Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; -
1;1),C'(4;5; - 5). Tìm tọa độ điểm A'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC'}

    \Rightarrow \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} -
\overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (1;1;1) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}
+ \overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AD} = (0; - 1;0) = 0.\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6) = 3.\overrightarrow{i} +
5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \\
\end{matrix} ight. do đó \Rightarrow \overrightarrow{AA'} =
2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} hay \overrightarrow{AA'} = (3;5; -
6)

    Suy ra A'(3;5; - 6)

  • Câu 2: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    a) Đúng: Vì \overrightarrow{OA} =
3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k} nên A(3;0; - 1).

    b) Sai: Ta có \overrightarrow{AB} =
(4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2).

    4:2:4 eq - 2:4:2 nên \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} không cùng phương suy ra A,B,C không thẳng hàng.

    c) Đúng

    D là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AD.

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\
y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\
z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\
\end{matrix} ight. suy ra D( -
5;4;7).

    Do đó a = - 5,b = 4,c = 7. Vậy a + b + c = 6.

    d) Đúng. Gọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} =
\overrightarrow{0}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\
0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\
- 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\
\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 2 \\
z = 1 \\
\end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.

    MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}

    =(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}

    Do IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} không thay đổi nên MA^{2} + MB^{2} +
MC^{2} nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (Oxy).

    Do đó M(1;2;0) suy ra m=1,n=2,p=0.

    Vậy 2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 =
0.

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Hãy phân tích vectơ \overrightarrow{BD} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA_{1}}?

    Hình vẽ minh họa

    Theo quy tắc hình bình hành ta có:

    \overrightarrow{BD} =
\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \Rightarrow
\overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} +
0.\overrightarrow{AA_{1}}

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ các vectơ \overrightarrow{a} = ( -
1;1;0); \overrightarrow{b} =
(1;1;0)\overrightarrow{c} =
(1;1;1). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Ta có: \overrightarrow{c}.\overrightarrow{b} = 1.1 + 1.1
+ 1.0 = 2 eq 0 suy ra “\overrightarrow{c}\bot\overrightarrow{b}” là mệnh đề sai.

  • Câu 5: Nhận biết

    Trong không gian cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{A_{1}D_{1}} = \overrightarrow{A_{1}C} +
\overrightarrow{CD_{1}} suy ra \overrightarrow{CD_{1}};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{A_{1}C} đồng phẳng.

  • Câu 6: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( -
4;7;5). Tọa độ chân đường phân giác của góc B trong tam giác ABC là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\
\overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\
\end{matrix} ight.

    Gọi D(a;b;c) là chân đường phân giác kẻ từ B lên AC của tam giác ABC.

    Suy ra \frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC}
\Rightarrow \overrightarrow{DA} = -
\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\
\overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)

  • Câu 7: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; - 2),B\left(
\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight). Biết I(a;b;c) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Tính giá trị biểu thức U = a - b + c?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.

    Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

    \overrightarrow{DA} = -
\frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = -
\frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}

    \Rightarrow \overrightarrow{DA} = -
\frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} =
\frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}. Do đó D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0
ight)

    Ta có: \overrightarrow{AD} = \left(
\frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD =
\frac{15}{7}

    \overrightarrow{ID} = -
\frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO}
\Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD}
\Rightarrow D(1;1;0)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = 1 \\
c = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow U = 0

  • Câu 8: Thông hiểu

    Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.

    Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:

    S = v.t = 890.\frac{1}{2} = 445\ \
(km).

    Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).

  • Câu 9: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm đối xứng của điểm M(1;2;3) qua trục Ox có tọa độ là

    Gọi M' là điểm đối xứng của M(1;2;3) qua trục Ox.

    Hình chiếu vuông góc của M(1;2;3) lên trục OxH(1;0;0)

    Khi đó H(1;0;0) là trung điểm của M'M. Do đó tọa độ của M'(1;
- 2; - 3)

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;1). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành?

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{BC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 1 = - 1 \\
y = 0 \\
z = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \\
y = 0 \\
z = 1 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(0;0;1).

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} -
2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j}. Tìm tọa độ của \overrightarrow{u} là.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{i} = (1;0;0) \\
\overrightarrow{k} = (0;0;1) \\
\overrightarrow{j} = (0;1;0) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \overrightarrow{u} =
\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j} = (1;1; -
2)

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;0;3),B(0;0; - 1),C(1;0; - 1),D(0;1; -
1). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (0;0; - 4) \\
\overrightarrow{AC} = (1;0; - 4) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 16 eq 0 suy ra ABAC không vuông góc với nhau.

    Vậy mệnh đề sai là: “AB\bot
AC”.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chọn mệnh đề đúng?

    Vì G là trọng tâm tứ diện ABCD nên suy ra:

    \overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AG} =
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} +
\overrightarrow{GD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AG} =
\left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} ight) + \left(
\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC} ight) + \left(
\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AD} ight)

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{AG} =
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AG} =
\frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AD} ight)

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(x;y;z). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz) thì M'(x; - y;z).

    Nếu M' đối xứng với M qua trục Oy thì M'( - x;y; - z).

    Nếu M' đối xứng với M qua gốc tọa độ thì M'( - x; - y; - z).

    Vậy mệnh đề đúng là: “Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) thì M'(x;y; - z)”.

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

  • Câu 16: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -
3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Tìm tọa độ điểm C'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +
0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =
10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} +
4.\overrightarrow{k}A( -
3;0;0)

    \Rightarrow C'(7;4;4)

    Suy ra C'(7;4;4)

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Điểm M được xác định bởi đẳng thức vectơ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +
\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} +
\overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} +
\overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Gọi \left\{ \begin{matrix}
O = AC \cap BD \\
O' = A'C' \cap B'D' \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +
\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \\
\overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} +
\overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'} = \overrightarrow{0}
\\
\end{matrix} ight.

    Ta có:

    \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} +
\overrightarrow{MD}

    = \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OD} ight)

    = \overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} +
4\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0} + 4\overrightarrow{MO} =
4\overrightarrow{MO}

    Tương tự ta cũng có: \overrightarrow{MA'} +
\overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} +
\overrightarrow{MD'} = 4\overrightarrow{MO'}

    Từ đó suy ra

    \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} +
\overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} +
\overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{MO} +
4\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 4\left(
\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} ight) =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0}

    Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của OO'.

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}cùng có độ dài bằng 2. Biết rằng góc giữa hai vecto đó bằng 120^{0}, giá trị của biểu thức P = \left( \overrightarrow{a} -
2\overrightarrow{b} ight)^{2}

    Ta có:

    \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} =
\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b}
ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) =
2.2.cos120^{0} = 2.2.\left( - \frac{1}{2} ight) = - 2

    Do đó:

    P = \left( \overrightarrow{a} -
2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} -
4\overrightarrow{.a}.\overrightarrow{b} +
4{\overrightarrow{b}}^{2}

    = 4 - 4.( - 2) + 4.4 = 28.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k;(k eq 1) thì ta có: \overrightarrow{MA} =
k.\overrightarrow{MB}. Khi đó với một điểm O tùy ý ta có:

    Ta có:

    \overrightarrow{MA} =
k.\overrightarrow{MB} \Rightarrow \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OA} = k.\left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB}
ight)

    \Rightarrow (1 - k)\overrightarrow{MO} =
k.\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}

    \Rightarrow \overrightarrow{MO} =
\frac{k.\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}}{1 - k} \Rightarrow
\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} -
k.\overrightarrow{OB}}{1 - k}

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ ba điểm A( - 1;2; - 3),B(1;0;2),C(x;y; - 2) thẳng hàng. Khi đó giá trị của biểu thức x +y là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (2; - 2;5) \\\overrightarrow{AC} = (x + 1;y - 2;1) \\\end{matrix} ight.. Vì A; B; C thẳng hàng nên \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} cùng phương

    \Leftrightarrow \dfrac{x + 1}{2} =\dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{3}{5} \\y = \dfrac{8}{5} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow x + y = 1

  • Câu 21: Nhận biết

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1;2;3),B( - 1;2;1),C(3; - 1; - 2). Tính tích vô hướng của \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = ( - 2;0; - 2) \\
\overrightarrow{AC} = (2; - 3; - 5) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 6

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCDAB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức T = \left|
\frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} +
\frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight|?

    Vì các vectơ \frac{\overrightarrow{AB}}{AB};\frac{\overrightarrow{AC}}{AC};\frac{\overrightarrow{AD}}{AD} có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên

    \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{AB} +
\frac{\overrightarrow{AC}}{AC} + \frac{\overrightarrow{AD}}{AD}
ight)^{2} = 3 \Leftrightarrow T = \left|
\frac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \frac{\overrightarrow{AC}}{AC} +
\frac{\overrightarrow{AD}}{AD} ight| = \sqrt{3}

  • Câu 23: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Ta có: \overrightarrow{AB} =
3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD} thỏa mãn biểu thức \overrightarrow{c} = m\overrightarrow{a} +
n\overrightarrow{b} (với m;n duy nhất) của định lí về các vectơ đồng phẳng.

    Vậy đáp án đúng là: “Nếu \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} -
4\overrightarrow{AD} thì bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng.”

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi E;F lần lượt là trung điểm của AD;BC, các điểm M;N lần lượt nằm trên AB;DC sao cho AM = MB;DN = 2NC. Biết biểu diễn \overrightarrow{EF} = m.\overrightarrow{EM} +
n.\overrightarrow{EN}. Tính tổng giá trị m;n?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{EF} =
\frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}}{2}

    = \frac{\overrightarrow{AE} +
\overrightarrow{EM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{DE} +
\overrightarrow{EN} + \overrightarrow{NC}}{2}

    = \frac{\overrightarrow{EM} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{EN} +
\overrightarrow{NC}}{2}

    = \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{EN} +\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}}{2}

    = \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{EN} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DN}}{2}

    = \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EM} ight) +\overrightarrow{EN} + \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{DE} +\overrightarrow{EN} ight)}{2}

    = \dfrac{\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EM} +\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EN}}{2} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{EM} +\frac{3}{4}\overrightarrow{EN}

    Suy ra m = n = \frac{3}{4} \Rightarrow m
+ n = \frac{3}{2}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho \left| \overrightarrow{a} ight| =
3;\left| \overrightarrow{b} ight| = 5, góc giữa \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} bằng 120^{0}. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

    Ta có: \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left|
\overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|\cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 3.5.cos120^{0} = -
\frac{15}{2}

    Khi đó:

    \left( \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} +
2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + {\overrightarrow{b}}^{2} = 9 -
15 + 25 = 19

    \left( \overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} -
2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + {\overrightarrow{b}}^{2} = 9 +
15 + 25 = 49

    \left( \overrightarrow{a} -
2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} -
4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2} = 9 +
30 + 100 = 139

    \left( \overrightarrow{a} +
2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} +
4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + 4{\overrightarrow{b}}^{2} = 9 -
30 + 100 = 79

    Vậy khẳng định sai là \left| \overrightarrow{a} +
2\overrightarrow{b} ight| = 9.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;2; - 3),B(2;5;7),C( - 3;1;4). Xác định tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành?

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1 = - 3 - x \\
3 = 1 - y \\
20 = 4 - z \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 4 \\
y = - 2 \\
z = - 6 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D( - 4; - 2; - 6).

  • Câu 27: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;1; - 2),B(3; - 1;1). Tìm tọa độ điểm M sao cho \overrightarrow{AM} =
3\overrightarrow{AB}?

    Gọi tọa độ độ điểm M(x;y;z).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AM} = (x;y - 1;z + 2) \\
\overrightarrow{AB} = (3; - 2;3) \\
\end{matrix} ight.

    Lại có: \overrightarrow{AM} =
3\overrightarrow{AB}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 9 \\
y - 1 = - 6 \\
z + 2 = 9 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 9 \\
y = - 5 \\
z = 7 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M(9; - 5;7)

    Vậy đáp án cần tìm là: M(9; -
5;7).

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(5;1;5),B(4;3;2),C( - 3; -
2;1) và điểm I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức H = a + 2b + c?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = ( - 1;2; - 3) \\
\overrightarrow{BC} = ( - 7; - 5; - 1) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 0 nên tam giác ABC vuông tại B

    Suy ra tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC.

    \Rightarrow I\left( 1; - \frac{1}{2};3ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = - \dfrac{1}{2} \\c = 3 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow H = a + 2b + c = 3

    Vậy đáp án cần tìm là H = 3

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow{AB}\overrightarrow{A'C'} có giá trị bằng:

    Ta có:

    \left(
\overrightarrow{A'C'};\overrightarrow{AB} ight) = \left(
\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{BAC} =
45^{0}

    \Rightarrow
\overrightarrow{A'C'}.\overrightarrow{AB} = \left|
\overrightarrow{A'C'} ight|.\left| \overrightarrow{AB}
ight|.cos\left( \overrightarrow{A'C'};\overrightarrow{AB}
ight) = a.a.1 = a^{2}

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Khẳng định nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}
= \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}} đúng vì \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}} \\
\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} +
\overrightarrow{B_{1}C_{1}}

    \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} =
\overrightarrow{DC} đúng vì \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}}
+ \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DC}

    \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}
+ \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}} đúng vì \overrightarrow{BD_{1}} =
\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{BB_{1}}

    \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} =
\overrightarrow{BC} sai vì

    \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA}
+ \overrightarrow{BB_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} =
\overrightarrow{BA_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} eq
\overrightarrow{BC}

  • Câu 31: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; - 4;3)B(2;2;7). Trung điểm M của AB có tọa độ là:

    Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

    \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = - 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 5 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M(2; - 1;5)

    Vậy đáp án đúng là: (2; -
1;5).

  • Câu 32: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A( - 2;3;1),B(4;2; - 1),C(5; - 2;0). Điểm D(a;b;c) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD. Khi đó giá trị biểu thức H = 2a + b + c có giá trị bằng bao nhiêu?

    Gọi tọa độ điểm D(a;b;c)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (6; - 1; - 2) \\
\overrightarrow{DC} = (5 - a; - 2 - b; - c) \\
\end{matrix} ight.

    Ta có: ABCM là hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
5 - a = 6 \\
- 2 - b = - 1 \\
- c = - 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - 1 \\
b = - 1 \\
c = 2 \\
\end{matrix} ight. suy ra điểm D( - 1; - 1;2)

    Khi đó H = 2a + b + c = 2.( - 1) - 1 + 2
= - 1.

  • Câu 33: Vận dụng cao

    Cho tứ diện OABCOA;OB;OC đôi một vuông góc. M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} +
\frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}?

    Đặt \overrightarrow{OA} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{OB} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}. Khi đó \overrightarrow{OM} =
x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c} với x;y;z là ba số có tổng bằng 1.

    Ta có:

    \overrightarrow{AM} =
\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (x - 1)\overrightarrow{a} +
y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}

    \Rightarrow {\overrightarrow{AM}}^{2} =
(x - 1)^{2}{\overrightarrow{a}}^{2} + y^{2}{\overrightarrow{b}}^{2} +
z^{2}{\overrightarrow{c}}^{2}

    \Rightarrow \frac{MA^{2}}{OA^{2}} = (x -
1)^{2} + y^{2}.\frac{b^{2}}{a^{2}} +
z^{2}.\frac{c^{2}}{a^{2}}

    Tương tự ta được

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{MB^{2}}{OB^{2}} = (y - 1)^{2} + z^{2}.\dfrac{c^{2}}{b^{2}} +x^{2}.\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \\\dfrac{MC^{2}}{OC^{2}} = (z - 1)^{2} + x^{2}.\dfrac{a^{2}}{c^{2}} +y^{2}.\dfrac{b^{2}}{c^{2}} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} +
\frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left(
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left(
\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left(
\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left(
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left(
\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left(
\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z -
1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} +
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2}
+ z^{2}c^{2} ight)

    - \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} ight) +
(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} +
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2}
+ z^{2}c^{2} ight) - 2(x + y + z) + 3

    Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}}\\x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = OM^{2} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} +
\frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}} = \frac{OM^{2}}{OH^{2}} +
1 \geq 1 + 1 = 2

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.

    Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.

  • Câu 34: Nhận biết

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(2; -
1;0) trên mặt phẳng (Oxz) là:

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(2; -
1;0) trên mặt phẳng (Oxz) là điểm có tọa độ (2;0;0).

  • Câu 35: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxy)(Oyz) bằng:

    Ta có: góc giữa hai mặt phẳng (Oxy)(Oyz) bằng: 90^{0}.

  • Câu 36: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2). Có tất cả bao nhiêu điểm Mtrong không gian thỏa mãn M eq A,M eq B,M eq C\widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2). Có tất cả bao nhiêu điểm Mtrong không gian thỏa mãn M eq A,M eq B,M eq C\widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 37: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(2;4;0),B(4;0;0),C( -
1;4;7),D'(6;8;10). Xác định tọa độ B’?

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử điểm D(a;b;c),B'(a';b';c')

    Gọi O = AC \cap BD \Rightarrow O\left(
\frac{1}{2};4; - \frac{7}{2} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - 3 \\
b = 8 \\
c = - 7 \\
\end{matrix} ight.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{DD'} = (9;0;17) \\
\overrightarrow{BB'} = (a' - 4;b';c') \\
\end{matrix} ight.. Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên \overrightarrow{DD'} =
\overrightarrow{BB'}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a' = 13 \\
b' = 0 \\
c' = 17 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow B'(13;0;17)

  • Câu 38: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm của hai đường chéo ACBD trùng với gốc tọa độ O. Các véc tơ \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OS} lần lượt cùng hướng với các véc tơ \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}OA = 3, OS =
2. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Tọa độ của véc tơ \overrightarrow{OM}

    Hình vẽ minh họa

    Ta có OB = \sqrt{AB^{2} - OA^{2}} =
\sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4.

    Khi đó \overrightarrow{OB} = (4;0;0),\ \
\ \overrightarrow{OS} = (0;0;2).

    M là trung điểm của SB nên ta có

    \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OB} ight) =
(2;0;1).

  • Câu 39: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây sai?

    Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2;1;2), N(4; 2; 1), tọa độ điểm P thuộc trục Oz sao cho M;N; Pthẳng hàng là

    Vì điểm Pthuộc trục Oz nên P có tọa độ P(0;0;z).

    Ta có \overrightarrow{MN}(2;1; -
1); \overrightarrow{NP}( - 4; - 2;z
- 1)

    M;\ N;\ P thẳng hàng\Leftrightarrow\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP} cùng phương

    \Leftrightarrow \frac{- 4}{2} = \frac{-
2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} \Leftrightarrow z - 1 = 2 \Leftrightarrow z =
3

    Vậy điểm P(0;0;3).

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 90 lượt xem
Sắp xếp theo