Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Câu 1: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ ?

A.
$(2;2;0)$
B.
$(3; - 1;3)$
C.
$(3; - 1;2)$
D.
$(0;0;2)$

Do điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên điểm đó có tọa độ dạng $(x;y;0)$

Suy ra điểm $(2;2;0)$ là đáp án cần tìm.

Câu 2: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2; - 3),B(2;5;7),C( - 3;1;4)$ . Xác định tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?

A.
$D(6;6;0)$
B.
$D\left( 0;\frac{8}{3};\frac{8}{3} ight)$
C.
$D(0;8;8)$
D.
$D( - 4; - 2; - 6)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 = - 3 - x \\ 3 = 1 - y \\ 20 = 4 - z \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ z = - 6 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D( - 4; - 2; - 6)$ .

Câu 3: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ , với $\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ $Ox,Oz$ , hai điểm $B( - 1;2;3),C(1;4;1)$ .

a) $A(3;0; - 1)$ . Đúng||Sai

b) Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Sai||Đúng

c) Điểm $D(a;b;c)$ là điểm đối xứng của với $A$ qua $B$ . Khi đó $a + b + c = 6$ . Đúng||Sai

d) Điểm $M(m;n;p)$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $2m - n + 2024p = 0$ . Đúng||Sai

a) Đúng: Vì $\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k}$ nên $A(3;0; - 1)$ .

b) Sai: Ta có $\overrightarrow{AB} = (4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2)$ .

Vì $4:2:4 eq - 2:4:2$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương suy ra $A,B,C$ không thẳng hàng.

c) Đúng

Vì $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\ y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\ z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\ \end{matrix} ight.$ suy ra $D( - 5;4;7)$ .

Do đó $a = - 5,b = 4,c = 7$ . Vậy $a + b + c = 6$ .

d) Đúng. Gọi $I(x;y;z)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\ 0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\ - 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.$

$MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$=(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})$

$= 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$

Do $IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}$ không thay đổi nên $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất hay $M$ là hình chiếu của điểm $I$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ .

Do đó $M(1;2;0)$ suy ra $m=1,n=2,p=0$ .

Vậy $2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 = 0$ .

Câu 4: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có $A(1;0;0),B(0;0;1),C(2;1;1)$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ ?

A.
$\frac{\sqrt{11}}{2}$
B.
$\frac{\sqrt{7}}{2}$
C.
$\frac{\sqrt{6}}{2}$
D.
$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1;0;1) \\ \overrightarrow{AC} = (1;1;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = ( - 1).1 + 0.1 + 1.1 = 0$

Suy ra $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{AC}$ . Lại có: $\left\{ \begin{matrix} \left| \overrightarrow{AB} ight| = \sqrt{2} \\ \left| \overrightarrow{AC} ight| = \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra diện tích tam giác $ABC$ là: $S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Câu 5: Nhận biết

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ ?

A.
$45^{0}$
B.
$90^{0}$
C.
$30^{0}$
D.
$60^{0}$

Hình vẽ minh họa

Vì $\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}$ ( $AEGC$ là hình chữ nhật) nên $\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{EG} ight) = \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = \widehat{BAC} = 45^{0}$ ( $AEGC$ là hình vuông)

Câu 6: Nhận biết

Trong không gian cho tứ diện đều $ABCD$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.
$\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$
B.
$\overrightarrow{AC}\bot\overrightarrow{BC}$
C.
$\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{BC}$
D.
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$

Tứ diện $ABCD$ đều nên $\overrightarrow{AD}$ không thể vuông góc với $\overrightarrow{DC}$ .

Vậy khẳng định sai là: “ $\overrightarrow{AD}\bot\overrightarrow{DC}$ ”.

Câu 7: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(5;1;5),B(4;3;2),C( - 3; - 2;1)$ và điểm $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $H = a + 2b + c$ ?

A.
$H = 1$
B.
$H = 3$
C.
$H = 6$
D.
$H = - 9$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1;2; - 3) \\ \overrightarrow{BC} = ( - 7; - 5; - 1) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 0$ nên tam giác ABC vuông tại B

Suy ra tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC.

$\Rightarrow I\left( 1; - \frac{1}{2};3ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = - \dfrac{1}{2} \\c = 3 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow H = a + 2b + c = 3$

Vậy đáp án cần tìm là $H = 3$

Câu 8: Vận dụng

Trong không gian cho tam giác $ABC$ . Tìm $M$ sao cho giá trị của biểu thức $P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất?

A.
$M$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .
B.
$M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .
C.
$M$ là trực tâm tam giác $ABC$ .
D.
$M$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Suy ra G cố định và $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$

$P = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}$

$P = \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} ight)^{2} + \left( \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} ight)^{2}$

$P = 3{\overrightarrow{MG}}^{2} + 2\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight)^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$

$P = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2} \geq GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$

Dấu “=” xảy ra khi $M \equiv G$

Vậy $P_{\min} = GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$ với $M \equiv G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ .

Câu 9: Nhận biết

Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Hỏi bốn vectơ nào có giá cùng thuộc một mặt phẳng?

A.
$\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC'}$
B.
$\overrightarrow{A'D};\overrightarrow{AA'};\overrightarrow{A'D'};\overrightarrow{DD'}$
C.
$\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}$
D.
$\overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA'}$

Hình vẽ minh họa

Từ hình vẽ ta thấy các vectơ $\overrightarrow{A'D};\overrightarrow{AA'};\overrightarrow{A'D'};\overrightarrow{DD'}$ có giá cùng thuộc một mặt phẳng $(AA'D'D)$ .

Câu 10: Thông hiểu

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Đáp án là:

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}\ \ \ \ (t\mathbb{\in R}) ight.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (a; - 2)$ .

Đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = (4; - 3)$ .

Ta có:

$\cos\varphi = |cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|$

$\Leftrightarrow cos45^{0} = \frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|4a + 6|}{5\sqrt{a^{2} + 4}}$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{a^{2} + 4} = \sqrt{2}|4a + 6|$

$\Leftrightarrow 25a^{2} + 100 = 32a^{2} + 96a + 72$

$\Leftrightarrow 7a^{2} + 96a - 28 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{2}{7} \\a = - 14 \\\end{matrix}. ight.$

Vậy tích tất cả các giá trị của tham số a bằng -4.

Câu 11: Thông hiểu

Cho tứ diện đều $ABCD$ . Số đo giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng:

A.
$45^{0}$
B.
$90^{0}$
C.
$30^{0}$
D.
$60^{0}$

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.\left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} ight) = \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$

Suu ra $\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD}$ nên số đo góc giữa hai đường thẳng $AB;CD$ bằng $90^{0}$ .

Câu 12: Nhận biết

Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ . Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{BD}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AA_{1}}$ ?

A.
$\overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}$
B.
$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}$
C.
$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}$
D.
$\overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AA_{1}}$

Hình vẽ minh họa

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{BD} = - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + 0.\overrightarrow{AA_{1}}$

Câu 13: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1;3; - 2);\overrightarrow{v} = (2;1; - 1)$ . Vectơ $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}$ có tọa độ là:

A.
$(3;4; - 3)$
B.
$( - 1;2; - 3)$
C.
$( - 1;2 - 1)$
D.
$(1; - 2;1)$

Ta có: $\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = (1 - 2;3 - 1; - 2 + 1) = ( - 1;2; - 1)$

Vậy đáp án cần tìm là $( - 1;2 - 1)$ .

Câu 14: Thông hiểu

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0$ và $\left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0$

a) Vectơ có tọa độ $(1\ ;\ 2\ ;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ . Sai||Đúng

b) Vectơ có toạ độ $( - 2;\ 1\ ;\ 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{2} ight)$ . Đúng||Sai

c) Côsin của góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1)$ và ${\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ bằng $- \frac{1}{6}$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ và $\left( P_{2} ight)$ bằng $100{^\circ}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight):x + 2y - z - 5 = 0$ và $\left( P_{2} ight): - 2x + y + z - 4 = 0$

a) Vectơ có tọa độ $(1\ ;\ 2\ ;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ . Sai||Đúng

b) Vectơ có toạ độ $( - 2;\ 1\ ;\ 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P_{2} ight)$ . Đúng||Sai

c) Côsin của góc giữa hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_{1} = (1;\ 2\ ;\ - 1)$ và ${\overrightarrow{n}}_{2} = ( - 2\ ;\ 1\ ;\ 1)$ bằng $- \frac{1}{6}$ . Đúng||Sai

d) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P_{1} ight)$ và $\left( P_{2} ight)$ bằng $100{^\circ}$ . Sai||Đúng

a) $\overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = (1;2; - 1)$ nên mệnh đề sai

b) $\overrightarrow{n_{\left( P_{1} ight)}} = ( - 2;1;1)$ nên mệnh đề đúng

c) $\cos\left( \overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}} ight) = \frac{1.( - 2) + 2.1 + ( - 1)1}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = - \frac{1}{6}$ mệnh đề đúng

d) Góc hai mặt phẳng không thể tù nên mệnh đề sai

Câu 15: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{u} = (1;2;3)$ và $\overrightarrow{v} = ( - 5;1;1)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{u} =\overrightarrow{v}$
B.
$\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}$
C.
$\left| \overrightarrow{u} ight| =\left| \overrightarrow{v} ight|$
D.
$\overrightarrow{u}//\overrightarrow{v}$

Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 1.( - 5) +2.1 + 3.1 = 0 \Rightarrow\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}$

Vậy khẳng định đúng là $\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}$

Câu 16: Thông hiểu

Cho hình hộp $ABCD.EFGH$ . Gọi $I$ là tâm hình bình hành $ABEF$ và $K$ là tâm của hình bình hành $BCGF$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{BD};\overrightarrow{AK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
B.
$\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
C.
$\overrightarrow{BD};\overrightarrow{EK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.
D.
$\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{GC}$ đồng phẳng.

Hình vẽ minh họa

Vì I; K lần lượt là trung điểm của AF và CF suy ra IK là đường trung bình tam giác AFC suy ra IK // AC => IK // (ABCD)

Mà GF // (ABCD); $BD \subset (ABCD)$ suy ra $\overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng.

Câu 17: Thông hiểu

Cho tứ diện $ABCD$ và điểm $G$ thỏa mãn $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ ( $G$ là trọng tâm của tứ diện). Gọi $G_{0}$ là giao điểm của $GA$ và mặt phẳng $(BCD)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
$\overrightarrow{GA} = - 2\overrightarrow{G_{0}G}$
B.
$\overrightarrow{GA} = 4\overrightarrow{G_{0}G}$
C.
$\overrightarrow{GA} = 3\overrightarrow{G_{0}G}$
D.
$\overrightarrow{GA} = 2\overrightarrow{G_{0}G}$

Hình vẽ minh họa

Vì $G_{0}$ là giao điểm của $GA$ và mặt phẳng $(BCD)$ suy ra $G_{0}$ là trọng tâm tam giác $BCD$ suy ra $\overrightarrow{G_{0}B} + \overrightarrow{G_{0}C} + \overrightarrow{G_{0}D} = \overrightarrow{0}$

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GG_{0}} + \overrightarrow{G_{0}B} + \overrightarrow{G_{0}C} + \overrightarrow{G_{0}D} = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GG_{0}} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GA} = 3\overrightarrow{G_{0}G}$

Câu 18: Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\Delta ABC$ có $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ . Tính $(a + b + c).19$ .

Đáp án: -17||- 17

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\Delta ABC$ có $A(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ . Tính $(a + b + c).19$ .

Đáp án: -17||- 17

Ta có $\overrightarrow{AH} = (a;b;c - 1),\overrightarrow{BC} = (3;3; - 1),\overrightarrow{BH} = (a + 1;b + 2;c)$ .

Vì $H$ là chân đường cao nên ta có

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{BC} \\\overrightarrow{BH} = k\overrightarrow{BC} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3a + 3b - (c - 1) = 0 \\\dfrac{a + 1}{3} = \dfrac{b + 2}{3} = \dfrac{c}{- 1} = k \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3k - 1 \\ b = 3k - 2 \\ c = - k \\ \end{matrix} ight.$ và $3(3k - 1) + 3(3k - 2) - ( - k - 1) = 0 \Leftrightarrow k = \frac{8}{19}$ .

Do đó $H\left( \frac{5}{19}; - \frac{14}{19}; - \frac{8}{19} ight)$

Vậy $\left( \frac{5}{19} - \frac{14}{19} - \frac{8}{19} ight).19 = - 17$ .

Câu 19: Nhận biết

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Điểm $M$ xác định bởi công thức $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.
$M \equiv G$
B.
$M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$
C.
$G$ là trung điểm của $AM$
D.
$M$ là trung điểm của $AG$

Do G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AG}$

Vậy mệnh đề đúng là “ $M$ thuộc tia $AG$ và $AM = 3AG$ ”.

Câu 20: Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; - 5;7)$ . Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tọa độ của điểm $A$ là $(2; - 1;5)$ . Đúng||Sai

b) Gọi $C(a;b;c)$ thỏa mãn $∆ABC$ nhận $G(1;1;1)$ làm trọng tâm. Khi đó $a + b + c = - 4$ . Đúng||Sai

c) Nếu $A;B;M(x;y;1)$ thẳng hàng thì tổng $x + y = 3$ . Đúng||Sai

d) Cho $N \in (Oxy)$ để $∆ABN$ vuông cân tại $A$ . Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; - 5;7)$ . Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

a) Tọa độ của điểm $A$ là $(2; - 1;5)$ . Đúng||Sai

b) Gọi $C(a;b;c)$ thỏa mãn $∆ABC$ nhận $G(1;1;1)$ làm trọng tâm. Khi đó $a + b + c = - 4$ . Đúng||Sai

c) Nếu $A;B;M(x;y;1)$ thẳng hàng thì tổng $x + y = 3$ . Đúng||Sai

d) Cho $N \in (Oxy)$ để $∆ABN$ vuông cân tại $A$ . Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

a) Ta có:

Tọa độ của điểm $A$ là $(2; - 1;5)$ .

b) G là trọng tâm tam giác ABC

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{2 + 5 + x_{C}}{3} \\1 = \dfrac{- 1 - 5 + y_{C}}{3} \\1 = \dfrac{5 + 7 + x_{C}}{3} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{C} = - 4 \\y_{C} = 9 \\x_{C} = - 9 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C( - 4;9; - 9)$

$\Rightarrow a + b + c = - 4$

c) Ta có: $\overrightarrow{AB} = (3; - 4;2);\overrightarrow{AC} = (x - 2;y + 1; - 4)$

Ba điểm A, B, M thằng hàng khi và chỉ khi

$\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 2 = 3k \\ y + 1 = k.( - 4) \\ - 4 = k.2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 7 \\ k = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $x + y = 3$

d) Ta có: $N \in (Oxy) \Rightarrow N = (x;y;0)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AN} = (x - 2;y + 1; - 5),\overrightarrow{AB} = (3; - 4;2)$

Ta có ∆ABN vuông cân tại A $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} AN\bot AB(*) \\ AN = AB(**) \\ \end{matrix} ight.$

Từ (*) $\Leftrightarrow \overrightarrow{AN}\bot\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow 3(x - 2) - 4(y + 1) - 10 = 0$

$\Leftrightarrow 3x - 4y = 20 \Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x - 5$

Từ (**) $AN^{2} = AB^{2} \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + 25 = 9 + 16 + 4$

$\Leftrightarrow (x - 2)^{2} + \left( \frac{3x}{4} - 4 ight)^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \frac{16}{5}$

$\Rightarrow y = - \frac{13}{5} \Rightarrow N\left( \frac{16}{5}; - \frac{13}{5};0 ight)$

Vậy $x_{N} + y_{N} = \frac{3}{5}$

Câu 21: Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $\overrightarrow{u}$ là một vecto tùy ý khác $\overrightarrow{0}$ .

Tính $T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

Đáp án: 1

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $\overrightarrow{u}$ là một vecto tùy ý khác $\overrightarrow{0}$ .

Tính $T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

Đáp án: 1

Giả sử $\overrightarrow{u} = (x,y,z)$ .

Ta có $\overrightarrow{i}(1,0,0);\overrightarrow{j}(0,1,0);\overrightarrow{k}(0,0,1)$

$cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

$= \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2}$

$= \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 1$

Vậy $T = 1$

Câu 22: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 2;3;1),B(4;2; - 1),C(5; - 2;0)$ . Điểm $D(a;b;c)$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ABCD$ . Khi đó giá trị biểu thức $H = 2a + b + c$ có giá trị bằng bao nhiêu?

A.
$H = 0$
B.
$H = 1$
C.
$H = - 1$
D.
$H = 2$

Gọi tọa độ điểm $D(a;b;c)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (6; - 1; - 2) \\ \overrightarrow{DC} = (5 - a; - 2 - b; - c) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $ABCM$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5 - a = 6 \\ - 2 - b = - 1 \\ - c = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ c = 2 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra điểm $D( - 1; - 1;2)$

Khi đó $H = 2a + b + c = 2.( - 1) - 1 + 2 = - 1$ .

Câu 23: Thông hiểu

Cho điểm $M$ chia đoạn thẳng $AB$ theo tỉ số $k;(k eq 1)$ thì ta có: $\overrightarrow{MA} = k.\overrightarrow{MB}$ . Khi đó với một điểm $O$ tùy ý ta có:

A.
$\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + k.\overrightarrow{OB}}{1 - k}$
B.
$\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} - k.\overrightarrow{OB}}{1 + k}$
C.
$\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + k.\overrightarrow{OB}}{1 + k}$
D.
$\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} - k.\overrightarrow{OB}}{1 - k}$

Ta có:

$\overrightarrow{MA} = k.\overrightarrow{MB} \Rightarrow \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} = k.\left( \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB} ight)$

$\Rightarrow (1 - k)\overrightarrow{MO} = k.\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MO} = \frac{k.\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}}{1 - k} \Rightarrow \overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} - k.\overrightarrow{OB}}{1 - k}$

Câu 24: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;2;3),B(2; - 1;5),C(3;2; - 1)$ . Biết rằng tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm $D$ là:

A.
$D(2;6;8)$
B.
$D(0;0;8)$
C.
$D(2;6; - 4)$
D.
$D(4; - 2;4)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = 3 - 2 \\ y - 3 = 2 + 1 \\ z - 2 = - 1 - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 6 \\ z = - 4 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(2;6; - 4)$ .

Câu 25: Vận dụng

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tọa độ các điểm $A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3)$ . Giả sử điểm $C'(a;b;c)$ . Tính giá trị biểu thức $T=a+b+2c$ ?

A.
$T=0$
B.
$T=25$
C.
$T=12$
D. $T=-11$

Gọi điểm $C'(x;y;z)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.$

Mà $\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'}$ $\Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow C'(13;4;4)$ suy ra $a=13;b=4;c=4$

Vậy $T=25$

Câu 26: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1;2;1);\overrightarrow{b} = ( - 1;3;0)$ . Vectơ $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ có tọa độ là:

A.
$\overrightarrow{c} = (1;7;2)$
B.
$\overrightarrow{c} = (1;5;2)$
C.
$\overrightarrow{c} = (3;7;2)$
D.
$\overrightarrow{c} = (1;7;3)$

Ta có: $2\overrightarrow{a} = (2;4;2)$ . Khi đó $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left( 2 + ( - 1);4 + 3;2 + 0 ight) = (1;7;2)$

Vậy $\overrightarrow{c} = (1;7;2)$

Câu 27: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , điểm đối xứng của điểm $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ có tọa độ là

A.
$(1; - 2; - 3)$ .
B.
$(1;0;0)$ .
C.
$(0;2;3)$ .
D.
$( - 1; - 2; - 3)$ .

Gọi $M'$ là điểm đối xứng của $M(1;2;3)$ qua trục $Ox$ .

Hình chiếu vuông góc của $M(1;2;3)$ lên trục $Ox$ là $H(1;0;0)$

Khi đó $H(1;0;0)$ là trung điểm của $M'M$ . Do đó tọa độ của $M'$ là $(1; - 2; - 3)$

Câu 28: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2; - 1),B(2; - 1;3),C( - 4;7;5)$ . Gọi $D(a;b;c)$ là chân đường phân giác trong của góc $B$ trong tam giác $ABC$ . Tính giá trị biểu thức $W = a + b + 2c$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 29: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j}$ . Tìm tọa độ của $\overrightarrow{u}$ là.

A.
$(1; - 1;2)$ .
B.
$(1;1; - 2)$ .
C.
$(1;1;2)$ .
D.
$(1; - 2;1)$ .

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{i} = (1;0;0) \\ \overrightarrow{k} = (0;0;1) \\ \overrightarrow{j} = (0;1;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{k} + \overrightarrow{j} = (1;1; - 2)$

Câu 30: Thông hiểu

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;1)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành?

A.
$D(2;0;0)$
B.
$D(1;1;1)$
C.
$D(0;0;1)$
D.
$D(0;2;1)$

Giả sử điểm $D(x;y;z)$ ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 = - 1 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 \\ \end{matrix} ight.$ . Vậy tọa độ điểm $D(0;0;1)$ .

Câu 31: Thông hiểu

Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{BD}$ và $\ \overrightarrow{B'C}$ bằng

A.
$30{^\circ}$ .
B.
$45{^\circ}$ .
C.
$60{^\circ}$ .
D.
$90{^\circ}$ .

Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{BD}\ = \ \ \overrightarrow{B'D'}$ . Do đó,

$\left( \overrightarrow{BD}\ ,\ \overrightarrow{B'C} ight)\ = \ \left( \overrightarrow{B'D'}\ ,\ \overrightarrow{B'C} ight)\ = \widehat{\ D'B'C}$

Vì $B'C\ = \ CD'\ = \ D'B'$ nên tam giác $B'CD'$ là tam giác đều.

Suy ra $\widehat{\ D'B'C}\ = \ 60{^\circ}$

Vậy $\left( \overrightarrow{BD}\ ,\ \overrightarrow{B'C} ight)\ = \ 60{^\circ}$

Câu 32: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho vectơ $\overrightarrow{a} = (2;3;2);\overrightarrow{b} = (1;1; - 1)$ . Khi đó tọa độ vectơ $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ là:

A.
$(3;4;1)$
B.
$( - 1; - 2;3)$
C.
$(3;5;1)$
D.
$(1;2;3)$

Ta có:

$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (2 - 1;3 - 1;2 + 1) = (1;2;3)$

Câu 33: Thông hiểu

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $M(2;3; - 1),N( - 1;1;1),P(1;m - 1;2)$ . Tìm giá trị của tham số $m$ để tam giác $MNP$ vuông tại $N$ ?

A.
$m = 2$
B.
$m = - 6$
C.
$m = 0$
D.
$m = - 4$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = ( - 3; - 2;2) \\ \overrightarrow{NP} = (2;m - 2;1) \\ \end{matrix} ight.$ .

Tam giác MNP vuông tại N $\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NP} = 0 \Leftrightarrow - 6 - 2(m - 2) + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 0$

Vậy đáp án cần tìm là $m = 0$ .

Câu 34: Vận dụng cao

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm $M$ thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB;AC;AD$ đôi một vuông góc với nhau. Cho điểm $M$ thay đổi trong không gian. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P =\sqrt{3}MA + MB + MC + MD$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 35: Thông hiểu

Trong không gian cho điểm $O$ và bốn điểm $A;B;C;D$ không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để $A;B;C;D$ tạo thành hình bình hành là:

A.
$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$
B.
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$
C.
$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$
D.
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$

Để $A;B;C;D$ tạo thành hình bình thành thì $\left\lbrack \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \\ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó:

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$ , O là trọng tâm tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD. (Loại).

$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{CA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$ (Loại)

$\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$ (loại)

Vậy đáp án cần tìm là $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$ .

Câu 36: Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh $AB = a, AD = 2a$ , cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{0}$ . Sai||Đúng

c) Tích vô hướng của $\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB}$ bằng $\frac{a^{2}}{2}$ . Đúng||Sai

d) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN}$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh $AB = a, AD = 2a$ , cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, cùng hướng. Sai||Đúng

b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{0}$ . Sai||Đúng

c) Tích vô hướng của $\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB}$ bằng $\frac{a^{2}}{2}$ . Đúng||Sai

d) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN}$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Sai||Đúng

a) Sai

Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên $AB//CD$

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

b) Sai

Ta có ABCD là hình chữ nhật nên $AC = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = a\sqrt{5}$

Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

Suy ra $\tan\widehat{SAC} = \frac{SA}{SC} = \frac{2a}{a\sqrt{5}} \Rightarrow \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'$

Ta có: $\left( \overrightarrow{SC};\overrightarrow{AC} ight) = \left( \overrightarrow{CS};\overrightarrow{CA} ight) = \widehat{SAC} \approx 41^{0}48'$

c) Đúng

Hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

Suy ra $SB = \sqrt{SA^{2} + AB^{2}} = a\sqrt{5}$

Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên:

$AM = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Lại có M là trung điểm của SB nên $MB = \frac{1}{2}SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Ta tính được $\cos MAB = \frac{MA^{2} + AB^{2} - MB^{2}}{2MA.AB} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Mà $\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \widehat{MAB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB} = \left| \overrightarrow{AM} ight|.\left| \overrightarrow{AB} ight|.cos\left( \overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB} ight) = \frac{a\sqrt{5}}{2}.a.\frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{a^{2}}{2}$

d) Sai

Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD

Do đó $MN = \frac{1}{2}BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Suy ra $\left| \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} ight| = \left| \overrightarrow{MN} ight| = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Câu 37: Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ . Biết rằng tọa độ các điểm $A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c)$ và hình thang $ABCD$ có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Tính giá trị biểu thức $a+b+c$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ . Biết rằng tọa độ các điểm $A(1;2;1),B(2;0; - 1),C(6;1;0),D(a;b;c)$ và hình thang $ABCD$ có diện tích bằng $6\sqrt{2}$ . Tính giá trị biểu thức $a+b+c$ ?

Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Câu 38: Nhận biết

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;3)$ . Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục $Ox$ .

A.
$(2;0;0)$ .
B.
$(1;0;0)$ .
C.
$(3;0;0)$ .
D.
$(0;2;3)$ .

Tọa độ hình chiếu của điểm M trên trục Ox là $(1;0;0)$

Câu 39: Vận dụng

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2,5$ km về phía bắc và $1$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,7$ km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí $B$ cách điểm xuất phát $1,5$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5$ km.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $(1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5)$ . Sai||Đúng

b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá $5$ km. Đúng||Sai

c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ $(3\ ;\ 1\ ;\ - 1)$ . Đúng||Sai

a) Sai

Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là $( - 1,5\ ;\ - 1\ ;\ 0,5)$ .