Cho hình lập phương
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Vì (
là hình vuông) nên
Cho hình lập phương
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Vì (
là hình vuông) nên
Tích tất cả giá trị của
để góc tạo bởi đường thẳng
và đường thẳng
bằng
là:
Đáp án: -4||- 4
Tích tất cả giá trị của để góc tạo bởi đường thẳng
và đường thẳng
bằng
là:
Đáp án: -4||- 4
Gọi là góc giữa hai đường thẳng đã cho.
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là
.
Đường thẳng có vectơ chỉ phương là
.
Ta có:
Vậy tích tất cả các giá trị của tham số a bằng -4.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
tạo với nhau một góc
. Biết rằng
, tính
?
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của
là
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của là
. Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Đúng: Gọi là trung điểm
.
Ta có
b) Đúng: Ta có .
c) Đúng: Ta có .
Suy ra .
d) Sai: Gọi thỏa mãn
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
suy ra
.
Suy ra .
Vậy .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho tam giác
có tọa các điểm
và tam giác đó nhận điểm
làm trọng tâm. Xác định giá trị biểu thức
?
Vì tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm nên ta có hệ phương trình:
Cho hình lăng trụ
có
là trung điểm của
. Đặt
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Ta có: M là trung điểm của BB’ khi đó
Khi đó:
Vậy đẳng thức đúng là .
Cho tứ diện
có
. Gọi
là góc giữa
và
. Chọn khẳng định đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Mặt khác
Do đó:
Vậy
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Tính tích vô hướng
?
Ta có:
Trong không gian
, cho điểm
. Tọa độ trung điểm của
là.
Tọa độ trung điểm I của AB là:
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.
Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí
cách điểm xuất phát
km về phía bắc và
km về phía tây, đồng thời cách mặt đất
km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí
cách điểm xuất phát
km về phía nam và
km về phía đông, đồng thời cách mặt đất
km.
Chọn hệ trục toạ độ
với gốc
đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng
trùng với mặt đất, trục
hướng về phía bắc, trục
hướng về phía tây và trục
hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là
. Sai||Đúng
b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá
km. Đúng||Sai
c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng
d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ
. Đúng||Sai
Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.
Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí cách điểm xuất phát
km về phía bắc và
km về phía tây, đồng thời cách mặt đất
km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí
cách điểm xuất phát
km về phía nam và
km về phía đông, đồng thời cách mặt đất
km.
Chọn hệ trục toạ độ với gốc
đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng
trùng với mặt đất, trục
hướng về phía bắc, trục
hướng về phía tây và trục
hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là . Sai||Đúng
b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá km. Đúng||Sai
c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng
d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ . Đúng||Sai
a) Sai
Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là .
b) Đúng
Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là .
Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là
c) Sai
Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:
Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:
Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.
d) Đúng
Vị trí của chiếc flycam là
.
Khoảng cách bay của flycam là:
Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ là
Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Có tất cả bao nhiêu điểm
trong không gian thỏa mãn
và
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các điểm
. Có tất cả bao nhiêu điểm
trong không gian thỏa mãn
và
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: . Khi đó
.
Vậy
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Xác định tích vô hướng
?
Ta có: nên
Trong không gian
, cho các điểm
. Xác định tọa độ điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Tìm tọa độ điểm
sao cho tứ giác
là hình bình hành?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Cho hình hộp
. Tính tổng
?
Hình vẽ minh họa
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho lăng trụ tam giác
có tọa độ các điểm
. Xác định tọa độ điểm
?
Hình vẽ minh họa
Gọi tọa độ điểm
Vì là hình lăng trụ nên
Vậy tọa độ
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt
, giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là
,
. Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là
, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực
như hình.

Tính tích vô hướng của
(làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311
Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt , giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là
,
. Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là
, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực
như hình.
Tính tích vô hướng của (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
Đáp án: 6311
Ta có:
.
Suy ra, (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).
Do đó:
.
Mà .
Suy ra .
Từ đó .
Vậy .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm
. Với giá trị nào của
thì ba điểm đã cho thẳng hàng?
Ta có:
Vì ba điểm A; B; M thẳng hàng nên cùng phương
Vậy đáp án cần tìm là .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Tính độ dài vectơ
?
Ta có:
Khi đó
Cho các mệnh đề sau:
(I) Vectơ
luôn đồng phẳng với hai vectơ
.
(II) Nếu có
và ít nhất một trong ba số
khác không thì ba vectơ
đồng phẳng.
(III) Nếu ba vectơ
không đồng phẳng và
thì
.
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
Do được biểu thị qua hai vectơ
nên (I) đúng.
Xét mệnh đề (II): Giả sử , khi đó:
Suy ra ba vectơ đồng phẳng. Vậy mệnh đề (II) đúng.
Do mệnh đề (III) tương đương với mệnh đề (II) nên mệnh đề (III) đúng.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho
, với
là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ
, hai điểm
.
a)
. Đúng||Sai
b) Ba điểm
thẳng hàng. Sai||Đúng
c) Điểm
là điểm đối xứng của với
qua
. Khi đó
. Đúng||Sai
d) Điểm
trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Đúng||Sai
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho
, với
là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ
, hai điểm
.
a) . Đúng||Sai
b) Ba điểm thẳng hàng. Sai||Đúng
c) Điểm là điểm đối xứng của với
qua
. Khi đó
. Đúng||Sai
d) Điểm trên mặt phẳng
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Đúng||Sai
a) Đúng: Vì nên
.
b) Sai: Ta có .
Vì nên
không cùng phương suy ra
không thẳng hàng.
c) Đúng
Vì là điểm đối xứng với
qua
nên
là trung điểm của
.
Ta có suy ra
.
Do đó . Vậy
.
d) Đúng. Gọi là điểm thỏa mãn
.
Ta có:
Do không thay đổi nên
nhỏ nhất khi
nhỏ nhất hay
là hình chiếu của điểm
trên mặt phẳng
.
Do đó suy ra
.
Vậy .
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Vectơ
có tọa độ là:
Ta có:
Vậy đáp án đúng là: .
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai véc tơ
và
. Tọa độ của véc tơ
tương ứng là:
Ta có: .
.
Suy ra .
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm
đến điểm
trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là
, trong đó
là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính
?

Đáp án: 1223
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm đến điểm
trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là
, trong đó
là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính
?
Đáp án: 1223
Gọi là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.
Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ gấp 4 lần thời gian bay từ
nên
Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên và
cùng hướng.
Suy ra
Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là .
Do đó,
Cho ba vectơ
. Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?
Hai vectơ còn lại có thể không cùng phương nên ba vectơ có thể không đồng phẳng.
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
. Tính tích vô hướng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có: nên
Suy ra
Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Xác định tọa độ trọng tâm
của tam giác
, biết rằng
?
Tọa độ trọng tâm G của tam giác được xác định như sau:
Trong không gian cho hình hộp
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Ta có: suy ra
đồng phẳng.
Cho hai điểm phân biệt
và một điểm
bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng?
Mệnh đề đúng: “Điểm thuộc đường thẳng
khi và chỉ khi
”.
Trong không gian
cho hai điểm
. Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:
a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng
b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là
. Đúng||Sai
c) Cho
, tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian cho hai điểm
. Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:
a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng
b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là . Đúng||Sai
c) Cho , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Sai: Hình chiếu của điểm trên trục
có tọa độ là
b) Đúng: Vì là trung điểm của
.
c) Đúng: Ta có .
vuông tại
.
d) Sai.
Gọi thỏa
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
.
Vậy .
Suy ra
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Tìm tọa độ điểm
để tứ giác
là hình bình hành?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
Tích vô hướng
(
là số thập phân). Giá trị của
bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Đáp án: -0,5||- 0,5
Cho hình lập phương có cạnh bằng
Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
Tích vô hướng
(
là số thập phân). Giá trị của
bằng bao nhiêu? (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Đáp án: -0,5||- 0,5
Hình vẽ minh họa
Vì nên
Ta có:
Vậy
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Gọi
lần lượt là hình chiếu của
lên mặt phẳng
. Khi đó độ dài đoạn thẳng
bằng:
Vì lần lượt là hình chiếu của
lên mặt phẳng
nên
suy ra
.
Cho hình lập phương
có đường chéo
. Gọi
là tâm hình vuông
và điểm S thỏa mãn: ![]()
. Khi đó độ dài của đoạn
bằng
với
và
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức
.
Cho hình lập phương có đường chéo
. Gọi
là tâm hình vuông
và điểm S thỏa mãn:
. Khi đó độ dài của đoạn
bằng
với
và
là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
Cho điểm
chia đoạn thẳng
theo tỉ số
thì ta có:
. Khi đó với một điểm
tùy ý ta có:
Ta có:
Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc
và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc
và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 124 N
Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc
và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án: 124 N
Gọi hai lực tạo với nhau một góc là
và
, ta có
N.
Lực còn lại là , ta có
N.
Gọi là hợp lực của ba lực trên ta có
.
N