Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho vectơ \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i} -
2\overrightarrow{k}. Tọa độ điểm A là:

    Ta có: \overrightarrow{OA} =
\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} \Leftrightarrow A(0;1; -
2)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
6 - x = 3 + 2 \\
5 - y = 0 - 3 \\
- z = - 1 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 8 \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(1;8;2).

  • Câu 3: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;1;4),B( - 2;2;6),C(6;0; -
1). Tích \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} bằng:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = ( - 4;1; - 10) \\
\overrightarrow{AC} = (4; - 1; - 5) \\
\end{matrix} ight.. Khi đó \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =
33.

  • Câu 4: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1; -
4;0);\overrightarrow{v} = ( - 1; - 2;1). Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{u} +
3\overrightarrow{v}?

    Ta có: 3\overrightarrow{v} = ( - 3; -
6;3) do đó \overrightarrow{u} +
3\overrightarrow{v} = ( - 2; - 10;3)

    Vậy đáp án cần tìm là ( - 2; -
10;3).

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD. Điểm N xác định bởi công thức \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \overrightarrow{AN} =
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} -
\overrightarrow{AD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AN} -
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}
\Leftrightarrow \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AD}

    Vậy N là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDBN.

  • Câu 6: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1; - 3)B( - 2;2;1). Vectơ \overrightarrow{AB} có tọa độ là:

    Ta có:

    \overrightarrow{AB} = ( - 2 - 1;2 + 1;1
+ 3) = ( - 3;3;4)

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{AB} =
( - 3;3;4).

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCSA = SB = SC\widehat{ASB} = \widehat{BSC} =
\widehat{CSA}. Góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{SA}\overrightarrow{BC} là:

    Ta có: \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC} =
\overrightarrow{SA}.\left( \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB}
ight)

    =
\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} -
\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}

    = \left| \overrightarrow{SA}ight|.\left| \overrightarrow{SC} ight|.\cos\widehat{ASC} - \left|\overrightarrow{SA} ight|.\left| \overrightarrow{SB}ight|.\cos\widehat{ASB} = 0

    Vậy góc giữa cặp vectơ \overrightarrow{SA}\overrightarrow{BC}90^{0}.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.

    Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:

    S = v.t = 890.\frac{1}{2} = 445\ \
(km).

    Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).

  • Câu 9: Nhận biết

    Mệnh đề nào sau đây sai?

    Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.

  • Câu 10: Vận dụng

    Trong không gian cho tam giác ABC. Tìm M sao cho giá trị của biểu thức P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất?

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

    Suy ra G cố định và \overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} =
\overrightarrow{0}

    P = MA^{2} + MB^{2} +
MC^{2}

    P = \left( \overrightarrow{MG} +
\overrightarrow{GA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} +
\overrightarrow{GB} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} +
\overrightarrow{GC} ight)^{2}

    P = 3{\overrightarrow{MG}}^{2} +
2\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} ight)^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}

    P = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}
\geq GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}

    Dấu “=” xảy ra khi M \equiv
G

    Vậy P_{\min} = GA^{2} + GB^{2} +
GC^{2} với M \equiv G là trọng tâm tam giác ABC.

  • Câu 11: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2; - 3),\ \ B(3; - 2;1). Tọa độ trung điểm của AB là.

    Tọa độ trung điểm I của AB là:

    I = \left( \frac{1 + 3}{2};\frac{2 -
2}{2};\frac{- 3 + 1}{2} ight) = (2;0; - 1)

  • Câu 12: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho vectơ \overrightarrow{a} = 6.\overrightarrow{i} +
8.\overrightarrow{k} + 7.\overrightarrow{j}. Khi đó tọa độ của \overrightarrow{a} là.

    Do \overrightarrow{a} =
6\overrightarrow{i} + 8\overrightarrow{k} + 7\overrightarrow{j} =
6\overrightarrow{i} + 7\overrightarrow{j} + 8\overrightarrow{k}
\Rightarrow \overrightarrow{a} = (6;\ 7;\ 8).

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AD} ight| theo a?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi G là trọng tâm của \Delta BCD.

    Do đó \left| \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| = \left|
3\overrightarrow{AG} ight| = 3AG.

    Ta có BG = \frac{2}{3}BI =
\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.

    ABCD là tứ diện đều nên AG\bot(BCD) \Rightarrow AG\bot BG.

    Suy ra AG = \sqrt{AB^{2} - BG^{2}} =
\frac{a\sqrt{6}}{3}.

    Vậy \left| \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} ight| =
3.\frac{a\sqrt{6}}{3} = a\sqrt{6}.

  • Câu 14: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( -
4;7;5). Tọa độ chân đường phân giác của góc B trong tam giác ABC là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{BA} = ( - 1; - 3;4) \Rightarrow BA = \sqrt{26} \\
\overrightarrow{BC} = ( - 6;8;2) \Rightarrow BC = 2\sqrt{26} \\
\end{matrix} ight.

    Gọi D(a;b;c) là chân đường phân giác kẻ từ B lên AC của tam giác ABC.

    Suy ra \frac{DA}{DC} = \frac{BA}{BC}
\Rightarrow \overrightarrow{DA} = -
\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}(*)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{DA} = (1 - x;2 - y; - 1 - z) \\
\overrightarrow{DC} = ( - 4 - x;7 - y;5 - z) \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 - x = - \dfrac{1}{2}( - 4 - x) \\2 - y = - \dfrac{1}{2}(7 - y) \\- 1 - z = - \dfrac{1}{2}(5 - z) \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{2}{3} \\y = \dfrac{11}{3} \\z = 1 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow D\left( - \dfrac{2}{3};\dfrac{11}{3};1ight)

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(x;y;z). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz) thì M'(x; - y;z).

    Nếu M' đối xứng với M qua trục Oy thì M'( - x;y; - z).

    Nếu M' đối xứng với M qua gốc tọa độ thì M'( - x; - y; - z).

    Vậy mệnh đề đúng là: “Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) thì M'(x;y; - z)”.

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A;B;C;D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A;B;C;D tạo thành hình bình hành là:

    Để A;B;C;D tạo thành hình bình thành thì \left\lbrack \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \\
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \\
\end{matrix} ight..

    Khi đó:

    \overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} +
\overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} -
\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} -
\overrightarrow{OC}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{CD}

    \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}
+ \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} =
\overrightarrow{0}, O là trọng tâm tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD. (Loại).

    \overrightarrow{OA} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} -
\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} -
\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{CA} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{BD} (Loại)

    \overrightarrow{OA} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} -
\overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} -
\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{BA} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{CD} (loại)

    Vậy đáp án cần tìm là \overrightarrow{OA}
+ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} +
\overrightarrow{OD}.

  • Câu 17: Nhận biết

    Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, biết rằng A(1;3;4),B(2; - 1;0),C(3;1;2)?

    Tọa độ trọng tâm G của tam giác được xác định như sau:

    \left\{ \begin{matrix}x_{G} = \dfrac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \dfrac{1 + 2 + 3}{3} = 2 \\y_{G} = \dfrac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \dfrac{3 - 1 + 1}{3} = 1 \\z_{G} = \dfrac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \dfrac{4 + 0 + 2}{3} = 2 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow G(2;1;2)

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'AB = BC = 2CC' = 4. Gọi MN lần lượt là trung điểm của cạnh BCAA'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D'MN bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 2,43

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'AB = BC = 2CC' = 4. Gọi MN lần lượt là trung điểm của cạnh BCAA'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng B'D'MN bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 2,43

    Cách 1. Gọi P là trung điểm CD, I = MP \cap AD, J = IN \cap DD', K = AC \cap MP.

    Ta có MP//BD \Rightarrow MP//B'D'
\Rightarrow d(B'D';MN) = d\left\lbrack B'D';(MNP)
ightbrack = d\left\lbrack D';(MNP) ightbrack.

    Lại có d\left\lbrack D';(MNP)
ightbrack = \frac{D'J}{DJ}d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack =
5.d\left\lbrack D;(MNP) ightbrack.

    Mặt khác d\left\lbrack D;(MNP)
ightbrack = \frac{DI}{AI}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack =
\frac{1}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack.

    Dễ thấy \left\{ \begin{matrix}
(NAK)\bot(MNP) \\
(NAK) \cap (MNP) = AK \\
AH\bot NK\ (H \in NK)\ trong\ (NAK) \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow AH\bot(MNP) \Rightarrow
d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = AH.

    Suy ra d(MN;B'D') =
\frac{5}{3}d\left\lbrack A;(MNP) ightbrack = \frac{5}{3}AH với AN = \frac{AA'}{2} = 2 ; AK = \frac{3}{4}\sqrt{2}AB =
\frac{3\sqrt{2}}{2}.

    Vậy d(MN;B'D') = \frac{5}{3}AH =
\frac{5}{3}.\frac{AN.AK}{\sqrt{AN^{2} + AK^{2}}} =
\frac{5}{3}.\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}.2}{\sqrt{\left(
\frac{3\sqrt{2}}{2} ight)^{2} + 2^{2}}} = \frac{10.\sqrt{17}}{17}
\simeq 2,43.

    Cách 2. Đặt các trục Ox, OyOz vào hình như sau

    Ta có M(1;2;0), N(0;0;2), B'(0;2;4)D'(2;0;4).

    Ta có \overrightarrow{MN} = ( - 1; -
2;2), \overrightarrow{B'D'}
= (2; - 2;0)\overrightarrow{MB'} = ( - 1;0;4) \Rightarrow
\left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{B'D'}
ightbrack = (4;4;6).

    Khi đó :

    d\left( MN;B^{'}D^{'} ight) =
\frac{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}}
ightbrack.\overrightarrow{MB^{'}} ight|}{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{MN};\overrightarrow{B^{'}D^{'}} ightbrack
ight|}

    = \frac{\left| ( - 1).4 + 0.4 + 4.6
ight|}{\sqrt{4^{2} + 4^{2} + 6^{2}}} = \frac{10\sqrt{17}}{17} \simeq
2,43.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.EFFH. Phân tích nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Biến đổi biểu thức

    \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC}
ight)

    \Leftrightarrow 2\overrightarrow{AE} =
\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{CH}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AE} +
\left( \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AF} ight) =
\overrightarrow{CH}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CH}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{BE} =
\overrightarrow{CH} (đúng)

    Vậy phân tích đúng là \overrightarrow{AE}
= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AH} -
\overrightarrow{AC} ight).

  • Câu 20: Vận dụng

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500;200;8)đến điểm N(800;300;10) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( a;b;\frac{c}{d}
ight), trong đó a,b,c,d \in
\mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d} là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính a + b + c + d?

    Đáp án: 1223

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500;200;8)đến điểm N(800;300;10) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( a;b;\frac{c}{d}
ight), trong đó a,b,c,d \in
\mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d} là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính a + b + c + d?

    Đáp án: 1223

    Gọi Q(x;y;z) là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.

    \overrightarrow{MN} =
(300;100;2)

    \overrightarrow{NQ} = (x - 800;y - 300;z
- 10)

    Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ M ightarrow N gấp 4 lần thời gian bay từ N ightarrow Q nên MN = 4NQ

    Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên \overrightarrow{MN}\overrightarrow{NQ} cùng hướng.

    Suy ra \overrightarrow{MN} =
4\overrightarrow{NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
300 = 4(x - 800) \\
100 = 4(y - 300) \\
2 = 4(z - 10) \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 875 \\
y = 325 \\
z = 10,5 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow Q\left( 875;325;\frac{21}{2}
ight)

    Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( 875;325;\frac{21}{2} ight) \Rightarrow a
= 875,\ \ b = 325,\ \ c = 21,\ \ d = 2.

    Do đó, a + b + c + d = 1223.

  • Câu 21: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1). Đúng||Sai

    a) Sai

    Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là ( -
1,5\ ;\  - 1\ ;\ 0,5).

    b) Đúng

    Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là (2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7).

    Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

    \sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} +
(0,7 + 0,5)^{2}}

    = \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx
4,6(km)

    c) Sai

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

    \sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} =
\frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

    \sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} +
0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)

    Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

    d) Đúng

    Vị trí của chiếc flycam là

    \left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 -
1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\
0,6).

    Khoảng cách bay của flycam là:

    \sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} =
\frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)

    Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1)

    \sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} =
\sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)

    Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1).

  • Câu 22: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'\overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'} =
k.\overrightarrow{AC'}. Giá trị của k bằng:

    Ta có: \overrightarrow{AC'} =
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} =
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} +
\overrightarrow{DD'}

    Vậy k = 1.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho tọa độ ba điểm A( - 1;2; - 3),B(1;0;2),C(x;y; - 2) thẳng hàng. Khi đó giá trị của biểu thức x +y là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (2; - 2;5) \\\overrightarrow{AC} = (x + 1;y - 2;1) \\\end{matrix} ight.. Vì A; B; C thẳng hàng nên \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} cùng phương

    \Leftrightarrow \dfrac{x + 1}{2} =\dfrac{y - 2}{- 2} = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{3}{5} \\y = \dfrac{8}{5} \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow x + y = 1

  • Câu 24: Thông hiểu

    Trong không gian tọa độ Oxyzcho ba điểm M(1;1;1),\ N(2;3;4),\
P(7;7;5). Tìm tọa độ điểm Q để tứ giác MNPQ là hình bình hành

    Minh họa bằng hình vẽ sau:

    Ta có \overrightarrow{MN} = (1;2;3),\
\overrightarrow{QP} = \left( 7 - x_{Q};7 - y_{Q};5 - z_{Q}
ight).

    MNPQ là hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{MN} =
\overrightarrow{QP}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1 = 7 - x_{Q} \\
2 = 7 - y_{Q} \\
3 = 5 - z_{Q} \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{Q} = 6 \\
y_{Q} = 5 \\
z_{Q} = 2 \\
\end{matrix} ight..

    Vậy Q(6;5;2).

  • Câu 25: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -
3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Tìm tọa độ điểm C'?

    Theo quy tắc hình hộp ta có:

    \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AC'}

    Lại có \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +
0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\
\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\
\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =
10.\overrightarrow{i} + 4.\overrightarrow{j} +
4.\overrightarrow{k}A( -
3;0;0)

    \Rightarrow C'(7;4;4)

    Suy ra C'(7;4;4)

  • Câu 26: Nhận biết

    Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

  • Câu 27: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (3;0;1)\overrightarrow{v} = (2;1;0). Tính tích vô hướng \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}?

    Ta có: \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3.2 + 0.1
+ 1.0 = 6

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; - 1;5),B(m;2;7). Tìm giá trị tham số m để AB
= 7?

    Theo bài ra ta có:

    AB = 7 \Leftrightarrow \sqrt{(m - 3)^{2}
+ 3^{2} + 2^{2}} = 7

    \Leftrightarrow (m - 3)^{2} = 36
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m - 3 = 6 \\
m - 3 = - 6 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 9 \\
m = - 3 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy đáp án cần tìm là \left\lbrack
\begin{matrix}
m = 9 \\
m = - 3 \\
\end{matrix} ight..

  • Câu 29: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;0;2). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Vì tọa độ điểm M(1;0;2)x = 1;y = 0;z = 2 nên M \in (Oxz).

  • Câu 30: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Giả sử điểm C'(a;b;c). Tính giá trị biểu thức T=a+b+2c?

    Gọi điểm C'(x;y;z)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.

    \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'} \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow C'(13;4;4) suy ra a=13;b=4;c=4

    Vậy  T=25

  • Câu 31: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0; - 1;1),B( - 2;1; - 1),C( - 1;3;2). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{BA} =
\overrightarrow{CD}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x + 1 = 2 \\
y - 3 = - 2 \\
z - 2 = 2 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 1 \\
z = 4 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(1;1;4)

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.\A'B'C'D'A trùng với gốc tọa độ O Biết rằng B(m;\ 0;\ 0), D(0;\ m;\ 0), A'(0;\ 0;\ n) với m, n là các số dương và m + n = 4. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện ACB'D'? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 3,16

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.\A'B'C'D'A trùng với gốc tọa độ O Biết rằng B(m;\ 0;\ 0), D(0;\ m;\ 0), A'(0;\ 0;\ n) với m, n là các số dương và m + n = 4. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện ACB'D'? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 3,16

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: A(0;\ 0;\ 0), B(m;\ 0;\ 0), D(0;\ m;\ 0), A'(0;\ 0;\ n) nên \overrightarrow{AB} = (m;0;0)

    AB = m (do m;n > 0); AD = m; AA' = n.

    V_{ACB'D'} =\frac{1}{3}V_{ABCD.A'B'C'D'} =\frac{1}{3}.m.m.n

    V_{ACB'D'} = \frac{1}{3}.m.m.n =\frac{1}{3}m^{2}(4 - m).

    Xét hàm số f(m) = \frac{1}{3}m^{2}(4 - m)= - \frac{1}{3}m^{3} + \frac{4}{3}m^{2} trên (0;4)

    f'(m) = - m^{2} + \frac{8}{3}m =0\left\lbrack \begin{matrix}m = 0 \\m = \frac{8}{3} \\\end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên:

    Vậy MaxV_{ACB'D'} =\frac{256}{81} \simeq 3,16.

  • Câu 33: Nhận biết

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc trục Oy?

    Điểm A(x;y;z) \in Oy \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
x = 0 \\
z = 0 \\
\end{matrix} ight.. Suy ra trong bốn điểm đã cho điểm T(0; - 3;0) \in Oy.

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M;N lần lượt là trung điểm các cạnh AC;BD, G là trọng tâm của tứ diện ABCDO là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị của k thỏa mãn đẳng thức k.\left( \overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} ight)
= \overrightarrow{OG}?

    Vì G là trọng tâm tứ diện nên

    \overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left(
\overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OA} ight) + \left(
\overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OB} ight) + \left(
\overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OC} ight) + \left(
\overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OD} ight) =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{GO} +
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +
\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} =
4\overrightarrow{OG}

    \Leftrightarrow k = \dfrac{1}{4}.

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}. Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?

    Hai vectơ còn lại có thể không cùng phương nên ba vectơ có thể không đồng phẳng.

  • Câu 36: Nhận biết

    Cho hình lập phương ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Hãy phân tích vectơ \overrightarrow{BD} theo các vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA_{1}}?

    Hình vẽ minh họa

    Theo quy tắc hình bình hành ta có:

    \overrightarrow{BD} =
\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \Rightarrow
\overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} +
0.\overrightarrow{AA_{1}}

  • Câu 37: Vận dụng cao

    Cho tứ diện OABCOA;OB;OC đôi một vuông góc. M là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} +
\frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}?

    Đặt \overrightarrow{OA} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{OB} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}. Khi đó \overrightarrow{OM} =
x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c} với x;y;z là ba số có tổng bằng 1.

    Ta có:

    \overrightarrow{AM} =
\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = (x - 1)\overrightarrow{a} +
y\overrightarrow{b} + z\overrightarrow{c}

    \Rightarrow {\overrightarrow{AM}}^{2} =
(x - 1)^{2}{\overrightarrow{a}}^{2} + y^{2}{\overrightarrow{b}}^{2} +
z^{2}{\overrightarrow{c}}^{2}

    \Rightarrow \frac{MA^{2}}{OA^{2}} = (x -
1)^{2} + y^{2}.\frac{b^{2}}{a^{2}} +
z^{2}.\frac{c^{2}}{a^{2}}

    Tương tự ta được

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{MB^{2}}{OB^{2}} = (y - 1)^{2} + z^{2}.\dfrac{c^{2}}{b^{2}} +x^{2}.\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \\\dfrac{MC^{2}}{OC^{2}} = (z - 1)^{2} + x^{2}.\dfrac{a^{2}}{c^{2}} +y^{2}.\dfrac{b^{2}}{c^{2}} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} +
\frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left(
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left(
\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left(
\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    \Rightarrow T = x^{2}a^{2}\left(
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight) + y^{2}b^{2}\left(
\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}} ight) + z^{2}c^{2}\left(
\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ight)

    + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z -
1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} +
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2}
+ z^{2}c^{2} ight)

    - \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} ight) +
(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}

    \Rightarrow T = \left( \frac{1}{a^{2}} +
\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)\left( x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2}
+ z^{2}c^{2} ight) - 2(x + y + z) + 3

    Ta biết rằng H là chân đường cao kẻ từ đỉnh O của tứ diện vuông OABC khi và chỉ khi H là trực tâm của tam giác ABC. Hơn nữa \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} + \dfrac{1}{c^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}}\\x^{2}a^{2} + y^{2}b^{2} + z^{2}c^{2} = OM^{2} \\\end{matrix} ight.

    Do đó T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} +
\frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}} = \frac{OM^{2}}{OH^{2}} +
1 \geq 1 + 1 = 2

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi OM = OH hay M trùng H.

    Vậy min T = 2, đạt được khi M trùng H hay M là trực tâm của tam giác ABC.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{v};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{w}. Biểu diễn vectơ \overrightarrow{BC'} qua các vectơ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}. Chọn đáp án đúng?

    Ta có:

    \overrightarrow{BC'} =
\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'}

    = - \overrightarrow{v} +
\overrightarrow{w} + \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u} -
\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}

    Vậy đáp án đúng là: \overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{u} -
\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;1; - 2),B(3; - 1;1). Tìm tọa độ điểm M sao cho \overrightarrow{AM} =
3\overrightarrow{AB}?

    Gọi tọa độ độ điểm M(x;y;z).

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AM} = (x;y - 1;z + 2) \\
\overrightarrow{AB} = (3; - 2;3) \\
\end{matrix} ight.

    Lại có: \overrightarrow{AM} =
3\overrightarrow{AB}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 9 \\
y - 1 = - 6 \\
z + 2 = 9 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 9 \\
y = - 5 \\
z = 7 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M(9; - 5;7)

    Vậy đáp án cần tìm là: M(9; -
5;7).

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} -
\overrightarrow{AN}\frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

    b) Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} bằng 60^{0}. Sai||Đúng

    c) Tích vô hướng của \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} bằng \frac{a^{2}}{2}. Đúng||Sai

    d) Độ dài vectơ \overrightarrow{AM} -
\overrightarrow{AN}\frac{a\sqrt{3}}{2}. Sai||Đúng

     

    a) Sai

     

    Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD

    Suy ra hai vectơ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

    b) Sai

    Ta có ABCD là hình chữ nhật nên AC =
\sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}

    Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

    Suy ra \tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC}
= \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx
41^{0}48'

    Ta có: \left(
\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left(
\overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx
41^{0}48'

    c) Đúng

    Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

    Suy ra SB = \sqrt{SA^{2} +
AB^{2}} = a\sqrt{5}

    Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

    AM = \frac{1}{2}SB =
\frac{a\sqrt{5}}{2}

    Lại có M là trung điểm của SB nên MB =
\frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Ta tính được \cos MAB = \frac{MA^{2} +
AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}

    \left(
\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) =
\widehat{MAB}

    \Rightarrow
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM}
ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left(
\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) =
\frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}

    d) Sai

    Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

    Do đó MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} +
AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}

    Suy ra \left| \overrightarrow{AM} -
\overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| =
\frac{a\sqrt{5}}{2}

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 89 lượt xem
Sắp xếp theo