Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 4. Nguyên hàm Tích phân được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 CTST
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix}2x^{2} + x;\ \ \ x \geq 0 \\x.\sin x;\ \ \ \ x \leq 0 \\\end{matrix} ight.. Tính tích phân \int_{- \pi}^{1}{f(x)dx}?

    Ta có:

    \int_{- \pi}^{1}{f(x)dx} = \int_{-\pi}^{0}{(x.\sin x)dx} + \int_{0}^{1}{\left( 2x^{2} + xight)dx}

    = - \int_{- \pi}^{0}{xd\left( \cos xight)} + \left. \ \left( \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} ight)ight|_{0}^{1}

    = \left. \ \left( - x\cos x ight) ight|_{- \pi}^{0} + \left. \ \left( \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{1}

    = \pi + \frac{7}{6} + \left. \ \left( \sin x ight) ight|_{- \pi}^{0} = \pi + \frac{7}{6}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Biết rằng \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = a\ln|x + 2| + b\ln|x + 3| + C. Tính giá trị biểu thức T = a^{2} + ab + b^{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 3}

    = \frac{A(x + 2) + B(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{(A + B)x + (3A + 2B)}{(x + 2)(x + 3)}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} A + B = 4 \\ 3A + 2B = 11 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 3 \\ B = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó \int_{}^{}{\frac{4x + 11}{x^{2} + 5x + 6}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{3}{x + 2} + \frac{1}{x + 3} ight)dx}

    = 3ln|x + 2| + \ln|x + 3| + C

    Suy ra a = 3;b = 1 \Rightarrow T = 13

  • Câu 3: Vận dụng

    Tìm tổng các nghiệm của phương trình F(x) = x, biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }} thỏa mãn F(2) = 0 

    \begin{matrix} F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx} \hfill \\ = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}dx} = \dfrac{1}{2}\int {d\frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}d\left( {8 - {x^2}} ight)} \hfill \\ \Rightarrow F\left( x ight) = - \sqrt {8 - {x^2}} + C \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có: F(2) = 0 => C = 2

    => F\left( x ight) = - \sqrt {8 - {x^2}} + 2

    Xét phương trình F(x) = x ta có:

    \begin{matrix} F\left( x ight) = x \hfill \\ \Leftrightarrow - \sqrt {8 - {x^2}} + 2 = x \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}} = 2 - x \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - x \geqslant 0} \\ {8 - {x^2} = {{\left( {2 - x} ight)}^2}} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {{x^2} - 2x + 2 = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leqslant 2} \\ {x = 1 \pm \sqrt 3 } \end{array}} ight. \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng x = 1 - \sqrt 3

  • Câu 4: Nhận biết

    Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x^{2} - 2;y = 0;x = - 1;x = 2 quanh trục Ox bằng

    Ta có:

    V = \pi\int_{- 1}^{2}{\left( x^{2} - 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{- 1}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx}

    = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - x^{4} + \frac{4x^{3}}{3} ight) ight|_{- 1}^{2} = \frac{18\pi}{5}

  • Câu 5: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 6: Nhận biết

    Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, đường thẳng x = a;x = b như hình vẽ sau:

    Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

    Dựa vào hình biểu diễn hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành, đường thẳng x = a;x = b ta có: S = - \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}.

  • Câu 7: Vận dụng

    Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x + 3)^{2}, trục hoành và đường thẳng x = 0. Gọi A(0;9),B(b;0);( - 3 < b < 0). Tính giá trị của tham số b để đoạn thẳng AB chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 8: Nhận biết

    Giá trị của \int_{0}^{3}{dx} bằng

    Ta có: \int_{0}^{3}{dx} = \left. \ x ight|_{0}^{3} = 3 - 0 = 3

  • Câu 9: Nhận biết

    Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên tập số thực và f'(x) = 2e^{2x} + 1;\forall x; f(0) = 2. Hàm số f(x) là:

    Ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\left( 2e^{2x} + 1 ight)dx} = e^{2x} + x + C

    \Rightarrow f(x) = e^{2x} + x + C

    Theo bài ra ta có: f(0) = 2 \Rightarrow 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1

    Vậy f(x) = e^{2x} + x + 1.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = - 1;x = 1 và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x;( - 1 \leq x \leq 1) là một hình tròn có diện tích bằng 3\pi. Thể tích của vật thể là?

    Ta có: V = \int_{- 1}^{1}{S(x)dx} = \int_{- 1}^{1}{3\pi dx} = 6\pi

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2. Hãy tính \int_{1}^{4}{\frac{f\left( \sqrt{x} ight)}{\sqrt{x}}dx}?

    Đặt t = \sqrt{x} \Rightarrow dt = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx \Rightarrow 2dt = \frac{1}{\sqrt{x}}dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = 4 \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight. ta có:

    2\int_{1}^{2}{f(t)dt} = 2\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2.2 = 4

    Vậy \int_{1}^{4}{\frac{f\left( \sqrt{x} ight)}{\sqrt{x}}dx} = 4

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y = - x^{2} + 2x, trục hoành. Quay hình phẳng (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (H);Ox là: - x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó V = \pi\int_{0}^{2}{\left( - x^{2} + 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx} = \frac{16\pi}{15}.

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\left\{ 1 ight\}thỏa mãn f'(x) = \frac{1}{x - 1}; f(0) = 2017;f(2) = 2018. Tính T = f(3) - f( - 1)?

    Trên khoảng (1; + \infty) ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(x - 1) + C_{1}

    \Rightarrow f(x) = \ln(x - 1) + C_{1}

    Mà f(2) = 2018 \Rightarrow C_{1} = 2018

    Trên khoảng ( - \infty;1) ta có: \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln(1 - x) + C_{2}

    \Rightarrow f(x) = \ln(1 - x) + C_{2}

    Mà f(0) = 2017 \Rightarrow C_{2} = 2017

    Vậy f(x) = \left\{ \begin{matrix} \ln(x - 1) + 2018\ \ \ khi\ x\ > \ 1 \\ \ln(1 - x) + 2017\ \ \ khi\ x\ < \ 1 \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow T = f(3) - f( - 1) = 1.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = \frac{1}{\sin x} có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0. Giá trị của e^{F\left( \frac{2\pi}{3} ight)} bằng:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{\sin x}dx} =\int_{}^{}{\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}.\cos\frac{x}{2}}dx}

    = \int {\frac{1}{{2\tan \frac{x}{2}.{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}dx} = \int {\frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}}d\left( {\tan \frac{x}{2}} ight)}= \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} ight| + C

    Lại có F\left( \frac{\pi}{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \ln\left| \tan\frac{\pi}{6} ight| + C = 0

    \Rightarrow C = - \ln\frac{\sqrt{3}}{3}= \ln\sqrt{3} = \frac{1}{2}\ln3

    Do đó: {e^{F\left( {\frac{{2\pi }}{3}} ight)}} = {e^{\ln \left| {\tan \frac{\pi }{3}} ight| + \frac{1}{2}\ln 3}} = {e^{\ln 3}} = 3

  • Câu 15: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 ight\} thỏa mãn 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1;f\left( 1 ight) = 0. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại giao điểm với trục hoành là:

    Ta có:

    \begin{matrix} 2xf\left( x ight) + {x^2}f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x^2}} ight)'.f\left( x ight) + {x^2}.f'\left( x ight) = 1 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]' = 1 \hfill \\ \end{matrix}

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \begin{matrix} \int {\left[ {{x^2}f\left( x ight)} ight]'dx} = \int {1.dx} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2}f\left( x ight) = x + C \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( 1 ight) = 0 \Rightarrow 1.f\left( 1 ight) = 1 + C \Rightarrow C = - 1 \hfill \\ \Rightarrow {x^2}f\left( x ight) = x - 1 \Rightarrow f\left( x ight) = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Xét phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành ta có:

    \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow x = 1\left( {tm} ight)

    Ta lại có: f'\left( x ight) = \frac{{2 - x}}{{{x^2}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f'\left( 1 ight) = 1} \\ {f\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight.

    Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục hoành là:

    y = f'\left( 1 ight)\left( {x - 1} ight) + f\left( 1 ight) \Rightarrow y = x - 1

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x) = x^{4} - 5x^{2} +4. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x) và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai?

    Phương trình hoành độ giao điểm:

    x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x^{2} = 1 \\x^{2} = 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = - 1 \\x = 2 \\x = - 2 \\\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{- 2}^{2}{\left| f(x)ight|dx} = 2\int_{0}^{2}{\left| f(x) ight|dx}

    = 2\int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} +2\int_{1}^{2}{\left| f(x) ight|dx}

    = 2\left| \int_{0}^{1}{f(x)dx} ight| +2\left| \int_{1}^{2}{f(x)dx} ight| ((do trong khoảng (0; 1) và (1; 2) phương trình f(x) = 0 vô nghiệm)

    Vậy mệnh đề sai là: S = 2\left|\int_{0}^{2}{f(x)dx} ight|.

  • Câu 17: Nhận biết

    Giả sử f(x) là một hàm số bất kì và liên tục trên khoảng (\alpha;\beta) và a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta). Mệnh đề nào sau đây sai?

    Dựa vào tính chất của tích phân với f(x) là một số bất kì liên tục trên khoảng (\alpha;\beta) và a;b;c;b + c \in (\alpha;\beta) ta có:

    \int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{c}{f(x)dx} + \int_{c}^{b}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} - \int_{b}^{c}{f(x)dx}

    = \int_{a}^{b + c}{f(x)dx} + \int_{b + c}^{b}{f(x)dx}

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) biết f(0) = 1, f'(x) liên tục trên \lbrack 0;3brack và \int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9. Tính f(3)?

    Ta có:

    \int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9 \Leftrightarrow \left. \ f(x) ight|_{0}^{3} = 9 \Rightarrow f(3) - f(0) = 9

    \Rightarrow f(3) = 9 + f(0) = 9 + 1 = 10

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn \int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3 và \int_{0}^{5}{f(x)dx} = 6. Tính tích phân C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x - 2) ight|dx}?

    Ta có: C = \int_{- 1}^{1}{\left| f(3x - 2) ight|dx} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)dx} + \int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x - 2)dx} = C_{1} + C_{2}.

    Ta có:

    C_{1} = \int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)dx} = - \frac{1}{3}\int_{- 1}^{\frac{2}{3}}{f( - 3x + 2)d( - 3x + 2)}

    Đặt t = - 3x + 2 \Rightarrow dt = - 3dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = - 1 \Rightarrow t = 5 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight. do đó:

    C_{1} = \frac{1}{3}\int_{0}^{5}{f(t)dt} = 2

    Ta có:

    C_{2} = \int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x - 2)dx} = \frac{1}{3}\int_{\frac{2}{3}}^{1}{f(3x + 2)d(3x + 2)}

    Đặt t = 3x - 2 \Rightarrow dt = 3dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{2}{3} \Rightarrow t = 0 \\\end{matrix} ight. do đó:

    C_{2} = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}{f(t)dt} = 1.

    Vậy C = C_{1} + C_{2} = 3

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho hai hàm số f(x) và f( - x) liên tục trên tập số thực và thỏa mãn 2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}. Tính tích phân I = \int_{- 2}^{2}{f(x)dx}?

    Đặt t = - x \Rightarrow dt = - dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \Rightarrow t = 2 \\ x = 2 \Rightarrow t = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow I = - \int_{2}^{- 2}{f( - t)dt} = \int_{- 2}^{2}{f( - x)dx}

    Theo bài ra ta có:

    2f(x) + 3f( - x) = \frac{1}{4 + x^{2}}

    \Leftrightarrow 2\int_{- 2}^{2}{f(x)dx} + 3\int_{- 2}^{2}{f( - x)dx} = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    \Leftrightarrow 2I + 3I = \int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    \Leftrightarrow I = \frac{1}{5}\int_{- 2}^{2}\frac{1}{4 + x^{2}}dx

    Đặt x = 2\tan u \Rightarrow dx =2.\frac{1}{\cos^{2}u}du = 2\left( 1 + \tan^{2}u ight)du

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = - 2 \Rightarrow u = - \dfrac{\pi}{4} \\x = 2 \Rightarrow u = \dfrac{\pi}{4} \\\end{matrix} ight.\Rightarrow I = \dfrac{1}{5}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{2\left( 1 + u^{2} ight)}{4 +4\tan^{2}u}du} = \frac{1}{10}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}{du}

    = \left. \ \frac{1}{10}u ight|_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{10}\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} ight) = \frac{\pi}{20}

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^{ - 2x}} + \frac{1}{{\sqrt x }}

     \begin{matrix} \int {\left( {{e^{ - 2x}} + \dfrac{1}{{\sqrt x }}} ight)dx} = \int {{e^{ - 2x}}dx} + \int {\dfrac{1}{{\sqrt x }}} dx = - \dfrac{1}{2}\int {{e^{ - 2x}}d\left( { - 2x} ight)} + 2\int {\dfrac{1}{{2\sqrt x }}} dx \hfill \\ = - \dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2} + 2\sqrt x + C = - \dfrac{1}{{2{e^{2x}}}} + 2\sqrt x + C \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 22: Nhận biết

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{2x - 1} , biết rằng F(1) = 2. Khi đó giá trị F(2) là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}\frac{dx}{2x - 1} = \frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C;\left( C\mathbb{\in R} ight)

    Mà F(1) = 2 \Rightarrow C = 2. Vậy với x > \frac{1}{2} thì F(x) = \frac{1}{2}\ln(2x - 1) + 2

    Vậy F(2) = \frac{1}{2}\ln3 +2.

  • Câu 23: Nhận biết

    Nếu \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 5;\int_{2}^{5}{f(x)dx} = - 1 thì \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Ta có:

    \int_{1}^{5}{f(x)dx} = \int_{1}^{2}{f(x)dx} + \int_{2}^{5}{f(x)dx} = 5 + ( - 1) = 4

  • Câu 24: Vận dụng

    Họ các nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} trên khoảng \left( { - 1; + \infty } ight)

     f\left( x ight) = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}} = \frac{2}{{x + 1}} - \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}

    \int {f\left( x ight)dx} = \int {\left[ {\frac{2}{{x + 1}} - \frac{3}{{{{\left( {x + 1} ight)}^2}}}} ight]dx} = 2\ln \left| {x + 1} ight| + \frac{3}{{x + 1}} + C

  • Câu 25: Thông hiểu

    Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x^{2} - 2x}{x - 1}, đường thẳng y = x - 1 và các đường thẳng x = m;x = 2m;(m > 1). Giá trị của m sao cho S = ln3 là

    Diện tích cần tìm chính là tích phân:

    S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} - 2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx}

    Ta có:

    S = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{x^{2} - 2x}{x - 1} - (x - 1) ight|dx} = \int_{m}^{2m}{\left| \frac{- 1}{x - 1} ight|dx}

    = \int_{m}^{2m}{\frac{1}{|x - 1|}dx} = \int_{m}^{2m}{\frac{1}{x - 1}dx};(m > 1)

    = \left. \ \left\lbrack \ln|x - 1| ightbrack ight|_{m}^{2m} = \ln\frac{2m - 1}{m - 1}

    Do đó S = ln3 \Leftrightarrow \ln\frac{2m - 1}{m - 1} = ln3 \Leftrightarrow m = 2

    Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Biết \int_{0}^{1}{\frac{x^{2} + 2x}{(x + 3)^{2}}dx} = \frac{a}{4} - 4ln\frac{4}{b} với a;b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức a^{2} + b^{2} bằng:

    Giả sử I = \int_{0}^{1}{\frac{x^{2} + 2x}{(x + 3)^{2}}dx}. Đặt t = x + 3 \Rightarrow dt = dx, đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 3 \\ x = 1 \Rightarrow t = 4 \\ \end{matrix} ight.

    I = \int_{3}^{4}{\frac{t^{2} - 4t + 3}{t^{2}}dx} = \int_{3}^{4}{\left( 1 - \frac{4}{t} + \frac{3}{t^{2}} ight)dx}

    = \left. \ \left( t - 4ln|t| - \frac{3}{t} ight) ight|_{3}^{4} = \frac{5}{4} - 4ln\frac{4}{3}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 5 \\ b = 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 34

  • Câu 27: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^{2} + \frac{x}{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}\left( 3x^{2} + \frac{x}{2} ight)dx = x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C.

  • Câu 28: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm dương và liên tục trên \lbrack 0;1brack thỏa mãn f(0) = 1 và 5\int_{0}^{1}{\left\{ f'(x)\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} + \frac{1}{25} ight\} dx} \leq 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack \sqrt{f'(x)}.f(x) ightbrack dx}. Tích phân \int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx} là:

    5\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\left\lbrack f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2} + \frac{1}{25} ightbrack dx \leqslant 2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx

    \Leftrightarrow5\int_{0}^{1}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx+ \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

    \Rightarrow \left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} \leqslant \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}dx\cdot \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx

    \Rightarrow 5\left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} + \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{2}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx

    \Leftrightarrow 5\left( \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx - \frac{1}{5} ight)^{2} \leqslant 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx = \frac{1}{5}.

    Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi \left\{\begin{matrix}\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx =\dfrac{1}{5} \Rightarrow k = \dfrac{1}{5} \\\sqrt{f^{'}(x)}f(x) = k \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{}^{}\ f^{'}(x)f^{2}(x)dx = \int_{}^{}\ \frac{1}{25}dx = \frac{1}{25}x + C

    \Rightarrow \frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}}{3} = \frac{1}{25}x + C \Leftrightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 3C}

    f(0) = 1 \Rightarrow 3C = 1 \Rightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 1}

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx} = \int_{0}^{1}{\left( \frac{3}{25}x + 1 ight)dx} = \frac{53}{50}

  • Câu 29: Vận dụng

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{2x + 1}{x^{3} + 2x^{3} + x^{2}} trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn F(1) = \frac{1}{2}. Giá trị của biểu thức T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019) bằng:

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\frac{2x + 1}{x^{2}(x + 1)^{2}}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} ight)dx}

    Suy ra F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + C mà F(1) = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1 .Hay F(x) = - \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} + 1

    Ta có:

    T = F(1) + F(2) + F(3) + ... + F(2019)

    T = \left( - \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + 1 ight) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + 4 ight) + ... + \left( - \frac{1}{2019} + \frac{1}{2020} + 1 ight)

    T = - 1 + \frac{1}{2020} + 2019.1 = 2018 + \frac{1}{2020} = 2018\frac{1}{2020}

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 như hình vẽ:

    Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x;( - 1 \leq x \leq 1)thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V của vật thể đó.?

    Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x;( - 1 \leq x \leq 1) thì được thiết diện là một tam giác đều có cạnh bằng 2\sqrt{1 - x^{2}}

    Do đó, diện tích của thiết diện: S(x) =\frac{\left( 2\sqrt{1 - x^{2}} ight)^{2}\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\left(1 - x^{2} ight)

    V = \int_{- 1}^{1}{S(x)dx} = \int_{-1}^{1}{\left\lbrack \sqrt{3}\left( 1 - x^{2} ight) ightbrackdx}

    = \sqrt{3}\left. \ \left( x -\frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{- 1}^{1} =\frac{4\sqrt{3}}{3}

  • Câu 31: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) là một nguyên hàm của hàm số y = x^{5}.Phát biểu nào sau đây đúng?

    Ta có \left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}} ight)\mathbf{'}\mathbf{=}\mathbf{x}^{\mathbf{5}}

    Vậy đáp án cần tìm là: \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{x}^{\mathbf{6}}\mathbf{+ C}.

  • Câu 32: Nhận biết

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{1}{x} và các đường thẳng y = 0;x = 1;x = 4. Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục?

    Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{1}{x} ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( - \frac{1}{x^{4}} ight) ight|_{1}^{4} = \pi\left( - \frac{1}{4} + 1 ight) = \frac{3\pi}{4}.

  • Câu 33: Vận dụng

    Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} và nửa elip có phương trình y = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} (với - 2 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Gọi S là diện tích của, biết S = \frac{a\pi + b\sqrt{3}}{c} (với a;b;c\mathbb{\in R}). Tính P = a + b + c?

    Hoành độ giao điểm của hai đồ thị: \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow x = \pm 1

    Do tính chất đối xứng của đồ thị nên

    S = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} ight) = 2\left( S_{1} + S_{2} ight)

    S_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} = \frac{\sqrt{3}}{6}

    S_{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx}. Đặt x = 2\sin t\Rightarrow dx = 2\cos tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{2} \\\end{matrix} ight.

    Với t \in \left\lbrack\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow \cos t \geq 0\Rightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = 2\sqrt{\cos^{2}t} = 2\cos t

    S_{2} =\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{4\cos^{2}tdt} =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{2\cos^{2}tdt}

    =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{(1 + \cos2t)dt} = \left. \ \left( t+ \frac{1}{2}\sin2t ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}

    Suy ra S = \frac{4\pi - \sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = 4;b = - 1;c = 6

    Vậy P = a + b + c = 9

  • Câu 34: Thông hiểu

    Tính tích phân I =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\cos^{3}x}dx}?

    Đặt t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    I = \int_{1}^{\frac{1}{2}}{\frac{- 1}{t^{3}}dt} = \int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{1}{t^{3}}dt} = \left. \ - \frac{1}{2t^{2}} ight|_{\frac{1}{2}}^{1} = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}.

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên K và a;b \in K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

    Theo định nghĩa tích phân ta có: \int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a).

  • Câu 36: Vận dụng

    Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất v = 50m/s, sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 667m

    Đáp án là:

    Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất v = 50m/s, sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 667m

    Giả sử hàm số biểu thị cho vận tốc có dạng (P):v(t) = at^{2} + bt + c\left( a,b,c\mathbb{\in R} ight)

    Do (P) đi qua gốc O nên c = 0

    (P) có đỉnh là I(10;50) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{- b}{2a} = 10 \\ 50 = a.100 + b.10 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{1}{2} \\ b = 10 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó (P):v(t) = - \frac{1}{2}t^{2} + 10t

    Xe dừng lại khi v(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = 20 \\ \end{matrix} ight.

    Quảng đường xe ô tô di chuyển trong 20 giây là S = \int_{0}^{20}{\left( - \frac{1}{2}t^{2} + 10t ight)dt} \approx 667m

  • Câu 37: Thông hiểu

    Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \cos 5x.\cos x thỏa mãn F\left( {\frac{\pi }{5}} ight) = 0. Tính F\left( {\frac{\pi }{6}} ight).

     \begin{matrix} \cos 5x + \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight) \hfill \\ \int {\cos 5x.\cos xdx} = \int {\dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} ight)} dx = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 6x}}{6} + \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{3}} ight) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \hfill \\ F\left( {\dfrac{\pi }{6}} ight) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{8} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = x^{2} - ax với trục hoành (a eq 0). Quay hình (H) xung quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích V = \frac{16\pi}{15}. Tìm a?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} - ax = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = a \\ \end{matrix} ight.

    Trường hợp 1: Với a > 0 thì thể tích khối tròn xoay là:

    V = \pi\int_{0}^{a}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{a} = \frac{a^{5}\pi}{30}

    \Rightarrow \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = 2

    Trường hợp 2: Với a < 0 thì thể tích khối tròn xoay là:

    V = \pi\int_{a}^{0}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{a}^{0} = - \frac{a^{5}\pi}{30}

    \Rightarrow - \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = - 2

    Vậy a = \pm 2.

  • Câu 39: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 1 và x = 3 bằng

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{1}^{3}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{3}^{3}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{1}^{3} ight| = 20

  • Câu 40: Nhận biết

    Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) =\sin5x.\cos x?

    Ta có:

    \int_{}^{}{(\sin5x.\cos x)dx} =\frac{1}{2}\int_{}^{}{(\sin6x + \sin4x)dx}

    = - \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos6x}{12} +C

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 87 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm Tích phân CTST
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập