Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Số phức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 4. Số phức được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Vận dụng

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i,{z_2} = 3 + 2i. Trong mặt phẳng Oxy, gọi các điểm M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức {z_1},{z_2}, gọi G là trọng tâm của tam giác OMN, với O là gốc tọa độ. Hỏi G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?

    Do M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức {z_1},{z_2} nên M\left( {1; - 1} ight),N\left( {3;2} ight)

    Khi đó tọa độ điểm G là trọng tâm của tam giác OMN có tọa độ G\left( {\frac{4}{3};\frac{1}{3}} ight)

    Vậy G là điểm biểu diễn của số phức: z = \frac{4}{3} + \frac{1}{3}i

  • Câu 2: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| z ight| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \left| {1 + z} ight| + 3\left| {1 - z} ight|.

     Gọi z = x + yi,\left( {x \in \mathbb R;y \in \mathbb R } ight).

    Ta có:

    \left| z ight| = 1 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1 \Rightarrow {y^2} = 1 - {x^2}\Rightarrow x \in \left[ { - 1;1} ight].

    Ta có:

    P = \left| {1 + z} ight| + 3\left| {1 - z} ight| = \sqrt {{{\left( {1 + x} ight)}^2} + {y^2}}+ 3\sqrt {{{\left( {1 - x} ight)}^2} + {y^2}}

    = \sqrt {2\left( {1 + x} ight)} + 3\sqrt {2\left( {1 - x} ight)}

    Xét hàm số

    f\left( x ight) = \sqrt {2\left( {1 + x} ight)} + 3\sqrt {2\left( {1 - x} ight)} ;x \in \left[ { - 1;1} ight].

    Hàm số liên tục trên \left[ { - 1;1} ight] và với x \in \left( { - 1;1} ight) ta có:

    f'\left( x ight) = \frac{1}{{\sqrt {2\left( {1 + x} ight)} }} - \frac{3}{{\sqrt {2\left( {1 - x} ight)} }} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{4}{5} \in \left( { - 1;1} ight)

    Ta có:

    f\left( 1 ight) = 2;f\left( { - 1} ight) = 6;f\left( { - \frac{4}{5}} ight) = 2\sqrt {10} \Rightarrow {P_{\max }} = 2\sqrt {10}

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Biết {z_1},{z_2} = 5 - 4i và {z_3} là ba nghiệm của phương trình {z^3} + b{z^2} + cz + d = 0\,\,\,\left( {b,c,d \in \mathbb R} ight),

    trong đó {z_3} là nghiệm có phần ảo dương. Phần ảo của số phức w = {z_1} + 3{z_2} + 2\,{z_3} bằng:

     Xét phương trình {z^3} + b{z^2} + cz + d = 0\,\,\,\left( {b,c,d \in \mathbb R} ight) là phương trình bậc ba với hệ số thực nên luôn có một nghiệm thực là z_1.

    Do đó phương trình tương đương với:

    \left( {z - {z_1}} ight)\left( {{z^2} + a'z + b'} ight) = 0\,\,\,\left( {a',b' \in \mathbb R} ight)

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = {z_1}\,\, \in \mathbb R\\{z^2} + a'z + b' = 0\,\,\,\left( 1 ight)\end{array} ight..

    Nên {z_3},{z_2} = 5 - 4i là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai với hệ số thực (1).

    Suy ra .{z_3} = 5 + 4i

    Khi đó : w = {z_1} + 3{z_2} + 2\,{z_3} = {z_1} + 3.\left( {5 - 4i} ight) + 2.\left( {5 + 4i} ight) = \left( {25 + 2{z_3}} ight) - 4i.

    Vậy phần ảo của w = {z_1} + 3{z_2} + 2\,{z_3} là -4.

  • Câu 4: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 4i là:

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 4i} = 3 - ( - 4i) = 3 + 4i

  • Câu 5: Nhận biết

    Cho số phức z = {\left( {2i} ight)^4} - \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^6}}}{{5i}}. Số phức \overline {5z + 3i} là số phức nào sau đây?

     Ta tính được z = \frac{{88}}{5} \Rightarrow 5z + 3i = 88 + 3i

  • Câu 6: Vận dụng

    Cho a, b, c là các số thực và z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}. Giá trị của \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight) bằng:

     Cách 1: Ta có

    z = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {z^2} = - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}

    {z^3} = 1;{z^4} = z và {z^2} + z = - 1 .

    Ta có \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight)

    = {a^2} + {b^2}{z^3} + {c^2}{z^3} + ab\left( {{z^2} + z} ight) + bc\left( {{z^2} + z} ight) + ca\left( {{z^2} + z} ight)

    = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca

    Cách 2: Chọn a = 1;b = 2;c = 3.

    Ta có \left( {a + bz + c{z^2}} ight)\left( {a + b{z^2} + cz} ight)

    = \left( {1 + 2z + 3{z^2}} ight)\left( {1 + 2{z^2} + 3z} ight) = 3

    Thử lại các đáp án với a = 1;b = 2;c = 3  ta thấy chỉ có đáp án {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca

    thỏa mãn.

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho số phức z = 1 + 2i, giá trị của số phức w = z + i\overline z là?

    Ta có: w = z + i\overline z = \left( {1 + 2i} ight) + i\left( {1 - 2i} ight) = 3 + 3i

  • Câu 8: Thông hiểu

    Gọi z_1 và  z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2\left( {1 + i} ight){z^2} - 4\left( {2 - i} ight)z - 5 - 3i = 0 . Tính {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

    9 || chín || Chín

    Đáp án là:

    Gọi z_1 và  z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2\left( {1 + i} ight){z^2} - 4\left( {2 - i} ight)z - 5 - 3i = 0 . Tính {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

    9 || chín || Chín

     Ta có \Delta ' = 4{\left( {2 - i} ight)^2} + 2\left( {1 + i} ight)\left( {5 + 3i} ight) = 16.

    Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:

    {z_1} = \frac{3}{2} - \frac{5}{2}i,\,\,\,{z_2} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i.

    Do đó  {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} =9.

  • Câu 9: Nhận biết

    Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1 + \sqrt 2 i  và 1 - \sqrt 2 i là nghiệm ?

     Ta có \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) + \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 2 =\frac{-b}{a} và  \left( {1 + \sqrt 2 i} ight) . \left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 3 =\frac c a.

    Suy ra 1 \pm \sqrt 2 i là nghiệm của phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0.

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho số phức {z_1} = 1 - i,{z_2} = 3 + 2i. Tìm số phức z thỏa mãn \overline z .{z_1} + {z_2} = 0.

     Ta có: \overline z = \frac{{ - {z_2}}}{{{z_1}}} = \frac{{ - 3 - 2i}}{{1 - i}} = - \frac{1}{2} - \frac{5}{2}i \Rightarrow z = - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i

  • Câu 11: Nhận biết

    Cho số phức z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) thỏa mãn \left( {1 + i} ight)z + 2\overline z = 3 + 2i. Tính P = a + b

    Giả sử: z = a + bi{\text{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight)

    \left( {1 + i} ight)\left( {a + bi} ight) + 2\left( {a - bi} ight) = 3 + 2i

    \Leftrightarrow 3a - b + \left( {a - b} ight)i = 3 + 2i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3a - b = 3 \hfill \\ a - b = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{2} \hfill \\ b = - \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow P = a + b = - 1

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 6 - 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \overline z.

     Ta có \overline z = \overline { - 6 - 3i} = - 6 + 3i nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.

  • Câu 13: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là

     \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 2i} = 3 - ( - 2i) = 3 + 2i

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {z - 1 + 2i} ight| = 2 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

    Ta có: {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z = 3 - 7i + \left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)

    \Rightarrow {\text{w}} - 3 + 7i = \left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)

    \Rightarrow \left| {{\text{w}} - 3 + 7i} ight| = \left| {\left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)} ight| = \left| {2 - i} ight|\left| {z - 1 + 2i} ight| = 2\sqrt 5

    => Tập hợp các điểm biểu diễn số phức {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z là một đường tròn bán kính R = 2\sqrt 5

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 1 + 3i. Phần thực và phần ảo của số phức w = 2i - 3\overline z lần lượt là:

     Ta có: w = 2i - 3\overline z = 2i - 3\left( { - 1 - 3i} ight) = 11i + 3

  • Câu 16: Thông hiểu

    Gọi {z_1},{z_2},{z_3},{z_4} là bốn nghiệm của phương trình {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 trên tập

    số phức tính tổng: S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}}.

    Ta có: {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {z + 2} ight)\left( {{z^2} - 2z + 2} ight) = 0 (1)

    Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:

    \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1\\{z_2} = - 2\\{z_3} = 1 + i\\{z_4} = 1 - i\end{array} ight.

    Thay và biểu thức ta có: 

    S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + i} ight)}^2}}} = \frac{5}{4}

  • Câu 17: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} + 4z + 7 = 0  là:

     Ta có: \Delta ' = {2^2} - 7 = - 3 = 3{i^2}

    \Rightarrowcác căn bậc hai của \triangle '  là \pm i\sqrt 3

    Vậy nghiệm của phương trình là: z = - 2 + \sqrt 3 i,\,\,\,z = - 2 - \sqrt 3 i

  • Câu 18: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}}. Môđun của số phức \overline z + iz là:

     Ta có: \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}} = 4 - 4i\, \to \,\left| {\overline z + iz} ight| = 0

  • Câu 19: Thông hiểu

    Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \left| {\frac{{z + 1}}{{i - z}}} ight| = 1 và \left| {\frac{{z - i}}{{2 + z}}} ight| = 1

    Ta có:  \left\{ \begin{array}{l}\left| {\dfrac{{z + 1}}{{i - z}}} ight| = 1\\\left| {\dfrac{{z - i}}{{2 + z}}} ight| = 1\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {z + 1} ight| = \left| {i - z} ight|\\\left| {z - i} ight| = \left| {2 + z} ight|\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - y\\4x + 2y = - 3\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = \frac{3}{2}\end{array} ight.

    \Rightarrow z = - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}i

  • Câu 20: Thông hiểu

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Đáp án là:

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Ta có: (x + yi)^3 = x^3 – 3xy^2 + (3x^2y – y^3)i = 18 + 26i

    Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được: \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x{y^2} = 18\\3{x^2}y - {y^3} = 26\end{array} ight.

    Từ hệ trên, rõ ràng x eq 0 và y eq 0.

    Đặt y= tx , hệ \Rightarrow 18(3x^2y – y^3) = 26(x^3 – 3xy^2 )

    \Rightarrow 18(3t-t^3 ) = 26(1-3t^2)

    \Leftrightarrow 18t^3 – 78t^2 – 54t+26 = 0

    \Leftrightarrow ( 3t- 1)(3t^2 – 12t – 13) = 0.

    Vìx, y \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \in \mathbb{Q} \Rightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 3 ; y = 1 \mbox{ hay } z = 3 + i.

    \Rightarrow M= x+2020y=3+2020.1=2023

  • Câu 21: Thông hiểu

    Số phức liên hợp của số phức 2022i - 2023 là

     \overline z = \overline {a + bi} = a - bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {2022i - 2023} = \overline { - 2023 + 2022i} = - 2023 - 2022i

  • Câu 22: Thông hiểu

    Số phức z = \frac{{3 - 4i}}{{4 - i}} bằng:

     Ta có: z = \frac{{3 - 4i}}{{4 - i}} = \frac{{16}}{{17}} - \frac{{13}}{{17}}i

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho số phức z = - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i. Số phức w = 1 + z + {z^2},\left| w ight| bằng:

     Ta có: \left| w ight| = \left| {1 + z + {z^2}} ight| = \left| {1 - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} ight| = 0

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho số phức z = a + bi. Số phức {z^2} có phần ảo là:

    Ta có: {z^2} = {\left( {a + bi} ight)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi

  • Câu 25: Nhận biết

    Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?

     Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {z + 1} ight| = \left| {z - 2i + 3} ight|. Biết tập các điểm biểu thị cho z là một đường thẳng. Phương trình đường thẳng đó là:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Theo bài ra ta có:

    \begin{matrix} \left| {z + 1} ight| = \left| {z - 2i + 3} ight| \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} ight)^2} + {y^2} = {\left( {x + 3} ight)^2} + {\left( {y - 2} ight)^2} \hfill \\ \Leftrightarrow x - y + 3 = 0 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 27: Vận dụng

    Giá trị của b và c để phương trình {z^2} + bz + c = 0 nhận z = 1 + i  làm nghiệm là?

     Do z = 1 + i là nghiệm của phương trình đã cho nên:

    {\left( {1 + i} ight)^2} + b\left( {1 + i} ight) + c = 0

    \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0 \Leftrightarrow b + c + \left( {2 + b} ight)i = 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\2 + b = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\c = 2\end{array} ight.

  • Câu 28: Vận dụng

    Cho biểu thức A = 1 + {z^3} + {z^6} + ... + {z^{2016}} với z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\,. Biểu thức A có giá tri là? 

    1 || Một || một

    Đáp án là:

    Cho biểu thức A = 1 + {z^3} + {z^6} + ... + {z^{2016}} với z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\,. Biểu thức A có giá tri là? 

    1 || Một || một

     Ta có L = \frac{{1 - {{({z^3})}^{673}}}}{{1 - {z^3}}} = \frac{{1 - {{( - 1)}^{673}}}}{{1 - ( - 1)}} = 1

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {\frac{{z - 1}}{{z + 3i}}} ight| = \frac{1}{{\sqrt 2 }}. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \left| {z + i} ight| + 2\left| {\overline z - 4 + 7i} ight|

    Gọi z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Ta có

    \begin{matrix} \left| {\dfrac{{z - 1}}{{z + 3i}}} ight| = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {z - 1} ight| = \left| {z + 3i} ight| \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 3} ight)}^2}} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 7 = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    Lại có

    \begin{matrix} P = \left| {z + i} ight| + 2\left| {\overline z - 4 + 7i} ight| \hfill \\ = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} ight)}^2}} + 2\sqrt {{{\left( {x - 4} ight)}^2} + {{\left( {y - 7} ight)}^2}} \hfill \\ \end{matrix}

    = \sqrt {4x + 8y + 8} + 2\sqrt { - 4x - 8y + 72}

    Mặt khác

    \begin{matrix} {\left( {\sqrt {4x + 8y + 8} + 2\sqrt { - 4x - 8y + 72} } ight)^2} \leqslant 5.80 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {4x + 8y + 8} + 2\sqrt { - 4x - 8y + 72} \leqslant 20 \hfill \\ \end{matrix}

    Suy ra P \leqslant 20

  • Câu 30: Thông hiểu

    Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập số phức \mathbb C: {z^4} - {z^3} + \frac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0 (1)

    Kiểm tra nghiệm z=0 ta dễ dàng nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình đã cho vậy z eq 0.

    Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ({z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}) - (z - \frac{1}{z}) + \frac{1}{2} = 0 (2)

    Đặt t= z - \frac{1}{z} .  Khi đó {t^2} = {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} - 2 \Leftrightarrow {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} = {t^2} + 2

    Phương trình (2) có dạng :t^2-t+\frac{5}{2} = 0 (3)

    \Delta = 1 - 4.\frac{5}{2} = - 9 = 9{i^2}

    Vậy PT (3) có 2 nghiệm:    t=\frac{{1 + 3i}}{2};t=\frac{{1 - 3i}}{2} 

    Với  t=\frac{{1 + 3i}}{2},  ta có z - \frac{1}{z} = \frac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 + 3i)z - 2 = 0(4)

    Có \Delta = {(1 + 3i)^2} + 16 = 8 + 6i = 9 + 6i + {i^2} = {(3 + i)^2}

    Vậy PT(4) có 2 nghiệm :

    z=\frac{{(1 + 3i) + (3 + i)}}{4} = 1 + i;  z= \frac{{(1 + 3i) - (3 + i)}}{4} = \frac{{i - 1}}{2}

    Do đó PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-iz=\frac{{i - 1}}{2}; z=\frac{{-i - 1}}{2}

  • Câu 31: Vận dụng cao

    Cho hai số phức {z_1};{z_2} thỏa mãn \left| {{z_1} + 5} ight| = 5\,;\,\left| {{z_2} + 1 - 3i} ight| = \left| {{z_2} - 3 - 6i} ight|. Tìm giá trị nhỏ nhất của \left| {{z_1} - {z_2}} ight|.

    Gọi {z_1} = {a_1} + {b_1}i,\,\,\,{z_2} = {a_2} + {b_2}i\,\,\,({a_1},{b_1},{a_2},{b_2} \in \mathbb{R})

    Khi đó \left| {{z_1} + 5} ight| = 5 \Leftrightarrow {\left( {{a_1} + 5} ight)^2} + {b_1}^2 = 25

    Tập hợp điểm biểu diễn {z_1} là đường tròn tâm I\left( { - 5;0} ight);R = 5

    Cũng theo giả thiết, ta có:

    \begin{matrix} \left| {{z_2} + 1 - 3i} ight| = \left| {{z_2} - 3 - 6i} ight| \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {{a_2} + 1} ight)^2} + {\left( {{b_2} - 3} ight)^2} = {\left( {{a_2} - 3} ight)^2} + {\left( {{b_2} - 6} ight)^2} \hfill \\ \Rightarrow 8{a_2} + 6{b_2} - 35 = 0. \hfill \\ \end{matrix}

    Tập hợp điểm biểu diễn {z_2} là đường thẳng \Delta :\,\,8x + 6y - 35 = 0

    d(I,\Delta ) = \frac{{\left| { - 5.8 - 35} ight|}}{{\sqrt {{8^2} + {6^2}} }} = \frac{{15}}{2} \Rightarrow d\left( {I,\Delta } ight) > R

    \Rightarrow \min \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = d\left( {I,\Delta } ight) - R = \frac{5}{2}

  • Câu 32: Thông hiểu

    Cho số phức z = 3 + 2i. Tìm số phức w = 2i - \left( {3 - i} ight)\overline z + 2iz - 1?

     Ta có: w = 2i - \left( {3 - i} ight)\overline z + 2iz - 1

    = 2i - \left( {3 - i} ight)\left( {3 - 2i} ight) + 2i\left( {3 + 2i} ight) - 1

    = - 12 + 17i

  • Câu 33: Vận dụng

    Nếu số phức z e 1 thỏa mãn \left| z ight| = 1 thì phần thực của \frac{1}{{1 - z}} bằng:

    Gọi z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight),z e 1

    Do \left| z ight| = 1 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1

    Ta có

    \frac{1}{{1 - z}} = \frac{1}{{\left( {1 - a} ight) - bi}} = \frac{{\left( {1 - a} ight) + bi}}{{{{\left( {1 - a} ight)}^2} + {b^2}}}

    = \frac{{1 - a}}{{2 - 2a}} + \frac{b}{{2 - 2a}}i = \frac{1}{2} + \frac{b}{{2 - 2a}}i

    Vậy phần thực của số phức \frac{1}{{1 - z}} là \frac{1}{2}

  • Câu 34: Vận dụng

    Cho hai số phức z, w thỏa mãn \left| {z - 1} ight| = \left| {z + 3 - 2i} ight|; w = z + m + i với m \in \mathbb{R} là tham số. Giá trị của m để ta luôn có \left| w ight| \geqslant 2\sqrt 5 là:

     Đặt z = a + ib,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) có biểu diễn hình học là điểm M\left( {x;y} ight)

    Ta có:

    \left| {z - 1} ight| = \left| {z + 3 - 2i} ight|

    \Leftrightarrow \left| {x - 1 + iy} ight| = \left| {x + 3 + \left( {y - 2} ight)i} ight|

    \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 3} ight)}^2} + {{\left( {y - 2} ight)}^2}}

    \Leftrightarrow - 2x + 1 = 6x + 9 - 4y + 4 \Leftrightarrow 2x - y + 3 = 0

    Suy ra biểu diễn của số phức là đường thẳng \Delta :2x - y + 3 = 0

    Ta xét: \left| \omega ight| \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {z + m + i} ight| \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {x + m + + \left( {y + 1} ight)i} ight| \geqslant 2\sqrt 5

    với I\left( { - m; - 1} ight).

    Mà ta có MI \geqslant d\left( {I,\Delta } ight)

    Nên MI \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } ight) \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2m + 4} ight|}}{{\sqrt 5 }} \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| { - 2m + 4} ight| \geqslant 10

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - 2m + 4 \geqslant 10 \hfill \\ - 2m + 4 \leqslant - 10 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m \leqslant - 3 \hfill \\ m \geqslant 7 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 35: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {5 - 3i} = 5 - ( - 3i) = 5 + 3i

  • Câu 36: Thông hiểu

    Cho số phức z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}}. Phần thực của số phức z là?

     Ta có: z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}} = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{27}} - 1}}{i}

    = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{26}}.\left( {1 + i} ight) - 1}}{i} = \frac{{{{(2i)}^{13}}\left( {1 + i} ight) - 1}}{i}

    = \frac{{{2^{13}}i - {2^{13}} - 1}}{i} = {2^{13}} + (1 + {2^{13}})i

    Vậy phần thực là  2^{13}.

  • Câu 37: Nhận biết

    Số phức 5 + 6i có phần thực bằng 

     Số phức z = a + bi có b được gọi là phần thực.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình: (z^2 + 3z +6)^2 + 2z(z^2 + 3z +6) – 3z^2 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + 3z +6 phương trình đã cho có dang:

    t^2 +2zt – 3z^2 = 0 \Leftrightarrow (t – z)(t+3z) = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = z\\t = - 3z\end{array} ight.

    + Với t = z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 –z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 2z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 1 + \sqrt 5 i\\z = - 1 - \sqrt 5 i\end{array} ight.

    + Với t = -3z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 +3z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 6z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 3 + \sqrt 3 \\z = - 3 - \sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

  • Câu 39: Vận dụng

    Cho các số phức z thỏa mãn \left| {z - i} ight| = \left| {z - 1 + 2i} ight|. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = \left( {2 - i} ight)z + 1 trên các mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó.

    Đặt z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Khi đó phương trình

    \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y + 2} ight)}^2}}

    \Leftrightarrow - 2y + 1 = - 2x + 1 + 4y + 4 \Leftrightarrow 2x - 6y - 4 = 0

    \Leftrightarrow x - 3y - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 3y +

    Với

    w = x' + y'i = \left( {2 - i} ight).z + 1 = \left( {2 - i} ight).\left( {x + yi} ight) + 1

    = 2x + 2yi - ix + y + 1

    = \left( {2x - y + 1} ight) + \left( {2y - x} ight)i

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x' = 2x + y + 1 = 2.\left( {3y + 2} ight) + y + 1 = 7y + 5 \hfill \\ y' = 2y - x = 2y - 3y - 2 = - y - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow x' + 7y' = - 9 \Leftrightarrow x' + 7y' + 9 = 0

  • Câu 40: Thông hiểu

    Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau: (z^2 + z)^2 + 4(z^2 + z) -12 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:

    t^2 + 4t – 12 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = - 6\\t = 2\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + z - 6 = 0\\{z^2} + z - 2 = 0\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2}\\z = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2}\\z = 1\\z = - 2\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là

    \frac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2} + \frac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2} + 1 - 2 = - 1 + 1 - 2 = - 2

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Số phức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 41 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Số phức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập