Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;1). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành?

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{BC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 1 = - 1 \\
y = 0 \\
z = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \\
y = 0 \\
z = 1 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(0;0;1).

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tứ giác ABCD là hình bình hành biết tọa độ các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1;
- 1;1). Tìm tọa độ điểm C?

    Giả sử điểm C(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 1 = 2 - 1 \\
y + 1 = 1 - 0 \\
z - 1 = 2 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 0 \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm C(2;0;2).

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} +
\overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}. Tọa độ vectơ \overrightarrow{a} là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =
(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =
(0;0;1)

    Theo bài ra ta có: \overrightarrow{a} =
2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j} suy ra tọa độ vectơ \overrightarrow{a} = (2;
- 3;1).

  • Câu 4: Nhận biết

    Tích vô hướng của 2 vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}trong không gian được tính bằng:

    Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vecto, ta có: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left|
\overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight).

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho hình hộp ABCD.EFFH. Tính tổng \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}?

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AG}

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
6 - x = 3 + 2 \\
5 - y = 0 - 3 \\
- z = - 1 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 8 \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(1;8;2).

  • Câu 7: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; -
1;1),C'(4;5; - 5). Tìm tọa độ điểm A'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC'}

    \Rightarrow \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} -
\overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (1;1;1) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}
+ \overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AD} = (0; - 1;0) = 0.\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6) = 3.\overrightarrow{i} +
5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \\
\end{matrix} ight. do đó \Rightarrow \overrightarrow{AA'} =
2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} hay \overrightarrow{AA'} = (3;5; -
6)

    Suy ra A'(3;5; - 6)

  • Câu 8: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -
3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Tìm tọa độ điểm C'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +
0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =
10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} +
4.\overrightarrow{k}A( -
3;0;0)

    \Rightarrow C'(7;4;4)

    Suy ra C'(7;4;4)

  • Câu 9: Thông hiểu

    Tích tất cả giá trị của a để góc tạo bởi đường thẳng \left\{ \begin{matrix}
x = 4 + at \\
y = 7 - 2t \\
\end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight. và đường thẳng 3x + 4y - 2 = 0 bằng 45^{0} là:

    Đáp án: -4||- 4

    Đáp án là:

    Tích tất cả giá trị của a để góc tạo bởi đường thẳng \left\{ \begin{matrix}
x = 4 + at \\
y = 7 - 2t \\
\end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight. và đường thẳng 3x + 4y - 2 = 0 bằng 45^{0} là:

    Đáp án: -4||- 4

    Gọi \varphi là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

    Đường thẳng \left\{ \begin{matrix}
x = 4 + at \\
y = 7 - 2t \\
\end{matrix}\ \ \ \ (t\mathbb{\in R}) ight. có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (a; -
2).

    Đường thẳng 3x + 4y - 2 = 0 có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{v} = (4;
- 3).

    Ta có:

    \cos\varphi =
|cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|

    \Leftrightarrow cos45^{0} =
\frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}

    \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} =
\frac{|4a + 6|}{5\sqrt{a^{2} + 4}}

    \Leftrightarrow 5\sqrt{a^{2} + 4} =
\sqrt{2}|4a + 6|

    \Leftrightarrow 25a^{2} + 100 = 32a^{2}
+ 96a + 72

    \Leftrightarrow 7a^{2} + 96a - 28 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{2}{7} \\a = - 14 \\\end{matrix}. ight.

    Vậy tích tất cả các giá trị của tham số a bằng -4.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho \overrightarrow{MS} = -
2\overrightarrow{MA} và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho \overrightarrow{NB} = -
\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}. Biết biểu diễn \overrightarrow{MN} = m.\overrightarrow{AB} +
n.\overrightarrow{SC} là duy nhất. Tính giá trị biểu thức T = m + n?

    Hình vẽ minh họa

    Theo giả thiết ta có: \overrightarrow{MS}
= - 2\overrightarrow{MA}; \overrightarrow{NB} = -
\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}

    Lấy điểm P trên cạnh AC sao cho \overrightarrow{PC} = -
2\overrightarrow{PA}. Khi đó:

    \overrightarrow{MN} =
\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PN} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{SC} +
\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{2}{3} \ = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow T = 1

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(2;3; - 1),N( - 1;1;1),P(1;m - 1;2). Tìm giá trị của tham số m để tam giác MNP vuông tại N?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{MN} = ( - 3; - 2;2) \\
\overrightarrow{NP} = (2;m - 2;1) \\
\end{matrix} ight..

    Tam giác MNP vuông tại N \Leftrightarrow
\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NP} = 0 \Leftrightarrow - 6 - 2(m -
2) + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 0

    Vậy đáp án cần tìm là m = 0.

  • Câu 12: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho vectơ \overrightarrow{OM} có độ dài \left| \overrightarrow{OM} ight| = 1, gọi \alpha;\beta;\gamma lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị \overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k} trên ba trục Ox;Oy;Oz và vectơ \overrightarrow{OM}. Khi đó tọa độ điểm M là:

    Gọi M(x;y;z) \Rightarrow
\overrightarrow{OM} = (x;y;z)\overrightarrow{i} = (1;0;0),\overrightarrow{j} =
(0;1;0),\overrightarrow{k} = (0;0;1)

    \left\{ \begin{matrix}\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{i}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{i} ight|} = x \\\cos\beta = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{j}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = y \\\cos\gamma = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{k}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{k} ight|} = z \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)

  • Câu 13: Vận dụng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz\overrightarrow{u} là một vecto tùy ý khác \overrightarrow{0}.

    Tính T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    Đáp án: 1

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ Ox,Oy,Oz\overrightarrow{u} là một vecto tùy ý khác \overrightarrow{0}.

    Tính T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    Đáp án: 1

    Giả sử \overrightarrow{u} =
(x,y,z).

    Ta có \overrightarrow{i}(1,0,0);\overrightarrow{j}(0,1,0);\overrightarrow{k}(0,0,1)

    cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}) +
cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +
cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})

    = \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} +
z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}
ight)^{2} + \left( \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}
ight)^{2}

    = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} +
y^{2} + z^{2}} = 1

    Vậy T = 1

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 2;3;1),B(4;2; - 1),C(5; - 2;0). Điểm D(a;b;c) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD. Khi đó giá trị biểu thức H = 2a + b + c có giá trị bằng bao nhiêu?

    Gọi tọa độ điểm D(a;b;c)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (6; - 1; - 2) \\
\overrightarrow{DC} = (5 - a; - 2 - b; - c) \\
\end{matrix} ight.

    Ta có: ABCM là hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
5 - a = 6 \\
- 2 - b = - 1 \\
- c = - 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - 1 \\
b = - 1 \\
c = 2 \\
\end{matrix} ight. suy ra điểm D( - 1; - 1;2)

    Khi đó H = 2a + b + c = 2.( - 1) - 1 + 2
= - 1.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3; - 4;0),B( - 1;1;3),C(3;1;0). Xác định tọa độ điểm D \in Ox sao cho AD = BC?

    Ta có: D(x;0;0) \in Ox

    AD = BC \Leftrightarrow \sqrt{(x -
3)^{2} + 16} = 5

    \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = 0 \Rightarrow D(0;0;0) \\
x = 6 \Rightarrow D(6;0;0) \\
\end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là: D(0;0;0) hoặc D(6;0;0)

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}. Tọa độ vectơ \overrightarrow{a} là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =
(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =
(0;0;1)

    Theo bài ra ta có: \overrightarrow{a} = -
\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k} suy ra tọa độ vectơ \overrightarrow{a} = ( -
1;2; - 3).

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1;3; -
2);\overrightarrow{v} = (2;1; - 1). Vectơ \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} có tọa độ là:

    Ta có: \overrightarrow{u} -
\overrightarrow{v} = (1 - 2;3 - 1; - 2 + 1) = ( - 1;2; - 1)

    Vậy đáp án cần tìm là ( - 1;2 -
1).

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm đối xứng của điểm M(1;2;3) qua trục Ox có tọa độ là

    Gọi M' là điểm đối xứng của M(1;2;3) qua trục Ox.

    Hình chiếu vuông góc của M(1;2;3) lên trục OxH(1;0;0)

    Khi đó H(1;0;0) là trung điểm của M'M. Do đó tọa độ của M'(1;
- 2; - 3)

  • Câu 19: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{u} = (1;2;0). Tọa độ vectơ \overrightarrow{u} là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =(0;0;1)

    \overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i}+ y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow\overrightarrow{u} = (x;y;z)

    Suy ra \overrightarrow{u} = (1;2;0)\Leftrightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Gọi M là trung điểm của AD. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{C_{1}M} =
\overrightarrow{C_{1}C} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{C_{1}C}
+ \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CD}
ight)

    = \overrightarrow{C_{1}C} +
\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C_{1}A_{1}} +
\overrightarrow{C_{1}D_{1}} ight)

    = \overrightarrow{C_{1}C} +
\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{C_{1}B_{1}} +
\overrightarrow{C_{1}D_{1}} + \overrightarrow{C_{1}D_{1}}
ight)

    = \overrightarrow{C_{1}C} +
\overrightarrow{C_{1}D_{1}} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{C_{1}B_{1}}

  • Câu 21: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Giả sử điểm C'(a;b;c). Tính giá trị biểu thức T=a+b+2c?

    Gọi điểm C'(x;y;z)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.

    \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'} \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow C'(13;4;4) suy ra a=13;b=4;c=4

    Vậy  T=25

  • Câu 22: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} +
\overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}. Tọa độ điểm M là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =
(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =
(0;0;1)

    Theo bài ra ta có: \overrightarrow{OM} =
2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j} suy ra tọa độ M(2; - 3;1).

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Phân tích vectơ \overrightarrow{AC'} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}?

    Ta có phép cộng vectơ đối với hình vuông ABCD: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{AC}

    Khi đó ta có: \overrightarrow{AC'} =
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD}

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD với I;J lần lượt là trung điểm của AB;CD. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng CI;AJ?

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:

    \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}
= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} = \frac{a^{2}}{2}

    Ta có: \overrightarrow{AJ} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{AD} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}

    \overrightarrow{CI} =
\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{AC} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}

    Do đó: \overrightarrow{CI}.\overrightarrow{AJ} =
\frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}
ight)\left( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight) = -
\frac{1}{2}a^{2}

    Ta lại có AJ = CI =
\frac{a\sqrt{3}}{2} suy ra \cos\left( \overrightarrow{CI};\overrightarrow{AJ}
ight) = - \frac{2}{3}

    Vậy đáp án cần tìm là \frac{2}{3}.

  • Câu 25: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{a} = (1;0; -
2). Trong các vectơ dưới đây, vectơ nào không cùng phương với \overrightarrow{a}?

    Ta có: \overrightarrow{0} =
(0;0;0) cùng phương với mọi vectơ

    Lại có \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{c} = (2;0; - 4) = 2\overrightarrow{a} \\\overrightarrow{d} = \left( - \dfrac{1}{2};0;1 ight) = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} \\\end{matrix} ight.

    Vậy vectơ không cùng phương với \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} = (1;0;2).

  • Câu 26: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB}\overrightarrow{EG}?

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{EG} =
\overrightarrow{AC} (AEGC là hình chữ nhật) nên \left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{EG} ight) = \left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \widehat{BAC} =
45^{0}(AEGC là hình vuông)

  • Câu 27: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ ba điểm A( - 1; -
2;3),B(0;3;1),C(4;2;2). Tính cosin góc \widehat{BAC}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (1;5; - 2) \\
\overrightarrow{AC} = (5;4; - 1) \\
\end{matrix} ight..

    \cos\widehat{BAC} = \cos\left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) =
\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|
\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|} =
\frac{5 + 20 + 2}{\sqrt{30}.\sqrt{42}} =
\frac{9}{2\sqrt{35}}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Chọn mệnh đề sai. Trong không gian, cho hình hộp ABCD\ .A'B'C'D'.

    Hình vẽ minh họa

    Đáp án \overrightarrow{AC'}\  = \
\overrightarrow{AB}\ \  + \ \ \overrightarrow{AD}\  + \ \
\overrightarrow{AA'}\ đúng theo quy tắc hình hộp

    Đáp án \overrightarrow{BD}\  = \
\overrightarrow{BA}\ \  + \ \ \overrightarrow{BC}\ \  + \
\overrightarrow{BB'} sai

    Đáp án \overrightarrow{CA'}\  = \
\overrightarrow{CB}\ \  + \ \ \overrightarrow{CD}\  + \ \
\overrightarrow{CC'}\ đúng theo quy tắc hình hộp

    Đáp án \overrightarrow{C'A'}\  =
\ \overrightarrow{C'B'}\ \  + \ \ \overrightarrow{C'D'} đúng theo quy tắc hình bình hành

  • Câu 29: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (5;3; -
2);\overrightarrow{b} = (m; - 1;m + 3). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} là góc tù?

    Ta có: \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) =
\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a}
ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{3m -
9}{\sqrt{38}.\sqrt{2m^{2} + 6m + 10}}

    Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} là góc tù khi và chỉ khi

    \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) < 0 \Leftrightarrow
\frac{3m - 9}{\sqrt{38}.\sqrt{2m^{2} + 6m + 10}} < 0

    \Leftrightarrow 3m - 9 < 0
\Leftrightarrow m < 3

    m \in \mathbb{Z}^{+} \Rightarrow m =
\left\{ 1;2 ight\}

    Suy ra có 2 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Vậy đáp án cần tìm là 2.

  • Câu 30: Nhận biết

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1;2;3),B( - 1;2;1),C(3; - 1; - 2). Tính tích vô hướng của \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = ( - 2;0; - 2) \\
\overrightarrow{AC} = (2; - 3; - 5) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 6

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D và tâm O. Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau?

    Hình vẽ minh họa

    Theo quy tắc hình bình hành suy ra \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} đúng.

    Do \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} đối nhau và \overrightarrow{BC'};\overrightarrow{D'A} đối nhau nên \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} +
\overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0} đúng.

    Do \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AD}
+ \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD'} suy ra \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{AD} nên \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} sai.

    Do \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} =
\overrightarrow{AC'}\overrightarrow{AD'} +
\overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'} =
\overrightarrow{AC'} nên \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} +
\overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'} đúng.

  • Câu 32: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; - 4;3)B(2;2;7). Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là:

    Gọi M\left( x_{M};y_{M};z_{M}
ight) là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:

    \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = \dfrac{2 + 2}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{- 4 + 2}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = \dfrac{3 + 7}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M(2; - 1;5)

    Vậy tọa độ trung điểm của AB là: (2; -
1;5).

  • Câu 33: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( -
4;7;5). Tọa độ chân đường phân giác của góc B trong tam giác ABC là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\
\overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\
\end{matrix} ight.

    Gọi D(a;b;c) là chân đường phân giác kẻ từ B lên AC của tam giác ABC.

    Suy ra \frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC}
\Rightarrow \overrightarrow{DA} = -
\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\
\overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A';B';C' lần lượt thuộc các tia SA;SB;SC sao cho \frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} =
b;\frac{SC}{SC'} = c trong đó a;b;c là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}

    Khi đó 3\overrightarrow{GS} +
\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} =
\overrightarrow{0}\overrightarrow{SA} =
a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} =
b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} =
c\overrightarrow{SC'}

    Suy ra 3\overrightarrow{SG} =
a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} +
c\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} =
\frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} +
\frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} +
\frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}

    Vì mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'} đồng phẳng.

    Do đó tồn tại ba số l;m;n sao cho l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0) và l\overrightarrow{GA'} +
m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow l\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) =
\overrightarrow{0}s

    \Leftrightarrow (l + m +
n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} +
m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} =
\frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m +
n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m +
n}\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow
\frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} +
\frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} +
\frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m +
n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'}
+ \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}

    Suy ra \frac{a}{3} + \frac{b}{3} +
\frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m
+ n} = 1

    \Rightarrow a + b + c = 3

  • Câu 35: Nhận biết

    Tính chất nào sau đây sai?

    Tính chất sai là: \overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} -
\overrightarrow{a}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz có điểm A(4;2;1),B( - 2; - 1;4). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{AM} =
2\overrightarrow{MB}?

    Ta có: M(x;y;z). Khi đó \overrightarrow{AM} =
2\overrightarrow{MB}

    \overrightarrow{AM} =
2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 4 = 2( - 2 - x) \\
y - 2 = 2( - 1 - y) \\
z - 1 = 2(4 - z) \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \\
y = 0 \\
z = 3 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M(0;0;3)

    Vậy giá trị cần tìm là M(0;0;3).

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'; đáy là hình vuông cạnh a. Trên cạnh DC;BB' lần lượt lấy các điểm M;N sao cho DM = BN = x;(0 \leq x \leq a). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng A'CMN.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'; đáy là hình vuông cạnh a. Trên cạnh DC;BB' lần lượt lấy các điểm M;N sao cho DM = BN = x;(0 \leq x \leq a). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng A'CMN.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 38: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho \Delta ABCA(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1). Gọi H(a;b;c) là chân đường cao hạ từ đỉnh A. Tính (a + b + c).19.

    Đáp án: -17||- 17

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho \Delta ABCA(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1). Gọi H(a;b;c) là chân đường cao hạ từ đỉnh A. Tính (a + b + c).19.

    Đáp án: -17||- 17

    Ta có \overrightarrow{AH} = (a;b;c -
1),\overrightarrow{BC} = (3;3; - 1),\overrightarrow{BH} = (a + 1;b +
2;c).

    H là chân đường cao nên ta có

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{BC} \\\overrightarrow{BH} = k\overrightarrow{BC} \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3a + 3b - (c - 1) = 0 \\\dfrac{a + 1}{3} = \dfrac{b + 2}{3} = \dfrac{c}{- 1} = k \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 3k - 1 \\
b = 3k - 2 \\
c = - k \\
\end{matrix} ight.3(3k - 1)
+ 3(3k - 2) - ( - k - 1) = 0 \Leftrightarrow k =
\frac{8}{19}.

    Do đó H\left( \frac{5}{19}; -
\frac{14}{19}; - \frac{8}{19} ight)

    Vậy \left( \frac{5}{19} - \frac{14}{19} -
\frac{8}{19} ight).19 = - 17.

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Gọi điểm I \in CC' sao cho \overrightarrow{C'I} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{C'C}, G là trọng tâm tứ diện BAB'C'. Biểu diễn vectơ \overrightarrow{IG} qua các vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}. Đáp án nào dưới đây đúng?

    Ta có G là trọng tâm của tứ diện BA'B'C' nên

    4\overrightarrow{IG} =
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA'} +
\overrightarrow{IB'} + \overrightarrow{IC'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} =
\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{CB} ight) + \left(
\overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'A'} ight) +
\left( \overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'B'} ight)
+ \overrightarrow{IC'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} =
\overrightarrow{IC'} + \left( 2\overrightarrow{IC'} +
\overrightarrow{IC} ight) + \left( \overrightarrow{CB} +
\overrightarrow{C'B'} ight) +
\overrightarrow{C'A'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{0} +
2\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{AA'} + 2\overrightarrow{CB} -
\overrightarrow{AC}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{a} + 2\left( \overrightarrow{b} -
\overrightarrow{c} ight) - \overrightarrow{c}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{IG} =
\frac{1}{4}\left( \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -
2\overrightarrow{c} ight)

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Điểm M xác định bởi công thức \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Do G là trọng tâm tam giác BCD nên \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}

    \Rightarrow \overrightarrow{AM} =
3\overrightarrow{AG}

    Vậy mệnh đề đúng là “M thuộc tia AGAM = 3AG”.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 27 lượt xem
Sắp xếp theo