Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

Nhận xét:

Bảng biến thiên có bề lõm hướng lên. Loại đáp án y =  − x² + 4x − 9 và y =  − x² + 4x.

Đỉnh của parabol có tọa độ là (2;−5). Xét các đáp án, đáp án y = x² − 4x − 1 thỏa mãn.

Hàm số có dạng y = ax + b, nên để hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi . Mặt khác do m ∈ ℤ nên m ∈ {−1;  0;  1;  2}.

Vậy có 4 giá trị nguyên của m.

 Thay tọa độ và vào hàm số, ta được:

.

Vậy đó là hàm số .

 Ta có: .

y = x² − 4x + 1 = (x−2)² − 3 ≥  − 3.

Dấu xảy ra khi và chỉ khi x = 2.

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất là  − 3 tại x = 2.

 Thay tọa độ vào ta được thỏa mãn. Suy ra điểm này thuộc đồ thị hàm số .

Hàm số y = ax² + bx + c với a < 0 nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng .

Áp dụng: Ta có Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;2). Do đó Hàm số nghịch biến trên khoảng (4;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;4) sai. Chọn đáp án này.

Đáp án Trên khoảng (−∞;−1) hàm số đồng biến đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;2) thì đồng biến trên khoảng con (−∞;−1).

Đáp án Trên khoảng (3;+∞) hàm số nghịch biến đúng vì hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) thì nghịch biến trên khoảng con (3;+∞).

Đặt . Khi đó ta có phương trình: . (1)

Với thì (Loại)

Với để phương trình ban đầu vô nghiệm thì:

TH1: (1) vô nghiệm .

TH2: (1) có 2 nghiệm âm

Kết hợp 2 trường hợp, ta được .

TH1. x₀ ≤  − 3: Với f(x₀) = 5 ⇔  − 2x₀ + 1 = 5 ⇔ x₀ =  − 2 (Loại).

TH2. x₀ >  − 3: Với (thỏa mãn).

Ta có

.

Tổng các bình phương của các nghiệm của phương trình là .

.

Ta có: MN = 5 ⇒ MN² = (−1−t)² + (2+t)² = 25

 ⇔ 2t² + 6t − 20 = 0

 ⇒ M(−5;6) ⇒ a − b =  − 11

f(x) = 2x² + 2x + 5 = 0 có: nên f(x) > 0∀x ∈ ℝ.

Từ bảng xét dấu ta có:

có hai nghiệm phân biệt và khi

Do đó

Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3).

Tam thức  có hai nghiệm phân biệt

a = 2 > 0 nên f(x) dương với mọi x thuộc hai nửa khoảng

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

Cách 1: Do  x² + 1 > 0; ∀x ∈ ℝ nên hàm số xác định với mọi x ∈ ℝ

Gọi y₀ là giá trị tùy ý, ta có phương trình:

 ⇔ (3−y₀)x² + 2x + 3 − y₀ = 0(1)

+ Nếu y₀ = 3 thì phương trình (1)trở thành: 2x = 0 ⇔ x = 0.

Vậy phương trình (1)có nghiệm y₀ = 3(*).

+ Nếu y₀ ≠ 3 thì phương trình (1)là phương trình bậc hai, nên nó có nghiệm khi và chỉ khi

Δ′ = 1² − (3−y₀)² ≥ 0

 ⇔  − y₀² + 6y₀ − 8 ≥ 0

 ⇔ 2 ≤ y₀ ≤ 4.

Vậy phương trình (1)có nghiệm .

+ Kết hợp (*), (**) thì phương trình (1)có nghiệm  ⇔ 2 ≤ y₀ ≤ 4.

Vậy: Miền giá trị của hàm số là [2; 4].

Cách 2: Ta có

Suy ra GTNN của A = 2 khi và chỉ khi x =  − 1.

Mặt khác

Suy ra GTLN của A = 4 khi và chỉ khi x = 1.

Vậy miền giá trị của hàm số là [2; 4].

Điều kiện:

Vậy phương trình đã cho có tất cả 1 nghiệm.

f(x) =  − x² − 1 = 0  vô nghiệm

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ ℝ.

* Với m < 2 ⇒ phương trình vô nghiệm

* Với m ≥ 2,

.

Phương trình có nghiệm Δ′ = 2(m−1)² + 1 > 0 đúng mọi m.

Vậy m ≥ 2 là những giá trị cần tìm hay m thuộc [2;  + ∞).

Trên khoảng (0;2) đồ thị hàm số đi ngang từ trái sang phải

Hàm số không đổi trên khoảng (0;2).

Trên khoảng (2;3) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải

Hàm số đồng biến trên khoảng (2;3).

Chọn đáp án Hàm số đồng biến trên khoảng (2;3).

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 

Xét  , ta có: .

Điều kiện xác định của là . Kết hợp với ta được .

Vậy .

Đặt f(x) = x² − (m−1)x + m + 2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi:

Theo Viet, ta có .

Yêu cầu bài toán

.

Kết hợp điều kiện ta được m ∈ (−∞;−2) ∪ (−2;−1).

 Để  đổi dấu 2 lần thì .

Ta có: hoặc .

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (4;0) và cắt trục tung tại điểm (0;2) nên chọn đáp án đồ thị hàm số đi qua 2 điểm này.

 Điều kiện: .

Ta có: .

Loại . Do đó .

 Ta có: và .

Phương trình có hai nghiệm .

Do đó (5 giá trị).

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1, phương trình hoành độ giao điểm phải có nghiệm x = 1, ta chỉ có phương trình .

Ta có a = 1 > 0, b =  − 2, c = 3 nên hàm số có đỉnh là I(1;2). Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;+∞).

 Ta có: .

Hoành độ đỉnh của (P) là .

Suy ra tung độ đỉnh y =  − 4m − 2. Do đó tọa độ đỉnh của (P) là I(1;−4m−2).

Theo giả thiết, đỉnh I thuộc đường thẳng y = 3x − 1 nên  − 4m − 2 = 3.1 − 1 ⇔ m =  − 1.

Hàm số xác đinh khi và chỉ khi .

Điều kiện:

Đặt .

PT đã cho trở thành:

Với t = 2 ta được

Với t =  − 4 ta được ta được

Vậy phương trình có hai nghiệm là ; .

Điều kiện:

Với điều kiện trên, phương trình tương đương

 ⇔ x² − 3x + 1 = 0

hoặc

Theo yêu cầu đề bài ta chọn nghiệm .

Vậy a = 3, b = 5, c = 2 nên S = a + b + c = 10.

Đặt t = x² − 3x + 3, ta có: .

Do đó điều kiện cho ẩn phụ t là .

Khi đó phương trình trở thành:

⇔

⇔  ⇔ t = 1(thỏa mãn)

 ⇒ x² − 3x + 3 = 1⇔ .

Ta có y = x⁴ − 4x³ − x² + 10x − 3 = x⁴ − 4x³ + 4x² − 5x² + 10x − 5 + 2

 = (x²−2x)² − 5(x−1)² + 2 = [(x−1)²−1]² − 5(x−1)² + 2.

Đặt t = (x−1)², x ∈ [ − 1; 4] ⇒ t ∈ [0; 9].

.

Cách 1: Ta có .

Cách 2: Vẽ BBT

Vậy , y_max = 21.

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng(2;+∞).

Thử trực tiếp thấy tọa độ của M(2;0) thỏa mãn phương trình hàm số.

Ta có:

Vậy tập nghiệm phương trình là:

Nhìn đồ thị, ta thấy đồ thị y = f(x) cắt trục hoành tại 2 điểm x = 1, x = 4 nên Δ > 0, dựa vào hình dạng parabol nên suy a > 0