Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 4. Nguyên hàm Tích phân được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 CTST

Thời gian làm: 45 phút
Số câu hỏi: 40 câu
Số điểm tối đa: 40 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Mua gói để Làm bài

Câu 1: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)$ ?
- A.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{4} - 6x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} - 6x + C$
- B.
  $F(x) = x^{4} + 6x^{3} + 11x^{2} + 6x + C$
- C.
  $F(x) = \frac{x^{4}}{4} + 2x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} + 6x + C$
- D.
  $F(x) = x^{4} + 6x^{3} + 11x^{2} + 6x + C$
Ta có:

$f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) = x^{3} + 6x^{2} + 11x + 6$

$\Rightarrow F(x) = \frac{x^{4}}{4} + 2x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} + 6x + C$
Câu 2: Thông hiểu
Anh A xuất phát từ D, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v(t) = \frac{t^{2}}{180} + \frac{11t}{18}(m/s)$ trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc anh A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, anh B cũng xuất phát từ D, chuyển động thẳng cùng hướng với anh A nhưng chậm hơn $5$ giây so với anh A và có gia tốc bằng $a\left( m/s^{2} ight)$ ( $a$ là hằng số). Sau khi anh B xuất phát được $10$ giây thì đuổi kịp anh A. Vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A bằng bao nhiêu?
- A.
  $22m/s$
- B.
  $15m/s$
- C.
  $10m/s$
- D.
  $7m/s$
Quãng đường anh A đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:

$S = \int_{0}^{15}{\left( \frac{t^{2}}{180} + \frac{11t}{18} ight)dt} = 75(m)$

Vận tốc của anh B tại thời điểm $t(s)$ tính từ lúc anh B xuất phát là: $v_{B}(t) = at$

Quãng đường anh B đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:

$S = \int_{0}^{10}{(at)dt} = \left. \ \left( \frac{at^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{10} = 50a(m)$

$\Rightarrow 50a = 75 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$

Vậy vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A là: $v_{B}(20) = 10a = 15(m/s)$
Câu 3: Thông hiểu
Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x = - 1;x = 1$ và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ $x;( - 1 \leq x \leq 1)$ là một hình tròn có diện tích bằng $3\pi$ . Thể tích của vật thể là?
- A.
  $V = 3\pi^{2}$
- B.
  $V = 6$
- C.
  $V = 6\pi$
- D.
  $V = 2\pi$
Ta có: $V = \int_{- 1}^{1}{S(x)dx} = \int_{- 1}^{1}{3\pi dx} = 6\pi$
Câu 4: Nhận biết
Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) =\sin^{4}x\cos x$ ??
- A.
  $F(x) = - \frac{1}{5}\sin^{5}x +C$
- B.
  $F(x) = \sin^{5}x + C$
- C.
  $F(x) = \frac{1}{5}\sin^{5}x +C$
- D.
  $F(x) = - \sin^{5}x +C$
Đặt $t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx$

$\int_{}^{}{\left( \sin^{4}x\cos xight)dx} = \int_{}^{}{t^{4}dt} = \frac{t^{5}}{5} + C =\frac{1}{5}\sin^{5}x + C$
Câu 5: Thông hiểu
Cho tích phân $I = \int_{0}^{4}{f(x)dx} = 32$ . Tính tích phân $H = \int_{0}^{2}{f(2x)dx}$ ?
- A.
  $H = 64$
- B.
  $H = 8$
- C.
  $H = 16$
- D.
  $H = 32$
Đặt $t = 2x \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{2}$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = 2 \Rightarrow t = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $H = \frac{1}{2}\int_{0}^{4}{f(t)dt} = \frac{1}{2}.32 = 16$
Câu 6: Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\lbrack a;bbrack$ , có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
- A.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là diện tích hình thang cong $ABMN$ .
- B.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là độ dài đoạn $BP$ .
- C.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là độ dài đoạn $NM$ .
- D.
  $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là độ dài đoạn cong $AB$ .
Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì $\int_{a}^{b}{f'(x)dx}$ là diện tích hình thang cong $ABMN$ .
Câu 7: Vận dụng cao

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Đáp án là:

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài $500m$ , biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng $5m,$ khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là $40m$ . Bề dày nhịp cầu không đổi là $20cm$ . Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu $m^{3}$ ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 40 m³.

Cả hai bên cầu có tất cả $2.10 = 20$ nhịp cầu.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc $O(0;0)$ là chân cầu, đỉnh $I(25;2)$ , điểm $A(50;0)$

Gọi Parabol phía trên có phương trình: $\left( P_{1} ight):y_{1} = ax^{2} + bx + c = ax^{2} + bx$ (vì $O \in \left( P_{1} ight)$ )

$\Rightarrow y_{2} = ax^{2} + bx - \frac{1}{5}$ là phương trình parabol phía dưới

(Vì bề dày nhịp cầu là $20cm = \frac{1}{5}m$ )

Ta có $I,A \in \left( P_{1} ight) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 25^{2}a + 25b = 2 \\ 50^{2}a + 50b = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{2}{625} \\ b = \frac{4}{25} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left( P_{1} ight):y_{1} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x \Rightarrow \left( P_{2} ight):\ \ \ y_{2} = - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x - \frac{1}{5}$

Khi đó diện tích S của mỗi nhịp cầu là diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi $y_{1};y_{2}$ và trục Ox nên ta có:

$S = 2\left( \int_{0}^{0,2}{\left( - \frac{2}{625}x^{2} + \frac{4}{25}x ight)dx + \int_{0,2}^{25}{\frac{1}{5}dx}} ight) \approx 9,926m^{2}$

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên thể tích của mỗi nhịp cầu là $S.0,2 \approx 1,985m^{3}.$

Suy ra lượng bê tông cần cho 20 nhịp của cả hai bên cầu (mỗi bên 10 nhịp cầu) là $V = 20.S.0,2 \approx 40m^{3}$
Câu 8: Nhận biết
Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{2x};y = 0$ và hai đường thẳng $x = 1;x = 2$ quanh trục $Ox$ :
- A.
  $V = 3$
- B.
  $V = \pi$
- C.
  $V = 1$
- D.
  $V = 3\pi$
Thể tích $V$ của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt{2x};y = 0$ và hai đường thẳng $x = 1;x = 2$ quanh trục $Ox$ là:

$V = \pi\int_{1}^{2}{\left( \sqrt{2x} ight)^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{x^{2}dx} = \pi\left. \ x^{2} ight|_{1}^{2} = 3\pi$ .
Câu 9: Thông hiểu
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x}$ , thỏa mãn $F(0) = 2020$ . Tính giá trị biểu thức $T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$ ?
- A.
  $T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2019.2020$
- B.
  $T = \frac{e^{2019} - 1}{e - 1} + 2018.2019$
- C.
  $T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2020^{2}$
- D.
  $T = \frac{e^{2019} - 1}{e - 1} + 2019^{2}$
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C$

$F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x}$ , ta có: $F(x) = e^{x} + C$ mà $F(0) = 2020$

$\Rightarrow C = 2019 \Rightarrow F(x) = e^{x} + 2019$

$T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)$

$T = 1 + e + e^{2} + .... + e^{2018} + e^{2019} + 2019.2020$

$T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2019.2020$ .
Câu 10: Nhận biết
Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) =2\sin x.\cos2x$ là:
- A.
  $- \frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- B.
  $\frac{1}{3}\cos3x + \cos x +C$
- C.
  $\frac{1}{3}\cos3x - \cos x +C$
- D.
  $- \cos3x + \cos x +C$
Ta có: $f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x$

Khi đó:

$\int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}$

$= \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C$
Câu 11: Vận dụng
Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(1) = 3$ và $x\left\lbrack 4 - f'(x) ightbrack = f(x) - 1$ với mọi $x > 0$ . Tính $f(2)$ ?
- A.
  $f(2) = 6$
- B.
  $f(2) = 2$
- C.
  $f(2) = 5$
- D.
  $f(2) = 3$
Ta có:

$x\left\lbrack 4 - f'(x) ightbrack = f(x) - 1$

$\Leftrightarrow f(x) + xf'(x) = 4x + 1$

$\Leftrightarrow \left( xf(x) ight)' = 4x + 1$

$\Leftrightarrow xf(x) = \int_{}^{}{\left( xf(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{(4x + 1)dx}$

$\Leftrightarrow \int_{}^{}{(4x + 1)dx} = 2x^{2} + x + C$

Với $x = 1 \Rightarrow 1.f(1) = 3 + C \Leftrightarrow 3 = 3 + C \Rightarrow C = 0$

Do đó $xf(x) = 2x^{2} + x$

Vậy $2f(2) = 2.2^{2} + 2 \Rightarrow f(2) = 5$
Câu 12: Nhận biết
Viết công thức tính thể tích $V$ của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm $x = a;x = b;a < b$ , có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x;(a \leq x \leq b)$ là $S(x)$ .
- A.
  $V = \int_{a}^{b}{S(x)dx}$
- B.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{S(x)dx}$
- C.
  $V = \pi\int_{a}^{b}{S^{2}(x)dx}$
- D.
  $V = \int_{b}^{a}{S(x)dx}$
Thể tích của vật thể đã cho là: $V = \int_{a}^{b}{S(x)dx}$ .
Câu 13: Nhận biết
Giá trị của $D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx}$ bằng
- A.
  $0$
- B.
  $2^{2017} + 1$
- C.
  $2^{2017} - 1$
- D.
  $1$
Ta có:

$D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} = \left. \ \left( x^{2019} - x ight) ight|_{0}^{1} = 0$
Câu 14: Vận dụng
Biết $xe^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f( - x)$ trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ . Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f'(x)e^{x}$ thỏa mãn $F(0) = 1$ . Giá trị của $F( - 1)$ bằng:
- A.
  $\frac{7}{2}$
- B.
  $\frac{5 - e}{2}$
- C.
  $\frac{7 - e}{2}$
- D.
  $\frac{5}{2}$
Ta có: $f( - x) = \left( xe^{x} ight)' = e^{x} + xe^{x};\forall x \in ( - \infty; + \infty)$

Do đó $f( - x) = e^{- ( - x)} - ( - x)e^{- ( - x)};\forall x \in ( - \infty; + \infty)$

Suy ra $f(x) = e^{- x}(1 - x);\forall x \in ( - \infty; + \infty)$

Nên $f'(x) = \left\lbrack e^{- x}(1 - x) ightbrack' = e^{- x}(x - 2)$

$\Rightarrow f'(x)e^{x} = e^{- x}(x - 2)e^{x} = x - 2$

Vậy $F(x) = \int_{}^{}{(x - 2)dx} = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} + C$

Từ đó $F(0) = \frac{1}{2}(0 - 2)^{2} + C = C + 2$

$F(0) = 1 \Rightarrow C = - 1$

Vậy $F(x) = \frac{1}{2}(x - 2)^{2} - 1 \Rightarrow F( - 1) = \frac{1}{2}( - 1 - 2)^{2} - 1 = \frac{7}{2}$
Câu 15: Thông hiểu
Kí hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^{2} - ax$ với trục hoành ( $a eq 0$ ). Quay hình $(H)$ xung quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích $V = \frac{16\pi}{15}$ . Tìm $a$ ?
- A.
  $a = \pm 1$
- B.
  $a = 1$
- C.
  $a = 2$
- D.
  $a = \pm 2$
Phương trình hoành độ giao điểm

$x^{2} - ax = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = a \\ \end{matrix} ight.$

Trường hợp 1: Với $a > 0$ thì thể tích khối tròn xoay là:

$V = \pi\int_{0}^{a}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{a} = \frac{a^{5}\pi}{30}$

$\Rightarrow \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = 2$

Trường hợp 2: Với $a < 0$ thì thể tích khối tròn xoay là:

$V = \pi\int_{a}^{0}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{a}^{0} = - \frac{a^{5}\pi}{30}$

$\Rightarrow - \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = - 2$

Vậy $a = \pm 2$ .
Câu 16: Nhận biết
Cho đồ thị của hàm số $y = f(x)$ như sau:

Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:
- A.
  $S = \int_{- 3}^{4}{f(x)dx}$
- B.
  $S = \int_{0}^{- 3}{f(x)dx} + \int_{0}^{4}{f(x)dx}$
- C.
  $S = \int_{- 3}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{f(x)dx}$
- D.
  $S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}$
Dựa vào hình vẽ ta được: $S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}$ .
Câu 17: Vận dụng cao
Biết luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ và thỏa mãn $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
- A.
  $a\mathbb{\in R};b\mathbb{\in R}$
- B.
  $a = 1;b = 4$
- C.
  $a = 1;b = - 1$
- D.
  $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$
Do $4a - b eq 0 \Rightarrow F(x) eq C;\forall x\mathbb{\in R}$ . Vì luôn có hai số $a;b$ để $F(x) = \frac{ax + b}{x + 4};(4a - b eq 0)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ nên $f(x)$ không phải là hàm hằng.

Từ giả thiết $2f^{2}(x) = \left\lbrack F(x) - 1 ightbrack.f'(x) \Leftrightarrow \frac{2f(x)}{F(x) - 1} = \frac{f'(x)}{f(x)}$

Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân $dx$ ta được:

$\int_{}^{}{\frac{2f(x)}{F(x) - 1}dx} =\int_{}^{}{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}$ $\Leftrightarrow 2\ln\left| F(x) - 1ight| = \ln\left| f(x) ight| + C$ với C là hằng số.

$\Leftrightarrow 2ln\left| F(x) - 1 ight| + \ln e^{C} = \ln\left| f(x) ight|$

$\Leftrightarrow \left| f(x) ight| = e^{C}.\left\lbrack F(x) - 1 ightbrack^{2} = e^{C}.\left( \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) = e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \dfrac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4}ightbrack^{2} \\\end{matrix} ight.$

TH1: $f(x) = e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} - 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} - 1}{e^{C}} ight)$

TH2: $f(x) = - e^{C}.\left\lbrack \frac{(a - 1)x + b - 4}{x + 4} ightbrack^{2}$ ta có: $F'(x) = f(x) \Rightarrow f(x) = \frac{4a - b}{(x + 4)^{2}}$

Đồng nhất hệ số ta có:

$- e^{C}.\left\lbrack (a - 1)x + b - 4 ightbrack^{2} = 4a - b;\forall x\mathbb{\in R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\- e^{C}.(b - 4)^{2} = 4 - b \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\\left\lbrack \begin{matrix}b = 4 \\b = \dfrac{4e^{C} + 1}{e^{C}} \\\end{matrix} ight.\ \\\end{matrix} ight.$

Loại $b = 4$ do điều kiện $4a - b eq 0$ . Do đó $(a;b) = \left( 1;\frac{4e^{C} + 1}{e^{C}} ight)$

Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là $a = 1;b\mathbb{= R}\backslash\left\{ 4 ight\}$ .
Câu 18: Nhận biết
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{x \ln3}$ ?
- A.
  $y = \ln x$ .
- B.
  $y = \ln(3x)$ .
- C.
  $y = \log_{3}x$ .
- D.
  $y = \ln\frac{x}{3}$ .
Ta có: $y = \log_{3}x$ $\Rightarrow y' = \frac{1}{x \ln3}.$
Câu 19: Thông hiểu
Cho hàm số $F(x) = \left( ax^{2} + bx - c ight).e^{2x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \left( 2018x^{2} - 3x + 1 ight)e^{2x}$ trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ . Giá trị biểu thức $a + 2b + 4c$ bằng:
- A.
  $1011$
- B.
  $- 3035$
- C.
  $1007$
- D.
  $- 5053$
Ta có: $F'(x) = (2ax + b)e^{2x} + 2\left( ax^{2} + bx - c ight)e^{2x}$

$= \left\lbrack 2ax^{2} + (2b + 2a)x + b - 2c ightbrack e^{2x}$

Theo bài ra ta có:

$\Rightarrow \left\lbrack 2ax^{2} + (2b + 2a)x + b - 2c ightbrack e^{2x} = \left( 2018x^{2} - 3x + 1 ight)e^{2x}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}2a = 2018 \\2(a + b) = - 3 \\b - 2c = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1009 \\b = \dfrac{- 2021}{2} \\c = \dfrac{- 2023}{4} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + 2b + 4c = - 3035$
Câu 20: Thông hiểu
Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ như hình vẽ:

Diện tích $S$ của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục $Ox$ (phần gạch sọc) được tính bởi công thức
- A.
  $S = \left| \int_{- 3}^{3}{f(x)d(x)} ight|$
- B.
  $S = \int_{- 3}^{3}{f(x)d(x)}$
- C.
  $S = \int_{- 3}^{1}{f(x)d(x)} - \int_{1}^{3}{f(x)d(x)}$
- D.
  $S = \int_{- 3}^{1}{f(x)d(x)} + \int_{1}^{3}{f(x)d(x)}$
Từ đồ thị hàm số ta thấy $\left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0;\forall x \in \lbrack - 3;1brack \\ f(x) \leq 0;\forall x \in \lbrack 1;3brack \\ \end{matrix} ight.$

Do đó:

$S = \int_{- 3}^{3}{\left| f(x) ight|d(x)}$

$= \int_{- 3}^{1}{\left| f(x) ight|d(x)} + \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|d(x)}$

$= \int_{- 3}^{1}{f(x)d(x)} - \int_{1}^{3}{f(x)d(x)}$
Câu 21: Vận dụng
Cho hàm số $f(x)$ đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn $\lbrack 0;2brack$ và thỏa mãn $2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} - f(x).f''(x) + \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 0$ với $\forall x \in \lbrack 0;2brack$ . Biết rằng $f(0) = 1;f(2) = e^{6}$ khi đó tích phân $M = \int_{- 2}^{0}{(2x + 1)f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $1 + e$
- B.
  $1 - e^{2}$
- C.
  $1 - e$
- D.
  $1 - e^{- 1}$
Ta có:

$2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} - f(x).f''(x) + \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 0$

$\Leftrightarrow f(x).f''(x) - \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2} = 2\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{f(x).f''(x) - \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}} = 2$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f'(x)}{f(x)} ightbrack' = 2 \Leftrightarrow \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{f'(x)}{f(x)} ightbrack'dx} = \int_{}^{}{2dx}$

$\Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2x + C_{1} \Leftrightarrow \ln\left| f(x) ight| = x^{2} + C_{1}x + C_{2}$

Theo bài ra ta có:

$\left\{ \begin{matrix} f(0) = 1 \\ f(2) = e^{6} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} ln1 = C_{2} \\ 4 + 2C_{1} = 6 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} C_{2} = 0 \\ C_{1} = 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \ln\left| f(x) ight| = x^{2} + x \Rightarrow f(x) = e^{x^{2} + x}$

$\Rightarrow M = \int_{- 2}^{0}{(2x + 1)e^{x^{2} + x}dx} = \left. \ e^{x^{2} + x} ight|_{- 2}^{0} = 1 - e^{2}$
Câu 22: Thông hiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3$ và $\int_{0}^{5}{f(x)dx} = 6$ . Tính tích phân $C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x - 2) ight|dx}$ ?
- A.
  $C = 3$
- B.
  $C = - 2$
- C.
  $C = 4$
- D.
  $C = 9$
Ta có: $C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x - 2) ight|dx} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)dx} + \int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x - 2)dx} = C_{1} + C_{2}$ .

Ta có:

$C_{1} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)dx} = - \frac{1}{3}\int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)d( - 3x + 2)}$

Đặt $t = - 3x + 2 \Rightarrow dt = - 3dx$ . Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = - 1 \Rightarrow t = 5 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight.$ do đó:

$C_{1} = \frac{1}{3}\int_{0}^{5}{f(t)dt} = 2$

Ta có:

$C_{2} = \int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x - 2)dx} = \frac{1}{3}\int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x + 2)d(3x + 2)}$

Đặt $t = 3x - 2 \Rightarrow dt = 3dx$ . Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight.$ do đó:

$C_{2} = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}{f(t)dt} = 1$ .

Vậy $C = C_{1} + C_{2} = 3$
Câu 23: Vận dụng
Cho $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}$ và nửa elip có phương trình $y = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}}$ (với $- 2 \leq x \leq 2$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Gọi $S$ là diện tích của, biết $S = \frac{a\pi + b\sqrt{3}}{c}$ (với $a;b;c\mathbb{\in R}$ ). Tính $P = a + b + c$ ?
- A.
  $P = 9$
- B.
  $P = 12$
- C.
  $P = 15$
- D.
  $P = 17$
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị: $\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow x = \pm 1$

Do tính chất đối xứng của đồ thị nên

$S = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} ight) = 2\left( S_{1} + S_{2} ight)$

$S_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

$S_{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx}$ . Đặt $x = 2\sin t\Rightarrow dx = 2\cos tdt$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{2} \\\end{matrix} ight.$

Với $t \in \left\lbrack\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow \cos t \geq 0\Rightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = 2\sqrt{\cos^{2}t} = 2\cos t$

$S_{2} =\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{4\cos^{2}tdt} =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{2\cos^{2}tdt}$

$=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{(1 + \cos2t)dt} = \left. \ \left( t+ \frac{1}{2}\sin2t ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Suy ra $S = \frac{4\pi - \sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = 4;b = - 1;c = 6$

Vậy $P = a + b + c = 9$
Câu 24: Nhận biết
Đặt $I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx}$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của tham số $m$ để $I = 4$ ?
- A.
  $m = - 1$
- B.
  $m = - 2$
- C.
  $m = 1$
- D.
  $m = 2$
Ta có: $I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx} = \left. \ \left( mx^{2} + x ight) ight|_{1}^{2} = 3m + 1$

Do $I = 4 \Leftrightarrow 3m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = 1$ .
Câu 25: Vận dụng

Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với $O$ là tâm hình vuông sao cho $A(1;1)$ như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình $y = x^{2}$ và $y = ax^{3} + bx$ . Tính giá trị $a.b$ biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn.

Đáp án: -2||- 2

Đáp án là:

Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với $O$ là tâm hình vuông sao cho $A(1;1)$ như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình $y = x^{2}$ và $y = ax^{3} + bx$ . Tính giá trị $a.b$ biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn.

Đáp án: -2||- 2

Diện tích 1 cánh của hình trang trí là:

$S_{1} = \int_{0}^{1}\left( x^{2} - ax^{3} - bx ight)dx = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{ax^{4}}{4} - \frac{bx^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{a}{4} - \frac{b}{2}$

$\Rightarrow$ Diện tích hình trang trí là: $S = 4S_{1} = \frac{4}{3} - a - 2b$

Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn nên

$\frac{4}{3} - a - 2b = \frac{4}{3} \Leftrightarrow a + 2b = 0$

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix} a + b = 1 \\ a + 2b = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

Vậy $ab = - 2$ .
Câu 26: Vận dụng
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và $f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}$ . Giá trị của f(2) là:
- A. 5
- B. 20
- C. 10
- D. 15
Chọn f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Ta có:
$\begin{matrix} f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3a - 2} \\ {b = 2b - 3} \\ {d = 0} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1} \\ {b = 3} \\ {c = 0} \\ {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}$
Vậy $f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2}$ => f(x) = 20
Câu 27: Nhận biết
Nếu $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 2;\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4$ . Khi đó $\int_{0}^{2}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $6$
- B.
  $2$
- C.
  $1$
- D.
  $3$
Ta có: $\int_{0}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2 + 4 = 6$ .
Câu 28: Nhận biết
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \cos x,y = 0,x = 0,x = \pi$ quay xung quanh $Ox$ .
- A.
  $0$
- B.
  $2\pi$
- C.
  $\frac{\pi^{2}}{2}$
- D.
  $2$
Thể tích vật thể bằng:

$V = \pi\int_{0}^{\pi}{\left( \cos xight)^{2}dx} = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}{(1 + \cos2x)dx} = \pi\left.\ \left( x + \frac{1}{2}\sin2x ight) ight|_{1}^{\pi} =\frac{\pi^{2}}{2}$ .
Câu 29: Nhận biết
Giả sử $\int_{0}^{9}{f(x)dx} = 37$ và $\int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16$ . Khi đó $I = \int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx}$ bằng
- A.
  $122$
- B.
  $26$
- C.
  $143$
- D.
  $58$
Ta có: $\int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16 \Rightarrow \int_{0}^{9}{g(x)dx} = - 16$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = \int_{0}^{9}{2f(x)dx} + \int_{0}^{9}{3g(x)dx}$

$= 2.37 + 3.( - 16) = 26$
Câu 30: Thông hiểu
Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{x}$ trên $( - \infty;0)$ thỏa mãn $F( - 2) = 0$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $F(x) = \ln\left( - \frac{x}{2} ight);\forall x \in ( - \infty;0)$
- B.
  $F(x) = \ln|x| + C;\forall x \in ( - \infty;0)$ với $C$ là một số thực bất kì.
- C.
  $F(x) = \ln|x| + ln2;\forall x \in ( - \infty;0)$
- D.
  $F(x) = \ln( - x) + C;\forall x \in ( - \infty;0)$ với $C$ là một số thực bất kì.
Ta có: $F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{x}dx} = \ln|x| + C = \ln( - x) + C;\forall x \in ( - \infty;0)$

Lại có $F( - 2) = 0 \Leftrightarrow \ln(2) + C = 0 \Rightarrow C = - ln2$

Do đó $F(x) = \ln( - x) - ln2 = \ln\left( - \frac{x}{2} ight)$

Vậy $F(x) = \ln\left( - \frac{x}{2} ight);\forall x \in ( - \infty;0)$ .
Câu 31: Nhận biết
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số $f(x) =\sin5x.\cos x$ ?
- A.
  $- \frac{1}{5}\cos5x +C$
- B.
  $- \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12}+ C$
- C.
  $\frac{1}{5}\cos5x +C$
- D.
  $\frac{1}{8}\cos4x + \frac{1}{12}\cos6x+ C$
Ta có:

$\int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}$

$= - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C$
Câu 32: Thông hiểu
Biết rằng hàm số $y = f(x)$ có $f'(x) = 3x^{2} + 2x + m;f(2) = 1$ và đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $- 5$ . Hàm số $f(x)$ là:
- A.
  $x^{3} + 2x^{2} - 5x - 5$
- B.
  $2x^{3} + x^{2} - 7x - 5$
- C.
  $x^{3} + x^{2} - 3x - 5$
- D.
  $x^{3} + x^{2} + 4x - 5$
Theo lí thuyết $\int_{}^{}{f'(x)dx = f(x) + C}$

Ta có: $\int_{}^{}{f'(x)dx =}\int_{}^{}{\left( 3x^{2} + 2x + m ight)dx} = x^{3} + x^{2} + mx + C$

Khi đó $f(x)$ có dạng $f(x) = x^{3} + x^{2} + mx + C_{1}$

Theo đề ta có: $\left\{ \begin{matrix} f(2) = 1 \\ f(0) = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2^{3} + 2^{2} + 2m + C_{1} = 1 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = - 3 \\ C_{1} = - 5 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số là $f(x) = x^{3} + x^{2} - 3x - 5$ .
Câu 33: Thông hiểu
Với giá trị nào của $m > 0$ thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^{2}$ và $y = mx$ bằng $\frac{4}{3}$ ?
- A.
  $m = 1$
- B.
  $m = 4$
- C.
  $m = 2$
- D.
  $m = 3$
Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^{2} = mx \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = m \\ \end{matrix} ight.$ .

Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên được tính bởi

$\int_{0}^{m}{\left| x^{2} - mx ight|dx} = \int_{0}^{m}{\left( mx - x^{2} ight)dx} = \frac{m^{3}}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow m = 2$ .
Câu 34: Thông hiểu
Một học sinh đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức $v(t) = 40t + 100(m/p)$ . Biết rằng sau khi đi được 1 phút thì quãng đường học sinh đó đi được là $120m$ . Biết quãng đường từ nhà đến trường là $3km$ . Hỏi thời gian học sinh đó đi đến trường là bao nhiêu phút?
- A.
  $9$ phút
- B.
  $15$ phút
- C.
  $10$ phút
- D.
  $12$ phút
Ta có: $S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} = 20t^{2} + 100t + C$

Vì $S(1) = 120 + C = 120 \Rightarrow C = 0$

Để học sinh đó đến trường thì $S(t) = 20t^{2} + 100t = 3000 \Leftrightarrow t = 10$

Vậy đáp án cần tìm là $10$ phút.
Câu 35: Vận dụng cao
Cho hàm số $y = f(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

Biết $\int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx} = 7$ và $\int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx} = - 3$ . Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm có hoành độ $x = 3$ là:
- A.
  $y = x - 4$
- B.
  $y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}$
- C.
  $y = 2x - 7$
- D.
  $y = 3x - 10$
Từ đồ thị hàm số ta suy ra $f(0) = 2;f'(0) = 0$

Xét tích phân $\int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx}$ . Đặt $u = x^{2} - 1 \Rightarrow du = 2xdx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow u = 0 \\ x = 2 \Rightarrow u = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Do đó $\int_{1}^{2}{2x.f'\left( x^{2} - 1 ight)dx} = \int_{1}^{3}{f'(u)du} = \left. \ f(u) ight|_{0}^{3} = f(3) - f(0)$

$\Rightarrow f(3) - f(0) = - 3 \Rightarrow f(3) = - 1$

Xét tích phân $\int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx}$ . Đặt $u = x - 1 \Rightarrow du = dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow u = 0 \\ x = 4 \Rightarrow u = 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \int_{1}^{4}{x.f''(x - 1)dx} = \int_{0}^{3}{(u + 1)f''(u)du} = \int_{0}^{3}{(u + 1)d\left\lbrack f'(u) ightbrack}$

$= \left. \ (u + 1)f'(u) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f'(u)du}$

$= 4f'(3) - f'(0) - \left. \ f(u) ight|_{0}^{3}$

$= 4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0)$

Theo bài ra suy ra

$4f'(3) - f'(0) - f(3) + f(0) = 7$

$\Rightarrow 4f'(3) = 7 + f(3) - f(0) = 4 \Rightarrow f'(3) = 1$

Như vậy $f(3) = - 1;f'(3) = 1$ . Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x = 3$ là: $y = x - 4$ .
Câu 36: Thông hiểu
Cho $\int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = a\ln|x - 1| + b\ln|x + 1| + C$ với $a;b$ là các số hữu tỉ. Khi đó $a - b$ bằng:
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $- 1$
Ta có: $\frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$

$\Rightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ight)dx} = \frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C$

Suy ra $a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a - b = 1$ .
Câu 37: Thông hiểu
Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix}2x^{2} + x;\ \ \ x \geq 0 \\x.\sin x;\ \ \ \ x \leq 0 \\\end{matrix} ight.$ . Tính tích phân $\int_{- \pi}^{1}{f(x)dx}$ ?
- A.
  $\frac{7}{6} + \pi$
- B.
  $\frac{2}{3} + \pi$
- C.
  $3\pi - \frac{1}{3}$
- D.
  $\frac{2}{5} + 2\pi$
Ta có:

$\int_{- \pi}^{1}{f(x)dx} = \int_{-\pi}^{0}{(x.\sin x)dx} + \int_{0}^{1}{\left( 2x^{2} + xight)dx}$

$= - \int_{- \pi}^{0}{xd\left( \cos xight)} + \left. \ \left( \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} ight)ight|_{0}^{1}$

$= \left. \ \left( - x\cos x ight) ight|_{- \pi}^{0} + \left. \ \left( \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{1}$

$= \pi + \frac{7}{6} + \left. \ \left( \sin x ight) ight|_{- \pi}^{0} = \pi + \frac{7}{6}$
Câu 38: Nhận biết
Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{2x}.3^{x}.7^{x}$ là:
- A.
  $\frac{84^{x}}{\ln84} +C$
- B.
  $\frac{2^{2x}.3^{x}.7^{x}}{\ln4.\ln3.\ln7} +C$
- C.
  $84^{x} + C$
- D.
  $84^{x}.\ln84 + C$
Ta có: $\int_{}^{}{\left(2^{2x}.3^{x}.7^{x} ight)dx =}\int_{}^{}{\left( 84^{x} ight)dx}=\frac{84^{x}}{\ln84} + C$
Câu 39: Nhận biết
Giá trị của $\int_{0}^{3}{dx}$ bằng
- A.
  $3$
- B.
  $0$
- C.
  $2$
- D.
  $1$
Ta có: $\int_{0}^{3}{dx} = \left. \ x ight|_{0}^{3} = 3 - 0 = 3$
Câu 40: Vận dụng
Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}$ . Biết rằng giá trị lớn nhất của $F(x)$ trên khoảng $(0;\pi)$ là $\sqrt{3}$ . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
- A.
  $F\left( \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $F\left( \frac{5\pi}{6} ight) = 3 - \sqrt{3}$
- C.
  $F\left( \frac{\pi}{6} ight) = 3\sqrt{3} - 4$
- D.
  $F\left( \frac{\pi}{3} ight) = - \sqrt{3}$
Ta có:

$F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\frac{2\cos x}{\sin^{2}x}dx} -\int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx}$

$= \int_{}^{}{\frac{2}{\sin^{2}x}d\left(\sin x ight)} - \int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx}$

$= - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C$

Suy ra $F'(x) = f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}$

Trên khoảng $(0;\pi)$ ta có:

$F'(x) = 0 \Leftrightarrow 2\cos x - 1= 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3}$

Ta có bảng biến thiên

Giá trị lớn nhất của $F(x)$ trên khoảng $(0;\pi)$ là $\sqrt{3}$ nên t s có:

$F\left( \frac{\pi}{3} ight) = \sqrt{3} \Leftrightarrow - \frac{3\sqrt{3}}{3} + C = \sqrt{3} \Leftrightarrow C = 2\sqrt{3}$

Vậy $F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + 2\sqrt{3} \Rightarrow F\left( \frac{\pi}{6} ight) = 3\sqrt{3} - 4$ .

68 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!