Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (Oyz)?

    Ta có: A(x;y;z) \in (Oyz) \Rightarrow x = 0 nên điểm cần tìm là Q(0;4; - 1).

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \overrightarrow{a} = (1;2;3);\overrightarrow{b} = (2;2; - 1);\overrightarrow{c} = (4;0; - 4). Tọa độ vectơ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} là:

    Ta có:

    \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} = \left( 1 - 2 + 2.4;2 - 2 + 2.0;3 + 1 + 2.( - 4) ight) = (7;0; - 4)

    Vậy \overrightarrow{d}(7;0; - 4)

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chọn mệnh đề đúng?

    Vì G là trọng tâm tứ diện ABCD nên suy ra:

    \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} ight) + \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC} ight) + \left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AD} ight)

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight)

  • Câu 4: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( - 2;3;1),B(5;6;2). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm M. Tính tỉ số \frac{AM}{BM}?

    Ta có: M \in (Oxz) \Rightarrow M(x;0;z)

    Lại có \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (7;3;1) \Rightarrow AB = \sqrt{59} \\ \overrightarrow{AM} = (x + 2; - 3;z - 1) \\ \end{matrix} ight. và ba điểm A;B;M thẳng hàng

    \overrightarrow{AM} = k.\overrightarrow{AB};\left( k\mathbb{\in R} ight) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 2 = 7k \\ - 3 = 3k \\ z - 1 = k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 9 \\ k = - 1 \\ z = 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow M( - 9;0;0) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{BM} = ( - 14; - 6; - 2) \\ \overrightarrow{AM} = ( - 7; - 3; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BM = 2AB

    Vậy đáp án đúng là \frac{AM}{BM} = \frac{1}{2}.

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho tam giác ABC vuông tại A và có hai đỉnh B;C nằm trên mặt phẳng (P). Gọi A' là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên (P). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Nếu A nằm trên (P) tức A’ trùng với A thì tam giác A’BC có góc A vuông, nếu A không nằm trên (P) thì

    \overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{A'A}.\overrightarrow{A'C} + \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C}

    = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{AB}.\left( \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC} ight)

    = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'A} = - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AA'} < 0 suy ra góc \widehat{BA'C} là góc tù.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành hình bình hành. Biết các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1). Xác định tọa độ điểm C?

    Giả sử điểm C(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 1 \\ y + 1 = 1 \\ z - 1 = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm C(2;0;2).

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{A_{1}D_{1}} = \overrightarrow{A_{1}C} + \overrightarrow{CD_{1}} suy ra \overrightarrow{CD_{1}};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{A_{1}C} đồng phẳng.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.EFGH có \overrightarrow{AB} =\overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{b};\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{c}. Gọi I là trung điểm của đoạn BG. Biểu thị \overrightarrow{AI} theo ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BG}

    = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{BC} ight) = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight)

  • Câu 9: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ \overrightarrow{a} = (2;3;1),\overrightarrow{b} = ( - 1;5;2),\overrightarrow{c} = (4; - 1;3),\overrightarrow{x} = ( - 3;22;5). Đẳng thức nào dưới đây đúng?

    Đặt \overrightarrow{x} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c};\left( m;n;p\mathbb{\in R} ight)

    \Rightarrow ( - 3;22;5) = m(2;3;1) + n( - 1;5;2) + p(4; - 1;3)

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m - m + 4p = - 3 \\ 3m + 5m - p = 22 \\ m + 2m + 3p = 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2 \\ n = 3 \\ p = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy \overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} là đẳng thức đúng.

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt E(0;0;6), giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight),A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 240\ N, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}} như hình.

    Tính tích vô hướng của \overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}} (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

    Đáp án: 6311

    Đáp án là:

    Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân tại điểm đặt E(0;0;6), giá đỡ có các điểm tiếp xúc mặt đất của ba chân lần lượt là A_{1}(0;1;0),A_{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2};0 ight),A_{3}\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2};0 ight). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 240\ N, tác dụng lên các giá đỡ theo các lực \overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}},\overrightarrow{F_{3}} như hình.

    Tính tích vô hướng của \overrightarrow{F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{3}} (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

    Đáp án: 6311

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{EA_{1}} = (0;1; - 6) \\\overrightarrow{EA_{2}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; - 6ight) \\\overrightarrow{EA_{3}} = \left( - \frac{\sqrt{3}}{2}; - \frac{1}{2}; -6 ight) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow EA_{1} = EA_{2} = EA_{3} =\sqrt{37}.

    Suy ra, \left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{2}} ight| = \left|\overrightarrow{F_{3}} ight| (vì chân bằng nhau, giá đỡ cân bằng, trọng lực tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ).

    Do đó: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = k\overrightarrow{EA_{1}} = (0;k; - 6k) \\\overrightarrow{F_{2}} = k\overrightarrow{EA_{2}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = k\overrightarrow{EA_{3}} = \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k ight) \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = (0;0; -18k).

    Mà \overrightarrow{F_{1}} +\overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}} = \overrightarrow{P} =(0;0; - 240).

    Suy ra - 18k = - 240 \Leftrightarrow k =\frac{40}{3}.

    Từ đó \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{F_{1}} = \left( 0;\frac{40}{3}; - 80 ight) \\\overrightarrow{F_{2}} = \left( \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3}; -80 ight) \\\overrightarrow{F_{3}} = \left( - \frac{20\sqrt{3}}{3}; - \frac{20}{3};- 80 ight) \\\end{matrix} ight..

    Vậy \overrightarrow{F_{1}}.\overrightarrow{F_{3}} =0.\left( \frac{- 20\sqrt{3}}{3} ight) + \frac{40}{3}\left( -\frac{20}{3} ight) + ( - 80).( - 80) \approx 6311.

  • Câu 11: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2;1;2), N(4; 2; 1), tọa độ điểm P thuộc trục Oz sao cho M;N; Pthẳng hàng là

    Vì điểm Pthuộc trục Oz nên P có tọa độ P(0;0;z).

    Ta có \overrightarrow{MN}(2;1; - 1); \overrightarrow{NP}( - 4; - 2;z - 1)

    M;\ N;\ P thẳng hàng\Leftrightarrow\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NP} cùng phương

    \Leftrightarrow \frac{- 4}{2} = \frac{- 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1} \Leftrightarrow z - 1 = 2 \Leftrightarrow z = 3

    Vậy điểm P(0;0;3).

  • Câu 12: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1). Đúng||Sai

    a) Sai

    Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là ( - 1,5\ ;\ - 1\ ;\ 0,5).

    b) Đúng

    Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là (2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7).

    Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

    \sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} + (0,7 + 0,5)^{2}}

    = \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx 4,6(km)

    c) Sai

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

    \sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} = \frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

    \sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} + 0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)

    Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

    d) Đúng

    Vị trí của chiếc flycam là

    \left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 - 1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\ 0,6).

    Khoảng cách bay của flycam là:

    \sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} = \frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)

    Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1) là

    \sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)

    Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\ - 1).

  • Câu 13: Nhận biết

    Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB. Biết tọa độ hai điểm A(1;2;3) và B(3; - 1;4).

    Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

    \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow M(2;1;3)

    Vậy đáp án đúng là: M(2;1;3).

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;0;3),B(0;0; - 1),C(1;0; - 1),D(0;1; - 1). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (0;0; - 4) \\ \overrightarrow{AC} = (1;0; - 4) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 16 eq 0 suy ra AB và AC không vuông góc với nhau.

    Vậy mệnh đề sai là: “AB\bot AC”.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( - 1;3;0) và B(2;0; - 3). Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3). Sai||Đúng

    d) Tứ giác OABC là hình bình hành khi \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( - 1;3;0) và B(2;0; - 3). Các khẳng định sau đúng hay sai?

    a) \overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{j}. Sai||Đúng

    c) \overrightarrow{AB} = ( - 3;3;3). Sai||Đúng

    d) Tứ giác OABC là hình bình hành khi \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}. Đúng||Sai

    a) Đúng

    \overrightarrow{OA} = ( - 1;3;0).

    b) Sai

    \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{2i} - 3\overrightarrow{k}.

    c) Sai

    \overrightarrow{AB} = \left( x_{B} - x_{A}^{};y_{B} - y_{A};z_{B} - z_{A} ight) = (3; - 3; - 3).

    d) Đúng

    Ta có: \overrightarrow{AB} = (3; - 3; - 3),

    OABC là hình bình hành

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} = 3 \\ y_{C} = - 3 \\ z_{C} = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow C(3; - 3; - 3)

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}. Tìm giá trị x để \overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho tứ diện ABCD và các điểm M;N xác định bởi \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -3\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DB} +x\overrightarrow{DC}. Tìm giá trị x để \overrightarrow{AD};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{MN} đồng phẳng?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 17: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (1;2;1);\overrightarrow{b} = ( - 1;3;0). Vectơ \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} có tọa độ là:

    Ta có: 2\overrightarrow{a} = (2;4;2). Khi đó \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left( 2 + ( - 1);4 + 3;2 + 0 ight) = (1;7;2)

    Vậy \overrightarrow{c} = (1;7;2)

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^{0};\widehat{CAD} = 90^{0}. Gọi I;J lần lượt là trung điểm của AB;CD. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{IJ}?

    Hình vẽ minh họa

    Xét tam giác ICD có I là trung điểm đoạn CD \Rightarrow \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight)

    Tam giác ABC có AB = AC và \widehat{BAC} = 60^{0} suy ra tam giác ABC đều suy ra CI\bot AB

    Tương tự ta cũng có tam giác ABD đều nên DI\bot AB

    Ta có: \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{ÂB} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} ight).\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{ID}.\overrightarrow{AB} = 0

    \Rightarrow \overrightarrow{IJ}\bot\overrightarrow{AB} \Rightarrow \left( \overrightarrow{IJ};\overrightarrow{AB} ight) = 90^{0}

  • Câu 19: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vectơ \overrightarrow{a} = ( - 1;1;0),\overrightarrow{b} = (1;1;0) và \overrightarrow{c} = (1;1;0). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}

    \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0

    \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} không cùng phương vì \frac{- 1}{1} eq \frac{1}{1}

    \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (1;2;1)

    Vậy mệnh đề đúng là \cos\left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} ight) = \frac{2}{\sqrt{6}}

  • Câu 20: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1). Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và tam giác ABC bằng \frac{1}{3} diện tích tứ giác ABCD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A( - 2;3;1),B(2;1;0),C( - 3; - 1;1). Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và tam giác ABC bằng \frac{1}{3} diện tích tứ giác ABCD?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 21: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (2; - 1;1) và \overrightarrow{v} = (0; - 3; - m). Xác định giá trị tham số m để \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1?

    Ta có: \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1 \Leftrightarrow 3 - m = 1 \Leftrightarrow m = 2

    Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;3),B(2;3; - 4),C( - 3;1;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3 - x = 1 \\ 1 - y = 3 \\ 2 - z = - 7 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = 9 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D( - 4; - 2;9).

  • Câu 23: Nhận biết

    Trong không gian cho hai đường thẳng a;b lần lượt có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}. Gọi \alpha là góc giữa hai đường thẳng a;b. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Khẳng định đúng: “Nếu a\bot b thì \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}”.

  • Câu 24: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trung điểm của AB là \left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};4 ight). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10). Đúng||Sai

    c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 30^{\circ}. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxz) thỏa mãn T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a - 2b + 2c = 15. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ trung điểm của AB là \left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};4 ight). Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10). Đúng||Sai

    c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 30^{\circ}. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxz) thỏa mãn T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a - 2b + 2c = 15. Sai||Đúng

    a) Đúng: Gọi I là trung điểm AB.

    Ta có \left\{ \begin{matrix} {x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 2}}{2} = \dfrac{3}{2} \hfill \\ {y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{2 + 1}}{2} = \dfrac{3}{2} \hfill \\ {z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \dfrac{{3 + 5}}{2} = 4 \hfill \\ \end{matrix} ight. \Rightarrow I\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};4} ight)

    b) Đúng: Ta có \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (5;7;10).

    c) Đúng: Ta có \overrightarrow{AB} = (1; - 1;2),\overrightarrow{AC} = (1;2; - 1).

    \cos(AB,AC) =\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) =\frac{|\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}| \cdot|\overrightarrow{AC}|}

    = \frac{|1 \cdot 1 + ( - 1) \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1)|}{\sqrt{1^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 1)^{2}}} = \frac{1}{2}

    Suy ra (AB,AC) = 60^{\circ}.

    d) Sai: Gọi K(x;y;z) thỏa mãn 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - (2 - x) = 0 \\3(1 - y) - (4 - y) = 0 \\3(5 - z) - (2 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = - \dfrac{1}{2} \\z = \dfrac{13}{2} \\\end{matrix} ight.\ ight.

    Suy ra K\left( 2; - \frac{1}{2};\frac{13}{2} ight).

    Khi đó T = |3\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IC}| = |3\overrightarrow{IK} + 3\overrightarrow{KB} - \overrightarrow{IK} - \overrightarrow{KC}| = |2\overrightarrow{IK}| = 2IK.

    T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi I là hình chiếu của K trên (Oxz) suy ra I(2;0;\frac{13}{2} )..

    Suy ra a = 2,b = 0,c = \frac{13}{2}.

    Vậy a - 2b + 2c = 15.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào dưới đây là sai?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC}

    Vậy đáp án sai là: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{A'A} = \overrightarrow{AC}.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| theo a?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi G là trọng tâm của \Delta BCD.

    Do đó \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = \left| 3\overrightarrow{AG} ight| = 3AG.

    Ta có BG = \frac{2}{3}BI = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.

    Mà ABCD là tứ diện đều nên AG\bot(BCD) \Rightarrow AG\bot BG.

    Suy ra AG = \sqrt{AB^{2} - BG^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}.

    Vậy \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = 3.\frac{a\sqrt{6}}{3} = a\sqrt{6}.

  • Câu 27: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2; - 3),\ \ B(3; - 2;1). Tọa độ trung điểm của AB là.

    Tọa độ trung điểm I của AB là:

    I = \left( \frac{1 + 3}{2};\frac{2 - 2}{2};\frac{- 3 + 1}{2} ight) = (2;0; - 1)

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ ba điểm A( - 1; - 2;3),B(0;3;1),C(4;2;2). Tính cosin góc \widehat{BAC}?

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (1;5; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = (5;4; - 1) \\ \end{matrix} ight..

    \cos\widehat{BAC} = \cos\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|} = \frac{5 + 20 + 2}{\sqrt{30}.\sqrt{42}} = \frac{9}{2\sqrt{35}}

  • Câu 29: Thông hiểu

    Tìm m để góc giữa hai vectơ \overrightarrow{u} = \left(1;\log_{3}5;\log_{m}2 ight),\overrightarrow{v} = \left( 3;\log_{5}3;4ight) là góc nhọn.

    Để \left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) < {90^0} \Rightarrow \cos \left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) > 0

    \Rightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} > 0 \Leftrightarrow 3 +\log_{3}5.\log_{5}3 + 4\log_{m}2 > 0

    \Leftrightarrow 4 + 4log_{m}2 > 0 \Leftrightarrow log_{m}2 > - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 1 \\ m < \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight..

    Kết hợp điều kiện m > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m > 1} \\ {0 < m < \frac{1}{2}} \end{array}} ight.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là điểm trên đoạn CD sao cho ED = 2CE. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Có 6 vectơ (khác vectơ \overrightarrow{0}) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{BC} bằng 60^{\circ}. Sai||Đúng

    c) Nếu \overrightarrow{BE} = m\overrightarrow{BA} + n\overrightarrow{BC} + p\overrightarrow{BD} thì m + n + p = \frac{2}{3}. Sai||Đúng

    d) Tích vô hướng \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} = \frac{a^{2}}{6}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là điểm trên đoạn CD sao cho ED = 2CE. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Có 6 vectơ (khác vectơ \overrightarrow{0}) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{BC} bằng 60^{\circ}. Sai||Đúng

    c) Nếu \overrightarrow{BE} = m\overrightarrow{BA} + n\overrightarrow{BC} + p\overrightarrow{BD} thì m + n + p = \frac{2}{3}. Sai||Đúng

    d) Tích vô hướng \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} = \frac{a^{2}}{6}. Đúng||Sai

    Hình vẽ minh họa

    a) Sai: Các vectơ (khác vectơ \overrightarrow{0}) có điểm đầu và điểm cuối được tạo thành từ các đỉnh của tứ diện là: \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}.

    Do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu.

    b) Sai:  (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) = 180^{\circ} - (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}) = 180^{\circ} - ABC = 120^{\circ} 

    c) Sai: \overrightarrow{BE} =\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}(\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC}) =\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}.

    Do đó m = 0,n = \frac{2}{3},p = \frac{1}{3} suy ra m + n + p = 1.

    d) Đúng: Ta có:

    \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE}) - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AB}

    = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) - \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}

    Suy ra

    \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BE} =\overrightarrow{AD}.\left( \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} +\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} ight)=\frac{2}{3}.\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC} +\frac{1}{3}.{\overrightarrow{AD}}^{2} -\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}

    = \frac{2}{3}.a.a.\cos 60^{\circ} +\frac{1}{3}a^{2} - a.a.\cos60^{\circ} = \frac{a^{2}}{6}.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = AE = 2,AD = 3 và đặt \overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}. Lấy điểm M thỏa \overrightarrow{AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} và điểm N thỏa \overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC}. (Quan sát hình vẽ).

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \overrightarrow{MA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b} Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight) Sai||Đúng

    c) \left( m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} = m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} + p^{2}\overrightarrow{c^{2}}, với m;n;p là các số thực. Đúng||Sai

    d) MN = \frac{\sqrt{61}}{5}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = AE = 2,AD = 3 và đặt \overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}. Lấy điểm M thỏa \overrightarrow{AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} và điểm N thỏa \overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC}. (Quan sát hình vẽ).

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \overrightarrow{MA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b} Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ight) Sai||Đúng

    c) \left( m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} = m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} + p^{2}\overrightarrow{c^{2}}, với m;n;p là các số thực. Đúng||Sai

    d) MN = \frac{\sqrt{61}}{5}. Đúng||Sai

    a) Đúng: Ta có

    \overrightarrow{MA} = - \overrightarrow{AM} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{b}

    b) Sai:

    \overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC} = \frac{2}{5}(\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EH} + \overrightarrow{EA}) = \frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c})

    c) Đúng:

    (m.\overrightarrow{a} +n.\overrightarrow{b} + p.\overrightarrow{c})^{2} =m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} + n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2}+p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2} +2mn.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+2np\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} +2mp.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}= m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} + n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2} + p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2}

    (vì \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} đôi một vuông góc nên \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0).

    Ta có

    \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EN}

    = -\frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} +\frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -\overrightarrow{c})

    = \frac{2}{5}\overrightarrow{a} +\frac{1}{5}\overrightarrow{b} +\frac{3}{5}\overrightarrow{c}.

    d) Đúng:

    MN^{2} = {\overrightarrow{MN}}^{2} = \left( \frac{2}{5}\overrightarrow{a} + \frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \frac{3}{5}\overrightarrow{c} ight)^{2}

    = \frac{4}{25}{\overrightarrow{a}}^{2} +\frac{1}{25}{\overrightarrow{b}}^{2} +\frac{9}{25}{\overrightarrow{c}}^{2}= \frac{4}{25}.4 + \frac{1}{25}.9 +\frac{9}{25}.4 = \frac{61}{25}

    Suy ra MN = \frac{\sqrt{61}}{5}.

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'; đáy là hình vuông cạnh a. Trên cạnh DC;BB' lần lượt lấy các điểm M;N sao cho DM = BN = x;(0 \leq x \leq a). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng A'C và MN.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'; đáy là hình vuông cạnh a. Trên cạnh DC;BB' lần lượt lấy các điểm M;N sao cho DM = BN = x;(0 \leq x \leq a). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng A'C và MN.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 33: Vận dụng cao

    Một chiếc cần cẩu, cẩu tấm kim loại có trọng lực 2000(N), được thiết kế với tấm kim loại được giữ bởi ba đoạn cáp AB,AC,AD sao cho AB = AC = AD và BCD là tam giác đều, đồng thời các cạnh AB,AC,AD tạo với mặt phẳng (BCD) một góc có 30^{0}(như hình vẽ).

    Tìm độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án:  1333(N)

    Đáp án là:

    Một chiếc cần cẩu, cẩu tấm kim loại có trọng lực 2000(N), được thiết kế với tấm kim loại được giữ bởi ba đoạn cáp AB,AC,AD sao cho AB = AC = AD và BCD là tam giác đều, đồng thời các cạnh AB,AC,AD tạo với mặt phẳng (BCD) một góc có 30^{0}(như hình vẽ).

    Tìm độ lớn của lực căng của mỗi sợi dây cáp? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án:  1333(N)

    Đặt \overrightarrow{F} ={\overrightarrow{F}}_{1} + {\overrightarrow{F}}_{2} +{\overrightarrow{F}}_{3} thì \left|\overrightarrow{F} ight| = 2000(N).

    Chú ý thêm là: \left|{\overrightarrow{F}}_{1} ight| = \left| {\overrightarrow{F}}_{2}ight| = \left| {\overrightarrow{F}}_{3} ight|

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG} với G là trọng tâm \Delta BCD.

    Vì hình chóp A.BCD đều nên AG\bot mp(BCD)

    Do đó \widehat{ABG} = 30^{0}, suy ra AG = AB.sin30^{0} = \frac{AB}{2}\Rightarrow AB = 2AG.

    Khi gắn các lực vào ta có:

    \overrightarrow{F} =\overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}} + \overrightarrow{F_{3}}= - \overrightarrow{F_{AB}} - \overrightarrow{F_{AC}} -\overrightarrow{F_{AD}} = - 3\overrightarrow{F_{AG}}

    \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } ight| = 3\left| {\overrightarrow {{F_{AG}}} } ight| \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_{AG}}} } ight| = \frac{{2000}}{3}\left( N ight)

    Từ đó: \left| \overrightarrow{F_{1}}ight| = \left| \overrightarrow{F_{AB}} ight| = 2\left|\overrightarrow{F_{AG}} ight| = \frac{4000}{3}(N).

    Vậy lực căng mỗi sợi dây là \frac{4000}{3}\ N \approx 1333\ N.

  • Câu 34: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) bằng:

    Ta có: góc giữa hai mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) bằng: 90^{0}.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Tứ giác ABCD là hình bình hành biết tọa độ các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1). Tìm tọa độ điểm C?

    Giả sử điểm C(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 2 - 1 \\ y + 1 = 1 - 0 \\ z - 1 = 2 - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm C(2;0;2).

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho hai đường thẳng a và a' lần lượt có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} và \overrightarrow{u'}. Nếu \varphi là góc giữa hai đường thẳng a và a' thì:

    Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là \cos\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} ight) ight|.

  • Câu 37: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Giả sử điểm C'(a;b;c). Tính giá trị biểu thức T=a+b+2c?

    Gọi điểm C'(x;y;z)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.

    Mà \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'} \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C'(13;4;4) suy ra a=13;b=4;c=4

    Vậy  T=25

  • Câu 38: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}. Tọa độ vectơ \overrightarrow{a} là:

    Ta có: \overrightarrow{i} = (1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} = (0;0;1)

    Theo bài ra ta có: \overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k} suy ra tọa độ vectơ \overrightarrow{a} = ( - 1;2; - 3).

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong không gian, cho hai vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{BC}. Vectơ \overrightarrow{AC} bằng

    Theo quy tắc ba điểm: \overrightarrow{AC}\ = \ \overrightarrow{\ AB}\ + \ \overrightarrow{BC}.

  • Câu 40: Nhận biết

    Cho tứ diện đều ABCD. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc

    Suy ra \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}

    Vậy mệnh đề chưa chính xác là: \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 92 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập