Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Câu 1: Nhận biết

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.
Nếu $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thì bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng.
B.
$\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{BC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$ .
C.
Nếu $\overrightarrow{AB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ thì $B$ là trung điểm của $AC$ .
D.
Cho $d \subset (\alpha);d \subset (\beta)$ . Nếu mặt phẳng $(\alpha)\bot(\beta)$ thì $d\bot d'$ .

Ta có: $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thỏa mãn biểu thức $\overrightarrow{c} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b}$ (với $m;n$ duy nhất) của định lí về các vectơ đồng phẳng.

Vậy đáp án đúng là: “Nếu $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AC} - 4\overrightarrow{AD}$ thì bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng.”

Câu 2: Nhận biết

Cho hai điểm phân biệt $A;B$ và một điểm $O$ bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.
Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OB} = k.\overrightarrow{BA}$ .
B.
Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k.\left( \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} ight)$ .
C.
Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k).\overrightarrow{OB}$ .
D.
Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ .

Mệnh đề đúng: “Điểm $M$ thuộc đường thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} + (1 - k).\overrightarrow{OB}$ ”.

Câu 3: Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\Delta ABC$ có $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ . Tính $(a + b + c).19$ .

Đáp án: -17||- 17

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\Delta ABC$ có $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ . Tính $(a + b + c).19$ .

Đáp án: -17||- 17

Ta có $\overrightarrow{AH} = (a;b;c - 1),\overrightarrow{BC} = (3;3; - 1),\overrightarrow{BH} = (a + 1;b + 2;c)$ .

Vì $H$ là chân đường cao nên ta có

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{BC} \\\overrightarrow{BH} = k\overrightarrow{BC} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3a + 3b - (c - 1) = 0 \\\dfrac{a + 1}{3} = \dfrac{b + 2}{3} = \dfrac{c}{- 1} = k \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3k - 1 \\ b = 3k - 2 \\ c = - k \\ \end{matrix} ight.$ và $3(3k - 1) + 3(3k - 2) - ( - k - 1) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{8}{19}$ .

Do đó $H\left( \frac{5}{19}; - \frac{14}{19}; - \frac{8}{19} ight)$

Vậy $\left( \frac{5}{19} - \frac{14}{19} - \frac{8}{19} ight).19 = - 17$ .

Câu 4: Vận dụng

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

a) Sai

Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $( - 1,5\ ;\ - 1\ ;\ 0,5)$ .

b) Đúng

Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là $(2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7)$ .

Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

$\sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} + (0,7 + 0,5)^{2}}$

$= \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx 4,6(km)$

c) Sai

Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

$\sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} = \frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)$

Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

$\sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} + 0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)$

Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

d) Đúng

Vị trí của chiếc flycam là

$\left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 - 1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\ 0,6)$ .

Khoảng cách bay của flycam là:

$\sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} = \frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)$

Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ là

$\sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)$

Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ .

Câu 5: Nhận biết

Biết rằng vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;0)$ và $\overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a}$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{b}$ ?

A.
$\overrightarrow{b} = (2;4;2)$ .
B.
$\overrightarrow{b} = (2; - 4;0)$ .
C.
$\overrightarrow{b} = (3;0;2)$ .
D.
$\overrightarrow{b} = (2;4;0)$ .

Ta có: $\overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{a} = (2; - 4;0)$

Câu 6: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0};\widehat{CAD} = 90^{0}$ . Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ . Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{IJ}$ ?

A.
$120^{0}$ .
B.
$90^{0}$ .
C.
$60^{0}$ .
D.
$45^{0}$ .

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ICD có I là trung điểm đoạn CD $\Rightarrow \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight)$

Tam giác ABC có $AB = AC$ và $\widehat{BAC} = 60^{0}$ suy ra tam giác $ABC$ đều suy ra $CI\bot AB$

Tương tự ta cũng có tam giác ABD đều nên $DI\bot AB$

Ta có: $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{ÂB} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight).\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{IJ}\bot\overrightarrow{AB} \Rightarrow \left( \overrightarrow{IJ};\overrightarrow{AB} ight) = 90^{0}$

Câu 7: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ điểm $M$ là:

A.
$M( - 2; - 3;1)$
B.
$M(2; - 3;1)$
C.
$M(2; - 1;3)$
D.
$M(2;3;1)$

Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ $M(2; - 3;1)$ .

Câu 8: Vận dụng

Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ của tứ diện $ABCD$ . Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $MN$ và $P$ là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của $k$ thỏa mãn đẳng thức vectơ $\overrightarrow{PI} = k.\left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} ight)$ ?

A.
$k = 2$
B.
$k = \frac{1}{4}$
C.
$k = 4$
D.
$k = \frac{1}{2}$

Hình vẽ minh họa

Vì $M;N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC;BD$ nên ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM} \\ \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = 2\overrightarrow{IN} \\ \end{matrix} ight.$ .

Mặt khác $\overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0}$ (vì I là trung điểm của MN) suy ra $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$

Theo bài ra ta có:

$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD}$

$= 4\overrightarrow{PI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{PI}$

$\Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4}$

Câu 9: Vận dụng

Cho hình lập phương $B^{'}C$ có đường chéo $A^{'}C = \frac{3}{16}$ . Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ và điểm S thỏa mãn: $\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$ $+ \overrightarrow{OA^{'}} + \overrightarrow{OB^{'}} + \overrightarrow{OC^{'}} + \overrightarrow{OD^{'}}$ . Khi đó độ dài của đoạn $OS$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{b}$ với $a,b \in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $P = a^{2} + b^{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình lập phương $B^{'}C$ có đường chéo $A^{'}C = \frac{3}{16}$ . Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ và điểm S thỏa mãn: $\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$ $+ \overrightarrow{OA^{'}} + \overrightarrow{OB^{'}} + \overrightarrow{OC^{'}} + \overrightarrow{OD^{'}}$ . Khi đó độ dài của đoạn $OS$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{b}$ với $a,b \in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $P = a^{2} + b^{2}$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 10: Thông hiểu

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{u} = \left( - \sqrt{3};0;1 ight)$ là:

A.
$120^{0}$ .
B.
$60^{0}$ .
C.
$150^{0}$ .
D.
$30^{0}$ .

Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0)$

$\Rightarrow \cos\left( \overrightarrow{i};\overrightarrow{u} ight) = \frac{\overrightarrow{i}.\overrightarrow{u}}{\left| \overrightarrow{i} ight|.\left| \overrightarrow{u} ight|} = \frac{1.\left( - \sqrt{3} + 0.0 + 0.1 ight)}{1.\sqrt{\left( - \sqrt{3} ight)^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{i};\overrightarrow{u} ight) = 150^{0}$

Câu 11: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1;3)$ và $B( - 1;2;3)$ . Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là:

A.
$(0;3;6)$
B.
$( - 2; - 1;0)$
C.
$\left( 0;\frac{3}{2};3 ight)$
D.
$(2;1;0)$

Gọi $M\left( x_{M};y_{M};z_{M} ight)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 0 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = \dfrac{3}{2} \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( 0;\dfrac{3}{2};3ight)$

Vậy tọa độ trung điểm của AB là: $\left( 0;\frac{3}{2};3 ight)$ .

Câu 12: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC = \frac{3}{2}AD;\widehat{CAB} = \widehat{DAB} = 60^{0};CD = AD$ . Gọi $\varphi$ là góc giữa $AB$ và $CD$ . Chọn khẳng định đúng?

A.
$\cos\varphi = \frac{3}{4}$
B.
$\varphi = 60^{0}$
C.
$\varphi = 30^{0}$
D.
$\cos\varphi = \frac{1}{4}$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\cos(AB;CD) = \frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} ight|}{\left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{CD} ight|} = \frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} ight|}{AB.CD}$

Mặt khác $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$= \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)$

$= AB.AD.\frac{1}{2} - AB.\frac{3}{2}.AD.\frac{1}{2} = - \frac{1}{4}AB.AD = - \frac{1}{4}AB.CD$

Do đó: $\cos(AB;CD) = \frac{\left| -\dfrac{1}{4}AB.CD ight|}{AB.CD} = \dfrac{1}{4}$

Vậy $\cos\varphi = \frac{1}{4}$

Câu 13: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ và điểm $G$ thỏa mãn $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ ( $G$ là trọng tâm của tứ diện). Gọi $G_{0}$ là giao điểm của $GA$ và mặt phẳng $(BCD)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{GA} = - 2\overrightarrow{G_{0}G}$
B.
$\overrightarrow{GA} = 4\overrightarrow{G_{0}G}$
C.
$\overrightarrow{GA} = 3\overrightarrow{G_{0}G}$
D.
$\overrightarrow{GA} = 2\overrightarrow{G_{0}G}$

Hình vẽ minh họa

Vì $G_{0}$ là giao điểm của $GA$ và mặt phẳng $(BCD)$ suy ra $G_{0}$ là trọng tâm tam giác $BCD$ suy ra $\overrightarrow{G_{0}B} + \overrightarrow{G_{0}C} + \overrightarrow{G_{0}D} = \overrightarrow{0}$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GG_{0}} + \overrightarrow{G_{0}B} + \overrightarrow{G_{0}C} + \overrightarrow{G_{0}D} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GG_{0}} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} = 3\overrightarrow{G_{0}G}$

Câu 14: Thông hiểu

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?

A.
Cho hình chóp $S.ABCD$ , nếu có $\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC}$ thì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
B.
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$ .
C.
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$ .
D.
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$ .

Nếu $\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC}$ thì

$\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SD} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

Suy ra tứ giác $ABCD$ là hình bình hành

Mệnh đề sai $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$ vì:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$

Câu 15: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( - 3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Tìm tọa độ điểm $C'$ ?

A.
$C'(10;4;4)$
B.
$C'( - 13;4;4)$
C.
$C'(13;4;4)$
D.
$C'(7;4;4)$

Theo quy tắc hình hộp ta có:

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} + 0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC'} = 10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} + 4.\overrightarrow{k}$ mà $A( - 3;0;0)$

$\Rightarrow C'(7;4;4)$

Suy ra $C'(7;4;4)$

Câu 16: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2;2;1)$ . Tính độ dài đoạn thẳng $OA$ ?

A.
$OA = \sqrt{5}$
B.
$OA = 5$
C.
$OA = 3$
D.
$OA = 9$

Ta có: $\overrightarrow{OA} = (2;2;1) \Rightarrow OA = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = 3$

Câu 17: Nhận biết

Trong không gian cho tứ diện đều $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$
B.
$\overrightarrow{AC}\bot\overrightarrow{BC}$
C.
$\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{BC}$
D.
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

Tứ diện $ABCD$ đều nên $\overrightarrow{AD}$ không thể vuông góc với $\overrightarrow{DC}$ .

Vậy khẳng định sai là: “ $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$ ”.

Câu 18: Thông hiểu

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành biết tọa độ các điểm $A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $C$ ?

A.
$C(0; - 2;0)$
B.
$C(2;2;2)$
C.
$C(2;0;2)$
D.
$C(2; - 2;2)$

Giả sử điểm $C(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 2 - 1 \\ y + 1 = 1 - 0 \\ z - 1 = 2 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $C(2;0;2)$ .

Câu 19: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}$ là:

A.
$(2; - 1; - 3)$
B.
$( - 3;2; - 1)$
C.
$( - 1;2; - 3)$
D.
$(2; - 3; - 1)$

Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = ( - 1;2; - 3)$ .

Câu 20: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $M( - 2;6;1),M'(a;b;c)$ đối xứng nhau qua mặt phẳng $(Oyz)$ . Tính giá trị biểu thức $S = 7a - 2b + 2017c - 1$ ?

A.
$S = 2017$
B.
$S = 2042$
C.
$S = 0$
D.
$S = 2018$

Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng $(Oyz)$ suy ra H(0; 6; 1)

Do M’ đối xứng với M qua $(Oyz)$ nên MM’ nhận H làm trung điểm suy ra M’(2; 6; 1) suy ra a = 2; b = 6; c = 1

Vậy $S = 7a - 2b + 2017c - 1 = 2018$ .

Câu 21: Nhận biết

Trong không gian cho hai đường thẳng $a;b$ lần lượt có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $a;b$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\alpha = \left| \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) ight|$
B.
$\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} ight) ight|$
C.
Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \sin\alpha$
D.
Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

Khẳng định đúng: “Nếu $a\bot b$ thì $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$ ”.

Câu 22: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(3;1; - 2),B(2; - 3;5)$ . Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA = 2MB$ , tọa độ điểm $M$ là:

A.
$\left( \frac{7}{3}; - \frac{5}{3};\frac{8}{3} ight)$
B.
$(4;5; - 9)$
C.
$\left( \frac{3}{2}; - 5;\frac{17}{2} ight)$
D.
$(1; - 7;12)$

Gọi tọa độ độ điểm $M(x;y;z)$ . Vì điểm $M \in AB$ nên

$\overrightarrow{MA} =2\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3 - x = - 2(2 - x) \\1 - y = - 2( - 3 - y) \\- 2 - z = - 2(5 - z) \\\end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{3} \\y = - \dfrac{5}{3} \\z = \dfrac{8}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \dfrac{7}{3}; -\dfrac{5}{3};\dfrac{8}{3} ight)$

Vậy đáp án cần tìm là: $\left( \frac{7}{3}; - \frac{5}{3};\frac{8}{3} ight)$ .

Câu 23: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:

A.
$D(1;8; - 2)$
B.
$D(11;2;2)$
C.
$D(1;8;2)$
D.
$D(11;2; - 2)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6 - x = 3 + 2 \\ 5 - y = 0 - 3 \\ - z = - 1 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 8 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;8;2)$ .

Câu 24: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:

A.
$D(1;8; - 2)$
B.
$D(11;2;2)$
C.
$D(1;8;2)$
D.
$D(11;2; - 2)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6 - x = 3 + 2 \\ 5 - y = 0 - 3 \\ - z = - 1 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 8 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;8;2)$ .

Câu 25: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2; - 3),\ \ B(3; - 2;1)$ . Tọa độ trung điểm của $AB$ là.

A.
$(2;0; - 1)$ .
B.
$(4;0; - 2)$ .
C.
$(1; - 2;2)$ .
D.
$(2; - 4;4)$ .

Tọa độ trung điểm I của AB là:

$I = \left( \frac{1 + 3}{2};\frac{2 - 2}{2};\frac{- 3 + 1}{2} ight) = (2;0; - 1)$

Câu 26: Nhận biết

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; - 2;3)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 2;1;2)$ . Xác định tích vô hướng $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b}$ ?

A.
$12$
B.
$2$
C.
$11$
D.
$10$

Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1; - 1;5)$ nên $\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight).\overrightarrow{b} = - 1.( - 2) + ( - 1).1 + 5.2 = 11$

Câu 27: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;1),B(2;1; - 2),C( - 1;3;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:

A.
$D( - 2;2;5)$
B.
$D(1; - 1; - 2)$
C.
$D(0;4; - 1)$
D.
$D( - 1; - 1;1)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = - 1 \\ y - 3 = - 1 \\ z - 2 = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 2 \\ z = 5 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 2;2;5)$

Câu 28: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ đều cạnh bằng $a$ . Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ . Góc giữa $AO$ và $CD$ bằng:

A.
$45^{0}$
B.
$90^{0}$
C.
$0^{0}$
D.
$60^{0}$

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Vì ABCD là tứ diện đều nên $AM\bot CD;OM\bot CD$

Ta có: $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MO} ight)$

$= \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{0}$

Suy ra $\overrightarrow{CD}\bot\overrightarrow{AO}$ nên số đo góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{0}$ .

Câu 29: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;3;0)$ và $B(2;0; - 3)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3)$ . Sai||Đúng

d) Tứ giác $OABC$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;3;0)$ và $B(2;0; - 3)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3)$ . Sai||Đúng

d) Tứ giác $OABC$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Đúng||Sai

a) Đúng

$\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ .

b) Sai

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{k}$ .

c) Sai

$\overrightarrow{AB} = \left( x_{B} - x_{A}^{};y_{B} - y_{A};z_{B} - z_{A} ight) = (3; - 3; - 3)$ .

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3; - 3; - 3)$ ,

$OABC$ là hình bình hành

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} = 3 \\ y_{C} = - 3 \\ z_{C} = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow C(3; - 3; - 3)$

Câu 30: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}$ là:

A.
$(1;2; - 3)$
B.
$(2; - 3;1)$
C.
$(2;1; - 3)$
D.
$(1; - 3;2)$

Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 3;1)$ .

Câu 31: Vận dụng cao

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Đáp án là:

Có ba lực cùng tác động vào một chất điểm. Hai trong ba lực này tạo với nhau một góc $80^{0}$ và có độ lớn đều bằng 50N, lực còn lại cùng tạo với hai lực kia một góc $60^{0}$ và có độ lớn bằng 60N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 124 N

Gọi hai lực tạo với nhau một góc $80^{\circ}$ là $\overrightarrow{F_{1}}$ và $\overrightarrow{F_{2}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{1}} ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = 50$ N.

Lực còn lại là $\overrightarrow{F_{3}}$ , ta có $\left| \overrightarrow{F_{3}} ight| = 60$ N.

Gọi $\overrightarrow{F}$ là hợp lực của ba lực trên ta có

$\left| \overrightarrow{F} ight|^{2} = \left( \overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} ight)^{2}$

$= \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{2}} ight|^{2} + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|^{2} + 2\lbrack\left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}} ight)$

$+ \left| \overrightarrow{F_{1}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{3}} ight) + \left| \overrightarrow{F_{3}} ight|.\left| \overrightarrow{F_{2}} ight|.cos\left( \overrightarrow{F_{3}},\overrightarrow{F_{2}} ight)brack$

$= 50^{2} + 50^{2} + 60^{2} + 2\lbrack 50.50.cos80^{0}$ $+ 50.60.cos60^{0} + 60.50.cos60^{0}brack \approx 15468$ .

$\Rightarrow |F| \approx 124$ N

Câu 32: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $A(0;0;0),B(3;0;0),C(0;3;0),D'(0;3; -3)$ . Tọa độ trọng tâm tam giác $A'B'C$ là

A.
$(1;1 ;- 2)$
B.
$(2;1; - 2)$
C.
$(1;2; - 1)$
D.
$(2;1; - 1)$

Hình vẽ minh họa

Gọi I là trung điểm của đoạn BD’ suy ra $I\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2}; - \frac{3}{2}ight)$

Gọi $G(a;b;c)$ là trọng tâm tam giác $A'B'C$

Ta có: $\overrightarrow{DI} =3\overrightarrow{IG}$ với $\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{DI} = \left( \frac{3}{2}; - \frac{3}{2}; - \frac{3}{2}ight) \\\overrightarrow{IG} = \left( a - \frac{3}{2};b - \frac{3}{2};c +\frac{3}{2} ight) \\\end{matrix} ight.$

Do đó:

$\left\{ \begin{matrix}\frac{3}{2} = 3\left( a - \frac{3}{2} ight) \\- \frac{3}{2} = 3\left( b - \frac{3}{2} ight) \\- \frac{3}{2} = 3\left( c + \frac{3}{2} ight) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 1 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(2;1; - 2)$

Vậy tọa độ trọng tâm tam giác cần tìm là $(2;1; - 2)$

Câu 33: Nhận biết

Cho tứ diện $OABC$ . Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ .Phân tích nào sau đây là đúng?

A.
$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
B.
$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$
C.
$\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$
D.
$\overrightarrow{OG} = \frac{3}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$

Ta có: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ khi $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} ight)$

Câu 34: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Vì $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ nên $A(3;0; - 1)$ .

b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2)$ .

Vì $4:2:4 eq - 2:4:2$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương suy ra $A,B,C$ không thẳng hàng.

c) Đúng

Vì $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $D( - 5;4;7)$ .

Do đó $a = - 5,b = 4,c = 7$ . Vậy $a + b + c = 6$ .

d) Đúng. Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.$

$MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$=(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$

Do $IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$ không thay đổi nên $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất hay $M$ là hình chiếu của điểm $I$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Do đó $M(1;2;0)$ suy ra $m=1,n=2,p=0$ .

Vậy $2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0$ .

Câu 35: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2)$ . Có tất cả bao nhiêu điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $M eq A,M eq B,M eq C$ và $\widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;2)$ . Có tất cả bao nhiêu điểm $M$ trong không gian thỏa mãn $M eq A,M eq B,M eq C$ và $\widehat{AMB} = \widehat{BMC} =\widehat{CMA} = 90^{0}$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 36: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2;3),B(2; - 1;5),C(3;2; - 1)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:

A.
$D(2;6;8)$
B.
$D(0;0;8)$
C.
$D(2;6; - 4)$
D.
$D(4; - 2;4)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 3 - 2 \\ y - 3 = 2 + 1 \\ z - 2 = - 1 - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 6 \\ z = - 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(2;6; - 4)$ .

Câu 37: Vận dụng

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1000;600;14)$ đến điểm $N$ trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng $Q(1400;800;16)$ . Xác định tọa độ vị trí điểm $N$ . (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

Đáp án là:

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1000;600;14)$ đến điểm $N$ trong 30 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo bằng $Q(1400;800;16)$ . Xác định tọa độ vị trí điểm $N$ . (Kết quả ghi dưới dạng số thập phân nếu có)

Đáp án: N(1300; 750; 15,5)

Gọi $N(x;y;z)$ là tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo.

$\overrightarrow{MQ} = (400;200;2)$ .

$\overrightarrow{NQ} = (1400 - x;800 - y;16 - z)$ .

Vì máy bay giữ nguyên hướng bay nên $\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{NQ}$ cùng hướng.

Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ $M$ đến $Q$ gấp 4 lần thời gian bay từ $N$ đến $Q$ nên $MQ = 4NQ$ .

Suy ra: $\overrightarrow{MQ} = 4\overrightarrow{NQ}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 400 = 4(1400 - x) \\ 200 = 4(800 - y) \\ 2 = 4(16 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1300 \\ y = 750 \\ z = 15,5 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow N(1300;750;15,5)$

Câu 38: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;2; - 3)$ và $B(2; - 1;0)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:

A.
$\overrightarrow{AB} = (3; - 3; - 3)$
B.
$\overrightarrow{AB} = (3; - 3;3)$
C.
$\overrightarrow{AB} = ( - 3;3; - 3)$
D.
$\overrightarrow{AB} = (1; - 1;1)$

Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (2 + 1; - 1 - 2;0 + 3) = (3; - 3;3)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = (3; - 3;3)$ .

Câu 39: Vận dụng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án: 294,92 km.

Đáp án là:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án: 294,92 km.

Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.

Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)

Ta có $\overrightarrow{OH} = ( - 688 + 91t; - 185 + 75t;8)$

OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0

⟺13906t - 76483 = 0 ⟺ $t = \frac{11}{2}.$

Suy ra $H(\frac{- 375}{2};\frac{455}{2};8).$

Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:

$OH = \sqrt{\left( \frac{- 375}{2} ight)^{2} + \left( \frac{455}{2} ight)^{2} + 8^{2})} \approx 294,92(km).$

Câu 40: Thông hiểu

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ . Đặt $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$ . Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{B'C}$ qua các vectơ $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}$ . Chọn đáp án đúng?

A.
$\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
B.
$\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
C.
$\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
D.
$\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AA'}$

$= - \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{AA'} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{B'C} = - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!