Cho các hàm số
và
liên tục trên
thỏa mãn
với
. Tính
, biết rằng
?
Ta có: .
Cho các hàm số
và
liên tục trên
thỏa mãn
với
. Tính
, biết rằng
?
Ta có: .
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Biết rằng
với
là các số hữu tủ. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục hoành như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây sai?
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là:
Từ hình vẽ ta thấy
Do đó
Vậy mệnh đề sai là:
Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
,
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
,
là
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ,
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
,
là
.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Đặt
Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
, trục hoành,
và
là:
Ta có: nên ta có:
Tính tổng
?
Ta có:
.
Do đó
.
Mặt khác:
.
Đặt .
Đổi cận và
. Khi đó
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có .
Cho hai hàm số
có đồ thị như hình vẽ:

Gọi
là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi
thì
bằng bao nhiêu?
Phương trình hoành độ giao điểm
Ký hiệu là diện tích hình phẳng như hình vẽ:
Ta có:
Vì vậy
Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
. Gọi
là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình
xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:
Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:
.
Cho hàm số
liên tục trên tập số thực và thỏa mãn ![]()
![]()
. Khi đó giá trị
bằng:
Ta có:
Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc
thì tăng tốc với gia tốc
. Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian
kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc nên
Khi đó quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho hàm số
. Tính tích phân
?
Ta có:
Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc
. Hỏi rằng trong
trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn
Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:
.
Tìm một nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
. Vậy
.
Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
. Thể tích vật thể tròn xoay có được khi
quay quanh trục
bằng:
Gọi là thể tích khối tròn xoay cần tính. Ta có:
Biết
là nguyên hàm của hàm số
. Hỏi đồ thị của hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Vì là nguyên hàm của hàm số
nên suy ra
Ta có:
Xét hàm số trên
, ta có:
suy ra hàm số
đồng biến trên
.
Vậy phương trình có nhiều nhất một nghiệm trên
(2)
Mặt khác ta có hàm số liên tục trên
và
nên
.
Suy ra tồn tại sao cho
(3)
Từ (1); (2); (3) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất
.
Đồng thời vì là nghiệm bội lẻ nên
đổi dấu qua
Vậy đồ thị hàm số có một điểm cực trị.
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tính
.
Giá trị tích phân
bằng:
Ta có:
Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn
bằng:
Ta có:
Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với biến m, với các hệ số.
Áp dụng hệ thứ Vi- et
Xét hình phẳng
giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).

Diện tích hình phẳng
được tính theo công thức
Ta có:
Cho hàm số
thỏa mãn
và
với mọi
. Tính
?
Ta có:
Với
Do đó
Vậy
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Khi đó hiệu số
bằng:
Theo định nghĩa tích phân ta có:
suy ra
.
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Ta có:
Cho hai hàm số
có đạo hàm trên
thỏa mãn
và
. Giá trị
bằng:
Chọn
Từ đó suy ra
Vậy
Cho hàm số y = f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Mặt khác
=>
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:
Gọi
là đường thẳng tùy ý đi qua điểm
và có hệ số góc âm. Giả sử
cắt các trục
lần lượt tại
. Quay tam giác
quanh trục
thu được một khối tròn xoay có thể tích là
. Giá trị nhỏ nhất của
bằng
Hình vẽ minh họa
Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d:
Mà M(1; 1) ∈ d nên
Từ (1) suy ra d có hệ số góc là ; theo giả thiết ta có
Nếu mẫu thuẫn với (2) suy ra
Mặt khác từ (2) suy ra kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1.
Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy
Thể tích khối nón là
Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét hàm số trên khoảng
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng
Một ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi vật dừng hẳn thì
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên là:
Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, đường thẳng
và các đường thẳng
. Giá trị của
sao cho
là
Diện tích cần tìm chính là tích phân:
Ta có:
Do đó
Vậy là giá trị cần tìm.
Cho biết
với
. Tính
?
Xét trên đoạn ta có:
Xét . Đặt
Xét . Đặt
Vậy .
Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với
tại điểm có hoành độ
là hình chữ nhật có kích thước là
và
?
Thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với tại điểm có hoành độ
là hình chữ nhật có kích thước là
và
Diện tích thiết diện được xác định theo hàm là:
⇒ Thể tích vật thể tròn xoay:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Biết rằng giá trị lớn nhất của
trên khoảng
là
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Ta có:
Suy ra
Trên khoảng ta có:
Ta có bảng biến thiên
Giá trị lớn nhất của trên khoảng
là
nên t s có:
Vậy .
Tìm nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Vậy một nguyên hàm của hàm số là .
Cho đường cong
. Xét điểm
có hoành độ dương thuộc
, tiếp tuyến của
tại
tạo với
một hình phẳng có diện tích bằng
. Hoành độ điểm
thuộc khoảng nào dưới đây??
Ta có: có
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C)
Vậy
Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Khi đó
Suy ra suy ra
.
Cho hàm số
liên tục trên
, có đồ thị hàm số
như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì là diện tích hình thang cong
.
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: