Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho A(1;\ \ 1;\  - 2)B(2;\ \  - 1;\ \ 0). Hãy xác định tọa độ của \overrightarrow{AB}?

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (1;\  - \ 2;\ \
2)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, góc giữa hai vectơ \overrightarrow{i}\overrightarrow{u} = \left( - \sqrt{3};0;1
ight) là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =
(1;0;0)

    \Rightarrow \cos\left(
\overrightarrow{i};\overrightarrow{u} ight) =
\frac{\overrightarrow{i}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{i}
ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{1.\left( - \sqrt{3} +
0.0 + 0.1 ight)}{1.\sqrt{\left( - \sqrt{3} ight)^{2} + 0^{2} +
1^{2}}} = \frac{- \sqrt{3}}{2}

    \Rightarrow \left(
\overrightarrow{i};\overrightarrow{u} ight) = 150^{0}

  • Câu 3: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ \overrightarrow{a} = ( - 1;1;0),\overrightarrow{b}
= (1;1;0)\overrightarrow{c} =
(1;1;0). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \cos\left(
\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) =
\frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}

    \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} =
0

    \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} không cùng phương vì \frac{- 1}{1} eq
\frac{1}{1}

    \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
+ \overrightarrow{c} = (1;2;1)

    Vậy mệnh đề đúng là \cos\left(
\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) =
\frac{2}{\sqrt{6}}

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}. Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?

    Hai vectơ còn lại có thể không cùng phương nên ba vectơ có thể không đồng phẳng.

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tích tất cả giá trị của a để góc tạo bởi đường thẳng \left\{ \begin{matrix}
x = 4 + at \\
y = 7 - 2t \\
\end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight. và đường thẳng 3x + 4y - 2 = 0 bằng 45^{0} là:

    Đáp án: -4||- 4

    Đáp án là:

    Tích tất cả giá trị của a để góc tạo bởi đường thẳng \left\{ \begin{matrix}
x = 4 + at \\
y = 7 - 2t \\
\end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight. và đường thẳng 3x + 4y - 2 = 0 bằng 45^{0} là:

    Đáp án: -4||- 4

    Gọi \varphi là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

    Đường thẳng \left\{ \begin{matrix}
x = 4 + at \\
y = 7 - 2t \\
\end{matrix}\ \ \ \ (t\mathbb{\in R}) ight. có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (a; -
2).

    Đường thẳng 3x + 4y - 2 = 0 có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{v} = (4;
- 3).

    Ta có:

    \cos\varphi =
|cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|

    \Leftrightarrow cos45^{0} =
\frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}

    \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} =
\frac{|4a + 6|}{5\sqrt{a^{2} + 4}}

    \Leftrightarrow 5\sqrt{a^{2} + 4} =
\sqrt{2}|4a + 6|

    \Leftrightarrow 25a^{2} + 100 = 32a^{2}
+ 96a + 72

    \Leftrightarrow 7a^{2} + 96a - 28 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{2}{7} \\a = - 14 \\\end{matrix}. ight.

    Vậy tích tất cả các giá trị của tham số a bằng -4.

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{u} = (1;2;0). Tọa độ vectơ \overrightarrow{u} là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =(0;0;1)

    \overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i}+ y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow\overrightarrow{u} = (x;y;z)

    Suy ra \overrightarrow{u} = (1;2;0)\Leftrightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j}

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C', điểm M trên CC' sao cho \overrightarrow{MC} = -
\frac{1}{3}\overrightarrow{MC'}. Đặt \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a},\ \
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{c}. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có

    \overrightarrow{A'M} =
\overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{CM}

    = \overrightarrow{A'A} +
\overrightarrow{A'C'} +
\frac{1}{4}\overrightarrow{AA'}

    = - \overrightarrow{AA'} +\overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AA'}

    = \overrightarrow{AC} -
\frac{3}{4}\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{b} -
\frac{3}{4}\overrightarrow{c}

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCDAC = \frac{3}{2}AD;\widehat{CAB} = \widehat{DAB} =
60^{0};CD = AD. Gọi \varphi là góc giữa ABCD. Chọn khẳng định đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \cos(AB;CD) = \frac{\left|
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} ight|}{\left|
\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{CD} ight|} =
\frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}
ight|}{AB.CD}

    Mặt khác \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} =
\overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}
ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} -
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}

    = \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)

    = AB.AD.\frac{1}{2} -
AB.\frac{3}{2}.AD.\frac{1}{2} = - \frac{1}{4}AB.AD = -
\frac{1}{4}AB.CD

    Do đó: \cos(AB;CD) = \frac{\left| -\dfrac{1}{4}AB.CD ight|}{AB.CD} = \dfrac{1}{4}

    Vậy \cos\varphi =
\frac{1}{4}

  • Câu 9: Nhận biết

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt \overrightarrow{SA} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{SB} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{SC} =
\overrightarrow{c};\overrightarrow{SD} = \overrightarrow{d}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Khi đó:

    \overrightarrow{SA} +
\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} =
2\overrightarrow{SO}

    Vậy \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{c} = \overrightarrow{d} +
\overrightarrow{b}.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCCD.A'B'C'D'. Biết A(2;4;0),B(4;0;0),C( -
1;4;7),D'(6;8;10). Tọa độ điểm B' là:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{BC} = ( - 5;4;7) \Rightarrow D( - 3;8; - 7)

    \overrightarrow{BD} =
\overrightarrow{B'D'} = ( - 7;8; - 7) \Rightarrow
B'(13;0;17)

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} +
\overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}. Tọa độ vectơ \overrightarrow{a} là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =
(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =
(0;0;1)

    Theo bài ra ta có: \overrightarrow{a} =
2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j} suy ra tọa độ vectơ \overrightarrow{a} = (2;
- 3;1).

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
6 - x = 3 + 2 \\
5 - y = 0 - 3 \\
- z = - 1 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 8 \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(1;8;2).

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Khi đó \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} +
\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} bằng.

    Do O là tâm của hình bình hành ABCD nên \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} +
\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} =
\overrightarrow{0}.

    Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có

    \overrightarrow{SA} +
\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} +
\overrightarrow{SD}

    = \left( \overrightarrow{SO} +
\overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{SO} +
\overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{SO} +
\overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{SO} +
\overrightarrow{OD} ight)

    = 4\overrightarrow{SO}

  • Câu 14: Nhận biết

    Trong không gian, cho hai vectơ \overrightarrow{AB}\overrightarrow{BC}. Vectơ \overrightarrow{AC} bằng

    Theo quy tắc ba điểm: \overrightarrow{AC}\  = \ \overrightarrow{\
AB}\  + \ \overrightarrow{BC}.

  • Câu 15: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}cùng có độ dài bằng 2. Biết rằng góc giữa hai vecto đó bằng 120^{0}, giá trị của biểu thức P = \left( \overrightarrow{a} -
2\overrightarrow{b} ight)^{2}

    Ta có:

    \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} =
\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b}
ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight) =
2.2.cos120^{0} = 2.2.\left( - \frac{1}{2} ight) = - 2

    Do đó:

    P = \left( \overrightarrow{a} -
2\overrightarrow{b} ight)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} -
4\overrightarrow{.a}.\overrightarrow{b} +
4{\overrightarrow{b}}^{2}

    = 4 - 4.( - 2) + 4.4 = 28.

  • Câu 16: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(3; - 2;5). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oxz) là:

    Hình chiếu vuông góc của điểm A(3; -
2;5) trên mặt phẳng (Oxz) là điểm có tọa độ (3;0;5).

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'AB = BC = 2CC' = 4. Gọi MN lần lượt là trung điểm của cạnh BCAA'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D'MN bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 2,43

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'AB = BC = 2CC' = 4. Gọi MN lần lượt là trung điểm của cạnh BCAA'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D'MN bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 2,43

    Cách 1. Gọi P là trung điểm CD, I = MP \cap AD, J = IN \cap DD', K = AC \cap MP.

    Ta có MP//BD \Rightarrow MP//B'D'
\Rightarrow d(B'D';MN) = d\left\lbrack B'D';(MNP)
ightbrack = d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack.

    Lại có d\left\lbrack D';(MNP)
ightbrack = \frac{D'J}{DJ}d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack =
5.d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack.

    Mặt khác d\left\lbrack D;(MNP)
ightbrack = \frac{DI}{AI}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack =
\frac{1}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack.

    Dễ thấy \left\{ \begin{matrix}
(NAK)\bot(MNP) \\
(NAK) \cap (MNP) = AK \\
AH\bot NK\ (H \in NK)\ trong\ (NAK) \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow AH\bot(MNP) \Rightarrow
d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = AH.

    Suy ra d(MN;B'D') =
\frac{5}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{5}{3}AH với AN = \frac{AA'}{2} = 2 ; AK = \frac{3}{4}\sqrt{2}AB =
\frac{3\sqrt{2}}{2}.

    Vậy d(MN;B'D') = \frac{5}{3}AH =
\frac{5}{3}.\frac{AN.AK}{\sqrt{AN^{2} + AK^{2}}} =
\frac{5}{3}.\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}.2}{\sqrt{\left(
\frac{3\sqrt{2}}{2} ight)^{2} + 2^{2}}} = \frac{10.\sqrt{17}}{17}
\simeq 2,43.

    Cách 2. Đặt các trục Ox, OyOz vào hình như sau

    Ta có M(1;2;0), N(0;0;2), B'(0;2;4)D'(2;0;4).

    Ta có \overrightarrow{MN} = ( - 1; -
2;2), \overrightarrow{B'D'}
= (2; - 2;0)\overrightarrow{MB'} = ( - 1;0;4) \Rightarrow
\left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{B'D'}
ightbrack = (4;4;6).

    Khi đó :

    d\left( MN;B^{'}D^{'} ight) =
\frac{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}}
ightbrack.\overrightarrow{MB^{'}} ight|}{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack
ight|}

    = \frac{\left| ( - 1).4 + 0.4 + 4.6
ight|}{\sqrt{4^{2} + 4^{2} + 6^{2}}} = \frac{10\sqrt{17}}{17} \simeq
2,43.

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Điểm M xác định bởi công thức \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Do G là trọng tâm tam giác BCD nên \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}

    \Rightarrow \overrightarrow{AM} =
3\overrightarrow{AG}

    Vậy mệnh đề đúng là “M thuộc tia AGAM = 3AG”.

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; - 2),B\left(
\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight). Biết I(a;b;c) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Tính giá trị biểu thức U = a - b + c?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.

    Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

    \overrightarrow{DA} = -
\frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = -
\frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}

    \Rightarrow \overrightarrow{DA} = -
\frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} =
\frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}. Do đó D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0
ight)

    Ta có: \overrightarrow{AD} = \left(
\frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD =
\frac{15}{7}

    \overrightarrow{ID} = -
\frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO}
\Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD}
\Rightarrow D(1;1;0)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = 1 \\
c = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow U = 0

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (\alpha):x - y + 2z - 3 = 0 đi qua điểm nào sau đây?

    Xét điểm \left( 1;1;\frac{3}{2}
ight) ta có: 1 - 1 +
2.\frac{3}{2} - 3 = 0 đúng nên \left( 1;1;\frac{3}{2} ight) \in
(\alpha).

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Phân tích vectơ \overrightarrow{AC'} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}?

    Ta có phép cộng vectơ đối với hình vuông ABCD: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{AC}

    Khi đó ta có: \overrightarrow{AC'} =
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hình chóp OABCOA = OB = OC = 1, các cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc. Gọi M là trung điểm của AB. Tính tích vô hướng của hai vectơ \overrightarrow{OC};\overrightarrow{MA}.

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}
= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}
ight)\left( \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}
ight)

    =
\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC} = - \frac{BC^{2}}{2} = -
\frac{1}{2}

    Như vậy:

    \cos\left(
\overrightarrow{OM};\overrightarrow{BC} ight) =
\frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{\left|
\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|} =
\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2} = - \frac{1}{2}

    \Rightarrow \left(
\overrightarrow{OM};\overrightarrow{BC} ight) = 120^{0}

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng aa' lần lượt có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u}\overrightarrow{u'}. Nếu \varphi là góc giữa hai đường thẳng aa' thì:

    Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là \cos\varphi = \left| \cos\left(
\overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2;1;2), N(4; 2; 1), tọa độ điểm P thuộc trục Oz sao cho M;N; Pthẳng hàng là

    Vì điểm Pthuộc trục Oz nên P có tọa độ P(0;0;z).

    Ta có \overrightarrow{MN}(2;1; -
1); \overrightarrow{NP}( - 4; - 2;z
- 1)

    M;\ N;\ P thẳng hàng\Leftrightarrow\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP} cùng phương

    \Leftrightarrow \frac{- 4}{2} = \frac{-
2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} \Leftrightarrow z - 1 = 2 \Leftrightarrow z =
3

    Vậy điểm P(0;0;3).

  • Câu 25: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -
3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Tìm tọa độ điểm C'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +
0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =
10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} +
4.\overrightarrow{k}A( -
3;0;0)

    \Rightarrow C'(7;4;4)

    Suy ra C'(7;4;4)

  • Câu 26: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = ( -
3;4;0)\overrightarrow{b} =
(5;0;12). Tính \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)?

    Ta có: \cos\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) =
\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a}
ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 15}{\sqrt{( -
3)^{2} + 4^{2} + 0^{2}}.\sqrt{5^{2} + 0^{2} + 12^{2}}} = -
\frac{3}{13}

  • Câu 27: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Giả sử điểm C'(a;b;c). Tính giá trị biểu thức T=a+b+2c?

    Gọi điểm C'(x;y;z)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.

    \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'} \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow C'(13;4;4) suy ra a=13;b=4;c=4

    Vậy  T=25

  • Câu 28: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( - 2;3;1),B(5;6;2). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm M. Tính tỉ số \frac{AM}{BM}?

    Ta có: M \in (Oxz) \Rightarrow
M(x;0;z)

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (7;3;1) \Rightarrow AB = \sqrt{59} \\
\overrightarrow{AM} = (x + 2; - 3;z - 1) \\
\end{matrix} ight. và ba điểm A;B;M thẳng hàng

    \overrightarrow{AM} =
k.\overrightarrow{AB};\left( k\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
x + 2 = 7k \\
- 3 = 3k \\
z - 1 = k \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 9 \\
k = - 1 \\
z = 0 \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow M( - 9;0;0) \Rightarrow
\left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{BM} = ( - 14; - 6; - 2) \\
\overrightarrow{AM} = ( - 7; - 3; - 1) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow BM = 2AB

    Vậy đáp án đúng là \frac{AM}{BM} =
\frac{1}{2}.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGHAB = AE = 2,AD = 3 và đặt \overrightarrow{a} =
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} =
\overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}. Lấy điểm M thỏa \overrightarrow{AM} =
\frac{1}{5}\overrightarrow{AD} và điểm N thỏa \overrightarrow{EN} =
\frac{2}{5}\overrightarrow{EC}. (Quan sát hình vẽ).

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \overrightarrow{MA} = -
\frac{1}{5}\overrightarrow{b} Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{EN} =
\frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +
\overrightarrow{c} ight) Sai||Đúng

    c) \left( m\overrightarrow{a} +
n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} =
m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} +
p^{2}\overrightarrow{c^{2}}, với m;n;p là các số thực. Đúng||Sai

    d) MN = \frac{\sqrt{61}}{5}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGHAB = AE = 2,AD = 3 và đặt \overrightarrow{a} =
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} =
\overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}. Lấy điểm M thỏa \overrightarrow{AM} =
\frac{1}{5}\overrightarrow{AD} và điểm N thỏa \overrightarrow{EN} =
\frac{2}{5}\overrightarrow{EC}. (Quan sát hình vẽ).

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \overrightarrow{MA} = -
\frac{1}{5}\overrightarrow{b} Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{EN} =
\frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +
\overrightarrow{c} ight) Sai||Đúng

    c) \left( m\overrightarrow{a} +
n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} =
m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} +
p^{2}\overrightarrow{c^{2}}, với m;n;p là các số thực. Đúng||Sai

    d) MN = \frac{\sqrt{61}}{5}. Đúng||Sai

    a) Đúng: Ta có

    \overrightarrow{MA} = -
\overrightarrow{AM} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} = -
\frac{1}{5}\overrightarrow{b}

    b) Sai:

    \overrightarrow{EN} =
\frac{2}{5}\overrightarrow{EC} = \frac{2}{5}(\overrightarrow{EF} +
\overrightarrow{EH} + \overrightarrow{EA}) =
\frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -
\overrightarrow{c})

    c) Đúng:

    (m.\overrightarrow{a} +n.\overrightarrow{b} + p.\overrightarrow{c})^{2} =m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} + n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2}+p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2} +2mn.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+2np\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} +2mp.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}= m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} +
n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2} + p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2}

    (vì \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} đôi một vuông góc nên \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} =
\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} =
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0).

    Ta có

    \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EN}

    = -\frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} +\frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -\overrightarrow{c})

    = \frac{2}{5}\overrightarrow{a} +\frac{1}{5}\overrightarrow{b} +\frac{3}{5}\overrightarrow{c}.

    d) Đúng:

    MN^{2} =
{\overrightarrow{MN}}^{2} = \left( \frac{2}{5}\overrightarrow{a} +
\frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \frac{3}{5}\overrightarrow{c}
ight)^{2}

    = \frac{4}{25}{\overrightarrow{a}}^{2} +\frac{1}{25}{\overrightarrow{b}}^{2} +\frac{9}{25}{\overrightarrow{c}}^{2}= \frac{4}{25}.4 + \frac{1}{25}.9 +\frac{9}{25}.4 = \frac{61}{25}

    Suy ra MN =
\frac{\sqrt{61}}{5}.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; - 1;5),B(m;2;7). Tìm giá trị tham số m để AB
= 7?

    Theo bài ra ta có:

    AB = 7 \Leftrightarrow \sqrt{(m - 3)^{2}
+ 3^{2} + 2^{2}} = 7

    \Leftrightarrow (m - 3)^{2} = 36
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m - 3 = 6 \\
m - 3 = - 6 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 9 \\
m = - 3 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là \left\lbrack
\begin{matrix}
m = 9 \\
m = - 3 \\
\end{matrix} ight..

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Cho tứ diện OABCOA;OB;OC đôi một vuông góc. M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} +
\frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}?

    Đặt \overrightarrow{OA} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{OB} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}. Khi đó \overrightarrow{OM} =
x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c} với x;y;z là ba số có tổng bằng 1.

    Ta có:

    \overrightarrow{AM} =
\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (x - 1)\overrightarrow{a} +
y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}

    \Rightarrow {\overrightarrow{AM}}^{2} =
(x - 1)^{2}{\overrightarrow{a}}^{2} + y^{2}{\overrightarrow{b}}^{2} +
z^{2}{\overrightarrow{c}}^{2}

    \Rightarrow \frac{MA^{2}}{OA^{2}} = (x -
1)^{2} + y^{2}.\frac{b^{2}}{a^{2}} +
z^{2}.\frac{c^{2}}{a^{2}}

    Tương tự ta được

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{MB^{2}}{OB^{2}} = (y - 1)^{2} + z^{2}.\dfrac{c^{2}}{b^{2}} +x^{2}.\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \\\dfrac{MC^{2}}{OC^{2}} = (z - 1)^{2} + x^{2}.\dfrac{a^{2}}{c^{2}} +y^{2}.\dfrac{b^{2}}{c^{2}} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} +
\frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left(
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left(
\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left(
\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left(
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left(
\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left(
\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z -
1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} +
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2}
+ z^{2}c^{2} ight)

    - \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} ight) +
(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} +
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2}
+ z^{2}c^{2} ight) - 2(x + y + z) + 3

    Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}}\\x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = OM^{2} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} +
\frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}} = \frac{OM^{2}}{OH^{2}} +
1 \geq 1 + 1 = 2

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.

    Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.

  • Câu 32: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    a) Đúng: Vì \overrightarrow{OA} =
3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k} nên A(3;0; - 1).

    b) Sai: Ta có \overrightarrow{AB} =
(4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2).

    4:2:4 eq - 2:4:2 nên \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} không cùng phương suy ra A,B,C không thẳng hàng.

    c) Đúng

    D là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AD.

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\
y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\
z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\
\end{matrix} ight. suy ra D( -
5;4;7).

    Do đó a = - 5,b = 4,c = 7. Vậy a + b + c = 6.

    d) Đúng. Gọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} =
\overrightarrow{0}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\
0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\
- 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\
\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 2 \\
z = 1 \\
\end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.

    MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}

    =(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}

    Do IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} không thay đổi nên MA^{2} + MB^{2} +
MC^{2} nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (Oxy).

    Do đó M(1;2;0) suy ra m=1,n=2,p=0.

    Vậy 2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 =
0.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b}
= (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4). Gọi \overrightarrow{x} là vectơ thoả mãn: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\
\end{matrix} ight.. Tọa độ của vectơ \overrightarrow{x} là:

    Đặt \overrightarrow{x} =
(a;b;c).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - b + 3c = - 5 \\a - 3b + 2c = - 11 \\3a + 2b - 4c = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 3 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\  ight.\  ight.

    Vậy \overrightarrow{x} = (2;3; -
2).

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AC} =
\overrightarrow{B'C'} nên \left(
\overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight) = \left(
\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} ight) = \widehat{CAD} =
45^{0}

    Suy ra \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'}= \left| \overrightarrow{AC} ight|.\left|\overrightarrow{B'C'} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{B'C'} ight)

    =a\sqrt{2}.a.\cos45^{0} =a^{2}

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Điểm M được xác định bởi đẳng thức vectơ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +
\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} +
\overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} +
\overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Gọi \left\{ \begin{matrix}
O = AC \cap BD \\
O' = A'C' \cap B'D' \\
\end{matrix} ight.

    Khi đó \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +
\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \\
\overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} +
\overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'} = \overrightarrow{0}
\\
\end{matrix} ight.

    Ta có:

    \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} +
\overrightarrow{MD}

    = \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{OD} ight)

    = \overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} +
4\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0} + 4\overrightarrow{MO} =
4\overrightarrow{MO}

    Tương tự ta cũng có: \overrightarrow{MA'} +
\overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} +
\overrightarrow{MD'} = 4\overrightarrow{MO'}

    Từ đó suy ra

    \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} +
\overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} +
\overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{MO} +
4\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 4\left(
\overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} ight) =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{MO} +
\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0}

    Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của OO'.

  • Câu 36: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(2;4;0),B(4;0;0),C( -
1;4;7),D'(6;8;10). Xác định tọa độ B’?

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử điểm D(a;b;c),B'(a';b';c')

    Gọi O = AC \cap BD \Rightarrow O\left(
\frac{1}{2};4; - \frac{7}{2} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - 3 \\
b = 8 \\
c = - 7 \\
\end{matrix} ight.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{DD'} = (9;0;17) \\
\overrightarrow{BB'} = (a' - 4;b';c') \\
\end{matrix} ight.. Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên \overrightarrow{DD'} =
\overrightarrow{BB'}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a' = 13 \\
b' = 0 \\
c' = 17 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow B'(13;0;17)

  • Câu 37: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;2; - 3),B(2;5;7),C( - 3;1;4). Xác định tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành?

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1 = - 3 - x \\
3 = 1 - y \\
20 = 4 - z \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 4 \\
y = - 2 \\
z = - 6 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D( - 4; - 2; - 6).

  • Câu 38: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm M(3; - 2;1),N(1;0; - 3). Gọi M';N' lần lượt là hình chiếu của M;N lên mặt phẳng (Oxy). Khi đó độ dài đoạn thẳng M'N' bằng:

    M';N' lần lượt là hình chiếu của M;N lên mặt phẳng (Oxy) nên M'(3; - 2;0),N'(1;0;0) suy ra \overrightarrow{M'N'} = ( -
2;2;0)

    \Rightarrow M'N' =
2\sqrt{2}.

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Gọi điểm I \in CC' sao cho \overrightarrow{C'I} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{C'C}, G là trọng tâm tứ diện BAB'C'. Biểu diễn vectơ \overrightarrow{IG} qua các vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}. Đáp án nào dưới đây đúng?

    Ta có G là trọng tâm của tứ diện BA'B'C' nên

    4\overrightarrow{IG} =
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA'} +
\overrightarrow{IB'} + \overrightarrow{IC'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} =
\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{CB} ight) + \left(
\overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'A'} ight) +
\left( \overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'B'} ight)
+ \overrightarrow{IC'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} =
\overrightarrow{IC'} + \left( 2\overrightarrow{IC'} +
\overrightarrow{IC} ight) + \left( \overrightarrow{CB} +
\overrightarrow{C'B'} ight) +
\overrightarrow{C'A'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{0} +
2\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{AA'} + 2\overrightarrow{CB} -
\overrightarrow{AC}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{a} + 2\left( \overrightarrow{b} -
\overrightarrow{c} ight) - \overrightarrow{c}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{IG} =
\frac{1}{4}\left( \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -
2\overrightarrow{c} ight)

  • Câu 40: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{a} =
(2;3;2);\overrightarrow{b} = (1;1; - 1). Khi đó tọa độ vectơ \overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b} là:

    Ta có:

    \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}
= (2 - 1;3 - 1;2 + 1) = (1;2;3)

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 88 lượt xem
Sắp xếp theo