Cho
với
. Tính
?
Ta có:
Vậy
Cho
với
. Tính
?
Ta có:
Vậy
Một khối cầu có bán kính
, người ta cắt bỏ
phần bằng
mặt phẳng song song và vuông góc với bán kính, hai mặt phẳng đó đều cách tâm của khối cầu
để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích nước mà chiếc lu chứa được (coi độ dày của bề mặt không đáng kể).
Hình vẽ minh họa
Đặt trục tọa độ như hình vẽ. Thể tích cái được tính bằng cách cho đường tròn có phương trình quay quanh trục Ox.
Thể tích cái lu bằng;
Giá trị của tích phân
bằng:
Ta có: .
Xác định nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Cho tích phân
. Tính tích phân
?
Đặt
Đổi cận
Khi đó
Viết công thức tính thể tích
của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
tại các điểm
, có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
là
.
Thể tích của vật thể đã cho là: .
Tính tích phân
?
Ta có:
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Biết
với
. Giá trị của biểu thức
là:
Tính
Đặt khi đó:
Tính .
Đặt khi đó
Mà
Cho
với
là các số thực. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa 2 điểm xa nhất bằng 10 cm và cắt quả bóng bằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó thì được đường tròn có diện tích bằng
. Thể tích của quả bóng bằng (Tính gần đúng đến hai chữ số thập phân, đơn vị lít)
Quả bóng bầu dục sẽ có dạng elip.
Độ dài trục lớn bằng
Ta có diện tích đường tròn thiết diện là
Ta sẽ có phương trình elip
Biết
. Khi đó
tương ứng bằng
Ta có:
Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc
. Hỏi rằng trong
trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn
Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:
.
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Do đó:
Cho parabol
và hai điểm
thuộc
sao cho
. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
và đường thẳng
.
Hình vẽ minh họa
Gọi và
là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.
Không mất tính tổng quát giả sử a < b.
Theo giả thiết ta có AB = 2 nên
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:
Mặt khác nên
do
Suy ra
Vậy dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.
Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay, biết đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là
và
. Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay có đường sinh là đồ thị hàm số
. Tính thể tích bình cắm hoa?
Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay, biết đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là và
. Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay có đường sinh là đồ thị hàm số
. Tính thể tích bình cắm hoa?
Cho
là nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tổng các nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
Đặt
Theo bài ra ta có:
Ta có:
Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 2.
Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
là
Ta có hình phẳng giới hạn bởi là
.
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có: . Nhân cả hai vế với
ta được:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Suy ra
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:
Ta có:
Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:
Cho
và
, khi đó
bằng:
Ta có:
Cho hàm số
. Tính tích phân
?
Ta có:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng
Diện tích hình giới hạn là
Cho hàm số
có đạo hàm
liên tục trên
;
. Tính giá trị
?
Ta có:
Tính tổng
?
Ta có:
.
Do đó
.
Mặt khác:
.
Đặt .
Đổi cận và
. Khi đó
Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ:

Diện tích
của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục
(phần gạch sọc) được tính bởi công thức
Từ đồ thị hàm số ta thấy
Do đó:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
và các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Với khi đó
Diện tích hình phẳng ta được:
Cho
là các số hữu tỉ thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Vì:
Biết rằng
với
là các số hữu tỉ. Giá trị của
là:
Ta có:
Đặt
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
quanh trục
bằng
Ta có:
Giả sử hàm số f(x) luôn xác định. Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường tròn
.

Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn
quanh trục hoành.
Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn
.
Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn quanh trục hoành.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên
và thỏa mãn f(1) = 1,
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: và
=>
=>
Mà f(1) = 1 => và
Cho hàm số
có đạo hàm trên khoảng
thỏa mãn
và
. Giá trị tích phân
bằng:
Từ giả thiết ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra
Vì nên
Đặt
Theo công thức tích phân từng phần ta được:
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
. Từ (*) và (**) suy ra
Do đó