Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

Quan sát đồ thị ta loại y = x² − 3x − 3 và y =  − x² + 5x − 3. Phần đồ thị bên phải trục tung là phần đồ thị (P) của hàm số y =  − x² + 5x − 3 với x > 0, tọa độ đỉnh của (P) là , trục đối xứng là x = 2, 5. Phần đồ thị bên trái trục tung là do lấy đối xứng phần đồ thị bên phải của (P)qua trục tung Oy. Ta được cả hai phần là đồ thị của hàm số y =  − x² + 5|x| − 3.

Đặt . Khi đó phương trình đã cho trở thành:

Vì t ≥ 0 ⇒ t = 6, thay vào ta có .

x² + 11 = 36 ⇔ x =  ± 5.

Vậy phương trình có nghiệm là x =  ± 5.

Tổng các nghiệm của phương trình là 0.

Để thì nghiệm đúng với .

Nghĩa là:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, phương trình hoành độ giao điểm phải có nghiệm x = 1, ta chỉ có phương trình .

Ta có: .

 Để biểu thức là tam thức bậc hai ta có:

ĐK: x ≥ 0.

Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình.

Xét x ≠ 0. Khi đó phương trình tương đương với

Đặt

Suy ra . Phương trình trở thành:

5t = 2(t²−1) + 4 ⇔ 2t² − 5t + 2 = 0 ⇔ t = 2 (thỏa mãn) hoặc (loại)
Với t = 2 ta có (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là .

Tổng các nghiệm của phương trình bằng 3.

; .

.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là .

Đỉnh Parabol là .

Do đó chỉ có đáp án y = 2x² + 4x + 5 thỏa mãn.

 Nhận xét: Đồ thị có đỉnh .

Thay tọa độ vào hàm số ta thấy thỏa mãn. 

Đặt . Phương trình đã cho trở thành:

Ta được thuộc [1 ; 2).

Ta có:

Gọi M₀(x₀;−2) là điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng  − 2.

Khi đó: .

.

Lây hàm số f(x) = x và g(x) =  − x trên (0;1) thỏa mãn giả thiết

Ta có không kết luận được tính đơn điệu.

Trục đối xứng

Do

Vậy (P) : y = 2x² + 4x.

Thử trực tiếp thấy tọa độ của M(2;0) thỏa mãn phương trình hàm số.

ĐKXĐ: x² + 2(1−m)x + 2m² + 3 > 0

Xét tam thức bậc hai f(x) = x² + 2(1−m)x + 2m² + 3

Ta có

(Vì tam thức bậc hai f(m) =  − m² − 2m − 2 có a_m =  − 1 < 0,  Δ′_m =  − 1 < 0 )

Suy ra với mọi m ta có x² + 2(1−m)x + 2m² + 3 > 0,  ∀x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Thử lần lượt từng phương án với chú ý về điều kiện ta được:

f(0) = 2.0 + 1 = 1 ≠  − 3, đồ thị không đi qua điểm (0; −3).

f(3) =  − 3 ≠ 7, đồ thị không đi qua điểm (3; 7).

f(2) = 2.2 + 1 = 5 ≠  − 3, đồ thị không đi qua điểm (2; −3).

f(0) = 2.0 + 1 = 1, đồ thị đi qua điểm (0; 1).

Tam thức  có hai nghiệm phân biệt

a = 2 > 0 nên f(x) dương với mọi x thuộc hai nửa khoảng

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

Ta có

Phương trình có nghiệm là và .

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là .

Ta có:

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và

Do đó phương trình (*) có có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi .

Mặt khác suy ra có 980 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hàm số xác định . Vậy D = ℝ ∖ {0;4}.

Hàm số xác định khi và chỉ khi

Phương trình x² + 2x + 3 = 0 ⇔ x ∈ ⌀ và

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy

Vậy tập xác định của hàm số là

Ta có y = x⁴ − 4x³ − x² + 10x − 3 = x⁴ − 4x³ + 4x² − 5x² + 10x − 5 + 2

 = (x²−2x)² − 5(x−1)² + 2 = [(x−1)²−1]² − 5(x−1)² + 2.

Đặt t = (x−1)², x ∈ [−1; 4] ⇒ t ∈ [0; 9].

.

Cách 1: Ta có .

Cách 2: Vẽ BBT

Vậy , y_max = 21.

.

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

Điều kiện xác định: .

Với thay vào phương trình thỏa mãn. Vậy phương trình có một nghiệm.

.

Vậy S = {2;4}.

Điều kiện xác định của hàm số là:

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là

 Ta có: .

Gọi y là số tiền lãi của cửa hàng bán giày.

Ta có y = (120−x)(x−40) =  − x² + 160x − 4800 =  − (x−80)² + 1600 ≤ 1600.

Dấu xảy ra  ⇔ x = 80.

Vậy cửa hàng lãi nhiều nhất khi bán đôi giày với giá 80 USD.

 Để f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ

Đặt . Ta có hệ phương trình:

Với t =  − x ta được

Với t = x − 1 ta được

Vậy phương trình có 2 nghiệm x =  − 2 và .

Vì (P) đi qua ba điểm A(1;1), B(−1;−3), O(0;0) nên có hệ

.

Vậy (P) : y =  − x² + 2x.

* Theo định nghĩa tam thức bậc hai thì f(x) = 3x² + 2x − 5 là tam thức bậc hai.

 Điều kiện: .

Ta có: .

Loại . Do đó phương trình có 1 nghiệm.

Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3).

Đặt t = x² − 3x + 3, ta có: .

Do đó điều kiện cho ẩn phụ t là .

Khi đó phương trình trở thành:

⇔

⇔  ⇔ t = 1(thỏa mãn)

 ⇒ x² − 3x + 3 = 1⇔ .

Ta có a = 1 > 0, b =  − 2, c = 3 nên hàm số có đỉnh là I(1;2). Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;+∞).