Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 4. Nguyên hàm Tích phân được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 CTST
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên tập số thực và thỏa mãn \int_{0}^{6}{f(x)dx}= 7;\int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8;\int_{3}^{6}{f(x)dx} = 9. Khi đó giá trị I = \int_{0}^{10}{f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{3}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx}

    \Leftrightarrow \int_{6}^{10}{f(x)dx} = \int_{3}^{6}{f(x)dx} - \int_{3}^{10}{f(x)dx} = 8 - 9 = 1

    \Rightarrow I = \int_{0}^{6}{f(x)dx} + \int_{6}^{10}{f(x)dx} = 7 - 1 = 6

  • Câu 2: Nhận biết

    Hàm số f(x) = x^{3} + \sin x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

    Ta có: F'(x) = 3x^{2} + \cos x

  • Câu 3: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {\left( {2x + 1} ight)^{2019}} bằng:

     \int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]dx} = \frac{1}{2}\int {\left[ {{{\left( {2x + 1} ight)}^{2019}}} ight]d\left( {2x + 1} ight)}

    = \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{2020}} + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} ight)}^{2020}}}}{{4040}} + C

  • Câu 4: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} với các trục tọa độ?

    Xét \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = - 2 \\ y = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ \end{matrix} ight..

    Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} với các trục tọa độ là: S = \int_{- 1}^{0}{\left| \frac{x + 1}{x - 2} ight|dx}.

    Vì biểu thức \frac{x + 1}{x - 2} không đổi dấu trên miền \lbrack - 1;0brack nên:

    S = \left| \int_{- 1}^{0}{\frac{x + 1}{x - 2}dx} ight| = \left| \int_{- 1}^{0}{\left( 1 + \frac{3}{x - 2} ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( x + 3\ln|x - 2|ight) ight|_{- 1}^{0} ight| = \left| 1 + 3(\ln2 - \ln3) ight| =3\ln\frac{3}{2} - 1

  • Câu 5: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = 2^{x} + 3\sqrt{x} và f(4) = \ln\frac{16}{2}. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} + 3\sqrt{x} ight)dx} = \int_{}^{}{\left( 2^{x} + 3x^{\frac{1}{2}} ight)dx}

    = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2.x^{\frac{3}{2}} +C = \frac{2^{x}}{\ln2} + 2\sqrt{x^{3}} + C.

    Theo bài ra ta có:

    f(4) = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow \frac{2^{4}}{\ln2} + 2\sqrt{4^{3}} + C = \ln\frac{16}{2} \Leftrightarrow C = - 16

    Vậy f(x) = \frac{2^{x}}{\ln2} +2\sqrt{x^{3}} - 16.

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack và f(1) = 0. Giá trị tích phân D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Từ giả thiết ta có:

    f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} = \ln\left\lbrack \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}

    \Leftrightarrow \frac{xf'(x) - f(x)}{x^{2}}.e^{\frac{f(x)}{x}} = x

    \Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f(x)}{x} ightbrack'.e^{\frac{f(x)}{x}} = x(*)

    Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + C

    Vì f(1) = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{2} nên e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = x\ln\frac{x^{2} + 1}{2};\forall x \in (0; + \infty)

    D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} =\int_{1}^{5}{x.\ln\frac{x^{2} + 1}{2}dx}(**)

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln\dfrac{x^{2} + 1}{2} \\dv = xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}dx \\v = \dfrac{x^{2} + 1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Theo công thức tích phân từng phần ta được:

    D = \left. \ \left( \frac{x^{2} +1}{2}.\ln\frac{x^{2} + 1}{2} ight) ight|_{1}^{5} - \int_{1}^{5}{xdx}= 13\ln13 - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{5} = 13\ln13 -12

  • Câu 7: Vận dụng

    Tìm tổng các nghiệm của phương trình F(x) = x, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }} thỏa mãn F(2) = 0 

    \begin{matrix} F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx} \hfill \\ = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}dx} = \dfrac{1}{2}\int {d\frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}d\left( {8 - {x^2}} ight)} \hfill \\ \Rightarrow F\left( x ight) = - \sqrt {8 - {x^2}} + C \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có: F(2) = 0 => C = 2

    => F\left( x ight) = - \sqrt {8 - {x^2}} + 2

    Xét phương trình F(x) = x ta có:

    \begin{matrix} F\left( x ight) = x \hfill \\ \Leftrightarrow - \sqrt {8 - {x^2}} + 2 = x \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}} = 2 - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - x \geqslant 0} \\ {8 - {x^2} = {{\left( {2 - x} ight)}^2}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {{x^2} - 2x + 2 = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {x = 1 \pm \sqrt 3 } \end{array}} ight. \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng x = 1 - \sqrt 3

  • Câu 8: Thông hiểu

    Hàm số f\left( x ight) = {x^3} + 3x - 2 có một nguyên hàm F(x). Biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm B(2; 10). Giá trị F(-2) là:

     F\left( x ight) = \int {\left( {{x^3} + 3x - 2} ight)dx = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + C}

    Hàm số đi qua B(2; 10) => \frac{{{2^4}}}{4} + \frac{{{{3.2}^2}}}{2} - 2.2 + C = 10 \Rightarrow C = 4

    => F\left( x ight) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - 2x + 4

    => F\left( { - 2} ight) = \frac{{{{\left( { - 2} ight)}^4}}}{4} + \frac{{3.{{\left( { - 2} ight)}^2}}}{2} - 2\left( { - 2} ight) + 4 = 6

  • Câu 9: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = f\left( x ight) = \frac{1}{{2x + 1}}

     \int {\frac{1}{{2x + 1}}dx} = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} ight| + C

  • Câu 10: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x - 8\sin x\cos x thỏa mãn F(\pi) = 2?

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left(2x - 8\sin x\cos x ight)dx}

    = \int_{}^{}{(2x - 4\sin2x)dx} = x^{2} +2\cos2x + C

    Theo bài ra ta có: F(\pi) = 2

    \Rightarrow \pi^{2} + 2 + C = 2 \Leftrightarrow C = - \pi^{2}

    Vậy F(x) = x^{2} + 2\cos2x -\pi^{2}

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1 ight| và y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1 ight| và y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H). Lúc dó S = 2S_{1} + 2S_{2}, trong đó S_{1} là diện tích phần gạch sọc ở bên phải Oy và S_{2} là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

    GọiA,B là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng y = k và đồ thị hàm sốy = \left| x^{2} - 1 ight|, trong đó A\left( \sqrt{1 - k};k ight) và B\left( \sqrt{1 + k};k ight).

    Thco yêu cầu bài toán S = 2 \cdot 2S_{1} \Leftrightarrow S_{1} = S_{2}.

    \Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 - k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\ = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k - 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1 ight)dx}.

    \Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}

    = \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}

    \ + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}

    \Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k} ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx 0,59.

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có một nguyên hàm là hàm số F(x). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Theo định nghĩa tích phân ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a).

  • Câu 13: Thông hiểu

    Có bao nhiêu số thực b \in (\pi;3\pi) sao cho \int_{\pi}^{b}{4\cos2xdx} = 1?

    Ta có:

    \int_{\pi}^{b}{4\cos2xdx} = 1\Leftrightarrow \left. \ 2\sin2x ight|_{\pi}^{b} = 1

    \Leftrightarrow \sin2b = 1\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}b = \dfrac{\pi}{12} + k\pi \\b = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do b \in (\pi;3\pi) nên có đúng 4 giá trị của b thỏa mãn.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{x - 1} trên khoảng (1; + \infty) thỏa mãn F(e + 1) = 4. Xác định công thức F(x)?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{x - 1} = \int_{}^{}\frac{d(x - 1)}{x - 1} = \ln|x - 1| + C = \ln(x - 1) + C (vì (1; + \infty))

    Mà F(e + 1) = 4 \Leftrightarrow \ln(e + 1 - 1) + C = 4 \Rightarrow C = 3

    Vậy F(x) = \ln(x - 1) + 3.

  • Câu 15: Vận dụng

    Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số y = f\left( x ight) = \frac{1}{{{e^x} + 3}} thỏa mãn F\left( 0 ight) = - \frac{{ - 1}}{3}\ln 4. Tìm tập nghiệm S của phương trình 3F\left( x ight) + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2

    F\left( x ight) = \int {\frac{1}{{{e^x} + 3}}dx} = \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 3} ight)}}dx}

     Đặt t = {e^x} \Rightarrow dt = {e^x}dx

    \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x}\left( {{e^x} + 3} ight)}}dx} = \int {\frac{1}{{t\left( {t + 3} ight)}}dt}

    = \int {\left( {\frac{1}{{3t}} - \frac{1}{{3\left( {t + 3} ight)}}} ight)dt = \frac{{\ln |t|}}{3} - \frac{{\ln |t + 3|}}{3} + C}

    = \frac{{\ln \left( {{e^x}} ight)}}{3} - \frac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3} + C

    F\left( 0 ight) = - \frac{1}{3}\ln 4 \Rightarrow - \frac{{\ln 4}}{3} + C = - \frac{1}{3}\ln 4 \Rightarrow C = 0

    Ta có:

    \begin{matrix} 3F\left( x ight) + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 3\left[ {\dfrac{x}{3} - \dfrac{{\ln \left( {{e^x} + 3} ight)}}{3}} ight] + \ln \left( {{e^x} + 3} ight) = 2 \hfill \\ \Leftrightarrow x = 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 16: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (x + 2)^{2};y = 0;x = 1;x = 3 bằng:

    Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Khi đó

    S = \int_{1}^{3}{(x + 2)^{2}dx} = \left. \ \frac{1}{3}(x + 2)^{3} ight|_{1}^{3} = \frac{98}{3}

  • Câu 17: Vận dụng cao

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}}, F(x) thỏa mãn F(X) + F(-2) = 0,5. Tính F(2) + F(-3)

     Ta có: f\left( x ight) = \frac{1}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{{x^2}}} + \frac{C}{{x + 1}} = \frac{{\left( {A + C} ight){x^2} + (A + B)x + B}}{{{x^2}\left( {x + 1} ight)}}

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A + C = 0} \\ {B = 1} \\ {A + B = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = - 1} \\ {B = 1} \\ {B = 1} \end{array}} ight.

    => F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx = \int {\left( { - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{x + 1}}} ight)dx} }

    => F\left( x ight) = - \ln \left| x ight| - \frac{1}{x} + \ln \left| {x + 1} ight| + C = \ln \left| {\frac{{x + 1}}{x}} ight| - \frac{1}{x} + C

    Khi đó: F\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_1}{\text{ khi x}} \in \left( {0; + \infty } ight)} \\ {\ln \left( {\dfrac{{ - x - 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_2}{\text{ khi x}} \in \left( { - 1; + \infty } ight)} \\ {\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{x}} ight) - \dfrac{1}{x} + {C_3}{\text{ khi x}} \in \left( { - \infty ; - 1} ight)} \end{array}} ight.

    Theo bài ra ta có: F(x) + F(-2) = 0,5

    => \left( {\ln 2 - 1 + {C_1}} ight) + \left( {\ln \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + {C_2}} ight) = \frac{1}{2}

    => {C_1} + {C_2} = 1

    => F\left( 2 ight) + F\left( { - 3} ight) = \left( {\ln \frac{3}{2} + \frac{1}{2} + {C_1}} ight) + \left( {\ln \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + {C_1}} ight) = \frac{5}{6}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho vật thể (H) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x = a và x = b với a < b. Gọi f(x) là diện tích thiết diện của (H) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x, với a \leq x \leq b. Biết hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack, khi đó thể tích V của vật thể (H) được cho bởi công thức:

    Vì f(x) là diện tích thiết diện của (H) bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x, với a \leq x \leq b ta có: V = \int_{a}^{b}{f(x)}dx không phải là V = \pi{\int_{a}^{b}\left\lbrack f(x) ightbrack}^{2}dx.

  • Câu 19: Nhận biết

    Giá trị của D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} bằng

    Ta có:

    D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} = \left. \ \left( x^{2019} - x ight) ight|_{0}^{1} = 0

  • Câu 20: Nhận biết

    Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a;x = b;\left( {a < b} ight) xung quanh trục Ox.

    Ta có : V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx.

  • Câu 21: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 5;3brack và F(x) là một nguyên hàm của f(x). Biết rằng F( - 5) = 3;F(3) = \frac{15}{7}. Xác định tích phân I = \int_{- 5}^{3}{\left\lbrack 7f(x) - x ightbrack dx}?

    Ta có: I = \int_{- 5}^{3}{\left\lbrack 7f(x) - x ightbrack dx} = \left. \ \left( 7F(x) ight) ight|_{- 5}^{3} - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{- 5}^{3} = 2.

  • Câu 22: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash\left\{ 0 ight\} thỏa mãn f(x) + xf'(x) = 3x^{2} và f(2) = 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có: f(x) + xf'(x) = 3x^{2}

    \Leftrightarrow (x)'f(x) + xf'(x) = 3x^{2}

    \Leftrightarrow \left( xf'(x) ight)' = 3x^{2}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}{\left( xf'(x) ight)'dx} = \int_{}^{}{3x^{2}dx} \Leftrightarrow xf(x) = x^{3} + C

    Lại có f(2) = 8 \Rightarrow 2f(2) = 8 + C \Leftrightarrow 2.8 = C + 8 \Leftrightarrow C = 8

    Từ đó suy ra xf(x) = x^{3} + 8 \Leftrightarrow f(x) = \frac{x^{3} + 8}{x}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{x^{3} + 8}{x} = 0 \Leftrightarrow x = - 2

    Ta có: f'(x) = \frac{2x^{3} - 8}{x^{2}} \Rightarrow f'( - 2) = - 6;f( - 2) = 0

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là

    y = f'( - 2)(x + 2) + f( - 2)

    \Leftrightarrow y = - 6(x + 2) \Rightarrow y = - 6x - 12

  • Câu 23: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x);y = g(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x);y = g(x) và các đường thẳng x = a;x = b. Diện tích hình (H) được tính theo công thức?

    Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Biết rằng F(x) liên tục trên \mathbb{R} là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sin x + \cos x\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ 2(x + 1)\ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight. và F(\pi) + F( - 1) = 1. Giá trị biểu thức T = F(2\pi) + F( - 5) bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + C_{1}\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + C_{2}\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    F(\pi) + F( - 1) = 1 \Rightarrow \left( \pi\sin\pi + C_{1} ight) + \left( 1 - 2 + C_{2} ight) = 1 \Rightarrow C_{1} + C_{2} = 2(*)

    Vì hàm số F(x) liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục tại x = 0 tức là

    \lim_{x ightarrow 0^{+}}F(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}F(x) = F(0)

    \Leftrightarrow C_{1} = C_{2}(**). Từ (*) và (**) suy ra C_{1} = C_{2} = 1

    Do đó F(x) = \left\{ \begin{matrix} x\sin x + 1\ \ \ khi\ x \geq 0 \\ x^{2} + 2x + 1\ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.

    T = F(2\pi) + F( - 5) = 17

  • Câu 25: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) dương và liên tục trên \lbrack 1;3brack thỏa mãn \max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = 2;\min_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \frac{1}{2} và biểu thức S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} đạt giá trị lớn nhất, khi đó \int_{1}^{3}{f(x)dx} bằng:

    Do \frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2 \Rightarrow f(x) + \frac{1}{f(x)} \leq \frac{5}{2}

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + \frac{1}{f(x)} ightbrack dx} \leq 5

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{f(x)dx} + \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5 - \int_{1}^{3}{f(x)dx}

    \Rightarrow S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx} ightbrack^{2}

    \leq \frac{25}{4} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx - \frac{5}{2}} ightbrack^{2} \leq \frac{25}{4}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \int_{1}^{3}{f(x)dx} = \frac{5}{2}.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x\sin2x;y = 2x;x = \frac{\pi}{2}?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x\sin2x = 2x \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\\sin2x = 2(L) \\\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left| x\sin x - 2x ight|dx} = \left| \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( x\sin x - 2x ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left(\frac{1}{4}\sin2x - \frac{1}{2}x\cos2x - x^{2} ight)ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} ight| = \frac{\pi^{2}}{4} -\frac{\pi}{4}

  • Câu 27: Thông hiểu

    Một chất điểm chuyển động với gia tốc a(t) = 6t^{2} + 2t\left( m/s^{2} ight). Vận tốc ban đầu của chất điểm là 2(m/s). Hỏi vận tốc của chất điểm sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2 giây bằng bao nhiêu?

    Ta có: v(2) - v(0) = \int_{0}^{2}{a(t)dt}

    \Rightarrow v(2) = \int_{0}^{2}{\left( 6t^{2} + 2t ight)dt} + v(0)

    \Rightarrow v(2) = \left. \ \left( 2t^{3} + t^{2} ight) ight|_{0}^{2} + 2 = 22

  • Câu 28: Thông hiểu

    Cho biết I = \int_{0}^{\sqrt{7}}{\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{1 + x^{2}}}dx} = \frac{m}{n} với \frac{m}{n} là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức m - 7n bằng:

    Đặt u = \sqrt[3]{1 + x^{2}}. Khi đó x^{2} = u^{3} - 1 \Rightarrow 2xdx = 3u^{2}du

    Đổi cận

    I = \int_{1}^{2}{\frac{\left( u^{3} - 1 ight)}{u}.\frac{3}{2}u^{2}du} = \frac{3}{2}\int_{1}^{2}{\left( u^{4} - u ight)du}= \left. \ \frac{3}{2}\left( \frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{2}}{2} ight) ight|_{1}^{2} = \frac{141}{20}. Suy ra m = 141;n = 20. Do đó m - 7n = 1.

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:

    Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) được xác định bởi công thức:

    Dựa vào hình vẽ ta được: S = \int_{- 3}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{4}{f(x)dx}.

  • Câu 30: Thông hiểu

    Một vật chuyển động với vận tốc v(t)(m/s)có gia tốc v'(t) = \frac{3}{t + 1}\left( m/s^{2} ight). Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Tính vận tốc của vật sau 10 giây, (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

    Vận tốc của vật là:v(t) = \int_{}^{}{v'(t)dt} = \int_{}^{}{\frac{3}{t + 1}dt} = 3ln(t + 1) + C

    Do vận tốc ban đầu của vật là 6m/s

    \Rightarrow v_{(t = 0)} = 6 \Rightarrow 3ln1 + C = 6 \Rightarrow C = 6

    Vận tốc của vật sau 10s là v(10) = 3ln11 + 6 \approx 13m/s

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho các hàm số f(x) có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai liên tục trên \lbrack 0;1brack và thỏa mãn \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} eq 0. Giá trị của biểu thức \frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) - f(0)} bằng:

    Đặt \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} = k

    Ta có:

    k = \int_{0}^{1}{e^{x}f''(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f'(x) ightbrack}

    = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1} - k

    \Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1}

    Ta có:

    k = \int_{0}^{1}{e^{x}f'(x)dx} = \int_{0}^{1}{e^{x}d\left\lbrack f(x) ightbrack}

    = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{x}f(x)dx} = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1} - k

    \Rightarrow 2k = \left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1}

    Vậy \frac{ef'(x) - f'(0)}{ef(1) - f(0)} = \frac{\left. \ e^{x}f'(x) ight|_{0}^{1}}{\left. \ e^{x}f(x) ight|_{0}^{1}} = 1

  • Câu 32: Thông hiểu

    Tìm một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{\ln x}}{x}.\sqrt {{{\ln }^2}x + 1}?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{\ln x}{x}\sqrt{\ln^{2}x + 1}dx}

    Đặt \sqrt{ln^{2}x + 1} \Rightarrow t^{2}= \ln^{2}x + 1 \Rightarrow tdt = \frac{\ln x}{x}dx

    Khi đó F(x) = \int_{}^{}{t^{2}dt} =\frac{t^{3}}{3} + C = \frac{\sqrt{\left( \ln^{2}x + 1 ight)^{3}}}{3} +C.

  • Câu 33: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x} + x là

    Ta có: \int_{}^{}f(x)dx = \int_{}^{}\left( 2^{x} + x ight)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C.

  • Câu 34: Vận dụng

    Diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi parabol (P):y = x^{2} + 1 và đường thẳng d:y = mx + 2 là:

    Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của phương trình

    x^{2} + 1 = mx + 2 \Leftrightarrow x^{2} - mx - 1 = 0

    Vì \Delta = m^{2} + 4 > 0;\forall m\mathbb{\in R} nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

    x_{1} = \frac{m - \sqrt{m^{2} + 4}}{2};x_{2} = \frac{m + \sqrt{m^{2} + 4}}{2} với x_{1} < x_{2}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}.x_{2} = - 1 \\ x_{2} - x_{1} = \sqrt{m^{2} + 4} \\ \end{matrix} ight..

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) là:

    S = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left| \left( x^{2} - mx - 1 ight) ight|dx}

    = \left| \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left( x^{2} - mx - 1 ight)dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{2} - \frac{mx^{2}}{2} - x ight) ight|_{x_{1}}^{x_{2}} ight|

    = \left| \frac{1}{3}\left( {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3} ight) - \frac{m}{2}\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) - \left( x_{2} - x_{1} ight) ight|

    = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left| \frac{1}{3}\left( {x_{2}}^{2} + x_{1}x_{2} + {x_{1}}^{2} ight) - \frac{m}{2}\left( x_{2} + x_{1} ight) - 1 ight|

    = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left| \frac{1}{3}\left( x_{2} + x_{1} ight)^{2} - x_{2}x_{1} - \frac{m}{2}\left( x_{2} + x_{1} ight) - 1 ight|

    = \sqrt{m^{2} + 4}.\left| \frac{m^{2} + 1}{3} - \frac{m^{2}}{2} - 1 ight|

    = \sqrt{m^{2} + 4}.\left| \frac{m^{2}}{6} - \frac{2}{3} ight| = \sqrt{m^{2} + 4}.\frac{m^{2} + 4}{6} \geq \frac{4}{3};\forall m\mathbb{\in R}

    Vậy diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi parabol (P):y = x^{2} + 1 và đường thẳng d:y = mx + 2 là \frac{4}{3}.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2} + 3x + 2} = aln2 + bln3 với a;b là các số hữu tỉ. Tính giá trị biểu thức T = a + b?

    Ta có:

    \int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{2} + 3x + 2} = \int_{0}^{1}\frac{dx}{(x + 1)(x + 2)} = \int_{0}^{1}{\left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} ight)dx}

    = \left. \ \ln\left( \frac{x + 1}{x + 2}ight) ight|_{0}^{1} = 2\ln2 - \ln3

    Suy ra a = 2;b = - 1 \Rightarrow a + b = 1.

  • Câu 36: Nhận biết

    Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \sqrt{- e^{x} + 4x}, trục hoành và hai đường thẳng x = 1;x = 2. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục hoành. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây?

    Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay ta có:

    V = \pi\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{2}dx}

    Khi đó áp dụng vào bài toán ta được:

    V = \pi\int_{1}^{2}{\left\lbrack \sqrt{- e^{x} + 4x} ightbrack^{2}dx} = \pi\int_{1}^{2}{\left( 4x - e^{x} ight)dx} .

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Các biểu thức E;F;G;H xác định bởi E = \int_{0}^{3}{f(x)dx};F = \int_{3}^{5}{f(x)dx};G = \int_{2}^{4}{f(x)dx};H = f'(x). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Dựa vào hình vẽ và diện tích hình phẳng ta có:

    E = \int_{0}^{3}{f(x)dx} = - \int_{0}^{3}{\left| f(x) ight|dx} < - 2

    F = \int_{3}^{5}{f(x)dx} > 3

    0 < G = \int_{2}^{4}{f(x)dx} < 2

    - 1 < H = f'(1) < 0 (hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 1)

    Như vậy E < H < G < F

  • Câu 38: Nhận biết

    Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y = \frac{1}{x \ln3}?

    Ta có: y = \log_{3}x \Rightarrow y' = \frac{1}{x \ln3}.

  • Câu 39: Nhận biết

    Một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc là v(t) = 3t^{2} + 5(m/s). Hỏi quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 bằng bao nhiêu?

    Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:

    S = \int_{4}^{10}{v(t)dt} = \int_{4}^{10}{\left( 3t^{2} + 5 ight)dt}

    = \left. \ \left( t^{3} + 5t ight) ight|_{4}^{10} = 996(m)

  • Câu 40: Thông hiểu

    Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = x^{2} - ax với trục hoành (a eq 0). Quay hình (H) xung quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích V = \frac{16\pi}{15}. Tìm a?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} - ax = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = a \\ \end{matrix} ight.

    Trường hợp 1: Với a > 0 thì thể tích khối tròn xoay là:

    V = \pi\int_{0}^{a}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{a} = \frac{a^{5}\pi}{30}

    \Rightarrow \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = 2

    Trường hợp 2: Với a < 0 thì thể tích khối tròn xoay là:

    V = \pi\int_{a}^{0}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{a}^{0} = - \frac{a^{5}\pi}{30}

    \Rightarrow - \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = - 2

    Vậy a = \pm 2.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 55 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập