Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 4. Nguyên hàm Tích phân được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 CTST
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với A( - 2;3),B(3;6),C(3;0),D( - 2;0). Quay hình thang ABCD xung quanh trục Ox thì thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu??

    Phương trình các cạnh của hình thang là: \left\{ \begin{matrix} AD:x = - 2 \\ CD:y = 0 \\ BC:x = 3 \\ AB:3x - 5y + 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta thấy ABCD là hình thang vuông có CD:y = 0 nên khối tròn xoay cần tính là

    V = \pi\int_{- 2}^{3}{\frac{(3x + 21)^{2}}{25}dx} = 105\pi

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)\left( x^{2} - 3 ight)\left( x^{4} - 1 ight) với \forall x\mathbb{\in R}. Chọn kết luận đúng?

    Ta có: f'(x) = (x - 1)\left( x^{2} - 3 ight)\left( x^{4} - 1 ight)

    = x^{7} - x^{6} - 3x^{5} + 3x^{4} - x^{3} + x^{2} + 3x - 3

    Ta có:

    I_{1} = \int_{- 2}^{0}{f'(x)dx}

    = \int_{- 2}^{0}{\left( x^{7} - x^{6} - 3x^{5} + 3x^{4} - x^{3} + x^{2} + 3x - 3 ight)dx}

    = \frac{- 464}{105} < 0 \Rightarrow f(0) - f( - 2) < 0 \Rightarrow f(0) < f( - 2)

    I_{2} = \int_{0}^{2}{f'(x)dx}

    = \int_{0}^{2}{\left( x^{7} - x^{6} - 3x^{5} + 3x^{4} - x^{3} + x^{2} + 3x - 3 ight)dx}

    = \frac{44}{105} < 0 \Rightarrow f(2) - f(0) < 0 \Rightarrow f(2) < f(0)

    Vậy f(2) < f(0) < f( - 2).

  • Câu 3: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x -\sin2x?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{(x- \sin2x)dx} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\cos2x + C

  • Câu 4: Nhận biết

    Cho \int_{- 1}^{2}{f(x)dx} = 2 và \int_{- 1}^{2}{g(x)dx} = - 1, khi đó \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{- 1}^{2}{\left\lbrack x + 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = \int_{- 1}^{2}{xdx} + 2\int_{- 1}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 1}^{2}{g(x)dx}

    = \left. \ \frac{1}{2}x^{2} ight|_{- 1}^{2} + 2.2 + 3.( - 1) = \frac{5}{2}

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho tích phân \int_{0}^{4}\frac{dx}{3 +\sqrt{2x + 1}} = a + b.\ln\frac{2}{3} với a;b\mathbb{\in Z}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: \int_{0}^{4}\frac{dx}{3 + \sqrt{2x + 1}} = \int_{0}^{4}{\left( 1 - \frac{3}{3 + \sqrt{2x + 1}} ight)d\left( \sqrt{2x + 1} ight)}

    = \left. \ \left\lbrack \sqrt{2x + 1} -3\ln\left( \sqrt{2x + 1} + 3 ight) ightbrack ight|_{0}^{4} = 2 +3\ln\frac{2}{3}

    Suy ra a = 2;b = 3 \Rightarrow a + b = 5.

  • Câu 6: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack, có đồ thị hàm số y = f'(x) như sau:

    Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

    Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì \int_{a}^{b}{f'(x)dx} là diện tích hình thang cong ABMN.

  • Câu 7: Nhận biết

    Giả sử f(x) là một hàm số bất kì và liên tục trên khoảng (\alpha;\beta) và a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Dựa vào tính chất của tích phân với f(x) là một số bất kì liên tục trên khoảng (\alpha;\beta) và a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta) ta có:

    \int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{b}^{c}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{b + c}{f(x)dx} + \int_{b + c}^{b}{f(x)dx}

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hai hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \lbrack 1;2brack thỏa mãn f(1) = 4 và f(x) = x.f'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}. Giá trị f(2) bằng:

    Chọn f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d

    f(x) = xf'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}

    \Leftrightarrow ax^{3} + bx^{2} + cx + d = x\left( 3ax^{2} + 2bx + c ight) - 2x^{3} - 3x^{2}

    Từ đó suy ra \left\{ \begin{matrix} a = 3a - 2 \\ b = 2b - 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy f(x) = x^{3} + 3x^{2} \Rightarrow f(2) = 20

  • Câu 9: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, thỏa mãn F(0) = 2020. Tính giá trị biểu thức T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C

    F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}, ta có: F(x) = e^{x} + C mà F(0) = 2020

    \Rightarrow C = 2019 \Rightarrow F(x) = e^{x} + 2019

    T = F(0) + F(1) + ... + F(2018) + F(2019)

    T = 1 + e + e^{2} + .... + e^{2018} + e^{2019} + 2019.2020

    T = \frac{e^{2020} - 1}{e - 1} + 2019.2020.

  • Câu 10: Vận dụng

    Cho hai hàm số f(x) = ax^{3} + bx + c;g(x) = bx^{3} + ax + c;(a > 0) có đồ thị như hình vẽ:

    Gọi S_{1};S_{2} là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi S_{1} + S_{2} = 3 thì \int_{0}^{1}{f(x)dx} bằng bao nhiêu?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    (a - b)x^{3} + (b - a)x = 0

    \Leftrightarrow (a - b)\left( x^{3} - x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ký hiệu S_{3} là diện tích hình phẳng như hình vẽ:

    Ta có:

    S_{1} = \int_{- 1}^{0}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} = (a - b)\int_{- 1}^{0}{\left( x^{3} - x ight)dx} = \frac{1}{4}(a - b)

    S_{2} = - \int_{- 1}^{0}{g(x)dx} = - \int_{- 1}^{0}{\left( bx^{3} + ax + c ight)dx} = - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight)

    Vì vậy S_{1} + S_{2} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{4}(a - b) - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight) = 3

    \Leftrightarrow a + 2b + 4c = - 12

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{\left( ax^{3} + bx + c ight)dx} = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = \frac{a + 2b + 4c}{4} = - 3

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}. Giá trị của f(2) là:

     Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3a - 2} \\ {b = 2b - 3} \\ {d = 0} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1} \\ {b = 3} \\ {c = 0} \\ {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2} => f(x) = 20

  • Câu 12: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight)?

    Ta có: \int_{}^{}\left\lbrack e^{x}\left( 2017 - \frac{2018e^{- x}}{x^{5}} ight) ightbrack dx = \int_{}^{}\left( 2017e^{x} - \frac{2018}{x^{5}} ight)dx

    = 2017e^{x} + \frac{504,5}{x^{4}} + C

  • Câu 13: Nhận biết

    Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 30 - 2t(m/s). Hỏi trong 5s trước khi dừng hẳn, vật di chuyển động được bao nhiêu mét?

    Khi dừng hẳn v(t) = 30 - 2t = 0 \Rightarrow t = 15(s)

    Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:

    S = \int_{10}^{15}{v(t)dt} = \int_{10}^{15}{(30 - 2t)dt} = 25m.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho biết I = \int_{0}^{\sqrt{7}}{\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{1 + x^{2}}}dx} = \frac{m}{n} với \frac{m}{n} là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức m - 7n bằng:

    Đặt u = \sqrt[3]{1 + x^{2}}. Khi đó x^{2} = u^{3} - 1 \Rightarrow 2xdx = 3u^{2}du

    Đổi cận

    I = \int_{1}^{2}{\frac{\left( u^{3} - 1 ight)}{u}.\frac{3}{2}u^{2}du} = \frac{3}{2}\int_{1}^{2}{\left( u^{4} - u ight)du}= \left. \ \frac{3}{2}\left( \frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{2}}{2} ight) ight|_{1}^{2} = \frac{141}{20}. Suy ra m = 141;n = 20. Do đó m - 7n = 1.

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn điều kiện f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0 với \forall x\mathbb{\in R} và f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)} với \forall x\mathbb{\inR}. Tính giá trị f(1)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn điều kiện f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0 với \forall x\mathbb{\in R} và f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)} với \forall x\mathbb{\inR}. Tính giá trị f(1)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 16: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{5x - 2}}

     \int {\left[ {\frac{1}{{5x - 2}}} ight]dx} = \frac{1}{5}\int {\frac{{d\left( {5x - 2} ight)}}{{5x - 2}}} = \frac{1}{5}\ln \left| {5x - 2} ight| + C

  • Câu 17: Vận dụng

    Cho là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} và F\left( 1 ight) = \frac{1}{3}. Tính {\left[ {F\left( e ight)} ight]^2}

     Cách 1: \int {f\left( x ight)} = \int {\frac{{\ln x}}{x}\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx = \int {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} .} } \frac{{\ln x}}{x}dx

    Đặt \sqrt {{{\ln }^2}x + 1} = t

    \begin{matrix} \Rightarrow {\ln ^2}x + 1 = {t^2} \hfill \\ \Rightarrow 2\ln x.\dfrac{1}{x}dx = 2tdt \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{\ln x}}{x}dx = tdt \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó \int {f\left( x ight)} = \int {t.t.dt} = \int {{t^2}dt} = \frac{{{t^3}}}{3} + C

    => F\left( x ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C

    Mặt khác F\left( 1 ight) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} } ight)^3} + C

    => C = 0

    => F\left( e ight) = \frac{1}{3}.{\left( {\sqrt {{{\ln }^2}e + 1} } ight)^3} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}

    => {\left[ {F\left( e ight)} ight]^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} ight)^2} = \frac{8}{9}

    Cách 2: F\left( e ight) - F\left( 1 ight) = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} dx}. Sử dụng máy tính cầm tay để tính.

  • Câu 18: Thông hiểu

    Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = - 1;x = 1 và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x;( - 1 \leq x \leq 1) là một hình tròn có diện tích bằng 3\pi. Thể tích của vật thể là?

    Ta có: V = \int_{- 1}^{1}{S(x)dx} = \int_{- 1}^{1}{3\pi dx} = 6\pi

  • Câu 19: Thông hiểu

    Biết \int_{- 1}^{0}{\frac{3x^{2} + 5x - 1}{x - 2}dx} = a\ln\frac{2}{3} + b. Khi đó P = a + 2b có giá trị bằng:

    Ta có:

    I = \int_{- 1}^{0}{\frac{3x^{2} + 5x - 1}{x - 2}dx} = \int_{- 1}^{0}{(3x + 11)dx} + \int_{- 1}^{0}{\frac{21}{x - 2}dx}

    = \left. \ \left( 3.\frac{x^{2}}{2} +11x ight) ight|_{- 1}^{0} + \left. \ \left( 21\ln|x - 2| ight)ight|_{- 1}^{0}= \frac{19}{2} + 21\ln\frac{2}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 21 \\b = \dfrac{19}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a + 2b = 40

  • Câu 20: Nhận biết

    Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên tập số thực và f'(x) = 2e^{2x} + 1;\forall x; f(0) = 2. Hàm số f(x) là:

    Ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 2e^{2x} + 1 ight)dx} = e^{2x} + x + C

    \Rightarrow f(x) = e^{2x} + x + C

    Theo bài ra ta có: f(0) = 2 \Rightarrow 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1

    Vậy f(x) = e^{2x} + x + 1.

  • Câu 21: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 3x

     Ta có: \int {\cos 3xdx} = \frac{{\sin 3x}}{3} + C

  • Câu 22: Nhận biết

    Nếu \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 5;\int_{2}^{5}{f(x)dx} = - 1 thì \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{1}^{5}{f(x)dx} = \int_{1}^{2}{f(x)dx} + \int_{2}^{5}{f(x)dx} = 5 + ( - 1) = 4

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:

    Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:

    Dựa vào hình vẽ ta được: S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Hàm số F\left( x ight) = 2\sin x - 3\cos x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

     F'\left( x ight) = f\left( x ight) = 2\cos x + 3\sin x

  • Câu 25: Nhận biết

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin5x.\cos x?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}

    = - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C

  • Câu 26: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} với các trục tọa độ?

    Xét \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = - 2 \\ y = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ \end{matrix} ight..

    Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} với các trục tọa độ là: S = \int_{- 1}^{0}{\left| \frac{x + 1}{x - 2} ight|dx}.

    Vì biểu thức \frac{x + 1}{x - 2} không đổi dấu trên miền \lbrack - 1;0brack nên:

    S = \left| \int_{- 1}^{0}{\frac{x + 1}{x - 2}dx} ight| = \left| \int_{- 1}^{0}{\left( 1 + \frac{3}{x - 2} ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( x + 3\ln|x - 2|ight) ight|_{- 1}^{0} ight| = \left| 1 + 3(\ln2 - \ln3) ight| =3\ln\frac{3}{2} - 1

  • Câu 27: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}

     Đặt t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx

    F\left( x ight) = \int {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}dx = \int {\left( {\frac{{{t^2} + 1}}{2}} ight).2tdt = \int {\left( {2{t^2} + 2} ight)dt = \frac{{2{t^3}}}{3} + 2t + C} } }

    = \frac{{2\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} }}{3} + 2\sqrt {x + 1} + C = \frac{2}{3}\left( {x + 4} ight)\sqrt {x + 1} + C

  • Câu 28: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x^{2} và y = x bằng:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} = x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - x ight|dx} = \left| \int_{0}^{1}{\left( x^{2} - x ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{1} ight| = \frac{1}{6}

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e^{x}, trục hoành và các đường thẳng x = 0;x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

    Ta có:

    V = \pi\int_{0}^{1}{e^{2x}dx} = \left. \ \frac{\pi}{2}e^{2x} ight|_{0}^{1} = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}.

  • Câu 30: Nhận biết

    Giá trị của \int_{0}^{3}{dx} bằng

    Ta có: \int_{0}^{3}{dx} = \left. \ x ight|_{0}^{3} = 3 - 0 = 3

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\} thỏa mãn f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2};f\left( 2 ight) = 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

     Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) + x'f\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( x ight)'f\left( x ight) + xf'\left( x ight) = 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {xf\left( x ight)} ight]' = 3{x^2} \hfill \\ \end{matrix}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \begin{matrix} \int {\left[ {xf\left( x ight)} ight]'dx = \int {3{x^2}dx} } \hfill \\ \Leftrightarrow xf\left( x ight) = {x^3} + C \hfill \\ \end{matrix}

    Mặt khác f\left( 2 ight) = 8 \Rightarrow 3.f\left( 2 ight) = 8 + C \Rightarrow C = 8

    => xf\left( x ight) = {x^3} + 8 \Rightarrow f\left( x ight) = \frac{{{x^3} + 8}}{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{{{x^3} + 8}}{x} = 0 \Rightarrow x = - 2

    Ta có: f'\left( x ight) = \frac{{2{x^3} - 8}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( { - 2} ight) = - 6} \\ {f\left( { - 2} ight) = 0} \end{array}} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:

    y = f'\left( { - 2} ight)\left( {x + 2} ight) + f\left( { - 2} ight) \Rightarrow y = - 6x - 12

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = \frac{1}{2}x^{2} có đồ thị (P). Xét các điểm A;B \in (P) sao cho tiếp tuyến tại A và B của (P) vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng \frac{9}{4}. Gọi x_{1};x_{2} lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} bằng:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:y = \frac{1}{2}x^{2} có TXĐ: D\mathbb{= R}

    y' = x

    Giả sử A\left( x_{1};\frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight),B\left( x_{2};\frac{1}{2}{x_{2}}^{2} ight) \in (P) và x_{1} eq x_{2}

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là y = x_{1}\left( x - x_{1} ight) + \frac{1}{2}{x_{1}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{1}x - \frac{1}{2}{x_{1}}^{2}\ \ \ \left( d_{1} ight)

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là y = x_{2}\left( x - x_{2} ight) + \frac{1}{2}{x_{2}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{2}x - \frac{1}{2}{x_{2}}^{2}\ \ \ \left( d_{2} ight)

    Vì \left( d_{1} ight)\bot\left( d_{2} ight) nên ta có: x_{1}x_{2} = - 1 \Leftrightarrow x_{2} = - \frac{1}{x_{1}}

    Phương trình đường thẳng AB

    \dfrac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} =\dfrac{y - \dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}{\dfrac{1}{2}{x_{2}}^{2} -\dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( x - x_{1} ight)\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) = \left( y - \frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow \left( x - x_{1} ight)\left( x_{2} + x_{1} ight) = 2y - {x_{1}}^{2}

    \Leftrightarrow \left( x_{2} + x_{1} ight)x - 2y - x_{1}x_{2} = 0

    \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{2} + x_{1} ight)x - x_{1}x_{2} ightbrack = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)x + 1 ightbrack

    Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:

    S = \frac{1}{2}\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)x + 1 - x^{2} ightbrack dx}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} = \frac{1}{2}\left. \ \left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)\frac{x^{2}}{2} + x - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{x_{1}}^{x_{2}}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)\left( \frac{{x_{2}}^{2}}{2} - \frac{{x_{1}}^{2}}{2} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight) - \frac{{x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3}}{3} ightbrack

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left( x_{1}{x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{2}x_{2} ight) + 6\left( x_{2} - x_{1} ight) - 2{x_{2}}^{3} + 2{x_{1}}^{3}

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left( x_{2} - x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1 ight) + 6\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow 27 = 3\left( x_{2} - x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)^{2}

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)^{3} \Leftrightarrow x_{2} - x_{1} = 3

    Thay x_{2} = - \frac{1}{x_{1}} ta có:

    - \frac{1}{x_{1}} - x_{1} = 3 \Leftrightarrow - 1 - {x_{1}}^{2} - 3x_{1} = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x_{1} = \dfrac{- 3 - \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{2}{3 +\sqrt{5}} \\x_{1} = \dfrac{- 3 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{- 2}{- 3 +\sqrt{5}} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} = 5

  • Câu 33: Nhận biết

    Vật thể B giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2. Cắt vật thể B với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x;(0 \leq x \leq 2) ta được thiết diện có diện tích bằng x^{2}(2 - x). Thể tích của vật thể B:

    Thể tích của vật thể B là:

    V = \int_{0}^{2}{x^{2}(2 - x)dx} = \int_{0}^{2}{\left( 2x^{2} - x^{3} ight)dx} = \frac{4}{3}

  • Câu 34: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x - 3} ight)^2} thỏa mãn F\left( 0 ight) = \frac{1}{3}. Tính giá trị của biểu thức A = {\log _2}\left[ {3F\left( 1 ight) - 2F\left( 2 ight)} ight]

     F\left( x ight) = \int {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}dx = \frac{1}{2}\int {{{\left( {2x - 3} ight)}^2}d\left( {2x - 3} ight) = } \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {2x - 3} ight)}^2}}}{3} + C}

    Ta có: F\left( 0 ight) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = \frac{{29}}{6}

    F\left( 1 ight) = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{ - 1}}{3}} ight) + \frac{{29}}{6} = \frac{{14}}{3};F\left( 2 ight) = \frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{3}} ight) + \frac{{29}}{6} = 5

    => A = {\log _2}\left[ {3F\left( 1 ight) - 2F\left( 2 ight)} ight] = A = {\log _2}\left[ {3\frac{{14}}{3} - 2.5} ight] = {\log _2}4 = 2

  • Câu 35: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    Đặt t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \int_{0}^{1}{\sin(1 - x)dx} = - \int_{1}^{0}{\sin tdt} = \int_{0}^{1}{\sin xdx}.

    Vậy khẳng định đúng \int_{0}^{1}{\sin(1 - x)dx} = \int_{0}^{1}{\sin xdx}.

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack và f(1) = 0. Giá trị tích phân D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Từ giả thiết ta có:

    f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} = \ln\left\lbrack \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}

    \Leftrightarrow \frac{xf'(x) - f(x)}{x^{2}}.e^{\frac{f(x)}{x}} = x

    \Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f(x)}{x} ightbrack'.e^{\frac{f(x)}{x}} = x(*)

    Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + C

    Vì f(1) = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{2} nên e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = x\ln\frac{x^{2} + 1}{2};\forall x \in (0; + \infty)

    D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} =\int_{1}^{5}{x.\ln\frac{x^{2} + 1}{2}dx}(**)

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln\dfrac{x^{2} + 1}{2} \\dv = xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}dx \\v = \dfrac{x^{2} + 1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Theo công thức tích phân từng phần ta được:

    D = \left. \ \left( \frac{x^{2} +1}{2}.\ln\frac{x^{2} + 1}{2} ight) ight|_{1}^{5} - \int_{1}^{5}{xdx}= 13\ln13 - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{5} = 13\ln13 -12

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn \int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1) + xf'(x) ightbrack dx = 0 và f(3) = 1. Biết \int_{0}^{3}{f(x)}dx =\frac{a + b\ln2}{2} với a;b \in \mathbb{R}^{+}. Giá trị của biểu thức a + b là:

    Tính I = \int_{0}^{3}{2x\ln(x + 1)}dx

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln(x + 1) \\dv = 2xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x + 1}dx \\v = x^{2} \\\end{matrix} ight. khi đó:

    I = \left. \ x^{2}\ln(x + 1) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{\frac{x^{2}}{x + 1}dx}

    = 9ln4 - \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - x + \ln|x + 1| ight) ight|_{0}^{3} = 16ln2 - \frac{3}{2}

    Tính J = \int_{0}^{3}{xf'(x)}dx.

    Đặt \left\{ \begin{matrix} u_{J} = x \\ dv_{J} = f'(x)dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du_{J} = dx \\ v_{J} = f(x) \\ \end{matrix} ight. khi đó

    J = \int_{0}^{3}{xf'(x)}dx = \left. \ xf(x) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f(x)}dx

    Mà \int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1) + xf'(x) ightbrack dx = 0

    \Rightarrow I + J = 0 \Rightarrow 16\ln2- \frac{3}{2} + 3 - \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 0

    \Rightarrow \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 16\ln2+ \frac{3}{2} = \frac{3 + 32\ln2}{2}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 32 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = 35

  • Câu 38: Nhận biết

    Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a;x = b;\left( {a < b} ight) xung quanh trục Ox.

    Ta có : V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx.

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y = \frac{1}{x};y = 0;x = 1;x = 5. Đường thẳng x = k;1 < k < 5 chia (H) thành hai phần có diện tích S_{1} và S_{2} (hình vẽ bên).

    Tính giá trị k để S_{1} = 2S_{2}?

    Ta có: \frac{1}{x} > 0;x > 1 do đó ta được:

    S_{1} = \int_{1}^{k}{\frac{1}{x}dx} = \left. \ \ln x ight|_{1}^{k} = \ln k

    S_{2} = \int_{k}^{5}{\frac{1}{x}dx} = \left. \ \ln x ight|_{k}^{5} = ln5 - \ln k

    Theo bài ra ta có:

    S_{1} = 2S_{2}

    \Leftrightarrow \ln k = 2\left( ln5 - \ln k ight) \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{25}.

  • Câu 40: Thông hiểu

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}} là:

    Đặt t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow t^{2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx

    \Rightarrow \int_{}^{}{\left( \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{t^{2} + 1}{t} ight)2tdt} = \int_{}^{}{\left( 2t^{2} + 2 ight)dt} = \frac{2t^{3}}{3} + 2t + C

    = \frac{2(x + 1)\sqrt{x + 1}}{3} + 2\sqrt{x + 1} + C = \frac{2}{3}(x + 4)\sqrt{x + 1} + C

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 27 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập