Giá trị tích phân
bằng:
Ta có:
Giá trị tích phân
bằng:
Ta có:
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Khi đó hiệu số
bằng:
Theo định nghĩa tích phân ta có:
suy ra
.
Gọi
là đường thẳng tùy ý đi qua điểm
và có hệ số góc âm. Giả sử
cắt các trục
lần lượt tại
. Quay tam giác
quanh trục
thu được một khối tròn xoay có thể tích là
. Giá trị nhỏ nhất của
bằng
Hình vẽ minh họa
Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d:
Mà M(1; 1) ∈ d nên
Từ (1) suy ra d có hệ số góc là ; theo giả thiết ta có
Nếu mẫu thuẫn với (2) suy ra
Mặt khác từ (2) suy ra kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1.
Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy
Thể tích khối nón là
Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét hàm số trên khoảng
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng
Cho các hàm số
có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên
và thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Đặt
Ta có:
Ta có:
Vậy
Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình
quanh trục
?
Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình quanh trục
là
.
Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn
![]()
Tính giá trị biểu thức M = a + b.
=>
=>
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
, trục hoành,
và
là:
Ta có: nên ta có:
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng
m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
s. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là
m. Sai||Đúng
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là s. Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là m. Sai||Đúng
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s.
Khi xe dừng hẳn thì m/s nên
s.
Nguyên hàm của hàm số vận tốc ,
.
Quãng đường từ lúc đạ phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
m.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
trên khoảng
thỏa mãn
. Xác định công thức
?
Ta có: (vì
)
Mà
Vậy .
Nguyên hàm của hàm số
là
Ta có: .
Cho hình thang cong
giới hạn bởi các đường
. Đường thẳng
chia
thành hai phần có diện tích
và
(hình vẽ bên).

Tính giá trị
để
?
Ta có: do đó ta được:
Theo bài ra ta có:
.
Một ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi vật dừng hẳn thì
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên là:
Tính tích phân
bằng cách đặt
. Công thức nào dưới đây chính xác?
Đặt
Suy ra
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc
. Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc
. Tính quãng đường
đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?
Quãng đường xe đi được trong 12s đầu là
Sau khi đi được 12s vật đạt vận tốc , sau đó vận tốc của vật có phương trình
Vật dừng hẳn sau 2s kể từ khi phanh.
Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là
Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm
?
Ta có:
Lại có
Vậy .
Tích phân
bằng:
Ta có:
.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có .
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Suy ra mà
.Hay
Ta có:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình giới hạn là
Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc
. Hỏi rằng trong
trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn
Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:
.
Viết công thức tính thể tích
của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
tại các điểm
, có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
là
.
Thể tích của vật thể đã cho là: .
Cho hàm số
có đạo hàm trên
thỏa mãn
với
ta có:
. Tính tích phân
?
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Theo bài ra ta có:
Vì nên nhận
Vậy
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Cho
với
là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Suy ra
Cho biết
với
là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức
bằng:
Đặt . Khi đó
Đổi cận
. Suy ra
. Do đó
.
Cho đồ thị của hàm số
như sau:

Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:
Dựa vào hình vẽ ta được: .
Cho hình phẳng
được giới hạn bởi đồ thị các hàm số ![]()
. Tính diện tích hình phẳng
?
Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số
. Tính diện tích hình phẳng
?
Cho hai hàm số
và
liên tục trên tập số thực và thỏa mãn
. Tính tích phân
?
Đặt
Đổi cận
Theo bài ra ta có:
Đặt
Đổi cận
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có:
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
quay xung quanh
.
Thể tích vật thể bằng:
.
Cho hàm số f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
=>
Theo bài ra ta có:
=>
=>
Cho
. Hãy tính
?
Đặt
Đổi cận ta có:
Vậy
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có: . Nhân cả hai vế với
ta được:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Suy ra
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là:
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số ![]()
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
và các đường thẳng
như hình vẽ:

Phương trình hoành độ giao điểm
Xét
Xét
Diện tích hình phẳng là:
Cho
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
và nửa elip có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Gọi
là diện tích của, biết
(với
). Tính
?
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
Do tính chất đối xứng của đồ thị nên
. Đặt
Đổi cận
Với
Suy ra
Vậy
Cho
là các số hữu tỉ thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có: