Tìm nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Tìm nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy .
Cho hàm số
liên tục trên
thỏa mãn
và
. Tính tích phân
?
Ta có: .
Ta có:
Đặt . Đổi cận
do đó:
Ta có:
Đặt . Đổi cận
do đó:
.
Vậy
Cho hàm số
có đồ thị
. Xét các điểm
sao cho tiếp tuyến tại
và
của
vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi
và đường thẳng
bằng
. Gọi
lần lượt là hoành độ của
và
. Giá trị của
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: có TXĐ:
Giả sử và
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là
Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là
Vì nên ta có:
Phương trình đường thẳng AB
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:
Thay ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Biết rằng
. Xác định
?
Ta có:
Do đó:
Cho hàm số
thỏa mãn
và
với mọi
. Tính
?
Ta có:
Với
Do đó
Vậy
Tính tích phân
bằng cách đặt
. Công thức nào dưới đây chính xác?
Đặt
Suy ra
Tính
?
Áp dụng công thức
Suy ra
Cho
là nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tổng các nghiệm của phương trình
là:
Ta có:
Đặt
Theo bài ra ta có:
Ta có:
Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 2.
Cho hàm số
có đạo hàm trên
thỏa mãn
với
ta có:
. Tính tích phân
?
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Theo bài ra ta có:
Vì nên nhận
Vậy
Giá trị của
bằng
Ta có:
Cho
là số thực dương. Biết rằng
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
và
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
Vậy .
Giả sử
là một hàm số bất kì và liên tục trên khoảng
và
. Mệnh đề nào sau đây sai?
Dựa vào tính chất của tích phân với là một số bất kì liên tục trên khoảng
và
ta có:
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số nên:
Hay
Xét
Đặt
Khi đó
Tìm nguyên hàm
của hàm số
, biết rằng
?
Ta có:
Vậy .
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Đặt
Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
, cung tròn có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành là
, trong đó
và
là các phân số tối giản. Tính
?
Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số , cung tròn có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành là
, trong đó
và
là các phân số tối giản. Tính
?
Cho hàm số
liên tục trên
, có đồ thị hàm số
như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì là diện tích hình thang cong
.
Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
,
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
,
là
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ,
liên tục trên đoạn
và hai đường thẳng
,
là
.
Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất
, sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án: 667m
Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất , sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Đáp án: 667m
Giả sử hàm số biểu thị cho vận tốc có dạng
Do đi qua gốc
nên
có đỉnh là
Do đó
Xe dừng lại khi
Quảng đường xe ô tô di chuyển trong 20 giây là
Xét
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành, trục tung và đường thẳng
. Giá trị của
sao cho thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay
quanh trục hoành bằng
là?
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành là:
Mà
Vậy là giá trị cần tìm.
Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ và
.

Tính diện tích của phần được gạch chéo theo
.
Từ đồ thị ta suy ra
Do đó, diện tích phần gạch chéo là
.
Cho
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
và nửa elip có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Gọi
là diện tích của, biết
(với
). Tính
?
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
Do tính chất đối xứng của đồ thị nên
. Đặt
Đổi cận
Với
Suy ra
Vậy
Cho biết
với
là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức
bằng:
Đặt . Khi đó
Đổi cận
. Suy ra
. Do đó
.
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có .
Cho hàm số
đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn
và thỏa mãn
với
. Biết rằng
khi đó tích phân
bằng:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Cho hàm số
có một nguyên hàm là
;
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có:
Ta được
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng
giới hạn bởi các đường
quanh trục
có kết quả có dạng
với
là các số nguyên dương và
là phân số tối giản. Khi đó giá trị của
bằng:
Phương trình hoành độ giao
Thể tích cần tính
Suy ra .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
bằng:
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Khi đó
bằng
Ta có .
Cho hình
giới hạn bởi các đường
, trục hoành. Quay hình phẳng
quanh trục
ta được khối tròn xoay có thể tích là:
Phương trình hoành độ giao điểm của là:
Khi đó .
Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm tập nghiệm S của phương trình ![]()
Đặt
Ta có:
Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc
thì tăng tốc với gia tốc
. Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian
kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.
Ta có:
Do khi bắt đầu tăng tốc nên
Khi đó quãng đường xe đi được sau 3 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc bằng
Cho hai hàm số
và
. Biết
là các số thực để
là một nguyên hàm của
. Tính
?
Từ giả thiết ta có:
Đồng nhất hai vế ta có: .
Tích phân
bằng:
Ta có:
.
Tính tích phân
?
Ta có:
.
Biết rằng
với
là các số hữu tỉ. Giá trị của
là:
Ta có:
Đặt
Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
. Quay (H) quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:
Ta có:
Theo công thức thể tích giới hạn bởi các đường ta có:
Trong hệ trục tọa độ
cho elip
có phương trình
. Hình phẳng
giới hạn bởi nửa elip nằm trên trục hoành và trục hoành. Quay hình
xung quanh trục
ta được khối tròn xoay, tính thể tích khối tròn xoay đó?
Ta có: với
Khi đó thể tích cần tìm là: