Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

Nhìn đồ thị, ta thấy đồ thị y = f(x) cắt trục hoành tại 2 điểm x = 1, x = 3 nên Δ > 0, dựa vào hình dạng parabol nên suy ra a < 0 và ta có bảng xét dấu như sau:

Dựa vào bảng xét dấu thì f(x) < 0 khi x < 1 ∨ x > 3. Mà 2017 > 3 nên f(2017) < 0.

Đặt .

Hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số là .

Vì hệ số a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên .

Suy ra, hàm số nghịch biến [ − 1; 1].

.

.

Theo đề bài ta có: y₁ − y₂ = 8

 ⇔ m² − 2m + 1 = 0 ⇔ m = 1.

Hàm số .

Điều kiện xác định: .

Vậy tập xác định của hàm số D = [ − 1; 3) ∪ (3;+∞).

 Vì hàm số bậc hai có đỉnh nên:

và .

Suy ra .

Vì (P) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 nên điểm A(2;0) thuộc (P). Thay vào (P), ta được 0 = 4a + 6 − 2 ⇔ a =  − 1.

Vậy (P) : y =  − x² + 3x − 2.

Gọi d₁ : y =  − 5x − 5, d₂ : y = 3x + a, d₃ : y = ax + 3 (a≠3).

Phương trình hoành độ giao điểm của d₁ và d₂: .

Giao điểm của d₁ và d₂ là .

Đường thẳng d₁, d₂ và d₃ đồng qui khi A ∈ d₃  ⇔ a =  − 13. (vì a ≠ 3)

Hàm số có dạng y = ax + b, nên để hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi . Mặt khác do m ∈ ℤ nên m ∈ {−1;  0;  1;  2}.

Vậy có 4 giá trị nguyên của m.

Trên khoảng (2;+∞) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải

Hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞).

Chọn đáp án Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞).

Điều kiện:

Phương trình tương đương

Kết hợp với điều kiện ra được thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là:

Điều kiện:

x² + 3x ≥ 0⇔

phương trình .

Đặt , điều kiện t ≥ 0.

Phương trình trở thành t² + 3t − 10 = 0

⇔ ⇒ , thoả mãn (1) ⇒ x₁ + 4x₂ = 0.

Ta có . Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số (C) từ đồ thị hàm số y = f(x) như sau:

Giữ nguyên đồ thị y = f(x) phía trên trục hoành.

Lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) phía dưới trục hoành qua trục hoành ( bỏ phần dưới ).

Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y = |f(x)| như hình vẽ.

Phương trình |f(x)| = m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = |f(x)| và đường thẳng y = m (song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, ta có ycbt  ⇔ 0 < m < 1.

Xét phương trình:

Điều kiện: .

Vậy phương trình vô nghiệm.

Hàm số xác định  ⇔ x − 1 ≥ 0  ⇔ x ≥ 1.

Ta thấy không là nghiệm của phương trình

Xét , phương trình đã cho

Đến đây, chú ý

Nên phương trình có nghiệm phải thỏa mãn

Do đó phương trình đã cho

Nhưng x =  − 1 không thoả mãn nên phương trình có nghiệm x = 1

* TH2:

(thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

ĐKXĐ: .

Thay x = 1 vào , ta được: .

Vậy phương trình vô nghiệm.

Dựa vào bảng xét dấu, .

Mà x ∈ ℤ⇒ x ∈ {0;1;2;3;4} (5 giá trị).

Xét hoặc m = 2

• Khi thì bất phương trình trở thành nên không có nghiệm đúng với mọi x.

• Khi m = 2 thì bất phương trình trở thành  − 1 ≤ 0 nên có nghiệm đúng với mọi x.

• Khi thì yêu cầu bài toán

 ⇔ (2m²−3m−2)x² + 2(m−2)x − 1 ≤ 0  ∀x ∈ ℝ

Kết hợp hai trường hợp ta được là giá trị cần tìm.

 Ta có: .

ĐKXĐ: x >  − 1

pt ⇔ 3mx + 1 + x + 1 = 2x + 5m + 3 ⇔ (3m−1)x = 5m + 1.

Phương trình đã cho có nghiệm .

.

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

Quan sát đồ thị ta loại y = x² − 3x − 3 và y =  − x² + 5x − 3. Phần đồ thị bên phải trục tung là phần đồ thị (P) của hàm số y =  − x² + 5x − 3 với x > 0, tọa độ đỉnh của (P) là , trục đối xứng là x = 2, 5. Phần đồ thị bên trái trục tung là do lấy đối xứng phần đồ thị bên phải của (P)qua trục tung Oy. Ta được cả hai phần là đồ thị của hàm số y =  − x² + 5|x| − 3.

 Thay tọa độ vào ta được thỏa mãn. Suy ra điểm này thuộc đồ thị hàm số .

 Để thì .

Dựa vào bảng xét dấu thì f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [ 1; 3 ].

Điều kiện xác định của hàm số là:

=> Tập xác định của hàm số là:

Trục đối xứng x = 2. Ta có a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 2) và đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Hàm số có các hệ số a = 1, b = ‒2, c = 1 nên có tọa độ đỉnh

 Điều kiện xác định: .

Vậy .

ĐKXĐ: x ≥  − 3

Phương trình

Đặt , (t≥0) phương trình trở thành  − 27t² − 3t + 3x² + 31x + 80 = 0(1)

Có Δ_t = (18x+93)² suy ra

Vô nghiệm vì với x ≥  − 3 thì

hoặc x =  − 2

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 1 và x =  − 2, tích các nghiệm của phương trình là 1.(−2) =  − 2.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, phương trình hoành độ giao điểm phải có nghiệm x = 1, ta chỉ có phương trình .

Để bất phương trình với mọi x ∈ ℝ thì:

Phương trình .

Vậy S = {2}.

Hàm số xác đinh khi và chỉ khi .

Đỉnh Parabol là .

Do đó chỉ có đáp án y = 2x² + 4x + 5 thỏa mãn.

 Xét biếu thức có và nghiệm là

Ta có bảng xét dấu như sau:

Ta có

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu .

Ta có

Phương trình có nghiệm là và .

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là .

Trục đối xứng của parabol y = ax² + bx + c là đường thẳng .

Trục đối xứng của parabol y =  − x² + 5x + 3 là đường thẳng .

Ta có : f(x₁) − f(x₂) = (x₁²−4x₁+5) − (x₂²−4x₂+5)

 = (x₁²−x₂²) − 4(x₁−x₂) = (x₁−x₂)(x₁+x₂−4).

● Với mọi x₁, x₂ ∈ (−∞;2) và x₁ < x₂. Ta có .

Suy ra .

Vậy hàm số nghịch biến trên (−∞;2).

● Với mọi x₁, x₂ ∈ (2;+∞) và x₁ < x₂. Ta có .

Suy ra .

Vậy hàm số đồng biến trên (2;+∞).