z) và \overrightarrow{i} = (1;0;0),\overrightarrow{j} = (0;1;0),\overrightarrow{k} = (0;0;1)

    \left\{ \begin{matrix}\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{i}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{i} ight|} = x \\\cos\beta = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{j}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = y \\\cos\gamma = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{k}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{k} ight|} = z \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành hình bình hành. Biết các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1). Xác định tọa độ điểm C?

    Giả sử điểm C(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 1 \\ y + 1 = 1 \\ z - 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm C(2;0;2).

  • Câu 11: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5). Tìm tọa độ điểm A'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}

    \Rightarrow \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;1;1) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (0; - 1;0) = 0.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6) = 3.\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight. do đó \Rightarrow \overrightarrow{AA'} = 2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} hay \overrightarrow{AA'} = (3;5; - 6)

    Suy ra A'(3;5; - 6)

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \overrightarrow{a} = (1;2;3);\overrightarrow{b} = (2;2; - 1);\overrightarrow{c} = (4;0; - 4). Tọa độ vectơ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} là:

    Ta có:

    \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} = \left( 1 - 2 + 2.4;2 - 2 + 2.0;3 + 1 + 2.( - 4) ight) = (7;0; - 4)

    Vậy \overrightarrow{d}(7;0; - 4)

  • Câu 13: Vận dụng

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'; đáy là hình vuông cạnh a. Trên cạnh DC;BB' lần lượt lấy các điểm M;N sao cho DM = BN = x;(0 \leq x \leq a). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng A'C và MN.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'; đáy là hình vuông cạnh a. Trên cạnh DC;BB' lần lượt lấy các điểm M;N sao cho DM = BN = x;(0 \leq x \leq a). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng A'C và MN.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0};\widehat{CAD} = 90^{0}. Gọi I;J lần lượt là trung điểm của AB;CD. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{IJ}?

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác ICD có I là trung điểm đoạn CD \Rightarrow \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight)

    Tam giác ABC có AB = AC và \widehat{BAC} = 60^{0} suy ra tam giác ABC đều suy ra CI\bot AB

    Tương tự ta cũng có tam giác ABD đều nên DI\bot AB

    Ta có: \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{ÂB} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight).\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB} = 0

    \Rightarrow \overrightarrow{IJ}\bot\overrightarrow{AB} \Rightarrow \left( \overrightarrow{IJ};\overrightarrow{AB} ight) = 90^{0}

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( - 1;2; - 3) và B(2; - 1;0). Vectơ \overrightarrow{AB} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (2 + 1; - 1 - 2;0 + 3) = (3; - 3;3)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} = (3; - 3;3).

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho  A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1), khi đó tọa độ điểm B là:

    Gọi B(x;y;z) ta có:

    A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1) khi đó \left\{\begin{matrix}x - 1 = 1 \\y - 2 = 3 \\z + 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = 5 \\z = 0 \\\end{matrix} ight. nên tọa độ điểm cần tìm là B(2;5;0).

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;1). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành?

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = - 1 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(0;0;1).

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Tính \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD}.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = \left( \overrightarrow{AA_{1}} + \overrightarrow{AC} ight)\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)

    = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = 0

    \Rightarrow \overrightarrow{AC_{1}}.\overrightarrow{BD} = 0

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C', điểm M trên CC' sao cho \overrightarrow{MC} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{MC'}. Đặt \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a},\ \ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có

    \overrightarrow{A'M} = \overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{CM}

    = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{A'C'} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AA'}

    = - \overrightarrow{AA'} +\overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AA'}

    = \overrightarrow{AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{b} - \frac{3}{4}\overrightarrow{c}

  • Câu 20: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; - 2),B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight). Biết I(a;b;c) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Tính giá trị biểu thức U = a - b + c?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.

    Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

    \overrightarrow{DA} = - \frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = - \frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}

    \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} = \frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}. Do đó D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0 ight)

    Ta có: \overrightarrow{AD} = \left( \frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD = \frac{15}{7}

    \overrightarrow{ID} = - \frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO} \Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD} \Rightarrow D(1;1;0)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow U = 0

  • Câu 21: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3; - 1),B(3; - 1;5). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức \overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{MB}?

    Ta có: \overrightarrow{MA} =3\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} - 3x_{B}}{1 - 3} = 4 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} - 3y_{B}}{1 - 3} = - 3 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} - 3z_{B}}{1 - 3} = 8 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(4; - 3;8)

  • Câu 22: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \overrightarrow{a} = (2; - 3;3);\overrightarrow{b} = (0;2; - 1);\overrightarrow{c} = (3; - 1;5). Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} 2\overrightarrow{a} = (4; - 6;6) \\ 3\overrightarrow{b} = (0;6; - 3) \\ - 2\overrightarrow{c} = ( - 6;2; - 10) \\ \end{matrix} ight.. Khi đó \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} = ( - 2;2; - 7)

    Vậy \overrightarrow{u} = ( - 2;2; - 7)

  • Câu 23: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho \overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4). Gọi \overrightarrow{x} là vectơ thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = 4 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 8 \\ \end{matrix} ight.. Tìm tọa độ \overrightarrow{x}?

    Giả sử \overrightarrow{x} = (x;y;z), khi đó:

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = 4 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - y + 3z = 4 \\ x - 3y + 2z = - 5 \\ 3x + 2y - 4z = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{x} = (2;3;1)

  • Câu 24: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( - 3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Tìm tọa độ điểm C'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} + 0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{AC'} = 10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} + 4.\overrightarrow{k} mà A( - 3;0;0)

    \Rightarrow C'(7;4;4)

    Suy ra C'(7;4;4)

  • Câu 25: Nhận biết

    Trong không gian cho tứ diện đều ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?

    Tứ diện ABCD đều nên \overrightarrow{AD} không thể vuông góc với \overrightarrow{DC}.

    Vậy khẳng định sai là: “\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}”.

  • Câu 26: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0) và B(0;1;2). Vectơ \overrightarrow{AB} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (0 - 1;1 - 1;2 - 0) = ( - 1;0; - 2)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} = (1;2;3).

  • Câu 27: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0; - 1;1),B( - 2;1; - 1),C( - 1;3;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 2 \\ y - 3 = - 2 \\ z - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(1;1;4)

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2;1;2), N(4; 2; 1), tọa độ điểm P thuộc trục Oz sao cho M;N; Pthẳng hàng là

    Vì điểm Pthuộc trục Oz nên P có tọa độ P(0;0;z).

    Ta có \overrightarrow{MN}(2;1; - 1); \overrightarrow{NP}( - 4; - 2;z - 1)

    M;\ N;\ P thẳng hàng\Leftrightarrow\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP} cùng phương

    \Leftrightarrow \frac{- 4}{2} = \frac{- 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} \Leftrightarrow z - 1 = 2 \Leftrightarrow z = 3

    Vậy điểm P(0;0;3).

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc 80^{0} và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc 60^{0} và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 124 N

    Đáp án là:

    Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc 80^{0} và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc 60^{0} và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 124 N

    Gọi hai lực tạo với nhau một góc 80^{\circ} là \overrightarrow{F_{1}} và \overrightarrow{F_{2}}, ta có \left| \overrightarrow{F_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = 50N.

    Lực còn lại là \overrightarrow{F_{3}}, ta có \left| \overrightarrow{F_{3}} ight| = 60N.

    Gọi \overrightarrow{F} là hợp lực của ba lực trên ta có

    \left| \overrightarrow{F} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} ight)^{2}

    = \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{2}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|^{2} + 2\lbrack\left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}} ight)

    + \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{3}} ight) + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{3}},\overrightarrow{F_{2}} ight)brack

    = 50^{2} + 50^{2} + 60^{2} + 2\lbrack 50.50.cos80^{0}+ 50.60.cos60^{0} + 60.50.cos60^{0}brack \approx 15468.

    \Rightarrow |F| \approx 124 N

  • Câu 30: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{DH}?

    Hình vẽ minh họa

    Vì \overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE} (ADHE là hình vuông) nên \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DH} ight) = \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE} ight) = \widehat{BAE} = 90^{0}

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Biểu diễn vectơ \overrightarrow{B'C} qua các vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}. Chọn đáp án đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AA'}

    = - \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCCD.A'B'C'D'. Biết A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10). Tọa độ điểm B' là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = ( - 5;4;7) \Rightarrow D( - 3;8; - 7)

    \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{B'D'} = ( - 7;8; - 7) \Rightarrow B'(13;0;17)

  • Câu 33: Vận dụng

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500;200;8)đến điểm N(800;300;10) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( a;b;\frac{c}{d} ight), trong đó a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d} là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính a + b + c + d?

    Đáp án: 1223

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500;200;8)đến điểm N(800;300;10) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( a;b;\frac{c}{d} ight), trong đó a,b,c,d \in \mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d} là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính a + b + c + d?

    Đáp án: 1223

    Gọi Q(x;y;z) là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.

    \overrightarrow{MN} = (300;100;2)

    \overrightarrow{NQ} = (x - 800;y - 300;z - 10)

    Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ M ightarrow N gấp 4 lần thời gian bay từ N ightarrow Q nên MN = 4NQ

    Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên \overrightarrow{MN} và \overrightarrow{NQ} cùng hướng.

    Suy ra \overrightarrow{MN} = 4\overrightarrow{NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 300 = 4(x - 800) \\ 100 = 4(y - 300) \\ 2 = 4(z - 10) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 875 \\ y = 325 \\ z = 10,5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow Q\left( 875;325;\frac{21}{2} ight)

    Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( 875;325;\frac{21}{2} ight) \Rightarrow a = 875,\ \ b = 325,\ \ c = 21,\ \ d = 2.

    Do đó, a + b + c + d = 1223.

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} là \frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} là \frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

     

    a) Sai

     

    Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD

    Suy ra hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

    b) Sai

    Ta có ABCD là hình chữ nhật nên AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}

    Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

    Suy ra \tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'

    Ta có: \left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left( \overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'

    c) Đúng

    Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

    Suy ra SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{5}

    Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

    AM = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Lại có M là trung điểm của SB nên MB = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Ta tính được \cos MAB = \frac{MA^{2} + AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}

    Mà \left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{MAB}

    \Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}

    d) Sai

    Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

    Do đó MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Suy ra \left| \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| = \frac{a\sqrt{5}}{2}

  • Câu 35: Nhận biết

    Trong không gian cho tứ diện ABCD, gọi M;N lần lượt là trung điểm của AD;BC. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Vì M;N lần lượt là trung điểm của AD;BC suy ra \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight) \\ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} ight) \\ \end{matrix} ight.

    Xét các phương án như sau:

    \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng đúng vì \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} ight)

    \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN} không đồng phẳng đúng vì MN không nằm trong (ABC)

    \overrightarrow{AN};\overrightarrow{CM};\overrightarrow{MN} đồng phẳng sai vì AN không nằm trong (MNC)

    \overrightarrow{BD};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng đúng vì \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC} ight).

  • Câu 36: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trung điểm của AB là \left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};4 ight). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10). Đúng||Sai

    c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 30^{\circ}. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxz) thỏa mãn T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a - 2b + 2c = 15. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trung điểm của AB là \left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};4 ight). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10). Đúng||Sai

    c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 30^{\circ}. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxz) thỏa mãn T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a - 2b + 2c = 15. Sai||Đúng

    a) Đúng: Gọi I là trung điểm AB.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} {x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 2}}{2} = \dfrac{3}{2} \hfill \\ {y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{3}{2} \hfill \\ {z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \dfrac{{3 + 5}}{2} = 4 \hfill \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow I\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};4} ight)

    b) Đúng: Ta có \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10).

    c) Đúng: Ta có \overrightarrow{AB} = (1; - 1;2),\overrightarrow{AC} = (1;2; - 1).

    \cos(AB,AC) =\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{|\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot|\overrightarrow{AC}|}

    = \frac{|1 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1)|}{\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra (AB,AC) = 60^{\circ}.

    d) Sai: Gọi K(x;y;z) thỏa mãn 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - (2 - x) = 0 \\3(1 - y) - (4 - y) = 0 \\3(5 - z) - (2 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = - \dfrac{1}{2} \\z = \dfrac{13}{2} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Suy ra K\left( 2; - \frac{1}{2};\frac{13}{2} ight).

    Khi đó T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| = |3\overrightarrow{IK} + 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{IK} - \overrightarrow{KC}| = |2\overrightarrow{IK}| = 2IK.

    T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi I là hình chiếu của K trên (Oxz) suy ra I(2;0;\frac{13}{2} )..

    Suy ra a = 2,b = 0,c = \frac{13}{2}.

    Vậy a - 2b + 2c = 15.

  • Câu 37: Nhận biết

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (1; - 2;3) và \overrightarrow{b} = ( - 2;1;2). Xác định tích vô hướng \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b}?

    Ta có: \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1; - 1;5) nên \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b} = - 1.( - 2) + ( - 1).1 + 5.2 = 11

  • Câu 38: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; - 4;3) và B(2;2;7). Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là:

    Gọi M\left( x_{M};y_{M};z_{M} ight) là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:

    \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = \dfrac{2 + 2}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{- 4 + 2}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = \dfrac{3 + 7}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2; - 1;5)

    Vậy tọa độ trung điểm của AB là: (2; - 1;5).

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z - 3 = 0 đi qua điểm nào sau đây?

    Xét điểm \left( 1;1;\frac{3}{2} ight) ta có: 1 - 1 + 2.\frac{3}{2} - 3 = 0 đúng nên \left( 1;1;\frac{3}{2} ight) \in (\alpha).

  • Câu 40: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Ta có: \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD} thỏa mãn biểu thức \overrightarrow{c} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} (với m;n duy nhất) của định lí về các vectơ đồng phẳng.

    Vậy đáp án đúng là: “Nếu \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD} thì bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng.”

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 89 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập