Trong không gian
, cho vectơ
. Tọa độ điểm
là:
Ta có:
Trong không gian
, cho vectơ
. Tọa độ điểm
là:
Ta có:
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
với
. Độ dài đoạn thẳng
là:
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Suy ra
Vậy độ dài AC’ bằng .
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Lại có do đó
hay
Suy ra
Trong không gian
, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng
?
Do điểm thuộc mặt phẳng nên điểm đó có tọa độ dạng
Suy ra điểm là đáp án cần tìm.
Cho tứ diện
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
.Phân tích nào sau đây là đúng?
Ta có: là trọng tâm tam giác
khi
Trong không gian tọa độ
, góc giữa hai vectơ
và
là:
Ta có:
Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
là trung điểm của
. Khẳng định nào sau đây sai?
Hình vẽ minh họa
Vì lần lượt là trung điểm của
suy ra
Mà là trung điểm của
Khi đó
Vậy khẳng định sai là: .
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
. Tích vô hướng của hai vectơ
và
có giá trị bằng:
Ta có:
Trong không gian
, cho điểm
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì tọa độ điểm có
nên
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của
là
. Đúng||Sai
b)
. Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm
. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tọa độ trung điểm của là
. Đúng||Sai
b) . Đúng||Sai
c) Góc giữa hai đường thẳng và
bằng
. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng
thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Đúng: Gọi là trung điểm
.
Ta có
b) Đúng: Ta có .
c) Đúng: Ta có .
Suy ra .
d) Sai: Gọi thỏa mãn
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
suy ra
.
Suy ra .
Vậy .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Trong không gian hệ trục tọa độ
cho
. Khi đó tọa độ
với hệ
là:
Ta có:
Lại có
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian
, cho hai điểm
và
. Trung điểm của đoạn thẳng
có tọa độ là:
Gọi là trung điểm của đoạn thẳng
, ta có:
Vậy tọa độ trung điểm của AB là: .
Cho hình lập phương
. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và
?
Hình vẽ minh họa
Vì (
là hình chữ nhật) nên
(
là hình vuông)
Cho hình chóp
có
, các cạnh
đôi một vuông góc. Gọi
là trung điểm của
. Tính tích vô hướng của hai vectơ
.
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Như vậy:
Trong không gian
, cho hình chóp
có đáy
là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm của hai đường chéo
và
trùng với gốc tọa độ
. Các véc tơ
,
,
lần lượt cùng hướng với các véc tơ
,
,
và
,
. Gọi
là trung điểm cạnh
. Tọa độ của véc tơ
là
Hình vẽ minh họa
Ta có .
Khi đó .
Vì là trung điểm của
nên ta có
.
Trong không gian
, cho hai điểm
. Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác
là:
Ta có bài toán sau
Trong tam giác ABC, gọi I là tâm đường nội tiếp tam giác ABC ta có: với
Hình vẽ minh họa
Gọi A’ là chân đường phân giác kẻ từ A
Áp dụng công thức trong tam giác OMN ta có:
Vậy đáp án cần tìm là
Cho lăng trụ tam giác
. Đặt
. Gọi điểm
sao cho
,
là trọng tâm tứ diện
. Biểu diễn vectơ
qua các vectơ
. Đáp án nào dưới đây đúng?
Ta có G là trọng tâm của tứ diện nên
Cho hình hộp chữ nhật
có
và
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của cạnh
và
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 2,43
Cho hình hộp chữ nhật có
và
. Gọi
và
lần lượt là trung điểm của cạnh
và
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 2,43
Cách 1. Gọi là trung điểm
,
,
,
.
Ta có .
Lại có .
Mặt khác .
Dễ thấy
.
Suy ra với
;
.
Vậy .
Cách 2. Đặt các trục ,
và
vào hình như sau
Ta có ,
,
và
.
Ta có ,
và
.
Khi đó :
.
Cho tứ diện
có
đôi một vuông góc với nhau. Tính giá trị của biểu thức
?
Vì các vectơ có độ dài bằng 1 và đôi một vuông góc với nhau nên
Trong không gian
, cho điểm
. Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục
.
Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là
Trong không gian
, tìm tọa độ điểm
trên trục
cách đều hai điểm
và
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
Trong không gian
, cho hai vectơ
và
. Tính tích vô hướng
?
Ta có:
Cho điểm
chia đoạn thẳng
theo tỉ số
thì ta có:
. Khi đó với một điểm
tùy ý ta có:
Ta có:
Trong không gian
, cho
. Biết
trong đó
là số nguyên dương. Tìm
?
Đáp án: 135
Trong không gian , cho
. Biết
trong đó
là số nguyên dương. Tìm
?
Đáp án: 135
Ta có .
Suy ra .
.
Vậy
Cho hai đường thẳng
và
lần lượt có vectơ chỉ phương là
và
. Nếu
là góc giữa hai đường thẳng
và
thì:
Do góc giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng nên đáp án cần tìm là .
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ
. Gọi
là vectơ thoả mãn:
. Tọa độ của vectơ
là:
Đặt .
Ta có:
Vậy .
Cho hình lăng trụ tam giác
. Đặt
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Ta có:
Do đó
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba vectơ
. Tìm tọa độ vectơ
?
Ta có: . Khi đó
Vậy
Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Có tất cả bao nhiêu điểm
trong không gian thỏa mãn
và
?
Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các điểm
. Có tất cả bao nhiêu điểm
trong không gian thỏa mãn
và
?
Trong không gian
cho hai điểm
. Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:
a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng
b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là
. Đúng||Sai
c) Cho
, tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai
d) Điểm
nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
Trong không gian cho hai điểm
. Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:
a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng
b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là . Đúng||Sai
c) Cho , tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai
d) Điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
. Sai||Đúng
a) Sai: Hình chiếu của điểm trên trục
có tọa độ là
b) Đúng: Vì là trung điểm của
.
c) Đúng: Ta có .
vuông tại
.
d) Sai.
Gọi thỏa
Suy ra .
Khi đó .
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
là hình chiếu của
trên
.
Vậy .
Suy ra
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho các điểm
. Biết rằng tứ giác
là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm
là:
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Trong không gian hệ trục tọa độ
, cho hình hộp
có tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Theo quy tắc hình hộp ta có:
Lại có
mà
Suy ra
Trong không gian
, cho tọa độ ba điểm
. Tọa độ trọng tâm
của tam giác
là:
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC bằng:
Vậy trọng tâm G tìm được là .
Tứ giác
là hình bình hành biết tọa độ các điểm
. Tìm tọa độ điểm
?
Giả sử điểm ta có
là hình bình hành nên
. Vậy tọa độ điểm
.
Cho tứ diện
. Gọi
theo thứ tự là trung điểm
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:
a)
Sai||Đúng
b)
Đúng||Sai
c)
Sai||Đúng
d)
Đúng||Sai
Cho tứ diện . Gọi
theo thứ tự là trung điểm
và
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Sai||Đúng
b) Đúng||Sai
c) Sai||Đúng
d) Đúng||Sai
a) Vì là trung điểm của
và
nên
và
Nên .
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Do N là trung điểm của CD nên
Cho hình chóp
. Lấy các điểm
lần lượt thuộc các tia
sao cho
trong đó
là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng
đi qua trọng tâm của tam giác
thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra
Khi đó mà
Suy ra
Vì mặt phẳng đi qua trọng tâm của tam giác
suy ra
đồng phẳng.
Do đó tồn tại ba số sao cho
) và
s
Suy ra
Cho tứ diện đều
với
là trung điểm của
. góc giữa hai đường thẳng
có cosin bằng:
Hình vẽ minh họa
Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:
Tương tự
Ta có:
Do đó
Mà nên