Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 4. Nguyên hàm Tích phân được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 CTST
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} 3x^{2} + 2\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ 4x^{3} - 18\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.. Giá trị biểu thức F( - 1) - F(3) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x^{3} + 2x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 2 \\ x^{4} - 18x + C_{2}\ \ \ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 2 tức là

    \lim_{x ightarrow 2^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 2^{-}}F(x) = F(2)

    \Leftrightarrow 12 + C_{1} = - 20 + C_{2} \Leftrightarrow C_{1} - C_{2} = - 32

    Do đó

    F( - 1) - F(3) = \left( 1 + 18 + C_{2} ight) - \left( 27 + 6 + C_{1} ight)

    = - 14 - \left( C_{1} - C_{2} ight) = - 14 + 32 = 18

  • Câu 2: Thông hiểu

    Tính tích phân B = \int_{0}^{2}{2x\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}dx}?

    Ta có: B = \int_{0}^{2}{2x\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}dx}

    = \int_{0}^{2}{\left( x^{2} + 1 ight)^{2018}d\left( x^{2} + 1 ight)}

    = \left. \ \frac{\left( x^{2} + 1 ight)^{2019}}{2019} ight|_{0}^{2} = \frac{5^{2019} - 1}{2019}

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2x + 1}{x^{3} + 2x^{3} + x^{2}} trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn F(1) = \frac{1}{2}. Giá trị của biểu thức T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019) bằng:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{2x + 1}{x^{2}(x + 1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} ight)dx}

    Suy ra F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + C mà F(1) = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1 .Hay F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + 1

    Ta có:

    T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019)

    T = \left( - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + 4 ight) + ... + \left( - \frac{1}{2019} + \frac{1}{2020} + 1 ight)

    T = - 1 + \frac{1}{2020} + 2019.1 = 2018 + \frac{1}{2020} = 2018\frac{1}{2020}

  • Câu 4: Thông hiểu

    Cho F(x) = (x - 1)e^{x} là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x}. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^{2x}?

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^{2x} nên

    F'(x) = f(x)e^{2x} \Leftrightarrow \left\lbrack (x - 1)e^{x} ightbrack' = f(x)e^{2x}

    Hay f(x)e^{2x} = e^{x} + (x - 1)e^{x} = xe^{x}

    Xét I = \int_{}^{}{f'(x)e^{2x}}dx, đặt \left\{ \begin{matrix} u = e^{2x} \\ dv = f'(x)dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = 2e^{2x}dx \\ v = f(x) \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó

    I = f(x)e^{2x} - \int_{}^{}{2f(x)e^{2x}}dx

    = xe^{x} - 2(x - 1)e^{x} + C = (2 - x)e^{x} + C

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm a + b biết rằng \int_{0}^{1}{x\sqrt[3]{1 - x}dx} = \frac{a}{b} là phân số tối giản?

    Ta có: t = \sqrt[3]{1 - x} \Rightarrow t^{3} = 1 - x \Rightarrow 3t^{2}dt = - dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ \end{matrix} ight. khi đó suy ra

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{x\sqrt[3]{1 - x}dx} = 3\int_{0}^{1}{\left( 1 - t^{3} ight)t^{3}dt}

    = \left. \ 3\left( \frac{t^{4}}{4} - \frac{t^{7}}{7} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{9}{28}

  • Câu 6: Vận dụng

    Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa 2 điểm xa nhất bằng 10 cm và cắt quả bóng bằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó thì được đường tròn có diện tích bằng 16\pi\left( \ cm^{2} ight). Thể tích của quả bóng bằng (Tính gần đúng đến hai chữ số thập phân, đơn vị lít)

    Quả bóng bầu dục sẽ có dạng elip.

    Độ dài trục lớn bằng 20\ cm \Rightarrow2a = 20 \Rightarrow a = 5\ \ (cm)

    Ta có diện tích đường tròn thiết diện là

    S = \pi b^{2} = 16\pi \Rightarrow b =4(\ cm)

    Ta sẽ có phương trình elip \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1

    \Rightarrow V = \pi\int_{- 5}^{5}{16\left( 1 - \frac{x^{2}}{25} ight)}dx \approx 335\ \ \left( \ cm^{3} ight) = 0,34\ (l).

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{\sin x} có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0. Giá trị của e^{F\left( \frac{2\pi}{3} ight)} bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{\sin x}dx} =\int_{}^{}{\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}.\cos\frac{x}{2}}dx}

    = \int {\frac{1}{{2\tan \frac{x}{2}.{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}dx} = \int {\frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}}d\left( {\tan \frac{x}{2}} ight)}= \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} ight| + C

    Lại có F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \ln\left| \tan\frac{\pi}{6} ight| + C = 0

    \Rightarrow C = - \ln\frac{\sqrt{3}}{3}= \ln\sqrt{3} = \frac{1}{2}\ln3

    Do đó: {e^{F\left( {\frac{{2\pi }}{3}} ight)}} = {e^{\ln \left| {\tan \frac{\pi }{3}} ight| + \frac{1}{2}\ln 3}} = {e^{\ln 3}} = 3

  • Câu 8: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x -\sin2x?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{(x- \sin2x)dx} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\cos2x + C

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho hai hàm số f(x) = ax^{3} + bx + c;g(x) = bx^{3} + ax + c;(a > 0) có đồ thị như hình vẽ:

    Gọi S_{1};S_{2} là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi S_{1} + S_{2} = 3 thì \int_{0}^{1}{f(x)dx} bằng bao nhiêu?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    (a - b)x^{3} + (b - a)x = 0

    \Leftrightarrow (a - b)\left( x^{3} - x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ký hiệu S_{3} là diện tích hình phẳng như hình vẽ:

    Ta có:

    S_{1} = \int_{- 1}^{0}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} = (a - b)\int_{- 1}^{0}{\left( x^{3} - x ight)dx} = \frac{1}{4}(a - b)

    S_{2} = - \int_{- 1}^{0}{g(x)dx} = - \int_{- 1}^{0}{\left( bx^{3} + ax + c ight)dx} = - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight)

    Vì vậy S_{1} + S_{2} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{4}(a - b) - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight) = 3

    \Leftrightarrow a + 2b + 4c = - 12

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{\left( ax^{3} + bx + c ight)dx} = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = \frac{a + 2b + 4c}{4} = - 3

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack và f(1) = 0. Giá trị tích phân D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Từ giả thiết ta có:

    f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} = \ln\left\lbrack \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}

    \Leftrightarrow \frac{xf'(x) - f(x)}{x^{2}}.e^{\frac{f(x)}{x}} = x

    \Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f(x)}{x} ightbrack'.e^{\frac{f(x)}{x}} = x(*)

    Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + C

    Vì f(1) = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{2} nên e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = x\ln\frac{x^{2} + 1}{2};\forall x \in (0; + \infty)

    D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} =\int_{1}^{5}{x.\ln\frac{x^{2} + 1}{2}dx}(**)

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln\dfrac{x^{2} + 1}{2} \\dv = xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}dx \\v = \dfrac{x^{2} + 1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Theo công thức tích phân từng phần ta được:

    D = \left. \ \left( \frac{x^{2} +1}{2}.\ln\frac{x^{2} + 1}{2} ight) ight|_{1}^{5} - \int_{1}^{5}{xdx}= 13\ln13 - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{5} = 13\ln13 -12

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} và F\left( 1 ight) = \frac{1}{3}. Tính {\left[ {F\left( e ight)} ight]^2}

     Cách 1: \int {f\left( x ight)} = \int {\frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx = \int {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .} } \frac{{\ln x}}{x}dx

    Đặt \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} = t

    \begin{matrix} \Rightarrow {\ln ^2}x + 1 = {t^2} \hfill \\ \Rightarrow 2\ln x.\dfrac{1}{x}dx = 2tdt \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{\ln x}}{x}dx = tdt \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó \int {f\left( x ight)} = \int {t.t.dt} = \int {{t^2}dt} = \frac{{{t^3}}}{3} + C

    => F\left( x ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C

    Mặt khác F\left( 1 ight) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C

    => C = 0

    => F\left( e ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}e + 1} } ight)^3} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}

    => {\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} ight)^2} = \frac{8}{9}

    Cách 2: F\left( e ight) - F\left( 1 ight) = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx}. Sử dụng máy tính cầm tay để tính.

  • Câu 12: Nhận biết

    Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).

    Diện tích hình phẳng (H) được tính theo công thức

    Ta có:

    S = \int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{1}^{4}{\left| g(x) ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{g(x)dx}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v_{1}(t) = 7t(m/s). Đi được 5s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = - 70\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

    Vận tốc vật đạt được sau 5s là: v_{0} = 7.5 = 35(m/s)

    Ta có: v_{2}(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} = \int_{}^{}{- 70dt} = - 70t + C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} = 35(m/s) \Rightarrow v_{(t = 0)} = 35 \Rightarrow C = 35

    \Rightarrow v_{2}(t) = - 70t + 35

    Vật dừng hẳn khi v_{2}(t) = - 70t + 35 = 0 \Rightarrow t_{2} = \frac{1}{2}(s)

    Khi đó quãng đường đi được bằng

    S = \int_{0}^{5}{v_{1}(t)dt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{v_{2}(t)dt}

    = \int_{0}^{5}{7tdt} + \int_{0}^{\frac{1}{2}}{( - 70t + 35)dt} = 96,25(m)

  • Câu 14: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack, có đồ thị hàm số y = f'(x) như sau:

    Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

    Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì \int_{a}^{b}{f'(x)dx} là diện tích hình thang cong ABMN.

  • Câu 15: Thông hiểu

    Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip (E) có phương trình \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1. Hình phẳng (H) giới hạn bởi nửa elip nằm trên trục hoành và trục hoành. Quay hình (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay, tính thể tích khối tròn xoay đó?

    Ta có: \frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{25} \Rightarrow y = \sqrt{9\left( 1 - \frac{x^{2}}{25} ight)} với x \in \lbrack - 5;5brack

    Khi đó thể tích cần tìm là: V = \pi\int_{- 5}^{5}{\left( 9 - \frac{9x^{2}}{25} ight)dx} = 60\pi

  • Câu 16: Nhận biết

    Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:

    Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:

    Dựa vào hình vẽ ta được: S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Một vật chuyển động với gia tốc a(t) =3t^{2} + t(m/s). Vận tốc ban đầu của vật là 2(m/s). Hỏi vận tốc của vật là bao nhiêu sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2s.

    Ta có:

    v(t) = \int_{}^{}{a(t)dt} =\int_{}^{}{\left( 3t^{2} + t ight)dt} = t^{3} + \frac{t^{2}}{2} +C

    Do khi bắt đầu tăng tốc v_{0} =2 nên v_{(t = 0)} = 2 \Rightarrow C= 2

    Suy ra v(t) = t^{3} + \frac{t^{2}}{2} +2

    Vận tốc của vật khi chuyển động với gia tốc đó được 2s là v(2) = 12(m/s).

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có một nguyên hàm là hàm số F(x). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Theo định nghĩa tích phân ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a).

  • Câu 19: Nhận biết

    Hàm số f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: f'(x) = - e^{- x} + 2 nên f(x) = e^{- x} + 2x - 5 là một nguyên hàm của hàm số y = - e^{- x} + 2.

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}. Giá trị của f(2) là:

     Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3a - 2} \\ {b = 2b - 3} \\ {d = 0} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1} \\ {b = 3} \\ {c = 0} \\ {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2} => f(x) = 20

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack và \int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \lbrack -1;1brack và \int_{-1}^{1}{f(x)dx} = 4. Tính tích phân I = \int_{- 1}^{1}{\frac{f(x)}{1 +e^{x}}dx}?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 22: Nhận biết

    Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x^{2} - 2;y = 0;x = - 1;x = 2 quanh trục Ox bằng

    Ta có:

    V = \pi\int_{- 1}^{2}{\left( x^{2} - 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{- 1}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx}

    = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - x^{4} + \frac{4x^{3}}{3} ight) ight|_{- 1}^{2} = \frac{18\pi}{5}

  • Câu 23: Vận dụng cao

    Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight) = 4;g\left( x ight) = - xf'\left( x ight);f\left( x ight) = - xg'\left( x ight). Kết luận nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g\left( x ight) = - xf'\left( x ight)} \\ {f\left( x ight) = - xg'\left( x ight)} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) + g\left( x ight) = - x\left[ {f'\left( x ight) + g'\left( x ight)} ight] \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = \dfrac{{ - 1}}{x} \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Rightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{f'\left( x ight) + g'\left( x ight)}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}}dx = \int\limits_1^4 {\dfrac{{ - 1}}{x}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow \int\limits_1^4 {\dfrac{{d\left[ {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight]}}{{f\left( x ight) + g\left( x ight)}} = } \left. {\ln \left| x ight|} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( x ight) + g\left( x ight)} ight|_1^4 = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| - \ln \left| {f\left( 1 ight) + g\left( 1 ight)} ight| = - \ln 4 \hfill \\ \Rightarrow \ln \left| {f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight)} ight| = 0 \hfill \\ \Rightarrow f\left( 4 ight) + g\left( 4 ight) = 1 \hfill \\ \end{matrix}

     

  • Câu 24: Nhận biết

    Giả sử f(x) là một hàm số bất kì và liên tục trên khoảng (\alpha;\beta) và a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Dựa vào tính chất của tích phân với f(x) là một số bất kì liên tục trên khoảng (\alpha;\beta) và a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta) ta có:

    \int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{b}^{c}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{b + c}{f(x)dx} + \int_{b + c}^{b}{f(x)dx}

  • Câu 25: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} - 2x - 2 và y = \frac{x - 4}{2 - x}?

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{2} - 2x - 2 = \frac{x - 4}{2 - x}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ \left( x^{2} - 2x - 2 ight)(2 - x) = x - 4 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ x\left( x^{2} - 4x + 3 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Diện tích hình giới hạn là

    S = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 2 - \frac{x - 4}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 2 - \frac{x - 4}{2 - x} ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 1 - \frac{2}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 1 - \frac{2}{x - 2} ight|dx}

    = \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3}- x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight) ight|_{0}^{1} ight| + \left| \left.\ \left( \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight)ight|_{1}^{3} ight|

    = \frac{5}{3} - 2\ln2 + \frac{4}{3} = 3 -\ln4

  • Câu 26: Nhận biết

    Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, đường thẳng x = a;x = b như hình vẽ sau:

    Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

    Dựa vào hình biểu diễn hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành, đường thẳng x = a;x = b ta có: S = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Với giá trị nào của m > 0 thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} và y = mx bằng \frac{4}{3}?

    Xét phương trình hoành độ giao điểm x^{2} = mx \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = m \\ \end{matrix} ight..

    Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên được tính bởi

    \int_{0}^{m}{\left| x^{2} - mx ight|dx} = \int_{0}^{m}{\left( mx - x^{2} ight)dx} = \frac{m^{3}}{6} = \frac{4}{3} \Rightarrow m = 2.

  • Câu 28: Nhận biết

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin5x.\cos x?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}

    = - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C

  • Câu 29: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x}, thỏa mãn F(0) = \frac{1}{\ln2}. Tính giá trị biểu thức T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{2^{x}dx} = \frac{2^{x}}{\ln2} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x}, ta có: F(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} + C mà F(0) = \frac{1}{\ln2}

    \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F(x) =\frac{2^{x}}{\ln2}

    T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)

    T = \frac{1}{\ln2}\left( 1 + 2 + 2^{2} +.... + 2^{2018} + 2^{2019} ight)

    T = \frac{1}{\ln2}.\frac{2^{2020} - 1}{2- 1} = \frac{2^{2020} - 1}{ln2}

  • Câu 30: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^{2} + \frac{x}{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}\left( 3x^{2} + \frac{x}{2} ight)dx = x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C.

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A_{1};A_{2};B_{1};B_{2} như hình vẽ:

    Người ta chia elip bởi Parabol có đỉnh B_{1}, trục đối xứng B_{1}B_{2} và đi qua các điểm M;N. Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200 nghìn đồng/m2 và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500 nghìn đồng/m2. Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng A_{1}A_{2} =4m;B_{1}B_{2} = MN = 2m

    Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của A1A2. Tọa độ các đỉnh A1(−2; 0), A2(2; 0), B1(0; −1), B2(0; 1)

    Phương trình đường Elip (E):\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1\Leftrightarrow y = \pm \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}

    Ta có: M\left( - 1;\frac{\sqrt{3}}{2}ight),N\left( 1;\frac{\sqrt{3}}{2} ight) \in (E)

    Parabol (P) có đỉnh B1(0; −1) và trục đối xứng là Ox nên (P) có phương trình y = ax^{2} - 1, (a > 0), đi qua M; N

    \Rightarrow a = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1\Rightarrow (P):y = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight)x^{2} -1

    Diện tích phần tô đậm

    S_{1} = 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight)x^{2}+ 1 ightbrack dx}

    = \int_{0}^{1}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} -\frac{2}{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight) + 2

    Đặt x = 2\sin t;t \in \left\lbrack -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx =2\cos tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0 \\x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow S_{1} =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\sqrt{4 - 4\sin^{2}t}.2\cos tdt} -\frac{2}{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight) + 2

    = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\cos^{2}tdt}- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3} = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{(1 +\cos2t)dt} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3}

    = \left. \ (2t + \sin2t)ight|_{0}^{\frac{\pi}{6}} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3} =\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{4}{3}

    Diện tích hình Elip là S = πab = 2π

    Suy ra diện tích phần còn lại là: S_{2} =S - S_{1} = \frac{5\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6} -\frac{4}{3}

    Kinh phí sử dụng là 2.10^{5}S_{1} +5.10^{5}S_{2} \approx 2.341.000 đồng.

  • Câu 32: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 150 - 15t(m/s). Hỏi rằng trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 150 - 15t = 0 \Rightarrow t = 10(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{0}^{10}{v(t)dt} = \int_{0}^{10}{(150 - 15t)dt} = \frac{375}{2}m.

  • Câu 33: Nhận biết

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{2x - 1} , biết rằng F(1) = 2. Khi đó giá trị F(2) là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)

    Mà F(1) = 2 \Rightarrow C = 2. Vậy với x > \frac{1}{2} thì F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2

    Vậy F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2.

  • Câu 34: Nhận biết

    Tính tích phân I = \int_{0}^{1}{(2x + 1)e^{x}dx} bằng cách đặt u = 2x + 1;dv = e^{x}dx. Công thức nào dưới đây chính xác?

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u = 2x + 1 \\ dv = e^{x}dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = 2dx \\ v = e^{x} \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra I = \int_{0}^{1}{(2x + 1)e^{x}dx} = \left. \ \left\lbrack (2x + 1)e^{x} ightbrack ight|_{0}^{1} - 2\int_{0}^{1}{e^{x}dx}

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho tích phân \int_{0}^{4}\frac{dx}{3 +\sqrt{2x + 1}} = a + b.\ln\frac{2}{3} với a;b\mathbb{\in Z}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \int_{0}^{4}\frac{dx}{3 + \sqrt{2x + 1}} = \int_{0}^{4}{\left( 1 - \frac{3}{3 + \sqrt{2x + 1}} ight)d\left( \sqrt{2x + 1} ight)}

    = \left. \ \left\lbrack \sqrt{2x + 1} -3\ln\left( \sqrt{2x + 1} + 3 ight) ightbrack ight|_{0}^{4} = 2 +3\ln\frac{2}{3}

    Suy ra a = 2;b = 3 \Rightarrow a + b = 5.

  • Câu 36: Vận dụng

    Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn \int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1 bằng:

    Ta có:

    \int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1

    \Leftrightarrow \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} + m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1

    \Leftrightarrow m^{2} - m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} - \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} - 1 = 0

    Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với biến m, với các hệ số
    \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = - \int_{0}^{1}{\dfrac{3}{9^{x} + 3}dx} \\c = - \int_{0}^{1}{\dfrac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} \\\end{matrix} ight..

    Áp dụng hệ thứ Vi- et \Rightarrow m_{1} + m_{2} = \frac{- b}{a} = \int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = \frac{1}{2}

  • Câu 37: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin3x.

    Ta có \left( - \frac{1}{3}cos3x + C ight)' = sin3x.

  • Câu 38: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}}?

    Ta có: f(x) = \frac{x - 1}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow F(x) = \ln|x| + \frac{1}{x} + C

  • Câu 39: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}{\text{ khi }}x \geqslant 0 \hfill \\ {\left( {2x + 1} ight)^3}{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight. và F(4) + F( - 1) = 8. Giá trị biểu thức Q = F( - 2) + F(12) bằng:

    Ta có: F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx} = \left\{ \begin{gathered} \sqrt {2x + 1} + {C_1}{\text{ khi }}x \geqslant 0 \hfill \\ \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^4}}}{8}{\text{ + }}{{\text{C}}_2}{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    F(4) + F( - 1) = 8\Rightarrow \sqrt{8 +1} + C_{1} + \frac{( - 2 + 1)^{4}}{8} + C_{2} = 8\Rightarrow C_{1} +C_{2} = \frac{39}{8}(*)

    Do đó: Q = F( - 2) + F(12) = \sqrt{2.12 + 1} + \frac{( - 4 + 1)^{4}}{8} + C_{1} + C_{2} = 20

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = - 2x^{3} + x^{2} + x + 5 và đồ thị (C') của hàm số y = x^{2} - x + 5?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    - 2x^{3} + x^{2} + x + 5 = x^{2} - x + 5

    \Leftrightarrow - 2x^{3} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{- 1}^{1}{\left| 2x^{3} - 2x ight|dx}

    = \left| \int_{- 1}^{0}{\left( 2x^{3} - 2x ight)dx} ight| + \left| \int_{0}^{1}{\left( 2x^{3} - 2x ight)dx} ight|

    = 1

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 79 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập