Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

Đường thẳng (d) tạo với trục hoành và trục tung một tam giác OAB là tam giác vuông cân ⇔ đường thẳng (d) tạo với chiều dương trục hoành bằng 45^∘ hoặc 135^∘⇔ hệ số góc tạo của (d) bằng 1 hoặc

.

Thử lại: m = 5 thì d không đi qua O.

Vậy có duy nhất một giá trị m = 5 nguyên dương thỏa ycbt.

Ta có:

Vậy khẳng định đúng là .

Ta có :

• Khi x < 2: xác định khi .

Suy ra D₁ = (−∞;2).

• Khi x ≥ 2: xác định khi x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥  − 7.

Suy ra D₁ = [2;  + ∞).

Vậy TXĐ của hàm số là D = D₁ ∪ D₂ = (−∞;+∞) = ℝ.

Điều kiện: .

Thay vào phương trình ta được hay là nghiệm của phương trình.

Theo định nghĩa ta có:

Hàm số bậc hai là .

Vì (P) đi qua hai điểm M(1;5) và N(−2;8) nên ta có hệ

. Vậy (P) : y = 2x² + x + 2.

Parabol có hệ số theo x² là 4 > 0 nên bề lõm hướng lên. Hoành độ đỉnh .

• Nếu thì x_I <  − 2 < 0 . Suy ra f(x) đồng biến trên đoạn [ − 2; 0].

Do đó min_{[ − 2; 0]}f(x) = f(−2) = m² + 6m + 16.

Theo yêu cầu bài toán: m² + 6m + 16 = 3 (vô nghiệm).

• Nếu thì x_I ∈ [0; 2]. Suy ra f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.

Do đó .

Theo yêu cầu bài toán (thỏa mãn  − 4 ≤ m ≤ 0).

• Nếu thì x_I > 0 >  − 2. Suy ra f(x) nghịch biến trên đoạn [ − 2; 0].

Do đó min_{[ − 2; 0]}f(x) = f(0) = m² − 2m.

Theo yêu cầu bài toán:

Vậy

Phương trình

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

Ta có

.

Từ giả thiết điểm A nằm trong nửa mặt phẳng tọa độ phía trên trục hoành (không chứa trục hoành) nên y_A > 0 ta có y_A = mx + 2m − 3 = m.1 + 2m − 3 = 3m − 3 > 0 ⇔ m > 1.

Hàm số có các hệ số

Vì nên đồ thị hàm số có bề lõm quay xuống dưới, ta loại hai hình vẽ:

Đồ thị có toạ độ đỉnh tung độ hay . Do đó ta loại hình vẽ

Vì (P) có hoành độ đỉnh bằng  − 3 và đi qua M(−2;1) nên ta có hệ

Ta có:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 

.

Vậy phương trình có một nghiệm nguyên dương.

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án

⇔

⇔ .

Vậy phương trình có ba nghiệm.

Ta có .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu .

 Điều kiện xác định: .

Vậy .

Nhìn vào đồ thị hàm số đã cho ta thấy:

Đồ thị đi qua điểm A(0;1)nên loại trừ đáp án y = |x| − 1 và y = |x|.

Đồ thị đi qua điểm B(−1;0),C(1;0)nên loại trừ đáp án y = |x| + 1.

Chọn y = 1 − |x|.

Điều kiện xác định:

.

Vậy tập xác định của hàm số là .

Hàm số xác định  ⇔ x − 1 ≥ 0  ⇔ x ≥ 1.

 Nhận xét: Từ bảng biến thiên ta suy ra đỉnh .

Chỉ có hàm số thỏa mãn tọa độ đỉnh này khi thay vào.

 Với , ta có: .

Nhận xét:

Bảng biến thiên có bề lõm hướng xuống. Loại đáp án y = 2x² + 2x − 1 và y = 2x² + 2x + 2.

Đỉnh của parabol có tọa độ là . Xét các đáp án, y =  − 2x² − 2x + 1 thỏa mãn.

Bất phương trình

Vì x² ≥ 0,  ∀x ∈ ℝ nên bất phương trình

Phương trình và

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ (−3 ; −2) ∪ [ − 1 ; 1].

Kết hợp với x ∈ ℤ ta được x = {−1 ; 0 ; 1}.

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên cần tìm.

Điều kiên:

Phương trình tương đương:

Đặt

Với t = 4 ta có:

Từ bảng xét dấu ta có:

có hai nghiệm phân biệt và khi

Do đó

ĐK: , .

Vì (P) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 nên điểm A(2;0) thuộc (P). Thay vào (P), ta được 0 = 4a + 6 − 2 ⇔ a =  − 1.

Vậy (P) : y =  − x² + 3x − 2.

Điều kiện:

Với điều kiện trên, phương trình tương đương

 ⇔ x² − 3x + 1 = 0

hoặc

Theo yêu cầu đề bài ta chọn nghiệm .

Vậy a = 3, b = 5, c = 2 nên S = a + b + c = 10.

.

Vậy S = {2;4}.

Hàm số f(x) = ax² + bx + c có đồ thị là (C), lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải Oy của (C) qua Oy ta được đồ thị (C′) của hàm số y = f(|x|).

Dựa vào đồ thị, phương trình f(|x|) − 1 = m ⇔ (|x|) = m + 1 có đúng 3 nghiệm phân biệt khi m + 1 = 3 ⇔ m = 2.

Đặt

Phương trình đã cho trở thành:

Vậy phương trình có 0 nghiệm nguyên dương.

Hàm số xác định . Vậy D = ℝ ∖ {0;4}.

 Ta có: .

Ta có: . 

Thử lại thấy không thỏa mãn.

Vậy .

Xét f(x) = x² − 4x + 5.

TXĐ: D = ℝ.

Tọa độ đỉnh I(2; 1).

Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2), đồng biến trên (2; +∞).

Điều kiện xác định của hàm số là:

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là

 Thay tọa độ vào hàm số ta được: . Do đó điểm này không thuộc đồ thị hàm số.

ĐK x ∈ [ − 2; 5] Đặt ,t ≥ 0.

Phương trình trở thành

 ⇒ x₁² + x₂² = 11.