Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 2. Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (2; - 2; - 4)\overrightarrow{b} = (1; - 1;1). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Ta có: \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} = (3; - 3; - 3) đúng

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{a} = 2(1; - 1; - 2) \\
\overrightarrow{b} = (1; - 1;1) \\
\end{matrix} ight. suy ra Hai vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} không cùng phương.

    Vậy mệnh đề sai là: “Hai vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} cùng phương”.

  • Câu 2: Nhận biết

    Trong không gian cho hai đường thẳng a;b lần lượt có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}. Gọi \alpha là góc giữa hai đường thẳng a;b. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Khẳng định đúng: “Nếu a\bot b thì \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =
\overrightarrow{0}”.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hai điểm A(5;1;3)H(3; - 3; - 1). Tọa độ điểm A' đối xứng với A qua H là:

    Vì điểm A' đối xứng với A qua H nên H là trung điểm của AA'

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
x_{A'} = 2x_{H} - x_{A} = 1 \\
y_{A'} = 2y_{H} - y_{A} = - 7 \\
z_{A'} = 2z_{H} - z_{A} = 5 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow A'(1; - 7; - 5)

  • Câu 4: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz , cho vectơ \overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; -
5;7). Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ của điểm A(2; - 1;5). Đúng||Sai

    b) Gọi C(a;b;c) thỏa mãn ∆ABC nhận G(1;1;1) làm trọng tâm. Khi đó a + b +
c = - 4 . Đúng||Sai

    c) Nếu A;B;M(x;y;1) thẳng hàng thì tổng x + y = 3 . Đúng||Sai

    d) Cho N \in (Oxy) để ∆ABN vuông cân tại A. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz , cho vectơ \overrightarrow{OA} = (2; - 1;5),B(5; -
5;7). Xét sự đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Tọa độ của điểm A(2; - 1;5). Đúng||Sai

    b) Gọi C(a;b;c) thỏa mãn ∆ABC nhận G(1;1;1) làm trọng tâm. Khi đó a + b +
c = - 4 . Đúng||Sai

    c) Nếu A;B;M(x;y;1) thẳng hàng thì tổng x + y = 3 . Đúng||Sai

    d) Cho N \in (Oxy) để ∆ABN vuông cân tại A. Tổng hoành độ và tung độ của điểm N bằng 3. Sai||Đúng

    a) Ta có:

    Tọa độ của điểm A(2; - 1;5).

    b) G là trọng tâm tam giác ABC

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}1 = \dfrac{2 + 5 + x_{C}}{3} \\1 = \dfrac{- 1 - 5 + y_{C}}{3} \\1 = \dfrac{5 + 7 + x_{C}}{3} \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{C} = - 4 \\y_{C} = 9 \\x_{C} = - 9 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow C( - 4;9; - 9)

    \Rightarrow a + b + c = - 4

    c) Ta có: \overrightarrow{AB} = (3; -
4;2);\overrightarrow{AC} = (x - 2;y + 1; - 4)

    Ba điểm A, B, M thằng hàng khi và chỉ khi

    \overrightarrow{AM} =
k\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 2 = 3k \\
y + 1 = k.( - 4) \\
- 4 = k.2 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 4 \\
y = 7 \\
k = - 2 \\
\end{matrix} ight.

    Suy ra x + y = 3

    d) Ta có: N \in (Oxy) \Rightarrow N =
(x;y;0)

    \Rightarrow \overrightarrow{AN} = (x -
2;y + 1; - 5),\overrightarrow{AB} = (3; - 4;2)

    Ta có ∆ABN vuông cân tại A \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
AN\bot AB(*) \\
AN = AB(**) \\
\end{matrix} ight.

    Từ (*) \Leftrightarrow
\overrightarrow{AN}\bot\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow 3(x - 2) -
4(y + 1) - 10 = 0

    \Leftrightarrow 3x - 4y = 20
\Leftrightarrow y = \frac{3}{4}x - 5

    Từ (**) AN^{2} = AB^{2} \Leftrightarrow
(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + 25 = 9 + 16 + 4

    \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + \left(
\frac{3x}{4} - 4 ight)^{2} = 4 \Leftrightarrow x =
\frac{16}{5}

    \Rightarrow y = - \frac{13}{5}
\Rightarrow N\left( \frac{16}{5}; - \frac{13}{5};0 ight)

    Vậy x_{N} + y_{N} =
\frac{3}{5}

  • Câu 5: Vận dụng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} -
\overrightarrow{k}, với \overrightarrow{i},\overrightarrow{k} là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ Ox,Oz, hai điểm B( - 1;2;3),C(1;4;1).

    a) A(3;0; - 1). Đúng||Sai

    b) Ba điểm A,B,C thẳng hàng. Sai||Đúng

    c) Điểm D(a;b;c) là điểm đối xứng của với A qua B. Khi đó a +
b + c = 6. Đúng||Sai

    d) Điểm M(m;n;p) trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2m - n + 2024p = 0. Đúng||Sai

    a) Đúng: Vì \overrightarrow{OA} =
3\overrightarrow{i} - \overrightarrow{k} nên A(3;0; - 1).

    b) Sai: Ta có \overrightarrow{AB} =
(4;2;4),\overrightarrow{AC} = ( - 2;4;2).

    4:2:4 eq - 2:4:2 nên \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} không cùng phương suy ra A,B,C không thẳng hàng.

    c) Đúng

    D là điểm đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AD.

    Ta có \left\{ \begin{matrix}
x_{D} = 2x_{B} - x_{A} = - 5 \\
y_{D} = 2y_{B} - y_{A} = 4 \\
z_{D} = 2z_{B} - z_{A} = 7. \\
\end{matrix} ight. suy ra D( -
5;4;7).

    Do đó a = - 5,b = 4,c = 7. Vậy a + b + c = 6.

    d) Đúng. Gọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} =
\overrightarrow{0}.

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix}
3 - x - 1 - x + 1 - x = 0 \\
0 - y + 2 - y + 4 - y = 0 \\
- 1 - z + 3 - z + 1 - z = 0 \\
\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 2 \\
z = 1 \\
\end{matrix} \Rightarrow I(1;2;1) ight.

    MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}

    =(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IB})^{2} + (\overrightarrow{MI} +\overrightarrow{IC})^{2}

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} +2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +\overrightarrow{IC})

    = 3MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2}

    Do IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} không thay đổi nên MA^{2} + MB^{2} +
MC^{2} nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (Oxy).

    Do đó M(1;2;0) suy ra m=1,n=2,p=0.

    Vậy 2m - n + 2024p = 2 - 2 + 0 =
0.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tọa độ các điểm A(0;1;3),B( - 1;2;1),B'( -
2;1;0). Xác định tọa độ điểm A'?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi tọa độ điểm A'(x;y;z)

    ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên

    \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{BB'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 0 = - 2 - ( - 1) \\
y - 1 = 1 - 2 \\
z - 3 = 0 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - 1 \\
y = 0 \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.

    Vậy tọa độ A'( - 1;0;2)

  • Câu 7: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{x} = (2;1; - 3);\overrightarrow{y}
= (1;0; - 1). Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} +
2\overrightarrow{y}?

    Ta có: 2\overrightarrow{y} = (2;0; -
2). Khi đó \overrightarrow{a} =
\overrightarrow{x} + 2\overrightarrow{y} = (2 + 2;1 + 0; - 3 - 2) =
(4;1; - 5).

    Vậy \overrightarrow{a} = (4;1; -
5)

  • Câu 8: Thông hiểu

    Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Góc giữa hai vectơ \overrightarrow{BD}\ \overrightarrow{B'C} bằng

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{BD}\  = \ \
\overrightarrow{B'D'}. Do đó,

    \left( \overrightarrow{BD}\ ,\
\overrightarrow{B'C} ight)\  = \ \left(
\overrightarrow{B'D'}\ ,\ \overrightarrow{B'C} ight)\  =
\widehat{\ D'B'C}

    B'C\  = \ CD'\  = \
D'B'nên tam giác B'CD'là tam giác đều.

    Suy ra \widehat{\ D'B'C}\  = \
60{^\circ}

    Vậy \left( \overrightarrow{BD}\ ,\
\overrightarrow{B'C} ight)\  = \ 60{^\circ}

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}. Gọi điểm I \in CC' sao cho \overrightarrow{C'I} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{C'C}, G là trọng tâm tứ diện BAB'C'. Biểu diễn vectơ \overrightarrow{IG} qua các vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}. Đáp án nào dưới đây đúng?

    Ta có G là trọng tâm của tứ diện BA'B'C' nên

    4\overrightarrow{IG} =
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IA'} +
\overrightarrow{IB'} + \overrightarrow{IC'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} =
\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{CB} ight) + \left(
\overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'A'} ight) +
\left( \overrightarrow{IC'} + \overrightarrow{C'B'} ight)
+ \overrightarrow{IC'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} =
\overrightarrow{IC'} + \left( 2\overrightarrow{IC'} +
\overrightarrow{IC} ight) + \left( \overrightarrow{CB} +
\overrightarrow{C'B'} ight) +
\overrightarrow{C'A'}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{0} +
2\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{AA'} + 2\overrightarrow{CB} -
\overrightarrow{AC}

    \Leftrightarrow 4\overrightarrow{IG} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{a} + 2\left( \overrightarrow{b} -
\overrightarrow{c} ight) - \overrightarrow{c}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{IG} =
\frac{1}{4}\left( \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -
2\overrightarrow{c} ight)

  • Câu 10: Nhận biết

    Gọi O là tâm của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Theo quy tắc hình hộp ta có: \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}

    O là trung điểm của AC' suy ra \overrightarrow{AO} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{AC'} = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}
ight)

  • Câu 11: Vận dụng

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tọa độ các điểm A( -3;0;0),B(0;2;0),D(0;0;1),A'(1;2;3). Giả sử điểm C'(a;b;c). Tính giá trị biểu thức T=a+b+2c?

    Gọi điểm C'(x;y;z)

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AB} = (3;2;0) = 3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 0.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AD} = (3;0;1) = 3.\overrightarrow{i} +0.\overrightarrow{j} + 1.\overrightarrow{k} \\\overrightarrow{AA'} = (4;2;3) = 4.\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \\\end{matrix} ight.

    \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} =\overrightarrow{AC'} \Rightarrow \overrightarrow{AC'} =10\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k}

    Suy ra \left\{ \begin{matrix}x = 10 + 3 \\y = 4 - 0 \\z = 4 - 0 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow C'(13;4;4) suy ra a=13;b=4;c=4

    Vậy  T=25

  • Câu 12: Vận dụng

    Gọi M;N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC;BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn MNP là một điểm bất kì trong không gian. Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức vectơ \overrightarrow{PI} =
k.\left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}
+ \overrightarrow{PD} ight)?

    Hình vẽ minh họa

    M;N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC;BD nên ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM} \\
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = 2\overrightarrow{IN} \\
\end{matrix} ight..

    Mặt khác \overrightarrow{IM} +
\overrightarrow{IN} = \overrightarrow{0} (vì I là trung điểm của MN) suy ra \overrightarrow{IA} +
\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} =
\overrightarrow{0}

    Theo bài ra ta có:

    \overrightarrow{PA} +
\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} +
\overrightarrow{PD}

    = 4\overrightarrow{PI} +
\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} +
\overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{PI}

    \Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k =
\frac{1}{4}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho tứ diện đều ABCD với I là trung điểm của AB. góc giữa hai đường thẳng IC;AD có cosin bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử cạnh tứ diện đều bằng a. Khi đó:

    \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}= a^{2}.\cos60^{0} = \frac{a^{2}}{2}

    Tương tự \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD} =
\frac{a^{2}}{2}

    Ta có: \overrightarrow{IC} =
\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AC} -
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}

    Do đó \overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AD} =
\frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4}

    \cos\left(
\overrightarrow{IC};\overrightarrow{AD} ight) =
\frac{\overrightarrow{IC}.\overrightarrow{AD}}{\left|
\overrightarrow{IC} ight|.\left| \overrightarrow{AD} ight|} nên \cos\left(
\overrightarrow{IC};\overrightarrow{AD} ight) =
\frac{a^{2}}{4}:\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2} =
\frac{1}{2\sqrt{3}}

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho tứ diện ABCD. Gọi E;F lần lượt là trung điểm của AD;BC, các điểm M;N lần lượt nằm trên AB;DC sao cho AM = MB;DN = 2NC. Biết biểu diễn \overrightarrow{EF} = m.\overrightarrow{EM} +
n.\overrightarrow{EN}. Tính tổng giá trị m;n?

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \overrightarrow{EF} =
\frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}}{2}

    = \frac{\overrightarrow{AE} +
\overrightarrow{EM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{DE} +
\overrightarrow{EN} + \overrightarrow{NC}}{2}

    = \frac{\overrightarrow{EM} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{EN} +
\overrightarrow{NC}}{2}

    = \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{EN} +\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}}{2}

    = \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{EN} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DN}}{2}

    = \dfrac{\overrightarrow{EM} +\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EM} ight) +\overrightarrow{EN} + \dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{DE} +\overrightarrow{EN} ight)}{2}

    = \dfrac{\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EM} +\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EN}}{2} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{EM} +\frac{3}{4}\overrightarrow{EN}

    Suy ra m = n = \frac{3}{4} \Rightarrow m
+ n = \frac{3}{2}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành hình bình hành. Biết các điểm A(1;0;1),B(2;1;2),D(1; - 1;1). Xác định tọa độ điểm C?

    Giả sử điểm C(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{DC} =
\overrightarrow{AB}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x - 1 = 1 \\
y + 1 = 1 \\
z - 1 = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 0 \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm C(2;0;2).

  • Câu 16: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho tọa độ ba điểm A(1;2;3),B(2;1;5),C(2;4;2). Góc giữa hai đường thẳng ABAC

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AB} = (1; - 1;2) \\
\overrightarrow{AC} = (1;2; - 1) \\
\end{matrix} ight..

    \Rightarrow \cos\left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) =
\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|
\overrightarrow{AB} ight|.\left| \overrightarrow{AC} ight|} =
\frac{1}{2}

    \Rightarrow \left(
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ight) = (AB;AC) =
60^{0}

  • Câu 17: Thông hiểu

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A( - 2;3;1),B(3;0; - 1),C(6;5;0). Biết rằng tứ giác ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là:

    Giả sử điểm D(x;y;z) ta có ABCD là hình bình hành nên \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{DC}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
6 - x = 3 + 2 \\
5 - y = 0 - 3 \\
- z = - 1 - 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 8 \\
z = 2 \\
\end{matrix} ight.. Vậy tọa độ điểm D(1;8;2).

  • Câu 18: Vận dụng

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500;200;8)đến điểm N(800;300;10) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( a;b;\frac{c}{d}
ight), trong đó a,b,c,d \in
\mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d} là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính a + b + c + d?

    Đáp án: 1223

    Đáp án là:

    Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, (đơn vị đo là kilômét), rađa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500;200;8)đến điểm N(800;300;10) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( a;b;\frac{c}{d}
ight), trong đó a,b,c,d \in
\mathbb{N}^{*},\ \ \frac{c}{d} là phân số tối giản. Khi đó, hãy tính a + b + c + d?

    Đáp án: 1223

    Gọi Q(x;y;z) là tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo.

    \overrightarrow{MN} =
(300;100;2)

    \overrightarrow{NQ} = (x - 800;y - 300;z
- 10)

    Do máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và thời gian bay từ M ightarrow N gấp 4 lần thời gian bay từ N ightarrow Q nên MN = 4NQ

    Mặt khác, máy bay giữ nguyên hướng bay nên \overrightarrow{MN}\overrightarrow{NQ} cùng hướng.

    Suy ra \overrightarrow{MN} =
4\overrightarrow{NQ} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
300 = 4(x - 800) \\
100 = 4(y - 300) \\
2 = 4(z - 10) \\
\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 875 \\
y = 325 \\
z = 10,5 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow Q\left( 875;325;\frac{21}{2}
ight)

    Tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là \left( 875;325;\frac{21}{2} ight) \Rightarrow a
= 875,\ \ b = 325,\ \ c = 21,\ \ d = 2.

    Do đó, a + b + c + d = 1223.

  • Câu 19: Vận dụng cao

    Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A';B';C' lần lượt thuộc các tia SA;SB;SC sao cho \frac{SA}{SA'} = a;\frac{SB}{SB'} =
b;\frac{SC}{SC'} = c trong đó a;b;c là các hệ số biến thiên. Để mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC thì tổng các hệ số bằng bao nhiêu?

    Hình vẽ minh họa

    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}

    Khi đó 3\overrightarrow{GS} +
\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} =
\overrightarrow{0}\overrightarrow{SA} =
a\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB} =
b\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC} =
c\overrightarrow{SC'}

    Suy ra 3\overrightarrow{SG} =
a\overrightarrow{SA'} + b\overrightarrow{SB'} +
c\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} =
\frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} +
\frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} +
\frac{c}{3}\overrightarrow{SC'}

    Vì mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC suy ra \overrightarrow{GA'};\overrightarrow{GB'};\overrightarrow{GC'} đồng phẳng.

    Do đó tồn tại ba số l;m;n sao cho l^{2} + m^{2} + n^{2} eq 0) và l\overrightarrow{GA'} +
m\overrightarrow{GB'} + n\overrightarrow{GC'} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow l\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SA'} ight) + m\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SB'} ight) + n\left(
\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{SC'} ight) =
\overrightarrow{0}s

    \Leftrightarrow (l + m +
n)\overrightarrow{SG} = l\overrightarrow{SA'} +
m\overrightarrow{SB'} + n\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{SG} =
\frac{l}{l + m + n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m +
n}\overrightarrow{SB'} + \frac{n}{l + m +
n}\overrightarrow{SC'}

    \Leftrightarrow
\frac{a}{3}\overrightarrow{SA'} +
\frac{b}{3}\overrightarrow{SB'} +
\frac{c}{3}\overrightarrow{SC'} = \frac{l}{l + m +
n}\overrightarrow{SA'} + \frac{m}{l + m + n}\overrightarrow{SB'}
+ \frac{n}{l + m + n}\overrightarrow{SC'}

    Suy ra \frac{a}{3} + \frac{b}{3} +
\frac{c}{3} = \frac{l}{l + m + n} + \frac{m}{l + m + n} + \frac{n}{l + m
+ n} = 1

    \Rightarrow a + b + c = 3

  • Câu 20: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u} = (1; -
4;0);\overrightarrow{v} = ( - 1; - 2;1). Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{u} +
3\overrightarrow{v}?

    Ta có: 3\overrightarrow{v} = ( - 3; -
6;3) do đó \overrightarrow{u} +
3\overrightarrow{v} = ( - 2; - 10;3)

    Vậy đáp án cần tìm là ( - 2; -
10;3).

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho ba vectơ \overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c}. Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?

    Hai vectơ còn lại có thể không cùng phương nên ba vectơ có thể không đồng phẳng.

  • Câu 22: Thông hiểu

    ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm I(3;4;5)là tâm của nguồn phát âm với bán kính 10\ m. Để kiểm tra một điểm ở vị trí\ M(7;10;17) có nhận được cường độ âm phát ra tại I hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí IM. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí IMlà bao nhiêu mét?

    Đáp án: 14 (m)

    Đáp án là:

    ột nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu. Khi gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét). Cường độ âm chuẩn tại điểm I(3;4;5)là tâm của nguồn phát âm với bán kính 10\ m. Để kiểm tra một điểm ở vị trí\ M(7;10;17) có nhận được cường độ âm phát ra tại I hay không người ta sẽ tính khoảng cách giữa hai vị trí IM. Hỏi khoảng cách giữa hai vị trí IMlà bao nhiêu mét?

    Đáp án: 14 (m)

    Ta có

    IM = \sqrt{(7 - 3)^{2} + (10 - 4)^{2} +
(17 - 5)^{2}}

    = \sqrt{4^{2} + 6^{2} + 12^{2}} =
\sqrt{196} = 14 (m).

    Đáp số 14(m).

  • Câu 23: Vận dụng

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Xét tính đúng sai của mỗi khẳng định.

    Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm tại vị trí A cách điểm xuất phát 2,5km về phía bắc và 1km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,7km. Chiếc thứ hai nằm tại vị trí B cách điểm xuất phát 1,5km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5km.

    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai kinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía bắc, trục Oy hướng về phía tây và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo lấy theo kilomet (các kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

    a) Vị trí của khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là (1,5\ ;\ 1\ ;\ 0,5). Sai||Đúng

    b) Hai khinh khí cầu cách nhau không quá 5km. Đúng||Sai

    c) Khinh khí cầu thứ nhất ở gần điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Sai||Đúng

    d) Giả sử một chiếc Flycam được điều khiển xuất phát cùng địa điểm với hai khinh khí cầu và bay thẳng đến vị trí nằm chính giữa hai khinh khí cầu, đồng thời hai khinh khí cầu và chiếc flycam này thẳng hàng với nhau. Khoảng cách bay này của flycam cũng là khoảng cách bay tối đa của flycam. Trong trường hợp này, nếu chiếc flycam này xuất phát từ cùng địa điểm với hai khinh khí cầu sẽ không bay được đến vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1). Đúng||Sai

    a) Sai

    Vì hướng nam ngược với hướng bắc, hướng đông ngược với hướng tây nên chiếc khinh khí cầu thứ hai có tọa độ là ( -
1,5\ ;\  - 1\ ;\ 0,5).

    b) Đúng

    Chiếc khinh khí cầu thứ nhất có tọa độ là (2,5\ ;\ 1\ ;\ 0,7).

    Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

    \sqrt{(2,5 + 1,5)^{2} + (1 + 1)^{2} +
(0,7 + 0,5)^{2}}

    = \frac{2\sqrt{134}}{5} \approx
4,6(km)

    c) Sai

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là:

    \sqrt{2,5^{2} + 1^{2} + 0,7^{2}} =
\frac{3\sqrt{86}}{10} \approx 2,8(km)

    Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là:

    \sqrt{( - 1,5)^{2} + ( - 1)^{2} +
0,5^{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1,9(km)

    Vậy khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn.

    d) Đúng

    Vị trí của chiếc flycam là

    \left( \frac{2,5 - 1,5}{2}\ ;\ \frac{1 -
1}{2}\ ;\ \frac{0,7 + 0,5}{2} ight) = (0,5\ ;\ 0\ ;\
0,6).

    Khoảng cách bay của flycam là:

    \sqrt{0,5^{2} + 0^{2} + 0,6^{2}} =
\frac{\sqrt{61}}{10} \approx 0,8(km)

    Khoảng cách từ vị trí flycam xuất phát đến điểm có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1)

    \sqrt{3^{2} + 1^{2} + ( - 1)^{2}} =
\sqrt{11} \approx 3,3(km) > 0,8(km)

    Vậy flycam không đến được vị trí có tọa độ (3\ ;\ 1\ ;\  - 1).

  • Câu 24: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{a} = - \overrightarrow{i} +
2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k}. Tọa độ vectơ \overrightarrow{a} là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =
(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =
(0;0;1)

    Theo bài ra ta có: \overrightarrow{a} = -
\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k} suy ra tọa độ vectơ \overrightarrow{a} = ( -
1;2; - 3).

  • Câu 25: Nhận biết

    Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{b};\overrightarrow{AC} =
\overrightarrow{c};\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{d}. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    Ta có: \overrightarrow{d} =
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}

    Do đó \overrightarrow{b} -
\overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} =
\overrightarrow{0}

  • Câu 26: Vận dụng

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (91;75;0) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 294,92 km.

    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ O(0; 0; 0), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí A(– 688; – 185; 8), chuyển động theo đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \overrightarrow{u} = (91;75;0) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Tính khoảng cách máy bay và đài kiểm soát tại vị trí H ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

    Đáp án: 294,92 km.

    Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất.

    Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi OH ⊥ d.

    Vì H ∈ d nên H( -688 + 91t ; -185 +75t; 8)

    Ta có \overrightarrow{OH} = ( - 688 +
91t; - 185 + 75t;8)

    OH ⊥ d ⟺ (- 688 + 91t).91 + (- 185 +75t).75 +8.0 =0

    ⟺13906t - 76483 = 0 ⟺ t =
\frac{11}{2}.

    Suy ra H(\frac{-
375}{2};\frac{455}{2};8).

    Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:

    OH = \sqrt{\left( \frac{- 375}{2}
ight)^{2} + \left( \frac{455}{2} ight)^{2} + 8^{2})} \approx
294,92(km).

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho hình hộp ABCD.EFFH. Phân tích nào sau đây đúng?

    Hình vẽ minh họa

    Biến đổi biểu thức

    \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AC}
ight)

    \Leftrightarrow 2\overrightarrow{AE} =
\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{CH}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{AE} +
\left( \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AF} ight) =
\overrightarrow{CH}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CH}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{BE} =
\overrightarrow{CH} (đúng)

    Vậy phân tích đúng là \overrightarrow{AE}
= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AH} -
\overrightarrow{AC} ight).

  • Câu 28: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz. cho điểm M(3; - 1;2). Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (Oyz)?

    Lấy đối xứng qua mặt phẳng (Oyz) thì x đổi dấu còn y;z giữ nguyên nên điểm N có tọa độ là N( - 3; - 1;2).

  • Câu 29: Vận dụng

    Trong không gian Oxyz cho hai điểm M(2;3; - 1),N( - 1;1;1). Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

    a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

    b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là ( - 4; - 1;3). Đúng||Sai

    c) Cho P(1;m - 1;3), tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn T = \left|
3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2a + b + c = 9. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz cho hai điểm M(2;3; - 1),N( - 1;1;1). Xác định tính đúng sai của từng phương án dưới đây:

    a) Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (−2;3;1). Sai||Đúng

    b) Gọi E là điểm đối xứng của điểm M qua N. Tọa độ của điểm E là ( - 4; - 1;3). Đúng||Sai

    c) Cho P(1;m - 1;3), tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi m = 1. Đúng||Sai

    d) Điểm I(a;b;c) nằm trên mặt phẳng (Oxy) thỏa mãn T = \left|
3\overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IN} ight| đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2a + b + c = 9. Sai||Đúng

    a) Sai: Hình chiếu của điểm M trên trục Oy có tọa độ là (0;3;0)

    b) Đúng: Vì N là trung điểm của ME

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 1 = \dfrac{2 + x_{E}}{2} \\1 = \dfrac{3 + y_{E}}{2} \\1 = \dfrac{- 1 + z_{E}}{2} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{E} = - 4 \\y_{E} = - 1 \\z_{E} = 3 \\\end{matrix} \Rightarrow E( - 4; - 1;3) ight.\  ight..

    c) Đúng: Ta có \overrightarrow{NM} =
(3;2; - 2);\overrightarrow{NP} = (2;m - 2;2).

    \bigtriangleup MNP vuông tại N \Leftrightarrow\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{NP} = 0

    \Leftrightarrow 3.2 + 2.(m - 2) + ( -
2).2 = 0 \Leftrightarrow m = 1.

    d) Sai.

    Gọi J(x;y;z) thỏa 3\overrightarrow{JM} - \overrightarrow{JN} =
\overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3(2 - x) - ( - 1 - x) = 0 \\3(3 - y) - (1 - y) = 0 \\3( - 1 - z) - (1 - z) = 0 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{2} \\y = 4 \\z = - 2 \\\end{matrix} ight.\  ight.

    Suy ra J\left( \frac{7}{2};4; - 2
ight).

    Khi đó T = |3\overrightarrow{IM} -
\overrightarrow{IN}| = |3\overrightarrow{IJ} + 3\overrightarrow{JM} -
\overrightarrow{IJ} - \overrightarrow{JN}| = |2\overrightarrow{IJ}| =
2IJ.

    T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi I là hình chiếu của J trên (Oxy)

    \Leftrightarrow I\left( \frac{7}{2};4;0 ight).

    Vậy a = \frac{7}{2};b = 4;c =
0.

    Suy ra 2a+b+c=11

  • Câu 30: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{a} = (2;1; -
1)\overrightarrow{b} =
(1;3;m). Xác định giá trị tham số m để \left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0}?

    Ta có: \left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} ight) = 90^{0} \Leftrightarrow
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0 \Leftrightarrow 5 - m = 0
\Leftrightarrow m = 5

    Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.

  • Câu 31: Nhận biết

    Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc trục Oy?

    Điểm A(x;y;z) \in Oy \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
x = 0 \\
z = 0 \\
\end{matrix} ight.. Suy ra trong bốn điểm đã cho điểm T(0; - 3;0) \in Oy.

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGHAB = AE = 2,AD = 3 và đặt \overrightarrow{a} =
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} =
\overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}. Lấy điểm M thỏa \overrightarrow{AM} =
\frac{1}{5}\overrightarrow{AD} và điểm N thỏa \overrightarrow{EN} =
\frac{2}{5}\overrightarrow{EC}. (Quan sát hình vẽ).

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \overrightarrow{MA} = -
\frac{1}{5}\overrightarrow{b} Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{EN} =
\frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +
\overrightarrow{c} ight) Sai||Đúng

    c) \left( m\overrightarrow{a} +
n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} =
m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} +
p^{2}\overrightarrow{c^{2}}, với m;n;p là các số thực. Đúng||Sai

    d) MN = \frac{\sqrt{61}}{5}. Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGHAB = AE = 2,AD = 3 và đặt \overrightarrow{a} =
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} =
\overrightarrow{AD},\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AE}. Lấy điểm M thỏa \overrightarrow{AM} =
\frac{1}{5}\overrightarrow{AD} và điểm N thỏa \overrightarrow{EN} =
\frac{2}{5}\overrightarrow{EC}. (Quan sát hình vẽ).

    Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) \overrightarrow{MA} = -
\frac{1}{5}\overrightarrow{b} Đúng||Sai

    b) \overrightarrow{EN} =
\frac{2}{5}\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +
\overrightarrow{c} ight) Sai||Đúng

    c) \left( m\overrightarrow{a} +
n\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} ight)^{2} =
m^{2}\overrightarrow{a^{2}} + n^{2}\overrightarrow{b^{2}} +
p^{2}\overrightarrow{c^{2}}, với m;n;p là các số thực. Đúng||Sai

    d) MN = \frac{\sqrt{61}}{5}. Đúng||Sai

    a) Đúng: Ta có

    \overrightarrow{MA} = -
\overrightarrow{AM} = - \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} = -
\frac{1}{5}\overrightarrow{b}

    b) Sai:

    \overrightarrow{EN} =
\frac{2}{5}\overrightarrow{EC} = \frac{2}{5}(\overrightarrow{EF} +
\overrightarrow{EH} + \overrightarrow{EA}) =
\frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -
\overrightarrow{c})

    c) Đúng:

    (m.\overrightarrow{a} +n.\overrightarrow{b} + p.\overrightarrow{c})^{2} =m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} + n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2}+p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2} +2mn.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+2np\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} +2mp.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}= m^{2}.{\overrightarrow{a}}^{2} +
n^{2}.{\overrightarrow{b}}^{2} + p^{2}.{\overrightarrow{c}}^{2}

    (vì \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} đôi một vuông góc nên \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} =
\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} =
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = 0).

    Ta có

    \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EN}

    = -\frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} +\frac{2}{5}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -\overrightarrow{c})

    = \frac{2}{5}\overrightarrow{a} +\frac{1}{5}\overrightarrow{b} +\frac{3}{5}\overrightarrow{c}.

    d) Đúng:

    MN^{2} =
{\overrightarrow{MN}}^{2} = \left( \frac{2}{5}\overrightarrow{a} +
\frac{1}{5}\overrightarrow{b} + \frac{3}{5}\overrightarrow{c}
ight)^{2}

    = \frac{4}{25}{\overrightarrow{a}}^{2} +\frac{1}{25}{\overrightarrow{b}}^{2} +\frac{9}{25}{\overrightarrow{c}}^{2}= \frac{4}{25}.4 + \frac{1}{25}.9 +\frac{9}{25}.4 = \frac{61}{25}

    Suy ra MN =
\frac{\sqrt{61}}{5}.

  • Câu 33: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; - 4;3)B(2;2;7). Xác định tọa độ trung điểm I của AB?

    Ta có: I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:

    \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 1 \\y_{I} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 0 \\z_{I} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow I(1;0;4)

    Vậy đáp án đúng là: I(1;0;4).

  • Câu 34: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{i} +
4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k}. Tọa độ điểm A là:

    Ta có: \left\{ \begin{matrix}
3\overrightarrow{i} = (3;0;0) \\
4\overrightarrow{j} = (0;4;0) \\
5\overrightarrow{k} = (0;0;5) \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \overrightarrow{OA} =
3\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - 5\overrightarrow{k}
\Rightarrow A(3;4; - 5)

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho tứ diện đều ABCD. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc

    Suy ra \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} =
\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} =
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} =
\overrightarrow{0}

    Vậy mệnh đề chưa chính xác là: \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} =
\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DC} =
\overrightarrow{0}.

  • Câu 36: Nhận biết

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;0;1). Khẳng định nào sau đây đúng?

    Vì tọa độ điểm A(3;0;1)x = 3;y = 0;z = 1 nên A \in (Oxz).

  • Câu 37: Nhận biết

    Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB. Biết tọa độ hai điểm A(1;2;3)B(3; - 1;4).

    Ta có: M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

    \left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{A} + x_{B}}{2} = 2 \\y_{M} = \dfrac{y_{A} + y_{B}}{2} = 1 \\z_{M} = \dfrac{z_{A} + z_{B}}{2} = 3 \\\end{matrix} ight.\  \Rightarrow M(2;1;3)

    Vậy đáp án đúng là: M(2;1;3).

  • Câu 38: Vận dụng cao

    Trong không gian Oxyz, cho \Delta ABCA(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1). Gọi H(a;b;c) là chân đường cao hạ từ đỉnh A. Tính (a + b + c).19.

    Đáp án: -17||- 17

    Đáp án là:

    Trong không gian Oxyz, cho \Delta ABCA(0;0;1),B( - 1; - 2;0),C(2;1; - 1). Gọi H(a;b;c) là chân đường cao hạ từ đỉnh A. Tính (a + b + c).19.

    Đáp án: -17||- 17

    Ta có \overrightarrow{AH} = (a;b;c -
1),\overrightarrow{BC} = (3;3; - 1),\overrightarrow{BH} = (a + 1;b +
2;c).

    H là chân đường cao nên ta có

    \left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{BC} \\\overrightarrow{BH} = k\overrightarrow{BC} \\\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3a + 3b - (c - 1) = 0 \\\dfrac{a + 1}{3} = \dfrac{b + 2}{3} = \dfrac{c}{- 1} = k \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 3k - 1 \\
b = 3k - 2 \\
c = - k \\
\end{matrix} ight.3(3k - 1)
+ 3(3k - 2) - ( - k - 1) = 0 \Leftrightarrow k =
\frac{8}{19}.

    Do đó H\left( \frac{5}{19}; -
\frac{14}{19}; - \frac{8}{19} ight)

    Vậy \left( \frac{5}{19} - \frac{14}{19} -
\frac{8}{19} ight).19 = - 17.

  • Câu 39: Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho \overrightarrow{u} = (1;2;0). Tọa độ vectơ \overrightarrow{u} là:

    Ta có: \overrightarrow{i} =(1;0;0);\overrightarrow{j} = (0;1;0);\overrightarrow{k} =(0;0;1)

    \overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i}+ y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k} \Leftrightarrow\overrightarrow{u} = (x;y;z)

    Suy ra \overrightarrow{u} = (1;2;0)\Leftrightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j}

  • Câu 40: Thông hiểu

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho \overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b}
= (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4). Gọi \overrightarrow{x} là vectơ thỏa mãn \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = 4 \\
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 5 \\
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 8 \\
\end{matrix} ight.. Tìm tọa độ \overrightarrow{x}?

    Giả sử \overrightarrow{x} =
(x;y;z), khi đó:

    \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = 4 \\
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 5 \\
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 8 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2x - y + 3z = 4 \\
x - 3y + 2z = - 5 \\
3x + 2y - 4z = 8 \\
\end{matrix} ight.\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 3 \\
z = 1 \\
\end{matrix} ight.\  \Rightarrow \overrightarrow{x} =
(2;3;1)

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • 64 lượt xem
Sắp xếp theo