Giá trị của
bằng
Ta có:
Giá trị của
bằng
Ta có:
Cho hàm số
đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn
và thỏa mãn
với
. Biết rằng
khi đó tích phân
bằng:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
. Thể tích vật thể tròn xoay có được khi
quay quanh trục
bằng:
Gọi là thể tích khối tròn xoay cần tính. Ta có:
Diện tích hình phẳng H được giới hạn bởi hai đồ thị
và
được tính theo công thức
Phương trình hoành độ giao điểm của và
là:
Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị
và
được tính theo công thức
.
Cho hàm số
xác định trên tập số thực thỏa mãn
và
. Tính
biết rằng
?
Vì nên ta có:
Cho
Do đó
Hàm số nào dưới đây là họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Cho hàm số
thỏa mãn
và
với mọi
. Tính
?
Ta có:
Với
Do đó
Vậy
Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay, biết đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là
và
. Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay có đường sinh là đồ thị hàm số
. Tính thể tích bình cắm hoa?
Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay, biết đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là và
. Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay có đường sinh là đồ thị hàm số
. Tính thể tích bình cắm hoa?
Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi
là
. Tính
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Vậy
Tính thể tích
của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
và hai đường thẳng
quanh trục
:
Thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
và hai đường thẳng
quanh trục
là:
.
Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Biết rằng
và
. Tìm hàm số
?
Ta có:
Mà
Vậy
Cho hình
giới hạn bởi các đường
, trục hoành. Quay hình phẳng
quanh trục
ta được khối tròn xoay có thể tích là:
Phương trình hoành độ giao điểm của là:
Khi đó .
Giá trị của
bằng
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Cho
với
là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Suy ra
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Ta có:
Trong không gian với hệ tọa độ
, cho khối cầu
, mặt phẳng
có phương trình
cắt khối cầu
thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu
.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho khối cầu
, mặt phẳng
có phương trình
cắt khối cầu
thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu
.
Cho hàm số
có đồ thị
. Các tiếp tuyến với đồ thị tại
và tại
cắt nhau tại
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung
của
và hai tiếp tuyến
?
Tập xác định
Tiếp tuyến tại O(0; 0) là OB:
Tiếp tuyến tại A(3; 3) là AB:
Suy ra
Diện tích hình giới hạn là
Cho hàm số
liên tục trên tập số thực và thỏa mãn ![]()
![]()
. Khi đó giá trị
bằng:
Ta có:
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau
và đườDng thẳng
(tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng
bằng

Đặt . Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ
Ta có:
Thể tích cần tìm là
Cho hàm số
liên tục trên
và có một nguyên hàm là hàm số
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Theo định nghĩa tích phân ta có: .
Cho hàm số
liên tục trên
thỏa mãn điều kiện
với
và
với
. Tính giá trị
?
Cho hàm số liên tục trên
thỏa mãn điều kiện
với
và
với
. Tính giá trị
?
Xét hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và đường thẳng
. Gọi
. Tính giá trị của tham số
để đoạn thẳng
chia
thành hai phần có diện tích bằng nhau?

Cho
là số thực dương. Biết rằng
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy .
Cho hàm số
liên tục trên
và
. Xác định giá trị của
?
Ta có:
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ:

Tính tích phân
?
Ta có:
Cho hàm số
biết rằng đồ thị hàm số F(x) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành. Chọn công thức đúng của
?
Ta có:
Mà
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là A(0; 1)
=>
=> Hay
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng
Diện tích hình giới hạn là
Xác định nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: .
Một chất điểm chuyển động với gia tốc
. Vận tốc ban đầu của chất điểm là
. Hỏi vận tốc của chất điểm sau khi chuyển động với gia tốc đó được
giây bằng bao nhiêu?
Ta có:
Cho hàm số
xác định trên
thỏa mãn
và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Lại có
Từ đó suy ra
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là
Tìm nguyên hàm của hàm số
??
Đặt
Cho hai hàm số
và
. Biết
là các số thực để
là một nguyên hàm của
. Tính
?
Từ giả thiết ta có:
Đồng nhất hai vế ta có: .
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
là một nguyên hàm của
. Biết rằng
. Xác định tích phân
?
Ta có: .
Cho hàm số
có đạo hàm trên khoảng
thỏa mãn
và
. Giá trị tích phân
bằng:
Từ giả thiết ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra
Vì nên
Đặt
Theo công thức tích phân từng phần ta được:
Cho hình vẽ:

Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ được xác định theo công thức:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy công thức tính diện tích hình phẳng cần tìm là:
.
Cho hàm số f(x) xác định trên
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
là bao nhiêu?
Ta có:
Khi đó