Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

Hàm số y = ax² + bx + c với a < 0 nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng .

Áp dụng: Ta có Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;2). Do đó Hàm số nghịch biến trên khoảng (4;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;4) sai. Chọn đáp án này.

Đáp án Trên khoảng (−∞;−1) hàm số đồng biến đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;2) thì đồng biến trên khoảng con (−∞;−1).

Đáp án Trên khoảng (3;+∞) hàm số nghịch biến đúng vì hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) thì nghịch biến trên khoảng con (3;+∞).

Điều kiện: .

⇔

⇔

⇔  ⇔ x = 0(TM).

Vậy, phương trình có một nghiệm.

Ta có

.

Tổng các bình phương của các nghiệm của phương trình là .

.

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Ta có y = x⁴ − 4x³ − x² + 10x − 3 = x⁴ − 4x³ + 4x² − 5x² + 10x − 5 + 2

 = (x²−2x)² − 5(x−1)² + 2 = [(x−1)²−1]² − 5(x−1)² + 2.

Đặt t = (x−1)², x ∈ [−1; 4] ⇒ t ∈ [0; 9].

.

Cách 1: Ta có .

Cách 2: Vẽ BBT

Vậy , y_max = 21.

Bất phương trình: vô nghiệm khi và chỉ khi

Xét

Với thì (*) loại giá trị .

Với thì bất phương trình (*) bất phương trình vô nghiệm, nhận giá trị .

Xét

Vậy thì bất phương trình (*) vô nghiệm.

Điều kiện xác định của phương trình là x ≥  − 3.

Phương trình tương đương với .

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Dựa vào bảng xét dấu, .

Mà x ∈ ℤ⇒ x ∈ {0;1;2;3;4} (5 giá trị).

TXĐ : nên ta loại đáp án C và D.

Xét

Với mọi và x₁ < x₂, ta có

Vậy hàm số đồng biến trên .

Hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) có thể là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án

 Ta có: và .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là .

Do đó, .

Xét  , ta có: .

Điều kiện xác định của là . Kết hợp với ta được .

Vậy .

Hàm số có dạng y = ax + b, nên để hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi . Mặt khác do m ∈ ℤ nên m ∈ {−1;  0;  1;  2}.

Vậy có 4 giá trị nguyên của m.

 Ta có: .

Vì (P) đi qua điểm M(−1;6) và có tung độ đỉnh bằng nên ta có hệ

(thỏa mãn a > 1) hoặc (loại).

Suy ra P = ab = 16.12 = 192.

Ta có .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu . Suy ra số thực dương lớn nhất thỏa là .

y = 3x + 1 có a = 3 > 0 nên hàm số đồng biến trên TXĐ.

Hàm số có nghĩa khi

 ⇔ x ∈ [ − 1; 3) ∖ {2}.

Hàm số y = (2m−1)x + 7 đồng biến trên ℝ khi 2m − 1 > 0 hay .

Đường thẳng (d) tạo với trục hoành và trục tung một tam giác OAB là tam giác vuông cân ⇔ đường thẳng (d) tạo với chiều dương trục hoành bằng 45^∘ hoặc 135^∘⇔ hệ số góc tạo của (d) bằng 1 hoặc

.

Thử lại: m = 5 thì d không đi qua O.

Vậy có duy nhất một giá trị m = 5 nguyên dương thỏa ycbt.

Đặt

 ⇒ t² = x² − x + 1 ⇒ (2x−1)² = 4x² − 4x + 1 = 4t² − 3

Vì nên

Phương trình (1) trở thành 4t² − 3 + m = t ⇔  − 4t² + t + 3 = m.

Xét hàm số y =  − 4t² + t − 3 với

Ta có

Bảng biến thiên

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình có nghiệm

⇔ đồ thị hàm số y =  − 4t² + t − 3 trên cắt đường thẳng .

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi .

Điều kiện xác định của hàm số là:

=> Tập xác định của hàm số là: 

Ta có a = 1 > 0, b =  − 2, c = 3 nên hàm số có đỉnh là I(1;2). Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;+∞).

Cách 1: Do  x² + 1 > 0; ∀x ∈ ℝ nên hàm số xác định với mọi x ∈ ℝ

Gọi y₀ là giá trị tùy ý, ta có phương trình:

 ⇔ (3−y₀)x² + 2x + 3 − y₀ = 0(1)

+ Nếu y₀ = 3 thì phương trình (1)trở thành: 2x = 0 ⇔ x = 0.

Vậy phương trình (1)có nghiệm y₀ = 3(*).

+ Nếu y₀ ≠ 3 thì phương trình (1)là phương trình bậc hai, nên nó có nghiệm khi và chỉ khi

Δ′ = 1² − (3−y₀)² ≥ 0

 ⇔  − y₀² + 6y₀ − 8 ≥ 0

 ⇔ 2 ≤ y₀ ≤ 4.

Vậy phương trình (1)có nghiệm .

+ Kết hợp (*), (**) thì phương trình (1)có nghiệm  ⇔ 2 ≤ y₀ ≤ 4.

Vậy: Miền giá trị của hàm số là [2; 4].

Cách 2: Ta có

Suy ra GTNN của A = 2 khi và chỉ khi x =  − 1.

Mặt khác

Suy ra GTLN của A = 4 khi và chỉ khi x = 1.

Vậy miền giá trị của hàm số là [2; 4].

Ta có :

.

● Với mọi x₁, x₂ ∈ (−∞;−5) và x₁ < x₂. Ta có .

Suy ra đồng biến trên (−∞;−5).

● Với mọi x₁, x₂ ∈ (−5;+∞) và x₁ < x₂. Ta có .

Suy ra đồng biến trên (−5;+∞).

Hàm số y = ax² + bx + c với a > 0 đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng .

Áp dụng: Ta có . Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−1) và đồng biến trên khoảng (−1;+∞).

 Để bất phương trình với mọi x ∈ ℝ thì:

Xét đáp án , ta có và có a > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞;0).

Đồ thị hàm số bậc hai là một đường parabol có đỉnh là điểm , có trục đối xứng là đường thẳng . Parabol này quay bề lõm lên trên nếu .

Hàm số  có

=> Đồ thị hàm số có bề lõm quay lên.

Điều kiện:

Đặt .

PT đã cho trở thành:

Với t = 2 ta được

Với t =  − 4 ta được ta được

Vậy phương trình có hai nghiệm là ; .

TH1:; phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất nên loại m = 0

TH2: m ≠ 0

Để mx² − 2(m+2)x + m − 1 = 0với m ∈ [ − 7; 7]có hai nghiệm phân biệt thì

đồng thời m ∈ [ − 7; 7].

Vậy m = {1; 2;3;4;5;6;7}→ có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

 Điều kiện: .

Ta có: .

Thử lại không thỏa mãn.

Vậy

Trên khoảng (−3;−1) và (1;3) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải

Hàm số đồng biến trên khoảng (−3;−1) và (1;3).

Nhận xét:

Parabol có bề lõm hướng lên.

Đỉnh của parabol là điểm (1;−3). Xét các đáp án, đáp án y = 2x² − 4x − 1 thỏa mãn.

Phương trình

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

Bất phương trình x² − x + m ≤ 0 vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình .

 Điều kiện .

Ta có: .

Loại . Do đó .

 Ta có: .

Vậy

 Ta có: .

Vậy .