Số nghiệm của phương trình
là bao nhiêu?
Điều kiện: .
.
Đặt ,
.
.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
Số nghiệm của phương trình
là bao nhiêu?
Điều kiện: .
.
Đặt ,
.
.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.
Dấu của tam thức bậc 2: f(x) = –x2+ 5x – 6 được xác định như sau:

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án f(x) > 0với 2< x < 3 và f(x) < 0với x < 2 ∨ x > 3 .
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ − 7; 7] để phương trình mx2 − 2(m+2)x + m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt?
TH1:; phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất nên loại m = 0
TH2: m ≠ 0
Để mx2 − 2(m+2)x + m − 1 = 0với m ∈ [ − 7; 7]có hai nghiệm phân biệt thì
đồng thời m ∈ [ − 7; 7].
Vậy m = {1; 2;3;4;5;6;7}→ có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Bất phương trình
có tập nghiệm là:
Ta có: (vô lí).
Vậy .
Tập xác định của hàm số
là:
Hàm số xác định . Vậy D = ℝ ∖ {0;4}.
Tập xác định của hàm số
là
Hàm số có nghĩa khi
⇔ x ∈ [ − 1; 3) ∖ {2}.
Xác định parabol (P) : y = ax2 + bx + 2, biết rằng (P) đi qua hai điểm M(1;5) và N(−2;8).
Vì (P) đi qua hai điểm M(1;5) và N(−2;8) nên ta có hệ
. Vậy (P) : y = 2x2 + x + 2.
Cho hàm số
Khẳng định nào sau đây đúng?
TXĐ : nên ta loại đáp án C và D.
Xét
Với mọi và x1 < x2, ta có
Vậy hàm số đồng biến trên .
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Tam thức bậc 2 là biểu thức f(x) có dạng ax2+ bx + c (a≠0).
f(x) = 3x2 − 5 là tam thức bậc 2 với a = 3, b = 0, c = − 5.
Xét sự biến thiên của hàm số
trên khoảng (0;+∞). Khẳng định nào sau đây đúng?
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞).
Cho hàm số f(x) = ax2 + bx + c có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) + m − 2018 = 0 có duy nhất một nghiệm.

Phương trình Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = 2018 − m (có phương song song hoặc trùng với trục hoành).
Dựa vào đồ thị, ta có ycbt 2018 − m = 2 ⇔ m = 2016.
Quan sát đồ thị hàm số, chọn nhận xét đúng?

Quan sát đồ thị ta thấy có bề lõm quay lên trên suy ra a > 0
Parabol cắt trục tung tại điểm có tọa độ nằm phía trên trục hoành nên
.
Đỉnh parabol nằm bên trái trục tung nên có hoành độ mà
suy ra
.
Kết luận: .
Cho f(x) = − 2x2 + (m+2)x + m − 4. Tìm m để f(x) âm với mọi a, b, c > 0.
Ta có
.
Trục đối xứng của parabol y = − x2 + 5x + 3 là đường thẳng có phương trình
Trục đối xứng của parabol y = ax2 + bx + c là đường thẳng .
Trục đối xứng của parabol y = − x2 + 5x + 3 là đường thẳng .
Chọn khẳng định đúng?
Lí thuyết định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến: Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên K nếu ∀x1; x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Tập hợp nào sau đây là tập xác định của hàm số
?
Hàm số xác đinh khi và chỉ khi .
Cho hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c. Biểu thức f(x+3) − 3f(x+2) + 3f(x+1) có giá trị bằng
f(x+3) = a(x+3)2 + b(x+3) + c = ax2 + (6a+b)x + 9a + 3b + c.
f(x+2) = a(x+2)2 + b(x+2) + c = ax2 + (4a+b)x + 4a + 2b + c.
f(x+1) = a(x+1)2 + b(x+1) + c = ax2 + (2a+b)x + a + b + c.
⇒ f(x+3) − 3f(x+2) + 3f(x+1) = ax2 + bx + c.
Các giá trị m để tam thức
đổi dấu 2 lần là:
Để đổi dấu 2 lần thì
.
Ta có:
hoặc
.
Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?
y = 3x + 1 có a = 3 > 0 nên hàm số đồng biến trên TXĐ.
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên ℝ?
Hàm số y = ax + b với a ≠ 0 nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi a < 0.
Tìm tập xác định D của hàm số
.
Hàm số xác định khi
⇔ x2 − 3x + 2 ≠ x2 − 7 ⇔ 9 ≠ 3x ⇔ x ≠ 3.
Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ ∖ {3}.
Cho hai đường thẳng
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cách 1: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số gốc của (d1)và (d2). Khi đó nên (d1)và (d2) không vuông góc nhau.
Xét hệ:
Vậy (d1)và (d2) cắt nhau.
Cách 2: Ta thấy nên (d1)và (d2) cắt nhau.
Cho tam thức
. Tìm m để f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.
Để f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4 − 4x3 − x2 + 10x − 3 trên đoạn [ − 1; 4] là
Ta có y = x4 − 4x3 − x2 + 10x − 3 = x4 − 4x3 + 4x2 − 5x2 + 10x − 5 + 2
= (x2−2x)2 − 5(x−1)2 + 2 = [(x−1)2−1]2 − 5(x−1)2 + 2.
Đặt t = (x−1)2, x ∈ [ − 1; 4] ⇒ t ∈ [0; 9].
.
Cách 1: Ta có .
Cách 2: Vẽ BBT

Vậy , ymax = 21.
Bảng biến thiên ở dưới là bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số được cho ở bốn phương án A, B, C, D sau đây?

Nhận xét:
Bảng biến thiên có bề lõm hướng lên. Loại đáp án y = − x2 + 4x − 9 và y = − x2 + 4x.
Đỉnh của parabol có tọa độ là (2;−5). Xét các đáp án, đáp án y = x2 − 4x − 1 thỏa mãn.
Số nghiệm của phương trình
là:
Điều kiện:
Vậy phương trình đã cho có tất cả 1 nghiệm.
Hàm số y = x2 − 4x + 11 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng
(2;+∞).
Xác định parabol (P) : y = 2x2 + bx + c, biết rằng (P) có đỉnh I(−1;−2).
Trục đối xứng
Do
Vậy (P) : y = 2x2 + 4x.
Tập nghiệm của phương trình
là:
Xét phương trình: (1)
Điều kiện :
Thay x = 8 ta thấy (1) thoả mãn. Vậy, phương trình (1) có tập nghiệm là S = {8}.
Tìm m để g(x) = (m−4)x2 + (2m−8)x + m − 5 luôn âm.
Với m = 4 thì g(x) = − 1 < 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Với m ≠ 4 thì g(x) = (m−4)x2 + (2m−8)x + m − 5 là tam thức bậc hai.
Do đó
⇔ m < 4
Vậy với m ≤ 4 thì biểu thức g(x) luôn âm.
Giải phương trình: ![]()
Điều kiện:
Phương trình tương đương:
Kết hợp với điều kiện ta được thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm .
Số nghiệm của phương trình
là:
Ta thấy không là nghiệm của phương trình
Xét , phương trình đã cho
Đến đây, chú ý
Nên phương trình có nghiệm phải thỏa mãn
Do đó phương trình đã cho
Nhưng x = − 1 không thoả mãn nên phương trình có nghiệm x = 1
* TH2:
(thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn?
Bất phương trình bậc hai một ẩn là:
Tổng các nghiệm của phương trình
?
Đặt . Khi đó phương trình đã cho trở thành:
Vì t ≥ 0 ⇒ t = 6, thay vào ta có .
x2 + 11 = 36 ⇔ x = ± 5.
Vậy phương trình có nghiệm là x = ± 5.
Tổng các nghiệm của phương trình là 0.
Số thực dương lớn nhất thỏa mãn
là ?
Ta có .
Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu . Suy ra số thực dương lớn nhất thỏa
là
.
Tập nghiệm của phương trình
?
Ta có:
Vậy tập nghiệm phương trình là:
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng (−1;+∞)?
Xét đáp án , ta có
nên
và có a < 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−1) và nghịch biến trên khoảng (−1;+∞).
Biết phương trình
có 2 nghiệm x1, x2 (x1<x2) . Khẳng định nào sau đây đúng?
Điều kiện:
x2 + 3x ≥ 0⇔
phương trình .
Đặt , điều kiện t ≥ 0.
Phương trình trở thành t2 + 3t − 10 = 0
⇔ ⇒
, thoả mãn (1) ⇒ x1 + 4x2 = 0.
Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
.
Vậy, tổng các nghiệm của phương trình là .
Số nghiệm của phương trình
là:
ĐKXĐ: x3 + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ − 1.
Phương trình
Đặt , a ≥ 0, b ≥ 0
Suy ra a2 + b2 = x2 + 2 khi đó
Phương trình trở thành
Với 3a = b ta có
(thỏa mãn điều kiện)
Với a = 3b ta có
⇔ 9x2 − 10x + 8 = 0 (phương trình vô nghiệm).
Vậy phương trình có nghiệm là .