Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Số phức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 4. Số phức được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau: (z^2 + z)^2 + 4(z^2 + z) -12 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:

    t^2 + 4t – 12 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = - 6\\t = 2\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + z - 6 = 0\\{z^2} + z - 2 = 0\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2}\\z = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2}\\z = 1\\z = - 2\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là

    \frac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2} + \frac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2} + 1 - 2 = - 1 + 1 - 2 = - 2

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|

     Ta có \left| z ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5

  • Câu 3: Nhận biết

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 2022 - 2023i là:

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 4: Thông hiểu

    Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \left| {\frac{{z + 1}}{{i - z}}} ight| = 1 và \left| {\frac{{z - i}}{{2 + z}}} ight| = 1

    Ta có:  \left\{ \begin{array}{l}\left| {\dfrac{{z + 1}}{{i - z}}} ight| = 1\\\left| {\dfrac{{z - i}}{{2 + z}}} ight| = 1\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {z + 1} ight| = \left| {i - z} ight|\\\left| {z - i} ight| = \left| {2 + z} ight|\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - y\\4x + 2y = - 3\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = \frac{3}{2}\end{array} ight.

    \Rightarrow z = - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}i

  • Câu 5: Thông hiểu

    Tìm các số thực x, y thoả mãn:

    3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    => (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

    =>\left\{ \begin{gathered} 3x + y = 2y - 1 \hfill \\ 5x = x - y \hfill \\ \end{gathered} ight.

    => \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{1}{7} \hfill \\ y = \frac{4}{7} \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 6: Vận dụng cao

    Cho số phức thỏa mãn điều kiện \left| {{z^2} - 2z + 5} ight| = \left| {(z - 1 + 2i)(z + 3i - 1)} ight|.

    Tìm giá trị nhỏ nhất của \left| {z - 2 + 2i} ight|

    1 || Một || một

    Đáp án là:

    Cho số phức thỏa mãn điều kiện \left| {{z^2} - 2z + 5} ight| = \left| {(z - 1 + 2i)(z + 3i - 1)} ight|.

    Tìm giá trị nhỏ nhất của \left| {z - 2 + 2i} ight|

    1 || Một || một

     Đặt {m{w}} = z - 2 + 2i

    Ta có = \left| {(z - 1 + 2i)(z + 3i - 1)} ight|

    \Leftrightarrow \left| {(z - 1 + 2i)} ight|.\left| {(z - 1 - 2i)} ight|=\left| {(z - 1 + 2i)} ight|.\left| {(z + 3i - 1)} ight|

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 + 2i = 0\\\left| {z - 1 - 2i} ight| = \left| {z + 3i - 1} ight|\end{array} ight..

    TH1: z = 1 - 2i \Rightarrow {m{w}} = - 1 \Rightarrow \left| {m{w}} ight| = 1  (1)

    TH2: \left| {z - 1 - 2i} ight| = \left| {z + 3i - 1} ight|.

    Đặt z=a+bi; a, b \in \mathbb R.

    \Rightarrow {(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} = {(a - 1)^2} + {(b + 3)^2}\Leftrightarrow b = \frac{{ - 1}}{2}.

    \Rightarrow z = a - \frac{1}{2}i  \Rightarrow \left| {m{w}} ight| = \sqrt {{{(a - 2)}^2} + \frac{9}{4}} \ge \frac{3}{2}    (2)

    Từ (1) và (2) , suy ra \min |w| = 1.

  • Câu 7: Nhận biết

    Cho số phức z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) thỏa mãn \left( {1 + i} ight)z + 2\overline z = 3 + 2i. Tính P = a + b

    Giả sử: z = a + bi{\text{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight)

    \left( {1 + i} ight)\left( {a + bi} ight) + 2\left( {a - bi} ight) = 3 + 2i

    \Leftrightarrow 3a - b + \left( {a - b} ight)i = 3 + 2i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3a - b = 3 \hfill \\ a - b = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{1}{2} \hfill \\ b = - \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow P = a + b = - 1

  • Câu 8: Vận dụng

    Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 có nghiệm phức z_0 thỏa mãn \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2. 

    4 || Bốn || bốn

    Đáp án là:

    Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 có nghiệm phức z_0 thỏa mãn \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2. 

    4 || Bốn || bốn

     Ta có với mọi a \in \mathbb R thì phương trình {z^2} + 3z + {a^2} - 2a = 0 luôn có nghiệm phức.

    {z_1} = \frac{{ - 3 + i\sqrt {\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|} }}{2} và {z_2} = \frac{{ - 3 - i\sqrt {\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|} }}{2}.

    Suy ra \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = \sqrt {\frac{3}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4}}.

     

    \left| {{z_{m{o}}}} ight| = 2 \Rightarrow \sqrt {\frac{3}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4}} = 2

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} + \frac{{\left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight|}}{4} = 4 \Leftrightarrow \left| { - 4{a^2} + 8a + 9} ight| = 7

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4{a^2} + 8a + 9 = 7\\ - 4{a^2} + 8a + 9 = - 7\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4{a^2} + 8a + 2 = 0{m{ }}\left( 1 ight)\\ - 4{a^2} + 8a + 16 = 0{m{ }}\left( 2 ight)\end{array} ight.

    Từ (1) ta có  {a_1} + {a_2} = 2, từ (2) ta có {a_3} + {a_4} = 2.

    Vậy tổng {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} = 4.

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Giả sử M\left( z ight) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tập hợp các điểm M\left( z ight) thỏa mãn điều kiện \left| {z - 1 + i} ight| = 2 là một đường tròn.

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Theo bài ra ta có:

    \left| {z - 1 + i} ight| = 2 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} ight)^2} + {\left( {y + 1} ight)^2} = 4

  • Câu 10: Vận dụng cao

    Tính môđun của số phức z thỏa mãn 3z.\overline z + 2023(z + \overline z ) = 48 - 2022i

     - Đặt z = a + bi{\text{ }}(a,b \in \mathbb{R}); \Rightarrow \overline z = a - b

    - Ta có: 3z.\overline z + 2023(z + \overline z ) = 48 - 2022i

    \Leftrightarrow 3({a^2} + {b^2}) + 4046b.i = 48 - 2022i \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 16

    - Vậy \left| z ight| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 4

  • Câu 11: Thông hiểu

    Cho số phức z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}}. Phần thực của số phức z là?

     Ta có: z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}} = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{27}} - 1}}{i}

    = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{26}}.\left( {1 + i} ight) - 1}}{i} = \frac{{{{(2i)}^{13}}\left( {1 + i} ight) - 1}}{i}

    = \frac{{{2^{13}}i - {2^{13}} - 1}}{i} = {2^{13}} + (1 + {2^{13}})i

    Vậy phần thực là  2^{13}.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 2 + i,{z_2} = 3 - 4i. Môđun của số phức \left( {{z_1} - {z_2}} ight) là:

     Ta có: \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {2 + i - 3 + 4i} ight| = \left| { - 1 + 5i} ight| = \sqrt {26}

  • Câu 13: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Đáp án là:

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Ta có: \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i  \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}}{{\left( {1 + i} ight)\left( {1 - i} ight)}} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{ - 2i}}{2} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z = 5 \Leftrightarrow z = \frac{5}{{2 + i}} = 2 - i

    \Rightarrow w = 1 + 2z + {z^2} = {\left( {1 + z} ight)^2} = {\left( {3 - i} ight)^2} = 8 - 6i

    \Leftrightarrow \left| w ight| = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 6} ight)}^2}} = 10

  • Câu 14: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {5 - 3i} = 5 - ( - 3i) = 5 + 3i

  • Câu 15: Thông hiểu

    Gọi {z_1},{z_2},{z_3},{z_4} là bốn nghiệm của phương trình {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 trên tập

    số phức tính tổng: S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}}.

    Ta có: {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {z + 2} ight)\left( {{z^2} - 2z + 2} ight) = 0 (1)

    Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:

    \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1\\{z_2} = - 2\\{z_3} = 1 + i\\{z_4} = 1 - i\end{array} ight.

    Thay và biểu thức ta có: 

    S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + i} ight)}^2}}} = \frac{5}{4}

  • Câu 16: Vận dụng

    Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình {z^2} + 2z + 10 = 0. Giá trị của biểu thức A = {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} là:

    Ta có:

    {z^2} + 2z + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = - 1 + 3i\\{z_2} = - 1 - 3i\end{array} ight.

    Suy ra  A = {\left| { - 1 + 3i} ight|^2} + {\left| { - 1 - 3i} ight|^2} = 20

  • Câu 17: Thông hiểu

    Kí hiệu z_0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4{z^2} - 16z + 17 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = i{z_0}?

     Ta có:

    4{z^2} - 16z + 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 2 + \dfrac{1}{2}i\\z = 2 - \dfrac{1}{2}i\end{array} ight.

    \Rightarrow w = i{z_0} = - \frac{1}{2} + 2i

  • Câu 18: Nhận biết

    Cho số phức z = 1 + 2i, giá trị của số phức w = z + i\overline z là?

    Ta có: w = z + i\overline z = \left( {1 + 2i} ight) + i\left( {1 - 2i} ight) = 3 + 3i

  • Câu 19: Thông hiểu

    Tìm các căn bậc hai của số phức z = 5 + 12i

     Giả sử m + ni (m; n \in R) là căn bậc hai của z

    Ta có: {(m + ni)^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 5 + 12i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 5 + 12i

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - {n^2} = 5 \hfill \\ 2mn = 12 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - {n^2} = 5(1) \hfill \\ m = \frac{6}{n}(2) \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Thay (2) vào (1) ta có: {\left( {\frac{6}{n}} ight)^2} - {n^2} = 5 \Leftrightarrow 36 - {n^4} = 5{n^2}

    \Leftrightarrow {n^4} + 5{n^2} - 36 = 0 \Leftrightarrow {n^2} = 4;{n^2} = - 9(loai)

    \left[ \begin{gathered} n = 2 \Rightarrow m = 3 \hfill \\ n = - 2 \Rightarrow m = - 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i.

  • Câu 20: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

     Ta có \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{( - 1 + 3i)(1 - i)}}{{{{(2 + i)}^2}}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 4i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{(2 + 4i)(3 - 4i)}}{{25}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i

  • Câu 21: Thông hiểu

    Cho {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight). Giá trị của x và y bằng:

     Ta có:

    {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi \Leftrightarrow {x^2} - 4 + 4xi = 3x + yi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 4 = 3x \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = - 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ y = 16 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 22: Thông hiểu

    Gọi z_1 và  z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2\left( {1 + i} ight){z^2} - 4\left( {2 - i} ight)z - 5 - 3i = 0 . Tính {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

    9 || chín || Chín

    Đáp án là:

    Gọi z_1 và  z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2\left( {1 + i} ight){z^2} - 4\left( {2 - i} ight)z - 5 - 3i = 0 . Tính {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

    9 || chín || Chín

     Ta có \Delta ' = 4{\left( {2 - i} ight)^2} + 2\left( {1 + i} ight)\left( {5 + 3i} ight) = 16.

    Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:

    {z_1} = \frac{3}{2} - \frac{5}{2}i,\,\,\,{z_2} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i.

    Do đó  {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} =9.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i;{z_2} = 3 + 2i. Phần thực và phần ảo của số phức {z_1},{z_2} tương ứng bằng:

     Ta có: {z_1}.{z_2} = \left( {1 - i} ight)\left( {3 + 2i} ight) = 5 - i

  • Câu 24: Thông hiểu

    Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập số phức \mathbb C: {z^4} - {z^3} + \frac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0 (1)

    Kiểm tra nghiệm z=0 ta dễ dàng nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình đã cho vậy z eq 0.

    Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ({z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}) - (z - \frac{1}{z}) + \frac{1}{2} = 0 (2)

    Đặt t= z - \frac{1}{z} .  Khi đó {t^2} = {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} - 2 \Leftrightarrow {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} = {t^2} + 2

    Phương trình (2) có dạng :t^2-t+\frac{5}{2} = 0 (3)

    \Delta = 1 - 4.\frac{5}{2} = - 9 = 9{i^2}

    Vậy PT (3) có 2 nghiệm:    t=\frac{{1 + 3i}}{2};t=\frac{{1 - 3i}}{2} 

    Với  t=\frac{{1 + 3i}}{2},  ta có z - \frac{1}{z} = \frac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 + 3i)z - 2 = 0(4)

    Có \Delta = {(1 + 3i)^2} + 16 = 8 + 6i = 9 + 6i + {i^2} = {(3 + i)^2}

    Vậy PT(4) có 2 nghiệm :

    z=\frac{{(1 + 3i) + (3 + i)}}{4} = 1 + i;  z= \frac{{(1 + 3i) - (3 + i)}}{4} = \frac{{i - 1}}{2}

    Do đó PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-iz=\frac{{i - 1}}{2}; z=\frac{{-i - 1}}{2}

  • Câu 25: Nhận biết

    Phương trình sau có tập nghiệm trên trường số phức là: z^4 + 2z^2 -3 = 0

     Ta có  z^4 + 2z^2 -3 = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = 1\\{z^2} = - 3\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm 1\\z = \pm i\sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình có 4 nghiệm: \left[ \begin{array}{l}z = \pm 1\\z = \pm i\sqrt 3 \end{array} ight.

  • Câu 26: Vận dụng cao

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.\bar z = 1 và \left| {z - \sqrt 3 + i} ight| = m. Tìm số phần tử của S. 

    2 || Hai || hai

    Đáp án là:

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.\bar z = 1 và \left| {z - \sqrt 3 + i} ight| = m. Tìm số phần tử của S. 

    2 || Hai || hai

    Điều kiện: m > 0.

    Đặt z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight).

    Theo giả thiết z.\bar z = 1 \Leftrightarrow {\left| z ight|^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\left( {{C_1}} ight).

    \left( {{C_1}} ight) là đường tròn tâm O(0; 0), bán kính {R_1} = 1.

    Mặt khác  {R_1} = 1

    \left( {{C_2}} ight) là đường tròn tâm I\left( {\sqrt 3 ; - 1} ight), bán kính {R_2} = m.

    Để tồn tại duy nhất số phức z thì \left( {{C_1}} ight) và \left( {{C_2}} ight) tiếp xúc ngoài hoặc trong.

    TH1: \left( {{C_1}} ight) và \left( {{C_2}} ight) tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi {R_1} + {R_2} = OI \Leftrightarrow 1 + m = 2 \Leftrightarrow m = 1\left( {TM} ight).

    TH2: \left( {{C_1}} ight) và \left( {{C_2}} ight) tiếp xúc trong khi và chỉ khi \left[ \begin{array}{l}{R_1} + OI = {R_2} \Leftrightarrow 1 + 2 = m \Leftrightarrow m = 3\,\,\,\,\,\,\left( {TM} ight)\\OI + {R_2} = {R_1} \Leftrightarrow m + 2 = 1 \Leftrightarrow m = - 1\,\,\,\,\,\,(L)\end{array} ight..

    Vậy S = \left\{ {1,3} ight\}.

  • Câu 27: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là

     \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 2i} = 3 - ( - 2i) = 3 + 2i

  • Câu 28: Vận dụng

    Cho các số phức z thỏa mãn \left| {z - i} ight| = \left| {z - 1 + 2i} ight|. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = \left( {2 - i} ight)z + 1 trên các mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó.

    Đặt z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Khi đó phương trình

    \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y + 2} ight)}^2}}

    \Leftrightarrow - 2y + 1 = - 2x + 1 + 4y + 4 \Leftrightarrow 2x - 6y - 4 = 0

    \Leftrightarrow x - 3y - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 3y +

    Với

    w = x' + y'i = \left( {2 - i} ight).z + 1 = \left( {2 - i} ight).\left( {x + yi} ight) + 1

    = 2x + 2yi - ix + y + 1

    = \left( {2x - y + 1} ight) + \left( {2y - x} ight)i

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x' = 2x + y + 1 = 2.\left( {3y + 2} ight) + y + 1 = 7y + 5 \hfill \\ y' = 2y - x = 2y - 3y - 2 = - y - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow x' + 7y' = - 9 \Leftrightarrow x' + 7y' + 9 = 0

  • Câu 29: Vận dụng cao

    Cho {z_1} = 1 + \sqrt 3 i; {z_2} = \frac{{7 + i}}{{4 - 3i}}; {z_3} = {\left( {1 - i} ight)^{2016}}. Tìm dạng đại số của w = z_1^{25}.z_2^{10}.z_3^{2016}.

     Ta có:

    \left. \begin{array}{l}z_1^{25} = {(1 + \sqrt 3 i)^{25}} = {8^8} + {8^8}\sqrt 3 i\\z_2^{10} = {\left( {\frac{{7 + i}}{{4 - 3i}}} ight)^{10}} = {(2i)^5} = {2^5}i\\z_3^{2016} = {(1 - i)^{2016}} = {( - 2i)^{1008}} = {2^{1008}}\end{array} ight\}

    \Rightarrow w = z_1^{25}.z_2^{10}.z_3^{2016} = - {2^{1037}}\sqrt 3 + {2^{1037}}i.

  • Câu 30: Vận dụng

    Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z:4x - 2y + 1 = 0

    Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Ta có: \left| {z - 2 - i} ight| = \left| {\overline z + 2i} ight|

    \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 2} ight) + \left( {y - 1} ight)i} ight| = \left| {x + \left( {2 - y} ight)i} ight|

    \Leftrightarrow {\left( {x - 2} ight)^2} + {\left( {y - 1} ight)^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} ight)^2}

    \Leftrightarrow 4x - 2y - 1 = 0

  • Câu 31: Vận dụng

    Nếu số phức z e 1 thỏa mãn \left| z ight| = 1 thì phần thực của \frac{1}{{1 - z}} bằng:

    Gọi z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight),z e 1

    Do \left| z ight| = 1 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1

    Ta có

    \frac{1}{{1 - z}} = \frac{1}{{\left( {1 - a} ight) - bi}} = \frac{{\left( {1 - a} ight) + bi}}{{{{\left( {1 - a} ight)}^2} + {b^2}}}

    = \frac{{1 - a}}{{2 - 2a}} + \frac{b}{{2 - 2a}}i = \frac{1}{2} + \frac{b}{{2 - 2a}}i

    Vậy phần thực của số phức \frac{1}{{1 - z}} là \frac{1}{2}

  • Câu 32: Vận dụng

    Cho hai số phức z, w thỏa mãn \left| {z - 1} ight| = \left| {z + 3 - 2i} ight|; w = z + m + i với m \in \mathbb{R} là tham số. Giá trị của m để ta luôn có \left| w ight| \geqslant 2\sqrt 5 là:

     Đặt z = a + ib,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight) có biểu diễn hình học là điểm M\left( {x;y} ight)

    Ta có:

    \left| {z - 1} ight| = \left| {z + 3 - 2i} ight|

    \Leftrightarrow \left| {x - 1 + iy} ight| = \left| {x + 3 + \left( {y - 2} ight)i} ight|

    \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 3} ight)}^2} + {{\left( {y - 2} ight)}^2}}

    \Leftrightarrow - 2x + 1 = 6x + 9 - 4y + 4 \Leftrightarrow 2x - y + 3 = 0

    Suy ra biểu diễn của số phức là đường thẳng \Delta :2x - y + 3 = 0

    Ta xét: \left| \omega ight| \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {z + m + i} ight| \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {x + m + + \left( {y + 1} ight)i} ight| \geqslant 2\sqrt 5

    với I\left( { - m; - 1} ight).

    Mà ta có MI \geqslant d\left( {I,\Delta } ight)

    Nên MI \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } ight) \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2m + 4} ight|}}{{\sqrt 5 }} \geqslant 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| { - 2m + 4} ight| \geqslant 10

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} - 2m + 4 \geqslant 10 \hfill \\ - 2m + 4 \leqslant - 10 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m \leqslant - 3 \hfill \\ m \geqslant 7 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 33: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{2022}}. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là?

     Ta có: z = 1 + i\frac{{1 - {i^{2022}}}}{{1 - i}} = i

    Vậy số phức z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1.

  • Câu 34: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Đáp án là:

    Cho z = x + yi ;\,\, x, y \in \mathbb{Z} là nghiệm của phương trình sau: z^3=18+26i.

    Tính M=x+2020y

    M=2023 || 2023 || hai nghìn không trăm hai mưới ba

    Ta có: (x + yi)^3 = x^3 – 3xy^2 + (3x^2y – y^3)i = 18 + 26i

    Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được: \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x{y^2} = 18\\3{x^2}y - {y^3} = 26\end{array} ight.

    Từ hệ trên, rõ ràng x eq 0 và y eq 0.

    Đặt y= tx , hệ \Rightarrow 18(3x^2y – y^3) = 26(x^3 – 3xy^2 )

    \Rightarrow 18(3t-t^3 ) = 26(1-3t^2)

    \Leftrightarrow 18t^3 – 78t^2 – 54t+26 = 0

    \Leftrightarrow ( 3t- 1)(3t^2 – 12t – 13) = 0.

    Vìx, y \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \in \mathbb{Q} \Rightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 3 ; y = 1 \mbox{ hay } z = 3 + i.

    \Rightarrow M= x+2020y=3+2020.1=2023

  • Câu 36: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 37: Vận dụng

    Cho số phức w = x + yi;\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight) thoả điều kiện \left| {{w^2} + 4} ight| = 2\left| w ight|.

    Đặt P = 8\left( {{x^2} - {y^2}} ight) + 12. Khẳng định nào sau đây đúng?

     Ta có:

    \left| {{w^2} + 4} ight| = 2\left| w ight| \Leftrightarrow \left| {{x^2} - {y^2} + 4 + 2xyi} ight| = 2\left| {x + yi} ight|

    \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - {y^2} + 4} ight)^2} + 4{x^2}{y^2} = 4\left( {{x^2} + {y^2}} ight)

    \begin{matrix} \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} + 16 + 2{x^2}{y^2} + 4{x^2} - 12{y^2} = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} - 4{x^2} - 4{y^2} + 4 + 8\left( {{x^2} - {y^2}} ight) + 12 = 0 \hfill \\ \end{matrix}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 8\left( {{x^2} - {y^2}} ight) + 12 = - \left( {{x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2} - 4{x^2} - 4{y^2} + 4} ight) \hfill \\ \Leftrightarrow P = - {\left( {{x^2} + {y^2} - 2} ight)^2} = - {\left( {{{\left| {\text{w}} ight|}^2} - 2} ight)^2}. \hfill \\ \end{matrix}

    Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì \left| {\text{w}} ight| = \left| {\overline {\text{w}} } ight|.

  • Câu 38: Thông hiểu

    Cho số phức z = a + bi. Số phức {z^2} có phần ảo là:

    Ta có: {z^2} = {\left( {a + bi} ight)^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi

  • Câu 39: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn: \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i. Môđun của số phức w = \left( {2 - i} ight)z - 1 là?

     Ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i \Rightarrow z\left( {1 - i} ight) = 2

    \Leftrightarrow z = 1 + i \Rightarrow w = \left( {2 - i} ight)\left( {1 + i} ight) - 1 = 2 + i

    \left| w ight| = \sqrt 5

  • Câu 40: Vận dụng

    Cho z1 = 1 + i; z2 = -1 - i. Tìm {z_3} \in \mathbb{C} sao cho các điểm biểu diễn của {z_1};\,\,{z_2};\,\,{z_3} tạo thành tam giác đều.

     Giả sử {z_3} = x + yi

    Để các điểm biểu diễn của {z_1};\,\,{z_2};\,\,{z_3} tạo thành một tam giác đều thì

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {{z_1} - {z_3}} ight|} \\ {\left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {{z_2} - {z_3}} ight|} \end{array}} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}} } \\ {\sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x + 1} ight)}^2} + {{\left( {y + 1} ight)}^2}} } \end{array}} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2} = 8} \\ {x + y = 0} \end{array}} ight.

    \Rightarrow 2{y^2} = 6 \Rightarrow y = \pm \sqrt 3 \Rightarrow x = \mp \sqrt 3

    Vậy có hai số phức thoả mãn là: {z_3} = {\text{\{ }}\sqrt 3 - \sqrt 3 i;\,\, - \sqrt 3 + \sqrt 3 i\}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Số phức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 49 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Số phức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập