Đường gấp khúc trong hình vẽ là dạng đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê trong các phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0;1) và (1;0) nên chỉ có hàm số y = 1 − |x| thỏa mãn.
Chọn y = 1 − |x|.
Giả sử đồ thị parabol 
đi qua điểm và có trục đối xứng là đường thẳng . Tính tổng các giá trị và ?
Ta có:
Trục đối xứng của là:
Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?
y = 3x + 1 có a = 3 > 0 nên hàm số đồng biến trên TXĐ.
Cho hàm số . Tính P = f(2) + f(−2).
Ta có: .
Một chiếc cổng hình parabol có phương trình . Biết cổng có chiều rộng d = 5 mét (như hình vẽ). Hãy tính chiều cao h của cổng.
Gọi Avà Blà hai điểm ứng với hai chân cổng như hình vẽ.
Vì cổng hình parabol có phương trình và cổng có chiều rộng d = 5 mét nên:
AB = 5 và .
Vậy chiều cao của cổng làmét.
Tìm parabol (P) : y = ax2 + 3x − 2, biết rằng parabol có trục đối xứng x = − 3.
Vì (P) có trục đối xứng x = − 3 nên .
Vậy .
Biết rằng (P) : y = ax2 − 4x + c có hoành độ đỉnh bằng − 3 và đi qua điểm M(−2;1). Tính tổng S = a + c.
Vì (P) có hoành độ đỉnh bằng − 3 và đi qua M(−2;1) nên ta có hệ
Với giá trị nào của m thì bất phương trình x2 − x + m ≤ 0 vô nghiệm?
Bất phương trình x2 − x + m ≤ 0 vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình .
Tổng các nghiệm của phương trình là :
Ta có
Phương trình có nghiệm là và
.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là .
Hàm số f(x) có tập xác định ℝ và có đồ thị như hình vẽ
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Nhìn vào đồ thị hàm số ta có:
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm M(1; 0), N(3; 0) ⇒ MN = 2 . Suy ra Đồ thị hàm số cắt trục hoành theo một dây cung có độ dài bằng 2là đúng.
Cho tam thức . Tìm m để f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.
Để f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ
Giá trị thực của tham số m để phương trình x2 − 2(m−1)x + m2 − 2m = 0 có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn hơn là:
Ta có:x2 − 2(m−1)x + m2 − 2m = 0
⇔ x2 − 2mx + m2 + 2x − 2m = 0
Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu (1)
Với m ∈ (0 ; 2) suy ra .
Theo bài ra, ta có |x2| > |x1| ⇔ |x2|2 > |x1|2 ⇔ x22 − x12 > 0
⇔ (x2−x1)(x2+x1) > 0
⇔ (m−2−m)(m−2+m) > 0 ⇔ m < 1
Kết hợp điều kiện (1), ta được 0 < m < 1.
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên ℝ?
Hàm số y = ax + b với a ≠ 0 nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi a < 0.
Tập xác định của hàm số là
Hàm số có nghĩa khi
⇔ x ∈ [ − 1; 3) ∖ {2}.
Số nghiệm của phương trình là:
vô số.
Ta thấy x = − 3 không là nghiệm của phương trình.
Xét x ≠ − 3, phương trình
Phương trình (*)
(thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và .
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4 − 4x3 − x2 + 10x − 3 trên đoạn [−1; 4] là
Ta có y = x4 − 4x3 − x2 + 10x − 3 = x4 − 4x3 + 4x2 − 5x2 + 10x − 5 + 2
= (x2−2x)2 − 5(x−1)2 + 2 = [(x−1)2−1]2 − 5(x−1)2 + 2.
Đặt t = (x−1)2, x ∈ [−1; 4] ⇒ t ∈ [0; 9].
.
Cách 1: Ta có .
Cách 2: Vẽ BBT
Vậy , ymax = 21.
Biết phương trình có 2 nghiệm x1, x2 (x1<x2) . Khẳng định nào sau đây đúng?
Điều kiện:
x2 + 3x ≥ 0⇔
phương trình .
Đặt , điều kiện t ≥ 0.
Phương trình trở thành t2 + 3t − 10 = 0
⇔ ⇒
, thoả mãn (1) ⇒ x1 + 4x2 = 0.
Tập nghiệm của bất phương trình là:
Tam thức có hai nghiệm phân biệt
a = 2 > 0 nên f(x) dương với mọi x thuộc hai nửa khoảng
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
Cho hàm số xác định trên [ − 1; 1]. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [ − 1; 1] lần lượt là y1, y2 thỏa mãn y1 − y2 = 8. Khi đó giá trị của m bằng
Đặt .
Hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số là (bất đẳng thức Côsi).
Vì hệ số a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên .
Suy ra, hàm số nghịch biến [ − 1; 1].
.
.
Theo đề bài ta có: y1 − y2 = 8 .
Dấu của tam thức bậc 2: f(x) = –x2+ 5x – 6 được xác định như sau:
Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án f(x) > 0với 2< x < 3 và f(x) < 0với x < 2 ∨ x > 3 .
Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm?
Điều kiện: .
Ta có: .
Loại . Do đó phương trình có 1 nghiệm.
Cho tam thức bậc hai f(x) = x2 − 4x + 4. Hỏi khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có: f(x) = x2 − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2
Dựa vào bảng xét dấu, chọn đáp án f(x) > 0, ∀x ∈ ℝ.
Tập nghiệm của phương trình là:
Ta có: .
Vậy .
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là [ − 3; 3] và đồ thị của nó được biểu diễn bởi hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trên khoảng (−3;−1) và (1;3) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải
Hàm số đồng biến trên khoảng (−3;−1) và (1;3).
Phương trình có tập nghiệm là:
Ta có: .
Thử lại thấy không thỏa mãn. Vậy
.
Trục đối xứng của parabol y = − x2 + 5x + 3 là đường thẳng có phương trình
Trục đối xứng của parabol y = ax2 + bx + c là đường thẳng .
Trục đối xứng của parabol y = − x2 + 5x + 3 là đường thẳng .
Số nghiệm của phương trình là:
Điều kiện:
Vậy phương trình đã cho có tất cả 1 nghiệm.
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng (−∞;0)?
Xét đáp án , ta có
và có a > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞;0).
Số các nghiệm của phương trình là:
⇔
⇔ .
Vậy phương trình có ba nghiệm.
Giải bất phương trình
Ta có bảng xét dấu như sau:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
Xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng (0;+∞). Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có
Với mọi x1, x2 ∈ (0;+∞) và x1 < x2. Ta có .
Suy ra nghịch biến trên (0;+∞).
Cho hàm số . Biết f(x0) = 5 thì x0 là
TH1. x0 ≤ − 3: Với f(x0) = 5 ⇔ − 2x0 + 1 = 5 ⇔ x0 = − 2 (Loại).
TH2. x0 > − 3: Với (thỏa mãn).
Số nghiệm của phương trình là:
ĐKXĐ: 2x(x2+1) ≥ 0 ⇔ x ≥ 0
Đặt , a ≥ 0, b ≥ 0
Suy ra a2 + b2 = 2x + x2 + 1 = (x+1)2
Phương trình trở thành a2 + b2 − 2ab = 0 ⇔ (a−b)2 = 0 ⇔ a = b
Suy ra (thỏa mãn)
Vậy phương trình có một nghiệm là x = 1 .
Tam thức f(x) = − 2x2 + (m−2)x − m + 4 không dương với mọi x khi:
.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ − 7; 7] để phương trình mx2 − 2(m+2)x + m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt?
TH1:; phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất nên loại m = 0
TH2: m ≠ 0
Để mx2 − 2(m+2)x + m − 1 = 0với m ∈ [ − 7; 7]có hai nghiệm phân biệt thì
đồng thời m ∈ [ − 7; 7].
Vậy m = {1; 2;3;4;5;6;7}→ có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số ?
Thay tọa độ vào
ta được
thỏa mãn. Suy ra điểm này thuộc đồ thị hàm số
.
Cho parabol (P) có phương trình y = 3x2 − 2x + 4. Tìm trục đối xứng của parabol này.
+ Có a = 3; b = − 2; c = 4.
+ Trục đối xứng của parabol là .
Bất phương trình có tập nghiệm là:
Ta có: (vô lí).
Vậy .
Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x4 − 2x2 + 3 − m = 0 có nghiệm.
Đặt t = x2 (t≥0).
Khi đó, phương trình đã cho trở thành: t2 − 2t + 3 − m = 0. (*)
Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm không âm.
Phương trình (*) vô nghiệm khi và chỉ khi Δ′ < 0 ⇔ m − 2 < 0 ⇔ m < 2.
Phương trình (*) có 2 nghiệm âm khi và chỉ khi .
Do đó, phương trình (*) có nghiệm không âm khi và chỉ khi m ≥ − 2.
Biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 (x1<x2) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đặt t = x2 − 3x + 3, ta có: .
Do đó điều kiện cho ẩn phụ t là .
Khi đó phương trình trở thành:
⇔
⇔
⇔ t = 1(thỏa mãn)
⇒ x2 − 3x + 3 = 1⇔ .
