Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Một xe ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó
. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi
là quảng đường xe ô tô đi được trong
(giây) kể từ lúc đạp phanh.
a) Quảng đường
mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Đúng||Sai
b) Quãng đường
. Đúng||Sai
c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là
giây. Sai||Đúng
d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai
Một xe ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó
. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi
là quảng đường xe ô tô đi được trong
(giây) kể từ lúc đạp phanh.
a) Quảng đường mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Đúng||Sai
b) Quãng đường . Đúng||Sai
c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là giây. Sai||Đúng
d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai
Do nên quãng đường
mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Ta có:
với
là hằng số.
Khi đó, ta gọi hàm số .
Do nên
. Suy ra
.
Xe ô tô dừng hẳn khi hay
. Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.
Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ .
Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: .
Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: .
Do nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.
Cho hình phẳng
được giới hạn bởi đồ thị các hàm số ![]()
. Tính diện tích hình phẳng
?
Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số
. Tính diện tích hình phẳng
?
Biết
. Khi đó
có giá trị bằng:
Ta có:
Biết
với
. Xác định giá trị biểu thức
?
Đặt khi đó ta có:
Vậy .
Xét
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành, trục tung và đường thẳng
. Giá trị của
sao cho thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành bằng
là?
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành là:
Mà
Vậy là giá trị cần tìm.
Biết rằng
là một nguyên hàm của hàm số
trên
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
suy ra
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Biết
với
. Giá trị của biểu thức
là:
Tính
Đặt khi đó:
Tính .
Đặt khi đó
Mà
Tính tích phân
?
Ta có:
.
Cho hàm số f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
là bao nhiêu?
Ta có:
Khi đó
Tích phân
bằng:
Ta có:
Gọi
là một nguyên hàm của hàm số
, thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
là một nguyên hàm của hàm số
, ta có:
mà
Tính tích phân
?
Ta có:
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Đặt . Đổi cận
Ta có: .
Vậy khẳng định đúng .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành,
và
bằng
Hình vẽ minh họa
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
quay xung quanh
.
Thể tích vật thể bằng:
.
Cho hàm số
có đồ thị
. Các tiếp tuyến với đồ thị tại
và tại
cắt nhau tại
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung
của
và hai tiếp tuyến
?
Tập xác định
Tiếp tuyến tại O(0; 0) là OB:
Tiếp tuyến tại A(3; 3) là AB:
Suy ra
Diện tích hình giới hạn là
Cho hàm số
có đạo hàm
với
. Chọn kết luận đúng?
Ta có:
Ta có:
Vậy .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
và
bằng:
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng là:
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Cho hàm số
liên tục trên
và
,
là một nguyên hàm của
trên
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Theo định nghĩa tích phân ta có: .
Viết công thức tính thể tích
của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
tại các điểm
, có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
là
.
Thể tích của vật thể đã cho là: .
Một ô tô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc
, trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?
Ta có:
Khi đó do ban đầu ô tô đang dừng nên
Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là: .
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
=>
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Giả sử
với
là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
Ta có:
Đặt
Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình có hai nghiệm
và
.
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn
Do đó từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được:
Biết rằng
nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Chọn mệnh đề đúng?
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức, ta có:
Suy ra
Khi đó
Mà
Vậy
Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài
, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng
khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là
. Bề dày nhịp cầu không đổi là
. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu
? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 40 m3.
Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng
khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là
. Bề dày nhịp cầu không đổi là
. Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu
? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: 40 m3.
Cả hai bên cầu có tất cả nhịp cầu.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc là chân cầu, đỉnh
, điểm
Gọi Parabol phía trên có phương trình: (vì
)
là phương trình parabol phía dưới
(Vì bề dày nhịp cầu là )
Ta có
Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi và trục Ox nên ta có:
Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là
Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là
Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
. Gọi
là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình
xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:
Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:
.
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Biết rằng giá trị lớn nhất của
trên khoảng
là
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Ta có:
Suy ra
Trên khoảng ta có:
Ta có bảng biến thiên
Giá trị lớn nhất của trên khoảng
là
nên t s có:
Vậy .
Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm tập nghiệm S của phương trình ![]()
Đặt
Ta có:
Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.
Đáp án: 6750000 đồng.
Bác Tư làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Tư phải trả.
Đáp án: 6750000 đồng.
Gọi phương trình parabol .
Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho ( P) có đỉnh I ∈ Oy (như hình vẽ)
Ta có hệ phương trình:
Vậy
Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:
Số tiền phải trả là đồng.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
và các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Với khi đó
Diện tích hình phẳng ta được:
Cho hai hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Gọi
là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi
thì
bằng bao nhiêu?
Phương trình hoành độ giao điểm
Ký hiệu là diện tích hình phẳng như hình vẽ:
Ta có:
Vì vậy
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
quanh trục
bằng
Ta có:
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó