Đề kiểm tra 45 phút Chương 3 Hàm số và đồ thị

Quan sát đồ thị ta loại y = x² − 3x − 3 và y =  − x² + 5x − 3. Phần đồ thị bên phải trục tung là phần đồ thị (P) của hàm số y =  − x² + 5x − 3 với x > 0, tọa độ đỉnh của (P) là , trục đối xứng là x = 2, 5. Phần đồ thị bên trái trục tung là do lấy đối xứng phần đồ thị bên phải của (P)qua trục tung Oy. Ta được cả hai phần là đồ thị của hàm số y =  − x² + 5|x| − 3.

 Từ đồ thị hàm số, nhận xét:

Bề lõm hướng lên trên suy ra .

Hàm số cắt trục tung tại tung độ âm .

Chọn đáp án .

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

Hàm số nghịch biến trong các khoảng: (−∞;−1) và (0;1).

Hàm số đồng biến trong các khoảng: (−1;0) và (1;+∞).

Đáp án sai là Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1).

 Điều kiện: .

Ta có: .

Loại . Do đó phương trình có 1 nghiệm.

Ta có a = 1 > 0, b =  − 2, c = 3 nên hàm số có đỉnh là I(1;2). Từ đó suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;+∞).

Ta có :

• Khi x < 2: xác định khi .

Suy ra D₁ = (−∞;2).

• Khi x ≥ 2: xác định khi x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥  − 7.

Suy ra D₁ = [2;  + ∞).

Vậy TXĐ của hàm số là D = D₁ ∪ D₂ = (−∞;+∞) = ℝ.

Gọi y là số tiền lãi của cửa hàng bán giày.

Ta có y = (120−x)(x−40) =  − x² + 160x − 4800 =  − (x−80)² + 1600 ≤ 1600.

Dấu xảy ra  ⇔ x = 80.

Vậy cửa hàng lãi nhiều nhất khi bán đôi giày với giá 80 USD.

Ta có: .

Ta có: (Vì với mọi giá trị ). Do đó .

 Ta có: .

y = 3x + 1 có a = 3 > 0 nên hàm số đồng biến trên TXĐ.

Điều kiện:

Phương trình tương đương:

Kết hợp với điều kiện ra được: thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có nghiệm

f(x) =  − x² − 1 = 0  vô nghiệm

Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án x ∈ ℝ.

Lí thuyết định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến: Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên K nếu ∀x₁; x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

+ Phương trình  ⇔ |f(x)| = m + 1.

+ Đồ thị hàm số y = |f(x)| có dạng:

+ Dựa vào đồ thị, để phương trình |f(x)| = m + 1 có hai nghiệm phân biệt thì:

.

Để biểu thức trên là tam thức bậc hai thì .

Để tam thức bậc hai đổi dấu 2 lần trên thì .

Ta có: . Suy ra .

Kết hợp điều kiện ở trên, suy ra .

ĐK: , .

Hàm số y = ax² + bx + c với a < 0 nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng .

Áp dụng: Ta có Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;2). Do đó Hàm số nghịch biến trên khoảng (4;+∞) và đồng biến trên khoảng (−∞;4) sai. Chọn đáp án này.

Đáp án Trên khoảng (−∞;−1) hàm số đồng biến đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;2) thì đồng biến trên khoảng con (−∞;−1).

Đáp án Trên khoảng (3;+∞) hàm số nghịch biến đúng vì hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞) thì nghịch biến trên khoảng con (3;+∞).

Ta có : f(x₁) − f(x₂) = (x₁²−4x₁+5) − (x₂²−4x₂+5) = (x₁²−x₂²) − 4(x₁−x₂) = (x₁−x₂)(x₁+x₂−4).

● Với mọi x₁, x₂ ∈ (−∞;2) và x₁ < x₂. Ta có .

Suy ra .

Vậy hàm số nghịch biến trên (−∞;2).

● Với mọi x₁, x₂ ∈ (2;+∞) và x₁ < x₂. Ta có .

Suy ra .

Vậy hàm số đồng biến trên (2;+∞).

Theo định nghĩa ta có:

Hàm số bậc hai là .

ĐKXĐ x >  − 1

pt ⇔ 3mx + 1 + x + 1 = 2x + 5m + 3 ⇔ (3m−1)x = 5m + 1.

Phương trình đã cho có nghiệm .

Thử trực tiếp thấy tọa độ của M(2;0) thỏa mãn phương trình hàm số.

Điều kiện: .

Vậy tập xác định của hàm số là D = [ − 1;  + ∞) ∖ {0}.

Điều kiện xác định x² + 5x + 10 ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ.

Khi đó phương trình

.

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Xét phương trình x² + 2(m+2)x − 2m − 1 = 0, có Δ′_x = (m+2)² + 2m + 1.

Yêu cầu bài toán ⇔  Δ′_x ≥ 0 ⇔ m² + 4m + 4 + 2m + 1 ≥ 0 ⇔ m² + 6m + 5 ≥ 0

là giá trị cần tìm.

Để phương trình có hai nghiệm thì

Áp dụng hệ thức Viet ta có:

Khi đó: .

Xét hàm số có hệ số , hoành độ đỉnh nên đồng biến trên .

Đặt . Khi đó ta có phương trình: . (1)

Với thì (Loại)

Với để phương trình ban đầu vô nghiệm thì:

TH1: (1) vô nghiệm .

TH2: (1) có 2 nghiệm âm

Kết hợp 2 trường hợp, ta được .

Với x ≤ 0 ta có: xác định với mọi x ≠ 1 nên xác định với mọi x ≤ 0.

Với x > 0 ta có: xác định với mọi x ≥  − 2 nên xác định với mọi x > 0.

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.

 Xét biếu thức có và nghiệm là

Ta có bảng xét dấu như sau:

Đồ thị nhận trục Oy là trục đối xứng nên hàm số tương ứng là hàm chẵn nên loại phương án y = |2x+1| và y = |x+1|

Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;3). Thay vào y = 2|x| + 1 thấy thỏa mãn nên chọn đáp án này.

Nhận xét:

Parabol có bề lõm hướng lên.

Parabol cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm. Xét các đáp án, đáp án y = 3x² + 6x + 1 thỏa mãn.

Dựa vào bảng xét dấu, chọn đáp án Âm với mọi .

 Để với mọi x ∈ ℝ thì

 Điều kiện: .

Ta có: . Loại .

Vậy .

Dựa vào bảng xét dấu, chọn đáp án f(x) > 0với  2< x < 3 và f(x) < 0với x < 2 ∨ x > 3.

Ta có:

Trục đối xứng của là:

 Nhận xét: . 

Do đó vô lí. 

Vậy .

ĐK: x ∈ [5; 7]

Đặt t = x − 6 , t ∈ [ − 1; 1].

Phương trình trở thành .

Ta có VT(*) ≤ 4, VP(*) ≥ 4 nên (*) ⇔ VT(*) = VP(*) = 4 ⇔ t = 0 ⇒ x = 6(TM).

Vậy phương trình có một nghiệm.

Parabol có đỉnh

(*)

Parabol đi qua điểm suy ra

(**)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình

Từ đồ thị hàm số ta suy ra đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ:

Ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta có phương trình có 4 nghiệm, phương trình đã cho có 8 nghiệm khi phương trình có 4 nghiệm và

Suy ra

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vì (P) đi qua hai điểm M(1;5) và N(−2;8) nên ta có hệ

. Vậy (P) : y = 2x² + x + 2.