Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành,
và
bằng
Diện tích hình giới hạn là
Cho các hàm số
có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên
và thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Đặt
Ta có:
Ta có:
Vậy
Tìm nguyên hàm
.
Ta có:
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng ![]()
Tìm một nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
. Vậy
.
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
liên tục trên đoạn
, trục Ox và hai đường thẳng
có diện tích là:
Công thức tính diện tích cần tìm là: .
Cho hàm số
liên tục trên
và có đồ thị
là đường cong như hình vẽ:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
, trục hoành và hai đường thẳng
(phần tô đen) là:
Dựa vào hình vẽ ta thấy thì
Vậy
Tính tích phân
?
Ta có:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng
Diện tích hình giới hạn là
Nếu
. Khi đó
bằng:
Ta có: .
Cho
là nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tổng các nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
Đặt
Theo bài ra ta có:
Ta có:
Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 2.
Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng

Dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên là:
Tìm nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng
?
Ta có:
Vậy .
Cho tích phân
. Tính tích phân
?
Đặt
Đổi cận
Khi đó
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Biết rằng giá trị lớn nhất của
trên khoảng
là
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Ta có:
Suy ra
Trên khoảng ta có:
Ta có bảng biến thiên
Giá trị lớn nhất của trên khoảng
là
nên t s có:
Vậy .
Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
là
Ta có hình phẳng giới hạn bởi là
.
Tích phân
bằng:
Ta có:
.
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau
và đườDng thẳng
(tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng
bằng

Đặt . Ta được hệ trục tọa độ OXY như hình vẽ
Ta có:
Thể tích cần tìm là
Cho hai hàm số
và
liên tục trên
và thỏa mãn
. Gọi
là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh
hình phẳng
giới hạn bởi các đường:
. Khi đó
được tính bởi công thức nào sau đây?
Ta cần nhớ lại công thức sau: Cho hai hàm số liên tục trên
. Khi đó thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi
(với
) và hai đường thẳng
khi quay quanh trục
là
.
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng
m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
s. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là
m. Sai||Đúng
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là s. Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là m. Sai||Đúng
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s.
Khi xe dừng hẳn thì m/s nên
s.
Nguyên hàm của hàm số vận tốc ,
.
Quãng đường từ lúc đạ phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
m.
Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là
, chiều cao trong lòng cốc là
đang đựng một lượng nước.

Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là , chiều cao trong lòng cốc là
đang đựng một lượng nước.
Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.
Biết tích phân
trong đó
là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
. Từ (*) và (**) suy ra
Do đó
Cho hàm số
có đạo hàm dương và liên tục trên
thỏa mãn
và
. Tích phân
là:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi
Tìm nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Cho hàm số
thỏa mãn
và
với mọi
. Tính
?
Ta có:
Với
Do đó
Vậy
Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với
là tâm hình vuông sao cho
như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình
và
. Tính giá trị
biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm
diện tích mặt sàn.

Đáp án: -2||- 2
Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với là tâm hình vuông sao cho
như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình
và
. Tính giá trị
biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm
diện tích mặt sàn.
Đáp án: -2||- 2
Diện tích 1 cánh của hình trang trí là:
Diện tích hình trang trí là:
Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm diện tích mặt sàn nên
Khi đó ta có:
Vậy .
Tìm nguyên hàm của hàm số
là
Ta có:
Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip (E):
quay quanh trục hoành?
Xét có
. Do đó hai đỉnh thuộc trục lớn có tọa độ
Vì
Do đó thể tích khối tròn xoay là
Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra
Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc
thì tăng tốc với gia tốc
. Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian
kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc nên
Khi đó quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng
Cho
là số thực dương. Biết rằng
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy .
Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
,
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
,
là
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ,
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
,
là
.
Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn
Do đó từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được:
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để tồn tại tích phân
?
Tích phân tồn tại khi và chỉ khi hàm số
liên tục trên
hoặc
Mà hàm số liên tục trên các khoảng
Nên hàm số liên tục trên
hoặc
khi và chỉ khi
.
Biết
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Giá trị của biểu thức T = a + b + c bằng
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Khi đó