Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

Hàm số y =  − 2x² + (m+1)x + 3 nghịch biến trên khoảng .

Để hàm số y =  − 2x² + (m+1)x + 3 nghịch biến trên khoảng (1  ;  5) thì ta phải có .

Các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y =  − 2x² + (m+1)x + 3 nghịch biến trên khoảng (1; 5) là m = 1,  m = 2,  m = 3.

Tổng tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y =  − 2x² + (m+1)x + 3 nghịch biến trên khoảng (1; 5) là S = 1 + 2 + 3 = 6.

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ [2; 3].

* Theo định nghĩa tam thức bậc hai thì f(x) = 3x² + 2x − 5 là tam thức bậc hai.

 Nhận xét: Từ bảng biến thiên ta suy ra đỉnh .

Chỉ có hàm số thỏa mãn tọa độ đỉnh này khi thay vào.

Đặt . Khi đó phương trình đã cho trở thành:

Vì t ≥ 0 ⇒ t = 6, thay vào ta có .

x² + 11 = 36 ⇔ x =  ± 5.

Vậy phương trình có nghiệm là x =  ± 5.

Tổng các nghiệm của phương trình là 0.

Đặt t = x² − 3x + 3, ta có: .

Do đó điều kiện cho ẩn phụ t là .

Khi đó phương trình trở thành:

⇔

⇔  ⇔ t = 1(thỏa mãn) ⇒ x² − 3x + 3 = 1⇔ .

Đặt , điều kiện t ≥ 0. Khi đó .

Phương trình trở thành

(Thỏa mãn)

Với t = 3 ta có

Vậy phương trình có hai nghiệm .

Tổng các nghiệm của phương trình là .

Tập xác định của hàm số

Ta có:

Ta vẽ đồ thị y = 2x + 3 với

Ta có bảng sau:

Suy ra đồ thị hàm số y = f(x) = 2x + 3 với là phần đồ thị nằm bên trên trục Ox và đi qua các điểm và B(0; 3).

Ta có đồ thị như sau:

Tương tự ta có đồ thị hàm số y = f(x) = - 2x - 3 với là phần đồ thị nằm bên trên trục Ox và đi qua các điểm C(-2; 1) và D(-3; 3).

Kết hợp 2 đồ thị ta có đồ thị hàm số y = |2x + 3| là phần đồ thị nét liền nằm trên trục Ox.

 Để f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ

ĐKXĐ: (2m²+1)x² − 4mx + 2 ≠ 0.

Xét tam thức bậc hai f(x) = (2m²+1)x² − 4mx + 2.

Ta có a = 2m² + 1 > 0,  Δ′ = 4m² − 2(2m²+1) =  − 2 < 0.

Suy ra với mọi m ta có f(x) = (2m²+1)x² − 4mx + 2 > 0  ∀x ∈ ℝ.

Do đó với mọi m ta có (2m²+1)x² − 4mx + 2 ≠ 0,  ∀x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.

.

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

 Điều kiện .

Ta có: .

Loại . Do đó .

Quan sát đồ thị ta loại y = x² − 3x − 3 và y =  − x² + 5x − 3. Phần đồ thị bên phải trục tung là phần đồ thị (P) của hàm số y =  − x² + 5x − 3 với x > 0, tọa độ đỉnh của (P) là , trục đối xứng là x = 2, 5. Phần đồ thị bên trái trục tung là do lấy đối xứng phần đồ thị bên phải của (P)qua trục tung Oy. Ta được cả hai phần là đồ thị của hàm số y =  − x² + 5|x| − 3.

Ta thấy các điểm nằm trên đồ thị của hàm số là: ; ; .

Vậy điểm không thuộc đồ thị hàm số đã cho là: .

Ta có : f(x₁) − f(x₂) = (x₁²−4x₁+5) − (x₂²−4x₂+5)

 = (x₁²−x₂²) − 4(x₁−x₂) = (x₁−x₂)(x₁+x₂−4).

● Với mọi x₁, x₂ ∈ (−∞;2) và x₁ < x₂. Ta có .

Suy ra .

Vậy hàm số nghịch biến trên (−∞;2).

● Với mọi x₁, x₂ ∈ (2;+∞) và x₁ < x₂. Ta có .

Suy ra .

Vậy hàm số đồng biến trên (2;+∞).

Trục đối xứng của (P) có dạng:

.

Vậy (P) có phương trình: .

ĐKXĐ: 2x(x²+1) ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

Đặt , a  ≥ 0, b ≥ 0

Suy ra a² + b² = 2x + x² + 1 = (x+1)²

Phương trình trở thành a² + b² − 2ab = 0 ⇔ (a−b)² = 0 ⇔ a = b

Suy ra (thỏa mãn)

Vậy phương trình có một nghiệm là x = 1 .

*x² − x − 5 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

* − x² − x − 1 = 0vô nghiệm, a =  − 1 < 0 nên  − x² − x − 1 < 0, ∀x ∈ ℝ

*2x² + x = 0 có 2 nghiệm phân biệt

*x² + x + 1 = 0 vô nghiệm, a = 1 > 0 nên x² + x + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ thỏa ycbt.

Hàm số xác định  ⇔ x − 1 ≥ 0  ⇔ x ≥ 1.

Ta thấy x =  − 3 không là nghiệm của phương trình.

Xét x ≠  − 3, phương trình

Phương trình (*)

(thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và .

Để phương trình có hai nghiệm thì

Áp dụng hệ thức Viet ta có:

Khi đó: .

Xét hàm số có hệ số , hoành độ đỉnh nên đồng biến trên .

Để  với  

Parabol có hệ số theo x² là 4 > 0 nên bề lõm hướng lên. Hoành độ đỉnh .

• Nếu thì x_I <  − 2 < 0 . Suy ra f(x) đồng biến trên đoạn [ − 2; 0].

Do đó min_{[ − 2; 0]}f(x) = f(−2) = m² + 6m + 16.

Theo yêu cầu bài toán: m² + 6m + 16 = 3 (vô nghiệm).

• Nếu thì x_I ∈ [0; 2]. Suy ra f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.

Do đó .

Theo yêu cầu bài toán (thỏa mãn  − 4 ≤ m ≤ 0).

• Nếu thì x_I > 0 >  − 2. Suy ra f(x) nghịch biến trên đoạn [ − 2; 0].

Do đó min_{[ − 2; 0]}f(x) = f(0) = m² − 2m.

Theo yêu cầu bài toán:

Vậy

 Vì hàm số bậc hai có đỉnh nên:

và .

Suy ra .

Nếu quãng đường đi được nhỏ hơn 0,7km thì số tiền phải trả là .

Nếu quãng đường đi trên 0,7km thì số tiền phải trả là:

(đồng)

Vậy mối liên hệ giữa y và x là: .

Ta có

.

Tổng các bình phương của các nghiệm của phương trình là .

Quan sát đồ thị ta thấy có bề lõm quay lên trên suy ra a > 0

Parabol cắt trục tung tại điểm có tọa độ nằm phía trên trục hoành nên .

Đỉnh parabol nằm bên trái trục tung nên có hoành độ mà suy ra .

Kết luận: .

Ta có : .

● Với mọi x₁, x₂ ∈ (−∞;−5) và x₁ < x₂. Ta có .

Suy ra đồng biến trên (−∞;−5).

● Với mọi x₁, x₂ ∈ (−5;+∞) và x₁ < x₂. Ta có .

Suy ra đồng biến trên (−5;+∞).

Chọn Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;−5) và (−5;+∞).

Thử trực tiếp thấy tọa độ của M(2;0) thỏa mãn phương trình hàm số.

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = x² − 2x + 2m + 3 trên đoạn [2 ; 5]:

Do đó giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2 ; 5] của hàm số y = x² − 2x + 2m + 3 bằng 2m + 3.

Theo giả thiết 2m + 3 =  − 3 ⇔ m =  − 3.

Tam thức bậc 2 là biểu thức f(x) có dạng  ax²+ bx + c (a≠0).

f(x) = 3x² − 5 là tam thức bậc 2 với a = 3, b = 0, c =  − 5.

Xét phương trình:

Điều kiện: .

Vậy phương trình vô nghiệm.

 Để bất phương trình với mọi x ∈ ℝ thì:

ĐK x ≥ 3.

.

Vậy phương trình có một nghiệm.

.

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

Trên khoảng (−3;−1) và (1;3) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải

Hàm số đồng biến trên khoảng (−3;−1) và (1;3).

Hàm số y = ax² + bx + c với a < 0 nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng .

Áp dụng: Ta có Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;2). Do đó Hàm số nghịch biến trên khoảng (4;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;4) sai. Chọn đáp án này.

Đáp án Trên khoảng (−∞;−1) hàm số đồng biến đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;2) thì đồng biến trên khoảng con (−∞;−1).

Đáp án Trên khoảng (3;+∞) hàm số nghịch biến đúng vì hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) thì nghịch biến trên khoảng con (3;+∞).

Gọi tọa độ đỉnh của parabol là điểm

Hàm số bậc hai có:

=>

Hàm số có các hệ số a = 1, b = ‒2, c = 1 nên có tọa độ đỉnh

Điều kiện: .

Vậy tập xác định của hàm số là D = [ − 1;  + ∞) ∖ {0}.