Tính tích phân
?
Ta có:
Tính tích phân
?
Ta có:
Giả sử
và
. Khi đó
bằng
Ta có:
Một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc là
. Hỏi quãng đường máy bay đi được từ giây thứ
đến giây thứ
bằng bao nhiêu?
Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:
Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ và
.

Tính diện tích của phần được gạch chéo theo
.
Từ đồ thị ta suy ra
Do đó, diện tích phần gạch chéo là
.
Biết
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. Gọi
là một nguyên hàm của
thỏa mãn
. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Do đó
Suy ra
Nên
Vậy
Từ đó
Vậy
Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất
, sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án: 667m
Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất , sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Đáp án: 667m
Giả sử hàm số biểu thị cho vận tốc có dạng
Do đi qua gốc
nên
có đỉnh là
Do đó
Xe dừng lại khi
Quảng đường xe ô tô di chuyển trong 20 giây là
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Tìm nguyên hàm của hàm số
bằng:
Ta có:
Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ:

Diện tích
của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục
(phần gạch sọc) được tính bởi công thức
Từ đồ thị hàm số ta thấy
Do đó:
Biết rằng
với
là các số hữu tủ. Giá trị của
bằng:
Ta có:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành,
và
bằng
Diện tích hình giới hạn là
Cho hàm số
thỏa mãn
và
. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm với trục hoành là:
Ta có: . Nhân cả hai vế với
ta được:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Suy ra
Xét phương trình hoành độ giao điểm
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng -2 là:
Cho
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số nên:
Hay
Xét
Đặt
Khi đó
Cho hàm số
liên tục trên
. Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị
và các đường thẳng
. Diện tích hình
được tính theo công thức?
Ta có diện tích hình (H) được tính bằng công thức .
Cho hàm số
dương và liên tục trên
thỏa mãn
và biểu thức
đạt giá trị lớn nhất, khi đó
bằng:
Do
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Tìm nguyên hàm
.
Ta có:
Một vật chuyển động với vận tốc
có gia tốc
. Vận tốc ban đầu của vật là
. Tính vận tốc của vật sau
giây, (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Vận tốc của vật là:
Do vận tốc ban đầu của vật là
Vận tốc của vật sau 10s là
Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc
. Hỏi rằng trong
trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét?
Khi dừng hẳn
Khi đó trong 5s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được:
.
Cho hàm số
liên tục nhận giá trị dương trên
và thỏa mãn
;
. Giá trị
gần nhất với giá trị nào sau đây?
Vì
Mà
Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Cho
với
là các số hữu tỉ. Giá trị của biểu thức
bằng
Đặt khi đó:
Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và
. Tính tích phân
?
Ta có:
Cho hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
. Phát biểu nào sau đây đúng?
Ta có .
Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau
năm được xác định bởi hàm số
( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với
, với
là số năm kể từ năm 2014,
được tính bằng triệu người/năm.
a)
là một nguyên hàm của
. Đúng||Sai
b)
. Sai||Đúng
c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai
d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai
Vào năm 2014, dân số nước ta khoảng 90,7 triệu người. Giả sử, dân số nước ta sau năm được xác định bởi hàm số
( đơn vị: triệu người), trong đó tốc độ gia tăng dân số được cho với
, với
là số năm kể từ năm 2014,
được tính bằng triệu người/năm.
a) là một nguyên hàm của
. Đúng||Sai
b) . Sai||Đúng
c) Theo công thức trên, tốc độ gia tăng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) khoảng 1,7 triệu người/năm. Đúng||Sai
d) Theo công thức trên, dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng đơn vị của triệu người) khoảng 120 triệu người. Đúng||Sai
Ta có: là một nguyên hàm của
và
Do
Tốc độ tăng dân số của nước ta vào năm 2034 là
( triệu người/năm)
Dân số của nước ta vào năm 2034 là
( triệu người)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
bằng:
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Khi đó
Cho hai hàm số
và
liên tục trên tập số thực và thỏa mãn
. Tính tích phân
?
Đặt
Đổi cận
Theo bài ra ta có:
Đặt
Đổi cận
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
quay xung quanh
.
Thể tích vật thể bằng:
.
Tìm nguyên hàm
của hàm số
?
Ta có:
Vậy một nguyên hàm của hàm số là .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
và trục hoành?
Phương trình hoành độ giao điểm
Khi đó diện tích hình phẳng theo yêu cầu bài toán là:
.
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường
và
(với
) được minh họa bằng hình vẽ bên (phần tô đậm):

Cho
quay quanh trục
, thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu?
Ta có:
Thể tích khối tròn xoay cần tính là
Giả sử
với
là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
Ta có:
Đặt
Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình có hai nghiệm
và
.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ta có: nên khẳng định
sai.
Một xe ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó
. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi
là quảng đường xe ô tô đi được trong
(giây) kể từ lúc đạp phanh.
a) Quảng đường
mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Đúng||Sai
b) Quãng đường
. Đúng||Sai
c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là
giây. Sai||Đúng
d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai
Một xe ô tô đang chạy với vận tốc
thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó
. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ
, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi
là quảng đường xe ô tô đi được trong
(giây) kể từ lúc đạp phanh.
a) Quảng đường mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Đúng||Sai
b) Quãng đường . Đúng||Sai
c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là giây. Sai||Đúng
d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai
Do nên quãng đường
mà xe ô tô đi được trong thời gian
(giây) là một nguyên hàm của hàm số
. Ta có:
với
là hằng số.
Khi đó, ta gọi hàm số .
Do nên
. Suy ra
.
Xe ô tô dừng hẳn khi hay
. Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.
Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ .
Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: .
Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: .
Do nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.
Biết rằng
với
. Chọn kết luận đúng?
Đặt
Đổi cận khi đó ta được:
Đặt
Cho hàm số
có đồ thị
. Xét các điểm
sao cho tiếp tuyến tại
và
của
vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi
và đường thẳng
bằng
. Gọi
lần lượt là hoành độ của
và
. Giá trị của
bằng:
Hình vẽ minh họa
Ta có: có TXĐ:
Giả sử và
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là
Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là
Vì nên ta có:
Phương trình đường thẳng AB
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:
Thay ta có:
Vật thể
giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình
và
. Cắt vật thể
với mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ bằng
ta được thiết diện có diện tích bằng
. Thể tích của vật thể
:
Thể tích của vật thể B là:
Nguyên hàm của hàm số
là:
Ta có:
.
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường tròn
.

Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn
quanh trục hoành.
Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường tròn
.
Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn quanh trục hoành.
Cho
là hình phẳng giới hạn bởi parabol
và nửa elip có phương trình
(với
) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

Gọi
là diện tích của, biết
(với
). Tính
?
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
Do tính chất đối xứng của đồ thị nên
. Đặt
Đổi cận
Với
Suy ra
Vậy