Cho
với
là các số hữu tỉ. Khi đó
bằng:
Ta có:
Suy ra .
Cho
với
là các số hữu tỉ. Khi đó
bằng:
Ta có:
Suy ra .
Anh A xuất phát từ D, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật
trong đó
(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc anh A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, anh B cũng xuất phát từ D, chuyển động thẳng cùng hướng với anh A nhưng chậm hơn
giây so với anh A và có gia tốc bằng
(
là hằng số). Sau khi anh B xuất phát được
giây thì đuổi kịp anh A. Vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A bằng bao nhiêu?
Quãng đường anh A đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:
Vận tốc của anh B tại thời điểm tính từ lúc anh B xuất phát là:
Quãng đường anh B đi được cho đến khi hai người gặp nhau là:
Vậy vận tốc của anh B tại thời điểm đuổi kịp anh A là:
Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa 2 điểm xa nhất bằng 10 cm và cắt quả bóng bằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó thì được đường tròn có diện tích bằng
. Thể tích của quả bóng bằng (Tính gần đúng đến hai chữ số thập phân, đơn vị lít)
Quả bóng bầu dục sẽ có dạng elip.
Độ dài trục lớn bằng
Ta có diện tích đường tròn thiết diện là
Ta sẽ có phương trình elip
Tính
?
Áp dụng công thức
Suy ra
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Vì:
Một vật chuyển động với gia tốc
. Vận tốc ban đầu của vật là
. Hỏi vận tốc của vật là bao nhiêu sau khi chuyển động với gia tốc đó được
.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc nên
Suy ra
Vận tốc của vật khi chuyển động với gia tốc đó được 2s là .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
và trục hoành?
Phương trình hoành độ giao điểm
Khi đó diện tích hình phẳng theo yêu cầu bài toán là:
.
Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
là
Ta có hình phẳng giới hạn bởi là
.
Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
và
, với
. Tìm
để diện tích hình phẳng
gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 0,59
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
và
, với
. Tìm
để diện tích hình phẳng
gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: 0,59
Gọi là diện tích hình phẳng
. Lúc dó
, trong đó
là diện tích phần gạch sọc ở bên phải
và
là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.
Gọi là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng
và đồ thị hàm số
, trong đó
và
.
Thco yêu cầu bài toán .
.
.
Vật thể
giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình
và
. Cắt vật thể
với mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ bằng
ta được thiết diện có diện tích bằng
. Thể tích của vật thể
:
Thể tích của vật thể B là:
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Tìm nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Nếu
thì
bằng:
Ta có:
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc
. Đi được 12 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc
. Tính quãng đường
đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?
Quãng đường xe đi được trong 12s đầu là
Sau khi đi được 12s vật đạt vận tốc , sau đó vận tốc của vật có phương trình
Vật dừng hẳn sau 2s kể từ khi phanh.
Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là
Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ và
.

Tính diện tích của phần được gạch chéo theo
.
Từ đồ thị ta suy ra
Do đó, diện tích phần gạch chéo là
.
Cho hàm số
liên tục và có đạo hàm trên
thỏa mãn
. Biết rằng
trong đó
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
.
Tính . Đặt
khi đó:
Theo bài ra ta có:
Cho
là nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tổng các nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
Đặt
Theo bài ra ta có:
Ta có:
Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 2.
Cho hàm số
biết rằng đồ thị hàm số F(x) có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành. Chọn công thức đúng của
?
Ta có:
Mà
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là A(0; 1)
=>
=> Hay
Cho
là các số hữu tỉ thỏa mãn
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn
Do đó từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được:
Cho tích phân
. Tính tích phân
?
Đặt
Đổi cận
Khi đó
Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
, cung tròn có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành là
, trong đó
và
là các phân số tối giản. Tính
?
Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số , cung tròn có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành là
, trong đó
và
là các phân số tối giản. Tính
?
Tính thể tích
của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
quay quanh
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
Thể tích khối tròn xoay cần tính là:
Cho hàm số
đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn
và thỏa mãn
với
. Biết rằng
khi đó tích phân
bằng:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và
. Giá trị của f(2) là:
Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Ta có:
Vậy => f(x) = 20
Cho hình phẳng
như hình vẽ (phần tô đậm):

Diện tích hình phẳng
là:
Gọi S là diện tích hình phẳng (H) theo hình vẽ suy ra
Theo công thức tích phân từng phần:
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
bằng:
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Khi đó
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có .
Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình
quanh trục
?
Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình quanh trục
là
.
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên
và thỏa mãn
. Biết rằng
và
. Tích phân
bằng bao nhiêu?
Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên
và thỏa mãn
. Biết rằng
và
. Tích phân
bằng bao nhiêu?
Biết rằng
. Tính giá trị biểu thức
?
Ta có:
Khi đó
Suy ra
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
. Từ (*) và (**) suy ra
Do đó
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Biết rằng giá trị lớn nhất của
trên khoảng
là
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Ta có:
Vì là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
nên hàm số
có công thức dạng
với mọi
Xét hàm số xác định và liên tục trên
Ta có:
Trên khoảng phương trình
có một nghiệm
Ta có bảng biến thiên như sau:
. Theo bài ra ta có:
Do đó suy ra
.
Cho hàm số
biết
,
liên tục trên
và
. Tính
?
Ta có:
Cho
. Tính
.
Ta có:
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .
Xác định tích phân
?
Ta có:
Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc
. Hỏi rằng trong
trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn
Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:
.