Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

Quan sát đồ thị ta loại y = x² − 3x − 3 và y =  − x² + 5x − 3. Phần đồ thị bên phải trục tung là phần đồ thị (P) của hàm số y =  − x² + 5x − 3 với x > 0, tọa độ đỉnh của (P) là , trục đối xứng là x = 2, 5. Phần đồ thị bên trái trục tung là do lấy đối xứng phần đồ thị bên phải của (P)qua trục tung Oy. Ta được cả hai phần là đồ thị của hàm số y =  − x² + 5|x| − 3.

Tập xác định

Với

Hàm số đã cho là hàm số lẻ khi đó:

Vậy

VD

1

Điều kiện:

Với điều kiện trên, phương trình tương đương

 ⇔ x² − 3x + 1 = 0

hoặc

Theo yêu cầu đề bài ta chọn nghiệm .

Vậy a = 3, b = 5, c = 2 nên S = a + b + c = 10.

Tam thức đổi dấu 2 lần khi tam thức có 2 nghiệm pb

⇔ Δ > 0 ⇔ m² − 28m > 0 ⇔ m < 0 ∨ m > 28.

Ta có y = x⁴ − 4x³ − x² + 10x − 3 = x⁴ − 4x³ + 4x² − 5x² + 10x − 5 + 2

 = (x²−2x)² − 5(x−1)² + 2 = [(x−1)²−1]² − 5(x−1)² + 2.

Đặt t = (x−1)², x ∈ [ − 1; 4] ⇒ t ∈ [0; 9].

.

Cách 1: Ta có .

Cách 2: Vẽ BBT

Vậy , y_max = 21.

Hàm số là hàm số bậc nhất có hệ số a = 1 > 0 nên hàm số đồng biến trên tập số thực.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .

 Ta có: .

Thử lại thấy không thỏa mãn. Do đó .

Ta có :

• Khi x < 2: xác định khi .

Suy ra D₁ = (−∞;2).

• Khi x ≥ 2: xác định khi x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥  − 7.

Suy ra D₁ = [2;  + ∞).

Vậy TXĐ của hàm số là D = D₁ ∪ D₂ = (−∞;+∞) = ℝ.

Thử trực tiếp thấy tọa độ của M(2;0) thỏa mãn phương trình hàm số.

Ta có:

Từ yêu cầu bài toán

Suy ra

Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Quan sát đồ thị ta thấy có bề lõm quay lên trên suy ra a > 0

Parabol cắt trục tung tại điểm có tọa độ nằm phía trên trục hoành nên .

Đỉnh parabol nằm bên trái trục tung nên có hoành độ mà suy ra .

Kết luận: .

Ta thấy x =  − 3 không là nghiệm của phương trình.

Xét x ≠  − 3, phương trình

Phương trình (*)

(thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và .

y = 3x + 1 có a = 3 > 0 nên hàm số đồng biến trên TXĐ.

 Nhận xét: Từ hình vẽ suy ra đỉnh .

Thay tọa độ đỉnh vào các hàm số ở các đáp án, chỉ có hàm số thỏa mãn.

Điều kiện xác định: .

Với thay vào phương trình thỏa mãn. Vậy phương trình có một nghiệm.

Xét đáp án , ta có nên và có a < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−1) và nghịch biến trên khoảng (−1;+∞).

Xét phương trình:

Điều kiện: .

Vậy phương trình vô nghiệm.

ĐK x ∈ [ − 2; 5] Đặt ,t ≥ 0.

Phương trình trở thành

 ⇒ x₁² + x₂² = 11.

f(x) =  − x² − 1 = 0  vô nghiệm

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ ℝ.

Ta có .

Hàm số y = 3x + 5 có hệ số a = 3 > 0 nên đồng biến trên ℝ, suy ra chọn đáp án Hàm số nghịch biến trên ℝ.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (4;0) và cắt trục tung tại điểm (0;2) nên chọn đáp án đồ thị hàm số đi qua 2 điểm này.

Phương trình .

Vậy S = {2}.

Gọi tọa độ đỉnh của parabol là điểm

Hàm số bậc hai có:

=>

Ta có:

Vậy tập nghiệm phương trình là:

Nhận xét:

Parabol có bề lõm hướng xuống.

Parabol cắt trục hoành tại 2 điểm (3;0) và (−1;0). Xét các đáp án, đáp án thỏa mãn.

Xét , ta có .

Vậy đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số bằng cách tịnh tiến sang phải 1 đơn vị.

Bất phương trình bậc hai một ẩn là: 

Gọi M₀(x₀;−2) là điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng  − 2.

Khi đó: .

Gọi vận tốc ban đầu của vật là .

Do đây là vật rơi nên vật sẽ chuyển động nhanh dần đều.

Suy ra hàm số biểu thị quãng đường rơi s theo thời gian t là:

Ta thấy hệ trục tọa độ chọn mốc từ lúc vật bắt đầu rơi, gốc tọa độ ở vật tại thời điểm bắt đầu rơi và thời gian là đại lượng không âm nên t ≥ 0.

Ta có hàm số:

Khi t = 7 thì vật đã rơi được quãng đường là:

.

Theo định nghĩa ta có:

Hàm số bậc hai là .

 Ta có: và .

 Phương trình có hai nghiệm phân biệt .

Do đó khi .

.

Vậy phương trình vô nghiệm.

ĐKXĐ:

+) Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² − 2(m+1)x + m² + 1

Ta có a_f = 2 > 0,  Δ_f′ = ... =  − (m−1)² ≤ 0

Suy ra với mọi m ta có f(x) = 2x² − 2(m+1)x + m² + 1 ≥ 0,  ∀x ∈ ℝ(1)

+) Xét tam thức bậc hai g(x) = m²x² − 2mx + m² + 2

Với m = 0 ta có g(x) = 2 > 0, xét với m ≠ 0 ta có:

a_g = m² > 0,  Δ_g′ =  − m²(m²+1) < 0.

Suy ra với mọi m ta có g(x) = m²x² − 2mx + m² + 2 > 0,  ∀x ∈ ℝ (2)

Từ (1) và (2) suy ra với mọi m thì và m²x² − 2mx + m² + 2 ≠ 0 đúng với mọi giá trị của x.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Điều kiện: .

Ta có: .

.

Vậy phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.

Để thì nghiệm đúng với .

Nghĩa là:

ĐKXĐ: x ≥ 1 .

Chia cả hai vế cho ta có

Đặt

Phương trình trở thành  − 3t² + 2t = m (*)

Xét hàm số y =  − 3t² + 2t trên [0; 1) , ta có ,

Bảng biến thiên

Phương trình ban đầu có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm t∈ [0; 1)

⇔ đồ thị hàm số y =  − 3t² + 2t trên [0; 1) cắt đường thẳng

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi .

Xét đáp án , ta có và có a > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞;0).

Ta có:

Khẳng định sai là: 

*x² − x − 5 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

* − x² − x − 1 = 0vô nghiệm, a =  − 1 < 0 nên  − x² − x − 1 < 0, ∀x ∈ ℝ

*2x² + x = 0 có 2 nghiệm phân biệt

*x² + x + 1 = 0 vô nghiệm, a = 1 > 0 nên x² + x + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ thỏa ycbt.