Tính
?
Áp dụng công thức
Suy ra
Tính
?
Áp dụng công thức
Suy ra
Cho hàm số
liên tục và có đạo hàm trên
thỏa mãn
. Biết rằng
trong đó
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Tính . Đặt
khi đó:
Theo bài ra ta có:
Đặt
với
là tham số thực. Tìm giá trị của tham số
để
?
Ta có:
Do .
Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là
, chiều cao trong lòng cốc là
đang đựng một lượng nước.

Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là , chiều cao trong lòng cốc là
đang đựng một lượng nước.
Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Cho
với
là các số thực. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số
và các đường thẳng
. Thể tích
của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng
quay quanh trục?
Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng quay quanh trục
là:
.
Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Giả sử
là các hàm số bất kì liên tục trên
và
là các số thực. Mệnh đề nào sau đây sai?
Theo tính chất tích phân ta có:
Vậy mệnh đề sai:
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường
và
(với
) được minh họa bằng hình vẽ bên (phần tô đậm):

Cho
quay quanh trục
, thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu?
Ta có:
Thể tích khối tròn xoay cần tính là
Cho hình vẽ:

Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ được xác định theo công thức:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy công thức tính diện tích hình phẳng cần tìm là:
.
Biết
với
là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức
bằng:
Giả sử . Đặt
, đổi cận
Gọi
là đường thẳng tùy ý đi qua điểm
và có hệ số góc âm. Giả sử
cắt các trục
lần lượt tại
. Quay tam giác
quanh trục
thu được một khối tròn xoay có thể tích là
. Giá trị nhỏ nhất của
bằng
Hình vẽ minh họa
Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d:
Mà M(1; 1) ∈ d nên
Từ (1) suy ra d có hệ số góc là ; theo giả thiết ta có
Nếu mẫu thuẫn với (2) suy ra
Mặt khác từ (2) suy ra kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1.
Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy
Thể tích khối nón là
Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét hàm số trên khoảng
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng
Một ô tô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc
, trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?
Ta có:
Khi đó do ban đầu ô tô đang dừng nên
Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là: .
Một xe ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó
. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi
là quảng đường xe ô tô đi được trong
(giây) kể từ lúc đạp phanh.
a) Quảng đường
mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Đúng||Sai
b) Quãng đường
. Đúng||Sai
c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là
giây. Sai||Đúng
d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai
Một xe ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó
. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi
là quảng đường xe ô tô đi được trong
(giây) kể từ lúc đạp phanh.
a) Quảng đường mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Đúng||Sai
b) Quãng đường . Đúng||Sai
c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là giây. Sai||Đúng
d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai
Do nên quãng đường
mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Ta có:
với
là hằng số.
Khi đó, ta gọi hàm số .
Do nên
. Suy ra
.
Xe ô tô dừng hẳn khi hay
. Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.
Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ .
Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: .
Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: .
Do nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.
Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng
xung quanh trục Ox.
Ta có :
Xét
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành, trục tung và đường thẳng
. Giá trị của
sao cho thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành bằng
là?
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành là:
Mà
Vậy là giá trị cần tìm.
Cho hai hàm số
và
. Biết
là các số thực để
là một nguyên hàm của
. Tính
?
Từ giả thiết ta có:
Đồng nhất hai vế ta có: .
Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho hai hàm số
và
liên tục trên
và thỏa mãn
. Gọi
là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh
hình phẳng
giới hạn bởi các đường:
. Khi đó
được tính bởi công thức nào sau đây?
Ta cần nhớ lại công thức sau: Cho hai hàm số liên tục trên
. Khi đó thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi
(với
) và hai đường thẳng
khi quay quanh trục
là
.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Biết rằng giá trị lớn nhất của
trên khoảng
là
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Ta có:
Vì là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
nên hàm số
có công thức dạng
với mọi
Xét hàm số xác định và liên tục trên
Ta có:
Trên khoảng phương trình
có một nghiệm
Ta có bảng biến thiên như sau:
. Theo bài ra ta có:
Do đó suy ra
.
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Vì:
Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc
. Hỏi rằng trong
trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn
Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:
.
Biết rằng
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Khi đó
Suy ra suy ra
.
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Tính tích phân
?
Đặt
Đổi cận
Khi đó:
.
Cho hàm số
thỏa mãn
và
với mọi
. Tính
?
Ta có:
Với
Do đó
Vậy
Tính thể tích
của vật thể sinh ra khi quay quanh trục
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, đường thẳng
và trục hoành?
Thể tích V của vật thể là:
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Do đó:
Cho hàm số
dương và liên tục trên
thỏa mãn
và biểu thức
đạt giá trị lớn nhất, khi đó
bằng:
Do
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Khi đó hiệu số
bằng:
Theo định nghĩa tích phân ta có:
suy ra
.
Tích phân
bằng:
Ta có:
.
Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên
và thỏa mãn f(1) = 1,
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: và
=>
=>
Mà f(1) = 1 => và
Tính diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
trục hoành và hai đường thẳng
.
Diện tích hình phẳng được tính như sau:
.
Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất
, sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án: 667m
Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất , sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Đáp án: 667m
Giả sử hàm số biểu thị cho vận tốc có dạng
Do đi qua gốc
nên
có đỉnh là
Do đó
Xe dừng lại khi
Quảng đường xe ô tô di chuyển trong 20 giây là
Tìm nguyên hàm của hàm số 
Đặt
=>
=>
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng
Diện tích hình giới hạn là
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho khối cầu
, mặt phẳng
có phương trình
cắt khối cầu
thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho khối cầu
, mặt phẳng
có phương trình
cắt khối cầu
thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu
.
Tìm
biết rằng
là phân số tối giản?
Ta có:
Đổi cận khi đó suy ra