Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

Vì (P) có đỉnh I(2;−1) nên ta có . (1)

Gọi A là giao điểm của (P) với Oy tại điểm có tung độ bằng  − 3. Suy ra A(0;−3).

Theo giả thiết, A(0;−3) thuộc (P) nên a.0 + b.0 + c =  − 3 ⇔ c =  − 3. (2)

Từ (1) và (2), ta có .

Vậy .

Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3).

Đặt (t≥0).Phương trình trở thành:

Với t = 1 ta được .

Vậy phương trình có hai nghiệm.

 Ta có: . Suy ra .

Nhận xét: không thuộc .

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

Hàm số nghịch biến trong các khoảng: (−∞;−1) và (0;1).

Hàm số đồng biến trong các khoảng: (−1;0) và (1;+∞).

Đáp án sai là Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1).

Tam thức đổi dấu khi tam thức có 2 nghiệm phân biệt hay Δ > 0.Vậy chỉ có h(x) = 4 − 3x² có 2 nghiệm.

 Thay tọa độ và vào . Ta có:

.

Do đó .

ĐKXĐ:

Đặt

Phương trình trở thành

(đối chiếu ĐKXĐ loại )

Với t = 1 ta có

Với ta có

Vậy phương trình có hai nghiệm và .

 Ta có: .

Trên khoảng (−3;−1) và (1;3) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải

Hàm số đồng biến trên khoảng (−3;−1) và (1;3).

 Nhận xét: Từ bảng biến thiên ta suy ra đỉnh .

Chỉ có hàm số thỏa mãn tọa độ đỉnh này khi thay vào.

Ta có:

Đồ thị cắt trục Oy tại nên ta loại đáp án và .

Dễ thấy đồ thị có đỉnh là

Xét hàm số có đỉnh là .

Vậy hàm số tương ứng với đồ thị là: .

Hàm số xác định .

Vậy tập xác định: .

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ [1; 2].

Ta có y = x⁴ − 4x³ − x² + 10x − 3 = x⁴ − 4x³ + 4x² − 5x² + 10x − 5 + 2

 = (x²−2x)² − 5(x−1)² + 2 = [(x−1)²−1]² − 5(x−1)² + 2.

Đặt t = (x−1)², x ∈ [ − 1; 4] ⇒ t ∈ [0; 9].

.

Cách 1: Ta có .

Cách 2: Vẽ BBT

Vậy , y_max = 21.

Điều kiện:

Phương trình tương đương

Kết hợp với điều kiện ra được thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là:

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = x² − 2x + 2m + 3 trên đoạn [2 ; 5]:

Do đó giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2 ; 5] của hàm số y = x² − 2x + 2m + 3 bằng 2m + 3.

Theo giả thiết 2m + 3 =  − 3 ⇔ m =  − 3.

*Gọi D là tập xác định của hàm số .

*.

*Hàm số xác định trên khoảng (0;1)

.

Đáp án  là đáp án đúng vì hàm số bậc hai có dạng

Cách 1: Do  x² + 1 > 0; ∀x ∈ ℝ nên hàm số xác định với mọi x ∈ ℝ

Gọi y₀ là giá trị tùy ý, ta có phương trình:

 ⇔ (3−y₀)x² + 2x + 3 − y₀ = 0(1)

+ Nếu y₀ = 3 thì phương trình (1)trở thành: 2x = 0 ⇔ x = 0.

Vậy phương trình (1)có nghiệm y₀ = 3(*).

+ Nếu y₀ ≠ 3 thì phương trình (1)là phương trình bậc hai, nên nó có nghiệm khi và chỉ khi

Δ′ = 1² − (3−y₀)² ≥ 0

 ⇔  − y₀² + 6y₀ − 8 ≥ 0

 ⇔ 2 ≤ y₀ ≤ 4.

Vậy phương trình (1)có nghiệm .

+ Kết hợp (*), (**) thì phương trình (1)có nghiệm  ⇔ 2 ≤ y₀ ≤ 4.

Vậy: Miền giá trị của hàm số là [2; 4].

Cách 2: Ta có

Suy ra GTNN của A = 2 khi và chỉ khi x =  − 1.

Mặt khác

Suy ra GTLN của A = 4 khi và chỉ khi x = 1.

Vậy miền giá trị của hàm số là [2; 4].

Hàm số xác định khi .

Vậy tập xác định của hàm số là D = (1; 3].

Điều kiện xác định của phương trình x ≥ 4.

Phương trình tương đương với .

Kết hợp điều kiện suy ra .

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Trục đối xứng x = 2. Ta có a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 2) và đồng biến trên khoảng (2; +∞).

 Ta có: .

Vậy .

 Khi thì luôn cùng dấu với hệ số . Do đó nó không đổi dấu.

Từ giả thiết điểm A nằm trong nửa mặt phẳng tọa độ phía trên trục hoành (không chứa trục hoành) nên y_A > 0 ta có y_A = mx + 2m − 3 = m.1 + 2m − 3 = 3m − 3 > 0 ⇔ m > 1.

Theo định nghĩa ta có:

Hàm số bậc hai là .

ĐKXĐ x >  − 1

pt ⇔ 3mx + 1 + x + 1 = 2x + 5m + 3 ⇔ (3m−1)x = 5m + 1.

Phương trình đã cho có nghiệm .

Ta có .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu . Suy ra số thực dương lớn nhất thỏa là .

ĐKXĐ: x² + 2(1−m)x + 2m² + 3 > 0

Xét tam thức bậc hai f(x) = x² + 2(1−m)x + 2m² + 3

Ta có

(Vì tam thức bậc hai f(m) =  − m² − 2m − 2 có a_m =  − 1 < 0,  Δ′_m =  − 1 < 0 )

Suy ra với mọi m ta có x² + 2(1−m)x + 2m² + 3 > 0,  ∀x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.

 Ta có: (vô lí).

Vậy .

Hàm số .

Điều kiện xác định: .

Vậy tập xác định của hàm số D = [ − 1; 3) ∪ (3;+∞).

.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Từ đồ thị hàm số ta suy ra đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ:

Ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta có phương trình có 4 nghiệm, phương trình đã cho có 8 nghiệm khi phương trình có 4 nghiệm và

Suy ra

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp ánx ∈ [1; 2] .

.

 Điều kiện:

Kết hợp với điều kiện ta được thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là

Điều kiện xác định: . Vậy tập xác định: D = [ − 1;  + ∞) ∖ {0}.

Xét f(x) = x² − 4x + 5.

TXĐ: D = ℝ.

Tọa độ đỉnh I(2; 1).

Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2), đồng biến trên (2; +∞).

Bất phương trình bậc hai một ẩn là: