Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng
Diện tích hình giới hạn là
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
?
Hình vẽ minh họa
Ta có:
Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng
Diện tích hình giới hạn là
Xác định nguyên hàm
của hàm số
thỏa mãn
?
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Vậy
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
?
Vì:
Biết rằng
liên tục trên
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị biểu thức
bằng:
Ta có:
Do đó:
Cho
với
là các số hữu tỉ. Khi đó
bằng:
Ta có:
Suy ra .
Hàm số
có nguyên hàm là:
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số
?
Ta có:
Cho
và đặt
. Khẳng định nào sau đây sai?
Ta có:
Đặt
Đổi cận từ đó ta có:
Vậy khẳng định sai là: .
Dòng diện xoay chiều hình sin chạy qua mạch điện dao động
lí tưởng có phương trình
. Ngoài ra
với
là điện tích tức thời trong tụ. Tính từ lúc
, điện lượng chạy qua tiết diện thẳng của dây dẫn của mạch trong thời gian
là
Điện lượng cần tìm là:
Cho hàm số
đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn
và thỏa mãn
với
. Biết rằng
khi đó tích phân
bằng:
Ta có:
Theo bài ra ta có:
Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi các đường
. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình
quanh trục
?
Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình quanh trục
là
.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Tìm F(x)
Mặt khác
=>
Tính tích phân
?
Đặt
Đổi cận
Khi đó:
.
Cho hàm
có đạo hàm liên tục trên
. Gọi
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và đường thẳng
(phần gạch chéo trong hình vẽ):

Diện tích hình
bằng:
Diện tích phần gạch chéo là:
.
Giá trị tích phân
bằng:
Ta có:
Biết luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
và thỏa mãn
. Khẳng định nào sau đây là đúng và đầy đủ nhất?
Do . Vì luôn có hai số
để
là một nguyên hàm của hàm số
nên
không phải là hàm hằng.
Từ giả thiết
Lấy nguyên hàm hai vế với vi phân ta được:
với C là hằng số.
TH1: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
TH2: ta có:
Đồng nhất hệ số ta có:
Loại do điều kiện
. Do đó
Vậy khẳng định đúng và đầy đủ nhất là .
Cho
với
. Tính
?
Ta có:
Vậy
Cho hàm số
có đạo hàm
liên tục trên
;
. Tính giá trị
?
Ta có:
Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng
như hình vẽ:

Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích
của vật thể đó.?
Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ thì được thiết diện là một tam giác đều có cạnh bằng
Do đó, diện tích của thiết diện:
Cho là một nguyên hàm của hàm số
và
. Tính ![]()
Cách 1:
Đặt
Khi đó
=>
Mặt khác
=> C = 0
=>
=>
Cách 2: . Sử dụng máy tính cầm tay để tính.
Cho hai hàm số
và
liên tục trên tập số thực và thỏa mãn
. Tính tích phân
?
Đặt
Đổi cận
Theo bài ra ta có:
Đặt
Đổi cận
Cho hàm số
liên tục trên
và
,
là một nguyên hàm của
trên
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Theo định nghĩa tích phân ta có: .
Cho hàm số
là một nguyên hàm của
, biết rằng
. Khi đó giá trị
là:
Ta có:
Mà . Vậy với
thì
Vậy .
Họ nguyên hàm của hàm số
là:
Đặt
Xác định hàm số f(x) biết rằng ![]()
Mà
Vậy hàm số cần tìm là
Cho các hàm số
và
liên tục trên
thỏa mãn
với
. Tính
, biết rằng
?
Ta có: .
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc
m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng
m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
s. Sai||Đúng
c)
. Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là
m. Sai||Đúng
Một ô tô đang chạy đều với vận tốc m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số
m/s, trong đó
là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.
a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s. Đúng||Sai
b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là s. Sai||Đúng
c) . Đúng||Sai
d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là m. Sai||Đúng
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng m/s.
Khi xe dừng hẳn thì m/s nên
s.
Nguyên hàm của hàm số vận tốc ,
.
Quãng đường từ lúc đạ phanh cho đến khi xe dừng hẳn là
m.
Biết
. Khi đó
có giá trị bằng:
Ta có:
Tìm nguyên hàm của hàm số ![]()
Ta có:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
, trục hoành,
và
bằng
Diện tích hình giới hạn là
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
và trục hoành như hình vẽ:

Mệnh đề nào sau đây sai?
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là:
Từ hình vẽ ta thấy
Do đó
Vậy mệnh đề sai là:
Cho hàm số
có đạo hàm trên
thỏa mãn
với
ta có:
. Tính tích phân
?
Ta có:
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
Theo bài ra ta có:
Vì nên nhận
Vậy
Cho hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số
và các đường thẳng
. Thể tích
của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng
quay quanh trục?
Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng quay quanh trục
là:
.
Cho đường cong
. Xét điểm
có hoành độ dương thuộc
, tiếp tuyến của
tại
tạo với
một hình phẳng có diện tích bằng
. Hoành độ điểm
thuộc khoảng nào dưới đây??
Ta có: có
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C)
Vậy
Họ các nguyên hàm của hàm số
trên khoảng ![]()
Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
tại
và
. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ
(
) cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là
và
. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên
Diện tích thiết diện là:
Thể tích vật thể là:
Tìm họ nguyên hàm của hàm số ![]()
Cho hình vẽ:

Diện tích của hình phẳng
được giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng
(phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức:
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có:
Vậy đáp án cần tìm là: .
Tính thể tích
của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
và hai đường thẳng
quanh trục
:
Thể tích của khối tròn xoay được sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
và hai đường thẳng
quanh trục
là:
.
Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hình thang
với
. Quay hình thang
xung quanh trục
thì thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu??
Phương trình các cạnh của hình thang là:
Ta thấy là hình thang vuông có
nên khối tròn xoay cần tính là