Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào dưới đây là sai?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC}

    Vậy đáp án sai là: \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} =
\overrightarrow{AC}.

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho tứ diện ABCDAB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCDAB;AC;AD đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm M thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 3: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Giả sử điểm C'(a;b;c). Tính giá trị biểu thức T=a+b+2c?

    Gọi điểm C'(x;y;z)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.

    \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'} \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow C'(13;4;4) suy ra a=13;b=4;c=4

    Vậy  T=25

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyzcho \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{i} +
\overrightarrow{k}. Khi đó tọa độ \overrightarrow{u} với hệ Oxyz là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =
(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =
(0;0;1)

    \overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i}
+ y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow
\overrightarrow{u} = (x;y;z)

    Lại có \overrightarrow{u} =
2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \Leftrightarrow
\overrightarrow{u} = (2;0;1)

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz. cho điểm M(3; - 1;2). Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (Oyz)?

    Lấy đối xứng qua mặt phẳng (Oyz) thì x đổi dấu còn y;z giữ nguyên nên điểm N có tọa độ là N( - 3; - 1;2).

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AOCD bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của CD

    Vì ABCD là tứ diện đều nên AM\bot
CD;OM\bot CD

    Ta có: \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AO} =
\overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MO}
ight)

    =
\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} +
\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MO} =
\overrightarrow{0}

    Suy ra \overrightarrow{CD}\bot\overrightarrow{AO} nên số đo góc giữa hai đường thẳng bằng 90^{0}.

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D và tâm O. Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau?

    Hình vẽ minh họa

    Theo quy tắc hình bình hành suy ra \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} đúng.

    Do \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} đối nhau và \overrightarrow{BC'};\overrightarrow{D'A} đối nhau nên \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} +
\overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0} đúng.

    Do \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AD}
+ \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD'} suy ra \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{AD} nên \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} sai.

    Do \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} =
\overrightarrow{AC'}\overrightarrow{AD'} +
\overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'} =
\overrightarrow{AC'} nên \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} +
\overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'} đúng.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M,\ \ N lần lượt là trung điểm của A'D'C'D' Tích vô hướng \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} =
na^{2} (n là số thập phân). Giá trị của n bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

    Đáp án: -0,5||- 0,5

    Đáp án là:

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M,\ \ N lần lượt là trung điểm của A'D'C'D' Tích vô hướng \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} =
na^{2} (n là số thập phân). Giá trị của n bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)

    Đáp án: -0,5||- 0,5

    Hình vẽ minh họa

    MN//A'C' nên \left( \overrightarrow{MN},\
\overrightarrow{C'B} ight) = \left(
\overrightarrow{A'C'},\ \overrightarrow{C'B} ight) =
180^{0} - \widehat{A'C'B} = 120^{0}

    Ta có: MN = \frac{a\sqrt{2}}{2},\ C'B
= a\sqrt{2}

    \Rightarrow
\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{C'B} =
|\overrightarrow{MN}|.\left| \overrightarrow{C'B} ight|.cos\left(
\overrightarrow{MN},\ \overrightarrow{C'B} ight)

    =
\frac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}.cos120^{0} = - 0,5a^{2}

    Vậy n = - 0,5.

  • Câu 9: Nhận biết

    Biết rằng vectơ \overrightarrow{a} = (1;
- 2;0)\overrightarrow{b} =
2\overrightarrow{a}. Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{b}?

    Ta có: \overrightarrow{b} =
2\overrightarrow{a} = (2; - 4;0)

  • Câu 10: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ \overrightarrow{u} = ( - 3;0;1)\overrightarrow{v} = (0;2; - 2). Tọa độ của véc tơ \overrightarrow{w} =
2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} tương ứng là:

    Ta có: 2\overrightarrow{u} = ( -
6;0;2).

    \overrightarrow{v} = (0;2; -
2).

    Suy ra \overrightarrow{w} = ( - 6 - 0;0 -
2;2 + 2) = ( - 6; - 2;4).

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1; - 3)B( - 2;2;1). Vectơ \overrightarrow{AB} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = ( - 2 - 1;2 + 1;1
+ 3) = ( - 3;3;4)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} =
( - 3;3;4).

  • Câu 12: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -
3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Tìm tọa độ điểm C'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +
0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =
10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} +
4.\overrightarrow{k}A( -
3;0;0)

    \Rightarrow C'(7;4;4)

    Suy ra C'(7;4;4)

  • Câu 13: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z - 3 = 0 đi qua điểm nào sau đây?

    Xét điểm \left( 1;1;\frac{3}{2}
ight) ta có: 1 - 1 +
2.\frac{3}{2} - 3 = 0 đúng nên \left( 1;1;\frac{3}{2} ight) \in
(\alpha).

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}. Tìm giá trị x để \overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}. Tìm giá trị x để \overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( - 1;3;0)B(2;0; - 3). Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{OA} = ( -
1;3;0). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OB} =
\overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AB} = ( -
3;3;3). Sai||Đúng

    d) Tứ giác OABC là hình bình hành khi \overrightarrow{OC} =
3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} -
3\overrightarrow{k}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( - 1;3;0)B(2;0; - 3). Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{OA} = ( -
1;3;0). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OB} =
\overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AB} = ( -
3;3;3). Sai||Đúng

    d) Tứ giác OABC là hình bình hành khi \overrightarrow{OC} =
3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} -
3\overrightarrow{k}. Đúng||Sai

    a) Đúng

    \overrightarrow{OA} = ( -
1;3;0).

    b) Sai

    \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i}
- 3\overrightarrow{k}.

    c) Sai

    \overrightarrow{AB} = \left( x_{B} -
x_{A}^{};y_{B} - y_{A};z_{B} - z_{A} ight) = (3; - 3; -
3).

    d) Đúng

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (3; - 3; -
3),

    OABC là hình bình hành

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OC} =
\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{C} = 3 \\
y_{C} = - 3 \\
z_{C} = - 3 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow C(3; - 3; - 3)

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (m;2;4),\overrightarrow{b} =
(1;n;2) cùng phương. Tìm cặp số thực (m;n)?

    Ta có hai vectơ \overrightarrow{a} =
(m;2;4),\overrightarrow{b} = (1;n;2) cùng phương

    \Leftrightarrow \frac{m}{1} =
\frac{2}{n} = \frac{4}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = 2 \\
n = 1 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy (m;n) = (2;1).

  • Câu 17: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2). Có tất cả bao nhiêu điểm Mtrong không gian thỏa mãn M eq A,M eq B,M eq C\widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2). Có tất cả bao nhiêu điểm Mtrong không gian thỏa mãn M eq A,M eq B,M eq C\widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 18: Thông hiểu

    Tứ giác ABCD là hình bình hành biết tọa độ các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1;
- 1;1). Tìm tọa độ điểm C?

    Giả sử điểm C(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 1 = 2 - 1 \\
y + 1 = 1 - 0 \\
z - 1 = 2 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 0 \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm C(2;0;2).

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} +
4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k}. Tọa độ điểm A là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
3\overrightarrow{i} = (3;0;0) \\
4\overrightarrow{j} = (0;4;0) \\
5\overrightarrow{k} = (0;0;5) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \overrightarrow{OA} =
3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k}
\Rightarrow A(3;4; - 5)

  • Câu 20: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz , cho vectơ \overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; -
5;7). Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ của điểm A(2; - 1;5). Đúng||Sai

    b) Gọi C(a;b;c) thỏa mãn ∆ABC nhận G(1;1;1) làm trọng tâm. Khi đó a + b +
c = - 4 . Đúng||Sai

    c) Nếu A;B;M(x;y;1) thẳng hàng thì tổng x + y = 3 . Đúng||Sai

    d) Cho N \in (Oxy) để ∆ABN vuông cân tại A. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz , cho vectơ \overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; -
5;7). Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ của điểm A(2; - 1;5). Đúng||Sai

    b) Gọi C(a;b;c) thỏa mãn ∆ABC nhận G(1;1;1) làm trọng tâm. Khi đó a + b +
c = - 4 . Đúng||Sai

    c) Nếu A;B;M(x;y;1) thẳng hàng thì tổng x + y = 3 . Đúng||Sai

    d) Cho N \in (Oxy) để ∆ABN vuông cân tại A. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

    a) Ta có:

    Tọa độ của điểm A(2; - 1;5).

    b) G là trọng tâm tam giác ABC

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{2 + 5 + x_{C}}{3} \\1 = \dfrac{- 1 - 5 + y_{C}}{3} \\1 = \dfrac{5 + 7 + x_{C}}{3} \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{C} = - 4 \\y_{C} = 9 \\x_{C} = - 9 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow C( - 4;9; - 9)

    \Rightarrow a + b + c = - 4

    c) Ta có: \overrightarrow{AB} = (3; -
4;2);\overrightarrow{AC} = (x - 2;y + 1; - 4)

    Ba điểm A, B, M thằng hàng khi và chỉ khi

    \overrightarrow{AM} =
k\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 2 = 3k \\
y + 1 = k.( - 4) \\
- 4 = k.2 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 4 \\
y = 7 \\
k = - 2 \\
\end{matrix} ight.

    Suy ra x + y = 3

    d) Ta có: N \in (Oxy) \Rightarrow N =
(x;y;0)

    \Rightarrow \overrightarrow{AN} = (x -
2;y + 1; - 5),\overrightarrow{AB} = (3; - 4;2)

    Ta có ∆ABN vuông cân tại A \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
AN\bot AB(*) \\
AN = AB(**) \\
\end{matrix} ight.

    Từ (*) \Leftrightarrow
\overrightarrow{AN}\bot\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow 3(x - 2) -
4(y + 1) - 10 = 0

    \Leftrightarrow 3x - 4y = 20
\Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x - 5

    Từ (**) AN^{2} = AB^{2} \Leftrightarrow
(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + 25 = 9 + 16 + 4

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + \left(
\frac{3x}{4} - 4 ight)^{2} = 4 \Leftrightarrow x =
\frac{16}{5}

    \Rightarrow y = - \frac{13}{5}
\Rightarrow N\left( \frac{16}{5}; - \frac{13}{5};0 ight)

    Vậy x_{N} + y_{N} =
\frac{3}{5}

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB}\overrightarrow{EG}?

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{EG} =
\overrightarrow{AC} (AEGC là hình chữ nhật) nên \left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{EG} ight) = \left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \widehat{BAC} =
45^{0}(AEGC là hình vuông)

  • Câu 22: Nhận biết

    Trong không gian cho ba vectơ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w} có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Vì ba vectơ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w} có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng nên

    Giá các vectơ \overrightarrow{u} +
\overrightarrow{v};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w} không cùng nằm trên một mặt phẳng.

    Giá các vectơ \overrightarrow{u} +
\overrightarrow{v};\overrightarrow{v};2\overrightarrow{w} không cùng nằm trên một mặt phẳng.

    Giá các vectơ \overrightarrow{u} +
\overrightarrow{v}; - 2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w} không cùng nằm trên một mặt phẳng.

    Giá của các vectơ 2\left(
\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight); - \overrightarrow{u}; -
\overrightarrow{v} cùng nằm trên một mặt phẳng

    Vậy mệnh đề đúng là: “Giá các vectơ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}; -
2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w} không cùng nằm trên một mặt phẳng.”

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD. Điểm N xác định bởi công thức \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \overrightarrow{AN} =
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} -
\overrightarrow{AD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AN} -
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}
\Leftrightarrow \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AD}

    Vậy N là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDBN.

  • Câu 24: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1). Đúng||Sai

    a) Sai

    Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là ( -
1,5\ ;\  - 1\ ;\ 0,5).

    b) Đúng

    Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là (2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7).

    Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

    \sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} +
(0,7 + 0,5)^{2}}

    = \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx
4,6(km)

    c) Sai

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

    \sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} =
\frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

    \sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} +
0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)

    Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

    d) Đúng

    Vị trí của chiếc flycam là

    \left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 -
1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\
0,6).

    Khoảng cách bay của flycam là:

    \sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} =
\frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)

    Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1)

    \sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} =
\sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)

    Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1).

  • Câu 25: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ ba điểm A( - 1; -
2;3),B(0;3;1),C(4;2;2). Tính cosin góc \widehat{BAC}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (1;5; - 2) \\
\overrightarrow{AC} = (5;4; - 1) \\
\end{matrix} ight..

    \cos\widehat{BAC} = \cos\left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) =
\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|
\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|} =
\frac{5 + 20 + 2}{\sqrt{30}.\sqrt{42}} =
\frac{9}{2\sqrt{35}}

  • Câu 26: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} -
\overrightarrow{AN}\frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} -
\overrightarrow{AN}\frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

     

    a) Sai

     

    Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD

    Suy ra hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

    b) Sai

    Ta có ABCD là hình chữ nhật nên AC =
\sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}

    Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

    Suy ra \tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC}
= \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx
41^{0}48'

    Ta có: \left(
\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left(
\overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx
41^{0}48'

    c) Đúng

    Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

    Suy ra SB = \sqrt{SA^{2} +
AB^{2}} = a\sqrt{5}

    Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

    AM = \frac{1}{2}SB =
\frac{a\sqrt{5}}{2}

    Lại có M là trung điểm của SB nên MB =
\frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Ta tính được \cos MAB = \frac{MA^{2} +
AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}

    \left(
\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) =
\widehat{MAB}

    \Rightarrow
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM}
ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left(
\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) =
\frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}

    d) Sai

    Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

    Do đó MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} +
AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Suy ra \left| \overrightarrow{AM} -
\overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| =
\frac{a\sqrt{5}}{2}

  • Câu 27: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (2;1;0)\overrightarrow{b} = ( - 1;0; -
2). Tính \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)?

    Ta có: \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) =
\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a}
ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{-
2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm của hai đường chéo ACBD trùng với gốc tọa độ O. Các véc tơ \overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OS} lần lượt cùng hướng với các véc tơ \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}OA = 3, OS =
2. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Tọa độ của véc tơ \overrightarrow{OM}

    Hình vẽ minh họa

    Ta có OB = \sqrt{AB^{2} - OA^{2}} =
\sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4.

    Khi đó \overrightarrow{OB} = (4;0;0),\ \
\ \overrightarrow{OS} = (0;0;2).

    M là trung điểm của SB nên ta có

    \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{OB} ight) =
(2;0;1).

  • Câu 29: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;1),B(2;1; - 2),C( - 1;3;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BA} =
\overrightarrow{CD}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x + 1 = - 1 \\
y - 3 = - 1 \\
z - 2 = 3 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 2 \\
y = 2 \\
z = 5 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D( - 2;2;5)

  • Câu 30: Nhận biết

    Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB. Biết tọa độ hai điểm A(1;2;3)B(3; - 1;4).

    Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

    \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M(2;1;3)

    Vậy đáp án đúng là: M(2;1;3).

  • Câu 31: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0; - 1;1),B( - 2;1; - 1),C( - 1;3;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BA} =
\overrightarrow{CD}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x + 1 = 2 \\
y - 3 = - 2 \\
z - 2 = 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 1 \\
z = 4 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(1;1;4)

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt E(0;0;6), giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight),A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 240\ N, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}} như hình.

    Tính tích vô hướng của \overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}} (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

    Đáp án: 6311

    Đáp án là:

    Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt E(0;0;6), giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight),A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 240\ N, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}} như hình.

    Tính tích vô hướng của \overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}} (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

    Đáp án: 6311

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{EA_{1}} = (0;1; - 6) \\\overrightarrow{EA_{2}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; - 6ight) \\\overrightarrow{EA_{3}} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; -6 ight) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow EA_{1} = EA_{2} = EA_{3} =\sqrt{37}.

    Suy ra, \left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = \left|\overrightarrow{F_{3}} ight| (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).

    Do đó: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = k\overrightarrow{EA_{1}} = (0;k; - 6k) \\\overrightarrow{F_{2}} = k\overrightarrow{EA_{2}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = k\overrightarrow{EA_{3}} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = (0;0; -18k).

    \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{P} =(0;0; - 240).

    Suy ra - 18k = - 240 \Leftrightarrow k =\frac{40}{3}.

    Từ đó \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = \left( 0;\frac{40}{3}; - 80 ight) \\\overrightarrow{F_{2}} = \left( \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3}; -80 ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = \left( - \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3};- 80 ight) \\\end{matrix} ight..

    Vậy \overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{F_{3}} =0.\left( \frac{- 20\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{40}{3}\left( -\frac{20}{3} ight) + ( - 80).( - 80) \approx 6311.

  • Câu 33: Nhận biết

    Tính chất nào sau đây sai?

    Tính chất sai là: \overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} -
\overrightarrow{a}

  • Câu 34: Vận dụng

    Trong không gian cho tam giác ABC. Tìm M sao cho giá trị của biểu thức P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất?

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

    Suy ra G cố định và \overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} =
\overrightarrow{0}

    P = MA^{2} + MB^{2} +
MC^{2}

    P = \left( \overrightarrow{MG} +
\overrightarrow{GA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} +
\overrightarrow{GB} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} +
\overrightarrow{GC} ight)^{2}

    P = 3{\overrightarrow{MG}}^{2} +
2\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} ight)^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}

    P = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}
\geq GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}

    Dấu “=” xảy ra khi M \equiv
G

    Vậy P_{\min} = GA^{2} + GB^{2} +
GC^{2} với M \equiv G là trọng tâm tam giác ABC.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):y = 0, (Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0. Xét các vectơ \overrightarrow{n_{1}} =
(0;1;0), \overrightarrow{n_{2}} =
\left( \sqrt{3}; - 1;0 ight).

    a) \overrightarrow{n_{1}} là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{n_{2}} không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q). Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = -
1. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai mặt phẳng (P)(Q) bằng 30{^\circ}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):y = 0, (Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0. Xét các vectơ \overrightarrow{n_{1}} =
(0;1;0), \overrightarrow{n_{2}} =
\left( \sqrt{3}; - 1;0 ight).

    a) \overrightarrow{n_{1}} là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{n_{2}} không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q). Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = -
1. Đúng||Sai

    d) Góc giữa hai mặt phẳng (P)(Q) bằng 30{^\circ}. Sai||Đúng

    a) \overrightarrow{n_{1}} là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

    Ta có: (P):y = 0 \Leftrightarrow 0x + 1y
+ 0z = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{1}} = (0;1;0).

    b) \overrightarrow{n_{2}} là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

    Ta có: (Q):\sqrt{3}x - y - 2024 = 0
\Leftrightarrow \sqrt{3}x - y + 0z - 2024 = 0 = 0 có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n_{2}} = \left(
\sqrt{3}; - 1;0 ight).

    c) \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} =
0.\sqrt{3} + 1.( - 1) + 0.0 = - 1.

    d) Gọi \varphi là góc giữa hai mặt phẳng (P)(Q)

    \cos\varphi = \left| \cos\left(
\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) ight| =
\frac{\left| \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}}
ight|}{\left| \overrightarrow{n_{1}} ight|.\left|
\overrightarrow{n_{2}} ight|}

    = \frac{| - 1|}{\sqrt{0^{2} + 1^{2} +
0^{2}}.\sqrt{\left( \sqrt{3} ight)^{2} + ( - 1)^{2} + 0^{2}}} =
\frac{1}{2} \Rightarrow \varphi = 60{^\circ}.

  • Câu 36: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} =
(1;2;1);\overrightarrow{b} = ( - 1;3;0). Vectơ \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} có tọa độ là:

    Ta có: 2\overrightarrow{a} =
(2;4;2). Khi đó \overrightarrow{c}
= 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left( 2 + ( - 1);4 + 3;2 +
0 ight) = (1;7;2)

    Vậy \overrightarrow{c} =
(1;7;2)

  • Câu 37: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Đặt \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b}. Điểm M xác định bởi đẳng thức \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi I;I' lần lượt là tâm các mặt đáy ABCD;A'B'C'D' suy ra O là trung điểm của II'

    Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    Theo giả thiết ta có:

    \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} ight) = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} ight) = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} ight) =
\frac{1}{2}\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{IB}

    ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên từ đẳng thức \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{IB} suy ra M là trung điểm của BB'.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;2a;0),A'(0;0;2a) với a eq 0. Độ dài đoạn thẳng AC' là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (a;0;0) \\
\overrightarrow{AD} = (0;2a;0) \\
\overrightarrow{AA'} = (0;0;2a) \\
\end{matrix} ight.

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC'} \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =
(a;2a;2a)

    Suy ra AC' = \left|
\overrightarrow{AC'} ight| = \sqrt{a^{2} + (2a)^{2} + (2a)^{2}} =
3|a|

    Vậy độ dài AC’ bằng 3|a|.

  • Câu 39: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(2;4;0),B(4;0;0),C( -
1;4;7),D'(6;8;10). Xác định tọa độ B’?

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử điểm D(a;b;c),B'(a';b';c')

    Gọi O = AC \cap BD \Rightarrow O\left(
\frac{1}{2};4; - \frac{7}{2} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - 3 \\
b = 8 \\
c = - 7 \\
\end{matrix} ight.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{DD'} = (9;0;17) \\
\overrightarrow{BB'} = (a' - 4;b';c') \\
\end{matrix} ight.. Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên \overrightarrow{DD'} =
\overrightarrow{BB'}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a' = 13 \\
b' = 0 \\
c' = 17 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow B'(13;0;17)

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt \overrightarrow{SA} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{SB} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{SC} =
\overrightarrow{c};\overrightarrow{SD} = \overrightarrow{d}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Khi đó:

    \overrightarrow{SA} +
\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} =
2\overrightarrow{SO}

    Vậy \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{c} = \overrightarrow{d} +
\overrightarrow{b}.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 42 lượt xem
Sắp xếp theo