Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm F(x)
Mặt khác
=>
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm F(x)
Mặt khác
=>
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Tích phân
bằng:
Ta có:
Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Ta có: nên
là một nguyên hàm của hàm số
.
Một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc là
. Hỏi quãng đường máy bay đi được từ giây thứ
đến giây thứ
bằng bao nhiêu?
Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:
Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng
xung quanh trục Ox.
Ta có :
Tính tích phân
?
Ta có:
Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên
và thỏa mãn f(1) = 1,
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: và
=>
=>
Mà f(1) = 1 => và
Cho
với
là các số hữu tỉ. Khi đó
bằng:
Ta có:
Suy ra .
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ:

Tính giá trị
?
Hình vẽ minh họa
Dựa vào đồ thị ta có: suy ra phương trình đường thẳng
Phương trình đường tròn :
Điểm nên phương trình đường thẳng
là:
Vậy
Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc
trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn
Do đó từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
?
Phương trình hoành độ giao điểm
Diện tích hình phẳng là:
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
Xác định nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số
và các đường thẳng
. Thể tích
của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng
quay quanh trục?
Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng quay quanh trục
là:
.
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Đặt . Đổi cận
Ta có: .
Vậy khẳng định đúng .
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Biết rằng giá trị lớn nhất của
trên khoảng
là
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Ta có:
Vì là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
nên hàm số
có công thức dạng
với mọi
Xét hàm số xác định và liên tục trên
Ta có:
Trên khoảng phương trình
có một nghiệm
Ta có bảng biến thiên như sau:
. Theo bài ra ta có:
Do đó suy ra
.
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
là một nguyên hàm của
. Biết rằng
. Xác định tích phân
?
Ta có: .
Tính thể tích
của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
quay quanh
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
Thể tích khối tròn xoay cần tính là:
Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất
, sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án: 667m
Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất , sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Đáp án: 667m
Giả sử hàm số biểu thị cho vận tốc có dạng
Do đi qua gốc
nên
có đỉnh là
Do đó
Xe dừng lại khi
Quảng đường xe ô tô di chuyển trong 20 giây là
Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh
như hình vẽ:

Người ta chia elip bởi Parabol có đỉnh
, trục đối xứng
và đi qua các điểm
. Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200 nghìn đồng/m2 và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500 nghìn đồng/m2. Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng ![]()
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của A1A2. Tọa độ các đỉnh A1(−2; 0), A2(2; 0), B1(0; −1), B2(0; 1)
Phương trình đường Elip
Ta có:
Parabol (P) có đỉnh B1(0; −1) và trục đối xứng là Ox nên (P) có phương trình , (a > 0), đi qua M; N
Diện tích phần tô đậm
Đặt
Đổi cận
Diện tích hình Elip là
Suy ra diện tích phần còn lại là:
Kinh phí sử dụng là đồng.
Biết
với
là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức
bằng:
Giả sử . Đặt
, đổi cận
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
, trục hoành và hai đường thẳng
là
Phương trình hoành độ giao điểm
Khi đó:
Một ô tô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc
, trong đó
là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?
Ta có:
Khi đó do ban đầu ô tô đang dừng nên
Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là: .
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Do đó:
Tìm nguyên hàm của hàm số 
Đặt
=>
=>
Cho tích phân
. Tính tích phân
?
Đặt
Đổi cận
Khi đó
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có: .
Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
. Gọi
là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình
xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:
Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:
.
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có:
Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
, cung tròn có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành là
, trong đó
và
là các phân số tối giản. Tính
?
Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số , cung tròn có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành là
, trong đó
và
là các phân số tối giản. Tính
?
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Biết rằng giá trị lớn nhất của
trên khoảng
là
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Ta có:
Suy ra
Trên khoảng ta có:
Ta có bảng biến thiên
Giá trị lớn nhất của trên khoảng
là
nên t s có:
Vậy .
Cho hai hàm số
và
liên tục trên
và thỏa mãn
. Gọi
là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh
hình phẳng
giới hạn bởi các đường:
. Khi đó
được tính bởi công thức nào sau đây?
Ta cần nhớ lại công thức sau: Cho hai hàm số liên tục trên
. Khi đó thể tích của vật thể tròn xoay giới hạn bởi
(với
) và hai đường thẳng
khi quay quanh trục
là
.
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
thỏa mãn
. Giá trị của biểu thức
bằng:
Ta có:
Suy ra mà
.Hay
Ta có:
Hàm số
có một nguyên hàm là
. Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Xác định giá trị của tham số
thỏa mãn
?
Ta có:
Vậy đáp án .
bằng
Ta có .
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
. Diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
được tính theo công thức
Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng
được tính theo công thức:
.
Xét hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và đường thẳng
. Gọi
. Tính giá trị của tham số
để đoạn thẳng
chia
thành hai phần có diện tích bằng nhau?
