Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

Phương trình .

Phương trình đã cho có hai nghiệm  ⇔ (*)có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng đồ thị hàm số y = 3x² + (4−m)x − 1 trên cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Xét hàm số y = 3x² + (4−m)x − 1 trên . Ta có

+ TH1: Nếu thì hàm số đồng biến trên nên m ≤ 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ TH2: Nếu :

Ta có bảng biến thiên

Đồ thị hàm số y = 3x² + (4−m)x − 1 trên cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

Vì  − m² + 8m − 28 =  − (m−4)² − 12 < 0,  ∀m nên

(thỏa mãn m > 1).

Vậy là giá trị cần tìm.

Do đường thẳng d đi qua điểm I(1 ; 3) nên a + b = 3 ⇒ a = 3 − b.

Giao điểm của d và các tia Ox, Oy lần lượt là và N(0 ; b).

Do đó: .

Mà S_ΔOMN = 6 ⇔ b² = 12|a|

.

Với b = 6 ⇒ a =  − 3 ⇒ d : y =  − 3x + 6.

Lí thuyết định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến: Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên K nếu ∀x₁; x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

Hàm số y = ax² + bx + c với a < 0 nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng .

Áp dụng: Ta có Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;2). Do đó Hàm số nghịch biến trên khoảng (4;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;4) sai. Chọn đáp án này.

Đáp án Trên khoảng (−∞;−1) hàm số đồng biến đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;2) thì đồng biến trên khoảng con (−∞;−1).

Đáp án Trên khoảng (3;+∞) hàm số nghịch biến đúng vì hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) thì nghịch biến trên khoảng con (3;+∞).

Hàm số xác định . Vậy D = ℝ ∖ {0;4}.

Ta có:

Đồ thị cắt trục Oy tại nên ta loại đáp án và .

Dễ thấy đồ thị có đỉnh là

Xét hàm số có đỉnh là .

Vậy hàm số tương ứng với đồ thị là: .

Xét phương trình:

Điều kiện:

Vậy phương trình vô nghiệm.

Tập xác định

Với

Hàm số đã cho là hàm số lẻ khi đó:

Vậy

VD

1

Ta có : .

● Với mọi x₁, x₂ ∈ (−∞;−5) và x₁ < x₂. Ta có .

Suy ra đồng biến trên (−∞;−5).

● Với mọi x₁, x₂ ∈ (−5;+∞) và x₁ < x₂. Ta có .

Suy ra đồng biến trên (−5;+∞).

Chọn Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;−5) và (−5;+∞).

Ta có:

Vậy x = 3 hoặc x = 0

Dựa vào bảng xét dấu, chọn đáp án Âm với mọi .

.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Vì (P) đi qua hai điểm M(1;5) và N(−2;8) nên ta có hệ

. Vậy (P) : y = 2x² + x + 2.

hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Phương trình Parabol (P) có dạng y = ax² + bx + c.

Parabol (P)đi qua điểm A(0;0), B(162;0), M(10;43) nên ta có

.

Do đó chiều cao của cổng là m.

Hàm số có dạng y = ax + b, nên để hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi . Mặt khác do m ∈ ℤ nên m ∈ {−1;  0;  1;  2}. Vậy có 4 giá trị nguyên của m.

⇔

⇔ .

Vậy phương trình có ba nghiệm.

Từ yêu cầu bài toán

Suy ra

Vậy có 20 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 Nhận xét: Từ bảng biến thiên ta suy ra đỉnh .

Chỉ có hàm số thỏa mãn tọa độ đỉnh này khi thay vào.

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = x² − 2x + 2m + 3 trên đoạn [2 ; 5]:

Do đó giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2 ; 5] của hàm số y = x² − 2x + 2m + 3 bằng 2m + 3.

Theo giả thiết 2m + 3 =  − 3 ⇔ m =  − 3.

Tại t = 0 ta có y = h = 1, 2; tại t = 1 ta có y = h = 8, 5; tại t = 2, ta có y = h = 6.

hệ trục Oth như hình vẽ.

Parabol (P) có phương trình: y = at² + bt + c, với a ≠ 0.

Giả sử tại thời điểm t′ thì quả bóng đạt độ cao lớn nhất h′.

Theo bài ra ta có: tại t = 0 thì h = 1, 2 nên A(0;  1,2) ∈ (P).

Tại t = 1 thì h = 8, 5 nên B(1;  8,5) ∈ (P).

Tại t = 2 thì h = 6 nên C(2;  6) ∈ (P).

Vậy ta có hệ: .

Vậy hàm số Parabol cần tìm có dạng: y =  − 4, 9t² + 12, 2t + 1, 2.

Ta có:

Vậy tập nghiệm phương trình là:

Ta có:

Vậy khẳng định đúng là .

ĐK:

.

Đặt , (t≥0)Phương trình thành .

t = 1 ⇒ x² − 2x − 1 = 0

.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là .

Ta có: f(x) = x² − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2

Dựa vào bảng xét dấu, chọn đáp án f(x) > 0,  ∀x ∈ ℝ.

Tam thức  − 4x² + 5x − 2 có a =  − 4 < 0,  Δ =  − 7 < 0

suy ra  − 4x² + 5x − 2 < 0  ∀x

Do đó h(x) luôn dương khi và chỉ khi h′(x) =  − x² + 4(m+1)x + 1 − 4m² luôn âm

Vậy với thì biểu thức h(x) luôn dương.

Nhìn đồ thị, ta thấy đồ thị y = f(x) cắt trục hoành tại 2 điểm x = 1, x = 4 nên Δ > 0, dựa vào hình dạng parabol nên suy a > 0

Nhận xét:

Parabol có bề lõm hướng lên.

Parabol cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm. Xét các đáp án, đáp án y = 3x² + 6x + 1 thỏa mãn.

Ta có: 

Hàm số  có a = -2 < 0

=> Hàm số nghịch biến.

 Để với mọi x ∈ ℝ thì

Ta có: .

Ta có: (Vì với mọi giá trị ). Do đó .

Điều kiện:

Phương trình tương đương:

Kết hợp điều kiện ta được: thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm.

Hàm số y = (2m−1)x + 7 đồng biến trên ℝ khi 2m − 1 > 0 hay .

Xét đáp án , ta có nên và có a < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−1) và nghịch biến trên khoảng (−1;+∞).

Điều kiện: .

Thay vào phương trình ta được hay là nghiệm của phương trình.

 Vì hàm số bậc hai có đỉnh nên:

và .

Suy ra .

.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Thử trực tiếp thấy tọa độ của M(2;0) thỏa mãn phương trình hàm số.

Trục đối xứng của parabol y = ax² + bx + c là đường thẳng .

Trục đối xứng của parabol y =  − x² + 5x + 3 là đường thẳng .

Phương trình

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

f(x) = x² − 2(2m−3)x + 4m − 3 > 0, ∀x ∈ ℝ⇔Δ < 0 ⇔ 4m² − 16m + 12 < 0 ⇔ 1 < m < 3.