Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Câu 1: Nhận biết

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1;2;3),B( - 1;2;1),C(3; - 1; - 2)$ . Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ ?

A.
$- 6$
B.
$- 14$
C.
$14$
D.
$6$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 2;0; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (2; - 3; - 5) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 6$

Câu 2: Vận dụng

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

a) Sai

Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $( - 1,5\ ;\ - 1\ ;\ 0,5)$ .

b) Đúng

Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là $(2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7)$ .

Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

$\sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} + (0,7 + 0,5)^{2}}$

$= \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx 4,6(km)$

c) Sai

Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

$\sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} = \frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)$

Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

$\sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} + 0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)$

Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

d) Đúng

Vị trí của chiếc flycam là

$\left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 - 1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\ 0,6)$ .

Khoảng cách bay của flycam là:

$\sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} = \frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)$

Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ là

$\sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)$

Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ .

Câu 3: Thông hiểu

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $M$ là trung điểm của $BB'$ . Đặt $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{c} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$
B.
$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$
C.
$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} - \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$
D.
$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} - \frac{1}{2}\overrightarrow{a}$

Ta có: M là trung điểm của BB’ khi đó $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}$

Khi đó:

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB'}$

$= \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}$

$= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA'}$

$= - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$

Vậy đẳng thức đúng là $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{c}$ .

Câu 4: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:

A.
$D(1;8; - 2)$
B.
$D(11;2;2)$
C.
$D(1;8;2)$
D.
$D(11;2; - 2)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6 - x = 3 + 2 \\ 5 - y = 0 - 3 \\ - z = - 1 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 8 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;8;2)$ .

Câu 5: Thông hiểu

Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$
B.
$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC}$
C.
$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}}$
D.
$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC}$

Hình vẽ minh họa

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$ đúng vì $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}} \\ \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}A_{1}} + \overrightarrow{B_{1}C_{1}}$

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC}$ đúng vì $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DC}$

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}}$ đúng vì $\overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}}$

$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC}$ sai vì

$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} eq \overrightarrow{BC}$

Câu 6: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Vì $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ nên $A(3;0; - 1)$ .

b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2)$ .

Vì $4:2:4 eq - 2:4:2$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương suy ra $A,B,C$ không thẳng hàng.

c) Đúng

Vì $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $D( - 5;4;7)$ .

Do đó $a = - 5,b = 4,c = 7$ . Vậy $a + b + c = 6$ .

d) Đúng. Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.$

$MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$=(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$

Do $IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$ không thay đổi nên $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất hay $M$ là hình chiếu của điểm $I$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Do đó $M(1;2;0)$ suy ra $m=1,n=2,p=0$ .

Vậy $2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0$ .

Câu 7: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Giả sử điểm $C'(a;b;c)$ . Tính giá trị biểu thức $T=a+b+2c$ ?

A.
$T=0$
B.
$T=25$
C.
$T=12$
D. $T=-11$

Gọi điểm $C'(x;y;z)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.$

Mà $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C'(13;4;4)$ suy ra $a=13;b=4;c=4$

Vậy $T=25$

Câu 8: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ và $G$ là trung điểm của $MN$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MG}$
B.
$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}$
C.
$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$
D.
$\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$

Hình vẽ minh họa

Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ suy ra $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM} \\ \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN} \\ \end{matrix} ight.$

Mà $G$ là trung điểm của $MN$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$

Khi đó

$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$

$= 4\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 4\overrightarrow{MG}$

Vậy khẳng định sai là: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}$ .

Câu 9: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 3;5;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?

A.
$D( - 2;8; - 3)$
B.
$D( - 4;8; - 5)$
C.
$D( - 2;2;5)$
D.
$D( - 4;8; - 3)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - 1 = - 3 - x \\ - 1 - 2 = 5 - y \\ 3 - ( - 1) = 1 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 8 \\ z = - 3 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4;8; - 3)$ .

Câu 10: Nhận biết

Tính chất nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$
B.
$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$
C.
$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + \left( - \overrightarrow{b} ight)$
D.
$\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ight) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)$

Tính chất sai là: $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$

Câu 11: Thông hiểu

Biết $\overrightarrow{c} = (x;y;z)$ khác $\overrightarrow{0}$ và vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1;3;4);\overrightarrow{b} = ( - 1;2;3)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$5z - x = 0$
B.
$7x - y = 0$
C.
$5z + x = 0$
D.
$7x + y = 0$

Theo đề bài ta có: $\overrightarrow{c} = (x;y;z)$ khác $\overrightarrow{0}$ và vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1;3;4);\overrightarrow{b} = ( - 1;2;3)$ nên

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0 \\ \overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 3y + 4z = 0 \\ - x + 2y + 3z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + 3y + 4z = 0 \\5y + 7z = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + 3y + 4.\dfrac{- 5}{7}y = 0 \\z = - \dfrac{5}{7}y \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 7x + y = 0 \\ 5y + 7z = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy khẳng định đúng là $7x + y = 0$

Câu 12: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 2;3;3)$ . Điểm $M(a;b;c)$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCM$ . Khi đó giá trị biểu thức $T = a + b - c$ có giá trị bằng bao nhiêu?

A.
$T = - 4$
B.
$T = 8$
C.
$T = 10$
D.
$T = 4$

Gọi tọa độ điểm $M(x;y;z)$

Ta có: $ABCM$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2 - x = 1 \\ 3 - y = - 3 \\ 3 - z = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 3 \\ y = 6 \\ z = - 1 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra điểm $M( - 3;6; - 1)$

Khi đó $T = a + b - c = - 3 + 6 - ( - 1) = 4$ .

Câu 13: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;0;2)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$M \in Oy$
B.
$M \in (Oxz)$
C.
$M \in (Oxy)$
D.
$M \in (Oyz)$

Vì tọa độ điểm $M(1;0;2)$ có $x = 1;y = 0;z = 2$ nên $M \in (Oxz)$ .

Câu 14: Thông hiểu

Cho hình chóp $OABC$ có $OA = OB = OC = 1$ , các cạnh $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ . Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OC};\overrightarrow{MA}$ .

A.
$0^{0}$
B.
$60^{0}$
C.
$90^{0}$
D.
$120^{0}$

Hình vẽ minh họa

Ta có:

$\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} ight)\left( \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} ight)$

$= \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC} = - \frac{BC^{2}}{2} = - \frac{1}{2}$

Như vậy:

$\cos\left( \overrightarrow{OM};\overrightarrow{BC} ight) = \frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{\left| \overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{BC} ight|} = \frac{1}{2}:\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2} = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left( \overrightarrow{OM};\overrightarrow{BC} ight) = 120^{0}$

Câu 15: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho tọa độ ba điểm $A(1; - 2;3),B( - 1;2;5),C(0;0;1)$ . Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:

A.
$G(0;0;3)$
B.
$G(0;0;9)$
C.
$G( - 1;0;3)$
D.
$G(0;0;1)$

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 - 1 + 0}{3} = 0 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{- 2 + 2 + 0}{3} = 0 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{3 + 5 + 1}{3} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(0;0;3)$

Vậy trọng tâm G tìm được là $G(0;0;3)$ .

Câu 16: Nhận biết

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A(3; - 2;5)$ . Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là:

A.
$(3;0;5)$ .
B.
$(3; - 2;0)$ .
C.
$(0; - 2;5)$ .
D.
$(0;2;5)$ .

Hình chiếu vuông góc của điểm $A(3; - 2;5)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ là điểm có tọa độ $(3;0;5)$ .

Câu 17: Nhận biết

Xác định tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ , biết rằng $A(1;3;4),B(2; - 1;0),C(3;1;2)$ ?

A.
$G(2;1;2)$ .
B.
$G(6;3;6)$ .
C.
$G\left( 3;\frac{2}{3};3 ight)$ .
D.
$G(2; - 1;2)$ .

Tọa độ trọng tâm G của tam giác được xác định như sau:

$\left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 + 2 + 3}{3} = 2 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{3 - 1 + 1}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{4 + 0 + 2}{3} = 2 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow G(2;1;2)$

Câu 18: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các vectơ $\overrightarrow{a} = (2;3;1),\overrightarrow{b} = ( - 1;5;2),\overrightarrow{c} = (4; - 1;3),\overrightarrow{x} = ( - 3;22;5)$ . Đẳng thức nào dưới đây đúng?

A.
$\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
B.
$\overrightarrow{x} = - 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
C.
$\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
D.
$\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

Đặt $\overrightarrow{x} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c};\left( m;n;p\mathbb{\in R} ight)$

$\Rightarrow ( - 3;22;5) = m(2;3;1) + n( - 1;5;2) + p(4; - 1;3)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m - m + 4p = - 3 \\ 3m + 5m - p = 22 \\ m + 2m + 3p = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ n = 3 \\ p = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $\overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$ là đẳng thức đúng.

Câu 19: Nhận biết

Cho bốn điểm $A;B;C;D$ trong không gian. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác $\overrightarrow{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là $4$ điểm?

A.
$3$
B.
$6$
C.
$9$
D.
$12$

Lấy $A$ làm gốc ta được 3 vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}$ . Tương tự đối với $B;C;D$ ta được $4.3 = 12$ vectơ.

Câu 20: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0;0;3),B(0;0; - 1),C(1;0; - 1),D(0;1; - 1)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A.
$AB\bot BD$
B.
$AB\bot BC$
C.
$AB\bot AC$
D.
$AB\bot CD$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0;0; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1;0; - 4) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 16 eq 0$ suy ra $AB$ và $AC$ không vuông góc với nhau.

Vậy mệnh đề sai là: “ $AB\bot AC$ ”.

Câu 21: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2;3),B(0; - 2;1),C(1;0;1)$ . Gọi $D$ là điểm sao cho $C$ là trọng tâm tam giác $ABD$ . Tính tổng các tọa độ của điểm $D$ ?

A.
$1$
B.
$0$
C.
$\frac{7}{3}$
D.
$7$

Đặt $D(x;y;z)$ . Vì $C$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{1 + 0 + x}{3} \\0 = \dfrac{2 - 2 + y}{3} \\1 = \dfrac{3 + 1 + z}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = 0 \\z = - 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x + y + z = 1$

Câu 22: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;3;0)$ và $B(2;0; - 3)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3)$ . Sai||Đúng

d) Tứ giác $OABC$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A( - 1;3;0)$ và $B(2;0; - 3)$ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}$ . Sai||Đúng

c) $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3)$ . Sai||Đúng

d) Tứ giác $OABC$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}$ . Đúng||Sai

a) Đúng

$\overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0)$ .

b) Sai

$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{k}$ .

c) Sai

$\overrightarrow{AB} = \left( x_{B} - x_{A}^{};y_{B} - y_{A};z_{B} - z_{A} ight) = (3; - 3; - 3)$ .

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3; - 3; - 3)$ ,

$OABC$ là hình bình hành

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} = 3 \\ y_{C} = - 3 \\ z_{C} = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow C(3; - 3; - 3)$

Câu 23: Nhận biết

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ . Đặt $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c};\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{d}$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A.
$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$
B.
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$
C.
$\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$
D.
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d}$

Ta có: $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}$

Do đó $\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}$

Câu 24: Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $M(2;2;1),N\left( - \frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} ight)$ . Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác $OMN$ là:

A.
$(1;1;1)$
B.
$(0;1;1)$
C.
$(0; - 1; - 1)$
D.
$(1;0;1)$

Ta có bài toán sau

Trong tam giác ABC, gọi I là tâm đường nội tiếp tam giác ABC ta có: $a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ với $BC = a;AC = b;AB = c$

Hình vẽ minh họa

Gọi A’ là chân đường phân giác kẻ từ A

$\Rightarrow \overrightarrow{BA} = \frac{c}{b}\overrightarrow{A'C} \Leftrightarrow b\overrightarrow{BA'} + c\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{0}\ \ \ (1)$

$\overrightarrow{IA} =\dfrac{c}{A'B}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{c}{\dfrac{ac}{b +c}}\overrightarrow{A'I} = \dfrac{b +c}{a}\overrightarrow{A'I}$

$\Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + (b + c)\overrightarrow{IA'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} + b\overrightarrow{BA'} + c\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$

Áp dụng công thức trong tam giác OMN ta có:

$OM.\overrightarrow{IN} + ON.\overrightarrow{IM} + MN.\overrightarrow{IO} = \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{OM.x_{n} + ON.x_{M} + MN.x_{O}}{OM + ON + MN} = 0 \\y_{I} = \dfrac{OM.y_{n} + ON.y_{M} + MN.y_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\z_{I} = \dfrac{OM.z_{n} + ON.z_{M} + MN.z_{O}}{OM + ON + MN} = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow I(0;1;1)$

Vậy đáp án cần tìm là $(0;1;1)$

Câu 25: Vận dụng cao

Cho tứ diện $OABC$ có $OA;OB;OC$ đôi một vuông góc. $M$ là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác $ABC$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}$ ?

A.
$\min T = 3$
B.
$\min T = 2$
C.
$\min T = 4$
D.
$\min T = 6$

Đặt $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a};\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b};\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$ . Khi đó $\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}$ với $x;y;z$ là ba số có tổng bằng 1.

Ta có:

$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (x - 1)\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}$

$\Rightarrow {\overrightarrow{AM}}^{2} = (x - 1)^{2}{\overrightarrow{a}}^{2} + y^{2}{\overrightarrow{b}}^{2} + z^{2}{\overrightarrow{c}}^{2}$

$\Rightarrow \frac{MA^{2}}{OA^{2}} = (x - 1)^{2} + y^{2}.\frac{b^{2}}{a^{2}} + z^{2}.\frac{c^{2}}{a^{2}}$

Tương tự ta được

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{MB^{2}}{OB^{2}} = (y - 1)^{2} + z^{2}.\dfrac{c^{2}}{b^{2}} +x^{2}.\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \\\dfrac{MC^{2}}{OC^{2}} = (z - 1)^{2} + x^{2}.\dfrac{a^{2}}{c^{2}} +y^{2}.\dfrac{b^{2}}{c^{2}} \\\end{matrix} ight.$

Do đó $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}$

$\Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left( \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left( \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)$

$+ (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}$

$\Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight)$

$- \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} ight) + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}$

$\Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} ight) - 2(x + y + z) + 3$

Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}}\\x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = OM^{2} \\\end{matrix} ight.$

Do đó $T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}} = \frac{OM^{2}}{OH^{2}} + 1 \geq 1 + 1 = 2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.

Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.

Câu 26: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ?

A.
$60^{0}$
B.
$45^{0}$
C.
$120^{0}$
D.
$90^{0}$

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} ight) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$= \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} ight) - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|.\cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight)$

$= \left| \overrightarrow{AB}ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|.\cos60^{0} - \left|\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC}ight|.\cos60^{0}$

Mà $AC = AD \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0 \Rightarrow \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} ight) = 90^{0}$

Câu 27: Thông hiểu

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ (tham khảo hình vẽ).

Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}$ . Đúng||Sai

c) $\left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'C'} ight) = 45^{\circ}$ . Đúng||Sai

d) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = \frac{\sqrt{2}a^{2}}{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ (tham khảo hình vẽ).

Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ . Đúng||Sai

b) $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}$ . Đúng||Sai

c) $\left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'C'} ight) = 45^{\circ}$ . Đúng||Sai

d) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = \frac{\sqrt{2}a^{2}}{2}$ . Sai||Đúng

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ .

b) Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ .

c) Vì $\overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{AD}$ nên $\left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'C'} ight) = \left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} ight) = \widehat{CAD} = 45^{0}$ .

d) Tam giác $ADC$ vuông tại $D$ nên $AC = \sqrt{AD^{2} + DC^{2}} = \sqrt{2}a$ .

Ta có

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B'C'} = \left| \overrightarrow{AC} ight|.\left| \overrightarrow{B'C'} ight|.cos\left( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{B'C'} ight)$

$= \sqrt{2}a.a.cos45^{0} = a^{2}$ .

Câu 28: Vận dụng

Trong không gian cho tam giác $ABC$ . Tìm $M$ sao cho giá trị của biểu thức $P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất?

A.
$M$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .
B.
$M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .
C.
$M$ là trực tâm tam giác $ABC$ .
D.
$M$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra G cố định và $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

$P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$P = \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight)^{2}$

$P = 3{\overrightarrow{MG}}^{2} + 2\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight)^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$

$P = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2} \geq GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$

Dấu “=” xảy ra khi $M \equiv G$

Vậy $P_{\min} = GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$ với $M \equiv G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .

Câu 29: Vận dụng

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ ; đáy là hình vuông cạnh $a$ . Trên cạnh $DC;BB'$ lần lượt lấy các điểm $M;N$ sao cho $DM = BN = x;(0 \leq x \leq a)$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $A'C$ và $MN$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ ; đáy là hình vuông cạnh $a$ . Trên cạnh $DC;BB'$ lần lượt lấy các điểm $M;N$ sao cho $DM = BN = x;(0 \leq x \leq a)$ . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng $A'C$ và $MN$ .

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 30: Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Tọa độ chân đường phân giác của góc $B$ trong tam giác $ABC$ là:

A.
$\left( - \frac{2}{3};\frac{11}{3};1 ight)$
B.
$\left( \frac{11}{3}; - 2;1 ight)$
C.
$\left( \frac{2}{3};\frac{11}{3};\frac{1}{3} ight)$
D.
$( - 2;11;1)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\ \overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác kẻ từ $B$ lên $AC$ của tam giác $ABC$ .

Suy ra $\frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC} \Rightarrow \overrightarrow{DA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\ \overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)$

Câu 31: Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1)$ . Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là $( - 4; - 1;3)$ . Đúng||Sai

c) Cho $P(1;m - 1;3)$ , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

d) Điểm $I(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn $T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1)$ . Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là $( - 4; - 1;3)$ . Đúng||Sai

c) Cho $P(1;m - 1;3)$ , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

d) Điểm $I(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn $T = \left| 3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

a) Sai: Hình chiếu của điểm $M$ trên trục $Oy$ có tọa độ là $(0;3;0)$

b) Đúng: Vì $N$ là trung điểm của $ME$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1 = \dfrac{2 + x_{E}}{2} \\1 = \dfrac{3 + y_{E}}{2} \\1 = \dfrac{- 1 + z_{E}}{2} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{E} = - 4 \\y_{E} = - 1 \\z_{E} = 3 \\\end{matrix} \Rightarrow E( - 4; - 1;3) ight.\ ight.$ .

c) Đúng: Ta có $\overrightarrow{NM} = (3;2; - 2);\overrightarrow{NP} = (2;m - 2;2)$ .

$\bigtriangleup MNP$ vuông tại $N$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{NP} = 0$

$\Leftrightarrow 3.2 + 2.(m - 2) + ( - 2).2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ .

d) Sai.

Gọi $J(x;y;z)$ thỏa $3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{JN} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - ( - 1 - x) = 0 \\3(3 - y) - (1 - y) = 0 \\3( - 1 - z) - (1 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{2} \\y = 4 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.$

Suy ra $J\left( \frac{7}{2};4; - 2 ight)$ .

Khi đó $T = |3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN}| = |3\overrightarrow{IJ} + 3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{IJ} - \overrightarrow{JN}| = |2\overrightarrow{IJ}| = 2IJ$ .

$T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $I$ là hình chiếu của $J$ trên $(Oxy)$

$\Leftrightarrow I\left( \frac{7}{2};4;0 ight)$ .

Vậy $a = \frac{7}{2};b = 4;c = 0$ .

Suy ra $2a+b+c=11$

Câu 32: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho vectơ $\overrightarrow{OM}$ có độ dài $\left| \overrightarrow{OM} ight| = 1$ , gọi $\alpha;\beta;\gamma$ lần lượt là góc tạo bởi ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}$ trên ba trục $Ox;Oy;Oz$ và vectơ $\overrightarrow{OM}$ . Khi đó tọa độ điểm $M$ là:

A.
$M\left(\sin\beta\cos\alpha;\sin\alpha\cos\beta;cos\gammaight)$
B.
$M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$
C.
$M\left( \sin\alpha;\sin\beta;\sin\gammaight)$
D.
$M\left(\sin\alpha\cos\alpha;\sin\beta\cos\beta;\sin\gamma\cos\gammaight)$

Gọi $M(x;y;z) \Rightarrow \overrightarrow{OM} = (x;y;z)$ và $\overrightarrow{i} = (1;0;0),\overrightarrow{j} = (0;1;0),\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

$\left\{ \begin{matrix}\cos\alpha = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{i}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{i} ight|} = x \\\cos\beta = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{j}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{j} ight|} = y \\\cos\gamma = \dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{k}}{\left|\overrightarrow{OM} ight|.\left| \overrightarrow{k} ight|} = z \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M\left( \cos\alpha;\cos\beta;\cos\gammaight)$

Câu 33: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ . Tọa độ điểm $M$ là:

A.
$M( - 2; - 3;1)$
B.
$M(2; - 3;1)$
C.
$M(2; - 1;3)$
D.
$M(2;3;1)$

Ta có: $\overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$ suy ra tọa độ $M(2; - 3;1)$ .

Câu 34: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0; - 1;1),B( - 2;1; - 1),C( - 1;3;2)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:

A.
$D\left( - 1;1;\frac{2}{3} ight)$
B.
$D(1;3;4)$
C.
$D(1;1;4)$
D.
$D( - 1; - 3; - 2)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 2 \\ y - 3 = - 2 \\ z - 2 = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \\ z = 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(1;1;4)$

Câu 35: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1;0)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 1;0; - 2)$ . Tính $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight)$ ?

A.
$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{25}$
B.
$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = - \frac{2}{5}$
C.
$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{25}$
D.
$\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{2}{5}$

Ta có: $\cos\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|} = \frac{- 2}{\sqrt{5}.\sqrt{5}} = - \frac{2}{5}$

Câu 36: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 1; - 3)$ và $B( - 2;2;1)$ . Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là:

A.
$( - 3;3;4)$
B.
$( - 1;1;2)$
C.
$(3; - 3;4)$
D.
$( - 3;1;4)$

Ta có:

$\overrightarrow{AB} = ( - 2 - 1;2 + 1;1 + 3) = ( - 3;3;4)$

Vậy đáp án đúng là: $\overrightarrow{AB} = ( - 3;3;4)$ .

Câu 37: Nhận biết

Tích vô hướng của 2 vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ trong không gian được tính bằng:

A.
$\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|$ .
B.
$\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.sin\left( \overrightarrow{a}\ ,\ \overrightarrow{b} ight)$ .
C.
$\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a}\ ,\ \overrightarrow{b} ight)$ .
D.
$\left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.\left( \overrightarrow{a}\ ,\ \ \overrightarrow{b} ight)$ .

Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vecto, ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} ight|.\left| \overrightarrow{b} ight|.cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} ight)$ .

Câu 38: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2; - 3),\ \ B(3; - 2;1)$ . Tọa độ trung điểm của $AB$ là.

A.
$(2;0; - 1)$ .
B.
$(4;0; - 2)$ .
C.
$(1; - 2;2)$ .
D.
$(2; - 4;4)$ .

Tọa độ trung điểm I của AB là:

$I = \left( \frac{1 + 3}{2};\frac{2 - 2}{2};\frac{- 3 + 1}{2} ight) = (2;0; - 1)$

Câu 39: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;1; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = (1;3;m)$ . Xác định giá trị tham số $m$ để $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0}$ ?

A.
$m = - 5$
B.
$m = 5$
C.
$m = 1$
D.
$m = - 2$

Ta có: $\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow 5 - m = 0 \Leftrightarrow m = 5$

Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.

Câu 40: Nhận biết

Cho hai đường thẳng $a$ và $a'$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{u'}$ . Nếu $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $a'$ thì:

A.
$\varphi = \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
B.
$\varphi = \pi - \left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
C.
$\cos\varphi = \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight)$
D.
$\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$

Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là $\cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|$ .

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!