Trong không gian
, mặt phẳng
có phương trình là
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
là một véc-tơ pháp tuyến nên phương trình của mặt phẳng
là
.
Trong không gian
, mặt phẳng
có phương trình là
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận
là một véc-tơ pháp tuyến nên phương trình của mặt phẳng
là
.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;2;0), B(1;0;-2) và mặt
phẳng
. Gọi
là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA=MB
và góc
có số đo lớn nhất. Khi đó giá trị
bằng ?
nên M thuộc mặt phẳng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Ta có phương trình trung trực của AB là (Q); y+z=0
M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên M thuộc đường thẳng
.
Gọi , ta có
.
Khảo sát hàm số , ta được
khi
.
Suy ra có số đo lớn nhất khi
, ta có
.
Khi đó giá trị .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
. Trong các vectơ sau, vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)?
Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng:
với
.
Vectơ chỉ phương .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
và đường thẳng
. Viết phương trình đường thẳng
đi qua
, đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng
và
.
Đường thẳng và
có vectơ chỉ phương lần lượt là
Gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Do
Mà ∆ đi qua do đó ∆ có phương trình là
.
Trong không gian Oxyz cho vectơ
và
. Gọi
lần lượt là ba góc tạo bởi
với ba trục
. Ta có:
Áp dụng công thức hình chiếu vecto trên trục, ta có ngay được:
Trong không gian với hệ tọa độ
; cho điểm
. Viết phương trình mặt phẳng
?
Ta có:
Vậy
Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm
. Điểm
là điểm thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hình vẽ minh họa
Gọi O là tâm hình bình hành suy ra
Ta có:
suy ra ba điểm
thẳng hàng.
Trong không gian
, cho điểm
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Vì tọa độ điểm có
nên
.
Trong không gian với hệ tọa đô
, cho điểm
. Gọi
là mặt phẳng đi qua
và cắt các tia
lần lượt tại các điểm
sao cho thể tích tứ diện
nhỏ nhất.
đi qua điểm nào dưới đây?
Gọi với
Phương trình mặt phẳng
Vì
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Thể tích tứ diện là
Đẳng thức xảy ra khi
Phương trình mặt phẳng là
Mặt phẳng đi qua điểm
.
Cho
và
. Điểm
sao cho
và đoạn
bằng 3 lần khoảng cách từ
đến
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua ba điểm
là:
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn .
Ta có
Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh
của tứ diện
. Gọi
là trung điểm của đoạn
. Tìm giá trị thực của
thỏa mãn đẳng thức vectơ
?
Trong không gian
khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và
bằng:
Dựa vào phương trình có vectơ pháp tuyến là
nên
Ta có: suy ra
Trong không gian
, cho vectơ
. Các khẳng định sau là đúng hay sai?
a) Tọa độ điểm A là
. Đúng||Sai
b) Hình chiếu vuông góc của
lên trục
là
. Sai||Đúng
c) Trung điểm của
là
. Đúng||Sai
d) Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
là
. Sai||Đúng
Trong không gian , cho vectơ
. Các khẳng định sau là đúng hay sai?
a) Tọa độ điểm A là . Đúng||Sai
b) Hình chiếu vuông góc của lên trục
là
. Sai||Đúng
c) Trung điểm của là
. Đúng||Sai
d) Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng
là
. Sai||Đúng
a) Ta có
b) Hình chiếu vuông góc của A lên Ox là .
c) Trung điểm của là điểm
.
d) Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng
là
.
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho 2 đường thẳng ![]()
. Tìm tất cả giá trị thực của
để
vuông góc với
?
Vectơ chỉ phương của lần lượt là:
.
Để thì
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân
giác trong góc A là
. Biết rằng điểm
thuộc đường thẳng AB và điểm
thuộc đường thẳng AC. Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AC?
Giả sử , , ta có:
Theo bài ra: Vì d là đường phân giác của góc A nên:
Từ đây ta bình phương 2 vế được:
Vậy một véc tơ chỉ phương của AC là .
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho 2 đường thẳng
:
và điểm
. Đường thẳng
đi qua
, cắt
và vuông góc với
có một vectơ chỉ phương là
. Tính ![]()
Hình vẽ minh họa
Gọi là mặt phẳng chứa
và
.
Lấy .
Mặt phẳng có véc-tơ pháp tuyến vuông góc với các véc-tơ
và
.
Ta có .
Một trong các véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là
.
Đường thẳng nằm trong mặt phẳng
và vuông góc với
có
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông
,
. Biết đỉnh
thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó
bằng:
Ta có trung điểm BD là và điểm
thuộc mặt phẳng
nên
. Lại có: ABCD là hình vuông
hoặc
Trong không gian
, cho
. Nếu ba vectơ
đồng phẳng thì:
Ta có:
Ba vectơ đồng phẳng
Trong không gian
, cho hai điểm
. Điểm
nằm trên mặt phẳng
sao cho
nhỏ nhất là:
Thay tọa độ của A, B vào vế trái của phương trình mặt phẳng ta được:
Suy ra A, B nằm về hai phía của mặt phẳng (P).
Vậy dấu “ = ” xảy ra khi
.
Ta có chọn vtcp của đường thẳng AB:
.
Vậy phương trình đường thẳng AB: .
Tọa độ của M là nghiệm hệ: