Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm đối xứng của điểm M(1;2;3) qua trục Ox có tọa độ là

    Gọi M' là điểm đối xứng của M(1;2;3) qua trục Ox.

    Hình chiếu vuông góc của M(1;2;3) lên trục OxH(1;0;0)

    Khi đó H(1;0;0) là trung điểm của M'M. Do đó tọa độ của M'(1;
- 2; - 3)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2). Góc giữa hai đường thẳng ABAC

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (1; - 1;2) \\
\overrightarrow{AC} = (1;2; - 1) \\
\end{matrix} ight..

    \Rightarrow \cos\left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) =
\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|
\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|} =
\frac{1}{2}

    \Rightarrow \left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = (AB;AC) =
60^{0}

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} -
\overrightarrow{AN}\frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} -
\overrightarrow{AN}\frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

     

    a) Sai

     

    Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD

    Suy ra hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

    b) Sai

    Ta có ABCD là hình chữ nhật nên AC =
\sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}

    Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

    Suy ra \tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC}
= \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx
41^{0}48'

    Ta có: \left(
\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left(
\overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx
41^{0}48'

    c) Đúng

    Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

    Suy ra SB = \sqrt{SA^{2} +
AB^{2}} = a\sqrt{5}

    Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

    AM = \frac{1}{2}SB =
\frac{a\sqrt{5}}{2}

    Lại có M là trung điểm của SB nên MB =
\frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Ta tính được \cos MAB = \frac{MA^{2} +
AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}

    \left(
\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) =
\widehat{MAB}

    \Rightarrow
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM}
ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left(
\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) =
\frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}

    d) Sai

    Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

    Do đó MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} +
AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Suy ra \left| \overrightarrow{AM} -
\overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| =
\frac{a\sqrt{5}}{2}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho  A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1), khi đó tọa độ điểm B là:

    Gọi B(x;y;z) ta có:

    A(1;2; - 1);\overrightarrow{AB} =(1;3;1) khi đó \left\{\begin{matrix}x - 1 = 1 \\y - 2 = 3 \\z + 1 = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = 5 \\z = 0 \\\end{matrix} ight. nên tọa độ điểm cần tìm là B(2;5;0).

  • Câu 5: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A( - 3; - 1; - 1). Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm A'(x;y;z). Khi đó giá trị 2x + y + z bằng:

    Hình chiếu vuông góc của A( - 3; - 1; -
1) trên mặt phẳng (Oyz)A'(0; - 1; - 1)

    Suy ra 2x + y + z = - 2.

  • Câu 6: Vận dụng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (91;75;0) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 294,92 km.

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (91;75;0) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 294,92 km.

    Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

    Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.

    Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)

    Ta có \overrightarrow{OH} = ( - 688 +
91t; - 185 + 75t;8)

    OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0

    ⟺13906t - 76483 = 0 ⟺ t =
\frac{11}{2}.

    Suy ra H(\frac{-
375}{2};\frac{455}{2};8).

    Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:

    OH = \sqrt{\left( \frac{- 375}{2}
ight)^{2} + \left( \frac{455}{2} ight)^{2} + 8^{2})} \approx
294,92(km).

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào dưới đây là sai?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC}

    Vậy đáp án sai là: \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} =
\overrightarrow{AC}.

  • Câu 8: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Giả sử điểm C'(a;b;c). Tính giá trị biểu thức T=a+b+2c?

    Gọi điểm C'(x;y;z)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.

    \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'} \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow C'(13;4;4) suy ra a=13;b=4;c=4

    Vậy  T=25

  • Câu 9: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCDAB = AC = AD\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0}. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB}\overrightarrow{CD}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} =
\overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}
ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} -
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}

    = \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)

    = \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos60^{0} - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC}ight|.\cos60^{0}

    AC = AD \Rightarrow
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0 \Rightarrow \left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ight) = 90^{0}

  • Câu 10: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;3),B(2;3; - 4),C( - 3;1;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- 3 - x = 1 \\
1 - y = 3 \\
2 - z = - 7 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 4 \\
y = - 2 \\
z = 9 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D( - 4; - 2;9).

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm B( -
2;3;1) trên trục Ox có tọa độ là:

    Hình chiếu vuông góc của điểm B( -
2;3;1) trên trục Ox là điểm có tọa độ ( - 2;0;0).

  • Câu 12: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0)B(0;1;2). Vectơ \overrightarrow{AB} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = (0 - 1;1 - 1;2 -
0) = ( - 1;0; - 2)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} =
(1;2;3).

  • Câu 13: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho vectơ \overrightarrow{a} = 6.\overrightarrow{i} +
8.\overrightarrow{k} + 7.\overrightarrow{j}. Khi đó tọa độ của \overrightarrow{a} là.

    Do \overrightarrow{a} =
6\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{k} + 7\overrightarrow{j} =
6\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} + 8\overrightarrow{k}
\Rightarrow \overrightarrow{a} = (6;\ 7;\ 8).

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong không gian cho tam giác ABC. Tìm M sao cho giá trị của biểu thức P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất?

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

    Suy ra G cố định và \overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} =
\overrightarrow{0}

    P = MA^{2} + MB^{2} +
MC^{2}

    P = \left( \overrightarrow{MG} +
\overrightarrow{GA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} +
\overrightarrow{GB} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} +
\overrightarrow{GC} ight)^{2}

    P = 3{\overrightarrow{MG}}^{2} +
2\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} ight)^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}

    P = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}
\geq GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}

    Dấu “=” xảy ra khi M \equiv
G

    Vậy P_{\min} = GA^{2} + GB^{2} +
GC^{2} với M \equiv G là trọng tâm tam giác ABC.

  • Câu 15: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    a) Đúng: Vì \overrightarrow{OA} =
3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k} nên A(3;0; - 1).

    b) Sai: Ta có \overrightarrow{AB} =
(4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2).

    4:2:4 eq - 2:4:2 nên \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} không cùng phương suy ra A,B,C không thẳng hàng.

    c) Đúng

    D là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AD.

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\
y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\
z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\
\end{matrix} ight. suy ra D( -
5;4;7).

    Do đó a = - 5,b = 4,c = 7. Vậy a + b + c = 6.

    d) Đúng. Gọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} =
\overrightarrow{0}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\
0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\
- 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\
\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 2 \\
z = 1 \\
\end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.

    MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}

    =(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}

    Do IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} không thay đổi nên MA^{2} + MB^{2} +
MC^{2} nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (Oxy).

    Do đó M(1;2;0) suy ra m=1,n=2,p=0.

    Vậy 2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 =
0.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \overrightarrow{a} = (1;1;0), \overrightarrow{b} = (2; - 1; - 2)\overrightarrow{c} = ( - 3;0;2). Chọn mệnh đề đúng?

    Ta có: \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0} là mệnh đề đúng.

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{a} = (1;3;4). Hãy chọn vectơ cùng phương với \overrightarrow{a}?

    Ta có: \overrightarrow{b} cùng phương với \overrightarrow{a} khi \overrightarrow{b} =
k.\overrightarrow{a};\left( k\mathbb{\in R} ight). Khi đó đáp án cần tìm là \overrightarrow{b} = ( - 2; -
6; - 8) (vì \overrightarrow{b} = -2(1;3;4) = - 2\overrightarrow{a}).

  • Câu 18: Nhận biết

    Trong không gian cho ba vectơ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w} có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Vì ba vectơ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w} có giá không cùng nằm trên một mặt phẳng nên

    Giá các vectơ \overrightarrow{u} +
\overrightarrow{v};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w} không cùng nằm trên một mặt phẳng.

    Giá các vectơ \overrightarrow{u} +
\overrightarrow{v};\overrightarrow{v};2\overrightarrow{w} không cùng nằm trên một mặt phẳng.

    Giá các vectơ \overrightarrow{u} +
\overrightarrow{v}; - 2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w} không cùng nằm trên một mặt phẳng.

    Giá của các vectơ 2\left(
\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ight); - \overrightarrow{u}; -
\overrightarrow{v} cùng nằm trên một mặt phẳng

    Vậy mệnh đề đúng là: “Giá các vectơ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}; -
2\overrightarrow{u};2\overrightarrow{w} không cùng nằm trên một mặt phẳng.”

  • Câu 19: Nhận biết

    Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, biết rằng A(1;3;4),B(2; - 1;0),C(3;1;2)?

    Tọa độ trọng tâm G của tam giác được xác định như sau:

    \left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 + 2 + 3}{3} = 2 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{3 - 1 + 1}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{4 + 0 + 2}{3} = 2 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow G(2;1;2)

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} =
\overrightarrow{c};\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{d}. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Ta có: \overrightarrow{d} =
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}

    Do đó \overrightarrow{b} -
\overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} =
\overrightarrow{0}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M;N lần lượt là trung điểm của ADSD. Số đo của góc (MN;SC) bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Do ABCD là hình vuông cạnh a suy ra AC =
a\sqrt{2}

    \Rightarrow AC^{2} = 2a^{2} = SA^{2} +
SC^{2} suy ra tam giác SAC vuông tại S.

    Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác DSA \Rightarrow \overrightarrow{NM} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{SA}

    Khi đó \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{SC} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} = 0 suy ra MN\bot SC \Rightarrow (MN;SC) =
90^{0}

  • Câu 22: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} +
\overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}. Tọa độ điểm M là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =
(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =
(0;0;1)

    Theo bài ra ta có: \overrightarrow{OM} =
2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j} suy ra tọa độ M(2; - 3;1).

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; - 2),B\left(
\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight). Biết I(a;b;c) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB. Tính giá trị biểu thức U = a - b + c?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{OA} = (1;2; - 2) \Rightarrow OA = 3 \\\overrightarrow{OB} = \left( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3} ight)\Rightarrow OB = 4 \\\end{matrix} ight.

    Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ O ta có:

    \overrightarrow{DA} = -
\frac{DA}{DB}.\overrightarrow{DB} = -
\frac{OA}{OB}.\overrightarrow{DB}

    \Rightarrow \overrightarrow{DA} = -
\frac{3}{4}.\overrightarrow{DB} \Rightarrow \overrightarrow{OD} =
\frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}}{7}. Do đó D\left( \frac{12}{7};\frac{12}{7};0
ight)

    Ta có: \overrightarrow{AD} = \left(
\frac{5}{7}; - \frac{2}{7};2 ight) \Rightarrow AD =
\frac{15}{7}

    \overrightarrow{ID} = -
\frac{AD}{AO}.\overrightarrow{IO} = - \frac{5}{7}\overrightarrow{IO}
\Rightarrow \overrightarrow{OI} = \frac{7}{12}\overrightarrow{OD}
\Rightarrow D(1;1;0)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = 1 \\
c = 0 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow U = 0

  • Câu 24: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2). Có tất cả bao nhiêu điểm Mtrong không gian thỏa mãn M eq A,M eq B,M eq C\widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2). Có tất cả bao nhiêu điểm Mtrong không gian thỏa mãn M eq A,M eq B,M eq C\widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 25: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ \overrightarrow{a} = (2;3;1),\overrightarrow{b} =
( - 1;5;2),\overrightarrow{c} = (4; - 1;3),\overrightarrow{x} = ( -
3;22;5). Đẳng thức nào dưới đây đúng?

    Đặt \overrightarrow{x} =
m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c};\left(
m;n;p\mathbb{\in R} ight)

    \Rightarrow ( - 3;22;5) = m(2;3;1) + n(
- 1;5;2) + p(4; - 1;3)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
2m - m + 4p = - 3 \\
3m + 5m - p = 22 \\
m + 2m + 3p = 5 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = 2 \\
n = 3 \\
p = - 1 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy \overrightarrow{x} =
2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} là đẳng thức đúng.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Đặt \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Gọi M là trung điểm của BC. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Vì M là trung điểm của BC nên suy ra \overrightarrow{BM} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}

    Ta có: \overrightarrow{DM} =
\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} =
\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}

    = \overrightarrow{AB} -
\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{AC} ight) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}

    = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}
ight)

  • Câu 27: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (Oyz)?

    Ta có: A(x;y;z) \in (Oyz) \Rightarrow x =
0 nên điểm cần tìm là Q(0;4; -
1).

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Đặt \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi M là trung điểm của CD suy ra \overrightarrow{BG} =
\frac{2}{3}\overrightarrow{BM}

    Ta có: \overrightarrow{AG} =
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AB} +
\frac{2}{3}\overrightarrow{BM}

    = \overrightarrow{AB} +
\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD}
ight) = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{BD} ight)

    = \overrightarrow{AB} +
\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)

    = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB}
+ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ight) = \frac{1}{3}\left(
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}
ight)

  • Câu 29: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz. cho điểm M(3; - 1;2). Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (Oyz)?

    Lấy đối xứng qua mặt phẳng (Oyz) thì x đổi dấu còn y;z giữ nguyên nên điểm N có tọa độ là N( - 3; - 1;2).

  • Câu 30: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(2;4;0),B(4;0;0),C( -
1;4;7),D'(6;8;10). Xác định tọa độ B’?

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử điểm D(a;b;c),B'(a';b';c')

    Gọi O = AC \cap BD \Rightarrow O\left(
\frac{1}{2};4; - \frac{7}{2} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = - 3 \\
b = 8 \\
c = - 7 \\
\end{matrix} ight.

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{DD'} = (9;0;17) \\
\overrightarrow{BB'} = (a' - 4;b';c') \\
\end{matrix} ight.. Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên \overrightarrow{DD'} =
\overrightarrow{BB'}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a' = 13 \\
b' = 0 \\
c' = 17 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow B'(13;0;17)

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Hãy phân tích vectơ \overrightarrow{AC_{1}} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA_{1}}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AC_{1}} =
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_{1}} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}} (Theo quy tắc hình bình hành).

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc 80^{0} và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc 60^{0} và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 124 N

    Đáp án là:

    Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc 80^{0} và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc 60^{0} và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 124 N

    Gọi hai lực tạo với nhau một góc 80^{\circ}\overrightarrow{F_{1}}\overrightarrow{F_{2}}, ta có \left| \overrightarrow{F_{1}} ight| = \left|
\overrightarrow{F_{2}} ight| = 50N.

    Lực còn lại là \overrightarrow{F_{3}}, ta có \left| \overrightarrow{F_{3}} ight| =
60N.

    Gọi \overrightarrow{F} là hợp lực của ba lực trên ta có

    \left| \overrightarrow{F} ight|^{2} =
\left( \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} +
\overrightarrow{F_{3}} ight)^{2}

    = \left| \overrightarrow{F_{1}}
ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{2}} ight|^{2} + \left|
\overrightarrow{F_{3}} ight|^{2} + 2\lbrack\left|
\overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}}
ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}}
ight)

    + \left| \overrightarrow{F_{1}}
ight|.\left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.cos\left(
\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{3}} ight) + \left|
\overrightarrow{F_{3}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}}
ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{3}},\overrightarrow{F_{2}}
ight)brack

    = 50^{2} + 50^{2} + 60^{2} + 2\lbrack
50.50.cos80^{0}+ 50.60.cos60^{0} +
60.50.cos60^{0}brack \approx 15468.

    \Rightarrow |F| \approx 124 N

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho hai điểm A(5;1;3)H(3; - 3; - 1). Tọa độ điểm A' đối xứng với A qua H là:

    Vì điểm A' đối xứng với A qua H nên H là trung điểm của AA'

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{A'} = 2x_{H} - x_{A} = 1 \\
y_{A'} = 2y_{H} - y_{A} = - 7 \\
z_{A'} = 2z_{H} - z_{A} = 5 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow A'(1; - 7; - 5)

  • Câu 34: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{AB}\overrightarrow{DH}?

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{DH} =
\overrightarrow{AE} (ADHE là hình vuông) nên \left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DH} ight) = \left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AE} ight) = \widehat{BAE} =
90^{0}

  • Câu 35: Nhận biết

    Tính chất nào sau đây sai?

    Tính chất sai là: \overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} -
\overrightarrow{a}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Điểm G là điểm thỏa mãn \overrightarrow{GS} + \overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
\overrightarrow{0}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra \overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} =
\overrightarrow{0}

    Ta có:

    \overrightarrow{GS} +
\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} +
\overrightarrow{GD} = \overrightarrow{GS} + 4\overrightarrow{GO} +
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +
\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{GS} +
4\overrightarrow{GO} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow
\overrightarrow{GS} = 4\overrightarrow{OG} suy ra ba điểm G;S;O thẳng hàng.

  • Câu 37: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có tọa các điểm A(1; - 3;3),B(2; - 4;5),C(a; - 2;b) và tam giác đó nhận điểm G(1;c;3) làm trọng tâm. Xác định giá trị biểu thức P = a
+ b + c?

    Vì tam giác ABC nhận điểm G làm trọng tâm nên ta có hệ phương trình:

    \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1 + 2 + a}{3} = 1 \\\dfrac{- 3 - 4 - 2}{3} = c \\\dfrac{3 + 5 + b}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 0 \\b = 1 \\c = - 3 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow P = a + b + c = - 2

  • Câu 38: Nhận biết

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{a} = (1;0; -
2). Trong các vectơ dưới đây, vectơ nào không cùng phương với \overrightarrow{a}?

    Ta có: \overrightarrow{0} =
(0;0;0) cùng phương với mọi vectơ

    Lại có \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{c} = (2;0; - 4) = 2\overrightarrow{a} \\\overrightarrow{d} = \left( - \dfrac{1}{2};0;1 ight) = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{a} \\\end{matrix} ight.

    Vậy vectơ không cùng phương với \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} = (1;0;2).

  • Câu 39: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1). Đúng||Sai

    a) Sai

    Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là ( -
1,5\ ;\  - 1\ ;\ 0,5).

    b) Đúng

    Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là (2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7).

    Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

    \sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} +
(0,7 + 0,5)^{2}}

    = \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx
4,6(km)

    c) Sai

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

    \sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} =
\frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

    \sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} +
0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)

    Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

    d) Đúng

    Vị trí của chiếc flycam là

    \left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 -
1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\
0,6).

    Khoảng cách bay của flycam là:

    \sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} =
\frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)

    Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1)

    \sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} =
\sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)

    Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1).

  • Câu 40: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1;3; -
2);\overrightarrow{v} = (2;1; - 1). Vectơ \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} có tọa độ là:

    Ta có: \overrightarrow{u} -
\overrightarrow{v} = (1 - 2;3 - 1; - 2 + 1) = ( - 1;2; - 1)

    Vậy đáp án cần tìm là ( - 1;2 -
1).

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 42 lượt xem
Sắp xếp theo