Lớp 12 Toán 12

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Số phức

Mô tả thêm: Đề kiểm tra 45 phút bao gồm các kiến thức Chương 4. Số phức được thay đổi liên tục giúp học sinh ôn tập kiến thức và kĩ năng giải bài tập Toán 12
  • Thời gian làm: 45 phút
  • Số câu hỏi: 40 câu
  • Số điểm tối đa: 40 điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
Mua gói để Làm bài
  • Câu 1: Thông hiểu

    Cho phương trình sau: z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?

    4 || Bốn || bốn

    Đáp án là:

    Cho phương trình sau: z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0. Tính tổng số tất cả các nghiệm của phương trình?

    4 || Bốn || bốn

    Do tổng tất cả các hệ số của phương trình z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0 bằng 0 nên z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0 có nghiệm z = 1.

    z^4 – 4z^3 +7z^2 – 16z + 12 = 0\Leftrightarrow (z – 1)(z^3 – 3z^2 + 4z – 12) = 0

    \Leftrightarrow (z – 1) (z – 3) (z^2 + 4) = 0

    \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\{z^2} + 4 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\z = 2i\\z = - 2i\end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm và cộng tổng chúng lại ta được 4.

  • Câu 2: Vận dụng

    Cho số phức z = 5 - 4i. Số phức đối của z có điểm biểu diễn là:

     z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight) \Rightarrow z' = - x - yi

  • Câu 3: Nhận biết

    Cho hai số phức {z_1} = 4 - 3i và {z_2} = 7 + 3i. Tìm số phức z = {z_1} - {z_2}

     Ta có:

    \begin{matrix} z = {z_1} - {z_2} \hfill \\ = \left( {4 - 3i} ight) - \left( {7 + 3i} ight) \hfill \\ = 4 - 3i - 7 - 3i \hfill \\ = (4 - 7) + ( - 3 - 3)i \hfill \\ = - 3 - 6i \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 4: Vận dụng

    Cho các số phức z thỏa mãn \left| {z - i} ight| = \left| {z - 1 + 2i} ight|. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = \left( {2 - i} ight)z + 1 trên các mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó.

    Đặt z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Khi đó phương trình

    \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} ight)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 1} ight)}^2} + {{\left( {y + 2} ight)}^2}}

    \Leftrightarrow - 2y + 1 = - 2x + 1 + 4y + 4 \Leftrightarrow 2x - 6y - 4 = 0

    \Leftrightarrow x - 3y - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 3y +

    Với

    w = x' + y'i = \left( {2 - i} ight).z + 1 = \left( {2 - i} ight).\left( {x + yi} ight) + 1

    = 2x + 2yi - ix + y + 1

    = \left( {2x - y + 1} ight) + \left( {2y - x} ight)i

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x' = 2x + y + 1 = 2.\left( {3y + 2} ight) + y + 1 = 7y + 5 \hfill \\ y' = 2y - x = 2y - 3y - 2 = - y - 2 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    \Rightarrow x' + 7y' = - 9 \Leftrightarrow x' + 7y' + 9 = 0

  • Câu 5: Nhận biết

    Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 6: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}}. Môđun của số phức \overline z + iz là:

     Ta có: \overline z = \frac{{{{(\sqrt 3 + i)}^3}}}{{i - 1}} = 4 - 4i\, \to \,\left| {\overline z + iz} ight| = 0

  • Câu 7: Nhận biết

    Xác định phần ảo của số phức z = 18 - 12i.

     Phần ảo của số phức z = 18 - 12i là -12

  • Câu 8: Nhận biết

    Số phức liên hợp của số phức 5 - 3i là

    \overline z = \overline {a + bi} = a – bi

    \Rightarrow \overline z = \overline {5 - 3i} = 5 - ( - 3i) = 5 + 3i

  • Câu 9: Vận dụng cao

    Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x - 1 + yi;\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    thỏa mãn \left| z ight| = 1 và N là điểm biểu diễn số phức {z_0} = 5 + 3i. M là một điểm thuộc (C)

    sao cho MN có độ dài bé nhất. Khi đó độ dài MN bé nhất bằng

    Ta có: M(x; y) nằm trên đường tròn (C). Tâm I(1; 0)

    Do N(5, 3) nằm ngoài (C) nên MN có độ dài bé nhất khi MN = NI - R = 5 - 1 = 4

  • Câu 10: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Đáp án là:

    Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i. Môđun của số phứcw = 1 + 2z + {z^2} có giá trị là

    10

    Ta có: \left( {2 + i} ight)z + \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = 5 - i  \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}}{{\left( {1 + i} ight)\left( {1 - i} ight)}} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z + \frac{{ - 2i}}{2} = 5 - i

    \Leftrightarrow \left( {2 + i} ight)z = 5 \Leftrightarrow z = \frac{5}{{2 + i}} = 2 - i

    \Rightarrow w = 1 + 2z + {z^2} = {\left( {1 + z} ight)^2} = {\left( {3 - i} ight)^2} = 8 - 6i

    \Leftrightarrow \left| w ight| = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 6} ight)}^2}} = 10

  • Câu 11: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {i.z + 3} ight| = \sqrt {\frac{5}{2}}. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = \left| {2{\text{z}} + 1 - 4i} ight| + \left| {z - 1 - 5i} ight| là:

    Ta gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z

    \left| {i.z + 3} ight| = \sqrt {\frac{5}{2}} \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 3} ight)^2} = \frac{5}{2}

    => M(x;y) \in C\left( {I(0;3);R = \sqrt {\frac{5}{2}} } ight)

    Khi đó:

    \begin{matrix} P = \left| {2{\text{z}} + 1 - 4i} ight| + \left| {z - 1 - 5i} ight| \hfill \\ = 2\left| {{\text{z}} + \frac{1}{2} - 2i} ight| + \left| {z - 1 - 5i} ight| \hfill \\ = 2\left| {\overrightarrow {MA} } ight| + \left| {\overrightarrow {MB} } ight| \hfill \\ \end{matrix}

    với A\left( { - \frac{1}{2};2} ight);B\left( {1;5} ight)

    Ta có: \overrightarrow {IA} = \left( { - \frac{1}{2}; - 1} ight),;\overrightarrow {IB} = \left( {1;2} ight) suy ra \overrightarrow {IB} = - 2.\overrightarrow {IA}.

    Theo định lý Stewart ta có:

    \sqrt 5 M{A^2} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}M{B^2} = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}\left( {M{I^2} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}.\sqrt 5 } ight)

    \Rightarrow 2M{A^2} + M{B^2} = 15

    (Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ

    \overrightarrow {MI} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MA} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} } ight) = \frac{2}{3}\overrightarrow {MA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {MB}

    Suy ra:

    \begin{matrix} M{I^2} = \dfrac{4}{9}M{A^2} + \dfrac{1}{9}M{B^2} + \dfrac{4}{9}MA.MB.cos\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} } ight) \hfill \\ = \dfrac{4}{9}M{A^2} + \dfrac{1}{9}M{B^2} + \dfrac{4}{9}MA.MB.cos\widehat {AMB} \hfill \\ = \dfrac{4}{9}M{A^2} + \dfrac{1}{9}M{B^2} + \dfrac{4}{9}MA.MB\left( {\dfrac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}} ight) \hfill \\ = \dfrac{2}{3}M{A^2} + \dfrac{1}{3}M{B^2} - \dfrac{2}{9}A{B^2} \hfill \\ \Rightarrow 2M{A^2} + M{B^2} = 3M{I^2} + \dfrac{2}{3}A{B^2} = 15 \hfill \\ \end{matrix}

    Khi đó suy ra:

    P = 2\left| {\overrightarrow {MA} } ight| + \left| {\overrightarrow {MB} } ight|

    = \left( {\sqrt {2.} \sqrt 2 .MA + MB} ight) \leqslant \sqrt {\left( {{{\sqrt 2 }^2} + {1^2}} ight)\left( {2M{A^2} + M{B^2}} ight)} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 .

  • Câu 12: Vận dụng cao

    Gọi {z_1},{z_2},{z_3},{z_4} là các nghiệm của phương trình {\left( {\frac{{z - 1}}{{2z - i}}} ight)^4} = 1 . Tính giá trị biểu thức P = \left( {z_1^2 + 1} ight)\left( {z_2^2 + 1} ight)\left( {z_3^2 + 1} ight)\left( {z_4^2 + 1} ight)

     Ta có phương trình

    f\left( z ight) = {\left( {2z - i} ight)^4} - {\left( {z - 1} ight)^4} = 0

    Suy ra: f\left( z ight) = 15\left( {z - {z_1}} ight)\left( {z - {z_2}} ight)\left( {z - {z_3}} ight)\left( {z - {z_4}} ight)

    Vì z_1^2 + 1 = \left( {{z_1} - i} ight)\left( {{z_1} + i} ight) \Rightarrow P = \frac{{f\left( i ight).f\left( { - i} ight)}}{{225}}    (1)

    Mà f\left( i ight) = {i^4} - {\left( {i - 1} ight)^4} = 5;

    f\left( { - i} ight) = {\left( { - 3i} ight)^4} - {\left( {i + 1} ight)^4} = 85.

    Vậy từ \left( 1 ight) \Rightarrow P = \frac{{17}}{9}.

  • Câu 13: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn: \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i. Môđun của số phức w = \left( {2 - i} ight)z - 1 là?

     Ta có:

    \frac{{z - 1}}{{z - i}} = i \Rightarrow z\left( {1 - i} ight) = 2

    \Leftrightarrow z = 1 + i \Rightarrow w = \left( {2 - i} ight)\left( {1 + i} ight) - 1 = 2 + i

    \left| w ight| = \sqrt 5

  • Câu 14: Thông hiểu

    Gọi {z_1},{z_2},{z_3},{z_4} là bốn nghiệm của phương trình {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 trên tập

    số phức tính tổng: S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}}.

    Ta có: {z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {z + 2} ight)\left( {{z^2} - 2z + 2} ight) = 0 (1)

    Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của (1) lần lượt là:

    \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1\\{z_2} = - 2\\{z_3} = 1 + i\\{z_4} = 1 - i\end{array} ight.

    Thay và biểu thức ta có: 

    S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{{\left( {1 - i} ight)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + i} ight)}^2}}} = \frac{5}{4}

  • Câu 15: Thông hiểu

    Kí hiệu z_0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4{z^2} - 16z + 17 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = i{z_0}?

     Ta có:

    4{z^2} - 16z + 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 2 + \dfrac{1}{2}i\\z = 2 - \dfrac{1}{2}i\end{array} ight.

    \Rightarrow w = i{z_0} = - \frac{1}{2} + 2i

  • Câu 16: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn iz = 2 + i. Khi đó phần thực và phần ảo của z là

     Ta có: z = \frac{{2 + i}}{i} = 1 - 2i

  • Câu 17: Thông hiểu

    Cho số phức z = 2 + i. Tính |z|

     Ta có \left| z ight| = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5

  • Câu 18: Vận dụng

    Cho hai số thực b và c (c>0). Kí hiệu A , B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình {z^2} + 2bz + c = 0 trong mặt phẳng phức. Tìm điều kiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).

     Ta có: {z^2} + 2bz + c = 0 . Vì {z_1} + {z_2} = - 2b và {z_1}{z_2} = c là số thực.

    \Rightarrow {z_2} = \overline {{z_1}} \Rightarrow \left| {{z_2}} ight| = \left| {\overline {{z_1}} } ight| = \left| {{z_1}} ight|. Vậy ta có: {x_1} = b và x_1^2 + y_2^2 = c .

    Ta có: {z_1} = {x_1} + {y_1}i \Rightarrow A\left( {{x_1};{y_1}} ight); {z_1} = {x_2} + {y_2}i \Rightarrow B(x_2;y_2).

    Để tam giác OAB là tam giác vuông tại O = > \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0

    \Rightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0\Rightarrow x_1^2-y_1^2=0\Rightarrow x_1^2=y_1^2\Rightarrow c=2b^2.

  • Câu 19: Thông hiểu

    Gọi z_1 và  z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2\left( {1 + i} ight){z^2} - 4\left( {2 - i} ight)z - 5 - 3i = 0 . Tính {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

    9 || chín || Chín

    Đáp án là:

    Gọi z_1 và  z_2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2\left( {1 + i} ight){z^2} - 4\left( {2 - i} ight)z - 5 - 3i = 0 . Tính {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2}.

    9 || chín || Chín

     Ta có \Delta ' = 4{\left( {2 - i} ight)^2} + 2\left( {1 + i} ight)\left( {5 + 3i} ight) = 16.

    Vậy phương trình có hai nghiệm phức lần lượt là:

    {z_1} = \frac{3}{2} - \frac{5}{2}i,\,\,\,{z_2} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i.

    Do đó  {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} =9.

  • Câu 20: Vận dụng

    Cho số phức z thỏa mãn \left| {z - 1 + 2i} ight| = 2 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

    Ta có: {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z = 3 - 7i + \left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)

    \Rightarrow {\text{w}} - 3 + 7i = \left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)

    \Rightarrow \left| {{\text{w}} - 3 + 7i} ight| = \left| {\left( {2 - i} ight)\left( {z - 1 + 2i} ight)} ight| = \left| {2 - i} ight|\left| {z - 1 + 2i} ight| = 2\sqrt 5

    => Tập hợp các điểm biểu diễn số phức {\text{w}} = 3 - 2i + \left( {2 - i} ight)z là một đường tròn bán kính R = 2\sqrt 5

  • Câu 21: Vận dụng cao

    Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x - 1 + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    thỏa mãn \left| z ight| = 1 và N là điểm biểu diễn số phức {z_0} = 5 + 3i. M là một điểm thuộc (C)

    sao cho MN có độ dài lớn nhất. Khi đó độ dài MN lớn nhất bằng

    Ta có: M(x; y) nằm trên đường tròn (C): {\left( {x - 1} ight)^2} + {y^2} = 1. Tâm i(1; 0)

    Do N(5; 3) nằm ngoài (C)  nên MN có độ dài lớn nhất khi MN = NI + R = 5 + 1 = 6

  • Câu 22: Thông hiểu

    Số nghiệm của phương trình: (z^2 + 3z +6)^2 + 2z(z^2 + 3z +6) – 3z^2 = 0 là?

     Đặt t = z^2 + 3z +6 phương trình đã cho có dang:

    t^2 +2zt – 3z^2 = 0 \Leftrightarrow (t – z)(t+3z) = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t = z\\t = - 3z\end{array} ight.

    + Với t = z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 –z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 2z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 1 + \sqrt 5 i\\z = - 1 - \sqrt 5 i\end{array} ight.

    + Với t = -3z \Leftrightarrow z^2 + 3z +6 +3z = 0 \Leftrightarrow z^2 + 6z + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}z = - 3 + \sqrt 3 \\z = - 3 - \sqrt 3 \end{array} ight.

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Cho các số phức z_1 , z_2. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng?

    \left( I ight):\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} ight| = \frac{{\left| {{z_1}} ight|}}{{\left| {{z_2}} ight|}}.

    \left( {II} ight):\left| {{z_1}.{z_2}} ight| = \left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.

    \left( {III} ight):{\left| {{z_1}} ight|^2} = {z_1}^2.

    Áp dụng tính chất số phức, ta có: 

    - Môđun của 1 thương hai số phức thì bằng thương của từng môđun \left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} ight| = \frac{{\left| {{z_1}} ight|}}{{\left| {{z_2}} ight|}}

    -  Môđun của 1 tích hai số phức thì bằng tích của từng môđun  \left| {{z_1}.{z_2}} ight| = \left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|

    Vậy khẳng địn (I) và (II) là đúng.

  • Câu 24: Thông hiểu

    Cho số phức \frac{{3 - i}}{z} + {\left( {2 - i} ight)^3} = 3 - 13i. Số phức \frac{{{{\left( {z + 12i} ight)}^2}}}{i} + {z^2} là số phức nào sau đây?

     Ta có: {\left( {2 - i} ight)^3} = 2 - 11i \Rightarrow z = \frac{{3 - i}}{{1 - 2i}} = 1 + i

    Suy ra  \frac{{{{\left( {z + 12i} ight)}^2}}}{i} + {z^2} = ((1+i) +12i)^2 :i +(1+i)^2

    =(1+13i)^2 :i +(1+i)^2 =26+168i +2i =26+170i.

  • Câu 25: Vận dụng

    Cho số phức z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} ight)^m}, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m \in \left[ {1;50} ight] để z là số thuần ảo?

    25|| hai mươi lăm||Hai mươi lăm

    Đáp án là:

    Cho số phức z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} ight)^m}, m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m \in \left[ {1;50} ight] để z là số thuần ảo?

    25|| hai mươi lăm||Hai mươi lăm

    Ta có: z = {\left( {\frac{{2 + 6i}}{{3 - i}}} ight)^m} = {(2i)^m} = {2^m}.{i^m}\,

    z là số thuần ảo khi và chỉ khi m = 2k + 1,\,\,k \in \mathbb N

    Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.

  • Câu 26: Nhận biết

    Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z = 1 + i là:

     Số phức z = a + bi có a được gọi là phần ảo, b là phần thực.

  • Câu 27: Thông hiểu

    Cho số phức z thỏa mãn z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{2022}}. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là?

     Ta có: z = 1 + i\frac{{1 - {i^{2022}}}}{{1 - i}} = i

    Vậy số phức z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 1.

  • Câu 28: Nhận biết

    Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?

     Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.

  • Câu 29: Thông hiểu

    Cho {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight). Giá trị của x và y bằng:

     Ta có:

    {\left( {x + 2i} ight)^2} = 3x + yi \Leftrightarrow {x^2} - 4 + 4xi = 3x + yi

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} - 4 = 3x \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ 4x = y \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = - 4 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ y = 16 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.

  • Câu 30: Vận dụng

    Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \left| {zi - \left( {2 + i} ight)} ight| = 2 là:

     Giả sử: z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} ight)

    Theo bài ra ta có: \left| {zi - \left( {2 + i} ight)} ight| = 2

    \Leftrightarrow \left| {xi - y - 2 - i} ight| = 2

    \Leftrightarrow {\left( {x - 1} ight)^2} + {\left( {y + 2} ight)^2} = 4

  • Câu 31: Vận dụng

    Cho {z_1},{z_2} là hai số phức thỏa mãn \left| {2z - i} ight| = \left| {2 + iz} ight|, biết \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1. Tính giá trị của biểu thức P = \left| {{z_1} + {z_2}} ight|

    Cách 1: + Đặt z = x + yi,x,y \in \mathbb{R} ta có

    \left| {2z - i} ight| = \left| {2 + iz} ight| \Leftrightarrow \left| {2x + \left( {2y - 1} ight)i} ight| = \left| {\left( {2 - y} ight) + xi} ight|

    \sqrt {4{x^2} + {{\left( {2y - 1} ight)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2 - y} ight)}^2} + {x^2}} \Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} - 4y + 1 = 4 - 4y + {y^2} + {x^2}

    \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow \left| z ight| = 1 \Rightarrow \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = 1

    + Sử dụng công thức: \forall {z_1},{z_2} \in \mathbb{C} ta có

    {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} ight|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} ight|}^2} + {{\left| {{z_2}} ight|}^2}} ight)

    => P = \sqrt 3

    Cách 2.

    + Biến đổi: \left| {iz + 2} ight| = \left| { - i\left( {iz + 2} ight)} ight| = \left| {z - 2i} ight|

    Ta có \left| {2z - i} ight| = \left| {z - 2i} ight| \Rightarrow {\left| {2z - i} ight|^2} = {\left| {z - 2i} ight|^2} \Rightarrow \left| z ight| = 1 \Rightarrow \left| {{z_1}} ight| = \left| {{z_2}} ight| = 1

    + Sử dụng công thức bình phương mô đun:

    {\left| {m{z_1} + n{z_2}} ight|^2} = {m^2}{z_1}^2 + 2mn{z_1}{z_2}cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) + {n^2}{z_2}^2

    Trong đó \left( {{z_1},{z_2}} ight) là góc \widehat {MON} với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức {z_1},{z_2} trên mặt phẳng phức

    \left| {{z_1} - {z_2}} ight| = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1} - {z_2}} ight|^2} = 1

    \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} - 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 1 \Rightarrow cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = \frac{1}{2}

    {P^2} = {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} + 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 3 \Rightarrow P = \sqrt 3

    Vậy {P^2} = {\left| {{z_1} + {z_2}} ight|^2} = 1 \Rightarrow {\left| {{z_1}} ight|^2} + {\left| {{z_2}} ight|^2} + 2\left| {{z_1}} ight|.\left| {{z_2}} ight|.cos\left( {{z_1},{z_2}} ight) = 3 \Rightarrow P = \sqrt 3

  • Câu 32: Thông hiểu

    Số phức z thỏa mãn z = 1 + 2i + 3{i^2} + 4{i^3} + ... + 18{i^{19}}. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

    Ta có:  z - iz = 1 + i + ... + {i^{19}} - 18{i^{20}} = 1.\frac{{1 - {i^{20}}}}{{1 - i}} - 18{i^{20}} = - 18

    \Rightarrow z = \frac{{ - 18}}{{1 - i}} = - 9 - 9i

  • Câu 33: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

     Ta có \frac{{2 + i}}{{1 - i}}z = \frac{{ - 1 + 3i}}{{2 + i}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{( - 1 + 3i)(1 - i)}}{{{{(2 + i)}^2}}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 4i}}{{3 + 4i}} \Leftrightarrow z = \frac{{(2 + 4i)(3 - 4i)}}{{25}}

    \Leftrightarrow z = \frac{{22}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i

  • Câu 34: Thông hiểu

    Cho phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0 có hai nghiệm {z_1},{z_2} là . Giá trị của w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2} là?

    1 || Một || một

    Đáp án là:

    Cho phương trình {z^2} - 2z + 3 = 0 có hai nghiệm {z_1},{z_2} là . Giá trị của w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2} là?

    1 || Một || một

    Ta có:

    {z^2} - 2z + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1 + \sqrt 2 i\\z = 1 - \sqrt 2 i\end{array} ight.

    Suy ra:  w = z_1^2 + z_2^2 + {z_1}{z_2}

    = {\left( {1 + \sqrt 2 i} ight)^2} + {\left( {1 - \sqrt 2 i} ight)^2} + \left( {1 + \sqrt 2 i} ight)\left( {1 - \sqrt 2 i} ight) = 1

  • Câu 35: Nhận biết

    Cho số phức z thỏa mãn z + \frac{{2{{\left( {2 - i} ight)}^3}\overline z }}{{1 + i}} + {\left( {4 + i} ight)^5} = 422 + 1088i . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

     Gọi z = x + yi,x,y \in \mathbb{R} tìm được z = 1 - 2i.

    Tính mô đun ta được  \left| z ight| = \sqrt 5.

  • Câu 36: Vận dụng cao

    Cho số phức z thỏa mãn \left| z ight| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \left| {1 + z} ight| + 3\left| {1 - z} ight|.

     Gọi z = x + yi,\left( {x \in \mathbb R;y \in \mathbb R } ight).

    Ta có:

    \left| z ight| = 1 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1 \Rightarrow {y^2} = 1 - {x^2}\Rightarrow x \in \left[ { - 1;1} ight].

    Ta có:

    P = \left| {1 + z} ight| + 3\left| {1 - z} ight| = \sqrt {{{\left( {1 + x} ight)}^2} + {y^2}}+ 3\sqrt {{{\left( {1 - x} ight)}^2} + {y^2}}

    = \sqrt {2\left( {1 + x} ight)} + 3\sqrt {2\left( {1 - x} ight)}

    Xét hàm số

    f\left( x ight) = \sqrt {2\left( {1 + x} ight)} + 3\sqrt {2\left( {1 - x} ight)} ;x \in \left[ { - 1;1} ight].

    Hàm số liên tục trên \left[ { - 1;1} ight] và với x \in \left( { - 1;1} ight) ta có:

    f'\left( x ight) = \frac{1}{{\sqrt {2\left( {1 + x} ight)} }} - \frac{3}{{\sqrt {2\left( {1 - x} ight)} }} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{4}{5} \in \left( { - 1;1} ight)

    Ta có:

    f\left( 1 ight) = 2;f\left( { - 1} ight) = 6;f\left( { - \frac{4}{5}} ight) = 2\sqrt {10} \Rightarrow {P_{\max }} = 2\sqrt {10}

  • Câu 37: Nhận biết

    Tìm số phức z trong phương trình sau: (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

     Ta có (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i

    \begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{1 + i}}{{2 + 3i}}\\ \Leftrightarrow 1 + z = \dfrac{{5 - i}}{{13}}\;\\ \Leftrightarrow z = - \dfrac{8}{{13}} - \dfrac{1}{{13}}i\;\;\;\end{array}

  • Câu 38: Thông hiểu

    Số phức z = 1 + i + {\left( {1 + i} ight)^2} + {\left( {1 + i} ight)^3} + ... + {\left( {1 + i} ight)^{20}} là số phức nào sau đây?

     z = \left( {1 + i} ight)\frac{{1 - {{\left( {1 + i} ight)}^{20}}}}{{1 - \left( {1 + i} ight)}} = - 1025 + 1025i

  • Câu 39: Thông hiểu

    Cho số phức z = - 6 - 3i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \overline z.

     Ta có \overline z = \overline { - 6 - 3i} = - 6 + 3i nên suy ra phần thực a = -6; phần ảo b = 3.

  • Câu 40: Vận dụng

    Xét phương trình {z^3} = 1 trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là:

     Ta có:

    {z^3} = 1 \Leftrightarrow \left( {z - 1} ight)\left( {{z^2} + z + 1} ight) = 0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z^2} + z + 1 = 0\end{array} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\end{array} ight.

    Suy ra: S = \left\{ {1; - \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} ight\}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Số phức Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
Làm lại
  • 48 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận
Đề kiểm tra 45 phút Chương 4 Số phức
Thời gian còn lại 45:00 Số câu đã làm 0/40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Đăng nhập