Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

Gọi: A, B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số y = x − 2m + 1 với trục hoành và trục tung

Suy ra A(2m−1; 0); B(0; 1−2m).

Theo giả thiết thì tam giác có diện tích bằng là tam giác OAB vuông tại O.

Do đó:

 ⇔ OA.OB = 25 ⇔ |2m−1|.|1−2m| = 25

 ⇔ |2m−1|.|2m−1| = 25

 ⇔ (2m−1)² = 25

.

Ta có

Trục đối xứng

Vậy (P) : y = 2x² − 4x + 4.

Điều kiện xác định:

.

Vậy tập xác định của hàm số là .

+ Gọi M là giao điểm của d₁ và d₂.

Xét hệ: .

+ M ∈ d₃ nên ta có: 5 = (3−2m).3 + 2 ⇔ 5 = 9 − 6m + 2 ⇔ 6m = 6 ⇔ m = 1.

Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt là:

Vì a = 1 > 0 nên khi .

Tập không phải tập con của S là: 

Hàm số xác định khi và chỉ khi

Phương trình x² + 2x + 3 = 0 ⇔ x ∈ ⌀ và

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy

Vậy tập xác định của hàm số là

Điều kiên:

Phương trình tương đương:

Đặt

Với t = 4 ta có:

Điều kiện: .

⇔

⇔

⇔  ⇔ x = 0(TM).

Vậy, phương trình có một nghiệm.

Trên khoảng (−1;1) và (2;3) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải

Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;1) và (2;3).

Trên khoảng (1;2) và (3;5) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2) và (3;5).

ĐKXĐ:

Đặt

Phương trình trở thành

(đối chiếu ĐKXĐ loại )

Với t = 1 ta có

Với ta có

Vậy phương trình có hai nghiệm và .

Bảng xét dấu của  − x² + 5x − 6

.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là .

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

Hàm số nghịch biến trong các khoảng: (−∞;−1) và (0;1).

Hàm số đồng biến trong các khoảng: (−1;0) và (1;+∞).

Đáp án sai là Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1).

Nhận xét:

Bảng biến thiên có bề lõm hướng lên. Loại đáp án y =  − x² + 4x − 9 và y =  − x² + 4x.

Đỉnh của parabol có tọa độ là (2;−5). Xét các đáp án, đáp án y = x² − 4x − 1 thỏa mãn.

Hệ số bề lõm hướng xuống.

Ta có và y(1) = 3. Do đó chọn .

Ta có: . 

Thử lại thấy không thỏa mãn.

Vậy .

 Ta có: .

Vậy .

 Để biểu thức là tam thức bậc hai ta có:

Điều kiện xác định của hàm số là:

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là

Để hàm số nghịch biến trên tập số thực thì .

Điều kiện: x ≥  − 1

Đặt

Phương trình đã cho trở thành:

Với t = 5 ta có:

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

ĐKXĐ: 2x(x²+1) ≥ 0 ⇔ x ≥ 0

Đặt , a  ≥ 0, b ≥ 0

Suy ra a² + b² = 2x + x² + 1 = (x+1)²

Phương trình trở thành a² + b² − 2ab = 0 ⇔ (a−b)² = 0 ⇔ a = b

Suy ra (thỏa mãn)

Vậy phương trình có một nghiệm là x = 1 .

Để biểu thức trên là tam thức bậc hai thì .

Để tam thức bậc hai đổi dấu 2 lần trên thì .

Ta có: . Suy ra .

Kết hợp điều kiện ở trên, suy ra .

Trục đối xứng x = 2. Ta có a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 2) và đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Hàm số có dạng y = ax + b, nên để hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi . Mặt khác do m ∈ ℤ nên m ∈ {−1;  0;  1;  2}. Vậy có 4 giá trị nguyên của m.

Gọi A và B là hai giao điểm cuả (P) với trục Ox có hoành độ lần lượt là  − 1 và 2. Suy ra A(−1;0), B(2;0).

Gọi C là giao điểm của (P) với trục Oy có tung độ bằng  − 2. Suy ra C(0;−2).

Theo giả thiết, (P) đi qua ba điểm A, B, C nên ta có:

.

Vậy (P) : y = x² − x − 2.

Ta có:

Vậy x = 3 hoặc x = 0

Hàm số xác định khi và chỉ khi 4 − 3x − x² > 0.

Phương trình

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy 4 − 3x − x² > 0 ⇔ x ∈ (− 4; 1).

Vậy tập xác định của hàm số là D = (− 4;1).

Ta có x² − 5x + 7 + 2m = 0 ⇔ x² − 5x + 7 =  − 2m. (*)

Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) : x² − 5x + 7 và đường thẳng y =  − 2m (song song hoặc trùng với trục hoành).

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = x² − 5x + 7 trên [1; 5] như sau:

Dựa vào bảng biến ta thấy x ∈ [1; 5] thì .

Do đo để phương trình (*) có nghiệm

Điều kiện: .

Ta có: .

.

Vậy phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.

Xét đáp án , ta có và có a > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞;0).

Đáp án  là đáp án đúng vì hàm số bậc hai có dạng

 Để với mọi x ∈ ℝ thì

 Ta có: .

Vậy .

Hàm số đồng biến khi m − 2 > 0 ⇔ m > 2. Suy ra m ∈ {3; 4; 5...; 2017}.

Vậy có 2015 giá trị nguyên của m cần tìm.

Chọn 2015.

Hàm số y = ax² + bx + c với a > 0 đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng .

Áp dụng: Ta có . Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−1) và đồng biến trên khoảng (−1;+∞).

Quan sát đồ thị ta có đỉnh của parabol là I(2;3) nên .

Mặt khác (P) cắt trục tung tại (0;−1) nên c =  − 1. Suy ra .

(P) : y =  − x² + 4x − 1 suy ra hàm số y = |−x²+4x−1| có đồ thị là là phần đồ thị phía trên trục hoành của (P) và phần có được do lấy đối xứng phần phía dưới trục hoành của (P), như hình vẽ sau:

Phương trình |ax²+bx+c| = m hay |−x²+4x−1| = m có bốn nghiệm phân biệt khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số hàm số y = |−x²+4x−1| tại bốn điểm phân biệt.

Suy ra 0 < m < 3.

 Ta có: .

Thử lại thấy không thỏa mãn. Vậy .

Đặt t = x²    (t≥0).

Khi đó, phương trình đã cho trở thành: t² − 2t + 3 − m = 0. (*)

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm không âm.

Phương trình (*) vô nghiệm khi và chỉ khi Δ′ < 0 ⇔ m − 2 < 0 ⇔ m < 2.

Phương trình (*) có 2 nghiệm âm khi và chỉ khi .

Do đó, phương trình (*) có nghiệm không âm khi và chỉ khi m ≥  − 2.

Ta có: f(−1) =  − 2(−1−3) = 8; .

Chọn đáp án 8 và 0.