Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Câu 1: Nhận biết

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai véc tơ $\overrightarrow{u} = ( - 3;0;1)$ và $\overrightarrow{v} = (0;2; - 2)$ . Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{w} = 2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ tương ứng là:

A.
$( - 6; - 2;4)$ .
B.
$( - 6;2;0)$ .
C.
$( - 2;1;3)$ .
D.
$(1; - 2;5)$ .

Ta có: $2\overrightarrow{u} = ( - 6;0;2)$ .

$\overrightarrow{v} = (0;2; - 2)$ .

Suy ra $\overrightarrow{w} = ( - 6 - 0;0 - 2;2 + 2) = ( - 6; - 2;4)$ .

Câu 2: Nhận biết

Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{BD}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA_{1}}$ ?

A.
$\overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}$
B.
$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}$
C.
$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}$
D.
$\overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AA_{1}}$

Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}$

Câu 3: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2; - 3),B(2;5;7),C( - 3;1;4)$ . Xác định tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?

A.
$D(6;6;0)$
B.
$D\left( 0;\frac{8}{3};\frac{8}{3} ight)$
C.
$D(0;8;8)$
D.
$D( - 4; - 2; - 6)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 3 - x \\ 3 = 1 - y \\ 20 = 4 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = - 6 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4; - 2; - 6)$ .

Câu 4: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0;0;3),B(0;0; - 1),C(1;0; - 1),D(0;1; - 1)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A.
$AB\bot BD$
B.
$AB\bot BC$
C.
$AB\bot AC$
D.
$AB\bot CD$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0;0; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1;0; - 4) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 16 eq 0$ suy ra $AB$ và $AC$ không vuông góc với nhau.

Vậy mệnh đề sai là: “ $AB\bot AC$ ”.

Câu 5: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1;2;1);\overrightarrow{b} = ( - 1;3;0)$ . Vectơ $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ có tọa độ là:

A.
$\overrightarrow{c} = (1;7;2)$
B.
$\overrightarrow{c} = (1;5;2)$
C.
$\overrightarrow{c} = (3;7;2)$
D.
$\overrightarrow{c} = (1;7;3)$

Ta có: $2\overrightarrow{a} = (2;4;2)$ . Khi đó $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left( 2 + ( - 1);4 + 3;2 + 0 ight) = (1;7;2)$

Vậy $\overrightarrow{c} = (1;7;2)$

Câu 6: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Vì $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ nên $A(3;0; - 1)$ .

b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2)$ .

Vì $4:2:4 eq - 2:4:2$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương suy ra $A,B,C$ không thẳng hàng.

c) Đúng

Vì $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $D( - 5;4;7)$ .

Do đó $a = - 5,b = 4,c = 7$ . Vậy $a + b + c = 6$ .

d) Đúng. Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.$

$MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$=(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$

Do $IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$ không thay đổi nên $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất hay $M$ là hình chiếu của điểm $I$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Do đó $M(1;2;0)$ suy ra $m=1,n=2,p=0$ .

Vậy $2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0$ .

Câu 7: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1),C'(4;5; - 5)$ . Tìm tọa độ điểm $A'$ ?

A.
$A'(4;6; - 5)$
B.
$A'(2;0;2)$
C.
$A'(3;5; - 6)$
D.
$A'(3;4; - 6)$

Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;1;1) = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (0; - 1;0) = 0.\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AC'} = (3;5; - 6) = 3.\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$ do đó $\Rightarrow \overrightarrow{AA'} = 2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} - 6\overrightarrow{k}$ hay $\overrightarrow{AA'} = (3;5; - 6)$

Suy ra $A'(3;5; - 6)$

Câu 8: Vận dụng

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Điểm $M$ được xác định bởi đẳng thức vectơ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$M$ là tâm của mặt đáy $ABCD$ .
B.
$M$ là tâm của mặt đáy $A'B'C'D'$ .
C.
$M$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt đáy.
D.
Tập hợp điểm $M$ là đoạn thẳng nối hai tâm của mặt đáy.

Gọi $\left\{ \begin{matrix} O = AC \cap BD \\ O' = A'C' \cap B'D' \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{OC'} + \overrightarrow{OD'} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$

$= \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OD} ight)$

$= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + 4\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0} + 4\overrightarrow{MO} = 4\overrightarrow{MO}$

Tương tự ta cũng có: $\overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = 4\overrightarrow{MO'}$

Từ đó suy ra

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{MA'} + \overrightarrow{MB'} + \overrightarrow{MC'} + \overrightarrow{MD'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MO} + 4\overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow 4\left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} ight) = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{MO'} = \overrightarrow{0}$

Vậy điểm M cần tìm là trung điểm của $OO'$ .

Câu 9: Thông hiểu

Cho tứ diện đều $ABCD$ , $M$ là trung điểm cạnh $BC$ . Khi đó $\cos(AB;DM)$ bằng:

A.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.
$\frac{\sqrt{3}}{6}$
C.
$\frac{1}{2}$
D.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Hình vẽ minh họa

Giả sử cạnh tứ diện bằng a

Tam giác BCD đều suy ra $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ABC đều suy ra $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{\left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{DM} ight|} =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM}}{a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}$

Mặt khác $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AD} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$

$= \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AM} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM} ight) - \left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight)$

$= a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{a^{2}}{4}$

$\Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = \frac{\sqrt{3}}{6} > 0$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DM} ight) = (AB;DM)$

$\Rightarrow \cos(AB;DM) = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Câu 10: Nhận biết

Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Hỏi bốn vectơ nào có giá cùng thuộc một mặt phẳng?

A.
$\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC'}$
B.
$\overrightarrow{A'D};\overrightarrow{AA'};\overrightarrow{A'D'};\overrightarrow{DD'}$
C.
$\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}$
D.
$\overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}$

Hình vẽ minh họa

Từ hình vẽ ta thấy các vectơ $\overrightarrow{A'D};\overrightarrow{AA'};\overrightarrow{A'D'};\overrightarrow{DD'}$ có giá cùng thuộc một mặt phẳng $(AA'D'D)$ .

Câu 11: Nhận biết

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , hình chiếu vuông góc của điểm $M(1; - 3; - 5)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là:

A.
$(0; - 3;0)$ .
B.
$(0; - 3; - 5)$ .
C.
$(0; - 3;5)$ .
D.
$(1; - 3;0)$ .

Hình chiếu vuông góc của điểm $M(1; - 3; - 5)$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là điểm có tọa độ $(0; - 3; - 5)$ .

Câu 12: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ biết $A(2;4;0),B(4;0;0),C( - 1;4;7),D'(6;8;10)$ . Xác định tọa độ B’?

A.
$B'(8;4;10)$
B.
$B'(6;12;0)$
C.
$B'(10;8;6)$
D.
$B'(13;0;17)$

Hình vẽ minh họa

Giả sử điểm $D(a;b;c),B'(a';b';c')$

Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow O\left( \frac{1}{2};4; - \frac{7}{2} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 \\ b = 8 \\ c = - 7 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DD'} = (9;0;17) \\ \overrightarrow{BB'} = (a' - 4;b';c') \\ \end{matrix} ight.$ . Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{BB'}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a' = 13 \\ b' = 0 \\ c' = 17 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow B'(13;0;17)$

Câu 13: Nhận biết

Trong không gian cho hai đường thẳng $a;b$ lần lượt có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $a;b$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\alpha = \left| \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) ight|$
B.
$\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) ight|$
C.
Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \sin\alpha$
D.
Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

Khẳng định đúng: “Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$ ”.

Câu 14: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 15: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ?

A.
$60^{0}$
B.
$45^{0}$
C.
$120^{0}$
D.
$90^{0}$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$= \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)$

$= \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos60^{0} - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC}ight|.\cos60^{0}$

Mà $AC = AD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0 \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ight) = 90^{0}$

Câu 16: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Đặt $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A.
$\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} ight)$
B.
$\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left( - 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
C.
$\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$
D.
$\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} ight)$

Hình vẽ minh họa

Vì M là trung điểm của BC nên suy ra $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

Ta có: $\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

$= \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} ight) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c} ight)$

Câu 17: Thông hiểu

Cho hình hộp $ABCD.EFGH$ . Gọi $I$ là tâm hình bình hành $ABEF$ và $K$ là tâm của hình bình hành $BCGF$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{BD};\overrightarrow{AK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
B.
$\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
C.
$\overrightarrow{BD};\overrightarrow{EK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
D.
$\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{GC}$ đồng phẳng.

Hình vẽ minh họa

Vì I; K lần lượt là trung điểm của AF và CF suy ra IK là đường trung bình tam giác AFC suy ra IK // AC => IK // (ABCD)

Mà GF // (ABCD); $BD \subset (ABCD)$ suy ra $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.

Câu 18: Vận dụng cao

Cho hình chóp $S.ABC$ . Lấy các điểm $A';B';C'$ lần lượt thuộc các tia $SA;SB;SC$ sao cho $\frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} = b;\frac{SC}{SC'} = c$ trong đó $a;b;c$ là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?

A.
$a + b + c = 3$
B.
$a + b + c = 4$
C.
$a + b + c = 2$
D.
$a + b + c = 1$

Hình vẽ minh họa

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

Khi đó $3\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{0}$ mà $\overrightarrow{SA} = a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} = b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} = c\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $3\overrightarrow{SG} = a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} + c\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}$

Vì mặt phẳng $(A'B'C')$ đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ suy ra $\overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'}$ đồng phẳng.

Do đó tồn tại ba số $l;m;n$ sao cho $l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0$ ) và $l\overrightarrow{GA'} + m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow l\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left( \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) = \overrightarrow{0}$ s

$\Leftrightarrow (l + m + n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} + m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{SG} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} + \frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} + \frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}$

Suy ra $\frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m + n} = 1$

$\Rightarrow a + b + c = 3$

Câu 19: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 2;3;1),B(5;6;2)$ . Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(Oxz)$ tại điểm $M$ . Tính tỉ số $\frac{AM}{BM}$ ?

A.
$\frac{AM}{BM} = \frac{1}{2}$
B.
$\frac{AM}{BM} = 2$
C.
$\frac{AM}{BM} = \frac{1}{3}$
D.
$\frac{AM}{BM} = 3$

Ta có: $M \in (Oxz) \Rightarrow M(x;0;z)$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (7;3;1) \Rightarrow AB = \sqrt{59} \\ \overrightarrow{AM} = (x + 2; - 3;z - 1) \\ \end{matrix} ight.$ và ba điểm $A;B;M$ thẳng hàng

$\overrightarrow{AM} = k.\overrightarrow{AB};\left( k\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2 = 7k \\ - 3 = 3k \\ z - 1 = k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 9 \\ k = - 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow M( - 9;0;0) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BM} = ( - 14; - 6; - 2) \\ \overrightarrow{AM} = ( - 7; - 3; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BM = 2AB$

Vậy đáp án đúng là $\frac{AM}{BM} = \frac{1}{2}$ .

Câu 20: Thông hiểu

ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm $I(3;4;5)$ là tâm của nguồn phát âm với bán kính $10\ m$ . Để kiểm tra một điểm ở vị trí $\ M(7;10;17)$ có nhận được cường độ âm phát ra tại $I$ hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ . Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ là bao nhiêu mét?

Đáp án: 14 (m)

Đáp án là:

ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm $I(3;4;5)$ là tâm của nguồn phát âm với bán kính $10\ m$ . Để kiểm tra một điểm ở vị trí $\ M(7;10;17)$ có nhận được cường độ âm phát ra tại $I$ hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ . Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí $I$ và $M$ là bao nhiêu mét?

Đáp án: 14 (m)

Ta có

$IM = \sqrt{(7 - 3)^{2} + (10 - 4)^{2} + (17 - 5)^{2}}$

$= \sqrt{4^{2} + 6^{2} + 12^{2}} = \sqrt{196} = 14$ (m).

Đáp số 14(m).

Câu 21: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1; - 1)$ và $B(2;3;2)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:

A.
$(1;2;3)$
B.
$( - 1; - 2;3)$
C.
$(3;5;1)$
D.
$(3;4;1)$

Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (2 - 1;3 - 1;2 + 1) = (1;2;3)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = (1;2;3)$ .

Câu 22: Thông hiểu

Biết $\overrightarrow{c} = (x;y;z)$ khác $\overrightarrow{0}$ và vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1;3;4);\overrightarrow{b} = ( - 1;2;3)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$5z - x = 0$
B.
$7x - y = 0$
C.
$5z + x = 0$
D.
$7x + y = 0$

Theo đề bài ta có: $\overrightarrow{c} = (x;y;z)$ khác $\overrightarrow{0}$ và vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1;3;4);\overrightarrow{b} = ( - 1;2;3)$ nên

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0 \\ \overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 3y + 4z = 0 \\ - x + 2y + 3z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + 3y + 4z = 0 \\5y + 7z = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + 3y + 4.\dfrac{- 5}{7}y = 0 \\z = - \dfrac{5}{7}y \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 7x + y = 0 \\ 5y + 7z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy khẳng định đúng là $7x + y = 0$

Câu 23: Vận dụng cao

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2; - 2),B\left( \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Biết $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OAB$ . Tính giá trị biểu thức $U = a - b + c$ ?

A.
$U = 1$
B.
$U = 3$
C.
$U = 2$
D.
$U = 0$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.$

Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

$\overrightarrow{DA} = - \frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = - \frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} = \frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}$ . Do đó $D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0 ight)$

Ta có: $\overrightarrow{AD} = \left( \frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD = \frac{15}{7}$

$\overrightarrow{ID} = - \frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO} \Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD} \Rightarrow D(1;1;0)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow U = 0$

Câu 24: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = - 2\overrightarrow{i} +4\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) Tọa độ điểm A là $(−2; 4; 2)$ . Đúng||Sai

b) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên trục $Ox$ là $A’(0; 4; 0)$ . Sai||Đúng

c) Trung điểm của $OA$ là $M(−1; 2; 1)$ . Đúng||Sai

d) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là $H(−2; 0; 2)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = - 2\overrightarrow{i} +4\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) Tọa độ điểm A là $(−2; 4; 2)$ . Đúng||Sai

b) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên trục $Ox$ là $A’(0; 4; 0)$ . Sai||Đúng

c) Trung điểm của $OA$ là $M(−1; 2; 1)$ . Đúng||Sai

d) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là $H(−2; 0; 2)$ . Sai||Đúng

a) Ta có $A(−2; 4; 2).$

b) Hình chiếu vuông góc của A lên Ox là $(−2; 0; 0)$ .

c) Trung điểm của $OA$ là điểm $M(−1; 2; 1)$ .

d) Hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là $H(0; 4; 2)$ .

Câu 25: Thông hiểu

Cho các mệnh đề sau:

(I) Vectơ $\overrightarrow{x} =\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ luôn đồng phẳng với hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ .

(II) Nếu có $m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ và ít nhất một trong ba số $m;n;p$ khác không thì ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

(III) Nếu ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng và $m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ thì $m = n = p = 0$ .

Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A.
$4$
B.
$2$
C.
$0$
D.
$3$

Do $\overrightarrow{x}$ được biểu thị qua hai vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ nên (I) đúng.

Xét mệnh đề (II): Giả sử $m eq 0$ , khi đó:

$m\overrightarrow{a} +n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{a} = - \frac{n}{m}\overrightarrow{b} -\frac{p}{m}\overrightarrow{c}$

Suy ra ba vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ đồng phẳng. Vậy mệnh đề (II) đúng.

Do mệnh đề (III) tương đương với mệnh đề (II) nên mệnh đề (III) đúng.

Câu 26: Thông hiểu

Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.

A.
(0;435;0).
B.
(455;0;0).
C.
(0;455;0).
D.
(435;0;0).

Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:

$S = v.t = 890.\frac{1}{2} = 445\ \ (km).$

Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).

Câu 27: Nhận biết

Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Khi đó $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC'}$ bằng:

A.
$\overrightarrow{CA'}$ .
B.
$\overrightarrow{CB'}$ .
C.
$\overrightarrow{CD'}$ .
D.
$\overrightarrow{CA}$ .

Theo quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} +\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{CA'}$ .

Câu 28: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa các điểm $A(1; - 3;3),B(2; - 4;5),C(a; - 2;b)$ và tam giác đó nhận điểm $G(1;c;3)$ làm trọng tâm. Xác định giá trị biểu thức $P = a + b + c$ ?

A.
$P = - 5$
B.
$P = 3$
C.
$P = 1$
D.
$P = - 2$

Vì tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1 + 2 + a}{3} = 1 \\\dfrac{- 3 - 4 - 2}{3} = c \\\dfrac{3 + 5 + b}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 0 \\b = 1 \\c = - 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a + b + c = - 2$

Câu 29: Nhận biết

Xác định tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ , biết rằng $A(1;3;4),B(2; - 1;0),C(3;1;2)$ ?

A.
$G(2;1;2)$ .
B.
$G(6;3;6)$ .
C.
$G\left( 3;\frac{2}{3};3 ight)$ .
D.
$G(2; - 1;2)$ .

Tọa độ trọng tâm G của tam giác được xác định như sau:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 + 2 + 3}{3} = 2 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{3 - 1 + 1}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{4 + 0 + 2}{3} = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(2;1;2)$

Câu 30: Vận dụng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ ; đáy là hình vuông cạnh $a$ . Trên cạnh $DC;BB'$ lần lượt lấy các điểm $M;N$ sao cho $DM = BN = x;(0 \leq x \leq a)$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $A'C$ và $MN$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ ; đáy là hình vuông cạnh $a$ . Trên cạnh $DC;BB'$ lần lượt lấy các điểm $M;N$ sao cho $DM = BN = x;(0 \leq x \leq a)$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $A'C$ và $MN$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 31: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ đều cạnh bằng $a$ . Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ . Góc giữa $AO$ và $CD$ bằng:

A.
$45^{0}$
B.
$90^{0}$
C.
$0^{0}$
D.
$60^{0}$

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Vì ABCD là tứ diện đều nên $AM\bot CD;OM\bot CD$

Ta có: $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MO} ight)$

$= \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{CD}\bot\overrightarrow{AO}$ nên số đo góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{0}$ .

Câu 32: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;1),B(2;1; - 2),C( - 1;3;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:

A.
$D( - 2;2;5)$
B.
$D(1; - 1; - 2)$
C.
$D(0;4; - 1)$
D.
$D( - 1; - 1;1)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 1 \\ y - 3 = - 1 \\ z - 2 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 2 \\ z = 5 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 2;2;5)$

Câu 33: Nhận biết

Tính chất nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$
B.
$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$
C.
$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + \left( - \overrightarrow{b} ight)$
D.
$\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$

Tính chất sai là: $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$

Câu 34: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(2; - 1;5),B(5; - 5;7),M(x;y;1)$ . Với giá trị nào của $x;y$ thì ba điểm đã cho thẳng hàng?

A.
$x = 4;y = 7$
B.
$x = - 4;y = - 7$
C.
$x = 4;y = - 7$
D.
$x = - 4;y = 7$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3; - 4;2) \\ \overrightarrow{AM} = (x - 2;y + 1; - 4) \\ \end{matrix} ight.$

Vì ba điểm A; B; M thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}$ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{- 4} = \frac{- 4}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 7 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là $x = - 4;y = 7$ .

Câu 35: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ . cho điểm $M(3; - 1;2)$ . Tìm tọa độ điểm $N$ đối xứng với điểm $M$ qua mặt phẳng $(Oyz)$ ?

A.
$N(0; - 1;2)$
B.
$N(3;1; - 2)$
C.
$N( - 3; - 1;2)$
D.
$N(0;1;1)$

Lấy đối xứng qua mặt phẳng $(Oyz)$ thì $x$ đổi dấu còn $y;z$ giữ nguyên nên điểm $N$ có tọa độ là $N( - 3; - 1;2)$ .

Câu 36: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 3;4;0)$ và $\overrightarrow{b} = (5;0;12)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?

A.
$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{3}{13}$
B.
$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{5}{6}$
C.
$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{5}{6}$
D.
$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{3}{13}$

Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 3}{13}$

Câu 37: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 1; - 3)$ và $B( - 2;2;1)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:

A.
$( - 3;3;4)$
B.
$( - 1;1;2)$
C.
$(3; - 3;4)$
D.
$( - 3;1;4)$

Ta có:

$\overrightarrow{AB} = ( - 2 - 1;2 + 1;1 + 3) = ( - 3;3;4)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;4)$ .

Câu 38: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?

A.
$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{25}$
B.
$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{5}$
C.
$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{25}$
D.
$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{5}$

Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}$

Câu 39: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1)$ , khi đó tọa độ điểm $B$ là:

A.
$B(2;5;0)$
B.
$B(0; - 1; - 2)$
C.
$B(0;1;2)$
D.
$B( - 2; - 5;0)$

Gọi $B(x;y;z)$ ta có:

$A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1)$ khi đó $\left\{\begin{matrix}x - 1 = 1 \\y - 2 = 3 \\z + 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = 5 \\z = 0 \\\end{matrix} ight.$ nên tọa độ điểm cần tìm là $B(2;5;0)$ .

Câu 40: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Giả sử điểm $C'(a;b;c)$ . Tính giá trị biểu thức $T=a+b+2c$ ?

A.
$T=0$
B.
$T=25$
C.
$T=12$
D. $T=-11$

Gọi điểm $C'(x;y;z)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.$

Mà $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C'(13;4;4)$ suy ra $a=13;b=4;c=4$

Vậy $T=25$

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!