Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

Hàm số y =  − 2x² + (m+1)x + 3 nghịch biến trên khoảng .

Để hàm số y =  − 2x² + (m+1)x + 3 nghịch biến trên khoảng (1  ;  5) thì ta phải có .

Các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y =  − 2x² + (m+1)x + 3 nghịch biến trên khoảng (1; 5) là m = 1,  m = 2,  m = 3.

Tổng tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y =  − 2x² + (m+1)x + 3 nghịch biến trên khoảng (1; 5) là S = 1 + 2 + 3 = 6.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞).

Để thì nghiệm đúng với .

Nghĩa là:

Điều kiện:

Vậy phương trình đã cho có tất cả 1 nghiệm.

* Với m < 2 ⇒ phương trình vô nghiệm

* Với m ≥ 2,

.

Phương trình có nghiệm Δ′ = 2(m−1)² + 1 > 0 đúng mọi m.

Vậy m ≥ 2 là những giá trị cần tìm hay m thuộc [2;  + ∞).

Ta có

.

Điều kiện xác định: 4x² − 4x + 1 ≥ 0 ⇔ (2x−1)² ≥ 0 (luôn đúng với mọi x ∈ ℝ).

Do đó tập xác định D = ℝ.

Đặt . Phương trình trở thành:

t³ − 2t + 4 = 0 ⇔ (t+2)(t²−2t+2) = 0 ⇔ t =  − 2

Ta được

.

Tổng các nghiệm của phương trình là  − 5.

Quan sát đồ thị ta thấy có bề lõm quay lên trên suy ra a > 0

Parabol cắt trục tung tại điểm có tọa độ nằm phía trên trục hoành nên .

Đỉnh parabol nằm bên trái trục tung nên có hoành độ mà suy ra .

Kết luận: .

Dựa vào bảng xét dấu thì f(x) > 0 khi x < 2 ∨ x > 3 mà a > 3 nên f(a) > 0.

Điều kiện .

Vậy tập xác định của hàm số là .

f(x+3) = a(x+3)² + b(x+3) + c = ax² + (6a+b)x + 9a + 3b + c.

f(x+2) = a(x+2)² + b(x+2) + c = ax² + (4a+b)x + 4a + 2b + c.

f(x+1) = a(x+1)² + b(x+1) + c = ax² + (2a+b)x + a + b + c.

 ⇒ f(x+3) − 3f(x+2) + 3f(x+1) = ax² + bx + c.

Đặt . Khi đó ta có phương trình: . (1)

Với thì (Loại)

Với để phương trình ban đầu vô nghiệm thì:

TH1: (1) vô nghiệm .

TH2: (1) có 2 nghiệm âm

Kết hợp 2 trường hợp, ta được .

Ta có: .

Ta có: (Vì với mọi giá trị ). Do đó .

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng(2;+∞).

Hàm số xác định . Vậy D = ℝ ∖ {0;4}.

Đặt .

Hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số là (bất đẳng thức Côsi).

Vì hệ số a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên .

Suy ra, hàm số nghịch biến [ − 1; 1].

.

.

Theo đề bài ta có: y₁ − y₂ = 8 .

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0;1) và (1;0) nên chỉ có hàm số y = 1 − |x| thỏa mãn.

Chọn y = 1 − |x|.

Ta có:

Bảng xét dấu

f(x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞;−1) ∪ (0;1) ∪ (2;3) ∪ (4;+∞)

Dựa vào bảng xét dấu, chọn đáp án Âm với mọi .

Ta có:

Từ yêu cầu bài toán

Suy ra

Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dựa vào bảng xét dấu, chọn đáp án f(x) > 0với  2< x < 3 và f(x) < 0với x < 2 ∨ x > 3.

f(x) = 2x² + 2x + 5 = 0 có: nên f(x) > 0∀x ∈ ℝ.

Lí thuyết định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến: Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên K nếu ∀x₁; x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

 Thay tọa độ vào hàm số ta được: . Do đó điểm này không thuộc đồ thị hàm số.

Ta có:

Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng .

 Với , ta có: .

Đáp án  là đáp án đúng vì hàm số bậc hai có dạng

Ta có y = x⁴ − 4x³ − x² + 10x − 3 = x⁴ − 4x³ + 4x² − 5x² + 10x − 5 + 2

 = (x²−2x)² − 5(x−1)² + 2 = [(x−1)²−1]² − 5(x−1)² + 2.

Đặt t = (x−1)², x ∈ [ − 1; 4] ⇒ t ∈ [0; 9].

.

Cách 1: Ta có .

Cách 2: Vẽ BBT

Vậy , y_max = 21.

Điều kiện: .

.

Đặt , .

.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Điều kiện:

Phương trình tương đương:

Kết hợp điều kiện ta được: thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm.

Điều kiện:

Phương trình tương đương

Kết hợp với điều kiện ra được thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là:

 Nhận xét: Từ hình vẽ suy ra đỉnh .

Thay tọa độ đỉnh vào các hàm số ở các đáp án, chỉ có hàm số thỏa mãn.

Ta có:

Nhìn vào đồ thị hàm số đã cho ta thấy:

Đồ thị đi qua điểm A(0;1)nên loại trừ đáp án y = |x| − 1 và y = |x|.

Đồ thị đi qua điểm B(−1;0),C(1;0)nên loại trừ đáp án y = |x| + 1.

Chọn y = 1 − |x|.

*Gọi D là tập xác định của hàm số .

*.

*Hàm số xác định trên khoảng (0;1)

.

Phương trình .

Vậy S = {2}.

Ta có a = 1 > 0, b =  − 2, c = 3 nên hàm số có đỉnh là I(1;2). Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;+∞).

 Ta có: .

Hàm số bậc hai y = x² – 3x + 2 có tập xác định là ℝ. Khẳng định "Tập xác định của hàm số là D = (0; +∞)." sai.

Xét điểm M(1; 0): thay x = 1; y = 0 vào hàm số ta có: 0 = 1² – 3. 1 + 2 = 0 là mệnh đề đúng. Vậy M(1; 0) thuộc đồ thị hàm số. Khẳng định "Điểm M(1; 0) thuộc đồ thị hàm số." đúng.

Hàm số y = x² – 3x + 2 có a = 1 > 0, b = ‒3 nên hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng . Khẳng định "Hàm số đồng biến trên ℝ." sai.

Hàm số y = x² – 3x + 2 có a = 1 > 0 nên đồ thị hàm số có bề lõm quay lên trên. Khẳng định "Đồ thị hàm số có bề lõm quay xuống dưới." sai.