Lớp 12 Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 4. Nguyên hàm và tích phân được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12 KNTT
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = 3x + \cos 3x

     Ta có: \int {\left( {3x + \cos 3x} ight)dx = \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{{\sin 3x}}{3} + C}

  • Câu 2: Thông hiểu

    Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

    Ta có: x^{4} - x^{2} + 1 = \left( x^{2} - \frac{1}{2} ight)^{2} + \frac{3}{4} > 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Do \int_{- 1}^{2018}{\left| x^{4} - x^{2} + 1 ight|^{3}dx} = \int_{- 1}^{2018}{\left( x^{4} - x^{2} + 1 ight)^{3}dx}

  • Câu 3: Vận dụng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (0; + \infty) thỏa mãn f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack và f(1) = 0. Giá trị tích phân D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} bằng:

    Từ giả thiết ta có:

    f(x) = x.\ln\left\lbrack\frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow \frac{f(x)}{x} = \ln\left\lbrack \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)} ightbrack

    \Leftrightarrow e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{3}}{xf'(x) - f(x)}

    \Leftrightarrow \frac{xf'(x) - f(x)}{x^{2}}.e^{\frac{f(x)}{x}} = x

    \Leftrightarrow \left\lbrack \frac{f(x)}{x} ightbrack'.e^{\frac{f(x)}{x}} = x(*)

    Lấy nguyên hàm hai vế của (*) suy ra e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + C

    Vì f(1) = 0 \Rightarrow C = \frac{1}{2} nên e^{\frac{f(x)}{x}} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow f(x) = x\ln\frac{x^{2} + 1}{2};\forall x \in (0; + \infty)

    D = \int_{1}^{5}{f(x)dx} =\int_{1}^{5}{x.\ln\frac{x^{2} + 1}{2}dx}(**)

    Đặt \left\{ \begin{matrix}u = \ln\dfrac{x^{2} + 1}{2} \\dv = xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}dx \\v = \dfrac{x^{2} + 1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Theo công thức tích phân từng phần ta được:

    D = \left. \ \left( \frac{x^{2} +1}{2}.\ln\frac{x^{2} + 1}{2} ight) ight|_{1}^{5} - \int_{1}^{5}{xdx}= 13\ln13 - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{1}^{5} = 13\ln13 -12

  • Câu 4: Nhận biết

    Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}?

    Đặt t = \tan x \Rightarrow dt =\frac{1}{\cos^{2}x}dx

    \int_{}^{}{\frac{e^{\tan x}}{\cos^{2}x}dx} = \int_{}^{}{e^{t}dt} = e^{t} + C = e^{\tan x} +C

  • Câu 5: Vận dụng

    Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}, cung tròn có phương trình y = \sqrt{4 - x^{2}} (với 0 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi, trong đó a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*} và \frac{a}{b};\frac{c}{d} là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c +d?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}, cung tròn có phương trình y = \sqrt{4 - x^{2}} (với 0 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi, trong đó a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*} và \frac{a}{b};\frac{c}{d} là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c +d?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 6: Thông hiểu

    Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1}?

    Ta có:

    f(x) = \frac{x^{3} + 3x^{2} + 3x - 1}{x^{2} + 2x + 1} = \frac{(x + 1)^{3} - 2}{(x + 1)^{2}} = x + 1 - \frac{2}{(x + 1)^{2}}

    \Rightarrow F(x) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 1} + C

  • Câu 7: Thông hiểu

    Cho \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = a\ln|x - 1| + b\ln|x + 1| + C với a;b là các số hữu tỉ. Khi đó a - b bằng:

    Ta có: \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2} - 1}dx} = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} ight)dx} = \frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{1}{2}\ln|x + 1| + C

    Suy ra a = \frac{1}{2};b = - \frac{1}{2} \Rightarrow a - b = 1.

  • Câu 8: Thông hiểu

    Cho hàm số f(x);g(x) là các hàm số liên tục trên \lbrack 1;3brack và thỏa mãn \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = 10 và \int_{1}^{3}{\left\lbrack 2f(x) - g(x) ightbrack dx} = 6. Tính tích phân K = \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + g(x) ightbrack dx}?

    Theo bài ra ta có:

    \left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = 10 \\\int_{1}^{3}{\left\lbrack 2f(x) - g(x) ightbrack dx} = 6 \\\end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{f(x)dx} + 3\int_{1}^{3}{g(x)dx} = 10 \\2\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \int_{1}^{3}{g(x)dx} = 6 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\int_{1}^{3}{f(x)dx} = 4 \\\int_{1}^{3}{g(x)dx} = 2 \\\end{matrix} ight.\Rightarrow K = \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) +g(x) ightbrack dx} = 4.2 = 6

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) dương và liên tục trên \lbrack 1;3brack thỏa mãn \max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = 2;\min_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \frac{1}{2} và biểu thức S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} đạt giá trị lớn nhất, khi đó \int_{1}^{3}{f(x)dx} bằng:

    Do \frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2 \Rightarrow f(x) + \frac{1}{f(x)} \leq \frac{5}{2}

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + \frac{1}{f(x)} ightbrack dx} \leq 5

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{f(x)dx} + \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5

    \Rightarrow \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5 - \int_{1}^{3}{f(x)dx}

    \Rightarrow S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx} ightbrack^{2}

    \leq \frac{25}{4} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx - \frac{5}{2}} ightbrack^{2} \leq \frac{25}{4}

    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \int_{1}^{3}{f(x)dx} = \frac{5}{2}.

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đáp án là:

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đặt hệ trục tọa độ có gốc O trùng với giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.

    Đồ thị của hàm số y = f(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm A( - 1;0)và A(2;1) có dạng hàm số (P_{1}):y = \frac{1}{2}x^{2} - 1.

    Đồ thị của hàm số y = g(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm C(1;0)và D(2; - 1) có dạng hàm số (P_{1}):y = - \frac{1}{2}x^{2} + 1.

    Giao điểm của hai parabol tại x_{1} = - \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{2}

    Do đó, diện tích của con cá là S = \int_{- \sqrt{2}}^{2}{\left| x^{2} - 2 ight|dx} \approx 4,32m^{2}

  • Câu 11: Vận dụng

    Xác định hàm số f(x) biết rằng f'\left( x ight) = x\sqrt {1 + {x^2}} ;3f\left( 0 ight) = 4

     \begin{matrix} f\left( x ight) = \int {f'\left( x ight)dx} \hfill \\ \Rightarrow f\left( x ight) = \int {x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \dfrac{1}{2}\int {{{\left( {{x^2} + 1} ight)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {{x^2} + 1} ight) = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} \hfill \\ \end{matrix}

    Mà 3f\left( 0 ight) = 4 \Rightarrow 3\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt {{0^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + C} ight] = 4 \Rightarrow C = 1

    Vậy hàm số cần tìm là f\left( x ight) = \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } ight)}^3}}}{3} + 1

  • Câu 12: Thông hiểu

    Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi y = \ln x,y = 0,x = e là V = \pi(a + be). Tính a + b?

    Phương trình hoành độ giao điểm \ln x = 0 \Leftrightarrow x = 1

    Ta có:

    V =\pi\int_{1}^{e}{\ln^{2}xdx}

    = \pi\left\lbrack \left. \ \left(x\ln^{2}x ight) ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{x.\frac{2}{x}.\ln xdx}ightbrack

    = \pi\left\lbrack e - 2\int_{1}^{e}{\ln xdx} ightbrack

    = \pi\left\{ e - 2.\left\lbrack \left. \ \left( x\ln x ight) ight|_{1}^{e} - \int_{1}^{e}{dx} ightbrack ight\}

    = \pi\left\{ e - 2.\lbrack e - e + 1brack ight\} = \pi(e - 2)

    Vậy a = - 2;b = 1 \Rightarrow a + b = - 1

  • Câu 13: Vận dụng

    Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất v = 50m/s, sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 667m

    Đáp án là:

    Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng tốc liên tục. Sau 10 giây thì ôtô đạt vận tốc cao nhất v = 50m/s, sau đó giảm dần và dừng lại. Hàm vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol như hình bên dưới. Tính quãng đường xe ôtô bắt đầu chạy sau khi chờ hết đèn đỏ đến khi dừng lại (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 667m

    Giả sử hàm số biểu thị cho vận tốc có dạng (P):v(t) = at^{2} + bt + c\left( a,b,c\mathbb{\in R} ight)

    Do (P) đi qua gốc O nên c = 0

    (P) có đỉnh là I(10;50) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{- b}{2a} = 10 \\ 50 = a.100 + b.10 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{1}{2} \\ b = 10 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó (P):v(t) = - \frac{1}{2}t^{2} + 10t

    Xe dừng lại khi v(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = 20 \\ \end{matrix} ight.

    Quảng đường xe ô tô di chuyển trong 20 giây là S = \int_{0}^{20}{\left( - \frac{1}{2}t^{2} + 10t ight)dt} \approx 667m

  • Câu 14: Thông hiểu

    Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay, biết đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là 2dm và 4dm. Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay có đường sinh là đồ thị hàm số y = \sqrt{x - 1}. Tính thể tích bình cắm hoa?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một bình cắm hoa dạng khối tròn xoay, biết đáy bình và miệng bình có đường kính lần lượt là 2dm và 4dm. Mặt xung quanh của bình là một phần của mặt tròn xoay có đường sinh là đồ thị hàm số y = \sqrt{x - 1}. Tính thể tích bình cắm hoa?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 15: Nhận biết

    Tìm công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tao ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a;x = b;\left( {a < b} ight) xung quanh trục Ox.

    Ta có : V = \pi\int_{a}^{b}{f^{2}(x)}dx.

  • Câu 16: Vận dụng

    Cho hai hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \lbrack 1;2brack thỏa mãn f(1) = 4 và f(x) = x.f'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}. Giá trị f(2) bằng:

    Chọn f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d

    f(x) = xf'(x) - 2x^{3} - 3x^{2}

    \Leftrightarrow ax^{3} + bx^{2} + cx + d = x\left( 3ax^{2} + 2bx + c ight) - 2x^{3} - 3x^{2}

    Từ đó suy ra \left\{ \begin{matrix} a = 3a - 2 \\ b = 2b - 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 0 \\ d = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy f(x) = x^{3} + 3x^{2} \Rightarrow f(2) = 20

  • Câu 17: Nhận biết

    Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^{x} + x là

    Ta có: \int_{}^{}f(x)dx = \int_{}^{}\left( 2^{x} + x ight)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C.

  • Câu 18: Nhận biết

    Tính tích phân I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x}?

    Ta có: I =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{dx}{\sin^{2}x} = \left. \ -\cot x ight|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}

    = - \left( \cot\frac{\pi}{3} - \cot\frac{\pi}{4} ight) = - \cot\frac{\pi}{3} + \cot\frac{\pi}{4}.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = - 1;x = 1 và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x;( - 1 \leq x \leq 1) là một hình tròn có diện tích bằng 3\pi. Thể tích của vật thể là?

    Ta có: V = \int_{- 1}^{1}{S(x)dx} = \int_{- 1}^{1}{3\pi dx} = 6\pi

  • Câu 20: Nhận biết

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^{3}, trục hoành, x = 1 và x = 3 bằng

    Diện tích hình giới hạn là S = \int_{1}^{3}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{3}^{3}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{1}^{3} ight| = 20

  • Câu 21: Thông hiểu

    Tích phân \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = a - \ln b với a;b\mathbb{\in Z}. Giá trị của a + b bằng:

    Ta có: \int_{0}^{1}{\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2} + 1}dx} = \int_{0}^{1}{\left( 1 - \frac{2x}{x^{2} + 1} ight)dx}

    = \left. \ x ight|_{0}^{1} - \left. \ \ln\left( x^{2} + 1 ight) ight| = 1 - ln2

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = 3

  • Câu 22: Thông hiểu

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f(x) = x^{3} - 3x + 2 và g(x) = x + 2?

    Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số f(x);g(x) là nghiệm của phương trình

    x^{3} - 3x + 2 = x + 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Hình vẽ minh hoạ

    Diện tích S cần tìm là:

    S = \int_{- 2}^{0}{\left( x^{3} - 4x ight)dx} - \int_{0}^{2}{\left( x^{3} - 4x ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} ight) ight|_{- 2}^{0} - \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} ight) ight|_{0}^{2} = 8

  • Câu 23: Thông hiểu

    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    Đặt t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx. Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \int_{0}^{1}{\sin(1 - x)dx} = - \int_{1}^{0}{\sin tdt} = \int_{0}^{1}{\sin xdx}.

    Vậy khẳng định đúng \int_{0}^{1}{\sin(1 - x)dx} = \int_{0}^{1}{\sin xdx}.

  • Câu 24: Vận dụng cao

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn điều kiện f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0 với \forall x\mathbb{\in R} và f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)} với \forall x\mathbb{\inR}. Tính giá trị f(1)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn điều kiện f(0) = 2\sqrt{2};f(x) > 0 với \forall x\mathbb{\in R} và f(x).f'(x) = (2x + 1)\sqrt{1 +f^{2}(x)} với \forall x\mathbb{\inR}. Tính giá trị f(1)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 25: Nhận biết

    Vật thể B giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2. Cắt vật thể B với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x;(0 \leq x \leq 2) ta được thiết diện có diện tích bằng x^{2}(2 - x). Thể tích của vật thể B:

    Thể tích của vật thể B là:

    V = \int_{0}^{2}{x^{2}(2 - x)dx} = \int_{0}^{2}{\left( 2x^{2} - x^{3} ight)dx} = \frac{4}{3}

  • Câu 26: Nhận biết

    Họ nguyên hàm của hàm số f(x) =2\sin x.\cos2x là:

    Ta có: f(x) = 2\sin x.\cos2x = \sin( - x) +\sin3x = - \sin x + \sin3x

    Khi đó:

    \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}{\left( -\sin x + \sin3x ight)dx}

    = \int_{}^{}{\left( - \sin x ight)dx}+ \int_{}^{}{(\sin3x)dx} = \cos x - \frac{1}{3}\cos3x + C

  • Câu 27: Nhận biết

    Tính tích phân I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( \sin2x + \sin x ight)dx}?

    Ta có:

    I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\sin2x + \sin x ight)dx} = \left. \ \left( - \frac{1}{2}\cos2x - \cos xight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2

  • Câu 28: Nhận biết

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \lbrack a;bbrack, có đồ thị hàm số y = f'(x) như sau:

    Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

    Theo ý nghĩa hình học của tích phân thì \int_{a}^{b}{f'(x)dx} là diện tích hình thang cong ABMN.

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^{{x^2}}}\left( {{x^3} - 4x} ight). Hàm số F\left( {{x^2} + x} ight) có bao nhiêu điểm cực trị?

     \begin{matrix} \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]\prime \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight)f\left( {{x^2} + x} ight) \hfill \\ = \left( {2x + 1} ight){e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}.\left[ {{{\left( {{x^2} + x} ight)}^3} - 4\left( {{x^2} + x} ight)} ight] \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).\left( {{x^2} + x} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {{x^2} + x - 2} ight) \hfill \\ = {e^{{{\left[ {\left( {{x^2} + x} ight)} ight]}^2}}}\left( {2x + 1} ight).x\left( {x + 1} ight)\left( {{x^2} + x + 2} ight)\left( {x + 2} ight)\left( {x - 1} ight) \hfill \\ \end{matrix}

    => \left[ {F\left( {{x^2} + x} ight)} ight]' = 0 có 5 nghiệm đơn

    => Hàm số F\left( {{x^2} + x} ight) có 5 điểm cực trị

  • Câu 30: Thông hiểu

    Giả sử \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1} = - \frac{1}{g(x)} + C với C là hằng số. Tổng các nghiệm của phương trình g(x) = 0 bằng:

    Ta có: \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1} = \int_{}^{}\frac{(2x + 3)dx}{\left( x^{2} + 3x + 2 ight)\left( x^{2} + 3x ight) + 1}

    Đặt t = x^{2} + 3x \Rightarrow dt = (2x + 3)dx

    \int_{}^{}\frac{dt}{(t + 2)t + 1} = \int_{}^{}\frac{dt}{(t + 1)^{2}} = - \frac{1}{t + 1} + C = - \frac{1}{x^{2} + 3x + 1} + C

    \Rightarrow g(x) = x^{2} + 3x + 1

    Theo định lí Vi – et ta thấy phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm x_{1};x_{2} và x_{1} + x_{2} = - 3.

  • Câu 31: Thông hiểu

    Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = \frac{1}{x} trên ( - \infty;0) thỏa mãn F( - 2) = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{x}dx} = \ln|x| + C = \ln( - x) + C;\forall x \in ( - \infty;0)

    Lại có F( - 2) = 0 \Leftrightarrow \ln(2) + C = 0 \Rightarrow C = - ln2

    Do đó F(x) = \ln( - x) - ln2 = \ln\left( - \frac{x}{2} ight)

    Vậy F(x) = \ln\left( - \frac{x}{2} ight);\forall x \in ( - \infty;0).

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho hàm y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \lbrack 1;3brack. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f'(x) và đường thẳng y = x (phần gạch chéo trong hình vẽ):

    Diện tích hình (H) bằng:

    Diện tích phần gạch chéo là:

    S = \int_{1}^{2}{\left\lbrack f'(x) - x ightbrack dx} - \int_{2}^{3}{\left\lbrack f'(x) - x ightbrack dx}

    = \left. \ \left\lbrack f(x) - \frac{x^{2}}{2} ightbrack ight|_{1}^{2} - \left. \ \left\lbrack f(x) - \frac{x^{2}}{2} ightbrack ight|_{2}^{3}

    = 2f(2) - f(1) - f(3) + 1.

  • Câu 33: Nhận biết

    Giá trị của \int_{0}^{3}{dx} bằng

    Ta có: \int_{0}^{3}{dx} = \left. \ x ight|_{0}^{3} = 3 - 0 = 3

  • Câu 34: Thông hiểu

    Có bao nhiêu số thực b \in (\pi;3\pi) sao cho \int_{\pi}^{b}{4\cos2xdx} = 1?

    Ta có:

    \int_{\pi}^{b}{4\cos2xdx} = 1\Leftrightarrow \left. \ 2\sin2x ight|_{\pi}^{b} = 1

    \Leftrightarrow \sin2b = 1\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}b = \dfrac{\pi}{12} + k\pi \\b = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do b \in (\pi;3\pi) nên có đúng 4 giá trị của b thỏa mãn.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f\left( x ight) = {e^x} + 2x thỏa mãn F\left( 0 ight) = \frac{3}{2}. Tìm F(x).

     F\left( x ight) = \int {f\left( x ight)dx = \int {\left( {{e^x} + 2x} ight)dx = {e^x} + {x^2} + C} }

    Theo bài ra ta có:

    F\left( 0 ight) = \frac{3}{2} \Rightarrow {e^x} + {x^2} + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2}

    => F\left( x ight) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}

  • Câu 36: Vận dụng

    Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x + 3)^{2}, trục hoành và đường thẳng x = 0. Gọi A(0;9),B(b;0);( - 3 < b < 0). Tính giá trị của tham số b để đoạn thẳng AB chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 37: Nhận biết

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \lbrack - 5;3brack và F(x) là một nguyên hàm của f(x). Biết rằng F( - 5) = 3;F(3) = \frac{15}{7}. Xác định tích phân I = \int_{- 5}^{3}{\left\lbrack 7f(x) - x ightbrack dx}?

    Ta có: I = \int_{- 5}^{3}{\left\lbrack 7f(x) - x ightbrack dx} = \left. \ \left( 7F(x) ight) ight|_{- 5}^{3} - \left. \ \frac{x^{2}}{2} ight|_{- 5}^{3} = 2.

  • Câu 38: Nhận biết

    Tích phân I = \int_{0}^{1}{3^{x}dx} bằng:

    Ta có:

    I = \int_{0}^{1}{3^{x}dx} = \left. \frac{3^{x}}{\ln3} ight|_{0}^{1} = \frac{2}{\ln3}

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{e^{x} + 3} thỏa mãn F(0) = - \frac{1}{3}ln4. Tổng các nghiệm của phương trình 3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2 là:

    Ta có: F(x) = \int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\left( \frac{1}{e^{x} + 3} ight)dx} = \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx}

    Đặt t = e^{x} \Rightarrow dt = e^{x}dx

    \Rightarrow \int_{}^{}{\frac{e^{x}}{e^{x}\left( e^{x} + 3 ight)}dx} = \int_{}^{}{\frac{t}{t(t + 3)}dt}

    = \int_{}^{}{\left\lbrack \frac{1}{3t} - \frac{1}{3(t + 3)} ightbrack dt} = \frac{\ln|t|}{3} - \frac{\ln|t + 3|}{3} + C

    = \frac{\ln e^{x}}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C

    Theo bài ra ta có:

    F(0) = - \frac{1}{3}\ln4

    \Leftrightarrow \frac{x}{3} -\frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} + C = -\frac{1}{3}\ln4

    \Leftrightarrow C = 0

    Ta có:

    3F(x) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2

    \Leftrightarrow 3\left( \frac{x}{3} - \frac{\ln\left( e^{x} + 3 ight)}{3} ight) + \ln\left( e^{x} + 3 ight) = 2

    \Leftrightarrow x = 2

    Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 2.

  • Câu 40: Nhận biết

    Xác định nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x^{2} + \frac{x}{2}?

    Ta có: \int_{}^{}{f(x)dx} = \int_{}^{}\left( 3x^{2} + \frac{x}{2} ight)dx = x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Xem đáp án Làm lại
  • 6 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Nguyên hàm và tích phân
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập