Biết rằng
với
. Chọn kết luận đúng?
Đặt
Đổi cận khi đó ta được:
Đặt
Biết rằng
với
. Chọn kết luận đúng?
Đặt
Đổi cận khi đó ta được:
Đặt
Cho hàm số
liên tục trên
thỏa mãn điều kiện
với
và
với
. Tính giá trị
?
Cho hàm số liên tục trên
thỏa mãn điều kiện
với
và
với
. Tính giá trị
?
Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng
, trục nhỏ bằng
được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là
mỗi
trồng cây con và
mỗi
trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng , trục nhỏ bằng
được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là
mỗi
trồng cây con và
mỗi
trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
Một ô tô đang chạy với vận tốc
thì tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc
. Tính quãng đường mà ô tô đi được sau
giây kể từ khi ôtô bắt đầu tăng tốc.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc
Khi đó quãng đường xe đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng
Tìm họ nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn
bằng:
Ta có:
Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với biến m, với các hệ số.
Áp dụng hệ thứ Vi- et
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
, trục hoành và hai đường thẳng
là
Phương trình hoành độ giao điểm
Khi đó:
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tính giá trị của biểu thức ![]()
Ta có:
=>
Cho hàm số
liên tục trên tập số thực và thỏa mãn ![]()
![]()
. Khi đó giá trị
bằng:
Ta có:
Cho hàm số
. Tính ![]()
Ta có:
.
Hàm số
có nguyên hàm là:
Ta có:
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số
và các đường thẳng
. Thể tích
của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng
quay quanh trục?
Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng quay quanh trục
là:
.
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng ![]()
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục hoành như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây sai?
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là:
Từ hình vẽ ta thấy
Do đó
Vậy mệnh đề sai là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
được cho bởi công thức nào sau đây?
Ta có:
Với
Với
Ta có:
bằng
Ta có .
Cho là một nguyên hàm của hàm số
và
. Tính ![]()
Cách 1:
Đặt
Khi đó
=>
Mặt khác
=> C = 0
=>
=>
Cách 2: . Sử dụng máy tính cầm tay để tính.
Cho
và
, khi đó
bằng:
Ta có:
Giả sử
và
. Khi đó
bằng
Ta có:
Một vật chuyển động với vận tốc
. Tính quãng đường vật đó đi được trong
giây đầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).?
Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu là:
.
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm, có đạo hàm trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn các hệ thức
. Kết luận nào sau đây đúng?
Ta có:
Cho
. Với
, khẳng định nào sau đây đúng?
Xét , đặt t = ax + b
=>
=>
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng
Diện tích hình giới hạn là
Cho hàm số
liên tục trên
, có đồ thị hàm số
như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì là diện tích hình thang cong
.
Cho hàm số
đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn
và thỏa mãn
với
. Biết rằng
khi đó tích phân
bằng:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có: là một nguyên hàm của hàm số
nên
Hay
Xét , đặt
Khi đó
Cho hàm số
có một nguyên hàm là
thỏa mãn
và
liên túc trên
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Vì hàm số liên tục trên
nên liên tục tại
tức là
Do đó
Cho biết
với
. Tính
?
Xét trên đoạn ta có:
Xét . Đặt
Xét . Đặt
Vậy .
Biết
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Gọi
là một nguyên hàm của
thỏa mãn
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Do đó
Suy ra
Nên
Vậy
Từ đó
Vậy
Cho hình phẳng
được giới hạn bởi đồ thị các hàm số ![]()
. Tính diện tích hình phẳng
?
Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số
. Tính diện tích hình phẳng
?
Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
,
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
,
là
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ,
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
,
là
.
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
là
Ta có:
Cho hàm số
là các hàm số liên tục trên
và thỏa mãn
và
. Tính tích phân
?
Theo bài ra ta có:
Cho hàm số
có đồ thị
. Xét các điểm
sao cho tiếp tuyến tại
và
của
vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi
và đường thẳng
bằng
. Gọi
lần lượt là hoành độ của
và
. Giá trị của
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: có TXĐ:
Giả sử và
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là
Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là
Vì nên ta có:
Phương trình đường thẳng AB
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:
Thay ta có:
Tích phân
bằng:
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ:

Diện tích
của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục
(phần gạch sọc) được tính bởi công thức
Từ đồ thị hàm số ta thấy
Do đó:
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Tìm nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng đồ thị hàm số
có điểm cực tiểu nằm trên trục hoành?
Ta có:
Mà
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
Mặt khác đồ thị hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên ta có điểm cực tiểu là
Suy ra
Do đó