Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Số phức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 4. Số phức được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Đáp án là:

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Ta có: \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i  \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}}{{\left( {1 + i} ight)\left( {1 - i} ight)}} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{ - 2i}}{2} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z = 5 \Leftrightarrow z = \frac{5}{{2 + i}} = 2 - i

    \Rightarrow w = 1 + 2z + {z^2} = {\left( {1 + z} ight)^2} = {\left( {3 - i} ight)^2} = 8 - 6i

    \Leftrightarrow \left| w ight| = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 6} ight)}^2}} = 10

  • Câu 2: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 1 + 3i. Phần thực và phần ảo của số phức w = 2i - 3\overline z lần lượt là:

     Ta có: w = 2i - 3\overline z = 2i - 3\left( { - 1 - 3i} ight) = 11i + 3

  • Câu 3: Vận dụng cao

    Cho hai số phức {z_1},{z_2} thỏa mãn \left| {{z_1} + 1 - i} ight| = 2 và {z_2} = i{z_1}.

    Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức \left| {{z_1} - {z_2}} ight|?

    Vì \left| {{z_1} + 1 - i} ight| = 2 nên điểm biểu diễn {M_1} của {z_1} thuộc đường tròn tâm I(-1; 1) bán kính R = 2

    Vì {z_2} = i{z_1} nên điểm {M_2} (điểm biểu diễn của {z_2}) là ảnh của {M_1} qua phép quay tâm O, góc quay {90^0}

    => \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = {M_1}{M_2} = \sqrt 2 O{M_1} ngắn nhất khi O{M_1} ngắn nhất

    Ta có: \min O{M_1} = R - OI = 2 - \sqrt 2

    Vậy: m = \sqrt 2 \left( {2 - \sqrt 2 } ight) = 2\sqrt 2 - 2

    Do \left| {{z_1} + 1 - i} ight| = 2 nên điểm biểu diễn của thuộc đường tròn tâm I\left( { - 1;1} ight) bán kính R  = 2.

    \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {{z_1} - i{z_1}} ight| = \left| {\left( {1 - i} ight){z_1}} ight| = \sqrt 2 \left| {{z_1}} ight| = \sqrt 2 OM \geqslant \sqrt 2 \left( {R - OI} ight) = \sqrt 2 \left( {2 - \sqrt 2 } ight) = 2\sqrt 2 - 2

  • Câu 4: Thông hiểu

    Gọi {z_1},{z_2},{z_3},{z_4} là bốn nghiệm của phương trình {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 trên tập

    số phức tính tổng: S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}}.

    Ta có: {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {z + 2} ight)\left( {{z^2} - 2z + 2} ight) = 0 (1)

    Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:

    \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1\\{z_2} = - 2\\{z_3} = 1 + i\\{z_4} = 1 - i\end{array} ight.

    Thay và biểu thức ta có: 

    S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + i} ight)}^2}}} = \frac{5}{4}

  • Câu 5: Vận dụng

    Biết z_1 và z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0. Khi đó z_1^2 + z_2^2  bằng:

     Ta có: z_1^2 + z_2^2 = {\left( {{z_1} + {z_2}} ight)^2} - 2{z_1}{z_2}

    Áp dụng hệ thức Viet ta có: \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{3}{2}\end{array} ight.

    Suy ra ta có:z_1^2 + z_2^2 = {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} ight)^2} - 2.\frac{3}{2} = - \frac{9}{4}.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau: (z^2 + z)^2 + 4(z^2 + z) -12 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + z, khi đó phương trình đã cho có dạng:

    t^2 + 4t – 12 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = - 6\\t = 2\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + z - 6 = 0\\{z^2} + z - 2 = 0\end{array} ight.

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2}\\z = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2}\\z = 1\\z = - 2\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm có tổng là

    \frac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2} + \frac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2} + 1 - 2 = - 1 + 1 - 2 = - 2

  • Câu 7: Thông hiểu

    Tìm các số thực x, y thoả mãn:

    3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

    => (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

    =>\left\{ \begin{gathered} 3x + y = 2y - 1 \hfill \\ 5x = x - y \hfill \\ \end{gathered} ight.

    => \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{1}{7} \hfill \\ y = \frac{4}{7} \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 8: Vận dụng

    Tính số phức sau: z = (1+i)15

    Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i => (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i

    z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i

  • Câu 9: Vận dụng

    Cho số phức z = 5 - 4i. Số phức đối của z có điểm biểu diễn là:

     z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight) \Rightarrow z' = - x - yi

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho số phức {z_1} = 1 - i,{z_2} = 3 + 2i. Tìm số phức z thỏa mãn \overline z .{z_1} + {z_2} = 0.

     Ta có: \overline z = \frac{{ - {z_2}}}{{{z_1}}} = \frac{{ - 3 - 2i}}{{1 - i}} = - \frac{1}{2} - \frac{5}{2}i \Rightarrow z = - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i

  • Câu 11: Vận dụng

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i,{z_2} = 3 + 2i. Trong mặt phẳng Oxy, gọi các điểm M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức {z_1},{z_2}, gọi G là trọng tâm của tam giác OMN, với O là gốc tọa độ. Hỏi G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?

    Do M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức {z_1},{z_2} nên M\left( {1; - 1} ight),N\left( {3;2} ight)

    Khi đó tọa độ điểm G là trọng tâm của tam giác OMN có tọa độ G\left( {\frac{4}{3};\frac{1}{3}} ight)

    Vậy G là điểm biểu diễn của số phức: z = \frac{4}{3} + \frac{1}{3}i

  • Câu 12: Nhận biết

    Cho số phức {\left( {\overline {2 + i} } ight)^5} - \left( {2 + i} ight).\overline z = - 37 - 43i. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

     Ta có: {\left( {\overline {2 + i} } ight)^5} = - 38 - 41i \Rightarrow \overline z = \frac{{1 - 2i}}{{ - \left( {2 + i} ight)}} = i.

  • Câu 13: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| z ight| = 1. Tìm \min \left| {{z^3} - z + 2} ight|.

     Gọi z = a + bi, với a, b \in \mathbb{R}.

    Theo giả thiết ta có \left| z ight| = 1 suy ra z.\bar z = 1 và {a^2} + {b^2} = 1, - 1 \le a \le 1.

    Ta có \left| {{z^3} - z + 2} ight| = \left| {{z^3} - z + 2z.\bar z} ight| = \left| z ight|\left| {{z^2} - 1 + 2\bar z} ight|

    = \left| {{a^2} - {b^2} + 2a - 1 + \left( {2ab - 2b} ight)i} ight| = \left| {2\left( {{a^2} + a - 1} ight) + 2b\left( {a - 1} ight)i} ight|

    = \sqrt {4{{\left( {{a^2} + a - 1} ight)}^2} + 4{b^2}{{\left( {a - 1} ight)}^2}}

    = \sqrt {16{a^3} - 4{a^2} - 16a + 8} = 2\sqrt {4{a^3} - {a^2} - 4a + 2}

    Xét hàm số f\left( x ight) = 4{x^3} - {x^2} - 4x + 2 trên \left[ { - 1;\,1} ight].

    Ta có f'\left( x ight) = 12{x^2} - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\x = - \dfrac{1}{2}\end{array} ight..

    Ta có f\left( { - 1} ight) = 1;f\left( 1 ight) = 1;f\left( {\frac{2}{3}} ight) = \frac{2}{{27}};f\left( { - \frac{1}{2}} ight) = \frac{{13}}{4}.

    Vậy \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\,1} ight]} f\left( x ight) = f\left( {\frac{2}{3}} ight) = \frac{2}{{27}}.

    Do đó \min \left| {{z^3} - z + 2} ight| = \frac{{2\sqrt 6 }}{9} khi a = \frac{2}{3} và b = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}.

  • Câu 14: Vận dụng

    Cho z1 = 1 + i; z2 = -1 - i. Tìm {z_3} \in \mathbb{C} sao cho các điểm biểu diễn của {z_1};\,\,{z_2};\,\,{z_3} tạo thành tam giác đều.

     Giả sử {z_3} = x + yi

    Để các điểm biểu diễn của {z_1};\,\,{z_2};\,\,{z_3} tạo thành một tam giác đều thì

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {{z_1} - {z_3}} ight|} \\ {\left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \left| {{z_2} - {z_3}} ight|} \end{array}} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}} } \\ {\sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x + 1} ight)}^2} + {{\left( {y + 1} ight)}^2}} } \end{array}} ight.

    \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2} = 8} \\ {x + y = 0} \end{array}} ight.

    \Rightarrow 2{y^2} = 6 \Rightarrow y = \pm \sqrt 3 \Rightarrow x = \mp \sqrt 3

    Vậy có hai số phức thoả mãn là: {z_3} = {\text{\{ }}\sqrt 3 - \sqrt 3 i;\,\, - \sqrt 3 + \sqrt 3 i\}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Cho hai số phức {z_1} = 1 - i,{z_2} = 3 + 2i. Tìm môđun của số phức \overline {{z_1}} - {z_2}.

     Ta có: \left| {\overline {{z_1}} - {z_2}} ight| = \left| {1 + i - 3 - 2i} ight| = \sqrt 5

  • Câu 16: Vận dụng

    Giá trị của b và c để phương trình {z^2} + bz + c = 0 nhận z = 1 + i  làm nghiệm là?

     Do z = 1 + i là nghiệm của phương trình đã cho nên:

    {\left( {1 + i} ight)^2} + b\left( {1 + i} ight) + c = 0

    \Leftrightarrow 2i + b + bi + c = 0 \Leftrightarrow b + c + \left( {2 + b} ight)i = 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 0\\2 + b = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\c = 2\end{array} ight.

  • Câu 17: Nhận biết

    Trong \mathbb C, phương trình 2x^2+x+1=0 có nghiệm là:

     Ta có: \Delta = {b^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 = - 7 = 7{i^2} < 0 nên phương trình có hai nghiệm phức là: {x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{4}

  • Câu 18: Thông hiểu

    Phần thực của số phức z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} là:

    Ta có:

    z = 5 + 2i - {\left( {1 + i} ight)^3} = 5 + 2i + 2 - 2i = 7

  • Câu 19: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn iz = 2 + i. Khi đó phần thực và phần ảo của z là

     Ta có: z = \frac{{2 + i}}{i} = 1 - 2i

  • Câu 20: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 3 - 2i là

     \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {3 - 2i} = 3 - ( - 2i) = 3 + 2i

  • Câu 21: Vận dụng

    Nếu số phức z e 1 thỏa mãn \left| z ight| = 1 thì phần thực của \frac{1}{{1 - z}} bằng:

    Gọi z = a + bi,\left( {a,b \in \mathbb{R}} ight),z e 1

    Do \left| z ight| = 1 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1

    Ta có

    \frac{1}{{1 - z}} = \frac{1}{{\left( {1 - a} ight) - bi}} = \frac{{\left( {1 - a} ight) + bi}}{{{{\left( {1 - a} ight)}^2} + {b^2}}}

    = \frac{{1 - a}}{{2 - 2a}} + \frac{b}{{2 - 2a}}i = \frac{1}{2} + \frac{b}{{2 - 2a}}i

    Vậy phần thực của số phức \frac{1}{{1 - z}} là \frac{1}{2}

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Gọi {z_1},{z_2} là 2 nghiệm của phương trình \left| {z - 1 + 2i} ight| = \left| {z + 1 + 2i} ight| thỏa mãn \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \sqrt 2. Biết rằng w là số phức thỏa mãn \left| {{\text{w}} - 3 - 2i} ight| = 2. Tìm GTNN của biểu thức P = \left| {{\text{w}} - {z_1}} ight| + \left| {{\text{w}} - {z_2}} ight|.

    Giả sử z = x yi\left( {x,y \in R} ight)

    Ta có: \left| {z - 1 + 2i} ight| = \left| {z + 1 + 2i} ight|

    => x = 0

    => Tập hợp điểm biểu diễn {z_1},{z_2} là trục tung.

    Giả sử A, B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho {z_1},{z_2}, ta có \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = \sqrt 2 \Leftrightarrow AB = \sqrt 2

    Giả sử {\text{w}} = a + bi\left( {a,b \in R} ight) và M là điểm biểu diễn cho số phức w, ta có \left| {{\text{w}} - 3 - 2i} ight| = 2 \Leftrightarrow {(a - 3)^2} + {(b - 2)^2} = 4a suy ra tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm I\left( {3;2} ight) bán kính R = 2

    Ta có P = MA + MB, gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên trục tung, ta thấy P nhỏ nhất khi E là trung điểm AB suy ra MA = MB = \frac{{\sqrt 6 }}{2}, vậy MinP = 2.\frac{{\sqrt 6 }}{2} = \sqrt 6

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

  • Câu 23: Nhận biết

    Nghiệm của phương trình: {z^2} + 4z + 7 = 0  là:

     Ta có: \Delta ' = {2^2} - 7 = - 3 = 3{i^2}

    \Rightarrowcác căn bậc hai của \triangle '  là \pm i\sqrt 3

    Vậy nghiệm của phương trình là: z = - 2 + \sqrt 3 i,\,\,\,z = - 2 - \sqrt 3 i

  • Câu 24: Thông hiểu

    Số phức z = \frac{{3 - 4i}}{{4 - i}} bằng:

     Ta có: z = \frac{{3 - 4i}}{{4 - i}} = \frac{{16}}{{17}} - \frac{{13}}{{17}}i

  • Câu 25: Thông hiểu

    Cho phương trình sau: z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?

    4 || Bốn || bốn

    Đáp án là:

    Cho phương trình sau: z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?

    4 || Bốn || bốn

    Do tổng tất cả các hệ số của phương trình z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0 bằng 0 nên z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0 có nghiệm z = 1.

    z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0\Leftrightarrow (z – 1)(z^3 – 3z^2 + 4z – 12) = 0

    \Leftrightarrow (z – 1) (z – 3) (z^2 + 4) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\{z^2} + 4 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\z = 2i\\z = - 2i\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm và cộng tổng chúng lại ta được 4.

  • Câu 26: Thông hiểu

    Cho phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0 có hai nghiệm {z_1},{z_2} là . Giá trị của w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2} là?

    1 || Một || một

    Đáp án là:

    Cho phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0 có hai nghiệm {z_1},{z_2} là . Giá trị của w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2} là?

    1 || Một || một

    Ta có:

    {z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + \sqrt 2 i\\z = 1 - \sqrt 2 i\end{array} ight.

    Suy ra:  w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2}

    = {\left( {1 + \sqrt 2 i} ight)^2} + {\left( {1 - \sqrt 2 i} ight)^2} + \left( {1 + \sqrt 2 i} ight)\left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 1

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 6 - 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \overline z.

     Ta có \overline z = \overline { - 6 - 3i} = - 6 + 3i nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.

  • Câu 28: Nhận biết

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 2022 - 2023i là:

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 29: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn: \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i. Môđun của số phức w = \left( {2 - i} ight)z - 1 là?

     Ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i \Rightarrow z\left( {1 - i} ight) = 2

    \Leftrightarrow z = 1 + i \Rightarrow w = \left( {2 - i} ight)\left( {1 + i} ight) - 1 = 2 + i

    \left| w ight| = \sqrt 5

  • Câu 30: Nhận biết

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 1 + i là:

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 31: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 32: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| z ight| = 1 , gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P = \left| {{z^5} + {{\overline z }^3} + 4z} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|. Tính \left| {M - mi} ight|

     Ta có P = \left| {{z^5} + {{\overline z }^3} + 4z} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = \left| {{z^4} + {{\overline z }^4} + 4} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = \left| {{{\left( {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight)}^2} + 2} ight| - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = {\left( {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight)^2} + 2 - 2\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight|

    = {\left( {\left| {{z^2} + {{\overline z }^2}} ight| - 1} ight)^2} + 1

    Vì \left\{ \begin{array}{l}{z^2} + {\overline z ^2} \in \mathbb{R} \\ - 2 \le {z^2} + {\overline z ^2} \le 2\end{array} ight.  nên {P_{{m{max}}}} = 2; {P_{{m{min}}}} = 1.

    Suy ra  \left| {M - mi} ight| = \sqrt 5

  • Câu 33: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 34: Vận dụng cao

    Tìm tất cả các số thực x, y sao cho {x^2} - 1 + yi = - 1 + 2i

     Ta có: {x^2} - 1 + yi = - 1 + 2i \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 1 = - 2 \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 35: Thông hiểu

    Cho số phức z = 3 + 2i. Tìm số phức w = 2i - \left( {3 - i} ight)\overline z + 2iz - 1?

     Ta có: w = 2i - \left( {3 - i} ight)\overline z + 2iz - 1

    = 2i - \left( {3 - i} ight)\left( {3 - 2i} ight) + 2i\left( {3 + 2i} ight) - 1

    = - 12 + 17i

  • Câu 36: Vận dụng

    Cho {z_1},{z_2} là hai số phức thỏa mãn \left| {2z - i} ight| = \left| {2 + iz} ight|, biết \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1. Tính giá trị của biểu thức P = \left| {{z_1} + {z_2}} ight|

    Cách 1: + Đặt z = x + yi,x,y \in \mathbb{R} ta có

    \left| {2z - i} ight| = \left| {2 + iz} ight| \Leftrightarrow \left| {2x + \left( {2y - 1} ight)i} ight| = \left| {\left( {2 - y} ight) + xi} ight|

    \sqrt {4{x^2} + {{\left( {2y - 1} ight)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2 - y} ight)}^2} + {x^2}} \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} - 4y + 1 = 4 - 4y + {y^2} + {x^2}

    \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow \left| z ight| = 1 \Rightarrow \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = 1

    + Sử dụng công thức: \forall {z_1},{z_2} \in \mathbb{C} ta có

    {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} ight|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} ight|}^2} + {{\left| {{z_2}} ight|}^2}} ight)

    => P = \sqrt 3

    Cách 2.

    + Biến đổi: \left| {iz + 2} ight| = \left| { - i\left( {iz + 2} ight)} ight| = \left| {z - 2i} ight|

    Ta có \left| {2z - i} ight| = \left| {z - 2i} ight| \Rightarrow {\left| {2z - i} ight|^2} = {\left| {z - 2i} ight|^2} \Rightarrow \left| z ight| = 1 \Rightarrow \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = 1

    + Sử dụng công thức bình phương mô đun:

    {\left| {m{z_1} + n{z_2}} ight|^2} = {m^2}{z_1}^2 + 2mn{z_1}{z_2}cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) + {n^2}{z_2}^2

    Trong đó \left( {{z_1},{z_2}} ight) là góc \widehat {MON} với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức {z_1},{z_2} trên mặt phẳng phức

    \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1} - {z_2}} ight|^2} = 1

    \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} - 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 1 \Rightarrow cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = \frac{1}{2}

    {P^2} = {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} + 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 3 \Rightarrow P = \sqrt 3

    Vậy {P^2} = {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} + 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 3 \Rightarrow P = \sqrt 3

  • Câu 37: Thông hiểu

    PT sau có số nghiệm là : z^3 – 27 = 0

    3 || ba || Ba

    Đáp án là:

    PT sau có số nghiệm là : z^3 – 27 = 0

    3 || ba || Ba

     Ta có: z^3 – 27 = 0 \Leftrightarrow (z – 1) (z^2 + 3z + 9) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z^2} + 3z + 9 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z_{2,3}} = \dfrac{{ - 3 \pm 3\sqrt 3 i}}{2}\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

  • Câu 38: Nhận biết

    Cho số phức z = 1 - i + {i^3}. Tìm phần thực a và phần ảo b của z.

     Ta có z = 1 - i + {i^3} = 1 - i - i = 1 - 2i \Rightarrow a = 1,b = - 2

  • Câu 39: Thông hiểu

    Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập số phức \mathbb C: {z^4} - {z^3} + \frac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0 (1)

    Kiểm tra nghiệm z=0 ta dễ dàng nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình đã cho vậy z eq 0.

    Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ({z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}) - (z - \frac{1}{z}) + \frac{1}{2} = 0 (2)

    Đặt t= z - \frac{1}{z} .  Khi đó {t^2} = {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} - 2 \Leftrightarrow {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} = {t^2} + 2

    Phương trình (2) có dạng :t^2-t+\frac{5}{2} = 0 (3)

    \Delta = 1 - 4.\frac{5}{2} = - 9 = 9{i^2}

    Vậy PT (3) có 2 nghiệm:    t=\frac{{1 + 3i}}{2};t=\frac{{1 - 3i}}{2} 

    Với  t=\frac{{1 + 3i}}{2},  ta có z - \frac{1}{z} = \frac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 + 3i)z - 2 = 0(4)

    Có \Delta = {(1 + 3i)^2} + 16 = 8 + 6i = 9 + 6i + {i^2} = {(3 + i)^2}

    Vậy PT(4) có 2 nghiệm :

    z=\frac{{(1 + 3i) + (3 + i)}}{4} = 1 + i;  z= \frac{{(1 + 3i) - (3 + i)}}{4} = \frac{{i - 1}}{2}

    Do đó PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-iz=\frac{{i - 1}}{2}; z=\frac{{-i - 1}}{2}

  • Câu 40: Thông hiểu

    Cho số phức z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}}. Phần thực của số phức z là?

     Ta có: z = 1 + \left( {1 + i} ight) + {\left( {1 + i} ight)^2} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{26}} = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{27}} - 1}}{i}

    = \frac{{{{\left( {1 + i} ight)}^{26}}.\left( {1 + i} ight) - 1}}{i} = \frac{{{{(2i)}^{13}}\left( {1 + i} ight) - 1}}{i}

    = \frac{{{2^{13}}i - {2^{13}} - 1}}{i} = {2^{13}} + (1 + {2^{13}})i

    Vậy phần thực là  2^{13}.

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Số phức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 44 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Số phức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập