Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Cho hàm số
. Tính tích phân
?
Ta có:
Tính diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
trục hoành và hai đường thẳng
.
Diện tích hình phẳng được tính như sau:
.
Một học sinh đi học từ nhà đến trường bằng xe đạp với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức
. Biết rằng sau khi đi được 1 phút thì quãng đường học sinh đó đi được là
. Biết quãng đường từ nhà đến trường là
. Hỏi thời gian học sinh đó đi đến trường là bao nhiêu phút?
Ta có:
Vì
Để học sinh đó đến trường thì
Vậy đáp án cần tìm là phút.
Anh A xuất phát từ D, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật
trong đó
(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc anh A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, anh B cũng xuất phát từ D, chuyển động thẳng cùng hướng với anh A nhưng chậm hơn
giây so với anh A và có gia tốc bằng
(
là hằng số). Sau khi anh B xuất phát được
giây thì đuổi kịp anh A. Vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A bằng bao nhiêu?
Quãng đường anh A đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:
Vận tốc của anh B tại thời điểm tính từ lúc anh B xuất phát là:
Quãng đường anh B đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:
Vậy vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A là:
Cho hàm số f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
=>
Theo bài ra ta có:
=>
=>
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng
giới hạn bởi các đường
quanh trục
có kết quả có dạng
với
là các số nguyên dương và
là phân số tối giản. Khi đó giá trị của
bằng:
Phương trình hoành độ giao
Thể tích cần tính
Suy ra .
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hình thang
với
. Quay hình thang
xung quanh trục
thì thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu??
Phương trình các cạnh của hình thang là:
Ta thấy là hình thang vuông có
nên khối tròn xoay cần tính là
Cho hình phẳng
giới hạn bởi Parabol
và đường cong có phương trình
như hình vẽ:

Diện tích của hình phẳng
bằng:
Phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích hình phẳng bằng:
Đặt
Cho hàm số
liên tục và có đạo hàm trên
thỏa mãn
. Biết rằng
trong đó
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Tính . Đặt
khi đó:
Theo bài ra ta có:
Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
là
Ta có hình phẳng giới hạn bởi là
.
Một vật chuyển động với vận tốc
. Tính quãng đường vật đó đi được trong
giây đầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).?
Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu là:
.
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
. Tính tích phân
?
Ta có:
Cho hàm
có đạo hàm liên tục trên
. Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và đường thẳng
(phần gạch chéo trong hình vẽ):

Diện tích hình
bằng:
Diện tích phần gạch chéo là:
.
Cho hàm số
là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ:

Biết
và
. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ
là:
Từ đồ thị hàm số ta suy ra
Xét tích phân . Đặt
Đổi cận
Do đó
Xét tích phân . Đặt
Đổi cận
Theo bài ra suy ra
Như vậy . Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
là:
.
Hàm số
có một nguyên hàm là
. Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Giá trị của tích phân
bằng:
Ta có: .
Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình
quanh trục
?
Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình quanh trục
là
.
Cho đồ thị của hàm số
như sau:

Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:
Dựa vào hình vẽ ta được: .
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Cho
với
là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức
bằng
Đặt khi đó:
Cho hai hàm số
và
liên tục trên tập số thực và thỏa mãn
. Tính tích phân
?
Đặt
Đổi cận
Theo bài ra ta có:
Đặt
Đổi cận
Tìm họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Biết
là nguyên hàm của hàm số
. Hỏi đồ thị của hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Vì là nguyên hàm của hàm số
nên suy ra
Ta có:
Xét hàm số trên
, ta có:
suy ra hàm số
đồng biến trên
.
Vậy phương trình có nhiều nhất một nghiệm trên
(2)
Mặt khác ta có hàm số liên tục trên
và
nên
.
Suy ra tồn tại sao cho
(3)
Từ (1); (2); (3) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất
.
Đồng thời vì là nghiệm bội lẻ nên
đổi dấu qua
Vậy đồ thị hàm số có một điểm cực trị.
Cho
với
. Tính
?
Ta có:
Vậy
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
bằng:
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Khi đó
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Biết rằng giá trị lớn nhất của
trên khoảng
là
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Ta có:
Vì là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
nên hàm số
có công thức dạng
với mọi
Xét hàm số xác định và liên tục trên
Ta có:
Trên khoảng phương trình
có một nghiệm
Ta có bảng biến thiên như sau:
. Theo bài ra ta có:
Do đó suy ra
.
Gọi
là đường thẳng tùy ý đi qua điểm
và có hệ số góc âm. Giả sử
cắt các trục
lần lượt tại
. Quay tam giác
quanh trục
thu được một khối tròn xoay có thể tích là
. Giá trị nhỏ nhất của
bằng
Hình vẽ minh họa
Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d:
Mà M(1; 1) ∈ d nên
Từ (1) suy ra d có hệ số góc là ; theo giả thiết ta có
Nếu mẫu thuẫn với (2) suy ra
Mặt khác từ (2) suy ra kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1.
Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy
Thể tích khối nón là
Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét hàm số trên khoảng
Ta có bảng biến thiên như sau:
Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng
Cho
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
và nửa elip có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Gọi
là diện tích của, biết
(với
). Tính
?
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
Do tính chất đối xứng của đồ thị nên
. Đặt
Đổi cận
Với
Suy ra
Vậy
Tích phân
bằng:
Ta có:
Thể tích
của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành và đường thẳng
khi quay quanh trục
?
Phương trình hoành độ giao điểm của đường và trục hoành là:
Khi đó, thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và đường thẳng x = 1 khi quay quanh trục Ox là:
Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Cho hàm số
có một nguyên hàm là
thỏa mãn
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Lại có
Do đó:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có: nên khẳng định
sai.
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số nên:
Hay
Xét
Đặt
Khi đó
Hàm số
có đạo hàm liên tục trên tập số thực và
;
. Hàm số
là:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .