Giải bất phương trình ![]()
Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
Giải bất phương trình ![]()
Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = x2 − 4x + 5 trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞). Khẳng định nào sau đây đúng?
Xét f(x) = x2 − 4x + 5.
TXĐ: D = ℝ.
Tọa độ đỉnh I(2; 1).
Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2), đồng biến trên (2; +∞).
Cho hàm số:
. Giá trị của f(−1); f(1) là:
Ta có: f(−1) = − 2(−1−3) = 8; .
Chọn đáp án 8 và 0.
Điền vào chỗ trống: Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) có thể là hàm số ….
Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) có thể là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến
Biết đường thẳng d : y = mx cắt Parabol (P) : y = x2 − x + 1 tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):
mx = x2 − x + 1 ⇔ x2 − (m+1)x + 1 = 0
Vì hoành độ giao điểm xA, xB là hai nghiệm của phương trình nên ta có tọa độ trung điểm I là
.
Tam thức bậc hai f(x) = − x2 − 1 nhận giá trị âm khi và chỉ khi
f(x) = − x2 − 1 = 0 vô nghiệm

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ ℝ.
Miền giá trị của hàm số
là
Cách 1: Do x2 + 1 > 0; ∀x ∈ ℝ nên hàm số xác định với mọi x ∈ ℝ
Gọi y0 là giá trị tùy ý, ta có phương trình:
⇔ (3−y0)x2 + 2x + 3 − y0 = 0(1)
+ Nếu y0 = 3 thì phương trình (1)trở thành: 2x = 0 ⇔ x = 0.
Vậy phương trình (1)có nghiệm y0 = 3(*).
+ Nếu y0 ≠ 3 thì phương trình (1)là phương trình bậc hai, nên nó có nghiệm khi và chỉ khi
Δ′ = 12 − (3−y0)2 ≥ 0
⇔ − y02 + 6y0 − 8 ≥ 0
⇔ 2 ≤ y0 ≤ 4.
Vậy phương trình (1)có nghiệm .
+ Kết hợp (*), (**) thì phương trình (1)có nghiệm ⇔ 2 ≤ y0 ≤ 4.
Vậy: Miền giá trị của hàm số là [2; 4].
Cách 2: Ta có
Suy ra GTNN của A = 2 khi và chỉ khi x = − 1.
Mặt khác
Suy ra GTLN của A = 4 khi và chỉ khi x = 1.
Vậy miền giá trị của hàm số là [2; 4].
Tìm giá trị thực của m để phương trình |2x2−3x+2| = 5m − 8x − 2x2 có nghiệm duy nhất.
Ta thấy 2x2 − 3x + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ nên |2x2−3x+2| = 2x2 − 3x + 2.
Do đó phương trình đã cho tương đương với 4x2 + 5x + 2 − 5m = 0. (*)
Khi đó để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (*) có nghiệm duy nhất .
Dấu của tam thức bậc 2: f(x) = –x2+ 5x – 6 được xác định như sau:

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án f(x) > 0với 2< x < 3 và f(x) < 0với x < 2 ∨ x > 3 .
Số nghiệm của phương trình
là:
ĐKXĐ: x > 0.
Phương trình tương đương với
.
Đặt
Phương trình trở thành:
Với ta có
Với ta có
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và .
Xác định m để
với mọi x ∈ ℝ
Để với mọi x ∈ ℝ thì
Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
có nghiệm là:
ĐKXĐ: x > − 1
pt ⇔ 3mx + 1 + x + 1 = 2x + 5m + 3 ⇔ (3m−1)x = 5m + 1.
Phương trình đã cho có nghiệm .
Cho phương trình
với
là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu?
Từ yêu cầu bài toán
Suy ra
Vậy có 20 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tìm hàm số bậc hai trong các hàm số dưới đây?
Theo định nghĩa ta có:
Hàm số bậc hai là .
Số nghiệm của phương trình
là
ĐK x ≥ 3.
.
Vậy phương trình có một nghiệm.
Xác định parabol
, biết rằng
đi qua điểm
và có trục đối xứng
.
Vì hàm số có trục đối xứng và đi qua điểm
nên:
và
.
Nhận xét: Trong 4 đáp án, chỉ có thỏa mãn 2 điều kiện trên.
Cho hàm số bậc hai
có đỉnh
và đi qua điểm
. Xác định giá trị biểu thức
?
Parabol có đỉnh
(*)
Parabol đi qua điểm suy ra
(**)
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình
Phương trình
có tập nghiệm là:
Ta có: .
Thử lại thấy không thỏa mãn. Vậy
.
Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây?

Nhận xét:
Bảng biến thiên có bề lõm hướng lên. Loại đáp án y = − x2 + 4x − 9 và y = − x2 + 4x.
Đỉnh của parabol có tọa độ là (2;−5). Xét các đáp án, đáp án y = x2 − 4x − 1 thỏa mãn.
Tìm tập xác định D của hàm số
.
Điều kiện xác định: . Vậy tập xác định: D = [ − 1; + ∞) ∖ {0}.
Các giá trị của tham số m để phương trình
(1) có nghiệm là:
Đặt
⇒ t2 = x2 − x + 1 ⇒ (2x−1)2 = 4x2 − 4x + 1 = 4t2 − 3
Vì nên
Phương trình (1) trở thành 4t2 − 3 + m = t ⇔ − 4t2 + t + 3 = m.
Xét hàm số y = − 4t2 + t − 3 với
Ta có
Bảng biến thiên

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình có nghiệm
⇔ đồ thị hàm số y = − 4t2 + t − 3 trên cắt đường thẳng
.
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi .
Cho tam thức bậc hai
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy khẳng định đúng là .
Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số
?
Thử trực tiếp thấy tọa độ của M(2;0) thỏa mãn phương trình hàm số.
Biết phương trình
có một nghiệm có dạng
, trong đó a, b, c là các số nguyên tố. Tính S = a + b + c.
Điều kiện:
Với điều kiện trên, phương trình tương đương
⇔ x2 − 3x + 1 = 0
hoặc
Theo yêu cầu đề bài ta chọn nghiệm .
Vậy a = 3, b = 5, c = 2 nên S = a + b + c = 10.
Tìm tập xác định D của hàm số
.
Hàm số xác định khi
⇔ x2 − 3x + 2 ≠ x2 − 7 ⇔ 9 ≠ 3x ⇔ x ≠ 3.
Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ ∖ {3}.
Xác định điểm không thuộc đồ thị của hàm số
?
Ta thấy các điểm nằm trên đồ thị của hàm số là: ;
;
.
Vậy điểm không thuộc đồ thị hàm số đã cho là: .
Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trên khoảng (0;2) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến.
Tìm tọa độ đỉnh S của parabol:
?
Gọi tọa độ đỉnh của parabol là điểm
Hàm số bậc hai có:
=>
Tập nghiệm của bất
là:
Ta có: .
Vậy
Điểm A có hoành độ xA = 1 và thuộc đồ thị hàm số y = mx + 2m − 3. Tìm m để điểm A nằm trong nửa mặt phẳng tọa độ phía trên trục hoành (không chứa trục hoành).
Từ giả thiết điểm A nằm trong nửa mặt phẳng tọa độ phía trên trục hoành (không chứa trục hoành) nên yA > 0 ta có yA = mx + 2m − 3 = m.1 + 2m − 3 = 3m − 3 > 0 ⇔ m > 1.
Cho hàm số y = − x2 + 4x + 1. Khẳng định nào sau đây sai?
Hàm số y = ax2 + bx + c với a < 0 nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng
.
Áp dụng: Ta có Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;2). Do đó Hàm số nghịch biến trên khoảng (4;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;4) sai. Chọn đáp án này.
Đáp án Trên khoảng (−∞;−1) hàm số đồng biến đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;2) thì đồng biến trên khoảng con (−∞;−1).
Đáp án Trên khoảng (3;+∞) hàm số nghịch biến đúng vì hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) thì nghịch biến trên khoảng con (3;+∞).
Số nghiệm của phương trình
là
Điều kiện:
Phương trình tương đương:
Kết hợp điều kiện ta được: thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm.
Phương trình
có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
Điều kiện: .
Ta có: .
.
Vậy phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.
Hàm số
đồng biến và nghịch biến trên khoảng nào?
Ta có hàm số có
=> Hàm số nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng
Đồ thị bên là đồ thị của hàm số nào?

Đồ thị nhận trục Oy là trục đối xứng nên hàm số tương ứng là hàm chẵn nên loại phương án y = |2x+1| và y = |x+1|
Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;3). Thay vào y = 2|x| + 1 thấy thỏa mãn nên chọn đáp án này.
Tìm tập xác định D của hàm số ![]()
Hàm số xác định khi và chỉ khi
⇔ x2 + x − 20 ≥ 0
Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy x2 + x − 20 ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (4 ; + ∞].
Vậy tập xác định của hàm số là D = (−∞ ; −5) ∪ (4 ; + ∞].
Số nghiệm của phương trình
là:
Đặt (t≥0).Phương trình trở thành:
Với t = 1 ta được .
Vậy phương trình có hai nghiệm.
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số đồng biến trên khoảng
?
Hàm số là hàm số bậc nhất có hệ số a = 1 > 0 nên hàm số
đồng biến trên tập số thực.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
.
Tập nghiệm của bất phương trình
là
Ta có: .
Tập nghiệm của bất phương trình
là:
Ta có: