Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 4. Nguyên hàm và tích phân được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó hiệu số F(0) - F(1) bằng:

    Theo định nghĩa tích phân ta có:

    \int_{0}^{1}{f(x)dx} = F(1) - F(0) suy ra F(0) - F(1) = - \int_{0}^{1}{f(x)dx}.

  • Câu 2: Thông hiểu

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc x m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số v(t) = - 5t + 20 m/s, trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 m/s. Đúng||Sai

    b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5s. Sai||Đúng

    c) \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt} = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C. Đúng||Sai

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là 400m. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Một ô tô đang chạy đều với vận tốc x m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số v(t) = - 5t + 20 m/s, trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

    a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 m/s. Đúng||Sai

    b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5s. Sai||Đúng

    c) \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt} = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C. Đúng||Sai

    d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe đừng hẳn là 400m. Sai||Đúng

    Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0m/s.

    Khi xe dừng hẳn thì v(t) = 0m/s nên 0 = - 5t + 20 \Leftrightarrow t = 4s.

    Nguyên hàm của hàm số vận tốc \int_{}^{}{( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C}, C\mathbb{\in R}.

    Quãng đường từ lúc đạ phanh cho đến khi xe dừng hẳn là

    \int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = \left. \ \left( \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t ight) ight|_{0}^{4} = 40m.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường parabol (P):y = x^{2} - x + 2 và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^{2} + 1 tại điểm có tọa độ (1;2). Diện tích của hình (H) là:

    Xét hàm số y = x^{2} + 1 trên \mathbb{R}. Ta có: y' = 2x

    Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm (1;2) của đồ thị hàm số y = x^{2} + 1 là

    y = y'(1)(x - 1) + 2 \Leftrightarrow y = 2x

    Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình y = 2x. Xét phương trình tương giao của (P) và ∆

    x^{2} - x + 2 = 2x \Leftrightarrow x^{2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H) khi đó

    S = \int_{1}^{2}{\left| \left( x^{2} - x + 2 ight) - 2x ight|dx} = \int_{1}^{2}{\left| x^{2} - 3x + 2 ight|dx}

    Vì x^{2} - 3x + 2 \leq 0;\forall x \in \lbrack 1;2bracknên

    S = - \int_{1}^{2}{\left( x^{2} - 3x + 2 ight)dx}

    = - \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{3x^{2}}{2} + 2x ight) ight|_{1}^{2} = - \left( \frac{2}{3} - \frac{5}{6} ight) = \frac{1}{6}

  • Câu 4: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 0 và x = 2 bằng

    Hình vẽ minh họa

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{0}^{2}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{0}^{2} ight| = 4

  • Câu 5: Nhận biết

    Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x^{2} - 2;y = 0;x = - 1;x = 2 quanh trục Ox bằng

    Ta có:

    V = \pi\int_{- 1}^{2}{\left( x^{2} - 2x ight)^{2}dx} = \pi\int_{- 1}^{2}{\left( x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} ight)dx}

    = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - x^{4} + \frac{4x^{3}}{3} ight) ight|_{- 1}^{2} = \frac{18\pi}{5}

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đáp án là:

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đặt hệ trục tọa độ có gốc O trùng với giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.

    Đồ thị của hàm số y = f(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm A( - 1;0)và A(2;1) có dạng hàm số (P_{1}):y = \frac{1}{2}x^{2} - 1.

    Đồ thị của hàm số y = g(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm C(1;0)và D(2; - 1) có dạng hàm số (P_{1}):y = - \frac{1}{2}x^{2} + 1.

    Giao điểm của hai parabol tại x_{1} = - \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{2}

    Do đó, diện tích của con cá là S = \int_{- \sqrt{2}}^{2}{\left| x^{2} - 2 ight|dx} \approx 4,32m^{2}

  • Câu 7: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {7^x} là 

     Ta có:

    \int {{7^x}dx} = \frac{{7x}}{{\ln 7}} + C

  • Câu 8: Vận dụng

    Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}, cung tròn có phương trình y = \sqrt{4 - x^{2}} (với 0 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi, trong đó a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*} và \frac{a}{b};\frac{c}{d} là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c +d?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}, cung tròn có phương trình y = \sqrt{4 - x^{2}} (với 0 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi, trong đó a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*} và \frac{a}{b};\frac{c}{d} là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c +d?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Nhận biết

    Xác định giá trị của tham số a thỏa mãn \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2?

    Ta có: \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = \left. \ \left( x^{3} + 2x ight) ight|_{0}^{a} = a^{3} + 2a

    \Rightarrow \int_{0}^{a}{\left( 3x^{2} + 2 ight)dx} = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a^{3} + 2a = a^{3} + 2 \Leftrightarrow a = 1

    Vậy đáp án a = 1.

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm dương và liên tục trên \lbrack 0;1brack thỏa mãn f(0) = 1 và 5\int_{0}^{1}{\left\{ f'(x)\left\lbrack f(x) ightbrack^{2} + \frac{1}{25} ight\} dx} \leq 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack \sqrt{f'(x)}.f(x) ightbrack dx}. Tích phân \int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx} là:

    5\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\left\lbrack f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2} + \frac{1}{25} ightbrack dx \leqslant 2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx

    \Leftrightarrow5\int_{0}^{1}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx+ \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

    \Rightarrow \left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} \leqslant \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}dx\cdot \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu} f^{'}(x)\lbrack f(x)brack^{2}dx

    \Rightarrow 5\left(\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dxight)^{2} + \frac{1}{5} \leqslant2\int_{0}^{2}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx

    \Leftrightarrow 5\left( \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx - \frac{1}{5} ight)^{2} \leqslant 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx = \frac{1}{5}.

    Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi \left\{\begin{matrix}\int_{0}^{1}\mspace{2mu}\mspace{2mu}\sqrt{f^{'}(x)}f(x)dx =\dfrac{1}{5} \Rightarrow k = \dfrac{1}{5} \\\sqrt{f^{'}(x)}f(x) = k \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \int_{}^{}\ f^{'}(x)f^{2}(x)dx = \int_{}^{}\ \frac{1}{25}dx = \frac{1}{25}x + C

    \Rightarrow \frac{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}}{3} = \frac{1}{25}x + C \Leftrightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 3C}

    f(0) = 1 \Rightarrow 3C = 1 \Rightarrow f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{25}x + 1}

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{\left\lbrack f(x) ightbrack^{3}dx} = \int_{0}^{1}{\left( \frac{3}{25}x + 1 ight)dx} = \frac{53}{50}

  • Câu 11: Thông hiểu

    Tính tích phân I =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sin x}{\cos^{3}x}dx}?

    Đặt t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 1 \\x = \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Khi đó:

    I = \int_{1}^{\frac{1}{2}}{\frac{- 1}{t^{3}}dt} = \int_{\frac{1}{2}}^{1}{\frac{1}{t^{3}}dt} = \left. \ - \frac{1}{2t^{2}} ight|_{\frac{1}{2}}^{1} = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}.

  • Câu 12: Vận dụng

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} =1.

    Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (C) quanh trục hoành.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} =1.

    Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (C) quanh trục hoành.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 13: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x + 3\sqrt{x} thỏa mãn F(1) = 0?

    Ta có:

    F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\left( 2x + 3\sqrt{x} ight)dx}}

    \Rightarrow F(x) = \int_{}^{}{(2x)dx} + 6\int_{}^{}{\left( \sqrt{x} ight)^{2}d\left( \sqrt{x} ight)}

    \Rightarrow F(x) = x^{2} + 2\sqrt{x^{3}} + C

    Theo bài ra ta có: F(1) = 0 \Leftrightarrow 3 + C = 0 \Leftrightarrow C = - 3

    Vậy x^{2} + 2\sqrt{x^{3}} - 3.

  • Câu 14: Thông hiểu

    Trong hệ trục tọa độ Oxy cho elip (E) có phương trình \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1. Hình phẳng (H) giới hạn bởi nửa elip nằm trên trục hoành và trục hoành. Quay hình (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay, tính thể tích khối tròn xoay đó?

    Ta có: \frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{25} \Rightarrow y = \sqrt{9\left( 1 - \frac{x^{2}}{25} ight)} với x \in \lbrack - 5;5brack

    Khi đó thể tích cần tìm là: V = \pi\int_{- 5}^{5}{\left( 9 - \frac{9x^{2}}{25} ight)dx} = 60\pi

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tìm a + b biết rằng \int_{0}^{1}{x\sqrt[3]{1 - x}dx} = \frac{a}{b} là phân số tối giản?

    Ta có: t = \sqrt[3]{1 - x} \Rightarrow t^{3} = 1 - x \Rightarrow 3t^{2}dt = - dx

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ \end{matrix} ight. khi đó suy ra

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{x\sqrt[3]{1 - x}dx} = 3\int_{0}^{1}{\left( 1 - t^{3} ight)t^{3}dt}

    = \left. \ 3\left( \frac{t^{4}}{4} - \frac{t^{7}}{7} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{9}{28}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight). Khi đó số điểm cực trị của hàm số F(x) là:

    Ta có: F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight)

    \Rightarrow F'(x) = 2019^{x}\left( 4 - x^{2} ight)\left( x^{2} - 3x + 2 ight) = 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x)

    \Rightarrow F'(x) = 0 \Leftrightarrow 2019^{x}(x - 2)^{2}(x + 2)(1 - x) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.. Do x = - 2;x = 1 là nghiệm bội 1 còn x = 2 là nghiệm bội 2 nên hàm số F(x) có hai điểm cực trị.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}

     Đặt t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow {t^2} = x + 1 \Rightarrow 2tdt = dx

    F\left( x ight) = \int {\frac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}dx = \int {\left( {\frac{{{t^2} + 1}}{2}} ight).2tdt = \int {\left( {2{t^2} + 2} ight)dt = \frac{{2{t^3}}}{3} + 2t + C} } }

    = \frac{{2\left( {x + 1} ight)\sqrt {x + 1} }}{3} + 2\sqrt {x + 1} + C = \frac{2}{3}\left( {x + 4} ight)\sqrt {x + 1} + C

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên [1; 2] thỏa mãn f(1) = 4 và f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2}. Giá trị của f(2) là:

     Chọn f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

    Ta có:

    \begin{matrix} f\left( x ight) = xf'\left( x ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow a{x^3} + 2{x^2} + cx + d = x\left( {3a{x^2} + 2bx + c} ight) - 2{x^3} - 3{x^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 3a - 2} \\ {b = 2b - 3} \\ {d = 0} \\ {c = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 1} \\ {b = 3} \\ {c = 0} \\ {d = 0} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Vậy f\left( x ight) = {x^3} + 3{x^2} => f(x) = 20

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{2x}{x + \sqrt{x^{2} - 1}}dx} = \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\left( x - \sqrt{x^{2} - 1} ight) ightbrack dx}

    = \int_{}^{}{2x^{2}dx} - \int_{}^{}{\left\lbrack 2x\sqrt{x^{2} - 1} ightbrack dx} = \frac{2}{3}x^{3} - \int_{}^{}{\left( x^{2} - 1 ight)^{\frac{1}{2}}d\left( x^{2} - 1 ight)}

    = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1} + C

    Vậy một nguyên hàm của hàm số là F(x) = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{2}{3}\left( x^{2} - 1 ight)\sqrt{x^{2} - 1}.

  • Câu 20: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack; f(b) = 5;\int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5}. Tính giá trị f(a)?

    Ta có: \int_{a}^{b}{f'(x)dx} = 3\sqrt{5} \Leftrightarrow f(b) - f(a) = 3\sqrt{5}

    \Leftrightarrow f(a) = f(b) - 3\sqrt{5} = \sqrt{5}\left( \sqrt{5} - 3 ight)

  • Câu 21: Nhận biết

    Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a;x = b;\left( {a < b} ight) xung quanh trục Ox.

    Ta có : V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Biết \int_{- 1}^{0}{\frac{3x^{2} + 5x - 1}{x - 2}dx} = a\ln\frac{2}{3} + b. Khi đó P = a + 2b có giá trị bằng:

    Ta có:

    I = \int_{- 1}^{0}{\frac{3x^{2} + 5x - 1}{x - 2}dx} = \int_{- 1}^{0}{(3x + 11)dx} + \int_{- 1}^{0}{\frac{21}{x - 2}dx}

    = \left. \ \left( 3.\frac{x^{2}}{2} +11x ight) ight|_{- 1}^{0} + \left. \ \left( 21\ln|x - 2| ight)ight|_{- 1}^{0}= \frac{19}{2} + 21\ln\frac{2}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 21 \\b = \dfrac{19}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a + 2b = 40

  • Câu 23: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \sqrt[3]{x} là:

    Ta có:

    \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \sqrt[3]{x} ight)dx} = \int_{}^{}{x^{\frac{2}{3}}dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3x\sqrt[3]{x}}{4} + C.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Biết F(x) = x2+ 4x + 1 là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) . Tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = 3

     f\left( x ight) = \left[ {F\left( x ight)} ight]' = 2x + 4 \Rightarrow F\left( 3 ight) = 10

  • Câu 25: Thông hiểu

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x^{2} + 2x và y = x + 2 bằng:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} + 2x = x + 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Hình vẽ minh họa

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{- 2}^{1}{\left| \left( x^{2} + 2x ight) - (x + 2) ight|dx} = \int_{- 2}^{1}{\left| x^{2} + x - 2 ight|dx}

    = \int_{- 2}^{1}{\left\lbrack - \left( x^{2} + x - 2 ight) ightbrack dx} = \left| \left. \ \left( - \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2}x^{2} + 2x ight) ight|_{- 2}^{1} ight| = \frac{9}{2}

    = \left| \left. \ \left( \frac{2}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} ight) ight|_{0}^{\frac{3}{2}} ight| = \frac{9}{8}

  • Câu 26: Nhận biết

    Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \cos x,y = 0,x = 0,x = \pi quay xung quanh Ox.

    Thể tích vật thể bằng:

    V = \pi\int_{0}^{\pi}{\left( \cos xight)^{2}dx} = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}{(1 + \cos2x)dx} = \pi\left.\ \left( x + \frac{1}{2}\sin2x ight) ight|_{1}^{\pi} =\frac{\pi^{2}}{2}.

  • Câu 27: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm F(t) = \int_{}^{}txdt.

    Ta có:

    F(t) = \int_{}^{}txdt = x\int_{}^{}tdt = x.\frac{t^{2}}{2} + C

  • Câu 28: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\} thỏa mãn f'\left( x ight) = \frac{2}{{x - 1}};f\left( 0 ight) = 3;f\left( 2 ight) = 4. Tính giá trị của biểu thức  N = f\left( { - 2} ight) + f\left( 5 ight)

     

    f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} = \int {\frac{2}{{x - 1}}dx} = \ln \left| {2x - 1} ight| + C

    => f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\ln \left( {x - 1} ight) + {C_1}{\text{ khi x > }}1} \\ {2\ln \left| {1 - x} ight| + {C_2}{\text{ khi x < }}1} \end{array}} ight.

    Theo bài ra ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 ight) = 3 \Rightarrow \ln \left( {1 - 0} ight) + {C_2} = 3} \\ {f\left( 2 ight) = 4 \Rightarrow \ln \left( {2 - 1} ight) + {C_1} = 4} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_2} = 3} \\ {{C_1} = 4} \end{array}} ight.

    => f\left( x ight) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\ln \left( {x - 1} ight) + 4{\text{ khi x > }}1} \\ {2\ln \left| {1 - x} ight| + 3{\text{ khi x < }}1} \end{array}} ight.

    => N = f\left( { - 2} ight) + f\left( 5 ight) = \left\{ {2\ln \left[ {1 - \left( { - 2} ight)} ight] + 3} ight\} + \left\{ {2\ln \left( {5 - 1} ight) + 4} ight\}

    = 2\ln 3 + 2\ln 4 + 7

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho tích phân I = \int_{0}^{4}{f(x)dx} = 32. Tính tích phân H = \int_{0}^{2}{f(2x)dx}?

    Đặt t = 2x \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow dx = \frac{dt}{2}

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = 2 \Rightarrow t = 4 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó H = \frac{1}{2}\int_{0}^{4}{f(t)dt} = \frac{1}{2}.32 = 16

  • Câu 30: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục, f(x) nhận giá trị dương trên \left( {0; + \infty } ight) và thỏa mãn f(1) = 1, f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1} ,\forall x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Ta có: f\left( x ight) > 0 và f\left( x ight) = f'\left( x ight)\sqrt {3x + 1}

    => \frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}} = \frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}

    => \int {\frac{{f'\left( x ight)}}{{f\left( x ight)}}dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}} dx \Rightarrow \ln f\left( x ight) = \frac{{2\sqrt {3x + 1} }}{3} + C

    Mà f(1) = 1 => C = - \frac{4}{3} và f\left( x ight) = {e^{\frac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \frac{4}{3}}}.f\left( 5 ight) = {e^{\frac{4}{3}}} \approx 3,79

  • Câu 31: Vận dụng

    Tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn \int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1 bằng:

    Ta có:

    \int_{0}^{1}{\frac{9^{x} + 3m}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1

    \Leftrightarrow \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} + m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = m^{2} - 1

    \Leftrightarrow m^{2} - m\int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} - \int_{0}^{1}{\frac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} - 1 = 0

    Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với biến m, với các hệ số
    \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = - \int_{0}^{1}{\dfrac{3}{9^{x} + 3}dx} \\c = - \int_{0}^{1}{\dfrac{9^{x}}{9^{x} + 3}dx} \\\end{matrix} ight..

    Áp dụng hệ thứ Vi- et \Rightarrow m_{1} + m_{2} = \frac{- b}{a} = \int_{0}^{1}{\frac{3}{9^{x} + 3}dx} = \frac{1}{2}

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack và f(1) = 0. Giá trị tích phân D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Từ giả thiết ta có:

    f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} = \ln\left\lbrack \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}

    \Leftrightarrow \frac{xf'(x) - f(x)}{x^{2}}.e^{\frac{f(x)}{x}} = x

    \Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f(x)}{x} ightbrack'.e^{\frac{f(x)}{x}} = x(*)

    Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + C

    Vì f(1) = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{2} nên e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = x\ln\frac{x^{2} + 1}{2};\forall x \in (0; + \infty)

    D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} =\int_{1}^{5}{x.\ln\frac{x^{2} + 1}{2}dx}(**)

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln\dfrac{x^{2} + 1}{2} \\dv = xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}dx \\v = \dfrac{x^{2} + 1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Theo công thức tích phân từng phần ta được:

    D = \left. \ \left( \frac{x^{2} +1}{2}.\ln\frac{x^{2} + 1}{2} ight) ight|_{1}^{5} - \int_{1}^{5}{xdx}= 13\ln13 - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{5} = 13\ln13 -12

  • Câu 33: Thông hiểu

    Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} - 4x + 6;y = - x^{2} - 2x + 6?

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} - 4x + 6 = - x^{2} - 2x + 6 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{2} - 4x + 6;y = - x^{2} - 2x + 6;x = 0;x = 1

    Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox l

    Diện tích hình phẳng là:

    V = \left| \pi\int_{0}^{1}{\left\lbrack \left( x^{2} - 4x + 6 ight)^{2} - \left( - x^{2} - 2x + 6 ight)^{2} ightbrack dx} ight|

    = \left| \pi\int_{0}^{1}{\left\lbrack \left( 2x^{2} - 12 ight)(12 - 6x) ightbrack dx} ight|

    = \left| \pi\int_{0}^{1}{\left( - 12x^{3} + 36x^{2} - 24x ight)dx} ight|

    = \left| \pi\left. \ \left( - 3x^{4} + 36x^{2} - 24x ight) ight|_{0}^{1} ight| = 3\pi

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} thỏa mãn f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 với \forall x\mathbb{\in R} ta có: f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x -f(x)\sin x. Tính tích phân I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx}?

    Ta có:

    f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x- f(x)\sin x

    \Leftrightarrow f'(x).f(x) - \sin2x =\left\lbrack f(x)\cos x ightbrack'

    Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

    \int_{}^{}\left\lbrack f'(x).f(x) -\sin2x ightbrack dx = \int_{}^{}{\left\lbrack f(x)\cos xightbrack'}dx

    \Leftrightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x + C

    Theo bài ra ta có: f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 \Rightarrow C = 0

    \Rightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x

    \Leftrightarrow f^{2}(x) + \cos2x =2f(x)\cos x

    \Leftrightarrow f^{2}(x) - 2f(x)\cos x +\cos^{2}x = \sin^{2}x

    \Leftrightarrow \left\lbrack f(x) - \cos x ightbrack^{2} = \sin^{2}x \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) - \cos x = \sin x \\f(x) - \cos x = - \sin x \\\end{matrix} ight.

    Vì f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 nên nhận f(x) = \cos x - \sin x

    Vậy I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left\lbrack \cos x - \sin x ightbrack dx} = \left. \ \left( \cos x - \sin x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} - 1

  • Câu 35: Vận dụng

    Cho hàm số f(x) xác định trên \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 ight\} thỏa mãn f'\left( x ight) = \frac{1}{{x - 1}};f\left( 0 ight) = 2017;f\left( 2 ight) = 2018. Giá trị của biểu thức T = \left[ {f\left( 3 ight) - 2018} ight].\left[ {f\left( { - 1} ight) - 2017} ight] là bao nhiêu?

     \begin{matrix} f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} = \int {\dfrac{1}{{x - 1}}dx} \hfill \\ = \ln \left| {x - 1} ight| + C = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\ln \left( {x - 1} ight) + {C_1}{\text{ khi x > 1}}} \\ {\ln \left( {1 - x} ight) + {C_2}{\text{ khi x < 1}}} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 0 ight) = 2017 \Rightarrow \ln \left( {1 - 0} ight) + {C_2} = 2017} \\ {f\left( 2 ight) = 2018 \Rightarrow \ln \left( {2 - 1} ight) + {C_1} = 2018} \end{array}} ight. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_2} = 2017} \\ {{C_1} = 2018} \end{array}} ight.

    Khi đó

    \begin{matrix} T = \left[ {f\left( 3 ight) - 2018} ight].\left[ {f\left( { - 1} ight) - 2017} ight] \hfill \\ = \left[ {\ln \left( {3 - 1} ight) + 2018 - 2018} ight].\left[ {\ln \left( {1 - \left( { - 1} ight)} ight) + 2017 - 2017} ight] \hfill \\ = \ln 2.\ln 2 = {\ln ^2}2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho biết \int_{1}^{2}{\ln\left( 9 - x^{2} ight)dx} = aln5 + bln2 + c với a;b;c\mathbb{\in Z}. Tính S = |a| + |b| + |c|?

    Xét trên đoạn \lbrack 1;2brack ta có:

    \ln\left( 9 - x^{2} ight) = \ln(3 - x) + \ln(3 + x)

    Xét I_{1} = \int_{1}^{2}{\ln(3 - x)dx}. Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln(3 - x) \\dv = dx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x - 3}dx \\v = x \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow I_{1} = \left. \ x\ln(3 - x) ight|_{1}^{2} - \int_{1}^{2}{\frac{x}{x - 3}dx}

    \Rightarrow I_{1} = \left. \ x\ln(3 - x)ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack x + 3\ln(3 - x) ightbrackight|_{1}^{2} = 2\ln2 - 1

    Xét I_{2} = \int_{1}^{2}{\ln(3 + x)dx}. Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln(3 + x) \\dv = dx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x + 3}dx \\v = x \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow I_{2} = \left. \ x\ln(3 + x) ight|_{1}^{2} - \int_{1}^{2}{\frac{x}{x + 3}dx}

    \Rightarrow I_{2} = \left. \ x\ln(3 + x)ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack x + 3\ln(3 + x) ightbrackight|_{1}^{2} = 5\ln5 - 8\ln2 - 1

    Vậy \int_{1}^{2}{\ln\left( 9 - x^{2}ight)dx} = I_{1} + I_{2} = 5\ln5 - 6\ln2 - 2 \Rightarrow S =13.

  • Câu 37: Nhận biết

    Giá trị tích phân I = \int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx} bằng:

    Ta có:

    I = \int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx} = \int_{1}^{2}{x^{- 6}dx} = \left. \ \frac{x^{- 5}}{- 5} ight|_{1}^{2} = \frac{31}{125}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ:

    Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox (phần gạch sọc) được tính bởi công thức

    Từ đồ thị hàm số ta thấy \left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0;\forall x \in \lbrack - 3;1brack \\ f(x) \leq 0;\forall x \in \lbrack 1;3brack \\ \end{matrix} ight.

    Do đó:

    S = \int_{- 3}^{3}{\left| f(x) ight|d(x)}

    = \int_{- 3}^{1}{\left| f(x) ight|d(x)} + \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|d(x)}

    = \int_{- 3}^{1}{f(x)d(x)} - \int_{1}^{3}{f(x)d(x)}

  • Câu 39: Nhận biết

    Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = x -\sin2x?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{(x- \sin2x)dx} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\cos2x + C

  • Câu 40: Nhận biết

    Giá trị của \int_{0}^{3}{dx} bằng

    Ta có: \int_{0}^{3}{dx} = \left. \ x ight|_{0}^{3} = 3 - 0 = 3

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 8 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập